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8/15/2019 Grafoxcvxcv

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Grafo (estructura de datos)

Un grafo de 6 vértices y 7aristas.

Un grafo en el ámbito de las ciencias de la computación es un tipo abstracto de datos (TAD !"ue consiste en un con#unto de nodos (también llamados vértices y un con#untode arcos (aristas "ue establecen relaciones entre los nodos. $l concepto de grafo TADdesciende directamente del concepto matemático de grafo.%nformalmente se define como & ' ( ! $ ! siendo los elementos de los vértices! y loselementos de $! las aristas ( edges en inglés . )ormalmente! un grafo! &! se define como unpar ordenado! & ' ( ! $ ! donde es un con#unto finito y $ es un con#unto "ue consta de doselementos de .

Formas de representación*editar +$,isten diferentes implementaciones del tipo grafo- con una matri de adyacencias (formaacotada y con listas y multilistas de adyacencia (no acotadas .

• Matriz de adyacencias: se asocia cada fila y cada columna a cada nodo del grafo!siendo los elementos de la matri la relación entre los mismos! tomando los valores de / sie,iste la arista y 0 en caso contrario.

• Lista de adyacencias: se asocia a cada nodo del grafo una lista "ue contenga todosa"uellos nodos "ue sean adyacentes a él.

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Especificación de los tipos abstractos de datos de un grafo nodirigido*editar +Generadores *editar +1rear un grafo vac2o- Devuelve un grafo vac2o.

• op crear&rafo - 34 &rafo *ctor+ .

A5adir una arista- Dado un grafo! a5ade una relación entre dos nodos de dic o grafo.

• op a5adirArista - &rafo odo odo 34 *&rafo+ *ctor+ .

A5adir un nodo- Dado un grafo! incluye un nodo en él! en caso en el "ue no e,istapreviamente.

• op a5adir odo - &rafo odo 34 &rafo *ctor+ .Constructores *editar +8orrar nodo- Devuelve un grafo sin un nodo y las aristas relacionadas con él. 9i dic o nodo noe,iste se devuelve el grafo inicial.

• op borrar odo - &rafo odo 34 &rafo .

8orrar arista- Devuelve un grafo sin la arista indicada. $n caso de "ue la arista no e,istadevuelve el grafo inicial.

• op borrarArista - &rafo odo odo 34 &rafo .Selectores *editar +&rafo ac2o- 1omprueba si un grafo no tiene ning:n nodo.

• op es acio - &rafo 34 8ool .

1ontener odo- 1omprueba si un nodo pertenece a un grafo.

• op contiene - &rafo odo 34 8ool .

Adyacentes- 1omprueba si dos nodos tienen una arista "ue los relacione.

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• op adyacentes - &rafo odo odo 34 8ool .

;ara la especificación de un grafo dirigido tenemos "ue modificar algunas de las ecuacionesde las operaciones borrarArista y a5adirArista para "ue no se considere el caso de aristasbidireccionales.< sustituir la operación adyacentes por-

• op predecesor - &rafo odo odo 34 8ool .

• op sucesor - &rafo odo odo 34 8ool .

Arbol (informatica)

Arboles Binarios$l árbol es una estructura de datos fundamental en la informática! muy utili ada en todos sus

campos! por "ue se adapta a la representación natural de informaciones omogéneas organi adasy de una gran comodidad y rapide de manipulación.

=as estructuras tipo árbol se usan principalmente para representar datos con una relación #erár"uica

entre sus elementos! como son árboles genealógicos! tablas! etc.=a definición de un árbol implica una estructura recursiva. $sto es! la definición del árbol se refiere a

otros árboles. Un árbol con ning:n nodo es un árbol nulo> no tiene ra2 .


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T$?@% = &BA < ?$;?$9$ TA1%C D$ U ?8 = &$ $?A==a representación y terminolog2a de los arboles se reali a con las t2picasnotaciones de las relaciones familiares en los árboles genealógicos- padre! i#o!ermano! ascendente! descendiente! etc.

?A%E- Todos loa árboles "ue no esta vac2os tienen un :nico nodo ra2 . Todos losdemás elementos o nodos derivan o descienden de el. $l nodo ?a2 no tiene;adre es decir no es i#o de ning:n elemento

;AD?$- F es padre de < s2 y solo s2 el nodo F apunta a

G$?@A - Dos nodos serán ermanos si son descendientes directos de un

mismo nodo.G HA. 9e le llama o#a o Terminal a a"uellos nodos "ue no tienen ramificaciones( i#os .

D . 9on los értices o elementos del rbol.

D % T$?% ?. $s un nodo "ue no es ra2 ni Terminal.


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&?AD . $s el n:mero de descendientes directos de un determinado nodo.

&?AD D$= A?8 = $s el má,imo grado de todos los nodos del árbol.

% $=. $s el n:mero de arcos "ue deben ser recorridos para llegar a undeterminado nodo. ;or definición la ra2 tiene nivel /.

A=TU?A. $s el má,imo n:mero de niveles de todos los nodos del árbol. $"uivaleal nivel más alto de los nodos más /.

;$9 . $s el n:mero de nodos terminales del árbol

= &%TUD D$ 1A@% . $s el n:mero de arcos "ue deben ser recorridos parallegar desde la ra2 al nodo F. ;or definición la ra2 tiene longitud de camino /! ysus descendientes directos longitud de camino I y as2 sucesivamente.

Operaciones de los Arboles BinariosUna sucesión de nodos del árbol! de forma "ue entre cada dos nodos consecutivos de

la sucesión aya una relación de parentesco! decimos "ue es un recorrido árbol.$,isten dos recorridos t2picos para listar los nodos de un árbol- primero enprofundidad y primero en anchura . $n el primer caso! se listan los nodose,pandiendo el i#o actual de cada nodo asta llegar a una o#a! donde se vuelveal nodo anterior probando por el siguiente i#o y as2 sucesivamente. $n elsegundo! por su parte! antes de listar los nodos de nivel n + 1 (a distancia n +1 aristas de la ra2 ! se deben aber listado todos los de nivel n . tros recorridost2picos del árbol sonpreorden ! postorden e inorden -

• $l recorrido en preorden ! también llamadoorden previo consiste enrecorrer en primer lugar la ra2 y luego cada uno de los i#osen orden previo.

• $l recorrido en inorden ! también llamadoorden simétrico (aun"ue estenombre sólo cobra significado en los árboles binarios consiste en recorrer enprimer lugar A 1! luego la ra2 y luego cada uno de los i#os enorden simétrico.


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• $l recorrido en postorden ! también llamadoorden posterior consiste enrecorrer en primer lugar cada uno de los i#os en ordenposterior y por :ltimo la ra2 .

)inalmente! puede decirse "ue esta estructura es una representación del concepto deárbol enteor2a de grafos. Un árbol es un grafo conexo y acíclico (vertambién teor2a de grafos y&losario en teor2a de grafos.

“Una Máquina de Turing es un modelo matemático ”“Modelo matemático” es una expresión de esas que se utilizan con ciertafrecuencia pero que pocas veces nos paramos a pensar qué significa ! aunque parezca algo complicado" en realidad se trata de un concepto bastante sencillo

#n modelo matemático es un con$unto de reglas que “enca$an” en la explicación% resolución de un problema" es decir" quemodelizan una situación concreta para poder explicarla % encontrar el modo de resolverla Más a&n" se podr'a decir queun modelo matemático es un con$uto de reglas capacesde generalizar %resolver un problema matemático concreto % cualquier otro desu misma naturaleza que se pueda plantear

l e$emplo más simple que se me ocurre es" ante el problema “ cuántasmanzanas tenemos si %o tengo tres % t& tienes dos*”" el modelo matemático aplicar es el que comprende a los n&meros naturales (+","-"."/) % su suma finita

As'" cuando nos encontremos con otro caso similar" como por e$emplo averiguar cuántos a0os suman las edades de tres personas" basta con aplicar este modelo para averiguarlo" es decir" sumar la edad de cada uno de ellos 1an fácil como parece

A2ora la afirmaciónuna Máquina de Turing es un modelo matemático cobrasignificado3 nos dice que es una forma de resolver cierto tipo de problemas" queademás funciona para cualquier problema de la misma naturaleza 4omo a estasalturas se podrán imaginar" uno de los problemas que será capaz de resolver laMáquina de 1uring es el 5roblema de la decisión

“Una máquina de Turing es un autómata”n matemáticas" unautómata es lo que se conoce como unamáquina teórica " esdecir" un dispositivo cu%o funcionamiento se estudia sin necesidad de construirlo

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realmente n concreto un autómata es una máquina teórica que lee unasinstrucciones en forma de s'mbolos % cambia de estado seg&n éstas

6amos a tratar de explicar esto mediante un sencillo e$emplo 7maginemos que

nuestro autómata es un robot que sólo sabe 2acer tres cosas3 tumbarse" levantarse% decir “2e quedado con unas robopilinguis” stas tres “cosas” ser'an los tresestados en los que se puede encontrar nuestro autómata

7maginemos también que el robot tiene una abertura por la que podemosintroducir una cinta de papel perforada" % un dispositivo que lee si cada tramoconcreto de la cinta tiene un agu$ero o no 8upongamos que el mecanismo delrobot funciona de tal forma que cuando la cinta tiene un agu$ero" el robot selevanta" cuando tiene otro más" el robot 2abla % cuando no lo tiene" se sienta (estaserie de instrucciones de funcionamiento en función de las instrucciones deentrada forman lo que se denomina función de estado del autómata) 5or &ltimo"supongamos que el robot está tumbado antes de leer la primera instrucción

ntonces si introducimos una cinta que conste de dos agu$eros % un espacio sin perforar" que representamos por OOX " el robot leerá el primer agu$ero % selevantará" leerá el segundo % dirá “2e quedado con unas robopilinguis”" % allegar al espacio sin perforar se volverá a tumbar

8i a2ora introducimos una cinta con la instrucciónOXOOOX " el robot selevantará" se tumbará" se volverá a levantar" dirá dos veces su célebre frase" %acabará tumbado de nuevo


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sto es básicamente un autómata3 un dispositivo que lee (implementa) unasinstrucciones (algoritmos)" % cambia su estado en función de estas (se sienta" selevanta o dice la frase) 5ero para un matemático" que el dispositivo sea un robotque va%a a cuerda o un computador cuántico es completamente indiferente" lo

importante es el estudio de qué algoritmos puede implementar" qué simbolog'a %qué gramática se puede utilizar para representar estos algoritmos % cómo 2acer que el autómata llegue a un estado determinado partiendo de un estado inicial

ste e$emplo puede parecer demasiado sencillo" pero 2áganse a la idea que conlos actuales recortes en los presupuestos dedicados a 79: es probable que a lomás que podamos llegar en este pa's es a construir robots gamberros como este

Pero, ¿qué es una Máquina de Turing?

:espués de esta peque0a introducción en el mundo de la 4omputación" por finnos encontramos en disposición de comprender lo que es una Máquina de 1uring% cómo funciona

8i recopilamos lo que 2emos visto 2asta a2ora" %a sabemos lo que es un modelomatemático" un autómata" un problema matemático" un algoritmo % lo quesignifica implementar" además de que todo esto debe de tener que ver con el

5roblema de la decisión" porque por algo se 2abrá mencionado As' que sólo nosfalta meterlo todo en la coctelera % sacar la Máquina de 1uring de ella" as'quevamos al lío.

#na máquina de 1uring es un autómata que consta de unacabeza lectora %una cinta infinita en la que la cabeza puedeleer

símbolos "borrarlos "escribirlos % moverse a la derec2a o a la izquierda 5or supuesto también consta de una función de estado que determinará los cambiosde un estado a otro que se deben producir en función de las instrucciones quereciba


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?epresentación art2stica de una @á"uina de Turing

;ste aparato tan sencillo (% tan parecido a un radiocasete) tiene una propiedadsorprendente" % es que es capaz de implemetar cualquier problema matemáticoque se nos ocurra" con la &nica condición de que éste se pueda expresar por

medio de un algoritmo (que recordemos que no es más que estructurar el problema en un n&mero de pasos determinados) 5or tanto" podremos escribir unacadena de s'mbolos que represente el problema de manera que la máquina lo pueda leer %" como además también puede escribir % borrar" cuando va%amos dun paso a otro del algoritmo podrárecordar el paso en el que se encuentra encada momento para as' poder dar el siguiente en la dirección correcta

8i nos fi$amos bien" es sencillo encontrar una analog'a entre una Máquina de1uring % un computador moderno n un computador" tenemos un dispositivo delectura % borrado que interpreta los datos grabados en un soporte(hardware) sobre el que puede además borrar" escribir % moverse Además" estedispositivo dispone de un código ( software) que" seg&n sean las instrucciones deentrada" proporciona una salida determinada en forma de imagen en una pantalla"cálculo matemático" sonido" etc


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comprender los l'mites de lo que podemos esperar que 2aga una computadora %lo que no

La Máquina de Turing el Pro!lema de la decisión


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$#emplo de la trayectoria de una red de ;etri.

Una Red de Petri es una representación matemática o gráfica de un sistema a eventosdiscretos en el cual se puede describir la topolog2a de unsistema distribuido! paralelo o concurrente. =a red de ;etri esencial fue definida en la décadade los a5os /J60 por 1arl Adam ;etri . 9on una generali ación de la teor2a de autómatas "ue

permite e,presar un sistema a eventos concurrentes .Una red de ;etri está formada por lugares! transiciones! arcos dirigidos y marcas o fic as "ueocupan posiciones dentro de los lugares. =as reglas son- =os arcos conectan un lugar a unatransición as2 como una transición a un lugar. o puede aber arcos entre lugares ni entretransiciones. =os lugares contienen un n:mero finito o infinito contable de marcas. =astransiciones se disparan! es decir consumen marcas de una posición de inicio y producenmarcas en una posición de llegada. Una transición está abilitada si tiene marcas en todassus posiciones de entrada.$n su forma más básica! las marcas "ue circulan en una red de ;etri son todas idénticas. 9epuede definir una variante de las redes de ;etri en las cuales las marcas pueden tenerun color (una información "ue las distingue ! un tiempo de activación y una #erar"u2a en la red.

=a mayor2a de los problemas sobre redes de ;etri son decidibles! tales como el carácteracotado y la cobertura. ;ara resolverlos se utili a un árbol de Karp3@iller. 9e sabe "ueel problema de alcance es decidible! al menos en un tiempo e,ponencial.

ndice *ocultar +

• /Definición de las ?edes de ;etri

• I reas de aplicación

• LGerramientas de programación

• M éase también

• N8ibliograf2a

• 6$nlaces e,ternos

Definición de las Redes de Petri*editar +@ediante una red de ;etri puede modelarse un sistema de evolución en paralelo o eventosconcurrentes compuesto de varios procesos "ue cooperan para la reali ación de un ob#etivocom:n.=a presencia de marcas se interpreta abitualmente como presencia de recursos. $l fran"ueode una transición (la acción a e#ecutar se reali a cuando se cumplen unas determinadasprecondiciones! indicadas por las marcas en las fic as ( ay una cantidad suficiente derecursos ! y la transición (e#ecución de la acción genera unas postcondiciones "ue modificanlas marcas de otras fic as (se liberan los recursos y as2 se permite el fran"ueo detransiciones posteriores.

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!efinici"n - Una red de ;etri es un con#unto formado por !donde es un con#unto de fic as de cardinal ! un con#unto de transiciones decardinal ! la aplicación de incidencia previa "ue viene definida como

y la aplicación de incidencia posterior "ue viene definida como

!efinici"n - Una red marcada es un con#unto formado por donde es una ?ed de;etri como la definida! es una aplicación denominada marcado y

9e asocia a cada marca un n:mero natural por lo tanto en donde el n:mero de marcas esdescrita por la cardinalidad del con#unto de marcas en la red.

Áreas de aplicación*editar +• Análisis de datos

• Dise5o de softOare

• )iabilidad

• )lu#o de traba#o

• ;rogramación concurrente

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