Functions and mappings azFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 2 2 real matrices 11.1 Prole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Equi-areal mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Functions of 2 2 real matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 2 2 real matrices as complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 3D projection 52.1 Orthographic projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Weak perspective projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Perspective projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 A-equivalence 103.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Algebraic function 114.1 Algebraic functions in one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.1.1 Introduction and overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1.2 The role of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1.3 Monodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Algebraic vector bundle 16

6 Alternatization 17

i

ii CONTENTS

6.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.1.1 Alternating bilinear map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.1.2 Alternating bilinear form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.1.3 Alternating multilinear form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.1.4 Alternatization of a bilinear map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7 Angle of parallelism 207.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.2 Demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8 Antiautomorphism 238.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.2.1 Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9 Antilinear map 259.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

10 Asano contraction 2610.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.2 Location of zeroes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.3 Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

11 Biholomorphism 2811.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2811.2 Riemann mapping theorem and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2811.3 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2811.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

12 Bijection 3112.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

12.2.1 Batting line-up of a baseball team . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

CONTENTS iii

12.2.2 Seats and students of a classroom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.3 More mathematical examples and some non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312.4 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312.6 Bijections and cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312.7 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3412.8 Bijections and category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3412.9 Generalization to partial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.10Contrast with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

13 Bijection, injection and surjection 3713.1 Injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713.2 Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3813.3 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3913.4 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3913.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

13.5.1 Injective and surjective (bijective) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.5.2 Injective and non-surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.5.3 Non-injective and surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.5.4 Non-injective and non-surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

13.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4113.7 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4113.8 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4113.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4113.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

14 Carleman matrix 4214.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4214.2 Bell matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314.3 Jabotinsky matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314.4 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314.5 Matrix properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4414.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4514.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

15 Carmichael function 4615.1 Numerical example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

iv CONTENTS

15.2 Carmichaels theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4615.3 Hierarchy of results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4715.4 Properties of the Carmichael function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

15.4.1 Divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4715.4.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4715.4.3 Primitive m-th roots of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4715.4.4 Exponential cycle length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4715.4.5 Average and typical value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4815.4.6 Lower bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4815.4.7 Small values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4815.4.8 Image of the function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

15.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4915.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4915.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

16 Codomain 5016.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5116.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5216.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5216.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

17 Constant function 5317.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5317.2 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5317.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5517.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

18 Conway base 13 function 5618.1 The Conway base 13 function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

18.1.1 Purpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5618.1.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5618.1.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

18.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5718.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

19 Correlation (projective geometry) 5819.1 In two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5819.2 In three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5819.3 In higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5819.4 Existence of correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5919.5 Special types of correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5919.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

CONTENTS v

20 Crystal Ball function 6020.1 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

21 Derivative 6221.1 Dierentiation and derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

21.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6421.1.2 Rigorous denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6521.1.3 Denition over the hyperreals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6521.1.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6621.1.5 Continuity and dierentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6621.1.6 The derivative as a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6621.1.7 Higher derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6821.1.8 Inection point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

21.2 Notation (details) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6921.2.1 Leibnizs notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6921.2.2 Lagranges notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7021.2.3 Newtons notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7021.2.4 Eulers notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

21.3 Rules of computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7121.3.1 Rules for basic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7121.3.2 Rules for combined functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7221.3.3 Computation example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

21.4 Derivatives in higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7321.4.1 Derivatives of vector valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7321.4.2 Partial derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7321.4.3 Directional derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7521.4.4 Total derivative, total dierential and Jacobian matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

21.5 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7821.6 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7821.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7921.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7921.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

21.9.1 Print . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8021.9.2 Online books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8021.9.3 Web pages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

22 Dieology 8122.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.2 Smooth manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8222.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8222.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

vi CONTENTS

23 Dierential coecient 83

24 General existence theorem of discontinuous maps 8424.1 A linear map from a nite-dimensional space is always continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8424.2 A concrete example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8524.3 A nonconstructive example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8524.4 General existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8624.5 Role of the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8624.6 Closed operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8624.7 Impact for dual spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8724.8 Beyond normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8724.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8724.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

25 Domain of a function 8925.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9025.2 Natural domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9025.3 Domain of a partial function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9025.4 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9025.5 Real and complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9025.6 More examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9125.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9125.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

26 Eective domain 9226.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

27 Elasticity of a function 9327.1 Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9327.2 Estimating point elasticities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9427.3 Semi-elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9427.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9427.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

28 Embedding 9628.1 Topology and geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

28.1.1 General topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9628.1.2 Dierential topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9628.1.3 Riemannian geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

28.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9728.2.1 Field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9728.2.2 Universal algebra and model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

28.3 Order theory and domain theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

CONTENTS vii

28.4 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9828.4.1 Normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

28.5 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9828.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9928.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9928.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9928.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

29 Empty function 10129.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

30 Equiareal map 10230.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

31 Function (mathematics) 10331.1 Introduction and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10531.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10631.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10731.4 Specifying a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

31.4.1 Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10831.4.2 Formulas and algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10831.4.3 Computability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

31.5 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10931.5.1 Image and preimage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10931.5.2 Injective and surjective functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11031.5.3 Function composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11031.5.4 Identity function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11231.5.5 Restrictions and extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11231.5.6 Inverse function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

31.6 Types of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11231.6.1 Real-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11331.6.2 Further types of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

31.7 Function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11331.7.1 Currying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

31.8 Variants and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11431.8.1 Alternative denition of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11431.8.2 Partial and multi-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11431.8.3 Functions with multiple inputs and outputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11531.8.4 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

31.9 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11631.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11631.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

viii CONTENTS

31.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11731.13Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11731.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

32 Function application 11932.1 Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11932.2 As an operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11932.3 Other instances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12032.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

33 Function composition 12133.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12133.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12233.3 Composition monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12233.4 Functional powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12233.5 Alternative notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12533.6 Composition operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12533.7 In programming languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12533.8 Multivariate functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12533.9 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12633.10Typography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12633.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12633.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12733.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12733.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

34 Functional decomposition 12834.1 Basic mathematical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

34.1.1 Example: Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12834.1.2 Example: Decomposition of continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

34.2 Motivation for decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12934.3 Philosophical considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

34.3.1 Reductionist tradition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12934.3.2 Characteristics of hierarchy and modularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13034.3.3 Inevitability of hierarchy and modularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

34.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13034.4.1 Knowledge representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13134.4.2 Database theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13134.4.3 Machine learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13134.4.4 Software architecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13134.4.5 Signal processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13234.4.6 Systems engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

CONTENTS ix

34.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13234.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13334.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

35 General existence theorem of discontinuous maps 13635.1 A linear map from a nite-dimensional space is always continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13635.2 A concrete example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13735.3 A nonconstructive example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13735.4 General existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13835.5 Role of the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13835.6 Closed operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13835.7 Impact for dual spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13935.8 Beyond normed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13935.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13935.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

36 Generalized Ozaki cost function 14136.1 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14136.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

37 Geometric transformation 14237.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14337.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14337.3 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

38 Glide reection 14438.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14438.2 Glide reection in cellular automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14538.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14638.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14638.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

39 Graph of a function 14739.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

39.1.1 Functions of one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14939.1.2 Functions of two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15039.1.3 Normal to a graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

39.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15139.3 Tools for plotting function graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

39.3.1 Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15139.3.2 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

39.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15139.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

x CONTENTS

39.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

40 High-dimensional model representation 15240.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15240.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

41 History of the function concept 15341.1 Functions before the 17th century . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15341.2 The notion of function in analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

41.2.1 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15341.2.2 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15441.2.3 Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15441.2.4 Lobachevsky and Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15441.2.5 Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15541.2.6 Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

41.3 The logicians function prior to 1850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15641.4 The logicians function 18501950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

41.4.1 George Booles The Laws of Thought 1854; John Venns Symbolic Logic 1881 . . . . . . . . 15641.4.2 Freges Begrisschrift 1879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15741.4.3 Peano 1889 The Principles of Arithmetic 1889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15841.4.4 Bertrand Russells The Principles of Mathematics 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15841.4.5 Evolution of Russells notion of function 19081913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

41.5 The formalists function": David Hilberts axiomatization of mathematics (19041927) . . . . . . . 15941.6 Development of the set-theoretic denition of function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

41.6.1 Russells paradox 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16041.6.2 Zermelos set theory (1908) modied by Skolem (1922) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16041.6.3 The WienerHausdorKuratowski ordered pair denition 19141921 . . . . . . . . . . 16141.6.4 Schnnkels notion of function as a many-one correspondence 1924 . . . . . . . . . . 16141.6.5 Von Neumanns set theory 1925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16241.6.6 Bourbaki 1939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

41.7 Since 1950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16241.7.1 Notion of function in contemporary set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16241.7.2 Relational form of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

41.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16341.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16741.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16941.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

42 Homeomorphism 17042.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17042.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

42.2.1 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

CONTENTS xi

42.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17242.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17242.5 Informal discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17342.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17342.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17342.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

43 Homography (computer vision) 17443.1 3D plane to plane equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17443.2 Mathematical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17643.3 Ane homography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17643.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17643.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17743.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

44 Homomorphic secret sharing 17844.1 Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17844.2 Example: decentralized voting protocol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

44.2.1 Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17944.2.2 Vulnerabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

44.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18044.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

45 Horizontal translation 18145.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18145.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

46 HubbardStratonovich transformation 18246.1 Calculation of resulting eld theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18246.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

47 Hypercomplex analysis 18347.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18347.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

48 Identity function 18548.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18648.2 Algebraic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18648.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18648.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18648.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

49 Inclusion map 18749.1 Applications of inclusion maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

xii CONTENTS

49.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18849.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18849.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

50 Injective function 18950.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19050.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19150.3 Injections can be undone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19450.4 Injections may be made invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19450.5 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19450.6 Proving that functions are injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19550.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19550.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19650.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19650.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

51 Integral 19751.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

51.1.1 Pre-calculus integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19851.1.2 Newton and Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19951.1.3 Formalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19951.1.4 Historical notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

51.2 Terminology and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19951.3 Interpretations of the integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20051.4 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

51.4.1 Riemann integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20351.4.2 Lebesgue integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20451.4.3 Other integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

51.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20651.5.1 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20651.5.2 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20751.5.3 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

51.6 Fundamental theorem of calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20951.6.1 Statements of theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

51.7 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21051.7.1 Improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21051.7.2 Multiple integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21251.7.3 Line integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21451.7.4 Surface integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21451.7.5 Integrals of dierential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21551.7.6 Summations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

51.8 Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

CONTENTS xiii

51.8.1 Analytical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21751.8.2 Symbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21851.8.3 Numerical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21851.8.4 Mechanical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22051.8.5 Geometrical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

51.9 Some important denite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22151.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22151.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22251.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22251.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

51.13.1 Online books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

52 Inversion transformation 22452.1 Early use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22452.2 Transformation on coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22452.3 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22552.4 Physical evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22552.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

53 Involution (mathematics) 22653.1 General properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22653.2 Involution throughout the elds of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

53.2.1 Pre-calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22753.2.2 Euclidean geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22753.2.3 Projective geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22753.2.4 Linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22753.2.5 Quaternion algebra, groups, semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22853.2.6 Ring theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22853.2.7 Group theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22853.2.8 Mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22953.2.9 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

53.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22953.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22953.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

54 Isometry 23154.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23154.2 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23154.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23254.4 Linear isometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23354.5 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23354.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

xiv CONTENTS

54.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23454.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

55 Iterated function 23555.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23555.2 Abelian property and Iteration sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23555.3 Fixed points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23655.4 Limiting behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23655.5 Fractional iterates and ows, and negative iterates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23655.6 Some formulas for fractional iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

55.6.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23755.6.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23755.6.3 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

55.7 Conjugacy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23855.8 Markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23855.9 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23955.10Means of study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23955.11In computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23955.12Denitions in terms of iterated functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23955.13Lies data transport equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23955.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24055.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

56 Jnsson function 24156.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

57 K-equivalence 24257.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24257.2 KV-equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24257.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24257.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

58 KolmogorovArnold representation theorem 24458.1 Original references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24458.2 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24458.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

59 Laver function 24659.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24659.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24659.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

60 Left and right derivative 24760.1 Derivatives arising from one-sided limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

CONTENTS xv

60.1.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24860.2 Dierential operators acting to the left or the right . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24860.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24960.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

61 Limit of a function 25061.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25061.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25061.3 Functions of a single variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

61.3.1 Existence and one-sided limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25161.3.2 More general subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25261.3.3 Deleted versus non-deleted limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25361.3.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

61.4 Functions on metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25461.5 Functions on topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25561.6 Limits involving innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

61.6.1 Limits at innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25561.6.2 Innite limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25661.6.3 Alternative notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25761.6.4 Limits at innity for rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

61.7 Functions of more than one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25961.8 Sequential limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25961.9 Other characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

61.9.1 In terms of sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25961.9.2 In non-standard calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25961.9.3 In terms of nearness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

61.10Relationship to continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26061.11Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

61.11.1 Chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26161.11.2 Limits of special interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26161.11.3 L'Hpitals rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26261.11.4 Summations and integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

61.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26361.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

62 Linear map 26562.1 Denition and rst consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26562.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26662.3 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26662.4 Examples of linear transformation matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26862.5 Forming new linear maps from given ones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26962.6 Endomorphisms and automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

xvi CONTENTS

62.7 Kernel, image and the ranknullity theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26962.8 Cokernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

62.8.1 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27162.9 Algebraic classications of linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27162.10Change of basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27262.11Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27262.12Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27262.13See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27262.14Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27362.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

63 List of limits 27463.1 Limits for general functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27463.2 Limits of general functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27463.3 Notable special limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27563.4 Simple functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27563.5 Logarithmic and exponential functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27563.6 Trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27663.7 Near innities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

64 Locally nite operator 27764.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

65 Logit 27865.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27865.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27965.3 Uses and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27965.4 Comparison with probit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27965.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28065.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28165.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

66 Lorentz transformation 28266.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28266.2 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28366.3 Frames in standard conguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

66.3.1 Boost in the x-direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28366.3.2 Boost in the y or z directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28566.3.3 Boost in any direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28666.3.4 Composition of two boosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

66.4 Visualizing the transformations in Minkowski space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28966.4.1 Rapidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

66.5 Transformation of other physical quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

CONTENTS xvii

66.6 Special relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29266.6.1 Transformation of the electromagnetic eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29366.6.2 The correspondence principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

66.7 Spacetime interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29366.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29566.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29566.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29666.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

67 Map (mathematics) 29767.1 Maps as functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29767.2 Maps as morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29767.3 Other uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

67.3.1 In logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29867.3.2 In graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

67.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29867.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

68 Mathematics of oscillation 30068.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

68.1.1 Oscillation of a sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30068.1.2 Oscillation of a function on an open set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30168.1.3 Oscillation of a function at a point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

68.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30168.3 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30168.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30368.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30368.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

69 Morphism of varieties 30469.1 Isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30469.2 Ocial denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30469.3 Relation to rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30469.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30569.5 Fibers of a morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30569.6 Degree of a nite morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30669.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30669.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

70 Motivic zeta function 30870.1 Motivic measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30870.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

xviii CONTENTS

71 Motor variable 31071.1 Elementary functions of a motor variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31071.2 Exp, log, and square root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31171.3 D-holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31171.4 La Plata lessons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31271.5 Bireal variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31271.6 Polynomial factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31371.7 Compactication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31371.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

72 Multivalued function 31572.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31672.2 Set-valued analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31672.3 Types of multivalued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31772.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31772.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31772.6 Contrast with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31772.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31872.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

73 Mbius transformation 31973.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31973.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32073.3 Decomposition and elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

73.3.1 Preservation of angles and generalized circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32173.3.2 Cross-ratio preservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32273.3.3 Conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

73.4 Projective matrix representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32273.5 Specifying a transformation by three points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

73.5.1 Mapping rst to 0, 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32373.5.2 Explicit determinant formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

73.6 Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32573.6.1 Parabolic transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32573.6.2 Characteristic constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32673.6.3 Elliptic transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32673.6.4 Hyperbolic transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32773.6.5 Loxodromic transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32773.6.6 General classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32773.6.7 The real case and a note on terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

73.7 Fixed points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32773.7.1 Determining the xed points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32773.7.2 Topological proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

CONTENTS xix

73.7.3 Normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32873.8 Geometric interpretation of the characteristic constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

73.8.1 Elliptic transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33073.8.2 Hyperbolic transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33173.8.3 Loxodromic transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33273.8.4 Stereographic projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

73.9 Iterating a transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33273.10Poles of the transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33373.11Lorentz transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33473.12Hyperbolic space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33673.13Subgroups of the Mbius group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33673.14Higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33773.15See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33773.16Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33773.17References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33773.18Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33873.19External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

74 Oblique reection 34074.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

75 One-sided limit 34175.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34175.2 Relation to topological denition of limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34275.3 Abels theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34275.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34275.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

76 OnsagerMachlup function 34376.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34376.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

76.2.1 Wiener process on the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34476.2.2 Diusion processes with constant diusion coecient on Euclidean space . . . . . . . . . . 345

76.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34576.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34576.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34576.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34576.7 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34676.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

77 Parent function 34777.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34777.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

xx CONTENTS

78 Parity function 34878.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34878.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34878.3 Circuit complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34878.4 Innite version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34978.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

79 Partial function 35079.1 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35079.2 Total function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35179.3 Discussion and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

79.3.1 Natural logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35179.3.2 Subtraction of natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35179.3.3 Bottom element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35179.3.4 In category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35179.3.5 In abstract algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

79.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35279.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

80 Partial permutation 35380.1 Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35380.2 Combinatorial enumeration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35380.3 Restricted partial permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35480.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

81 Periodic summation 35581.1 Quotient space as domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35681.2 Citations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35681.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

82 Perspective (graphical) 35782.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

82.1.1 Early history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35982.1.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35982.1.3 Renaissance : Mathematical basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36182.1.4 Present : Computer graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

82.2 Types of perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36482.2.1 One-point perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36582.2.2 Two-point perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36682.2.3 Three-point perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36782.2.4 Four-point perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36782.2.5 Zero-point perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36882.2.6 Foreshortening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

CONTENTS xxi

82.3 Methods of construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37082.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37082.5 Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37182.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37482.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37482.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37682.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37682.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

83 Perspectivity 37783.1 Graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37783.2 Projective Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

83.2.1 Projectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37783.2.2 Higher-dimensional perspectivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37883.2.3 Perspective collineations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

83.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37983.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37983.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

84 Pfaan function 38084.1 Basic denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38084.2 Rigorous denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38084.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38184.4 In model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38184.5 Noetherian functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38184.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38284.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

85 Piecewise 38385.1 Notation and interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38385.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38385.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

85.3.1 Common examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

86 Poincar transformation 38686.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38686.2 Details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38686.3 Poincar symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38786.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38886.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38886.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

87 Point reection 389

xxii CONTENTS

87.1 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38987.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38987.3 Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38987.4 Point reection as a special case of uniform scaling or homothety . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39187.5 Point reection group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39187.6 Point reections in mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39187.7 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39287.8 Inversion with respect to the origin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

87.8.1 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39387.8.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39387.8.3 Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39387.8.4 Cliord algebras and Spin groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

87.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39487.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39487.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

88 Primitive recursive function 39588.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

88.1.1 Role of the projection functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39688.1.2 Converting predicates to numeric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39688.1.3 Computer language denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

88.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39688.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39688.2.2 Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39788.2.3 Other operations on natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39788.2.4 Operations on integers and rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

88.3 Relationship to recursive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39788.4 Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39888.5 Some common primitive recursive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39988.6 Additional primitive recursive forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40088.7 Finitism and consistency results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40088.8 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40188.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40188.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

89 Primitive recursive set function 40389.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40389.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

90 Propositional function 40490.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

91 Pseudoreection 405

CONTENTS xxiii

91.1 Formal Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40591.2 Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40591.3 Diagonalizable pseudoreections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40591.4 Real reections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40591.5 Complex reections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40691.6 Transvections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40691.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

92 Quaternionic analysis 40792.1 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40792.2 Homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40892.3 The Gteaux derivative for quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40992.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

93 Range (mathematics) 41193.1 Distinguishing between the two uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41293.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41293.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41293.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41293.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

94 Rayleigh dissipation function 41394.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

95 Reection (mathematics) 41495.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41495.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41495.3 Reection across a line in the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41595.4 Reection through a hyperplane in n dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41695.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41895.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41895.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41895.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

96 Rigid transformation 41996.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41996.2 Distance formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .