general relativity x23 gravitational radiation...

GeneralRelativity

§23 Gravitational Radiation (II)

Lecturer: 黄志琦

http://zhiqihuang.top/gr

GR §23 Gravitational Radiation (II) Zhiqi Huang

这一讲的主题是：用四极矩近似算引力波


张张张量量量的的的 virial 定定定理理理

∂2

∂t2

∫x ix jT 00(x, t)d3x = 2

∫T ijd3x


在Minkowski 时空，对局域、守恒的能量动量张量 Tµν(x, t)，定义能量密度的四极矩：

Q ij(x, t) ≡∫

x ix jT 00(x, t)d3x

由局域条件知道三维散度的积分∫∂k

(T k0x ix j

)= 0

于是

∂Q ij

∂t=

∫∂µ(Tµ0x ix j

)d3x =

∫Tµ0∂µ(x ix j)d3x =

∫ (T i0x j + T j0x i

)d3x


故技重施，由三维散度积分∫∂k

(T ikx j

)d3x = 0

可以得到

∂

∂t

∫T i0x jd3x =

∫∂µ(T iµx j

)d3x =

∫T iµ∂µx

jd3x =

∫T ijd3x

于是∂2Q ij

∂t2= 2

∫T ijd3x

这叫做（张量的）virial定理。


空空空空空空形形形式式式的的的引引引力力力辐辐辐射射射公公公式式式

dP

dΩ=

Gω2

πM∗ij(ωn)Mkl(ωn)P ijkl(n)


为了叙述简明，我们考虑连续谱的情形

dE

dΩdω(n) =

Gω2

4π2

(T ∗µν(k)T µν(k)− 1

2|T αα(k)|2

)守恒条件 T ;µ

µν = 0 在傅立叶空间表述为

kµTµν = 0

这样四个方程就允许我们把把把带带带时时时间间间指指指标标标的的的分分分量量量全全全都都都用用用只只只带带带空空空间间间指指指标标标的的的分分分量量量表表表示示示出出出来来来。下面我们一律在傅立叶空间讨论，且省略宗量 k = (ω, ωn)


T0i = −njTij , T 0i = njTijT00 = T 00 = ninjTijT αα =

(ninj − δij

)Tij

按照惯例这里的拉丁字母 i , j 只对空间指标 1, 2, 3 求和。于是

|T αα|2 =(ninj − δij

) (nknl − δkl

)T ∗ij Tkl

T ∗µνT µν =(nink − δik

)(njnl − δjl

)T ∗ij Tkl


用空空分量表示的引力波辐射公式

dE

dΩdω(n) =

Gω2

4π2T ∗ij (k)Tkl(k)P ijkl(n)

这里的

P ijkl(n) ≡(nink − δik

)(njnl − δjl

)− 1

2

(ninj − δij

) (nknl − δkl

)叫做横向无迹投影算符。

单频的情况也类似，就不重复推导了：

dP

dΩ=

Gω2

πM∗ij(ωn)Mkl(ωn)P ijkl(n)


四四四极极极矩矩矩近近近似似似：：：波波波源源源尺尺尺寸寸寸远远远小小小于于于波波波长长长

dP

dΩ≈ Gω6

4πQ∗ijQklP ijkl(n)


四极矩近似的物理场景

如果引力波源的运动是非相对论的，那么波源的尺度很可能比引力波的波长小得多（因两者频率相同，而引力波以光速传播）。

这时就又有了操作的空间——


以单频引力波辐射为例

如果波源的尺度远小于 1ω。那么对波源的振幅 M ij(x) 做傅立叶

变换时， e ik·x 可以近似当成 1。

Mij(ωn) ≈∫

M ij(x)d3x

对张量 Mµν(x)e−iωt 使用virial定理∫M ij(x)d3x = −1

2ω2

∫x ix jM00(x)d3x


单频四极矩辐射公式

记能量密度的四极矩(quadrupole)

Q ij ≡∫

x ix jM00(x)d3x

则Mij(ωn) ≈ ω2

2 Q ij。代入到引力波辐射公式里

dP

dΩ≈ Gω6

4πQ∗ijQklP ijkl(n)


连续谱的四极矩辐射公式

对连续谱，推导完全类似。可以定义

Q ij(ω) ≡∫

e iωtdt

∫x ix jT 00(t, x)d3x

有dE

dΩdω(n) ≈ Gω6

16π2Q∗ij (ω)Qkl(ω)P ijkl(n)


绕绕绕转转转双双双星星星的的的辐辐辐射射射功功功率率率

P =128GM2R4ω6

5


因为只是做个示范，我们考虑最简单的例子：两个质量为 M 的中子星以角频率 ω 在圆轨道上互相绕转。设它们之间距离为2R，则有

ω2 =GM

4R3

取旋转中心为原点，旋转轴为 z 轴，则近似有

T00(t, x , y , z) = M [δ(x − R cosωt)δ(y − R sinωt) + δ(x + R cosωt)δ(y + R sinωt)] δ(z)

显然Q13 = Q23 = Q33 = 0


由于 ∫T00(t, x , y , z)x2d3x = MR2 [1 + cos(2ωt)]∫T00(t, x , y , z)y2d3x = MR2 [1− cos(2ωt)]∫T00(t, x , y , z)xyd3x = MR2 [sin(2ωt)]

所以这是角频率为 2ω 的单频源，且

Q11 =MR2

2,Q22 = −MR2

2,Q12 = −i MR2

2


代入四极矩辐射公式，得到角频率为 2ω 的引力波辐射强度为

dP

dΩ(n) =

2GM2R4ω6

π

(sin4 θ − 8 sin2 θ + 8

)这里的 θ 是 n 和 z 轴的夹角。

如果对所有方向积分，则得到辐射功率

P =128GM2R4ω6

5

这部分的计算是用代码完成的，请参考http://zhiqihuang.top/gr/codes/TTproj.py


http://zhiqihuang.top/gr/codes/TTproj.py

附附附录录录：：：横横横向向向无无无迹迹迹投投投影影影算算算符符符P ijkl的的的物物物理理理意意意义义义

(T TT

)ij= P ijklTkl


把三维欧氏空间的对称二阶张量 Tij (6个自由度）分解为2个标量(2个自由度)，一个无源的矢量（2个自由度），和一个横向无迹的二阶张量（2个自由度）：

Tij = Φδij +

(ninj −

1

3δij

)Ψ + (niAj + njAi ) + T TT

ij

这里的 Φ, Φ 是标量； Ai 是无源的三维矢量，满足 niAi = 0 (现在我在讨论三维欧氏空间，指标在上面和下面都一样)。首先两边求迹，可以确定 Φ = T

3，这里 T 是 Tii 的简写。

然后两边乘以 ninj，可以得到：

ninjTij =T3

+2

3Ψ

即

Ψ =3

2

(ninjTij −

T3

)GR §23 Gravitational Radiation (II) Zhiqi Huang

然后在

Tij = Φδij +

(ninj −

1

3δij

)Ψ + (niAj + njAi ) + T TT

ij

两边乘以 ni 并代入 Φ,Ψ 的解，得到

niTij =T3nj + nj

(nknlTkl −

T3

)+ Aj

即Aj = niTij −

(nknlTkl

)nj

最后，把 Φ,Ψ,Aj 都代入，得出(T TT

)ij= P ijklTkl .


general relativity x23 gravitational radiation...

Documents