fundamentos de comunicaciones formateadoelectronicahz.webcindario.com/pdf/separata1.pdf ·...
TRANSCRIPT
SISTE_____
1.1 I Exist
••••••
COMComuposibl La seRuido
•••
Ruid•••••
TodasLas seson diPara s
La relrelaci Este eun enlSi el Bcon unSe puRelac
T - TiC - CB - BWLa caindep
EMAS DE COM__________
Introducció
ten numerosas Lenguaje h Lenguaje e Lenguaje p Sonidos de Señales de Palomas m
MUNICACIÓunicación Eficle y con un meñal de informo generado po Tormentas Radiación Radiación
do generado po Interruptor Apagado y Radiación Lámparas Ruido de fs las señales deñales que tranifíciles de idensuperar esta di
lación Señal aón de la poten
es un parámetrlace. BWy la S/N sna calidad esp
uede reducir elción de Hartley
iempo de tranapacidad del cW = Band Wiapacidad de endientes que
MUNICACIO___________
FUNDAM
Análisis
ón
s formas de cohablado escrito pictórico e tambor e humo mensajeras N ELECTRÓciente: Transmínimo de erro
mación se conor fenómenos s y descargas
n solar. n intergalácticaor fenómenosres con contacy encendido d
n por ignición.fluorescentes
fluctuación (rude ruido son alnsportan la inntificar en el rificultad es ne
a Ruido: ncia de la seña
ro importante
on intercambipecífica. l BWcon el finy (Ralph Vint
smisión, en secanal o rapideidth, ancho detransmisión
e pueden pasarSeñ
NES ___________
MENTOS
C
de Señale
omunicación:
ÓNICA misión y recepres.
ntamina por Rnaturales: eléctricas.
a. s provocados pctos defectuos
de equipo eléct
s. uido térmico eleatorias, en u
nformación sufreceptor. ecesario increm
debal a la Potenci
en la evaluac
iables, entonce
n de incremenon Hartley, 19
C α (BWegundos. ez de transmise banda del cande un sistemr (transmistirsales/Segun
___________
S DE COM
Capítulo
es por el M
pción de infor
RUIDO.
por el hombresos. trico.
en resistores, runo u otro sentfren alteración
mentar la pote
be mantener uia del Ruido.
ción de compo
es se puede m
ntar la relación928, Laborato
W) (T). Ecu
ión del mensanal de transm
ma de comunse) a través dendo ó Símb
___________
MUNICA
1
Método de
rmación (o me
e:
ruido de dispatido. n debido al rui
encia de las se
un determinado
ortamiento de
mantener una r
n S/N y viceveorios Bell): ación 1.1.
aje. misión.
nicación reprl sistema por ubolos/Segu
Ingº Luis A___________
ACIONES
e Fourier
ensajes) lo má
aro en disposit
ido aleatorio y
eñales portado
o valor ya que
un sistema de
rapidez dada d
ersa.
resenta el núunidad de tiemundo
Alvarado Các__________
Página 2
S
r
ás rápidamente
tivos activos)
y por consigui
oras del mismo
e representa la
e comunicació
de comunicaci
úmero de símmpo:
ceres _____
2 de 123
e
.
iente
o.
a
ón o de
ión
mbolos
SISTE_____
Ley d En 19"Bell "Lími
Cono
EMAS DE COM__________
de Shannon
948 Claude ESystem Technite de Shanno
ocida también
Figura
MUNICACIO___________
n-Hartley:
Elwood Shannonical Journal"on para la cap
n como LEY d
C = (3
1.1 Diagrama
R
R
NES ___________
on (también d" la siguiente epacidad de inf
Claude Elwo
de SHANNON
3.32) (BW)
a bloques de
Ralph Vinton
Reginald Aubr
___________
de los Laboratecuación, a la formación",
ood Shannon
N-HARTLEY:
Eclog10(1 + S
un sistema de
Lyon Hartle
rey Fessende
___________
torios Bell) puque llamó:
(1916 - 2001)
Y:
cuación 1.2S/N) Ecuaci
e comunicació
ey (1888 - 197
en (1866 - 193
Ingº Luis A___________
ublicó en un a
)
. ión 1.3.
ón, se incluye
70)
32)
Alvarado Các__________
Página 3
artículo de la r
el ruido.
ceres _____
3 de 123
revista
SISTE_____
HarryTrabaJohnsestabinecesAffectdesarrdesarr En 19cual idoble topicsmuestCommAl teoKotelnimpor
Ejem
••••••••••••
IncreIncrePor lola rel
EMAS DE COM__________
y Nyquist trabajando para loson (mejor conilidad de los ario para la ting Telegraprollar su inverollo de la Teo
927 Nyquist dndica que parque el ancho
s in Telegraptreo de Nyqumunication inorema de muenikov-Shannortante en la teo
mplos Actuales Teléfono. Radio. Tv. Periódicos Internet. Aeronaves Satélites. Transbord Meteorolo Telefonía Módulo de PDA's. emento enemento deo tanto, paraación de pot
MUNICACIO___________
ajó para AT&os Laboratorinocido como amplificadoretransmisión dph Speed (Beestigación en oría de la Info
desarrolló su tera digitalizar uo de banda de ph Transmissiuist-Shannon.
n the Presencestreo de Nyqu
on o como critoría de la info
E
s de sistemas d
s.
s en vuelo.
dadores. ogía. Celular. e Red Inalámb
n la velocide las frecuea que la comuencias de señ
NES ___________
&T de 1917 a 1os Bell realizruido de Johnes retroalimende la informaell System Te1928 y poste
ormación.
eoría de muesuna señal, éstla misma señ
ion Theory (Este teorem
e of Noise. uist-Shannon, terio de Nyqu
ormación y en
Harry N
Edwin Howar
de comunicac
brica para Lap
dad de tranencias ⇒ Iunicación seañal a ruido y
___________
1934, despuészó investigacinson-Nyquist)ntados. Desdeción, el cual echnical Journeriormente a S
streo o de freca debe ser muñal. Nyquist p1928). A esta
ma fue demos
se le conoce tist o teorema las telecomun
Nyquist (1889
rd Armstrong
ión o Aplicac
p-Top.
nsmisión ⇒Incrementoa más rápida
y el ancho de
___________
s trabajó para iones acerca ), también reae 1920 invesfue publicado
nal, 1924), esShannon en 1
cuencia de muuestreada por publicó estos a ley se lo costrado por Sh
también comode Nyquist, tanicaciones.
9 - 1976)
g (1890 – 195
iones de los m
⇒ Compreo del ancha y de mejor banda del ca
Ingº Luis A___________
los Laboratordel Rruido T
alizó investigastigó acerca do en el artícuste trabajó le 1948 las cual
uestreo de unalo menos conresultados en
onoce ahora channon en 1
o teorema de Wambién es un t
54)
mismos:
esión en el o de bandacalidad, con
anal de trans
Alvarado Các__________
Página 4
rios Bell hastaTérmico o ruaciones acercadel ancho de ulo Certain F
permitió a Hles contribuye
a señal analógn una frecuencn el artículo Ccomo el teore1949 en el a
Whittaker-Nyqteorema muy
tiempo ⇒a.
nviene incremmisión.
ceres _____
4 de 123
a 1954. ido de a de la banda
Factors Hartley eron al
gica, el cia del
Certain ema de artículo
quist-
⇒
mentar
SISTE_____
El Es
EMAS DE COM__________
pectro Electr
APLAM ONDFM BANNO LTV TELSAT
Figura
MUNICACIO___________
romagnético:
LICACIÓN
DA CORTA
NDA CIVIL LICITADA (
LEFONÍA CETÉLITES
a 1.3a Espectr
NES ___________
Figura 1.2a E
Figura 1.2b E
Figura 1.2c E
(AICM)
ELULAR
Tabla 1.1
ro Electromag
___________
Espectro Elect
Espectro Elect
Espectro Elect
R
1 Algunas apli
gnético como f
___________
tromagnético.
tromagnético.
tromagnético.
RANGO DE F535 KHZ
87.5 MH
icaciones.
función de la
Ingº Luis A___________
.
FRECUENCZ-1605 KHz
z- 108 MHz
longitud de on
Alvarado Các__________
Página 5
IAS
nda, λ.
ceres _____
5 de 123
SISTE_____
Repre
Figu
Figu
EMAS DE COM__________
Figura
esentación de
ura 1.4 Suma
ura 1.5. Form
MUNICACIO___________
a 1.3b Espectr
e señales y re
finita de func
ma de onda en e
NES ___________
ro Electromag
lación entre d
ciones ortogonerror
el tiempo y reobtenida con
___________
gnético como
dominio del t
nales para aproen la aproxim
epresentación un analizador
___________
función de la
tiempo y frec
oximar una fumación.
en frecuenciar de espectros
Ingº Luis A___________
longitud de on
cuencia:
unción cuadrad
as (espectro) u.
Alvarado Các__________
Página 6
nda, λ.
da y el cálculo
una señal cuad
ceres _____
6 de 123
o del
drada
SISTE_____
Figu
Fig
EMAS DE COM__________
ura 1.6. Forma
gura 1.7. Form
MUNICACIO___________
a de onda en e
ma de onda en
NES ___________
el tiempo y repobtenida con
el tiempo y reobtenida con
___________
presentación eun analizador
epresentación un analizador
___________
en frecuenciasr de espectros
en frecuenciar de espectros
Ingº Luis A___________
s (espectro) un.
as (espectro) u.
Alvarado Các__________
Página 7
na señal triang
una señal seno
ceres _____
7 de 123
gular
oidal
SISTE_____
1.2 C DefinPara depenLa funEl mécuatro
1234
Señal Una s
ParaEl vg(t) Ejem
2) Señ Una scualquUna spresen 3) Señ En losConsipor la
En am=i(t),
Sin imCon b
EMAS DE COM__________
Clasificació
nición de Señacada instante
ndiente). nción (o señalétodo a utilizao diferentes cl. Señales Pe
2. Señales D. Señales de
4. Señales A
les Periódicas
señal periódica
a toda t, t→valor más ∴ TO defin
mplo:
ñales Determ
señal determinuier tiempo. Lseñal aleatoriante en la realid
ñales de Ener
s sistemas eléidere un voltaja Ley de Ohm)
mbos casos P esegún la ley d
mportar que g(base en esto, p
MUNICACIO___________
ón de las señ
al: Es una fune de tiempo (
l) puede ser rear para represelases de señaleeriódicas, Señeterminísticase Energía, Señnalógicas, Señ
s, Señales no
a g(t) es una f
→ Tiempo,pequeño dne la durac
minísticas, Señ
nística es una Las señales dea es una señadad.
rgía, Señales
ctricos y/o eleje v(t) que se ). La potencia
es proporcionade Ohm y:
(t) represente podemos defin
NES ___________
ñales
nción de una v(variable inde
eal o complejaentar la señal es.
ñales no Perióds, Señales Aleñales de Potenñales Digitale
Periódicas.
función que sag(t) = g (
TO → es unde TO que ción de un
ñales Aleatori
señal acerca determinísticas al acerca de la
de Potencia.
ectrónicos, unaplica sobre u
a instantánea q
al al cuadrado
voltaje o corrnir la energía t
___________
variable, el tiemependiente) ex
a, sin embargodepende del t
dicas. eatorias. ncia. es.
atisface la con(t + TO) Ecuna constantsatisface ciclo com
Ecuac
ias.
de la cual no eson funciones
a cual existe c
a señal puedeun resistor R yque se disipa e
Ecuac
Ecuaco de la amplitu
Ecuaciente. total de una se
___________
mpo, que condxiste un valo
o el tiempo sietipo de señal.
ndición. uación 1.4.te la condici
mpleto de g
ción 1.5.
Ecuación 1
existe incertids del tiempo ccierto grado d
representar uy que produce en este resistor
ción 1.7.
ción 1.8. ud de la señal.
ción 1.9.
eñal g(t) como
Ingº Luis A___________
duce la informor único de l
empre tendrá u Por lo tanto,
ión se llamg(t).
.6.
dumbre con reompletamentede incertidum
un voltaje o ununa corrienter es:
. Si R = 1 Ohm
o:
Ecuación 1.
Alvarado Các__________
Página 8
mación. a función (va
un valor real. podemos dist
ma: Períod
especto a su vae específicas.
mbre antes de
na corriente. e i(t) (determin
m entonces v(t
.10.
ceres _____
8 de 123
ariable
tinguir
do de
alor en
que se
nado
t)
SISTE_____
Y a su
g(t) e
g(t) es
-Una -Una Las c a) U b) UEn geLas se 4) Señ Una sanalógconviMicróCeldaUna ssólo vCuandamplise con
Codif
EMAS DE COM__________
u potencia me
es una señal de
s una señal de
señal de energseñal de poten
clasificacionesUna señal de eUna señal de p
eneral, las señaeñales aleatori
ñales Analógi
señal analógicgicas se preseerte en una se
ófono ⇒ Variaa Fotoeléctricaseñal de tiempvalores discretdo cada una itud toma solanoce como señ
ficación de la
MUNICACIO___________
edia como:
e energía, si y
e potencia, si,
gía siempre tiencia tiene unas de energía y energía tiene upotencia tieneales periódicaias son señale
icas, Señales
ca es una funcentan cuando ueñal eléctrica. aciones de prea ⇒ Variacionpo discreto se tos que se encde las muest
amente un conñal digital.
Figura 1.8
Figuras muestras (Se
NES ___________
y sólo si la ene
y sólo si su po
ene una potena energía infin
de potencia suna potencia me una energía ias son señales es no periódica
Digitales.
ción continua una forma de La conversiónesión de sonidnes de intensiddefine solameuentran, por ltras de una snjunto finito d
8. Señal Analó
a 1.9. Señal aneñal digital):
___________
ergía total de l0 < E < ∞
otencia media0 < P < ∞
ncia media iguita y su potenc
son mutuamenmedia igual a infinita. determinísticaas y de energí
del tiempo, conda física, t
n se efectúa podo ⇒ Variaciodad de la luz.ente para tiemo general, espeñal de tiemp
de valores disc
ógica (senoida
nalógica mues
0 ⇒ 0001 ⇒ 0012 ⇒ 0103 ⇒ 0114 ⇒ 1005 ⇒ 1016 ⇒ 1107 ⇒ 111
___________
Ecuación la señal satisfa∞ a satisface la c∞ ual a cero. cia media se d
nte excluyentecero.
as y de potenca.
con su amplitutal como una or medio de uones de V(t), i
mpos discretospaciados de mpo discreto scretos) y lueg
al), continua y
streada y discr
Ingº Luis A___________
1.11. ace la condició
condición:
define como ees ya que:
cia y...
ud también coonda acústica
un transductori(t).
s. La variable anera uniforme Cuantifica
go se codifica.
y periódica.
retizada.
Alvarado Các__________
Página 9
ón:
en la ecuación
ontinua. Las sa o una lumino.
independienteme.
(se permite q. La señal resu
ceres _____
9 de 123
1.11.
señales osa, se
e toma
que su ultante
SISTE_____
1.3 A En teencuehechosenoid 1.- Qurepresel sist
es:
dond 2.- Quentradtiemp
Se disLa ve Si es uSerie Repre Si es uTransDescr Venta
123
EMAS DE COM__________
Análisis de
eoría, existen entra que el ao, bien conociddal de la mism
ue el sistema sentan las resptema es lineal
de a1 y a2 s
ue el sistema sda x(t), entoncpo, también est
F
spone de variorsión particula
una Señal Perde Fourier:
esenta la señal
una Señal de Esformada de Fripción en el d
ajas de utiliza. Simplifica
2. Permite el. Permite vi
MUNICACIO___________
Fourier de
muchos métoanálisis de Fodo, de que la r
ma frecuencia.
sea lineal: Elpuestas de un si su respuest
son consta
sea Invariantces, el sistematá desplazada
Figura 1.10. E
os métodos dear que se utiliz
riódica, entonc
l en términos d
Energía, entonFourier: dominio de la
ar los métodoación de cálcul análisis de coisualizar una s
NES ___________
e las Señale
odos posiblesurier aventajarespuesta de u. Pero con fase
l sistema es linsistema a las
ta a: a1x1(t) + a
a1y1(t) + aantes arbitr
te en el tiempoa es invariante
en el tiempo.
Entrada y Sali
e análisis de Foza en la prácti
ces se utilizará
de un conjunt
nces:
frecuencia o e
os de Fourierulos matemáticomponentes arseñal en el dom
___________
es
s para la repra a todos los un sistema linee y amplitud d
neal si obedecs entradas x1(t
a2x2(t) Ecu
a2y2(t), Ecurarias.
o: Supóngasee en el tiempo Ver figura 1.
ida de un siste
ourier para la ica, depende d
á:
o de senoides
espectro de la
: cos. rmónicas (THminio del tiem
___________
resentación deotros método
eal a una entradiferentes, baj
ce el principiot) & x2(t), resp
uación 1.12.
uación 1.13
e que y(t) es lasi la respuesta10.
ema Invariante
representaciódel tipo de señ
relacionadas
señal.
HD). mpo y de la fre
Ingº Luis A___________
e las Señalesos. Esto es unada de onda so las siguient
o de superposipectivamente,
.
.
a respuesta de a a la entrada
e en el tiempo
ón de señales. ñal que se con
armónicamen
ecuencia.
Alvarado Các__________
Página 10
. En la práctina consecuencenoidal es otres condicione
ición si y1(t) &, podemos dec
un sistema a desplazada en
o.
nsidere:
nte.
ceres _____
0 de 123
ica, se cia del ra onda es:
& y2(t) cir que
la n el
SISTE_____
1.4 M El PrTransEl PrReconrecon DebidreconoriginLa regEl meEl metiempComp1) Tra2) Ca3) Rec
Fuent
1234
GenerCierto Recur
12
En la Por lo
P.e:
La poEl anc DefindespreDefinportadEl BWtransmcaso.
EMAS DE COM__________
Modelo de u
opósito de unsmitir señalesopósito del Rnstruir la seña
nstrucción se l
do al ruido y astruir la señal
nal tiene que vgla dice que: ensaje que proensaje de la fupo. ponentes princansmisor (Tx)nal de Comunceptor (Rx).
tes de Degrada. No lineali
2. Imperfecc. Ruido.
4. Interferenralmente el tros esquemas d
rsos Primario. Potencia T
2. Ancho de mayoría de loo tanto, hay ca
- E- E- U
otencia es unacho de banda nición BW deeciable y, por
nición BW deldora de la infoW de un sistemmitir) todas las
MUNICACIO___________
un sistema
n sistema de Cs portadoras dReceptor es: al original delleva a efecto
a la distorsión original del m
ver, entre otras
oduce la fuenteuente (señal fís
cipales de un S). nicación (Me
ación: idades del canciones de la re
ncia. ransmisor prede modulación
os de un SisteTransmitida (Banda del Ca
os canales de canales de com
••
El circuito teleEl espacio librUn enlace vía a característicaes una caracte
e una señal: Elo tanto, inne
l Medio: Bandormación (junma de comunics frecuencias
NES ___________
de comuni
Comunicacióde informació
e la fuente, a p por medio de
en la señal remensaje con exs característica
e no es de natusica) va a un t
Sistema de Co
edio de Transm
Figura 1.11.
nal de Tx. espuesta en fr
esenta tambiénn son menos se
ema de Comu(Reflejada en anal (BW). comunicación
municación: Limitados Limitados
efónico es un ce o aire sería usatélite es un a que NO depeerística (física
Es la frecuenciecesario para lda de paso (ranto con la inforcación debe sesignificativas
___________
icación
ón es: ón de una fuen
partir de la vee la recepción
cibida (degradxactitud. La has, con la sens
uraleza eléctritransductor y s
omunicacione
misión).
Sistema de C
recuencia.
n estos probleensibles que o
unicación: el parámetro
n se puede con
s en potencia.s en banda.
canal de comuun canal limitenlace limitadende del cana
a) que SI depenia superior sobla adecuada trango de frecuenrmación) de laer lo suficientde la informa
___________
nte → Hacia
ersión degradan, amplificació
dada) el recephabilidad del rsitividad del r
ica. se produce un
s:
omunicación.
emas de degraotros a los efec
o S/N).
nsiderar un rec
unicación limitado en potencdo en potenciaal de comunicande del canal bre la cual el cansmisión delncias) mínimaa fuente a travtemente grandación no modu
Ingº Luis A___________
un usuario.
dada que recibón y demodul
ptor, en ocasioreceptor para rreceptor.
na Señal eléctr
adación. ctos del Ruido
curso más imp
itado en bandacia. a. ación, sino delde comunicac
contenido espl mensaje conta requerida pavés del sistemade (ancho) parulada o modul
Alvarado Các__________
Página 11
be, esta lación.
ones, no es capreconstruir la
rica variable en
o y la distorsió
portante que o
a.
l transmisor. ción. ectral de la setenido en la seara propagar laa de comunicara dejar pasar (lada , según se
ceres _____
1 de 123
paz de señal
n el
ón.
otro.
eñal es eñal. a señal ación. (o ea el
SISTE_____
1.5 S Un prtratanEn el BreveUn ve
muest
¿CómSí es pperpen
La coAsí pu
Es clainfinit
En ca
otro v
Los vSin emlos otr
EMAS DE COM__________
Señales y ve
roblema se entn de buscar ana
estudio de lase repaso de lasector se especi
tran en la figu
mo expresaríamposible, tenemndicular desd
Fi
mponente de ues, el vector
aro que ésta noto. A continua
ada una de las
vector
vectores mbargo, la priros dos casos
MUNICACIO___________
ectores
tiende mejor salogías al estus señales, a ésts propiedadesifica mediante
ura y
mos el vector mos que obtene el extremo d
igura 1.13. Ilu
sobre el vexpresand
o es la única fación se mues
Figura
tres represent
, el c
repreimera represeny ∴ esa es la
NES ___________
si se le asocia udiar un nuevotas, podemos s de los vectore su magnitud
.
F
en términoner la componede hacia el
ustración de la
vector es edo en término
forma de expretran otras dos
ó
1.14. Ilustrac
taciones que s
cual llamarem
esentan el errontación es espmejor represe
___________
con algún feno problema. asociarlas con
res: d y su dirección
igura 1.12.
os de ? ente de sol vector :
a perpendicula
el escalar C12s del vector
Ecu
esar en térs opciones, ver
Ecu
E
ción de las ecu
e han visto
mos vector erro
or de cada unapecial porque entación.
___________
nómeno conoc
n los vectores
n. Considéren
Vectores
obre . Esta
ar trazada sobr
2 V2, donde Vsería:
uación 1.14.
rminos de r figura 1.13y
uación 1.15.
Ecuación 1.16.
uaciones 1.15
queda expre
or y va a repre
a de las aproxien ese caso (e
Ingº Luis A___________
cido. Por esta
( la analogía
nse los dos vec
y
a se obtiene tr
re el vector
V2 es la magni
. El número y ecuaciones 1
y 1.16.
esado en térm
esentar el erro
maciones. el único) el err
Alvarado Các__________
Página 12
razón, siempr
es casi perfec
ctores que se
.
razando una
.
itud de .
de posibilidad.15y 1.16.
inos de m
r de aproxima
ror es menor
ceres _____
2 de 123
re se
ta).
des es
más
ación.
que en
SISTE_____
Por lovectorCuantdirecc
a C12 evectorexpre
En la Ve3 <Si los El pr
donde
La co
La co
De igu Por lo
Si
EMAS DE COM__________
o tanto, para or de error to mayor seaciones de amblo largo de
es cero, entonres son perpesar en función
figura 1.14 se< Ve4 vectores son
roducto escala
e θ es el ángul
mponente de
mponente de
ual manera: Co tanto:
y son or
MUNICACIO___________
obtener la mejsea mínimo.
a la componebos vectores y
es C12V2nces el vectorendiculares enn del otro. En
Figura 1.15.
e cumple que:
ortogonales, e
ar de dos vect
lo formado po
a lo largo
a lo largo
Componente d
rtogonales, en
NES ___________
or representac
ente de un vey es más peque, entonces la r no tiene co
ntre sí (vectorotras palabras
. Ejemplos de
C1 > C2 > C
entonces C12
ores se define
or y , de
es:
es:
e a lo larg
ntonces:
___________
ción (menor e
ector en la deño el vector magnitud de mponente en res ortogonales, los vectores
distintas repr
3 > C4 y que
= 0, ver figur
e como.
Ee la misma def
Ecua
Ecu
Ecu
go de =
, y p
___________
error) debemo
dirección de oerror. Por lo tC12 indica lala dirección
es). Esto imps ortogonales s
esentaciones c
por lo tanto lo
ra 1.14.
Ecuación 1.17finición: ción 1.18.
uación 1.19.
uación 1.20.
Ecuación 1.2or lo tanto C1
Ingº Luis A___________
s elegir C12 d
otro vector, mtanto, si la coma similitud dedel otro, y p
lica que un vson vectores i
con vectores.
os vectores de
7.
Ec
22. 12 = 0.
Alvarado Các__________
Página 13
de tal manera
más se parecmponente del e los dos vectpor lo tanto lovector NO se ndependiente
e error Ve1 < V
cuación 1.21.
ceres _____
3 de 123
que el
cen las vector ores si os dos puede
s.
Ve2 <
SISTE_____
Señal Los cConsiun cie
Debeen el i
Uno dprome
Este cya que Este pmedio
El val
es dec
Si se c
La pri
Esta ePrecisf2(t) ycomp(t1,t2),
Esta e
EMAS DE COM__________
les:
conceptos vistideraremos doerto intervalo
emos encontraintervalo (t1<
de los criterioedio de fe(t) e
criterio no es ee valores posiproblema se co) del cuadrad
lor de C12 que
cir,
cambia el ord
imera integral
ecuación es msamente, por ay que esta comonente de la , esto es verda
ecuación tamb
MUNICACIO___________
tos sobre vecos señales f1(t)(t1 < t < t2):
f1(ar un valor par<t<t2); definim
s para reduciren el mismo in
el mejor ya quitivos del errorcorrige si en ludo del error, si
e reduce al mín
en de diferenc
l de esta ecuac
muy similar a laanalogía con lmponente tienseñal f2(t) y e
ad si:
bién es similar
NES ___________
ctores (compa) y f2(t). Supó
(t) ≅ C12f2(t) ra C12 tal que
mos una funciófe(t) = f1(t)
r al mínimo elntervalo; es de
ue en algunos r, se pueden augar del valor i ε = promedio
nimo ε se obti
ciación e integ
E
ción es cero, a
a obtenida parlos vectores, dne una magnitentonces deci
r a la obtenida
___________
aración y ortoóngase que se
para t1 < t <t2e el error entreón de error fe(- C12f2(t) Ecl error fe(t) en
ecir, reducir al
casos podríamanular con valo
promedio fe(to de fe
2(t):
iene de:
Ecua
gración:
Ecuación 1.29
así que rearreg
ra C12 en el cadecimos que: "tud C12". Si simos que las
a en el caso de
___________
ogonalidad) see desea aproxi
2 Ecuación 1e la función re(t): cuación 1.24.n el mismo inl mínimo la ex
mos concluir eores negativost), reducimos
ación 1.27.
9.
glando y despe
Ecuacióaso de los vect"f1(t) tiene unse anula C12, edos funciones
Ecuación e los vectores.
Ingº Luis A___________
e pueden exteimar f1(t) en t
.23. al y la aproxim
ntervalo t1 a t2xpresión:
Ecuación 1.erróneamente s. al mínimo el p
Ecuació
ejando C12 ob
ón 1.30. tores. na componententonces la señs son ortogon
1.31.
Alvarado Các__________
Página 14
ender a las setérminos de f2
mada sea mín
2 es reducir e
.25. que el error e
promedio (o v
Ecuación
n 1.28.
tenemos:
te de forma deñal f1(t) no co
nales en el int
ceres _____
4 de 123
eñales. f2(t) en
nimo
l valor
s cero,
valor
n 1.26.
e onda ontiene tervalo
SISTE_____
EjempSe def
AproxcuadrSolucAprox
Ahoraque elque se
Sustit
Pode
Para e
EMAS DE COM__________
plo 1.1: fine una funci
xímese esta fuático sea míni
ción: ximaremos la
a, hay que encl error cuadráte obtuvo para
tuyendo las re
mos calcular
el intervalo (0
MUNICACIO___________
ión rectangula
Figur
unción medianimo.
función f(t) en
contrar el valotico medio (prreducir al mín
spectivas func
el resultado d
,2π):
NES ___________
ar f(t), como s
ra 1.16. Funció
nte la forma de
n el intervalo
or óptimo de Cromedio del enimo el error
ciones f(t) y se
e la integral e
___________
e muestra en l
ón cuadrada c
e onda sen(t),
(0,2π) utilizan
C12, es decir, herror al cuadracuadrático me
en(t):
n el denomina
___________
la figura 1.15
con intervalo T
Ecuaciónen el interval
ndo:
Ecuación
hay que enconado) se reduzcedio es:
Ecuació
Ecuacióador utilizand
Ecu
Ingº Luis A___________
y se define en
T=2Π.
n 1.32. lo (0,2π) de m
n 1.33.
ntrar el valor dca a su mínimo
n 1.34.
ón 1.35. do:
uación 1.36.
Ecuación
Alvarado Các__________
Página 15
n la ecuación
modo que el err
de C12 de tal mo valor. La ecu
1.37.
ceres _____
5 de 123
1.32:
ror
manera uación
SISTE_____
Sustit
Por lo
Es la m
Haci
ConcUna faproxfuncióEn esortogo1.6 FuLos cextendcompun sisComovector
En geEstos
EMAS DE COM__________
tuyendo en la
o tanto:
mejor aproxim
Figura 1.17
endo la analog
clusión: ¿Que función no tiximar una fuón original mste caso es monal a ella. Eunciones Ortconceptos vistderlos a un onentes conte
stema completo ejemplo podres unitarios:
eneral, se puedtres vectores
MUNICACIO___________
ecuación para
mación de f(t)
7. Resultado d
gía con los ve
significa que iene componeunción medianmisma. mejor aproximEn este caso Ctogonales (Esptos sobre vectvector en el
enidos en "n" to de coordenademos expres
de expresar cuson perpendic
NES ___________
a C12:
E
mediante una
de la aproxima
ectores, podem
dos funcionesente de la formnte su funció
mar a la funcC12=0.
pacio Ortogotores ("un veespacio: Cu
vectores mutuadas. sar el vector
A=x0ax+yualquier vectorculares entre s
ax.ay=ay.az ax.ax=ay.a
___________
Ecuación 1.38
a función sen(
ación de una s
mos decir que
s sean ortogonma de la funón ortogonal,
ión con una
onal de Señaleector se puedeualquier vectouamente ortog
A=(x0, y0, z0
y0ay+z0az Ecuar del espacio esí: z=az.ax=0 Ecuay=az.az=1Ecua
___________
8.
Ecuación 1
(t).
señal cuadrada
la aproximaci
nales? ción que es o, entonces el
función nula
es). de expresar enor puede exprgonales, siemp
0) y lo podem
ación 1.41. en términos de
uación 1.42. ación 1.43.
Ingº Luis A___________
1.39.
a con una func
ión a la funció
Ecuació
ortogonal a elerror sería m
a f(t)=0, en l
n términos deresarse comopre y cuando
mos expresar
e los vectores
Alvarado Các__________
Página 16
ción Sen(t).
ón rectangular
ón 1.40.
lla. Si se tratamás grande q
lugar de la fu
e otro...") Poo una suma dlos vectores f
en términos
unitarios: ax,
ceres _____
6 de 123
r tiene:
tara de que la
unción
demos de sus formen
de los
ay, az.
SISTE_____
Las pr
DondDe acsus coéstas fAproxortogoConsiinterv
Y sea
Consicomb
Para qC2,...,El err
Y el
De
Lo an
EMAS DE COM__________
ropiedades de
de "m" y "n"cuerdo con lo omponentes aformen un conximación de onales): ideremos un gvalo t1 a t2:
a:
idérese ahorainación lineal
que la aproximCn tales que e
ror lo calculam
valor cuadrát
e la ecuación
nterior lo pode
MUNICACIO___________
e estos tres vec
" pueden teneranterior, es de
a lo largo de unjunto compleuna función
grupo o conju
a que la func de las n func
mación sea lael valor cuadrámos como siem
Err
tico medio del
anterior podem
emos resumir u
NES ___________
ctores se pued
r cualquier vale esperarse quun grupo o coeto.
mediante un
unto de "n" fu
ción arbitrariaiones mutuam
a mejor, debeático medio dempre: ror = Señal
l error (ε ):
mos notar quem
utilizando la e
___________
den expresar d
lor x, y, z. ue podamos exonjunto de fun
n grupo de
unciones g1(t)
a f(t) se aprmente ortogona
Ecuaemos encontrael error fe(t) se
original - R
e ε es función mínimo el error
ecuación:
Ecu
___________
de manera resu
Ecu
xpresar cualqunciones ortogo
funciones ort
), g2(t), ...gn(t
Ecuación 1roxima en el ales:
ación 1.48. ar los valores ea mínimo.
Representac
Ecuación 1.
de C1, C2,...,Cr ε:
ación 1.52.
Ingº Luis A___________
umida:
uación 1.44.
uier función fonales entre s
togonales ent
t), mutuament
Ecuación
1.46. intervalo (t1
Ecuación 1.4
adecuados d
ión
.49.
Ecuación 1.5Cn. Por lo tant
E
Alvarado Các__________
Página 17
f(t) como la suí, siempre y c
tre sí (mutua
te ortogonales
1.45.
1, t2) mediant
47.
e las constant
50. to, para reduci
Ecuación 1.51
ceres _____
7 de 123
uma de cuando
amente
s en el
te una
tes C1,
ir al
1.
SISTE_____
Como
Ante
La de
Esto
Si en
Desp
En rest2), nolineal
Para terror εA su v
ReprortogoDe la númer
el lím
EMAS DE COM__________
o (t1 - t2) es co
s de derivar e
erivada con re
nos deja solam
la ecuación an
pejando Cj:
sumen: Dado os podemos ade las n funci
tener la mejor ε ). vez, el error cu
resentación deonales: ecuación antero mayor de f
mite, cuando e
y ento
MUNICACIO___________
onstante, se pu
integrar habrí(a - b)2 = a2 -
especto de Cj d
mente con dos
nterior se cam
un grupo de naproximar a uiones.
aproximación
uadrático med
e una función
erior (ecuaciófunciones orto
el número de
onces ε se anu
NES ___________
uede expresar
ía que aplicar 2ab + b2, donde todos los té
Es términos:
mbia el orden d
n funciones g1una función ar
n, los coeficie
dio se puede c
E
n mediante un
ón para calculaogonales (incr
e términos se
ula.
___________
la ecuación de
: nde a = f(t) y bérminos que n
Ecuación 1.55
de diferenciac
1(t), g2(t), ...gnrbitraria f(t) e
Ecuentes C1, C2,...
calcular con la
Ecuación 1.61
n grupo compl
ar ε), es eviderementar n), e
e vuelve infin
___________
e ε como:
b = ΣCigi(t) Eno contienen a
5.
ión e integrac
En(t) mutuamenen dicho inter
ación 1.60. ,Cn se calcula
a siguiente ecu
1.
leto o cerrado
ente que si nosentonces el err
nito, la suma
Ingº Luis A___________
Ecuac
Ecuación 1.54Cj vale cero:
Ecuacción:
Ecuación 1
cuación 1.58. nte ortogonalervalo mediant
Ecuación 1.5
an con la ecuac
uación:
o de funcione
s aproximamoror va dismin
con
Alvarado Các__________
Página 18
ción 1.53.
.
ción 1.56.
1.57.
es en el intervte una combin
59.
ción para Cj (m
es mutuament
os a f(t) medianuir. Por lo tan
nverge a la in
ceres _____
8 de 123
alo (t1, nación
menor
te
ante un nto, en
ntegral
SISTE_____
Así:
La secero. siguie
Se diccomp
En otrtodas integrmiemes comEn Re Para
Si e
En do
La recomo EjemejempEn esaproxmutua (to, to
El conLa ap
Las c
EMAS DE COM__________
erie infinita deSe dice que la
ente:
ce que un conleto o cerrado
ras palabras, clas funciones
ral anterior sembros del conju
mpleto si x(t) esumen: a un conjunto
este conjunto
onde:
epresentación Representaci
mplo 1.2: Conplo se hizo unaste ejemplo vximación debeamente ortogoo+2π/ωo) para njunto sen(t), roximación a
constantes Ci s
MUNICACIO___________
e esta ecuacióa serie Conver
njunto de funco cuando no ex
cuando el cons que son mue anule, sea igunto {gi(t)} yno pertenece
o {gi(t)}, (i=1,2
de funciones
de f(t) mediaión Generaliznsideremos ota aproximació
vamos a emplerá ser mejoronales en el in
todos los valosen(2t), sen(3la función rec
se determinan
NES ___________
n converge a rge al valor m
ciones g1(t), gxiste una func
njunto de funcutuamente ortogual a cero, en, en consecuea él.
2,...) Mutuam
es completo,
ante un conjunzada de f(t) entra vez la funón a la funciónear un gran nr. Se puede
ntervalo: ores enteros d
3t), etc. es mutctangular, med
n con:
___________
f(t), de manermedio. En este
g2(t),...,gi(t) mución x(t) para l
ciones {gi(t)} ogonales. Si sntonces, evide
encia, forma p
mente ortogona
entonces se p
nto infinito den Serie de Founción rectangn rectangular mnúmero de fudemostrar qu
de n y m es detuamente ortodiante una ser
___________
Ecuacra que el valoe caso la repre
Ecutuamente ortla cual se cum
es completo ose puede encoentemente x(t
parte del conju
al en el interv
puede expresa Ecu
Ee funciones muurier ular del ejemmediante una
unciones ortogue las funcio
cir: gonal en el in
rie finita de fu
Ecu
Ingº Luis A___________
ción 1.62. r medio del cu
esentación de
uación 1.63.togonales en e
mpla que:
Ecuacio cerrado, es ontrar una funt) es ortogonaunto. Es obvio
valo (t1, t2):
Ecuacióar cualquier fuuación 1.66.
Ecuación 1.67utuamente ort
mplo anterior sola función
gonales entre ones sen(nωot
ntervalo (0,2π)unciones sinus
uación 1.68.
Ecuación 1.6
Alvarado Các__________
Página 19
uadrado del ef(t) es exacta
el intervalo (t
ón 1.64. porque ya inc
nción x(t) tal al a cada uno o que el conju
ón 1.65. función f(t) co
. togonales se c
(ejemplo1). Esen(t). sí, por lo tan
t) y sen(mωo
) oidales es:
69.
ceres _____
9 de 123
error es y es la
1,t2) es
cluye a que la de los
unto no
omo:
conoce
En ese
nto, la ot) son
SISTE_____
Ya he
El er
Para
Con d
EMAS DE COM__________
emos visto que
rror ε (Error c
un término:
dos términos:
MUNICACIO___________
e:
cuadrático med
NES ___________
dio):
___________
___________
Ecuac
Ecuaci
Ingº Luis A___________
ión 1.70.
Ecua
ión 1.72.
Ecuación 1.
Ecuació
Alvarado Các__________
Página 20
ación 1.71.
73.
ón 1.74.
ceres _____
0 de 123
SISTE_____
Con tr
Fig
Con c
La orSi f1(taprox
El val
De
EMAS DE COM__________
res términos:
gura 1.18. Ap
cuatro término
rtogonalidad t) y f2(t) son fu
ximada median
lor óptimo de
esta ecuación
MUNICACIO___________
proximación a
os:
en las funcionunciones comnte C12f2(t) en
C12 que reduc
n es evidente q
NES ___________
una función c
nes complejasmplejas de vari
el intervalo (t
ce al mínimo l
que dos funcio
___________
cuadrada medsenoidales.
s. able real t, ent1, t2)
Ecuala magnitud d
ones compleja(t1, t2) si:
___________
iante un conju
ntonces se pue
ación 1.77. el error cuadr
Ecas f1(t) y f2(t) s
Ingº Luis A___________
Ecua
unto de funcio
Ecu
ede demostrar
ático medio e
cuación 1.78.serán ortogona
Ecuac
Alvarado Các__________
Página 21
ación 1.75.
ones ortogonal
uación 1.76.
que f1(t) qued
stá dado por:
ales en el inter
ción 1.79.
ceres _____
1 de 123
les,
da
rvalo
SISTE_____
Para
Si este
Dond
Si el comp
EMAS DE COM__________
a un conjunto
e grupo de fun
de:
conjunto de lejas se reduc
MUNICACIO___________
de funciones
nciones es com
funciones esen a los que s
NES ___________
complejas {gr
mpleto, entonc
s real, entonce obtuvieron p
___________
r(t)}, (r=1,2,...
t2):
ces cualquier
ces gr
*(t) = gpara funcione
___________
.) Mutuament
función f(t) se Ecu
gr(t) todos los reales.
Ingº Luis A___________
e ortogonales
Ecuae puede expreación 1.81.
Ecuación 1.8
os resultados
Alvarado Các__________
Página 22
en el interval
ación 1.80. esar como:
82.
para las fun
ceres _____
2 de 123
lo (t1,
nciones
SISTE_____
1.7 E Las fu/ωo). SfuncioSe pu
FormaPor ejEl con
Cualq/ωo). A
f(t
Para
Esta
Estas
Para
El térm
En ot
EMAS DE COM__________
Expansión t
funciones SenSin embargo, ones Seno y C
uede demostrar
a un conjunto jemplo: Paranjunto ortogon
1, cquier función fAsí: t)=ao+a1cos(ω
simplificar el
a ecuación es
s ecuaciones s
calcular ao (n=
mino constant
tras palabras a
MUNICACIO___________
trigonomét
n(ωot), Sen(2ωeste conjunto
Coseno. r que el conju
ortogonal coma n=0, Sen(nωnal completo ecos(ωot), cos(2f(t) puede repr
ωot)+a2cos(2ω
Para t manejo, deno
Parala representac
(to<t<
e pueden simp
=0)
te ao: es el
: o es la compo
NES ___________
trica de Fou
ωot), etc. formo no es comple
unto de funcion Cos(nωot) y mpleto. ot)=0 y Cos(nestá represent2ωot), ..., cos(resentarse en
ωot)+... +ancosE
dentro del sigotaremos a (2π
a t dentro del ción de f(t) po<to+T). Las co
plificar ya que
valor promed
onente de corr
___________
urier.
man un conjueto. Por lo tan
nes formado pSen(nωot), pa
nωot)=1. tado por las sig(nωot),...;sen(términos de e
s(nωot)+... +bEcuación 1.83guiente intervaπ/ωo) por T.
siguiente interr medio de la onstantes an y
e
dio de f(t) en e
riente directa
___________
unto ortogonalnto, para comp
por los gruposara n=0,1,2,..
guientes funci(ωot), sen(2ωo
stas funciones
b1sen(ωot)+b2s3. alo: (to<t<to+2
rvalo: (to<t<toserie trigonom bn se calculan
Ecuaciones 1
Ecuacio
Ecuación 1.87
el intervalo (t,
de f(t) en el m
Ingº Luis A___________
l en cualquierpletar el conju
s: ..
iones: ot),...,sen(nωots en cualquier
sen(2ωot)+...+
2π /ωo)
Ecuo+T). métrica de Foun por:
1.85a y 1.85b.
ones 1.86a y 1
7.
, to+T).
mismo interva
Alvarado Các__________
Página 23
r intervalo (to
unto hay que a
t),... r intervalo (to,t
+bnsen(nωot)+
uación 1.84.
urier en el inte
.
.86b.
alo.
ceres _____
3 de 123
o,to+2π agregar
to+2π
+...
ervalo
SISTE_____
La ser
Ejempel inte
Comof=1/TLa ser
Para c
Para c
Se sab
Si u =
Para c
EMAS DE COM__________
rie trigonomét
plo 1.3: Desarervalo (0,1)
o se puede verT y T=1 rie trigonométf(t)=ao+a1cos
calcular el térm
calcular an:
be que:
= 2πnt =>
calcular bn:
MUNICACIO___________
trica de Fourie
don
rrolle la funci
Figu
r en la figura,
trica de Fouries(2π t)+a2cos(4
Si ωmino constant
NES ___________
er tiene tambi
nde:
ón f(t) de la fi
ura 1.19. Func
f(t)=At en el i
er es: 4π t)+... +ancoωo=2π => ωo(te (component
___________
ién la siguient
y
igura 1.17 me
ción a desarrol
intervalo (0,1)
os(2π nt)+... +(1)=2π , ωo(2)te de C.D. de
Ec
___________
te representaci
Ecuación 1.
diante una ser
llar en el ejem
), T=1 y ω=2π
+b1sen(2π t)+b)=4π t, ωo(3)=f(t)) ao:
cuación 1.91.
Ingº Luis A___________
ión:
88.
rie trigonomét
mplo .
π f=2π /T ωo=
b2sen(4π t)+...=6π t
Ecu
Ecuació
Ecuaci
Ecua
Alvarado Các__________
Página 24
trica de Fourie
=2π y to=0 don
.+bnsen(2π nt)
uación 1.89.
ón 1.90.
Ecuación 1.92
ión 1.93.
ación 1.94.
ceres _____
4 de 123
er en
nde
)
2.
SISTE_____
Se sab
Si u =
La rep
Concf(t) tie
f(t) ti
EMAS DE COM__________
be que:
= (2π)(nt) =>
presentación e
clusión: ene una comp
iene compone
MUNICACIO___________
es:
onente de Cor
ntes de funcio
NES ___________
rriente Directa
Econes senoidale
___________
Ecu
a con valor:
cuación 1.99 aes con magnitu
___________
uación 1.95.
a. udes:
Ecu
Ingº Luis A___________
E
Ecuació
Ecuación
uación 1.99 b
Alvarado Các__________
Página 25
Ecuación 1.96
ón 1.97.
n 1.98.
.
ceres _____
5 de 123
6.
SISTE_____
1.8 S En muexponvamo
para (El sen
Subst
Si:
Si
* A esLas sformapartir
EMAS DE COM__________
Serie expon
uchas aplicacinenciales coms a partir de la
(to<t<to+T) no y el coseno
ituyendo estas
sta serie se le eries exponen
as distintas dede la otra.
MUNICACIO___________
nencial de F
iones de las semplejos ejnωot. P
a serie trigono
o se pueden exCos(nSen(n
s dos ecuacion
conoce comonciales y trigoe expresar la
NES ___________
Fourier.
eries de FouriePara obtener laométrica de Fo
xpresar como: nωot) = (1/2) (nωot) = (1/2j) (nes en la serie
o "Serie componométricas dmisma serie.
___________
er es conveniea expresión enourier.
(ejnωot + e-jnωot)(e-jnωot - e-jnωot)e trigonométri
pleja de Fouride Fourier noSe pueden o
___________
ente expresar n términos de
) Ecuación 1.) Ecuación 1.ca:
Ecuación
Ecuac
ier de f(t)" o o son dos tipoobtener los co
Ingº Luis A___________
estas series enestos exponen
Ecuació
101 a. .101 b.
1.104.
ción 1.105.
Ecuación
"Serie exponeos diferentes
oeficientes de
Alvarado Các__________
Página 26
n términos de nciales compl
ón 1.100.
Ecuación 1
Ecuación 1.
1.106.
encial de Foude series, sinuna de las se
ceres _____
6 de 123
los ejos
.102.
.103.
urier". no dos eries a
SISTE_____
Para
Eje
Soluc
Los
EMAS DE COM__________
Convertir de
emplo 1.4: En
ción:
coeficientes F
MUNICACIO___________
e Serie "Exp
ncontrar la ser
Figura
Fn se calculan
NES ___________
onencial" a s
rie de Fourier
a 1.20. Funció
de la siguiente
___________
serie "Trigon
exponencial d
ón a desarrolla
e manera:
___________
nométrica":
E
de la función f
ar en el ejempl
Ingº Luis A___________
Ecuaciones 1.
f(t) que se mu
lo 1.8a.
Alvarado Các__________
Página 27
.107 (a - d).
uestra en la fig
ceres _____
7 de 123
gura.
SISTE_____
EjempFourie Soluc
Utiliz
EMAS DE COM__________
plo 1.5: Expreer (Serie Trigo
ción:
zando las ecua
MUNICACIO___________
ese el resultadonométrica de
aciones que rel
NES ___________
do del probleme Fourier).
lacionan los c
___________
ma anterior uti
coeficientes de
___________
ilizando la for
e ambas series
Ingº Luis A___________
rma trigonomé
s:
Alvarado Các__________
Página 28
étrica de la Se
ceres _____
8 de 123
rie de
SISTE_____
Ejemp
Soluc
Los co
EMAS DE COM__________
plo 1.6: Encu
ción:
oeficientes Fn
MUNICACIO___________
entre la serie e
Figura
n se encuentran
NES ___________
exponencial d
a 1.21. Funció
n a partir de:
___________
de Fourier para
ón a desarrolla
___________
a la función d
ar en el ejemp
Ingº Luis A___________
diente de sierra
plo 1.6.
Alvarado Các__________
Página 29
a definida por
ceres _____
9 de 123
r:
SISTE_____
EL ES El destérminUna fetc. D ωo = Si se encon
••
•Nótesdiscre
El espCon aEn unde líncomp Para
••
Para En la frecue
Recue
¿Cuál
EMAS DE COM__________
SPECTRO C
sarrollo en senos de sus comfunción periód
Donde. 2 Π/T. especifica f (
ntrar f (t). Por Represent Represent
frecuenciade la señal
El espectrose pues, que eetos de ω. Por
F
pectro se puedalturas proporcna gráfica, el eneas verticalesonente correspobtener y repr Trigonom Exponencfines del cursserie exponen
encia:
erde que:
l es el signific
MUNICACIO___________
COMPLEJO D
rie de Fouriermponentes de dica con perío
(t) se puede elo tanto, existación en el doación en el do
a (generalmenl (espectro de o existe únicael espectro nolo tanto es un
Figura 1.22. E
de representarcionales a la aespectro de frs igualmente pondiente de resentar el espétrica. ial. o resulta más ncial la funció
ω
ado de las fre
NES ___________
DE FOURIER
r de una funcdiferentes fre
odo T tiene c
encontrar su eten dos manerominio del tiemominio de la frnte ω, aunque p
magnitud y eamente para ωo es una curvn espectro disc
Ejemplo gráfic
r gráficamenteamplitud de larecuencias disespaciadas, c
frecuencia. pectro se pued
útil la forma ón periódica se
= 0, ±ωo, ±2ω
cuencias negan =
___________
R:
ión periódica ecuencias. omponentes d
espectro y vicras de especifimpo, f(t) se exrecuencia, se epuede ser f en
espectro de faso = ωo, 2ωo, 3va continua, screto y a vece
co de un "espe
e al trazar línea componente screto (magnitcon alturas pr
de utilizar cual
exponencial.e expresa com
ωo, ±3ωo, etc
ativas? = -1, -2, -3, ...,
___________
equivale a la
de frecuencias
ceversa, si se icar a la funcióxpresa como fespecifica a la
n Hertz). Con se). 3ωo,..., nωo, etsino que exiss se le llama e
ectro" o "espec
eas verticales correspondientud o fase) aproporcionales
lquiera de las
mo la suma de
Ecuación 1.10
, -∞
Ingº Luis A___________
a transformaci
s angulares ω
especifica elón f(t): función del tiea señal como festo se especi
c. ste solamente espectro de lín
ctro de líneas"
en: ω = ωo, 2ωnte de frecuenparece como u
a la amplitu
dos series:
las funciones
08.
Ecua
Alvarado Các__________
Página 30
ión de la func
ωo, 2ωo, 3ωo,..
l espectro, se
empo. función de la ifican los espe
en algunos vneas.
".
ωo, 3ωo,..., nωncia. una serie o suud o a la fase
exponenciale
ación 1.109.
ceres _____
0 de 123
ción en
., nωo,
puede
ectros
valores
ωo, etc.
ucesión e de la
es de
SISTE_____
Las dgiran
La ser
Por loLe coLas am Se re- Espe- EspeEn la descri Ejempseno r
Soluc
EMAS DE COM__________
dos señales ejω
en direccione
rie exponencia
o tanto, a cadarresponden lamplitudes Fn s
equiere de dos ectro de Magnectro de Fase mayoría de loibir la función
plo 1.7: Encurectificada.
ción:
MUNICACIO___________
ωt y e-jωt oscilaes opuestas y q
al de Fourier e
da frecuencia:as amplitudesson complejasespectros par
nitud (de Fn) (de Fn)
os casos Fn es n mediante un
entre la serie e
NES ___________
an a la frecuenque, cuando se
está dada por:
: 0, ωo, -ωo, 2ωs: F0, F1, F-1, Fs (generalmenra la represent
puramente resolo espectro
exponencial d
Figura 1.23.
___________
ncia ω, sin eme suman, prod
:
ωo, -2ωo, ..., nF2, F-2, ..., Fn, Fnte) y por lo tatación de una
eal o purameno.
de Fourier y gr
. Función seno
___________
mbargo, se lesducen una func
Ecuac
nωo, -nωo, ... F-n, ...
anto se les desfunción perió
nte imaginari
rafique el espe
o rectificada.
Ingº Luis A___________
puede ver coción real de ti
ción 1.110.
cribe por su mdica:
ia, por lo tanto
ectro discreto
Alvarado Các__________
Página 31
omo dos fasorempo:
Ecuación 1
magnitud y fas
o, se puede
para la funció
ceres _____
1 de 123
res que
1.111.
se.
ón
SISTE_____
Algun•
••
Concl
PuestocontinfrecueLa reperióddomin Ejempfrecuepulsos
La fun
EMAS DE COM__________
Fi
nas Caracterís El espectr
vertical. El espectr La fase d
(función i
lusiones: - A
d- A
fuo que el índicnuas, sino queencia discreta presentación dica f(t) en elnio del tiempo
plo 1.8: Encencia para la s son de magn
nción f(t) se p
MUNICACIO___________
gura 1.24. Grá
ísticas del espero de Magnitu
ro de Magnitude Fn es θn y impar) con re
A la gráfica dedenomina espeA la gráfica dfunción periódce n toma sole aparecen en o espectros dde los coeficl dominio de o.
cuentre la serfunción perió
nitud A y dura
Figura 1.25
puede expresar
NES ___________
áfica del espe
ectro de magnud de cualquie
ud es función pla fase de F
especto al eje v
Fn = |Fn|e|F-n| = |Fn|
e la magnitudectro de ampliel ángulo de
dica f(t). lamente valorla variable die líneas.
cientes complla frecuencia
rie expoenenódica de pulsación d.
. Señal cuadra
r en un period
___________
ctro obtenido
nitud y del esper función pe
par de ω, F-n
F-n es -θn , povertical.
ejθn Ecuación|e-jθ n Ecuació
d de los coeficitud de la funcfase θn de Fn
res enteros, loiscreta nωo; po
lejos Fn vs. laa angular ω, a
ncial de Foursos rectangula
ada centrada e
do como sigue
___________
(tomando en
pectro de faseriódica es sim
= Fn y |Fn| =
or lo tanto el
n 1.112 a. ón 1.112 b.
cientes complción periódican vs. ω, se le
os espectros dor lo tanto, se
a variable disasí como f(t)
rier y grafiquares f(t), la cu
en el origen, ej
e:
Ingº Luis A___________
cuenta el sign
e: métrico con re
|F-n| l espectro de
lejos Fn vs. laa f(t).
denomina esp
de amplitud y e les denomina
screta nωo, esvs. t especifi
ue los espectual se muestr
jemplo 1.8e.
Alvarado Các__________
Página 32
no).
especto al eje
Fase es asim
a frecuencia ω
pectro de fase
fase no son a como espect
specifica la fuica la función
tros respectivra en la figur
ceres _____
2 de 123
métrico
ω, se le
e de la
curvas tros de
función n en el
vos de ra. Los
SISTE_____
Fn = Con ocomun
Defin El esp
Esto s
El espPor ej
n = 5Sn = 10n = 15
EMAS DE COM__________
(Ad/T) [Sen (objeto de simpnicaciones:
nición de la
pectro de Fn ex
se puede ver d
pectro se debejemplo, Si d =
Como d/T =
Sen [(8π )(5)(0Sen [ (8π )(15Sen[(8π )(15
MUNICACIO___________
(nπd/T)/(nπdplificar el resu
a función Sa
xiste solament
de la última ec
e considerar pa= 1/20 y T = 1
(1/20) / (1/4) Sen(ωodn
nπe
ω = ±1/20)]/2 = Sen0)(1/20)]/2 =
5)(1/20)]/2 = S
NES ___________
d/T)] ultado y ya que
ampling.
te cuando:
cuación de la h
ara valores esp1/4 de segund
Si ωo = 2π/= 4/20 = 1/5,
n/2) = 0 ó nωo
π(d/T) = nπ(1s decir, el esp
±5ωo = ±40π ,n(40π/40) = SSen(80π/40)
Sen(120π /40)
___________
e esta función
hoja anterior d
pecíficos de ddo: /T entonces ω, el espectro dod/2 = mπ ó c1/5) = mπ (papectro se hará, ±10ωo = ±80Senπ = Sen2π = Sen3π
___________
n es muy impo
donde:
d y t:
ωo = 8π rad de amplitud suando n(2π/Tra m = ±1, 2,á cero cuand0π , ±15ωo =
Ingº Luis A___________
ortante en la te
Ecuación 1.1
se va a hacer T)d/2 = m ...) o: ±120π
Alvarado Các__________
Página 33
eoría de
113.
cero cuando:
ceres _____
3 de 123
:
SISTE_____
FigNótesalrede
EMAS DE COM__________
gura 1.26. Gráse que en este edor de la vert
MUNICACIO___________
áfica del especcaso el espect
tical y debido
NES ___________
ctro de la cuadtro de fase es a la localizac
___________
drada del ejemcero, esto se dión particular
___________
mplo 1.8e, se gdebe a la simer escogida para
Ingº Luis A___________
graficó solameetría de los pua el origen.
Alvarado Các__________
Página 34
ente la magnitlsos rectangul
ceres _____
4 de 123
tud. lares
SISTE_____
1.9 L En lasseñal señalePara rg(t) de
En el
Si util
donde
EMAS DE COM__________
La Transfor
s secciones anperiódica. Ah
es exponenciarealizar esto, eefina un ciclo
límite se perm
lizamos la ser
e Fn se calcula
MUNICACIO___________
rmada de F
nteriores se uthora se desarrales. en primer luga de esta funció
Figura 1.2
mite al período
rie exponencia
a como se mu
NES ___________
Fourier.
tilizó la serie rollará algo sim
ar se construirón periódica,
27. Señal g(t)
o llegar a ser i
al de Fourier p
estra en la ecu
___________
de Fourier (emilar, pero pa
rá una funcióncomo se ilustr
convertida en
infinitamente
para represent
E
uación 1.116.
___________
en sus distintaara una señal
n periódica gp(ra en la figura
n la señal perió
grande:
Ecua
ar a la función
Ecuación 1.11
Ecuac
Ingº Luis A___________
as versiones) pg(t) no periód
(t) de período a 1.27.
ódica gp(t).
ación 1.114.
n periódica gp
15.
ción 1.116.
Alvarado Các__________
Página 35
para representdica, en términ
To de tal form
p(t), obtenemo
ceres _____
5 de 123
tar una nos de
ma que
os:
SISTE_____
Si rea
Al sunotaci
Si el discrediscre
En el
EMAS DE COM__________
alizamos las si
ubstituir las eión para repre
periodo To tieeta fn (de la eeta se conviert
límite, cuando
MUNICACIO___________
iguientes defin
ecuaciones 1.1esentar la serie
ende a infinitecuación 1.11te en una integ
o To tiende ha
Cambios que
NES ___________
niciones:
117 en las ece de Fourier d
to (o su recípr18) se aproxigral:
acia infinito:
e ocurren en l
___________
uaciones 1.11e gp(t) y obten
roco Δf tiendeima a la varia
Cuadro 1.1 aas variables c
___________
15 y 1.116 esnemos:
e a cero), entoable de frecu
. uando To tien
Ingº Luis A___________
Ecuaciones 1
stamos efectu
onces, en el luencia continu
Ecuacione
nde a infinito.
Alvarado Các__________
Página 36
1.117 (a, b y c
uando un cam
Ecuación
límite, la frecua f y la sum
es 1.119 (a y b
ceres _____
6 de 123
).
mbio de
1.118.
cuencia matoria
b).
SISTE_____
Por es
Nótesmayú Con ede fun La ecu
Estab "Dad
La ecu
Estab "DadaPara Dirich Cond
1
2
EMAS DE COM__________
stas razones, e
Ca
se que se utilscula, G(t), p
estas ecuacionnciones expon
uación 1.120
lece que:
da una función
uación 1.121
lece que:
a la nueva fuque una señahlet".
diciones de Dir
. La funciónfinito de d
2. La función
MUNICACIO___________
en el límite, cu
ambios que oc
liza una letrapara representa
nes, se ha cumnenciales, en t
n del tiempo g
unción G(f) (oal g(t) sea tran
richlet:
n g(t) tiene undiscontinuidadn g(t) es absol
NES ___________
uando To → ∞
curren en las e
a minúscula gar una función
mplido el objetodo el interva
(t), es posible
o transformadnsformable, e
n valor único des en cualquielutamente inte
___________
∞
Cuadro 1.1 becuaciones 1.1
g(t) para reprn de la frecuen
tivo de represalo -∞ <t<∞ .
determinar uvariable f."
da), se puede en el sentido d
con un númeer intervalo fiegrable, es dec
___________
. 19cuando To
resentar una ncia.
sentar una señ
Ecuació
una nueva func
Ecuación
recuperar la de Fourier, de
ero finito de mnito de tiempocir:
Ecuaciones
Ingº Luis A___________
tiende a infin
función del
ñal g(t), no per
ón 1.120.
ción G(f), la c
1.121.
función del tebe satisfacer
máximos y mío.
1.122 (a y b)
Alvarado Các__________
Página 37
nito.
tiempo y una
riódica, en tér
cual es función
tiempo originr las condicio
ínimos y un n
.
ceres _____
7 de 123
a letra
rminos
n de la
nal g(t) ones de
número
SISTE_____
Simb
G(ω )espec La tracomp En lasFourie
EMAS DE COM__________
ología a utiliz
o Sc
o S
o S
o S
) ó F(ω ): "Rtral".
ansformada deonentes expon
s ecuaciones er y transform
MUNICACIO___________
zar en las ope
Se utilizará el scorrespondien
Se utilizará el s
Se utilizará el s
Si se utiliza la f
Representa el
e Fourier es unenciales.
1.124 se muemada inversa d
NES ___________
eraciones de
símbolo ⇔ pates:
g(t)⇔ G(f)
símbolo F[ ] pF[ g(t)] = G
símbolo
frecuencia An
espectro de f
un instrumento
estran diferentde Fourier, en
___________
Transformad
ara indicar un
f).
para indicar uG(f).
para indic
ngular ω :
frecuencia de
o con el cual
tes notacionestérminos de g
___________
da de Fourier
n par de transf
una operación
car una transf
Ec
e g(t) ó f(t) y
se expresa un
s para indicarg(t) y de f(t).
Ecua
Ingº Luis A___________
r:
formadas de F
n de transform
formación inv
cuaciones 1.12
se le llama f
na señal dada
r operaciones
aciones 1.124
Alvarado Các__________
Página 38
Fourier
mada de Fouri
versa de Fouri
23 (a y b).
función de den
a en términos
de transforma
(a y b).
ceres _____
8 de 123
ier
ier
nsidad
de sus
ada de
SISTE_____
La tradada gdesde La trade la s La tra
Dond
es el eF(ω )El esppara tPara u
Si g(t)
El espespect Ejemp
EMAS DE COM__________
ansformada o g(t) (ó f(t)) en
e -∞ hasta ∞ .
ansformada Foseñal y especí
ansformada de
e:
espectro conti respectivamepectro se dentodas las frecuuna función de
) ó f(t)es una
pectro de amptro de fase θ (
plo 1.9: Encu
F
MUNICACIO___________
transformacin sus compone
ourier G(f) ó ífica las ampli
e Fourier G(f)
inuo de amplitente. omina continu
uencias. e valor real g(
función de va
plitud |G(f)| ó(f) ó θ (ω) es u
entre la transf
Figura 1.29. S
NES ___________
ión de Fourierentes exponen
F(ω ) de la seitudes relativa
es una funció
|G(f)| ó |F
tud de g(t)ó f(
uo debido a q
(t): G(f) = G*F(ω ) = F*
alor real del tie
ó |F(ω)| de ununa función im
formada de Fo
eñal cuadrada
___________
r proporcionanciales comple
eñal define la as de las diver
ón compleja de
F(ω)| Ecuaci
f(t), y θ (f) ó θ
que tanto la a
(-f) Ecuaci*(-ω ) Ecuaciempo, entonce
Ecua
na señal de vampar de f ó de
ourier del puls
a Pd(t), no peri
___________
a una herramiejas que ocupa
representaciósas componen
e la frecuencia
Ec
ión 1.126.
θ (ω ), es el es
amplitud com
ión 1.127a. ión 1.127b. es:
aciones 1.128
alor real es ue ω.
so rectangular
iódica, centrad
Ingº Luis A___________
ienta útil paraan todo el inte
ón en el dominntes de frecuen
a f:
cuaciones 1.12
spectro continu
o la fase de G
(a, b, c y d).
una función p
que se muest
da en el origen
Alvarado Các__________
Página 39
a resolver unaervalo de frec
nio de la frecncia de la seña
25 (a y b).
uo de fase de
G(f) están def
ar de f ó de
tra en la figura
n.
ceres _____
9 de 123
a señal uencia
uencia al.
G(f) y
finidas
ω y el
a 1.29.
SISTE_____
Soluc
Fig
Ejemp
EMAS DE COM__________
ción:
gura 1.30. Grá
plo 1.10: Encu
MUNICACIO___________
áfica de la tran
uentre la trans
Figura
NES ___________
nsformada de
sformada de F
a 1.31. Señal n
___________
Fourier de la
Fourier de f(t)
no periódica p
___________
señal cuadrad
definido en la
para el ejempl
Ingº Luis A___________
da, se grafica s
a figura 1.31.
o 1.9b.
Alvarado Các__________
Página 40
sólo la magnit
ceres _____
0 de 123
tud.
SISTE_____
En la que: a) Un b) Unque poc) La el dom
EMAS DE COM__________
figuras 1.32 s
pulso cuadran pulso cuadraodría ser un fiduración o an
minio de la fre
Figura 1.32.
MUNICACIO___________
se muestra la r
do en el domiado en el domiltro. ncho del pulsoecuencia, mult
Relación entr
NES ___________
relación que h
inio del tiempminio de la fre
o cuadrado (τ)tiplicada por l
re un pulso cu
___________
hay entre una
o se asocia coecuencia se as
, en el dominila amplitud de
uadrado, centr
___________
función Samp
on una señal dsocia siempre
io del tiempo, el pulso en el t
rado en el orig
Ingº Luis A___________
pling y un puls
igital. e con una ban
es la amplitutiempo (A). F
gen y la funció
Alvarado Các__________
Página 41
so cuadrado. N
nda de paso o
d de la Sampligura 1.32 a.
ón Sampling.
ceres _____
1 de 123
Nótese
BW y
ling en
SISTE_____
1.10
EMAS DE COM__________
Propiedad
MUNICACIO___________
des de la Tr
Tabla
Tabla
Tabla 1.2. Tr
NES ___________
ransformad
de propiedad
1.1. Propieda
ransformada d
___________
da de Fouri
des de la transf
des de la trans
de Fourier de a
___________
ier.
sformada de F
sformada de F
algunas funcio
Ingº Luis A___________
Fourier
Fourier.
ones comunes
Alvarado Các__________
Página 42
.
ceres _____
2 de 123
SISTE_____
Propitiemp
Fig
Comprápida Por eCos(ωCos(2 Propi
Si se espectEntonen el d Propi Si Enton
ó
Si se por e(j
A este TeoreEn lorealizllama cantid
EMAS DE COM__________
iedad Escalapo equivale a u
gura 1.33. Ilust
primir en el amente y en c
ejemplo: ωot) => tiene c2ωot) => tiene
iedad de Desp
desplaza una tro de magnitu
nces un despladominio de la
iedad de Desp
Fnces:
F
f(
desplaza una jωot) en el dome teorema tam
ema de Traslaos sistemas dea, generalmenmodulación.
dad ±ωo:
MUNICACIO___________
ar: La propieduna expansión
tración de la p
dominio delconsecuencia
componentes ecomponentes
plazamiento F
función en elud |F(ω)|, pero
azamiento de ta frecuencia, e
plazamiento
[ f(t) ] = F(ω)
[f(t)e(jωot)] = F
(t)e(jωot) ↔ F(ω
función en elminio del tiempmbién se le llam
ación en Frece comunicaciónte, multiplica Es así como
NES ___________
dad escalar en en el domini
propiedad esca
l tiempo en las componen
en ±ωo. Ecuas en ±2ωo. Ecu
en el TiempoF[f(t - to)] = F
f(t - to) ↔ F(
l dominio del o el espectro dto en el domins decir, a mul
en Frecuenci
)
F (ω - ωo) Ec
ω - ωo) Ecua
dominio de lpo. ma: "Teorema
uencia. ón, muy a meando la señal o el proceso
___________
stablece que o de la frecue
alar por medio
determinado ntes de frecue
ción 1.129 a.uación 1.129 b
o: Si F[f(t)] = FF(ω) e(-jωto) Ecu
ó (ω) e(-jωto) Ecua
tiempo la cande fase sufre unio del tiempoltiplicar por e(-
ia:
cuación 1.131
ación 1.131 b.
la frecuencia p
a de Traslación
enudo hay quf(t) por una sde Modulaci
___________
el comprimirncia.
o de la relació
factor signifencia se incre
b.
F(ω) entoncesuación 1.130
ación 1.130 b
ntidad de to seun cambio de o es equivalent
-jωto) en el dom
a.
por ωo rad/seg
n en Frecuenc
ue trasladar elseñal sinusoidión traslada e
Ingº Luis A___________
r una función
ón "Sampling-
fica que la fementan prop
s: a.
.
egundos, ento-ωto. te a una desviminio de la fre
g, entonces eq
cia".
l espectro de dal o cosenoidel espectro d
Alvarado Các__________
Página 43
n en el domin
-Pulso Cuadra
función varíaorcionalment
onces no se alt
ación de fase ecuencia.
quivale a mult
frecuencia. Edal. Este proce frecuencias
ceres _____
3 de 123
nio del
ado".
ía más te.
tera su
de ωto
tiplicar
Esto se ceso se s en la
SISTE_____
PropiDeriv
Deri
Propi Integ
PropiEl Te
;dond Este TPropi
EMAS DE COM__________
iedad de Difevar en el domi
ivar en el dom
iedad de Integrar en el dom
iedad de Coneorema de la C
de τ es una va
Th. Facilita laiedad de la co
MUNICACIO___________
erenciación eninio del tiemp
minio de la fre
egración en elminio del tiemp
nvolución en tConvolución
ariable indepe
a obtención donvolución en
NES ___________
E
n el tiempo y po equivale a m
ecuencia equi
l tiempo: mpo equivale a
tiempo y en f
endiente.
de resultados n el tiempo.
___________
Ecuación 1.13
en la frecuenmultiplicar po
ivale a una mu
a dividir entre
frecuencia:
importantes
___________
2.
ncia: or jω en el do
ultiplicación p
E
e jω en el dom
E
.
Ingº Luis A___________
minio de la fr
Ecuación 1.1por -jt en el d
Ecuación 1.13
minio de la fre
Ecuación 1.13
Alvarado Các__________
Página 44
frecuencia.
133. dominio del ti
34.
cuencia.
35.
Ecuación 1
Ecuación 1.
ceres _____
4 de 123
empo.
1.135.
136.
SISTE_____
Enton
Es de
Ento
Propi
Enton
El Th
RelacA consimila1. Ley
2. Ley
3. Ley
EMAS DE COM__________
nces
ecir:
onces:
iedad de la co
nces:
h. establece q
ciones de la Cntinuación seares a los de ly Conmutativ
y Distributiva
y Asociativa
MUNICACIO___________
onvolución en
que:
Convolución:e presentan ala multiplicacva
f1(t)*fa
f1(t)*
F1(t
NES ___________
n la frecuenci
algunas leyesción ordinari
f2(t) = f2(t)*f1(
*[f2(t)+f3(t)] =
t)*[f2(t)*f3(t)]
___________
ia.
s del álgebraia:
(t) Ecuación
= f1(t)*f2(t)+f1
] = [f1(t)*f2(t)
___________
a de convoluc
1.141 a.
1(t)*f3(t) Ecu
]*f3(t) Ecua
Ingº Luis A___________
E
Ecu
E
Ecua
Ec
ción, la cual
uación 1.141 b
ación 1.141 c.
Alvarado Các__________
Página 45
cuación 1.135
uación 1.136.
Ecuación 1.1
Ecuación 1.13
ación 1.139.
cuación 1.140
sigue lineam
b.
ceres _____
5 de 123
5.
137.
38.
0.
mientos