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ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER 1

1. Indica la o las expresiones equivalentes:

a) ya

axiii

y

xii

y

xi

ya

ax

+++))

1)

b) nnnn xiiixiixixx ))()) 2222 +

c) kkkkkk AiiiAiiAiAA 2222222 2

)))(). ++++

d) 6655 3)9)9)33 iiiiii

e) 323 5)5)5)55

1 −iiiiii

f) 3)3(3

34)4)4)

4

4iiiiii hh

h

h+−

+

g) )13

1(3)3.4)3)33 1121 ++ +++ kkkkk iiiiii

i) kkkkkkk iiiiii 43)7)7)43 ++ +

2. Encuentra una expresión equivalente:

a) 3

2

−

+

m

h

a

a

b) 31 ++ + kk bb

c) mm a

d

a

c+

−3

d) tk

c

kb

a

..+

e) a

baa

2

84 +

3. Expresar en forma equivalente sacando denominador común:

a) 21 22

3

2

1++

++

−hhh

hh

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b) 21 5

3

55

3+−

−−+

kkk

kk

4. Mostrar, justificando cada operación, las siguientes igualdades: a) )2()1)1(2()1)(1( +=−++−+ nnnnn

b) )43)(2()1)1(6()13)(1( ++=+++++ ttttt

c) 22223 )2()1(2)1(2)1(8 ++=+++ nnnnn

d) )7

17(

6

1

7

1)

7

17(

6

111 ++

−=+−nnn

5. En la escala de Fahrenheit, el agua se congela a 32 grados y hierve a 212.

Esos números surgen de pretender que el 0 represente el congelamiento del agua salada, y 100 la temperatura normal del cuerpo humano ( es aproximado, en realidad es 98,6). En la escala de Celsius, el 0 corresponde a la temperatura de congelamiento del agua y el 100 corresponde a la temperatura en que hierve.

a) Encuentre una fórmula lineal para convertir los grados centígrados en grados Fahrenheit y viceversa. Grafique.

b) Cuántos grados centígrados representan la temperatura normal del cuerpo humano?

c) A cuántos grados en la escala de Celsius se congela el agua salada? d) Qué temperatura tiene que tener un cuerpo para que ambas escalas marquen

la misma temperatura?

6. Un pasaje de “El Hombre que Calculaba” de Malba Tahan

CAPÍTULO III

Singular aventura acerca de 35 camellos que debían ser repartidos entre tres árabes. Beremís Samir efectúa una división que parecía imposible, conformando plenamente

a los tres querellantes. La ganancia inesperada que obtuvimos con la transacción.

Hacía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremís puso en práctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista. Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos.

Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas: - ¡No puede ser! - ¡Esto es un robo!


- ¡No acepto! El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba. - Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones? - Es muy simple –respondió el “Hombre que calculaba”-. Me encargaré de hacer con justicia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora. Traté en ese momento de intervenir en la conversación: - ¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos dar término a nuestro viaje si nos quedáramos sin nuestro camello? - No te preocupes del resultado “bagdalí” –replicó en voz baja Beremís-. Se muy bien lo que estoy haciendo. Dame tu camello y verás, al fin, a que conclusión quiero llegar. Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi hermoso "jamal1" , que inmediatamente juntó con los 35 camellos que allí estaban para ser repartidos entre los tres herederos. - Voy, amigos míos –dijo dirigiéndose a los tres hermanos- a hacer una división exacta de los camellos, que ahora son 36. Y volviéndose al más viejo de los hermanos, así le habló: - Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirás en cambio la mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales ganando con esta división. Dirigiéndose al segundo heredero continuó: - Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y pico. Vas a recibir un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porque también es evidente que ganas en el cambio. Y dijo, por fin, al más joven: - A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir una novena parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es decir, 4, y tu ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el resultado. Luego continuó diciendo: - Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros, tocarán 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12 + 4) de 34 camellos. De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno pertenece, como saben, a mi amigo el “bagdalí” y el otro me toca a mí, por derecho, y por haber resuelto a satisfacción de todos, el difícil problema de la herencia. - ¡Sois inteligente, extranjero! –exclamó el más viejo de los tres hermanos-. Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue


hecho con justicia y equidad. El astuto beremís –el “Hombre que calculaba”- tomó luego posesión de uno de los más hermosos “jamales” del grupo y me dijo, entregándome por la rienda el animal que me pertenecía: - Podrás ahora, amigo, continuar tu viaje en tu manso y seguro camello. Tengo ahora yo, uno solamente para mí. Y continuamos nuestra jornada hacia Bagdad.

¿Puedes explicar esta solución?

1. Jamal – una de las muchas denominaciones que los árabes dan a los camellos.


ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA------2011 TALLER 2

1) En la ciudad A todos los habitantes dicen la verdad, en la ciudad B todos mienten. En los siguientes dos problemas asumiremos que cada uno de los implicados vive en A o en B: a) Hernán dice: “Matías siempre miente” Matías dice: “Ignacio y Hernán viven en la misma ciudad” ¿En qué ciudad vive Ignacio? b) Clara dice: “ Ana y Victoria viven en la misma ciudad” Si se le pregunta a Victoria :¿ Clara y Ana viven en la misma ciudad?, ¿qué responde? 2) En el siguiente diálogo - a) Escribir como proposiciones las afirmaciones que se desprenden de cada

intervención. Por ejemplo: Queda abierta la asamblea. El tema es la queja de la humedad de nuestro vecino del 12- anunció Reyes que oficiaba como presidente.

Pueden identificarse las siguientes proposiciones: “Reyes oficiaba como presidente” “Reyes plantes que queda abierta la asamblea”, “ Reyes plantea que el del 12 se queja de la humedad”. b) Volcar la información de las pistas en la cuadrícula y en la Tabla. c) Completar la tabla ( sólo cuando pueda argumentar que es la única opción) y escribir la información de cada renglón como una oración. Objetivo: Identificar las parejas integrantes del consorcio, en qué departamento viven y de qué se quejan: Pistas: - Queda abierta la asamblea. El tema es la queja de la humedad de nuestro vecino

del 12- anunció Reyes que oficiaba como presidente. - ¿Más gastos?¿Sólo se habla de arreglos?- dijo el del 20. - ¿Y de los animales que?- lo interrumpió la del 4- Usted tiene un loro, el del 8 un

perro, Olmos un gato y hasta el presidente tiene un canario que aturde. - Yo quiero a mi gato, pero usted no quiere a nadie- argumentó Rita - ¡Ya están gritando!¡Siempre gritos y ruidos!- dijo Nora - Un problema es la limpieza- protestó el esposo de Olga. - La mugre la hace su perro, en el ascensor. Mi esposa tiene razón al quejarse de

los bichos- replicó Arce. - Eso no es cierto, mi perro no tiene nada que ver con todo esto- repuso Errea. - ¡Y no llame bicho a mi loro!- se enfadó Alba.


Cuadrícula: PROPIETARIO ESPOSA QUEJA

Arc

e

Err

ea

Nú

ñez

Olm

os

Rey

es

Alb

a

Els

a

No

ra

Olg

a

Rit

a

An

imal

es

Gas

tos

Hu

med

ad

Lim

pie

za

Ru

ido

s

4 8 12 16

PIS

O

20 Animales

Gastos Humedad

Limpieza

QU

EJA

Ruidos Alba Elsa Nora Olga

ES

PO

SA

Rita Tabla:

PISO PROPIETARIO ESPOSA QUEJA

3) Recordemos que en las proposiciones de la forma p q→ , llamamos antecedente

a p y consecuente con q, para enfatizar que “si pasa p, entonces pasa q”.

Condición necesaria y condición suficiente Decimos entonces que p es una condición suficiente para q, y q es una condición necesaria para p. Dicho de otro modo, es suficiente que pase p para que pase q, y si pasa p necesariamente pasa q. Por ejemplo: “Si un número es divisible por 12 entonces es divisible por 6”, podemos expresarlo como: “es suficiente que un número sea divisible por 12 para que sea divisible por 6” o “ Es necesario que un número sea divisible por 6 para que sea divisible por 12”


“…si…” y “…sólo si…” Hay otras maneras de enunciar un condicional, utilizando las palabras “si” o “sólo si”. Cuando decimos “Un número es racional sólo si es un número real”, estamos diciendo que “para que un número sea racional necesariamente debe ser real”, esta condición no es suficiente, ya que un número puede ser real y no racional como

por ejemplo 2 , no es suficiente que un número sea real para ser racional. La proposición es equivalente a decir que “si un número es racional entonces es un número real”. Cuando decimos “Un número es entero si es producto de enteros”, estamos diciendo que “ es suficiente que un número sea producto de enteros para ser entero”, claramente, esta condición de ser producto de enteros, no es necesaria, ya que ½ .2=1 es un producto de un racional y un entero y también da un entero. La proposición es equivalente a decir “Si un número es producto de enteros entonces es un entero”.

a) Pasar a la forma si…….entonces y simbolizar

• Juan irá a Córdoba sólo si consigue pasaje en avión • Es necesario ser argentino para ser presidente de la república

b) Expresar y simbolizar utilizando la palabra suficiente • La temperatura bajará si comienza a soplar el viento del sur • Si aprobó el exámen entonces contestó bien el 40 % de sus preguntas

c) Expresar y simbolizar utilizando la palabra necesario • Si un triángulo está inscripto en un semicírculo entonces es rectángulo • Pedro es argentino sólo si es americano

4) Dado el condicional p q→ enunciar éste y los condicionales recíproco, contrario y

contrarrecíproco, en los siguientes casos: a) p: n es divisible por 3 q: 2n es divisible por 6 b) p: x 2 = 36 q: x = -6 c) p: r es solución de A+X=B

q: - r es solución de B+X = A

5) a) Simbolizar definiendo el universo y utilizando cuantificadores y esquemas convenientes

• Algunos hombres son santos • No todo número real es un número racional

• Todos los números primos son impares excepto el 2 • Si existe un número natural menor que 4 entonces todo múltiplo de 6 es múltiplo

de 5 b) Negar las simbolizaciones anteriores y escribirlas en lenguaje corriente.

6) Demostrar utilizando el método directo, contrarrecíproco o absurdo, indicando en cada caso el antecedente y el consecuente:


a) Si un número es par , su cuadrado es par. b) Que un número sea impar, es condición suficiente para que su cuadrado sea impar. c) Que un número sea múltiplo de 8 es condición necesaria para que sea múltiplo de 24. d) Que un número sea múltiplo de 8 no es condición suficiente para que sea múltiplo de 24.

e) Si dos números reales a y b son raíces de la ecuación qpxx ++2 , con p y q fijos,

entonces ACERTIJOS En estos acertijos se pondrá en juego tu ingenio pero también tu razonamiento lógico y tu capacidad deductiva. Los dos primeros problemas son del libro “Matemática para divertirse” de Martin Gardner.

1) LAS TRES CORBATAS El señor Pardo , el señor Verde y el señor Negro estaban almorzando juntos. Uno de ellos llevaba una corbata parda, otro verde y otra negra. “¿ Se han dado cuenta , dijo el hombre de la corbata verde, que aunque nuestras corbatas son de colores iguales a nuestros nombres, ninguno de nosotros lleva la corbata que correspondería a su nombre?” “Por dios que tienes razón”, exclamó el señor Pardo. ¿De qué color era la corbata de cada uno? 2) LAS DOS TRIBUS Una isla está habitada por dos tribus. Los miembros de una tribu siempre dicen la verdad, los miembros de la otra tribu mienten siempre. Un misionero se encontró con dos de estos nativos, uno alto (de una tribu) y uno bajo (de otra tribu). “¿Eres de los que dicen la verdad?” preguntó al más alto. “UPF”, respondió el nativo alto. El misionero reconoció la palabra como el término nativo que significa sí o no, pero no podía recordar cuál de las dos. El nativo bajo hablaba español, así que el misionero le preguntó qué era lo que había dicho su compañero. “Dijo sí”, replicó el nativo bajo, “pero es un gran mentiroso”. ¿A qué tribu pertenecía cada uno de los nativos? El siguiente problema figura en el libro “Matemática… ¿Estás ahí?” de Adrián Paenza

3) PROBLEMA DE LOS SOMBREROS En una carcel (para hacerlo un poco más emocionante y dramático) hay 3 reclusos, digamos A, B y C. Se supone que los 3 han tenido buena conducta y el director de la institución quiere premiarlos con la libertad. Para eso les dice lo siguiente: “Como ven (y les muestra) tengo aquí cinco sombreros. Tres blancos y dos negros. Lo que voy a hacer es seleccionar tres de ellos, sin que ustedes puedan ver cuáles elegí, y se los voy a repartir. Luego de que cada uno de ustedes tenga su respectivo


sombrero, los voy a poner a los tres en la misma habitación de manera que cada uno pueda ver el sombrero que tienen puestos los otros dos, pero no el propio. Después yo voy a empezar a interrogar a uno por uno. Cada uno tendrá la oportunidad de decirme qué color de sombrero tiene, pero sin adivinar ni arriesgar. Cada uno tiene que fundamentar su opinión. Cuando uno no puede fundamentar su opinión, tiene que pasar. Si al finalizar la ronda, ninguno erró y al menos uno de los tres contestó correctamente, entonces quedarán en libertad. Está claro, además , que ninguno de ustedes puede hablar con los otros dos, ni comunicarse mediante gestos ni establecer ninguna estrategia. Se trata de contestar lealmente. Por ejemplo si yo eligiera los sombreros negros y se los diera a A y a C y empezara preguntándole a A qué sombrero tiene, A, al ver que B tiene un sombrero blanco y C uno negro no podría decidir , y tendría que pasar . Pero B al ver que tanto A como C tienen sombreros negros, y que en total había dos de ese color , está seguro de que tiene sombrero de color blanco y podría contestar correctamente.” Una vez que las reglas estuvieron claras los separó a los tres. Los puso en 3 habitaciones diferentes, y eligió ( como era previsible ) los tres sombreros blancos. Luego los hizo pasar a una habitación común y empezó a preguntar: -¿Qué color de sombrero tiene?- le preguntó a A -No lo sé señor- dijo A , al ver con preocupación que tanto B como C tenían ambos sombreros blancos. -¿Entonces? - Entonces,- dijo A- paso. -Bien, ¿y usted?- siguió preguntando el director, dirigiendo su pregunta a B. -Señor yo también tengo que pasar. No puedo saber qué color de sombrero tengo. -Ahora sólo me queda por preguntarle a uno de ustedes: a C. ¿Qué color de sombrero tiene? C se tomó tiempo para pensar. Miró de nuevo. Después cerró un instante los ojos. La impaciencia crecía alrededor de él. ¿En qué estaría pensando C?. Los otros dos reclusos no podían permanecer en silencio mucho más. Se jugaba la libertad de los tres en la respuesta de C. Pero C seguía pensando, hasta que en un momento, cuando el clima ya era irrespirable, dijo:”Bien, señor. Yo sí puedo afirmar algo: mi color de sombrero es blanco”. Los otros dos reclusos no podían entender cómo había hecho, pero lo había dicho: ellos lo escucharon. Ahora, sólo quedaba que lo pudiera explicar para poder garantizar la libertad de todos. Ambos contenían la respiración esperando lo que un instante antes parecía imposible: que C pudiera fundamentar su respuesta. Ambos sabían que lo que dijo era cierto, pero faltaba…faltaba nada menos que lo pudiera explicar. ¿Podrán hacerlo ustedes?



1) Los griegos estudiaron varios tipos de números, clasificándolos respecto a su disposición gráfica o geométrica.

Los números 1, 3, 6, 10, son números triangulares y surgen del número de puntos que componen un triángulo ubicando en la base 1, 2, 3 y 4 puntos respectivamente.

1 3 6 10

a) Determina los 3 siguientes números triangulares b) Describe un procedimiento para encontrar los 5 siguientes números triangulares.

2) Existen también los números cuadrados, que surgen de calcular la cantidad de puntos

que hay en un cuadrado , cuyo lado contiene un número natural de puntos:

1 4 9 16

a) Determina los próximos 3 números cuadrados. b) Describe un procedimiento para calcular el n-ésimo número cuadrado.

Sucesiones especiales: Sucesiones aritméticas 1) Encuentre los cuatro primeros términos de la sucesión que se obtiene de acuerdo a las siguientes condiciones y de una definición recursiva: a) El primer término es 3. b) El segundo término se obtiene al sumar 10 al primer término. c) El tercer término se obtiene al sumar 10 al segundo término. d) El cuarto término se obtiene al sumar 10 al tercer término. 2) Analice la siguiente sucesión: 1, 4, 7, 10, 13, 16...


Cada término se puede obtener sumándole al anterior un mismo número. ¿Qué número es? De una definición recursiva

Definición: Una progresión aritmética es una sucesión en la cual cada término se puede obtener del anterior, sumando un mismo número, llamado diferencia.

Término general: En los casos 1 y 2 se ha pedido que de una definición recursiva, ya que como hemos dicho cada término es igual al anterior más un número fijo. Veamos ahora como hallar una definición explícita. Si llamamos a1, a2, a3 ... an, a los n primeros términos de una progresión aritmética, siendo d la diferencia, el término general de la progresión se puede obtener de acuerdo con el siguiente análisis: a1 a2= a1+ d a3= a1+ d+ d= a1+2 d a4= a1+ d+ d+ d= a1+3 d a5= a1+ d +d +d + d = a1+4 d

Por consiguiente, el n-ésimo término de la progresión aritmética es: an = a1 +(n-1)d Donde: an es el término n-ésimo, a1 es el primer término y d es la diferencia. EJEMPLO : Hallar el séptimo término de la progresión aritmética cuyos primeros términos son 3, 6, 9. Vemos que :

1

2

3

3

6

9

a

a

a

=

=

=

Sabemos que el primer término es 3 , para hallar la diferencia, tomamos dos términos

consecutivos cualesquiera y hacemos la diferencia d= 1n na a −− , como la progresión es

aritmética alcanza con mirar cualquier diferencia y asegurarnos que esa será la diferencia entre dos términos cualesquiera.

Miramos entonces 3 2 9 6 3a a− = − =

Decimos entonces que la diferencia es 3 y por consiguiente:

1 ( 1) , 3 ( 1)3n na a n d entonces a n= + − = + −

El séptimo término lo hallamos haciendo

7 3 6.3 3 18 21a = + = + =


Sucesiones geométricas 3) Considera la siguiente sucesión: 1, 3, 9, 27, 81... a) ¿Cuál es el primer término? b) ¿Cómo puede obtener el segundo término a partir del primero? c) ¿Cómo puede obtener el tercer término a partir del segundo? d) ¿Cómo puede obtener el quinto término a partir del cuarto? e) ¿Cuál será el sexto término? h) Encuentra una definición recursiva para la sucesión. 4) Considera la siguiente sucesión: 192, 48, 12, 3,…

a) Calcule los cocientes 32 4

1 2 3

, , ,bb b

b b b¿Qué observa?

b) ¿Cómo se construye el segundo término de la sucesión a partir del primero?¿ y el tercero a partir del segundo? c) ¿Cuál será el quinto término de la sucesión? d) De una definición recursiva para la sucesión

Definición: Una progresión geométrica es una sucesión en la cual cada término se puede obtener del anterior, multiplicandolo por un mismo número, llamado razón.

Término general: En los casos 3 y 4 se ha pedido que de una definición recursiva, ya que como hemos dicho cada término es igual al anterior multiplicado por una constante. Veamos ahora como hallar una definición explícita. Si llamamos a1, a2, a3 ... an, a los n primeros términos de una progresión geométrica, siendo r la razón, el término general de la progresión se puede obtener de acuerdo con el siguiente análisis: a1 a2= a1 .r a3= a1 .r.r = a1 .r

2 a4= a1 .r.r.r = a1 . r

3 a5= a1 .r.r.r.r = a1 . r

4 Por consiguiente, el n-ésimo término de la progresión geométrica puede expresarse como: an = a1 . r

n-1 Donde: an es el término n-ésimo, a1 es el primer término y r es la razón.


EJEMPLO : Hallar el quinto término de la sucesión geométrica: - 2, - 6, -18, - 54...

Para hallar el quinto término es necesario conocer la razón. La razón es el cociente entre un término y el término precedente, por lo tanto en este caso podemos calcularla tomando: -6/-2 = 3 o -18/-6=3 , etc Como hemos hallado que la razón es 3 y el primer término es -2 , aplicamos la fórmula para hallar el término quinto: a5 = a1 . r

5-1 , entonces a5 = -2 . 34 = -162 Ejercicios:

1) Analizar si las siguientes sucesiones son geométricas o aritméticas. Dar una definición explícita en todos los casos.

a) 1, 4, 9, 25,….. b) 1, -1, 1, -1,…. c) 1, 2, 3, 4, 5,…. d) 4, 5, 6, 7, 8, …..

e) 8, 2/3, 1/18, 1/216,…. f) an = 2n n ≥ 1

g) an = 2n n ≥ 1

h) 10, 19/2, 9, 17/2, 8, 15/2,… i) 300, -30, 3, -0.3,… 2) El tercer término de una sucesión aritmética es 85 y el decimocatorce es 30, hallar el

primer término y la diferencia 3) Encontrar tres números f, g y h tales que 20, f, g , h , 52 sean los 5 primeros términos

de una sucesión geométrica. 4) Hallar el primer término y la diferencia de una sucesión aritmética sabiendo que la suma

del tercer término y el octavo da 75 y la diferencia entre el noveno y el segundo es 49.

5) Se desea construír una escalera de 16 escalones cuyas longitudes decrecen uniformemente de 50 cm en la base a 30 cm en la parte superior. Encuentra una fórmula para saber cuánto mide el escalón n.

6) La cantidad de bacterias en cierto cultivo es inicialmente 500 y el cultivo se duplica

todos los días.


a. Encuentra la cantidad de bacterias después de uno, dos y tres días. b. Da una fórmula para hallar la población bacteriana después de n días

Suma de sucesiones aritméticas y geométricas.

Hemos definido con carácter de sucesiones especiales a las sucesiones aritméticas y geométricas. Parte de esta caracterización es que se conoce el resultado de sumar cualquier número finito de términos de estas sucesiones. Suma aritmética: Recordemos la fórmula de la sucesión aritmética:

1 ( 1)ka a k d= + −

Llamemos nS al resultado de sumar los n primeros términos de una sucesión aritmética,

entonces :

1 21

1 11

1 2 1 3 2 11

2 1 1 1 1

3 2 1 1

... :

... :

2 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ),

( ) ( ( 2) )

( 2 ) ( ( 3) )

n

n k nk

n

n k n nk

n

n k n n n nk

n n

n

S a a a a es claro también que

S a a a a y sumando tenemos

S a a a a a a a a a donde

a a a d a n d a a

a a a d a n d

=

−=

− −=

−

−

= = + + +

= = + + +

= = + + + + + + + +

+ = + + + − = +

+ = + + + − =

∑

∑

∑

1

4 3 1 1 1( 3 ) ( ( 4) )

....

n

n n

a a

a a a d a n d a a−

+

+ = + + + − = +

Todos los paréntesis de la suma resultan ser iguales a 1 na a+

Por lo tanto podemos escribir:

11

1 1

( )2 2 ( )

2

n nn

n k n n kk k

n a aS a n a a S a

= =

+= = + ⇒ = =∑ ∑

Entonces, conociendo el primer término y la diferencia de una sucesión aritmética podemos conocer la suma de sus términos. Ejemplo: Sume los términos de la sucesión aritmética de primer término 3 y diferencia -5 desde el 1ero hasta el 25


25 25

1 1

25(3 ( 123))[3 ( 1)( 5)]

2k

k k

a k= =

+ −= + − − =∑ ∑

Suma geométrica: Recordemos la fórmula de la sucesión geométrica:

11

kka a r −=

Llamemos nuevamente nS al resultado de sumar los n primeros términos de una sucesión

geométrica, tenemos entonces :

entoncesraaarSr

toloPor

rararararararaaararSS

tenemosdoresyrarararaarS

quetambiénclaroesrararaaaS

nn

kkn

nnnn

kk

n

kknn

nn

kkn

nn

kkn

,)1()1(

:tan

)(...)()(

:tan...

:...

111

11

11

12

12

111111

13

12

111

11

2111

1

−=−=−

−−++−+−+=−=−

++++==

++++==

∑

∑∑

∑

∑

=

−−

==

=

−

=

r

raa

r

raaaS

nn

kk

nn

kkn

−

−=⇒

−

−== ∑∑

== 1

)1(

11

1

11

1

Entonces, conociendo el primer término y la razón de una sucesión geométrica podemos conocer la suma de sus términos. Ejemplo: Sume los términos de la sucesión geométrica de primer término 3 y razón ½ desde el 1ero hasta el 38:

2

11

)2

1(1(3

)2

1.(3

3838

1

138

1 −

−== ∑∑

=

−

= k

k

kka


Nota: observar que en ambos casos faltaría resolver la cuenta, pero es sólo una cuenta y no la suma de 38 o 25 términos. Observar también que estas expresiones son válidas sólo si se suman los términos de una sucesión aritmética o geométrica, a partir del primero.

Ejercicios:

1) Calcular las siguientes sumas:

∑ ∑

∑∑

= =

==

+−+

+−−+

45

1 1

33

1

30

1

13))1(54)

2)1(3)54)

k

h

t

ji

tdkc

jbia

2) Calcular la suma de los 100 primeros números naturales 3) Calcular la suma de los 100 primeros naturales impares

4) Cada número triangular puede considerarse como la suma de una sucesión aritmética de

primer término 1 y diferencia 1, donde cada uno tiene un término más en la sucesión. Dar una fórmula para generar el n-ésimo número triangular.

5) Una pila de troncos tiene 24 troncos en la base, 23 en la 2da hilera, 22 en la tercera, y

así siguiendo hasta llegar a la capa superior en la que tiene 10 troncos. Encuentra la cantidad total de troncos en la pila.

6) Sabiendo que la suma de los 10 primeros términos de una sucesión aritmética es 50 y el

primer término es -2. Calcular la diferencia de la sucesión.

7) Encuentra la cantidad de enteros entre 32 y 395 divisibles por 6. Da el resultado de su suma.

8) Pablo sumó todos los números enteros positivos de 4 dígitos, pero se salteó uno. La

suma de Pablo es igual a 8499 veces el número que se salteó Pablo.

9) Un ciclista avanza cuesta abajo a razón de 4 pies el primer segundo. En cada segundo sucesivo, avanza 5 pies más que en el segundo anterior. Si el deportista llega a la parte inferior del cerro en 11 segundos, encuentra la distancia total recorrida.

10) Calcular las siguientes sumas:

∑ ∑

∑ ∑

∑∑

= =

−

= =

−+

==

−

m

k

h

t

tk

k

h

t

tk

j

j

i

i

de

dc

ba

1 1

1

45

1 1

11

30

1

30

1

1

8.2))3

1(4)

2.5))2

1()

)2

1())

2

1()


11) Una pelota de ping pong se lanza desde una altura de 16 mts. En cada rebote se eleva

verticalmente ¼ de la altura alcanzada en la caída previa. a. ¿A qué altura se elevará en el séptimo rebote? b. ¿Cuál es la distancia total que la pelota recorrió después de ese tiempo?

12) Un mendigo le propuso a un avaro: “… durante este mes le daré a usted un peso el

primer día, dos pesos el segundo día, 3 el tercero y así sucesivamente. A cambio usted sólo me dará 1/1000 centavo el primer día, 2/1000 centavo el segundo día, 4/1000 centavo el tercero, y así sucesivamente”. El avaro aceptó entusiasmado y convinieron en realizar el pago a fin de mes. ¿Cuánto le deberá cada uno al otro al cabo de ese tiempo?


ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER 4 Se trabajará en este taller con el método de Inducción completa. Este método es una herramienta para probar propiedades de los números naturales, es importante destacar que queremos probar propiedades de TODOS los números naturales, no sólo de algunos. Haremos entonces una introducción mostrando algunas conjeturas ( cosas que se suponen ciertas porque se han probado para ALGUNOS números, pero no se han demostrado para todos). Las propiedades que pueden demostrarse sin depender de un caso particular se llaman TEOREMAS.

Dentro de los números enteros, ligado al concepto de divisibilidad, recordemos que los números primos son aquellos que tienen exactamente cuatro divisores. Si a es un número primo entonces los únicos divisores de a son: a, -a, 1 y -1. Si un número no es primo, se llama número compuesto, ya que puede escribirse como producto de por lo menos dos números, de tal forma que ninguno de ellos sea 1 o -1.

3) La teoría de los números primos ha ocupado las mentes de grandes matemáticos. El

interés y la importancia por conocer sobre los números primos se debe entre otras cosas al teorema de descomposición única en factores primos de todo número entero distinto de 1 y -1. Pierre de Fermat (1601-1665) , un abogado de profesión, se interesó por las

matemáticsa como un hobby. Fermat creía que cada número de la forma 122 +n , que ahora se conoce como número de Fermat, era primo para cada natural n. En 1732

Leonhard Euler probó que para n=16 , 1232 + era un número compuesto, refutando la conjetura de Fermat. Una conjetura es algo que se cree cierto pero nunca se ha probado ni refutado.

En 1772 Euler dio la fórmula 412 +− nn , que da un número primo para todo natural menor o igual que 40, pero falla para n=41.

En 1879 E.B.Escote dio la fórmula 1601792 +− nn , que da un número primo para todo natural menor o igual que 79, pero falla para n=80. Se ha probado que no existe una fórmula que genere todos los números primos. En 1742 Christian Goldbach conjeturó en una carta que le escribió a Euler que todo número par mayor o igual a 6 puede ser representado como suma de dos números primos y que todo número impar mayor o igual a 9 puede escribirse como suma de 3 primos. Esto es todavía una conjetura. a) Ecriba 3 números pares y 3 impares como propuso Goldbach.

Otra conjetura es que hay infinitos pares de primos de la forma p,p+2 , por ejemplo: 3 y

5, 5 y 7. b) Encuentre los próximos 3 pares de primos

4) Demostrar por el método de inducción completa: a) 11 n+1 – 6 n es múltiplo de 5


n

b) Σ (2j-1) = (n+1) (n-1) j=0

t c) Σ (6k+1) = (t+1) (3t+1) k=0

d) 2 2n+1 – 9 n 2 + 3n -2 es divisible por 54 t

e) Σ rk = r t+1 -1 k=0 r – 1

5) Evaluar sin realizar la suma ( no deje de relacionarlo con el ejercicio 1) 50

a) Σ (2j-1) j=0

46

b) Σ (6k+1) k=5

6) Evaluar sin calcular los números combinatorios:

a) C(4,0) + C(4,1) 3 + C(4,2) 9 + C(4,3) 27 b) C(5,1) + C(5,2) + C(5,3) + C(5,4) + C(5,5) c) -C(5,0) + C(5,1) - C(5,2) + C(5,3) - C(5,4) + C(5,5)



1) Los productos farmacéuticos deben especificar las dosis recomendadas para

adultos y niños. Dos fórmulas que permiten modificar la dosificación en adultos y niños son:

Regla de Cowling y=(1/24)(t+1) a Regla de Friend y=(2/25)t a Donde a denota la dosis para adultos (en mg) y t, la edad de los niños en años a) Si a=100, graficar las dos ecuaciones lineales en el mismo plano coordenado

para edades entre 0 y 12. Para qué edades las dos fórmulas especifican la misma dosis? b) Supongamos que hay otra fórmula para la modificación de la dosificación que es

y=(t-2)(a/8 +1). Graficar esta nueva fórmula con a =8 √50, para decidir a partir de que edad la modificación tiene sentido.

2) Una flecha que se lanza hacia arriba, viaja trazando un arco parabólico dado por

la ecuación y =ax2 +x +k. La flecha se lanza desde una altura vertical de 1,5mts y recorre una distancia horizontal de 60 mts

a) Encuentre la ecuación estándar de la parábola que describe la trayectoria. b) Cuál es la máxima altura alcanzada por la flecha? c) En qué intervalo sube la flecha? En qué intervalo baja?

3) Al pie de una pirámide se dispara un cohete que sigue una trayectoria dada por

la ecuación y =-0.016 x2 + 1.6 x. La pirámide tiene una pendiente de 1/5 y su base mide 80 mts.

a) Chocará el cohete contra la pirámide? b) A qué distancia de donde fue lanzado aterrizará el cohete? c) Grafique la pirámide y la trayectoria del cohete.

4) Gracias a la definición geométrica de la hipérbola se han construido sistemas de

navegación que constan de una red de pares de radiotransmisores en posiciones fijas y a una distancia conocida entre sí.

Por ejemplo dos estaciones LORAN (long-range navigation) A y B están situadas en una línea recta de dirección este-oeste y A está a 80 millas al este de B. Un avión vuela en una linea recta ubicada a 60 millas al norte de la recta donde se ubican A y B, y la señal que transmite A llega al avión 10 microsegundos antes que la de B. Las señales viajan a razón de 0,2 millas por microsegundos. a) Considerando que 1 milla equivale a 1609,35 mts , encuentre la ubicación del

avión en kilómetros. b) Escriba la ecuación estándar que le permitió localizar al avión y dé sus

elementos. c) Grafique


5) El departamento de marketing de una empresa recomendó fabricar un nuevo

producto estimando una ecuación de demanda de la siguiente manera: x = 600 – 3p Donde x es el número de unidades del producto que comprarían a la empresa, los comercios minoristas y p es el precio por unidad. El departamento financiero estimó una ecuación del costo que genera, fabricar el nuevo producto, como sigue: c =7200+6x Lo que indica un costo fijo de 7200 y aumenta de acuerdo a la venta, en función de materiales, traslado, etc. La ganancia total de la empresa es GT = xp a) Deduzca una ecuación para la ganancia neta en función de p b) Halle analíticamente para que precio del producto la empresa no gana ni pierde c) Para qué precio del producto la empresa obtiene la mayor ganancia? Grafique

6) El techo de una habitación de 10 mts de ancho, tiene la forma de una semielipse

de 9 mts de altura en el centro y 6 metros de altura en las paredes laterales . Determine la altura del techo a 2 mts de cualquier pared.

7) Encuentra los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones que

siguen. Grafica ambas en el mismo plano coordenado:

a)

=+

=+

62

204 22

yx

yx b)

=+

=+

12

36422

22

yx

yx

c)

=−

=−

4

164 22

xy

yx d)

=−

=−

03

42

22

xy

yx

8) Un avión se desplaza a lo largo de la rama positiva de la trayectoria hiperbólica

descripta por la ecuación 82 22 =− xy . Hallar el punto de la trayectoria en la

que el avión pasa a distancia 7 de una ciudad ubicada en el punto (3,0) del

plano.

9) Identificar las siguientes cónicas, llevarlas a la forma estandar y graficar:

a) 2)2(3

1yx =+

b) 22

3

14yx =−

c) 76 22 =−+ yxx

d) 362444 22 −=−++ yyxx


e) xyx =+− 42 2

f) yyx +=+ 24

g) yyx 2109 22 −=−


ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER 6 1) Encontrar el producto escalar entre dos vectores si sus longitudes son 6 y 1/3 y el ángulo entre ellos es de 45º

2) Si u es un vector unitario, encuentre vu , en los siguientes casos:

a) b) u

u v w v

w Triangulo equilátero 3) Si u(2,1,-1), qué vector es ortogonal con él? Es único? Grafique 4) Sean u(-1,2-2), v( 4,-3,5) y w(-4,-2,0) a) Encuentre un vector de longitud 2 en la misma dirección y sentido de u b) Encuentre un vector de longitud 3 en el sentido opuesto de v, con su misma dirección c) Determine un vector unitario ortogonal con w d) Encuentre los ángulos que forman entre ellos, u y v, u y w y v y w. 5) Dados u(2,2,0) y v(0,3,0) , a) Grafique el triangulo que ellos determinan. b) Cómo puede expresar vectorialmente el 3er lado del triángulo? c) Con qué expresión vectorial puede calcular su área?

d) Mostrar que uvvuvu 2222

++=+

6) Encuentre el área del paralelogramo con vértices A(1,2,3), B(1,3,6), C(3,8,6), D(3,7,3) 7) La siguiente identidad es llamada Ley del Paralelogramo. Demuéstrela u+v 2 + u-v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 8) La siguiente identidad es llamada Identidad de Polarización. Demuéstrela u.v =1 u+v 2 - 1 u-v 2

4 4

9) Encuentre un vector ortogonal con los vectores del ejercicio 3


10) Demuestre que si un vector u es ortogonal a v y w , entonces es ortogonal a k v + t w, para cualesquiera k y t escalares.

11) Demuestre que para todo v

vvv 3, ℜ∈ tiene módulo 1.

12) Demostrar que : vyu son ortogonales 222

vuvu +=+⇔ ( use el ejercicio

5d)) 13)Supongamos que sabemos que tres vectores no nulos cualesquiera cumplen que: u. v = u .w .Esto implica que v= w? Justificar.

14)Si 2u = , 3v = , y u.v = 1 , encuentre u v+

15)Demuestre que no hay vectores u y v tales que 1u = , 2v = y . 3u v =


Motivación Inicial.

En el capítulo anterior hemos trabajado con vectores en 2ℜ y 3ℜ . Nos interesa ahora profundizar el estudio de la geometría en el plano y el espacio. Pensemos por un momento en las siguientes cuestiones :

Hemos visto que puede modelizarse a las fuerzas con los vectores, y asociarse las propiedades y operaciones de unas con las de los otros. En ese sentido podríamos ahora preguntarnos cómo podemos expresar la dirección de la fuerza (la recta a la que pertenece el vector que la representa)?.

Sabemos ya que dados dos vectores no paralelos ur

y vr

, determinan un paralelogramo. En el capítulo anterior analizamos como podemos calcular el área de dicho paralelogramo. Surge la pregunta: Podemos conocer las rectas a las que pertenecen los lados del paralelogramo?. Qué expresión podemos asignarle a dichas rectas?.

Si este paralelogramo generado por ur

y vr

, se halla en el espacio; existe un plano en el espacio que lo contiene. Quisiéramos conocer alguna expresión que lo represente.

u

r

v

r

Fr


Elementos de Geometría de los Espacios R2 y R3

El estudio de la Matemática como ciencia deductiva, como fue concebida por Euclides en los 300 años antes de Cristo, comienza con nociones primitivas sin definir como punto, recta y plano y un conjunto de axiomas o postulados sobre estos elementos, y los teoremas y propiedades de distintas nociones y figuras geométricas se deducen a partir de ellos.

1. Rectas

Comencemos repasando algunas cosas del plano y generalizaremos lo posibles. Representemos en el plano la recta r de ecuación y = 2x+1.

recta r : y = 2x+1.

Los puntos P de coordenadas (0, 1) y Q de coordenadas (1, 3), son puntos de la recta r. Verifíquelo.

Representando el segmento dirigido PQ , se observa que cualquier segmento dirigido

que se forme con un par de puntos R y S que esté en la recta se pueden escribir como un

múltiplo escalar de PQ .

PQRS .λ= , para ℜ∈λ

Si R tiene coordenadas (2, 5) y S tiene

coordenadas (5/2, 6), 2

1=λ .

Verifique!


A partir del segmento dirigido PQ , fijemos un punto, por ejemplo R = (2, 5).

Variando el valor de λ obtenemos otro segmento dirigido cuyo extremo final es también un punto de la recta.

P = (0, 1) Q = (1, 3) R = (2, 5)

Si PQRB .λ= y 3. −=λ ,

resulta que B = (-1, -1), que también es un punto de la recta y = 2x.+1. λ es un valor variable que permite ir obteniendo cada uno de los puntos que forman la recta (parámetro)

Nota : En el siguiente sitio se ofrecen varios ejemplos de webs interactivas de Matemática, que pueden ser de utilidad para comprender mejor algunos temas :

http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/index.htm Y en la página http://www.geogebra.org se accede a un soft libre para trabajar cuestiones geométricas


Planos en el espacio. Algunas visualizaciones. Para determinar un plano en el espacio se necesita conocer un punto P que pertenezca al plano, y un par de vectores que sean paralelos a él. Estos vectores generan al plano y son linealmente independientes (no puede obtenerse uno como múltiplo por un escalar del otro). Se dice que forman una base.

Ejemplo : Sea el plano que pasa por P = (0, 2, 0), y que es paralelo a =ur

(2, -1, 0) y a =v

r(0, -2, 4)

Podemos expresar el plano que determinan en forma paramétrica en coordenadas :

)4,2,0.()0,1,2.()0,2,0( −+−=−−− µλzyx

que equivale a las siguientes ecuaciones paramétricas del plano :

λ.2=x µλ .22 −−=y

µ.4=z

Podemos, además hallar un vector normal a ur

y a vr

:

)4,8,4(

420

012 −−−=

−

−==

kji

vxunrrr

que emplearemos para obtener la ecuación cartesiana del plano:

0).0,2,0( =−−− nzyxr

0)4,8,4).(0,2,0( =−−−−−− zyx


Si operamos esta última expresión obtenemos:

041684 =−+−− zyx

16484 −=−−− zyx

o también :

8242 =++ zyx

Hallemos un punto que pertenezca al plano. Por ejemplo, aquel en el que x = 3, y = 0. Luego : 2.3 + 4.0 + 2.z = 8, de donde z = 1. Se tiene entonces, que un punto del plano es Q = (3, 0, 1)

Hallemos ahora los parámetros λ y µ que corresponden a este punto

λ.2=x = 3 è 2

3=λ

µ.4=z = 1 è 4

1=µ

µλ .22 −−=y = 0?

04

1.2

2

32 =−−=y

Si se varía λ y µ haciendo que tomen valores en ℜ se obtienen todos los puntos del

plano.

Observemos la última expresión cartesiana del plano : 8242 =++ zyx

Vemos que el vector (2, 4, 2) es un vector normal al plano. Gráficamente:

vr

= (0, -2, 4) plano π Q = (3, 0, 1) u

v = (2, -1, 0)


Otros ejemplos : En este apartado se han representado gráficamente algunos planos junto a sus expresiones.

La ecuación x = 0 representa al plano ZY Un vector normal al plano ZY es el (1, 0, 0). Y un punto que pertenezca a dicho plano es, por ejemplo, (0, 1, 2). Luego, una expresión para el plano queda como : (x – 0, y – 1, z – 2).(1, 0, 0) = 0 que equivale a : x = 0

Ejercicio : Hallar una ecuación del plano que contiene al punto P = (1, 1, 0), sabiendo que un vector normal a él es el v

r= (0, 0, 1). Representar gráficamente.

La ecuación 2x – y = 0 describe al plano representado. z toma cualquier valor real y las variables x e y se relacionan por medio de la expresión y = 2x.

La ecuación y = 7 describe a un plano paralelo al plano XZ

vr

= (0, -2, 4) plano π n

r= (2, 4, 2)

Q = (3, 0, 1) u

v = (2, -1, 0)


La ecuación 3x + 4z = 12 describe el plano represen-

tado en el dibujo. Mientras y puede tomar cualquier valor, x y z están

relacionados por la ecuación de la recta : z = 34

3 +− x

Intersección con los ejes cartesianos Una forma muy útil de representar planos es mediante la intersección del mismo con los ejes cartesianos. Estos puntos forman un triángulo que nos da una idea de la ubicación relativa del plano con respecto a los octantes en los que queda dividido el espacio. Queda claro que el triángulo NO es el plano, forma parte de él. Así por ejemplo, dado el plano :π 2x + 3y + z = 6; hallemos las intersecciones con los ejes : Si x = 0, y = 0 entonces z = 6 Si y = 0, z = 0 entonces x = 3 Si x = 0, z = 0 entonces y = 2 Luego los puntos de intersección son P = (0, 0, 6); Q = (3, 0, 0) y R = (0, 2, 0) y su gráfica es :

Otro ejemplo : Hallemos las intersecciones y grafiquemos : 2x – 3y + 4z = -12 Si x = 0, y = 0 entonces z = - 3 Si y = 0, z = 0 entonces x = - 6

P = (0, 0, 6) R = (0, 2, 0) Q = (3, 0, 0)


Si x = 0, z = 0 entonces y = 4 Luego los puntos de intersección son P = (0, 0, -3); Q = (-6, 0, 0) y R = (0, 4, 0) y su gráfica es :

Planos paralelos

Sean los planos :1π 2x – y + 2z = 6

:2π 2x – y + 2z = 4

Obviamente son planos paralelos pues sus vectores normales son paralelos. Verifique!. Hallemos la intersección con los ejes coordenados.

:1π 2x – y + 2z = 6

Si x = 0, y = 0 entonces z = 3 Si y = 0, z = 0 entonces x = 3 Si x = 0, z = 0 entonces y = - 6 Luego los puntos de intersección son (0, 0, 3); (3, 0, 0) y (0, -6, 0)

:2π 2x – y + 2z = 4

Si x = 0, y = 0 entonces z = 2 Si y = 0, z = 0 entonces x = 2 Si x = 0, z = 0 entonces y = - 4 Luego los puntos de intersección son (0, 0, 2); (2, 0, 0) y (0, -4, 0) En el dibujo puede verse 1π de color más

oscuro que 2π

Q = (-6, 0, 0) R = (0, 4, 0) P = (0, 0, -3)


Intersecciones Veamos algunas posibles situaciones al analizar la intersección entre planos.

Tres planos pueden intersecarse en un punto

Dados tres planos, pueden intersecarse en una recta

Dados tres planos, pueden ser dos paralelos y uno secante.

Planos secantes dos a dos. Lo s tres p lanos fo rman u na superfic ie p r ismát ica.

Dos p lanos co inc identes y uno

seca nte

Planos paralelos y distintos dos a dos

Planos coincidentes



1) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,4,6) y es perpendicular al plano : x-y+3z= 7. De los puntos donde la recta corta a los planos coordenados.

2) Dos caras de un cubo se encuentran en los planos

723523 =+−=+− zyxyzyx . Graficar y calcular el volumen del cubo.

3) Los puntos A(2,1,3);B(-2,7,5) y C(2,3,2) son los vértices de un triangulo.

Graficar. Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen a sus medianas ( las rectas que pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto)

4) Los vectores )7,4,1(),1,1,3(),1,2,1( −=−== wvu determinan tres de las

aristas de un paralelepípedo.

a) Graficar b) Hallar las ecuaciones de los planos en que se encuentran sus caras c) Hallar ecuaciones para las rectas que son diagonales del paralelepípedo.

5) Sea la recta 1L dada por la ecuación 8

8

2

4

4

1

−

−=

−

−=

+ zyx

a) Hallar un punto Q sobre la recta que esté a distancia 4 del punto P(-1,4,8). Es único? Justifique su respuesta. Grafique

b) Hallar una ecuación de una recta 2L que pase por P y sea perpendicular a 1L . La

recta 2L es única? Justifique su respuesta. Grafique.

6) Encuentre una ecuación del plano que consta de los puntos que son equidistantes

de los puntos (2,5,5 ) y (-6,3, 1)

7) Encuentre la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos: x-z=1 e y+2z=3 y es perpendicular al plano x+y-2z=1


ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER 8 1) Representar en el plano complejo: a) Re(z) < 1 y -2 < Im(z)< 2 b) z-2-i ≤ 9 y 0 ≤ arg (z) ≤ π/2 c) A={z, z ∈C, Re(z2 ) ≤ Im(z) }, B= {z, z ∈C, z > 4 } Hallar A∪ B y A ∩B 2 ) Analizar para que valores de n, (1+i)n es a) Real positivo b) Real negativo c) Imaginario puro 3) Determinar en cada caso la totalidad de soluciones en C: a) ( z+1)3 = z 3 b) (z-2) 5 = (3+2i) 2 c) (z+1) 4 +1 = 0 d) (z 3 + 2i ) 30 = 0

e) 4 1z =

f) 4 16z = 4) a) Grafique los complejos que son solución de las ecuaciones e y f de ejercicio anterior

b) Sin hacer cuentas, dé las soluciones de la ecuación 4z a= , con a un número real positivo, y expréselas en función de a .

c) Calcule las soluciones de 4z b= , con b un número real negativo. d) Calcule en cuánto difieren los argumentos de las distintas soluciones del ejercicio 3 f), ¿ qué relación hay entre ellas? 5) ¿Cómo graficaría un pentágono regular utilizando sólo lápiz, regla y transportador? ¿Y un hexágono regular?



1) Determinar a,b y c ℜ∈ de modo que:

a) xxcxbxxxaxx )1()2()2)(1(4169 2 −+−+−−=+−

b) )1)(()1(2 2 −++++=+ xcbxxxax

2) Determinar si existen polinomios de grado positivo en R[x] tales que

0)()( 2 =− xpxp

3) Dados 1)(2)( 23 −+=++= mxxxqymmxxxp con coeficientes reales,

hallar m para que p(x) sea divisible por q(x).

4) Sean ℜ∈ℜ∈ αyxxqyxp ][)()( . Demostrar que

)()()()( xqapaqxp − es múltiplo de x-a.

5) Demostrar que 012

2)( axaxaxp ++= es irreducible en R[x] si y sólo si

04 20

2

1 <− aaa

6) En los siguientes problemas dé un ejemplo de un polinomio con coeficientes

reales que satisfaga las condiciones dadas o explique porqué tal polinomio no puede existir.

a) p(x) es de tercer grado con una intersección con el eje x b) p(x) es de cuarto grado sin intersección con el eje x c) p(x) es de tercer grado sin intersección con el eje x d) p(x) es de cuarto grado sin puntos de retorno (Los puntos de retorno son

aquellos puntos del eje x, que son tocados por la gráfica del polinomio, pero ésta no cambia de cuadrante, es decir que p(x) no “atraviesa” el eje en esos puntos)

7) Use el teorema del resto para verificar que x-1 divide al polinomio p(x)=x54 -1 8) Indique las raíces con su multiplicidad de p(x) = 2 (x +3) (3x-4) 2 (x+i) (x-8) 3 Sin multiplicar sus factores puede decir si el polinomio tiene coeficientes reales o complejos? 9) Cuáles son las raíces de p(x) = x2 + 4 ? Cuáles son las intersecciones con el eje x?. 10) Si y = p(x) es una función polinomial con coeficientes reales de grado n, con n impar, cuál es el número máximo que la gráfica de p(x) corta al eje x? Cuál es el número mínimo?

11)Dado p(x) = x2 + 2ix – 5 , verifique que 2-i es raíz de p(x) , demuestre que 2 +i no es una raíz de p(x) . Esto contradice algún teorema? Justifique.

12) a) Hallar el polinomio de coeficientes reales, de grado mínimo, que tenga a 2i como raíz doble, que cumpla que p(3) = p’(3) = 0 y que p(1) = 2


b) Hallar el polinomio de coeficientes complejos, de grado mínimo, que tenga a i como raíz triple, a 4 como raíz simple y que al dividirlo por x – 2 su resto sea 3.

13) Factorizar en [x] y en [x] los siguientes polinomios: i) x4 + 1 ; ii) x3 + 1


ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER 10 1) Hallar X, tal que:

a)

=+

100

010

101

100

111

230

X

b)

=

100

010

101

800

010

021

.X

2) Demostrar que si A nxnR∈ entonces t tB A A cumple que B B= + =

3) Sea A IAEER x =−∈ )2()3(/ 211

33 . Hallar la matriz A

4) Demostrar que si A nxnR∈ tiene una fila nula entonces AB también tiene una fila

nula, para cualquier B nxtR∈

5)a) Hallar el valor de k para que 2 0A = , siendo A=

−

k1

42

b) Con el valor de k hallado, encontrar la escalonada y reducida por filas equivalente con A

6) Demostrar que si B mxrR∈ tiene una columna nula entonces AB también tiene una

columna nula, para cualquier A txmR∈

7) Hallar X tal que:

a)

=

−

100

010

101

800

010

021

..

100

111

2301

X

b)

=

−

−

100

010

101

001

010

121

..

010

141

2301

X

8) Hallar el valor de a para que A sea invertible, siendo A=

021

01

011

a


9) Las matrices inversas se pueden usar para proporcionar un procedimiento simple y efectivo para codificar y decodificar mensajes. * A las letras del alfabeto se le asignan los números del 1 al 27. Al espacio en blanco se le asigna el número 28, para poder separa palabras. * Cualquier matriz cuyos elementos sean enteros positivos y sea invertible se puede usar como matriz de codificación. * Si la matriz de código es de nxn se construye con el mensaje una matriz de n filas y tantas columnas como sean necesarias , escribiendo los números por columna y rellenando al final con espacios en blanco si fuera necesario. * Luego se multiplica a izquierda por la matriz de código y el resultado es el mensaje codificado. * Para recuperar el mensaje se multiplica la matriz anterior a izquierda por la inversa de la matriz de código.

Ejemplo: Mensaje a codificar: “vuelvo mañana” Secuencia que le corresponde:

23 21 5 12 23 16 28 13 1 15 1 14 1

Matriz de código: C=

12

31

Construcción de la matriz A(tendrá dos filas):

28141513161221

1112823523

Multiplicando CA, se obtiene:

30161769622267

85434667714186

Quien recibe esta matriz debe conocer la inversa de la matriz de código para recuperar el mensaje. a) Halla la inversa de C y recupera la matriz A.

b) Utiliza la siguiente matriz de código C=

130

001

010

, para decodificar el siguiente

mensaje: 22 20 71 21 19 68 5 28 29 5 28 27 5 28 40 13 1 44 28 14 112 Sugerencia: no realice multiplicaciones entre matrices, utilice las propiedades de las matrices elementales, prestando especial atención a la forma de la matriz C


ALGEBRA CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA TALLER 11 1) Dado el polinomio con coeficientes reales:

4322)( axbxcxdxxp ++++= , hallar los valores de a, b , c y d sabiendo que el

polinomio verifica las siguientes condiciones: 1 y -1 son raíces , p(2)=2 y p(-2)=1 2) Encuentre a, b y c de manera que la gráfica de la parábola con ecuación:

2cxbxay ++= pase por los puntos (-2, 3) , (-1, 2) y (1, 6).

3) Encuentre a, b y c de manera que la gráfica de la circunferencia con ecuación:

022 =++++ cbyaxyx pase por los puntos (6, 2) , (4, 6) y (-3, -1).

4) Un dietista en un hospital va a diseñar una dieta especial utilizando 3 alimentos básicos. La dieta es para incluír exactamente 340 unidades de calcio, 180 unidades de hierro y 220 unidades de vitamina A. El número de unidades por onza (equivale a 31,1034768 gramos) de cada ingrediente especial para cada una de las comidas se indica en la tabla. Cuántas onzas de cada alimento se tendrán que usar para cumplir los requerimientos de la dieta?

Comida A Comida B Comida C Calcio 30 10 20 Hierro 10 10 20 Vitamina A 10 30 20

5) Repita el problema anterior si la dieta es para incluir exactamente 400 unidades de

calcio, 160 de hierro y 240 de vitamina A. 6) Hallar los valores de k, si existen para que los siguientes sistemas tengan solución

única, infinitas o ninguna:

a)

−=+−

=+

=+

42

24

12

kkzx

zky

yx

b)

=+

=

=++

0

0

023

kzx

ky

zyx

7) Completa la pirámide colocando un número de una o más cifras en cada casilla, de

modo tal que cada casilla contenga la suma de las casillas inferiores: 450 103 56 25 13 17 17 0


8) Un tren viaja de la ciudad A a la D, pasando por B y C. En B suben ¾ de los pasajeros que subieron en A y bajan 39. En C suben ¾ de los pasajeros que viajaron de B a C y bajan 39. Cuando el tren llega a D hay la misma cantidad de pasajeros que había en A. Cuántos son?

9) Sabiendo que A, B y C 44xR∈ y que Det(A)=2, Det(B)= ½ y Det(C)= 3, calcular,

indicando las propiedades utilizadas:

a) Det ( tCBA 216− )

b) Det ( tABBCA )()( 14 − )

10) Demostrar utilizando Inducción completa que el determinante de la matriz identidad, de cualquier orden es la matriz identidad.

11) Sabiendo que A 44xR∈ y que AEEE =− )3()2()3( 14

211 , calcular su determinante sin

hacer el producto de las matrices elementales 12)Demostrar utilizando inducción completa que el determinante de una matriz diagonal de cualquier orden es el producto de los elementos de la diagonal.


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