fourier series elg

8/17/2019 Fourier Series ELG

1/23

A 16

THE FOURIER SERIES

http://www.presentasi.net/


2/23

16.1 Pendahuluan


3/23

16.2 Deret Fourier Trigonometri

Fourier menemukan sebuah fungsi periodik nonsinusoidal yang

dapat dinyatakan sebagai sebuah penjumlahan tak hingga fungsi

sinusoidal dan fungsi tersebut berulang setiap T detik.

Fungsi periodik tersebut secara matematis dinyatakan dengan :

...............(16.1)

dimana : n = bilangan bulat

T = periode fungsi tersebut

)()( nT t f t f +=


4/23


Berdasarkan Teorema Fourier setiap fungsi periodik berdomain

frekuensi ( ) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan tak hingga

fungsi sinus atau cosinus yang merupakan integrasi perkalian dari

Fungsi dapat dinyatakan sebagai :

atau :

.................(16.!)

"imana : adalah fundamental frequency dalam rad#s

dan adalah harmonik ke$n dari

oω

oω

)(t f

)sincos()( 1 t nbt naat f onon no ω ω ++= ∑

∞

=

..2sin2cossincos)( 2211 +++++= t bt at bt aat f ooooo ω ω ω ω

T o

π

ω 2

=

t n oω sin t n oω cos )(t f


5/23


%ersamaan (16.!) disebut dengan deret Fourier &rigonometri dari

dengan konstanta dan adalah koefisien Fourier . 'onstanta

adalah komponen " atau nilai rata$rata . 'oefisien dan

adalah amplitudo dari sinusoidal di komponen .

"engan demikian

Deret Fourier dari fungsi periodik adalah representasi yang

memisahkan kedalam sebuah komponen DC dan sebuah

komponen AC yang berisikan deret tak hingga sinusoidal harmonis.

)(t f

nb

)(t f

oa)(t f

nana nb

)(t f


6/23


7/23


Analisis Fourier merupakan proses penentuan nilai koefisien

Fourier. Berikut merupakan integral trigonometri yang sangat

berguna dalam analisis Fourier :

0sin0

=∫ T

dt n oω

0cos0

=∫ T

dt n oω

0cossin0

=∫ T dt mn oo ω ω

)(,0sinsin0

nmdt mnT

oo ≠=∫ ω ω

)(,0coscos0

nmdt mn

T

oo ≠=∫ ω ω

2sin

0

2 T dt n

T

o =∫ ω

2cos

0

2 T dt nT

o =∫ ω


8/23


1. %encarian nilai

'ita integrasi ruas kanan dan kiri persamaan (16.!) menjadi :

oa

dt dt t f T

ono

n

no

T

t nbt naa∫ ∫

∞

=

+∑+=0

10

)sincos()( ω ω

[ ]dt tdt nbtdt nadt a nT T

onon

T

o ∑ ++=

∞

= ∫ ∫ ∫ 1 0 00 sincos ω ω


9/23


Berdasarkan dan

maka didapatkan

/umus tersebut memperlihatkan bah0a adalah nilai rata$rata

0sin0

=∫ T

dt n oω 0cos0

=∫ T

dt n oω

T adt adt t f oT

o

T

== ∫ ∫ 00 )(

..........(16.3)dt t f T

T oa ∫ = 0 )(1

oa )(t f


10/23


!. %encarian nilai

'ita kalikan kedua ruas persamaan (16.!) dengan

kemudian diintegrasikan menjadi :

na

tdt mt nbt naaotdt mt f oT

ono

n

no

T

ω ω ω ω cos)sincos(cos)(0

10 ∫ ∫

∞

=

+∑+=

[∑+=∞

= ∫ ∫

1 00

coscoscosn

T

oon

T

oo tdt mt natdt ma ω ω ω

dt m oω cos

]dt tdt mt nbT oon∫ + 0 cossin ω ω


11/23


Berdasarkan

dan maka didapatkan

persamaan

0cos0

=∫ T

dt n oω 0cossin0

=∫ T

dt mt n oo ω ω

)(,0coscos0

nmdt mnT

oo ≠=∫ ω ω

nmatdt mt f T

no

T

==∫ ;20 cos)( ω

..........(16.4)∫ = T

tdt nt f a on T 0

cos)(2

ω


12/23


+. %encarian nilai

'ita kalikan kedua ruas persamaan (16.!) dengan

kemudian diintegrasikan menjadi :

nb

tdt mt nbt naaotdt mt f oT

ono

n

no

T

ω ω ω ω sin)sincos(sin)(0

10 ∫ ∫

∞

=

+∑+=

[∑+=∞

= ∫ ∫ 1 00 sincossin nT

oonT

oo tdt mt natdt ma ω ω ω

dt m oω sin

]dt tdt mt nbT oon∫ + 0 sinsin ω ω


13/23


Berdasarkan

dan maka didapatkan

persamaan

0cos0

=∫ T

dt n oω 0cossin0

=∫ T

dt mt n oo ω ω

)(,0coscos0

nmdt mnT

oo ≠=∫ ω ω

nmbtdt mt f T

no

T

==∫ ;20 sin)( ω

..........(16.5)∫ = T

tdt nt f b on T 0

sin)(2

ω


14/23


%ersamaan (16.!) dapat diubah bentuknya dalam bentuk amplitudo-

fase yakni :

..........(16.6))cos()(1

no

n

no t n Aat f φ ω ++= ∑∞

=


15/23


"ari persamaan (16.6) kita dapat menerapkan identitas trigonometri

menjadi

.........(16.)

β α β α β α sinsincoscos)cos( −=+

t n Aat n Aa onn

nono

n

no ω φ φ ω cos)cos()cos(11

∑∑ ∞

=

∞

=

+=++

t n A onn ω φ sin)sin(−


16/23


"ari persamaan (16.!) dan (16.6) kita dapat kesamaan koefisien

yakni

2ehingga didapatkan besarnya amplitudo dan fase :

Spektrum frekuensi dari sebuah sinyal terdiri dari plot amplitudo

dan fase dari grafik harmonik-frekuensi

nnn Ab φ sin−=nnn Aa φ cos=

........(16.8)22nnn ba A += n

nn a

b1tan

−−=φ


17/23


Berikut merupakan integral trigonometri yang sangat berguna dalam

menaksir harga koefisien Fourier:

at a

atdt cos1

sin −=∫

at aatdt sin

1

cos =∫

at t a

at a

atdt t sin1cos1cos2

+=∫ at t

aat

aatdt t cos

1sin

1sin

2−=∫


18/23

16. !e"imetri"an


19/23

16.# A$li%a"i $ada Rang%aian


20/23

16.& Da'a Rata(rata dan )ilai

R*S


21/23

16.6 Deret Fourier E+$onen"ial


22/23

16., Anali"i" Fourier dengan PS$i-e


23/23

16. A$li%a"i

fourier series elg

Documents