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Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC

Universidade Virtual do Estado do Maranhão – INIVIMA

Departamento de Matemática – UFSC

Curso de Especialização em Matemática

Modalidade à Distância

Guia de Estudos

Disciplina: Álgebra

Autor: Oscar Ricardo Janesch Maio de 2008

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Universidade Federal de Santa Catarina Campus Universitário – Trindade – Caixa Postal 476 CEP 88040-900 – Florianópolis - SC

Reitor: Álvaro Toubes Prata Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Prata Pró-Reitoria de Graduação: Yara Maria Rauh Muller Pró-Reitoria de Pesquisa e Extensão: Débora Peres Menezes Pró-Reitoria de Pós-Graduação: José Roberto O’Shea Pró-Reitoria de Desenvolvimento Humano e Social: Luiz H. Vieira Silva Pró-Reitoria de Infra-Estrutura: João Batista Furtuoso Pró-Reitoria de Assuntos Estudantis: Cláudio José Amante Departamento de Ensino à Distância: Araci Hach Catapan Centro de Ciências Físicas e Matemáticas: Méricles Tadeu Moretti Departamento de Matemática: Rosemary Pereira Coordenação Acadêmica: Neri Terezinha Both Carvalho

Universidade Virtual do Estado do Maranhão Reitor: Othon de Carvalho Bastos Vice-Reitor: Pedro Eurico Noleto Cruz Pró-Reitoria de Ensino: Paulo César Marque Doval Pró-Reitoria de Pesquisa: Dario Manoel Barroso Soares Pró-Reitoria de Planejamento e Gestão: Marco Aurélio L. Estrela Coordenação Geral: Neusa Maria Lobato Sampaio Coordenação de Matemática: Lucy Rosana Silva

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Disciplinas e Professores do Curso de Especialização: Álgebra: Oscar Ricardo Janesch Álgebra Linear: Roberto Corrêa da Silva Análise: Eliezer Batista Tópicos de Cálculo: Silvia Martini de Holanda Janesch Coordenadora do Curso de Especialização em Matemática:

Neri Terezinha Both Carvalho

Endereço Eletrônico: www.ead.ufsc.br

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Apresentação O conceito da estrutura algébrica chamada anel, fundamental para a axiomatização da álgebra, surgiu como conseqüência da sistematização dos conjuntos numéricos. A primeira tentativa foi feita por Benjamin Peacok(1791-1858) em 1830, mas não se mostrou consistente. Porém, em 1914, o alemão A. Franenkel(1891-1965) apresentou a definição formal de anel que usamos hoje. Veremos que um anel é um conjunto não vazio onde estão definidas operações que satisfazem propriedades bem determinadas. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros � , com as operações usuais de adição e multiplicação, é um anel. A definição de anel surge da necessidade de saber em quais conjuntos temos boas propriedades aritméticas que permitem fazer contas. De outra forma, o conceito de anel está relacionado com as seguintes perguntas: Qual o conjunto mínimo de propriedades da adição e da multiplicação em � , a partir do qual é possível demonstrar as demais propriedades de � ? Quais propriedades as operações de um conjunto A devem satisfazer para que possamos fazer contas em A de forma semelhante a que fazemos em � ? As respostas para as perguntas acima levaram aos seis axiomas de anel. Isto é, um conjunto mínimo de propriedades que as operações de adição e de multiplicação em � ( e de qualquer outro conjunto com duas operações ) devem satisfazer para que possamos deduzir outras propriedades. Seja A um conjunto onde estão definidas duas operações que satisfazem os seis axiomas de anel. Chamaremos A de anel. Suponha que a partir dos seis axiomas de anel consigamos provar outras quinze propriedades operacionais. Como usamos apenas os seis axiomas de anel para deduzir estas quinze novas propriedades, elas valem não apenas para A , mas para todo conjunto com duas operações que satisfaçam os seis axiomas de anel. Note que isso leva a uma mudança de enfoque. Deixamos de estudar um conjunto baseados na natureza de seus elementos, e passamos a estudá-lo com base nas propriedades de suas operações. Veremos que este procedimento é útil para obter informações sobre vários conjuntos. Conjuntos com operações que satisfazem axiomas determinados previamente são chamados de estruturas algébricas. Anel é uma estrutura algébrica.

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Neste curso estudaremos também a estrutura algébrica chamada grupo. Um grupo é uma estrutura algébrica com uma operação, que satisfaz 3 axiomas. Historicamente os grupos estão associados aos anéis de polinômios, e foram introduzidos por Evarist Galois (1811-1832). O objetivo deste guia é orientar os estudos dos alunos do Curso de Especialização na disciplina de Álgebra. O guia de estudos está dividido da forma seguinte:

• Programa da Disciplina: Ementa Objetivos Gerais Objetivos Específicos Conteúdo Programático Bibliografia • Plano de Ensino: Ementa Objetivos Gerais Objetivos Específicos Conteúdo Programático Metodologia Avaliação Referências Bibliográficas • Cronograma de Atividades: Identificação da semana Conteúdo para o período Data da videoconferência Principais temas da videoconferência Atividades de estudos para o período Exercícios recomendados; Observações e sugestões.

Para desenvolver o programa da disciplina de Álgebra, usaremos os livros abaixo: Domingues, H. H. – Álgebra Moderna, 4º edição, Atual Editora, São Paulo, 2003. Gonçalves, A. – Introdução à Álgebra, 5º edição, Projeto Euclides – IMPA, Rio de Janeiro, 2007.

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O livro Álgebra Moderna traz todo o conteúdo da disciplina de Álgebra. A linguagem é simples e de fácil compreensão. Este livro foi escrito para ser usado como texto de um primeiro curso de álgebra, para alunos dos cursos de licenciatura em matemática. Tem muitas notas históricas, vários exemplos, exercícios resolvidos e repostas para muitos exercícios propostos. O livro Introdução à Álgebra desenvolve o conteúdo referente à Teoria de Anéis de forma muito cuidadosa. Não se dispersa em exemplos e resultados menos relevantes, mantendo o foco nos teoremas fundamentais. Os enunciados das proposições são bem claros e objetivos. No cronograma de atividades, as orientações são apresentadas por semana. São especificadas quais atividades serão desenvolvidas junto com o professor e quais tarefas o aluno terá que executar naquela semana. Os encontros com o professor serão realizados semanalmente, através de videoconferências. Na primeira videoconferência será apresentado o plano de ensino e, em seguida, iniciará o curso com aula sobre o anel de inteiros. Caberá ao aluno acompanhar o cronograma de atividades, estudar o conteúdo programado para aquela semana, e resolver os exercícios sugeridos. Lembramos que os exercícios têm a finalidade de fixar os conceitos e principais resultados. São indispensáveis para o aprendizado. Se surgir dúvida, discuta com os colegas de classe, pergunte ao tutor-UFSC e ao professor. O sucesso do curso depende da disciplina de estudos. Para isso é preciso ter sempre a mão o cronograma de atividades, e certificar-se de que está cumprido o planejado semanalmente. Não desanime caso não consiga entender uma definição, um teorema, ou resolver um exercício. Quando tiver dificuldades, leia novamente a teoria e reveja os exemplos. Se ainda assim não conseguir entender, procure ajuda. O tutor-UFSC está à disposição. Bons estudos.

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Programa de Álgebra Disciplina: Álgebra Carga Horária: 90 horas Curso: Especialização em Matemática na Modalidade à Distância Semestre 2008.2 Ementa: Anel. Domínio. Corpo. Noções de Grupos. Objetivos Gerais: Proporcionar ao aluno condições de: 1) Desenvolver sua capacidade de dedução; 2) Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado; 3) Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de questões matemáticas; 4) Desenvolver seu espírito crítico e criativo; 5) Perceber e compreender a relação entre diversas áreas da matemática apresentadas ao longo do curso; 6) Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos. Objetivos Específicos: Depois de cursar a disciplina, espera-se que o aluno seja capaz de: 1) Entender o conceito de estruturas algébricas; 2) Reconhecer anéis, domínios, corpos e grupos; 3) Identificar a estrutura algébrica de vários conjuntos usuais em matemática. Entre eles , , , , , ,

nn� � � � � � � , conjuntos de matrizes, conjunto de polinômios

e produto cartesiano; 4) Utilizar propriedades de estruturas algébricas para resolver problemas; 5) Diferenciar elementos primos e irredutíveis em anéis; 6) Entender os conceitos de subestruturas, ideais, homomorfismos e isomorfismos; 7) Calcular alguns anéis quociente e alguns grupos quociente.

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Conteúdo Programático Unidade 1: Anel dos Inteiros 1.1 Propriedades Básicas da Adição e da Multiplicação 1.2 O anel � 1.3 Boa Ordenação, Algoritmo da Divisão e Princípios de Indução 1.4 Ideais e Máximo Divisor Comum 1.5 Números Primos e Ideais Maximais 1.6 Fatoração em � 1.7 Os anéis

n� .

Unidade 2: Anel, Domínio e Corpo 2.1 Definição das Estruturas Algébricas de Anel, Domínio e Corpo 2.2 Propriedades dos Anéis 2.3 Anel de Funções, Anel de Matrizes e Anel Produto Cartesiano 2.4 Subanéis, Subdomínios e Subcorpos. Unidade 3: Ideais e Anel Quociente 3.1 Definição e Exemplos de Ideais 3.2 Propriedades dos Ideais 3.3 Ideais Primos e Ideais Maximais 3.4 Definição de Anel Quociente 3.5 Propriedades dos Anéis Quociente 3.6 Exemplos de Construção de Alguns Anéis Quociente. Unidade 4: Homomorfismos e Isomorfismos de Anéis 4.1 Definição de Homomorfismos e Isomorfismos 4.2 Núcleo e Imagem 4.3 Propriedades dos Homomorfismos 4.4 Teorema do Isomorfismo 4.5 Aplicações do Teorema do Isomorfismo.

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Unidade 5: Anel de Polinômios 5.1 Definição Formal de Polinômios sobre um Anel 5.2 Algoritmo da Divisão 5.3 Ideais Principais e Máximo Divisor Comum 5.4 Polinômios Irredutíveis e Fatoração. Unidade 6: Grupos 6.1 Grupos e Subgrupos 6.2 Homomorfismos e Isomorfismos de Grupos 6.3 Grupos Cíclicos 6.4 Classes Laterais e o Teorema de Lagrange 6.5 Subgrupo Normal 6.6 Grupo Quociente.

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Bibliografia [1] Domingues, H. H. – Álgebra Moderna, 4º edição, Atual Editora, São Paulo, 2003. [2] Garcia, A. e Lequain, Y. – Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2003. [3] Gonçalves, A. – Introdução à Álgebra, 5º edição, Projeto Euclides – IMPA, Rio de Janeiro, 2007. [4] Hefez, A. – Curso de Álgebra, Volume 1, Coleção Matemática Universitária - IMPA, Rio de Janeiro, 1993. [5] Monteiro, J. – Elementos de Álgebra, 2º edição, LTC editora, Rio de Janeiro, 1978.

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Plano de Ensino Disciplina: Álgebra Carga Horária: 90 horas Curso: Especialização em Matemática na Modalidade à Distância Semestre 2008.2 Ementa: Anel. Domínio. Corpo. Noções de Grupos. Objetivos Gerais: Proporcionar ao aluno condições de: 1) Desenvolver sua capacidade de dedução; 2) Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado; 3) Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de questões matemáticas; 4) Desenvolver seu espírito crítico e criativo; 5) Perceber e compreender a relação entre diversas áreas da matemática apresentadas ao longo do curso; 6) Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos. Objetivos Específicos: Depois de cursar a disciplina, espera-se que o aluno seja capaz de: 1) Entender o conceito de estruturas algébricas; 2) Reconhecer anéis, domínios, corpos e grupos; 3) Identificar a estrutura algébrica de vários conjuntos usuais em matemática. Entre eles , , , , , ,

nn� � � � � � � , conjuntos de matrizes, conjunto de polinômios

e produto cartesiano; 4) Utilizar propriedades de estruturas algébricas para resolver problemas; 5) Diferenciar elementos primos e irredutíveis em anéis; 6) Entender os conceitos de subestruturas, ideais, homomorfismos e isomorfismos; 7) Calcular alguns anéis quociente e alguns grupos quociente.

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Conteúdo Programático Unidade 1: Anel dos Inteiros 1.1 Propriedades Básicas da Adição e da Multiplicação 1.2 O anel � 1.3 Boa Ordenação, Algoritmo da Divisão e Princípios de Indução 1.4 Ideais e Máximo Divisor Comum 1.5 Números Primos e Ideais Maximais 1.6 Fatoração em � 1.7 Os anéis

n� .

Unidade 2: Anel, Domínio e Corpo 2.1 Definição das Estruturas Algébricas de Anel, Domínio e Corpo 2.2 Propriedades dos Anéis 2.3 Anel de Funções, Anel de Matrizes e Anel Produto Cartesiano 2.4 Subanéis, Subdomínios e Subcorpos. Unidade 3: Ideais e Anel Quociente 3.1 Definição e Exemplos de Ideais 3.2 Propriedades dos Ideais 3.3 Ideais Primos e Ideais Maximais 3.4 Definição de Anel Quociente 3.5 Propriedades dos Anéis Quociente 3.6 Exemplos de Construção de Alguns Anéis Quociente. Unidade 4: Homomorfismos e Isomorfismos de Anéis 4.1 Definição de Homomorfismos e Isomorfismos 4.2 Núcleo e Imagem 4.3 Propriedades dos Homomorfismos 4.4 Teorema do Isomorfismo 4.5 Aplicações do Teorema do Isomorfismo.

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Unidade 5: Anel de Polinômios 5.1 Definição Formal de Polinômios sobre um Anel 5.2 Algoritmo da Divisão 5.3 Ideais Principais e Máximo Divisor Comum 5.4 Polinômios Irredutíveis e Fatoração. Unidade 6: Grupos 6.1 Grupos e Subgrupos 6.2 Homomorfismos e Isomorfismos de Grupos 6.3 Grupos Cíclicos 6.4 Classes Laterais e o Teorema de Lagrange 6.5 Subgrupo Normal 6.6 Grupo Quociente.

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Metodologia O conteúdo que será trabalhado neste curso está nos livros [1] e [3] das referências bibliográficas. Os demais livros da referência bibliográfica são úteis para consultas e estudos complementares. Serão feitas videoconferências semanais sobre tópicos do programa. Estas videoconferências serão gravadas como vídeo-aula e ficarão a disposição do aluno para consulta posterior, com o objetivo de facilitar a compreensão do assunto. Exercícios resolvidos, tratando sobre os principais temas de estudo, serão colocados no ambiente virtual, Os alunos contarão com um Tutor-UFSC, em horários estabelecidos. As tarefas, que farão parte da avaliação, serão colocadas no ambiente virtual de aprendizado. O aluno, durante o estudo dos conteúdos, desenvolverá tarefas que têm a finalidade de orientar a construção do conhecimento dentro do espaço de tempo determinado para a disciplina. O desenvolvimento da disciplina, em função da modalidade do curso, prioriza o estudo individual e em grupo com acompanhamento de tutor à distância. Durante o desenvolvimento da disciplina, conforme cronograma apresentado a seguir, o aluno é orientado e a ele é proposto uma seqüência de atividades que visam à construção do seu conhecimento.

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Avaliação Avaliação continuada ao longo do processo. O aluno será avaliado através de duas tarefas, 1T e 2T , e duas provas escritas 1P e 2P . As tarefas serão individuais e corrigidas pelo Tutor-UFSC. As provas serão individuais e corrigidas pelo professor. A cada prova e a cada tarefa será atribuída uma nota entre zero e dez. A média das avaliações será calculada pela fórmula

1 2 1 22 2.

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P P T TM

+ + +=

O conceito final é determinado da forma seguinte: Se 6M < então o conceito é C; Se 6 8,5M≤ < então o conceito é B; Se 8,5M ≥ então o conceito é A; Serão aprovados os alunos com conceito final A ou B.

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Referências Bibliográficas [1] Domingues, H. H. – Álgebra Moderna, 4º edição, Atual Editora, São Paulo, 2003. [2] Garcia, A. e Lequain, Y. – Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2003. [3] Gonçalves, A. – Introdução à Álgebra, 5º edição, Projeto Euclides – IMPA, Rio de Janeiro, 2007. [4] Hefez, A. – Curso de Álgebra, Volume 1, Coleção Matemática Universitária - IMPA, Rio de Janeiro, 1993. [5] Monteiro, J. – Elementos de Álgebra, 2º edição, LTC editora, Rio de Janeiro, 1978.

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Cronograma de Atividades Disciplina: Álgebra Semestre 2008.2 Início: 04/08/2008 Fim: 06/12/08. Horário das videoconferências: _________ as _________ Apresentamos a seguir o cronograma das atividades do curso de álgebra. O cronograma é dividido em semanas. Em cada página você encontrará as atividades de uma semana, com as seguintes informações:

• Identificação da semana; • Conteúdo para o período; • Data da videoconferência; • Principais temas da videoconferência; • Atividades de estudos para o período; • Exercícios recomendados; • Observações e sugestões.

Conforme informamos na metodologia, os livros usados como textos para este curso são: [1] Domingues, H. H. – Álgebra Moderna, 4º edição, Atual Editora, São Paulo, 2003. [3] Gonçalves, A. – Introdução à Álgebra, 5º edição, Projeto Euclides – IMPA, Rio de Janeiro, 2007. Faremos referência a estes livros usando o número, entre colchetes, que o precede. Por exemplo: ([3], pg 36) indica a página 36 do livro Introdução à Álgebra. Sugerimos àqueles que não estão familiarizados com a linguagem da álgebra, que leiam atentamente as seguintes partes dos livros:

• Introdução e Capítulo I – Noções Preliminares ([3], pg1-14) • Capítulo 1 – Noções sobre conjuntos e Demonstrações ([1], pg7-28).

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1º Semana – 04/08 a 09/08 • Conteúdo:

Unidade 1 – Anel de Inteiros 1.1 - Propriedades Básicas da Adição e da Multiplicação; 1.2 - O anel � ;

1.3 - Boa Ordenação, Algoritmo da Divisão e Princípios de Indução. • Videoconferência: 07/08

Primeira Parte: Apresentação do Plano de Ensino. Segunda Parte: Aula sobre Anel de Inteiros.

• Atividades de Estudos para a Semana: Capítulo 2, pg 15-19 do livro [3]. Capítulo 2, pg 29-39 do livro [1].

• Exercícios Recomendados: Exercícios 1b), 2 e 8, pg 18-19 do livro [3]. Exercícios 3, 4, 5, 8 e 10, pg 38-39 do livro [1].

• Observações e Sugestões: O Curso de Álgebra inicia estudando o conjunto � , pois este conjunto é um modelo para o entendimento de anéis abstratos, que estudaremos na próxima unidade. Nesta aula veremos que 6 propriedades básicas da adição e da multiplicação de � são os axiomas de anel. A partir delas pode-se provar várias outras propriedades. Usando a Boa Ordenação de � , veremos que é possível provas os princípios de indução e também o algoritmo da divisão. Acompanhe em ([1], pg 29-30) alguns fatos sobre o surgimento de números inteiros. Em ([1], pg 35-38) há uma exposição sobre sistemas de numeração que ajuda a entender os números inteiros como um mecanismo para registrar quantidades.

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Unidade 1 – Anel de Inteiros 1.4 – Ideais e Máximo Divisor Comum; 1.5 - Números Primos e Ideais Maximais; 1.6 - Fatoração em � .

• Videoconferência: 14/08

Aula sobre Ideais, MDC e Fatoração em � .


• Exercícios Recomendados: Exercícios 2, 3, 4a), 9, 10 e 14, pg 22-23 do livro [3]. Exercício 31, pg 49 do livro [1].

• Observações e Sugestões: Atenção ao Teorema 3 ([3], pg 21). Este é o teorema que prova a existência de mdc em � , além de provar a identidade de Bezout; O exercício 2 ([3], pg 22) fornece um método alternativo para calcular mdc em � . Este método é conhecido como método das divisões sucessivas. Uma leitura complementar sobre números inteiros é ([1], pg 49-62). Neste texto são mostrados os principais resultados sobre equações diofantinas, congruências e critérios de divisibilidade.

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Unidade 1 – Anel de Inteiros 1.7 – Os Anéis

n� .


Aula sobre os Anéis n� .

• Atividades de Estudos para a Semana:

Capítulo 2, pg 28-33 do livro [3]. Capítulo 5, pg 213-214 do livro [1].

• Exercícios Recomendados: Exercícios 1, 2, 3, 6 a), b) e c) pg 32-33 do livro [3].

• Observações e Sugestões: Os anéis

n� também são chamados anéis de classes de restos.

Estes anéis são um modelo para a construção de anéis quociente que serão vistos adiante. O aluno que não está familiarizado com congruências pode fazer um estudo em ([1], pg 53-56).

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Unidade 2 – Anel, Domínio e Corpo 2.1 – Definição das Estruturas Algébricas de Anel, Domínio e Corpo; 2.2 - Propriedades dos Anéis; 2.3 - Anéis de Funções, Anéis de Matrizes e Anéis Produto Cartesiano.


Aula sobre Anéis, Domínios e Corpos.

• Atividades de Estudos para a Semana: Capítulo 3, pg 34-42 do livro [3]. Capítulo 5, pg 210-216 e pg 218-232 do livro [1].

• Exercícios Recomendados: Exercícios 4, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18 e 20, pg 40-42 do livro [3]. Exercícios 2, 4, 16, 38 e 53, pg 226-232 do livro [1].

• Observações e Sugestões: A notação [ ]p� deve ser lida como “� adjunção raiz de p”, ou simplesmente “� raiz de p”. Analogamente, [ ]p� pode ser lido simplesmente como “ � raiz de p”. O anel [ ] [ 1]i = −� � é chamado anel de inteiros de Gauss. Atenção ao exercício 7 ([3], pg 40), que traz várias propriedades dos anéis. Notas históricas sobre a definição axiomática, que levaram a definição de anel, podem ser vistas em ([1], pg 210-211).

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Unidade 2 – Anel, Domínio e Corpo 2.4 – Subanéis, Subdomínios e Subcorpos.


Aula sobre Subestruturas.


• Exercícios Recomendados: Exercícios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 13, pg 45-46 do livro [3]. Exercícios 20 a), 22, 23, 25, 53, 54, 55 e C3, pg 228-232 do livro [1].

• Observações e Sugestões: O conceito de subanel deve ser entendido como um conjunto dentro de um anel, que também é anel com as operações do anel inicial. Estudar subanéis é uma forma de produzir novos anéis sem fazer muitas contas. Lembre que para verificar se um conjunto é anel com as operações dadas, precisamos verificar que as operações são fechadas e satisfazem 6 axiomas. Veja agora a Proposição 1 em ([3], pg 43), ela assegura que subconjunto dentro de um anel é subanel, quando contém o zero e é fechado pela subtração e pelo produto. Note que isso reduz o trabalho.

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Unidade 3 – Ideais e Anel Quociente 3.1 – Definição e Exemplo de Ideais; 3.2 - Propriedade dos Ideais; 3.3 - Ideais Primos e Ideais Maximais.


Aula sobre Ideais.


• Exercícios Recomendados: Exercícios 1, 2 e 4 pg 53 do livro [3]. Exercícios 99 a), b), c) f), 102, 103, 104, 118, 121 e 125 pg 261-264 do livro [1].

• Observações e Sugestões: Os ideais formam uma classe especial de subanéis. Usaremos os ideais na próxima semana para construir anéis quociente. Notas históricas sobre ideais estão em ([1], pg 255). Acompanhe o exercício resolvido 114 em ([1], pg 263). Atenção ao Teorema 1 em ([3], pg 49). Este teorema diz que em corpos só temos ideais triviais. Veja o Exemplo 45 em ([1], pg 258). Neste exemplo fica provado que os ideais de � são da forma n� . Por outro lado, sabemos que os subanéis de � também são da forma n� . Portanto, os conceitos de ideal e subanel são os mesmos em � . Note que isso não vale em um anel qualquer.

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Unidade 3 – Ideais e Anel Quociente 3.4 – Definição de Anel Quociente; 3.5 - Propriedade dos Anéis Quociente; 3.6 - Exemplos da Construção de alguns Anéis Quociente.


Aula sobre Anéis Quociente.

• Atividades de Estudos para a Semana: Capítulo 3, pg 50-54 do livro [3]. Capítulo 5, pg 265-266 do livro [1]. Entregar a Tarefa 1 ao coordenador do pólo até o dia 20/09.

• Exercícios Recomendados: Exercício 8, pg 53 do livro [3]. Exercícios 127 a), b), c), d), e), f), 129, 130 e 131 pg 269 do livro [1].

• Observações e Sugestões: Os anéis quociente são uma generalização dos anéis

n� . De fato, o anel

n� é exatamente o quociente do anel � pelo ideal n� , isto é

nn

=�

��

.

Na unidade 4 usaremos os anéis quociente, junto com isomorfismos, para estudar a melhor estrutura algébrica de determinados anéis. Observe que no livro [1] o assunto de Anéis Quociente vem depois de Homomorfismos. Por isso, existem alguns exercícios neste livro que ainda não podem ser resolvidos.

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8º Semana – 22/09 a 27/09 Nesta semana será realizada a Prova 1, no dia 25/09.

• Conteúdo:

Unidades 1,2 e 3.


Acompanhamento da prova.

• Atividades de Estudos para a Semana: Rever as Unidades 1, 2 e 3. Rever os exercícios recomendados nas semanas anteriores. Rever a tarefa 1.

• Observações e Sugestões: Refaça alguns exercícios de cada unidade. Memorize todas as definições. Tenha em mente os principais resultados e propriedades sobre cada assunto.

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Unidade 4 – Homomorfismos e Isomorfismos de Anéis 4.1 – Definição de Homomorfismo e Isomorfismo; 4.2 - Núcleo e Imagem; 4.3 - Propriedade dos Homomorfismos.


Aula sobre Homomorfismos e Isomorfismos.


• Exercícios Recomendados: Exercícios 6 e 7 pg 58 do livro [3]. Exercícios 59 a), c), d), f), g), 61, 65, 71 e 76 pg 240-243 do livro [1].

• Observações e Sugestões: Homomorfismos são funções que relacionam elementos de dois anéis. Quando estes homomorfismos são bijetores, chamados isomorfismos, os anéis envolvidos são semelhantes. Portanto, para conhecer propriedade de um anéis, basta conhecer propriedades de um anel isomorfo a ele. Veja os exercícios resolvidos 6 em ([1], pg 241), 75 em ([1], pg 242) e C4 em ([1], pg 243). Atenção ao fato de um homomorfismo :f A B→ ter seu núcleo como ideal de A , e sua imagem como subanel de B .

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Unidade 4 – Homomorfismos e Isomorfismos de Anéis 4.4 – Teorema do Isomorfismo; 4.5 - Aplicações do Teorema do Isomorfismo.


Aula sobre Isomorfismos.


• Exercícios Recomendados: Exercício 8 pg 60 do livro [3]. Exercícios 133, 135 e 138 pg 270 do livro [1].

• Observações e Sugestões: O Teorema do Isomorfismo é usado para produzir anéis isomorfos via construção de anéis quociente, e conhecer a melhor estrutura algébrica de um anel quociente através de isomorfismo. Suponha que desejemos conhecer propriedades de um anel desconhecido B . Se for possível obter um homomorfismo :f A B→ que é

sobrejetor, o Teorema do Isomorfismo garante que B é isomorfo a ( )

A

N f.

Portanto, para conhecer propriedades do anel B , basta conhecer propriedades

de ( )

A

N f, e vice-versa.

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Unidade 5 – Anel de Polinômios 5.1 – Definição Formal de Polinômio sobre um Anel; 5.2 - Algoritmo da Divisão.


Aula sobre Anel de Polinômios.


• Exercícios Recomendados: Exercícios 1, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 12 e 13 pg 69-71 do livro [3]. Exercícios 4, 5, 6 e 7 pg 284-285 do livro [1]. Exercícios 9, 11, 16 e 17 pg 289-291 do livro [1]. Exercícios 27, 28, 31 e 35 pg 295-297 do livro [1].

• Observações e Sugestões: Leia as “Notas Históricas” sobre polinômios em ([1], pg 281-282). Acompanhe os exercícios resolvidos 18, 24, 26, 30 e 38 em ([1], pg 290, 291, 295, 296 e 297). Em ([1], pg 297-311) tem um estudo complementar sobre polinômios, que faz uma revisão (contendo demonstrações) dos resultados vistos no ensino médio. Inclui o Teorema do Resto, Algoritmo de Briot-Ruffini, Multiplicidade de Raízes, e Estudo de Raízes Racionais e Complexas. Temos dois objetivos principais nesta aula. O primeiro é definir formalmente polinômio e, mostrar que o conjunto dos polinômios com coeficientes em um anel A é novamente um anel [ ]A X que herda várias propriedades de A . O segundo objetivo é estudar o algoritmo da divisão em

[ ]K X , quando K é corpo. Veja o Teorema 1 em ([3], pg 66) e a Proposição 5 em ([3], pg 293).

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Unidade 5 – Anel de Polinômios 5.3 – Ideais Principais e Máximo Divisor Comum; 5.4 - Polinômios Irredutíveis e Fatoração.


Aula sobre Anel de Polinômios.


• Exercícios Recomendados: Exercícios 1, 3, 9 e 10 pg 74-75 do livro [3]. Exercícios 1, 3, 6 e 7 pg 78-79 do livro [3]. Exercício 6 pg 81 do livro [3]. Exercícios 1, 2 e 3 pg 86 do livro [3]. Exercícios 113 e 114 pg 319-320 do livro [1].

• Observações e Sugestões: Veremos que se K é corpo então [ ]K X só tem ideais triviais. Como conseqüência temos que a existência de mdc em [ ]K X , com identidade de Bezout. Veja o Teorema 2 e o Teorema 3 em ([3], pg 72-73). Estudaremos irredutibilidade de polinômios e decomposição em produto de polinômios irredutíveis. Note que se trata de um procedimento análogo ao que se faz no anel � , quando decompomos um número em produto de números primos (irredutíveis).

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Unidade 6 – Grupos 6.1 – Grupos e Subgrupos.


Aula sobre Grupos.

• Atividades de Estudos para a Semana: Capítulo 4, pg 137-161do livro [1]. Capítulo 6, pg 119-132 do livro [3].

• Exercícios Recomendados: Exercícios 1, 2, 7, 12, 14, 29, 33, 36, 37, 40 e 41 pg 155-161 do livro [1]. Exercícios 4, 5 e 14 pg 124-126 do livro [3].

• Observações e Sugestões: Para toda Unidade 6, a principal referência será o livro [1]. Começamos o estudo de uma nova estrutura algébrica, chamada grupo. Esta estrutura tem apenas uma operação. Notar que se ( , ,.)A + é um anel então ( , )A + é um grupo abeliano. Portanto, grupos estão relacionados com os anéis estudados anteriormente. Destacamos os seguintes grupos: * * *( , ), ( , ), ( , ), ( ,.), ( ,.), ( , ), ( ,.)n p+ + + +� � � � � � � ,

grupos de permutações, grupos de rotações e grupos diedrais. Acompanhe as notas históricas sobre grupos em ([1], pg 137-138). Dê uma atenção especial ao parágrafo 2.4 em ([1], pg 140-153), que constrói alguns grupos importantes.

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Unidade 6 – Grupos 6.2 – Homomorfismos e Isomorfismos de Grupos.


Aula sobre Homomorfismos e Isomorfismos de Grupos.

• Atividades de Estudos para a Semana: Capítulo 4, pg 161-174 do livro [1].

• Exercícios Recomendados: Exercícios 48, 49, 50, 51, 53, 60 e 64 pg 171-173 do livro [1].

• Observações e Sugestões: Leia atentamente a introdução do parágrafo 4.2 em ([1], pg 161-162). Homomorfismos e isomorfismos de grupos são análogos aos homomorfismos e isomorfismos de anéis.

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Unidade 6 – Grupos 6.3 – Grupos Cíclicos; 6.4 - Classes Laterais e Teorema de Lagrange.


Aula sobre Grupos Cíclicos, Classes Laterais e Teorema de Lagrange.


• Exercícios Recomendados: Exercícios 75, 76, 78, 93 e 94 pg 183-186 do livro [1]. Exercícios 99, 100 e 104 pg 191-192 do livro [1]. Exercícios 3, 6a) e 9 pg 135-136 do livro [3].

• Observações e Sugestões: Grupos cíclicos formam uma das classes mais importantes de grupos. São práticos para trabalhar, pois podem ser gerados por um único elemento. Acompanhe os exercícios resolvidos 81, 84 e 92 em ([1], pg 184-186). Classes laterais é um assunto de preparação para a próxima aula, quando estudaremos subgrupos normais. Além disso, o número de classes laterais de um grupo está associado a ordem deste grupo, através do Teorema de Lagrange. Veja Proposição 21 em ([1], pg 189) e Teorema 1 em ([3], pg 134).

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Unidade 6 – Grupos 6.5 – Subgrupo Normal; 6.6 - Grupo Quociente.


Aula sobre Subgrupos Normais e Grupo Quociente.

• Atividades de Estudos para a Semana: Capítulo 4, pg 192-200 do livro [1].

• Exercícios Recomendados: Exercícios 118, 122, 130, 132 e 134 pg 198-200 do livro [1].

• Observações e Sugestões: Os subgrupos normais são os análogos aos ideais de anéis. São os subgrupos normais que permitem construir anéis quociente.

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17º Semana – 24/11 a 29/11 Nesta semana será realizada a Prova 2, no dia 27/11.

• Conteúdo:

Unidades 4, 5 e 6.


Acompanhamento da prova.

• Atividades de Estudos para a Semana: Rever as Unidades 4, 5 e 6. Rever os exercícios recomendados nas semanas anteriores. Rever a tarefa 2.

• Observações e Sugestões: Refaça alguns exercícios de cada unidade. Memorize todas as definições. Tenha em mente os principais resultados e propriedades sobre cada assunto.

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18º Semana – 01/12 a 06/12 Entregar a Tarefa 2 para o coordenador do pólo, até o dia 04/12.

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�� Independência

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�� Nossa Senhora Aparecida

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40

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�� Finados

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�� Proclamação da República

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�� Natal

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guia de estudosmtm.ufsc.br/.../algebra_-guia_de_estudos-_oscar-09-06-08.pdf · universidade federal...

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