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  • 7/26/2019 Gonzalez Juliana

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    Un aporte para trabajar sucesiones numricas con GeogebraGonzalez Juliana, Medina Perla, Vilanova Silvia, Astiz Mercedes

    [email protected]

    Universidad Nacional de Mar del Plata

    Nivel de enseanza: universitario

    Introduccin

    Muchos temas de matemtica en el primer ao de las carreras universitarias presentan

    serios inconvenientes a la hora de su aprendizaje. Analizar estos inconvenientes,

    deviene por un lado, en la tarea de interpretar las concepciones errneas que tienen los

    estudiantes sobre el tema y por otro, en generar ambientes de aprendizaje acordes, a

    travs de nuevas propuestas didcticas. En este sentido, la utilizacin de herramientas

    informticas como apoyo a la enseanza y el aprendizaje de la matemtica, da una

    amplia gama de aportes, no slo por la forma de trabajo sino porque permite adems,

    acercarse a los conceptos a travs de diferentes representaciones de los mismos.

    Vinner (1991) distingue entre la imagen que posee un individuo sobre un concepto y

    el concepto en s. En matemtica un concepto est dado por la definicin, mientras que

    la imagen de un concepto, es la idea que la persona se hace del mismo y que nonecesariamente coincide con l.

    Por otra parte, de acuerdo con lo que plantea Duval (1998), en referencia a la

    construccin de los conceptos matemticos, es importante destacar que cada

    representacin que de ellos se haga es parcial respecto al concepto que representa y por

    ende se debe considerar como absolutamente necesaria la interaccin de diferentes

    representaciones del objeto matemtico para la formacin del concepto. Tambin

    Laborde (1999) afirma: "una parte de la esencia de las matemticas es la actividad de

    resolucin de problemas, y esta actividad est basada en una interaccin entre varios

    registros y tratamientos en cada registro".

    En este sentido, la informtica es una herramienta adecuada, debido a su versatilidad,

    interactividad y posibilidad de trabajar en diferentes registros, fundamentalmente en el

    grfico.

    Si bien la representacin grfica puede relacionarse en forma directa con la

    visualizacin, es menester destacar que sta abarca mucho ms, de acuerdo con Cantoral

    y Montiel (2003), la visualizacin es la habilidad para representar, transformar,

    generar, comunicar, documentar y reflejar informacin visual en el pensamiento y el

    lenguaje del que aprende. En este contexto est concebido el concepto de

    representacin grfica presente en el trabajo.

    Se parte de que la comprensin de las propiedades y relaciones matemticas

    constituyen el paso previo a la formalizacin y son una condicin necesaria para

    interpretar y usar en forma adecuada la potencialidad de dicha formalizacin.Los errores observados en el desarrollo de trabajos y exmenes de alumnos de Clculo

    I, referidos a diferentes temas, motiva a pensar en la existencia de fallas en la

    adquisicin del lenguaje adecuado y la interaccin de ste con un razonamiento lgico,

    como posibles obstculos de dicha comprensin.

    Pochulu (2005), plantea que gran parte de los errores que cometen los alumnos en

    Matemtica se remontan a obstculos epistemolgicos que los propios matemticos

    enfrentaron y superaron a travs de siglos de historia. Esto hace notar lo esperable que

    son las dificultades que a los estudiantes les pueden traer abordar temas que no son

    triviales, como en este caso, el concepto de lmite de una sucesin numrica. Aclara

    Pochulu (idem, 2005) que esto no exime de que el error tambin est vinculado a los

    procesos de enseanza y aprendizaje, en tanto el entendimiento humano, de algunamanera, es causa directa de l.

    A partir de las observaciones de clases tericas y el trabajo con los estudiantes en las

    clases prcticas y sus manifestaciones sobre sus inconvenientes con el concepto

    sucesin numrica, se detectaron e identificaron los problemas principales que

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    obstaculizan la comprensin del concepto de lmite de sucesiones numricas y la

    interpretacin de su definicin. Adems de los inconvenientes derivados de la dificultad

    de interpretacin del lenguaje formal, surgi la dificultad de interpretacin grfica y

    algebraica y por sobre todo la relacin entre todas ellas.

    Estos aspectos formaron parte de la motivacin inicial para la realizacin de la

    propuesta didctica que se presenta, priorizando el uso de tecnologa informtica a

    travs de aplicaciones realizadas con un software matemtico.

    En el marco descripto previamente, estas aplicaciones tienen como objetivo contribuir

    a los alumnos de Bioqumica de la Fac. de Cs. Exactas y Naturales, en la superacin delas dificultades de comprensin de conceptos relacionados con sucesiones numricas.

    Acerca de la incorporacin de las tics en la enseanza de la matemtica

    En general, los recursos, tanto manipulativos como virtuales, son inertes en s mismos.

    Para que desempeen un papel en el aprendizaje es necesario formular tareas que

    inciten la actividad y reflexin matemtica El recurso puede ayudar a crear un

    contexto rico para apoyar el dilogo del profesor con los alumnos a propsito de unas

    tareas que son especficas, y que ponen en juego los conocimientos matemticos

    pretendidos (Godino y otros, 2005).

    Muchas investigaciones (Martnez y otros, 1998, Astiz y otro, 1999, Vecino y otros,1999, Medina y otros, 2000, Mansilla y otros, 2005, Albarenque y otros, 2009)

    confirman que el uso de computadoras, en el contexto descripto, ayuda a los estudiantes

    en el proceso de interpretacin de conceptos matemticos, a travs de un mayor acceso

    a representaciones mltiples de los mismos que promueven la articulacin entre

    diferentes representaciones de ellos, y que el uso de este tipo de tecnologa les permite

    trabajar individualmente, comprobando sus ideas y sus resultados en la resolucin de

    problemas.

    Propuesta para colaborar en la enseanza de conceptos relacionados con sucesiones

    numricas

    Esta propuesta se dise en una primera etapa para trabajar con los estudiantes en el

    Laboratorio de Computacin. Consta de actividades interactivas con soporte

    informtico Geogebra y actividades para desarrollar en papel.

    Se seleccion el programa GeoGebra por ser un software libre y de plataformas

    mltiples diseado especialmente para trabajar en educacin matemtica. Es un entorno

    sencillo, amigable y potente con el que se pueden realizar fcilmente construcciones

    geomtricas y analticas, y adems ofrece la posibilidad del desarrollo de aplicaciones

    interactivas que pueden ser utilizadas desde un navegador de internet (applets).

    Tal como se expres, las actividades incluyen ejercicios interactivos en Geogebra (ver

    ejemplos ms adelante), y una gua en papel (ver Anexo). Esta ltima tiene dos

    objetivos, por un lado dar el espacio para la realizacin de clculos o desarrollos

    algebraicos y escribir las justificaciones solicitadas y por otro, contestar acerca de la

    apreciacin (posibles dificultades o inconvenientes) que tienen sobre cada uno de los

    ejercicios resueltos y el soporte informtico en s.

    Las actividades interactivas desarrolladas con el software Geogebra permiten a travs

    de la manipulacin de variadas y numerosas grficas colaborar con:

    - la interpretacin de los conceptos relacionados con sucesiones numricas:

    acotada, montona, convergente, divergente, oscilante; y la relacin entreellos

    - la aprehensin de la nocin intuitiva de lmite de una sucesin numrica y

    - la interpretacin de dicho concepto a travs de su definicin formal.

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    Los ejercicios se seleccionaron tomando en cuenta errores detectados sobre el tema

    sucesiones numricas en los parciales de la asignatura Clculo I desarrollada durante el

    primer cuatrimestre de 2009 y en las dificultades que los docentes de la asignatura

    observaron durante el desarrollo de las clases prcticas:

    - interpretacin de los conceptos de sucesin numrica convergente y su

    relacin con sucesin acotada y montona,

    - generacin de ejemplos de sucesiones que cumplan con determinadas

    condiciones,- determinacin de posibilidad de existencia de sucesiones que cumplan ciertas

    condiciones dadas (problema de relacin entre los conceptos: sucesin

    montona, sucesin acotada, sucesin convergente, sucesin que tiene lmite),

    - interpretacin de la definicin de lmite finito de una sucesin numrica

    - interpretacin de la definicin de lmite infinito (divergencia) de una sucesin

    numrica.

    Por otra parte, la variedad de ejercicios presentados tuvo como objetivo que los

    mismos permitiesen ser generadores de inquietudes en los alumnos para que consulten

    sobre conceptos especficos dentro del tema sucesiones numricas.

    A continuacin se presentan a modo de ejemplo, algunas de las pantallas que

    corresponden a applets de cada uno de los diferentes tipos de ejercicios, con sus

    correspondientes objetivos.

    Ejercicio 1: tiene como objetivo reconocer sucesiones a partir de su grfica. Las

    aplicaciones del tipo de las del grfico 1, 2 3permiten al estudiante contestar en forma

    interactiva y obtener la correccin en forma inmediata. En papel se solicita la

    justificacin a su respuesta an cuando la misma hubiese sido equivocada.

    Grfico 1

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    Grfico 2

    Grfico 3

    Ejercicio 2: tiene como objetivo trabajar con el trmino general de una sucesin

    numrica e interpretar dominio y codominio de la sucesin como funcin. Las

    aplicaciones del tipo de las del grfico 4 permiten al estudiante, una vez calculado el

    valor de ai, ubicar en el plano cada punto (i,a i) simplemente arrastrndolo y controlar el

    resultado obtenido.

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    Grfico 4

    Ejercicio 3: su objetivo es observar caractersticas de las sucesiones que tienen en la

    gua de trabajos prcticos convencional a travs de la grfica y constatar sus propias

    respuestas. Las aplicaciones del tipo de las del grfico 5, son interactivas: moviendo el

    punto deslizador se van graficando cada uno de los puntos correspondientes a la

    sucesin.

    Grfico 5

    Ejercicio 4: su objetivo es corroborar las respuestas obtenidas para el ejercicio de la

    prctica convencional que refiere a determinar el trmino general de una sucesin

    conociendo los valores de los primeros trminos de la misma. La aplicacin (grfico 6)

    es interactiva y permite, por un lado, ingresar el trmino general de la sucesin deseada

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    y por otro, moviendo el punto deslizador graficar cada uno de los puntos

    correspondientes a lasucesin.

    Grfico 6

    Ejercicio 5: tiene como objetivo analizar la condicin de sucesin acotada. La

    aplicacin, que se muestra en el grfico 7 y 7 bis, permite a travs de su reproduccin

    observar de a uno cules son los puntos que conforman la sucesin y luego de estar

    completa la reproduccin, interactuar para contestar las tres preguntas que se presentan.

    Grfico 7

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    Grfico 7 bis

    Ejercicio 6: tiene como objetivo identificar sucesiones numricas crecientes,

    decrecientes y con cambios en su crecimiento. Las aplicaciones son del tipo de la que se

    muestra en el grfico 8 y permiten interactuar marcando la respuesta correspondiente y

    obteniendo una devolucin automtica como evaluacin individual de lo contestado.

    Grfico 8

    Ejercicio 7: anlogamente al ejercicio 6, se plantea este ejercicio, para trabajar elconcepto de sucesin convergente, divergente y oscilante. Cada aplicacin es del tipo de

    la que se muestra en el grfico 9.

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    Grfico 9

    Ejercicio 8: tiene como objetivo analizar en las sucesiones numricas que se

    presentan, los conceptos vistos hasta el momento y la relacin entre ellos. Las

    aplicaciones son del tipo de la que muestra el grfico 10, permitiendo la interaccin y

    correccin de las respuestas dadas.

    Grfico 10

    Ejercicio 9: tiene como objetivo determinar, de ser posible, sucesiones que cumplan

    con los requerimientos solicitados y por ende, relacionar los conceptos vistos hasta elmomento. Las aplicaciones, del tipo de las que muestran los grficos 11 y 11 bis,

    permiten en primer lugar determinar la posibilidad de existencia de tal sucesin y en

    segundo lugar, dar algn ejemplo (que ellos deben generar) y corroborarlo

    grficamente.

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    Grfico 11

    Grfico 11 bis

    Ejercicio 10: su objetivo es determinar el lmite de una sucesin numrica analizando

    la grfica y desarrollar su justificacin en papel. Las aplicaciones, como muestra el

    grfico 12, permiten ingresar y corroborar el resultado.

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    Grfico 12

    Ejercicio 11: tiene como objetivo interpretar la definicin de lmite en forma grfica.

    En la aplicacin se pueden visualizar diferentes intervalos de convergencia con su

    correspondiente valor de n0 (el grfico 13 muestra uno de ellos) e interactuar

    respondiendo a la consulta realizada.

    Grfico 13

    Ejercicio 12: su objetivo es utilizar la definicin de lmite de una sucesin numrica

    para determinar valores de n0 a partir de un dado. La aplicacin, como muestra el

    grfico 14, permite ingresar y corroborar los resultados de manera inmediata.

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    Grfico 14

    Ejercicio 13: su objetivo es interpretar la definicin de lmite de una sucesin

    numrica a travs del anlisis de sus diferentes componentes. La aplicacin, que se

    muestra en los grficos 15 y 15 bis, permite interactuar a travs de la verificacin de

    clculos que generalmente no se realizan en forma manual. Por otra parte, este ejercicio

    generaliza la aplicacin anterior ya que permite probar con varios valores de , cules

    son los intervalos de convergencia que generan y con cada uno de ellos hallar el valor

    de n0correspondiente.

    Grfico 15

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    Grfico 15 bis

    Ejercicio 14: en forma anloga al ejercicio 13, su objetivo es interpretar la definicin

    de lmite infinito de una sucesin numrica a travs del anlisis de sus diferentes

    componentes. El grfico 16 muestra una aplicacin, que permite interactuar a travs de

    la verificacin de los clculos que se realizan en forma manual.

    Grfico 16

    Consideraciones finales

    Las actividades con ejercicios interactivos desarrolladas en Geogebra se plantearon

    con el objetivo de avanzar en el diseo de estrategias didcticas que colaboren con los

    estudiantes que cursan la asignatura Clculo I, en superar errores y dificultades con que

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    se encuentran a la hora de abordar conceptos involucrados en el tema sucesiones

    numricas.

    Estas actividades estn compuestas por ejercicios con representaciones grficas, sean

    stas presentadas directamente o generadas por los mismos estudiantes, acompaadas

    por preguntas para responder en forma interactiva y obtener la respuesta de manera

    inmediata.

    No obstante no se deja de lado en la propuesta didctica, ni la participacin del

    docente durante el trabajo en su rol de observador y consultor, ni la exigencia de

    respuestas escritas en papel como justificaciones en lenguaje coloquial, simblico o atravs de clculos algebraicos. Esta ltima cuestin, en conjunto con las actividades

    interactivas en Geogebra es lo que les permite trabajar con los objetos matemticos en

    diferentes representaciones.

    La existencia de esta propuesta gener que los docentes de Clculo I de diferentes

    comisiones solicitaran material especfico para la presentacin de algn otro tema.

    Se tiene como propsito que esta herramienta permita orientar a los estudiantes en la

    interpretacin y comprensin de los conceptos relacionados con sucesiones numricas y

    sea un aporte para avanzar en el recorrido para acercar el concepto imagen inicial que

    manifiestan tener, al concepto definicin.

    Bibliografa

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    Cantoral R., Montiel G. (2003) Visualizacin y pensamiento matemtico. En Revista

    Nmeros Espaa Vol. 55 pp 3-22

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    Godino J., Recio A., Roa R., Ruiz F., Pareja J. (2005) Criterios de diseo y evaluacin

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    matemticas. Ampliacin de la comunicacin presentada en el IX Simposio de la

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    Laborde, C. (1990). Language and Mathematics. In Nesher and Kilpatrick (Eds.),

    Mathematics and cognition, 53-69. Cambridge: Cambridge University Press.

    Mansilla S., Panella E., Pavn G., Sadagonsky A. (2005) Funciones con DERIVEa

    distancia, categorizacin y anlisis de errores. Presentado en Seminario de Investigacin

    en Educacin Matemtica, Rosario, Argentina

    Martnez D., Astiz M., Medina P., Montero Y., Pedrosa M. (1998) Aspectos del Uso

    del Cabri-Geometre en el Estudio de Tringulos. En Revista de Enseanza y

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    Medina, P.; Astiz, M.; Vecino, M.; Vilanova, S. ; Rocerau, M.; Oliver, M.; Valdez, G.;

    Alvarez, E. y Montero, Y.(2000) Grficas de funciones para la resolucin de

    problemas. El Derive puede ayudar. Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa.

    RELME 15.- Vol: 15 (2) pp 776-782. . Grupo Editorial Iberoamrica. ISBN: 970-

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    Vecino S., Otero A., Astiz M., Medina P., Vilanova S., Rocerau C., Oliver M., Valdez G.,

    Alvarez E. La computadora en la enseanza de la matemtica para alumnos de

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    Biologa Memorias del III Simposio de Educacin Matemtica. ISBN-ISSN: 987-

    98741-0-2. Argentina.

    Vinner, S. (1991) The Role of Definitions in the Teaching and Learning of Mathematics.

    En D. Tall (Ed.) Advanced Mathematical Thinking. Kluwer Academic Publishers. 65-81

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    Anexo

    Gua complementaria para desarrollar en conjuntocon las actividades en Geogebra

    En simultneo con el uso del material informtico, te solicitamos que respondas las

    siguientes consignas:

    1. En caso de no corresponder al grfico de sucesiones, justifica tu respuesta. Indica, aqu inciso corresponde la justificacin dada.

    Tuviste algn tipo de dificultad para responder? Cul? En qu casos?

    Tuviste dificultades con el uso del software? Cules?

    2. Tuviste algn tipo de dificultad con el uso del software? Cul?

    3. Hubo diferencias entre tu grfico y el que figura en pantalla?

    Ten en cuenta que los valores de los trminos estn dados en expresiones decimales.

    Tuviste algn tipo de dificultad para resolver el ejercicio? Cul? En qu casos?

    Tuviste dificultades con el uso del software? Cules?

    4. Tuviste algn tipo de dificultad para resolver el ejercicio? Cul? En qu casos?

    Ten en cuenta que los valores de los trminos estn dados en expresiones decimales.

    Tuviste dificultades con el uso del software? Cules?

    5. Tuviste necesidad de modificar las respuestas hasta llegar a la correcta? En qu

    casos?

    Tuviste algn otro tipo de dificultad para resolver el ejercicio? Cul? En qu casos?

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    ............................................................................................................................................

    Tuviste dificultades con el uso del software? Cules?

    6. Tuviste necesidad de modificar las respuestas hasta llegar a la correcta? En qu

    casos?

    Tuviste algn otro tipo de dificultad para resolver el ejercicio? Cul? En qu casos?

    Tuviste dificultades con el uso del software? Cules?

    7. Tuviste necesidad de modificar las respuestas hasta llegar a la correcta? En qucasos?

    Tuviste algn otro tipo de dificultad para resolver el ejercicio? Cul? En qu casos?

    Tuviste dificultades con el uso del software? Cules?

    8. Tuviste necesidad de modificar alguna respuesta? Cules son esas preguntas en las

    que has necesitado cambiar la respuesta?

    Tuviste algn otro tipo de dificultad para resolver el ejercicio? Cul? En qu casos?

    Tuviste dificultades con el uso del software? Cules?

    9. Tuviste necesidad de modificar tu respuesta? En qu casos?

    Escribe, indicando a qu inciso corresponde, la sucesin que has dado como ejemplo en

    cada caso.

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    Tuviste algn tipo de dificultad para resolver el ejercicio? Cul? En qu casos?

    Tuviste dificultades con el uso del software? Cules?

    10. Para las sucesiones que sean convergentes, calcula el lmite para verificar quecoincide con el valor que has dado.

    Tuviste algn tipo de dificultad para responder? Cul? En qu casos?

    Tuviste dificultades con el uso del software? Cules?

    11. Tuviste algn tipo de dificultad para responder? Cul? En qu casos?

    Tuviste algn tipo de dificultad con el uso del software? Cul?

    Genricamente, para un valor de

    dado, la cantidad de trminos que se encuentrandentro del intervalo de convergencia, es finita o infinita?

    Qu entiendes por intervalo de convergencia? ................................................................

    12. Tuviste algn tipo de dificultad para resolver el ejercicio? Cul? En qu casos?

    Tuviste dificultades con el uso del software? Cules?

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    13. Para cada inciso, elige tres valores de entre los que figuran al arrastrar el punto

    sobre el segmento de color azul y para cada uno de ellos toma tres valores de n

    adecuados y verifica que na L < (siendo L el lmite de la sucesin). Escribe tus

    clculos como figura a continuacin:

    Si = . , n0= .. , as para

    n = .., =

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    Si M = . , n0= .. , as para

    n = .., .. > ..

    n = .., .. > ..

    n = .., .. > ..

    Tuviste algn otro tipo de dificultad para resolver el ejercicio? Cul? En qu casos?

    Tuviste dificultades con el uso del software? Cules?