guia de distribucion normal

8/17/2019 Guia de Distribucion Normal

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VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Una importante distribución teórica es la distribución Normal o de

Gauss. La distribución normal es una curva con forma de campana,

con eje de simetría en el punto correspondiente al promedio del

universo µ. La distancia entre el eje de simetría de la campana y el

punto de inexión de la curva es σ, la desviación estándar

poblacional.

!ara "ue se usa la distribución normal#

• !ara variables continuas tales como estaturas, pesos y

lon$itudes, en las áreas bioló$icas, las cuales usualmente

tienen la con%$uración de una curva normal.

• !ara variables no normales "ue pueden fácilmente

transformarse a normales.

• & pesar de "ue la distribución de cierta población pueda ser

diferente de la normal, las medias de las muestras tienden a

ajustarse a una distribución normal cuando el tama'o de la

muestra es $rande.

Propiedades.


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• (iene como parámetro a “µ” y “σ)”* esto es* N +µ,σ)

• La curva de la distribución normal es asintótica, es decir, las

colas de las curvas nunca lle$an a tocar el eje de las

abcisas.

• La distribución normal es sim-trica con respecto a la

ordenada máxima, siendo por lo tanto las medidas de

tendencia central i$uales entre sí, es decir, media

mediana moda.

• /i 0 está normalmente distribuida, 1 estará normalmente

distribuida.

DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS.

2l área total debajo de la curva es i$ual a 3. 2l área debajo de la

curva comprendida entre µ4σ y µ5σ es aproximadamente i$ual a

6.78 del área total* entre µ4)σ y µ5)σ es aproximadamente i$ual a

6.9: del área total y entre µ4;σ y µ5;σ es aproximadamente i$ual

a 6.99 del área total.

&?L2/&L2&(@=>&/A@N(>NU&/

B>/(=>?UA>CNN@=D&L

4 !eso, &ltura, (iempotranscurrido en un

proceso.

∞

x

e2

1 x f

2 x

2

1

σ

µ

π σ


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La distribución normal estándar o tipicada lo "ue Eace es uncambio de variable por el cual se mueve la campana de Gauss,

centrándola en el cero del eje 0 . 2n ella Eay un solo parámetro 1,

"ue incluye al promedio y la desviación estándar de la población.

2sta función está tabulada. 2l cambio de variable Eace "ue se

conserve la forma de la función y "ue sirva para cual"uier

población, siempre y cuando esa población ten$a distribución

normal.

&?L2/&L2&(@=>&/A@N(>NU&/

B>/(=>?UA>CNN@=D&L

!=@!>2B&B2/

Forma de campana./im-trica.Dedia, moda, mediana, coincidenen un punto.µ ± σ 78.µ ± )σ 9:.µ ± ;σ 99,H.

&?L2/&L2&(@=>&/A@N(>NU&/

B>/(=>?UA>CN N@=D&L (>!>F>A&B&

(ransformación de la distribuciónnormal.

2 Z

2

1

e2

1 Z f

x Z

=

=

π

σ

µ


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Ejemplos.

1. Aalcular la probabilidad deI

a. ! +43J 1 J 3

! +43J 1 J 3 !+1J3 – !+1J43 F+3 – F+43 6,8K3; – 6,3:8H

6,78)7

b. ! +1 ;

! +1; 3 – !+1J; 3 – F+; 3 – 6,998H

6,663;

c. ! +1 J ),;

! +1J),; F+),; 6,989;

. Beterminar el valor o los valores de 1 en cada uno de los

si$uientes casos, donde el área dada se re%ere a una curva

normal.

a. 2l área entre 6 y 1 es 6,;HH6.

M3

6

6,;HH6

1


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16,1 z 1230,03770,05,0 z F

3770,0 z F 5,00 Z z P

377,0 z F 0F z Z P0 Z P0 Z z P

1

TABLA

1

11

111

=

=

b. 2l área a la iM"uierda de 1 es 6,87)3.

09,1 z 8621,0 z F z Z P 1

TABLA

11 =

c. 2l área entre – 3,: y 1 es 6,6)3H +dos casos.

69,1 z 0451,00217,00668,0 z F

0217,0 z F 0668,05.1 Z z P

021,0 z F 5.1F z Z P5.1 Z P5.1 Z z P

1

TABLA

1

11

111

=

=

!. 2l diámetro interno de un aro de pistón está distribuido de

manera normal con una media de K,:6 cm y una desviación

136

6,87)3

1

M3

6

6,6)3H

143,: M36

6,6)3H

13,:


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estándar de 6,66: cm u- probabilidad Eay de obtener un

diámetro "ue exceda de K,:) cm#

Solución

( )

( )

( ) ( )

011

414

005,0

5,452,452,4

)005,0(;5,4 2

=−=

−=>=

−>=>

∼

F Z P

Z P X P

N X

". La resistencia de un medidor de deformación está distribuida

normalmente con una media de 3)6 oEms y una desviación

estándar de 6,K oEms. Los límites de especi%cación son 3)6 ±

6,: oEms. u- porcentaje de medidas estará defectuoso#

Solución

K,: K,:)

3)6 3)6,:339,:


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4,08

4082,0

4082,0

404,0"05,204,0

405,2

x Z

05,2 z 02,04 # P

$ %04,0

04,0%& #

1

TABLA

2

=

=

=

=

∼

µ

µ

µ

µ µ

σ

µ

µ σ

µ

b.

4,05

405,0

405,0

40025,0"05,2025,0

405,2

x Z

05,2 z 02,04 # P98,04 # P

05,4 %04,0

1

TABLA

$

=

=

=

=

µ

µ

µ

µ µ

σ

µ

µ σ

J RCICIOS PROPU STOS

Bistribució ormal

3.3. eterminar el valor o los valores de Z en cada uno de los siguientes casos, donde el

área dada se refiere a una curva normal:

a.a. El área entre 0 y Z es 0.3770

b.b. El área a la izquierda de Z es 0.8!"

c.c. El área entre #".$ y Z es 0.0!"7 %dos casos&


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).). El diámetro interno de un aro de 'ist(n está distri)uido de manera normal con una

media de *.$ cm. y una desviaci(n estándar de 0.00$ cm. +u- 'ro)a)ilidad ay

de o)tener un diámetro que e/ceda de *.$! cm.

;.;. 1a resistencia de un medidor de deformaci(n está distri)uida normalmente con

una media de "!0 om y una desviaci(n estándar de 0.* oms. 1os l2mites de

es'ecificaci(n son "!0 0.$ oms. +u- 'orcentae de medidas estará defectuoso

K.K. 1a cantidad real de caf- instantáneo que una máquina vierte en frascos de * onzas

'uede considerarse como una varia)le aleatoria con distri)uci(n normal que tiene

σ40.0* onzas. 5i s(lo el !6 de los frascos contiene menos de * onzas, +uál es la

media de los frascos que se an llenado

:.:.En cierto 'roceso de fa)ricaci(n se 'roducen discos, cuya masa está normalmente

distri)uida con una desviaci(n estándar de $ g. +uál ser2a la masa media si la

'ro)a)ilidad de o)tener una masa su'erior a !"0 g a de ser 0.0"

7.7. iertas lám'aras el-ctricas que fueron com'radas 'ara alum)rar una 'ista tienen

una vida media de 3000 oras con un coeficiente de variaci(n de "".36. 5i es más

econ(mico cam)iar todas las lám'aras cuando el !06 de ellas se an fundido, que

cam)iarlas segn se vayan necesitando, +des'u-s de cuántas oras se de)en

reem'lazar 5u'onga que no se an cam)iado las lám'aras. alcule el la'so

des'u-s del cual se a)rán fundido otro !06 de ellas.

H.H. El 'eso medio de $00 estudiantes varones de cierta universidad es de 7$ 9g., y la

desviaci(n t2'ica es 7 9g. 5u'uesto que los 'esos est-n normalmente distri)uidos,

allar cuántos estudiantes 'esan:

a.a. entre 0 y 77 9g.

b.b. más de 0 9g.

8.8. 1as 'untuaciones en un e/amen de estad2stica eran de 0, ", !,..., !0 'untos, segn

el nmero de res'uestas correctas de entre !0 'reguntas. 1a nota media fue de "3

'untos y la desviaci(n t2'ica 3. 5u'uesto que las notas estuvieran normalmente

distri)uidas, determinar:a.a. el 'orcentae de estudiantes que tuvo más de "! 'untos

b.b. la nota má/ima del 'rimer cuartil

c.c. la nota m2nima del cuartil su'erior

9.9. 5ea ; que sigue una distri)uci(n normal, calcular los 'arámetros de la distri)uci(n

si se sa)e que:


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11/19


12/19

e.e.


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EJERCICIOS RESUELTOS

Eercicio ". %=

−>=>

F Z P

Z P X P

Eercicio "! %


14/19


15/19

21212

2122

+


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50,0→∞→

p

n X J ( 2;. σ µ Normal aprox

49555,0*45,0*2000)1(**

90045,0*2000*

2 ==−=

===

p pn

pn

σ

µ

a.a. Entre 700 y 00 'lantas

900700


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( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )400

400800

400

800400

400

400800200400800200

>

>∩

−

−


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Gutoevaluaci(n $ istri)uci(n Kormal.

3.3. ?n 'rofesor de un numeroso gru'o de estudiantes los califica de la siguiente

manera:

a.a. 5i la calificaci(n es mayor que µ M".σ la calificaci(n es Gb.b. 5i µ M0.*σ 'untuaci(n µ M".σ la calificaci(n es H

c.c. 5i µ D0.*σ 'untuaci(n µ M0.*σ la calificaci(n es

d.d. 5i µ D0.*σ 'untuaci(n µ M0.*σ la calificaci(n es

e.e. 5i µ D".σ 'untuaci(n µ D0.*σ la calificaci(n es

f.f. 5i la calificaci(n es menor que µ D".σ la calificaci(n es E

5u'oniendo que estas calificaciones están distri)uidas de manera normal con

una media

µ y una desviaci(n estándar

σ %válida ya que sus alumnos son

numerosos& +uál es el 'orcentae de cada calificaci(n otorgada 'or el

'rofesor

).). En una em'resa destinada a la 'roducci(n de envases se registr( que -stos

'resenta)an un 'eso 'romedio de "0 gr. con una desviaci(n de *. 5i se asume que

la varia)le 'eso se distri)uye normalmente calcule:

a.a. +u- 'ro)a)ilidad e/iste de seleccionar envases con un 'eso su'erior a8

b.b. +u- 'orcentae del total de envases tiene un 'eso inferior a "8

c.c. +u- 'orcentae tiene un 'eso entre 8 y " si se sa)e que 'esan menosde "!

d.d. +uántos envases 'esan entre * y "! si se tienen un total de *00envases

;.;. 1a ancura en mil2metros de una 'o)laci(n de cole('teros sigue una distri)uci(n

normal. 5e estima que el 776 de la 'o)laci(n mide menos de "! mm. y que el 8*6

mide más de 7 mm.

a.a. +uál es la ancura media de la 'o)laci(n

b.b. @allar σ .

K.K. El volumen de llenado de una máquina automatizada usada 'ara llenar latas de

una )e)ida car)onatada tiene una distri)uci(n normal con una media de "!.*

onzas l2quidas y una desviaci(n estándar de 0." onzas l2quidas.

a.a. +uál es la 'ro)a)ilidad de que un volumen de llenado sea menor que"! onzas l2quidas

b.b. 5i se desecan todas las latas con menos de "!." onzas o con más de"!. onzas, +u- 'ro'orci(n de las latas se desecar2a

c.c. etermine las es'ecificaciones sim-tricas alrededor de la media queincluyan al 6 de las latas.


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OP IONAL:

5i ; es una varia)le aleatoria que sigue una distri)uci(n normal con 'arámetros

µ y

2σ , demuestre que su f%/& es una funci(n de densidad de 'ro)a)ilidad, que su E%/&4

µ y su I%/&4

2σ .

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