ginzburg-landau handling the non-normalitytcm.ida.upmc.fr/telechargements/denissipp - gl.pdf ¡...
TRANSCRIPT
Ginzburg-Landau Handling the non-normality
Forced nonparallel, nonlinear Ginzburg-Landau equation:
đđĄđ¤ + đđđĽđ¤ + đ¤ đ¤ 2 = đ đĽ đ¤ + đžđđĽđĽđ¤ + đ(đĽ, đĄ) đ đĽ := đđ0 + đ0 â đžđ
4đĽ2 đ¤ â 0 as x â Âąâ
and U, đž, đ0, đ0, đ are positive real constant, đ(đĽ, đĄ) a âweakâ forcing
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau 1/23
Ginzburg-Landau Change of variables
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
We consider the following change of varibles:
đ˘ = đžđ2đĄ đŚ = đđĽ
đ¤ đĽ, đĄ = đ§ đŚ, đ˘ đđ2đžđđŚâ
đŚ2
2 Show that:
đđ˘đ§ âđ2đ§
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§
đđŚâ
đđ0 + đ0 âđ2
4đž
đžđ2â 1 đ§ + đ§ đ§ 2
đđđžđđŚâđŚ
2
đžđ2= đ đŚ, đ˘
đâđ2đžđđŚ+
đŚ2
2
đžđ2
2/23
Ginzburg-Landau Change of variables
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
đ¤(đĽ, đĄ) = đ§(đŚ, đ˘)đđ2đžđđŚâ
đŚ2
2
đđĽđ¤ = đđđŚđ¤ = đđđ§
đđŚ+ đ§
đ
2đžđâ đŚ đ
đ2đžđđŚâ
đŚ2
2
đđĽđĽđ¤ = đ2đ2đ§
đđŚ2+đđ§
đđŚ
đ
2đžđâ đŚ â đ§ +
đđ§
đđŚ+ đ§
đ
2đžđâ đŚ
đ
2đžđâ đŚ đ
đ2đžđđŚâ
đŚ2
2
= đ2đ2đ§
đđŚ2+đđ§
đđŚ
đ
2đžđâ đŚ +
đ
2đžđâ đŚ + đ§
đ2
4đž2đ2+ đŚ2 â
đ
đžđđŚ â 1 đ
đ2đžđđŚâ
đŚ2
2
đđĄđ¤ = đžđ2đđ˘đ§đđ2đžđđŚâ
đŚ2
2
3/23
Ginzburg-Landau Change of variables
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
đđĄđ¤ + đđđĽđ¤ â đđ0 + đ0 â đžđ4đĽ2 đ¤ â đžđđĽđĽđ¤ + đ¤ đ¤ 2 = đ(đĽ, đĄ)
â đžđ2đđ˘đ§đđ2đžđđŚâ
đŚ2
2 + đđđđ§
đđŚ+ đ§
đ
2đžđâ đŚ đ
đ2đžđđŚâ
đŚ2
2 â đđ0 + đ0 â đžđ4đŚ2
đ2đ§đ
đ2đžđđŚâ
đŚ2
2
â đžđ2đ2đ§
đđŚ2+đđ§
đđŚ
đ
2đžđâ đŚ +
đ
2đžđâ đŚ + đ§
đ2
4đž2đ2+ đŚ2 â
đ
đžđđŚ â 1 đ
đ2đžđđŚâ
đŚ2
2
+ đ§ đ§ 2đ3đ2đžđđŚâ
3đŚ2
2 = đ đŚ, đ˘
â đđ˘đ§ +đ
đžđ
đđ§
đđŚ+ đ§
đ
2đžđâ đŚ â
đđ0 + đ0đžđ2
â đŚ2 đ§
âđ2đ§
đđŚ2+đđ§
đđŚ
đ
đžđâ 2đŚ + đ§
đ2
4đž2đ2+ đŚ2 â
đ
đžđđŚ â 1 + đ§ đ§ 2
đđđžđđŚâđŚ2
đžđ2
= đ đŚ, đ˘đâđ2đžđđŚ+
đŚ2
2
đžđ2
4/23
Ginzburg-Landau Change of variables
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
â đđ˘đ§ â đ2đ§
đđŚ2+đđ§
đđŚ
đ
đžđâ 2đŚ â
đ
đžđ
+ đ§đ2
4đž2đ2+ đŚ2 â
đ
đžđđŚ â 1 +
đđ0 + đ0đžđ2
â đŚ2 âđ
đžđ
đ
2đžđâ đŚ
+1
đžđ2đ§ đ§ 2đ
đđžđđŚâđŚ2
=đ đŚ, đ˘
đžđ2 đâđ2đžđ
đŚ+đŚ2
2
â đđ˘đ§ âđ2đ§
đđŚ2â 2đŚ
đđ§
đđŚ+ đ§ â
đ2
4đž2đ2â 1 +
đđ0 + đ0đžđ2
+1
đžđ2đ§ đ§ 2đ
đđžđđŚâđŚ2
=đ đŚ, đ˘
đžđ2 đâđ2đžđđŚ+
đŚ2
2
â đđ˘đ§ âđ2đ§
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§
đđŚâ
đđ0 + đ0 âđ2
4đž
đžđ2â 1 đ§ + đ§ đ§ 2
đđđžđđŚâđŚ
2
đžđ2= đ đŚ, đ˘
đâđ2đžđđŚ+
đŚ2
2
đžđ2
5/23
Ginzburg-Landau Eigenvalues/eigenvectors
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
Show that the normal modes Eigenvalues: đ§ = đ§ đŚ đđđ˘ of the linear opeartor:
đđ˘đ§ âđ2đ§
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§
đđŚâ
đđ0+đ0âđ2
4đž
đžđ2â 1 đ§ =0
Are:
đ§ đ = đđđťđ đŚ , đđ = 2đđ! đ â1/2
đđ =đđ0 + đ0 â
đ2
4đž
đžđ2â 1 â 2đ
The normalization coefficients đđ have been chosen such that:
đ§ đ, đ§ đ = 1
đ§1, đ§2 = đ§1 đ§2đâđŚ2đđŚ
+â
ââ
Hermite polynomials: đť0(đŚ) = 1, đť1(đŚ) = 2đŚ,âŚ
6/23
Ginzburg-Landau Eigenvalues/eigenvectors
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
đđ˘đ§ âđ2đ§
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§
đđŚâ
đđ0+đ0âđ2
4đž
đžđ2â 1 đ§ =0
Eigenvalues: đ§ = đ§ đŚ đđđ˘
đđ§ âđ2đ§
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§
đđŚâ
đđ0+đ0âđ2
4đž
đžđ2â 1 đ§ =0
âđ2đ§
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§
đđŚâ
đđ0+đ0âđ2
4đž
đžđ2â 1 â đ
=2đ
đ§ =0
đ§ đ = đđđťđ đŚ , đť0 = đ0, đť1 = 2đ1đŚ,âŚ
đđ0 + đ0 âđ2
4đž
đžđ2â 1 â đđ = 2đ â đđ =
đđ0 + đ0 âđ2
4đž
đžđ2â 1 â 2đ
Normalization coefficient such that: đ§ đ, đ§ đ = 1, đ§1, đ§2 = đ§1 đ§2đâđŚ2đđŚ
+â
ââ
đ§ đ, đ§ đ = 1 â đđđťđ đŚ đđđťđ đŚ đâđŚ2đđŚ
+â
ââ
= 1 â đđ2 = đťđ đŚ đťđ đŚ đ
âđŚ2đđŚ+â
ââ
â1
= 2đđ! đ â1 7/23
Ginzburg-Landau Adjoint operator
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
Let:
âłđ§ = âđ2đ§
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§
đđŚâ
đđ0 + đ0 âđ2
4đž
đžđ2â 1 đ§
Considering the scalar-product:
đ§1, đ§2 = đ§1 đ§2đâđŚ2đđŚ
+â
ââ
Show that the adjoint operator âł verifying
đ§1,âłđ§2 = âł đ§1, đ§2 Is:
âł đ§ = âđ2đ§
đđŚ2 + 2đŚ
đđ§
đđŚ â
âđđ0 + đ0 âđ2
4đž
đžđ2â 1 đ§
Show that âł is normal (âł âł= âłâł ), so that the normal mode basis is orthogonal with respect to đ§1, đ§2 .
8/23
Ginzburg-Landau Adjoint operator
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
đ§1,âłđ§2 = đ§1 2đŚđđ§2đđŚ
đâđŚ2â đ§1
đđ0 + đ0 âđ2
4đž
đžđ2â 1 đ§2đ
âđŚ2 â đ§1 đ2đ§2đđŚ2
đâđŚ2đđŚ
+â
ââ
= âđ
đđŚđ§12đŚđ
âđŚ2 đ§2 ââđđ0 + đ0 â
đ2
4đž
đžđ2â 1 đ§1đ§2đ
âđŚ2+â
ââ
âđ2
đđŚ2đ§1đ
âđŚ2 đ§2 đđŚ
9/23
Ginzburg-Landau Adjoint operator
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
đ§1,âłđ§2 =
= â
đđ§1đđŚ
2đŚđâđŚ2+ đ§12đ
âđŚ2 â 2đŚđ§12đŚđâđŚ2 đ§2
+â
ââ
ââđđ0 + đ0 â
đ2
4đž
đžđ2â 1 đ§1đ§2đ
âđŚ2
âđ2đ§1đđŚ2
đâđŚ2â 2đŚ
đđ§1đđŚ
đâđŚ2â 2đ§1đ
âđŚ2 â 2đŚđđ§1đđŚ
đâđŚ2+ 4đŚ2đ§1đ
âđŚ2 đ§2 đđŚ
10/23
Ginzburg-Landau Adjoint operator
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
đ§1,âłđ§2 = đđ§1đđŚ
2đŚ đ§2 ââđđ0 + đ0 â
đ2
4đž
đžđ2â 1 đ§1đ§2 â
đ2đ§1đđŚ2
đ§2 đâđŚ2đđŚ
+â
ââ
= âł đ§1, đ§2
âł đ§1 = 2đŚđđ§1đđŚ
ââđđ0 + đ0 â
đ2
4đž
đžđ2â 1 đ§1 â
đ2đ§1đđŚ2
âłđ§ = 2đŚđđ§
đđŚâ
đđ0 + đ0 âđ2
4đž
đžđ2â 1 đ§ â
đ2đ§
đđŚ2
Normal operator:âł âł= âłâł 11/23
Ginzburg-Landau Adjoint eigenvectors
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
Show that the normal modes: đ§ = đ§ đŚ đđđ˘ of the linear opeartor:
đđ˘đ§ âđ2đ§
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§
đđŚâ
âđđ0+đ0âđ2
4đž
đžđ2â 1 đ§ =0
Are:
đ§ đ = đđđťđ đŚ , đđ = 2đđ! đ â1/2
đđ =âđđ0 + đ0 â
đ2
4đž
đžđ2â 1 â 2đ
The normalization coefficients đđ have been chosen such that:
đ§ đ, đ§ đ = 1
12/23
Ginzburg-Landau Adjoint eigenvectors
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
đđ§ +âł đ§ = 0
đđ§ + 2đŚđđ§
đđŚ â
âđđ0 + đ0 âđ2
4đž
đžđ2đ§ â
đ2đ§
đđŚ2 = 0
2đŚđđ§
đđŚ â
âđđ0 + đ0 âđ2
4đž
đžđ2â đ đ§ â
đ2đ§
đđŚ2 = 0
âđđ0 + đ0 âđ2
4đž
đžđ2â đđ = 2đ, đ§ đ = đđđťđ đŚ
Normalization coeffcient:
đ§ đ, đ§ đ = 1 â đđđťđ đŚ đđđťđ đŚ đâđŚ2đđŚ
+â
ââ
= 1 â đđ =1
đđ đťđ đŚ đťđ đŚ đâđŚ2đđŚ
+â
ââ
= đđ
13/23
Ginzburg-Landau WNL
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
There exists đ0 = đ0đ so that the least-damped normal is marginal:
đ0 =đđ0 + đ0 â
đ2
4đž
đžđ2â 1 â
đ0đ â
đ2
4đž
đžđ2â 1 = 0
We now consider a slightly supercritical parameter: đ0 = đ0
đ + đżâ˛ = đ0đ + đđż
With đ ⪠1and đż = đ(1). Considering the following forcing:
đ đĽ, đĄ = đ¸â˛đż đŚ â đŚđ đđđđđĄ
đđ = đ0 + Ίâ˛, ΊⲠ= đΊ
đ¸â˛ = đ32đ¸
If
đ§ = đ12đ§â˛
What is the equation verified by đ§â˛?
14/23
Ginzburg-Landau WNL
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
đđ˘đ§ âđ2đ§
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§
đđŚâ
đđ0 + đ0 âđ2
4đž
đžđ2â 1 đ§ + đ§ đ§ 2
đđđžđđŚâđŚ
2
đžđ2
= đ¸â˛đż đŚ â đŚđ đ
đđđđ˘
đžđ2đâđ2đžđđŚ+
đŚ2
2
đžđ2
đ˘ = đžđ2đĄ
â đđ˘đ§â˛ â
đ2đ§â˛
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§â˛
đđŚâ
đđ0 + đđż
đžđ2đ§â˛ + đđ§â˛ đ§â˛ 2
đđđžđđŚâđŚ
2
đžđ2
= đđ¸đż đŚ â đŚđ đđđ0đ˘đžđ2 đ
đđΊđ˘đžđ2
đâđ2đžđ
đŚ+đŚ2
2
đžđ2
15/23
Ginzburg-Landau WNL
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
We look for a solution under the form: đ§â˛ = đ§0
Ⲡđ˘, đ + đđ§1Ⲡđ˘, đ + âŻ
đ = đđ˘ What are the equations governing đ§0
Ⲡđ˘, đ and đ§1Ⲡđ˘, đ ?
Show that
đ§0Ⲡđ˘, đ = đ´ đ đ
đđ0đžđ2
đ˘đ§ 0 đŚ
is an acceptable solution and that đ§1
Ⲡđ˘, đ remains bounded if:
đđ´
đđ=
đż
đžđ2đ´ â đ§ 0, đ§ 0 đ§ 0
2đđđžđđŚâđŚ
2
đžđ2đ´ đ´ 2 + đ¸đ
đđΊđ˘đžđ2 đ§ 0 đŚđ
đâđ2đžđđŚđâ
đŚđ2
2
đžđ2
16/23
Ginzburg-Landau WNL
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
âđđ§0
â˛
đđ˘+ đ
đđ§0â˛
đđ+đđ§1
â˛
đđ˘+ 2đŚ
đđ§0â˛
đđŚ+ đ
đđ§1â˛
đđŚâ
đđ0 + đđż
đžđ2đ§0Ⲡ+ đđ§1
Ⲡâđ2đ§0
â˛
đđŚ2+ đ
đ2đ§1â˛
đđŚ2
+ đđ§0Ⲡđ§0
Ⲡ2đđđžđđŚâđŚ
2
đžđ2= đđ¸đż đŚ â đŚđ đ
đđ0đ˘đžđ2 đ
đđΊđ˘đžđ2
đâđ2đžđđŚ+
đŚ2
2
đžđ2
Order 1:
đđ§0â˛
đđ˘âđ2đ§0
â˛
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§0â˛
đđŚâđđ0đžđ2
đ§0Ⲡ= 0
Order đ:
đđ§0â˛
đđ+đđ§1
â˛
đđ˘âđ2đ§1
â˛
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§1â˛
đđŚâđđ0đžđ2
đ§1Ⲡâ
đż
đžđ2đ§0Ⲡ+ đ§0
Ⲡđ§0Ⲡ2đđđžđđŚâđŚ
2
đžđ2
= đ¸đż đŚ â đŚđ đđđ0đ˘đžđ2 đ
đđΊđ˘đžđ2
đâđ2đžđđŚ+
đŚ2
2
đžđ2
đ§â˛ = đ§0Ⲡđ˘, đ + đđ§1
Ⲡđ˘, đ + ⯠â đđ˘đ§â˛ =
đđ§0â˛
đđ˘+ đ
đđ§0â˛
đđ+đđ§1
â˛
đđ˘+ âŻ
17/23
Ginzburg-Landau WNL
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
Order 1:
đđ§0â˛
đđ˘+ 2đŚ
đđ§0â˛
đđŚâđđ0đžđ2
đ§0Ⲡâ
đ2đ§0â˛
đđŚ2= 0
â đ§0Ⲡ= đ´ đ đ
đđ0đžđ2
đ˘đ§ 0 đŚ
18/23
Ginzburg-Landau WNL
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
Order đ:
đđ§0â˛
đđ+đđ§1
â˛
đđ˘âđ2đ§1
â˛
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§1â˛
đđŚâđđ0đžđ2
đ§1Ⲡâ
đż
đžđ2đ§0Ⲡ+ đ§0
Ⲡđ§0Ⲡ2đđđžđđŚâđŚ
2
đžđ2
= đ¸đż đŚ â đŚđ đđđ0đ˘đžđ2 đ
đđΊđ˘đžđ2
đâđ2đžđđŚ+
đŚ2
2
đžđ2
âđđ§1
â˛
đđ˘âđ2đ§1
â˛
đđŚ2+ 2đŚ
đđ§1â˛
đđŚâđđ0đžđ2
đ§1â˛
= âđđ´
đđđđđ0đžđ2
đ˘đ§ 0 +
đż
đžđ2đ´đ§ 0đ
đđ0đžđ2
đ˘â đ´ đ´ 2đ§ 0 đ§ 0
2đđđ0đžđ2
đ˘ đđđžđđŚâđŚ2
đžđ2
+ đ¸đż đŚ â đŚđ đđđ0đ˘đžđ2 đ
đđΊđ˘đžđ2
đâđ2đžđ
đŚ+đŚ2
2
đžđ2
19/23
Ginzburg-Landau WNL
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
â đ§ 0, âđđ´
đđđ§ 0 +
đż
đžđ2đ´đ§ 0 â đ´ đ´
2đ§ 0 đ§ 02đđđžđđŚâđŚ
2
đžđ2+ đ¸đż đŚ â đŚđ đ
đđΊđ˘đžđ2
đâđ2đžđđŚ+
đŚ2
2
đžđ2= 0
â âđđ´
đđđ§ 0, đ§ 0 +
đż
đžđ2đ´ đ§ 0, đ§ 0 â đ´ đ´ 2 đ§ 0, đ§ 0 đ§ 0
2đđđžđđŚâđŚ
2
đžđ2
+ đ¸đđđΊđ˘đžđ2 đ§ 0, đż đŚ â đŚđ
đâđ2đžđ
đŚ+đŚ2
2
đžđ2= 0
đđ´
đđ=
đż
đžđ2đ´ â đ§ 0, đ§ 0 đ§ 0
2đđđžđđŚâđŚ
2
đžđ2đ´ đ´ 2 + đ¸đ
đđΊđ˘đžđ2 đ§ 0 đŚđ
đâđ2đžđđŚđâ
đŚđ2
2
đžđ2
20/23
Ginzburg-Landau WNL
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
Show that the physical solution is:
đ¤(đĽ, đĄ) = đ0đśâ˛ đĄ đđđđđĄđ
đ2đžđĽâđ2đĽ2
2
đđśâ˛
đđĄ= âđΊⲠ+ đżâ˛ đśâ˛ â đ§ 0, đ§ 0 đ§ 0
2đđđžđđŚâđŚ
2
đśâ˛ đśâ˛ 2 + đ0đâđ2đžđĽđâ
đ2đĽđ2
2 đ¸â˛
And that the saturation amplitude of the limit-cycle oscillations is:
đ0maxđĄ
đśâ˛ đĄ = 21/4đâ
đ2
16đž2đ2 đżâ˛
We remind that in the case of the naĂŻve approach:
đ¤(đĽ, đĄ) = đđśâ˛ đĄ đđđđđĄđđ2đžđĽâđ2đĽ2
2
đđśâ˛
đđĄ= âđΊⲠ+ đżâ˛ đśâ˛ â< đ¤ đ , đ¤ đ đ¤ đ
2 > đśâ˛ đśâ˛ 2 + đđâđ2đžđĽđâ
đ2đĽđ2
2 đ¸â˛
Show that the saturation amplitude đ maxđĄ
đśâ˛ đĄ exhibits the same value.
Differences between the two approaches are expected at the next order in fact.
21/23
Ginzburg-Landau WNL
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
đ§ 0, đ§ 0 đ§ 02đ
đđžđđŚâđŚ2
= đ0đ03 đ
đđžđđŚâđŚ2
đâđŚ2đđŚ =
+â
ââ
đâ1đ đđđžđĽâ2đ2đĽ2
đđĽ+â
ââ
đ0maxđĄ
đśâ˛ đĄ =đ0
đ§ 0, đ§ 0 đ§ 02đ
đđžđđŚâđŚ2
đżâ˛ =đâ
14
đâ12đ
12 đ
đđžđĽâ2đ2đĽ2
đđĽ+â
ââ
đżâ˛
=đ14
đ12đ
đ2
8đž2đ2đ12
2đ
12
đżâ˛ = 21/4đâ
đ2
16đž2đ2 đżâ˛
22/23
Quiberon 2019 [email protected] [email protected]
Ginzburg-Landau
< đ¤ đ , đ¤ đ đ¤ đ2 > = đđ
âđ2đžđĽâ
đ2đĽ2
2 đ3đ3đ2đžđĽâ
3đ2đĽ2
2 đđĽ =+â
ââ
đđ3 đđđžđĽâ2đ
2đĽ2đđĽ
+â
ââ
=đ
đđ12
đ3 đđđžđĽâ2đ2đĽ2
đđĽ+â
ââ
đ maxđĄ
đśâ˛ đĄ =đ
< đ¤ đ , đ¤ đ đ¤ đ2 >
đżâ˛ =đ14
đ12 đ
đđžđĽâ2đ
2đĽ2đđĽ
+â
ââ
đżâ˛ =đ14
đ12đ
đ2
8đž2đ2đ12
2đ
12
đżâ˛
= 21/4đâ
đ2
16đž2đ2 đżâ˛ =214
đđ2
16đž2đ2
đżâ˛
The Ginzburg-Landau eq. WNL
23/23