geometría computacional solapamiento de subdivisiones

Geometría Computacional: Solapamiento de SubdivicionesPlanares

Maikel Arcia

Miguel Sancho

Lecture 2

Line Segment Intersection

Computational Geometry

Prof.Dr.Th.Ottmann

Thematic map overlay in Geographical Information Systems

carreterasrios Solapamiento

de mapas

1. Thematic overlays provide important information.

2. Roads and rivers can both be regarded as networks of line segments.

Motivación

Solapamientos de Mapa

Determinar intersecciones entre capas.

Geometría Computacional

Intersección de redes.

De forma simplifciada el problema de solapamientos de mapas, es la intersección de redes representadas por una colección segmentos.


Objetivo

Diseñar un algoritmo para solapar dos subdiviones planares usando:

Barrido del plano

Intersecciones de Segmentos

Estructura de datos DCEL


Solapamiento de Subdivisiones



k

g

i

h

l



k

g

i

h

l

n



f

j

m




Nuevos vértices



Nuevos vértices Nuevas semi-aristas




Vértices que se

preservan

Vértices que se

preservan




Vértices que se

preservan

Vértices que se

preservan

semi-aristas

que se

preservan

semi-aristas que

se preservan




Vértices que se

preservan

Vértices que se

preservan

semi-aristas

que se

preservan

semi-aristas que

se preservan

Las caras deben ser

etiquetadas con las etiquetas

de las caras que se solapan.

f(f,g)

g




Vértices que se

preservan

Vértices que se

preservan

semi-aristas

que se

preservan

semi-aristas que

se preservan

Las caras deben ser



f(f,g)

g

(f,h)h

c




Vértices que se

preservan

Vértices que se

preservan

semi-aristas

que se

preservan

semi-aristas que

se preservan

Las caras deben ser



f(f,g)

g

(f,h)h

i

(f,i)

c

g

h




Vértices que se

preservan

Vértices que se

preservan

semi-aristas

que se

preservan

semi-aristas que

se preservan

Las caras deben ser



f(f,g) (f,h)

i

(f,i)

j (j,g)

(j,g)

(j,h)

(j,i)

c

g

h




Vértices que se

preservan

Vértices que se

preservan

semi-aristas

que se

preservan

semi-aristas que

se preservan

Las caras deben ser



f(f,g) (f,h)

i

(f,i)

j (j,g)

(j,g)

(j,h)

(j,i)

k

(j,k)

(j,k)

g

h




Vértices que se

preservan

Vértices que se

preservan

semi-aristas

que se

preservan

semi-aristas que

se preservan

Las caras deben ser



f(f,g) (f,h)

i

(f,i)

j (j,g)

(j,g)

(j,h)

(j,i)

k

(j,k)

(j,k)

l

(j,l)

g

h




Vértices que se

preservan

Vértices que se

preservan

semi-aristas

que se

preservan

semi-aristas que

se preservan

Las caras deben ser



f(f,g) (f,h)

i

(f,i)

j (j,g)

(j,g)

(j,h)

(j,i)

k

(j,k)

(j,k)

l

(j,l)

(m,n)

Las caras infinitas siempre se

interceptan.


Partes de las dos subdivisiones se podrían reutilizar.

Solo hay que modificar las semi-aristas incidentes en un vértice de intersección entre las dos subdivisiones.

¿Idea?



Partes de las dos subdivisiones se podrían reutilizar.

Solo hay que modificar las semi-aristas incidentes en un vértice de intersección entre las dos subdivisiones.

¿Idea? Copiar las dos DCEL en una nueva y transformarla en una DCEL válida.


Geometría ComputacionalGeometría Computacional

¿Transformar la nueva DCEL en una válida?

Computar los nuevos vértices.

Crear las nuevas semi-aristas.

Para toda semi-arista e y vértice v afectados, actualizar las referencias: Origing(e), Next(e), Prev(e), Twin(e), IncidentFace(e) IncidentEdge(v).

Crear nuevos registros para cada cara, etiquetados con las etiquetas de las caras que se solapan.


Computar nuevos vértices



Usar el algoritmo para determinar intersecciones de segmentos.




En las intersecciones de una misma subdivisión no se realiza ninguna operación adicional.




En las intersecciones de una misma subdivisión no se realiza ninguna operación adicional.

En las nuevas intersecciones se actualizan los vértices y semi-aristas.


Crear nuevas semi-aristas


Crear nuevas semi-aristas: caso arista - arista

e1



e1

Las semi-aristas se reutilizan y se adiciona una nueva por cada semi-arista afectada.



e1


Por cada nueva semi-arista se actualiza: Origing, Next, Prev.

Por cada semi-arista reutilizada se actualiza solo el la referncia Next.

Next(e1)



e1


Por cada nueva semi-arista se actualiza: Origing, Next, Prev.

Por cada semi-arista reutilizada se actualiza solo el la referncia Next.



e1

Next(e1)



e1

Next(e1)

Las nuevas caras siguen estando a la izquierda de las semi-aristas.

Luego las semi-aristas no deben ser reorientadas.


Crear nuevas semi-aristas: caso arista – vértice


Crear nuevas semi-aristas: caso vértice - vértice



Todos los casos se pueden reducir al caso en que dos vértices de las subdivisiones coinciden.



Todos los casos se pueden reducir al caso en que dos vértices de las subdivisiones coinciden.

¿Cómo determinar el orden de las semi-aristas para actualizar las referencias?



El estado de la línea de barrido contiene los segmentos ordenados abajo hacia arriba.


Crear nuevas semi-aristas: caso especial arista -arista



Es necesario chequear si los segmentos son colineales.

Solo es necesario crear

dos nuevas semi-

aristas



Es necesario chequear si los segmentos son colineales.


Complejidad temporal para actualizar vértices y semi-aristas.

Actualizar las semi-aristas en un vértice v toma un tiempo O(deg(v)), donde deg(v) es el grado del vértice.

Luego actualizar todas las semi-aristas toma un tiempo O(m), donde m es el número de aristas, lo que es equivalente a O(n).

Luego actualizar las semi-aristas no incrementa el tiempo de determinar las intersecciones, el cual es O((n+k)log n), donde k es el número de intersecciones.


Actualización de las caras

Crear un registro para cada cara.

Para cada registro f crear las referencias:

- OuterComponent(f)

- InnerComponents(f)

Para cada semi-arista e actualizar la referencia InidentFace(e).

¿Cúantos registros de caras se requieren?


Actualización de las caras

Crear un registro para cada cara.

Para cada registro f crear las referencias:

- OuterComponent(f)

- InnerComponents(f)

Para cada semi-arista e actualizar la referencia InidentFace(e).

¿Cúantos registros de caras se requieren?

Número de caras = Número de ciclos exteriores + 1


¿Cómo saber si un ciclo es exterior?



Se busca el vértice más a la izquierda.




Si el ángulo de giro es mayor que 180 es un ciclo interior





Si el ángulo de giro es menor que 180 es un ciclo exterior





Si el ángulo de giro es menor que 180 es un ciclo exterior

Se puede resolver con giros de segmentos sin calcular los ángulos



Construir un grafo G no dirigido tal que

Todo ciclo límite corresponda a un nodo Cj.

Un nodo C∞ para el límite exterior imaginario de la cara ilimitada.

(Ci, Cj) es una arista si y solo si se cumplen ambas:

(a) Uno de los ciclo sea el límite de un hueco.

(b) Y el otro ciclo tenga una semi-arista inmediatamente a la izquierda del vértice extremo izquierdo del primer ciclo.


Construcción del grafo G



C∞



C∞

C1



C∞

C1

C2



C∞

C1

C2C3



C∞

C1

C2C3

C6



C∞

C1

C2C3

C6

C5

C4

C7



C∞

C1

C2C3

C6

C5

C4

C7

Cada componente conexa del grafo corresponde a una cara, con su componente exterior y su lista de componenetes interiores



Estudiar en el libro

Computational Geometry, Algorithms and Applications

Epígrafe 2.3, pág. 33

Modificar el algoritmo de barrido del

plano para construir G.

Cuando un punto de evento v es el vértice

extremo izquierdo de un ciclo de un hueco C

1. Localizar la arista e a la izquierda de v

y el ciclo C de esta

2. Adicionar la arista (C, C ) a G.

Mantener una referencia desde toda semi-arista

al nodo en G que el ciclo al que esta pertenece


Etiquetado de las caras

Una vez creados todos los registros de las caras y establecidas sus referencias, se recorren los bordes exteriores y se consultan las referencias a las caras de las subdivisiones y se establecen las referencias IncidentFace(e) hacia la nueva cara con la nueva etiqueta combinada.


Complejidad temporal

El grafo G se construye en el mismo barrido del plano sin costo adicional.

Los registros de las caras se construyen y se etiquetan en un tiempo O(n)

El algoritmo se puede implementar en un tiempo O((n+k)log n).


Operaciones con polígonos



P Q



P Q

P Q



P Q

P Q

P – Q



P Q

P – Q

P Q

Bibliografía base

MM. de Berg, M. van Kreveld, M. Overmars, O. Schawarzkopf: Computational Geometry, Springer Verlag, 1997.


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