Functions and mappings aloFrom Wikipedia, the free encyclopediaContents1 3D projection 11.1 Orthographic projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Weak perspective projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Perspective projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Diagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 A-equivalence 62.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Algebraic function 73.1 Algebraic functions in one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.1 Introduction and overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.2 The role of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.3 Monodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Algebraic vector bundle 125 Angle of parallelism 135.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Antihomomorphism 166.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16iii CONTENTS6.2.1 Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Antilinear map 187.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Asano contraction 198.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.2 Location of zeroes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.3 Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Biholomorphism 219.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.2 Riemann mapping theorem and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.3 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110Bijection 2410.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.2.1 Batting line-up of a baseball team . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.2.2 Seats and students of a classroom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.3More mathematical examples and some non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.4Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.5Composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.6Bijections and cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.7Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2710.8Bijections and category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2710.9Generalization to partial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.10Contrast with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2911Bijection, injection and surjection 3011.1Injection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3011.2Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111.3Bijection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32CONTENTS iii11.4Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.5Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.5.1 Injective and surjective (bijective) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.5.2 Injective and non-surjective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.5.3 Non-injective and surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.5.4 Non-injective and non-surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.6Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3411.7Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3411.8History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3411.9See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3411.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3412Carleman matrix 3512.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.2Bell matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612.3Jabotinsky matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612.4Generalization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612.5Matrix properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612.6Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3712.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3812.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3813Carmichael function 3913.1Numerical example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3913.2Carmichaels theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3913.3Hierarchy of results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.4Properties of the Carmichael function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.4.1 Divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.4.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.4.3 Primitive m-th roots of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.4.4 Exponential cycle length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.4.5 Average and typical value. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4113.4.6 Lower bounds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4113.4.7 Small values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4113.4.8 Image of the function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4213.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4213.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4213.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4214Codomain 4314.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4414.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45iv CONTENTS14.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4514.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4515Constant function 4615.1Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4615.2Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4615.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4815.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4816Conway base 13 function 4916.1The Conway base 13 function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4916.1.1 Purpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4916.1.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4916.1.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4916.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5016.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5017Correlation (projective geometry) 5117.1In two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5117.2In three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5117.3In higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5117.4Existence of correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5217.5Special types of correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5217.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5218Crystal Ball function 5318.1External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5419Derivative 5519.1Dierentiation and derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5619.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5719.1.2 Rigorous denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5819.1.3 Denition over the hyperreals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5819.1.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5919.1.5 Continuity and dierentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5919.1.6 The derivative as a function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5919.1.7 Higher derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6119.1.8 Inection point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6219.2Notation (details) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6219.2.1 Leibnizs notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6219.2.2 Lagranges notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6319.2.3 Newtons notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6319.2.4 Eulers notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64CONTENTS v19.3Rules of computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6419.3.1 Rules for basic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6419.3.2 Rules for combined functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6519.3.3 Computation example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6619.4Derivatives in higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6619.4.1 Derivatives of vector valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6619.4.2 Partial derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6619.4.3 Directional derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6819.4.4 Total derivative, total dierential and Jacobian matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6919.5Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7119.6History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7119.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7219.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7219.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7319.9.1 Print . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7319.9.2 Online books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7319.9.3 Web pages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7320Dieology 7420.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7420.2Smooth manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7520.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7520.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7521Dierential coecient 7622Discontinuous linear map 7722.1A linear map from a nite-dimensional space is always continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7722.2A concrete example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7822.3A nonconstructive example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7822.4General existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7922.5Role of the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7922.6Closed operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7922.7Impact for dual spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.8Beyond normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.9Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8023Domain of a function 8223.1Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8323.2Natural domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8323.3Domain of a partial function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8323.4Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83vi CONTENTS23.5Real and complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8323.6More examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8423.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8423.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8424Eective domain 8524.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8525Elasticity of a function 8625.1Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8625.2Estimating point elasticities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8725.3Semi-elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8725.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8725.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8826Embedding 8926.1Topology and geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8926.1.1 General topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8926.1.2 Dierential topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8926.1.3 Riemannian geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9026.2Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9026.2.1 Field theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9026.2.2 Universal algebra and model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9026.3Order theory and domain theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9126.4Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9126.4.1 Normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9126.5Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9126.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9226.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9226.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9226.9External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9327Empty function 9427.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9428Equiareal map 9528.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9529Function (mathematics) 9629.1Introduction and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9829.2Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9929.3Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10029.4Specifying a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10129.4.1 Graph. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101CONTENTS vii29.4.2 Formulas and algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10129.4.3 Computability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10229.5Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10229.5.1 Image and preimage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10229.5.2 Injective and surjective functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10329.5.3 Function composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10329.5.4 Identity function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10529.5.5 Restrictions and extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10529.5.6 Inverse function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10529.6Types of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10529.6.1 Real-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10629.6.2 Further types of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10629.7Function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10629.7.1 Currying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10729.8Variants and generalizations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10729.8.1 Alternative denition of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10729.8.2 Partial and multi-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10729.8.3 Functions with multiple inputs and outputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10829.8.4 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10929.9History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10929.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10929.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10929.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11029.13Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11029.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11130Function application 11230.1Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11230.2As an operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11230.3Other instances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11330.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11331Function composition 11431.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11431.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11531.3Composition monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11531.4Functional powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11531.5Alternative notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11831.6Composition operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11831.7In programming languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11831.8Multivariate functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11831.9Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119viii CONTENTS31.10Typography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11931.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11931.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12031.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12031.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12032Functional decomposition 12132.1Basic mathematical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12132.1.1 Example: Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12132.1.2 Example: Decomposition of continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12232.2Motivation for decomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12232.3Philosophical considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12232.3.1 Reductionist tradition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12232.3.2 Characteristics of hierarchy and modularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12332.3.3 Inevitability of hierarchy and modularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12332.4Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12332.4.1 Knowledge representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12432.4.2 Database theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12432.4.3 Machine learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12432.4.4 Software architecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12432.4.5 Signal processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12532.4.6 Systems engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12532.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12532.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12632.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12633Generalized Ozaki cost function 12933.1Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12933.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12934Geometric transformation 13034.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13134.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13134.3Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13135Glide reection 13235.1Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13235.2Glide reection in cellular automata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13335.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13435.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13435.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13436Graph of a function 135CONTENTS ix36.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13736.1.1 Functions of one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13736.1.2 Functions of two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13836.1.3 Normal to a graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13836.2Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13936.3Tools for plotting function graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13936.3.1 Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13936.3.2 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13936.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13936.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13936.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13937High-dimensional model representation 14037.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14037.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14038History of the function concept 14138.1Functions before the 17th century. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14138.2The notion of function in analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14138.2.1 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14138.2.2 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14238.2.3 Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14238.2.4 Lobachevsky and Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14238.2.5 Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14338.2.6 Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14338.3The logicians function prior to 1850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14438.4The logicians function 18501950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14438.4.1 George Booles The Laws of Thought 1854; John Venns Symbolic Logic 1881 . . . . . . . . 14438.4.2 Freges Begrisschrift 1879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14538.4.3 Peano 1889 The Principles of Arithmetic 1889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14638.4.4 Bertrand Russells The Principles of Mathematics 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14638.4.5 Evolution of Russells notion of function 19081913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14638.5The formalists function": David Hilberts axiomatization of mathematics (19041927) . . . . . . . 14738.6Development of the set-theoretic denition of function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14838.6.1 Russells paradox 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14838.6.2 Zermelos set theory (1908) modied by Skolem (1922) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14838.6.3 The WienerHausdorKuratowski ordered pair denition 19141921 . . . . . . . . . . 14938.6.4 Schnnkels notion of function as a many-one correspondence 1924 . . . . . . . . . . 14938.6.5 Von Neumanns set theory 1925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15038.6.6 Bourbaki 1939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15038.7Since 1950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15038.7.1 Notion of function in contemporary set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150x CONTENTS38.7.2 Relational form of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15138.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15138.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15538.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15738.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15739Homeomorphism 15839.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15839.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15839.2.1 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15939.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16039.4Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16039.5Informal discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16139.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16139.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16139.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16140Homography (computer vision) 16240.13D plane to plane equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16240.2Mathematical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16440.3Ane homography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16440.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16440.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16540.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16541Homomorphic secret sharing 16641.1Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16641.2Example: decentralized voting protocol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16641.2.1 Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16741.2.2 Vulnerabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16841.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16841.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16842Horizontal translation 16942.1Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16942.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16943HubbardStratonovich transformation 17043.1Calculation of resulting eld theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17043.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17044Hypercomplex analysis 17144.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17144.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172CONTENTS xi45Identity function 17345.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17445.2Algebraic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17445.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17445.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17445.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17446Inclusion map 17546.1Applications of inclusion maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17646.2See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17646.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17646.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17647Injective function 17747.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17847.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17947.3Injections can be undone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18247.4Injections may be made invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18247.5Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18247.6Proving that functions are injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18347.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18347.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18447.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18447.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18448Integral 18548.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18648.1.1 Pre-calculus integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18648.1.2 Newton and Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18748.1.3 Formalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18748.1.4 Historical notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18748.2Terminology and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18748.3Interpretations of the integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18848.4Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19148.4.1 Riemann integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19148.4.2 Lebesgue integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19248.4.3 Other integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19348.5Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19448.5.1 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19448.5.2 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19548.5.3 Conventions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19648.6Fundamental theorem of calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197xii CONTENTS48.6.1 Statements of theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19748.7Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19848.7.1 Improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19848.7.2 Multiple integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20048.7.3 Line integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20248.7.4 Surface integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20248.7.5 Integrals of dierential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20348.7.6 Summations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20548.8Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20548.8.1 Analytical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20548.8.2 Symbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20648.8.3 Numerical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20648.8.4 Mechanical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20848.8.5 Geometrical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20948.9Some important denite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20948.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20948.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21048.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21048.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21148.13.1 Online books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21149Inversion transformation 21249.1Early use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21249.2Transformation on coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21249.3Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21349.4Physical evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21349.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21350Involution (mathematics) 21450.1General properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21450.2Involution throughout the elds of mathematics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21550.2.1 Pre-calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21550.2.2 Euclidean geometry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21550.2.3 Projective geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21550.2.4 Linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21550.2.5 Quaternion algebra, groups, semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21650.2.6 Ring theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21650.2.7 Group theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21650.2.8 Mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21750.2.9 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21750.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21750.4Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217CONTENTS xiii50.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21751Isometry 21951.1Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21951.2Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21951.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22051.4Linear isometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22151.5Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22151.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22151.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22251.8Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22252Iterated function 22352.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22352.2Abelian property and Iteration sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22352.3Fixed points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22452.4Limiting behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22452.5Fractional iterates and ows, and negative iterates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22452.6Some formulas for fractional iteration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22552.6.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22552.6.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22552.6.3 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22652.7Conjugacy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22652.8Markov chains. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22652.9Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22752.10Means of study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22752.11In computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22752.12Denitions in terms of iterated functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22752.13Lies data transport equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22752.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22852.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22853Jnsson function 22953.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22954K-equivalence 23054.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23054.2KV-equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23054.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23054.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23155KolmogorovArnold representation theorem 23255.1Original references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232xiv CONTENTS55.2Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23255.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23256Laver function 23456.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23456.2Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23456.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23457Left and right derivative 23557.1Derivatives arising from one-sided limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23557.1.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23657.2Dierential operators acting to the left or the right . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23657.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23757.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23758Limit of a function 23858.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23858.2Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23858.3Functions of a single variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23958.3.1 Existence and one-sided limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23958.3.2 More general subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24058.3.3 Deleted versus non-deleted limits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24158.3.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24158.4Functions on metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24258.5Functions on topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24358.6Limits involving innity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24358.6.1 Limits at innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24358.6.2 Innite limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24458.6.3 Alternative notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24558.6.4 Limits at innity for rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24658.7Functions of more than one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24758.8Sequential limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24758.9Other characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24758.9.1 In terms of sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24758.9.2 In non-standard calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24758.9.3 In terms of nearness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24858.10Relationship to continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24858.11Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24858.11.1 Chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24958.11.2 Limits of special interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24958.11.3 L'Hpitals rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25058.11.4 Summations and integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251CONTENTS xv58.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25158.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25159Linear map 25359.1Denition and rst consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25359.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25459.3Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25459.4Examples of linear transformation matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25659.5Forming new linear maps from given ones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25759.6Endomorphisms and automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25759.7Kernel, image and the ranknullity theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25759.8Cokernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25859.8.1 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25959.9Algebraic classications of linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25959.10Change of basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26059.11Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26059.12Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26059.13See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26059.14Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26159.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26160List of limits 26260.1Limits for general functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26260.2Limits of general functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26260.3Notable special limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26360.4Simple functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26360.5Logarithmic and exponential functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26360.6Trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26460.7Near innities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26461Locally nite operator 26561.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26562Logit 26662.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26662.2History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26762.3Uses and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26762.4Comparison with probit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26762.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26862.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26962.7Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26963Lorentz transformation 270xvi CONTENTS63.1History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27063.2Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27163.3Frames in standard conguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27163.3.1 Boost in the x-direction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27163.3.2 Boost in the y or z directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27363.3.3 Boost in any direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27463.3.4 Composition of two boosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27663.4Visualizing the transformations in Minkowski space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27763.4.1 Rapidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27963.5Transformation of other physical quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28063.6Special relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28063.6.1 Transformation of the electromagnetic eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28163.6.2 The correspondence principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28163.7Spacetime interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28163.8See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28363.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28363.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28463.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28464Map (mathematics) 28564.1Maps as functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28564.2Maps as morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28564.3Other uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28664.3.1 In logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28664.3.2 In graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28664.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28664.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28765Mathematics of oscillation 28865.1Denitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28865.1.1 Oscillation of a sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28865.1.2 Oscillation of a function on an open set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28965.1.3 Oscillation of a function at a point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28965.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28965.3Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28965.4Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29165.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29165.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29166Morphism of varieties 29266.1Isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29266.2Ocial denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292CONTENTS xvii66.3Relation to rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29266.4Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29366.5Fibers of a morphism. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29366.6Degree of a nite morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29466.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29466.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29467Motivic zeta function 29667.1Motivic measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29667.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29768Motor variable 29868.1Elementary functions of a motor variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29868.2Exp, log, and square root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29968.3D-holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29968.4La Plata lessons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30068.5Bireal variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30068.6Polynomial factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30168.7Compactication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30168.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30169Multivalued function 30369.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30469.2Set-valued analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30469.3Types of multivalued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30569.4History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30569.5Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30569.6Contrast with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30569.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30669.8See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30670Mbius transformation 30770.1Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30770.2Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30870.3Decomposition and elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30870.3.1 Preservation of angles and generalized circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30970.3.2 Cross-ratio preservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31070.3.3 Conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31070.4Projective matrix representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31070.5Specifying a transformation by three points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31170.5.1 Mapping rst to 0, 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31170.5.2 Explicit determinant formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31270.6Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313xviii CONTENTS70.6.1 Parabolic transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31370.6.2 Characteristic constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31470.6.3 Elliptic transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31470.6.4 Hyperbolic transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31570.6.5 Loxodromic transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31570.6.6 General classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31570.6.7 The real case and a note on terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31570.7Fixed points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31570.7.1 Determining the xed points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31570.7.2 Topological proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31670.7.3 Normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31670.8Geometric interpretation of the characteristic constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31870.8.1 Elliptic transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31870.8.2 Hyperbolic transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31970.8.3 Loxodromic transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32070.8.4 Stereographic projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32070.9Iterating a transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32070.10Poles of the transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32170.11Lorentz transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32270.12Hyperbolic space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32470.13Subgroups of the Mbius group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32470.14Higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32570.15See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32570.16Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32570.17References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32570.18Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32670.19External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32671Oblique reection 32871.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32872One-sided limit 32972.1Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32972.2Relation to topological denition of limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33072.3Abels theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33072.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33072.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33073OnsagerMachlup function 33173.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33173.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33273.2.1 Wiener process on the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332CONTENTS xix73.2.2 Diusion processes with constant diusion coecient on Euclidean space. . . . . . . . . . 33373.3Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33373.4Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33373.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33373.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33373.7Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33473.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33474Parent function 33574.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33574.2External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33575Parity function 33675.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33675.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33675.3Circuit complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33675.4Innite version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33775.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33776Partial function 33876.1Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33876.2Total function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33976.3Discussion and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33976.3.1 Natural logarithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33976.3.2 Subtraction of natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33976.3.3 Bottom element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33976.3.4 In category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33976.3.5 In abstract algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34076.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34076.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34077Partial permutation 34177.1Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34177.2Combinatorial enumeration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34177.3Restricted partial permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34277.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34278Periodic summation 34378.1Quotient space as domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34478.2Citations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34478.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34479Perspective (graphical) 34579.1Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345xx CONTENTS79.1.1 Early history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34779.1.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34779.1.3 Renaissance : Mathematical basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34979.1.4 Present : Computer graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35279.2Types of perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35279.2.1 One-point perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35379.2.2 Two-point perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35479.2.3 Three-point perspective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35579.2.4 Four-point perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35579.2.5 Zero-point perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35679.2.6 Foreshortening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35779.3Methods of construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35879.4Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35879.5Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35979.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36279.7Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36279.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36479.9Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36479.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36480Perspectivity 36580.1Graphics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36580.2Projective Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36580.2.1 Projectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36580.2.2 Higher-dimensional perspectivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36680.2.3 Perspective collineations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36780.3Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36780.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36780.5External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36781Pfaan function 36881.1Basic denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36881.2Rigorous denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36881.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36981.4In model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36981.5Noetherian functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36981.6Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37081.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37082Piecewise 37182.1Notation and interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37182.2Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371CONTENTS xxi82.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37382.3.1 Common examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37383Poincar group 37483.1Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37483.2Details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37483.3Poincar symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37583.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37683.5Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37683.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37684Point reection 37784.1Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37784.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37784.3Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37784.4Point reection as a special case of uniform scaling or homothety . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37984.5Point reection group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37984.6Point reections in mathematics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37984.7Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38084.8Inversion with respect to the origin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38184.8.1 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38184.8.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38184.8.3 Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38184.8.4 Cliord algebras and Spin groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38184.9See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38284.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38284.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38285Primitive recursive function 38385.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38385.1.1 Role of the projection functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38485.1.2 Converting predicates to numeric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38485.1.3 Computer language denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38485.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38485.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38485.2.2 Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38585.2.3 Other operations on natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38585.2.4 Operations on integers and rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38585.3Relationship to recursive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38585.4Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38685.5Some common primitive recursive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38785.6Additional primitive recursive forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388xxii CONTENTS85.7Finitism and consistency results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38885.8History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38985.9See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38985.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38986Primitive recursive set function 39186.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39186.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39187Propositional function 39287.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39288Pseudoreection 39388.1Formal Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39388.2Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39388.3Diagonalizable pseudoreections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39388.4Real reections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39388.5Complex reections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39488.6Transvections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39488.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39489Quaternionic analysis 39589.1Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39589.2Homographies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39689.3The Gteaux derivative for quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39789.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39889.5Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39989.5.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39989.5.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40889.5.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415Chapter 13D projection3D projection is any method of mapping three-dimensional points to a two-dimensional plane. As most currentmethods for displaying graphical data are based on planar (pixel information from several bitplanes) two-dimensionalmedia, the use of this type of projection is widespread, especially in computer graphics, engineering and drafting.1.1 Orthographic projectionMain article: Orthographic projectionWhen the human eye looks at a scene, objects in the distance appear smaller than objects close by. Orthographicprojection ignores this eect to allow the creation of to-scale drawings for construction and engineering.Orthographic projections are a small set of transforms often used to show prole, detail or precise measurements of athree dimensional object. Common names for orthographic projections include plane, cross-section, birds-eye, andelevation.If the normal of the viewing plane (the camera direction) is parallel to one of the primary axes (which is the x, y, orz axis), the mathematical transformation is as follows; To project the 3D point ax , ay , az onto the 2D point bx , byusing an orthographic projection parallel to the y axis (prole view), the following equations can be used:bx= sxax +cxby= szaz +czwhere the vector s is an arbitrary scale factor, and c is an arbitrary oset. These constants are optional, and can beused to properly align the viewport. Using matrix multiplication, the equations become:_bxby_=_sx0 00 0 sz___axayaz__+_cxcz_While orthographically projected images represent the three dimensional nature of the object projected, they do notrepresent the object as it would be recorded photographically or perceived by a viewer observing it directly. Inparticular, parallel lengths at all points in an orthographically projected image are of the same scale regardless ofwhether they are far away or near to the virtual viewer. As a result, lengths near to the viewer are not foreshortenedas they would be in a perspective projection.1.2 Weak perspective projectionAweak perspective projection uses the same principles of an orthographic projection, but requires the scaling factorto be specied, thus ensuring that closer objects appear bigger in the projection, and vice versa. It can be seen as a12 CHAPTER 1. 3D PROJECTIONhybrid between an orthographic and a perspective projection, and described either as a perspective projection withindividual point depths Zi replaced by an average constant depth Zave ,[1] or simply as an orthographic projectionplus a scaling.[2]The weak-perspective model thus approximates perspective projection while using a simpler model, similar to thepure (unscaled) orthographic perspective. It is a reasonable approximation when the depth of the object along theline of sight is small compared to the distance from the camera, and the eld of view is small. With these conditions,it can be assumed that all points on a 3D object are at the same distance Zave from the camera without signicanterrors in the projection (compared to the full perspective model).1.3 Perspective projectionSee also: Transformation matrix and Camera matrixWhen the human eye views a scene, objects in the distance appear smaller than objects close by - this is known asperspective. While orthographic projection ignores this eect to allow accurate measurements, perspective projectionshows distant objects as smaller to provide additional realism.The perspective projection requires a more involved denition as compared to orthographic projections. Aconceptualaid to understanding the mechanics of this projection is to imagine the 2D projection as though the object(s) are beingviewed through a camera viewnder. The cameras position, orientation, and eld of view control the behavior of theprojection transformation. The following variables are dened to describe this transformation:ax,y,z - the 3D position of a point A that is to be projected.cx,y,z - the 3D position of a point C representing the camera. x,y,z - The orientation of the camera (represented by TaitBryan angles).ex,y,z- the viewers position relative to the display surface[3] which goes through point C representing thecamera.Which results in:bx,y - the 2D projection of a .When cx,y,z= 0, 0, 0, and x,y,z= 0, 0, 0, the 3D vector 1, 2, 0 is projected to the 2D vector 1, 2 .Otherwise, to compute bx,y we rst dene a vector dx,y,zas the position of point A with respect to a coordinatesystem dened by the camera, with origin in C and rotated by with respect to the initial coordinate system. This isachieved by subtracting c from a and then applying a rotation by to the result. This transformation is often calleda camera transform, and can be expressed as follows, expressing the rotation in terms of rotations about the x, y,and z axes (these calculations assume that the axes are ordered as a left-handed system of axes):[4][5]__dxdydz__=__1 0 00 cos(x) sin(x)0 sin(x) cos(x)____cos(y) 0 sin(y)0 1 0sin(y) 0 cos(y)____cos(z) sin(z) 0sin(z) cos(z) 00 0 1______axayaz____cxcycz____This representation corresponds to rotating by three Euler angles (more properly, TaitBryan angles), using the xyzconvention, which can be interpreted either as rotate about the extrinsic axes (axes of the scene) in the order z, y,x (reading right-to-left)" or rotate about the intrinsic axes (axes of the camera) in the order x, y, z (reading left-to-right)". Note that if the camera is not rotated ( x,y,z= 0, 0, 0 ), then the matrices drop out (as identities), and thisreduces to simply a shift: d = a c.Alternatively, without using matrices (lets replace (a-c) with x and so on, and abbreviate cos to c and sin to s):dx= cy(szy +czx) syzdy= sx(cyz +sy(szy +czx)) +cx(czy szx)dz= cx(cyz +sy(szy +czx)) sx(czy szx)1.3. PERSPECTIVE PROJECTION 3This transformed point can then be projected onto the 2D plane using the formula (here, x/y is used as the projectionplane; literature also may use x/z):[6]bx=ezdzdxexby=ezdzdy ey.Or, in matrix form using homogeneous coordinates, the system__fxfyfzfw__=__1 0 exez00 1 eyez00 0 1 00 0 1/ez0____dxdydz1__in conjunction with an argument using similar triangles, leads to division by the homogeneous coordinate, givingbx= fx/fwby= fy/fw.The distance of the viewer fromthe display surface, ez , directly relates to the eld of view, where = 2tan1(1/ez)is the viewed angle. (Note: This assumes that you map the points (1,1) and (1,1) to the corners of your viewingsurface)The above equations can also be rewritten as:bx= (dxsx)/(dzrx)rzby= (dysy)/(dzry)rz.In which sx,y is the display size, rx,y is the recording surface size (CCD or lm), rz is the distance from the recordingsurface to the entrance pupil (camera center), and dz is the distance, fromthe 3Dpoint being projected, to the entrancepupil.Subsequent clip