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8/17/2019 gentile oscillator

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O S S E R V A Z I O N I S O P R A L E S T A T I S T I O H E

I : N T E R M E D I E

N o t a d i G . G S N T I ~ . j .

S u l l t o - S i s t u d i a n o l e . s t a t i s t i c h e q u a n t i s t i c h e ~ i n t e r m e d i e t r a q u e l l a d i

BOS~,-EINsTEIN e

l ' a l t r a d i

F ~ I - D m ~ c ,

q u e l l e c i o~ i n c u i i l n u m e ~ o

m a s s i m o d i o c c u p a z i o n e d i u n a c e l la h e ll o s p a z i o d e l le f a s i ~ u n n u m e r o

f i n lt o d . S i d i s c u t o n o b r e v e m e n t e l e p r o p r i e t c o r r i s p o n d e n t i d ' u n g a s

p e r f e t t o .

1 . C h i c o n s i d e r i l e d u e s t a t i s t i c h e q u a n t i s t i c h e d i B O S E- EIN S TE IN

e d i F ~ R M I - D m ~ c b c o n d o t t o n a t u r a l m e n t e a d o m a n ~ a r s i q u a l i p r o -

p r i e t ~ r i m a n g a n o e q u a l i s i m o d i f i ch i n o , q u a n d o n o n s i f a c c i a p i ll

l i p o t e s i p a r t i c o l a r e ( d i F ~R M I-D IR A C) c h e i n u n a c e l la e l e m e n t a r e

n o n p o s s a t r o v a r s i a l p i f i c h e u a a p a r t i c e l l a , o l a l t r a , n o n m e n o

s p e c i a l e , ( d i B O SE -E IN S TE IN ) c h e c e n e p o s s a e s s e r e u n n u m e r o q u a l -

s i a s i , a n c h e i n f i n i t e .

B e n c h ~ s i a c h i a r o c h e l i p o t e s i p i ~ g e n e r a l e c h e i n u n a c e ll a v i

p o s s a n o e s s e r e al p i 5 u n n u m e r o f i n it e d d i p a r t i e e ll e , l a s ci s o s t a n -

z i a l m e n t e i n a l t e r a t o i l c a r a t t e r e s p e ci fi c o d e l l a li m i t a z i o n e i m p o s t a

d a l p r i n c i p l e d i P A U LL p u r e ~ e v i d e n t e c h e q u e s t a i p o t e s i p e r m e t t e ,

f a c e n d o c r e s c e r e d d a 1 a c ~ , di p a s s a r e s e n z a d i s c o n t i n u i t ~ d a l l u n o

a l l a l t r o c a s e t ip i c o , a t t r a v e r s o t u t t i i ca s i i n t e r m e d i (1 ). I n o g n i

m o d e , c o m e m o s t re r e m o , p r o c e d e n d o s u q u e s t a v i a s i h a u n m e t o d o

p e r t r a t t a r e i n m o d e u n i t a r i o e d e l e m e n t a r e t u t t e l e d i v e r s e s t a t i-

s t i ch e q u a n t i s t ic h e , c h e, c o m ~ n o te , h a n n o l u n i c o t r a t t o i n c o m u n e

c h e l e p a r t i c e l l e d e l s i s t e m a d e b b o n o e s s er e c o n s i d e r a t e i n d i s t i n g u i b i li .

P e r 5 q u a n d o s i a ff r o n t i q u es t o p r o b l e m a c a l c o l an d o d i r e t t a m e n t e

i l n u m e r o d e i m o d i i n c ui, r e l a ti v a m e n t e a d u n a d e t e r m i n a t a c o n fi g u-

r a z i o n e , ~ p o s s i b i l e r i p a r t i r e l e N p a r t i c e l l e d i e n e r g i a E , s u l l e Q ,

(~ ) I 1 m e t o d o u s a t o d a B R IL L OU IN n o n s i p r e s t a p e r t r a t t a r e ( p e r l o m e n o

s i n e a l p u n t o i n c u i ~ s t a t e s v i l u p p a t o ) l i p o t e s i p i~ t g e n e r a l e q u i c o n s i d e r a t a .

(V e d i B R IL L O U IN ,

D i e Q u a n t e n s t a t i s t i k ,

p a g . 1 6 8 ) .

33


2/5

494 G.

G E N T I L E j

c e ll e a d is p o s i z io n e , s i v a i n c o n t r o a d u n p r o b l e m a d i c a lc o l o c o m b i -

n a t o r i o m o l to c o m p l i ca t o ~ m e n t r e p e r l e d u e s t a t i st i ch e t i p i c h e

b a s t a c o n o s c e r e s e m p l i c e m e n t e i l n u m e r o d e l le c o m b i n a z i o n i , s e m p l ie i ,

0 c o n r i p e t i z i o n e , d i Q , e l e m e n t i d e l l a e l a s s e N , .

I1 m e t o d o p i ll r a p i d o p e r t r a t t a r e i l p r o b l e m a ~ i n v e c e q u e ll o

o r i g i n a le d i B o s e ( ~ ), i n c u i s i n t r o d u c o n o e s o l i c it a m e n t e c o m e v a -

r i a b i l i i l n u m e r o p 0~ d i c el le , d i e n e r g i a E , , n o n o c c u p a t e d a p a r t L

c e l le , q u ,e ll o p t d e l l e c e l le o c c u p a t e d a u n a p a r t i c e l l a , P d d i c e l l e

o c c u p a t e d a d p a r t i c e ll e . C o s i s i p o s s o n o t r a t t a r e t u t t i i c a s i co n

t a le a g il it A c h e c r e d i a m o u t i l e a t t i r a r v i s o 0 r a l a t t e n z i o n e ; b e n c h ~

n o n s i v e d a p e r o r a a l c u n a a p p l i c a z i o n e d i q u e s t e s t a t i s t ~ c h e i n t e r -

m e d i e , s e n o n , f o r s e , n e l c a s o d e l l a t e o r i a d e i l i q u i d i .

(1)

e d i n o l t r e v a l e :

2 )

2 . D u n q u e u n a d a t a e o n f i g u r a z io n e d e l n o s t r o s i s te m a d i p a r t i -

e e ll e v e n g a p e r f e t t a m e n t e d e f i n it a d a n d o i n u m e r i

P d, P~" . . . Pa"

d e l l e

c e ll e d i e n e r g i a E s , o c c u p a t e r i s p e t t i v a m e n t e 0 , 1 ... d v o l t e , t a l l c h e

s i ha :

d

N , ~ ~ r . p / ,

o

d

I1 n u m e r o W d e l l e p o s s i b il i r i p a r t i z i o n i ~ a l l o r a e v i d e n t e m e n t e

3 ) w = I I q ~

P J [ . . . Pa"

e i l l o g W d i v e n t a ( p o i e h ~ s i p u b a p p l i e a r e l a f o r m u l a d i S Tm L IN G

e s s en d o i h u m e r i p ~ m o l t o g r a n d i ) :

( 4 ) l o g W = X Q , l o g

Q~ - ~ Y, Pr" log

p ~ .

8 r

C e r e a n d o i n f in e i l m a s s i m o d i lo g W c o n l e e o n d i z i o n i :

(5) E ~ ~ N s E , - - ~ . ~ p / . r E , ,

8 r

(6) N := X N ~ -~ E E rp ~ ~ ,

r

s i o t t i e n e :

~ ( 1 + l o g

p~ + a r + ~ r E , ) . ~ p ~ ' - - O ,

r

(~ ) V . r Z . f. P h y s . } , 2 6 , 1 7 8 , 1 9 2 4 .


3/5

OSSF~RV ZIONI SOPR IJE ST T IST ICHE INTERME DIE

495

d a e u i s i r i c a v a :

( 7 ) p~ ' = B ' e [ ~+ ~E ' ) r

M a p e r l a ( 2) s i h a a n c h e :

1 - - e - v

(2 ) B ~ : Q ~

1 - - e t~ - ~ ) ~ ' '

d o v e p e r s e m p l i c i t ~ s i ~ p o s t o : y , - - a + E , ~ . E i n f i n e l a ( 1 ) e i d h :

e - y , -+ - d e - ( , ~ F~)v, _ (d + 1)e (~+ l)v '

( 8 ) N , = Q , . f ( ?, ) - - Q , ( 1 - - e - ~ ' ) ( 1 - - e ( ~ + ~ )v ' )

Q u e s t a ~ la f o r m u l a f o n d a m e n t a l e d e ll e s t a ti s t i e h e i n t e r m e d i e

t h e c o n t i e n e e v i d e n t e m e n t e c o m e c a si p a r t i c o l a r i : p e r d - - - - o o l a f o r-

m u l a c o r r i s p o n d e n t e d e l l a s t a t i s t i e a d i B O s E -E I N sT E IN ; p e r d - 1

q u e l l a d e l l a s t a t i s t i c a d i F ~ R ~ I - D m A c . D a l l a ( 2 ) s e c o n d o l a d e f m i -

z i o n e d i B O T ,T Z ~N N p o s s i a m o c a l c o l a r ei l ' e n t r o p i a d e l s i s t e m a ( c o n

f a c i l i s e m p l i f i c a z i o n i t e n e n d o c o n t o s p e c i a l m e n t e d e l l a ( 7 ) e d e l l a ( 2 )) :

( 9 ) S = k N a + E ~ § ~ Q , l og

e - ( d+ t ) ys

I

s I - - e - ~ *

d a c u i s i d e d u c e d o v e n d o e ss e r e : ~ E - - ~ - - k - T' e q u i n d i c h e

l a (8 ), p e r E s u m c i e n t e m e n t e g r a n d e , s i t r a s f o r m a n ei l a f o r m u l a d i

MAXWEbL-BOLTZMANN.

T e o r i a d e l g a s i d e a l e .

3 . V o g l i a m o d i s c u t c r e b r e v e m e n t e l e p r o p r ie t o r d i u n g a s id e a l e

m o n o a t o m i c o ch e o b b e d i s c a a d u n a s t a t i s t i c a i n t e r m e d i a . S o s t i t u e n d o

E

p e r Q , l a e s p re s s i o n e so l i ta e i n t r o d u c e n d o l a n u o v a v a r i a b i l e : x - - k T

o t t e n i a l ~ m a l p o s t o d e l l a ( 6 ) :

N (2 r : m k T )

(10) n = V - - h a F ' ( a ) ,

d a c u i p o t r e m o d e t e r m i n a r e l a e o s ta n t e a ; e p e r l ' e n e r g i a m e d i a

p e r p a r t i c e l l a :

(11) E 3 G ' ( a )

R - - 2 k T

F ' ( ~ )


4/5

4 9 6 G . G E S I I ~ E . i.

I n q u e s t e f o r m u l e

G ( a ) e F ( a )

s o n o i d u e i n t e g r a l i , a n a l o g h i a

q u e l l i d e l l a t eo r i a d i F E R M I :

2

F ( ~ ) = x / I ( x ) d x ,

(12) %o

I 4 s,

o

d o v e l a

f ( x ) ,

d e f i n i t a d a l l a ( 8) si p u b a n c h e s c r i v e r e c o s i :

1 1

{13)

f ( x ) . -- e ~ + x - - 1 - - ( d +

1) . e(o+~)(d+l _ 1

O s s e r v i a m o i n t a n t o c h e n e l l a ( 11 ) e (8 ) l a e o s t a n t e a p u b d i v e m

t a r e a n c h e n e g a t i v a , p e r c h ~ l a f ( x ) p e r a ~ - x - - 0 t e n d e a u n l im i t e

f i n i t o

d / 2 .

P e r c i 5 a n e h e q u i ( p e r d f i n it o ) s i p r e s e n t a n o i f e n o m e n i

c a r a t t e r is t i c i d i d e g e n e r a z io n e d e l g a s f e r m i a n o , t r a n n e c h e p e r

T ~ 0 ( a n e g a t i v o m o l t o p i cc o lo e q u i n d i c om e v e d r e m o d e l l a f o r m a

E .

-T s i h a n n o o r a i n o g n i c e l l a d e n e r g i a i n f e r i o r e a l v a l o r e l i m i t e

E o

p r e c i s a m e n t e d p a r t i c e l l e ,

i n q u e s t a i p o t e s i l a

f ( x )

p o r t a n d o a

c o n c l u d e r e :

(14) ~ N~__ _ Q , . d , p e r E < : E o ,

~ N ~ 0 p er E > E o .

I n f a t t i p e r a n e g a t i v o ( c a so d e l

g a s d e g e n e r e )

s i o t t i en e , p o n cn -

d o - - r 1 6 2

7~

(1 2 ) I F ( ~ ) - - 3 V ~

8 . a , ,, I d +

5 ~ ' ( 1 _ ~ _ _ + 1 ) + . . . 1

i G (a )

= 15V ~: 7I

e q u i n d i p e r a > > 1

( f o r t e d e g e n e r a z i o n e )

s i t r o v a d a l l a ( 1 0 ) :

( 6 , , / / , h

( 1 5 ) E o = ( - - = ) . k T = \ - ~ 1 9 8 m '

3

e p e r c i b d a l l a ( 1 1 ) u n a N u l l p u n k t s e n e r g i e p e r p a r t i c e l l a : ~ E o -

N e l c a s o d i

d e b o l e d e g e n e r a z i o n e ( ~ > >

1 ) v a l g o n o i n v ece g i i s v i -

l u p p i :

i 1 1 1 d

F ' (~) = ~ - + ~ i - . '~7 , + ' - - ~x~- , (d + 1) ' t , + '

(12 ) ~ 1 1 1 d

t e ' ( ~ ) = ~ + ~ K , ~ # ~ , '

~ - ,

( d + 1 ) ' / , '

I

4


5/5

OSSKRVAZIONI SOPRA LE STATIS TICHE I1TTER~EDIE

497

d o v e s i b p o s t o : A = e a . D i q u i s i d e d u c e ( c o s a p o c o p r e v e d i b i l e

a p r i o r i )

c h e gi ~ t p e r d = 2 si h a n n o d e g l i s c a r t i d a l l e l e g g i d e i g a s

p e r f e t t i n e l s e n s o d e l l a s t a t i s t i c a d i B O S E - E m S ~ E I N .

C a l c o la n d o , in f m e , l 'e n t r o p i a s i t r o v a i m m e d i a t a m e n t e d a l l a (9 ),

m e d i a n t e u n a f a c i l e i n t e g r a z i o n e p e r p a t t i , c h e v a l e p e r t u t t e q u e s t e

s t a t i s t i c h e l a s t e s s a f o r m u l a , a n a l o g a a q u e l l a d i F E R M I :

(9' ) S :

N k 1

5

O'(~)

c io ~ , i n v i r t f i d e l l e (8 ) e ( 8 ) s i r i t r o v a c h e a l l o z e r o a s s o l u t o

S = 0 e c h e p e r a l t e t e m p e r a t u r e v a l e s e m p r e l a f o r m u l a d i S AC KU R-

TE~RODE.

N o t a a g g i u n t a s u l l e b o z z e . - -

G l i i n S e g r a l i F ' ( ~ ) e G ' ( a ) s o n o d e t

s e g u e n t e t i p o :

0

e s i i n t e g r a n o s e n z a d i f fi c ol t~ . D i f a t t i p o s t o : b = m . a ; x =

a (y -~ -

1)

s i o t t i e n e :

oo 1 0

1 ~ , , / (1 + y ) ~ / ( l + y ) ~ ~

f ( l + y ) d y

a ,,+ ~ .I (,~ _ j e b ~ ~ - y d y = j 1 § y )'~ dy + j l - ~ - e ~ a y - + - j -e ~ - - 1 '

0 0 - - 1 0

e n e l s e c o n d o i n t e g r a l e c a m b i a n d o d i s e g n o a l l a v a r i a b i l e d ' i n t e g r a -

z i b n e e i n t e g r a n d o d a 0 a -~ -c ~ ( l ' e r r o r e ~ p i c co l o e s s e n d o : b > > 1 )

s i r i c a v a :

1 ,~ , ~ 1 / ( 1 + y ) - - ( 1 - - y ) ~

a . + l .I ( G ) = - - n- - ~ -- I + ~ e b~ - - 1

d y .

0

I n f i n e n e l l ' i n t e g r a l e r i m a s t o s v i l u p p a n d o o p p o r t u n a m e n t e n u m e -

r a t o r e e d e n o m i n a t o r e e r i c o r d a n d o t h e :

~- - 6 ' ~ 4 - - 9 0 '

s i a r r i v a a l r i s u l t a t o :

n a + l i n ( n §

n ( n - - 2 ) ( n - - 1 ) n ( n . + - l ) ~ :'

- - n + 1 t - - 1 4 m Z a Z 9 -~ -4-

m4a 4

4 5 " - t-

R i n g r a z i o l ' a m i c o p r o f . G . PO LV AN I p e r i n t e r e s s a n t i d i s c u s s ic n i

a v u t e s u l l ' a r g o m e n t o .

Milano , l s t i tu to ~i F i s i c a d e l l a R . U n i v e r s i t

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