fraktÆly { struŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod fraktÆly {...
TRANSCRIPT
![Page 1: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/1.jpg)
Úvod
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Jan Velechovský
KFE, FJFI ČVUT
27. dubna 2009
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 2: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/2.jpg)
Úvod
1 ÚvodDimenzeKonstrukcePřehledUkázkaAplikaceZávěrOdkazy
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 3: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/3.jpg)
Úvod
Motivace
Benoıt Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature
Clouds are not spheres, mountains are not cones,coastlines are not circles, and bark is not smooth,
nor does lightning travel in a straight line.
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 4: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/4.jpg)
Úvod
Historie
Název Fractalrok 1975Benoıt Mandelbrot (∗1924), IBM Research
How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarityand Fractional Dimension
objekt, jehož Hausdorffova dimenze je větší než topologická
Již dříve byly známy matematické konstrukce, problém sezobrazením
Gottfried Leibniz (1646 – 1716)rekurzivně zkonstruoval první soběpodobný objekt – přímku
Karl Weierstrass (1815 – 1897), Helgevon Koch (1870 – 1924) – Kochova křivka
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 5: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/5.jpg)
Úvod Dimenze
Dimenze fraktálu
Hausdorffova dimenze df - formální definice poměrně složitá
M(L) ∝ Ldf , kde
L . . . Charakteristický rozměr objektuM(L) . . . Hmotnost objektu
Například pro plošný objekt
ρ =M(L)plocha
∝ Ldf
L2 ∝ Ldf−2
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 6: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/6.jpg)
Úvod Dimenze
Dimenze fraktálu
Alternativní zavedení, vhodné pro numerické vyčíslení
N útvarů velikosti r potřebných k zakrytí objektu
r → 0
N(r) ∝ 1rdf→ df = −∆ lnN(r)
∆ ln r
Obrázek: K definici dimenze, převzato z [1]
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 7: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/7.jpg)
Úvod Konstrukce
Konstrukce fraktálů
Mnoho možností, například:
V přírodě
Afinní transformace (chceme soběpodobný objekt)
Zkoumáme konvergenci na množině
Buněčné automaty (Cellular automata)
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 8: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/8.jpg)
Úvod Konstrukce
V přírodě
Obrázek: Romanesco broccoli
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 9: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/9.jpg)
Úvod Konstrukce
Afinní transformace
Obrázek: Fraktál vytvořený afinní transformací pro 100 000 iterací
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 10: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/10.jpg)
Úvod Konstrukce
Zkoumáme konvergenci na množině
Obrázek: Mandelbrotova množina
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 11: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/11.jpg)
Úvod Konstrukce
Buněčné automaty (Cellular automata)
Obrázek: http://mathworld.wolfram.com/Rule90.html
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 12: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/12.jpg)
Úvod Přehled
Cantorovo diskontinuum
Obrázek: Cantorovo diskontinuum 1D a 2D
je nespočetná množina
je perfektní množina (je rovno množině svých limitních bodů)
je řídká množina
je uzavřená množina
má Lebesgueovu míru 0
má Hausdorffovu dimenzi ln 2ln 3
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 13: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/13.jpg)
Úvod Přehled
Sierpinského trojúhelník
Obrázek: Sierpinského trojúhelník a pyramida
poprvé popsán roku 1915, Wac law Sierpinski (1892 – 1969)
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 14: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/14.jpg)
Úvod Přehled
Mandelbrotova množina
Obrázek: Mandelbrotova množina, detail okraje
množina c ∈ C, pro která
limn→∞
‖zn‖ 6=∞, kde z0 = 0, zn+1 = z2n + c
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 15: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/15.jpg)
Úvod Ukázka
Vytvořme si vlastní fraktál
kfe.fjfi.cvut.cz/˜ velechov/mandel.c
kfe.fjfi.cvut.cz/˜ velechov/sharp.c
Zkompilujeme, např: gcc -o sharp sharp.c -lm
Spustíme, přesměrujeme výstup do souboru:./sharp > sharp.dat
Zobrazíme: gnuplot >>> p ’sharp.dat’
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 16: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/16.jpg)
Úvod Aplikace
Použítí obecně
Generování různých povrchů v PC grafice
Komprese obrázků
Medicína - měření Hausdorffovy dimenze částic krve, mozku
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 17: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/17.jpg)
Úvod Aplikace
Aplikace ve fyzice
Atraktory - problém tří těles, počasí
Fázové přechody
Brownův pohyb, DLA - en.wikipedia.org/wiki/DLA
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 18: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/18.jpg)
Úvod Odkazy
Zajímavé zdroje (1)
Wikipedia.org. . .mnoho informací, můžeme začít napříkladtady:
en.wikipedia.org/wiki/Fractalen.wikipedia.org/wiki/List of fractals by Hausdorff dimensionen.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot seten.wikipedia.org/wiki/Koch snowflake
Pavel Tišnovský - Seriál Fraktály v počítačové grafice(82 článků):
www.root.cz/serialy/fraktaly-v-pocitacove-grafice
Rešerše - Počítačové generování fraktálních množin:kmlinux.fjfi.cvut.cz/˜ pauspetr/html/skola/. . .
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
![Page 19: FraktÆly { StruŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod FraktÆly { StruŁný œvod a płehled Jan Velechovský KFE, FJFI ¨VUT 27. dubna 2009 Jan Velechovský](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022071107/5fe1b47522600f0a3873f61f/html5/thumbnails/19.jpg)
Úvod Odkazy
Zajímavé zdroje (2)
Buněčné automaty:en.wikipedia.org/wiki/Cellular automatonmathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.htmlmathworld.wolfram.com/SierpinskiSieve.htmlherodes.feld.cvut.cz/mereni/dema/alife/math.bu.edu/DYSYS/applets/chaos-game.html
[1] A Survey of Computational Physics: IntroductoryComputational Science,Rubin H. Landau, Manuel José Páez & Cristian C. Bordeianu,Princeton University Press, ISBN: 0691131376
Introduction to Nonlinear Physics, Lui Lam,Springer, ISBN: 0-387-40614-X
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled