h. bateman- the aerodynamics of reacting substances

8/3/2019 H. Bateman- The Aerodynamics of Reacting Substances

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388 PHYSICS: H . BATEMAN4 D a v i d H a r k e r , " T h e A p p l i c a t i o n o f t h e T h r e e - D i m e n s i o n a l P a t t e r s o n Method

a n d t h e C r y s t a l S t r u c t u r e s o f P r o u s t i t e , A g 3 A s S 3 , a n d P y r a r g y r i t e , A g 3 S b S 3 , " J o u r n . C h e m .P h y s . , 4 , 3 8 1 - 3 9 0 ( 1 9 3 6 ) .5 W. F . d e j o n g , J . Bouman, and J . J . d e L a n g e , "X-Ray P h o t o g r a p h y o f Z e r o - O r d e rR e c i p r o c a l Net P l a n e s o f a C r y s t a l , " P h y s i k a , 5 , 1 8 8 - 1 9 2 ( 1 9 3 8 ) .

6 W. F . d e j o n g a n d J . Bouman, "Das P h o t o g r a p h i e r e n von r e z i p r o k e n K r i s t a l l -n e t z e n m i t t e l s R o n t g e n s t r a h l e n , " Z e i t . K r i s t . ( A ) 9 8 , 4 5 6 - 4 5 9 ( 1 9 3 8 ) .7 W. F . d e j o n g a n d J . Bouman, "Das P h o t o g r a p h i e r e n von r e z i p r o k e n N e t z e b e n e ne i n e s K r i s t a l l e s m i t t e l s R o n t g e n s t r a h l e n , " P h y s i k a , 5 , 2 2 0 - 2 2 4 ( 1 9 3 8 ) .8 J . Bouman a n d W. F . d e j o n g , " D i e I n t e n s i t a t e n d e r P u n k t e e i n e r p h o t o g r a p h i e r t e n

r e z i p r o k e n N e t z e b e n e , " P h y s i k a , 5 , 8 1 7 - 8 3 2 ( 1 9 3 8 ) .9 I . F a n k u c h e n , "A C o n d e n s i n g M o n o c h r o m a t o r f o r X - R a y s , " N a t u r e , 1 3 9 , 1 9 3( 1 9 3 7 ) .

1 0 R a l p h H . V . M. D a w t o n , "The I n t e g r a t i o n o f L a r g e Numbers o f X-Ray C r y s t a lR e f l e c t i o n s , " P r o c . P h y s . S o c . , 5 0 , 9 1 9 - 9 2 5 ( 1 9 3 8 ) .

THE AERODYNAMICS OF REACTING SUBSTANCESBy H . BATEMAN

GUGGENHEIM GRADUATE S C H O O L O F A E R O N A U T I C S , P A S A D E N A , C A L I F O R N I AC o m m u n i c a t e d M a y 2 2 , 1 9 3 9

S p e a k i n g b r o a d l y , t h e s u b j e c t o f a e r o d y n a m i c s i s c o n c e r n e d n o t o n l y w i t ht h e f o r c e s e x e r t e d b y a s i n g l e f l u i d o n s o l i d b o d i e s b u t a l s o w i t h t h e b e h a v i o ro f m i x t u r e s s u c h a s t h o s e w h i c h o c c u r i n t h e g a s o l i n e e n g i n e a n d i n t h e a t -m o s p h e r e . I n a c o m p l e t e s t u d y o f t h e m o t i o n o f a f l u i d a t t e n t i o n must b ep a i d t o r e a c t i o n s b e t w e e n i t s c o n s t i t u e n t s , e v a p o r a t i o n , c o n d u c t i o n a n dr a d i a t i o n o f h e a t , d i f f u s i o n , v i s c o s i t y a n d o t h e r p h e n o m e n a .I t i s u n c e r t a i n t o w h a t e x t e n t e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e v a r i o u s p r o c e s s e sc a n b e d e r i v e d f r o m a s i n g l e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e a s s o m e o f t h e p h e n o m e n am e n t i o n e d a r e known t o p r e s e n t d i f f i c u l t i e s , b u t t h e s i t u a t i o n m a y b ec l a r i f i e d a l i t t l e b y a n e x a m i n a t i o n o f t h e e q u a t i o n s d e r i v e d f r o m a v a r i a -t i o n a l p r i n c i p l e o f a v e r y g e n e r a l t y p e .We c o n s i d e r n s u p e r p o s e d s u b s t a n c e s S 1 , S 2 , . . . S n . Th e d e n s i t y o f t h e

s u b s t a n c e S 7 a t t h e p o i n t ( x , y , z ) a t t i m e t w i l l b e d e n o t e d b y P r a n d a s e to f c o m p o n e n t v e l o c i t i e s i n a n i r r o t a t i o n a l m o t i o n o f t h i s s u b s t a n c e w i l l b es u p p o s e d t o b e d e r i v a b l e f r o m a p o t e n t i a l , o r , w h i c h i s a f u n c t i o n o f x , y , za n d t . Th e c h a n g e s t a k i n g p l a c e i n t h e c o m p l e x w i l l b e r e g a r d e d a sg o v e r n e d more o r l e s s b y a g o v e r n i n g f u n c t i o n , f , w h i c h i s a f u n c t i o n o f x ,y , z , t a n d o f p i , p 2 , . p n , 4 0 i , 4 2 s , . . . 4 ) . W r i t i n g u r = f r , V . = b - - , W r =w x ayt

r w e c o n s i d e r t h e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l ea i s

3 8 8 P R O C . N , A . S .


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PHYSICS: H . BA TEMA N0= 6 J f d ( x , y , z , t ) [ f -E P S Q 5 - + 1 / 2 U S 2 + 1 / 2 V s 2 + l / 2 W S 2 ) ] -

6 J t d ( x , y , z , t ) L . ( 1 )i n w h i c h t h e q u a n t i t i e s P i , p 2 , p x , 0 1 , a , 2 . . . , o n a r e t o b e v a r i e d i n d e -p e n d e n t l y .

The e q u a t i o n s o f E u l e r a n d L a g r a n g e f o r t h i s v a r i a t i o n a l p r o b l e m a r eo = f S - (0S + 1 / 2 U S 2 + 1 / 2 V S 2 + 1 / 2 W S 2 ) , s = 1 , 2 , . . . , n ( 2 )

0 = f s + ( P s + ( P S U S ) U + ( P s v s ) ++ ( p S w S ) , s 1 , 2 , . . . , n ( 3 )a t a x b y a zw h e r e t h e s y m b o l f S i s u s e d t o d e n o t e 6 f / a p , a n d t h e s y m b o l f s i s u s e d t od e n o t e b f / l s ,D i f f e r e n t i a t i n g t h e f i r s t e q u a t i o n w i t h r e s p e c t t o x we g e t

o = d f s / d x - ( 6 u s l / t + u s 6 u s / l X + v s b u s / l y + w b u , / 6 z ) ( 4 )nw h e r e d f 3 / d x = 6 f s / a x + E ( f r s 6 P r / a X + f r s / ? . X ) .

r=1L e t u s n ow w r i t en

p = f - E P r 6 f / P r , ( 5 )r=1t h e nd p / d x =6 f / a x -E p r b f r l 6 X + E f r 6 O r / 6 X -E p r ( f r s a p s / a x + f g , 6 0 / b x )r=1

= - EL ( P r U r ) + ( 6 / 6 X ) ( P r U r 2 ) + ( 6 / a y ) ( p r U r V r ) +( 6 / 6 z ) ( P r u r W r ) ] . ( 6 )

T h i s i s o n e o f t h e d y n a m i c a l e q u a t i o n s f o r t h e s y s t e m a s a w h o l e . T h eq u a n t i t y p c a n b e r e g a r d e d a s t h e t o t a l p r e s s u r e . The mean m o t i o n( u , v , w ) r e p r e s e n t i n g t h e m o t i o n o f t h e c e n t e r o f m a s s o f e a c h f l u i d e l e m e n ti s g e n e r a l l y r o t a t i o n a l u n t i l t h e d i f f e r e n c e s i n v e l o c i t y o f t h e c o n s t i t u e n t sS r a r e a n n u l l e d .

A d d i n g t h e e q u a t i o n s ( 3 ) w e s e e t h a t L a v o i s i e r ' s p r i n c i p l e o f t h e i n d e -s t r u c t i b i l i t y o f mass i s f u l f i l l e d i n t h e c o m p l e t e s y s t e m i fI nE f s = O . ( 7 )s =1

VOL. 2 5 , 1 9 3 9 389


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PHYSICS: H . BA TEMANT h i s e q u a t i o n i s s a t i s f i e d i f f i s a f u n c t i o n o f t h e d i f f e r e n c e s 4 1 - 4 5 . I n t h es i m p l e c a s e i n w h i c h f = E F s ( p 8 , , 2 , . . . , , ) w e m a y w r i t es=1

ps= F s - p s a F s / l J p sn ( 8 )P= P s .The q u a n t i t y P r c a n t h e n b e r e g a r d e d a s t h e p a r t i a l p r e s s u r e o f t h e c o n s t i t u -e n t S r . We h a v e a l s o( a / a t ) ( p r U r ) + ( a / a x ) ( p r U r 2 ) + ( I / d y ) ( p r U r V r ) + ( 6 / 6 z ) ( p r U r W r ) =

b F r l b x - b p r / b x . ( 9 )T h e s e e q u a t i o n s a r e l i k e t h e o r d i n a r y d y n a m i c a l e q u a t i o n s f o r a s i n g l e g a s .

The p r i n c i p l e i s r e a d i l y e x t e n d e d t o t h e c a s e o f c o n s t i t u e n t s i n r o t a t i o n a lm o t i o n . ' The q u a n t i t y u n d e r s q u a r e b r ac k e t s i n ( 1 ) i s r e p l a c e d b y

nf - E p s ( D s A ) s + a s D s j 3 s - 1 / 2 U s 2 - ' / 2 v s 2 - 1 / 2 w S 2 ) ( 1 0 )s = 1w h e r e D s = a / a 1 + u ? J / ? x + v s ? / l y + w a / a z ,a n d f i s n ow a f u n c t i o n o f x , y , z , t , P l , P 2 , . . . , P n , ( . . l . . , 4 ) , 0 1 1, . 2 . . , n ,# 1 , p 2 , , ,/t , U s , i s , W s . . . . I n f o r m i n g t h e e q u a t i o n s o f E u l e r a n d L a -g r a n g e t h e q u a n t i t i e s p s , s , s , s , u s , v 5 , w , a r e t o b e v a r i e d i n d e p e n d e n t l y .The p r i n c i p l e m a y a l s o b e e x t e n d e d t o t h e c a s e i n w h i c h t h e a x e s a r e t h o s ea t a p l a c e o n t h e r o t a t i n g e a r t h . The f o r m o f t h e L a g r a n g i a n f u n c t i o n i sr e a d i l y i n f e r r e d f r o m t h e r e m a r k i n t h e a u t h o r ' s r e v i e w o f E r t e l ' s b o o k .

I t i s t h o u g h t t h a t t h e s e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s m a y b e o f s o m e u s e i n o b -t a i n i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s e t o f p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s c h a r a c -t e r i z i n g t h e m o t i o n a n d , i n p a r t i c u l a r , f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e v e l o c i t ya n d p r o p e r t i e s o f a s u r f a c e o f d i s c o n t i n u i t y i n t h e a t m o s p h e r e o r i n a n e x -p l o s i o n e n g i n e . I t w i l l b e s e e n f r o m e q u a t i o n s ( 3 ) t h a t w h e n t h e q u a n t i t i e sf s a r e n o t z e r o t h e e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y f o r a c o n s t i t u e n t s u b s t a n c e i s n o ts a t i s f i e d . T h i s a l l o w s , t h e n , f o r t h e p r o d u c t i o n o r d e s t r u c t i o n o f t h e s u b -s t a n c e b y a c h e m i c a l t r a n s f o r m a t i o n a n d t h e g e n e r a l i z e d e q u a t i o n o f c o n -t i n u i t y s h o u l d a l s o b e a g e n e r a l i z e d f o r m o f t h e l a w o f m a s s a c t i o n o f c h e m i -c a l d y n a m i c s . S u c h a n e q u a t i o n s h o u l d b e a p p l i c a b l e i n p a r t i c u l a r t o t h er e a c t i o n z o n e w h i c h f o r m s a r e g i o n o f c o n t i n u i t y b e t w e e n b u r n t a n d u n -b u r n t g a s e s i n a n e x p l o s i o n . I t i s j u s t i n s u c h a r e g i o n t h a t a more com-p l e t e t r e a t m e n t t h a n t ha t u s u a l l y g i v e n i s d e s i r a b l e .

I n t h e i r r e c e n t w o r k L e w i s a n d von E l b e h a v e d e v o t e d some a t t e n t i o nt o t h e p a r t p l a y e d b y d i f f u s i o n . To i n c l u d e d i f f u s i o n i n t h e p r e s e n t a n a l y -

3 9 0 P R O C . N . A . S .


4/4

PHYSICS: L . I . SCHIFFs i s new t e r m s m u s t b e a d d e d t o t h e L a g r a n g i a n f u n c t i o n L . I f we a d dt e r m s o f t y p e

__G P s a s + a P S b o S + b p s _ _ 5s =l ax a x b y b y a z a zt h e l e f t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 3 ) m u s t b e r e p l a c e d by

a a G s b p s + y y G s b p s + Z ( G G b p s )a n d a t e r m

- [ . a . - ( G s u s ) + . ( G s v s ) + 6 ( G s w s )m u s t b e a d d e d t o t h e r i g h t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 2 ) . Thus i n a n o n - u n i -f o r m f l o w t h e r e m a y b e f o r c e s o n a c o n s t i t u e n t w h i c h a r i s e f r o m d i f f u s i o n .

1 An a p p r o p r i a t e f o r m o f t h e p r i n c i p l e w a s s u g g e s t e d by t h e a u t h o r i n a p h y s i c a ls e m i n a r a t t h e C a l i f o r n i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y i n 1 9 3 8 a n d a l s o i n a r e v i e w o f H .E r t e l ' s " M e t h o d e n und P r o b l e m e d e r D y n a m i s c h e n M e t e o r o l o g i e , " Z e n t r a l b l a t t f i u rM a t h e m a t i k u n d i h r e G r e n z g e b i e t e , 1 8 , 3 1 1 ( 1 9 3 8 ) . Th e a n a l y s i s f o r t h e c a s e o f a s i n g l eg a s h a s b e e n g i v e n i n d e t a i l b y H . E r t e l , M e t e o r o l o g i s c h e Z e i t . , 1 0 5 - 1 0 8 ( 1 9 3 9 ) .2 B e r n a r d L e w i s a n d G u e n t h e r v o n E l b e , " C o m b u s t i o n , F l a m e s a n d E x p l o s i o n o fG a s e s , " C a m b r i d g e U n i v . P r e s s ( 1 9 3 8 ) . S e e a l s o J . B . Z e l d o v i c h a n d D . A . F r a n k -K a m e n e c k i j , "On t h e T h e o r y o f U n i f o r m F l a m e P r o p a g a t i o n , " C o m p t . r e n d . ( D o k l a d y )d e l ' a c a d . d e s s c i e n c e s d e ' U . R . S . S . , 1 9 , 6 9 3 - 6 9 7 ( 1 9 3 8 ) .

A QUESTION IN GENERAL RELATIVITYBY L . I . S C H I F F

DEPARTMENT O F P H Y S I C S , U N I V E R S I T Y O F C A L I F O R N I AC o m m u n i c a t e d J u n e 7 , 1 9 3 9

I . - T h e f o l l o w i n g q u e s t i o n , w h i c h p r o v i d e s a n i l l u m i n a t i n g a p p l i c a t i o i io f g e n e r a l r e l a t i v i t y t o e l e c t r o d y n a m i c s , h a s b e e n p u t t o m e by P r o f e s s o rO p p e n h e i m e r . C o n s i d e r t w o c o n c e n t r i c s p h e r e s w i t h e q u a l a n d o p p o s i t et o t a l c h a r g e s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r t h e i r s u r f a c e s . When t h e s p h e r e sa r e a t r e s t , t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c f i e l d s o u t s i d e t h e s p h e r e s v a n i s h .When t h e s p h e r e s a r e i n u n i f o r m r o t a t i o n a b o u t a n a x i s t h r o u g h t h e i rc e n t e r , t h e e l e c t r i c f i e l d o u t s i d e v a n i s h e s , w h i l e t h e m a g n e t i c f i e l d d o e s n o t ,s i n c e t h e m a g n e t i c moment o f e a c h o f t h e s p h e r e s i s p r o p o r t i o n a l t o t h es q u a r e o f i t s r a d i u s . S u p p o s e t h a t t h e s p h e r e s a r e s t a t i o n a r y ; t h e n a no b s e r v e r t r a v e l i n g i n a c i r c u l a r o r b i t a r o u n d t h e s p h e r e s s h o u l d f i n d n of i e l d , f o r s i n c e a l l o f t h e c o m p o n e n t s o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d t e n s o rv a n i s h i n o n e c o o r d i n at e s y s t e m , t h e y m u s t v a n i s h i n a l l c o o r d i n a t e s y s t e m s .

V O L . 2 5 , 1 9 3 9 3 9 1

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