geometria-3bim y 4bim-5to sec

Consorcio Educativo “El Carmelo” GEOMETRÍA Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista 5to año

CIRCUNFERENCIA I

PROPIEDADES

1.

2.

3.

123


Teorema de Poncelet:

Teorema de Pitot:

OBSERVACIONES:

124


PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Calcular: x + y + z, si el perímetro de ABC es 126.

B

z

y

A Cx

2. Hallar “x”, si “O” es centro.

2x x O

3. Se tiene un triángulo rectángulo de semiperímetro 16 cm y de inradio 4 cm. Calcular la longitud de su hipotenusa.

a bR

c

4. Hallar “PC”, si: AB = 9, BC = 15 y AC = 18.

P

B R

C T A

5. Calcular “x”, si las circunstancias son ortogonales.

x

6. Calcular “x” si “O” es centro.

T

25°

O B C

a) 100° b) 110° c) 120°d) 130° e) 140°

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. En el triángulo, AB = 8; BC = 7 y AC = 6. Hallar “AM”

A

M Q

C P B

a) 2,5 b) 3 c) 3,5d) 4 e) 1,5

2. En un triángulo rectángulo de catetos AB = 12 y BC = 16, hallar el inradio del triángulo.

125

A

x°


a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

3. En el trapecio isósceles: AD = BC = 8 cm. Calcular la mediana del trapecio.

A B

D C4. Hallar “x” si “O” es centro.

a) 18°b) 15°

T c) 12°d) 10°e) 9°

4x x°

A O B C

5. Hallar “x”, si “T” es punto de tangencia, AO = OB = BP = 1.

a) 60°b) 53°

T c) 45°d) 30°e) 37°

x°

A O B P

6. Hallar “R”, si AB = 9 y BC = 12.

a) 15b) 16c) 18d) 20

R e) 22

P A

B C

7. Del gráfico: R = 3 y r = 1, hallar “BE”

B C

r R

A B

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

8. Calcular el perímetro del triángulo ABC.

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 18

10 B

A

4 C 1

126


CIRCUNFERENCIA II

I. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1. ÁNGULO CENTRAL: ................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................

2. ÁNGULO INSCRITO: ................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................

3. ÁNGULO INTERIOR: ................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................

4. ÁNGULO SEMI INSCRITO:................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................

127


5. ÁNGULO EXTERIOR: ................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................

a. Por: 2 secantes

b. Por: 1 tangente y 1 secante

c. Por: 2 tangentes


1. Si: TM = OM, hallar: m MBA, “O” es centro y “M” punto de tangencia.

M

T B O A

2. En el gráfico: m DEF = 100° y m ACD = 30°. Hallar: m ABD.

B C

A

128


F E

D

3. En una circunferencia de centro “O” se inscribe el cuadrilátero ABCD,m tal que

es diámetro y m BCD = 125°. Hallar: m ADB + m DAB.

4. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las tangentes y , luego se ubica el punto “C” en el arco mayor AB. Hallar la: m HBC, si:

y m APB = 70°.

5. En la figura, “x”, si L1 y L2 son tangentes a

la circunferencia.

L1

L2

x

6. En una circunferencia de centro “O”, se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “C”, Si: m AB = 120°, m OBC = 45°, hallar: m OAC.

a) 30° b) 15° c) 75°d) 5° e) 45°

7. Si “O” en centro, m BD = 30° y PC = OB, hallar: m P.

D C

PA O B

a) 10° b) 20° c) 15°d) 25° e) 30°

8. y son dos cuerdas de una circunferencia que se cortan perpendicularmente tal que: m BAC = 35°, hallar la medida del ángulo ABD.

a) 70° b) 35° c) 45°d) 55° e) 60°

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Las tangentes de “A” y “B” a una circunferencia forman un ángulo que mide 54°. “C” es un punto cualquiera del menor arco AB. Hallar: m ACB.

a) 108° b) 124° c) 126°d) 117° e) 110°

2. En una circunferencia se tienen los puntos consecutivos: “A”, “Q”, “B” y “P” tal que: m AP = 50°, y forman un ángulo de 30°. Hallar: m BQ.

129


a) 10° b) 15° c) 25°d) 30° e) 18°

3. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) m BFE = 32°, siendo “E” y “P” los puntos de tangencia sobre los lados y determinados por la circunferencia inscrita. Hallar: mB.

a) 42° b) 36° c) 52°d) 62° e) 50°

4. Circunferencias concéntricas de centro “O” m BOA = 120° y m OBA = 20°. Hallar m FG.

a) 20°b) 10°c) 18°

A d) 15°F e) 30°

BG O

5. Si “B” es punto de tangencia, hallar:

a) 2b) 3c) 5

A d) 4e) 1

B

C

6. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las tangentes y , luego se ubica el punto “C” en el arco mayor AB. Hallar la m HBC, si

y m APB = 70°.

a) 25° b) 30° c) 40°d) 35° e) 45°

130


PROPORCIONALIDAD

Teorema de Thales:

Observación:

Teorema de la Bisectriz Interior:

Teorema de la Bisectriz Exterior:

131



1. En la figura: , determinar “AC”C

4 – x A

x – 2

x + 1B

7 – x D

2. Si: y , calcular “x”

B

R

A C P Q

x 2 3

3. Hallar “CR – AR”, si: AB = 5, BC = 7 y AC = 6.

B

A C R

4. Calcular: , si: “G” es baricentro

del PQR.

P

E

Q R

5. En la figura: , 5(AP) = 3(PB), MC = 4(BM), AQ = 6 y NC = 12. Calcular “QN”

B

M

P

132


A CQ N

6. En la figura: ; si DE = 3, calcular:

“2EF”, si L1 // L2 // L3

A D L1

B E L2

C F L3

a) 4,5 b) 8 c) 10d) 15 e) 12

7. Calcular “AR”, si: AB = 10, BC = 14 y AC = 12

B a) 10b) 6,5

c) 2d) 5e) 3

A R C

8. Hallar “CP”, si: AC = 12 y AB = 3BC.

a) 3b) 4

B c) 5 d) 6 e) 12

A C P


1. En la figura: m ABE = m EBD, AD = 5 y EC = 12, calcular “AC”

a) 2b) 10

B c) 12d) 8e) 15

A E D C

2. Calcular “QC”, si AP = 5 y PQ = 3

B a) 4,5b) 6c) 6,5d) 8e) 7

A P Q C

3. Si: AB = 4, BC = 3, . Hallar “CH”. Si: HF = 4,5 y L1 // L2 // L3.

A D L1

B E L2

C F L3

H

a) 6 b) 7,5 c) 9d) 7 e) 5

4. En el gráfico mostrado L1 , L2 , L3 y L4 son rectas paralelas. Hallar “y – x”

L1

x + 1 x + yL2

3 7,5L3

L4 y 2(x+y)

a) 2 b) 2,5 c) 4

133


d) 3 e) 1

5. En un ABC se ubica el incentro “I” sobre la bisectriz , de tal manera que: 3IB = 2BM. Calcular “AC”, si: AB + BC = 24.

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 16

6. Hallar “EM”, si es mediana, BD = 3,

DE = 2, siendo:

B

D

E

A M C

a) 1 b) c) 2,5d) 4 e) 3

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

I. PROYECCIONES

II. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

134


Propiedad: (Tangente común a dos circunferencias tangentes exteriores)


1. Hallar “AC” si AH = 9 y HB = 16.

C

A H O B

a) 14 b) 12 c) 10d) 15 e) 18

2. Los lados de un triángulo miden 9, 16 y 18. ¿Qué longitud “x” se debe restar a cada lado para que el triángulo resultante sea triángulo rectángulo?

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) N.A.

3. Hallar “a” en:a) 2b) 2,5c) 3d) 3,5

a e) 4

1 8

4. Calcular la suma de los catetos de un triángulo rectángulo con la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa miden 9 y 16.

a) 50b) 52c) 47

b d) 47 a e) 40

h

5. Hallar “d” a) 24 b) 10

8 c) 20 d) 9

18 e) 12

135


d

6. Se tiene un trapecio de diagonales perpendiculares las cuales miden 12 y 9. Calcular la mediana de dicho Trapecio.

a) 12 b) 8 c) 7,5d) 5,5 e) N.A.

7. Calcular la longitud del menor cateto de un triángulo rectángulo, si las proyecciones

de los catetos sobre la hipotenusa miden 2 y 6 cm.

a) 3 b) 2 c) 3

d) 4 e) 2

8. Calcular la altura relativa a la hipotenusa, si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 12 y 27 m.

a) 18 b) 20 c) 21d) 16 e) 15


1. Hallar “h”a) 3b) 4c) 5d) 6

h e) 8

4 9

2. Si: AN = 8 y MN = 12, hallar “NB”

M a) 16b) 18c) 20d) 21e) 25

A O B

3. Lee suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo es 200 cm2. Calcular la longitud de la hipotenusa.

a) 15 b) 18 c) 20d) 10 e) 10

4. Los lados de un miden 8, 15 y 16 cm. ¿Cuánto se debe quitar a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa, si los catetos del triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm.

6. El lado de un cuadrado ABCD inscrito, en una circunferencia mide 4. “M” es punto del arco AB de modo que: MD = 5, hallar “MB”

a) b) c) 2

d) e) 3

7. Hallar “BD”, si: AD = 8 cm y DC = 10.B

A

D

E

a) 6 b) 6 c) 4

d) 9 e) 9

8. En el gráfico: AB = 6 y BC = 8. Hallar la distancia de “O” a

A

136


B

C

O

a) b) c) 4

d) 3 e) 2

137


RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

1. 1er. TEOREMA DE EUCLIDES

2do. TEOREMA DE EUCLIDES

2. TEOREMA DE LA MEDIANA

138


3. TEOREMA DE HERÓN (Cálculo de la Altura)

4. 2do TEOREMA DE LA BISECTRIZ

Bisectriz Interior

Bisectriz Exterior

139



1. Los lados de un triángulo miden 9, 10 y 13 m. Calcular la longitud de la mediana relativa al lado medio.

B a) 13b) 11c) 10d) 12e) 14

A C

2. En un triángulo ABC: AB = 9, BC = 10, AC = 13, calcular la proyección de la mediana

sobre .

a) b) c) 20

d) 15 e) N.A.

3. Los lados de un triángulo ABC miden AB = 9, BC = 10 y AC = 17. Hallar la altura relativa al lado AB.

C

A B

a) 14 b) 10 c) 8d) 6 e) 12

4. Hallar “x” en:a) 2b) 3,2

x c) 1,2d) 4,2e) 2,5

12 6

10

5. Hallar “x” en:

x 5

2 4

a) 8 b) 20 c)

d) e) 10

6. Según el gráfico, hallar “r” si AB = 6, AC = 8 y CD = 4.

D

C

A B O r

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7


9

7

4 x

a) 3 b) 4 c) 6d) 10 e) 12

8. Si: OA = 10, AB = 9 y OB = 17. Hallar “R”

T A B

O R

140


a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 5


1. En un triángulo cuyos lados miden 6, 9 y 10, hallar la longitud de la proyección del lado menor sobre el lado mayor.

a) 1,5 b) 0,75 c) 2,25d) 2,75 e) 1,25

2. Dado el triángulo ABC:AB = 2 mc, BC = 4 y AC = 3.Calcular la proyección de sobre .

a) 1 b) 1,5 c) 0,5d) 0,25 e) 0,75

3. En el triángulo PQR: PQ = 10, QR = 17 y PR = 21. Hallar la longitud de la altura

.

a) 8 b) 9 c) 6d) 7 e) 4

4. En el triángulo de lados que miden 6, 8 y 12, calcular la longitud de la menor mediana del triángulo.

a) b) c)

d) e)

5. En un triángulo cuyos lados miden 13, 14 y 15, calcular la altura relativa al lado intermedio.

a) 10 b) 11 c) 12d) 9 e) 8


10 7

x 5

a) 3,6 b) 2,6 c) 2d) 3,4 e) 2,7


9 6

x 10

a) 12/4 b) 13/12 c) 11/4d) 12/4 e) N.a.

8. Dado el triángulo cuyos lados miden 13, 14 y 15, calcular el menor ángulo interior del triángulo.

a) 37° b) 45° c) 60°d) 53° e) 30°

141


RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

1. TEOREMA DE LAS CUERDAS

2. TEOREMA DE LAS SECANTES

3. TEOREMA DE LA TANGENTE Y SECANTE

4. TEOREMA DE PTOLOMEO (Cuadrilátero Inscrito o Inscriptible)

142


143



1. Siendo “O” y “O1” centros, PQ = 4 y QS = 9, hallar “AQ”

T

P Q

A O O1 B

a) 3 b) 10 c) 6d) 8 e) 7

2. Si: AC = 6 y DQ = 4, hallar “CD”, si además “B” y “Q” son puntos de tangencia.

A C D Q

O B

a) 3 b) 6 c) 7d) 2 e) 1

3. Hallar “CM”, si AE = 16, EB = 6 y la relación entre y es de 2 a 3.

CA

E B

M

a) 16 b) 18 c) 20d) 24 e) 26

4. En la figura:AB = 4; BC = 2; AQ = 3, hallar QP

C

B

A Q P

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

5. Calcular el perímetro del ABC. Si: r = 8.

B

r

A C

a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

6. Los segmentos de una de dos cuerdas que se cortan miden 16 cm y 3 cm. Hallar la medida de los segmentos en que se divide la otra cuerda, sabiendo que uno es el triple del otro.

a) 6 y 2 b) 9 y 3 c) 12 y 4d) 15 y 5 e) 18 y 6

7. En una circunferencia de 13 m de radio calcular la longitud de la flecha correspondiente a una cuerda de 24 m.a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

8. Hallar “x” si: R = 9 y r = 4.a) 10b) 11c) 12

x d) 13e) 14

144


R r

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Si: CD = 12, AB = AC + 5. Calcular “AC”

B

A C D

a) 12,5 b) 13 c) 6,5d) 18,5 e) 14

2. Si AP = 6, PB = 4, CD = 11, hallar “CP”

C a) 6b) 5c) 3

B d) 4e) 2

A P

D

3. Si EF = 6, AB = 4, hallar AEF a) 8

b) 7c) 5d) 2e) 4

E

A

B


Mx

N8

2

a) 10 b) 12 c) 8

d) 11 e) 6

5. Si AQ = 2, PQ = 4; calcular “r”a) 2

P b) 1c) 4d) 5e) 7

A B Q r

6. La figura muestra dos circunferencias secantes de radios 7 y metros respectivamente. La distancia entre los centros es 5 m. Hallar X.

a) 2b) 3c) 4

x d) 5e) 6

O O’

7. Si PQ = QR; SR =1, hallar “US”

P Q

U r R T S

a) 2 b) 4 c) 3d) 6 e) 7

8. Calcular “OD”. Si AD . DB = 200

A D

15 B O

145


a) 6 b) 5 c) 4d) 7 e) 3

146

geometria-3bim y 4bim-5to sec

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