general relativity course handout
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8/8/2019 General Relativity Course Handout
1/20
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8/8/2019 General Relativity Course Handout
2/20
M e t r i c D i e r e n t i a l G e o m e t r y 2
A c o v a r i a n t v e c t o r e l d v
a
( x
b
) i s a v e c t o r f u n c t i o n o f p o s i t i o n . F o r e x a m p l e i f ( x
b
)
i s a s c a l a r e l d t h e n
v
a
=
a
: =
@
@ x
a
i s a c o v a r i a n t v e c t o r e l d , s i n c e
v
a
0
=
@
@ x
a
0
=
@ x
a
@ x
a
0
@
@ x
a
:
A f u r t h e r e x a m p l e i s a p r e s s u r e g r a d i e n t p
a
i n a u i d .
C o n t r a v a r i a n t v e c t o r s : s u p p o s e a c u r v e x
a
( ) , p a r a m a t e r i s e d b y h a s a t a n g e n t
o f v
a
=
d x
a
d
a t t h e p o i n t P , t h e n v
a
i s a c o n t r a v a r i a n t v e c t o r . T h e f o l l o w s b e c a u s e
v
a
0
=
d x
a
0
d
=
d x
a
0
d x
a
d x
a
d
:
O t h e r e x a m p l e s a r e t h e 4 - v e l o c i t y o f a n o b s e r v e r , u
a
=
d x
a
d
, w h e r e i s p r o p e r t i m e .
E x a m p l e s o f T e n s o r s
( i ) K r o n e c k e r D e l t a :
p
a
a
0
p
b
0
b
b
a
= p
a
a
0
p
b
0
a
=
b
0
a
0
:
( i i ) M e t r i c t e n s o r g
a b
, s i n c e t h e i n v a r i a n t d s
2
c a n b e w r i t t e n
d s
2
= g
a b
d x
a
d x
b
= g
a b
@ x
a
@ x
a
0
d x
a
0
@ x
b
@ x
b
0
d x
b
0
= g
a
0
b
0
d x
a
0
d x
b
0
w h e r e g
a
0
b
0
= g
a b
p
a
a
0
p
b
b
0
.
F u r t h e r e x a m p l e s w i l l b e p r o v i d e d i n t h e s e q u e l b y t h e c u r v a t u r e a n d e n e r g y m o m e n -
t u m t e n s o r s .
O p e r a t i o n s P r e s e r v i n g T e n s o r P r o p e r t y
( i ) A d d i t i o n e . g . T
a b
+ W
a b
i s t e n s o r .
( i i ) M u l t i p l i c a t i o n b y S c a l a r e . g . f T
a b
.
( i i i ) O u t e r P r o d u c t s e . g . v
a
T
b c
t r a n s f o r m s a s
v
a
0
T
b
0
c
0
= p
a
0
a
p
b
b
0
p
c
c
0
v
a
T
b c
:
( i v ) C o n t r a c t i o n o f o n e c o v a r i a n t w i t h o n e c o n t r a v a r i a n t i n d e x .
F o r e x a m p l e i f T
a
b c
i s a t e n s o r , d e n e v
c
= T
a
a c
, t r a n s f o r m i n g a s
v
c
0
= T
a
0
a
0
c
0
= p
a
0
a
p
b
a
0
p
c
c
0
T
a
b c
=
b
a
p
c
c
0
T
a
b c
= p
c
c
0
T
a
a c
= p
c
c
0
v
c
:
( v ) I n t e r c h a n g e o f i n d i c e s f o r e x a m p l e T
a b
( a t e n s o r ) ! T
b a
w h i c h i s a l s o a t e n s o r . S i m i -
l a r l y S y m m e t r i s a t i o n a n d A n t i - s y m m e t r i s a t i o n
T
( a b )
=
1
2 !
( T
a b
+ T
b a
)
T
a b ]
=
1
2 !
( T
a b
; T
b a
)
( t h e a b o v e c a n r e a d i l y b e g e n e r a l i s e d t o m o r e i n d i c e s . )
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
3/20
M e t r i c D i e r e n t i a l G e o m e t r y 3
1 . 2 . Q u o t i e n t T h e o r e m
S u p p o s e U
a
= T
a b
V
b
i s a v e c t o r , f o r a l l v e c t o r s V
b
. T h e n p
a
a
0
U
a
= p
a
0
a
T
a b
V
b
, a n d
U
a
0
= p
a
0
a
U
a
= T
a
0
b
0
V
b
0
= T
a
0
b
0
p
b
b
0
V
b
S u b t r a c t i n g t h e s e l a s t t w o y i e l d s ,
( T
a
0
b
0
p
b
b
0
; p
a
0
a
T
a b
) V
b
= 0 8 V
b
T
a
0
b
0
p
b
b
0
= p
a
0
a
T
a b
M u l t i p l y i n g b o t h s i d e s b y p
c
0
b
y i e l d s
T
a
0
b
0
p
b
b
0
p
c
0
b
= T
a
0
b
0
c
0
b
0
= T
a
0
c
0
= p
c
0
b
p
a
0
a
T
a b
:
H e n c e T
a b
i s a t e n s o r .
1 . 3 . I n v e r s e M e t r i c T e n s o r
D e n e g
a b
( = g
b a
) t o b e t h e m a t r i x i n v e r s e o f g
a b
, i . e . s u c h t h a t g
a c
g
c b
=
b
a
. N o w f o r a n y
v e c t o r V
a
c a n d e n e a v e c t o r U
a
= g
a b
V
b
, a n d w e m a y n o t e t h a t t h e r e i s a o n e t o o n e
c o r r e s p o n d a n c e b e t w e e n U
b
a n d V
a
s i n c e g
a b
i s n o n - s i n g u l a r , h e n c e w e c a n c o n s t r u c t a l l
v e c t o r s U
b
i n t h i s w a y . T h e Q u o t i e n t t h e o r e m i m p l i e s t h a t g
a b
i s a t e n s o r .
1 . 4 . R a i s i n g a n d L o w e r i n g o f I n d i c e s
W e c a n u s e g
a b
t o r a i s e a n y c o v a r i a n t i n d e x . F o r e x a m p l e T
a b
g i v e s a t e n s o r T
a
b
= g
a c
T
c b
,
i f t h e r s t i n d e x i s r a i s e d . S i m i l a r l y c a n u s e g
a b
t o l o w e r a n y i n d e x , f o r e x a m p l e W
a b
g i v e s
W
b
a
= g
a c
W
c b
. T h e i n d e x o r d e r i n g m u s t b e c a r e f u l l y m a n t a i n e d . R a i s i n g a n d l o w e r i n g a r e
i n v e r s e o p e r a t i o n s . O n e n o r m a l l y r e g a r d s e . g . T
a b
T
b
a
T
a
b
T
a b
a s d i e r e n t v e r s i o n s o f t h e
s a m e o b j e c t .
1 . 5 . P a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t e n s o r s
P a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t e n s o r s a r e n o t t e n s o r s i n g e n e r a l . F o r e x a m p l e s u p p o s e v
a
i s a v e c t o r
e l d . T h e n
v
a
0
=
@ x
a
@ x
a
0
v
a
w h e n c e
@ v
a
0
@ x
b
0
=
@
2
x
a
@ x
a
0
@ x
b
0
v
a
+
@ x
a
@ x
a
0
@ x
b
@ x
b
0
@ v
a
@ x
b
6= p
a
a
0
p
b
b
0
@ v
a
@ x
b
i n g e n e r a l
T h e o n l y e x c e p t i o n i s
a
a s m e n t i o n e d e a r l i e r .
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
4/20
2 . L e n g t h s G e o d e s i c s
T h e s q u a r e d m a g n i t u d e o f a v e c t o r v
a
o r v
a
i s d e n e d t o b e v
a
v
a
= v
a
v
b
g
a b
= v
a
v
b
g
a b
a n d i s i n v a r i a n t u n d e r c o - o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s .
F o r e x a m p l e i t c a n b e e v a l u a t e d i n a L o c a l I n e r t i a l F r a m e w h e r e g
a b
=
a b
, g
a b
=
a b
.
v
a
i s
(
s p a c e l i k e i f v
a
v
a
> 0
n u l l i f v
a
v
a
= 0
t i m e l i k e i f v
a
v
a
< 0
A s i n t h e e a r l i e r s e c t i o n ( 1 . 3 o f l e c t u r e n o t e s ) , i f v
a
i s s p a c e l i k e c a n n d a l o r e n t z
t r a n s f o r m a t i o n i n t h e L o c a l I n e r t i a l F r a m e m a k i n g v
a
= ( v
i
0 ) . T h e n v
a
v
a
= ( v
1
)
2
+
( v
2
)
2
+ ( v
3
)
2
= j v j
2
, w h i c h i s t h e p h y s i c a l l y m e a s u r e d , s q u a r e d m a g n i t u d e o f v
a
i n t h a t
f r a m e . I f v
a
i s t i m e l i k e , c a n m a k e v
a
= ( 0 v
4
) t h e n v
a
v
a
= ; c
2
( v
4
)
2
.
2 . 1 . A n g l e s b e t w e e n v e c t o r s
S u p p o s e t h a t v
a
a n d w
a
a r e b o t h s p a c e l i k e , a n d t h a t o n e h a s a r r a n g e d v
a
= ( v
i
0 ) w
a
=
( w
i
0 ) i n s o m e L o c a l I n e r t i a l F r a m e . T h e n t h e a n g l e b e t w e e n v
a
a n d w
a
i s d e n e d b y
c o s =
v
i
w
i
j v j j w j
( C a r t e s i a n N o t a t i o n i n L I F )
=
( g
a b
v
a
w
b
)
( v
c
v
c
)
1 = 2
( w
d
w
d
)
1 = 2
( I n v a r i a n t D e n i t i o n ) :
2 . 2 . L e n g t h s o f c u r v e s
I f x
a
( ) d e s c r i v e s a s p a c e l i k e c u r v e , w h i c h i s p a r a m e t e r i s e d b y ( i . e . i f v
a
=
d x
a
d
i s
s p a c e l i k e a l o n g ) , t h e l e n g t h o f f r o m A t o B i s
Z
B
A
d s =
Z
B
A
g
a b
d x
a
d
d x
b
d
1 = 2
d :
I f x
a
( ) g i v e s a t i m e l i k e c u r v e ( i . e . v
a
=
d x
a
d
i s t i m e l i k e a l o n g ) , t h e n t h e t i m e e l a p s e d
a l o n g f r o m A t o B i s
1
c
Z
B
A
j d s j =
1
c
Z
B
A
; g
a b
d x
a
d
d x
b
d
1 = 2
d :
2 . 3 . G e o d e s i c s
A g e o d e s i c f r o m A t o B e x t r e m i s e s
Z
B
A
j d s j =
Z
B
A
g
a b
d x
a
d
d x
b
d
1 = 2
d =
Z
B
A
L ( x
a
( ) _ x
a
( ) ) d
4 ]
-
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5/20
L e n g t h s G e o d e s i c s 5
w h e r e _ x
a
( ) =
d x
a
d
, s u b j e c t t o x e d e n d p o i n t s : x
a
(
1
) a r e t h e c o - o r d i n a t e s o f A , a n d x
a
(
2
)
a r e t h e c o - o r d i n a t e s o f B .
F o r e x a m p l e c o n s i d e r a s p a c e l i k e g e o d e s i c :
@ L
@ _ x
a
=
g
a b
_ x
b
L
@ L
@ x
a
=
g
b c a
_ x
b
_ x
c
2 L
:
U s i n g t h e E u l e r - L a g r a n g e E q u a t i o n s
d
d
@ L
@ _ x
a
;
@ L
@ x
a
= 0
g i v e s
L
; 1
g
a b
x
b
+ ( g
a b c
;
1
2
g
b c a
) _ x
b
_ x
c
= L
; 2
d L
d
g
a b
_ x
b
:
U s i n g o u r f r e e d o m t o r e p a r a m e t e r i s e t h e c u r v e w e c a n c h o o s e = s w h i c h i s t h e d i s t a n c e
a l o n g . T h e n L = 1 , a n d
d L
d
= 0 a l o n g . T h e r e f o r e
0 = g
a b
x
b
+ ( g
a b c
;
1
2
g
b c a
) _ x
b
_ x
c
= g
a b
x
b
+
1
2
( g
a b c
+ g
a c b
; g
b c a
) _ x
b
_ x
c
:
R a i s i n g i n d e x a y i e l d s t h e g e o d e s i c e q u a t i o n
d
2
x
a
d s
2
+
n
a
b c
o
d x
b
d s
d x
c
d s
= 0
w h e r e
n
a
b c
o
=
1
2
g
a d
( g
b d c
+ g
c d b
; g
b c d
) :
T h e s a m e e q u a t i o n i s o b t a i n e d f o r t i m e l i k e g e o d e s i c s { e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r a t e s t
p a r t i c l e i n a g r a v i t a t i o n a l e l d .
T h e e x p r e s s i o n
a
b c
i n v o l v e s \ d e r i v a t i v e s o f g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l " { c o r r e s p o n d s
t o
i
i n N e w t o n i a n g r a v i t y . I t i s p o s s i b l e t o r e d e r i v e N e w t o n i a n d y n a m i c s o f i n t r o d u c t o r y
s e c t i o n ( 1 . 4 . 2 ) i n t h i s w a y { s e e l a t e r .
T h e g e o d e s i c e q u a t i o n i s a s e c o n d o r d e r o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n , h e n c e t h e
g e o d e s i c i s u n i q u e l y s p e c i e d o n c e t h e s t a r t i n g p o i n t x
a
( 0 ) , a n d a n i n i t i a l t a n g e n t d i r e c t i o n
_ x
a
( 0 ) a r e c h o s e n .
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
6/20
L e n g t h s G e o d e s i c s 6
2 . 4 . C o v a r i a n t d i e r e n t i a t i o n C h r i s t o e l s y m b o l s
P h y s i c a l l a w s i n v o l v e p a r t i a l d e r i v a t i v e s . W e n e e d a s g e n e r a l i s a t i o n r
a
o f @
a
=
@
@ x
a
, w h i c h
p r e s e r v e s t e n s o r i a l p r o p e r t i e s . R e q u i r e m e n t s o f c o v a r i a n t d e r i v a t i v e o p e r a t o r r
a
a c t i n g o n
t e n s o r l e d s :
( i ) K e e p r
a
= @
a
f o r s c a l a r e l d s , s i n c e @
a
i s a l r e a d y a c o v a r i a n t v e c t o r e l d .
( i i ) T r y r
b
v
a
= @
b
v
a
; ;
c
b a
v
c
, a c t i n g o n c o v a r i a n t v e c t o r e l d s , w h e r e ;
c
b a
i s a ( n o n -
t e n s o r i a l ) c o l l e c t i o n o f 4
3
n u m b e r s ( t o b e c o n s t r u c t e d o u t o f t h e m e t r i c a n d i t s r s t
d e r i v a t i v e s ) , a n d ; ;
c
b a
v
c
i s d e s i g n e d t o c a n c e l o u t b a d t r a n s f o r m a t i o n p r o p e r t i e s o f
@
b
v
a
.
( i i i ) r
b
c o m m u t e s w i t h a d d i t i o n :
r
b
( T
a
1
: : : a
n
c
1
: : : c
p
+ U
a
1
: : : a
n
c
1
: : : c
p
) = r
b
T
+ r
b
U
:
( i v ) L e i b n i t z R u l e
r
b
( T
a
1
: : : a
n
c
1
: : : c
p
U
d
1
: : : d
q
e
1
: : : e
r
) = r
b
( T
) U
+ T
r
b
( U
) :
( v ) M e t r i c h a s z e r o c o v a r i a n t d e r i v a t i v e :
r
b
( g
a c
) = 0 r
b
( g
a c
) = 0 r
b
c
a
= 0 :
( t h e s e g e n e r a l i s e @
b
a c
= 0 , @
b
a c
= 0 a n d @
b
c
a
= 0 i n M i n k o w s k i S p a c e - T i m e .
( v i ) r
b
c o m m u t e s w i t h i n d e x c o n t r a c t i o n :
r
b
( T
c
c
) =
a
c
r
b
( T
c
a
) :
N o t e t h a t t a k e n t o g e t h e r ( i v ) , ( v ) a n d ( v i ) i m p l y t h a t r
b
c o m m u t e s w i t h t h e o p e r a t i o n s
o f r a i s i n g a n d l o w e r i n g i n d i c e s . F o r e x a m p l e
r
b
( v
a
) = r
b
( g
a c
v
c
) =
c
d
r
b
( g
a d
v
c
)
=
c
d
( r
b
g
a d
) v
c
+ g
a d
( r
b
v
c
)
= g
a c
( r
b
v
c
) :
N o w l e t u s n d t h e ; ' s w i t h t h e h e l p o f p r o p e r t y ( v ) . F i r s t n o t e t h a t ( i i ) a n d ( i v )
i m p l y t h a t f o r a n y c o v a r i a n t v e c t o r e l d s u
a
v
c
r
b
( u
a
v
c
) = u
a
( r
b
v
c
) + ( r
b
u
a
) v
c
= @
b
( u
a
v
c
) ; ;
d
b c
u
a
v
d
; ;
d
b a
u
d
v
c
B u t a n y t e n s o r e l d T
a c
c a n b e b u i l t u p b y a d d i n g t o g e t h e r t e n s o r s o f t h e f o r m u
a
v
c
.
F o r e x a m p l e x c o - o r d i n a t e s b u i l d u p T
1 1
u s i n g u
a
= ( u
1
0 0 0 ) , v
c
= ( v
1
0 0 0 ) s i m i l a r l y
f o r e a c h c o m p o n e n t o f T
a c
t h e n a d d t h e s e t o g e t h e r . T h e n T
a c
a n d e a c h u
a
, v
c
c a n b e d e n e d
i n d i e r e n t c o - o r d i n a t e s b y t h e t e n s o r t r a n s f o r m a t i o n l a w .
H e n c e b y l i n e a r i t y ,
r
b
( T
a c
) = @
b
( T
a c
) ; ;
d
b c
T
a d
; ;
d
b a
T
d c
f o r a n y t e n s o r T
a c
.
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
7/20
L e n g t h s G e o d e s i c s 7
A p p l y t h i s t o g
a c
:
r
b
g
a c
= g
a c b
; ;
d
b c
g
a d
; ;
d
b a
g
d c
= 0 b y ( v ) ( 1 )
P e r m u t e i n d i c e s c y c l i c a l l y :
r
c
g
b a
= g
b a c
; ;
d
c a
g
b d
; ;
d
c b
g
d a
= 0 ( 2 )
r
a
g
c b
= g
c b a
; ;
d
a b
g
c d
; ;
d
a c
g
d b
= 0 ( 3 )
W e c a n m a k e a f u r t h e r s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n :
( v i i ) T h e s y m m e t r y ;
a
b c
= ;
a
c b
h o l d s .
H e n c e t a k i n g ( 3 ) ; ( 1 ) ; ( 2 ) w e o b t a i n :
2 ;
d
b c
g
a d
= ; ;
d
a b
g
c d
; ;
d
a c
g
d b
+ ;
d
b c
g
a d
+ ;
d
b a
g
d c
+ ;
d
c a
g
b d
+ ;
d
c b
g
d a
= ; g
b c a
+ g
a c b
+ g
a b c
R a i s i n g i n d e x a o b t a i n
;
a
b c
=
1
2
g
a d
( g
b d c
+ g
c d b
; g
b c d
)
w h i c h a r e t h e C h r i s t o e l s y m b o l s f o r t h e m e t r i c g
a b
. T h e y d e n e t h e m e t r i c c o n n e c t i o n
( r ) o n s p a c e - t i m e .
2 . 5 . T r a n s f o r m a t i o n P r o p e r t i e s o f ;
a
b c
T h e m e t r i c t e n s o r g
a b
a n d i t s d e r i v a t i v e t r a n s f o r m a s :
g
a
0
b
0
= p
a
a
0
p
b
b
0
g
a b
g
a
0
b
0
c
0
= p
a
a
0
p
b
b
0
p
c
c
0
g
a b c
+ g
a b
@
c
0
@ x
a
@ x
a
0
@ x
b
@ x
b
0
:
H e n c e
g
a
0
b
0
c
0
+ g
a
0
c
0
b
0
; g
b
0
c
0
a
0
= p
a
a
0
p
b
b
0
p
c
c
0
( g
a b c
+ g
a c b
; g
b c a
) +
g
a b
@
c
0
@ x
a
@ x
a
0
@ x
b
@ x
b
0
+ @
b
0
@ x
a
@ x
a
0
@ x
b
@ x
c
0
+ @
a
0
@ x
a
@ x
b
0
@ x
b
@ x
c
0
:
T h e r e f o r e
g
a
0
b
0
c
0
+ g
a
0
c
0
b
0
; g
b
0
c
0
a
0
= p
a
a
0
p
b
b
0
p
c
c
0
( g
a b c
+ g
a c b
; g
b c a
) + 2 g
a b
@ x
a
@ x
a
0
@
2
x
b
@ x
b
0
@ x
c
0
:
H e n c e
;
a
0
b
0
c
0
= p
a
0
a
p
b
b
0
p
c
c
0
;
a
b c
+
@ x
a
0
@ x
a
@
2
x
a
@ x
b
0
@ x
c
0
: ( n o n t e n s o r i a l )
N o w w e c a n v e r i f y t h a t r
b
v
a
= @
b
v
a
; ;
c
a b
v
c
i s a t e n s o r .
r
b
0
v
a
0
=
@
2
x
a
@ x
b
0
@ x
c
0
v
a
+ p
a
a
0
p
b
b
0
@
b
v
a
; p
a
a
0
p
b
b
0
p
c
0
c
;
c
a b
p
d
c
0
v
d
;
@ x
c
0
@ x
c
@
2
x
c
@ x
a
0
x
b
0
@ x
d
@ x
c
0
v
d
=
@
2
x
a
@ x
a
0
@ x
b
0
v
a
+ p
a
a
0
p
b
b
0
@
b
v
a
; p
a
a
0
p
b
b
0
;
c
a b
v
c
;
@
2
x
c
@ x
a
0
@ x
b
0
v
c
= p
a
a
0
p
b
b
0
r
b
v
a
:
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
8/20
L e n g t h s G e o d e s i c s 8
2 . 6 . A c t i o n o f r
b
o n o t h e r t y p e s o f t e n s o r
F o r e x a m p l e c o n s i d e r n d i n g r
b
u
a
. T a k e a n a r b i t r a r y c o v a r i a n t v e c t o r e l d v
a
. B y ( i )
r
b
( v
a
u
a
) = @
b
( v
a
u
a
) . T h e n c e
r
b
( v
a
u
a
) = ( r
b
v
a
) u
a
+ v
a
( r
b
u
a
) ( L e i b n i t z a n d c o m m : w i t h c o n t r a c t i o n )
= ( @
b
v
a
) u
a
; ;
c
b a
v
c
u
a
+ v
a
( r
b
u
a
)
= ( @
b
v
a
) u
a
+ v
a
( @
b
u
a
) :
T h i s i s t r u e f o r a l l v
a
a n d h e n c e
r
b
u
a
= @
b
u
a
+ ;
a
b c
u
c
:
I n g e n e r a l w e g e t a p l u s s i g n f o r e a c h c o n t r a v a r i a n t i n d e x a n d a m i n u s s i g n f o r e a c h
c o v a r i a n t i n d e x .
F o r e x a m p l e
r
b
T
c
a
= @
b
T
c
a
; ;
d
b a
T
c
d
+ ;
c
b d
T
d
a
:
N o t a t i o n
A s a f u r t h e r n o t a t i o n a l p o i n t r
b
( ) = ( )
b
.
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
9/20
3 . D i e r e n t i a t i o n a l o n g a c u r v e g e o d e s i c s
N e e d a g e o m e t r i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e r a t e o f c h a n g e o f a p h y s i c a l q u a n t i t y ( s c a l a r , v e c t o r ,
t e n s o r ) s e e n b y a n o b s e r v e r m o v i n g a l o n g a p a t h x
a
( ) .
D e n i t i o n
T h e a b s o l u t e d e r i v a t i v e a l o n g a p a t h o f a v e c t o r e l d v
a
i s
D
d
v
a
=
d x
b
d
r
b
v
a
=
d x
b
d
@ v
a
@ x
b
+ ;
a
b c
d x
b
d
v
c
:
N o t e t h a t o n l y t h e d e r i v a t i v e
d v
a
d
a p p e a r s s o w e o n l y n e e d t o k n o w v
a
a l o n g a p a t h .
S i m i l a r l y d e n e
D
d
o f o t h e r e l d s . F o r e x a m p l e f o r a s c a l a r e l d :
D
d
=
d x
b
d
@
@ x
b
=
d
d
:
T h e a b s o l u t e d e r i v a t i v e o f a t e n s o r i s a g a i n a t e n s o r .
D e n i t i o n
v
a
i s p a r a l l e l l y t r a n s p o r t e d a l o n g a c u r v e x
a
( ) i f a n d o n l y i f
D v
a
d
= 0 ( d e n i t i o n i s s i m i l a r
f o r o t h e r t e n s o r t y p e s ) .
N o t e t h a t p a r a l l e l t r a n s p o r t p r e s e r v e s
( i ) l e n g t h s :
d
d
( v
a
v
a
) =
d x
b
d
r
b
( g
c d
v
c
v
d
)
=
d x
b
d
( r
b
g
c d
) v
c
v
d
+ g
c d
( r
b
v
c
) v
d
+ g
c d
v
c
( r
b
v
d
)
= 0
( i i ) a n g l e s :
d
d
( v
a
w
a
) =
d x
b
d
r
b
( g
c d
v
c
w
d
) = 0 + 0 + 0
i f t h e v e c t o r s v
c
a n d w
d
a r e p a r a l l e l l y t r a n s p o r t e d . W e c a n a l s o a p p l y p a r a l l e l t r a n s p o r t
w h e n v
a
i s a t a n g e n t v e c t o r
d x
a
d
.
D e n i t i o n
A c u r v e x
a
( ) i s a u t o p a r a l l e l i f a n d o n l y i
D
d
d x
a
d
= 0
t h a t i s , i f a n d o n l y i f t h e t a n g e n t v e c t o r i s p a r a l l e l l y t r a n s p o r t e d a l o n g t h e c u r v e . T h u s f o r
a n a u t o p a r a l l e l c u r v e
d
2
x
a
d
2
+ ;
a
b c
d x
b
d
d x
c
d
= 0
9 ]
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
10/20
D i e r e n t i a t i o n a l o n g a c u r v e g e o d e s i c s 1 0
b u t t h i s c o n d i t i o n i s t h e s a m e a s t h a t o f t h e g e o d e s i c e q u a t i o n
d
2
x
a
d s
2
+
n
a
b c
o
d x
b
d s
d x
c
d s
= 0
s i n c e ;
a
b c
=
a
b c
. T h i s g i v e s a n a l t e r n a t i v e c h a r a c t e r i s a t i o n o f g e o d e s i c s i s c a l l e d a n
a n e p a r a m e t e r a l o n g t h e g e o d e s i c .
I f i s a g e o d e s i c w i t h a n e p a r a m e t e r , t h e n
d
d
g
a b
d x
a
d
d x
b
d
=
D
d
g
a b
d x
a
d
d x
b
d
= 0 + 0 + 0
a s i n ( i ) a b o v e , w h i c h i m p l i e s t h a t g
a b
d x
a
d
d x
b
d
i s c o n s t a n t a l o n g . H e n c e i s p r o p o r t i o n a l
t o l e n g t h s ( o r p r o p e r t i m e ) a l o n g .
D e n i t i o n
T h e a c c e l e r a t i o n ( v e c t o r ) o f a t i m e l i k e c u r v e x
a
( ) , w i t h f o u r - v e l o c i t y u
b
=
d x
b
d
, w h e r e
i s t h e p r o p e r t i m e , i s g i v e n b y
a
b
=
D u
b
d
=
D
d
d x
b
d
=
d
2
x
b
d
2
+ ;
b
c d
d x
c
d
d x
d
d
:
T h u s g e o d e s i c s a r e u n a c c e l e r a t e d c u r v e s ( \ f r e e f a l l " ) .
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
11/20
4 . L o c a l I n e r t i a l F r a m e s
W e c a n n o w m a k e t h e d e n i t i o n o f a L o c a l I n e r t i a l F r a m e ( L I F ) m o r e p r e c i s e . W e c a n
c h o o s e l o c a l l y i n e r t i a l c o - o r d i n a t e s x
a
n e a r a n e v e n t P ( x
a
= 0 ) s u c h t h a t g
a b
=
a b
a t P ,
a n d s u c h t h a t p a r t i c l e s m o v i n g t h r o u g h P u n d e r g r a v i t y h a v e n o c o - o r d i n a t e a c c e l e r a t i o n .
T h a t i s , w e a r r a n g e f o r ;
a
b c
= 0 a t P e q u i v a l e n t l y g
a b c
= 0 a t P .
I n a L o c a l I n e r t i a l F r a m e , t h e m e t r i c l o o k s a s m u c h a s p o s s i b l e l i k e a a t m e t r i c
g e o d e s i c s b e c o m e s t r a i g h t l i n e s p a r a l l e l t r a n s p o r t , a n d a c c e l e r a t i o n e t c . a s d e n e d i n t h e
p r e v i o u s s e c t i o n a c q u i r e u s u a l a t s p a c e i n t e r p r e t a t i o n c o v a r i a n t d e r i v a t i v e s b e c o m e p a r t i a l
d e r i v a t i v e s .
N o t e t h a t t h i s s h e w s t h a t w e h a v e m a d e t h e o n l y p o s s i b l e d e n i t i o n o f a c o v a r i a n t
d e r i v a t i v e , s i n c e t h e d e n i t i o n s h o u l d a g r e e w i t h @
b
( T
) = r
b
( T
) i n a L o c a l I n e r t i a l
F r a m e , a n d h e n c e a g r e e s w i t h r
b
( T
) i n a l l c o - o r d i n a t e s , u s i n g t h e t e n s o r p r o p e r t y . ]
T o n d i n e r t i a l c o - o r d i n a t e s n e a r P , t r a n s l a t e x
a
t o 0 , a n d t h e n u s e l i n e a r t r a n s f o r -
m a t i o n t o g i v e g
a b
=
a b
a t t h e p o i n t P . D e n e
0
;
a
b c
t o b e ;
a
b c
e v a l u a t e d a t t h e p o i n t P .
T h e n u s e t h e t r a n s f o r m a t i o n x
a
! y
a
w i t h q u a d r a t i c i n v e r s e :
x
a
= y
a
;
1
2
0
;
a
b c
y
b
y
c
I n t h e n e w c o - o r d i n a t e s ,
g
n e w
a b
=
@ x
c
@ y
a
@ x
d
@ y
b
g
o l d
c d
= (
c
a
;
0
;
c
a e
y
e
) (
d
b
;
0
;
d
b j
y
j
) (
c d
+ g
o l d
c d g
y
g
+ ) :
T h e t e r m s w h i c h a r e l i n e a r i n y
c
a r e
( ;
0
;
d
a c
b d
;
0
;
d
b c
a d
+ g
o l d
a b c
) y
c
= 0
( s e e e q u a t i o n ( 2 ) a b o v e ) .
H e n c e g
n e w
a b
=
a b
+ q u a d r a t i c i n y
c
+ n e a r P . T h a t i s t h e c o - o r d i n a t e s y
a
p r o v i d e
a L o c a l I n e r t i a l F r a m e n e a r P .
1 1 ]
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
12/20
5 . C u r v a t u r e
S p a c e - t i m e c u r v a t u r e m e a s u r e s n o n - c o m m u t a t i o n o f c o v a r i a n t d e r i v a t i v e s . F o r a s c a l a r e l d
a b
= r
b
(
a
) =
a b
; ;
c
a b
c
=
b c
. B u t f o r a v e c t o r e l d v
a
,
v
a
b
= v
a
b
+ ;
a
b e
v
e
v
a
b c
= ( v
a
b
)
c
+ ;
a
c d
( v
d
b
) ; ;
d
c b
( v
a
d
)
= ( v
a
b c
+ ;
a
b e c
v
e
+ ;
a
b e
v
e
c
) + ;
a
c d
( v
d
b
+ ;
d
b e
v
e
) ; ;
d
c b
( v
a
d
+ ;
a
d e
v
e
) :
W e n o w e v a l u a t e v
a
b c
; v
a
c b
. T h e s e c o n d d e r i v a t i v e t e r m s v
a
b c
; v
a
c b
c a n c e l . T h e r s t d e r i v a t i v e
t e r m s a l s o c a n c e l :
;
a
b e
v
e
c
+ ;
a
c d
v
d
b
; ;
d
c b
v
a
d
; ;
a
c e
v
e
b
; ;
a
c d
v
d
c
+ ;
d
b c
v
a
d
= 0 :
H e n c e
v
a
b c
; v
a
c b
=
;
;
a
b e c
+ ;
a
c d
;
d
b e
; ;
d
c b
;
a
d e
;
;
;
a
c e b
+ ;
a
b d
;
d
c e
; ;
d
b c
;
a
d e
v
e
= R
a
e c b
v
e
w h e r e R
a
e c b
= ;
a
b e c
; ;
a
c e b
+ ;
a
c d
;
d
b e
; ;
a
b d
;
d
c e
. B y t h e q u o t i e n t t h e o r e m R
a
e c b
i s a t e n s o r , t h e
R i e m a n n c u r v a t u r e t e n s o r , c o n s t r u c t e d f r o m t h e m e t r i c a n d i t s r s t a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s .
S i m i l a r c o m m u t a t i o n p r o p e r t i e s h o l d f o r ( r
b
r
c
; r
c
r
b
) a c t i n g o n o t h e r t y p e s o f
t e n s o r e l d s .
I f s p a c e - t i m e i s a t t h e n g
a b
=
a b
, t h e n R
a
b c d
= 0 i n M i n k o w s k i a n c o - o r d i n a t e s . T h e
t e n s o r p r o p e r t y t h e n i m p l i e s t h a t R
a
b c d
= 0 i n a l l c o - o r d i n a t e s . A c o n v e r s e t o t h i s c a n a l s o
b e p r o v e d { n a m e l y i f R
a
b c d
= 0 , t h e n s p a c e - t i m e i s a t , i . e . w e c a n c h o o s e c o - o r d i n a t e s
m a k i n g g
a b
=
a b
e v e r y w h e r e . T h u s R
a
b c d
= 0 m e a s u r e s d e v i a t i o n f r o m a t n e s s .
I f R
a
b c d
6= 0 a t P , t h e n t h e p r o c e d u r e o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n c a n n o t b e e x t e n d e d t o
m a k e g
a b
=
a b
, @
c
g
a b
= 0 , @
d
@
c
g
a b
= 0 a t P , s i n c e t h e s e w o u l d i m p l y t h a t R
a
b c d
= 0 t h e r e .
I n a L o c a l I n e r t i a l F r a m e a t P ,
g
a b
=
a b
;
a
b c
= 0 , g
a b c
= 0
g
a b
=
a b
g
a b
c
= 0 :
T h e n R
a
b c d
= ;
a
b d c
; ;
a
c d b
a t P . T h e r e f o r e
R
a b c d
=
1
2
( g
a b d c
+ g
a d b c
; g
b d a c
) ;
1
2
( g
a b c d
+ g
a c b d
; g
b c a d
)
=
1
2
( g
a d b c
+ g
b c a d
; g
a c b d
; g
b d a c
)
a t t h e p o i n t P i n a L o c a l I n e r t i a l F r a m e . T h i s g i v e s t h e s y m m e t r y p r o p e r t i e s :
( i ) R
a b c d
= R
a b ] c d
: =
1
2
( R
a b c d
; R
b a c d
) i s a n t i s y m m e t r i c o n a , b .
( i i ) R
a b c d
= R
a b c d ]
1 2 ]
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
13/20
C u r v a t u r e 1 3
( i i i ) R
a b c d
= R
c d a b
( i v )
R
a b c d ]
: =
1
3 !
( R
a b c d
+ R
a c d b
+ R
a d b c
; R
a c b d
; R
a b d c
; R
a d c b
) = 0
E q u i v a l e n t l y R
a b c d
+ R
a c d b
+ R
a d b c
= 0 , u s i n g ( i i ) , a n d a l l g e n e r a t e d b y c o m p o s i t i o n o f
t h e s e o p e r a t i o n s . C o - o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s p r e s e r v e s y m m e t r i e s h e n c e ( i ) t h r o u g h
( i v ) a r e t r u e i n a n y c o - o r d i n a t e s , a t a n y p o i n t P . T h e s e s y m m e t r i e s i m p l y t h a t R
a b c d
h a s o n l y 2 0 f r e e c o m p o n e n t s , n o t 4
4
= 2 5 6 .
T h e R i c c i t e n s o r i s d e n e d b y R
b d
= R
a
b a d
. I t h a s t h e p r o p e r t y t h a t
R
b d
= g
a c
R
a b c d
=
( i i i )
g
a c
R
c d a b
= R
a
d a b
= R
d b
:
S y m m e t r y t h e r e f o r e m e a n s t h a t R
b d
h a s o n l y t e n f r e e c o m p o n e n t s . T h e R i c c i s c a l a r i s
R = g
b d
R
b d
.
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
14/20
6 . G e o d e s i c D e v i a t i o n
S p a c e - t i m e c u r v a t u r e p r o d u c e s r e l a t i v e a c c e l e r a t i o n o f n e a r b y t e s t p a r t i c l e s , m o v i n g o n
g e o d e s i c s . F o r c o n v e n i e n c e i n t h e d e r i v a t i o n w h i c h f o l l o w s w e s h a l l r e p l a c e \ t w o n e a r b y
t e s t p a r t i c l e s " b y a o n e p a r a m e t e r f a m i l y o f g e o d e s i c s . E a c h g e o d e s i c i s l a b e l l e d b y a
p a r a m t e r s . P o i n t s o n a g i v e n g e o d e s i c a r e l a b e l l e d b y p r o p e r t i m e m e a s u r e d f r o m s o m e
o r i g i n .
W r i t e u
a
=
@ x
a
( s )
@
f o r t h e f o u r v e l o c i t y o n t h e g e o d e s i c s . T h e G e o d e s i c e q u a t i o n i s
D
@
u
a
: =
@ x
b
@
r
b
u
a
= u
b
r
b
u
a
= 0 : 1 ]
N o w d e n e
a
=
@ x
a
( s )
@ s
. T h e n f o r s m a l l s ,
s
a
i s t h e s e p a r a t i o n v e c t o r f r o m g e o d e s i c
s t o g e o d e s i c s + s ( s e e g u r e ) . N o t e t h a t
@ u
a
@ s
=
@
2
x
a
@ s @
=
@
a
@
:
H e n c e
b
r
b
u
a
=
@ x
b
@ s
r
b
u
a
=
@ u
a
@ s
+ ;
a
b c
b
u
c
=
@
a
@
+ ;
a
b c
u
b
c
=
@ x
b
@
r
b
a
= u
b
r
b
a
2 ]
N o w u s e t h e c u r v a t u r e i d e n t i t y , v a l i d f o r a n y v e c t o r e l d s X
a
, Y
b
, Z
c
:
Y
b
r
b
( Z
c
r
c
( X
a
) ) ; Z
c
r
c
( Y
b
r
b
( X
a
) ) u s i n g l e i b n i t z
= Y
b
r
b
( Z
c
) ] r
c
( X
a
) + Y
b
Z
c
r
b
( r
c
( X
a
) ) ; Z
c
r
c
( Y
b
) ] r
b
( X
a
) ; Z
c
Y
b
r
c
( r
b
( X
a
) )
= ( Y
c
r
c
Z
b
; Z
c
r
c
Y
b
) r
b
X
a
+ Y
b
Z
c
R
a
d b c
X
d
3 ]
s i n c e X
a
c b
; X
a
b c
= R
a
d b c
X
d
.
N o w t a k e X
a
= u
a
, Y
b
= u
b
, Z
c
=
c
. N o w u s i n g 2 ] ,
Z
c
r
c
X
a
=
c
r
c
u
a
= u
c
r
c
a
:
B y 1 ] ,
Y
b
r
b
X
a
= u
b
r
b
u
a
= 0 :
B y 2 ] ,
( Y
c
r
c
Z
b
; Z
c
r
c
Y
b
) = u
c
r
c
b
;
c
r
c
y
b
= 0 :
T h e n 3 ] g i v e s
u
b
r
b
( u
c
r
c
(
a
) ) ; 0 = 0 + R
a
d b c
u
d
u
c
c
T h a t i s
D
2
@
2
a
=
D
@
D
@
(
a
)
= R
a
d b c
u
d
u
b
c
w h i c h i s t h e e q u a t i o n o f g e o d e s i c d e v i a t i o n .
R e l a t i v e a c c e l e r a t i o n i s p r o p o r t i o n a l t o s e p a r a t i o n f o r n e a r b y t e s t b o d i e s . A t r u e g r a v -
i t a t i o n a l e l d , e x i s t e n c e o f r e l a t i v e a c c e l e r a t i o n s , R
a
b c d
6= 0 , s p a c e - t i m e i s c u r v e d .
1 4 ]
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
15/20
7 . M a t t e r i n G e n e r a l R e l a t i v i t y
W e a i m t o f o r m u l a t e n o n g r a v i t a t i o n a l l a w s o f p h y s i c s i n c u r v e d s p a c e - t i m e , a n d t o n d
e l d e q u a t i o n s o f G e n e r a l R e l a t i v i t y i n t h e p r e s e n c e o f m a t t e r s o u r c e s .
7 . 1 . F o r m u l a t i o n o f p h y s i c a l l a w s i n g r a v i t a t i o n a l e l d s
T h e e q u i v a l e n c e p r i n c i p l e i m p l i e s t h a t a l l l a w s h a v e t h e u s u a l s p e c i a l - r e l a t i v i s t i c f o r m s i n
a L o c a l I n e r t i a l F r a m e .
M o r e o v e r , t h e f o r m u l a t i o n o f l a w s s h o u l d b e t h e s a m e i n a n y c o - o r d i n a t e s y s t e m , i . e .
t e n s o r i a l . T h e r e f o r e t a k e t h e s p e c i a l - r e l a t i v i s t i c l a w s i n t e n s o r i a l f o r m , a n d u s e a t t h e c e n t r e
o f a L o c a l I n e r t i a l F r a m e , t o n d t h e c u r v e d - s p a c e c o v a r i a n t l a w .
I n a L o c a l I n e r t i a l F r a m e a t P , g
a b
=
a b
, g
a b c
= 0 , ;
a
b c
= 0 w h i c h i m p l i e s t h a t
c o v a r i a n t d e r i v a t i v e s r e s u d e t o p a r t i a l d e r i v a t i v e s .
H e n c e t o m a k e t h e S p e c i a l R e l a t i v i s t i c l a w i n v a r i a n t u n d e r a r b i t r a r y c o - o r d i n a t e t r a n s -
f o r m a t i o n s , r e p l a c e p a r t i a l b y c o v a r i a n t d e r i v a t i v e s . T h a t i s ` c o m m a s ' b e c o m e ` s e m i c o l o n s ' .
T h i s g i v e s m i n i m a l c o u p l i n g a n d m a k e s n o c h a n g e t o t h e a t - s p a c e l a w s .
E x a m p l e s
( i ) F r e e p a r t i c l e m o t i o n
d
2
x
a
d
2
= 0 a t P i n L o c a l I n e r t i a l F r a m e . T h i s i m p l i e s t h a t
d
2
x
a
d
2
+ ;
a
b c
d x
b
d
d x
c
d
=
D
d
d x
a
d
= 0
w h i c h i s t h e g e o d e s i c l a w .
( i i ) A s c a l a r e l d o b e y i n g t h e w a v e e q u a t i o n =
a b
a b
= 0 i n a t s p a c e - t i m e . I n
L o c a l I n e r t i a l F r a m e , w e h a v e
g
a b
a b
= g
a b
(
a b
; ;
c
a b
c
) = 0 :
H e n c e g
a b
a b
= 0 i n c u r v e d s p a c e - t i m e ( m a s s l e s s s c a l a r e l d ) .
7 . 2 . E n e r g y M o m e n t u m T e n s o r s
T h e m a t t e r c o n t e n t o f s p a c e - t i m e i s d e s c r i b e d b y a n e n e r g y - m o m e n t u m t e n s o r T
a b
. F o r
e x a m p l e : a c o n t i n u o u s m e d i u m o f d e n s i t y , w i t h o u t p r e s s u r e ( \ d u s t " ) .
( a ) F i r s t t a k e N e w t o n i a n L i m i t , w i t h o u t g r a v i t y o r b o d y f o r c e s . L e t t h e v e l o c i t y b e u .
@
@ t
+ @
k
( u
k
) = 0 C o n t i n u i t y
@ u
@ t
+ u : g r a d u = 0 N a v i e r ; S t o k e s
R e w r i t i n g i n i n d e x n o t a t i o n ( u s i n g c o n t i n u i t y ) :
@
@ t
+ @
k
( u
k
) = 0
@ u
i
@ t
+ @
k
( u
i
u
k
) = 0
1 5 ]
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
16/20
M a t t e r i n G e n e r a l R e l a t i v i t y 1 6
I n c o - o r d i n a t e s x
a
= ( x
i
c t ) , w e c a n w r i t e
T
a b
=
u
i
u
j
c u
i
c u
j
c
2
T h e n T
a b
= T
b a
, a n d t h e e q u a t i o n s @
b
T
a b
= 0 a r e e q u i v a l e n t t o m a s s a n d m o m e n t u m
c o n s e r v a t i o n .
( b ) I n S p e c i a l R e l a t i v i t y , w e h a v e a p a r t i c l e f o u r v e l o c i t y
U
a
=
d x
a
d
= ( u
i
c )
w h e r e u
i
=
d x
i
d
a n d = ( 1 ;
u
2
c
2
)
;
1
2
, w h e n c e u
a
u
a
= ; c
2
.
T h e u i d d e n s i t y m e a s u r e d i n t h e r e s t f r a m e i s , t h e p r o p e r d e n s i t y . D e n e
T
a b
= T
b a
= u
a
u
b
=
2
u
i
u
j
2
c u
i
2
c u
j
2
c
2
:
H e n c e T
a b
i s a t e n s o r u n d e r L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n s , s i n c e i s a s c a l a r , a n d u
a
i s a v e c t o r .
T
a b
i s t h e e n e r g y - m o m e n t u m t e n s o r .
I n l o c a l u i d r e s t f r a m e , @
b
T
a b
= 0 , b y N e w t o n i a n c a l c u l a t i o n , b u t @
b
T
a b
i s a v e c t o r
u n d e r L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n s , h e n c e @
b
T
a b
= 0 i n a l l i n e r t i a l f r a m e s .
T h e t e n s o r c a n b e i n t e r p r e t e d a s
T
i j
= S t r e s s T e n s o r
T
i 4
= T
4 i
= c m o m e n t u m d e n s i t y =
e n e r g y u x
c
T
4 4
= e n e r g y d e n s i t y
N o t e t h e t w o p o w e r s o f , f o r e x a m p l e f o r T
4 4
, e n e r g y = m a s s , d e n s i t y =
p r o p e r d e n s i t y ( l e n g t h c o n t r a c t i o n ) .
S o t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n @
b
T
a b
= 0 c a n b e r e g a r d e d a s d e s c r i b i n g e n e r g y , a n d
m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n ( a n d t h e y c a n a l s o i m p l y m a s s c o n s e r v a t i o n ) .
( c ) I n G e n e r a l R e l a t i v i t y , d e n e u
a
=
d x
a
d
, i s p r o p e r d e n s i t y m e a s u r e d i n l o c a l i n e r t i a l
r e s t f r a m e .
D e n e T
a b
= u
a
u
b
= T
b a
. I n a L o c a l I n e r t i a l f r a m e w e h a v e T
a b
b
= 0 . I n a n y
c o - o r d i n a t e d t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e T
a b
b
= 0 , i . e .
T
a b
b
+ ;
a
c b
T
c b
+ ;
b
c b
T
a c
| { z }
g r a v i t a t i o n a l f o r c e t e r m s
= 0 :
I n t h e N e w t o n i a n L i m i t , w i t h g r a v i t y ,
j T
i j
j j T
i 4
j j T
4 4
j
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
17/20
M a t t e r i n G e n e r a l R e l a t i v i t y 1 7
h e n c e f r o m t h e e q u a t i o n f o r t h e i t h c o m p o n e n t
T
i b
b
+ ;
i
4 4
T
4 4
' = 0 :
T h u s
@ u
i
@ t
+ @
k
( u
i
u
k
) ' ;
i
:
A l l f o r m s o f m a t t e r h a v e a s y m m e t r i c e n e r g y - m o m e n t u m t e n s o r , T
a b
= T
b a
o b e y i n g T
a b
b
=
0 . U l t i m a t e l y t h i s i s b e c a u s e a l l q u a n t u m e l d s h a v e a L a g r a n g i a n L f r o m w h i c h o n e c a n
c o n s t r u c t a T
a b
w h i c h i s a u t o m a t i c a l l y c o n s e r v e d .
F o r m o f E n e r g y - M o m e n t u m T e n s o r
F o r T
a b
i n a p e r f e c t u i d w i t h p r e s s u r e p , d e n s i t y a n d v e l o c i t y U
a
,
T
a b
=
+
p
c
2
U
a
U
b
; p g
a b
f o r a m a s s l e s s s c a l a r e l d ,
T
a b
=
a
b
;
1
2
g
a b
c
d
g
c d
a n d f o r a n e l e c t r o m a g n e t i c e l d ,
T
a b
=
0
1
4
g
a b
F
c d
F
c d
; F
a c
F
c
b
a s i n S p e c i a l R e l a t i v i t y .
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
18/20
8 . E i n s t e i n F i e l d E q u a t i o n s
T h e v a c u u m e l d e q u a t i o n s R
a b
= 0 c a n b e g e n e r a l i s e d t o i n c l u d e m a t t e r s o u r c e s , a n d
r e p r o d u c e
i i
= 4 G
i n t h e N e w t o n i a n l i m i t . W e c o u l d t r y R
a b
= T
a b
, b u t w e m u s t h a v e T
a b
b
= 0 t h i s w o u l d
i m p l y R
a b
b
= 0 . I n f a c t t h i s t u r n s ` o u t n o t t o b e a g o o d c h o i c e , b u t i t c a n b e m o d i e d t o
g i v e t h e E i n s t e i n F i e l d e q u a t i o n s . W e n o w i n t r o d u c e t h e R i c c i i d e n t i t i e s w h i c h a r e s a t i s e d
b y t h e R i c c i t e n s o r .
R i c c i i d e n t i t i e s
I n a L o c a l I n e r t i a l F r a m e w e h a v e
g
a b
=
a b
+ q u a d r a t i c t e r m s +
s o
;
a
b c
= l i n e a r +
t a k i n g a T a y l o r e x p a n s i o n a b o u t P ( x
a
= 0 ) . T h e n w e o b t a i n
R
a
b c d
= ;
a
b d c
; ;
a
b c d
+ ;
a
c f
;
f
b d
; ;
a
d f
;
f
b c
= ;
a
b d c
; ;
a
b c d
+ q u a d r a t i c t e r m s
a n d a l s o
R
a
b c d e
= R
a
b c d e
+ ;
R
= R
a
b c d e
+ l i n e a r +
= ;
a
b d c e
; ;
a
b c d e
+ l i n e a r +
H e n c e
R
a
b c d e ]
= ;
a
b d c e ]
; ;
a
b c d e ]
= 0
a t t h e o r i g i n P o f t h e l o c a l i n e r t i a l f r a m e . H e n c e R
a
b c d e ]
= 0 e v e r y w h e r e ( t e n s o r i a l
e q u a t i o n ) t h e B i a n c h i I d e n t i t i e s . E q u i v a l e n t l y R
a
b c d e
+ R
a
b d e e
+ R
a
b e c d
= 0 s i n c e
R
a
b c d
= ; R
a
b d c
w h i c h i m p l i e s t h a t R
a
b c d e
= ; R
a
b d c e
: N o w c o n t r a c t o v e r a d a n d m u l t i -
p l y b y g
b e
:
R
a b
c a b
+ R
a b
a b c
+ R
a b
b c a
= 0
; R
b
c b
+ R
c
; R
a
c a
= 0
r
b
R
a b
;
1
2
g
a b
R
= 0
w h i c h a r e t h e c o n t r a c t e d B i a n c h i i d e n t i t i e s .
1 8 ]
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
19/20
E i n s t e i n F i e l d E q u a t i o n s 1 9
8 . 1 . C o r r e c t e d F i e l d E q u a t i o n s
H e n c e i f R
a b
b
= 0 t h e n R
a
= 0 , a n d s o R i s a c o n s t a n t . F o r a u i d w i t h T
a b
= U
a
U
b
,
t h e e q u a t i o n s R
a b
= T
a b
w o u l d y i e l d R = R
a
a
= T
a
a
= u
a
u
a
= ; c
2
, w h i c h w o u l d
i m p l y t h a t i s c o n s t a n t t h r o u g h o u t s p a c e - t i m e , w h i c h i s f a r t o o r e s t r i c t i v e !
I n s t e a d t a k e
R
a b
;
1
2
R g
a b
= T
a b
w h i c h a r e t h e E i n s t e i n F i e l d E q u a t i o n s . T h e n t h e i d e n t i t y r
b
;
R
a b
;
1
2
g
a b
R
= 0 i m -
p l i e s t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n T
a b
b
= 0 a u t o m a t i c a l l y . H e n c e t h e e l d e q u a t i o n s i m p l y t h e
e q u a t i o n s o f m o t i o n . I n f a c t i t c a n b e s h e w e n t h a t t h e l e f t h a n d s i d e o f E i n s t e i n ' s e q u a t i o n s
i s t h e o n l y p o s s i b l e t e n s o r i a l e x p r e s s i o n w h i c h i s l i n e a r i n t h e s e c o n d d e r i v a t i v e s g
a b c d
, d o e s
n o t i n v o l v e h i g h e r d e r i v a t i v e s , a n d w h i c h v a n i s h e s f o r a t s p a c e - t i m e , a n d w h i c h h a s z e r o
d i v e r g e n c e r
b
( ) i d e n t i c a l l y . ]
N o w c h e c k t h e N e w t o n i a n l i m i t , w i t h a u i d s o u r c e T
a b
= u
a
u
b
. W e u s e c o - o r d i n a t e s
x
a
= ( x c t ) . T h e n T
4 4
' c
2
, j T
i j
j j T
i 4
j j T
4 4
j , a n d n o t e t h a t T : = T
a
a
= g
a b
T
a b
'
; T
4 4
' ; c
2
: N o w R
a b
;
1
2
R g
a b
= T
a b
, w h i c h i m p l i e s
R
a
a
;
1
2
R
a
a
= R ; 2 R = ; R = T
R
a b
= ( T
a b
;
1
2
T g
a b
)
R
4 4
= ( T
4 4
;
1
2
g
4 4
T ) '
1
2
c
2
:
B u t R
4 4
= R
a
4 a 4
= R
i
4 i 4
+ R
4
4 4 4
'
1
c
2
i i
( a s p r e v i o u s l y R
4 4
i s t h e o n l y s i g n i c a n t
N e w t o n i a n R i c c i t e n s o r c o m p o n e n t ) .
S o f r o m E i n s t e i n e q u a t i o n s
i i
'
c
4
2
, a n d f r o m N e w t o n i a n e q u a t i o n s
i i
= 4 G .
H e n c e t h e E i n s t e i n e q u a t i o n s r e p r o d u c e N e w t o n i a n g r a v i t y , w i t h
=
8 G
c
4
E i n s t e i n
0
s G r a v i t a t i o n a l C o n s t a n t
G r a v i t a t i o n i s n o n - l i n e a r : t h e e l d o f o b j e c t s A B i s n o t e q u a l t o t h e s u m o f t h e e l d s o f
A a n d B s e p a r a t e l y , s i n c e i t i n c l u d e s c o n t r i b u t i o n s f r o m t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n A a n d B .
T h e g r a v i t a t i o n a l e l d m u s t c a r r y e n e r g y , a l t h o u g h t h i s c a n n e v e r b e l o c a l i s e d , s i n c e t h e
g e o m e t r y n e a r a n y p o i n t P l o o k s M i n k o w s k i a n i n a L o c a l I n e r t i a l F r a m e a t P .
8 . 2 . E q u a t i o n s o f M o t i o n
U s i n g t h e E i n s t e i n F i e l d e q u a t i o n s f o r a n i d e a l u i d w i t h n o p r e s s u r e , a n d s o T
a b
= u
a
u
b
,
w e o b t a i n R
a b
;
1
2
R g
a b
= T
a b
= u
a
u
b
, a n d s o a u t o m a t i c a l l y , t h e m a t t e r m u s t o b e y
T
a b
b
= 0 . W h e n c e
( u
a
u
b
)
b
= 0
u
b
u
a
b
+ u
a
( u
b
)
b
= 0
( 1 )
C o n t r a c t i n g w i t h u
a
y i e l d s
u
b
u
a
b
u
a
+ u
a
u
a
( u
b
)
b
= 0 ( 2 )
-
8/8/2019 General Relativity Course Handout
20/20
E i n s t e i n F i e l d E q u a t i o n s 2 0
b u t u
a
u
a
= ; c
2
w h i c h i m p l i e s t h a t u
a
u
a
b
=
1
2
( u
a
u
a
)
b
= 0 , h e n c e o b t a i n f r o m ( 2 ) t h a t
0 ; c
2
( u
b
)
b
= 0 , s o ( u
b
)
b
= 0 , w h i c h i s t h e e q u a t i o n o f m a s s c o n s e r v a t i o n . T h i s r e d u c e s
t o ( u
b
)
b
= 0 i n a l o c a l i n e r t i a l f r a m e , g i v i n g
@
@ t
+ r ( u ) = 0
i n a r e s t f r a m e ( o r a n e a r - r e s t f r a m e ) . H e n c e f r o m ( 1 ) ,
u
b
u
a
b
= 0 ) u
b
u
a
b
= 0
T h e E n d