fundamente matematice in criptografie

2. Fundamente matematice in criptografie

2.1 Teoria informatiei si codarii

2.2. Teoria complexitatii de calcul

2.3. Teoria numerelor

TSI - Fundamente matematice 1


2.4. Calcul in campuri Galois: GF(q)

2.5. Secvente aleatoare si pseudoaleatoare

2.6. Funcţii de dispersie (hash functions)

2.1. Teoria informatiei si codarii

• 1949 Cl. Shannon “Comunication Theory of Secrecy Systems”

• Confuzia – relatia dintre cheie si textul cifrat cat mai complexa si amestecata


• Substitutia (cutia S): confuzie primara

• Difuzia: proprietatea de a difuza redundanta textului in clar in statistica textului cifrat

• Transpozitia (cutia P) – rearanjarea ordinii simbolurilor(permutari) – difuzie calsica

• Transformari liniare in impulsuri finite (AES)

• Cifruri produs – alternanta de S, P; nr de interatii(runde)• Secretizare perfecta – one time pad

2.2. Teoria complexitatii de calcul

• Complexitatea (0)– In timp (T) – independenta de timp, exprimate in functie de

n– In spatiu (S) – ordinul intrarii, cantitatea de date


– In spatiu (S) – ordinul intrarii, cantitatea de date

• Exemplu: 4n2+7n+12 => O(n2)• Clasificarea algoritmilor:

– Algoritm constant: O(1)– Algoritm liniar: O(n)– Algoritm patratic: O(n2)– Algoritm polinomial: O(nm)– Algoritm exponential: O(tf(n)), t>1, f(n) - polinom


• Aritmetica modulara– a≡ bmodn; a,b,n∈ Z

– {0,1,…,n-1}=multimea rezidurilor(claselor de


– {0,1,…,n-1}=multimea rezidurilor(claselor de resturi) modulo n

• Exemplu: aritmetica modulo 3 (Z3 ={0,1,2})


• Logaritmi discreti



• Indicatorul lui Euler:– nr. de intregi > 0 si < n, care sunt relativ primi cu n

– exemplu: φ(7)={1,2,3,4,5,6}=6=n-1

rez mod 7={0,1,2,3,4,5,6}=n


rez mod 7={0,1,2,3,4,5,6}=n

Teorema lui Fermat:

aφ(n)mod n=1 => a-1=aφ(n)-1mod n

exemplu:

5-1mod 7=?

5-1=56-1mod 7=55mod 7=3


• Evariste Galois (1811-1832)• GF(q)=un camp finit={0,1,…,q-1}• Axiome

– 2 legi de compozitie: +, *


– 2 legi de compozitie: +, *– Comutativitate fata de +,* (q=prim)– Asociativitate– Distributivitate– Elemente neutre:0,1– Elemente simetrice:

– Exemplu GF(2)={0,1}

==+

− 1*

01 aa

aa


• Extensia de ordinul k: GF(2k )– n=2k-1 =dimensiunea (ordinul) campului

– ∝=element primitiv al campului

– p(x)= =polinom generator al campului


– p(x)=akxk+…+ a1x+ a0 =polinom generator al campului

(primitiv)

– p(∝)=0

– GF(2k)={0}, {1}, {x} clasele de resturi modulo p(x)

– Aritmetici modulo p(x)

– Implementari hard (RD)


• Exemplu GF (22)– Se alege polinomul generator: p(x)=x2+1=0

GF(22) => R=a1x+a0={0},{1},{x},{x+1},

– Ordinul elementului primitiv ∝: n=2k-1=3


– Ordinul elementului primitiv ∝: n=2k-1=3

GF(22)={0,1,∝,∝2}

– Determinarea elementelor primitive: x=∝, x+1=∝


• Aritmetica modulo p(x)


• Implementare: RDR cu p(x)=xk+ xk-1+1


• Proprietatile unei SA– Sa nu fie periodica

– Generarea simbolurilor independenta

– Echiprobabilitatea simbolurilor


– Echiprobabilitatea simbolurilor

• Proprietatile unei SPA~SA– Generatoare liniare congruente

– Xn=(aXn-1+b)mod n; a= ct. de multiplicare

b=increment

– Xn=(a X2n-1+b Xn-1+c)mod n; X0=starea initiala


• Generatoare cu RDR– g(x)=gkx

k+…+ g1x+ g0; n=2k-1, g(x) – primitiv, gk=1

– Si=TSi-1


– Si=TSi-1

Ck-1 C0

⊕

g0gk-1gk=1


FD“hash”

ni no=ct

preimagine Valoare de dispersie VD(HD)


• Funcţia de dispersie ∈ funcţiilor neinversabile– Este o funcţie collisin – free

• Aplicaţii:– Tranzacţii financiare

– Coduri de autentificare a mesajelor

VD+ksecretă=

DAC

MAC Message autentification codeData autentification code


• Proprietati– pentru M dat, calculare h=H(M), usoara– pentru h dat, calcularea lui M: H(M)=h foarte grea– Pentru M dat, gasirea unui M’: H(M)=H(M’), grea =


– Pentru M dat, gasirea unui M’: H(M)=H(M’), grea = rezistenta la coliziune

• Atacuri– Atacul fortei brute: 2m

– Atacul zilei de nastere (atacul de coliziune): 2m/2

– Lungimi specifice: m=128m=160 (SHS)

fundamente matematice in criptografie

Documents