SERWAY VUILLE

Fundamentos de Física

V O L U M E N 2

N O V E N A E D I C I Ó N

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Singapur • Reino Unido

Volumen 2Raymond A. Serway | Emeritus, James Madison University

Chris Vuille | Embry-Riddle Aeronautical University

Traducción

Dra. Ana Elizabeth García Hernández

Universidad La Salle, Morelia.

Revisión técnica

Dr. Ernesto Filio López

Unidad Profesional en Ingeniería y Tecnologías AvanzadasInstituto Politécnico Nacional.

Fundamentos de Física

SERWAY/VUILLE

NOVENA EDICIÓN

Impreso en México1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12

Fundamentos de Física Novena edición, volumen 2.

Raymond A. Serway y Chris Vuille

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por escrito de la Editorial.

Traducido del libro:

College Physics, Ninth Edition, Volume 2.

Raymond A. Serway and Chris Vuille

Publicado en inglés por Brooks & Cole, una compañía

de Cengage Learning ©2012

ISBN: 978-0-8400-6850-7

Datos para catalogación bibliográfica:

Serway, Raymond A. y Chris Vuille.

Fundamentos de Física, novena edición, volumen 2.

ISBN: 978-607-481-782-9

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http://latinoamerica.cengage.com

v

■ Contenido

ACERCA DE LOS AUTORES viiPREFACIO ixATRACTIVAS APLICACIONES xxivAL ESTUDIANTE xxviGUÍA DE PREPARACIÓN PARA EL EXAMEN MCAT xxx

PARTE 4 | Electricidad y magnetismo

CAPÍTULO 15 Fuerzas eléctricas y campos eléctricos 513

15.1 Propiedades de las cargas eléctricas 51415.2 Aislantes y conductores 51515.3 Ley de Coulomb 51715.4 El campo eléctrico 52215.5 Líneas de campo eléctrico 52615.6 Conductores en equilibrio electrostático 52915.7 El experimento de la gota de aceite de Millikan 53115.8 El generador Van de Graaff 53215.9 Flujo eléctrico y ley de Gauss 533Resumen 539

CAPÍTULO 16 Energía eléctrica y capacitancia 548

16.1 Diferencia de potencial y potencial eléctrico 54816.2 Potencial eléctrico y energía potencial debida a cargas

puntuales 55516.3 Potenciales y conductores cargados 55816.4 Superficies equipotenciales 55916.5 Aplicaciones 56016.6 Capacitancia 56216.7 El capacitor de placas paralelas 56316.8 Combinaciones de capacitores 56516.9 Energía almacenada en un capacitor cargado 57116.10 Capacitores con dieléctricos 573Resumen 579

CAPÍTULO 17 Corriente y resistencia 590

17.1 Corriente eléctrica 59017.2 Visión microscópica: corriente y velocidad de deriva 59317.3 Medición de corriente y voltaje en circuitos 59517.4 Resistencia, resistividad y ley de Ohm 59617.5 Variación de la resistencia con la temperatura 59917.6 Energía eléctrica y potencia 60117.7 Superconductores 60417.8 Actividad eléctrica en el corazón 605Resumen 608

CAPÍTULO 18 Circuitos de corriente directa 616

18.1 Fuentes de fem 61618.2 Resistores en serie 61718.3 Resistores en paralelo 62018.4 Reglas de Kirchhoff y circuitos CD complejos 62518.5 Circuitos RC 62918.6 Circuitos domésticos 63318.7 Seguridad eléctrica 63418.8 Conducción de señales eléctricas por las neuronas 635Resumen 638

CAPÍTULO 19 Magnetismo 648

19.1 Imanes 64819.2 Campo magnético de la Tierra 65019.3 Campos magnéticos 652

19.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente 655

19.5 Torque sobre una espira de corriente y motores eléctricos 65819.6 Movimiento de una partícula cargada en un campo

magnético 66119.7 Campo magnético de un alambre largo recto y ley

de Ampère 66419.8 Fuerza magnética entre dos conductores paralelos 66719.9 Campos magnéticos de espiras de corriente y solenoides 66919.10 Dominios magnéticos 673Resumen 675

CAPÍTULO 20 Voltajes inducidos e inductancia 688

20.1 Fem inducida y flujo magnético 68820.2 Ley de inducción de Faraday y ley de Lenz 69120.3 Fem de movimiento 69720.4 Generadores 70120.5 Autoinductancia 70520.6 Circuitos RL 70720.7 Energía almacenada en un campo magnético 711Resumen 712

CAPÍTULO 21 Circuitos de corriente alterna y ondas electromagnéticas 723

21.1 Resistores en un circuito CA 72321.2 Capacitores en un circuito CA 72721.3 Inductores en un circuito CA 72821.4 El circuito RLC en serie 73021.5 Potencia en un circuito CA 73421.6 Resonancia en un circuito RLC en serie 73521.7 El transformador 73721.8 Predicciones de Maxwell 73921.9 Confirmación de Hertz de las predicciones de Maxwell 74021.10 Producción de ondas electromagnéticas mediante una antena 74121.11 Propiedades de las ondas electromagnéticas 74221.12 El espectro de ondas electromagnéticas 74621.13 El efecto Doppler para ondas electromagnéticas 750Resumen 750

PARTE 5 | Luz y óptica

CAPÍTULO 22 Reflexión y refracción de la luz 761

22.1 La naturaleza de la luz 76122.2 Reflexión y refracción 76222.3 La ley de refracción 76722.4 Dispersión y prismas 77122.5 El arco iris 77422.6 Principio de Huygens 77522.7 Reflexión interna total 777Resumen 780

CAPÍTULO 23 Espejos y lentes 790

23.1 Espejos planos 79023.2 Imágenes formadas por espejos cóncavos 79323.3 Espejos convexos y convenciones de signo 79523.4 Imágenes formadas por refracción 80123.5 Refracción atmosférica 80323.6 Lentes delgadas 80423.7 Aberraciones de lentes y espejos 814Resumen 815

vi Contenido

CAPÍTULO 24 Óptica ondulatoria 824

24.1 Condiciones para interferencia 82424.2 Experimento de doble rendija de Young 82524.3 Cambio de fase debido a reflexión 82924.4 Interferencia en películas delgadas 83024.5 Uso de interferencia para leer CD y DVD 83524.6 Difracción 83624.7 Difracción de una sola rendija 83724.8 La rejilla de difracción 83924.9 Polarización de ondas de luz 842Resumen 849

CAPÍTULO 25 Instrumentos ópticos 859

25.1 La cámara 85925.2 El ojo 86025.3 El amplificador simple 86525.4 El microscopio compuesto 86625.5 El telescopio 86825.6 Resolución de aperturas de una sola rendija y circulares 87125.7 El interferómetro Michelson 876Resumen 877

PARTE 6 | Física moderna

CAPÍTULO 26 Relatividad 885

26.1 Relatividad galileana 88526.2 La velocidad de la luz 88626.3 Principio de relatividad de Einstein 88826.4 Consecuencias de la relatividad especial 88926.5 Cantidad de movimiento relativista 89726.6 Velocidad relativa en la relatividad especial 89826.7 Energía relativista y equivalencia de masa y energía 89926.8 Relatividad general 903Resumen 905

CAPÍTULO 27 Física cuántica 911

27.1 Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck 91127.2 El efecto fotoeléctrico y la teoría corpuscular de la luz 91327.3 Rayos X 91627.4 Difracción de rayos X mediante cristales 91827.5 El efecto Compton 92027.6 La naturaleza dual de la luz y la materia 92227.7 La función de onda 92527.8 El principio de incertidumbre 926Resumen 928

CAPÍTULO 28 Física atómica 934

28.1 Primeros modelos del átomo 93428.2 Espectros atómicos 935

28.3 El modelo de Bohr 93728.4 Mecánica cuántica y el átomo de hidrógeno 94228.5 El principio de exclusión y la tabla periódica 94528.6 Rayos X característicos 94728.7 Transiciones atómicas y láseres 949Resumen 951

CAPÍTULO 29 Física nuclear 957

29.1 Algunas propiedades del núcleo 95729.2 Energía de enlace 96029.3 Radiactividad 96229.4 Los procesos de decaimiento 96529.5 Radiactividad natural 97129.6 Reacciones nucleares 97129.7 Aplicaciones médicas de la radiación 973Resumen 976

CAPÍTULO 30 Energía nuclear y partículas elementales 982

30.1 Fisión nuclear 98230.2 Fusión nuclear 98630.3 Partículas elementales y las fuerzas fundamentales 98930.4 Positrones y otras antipartículas 99030.5 Clasificación de partículas 99030.6 Leyes de conservación 99230.7 El método óctuple 99530.8 Quarks y color 99530.9 Teoría electrodébil y el modelo estándar 99730.10 La conexión cósmica 99930.11 Preguntas sin responder en cosmología 100030.12 Problemas y perspectivas 1003Resumen 1004

APÉNDICE A: Repaso matemático A.1

APÉNDICE B: Tabla abreviada de isótopos A.14

APÉNDICE C: Algunas tablas útiles A.19

APÉNDICE D: Unidades SI A.21

APÉNDICE E: Guía de estudio de habilidades MCAT A.22

Respuestas a los exámenes rápidos, preguntas de ejemplo, preguntas impares, preguntas de opción múltiple, preguntas conceptuales y problemas A.52

Índice I.1

513

15

Luke

Ada

ms/

Ala

my

Ésta es una vista nocturna

de los múltiples destellos de

relámpagos cayendo en el

observatorio de Kitt Peak en

Tucson, Arizona. Durante una

tormenta eléctrica, una alta

concentración de carga eléctrica

en una nube crea un campo

eléctrico mayor al normal entre

la nube y la superficie terrestre

con carga negativa. Este fuerte

campo eléctrico crea una

descarga eléctrica, una enorme

chispa, entre la nube cargada y

la tierra. Otras descargas que

se observan en el cielo incluyen

descargas nube a nube y las más

frecuentes descargas intranube.

La electricidad es el alma de la civilización tecnológica y la sociedad moderna. Sin ella, se regre-saría a mediados del siglo XIX: no teléfonos, no televisión, ninguno de los aparatos electrodo-mésticos que se dan por sentado. La medicina moderna sería una fantasía y, debido a la falta de equipo experimental sofisticado y computadoras rápidas, y especialmente la lenta diseminación de la información, la ciencia y la tecnología crecerían a un ritmo glacial.

En lugar de ello, con el descubrimiento y dominio de las fuerzas y campos eléctricos, se pueden ver arreglos de átomos, sondear el funcionamiento interior de una célula y enviar naves espaciales más allá de los límites del sistema solar. Todo esto fue posible sólo en las últimas generaciones de la vida humana; un parpadeo en comparación con los millones de años que la especie pasó forrajeando en las sabanas de África.

Alrededor de 700 a.C., los antiguos griegos realizaron el primer estudio conocido de la elec-tricidad. Todo comenzó cuando alguien notó que un material fósil llamado ámbar atraía peque-ños objetos después de frotarse con lana. Desde entonces se sabe que este fenómeno no se restringe al ámbar y la lana, sino que ocurre (en cierto grado) cuando casi cualesquiera dos sustancias no conductoras se frotan una con otra.

En este capítulo utilizamos el efecto de cargar mediante fricción para comenzar una investi-gación de las fuerzas eléctricas. Luego estudiamos la ley de Coulomb, que es la ley fundamental de fuerza entre cualesquiera dos partículas cargadas estacionarias. Se introduce el concepto de campo eléctrico asociado con cargas y se describen sus efectos sobre otras partículas cargadas. Se finaliza con discusiones del generador Van de Graaff y de la ley de Gauss.

Fuerzas eléctricas y campos eléctricos

15.1 Propiedades de las cargas

eléctricas

15.2 Aislantes y conductores

15.3 Ley de Coulomb

15.4 El campo eléctrico

15.5 Líneas de campo eléctrico

15.6 Conductores en equilibrio

electrostático

15.7 El experimento de la gota

de aceite de Millikan

15.8 El generador Van de Graaff

15.9 Flujo eléctrico y ley de Gauss

514 CAPÍTULO 15 | Fuerzas eléctricas y campos eléctricos

15.1 Propiedades de las cargas eléctricasDespués de pasar un peine de plástico por el cabello, descubrirá que el peine atrae trozos

de papel. A menudo, la fuerza de atracción es lo suficientemente fuerte como para sus-

pender el papel del peine, lo que desafía el jalón gravitacional de toda la Tierra. El mismo

efecto ocurre con otros materiales que se frotan, como vidrio y caucho duro.

Otro experimento simple es frotar un globo inflado contra lana (o en el cabello).

En un día seco, el globo frotado se pegará a la pared de una habitación, con frecuencia

durante horas. Estos materiales quedaron cargados eléctricamente. Usted puede dar a su

cuerpo una carga eléctrica si frota sus zapatos vigorosamente sobre un tapete de lana o al

deslizarse a través del asiento de un automóvil. Luego puede sorprender y molestar a un

amigo o compañero de trabajo con un toque de luz en el brazo, lo que entrega un ligero

choque tanto a usted como a su víctima. (Si el compañero de trabajo es su jefe, ¡no espere

un ascenso!) Estos experimentos funcionan mejor en un día seco porque la humedad ex-

cesiva puede facilitar la fuga de la carga.

Los experimentos también demuestran que existen dos tipos de carga eléctrica, que

Benjamín Franklin (1706–1790) nombró positiva y negativa. La figura 15.1 ilustra la inte-

racción de las dos cargas. Una barra dura de caucho (o plástico) que se frotó con piel se

suspende mediante un trozo de cuerda. Cuando se le acerca una barra de vidrio que se frotó

con seda, la barra de caucho es atraída hacia la barra de vidrio (figura 15.1a). Si dos barras

de caucho cargadas (o dos barras de vidrio cargadas) se acercan una a la otra, como en la

figura 15.1b, la fuerza entre ellas es repulsiva. Estas observaciones se pueden explicar al

suponer que las barras de caucho y vidrio adquirieron diferentes tipos de exceso de carga.

Se usa la convención sugerida por Franklin, donde el exceso de carga eléctrica en la barra

de vidrio se denomina positiva y la de la barra de caucho se llama negativa. Sobre la base de

tales observaciones, concluimos que cargas iguales se repelen y cargas distintas se atraen.

Por lo general, los objetos contienen igual cantidad de carga positiva y negativa; las fuerzas

eléctricas entre los objetos surgen cuando dichos objetos tienen cargas netas negativa o

positiva.

Los portadores básicos de carga positiva de la naturaleza son los protones, que junto

con los neutrones, se ubican en los núcleos de los átomos. Los núcleos, aproximadamente

de 10215 m de radio, están rodeados por una nube de electrones con carga negativa aproxi-

madamente 10 mil veces más grande. Un electrón tiene la misma magnitud de carga que

un protón, pero con signo opuesto. En un gramo de materia existen alrededor de 1023

protones con carga positiva e igual número de electrones con carga negativa, de modo

que la carga neta es cero.

Cargas iguales se repelen; ccargas diferentes se atraen

Benjamín Franklin(1706-1790)

Franklin fue impresor, escritor, cien-

tífico físico, inventor, diplomático

y uno de los padres fundadores de

Estados Unidos. Su obra acerca

de la electricidad a finales de 1740

transformó una madeja de observacio-

nes no relacionadas en una ciencia

coherente.

ba

CauchoCaucho

Caucho

–– –

––

– ––– –

––

+ + + ++

+Vidrio+

–– – ––

Una barra de vidrio con carga

positiva atrae una barra de

caucho con carga negativa

suspendida mediante un hilo.

Una barra de caucho con

carga negativa repele a otra

barra de caucho con carga

negativa.

FS

FS

FS F

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Figura 15.1 Un sistema experi-

mental para la observación de la

fuerza eléctrica entre dos objetos

cargados.

. A

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ty/A

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15.2 | Aislantes y conductores 515

Puesto que el núcleo de un átomo se mantiene firmemente en su lugar dentro de un

sólido, los protones nunca se mueven de un material a otro. Los electrones son mucho más

ligeros que los protones y por lo tanto se aceleran más fácilmente mediante fuerzas. Más

aún, ocupan las regiones exteriores del átomo. En consecuencia, los objetos se cargan al

ganar o perder electrones.

La carga se transfiere fácilmente de un tipo de material a otro. Frotar los dos mate-

riales uno con otro sirve para aumentar el área de contacto, lo que facilita el proceso de

transferencia.

Una característica importante de la carga es que la carga eléctrica siempre se conserva.

La carga no se crea cuando dos objetos neutros se frotan uno con otro; en vez de ello, los

objetos se cargan porque la carga negativa se transfiere de un objeto al otro. Un objeto

gana una carga negativa mientras el otro pierde una cantidad igual de carga negativa y

por lo tanto se queda con una carga positiva neta. Cuando una barra de vidrio se frota

con seda, como en la figura 15.2, los electrones se transfieren de la barra a la seda. Como

resultado, la barra de vidrio porta una carga positiva neta, la seda una carga negativa neta.

Del mismo modo, cuando el caucho se frota con piel, los electrones se transfieren de la

piel al caucho.

En 1909, Robert Millikan (1886–1953) descubrió que si un objeto está cargado, su car-

ga siempre es un múltiplo de una unidad fundamental de carga, que se designa mediante

el símbolo e. En términos modernos, decimos que la carga está cuantizada, lo cual significa

que la carga ocurre en paquetes discretos que no se pueden subdividir más. Un objeto

puede tener una carga de 6e, 62e, 63e, etc., pero nunca1 una carga fraccional de 60.5e o

60.22e. Otros experimentos en la época de Millikan demostraron que el electrón tiene una

carga de 2e y el protón tiene una carga igual pero opuesta de 1e. Algunas partículas, como

un neutrón, no tienen carga neta. Un átomo neutro (un átomo sin carga neta) contiene

tantos protones como electrones. Ahora sabemos que el valor de e es 1.602 19 3 10219 C.

(La unidad SI de carga eléctrica es el coulomb o C.)

15.2 Aislantes y conductoresLas sustancias se pueden clasificar en términos de su habilidad para conducir carga eléctrica.

En los conductores, las cargas eléctricas se mueven libremente en respuesta a una

fuerza eléctrica. Todos los otros materiales se llaman aislantes.

El vidrio y el caucho son aislantes. Cuando tales materiales se cargan mediante frotación,

sólo el área frotada queda cargada y no hay tendencia de que la carga se mueva hacia otras

regiones del material. En contraste, los materiales como cobre, aluminio y plata son bue-

nos conductores. Cuando tales materiales se cargan en alguna pequeña región, la carga se

distribuye por sí misma con facilidad sobre toda la superficie del material. Si sostiene una

barra de cobre en su mano y frota la barra con lana o piel, no atraerá un trozo de papel.

Esto puede sugerir que un metal no se puede cargar. Sin embargo, si sostiene la barra de

cobre con un aislante y luego la frota con lana o piel, la barra permanece cargada y atrae

al papel. En el primer caso, las cargas eléctricas producidas por la frotación se movieron

fácilmente desde el cobre a través de su cuerpo y finalmente a tierra. En el segundo caso,

el mango aislante evita el flujo de carga a tierra.

Los semiconductores son una tercera clase de materiales y sus propiedades eléctricas es-

tán en algún lugar entre las de los aislantes y los conductores. Silicio y germanio son semi-

conductores bien conocidos que se usan ampliamente en la fabricación de una variedad

de dispositivos electrónicos.

1 Existe fuerte evidencia de la existencia de partículas fundamentales llamadas quarks que tienen cargas de 6e/3

o 62e/3. La carga todavía está cuantizada, pero en unidades de 6e/3 en lugar de ±e. En el capítulo 30 se presenta un

análisis más completo de los quarks y sus propiedades.

b La carga se conserva

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Cada electrón (carga negativa)

transferido desde la barra a la

seda deja una carga equivalente

positiva en la barra.

Figura 15.2 Cuando una barra

de vidrio se frota con seda, los elec-

trones se transfieren del vidrio a

la seda. Debido a la conservación

de carga, cada electrón agrega

carga negativa a la seda y una carga

positiva igual queda en la barra.

Además, puesto que las cargas se

transfieren en paquetes discretos,

las cargas en los dos objetos son 6e, 62e, 63e, etcétera.

516 CAPÍTULO 15 | Fuerzas eléctricas y campos eléctricos

Carga mediante conducción Considere una barra de caucho con carga negativa que se pone en contacto con una esfera

conductora neutra aislada. El exceso de electrones en la barra repele a los electrones en

la esfera, lo que crea cargas positivas locales en la esfera neutra. En contacto, algunos elec-

trones en la barra ahora son capaces de moverse hacia la esfera, como en la figura 15.3, lo

que neutraliza las cargas positivas. Cuando la barra se retira, la esfera queda con una carga

negativa neta. A este proceso se le conoce como carga mediante conducción. El objeto que

se carga por tal proceso (la esfera) siempre queda con una carga que tiene el mismo signo

que el objeto que efectúa la carga (la barra de caucho).

Carga mediante inducciónDecimos que un objeto está aterrizado cuando se conecta a un alambre conductor o tu-

bería de cobre introducida en la tierra. La tierra se puede considerar como un depósito

infinito de electrones; en efecto, puede aceptar o suministrar un número ilimitado de elec-

trones. Con esta idea en mente, es posible comprender la carga de un conductor mediante

un proceso conocido como inducción.

Considere una barra de caucho con carga negativa que se acerca a una esfera conduc-

tora neutra (no cargada) aislada, de modo que no hay ruta de conducción a tierra (figura

15.4). Inicialmente, la esfera es eléctricamente neutra (figura 15.4a). Cuando la barra con

carga negativa se acerca más a la esfera, la fuerza repulsiva entre los electrones en la barra

y los de la esfera provoca que algunos electrones se muevan hacia el lado de la esfera más

alejado de la barra (figura 15.4b). La región de la esfera más cercana a la barra con carga

negativa tiene un exceso de carga positiva debido a la migración de electrones lejos de

dicha ubicación. Si un alambre conductor aterrizado se conecta a la esfera, como en la fi-

gura 15.4c, entonces algunos de los electrones dejan la esfera y viajan a tierra. Si el alambre a

tierra se retira (figura 15.4d), entonces la esfera conductora queda con un exceso de carga

positiva inducida. Finalmente, cuando la barra de caucho se remueve de la vecindad de la

esfera (figura 15.4e), la carga positiva inducida permanece en la esfera no aterrizada. Aun

cuando los núcleos atómicos con carga positiva permanecen fijos, este exceso de carga

positiva se distribuye uniformemente sobre la superficie de la esfera no aterrizada debido

a las fuerzas repulsivas entre las cargas iguales y la enorme movilidad de los electrones en

un metal.

En el proceso de inducir una carga sobre la esfera, la barra de caucho cargada no pier-

de parte de su carga negativa porque nunca entra en contacto con la esfera. Más aún, la

esfera queda con una carga opuesta a la de la barra de caucho. Cargar un objeto mediante

inducción no requiere contacto con el objeto que induce la carga.

Un proceso similar para cargar mediante inducción en conductores también tiene

lugar en los aislantes. En la mayoría de los átomos o moléculas neutras, el centro de carga

positiva coincide con el centro de carga negativa. Sin embargo, en presencia de un objeto

cargado, estos centros pueden separarse ligeramente, lo que resulta en más carga positiva

sobre un lado de la molécula que en el otro. Este efecto se conoce como polarización. El

realineamiento de carga dentro de moléculas individuales produce una carga inducida en

la superficie del aislante, como se muestra en la figura 15.5a. Esta propiedad explica por

qué un globo cargado mediante frotación se pegará a una pared eléctricamente neutra o

por qué el peine que acabas de usar en el cabello atrae pequeños trozos de papel neutro.

a

b

c

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Justo antes del contacto, la barra

negativa repele los electrones

de la esfera, lo que induce una

carga positiva localizada.

Cuando la barra se retira,

la esfera queda con una

carga negativa.

Después del contacto,

los electrones de la barra

fluyen hacia la esfera,

lo que neutraliza las

cargas positivas locales.

Figura 15.3 Carga de un objeto

metálico mediante conducción.

■ Examen rápido

15.1 Una pared neutra atrae un objeto suspendido A. Éste también es atraído por

un objeto con carga positiva B. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero acerca

del objeto A? a) No está cargado. b) Tiene carga negativa. c) Tiene carga positiva.

d) Puede estar cargado o no cargado.

15.3 | Ley de Coulomb 517

15.3 Ley de CoulombEn 1785, Charles Coulomb (1736–1806) estableció experimentalmente la ley fundamental

de la fuerza eléctrica entre dos partículas cargadas estacionarias.

Una fuerza eléctrica tiene las siguientes propiedades:

1. Está dirigida a lo largo de una recta que une las dos partículas y es inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia de separación r entre ellas.

2. Es proporcional al producto de las magnitudes de las cargas, 0 q1 0 y 0 q2 0, de las dos

partículas.

3. Es atractiva si las cargas son de signo opuesto y repulsiva si las cargas tienen el

mismo signo.

A partir de estas observaciones, Coulomb propuso la siguiente forma matemática para la

fuerza eléctrica entre dos cargas:

La magnitud de la fuerza eléctrica F entre las cargas q1 y q2 separada por una distan-

cia r está dada por

F 5 k e

0 q1 0 0 q2 0r 2

[15.1]

donde ke es una constante llamada constante de Coulomb.

La ecuación 15.1, conocida como ley de Coulomb, se aplica exactamente sólo a cargas

puntuales y a distribuciones esféricas de cargas, en cuyo caso r es la distancia entre los dos

centros de carga. Las fuerzas eléctricas entre cargas inmóviles se llaman fuerzas electrostá-ticas. Las cargas en movimiento, además, crean fuerzas magnéticas, que se estudian en el

capítulo 19.

El valor de la constante de Coulomb en la ecuación 15.1 depende de la elección de

unidades. La unidad SI de carga es el coulomb (C). A partir del experimento, sabemos que

la constante de Coulomb en unidades SI tiene el valor

ke 5 8.987 5 3 109 N ? m2/C2 [15.2]

Este número se puede redondear, dependiendo de la exactitud de otras cantidades en un

problema dado. En el texto emplearemos dos o tres dígitos significativos, como siempre.

Los electrones en una esfera

neutra se redistribuyen cuando

una barra de caucho cargada se

coloca cerca de la esfera.

Cuando la conexión a tierra se

retira, la esfera tiene exceso de

carga positiva que no se distribuye

uniformemente.

Cuando la esfera está aterrizada,

algunos de sus electrones salen a

través del alambre de tierra.

Una esfera metálica neutra,

con igual número de cargas

positivas y negativas.

Cuando la barra se retira, los

electrones restantes se redistribuyen

uniformemente y hay una

distribución uniforme neta de

carga positiva sobre la esfera.

b

a

c

d

e

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�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

� �

�

Figura 15.4 Carga de un objeto

metálico mediante inducción. a) Una

esfera metálica neutra b) una barra

de caucho cargada se coloca cerca de

la esfera c) la esfera está aterrizada

d) la conexión a tierra se retira

e) la barra se retira.

Pared

Globo

cargadoCargas

inducidas

�

�

�

�

�

�

�

�

��

��

��

��

��

El globo cargado

positivamente induce

una migración de

cargas negativas en la

superficie de la pared.

a

La barra cargada atrae el papel porque

una separación de carga es inducida en

las moléculas del papel.

b

Figura 15.5 a) Un globo cargado es acercado a una pared aislante. b) Una barra de carga es acercada

a trozos de papel.

. C

harl

es D

. Win

ters

/Cen

gage

Lea

rnin

g

518 CAPÍTULO 15 | Fuerzas eléctricas y campos eléctricos

Tabla 15.1 Carga y masa de electrón, protón y neutrón

Partícula Carga (C) Masa (kg)

Electrón

Protón

Neutrón

21.60 3 10219

11.60 3 10219

0

9.11 3 10231

1.67 3 10227

1.67 3 10227

La carga sobre el protón tiene una magnitud de e 5 1.6 3 10219 C. Por lo tanto, se

necesitarían 1/e 5 6.3 3 1018 protones para crear una carga total de 11.0 C. Del mismo

modo, 6.3 3 1018 electrones tendrían una carga de 21.0 C. Compare esta carga con el

número de electrones libres en 1 cm3 de cobre, que está en el orden de 1023. Aún así, 1.0

C es una cantidad muy grande. En experimentos electrostáticos típicos en los que una

barra de caucho o vidrio se carga mediante fricción, hay una carga neta en el orden

de 1026 C (5 1 mC). Sólo una fracción muy pequeña de la carga total disponible se trans-

fiere entre la barra y el material que frota. La tabla 15.1 menciona las cargas y masas de

electrón, protón y neutrón.

Cuando use la ley de fuerza de Coulomb, recuerde que la fuerza es una cantidad vecto-

rial y se debe tratar en concordancia. La figura activa 15.6a muestra la fuerza de repulsión

eléctrica entre dos partículas con carga positiva. Como otras fuerzas, las fuerzas eléctricas

obedecen la tercera ley de Newton; por lo tanto, las fuerzas FS

12 y FS

21 son iguales en magni-

tud pero opuestas en dirección. (La notación FS

12 denota la fuerza que ejerce la partícula

1 sobre la partícula 2; del mismo modo, FS

21 es la fuerza que ejerce la partícula 2 sobre la

partícula 1.) A partir de la tercera ley de Newton, F12 y F21 siempre son iguales sin importar

si q1 y q2 tienen la misma magnitud.

■ Examen rápido

15.2 El objeto A tiene una carga de 12 mC y el objeto B una carga de 16 mC. ¿Cuál

enunciado es verdadero?

a) FS

AB 5 23FS

BA b) FS

AB 5 2FS

BA c) 3FS

AB 5 2FS

BA

La fuerza de Coulomb es similar a la fuerza gravitacional. Ambas actúan a una distancia

sin contacto directo. Ambas son inversamente proporcionales a la distancia al cuadrado,

con la fuerza dirigida a lo largo de una recta que conecta los dos cuerpos. La forma ma-

temática es la misma, con las masas m1 y m2 en la ley de Newton sustituidas por q1 y q2 en

la ley de Coulomb y con la constante ke de Coulomb en sustitución de la constante G de

Newton. Existen dos diferencias importantes: 1) las fuerzas eléctricas pueden ser atractivas

o repulsivas, pero las fuerzas gravitacionales siempre son atractivas y 2) la fuerza eléctrica

entre partículas elementales cargadas es mucho más intensa que la fuerza gravitacional en-

tre las mismas partículas, como lo demuestra el siguiente ejemplo.

r

q1

q2

Cuando las cargas son del mismo

signo, la fuerza es repulsiva.

ba

F12

S

F21

S

�

�

q1

q2

Cuando las cargas son de signo

opuesto, la fuerza es atractiva.

F12

S

F21

S

�

�

Figura activa 15.6 Dos cargas

puntuales separadas una distancia r ejercen una fuerza mutua dada por

la ley de Coulomb. La fuerza sobre

q1 es igual en magnitud y opuesta

en dirección a la fuerza sobre q2.

Charles Coulomb(1736-1806)

La principal contribución de Coulomb

a la ciencia fue en el campo de la elec-

trostática y el magnetismo. Durante

su vida, también investigó las resis-

tencias de los materiales e identificó

las fuerzas que afectan a los objetos

en vigas y, por lo tanto, contribuyó al

campo de la mecánica estructural.

AIP

Em

ilio

Segr

e V

isua

l Arc

hive

s, E

. Sco

tt B

arr C

olle

ctio

n

15.3 | Ley de Coulomb 519

El principio de superposiciónCuando un número de cargas separadas actúa sobre la carga de interés, cada una ejerce

una fuerza eléctrica. Estas fuerzas eléctricas se pueden calcular por separado, una a la vez,

■ EJEMPLO 15.1 Fuerzas en un átomo de hidrógeno

OBJETIVO Contrastar las magnitudes de una fuerza eléctrica y una fuerza gravitacional.

PROBLEMA El electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están separados (en promedio) por una distancia de aproxi-

madamente 5.3 3 10211 m. a) Determine las magnitudes de la fuerza eléctrica y la fuerza gravitacional que cada partícula

ejerce sobre la otra y la razón de la fuerza eléctrica Fe a la fuerza gravitacional Fg. b) Calcule la aceleración causada por

la fuerza eléctrica del protón sobre el electrón. Repita para la aceleración gravitacional.

ESTRATEGIA Resolver este problema sólo es cuestión de sustituir cantidades conocidas en las dos leyes de fuerza y luego

encontrar la razón.

SOLUCIÓN

a) Calcule las magnitudes de las fuerzas eléctrica y gravita-

cional, y encuentre la razón Fe/Fg.

Sustituya 0q1 0 5 0q2 0 5 e y la distancia en la ley de

Coulomb para encontrar la fuerza eléctrica:

Sustituya las masas y la distancia en la ley de gravedad

de Newton para encontrar la fuerza gravitacional:

Encuentre la razón entre las dos fuerzas:

b) Calcule la aceleración del electrón causada por la

fuerza eléctrica. Repita para la aceleración gravitacional.

Use la segunda ley de Newton y la fuerza eléctrica que

encontró en el inciso a):

Use la segunda ley de Newton y la fuerza gravitacional

que encontró en el inciso a):

COMENTARIOS La fuerza gravitacional entre los constituyentes cargados del átomo es despreciable en comparación con

la fuerza eléctrica entre ellos. Sin embargo, la fuerza eléctrica es tan intensa que cualquier carga neta sobre un objeto atrae

rápidamente cargas opuestas cercanas, lo que neutraliza el objeto. Como resultado, la gravedad juega un mayor papel en la

mecánica de los objetos en movimiento de la vida diaria.

PREGUNTA 15.1 Si la distancia entre dos cargas se duplica, ¿en qué factor cambia la magnitud de la fuerza eléctrica?

EJERCICIO 15.1 a) Encuentre la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos protones separados por 1 femtómetro (10215 m),

aproximadamente la distancia entre dos protones en el núcleo de un átomo de helio. b) Si los protones no se mantienen

unidos por la fuerza nuclear fuerte, ¿cuál sería su aceleración inicial debido a la fuerza eléctrica entre ellos?

RESPUESTAS a) 2 3 102 N b) 1 3 1029 m/s2

Fe 5 ke

0 e 0 2r 2

5 a8.99 3 109 N # m2

C2 b 11.6 3 10219 C 22

15.3 3 10211 m 22

5 8.2 3 1028 N

Fg 5 Gm em p

r 2

5 a6.67 3 10211 N # m2

kg2 b 19.11 3 10231 kg 2 11.67 3 10227 kg 215.3 3 10211 m 22

5 3.6 3 10247 N

Fe

Fg5 2.3 3 1039

m eae 5 Fe S ae 5Fe

m e5

8.2 3 1028 N

9.11 3 10231 kg5 9.0 3 1022 m/s2

m eag 5 Fg S ag 5Fg

m e5

3.6 3 10247 N

9.11 3 10231 kg5 4.0 3 10217 m/s2

520 CAPÍTULO 15 | Fuerzas eléctricas y campos eléctricos

y luego sumarse como vectores. Éste es otro ejemplo del principio de superposición. A

continuación se ilustra este procedimiento en una dimensión.

■ EJEMPLO 15.2 Encontrar equilibrio electrostático

OBJETIVO Aplicar la ley de Coulomb en una dimensión.

PROBLEMA Tres cargas yacen a lo largo del eje x, como en la figura

15.7. La carga positiva q1 5 15 mC está en x 5 2.0 m, y la carga positiva

q2 5 6.0 mC está en el origen. ¿Dónde debe colocarse una carga nega-tiva q3 sobre el eje x, de modo que la fuerza eléctrica resultante sobre

ella sea cero?

ESTRATEGIA Si q3 está a la derecha o a la izquierda de las otras dos

cargas, la fuerza neta sobre q3 no puede ser cero porque entonces

FS

13 y FS

23 actúan en la misma dirección. En consecuencia, q3 se debe

encontrar entre las otras dos cargas. Escriba FS

13 y FS

23 en términos

de la posición coordenada desconocida x, luego súmelas e iguale a

cero y resuelva para la incógnita. La solución se puede obtener con

la fórmula cuadrática.

SOLUCIÓN

Escriba la componente x de FS

13:

Escriba la componente x de FS

23:

Iguale la suma a cero:

Cancele ke, 1026 y q3 de la ecuación y reordene términos

(las cifras significativas explícitas y las unidades se suspen-

den temporalmente por claridad):

(1) 6(2 2 x)2 5 15x2

Escriba esta ecuación en forma cuadrática estándar,

ax2 1 bx 1 c 5 0:6(4 2 4x 1 x2) 5 15x2 S 2(4 2 4x 1 x2) 5 5x2

3x2 1 8x 2 8 5 0

Aplique la fórmula cuadrática:

Sólo la raíz positiva tiene sentido: x 5 0.77 m

COMENTARIOS Advierta que se requirió razonamiento físico para elegir entre dos posibles respuestas para x, que casi

siempre es el caso cuando se involucran ecuaciones cuadráticas. Podría evitarse el uso de la fórmula cuadrática al tomar la

raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación (1); sin embargo, con frecuencia este atajo no está disponible.

PREGUNTA 15.2 Si q1 tiene la misma magnitud que antes, pero es negativa, ¿en qué región a lo largo del eje x sería posi-

ble que la fuerza eléctrica neta sobre q3 sea cero? a) x , 0 b) 0 , x , 2 m c) 2 m , x

EJERCICIO 15.2 Tres cargas se encuentran a lo largo del eje x. Una carga positiva q1 5 10.0 mC está en x 5 1.00 m, y una

carga negativa q2 5 22.00 mC está en el origen. ¿Dónde se debe colocar una carga positiva q3 sobre el eje x de modo que la

fuerza resultante sea cero?

RESPUESTA x 5 20.809 m

F13x 5 1ke 115 3 1026 C 2 0 q3 0

12.0 m 2 x 22

F23x 5 2ke 16.0 3 1026 C 2 0 q3 0

x2

ke 115 3 1026 C 2 0 q3 0

12.0 m 2 x 222 ke

16.0 3 1026 C 2 0 q3 0x2

5 0

x 528 6 !64 2 14 2 13 2 128 2

2 # 3 524 6 2!10

3

x

q1

x

y

q3q2

�� �

F13

SF23

S

2.0 m

2.0 � x

Figura 15.7 (Ejemplo 15.2) Tres cargas puntuales se colo-

can a lo largo del eje x. La carga q3 es negativa, mientras que

q1 y q2 son positivas. Si la fuerza resultante sobre q3 es cero, la

fuerza FS

13 ejercida por q1 sobre q3 debe ser igual en magnitud

y opuesta a la fuerza FS

23 ejercida por q2 sobre q3.

■ EJEMPLO 15.3 Un triángulo de carga

OBJETIVO Aplicar la ley de Coulomb en dos dimensiones.

PROBLEMA Considere tres cargas puntuales en las esquinas

de un triángulo, como se muestra en la figura 15.8, donde

q1 5 6.00 3 1029 C, q2 5 22.00 3 1029 C y q3 5 5.00 3 1029 C.

a) Encuentre los componentes de la fuerza FS

23 ejercida por q2

sobre q3. b) Encuentre las componentes de la fuerza FS

13 ejer-

cida por q1 sobre q3. c) Encuentre la fuerza resultante sobre

q3, en términos de las componentes y también en términos de

magnitud y dirección.

ESTRATEGIA La ley de Coulomb da la magnitud de cada

fuerza, que se puede separar con trigonometría de triángulo

recto en componentes x y y. Sume los vectores en forma de

componentes y luego encuentre la magnitud y dirección del

vector resultante.

SOLUCIÓN

a) Determine las componentes de la fuerza ejercida por q2

sobre q3.

Encuentre la magnitud de FS

23 con la ley de Coulomb:

Puesto que FS

23 es horizontal y apunta en la dirección

negativa, el negativo de la magnitud proporciona

la componente x, y la componente y es cero:

F23x 5 25.62 3 1029 N

F23y 5 0

b) Determine las componentes de la fuerza ejercida por

q1 sobre q3.

Encuentre la magnitud de FS

13:

Use el triángulo dado para encontrar las componentes

de FS

13:F13x 5 F13 cos u 5 (1.08 3 1028 N) cos (36.9°)

5 8.64 3 1029 N

F13y 5 F13 sen u 5 (1.08 3 1028 N) sen (36.9°)

5 6.48 3 1029 N

c) Determine las componentes del vector resultante.

Sume las componentes x para encontrar la resultante Fx: Fx 5 25.62 3 1029 N 1 8.64 3 1029 N

5 3.02 3 1029 N

Sume las componentes y para encontrar la resultante Fy: Fy 5 0 1 6.48 3 1029 N 5 6.48 3 1029 N

Encuentre la magnitud de la fuerza resultante sobre

la carga q3, con el uso del teorema de Pitágoras:

Determine el ángulo que la fuerza resultante forma

con respecto al eje x positivo:

F23 5 ke

0 q2 0 0 q3 0r 2

5 18.99 3 109 N # m2/C2 2 12.00 3 1029 C 2 15.00 3 1029 C 214.00 m 22

F23

5 5.62 3 1029 N

F13 5 ke

0 q1 0 0 q3 0r 2

5 18.99 3 109 N # m2/C2 2 16.00 3 1029 C 2 15.00 3 1029 C 215.00 m 22

F13

5 1.08 3 1028 N

0 FS 0 5 "Fx2 1 Fy

2

5 "13.01 3 1029 N 22 1 16.50 3 1029 N 22

5 7.15 3 1029 N

u 5 tan21aFy

Fxb 5 tan21a6.48 3 1029 N

3.02 3 1029 Nb 5 65.0°

15.3 | Ley de Coulomb 521

13

F sen 36.9�13

F cos 36.9�13

23

5.00 m

q3

q1

q2

3.00 m

y

x

36.9�4.00 m� �

�

FS

FS

Figura 15.8 (Ejemplo 15.3) La fuerza ejercida por q1 sobre q3 es

FS

13. La fuerza ejercida por q2 sobre q3 es FS

23. La fuerza resultante FS

3 ejercida sobre q3 es la suma vectorial F

S13 1 F

S23.

(continúa)

522 CAPÍTULO 15 | Fuerzas eléctricas y campos eléctricos

15.4 El campo eléctricoLa fuerza gravitacional y la fuerza electrostática son capaces de actuar a lo largo del es-

pacio, lo que produce un efecto incluso cuando no hay algún contacto físico entre los

objetos involucrados. Las fuerzas de campo se pueden estudiar en varias formas, pero

un enfoque desarrollado por Michael Faraday (1791–1867) es el más práctico. En este

enfoque, se dice que existe un campo eléctrico en la región de espacio alrededor de un

objeto cargado. El campo eléctrico ejerce una fuerza eléctrica sobre cualquier otro objeto

cargado dentro del campo. Esto difiere del concepto de la ley de Coulomb de una fuerza

ejercida a una distancia en que la fuerza ahora se ejerce por algo, el campo, que está en la

misma posición que el objeto cargado.

La figura 15.9 muestra un objeto con una pequeña carga positiva q0 colocada cerca de

un segundo objeto con una carga positiva mucho más grande Q.

El campo eléctrico ES

producido por una carga Q en la posición de una pequeña

carga “de prueba” q0 se define como la fuerza eléctrica FS

ejercida por Q sobre q0,

dividida entre la carga de prueba q0:

ES

;FS

q0

[15.3]

Unidad SI: newton por coulomb (N/C)

Conceptual y experimentalmente, se requiere que la carga de prueba q0 sea muy pequeña

(arbitrariamente pequeña, de hecho), de modo que no cause reordenamiento significati-

vo de la carga que crea el campo eléctrico ES

. Sin embargo, matemáticamente, el tamaño

de la carga de prueba no hace diferencia: el cálculo resulta el mismo, sin importar lo

anterior. En vista de esto, el uso de q0 5 1 C en la ecuación 15.3 puede ser conveniente, si

no riguroso.

Cuando se usa una carga de prueba positiva, el campo eléctrico siempre tiene la misma

dirección que la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba, lo que se sigue a partir de la

ecuación 15.3. Por lo tanto, en la figura 15.9, la dirección del campo eléctrico es horizontal

y hacia la derecha. El campo eléctrico en el punto A de la figura 15.10a es vertical y hacia

abajo, porque en dicho punto una carga de prueba positiva se atraería hacia la esfera con

carga negativa.

COMENTARIOS Los métodos utilizados aquí son como los empleados con la ley de gravedad de Newton en dos dimensiones.

PREGUNTA 15.3 Sin calcular realmente la fuerza eléctrica sobre q2, determine el cuadrante hacia donde apunta el vector

de fuerza eléctrica.

EJERCICIO 15.3 Con el mismo triángulo, encuentre las componentes vectoriales de la fuerza eléctrica sobre q1, así como

la magnitud y dirección del vector.

RESPUESTAS Fx 5 28.64 3 1029 N, Fy 5 5.52 3 1029 N, F 5 1.03 3 1028 N, u 5 147°

APq0P

�

�� �

�

�

��

�

�

��

�����

��� � �

����

��

�

ES

ES

a b c

Figura 15.9 Un pequeño objeto

con una carga positiva q0, colocado

cerca de un objeto con una carga

positiva mayor Q , experimenta un

campo eléctrico ES

dirigido como se

muestra. La magnitud del campo

eléctrico en la posición de q0 se

define como la fuerza eléctrica

sobre q0 dividida entre la carga q0.

Q

Carga de prueba

Carga fuente

q0

� �

� �

� �

� ��

� �

�

�

�

� ES

Figura 15.10 a) El campo eléctrico

en A debido a la esfera con carga

negativa es hacia abajo, hacia la

carga negativa. b) El campo eléctrico

en P debido a la esfera conductora

con carga positiva es hacia arriba,

alejándose de la carga positiva. c) Una

carga de prueba q0 colocada en P causará un reordenamiento de carga

sobre la esfera, a menos que q0 sea

muy pequeña en comparación con

la carga sobre la esfera.

15.4 | El campo eléctrico 523

Una vez que se conoce el campo eléctrico debido a un ordenamiento dado de cargas

en algún punto, la fuerza sobre cualquier partícula con carga q colocada en dicho punto se

puede calcular a partir de un reordenamiento de la ecuación 15.3:

FS

5 qES

[15.4]

Aquí, q0 se sustituyó con q, que no necesita ser una simple carga de prueba.

Como se muestra en la figura activa 15.11, la dirección de ES

es la dirección de la fuerza

que actúa sobre una carga de prueba positiva q0 colocada en el campo. Se dice que en un

punto existe un campo eléctrico si en dicho lugar una carga de prueba experimenta una

fuerza eléctrica.

Considere una carga puntual q ubicada a una distancia r de una carga de prueba q0.

De acuerdo con la ley de Coulomb, la magnitud de la fuerza eléctrica de la carga q sobre la

carga de prueba es

F 5 k e

0 q 0 0 q0 0r 2

[15.5]

Puesto que la magnitud del campo eléctrico en la posición de la carga de prueba se defi-

ne como E 5 F/q 0, vemos que la magnitud del campo eléctrico debido a la carga q en la

posición de q0 es

E 5 k e 0 q 0r 2 [15.6]

La ecuación 15.6 puntualiza una importante propiedad de los campos eléctricos que los

convierte en cantidades útiles para describir los fenómenos eléctricos. Como la ecuación

indica, un campo eléctrico en un punto dado depende sólo de la carga q sobre el objeto

que establece el campo y la distancia r desde dicho objeto hacia un punto específico en el

espacio. Como resultado, se puede decir que en el punto P de la figura activa 15.11 existe

un campo eléctrico haya o no una carga de prueba en P.

El principio de superposición se sostiene cuando se calcula el campo eléctrico debido a

un grupo de cargas puntuales. Primero use la ecuación 15.6 para calcular el campo eléctrico

producido por cada carga individualmente en un punto y luego sume los campos eléctri-

cos como vectores.

También es importante explotar cualquier simetría de la distribución de carga. Por

ejemplo, si en x 5 a y x 5 2a se colocan cargas iguales, el campo eléctrico es cero en el

origen, por simetría. De igual modo, si el eje x tiene una distribución uniforme de carga

positiva, se puede suponer por simetría que el campo eléctrico apunta alejándose del eje

x y es cero paralelo a dicho eje.

Si q es negativa, el campo eléctrico

en P apunta radialmente hacia

adentro, hacia q.

q

q0

r

q

P

P

�

�

ES

ES

a

b

Si q es positiva, el campo eléctrico

en P apunta radialmente hacia

afuera desde q.

q0

Figura activa 15.11 Una carga de prueba q0 en P está

a una distancia r de una carga

puntual q.

■ Examen rápido

15.3 Una carga de prueba de 13 mC está en un punto P donde el campo eléctrico

debido a otras cargas se dirige hacia la derecha y tiene una magnitud de 4 3 106 N/C.

Si la carga de prueba se sustituye con una carga de 23 mC, el campo eléctrico en P a) tiene la misma magnitud que antes, pero cambia de dirección, b) aumenta en mag-

nitud y cambia de dirección, c) permanece igual, d) disminuye en magnitud y cambia

de dirección.

15.4 Un anillo circular de carga, con radio b, tiene una carga total q distribuida uni-

formemente a su alrededor. Determine la magnitud del campo eléctrico en el centro

del anillo. a) 0 b) keq/b2 c) keq2/b2 d) keq

2/b e) ninguna de las anteriores respuestas es

correcta.

15.5 Un electrón “libre” y un protón “libre” se colocan en un campo eléctrico idén-

tico. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a) Sobre cada partícula actúa

la misma fuerza eléctrica y tiene la misma aceleración. b) La fuerza eléctrica sobre

el protón es mayor en magnitud que la fuerza eléctrica sobre el electrón, pero en

la dirección opuesta. c) La fuerza eléctrica sobre el protón es igual en magnitud a la

fuerza eléctrica sobre el electrón, pero en la dirección opuesta. d) La magnitud de

la aceleración del electrón es mayor que la del protón. e) Ambas partículas tienen la

misma aceleración.

524 CAPÍTULO 15 | Fuerzas eléctricas y campos eléctricos

■ EJEMPLO 15.4 Aceite electrificado

OBJETIVO Usar las fuerzas y campos eléctricos, junto con la segunda ley de Newton, en un problema unidimensional.

PROBLEMA En un experimento, diminutas gotas de aceite adquieren una pequeña carga negativa mientras caen a través

de un vacío (presión 5 0). Un campo eléctrico de magnitud 5.92 3 104 N/C apunta en línea recta hacia abajo. a) Se observa

que una gotita en particular permanece suspendida contra la gravedad. Si la masa de la gotita es 2.93 3 10215 kg, determine

la carga que porta la gotita. b) Otra gotita de la misma masa cae 10.3 cm desde el reposo en 0.250 s, de nuevo moviéndose a

través de un vacío. Determine la carga que porta la gotita.

ESTRATEGIA Use la segunda ley de Newton con las fuerzas gravitacional y eléctrica. En ambas partes el campo eléctrico ES

apunta hacia abajo, que se toma como la dirección negativa, como es usual. En la parte a), la aceleración es igual a cero. En el

inciso b), la aceleración es uniforme, de modo que las ecuaciones cinemáticas dan la aceleración. Entonces la ley de Newton

se puede resolver para q.

SOLUCIÓN

a) Determine la carga sobre la gotita suspendida.

Aplique la segunda ley de Newton a la gotita en la dirección

vertical:

(1) ma 5 o F 5 2mg 1 Eq

E apunta hacia abajo, por lo tanto es negativo. Sea a 5 0

en la ecuación (1) y resuelva para q:

b) Determine la carga sobre la gotita que cae.

Use la ecuación de desplazamiento cinemático para

encontrar la aceleración:

Sustituya y 5 20.103 m, t 5 0.250 s y v0 5 0:

Resuelva la ecuación (1) para q y sustituya:

COMENTARIOS Este ejemplo muestra características similares al experimento de la gota de aceite de Millikan que se estu-

dió en la sección 15.7 y que determinó el valor de la carga eléctrica fundamental e. Observe que, en ambas partes del

ejemplo, la carga casi es un múltiplo de e.

PREGUNTA 15.4 ¿Cuál sería la aceleración de la gota de aceite en el inciso a), si el campo eléctrico súbitamente invierte su

dirección sin cambiar su magnitud?

EJERCICIO 15.4 Suponga que una gota de masa desconocida permanece suspendida contra la gravedad cuando E 5 22.70 3

105 N/C. ¿Cuál es la masa mínima de la gota?

RESPUESTA 4.41 3 10215 kg

q 5mg

E5

12.93 3 10215 kg 2 1 29.80 m/s2

25.92 3 104 N/C

5 24.85 3 10219 C

D 5 12aty 2 1 v0t

20.103 m 5 12 a 10.250 s 22 S a 5 23.30 m/s2

q 5m 1a 1 g 2

E

512.93 3 10215 kg 2 123.30 m/s2 1 9.80 m/s2 2

25.92 3 104 N/C

5 23.22 3 10219 C

■ ESTRATEGIA PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Cálculo de fuerzas y campos eléctricosEl siguiente procedimiento se utiliza para calcular fuerzas eléctricas. El mismo se puede usar para calcular un campo eléctrico, simplemente sustituyendo la carga de interés, q, con una carga de prueba conveniente y al final dividir entre la carga de prueba:

1. Dibuje un diagrama de las cargas en el problema.

2. Identifique la carga de interés, q, y enciérrela en un círculo.

3. Convierta todas las unidades a SI, con cargas en coulombs y distancias en metros,

para ser consistente con el valor SI de la constante de Coulomb k e.

4. Aplique la ley de Coulomb. Para cada carga Q, determine la fuerza eléctrica sobre la

carga de interés, q. La magnitud de la fuerza se puede encontrar a partir de la ley de

Coulomb.

15.4 | El campo eléctrico 525

La dirección vectorial de la fuerza eléctrica es a lo largo de la recta de las dos cargas,

con dirección alejándose de Q si las cargas tienen el mismo signo y hacia Q si las car-

gas tienen el signo opuesto. Determine el ángulo u que este vector forma con el eje x positivo. La componente x de la fuerza eléctrica ejercida por Q sobre q será F cos u, y

la componente y será F sen u.

5. Sume todas las componentes x, y obtenga la componente x de la fuerza eléctrica

resultante.

6. Sume todas las componentes y, y obtenga la componente y de la fuerza eléctrica

resultante.

7. Use el teorema de Pitágoras y trigonometría para encontrar la magnitud y direc-

ción de la fuerza resultante si se desea.

■ EJEMPLO 15.5 Campo eléctrico debido a dos cargas puntuales

OBJETIVO Usar el principio de superposición para

calcular el campo eléctrico debido a dos cargas

puntuales.

PROBLEMA La carga q1 5 7.00 mC está en el ori-

gen y la carga q2 5 25.00 mC está en el eje x, 0.300 m

del origen (figura 15.12). a) Encuentre la magnitud y

dirección del campo eléctrico en el punto P, que tiene

coordenadas (0, 0.400) m. b) Encuentre la fuerza

sobre una carga de 2.00 3 1028 C colocada en P.

ESTRATEGIA Siga la estrategia para solución de

problemas, encuentre el campo eléctrico en el punto P debido a cada carga individual en términos de las com-

ponentes x y y, luego sume las componentes de cada

tipo para obtener las componentes x y y del campo

eléctrico resultante en P. La magnitud de la fuerza en

el inciso b) se puede encontrar al simplemente multi-

plicar la magnitud del campo eléctrico por la carga.

SOLUCIÓN

a) Calcule el campo eléctrico en P.

Encuentre la magnitud de ES

1 con la ecuación 15.6:

El vector ES

1 es vertical y forma un ángulo de 90° con res-

pecto al eje positivo x. Use este hecho para encontrar sus

componentes:

E1x 5 E1 cos (90°) 5 0

E1y 5 E1 sen (90°) 5 3.93 3 105 N/C

A continuación, encuentre la magnitud de ES

2, de nuevo

con la ecuación 15.6:

Obtenga la componente x de ES

2, a partir del triángulo

en la figura 15.12 para encontrar cos u:

Obtenga la componente y de la misma forma, pero se tiene

que proporcionar un signo menos para sen u porque esta

componente se dirige hacia abajo:

E1 5 ke

0 q1 0r1

25 18.99 3 109 N # m2/C2 2 17.00 3 1026 C 2

10.400 m 22

5 3.93 3 105 N/C

E2 5 ke

0 q2 0r2

25 18.99 3 109 N # m2/C2 2 15.00 3 1026 C 2

10.500 m 22

5 1.80 3 105 N/C

cos u 5ady

hip5

0.300

0.5005 0.600

E2x 5 E

2 cos u 5 (1.80 3 105 N/C)(0.600)

5 1.08 3 105 N/C

sen u 5op

hip5

0.400

0.5005 0.800

E2y 5 E

2 sen u 5 (1.80 3 105 N/C)(20.800)

5 21.44 3 105 N/C

Figura 15.12 (Ejemplo 15.5) El

campo eléctrico resultante ES

en P es

igual a la suma vectorial ES

1 1 ES

2,

donde ES

1 es el campo debido a la

carga positiva q1 y ES

2 es el campo

debido a la carga negativa q2.

0.400 m

u

u

f

P

2

0.500 m

1

y

x

q2q1

0.300 m� �

ES

ES

ES

(continúa)

526 CAPÍTULO 15 | Fuerzas eléctricas y campos eléctricos

15.5 Líneas de campo eléctricoUn conveniente auxiliar para visualizar los patrones de campo eléctrico es dibujar líneas

que apuntan en la dirección del vector de campo eléctrico en cualquier punto. Estas lí-

neas, que introdujo Michael Faraday y llamó líneas de campo eléctrico, se relacionan con

el campo eléctrico en cualquier región del espacio en la siguiente forma:

1. El vector de campo eléctrico ES

es tangente a las líneas del campo eléctrico en cada

punto.

2. El número de líneas por unidad de área a través de una superficie perpendicular a

las líneas es proporcional a la intensidad del campo eléctrico en una región dada.

Observe que ES

es grande cuando las líneas de campo están juntas y pequeño cuando las

líneas están separadas.

La figura 15.13a muestra algunas líneas de campo eléctrico representativas para una

sola carga puntual positiva. Este dibujo bidimensional contiene sólo las líneas de campo

que yacen en el plano que contiene la carga puntual. En realidad, las líneas se dirigen

radialmente hacia afuera desde la carga en todas direcciones, un poco como las púas de

un puerco espín enojado. Puesto que una carga q repelería una carga de prueba positiva co-

locada en este campo, las líneas se dirigen radialmente alejándose de la carga positiva. Las

líneas de campo eléctrico para una sola carga puntual negativa se dirigen hacia la carga

(figura 15.13b) porque una carga de prueba positiva es atraída por una carga negativa.

En cualquier caso, las líneas son radiales y se extienden hacia el infinito. Observe que las

Sume las componentes x para obtener la componente x del vector resultante:

Ex 5 E1x 1 E2x 5 0 1 1.08 3 105 N/C 5 1.08 3 105 N/C

Sume las componentes y para obtener la componente y del

vector resultante:Ey 5 E1y 1 E2y 5 3.93 3 105 N/C 2 1.44 3 105 N/C

Ey 5 2.49 3 105 N/C

Use el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud

del vector resultante:

La función tangente inversa produce la dirección del vector

resultante:

b) Determine la fuerza sobre una carga de 2.00 3 1028 C

colocada en P.

Calcule la magnitud de la fuerza (la dirección es la misma

que la de ES

porque la carga es positiva):

F 5 Eq 5 (2.71 3 105 N/C)(2.00 3 1028 C)

5 5.42 3 1023 N

COMENTARIOS En este problema hubo muchos pasos, pero cada uno fue muy corto. Cuando se atacan tales problemas,

es importante enfocarse en un pequeño paso a la vez. La solución no proviene de un salto de genialidad, sino del ensamble

de algunas partes relativamente sencillas.

PREGUNTA 15.5 Suponga que q2 se mueve lentamente hacia la derecha. ¿Qué ocurriría con el ángulo f?

EJERCICIO 15.5 a) Coloque una carga de 27.00 mC en el punto P y encuentre la magnitud y dirección del campo eléc-

trico en la ubicación de q2 debido a q1 y la carga en P. b) Determine la magnitud y dirección de la fuerza sobre q2.

RESPUESTAS a) 5.84 3 105 N/C, f 5 20.2 ° b) F 5 2.92 N, f 5 200 °.

E 5 "Ex2 1 Ey

2 5 2.71 3 105 N/C

f 5 tan21aEy

Exb 5 tan21a2.49 3 105 N/C

1.08 3 105 N/Cb 5 66.6°

Tip 15.1 Las líneas de campo eléctrico no son trayectorias de partículasLas líneas de campo eléctrico no son objetos materiales. Se usan

solamente como una representa-

ción visual del campo eléctrico

en varias posiciones. Excepto en

casos especiales, no representan

la trayectoria de una partícula

cargada liberada en un campo

eléctrico.

15.5 | Líneas de campo eléctrico 527

líneas están más juntas conforme se acercan a la carga, lo que indica que la intensidad del

campo aumenta. La ecuación 15.6 verifica que, de hecho, éste es el caso.

Las reglas para dibujar líneas de campo eléctrico para cualquier distribución de carga

se siguen directamente de la relación entre líneas de campo eléctrico y vectores de campo

eléctrico:

1. Las líneas para un grupo de cargas puntuales deben comenzar en las cargas posi-

tivas y terminar en las cargas negativas. En el caso de un exceso de carga, algunas

líneas comenzarán o terminarán infinitamente lejos.

2. El número de líneas dibujadas que salen de una carga positiva o terminan en una

carga negativa es proporcional a la magnitud de la carga.

3. Dos líneas de carga no pueden cruzarse una a otra.

La figura 15.14 muestra la hermosa simetría de las líneas de campo eléctrico para dos

cargas puntuales de igual magnitud pero signo opuesto. Esta configuración de carga se

llama dipolo eléctrico. Observe que el número de líneas que comienzan en la carga po-

sitiva debe ser igual al número de las que terminan en la carga negativa. En puntos muy

cercanos a cualquier carga, las líneas son casi radiales. La alta densidad de las líneas entre

las cargas indica un intenso campo eléctrico en esta región.

La figura 15.15 muestra las líneas de campo eléctrico en la vecindad de dos cargas pun-

tuales positivas iguales. De nuevo, cerca de cualquier carga las líneas son casi radiales. El

mismo número de líneas surge de cada carga porque las cargas son iguales en magnitud. A

Figura 15.13 a), b) Líneas de campo eléctrico para una carga puntual. Observe que las figuras sólo

muestran aquellas líneas de campo que yacen en el plano de la página.

q –q

Para una carga puntual

positiva, las líneas radian

hacia afuera.

Para una carga puntual

negativa las líneas

convergen hacia adentro.

a b

� �

El número de las líneas que salen

de la carga positiva es igual al

número de las que terminan

en la carga negativa.

� �

Figura 15.14 Líneas de campo

eléctrico para dos cargas puntua-

les iguales y opuestas (un dipolo

eléctrico).

C

A

B

� �

Figura 15.15 Líneas de campo

eléctrico para dos cargas puntuales

positivas. Los puntos A, B y C se ana-

lizan en la pregunta rápida 15.6.

19

648

Cons

tanc

e M

cGui

re/i

Stoc

kPho

to

Aurora boreal, las luces del

norte. Despliegues como éste

son provocados por partículas

de rayos cósmicos atrapadas

en el campo magnético de la

Tierra. Cuando las partículas

chocan con los átomos en

la atmósfera, hacen que los

átomos emitan luz visible.

En términos de aplicaciones, el magnetismo es uno de los campos más importantes en la física. Para levantar cargas pesadas se usan grandes electroimanes. Los imanes se usan en dispositivos como medidores, motores y bocinas. Las cintas y discos magnéticos se usan rutinariamente en equipos de grabación de sonido y video, y para almacenar datos de computadora. Los campos magnéticos intensos se usan en aparatos para la formación de imágenes por resonancia magné-tica (IRM) para explorar el cuerpo humano con mejor resolución y mayor seguridad que la que pueden proporcionar los rayos X. Imanes superconductores gigantes se usan en los ciclotrones que guían partículas hacia blancos casi a la velocidad de la luz. Los cañones de riel (figura 19.1) usan fuerzas magnéticas para disparar proyectiles a gran velocidad y las botellas magnéticas contienen antimateria, una posible clave para futuros sistemas de propulsión espacial.

El magnetismo está cercanamente relacionado con la electricidad. Los campos magnéticos afectan las cargas en movimiento y las cargas en movimiento producen campos magnéticos. Los campos magnéticos variables incluso pueden crear campos eléctricos. Estos fenómenos signi-fican una unidad subyacente de electricidad y magnetismo, que James Clerk Maxwell describió por primera vez en siglo XIX. La fuente última de cualquier campo magnético es la corriente eléctrica.

19.1 ImanesLa mayoría de las personas han experimentado con alguna forma de imán. Es posible que

usted esté más familiarizado con el imán de hierro común con forma de herradura que le-

vanta objetos que contienen hierro, como sujetapapeles y clavos. En el análisis siguiente,

suponemos que el imán tiene la forma de una barra. Los objetos de hierro son atraídos

con más intensidad hacia cualquier extremo de uno de tales imanes de barra, extremos a

los que se llama polos. Un extremo se llama polo norte y el otro polo sur. Los nombres

provienen del comportamiento de un imán en presencia del campo magnético de la Tie-

rra. Si un imán de barra se suspende de su punto medio mediante un trozo de cuerda, de

modo que puede balancearse libremente en un plano horizontal, girará hasta que su polo

norte apunte hacia el norte y su polo sur apunte hacia el sur. La misma idea se usa para

Magnetismo

19.1 Imanes

19.2 Campo magnético

de la Tierra

19.3 Campos magnéticos

19.4 Fuerza magnética sobre

un conductor portador

de corriente

19.5 Torque sobre una espira

de corriente y motores

eléctricos

19.6 Movimiento de una partícula

cargada en un campo

magnético

19.7 Campo magnético de un

alambre largo recto y ley

de Ampère

19.8 Fuerza magnética entre dos

conductores paralelos

19.9 Campos magnéticos de

espiras de corriente y

solenoides

19.10 Dominios magnéticos

19.1 | Imanes 649

construir una brújula simple. Los polos magnéticos también ejercen fuerzas atractivas o

repulsivas uno sobre otro similar a las fuerzas eléctricas entre objetos cargados. De hecho,

experimentos simples con dos imanes de barra muestran que polos iguales se repelen y

polos opuestos se atraen mutuamente.

Aunque la fuerza entre polos magnéticos opuestos es similar a la fuerza entre cargas

eléctricas positivas y negativas, existe una diferencia importante: las cargas eléctricas posi-

tiva y negativa pueden existir aisladas una de otra; los polos norte y sur no pueden hacerlo.

Sin importar cuántas veces se corte un imán permanente, cada pieza siempre tendrá un

polo norte y un polo sur. Sin embargo, existe cierta base teórica para la especulación de

que los monopolos magnéticos (polos norte o sur aislados) existen en la naturaleza y el

intento por detectarlos es en la actualidad un activo campo de investigación experimental.

Un trozo de hierro sin magnetizar, al golpearlo con un imán se puede magnetizar. El

magnetismo también se puede inducir en el hierro (y otros materiales) por otros medios.

Por ejemplo, si una pieza de hierro sin magnetizar se coloca cerca de un fuerte imán perma-

nente, el trozo de hierro eventualmente queda magnetizado. El proceso se puede acelerar

al calentar y luego enfriar el hierro.

Los materiales magnéticos que se encuentran en la naturaleza, como la magnetita,

se magnetizan de esta forma, porque están sujetas al campo magnético de la Tierra durante

largos periodos. La medida en la que un trozo de material retiene su magnetismo depende

de si se clasifica como magnéticamente duro o blando. Los materiales magnéticos blandos,

como el hierro, se magnetizan fácilmente, pero también tienden a perder su magnetismo con

facilidad. Estos materiales se utilizan en los núcleos de transformadores, generadores y

motores. El hierro es la opción más común porque es barato. Otros materiales magné-

ticamente blandos incluyen el níquel, aleaciones de níquel-hierro y ferritas. Las ferritas

son combinaciones de un óxido de metal divalente de níquel o de magnesio con óxido de

hierro. Las ferritas son utilizadas en aplicaciones de alta frecuencia, como el radar.

Los materiales magnéticos duros se utilizan en los imanes permanentes. Tales imanes

proporcionan campos magnéticos sin el uso de la electricidad. Los imanes permanentes se

utilizan en muchos dispositivos, incluyendo altavoces, motores de imán permanente y la

lectura/escritura de las cabezas de escritura de los discos duros de computadora. Hay

un gran número de diferentes materiales utilizados en imanes permanentes. Alnico es un

nombre genérico para varias aleaciones de hierro, cobalto y níquel, junto con pequeñas

cantidades de aluminio, cobre u otros elementos. Tierras raras, como el samario y neo-

dimio se usan también en combinación con otros elementos para hacer fuertes imanes

permanentes.

En capítulos anteriores se describió la interacción entre objetos cargados en términos

de campos eléctricos. Recuerde que un campo eléctrico rodea a cualquier carga eléctrica

estacionaria. La región del espacio que rodea a una carga en movimiento incluye también

un campo magnético. Un campo magnético también rodea a un material magnetizado de

manera adecuada.

Para describir cualquier tipo de campo vectorial, usted debe definir su magnitud o

intensidad y su dirección. La dirección de un campo magnético BS

en cualquier ubicación

es la dirección en la que el polo norte de una brújula de aguja apunta en dicha ubicación.

La figura activa 19.2a muestra cómo se puede trazar, con la ayuda de una brújula, el cam-

Figura 19.1 Los cañones de riel lanzan proyectiles con

gran velocidad mediante fuerza magnética. Las versio-

nes más grandes podrían enviar cargas hacia el espacio

o usarse como propulsores para mover asteroides ricos

en metal desde el espacio profundo hacia la órbita de la

Tierra. En esta fotografía, un cañón de riel en Sandia

National Laboratories en Albuquerque, Nuevo México,

dispara un proyectil a más de tres kilómetros por

segundo. (Para más información acerca de esto, consulte

Física aplicada 20.2 en las páginas 698-699.)

Def

ense

Thr

eat R

educ

tion

Age

ncy

[DTR

A]

650 CAPÍTULO 19 | Magnetismo

po magnético de un imán de barra, lo que define una línea de campo magnético. Muchas

líneas de campo magnético de un imán de barra trazadas de esta forma aparecen en la

representación bidimensional de la figura activa 19.2b. Los patrones de campo magnético

se pueden mostrar al colocar pequeñas limaduras de hierro en la vecindad de un imán,

como en la figura 19.3.

Los científicos forenses usan una técnica similar a la que se muestra en la figura 19.3

para encontrar huellas digitales en una escena criminal. Una forma de encontrar impre-

siones latentes o invisibles, es al rociar un polvo de hierro sobre una superficie. El hierro

se adhiere a cualquier aceite de transpiración o corporal que esté presente y se puede

esparcir sobre la superficie con un cepillo magnético que nunca entra en contacto con el

polvo o la superficie.

19.2 Campo magnético de la TierraSe dice que un pequeño imán de barra tiene polos norte y sur, pero es más preciso decir

que tiene un polo “que busca el norte” y un polo “que busca el sur”. Mediante estas expre-

siones, se entiende que, si tal imán se usa como brújula, un extremo apuntará o “buscará”,

el polo norte geográfico de la Tierra y el otro extremo apuntará o “buscará”, el polo sur

geográfico de la Tierra. Concluimos que el polo norte geográfico de la Tierra corresponde

a un polo sur magnético y que el polo sur geográfico de la Tierra corresponde a un polo

norte magnético. De hecho, la configuración del campo magnético de la Tierra, que se

bosqueja en la figura 19.4, se parece mucho a lo que se observaría si un enorme imán

de barra se enterrara profundamente en el interior de la Tierra.

Si la aguja de una brújula se suspende en cojinetes que le permitan girar en el plano

vertical, así como en el plano horizontal, la aguja está horizontal con respecto a la super-

ficie de la Tierra sólo cerca del ecuador. Conforme el dispositivo se mueve hacia el norte,

la aguja gira de modo que apunta cada vez más hacia la superficie de la Tierra. El ángulo

entre la dirección del campo magnético y la horizontal se llama inclinación. Finalmente, en

un punto justo al norte de la bahía Hudson en Canadá, el polo norte de la aguja apunta

directamente hacia abajo, con una inclinación de 90°. Este sitio, que se encontró por

primera vez en 1832, se considera la ubicación del polo magnético sur de la Tierra. Está

APLICACIÓN

Polvos para huellas digitales

Figura activa 19.2 a) Trazado del campo magnético

de un imán de barra con brújula.

b) Muchas líneas de campo magné-

tico de un imán de barra.

Figura 19.3 a) Patrón de campo

magnético de un imán de barra,

como se muestra mediante lima-

duras de hierro sobre una hoja de

papel. b) Patrón de campo mag-

nético entre polos opuestos de dos

imanes de barra, que se muestra con

limaduras de hierro. c) Patrón de

campo magnético entre dos polos

iguales.

SN SN

a b

Tip 19.1 El polo norte geográfico es el polo sur magnéticoEl polo norte de un imán en una

brújula apunta al norte porque lo

atrae el polo magnético sur de la

Tierra, que se ubica cerca del polo

norte geográfico de la Tierra.

a b c

Hen

ry L

eap

y Ji

m L

ehm

an

19.2 | Campo magnético de la Tierra 651

Figura 19.4 Líneas de campo

magnético de la Tierra. Observe que

el sur magnético está en el polo geo-

gráfico norte y el norte magnético

está en el polo geográfico sur.

aproximadamente a 2100 km del polo norte geográfico de la Tierra y varía con el tiempo.

De igual modo, el polo norte magnético de la Tierra está aproximadamente a 1900 km de

su polo sur geográfico. Esto significa que las agujas de las brújulas apuntan sólo aproxi-

madamente al norte. La diferencia entre el norte verdadero, que se define como el polo

norte geográfico y el norte que indica una brújula varía de punto a punto sobre la Tierra,

esta diferencia se conoce como declinación magnética. Por ejemplo, a lo largo de una línea

que pasa a través de Carolina del Sur y los grandes lagos, una brújula indica el norte ver-

dadero, mientras que en el estado de Washington se alinea 25° al este del norte verdadero

(figura 19.5).

Aunque el patrón de campo magnético de la Tierra es similar al patrón que se esta-

blecería mediante un imán de barra colocado en su centro, la fuente del campo de la

Tierra no puede consistir de grandes masas de material permanentemente magnetizado.

La Tierra tiene grandes depósitos profundos de mineral de hierro bajo su superficie, pero

las altas temperaturas en el núcleo evitan que el hierro retenga cualquier magnetización

permanente. Se considera más probable que la fuente verdadera del campo magnético

de la Tierra es la corriente eléctrica en la parte líquida de su núcleo. Esta corriente, que

no está bien comprendida, acaso puede darse mediante una interacción entre la rotación

del planeta y la convección en el núcleo líquido caliente. Existe cierta evidencia de que

la intensidad del campo magnético de un planeta se relaciona con la tasa de rotación del

planeta. Por ejemplo, Júpiter gira más rápido que la Tierra y sondas espaciales recientes

indican que el campo magnético de Júpiter es más intenso que el de la Tierra, aun cuando

Júpiter carezca de un núcleo de hierro. Venus, por otra parte, gira más lentamente que la

Tierra y su campo magnético es más débil. La investigación de la causa del magnetismo de

la Tierra continúa.

Un hecho interesante en cuanto al campo magnético de la Tierra es que su dirección

se invierte cada cierto número de millones de años. La evidencia de este fenómeno la

proporciona el basalto (una roca que contiene hierro) que en ocasiones es vertida en el

suelo marino por la actividad volcánica. Conforme la lava se enfría, se solidifica y conserva

una imagen de la dirección del campo magnético de la Tierra. Cuando los depósitos de

basalto se datan, proporcionan evidencia de inversiones periódicas del campo magnético.

La causa de estas inversiones de campo todavía no se comprende.

Desde hace mucho se especula que algunos animales, como las aves, usan el campo

magnético de la Tierra para guiar sus migraciones. Los estudios demuestran que un tipo

de bacteria anaeróbica que vive en los pantanos tiene una cadena magnetizada de magne-

tita como parte de su estructura interna. (El término anaeróbico significa que estas bacterias

viven y crecen sin oxígeno; de hecho, el oxígeno es tóxico para ellas.) La cadena magneti-

zada actúa como una brújula que permite a las bacterias alinearse con el campo magnético

de la Tierra. Cuando se encuentran fuera del lodo en el fondo del pantano, regresan a su

ambiente libre de oxígeno al seguir las líneas de campo magnético de la Tierra. La mayor

evidencia de su habilidad de percepción magnética es que las bacterias que se encuentran

APLICACIÓN

Bacterias magnéticas

Polo

geográfico

norte

Polo

magnético

sur

Ecuador

geográfico

Ecuador

magnético

Polo

geográfico

sur

Polo

magnético

norte

N

S

Eje de

rotación

Eje magnético

11�

El polo norte magné-

tico está muy cerca del

polo sur geográfico

de la Tierra.

El polo sur magnético

está muy cerca del

polo norte geográfico

de la Tierra.

Figura 19.5 Mapa de Estados

Unidos continental que muestra la

declinación de una brújula del norte

verdadero.

5�

10�

15�

20�

20�E

15�E

10�E 5�E 0�

652 CAPÍTULO 19 | Magnetismo

en el hemisferio norte tienen cadenas internas de magnetita que son opuestas en polari-

dad a las de bacterias similares en el hemisferio sur. De igual modo, en el hemisferio norte,

el campo de la Tierra tiene una componente descendente, mientras que en el hemisferio

sur tiene una componente ascendente. Recientemente, se descubrió que un meteorito

que se originó en Marte contiene una cadena de magnetita. Los científicos de la NASA

creen que puede ser el fósil de una antigua vida bacterial marciana.

El campo magnético de la Tierra se usa para marcar las pistas de aterrizaje en los aero-

puertos de acuerdo con su dirección. En el extremo de la pista se pinta un gran número,

de modo que lo pueda leer el piloto de un avión que se aproxima. Este número describe

la dirección en la que viaja el avión, expresada como dirección magnética, en grados me-

didos en sentido de las manecillas del reloj desde el norte magnético, dividido por 10.

Una pista marcada 9 se dirigiría hacia el este (90° dividido por 10), mientras que una pista

marcada 18 se dirigiría hacia el sur magnético.

APLICACIÓN

Marcaje de las pistas de aterrizaje en los aeropuertos

■ FÍSICA APLICADA 19.1 Brújulas en Australia

En un viaje de negocios a Australia, usted lleva su brújula he-

cha en Estados Unidos, la que tal vez usó en un campamento.

¿Esta brújula funciona correctamente en Australia?

EXPLICACIÓN No hay problema con usar la brújula en

Australia. Al polo norte del imán en la brújula lo atraerá

el polo magnético sur cerca del polo norte geográfico, tal

como si estuviera en Estados Unidos. La única diferencia

en las líneas de campo magnético es que tienen una com-

ponente ascendente en Australia, mientras que tienen una

componente descendente en Estados Unidos. Sin embargo,

si usted la sostiene en un plano horizontal, su brújula no

puede detectar esta diferencia; sólo muestra la dirección de

la componente horizontal del campo magnético. ■

19.3 Campos magnéticosLos experimentos demuestran que una partícula cargada estacionaria no interactúa con

un campo magnético estático. Sin embargo, cuando una partícula cargada se mueve a través

de un campo magnético, sobre ella actúa una fuerza magnética. Esta fuerza tiene su valor

máximo cuando la carga se mueve en una dirección perpendicular a las líneas del campo

magnético y disminuye en valor a otros ángulos, y se vuelve cero cuando la partícula se

mueve a lo largo de las líneas de campo. Esto es diferente de la fuerza eléctrica, que ejerce

una fuerza sobre una partícula cargada si se mueve o está en reposo. Más aún, la fuerza

eléctrica se dirige paralela al campo eléctrico, mientras que la fuerza magnética sobre una

carga en movimiento se dirige perpendicular al campo magnético.

En el estudio de la electricidad, el campo eléctrico en algún punto en el espacio se de-

fine como la fuerza eléctrica por unidad de carga que actúa sobre alguna carga de prueba

colocada en dicho punto. De forma similar, se pueden describir las propiedades del campo

magnético BS

en algún punto en términos de la fuerza magnética que se ejerce sobre una

carga de prueba en dicho punto. El objeto de prueba es una carga q que se mueve con ve-

locidad vS. Experimentalmente se descubre que la intensidad de la fuerza magnética sobre

la partícula es proporcional a la magnitud de la carga q, la magnitud de la velocidad vS, la

intensidad del campo magnético externo BS

y el seno del ángulo u entre la dirección de

vS y la dirección de B

S. Estas observaciones se pueden resumir al escribir la magnitud de la

fuerza magnética como

F 5 qvB sen u [19.1]

Esta expresión se usa para definir la magnitud del campo magnético como

B ;F

qv sen u [19.2]

19.3 | Campos magnéticos 653

Si F está en newtons, q en coulombs y v en metros por segundo, la unidad SI del campo mag-

nético es el tesla (T), también llamado weber (Wb) por metro cuadrado (1 T 5 1 Wb/m2).

Si una carga de 1 C se mueve en una dirección perpendicular a un campo magnético de 1

T de magnitud con una rapidez de 1 m/s, la fuerza magnética que se ejerce sobre la carga

es 1 N. Las unidades de BS

se pueden expresar como

3B 4 5 T 5Wb

m25

N

C # m/s5

N

A # m [19.3]

En la práctica, a menudo se usa la unidad cgs para campo magnético, el gauss (G). El gauss

se relaciona con el tesla mediante la conversión

1 T 5 104 G

Los imanes convencionales de laboratorio pueden producir campos magnéticos tan

grandes como aproximadamente 25 000 G, o 2.5 T. Se han construido imanes supercon-

ductores que pueden generar campos magnéticos tan grandes como 3 3 105 G, o 30 T.

Estos valores se pueden comparar con el valor del campo magnético de la Tierra cerca de

su superficie, que es de más o menos 0.5 G, o 0.5 3 1024 T.

A partir de la ecuación 19.1, vemos que la fuerza sobre una partícula cargada que se

mueve en un campo magnético tiene su valor máximo cuando el movimiento de la par-

tícula es perpendicular al campo magnético, que corresponde a u 5 90°, de modo que sen

u 5 1. La magnitud de esta fuerza magnética tiene el valor

Fmáx 5 qvB [19.4]

También a partir de la ecuación 19.1, F es cero cuando vS es paralela a B

S (lo que correspon-

de a u 5 0° o 180°), de modo que ninguna fuerza magnética se ejerce sobre una partícula

cargada cuando se mueve en la dirección del campo magnético u opuesta al campo.

Los experimentos demuestran que la dirección de la fuerza magnética siempre es per-

pendicular tanto a vS como a B

S, como se muestra en la figura 19.6 para una partícula con

carga positiva. Para determinar la dirección de la fuerza, se emplea la regla de la mano

derecha 1:

1. Apunte los dedos de su mano derecha en la dirección de la velocidad vS.

2. Enrolle los dedos en la dirección del campo magnético BS

, que se mueve a través

de ángulos más pequeños (como en la figura 19.7).

3. Su pulgar ahora apunta en la dirección de la fuerza magnética FS

que se ejerce

sobre una carga positiva.

Si la carga es negativa en lugar de positiva, la fuerza FS

se dirige opuesta a la que se mues-

tra en las figuras 19.6a y 19.7. De modo que, si q es negativa, simplemente use la regla de la

mano derecha para encontrar la dirección para q positiva y luego invertir dicha dirección

para la carga negativa. La figura 19.6b muestra el efecto de un campo magnético sobre par-

tículas cargadas con signos opuestos.

Figura 19.6 a) Dirección de la

fuerza magnética FS

sobre una

partícula con carga positiva que se

mueve con una velocidad vS

en la pre-

sencia de un campo magnético BS

.

b) Fuerzas magnéticas sobre cargas

positivas y negativas. Las líneas pun-

teadas muestran las trayectorias de

las partículas, que se investigarán

en la sección 19.6.

u

vS

vS

vS

FS

FS

FS

BS

BS

�

�

�

Las fuerzas magnéticas

sobre las partículas con

cargas opuestas se mueven

a la misma velocidad en

un campo magnético

en dirección opuesta.

La fuerza magnética es

perpendicular a vS

y BS

.

a b

BS

FS

1) Apunte los dedos

de su mano derecha

en la dirección de vS

y

luego enróllelos en la

dirección de BS

.

vS

2) La fuerza

magnética FS

apunta

en la dirección de

su pulgar derecho.

Figura 19.7 Regla de la mano

derecha número 1 para determinar

la dirección de la fuerza magnética

sobre una carga positiva que se

mueve con una velocidad vS

en un

campo magnético BS

.

654 CAPÍTULO 19 | Magnetismo

■ Examen rápido

19.1 Una partícula cargada se mueve en una línea recta a través de una región del

espacio. ¿Cuál de las siguientes respuestas debe ser verdadera? (Suponga que cualquier

otro campo es despreciable.) El campo magnético a) tiene una magnitud de cero,

b) tiene una componente perpendicular cero a la velocidad de la partícula, c) tiene

una componente cero paralela a la velocidad de la partícula en dicha región.

19.2 El polo norte de un imán de barra se sostiene cerca de una pieza de plástico con

carga positiva estacionaria. El imán, ¿a) atrae, b) repele o c) no afecta al plástico?

■ EJEMPLO 19.1 Un protón que viaja en el campo magnético de la Tierra

OBJETIVO Calcular la magnitud y dirección de una fuerza magnética.

PROBLEMA Un protón se mueve con una velocidad de

1.00 3 105 m/s a través del campo magnético de la Tierra,

que tiene un valor de 55.0 mT en una ubicación particular.

Cuando el protón se mueve hacia el este, la fuerza magné-

tica que actúa sobre él se dirige en línea recta hacia arriba y

cuando se mueve hacia el norte, ninguna fuerza magnética

actúa sobre él. a) ¿Cuál es la dirección del campo magnético y

b) cuál es la intensidad de la fuerza magnética cuando el pro-

tón se mueve hacia el este? c) Calcule la fuerza gravitacional

sobre el protón y compárela con la fuerza magnética. Com-

párela también con la fuerza eléctrica si hubiera un campo

eléctrico con una magnitud igual a E 5 1.50 3 102 N/C en

dicha ubicación, un valor común en la superficie de la Tie-

rra. Observe que la masa del protón es 1.67 3 10227 kg.

ESTRATEGIA La dirección del campo magnético se puede

encontrar a partir de una aplicación de la regla de la mano

derecha, junto con el hecho de que ninguna fuerza se ejerce

sobre el protón cuando viaja hacia el norte. Al sustituir en la

ecuación 19.1 se obtiene la magnitud del campo magnético.

SOLUCIÓN

a) Encuentre la dirección del campo magnético.

Ninguna fuerza magnética actúa sobre el protón cuando

se dirige hacia el norte, así que el ángulo que tal protón

forma con la dirección del campo magnético debe ser 0° o

180°. Por lo tanto, el campo magnético BS

debe apuntar al

norte o al sur. Ahora aplique la regla de la mano derecha.

Cuando la partícula viaja hacia el este, la fuerza magnética

se dirige hacia arriba. Apunte su pulgar en la dirección de

la fuerza y sus dedos en la dirección de la velocidad hacia el

este. Cuando enrolla sus dedos, apuntan al norte, que por

lo tanto debe ser la dirección del campo magnético.

b) Determine la magnitud de la fuerza magnética.

Sustituya los valores dados y la carga de un protón

en la ecuación 19.1. Del inciso a), el ángulo entre la

velocidad vS del protón y el campo magnético B

S es

90.0°.

F 5 qvB sen u

5 (1.60 3 10219 C)(1.00 3 105 m/s) 3 (55.0 3 1026 T) sen (90.0°)

5 8.80 3 10219 N

c) Calcule la fuerza gravitacional sobre el protón y

compárela con la fuerza magnética y también con la

fuerza eléctrica si E 5 1.50 3 102 N/C.

Fgrav 5 mg 5 (1.67 3 10227 kg)(9.80 m/s2)

5 1.64 3 10226 N

Felec 5 qE 5 (1.60 3 10219 C)(1.50 3 10219 N/C)

5 2.40 3 10217 N

COMENTARIOS En la información concerniente a un protón que se mueve hacia el norte fue necesario ajustar la direc-

ción del campo magnético. De otro modo, un campo magnético que apunta a alguna parte al noreste o noroeste podría causar

una fuerza magnética hacia arriba sobre un protón que se mueve hacia el este. Observe en el inciso c) las intensidades rela-

tivas de las fuerzas, con la fuerza eléctrica más grande que la fuerza magnética y ambas mucho más grandes que la fuerza

gravitacional, todo para valores de campo típicos que se encuentran en la naturaleza.

PREGUNTA 19.1 Un electrón y un protón que se mueven con la misma velocidad entran a un campo magnético uniforme.

¿En qué par de formas el campo magnético afecta al electrón de manera diferente al protón?

EJERCICIO 19.1 Suponga que un electrón se mueve hacia el oeste en el mismo campo magnético que en el ejemplo 19.1,

con una rapidez de 2.50 3 105 m/s. Determine la magnitud y dirección de la fuerza magnética sobre el electrón.

RESPUESTA 2.20 3 10218 N, recto hacia arriba. (No olvide: ¡el electrón tiene carga negativa!)

■ EJEMPLO 19.2 Un protón que se mueve en un campo magnético

OBJETIVO Calcular la fuerza magnética y la acele-

ración cuando una partícula se mueve en un ángulo

distinto a 90° en el campo.

PROBLEMA Un protón se mueve a 8.00 3 106 m/s

a lo largo del eje x. Entra a una región donde hay un

campo magnético de 2.50 T de magnitud, dirigido a

un ángulo de 60.0° con el eje x y yace en el plano xy (figura 19.8). a) Encuentre la magnitud y dirección

iniciales de la fuerza magnética sobre el protón. b)

Calcule la aceleración inicial del protón.

ESTRATEGIA Para encontrar la magnitud y direc-

ción de la fuerza magnética necesita sustituir valo-

res en la ecuación para fuerza magnética, ecuación

19.1, y use la regla de la mano derecha. Al aplicar la

segunda ley de Newton resuelve el inciso b).

SOLUCIÓN

a) Determine la magnitud y dirección de la fuerza magné-

tica sobre el protón.

Sustituya v 5 8.00 3 106 m/s, la intensidad del campo mag-

nético B 5 2.50 T, el ángulo y la carga de un protón en la

ecuación 19.1:

F 5 qvB sen u

5 (1.60 3 10219 C)(8.00 3 106 m/s)(2.50 T)(sen 60°)

F 5 2.77 3 10212 N

Aplique la regla de la mano derecha número 1 para encon-

trar la dirección inicial de la fuerza magnética:

Apunte los dedos de la mano derecha en la dirección x (la

dirección de vS) y luego enróllelos hacia B

S. El pulgar apunta

hacia arriba, en la dirección z positiva.

b) Calcule la aceleración inicial del protón.

Sustituya la fuerza y la masa de un protón en la segunda ley

de Newton:

ma 5 F S (1.67 3 10227 kg)a 5 2.77 3 10212 N

a 5 1.66 3 1015 m/s2

COMENTARIOS La aceleración inicial también está en la dirección z positiva. Sin embargo, puesto que la dirección de

vS cambia, la dirección posterior de la fuerza magnética también cambia. Al aplicar la regla de la mano derecha número 1

para encontrar la dirección, fue importante tomar en consideración la carga. Una partícula con carga negativa acelera en

la dirección opuesta.

PREGUNTA 19.2 ¿Un campo magnético constante puede cambiar la velocidad de una partícula cargada? Explique.

EJERCICIO 19.2 Calcule la aceleración de un electrón que se mueve a través del mismo campo magnético del ejemplo

19.2, a la misma rapidez que el protón. La masa de un electrón es 9.11 3 10–31 kg.

RESPUESTA 3.04 3 1018 m/s2 en la dirección z negativa.

19.4 | Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente 655

Figura 19.8 (Ejemplo 19.2) La

fuerza magnética FS

sobre un protón

está en la dirección z positiva cuando

vS

y BS

se encuentran en el plano xy.

60�

y

x

z

�e

vS B

S

FS

19.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente

Si un campo magnético ejerce una fuerza sobre una sola partícula cargada cuando se mue-

ve a través de un campo magnético, no debe sorprenderle que también se ejerzan fuerzas

magnéticas sobre un alambre portador de corriente (véase la figura 19.9 en la página 656).

Puesto que la corriente es una colección de muchas partículas cargadas en movimiento,

la fuerza resultante sobre el alambre se debe a la suma de las fuerzas individuales sobre

656 CAPÍTULO 19 | Magnetismo

Figura 19.9 Este aparato

demuestra la fuerza sobre un

conductor portador de corriente

en un campo magnético externo.

¿Por qué la barra se balancea ale-jándose del imán después de cerrar

el interruptor?

Cort

esía

de

Hen

ry L

eap

y Ji

m L

ehm

an

Cuando la

corriente es hacia

arriba, el alambre

se desvía hacia la

izquierda.

Cuando la

corriente es hacia

abajo, el alambre

se desvía hacia la

derecha.

Cuando no

hay corriente

en el alambre,

permanece

vertical.

I � 0 I

Bdentro

SBdentro

SBdentro

S

I

a b c

Figura 19.10 Segmento de un alambre vertical flexible parcialmente estirado entre los polos de un

imán, con el campo (cruces verdes) dirigido hacia la página.

las partículas cargadas. La fuerza sobre las partículas se transmite hacia el “volumen” del

alambre mediante colisiones con los átomos que constituyen al alambre.

Es necesaria cierta explicación en cuanto a la notación en muchas de las figuras. Para

indicar la dirección de BS

, se usan las siguientes convenciones:

Si BS

se dirige hacia la página, como en la figura 19.10, se usa una serie de cruces ver-

des, que representan las colas de las flechas. Si BS

se dirige afuera de la página, se usa

una serie de puntos verdes, que representan las puntas de las flechas. Si BS

yace en el

plano de la página, se usa una serie de líneas de campo verde con puntas de flecha.

La fuerza sobre un conductor portador de corriente se puede demostrar al colgar un

alambre entre los polos de un imán, como en la figura 19.10. En esta figura, el campo mag-

nético se dirige hacia la página y cubre la región dentro del área sombreada. El alambre se

desvía hacia la derecha o izquierda cuando porta una corriente.

Este análisis se puede cuantificar al considerar un segmento recto de alambre de longi-

tud , y área transversal A que porta corriente I en un campo magnético uniforme externo

BS

, como en la figura 19.11. Suponga que el campo magnético es perpendicular al alambre

y se dirige hacia la página. Una fuerza de magnitud Fmáx 5 qvdB se ejerce sobre cada porta-

dor de carga en el alambre, donde vd es la velocidad de deriva de la carga. Para encontrar

la fuerza total sobre el alambre, multiplique la fuerza sobre un portador de carga por el

número de portadores en el segmento. Puesto que el volumen del segmento es A,, el núme-

ro de portadores es nA,, donde n es el número de portadores por unidad de volumen. En

consecuencia, la magnitud de la fuerza magnética total sobre el alambre de longitud , es

la siguiente:

Fuerza total 5 fuerza sobre cada portador de carga 3 número total de portadores

Fmáx 5 (qvdB)(nA,)

Sin embargo, del capítulo 17 sabemos que la corriente en el alambre está dada por la ex-

presión I 5 nqvdA, de modo que

Fmáx 5 BI, [19.5]

Esta ecuación se puede usar sólo cuando la corriente y el campo magnético forman un

ángulo recto entre sí.

Figura 19.11 Sección de un

alambre que contiene cargas en

movimiento en un campo magnético

externo BS

.

q

A

Fmáx

S

Bdentro

S

vdS

1

,

Tip 19.2 El origen de la fuerza magnética sobre un alambre Cuando un campo magnético se

aplica en cierto ángulo a un alam-

bre que porta una corriente, se

ejerce una fuerza magnética sobre

cada carga en movimiento en el

alambre. La fuerza magnética

total sobre el alambre es la suma

de todas las fuerzas magnéticas

sobre las cargas individuales, lo

que produce la corriente.

19.4 | Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente 657

Si el alambre no es perpendicular al campo sino que está formando algún ángulo ar-

bitrario, como en la figura 19.12, la magnitud de la fuerza magnética sobre el alambre es

F 5 BI, sen u [19.6]

donde u es el ángulo entre BS

y la dirección de la corriente. La dirección de esta fuerza se

puede obtener con el uso de la regla de la mano derecha número 1. Sin embargo, en este

caso, debe colocar sus dedos en la dirección de la corriente positiva I, en lugar de vS en la

dirección de BS

. La corriente, naturalmente, se constituye con cargas que se mueven con

cierta velocidad, de modo que ésta en realidad no es una regla separada. En la figura 19.12

la dirección de la fuerza magnética sobre el alambre es hacia afuera de la página.

Finalmente, cuando la corriente está ya sea en la dirección del campo u opuesta a la

dirección del campo, la fuerza magnética sobre el alambre es cero.

Una fuerza magnética que actúa sobre un alambre portador de corriente en un campo

magnético es el principio operativo de la mayoría de las bocinas en los sistemas de sonido.

El diseño de una bocina, que se muestra en la figura 19.13, consiste en una bobina de

alambre llamada bobina de altavoz, un cono de papel flexible que actúa como la bocina

y un imán permanente. A la bobina de alambre que rodea el polo norte del imán se le da

una forma tal que las líneas de campo magnético se dirigen radialmente hacia afuera des-

de el eje de la bobina. Cuando una señal eléctrica se envía a la bobina, lo que produce una

corriente en ésta como en la figura 19.13, una fuerza magnética hacia la izquierda actúa

sobre la misma. (Esto se puede observar al aplicar la regla de la mano derecha número 1

a cada vuelta de alambre.) Cuando la corriente invierte su dirección, como sería para una

corriente que varía sinusoidalmente, la fuerza magnética sobre la bobina también invierte

su dirección y el cono, que se une a la bobina, acelera hacia la derecha. Una corriente

alterna a través de la bobina causa una fuerza alterna sobre ella, que resulta en vibraciones

del cono. El cono que vibra crea ondas sonoras conforme empuja y jala el aire enfrente de

él. De esta forma, una señal eléctrica de 1 kHz se convierte en una onda sonora de 1 kHz.

Una aplicación de la fuerza sobre un conductor portador de corriente se ilustra me-

diante la bomba electromagnética que se muestra en la figura 19.14. Los corazones arti-

ficiales requieren una bomba para mantener el flujo de sangre y las máquinas de diálisis

renal también requieren una bomba para auxiliar al corazón a bombear la sangre que se

debe limpiar. Las bombas mecánicas ordinarias crean problemas porque dañan las células

sanguíneas conforme se mueven a través de la bomba. El mecanismo que se muestra en

la figura ha mostrado ser prometedor en tales aplicaciones. A través de un segmento del

tubo que contiene la sangre, que fluye en la dirección de la velocidad vS, se establece un

campo magnético. Una corriente eléctrica que pasa a través del fluido en la dirección que

se muestra tiene una fuerza magnética que actúa sobre él en la dirección de vS, como se

muestra al aplicar la regla de la mano derecha. Esta fuerza ayuda a mantener la sangre en

movimiento.

APLICACIÓN

Operación de bocina

APLICACIÓN

Bombas electromagnéticas para corazones y riñones artificiales

Figura 19.12 Un alambre portador

de corriente I en presencia de un campo

magnético externo BS

que forma un

ángulo u con el alambre. El vector de la

fuerza magnética sale de la página.

I

u

BS

Figura 19.13 Diagrama de una

bocina.

N

S

S

Bobina

de altavoz

Cono

de

papel

Corriente

BS

FS

Figura 19.14 Una bomba elec-

tromagnética simple no tiene par-

tes móviles que pueden dañar un

fluido conductor, como la sangre

que pasa por él. Aplicación de la

regla número uno de la derecha (los

dedos justo en la dirección de la

corriente I, girados en la dirección

de BS

, el pulgar apunta en la direc-

ción de la fuerza) muestra que la

fuerza en el segmento de transporte

de corriente del fluido se encuentra

en el dirección de la velocidad.

I

vS

BS

■ FÍSICA APLICADA 19.2 Relámpagos

En un relámpago existe un rápido movimiento de carga ne-

gativa desde una nube hasta el suelo. ¿En qué dirección se

desvía un relámpago por el campo magnético de la Tierra?

EXPLICACIÓN El flujo descendente de carga negativa en

un relámpago es equivalente a una corriente que se mueve

hacia arriba. En consecuencia, se tiene una corriente que se

mueve hacia arriba en un campo magnético que se dirige

hacia el norte. De acuerdo con la regla de la mano derecha

número 1, el relámpago se desviaría hacia el oeste. ■

658 CAPÍTULO 19 | Magnetismo

19.5 Torque sobre una espira de corriente y motores eléctricos

En la sección anterior mostramos cómo se ejerce una fuerza magnética sobre un conduc-

tor portador de corriente cuando el conductor se coloca en un campo magnético externo.

Con este punto de partida, ahora mostraremos que, sobre una espira de corriente coloca-

do en un campo magnético, se ejerce un torque. Los resultados de este análisis serán de

gran valor práctico cuando estudie los generadores y motores en el capítulo 20.

Considere una espira rectangular que porta corriente I en presencia de un campo mag-

nético uniforme externo en el plano de la espira, como se muestra en la figura 19.15a. Las

fuerzas sobre los lados de longitud a son cero porque dichos alambres son paralelos al cam-

po. Sin embargo, las magnitudes de las fuerzas magnéticas sobre los lados de longitud b son

F1 5 F2 5 BIb

La dirección de FS

1, la fuerza sobre el lado izquierdo del lazo, es hacia afuera de la página

y que FS

2, la fuerza en el lado derecho de la espira, es hacia adentro de la página. Si ve el

lazo desde el lado, como en la figura 19.15b, las fuerzas se dirigen como se muestran. Si

■ EJEMPLO 19.3 Un alambre que porta corriente en el campo magnético de la Tierra

OBJETIVO Comparar la fuerza magnética sobre un alambre portador de corriente con la fuerza gravitacional que se

ejerce sobre el alambre.

PROBLEMA Un alambre porta una corriente de 22.0 A de oeste a este. Suponga que el campo magnético de la Tierra en

esta ubicación es horizontal y se dirige de sur a norte y tiene una magnitud de 0.500 3 1024 T. a) Encuentre la magnitud y

dirección de la fuerza magnética sobre una longitud de alambre de 36.0 m. b) Calcule la fuerza gravitacional sobre la misma

longitud de alambre si está hecho de cobre y tiene un área transversal de 2.50 3 10–6 m2.

SOLUCIÓN

a) Calcule la fuerza magnética sobre el alambre.

Sustituya en la ecuación 19.6 y use el hecho de que el

campo magnético y la corriente forman un ángulo recto

entre sí:

F 5 BI, sen u 5 (0.500 3 1024 T)(22.0 A)(36.0 m) sen 90.0°

5 3.96 3 1022 N

Aplique la regla de la mano derecha número 1 para encon-

trar la dirección de la fuerza magnética:

Con los dedos de su mano derecha apuntando de oeste a

este en la dirección de la corriente, enróllelos al norte en

la dirección del campo magnético. Su pulgar apunta hacia

arriba.

b) Calcule la fuerza gravitacional sobre el segmento de

alambre.

Primero, obtenga la masa del alambre a partir de la densi-

dad del cobre, la longitud y el área transversal del alambre:

m 5 rV 5 r(A,)

5 (8.92 3 103 kg/m3)(2.50 3 1026 m2 ? 36.0 m)

5 0.803 kg

Para obtener la fuerza gravitacional, multiplique la masa

por la aceleración de la gravedad:Fgrav 5 mg 5 7.87 N

COMENTARIOS Este cálculo demuestra que, bajo circunstancias normales, la fuerza gravitacional sobre un conductor

portador de corriente es mucho mayor que la fuerza magnética debida al campo magnético de la Tierra.

PREGUNTA 19.3 ¿Qué fuerza magnética se ejerce sobre un alambre portador de corriente paralelo a la dirección del

campo magnético?

EJERCICIO 19.3 ¿Qué corriente haría que la fuerza magnética en el ejemplo sea igual en magnitud a la fuerza gravitatoria?

RESPUESTA 4.37 3 103 A, una gran corriente que muy rápidamente calentaría y fundiría el alambre.

19.5 | Torque sobre una espira de corriente y motores eléctricos 659

supone que la espira tiene pivote de modo que puede girar en torno al punto O, vemos

que estas dos fuerzas producen un torque en torno a O, que gira a la espira en sentido de

las manecillas del reloj. La magnitud de este torque, tmáx, es

tmáx 5 F1 a2

1 F2 a2

5 1BIb 2 a2

1 1BIb 2 a2

5 BIab

donde el brazo de momento en torno a O es a/2 para ambas fuerzas. Puesto que el área del

lazo es A 5 ab, el torque se puede expresar como

tmáx 5 BIA [19.7]

Este resultado sólo es válido cuando el campo magnético es paralelo al plano del lazo, como

en la figura 19.15b. Si el campo forma un ángulo u con una línea perpendicular al plano de

la espira, como en la figura 19.15c, el brazo de momento para cada fuerza está dada por

(a/2) sen u. Un análisis similar al anterior produce, para la magnitud del torque,

t 5 BIA sen u [19.8]

Este resultado muestra que el torque tiene el máximo valor BIA cuando el campo es para-

lelo al plano de la espira (u 5 90°) y es cero cuando el campo es perpendicular al plano

de la espira (u 5 0). Como se ve en la figura 19.15c, el lado tiende a girar a valores más

pequeños de u (de modo que la normal al plano de la espira gira hacia la dirección del

campo magnético).

Aunque el análisis anterior fue para una espira rectangular, una derivación más general

muestra que la ecuación 19.8 se aplica sin importar la forma de la espira. Más aún, el torque

sobre una bobina con N vueltas es

t 5 BIAN sen u [19.9a]

La cantidad m 5 IAN se define como la magnitud del vector mS llamado momento magnético

de la bobina. El vector mS siempre apunta perpendicular al plano de la espira y es tal que

si el pulgar de la mano derecha apunta en la dirección de mS, los dedos de la mano apuntan

en la dirección de la corriente. El ángulo u en las ecuaciones 19.8 y 19.9 yace entre las

direcciones del momento magnético mS y el campo magnético B

S. El torque magnético se

puede escribir entonces

t 5 mB sen u [19.9b]

Figura 19.15 a) Vista superior de un lazo rectangular en un campo magnético uniforme. b) Una

vista lateral del lazo rectangular del inciso a). c) Una vista lateral del lazo el inciso a) con la perpendicular

al lazo que está a un ángulo u con respecto al campo magnético.

a

b

I

O

a2

I

I

I

BS

Las fuerzas magnéticas actúan

sobre los lados con una

corriente perpendicular a BS

pero no sobre los lados con

corriente paralela a BS

.

BS

F1

S

F2

S

Las fuerzas F1 y F2 en los

lados de longitud b, crean

un torque que tiende a

hacer girar al lazo en el

sentido de las manecillas

del reloj.

S S

a b

a2– sen

a2–

u

u

F1

S

F2

S

BS

Si BS

está a un ángulo u con una

línea perpendicular al plano

del lazo, la magnitud del torque

está dada por BIA sen u.

c

660 CAPÍTULO 19 | Magnetismo

Observe que el torque tS es siempre perpendicular al momento magnético m

S y el campo

magnético BS

.

■ Examen rápido

19.3 Una espira cuadrada y una circular con la misma área yacen en el plano xy,

donde hay un campo magnético uniforme BS

que apunta en cierto ángulo u con res-

pecto a la dirección z positiva. Cada espira porta la misma corriente, en la misma

dirección. ¿Cuál torque magnético es más grande? a) el torque sobre la espira cua-

drado, b) el torque sobre la espira circular, c) los torques son iguales, d) se necesita

más información.

■ EJEMPLO 19.4 El torque sobre una espira circular en un campo magnético

OBJETIVO Calcular un torque magnético

sobre una espira de corriente.

PROBLEMA Una espira de alambre circular,

de 1.00 m de radio, se coloca en un campo

magnético de 0.500 T de magnitud. La nor-

mal al plano de la espira forma un ángulo

de 30.0° con el campo magnético (figura

19.16a). La corriente en la aspira es 2.00 A

en la dirección que se muestra. a) Encuen-

tre el momento magnético de la espira y la

magnitud del torque en este instante. b) La

misma corriente la porta una bobina rec-

tangular de 2.00 por 3.00 m con tres espiras

que se muestra en la figura 19.16b. Encuen-

tre el momento magnético de la bobina y

la magnitud del torque que actúa sobre la

bobina en dicho instante.

ESTRATEGIA Para cada inciso, sólo tiene

que calcular el área, usarla en el cálculo del

momento magnético y multiplicar el resul-

tado por B sen u. En conjunto, este proceso

equivale a sustituir valores en la ecuación

19.9b.

SOLUCIÓN

a) Encuentre el momento magnético de la espira circular

y el torque magnético que se ejerce sobre él.

Primero, calcule el área encerrada de la espira circular:

A 5 pr 2 5 p(1.00 m)2 5 3.14 m2

Calcule el momento magnético de la espira: m 5 IAN 5 (2.00 A)(3.14 m2)(1) 5 6.28 A ? m2

Ahora sustituya valores para el momento magnético, campo

magnético y u en la ecuación 19.9b:t 5 mB sen u 5 (6.28 A ? m2)(0.500 T)(sen 30.0°)

5 1.57 N ? m

b) Encuentre el momento magnético de la bobina rectangu-

lar y el torque magnético que se ejerce sobre ella.

Calcule el área de la bobina:

A 5 L 3 H 5 (2.00 m)(3.00 m) 5 6.00 m2

Calcule el momento magnético de la bobina: m 5 IAN 5 (2.00 A)(6.00 m2)(3) 5 36.0 A ? m2

Sustituya valores en la ecuación 19.9b: t 5 mB sen u 5 (0.500 T)(36.0 A ? m2)(sen 30.0°)

5 9.00 N ? m

30�

I

r

I

yx

z

yx

z

30�

2.00 m 3.00 m

Iyx

z

2.00 m 3.00 m

a b

c

BS

mS

BSm

S

BSm

S

u

Figura 19.16 (Ejemplo 19.4)

a) Una espira de corriente circular

en un campo magnético externo BS

.

b) Una espira de corriente rectangu-

lar en el mismo campo.

c) (Ejercicio 19.4).

19.6 | Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético 661

Motores eléctricosEs difícil imaginar la vida en el siglo xxi sin motores eléctricos. Algunas aplicaciones que

contienen motores incluyen las unidades de disco de las computadoras, los reproducto-

res de CD y DVD, los procesadores de alimentos y licuadoras, los arranques de los autos,

hornos y acondicionadores de aire. Los motores convierten la energía eléctrica en energía

cinética de rotación y consisten en una espira rígida portadora de corriente que gira cuando

se coloca en el campo de un imán.

Como acaba de ver (figura 19.15), el torque sobre la espira lo hace girar a valores más

pequeños de u hasta que el torque se vuelve cero, cuando el campo magnético es perpendi-

cular al plano de la espira y u 5 0. Si el giro de la espira pasa por este ángulo y la corriente

permanece en la dirección que se muestra en la figura, el torque invierte la dirección y

hace girar la espira en la dirección opuesta, esto es, contra las manecillas del reloj. Para

superar esta dificultad y proporcionar rotación continua en una dirección, la corriente en

la espira debe invertir su dirección periódicamente. En los motores de corriente alterna

(CA), tal inversión ocurre de manera natural 120 veces cada segundo. En los motores de co-

rriente directa (CD), la inversión se logra mecánicamente con contactos de collar partido

(conmutadores) y escobillas, como se muestra en la figura activa 19.17.

Aunque los motores reales contienen muchas espiras de corriente y conmutadores,

por simplicidad la figura activa 19.17 sólo muestra una sola espira y un solo conjunto de

contactos de collar partido (conmutadores) rígidamente unidos a, y que giran con, la

espira. Los contactos eléctricos estacionarios llamados escobillas se mantienen en contacto

eléctrico con los conmutadores giratorios. Estas escobillas por lo general están hechas de

grafito porque es un buen conductor eléctrico, así como un buen lubricante. Justo cuando

la espira queda perpendicular al campo magnético y el torque es cero, la inercia lleva la

espira hacia adelante, en la dirección de las manecillas del reloj y las escobillas cruzan las

brechas en los anillos conmutadores, lo que hace que la corriente en la espira invierta su

dirección. Esta inversión proporciona otro pulso de torque en la dirección de las maneci-

llas del reloj durante otros 180°, la corriente se invierte y el proceso se repite a sí mismo.

La figura 19.18 muestra un motor moderno que se usa para impulsar un automóvil híbrido

gasolina-eléctrico.

19.6 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético

Considere el caso de una partícula con carga positiva que se mueve en un campo magné-

tico uniforme, de modo que la dirección de la velocidad de la partícula es perpendicular al campo, como en la figura activa 19.19 (página 662). La marca B

S

adentro y las cruces indican

que BS

se dirige hacia la página. La aplicación de la regla de la mano derecha en el punto P muestra que la dirección de la fuerza magnética F

S en la posición es hacia arriba. La fuerza

hace que la partícula altere su dirección de viaje y siga una trayectoria curva. La aplicación

de la regla de la mano derecha a cualquier punto muestra que la fuerza magnética siempre

se dirige hacia el centro de la trayectoria circular; por lo tanto, la fuerza magnética causa

una aceleración centrípeta, que cambia sólo la dirección de vS y no su magnitud. Puesto

APLICACIÓN

Motores eléctricos

COMENTARIOS Al calcular un torque magnético, no es estrictamente necesario calcular el momento magnético. En vez

de ello, puede usar directamente la ecuación 19.9a.

PREGUNTA 19.4 ¿Qué ocurre con la magnitud del torque si el ángulo aumenta hacia 90°? ¿Va más allá de 90°?

EJERCICIO 19.4 Suponga que una bobina triangular recta, con 2.00 m de base y 3.00 m de alto, tiene dos espiras que

portan una corriente de 2.00 A, como se muestra en la figura 19.16c. Encuentre el momento magnético y el torque sobre la

bobina. El campo magnético de nuevo es 0.500 T y forma un ángulo de 30.0° con respecto a la dirección normal.

RESPUESTAS m 5 12.0 A ? m2, t 5 3.00 N ? m

Figura activa 19.17 Bosquejo simplificado de un motor

eléctrico CD.

N

S

I

Escobillas Conmutadores

de collar partido

Eje de rotación

de espira

Fuente de

poder CD

BS

� �

Figura 19.18 Compartimiento

del motor del Toyota Prius, un

vehículo híbrido.

John

W. J

ewet

t, Jr

.

662 CAPÍTULO 19 | Magnetismo

que FS

produce la aceleración centrípeta, es posible igualar su magnitud, qvB en este caso,

con la masa de la partícula multiplicada por la aceleración centrípeta v2/r. A partir de la

segunda ley de Newton, se encuentra que

F 5 qvB 5mv 2

r

lo que produce

r 5mvqB

[19.10]

Esta ecuación dice que el radio de la trayectoria es proporcional a la cantidad de movi-

miento mv de la partícula y es inversamente proporcional a la carga y el campo magnético.

La ecuación 19.10 con frecuencia se llama ecuación de ciclotrón, porque se usa en el diseño

de estos instrumentos (popularmente conocidos como destrozadores de átomos).

Si la dirección inicial de la velocidad de la partícula cargada no es perpendicular

al campo magnético, como se muestra en la figura activa 19.20, la trayectoria que sigue la

partícula es una espiral (llamada hélice) a lo largo de las líneas del campo magnético.

Figura activa 19.19 Cuando la velocidad de una

partícula cargada es perpendicular

a un campo magnético uniforme, la

partícula se mueve en una circunfe-

rencia cuyo plano es perpendicular

a BS

, que se dirige hacia la página.

(Las cruces representan las colas de

los vectores de campo magnético.)

r

q

q

q

vS

vS

vS

FS

FS

FS

Badentro

S

�

�

�

La fuerza magnética FS

sobre la

carga siempre se dirige hacia el

centro de la circunferencia. Trayectoria

helicoidal

x

�q

z

y

�BS

Figura activa 19.20 Una partícula cargada que tiene una velocidad

dirigida en un ángulo con un campo mag-

nético uniforme se mueve en una trayectoria

helicoidal.

Región de campo magnético

(hacia fuera de la página)

Movimiento

de la partícula

vS

FS

■ FÍSICA APLICADA 19.3 Captura de cargas

Almacenar partículas cargadas es importante para varias apli-

caciones. Suponga que en una región finita del espacio existe

un campo magnético uniforme. ¿Es posible inyectar desde

el exterior una partícula cargada en esta región y que quede

atrapada en la región sólo mediante fuerza magnética?

EXPLICACIÓN Es mejor considerar por separado las com-

ponentes de velocidad de la partícula paralela y perpen-

dicular a las líneas de campo en la región. No existe fuerza

magnética sobre la partícula asociada con la componente de

velocidad paralela a las líneas de campo, de modo que la

componente de velocidad permanece invariable.

Ahora considere la componente de velocidad perpendicu-

lar a las líneas de campo. Esta componente resultará en una

fuerza magnética que es perpendicular tanto a las líneas de

campo como a la componente de velocidad en sí. La trayecto-

ria de una partícula para la cual la fuerza siempre es perpendi-

cular a la velocidad es una circunferencia. Por lo tanto, la par-

tícula sigue un arco circular y sale del campo en el otro lado

de la circunferencia, como se muestra en la figura 19.21 pa-

ra una partícula con energía cinética constante. Por otra par-

te, una partícula puede quedar atrapada si pierde algo de

energía cinética en una colisión después de entrar al campo.

Las partículas pueden inyectarse y quedar contenidas si,

además del campo magnético, se involucran campos electros-

táticos. Estos campos se usan en la trampa de Penning. Con estos

dispositivos, es posible almacenar partículas cargadas durante

largos periodos. Tales trampas son útiles, por ejemplo, en el

almacenamiento de antimateria, que se desintegran por com-

pleto en contacto con la materia ordinaria. ■

Figura 19.21 (Física aplicada 19.3)

19.6 | Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético 663

■ Examen rápido

19.4 Conforme una partícula cargada se mueve libremente en una trayectoria circu-

lar en presencia de un campo magnético constante aplicado perpendicular a la veloci-

dad de la partícula, la energía de la partícula a) permanece constante, b) aumenta o

c) disminuye.

■ EJEMPLO 19.5 El espectrómetro de masas: identificación de partículas

OBJETIVO Usar la ecuación del ciclotrón para identificar una partícula.

PROBLEMA Una partícula cargada entra al campo magnético de un espectrómetro de masas con una velocidad de 1.79 3 106 m/s.

Posteriormente se mueve en una órbita circular con un radio de 16.0 cm en un campo magnético uniforme de 0.350 T de

magnitud que tiene una dirección perpendicular a la velocidad de la partícula. Encuentre la razón masa a carga de la partícula

e identifíquela con base en la tabla de abajo.

ESTRATEGIA Después de encontrar la razón masa a carga con la ecuación 19.10, compárela con los valores en la tabla e

identifique la partícula.

SOLUCIÓN

Escriba la ecuación del ciclotrón:

Resuelva esta ecuación para la masa dividida por

la carga, m/q, y sustituya valores:

Identifique la partícula en la tabla. Todas las

partículas están completamente ionizadas.

La partícula es tritio.

COMENTARIOS El espectrómetro de masas es una importante herramienta tanto en química como en física. Los quími-

cos desconocidos se pueden calentar y ionizar y las partículas resultantes pasan a través del espectrómetro de masas y poste-

riormente se identifican.

PREGUNTA 19.5 ¿Qué ocurre con la cantidad de movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme?

EJERCICIO 19.5 Suponga que una segunda partícula cargada entra al espectrómetro de masas con la misma rapidez que

la partícula del ejemplo 19.5. Si viaja en una circunferencia de 10.7 cm de radio, encuentre la razón masa a carga e identifi-

que la partícula en la tabla anterior.

RESPUESTAS 2.09 3 1028 kg/C; deuterio

rmvqB

5

mq

5rBv

510.160 m 2 10.350 T 2

1.79 3 106 m/s5 3.13 3 1028

kg

C

Núcleo m (kg) q (C) m/q (kg/C)

Hidrógeno

Deuterio

Tritio

Helio-3

1.67 3 10227

3.35 3 10227

5.01 3 10227

5.01 3 10227

1.60 3 10219

1.60 3 10219

1.60 3 10219

3.20 3 10219

1.04 3 1028

2.09 3 1028

3.13 3 1028

1.57 3 1028

■ EJEMPLO 19.6 El espectrómetro de masas: separación de isótopos

OBJETIVO Aplicar la ecuación del ciclotrón al proceso de separación de isótopos.

PROBLEMA Dos átomos individualmente ionizados

se mueven afuera de una rendija en el punto S de la

figura 19.22 y hacia un campo magnético de 0.100 T

de magnitud que apunta hacia la página. Cada uno tiene

una velocidad de 1.00 3 106 m/s. El núcleo del primer

átomo contiene un protón y tiene una masa de 1.67 3

10227 kg, mientras que el núcleo del segundo átomo

contiene un protón y un neutrón y tiene una masa de

3.34 3 10227 kg. Los átomos con el mismo número

de protones en el núcleo pero diferentes masas se lla-

man isótopos. Los dos isótopos aquí son hidrógeno y

deuterio. Encuentre su distancia de separación cuando

golpean una placa fotográfica en P.

APLICACIÓN

Espectrómetros de masas

SP

Placafotográfica

2r1

2r2

adentroBS

Figura 19.22 (Ejemplo 19.6) Dos

isótopos dejan la rendija en el punto

S y viajan en diferentes trayectorias

circulares antes de golpear una placa

fotográfica en P.

(continúa)

664 CAPÍTULO 19 | Magnetismo

19.7 Campo magnético de un alambre largo recto y ley de Ampère

Durante una conferencia de demostración en 1819, el científico danés Hans Oersted

(1777-1851) descubrió que una corriente eléctrica en un alambre desviaba la aguja de una

brújula cercana. Este descubrimiento momentáneo, que ligaba un campo magnético con

una corriente eléctrica por primera vez, fue el comienzo de la comprensión del origen del

magnetismo.

Un experimento simple que realizó por primera vez Oersted en 1820 demuestra clara-

mente que un conductor portador de corriente produce un campo magnético. En este ex-

perimento, muchas brújulas se colocaron en un plano horizontal cerca de un largo alambre

vertical, como en la figura activa 19.23a. Cuando no había corriente en el alambre, todas

ESTRATEGIA Aplique la ecuación del ciclotrón a cada átomo y encuentre el radio de la trayectoria de cada uno. Duplique

los radios para determinar los diámetros de trayectoria y luego encuentre su diferencia.

SOLUCIÓN

Use la ecuación 19.10 para encontrar el radio de la trayecto-

ria circular que sigue el isótopo más ligero, hidrógeno:

Use la misma ecuación para calcular el radio de la

trayectoria de deuterio, el isótopo más pesado:

Multiplique los radios por 2 para encontrar los diámetros

y tomar la diferencia, con lo que se obtiene la separación x entre los isótopos:

x 5 2r2 2 2r1 5 0.210 m

COMENTARIOS Durante la Segunda Guerra Mundial, los espectrómetros de masas se usaron para separar el isótopo

radiactivo del uranio U-235 de su isótopo mucho más común, U-238.

PREGUNTA 19.6 Estime el radio de la circunferencia que traza un átomo de plomo individualmente ionizado que se

mueve con la misma velocidad.

EJERCICIO 19.6 Use el mismo espectrómetro de masas del ejemplo 19.6 para encontrar la separación entre dos isótopos

de helio: el helio-4 normal, que tiene un núcleo que consiste en dos protones y dos neutrones, y el helio-3, que tiene dos

protones y un solo neutrón. Suponga que ambos núcleos, doblemente ionizados (con carga de 2e 5 3.20 3 10–19 C), entran

al campo en 1.00 3 106 m/s. El núcleo de helio-4 tiene una masa de 6.64 3 10227 kg, y el núcleo de helio-3 tiene una masa

de 5.01 3 10–27 kg.

RESPUESTA 0.102 m

r1 5m 1vqB

511.67 3 10227 kg 2 11.00 3 106 m/s 2

11.60 3 10219 C 2 10.100 T 25 0.104 m

r2 5m 2v

qB5

13.34 3 10227 kg 2 11.00 3 106 m/s 211.60 3 10219 C 2 10.100 T 2

5 0.209 m

Figura activa 19.23 a), b) Brújulas que muestran los

efectos de la corriente en la

cercanía de un alambre.

Cuando no hay corriente en el

alambre vertical, todas las agujas

de las brújulas apuntan en la

misma dirección.

Cuando el alambre porta una fuerte corriente,

las agujas de las brújulas se desvían en direcciones

tangentes a la circunferencia y apuntan en la

dirección de BS

debido a la corriente.

BSI � 0

I

a b

19.7 | Campo magnético de un alambre largo recto y ley de Ampère 665

las agujas apuntaban en la misma dirección (la del campo de la Tierra), como uno espe-

raría. Sin embargo, cuando el alambre porta una fuerte corriente estacionaria, las agujas

se desvían en direcciones tangentes a la circunferencia, como en la figura activa 19.23b.

Estas observaciones muestran que la dirección de BS

es consistente con la siguiente regla

conveniente, la regla de la mano derecha número 2:

Apunte el pulgar de su mano derecha a lo largo del alambre en la dirección de co-

rriente positiva, como en la figura 19.24a. Entonces sus dedos se enrollan de manera

natural en la dirección del campo magnético BS

.

Cuando la corriente se invierte, las limaduras en la figura 19.24b también se invierten.

Puesto que las limaduras apuntan en la dirección de BS

, concluimos que las líneas de BS

forman circunferencias en torno al alambre. Por simetría, la magnitud de BS

es la misma en

todas partes sobre una trayectoria circular con centro en el alambre y que yace en un plano

perpendicular al alambre. Al variar la corriente y la distancia desde el alambre, se puede

determinar experimentalmente que BS

es proporcional a la corriente e inversamente pro-

porcional a la distancia desde el alambre. Estas observaciones condujeron a una expresión

matemática para la intensidad del campo magnético debido a la corriente I en un largo

alambre recto:

B 5m0I2pr

[19.11]

La constante de proporcionalidad m0, llamada permeabilidad del espacio libre, tiene el

valor

m0 ; 4p 3 1027 T ? m/A [19.12]

Ley de Ampère y un alambre largo rectoLa ecuación 19.11 le permite calcular el campo magnético debido a un alambre largo

recto que porta una corriente. Un procedimiento general para deducir tales ecuaciones lo

propuso el científico francés André-Marie Ampère (1775-1836); proporciona una relación

entre la corriente en un alambre con forma arbitraria y el campo magnético producido

por el alambre.

Considere una trayectoria cerrada arbitraria que rodea una corriente, como en la figu-

ra 19.25 (página 666). La trayectoria consiste en muchos segmentos cortos, cada uno de

longitud ,. Multiplique una de dichas longitudes por el componente del campo magnéti-

co paralelo a dicho segmento, donde el producto se marca B i ,. De acuerdo con Ampère,

la suma de todos esos productos sobre la trayectoria cerrada es igual a m0 por la corriente

neta I que pasa a través de la superficie acotada por la trayectoria cerrada. Este enunciado,

conocido como ley de circuito de Ampère, se puede escribir

a B i , 5 m0I [19.13]

b Campo magnético debido a un largo alambre recto

Figura 19.24 a) Regla de la mano

derecha número 2 para determinar

la dirección del campo magnético

debido a un alambre largo recto que

porta una corriente. Observe que las

líneas del campo magnético forman

circunferencias alrededor del alam-

bre. b) Líneas de campo magnético

circular que rodean un alambre por-

tador de corriente, que se muestran

mediante las limaduras de hierro.r

I

BS

a b

Tip 19.3 ¡Levante su mano derecha!En este capítulo se introdujeron

dos reglas de la mano derecha.

Asegúrese de usar sólo su mano

derecha cuando aplique estas

reglas.

Hans Christian OerstedFísico y químico danés

(1777-1851)

Oersted es reconocido por observar

que la aguja de una brújula se desvía

cuando se coloca cerca de un alambre

que porta una corriente. Este impor-

tante descubrimiento fue la primera

evidencia de la conexión entre fenóme-

nos eléctricos y magnéticos. Oersted

también fue el primero en preparar

aluminio puro.

© R

icha

rd M

egna

, Fun

dam

enta

l Pho

togr

aphs

Nor

th W

ind

Pict

ure

Arc

hive

s

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lución de los tipos de problemas que aparecen en ambos ejemplos resueltos y en los problemas de final de capítulo.

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