Francis Lowenthal

Place du Parc 18

étage -1

B-7000 Mons

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e-mail : Francis.Lowenthal@umons.ac.be

DEFINITIONSEN

GEOMETRIE

Géométrie ancienne : statique

carré rectangle

4 côtés égaux 1 grand côté (longueur)

1 petit côté (largeur)

XIXe siècle : mathématique des transformations

Surtout transformations continues

Horreur des discontinuités

Passer de manière continue de rectangle ou carré

" Le carré est un moment du rectangle "

XIXe siècle : mathématique des transformations

Surtout transformations continues

Horreur des discontinuités

Passer de manière continue de rectangle ou carré

" Le carré est un moment du rectangle "

XIXe siècle : mathématique des transformations

Surtout transformations continues

Horreur des discontinuités

Passer de manière continue de rectangle ou carré

" Le carré est un moment du rectangle "

XIXe siècle : mathématique des transformations

Surtout transformations continues

Horreur des discontinuités

Passer de manière continue de rectangle ou carré

" Le carré est un moment du rectangle "

XIXe siècle : mathématique des transformations

Surtout transformations continues

Horreur des discontinuités

Passer de manière continue de rectangle ou carré

" Le carré est un moment du rectangle "

XIXe siècle : mathématique des transformations

Surtout transformations continues

Horreur des discontinuités

Passer de manière continue de rectangle ou carré

" Le carré est un moment du rectangle "

XIXe siècle : mathématique des transformations

Surtout transformations continues

Horreur des discontinuités

Passer de manière continue de rectangle ou carré

" Le carré est un moment du rectangle "

XIXe siècle : mathématique des transformations

Surtout transformations continues

Horreur des discontinuités

Passer de manière continue de rectangle ou carré

" Le carré est un moment du rectangle "

XIXe siècle : mathématique des transformations

Surtout transformations continues

Horreur des discontinuités

Passer de manière continue de rectangle ou carré

" Le carré est un moment du rectangle "

XIXe siècle : mathématique des transformations

Surtout transformations continues

Horreur des discontinuités

Passer de manière continue de rectangle ou carré

" Le carré est un moment du rectangle "

Définition de rectangle remaniée

Englober les carrés

RECTANGLE : QUADRILATERE AYANT 4 ANGLES DROITS.

De même, la définition du parallélogramme a été remaniée afin d’englober les rectangles, et celle du trapèze de manière à englober les parallélogrammes.

TRAPEZE : QUADRILATERE AYANT AU MOINS 2 COTES PARALLELES.

RappelLOSANGE = QUADRILATERE AYANT 4 COTES EGAUX (ISOMETRIQUES).

PARALLELOGRAMME : QUADRILATERE AYANT 2 PAIRES DE COTES PARALLELES.

Le même souci de continuité a présidé à la définition de

TRAPEZE ISOCELE

TRAPEZES ISOCELES TRAPEZES NON ISOCELE

a b c

En effet, on peut passer de manière continue – c’est-à-dire par une suite de trapèzes du type a – de a à b, mais pas de a à c.

En effet, on peut passer de manière continue – c’est-à-dire par une suite de trapèzes du type a – de a à b, mais pas de a à c.

En effet, on peut passer de manière continue – c’est-à-dire par une suite de trapèzes du type a – de a à b, mais pas de a à c.

En effet, on peut passer de manière continue – c’est-à-dire par une suite de trapèzes du type a – de a à b, mais pas de a à c.

Suite continue de trapèzes isocèles

En effet, on peut passer de manière continue – c’est-à-dire par une suite de trapèzes du type a – de a à b, mais pas de a à c.

Suite continue de trapèzes isocèles

En effet, on peut passer de manière continue – c’est-à-dire par une suite de trapèzes du type a – de a à b, mais pas de a à c.

Suite continue de trapèzes isocèles

En effet, on peut passer de manière continue – c’est-à-dire par une suite de trapèzes du type a – de a à b, mais pas de a à c.

Les trapèzes intermédiaires ne sont pas isocèles.

Suite continue de trapèzes isocèles

En effet, on peut passer de manière continue – c’est-à-dire par une suite de trapèzes du type a – de a à b, mais pas de a à c.

Les trapèzes intermédiaires ne sont pas isocèles.

Suite continue de trapèzes isocèles

TRAPEZE ISOCELE : TRAPEZE DONT UNE MEDIANE AU MOINS EST AXE DE SYMETRIE (ORTHOGONALE).

TRIANGLE ISOCELE = TRIANGLE AYANT AU MOINS 2 COTES EGAUX (ISOMETRIQUES).

On passe en effet de manière continue d’un triangle ayant 2 côtés égaux, à un triangle ayant 3 côtés égaux, puis de nouveau 2 côtés égaux (démonstration à l’aide d’un compas).

Lorsque vous préparez une leçon de géométrie, il est impératif :

- d’avoir ces définitions « modernes » en tête,- de surveiller vos réactions,- d’examiner les ouvrages de référence avec esprit critique : même dans lexi-math, qui définit correctement les triangles isocèles, le tableau synthèse présenté est incorrect.

En effet, s’il est pensable d’utiliser une définition différente de celles ci-dessus, il est impensable de se contredire !

Ecrire d’une part :« On appelle RECTANGLE tout quadrilatère ayant 4 angles droits »

et d’autre part :« Le rectangle a des médianes de longueurs différentes ».

pose problème !

Exercices :

Les propriétés ci-dessous sont-elles cohérentes avec les définitions « modernes » ?Si non, donne un contrexemple et indique : FAUX. Ensuite corrige.

1) Le losange a 2 diagonales : la grande diagonale et la petite diagonale.

2) Le parallélogramme a 2 angles aigus et 2 angles obtus.3) Le trapèze isocèle a 2 côtés isométriques.4) Le trapèze isocèle a les côtés non parallèles isométriques.5) Le trapèze isocèle a au moins 2 angles consécutifs égaux.6) Si un trapèze a 2 angles consécutifs égaux, il est isocèle.

Que pensez-vous de l’exercice : colorie en vert les triangles isocèles et en bleu les triangles équilatéraux.

REMARQUES METHODOLOGIQUES

• En préparant une leçon sur les propriétés d’une surface, avoir les différents cas présents à l’esprit et même dessinés.

• Présenter la synthèse comme suit :

RECTANGLE CARRE

médianes et diagonales se coupent en leur milieudiagonales égales

médiane égales

PROPRIETES DU RECTANGLERECTANGLE NON CARRE

STRICT

4 angles égauxcôtés 2 à 2côtés égaux 2 à 2

etc ...

4 côtés égaux

• Parler de rectangle strict, rectangle non carré, ou de « long » (DIENES). De même parallélogramme strict, ou non rectangle, etc.

• COMMENT EVITER DE DONNER DES IDEES FAUSSES AUX PETITS ENFANTS ?

• Utiliser les FORMES LOGIQUES DE VYGOTSKI (triangles, disques, carrés) plutôt que les BLOCS LOGIQUES DE DIENES (triangles, disques, carrés, rectangles non

carrés).

• Si on a côte à côte un rectangle non carré et un carré, parler du « long » et du « carré » (plus tard, on dira rectangle strict ou rectangle non carré).

• Si un enfant signale que le « long » est un rectangle, le féliciter, parler des angles droits, montrer que le carré aussi a 4 angles droits,…« Rectangle » est un nom de famille, « carré » et « long » sont des prénoms !

• Quand les 2 formes ne sont pas côte à côte, rien n’empêche d’introduire le mot « rectangle » ou « rectangulaire ». La fenêtre est rectangulaire, la feuille de papier

aussi.