generalized roundness and negative type
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8/6/2019 Generalized Roundness and Negative Type
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G e n e r a l i s e d r o u n d n e s s a n d n e g a t i v e t y p e
C . J . L e n n a r d
, A . M . T o n g e
y
a n d A . W e s t o n
1 . I n t r o d u c t i o n .
I n t h i s p a p e r w e e x h i b i t t h e e q u i v a l e n c e o f E n o ' s n o n - l i n e a r n o t i o n o f g e n e r a l i s e d r o u n d -
n e s s a n d t h e c l a s s i c a l e m b e d d i n g n o t i o n o f n e g a t i v e t y p e . T h i s e n a b l e s u s t o d e v e l o p a
r u d i m e n t a r y t h e o r y o f g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s a n d t o g i v e a p p l i c a t i o n s t o t h e L
p
- s p a c e s . I n
p a r t i c u l a r , w e s h o w t h a t f o r p > 2 a n d n 3 , t h e n - d i m e n s i o n a l
p
s p a c e s f a i l t o h a v e
g e n e r a l i z e d r o u n d n e s s q f o r a l l q > 0 .
T h e n o t i o n s o f r o u n d n e s s a n d g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s w e r e i n t r o d u c e d b y E n o i n E 1 ] ,
E 2 ] , a n d E 3 ] t o s t u d y t h e u n i f o r m s t r u c t u r e o f m e t r i c s p a c e s . W e b e g i n b y r e c a l l i n g s o m e
m a t e r i a l f r o m t h e s e p a p e r s . H o w e v e r , w e m a k e s o m e s l i g h t a l t e r a t i o n s t o E n o ' s o r i g i n a l
d e n i t i o n s t o a l l o w e a s i e r e x p o s i t i o n l a t e r .
1 . 1 D e n i t i o n . ( a ) W e s a y t h a t a m e t r i c s p a c e ( X ; d ) h a s r o u n d n e s s q , w r i t t e n q 2 r ( X ; d ) ,
i f w h e n e v e r a
1
; a
2
; b
1
; b
2
a r e i n X w e h a v e
d ( a
1
; a
2
)
q
+ d ( b
1
; b
2
)
q
X
1 i ; j 2
d ( a
i
; b
j
)
q
: ( 1 )
( b ) A p a i r ( a
1
; : : : ; a
n
) , ( b
1
; : : : ; b
n
) o f n - t u p l e s i n a m e t r i c s p a c e i s c a l l e d a d o u b l e - n - s i m p l e x .
S u c h a d o u b l e - n - s i m p l e x w i l l b e d e n o t e d a
i
; b
i
]
n
i = 1
. W e c a l l a p a i r o f p o i n t s ( a
i
; a
j
) o r ( b
i
; b
j
)
a n e d g e , a n d a p a i r o f p o i n t s ( a
i
; b
j
) a c o n n e c t i n g l i n e .
W e s a y t h a t a m e t r i c s p a c e ( X ; d ) h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q , w r i t t e n q 2 g r ( X ; d ) , i f
R e s e a r c h p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y a U . P i t t s b u r g h F A S G r a n t
y
R e s e a r c h p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y N S F G r a n t I n t - 9 0 2 3 9 5 1
A M S M a t h e m a t i c s S u b j e c t C l a s s i c a t i o n : 4 6 B , 4 7 H .
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O n e o f o u r m a i n t o o l s i s t h e e x i s t e n c e o f a s t r o n g l i n k b e t w e e n t h e n o t i o n s o f g e n e r a l i s e d
r o u n d n e s s a n d n e g a t i v e t y p e . T h e n o t i o n o f n e g a t i v e t y p e e m e r g e d f r o m i n v e s t i g a t i o n s b y
M e n g e r M e ] , a n d S c h o e n b e r g S 1 ] , S 2 ] i n t o t h e n a t u r e o f i s o m e t r i c e m b e d d i n g s o f m e t r i c
s p a c e s i n t o H i l b e r t s p a c e s .
O u r m a i n r e s u l t , e s t a b l i s h e d i n t h e n e x t s e c t i o n , i s t h e f o l l o w i n g .
1 . 3 T h e o r e m . F o r 2 < p 1 , i f L
p
( ; ; ) i s a t l e a s t t h r e e d i m e n s i o n a l t h e n i t f a i l s t o
h a v e g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q f o r a n y q > 0 .
P r i o r t o c o n n e c t i n g w i t h n e g a t i v e t y p e w e g i v e d i r e c t c o m p u t a t i o n s o f t h e r o u n d n e s s o f
i n n i t e d i m e n s i o n a l L
p
( ) ' s f o r t h e c a s e p > 2 . I t i s k n o w n f r o m E n o E 3 ] t h a t , f o r a
n o r m e d s p a c e ( X ; k k ) ,
( i ) q 2 r ( X ; k k ) i f a n d o n l y i f k x + y k
q
+ k x y k
q
2 ( k x k
q
+ k y k
q
) f o r a l l x ; y 2 X , a n d
( i i ) q 2 r ( X ; k k ) i m p l i e s q
1
2 r ( X ; k k ) f o r a l l q
1
s u c h t h a t 1 q
1
q .
I n d e e d , ( i i ) f o l l o w s e a s i l y u s i n g v e c t o r - v a l u e d i n t e r p o l a t i o n v i a t h e c o m p l e x m e t h o d . ( S e e ,
f o r e x a m p l e , B L , 5 . 1 . 2 ] ) . W e u s e t h e s e f a c t s i n t h e p r o o f o f t h e n e x t t h e o r e m .
1 . 4 P r o p o s i t i o n . F o r 2 p 1 , r ( L
p
0 ; 1 ] ) = 1 ; p
0
] w h e r e
1
p
+
1
p
0
= 1 .
P r o o f . R e c a l l t h i s i n e q u a l i t y o f C l a r k s o n C l ] : f o r a l l x ; y 2 L
p
2
1
p
0
( k x k
p
L
p
+ k y k
p
L
p
)
1
p
k x + y k
p
0
L
p
+ k x y k
p
0
L
p
1
p
0
:
S i n c e p
0
2 p , a n a p p l i c a t i o n o f H o l d e r ' s i n e q u a l i t y g i v e s
k x k
p
0
L
p
+ k y k
p
0
L
p
1
p
0
2
1
p
0
1
p
k x k
p
L
p
+ k y k
p
L
p
1
p
2
1
p
k x + y k
p
0
L
p
+ k x y k
p
0
L
p
1
p
0
:
F i x f ; g 2 L
p
: L e t t i n g x = f + g a n d y = f g w e c a n r e p h r a s e t h i s i n e q u a l i t y t o r e a d
k f + g k
p
0
L
p
+ k f g k
p
0
L
p
2
p
0
p
k 2 f k
p
0
L
p
+ k 2 g k
p
0
L
p
= 2
k f k
p
0
L
p
+ k g k
p
0
L
p
:
S o 1 ; p
0
] r ( L
p
0 ; 1 ] ) : T o s h o w e q u a l i t y c o n s i d e r a n y q s a t i s f y i n g ( i ) a b o v e f o r t h e L
p
- n o r m .
T h e n c h o o s e x =
1
2
( 0 ; 1 = 2 )
+
( 1 = 2 ; 1 )
] a n d y =
1
2
( 0 ; 1 = 2 )
( 1 = 2 ; 1 )
] . N o t e t h a t x + y =
( 0 ; 1 = 2 )
a n d x y =
( 1 = 2 ; 1 )
: T h u s (
1
2
)
q = p
2 (
1
2
)
q
a n d s o q p
0
. }
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o f r e a l n u m b e r s
1
; : : : ;
n
w i t h
n
P
j = 1
j
= 0 , w e h a v e
X
1 i ; j n
d ( x
i
; x
j
)
q
i
j
0 : ( 3 )
I n o r d e r t o c o n n e c t g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s w i t h n e g a t i v e t y p e w e s h a l l b e g i n b y r e f o r m u -
l a t i n g i t .
2 . 2 T h e o r e m . F o r a m e t r i c s p a c e ( X ; d ) t h e f o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t :
( i ) q 2 g r ( X ; d ) ,
( i i ) F o r a l l n 2 I N , a l l n i t e s e q u e n c e s f x
1
; : : : ; x
n
g X , a n d a l l c o l l e c t i o n s o f w e i g h t s
w
1
; : : : ; w
n
; s
1
; : : : ; s
n
0 t h a t s a t i s f y
n
P
j = 1
w
j
=
n
P
j = 1
s
j
( = 1 i f o n e w i s h e s t o n o r m a l i z e ) , w e
h a v e
X
1 i ; j n
d ( x
i
; x
j
)
q
( w
i
s
i
) ( w
j
s
j
) 0 : ( 4 )
2 . 3 R e m a r k . T h e l e f t h a n d s i d e o f ( 4 ) i s v e r y e a s i l y s e e n t o e q u a l
X
1 i ; j n
w
i
w
j
+ s
i
s
j
] d ( x
i
; x
j
)
q
2
X
1 i ; j n
w
i
s
j
d ( x
i
; x
j
)
q
; ( 5 )
s t r o n g l y h i n t i n g a t g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s .
P r o o f o f 2 . 2 . ( i i ) ) ( i ) . S u p p o s e t h a t ( i i ) h o l d s . C o n s i d e r a g i v e n d o u b l e - m - s i m p l e x
a
i
; b
i
]
m
i = 1
i n t h e m e t r i c s p a c e ( X ; d ) . S e t t i n g n = 2 m c o n s i d e r t h e p o i n t s
x
i
: =
(
a
i
; 1 i m
b
i m
; m + 1 i n
;
a n d t h e w e i g h t s
w
i
: =
(
1 ; 1 i m
0 ; m + 1 i n
; s
i
: =
(
0 ; 1 i m
1 ; m + 1 i n
:
O b v i o u s l y ,
n
P
i = 1
w
i
= m =
n
P
i = 1
s
i
. A p p l y i n g ( i i ) w e s e e t h a t
0
X
1 i ; j n
d ( x
i
; x
j
)
q
( w
i
s
i
) ( w
j
s
j
)
=
X
1 i ; j m
d ( a
i
; a
j
)
q
+
X
m + 1 i ; j n
d ( b
i m
; b
j m
)
q
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X
m + 1 i n
1 j m
d ( b
i m
; a
j
)
q
X
1 i m
m + 1 j n
d ( a
i
; b
j m
)
q
=
X
1 i ; j m
d ( a
i
; a
j
)
q
+ d ( b
i
; b
j
)
q
] 2
X
1 i ; j m
d ( a
i
; b
j
)
q
:
I n o t h e r w o r d s w e h a v e s h o w n t h a t
P
1 i < j m
d ( a
i
; a
j
)
q
+ d ( b
i
; b
j
)
q
]
P
1 i ; j m
d ( a
i
; b
j
)
q
;
a n d h e n c e q 2 g r a
i
; b
i
]
m
i = 1
. I t f o l l o w s t h a t X h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q .
( i ) ) ( i i ) . S u p p o s e t h a t X h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q . C o n s i d e r a n i t e s e q u e n c e x
1
; : : : ; x
n
i n X . S u p p o s e t h a t N n a n d t h a t l
1
; : : : ; l
n
; m
1
; : : : ; m
n
a r e n o n - n e g a t i v e i n t e g e r s s a t i s f y i n g
n
P
j = 1
l
j
= N =
n
P
j = 1
m
j
.
C o n s t r u c t a d o u b l e - N - s i m p l e x a s f o l l o w s . S e t
a
1
= a
2
= = a
l
1
= x
1
; a
l
1
+ 1
= a
l
1
+ 2
= = a
l
1
+ l
2
= x
2
; a n d s o o n ;
b
1
= b
2
= = b
m
1
= x
1
; b
m
1
+ 1
= b
m
1
+ 2
= = b
m
1
+ m
2
= x
2
; a n d s o o n :
S i n c e X h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q , i n e q u a l i t y ( 2 ) f o r t h i s d o u b l e - N - s i m p l e x c a n b e m a -
n i p u l a t e d t o g i v e
X
1 i ; j n
d ( x
i
; x
j
)
q
"
l
i
l
j
+ m
i
m
j
N
2
#
2
X
1 i ; j n
d ( x
i
; x
j
)
q
"
l
i
m
j
N
2
#
: ( 6 )
C o m p a r i n g ( 6 ) w i t h ( 4 ) a n d ( 5 ) , a n d n o t i n g t h a t t h e s e t
8
<
:
1
N
( k
1
; : : : ; k
n
)
N ; k
i
2 I N ; N n ; a n d
n
X
j = 1
k
j
= N
9
=
;
i s a d e n s e s u b s e t o f
8
<
:
( z
1
; : : : ; z
n
)
E a c h z
i
0 a n d
n
X
j = 1
z
j
= 1
9
=
;
;
a n e l e m e n t a r y c o n t i n u i t y a r g u m e n t c o m p l e t e s t h e p r o o f t h a t ( i ) ) ( i i ) . }
> F r o m t h i s r e f o r m u l a t i o n o f g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s w e g e t t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .
2 . 4 T h e o r e m . A m e t r i c s p a c e ( X ; d ) h a s q - n e g a t i v e t y p e i f a n d o n l y i f i t h a s g e n e r a l i s e d
r o u n d n e s s q .
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P r o o f . S u p p o s e t h a t ( X ; d ) h a s q - n e g a t i v e t y p e . L e t a
i
; b
i
]
n
i = 1
( X ; d ) b e a d o u b l e - n -
s i m p l e x . S e t
x
1
= a
1
; x
3
= a
2
; : : : ; x
2 n 1
= a
n
;
x
2
= b
1
; x
4
= b
2
; : : : ; x
2 n
= b
n
;
a n d s e t
j
: = ( 1 )
j
f o r a l l 1 j 2 n . I t i s c l e a r t h a t w e h a v e
2 n
P
j = 1
j
= 0 . H e n c e , b y o u r
h y p o t h e s i s , w e h a v e
X
1 i ; j 2 n
d ( x
i
; x
j
)
q
i
j
0 : ( 7 )
S u m m i n g o v e r ( i , j ) b o t h o d d , ( i , j ) b o t h e v e n , i e v e n a n d j o d d , a n d i o d d a n d j e v e n , w e
s e e f r o m ( 7 ) t h a t
0
X
1 i ; j 2 n
d ( x
i
; x
j
)
q
i
j
=
X
1 i ; j n
f d ( a
i
; a
j
)
q
+ d ( b
i
; b
j
)
q
2 d ( a
i
; b
j
)
q
g :
I t f o l l o w s t h a t q 2 g r a
i
; b
i
]
n
i = 1
. W e c o n c l u d e t h a t X h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q .
O n t h e o t h e r h a n d s u p p o s e t h a t X h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q a n d c o n s i d e r x
1
; : : : ; x
n
i n X a n d r e a l n u m b e r s
1
; : : : ;
n
s a t i s f y i n g
n
P
j = 1
j
= 0 .
I f
j
0 s e t w
j
=
j
a n d s
j
= 0 . I f
j
< 0 s e t w
j
= 0 a n d s
j
=
j
. T h e n
n
P
j = 1
w
j
=
n
P
j = 1
s
j
a n d s o
X
1 i ; j n
d ( x
i
; x
j
)
q
( w
i
s
i
) ( w
j
s
j
) 0
b y T h e o r e m 2 . 2 ( i i ) . A s w
j
s
j
=
j
f o r a l l 1 j n w e c o n c l u d e t h a t X h a s q - n e g a t i v e
t y p e . }
I t i s w e l l - k n o w n t h a t i f a m e t r i c s p a c e h a s q - n e g a t i v e t y p e t h e n i t h a s q
1
- n e g a t i v e t y p e f o r
a l l 0 q
1
q . W e r e f e r t h e r e a d e r t o W e l l s a n d W i l l i a m s W W , p . 1 1 ] . I t f o l l o w s i m m e d i a t e l y
f r o m T h e o r e m 2 . 4 t h a t g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s s h a r e s t h i s i n t e r v a l p r o p e r t y .
2 . 5 C o r o l l a r y . I f a m e t r i c s p a c e h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q t h e n i t h a s g e n e r a l i s e d
r o u n d n e s s q
1
f o r a l l 0 q
1
q .
W e r e m a r k t h a t s u c h a s t a t e m e n t d o e s n o t h o l d t r u e f o r r o u n d n e s s i n a g e n e r a l m e t r i c
s p a c e . A n e x a m p l e o f t h i s i s g i v e n i n E 3 , p a g e 2 5 4 ] . I t d o e s h o l d t r u e f o r r o u n d n e s s i n
B a n a c h s p a c e s , h o w e v e r , b y t h e i n t e r p o l a t i o n t e c h n i q u e m e n t i o n e d i n S e c t i o n 1 .
-
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U s i n g C o r o l l a r y 2 . 5 w e c a n g i v e a s h o r t p r o o f o f t h e f o l l o w i n g r e s u l t , k n o w n t o E n o f o r
1 p 2 , t h o u g h n o p r o o f h a s p r e v i o u s l y a p p e a r e d i n t h e l i t e r a t u r e , t o o u r k n o w l e d g e .
( W e r e m a r k t h a t f o r 0 < p < 1 w e a r e u s i n g t h e u s u a l q u a s i n o r m o n L
p
a n d t h e o b v i o u s
e x t e n s i o n o f D e n i t i o n 1 . 1 ( b ) t o t h e a s s o c i a t e d q u a s i m e t r i c ) .
2 . 6 C o r o l l a r y . ( a ) L e t 0 < p 2 . L e t b e a p o s i t i v e m e a s u r e . T h e n g r ( L
p
( ) ) = 0 ; p ] .
( b ) M o r e o v e r , i f ( X ; k k
X
) i s a B a n a c h s p a c e w i t h g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q , 0 < p q 2 ,
t h e n t h e L e b e s g u e - B o c h n e r s p a c e L
p
( ; X ) h a s g r ( L
p
( ; X ) ) = 0 ; p ] . I n p a r t i c u l a r , t h i s i s
t h e c a s e f o r X = L
q
( ) .
P r o o f . ( a ) W e b e g i n b y s h o w i n g t h a t ( I R ; j j ) h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s 2 , a s s t a t e d i n
E 2 ] . L e t a
i
; b
i
]
n
i = 1
b e a d o u b l e - n - s i m p l e x o f r e a l n u m b e r s . T h e n c l e a r l y
X
1 i < j n
h
( a
i
a
j
)
2
+ ( b
i
b
j
)
2
i
= n
n
X
i = 1
a
2
i
+ b
2
i
n
X
i = 1
a
i
!
2
n
X
i = 1
b
i
!
2
; a n d
X
1 i ; j n
( a
i
b
j
)
2
= n
n
X
i = 1
a
2
i
+ b
2
i
2
n
X
i = 1
a
i
!
0
@
n
X
j = 1
b
j
1
A
:
S o t o p r o v e t h a t ( I R ; j j ) h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s 2 i t i s g o o d e n o u g h t o s h o w
2
n
X
i = 1
a
i
!
0
@
n
X
j = 1
b
j
1
A
n
X
i = 1
a
i
!
2
+
0
@
n
X
j = 1
b
j
1
A
2
;
w h i c h i s t r i v i a l l y t r u e . S i m i l a r l y , i f w e r e p l a c e r e a l b y c o m p l e x s c a l a r s , t h e i m m e d i a t e l y
p r e c e d i n g r e s u l t i s s t i l l t r u e .
B y C o r o l l a r y 2 . 5 w e c a n r e p l a c e 2 b y p f o r a l l 0 < p 2 a n d t h e n i n t e g r a t e t h e s c a l a r
i n e q u a l i t y t o g e t p 2 g r ( L
p
( ) ) .
T o s e e t h a t L
p
( ) d o e s n o t h a v e g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q f o r a n y q > p s i m p l y c o n s i d e r
t h e d o u b l e - 2 - s i m p l e x a
1
; a
2
; b
1
; b
2
] w h e r e a
1
0 , a
2
1 , b
1
=
( 0 ;
1
2
)
, a n d b
2
=
(
1
2
; 1 )
.
A l t e r n a t i v e l y , n o t e t h a t q 2 g r ( L
p
( ) ) i m p l i e s t h a t q 2 r ( L
p
( ) ) ; a n d s o q p b y E 1 ] .
( b ) T h i s i s v e r y s i m i l a r t o p a r t ( a ) . }
2 . 7 R e m a r k . E n o i n E 1 ] a l s o i n t e g r a t e s a s c a l a r i n e q u a l i t y t o p r o v e t h a t f o r 1 p 2 ,
L
p
0 ; 1 ] h a s r o u n d n e s s p . H e d e r i v e s h i s s c a l a r i n e q u a l i t y b y u s i n g e l e m e n t a r y c a l c u l u s .
-
8/6/2019 Generalized Roundness and Negative Type
9/13
9
A n o t h e r a p p l i c a t i o n o f T h e o r e m 2 . 4 i s a n i n d i r e c t p r o o f o f T h e o r e m 1 . 3 i n t h e s p e c i a l
c a s e t h a t L
p
( ) i s i n n i t e d i m e n s i o n a l . S i n c e w e a r e a s s u m i n g p > 2 , s u c h s p a c e s d o n o t
h a v e q - n e g a t i v e t y p e f o r a n y q > 0 ( s e e , f o r e x a m p l e , W W , p . 3 6 ] ) ; a n d T h e o r e m 1 . 3 f o l l o w s .
T h e g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s o f
( n )
p
i n t h e c a s e p > 2 c a n a l s o b e s e t t l e d u s i n g T h e o r e m
2 . 4 i n c o n j u n c t i o n w i t h e x i s t i n g t h e o r y . T o b e g i n w i t h i t i s w e l l - k n o w n t h a t L
1
c o n t a i n s
a l i n e a r i s o m e t r i c c o p y o f e v e r y t w o d i m e n s i o n a l n o r m e d s p a c e . T h i s r e s u l t w a s o b t a i n e d
i n d e p e n d e n t l y b y s e v e r a l a u t h o r s i n t h e e a r l y s i x t i e s ; a n d i n p a r t i c u l a r w a s p r o v e n b y H e r z
H ] . ( A l s o s e e , f o r e x a m p l e , Y o s t Y ] f o r a s h o r t p r o o f . Y ] a l s o c o n t a i n s f u r t h e r r e f e r e n c e s . )
S o , r e c a l l i n g t h a t L
1
h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s o n e , w e s e e t h a t f o r e v e r y t w o - d i m e n s i o n a l
n o r m e d s p a c e X , g r ( X ) 0 ; 1 ] . S u c h n e e d n o t b e t r u e f o r h i g h e r ( n i t e ) d i m e n s i o n s .
T w o i m p o r t a n t t h e o r e m s c o m e i n t o p l a y . O n e i s d u e t o B r e t a g n o l l e , D a c u n h a - C a s t e l l e , a n d
K r i v i n e B D K ] ( a n d m a y a l s o b e f o u n d i n , f o r e x a m p l e , W W , p . 2 3 ] ) . T h e o t h e r i s d u e t o
D o r D ] , M i s i e w i c z M i ] , a n d K o l d o b s k y K ] .
T h e o r e m ( B D K ] ) . I f a n i t e d i m e n s i o n a l n o r m e d s p a c e X h a s q - n e g a t i v e t y p e f o r s o m e
0 < q 2 , t h e n t h e r e i s a l i n e a r i s o m e t r y f r o m X i n t o s o m e L
q
- s p a c e .
T h e o r e m ( D ] , M i ] , K ] ) . F o r 2 < p 1 a n d n 3 ,
( n )
p
i s n o t l i n e a r l y i s o m e t r i c t o a
s u b s p a c e o f a n y L
q
- s p a c e w i t h 0 < q 2 .
T h e o r e m 2 . 4 a n d t h e a b o v e t w o r e s u l t s i m p l y o u r n a l r e s u l t .
2 . 8 T h e o r e m . F o r 2 < p 1 a n d n 3 ,
( n )
p
f a i l s t o h a v e g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s q f o r
a n y q > 0 .
O f c o u r s e T h e o r e m 2 . 8 i s e q u i v a l e n t t o T h e o r e m 1 . 3 .
O p e n Q u e s t i o n . W h a t i s t h e ( m a x i m a l ) g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s o f t h e S c h a t t e n c l a s s C
p
( o r m o r e g e n e r a l l y , a n y n o n - c o m m u t a t i v e L
p
- s p a c e ) , f o r 1 p 2 ?
W e r e m a r k t h a t C
p
h a s g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s 0 f o r p > 2 , s i n c e i t s s u b s p a c e
p
h a s
-
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10/13
1 0
g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s 0 . W e f u r t h e r r e m a r k t h a t t h e \ i n t e g r a t i o n o f a p o i n t w i s e i n e q u a l i t y "
p r o o f s t r a t e g y o f C o r o l l a r y 2 . 6 d o e s n o t w o r k f o r C
p
, 1 p 2 .
A c k n o w l e d g m e n t s . T h e a u t h o r s w o u l d l i k e t o t h a n k P e r E n o f o r i l l u m i n a t i n g c o n v e r -
s a t i o n s a n d l e c t u r e s o n g e n e r a l i s e d r o u n d n e s s , a n d a l s o M i g u e l L a c r u z f o r h e l p f u l c o m m e n t s .
R e f e r e n c e s .
A 1 ] I . A h a r o n i , U n i f o r m e m b e d d i n g s o f B a n a c h s p a c e s , I s r a e l J . M a t h . 2 7 ( 1 9 7 7 ) , 1 7 4 - 1 7 9 .
A 2 ] I . A h a r o n i , E v e r y s e p a r a b l e m e t r i c s p a c e i s L i p s c h i t z e q u i v a l e n t t o a s u b s e t o f c
0
, I s r a e l
J . M a t h . 1 9 ( 1 9 7 4 ) , p p . 2 8 4 - 2 9 1 .
A M M ] I . A h a r o n i , B . M a u r e y a n d B . S . M i t j a g i n , U n i f o r m e m b e d d i n g s o f m e t r i c s p a c e s
a n d o f B a n a c h s p a c e s i n t o H i l b e r t s p a c e s , I s r a e l J . M a t h . 5 2 ( 1 9 8 5 ) , 2 5 1 - 2 6 5 .
B ] Y . B e n y a m i n i , T h e U n i f o r m C l a s s i c a t i o n o f B a n a c h S p a c e s , F u n c t i o n a l A n a l y s i s S e m -
i n a r 1 9 8 4 - 1 9 8 5 , T e x a s L o n g h o r n N o t e s . B a n a c h S p a c e B u l l e t i n B o a r d : b e n y a m i n i u -
n i f r m . a t x
B L ] J . B e r g h a n d J . L o f s t r o m , I n t e r p o l a t i o n S p a c e s . A n I n t r o d u c t i o n , G r u n d l e h r e n d e r
M a t h e m a t i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n 2 2 3 , S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n 1 9 7 6 .
B D K ] J . B r e t a g n o l l e , D . D a c u n h a - C a s t e l l e , J . K r i v i n e , L o i s s t a b l e s e t e s p a c e s L
p
, A n n .
I n s t . H . P o i n c a r e , S e c t . B ( 3 ) I I ( 1 9 6 6 ) , p p . 2 3 1 - 2 5 9 .
C h a ] F . C h a a t i t , O n u n i f o r m h o m o m o r p h i s m s o f t h e u n i t s p h e r e s o f c e r t a i n B a n a c h l a t t i c e s ,
P a c i c J . M a t h . 1 6 8 ( 1 9 9 5 ) , p p . 1 1 - 3 1 .
C h o ] G . C h o q u e t , L e c t u r e s i n A n a l y s i s , V o l u m e I I I , W . A . B e n j a m i n I n c . , 1 9 6 9 .
C l ] J . A . C l a r k s o n , U n i f o r m l y c o n v e x s p a c e s , T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . 4 0 ( 1 9 3 6 ) , p p .
3 9 6 - 4 1 4 .
D ] L . E . D o r , P o t e n t i a l s a n d i s o m e t r i c e m b e d d i n g s i n L
1
, I s r a e l J . M a t h . 2 4 ( 1 9 7 6 ) , p p .
2 6 0 - 2 6 8 .
-
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1 1
E 1 ] P . E n o , O n t h e n o n - e x i s t e n c e o f u n i f o r m h o m e o m o r p h i s m s b e t w e e n L
p
- s p a c e s , A r k .
M a t h . 8 ( 1 1 ) ( 1 9 6 9 ) , p p . 1 0 3 - 1 0 5 .
E 2 ] P . E n o , O n a p r o b l e m o f S m i r n o v , A r k . M a t h . 8 ( 1 2 ) ( 1 9 6 9 ) , p p . 1 0 7 - 1 0 9 .
E 3 ] P . E n o , U n i f o r m s t r u c t u r e s a n d s q u a r e r o o t s i n t o p o l o g i c a l g r o u p s , I I , I s r a e l J . M a t h ,
8 ( 1 9 7 0 ) , p p . 2 5 3 - 2 7 2 .
F K ] T . F a c k a n d H . K o s a k i , G e n e r a l i z e d s - n u m b e r s o f - m e a s u r a b l e o p e r a t o r s , P a c i c J .
M a t h . 1 2 3 ( 1 9 8 6 ) , p p . 2 6 9 - 3 0 0 .
G L ] S . G u e r r e a n d M . L e v y , E s p a c e s
p
d a n s s o u s - e s p a c e s d e L
1
, T r a n s . A m e r . M a t h . S o c .
2 7 9 ( 1 9 8 3 ) , p p . 6 1 1 - 6 1 6 .
H M ] S . H e i n r i c h a n d P . M a n k i e w i c z , A p p l i c a t i o n s o f u l t r a p o w e r s t o t h e u n i f o r m a n d L i p s -
c h i t z c l a s s i c a t i o n o f B a n a c h s p a c e s , S t u d i a M a t h . 7 3 ( 1 9 8 2 ) , p p . 2 2 5 - 2 5 1 .
H ] C . S . H e r z , A c l a s s o f n e g a t i v e d e n i t e f u n c t i o n s , P r o c . A m e r . M a t h . S o c . 1 4 ( 1 9 6 3 ) ,
p p . 6 7 0 - 6 7 6 .
K ] A . K o l d o b s k y , G e n e r a l i s e d L e v y r e p r e s e n t a t i o n o f n o r m s a n d i s o m e t r i c e m b e d d i n g s i n t o
L
p
- s p a c e s , A n n . I n s t . H . P o i n c a r e , 2 8 ( 1 9 9 2 ) , p p . 3 3 5 - 3 5 3 .
L ] J . L i n d e n s t r a u s s , O n n o n l i n e a r p r o j e c t i o n s i n B a n a c h s p a c e s , M i c h . M a t h . J . , 1 1 ( 1 9 6 4 ) ,
p p . 2 6 3 - 2 8 7 .
M c ] C . A . M c C a r t h y , c
p
, I s r a e l J . M a t h . 5 ( 1 9 6 7 ) , p p . 2 4 9 - 2 7 1 .
M e ] K . M e n g e r , D i e M e t r i k d e s H i l b e r t - R a u m e s , A k a d . W i s s . W i e n A b h . M a t h . - N a t u r .
K 1 . 6 5 ( 1 9 2 8 ) , p p . 1 5 9 - 1 6 0 .
M i ] J . M i s i e w i c z , P o s i t i v e d e n i t e f u n c t i o n s o n
( n )
1
, S t a t i s t . a n d P r o b . L e t t e r s 8 ( 1 9 8 9 ) ,
p p . 2 5 5 - 2 6 0 .
R i ] M . R i b e , O n u n i f o r m l y h o m e o m o r p h i c n o r m e d s p a c e s , A r k . M a t h . 1 4 ( 1 9 7 6 ) p p . 2 3 7 -
2 4 4 .
-
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12/13
-
8/6/2019 Generalized Roundness and Negative Type
13/13
1 3
C h r i s L e n n a r d ,
D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s ,
U n i v e r s i t y o f P i t t s b u r g h ,
P i t t s b u r g h , P A 1 5 2 6 0 , U . S . A . .
e - m a i l : l e n n a r d + @ p i t t . e d u
A n d r e w T o n g e ,
D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e ,
K e n t S t a t e U n i v e r s i t y ,
K e n t , O h i o 4 4 2 4 2 , U . S . A . .
e - m a i l : t o n g e @ m c s . k e n t . e d u
T o n y W e s t o n ,
D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s ,
U n i v e r s i t y o f P r e t o r i a ,
0 0 0 2 P r e t o r i a ,
S o u t h A f r i c a .
e - m a i l : t w e s t o n @ s c i n e t . u p . a c . z a