”Creativity arises from our ability to see things from many differentangles.”

Keri Smith

3Geometria spatiilor euclidiene R𝑛

Actiune, motor, se filmeaza !

∙ Legea lui Lambert spune ca intensitatea iluminarii la nivelul unei suprafetedifuze este proportionala cu cosinusul unghiului dintre normala la suprafata sidirectia sursei de lumina:

𝐸 =𝐼

𝑅2cos𝛽

In aceasta relatie 𝐸 reprezinta iluminarea suprafetei (unitate de masura lux-ul),𝐼 intensitatea luminoasa a izvorului punctiform de lumina (unitate de masuracandela) si 𝑅 distanta dintre sursa izvorului si punctul iluminat de pe suprafata.

1

O astfel de situatie este descrisa in figura de mai jos unde o sursa de luminaeste localizata la 𝑆(20, 20, 40) si punctul iluminat este 𝑃 (0, 10, 0). In aceastasituatie suntem interesati sa calculam 𝑐𝑜𝑠 𝛽, care multiplicat cu intensitateasursei de lumina, da intensitatea luminii incidente pe suprafata. Sa incepem prina considera ca suprafata este un plan si n este normala (vector perpendicular)

la plan. Sa presupunem ca n =

⎛⎜⎜⎜⎝0

1

0

⎞⎟⎟⎟⎠. Directia sursei de lumina este definita

de catre un vector s. Tinand cont de coordonatele extremitatilor acestui vectoravem:

𝑠 =−→𝑃𝑆 =

⎛⎜⎜⎜⎝20

20

40

⎞⎟⎟⎟⎠−

⎛⎜⎜⎜⎝0

10

0

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝20

10

40

⎞⎟⎟⎟⎠

Obtinem usor lungimea vectorului director ‖s‖ =√

202 + 102 + 402 ≈ 45.826precum si a celui normal ‖n‖ = 1. Folosind formula de calcul al unghiului formatde catre doi vectori:

cos𝛽 =⟨n, 𝑠⟩

‖n‖ · ‖s‖=

0 · 20 + 1 · 10 + 0 · 40

1 · 45.826≈ 0.218

Asadar intensitatea luminii in punctul (0, 10, 0) este atenutata cu un coeficient0.218 fata de intensitatea luminii in punctul initial (20, 20, 40).

∙ ∙ O modalitate de a face identificarea fata/spate a unui obiect (poligon)consta in calcularea unghiului dintre normala la suprafata obiectului si liniavizuala a camerei. Daca unghiul este strict mai mic decat 90∘ (adica cos𝛽 > 0)atunci fata poligonului este vizibila iar daca este mai mare decat 90∘ (adicacos𝛽 ≤ 0) atunci fata este invizibila.

2

In practica sunt usor de recunoscut fata sau spatele unui obiect dar in graficacomputerizata, spre exemplu, este nevoie de o descriere matematica a situatiei.

Sa presupunem ca avem o camera situata in 𝐶(0, 0, 0) si unul dintre var-furile poligonului este 𝑉 (10, 10, 40). Sa presupunem ca vectorul normal la fatapoligonului este n = (5, 5,−2). Directia liniei vizuale a camerei este data de

vectorul−−→𝑉 𝐶:

−−→𝑉 𝐶 =

⎛⎜⎜⎜⎝0

0

0

⎞⎟⎟⎟⎠−

⎛⎜⎜⎜⎝10

10

40

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝−10

−10

−40

⎞⎟⎟⎟⎠iar ‖n‖ =

√52 + 52 + (−2)2 ≈ 7.348 si ‖

−−→𝑉 𝐶‖ ≈ 42.426. Folosind formula de

calcul al unghiului dintre cei doi vectori gasim:

cos𝛽 =⟨n,

−−→𝑉 𝐶⟩

‖n‖ · ‖−−→𝑉 𝐶‖

≈ −0.0634 < 0

deci 𝛽 = arccos(−0.0634) ≈ 93∘ si poligonul dat are fata invizibila pentrucamera virtuala situata in punctul 𝐶.

Unghiul de reintrare in atmosfera

O situatie similara este intampinata in aeronautica, de catre inginerii NASA.Pentru o nava spatiala (sonda) este extrem de important unghiul sub care navareintra in atmosfera. Reglajele se fac in functie de vectorii de pozitie ai diversilorsenzori de localizare aflati la bordul navei.

Daca unghiul de reintrare este prea abrupt, fortele de deceleratie (efectul defranare datorat frecarii cu atmosfera) vor deveni prea mari si nava spatiala sepoate rupe in doua. In plus, cu cat unghiul de reintrare este mai abrupt, cuatat este mai mare fluxul de caldura la care este expusa nava putand duce lasupraincalzirea navei.

Reciproc, daca unghiul de reintrare este un pic prea mic, alte lucruri ne-placute pot aparea. De exemplu, deceleratia va fi prea mica si astfel nava vacalatori mai departe decat a fost calculat. Se poate intampla ca nava sa ater-izeze pe un teren accidentat, altul decat cel planificat, ceea ce este dezastruosin special daca nava este conceputa doar pentru a ateriza pe apa. Chiar dacafluxul de caldura va fi acum mai mic pot aparea alte probleme termice, deoarecescutul termic va fi expus caldurii o perioada prea mare.

Daca unghiul de reintrare este mult prea mic, se poate intampla ca nava sanu ”cada in atmosfera” la fel ca o piatra plata care sare intr-una pe suprafataapei unui lac.

“Listen, listen, listen! They gaveus too much Delta V, had us burn toolong. At this rate, we’re gonna skipright off of the atmosphere, and we’renever gonna get back!”

(Jack Swigert in filmul Apollo 13)

3

Sinteza teorie

∙ vectorul−−→𝐴𝐵 dat de segmentul orientat [𝐴𝐵] are in plan coordonatele date

de (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴) si (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴, 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴) in spatiu�

formula se generalizeaza usor pentru R𝑛

∙ produsul scalar al vectorilor u = (𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛) si v = (𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛)este:

⟨u,v⟩ = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + . . . + 𝑢𝑛𝑣𝑛

∙ unghiul 𝜃 dintre vectorii u si veste dat de formula:

cos 𝜃 =⟨u,v⟩

‖u‖ · ‖v‖

unde ‖u‖ =√𝑢21 + 𝑢2

2 + . . . + 𝑢2𝑛 este lungimea vectorului

Aplicatie: vectorii u si v sunt ortogonali (perpendiculari) ⇐⇒ ⟨u,v⟩ = 0

∙ produsul mixt a trei vectori u = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), v = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) siw = (𝑤1, 𝑤2, 𝑤3) este dat de formula:

(u,v,w) =

𝑢1 𝑢2 𝑢3

𝑣1 𝑣2 𝑣3

𝑤1 𝑤2 𝑤3

si modulul acestuia este volumul paralelipipedului cu muchiile date de catrevectorii u,v,w :

𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑖𝑝𝑖𝑝𝑒𝑑 = |(u,v,w)|

Aplicatie: vectorii u,v,w sunt coplanari ⇐⇒ (u,v,w) = 0

∙ produsul vectorial a doi vectori u = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3), v = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) este:

u× v =

𝑖 𝑗 𝑘

𝑢1 𝑢2 𝑢3

𝑣1 𝑣2 𝑣3

Aplicatie: aria paralelogramului determinat de catre vectorii u si v estedata de lungimea vectorului u× v, adica ‖u× v‖, si are loc formula:

4

𝒜𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚 = ‖u× v‖= ‖u‖ · ‖v‖ · sin 𝜃

unde 𝜃 este unghiul dintre acestia

Alte proprietati elementare :

𝑖) distanta dintre doi vectori se calculeaza cu formula:

dist(u,v) = ‖u− v‖ =√

⟨u− v,u− v⟩

𝑖𝑖) are loc formula ‖𝛼u‖ = |𝛼|·‖u‖ pentru norma unui vector scalat cu 𝛼 ∈ R𝑖𝑖𝑖) ⟨u + v,w⟩ = ⟨u,w⟩+⟨v,w⟩ produsul scalar este distributiv fata de adunare𝑖𝑣) ⟨u,v + w⟩ = ⟨u,v⟩ + ⟨u,w⟩𝑣) u× v = −v × u𝑣𝑖) (u+v)×w = u×w+v×w produsul vectorial este distributiv fata de adunarea𝑣𝑖𝑖) u× u = 0𝑣𝑖𝑖𝑖) (u,v,w) = ⟨u,v ×w⟩ legatura dintre cele 3 produse

Algoritmul de ortogonalizare Gram-Schmidt

Fie 𝐵 = {u1,u2,u3, . . .u𝑛} ∈ R𝑛 o baza a spatiului. Putem construi obaza ai carei vectori sunt perpendiculari doi cate doi ( baza ortogonala) in felulurmator:

v1 = u1,

v2 = u2 − projv1u2 = u2 −

< u2,v1 >

< v1,v1 >v1,

v3 = u3 − projv1u3 − projv2

u3

= u3 −< u3,v1 >

< v1,v1 >v1 −

< u3,v2 >

< v2,v2 >v2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v𝑛 = u𝑛 − projv1u𝑛 − projv2

u𝑛 − ................. − projv𝑛−1u𝑛

= u𝑛 − < u𝑛,v1 >

< v1,v1 >v1 −

< u𝑛,v2 >

< v2,v2 >v2 − . . .− < u𝑛,v𝑛−1 >

< v𝑛−1,v𝑛−1 >v𝑛−1

Se obtine astfel o baza ortogonala 𝐵′ = {v1,v2,v3, . . . ,v𝑛}

< v𝑖,v𝑗 >= 0, 𝑖 = 𝑗,

si una ortonormata 𝐵′′ ={e1 = v1

‖v1‖ , e2 = v2

‖v2‖ , . . . , e𝑛 = v𝑛

‖v𝑛‖

}ai carei vec-

tori sunt perpendiculari si de lungime 1.

5

Coordonatele unui vector relativ la o baza ortogonala

∙ avand o baza ortogonala oarecare 𝐵 = {v1,v2, . . .v𝑛} in R𝑛 coordonatelelui u in baza 𝐵 sunt obtinute direct prin formula:

[u]𝐵 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⟨u,v1⟩⟨v1,v1⟩⟨u,v2⟩⟨v2,v2⟩

. . .

⟨u,v𝑛⟩⟨v𝑛,v𝑛⟩

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Proiectia unui vector pe un subspatiu vectorial

∙ In cazul 3-dimensional putem sa gasim usor o formula pentru vectorulproiectie proj𝑊𝑢 a unui vector dat 𝑢 pe un plan 𝑊 , plecand de la teoremacelor trei perpendiculare:

proj𝑊𝑢 = proj𝑣1𝑢 + proj𝑣2𝑢

=⟨𝑢, 𝑣1⟩⟨𝑣1, 𝑣1⟩

𝑣1 +⟨𝑢, 𝑣2⟩⟨𝑣2, 𝑣2⟩

𝑣2

unde 𝑣1, 𝑣2 formeaza o baza ortogonala a lui 𝑊 .∙ rezultatul se poate generaliza la proiectia unui vector oarecare 𝑢 ∈ R𝑛

pe un subspatiu vectorial oarecare 𝑊 , avand nevoie doar de o baza ortogonala{𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛} a lui 𝑊 :

proj𝑊𝑢 = proj𝑣1𝑢 + proj𝑣2𝑢 + . . . + proj𝑣𝑛𝑢

=⟨𝑢, 𝑣1⟩⟨𝑣1, 𝑣1⟩

𝑣1 +⟨𝑢, 𝑣2⟩⟨𝑣2, 𝑣2⟩

𝑣2 + . . . +⟨𝑢, 𝑣𝑛⟩⟨𝑣𝑛, 𝑣𝑛⟩

𝑣𝑛

Complementul ortogonal al unui subspatiu

∙ orice subspatiu 𝑊 ⊂ R𝑛 admiteun subspatiu complementar ortogonal𝑊⊥ care este perpendicular pe oricevector din 𝑊 :

𝑊⊥ = {u ∈ R𝑛 : u ⊥ w,pentru orice w ∈ 𝑊}

6

si care satisface proprietatea

𝑊 ⊕𝑊⊥ = R𝑛

adica orice vector din R𝑛 se descompune intr-o componenta din 𝑊 si una din𝑊⊥.

Curba care aproximeaza un nor de puncte

Sonda Magellan, denumita si Sondade Cartografiere a planetei Venus prinUnde Radar, a fost o sonda spat, ialarobot avand o greutate de 1.035 kilo-grame, lansata de NASA la 4 mai 1989,ca sa cartografieze suprafata planeteiVenus prin tehnica radar s, i sa masoaregravitatia planetei. A fost prima mi-siune interplanetara lansata de pe onaveta spat, iala.

In 5 octombrie 1991 sonda Magel-lan a intrat in atmosfera lui Venus sia transmis informatii despre temper-atura 𝑇 (exprimata in grade Kelvin),in functie de altitudinea ℎ la care seafla (km). La aproximativ 30 km desol NASA a pierdut controlul sondei

ramanand astfel fara cea mai de pret informatie: temperatura la nivelul soluluipe planeta Venus.

In momentul prelucrarii datelor informatiile primite de la sonda au fostreprezentate sub forma unor puncte (ℎ𝑖, 𝑇𝑖), indicand altitudinea si temper-atura in momentul 𝑖. Vizualizand astfel datele a fost cautata o curba 𝑇 = 𝑓(ℎ)care sa aproximeze cel mai bine norul de puncte obtinut. In final a fost gasitadreapta de ecuatie:

𝑇 = 𝑓(ℎ) = 737, 5 − 8, 125 · ℎ

intrucat norul de puncte (ℎ𝑖, 𝑇𝑖) arata ca cel de jos:

7

Astfel, considerand ℎ = 0, cercetatorii NASA au putut aproxima temper-atura la nivelul solului ca fiind 𝑇 ≈ 737.5∘𝐾. Aceasta valoare a fost apoiverificata cu ocazia altor survolari ale planetei Venus. Valoarea medie acceptataastazi este de 740∘𝐾 (adica 467∘𝐶).

Metoda celor mai mici patrate:

Vom exemplifica in cele ce urmeaza metoda prin care putem sa gasim curbacare aproximeaza un nor de puncte (𝑥𝑖, 𝑦𝑖). Sa presupunem ca dorim sa gasimo relatie intre doua variabile 𝑥 si 𝑦 (temperatura si altitudinea in exemplulanterior) si in urma unor masuratori am obtinut datele:

(𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), . . . , (𝑥𝑛, 𝑦𝑛)

intelegand ca atunci cand variabila 𝑥 a avut valoarea 𝑥1 variabila 𝑦 a avutvaloarea corespunzatoare 𝑦1, etc. Daca reprezentam aceste puncte intr-un reperXOY ideea este sa gasim o functie 𝑓 , al carei grafic sa aproximeze cat mai binenorul de puncte obtinut. Daca vom fi gasit o astfel de functie vom putea saobtinem noi infromatii despre dependenta 𝑥−−𝑦, presupunand ca se pastreazatrendul observat prin masuratori.

Matematic vorbind, am dori sa gasim relatia dintre 𝑥 si 𝑦, adica 𝑦 = 𝑓(𝑥),astfel ca erorile dintre valoarea estimata de functia f si cea inregistrata in practicasa fie cat mai mica:

𝐸 = 𝑑21 + 𝑑22 + . . . + 𝑑2𝑛 sa fie minima.

Mai jos sunt exemplificate aceste erori 𝑑𝑖 = |𝑓(𝑥𝑖)−𝑦𝑖| pentru o dependentafunctionala liniara 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥:

8

Sa presupunem ca punctele (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), . . . , (𝑥𝑛, 𝑦𝑛) par a fi situatefoarte aproape de o dreapta. Vom nota ecuatia acestei drepte cu

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥.

Daca toate punctele ar fi situate exact pe dreapta 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 atunci am aveaecuatiile:

𝑎 + 𝑏𝑥1 = 𝑦1

𝑎 + 𝑏𝑥2 = 𝑦2

. . . . . . . . . . . . . . .

𝑎 + 𝑏𝑥𝑛 = 𝑦𝑛

adica sub forma matriceala:𝑀𝑣 = 𝑢

unde

𝑀 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 𝑥1

1 𝑥2

......

1 𝑥𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , 𝑣 =

⎛⎝𝑎

𝑏

⎞⎠ si 𝑢 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑦1

𝑦2...

𝑦𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Problema este ca cel mai probabil nu vom gasi un vector v =

⎛⎝𝑎

𝑏

⎞⎠ pentru

care sa se obtina egalitate in toate ecuatiile de mai sus, caci nu toate punctelepot fi pe aceeasi dreapta 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥, si atunci vom cauta un vector v pentrucare diferenta dintre membrul stang 𝑀𝑣 si membrul drept u sa fie minima. Maiexact modulul vectorului coloana

𝑢−𝑀𝑣 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑑1

𝑑2...

𝑑𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠sa fie minimin, adica ‖𝑢−𝑀v‖ =

√𝑑21 + 𝑑22 . . . + 𝑑2𝑛 sa aiba cea mai mica valoare

posibila.Coloanele 𝑐1, 𝑐2 ale matricei 𝑀 formeaza un subspatiu vectorial al lui R𝑛

numit 𝑐𝑜𝑙(𝑀)𝑐𝑜𝑙(𝑀) := {𝛼1𝑐1 + 𝛼2𝑐2 : 𝛼1, 𝛼2 ∈ R}

Se poate observa usor ca daca ne imaginam matricea 𝑀 ca o colectie de douacoloane atunci avem relatia

𝑀𝑣 = 𝑎 · 𝑐1 + 𝑏 · 𝑐2

deci 𝑀𝑣 este un vector din spatiul 𝑐𝑜𝑙(𝑀).Acum problema aflarii lui 𝑣 poate fi regandita in felul urmator: gasiti un

vector 𝑤 = 𝑀𝑣 in subspatiul 𝑊 := 𝑐𝑜𝑙(𝑀) pentru care distanta ‖𝑢 − 𝑤‖ este

9

minima. Dar dist(𝑢,𝑤) = ‖𝑢 − 𝑤‖ este minima exact atunci cand coincide cudistanta de la vectorul 𝑢 la subspatiul 𝑐𝑜𝑙(𝑀), caci prin definitie distanta de laun vector 𝑢 la un subspatiu vectorial 𝑊 este:

𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑢,𝑊 ) := inf{ ‖𝑢− 𝑤‖ : 𝑤 ∈ 𝑊} = ‖𝑢− proj𝑊𝑢‖

Relatia de mai sus este usor de vizualizat daca vom considera cazul particularcand 𝑊 este un spatiul 2-dimensional (un plan) si 𝑢 un punct din R3 :

𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑢,𝑊 ) = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑢,proj𝑊𝑢) = ‖𝑢− proj𝑊𝑢‖ = ‖𝑢− ��‖

In concluzie pentru a afla dreapta care aproximeaza norul de puncte trebuiesa rezolvam sistemul:

𝑀𝑣 = proj𝑐𝑜𝑙(𝑀)𝑢

=⇒ se poate arata ca rezolvarea acestui sistem este echivalenta cu re-zolvarea sistemului normal

𝑀 𝑡𝑀𝑣 = 𝑀 𝑡𝑢

asociat sistemului 𝑀𝑣 = 𝑢.∙ daca matricea 𝑀 are toate coloanele liniar independente atunci 𝑀 𝑡𝑀 este

inversabila si:

𝑣 = (𝑀 𝑡𝑀)−1𝑀 𝑡𝑢

In mod analog daca vom cauta o relatie de tipul 𝑦 = 𝑓(𝑥) intre cele douavariabile vom ajunge la ecuatiile:

𝑎 + 𝑏𝑥1 + 𝑐𝑥21 = 𝑦1

𝑎 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥22 = 𝑦2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝑎 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐𝑥2𝑛 = 𝑦𝑛

Remarca:

10

si apoi la forma matriceala 𝑀𝑣 = 𝑢 pentru:

𝑀 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 𝑥1 𝑥2

1

1 𝑥2 𝑥22

......

1 𝑥𝑛 𝑥2𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , 𝑣 =

⎛⎜⎜⎜⎝𝑎

𝑏

𝑐

⎞⎟⎟⎟⎠ si 𝑢 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝𝑦1

𝑦2...

𝑦𝑛

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Probleme rezolvate

Problema 1. Se dau punctele 𝐴(4,−2, 2), 𝐵(3, 1, 1), 𝐶(4, 2, 0) si𝐷(0, 0, 9). Sa se calculeze lungimea inaltimii din 𝐷.

Solutie: Calculam inaltimea folosind formula:

𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 =ℎ · 𝒜𝐴𝐵𝐶

3

unde 𝒜𝐴𝐵𝐶 este aria triunghiului ∆𝐴𝐵𝐶.Volumul tetraedrului este 1

6 din volumul paralelipipedului determinat de

catre vectorii−−→𝐴𝐵,

−→𝐴𝐶,

−−→𝐴𝐷:

𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑖𝑝𝑖𝑝𝑒𝑑 = |(−−→𝐴𝐵,

−→𝐴𝐶,

−−→𝐴𝐷)|

si pentru a aplica aceasta formula avem nevoie de coordonatele vectorilor impli-cati. Astfel:

−−→𝐴𝐵 = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴, 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴) = (−1, 3,−1)

si analog−→𝐴𝐶 = (0, 4,−2),

−−→𝐴𝐷 = (−4, 2, 7), deci produsul mixt este:

(−−→𝐴𝐵,

−→𝐴𝐶,

−−→𝐴𝐷) =

−1 3 −1

0 4 −2

−4 2 7

= −24

si volumul cautat va fi 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 = 16 · | − 24| = 4

Pentru a calcula aria triunghiului 𝐴𝐵𝐶 vom folosi aria paralelogramului dincare face parte

𝒜Δ𝐴𝐵𝐶 =1

2‖−−→𝐴𝐵 ×

−→𝐴𝐶‖ jumatate din aria paralelogramului

Prin calcul se obtine:

−−→𝐴𝐵 ×

−→𝐴𝐶 =

�� 3�� 𝑘

1 3 −1

0 4 −2

= −2𝑖−2��−4𝑘

11

si ‖−−→𝐴𝐵 ×

−→𝐴𝐶‖ =

√(−2)2 + (−2)2 + (−4)2 = 2

√6 deci in final 𝒜Δ𝐴𝐵𝐶 =

√6

Folosind formula din prima parte gasim:

ℎ =3 · 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷

𝒜Δ𝐴𝐵𝐶=

3 · 4√6

= 2√

6

Problema 2. Transformati baza

𝐵 = {𝑣1 = (1, 0, 0), 𝑣2 = (1, 1,−1), 𝑣3 = (1, 1, 1)}

intr-o baza ortonormata prin procedeul Gram-Schmidt.

Solutie: Prin procedeul Gram-Schmidt se obtin vectorii 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 ortogonali:

𝑢1 = 𝑣1,

𝑢2 = 𝑣2 − proj𝑢1𝑣2 = 𝑣2 −

< 𝑣2, 𝑢1 >

< 𝑢1, 𝑢1 >𝑢1,

𝑢3 = 𝑣3 − proj𝑢1𝑣3 − proj𝑢2

𝑣3

= 𝑣3 −< 𝑣3, 𝑢1 >

< 𝑢1, 𝑢1 >𝑢1 −

< 𝑣3, 𝑢2 >

< 𝑢2, 𝑢2 >𝑢2,

Obtinem prin calcul:

𝑢1 = (1, 0, 0), 𝑢2 = (0, 1,−1), 𝑢3 = (0, 1, 1)

care formeaza o baza ortogonala iar pentru a forma o baza ortonormata trebuiesa impartim fiecare vector la lungimea sa si gasim:

𝑒1 =𝑢1

‖𝑢1‖= (1, 0, 0), 𝑒2 =

𝑢2

‖𝑢2‖=

1√2

(0, 1,−1), 𝑒3 =𝑢3

‖𝑢3‖= (0, 1, 1)

Problema 3. In spatiul euclidian R3 se considera subspatiul:

𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 : 3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0}

i) Sa se determine o baza ortonormata in 𝑉

ii) Sa se determine 𝑉 ⊥ si o baza a sa

Solutie: i) Subspatiul dat este un plan care trece prin origine. Pentru aputea lucra cu acest subspatiu este necesar sa cunoastem structura unui vectoroarecare al acestuia =⇒ aflam forma generala a solutiilor ecuatiei 3𝑥+𝑦−𝑧 = 0,pe care eventual o interpretam ca fiind un sistem liniar cu o singura ecuatie sitrei necunoscute. Se gaseste usor ca:

𝑉 = {(𝛼, 𝛽, 3𝛼 + 𝛽) : 𝛼, 𝛽 ∈ IR}

Asadar orice vector 𝑣 ∈ 𝑉 este de forma:

𝑣 = (𝛼, 𝛽, 3𝛼 + 𝛽) = 𝛼(1, 0, 3) + 𝛽(0, 1, 1) = 𝑠𝑝𝑎𝑛{(1, 0, 3), (0, 1, 1)}

12

prin urmare (1, 0, 3) si (0, 1, 1) sunt generatori ai spatiului 𝑉. Se verifica usor cacei doi vectori (1, 0, 3) si (0, 1, 1) sunt liniar independenti deci 𝐵 = {(1, 0, 3), (0, 1, 1)}este o baza a lui 𝑉 . Amintim urmatorul rezultat:

Lema: O multime de 𝑘 vectori {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑘} genereaza un spatiu vecto-rial de dimensiune cel mult 𝑘. O multime de 𝑘 vectori {𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑘} liniarindependenti genereaza un spatiu de dimensiune exact 𝑘.

Baza 𝐵 gasita nu este ortogonala caci ⟨(1, 0, 3), (0, 1, 1)⟩ = 3 = 0 si vomfolosi procedeul Gram-Schmidt pentru a transforma acesti doi vectori in vectoriortogonali. Notam 𝑣1 = (1, 0, 3) si 𝑣2 = (0, 1, 1) conform procedeului avem defacut transformarile:

𝑢1 = 𝑣1

𝑢2 = 𝑣2 −⟨𝑣2, 𝑢1⟩⟨𝑢1, 𝑢1⟩

𝑢1

Facand calculele gasim 𝑢1 = (1, 0, 3) si 𝑢2 = (− 310 , 1,

310 ) care formeaza o baza

ortogonala. Pentru a obtine o baza ortonormala trebuie sa potrivim lungimileacestor vectori impartind pe fiecare la lungimea sa:

𝑒1 =𝑢1

‖𝑢1‖=

1√10

(1, 0, 3)

𝑒2 =𝑢2

‖𝑢2‖=

10√110

(− 3

10, 1,

3

10

)Vectorii 𝑒1, 𝑒2 vor fi ortogonali si de lungime 1 =⇒ baza ortonormata

ii) Deoarece 𝑑𝑖𝑚 𝑉 + 𝑑𝑖𝑚 𝑉 ⊥ = dimR3 = 3 ne asteptam ca 𝑉 ⊥ sa fie unspatiu 1-dimensional din moment ce 𝑉 este 2-dimensional. Tinand cont de formasubspatiilor 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣} mentionata in fisa seminaruluui 2 putem sa anticipam usorca 𝑉 ⊥ este o dreapta care trece prin origine si este perpendiculara pe planul 𝑉 .Putem verifica aceste informatii prin calcul:

𝑉 ⊥ := {w ∈ R3 : ⟨w, 𝑣⟩ = 0,pentru orice 𝑣 ∈ 𝑉 }

Pentru a fi perpendicular pe 𝑉 este suficient ca w = (𝑤1, 𝑤2, 𝑤3) sa fie perpen-dicular pe vectorii bazei 𝐵, care genereaza 𝑉 :

𝑤 ⊥ (1, 0, 3) =⇒ ⟨(𝑤1, 𝑤2, 𝑤3), (1, 0, 3)⟩ = 0 adica 𝑤1 + 3𝑤3 = 0

𝑤 ⊥ (0, 1, 1) =⇒ ⟨(𝑤1, 𝑤2, 𝑤3), (0, 1, 1)⟩ = 0 adica 𝑤2 + 𝑤3 = 0

Din aceste ecuatii obtinem w = (3𝛼, 𝛼,−𝛼), unde 𝛼 ∈ R, adica ecuatiaparametrica a unei drepte din R3 care trece prin originea reperului.

Asadar:

𝑉 ⊥ = {(3𝛼, 𝛼,−𝛼) : 𝛼 ∈ R} = 𝑠𝑝𝑎𝑛{(3, 1,−1)}

Se verifica usor ca pentru 𝛼 = 0 obtinem (0, 0, 0) ∈ 𝑉 ⊥ si prin constructie𝑉 ⊥ ⊥ 𝑉 caci directia dreptei este data de vectorul (3, 1,−1) care este perpen-dicular pe doi vectori situati in plan (3, 0, 1) si (0, 1, 1)

13

Problema 4. Aflati proiectia punctului 𝐴(2, 1, 1) pe planul:

𝜋 : 𝑥− 2𝑦 − 2𝑧 = 5.

Solutie: Problema poate fi rezolvata in multiple moduri dar aici dorim saevidentiam rolul proiectiilor ortogonale si vom da o solutie vectoriala.

Sa consideram pentru inceput un punct 𝑃 in planul dat. Putem alege𝑃 (1,−2, 0) caci coordonatele sale satisfac ecuatia planului. Notam cu 𝐴′ proiec-tia lui 𝐴 pe planul dat.

Metoda 1: Putem afla coordonatele lui 𝐴′ daca aflam coordonatele vec-torului 𝑃𝐴′. Evident 𝑃𝐴′ = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝜋𝑃𝐴 iar pentru a afla proiectia pe plan alvectorului 𝑃𝐴 avem nevoie, conform celor precizate in sectiunea de teorie, de doivectori perpendiculari din 𝜋. Ii vom construi folosind procedeul Gram-Schmidt.

Alegem intai la intamplare doi vectori din 𝜋 si apoi ii vom trasnforma con-form algoritmului in doi vectori ortogonali. Se gasesc usor 𝑄(1,−1,−1) si𝑅(5, 0, 0) doua puncte din 𝜋 si apoi formam vectorii 𝑣1 = 𝑃𝑄 = (0, 1,−1)si 𝑣2 = 𝑃𝑅 = (4, 2, 0). Evident 𝑣1 nu e perpendicular pe 𝑣2 caci ⟨𝑣1, 𝑣2⟩ = 0.Fie asadar:

𝑢1 = 𝑣1 = (0, 1,−1)

𝑢2 = 𝑣2 − proj𝑢1𝑣2 = (4, 2, 0) − 2

2(0, 1,−1) = (4, 1, 1)

Acum doarece 𝑃𝐴 = (1, 3, 1) si obtinem, folosind formula de proiectare peun subspatiu vectorial:

proj𝜋𝑃𝐴 = proj𝑢1𝑃𝐴 + proj𝑢2

𝑃𝐴 = (0, 1,−1) +4

9(4, 1, 1) =

(16

9,

13

9,−5

9

)Asadar deoarece 𝑃𝐴′ = (𝑥𝐴′−𝑥𝑃 , 𝑦𝐴′−𝑦𝑃 , 𝑧𝐴′−𝑧𝑃 ) =

(169 , 13

9 ,− 59

)obtinem:⎧⎪⎨⎪⎩

𝑥𝐴′ = 𝑥𝑃 + 169 = 1 + 16

9 = 259

𝑦𝐴′ = 𝑦𝑃 + 139 = −2 + 13

9 = − 59

𝑧𝐴′ = 𝑧𝑃 − 59 = − 5

9

14

Metoda 2: Putem afla coordonatele lui 𝐴′ daca aflam coordonatele vectorului𝐴𝐴′. Pentru a utiliza aceasta informatie trebuie sa amintim ca exista o singuradirectie perpendiculara pe un plan si aceasta se numeste directia normala.Directia normala poate fi recuperata din ecuatia unui plan 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0fiind ”codata” in coeficientii variabilelor x,y,z. Asadar 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) este vectorulcare defineste directia normala la plan.

In cazul nostru �� = (1,−2,−2). Se observa pe desen ca 𝐴𝐴′ = 𝑝𝑟𝑜𝑗��𝐴𝑃.Deoarece 𝐴𝑃 = (−1,−3,−1) obtinem:

𝑝𝑟𝑜𝑗��𝐴𝑃 =⟨(−1,−3,−1), (1,−2,−2)⟩⟨(1,−2,−2), (1,−2,−2)⟩

(1,−2,−2) =

(7

9,−14

9,−14

9

)⎧⎪⎨⎪⎩𝑥𝐴′ = 𝑥𝐴 + 7

9 = 2 + 79 = 25

9

𝑦𝐴′ = 𝑦𝐴 − 149 = 1 − 14

9 = − 59

𝑧𝐴′ = 𝑧𝐴 − 149 = 1 − 14

9 = − 59

Probleme propuse

A. Consolidare cunostinte

Problema A.1. a) Demonstrati inegalitatea Minkowski:√(𝑎1 + 𝑏1)2 + (𝑎2 + 𝑏2)2 + (𝑎3 + 𝑏3)2 ≤

√𝑎21 + 𝑎22 + 𝑎23 +

√𝑏21 + 𝑏22 + 𝑏23,

folosind argumente geometrice.

b) Demonstrati inegalitea Cauchy-Buniakovski-Schwarz:

(𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3)2 ≤ (𝑎21 + 𝑎22 + 𝑎23)(𝑏21 + 𝑏22 + 𝑏23)

folosind argumente geometrice.

Problema A.2. Determinati ecuatia dreptei care contine punctele 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴)si 𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) utilizand pe rand cele trei produse introduse in aceasta fisa. Aflatiun vector din R3 perpendicular pe orice vector din planul 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0.

Problema A.3. Aratati ca vectorii 𝑢 si 𝑣 sunt ortogonali daca si numai dacaare loc teorema lui Pitagora:

‖𝑢‖2 + ‖𝑣‖2 = ‖𝑢 + 𝑣‖2, 𝑢, 𝑣 ∈ R𝑛.

Problema A.4. Demonstrati identitatea lui Lagrange:

‖𝑢× 𝑣‖2 = ‖𝑢‖2‖𝑣‖2 − ⟨𝑢, 𝑣⟩2, 𝑢, 𝑣 ∈ R3

in cel putin doua moduri.

15

Problema A.5. Aratati ca au loc identitatile Grassmann:

u× (v ×w) = ⟨u,w⟩v − ⟨u,v⟩w

(u× v) ×w = ⟨u,w⟩v − ⟨v,w⟩u, u,v,w ∈ R3

si deduceti apoi relatia lui Jacobi:

u× (v ×w) + v × (w × u) + w × (u× v) = 0

B. Tehnica de calcul

Problema B.1. a) Fie 𝑊 dreapta din R2 de ecuatie 𝑦 = 2𝑥. Aflati ecuatiacare defineste multimea 𝑊⊥.

b) Fie multimea 𝑊 data in R3 prin ecuatia 𝑥2 = 𝑦

3 = 2𝑧. Aflati multimea𝑊⊥.

c) Fie 𝑊 planul dat de ecuatia 𝑥−2𝑦−3𝑧 = 0 in spatiul euclidian R3. Aflatio ecuatie parametrica pentru 𝑊⊥

Problema B.2. In R3 considerati planul 𝑈 care trece prin originea reperuluiOxyz si este generat de vectorii 𝑢1 = (1, 1, 1) si 𝑢2 = (2, 0,−1). Exprimativectorul 𝑤 = (1, 2, 3) sub forma 𝑤 = 𝑤1 + 𝑤2, unde 𝑤1 ∈ 𝑈 si 𝑤2 ∈ 𝑈⊥

Problema B.3. Sa se arate ca vectorii 𝑢 = 2𝑖− 6��, 𝑣 = �� + 7�� si 𝑤 = −3𝑖− ��formeaza laturile unui triunghi si sa se determine unghiurile acestui triunghi.

Problema B.4. Fie hyperplanul:

𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ R4 : 2𝑥− 𝑦 − 5𝑧 + 2𝑡 = 0}

Sa se determine trei directii care genereaza acest hyperplan precum si comple-mentul sau ortogonal 𝑈⊥ in spatiul euclidian R4

Problema B.5. Sa se determine inaltimea triunghiului 𝐴𝐵𝐶 si aria acestuiadaca se stiu:

i) varfurile sale 𝐴(1, 1, 2), 𝐵(2, 2, 1) si 𝐶(1, 2, 1)

ii)−−→𝐴𝐵 = �� + �� − 𝑘 si

−→𝐴𝐶 = 2𝑖− �� + 3𝑘

Problema B.6. Utilizand procedeul Gram-Schmidt transformati baza 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3}intr-una ortogonala, pentru vectorii:

i) 𝑣1 = (2, 1, 2), 𝑣2 = (3, 3, 0), 𝑣3 = (1,−1,−5)

ii) 𝑣1 = (1, 0, 1), 𝑣2 = (−2, 1, 0), 𝑣3 = (1, 1,−1)

16

Problema B.7. Aflati coordonatele vectorului 𝑤 = (1, 1, 1) relativ la bazeleortogonale gasite in problema anterioara.

Problema B.8. Sa se arate ca 𝑈1 ⊕ 𝑈2 = R3 dar 𝑈2 = 𝑈⊥1 , unde:

𝑈1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 : 𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 0}

𝑈2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ R3 : 𝑥 + 𝑧 = 0 si 3𝑦 + 𝑧 = 0}

C. Probleme cu caracter practic-aplicativ

Problema C.1. Diagrama Herzsprung-Russell arata dependenta dintre magni-tudinile absolute si temperaturile efective de la suprafata stelelor:

Pentru un grup de stele din sirul principal al diagramei astronomii au inregistratcu ajutorul telescopului Keck urmatoarele date:

(+5, 5000∘𝐾), (+10, 3000∘𝐾), (0, 10000∘𝐾), (−5, 25000∘𝐾), (+6, 7500∘𝐾)

Cautati o curba care aproximeaza aceste date.

Indicatie: Incercati un model liniar 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 · 𝑥 si apoi unul parabolic𝑦 = 𝑎 + 𝑏 · 𝑥 + 𝑐 · 𝑥2

17

Bibliografie:

[1] http://blogs.esa.int/rocketscience/2015/02/05/the-facts-on-reentry-accurate-navigation-is-everything/

[2] David Lay, Linear Algebra and its applications, Addison-Wesley, 2012.

[3] Howard Anton, Chirs Rorres, Elementary linear algebra, Willey, 2014.

[4] James Stewart, Calculus, Cengage Learning, 2016.

[5] Susan Jane Colley, Vector Calculus, Pearson, 2012.

18