hand book.pdf

7/21/2019 Hand Book.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/hand-bookpdf 1/217

Монгол Улсын Шинжлэх Ухаан Технологийн Их Сургууль

Математикийн Сургууль

Н.Төмөрбаатар

А.Гөлгөө

Р.Найдандорж

Т.Мөнхбат

Д.Ганбат

Н.Пүрэвдорж

МАТЕРИАЛЫН ЭСЭРГҮҮЦЛИЙН

ГРАФИК ТООЦООНЫ АЖИЛ

Дахин боловсруулж, нэмсэн гуравдугаар хэвлэл

ШУТИС – ийн Математикийн сургуулийн сургалт арга зүй,

мэргэжлийн зөвлөлийн шийдвэрээр хэвлэв.

Редактор Н.Төмөрбаатар

Улаанбаатар 2009 он



Энэхүү гарын авлага ШУТИС – ийн 2003 оны “Шилдэг гарын авлага” – аар шалгарсан болно

Зохиогчид: Нямринчингийн Төмөрбаатар Арилдийн Гөлгөө Раднаагийн Найдандорж

Төмөрбаатарын Мөнхбат Данаагийн Ганбат Нямсүрэнгийн Пүрэвдорж

Редактор Нямринчингийн Төмөрбаатар

Н.Төмөрбаатар, А.Гөлгөө, Р.Найдандорж,

Т.Мөнхбат, Д.Ганбат, Н.Пүрэвдорж.

Материалын

эсэргүүцлийн

график

тооцооны

ажил :

Их, дээд сургуулийн номын санд. – УБ.: 2009. –212 х.,

Энэхүү гарын авлагад Материалын эсэргүүцлийн үндсэн бүлгүүдийг хамаарсан даалгаврууд

түүнийг гүйцэтгэхэд зайлшгүй шаардлагатай товч тодорхойлолт, томъёоны хамт оруулж,

даалгавруудыг хийхэд тус дөхөм болгох зорилгоор бүлэг бүрт хэд хэдэн жишээ бодлогуудыг

зүйлчлэн бодов. Мөн даалгаврыг гүйцэтгэхэд зайлшгүй шаардлагатай лавлах материалуудыг

хавсаргасан болно.

Энэ гарын авлагыг их, дээд сургууль, коллежуудад инженер техникийн мэргэжлээр

суралцагсад болон инженер, магистрантууд ашиглах боломжтой. Энэ номыг Шинжлэх Ухаан

Технологийн Их Сургуулийн Техникийн механикийн салбараас эрхлэн гаргав.

Монгол Улсын Шинжлэх Ухаан Технологийн Их сургууль

Техникийн механикийн салбар



ªÃÕª’ Ø √

»ÌÊÂÌÂðËÈÌ ·ÓÎÓ‚ÒÓÌ ı ø˜ÌËÈ„ · ̋ÎÚ„ ̋ ı ̋‰ Ï˝ð„ ̋ ÊÎËÈÌ ÒÛÛð¸

ı Ë˜˝ ̋Îøø‰ËÈÌ Ì˝„ ·ÓÎÓ ı Ã‡ÚÂðË‡Î˚Ì ˝Ò˝ð„øøˆ ̋ Î ˜Û ı ‡Î øøð„ËÈ„

„øÈˆ ̋ Ú„ ̋ ‰ ̋ „.

Ã‡ÚÂðË‡Î˚Ì ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ øÌ‰Ò˝Ì ·Ó‰ÎÓ„Ó ·ÓÎÓ ı ·‡Ú ·º ı ,

ı º¯øøÌ ˜‡Ì‡ð˚Ì ÚÓÓˆÓÓ ËÌÊÂÌÂðËÈÌ Ôð‡ÍÚËÍ øÈÎ ‡ÊËÎÎ‡„‡‡Ì‰

·‡ÈÌ„‡ ÚÓ ı ËÓÎ‰ÓÌÓ. Ã‡ÚÂðË‡Î˚Ì ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈ„ ÒÛ‰Î‡ ı ˇ‚ˆ‡‰

ÒÛð„‡ÎÚ˚Ì ı ‡Ï„ËÈÌ øð ‡¯Ë„Ú‡È ‡ð„‡ ·ÓÎÓ ı ·ËÂ ‰‡‡Ê ·Ó‰ÎÓ„Ó ·Ó‰Ó ı ,

„ð‡ÙËÍñÚÓÓˆÓÓÌ˚ ‡ÊËÎ „øÈˆ ̋ Ú„ ̋ ı ËÈ„ ˜Û ı ‡Î˜ËÎ‰‡„. ›Ì˝ „‡ð˚Ì

‡‚Î‡„ ̊ „ Ã‡ÚÂðË‡Î˚Ì ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ øÌ‰Ò˝Ì ·øÎ„øø‰ËÈ„ ı ‡Ï‡‡ðÒ‡Ì

‰‡‡Î„‡‚ð˚Ì ‡ÊÎ˚„ „øÈˆ ̋ Ú„ ̋ ı ̋‰ ÁÓðËÛÎ‡‚. “Û ı ‡ÈÌ ·øÎ˝„Ú ı ‡Ï‡‡ð‡„‰‡ ı ‰‡‡Î„‡‚ð˚Ì ‡ÊÎ˚„ „øÈˆ ̋ Ú„ ̋ ı ̋‰ ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È øÌ‰Ò˝Ì ÚÓÏ ˙∏Ó,

ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓÎÚ, ÊË¯˝˝ ·Ó‰ÎÓ„ÛÛ‰ ̊ Ì ·Ó‰ÓÎÚ˚„ Ú˝ð ·øÎ„ËÈÌ ˝ı˝Ì‰

ÌËÎ˝ ̋‰ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ̋ ˝ð ·Ë˜Î˝˝. Œ ̨ÛÚ‡Ì ̋‰„ ̋ ˝ðËÈ„ ÒÛ‰‡ÎÒÌ˚

‰‡ð‡‡ ‰‡‡Î„‡‚ð‡‡ „øÈˆ ̋ Ú„ ̋ ı ̋‰ Úº‰ËÈÎºÌ ·˝ð ı ̄ ˝ ̋Î „‡ð‡ ı „øÈ ·‡È ı

·ÓÎÌÓ.

ƒ‡‡Î„‡‚ð˚„ „øÈˆ ̋ Ú„ ̋ ı ‰‡ð‡‡ÎÎ˚„ ÊË¯˝˝ ·ÓÎ„ÓÒÓÌ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì

·Ó‰ÓÎÚÓÓÒ Ï ̋‰ ̋ ı ·øð˝Ì ·ÓÎÓÏÊÚÓÈ. ƒ‡‡Î„‡‚ð˚„ „øÈˆ ̋ Ú„ ̋ ı ̋‰

¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È ÓÌÓÎ˚Ì Ï ̋‰Î˝„ËÈ„ „øÌÁ„ËÈðøøÎ˝ı ‰ ̋ ˝ ·‡„¯ËÈÌ ÎÂÍˆ, ı Ë˜˝ ̋ÎËÈÌ ÒÚ‡Ì‰‡ðÚ‡‰ ‰Ûð¸‰Ò‡Ì ÒÛð‡ ı ·Ë˜Ë„, „‡ð˚Ì ‡‚Î‡„ÛÛ‰ ̊ „

‡¯Ë„Î‡ ı ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È. ƒ‡‡Î„‡‚ð˚„ „øÈˆ ̋ Ú„ ̋ ı ‰ ̋ ˝ ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ·ø‰øø‚˜,

ÚÓÓÌ º„º„‰ÎËÈ„ ·‡„¯‡‡Ò º„ÒºÌ ‚‡ðË‡ÌÚ‡‡ð ÒÓÌ„ÓÊ ‡‚‡ ı ı˝ð˝„Ú˝È.

¬‡ðË‡ÌÚ Ì¸ ı Ó∏ð ÓðÓÌÚÓÈ ÚÓÓ ·‡È ı ·º„ºº‰ ˝ı ÌËÈ ˆËÙð ÚÓÓˆÓÓÌ˚

·ø‰øø‚˜ËÈÌ ‰Û„‡‡ð˚„; ı Ó∏ð‰Û„‡‡ð ˆËÙð ÚÓÓÌ º„º„‰ÎËÈÌ ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ

Ïºð ·Û ̨ Û ·‡„‡Ì‡Ì˚ ‰Û„‡‡ð˚„ Á‡‡Ì‡. Œ ̨ÛÚ‡Ì „ð‡ÙËÍñÚÓÓˆÓÓÌ˚ ‡ÊÎ˚„

ÒÚ‡Ì‰‡ðÚ˚Ì ¿4 ˆ‡‡Ò‡Ì ‰ ̋ ˝ð ı ËÈ ı ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È ·º„ºº‰ ·Ë˜‚˝ð,

ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ı˝Ò„ËÈ„ ·˝ı˝˝ð ·Û ̨ Û ÚÓÒÓÌ ·‡Î‡‡ð ·Ë˜ËÊ, ÁÛð‡„ ·ø‰øø‚˜ËÈ„

ËÌÊÂÌÂðËÈÌ ÁÛð‡„ ÁøÈÌ ¯‡‡ð‰Î‡„ ̊ Ì ‰‡„ÛÛ ı ‡ð‡Ì‰‡‡„‡‡ð ÁÛð‚‡Î

ÁÓ ı ËÌÓ. ÃºÌ ÍÓÏÔ¸ ̨ÚÂðËÈÌ ÚÂ ı ÌËÍ ı˝ð˝„Ò ̋Î ‡¯Ë„Î‡Ê ·ÓÎÌÓ. ¡ø ı

ÚÓÓˆÓÓÌ‰ –» ÒËÒÚÂÏËÈÌ Ì˝„Êøø‰ËÈ„ ı˝ð˝„Î˝ı ı˝ð˝„Ú˝È. ¡Ó‰ÎÓ„Ó

·øðËÈ„ ¯ËÌ˝ ı ÛÛ‰‡ÒÌ‡‡Ò ˝ı ̋ÎÊ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì Ì˝ð, Ìº ı ̂ ºÎ, ÚÓÓÌ º„º„‰ÎËÈ„

·øð˝Ì ·Ë˜ËÊ ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ·ø‰øø‚˜ËÈ„ ÁÛðÒ‡Ì ·‡È‚‡Î ÁÓ ı ËÌÓ. «Ûð‡„ ‰ ̋ ˝ð

ÚÓÓˆÓÓÌ‰ ‡¯Ë„Î‡„‰Ò‡Ì øÒ„ ̋ Ì Ú˝Ï‰ ̋ „Î ̋Î, ÚÓÓÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ·øð˝Ì Á‡‡Ò‡Ì

·‡È ı ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È. ¡Ó‰ÎÓ„ ̊ „ ‡Î„Â·ð ı ̋Î·˝ð˝˝ð ·Ó‰ÓÊ ˝ˆÒËÈÌ

ÚÓÏ ˙∏ÓÌ‰ ÚÓÓÌ ÛÚ„ ̊ „ ÓðÎÛÛÎÊ ı ‡ðËÛÌ‰ ÁÓ ı Ë ı Ì˝„ÊËÈ„ ·Ë˜‚ ̋Î ÁÓ ı ËÌÓ.



¡‡„¯ËÈÌ º„ÒºÌ Á‡‡‚ð˚Ì ‰‡„ÛÛ ‰‡‡Î„‡‚‡ð ÚÛÒ ·øðËÈ„ ·Û ̨ Û ·ø ı

‰‡‡Î„‡‚ð˚„ ı ‡‚Ú‡ÒÎ‡Ì ( ı ‡‚Ú‡ÒÌ˚ Á‡„‚‡ð˚„ øÁ) ı ‡Ï„‡‡ÎÊ ÚÛ¯‡‡Ì‡.

√ ‡ð˚Ì ‡‚Î‡„ ̊ Ì I, II, VI ·øÎ„ËÈ„ Õ.“ºÏºð·‡‡Ú‡ð, III, IV ·øÎ„ËÈ„

“.ÃºÌ ı ·‡Ú, V ·øÎ„ËÈ„ ƒ.√ ‡Ì·‡Ú, VII, VIII, IX ·øÎ„ËÈ„ ¿.√ ºÎ„ºº Ì‡ð

·Ë˜Ë‚.›Ì˝ „‡ð˚Ì ‡‚Î‡„ ̊ „ øÌ‰Ò˝Ì‰ ̋ ˝ ÏÂ ı ‡ÌËÍ, ·‡ðËÎ„ ̊ Ì ËÌÊÂÌÂðËÈÌ

Ï˝ð„ ̋ ÊÎ˝˝ð ÒÛð‡Îˆ‡Ê ·‡È„‡‡ Ó ̨ÛÚÌÛÛ‰‡‰ ÁÓðËÛÎÒ‡Ì ·ÓÎÓ‚˜ ·ÛÒ‡‰

ËÌÊÂÌÂðËÈÌ Ï˝ð„ ̋ ÊÎ˝˝ð ÒÛð‡Îˆ‡Ê ·ÛÈ Ó ̨ÛÚÌÛÛ‰ ˜ ‡¯Ë„Î‡ ı ·øð˝Ì

·ÓÎÓÏÊÚÓÈ.

Ã˝ð„ ̋ ÊÎËÈÌ ÓÌˆÎÓ„ÓÓÒ ı ‡Ï‡‡ðÛÛÎ‡Ì Ó ̨ÛÚ‡Ì‰ º„º ı ‰‡‡Î„‡‚ð˚Ì

ÒÓÌ„ÓÎÚ˚„ ı Ë˜˝ ̋Î Á‡‡Ê ·‡È„‡‡ ·‡„¯ ı ËÈÌ˝.

›Ì˝ı øø „Ûð‡‚‰Û„‡‡ð ı˝‚Î ̋ÎËÈ„ · ̋ÎÚ„ ̋ ı ‰ ̋ ˝ ºÏÌº ı ı˝‚Î ̋Î‰

‡Ì ı ‡‡ð‡„‰Ò‡Ì ‡Î‰‡‡ Ï‡‰‡„Ú‡È ÁøÈÎËÈ„ Á‡ÎðÛÛÎÊ ‰‡ ı ËÌ ·ÓÎÓ‚ÒðÛÛÎÎ‡‡. “øøÌ˝˝Ò „‡‰Ì‡ Á‡Ò‡Ê Ò‡ÈÊðÛÛÎÏ‡‡ð ÁøÈÎ ‡Ì ı ‡‡ð‡„‰‚‡Î ÿ”“»– ñ

ËÈÌ “Â ı ÌËÍËÈÌ ÏÂ ı ‡ÌËÍËÈÌ Ò‡Î·‡ðÚ „ ̋ Ò˝Ì ı ‡ ˇ„‡‡ð ËðøøÎÌ˝ øø.

—≈ ƒ¿ “Œ—



Õ›√ ƒØ √ ››— ¡ØÀ›√

–”Õ√ ¿À“, ÿ¿’¿À“

1.1. –“¿“» “ŒƒŒ—’Œ… ÿ»À¡›Õ»… “ª¬»…Õ –”Õ√ ¿À“, ÿ¿’¿À“

≈ðºÌ ı ËÈ ÓÈÎ„ÓÎÚ

ÿËÎ·˝ÌËÈ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ‰‡„ÛÛ ˜Ë„Î˝Ò˝Ì ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ øÈÎ˜Î ̋Î˝˝ðÒÛÌ„‡ÎÚ, ¯‡ ı ‡ÎÚ øøÒÌ˝.

–ÛÌ„‡ÎÚ˚Ì øÂ‰ ‰‡„ÛÛ ı ø˜ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì „‡‰‡‡‰ ÌÓðÏ‡ÎËÈÌ ‰‡„ÛÛ,

¯‡ ı ‡ÎÚ˚Ì øÂ‰ ‰ÓÚÓÓ‰ ÌÓðÏ‡ÎËÈÌ ‰‡„ÛÛ ˜Ë„Î˝Ì˝.–ÛÌ„‡ ı ‰‡„ÛÛ ı ø˜ËÈ„ ˝Âð˝„, ¯‡ ı ‡ ı ‰‡„ÛÛ ı ø˜ËÈ„ Òºðº„ „ ̋ Ê øÁÌ˝.

ÿËÎ·˝ÌËÈ Ó„ÚÎÓÎ‰ ‰‡„ÛÛ ı ø˜ËÈ„ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ‡ð„‡‡ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.ÿËÎ·˝ÌËÈ ÓÌˆÎÓ„ Ó„ÚÎÓÎÛÛ‰‡‰ ‰‡„ÛÛ ı ø˜ÌËÈ ÛÚ„ ̊ „ ÓÎÊ ‰‡„ÛÛ ı ø˜ÌËÈ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎÌ‡. ƒ‡„ÛÛ N ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð Ì¸ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÛðÚ˚Ì ‰‡„ÛÛ‰ ÚøøÌËÈ ººð˜ÎºÎÚËÈ„ ı ‡ðÛÛÎÒ‡Ì „ð‡ÙËÍ ˛Ï.

ÿËÎ·˝ÌËÈ Ó„ÚÎÓÎ‰ ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ Î ÊË„‰ Ú‡ð ı Ò‡Ì „ ̋ Ê øÁ ̋Ê ÚøøÌËÈ ÛÚ„ ̊ „

A

N =σ (1.1)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. ØøÌ‰ A - ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È, N -‰‡„ÛÛ ı ø˜. ’ ̋ ð˝‚ ¯ËÎ·˝ Ìø ı Ú˝È ·‡È‚‡Î ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ˆ ̋ ‚˝ð

Ú‡Î·‡È„‡‡ð (Ìø ı ÌËÈ Ú‡Î·‡È„ ı ‡Ò‡Ê) ·Ó‰ÌÓ.√ ‡‰Ì˚ ı ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋Î˝˝ð ¯ËÎ·˝ÌËÈ ‡Ì ı Ì˚ l ÛðÚ ººð˜Îº„‰ºÌº.

ÿËÎ·˝ÌËÈ ‡·ÒÓÎ ̨Ú ÛðÚÒ‡ÎÚ˚„ (·Ó„ËÌÓÒÓÎÚ˚„)l l l −=Δ 1

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. ØøÌ‰ 1l - ‡˜‡‡ øÈÎ˜ËÎÒÌËÈ ‰‡ð‡‡ ı ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÛðÚ,

l ñ ¯ËÎ·˝

ÌËÈ ‡Ì ı

Ì˚

ÛðÚ.ÿËÎ·˝ÌËÈ ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ÛðÚÒ‡ÎÚ (·Ó„ËÌÓÒÓÎÚ)

l

l Δ=ε (1.2)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ·Ó‰Ó„‰ÓÌÓ. ’‡ðËÏ ı ‡È ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚Ì øÂ‰ ı ø˜‰ ̋ Î, ı˝‚ „‡ÊËÎÚ ¯Û„‡Ï‡Ì ı ‡Ï‡‡ð‡ÎÚ‡È

·‡ÈÌ‡.ε σ ⋅= E (1.3)

ØøÌËÈ„ √ ÛÍËÈÌ ı ÛÛÎ¸ „ ̋ Ì˝. ØøÌ‰ E - Ï‡ÚÂðË‡Î˚Ì Û ˇÌ ı ‡ðËÏ ı ‡ÈÌ ÏÓ‰ÛÎ¸.

(1.1), (1.2) ËÎ˝ð ı ËÈÎÎøø‰ËÈ„ (1.3) ÚÓÏ ˙∏ÓÌ‰ ÓðÎÛÛÎ·‡Î ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÛðÚ˚Ì ººð˜ÎºÎÚËÈ„



ì√ð‡ÙËÍ ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ‡ÊËÎî6

A E

l N l

⋅

⋅=Δ (1.4)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ·ÓÎÓÏÊÚÓÈ.

ÿËÎ·˝ , A , N E ı˝ÏÊË„‰ ̋ ı øøÌøø‰ ÚÓ„ÚÏÓÎ ·‡È ı ı˝Ò„øø‰ ̋ ˝Ò ·øÚ ̋Ê

·‡È‚‡Î ¯ËÎ·˝ÌËÈ ·øÚ˝Ì ÛðÚÒ‡ÎÚ (·Ó„ËÌÓÒÓÎÚ) ı˝Ò˝„ ÚÛÒ ·øðËÈÌ ÛðÚÒ‡ÎÚ,

·Ó„ËÌÓÒÓÎÚ˚Ì ‡Î„Â·ð ÌËÈÎ·˝ðÚ˝È Ú˝Ìˆøø ·‡ÈÌ‡.

∑= ⋅

⋅=Δ

n

i ii

ii

A E

l N l

1

(1.5)

’ ̋ ð˝‚ , N A ı˝ÏÊË„‰ ̋ ı øøÌøø‰ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ı˝Ò„øø‰ ̋ ‰ ı Û‚¸Ò‡Ê ·‡È‚‡Î (1.5)

ÚÓÏ ˙∏Ó

∑ ∫==Δ

n

i

dz z A z N

E l

1 )( )( 1 (1.6)

ı ̋Î·˝ðÚ˝È ·ÓÎÌÓ.

(1.6) ÚÓÏ ˙∏ÓÌ‰ ËÌÚÂ„ð‡Î˚„ ı˝Ò˝„ ·øðËÈÌ ÛðÚ‡‡ð ‡‚‡ ı ·‡ ÌËÈÎ·˝ðÊøøÎ ̋ÎÚ

Ì¸ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ·ø ı ı˝Ò˝„Ú ı ‡Ï‡‡ðÌ‡. ÿËÎ·˝ÌËÈ ÒÛÌ„‡ÎÚ, ¯‡ ı ‡ÎÚ˚Ì øÂ‰ ‰‡„ÛÛ

ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚Ì Á˝ð˝„ˆ ̋ ˝ øøÒ˝ı ı ºÌ‰ÎºÌ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„

1bbb −=Δ

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. ØøÌ‰ 1b - ¯ËÎ·˝ÌËÈ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚Ì ‰‡ð‡‡ ı ºð„ºÌ,

bñ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ‡Ì ı Ì˚ ºð„ºÌ. “ ̋ „‚ ̋Î ı ºÌ‰ÎºÌ ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ

b

bΔ='ε

·ÓÎÌÓ. b ñ ̄ ËÎ·˝ÌËÈ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ‡Ì ı Ì˚ ºð„ºÌ.

’‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ı ºÌ‰ÎºÌ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ, ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ‰‡„ÛÛ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚Ì

ı ‡ð¸ˆ‡‡Ì˚ ‡·ÒÓÎ ̨Ú ı˝ÏÊ ̋ ˝„ œÛ‡ÒÒÓÌ˚ ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ „ ̋ Ì˝.

ε

ε ν

'= (1.7)

»ÁÓÚðÓÔ Ï‡ÚÂðË‡ÎÛÛ‰ ̊ Ì ı Û‚¸‰ ˝Ì˝ ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ 5.00 ≤≤ν ıˇÁ„‡‡ðÚ

ººð˜Îº„‰ºÌº. œÛ‡ÒÒÓÌ˚ ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ Ê ·‡È‚‡Î ÒÛÌ„‡ÎÚ,

¯‡ ı ‡ÎÚ˚Ì øÂËÈÌ ˝Á ̋Î ı øøÌËÈ ‡·ÒÓÎ ̨Ú, ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ººð˜ÎºÎÚËÈ„ )21( ν ε −=Δ l AV

)21( ν ε ε −=Δ

=V

V V (1.8)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ·ÓÎÌÓ.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

7

∆ Ë¯˝˝ 1.1. √ ‡‰Ì˚ F ı ø˜ ·ÓÎÓÌ ººðËÈÌ ÊËÌ„ËÈÌ øÈÎ˜Î ̋Î‰ Óð¯Ë ı

¯ËÎ·˝ÌËÈ (1.1añð ÁÛð‡„) ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜, ı ø˜‰ ̋ Î, ¯ËÎÊËÎÚËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.ÿËÎ·˝ÌËÈ Ì˝„Ê ˝Á ̋Î ı øøÌ‰ ÌÓÓ„‰Ó ı ÊËÌ γ ·ÓÎÌÓ.

1 l

1

(z) N

z

F+Al

N

γ

F

(z)G

EA

σ

γ

F/A

F/A+l

δ F l ----- + ------ EA 2 E

l γ 2

a). a).

1.1ñð ÁÛð‡„

¡Ó‰ÓÎÚ. ÿËÎ·˝ÌËÈ Ú˝Ì ı Î˝„ ‰ ̋ ˝ð ·ø ı ı ø˜Ìøø‰ËÈ„ ÔðÓÂÍˆÎÓÌ R

ðÂ‡Íˆ ̊ „ ÓÎ·ÓÎ

0=+−− R l A F γ ⇒ γ l A F R += ·ÓÎÌÓ. ÿËÎ·˝ Ì˝„ ı˝Ò˝„Ú˝È ·‡È„‡‡ Û˜Ëð ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı Ó‰

Áº‚ ı ºÌ 1-1 Ó„ÚÎÓÎ ‡‚‡ ı ‡‰ ı øð ̋Îˆ ̋ ̋Ú˝È. 1-1 Ó„ÚÎÓÎÓÓÒ ‰ ̋ ˝¯ Óð¯Ë ı z

ÛðÚÚ‡È ı˝Ò„ËÈ„ (1.1·ñð ÁÛð‡„) Ò‡Î„‡Ì ‡‚˜ øÎ‰ ̋ ı ‰ÓÓ‰ ı˝Ò„ËÈÌ øÈÎ˜Î ̋ÎËÈ„

N øÒ„ ̋ ˝ð Ú˝Ï‰ ̋ „Î ̋Ê Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎ ·Ë˜‚ ̋Î

0=∑ z , 0 )( )( =−−− z G F z N

·ÓÎÌÓ. ØøÌ‰ γ z A z G = )( Ì¸ ̄ËÎ·˝ÌËÈ z ÛðÚÚ‡È ı˝Ò„ËÈÌ ÊËÌ.

ƒ‡„ÛÛ ı ø˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ·ÓÎγ z A F z G F z N −−=−−= )( )( , )0( l z ≤≤

·ÓÎÌÓ. ’ ̋ Ò„ËÈÌ ˝ı , Úº„Ò„ºÎ‰ ı ø˜ËÈ„ ÓÎ·ÓÎ0= z øÂ‰ F z N −= )(

l z = øÂ‰ γ l A F z N −−= )(

·ÓÎÌÓ. ›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ‰‡„ÛÛ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð (1.1‚ñð ÁÛð‡„) ·‡È„ÛÛÎ‡‚.

›Ì˝ ÚÓ ı ËÓÎ‰ÓÎ‰ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÓÎÓ ı ÚÓÏ ˙∏Ó

A

z A F

A

z N γ σ

−−==

)( , )0( l z ≤≤

ı ̋Î·˝ðÚ˝È ·‡È ı Û˜Ëð ı˝Ò„ËÈÌ ˝ı , Úº„Ò„ºÎ‰ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÓÎ·ÓÎ

· . ‚). „). .‡ .




0= z øÂ‰ A

F −=σ

l z = øÂ‰ l A F

Al A F γ γ σ −−=+−=

·‡ÈÌ‡. ›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ¯ËÎ·˝Ì‰ øøÒ˝ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ (1.1„ñð ÁÛð‡„)

·‡È„ÛÛÎ‡‚. ÿËÎ·˝ÌËÈ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ‰ÓÓ Úº‚ÎºðÒºÌ

F ı ø˜Ì˝˝Ò øøÒ˝ı ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„

A E

l F l F ⋅

⋅=Δ

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð, ººðËÈÌ ÊËÌ„ ̋ ˝Ò øøÒ˝ı ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„

A E

l Gl

⋅

⋅=Δ

2γ ; ( γ l AG = )

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ·ÓÎ

E

l

A E

l F

A E

l l A

A E

l F l

22

)( 2γ γ

−−=−−=Δ

·ÓÎÌÓ. ›Ì˝ ÛÚ„ ̊ „ ‡¯Ë„Î‡Ì ¯ËÎÊËÎÚËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ (1.1‰ ñð ÁÛð‡„)

·‡È„ÛÛÎ‡‚. ÿËÎÊËÎÚËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ‡ ı ‰‡‡ ˇÏ‡„Ú ·˝ı ̋Î„ ̋ ˝Ì˝˝Ò

˝ı ̋ÎÌ˝.

∆ Ë¯˝˝ 1.2. q ˝ð˜ËÏÚ˝È ÊË„‰ Ú‡ðÒ‡Ì ı ø˜˝˝ð ‡˜‡‡Î‡„‰Ò‡Ì, ÚÓ„ÚÏÓÎ

ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎÚÓÈ ¯ËÎ·˝ÌËÈ (1.2‡ñð ÁÛð‡„) ÛðÚÒ‡ÎÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ.

¡Ó‰ÓÎÚ. ƒÓÚÓÓ‰ ı ø˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ÒÛÎ øÁøøð˝˝Ò z Á‡È‰ 1-1

Ó„ÚÎÓÎ ı ËÈÊ ‡‚Ò‡Ì ‰ÓÓ‰ ı˝Ò„ËÈÌ (1.2·ñð ÁÛð‡„) Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ìº ı ̂ ÎËÈ„

·Ë˜‚ ̋Î0 )( =− qz z N , qz z N = )( )0( l z ≤≤

·ÓÎÌÓ. ’ ̋ Ò„ËÈÌ ˝ı , Úº„Ò„ºÎ‰ ‰‡„ÛÛ ı ø˜ÌËÈ ÛÚ„ ̊ „ ·Ó‰‚ÓÎ0= z øÂ‰ 0 )( = z N

l z = øÂ‰ l q z N = )(

·‡ÈÌ‡. ›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ‰‡„ÛÛ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð (1.2‚ñð ÁÛð‡„) ·‡È„ÛÛÎ‡‚.

ƒ‡„ÛÛ ı ø˜ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÛðÚ˚Ì ‰‡„ÛÛ‰ ¯Û„‡Ï‡Ì ı ÛÛÎË‡ð ı Û‚¸Ò‡Ê ·‡È„‡‡

Û˜Ëð ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÛðÚÒ‡ÎÚ˚„



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

9

A E

ql

A E

dz qz

A E

dz z N l

l l

2

)( 2

00

===Δ ∫∫

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ·Ó‰ÌÓ.

‡.) ·.) ‚.) „.)1.2ñð ÁÛð‡„

ÿËÎ·˝ÌËÈ ÒÛÎ øÁøøð˝˝Ò ‰Ûð˚Ì u Á‡È‰ Óð¯Ë ı mn ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì¯ËÎÊËÎÚ ˝Ì˝ Ó„ÚÎÓÎÓÓÒ ÁÓÓÎÚ ı øðÚ ̋Î ı ı˝Ò„ËÈÌ ̄ ËÎÊËÎÚÚ˝È Ú˝Ìˆøø

)( 22

222

ul A E

q

A E

qz

A E

dz qz l

u

l

u

−=== ∫δ

·‡ÈÌ‡. ØøÌ˝˝Ò øÁ‚ ̋Î ¯ËÎ·˝ÌËÈ ¯ËÎÊËÎÚ Í‚‡‰ð‡Ú Ô‡ð‡·ÓÎ ı ÛÛÎË‡ðººð˜Îº„‰ºÊ ·‡ÈÌ‡. ÿËÎÊËÎÚËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ 1.2„ñð ÁÛð‡„Ú øÁøøÎ˝‚.

∆ Ë¯˝˝ 1.3. ÿ‡Ú‡ÎÒ‡Ì ¯ËÎ·˝ÌËÈ (1.3‡ñð ÁÛð‡„) ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜, ı ø˜‰ ̋ Î,

¯ËÎÊËÎÚËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.

º„ÒºÌ Ì¸ : 5.01 =l Ï, 132 == l l Ï, 6.04 =l Ï, 41 = A ÒÏ2

, 22 = A ÒÏ2

5102 ⋅= E Ãœ‡, 20=q ÍÕ/Ï, 30= F ÍÕ

¡Ó‰ÓÎÚ.1. ƒ‡„ÛÛ ı ø˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı

ƒ‡„ÛÛ ı ø˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ‰ÓÓ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ‡ð„‡ ı˝ð˝„Î˝ı ·º„ºº‰ ı Ó∏ð ı ø˜ÌËÈ ı ÓÓðÓÌ‰ Ì˝„ Ó„ÚÎÓÎ ‡‚‰‡„. “ ̋ „‚ ̋Î ˝Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ı Û‚¸‰ ‰‡„ÛÛ ı ø˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı Ó‰ „Ûð‚‡Ì Ó„ÚÎÓÎ ‡‚‡ ı ‡‰ ı øð ̋Îˆ ̋ ̋Ú˝È. ’ ̋ Ò˝„ ·øðÚ Ó„ÚÎÓÎ ı ËÈÊ

ÁøøÌ ı˝Ò„ËÈ„ Óð ı ËÌ øÎ‰Ò˝Ì ·‡ðÛÛÌ ı˝Ò„ËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ìº ı ̂ ÎººÒ, ººðººð ı ̋Î· ̋Î „‡‰‡‡‰, ‰ÓÚÓÓ‰ ·ø ı ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ ¯ËÎ·˝ÌËÈ Ú˝Ì ı Î˝„ ( z Ú˝Ì ı Î˝„) ‰ ̋ ˝ð ı




ÔðÓÂÍˆÛÛ‰ ̊ Ì ‡Î„Â·ð ÌËÈÎ·˝ð Ú˝„Ú˝È Ú˝Ìˆøø ·‡È ı Ìº ı ̂ ºÎººÒ ÚÛ ı ‡ÈÌÓ„ÚÎÓÎ‰ øÈÎ˜Î˝ı ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ËÈ„ ÓÎÌÓ. “Û ı ‡ÈÌ Ó„ÚÎÓÎ‰ øÈÎ˜Î˝ı ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ËÈ„ Ó„ÚÎÓÎÓÓÒ „‡‰‡„¯ ˜Ë„ÎøøÎÊ ‡‚‡ ı ·º„ºº‰ ÚøøÌËÈ ÛÚ„‡ ˝Âð˝„ ·‡È‚‡Î

ÚÛ ı ‡ÈÌ ı˝Ò˝„Ú ÒÛÌ„‡ÎÚ, Òºðº„ ·‡È‚‡Î Ú˝ð ı˝Ò˝„Ú ¯‡ ı ‡ÎÚ øøÒÌ˝. ƒ ̋ ˝ð ‰Ûð¸‰Ò‡Ì ÊÛðÏ˚„ ·‡ðËÏÚÎ‡Ì ı˝Ò˝„ ·øðËÈÌ ‰‡„ÛÛ ı ø˜ËÈ„

ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ˙∏.1-1 Ó„ÚÎÓÎ (1.3·ñð ÁÛð‡„)

0=∑ z , 0 )( 1 = z N . )0( 11 l z ≤≤

2-2 Ó„ÚÎÓÎ (1.3‚ñð ÁÛð‡„)

0=∑ z , 0 )( )( 122 =−+− l z q z N ⇒ )( )( 122 l z q z N −= . )( 2121 l l z l +≤≤

12 l z = øÂ‰ 0 )( 2 = z N

212 l l z += øÂ‰ 20120 )( )( 1212 =⋅=−+= l l l q z N ÍÕ

3-3 Ó„ÚÎÓÎ (1.3‚ñð ÁÛð‡„)

0=∑ z , 0 )( 23 =+−− l q F z N ⇒ 1012030 )( 23 −=⋅+−=+−= l q F z N ÍÕ.

)( 321321 l l l z l l ++≤≤+

4-4 Ó„ÚÎÓÎ (1.3‰ñð ÁÛð‡„)

0=

∑ z , 0 )(

24 =+−− l q F z N ⇒ 1012030 )(

24 −=⋅+−=+−= l q F z N ÍÕ.

+ + ≤ ≤ + + +1 2 3 4 1 2 3 4

( )l l l z l l l l

ƒ‡„ÛÛ ı ø˜ÌËÈ ı Û‚¸‰ 4 ñ 4 Ó„ÚÎÓÎ˚„ ı ËÈ ı ¯‡‡ð‰Î‡„‡„øÈ (‰‡„ÛÛ ı ø˜Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı ̋Î·˝ð˝˝Ò ı ‡Ï‡‡ð‡ ı „øÈ) ·ÓÎÓ‚˜ ı ø˜‰ ̋ Î ÓÎÓ ı Ó‰ ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È Û˜Ëð ˝Ì˝ Ó„ÚÎÓÎ˚„ ı ËÈ‚. ›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ‰‡„ÛÛ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ðËÈ„(1.3ÂñðÁÛð‡„) ·‡È„ÛÛÎ‡‚.

2. ’ø˜‰ ̋ÎËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı

’ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ı˝Ò˝„ ·øðÚ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. ’ø˜‰ ̋ Î Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝Ì˝˝Ò ı ‡Ï‡‡ð‡ ı Û˜Ëð 4-4 Ó„ÚÎÓÎ‰ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ Á‡‡‚‡Î ·Ó‰Ó ı ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È.

1-1

Ó„ÚÎÓÎ .0 )(

1

11 ==

A

z N σ )0( 1 = N

2-2 Ó„ÚÎÓÎ1

12

1

22

)( )(

A

l z q

A

z N −==σ



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

11

‡).

4

4

3

3

2

2

1

1 z 2 z

3 z

4 z

l 4 3l l 2 1l

A A 12

1

F

(z) N

z 1

q

1

·).

‚).

q

z 2

q

3 z

F q

F

z 4

(z) N 2

(z) N 3

(z) N 4

„).

‰).

Â).

20

10 10

50

50

25

0.15

0.275

0.15

Ê).

Á).

1.3 ñð ÁÛð‡„

N , ÍÕ

σ , Ãœ‡

δ , ÏÏ




12 l z = øÂ‰ σ =2

0

212 l l z += øÂ‰ σ −

⋅ ⋅= =

⋅

32

2 4

1

20 10 1

4 10

q l

A

Õ/Ï2 50= Ãœ‡

3 ñ 3 Ó„ÚÎÓÎ

4

33

1

2

1

33

104

110201030 )( −⋅

⋅⋅+⋅−=

+−==

A

l q F

A

z N σ Õ/Ï2 25−= Ãœ‡

4 ñ 4 Ó„ÚÎÓÎ

4

33

1

2

2

44

102

110201030 )( −⋅

⋅⋅+⋅−=

+−==

A

l q F

A

z N σ Õ/Ï2 50−= Ãœ‡

›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„(1.3Êñð ÁÛð‡„) ·‡È„ÛÛÎ‡‚.

3. ’ ˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı

“º‚ÎºðÒºÌ ı ø˜Ì˝˝Ò øøÒ˝ı ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„ A E

l F l F ⋅

⋅=Δ ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð, ÊË„‰

Ú‡ð ı Ò‡Ì ı ø˜Ì˝˝Ò øøÒ˝ı ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„ A E

l ql q

2

2

=Δ ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ·Ó‰‰Ó„ Û˜Ëð

ı˝Ò˝„ ·øðËÈÌ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ01 =Δl ( 01 = N )

3

411

3

1

22

2 10125.01041022

111020

2

−−

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==Δ

A E

l ql Ï 125.0= ÏÏ

( ) 3

411

3

411

3

1

3

1

323 10125.0

104102

11030

102102

111020 −−−

⋅−=⋅⋅⋅

⋅⋅−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅−

⋅=Δ

A E

l F

A E

l l ql Ï =

125.0−= ÏÏ

( ) 3

411

3

411

3

2

4

2

424 1015.0

102102

6.01030

102102

6.011020 −−−

⋅−=⋅⋅⋅

⋅⋅−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅−

⋅=Δ

A E

l F

A E

l l ql Ï =

15.0−= ÏÏ·ÓÎÌÓ. ’ ̋ Ò˝„ ·øðËÈÌ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„ ·Ó‰Ó ı ‰ÓÓ ÚÛ ı ‡ÈÌ ı˝Ò˝„ ÁøøÌ øÁøøðÚ˝˝ ·˝ı ̋Î„ ̋ ̋Ú˝È (¯ËÎ·˝ ÁøøÌ øÁøøðÚ˝˝ ·˝ı ̋Î„ ̋ ̋Ú˝È Û˜Ëð) „ ̋ Ê øÁ˝ ̋‰ ÚøøÌ˝˝Ò·‡ðÛÛÌ Ú‡Î‰ øÈÎ˜Î˝ı ı ø˜Ìøø‰ ̋ ˝Ò øøÒ˝ı ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„ ÓÎÌÓ. ¡øÚ˝Ì ı˝‚„‡ÊËÎÚ˚„ ÓÎ·ÓÎ

15.015.0125.0125.004321 −=−−+=Δ+Δ+Δ+Δ=Δ l l l l l ÏÏ

·‡ÈÌ‡. ÿËÎÊËÎÚËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ (1.3Áñð ÁÛð‡„) Á‡‡‚‡Î ÁÓÓÎÚÓÓÒ( ı º‰ºÎ„ººÌ„øÈ ̂ ̋ „ ̋ ˝Ò) ˝ı ̋ÎÊ ·‡È„ÛÛÎ‰‡„.



1.2. –”Õ√ ¿À“, ÿ¿’¿À“¤Õ –“¿“» “ŒƒŒ—’Œ… ¡»ÿ ¡ŒƒÀŒ√ Œ


CÚ‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„ ı˝ð˝„Î˝ı ·ÓÎÓ‚˜ Úøø„ ̋ ˝ð ·øð˝Ì·Ó‰Ó„‰Ó ı „øÈ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ „ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„Ó „ ̋ Ì˝.

–Ú‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈÌ ÚÓÓÌÓÓÒ ËÎøø øÎÏ ̋‰ ̋ „‰ ̋ „˜‰ËÈÌ ÚÓÓ„ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ËÈÌ Á˝ð˝„ „ ̋ Ì˝.

–Ú‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ „ ·Ó‰Ó ı ‰ÓÓ ººðººð ı ̋Î· ̋Î ËÎøøÏ ̋‰ ̋ „‰ ̋ „˜‰ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ‰ÓÓ ÒÚ‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈÌÁ˝ð˝„ˆ ̋ ˝„ ̋ ˝ð ÒËÒÚÂÏËÈÌ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚Ì Ìº ı ̂ ºÎººÒ ÁÓ ı ËÓÒÓÌ Ì˝Ï ̋ÎÚ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„ ‡¯Ë„Î‡Ì‡.

–Ú‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ „ ·Ó‰Ó ı ÂðºÌ ı ËÈ ‰‡ð‡‡ÎÎ˚„ ÊË¯˝˝„ ̋ ˝ð øÁ¸Â.

∆ Ë¯˝˝ 1.4. ÿËÎ·˝Ì‰ (1.4añð ÁÛð‡„) øøÒ˝ı ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜, ı ø˜‰ ̋ Î,

¯ËÎÊËÎÚËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.

º„ÒºÌ Ì¸: 1001 = F ÍÕ, 1402 = F ÍÕ, 101 = A ÒÏ2

, 82 = A ÒÏ2

,

401 =l ÒÏ, 702 =l ÒÏ, 352/23 == l l ÒÏ, 5102 ⋅= E Ãœ‡.

1.4ñð ÁÛð‡„¡Ó‰ÓÎÚ. –Ú‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ „ ‰ºð‚ºÌ ¯‡ÚÚ‡È ·Ó‰‰Ó„.




–Ú‡ÚËÍ Ú‡Î. ›Ì˝ ı˝Ò˝„Ú ÒÚ‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜ËÊ, ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ËÈÌ Á˝ð„ËÈ„ ÚÓ„ÚÓÓÌÓ. ÿËÎ·˝ÌËÈ Ú˝Ì ı Î˝„ ‰ ̋ ˝ð ·ø ı ı ø˜ËÈ„ÔðÓÂÍˆÎÓ‚ÓÎ ‡Î„Â·ð ÌËÈÎ·˝ð Ì¸ Ú˝„ ·‡È ı ∏ÒÚÓÈ.

0=∑ z , 021 =+−+ B A R F F R (1.9)

’Ó∏ð øÎ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ „˜Ú˝È Ì˝„ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·‡È„‡‡ ·º„ºº‰, ººðººð ı ̋Î· ̋ÎÌ˝„‰ø„ ̋ ˝ð Á˝ð„ËÈÌ (Ì˝„ ËÎøø øÎ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ „˜Ú˝È) ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯·Ó‰ÎÓ„Ó ·‡ÈÌ‡. √ ÂÓÏÂÚð Ú‡Î. ›Ì˝ ı˝Ò˝„Ú ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì Ìº ı ̂ ºÎººÒ øÌ‰ ̋ ÒÎ˝Ì ¯ËÎ·˝ÌËÈ ı˝Ò„øø‰ËÈÌ ı˝‚ „‡ÊËÎÚÛÛ‰ ̊ Ì ı ÓÓðÓÌ‰ ̊ Ì ı ÓÎ·ÓÓ„ ÚÓ„ÚÓÓÌÓ. ›Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ ÌÓÌˆÎÓ„ Ìº ı ̂ ºÎ Ì¸ ı Ó∏ð øÁøøðËÈÌ ÁÓÓÎÚ ˛Ï. ’Ó∏ð øÁøøð ÁÓÓÎÚÚÓÈ Û˜Ëð ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ øÈÎ˜Î ̋ÎËÈÌ ‰øÌ‰ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÛðÚ ººð˜Îº„‰º ı „øÈ. ÿËÎ·˝ÌËÈ ‰ÓÓ‰ ÁÓÓÎÚ˚„ Óð ı ËÓ‰ ÚøøÌËÈ„

B R ðÂ‡ÍˆË‡ð ÒÓÎ¸Ê ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚Ì

Ìº ı ̂ ºÎËÈ„ ·Ë˜‚ ̋Î0=Δl , 0=Δ+Δ=Δ

B R F l l l (1.10)

·ÓÎÌÓ. ØøÌ‰: F l Δ - Áº‚ ı ºÌ º„º„‰ÒºÌ ı ø˜Ì˝˝Ò øøÒ˝ı ı˝‚ „‡ÊËÎÚ, B R l Δ - Áº‚ ı ºÌ

‰ÓÓ‰ ÁÓÓÎÚÓÌ‰ øøÒ˝ı B R ðÂ‡Íˆ‡‡Ò øøÒ˝ı ı˝‚ „‡ÊËÎÚ.

‘ËÁËÍ Ú‡Î. ›Ì˝ ı˝Ò˝„Ú ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„ ı ø˜˝˝ð ËÎ˝ð ı ËÈÎÌ˝.

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⋅−

⋅−=Δ

−+

⋅+

⋅−=Δ

1

1

2

2

2

322

1

12

1

11 )(

A E

l R

A E

l R l

A E

l l F

A E

l F

A E

l F l

B B R

F

B

(1.11)

CËÌÚÂÁ.›Ì˝ ı˝Ò˝„Ú ˝ı ÌËÈ „Ûð‚‡Ì ı˝Ò„ËÈ„ Ì˝„Ú„ ̋ Ì ·Ó‰ÓÊ ËÎøø øÎ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ „˜ËÈ„

( B R ) ÓÎÌÓ. (1.11)-˚„ (1.10) Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ÓðÎÛÛÎ·‡Î

0 )(

1

1

2

2

2

322

1

12

1

11 =⋅

−⋅

−−

+⋅

+⋅

−

A E

l R

A E

l R

A E

l l F

A E

l F

A E

l F B B

0108102

7.0

1010102

4.0

108102

35.010140

1010102

4.010140

1010102

4.010100411411411

3

411

3

411

3

=⋅⋅⋅

⋅−

⋅⋅⋅

⋅−

⋅⋅⋅

⋅⋅+

⋅⋅⋅

⋅⋅+

⋅⋅⋅

⋅⋅−−−−−−

B B R R

55.60= B R ÍÕ

·ÓÎÌÓ. (1.9) Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î˝˝Ò = − − = − − = −2 1

140 100 60.55 20.55 A B

R F F R ÍÕ

·ÓÎÌÓ. B R ðÂ‡ÍˆËÈ„ ÓÎÒÌÓÓð ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ Ú‡ÈÎ‡„‰‡Ê

ˆ‡‡¯‰ ̊ Ì ·Ó‰ÓÎÚ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ‡‰ËÎ ·ÓÎÌÓ.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

15

ÿËÎ·˝Ì‰ øøÒ˝ı ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ Ì¸ :1 ñ 1 Ó„ÚÎÓÎ‰ 55.201 −== A R N ÍÕ;

2 ñ 2 Ó„ÚÎÓÎ‰ = + = − + =2 1

20.55 100 79.45 A

N R F ÍÕ;

3 ñ 3 Ó„ÚÎÓÎ‰ 55.60213 −=−+= F F R N A ÍÕ·‡ÈÌ‡. ƒ‡„ÛÛ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ðËÈ„ ̋‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð 1.4·ñð ÁÛð‡„Ú ·‡È„ÛÛÎ‡‚.

ÿËÎ·˝Ì‰ øøÒ˝ı ı ø˜‰ ̋ Î

1 ñ 1 Ó„ÚÎÓÎ‰ 55.201010

1055.204

3

1

11 −=

⋅

⋅−==

− A

N σ Ãœ‡;

2 ñ 2 Ó„ÚÎÓÎ‰ 31.99108

1045.794

3

2

22 =

⋅

⋅==

− A

N σ Ãœ‡;

3 ñ 3 Ó„ÚÎÓÎ‰ σ −

⋅= = − = −⋅

3

33 4

2

60.55 1075.698 10

N

A Ãœ‡

·‡ÈÌ‡. ›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ 1.4‚ñð ÁÛð‡„Ú ·‡È„ÛÛÎ‡‚.ÿËÎ·˝ÌËÈ Ó„ÚÎÓÎÛÛ‰ ̊ Ì ¯ËÎÊËÎÚËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ÚøøÌËÈ ı˝Ò˝„·øðËÈÌ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ·ÓÎ

3

411

3

1

111 10041.0

1010102

4.01055.20 −

− ⋅−=

⋅⋅⋅

⋅⋅−==Δ

A E

l N l Ï 041.0−= ÏÏ

3

411

3

2

3222 10173.0

108102

35.01045.79 )( −

− ⋅=

⋅⋅⋅

⋅⋅=

−=Δ

A E

l l N l Ï 173.0= ÏÏ

3

411

3

2

333 10132.0

108102

35.01055.60 −

− ⋅−=

⋅⋅⋅

⋅⋅−==Δ

A E

l N l Ï 132.0−= ÏÏ

·‡ÈÌ‡. ÿËÎÊËÎÚËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ ̋‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð 1.4„ñð ÁÛð‡„Ú ·‡È„ÛÛÎ‡‚.

∆ Ë¯˝˝ 1.5. ƒ ̋ ̋‰ øÁøøð Ì¸ ÁÓÓÎÚÚÓÈ, ‰ÓÓ‰ øÁøøð Ì¸ ‰ÓÓ‰ ÒÛÛðË‡Ò

3.0=Δ ÏÏ Á‡ÈÚ‡È „‡Ì ¯ËÎ·˝ÌËÈ (1.5ñð ÁÛð‡„) ‰ÛÌ‰ 200= F ÍÕ ı ø˜ ‰ÓÓ¯˜Ë„Î˝Ì øÈÎ˜Î˝ı ̋‰ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ‰ ̋ ̋‰, ‰ÓÓ‰ ı˝Ò˝„Ú øøÒ˝ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ.

ª„ÒºÌ Ì¸ :4

1025 −

⋅= A Ï2

, 3=l Ï,5

102 ⋅= E Ãœ‡.¡Ó‰ÓÎÚ. ÿËÎ·˝ÌËÈ ‰ ̋ ̋‰ ı˝Ò˝„Ú F ı ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋Î˝˝ð øøÒ˝ı ÒÛÌ‡ÎÚ

3.0=Δ ÏÏñ˝˝Ò Ë ı ·‡È‚‡Î ¯ËÎ·˝ ‰ÓÓ‰ ÒÛÛðËÌ‰ ı øð˜ ðÂ‡Íˆ øøÒ˝ı Û˜ËðÒÚ‡ÚËÍËÈÌ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„Ó ·ÓÎÌÓ. ’‡ðËÌ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ‰ÓÓ‰ øÁøøðÒÛÛðËÌ‰ ı øð˝ı „øÈ ÚÓ ı ËÓÎ‰ÓÎ‰ ·Ó‰ÎÓ„Ó ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·ÓÎÌÓ. F ı ø˜Ì˝˝Ò øøÒ˝ı ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„ ÓÎ·ÓÎ

−

⋅ ⋅ ⋅Δ = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3

5 6 4

/ 2 200 10 1.50.6

2 10 10 25 10 F

F l l

E AÏÏ > Δ ·ÓÎÌÓ.

›Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ı Û‚¸‰ Δ>Δ F l ·‡È„‡‡ Û˜Ëð ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„Ó

·ÓÎÌÓ.




l

R B

F

l / 2 A

A R

Δ


“ ̋ Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ÁÓ ı ËÓ‚ÓÎ

∑ = 0 z , 0=+− B A R F R (1.12)

·ÓÎÌÓ. ØøÌ˝˝Ò øÁ‚ ̋Î ˝Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„Ó Ì˝„‰ø„ ̋ ˝ð Á˝ð„ËÈÌ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯·‡ÈÌ‡. Õ˝Ï ̋ÎÚ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ‡‡Ò ÁÓ ı ËÓÊ ·ÓÎÌÓ. “Û ı ‡ÈÎ·‡Î

Δ=Δ+Δ 21 l l (1.13)

·‡ÈÌ‡. ØøÌ‰ 1l Δ - ¯ËÎ·˝ÌËÈ ‰ ̋ ̋‰ ı˝Ò„ËÈÌ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ, 2l Δ - ¯ËÎ·˝ÌËÈ ‰ÓÓ‰

ı˝Ò„ËÈÌ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ.ÿËÎ·˝ÌËÈ ‰ ̋ ̋‰ ı˝Ò˝„ A R ı ø˜˝˝ð ÒÛÌ‡Ê, ‰ÓÓ‰ ı˝Ò˝„ B R ı ø˜ÌËÈ

øÈÎ˜Î ̋Î˝˝ð ‡„¯ËÌ‡. ›‰„ ̋ ˝ð ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„ ÓÎ·ÓÎ

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⋅−−=

⋅−=Δ

⋅=Δ

A E

l R F

A E

l R l

A E

l R l

A B

A

2/ )( 2/

2/

2

1

(1.14)

·‡ÈÌ‡.(1.14)-˚„ (1.13) ÚÓÏ ˙∏ÓÌ‰ ÓðÎÛÛÎ·‡Î

Δ=⋅−

−⋅

A E

l R F

A E

l R A A 2/ )( 2/

·ÓÎÓ ı ·‡ øøÌ˝˝Ò A R ðÂ‡ÍˆËÈ„ ÓÎ·ÓÎ

− −⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅3 4 11 41.5 (200 10 ) 1.5 3 10 2 10 25 10 A A

R R

310150 ⋅= A

R Õ 150= ÍÕ



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

17

·‡ÈÌ‡. (1.12) Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î˝˝Ò333 10501015010200 ⋅=⋅−⋅=−= A B R F R Õ 50= ÍÕ

·ÓÎÌÓ. “ ̋ „‚ ̋Î ¯ËÎ·˝ÌËÈ ‰ ̋ ̋‰ ı˝Ò˝„Ú øøÒ˝ı ı ø˜‰ ̋ Î

6

4

31 1060

102510150 ⋅=

⋅⋅==

− A R Aσ Õ/Ï2 60= Ãœ‡ ,

‰ÓÓ‰ ı˝Ò˝„Ú øøÒ˝ı ı ø˜‰ ̋ Î

6

4

3

2 10201025

1050⋅−=

⋅

⋅−=−=

− A

R B σ Õ/Ï2 20−= Ãœ‡

·‡ÈÌ‡.

∆ Ë¯˝˝ 1.6. ª„º„‰ÒºÌ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÒËÒÚÂÏËÈÌ (1.6‡ñð ÁÛð‡„) BD ,CL

ı ‡ðËÏ ı ‡È ¯ËÎ·˝Ìøø‰ËÈÌ Ó„ÚÎÓÎ˚„ ÒÓÌ„Ó.ª„ÒºÌ Ì¸: 200= F ÍÕ, 160=σ Ãœ‡, 030=α , 1=a Ï, 2.2=b Ï,

8.0=c Ï, 5.1: 21 = A A

¡Ó‰ÓÎÚ. –ËÒÚÂÏËÈÌ ı ‡ðËÏ ı ‡È ¯ËÎ·˝ ·øðÚ Ì˝„, ÚÛÎ„ÛÛð ‰ ̋ ˝ð ı Ó∏ð(·ÓÒÓÓ, ı˝‚Ú˝ ̋) øÎ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ „˜ ı ø˜ øÈÎ˜Î˝ı Û˜Ëð ˝Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„Ó Ì˝„‰ø„ ̋ ˝ðÁ˝ð„ËÈÌ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„Ó ·ÓÎÌÓ.

‡).

F

A1 N 1

B

2

C

2 N

2

1 A

D L

l

α

ac

b

30

B C

B

C

C

0

l Δ 2 1l Δ K 1

2

300

K

·).

1.6ñð ÁÛð‡„ –Ú‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î˝˝Ò ÚÛÎ„ÛÛð ‰ ̋ ˝ð ÏÓÏÂÌÚ ·Ë˜‚ ̋Î

‡¯Ë„Ú‡È. ”˜Ëð Ì¸ ˝Ì˝ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ˆ ̋ „Ú øøÒ˝ı ·ÓÒÓÓ, ı˝‚Ú˝˝ ðÂ‡ÍˆËÛ‰ÓðÓÎˆÓ ı „øÈ.

0=∑ K M , 0sin21 =⋅+−− c F b N a N α (1.15)

–ËÒÚÂÏËÈÌ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚Ì ÁÛð„‡‡Ò (1.6·ñð ÁÛð‡„) ¯ËÎ·˝Ìøø‰ËÈÌ ı˝‚

„‡ÊËÎÚ˚

Ì ı

ÓÓðÓÌ‰ ˚

Ì ı

ÓÎ·ÓÓ„ ÚÓ„ÚÓÓ‚ÓÎ




b

a

CC

BB =

1

1 ; α sin/21 l CC Δ= ;α sin

21

l

b

al

Δ⋅=Δ (1.16)

·ÓÎÌÓ. ’ ̋ ‚ „‡ÊËÎÚÛÛ‰ ̊ „ ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜˝˝ð ËÎ˝ð ı ËÈÎ· ̋Î

1

11

A E

l N l

⋅

⋅=Δ ;

2

22

sin/

A E

l N l

⋅

⋅=Δ

α

(1.17)

·‡ÈÌ‡. (1.17), (1.16) ÚÓÏ ˙∏ÓÌÓÓÒ

22

2

1

1

sin EA

l N

b

a

A E

l N

⋅⋅=

⋅

⋅

α

⇒ 22

1

21sin

N A

A

b

a N ⋅⋅

⋅=

α

⇒ 21 73.2 N N =

·ÓÎÓ ı Û˜Ëð (1.15) ÚÓÏ ˙∏Ó„ ‡¯Ë„Î‡‚‡Î 77.412 = N ÍÕ, 05.1141 = N ·ÓÎÌÓ.

21 N N > , =max 2

N N ·‡È„‡‡ Û˜Ëð ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ

σ σ = = ≤ ⎡ ⎤⎣ ⎦max 1

max

1

N N A A

Ìº ı ̂ ÎººÒ

σ

− −⋅= = = ⋅ ⋅

⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

34 41

1 6

114.05 107.128 10 10

160 10

N A Ï2 = 7.128 ÒÏ2

= = =12

7.1284.752

1.5 1.5

A A ÒÏ2

·ÓÎÌÓ.



’Œ®—ƒ” √ ¿¿— ¡ØÀ›√

÷›√ »…Õ ’Ø ◊ ƒ›À“ “ªÀª¬

2.1. ŒÕŒÀ¤Õ ØÕƒ–›Õ Œ…À√ ŒÀ“

÷ ̋ „ËÈÌ ı ø˜‰ ̋ ÎÚ ÚºÎº‚ „ ̋ Ê Ú˝ð ˆ ̋ „ËÈ„ ‰‡Èð˜ ·ÓÎÓ ı ·ø ı ı ‡‚Ú„‡È‰ øÈÎ˜Î˝ı ı ø˜‰ ̋ Îøø‰ËÈÌ ÓÎÓÌÎÓ„ ˛Ï.

“Û ı ‡ÈÌ ˆ ̋ „ËÈÌ Óð˜ËÌ‰ Ú‡ÎÒÛÛ‰‡‰ Ì¸ ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Î øÈÎ˜Î˝˝„øÈ ÊËÊË„Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸ÔËÔÂ‰ ·‡È„ÛÛÎÊ ·ÓÎÌÓ. ’ ̋ ‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Î„øÈ Ú‡Î·‡È„ „ÓÎ Ú‡Î·‡È„ ̋ Ì˝. √ ÓÎ Ú‡Î·‡È‰ øÈÎ˜Î˝ı ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ Î „ ̋ Ì˝.

›Ì˝ Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸ÔËÔÂ‰ ̊ Ì Ú‡ÎÒÛÛ‰‡‰ øÈÎ˜Î˝ı „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ Îøø‰ËÈÌ ‡Î„Â·ð

ı˝ÏÊ ˝˝„ ˝˝ð˝˝ ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ËÈ„ 1σ , ı ‡Ï„ËÈÌ ·‡„ ˚„ 3σ , Á‡‚Òð˚Ì ÛÚ„ ˚„ 2σ „ ̋ Ê Ú˝Ï‰ ̋ „Î˝Ì˝. “ ̋ „‚ ̋Î 321 σ σ σ >> Ìº ı ̂ ºÎ ·ËÂÎÌ˝.

«º‚ ı ºÌ Ì˝„ „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ Î Ú˝„ ̋ ˝Ò ̌Î„‡‡Ú‡È ·‡È‚‡Î ¯Û„‡Ï‡Ì, ı Ó∏ð „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ Î Ú˝„ ̋ ˝Ò ̌Î„‡‡Ú‡È ·‡È‚‡Î ı ‡‚Ú„‡ÈÌ, „Ûð‚‡Ì „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ Î Ú˝„ ̋ ˝Ò ̌Î„‡‡Ú‡È·‡È‚‡Î ˝Á ̋Î ı øøÌËÈ ı ø˜‰ ̋ ÎÚ ÚºÎº‚ „ ̋ Ì˝.

“ ˝Ì ı Î ˝„ËÈÌ ÒÛÌ„‡ÎÚ˚Ì øÂ‰, ººðººð ı ̋Î· ̋Î ¯Û„‡Ï‡Ì ÚºÎº‚ËÈÌ ( 01 >σ ,

032 ==σ σ ) øÂ‰ Ì‡ÎÛÛ Ó„ÚÎÓÎ‰ øøÒ˝ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⋅=

⋅=

α σ

τ

α σ σ

α

α

2sin2

cos2

(2.1)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. ’‡‚Ú„‡ÈÌ ı ø˜‰ ̋ÎÚ ÚºÎº‚ËÈÌ øÂ‰ Ì‡ÎÛÛ Ó„ÚÎÓÎ‰ øøÒ˝ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+−

=

−−

++

=

α τ α σ σ

τ

α τ α σ σ σ σ

σ

α

α

2cos2sin

2

2sin2cos22

yx y x

yx y x y x

(2.2)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. ØøÌ‰ α - ÚÛ ı ‡ÈÌ ı ‡‚Ú„‡ÈÌ ÌÓðÏ‡ÎËÈÌ ¯ËÎ·˝ÌËÈÚ˝Ì ı Î˝„Ú˝È øøÒ„ ̋ ı ºÌˆº„.

√ ÓÎ Ú‡Î·‡ÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„

y x

yx tg

σ σ

τ α

−−=

22 0 (2.3)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð, „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„

22

minmax 22 yx

y x y x

τ

σ σ σ σ

σ +⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

±

+

= (2.4)



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

19

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ‰Ó„.›ÁÎ ˝ı øøÌËÈ ı ø˜‰ ̋ÎÚ ÚºÎº‚ËÈÌ øÂ‰ √ ÛÍËÈÌ ÂðºÌ ı ËÈ ı ÛÛÎ¸

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ] ⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

+−=

+−=

+−=

1233

3122

3211

1

1

1

σ σ ν σ ε

σ σ ν σ ε

σ σ ν σ ε

E

E

E

(2.5)

ı ̋Î·˝ðÚ˝È ·‡È‰‡„. ›‰„ ̋ ˝ð ı˝‚ „‡ÊËÎÚ‡‡ð ˝ÁÎ˝ı øøÌËÈ ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈººð˜ÎºÎÚËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ·ÓÎ

321 ε ε ε θ ++= (2.6)

·ÓÎÓ ı ·‡ ı ø˜‰ ˝ Î˝˝ð ËÎ˝ð ı ËÈÎ·˝ Î( )321

21σ σ σ

ν θ ++

−=

E (2.7)

·‡ÈÌ‡.α

F α

n

F d

σ

τ

α

α

∆ Ë¯˝˝ 2.1. 50=d ÏÏ „ÓÎ˜ÚÓÈ

¯ËÎ·ËÈ„ (2.1ñð ÁÛð‡„)Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ‰‡„ÛÛ

100= F ÍÕ ı ø˜˝˝ð

ÒÛÌ„‡ ı ‡‰ ÌÓðÏ‡Î¸ Ì¸¯ËÎ·˝ÌËÈ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È

60 ºÌˆº„ øøÒ„ ̋ ı 2.1ñð ÁÛð‡„

Ó„ÚÎÓÎ‰ øøÒ˝ı ·ÓÒÓÓ, ı˝‚Ú˝˝, ·øÚ˝Ì ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ. ¡Ó‰ÓÎÚ. ÿËÎ·˝ÌËÈ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È

4222

106.194

)105( 14.3

4−

−

⋅=⋅⋅

==d

A π

Ï2

Û˜Ëð ¯ËÎ·˝ÌËÈ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ‰ øÈÎ˜Î˝ı ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ Î

64

3

1051106.1910100 ⋅=⋅⋅==

− A F σ Õ/Ï2 51= Ãœ‡

·‡ÈÌ‡. Œ‰ÓÓ Ì‡ÎÛÛ ı ‡‚Ú„‡È‰ øøÒ˝ı ·ÓÒÓÓ, ı˝‚Ú˝˝, ·øÚ˝Ì ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÓÎ·ÓÎ662 108.1260cos1051cos ⋅=⋅⋅==

α σ σ α

Õ/Ï2 8.12= Ãœ‡

66

101.22120sin2

10512sin

2 ⋅=⋅

⋅==

α σ

τ α

Õ/Ï2 1.22= Ãœ‡

5.251.228.12 2222 =+=+= τ σ α

P Ãœ‡

·ÓÎÌÓ.




∆ Ë¯˝˝ 2.2. ›ÎÂÏÂÌÚËÈÌ (2.2‡ñð ÁÛð‡„) „ÓÎ Ú‡Î·‡ÈÌÛÛ‰‡‰=1σ 120Ãœ‡, =2σ 60Ãœ‡ ı ø˜‰ ̋ Î øÈÎ˜ËÎÊ ·‡È ı ‡‰ ÌÓðÏ‡Î¸ Ì¸ ı˝‚Ú˝˝

˜Ë„Î ̋ÎÚ˝È 030=α ºÌˆº„ øøÒ„ ̋ ı ı ‡‚Ú„‡È‰ øÈÎ˜Î˝ı ·ÓÒÓÓ, ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ÓÎ.

σ1 1

σ 2

ασ

σ 2

αn

σ α

ατ

B A

τ

σC

O

Dα

600

60

120

=105σα

=26ατ

‡). ·).2.2ñð ÁÛð‡„

¡Ó‰ÓÎÚ. ’‡‚Ú„‡ÈÌ ı ø˜‰ ̋ ÎÚ ÚºÎº‚ËÈÌ ¯ÛÛ‰ ·‡ Ûð‚ÛÛ ·Ó‰ÎÓ„Ó ·‡È‰‡„. “ ̋ „‚ ̋Î ˝Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„Ó Ì¸ ¯ÛÛ‰ ·Ó‰ÎÓ„Ó ˛Ï. ªºðººð ı ̋Î· ̋Î „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ Îøø‰º„º„‰ÒºÌ ·‡È ı ‡‰ Ì‡ÎÛÛ ı ‡‚Ú„‡È‰ øøÒ˝ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ·Ó‰ÎÓ„Ó ˛Ï.

›Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„ ˚„ ÚÓÏ ˙∏Ó, „ð‡ÙËÍ‡‡ð ·Ó‰ÓÊ ·ÓÎÌÓ.› ı Î˝ ̋‰ ˝Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ „ ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ·Ó‰ ˙∏. Õ‡ÎÛÛ ı ‡‚Ú„‡È‰ øÈÎ˜Î˝ı

ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ (2.2) ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. “ ̋ „ ̋ ı ‰ ̋ ˝ ˝Ì˝ ÚÓ ı ËÓÎ‰ÓÎ‰

1σ σ = x , 2σ σ = y , 0= yx τ ·‡È„‡‡„ ‡Ì ı ‡‡ð‚‡Î

1055.0309060cos22

2121 =⋅+=−

++

= σ σ σ σ

σ α

Ãœ‡

26866.0302sin2

21 ≈⋅=−

= α σ σ

τ α

Ãœ‡

·ÓÎÌÓ.›Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ „ „ð‡ÙËÍ‡‡ð ·Ó‰Ó ı ‰ÓÓ ÃÓð˚Ì ‰Û„ÛÈ (2.2·ñð ÁÛð‡„)

‡¯Ë„Î‡Ì‡. ƒÛ„ÛÈ ·‡È„ÛÛÎ‡ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ˝ı Î˝ ̋‰ Ú˝„¯ ºÌˆº„Ú ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚ÌÒËÒÚÂÏ ‡‚˜ ı˝‚Ú˝˝ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ‰‡„ÛÛ ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ( σ ), ·ÓÒÓÓÚ˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ‰‡„ÛÛ ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ( τ ) ı˝ÏÊËÌ˝. ’ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ

Ï‡Ò¯Ú‡· ÒÓÌ„ÓÊ ı˝‚Ú˝˝ Ú˝Ì ı Î˝„ ‰ ̋ ˝ð 1σ =OA , 2σ =OB ı˝ð˜ÏËÈ„

Ú˝Ï‰ ̋ „Î ̋Ê ( ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ Ú˝Ï‰„ËÈ„ ı ‡ð„‡ÎÁ‡Ì) AB „ÓÎ˜ÚÓÈ, C Úº‚Ú˝È ÚÓÈðÓ„·‡È„ÛÛÎÌ‡. ¡‡È„ÛÛÎÒ‡Ì ˝Ì˝ ‰Û„ÛÈ„ ÃÓð˚Ì ‰Û„ÛÈ ·Û ̨ Û ı ø˜‰ ̋ÎËÈÌ ‰Û„ÛÈ „ ̋ Ì˝.

ƒÛ„ÛÈÌ ˆ ˝

„ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡ÚÛÛ‰ ˇ

ÌÁ ·øðËÈÌ ı

‡‚Ú„‡È‰ øÈÎ˜Î˝ı

·ÓÒÓÓ, ı˝

‚Ú˝˝

ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ËÎ˝ð ı ËÈÎÌ˝.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

21

ÕÓðÏ‡Î¸ Ì¸ ı˝‚Ú˝˝ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È 30=α ºÌˆº„ øøÒ„ ̋ ı ı ‡‚Ú„‡ÈÌ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ˝Ì˝

‰Û„ÛÈ„‡‡ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ‰Û„ÛÈÌ C Úº‚‰ ÓðÓÈÚÓÈ 602 ==∠ α α

ACD

ºÌˆ„ËÈ„ ·‡È„ÛÛÎÌ‡. ›Âð˝„ ºÌˆ„ËÈ„ ˆ‡„ËÈÌ ÁøøÌËÈ ı º‰ºÎ„ººÌËÈ ˝Òð˝„ ı˝ÏÊËÌ˝. ›Ì˝ ºÌˆ„ººð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰Ó ı α D ˆ ˝„ËÈÌ ‡·ÒˆËÒÒ Ì¸ Ì‡ÎÛÛ ı ‡‚Ú„‡È‰ øÈÎ˜Î˝ı 105=

α σ Ãœ‡ ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„, Óð‰ËÌ‡Ú Ì¸ ÏºÌ ı ‡‚Ú„‡È‰

øÈÎ˜Î˝ı 26=α

τ Ãœ‡ ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.

∆ Ë¯˝˝ 2.3. “‡ÎÒÛÛ‰‡‰ Ì¸ 100= x σ Ãœ‡, 40−= y σ Ãœ‡,

60−= yx τ Ãœ‡ ı ø˜‰ ̋ Î øÈÎ˜Î˝ı „‡Ì ̋ÎÂÏÂÌÚËÈÌ (2.3ñð ÁÛð‡„) „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ Î,

„ÓÎ Ú‡Î·‡ÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î, ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Î ·ÓÎÓÌ ÌÓðÏ‡Î¸ Ì¸ ı˝‚Ú˝˝

˜Ë„Î˝ ÎÚ˝È

60−=α ºÌˆº„ øøÒ„ ˝ı Ì‡ÎÛÛ ı ‡‚Ú„‡È‰ øøÒ˝ı ı ø˜‰ ˝ ÎËÈ„ ÚÓÏ ˙∏Ó,„ð‡ÙËÍËÈÌ ‡ð„‡‡ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ.

τ

y σ

yx

x σ

y σ

x σ

xy τ

σmin

σmax

σ

max

minτ

σ

τ

α

α

m a x

τ

m i n

τ

maxσσmin

ασ

τ α

P 060

1

2

4

3

5

6

A B

7

C α0O

‡). ·).

2.3ñð ÁÛð‡„¡Ó‰ÓÎÚ. › ı Î˝ ̋‰ ı ø˜‰ ̋ Îøø‰ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ˙∏.

‡. “ÓÏ˙ ∏ ÓÌ˚ ‡ð„‡ √ ÓÎ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÓÎ·ÓÎ

( ) 195.9230602

40100

2

40100

222

22

2

min

max ±=−+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +±

−=+⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+= yx

y x y x τ

σ σ σ σ σ

195.122195.9230max =+=σ Ãœ‡, 195.62195.9230min −=−=σ Ãœ‡

·‡ÈÌ‡.




√ ÓÎ Ú‡Î·‡ÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î

75.0 )40( 100

)60( 222 0 =

−−

−⋅−=

−−=

y x

yx tg

σ σ

τ α ⇒ 8.362 0 =α ⇒ 4.180 =α

ºÌˆ„ººð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰ÓÌÓ. ªºðººð ı ̋Î· ̋Î „ÓÎ Ú‡Î·‡ÈÌ ÌÓðÏ‡Î¸ ı˝‚Ú˝˝

˜Ë„Î ̋ÎÚ˝È 4.180 =α ºÌˆº„ (2.3ñð ÁÛð‡„) øøÒ„ ̋ Ì˝.

’‡Ï„ËÈÌ Ë ı ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Î

195.922

)195.62( 195.122

2minmax

min

max ±=−−

±=−

±= σ σ

τ Ãœ‡

·ÓÎÌÓ. ÕÓðÏ‡Î¸ Ì¸ ı˝‚Ú˝˝ ˜Ë„Î ̋ÎÚ˝È 60−=α ºÌˆº„ øøÒ„ ̋ ı Ì‡ÎÛÛ ı ‡‚Ú„‡È‰ øÈÎ˜Î˝ı ı ø˜‰ ̋ Î

=−−++= α τ α σ σ σ σ

σ α

2sin2cos22 yx

y x y x

( ) 96.56 )120sin( 60 )120cos( 2

)40( 100

2

40100−=−−−−

−−+

−= Ãœ‡

=+−

= α τ α σ σ

τ α

2cos2sin2 yx

y x

62.30 )120cos( )60( )120sin( 2

)40( 100−=−−+−

−−= Ãœ‡

·‡ÈÌ‡.

·. √ ð‡ÙËÍ ‡ð„‡ √ ð‡ÙËÍ‡‡ð ·Ó‰Ó ı˚Ì ÚÛÎ‰ ˝ı Î˝ ̋‰ ı˝‚Ú˝˝ Ú˝Ì ı Î˝„ ‰ ̋ ˝ð 100= x σ Ãœ‡

ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ı˝ÏÊËÊ 1 ˆ ̋ „ËÈ„; 40−= y σ Ãœ‡ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ı˝ÏÊËÊ 2 ˆ ̋ „ËÈ„; 1

ˆ ̋ „ ̋ ˝Ò 60−= yx τ Ãœ‡ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ı˝ÏÊËÊ 3 ˆ ̋ „ËÈ„; 2 ˆ ̋ „ ̋ ˝Ò 60= yx τ Ãœ‡

ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ı˝ÏÊËÊ 4 ˆ ̋ „ËÈ„ ÓÎÌÓ. ƒ‡ð‡‡ Ì¸ 3, 4 ˆ ̋ „øø‰ËÈ„ ¯ÛÎÛÛÌ‡‡ð ı ÓÎ·Ó ı Ó‰ ‡·ÒˆËÒÒ˚„ Ó„ÚÓÎÊ ·‡È„‡‡ C ˆ ̋ „ ÃÓð˚Ì ‰Û„ÛÈÌ Úº‚ (2.3ñð ÁÛð‡„)

·ÓÎÌÓ. – ˆ ˝„Ú Úº‚Ú˝È ‰Û„ÛÈ ·‡È„ÛÛÎÒÌ˚ ‰‡ð‡‡ 3 ˆ ˝„ ˝˝Ò ‡·ÒˆËÒÒÚ‡ÈÔ‡ð‡ÎÎÂÎ¸ ¯ÛÎÛÛÌ Ú‡Ú‡Ê ÚÓÈðÓ„ÚÓÈ Ó„ÚÎÓÎˆÛÛÎ‡Ì P ÚÛÈÎ ˆ ̋ „ËÈ„ ÓÎÌÓ. P ÚÛÈÎ ˆ ̋ „ËÈ„ ¿ ˆ ̋ „Ú˝È ı ÓÎ·Ó ı Ó‰ maxσ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˜Ë„Î ̋Î „‡ð‡ ı ·º„ºº‰ maxσ

ı ø˜‰ ̋ Î ˝Âð˝„(ÒÛÌ„‡ ı ) ·‡È„‡‡ Û˜Ëð øÈÎ˜Î˝ı „ÓÎ ı ‡‚Ú„‡È„‡‡Ò „‡‰‡„¯ ˜Ë„Î˝Ì˝.

›Ì˝ ÚÓ ı ËÓÎ‰ÓÎ‰ OA ı˝ð˜ËÏ 19.122max =σ Ãœ‡ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝„ Á‡‡Ì‡.

ØøÌËÈ ‡‰ËÎ‡‡ð 19.62min −=σ Ãœ‡ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝, ˜Ë„Î ̋ÎËÈ„ (¯‡ ı ‡ ı )

ÓÎÌÓ. 5C ð‡‰ËÛÒ 19.92max =τ Ãœ‡ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝„ Á‡‡ ı ·‡ 0max >τ

Û˜Ëð øÈÎ˜Î˝ı ı ‡‚Ú„‡È„ ˆ‡„ËÈÌ ÁøøÌËÈ ı º‰ºÎ„ººÌËÈ ‰‡„ÛÛ ˝ð„øøÎ˝ı



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

23

˝ðÏ ̋ÎÁÎ ̋ÎÚ˝È ·‡ÈÌ‡. ÃºÌ 6C ð‡‰ËÛÒ 19.92min −=τ Ãœ‡ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝„

Á‡‡ ı ·‡ 0min <τ Û˜Ëð ˆ‡„ËÈÌ ÁøøÌËÈ ı º‰ºÎ„ººÌËÈ ˝Òð˝„ ˝ð„ ̋ ı ˜Ë„Î ̋ÎÚ˝È

·‡ÈÌ‡. P ÚÛÈÎ ˆ ˝„ËÈ„ 5 ˆ ˝„Ú˝È ı ÓÎ·ÓÒÓÌ ˜Ë„Î˝ Î‰ (·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ˝ ÎËÈÌ ˜Ë„)

ÔÂðÔÂÌ‰ËÍÛÎ ˇð ˜Ë„Î ̋Î‰ maxτ ı ø˜‰ ̋ Î, ÏºÌ 6 ˆ ̋ „Ú˝È ı ÓÎ·ÓÒÓÌ ˜Ë„Î ̋Î‰

ÔÂðÔÂÌ‰ËÍÛÎ ˇð ˜Ë„Î ̋Î‰ minτ ı ø˜‰ ̋ Î øÈÎ˜Î˝Ì˝.

Õ‡ÎÛÛ ı ‡‚Ú„‡È‰ øøÒ˝ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÓÎÓ ı˚Ì ÚÛÎ‰ P ˆ ̋ „Ú ÓðÓÈÚÓÈ, Ì˝„ Ú‡Î

Ì¸ 3 P ·‡È ı 60−=α (ˆ‡„ËÈÌ ÁøøÌËÈ ı º‰ºÎ„ººÌËÈ ‰‡„ÛÛ) ºÌˆ„ËÈ„·‡È„ÛÛÎ‡ ı ‡‰ 7 ˆ ̋ „Ú ÚÓÈð„ËÈ„ Ó„ÚÓÎÊ ·‡ÈÌ‡. 7 ˆ ̋ „ËÈÌ ‡·ÒˆËÒÒ

9.56−=α

σ Ãœ‡, Óð‰ËÌ‡Ú 6.30−=α

τ Ãœ‡ ·ÓÎÌÓ. ¡ÛÒ‡‰ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝,

˜Ë„Î ̋ÎËÈ„ ÁÛð‡„Ú øÁøøÎ˝‚. ›Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ı Û‚¸‰ y x σ σ > ·‡È„‡‡ Û˜Ëð 0α

ºÌˆº„ maxσ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˜Ë„ËÈ„ ( ¿ ˆ ̋ „Ú) Á‡‡Ì‡.



ƒ¿¿À√ ¿¬¿— ¹1. ƒ‡‡Î„‡‚‡ð „Ûð‚‡Ì ·Ó‰ÎÓ„ÓÓÒ ·øð‰ ̋ Ì˝.

1. –ÛÌ„‡ÎÚ, ¯‡ ı ‡ÎÚ ̊ Ì ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ó‰ÎÓ„Ó

ÿ‡Ú‡ÎÒ‡Ì „‡Ì ¯ËÎ·˝Ì‰ (2.4ñð ÁÛð‡„) Úº‚ÎºðÒºÌ, Ú‡ð ı Ï‡Î ı ø˜( 20=q ÍÕ/Ï) øÈÎ˜ËÎÊ ·‡È ı ‡‰

1. ‰‡„ÛÛ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ ;2. ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ ;3. ̄ ËÎÊËÎÚËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.

’ÓÎ·Ó„‰Ó ı ÚÓÓÌ º„º„‰ÎËÈ„ 2.1ñð ı øÒÌ˝„Ú˝˝Ò ‡‚.

1

ba

=50 =40

F 12 F

0.4 0.6

q A A1 2

2

ab

1 F 2 F

1 0.5

q

=50 A1

=40 A2

3

a b0.8 0.4

1 F 2 F

q

=50 A1 =40 A2

4

ab

F 1 F 2

1 0.5

q

=50 A1 =40 A2

5

a b

F 1 F 2

1.2 0.4

q

=50 A1 =40 A2

=40 A2

6

ba

1 F F 2

1.4 0.5

q

=50 A1 =40 A2

7

b a

2 F 1 F

0.8 0.4

q

=50 A1 =40 A28

a b

1 F

2 F

1 0.5

q

=50 A1 =40 A2

2.4-ð ÁÛð‡„

ÒÏ

2

ÒÏ2

Ï Ï

ÒÏ2

ÒÏ

2

Ï Ï

ÒÏ2

ÒÏ2

Ï Ï Ï Ï

ÒÏ2

ÒÏ2

ÏÏ

ÒÏ2ÒÏ2ÒÏ2 ÒÏ2 ÒÏ2

Ï

Ï

Ï Ï Ï Ï

ÒÏ2ÒÏ2ÒÏ2 ÒÏ2




2.1ñð ı øÒÌ˝„Ú

ª „ º „ ‰ Î Ë È Ì

‰ Û „ ‡ ‡

ð

’ ˝ Ò „ ø ø ‰ Ë È Ì

Û ð Ú

, Ï

“ º ‚ Î º

ð Ò º Ì

ı ø ˜ , Í Õ

ª „ º „ ‰ Î Ë È Ì

‰ Û „ ‡ ‡

ð

’ ˝ Ò „ ø ø ‰ Ë È Ì

Û ð Ú

, Ï

“ º ‚ Î º

ð Ò º Ì

ı ø ˜

, Í Õ

‡ b 1 F 2 F ‡ b 1 F

2 F

1 0.40 0.80 60 180 11 0.62 0.36 120 100

2 0.50 0.46 120 80 12 0.64 0.40 140 100

3 0.80 0.40 80 140 13 0.74 0.48 40 120

4 0.42 0.60 100 140 14 0.54 0.68 180 200

5 0.52 0.42 60 120 15 0.40 0.64 60 40

6 0.78 0.50 120 90 16 0.36 0.80 140 100

7 0.30 0.80 90 100 17 0.50 0.40 50 160

8 0.42 0.62 120 140 18 0.80 0.80 180 100

9 0.60 0.30 140 80 19 0.56 0.46 60 160

10 0.70 0.50 100 120 20 0.60 0.74 130 100



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

27

2. ÿËÎ·˝ÌËÈ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ÒËÒÚÂÏËÈÌ ·Ó‰ÎÓ„Ó

F ı ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋Î‰ Óð¯Ë ı ı º¯øøÌ ̋ÎÂÏÂÌÚ (2.5ñð ÁÛð‡„) ı Ó∏ð „‡Ì¯ËÎ·˝˝ð ı ÓÎ·Ó„‰ÒÓÌ ·º„ºº‰ „‡Ì„ËÈÌ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î 160][ =σ Ãœ‡,

ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ˝Ò˝ð„øøˆ ̋ Î 210= R Ãœ‡ ·‡È ı ‡‰1. „‡Ì ¯ËÎ·˝Ìøø‰ ̋ ‰ øøÒ˝ı ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ;2. ¯ËÎ·˝Ìøø‰ËÈÌ Ú‡Î·‡ÈÌ º„º„‰ÒºÌ ı ‡ð¸ˆ‡‡„‡‡ð ¯ËÎ·˝Ìøø‰ËÈÌ

ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È„ ÓÎ.ª„º„‰ÎËÈ„ 2.2ñð ı øÒÌ˝„Ú˝˝Ò ‡‚.

F

A b

cba

2A

1

b

2A

a b c

b

A

F

2

A

2A

a b c

b

F

3

2A

a b c

b

A

F

4

b

b

A

2A F

ca

5

F

A

b

cab

2A

6

b

F

A b

cba

2A

7

A

c a b

2A F

8

b




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

29

ca

A F

b

2A

b

17

b ac

F

18

A 2A

b

F

bc a

19

2A b

F A

ac b

20

2.5ñð ÁÛð‡„ (øð„ ̋ ÎÊÎ ̋Î)


¹ F ‡ b Ò

¹ F ‡ b –

ÍÕ Ï ÍÕ Ï

1 500 0.7 1.1 0.2 11 250 0.4 1.1 0.3

2 300 0.6 1.0 0.2 12 500 0.5 0.8 0.3

3 120 0.5 0.9 0.3 13 160 0.8 1.0 0.2

4 100 0.6 0.9 0.4 14 450 0.7 1.0 0.3

5 250 0.5 1.0 0.3 15 140 0.6 0.8 0.2

6 200 0.5 0.8 0.2 16 800 0.5 1.1 0.3

7 500 0.4 1.0 0.2 17 180 0.6 0.7 0.4

8 120 0.6 0.8 0.3 18 400 0.4 0.9 0.5

9 100 0.5 1.2 0.4 19 600 0.8 1.2 0.2

10 400 0.3 0.9 0.2 20 180 0.6 1.1 0.4




3. ’‡‚Ú„‡ÈÌ ı ø˜‰ ̋ ÎÚ ÚºÎº‚ËÈÌ ·Ó‰ÎÓ„Ó

’‡ðËÏ ı ‡È „‡ÊËÊ ·ÛÈ ı ËÈˆËÈÌ ‡ ̨ ÛÎÚ‡È ˆ ̋ „Ú º˜øø ı˝Ì ·‡„‡ Ú˝„¯ ºÌˆº„Ú ̋ÎÂÏÂÌÚ (2.6-ð ÁÛð‡„) ‡‚‡‚. ›ÎÂÏÂÌÚËÈÌ Ú‡ÎÒÛÛ‰‡‰ ·ÓÒÓÓ, ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Î

øÈÎ˜ËÎÊ ·‡È ı ‡‰ ÚÓÏ ˙∏Ó, „ð‡ÙËÍËÈÌ ‡ð„‡‡ð1. „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÓÎ ;2. „ÓÎ Ú‡Î·‡ÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ÓÎ ;3. „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˜Ë„Î ̋Î, „ÓÎ Ú‡Î·‡ÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ÁÛð‡„Ú Á‡‡ ;4. ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ˜Ë„Î ̋ÎËÈ„ ÁÛð ;5. Ì‡ÎÛÛ ı ‡‚Ú„‡È‰ øÈÎ˜Î˝ı ·ÓÒÓÓ, ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ;6. x , y , z Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ˜Ë„Î ̋Î‰ øøÒ˝ı ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ¯Û„‡Ï‡Ì ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„

ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ;7. ̋ÎÂÏÂÌÚËÈÌ ˝Á ̋Î ı øøÌËÈ ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ººð˜ÎºÎÚËÈ„ ÓÎ.

ª„º„‰ÎËÈ„ 2.3ñð ı øÒÌ˝„Ú˝˝Ò ‡‚.




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

31


¹ x σ y σ yx τ α

¹ x σ y σ yx τ α

Ãœ‡ „ð‡‰ Ãœ‡ „ð‡‰

1 40 130 40 600 11 130 60 30 -600

2 70 100 80 300 12 80 70 60 450

3 30 120 40 -450 13 120 40 50 -300

4 80 50 70 300 14 150 30 40 600

5 90 40 60 300 15 100 20 60 300

6 40 140 40 450 16 130 50 40 -450

7 50 120 60 -300 17 40 120 60 -600

8 110 30 70 -600 18 120 70 20 600

9 60 40 60 600 19 110 50 40 450

10 90 40 60 -450 20 70 80 60 300



√ ”—¿¬ƒ” √ ¿¿— ¡ØÀ›√

Œ√ “ÀŒÀ, ’ŒÀ√ ŒÀ“¤Õ “ŒŒ÷ŒŒ

3.1.¡ŒŒÀ“ŒÕ ’ŒÀ¡ŒŒ–Õ¤ “ŒŒ÷ŒŒ

ÃÂÚ‡ÎÎ ‰‡ÏÌÛÛð, ·‡„‡Ì‡ Á˝ð˝„ ı ËÈˆËÈÌ ̋ÎÂÏÂÌÚËÈÌ ı Ó∏ð ·ÓÎÓÌ ı ̋‰ ı ̋‰ ̋ Ì

ı˝Ò„ËÈ„ ı ÓÓðÓÌ‰ Ì¸ ı ÓÎ·Ó ı Ó‰ ·ÓÓÎÚÓÌ ı ÓÎ·ÓÓÒ˚„ ‡¯Ë„Î‡‰‡„. ¡ÓÓÎÚÓÌ ı ÓÎ·ÓÓÒ˚Ì

·ÓÓÎÚÓÌ‰ Ó„ÚÎÓÎÚ ı ÓÎ„ÓÎÚ˚Ì ı˝‚ „‡ÊËÎÚÛÛ‰ øøÒ‰ ̋ „.

’ËÈˆËÈÌ ̋ÎÂÏÂÌÚøø‰ËÈ„ ı ÓÎ·Ó ı Ó‰ ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ̋ ˝ð˝˝ Ú˝Ìˆøø ˜Ë„Î ̋Î˝˝ð˝˝ ˝Òð˝„

ı ÓÒ ı ø˜ ·ÓÓÎÚÓÌ‰ øÈÎ˜ËÎÊ ·ÓÓÎÚÌ˚ ¯ËÎ·ËÈ„ ‡b Ó„ÚÎÓÎÓÓð (3.1ñð ÁÛð‡„) Ó„ÚÓÎ‰Ó„.

√ Ûð‚‡Ì ı˝Ò„ËÈ„ ı ÓÎ·ÓÒÓÌ ÚÓ ı ËÓÎ‰ÓÎ‰ ·ÓÓÎÚ˚„ ı Ó∏ð ı ‡‚Ú„‡È„‡‡ð (3.2ñð ÁÛð‡„)

Ó„ÚÓÎÌÓ.

3.1ñð ÁÛð‡„ 3.2ñð ÁÛð‡„

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì øÂ‰ ·ÓÓÎÚÌ˚ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ‰ ÊË„‰ Ú‡ð ı Ò‡Ì ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Î

øøÒÌ˝. ¡ÓÓÎÚÌ˚ Ó„ÚÎÓÎ˚„ Ú˝Ò‚˝ðÎ˝ı ˜‡‰‚‡ð˚„ ‰‡ð‡‡ ı ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎººð

¯‡Î„‡Ì‡.

[ ] s sd

mn

F τ≤

π⋅

=τ

4

2

(3.1)

ØøÌ‰ : m ñ ·ÓÓÎÚÌ˚ Ó„ÚÎÓ„‰Ó ı ÚÓÓ

[ ] sτ ñ ·ÓÓÎÚÌ˚ Ï‡ÚÂðË‡Î˚Ì Ó„ÚÎÓÎ‰ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î

n ñ ·ÓÓÎÚÌ˚ ÚÓÓ

d ñ ·ÓÓÎÚÌ˚ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ‰Ë‡ÏÂÚð

F ı ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋Î˝˝ð ı ÓÎ·Ó ı ı˝Ò„ËÈÌ ı ‡Ì‡ ·ÓÓÎÚÌ˚ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ¯øð„ ̋ Îˆ ̋ ı „‡‰‡ð„ÛÛ‰ ‰‡ð‡ÎÚ øøÒ˜ ı ÓÎ„ÓÎÚ˚Ì ı˝‚ „‡ÊËÎÚ ·ËÈ ·ÓÎ„ÓÌÓ. F ı ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋Î˝˝ð

ı ÓÎ·Ó„‰ÓÊ ·‡È„‡‡ ̋‰ ‡Ì„ËÛ‰ ̊ Ì (2.3ñð ÁÛð‡„) ‰ ̋ ̋‰ ı˝Ò˝„ Ì¸ ·ÓÓÎÚ˚„ ·‡ðÛÛÌ, ‰ÓÓ‰

ı˝Ò˝„ Ì¸ ÁøøÌ ÚËÈ¯ ¯‡ ı Ì‡.

a). ·). ‚).3.3ñð ÁÛð‡„



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

33

ÿøð„ ̋ Îˆ ̋ ı „‡‰‡ð„ÛÛ„‡‡ð (3.3·ñð ÁÛð‡„) ı ø˜‰ ̋ Î ÊË„‰ ·Ë¯ Ú‡ð ı ‡ ı ·ÓÎÓ‚˜

Ôð‡ÍÚËÍÚ (3.3‚ñð ÁÛð‡„) „ÓÎ˜ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È‰ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ øøÒÌ˝ „ ̋ Ê ÚÓÓˆ‰Ó„.

’ÓÎ„ÓÎÚ˚Ì ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎ ‰‡ð‡‡ ı ı ̋Î·˝ðÚ˝È ·‡ÈÌ‡.

[ ]ÒÓÔÒÓÔnd

F

σ δ

σ ≤⋅⋅=min

( 3.2)

ØøÌ‰ :

[ ]ÒÓÔ

σ ñ·ÓÓÎÚÌ˚ ı ÓÎ„ÓÎÚ˚Ì Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î

n ñ ·ÓÓÎÚÌ˚ ÚÓÓ

d ñ ·ÓÓÎÚÌ˚ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ‰Ë‡ÏÂÚð

minδ ñ ı ÛÛ‰Ò‡Ì ÚºÏðËÈÌ ÁÛÁ‡‡Ì

“ÓÏ ˙∏ÓÌ‰ δ Ï‡ÚÂðË‡Î˚Ì ÁÛÁ‡‡Ì˚„ ÚÓÓˆÓ ı ‰ÓÓ ı ø˜ÌËÈ Ì˝„ ˜Ë„Î ̋Î‰ ‡ÊËÎÎ‡ ı

ÁÛÁ‡‡Ì˚ ÌËÈÎ·˝ðËÈÌ ·‡„‡ ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ‡‚‰‡„.

¡ÓÓÎÚÓÌ ı ÓÎ·ÓÓÒÌ˚ øÂ‰ ·ÓÓÎÚÌ˚ Ó„ÚÎÓÎÚ, ı ÓÎ„ÓÎÚ˚Ì ÚÓÓˆÓÓÌÓÓÒ „‡‰Ì‡

ı ÓÎ·ÓÊ ·‡È„‡‡ ̋ÎÂÏÂÌÚËÈÌ ÒÛÌ„‡ÎÚ˚Ì ÚÓÓˆÓÓ„ ı ËÈ ı ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È. ”˜Ëð Ì¸

·ÓÓÎÚÓÌ ı ÓÎ·ÓÓÒ˚Ì øÂ‰ ·ÓÓÎÚÌÓÓÒ „‡‰Ì‡ ı ËÈˆËÈÌ ̋ÎÂÏÂÌÚËÈÌ ı˝Ò„øø‰ º„º‰ÒºÌ

‡˜‡‡Î‡Î‰ Ì‡È‰‚‡ðÚ‡È ‡ÊËÎÎ‡Ê ·‡È ı ∏ÒÚÓÈ. ›ÎÂÏÂÌÚøø‰ËÈÌ ÒÛÌ„‡ÎÚ˚Ì ·‡Ú ·º ı ËÈÌ

Ìº ı ̂ ÎËÈ„ ‰‡ð‡‡ ı ı ̋Î·˝ðÚ˝È ·Ë˜Ì˝.

[ ]t

nt A

F σ≤=σ ( 3.3)

ØøÌ‰ : nt A ñ ̋ÎÂÏÂÌÚËÈÌ ı ÓÎ·ÓÓÒ ı ËÈ ı ı˝Ò„ËÈÌ ‡ ̨ ÛÎÚ‡È Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È. ªºðººð ı ̋Î· ̋Î ·ÓÓÎÚÌ˚ Ìø ı ËÈ„ ÚÓÓˆÒÓÌ Ú‡Î·‡È

[ ]t σ ñ ’ÓÎ·Ó„‰Ó ı ̋ÎÂÏÂÌÚ, ı˝Ò„ËÈ„ ı ËÈÒ˝Ì Ï‡ÚÂðË‡Î˚Ì ÒÛÌ„‡ÎÚ˚Ì

Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î

∆ Ë¯˝˝ 3.1. ’ËÈˆ ̋ ‰ 470= F ÍÕ ‡˜‡‡ øÈÎ˜ËÎÌ˝. ’ËÈˆËÈÌ ı˝Ò„øø‰ËÈ„ 3.4ñð

ÁÛð‡„Ú øÁøøÎÒÌ˝˝ð ·ÓÓÎÚÓÌ ı ÓÎ·ÓÓÒÓÓð ı ÓÎ·Ó ı ∏ÒÚÓÈ ·‡ÈÊ ̋ ˝. ’ÓÎ·ÓÓÒÌ˚ 16 ÏÏ

„ÓÎ˜ÚÓÈ ·ÓÓÎÚ ‡¯Ë„Î‡Ì ı ËÈ ı ·ÓÎ ·ÓÓÎÚÌ˚ ÚÓÓ, ı ËÈˆËÈÌ ˆÛ‚ËÏ‡Î Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ·ÛÒ‡‰

ı˝ÏÊ ̋ ˝Òøø‰ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ¸∏.





›‰ ‡Ì„ËÛ‰ ̊ „ „‡Ì„‡‡ð ı ËÈÒ˝Ì ·º„ºº‰ ÒÛÌ„‡ÎÚ‡Ì‰ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î

[ ] 160=σt Ãœ‡, Ó„ÚÎÓÎÚÓÌ‰ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î [ ] 120=τ s Ãœ‡, ı ÓÎ„ÓÎÚÓÌ‰

Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î [ ] 250=ÒÓÔ

σ Ãœ‡ ·‡ÈÌ‡.

¡Ó‰ÓÎÚ. (3.1) ÚÓÏ ˙∏ÓÌÓÓÒ ı ËÈˆ ̋ ‰ ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È ·ÓÓÎÚÌ˚ ÚÓÓ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ·ÓÎ

[ ]7.9

101204

016.014.32

10470

4

62

3

2 =

⋅⋅

⋅=

τπ

≥

s

d m

F n

10=n ·ÓÎÌÓ. ›Ì‰ ·ÓÓÎÚ ı Ó∏ð ı ‡‚Ú„‡È„‡‡ð Ó„ÚÎÓ„‰Ó ı ÚÛÎ 2=m „ ̋ Ê ‡‚Ò‡Ì.

(3.2) ÚÓÏ ˙∏ÓÌÓÓÒ F ı ø˜ÌËÈ Ì˝„ ˜Ë„Î ̋Î‰ ‡ÊËÎÎ‡ ı ˝Ì‰ ‡Ì„ËÈÌ ı ‡Ï„ËÈÌ ·‡„‡

ÁÛÁ‡‡Ì˚„ ÓÎ·ÓÎ :

[ ] 01175.0016.01010250

104706

3

min =⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅≥

ÒÓÔd n

F

σ δ Ï=11,75Ï

’ËÈˆ ̋ ‰ ı Ó∏ð ¯‚ÂÎÎÂð ·‡È„‡‡ ÚÛÎ ¯‚ÂÎÎÂðËÈÌ ÁÛÁ‡‡Ì Ì¸ 87.52min =

δÏÏ Óð˜ËÏ

·‡ÈÌ‡. ØøÌËÈ„ ‡Ì ı ‡‡ð˜ ÒÓðÚ‡ÏÂÌÚ˝˝Ò ¯‚ÂÎÎÂðËÈÌ ı ‡Ì‡Ì˚ ÁÛÁ‡‡Ì Ì¸ =1δ 6 ÏÏ

·‡È ı 27 ÌÓÏÂðËÈÌ ¯‚ÂÎÎÂðËÈ„ ÒÓÌ„ÓÊ ‡‚ ˙ˇ. ÿ‚ÂÎÎÂðËÈÌ Ú‡Î·‡È 2.35= A ÒÏ2.

ÃºÌ 1 ı ÛÛ‰Ò‡Ì ÚºÏðËÈÌ ÁÛÁ‡‡Ì˚„ 12=δ ÏÏ „ ̋ Ê ÒÚ‡Ì‰‡ðÚ‡‡ð ÒÓÌ„ÓÊ ‡‚ ˙ˇ. 3.5ñð

ÁÛð‡„Ú øÁøøÎÒÌ˝˝ð ·ÓÓÎÚÛÛ‰ ̊ „ ·‡ÈðÎÛÛÎÌ‡ „ ̋ ‚ ̋Î ı ÛÛ‰Ò‡Ì ÚºÏðËÈÌ ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı

‡˜‡‡Î‡Î‰ ‡ÊËÎÎ‡ ı

Ú‡Î·‡È ( )t t b n d b n d δ δ δ = ⋅ − ⋅ ⋅ = −

·ÓÎÓ ı˚

„ ‡Ì ı

‡‡ð˜ (3.3) ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð 1 ı ÛÛ‰Ò‡Ì ÚºÏðËÈÌ b ºð„ºÌËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ º„º„‰ÒºÌ ‡˜‡‡Î‡Î‰

¯‚ÂÎÎÂðËÈÌ Ì‡È‰‚‡ðÚ‡È ‡ÊËÎÎ‡ ı ˝Ò˝ı ËÈ„ ¯‡Î„‡ ˇ.

t

t

F b n d

δ σ ≥ − ⋅ =

⎡ ⎤⎣ ⎦

=⋅−⋅⋅

⋅= 016.03

10160012.0

104706

3

196.0= Ï

20=b ÒÏ „ ̋ Ê ÒÓÌ„Ó∏.ÿ‚ÂÎÎÂðËÈÌ ·Ó‰ËÚ Ú‡Î·‡È

( ) ( ) 34

1 1046.6016.0006.03102.3522 −− ⋅=⋅⋅−⋅=⋅⋅−= d n A At nt

δ Ï2

3t

n = ‡ ̨ ÛÎÚ‡È Ó„ÚÎÓÎ ‰‡ ı ̧ ı ‡‰‡‡ÒÌ˚ ÚÓÓ

ÿ‚ÂÎÎÂðÚ øøÒ˝ı ı ø˜‰ ̋ Î

6

3

3

1075.721046.6

10470⋅=

⋅

⋅==

−nt

A

F σ œ‡=72.75Ãœ‡

=σ 72.75 Ãœ‡ [ ] 160=σ< t Ãœ‡ ÚÛÎ ¯‚ÂÎÎÂð ‡˜‡‡Î‡Î‰ Ì‡È‰‚‡ðÚ‡È

‡ÊËÎÎ‡Ì‡.




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

35

3.2. ÿ»—››À“›Õ ’ŒÀ¡ŒŒ–Õ¤ “ŒŒ÷ŒŒ

ÿËð˝ ̋ÎÚ˝Ì ı ÓÎ·ÓÓÒ Ì¸ Á‡‰‡ð‰‡„„øÈ ı ÓÎ·ÓÓÒÌ˚ Ì˝„ ÚºðºÎ ˛Ï. ÿËð˝ ̋ÎÚ˝Ì

ı ÓÎ·ÓÓÒ˚„ ̋‰ ‡Ì„ËÛ‰ ̊ „ ı ÓÎ·ÓÊ ¯Ëð˝˝ı ·‡È‰Î‡‡ð Ì¸ ÚÛÎ„‡Ê, ÁºðøøÎÊ (3.6·,‚,„ñð

ÁÛð‡„) ¯Ëð˝˝ı „ ̋ Ê ‡Ì„ËÎÌ‡. ›‰ ‡Ì„ËÛ‰ ̊ „ ÁºðøøÎÊ ¯Ëð˝ ̋ÎÚ ı ËÈ ı øÂ‰ ¯Ëð˝ ̋ÎÚÌËÈ

Ó∏ ‰Î˚Ì ·‡ÈðÎ‡Î‡‡Ò Ì¸ ı ‡Ï‡‡ðÛÛÎÊ ı ‡ÊÛÛ„ËÈÌ, ·ÛÎ‡Ì„ËÈÌ, Ú‡¯ÛÛ ¯Ëð˝ ̋ÎÚÚ˝È

(3.6·,‚,„ñð ÁÛð‡„) „ ̋ Ê ‡Ì„ËÎÌ‡.


“ÛÎ„‡Ê ¯Ëð˝ ̋ÎÚ ı ËÈ ı øÂ‰ Ó∏ ‰Î˚Ì ·‡Ú ·˝ı ËÈ„ ÒÛÌ„‡ÎÚ ¯‡ ı ‡ÎÚ˚Ì ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ

Ìº ı ̂ Îººð ÚÓÓˆÌÓ.

[ ]σ≤δ⋅

==σl

F

A

F ( 3.4)

ØøÌ‰ : δ - ̋ÎÂÏÂÌÚËÈÌ ÁÛÁ‡‡Ì ( Ó∏ ‰Î˚Ì ºð„ºÌ )

l - Ó∏ ‰Î˚Ì ÛðÚ

b - ̋ÎÂÏÂÌÚËÈÌ ºð„ºÌ

σ - ›ÎÂÚðÓ‰ ̊ Ì Ï‡ÚÂðË‡Î˚Ì Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î

›‰ ‡Ì„Ë ̋ÎÂÏÂÌÚøø‰ËÈ„ ÁºðøøÎÊ ¯Ëð˝ ̋ÎÚ ı ËÈ ı ̋‰ ¯Ëð˝ ̋ÎÚËÈÌ Ó∏ ‰ÓÎ Ì¸

·ËÒÒÂÍÚðËÒÒ˝˝ð Ì¸ ‰‡Èð‡ ı ı ‡‚Ú„‡È„‡‡ð ˝‚‰ ̋ ðÌ˝ „ ̋ Ê øÁ‰ ̋ „. (3.7· ñð ÁÛð‡„)

«ºðøøÎÊ ¯Ëð˝ ̋ÎÚ ı ËÈ ı øÂËÈÌ ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎ Ì¸ ‰‡ð‡‡ ı ı ̋Î·˝ðÚ˝È

[ ] ˝

hl

F

A

F τ≤

⋅⋅==τ

7.0 ( 3.5)

ØøÌ‰ : l - Ó∏ ‰Î˚Ì ÌËÈÚ ÛðÚ

h - Ó∏ ‰Î˚Ì ºÌ‰ºð

‡)

·)

‚)

„)




[ ] ˝τ - ̋ÎÂÍÚðÓ‰ ̊ Ì Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î

Œ∏ ‰Î˚Ì ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ÛðÚ

[ ] ˝h

F

l τ⋅⋅≥ 7.0 ( 3.5)

œð‡ÍÚËÍÚ Ó∏ ‰Î˚Ì ÛðÚ˚„ ÚÓÓˆÓ ı ‰ÓÓ ¯Ëð˝ ̋ÎÚËÈÌ øÂ‰ ı ÓÓÒÓÌ Ó∏ ‰ÓÎ Ú‡‚Ë„‰‰‡„ ̊ „

ı ‡ð„‡ÎÁ‡Ì ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ÛðÚ ‰ ̋ ˝ð 10 ÏÏ Ì˝ÏÊ ÚÓÓˆ‰Ó„. ›‰ ‡Ì„ËÛ‰ ̊ „ ÁºðøøÎÊ ¯Ëð˝ ̋ÎÚ

ı ËÈ ı ‰ ̋ ˝ ı ‡ÊÛÛ„ ̊ Ì ·ÛÎ‡Ì„ ̊ Ì (3.7ñð ÁÛð‡„), ı ‡ÊÛÛ„ ̊ Ì Ú‡¯ÛÛ Ó∏ ‰Î˚Ì ı ‡ÏÚ ı ËÈÊ

¯Ëð˝ ̋ÎÚËÈ„ ı ËÈÊ ·ÓÎ‰Ó„ .


3.7ñð ÁÛð‡„Ú ÁÛð‡„‰Ò‡Ì ¯Ëð˝ ̋ÎÚ˝Ì ı ÓÎ·ÓÓÒ˚Ì Ó∏ ‰Î˚Ì ÌËÈÚ ÛðÚ Ì¸ bl L += 2 ·‡ÈÌ‡.

∆ Ë¯˝˝ 3.2. 3.8ñð ÁÛð‡„Ú øÁøøÎÒÌ˝˝ð ı º‰ºÎ„ººÌ„øÈ ·˝ı ̋ÎÒ˝Ì ı ÛÛ‰Ò‡Ì

ÚºÏºðÚ˝È ‡‰ËÎ ·ÛÒ Ú‡ÎÚ 14 × 9×0.8 ·ÛÎ‡Ì ÚºÏðËÈ„ ¯Ëð˝ ̋ÎÚ˝Ì ı ÓÎ·ÓÓÒÓÓð ı ÓÎ·Ó ı

∏ÒÚÓÈ ·‡ÈÊ ̋ ˝. ’ËÈˆ ̋ ‰ 300= F ÍÕ ı ø˜ øÈÎ˜Î˝ı ·º„ºº‰ Ó∏ ‰Î˚Ì ºÌ‰ºð Ì¸ Ú· d h .= ,

̋ÎÂÍÚðÓ‰ ̊ Ì Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î [ ] 100=τ ˝

Ãœ‡ ·ÓÎ Ó∏ ‰Î˚Ì ÌËÈÚ ÛðÚ˚„

ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ¸∏.


¡Ó‰ÓÎÚ. ¿‰ËÎ ı ‡ÊÛÛÚ ·Ë¯ ·ÛÎ‡Ì ÚºÏðËÈÌ ÁÛÁ‡‡Ì 8.0=d ÒÏ ÚÛÎ Ó∏ ‰Î˚Ì ºÌ‰ºð

8.0=h ÒÏ 008.0= Ï ·‡ÈÌ‡. 3.5′ ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð Ó∏ ‰Î˚Ì ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ÛðÚ

[ ]535.0

10100008.07.0

10300

7.0 6

3

=

⋅⋅⋅

⋅=

τ≥

˝h

F l Ï

Œ∏ ‰Î˚Ì ÌËÈÚ ÛðÚ 545.001.0 =+= l L Ï 5.54= ÒÏ .

a )

· )



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

37

Œ∏ ‰Î˚„ ·ÛÎ‡Ì ÚºÏðËÈÌ 2 Ú‡Î‡‡ð ı ËÈÌ˝ „ ̋ ‚ ̋Î Ì˝„ Ú‡Î‰ ı ËÈ„‰ ̋ ı Ó∏ ‰Î˚Ì ÛðÚ

25.272:1 == L l ÒÏ.

ƒ‡‡Î„‡‚‡ðπ2. ƒ‡‡Î„‡‚‡ð

ı

Ó∏

ð ·Ó‰ÎÓ„ÓÚÓÈ.

1. ¡ÓÓÎÚÓÌ ı ÓÎ·ÓÓÒ˚Ì ÚÓÓˆÓÓ

F ı ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋Î‰ ·ÓÓÎÚÓÌ ı ÓÎ·ÓÓÒÚ (3.9ñð ÁÛð‡„) ·‡È ı ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È

ı˝ÏÊ ̋ ˝Ìøø‰ËÈ„ ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎººÒ 3.1ñð ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ º„º„‰Îººð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ. ›‰

‡Ì„ËÛ‰ ̊ „ „‡Ì„‡‡ð ı ËÈÒ˝Ì ·º„ºº‰ ÒÛÌ„‡ÎÚ ¯‡ ı ‡ÎÚ‡Ì‰ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î

[ ] 160=σt Ãœ‡, Ó„ÚÎÓÎ‰ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î [ ] 120=τ s Ãœ‡, ı ÓÎ„ÓÎÚÓÌ‰

Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î 250=σ p Ãœ‡ ·ÓÎÌÓ.

1.

¡ÓÓÎÚÓÌ ı ÓÎ·ÓÓÒÓÌ‰ ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È ·ÓÓÎÚÌ˚ ÚÓÓ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı

2.

–Ú‡Ì‰‡ðÚ˚Ì ˆÛ‚ËÏ‡Î Ó„ÚÎÓÎ, ı ÛÛ‰Ò‡Ì ·ÓÎÓÌ ı ÓÎ·ÓÓÒ ÚºÏðøø‰ËÈÌ ÁÛÁ‡‡Ì˚„ÒÓÌ„Ó ı . ’ÛÛ‰Ò‡Ì ÚºÏðËÈÌ ÁÛÁ‡‡Ì ÒÚ‡Ì‰‡ðÚ‡‡ð =δ 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;

14; 16; 18; 20; 22; 25; 28; 30 ÏÏ ·‡ÈÌ‡.

3.

’ÓÎ·ÓÓÒÓÌ‰ ‡¯Ë„Î‡ ı ·ÓÓÎÚÛÛ‰ ̊ Ì ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ÒÓÌ„ÓÊ ˆÛ‚ËÏ‡Î Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ·‡Ú

·˝ı ËÈ„ ¯‡Î„‡ ı ¡ÓÓÎÚÌ˚ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ÒÓÌ„ÓÊ ‡‚‡ ı ‰‡‡ ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı Ì¸ ˆÛ‚ËÏ‡Î

Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È„ 10% , ı ÛÛ‰Ò‡Ì ÚºÏðËÈÌ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È„ 20%

·ÛÛðÛÛÎ‡ ı ‡‡ð ÚÓÓˆÓÊ ‡‚.

4.

’ÛÛ‰Ò‡Ì ÚºÏºð ˝Ò‚ ̋Î ı ÓÎ·ÓÓÒ ÚºÏðËÈÌ ºð„ºÌËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı

5.

¡ÓÓÎÚÌ˚ ·‡ÈðÎ‡Î Ì¸ ı ‡Ï„ËÈÌ ·‡„‡ Ì¸ ̋‰ ‡Ì„ËÈÌ Á‡ ı ‡‡Ò 1.5d Á‡È‰

·ÓÓÎÚÌÛÛ‰ ̊ Ì Úº‚ ı ÓÓðÓÌ‰ ̊ Ì Á‡È„ 3d ñ˝˝Ò ‰ ̋ ˝¯ Á‡È‰ ·‡È ı ‡‡ð ·Ó‰ÓÊ

ı ÓÎ·ÓÓÒ˚Ì ÁÛð„ËÈ„ Ï‡Ò¯Ú‡·Î‡Ì ÁÛð‡ ı




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

39



¹ F ,

ÍÕ

d ,

ÏÏ

¹ F ,

ÍÕ

d ,

ÏÏ

¹ F ,

ÍÕ

d ,

ÏÏ

¹ F ,

ÍÕ

d ,

ÏÏ1 470 16 6 320 27 11 360 27 16 410 24

2 360 18 7 400 30 12 400 42 17 380 16

3 410 22 8 500 48 13 470 30 18 440 30

4 350 20 9 320 20 14 380 22 19 340 18

5 350 24 10 280 24 15 360 20 20 460 42

2. ÿËð˝ ̋ÎÚ ̋ Ì ı ÓÎ·ÓÓÒ˚Ì ÚÓÓˆÓÓ

– ı ÂÏøø‰ ̋ ˝ð (3.10ñð ÁÛð‡„) º„º‰ÒºÌ ¯Ëð˝ ̋ÎÚ˝Ì ı ÓÎ·ÓÓÒ˚Ì Ó∏ ‰Î˚Ì ÛðÚ˚„ 3.2ñð

ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ º„º„‰Îººð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı . ÕËÈÚ Ò ı ÂÏËÈÌ ı Û‚¸‰ ̋ÎÂÍÚðÓ‰ ̊ Ì

Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î [ ] 100=τ ˝

Ãœ‡, Ó∏ ‰Î˚Ì ºÌ‰ðËÈ„ ÁÛð‡„Ú º„ÒÌººð ÚÓÓˆÌÓ.

1.

ª„º„‰ÎººÒ Ò ı ÂÏ‰ ÁÛð‡„‰Ò‡Ì ˆÛ‚ËÏ‡Î, ı ÛÛ‰Ò‡Ì ÚºÏºð, ı ÓÎ·ÓÓÒ ÚºÏðËÈÌ

ı˝ÏÊ ̋ ˝Òøø‰ËÈ¯ ̌Î„‡Ì ‡‚Ì‡.

2.

Œ∏ ‰Î˚Ì ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ·ÓÎÓÌ ·Ó‰ËÚ ÛðÚ˚„ ÓÎÌÓ.

3.

Œ∏ ‰Î˚Ì ·‡Èð¯Î‡‡Ò ı ‡Ï‡‡ðÛÛÎÊ Ó∏ ‰Î˚Ì ÛðÚ˚„ ı Û‚Ë‡ðÎ‡Ì‡.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

41







¹

’ ̋ ÏÊ ̋ ˝Òøø‰

ÿ‚ÂÎÎÂðËÈÌ

‰Û„‡‡ð

ƒ‚ÛÚ‡‚ð˚Ì

‰Û„‡‡ð

F,

ÍÕ

’ÛÛ‰Ò‡Ì

ÚºÏºð ¡ÛÎ‡Ì ÚºÏºð

b δ

1 140 16 16 × 10×0.9 18 20 246

2 150 20 14 × 9×0.8 18 22 300

3 130 14 12.5 × 8×1 14‡ 20 200

4 140 14 14 × 9×1 16 20‡ 250

5 150 18 16 × 10×1 18 22 350

6 160 16 14 × 9×1 20 20 250

7 140 12 16 × 10×1 18‡ 27 320

8 150 14 12.5 × 8×1.2 20 18 2809 140 12 16 × 10×1 20a 20 300

10 160 14 14× 9×1 18 18 260

11 140 12 16 ×10×1.2 18a 20 280

12 160 16 18× 11×1 20 22 300

13 160 14 16 × 10×1.2 20‡ 24 320

14 150 12 18× 11×1 20a 20 250

15 140 10 16 × 10×1 18 18 250

16 150 12 16 × 10×1.2 20 22 240

17 150 12 18 × 11×1.2 18a 20 300

18 160 14 16 × 10×0.9 18 22 250

19 140 12 12.5 × 8×1 20 18 260

20 150 12 16 × 10×1 20‡ 20 280



ƒª—ª¬ƒØ √ ››— ¡ØÀ›√

’¿¬“ √ ¿… ƒØ—–»…Õ √≈ŒÃ≈ “— ÿ»Õ ∆

4.1. ŒÌÓÎ˚Ì ÚÓ‚˜ øÌ‰ ˝ÒÎ˝ ÎÿËÎ·˝ÌËÈ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ( 4.1ñð ÁÛð‡„)

∫= A

x ydAS ∫= A

y xdAS (4.1)

ËÌÚÂ„ð‡ÎÛÛ‰ ̊ „ Œ’, ŒØ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ÒÚ‡ÚËÍ ÏÓÏÂÌÚ „ ̋ Ê Ì˝ðÎ˝Ì˝.ÕËÈÎÏ ̋Î ‰øðÒËÈÌ ˇÏ‡ð Ì˝„ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ÒÚ‡ÚËÍ ÏÓÏÂÌÚ Ì¸

‰øðÒËÈÌ ·øð‰øøÎÊ ·‡È„‡‡ ı ̌Î·‡ð ‰øðÒ ÚÛÒ ·øðËÈÌ ÚÛ ı ‡ÈÌ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ÒÚ‡ÚËÍ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ Ì ‡Î„Â·ð ÌËÈÎ·˝ðÚ˝È Ú˝Ìˆøø.

∑= ⋅=+++=

n

iii x x x x y AS S S S n

1...21

(4.2)

∑=

⋅=+++=n

iii y y y y x AS S S S

n1

...21

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ·‡ÈðÎ‡Î‡‡Ò ı ‡Ï‡‡ð˜ ÒÚ‡ÚËÍ ÏÓÏÂÌÚ˝Òð˝„, Òºðº„, Ú˝„ ÛÚ„‡Ú‡È ·‡È‰‡„. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈ„ ‰‡ÈðÒ‡Ì Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„ Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„ „ ̋ Ì˝. “º‚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ÒÚ‡ÚËÍÏÓÏÂÌÚ Ú˝„Ú˝È Ú˝Ìˆøø ·‡È‰‡„.

0=⋅= c x

y AS 0=⋅= c y

x AS ( 4.3)

( 4.3) ÚÓÏ ˙∏ÓÌÓÓÒ ı ‡‚Ú„‡È Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡ÚÛÛ‰ ̊ „ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ‰Ó„.

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=⋅

==⋅

==n

ii

n

iii

x cn

ii

n

iii

y c

A

y A

A

S y

A

x A

A

S x

1

1

1

1 (4.4)

ÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì ÒËÒÚÂÏËÈÌ ÚÛ ı ‡ÈÌ Ú˝Ì ı Î˝„ ̋ ˝Ò (4.1ñð ÁÛð‡„) Ó„ÚÎÓÎ ˚Ì ̋ÎÂÏÂÌÚ‡ð Ú‡Î·‡È dA ı øðÚ ̋Î ı Á‡ÈÌÍ‚‡‰ð‡Ú˚„ ̋ÎÂÏÂÌÚ‡ð Ú‡Î·‡È„‡‡ð øðÊøøÎÊ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È„‡‡ð‡‚Ò‡Ì ËÌÚÂ„ð‡Î˚„ ı ‡‚Ú„‡ÈÓ„ÚÎÓÎ˚Ì Ú˝ð Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ „ ̋ Ì˝.





∫∫ == A

y A

x dA x I dA y I 22 (4.5)

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ̋ÎÂÏÂÌÚ‡ð Ú‡Î·‡È dA ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì ÚÛÈÎ ˆ ̋ „ ̋ ˝Ò Ó„ÚÎÓÎ˚Ì

º˜øø ı˝Ì ·‡„‡ Ú‡Î·‡È ı øðÚ ̋Î ı Á‡ÈÌ Í‚‡‰ð‡Ú‡‡ð øðÊøøÎÊ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È„‡‡ð ‡‚Ò‡Ì ËÌÚÂ„ð‡Î˚„ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ˇÏ‡ð Ì˝„ ˆ ̋ „Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ÚÛÈÎ˚ÌËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ „ ̋ Ì˝.

∫ρ=ρ A

dA I 2 (4.6)

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ̋ÎÂÏÂÌÚ‡ð dA Ú‡Î·‡È„ ÚøøÌ˝˝Ò ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì ’; Ø ı øðÚ ̋Î ı Á‡ÈÌÛÛ‰‡‡ð øðÊøøÎÊ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È„‡‡ð ‡‚Ò‡Ì ËÌÚÂ„ð‡Î˚„ Úº‚ººÒ ÁÛ„Ú‡‡ ı ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ „ ̋ Ì˝.

∫= A xy xydA D (4.7)

»ÌÂðˆËÈÌ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ ÚÛÈÎ˚Ì ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ˇÏ‡„Ú ˝Âð˝„, ı ‡ðËÌ Úº‚ººÒÁÛ„Ú‡‡ ı ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ ˝Âð˝„ , Òºðº„, Ú˝„ ÛÚ„‡Ú‡È ·‡ÈÊ ·ÓÎÌÓ.

–Ú‡ÚËÍ ÏÓÏÂÌÚ Ì¸ ÛðÚ˚Ì Ì˝„ÊËÈÌ ÍÛ· Á˝ð˝„Ú (ÒÏ3 , Ï3 ), ËÌÂðˆËÈÌÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ÛðÚ˚Ì Ì˝„ÊËÈÌ ‰ºð‚ºÌ (ÒÏ4 , Ï4 ) Á˝ð˝„Ú Ì˝„ÊÚ˝È ·‡ÈÌ‡.

ÕËÈÎÏ ̋Î ‰øðÒËÈ„ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ Ì¸ ı ̌Î·‡ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰Ó ı ı˝Ò„øø‰ ̋ ‰ ı Û‚‡‡Ê Ú ̋‰„ ̋ ˝ð ı ̌Î·‡ð ‰øðÒøø‰ËÈÌ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ Ì‡Î„Â·ð ÌËÈÎ·˝ð˝˝ð ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚËÈ„ Ì¸ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ‰Ó„.

∑=

=+++=n

iin I I I I I

121 ... (4.8)

“ÛÈÎ˚Ì ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ Ì¸ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì Ú˝Ì ı Î˝„øø‰Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ Ì ÌËÈÎ·˝ðÚ˝È Ú˝Ìˆøø.

y x I I I +=ρ (4.9)

’‡‚Ú„‡È Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ (4.2ñð ÁÛð‡„ ) ‰‡ð‡‡ ı ı ‡Ï‡‡ð‡ÎÚ‡È ·‡È‰‡„.

ba A D D

b A I I

a A I I

C C

C

C

y x y x

y y

x x

⋅⋅+=

⋅+=

⋅+=

11

1

1

2

2

(4.10)


ØøÌ‰ ‡ Ì¸ Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸ ı˝

‚Ú˝˝

Ú˝

Ì ı

Î˝

„øø‰ËÈÌ , b Ì¸ Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸ ·ÓÒÓÓ Ú˝Ì ı Î˝„øø‰ËÈÌ ı ÓÓðÓÌ‰ ̊ Ì Á‡È ·º„ºº‰ ‰ ̋ ˝ð ı ÚÓÏ ˙∏ÓÌ‰ ÓðÎÛÛÎ‡ ı ‰‡‡



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

45

̋‰„ ̋ ˝ðËÈ„ ÁÓ ı Ë ı Ú˝Ï‰ ̋ „Ú˝È Ì¸ ‡‚Ì‡. 4.10 ÚÓÏ ˙∏ÓÌÓÓÒ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ ÓÎ·ÓÎ :

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⋅−=

−=

−=

bAa D D

Ab I I

Aa I I

y x y x

y y

x x

C C

C

C

11

1

1

2

2

(4.10`)

’‡‚Ú„‡È Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ’,Ø Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ Ê ·‡È ı ‡‰ ’,Ø Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„ α ºÌˆ„ººð ˝ð„øøÎ˝ı ̋‰ øøÒ˝ı 11 ,Y X

Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ‰‡ð‡‡ ı ÚÓÏ ˙∏ÓÌÛÛ‰‡‡ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰ÓÌÓ.

α α

α α α

α α α

2cos2sin2

2sincossin

2sinsincos

11

1

1

22

22

xy y x

y x

xy y x y

xy y x x

D I I

D

D I I I

D I I I

+−

=

−+=

−+=

(4.11)

4.3ñð ÁÛð‡„»ÌÂðˆËÈÌ Úº‚ººÒ ÁÛ„Ú‡‡ ı ÏÓÏÂÌÚ Ì¸ Ú˝„Ú˝È Ú˝Ìˆøø ·‡È ı Ú˝Ì ı Î˝„øø‰ËÈ„

ËÌÂðˆËÈÌ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„ „ ̋ Ì˝. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈ„ ‰‡ÈðÒ‡Ì „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„ Úº‚ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„ „ ̋ Ê Ì˝ðÎ ̋‰ ̋ „. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„

C C Y X , „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„ U, V øÒ„ ̋ ˝ð Ú˝Ï‰ ̋ „Î˝Â. C C Y X , Ú˝Ì ı Î˝„øø‰ËÈ„ „ÓÎ

Ú˝Ì ı Î˝„øø‰Ú˝È ‰‡‚ ı ̂ ÛÛÎ‡ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ˝ð„øøÎ˝ı 0α ºÌˆ„ËÈ„

C C

C C

C C

C C

x y

y x

y x

y x

I I

D

I I

Dtg

−=

−−=α

222 0 (4.12)

„ ̋ Ê ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ‰Ó„. C X Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„ ˆ‡„ËÈÌ ÁøøÌËÈ ı º‰ºÎ„ººÌËÈ ˝Òð˝„

˜Ë„Î ̋Î‰ ˝ð„øøÎ˝ı 0α ºÌˆ„ËÈ„ ˝Âð˝„ ÛÚ„‡Ú‡È ‡‚Ì‡.

»ÌÂðˆËÈÌ Úº‚ „ÓÎ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ‰‡ð‡‡ ı ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.

2

2

min

max22 C C

C C C C

y x y x y x

D I I I I

I +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+= (4.13)

»ÌÂðˆËÈÌ „ÓÎ U, V Ú˝Ì ı Î˝„øø‰ËÈ„ º„º„‰ÒºÌ Ú˝Ì ı Î˝„ „ ̋ Ê øÁ‚ ̋Î Ú ̋‰„ ̋ ˝ðËÈ„ ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı Úº‚ººÒ ÁÛ„‡Ú‡‡ ı ÏÓÏÂÌÚ 0=UV D ·ÓÎÓ ı Û˜Ëð

˝ð„øøÎ ̋ÎÚËÈÌ (IV.11) ÚÓÏ ˙∏Ó ‰‡ð‡‡ ı ·‡È‰Î‡‡ð ı ̌Î·‡ð˜Î‡„‰‡Ì‡.




α−=

α+α=

α+α=

2sin2

cossin

sincos

22

22

V U xy

V U y

V U x

I I D

I I I

I I I

(4.14)

xy y x D I I ,, ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰,

minmax , I I „ÓÎ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ Ì

ı ÓÎ·ÓÓ„ 4.4 ÁÛð‡„Ú ‰øðÒ ̋ÎÒÌ˝˝ðËÌÂðˆËÈÌ ‰Û„ÛÈ ·Û ̨ Û ÃÓð˚Ì ‰Û„ÛÈ„‡‡ð ı ‡ðÛÛÎÊ ·ÓÎ‰Ó„.

»ÌÂðˆËÈÌ ‰Û„ÛÈ„ ‡¯Ë„Î‡Ì Ó„ÚÎÓÎ˚ÌËÌÂðˆËÈÌ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„øø‰ËÈÌ ˜Ë„Î ̋Î,„ÓÎ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝

V U I I , Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ Ê ·‡È ı ‡‰ ˇÏ‡ð Ì˝„ ’,

Ø Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ xy y x D I I ,,

ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ‡ð„ ̊ „¯ÛÛ‰ ·Ó‰ÎÓ„Ó „ ̋ Ì˝. œÂðÔÂÌ‰ËÍÛÎ ˇð

’, Ø Ú˝Ì ı Î˝„øø‰Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ xy y x D I I ,, ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ Ê

·‡È ı ‡‰ ËÌÂðˆËÈÌ „ÓÎ ÏÓÏÂÌÚ , „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ËÌÂðˆËÈÌ ‰Û„ÛÈ‡¯Ë„Î‡Ì ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ·‡È‚‡Î Ûð‚ÛÛ ·Ó‰ÎÓ„Ó „ ̋ Ì˝. ”ð‚ÛÛ ·Ó‰ÎÓ„Ó Ì¸Ôð‡ÍÚËÍËÈÌ ı Û‚¸‰ ËÎøø ‡˜ ı ÓÎ·Ó„‰ÓÎÚÓÈ ·‡È‰‡„.

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ˇÏ‡ð Ì˝„ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È‰ ı ‡ð¸ˆÛÛÎÊ Í‚‡‰ð‡Ú ˇÁ„ÛÛð „‡ð„‡Ò‡ÌÚ‡È Ú˝Ìˆ ̋ ı ı˝ÏÊË„‰ ̋ ı øøÌËÈ„ ÚÛ ı ‡ÈÌ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ð‡‰ËÛÒ „ ̋ Ì˝.

A

I i

A

I i

y y

x x == (4.14)

√ ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ð‡‰ËÛÒÛÛ‰ ̊ „ „ÓÎ ð‡‰ËÛÒÛÛ‰ „ ̋ Ì˝.

A

I i

A

I i min

minmax

max == (4.15)

»ÌÂðˆËÈÌ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„øø‰ ‰ ̋ ˝ð ËÌÂðˆËÈÌ „ÓÎ ð‡‰ËÛÒÛÛ‰‡‡ð Ë ı ·‡„‡ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ı ‡„‡Ò‡‡ ı ËÈÒ˝Ì ̋ÎÎËÔÒËÈ„ ËÌÂðˆËÈÌ ̋ÎÎËÔÒ „ ̋ Ì˝.




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

47

»ÌÂðˆËÈÌ ̋ÎÎËÔÒËÈ„ ‡¯Ë„Î‡ÌÓ„ÚÎÓÎ˚Ì ˇÏ‡ð Ì˝„ Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ·ÓÎÌÓ. 4.5ñð ÁÛð‡„Ú ı Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈËÌÂðˆËÈÌ ð‡‰ËÛÒ Ì¸ ̋ÎÎËÔÒËÈÌ ı Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸ ¯øð„ ̋ „˜˝˝Ò ̋ÎÎËÔÒËÈÌ Úº‚ ı øðÚ ̋Î ı Œ¬ ı˝ð˜Ï˝˝ð

ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰ÓÌÓ.

22 OB Ai A I x x ⋅=⋅= (4.16)

ı Œy ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì ÒËÒÚÂÏËÈÌ ı Û‚¸‰ ˆ ̋ „ËÈÌ ‡·ˆËÒÒËÈ„ Ï ̋‰Ò˝Ì˝˝ð ËÌÂðˆËÈÌ Úº‚ººÒ ÁÛ„‡Ú‡‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚„

x i A D x xy ⋅⋅= (4.17)

„ ̋ Ê ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ·ÓÎÌÓ.Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ˇÏ‡ð Ì˝„ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÚÛ ı ‡ÈÌ

Ú˝Ì ı Î˝„ ̋ ˝Ò Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı ‡Ï„ËÈÌ ı ÓÎ Á‡ ı˚Ì ˆ ̋ „ ı øðÚ ̋Î ı Á‡ÈÌ‰ ı ‡ð¸ˆÛÛÎÒ‡Ì ı ‡ð¸ˆ‡‡„ Ú˝ð Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ „ ̋ Ì˝.

maxmax x

I Wy

y

I W

y

x

x

x ==

(4.18)

›Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ ÒÏ3, Ï3 Ì˝„ÊÚ˝È ·‡ÈÌ‡.

∆ Ë¯˝˝ 6.1. 4.6ñð ÁÛð‡„Ú º„º„‰ÒºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È

ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ˙∏.¡Ó‰ÓÎÚ. Œ„ÚÎÓÎ 3 ˝Ì„ËÈÌ ‰øðÒ˝˝Ò ·øð‰Ò˝Ì ·º„ºº‰ Á‡ðËÏ º„º„‰ÎËÈ„

ÚÓ‰ðÛÛÎ·‡Î:1 ñð ‰øðÒ ( Ú˝„¯ ºÌˆº„Ú)

5.1335.41

=⋅= A Ï2

78.2212

5.43 3

1=

⋅= x I Ï4

12.1012

5.433

1=

⋅= y I Ï4

2 ñð ‰øðÒ ( Ú‡Î ‰Û„ÛÈ)

57.18

214.3 2

2 =⋅

= A Ï2

Ú‡Î ‰Û„ÛÈ ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚






42.014.33

14

3

40 =

⋅

⋅=

π=

r a Ï Á‡È‰ Óð¯Ë ı ÚÛÎ 4.10` ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð

11.057.142.0128

214.3

128

24

2

2

0

4

2 =⋅−⋅

=−= Aad

I x

π

Ï4

39.0128

214.3

128

44

2=

⋅==

d I x

π

Ï4

3 ñ ð ‰øðÒ ( „Ûð‚‡ÎÊËÌ)

25.22

5.133 =

⋅= A Ï 28.0

36

5.13 3

3=

⋅= x I Ï4 84.0

48

5.133

3=

⋅= y I Ï4

Œ„ÚÎÓÎ y Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ı Û‚¸‰ Ú˝„¯ ı˝ÏÚ˝È Û˜Ëð ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ Ì¸ ˝Ì˝ Ú˝Ì ı Î˝„ ‰ ̋ ˝ð Óð¯ËÌÓ. ’øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈ„

1C ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ˙∏.

111 ,, y C x ÒËÒÚÂÏËÈÌ ı Û‚¸‰ 1C (0;0); 2C (0;1.83); 3C (0;-1.75) ·‡ÈÌ‡.

( )1.0

25.257.15.13

75.125.283.157.10

321

332211 =−−

−−⋅−=

−−

−−=

A A A

y A y A y A y C Ï

C C y C x ,, ÒËÒÚÂÏËÈÌ ı Û‚¸‰ ‰øðÒøø‰ËÈÌ ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ 1C (0;-10); 2C (0;1.73);

3C (0;-1.85) ·‡È„‡‡„ ‡Ì ı ‡‡ð˜ ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ Áº‚ ÓÎ‰ÒÓÌ ˝Ò˝ı ËÈ„ ¯‡Î„‡ ı ‡‰

( ) ( ) 085.125.273.157.11.05.13332211 ≈−−⋅−−=−−= a Aa Aa AS C X

·‡È„‡‡ Ì¸ ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈ„ Áº‚ ÓÎÊ ̋ ˝.2. C C y x , Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ ÓÎ ˙∏

1.01 −=a Ï 73.12 =a 85.13 −=a

13.10 )3( )2( )1( =−−=C C C C x x x x I I I I Ï4

( ) 91.225.131.078.222

121

)1(

1=⋅−+=+= Aa I I x x C

Ï4

8.457.173.111.0 22

22

)2(

2=⋅+=+= Aa I I x x C

Ï4

( ) 98.725.285.128.02

323

)3(

3=⋅−+=+= Aa I I x x C

Ï4

›Ì„ËÈÌ ‰øðÒøø‰ËÈÌ ı Û‚¸‰ 321 y y y y C === Ú˝Ì ı Î˝„øø‰ ‰‡‚ ı ̂ Ò‡Ì Ú˝„¯

ı˝ÏËÈÌ Ú˝Ì ı Î˝„ ·ÓÎÓ ı ÚÛÎ 0321 === bbb ·ÓÎÌÓ.

»ÈÏ‰:84.039.012.10

321−−=−−= y y y y I I I I

C =8.89 Ï4 ·ÓÎÌÓ.

3.

“º‚ Ú˝Ì ı Î˝„øø‰Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ 5.1max = x Ï

35.2max = y Ï 31.435.2

13.10

max

=== y

I W C

C

x

x Ï3



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

49

92.55.1

89.8

max

=== x

I W C

C

y

y Ï3

·ÓÎÌÓ.

∆ Ë¯˝˝ 6.2 4.7ñð ÁÛð„‡‡ð º„º„‰ÒºÌ ÌËÈÎÏ ̋Î ‰øðÒËÈÌ ËÌÂðˆËÈÌ „ÓÎÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ ÚÓÏ ˙∏Ó, „ð‡ÙËÍËÈÌ ‡ð„‡‡ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ, ËÌÂðˆËÈÌ ̋ÎÎËÔÒËÈ„·‡È„ÛÛÎ. – ı ÂÏ‰ ‰øðÒÎ˝„‰Ò˝Ì Ó„ÚÎÓÎÛÛ‰ ‰‡ð‡‡ ı „ÂÓÏÂÚð ¯ËÌÊ ˜‡Ì‡ðÚ‡È ·‡È„.

1ñð ‰øðÒ ‰‚ÛÚ‡‚ð¹ 20

20=h ÒÏ, 10=b ÒÏ, 8.261 = A ÒÏ2

18401= x I ÒÏ4, 115

1= y I ÒÏ4

2ñð ‰øðÒ “ ̋ „¯ ºÌˆº„Ú 16=h ÒÏ,4.2=b ÒÏ, 4.382 = A ÒÏ2

3ñð ‰øðÒ ¿‰ËÎ ı ‡ÊÛÛÚ ·Ë¯ ·ÛÎ‡Ì 100×63×710= B ÒÏ, 3.6=b ÒÏ, 7.0=d ÒÏ, 1.113 = A ÒÏ2,

1133= y I ÒÏ4, 35

3= x I ÒÏ4,

28.30 = x ÒÏ, 46.10 = y ÒÏ, )0421( 392.0 ′=

α

¡Ó‰ÓÎÚ. 1. ª„º„‰ÒºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈ„ ı Ó∏ð‰Û„‡‡ð ‰øðÒËÈÌ 2C ı øÌ‰ËÈÌ

Úº‚Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ (ÁÛð‡„ 4.8) ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ˙∏.






222 ,, y C x ÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì ÒËÒÚÂÏËÈÌ ı Û‚¸‰ )0;0( )2.11;3( 21 C C −−

)66.2;72.4( 3C ·‡ÈÌ‡. 4.4 ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ Ì¸

36.01.114.388.26

72.41.110 )3( 8.26

321332211 −=++ ⋅++−⋅=++ ++= A A A

x A x A x A x C ÒÏ

54.31.114.388.26

66.21.110 )2.11( 8.26

321

332211 −=++

⋅++−⋅=

++

++=

A A A

y A y A y A y C ÒÏ

’øÌ‰ËÈÌ Úº‚ )54.3;36.0( −−C ˆ ̋ „ Áº‚ ÓÎ‰ÒÓÌ ˝Ò˝ı ËÈ„ ¯‡Î„‡ ˇ . x, y

Ú˝Ì ı Î˝„ Ì¸ Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„ Û˜Ëð (4.3) ÚÓÏ ˙∏Ó ∏ÒÓÓð 0,0 == y x S S ·‡È ı

∏ÒÚÓÈ. “º‚ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ı Û‚¸‰ ı ̌Î·‡ð ‰øðÒËÈÌ ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈÌÍÓÓð‰ËÌ‡ÚÛÛ‰ Ì¸: 54.211

−== b x C Ï, 36.022== b x C Ï, 08.533

== b x C ,

66.711−== a y C Ï, 54.322

== b y C Ï , 66.733−== b y C Ï

( ) 002.61.1154.34.3866.78.26332211 ≈⋅+⋅+−⋅=⋅+⋅+⋅= a Aa Aa AS x

( ) 008.51.1136.04.3838.26332211 ≈⋅+⋅+−⋅=⋅+⋅+⋅= b Ab Ab AS y

2. “º‚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ˙∏.

4.317245.32117.82478.2026 )3( )2( )1( =++=++= x x x x I I I I ÒÏ4

( ) 78.20268.2664.218402

121

)1( 1

=−+=⋅+= Aa I I x x ÒÏ4

17.8244.3836.012

164.2 232

22

)2( 2

=⋅+⋅=⋅+= Aa I I x x ÒÏ4

45.3211.1108.535 23

23

)3( 3

=⋅+=⋅+= Aa I I x x ÒÏ4

82.272668.53954.4995.1687 )3( )2( )1( =++=++= y y y y I I I I ÒÏ4

( ) 5.16878.2666.71152

121

)1( 1

=−+=⋅+= Ab I I y y ÒÏ4

64.4994.3854.3

12

164.2 23

222

)2( 2

=⋅+⋅

=⋅+= Ab I I y y ÒÏ4

68.5391.112.6113 23

23

)3( 3

=⋅+=⋅+= Ab I I y y ÒÏ4

13.66424.7393.4896.541 )3( )2( )1( =++=++= xy xy xy xy D D D D ÒÏ4

96.5418.26 )66.7( )64.2( 0111 )1(

11=⋅−⋅−+=+= Aba D D y x xy ÒÏ4

96.5418.26 )66.7( )64.2( 0111 )2(

22=⋅−⋅−+=+= Aba D D y x xy ÒÏ4

)3( xy D ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÓÎÓ ı ‰ÓÓ 33 , y x Ú˝Ì ı Î˝„øø‰ËÈ„ u, v „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„ ðøø α

ºÌˆ„ººð ˝ð„øøÎÒ˝Ì „ ̋ Ê øÁ‚ ̋Î 6.11 ÚÓÏ ˙∏Ó



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

51

α+α−

= 2cos2sin2 33

33

y x y x

uv D I I

D ·ÓÎÓ ı ·‡ 0=uv D „ ̋ ‰„ËÈ„ ‡Ì ı ‡‡ð‚‡Î

24.7302432

11335

22

33

33 =′

−

−=α

−

−=

tg tg

I I

D

y x

y x ÒÏ

4

1; 2 ñð ‰øðÒ Ú˝„¯ ı˝ÏÚ˝È ÚÛÎ 00

2211== y x y x D D ·ÓÎÌÓ.

3. »ÌÂðˆËÈÌ Úº‚ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ·ÓÎ :

894.05.16874.3172

13.664222 0 =

−

⋅−=

−−=α

y x

xy

I I

Dtg 412 0 ≈α 03200 ′≈α

0α ºÌˆº„ Òºðº„ ·‡È„‡‡ Û˜Ëð ÚøøÌËÈ„ ’ Ú˝Ì ı Î˝„ ̋ ˝Ò ˆ‡„ËÈÌ ÁøøÌËÈ

ı º‰ºÎ„ººÌËÈ ‰‡„ÛÛ ı˝ÏÊËÌ ËÌÂðˆËÈÌ Úº‚ „ÓÎ u, v Ú˝Ì ı Î˝„øø‰ËÈ„ ·‡È„ÛÛÎÌ‡

.4. »ÌÂðˆËÈÌ Úº‚ „ÓÎ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ·ÓÎ :

=+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+== 2

2

min

max22 xy

y x y x

v

u D I I I I

I I

=+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−±

+= 2

2

13.6642

82.27264.3172

2

26.274.3172 y I

⇒±= 50.70061.2949 11.3650max

= I ÒÏ2, 11.49.22min

= I

5. “º‚ „ÓÎ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ ÃÓð˚Ì ‰Û„ÛÈ„‡‡ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ˙∏.»ÌÂðˆËÈÌ Úº‚ „ÓÎ ÏÓÏÂÌÚ˚„ „ð‡ÙËÍ‡‡ð ÓÎÓ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ı ‡ðËÎˆ‡Ì

ÔÂðÔÂÌ‰ËÍÛÎ ˇð ı Ó∏ð Ú˝Ì ı Î˝„ ‡‚˜ ı˝‚Ú˝˝ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ‰‡„ÛÛ ËÌÂðˆËÈÌ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ( I ) , ·ÓÒÓÓ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ‰‡„ÛÛ ËÌÂðˆËÈÌ Úº‚ººÒÁÛ„‡Ú‡‡ ı ÏÓÏÂÌÚËÈ„ ( D ) ı˝ÏÊËÌ˝.‡. 59.5174= x I ÒÏ4, 27.731= y I ÒÏ4 ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ ı˝ÏÊËÊ 1, 2 ˆ ̋ „ËÈ„ ÓÎÌÓ.

· . 96.541= xy D ÒÏ4 > 0 ÏÓÏÂÌÚ˚„ 1 ˆ ̋ „ ̋ ˝Ò ‰ ̋ ˝¯ ı˝ÏÊËÊ 3 ˆ ̋ „ËÈ„ ÓÎÌÓ.

‚. 2 ˆ ̋ „ ̋ ˝Ò 3 ˆ ̋ „ËÈÌ ˝Òð˝„ (‰ÓÓ¯) ·ÓÒÓÓ ˜Ë„Î ̋Î‰ 13.664= xy D ÒÏ3

ÏÓÏÂÌÚ˚„ ı˝ÏÊËÌ 4 ˆ ̋ „ËÈ„ ÓÎÌÓ.„. 3, 4 ˆ ̋ „øø‰ËÈ„ ¯ÛÎÛÛÌ‡‡ð ı ÓÎ·Ó ı Ó‰ ı˝‚Ú˝˝ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„ Ó„ÚÎÓ ı – ˆ ̋ „Ú Úº‚Ú˝È ÚÓÈðÓ„ ÁÛðÌ‡.‰ . 3 ˆ ̋ „ ̋ ˝Ò ı˝‚Ú˝˝ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸ ¯ÛÎÛÛÌ Ú‡Ú‡Ê ÚÓÈðÓ„ÚÓÈÓ„ÚÎÓÎˆÛÛÎ‡Ì — ˆ ̋ „ËÈ„ ÓÎÌÓ.Â. — ˆ ̋ „ ̋ ˝Ò ÚÓÈðÓ„ ı˝‚Ú˝˝ Ú˝Ì ı˝„ËÈ„ Ó„ÚÎÓÒÓÌ ¿¬ ˆ ̋ „øø‰ ðøø ˆ‡ˆð‡„ Ú‡Ú‡ ı ‡‰ Ú ̋‰„ ̋ ˝ð Ì¸ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„øø‰ËÈÌ ˜Ë„Î ̋ÎËÈ„ Á‡‡Ì‡.∏ . ÃºÌ ¿ ˆ ̋ „ËÈÌ ‡·ˆËÒÒ Ì¸ 94.5394max ≈ I ÒÏ4 ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝„ , ¬ ˆ ̋ „ËÈÌ

‡·ˆËÒÒ 92.510min ≈ I ÒÏ4 ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝„ Á‡‡Ì‡.




Ê. ¬ ˆ ̋ „ËÈ„ ‰‡Èð‡Ì „‡ð‡ ı ˆ‡ˆð‡„ËÈÌ ı˝‚Ú˝˝ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È øøÒ„ ̋ ı ºÌˆº„ Ì¸

0320 ′=α ·‡È ı ·º„ºº‰ ˆ‡„ËÈÌ ÁøøÌËÈ ı º‰ºÎ„ººÌËÈ ‰‡„ÛÛ ˜Ë„Î ̋ÎÚ˝È ·‡ÈÌ‡.


6. »ÌÂðˆËÈÌ „ÓÎ ð‡‰ËÛÒÛÛ‰ ̊ „ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ̋ÎÎËÔÒ (4.8ñð ÁÛð‡„) ·‡È„ÛÛÎ‡ ı - ‰‡‡ u Ú˝Ì ı Î˝„ ‰ ̋ ˝ð vi , v Ú˝Ì ı Î˝„ ‰ ̋ ˝ð ui ËÌÂðˆËÈÌ ð‡‰ËÛÒ˚„ ı˝ÏÊËÊ

·‡È„ÛÛÎÌ‡ .4.8

3.76

94.5394max ====

A

I ii uu ÒÏ

58.23.76

92.510min ====

A

I ii vv ÒÏ

ƒ‡‡Î„‡‚‡ð¹3. ƒ‡‡Î„‡‚‡ð ı Ó∏ð ·Ó‰ÎÓ„ÓÚÓÈ.

1. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ ÓÎÓ ı

ª„º„‰ÒºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì (4.10ñð ÁÛð‡„) Úº‚ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„øø‰Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ( b=0.8a d=0.2a) „ ̋ Ê ÚÓÓˆÓÌ 4.1ñð ı øÒÌ˝„Ú˝Ì‰ ‰Ûð¸‰Ò‡Ì º„º„‰Îøø‰ ̋ ˝ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ.

1.

º„º„‰ÒºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ;2. Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ;3. Úº‚ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„øø‰Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÓÎÌÓ.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

53

4.10 ñð ÁÛð‡„



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

55


4.1ñð ı øÒÌ˝„Ú¹

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,a ÒÏ 6 7.5 9.0 10.5 12.0 13.5 15.0 16.5 18.0 19.5

k 0.3 0.35 0.4 0.3 0.4 0.3 0.4 0.35 0.4 0.25

¹ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

,a ÒÏ 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 7.0 8.5 9.0 9.5 10.0

k 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.25 0.3 0.4 0.3 0.35

2. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı

ª„º„‰ÒºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì (4.11ñð ÁÛð‡„)Úº‚ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„øø‰Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ 4.2ñð ı øÒÌ˝„Ú˝Ì‰ ‰Ûð¸‰Ò‡Ì º„º„‰Îøø‰ ̋ ˝ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ.1. ª„º„‰ÒºÌ Ó„ÚÎÓÎÛÛ‰ ̊ „ ·ø ı Ú˝Ì ı Î˝„øø‰Ú˝È Ì¸ ÁÛðÊ øÌ‰Ò˝Ì

ı˝ÏÊ ̋ ˝Òøø‰ËÈ„ Ú˝Ï‰ ̋ „Î˝ı 2.

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ3.

ÕËÈÎÏ ̋Î ‰øðÒËÈ„ ·øð‰øøÎÊ ·‡È„‡‡ ˝Ì„ËÈÌ ‰øðÒ ÚÛÒ ·øðËÈÌ Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„øø‰Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı

4. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ

5.

»ÌÂðˆËÈÌ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„øø‰ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ÓÎ.6. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì Úº‚ „ÓÎ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ7.

»ÌÂðˆËÈÌ Úº‚ „ÓÎ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ „ð‡ÙËÍ‡‡ð (ËÌÂðˆËÈÌ ‰Û„ÛÈ„‡‡ð) ÓÎ8.

»ÌÂðˆËÈÌ „ÓÎ ð‡‰ËÛÒÛÛ‰ ̊ „ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ËÌÂðˆËÈÌ ̋ÎÎËÔÒ ·‡È„ÛÛÎ.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

57



¹ ÿ‚ÂÎÎÂð ƒ‚ÛÚ‡‚ð ¡ÛÎ‡Ì ÚºÏºð “ ̋ „¯ ºÌˆº„Ú

( h ×b )1 16 10 40×25×4 120×8

2 22 14 50×32×4 160×8

3 24 18 70×45×5 200×10

4 30 22 80×50×5 250×8

5 33 24‡ 90×56×6 280×12

6 33 33 100×63×10 300×12

7 36 45 125×80×10 320×14

8 36 55 140×90×10 340×14

9 40 60 160×100×10 360×16

10 40 55 180×110×10 380×18

11 14 12 40×25×4 140×812 22 16 50×32×3 180×8

13 22‡ 18‡ 70×45×4.5 200×8

14 24 20 80×50×5 240×10

15 24‡ 20‡ 90×56×6 280×10

16 27 24 100×63×10 320×10

17 27 27 125×80×10 340×12

18 30 30 140×90×10 380×12

19 36 40 160×100×10 420×12

20 40 50 180×110×10 460×12



“¿¬ƒ” √ ¿¿— ¡ØÀ›√

ƒ” √ ”… Œ√ “ÀŒÀ“Œ… ÿ»À¡›Õ»… Ã”ÿ√ »—¿À“

5.1. Ã”ÿ√ »—¿À“¤Õ –“¿“» “ŒƒŒ—’Œ… ¡ŒƒÀŒ√ Œ


ÃÛ¯„Ëð‡ÎÚ˚Ì øÂ‰ „ÓÎ˚Ì ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ‰ „‡Ìˆ ÚºðÎËÈÌ ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ -ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ øøÒÌ˝.

√ ÓÎ˚Ì ·‡Ú ·˝ı , ı º¯øøÌ ˜‡Ì‡ð˚Ì ÚÓÓˆÓÓ ı ËÈ ı ̋‰ „ÓÎ˚Ì ÛðÚ˚Ì ‰‡„ÛÛ‰

ÏÛ¯„Ë ı

ÏÓÏÂÌÚ˚

Ì ººð˜Îº„‰º ı

ı

ÛÛÎËÈ„ ÚÓ„ÚÓÓ ı

¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È. ÃÛ¯„Ë ı

ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝„ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ‡ð„‡‡ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. √ ‡‰‡‡‰ ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ·øðËÈÌ ı ÓÓðÓÌ‰ Ì˝„ Ó„ÚÎÓÎ ı ËÈ ı ·º„ºº‰ ÚÛ ı ‡ÈÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ Ú˝ð ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ì˝„ Ú‡Î‰ Óð¯Ë ı „‡‰‡‡‰ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ Ì ‡Î„Â·ðÌËÈÎ·˝ðÚ˝È Ú˝Ìˆøø ·‡ÈÌ‡.

∑= eT T (5.1)

ÃÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì Ú˝Ï‰ ̋ „ ÓÌˆ ‡˜ ı ÓÎ·Ó„‰ÓÎ„øÈ ·ÓÎÓ‚˜ Ó„ÚÎÓÎÓÓÒ ı ‡ð‡ ı ‡‰ Ó„ÚÎÓ„‰ÒÓÌ ı˝Ò˝„Ú ˆ‡„ËÈÌ ÁøøÌËÈ ı º‰ºÎ„ººÌËÈ ˝Òð˝„ ˜Ë„Î ̋Ê øÈÎ˜ËÎÊ ·ÛÈ ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚„ ˝Âð˝„ „ ̋ Ê øÁÌ˝.

«‡ðËÏ ÚÓ ı ËÓÎ‰ÓÎ‰ „ÓÎ˚Ì ‰‡ÏÊÛÛÎÊ ·ÛÈ ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ º„º„‰ºÎ„øÈ,„ÓÎ˚Ì ‰‡ÏÊÛÛÎ‡ ı ˜‡‰‡Î º„º„‰ÒºÌ ·‡È‰‡„. ›Ì˝ øÂ‰ P ˜‡‰‡Î [Í¬Ú] Ì˝„Ê ̋ ˝ðº„º„‰ÒºÌ øÂ‰ ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ

n

P T ⋅= 55.9 , [ÍÕÏ] (5.2)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰ÓÌÓ. ØøÌ‰ : n - Ì˝„ ÏËÌÛÚ‡Ì‰ „ÓÎ˚Ì ˝ð„ ̋ ı ˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ÚÓÓ, [˝ð„/ÏËÌ]

ÃºÌ „ÓÎ˚Ì Ì˝„ ÏËÌÛÚ‡Ì‰ ˝ð„ ̋ ı ˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ÚÓÓ, „ÓÎ˚Ì30

π ω

n= ºÌˆº„

ı Ûð‰Ì˚ ı ‡Ï‡‡ðÎ˚„ ‡¯Ë„Î‡‚‡Î ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚„

ω

P T = , [ÍÕÏ]

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ·ÓÎÌÓ. ØøÌ‰ : - „ÓÎ˚Ì ºÌˆº„ ı Ûð‰, [ð‡‰/ÒÂÍ]

ÃÛ¯„Ëð‡ÎÚ˚Ì øÂ‰ „ÓÎ˚Ì ÚÛ ı ‡ÈÌ Ó„ÚÎÓÎ‰ øøÒ˝ı ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Î

ρ

τ W

T =

(5.3)



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

59

·‡ÈÌ‡. ØøÌ‰ : T - ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝, [ÕÏ]

pW - ÚÛÈÎ˚Ì ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ, [Ï3]

ƒÛ„ÛÈ Ó„ÚÎÓÎÚÓÈ „ÓÎ˚Ì ÚÛÈÎ˚Ì ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ „ÓÎ˜ÓÓðËÎ˝ð ı ËÈÎ· ̋Î

16

3d W p

⋅= π

(5.4)

·ÓÎÌÓ.ÃÛ¯„Ëð‡ÎÚ˚Ì øÂËÈÌ ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎ

][τ τ ρ

≤=W

T (5.5)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰ÓÌÓ. ØøÌ‰ ][τ - ÏÛ¯„Ëð‡ÎÚ˚Ì øÂËÈÌ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î, „ÓÎ˚„ · ̋ÎÚ„ ̋ Ò˝Ì Ï‡ÚÂðË‡Î‡‡Ò ı ‡Ï‡‡ðÌ‡. ÷ ̋ ‚˝ð ÏÛ¯„Ëð‡ÎÚ˚Ì øÂ‰ ÚÓÓˆÓÓÌ‰

][ )6.0...5.0( ][ σ τ =

„ ̋ Ê ‡‚˜ ·ÓÎÌÓ.(5.5) ÚÓÏ ˙∏ÓÌ˚ ÒøøÎËÈÌ Ú˝Ìˆ ̋ Ú„ ̋ Î ·Ë¯ËÈ„ ‡¯Ë„Î‡Ì „ÓÎ˚Ì ı ºÌ‰ÎºÌ

Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È „ÓÎ˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ·ÓÎÌÓ.

3

][

16

τ π ⋅

⋅≥

T d (5.6)

√ ÓÎ˚Ì ÚÓ„ÚÏÓÎ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎÚÓÈ l ÛðÚÚ‡È ı˝Ò˝„ ·øðÚ ÚÓ„ÚÏÓÎ( =T const) ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ øÈÎ˜ËÎÊ ·‡È‚‡Î ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈ„

p I G

l T

⋅

⋅=θ (5.7)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. ØøÌ‰ : G - Ï‡ÚÂðË‡Î˚Ì ¯ËÎÊËÎÚËÈÌ ÏÓ‰ÛÎ¸, [œ‡]

ρ I - ÚÛÈÎ˚Ì ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ, [Ï4]

ƒÛ„ÛÈ Ó„ÚÎÓÎÚÓÈ „ÓÎ˚Ì ÚÛÈÎ˚Ì ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ

32

4d I p

π = (5.8)

·‡ÈÌ‡.√ ÓÎ˚Ì ı º¯øøÌ ˜‡Ì‡ð˚„ øÌ ̋Î˝ı ‰ ̋ ˝ ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ γ ºÌˆ„ËÈ„

‡¯Ë„Î‡‰‡„. ›Ì˝ Ì¸ „ÓÎ˚Ì Ì˝„Ê ÛðÚ‡‰ ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝ (ÊË¯˝ ̋Î· ̋Î 1 Ï ÛðÚ‡‰ ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı ) ·º„ºº‰

l

θ γ = , [ð‡‰/Ï] (5.9)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰ÓÌÓ.




ÃÛ¯„ËðÎ˚Ì ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ºÌˆ„ËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝ „ÓÎ˚Ì ÁÓðËÛÎ‡ÎÚ ·‡ ı ‡ðËÛˆÎ‡„ ̊ „ ÚÓÓˆÒÓÌ Áº‚¯ººðº„‰º ı ][γ ÛÚ„‡‡Ò ı ̋Úð˝ı „øÈ ·‡È ı

¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È „ ̋ ‚ ̋Î ÏÛ¯„Ëð‡ÎÚ˚Ì øÂËÈÌ „ÓÎ˚Ì ı º¯øøÌ ˜‡Ì‡ð˚Ì Ìº ı ̂ ºÎ

][γ γ ρ

≤⋅

= I G

T (5.10)

·ÓÎÌÓ. “ºÒÎËÈÌ ÚÓÓˆÓÓÌ˚ øÂ‰ (5.10) ÚÓÏ ˙∏ÓÌÓÓÒ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ÚÛÈÎ˚Ì

ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓÌ ÛÎÏ‡‡ð ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È „ÓÎ˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ·ÓÎÌÓ.

∆ Ë¯˝˝ 5.1. √ ‡Ì (5.1‡ñð ÁÛð‡„) ¯ËÎ·˝Ì‰ øÈÎ˜Î˝ı 31=eT ÍÕÏ,

62 =eT ÍÕÏ, 13 =eT ÍÕÏ ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ·‡ 5.0=a Ï Á‡È º„º„‰ÒºÌ øÂ‰ 1. ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ;2. ÏÛ¯„Ëð‡ÎÚ˚Ì øÂËÈÌ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î 60][ =τ Ãœ‡ ·‡È ı ‡‰ ·‡Ú

·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ÎººÒ ‰Û„ÛÈ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ ÒÓÌ„Ó;3. ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.

¡Ó‰ÓÎÚ1. ÃÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı ‰‡‡ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ‡ð„‡ ı˝ð˝„Î˝Ì˝.

–ÛÎ øÁøøðÚ˝

È ı˝

Ò„ ˝˝

Ò˝ı

Î˝

Ì 1-1, 2-2, 3-3 „ ˝

Ò˝

Ì Ó„ÚÎÓÎÛÛ‰ (5.1·,‚,„ñð ÁÛð‡„)‡‚ ˙ˇ. ›Ì˝ Ì¸ ÁÓÓÎÚÓÌ ‰ ̋ ˝ð øøÒ˝ı ðÂ‡ÍˆËÈ„ ÓÎÓÎ„øÈ„ ̋ ˝ð ·Ó‰ÎÓ„ ̊ „ ·Ó‰Ó ı ·ÓÎÓÏÊËÈ„ ÓÎ„ÓÌÓ. ƒ‡ð‡‡ Ì¸ Ó„ÚÎÓÎÓÓÒ ÁøøÌ Ú‡Î‰ Óð¯Ë ı ¯ËÎ·˝ÌËÈ ı˝Ò„ËÈ„Óð ı ËÊ ·‡ðÛÛÌ ı˝Ò„ËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎËÈ„ ‡‚˜ øÁÌ˝. Œ„ÚÎÓÎ ·øð‰ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ·ÓÎ ‰‡ð‡‡ ı ÛÚ„ÛÛ‰ ̊ „ ‡‚‡ ı ·ÓÎÌÓ.

1ñ1 Ó„ÚÎÓÎ‰ (5.1·ñð ÁÛð‡„)311 −=−= eT T ÍÕÏ, ( 5.00 1 ≤≤ z Ï)

2ñ2 Ó„ÚÎÓÎ‰3212 =+−= ee T T T ÍÕÏ, ( 0.15.0 2 ≤≤ z Ï)

3ñ3 Ó„ÚÎÓÎ‰ (5.1„ñð ÁÛð‡„) 43213 =++−= eee T T T T ÍÕÏ, ( 5.10.1 3 ≤≤ z Ï)

“Ó‰Óð ı ÓÈÎÒÓÌ ÛÚ„ÛÛ‰‡‡ð ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ (5.1‰ñð ÁÛð‡„)·‡È„ÛÛÎÎ‡‡.

ÃÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð Áº‚ ·‡È„ÛÛÎ‡„‰Ò‡Ì ˝Ò˝ı ËÈ„ Úº‚ÎºðÒºÌÏÓÏÂÌÚ øÈÎ˜ËÎÊ ·‡È„‡‡ Ó„ÚÎÓÎ‰ Ú˝ð ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ̋ ˝ð øÒð ̋ÎÚÚ˝È·‡È ı ¯ËÌÊ ̋ ˝ð ¯‡Î„‡Ì‡.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

61

‡ ).

· ).

‚ ).

„ ).

‰).

Â ).

5.1-ð ÁÛð‡„

2. ÿËÎ·˝ÌËÈ ı˝Ò˝„ ÚÛÒ ·øðËÈÌ ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È „ÓÎ˜ËÈ„ (5.6) ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ·ÓÎ ‰‡ð‡‡ ı ÛÚ„ÛÛ‰ „‡ð‡ ı ·ÓÎÌÓ.

1ñ1 Ó„ÚÎÓÎ‰ 063.0106014.3

10 )3( 16

][

163

6

3

3 11 =

⋅⋅

⋅−⋅=

⋅

⋅≥

τ π

T d Ï 65≈ ÏÏ

2ñ2 Ó„ÚÎÓÎ‰ 063.0106014.3

10316

][

163

6

3

3 22 =

⋅⋅

⋅⋅=

⋅

⋅≥

τ π

T d Ï 65≈ ÏÏ




3ñ3 Ó„ÚÎÓÎ‰ 070.0106014.3

10416

][

163

6

3

3 33 =

⋅⋅

⋅⋅=

⋅

⋅≥

τ π

T d Ï 70= ÏÏ

›Ì‰ 1d , 2d „ÓÎ˜ËÈ„ √ Œ–“ 6636-60 ÒÚ‡Ì‰‡ðÚ˚Ì ÓÈðÓÎˆÓÓ ÛÚ„‡Ì‰¯ËÎÊøøÎÒ˝Ì ·ÓÎÌÓ.

3. √ ÓÎ˚Ì ı˝Ò˝„ ·øðËÈÌ ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝„ (5.7), (5.8) ÚÓÏ ˙∏Ó„ ‡¯Ë„Î‡Ì

4

32

d G

l T

⋅⋅

⋅⋅=

π θ

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÓÎ·ÓÎ

1ñ1 Ó„ÚÎÓÎ‰ 034.0065.01080

5.0 )103( 323249

3

41

111 −=

⋅⋅⋅⋅−⋅=

⋅⋅⋅⋅=d Gl T

π θ ð‡‰

2ñ2 Ó„ÚÎÓÎ‰ 034.0065.01080

5.0103323249

3

42

222 =

⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

d G

l T

π θ ð‡‰

3ñ3 Ó„ÚÎÓÎ‰ 033.0070.01080

5.0104323249

3

43

333 =

⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

d G

l T

π θ ð‡‰

·ÓÎÌÓ.

ƒ ̋ ˝ð ÓÎÒÓÌ ÛÚ„ÛÛ‰‡‡ð ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ ÁÓÓÎÚÚÓÈ ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ( ı º‰ºÎ„ººÌ„øÈ ·˝ı ̋Î„ ̋ ˝Ì ‰ ̋ ˝ð ¯ËÎÊËÎÚ Ú˝„Ú˝È Ú˝Ìˆøø 0= Aθ

·‡È ı Ìº ı ̂ ÎËÈ„ ‡¯Ë„Î‡Ì) ·‡È„ÛÛÎ ˙ˇ. ’ ̋ Ò˝„ ·øðÚ ºÌˆ„ËÈÌ ˝Ô˛ð ¯ÛÎÛÛÌ‡‡ðÁÛð‡„‰‡ ı Û˜Ëð ı˝Ò˝„ ·øðËÈÌ ˝ı Î ̋Î, Úº„Ò„ºÎ‰ ºÌˆ„ËÈÌ ÛÚ„ÛÛ‰ ̊ „ ÓÎÓ ı Ó‰ ı ‡Ì„‡ÎÚÚ‡È.

¿ Ó„ÚÎÓÎÚÓÈ ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ B Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ÏÛ¯„ËðÒ‡Ì ºÌˆ„ËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝

033.03 ==θ θ B ð‡‰,

– Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ÏÛ¯„ËðÒ‡Ì ºÌˆ„ËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝ 067.0034.0033.023 =+=+= θ θ θ C ð‡‰,

D Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ÏÛ¯„ËðÒ‡Ì ºÌˆ„ËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝ 033.0034.0034.0033.0123 =−+=++= θ θ θ θ D ð‡‰

·‡ÈÌ‡.›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„ÛÛ‰‡‡ð ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ (5.1Âñð ÁÛð‡„)

·‡È„ÛÛÎ‡‚.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

63

∆ Ë¯˝˝ 5.2. ÃËÌÛÚ‡Ì‰ 500=n Û‰‡‡ ˝ð„ ̋ ı „ÓÎ ‰ ̋ ˝ð ÒÛÛÒ‡Ì ‰‡ÏðÛÛ‰

(5.2‡ñð ÁÛð‡„) ÚÛÒ ·øð 401 = P Í¬Ú, 702 = P Í¬Ú, 603 = P Í¬Ú, 504 = P Í¬Ú

˜‡‰Î˚„ ‡ÊÎ˚Ì Ï‡¯ËÌ‰ ‰‡ÏÊÛÛÎ‡ ı ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È øÂ‰ „ÓÎ, ‰‡ÏðÛÛ‰ ̊ Ì ı Û‚ËÈÌ ÊËÌ, ı ÓÎ ı Ë‚˜ËÈÌ øð ̋ÎÚËÈ„ ÚÓÓˆÓÎ„øÈ ˆ‡ ı ËÎ„‡‡Ì ı º‰ºÎ„øøð˝˝Ò˝ð„ ̋ ÎÚ ‡‚‡ ı ‰‡Ï‡ðÚ ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÓÎ. ’ ̋ ð˝‚ „ÓÎ˚„

30][ =τ Ãœ‡ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ ÎÚ˝È „‡Ì„‡‡ð ( 80=G √ œ‡) ı ËÈ ı

¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È ·ÓÎ ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎººÒ „ÓÎ˚Ì ı˝Ò˝„ ÚÛÒ ·øðËÈÌ „ÓÎ˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ, ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ.

¡Ó‰ÓÎÚ1. ÃÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô ̨ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı

ƒ‡Ï‡ð ÚÛÒ ·øðËÈÌ ‰‡ÏÊÛÛÎ‡ ı ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚„ (5.2) ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ·ÓÎ

764.0500

4055.955.9 1

1=⋅=⋅=

n

P T e ÍÕÏ

337.1500

7055.955.9 2

2=⋅=⋅=

n

P T e ÍÕÏ

146.1500

6055.955.9 3

3=⋅=⋅=

n

P T e ÍÕÏ

573.05003055.955.9 4

4 =⋅=⋅=n

P T e ÍÕÏ

·ÓÎÌÓ. ’ÓÎ ı Ë‚˜ËÌ‰ øøÒ˝ı øð ̋ÎÚËÈÌ ‡Î‰‡„‰Î˚„ ÚÓÓˆÓ ı „øÈ Û˜Ëð ÒÚ‡ÚËÍËÈÌ

Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ ‰‡ð‡‡ ı Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î˝˝Ò 0eT ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝,

˜Ë„Î ̋ÎËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.0=∑ z T ; 0

43021=++−+ eeeee T T T T T ⇒ 82.3

0=eT ÍÕÏ

ƒ ̋ ˝ð ı ·‡È‰Î‡‡ð0eT ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝ Ì˝Ï˝ı „‡ðÒ‡Ì Ì¸ ÚøøÌËÈ

Ûð¸‰˜ËÎÒ‡Ì ·‡È‰Î‡‡ð ‡‚Ò‡Ì ˜Ë„Î ̋Î (5.2‡ñð ÁÛð‡„Ú ÒÛÏ‡‡ð øÁøøÎÒ˝Ì) Áº‚·‡È„‡‡„ ı ‡ðÛÛÎÊ ·‡ÈÌ‡.




‡).

¡).

¬).

„).

ƒ).

≈ ).

∆ ).

Á).




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

65

ÃÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı˚Ì ÚÛÎ‰ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ‡ð„‡ ı˝ð˝„Î˝Ì˝.›Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ı Û‚¸‰ ÓÌÓÎ˚Ì ı˝Ò˝„Ú ‰Ûð‰Ò‡Ì ÊÛðÏ˚„ ‡¯Ë„Î‡Ì ‰ºð‚ºÌÓ„ÚÎÓÎ ı ËÈ ı ̋‰ ı øð ̋Îˆ ̋ ̋Ú˝È. Œ„ÚÎÓÎ ·øð‰ „ÓÎ˚Ì ·‡ðÛÛÌ ı˝Ò„ËÈ„ Óð ı ËÌ ÁøøÌ ı˝Ò„ËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎººÒ ‰ÓÚÓÓ‰ ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.1-1 Ó„ÚÎÓÎ‰ 2.10 1 ≤≤ z Ï øÂ‰ (5.2·ñð ÁÛð‡„ )

0=∑ z T ; 764.011 == eT T ÍÕÏ.

2-2 Ó„ÚÎÓÎ‰ 2.22.1 2 ≤≤ z Ï øÂ‰ (5.2‚ñð ÁÛð‡„)

0=∑ z T ; 101.2337.1764.0212 =+=+= ee T T T ÍÕÏ.

3-3 Ó„ÚÎÓÎ‰ 2.32.2 3 ≤≤ z Ï øÂ‰ (5.2„ñð ÁÛð‡„)

0=∑ z T ; 719.182.3337.1764.00213 −=−+=−+= eee T T T T ÍÕÏ.

4-4 Ó„ÚÎÓÎ‰ 4.42.3 3 ≤≤ z Ï øÂ‰ (5.2‰ñð ÁÛð‡„)

0=∑ z T ; 573.0146.182.3337.1764.030214 −=+−+=+−+= eeee T T T T T ÍÕÏ.

ƒ ̋ ˝ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÒÓÌ ÛÚ„ÛÛ‰‡‡ð ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ (5.2Âñð ÁÛð‡„)·‡È„ÛÛÎ‡‚.

2. √ ÓÎ˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı √ ÓÎ˚Ì ı˝Ò˝„ ÚÛÒ ·øðËÈÌ ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È „ÓÎ˜ËÈ„ (5.6) ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð

ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.

1-1 Ó„ÚÎÓÎ‰ 050.0103014.3

10764.016

][

163

6

3

3 11 =

⋅⋅

⋅⋅=

⋅

⋅=

τ π

T d Ï 50= ÏÏ

2-2 Ó„ÚÎÓÎ‰ 070.0103014.3

10101.216

][

163

6

3

3 22 =

⋅⋅

⋅⋅=

⋅

⋅=

τ π

T d Ï 70= ÏÏ

3-3 Ó„ÚÎÓÎ‰ 066.0103014.3

10719.116

][

163

6

3

33

3 =⋅⋅

⋅⋅=

⋅

⋅=

τ π

T d Ï 66= ÏÏ

4-4 Ó„ÚÎÓÎ‰ 046.0103014.3

10573.016

][

163

6

3

3 44 =

⋅⋅

⋅⋅=

⋅

⋅=

τ π

T d Ï 46= ÏÏ

ƒ ̋ ˝ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÒÓÌ „ÓÎ˜ÛÛ‰ ̊ „ ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı ÒÚ‡Ì‰‡ðÚ˚Ì ÓÈðÓÎˆÓÓ ÛÚ„ÛÛ‰‡‰ ¯ËÎÊøøÎ· ̋Î 1d , 2d ‰Ë‡ÏÂÚðøø‰ ÒÚ‡Ì‰‡ðÚ˚Ì ÛÚ„‡Ú‡È ÚÓ ı Ëð˜

·‡È„‡‡ ·‡ 703 ≈d ÏÏ, 504 ≈d ÏÏ ·ÓÎÌÓ. ›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð „ÓÎ˚Ì ¯‡ÚÎ‡Î˚Ì

·ø‰øø‚˜ ( ̋ ÒÍËÁ) ÁÛð„ËÈ„ (5.2Êñð ÁÛð‡„) øÁøøÎ˝‚.

3. ÃÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ˝Ô ̨ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı




(5.7), (5.8) ÚÓÏ ˙∏Ó„ ‡¯Ë„Î‡‚‡Î „ÓÎ˚Ì ı˝Ò˝„ ·øðËÈÌ ÏÛ¯„ËðÎ˚ÌºÌˆ„ËÈ„

4

32

d G

l T

⋅⋅

⋅⋅=

π θ

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ·ÓÎÌÓ.

1-1 Ó„ÚÎÓÎ‰ 019.0 )050.0( 14.31080

2.110764.0323249

3

41

111 =

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

d G

l T

π θ ð‡‰

2-2 Ó„ÚÎÓÎ‰ 011.0 )070.0( 14.31080

110101.2323249

3

42

222 =

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

d G

l T

π θ ð‡‰

3-3 Ó„ÚÎÓÎ‰ 009.0 )070.0( 14.31080

110 )719.1( 323249

3

43

333 −=

⋅⋅⋅⋅⋅−⋅=

⋅⋅⋅⋅=d G

l T

π θ ð‡‰

4-4 Ó„ÚÎÓÎ‰ 014.0 )050.0( 14.31080

2.110 )573.0( 323249

3

44

444 −=

⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

d G

l T

π θ ð‡‰

ƒ ̋ ˝ð ÓÎÒÓÌ ÛÚ„ÛÛ‰‡‡ð ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ 1 ‰‡Ï‡ðÚ‡È (ÁøøÌ øÁøøðÚ˝È) ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ·‡È„ÛÛÎ ˙ˇ. ’ ̋ Ò˝„ ·øðÚ ˝Ô˛ð ¯ÛÎÛÛÌ‡‡ð ÁÛð‡„‰‡ ı Û˜Ëð ı˝Ò˝„ ·øðËÈÌ ˝ı Î ̋Î, Úº„Ò„ºÎ‰ ºÌˆ„ËÈÌ ÛÚ„ÛÛ‰ ̊ „ ÓÎÓ ı Ó‰ ı ‡Ì„‡ÎÚÚ‡È.

1 ‰‡Ï‡ðÚ‡È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ2 ‰‡Ïð˚Ì ÏÛ¯„ËðÒ‡Ì ºÌˆ„ËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝

019.01 =θ ð‡‰ ,

ı ºÚÎº ı ‰‡Ïð˚Ì ÏÛ¯„ËðÒ‡Ì ºÌˆ„ËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝ 03.0011.0019.021 =+=+θ θ ð‡‰ ,

3 ‰‡Ïð˚Ì ÏÛ¯„ËðÒ‡Ì ºÌˆ„ËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝ 021.0009.0011.0019.0321 =−+=++ θ θ θ ð‡‰ ,

4 ‰‡Ïð˚Ì ÏÛ¯„ËðÒ‡Ì ºÌˆ„ËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝

007.0014.0009.0011.0019.04321 =−−+=+++ θ θ θ θ ð‡‰

·‡ÈÌ‡. ›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ (5.2Áñð ÁÛð‡„)·‡È„ÛÛÎ‡‚.

5.2. Ã”ÿ√ »—¿À“¤Õ –“¿“» “ŒƒŒ—’Œ… ¡»ÿ ¡ŒƒÀŒ√ Œ

–Ú‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„ ı˝ð˝„Î˝ı ·ÓÎÓ‚˜ Úøø„ ̋ ˝ð ·øð˝Ì·Ó‰Ó„‰Ó ı „øÈ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ „ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„Ó „ ̋ Ì˝. –Ú‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„Ó Ì¸ ÚøøÌËÈ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚Ì Ì˝Ï ̋ÎÚ Ìº ı ̂ ºÎËÈ„ ‡¯Ë„Î‡Ì



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

67

ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ËÈ„ Ú‡ÈÎÒÌ˚ ‰‡ð‡‡ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ‡‰ËÎ·Ó‰Ó„‰ÓÌÓ.

∆ Ë¯˝˝ 5.3. 1=e

T ÍÕÏ ·‡È ı ‡‰ ı Ó∏ð øÁøøð Ì¸ ı º‰ºÎ„ººÌ„øÈ

·˝ı Î˝„‰Ò˝Ì „‡Ì „ÓÎ˚Ì (5.3‡ñð ÁÛð‡„) ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.

‡).

·).

‚).

„).


¡Ó‰ÓÎÚ.ÃÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ˝ı Î˝ ̋‰ ·˝ı ̋Î„ ̋ ˝Ìøø‰ ̋ ‰ øøÒ˝ı ðÂ‡Íˆ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ (5.3·ñð ÁÛð‡„) ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ı˝ð˝„Ú˝È.

–Ú‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜‚ ̋Î0=∑ z T , 02 =−++− B ee A T T T T ⇒ e B A T T T 3=+

·ÓÎÌÓ. Õ˝„ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ı Ó∏ð øÎ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ „˜Ú˝È ·‡È„‡‡ Û˜Ëð ˝Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„ÓÌ˝„‰ø„ ̋ ˝ð Á˝ð„ËÈÌ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„Ó ·ÓÎÌÓ.

’ ̋ ‚ „‡ÊËÎÚ˚Ì Ì˝Ï ̋ÎÚ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„ ÁÓ ı ËÓ ı ‰ÓÓ ¬ Ó„ÚÎÓÎ˚ÌÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆº„ Ú˝„Ú˝È Ú˝Ìˆøø ( 0= B θ ) ·‡È ı Ìº ı ̂ ºÎËÈ„ ‡¯Ë„Î‡ ˇ. ØøÌËÈ

ÚÛÎ‰ „ÓÎ˚Ì ·‡ðÛÛÌ øÁøøðËÈÌ ·˝ı ̋Î„ ̋ ˝„ ˜ºÎººÎÊ ÚøøÌËÈ øÈÎ˜Î ̋ÎËÈ„ B T




ðÂ‡Íˆ ÏÓÏÂÌÚÓÓð (5.3‚ñð ÁÛð‡„) ÒÓÎËÌÓ. B Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı Û‚¸‰ ı ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋ÎËÈÌ ı ‡Ï‡‡ð‡Î„øÈÌ Á‡ð˜Ï˚„ ‡¯Ë„Î‡‚‡Î ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ ·øð˝˝Ò¯ËÎÊËÎÚ øøÒ˝ı ·‡ ¯ËÎÊËÎÚËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î Ì¸ ‰‡ð‡‡ ı ı ̋Î·˝ðÚ˝È ·‡ÈÌ‡.

0,2,, =++= B ee T B T B T B B θ θ θ θ

ØøÌ‰ : ¬ Ó„ÚÎÓÎ‰ eT ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚÓÓÒ øøÒ˝ı ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆº„

1

, p

eT B

I G

aT e ⋅

⋅=θ , ¬ Ó„ÚÎÓÎ‰ eT 2 ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚÓÓÒ øøÒ˝ı ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆº„

1

222,

p

eT B

I G

aT e ⋅

⋅=θ , ¬ Ó„ÚÎÓÎ‰ B T ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚÓÓÒ øøÒ˝ı ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆº„

21

2,

p

B

p

B

T B I G

aT

I G

aT B ⋅

⋅

−⋅

⋅

−=θ ·‡ÈÌ‡.

( )32;32

8.0

32

444

21

d

I

d d

I

π π π ρ ρ =−= ·‡ÈÒÌ˚„

‡Ì ı ‡‡ð‡Ì ¯ËÎÊËÎÚËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ̋‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„ ̊ „ ÓðÎÛÛÎ·‡Î

0222

2111

=⋅

⋅−

⋅

⋅−

⋅

⋅+

⋅

⋅

p

B

p

B

p

e

p

e

I G

aT

I G

aT

I G

aT

I G

aT ⇒

4444444 )8.0(

2

)8.0(

4

)8.0( d

T

d d

T

d d

T

d d

T B B ee +−

=−

+−

⇒ e ¬ T T 93.1=

·ÓÎÌÓ. –Ú‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ¬ T ðÂ‡Íˆ ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÛÚ„ ̊ „

ÓðÎÛÛÎ·‡Î e A T T 07.1= ·ÓÎÌÓ. AT , ¬ T ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ Ì ÛÚ„ ̊ „ ÓÎÒÌÓÓð

·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ Ú‡ÈÎ‡„‰‡Ê, ˆ‡‡¯Ë‰ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ‡‰ËÎ‡‡ð ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð (5.3„ñð ÁÛð‡„) ı ̌Î·‡ð ı ‡Ì·‡È„ÛÛÎ‡„‰‡Ì‡.

∆ Ë¯˝˝ 5.4. √ ‡Ì „ÓÎ ·‡ ı ÓÓÎÓÈÌ (5.4‡ñð ÁÛð‡„) Ì˝„ øÁøøðËÈ„

ı º‰ºÎ„ººÌ„øÈ ·˝ı ̋ÎÊ, Ìº„ºº øÁøøðËÈ„ ı ÓÓðÓÌ‰ Ì¸ ı ÓÎ·ÓÊ ̋ ˝. √ ÓÎ ·‡ ı ÓÓÎÓÈÌ ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.

¡Ó‰ÓÎÚ.√ ÓÎ ·‡ ı ÓÓÎÓÈÌ ı ‡ðËÎˆ‡Ì øÈÎ˜Î ̋ÎËÈ„ X ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚÓÓð ÒÓÎ¸Ê

·ÓÎÌÓ. √ ÓÎ ·‡ ı ÓÓÎÓÈÌ ‡˜‡‡Î‡„‰‡ ı ·ø‰øø‚˜ËÈ„ (5.4·,‚ñð ÁÛð‡„) ÚÛÒ ÚÛÒ‡‰ Ì¸ÁÛðÊ ·ÓÎÌÓ.

5.4·ñð ÁÛð„‡‡Ò ¬ Ó„ÚÎÓÎ‰ „ÓÎ˚Ì ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝

11

2,

p p

e„ÓÎ B

I G

a X

I G

aT

⋅

⋅−

⋅

⋅=θ , 5.4‚ñð ÁÛð„‡‡Ò ¬ Ó„ÚÎÓÎ‰ ı ÓÓÎÓÈÌ ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì

ºÌˆ„ËÈÌ ı˝

ÏÊ ˝˝

2

2

, p

ı ÓÓÎÓÈ B I G

a X

⋅

⋅

=θ ·‡ÈÌ‡.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

69

’ÓÎ·ÓÓÒ˚Ì B Ó„ÚÎÓÎ‰ „ÓÎ ·‡ ı ÓÓÎÓÈÌ ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„øø‰ Ú˝Ìˆøø

ı ÓÓÎÓÈ B „ÓÎ B ,, θ θ = ·‡È ı Ìº ı ̂ ºÎººÒ X ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.

Õº ı ̂ ºÎËÈ„ ·Ë˜‚ ̋Î

211

22 p p p

e

I Ga X

I Ga X

I GaT

⋅⋅=

⋅⋅−

⋅⋅

·‡ÈÌ‡. ØøÌ‰ :32

4

1

d I p

⋅= π

- „ÓÎ˚Ì ÚÛÈÎ˚Ì ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ,

32

)3.1(

32

)5.1( 44

2

d d I p

⋅−

⋅=

π π - ı ÓÓÎÓÈÌ ÚÛÈÎ˚Ì ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ.

ƒ ̋ ˝ð ı Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î˝˝Ò X ñËÈ„ ÓÎ·ÓÎ eT ’ 344.0= ·‡ÈÌ‡. √ ÓÎ ·‡ ı ÓÓÎÓÈÌ

ÏÛ¯„Ë ı

ÏÓÏÂÌÚ˚

Ì˝

Ô˛

ðËÈ„ (5.4·,‚ñð ÁÛð‡„) ÚÛÒ ÚÛÒ‡‰ Ì¸ ÁÛðÎ‡‡.

‡).

·).

‚).





∆ Ë¯˝˝ 5.5. ’Ó∏ð øÁøøð Ì¸ ı º‰ºÎ„ººÌ„øÈ ·˝ı Î˝„‰Ò˝Ì 2.1=eT ÍÕÏ

ÏÓÏÂÌÚÓÓð ÏÛ¯„Ëð˜ ·‡È„‡‡ ¯‡Ú‡ÎÒ‡Ì „‡Ì „ÓÎ˚Ì (5.5‡ñð ÁÛð‡„) 1.

ÃÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.

2.

80][ =τ Ãœ‡ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ ÎÚ˝È øÂ‰ 12 2.1 d d = ı ‡ð¸ˆ‡‡„‡‡ð

„ÓÎ˚Ì ‰Ë‡ÏÂÚðËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ.3. ’‡Ï„ËÈÌ Ë ı ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.4. ÃÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.

‡).

·).

‚).

„).

‰).

Â).


¡Ó‰ÓÎÚ.1. ÃÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ¿, ¬ ·˝ı ̋Î„ ̋ ˝Ìøø‰ ̋ ‰ øøÒ˝ı

A M , B M ðÂ‡Íˆ ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ (5.5·ñð ÁÛð‡„) ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È.

–Ú‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ÁÓ ı ËÓ‚ÓÎ0=∑ z T , 0=−+− B e A T T T ⇒ e B A T T T =+



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

71

·ÓÎÌÓ. ’Ó∏ð ðÂ‡Íˆ ÏÓÏÂÌÚ˚„ Ì˝„ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î˝˝Ò ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ˜‡‰‡ ı „øÈ.»ÈÏ‰ ˝Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„Ó Ì˝„‰ø„ ̋ ˝ð Á˝ð„ËÈÌ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„Ó ·ÓÎÌÓ.

Õ˝Ï ̋ÎÚ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„ ¿ ·‡ ¬ Ó„ÚÎÓÎÛÛ‰ ÁÓÓÎÚÚÓÈ ·‡È„‡‡ Û˜Ëð 0= Aθ ,

0= B θ ·‡È ı

ı˝

‚ „‡ÊËÎÚ˚

Ì ı

Ó∏

ð Ìº ı

ˆºÎËÈÌ ‡Î¸ Ì˝

„ËÈ„ ‡¯Ë„Î‡Ì ÁÓ ı

ËÓÌÓ. ØøÌËÈ ÚÛÎ‰ „ÓÎ˚Ì ·‡ðÛÛÌ øÁøøðËÈÌ ·˝ı ̋Î„ ̋ ˝„ øÎ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ ı B T ðÂ‡Íˆ

ÏÓÏÂÌÚÓÓð (5.5‚ñð ÁÛð‡„) ÒÓÎ¸Ê ·ÓÎÌÓ. ’ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋ÎËÈÌ ı ‡Ï‡‡ð‡Î„øÈÌÁ‡ð˜Ï˚„ ‡¯Ë„Î‡Ì ¯ËÎÊËÎÚËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„

0,, =+= B e T B T B B θ θ θ

ı ̋Î·˝ðÚ˝È ·Ë˜ËÊ ·ÓÎÌÓ. ØøÌ‰ : ¬ Ó„ÚÎÓÎ‰ Áº‚ ı ºÌ eT ÏÓÏÂÌÚÓÓÒ øøÒ˝ı

ÏÛ¯„Ëð‡ÎÚ˚Ì ºÌˆº„

21

15.0,

p

e

p

eT B

I G

T

I G

T e ⋅

⋅+

⋅

⋅=θ , ¬ Ó„ÚÎÓÎ‰ Áº‚ ı ºÌ B T

ÏÓÏÂÌÚÓÓÒ øøÒ˝ı ÏÛ¯„Ëð‡ÎÚ˚Ì ºÌˆº„

21

11,

p

B

p

B T B

I G

T

I G

T B ⋅

⋅−

⋅

⋅−=θ ·‡ÈÌ‡.

√ ÓÎ˚Ì ı˝Ò˝„ ·øðËÈÌ ÚÛÈÎ˚Ì ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ 1d „ÓÎ˜ÓÓð

ËÎ˝ð ı ËÈÎ· ̋Î

41

41 098.0

321d

d I p =

⋅= π

, 41

41

42 203.0

32

)2.1(

322d

d d I p =

⋅=

⋅=

π π ·‡ÈÌ‡.

eT B ,θ , B T B ,θ ÏÛ¯„Ëð‡ÎÚ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ÛÚ„ ̊ „ ¯ËÎÊËÎÚËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰

ÓðÎÛÛÎ·‡Î

01115.0

2121

=⋅

⋅−

⋅

⋅−

⋅

⋅+

⋅

⋅

p

B

p

B

p

e

p

e

I G

T

I G

T

I G

T

I G

T

·Û ̨ Û

0203.0

1

098.0

1

203.0

1

098.0

5.041

41

41

41

=⋅

−⋅

−⋅

+⋅

d

T

d

T

d

T

d

T B B ee ⇒ 795.0663.0 == e B T T ÍÕÏ

·ÓÎÌÓ. ƒ ̋ ˝ð ı ÛÚ„ ̊ „ ÒÚ‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ÓðÎÛÛÎ·‡Î

405.0795.02.1 =−=−=

B e A T T T ÍÕÏ·ÓÎÌÓ. B T ðÂ‡Íˆ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÓÎÒÌÓÓð ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ Ì¸

Ú‡ÈÎ‡„‰‡Ê ˆ‡‡¯‰ ̊ Ì ·Ó‰ÓÎÚ Ì¸ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ‡‰ËÎ ·Ó‰Ó„‰ÓÌÓ.ÃÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÛÚ„ÛÛ‰1-1 Ó„ÚÎÓÎ‰ 5.00 1 ≤≤ z Ï øÂ‰ 795.01 == B T T ÍÕÏ

2-2 Ó„ÚÎÓÎ‰ 15.0 2 ≤≤ z Ï øÂ‰ 405.02.1795.02 −=−=−= e B T T T ÍÕÏ

3-3 Ó„ÚÎÓÎ‰ 21 3 ≤≤ z Ï øÂ‰ 405.02.1795.03 −=−=−= e B T T T ÍÕÏ

·‡ÈÌ‡. ÃÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÛÚ„‡ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝Ì˝˝Ò ı ‡Ï‡‡ð‡ ı „øÈ ÚÛÎ

ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı Ó‰ 3-3 Ó„ÚÎÓÎ˚„ ı ËÈ ı ¯‡‡ð‰Î‡„‡„øÈ ·ÓÎÓ‚˜




ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆº„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı Ó‰ ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È Û˜Ëð ˝Ì˝ Ó„ÚÎÓÎ˚„ ı ËÈ‚.›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ (5.5„ñð ÁÛð‡„) ·‡È„ÛÛÎ‡‚.2. √ ÓÎ˚Ì ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È „ÓÎ˜ËÈ„ ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ øÈÎ˜ËÎÊ ·ÛÈ

1-1 Ó„ÚÎÓÎ‰ (5.5„ñð ÁÛð‡„) ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ (5.5) Ìº ı ̂ ºÎººÒ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ·ÓÎ

037.0108014.3

10795.016

][

16

][

163

6

3

3 13 max1 =

⋅⋅

⋅⋅=

⋅

⋅=

⋅

⋅=

τ π τ π

T T d Ï 37= ÏÏ

·ÓÎÌÓ.¡Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì º„º„‰ºÎ ∏ÒÓÓð 12 2.1 d d = (5.5‡ñð ÁÛð‡„) ı ‡ð¸ˆ‡‡„ ı ‡Ì„‡ ı

¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È ÚÛÎ 1-1 ·‡ 2-2 Ó„ÚÎÓÎ˚Ì „ÓÎ˜ËÈ„ ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı ÒÚ‡Ì‰‡ðÚ˚ÌÓÈðÓÎˆÓÓ ÛÚ„‡‰ ¯ËÎÊøøÎ· ̋Î 381 =d ÏÏ, 3-3 Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ‰Ë‡ÏÂÚð

45382.12.112

≈⋅== d d ÏÏ ·ÓÎÌÓ.

3. ’‡Ï„ËÈÌ Ë ı ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ (5.3) ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð „ÓÎ˚Ì ı˝Ò˝„ ·øðÚ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.

1-1 Ó„ÚÎÓÎ‰ 6

3

3

31

111 108.73

)038.0( 14.3

10795.01616

1

⋅=⋅

⋅⋅=

⋅

⋅==

d

T

W

T

p π τ Õ/Ï2

2-2 Ó„ÚÎÓÎ‰ 6

3

3

31

222 106.37

)038.0( 14.3

10 )405.0( 1616

2

⋅−=⋅

⋅−⋅=

⋅

⋅==

d

T

W

T

p π τ Õ/Ï2

3-3 Ó„ÚÎÓÎ‰ 6

3

3

32

333 106.22

)045.0( 14.3

10 )405.0( 1616

3

⋅−=⋅

⋅−⋅=⋅⋅==d

T

W

T

p π τ Õ/Ï2

›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ 5.5‰ñð ÁÛð‡„Ú·‡È„ÛÛÎ‡‚.

4. ÃÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ·ÓÎ

1-1 Ó„ÚÎÓÎ‰ 024.0 )038.0( 14.31080

5.010795.0323249

3

41

111 =

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

d G

l T

π θ ð‡‰

2-2 Ó„ÚÎÓÎ‰ 012.0 )038.0( 14.31080

5.010 )405.0( 323249

3

41

222 −=

⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

d G

l T

π θ ð‡‰

3-3 Ó„ÚÎÓÎ‰ 012.0 )045.0( 14.31080

110 )405.0( 323249

3

42

333 −=

⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

d G

l T

π θ ð‡‰

·‡ÈÌ‡. ›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ 5.5Âñð ÁÛð‡„Ú·‡È„ÛÛÎ‡‚.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

73

5.3. ¡¿ √ ¿ ¿À’¿Ã“¿… ÷»À»Õƒ— œØ—ÿÕ»… “ŒŒ÷ŒŒ

÷ËÎËÌ‰ð Ôøð¯ Ï‡¯ËÌ øÈÎ‰‚˝ðÎ ̋Î, ·‡„‡ÊÌ˚ øÈÎ‰‚˝ðÎ ̋Î ·ÓÎÓÌ ÚÂ ı ÌËÍËÈÌ·ÛÒ‡‰ Ò‡Î·‡ðÛÛ‰‡‰ ºð„ºÌ ı˝ð˝„Î˝„‰‰ ̋ „. œøð¯ËÈ„ Ë ı˝‚˜Î˝Ì ÏÂ ı ‡ÌËÍ¯ËÌÊ ˜‡Ì‡ð˚Ì ºÌ‰ºð øÁøøÎ ̋ÎÚÚ˝È ººðººð ı ̋Î· ̋Î Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î Ì¸ºÌ‰ºð [ ] 800...200=τ Ãœ‡ ·‡È ı „‡Ì„‡‡ð ı ËÈ‰ ̋ „.

œøð¯ÌËÈ (5.6ñð ÁÛð‡„) Ì‡Î‡ÎÚ˚Ì ºÌˆº„Ì¸ ·‡„‡ (10 . . . 120ñ‡‡Ò Ë ı „øÈ) „ ̋ Ê øÁ‚ ̋ÎÔøð¯ÌËÈ ÓðÓÓ‰ÓÒ ÛÚ‡ÒÌ˚ ı ºÌ‰ÎºÌÓ„ÚÎÓÎ‰ ı Ó∏ð ÚºðÎËÈÌ ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ ñ

ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ (

2

D F M z = ), ı ºÌ‰ÎºÌ

ı ø˜ ( F Q y = ) øøÒ‰ ̋ „. ƒ ̋ ˝ð ı ı Ó∏ð ‰ÓÚÓÓ‰

ı ø˜ ÚÛÒ ·øð˝˝Ò ı ø˜‰ ̋ Î øøÒ˝ı ·º„ºº‰Ôøð¯ÌËÈ ÓðÓÓ‰ÓÒ ÛÚ‡ÒÌ˚ ı ºÌ‰ÎºÌÓ„ÚÎÓÎ‰ øøÒ˝ı ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ‰‡ð‡‡ ı ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ‰Ó„.


⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+=+=

D

d

d

FD

d

F

d

FD y z Q M

21

848323max

π π π τ τ τ

ØøÌ‰ F ñ ‰‡„ÛÛ ı ø˜, D ñ Ôøð¯ÌËÈ ‰ÛÌ‰‡Ê „ÓÎ˜d ñ ÓðÓÓ‰ÓÒ ÛÚ‡ÒÌ˚ „ÓÎ˜

» ı˝‚˜Î˝Ì Ôøð¯ÌËÈ ‰ÛÌ‰‡Ê „ÓÎ˜ ÓðÓÓ‰ÓÒ ÛÚ‡ÒÌ˚ „ÓÎ˜ÓÓÒ ÓÎÓÌ ‰‡ ı ËÌË ı ·‡È‰‡„ ÚÛÎ ı ‡‡ÎÚ‡Ì‰ ·‡È„‡‡ ı Ó∏ð‰Û„‡‡ð Ì˝Ï˝„‰ ̋ ı øøÌËÈ„ ÚÓÓˆ‰Ó„„øÈ·º„ºº‰ Ôøð¯ÌËÈ Ì‡Î‡ÎÚ, ÏÛðÛÈÎÚ, ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ÌËÈ ÌºÎºº„ ÚÓÓˆÓ ı

44

14

−

+=

c

ck

ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ˚„ ÓðÛÛÎÊ º„‚ºÎ Ôøð¯ÌËÈ ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎ

[ ]τ π

τ ≤=3max

8

d

FDk

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰ÓÌÓ. ØøÌ‰d

Dc = ı ‡ð¸ˆ‡‡ ˛Ï.

œøð¯ÌËÈ ÒÛÛÎÚ˚„ (ÛðÚÒ‡ÎÚ ·Û ̨ Û ·Ó„ËÌÓÒÓÎÚ)

4

38

d G

n FD

⋅=λ

ÚÓÏ ˙∏

Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı

ÓÈÎÌÓ.




ØøÌ‰ : n - Ôøð¯ÌËÈ ‡ÊÎ˚Ì ÓðÓÓ‰Ò˚Ì ÚÓÓG - ¯ËÎÊËÎÚËÈÌ ÏÓ‰ÛÎ¸

œøð¯ÌËÈ ı˝

‚ „‡ÊËÎÚ˚

Ì ·øÚ˝

Ì ÔÓÚÂÌˆË‡Î˝

ÌÂð„ËÈ„ 2

λ ⋅=

F

U ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.

∆ Ë¯˝˝ 5.6. ÿ‡ ı ‡ÎÚ‡Ì‰ ‡ÊËÎÎ‡ ı Ôøð¯ÌËÈ

(5.6ñð ÁÛð‡„) ¯ËÎÊËÎÚËÈÌ ÏÓ‰ÛÎ¸ ( 4108 ⋅=G Ãœ‡),Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î ( 250=τ Ãœ‡) º„º„‰ÒºÌ øÂ‰

5.7ñð ÁÛð‡„Ú øÁøøÎÒ˝Ì ı ø˜, ÒÛÛÎÚ˚Ì ı ‡Ï‡‡ðÎ˚„ ı ‡Ì„‡Ê ˜‡‰‡ ı Ôøð¯ÌËÈ ‰ÛÌ‰‡Ê „ÓÎ˜, ÓðÓÓ‰ÓÒ

ÛÚ‡ÒÌ˚

„ÓÎ˜, ÓðÓÓ‰Ò˚

Ì ÚÓÓ„ ÚÓ‰Óð ı

ÓÈÎ.5.7ñð ÁÛð‡„

¡Ó‰ÓÎÚ. ”ð¸‰˜ËÎÒ‡Ì ·‡È‰Î‡‡ð Ôøð¯ÌËÈ ‰ÛÌ‰‡Ê „ÓÎ˜, ÓðÓÓ‰ÓÒ ÛÚ‡ÒÌ˚ „ÓÎ˜ËÈÌ

ı ‡ð¸ˆ‡‡„ 5==d

Dc ·‡È ı ‡‡ð (Ë ı˝‚˜Î˝Ì 10...5=c ·‡È‰‡„) ‡‚ ˙ˇ.

ƒ ̋ ˝ð ı ı ‡ð¸ˆ‡‡„ ÚÓÓˆÓÌ ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎººÒ ÓðÓÓ‰ÓÒ ÛÚ‡ÒÌ˚ „ÓÎ˜ËÈ„ÓÎ·ÓÎ

[ ]τ π

τ ≤⋅⋅

=2

maxmax

8

d

F ck ⇒

[ ]τ π ⋅

⋅⋅⋅≥

c F kd max8

·ÓÎÌÓ. ØøÌ‰ : 5=c øÂ‰ 31.1454

154

44

14=

−⋅

+⋅=

−

+=

c

ck ·‡È ı ÚÛÎ 4000max = F Õ

„ ̋ ‰„ËÈ„ Ôøð¯ËÌ‰ øÈÎ˜Î˝ı ı ø˜, ÒÛÛÎÚ˚Ì ı ‡Ï‡‡ðÎ‡‡Ò(5.7ñð ÁÛð‡„) ‡‚˜ ÚÓÓÌ ÛÚ„ÛÛ‰ ̊ „ ÓðÎÛÛÎ·‡Î

3

610163.16

1025014.3

54000831.1 −⋅≈=

⋅⋅

⋅⋅⋅≥d Ï 16= ÏÏ

·ÓÎÌÓ. 16=d ÏÏ øÂ‰ 80516 =⋅=⋅= cd D ÏÏ ·‡ÈÌ‡.4000max = F Õ ‡˜‡‡ÎÎ˚Ì øÂ‰ Ôøð¯ÌËÈ ÒÛÛÎÚ 40=λ ÏÏ ·‡È ı Ìº ı ̂ ºÎËÈ„

‡¯Ë„Î‡Ì ‰ÓÓð ı ÚÓÏ ˙∏ÓÌÓÓÒ ÓðÓÓ‰Ò˚Ì ÚÓÓ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.

4

3max8

d G

n D F

⋅=λ ⇒ 138.12

08.040008

016.010804.0

8 3

410

3max

4

≈=⋅⋅

⋅⋅⋅==

D F

d Gn

λ

’ ̋ ð˝‚ 10==d

Dc ·‡È ı ‡‡ð ‡‚·‡Î ‰ ̋ ˝ð ı Ú˝È ËÊËÎ ‡ð„‡‡ð ·Ó‰Ó ı Ó‰

22=d ÏÏ, 220= D ÏÏ, 2≈n ·‡ÈÌ‡.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

75

ƒ ̋ ˝ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÒÓÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝Òøø‰Ú˝È ı Ó∏ð Ôøð¯ÌËÈ ‡ÎËÈ„ Ì¸ ˜ ‡‚˜ ·ÓÎÓ ı

·‡ ¯ËÌ˝˝ðd

Dc = ı ‡ð¸ˆ‡‡„ ººð˜ÎºÌ ººð ººð ı˝ÏÊ ̋ ˝Òøø‰Ú˝È Ôøð¯ ÒÓÌ„ÓÒÓÌ

˜ ·ÓÎÌÓ.

∆ Ë¯˝˝ 5.7. 2021 == d d ÏÏ „ÓÎ˜ÚÓÈ „‡Ì

ÛÚÒ‡‡ð ı ËÈÒ˝Ì 10021 == D D ÏÏ ‰ÛÌ‰‡Ê „ÓÎ˜ÚÓÈ 1

·‡ 2 Ôøð¯ÌËÈ (5.8ñð ÁÛð‡„) ÓðÓÓ‰Ò˚Ì ÚÓÓ Ì¸ ÚÛÒ ·øð81 =n , 62 =n ·ÓÎ 5= F ÍÕ ı ø˜ øÈÎ˜Î˝ı øÂ‰ –

ˆ ̋ „ËÈÌ ¯ËÎÊËÎÚËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ. ¿˜‡‡Î‡Î„øÈ øÂ‰ ı ‡‚Ú‡Ì ·‡ 2 Ôøð¯ÌËÈ ı ÓÓðÓÌ‰ 10=Δ ÏÏ Á‡‚Ò‡ðÚ‡È·‡È‚.


¡Ó‰ÓÎÚ. ’ ̋ ð˝‚ 1 Ôøð¯ÌËÈ ÒÛÌ‡ÎÚ Δ Á‡ÈÌ‡‡Ò Ë ı ·ÓÎ ˝Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„Ó Ì¸ ÒÚ‡ÚËÍËÈÌ

ı Û‚¸‰ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„Ó ˛Ï. »ÈÏ‰ ÒÚ‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈÌ ı ‡ÏÚ ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ı˝ð˝„Î˝ı ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È.

1 Ôøð¯ËÌ‰ øÈÎ˜Î˝ı ı ø˜ËÈ„ 1 N -˝˝ð, 2 Ôøð¯ËÌ‰ øÈÎ˜Î˝ı ı ø˜ËÈ„ 2 N -ÓÓð

Ú˝Ï‰ ̋ „Î˝Ì ÒÚ‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜‚ ̋Î F N N 221 =+

·ÓÎÌÓ. ’Ó∏ð øÎ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ „˜Ú˝È Ì˝„ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·‡È„‡‡ ÚÛÎ Ì˝„‰ø„ ̋ ˝ð Á˝ð„ËÈÌÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„Ó ·ÓÎÌÓ.

› ı Î˝ ̋‰ 1 Ôøð¯ 10=Δ ÏÏ ÒÛÌ‡ÒÌ˚ ‰‡ð‡‡ 2 Ôøð¯ ¯‡ ı ‡„‰‡Ê ˝ı Î˝ı Û˜Ëð ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î

1021 =−λ λ

·ÓÎÌÓ. ØøÌËÈ„ ı ø˜˝˝ð ËÎ˝ð ı ËÈÎ· ̋Î

1088

42

2322

41

1311 =

⋅

⋅⋅−

⋅

⋅⋅

d G

n D N

d G

n D N ⇒ 102211 =⋅−⋅ n N n N ⇒ 1068 21 =− N N

·ÓÎÌÓ. ›Ì˝ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„ ÒÚ‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎÚ˝È ı ‡ÏÚ‡Ú„‡Ì·Ó‰‚ÓÎ

106 )10( 8 22 =−− N N ⇒ 52 = N ÍÕ, 551010 21 =−=−= N N ÍÕ

·ÓÎÌÓ. »Ì„ ̋ Ê Ôøð¯ ÚÛÒ ·øðÚ øÈÎ˜Î˝ı ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÒÌÓÓðÒÚ‡ÚËÍËÈÌ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ó‰ÎÓ„Ó ·ÓÎÌÓ.




– ˆ ̋ „ËÈÌ ¯ËÎÊËÎÚ 1 Ôøð¯ÌËÈ ÒÛÛÎÚÚ‡È Ú˝Ìˆøø ·‡ÈÌ‡.

025.0 )02.0( 1080

8 )1.0( 1058849

33

4

1

1311

1 =⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅

⋅⋅==

d G

n D N C λ δ Ï 25= ÏÏ

∆ Ë¯˝˝ 5.8. œøð¯ÌËÈ (5.9‡ñð ÁÛð‡„) ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ÒËÒÚÂÏËÈÌ

Ôøð¯ ÚÛÒ ·øð‰ øøÒ˝ı ı ø˜‰ ̋ Î, 3 Ôøð¯ÌËÈ ‰ÛÌ‰‡Ê – ˆ ̋ „ËÈÌ ÒÛÛÎÚ˚„ ‰‡ð‡‡ ı º„º„‰Îøø‰ ̋ ˝ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ.

ª„ÒºÌ Ì¸:

2= F ÍÕ, 10108 ⋅=G œ‡,51 = D ÒÏ, 102 = D ÒÏ,

153 = D ÒÏ, 41 =d ÏÏ,

82 =d ÏÏ, 123 =d ÏÏ,

101 =n , 82 =n , 63 =n


¡Ó‰ÓÎÚ.

1. –Ú‡ÚËÍ Ú‡Î. ’‡‚Ú‡Ì„ËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎ (5.9·ñð ÁÛð‡„) ·ÓÎÓÌ 2 Ôøð¯ËÌ‰ øÈÎ˜Î˝ı 2 N ı ø˜, 1 Ôøð¯ËÌ‰ øÈÎ˜Î˝ı 1 N ı ø˜Ú˝È Ú˝Ìˆøø ·‡È ı

Ìº ı ̂ ºÎËÈ„ (5.9‚ñð ÁÛð‡„) ‡¯Ë„Î‡Ì ÒÚ‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜‚ ̋Î

⎩⎨⎧

=

=+

21

31

N N

F N N

·ÓÎÌÓ. √ Ûð‚‡Ì øÎ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ „˜Ú˝È, ı Ó∏ð Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜Ë„‰Ò˝Ì Û˜Ëð Ì˝„‰ø„ ̋ ˝ðÁ˝ð„ËÈÌ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„Ó ˛Ï. 2. √ ÂÓÏÂÚð Ú‡Î. ’ ̋ ‚ „‡ÊËÎÚ˚Ì Ìº ı ̂ ºÎ Ì¸ 1 ·‡ 2 Ôøð¯ÌËÈ ÒÛÛÎÚ˚Ì ÌËÈÎ·˝ð

Ì¸ 3 Ôøð¯ÌËÈ ÒÛÛÎÚÚ‡È Ú˝

Ìˆøø ·‡ÈÌ‡.321 λ λ λ =+

3. ‘ËÁËÍ Ú‡Î. ›Ì˝ ı˝Ò˝„Ú ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„ (Ôøð¯ÌËÈ ÒÛÛÎÚ˚„) ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜˝˝ðËÎ˝ð ı ËÈÎ· ̋Î

41

1311

1

8

d G

n D N

⋅

⋅⋅=λ

42

2322

2

8

d G

n D N

⋅

⋅⋅=λ

·ÓÎÌÓ.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

77

43

3333

3

8

d G

n D N

⋅

⋅⋅=λ

4. –ËÌÚÂÁ. ›Ì˝ ı˝Ò˝„Ú ˝ı ÌËÈ „Ûð‚‡Ì ı˝Ò„ËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Îøø‰ËÈ„ Ì˝„Ú„ ̋ Ì

·Ó‰ÓÊ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ËÈ„ Ú‡ÈÎ‡ ı ∏ÒÚÓÈ. ØøÌËÈ ÚÛÎ‰ ÒÚ‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î˝˝Ò 2 ·‡ 3 Ôøð¯ËÌ‰ øÈÎ˜Î˝ı ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ËÈ„ 1 Ôøð¯ËÌ‰ øÈÎ˜Î˝ı ı ø˜˝˝ð 13 N N N −= , 12 N N = „ ̋ Ê ËÎ˝ð ı ËÈÎ˝Ì ı˝‚

„‡ÊËÎÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ÓðÎÛÛÎÊ ˝Ï ı ̋Ú„ ̋ ‚ ̋Î

( )42

232

142

232

41

131

1d

n D N N

d

n D

d

n D N

⋅⋅−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅+

⋅⋅

·ÓÎÌÓ. ÷‡‡¯Ë‰ º„º„‰ÒºÌ ÚÓÓÌ ÛÚ„ ̊ „ ÓðÎÛÛÎ‡Ì ·Ó‰‚ÓÎ

( ) 4

3

14

3

4

3

112

615020008

81004

1050 ⋅⋅−=⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ ⋅+⋅⋅ N N ⇒ 2501 = N Õ

·ÓÎÌÓ. ÃºÌ 25012 == N N Õ, 1750250200013 =−=−= N N N Õ ·ÓÎÊ

·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ Ú‡ÈÎ‡„‰‡Ê ˆ‡‡¯Ë‰ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ‡‰ËÎ ·Ó‰Ó„‰ÓÌÓ.

œøð¯ ÚÛÒ ·øð‰ øøÒ˝ı ı ø˜‰ ̋ Î

6

331

111 103.552

)004.0( 14.3

05.0250811.1

8⋅=

⋅

⋅⋅⋅=

⋅

⋅⋅⋅=

d

D N k

π τ œ‡ 3.552= Ãœ‡

6

332

222 101.138

)008.0( 14.3

1.0250811.18 ⋅=⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

d

D N k

π τ œ‡ 1.138= Ãœ‡

6

333

333 106.429

)012.0( 14.3

15.01750811.1

8⋅=

⋅

⋅⋅⋅=

⋅

⋅⋅⋅=

d

D N k

π τ œ‡ 6.429= Ãœ‡

·‡ÈÌ‡. ØøÌ‰ 11.145.124

15.124

14

14321 =

−⋅

+⋅=

−

+====

c

ckkkk ·‡ÈÌ‡. ”˜Ëð Ì¸ ·ø ı

Ôøð¯ÌËÈ ‰ÛÌ‰‡Ê „ÓÎ˜, ÓðÓÓ‰ÓÒ ÛÚ‡ÒÌ˚ „ÓÎ˜ËÈÌ ı ‡ð¸ˆ‡‡ Ú˝Ìˆøø

5.124

501

11 === d Dc , 5.12

8100

2

22 === d Dc , 5.12

12150

3

33 === d Dc ·‡È„‡‡ ˛Ï.

C ˆ ̋ „ 3 Ôøð¯ÌËÈ ‰ÛÌ‰‡Ê ˆ ̋ „ ÚÛÎ ÚøøÌËÈ ¯ËÎÊËÎÚ Ì¸ 3 Ôøð¯ÌËÈÒÛÛÎÚ˚Ì ı ‡„‡ÒÚ‡È Ú˝Ìˆøø ·‡ÈÌ‡.

085.0 )012.0( 1082

6 )15.0( 17508

2

8

2 410

3

43

33333 =

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅==

d G

n D N C

λ δ Ï 85= ÏÏ



ƒ¿¿À√ ¿¬¿— ¹4. ƒ‡‡Î„‡‚‡ð „Ûð‚‡Ì ·Ó‰ÎÓ„ÓÓÒ ·øð‰ ̋ Ì˝.

1.

ƒÛ„ÛÈ Ó„ÚÎÓÎÚÓÈ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÏÛ¯„Ëð‡ÎÚ ̊ Ì øÂËÈÌ ·‡Ú ·˝ı , ı º¯øøÌ ˜‡Ì‡ð˚Ì ÚÓÓˆÓÓ

ª„º„‰ÒºÌ „‡Ì „ÓÎ˚Ì (5.10ñð ÁÛð‡„) 80][ =τ Ãœ‡ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î

·‡ 5.0=‡ Ï Á‡È º„º„‰ÒºÌ øÂ‰ 5.1ñð ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ º„º„‰Îººð1. „ÓÎ˚Ì ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ;2. ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎººÒ „ÓÎ˚Ì „ÓÎ˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ;3. ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

79






¹,1 P

Í¬Ú

,2 P

Í¬Ú

,3 P

Í¬Ú

,4 P

Í¬Ú

,

ð‡‰/Ò¹

,1 P

Í¬Ú

,2 P

Í¬Ú

,3 P

Í¬Ú

,4 P

Í¬Ú

,

ð‡‰/Ò

1 1.1 2.2 3.3 4.4 4 11 0.5 0.6 0.7 0.8 15

2 2.2 3.3 4.4 1.1 50 12 0.6 0.7 0.8 0.5 20

3 3.3 4.4 1.1 2.2 6 13 0.7 0.8 0.5 0.6 25

4 4.4 3.3 2.2 1.1 70 14 0.8 0.7 0.6 0.5 30

5 1.0 2.0 3.0 4.0 8 15 4.0 5.0 6.0 7.0 12

6 2.0 3.0 4.0 1.0 90 16 5.0 6.0 7.0 4.0 40

7 3.0 4.0 1.0 2.0 10 17 6.0 7.0 4.0 5.0 35

8 4.0 1.0 2.0 3.0 150 18 7.0 4.0 5.0 6.0 120

9 6.0 7.0 8.0 10.0 100 19 9.0 10.0 12.0 11.0 18010 10.0 20.0 30.0 40.0 200 20 15.0 25.0 35.0 45.0 220

2. ÃÛ¯„Ëð‡ÎÚ ̊ Ì ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ÒËÒÚÂÏËÈÌ ÚÓÓˆÓÓ

ª„º„‰ÒºÌ „ÓÎ˚Ì (5.11ñð ÁÛð‡„) Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î 80][ =τ Ãœ‡,

¯ËÎÊËÎÚËÈÌ ÏÓ‰ÛÎ¸ 4108 ⋅=G Ãœ‡ ·‡È ı ‡‰ 5.2ñð ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ º„º„‰Îººð 1. ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎººÒ „ÓÎ˚Ì ı˝Ò˝„ ·øðËÈÌ „ÓÎ˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ;

2. ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ;3. ÏÛ¯„ËðÎ˚Ì ºÌˆ„ËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ;4. ‡ ̨ ÛÎÚ‡È Ó„ÚÎÓÎ‰ ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

81




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

83


¹,a

Ï

,b

Ï

,c

Ï 1

2

d

d

1

3

d

d ,1e

T

ÍÕÏ

,1e

T

ÍÕÏ¹

,a

Ï

,b

Ï

,c

Ï 1

2

d

d

1

3

d

d ,

1eT

ÍÕÏ

,2e

T

ÍÕÏ

1 0.2 0.1 0.5 1.2 3.2 3.4 1.0 11 0.3 0.4 0.6 1.3 3.6 3.2 0.8

2 0.2 0.4 1.1 1.4 4.0 2.0 -5.0 12 0.3 0.2 0.7 1.5 3.8 -4.0 1.8

3 0.4 0.8 0.1 1.6 4.2 -1.0 2.0 13 0.5 0.6 0.1 1.7 4.2 1.2 2.4

4 0.6 0.3 0.6 1.8 3.1 4.0 -6.0 14 0.7 0.8 1.1 1.9 4.5 3.0 5.0

5 0.8 0.4 0.9 2.0 3.4 -1.0 3.0 15 0.8 0.3 0.9 2.1 4.2 1.5 2.5

6 0.7 0.9 1.0 2.4 3.0 2.0 -3.0 16 0.2 0.7 0.8 2.3 4.6 -3.0 1.0

7 0.6 0.8 0.1 2.6 3.2 -3.0 4.0 17 0.4 1.0 0.3 2.5 4.4 5.5 -2.0

8 0.8 1.0 0.3 2.8 3.6 4.0 2.0 18 0.2 0.5 0.2 2.7 4.1 6.0 -3.0

9 0.2 0.5 0.2 3.0 4.0 5.0 -5.0 19 0.8 0.9 0.5 2.9 3.5 -3.5 2.5

10 0.4 0.6 0.9 1.3 3.8 -6.0 1.0 20 0.5 0.1 0.6 1.3 3.9 2.0 -4.0

3. ¡‡„‡ ‡Î ı ‡ÏÚ‡È ˆËÎËÌ‰ð Ôøð¯ÌËÈ ÚÓÓˆÓÓ

œøð¯ÌËÈ ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı

ÓÈ ·Ë¯ ÒËÒÚÂÏËÈÌ (5.12ñð ÁÛð‡„) Á‡‡Ò‡Ì ˆ ˝

„Ú(ÚÛ ı ‡ÈÌ Ôøð¯ÌËÈ ‰ÛÌ‰ Óð¯Ë ı ¿, B , C ˆ ̋ „) ¯ËÎÊËÎÚ, Ôøð¯ ·øðÚ øøÒ˝ı maxτ

ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ 5.3ñð ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ º„º„‰Îººð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ.œøð¯Ìøø‰ËÈÌ ‰ÛÌ‰‡Ê „ÓÎ˜ 51 = D ÒÏ, 102 = D ÒÏ, 153 = D ÒÏ,

ÓðÓÓ‰Ò˚Ì „ÓÎ˜ 41 =d ÏÏ, 82 =d ÏÏ, 123 =d ÏÏ, ¯ËÎÊËÎÚËÈÌ ÏÓ‰ÛÎ¸

4108 ⋅=G Ãœ‡ ·ÓÎÌÓ.





5.12ñð ÁÛð‡„ ( øð„ ̋ ÎÊÎ ̋Î)



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

85


¹ , F ÍÕ 1n 2n 3n ÿËÎÊËÎÚÓÎÓ ı ˆ ̋ „

¹ , F ÍÕ 1n 2n 3n ÿËÎÊËÎÚÓÎÓ ı ˆ ̋ „

1 1.0 100 80 60 ¿ 11 1.2 120 80 60 B2 2.0 10 8 6 B 12 2.4 90 60 30 C

3 0.5 20 16 12 C 13 0.8 24 18 14 ¿

4 3.0 30 20 10 ¿ 14 3.2 40 20 10 B

5 1.5 40 40 20 B 15 1.8 60 40 20 C

6 1.0 50 40 30 C 16 1.6 50 30 30 ¿

7 4.0 60 40 40 ¿ 17 3.6 40 20 20 B

8 5.0 70 60 40 B 18 4.8 90 70 40 C

9 2.0 80 70 60 C 19 3.5 110 60 50 ¿

10 4.0 90 70 50 ¿ 20 4.5 80 60 40 B



«”—√ ¿¿ƒ” √ ¿¿— ¡ØÀ›√

ƒ¿ÃÕ””—¤Õ √ ”À«¿…À“

6.1. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð

√ ÛÎÁ‡ÈÎÚ‡Ì‰ ‡ÊËÎÎ‡ ı ¯ÛÎÛÛÌ ¯ËÎ·ËÈ„ ‰‡ÏÌÛÛð „ ̋ Ì˝. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ÏÛðÛÈÎÚ˚„ ººð˜Îº ı ı˝‚ „‡ÊËÎÚ˚„ „ÛÎÁ‡ÈÎÚ „ ̋ Ì˝. √ ÛÎÁ‡ÈÎÚ øøÒ„ ̋ ı „‡‰‡‡‰ ı ø˜Ìøø‰ ¯ËÎ·˝ÌËÈ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„ ‰‡ÈðÒ‡Ì Ì˝„ ı ‡‚Ú„‡È‰·‡ÈðÎ‡Ì‡. »ÌÂðˆËÈÌ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„ ‰‡ÈðÒ‡Ì ı ‡‚Ú„‡È„ ËÌÂðˆËÈÌ „ÓÎ ı ‡‚Ú„‡È„ ̋ ‰ ̋ „. ’ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋ÎËÈÌ ı ‡‚Ú„‡È ËÌÂðˆËÈÌ „ÓÎ ı ‡‚Ú„‡ÈÚ‡È ‰‡‚ ı ̂ ‡ ı øÂ‰ ı ‡‚Ú„‡ÈÌ „ÛÎÁ‡ÈÎÚ øøÒÌ˝. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ‰ ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ „ ̋ Ò˝Ì ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ı Ó∏ð Ù‡ÍÚÓð øÈÎ˜Î˝Ì˝. «º‚ ı ºÌ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì øÈÎ˜Î ̋Î˝˝ð øøÒ˝ı „ÛÎÁ‡ÈÎÚ˚„ ˆ ̋ ‚˝ð „ÛÎÁ‡ÈÎÚ, ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı ‡ÏÚ˚Ì øÈÎ˜Î ̋Î˝˝ð øøÒ˝ı „ÛÎÁ‡ÈÎÚ˚„ ı ºÌ‰ÎºÌ „ÛÎÁ‡ÈÎÚ „ ̋ Ì˝.

ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ·‡Ú ·˝ı , ı º¯øøÌ ˜‡Ì‡ð˚„ ÚÓÓˆÓ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ̨ÛÌ˚ ºÏÌº ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ı˝ð˝„Ú˝È. ƒÓÚÓÓ‰ ı ø˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ‰ÓÓ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì

‡ð„˚„ ı˝ð˝„Î˝Ì˝. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ÚÛ ı ‡ÈÌ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ‰ øÈÎ˜Î˝ı ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ Ú˝ð

Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ‡Î¸ Ì˝„ Ú‡Î‰ Óð¯Ë ı ·ø ı ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ Ú˝ð Ó„ÚÎÓÎ ‰ ̋ ˝ð ı ÔðÓÂÍˆÛÛ‰ ̊ Ì ‡Î„Â·ð ÌËÈÎ·˝ðÚ˝È Ú˝Ìˆøø; „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ Ú˝ð Ó„ÚÎÓÎ˚Ì

‡Î¸ Ì˝„ Ú‡Î‰ Óð¯Ë ı ·ø ı ı ø˜Ìøø‰ ̋ ˝Ò Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ øøÒ„ ̋ ı ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ Ì ‡Î„Â·ð ÌËÈÎ·˝ðÚ˝È Ú˝Ìˆøø ·‡ÈÌ‡.

’ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ‰‡„ÛÛ‰ ººð˜Îº„‰º ı ı ÛÛÎËÈ„ ı ‡ðÛÛÎÒ‡Ì „ð‡ÙËÍËÈ„ Ú ̋‰„ ̋ ˝ðËÈÌ ˝Ô˛ð „ ̋ Ì˝.›‰„ ̋ ˝ðËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı˚Ì ºÏÌº Ú˝Ï‰„ËÈÌ ‰øð˝Ï ÚÓ„ÚÓÓ ı ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È.

ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ˇÏ‡ð Ì˝„ mn Ó„ÚÎÓÎ‰ ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ‰ÓÓÓ„ÚÎÓÎÓÓÒ ÁøøÌ Ú‡Î‰ ‰ ̋ ˝¯˝˝ ˜Ë„Î˝Ò˝Ì, ·‡ðÛÛÌ Ú‡Î‰ ‰ÓÓ¯ÓÓ ˜Ë„Î˝Ò˝Ì ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ËÈ„ ˝Âð˝„ (6.1‡ñð ÁÛð‡„), ˝Òð˝„ (6.1·ñð ÁÛð‡„) ÚÓ ı ËÓÎ‰ÓÎ‰ Òºðº„„ ̋ Ê ÚÓÓˆÌÓ.

‡). ·). ‚). „).6.1ñð ÁÛð‡„

ÃºÌ Ó„ÚÎÓÎ‰ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ‰ÓÓ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ÁøøÌ

Ú‡Î‡‡Ò ˆ‡„ËÈÌ ÁøøÌËÈ ı

º‰ºÎ„ººÌËÈ ‰‡„ÛÛ ˜Ë„Î˝

ÎÚ˝

È, ·‡ðÛÛÌ Ú‡Î‡‡Ò ˆ‡„ËÈÌ



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

87

ÁøøÌËÈ ı º‰ºÎ„ººÌËÈ ˝Òð˝„ ˜Ë„Î ̋ÎÚ˝È øÈÎ˜Î˝ı ÏÓÏÂÌÚ˚„ ˝Âð˝„ (6.1‚ñðÁÛð‡„); ˝Òð˝„ ÚÓ ı ËÓÎ‰ÓÎ‰ Òºðº„ (6.1„ ñð ÁÛð‡„) „ ̋ Ê ÚÓÓˆÌÓ.

’ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð Áº‚ ·‡È„ÛÛÎ‡„‰Ò‡Ì ˝Ò˝ı ËÈ„ ‰‡ð‡‡ ı ¯ËÌÊøø‰ ̋ ˝ð ¯‡Î„‡Ê ·ÓÎÌÓ. ØøÌ‰ :1. “º‚ÎºðÒºÌ ı ø˜ øÈÎ˜ËÎÊ ·‡È„‡‡ Ó„ÚÎÓÎ‰ ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð Ú˝ð ı ø˜ÌËÈ ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ̋ ˝ð øÒð ̋ÎÚÚ˝È, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ı ø˜ÌËÈ ˝Òð˝„ ı ‡Ì‰Ò‡Ì ı Û„‡ð‡ÎÚ‡È ·‡ÈÌ‡.2. “º‚ÎºðÒºÌ ÏÓÏÂÌÚ øÈÎ˜ËÎÊ ·‡È„‡‡ Ó„ÚÎÓÎ‰ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð Ú˝ð ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ̋ ˝ð øÒð ̋ÎÚÚ˝È ·‡ÈÌ‡. “º‚ÎºðÒºÌ ÏÓÏÂÌÚ ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ðËÈÌ ı ̋Î·˝ðÚ ÌºÎººÎº ı „øÈ.3. ∆ Ë„‰ Ú‡ð ı Ò‡Ì ı ø˜ øÈÎ˜ËÎÊ ·‡È„‡‡ ı˝Ò˝„Ú ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð Ú‡ð ı Ò‡Ì ı ø˜ÌËÈ ˜Ë„Î ̋Î ‰‡„ÛÛ Ì‡ÎÛÛ ¯ÛÎÛÛÌ‡‡ð, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð „ø‰„ ̋ ð Ú‡Î‡‡ð‡‡ ‡˜‡‡Ì˚ ˝Òð˝„ ı ‡Ì‰Ò‡Ì Í‚‡‰ð‡Ú Ô‡ð‡·ÓÎÓÓð ÁÛð‡„‰‡Ì‡.4. ’ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ Ú˝„ ·‡È ı Ó„ÚÎÓÎ‰ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ ˝ÍÒÚðÂÏÛÏ ÛÚ„‡Ú‡È·‡ÈÌ‡.5. ’ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ ˝Âð˝„ ·‡È ı ı˝Ò˝„Ú „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ ºÒºÊ, Òºðº„ ·‡È ı ı˝Ò˝„Ú ·ÛÛðÌ‡.

∆ Ë¯˝˝ 6.1. ª„º„‰ÒºÌ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì (6.2‡ñð ÁÛð‡„) ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜,

„ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.

‡).

ª„ÒºÌ Ì¸ :3= F ÍÕ

2=q ÍÕ/Ï

4= M ÍÕÏ1=a Ï

¡Ó‰ÓÎÚ. “ÛÎ„ÛÛð˚Ì

ðÂ‡Íˆ ̊ „ ÓÎÓÎ„øÈ, ÁøøÌ øÁøøð˝˝Ò ˝ı Î˝Ì ·Ó‰ ˙∏.1-1 Ó„ÚÎÓÎ ( a z ≤≤ 10 )

3 )( 1 == F z Q ÍÕ

11 )( z F z M −=

01 = z øÂ‰ 0 )( 1 = z M ;

a z =1 øÂ‰ 3 )( 1 −= z M ÍÕÏ.

2-2 Ó„ÚÎÓÎ ( a z a 2.22 ≤≤ )

)( )( 22 a z q F z Q −+=

2

)( )(

22

22

a z q z F z M

−−⋅−=

·).

‚).





a z =2 øÂ‰ 3 )( 2 = z Q ÍÕ, 3 )( 2 −= z M ÍÕÏ

a z 2.22 = øÂ‰ 4.5 )( 2 = z Q ÍÕ, 04.8 )( 2 −= z M ÍÕÏ

3-3 Ó„ÚÎÓÎ ( a z a 2.32.23 ≤≤ )

4.52.1 )( 3 =⋅+= aq F z Q ÍÕ

M a z aq z F z M +−⋅⋅−⋅−= )6.1( 2.1 )( 333

a z 2.23 = øÂ‰ 04.4 )( 3 −= z M ÍÕÏ

a z 2.33 = øÂ‰ 44.9 )( 3 −= z M ÍÕÏ

›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ (6.2·ñð ÁÛð‡„), „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì(6.2‚ñðÁÛð‡„) ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ‡‚. ƒ ̋ ˝ð ı ¯ËÌÊ ̋ ˝ð ÁÓÓÎÚÓÌ ‰ ̋ ˝ð øøÒ˝ı ·ÓÒÓÓ ðÂ‡Íˆ5.4ÍÕ, ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ðÂ‡Íˆ 9.44ÍÕÏ ·‡ÈÌ‡.

∆ Ë¯˝˝ 6.2. ª„º„‰ÒºÌ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì (6.3‡ñð ÁÛð‡„) ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜,

„ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.

a).

ª„ÒºÌ Ì¸ :4= F ÍÕ

3=q ÍÕ/Ï

1=a Ï

¡Ó‰ÓÎÚ. ›Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ „ Á‡‚Òð˚Ì

– ÌÛ„‡Ò‡‡ð Ò‡Î„‡Ì ·Ó‰ÌÓ. “ ̋ „‚ ̋Î ı Ó∏ð ı ̌Î·‡ð ‰‡ÏÌÛÛð (6.3·ñð ÁÛð‡„)·ÓÎÌÓ.

› ı Î˝ ̋‰ ·‡ðÛÛÌ CB ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ ˙ˇ.

2

F R R B C == ·‡È ı Ì¸ ËÎ˝ð ı ËÈ. ›Ì˝

‰‡ÏÌÛÛð ı Ó∏ð ı˝Ò˝„Ú˝È ·‡ÈÌ‡.1-1 Ó„ÚÎÓÎ ( a z ≤≤ 10 )

22

)( 1 === F R z Q C ÍÕ

11 )( z R z M C ⋅=

01 = z øÂ‰ 0 )( 1 = z M ;

a z =1 øÂ‰ 2 )( 1 =⋅= a R z M C ÍÕÏ.

·).

‚).

„).




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

89

2-2 Ó„ÚÎÓÎ ( a z ≤≤ 20 )

22

)( 2 −=−=−= F

R z Q B ÍÕ

22 )( z R z M B ⋅= 02 = z øÂ‰ 0 )( 2 = z M ;

a z 2.22 = øÂ‰ 2 )( 2 =⋅= a R z M B ÍÕÏ.

ƒ‡ð‡‡ Ì¸ ÁøøÌ ¿– ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ ˙ˇ.3-3 Ó„ÚÎÓÎ ( a z ≤≤ 30 )

33 )( z q R z Q C ⋅+=

2

)( 23

33

z q z R z M C −−=

03 = z øÂ‰ 2 )( 3 == C R z Q ÍÕ, 0 )( 3 = z M

a z =3 øÂ‰ 5132 )( 3 =⋅+=+= qa R z Q C ÍÕ,

5.32

)( 2

3 −=−⋅−= a

qa R z M C ÍÕÏ

›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ (6.3‚ñð ÁÛð‡„), „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì(6.3„ñðÁÛð‡„) ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡‚.

∆ Ë¯˝˝ 6.3. ª„º„‰ÒºÌ ð‡Ï˚Ì (6.4‡ñð ÁÛð‡„) ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.

ª„ÒºÌ Ì¸ : 6=q ÍÕ/Ï, 1=a Ï

‡). ·). ‚).


„).

¡Ó‰ÓÎÚ. ’º¯øøÌ ı ÓÎ·Ó„‰ÒÓÌ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÒËÒÚÂÏËÈ„ ð‡Ï „ ̋ ‰ ̋ „. ›Ì˝ ð‡Ï

„Ûð‚‡Ì ¯ËÎ·˝Ì˝˝Ò ·øÚÊ ̋ ˝. —‡Ï˚Ì ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı Ì¸

‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı ‡‡Ò Á‡ð˜Ï˚Ì ı Û‚¸‰ Úº‰ËÈÎºÌ




̌Î„‡‡„øÈ. ’‡ðËÌ ı ‡‚Ú„‡ÈÌ ð‡Ï‰ ‰‡„ÛÛ ı ø˜, ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ øøÒ‰ ̋ „. Œ‰ÓÓ Ú ̋‰„ ̋ ˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„ ÁÓ ı ËÓÊ ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ ˙ˇ.

1-1 Ó„ÚÎÓÎ ( a z ≤≤ 10 )

0 )( 1 = z N

11 )( z q z Q =

2 )(

21

1

z q z M −=

01 = z øÂ‰ 0 )( 1 = z Q , 0 )( 1 = z M

a z =1 øÂ‰ 6 )( 1 == aq z Q ÍÕ, 32

)( 2

1 −=−= aq z M ÍÕÏ

2-2 Ó„ÚÎÓÎ ( a z ≤≤ 20 )6 )( 2 == qa z N ÍÕ

0 )( 2 = z Q

32

)( 2


›Ì˝ ı˝Ò˝„Ú ·ø ı ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ ÚÓ„ÚÏÓÎ ·‡ÈÌ‡.3-3 Ó„ÚÎÓÎ ( a z 20 3 ≤≤ )

0 )( 3 = z N

6 )( 3 == qa z Q ÍÕ

)2

( )( 33

a z qa z M +−=

03 = z øÂ‰ 32

)( 2


a z 23 = øÂ‰ 152

5 )( 2

3 −=−= qa z M ÍÕÏ

›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ‰‡„ÛÛ ı ø˜ (6.4·ñð ÁÛð‡„), ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ (6.4‚ñð ÁÛð‡„),„ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì(6.4„ñð ÁÛð‡„) ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎÎ‡‡.

√ ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ¯‡ ı ‡„‰‡Ê ·‡È„‡‡ Ú‡Î‰·‡È„ÛÛÎÊ ·‡È„‡‡ ·º„ºº‰ ı ‡ðËÌ ˝Ô˛ðÚ Ú˝Ï‰ ̋ „ Ú‡‚¸‰‡„„øÈ ÛÎ‡ÏÊÎ‡Î ·ËÈ.

∆ Ë¯˝˝ 6.4. —‡Ï˚Ì (6.5‡ñð ÁÛð‡„) ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.

ª„ÒºÌ Ì¸ : 2== qa F ÍÕ, 220 == qa M ÍÕÏ, 2=q ÍÕ/Ï, 1=a Ï

¡Ó‰ÓÎÚ. › ı Î˝ ̋‰ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎººÒ ðÂ‡ÍˆËÛ‰ ̊ „ ÓÎÌÓ.

0=∑ X , 02 =⋅− aq H A ⇒ 42 == aq H A ÍÕ ;

0=∑ A M , 0220 =⋅−⋅⋅−+− a R aaqa F M B ⇒ 2−= B R ÍÕ ;



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

91

0=∑ B M , 022 0 =⋅−−−⋅ aqaa F M a R A ⇒ 4= A R ÍÕ .

—Â‡ÍˆÛÛ‰ ̊ „ Áº‚ ÓÎÒÓÌ ˝Ò˝ı ËÈ„ ·ÓÒÓÓ Ú˝Ì ı Î˝„ ‰ ̋ ˝ð ı ø˜Ìøø‰ËÈ„ÔðÓÂÍˆÎÓÌ ¯‡Î„‡ ˇ.

0=∑Y , 0=+− B A R F R ⇒ 0224 =−− .

‡).

—‡Ï Ú‡‚‡Ì ı˝Ò˝„Ú˝È ·‡È„‡‡„‡Ì ı ‡‡ð‡Ì ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î·Ë˜¸Â. ’ ̋ Ò˝„ ·øðÚ z Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„¯ËÎ·˝ÌËÈ Ú˝Ì ı Î˝„ ‰‡„ÛÛ ‡‚Ì‡.1-1 Ó„ÚÎÓÎ ( a z ≤≤ 10 )

4 )( 1 −=−= A R z N ÍÕ ;

4 )( 1 −=−= A H z Q ÍÕ ;

11 )( z H z M A ⋅−= 01 = z øÂ‰ 0 )( 1 = z M ;

11 == a z Ï øÂ‰ 4 )( 1 −= z M ÍÕÏ ;

2-2 Ó„ÚÎÓÎ ( a z a 22 ≤≤ )

4 )( 2 −=−= A R z N ÍÕ ;

4 )( 2 −=−= A H z Q ÍÕ ;

022 )( M z H z M A −⋅−=

12 ==a z Ï øÂ‰ 6 )( 2

−= z M ÍÕÏ ;

222 == a z Ï øÂ‰ 10 )( 2 −= z M ÍÕÏ ;

3-3 Ó„ÚÎÓÎ ( a z ≤≤ 30 )

4 )( 3 −=−= A H z N ÍÕ ;

4 )( 3 == A R z Q ÍÕ ;

033 2 )( M a H z R z M A A −⋅−⋅=

03 = z øÂ‰ 10 )( 3 −= z M ÍÕÏ ;

13

== a z Ï øÂ‰ 6 )( 3

−= z M ÍÕÏ ;

4-4 Ó„ÚÎÓÎ ( a z 20 4 ≤≤ )

2 )( 4 =−= B R z N ÍÕ ;

44 )( qz z Q = ;

2 )(

2

44

z q z M −=

04 = z øÂ‰ 0 )( 4 = z Q ; 0 )( 4 = z M ;

224 == a z Ï øÂ‰ 4 )( 4 = z Q ÍÕ;

4 )( 4 −= z M ÍÕÏ.

·).

‚).

„).





5-5 Ó„ÚÎÓÎ ( a z ≤≤ 50 )

42 )( 5 −=⋅−= aq z N ÍÕ ;

2 )( 5

=−= B

R z Q ÍÕ ;

aaq z R z M B ⋅⋅−⋅= 2 )( 55

05 = z øÂ‰ 4 )( 5 −= z M ÍÕÏ ;

15 == a z Ï øÂ‰ 6 )( 5 −= z M ÍÕÏ ;

›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ‰‡„ÛÛ ı ø˜ (6.5·ñð ÁÛð‡„), ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ (6.5‚ñð ÁÛð‡„),„ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì(6.5„ñð ÁÛð‡„) ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎÎ‡‡. 6.1ñð ÁøÈÎ‰ ‰Ûð¸‰Ò‡Ì ¯ËÌÊøø‰ËÈ„ ‡¯Ë„Î‡Ì ̋‰„ ̋ ˝ð ˝Ô˛ð Áº‚ ·‡È„ÛÛÎ‡„‰Ò‡Ì ˝Ò˝ı ËÈ„¯‡Î„‡‡ð‡È.

∆ Ë¯˝˝ 6.5. ÃÛðÛÈ ¯ËÎ·˝ÌËÈ (6.6‡ñð ÁÛð‡„) ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.ª„ÒºÌ Ì¸ : F , r .

‡). ·). ‚). „).

6.6ñð ÁÛð‡„¡Ó‰ÓÎÚ. ÃÛðÛÈ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı ‰‡‡ ÒÛÌ„‡ ı

‰‡„ÛÛ ı ø˜ËÈ„ ˝Âð˝„, ÒÛÌ„‡ ı ‰‡„ÛÛ ı ø˜ÌËÈ ˜Ë„Î ̋Î˝˝Ò ˆ‡„ËÈÌ ÁøøÌËÈ

ı º‰ºÎ„ººÌËÈ ‰‡„ÛÛ 090 Á‡È‰ Óð¯Ë ı ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ËÈ„ ˝Âð˝„, ¯ËÎ·˝ÌËÈÏÛðÛÈÎÚ˚„ Ë ı˝Ò„ ̋ ı øÈÎ˜Î ̋ÎÚ˝È „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚„ ˝Âð˝„ „ ̋ Ê ÚÓÓˆÌÓ.›Òð˝„ ÚÓ ı ËÓÎ‰ÓÎ‰ Òºðº„ „ ̋ Ê øÁÌ˝.

ÃÛðÛÈ ¯ËÎ·˝ÌËÈ Ó„ÚÎÓÎ ºÌˆ„ººð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰ÓÌÓ. ›Ì˝ ÊË¯˝˝ÌËÈ ı Û‚¸‰ C Ó„ÚÎÓÎ ϕ ºÌˆ„ººð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰ÓÌÓ. – Ó„ÚÎÓÎ‰ ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ

Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜Ë ı ËÈÌ ÚÛÎ‰ F ı ø˜Ú˝È Ú˝Ìˆøø ·º„ºº‰ Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸, ˝Òð˝„˜Ë„Î ̋ÎÚ˝È ı Ó∏ð F ı ø˜ËÈ„ C Ó„ÚÎÓÎ‰ øÈÎ˜ÎøøÎÌ˝. “ ̋ „‚ ̋Î Ì˝„ ÁÛð‡‡ÒÚ‡È F ı ø˜Ìøø‰ ı ÓÒ ·ÓÎÓ ı ·‡ ı Ó∏ð ÁÛð‡‡ÒÚ‡È F ı ø˜ËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ‡„˜Ë‰ Á‡‰‡Î·‡Î Q ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜, N ‰‡„ÛÛ ı ø˜ ÓÎ‰ÓÌÓ.

ϕ ϕ sin )( F N =

ϕ ϕ cos )( F Q =

ϕ ϕ sin )( r F h F M ⋅−=⋅−=

›Ì˝ ¯ËÎ·˝ Ì˝„ ı˝Ò˝„Ú˝È, ı ‡„‡Ò ‰Û„ÛÈ ı ̋Î·˝ðÚ˝È ·‡È„‡‡ Û˜Ëð01800 ≤≤ϕ ıˇÁ„‡‡ðÚ ‰ ̋ ˝ð ı Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Îøø‰ Áº‚ ·‡ÈÌ‡.

»ÈÏ‰ 0=ϕ øÂ‰ 0 )( =ϕ N , F Q = )( ϕ , 0 )( =ϕ M ;



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

93

090=ϕ øÂ‰ F N = )( ϕ , 0 )( =ϕ Q , r F M ⋅= )( ϕ ;

0180=ϕ øÂ‰ 0 )( =ϕ N , F Q −= )( ϕ , 0 )( =ϕ M .

›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ‰‡„ÛÛ ı ø˜ (6.6·ñð ÁÛð‡„), ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ (6.6‚ñð ÁÛð‡„),„ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì(6.6„ñð ÁÛð‡„) ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡‚. √ ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì˝Ô˛ðËÈ„ ÏºÌ ¯‡ ı ‡„‰‡Ê ·‡È„‡‡ Ú‡Î‰ ÁÛðÌ‡.

∆ Ë¯˝˝ 6.6. ÃÛðÛÈ ¯ËÎ·˝ÌËÈ (6.7‡ñð ÁÛð‡„) ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.ª„ÒºÌ Ì¸ : q , r

‡). ·). ‚). „).


¡Ó‰ÓÎÚ. ϕ ºÌˆ„ººð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰Ó ı – Ó„ÚÎÓÎ ‡‚ ˙ˇ. ƒÓÚÓÓ‰ ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ

Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜Ë ı ËÈÌ ÚÛÎ‰ Ú‡ð ı Ï‡Î ı ø˜ÌËÈ Ú˝Ìˆøø øÈÎ˜Î˝„˜ËÈ„ ÓÎÓ ı ı˝ð˝„Ú˝È. ¿– ı˝Ò˝„Ú øÈÎ˜Î˝ı Ú‡ð ı Ï‡Î ı ø˜ÌËÈ Ú˝Ìˆøø øÈÎ˜Î˝„˜ R ı ø˜ ¿–

ı˝ð˜ÏËÈÌ ‰ÛÌ‰ ÏºÌ ı˝ð˜ËÏ‰ ÔÂðÔÂÌ‰ËÍÛÎ ˇð ·º„ºº‰ AC q R ⋅= ı˝ÏÊ ̋ ̋Ú˝È

·‡È‰‡„. “ ̋ Ìˆøø øÈÎ˜Î˝„˜ ı ø˜ËÈ„ ÓÎÒÌ˚ ‰‡ð‡‡ 6.5ñð ÊË¯˝˝ÌËÈ ‡‰ËÎ‡‡ð ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„ ÁÓ ı ËÓ‚ÓÎ

2sin2

2sin )( 2 ϕ ϕ

ϕ qr R N −=−=

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ sin2

cos2

sin22

cos )( qr qr R Q −=−=−=

2sin2

2sin )( 22 ϕ ϕ

ϕ qr r R M −=⋅−=

·ÓÎÌÓ. ØøÌ‰2

sin2 ϕ

r AC ⋅= ,2

sin2 ϕ

qr AC q R =⋅= ·‡ÈÌ‡. R Ú˝Ìˆøø

øÈÎ˜Î˝„˜ AC ı˝ð˜ÏËÈÌ ‰ÛÌ‰ øÈÎ˜ËÎ‰ ̋ „.

ÿËÎ·˝ ı ‡„‡Ò ‰Û„ÛÈ ı ̋Î·˝ðÚ˝È ·‡È„‡‡ Û˜Ëð 01800 ≤≤ϕ ıˇÁ„‡‡ðÚ ‰ ̋ ˝ð ı

Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Îøø‰ Áº‚ ·‡ÈÌ‡.»ÈÏ‰ 0=ϕ øÂ‰ 0 )( =ϕ N , 0 )( =ϕ Q , 0 )( =ϕ M ;

090=ϕ øÂ‰ qr N −= )( ϕ , qr Q −= )( ϕ , 2 )( qr M −=ϕ ;

0180=ϕ øÂ‰ qr N 2 )( −=ϕ , 0 )( =ϕ Q , 22 )( qr M −=ϕ .




›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð ‰‡„ÛÛ ı ø˜ (6.7·ñð ÁÛð‡„), ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ (6.7‚ñð ÁÛð‡„),„ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì(6.7„ñð ÁÛð‡„) ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡‚.

∆ Ë¯˝˝ 6.7. Œ„ÚÓð„ÛÈÌ ð‡Ï˚Ì (6.8‡ñð ÁÛð‡„) ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ ˝Ô˛ð·‡È„ÛÛÎ.

ª„ÒºÌ Ì¸ : F , q , a

‡). ·). ‚). „).6.8ñð ÁÛð‡„

¡Ó‰ÓÎÚ. Œ„ÚÓð„ÛÈÌ ð‡Ï˚Ì ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð

·‡È„ÛÛÎ‡ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ÒËÒÚÂÏËÈ„ Ì˝„ ¯ËÎ·˝Ì˝˝Ò Ìº„ºº‰¯ËÎÊË ı ‰ ̋ ˝ øÁ ̋Ê ·ÛÈ ¯ËÎ·˝ÌËÈ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È z Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„ ‰‡‚ ı ̂ ÛÛÎÊ, z Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ˝Òð˝„

˜Ë„Î˝

Î˝˝

Ò ı

‡ð‡ ı

‡‰ Ú˝

Ì ı

Î˝

„ËÈÌ˝

Âð˝

„ ˜Ë„Î˝

Î˝˝

Ò x Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ˝Âð˝„ ˜Ë„Î ̋Î øðøø ¯ËÎÊË ı ̋‰ ˆ‡„ËÈÌ

ÁøøÌËÈ ı º‰ºÎ„ººÌËÈ ˝Òð˝„ 090 ºÌˆº„ øøÒ„ ̋ Ê ·‡È ı ‡‡ðÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì ÒËÒÚÂÏËÈ„ (6.8·ñð ÁÛð‡„) ÒÓÌ„Ó∏. “ ̋ „ ̋ ̋‰ ð‡Ï˚Ì ı˝Ò˝„ ·øð ‰ ̋ ˝ð ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ÁÓ ı ËÓ‚ÓÎ

1-1 Ó„ÚÎÓÎ ( a z ≤≤ 10 )

0 )( 1 = z N , 11 )( z q z Q x = , F z Q y = )( 1

11 )( z F z M x = ,2

)( 21

1 z q z M y = , 0 )( 1 = z T

2-2 Ó„ÚÎÓÎ ( a z ≤≤ 20 )

F z N = )( 2 , aq z Q x = )( 2 , 0 )( 2 = z Q y

a F z M x = )( 2 , 22 )( z aq z M y = ,2

)( 2

aaq z T −=

‰).

Â).



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

95

3-3 Ó„ÚÎÓÎ ( a z ≤≤ 30 )

aq z N = )( 3 , F z Q x −= )( 3 , 0 )( 3 = z Q y

0 )( 3 = z M x , 33 )( z F z M y = , a F z T = )( 3

·ÓÎÌÓ. ›‰„ ̋ ˝ð Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„ ÁÓ ı ËÓ ı ‰ÓÓ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ˝Âð˝„ ˜Ë„Î ̋Î ‰‡„ÛÛ˜Ë„Î˝Ò˝Ì ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ËÈ„ ˝Âð˝„ „ ̋ Ê ÚÓÓˆÒÓÌ ·‡ ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı Û‚¸‰ Ú˝Ï‰„ËÈÌ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ‰øð˝Ï ·‡ðËÏÚÎ‡‡„øÈ ·ÓÎÓ‚˜ ˝Ô˛ðËÈ„ Ì¸ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ¯‡ ı ‡„‰‡Ê·‡È„‡‡ Ú‡Î‰ ·‡È„ÛÛÎÎ‡‡. ¡ÛÒ‡‰ ı ø˜ÌËÈ ı Û‚¸‰ ºÏÌº ·‡ðËÏÚ‡ÎÊ ·‡ÈÒ‡Ì Ú˝Ï‰„ËÈÌ ‰øðÏËÈ„ ı˝ð˝„Î˝‚.

ƒ ̋ ˝ð ı Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Îøø‰ËÈ„ ÁÓ ı ËÓÊ ı˝Ò„øø‰ËÈÌ ˝ı , Úº„Ò„ºÎ‰ ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ ÛÚ„ ̊ „ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ‰‡„ÛÛ ı ø˜ (6.8‚ñð ÁÛð‡„), ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜(6.8‰ñð ÁÛð‡„), „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ (6.8„ñð ÁÛð‡„), ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì(6.8Âñð ÁÛð‡„) ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ‡‚.



ƒ¿¿À√ ¿¬¿— ¹5. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡ÎÚ

ƒ‡‡Î„‡‚‡ð ‰ÓÎÓÓÌ ·Ó‰ÎÓ„ÓÓÒ ·øð‰ ̋ Ì˝.

1. ª„º„‰ÒºÌ ÒÛÎ øÁøøðÚ˝È ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì (6.18ñð ÁÛð‡„) ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜,„ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ 6.1ñð ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ º„º„‰Îººð ·‡È„ÛÛÎ. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ÛðÚ 3=l Ï.




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

97






¹

q ,

ÍÕ/Ï F ,ÍÕ

M ,ÍÕÏ k n ¹

q ,

ÍÕ/Ï F ,ÍÕ

M ,ÍÕÏ n k

1 10 0.9 ql 0.05 2ql 0.30 0.60 11 12 0.95 ql 0.09 2ql 0.60 0.30

2 15 0.8 ql 0.03 2ql 0.30 0.70 12 14 0.85 ql 0.09 2ql 0.70 0.30

3 18 0.7 ql 0.03 2ql 0.60 0.85 13 15 0.75 ql 0.08 2ql 0.85 0.60

4 20 0.6 ql 0.02 2ql 0.25 0.65 14 16 0.65 ql 0.08 2ql 0.65 0.25

5 25 0.5 ql 0.022ql 0.35 0.70 15 18 0.55 ql 0.07

2ql 0.70 0.35

6 22 0.4 ql 0.02 2ql 0.40 0.75 16 20 0.45 ql 0.07 2ql 0.75 0.40

7 25 0.3 ql 0.0152ql 0.35 0.70 17 22 0.35 ql 0.06

2ql 0.70 0.35

8 22 0.2 ql 0.01 2ql 0.30 0.65 18 24 0.25 ql 0.06 2ql 0.65 0.30

9 30 0.2 ql 0.01 2ql 0.45 0.55 19 26 0.15 ql 0.04 2ql 0.85 0.75

10 35 0.1 ql 0.01 2ql 0.40 0.65 20 28 0.15 ql 0.04 2ql 0.65 0.40

2. ÕÛ„‡Ò‡Ì ÚÛÎ„ÛÛðÚ‡È ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì (6.19ñð ÁÛð‡„) ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜,„ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ 6.2ñð ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ º„º„‰Îººð ·‡È„ÛÛÎ. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ÛðÚ 5=l Ï.




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

99





6.19ñð ÁÛð‡„ (øð„ ̋ ÎÊÎ ̋Î) 6.2ñð ı øÒÌ˝„Ú

¹q ,

ÍÕ/Ï F ,ÍÕ

M ,ÍÕÏ

k n ¹ q ,

ÍÕ/Ï F ,ÍÕ

M ,ÍÕÏ

k n

1 15 0.20 ql 0.07 2ql 0.20 0.50 11 12 0.19 ql 0.09 2ql 0.50 0.30

2 22 0.20 ql 0.07 2ql 0.30 0.70 12 14 0.19 ql 0.09 2ql 0.70 0.30

3 20 0.18 ql 0.06 2ql 0.50 0.35 13 15 0.17 ql 0.08 2ql 0.35 0.50

4 24 0.18 ql 0.06 2ql 0.65 0.85 14 16 0.17 ql 0.08 2ql 0.65 0.25

5 25 0.16 ql 0.05 2ql 0.85 0.30 15 18 0.15 ql 0.07 2ql 0.70 0.35

6 26 0.16 ql 0.05 2ql 0.70 0.20 16 20 0.15 ql 0.07 2ql 0.75 0.30

7 30 0.14 ql 0.04 2ql 0.35 0.20 17 22 0.13 ql 0.06 2ql 0.70 0.35

8 28 0.14 ql 0.042ql 0.50 0.80 18 24 0.13 ql 0.06

2ql 0.65 0.30

9 25 0.12 ql 0.032ql 0.70 0.30 19 26 0.11 ql 0.04

2ql 0.35 0.75

10 30 0.12 ql 0.032

ql 0.85 0.65 20 28 0.11 ql 0.042

ql 0.65 0.40



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

101

3. «‡‚Òð˚Ì ÌÛ„‡ÒÚ‡È ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì (6.20ñð ÁÛð‡„) ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ

˝Ô˛ðËÈ„ 6.3ñð ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ º„º„‰Îººð ·‡È„ÛÛÎ. ( 8=l Ï)




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

103


¹q ,

ÍÕ/Ï

F ,

ÍÕ

M ,

ÍÕÏ

n k ¹ q ,

ÍÕ/Ï

F ,

ÍÕ

M ,

ÍÕÏ

n k

1 15 5.0 1.5 0.25 0.45 11 12 6.0 1.8 0.65 0.35

2 15 4.5 1.4 0.38 0.55 12 12 5.5 1.7 0.75 0.35

3 20 4.0 1.3 0.25 0.35 13 16 5.0 1.6 0.35 0.56

4 20 4.0 1.3 0.65 0.45 14 16 4.5 1.5 0.65 0.25

5 25 3.5 1.2 0.65 0.25 15 18 4.5 1.4 0.75 0.35

6 25 3.5 1.2 0.25 0.56 16 18 3.5 1.4 0.75 0.36

7 30 2.5 1.0 0.85 0.35 17 22 2.5 1.3 0.75 0.35

8 30 2.5 1.0 1.00 0.36 18 22 2.5 1.2 0.65 0.37

9 35 3.0 1.1 0.70 0.25 19 28 6.0 1.1 0.35 0.75

10 35 3.0 1.1 0.75 0.65 20 28 5.0 1.1 0.65 0.45

4. –ÛÎ øÁøøðÚ˝È, ı ‡‚Ú„‡ÈÌ ð‡Ï˚Ì (6.21ñð ÁÛð‡„) ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ˝Ô˛ðËÈ„ 6.4ñð ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ º„º„‰Îººð ·‡È„ÛÛÎ. ( 4=a Ï)




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

105






π q ,

ÍÕ/Ï F ,ÍÕ

M ,ÍÕÏ

n k π q ,

ÍÕ/Ï F ,ÍÕ

M ,ÍÕÏ

n k

1 15 1.5 qa 0.1 2qa 0.80 0.80 11 12 2.2 qa 0.1 2qa 0.75 0.30

2 15 1.2 qa 0.1 2qa 0.60 0.60 12 12 2.0 qa 0.1 2qa 0.60 0.40

3 20 qa 0.1 2qa 1.00 0.50 13 16 qa 0.1 2qa 0.35 0.60

4 20 0.8 qa 0.1 2qa 1.00 0.40 14 16 0.8 qa 0.1 2qa 0.65 0.25

5 25 0.6 qa 0.1 2qa 2.00 0.25 15 18 0.6 qa 0.1 2qa 0.70 0.35

6 25 0.4 qa 0.1 2qa 1.20 0.40 16 18 0.4 qa 0.1 2qa 0.65 0.40

7 10 2 qa 0.12qa 1.00 0.80 17 22 1.8 qa 0.1

2qa 0.60 0.35

8 10 1.5 qa 0.12qa 0.80 1.00 18 22 1.5 qa 0.1

2qa 0.85 0.30

9 15 qa 0.12qa 0.50 0.60 19 15 1.6 qa 0.1

2qa 0.35 0.75

10 20 0.5 qa 0.1 2qa 0.90 0.60 20 20 1.4 qa 0.1 2qa 1.00 0.40

5. ÕÛ„‡Ò‡Ì ÚÛÎ„ÛÛðÚ‡È, ı ‡‚Ú„‡ÈÌ ð‡Ï˚Ì (6.22ñð ÁÛð‡„) ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ˝Ô˛ðËÈ„ 6.5ñð ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ º„º„‰Îººð ·‡È„ÛÛÎ. ( 4=a Ï)




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

107







π ,q ÍÕ/Ï , F ÍÕ , M ÍÕÏ k π ,q ÍÕ/Ï , F ÍÕ , M ÍÕÏ k

1 20 10.0 3.0 0.7 11 25 10.0 4.0 0.32 35 5.0 2.5 0.2 12 30 8.0 3.5 0.83 35 7.5 2.0 0.5 13 30 8.0 3.0 0.54 25 10.0 3.0 0.6 14 40 7.0 4.5 0.45 25 5.0 4.0 0.4 15 40 6.5 5.5 0.66 20 12.5 5.0 0.5 16 45 6.0 5.5 0.57 15 15.0 5.0 0.7 17 10 5.5 6.0 0.38 20 7.5 2.5 0.4 18 10 11.0 4.0 0.69 25 7.5 2.0 0.7 19 15 9.0 3.5 0.310 30 15.0 3.0 0.3 20 15 12.0 6.5 0.7



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

109

6. ÃÛðÛÈ ¯ËÎ·˝ÌËÈ (6.23ñð ÁÛð‡„) ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ðËÈ„ 6.6ñð ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ º„º„‰Îººð ·‡È„ÛÛÎ. ( 3= R Ï)

1

ϕ

kϕ

F 1

2 F

M

2

k ϕ

M

1 F

F 2

3

M k ϕ

2 F

1 F

1 F

4 M

2 F

kϕ

ϕ

5

ϕ

kϕ

M

F 12 F

6

F 2 M

ϕkϕ

F 1

7

2 F

M

ϕ

kϕ

1 F

F 2

1 F

8

ϕ

kϕ

M





9

1 F ϕ

kϕ

M F 2

ϕ

kϕ M

2 F

10

1 F

11

2 F

F

kϕ

ϕ

2

F 1

M 12

M

kϕϕ

2 F

F 1

13

F 1

M F

ϕ

kϕ

2

14 F 2

M

ϕ

kϕ

15

ϕ kϕ

2 F 1 F

M

16

ϕ

kϕ1 F

2

M




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

111

F 1

2 F ϕ

kϕ

M

17 1 F

F 2

k ϕ

ϕ

M

18

1 F

M

kϕ

ϕ

F 2

19

M ϕ

kϕ F 1

20 F 2



π ,1 F ÍÕ ,2 F ÍÕ , M ÍÕÏ k π ,1 F ÍÕ ,2 F ÍÕ , M ÍÕÏ k

1 10 14 50 0.50 11 15 32 40 0.45

2 40 20 10 0.35 12 18 36 60 0.55

3 60 15 15 0.25 13 24 40 25 0.30

4 20 25 20 0.75 14 32 35 20 0.65

5 50 30 25 0.80 15 45 40 35 0.85

6 10 16 30 0.60 16 75 45 30 0.40

7 30 18 40 0.45 17 25 15 50 0.25

8 12 20 45 0.20 18 55 70 45 0.70

9 14 22 35 0.55 19 60 40 25 0.50

10 16 24 10 0.90 20 70 25 55 0.80




7. Œ„ÚÓð„ÛÈÌ ð‡Ï˚Ì (6.24ñð ÁÛð‡„) ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ðËÈ„ 6.7ñð ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ º„º„‰Îººð ·‡È„ÛÛÎ. ( 2=l Ï)

F

l

l

1 l

q

M

F

l

l

l

2

q

M

l q M

l

l

3 l

F

ll

q l

l

4

M F

l l

q

M

5 F l

F

l

l

l

l

6

M

q

l

M

l

7

q

l

F l

l

l

8

l l

q M

F





l

17

l

l

q

M

F

18 M

l

F

q

l

l

l

19

l

l

F q

M

lq

M

l

F

20

l



π ,q ÍÕ/Ï , F ÍÕ , M ÍÕÏ π ,q ÍÕ/Ï , F ÍÕ , M ÍÕÏ

1 20 1.0 ql 1.1 2ql 11 20 1.2 ql 0.9 2ql

2 22 0.7 ql 1.0 2ql 12 22 1.1 ql 1.2 2ql

3 40 0.8 ql 0.8 2ql 13 25 0.9 ql 0.7 2ql

4 26 0.4 ql 0.6 2ql 14 28 0.5 ql 0.4 2ql

5 30 0.7 ql 0.5 2ql 15 30 0.8 ql 0.5 2ql

6 32 1.0 ql 0.4 2ql 16 32 0.6 ql 0.6 2ql

7 35 0.8 ql 0.3 2ql 17 35 0.8 ql 0.7 2ql

8 37 0.4 ql 0.4 2ql 18 40 0.4 ql 0.6 2ql

9 42 0.9 ql 0.5 2ql 19 25 0.3 ql 0.5 2ql

10 18 0.6 ql 0.6 2ql 20 42 0.7 ql 0.2 2ql



6.2. ƒ¿ÃÕ””—¤Õ ¡¿“ ¡›’»…Õ ¡Ø—›Õ “ŒŒ÷ŒŒ


ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ı ºÌ‰ÎºÌ „ÛÎÁ‡ÈÎÚ˚Ì øÂ‰ ÚøøÌËÈ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ‰ ·ÓÒÓÓ, ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Î øøÒ‰ ̋ „. ’ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ˇÏ‡ð Ì˝„ ˆ ̋ „Ú øøÒ˝ı ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„

x I

y M ⋅=σ (6.1)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. ØøÌ‰ M ñ ÚÛ ı ‡ÈÌ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ‰ øÈÎ˜Î˝ı „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ

x I ñ Á‡‡„ x Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ

ñ Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ ̋ ˝Ò ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ·Ó‰ÓÊ ·‡È„‡‡ ˆ ̋ „ ı øð˝ı Á‡È

¡ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ Î Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ºÌ‰ºð ‰‡„ÛÛ‰ ¯Û„‡Ï‡Ì ı ÛÛÎË‡ð ººð˜Îº„‰º ı ·º„ºº‰ Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ ̋ ˝Ò ı ‡Ï„ËÈÌ ı ÓÎ Óð¯Ë ı ˆ ̋ „Ú ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ÛÚ„‡Ú‡È ·‡ÈÌ‡.

“Ó„ÚÏÓÎ Ó„ÚÎÓÎÚÓÈ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ øÈÎ˜Î˝ı Ó„ÚÎÓÎ‰ ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ Î øøÒ˝ı ·º„ºº‰

x I

y M maxmaxmax

⋅=σ (6.2)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÓÎÌÓ.«‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ı Û‚¸‰ Ú˝„¯ ı˝ÏÚ˝È Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı Û‚¸‰

x W

M maxmax =σ (6.3)

·ÓÎÌÓ. ØøÌ‰2/h

I W x

x = ı˝ÏÊË„‰ ̋ ı øøÌËÈ„ x Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ

˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ „ ̋ Ì˝. ›Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ Ì¸ Ú˝„¯ ºÌˆº„Ú Ó„ÚÎÓÎ‰( b - Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸ Ú‡Î)

6

2bhW x = ,

‰Û„ÛÈ Ó„ÚÎÓÎ‰

33

1.032

d d

W x ≈= π

,

ˆ‡„Ëð‡„ Ó„ÚÎÓÎ‰ ( D

d c = )

)1( 1.0 )1( 32

4343

cd cd

W x −≈−=

π




·‡ÈÌ‡. ¡ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ Î˝˝ð ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎËÈ„ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ‡ð„‡‡ð ·Ë˜‚ ̋Î

][

maxmaxσ σ ≤

⋅=

x I

y M

, (6.4)

ıˇÁ„‡‡ð˚Ì ÚºÎº‚ËÈÌ ‡ð„‡‡ð ·Ë˜‚ ̋Î

R I

y M

x

≤⋅

= maxmaxσ (6.5)

·ÓÎÌÓ. “ ̋ „¯ ı˝ÏÚ˝È Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı Û‚¸‰ ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎËÈ„ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ‡ð„‡‡ð ·Ë˜‚ ̋Î

][maxσ σ ≤=

x W

M , (6.6)

ıˇÁ„‡‡ð˚Ì ÚºÎº‚ËÈÌ ‡ð„‡‡ð ·Ë˜‚ ̋Î

R W

M

x

≤= maxσ (6.7)

·ÓÎÌÓ. ØøÌ˝˝Ò ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„

][

max

σ

M W x ≥ ·Û ̨ Û

R

M W x

max≥

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ ‰‡ð‡‡ Ì¸ ÒÓÌ„ÓÒÓÌ ı ̋Î·˝ðËÈÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝„ÓÎÊ ·ÓÎÌÓ.

’ ̋ ‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Î˝˝ð ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ÎËÈ„ ·Ë˜‚ ̋Î

][max τ τ ≤⋅

⋅=

b I

S Q

x

o x ·Û ̨ Û s

x

o x R b I

S Q≤

⋅

⋅=maxτ (6.8)

·‡ÈÌ‡. ØøÌ‰ s R ñ ¯ËÎÊËÎÚËÈÌ øÂËÈÌ ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ˝Ò˝ð„øøˆ ̋ Î,

][τ ñ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Î,

b ñ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ºð„ºÌ,

x I ñ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ,

o x S ñ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ó„ÚÎÓ„‰ÒÓÌ ı˝Ò„ËÈÌ ı Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ

ÒÚ‡ÚËÍ ÏÓÏÂÌÚ. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ‰Ûð˚Ì ˆ ̋ „Ú øøÒ˝ı ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„

x I

y M ⋅=σ (6.9)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð, ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„

b I

S Q

x

o x

⋅

⋅=τ

(6.10)



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

117

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÛÒ ÚÛÒ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. ›‰„ ̋ ˝ðËÈ„ ÓÎÒÌ˚ øÌ‰Ò˝Ì ‰ ̋ ˝ð „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„

22

minmax 22

τ

σ σ

σ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±= (6.11)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð, „ÓÎ Ú‡Î·‡ÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„

σ

τ

α

22tan 0 −= (6.12)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ‰Ó„.

∆ Ë¯˝˝ 6.8. ƒ‡ÏÌÛÛðÚ (6.9ñð ÁÛð‡„) øøÒ˝ı ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ Î,

ÏºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì – ˆ ̋ „Ú øøÒ˝ı ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÓÎ.ª„ÒºÌ Ì¸ : 15= F ÍÕ

‡). ·).


¡Ó‰ÓÎÚ. ’ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì (6.9·ñð ÁÛð‡„) Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ

ËÌÂðˆËÈÌ ·ÓÎÓÌ ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÓÎ·ÓÎ

49012

42

12

106 33

=⋅

−⋅

= x I ÒÏ

4

, 985

490

2/===

h

I

W

x

x ÒÏ

3

·ÓÎÌÓ. “ ̋ „‚ ̋Î ‰‡ÏÌÛÛðÚ øøÒ˝ı ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ı ø˜‰ ̋ Î (6.9·ñð ÁÛð‡„)

6

6

3max

max 101531098

1015⋅=

⋅

⋅==

− x W

M σ Õ/Ï2 153= Ãœ‡,

Ó„ÚÎÓÎ˚Ì – ˆ ̋ „Ú øøÒ˝ı ı ø˜‰ ̋ Î

6

8

23max 1022.61

10490

1021015⋅=

⋅

⋅⋅⋅=

⋅=

−

−

x

C C

I

y M σ Õ/Ï2 22.61= Ãœ‡

·‡ÈÌ‡.




∆ Ë¯˝˝ 6.9. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì (6.10ñð ÁÛð‡„) Ó„ÚÎÓÎ˚Ì – ˆ ̋ „Ú øøÒ˝ı ı˝‚Ú˝˝

ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ÓÎ.ª„ÒºÌ Ì¸ : 20= F ÍÕ


¡Ó‰ÓÎÚ. Œ„ÚÎÓ„‰ÒÓÌ ı˝Ò„ËÈÌ o x S ÒÚ‡ÚËÍ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÓÎÓ ı˚Ì ÚÛÎ‰

ÚøøÌËÈ 0 A Ú‡Î·‡È„ ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈÌ 0 y ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú‡‡ð øðÊøøÎ· ̋Î

5.9375.12 )1015( 1500 =⋅−⋅=⋅= y AS o x ÒÏ3

·ÓÎÌÓ. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì x Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ

3375012

3015

12

33

=⋅

==bh

I x

ÒÏ4

Û˜Ëð – ˆ ̋ „ËÈÌ ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Î

6

28

63

1037.010151033750

105.9371020⋅=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅

⋅=

−−

−

b I

S Q

x

o x

C τ Õ/Ï2 37.0= Ãœ‡

·‡ÈÌ‡.

∆ Ë¯˝˝ 6.10. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì (6.11ñð ÁÛð‡„) Ú˝„¯ ºÌˆº„Ú, ‰Û„ÛÈ, ‰‚ÛÚ‡‚ð

Ó„ÚÎÓÎ ÒÓÌ„ÓÊ ‰‚ÛÚ‡‚ð Ó„ÚÎÓÎÚÓÈ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ ·øð˝Ì ÚÓÓˆÓÓ

ı ËÈ. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì Ï‡ÚÂðË‡Î –Ú3. «º‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î 160][ =σ Ãœ‡.ª„ÒºÌ Ì¸: 1=a Ï, 20=q ÍÕ/Ï, 401 = F ÍÕ, 40= Ã ÍÕÏ, 202 = F ÍÕ.

¡Ó‰ÓÎÚ.1. “ÛÎ„ÛÛðÛÛ‰ ̊ Ì ðÂ‡Íˆ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı

0=∑ A M ; 065424 21 =⋅+⋅−+⋅+⋅ a F a R M a F aqa B ⇒ 96= B R ÍÕ.

0=∑ B M ; 0345 21 =⋅++⋅−⋅⋅−⋅ a F M a F aaqa R A ⇒ 44= A R ÍÕ.

—Â‡ÍˆËÛ‰ ̊ „ Áº‚ ÓÎÒÓÌ ˝Ò˝ı ËÈ„ ¯‡Î„‡ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ·ÓÒÓÓ Ú˝Ì ı Î˝„ ‰ ̋ ˝ð ·ø ı ı ø˜ËÈ„ ÔðÓÂÍˆÎÓ∏.

0=∑ y ; 04 21 =−+−⋅− F R F aq R B A



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

119

0209640142044 =−+−⋅⋅−


2. ’ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô ̨ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı ƒ‡ÏÌÛÛð „Ûð‚‡Ì ı˝Ò˝„Ú˝È ·‡È„‡‡ Û˜Ëð „Ûð‚‡Ì Ó„ÚÎÓÎ ‡‚‡ ı

¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È.1-1 Ó„ÚÎÓÎ ( a z 40 1 ≤≤ )

11 )( z q R z Q A −=

2 )(

21

11

z q z R z M A −=

01 = z øÂ‰ 44 )( 1 == A R z Q ÍÕ ; 0 )( 1 = z M ,

41 = z Ï øÂ‰ 36 )( 1 −= z Q ÍÕÏ ; 16 )( 1 = z M ÍÕÏ

›Ì˝ ı˝Ò˝„Ú „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ ˝ÍÒÚðÂÏÛÏ ÛÚ„‡Ú‡È ·‡ÈÌ‡.

0 )( 1 = z Q ; 02044 01 =− z ⇒ 2.20

1 = z Ï

2.2011 == z z Ï øÂ‰ 4.48 )( 1 = z M ÍÕÏ

2-2 Ó„ÚÎÓÎ ( a z a 54 2 ≤≤ )

76401420444 )( 12 −=−⋅⋅−=−⋅−= F aq R z Q A ÍÕ ;

)4( )2( 4 )( 21222 a z F a z aq z R z M A −−−⋅⋅−⋅=

42 = z Ï øÂ‰ 16 )( 2 = z M ÍÕÏ ;




52 = z Ï øÂ‰ 60 )( 2 −= z M ÍÕÏ ;

3-3 Ó„ÚÎÓÎ ( a z ≤≤ 30 )

20 )( 23

== F z Q ÍÕ ;

323 )( z F z M ⋅−=

03 = z øÂ‰ 0 )( 3 = z M ;

13 = z Ï øÂ‰ 20 )( 3 = z M ÍÕÏ.

3. Œ„ÚÎÓÎ ÒÓÌ„Ó ı Œ„ÚÎÓÎ˚„ ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ

][maxmax σ σ ≤=

x W

M

Ìº ı ̂ ºÎººÒ ÒÓÌ„ÓÌÓ. ªºðººð ı ̋Î· ̋Î ˝Ì‰ ̋ ˝Ò ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÓÎ·ÓÎ

3

6

3max 10375.0

10160

1060

][

−⋅=⋅

⋅==

σ

M W x Ï3 375= ÒÏ3

·‡ÈÌ‡. ØøÌ˝˝Ò ‰Ûð¸‰Ò‡Ì Ó„ÚÎÓÎÛÛ‰ ̊ „ ÒÓÌ„Ó∏.

‡). “ ̋ „¯ ºÌˆº„Ú ( 5.1=b

h ):

322

375.06

)5.1(

6 b

bbbh

W x =

⋅

== , ][375.0

max3

σ

M

b = ⇒ 375375.0

3

=b

10375.0

3753 ==b ÒÏ ⇒ 15105.15.1 =⋅== bh ÒÏ.

·). ƒÛ„ÛÈ :

32

3d W x

π

= ,][32

max3

σ

π M d = , 375

32

3

=d π

⇒ 63.1514.3

323753 =

⋅=d ÒÏ.

‚). ƒ‚ÛÚ‡‚ð :

¡‡Ú ·˝ı

ËÈÌ Ìº ı

ˆÎººÒ ÓÎÒÓÌ 375=

x W ÒÏ

3

˝

Ò˝

ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚÚÓÈ ‰‚ÛÚ‡‚ð˚„ ÒÓðÚ‡ÏÂÌÚ‡‡Ò( √ Œ–“ 8239ñ72) ı ‡È‚‡Î 371= x W ÒÏ3 ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ

ÏÓÏÂÌÚÚÓÈ ‰‚ÛÚ‡‚ð π27 Ï‡Ì‡È ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ı ‡ðËÛ ·ÓÎÌÓ. ØøÌËÈ „ÂÓÏÂÚðËÈÌ øÁøøÎ ̋ÎÚøø‰ËÈ„ ‡‚·‡Î 27=h ÒÏ, 5.12=b ÒÏ, 6.0=d ÒÏ, 98.0=t ÒÏ,

5010= x I ÒÏ4, 210= x S ÒÏ4 ·‡ÈÌ‡.

›Ì ˝ ÒÓÌ„ÓÒÓÌ ‰‚ÛÚ‡‚ð˚Ì (6.12‡-ð ÁÛð‡„) ı Û‚¸‰ ·‡Ú · ˝ı ËÈÌ ‰‡ð‡‡ ı ·øð ˝Ì

ÚÓÓˆÓÓ„ ı ËÈÂ.

4. ’‡Ï„ËÈÌ Ë ı ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ÎËÈÌ ˝Ô ̨ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı

7.161371

1060

5

maxmax =⋅

== x W

M σ Ãœ‡



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

121

¡ÛÒ‡‰ ˆ ̋ „øø‰ ‰ ̋ ı ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ x I

y M ⋅= max

σ ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ·Ó‰Ó‚. ›Ì˝

ÛÚ„‡‡ð ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„(6.12·ñð ÁÛð‡„) ·‡È„ÛÛÎ‡‚.

‡). ·). ‚). „). ‰).


5. ’‡Ï„ËÈÌ Ë ı ı˝‚Ú ˝˝ ı ø˜‰ ̋ÎËÈÌ ˝Ô ̨ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı

’ ̋ ‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ∆ Ûð‡‚ÒÍËÈÌ

)( 10015.0

)( 105010

1076

)(

11

8

3max

max y b

S

y b

S

y b I

S Q o x

o x

x

o x ⋅⋅−=⋅

⋅

⋅−=

⋅

⋅=

−τ

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. ØøÌ˝˝Ò øÁ‚ ̋Î ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Î ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ·Ó‰ÓÊ·‡È„‡‡ ˆ ̋ „Ú ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı b ºð„ºÌººÒ ı ‡Ï‡‡ð˜ ·‡È„‡‡ ÚÛÎ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ÓÌˆÎÓ„ˆ ̋ „øø‰ ̋ ‰ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ·Ó‰ÓÊ ˝Ô˛ð ÁÛð‡ ı ¯‡‡ð‰Î‡„‡Ú‡È.

1 ˆ ̋ „. 5.121 == bb ÒÏ, 01, =o

x S (1 ˆ ̋ „ ̋ ˝Ò ‰ ̋ ˝¯ Ú‡Î·‡È„øÈ)

01,

1 =⋅

⋅=

b I

S Q

x

o x

τ .

2 ˆ ̋ „. 5.122 == bb ÒÏ, 25.1532

98.0

2

2798.05.12

222, =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⋅=

t ht bS o x ÒÏ3

83.1

105.12

1025.15310015.0

2

611

2 −=

⋅

⋅⋅⋅−=

−

−

τ Ãœ‡.

2í ˆ ̋ „. 6.0'2 == d b ÒÏ, 25.1532,'2, == o x

o x S S ÒÏ3

3.38106.0

1025.15310015.0

2

611

'2 −=⋅

⋅⋅⋅−=

−

−

τ Ãœ‡.

3 ˆ ̋ „. 6.03 == d b ÒÏ, 33.19632

276.0210

84

2

3, =⋅−=⋅⋅−=h

d h

S S x o

x ÒÏ3.

08.49

106.0

1033.19610015.0

2

611

3 −=

⋅

⋅⋅⋅−=

−

−

τ Ãœ‡




4 ˆ ̋ „. 6.04 == d b ÒÏ, 2104, == x o

x S S ÒÏ3

5.52

106.0

1021010015.0

2

611

4 −=

⋅

⋅⋅⋅−=

−

−

τ Ãœ‡

Œ„ÚÎÓÎ Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ı Û‚¸‰ Ú˝„¯ ı˝ÏÚ˝È Û˜Ëð ˝Ô˛ð Ú˝„¯ ı˝ÏÚ˝È·‡ÈÌ‡. ƒ ̋ ˝ð ı ÛÚ„ÛÛ‰‡‡ð ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ (6.12‚ñðÁÛð‡„) ·‡È„ÛÛÎ‡‚.

6. √ ÓÎ ı ø˜‰ ̋ÎËÈÌ ˝Ô ̨ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı

√ ÓÎ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ „ÛÎÁ‡ÈÎÚ˚Ì øÂ‰

22

min

max

22

τ

σ σ

σ +⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ±=

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ·Ó‰‰Ó„. ›Ì˝ ÚÓÏ ˙∏ÓÌÓÓÒ øÁ‚ ̋Î „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ Î ·ÓÒÓÓ, ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Îøø‰ ̋ ˝Ò ı ‡Ï‡‡ð˜ ·‡ÈÌ‡. ¡ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ Î „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚÓÓÒ, ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ Î ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜Ì˝˝Ò ı ‡Ï‡‡ð‰‡„ Û˜Ëð ˝ˆ ̋ ÒÚ˝˝ „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ Î „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ, ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜Ì˝˝Ò Ì˝„ ̋ Ì Á˝ð˝„ ı ‡Ï‡‡ð‡ ı ˛Ï. »ÈÏ‰ „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ı Û‚¸‰ ‡ ̨ ÛÎÚ‡È Ó„ÚÎÓÎ Ì¸ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ, ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ Ì˝„ ̋ Ì Á˝ð˝„ Ë ı ÛÚ„‡Ú‡È ·‡È ı Ó„ÚÎÓÎ ( ¬ Ó„ÚÎÓÎ) ˛Ï. ›Ì˝ ÊË¯˝˝ÌËÈ ı Û‚¸‰ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ, ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ ı Ó∏ ÛÎ Ì˝„ ̋ Ì Á˝ð˝„ ¬ Ó„ÚÎÓÎ‰ ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ÛÚ„‡Ú‡È·‡ÈÌ‡. √ ̋ ı ‰ ̋ ˝ ̋‰„ ̋ ˝ð ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ ÛÚ„‡ Á‡‡‚‡Î Ì˝„ Ó„ÚÎÓÎ‰ Á˝ð˝„ Ë ı

ÛÚ„‡Ú‡È ·‡È ı ‡Î·‡„øÈ. ’ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ ººð ººð Ó„ÚÎÓÎ‰ ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı ÛÚ„‡Ú‡È ·‡È„‡‡ ÚÓ ı ËÓÎ‰ÓÎ‰ ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ı Ó∏ ÛÎ Ë ı ÛÚ„‡Ú‡È ·‡È ı Ó„ÚÎÓÎ˚„ „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ı Û‚¸‰ ‡ ̨ ÛÎÚ‡È Ó„ÚÎÓÎ „ ̋ Ê øÁÌ˝. “ ̋ „ ̋ ı ‰ ̋ ˝ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ ÌÓ∏ ÎÓ ı øøð˝„Ú˝È ·‡È‰„ËÈ„ ‡Ì ı ‡‡ð˜ ‡ ̨ ÛÎÚ‡È Ó„ÚÎÓÎÒÓÌ„Ó ı ı˝ð˝„Ú˝È.

√ ÓÎ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ˆ ̋ „øø‰ ‰ ̋ ˝ð ·Ó‰ ˙∏.1 ˆ ̋ „. 7.1611 =σ Ãœ‡, 01 =τ ;

2

7.161

2

7.161

02

7.161

2

7.1612

)1(

minmax ±=+⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

±=σ

7.16185.8085.80 )1( max =+=σ Ãœ‡, 085.8085.80 )1(

min =−=σ .

2 ˆ ̋ „. 9.1492 =σ Ãœ‡, 83.12 −=τ Ãœ‡ ;

( ) 97.7495.7483.12

9.149

2

9.149 22

)2(

min

max ±=−+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±=σ

92.14997.7495.74 )2( max =+=σ Ãœ‡,

02.097.7495.74 )2( min −=−=σ Ãœ‡.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

123

2í ˆ ̋ „. 9.149'2 =σ Ãœ‡, 3.38'2 −=τ Ãœ‡ ;

( ) 17.8495.743.382

9.149

2

9.149 22

)'2(

min

max ±=−+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±=σ

12.15917.8495.74 )'2( max =+=σ Ãœ‡,

22.917.8495.74 )'2( min −=−=σ Ãœ‡.

3 ˆ ̋ „. 85.803 =σ Ãœ‡, 08.493 −=τ Ãœ‡ ;

( ) 58.6343.4008.492

85.80

2

85.80 22

)3(

min

max ±=−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±=σ

01.10458.6343.40 )3(

max =+=σ Ãœ‡,15.2358.6343.40 )3(

min −=−=σ Ãœ‡.

4 ˆ ̋ „. 04 =σ , 5.524 −=τ Ãœ‡ ;

( ) 5.525.52002 )4(

min

max ±=−+±=σ

5.52 )4( max =σ Ãœ‡, 5.52 )4(

min −=σ Ãœ‡.

›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð „ÓÎ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ (6.12„ñð ÁÛð‡„) ·‡È„ÛÛÎ‡‚.

7. ›ÍÒÚðÂÏÛÏ ı˝‚Ú ˝˝ ı ø˜‰ ̋ÎËÈÌ ˝Ô ̨ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı

›ÍÒÚðÂÏÛÏ ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„

2minmax

min

max

σ σ

τ

−±=

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú˝Ï‰ ̋ „Î˝„‰Ò˝Ì ˆ ̋ „øø‰ ̋ ‰ ·Ó‰ ˙∏.

1 ˆ ̋ „. 7.161 )1( max =σ Ãœ‡, 0 )1(

min =σ ;

85.802

07.161 )1(

min

max ±=−

±=τ Ãœ‡.

2 ˆ ̋ „. 9.149 )2( max =σ Ãœ‡, 02.0 )2(

min −=σ Ãœ‡ ;

96.742

)02.0( 9.149 )2(

min

max ±=−−

±=τ Ãœ‡.

2í ˆ ̋ „. 12.159 )'2( max =σ Ãœ‡, 22.9 )'2(


17.842

)22.9( 12.159 )'2(

minmax ±=

−−

±=τ

Ãœ‡.




3 ˆ ̋ „. 104 )3( max =σ Ãœ‡, 15.23 )3(


57.63

2

)15.23( 104 )3(

min

max ±=−−

±=τ Ãœ‡.

4 ˆ ̋ „. 5.52 )4( max =σ Ãœ‡, 5.52 )4(


5.522

)5.52( 5.52 )4(

min

max ±=−−

±=τ Ãœ‡.

›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð

min

maxτ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ (6.12‰ñð ÁÛð‡„) ·‡È„ÛÛÎ‡‚.



6.3. ƒ¿ÃÕ””—¤Õ ’ªÿØØÕ ◊ ¿Õ¿—¤Õ “ŒŒ÷ŒŒ


ƒ‡ÏÌÛÛð ·‡Ú ·˝ı ·‡È‚˜ ı º¯øøÌ ˜‡Ì‡ð˚Ì ‰ÛÚ‡„‰Î‡‡Ò ¯‡ÎÚ„‡‡ÎÊ‡¯Ë„Î‡ ı ‡‰ ÚÓ ı ËðÓÏÊ„øÈ ·ÓÎÓ ı ˇ‚‰‡Î ·ËÈ. »ÈÏ‰ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì Ï‡ÚÂðË‡Î˚Ì·‡Ú ·˝ı ËÈ„ ¯‡Î„‡ ı˚Ì Á˝ð˝„ˆ ̋ ˝ ÚøøÌËÈ ı º¯øøÌ ˜‡Ì‡ð˚„ ÚÓÓˆÓ ı ı˝ð˝„Ú˝È. ØøÌËÈ ÚÛÎ‰ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì Ú‡ ı ËÈÎÚ („ÛÎÁ‡ÈÎÚ), Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆ„ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ‰Ó„.

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈÌ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì Ú˝Ì ı Î˝„Ú ÔÂðÔÂÌ‰ËÍÛÎ ˇð˜Ë„Î ̋Î ‰ ̋ ı ¯ËÎÊËÎÚËÈ„ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ÚÛ ı ‡ÈÌ ˆ ̋ „ ‰ ̋ ı Ú‡ ı ËÈÎÚ „ ̋ Ì˝.

ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì Ó„ÚÎÓÎ ººðËÈÌ ‡Ì ı Ì˚ ·‡ÈðÎ‡ÎÚ‡È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ˝ð„ ̋ Ò˝ÌºÌˆ„ËÈ„ Ú˝ð Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ̋ð„ ̋ÎÚËÈÌ ºÌˆº„ „ ̋ Ì˝.

ƒ‡ÏÌÛÛðÚ øøÒ˝ı ̋‰„ ̋ ˝ð ¯ËÎÊËÎÚËÈ„ ‡Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚðËÈÌ, „ð‡Ùñ‡Ì‡ÎËÚËÍ, ÃÓð-¬ÂðÂ˘ ‡„ËÌ˚ Á˝ð˝„ ÓÎÓÌ ‡ð„‡‡ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ‰Ó„. ›Ì‰ Áº‚ ı ºÌ˝ı ÌËÈ ı Ó∏ð ‡ð„ ̊ „ ÚÓ‚˜ Ú‡ÈÎ·‡ðÎ‡Ê ÊË¯˝˝ ·Ó‰Ó‚.

¿Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚðËÈÌ ÂðºÌ ı ËÈ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+−

−+

−+

−+

−++=

+−

−+

−+

−+−+=

∑∑∑ ∑

∑∑∑ ∑

... )( 120

)( *

24

)(

6

)(

2

)(

... )( 24

)( *

6

)(

2

)( )(

5432

00

432

0

d l

d z qc z qb z F a z M z EI EIv EIv

d l

d z qc z qb z F a z M EI EI

θ

θ θ

(6.13)

ı ̋Î·˝ðÚ˝È ·‡ÈÌ‡. ØøÌ‰ a, b, c, d ñ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì ˝ı Ì˝˝Ò ÏÓÏÂÌÚ, Úº‚ÎºðÒºÌ ı ø˜ øÈÎ˜ËÎÊ

·ÛÈ Ó„ÚÎÓÎ ı øðÚ ̋Î Á‡È ·Û ̨ Û Ú‡ð ı Ï‡Î ‡˜‡‡Ì˚ øÈÎ˜ËÎÊ ˝ı Î˝ı Ó„ÚÎÓÎ ı øðÚ ̋ÎÁ‡È (6.13ñð ÁÛð‡„)

0θ ñ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì ˝ı ÌËÈ ˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆº„

0v ñ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì ˝ı ÌËÈ Ú‡ ı ËÈÎÚ





0θ , 0v ñ ËÈ„ ‡Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚð „ ̋ Ê Ì˝ðÎ˝ı ·º„ºº‰ ̋‰„ ̋ ˝ðËÈ„ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì

·˝ı ̋Î„ ̋ ˝Ì˝˝Ò øÌ‰ ̋ ÒÎ˝Ì ÁÓ ı ËÓÒÓÌ ‡Ì ı Ì˚ Ìº ı ̂ ºÎøø‰ ̋ ˝Ò ÓÎÌÓ. “Û ı ‡ÈÎ·‡Î ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ÁÓÓÎÚ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì ˝ı Ú˝È ‰‡‚ ı ̂ ‡Ê ·‡È‚‡Î 0θ , 0v ‡Ì ı Ì˚

Ô‡ð‡ÏÂÚð Ú˝„ ·‡ÈÌ‡. ÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì ˝ı ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ÌÛ„‡Ò‡Ì ÚÛÎ„ÛÛðÚ‡È ‰‡‚ ı ̂ ‡Ê ·‡È‚‡Î 0v Ô‡ð‡ÏÂÚð (Ú‡ ı ËÈÎÚ) Ú˝„Ú˝È Ú˝Ìˆøø, 0θ Ô‡ð‡ÏÂÚð Ú˝„ ̋ ˝Ò

̌Î„‡‡Ú‡È ·‡ÈÌ‡. »ÈÏ ÚÓ ı ËÓÎ‰ÓÎ‰ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì Ìº„ºº ÌÛ„‡Ò‡Ì ÚÛÎ„ÛÛð ‰ ̋ ˝ð Ú‡ ı ËÈÎÚ ( v ) Ú˝„Ú˝È Ú˝Ìˆøø ·‡È ı Ìº ı ̂ ÎººÒ 0θ Ô‡ð‡ÏÂÚðËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.

0θ , 0v ‡Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚðËÈ„ ÓÎÊ (6.13) Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ÓðÎÛÛÎÒÌ˚ ‰‡ð‡‡ ˝Ì˝

Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î˝˝Ò ‡Î¸ ˜ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ¯ËÎÊËÎÚËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ·ÓÎÓÏÊÚÓÈ.

ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ¯ËÎÊËÎÚËÈ„ „ð‡Ùñ‡Ì‡ÎËÚËÍ ‡ð„‡‡ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ‰ÓÓ

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

EI

M v

EI

Q

x

x

θ

(6.14)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ ‡¯Ë„Î‡Ì‡.

ØøÌ‰ x Q ñ ı ÛÛðÏ‡„ ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ ,

x M ñ ı ÛÛðÏ‡„ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ.

∆ Ë¯˝˝ 6.11. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì (6.14ñð ÁÛð‡„) ÒÛÎ øÁøøðËÈÌ Ú‡ ı ËÈÎÚ,

˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆ„ËÈ„ ‡Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚðËÈÌ ‡ð„‡‡ð ÓÎ.ª„ÒºÌ Ì¸ : F , M , l .


¡Ó‰ÓÎÚ. «ÓÓÎÚÌ˚ ðÂ‡ÍˆÛÛ‰ ̊ „ ÒÚ‡ÚËÍËÈÌ Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î˝˝Ò

ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ˙∏.

0=∑ y , 0=− F R A ⇒ F R A = ;

0=∑ A M , 02

=+⋅+− M l

F M A ⇒ 2

l F M M A ⋅+= .

›Ì˝ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ı Û‚¸‰ ‡Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚðËÈÌ (6.13) Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

127

⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−−−+−−⋅+=

−−

−+−−=

II I

A A

II I

A A x

l z F z R z M z EI EIv EIv

l z F

z R z M EI EI

6 )2/(

6 )0(

2 )0(

2

)2/(

2

)0( )0(

332

00

22

0

θ

θ θ

ı ̋Î·˝ðÚ˝È ·‡ÈÌ‡. «ÓÓÎÚ ‰ ̋ ˝ð ˇÏ‡ð ˜ ¯ËÎÊËÎÚ øøÒ˝ı ·ÓÎÓÏÊ„øÈ Û˜Ëð00 =θ , 00 =v (‡Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚðøø‰) ·‡È ı˚„ ‡Ì ı ‡‡ð˜ ðÂ‡ÍˆÛÛ‰ ̊ Ì ‰ ̋ ˝ð

ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÒÓÌ ÛÚ„ ̊ „ ÓðÎÛÛÎ·‡Î

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−⋅

+⋅+

−=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−⋅

+⋅+−=

II

I

II

I

l z F

z F z

l F Ã

EIv

l z F

z F z

l F Ã EI

6

2

62

)2

(

2

2

2

)

2

(

3

32

2

2

θ

·ÓÎÌÓ.

ØøÌ˝˝Ò ˝Ì˝ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ˇÏ‡ð ˜ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡ ı ËÈÎÚ, ˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆ„ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ·ÓÎÓÏÊÚÓÈ. “Û ı ‡ÈÎ·‡Î ÒÛÎ øÁøøðËÈÌ B θ ˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆ„ËÈ„

ÓÎÓ ı˚Ì ÚÛÎ‰ l z = øÂ‰ ˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆ„ËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„ ·Ó‰‚ÓÎ

2

2

2 )

2(

2

2 ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−⋅

+⋅+−=

l l F

l F l

l F M EI B θ ⇒

x x B

EI

l F

I E

l M

8

2⋅−

⋅−=θ

·ÓÎÓ ı ·‡ ÒÛÎ øÁøøðËÈÌ B f Ú‡ ı ËÈÎÚ˚„ ÓÎÓ ı˚Ì ÚÛÎ‰ l z = ÛÚ„ ̊ „ Ú‡ ı ËÈÎÚ˚Ì

Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ÓðÎÛÛÎ·‡Î

6

2

62

2

2

32 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−+

⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−==

l l F

l F l

l F M

f EI v EI B x B x ⇒ x x

B EI

Fl

EI

l M f

48

5

2

32

−−=

·ÓÎÌÓ. ¿Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ·ÓÒÓÓ ÁÛð‡‡ÒÌ˚ ‡ð‰ ·Ë˜Ò˝Ì I , II „ ̋ ‰ ̋ „ ÚÓÓ Ì¸ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ı˝Ò„ËÈÌ ‰Û„‡‡ð ˛Ï. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ÒÛÎ øÁøøð II ı˝Ò˝„Ú ı ‡Ï‡‡ð˜ ·‡È„‡‡ Û˜Ëð ÒÛÎ øÁøøðËÈÌ ¯ËÎÊËÎÚËÈ„ ÓÎÓ ı ‰ÓÓ II „ ̋ ‰ ̋ „ ÚÓÓÌÓÓÒ ºÏÌº ı „Ë¯øø‰ËÈ„ ‡¯Ë„Î‡Ò‡Ì ·ÓÎÌÓ.




∆ Ë¯˝˝ 6.12. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì (6.15‡ñð ÁÛð‡„) ¿ ÚÛÎ„ÛÛðÚ øøÒ˝ı

˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆº„, – øÁøøðÚ øøÒ˝ı Ú‡ ı ËÈÎÚ˚„ „ð‡Ù-‡Ì‡ÎËÚËÍ ‡ð„‡‡ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ.

ª„ÒºÌ Ì¸ : 10=q ÍÕ/Ï, 30= F ÍÕ.

‡).

·).

‚).

„).


¡Ó‰ÓÎÚ. “ÛÎ„ÛÛðÛÛ‰ ̊ Ì ðÂ‡Íˆ ̊ „ ÓÎ·ÓÎ

0=∑ B M , 012

66

2

=⋅+−⋅ F q R A ⇒ 25= A R ÍÕ ;

0=∑ A

M , 0762

62

=⋅+⋅− F R q B

⇒ 65= B

R ÍÕ

·‡ÈÌ‡.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

129

√ ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı˚Ì ÚÛÎ‰ Ó„ÚÎÓÎ ·øðÚ ÚøøÌËÈ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„ ÁÓ ı ËÓ∏.

1-1 Ó„ÚÎÓÎ )60( 1 ≤≤ z

2 )(

21

11 z q z R z M A −⋅=

01 = z øÂ‰ 0 )( 1 = z M ,

61 = z Ï øÂ‰ 30 )( 1 −= z M ÍÕÏ ;

2-2 Ó„ÚÎÓÎ )10( 2 ≤≤ z

22 )( z F z M ⋅−=

02 = z øÂ‰ 0 )( 2 = z M ,

12

= z Ï øÂ‰ 30 )( 2

−= z M ÍÕÏ ;

·‡ÈÌ‡. ›‰„ ̋ ˝ð ÛÚ„‡‡ð „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð (6.15·ñð ÁÛð‡„)·‡È„ÛÛÎ‡‚. ’ÛÛðÏ‡„ ‰‡ÏÌÛÛð˚„ ‡˜‡‡Ú‡È Ì¸ 6.15·ñð ÁÛð‡„Ú øÁøøÎ˝‚. ›Ì˝ ‰‡ÏÌÛÛð˚„ ˆ‡‡¯Ë‰ ¬ ÌÛ„‡Ò‡‡ð Ò‡Î„‡Ì ·Ó‰ÌÓ. ¿¬ ‰‡ÏÌÛÛðÚ øÈÎ˜Î˝ı ‡˜‡‡„„Ûð‚‡ÎÊËÌ, Ô‡ð‡·ÓÎ (6.15‚ñð ÁÛð‡„) ı Ó∏ð ‰øðÒÚ Á‡‰Î‡ ı ‡‰ Ú‡Î·‡È Ì¸

906302

11 =⋅⋅=ω ÍÕÏ2, 180645

3

22 =⋅⋅=ω ÍÕÏ2 ·ÓÎÌÓ. ›Ì˝ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì

(6.15„ñð ÁÛð‡„) ı ÛÛðÏ‡„ ðÂ‡ÍˆÛÛ‰ ̊ „ ÓÎ·ÓÎ

0=∑ x B M , 0236 12 =⋅−⋅+⋅− ω ω

x A R ⇒ 60= x

A R ÍÕÏ2 ;

0=∑ x A M , 0643 12 =⋅+⋅+⋅− x

B R ω ω ⇒ 30= x B R ÍÕÏ2

·ÓÎÌÓ. ƒ‡ð‡‡ Ì¸ ¬– ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì (6.15‰ñð ÁÛð‡„) – ÚÛÎ„ÛÛðÚ øøÒ˝ı x C M

ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ðÂ‡Íˆ ̊ „ ÓÎ·ÓÎ

0=∑ x C M , 0

3

21 3 =+⋅−⋅ x

C x B M R ω ⇒

201301302

1

3

21

3

23 −=⋅−⋅⋅⋅=⋅−= x

B x C R M ω ÍÕÏ3

·‡ÈÌ‡. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ¯ËÎÊËÎÚËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ‰ÓÓ (6.14) ÚÓÏ ˙∏Ó„ ‡¯Ë„Î‡‚‡Î

¿ ÚÛÎ„ÛÛðÚ øøÒ˝ı ˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆº„ x x

x A

x A

A EI EI

R

EI

Q 60−=

−==θ , – øÁøøðÚ øøÒ˝ı

Ú‡ ı ËÈÎÚ x x

x C

C EI EI

M v

20=

−= ·ÓÎÌÓ. ›‰„ ̋ ˝ð ı ‡ðËÛÌ‡‡Ò øÁ‚ ̋Î ¿ Ó„ÚÎÓÎ ˆ‡„ËÈÌ

ÁøøÌËÈ ı º‰ºÎ„ººÌËÈ ‰‡„ÛÛ (Òºðº„) ˝ð„ ̋ Ê, – Ó„ÚÎÓÎ ‰ ̋ ˝¯˝˝ ¯ËÎÊË ı ˛Ï.›ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆº„, Ú‡ ı ËÈÎÚ˚„ ÓÎÓ ı ‰ÓÓ ı ÛÛðÏ‡„ ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜, ı ÛÛðÏ‡„„ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì Ú˝Ï‰„ËÈ„ ‰ ̋ ˝ð ÚÓ„ÚÒÓÌ ·Ó‰ËÚ ı ø˜, ÏÓÏÂÌÚ˚Ì

Ú˝Ï‰„ËÈÌ ‰øðÏ˝˝ð ÒÓÌ„ÓÎÓÓ.




∆ Ë¯˝˝ 6.13. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì (6.16ñð ÁÛð‡„, ÊË¯˝˝ 6.10) ÚÛÎ„ÛÛðÛÛ‰

·ÓÎÓÌ ÒÛÎ øÁøøðÚ øøÒ˝ı ˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆº„; ‡ÎÒÎ‡Î˚Ì ‰ÛÌ‰ ( – ˆ ̋ „) ·ÓÎÓÌ ÒÛÎ øÁøøðÚ øøÒ˝ı Ú‡ ı ËÈÎÚ˚„ ‡Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚð, „ð‡Ù-‡Ì‡ÎËÚËÍ ‡ð„‡‡ð

ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ.ª„ÒºÌ Ì¸ : 1=a Ï, 20=q ÍÕ/Ï, 401 = F ÍÕ, 40= M ÍÕÏ, 202 = F ÍÕ.


¡Ó‰ÓÎÚ.

‡). ¿Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚðËÈÌ ‡ð„‡. 44= A R ÍÕ, 96= B R ÍÕ ·ÓÎÓ ı˚„ ºÏÌº

(ÊË¯˝˝ 6.10) ·Ó‰ÒÓÌ. ›Ì˝ ‰‡ÏÌÛÛðÚ ÚÓ ı ËðÓ ı ‡Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚðËÈÌ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ÁÓ ı ËÓ‚ÓÎ



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

131

+−

+−

−−

−−

+=

II I

A a z qa z F z q z R EI EI

6

)4(

2

)4(

6

)0(

2

)0( 321

32

0θ θ

III

B a z M a z R 1

)5( 2

)5(

2

−+−+

+−

+−

−−

−−

+⋅+=

II I

A a z qa z F z q z R z EI EIv EIv

24

)4(

6

)4(

24

)0(

6

)0( 431

43

00 θ

III

B a z M a z R

2

)5(

6

)5( 23 −+

−+

·‡ÈÌ‡. 0θ , 0v ‡Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚðËÈ„

0= z øÂ‰ 0=v ( ¿ ÚÛÎ„ÛÛð )a z 5= øÂ‰ 0=v ( ¬ ÚÛÎ„ÛÛð ) ·‡È ı Ìº ı ̂ ÎººÒ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. › ı ÌËÈ

Ìº ı ̂ ÎººÒ 00 EIv= ·‡ÈÌ‡. ’Ó∏ð‰Û„‡‡ð Ìº ı ̂ ÎººÒ

24624

)5(

6

)5( 50

431

43

0

aqa F aqa R a EI A ⋅

+⋅

−⋅

−⋅

+⋅= θ ⇒ 18.780 −=θ EI

·ÓÎÌÓ.

0= z øÂ‰ ¿ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆº„ x A EI

18.780 −==θ θ ,

a z 5= øÂ‰ ¬ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆº„

6

120

2

140

6

520

2

54418.78

3232 ⋅+

⋅−

⋅−

⋅+−= B θ ⇒

x B

EI

45.38=θ ,

a z 6= øÂ‰ D Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆº„

1

140

2

196

6

220

3

240

6

620

2

64418.78

23232 ⋅+

⋅+

⋅+

⋅−

⋅−

⋅+−= D EI θ ⇒

x D

EI 52.28=θ ,

a z 6= øÂ‰ D Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡ ı ËÈÎÚ

2

140

6

196

24

220

6

240

24

620

6

644618.78

234343 ⋅+

⋅+

⋅+

⋅−

⋅−

⋅+⋅−= D EIv ⇒

x D

EI v

92.30=

a z 5.2= øÂ‰ ‡ÎÒÎ‡Î˚Ì ‰ÛÌ‰ C Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡ ı ËÈÎÚ




24

5.220

6

5.2445.218.78

43 ⋅−

⋅+⋅−=C EIv ⇒

x C

EI v

42.113−=

·‡ÈÌ‡.

·). √ ð‡Ù ñ ‡Ì‡ÎËÚËÍ ‡ð„‡. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ¯ËÎÊËÎÚËÈ„ ˝Ì˝ ‡ð„‡‡ð ÓÎÓ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ı ÛÛðÏ‡„ ‰‡ÏÌÛÛð˚„

(6.16·ñð ÁÛð‡„) ·‡È„ÛÛÎÌ‡. ƒ‡ð‡‡ Ì¸ ı ÛÛðÏ‡„ ‰‡ÏÌÛÛð˚„ (6.16·ñð ÁÛð‡„)º„º„‰ÒºÌ ·Ó‰ËÚ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð˝˝ð ‡˜‡‡ÎÌ‡. “ ̋ ı ‰ ̋ ˝ Ú˝ð „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ (6.16‡ñð ÁÛð‡„) ı ̌Î·‡ð ‰øðÒøø‰ ̋ ‰ ı Û‚‡‡Ê Ú‡Î·‡È ·Û ̨ Û Ú˝Ìˆøø øÈÎ˜Î˝„˜ ı ø˜ËÈ„ øÒ„ ̋ ˝ð Ú˝Ï‰ ̋ „Î˝‚.

’ÛÛðÏ‡„ ðÂ‡ÍˆÛÛ‰ ̊ „ ÓÎÓ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ¬ ÌÛ„‡Ò‡‡ð Ò‡Î„‡Ê (6.16‚ñð ÁÛð‡„)

·Ó‰ÌÓ. ’ ̌Î·‡ð ‰øðÒøø‰ËÈÌ Ú‡Î·‡È„ ÓÎ·ÓÎ

7.10612

420

12

)4( 33

1 =⋅

=⋅

= aq

ω ÍÕÏ2, 324162

12 =⋅⋅= aω ÍÕÏ2,

8162

13 =⋅⋅= aω ÍÕÏ2, 3060

2

14 =⋅⋅= aω ÍÕÏ2, 1020

2

15 =⋅⋅= aω ÍÕÏ2,

·‡ÈÌ‡. ’ÛÛðÏ‡„ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì Ú˝Ìˆ‚˝ðËÈÌ Ìº ı ̂ ÎººÒ ı ÛÛðÏ‡„ ðÂ‡ÍˆÛÛ‰ ̊ „ÓÎ·ÓÎ

0=∑ x

B M ; 03

1

3

2 )3

85( 35 4321 =⋅−⋅+−⋅+⋅+⋅− aaaaaa R

x A ω ω ω ω ⇒

02.78= x A R ÍÕÏ2,

0=∑ x A M ; 05 )

3

15( )

3

25(

3

82 4321 =⋅+−+−⋅−⋅−⋅− a R aaaaaa x

B ω ω ω ω ⇒

68.38= x ¬ R ÍÕÏ2,

0=∑ x y (·‡ðÛÛÌ ‰‡ÏÌÛÛðÚ); 05 =+− x D

x ¬ R R ω ⇒ 68.28−= x

D R ÍÕÏ2,

0=∑ x D M (·‡ðÛÛÌ ‰‡ÏÌÛÛðÚ); 0325 =+⋅−⋅ x D x ¬ M aa R ω ⇒

01.32−= x D M ÍÕÏ3

·‡ÈÌ‡. ›Ì˝ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÒÓÌ ðÂ‡ÍˆÛÛ‰‡‡ð ¯ËÎÊËÎÚøø‰ËÈ„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ·ÓÎ

x x

x A

x

x A

A EI EI

R

EI

Q 02.78−=−==θ ,

x x

x B

x

x B

¬ EI EI

R

EI

Q 68.38=+==θ ,



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

133

x x

x D

x

x D

D EI EI

R

EI

Q 68.28=−==θ ,

x x

x D

D EI EI

M

v

01.32

=

−

=

·‡ÈÌ‡. ¿ÎÒÎ‡Î˚Ì ‰ÛÌ‰ – ˆ ̋ „Ú øøÒ˝ı Ú‡ ı ËÈÎÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı˚Ì ÚÛÎ‰

„ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈÌ – Ó„ÚÎÓÎÓÓÒ ºÏÌº ı ı˝Ò˝„Ú ‰‡ ı ËÌ ı Û‚‡‡ÎÚ ı ËÈ ı (6.17ñð ÁÛð‡„) ı˝ð˝„Ú˝È. ØøÌËÈ ÚÛÎ‰ ˝ı Î˝ ̋‰ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î˝˝Ò – ˆ ̋ „Ú ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı Óð‰ËÌ‡Ú

5.472

)5.2( 5.2 )(

2

1 =⋅

−⋅= aqa R z M A ÍÕÏ

·‡È ı˚„ ÓÎÌÓ. ƒ‡ð‡‡ Ì¸ ı ÛÛðÏ‡„ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì – ˆ ̋ „Ú ÏÓÏÂÌÚ

·Ë˜‚ ̋Î

+⋅−=⋅++⋅+⋅−= 5.202.7883.0'25.1'5.2 21 ω ω x A

x C R M

22.11383.0375.5925.104.26 −=⋅+⋅+ ÍÕÏ3 ·‡ÈÌ‡.

ØøÌ‰ 04.2612

)5.2( '

3

1 == q

ω ÍÕÏ2,

375.595.25.472

1'2 −=⋅⋅=ω ÍÕÏ2.


“ ̋ „‚ ̋Î – Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡ ı ËÈÎÚ

x x

x C

C EI EI

M v

22.113−==

·ÓÎÌÓ. ’Ó∏ð ‡ð„‡‡ð ·Ó‰ÒÓÌ ı ‡ðËÛÌÛÛ‰ ı ÓÓðÓÌ‰ÓÓ Ú‡‚‡Ì ı Û‚Ë‡Ò Ë ı „øÈÁºðººÚ˝È ·‡È‚‡Î ÌËÈˆÚ˝È „ ̋ Ê øÁ‰ ̋ „. ›Ì˝ ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ı Û‚¸‰ Áºðøø Ì¸ ËÎ˝ð ı ËÈ·‡„‡ ·‡ÈÌ‡.



ƒ¿¿À√ ¿¬¿— ¹6. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ·‡Ú ·˝ı , ı º¯øøÌ ˜‡Ì‡ð˚Ì ÚÓÓˆÓÓ

ƒ‡‡Î„‡‚‡ð ı Ó∏ð ·Ó‰ÎÓ„ÓÓÒ ·øð‰ ̋ Ì˝.

1. ª„º„‰ÒºÌ „‡Ì ( 160][ =σ Ãœ‡, 210= R Ãœ‡) ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì (6.19ñð ÁÛð‡„)

1. ’ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ;

2. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ‰‚ÛÚ‡‚ð, Ú˝„¯ ºÌˆº„Ú ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ = 5.1

b

h, ‰Û„ÛÈ Ó„ÚÎÓÎ ÒÓÌ„ÓÊ

ˆ‡‡¯Ë‰ ‰‚ÛÚ‡‚ð Ó„ÚÎÓÎ‰ ÚÓÓˆÓÓ ı ËÈ;3. ’‡Ï„ËÈÌ Ë ı ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ;4. ’‡Ï„ËÈÌ Ë ı ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ;5. √ ÓÎ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ;6. ›ÍÒÚðÂÏÛÏ ı˝‚Ú˝˝ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.


2. ª„º„‰ÒºÌ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì (6.19ñð ÁÛð‡„) ÒÛÎ øÁøøð, ‡ÎÒÎ‡Î˚Ì „ÓÎ‰ Ú‡ ı ËÈÎÚ,ÒÛÎ øÁøøð ·ÓÎÓÌ ÌÛ„‡Ò‡Ì ÚÛÎ„ÛÛðÛÛ‰ ‰ ̋ ˝ð øøÒ˝ı ˝ð„ ̋ ÎÚËÈÌ ºÌˆ„ËÈ„ ‡Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚðËÈÌ ·ÓÎÓÌ „ð‡Ù-‡Ì‡ÎËÚËÍ ‡ð„‡‡ð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ.ª„º„‰ÎËÈ„ 6.2ñð ı øÒÌ˝„Ú˝˝Ò ‡‚.



ƒŒÀŒŒƒ” √ ¿¿— ¡ØÀ›√

Õ»…ÀÃ›À ›–›—√ ØØ÷›À

7.1. ŒÕŒÀ¤Õ “Œ¬◊ ØÕƒ›–

∆ Ë¯øø „ÛÎÁ‡ÈÎÚ

ÿËÎ·˝ÌËÈ ÊË¯øø „ÛÎÁ‡ÈÎÚ˚Ì øÂ‰ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ‰Ûð˚Ì ˆ ̋ „Ú·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ Î ÚÓÓˆÓ ı ÚÓÏ ˙∏Ó

x I

M y

I

M

y

y

x

x ⋅+⋅=σ ( 7.1)

·‡È‰‡„. ØøÌ‰ : y x I I , - Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Úº‚ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ

ÏÓÏÂÌÚ; x , - ˆ ̋ „ËÈÌ Úº‚ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú; y x M M , ñ y x , Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ.

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î ( β ºÌˆº„)

ϕ β tantan y

x y

I

I M ⋅−= ( 7.2)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰ÓÌÓ.– ‡ Ì ‡ Ï Ê. β ϕ , ºÌˆ„øø‰ ËÊËÎ Ú˝Ï‰ ̋ „Ú˝È ·‡ÈÌ‡.

«‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ ̋ ˝Ò ı ‡Ï„ËÈÌ ı ÓÎ Óð¯Ë ı ˆ ̋ „Ú ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı ÒÛÌ„‡ ı , ¯‡ ı ‡ ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ÛÚ„‡‡ð ¯ËÎ·˝ÌËÈ ·º ı ·‡Ú˚„ ¯‡Î„‡Ì‡.

cdan

y

y

dan

x

x

t dan

y

y

dan

x

x

R y I

M y

I

M

R x I

M y

I

M

≤⋅+⋅=

≤⋅+⋅=

σ

σ

( 7.3)

dandan y x , - «‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ ̋ ˝Ò ı ‡Ï„ËÈÌ ı ÓÎ Óð¯Ë ı ˆ ̋ „ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú

“º‚ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆÛÛÎ‡ ı ‡‰, Ó„ÚÎÓÎ Ì¸ Ú˝„¯ ı˝ÏÚ˝È ‰øðÒËÈÌ ı Û‚¸‰

·º ı ·‡Ú˚Ì Ìº ı ̂ ºÎËÈ„

c

y

y

x

x

t

y

y

x

x

R W

M

W

M

R W

M

W

M

≤+=

≤+=

σ

σ

( 7.4)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ËÎ˝ð ı ËÈÎÌ˝.




“º‚ËÈÌ ·Ë¯ ¯‡ ı ‡ÎÚ (ÒÛÌ„‡ÎÚ)

“º‚ËÈÌ ·Ë¯ ¯‡ ı ‡ÎÚ, ÒÛÌ„‡ÎÚ˚Ì øÂ‰ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ‰Ûð˚Ìˆ ̋ „Ú ı ø˜‰ ̋ Î ÚÓÓˆÓ ı ÚÓÏ ˙∏Ó

x I

M y

I

M

A

N

y

y

x

x ⋅+⋅+=σ ( 7.5)

·‡ÈÌ‡.«‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ‰‡ð‡‡ ı ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÓÎÌÓ.

F

x

F

y

y

ib

x

ia

2

0

2

0 ; −=−= ( 7.6)

ØøÌ‰ :0a

,0b

- Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„, Ó„ÚÎÓÎ˚Ì „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„øø‰ËÈ„ Ó„ÚÎÓ ı ˆ ̋ „ËÈÌ

ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú; y x ii , - x , Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ð‡‰ËÛÒ; F F y x , ñ

‰‡„ÛÛ ı ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋ÎËÈÌ ˆ ̋ „ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú (7.1ñð ÁÛð„ËÈ„ øÁ). «‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ ̋ ˝Ò ı ‡Ï„ËÈÌ ı ÓÎ Óð¯Ë ı ˆ ̋ „øø‰ ̋ ‰ ( A, B ) ÒÛÌ„‡ ı , ¯‡ ı ‡ ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌË ı ÛÚ„‡ ı ‡ð„‡ÎÁ‡Ì‡. ƒ ̋ ˝ð ı ˆ ̋ „øø‰ ̋ ‰ Ï‡ÚÂðË‡Î˚Ì ·º ı ·‡Ú˚„ ‰‡ð‡‡ ı ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ¯‡Î„‡Ì‡.

[ ]

[ ]⎪⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

≤⋅+⋅+=

≤⋅+⋅+=

C B

y

y

B

x

x B

t K

y

y

K

x

x K

x I

M y

I

M

A

N

x I

M y

I

M

A

N

σ σ

σ σ

( 7.7)




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

137

’ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋ÎËÈÌ ˆ ̋ „ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚„

0

2

0

2

; y

i y

x

i x x

F y

F −=−= ( 7.8)

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ‰Ó„.

ÃÛ¯„Ëð‡ÎÚÚ‡È „ÛÎÁ‡ÈÎÚ

“Û ı ‡ÈÌ Ó„ÚÎÓÎ‰ ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ·øÚ˝Ì ÏÓÏÂÌÚ .

22 x y M M M += ( 7.9)

›Ì‰: x M , − y M x , Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ·‡È„ÛÛÎÒ‡Ì „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı

ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÛÚ„‡.

¡º ı ·‡Ú˚Ì IV ÓÌÓÎÓÓð ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ÏÓÏÂÌÚ ÓÎÓ ı ÚÓÏ ˙∏Ó22 75.0 “ M M

“ += ( 7.10)

›Ì‰: Ã - ·øÚ˝Ì „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ; “ ñÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚÃÛ¯„Ëð‡ÎÚÚ‡È „ÛÎÁ‡ÈÎÚ˚Ì ·º ı ·‡Ú˚Ì Ìº ı ̂ ºÎËÈ„ ¯‡Î„‡ ı ÚÓÏ ˙∏Ó

[ ]σ σ ≤= x

˝Í‚W

M T ( 7.11)

›Ì‰: ˝Í‚σ - ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚ ÛÚ„‡; [ ]σ - Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î;

32

3

d W x π = - ı Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ

ƒÛ„ÛÈ Ó„ÚÎÓÎÚÓÈ „ÓÎ˚Ì Ó„ÚÎÓÎ ÒÓÌ„Ó ı ÚÓÏ ˙∏Ó

[ ]3

32

σ⋅π

⋅= T

M d ( 7.12)

·ÓÎÌÓ.

7.2. ∆ Ë¯øø „ÛÎÁ‡ÈÎÚ ̊ Ì ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ‰‡ð‡‡Î‡Î

1.

ª„º„‰ÒºÌ ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ÁÛð„ËÈ„ z x z y 0,0 ı ‡‚Ú„‡È ‰ ̋ ˝ð, øÈÎ˜ËÎÊ ·ÛÈ

ı ø˜ÌËÈ ı ‡ÏÚ ÁÛðÊ øÁøøÎ˝ı 2.

– ı ÂÏ ÚÛÒ ·øð ‰ ̋ ˝ð ÚÓÓˆÓÓ ı ËÈÊ, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð·‡È„ÛÛÎÊ ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈÌ Ë ı ÛÚ„ ̊ „ ÏÓ‰ÛÎË‡ð Ì¸ ‡‚Ì‡.

3. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì Úº‚ „ÓÎ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ y x I I , ËÌÂðˆËÈÌ

ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÓÎÌÓ.4. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ y x W W , ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.

5. «‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.6.

ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ·º ı ·‡Ú˚„ ¯‡Î„‡Ì‡.




∆ Ë¯˝˝ 7.1. ∆ Ë¯øø „ÛÎÁ‡ÈÎÚ‡Ì‰ ÓðÊ ·ÛÈ ‰‡ÏÌÛÛð ‰ ̋ ˝ð øÈÎ˜Î˝ı

„‡‰‡‡‰ ı ø˜, Á‡È, Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝„ 7.2ñð ÁÛð‡„Ú øÁøøÎ˝‚.

F (ÍÕ)

q

(ÍÕ/Ï )

M

(ÍÕ⋅Ï)a (Ï)

c (Ï)

d (Ï)

h (ÒÏ)

b (ÒÏ)

R Ãœ‡

20 20 20 1 3 2 30 15 20

M F

a

x

y z

q

d c

F M 0

b

0.6b

h

x

y

‡). ·).


“ÓÓˆÓÓ„ÓÓð ÓÎÓ ı ÁøÈÎ:

1.

√ ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ( y x M M , ) ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ2. “ÓÓˆÓÓÌ˚ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ, ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ·‡Ú ·º ı ËÈ„ ¯‡Î„‡.3. «‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ, ‡ ̨ ÛÎÚ‡È Ó„ÚÎÓÎ‰

ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ

¡Ó‰ÓÎÚ1. ª„º„‰ÒºÌ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ÚÓÓˆÓÓÌ˚ Ò ı ÂÏËÈ„ (7.3‡, ·ñð ÁÛð‡„) z x z y 0,0

ı ‡‚Ú„‡È ‰ ̋ ˝ð Ò‡Î„‡Ê ÁÛðÌ‡.

2. – ı

ÂÏ ÚÛÒ ·øð ‰ ˝˝

ð ÚÓÓˆÓÓ ı

ËÈÊ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı

ÏÓÏÂÌÚ˚

Ì˝

Ô˛

ðËÈ„·‡È„ÛÛÎÌ‡.7.3 ‡ñð ÁÛð„ËÈÌ ı Û‚¸‰:

( ) 00 =+⋅−⋅+−=∑ d c B c F M M y A

85

32020=

⋅+−=

+

⋅+−=

d c

c F M B y ÍÕ

( ) 00 =+⋅+⋅−−=∑ d c Ad F M M y B

12

5

22020=

⋅+=

+

⋅+=

d c

d F M A y ÍÕ



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

139

—Â‡ÍˆËÈ„ ¯‡Î„‡ ˇ.

∑ =+−=+−= 0122080 y y B F A y

a).

·).

M

a

y

c d

F A B y A B

z 1 z 2 3 z

x A x x B

M

4 z

1

1

2

2 3

3

4

4

5

5

5 z

q

3

3

z 3a c d

‚).

„).

-20

x M

M y

10

58.4

52


Œ„ÚÎÓÎ ·øð ‰ ̋ ˝ð ÏÓÏÂÌÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜ËÊ, ÚÓÓÌ ı ÓÎ·Ó„‰Î˚„ ÓÎÌÓ.1ñ1 Ó„ÚÎÓÎ Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı ËÎ a z ≤≤ 10

20 )( 1 −=−= M z M x ÍÕ⋅Ï=const 2ñ2 Ó„ÚÎÓÎ. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı ËÎ ca z a +≤≤ 2

( )a z A M z M y x −+−= 22 )( 20 )1( 2−=′ = z M ÍÕ⋅Ï

16 )14( 1220 )4( 2=−+−=′′ = z M ÍÕ⋅Ï

3ñ3 Ó„ÚÎÓÎ. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı ËÎ d z ≤≤ 30

33 )( z B z M y x ⋅= 0 )0( 3=′ = z M ÍÕ⋅Ï

1628 )2( 3=⋅=′′ = z M ÍÕ⋅Ï

y Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ‰‡„ÛÛ øÈÎ˜ËÎÊ ·ÛÈ ı ø˜Ì˝˝Ò øøÒ˝ı „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì˝Ô˛ðËÈ„ 7.3‚ñð ÁÛð‡„Ú øÁøøÎ˝‚.




7.3·ñð ÁÛð„ËÈÌ ı Û‚¸‰:

0 )( 22

022

=−+⋅−⋅+⋅+⋅−=∑ M d c B c

qa F a

q M x A

165

202

3201202

120

)(

22

2222

=−⋅+⋅+⋅−

=+

−⋅+⋅+⋅−=

d c

M cqa F aq B x ÍÕ

∑ =−++++

⋅+⋅−++⋅= 0 )( )2

( )( )( 0 M d c Ad ca

caqd ca F M x B

445

201620620 )

2( )( )(

=+⋅+⋅−

=+

+++

⋅+⋅+++⋅−=

d c

M d ca

caqd ca F A x ÍÕ

—Â‡Íˆ Áº‚ ˝Ò˝ı ËÈ„ ¯‡Î„‡ ˇ.∑ =++−=+++⋅−= 016448020 )( 0 x x B Acaq F x

Œ„ÚÎÓÎ ·øð ‰ ̋ ˝ð ÏÓÏÂÌÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜ËÊ , ÚÓÓÌ ı ÓÎ·Ó„‰Î˚„ ÓÎ ˙∏.4ñ4 Ó„ÚÎÓÎ. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı ËÎ a z ≤≤ 40

2 )(

24

44

qz z F z M y −⋅=

0 )0( 4== z M

102

120120

2

)1( 4=−⋅=′′ = z M ÍÕ⋅Ï

5ñ5 Ó„ÚÎÓÎ. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı ËÎ ca z a +≤≤ 5

)( 2

)( 5

25

55 a z A z

q z F z M x y −⋅+⋅−⋅=10 )1( 5

=′ = z M ÍÕ⋅Ï

52 )4( 5=′′ = z M ÍÕ⋅Ï

)( 5 z M y -ËÈÌ ˝ÍÒÚðÂÏÛÏ ÛÚ„ ̊ „ ÓÎ ˙∏.

2.320

640 555 ===+⋅−= z A z q F Q x Ï

( )( ) 4.5812.3442

2.3

202.320

2

)2.3( 5 =−+−⋅== z M ÍÕ⋅Ï6ñ6 Ó„ÚÎÓÎ. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı ËÎ d z ≤≤ 60

M z B z M x y +⋅= 66 )( 20 )0( 6=′ = z M ÍÕ⋅Ï

5220216 )2( 6=+⋅=′′ = z M ÍÕ⋅Ï

x Ú˝Ì ı Î˝„ ‰‡„ÛÛ øÈÎ˜ËÎÊ ·ÛÈ ı ø˜Ì˝˝Ò øøÒ˝ı „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„7.3„-ð ÁÛð‡„Ú øÁøøÎ˝‚. 3. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı , y Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÓÎ ˙∏.

(7.2· ñð ÁÛð„ËÈ„ ı ‡ð)



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

141

( )

5.2228305.0

64

156.014.3

12

3015

5.064

)6.0(

12

4343

=⋅

⋅⋅−

⋅

=⋅

⋅−

=h

bbh

W x

π

ÒÏ3

( )1.1082

155.064

914.3121530

5.0646.0

12

434

3

=⋅

⋅−⋅=

⋅

⋅π−=

b

bhb

W y ÒÏ3

4. ›Ô˛ð˝˝Ò ÏÓÏÂÌÚ˚Ì Ë ı ÛÚ„ ̊ „ 20−= x M ÍÕ⋅Ï, 4.58= y M ÍÕ⋅Ï

(ÏÓ‰ÛÎË‡ð ) ‡‚˜, ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÓÎ ˙∏.

7.614.5820 2222 =+=+= y x M M M T

ÍÕ⋅Ï

5. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ·‡Ú ·º ı ËÈ„ ¯‡Î„‡ ı ‰‡‡

[ ]σ≤+=σ y

y

x

x W

M

W

M max ÚÓÏ ˙∏Ó„ ‡¯Ë„Î‡ ı ·º„ºº‰ x,y Ú˝Ì ı Î˝„ ‰ ̋ ˝ð

„ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ Ì ÛÚ„‡ Ì˝„ ̋ Ì Á˝ð˝„ Ë ı ·‡È ı ˆ ̋ „ËÈ„ ÒÓÌ„ÓÌ ‡‚Ì‡.

23.55101.1082

1052

105.2228

10166

3

6

3

max =⋅

⋅+

⋅

⋅=

−−σ Ãœ‡< 210Ãœ‡

6. ÿËÎ·˝ÌËÈ ı ‡Ï„ËÈÌ ‡ ̨ ÛÎÚ‡È Ó„ÚÎÓÎ‰ Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î

y x

x y

I M

I M

⋅

⋅= β tan ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰ÓÌÓ. ØøÌËÈ ÚÛÎ‰ º„º„‰ÒºÌ

Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÓÎÌÓ.

34.04.58

20tan ===

x

y

M

M ϕ

x y

y x

y

x

M I

M I

I

I

⋅

⋅−=⋅−= ϕ β tantan

( )33428

64

156.014.3

12

3015

6412

4343

=⋅

−⋅

=π

−= d bh

I x ÒÏ4

( )5.8115

64

156.014.3

12

1530

6412

4343

=⋅

−⋅

=π

−= d hb

I y ÒÏ4

y

x

I

I ⋅= ϕ β tantan 4.1

5.8115

3342834.0tan =⋅= β 6454 ′=

β

«‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ì˝„, „Ûð‡‚‰Û„‡‡ð Ïº˜ËÈ„ ‰‡Èð˜ Ú‡Ú‡„‰‡Ì‡. ›Ì˝ Ú˝Ì ı Î˝„ ̋ ˝Ò ı ‡Ï„ËÈÌ ı ÓÎ Óð¯Ë ı B A, ˆ ̋ „Ú ÒÛÌ„‡ÎÚ, ¯‡ ı ‡ÎÚ˚Ì ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ

Ë ı ÛÚ„‡ ı ‡ð„‡ÎÁ‡Ì‡.




B

A

σ A = 6 2 .9

B = 6 2

.9

σ

0

β

c a a a

o y i

o e y a

x

y

7.4 ñð ÁÛð‡„

7. B A, ˆ ̋ „Ú ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı ·ÓÒÓÓ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ÛÚ„ ̊ „ ÓÎÊ ˝Ô˛ðËÈ„ (7.4ñð ÁÛð)

·‡È„ÛÛÎÌ‡. ÓÓð‰ËÌ‡Ú 5.7−= A x ÒÏ; 15= A y ÒÏ øÂ‰

( ) ( )9.62

105.8115

105.7104.58

1033428

101510208

23

8

23

−=⋅

⋅−⋅+

⋅

⋅⋅⋅−=+=σ

−−

−

A y

y A

x

x A x

I

M y

I

M Ãœ‡

5.7= B x ÒÏ, 15−= B y ÒÏ øÂ‰

( )9.62

105.8115

105.7104.58

1033428

101510208

23

8

23

=⋅

⋅⋅⋅+

⋅

⋅−⋅⋅−=⋅+⋅=

−−

−

B

y

y B

x

x B x

I

M y

I

M σ Ãœ‡

·ÓÎÌÓ.

7.3. “º‚ËÈÌ ·Ë¯ ¯‡ ı ‡ÎÚÚ‡È ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ‰‡ð‡‡Î‡Î

1. ª„º„‰ÒºÌ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚„ „ÂÓÏÂÚðËÈÌ ı ̌Î·‡ð ‰øðÒøø‰ ̋ ‰ ı Û‚‡‡Ê, ÚÛÒ ·øðËÈÌ ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚, Ú‡Î·‡È„ ÓÎÌÓ.

2.

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.3. √ ÓÎ Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ.4. »ÌÂðˆËÈÌ ð‡‰ËÛÒ˚„ ÓÎÌÓ.5.

Œ„ÚÎÓÎ ‰ ̋ ˝ð º„º„‰ÒºÌ ı ø˜ øÈÎ˜Î˝ı ˆ ̋ „ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú‡‡ð Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ. (7.6ñð ÚÓÏ ˙∏Ó„ øÁÌ˝ øø)

6. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì º„º„‰ÒºÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ‡¯Ë„Î‡Ì Áº‚¯ººðº„‰º ı ‡˜‡‡„ ( adm F )

ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ7. –ÛÌ„‡ ı , ¯‡ ı ‡ ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ Ë ı ÛÚ„ ̊ „ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ , ÚøøÌËÈ ˝Ô˛ðËÈ„

·‡È„ÛÛÎÌ‡.

8.

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ˆºÏ ·‡È„ÛÛÎÌ‡ 7.8ñð ÚÓÏ ˙∏Ó„ ‡¯Ë„Î‡Ì‡.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

143

∆ Ë¯˝˝ 7.2 7.5ñð ÁÛð‡„Ú ·‡„‡Ì‡Ì˚ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚„ øÁøøÎ˝‚.

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì P ˆ ̋ „Ú ·‡„‡Ì‡Ì˚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸ F ı ø˜ ¯‡ ı Ì‡.

Ã‡ÚÂðË‡Î˚Ì ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ˝Ò˝ð„øøˆ ̋ Î ÒÛÌ„‡ÎÚ‡Ì‰ 3=t R Ãœ‡, ¯‡ ı ‡ÎÚ‡Ì‰

30=c R Ãœ‡ ·ÓÎÌÓ.ª„º„‰ºÎ: F=220ÍÕ a=30 ÒÏ, b=14ÒÏ

“ÓÓˆÓÓ„ÓÓð ÓÎÓ ı ÁøÈÎ1. «‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î2.

«º‚¯ººðº„‰º ı ‡˜‡‡Ì˚ ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ÓÎÌÓ3. ÿ‡ ı ‡ ı , ÒÛÌ„‡ ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ Ë ı ÛÚ„ ̊ „ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ , ÚøøÌËÈ ˝Ô˛ðËÈ„

ÁÛð4.

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ˆºÏ ·‡È„ÛÛÎÌ‡.

¡Ó‰ÓÎÚ 1. Œ„ÚÎÓÎ˚„ I, II, III, IV, V ı ̌Î·‡ð ‰øðÒ ·ÓÎ„ÓÌ ı Û‚‡‡‚. “ÛÒ ·øðËÈÌ Ú‡Î·‡È„

ÓÎ ˙∏ I, III Ú˝„¯ ºÌˆº„Ú : 420143013 =⋅=⋅== ba A A ÒÏ2

II Ú˝„¯ ºÌˆº„Ú : 25202890232 =⋅=⋅= ba A ÒÏ2

IV, V Ú˝„¯ ºÌˆº„Ú „Ûð‚‡ÎÊËÌ : 21030142

1

2

154 =⋅⋅=⋅⋅== ab A A ÒÏ4

2. ’ ̌Î·‡ð ‰øðÒ ·øðËÈÌ 54321 ,,, x x x x x Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„ 7.5ñð ÁÛð‡„ ‰ ̋ ˝ð

ÁÛðÊ øÁøøÎ˝‚.3. ÕËÈÎÏ ̋Î ‰øðÒËÈÌ ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú ÓÎ‰Ó„ ÚÓÏ ˙∏Ó„ ‡¯Ë„Î‡ ˇ.

›Ì˝ ÁÓðËÎ„ÓÓð Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ÒÛÛðËÈ„ ‰‡ÈðÛÛÎ‡Ì ‰Ûð˚Ì ı˝‚Ú˝˝ ı Ú˝Ì ı Î˝„ ‡‚˜, ÚøøÌÚ˝È ı ‡ð¸ˆÛÛÎ‡Ì ı ̌Î·‡ð ‰øðÒ ·øðËÈÌ Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„ ı øðÚ ̋Î ı Á‡È„( ...,, 21 y y „.Ï) ÓÎÌÓ. “ ̋ „‚ ̋Î ÌËÈÎÏ ̋Î ‰øðÒËÈÌ ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈ„

( )=

++++

⋅⋅+⋅+⋅+⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = ∑

54321

44332211 2

A A A A A

y A y A y A y A

A

S y x

C

92.254204202520420

143

2

2102742028252049420≅

+++

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅

= ÒÏ

ı˝Ï˝˝Ì ÓÎÊ ·ÓÎÌÓ.ŒÎÒÓÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì Áº‚ ˝Ò˝ı ËÈ„

00 554433221100=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==∑ a Aa Aa Aa Aa AS S x x

00 554433221100=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==∑ b Ab Ab Ab Ab AS S y y

ÚÓÏ ˙∏ÓÌÛÛ‰‡‡ð ¯‡Î„‡Ì‡. ›Ì‰ C ii y y a −= , C ii x x b −= ·ÓÎÌÓ.



y

y

x 3

C

B

a

I I I

a

3

a

B

x

σ = − 3 . 7 6

A

I V

A I I

« ‡ ‡ „ Ú ˝ Ì ı

Î ˝ „

x

b

0

C

y C

4

1

4

2 y

y

C 2

C

I

1

1

C

x

a5

3

C 5

a2

4a

2a

1a

C x

V

b

x 4

2

2b b

1 x

y C

a

5

Ã

œ ‡

σ = 2

Ã œ ‡

7 . 5 ñ ð

Á Û ð ‡„

√ ð‡ÙËÍ ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ‡ÊËÎ 144



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

145

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=−⋅==

−=−=

=−=

=−=

596.16926.25143

2

926.18926.257

074.2926.2528

074.23926.2549

54

3

2

1

aa

a

a

a

̋‰„ ̋ ˝ðËÈ„ ‰ ̋ ˝ð ı ËÎ˝ð ı ËÈÎ ̋Î‰

ÓðÎÛÛÎ ˙ˇ.0596.162102926.18420074.2252008.23420

0≅⋅⋅−⋅−⋅+⋅= x S

C y -ÌËÈÎÏ ̋Î ‰øðÒËÈÌ ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚„ Áº‚ ÓÎÊ ̋ ˝.

4. œ‡ð‡ÎÎÂÎ¸ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ‰‡ð‡‡ ı

ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.

∑∑ +=+= )( )( ; )(

22

ii y y ii x x Ab I I a Aa I I iC iC ( · ) “ÓÏ ˙∏Ó„ ( ‡, · ) Á‡‰Î‡Ê ·Ë˜¸Â.

( )4213

232

221

21 4321

2 Aa I Aa I Aa I Aa I I x x x x x C ⋅+⋅+⋅++⋅++⋅+= ( a′ )

43212 y y y y y I I I I I

C +++= ( · ′ )

›Ì‰ :

686012

1430

12

33

13=

⋅=

⋅==

ba I I x x ÒÏ4, 31500

12

3014

12

33

13=

⋅=

⋅==

ab I I y y Ï4,

16464012

289012

)2( 333

2 =⋅=⋅= ba I x ÒÏ4, ( ) 1701000129028

1232

33

2=⋅=⋅= ab I y ÒÏ4

,

7.228636

1430

36

33

45=

⋅=

⋅==

ba I I x x ÒÏ4

,

787548

3014

48

33

45=

⋅=

⋅==

ab I I y y ÒÏ4,

( ) ( )· a ′′ , ËÎ˝ð ı ËÈÎ ̋Î‰ ÚÓÓÌ ı ÓÎ·Ó„‰Î˚„ ÓðÎÛÛÎ ˙ˇ.

+⋅++⋅++⋅+= 42093.186860252008.216464042008.236860 222C x I

( ) 26.6838042106.167.22862 2 =⋅++ ÒÏ4,

17797507875231500170100031500 =⋅+++=C y I ÒÏ4,

5. »ÌÂðˆËÈÌ ð‡‰ËÛÒ˚„ ( y X ii , ) ‰‡ð‡‡ ı ̧ ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ∏.

;2

A

I i C x

x = ;2

A

I i C y

y =

›Ì‰C C

y x I I , -Úº‚ËÈÌ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ; ¿ Ú‡Î·‡È-

ÌÛÛ‰ ̊ Ì ÌËÈÎ·˝ð



ì√ð‡ÙËÍ ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ‡ÊËÎî 146

“ÓÓÌ ı ÓÎ·Ó„‰Î˚„ ÓðÎÛÛÎ ˙ˇ.

9.1803780

26.6838042== x i ÒÏ2 8.470

3780

17797502== y i ÒÏ2

6. «‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ (7.6) ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÓÎÌÓ.

F

x

F

y

y

ib

x

ia

2

0

2

0 ; −=−=

’ø˜ 1 ˆ ̋ „ ‰ ̋ ˝ð øÈÎ˜ËÎÒ˝Ì Û˜ð‡‡Ò 07.3093.2556;15 =−=−= F F y x „ ̋ Ê

‡‚Ì‡. “ ̋ „‚ ̋Î:

607.30

9.180;4.31

15

8.47000 =

−−==

−−= ba ÒÏ ·ÓÎÌÓ.

ŒÎÒÓÌ ÚÓÓÌ ÛÚ„‡‡ð Á‡‡„ Ú˝

Ì ı

Î˝

„ËÈ„ ÁÛð‡„ ‰ ˝˝

ð ·‡È„ÛÛÎ‡‚ (7.5-ð ÁÛð‡„).7. –ÛÌ„‡ ı , ¯‡ ı ‡ ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ Ë ı ÛÚ„ ̊ „ 7.7-ð ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÓÎ ˙∏. ’ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ Ë ı

ÛÚ„‡ Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ ̋ ˝Ò ı ‡Ï„ËÈÌ ı ÓÎ Óð¯Ë ı ˆ ̋ „Ú ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı Û˜ð‡‡ÒÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚„ ¿(-15;30); B (15;-24) „ ̋ Ê ‡‚Ì‡. ’‡ðËÌ

( )3.0;3.0 −⋅=⋅= F M F M y x ·ÓÎÌÓ.

“ÓÓÌ ËÎ˝ð ı ËÈÎ ̋ÎËÈ„ ÚÓÏ ˙∏ÓÌ‰ ÓðÎÛÛÎ‚‡Î:

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++=σ

221

y

A F

x

A F

Ai

x x

i

y y

A

N

( )76.3

10470

10151015

109.180

103007.301

103780

102204

22

4

4

4

3

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅−⋅⋅−+

⋅

⋅⋅+

⋅

⋅−=

−

−−

−

−

−Ãœ‡.

( )=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅⋅⋅−+

⋅

⋅−⋅⋅+

⋅

⋅−=σ

−

−−

−

−−

− 4

22

4

22

4

3

10470

10151015

109.180

102410301

103780

10220 B 2 Ãœ‡.

B A σσ , Áº‚¯ººðº„‰ÒºÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝Ì˝˝Ò ·‡„‡ Û˜ð‡‡Ò ·‡„‡ÌÌ˚ ·º ı ·‡Ú˚Ì

Ìº ı ̂ ºÎ ·ËÂÎÊ ·‡ÈÌ‡. ’ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ 7.5-ð ÁÛð‡„Ú øÁøøÎ˝‚.8. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ˆºÏ ·‡È„ÛÛÎ ˙ˇ. ›Ì˝ ÁÓðËÎ„ÓÓð Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı øð˝˝Ìøø‰ ̋ ‰

¯øð„ ̋ „˜ Ú‡Ú‡Ê, ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È Ó„ÚÎÓÎˆÓ ı ı˝ð˜ÏËÈÌ ÛðÚ‡‡ðÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì ÛÚ„ ̊ „ ÓÎÊ, ‰‡ð‡‡ ı ÚÓÏ ˙∏ÓÌ‰ ÓðÎÛÛÎ‡Ì ·Ó‰ÌÓ.

b

i y

a

i x x

F y

F

22

; −=−=

1ñ1 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ı Û‚¸‰ (ˆºÏ ·‡È„ÛÛÎ‡ ı ‰‡‡ 1 „ ̋ Ê Ú˝Ï‰ ̋ „Î˝‚):93.25; 11 −=∞= ba ÒÏ

98.693.25

9.180

0 11 =−−== F F y x ÒÏ



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

147

2 ñ2 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú (ˆºÏ ‰ ̋ ˝ð 2 „ ̋ Ê Ú˝Ï‰ ̋ „Î˝‚).692 =a ÒÏ; 34−=b ÒÏ;

3.5

34

9.180ÒÏ8.6

69

470

22

=

−

=−=−= F F y x ÒÏ ·ÓÎÌÓ

3 ñ3 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú (ˆºÏ ‰ ̋ ˝ð 3 „ ̋ Ê ·Ë˜Ë‚):ÒÏ;443 =a ∞=3b

0ÒÏ68.1044

47033=−=−= F F y x

4 ñ4 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú (ˆºÏ ‰ ̋ ˝ð 4 „ ̋ Ê ·Ë˜Ë‚):804 =a ÒÏ 374 =b ÒÏ

89.4

37

9.180ÒÏ88.5

80

470

44

−=−=−=−= F F y x ÒÏ

5 ñ 5 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú (ˆºÏ ‰ ̋ ˝ð 5 „ ̋ Ê Ú˝Ï‰ ̋ „Î˝‚):∞=5a 305 =b ÒÏ

03.630

9.180;0

55−=−== F F y x ÒÏ ·ÓÎÌÓ.

ª„º„‰ÒºÌ Ó„ÚÎÓÎ Û Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ı Û‚¸‰ Ú˝„¯ ı˝ÏÚ˝È Û˜ð‡‡Ò 6 ñ6 , 7 ñ7 ,8 ñ8 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ı Û‚¸‰ 2 ñ2 , 3 ñ3 , 4 ñ4 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡ÚÚ‡È ı˝ÏÊ ̋ ˝ Ú˝Ìˆøø, ˝Òð˝„ Ú˝Ï‰ ̋ „Ú˝È ÚÓÓÌ ÛÚ„‡ „‡ðÌ‡. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ˆºÏËÈÌ ı ̋Î·˝ðËÈ„

7.6 ñð ÁÛð„‡‡Ò øÁ.

7.6-ð ÁÛð‡„

∆ Ë¯˝˝ 7.4. 7.7-ð ÁÛð‡„Ú ·‡„‡Ì‡Ì˚ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚„ øÁøøÎ˝‚.

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì 1-ð ˆ ̋ „Ú ·‡„‡Ì‡Ì˚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸ F ı ø˜ ¯‡ ı Ì‡.Ã‡ÚÂðË‡Î˚Ì ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ˝Ò˝ð„øøˆ ̋ Î ÒÛÌ„‡ÎÚ‡Ì‰ : R t =5 Ãœ‡, ¯‡ ı ‡ÎÚ‡Ì‰

R C =25 Ãœ‡ ·ÓÎÌÓª„º„‰ºÎ F =200ÍH

a=40 ÒÏ‚=20 ÒÏ




“ÓÓˆÓÓ„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ÁøÈÎ:

1. «‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î;

2.

’ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ Ë ı ÛÚ„ ̊ „ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÊ, ÚøøÌËÈ ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ‡ ı .3.

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ˆºÏ ·‡È„ÛÛÎÌ‡.

¡Ó‰ÓÎÚ.

1. √ ÂÓÏÂÚðËÈÌ ı ̌Î·‡ð ‰øðÒøø‰ (1,2,3,4) ·ÓÎ„ÓÌ ı Û‚‡‡Ê, Ú ̋‰„ ̋ ˝ðËÈÌ

Ú‡Î·‡È„ ÓÎ ˙∏.

I ñ ı ‡„‡Ò ÚÓÈðÓ„: 222

1 ÒÏ25122

4014.3

2=

⋅=

π=

R A

II ñ ı ‡„‡Ò ÚÓÈðÓ„: 2

22

2 ÒÏ6282

2014.32 =

⋅=

π= r A

IIIñÚ˝„¯ ºÌˆº„Ú: 23 ÒÏ6400808042 =⋅=⋅⋅= ba A

IV ñÚ˝„¯ ºÌˆº„Ú: 24 ÒÏ1600202402 =⋅⋅=⋅= ba A

2. √ ÂÓÏÂÚðËÈÌ ‰øðÒ ·øðËÈÌ Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„ ÁÛð‡„ ‰ ̋ ˝ð ÁÛðÊ ( 4,3,2,1 y y y y )

øÁøøÎ˝‚ (7.7-ð ÁÛð‡„).3. ÕËÈÎÏ ̋Î ‰øðÒËÈÌ ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚„ ÓÎÓ ı ‰ÓÓ

∑ ⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

= A

S

x y

c ÚÓÏ ˙∏Ó„ ‡¯Ë„Î‡Ì‡.

ƒÛð˚Ì Û Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„ III ‰øðÒËÈÌ Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ‰‡‚ ı ̂ ÛÛÎÊ ‡‚Î‡‡. “ ̋ „‚ ̋Î ‰øðÒ ·øðËÈÌ Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„ ı øðÚ ̋Î ı Á‡È Ì¸:

( ) ( ) ÒÏ96.564040424.02424.011 −=+⋅−=+⋅⋅−=+= abac x

( ) ( ) ÒÏ5.484020424.0424.022 −=+⋅−=+⋅−=+= abac x

03 = x

ÒÏ60204024 =+=+=

a

a x ·ÓÎÌÓ. “ÓÓÌ ı ÓÎ·Ó„‰Î˚„ ÚÓÏ ˙∏ÓÌ‰ ÓðÎÛÛÎ ˙ˇ.

=++−

++−=

4321

44332211

A A A A

X A X A X A X A x c

( ) ( )ÒÏ7.1

9884

60160005.4862896.562512−=

⋅++−⋅−−=

4. ’øÌ‰ËÈÌ Úº‚ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚Ì Áº‚ ˝Ò˝ı ËÈ„ Úº‚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ

ÒÚ‡ÚËÍ ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÌËÈÎ·˝ð Ú˝„Ú˝È Ú˝Ìˆøø ( )∑ = 0SxC „ ̋ Ê ¯‡Î„‡Ì‡.

∑ =++⋅−⋅= 044332211 b Ab Ab Ab ASx C



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

149

cii x x b −= ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð b-Á‡È„ ÓÎÌÓ.

8.462 −=b ÒÏ

7.13 =b ÒÏ

7.614 =b ÒÏ

›Ì˝ ÚÓÓÌ ı ÓÎ·Ó„‰Î˚„ ‰ ̋ ˝ð ı ËÎ˝ð ı ËÈÎ ̋Î‰ ÓðÎÛÛÎ ˙ˇ.( ) ( ) 07.6116007.164008.486283.552512SxC =⋅+⋅+−−−−=∑

– ‡ Ì ‡ Ï Ê. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ‰ÓÚÓð ı ÓÓÒÓÌ Á‡È (Ú‡Î·‡È) ·‡È‚‡Î ÚøøÌËÈ„ ı ‡Ò‡Ê ÚÓÓˆÌÓ.5. œ‡ð‡ÎÎÂÎ¸ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ˙∏.

›Ì‰ 7.3 ·Ó‰ÎÓ„ ̊ Ì ÚÓÏ ˙∏Ó„ ‡¯Ë„Î‡Ì‡.√ ÂÓÏÂÚðËÈÌ ı ̌Î·‡ð ‰øðÒËÈÌ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ‰‡ð‡‡ ı ̧ ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð

ÓÎÌÓ. I, II ı ‡„‡Ò ÚÓÈð„ËÈÌ ı Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„

128128

44

1

d D I x

π−

π= ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ∏.

( ) ( ) ( )[ ] [ ] 4444444 ÒÏ94204080128

14.324

1281281=−=−

π=−

π= bbd D I x

’‡ðËÌ ÏºÌ ‰øðÒËÈÌ Û Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ‰‡ð‡‡ ı ̧ ËÎ˝ð ı ËÈÎ ̋Î˝˝ð ÓÎÌÓ.I ñð ‰øðÒËÈÌ ı Û‚¸‰:

( ) 444121

4

1121 ÒÏ6.2809858000686.000686.0424.01281 =⋅=⋅=⋅−π

=⋅−= D Ar D Ac I I y y

II ñð ‰øðÒËÈÌ ı Û‚¸‰ (7.7 ñð ÁÛð):

4442

22 17561.6ÒÏ400.0068600686.0

2=⋅=⋅=⋅−= d Ac I I y y

ÒÏ402424.0c

ÒÏ804424.0

11

22

===

===

bd r

b Dr c

III ñð ‰øðÒËÈÌ ı Û‚¸‰:

( )3.3413333

12

8080

12

42 33

3=

⋅==

ba I x ÒÏ4

( )3.3413333

12

8080

12

24 33

3=

⋅==

ab I y

ÒÏ4 IV-ð ‰øðÒËÈÌ ı Û‚¸‰:

( ) 3.85333312

4040122

33

44 =⋅=== ba I I x y ÒÏ4 ·ÓÎÌÓ.





“ÓÓÌ ı ÓÎ·Ó„‰Î˚„ ÚÓÏ ˙∏ÓÌ‰ ÓðÎÛÛÎ ˙ˇ.

( ) =+++++−+= 4243

232

221

21 4321

Ab I Ab I Ab I Ab I I y y y y y C

( ) ( ) +⋅++⋅+−+ 64007.13.34133336288.466.1756125123.556.280985222

9.1694606116007.613.853333 2 =⋅++ ÒÏ4 42760683.8533333.34133339420

431=++=++= x x x x I I I I

C ÒÏ4

·ÓÎÌÓ.6. »ÌÂðˆËÈÌ ð‡‰ËÛÒ˚„ ÓÎ ˙∏.

6.4329884

42760862 === A

I i C x

x ÒÏ2

5.17149884

9.169460612

=== A

I

ic y

y ÒÏ2

7. «‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ÓÎ¸∏.

8.443.38

5.17142

0 =−

−=−= F

y

x

ia ÒÏ

ÓÓð‰ËÌ‡Ú Ì¸ 3.38−= F x ÒÏ

8.1040

6.4322

0 =−

−=−= F

x

y

ib ÒÏ

40−= F y ÒÏ ·ÓÎÌÓ.

ŒÎÒÓÌ ÚÓÓÌ ÛÚ„‡‡ð ÁÛð‡„ ‰ ̋ ˝ð Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ‡‚ (7.8ñð ÁÛð‡„).

8. –ÛÌ„‡ ı , ¯‡ ı ‡ ı ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ Ë ı ÛÚ„ ̊ „ ÓÎ. ( F N = )

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅+

⋅+=σ

221

y

A F

x

A F A

i

x x

i

y y

A

N

( ) ( )2.1

105.1714

103.38103.38

106.432

104010401

109884

302004

22

4

22

4

3

−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅−⋅−+

⋅

⋅−⋅−+

⋅

⋅−=

−

−−

−

−−

−Ãœ

‡

( 1.2Ãœ‡< 25Ãœ‡)

73.0105.1714

107.41103.38

106.432

104010401

109984

102004

22

4

22

4

3

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅⋅⋅−+

⋅

⋅⋅⋅−+

⋅

⋅−=σ

−

−−

−

−−

− B Ãœ‡

( 0.73Ãœ‡< 5Ãœ‡ )ÿËÎ·˝ÌËÈ ·º ı ·‡Ú˚Ì Ìº ı ̂ ºÎ ·ËÂÎÊ ·‡ÈÌ‡. ’ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ðËÈ„ 7.8ñðÁÛð„‡‡Ò øÁ.

9. Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ˆºÏ ·‡È„ÛÛÎ ˙ˇ.a

i x

y F

2

−= ;b

i y x

F

2

−=

1 ñ1 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú 40; 1 −=∞= ba F Û˜ð‡‡Ò



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

151

8.1040

6.432;0

11=

−−== F F y x ÒÏ ·ÓÎÌÓ.

2 ñ 2 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ı Û‚¸‰: 1232 =a ÒÏ, 602 −=b ÒÏ

9.13123

5.17142

−=−= F x ÒÏ; 2.760

6.4322

=−

−= F y ÒÏ

3 ñ3 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ı Û‚¸‰ : 7.813 =a ÒÏ ∞=3b ·Û ̨ Û

0;217.81

5.171433=−≅−= F F y x

4 ñ4 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ı Û‚¸‰ 1254 =a ÒÏ 604 =b ÒÏ ·Û ̨ Û

7.13125

5.17144

−=−= F x ÒÏ 2.760

6.4324

−=−

= F y ÒÏ ·ÓÎÌÓ.

5 ñ5 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ı Û‚¸‰ 40; 55 =∞= ba ÒÏ

05= F x ; 8.10

40

6.4325

−=−

= F y ÒÏ

6 ñ 6 “ÓÈð„ËÈÌ Úº‚ººÒ ·ÓÒÓÓ Ú˝Ì ı ÎÎ˝„Ú˝È 45 „ð‡‰ÛÒ‡‡ð ˆ‡ˆð‡„ Ú‡Ú‡Ê ÚÓÈðÓ„ÚÓÈ Ó„ÚÎÓÎˆÛÛÎÊ, Ó„ÚÎÓÎˆÒÓÌ D ˆ ̋ „Ú 6ñ 6 ¯øð„ ̋ „˜ËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ‡‚.

ƒ‡ð‡‡ Ì¸ OKC Δ -˝˝Ò OK a =6 -„ ÓÎÌÓ.

4.953.387.0

403.3845cos

406 −=−−=−−= a ÒÏ 18

4.955.17146 =−−= F x ÒÏ





ib Á‡È„ ı˝ð ı˝Ì ÓÎÓ ı˚„ 7.9ñð ÁÛð‡„Ú øÁøøÎ˝‚. ODL Δ -˝˝Ò

‡) DL=OD⋅ sin45 =40⋅0.7=28 ÒÏ

·) OL=OD⋅ cos45 = 28 ÒÏ

‚) 684028 =+=+= LM DL DM ÒÏ„) MN CM y F +=

6

‰) DNM Δ -˝˝Ò

686845 =⋅= tg MN ÒÏ

“ ̋ „‚ ̋Î 9668286 =+=b ·Û ̨ Û

5.496

6.4326

−=−= F y ÒÏ ·ÓÎÌÓ.

7 ñ7 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ 3.787 −=a ÒÏ , ∞=5b

9.213.78

5.17147

=−

−= F x ÒÏ 07= F y

·ÓÎÌÓ.8 ñ8 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ı Û‚¸‰ 6 ñ6 ¯øð„ ̋ „˜ËÈÌ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú˚„ ÓÎÒÓÌ ‡‰ËÎ‡‡ð (7.9ñðÁÛð„ËÈ„ øÁ) „øÈˆ ̋ Ú„ ̋ Ì˝.

7.5

ÃÛ¯„Ëð‡ÎÚÚ‡È „ÛÎÁ‡ÈÎÚ ̊ Ì ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ‰‡ð‡‡Î‡Î

1. √ ÓÎ˚Ì ÚÓÓˆÓÓÌ˚ Ò ı ÂÏËÈ„ øÈÎ˜ËÎÊ ·ÛÈ ı ø˜ÌËÈ ı ‡ÏÚ ı , Û Ú˝Ì ı Î˝„ ‰ ̋ ˝ð ÁÓ ı ËÓÊ ÁÛðÌ‡.

2. √ ÓÎ ‰ ̋ ˝ð øÈÎ˜Î˝ı ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÓÎÌÓ.

3. √ ÓÎ˚Ì ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì ðÂ‡ÍˆËÈ„ ÓÎÌÓ.

4. √ ÓÎ ‰ ̋ ˝ð øÈÎ˜Î˝ı „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÚÓÓˆÓÓ ı ËÈÊ , ˝Ô˛ðËÈ„ Ì¸·‡È„ÛÛÎÌ‡.

5. √ ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÌËÈÎ·˝ð ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎÌ‡.

6. √ ÓÎ ‰ ̋ ˝ð øÈÎ˜Î˝ı ÏÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÚÓÓˆÓÓ ı ËÈÊ , ÚøøÌËÈ

˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎÌ‡.7.

“ÓÓˆÓÓÌ˚ ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÛÚ„ ̊ „ ÓÎÌÓ.8. ¡‡Ú ·º ı ËÈÌ Ìº ı ̂ ºÎººÒ „ÓÎ˚Ì Ó„ÚÎÓÎ˚„ ÒÓÌ„ÓÌÓ.

∆ Ë¯˝˝ 7.5. ØðÎ˝Ì ı ÓÎ ı Ë‚˜ ÒÛÛÎ„‡Ò‡Ì „ÓÎ ‰ ̋ ˝ð 301 =d ÒÏ,

152 =d ÒÏ „ÓÎ˜ÚÓÈ ı Ó∏ð ‡ð‡‡ ÒÛÛÎ„‡Ê ̋ ˝. ¿ð‡‡Ì˚ ÚÓÈðÓ„ ı ø˜ 51=t F ÍÕ,

102=t F , Áº‚¯ººð„º‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î [ ] 100=σ Ãœ‡ ·ÓÎÌÓ. 15=a , 30=l ·ÓÎÌÓ.

¡Ó‰ÓÎÚ.

1. ’ÓÎ ı Ë‚˜ËÈ„ ı º‰ºÎ„ººÌ„øÈ, ı º‰ºÎ„ººÌÚ˝È ÌÛ„‡ÒÚ‡È ÚÛÎ„ÛÛð‡‡ð




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

153

ÒÓÎ¸Ê , „ÓÎ˚„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ¯Û„‡Ï‡‡ð ÚÓÓˆÓÓÌ˚ Ò ı ÂÏ ‰ ̋ ˝ð ÁÛðÌ‡. (7.9ñËÈÌ ·,

‚ ñð ÁÛð‡„) ÃºÌ ÚÓÈðÓ„ ı ø˜ËÈ„ ÚÓÓˆÓÓÌ˚ Ò ı ÂÏ ‰ ̋ ˝ð ÁººÌº.

2. “ÓÈðÓ„ ı ø˜øø‰ËÈ„ ¬, – ˆ ̋ „ ‰ ̋ ˝ð øÈÎ˜ËÎÊ ·ÛÈ „‡‰‡‡‰ ÏÛ¯„Ë ı

ÏÓÏÂÌÚÓÓð ( eT ) ÒÓÎËÌÓ.

75.02

3.05

2

1

11=⋅=⋅=

d F T t e ÍÕ

75.02

15.010

2

2

22=⋅=⋅=

d F T t e ÍÕ

21 ee T T = ˝Òð˝„ ˜Ë„Î ̋ÎÚ˝È Û˜ð‡‡Ò „Ó˚Ì ¬,– Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı ÓÓðÓÌ‰

ÏÛ¯„Ëð‡ÎÚ ·ÓÎÌÓ.

3. “ÛÎ„ÛÛð˚

Ì ðÂ‡ÍˆËÈ„ ÓÎÊ, (7.10· ñð ÁÛð‡„) „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı

ÏÓÏÂÌÚ˚

Ì˝

Ô˛

ð·‡È„ÛÛÎÌ‡. (7.10„ ñð ÁÛð‡„)

( ) 25.16.0

15.05

2020 1

1=

⋅=

+

⋅==⋅++=∑

al

a F Da F al D M

t y t y A ÍÕ

( ) ( ) ( )

75.36.0

45.05

20220 1

1=

⋅=

+

+⋅==+⋅−+=∑

al

al F Aal F al A M

t y t y D ÍÕ

√ ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÚÓÓˆÓÓ1 ñ1 Ó„ÚÎÓÎ‰ ( )15.000 11 ≤≤≤≤ z a z

11 z A M y z ⋅=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅=

=

=

=

56.015.075.3

0

15.0

0

1

1

z

z

M

M

ÍÕ⋅Ï

2 ñ2 Ó„ÚÎÓÎ‰ ( )6.015.0 1 ≤≤ z

( )a z F z A M t y z −⋅−⋅= 22 12 ⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅−⋅=

=⋅=

=

=

045.056.075.3

56.015.075.3

6.0

15.0

1

2

z

z

M

M

ÍÕ⋅Ï

x x D A , ðÂ‡ÍˆËÈ„ ÓÎ ˙∏. ( 7.10‚ ñð ÁÛð‡„)

( ) ( ) 5.76.0

45.01002;0

2=

⋅==+−+⋅=∑ x x t A Dal Dal F M ÍÕ

( ) 5.26.0

15.01002;0

2=

⋅==⋅−+⋅=∑ x t x D Aa F al A M ÍÕ

√ ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÚÓÓˆÓÓ3 ñ3 Ó„ÚÎÓÎ‰ ( )45.00 3 ≤≤ z

33 z A M x z ⋅= ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅=

=

=

=

13.145.05.2

0

45.0

0

3

3

z

z

M

M

ÍÕ⋅Ï




4 ñ4 Ó„ÚÎÓÎ‰ ( )15.00 1 ≤≤ z

43 z D M x z ⋅=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅=

=

=

=

13.115.05.7

0

15.0

0

3

4

z

z

M

M

ÍÕ⋅ÏÃÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ 7.10 ‰ ñð ÁÛð„‡‡Ò ı ‡ð.

‡

·

‚

„

‰

Â

Ê

7.10 ñð ÁÛð‡„



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

155

4. √ ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÌËÈÎ·˝ð ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ ˙ˇ.

ØøÌËÈ ÚÛÎ‰ „ÓÎ˚Ì ¬, – Ó„ÚÎÓÎ‰ ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈÌ (7.10 „, ‰ ñðÁÛð‡„ ) ÛÚ„ ̊ „ ÓÎÊ, ı ÓÓðÓÌ‰ Ì˝Ï˝ ̋‰ Í‚‡‰ð‡Ú ˇÁ„ÛÛð „‡ð„‡Ì‡.

38.015.05.2 =⋅=⋅= a A M x

x

B ÍÕ⋅Ï19.015.025.1 =⋅=⋅= a D M y

x C ÍÕ⋅Ï ·ÓÎÌÓ.

“ ̋ „‚ ̋Î ¬, – Ó„ÚÎÓÎ ‰ ̋ ˝ð ı ·øÚ˝Ì „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ:

( ) ( ) 68.038.056.0 2222=+=+= x

B y B B M M M ÍÕ⋅Ï

( ) ( ) 15.113.119.0 2222=+=+= x

C y C C M M M ÍÕ⋅Ï

5. ÃÛ¯„Ë ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎÌ‡(7.10 Êñð ÁÛð). √ ÓÎ˚Ì ¬, –

Ó„ÚÎÓÎ˚

Ì ı

ÓÓðÓÌ‰ ÏÛ¯„Ëð‡ÎÚ ·ÓÎÌÓ. ›Ì˝

ı˝

Ò„ËÈÌ ÏÛ¯„Ë ı

ÏÓÏÂÌÚ ( T ) Ì¸75.01== eT T ÍÕ⋅Ï ·ÓÎÌÓ.

6. √ ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÌËÈÎ·˝ð ˝Ô˛ð˝˝Ò (7.10Âñð ÁÛð‡„ ) ı ‡ð‡ ı ‡‰,

„ÓÎ˚Ì ‡ ̨ ÛÎÚ‡È Ó„ÚÎÓÎ Ì¸ – ˆ ̋ „Ú ı ‡ð„‡ÎÁ‡Ì‡. ( 15.1max = M ÍÕ⋅Ï). ¡º ı

·‡Ú˚Ì IV ñð ÓÌÓÎÓÓð ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ( Ã “ ) ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ∏.

32.115.175.075.075.0 222max

2 =+⋅=+⋅= M T M T ÍÕ⋅Ï

7. ¿ ̨ ÛÎÚ‡È Ó„ÚÎÓÎ‰ ı ‡ð„‡ÎÁ‡ ı „ÓÎ˚Ì ‰Ë‡ÏÂÚðËÈ„ ÓÎ ˙∏.

[ ] 1.51010014.3

1032.132323

6

3

3 ≅⋅⋅

⋅⋅=σ⋅π

⋅= T

M d ÒÏ.

ДААЛГАВАР №7. Нийлмэл эсэргүүцэл

›Ì˝ ‰‡‡Î„‡‚‡ð „Ûð‚‡Ì ·Ó‰ÎÓ„ÓÓÒ ·øð‰ ̋ Ì˝.

1.

∆ Ë¯øø „ÛÎÁ‡ÈÎÚ

ª„º„‰ÒºÌ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì (7.11ñð ÁÛð‡„) ‰‚ÛÚ‡‚ð Ó„ÚÎÓÎ ÒÓÌ„ÓÊ‡ ) ËÌÂðˆËÈÌ „ÓÎ ı ‡‚Ú„‡ÈÌÛÛ‰ øÈÎ˜Î˝ı „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð

·‡È„ÛÛÎ‡ ı · ) ‡ ̨ ÛÎÚ‡È Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Á‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ÓÎÊ ·ÓÒÓÓ

ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.‚ ) ÒÛÎ øÁøøðËÈÌ ·øÚ˝Ì Ú‡ ı ËÈÎÚ˚„ ÓÎ.




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

157

7.11– р зургийн үргэлжлэл




7.1-ð ı øÒÌ˝„Ú

π ‡,

Ï

c,

Ï

d ,

Ï

F

ÍÕ

Q

ÍÕ/Ï

Ã

ÍÕ⋅Ï

h

ÒÏ

b,

ÒÏ

ƒÛ„‡‡ð

‰‚ÛÚ‡‚ð ¯‚ÂÎÎÂð

1 1 3 2 30 20 10 20 15 18 14

2 2 2 2 10 20 30 24 12 16 16

3 1 3 2 20 20 20 30 15 36 14‡

4 2 2 2 20 20 30 24 18 18 16‡

5 1 3 2 10 10 10 28 12 18‡ 18

6 2 2 2 10 30 30 18 16 16 20

7 1 3 2 20 10 10 24 12 20 18‡

8 2 2 2 20 10 20 20 12 30 20‡9 1 3 2 20 30 20 27 16 27 22

10 2 2 2 10 30 10 21 12 27‡ 22‡

11 1 3 2 10 30 10 20 12 24 24

12 2 2 2 10 10 10 18 12 24‡ 24‡

13 1 3 2 30 10 30 24 16 27 14

14 2 2 2 30 30 30 24 16 24 16

15 1 3 2 30 30 30 30 18 24‡ 16‡

16 2 2 2 10 30 10 30 18 30 27

17 12 3 2 10 20 20 28 12 30‡ 18

18 1 2 2 10 30 10 28 15 20 16

19 2 3 2 20 30 20 24 18 20‡ 20

20 1 2 2 20 10 30 30 18 18 22

2. “º‚ËÈÌ ·Ë¯ ¯‡ ı ‡ÎÚ

¡‡„‡Ì‡Ì˚ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ˇÏ‡ð Ì˝„ ˆ ̋ „Ú (7.12ñð ÁÛð‡„) ÚøøÌËÈ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È Ô‡ð‡ÎÎÂÎ¸ F ı ø˜ øÈÎ˜Î˝ı øÂ‰ ÒÛÌ„‡ÎÚ˚Ì ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ˝Ò˝ð„øøˆ ̋ Î

3=t R Ãœ‡ ÒÛÌ„‡ÎÚ˚Ì øÂËÈÌ ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ˝Ò˝ð„øøˆ ̋ Î 30=c R Ãœ‡ ·ÓÎ

‡ ) «‡‡„ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ·‡ÈðÎ‡Î˚„ ÓÎ· ) «º‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î‚ ) ’‡Ï„ËÈÌ Ë ı ÒÛÌ„‡ ı , ¯‡ ı ‡ ı ı ø˜‰ ̋ ËÈ„ ÓÎÊ ı ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ„ ) Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ˆºÏ ·‡È„ÛÛÎ




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

159






π F ,

ÍÕ

‡,

Ï

b,

Ï

’ø˜ÌËÈ

øÈÎ˜Î ̋ÎËÈÌ ˆ ̋ „

1 120 30 12 1

2 100 24 10 2

3 160 30 12 3

4 100 24 14 1

5 180 36 15 2

6 200 40 18 3

7 320 50 20 1

8 220 28 16 2

9 240 36 18 3

10 260 40 16 1

11 280 30 14 2

12 100 24 10 3

13 120 30 12 1

14 160 40 16 2

15 120 34 12 3

16 160 36 14 1

17 200 40 16 2

18 240 34 18 3

19 260 40 20 1



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

161

3. ÃÛ¯„Ëð‡ÎÚÚ‡È „ÛÎÁ‡ÈÎÚ

ÃËÌÛÚ‡Ì‰ n Û‰‡‡ ˝ð„ ̋ ı ‰Û„ÛÈ Ó„ÚÎÓÎÚÓÈ „ÓÎ˚Ì (7.13ñð ÁÛð‡„) ı ºÚÎº„˜2 ‰‡Ï‡ð P 2 ˜‡‰‡Î ‰‡ÏÊÛÛÎ‡ ı ‡‰ 80=σ Ãœ‡ ı ø˜‰ ̋ Î Áº‚¯ººðº„‰ºÊ

·‡È„‡‡ ·ÓÎ „ÓÎ˚Ì „ÓÎ˜ËÈÌ ËÌÂð„ËÈÌ ÓÌÓÎÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ. ª„º„‰ÎËÈ„ 7.3ñð ı øÒÌ˝„Ú˝˝Ò ‡‚.




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

163

7.3 ñð ı øÒÌ˝„Ú

π K 2 D1

Ï D 2

Ïn

˝ð„/ÏËÌ A

Ïα

„ð‡‰

1 60 0.30 0.35 800 0.6 30

2 70 0.35 0.40 900 0.5 40

3 80 0.40 0.45 1250 0.9 30

4 90 0.45 0.50 1100 1.5 40

5 10 0.50 0.55 1000 1.4 30

6 110 0.55 0.60 950 1.3 40

7 120 0.60 0.65 900 1.2 30

8 130 0.55 0.60 800 1.1 40

9 140 0.50 0.55 1050 1.0 30

10 150 0.45 0.50 1100 0.9 40

11 65 0.40 0.45 900 0.8 30

12 75 0.35 0.40 1100 0.7 40

13 85 0.30 0.35 1050 0.6 30

14 95 0.50 0.55 1000 0.5 40

15 105 0.55 0.60 800 1 30

16 115 0.60 0.65 850 1.1 40

17 125 0.30 0.35 900 1.2 30

18 135 0.35 0.40 1050 1.3 40

19 145 0.40 0.45 800 1.4 30

20 155 0.45 0.50 850 1.5 40



Õ¿…Ãƒ” √ ¿¿— ¡ØÀ›√

√ ”—¬¿Õ ÃŒÃ≈Õ“¤Õ “›√ ÿ»“ √ ›À

8.1. ≈—ªÕ’»… Œ…À√ ŒÀ“

ƒÛÌ‰‡‡ ·øÚ˝Ì ÌÛ„‡Ò„øÈ, ı Ó∏ðÓÓÒ ‰ ̋ ˝¯ ÚÛÎ„ÛÛðÚ‡È ¯ÛÎÛÛÌ ‰‡ÏÌÛÛð˚ÌðÂ‡Íˆ ÓÎÓ ı Ó‰ „Ûð‚‡Ì ÏÓÏÂÌÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚÚ„ ̋ ÎËÈ„ ı˝ð˝„Î˝Ì˝.

ŒÎÓÌ ‡ÎÒÎ‡ÎÚ‡È ‰‡ÏÌÛÛð‡‡Ò ı Ó∏ð ‡ÎÒÎ‡Î˚„ ( 1

, +nn l l ) (8.1ñð ÁÛð‡„)

º„º„‰ÒºÌ ‡˜‡‡, øÎ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı ‡ÏÚ Ò‡Î„‡Ê øÁøøÎ˝‚.

−+1

,nn

ww ÏÓÏÂÌÚ˚Ì

˝Ô˛ðËÈÌ Ú‡Î·‡È;−+1, nn C C Ú‡Î·‡ÈÌ

ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚;−+1, nn aa ˝Ô˛ðËÈÌ

ÁøøÌ øÁøøð˝˝Ò ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ ı øðÚ ̋Î ı Á‡È;

−+1, nn bb ˝Ô˛ðËÈÌ

·‡ðÛÛÌ øÁøøð˝˝Ò ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ ı øðÚ ̋Î ı Á‡È;8.1-ð ÁÛð„ËÈÌ ı Û‚¸‰·Ë˜Ò˝Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î :

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅−=⋅++⋅+

+

+++++−

1

111111 6 )( 2

n

nn

n

nnnnnnnnn

l

bw

l

awl M l l M l M ; (8.1)

ØøÌËÈ„ „Ûð‚‡Ì ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÂðºÌ ı ËÈ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î „ ̋ Ê Ì˝ðÎ˝Ì˝.

›Ì˝ ÚÓÏ ˙∏Ó„ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ ÚÓ„ÚÏÓÎ øÂ‰ ( EI =const)‡¯Ë„Î‡Ì‡.

√ Ûð‚‡Ì ÏÓÏÂÌÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈÌ ¯ËÈ‰ËÈ„ ÓÎÒÓÌ˚ ‰‡ð‡‡ ÚÛÎ„ÛÛðÛÛ‰ ̊ ÌðÂ‡ÍˆËÈ„ ‰‡ð‡‡ ı ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ËÎ˝ð ı ËÈÎÌ˝.

M

l

n-1

n

n

n A M n-1 B n F

n

n

n B

R n An+1

l n l n+1

n+1nl n+1

n+1n M An+1 n+1 B

M q


n-1

b nna

nC

nω

l n

b n+1an+1

n+1C

n+1ω

l n+1

n+1

M n-1 M F q n+1 M nn




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

165

n

n

n

nnn

l

M

l

M A A +−= −10 (8.2)

0 1n nn n

n n

M M B B

l l

−= + − (8.3)

1++= nnn A B R (8.4)

n A , n B Ì¸ l n ‡ÎÒÎ‡ÎÚ‡È ı˝Ò„ËÈÌ ·‡ðÛÛÌ, ÁøøÌ ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì ðÂ‡Íˆ;

n R Ì¸ n ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì ·øÚ˝Ì ðÂ‡Íˆ; 1+n A Ì¸ l n+1 ‡ÎÒÎ‡ÎÚ‡È ı˝Ò„ËÈÌ ÁøøÌ

ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì ðÂ‡Íˆ; 0 0,n n B Ì¸ l n ‡ÎÒÎ‡ÎÚ‡È ‰‡ÏÌÛÛð ‰ ̋ ˝ð øÈÎ˜ËÎÊ ·ÛÈ

Áº‚ ı ºÌ „‡‰‡‡‰ ı ø˜Ì˝˝Ò øøÒ˝ı ðÂ‡Íˆ.

– ‡ Ì ‡ Ï Ê: R øÒ˝„ÌËÈ ·‡ðÛÛÌ ‰ ̋ ̋‰ øÒ˝„ Ì¸ ‡ÎÒÎ‡Î˚Ì ‰Û„‡‡ð˚„, ·‡ðÛÛÌ ‰ÓÓ‰ øÒ˝„ ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì ‰Û„‡‡ð˚„ ÚÛÒ ÚÛÒ ËÎ˝ð ı ËÈÎÌ˝.

8.2. ¡Ó‰ÎÓ„Ó ·Ó‰Ó ı ‰‡ð‡‡Î‡Î1.

«øøÌ Ú‡Î‡‡Ò ÚÛÎ„ÛÛð˚„ Ú˝„ ̋ ˝Ò, ‡ÎÒÎ‡Î˚„ Ì˝„ ̋ ˝Ò ˝ı Î˝Ì ‰Û„‡‡ðÎ‡Ì‡.2.

ª„º„‰ÒºÌ ‡˜‡‡ ·ÓÎÓÌ ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì øÎ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ ı ÏÓÏÂÌÚÓÓð‡˜‡‡Î‡„‰Ò‡Ì øÌ‰Ò˝Ì ÒËÒÚÂÏËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ‡ ı .

3.

ª„º„‰ÒºÌ ı ø˜Ì˝˝Ò øøÒ˝ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ ‰‡ÏÌÛÛð ÚÛÒ ·øð ‰ ̋ ˝ð·‡È„ÛÛÎ‡ ı .

4.

ª„º„‰ÒºÌ ‡˜‡‡ ·ÓÎÓÌ ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì øÎ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ ı ÏÓÏÂÌÚÓÓð‡˜‡‡Î‡„‰Ò‡Ì øÌ‰Ò˝Ì ÒËÒÚÂÏËÈ„ ·‡È„ÛÛÎ‡ ı .5.

ƒÛÌ‰‡ ı ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì ÚÓÓ„ÓÓð „Ûð‚‡Ì ÏÓÏÂÌÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜Ë ı .6.

“ ̋ „¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„ ÒËÒÚÂÏ˜Î˝Ì ·Ó‰ÓÊ øÎ Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ ı ÏÓÏÂÌÚ˚„( ......,, 210 M M M „.Ï) ÓÎÓ ı .

7.

“ÛÎ„ÛÛð˚Ì ðÂ‡ÍˆËÈ„ (8.2), (8.3), (8.4)ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.8.

¿ÎÒÎ‡Î ·øð ‰ ̋ ˝ð Ó„ÚÎÓÎ ı ËÈÊ ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚ÌÚ˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜ËÊ, ÚÓÓÌ ı ÓÎ·Ó„‰Î˚„ ÓÎÓ ı .

9.

ŒÎÒÓÌ ÚÓÓÌ ÛÚ„‡‡ð ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð

·‡È„ÛÛÎ‡ ı .

∆ Ë¯˝˝ 8.1. √ Ûð‚‡Ì ‡ÎÒÎ‡ÎÚ‡È, ÁøøÌ øÁøøð Ì¸ ÍÓÌÒÓÎ¸ ‰‡ÏÌÛÛð(8.3ñð ÁÛð‡„) ‰ ̋ ˝ð F, M, q ı ø˜ øÈÎ˜ËÎÌ˝. √ Ûð‚‡Ì ÏÓÏÂÌÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈ„‡¯Ë„Î‡Ì ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì ðÂ‡ÍËÈ„ ÓÎÊ, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ, ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ÌËÈ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.ª„º„‰ºÎ:

‡(Ï)

b(Ï)

c(Ï)

l 2(Ï)

l 3(Ï)

F(ÍH)

M(ÍHÏ)

q(ÍH/Ï)

2 4 2 6 6 30 60 10




¡Ó‰ÓÎÚ.1. “ÛÎ„ÛÛð˚„ Ú˝„ ̋ ˝Ò ˝ı Î˝Ì ÁøøÌ øÁøøð˝˝Ò (0,1,2,3 „.Ï) ‰Û„‡‡ðÎ‡Ì‡ (8.3añð

ÁÛð‡„).

2. ØÌ‰Ò˝

Ì ÒËÒÚÂÏËÈ„ ·‡È„ÛÛÎÌ‡. (8.3añð ÁÛð„ËÈ„ øÁ). Œ‰ÓÓ„ÓÓð Ã 1, Ã 2 ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝, ˜Ë„Î ̋Î Ï ̋‰ ̋ „‰ ̋ ı „øÈ ·‡È„‡‡.3. «‡ ı˚Ì ÚÛÎ„ÛÛð ‰ ̋ ˝ð ı ÏÓÏÂÌÚ º„º„‰ºº„øÈ ·ÓÎ Ú˝„Ú˝È Ú˝Ìˆøø „ ̋ Ê ‡‚Ì‡.

¡Ë‰ÌËÈ ÊË¯˝˝ÌËÈ ı Û‚¸‰ 602300 −=⋅−=⋅−= a F M ÍH⋅Ï; Ã 3=0 ·ÓÎÌÓ.

4. ƒÛÌ‰‡ ı (1,2) ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì ı Û‚¸‰ „Ûð‚‡Ì ÏÓÏÂÌÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜¸Â.

n=1. ( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

′′⋅′′+

′⋅′−=+++ 062

1

11

1

112221110

l

aw

l

awl M l l M l M (1)

n=2. ( )⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ ⋅+−=+++

3

333332221 062

l

bwl M l l M l M (2)

M q

a 2l cb l 3

a.

·.ql=45

1 M M 0

ω =022

40

a

a

1ω1

8

120

1

0

ωl 1

1

2l cb

3 M 2 M

b 3

32

ω3

l 3

q

‚.

60

28.92

31.0830

16.62

7.22

26.64

25.56

34.4422.77

32.65

Q

(ÍÕ)

„. M

(ÍÕÏ)


5. ØÌ‰Ò˝Ì ÒËÒÚÂÏËÈ„ (‰‡ÏÌÛÛð ÚÛÒ ·øðËÈ„ Ò‡Î„‡Ì ÁÛð‡ ı 8.4‡, 8.4·ñð ÁÛð‡„)Áº‚ ı ºÌ º„º„‰ÒºÌ „‡‰‡‡‰ ı ø˜ÌËÈ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð (8.3·ñð ÁÛð‡„)



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

167

·‡È„ÛÛÎÊ ˝Ô˛ðËÈÌ Ú‡Î·‡È ÚÛÎ„ÛÛð‡‡Ò ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ ı øðÚÎ˝ı ÚÓÓÌ ÛÚ„ ̊ „ÓÎ ˙∏.

1l b c

M A11 B

0

1 z 1

1

2

2

z 1

0

1

3l

1

12

3 A q

z 1

3 B

3

0 0

8.4‡ñð ÁÛð‡„ 8.4·ñð ÁÛð‡„

ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì 1ñð ‡ÎÒÎ‡Î‰ (8.4‡ñð ÁÛð‡„) 0 01 1, B ñÁº‚ ı ºÌ º„º„‰ÒºÌ „‡‰‡‡‰

ı ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋Î˝˝Ò øøÒ˝ı ðÂ‡Íˆ

( )

0

0 10 0 M M B b c= + + =

∑

( )

0

1

6010

6

M B

b c= − = − = −

+ÍÕ

( )01 10 0 M M A b c= − + =∑

( )01

6010

6

M A

b c= = =

+ ÍÕ

ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì 1ñð ‡ÎÒÎ‡Î‰ Áº‚ ı ºÌ „‡‰‡‡‰ ı ø˜Ì˝˝Ò øøÒ˝ı „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı˚Ì ÚÛÎ‰ ı Ó∏ð Ó„ÚÎÓÎ ı ËÈÌ˝.1ñ1 Ó„ÚÎÓÎ‰ ( )1 10 0 4 z b z ≤ ≤ ≤ ≤

( ) 01 1 1 z A z = ⋅ 1 0 z = ( )1 0 M z =

1 4 z = Ï ( )1 40 M z = ÍÕ∑Ï2ñ2 Ó„ÚÎÓÎ‰ ( )2 20 0 2 z c z ≤ ≤ ≤ ≤

( ) 02 1 2 z B z = ⋅ 2 0 z = ( )2 0 M z =

2 2 z = Ï ( )2 20 M z = − ÍÕ∑Ï

ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì 2ñð ‡ÎÒÎ‡Î‰ „‡‰‡‡‰ ı ø˜ øÈÎ˜Î˝ı „øÈ ·‡È„‡‡ ÚÛÎ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡„‰‡ ı „øÈ.

ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì 3ñð ‡ÎÒÎ‡Î‰ (8.4·ñð ÁÛð‡„) 0 03 3, A B -Áº‚ ı ºÌ „‡‰‡‡‰ ı ø˜ÌËÈ

øÈÎ˜Î ̋Î˝˝Ò øøÒ˝ı ðÂ‡Íˆ Ì¸

0 0 33 3

10 6030

2 2

ql A B

⋅= = = = ÍÕ

3ñð ‡ÎÒÎ‡Î‰ Áº‚ ı ºÌ „‡‰‡‡‰ ı ø˜Ì˝˝Ò øøÒ˝ı „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð·‡È„ÛÛÎ‡ ı˚Ì ÚÛÎ‰ Ì˝„ Ó„ÚÎÓÎ ı ËÈÌ˝.1ñ1 Ó„ÚÎÓÎ‰ ( )1 3 10 0 6 z l z ≤ ≤ ≤ ≤

( )2

0 11 3 1 2

qz M z A z = ⋅ − 1 0 z = ( )1 0 M z =

1 6 z = Ï ( )1 0 M z =




1 3 z = Ï ( )2

110 3

30 3 452

M z ⋅

= ⋅ − = ÍÕ∑Ï

ƒ ̋ ˝ð ı ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ‡ÎÒÎ‡Î ÚÛÒ ·øð ‰ ̋ ˝ð ı Áº‚ ı ºÌ „‡‰‡‡‰ ı ø˜ÌËÈ

øÈÎ˜Î ̋Î˝˝Ò øøÒ˝ı „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ 8.3·ñð ÁÛð‡„Ú ‰øðÒÎ˝‚.›Ô˛ðËÈÌ Ú‡Î·‡È, ÚÛÎ„ÛÛð‡‡Ò ı øÌ‰ËÈÌ Úº‚ ı øðÚ ̋Î ı Á‡ÈÌÛÛ‰ Ì¸:

80402

11 =⋅⋅=′

bw ÍÕ⋅Ï2;3

8

3

21 =⋅=′

ba Ï

20202

11 −=⋅⋅=″

cw ÍÕ⋅Ï2;3

142

3

14

3

11 =⋅+=⋅+=″

cba Ï

18012

610

12

333

3 =⋅

==ql

w ÍÕ⋅Ï2; 323

3 ==l

b Ï

1.

ŒÎÒÓÌ ÚÓÓÌ ËÎ˝ð ı ËÈÎÎ˝˝ (1), (2)ñð Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ÓðÎÛÛÎÊ, Ã 1, Ã 2 ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ˙∏.

( )0 1 2

8 1480 20

3 36 2 6 6 6 6 06 6

M M M

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟

⋅ + ⋅ + + ⋅ = − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

( )1 2180 3

6 2 6 6 0 6 06

M M ⋅⎛ ⎞

⋅ + ⋅ + + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2

1 2

24 6 240

6 24 540

M M

M M

+ = ⎫⎪⎬

+ = − ⎪⎭›Ì‰ ̋ ˝Ò: Ã 1= 16.66 ÍÕ⋅Ï M 1=ñ26.66ÍÕ⋅Ï

·ÓÎÌÓ.2.

1 2, M M ñÏÓÏÂÌÚÛÛ‰ ̊ „ ‡¯Ë„Î‡Ê ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ·Ó‰ËÚ ðÂ‡ÍˆÛÛ‰ ̊ „

ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ˙∏ .(8.2), (8.3) ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð 1ñð ‡ÎÒÎ‡Î‰

0 0 1

1 1 1 1

60 16.66

10 22.776 6

M M

A A l l

⎛ ⎞

= − + = − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠ ÍÕ

0 0 11 1

1 1

60 16.6610 22.77

6 6

M M B B

l l

⎛ ⎞= + − = − + − − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ ÍÕ

2ñð ‡ÎÒÎ‡Î‰ 0 02 20 0 A B = = ·ÓÎÓ ı˚„ ‡Ì ı ‡‡ð‚‡Î

0 1 22 2

2 2

16.66 26.660 7.22

6 6

M M A A

l l

⎛ ⎞= − + = − + − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ÍÕ

0 1 22 2

2 2

16.66 26.66

0 7.226 6

M M

B B l l

⎛ ⎞= + − = + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠ ÍÕ



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

169

3ñð ‡ÎÒÎ‡Î‰

0 2 33 3

3 3

26.6630 0 34.44

6

M M A A

l l

⎛ ⎞= − + = − − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ÍÕ

0 2 33 33 3

26.6630 0 25.566

M M B B l l

⎛ ⎞= + − = + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

ÍÕ

·ÓÎÌÓ.Õ˝„‰ø„ ̋ ˝ð ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì ·øÚ˝Ì ðÂ‡Íˆ Ì¸

A21 B

l 1 l 2

1

1

( )1 1 2 22.77 7.22 29.99 R B A= + = − + − = − ÍÕ

·ÓÎÌÓ.

’Ó∏ð‰Û„‡‡ð ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì ·øÚ˝Ì ðÂ‡Íˆ

A32 B

l 2 l 3

R 2

2

2 2 3 7.22 34.44 41.66 R B A= + = + = ÍÕ

·ÓÎÌÓ.

ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ÁøøÌ (0) ÚÛÎ„ÛÛðÚ øøÒ˝ı ·øÚ˝Ì ðÂ‡Íˆ Ì¸ ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì Ó„ÚÎÓÎ ‰‡ ı ̧ ·‡ðÛÛÌ ÁøøÌ ı˝Ò„ËÈÌ ‰ÓÚÓÓ‰ ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ ÌËÈÎ·˝ð˝˝ðÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ„‰ÓÌÓ. ¡‡ðÛÛÌ ı˝Ò„ËÈÌ ‰ÓÚÓÓ‰ ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ (ðÂ‡Íˆ)ñËÈ„ ·Ë‰

1 A „ ̋ Ê ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÒÓÌ ·º„ºº‰ ÁøøÌ ı˝Ò„ ̋ ˝Ò øøÒ˝ı ‰ÓÚÓÓ‰ ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜

(ðÂ‡Íˆ) Ì¸

A10 B

a l 1

R 0

0

0 0 1 30 22.77 52.77 R B A= + = + = ÍÕ

·ÓÎÌÓ.

¡‡ðÛÛÌ (4) ÚÛÎ„ÛÛðÚ øøÒ˝ı ðÂ‡Íˆ Ì¸

3 3 25.56 R B = = ÍÕ ·‡È ı˚„ ‡Ì ı ‡‡ð˜ ÌËÈÚ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ı Û‚¸‰ ·ÓÒÓÓÚ˝Ì ı Î˝„ ‰ ̋ ˝ð ı ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ ÔðÓÂÍˆ ̊ „ ·Ë˜¸Â.

0 y =∑

( )0 1 2 3 3 30 52.77 29.99 41.66 10 6 25.56 0 F R R R ql R − + + + − + = − + + − + − ⋅ + =

·‡ÈÌ‡. ’ø˜ÌËÈ ÔðÓÂÍˆÛÛ‰ ̊ Ì ÌËÈÎ·˝ð Ú˝„ „‡ð˜ ·‡È„‡‡ Ì¸ ðÂ‡Íˆ ̊ Ì ı ø˜Ìøø‰ËÈ„

Áº‚ ÓÎÒÓÌ ·‡ÈÌ‡.




ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ‡ ı˚Ì ÚÛÎ‰ Ú‡‚‡Ì Ó„ÚÎÓÎ ı ËÈÌ˝. › ı ÌËÈ 3 Ó„ÚÎÓÎ˚„ Ì¸ ÚÓÓÎÓÎ˚Ì ˝ı ËÈ„ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ÁøøÌ øÁøøðÚ,ÒøøÎËÈÌ 2 Ó„ÚÎÓÎ˚„ Ì¸ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ·‡ðÛÛÌ øÁøøðÚ ·‡È ı ‡‡ð ı ËÈÂ.

1ñ1 Œ„ÚÎÓÎ‰ 10 z a≤ ≤ ( 10 z ≤ ≤ 4Ï)( )1 30Q z F = − = − ÍÕ ( )1 1 M z F z = − ⋅

( )1 10 0 z M z = = 1 2 z = Ï ( )1 60 M z = − ÍÕ∑Ï

2ñ2 Œ„ÚÎÓÎ‰ 2a z a b≤ ≤ + (2Ï 2 z ≤ ≤ 6Ï)

( )2 0 30 52.77 22.77Q z F R = − + = − + = ÍÕ

( ) ( )2 2 0 2 2 M z F z R z = ⋅ + −

2 2 z = Ï ( )2 60 M z = − ÍÕ∑Ï

2 6 z = Ï ( )2 30 6 52.77 4 31.08 M z = − ⋅ + ⋅ = ÍÕ∑Ï

3ñ3 Œ„ÚÎÓÎ‰ 3a b z a b c+ ≤ ≤ + + (6Ï 1 z ≤ ≤ 8Ï)

( )3 0 22.77Q z F R = − + = ÍÕ ( ) ( )3 3 0 3 2 M z F z R z M = − ⋅ + − −

3 6 z = Ï ( )3 28.92 M z = − ÍÕ∑Ï

3 8 z = Ï ( )3 30 8 52.77 6 60 16.62 M z = − ⋅ + ⋅ − = ÍÕ∑Ï

4ñ4 Œ„ÚÎÓÎ‰ 4 30 z l ≤ ≤ (0 1 z ≤ ≤ 6Ï)

( )4 3 4Q z R q z = − + ⋅ ( )2

44 3 4 2q z M z R z ⋅= ⋅ −

4 0 z = ( )4 25.56Q z = − ÍÕ ( )4 0 M z = ÍÕ∑Ï

4 6 z = Ï ( )4 25.56 10 6 34.44Q z = − + ⋅ = ÍÕ ( )4 26.64 M z = ÍÕ∑Ï

3ñð ‡ÎÒÎ‡Î‰ Ú‡ð ı Ï‡Î ‡˜‡‡Î‡Î øÈÎ˜Î˝ı ÚÛÎ „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì˝ÍÒÚðÂÏÛÏ ÛÚ„‡ Ì¸

( ) 30 3 0 0

25.560 2.55

10

R Q z R qz z

q= − + = = = = Ï 0 2.55 z = Ï

( )2 20

0 3 010 2.5525.56 2.55 32.55

2 2

q z M z R z ⋅ ⋅= ⋅ − = ⋅ − = ÍÕ∑Ï

5ñ5 Œ„ÚÎÓÎ‰ 3 5 3 2l z l l ≤ ≤ + (6Ï 5 z ≤ ≤ 12Ï)

( )5 3 3 2 25.56 10 6 41.66 7.22Q z R q l R = − + ⋅ − = − + ⋅ − =

( ) ( ) ( )5 3 5 3 5 2 53 6 M z R z ql z R z = ⋅ − − + −

5 6 z = Ï ( )5 25.56 6 10 6 3 26.64 M z = ⋅ − ⋅ ⋅ = − ÍÕ∑Ï

5 12 z = Ï ( )5 25.56 12 10 6 9 41.66 16.68 M z = ⋅ − ⋅ ⋅ + = ÍÕ∑Ï

ƒ ̋ ˝ð ı ÛÚ„ÛÛ‰‡‡ð ·‡È„ÛÛÎÒ‡Ì ˝Ô˛ðËÈ„ 8.3‚, 8.3„ ñð ÁÛð‡„Ú ı ‡ðÛÛÎÎ‡‡.



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

171

∆ Ë¯˝˝ 8.2. «øøÌ øÁøøð Ì¸ ı º‰ºÎ„ººÌ„øÈ ·˝ı ̋Î„ ̋ ˝Ú˝È, ·‡ðÛÛÌ øÁøøðÌ¸ ÍÓÌÒÓÎ¸, ı Ó∏ð ‡ÎÒÎ‡ÎÚÚ‡È ‰‡ÏÌÛÛð(8.10añð ÁÛð‡„) º„º„‰Ê ̋ ˝.

“ÓÓÌ º„º„‰ºÎ: F, (ÍH) q, ÍH/Ï a, (Ï) b, (Ï) 21 l l = , (Ï) 3l , ( Ï)

50 15 3 2 5 3ŒÎÓ ı Ì¸:

1.

“ÛÎ„ÛÛð˚Ì ðÂ‡Íˆ 321 ,, R R R -ËÈ„ ÓÎ.

2.

’ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ÌËÈ ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.3.

√ ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ·‡È„ÛÛÎ.

‡.

·.

l 3l l

l l 0 1

0 M

0 1

1 M

1

l 2

2

2 M

2

M 3

3

a

q F

b

F q

‚.

1a 2a1b b2

ω =02

1a

1ω

1b

1

M =

4 6 . 9

m a x

„.

‰.

30.54

28.49

21.51

22.95

33.99 46.41

28.59

4.45


¡Ó‰ÓÎÚ




1.

«ÓÓÎÚ˚„ Úº„Ò„ºÎ„øÈ ·‡„‡ ÛðÚÚ‡È ( )0=ol Úº„Ò„ºÎ„øÈ Ë ı ı º¯øøÌ

˜‡Ì‡ðÚ‡È ‡ÎÒÎ‡Î‡‡ð, ÏºÌ ÒÛÎ øÁøøðÚ øÈÎ˜Î˝ı ı ø˜ËÈ„ ÚÛÎ„ÛÛð ‰ ̋ ˝ð

øÈÎ˜Î˝ı

ÏÓÏÂÌÚÓÓð (

2 23

0 3

15 3

0; 67.52 2

ql

M M

⋅

= = = = − ÍÕ⋅Ï00 =l ) ÚÛÒ ÚÛÒ ÒÓÎËÌÓ (8.10·ñð ÁÛð‡„).

2.

“ÛÎ„ÛÛðÛÛ‰ ̊ „ 0ñ˝˝Ò ˝ı Î˝Ì ‰Û„‡‡ðÎ‡Ê, ÚÛÎ„ÛÛð ÚÛÒ ·øð ‰ ̋ ˝ðÏÓÏÂÌÚ ........., 10 M M øÈÎ˜ÎøøÎÌ˝.

3.

Øð„ ̋ ÎÊ ‰‡ÏÌÛÛð˚„ ‡ÎÒÎ‡Î ·øð˝˝ð Ì¸ øÈÎ˜ËÎÊ ·ÛÈ „‡‰‡‡‰ ı ø˜ÌËÈ ı ‡ÏÚ Ò‡Î„‡Ì ÁÛðÊ (8.11; 8.12ñð ÁÛð‡„), Ú ̋‰„ ̋ ˝ðËÈÌ ðÂ‡ÍˆËÈ„ ÓÎÓÓ‰,„ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ ·‡È„ÛÛÎÌ‡ ( 8.9‚ñð ÁÛð‡„).

ba

A

1 F

2 z

21

1 z 1 2

B

2

0 02 2

2l

3

32

Aq

z 3

B

3

0 0

3 3

8.11-ð ÁÛð‡„ 8.12-ð ÁÛð‡„

( )02 20; 0 M A a b F b= ⋅ + − ⋅ =∑

0250 2

205

F b A

a b⋅ ⋅= = =+ ÍÕ

( )01 20; 0 M B a b F a= − ⋅ + + ⋅ =∑

02

50 330

5

F a B

a b

⋅ ⋅= = =

+ ÍÕ

0 0 23 3

15 537.5

2 2

ql A B

⋅= = = = ÍÕ

1,2ñð ‡ÎÒÎ‡Î˚Ì Áº‚ ı ºÌ „‡‰‡‡‰ ı ø˜ÌËÈ ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ 8.10‚ñð ÁÛð‡„Ú øÁøøÎ˝‚.

4. √

ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı

ÏÓÏÂÌÚ˚

Ì Ú˝„¯ËÚ„

˝ Î ·Ë˜¸Â (8.11, 8.12ñð ÁÛð).1ñ1 Ó„ÚÎÓÎ‰ ( );300 11 ≤≤≤≤ z a z

( ) ( ) ( )01 2 1 1 1; 0; 20 3 60 M z A z M z M z ′ ′′= ⋅ = = ⋅ = ÍÕ⋅Ï

2ñ2 Ó„ÚÎÓÎ‰ ( );200 22 ≤≤≤≤ z b z

( ) ( ) ( )02 2 2 2 2; 0; 30 2 60 M z B z M z M z ′ ′′= ⋅ = = ⋅ = ÍÕ⋅Ï

3ñ3 Ó„ÚÎÓÎ‰: ( );500 323 ≤≤≤≤ z l z

( ) ( ) ( ) 0;0;

233

23

323 =′′=′−⋅= z M z M z

q z A z M



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

173

ÃÓÏÂÌÚ˚Ì ˝ÍÒÚðÂÏÛÏ ÛÚ„‡ Ì¸:2 22

max15 5

46.878 8

ql M

⋅= = = ÍÕ⋅Ï ·ÓÎÌÓ.

1, 2ñð ÚÛÎ„ÛÛð˚Ì ı Û‚¸‰ „Ûð‚‡Ì ÏÓÏÂÌÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜ËÊ Ã 1

, Ã 2

ñ˚„ÓÎ ˙∏.n=1

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ″″+

′′+−=+++

1

11

1

111210100 062

l

bw

l

bwl M l l M l M

n=2

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

″″+

′′−=+++

2

22

1

11

1

112321211 62

l

bw

l

aw

l

awl M l l M l M

“ ̋ „¯ËÚ„ ̋ ÎËÈÌ øÒ„ ̋ Ì ËÎ˝ð ı ËÈÎÎËÈ„ ÚÓÓ„ÓÓð ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎ ˙∏.

903602

11 =⋅⋅=′

w ÍÕ⋅Ï2 23

3

2

3

21 =⋅=⋅=′

aa Ï

333

121 =⋅+=′

b Ï

60260

2

160

2

11 =⋅⋅=⋅⋅=″

bw ÍÕ⋅Ï2 3

112

3

13

3

11 =⋅+=⋅+=″

baa Ï

342

321 =⋅=″b Ï

25.15612

515

12

333

2 =⋅

==ql

w ÍÕ⋅Ï2 Ï5.22

5

23

22 ====l

ba

›‰„ ̋ ˝ð ÚÓÓÌ ÛÚ„ ̊ „ ‰ ̋ ˝ð ı Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ÓðÎÛÛÎÊ, Ã 1, Ã 2-˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÌÓ.

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅

+⋅

+−=++35

460

5

39006510M0 21 M

( ) ⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

⋅

⋅

+⋅

⋅

+

⋅

−=−++ 25

53.156

35

1160

5

290

69.465205 21 M M

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

1 30.54 M = − ÍÕ⋅Ï 2 22.92 M = − ÍÕ⋅Ï ·ÓÎÌÓ.

5. Øð„ ̋ ÎÊ ‰‡ÏÌÛÛð˚„ ‡ÎÒÎ‡Î˚Ì ÚÓÓ„ÓÓð Ò‡Î„‡Ì ÁÛðÊ, ðÂ‡ÍˆËÈ„ (8.2), (8.3)ÚÓÏ ˙∏Ó„ÓÓð ÓÎ¸∏ (8.14ñð ÁÛð).– ‡ Ì ‡ Ï Ê: ’º‰ºÎ„ººÌÚ˝È ÌÛ„‡ÒÚ‡È ı Ó∏ð ÚÛÎ„ÛÛð‡‡ð ÒÓÎ¸ÒÓÌ ı˝Ò„ËÈÌ‡ÎÒÎ‡Î˚„ l 0=0 „ ̋ Ê ‡‚Ì‡.




1l

b1 a z 2

z

1 2

1 M 1 A

1

F B 1

21 M 2

2

B M 2

3

2l

2

z 3

3 q A23 M

3

2


0 1 22 2

1 2

M M A A

l l = − + =

30.54 22.9220 21.51

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ÍÕ

0 1 22 2

1 1

M M B B

l l = + − =

30.54 22.9230 28.48

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ÍÕ

0 2 33 3

2 2

M M A A

l l = − + =

22.92 67.537.5 28.58

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ÍÕ

0 2 23 3

2 2

M M B B

l l = + − =

22.92 67.537.5 46.41

5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ÍÕ

“ÛÎ„ÛÛðÛÛ‰ ̊ Ì ·øÚ˝Ì ðÂ‡ÍˆËÈ„ ÓÎ ˙∏.1ñð ÚÛÎ„ÛÛð ‰ ̋ ˝ð 1 2 21.51 R A= = ÍÕ

2ñð ÚÛÎ„ÛÛð ‰ ̋ ˝ð2 2 3 28.48 28.58 57.06 R B A= + = + = ÍÕ

A B

l 2 l 3

R

2

3

3 4

3ñð ÚÛÎ„ÛÛð ‰ ̋ ˝ð 4 3 15 3 45 A ql = = ⋅ = ÍÕ

3 3 4 46.41 45 91.41 R B A= + = + = ÍÕ

·ÓÎÌÓ.

ÕËÈÚ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì ı Û‚¸‰ ·ÓÒÓÓ Ú˝Ì ı Î˝„ ‰ ̋ ˝ð ı ı ø˜Ìøø‰ËÈÌ ÔðÓÂÍˆ Ì¸

0 y =∑ 1 2 38 21.51 50 57.06 8 15 91.41 0 R F R q R − + − + = − + − ⋅ + ≈

“ ̋ „ „‡ð˜ ·‡È„‡‡ Ì¸ ðÂ‡ÍˆÛÛ‰ ̊ „ Áº‚ ÓÎÒÓÌ ·‡ÈÌ‡.6. ƒ‡ÏÌÛÛð ÚÛÒ ·øðËÈÌ Ó„ÚÎÓÎ ‰ ̋ ˝ð ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜, „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì

Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î ·Ë˜ËÊ ÚÓÓÌ ÛÚ„ ̊ „ ÓÎ ˙∏ (8.13ñð ÁÛð‡„).

A32 B

l 2 l 3

R 2

2



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

175

1ñ1 Ó„ÚÎÓÎ‰ ( a z ≤≤ 10 ) 10 3 z ≤ ≤ Ï

( )1 1 21.51Q z R = = ÍÕ

( )1 1 1 1

M z R z M = ⋅ +

1 z 0 3

1Q 21.51 21.51

1 z M -30.54 33.99

2ñ2 Ó„ÚÎÓÎ‰ ba z a +≤≤ 2 (3Ï 2 5 z ≤ ≤ Ï)

( )2 1 28.49Q z R F = − = − ÍÕ

( ) ( )2 1 2 2 1 M z R z F z a M = ⋅ − − +

2 z 3 5

2Q --28.49 -28.49

( )2 z 33.99 -22.99

3ñ3 Ó„ÚÎÓÎ‰ ( )3 30 z l ≤ ≤ ( 30 3 z ≤ ≤ Ï)

( )3 3Q z qz =

( )23

3 2

z M z q= −

3 z 0 3

3Q 0 45

3 z M 0 -67.5

4ñ4 Ó„ÚÎÓÎ‰ 3 4 3 4l z l l ≤ ≤ + (3Ï 4 8 z ≤ ≤ Ï)

( )4 4 3Q z qz R = −

( ) ( )24

4 3 4 32

qz M z R z = − + −

4 z 3 8

( )4Q z -46.41 28.59( )4 z -67.5 -22.95

›ÍÒÚðÂÏÛÏ ÛÚ„‡ ÓÎ ˙∏.

( )0 4 3 0Q z q z R = ⋅ − = 34

91.416.09

15

R z

q= = = Ï

( ) ( )2

415 6.09

91.41 6.09 3 4.45

2

M z ⋅

= − + ⋅ − = ÍÕ⋅Ï

’ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜, ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ·øÚ˝Ì ˝Ô˛ðËÈ„ 8.9 „,‰ñð ÁÛð‡„Ú øÁøøÎ˝‚.




≈–ƒØ √ ››— ¡ØÀ›√

ÿ¿’¿ √ ƒ–¿Õ ÿ»À¡›Õ»… “Œ√ “¬Œ— ∆ »À

9.1 ŒÕŒÀ¤Õ “Œ¬◊ ØÕƒ›–À›À

Œ„ÚÎÓÎ ÒÓÌ„Ó ı ÚÓÏ ˙∏Ó:

[ ]σ⋅ϕ≥

N A (9.1)

›Ì‰ ¿ ñ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È; −ϕ øÌ‰Ò˝Ì Áº‚¯ººðº„‰º ı

ı ø˜‰ ̋ ÎËÈ„ ·ÛÛðÛÛÎ‡ ı ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ (‰‡„ÛÛ „ÛÎÁ‡ÈÎÚ˚Ì ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ); N ñ¯ËÎ·˝ÌËÈ Ú˝Ì ı Î˝„ ‰‡„ÛÛ ¯‡ ı ‡ ı ı ø˜ ; −σ Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î.

ƒº ı øøÎ˝ı ‡ð„‡‡ð Ó„ÚÎÓÎ ÒÓÌ„Ó ı ‰ÓÓ ϕ = 0.4...0.6 ıˇÁ„‡‡ðÚ Ûð¸‰˜ËÎÒ‡Ì·‡È‰Î‡‡ð ‡‚Ì‡.

»ÌÂðˆËÈÌ ð‡‰ËÛÒ˚Ì ·‡„‡ ÛÚ„ ̊ „ ÓÎÓ ı ÚÓÏ ˙∏Ó

A

I i minmin = (9.2)

−min I ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ÏËÌËÏÛÏ ÛÚ„‡;

Ã‡ÚÂðË‡Î˚Ì Û ˇÌ ˜‡Ì‡ð˚„ ËÎ˝ð ı ËÈÎ˝ı ÚÓÏ ˙∏Ó

minil ⋅μ=λ (9.3)

“Ó„Ú‚ÓðÊÎ˚Ì Ìº ı ̂ ºÎËÈ„ ¯‡Î„‡ ı ÚÓÏ ˙∏Ó

[ ]T A

N σ σ ≤= (9.4)

[ ]−T σ ÚÓ„Ú‚ÓðÊÎ˚Ì Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î.

˝Ò‚ ̋Î R

T

⋅= ϕ σ (9.5)·‡ÈÊ ·ÓÎÌÓ.

’ ̋ ð˝‚ ÚÓ„Ú‚ÓðÊÎ˚Ì Ìº ı ̂ ºÎ ·ËÂÎ˝ı „øÈ ·ÓÎ ‰º ı øøÎ˝ı ‡ð„‡‡ð Ó„ÚÎÓÎ˚„ ‰‡ ı ËÌ ÒÓÌ„ÓÌÓ. ƒ‡ð‡‡„ËÈÌ ‰º ı øøÎ ̋ÎÚËÈ„ ı ËÈ ı ‰ ̋ ˝ ϕ ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ˚Ì

‰ÛÌ‰‡Ê ÛÚ„ ̊ „ ‡‚Ì‡.

211

2ϕ′+ϕ

=ϕ (9.6)

›Ì‰ −ϕ1 ‡Ì ı Ì˚ ‡‚Ò‡Ì ÓÈðÓÎˆÓÓ ı ÛÚ„‡ ( )5.01 =ϕ ; −ϕ′1 ÚÛ ı ‡ÈÌ

Ï‡ÚÂðË‡Î˚Ì ı øÒÌ˝„Ú˝˝Ò( −ϕλ, ËÈÌ ı ‡Ï‡‡ð‡Î ) ‡‚Ò‡Ì ÛÚ„‡ .



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

177

›Ì˝ ÚÓÓÌ˚ ·Ó‰ËÚ ÛÚ„ ̊ „ ÓÎÓ ı ‰ÓÓ ÚÓÓˆÓÓ„ÓÓð ÓÎÒÓÌ −ϕ ËÈÌ ÚÓÓÌ

ı ÓÎ·Ó„‰Î˚Ì ı ‡Ï„ËÈÌ ÓÈð ÛÚ„ÛÛ‰ ̊ „ ËÌÚÂðÔÓÎ ˇˆ˜ËÎÌ‡. −ϕ2 ı Ó∏ð‰Û„‡‡ð

‰º ı øøÎ ̋ÎÚ˝Ì‰ ‡¯Ë„Î‡ ı ·Ó‰ËÚ ÛÚ„‡.ÿ‡ ı ‡„‰Ò‡Ì ¯ËÎ·˝ÌËÈ ·º ı ·‡Ú˚„ ¯‡Î„‡ ı ÚÓÏ ˙∏Ó

σ σ ⋅

= ± ± ≤ ⎡ ⎤⎣ ⎦o

x x

N M F v

A W W (9.7)

ØøÌ‰ o M -«º‚ ı ºÌ ı ºÌ‰ÎºÌ ‡˜‡‡ÎÎ‡‡Ò øøÒ˝ı „ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ

flÌÁ ·øðËÈÌ Ï‡ÚÂðË‡Î˚Ì ϕ ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ˚Ì ı ÓÎ·Ó„‰ÓÎ


” ˇÌ˜‡Ì‡ð

i

l μ=λ

−ϕ ËÈÌ ı ÓÎ·Ó„‰ÓÎ

–Ú0,–Ú2,–Ú3,–Ú4

–Ú5

ÿËð˝Ï–˜-15-30,–˜-15-15–˜15-36,–˜41-40

ÿËð˝Ï

–˜21-14–˜28-48

¡ø ı ÚºðÎËÈÌ

ÏÓ‰

¡ÂÚÓÌ

’øÌ‰ ’ºÌ„ºÌ

0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.0010 0.99 0.98 0.97 0.95 0.99 1.00 1.0020 0.96 0.95 0.91 0.87 0.97 0.96 0.9630 0.97 0.92 0.81 0.75 0.93 0.90 0.8640 0.92 0.89 0.69 0.60 0.87 0.84 0.7350 0.89 0.86 0.57 0.43 0.80 0.76 0.6860 0.86 0.86 0.44 0.32 0.71 0.70 0.5970 0.81 0.82 0.34 0.23 0.60 0.63 0.5280 0.75 0.76 0.26 0.18 0.48 0.57 0.4690 0.69 0.70 0.20 0.14 0.38 0.51 -100 0.60 0.62 0.16 0.12 0.31 0.45 -

110 0.52 0.51 - - 0.25 - -120 0.45 0.43 - - 0.22 - -130 0.40 0.36 - - 0.18 - -140 0.36 0.33 - - 0.16 - -150 0.32 0.29 - - 0.14 - -160 0.29 0.26 - - 0.12 - -170 0.26 0.24 - - 0.11 - -180 0.23 0.19 - - 0.10 - -190 0.21 0.17 - - 0.09 - -

200 0.19 0.16 - - 0.08 - -




ðËÚËÍ ı ø˜ÌËÈ ÚÓÏ ˙∏Ó

( )2min

2

l

I E F cr

μ

π ⋅= (9.8)

›Ì‰ −μ ·˝ı ̋Î„ ̋ ˝Ì˝˝Ò ı ‡Ï‡‡ð‡ ı ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ; −l ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÛðÚ; ƒ‡„ÛÛ ñ ı ºÌ‰ÎºÌ „ÛÎÁ‡ÈÎÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î

k F

N l

z v

v

−

⋅π⋅

=1

sin0 (9.9)

−0v ı ºÌ‰ÎºÌ ‡˜‡‡ÎÎ‡‡Ò øøÒ˝ı „ÛÎÁ‡ÈÎÚ; − z ¯ËÎ·˝ÌËÈ Ú˝Ì ı Î˝„ËÈÌ ‰‡„ÛÛ

ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú;

’ ̋ ð˝‚ ı ‡Ï„ËÈÌ Ë ı „ÛÎÁ‡ÈÎÚ2l z = ÛÚ„‡Ì‰ ı ‡ð„‡ÎÁ‚‡Î (9.9) ÚÓÏ ˙∏Ó

‰‡ð‡‡ ı ı ̋Î·˝ðÚ˝È ·ÓÎÌÓ.

k F

N

vv

−=

1

0max

(9.10)

∆ Ë¯˝˝ 8.3

ƒ‡„ÛÛ- ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋Î‰ ÓðÊ ·ÛÈ „‡Ì ¯ËÎ·˝(9.1ñð ÁÛð)º„º„‰Ê ̋ ˝. Ã‡ÚÂðË‡Î˚Ì ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ˝Ò˝ð„øøˆ ̋ Î 160= R Ãœ‡ ·ÓÎÌÓ.ª„º„‰ºÎ : 400= N ÍÕ, 10= F ÍÕ, 5.2=l Ï

“ÓÓˆÓÓ„ÓÓð ÓÎÓ ı ÁøÈÎ1.

ÿËÎ·˝ÌËÈ Ó„ÚÎÓÎ˚„ ‰º ı øøÎ˝ı ‡ð„‡‡ð ÒÓÌ„Ó.2.

ƒ‡„ÛÛ , ı ºÌ‰ÎºÌ „ÛÎÁ‡ÈÎÚ˚Ì ÚÓÓˆÓÓ ı ËÈ.3.

ª„º„‰ÒºÌ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÍðËÚËÍ ı ø˜ËÈ„ ÓÎ.4.

ÿËÎ·˝ÌËÈ ·º ı ·‡Ú˚„ ¯‡Î„‡.

5.

“Ó„Ú‚ÓðÊÎ˚Ì ÌººˆËÈ„ ÓÎ




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

179

¡Ó‰ÓÎÚ .1. “Ó„Ú‚ÓðÊÎ˚Ì Ìº ı ̂ ºÎººÒ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚„ ‰º ı øøÎ˝ı ‡ð„‡‡ðÓÎ ˙∏. ›Ì‰ 4.0=ϕ -‡‡ð ‡‚‡‚.

Õ ˝„‰ø„ ˝ ̋ð ‰º ı øøÎ ̋ÎÚ:

0063.0101604.0

104006

3=

⋅⋅⋅=

⋅ϕ≥

R

N A Ï2=63ÒÏ2

Ï‡Ì‡È ÊË¯˝˝Ì‰ ·Ó‰ËÚ Ú‡Î·‡È

22

22

22.34

44

22 aa

ad

aa A =π

−=π

−⋅⋅= ·ÓÎÌÓ.

“º‚ Ú˝Ì ı Î˝„Ú˝È ı ‡ð¸ˆ‡Ì„ÛÈ ˝Ò˝ð„øøˆÎËÈÌ, ËÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÓÎ ˙∏

( )3

4343

28.125.064

14.3

12

22

5.06412

aa

aaa

h

d bh

W x =⋅⋅

−⋅

=

π−

=

( ) 4444343

min 28.064

14.3

12

16

6412

22

6412a

aaaaad hb I =

⋅−=

π−

⋅=

π−=

·ÓÎÌÓ.»ÌÂðˆËÈÌ ð‡‰ËÛÒ˚Ì ·‡„‡ ÛÚ„ ̊ „ ÓÎ ˙∏.

aa

a

A

I i 3.0

22.3

28.02

4min

min ≅==

” ˇ

Ì ˜‡Ì‡ð˚

„ ÚÓ‰Óð ı

ÓÈÎ ˙∏

. ( 1=μ ) „ ˝

Ê ‡‚Ì‡.

aai

l 3.833

3.0

2501

min

=⋅

⋅=

μ=λ

Œ‰ÓÓ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ‡ ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ÓÎ ˙∏.

5.422.3

63

22.3 ≅==

Aa ÒÏ

“ ̋ „‚ ̋Î 2.1855.4

3.833==λ ·ÓÎÌÓ.

9.1-ð ı øÒÌ˝„Ú˝˝Ò 180=λ øÂ‰ → 19.0=ϕ

190=λ øÂ‰ → 17.0=ϕ ‡‚ ˙ˇ.

»ÌÚÂðÔÓÎ ˇˆ˜ËÎ ˙ˇ:

1796.02.510

17.019.019.01 =⋅

−−=ϕ′

“ÓÚ‚ÓðÊÎ˚Ì Ìº ı ̂ ºÎ ·ËÂÎÊ ·ÛÈ ˝Ò˝ı ËÈ„ ¯‡Î„‡ ˇ.7.281601796.0

=⋅=⋅ϕ R Ãœ‡




4.60063.0

10400 3

=⋅

==σ A

N Ãœ‡

“ÓÓˆÓÓÌ˚ ı ø˜‰ ̋ Î Áº‚¯ººðº„‰º ı ı˝ÏÊ ̋ ˝Ì˝˝Ò

2.121009.28

4.67.28 =⋅− %> 5% ·‡ÈÌ‡.

’Ó∏ ð‰Û„‡‡ð ‰º ı øøÎ ̋ÎÚ. ϕ -ËÈÌ ‰ÛÌ‰‡Ê ÛÚ„ ̊ „ ÓÎ ˙∏.

29.02

1796.04.0

211

2 =+

=ϕ′+ϕ

=ϕ

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È„ ÓÎ ˙∏ 0086.01016029.0

104006

3

2 =⋅⋅

⋅= A ÒÏ2

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ÓÎ ˙∏. 2.522.3

86

22.3 === A

a ÒÏ

“ ̋ „‚ ̋Î Ï‡ÚÂðË‡Î˚Ì Û ˇÌ ˜‡Ì‡ð

3.1602.53.0

2501

min

=⋅

⋅=

μ=λ

i

l ·ÓÎÌÓ.

9.1-ð ı øÒÌ˝„Ú˝˝Ò λ = 160 øÂ‰ → 24.0=ϕ

λ = 170 øÂ‰ → 21.0=ϕ ‡‚‡‚.


24.03.010

21.024.024.02 =⋅

−−=ϕ′

Ã‡ÚÂðË‡Î˚Ì ·‡Ú ·º ı ËÈ„ ¯‡Î„‡ ˇ.

R A

N ⋅ϕ≤=σ 4.385.46;16024.0

0086.0

10400 3

≤⋅≤⋅

Áºðøø„ ÓÎ ˙∏.−

⋅ = >46.5 38.4

100 17.4 546.5

%

’ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ Áºðøø ÓÈðÚÒÓÌ ı ̋‰ËÈ ˜ Áº‚¯ººðº„‰ÒºÌ ı˝ÏÊ ̋ ˝Ì˝˝Ò Ë ı Û˜ð‡‡Ò ‰‡ ı ËÌ ‰º ı øøÎ ̋ÎÚ ı ËËÂ.

√ Ûð‡‚‰Û„‡‡ð ‰º ı øøÎ ̋ÎÚ ϕ -ËÈÌ ‰ÛÌ‰‡Ê ÛÚ„ ̊ „ ÓÎ ˙∏.

27.02

24.029.0

222

3 =+

=ϕ′+ϕ

=ϕ

Ã‡ÚÂðË‡Î˚Ì ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È„ ÓÎ ˙∏

0095.01016027.0

104006

3

3 =⋅⋅

⋅= A Ï2=95ÒÏ2



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

181

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ÓÎ ˙∏. 4.522.3

95

22.3 ===

Aa ÒÏ

“ ̋ „‚ ̋Î Ï‡ÚÂðË‡Î˚Ì Û ˇÌ ˜‡Ì‡ð

3.1544.53.0

2501

min=⋅

⋅=

μ=λ i

l ·ÓÎÌÓ.

9.1 ı øÒÌ˝„Ú˝˝Ò 150=λ øÂ‰ → 27.0=ϕ

160=λ øÂ‰ → 24.0=ϕ ‡‚‡‚.


26.03.410

24.027.027.02 =⋅

−−=ϕ′

“Ó„Ú‚ÓðÊÎ˚„ ¯‡Î„‡ ˇ.

R A

N ⋅ϕ≤=σ 2.431.42;1016027.095

0086.0

10400 63

≤⋅⋅≤⋅

Áºðøø„ ÓÎ ˙∏.−

⋅ = <42.1 43.2

100 2.6 542.1

%

’ø˜‰ ̋ ÎËÈÌ Áºðøø 5 ı Û‚ËÈÌ ‰ÓÚÓð ·‡È„‡‡ Û˜Ëð ÚÓ„Ú‚ÓðÊÎ˚Ì Ìº ı ̂ ºÎ ·ËÂÎÊ·‡ÈÌ‡. 95= A ÒÏ2 Ú‡Î·‡ÈÚ‡È Ï‡ÚÂðË‡Î ÒÓÌ„Ó‚.

2. ƒ‡„ÛÛ- ı ºÌ‰ÎºÌ „ÛÎÁ‡ÈÎÚ˚Ì ÚÓÓˆÓÓ ı ËÈÂ.

9.2 ñð ÁÛð‡„› ı Î˝ ̋‰ Áº‚ ı ºÌ ı ºÌ‰ÎºÌ ‡˜‡‡ÎÎ˚Ì (9.2ñð ÁÛð‡„) øÈÎ˜Î ̋Î‰ ·‡È„‡‡‡ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì – ˆ ̋ „ ‰ ̋ ı ¯ËÎÊËÎÚËÈ„ ( C v ) ÓÎÌÓ. ØøÌËÈ ÚÛÎ‰

‡. —Â‡Íˆ ¿, ¬ -ËÈ„ ÓÎ ˙∏.

∑ =⋅−⋅−⋅= 033

20

l F l F l R M A B

105.2

3/5.2105.23/2103/3/2=

⋅+⋅⋅=

⋅+⋅⋅= l

l F l F R A ÍÕ

M 0 , ÍÕÏ




10033

20 ==⋅+

⋅⋅+⋅−=∑ B B A R

l F

l F l R M ÍÕ ·ÓÎÌÓ.

· ) C v Ú‡ ı ËÈÎÚ˚„ ‡Ì ı Ì˚ Ô‡ð‡ÏÂÚðËÈÌ ‡ð„‡‡ð ÓÎ ˙∏. ÿËÎÊËÎÚËÈÌ

Ú˝„¯ËÚ„ ̋ ÎËÈÌ ÂðºÌ ı ËÈ ı ̋Î·˝ðËÈ„ ·Ë˜¸Â.

6

3

2

6

3

6

33

3

00

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−+⋅θ+=l z

F

l z

F z

R z EI IEIv EIv A

“ÛÎ„ÛÛð˚Ì Ìº ı ̂ ºÎ ‡¯Ë„Î‡Ê 00 , θv Ô‡ð‡ÏÂÚðËÈ„ ÓÎ ˙∏.

1ñð Ìº ı ̂ ºÎ

⎭⎬⎫

==

==

0

00

vl z

v z 2ñð Ìº ı ̂ ºÎ

1ñð Ìº ı ̂ ºÎËÈ„ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ÓðÎÛÛÎ·‡Î 00 =v ·ÓÎÌÓ.

2ñð Ìº ı ̂ ºÎËÈ„ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ÓðÎÛÛÎÊ

=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

−+⋅θ+=6

310

6

3

2

106

1000

33

3

0

l l

l l IE

162

6.1510

162

12510

6

6.15105.20 −−+⋅θ= IE

›Ì‰ ̋ ˝Ò:

( ) =⋅−−=⋅

⋅++−=θ IE IE

33

0 1093.65.2

1096.072.726

411

3

10814.31020238.0

1801093.6 −⋅−=⋅⋅⋅

⋅⋅−= ð‡‰ ·ÓÎÌÓ.

2384.528.028.0 44 =⋅== a I ÒÏ4=0.0238Ï4

11102 ⋅= E œ‡√ ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ (9.2· ñð ÁÛð)·‡È„ÛÛÎ ˙ˇ.

1ñ1 Ó„ÚÎÓÎ: ( )83.0030 11 ≤≤≤≤ z

l

z 11

z R M A z ⋅= 01 = z øÂ‰ 01 = z M

83.01 = z øÂ‰ 3.81 =′ z M ÍÕ⋅Ï

2ñ2 Ó„ÚÎÓÎ: ( )66.183.03

23 12 ≤≤≤≤ z

l z

l

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⋅=

3222

l z F z R M A z

83.02 = z øÂ‰ 3.82 =′ z M ÍÕ⋅Ï

66.12 = z øÂ‰ 3.82 =′′ z M ÍÕ⋅Ï



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

183

3ñ3 Ó„ÚÎÓÎ: ( )83.003

0 13 ≤≤≤≤ z l

z

33 z R M B z ⋅=

03 = z øÂ‰ 03 =′ z M ÍÕ⋅Ï

83.03 = z øÂ‰ 3.83 = z M ÍÕ⋅Ï

ŒÎÒÓÌ EI

v3

001093.6

;0 ⋅−

=θ= ı ÓÎ·Ó„‰Î˚„ Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î‰ ÓðÎÛÛÎ‡Ì,

25.1= z „ ̋ Ò˝Ì ÛÚ„‡‰ ¯‡ ı ‡„‰Ò‡Ì ¯ËÎ·˝ÌËÈ ı ºÌ‰ÎºÌ „ÛÎÁ‡ÈÎÚ ( C v ):

( )=

−−+⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=

6

83.025.1

6

25.11025.1

93.60

33

EI EI EIvC

5.512.03.325.193.6 −=−+⋅−=

811

33

105.111020238.0

105.5105.5 −⋅−=⋅⋅

⋅−=⋅−= EI

vC Ï ·ÓÎÌÓ.

ðËÚËÍ ı ø˜ËÈ„ ÓÎ ˙∏. (9.8)

( )( )

( )7

2

44112

2min

2

108.175.21

104.528.010214.3⋅=

⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅=

−

l

I E F cr

μ

π Õ

ÿËÎ·˝ÌËÈ ·øÚ˝Ì „ÛÎÁ‡ÈÎÚ˚„ (9.10) ÓÎ ˙∏.

88

max 107.11

178000000

4000001

105.11

1

−−

⋅−=

−

⋅−=

−

==

k

C C

F

N

vvv Ï

ÿËÎ·˝ÌËÈ ·º ı ·‡Ú˚„ ¯‡Î„‡ ˇ. (9.7)

=⋅

++=σ x

C

x W

v F

W

M

A

N 0

3.11610112

107.111010

10112

103.8

1095

104006

83

6

3

4

3

=⋅

⋅⋅⋅+

⋅

⋅+

⋅

⋅=

−

−

−−Ãœ‡<160Ãœ‡

·º ı ·‡Ú˚Ì Ìº ı ̂ ºÎ ·ËÂÎ ̋Ê ·‡ÈÌ‡.




ƒ¿¿À√ ¿¬¿— π8. ƒ‡‡Î„‡‚‡ð ı Ó∏ð ·Ó‰ÎÓ„ÓÓÒ ÚÓ„ÚÓÌÓ.

1.

–Ú‡ÚËÍËÈÌ ÚÓ‰Óð ı

ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„Ó

ª„º„‰ÒºÌ ÒÚ‡ÚËÍËÈÌ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ‰‡ÏÌÛÛð˚Ì (9.3ñð ÁÛð‡„) ı ºÌ‰ÎºÌ ı ø˜,„ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ðËÈ„ 9.2ñð ı øÒÌ˝„ÚËÈÌ º„º„‰Îººð ·‡È„ÛÛÎ.


π a

Ïq

ÍÕ/Ï

F ÍÕ

M ÍÕ⋅Ï π

a

Ïq

ÍÕ/Ï

F ÍÕ

M ÍÕ⋅Ï

1 2 20 30 18 11 2 40 32 362 1.2 28 28 20 12 1 38 50 22

3 1.4 26 32 24 13 1.2 36 42 24

4 1.6 24 40 30 14 1.4 34 40 26

5 1.8 30 42 32 15 1.6 32 46 28

6 1 32 36 24 16 1.8 42 34 30

7 1.2 34 48 20 17 2 46 30 32

8 1.4 28 42 26 18 1 48 50 20

9 1.6 20 36 32 19 1.2 32 28 24

10 1.8 30 28 34 20 1.4 30 26 30




Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

185






2. ÿ‡ ı ‡„‰Ò‡Ì ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÚÓ„Ú‚Óð

400= N ÍÕ ı ø˜ÌËÈ øÈÎ˜Î ̋Î˝˝ð ¯‡ ı ‡„‰‡Ê ·‡È„‡‡ l ÛðÚÚ‡È ¯ËÎ·˝ÌËÈ(9.4ñð ÁÛð‡„) ÚÓÓˆÓÓÌ˚ ˝Ò˝ð„øøˆ ̋ Î 210= R Ãœ‡, Áº‚¯ººðº„‰º ı ı ø˜‰ ̋ Î

160=σ Ãœ‡

1. ‰‡„ÛÛ „ÛÎÁ‡ÈÎÚ˚Ì ϕ ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ˚„ ‡¯Ë„Î‡Ì ·‡„‡Ì‡Ì˚

ı ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì ı˝ÏÊ ̋ ˝„ ÒÓÌ„Ó.2. ı ºÌ‰ÎºÌ ‰‡„ÛÛ „ÛÎÁ‡ÈÎÚ˚Ì ÚÓÓˆÓÓ ı ËÈ.

ª„º„‰ÎËÈ„ 9.3ñð ı øÒÌ˝„Ú˝˝Ò ‡‚ .



Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ›–›—√ ØØ÷›À

187







π F ,ÍÕ

l

Ïπ

F ,ÍÕ

l

Ï

1 160 3.5 11 186 3.0

2 216 3.0 12 150 3.23 176 3.4 13 180 3.4

4 124 3.6 14 224 4.0

5 110 4.0 15 282 3.4

6 210 3.2 16 144 2.8

7 172 2.8 17 110 2.6

8 140 3.6 18 220 2.4

9 100 4.0 19 280 3.4

10 200 3.5 20 140 3.2



188 Î‡‚Î‡ ı Ï‡ÚÂðË‡Î

’¿¬–—¿À“

Œ ̨ÛÚ‡Ì . . . . . . . . . “.ƒÓðÊ (ÍÓ‰ . . . . . )

”Î‡‡Ì·‡‡Ú‡ð 2002

¡‡„¯ . . . . . . . . . . . .Ã.¡‡Ú (ÍÓ‰ . . . . . . )

5

5

ÏÓÏÂÌÚ˚„ ÚÓ‰Óð ı ÓÈÎÓ ı ÕËÈÎÏ ̋Î ‰øðÒËÈÌ ËÌÂðˆËÈÌ

ƒ‡‡Î„‡‚‡ð π . . .

¬‡ðË‡ÌÚ . . .

– ̋‰ ̋ ‚:

20

ÿËÌÊÎ˝ı ” ı ‡‡Ì “Â ı ÌÓÎÓ„ËÈÌ » ı –Ûð„ÛÛÎ¸Ã‡ÚÂÏ‡ÚËÍËÈÌ –Ûð„ÛÛÎ¸ 5

“Â ı ÌËÍËÈÌÏÂ ı ‡ÌËÍËÈÌ

Ò‡Î·‡ð

’‡‚Ú‡ÒÌ˚ Á‡„‚‡ð



À‡‚Î‡ ı Ï‡ÚÂðË‡Î 189

Ã¿“ ≈—»¿À¤Õ ‘»«» ñÃ≈ ’¿Õ» »…Õ Ø«ØØÀ›À“ØØƒ

1ñð ı øÒÌ˝„Ú

Ã‡ÚÂðË‡Î

” ˇÌ ı ‡ðËÏ ı ‡ÈÌÏÓ‰ÛÎ¸ E ,

Ãœ‡

ÿËÎÊËÎÚËÈÌ ÏÓ‰ÛÎ¸ G,Ãœ‡

œÛ‡ÒÒÓÌ˚

ÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚν

ÿÛ„‡Ï‡Ì

Ú˝ Î˝ ÎÚËÈÌÍÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ

,106⋅α C 0/1

Õ ˇ„Ú ρ ,Í√ /Ï3

√ ‡Ì 5102 ⋅ 0.8∑105 0.30 12 7850

ÿËð˝Ï 5101 ⋅ 0.4∑105 0.25 10 7200

’ºÌ„ºÌ-ˆ‡„‡‡Ì

5107.0 ⋅ 0.3∑105 0.30 23 2700

«˝Ò 5101 ⋅ 0.4∑105 0.32 16 6500

ÃÓ‰(Ì‡ðÒ)

5101.0 ⋅ - - - 550

‘»«» ’›Ã ∆ »√ ƒ›’ØØÕØØƒ»…Õ Õ›√∆ »…Õ ’ŒÀ¡ŒŒ


’ ˝ÏÊË„‰ ˝ı øøÌËÈÌ˝ð Õ˝„ÊËÈÌ Õ˝„ÊËÈÌ ı ‡Ï‡‡ð‡ÎÌ˝ð Ú˝Ï‰ ̋ „Î˝„ ̋ ˝

’ø˜, ‡˜‡‡, ÊËÌ Ì¸˛ÚÓÌ Õ 1Õ = 0.1Í„1Õ/Ï = 0.1Í„/Ï1ÍÕ/Ï = 0.1ÚÒ/Ï1œ‡ = 0.1Í„Ò/Ï2 1Íœ‡ = 0.1ÚÒ/Ï2 1Ãœ‡ = 10Í„Ò/ÒÏ2

1Õ⋅Ï = 0.1Í„Ò⋅Ï

1ÍÕ⋅Ï = 0.1ÚÒ⋅Ï

1 ∆ = 0.1Í„Ò⋅Ï

1¬Ú = 0.1 Í„Ò⋅Ï/Ò

“‡ð ı Ï‡Î ‡˜‡‡Î‡Î Ì¸˛ÚÓÌ/ÏÂÚð Õ/Ï

√ ‡‰‡ð„ÛÛ„‡‡ðÚ‡ð ı Ò‡Ì ‡˜‡‡Î‡Î,ÏÂ ı ‡ÌËÍ ı ø˜‰ ̋ Î, Û ˇÌ ı ‡ðËÏ ı ‡ÈÌ ÏÓ‰ÛÎ¸

Ô‡ÒÍ‡Î¸(Ì¸˛ÚÓÌ ⋅ ÏÂÚð2 )

œ‡

’ø˜ÌËÈ ÏÓÏÂÌÚ Ì¸˛ÚÓÌ ⋅ ÏÂÚð ÕÏ

¿ÊËÎ ( ̋ ÌÂð„Ë) ÊÓÛÎ¸ ∆

◊‡‰‡Î ‚‡ÚÚ ¬Ú



À‡‚Î‡ı Ï‡ÚÂðË‡Î190

’ªÕƒÀªÕ Œ√ “ÀŒÀ¤Õ √≈ŒÃ≈ “— ’¿—¿ “ ≈—»–“ ≈ ØØƒ»…ÕÕ›√∆ »…Õ ’ŒÀ¡ŒŒ


π ’ ̋ ÏÊË„‰ ̋ ı øøÌ “ ˝Ï‰ ˝„ Î˝„ ̋ ˝ Õ˝„Êøø‰ËÈÌ ı ‡Ï‡‡ð‡Î

1 ’ºÌ‰ÎºÌ Ó„ÚÎÓÎ˚Ì Ú‡Î·‡È A 1ÒÏ2 4101 −

⋅= Ï2; 1Ï2 4101 ⋅= ÒÏ2

2 “‡Î·‡ÈÌ ÒÚ‡ÚËÍ ÏÓÏÂÌÚ , x S y S 1ÒÏ3 6101 −

⋅= Ï3; 1Ï3 6101 ⋅= ÒÏ3

3 ›Ò˝

ð„øøˆÎËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ

,, y x W W

pW 1ÒÏ3 6

101 −

⋅=

Ï3

; 1Ï3 6

101⋅=

ÒÏ3

4 »ÌÂðˆËÈÌ ÏÓÏÂÌÚ p xy

y x

I D

I I

,

,, 1ÒÏ4 8101 −

⋅= Ï4; 1Ï4 8101 ⋅= ÒÏ4

5√ ‡Ì„ËÈÌ Û ˇÌ ı ‡ðËÏ ı ‡ÈÌÏÓ‰ÛÎ¸ E

6102 ⋅ Í„Ò/ÒÏ2 11102 ⋅= Õ/Ï2 = 8102 ⋅= ÍÕ/Ï2 5102 ⋅= Ãœ‡



« ¿ — » Ã ’

¿ ¬ “ √ ¿ … ƒ Ø — – Ø Ø ƒ » …

Õ “ ¿ À ¡ ¿ … , ’ Ø Õ ƒ » … Õ “ ª ¬ » … Õ Œ Œ — ƒ » Õ ¿ “ ” ” ƒ

,

“ › Õ ’

À › √ Ø Ø ƒ “ › … ’ ¿ — ‹ ÷ ¿ Õ √ ”

… › – › — √ Ø Ø ÷ À » … Õ ¡ ¿ »

Õ ≈ — ÷ » … Õ Ã Œ Ã ≈ Õ “ ” ” ƒ

,

» Õ

≈ — ÷ » … Õ — ¿ ƒ » ” – ” ” ƒ

4 ñ ð

ı ø Ò Ì ˝ „ Ú

’ º Ì ‰ Î º Ì Ó „ Ú Î Ó Î ˚ Ì

ı ˝ Î · ˝ ð ø ø ‰

Œ „ Ú Î Ó Î ˚ Ì

Ú ‡ Î · ‡ È , Ò Ï 2

» Ì Â ð ˆ Ë

È Ì

Ï Ó Ï Â Ì Ú Û Û ‰ , Ò Ï 4

› Ò ˝ ð „ ø ø ˆ Î Ë

È Ì

Ï Ó Ï Â Ì Ú Û Û ‰ ,

Ò Ï 3

» Ì Â ð ˆ Ë È Ì ð ‡ ‰ Ë Û

Ò Û Û ‰ , Ò Ï

1

2

3

4

5

‚ ‡ ‰ ð ‡ Ú

b

b O

Y

X

2 b

1 2 4 b

I

I

y

x

=

=

6 3 b

W

W

y

x

=

=

b

b

i

i

y

x

2 8 9

. 0

1 2

=

=

=

’ º Ì ‰ Ë È Í ‚ ‡ ‰ ð ‡ Ú

2 1

2

b

b −

1 2

4 1

4

b

b I

I

y

x

−

=

=

b b

b

W

W

y

x

6

4 1

4

−

=

=

2 1

2

2 8 9

. 0

1 2

b

b

b

i

i

y

x

+

=

=

=




4 ñ ð ı ø Ò Ì ˝ „ Ú Ë È Ì ø ð „ ˝ Î Ê Î ˝ Î

1

2

3

4

5

»

ð Ï ˝ „ ˝ ˝ ð Ì ¸ · Ó Ò „ Ó Ò Ó Ì

Í ‚ ‡ ‰ ð ‡ Ú

2 b

1 2 4 b

I

I

y

x

=

=

3

3

1 1 8

. 0

2

6

b b

W

W

y

x =

=

=

=

b

i

i

y

x

2

8 9

. 0 =

=

“ ˝ „ ¯ º Ì ˆ º „ Ú

b h

1

2

1

2 3 3

h b

I

b h

I y x = =

6 6 2 2 h b

W

b h

W y x = =

b

b

i

h

h

i y x

2 8 9 . 0

1 2

2 8 9

. 0

1 2

=

=

=

=

192 À‡‚Î‡ ı Ï‡ÚÂðË‡Î



4 ñ ð ı ø Ò Ì ˝ „ Ú Ë È Ì ø

ð „ ˝ Î Ê Î ˝ Î

1

2

3

4

5

’ º Ì ‰ Ë È Ú ˝ „ ¯ º Ì ˆ º „ Ú

1

1 h b

b h −

1

2

1

2

3 1 1

3

3 1

1

3

b h

h b

I

h b

b h

I y x

−

=

−

=

b

b

h

h b

W

h

h

b

b h

W y x

6 6

3 1

1

3

3 1

1

3 −

=

−

=

(

)

(

)

1

1 3 1

1

3

1

1 3 1

1

3

1 2

1 2

h b

b h

b h

h b

i

h b

b h

h b

b h

i y x

− −

=

− −

=

√ Û ð ‚ ‡ Î Ê Ë Ì

3 h

u =

b h 2 1

1 2 4

3 6 3 3 3

1

b h

I

b h

I

b h

I u u x =

= =

√ Û ð ‚ ‡ Î Ê Ì ̊ Ó

ð Ó È

‰ ˝ ˝ ð ı ø ˜ ‰ ˝ Î Ú Ó

Ó ˆ Ó Ê

· Û È ø Â ‰ : 2 4 2 b h

W x =

– Û Û ð Ë È Ì ˆ ˝ „

‰ ˝ ˝ ð

ı ø ˜ ‰ Î Ë È „ Ú Ó Ó ˆ Ó Ê · Û È

ø Â ‰ : 1 2 2 b h

W x =

h

h

i x

2 3 6

. 0 2 3

=

=





ð „ ˝ Î Ê Î ˝ Î

1

2

3

4

5

¿ ‰

Ë Î ı ‡ Ê Û Û Ú „ Û ð ‚ ‡ Î Ê Ë Ì

b h 2 1

4

8 3

h b

I x =

2 4 2 h b

W x =

b

b

i x

2 0 4

.

0 2 3

6

=

=

“ ð ‡ Ô Â ˆ

1 1

0

2

3

b

b

b

b h

v

+ +

⋅

=

h b

b 2

1

+

(

)

1

2 1

1

2

3

3 6

4 b

b

b

b b

b h

I x

+

+

+

=

’ ø ˜ ‰ Î Ë È „ ‰ ˝ ˝ ‰

Ò Û Û ð Ë È Ì ˆ ˝ „ ‰ ˝ ˝ ð

Ú Ó Ó ˆ Ó Ê · Û È ø Â ‰ :

(

)

(

)

1

2 1

1

2

2

2

1 2

4

b

b

b

b b

b h

W x

+

+

+

=

’ ø ˜ ‰ Î Ë È „ ‰ Ó Ó ‰

Ò Û Û ð Ë È Ì ˆ ˝ „ ‰ ˝ ˝ ð

Ú Ó Ó ˆ Ó Ê · Û È ø Â ‰ :

(

)

(

)

1

2 1

1

2

2

2

1 2

4

b

b

b

b b

b h

W x

+

+

+

=

(

)

(

)

2 1

1

2

1 4

2 6

b

b b

b

b

b h

i x

+

+

×

×

+

=





ð „ ˝ Î Ê Î ˝ Î

1

2

3

4

5

“ ð ‡ Ô Â ˆ

h b

b 2

1

+

1 4 1

4

4 8

b

b

b

b h

I x

− −

⋅

=

1

2

4 1

4

2 4

b b

b

b

b

h

W x

− −

⋅

=

2 4

2 1

2 b b

i x

+

=

“ ˝ „ ¯ º Ì ˆ º „ Ú ø ø ‰ ˝ ˝ Ò

· ø ð ‰ Ò ˝ Ì Ú ˝ „ ¯ ı ˝ Ï Ú

‰ ‚ Û Ú ‡ ‚ ð

h b

B h

1

1

2

+

1 2

2

3

3

b h

B H

I x

−

=

;

1

2 2

3

1

3 1

B h

h b

I y

+

=

H

b h

B H

W x

6 2

3

3 −

=

;

B

B

h

h b

W y

6 2

3

1

3 1 +

=

A I

i

x

y =

;

A I

i

y

y =





ð „ ˝ Î Ê Î ˝ Î

1

2

3

4

5

ƒ Û „ Û È

4 2 d π

;

4

6 4

4

4

r

d

I

I

y

x

⋅

=

=

=

π

π

4

0 5 .

0

d

I

I

y

x

≈

=

;

4

3 2

3

3

r

d

W

W

y

x

⋅

=

=

=

π

π

4

1 . 0

d

W

W

y

x

≈

=

2

4

r

d i

i

y

x

=

=

=

÷ ‡ „ Ë ð ‡ „

d d

c

1

=

(

)

4

2 1

2

d

d

−

π

(

=

−

=

=

6 4

2 1

2

d

d

I

I

y

x

π (

) ;

1

6 4

4

4

c

d

−

=

π

(

) ;

1

4

4

4

c

r

I

I

y

x

−

⋅

=

=

π

(

)

4

4 1

0 5 . 0

c

d

I

I

y

x

−

≈

=

(

) ;

1

3 2

4

3

c

d

W

W

y

x

−

=

=

π

(

) ;

1

1 . 0

4

3

c

d

W

W

y

x

−

=

=

2 1

2

4 1

d

d

i

i

y

x

+

=

=




4 ñ ð ı ø Ò Ì ˝ „ Ú Ë È Ì ø ð „ ˝ Î Ê Î ˝ Î

1

2

3

4

5

“ ‡ Î ‰ Û „ Û È

r

r

v

4 2 4

. 0

3 4

0

≈

=

π

8 2 d ⋅

π

;

1 1 0

. 0

0 0 6 8 6

. 0

4

4

r

d

I x

≈

=

4

4

0 2 5

. 0

1 2 8

d

d

I y

≈

⋅

=

π

;

0 2 3 9

. 0

3

d

W x =

3

4

0 5 . 0

6 4

d

d

W y

≈

⋅

=

π

;

1 3 2

.

0

m i n

d

i

i x

≈

=

4 d i y =

« º ‚ Á Û ð „ ‡ ‡ Ì º Ì ˆ º „ Ú

2

5 9 8

. 2

a

A =

· Û ˛ Û

2

8 6 6

. 0

h

A =

4

0 6 . 0

h

I

I

y

x

=

=

· Û ˛

Û

4

5 4 1 . 0

a

I

I

y

x

=

=

3

3

6 2 5

. 0

1 2 . 0

a

h

W x

=

=

3

5 4 1

. 0

a

W y =

=

=

=

a

i

i

y

x

4 5 6 5

. 0

h

2 5 7 . 0 =





«¿—»Ã ’ fl À¡¿— ƒØ—–»…Õ “¿À¡¿… ’ØÕƒ»…Õ “ª¬


ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì‡˜‡‡ÎÎ˚Ì Ò ı ÂÏ √ ÛÎÁ‡ÈÎ„‡ ı Ã ÏÓÏÂÌÚ˚Ì ˝Ô˛ð ›Ô˛ðËÈÌÚ‡Î·‡È, w ’øÌ‰ËÈÌ Úº‚ ı

øðÚÎ˝ı

Á‡ÈC z C z l −

hl 2

l l

2

1

2

hl l

3

2 l

3

1

3

hl l

4

3 l

4

1

4

hl l

5

4 l

5

1

2

)( 21 l hh +

)( 3

)2(

21

21

hh

l hh

+

+ )( 3

)2(

21

21

hh

l hh

+

+

2

hl

3

l a +

3

l b +

hl 3

2 l

2

1 l

2

1

3

hl

16

5l

16

3l

)]( 3[6

2 l aal ql

++

)33( 4

386322

322

l al t a

l al l d

++

++

)33( 4

46322

322

l al l a

l al l a

++

++




i M , k M ›œfi—ØØƒ»…Õ Ø— ∆ ¬›—


i M ˝Ô˛ð k M ˝Ô˛ð

321 h sh ⋅ )2(

6 341 hh

sh+ )2(

6 341 cc

sh−

621 h sh ⋅ )2(

6 431 hh

sh+ )2(

6 341 cc

sh−

)2( 6 562

hh

sh+

++ )2( [

6435 hhh

s

)]2( 346 hhh ++

+− )2( [

6345 cch

s

)]2( 346 cch −+

)2( 6 12

2 cc sh

− −+ )( [

6 432 hhc s

)]2( 431 hhc +−

−− )2( [6 342 ccc s

)]2( 341 ccc −−

122h f s ⋅⋅ )3(

12 43 hh f s

+ )3( 12 34 cc f s

−

42

h f s ⋅⋅

)3( 12 34 hh f s

+ )3( 12 34 cc f s

−

32h f s ⋅⋅ )(

3 43 hh f s

+ )( 3 34 cc f s

−

42h f s ⋅⋅ )35(

12 43 hh f s

+ )53( 12 34 cc f s

−

12

2h f s ⋅⋅ )35(

12 34 hh

f s+ )35(

12 34 cc

f s−

6

)'2( 2 λ +h sh )'4(

6 43 λ hehkh s

++ )'4( 6 34 kcehc s

+−λ




Ã¿“ ≈—»¿À””ƒ¤Õ ƒ¿ √ ”” √ ”À«¿…À“¤Õ Œ›‘‘÷»≈Õ“¤Õ ”“ √ ¿


λ

√ ‡Ì ÿËð˝Ï ÃÓ‰(ÚºðÎººÒ

ı ‡Ï‡‡ð-„øÈ„ ̋ ˝ð)

¡ÂÚÓÌ–Ú10

–Ú2–Ú3–Ú4

–Ú5

ÕÀ-1

ÕÀ-1 –◊ 15-30

–◊ 15-15–◊ 15-36–◊ 41-40

–◊ 21-14

–◊ 28-48

’øÌ‰ ’ºÌ„ºÌ

0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

10 0.99 0.98 0.98 0.97 0.95 0.99 1.00 1.00

20 0.97 0.95 0.95 0.91 0.87 0.97 0.96 0.96

30 0.95 0.93 0.93 0.81 0.75 0.92 0.90 0.86

40 0.92 0.90 0.90 0.69 0.60 0.87 0.84 0.73

50 0.89 0.84 0.83 0.57 0.43 0.80 0.76 0.68

60 0.86 0.80 0.78 0.44 0.32 0.71 0.70 0.59

70 0.81 0.74 0.71 0.34 0.23 0.61 0.63 0.52

80 0.75 0.66 0.63 0.26 0.18 0.49 0.57 0.46

90 0.69 0.59 0.54 0.20 0.14 0.38 0.51 ñ

100 0.60 0.50 0.45 0.16 0.12 0.31 0.45 ñ

110 0.52 0.43 0.39 ñ ñ 0.26 ñ ñ

120 0.45 0.38 0.33 ñ ñ 0.22 ñ ñ

130 0.40 0.32 0.29 ñ ñ 0.18 ñ ñ

140 0.36 0.28 0.26 ñ ñ 0.15 ñ ñ

150 0.32 0.27 0.23 ñ ñ 0.14 ñ ñ

160 0.29 0.24 0.21 ñ ñ 0.12 ñ ñ

170 0.26 0.21 0.19 ñ ñ 0.11 ñ ñ

180 0.23 0.19 0.17 ñ ñ 0.10 ñ ñ

190 0.21 0.17 0.15 ñ ñ ñ ñ ñ

200 0.19 0.16 0.14 ñ ñ ñ ñ ñ



¹

’ ˝ Ï Ê ˝ ˝ , Ï Ï


∆ Ë Ì

X −

V

V −

U

U −

1

1

X

X

−

0

y

b

d

R

r

Ú ‡ Î · ‡

È ,

2

Ò Ï

1 Ï , Í „

x I , Ò Ï 4

x

i

, Ò Ï

m a x

, v I

, Ò Ï 4

m a x

, v i

, Ò Ï

m i n

, u

I

, Ò Ï 4

m i n

, u i

, Ò Ï

1 x I

, Ò Ï 4

Ò Ï

2

2 0

3

3 . 5

1 . 2

1 . 1 3

0 . 8 9

0 . 4 0

0

. 5 9

0 . 6 3

0 . 7 5

0 . 1 7

0 . 3 9

0 . 8 1

0 . 6 0

4

1 . 4 6

1 . 1 5

0 . 5 0

0

. 5 8

0 . 7 8

0 . 7 3

0 . 2 2

0 . 3 8

1 . 0 9

0 . 6 4

2 . 5

2 5

3

3 . 5

1 . 2

1 . 4 3

1 . 1 2

0 . 8 1

0

. 7 5

1 . 2 9

0 . 9 5

0 . 3 4

0 . 4 9

1 . 5 7

0 . 7 3

4

1 . 8 6

1 . 4 6

1 . 0 3

0

. 7 4

1 . 6 2

0 . 9 3

0 . 4 4

0 . 4 8

2 . 1 1

0 . 7 6

2 . 8

2 8

3

4

1 . 3

1 . 6 2

1 . 2 7

1 . 1 6

0

. 8 5

1 . 8 4

1 . 0 7

0 . 4 8

0 . 5 5

2 . 2 0

0 . 8 0

3 . 2

3 2

3

4 . 5

1 . 5

1 . 8 6

1 . 4 6

1 . 7 7

0

. 9 7

2 . 8 0

1 . 2 3

0 . 7 4

0 . 6 3

3 . 2 6

0 . 8 9

4

2 . 4 3

1 . 9 1

2 . 2 6

0

. 9 6

3 . 5 8

1 . 2 1

0 . 9 4

0 . 6 2

4 . 3 9

0 . 9 4

3 . 6

3 6

3

4 . 5

1 . 5

2 . 1 0

1 . 6 5

2 . 5 6

1

. 1 0

4 . 0 6

1 . 3 9

1 . 0 6

0 . 7 1

4 . 6 4

0 . 9 9

4

2 . 7 5

2 . 1 6

3 . 2 9

1

. 0 9

5 . 2 1

1 . 3 8

1 . 3 6

0 . 7 0

6 . 2 4

1 . 0 4

4

4 0

3

5

1 . 7

2 . 3 5

1 . 8 5

3 . 5 5

1

. 2 3

5 . 6 3

1 . 5 5

1 . 4 7

0 . 7 9

6 . 3 5

1 . 0 9

4

3 . 0 8

2 . 4 2

4 . 5 8

1

. 2 2

7 . 2 6

1 . 5 3

1 . 9 0

0 . 7 8

8 . 5 3

1 . 1 3

b

V

b

d

R

U

r

d O

Y 1

Y

r

X

1

y 0

X

¿ ‰ Ë Î ı ‡ Ê Û

Û Ú · Û Î ‡ Ì ( √ Œ – “ 8 5 0

9 - 7

2 )

÷ Û ‚ Ë Ï ‡ Î „ ‡ Ì „ Ë È Ì Ò Ó ð Ú ‡ Ï Â Ì

Ú

8 ñ ð ı ø Ò Ì ˝ „ Ú





8 - ð ı ø Ò Ì ˝ „ Ú Ë È Ì ø

ð „ ˝ Î Ê Î ˝ Î

¹

’ ˝ Ï Ê ˝ ˝ , Ï Ï


∆ Ë Ì

X −

V

V −

U

U −

1

1

X

X

−

0

y

b

d

R

r

Ú ‡ Î · ‡

È ,

2

Ò Ï

1 Ï , Í „

x I , Ò Ï 4

x

i

, Ò Ï

m a x

, v I

, Ò Ï 4

m a x

, v i

, Ò Ï

m i n

, u

I

, Ò Ï 4

m i n

, u i

, Ò Ï

1 x I

, Ò Ï 4

Ò Ï

3

2 . 6 5

2 . 0 8

5 . 1 3

1

. 3 9

8 . 1 3

1 . 7 5

2 . 1 2

0 . 8 9

9 . 0 4

1 . 2 1

4 . 5

4 5

4

5

1 . 7

3 . 4 8

2 . 7 3

6 . 6 3

1

. 3 8

1 0 . 5 0

1 . 7 4

2 . 7 4

0 . 8 9

1 2 . 1 0

1 . 2 6

5

4 . 2 9

3 . 3 7

8 . 0 3

1

. 3 7

1 2 . 7 0

1 . 7 2

3 . 3 3

0 . 8 8

1 5 . 3 0

1 . 3 0

3

2 . 9 6

2 . 3 2

7 . 1 1

1

. 5 5

1 1 . 3 0

1 . 9 5

2 . 9 5

1 . 0 0

1 2 . 4 0

1 . 3 3

5

5 0

4

5 . 5

1 . 8

3 . 8 9

3 . 0 5

9 . 2 1

1

. 5 4

1 4 . 6

1 . 9 4

3 . 8 0

0 . 9 9

1 6 . 6 0

1 . 3 8

5

4 . 8 0

3 . 7 7

1 1 . 2 0

1

. 5 3

1 7 . 8

1 . 9 2

4 . 6 3

0 . 9 8

2 0 . 9 0

1 . 4 2

3 . 5

3 . 8 6

3 . 0 3

1 1 . 6 0

1

. 7 3

1 8 . 4

2 . 1 8

4 . 8 0

1 . 1 2

2 0 . 3 0

1 . 5 0

5 . 6

5 6

4

6

2

4 . 3 8

3 . 4 4

1 3 . 1 0

1

. 7 3

2 0 . 8

2 . 1 8

5 . 4 1

1 . 1 1

2 3 . 3 0

1 . 5 2

5

5 . 4 1

4 . 2 5

1 6 . 0 0

1

. 7 2

2 5 . 4

2 . 1 6

6 . 5 9

1 . 1 0

2 9 . 2 0

1 . 5 7

4

4 . 9 6

3 . 9 0

1 8 . 9 0

1

. 9 5

2 9 . 9 0

2 . 4 5

7 . 8 1

1 . 2 5

3 3 . 1 0

1 . 6 9

6 . 3

6 3

5

7

2 . 3

6 . 1 3

4 . 8 1

2 3 . 1 0

1

. 9 5

3 6 . 6 0

2 . 4 4

9 . 5 2

1 . 2 5

4 1 . 5 0

1 . 7 4

6

7 . 2 8

5 . 7 2

2 7 . 1 0

1

. 9 3

4 2 . 9 0

2 . 4 3

1 1 . 2 0

1 . 2 4

5 0 . 0

1 . 7 8

4 . 5

6 . 2 0

4 . 8 7

2 9 . 0 0

2

. 1 6

4 6 . 0 0

2 . 7 2

1 2 . 0 0

1 . 3 9

5 1 . 0 0

1 . 8 8

5

6 . 8 6

5 . 3 8

3 1 . 9 0

2

. 1 6

5 0 . 7 0

2 . 7 2

1 3 . 2 0

1 . 3 9

5 6 . 7 0

1 . 9 0

7

7 0

6

8 . 0

2 . 7

8 . 1 5

6 . 3 9

3 7 . 6 0

2

. 1 5

5 9 . 6 0

2 . 7 1

1 5 . 5 0

1 . 3 8

6 8 . 4 0

1 . 9 4

7

9 . 4 2

7 . 3 9

4 3 . 0 0

2

. 1 4

6 8 . 2 0

2 . 6 9

1 7 . 8 0

1 . 3 7

8 0 . 1 0

1 . 9 9

8

1 0 . 7

8 . 3 7

4 8 . 2 0

2

. 1 3

7 6 . 4 0

2 . 6 8

2 0 . 0 0

1 . 3 7

9 1 . 9 0

2 . 0 2

5

7 . 3 9

5 . 8 0

3 9 . 5 0

2

. 3 1

6 2 . 6 0

2 . 9 1

1 6 . 4 0

1 . 4 9

6 9 . 6 0

2 . 0 2

7 . 5

7 5

6

9

3

8 . 7 8

6 . 8 9

4 6 . 6 0

2

. 3 0

7 3 . 9 0

2 . 9 0

1 9 . 3 0

1 . 4 8

8 3 . 9 0

2 . 0 6

7

1 0

. 1 0

7 . 9 6

5 3 . 3 0

2

. 2 9

8 4 . 6 0

2 . 8 9

2 2 . 1 0

1 . 4 8

9 8 . 3 0

2 . 1 0



8 - ð ı ø Ò Ì ˝ „ Ú Ë È Ì ø

ð „ ˝ Î Ê Î ˝ Î

¹

’ ˝ Ï Ê ˝ ˝ , Ï Ï


∆ Ë Ì

X −

V

V −

U

U −

1

1

X

X

−

0

y

b

d

R

r

“ ‡ Î · ‡

È ,

2

Ò Ï

1 Ï , Í „

x I , Ò Ï 4

x

i

, Ò Ï

m a x

, v I

, Ò Ï 4

m a x

, v i

, Ò Ï

m i n

, u

I

, Ò Ï 4

m i n

, u i

, Ò Ï

1 x I

, Ò Ï 4

Ò Ï

7 . 5

7 5

8

9

3

1 1

. 5 0

9 . 0 2

5 9 . 8 0

2

. 2 8

9 4 . 9 0

2 . 8 7

2 4 . 8 0

1 . 4 7

1 1 3 . 0 0

2 . 1 5

9

1 2

. 8 0

1 0 . 1 0

6 6 . 1 0

2

. 2 7

1 0 5 . 0 0

2 . 8 6

2 7 . 5 0

1 . 4 6

1 2 7 . 0 0

2 . 1 8

5 . 5

8 . 6 3

6 . 7 8

5 2 . 7

2

. 4 7

8 3 . 6

3 . 1 1

2 1 . 8

1 . 5 9

9 3 . 2

2 . 1 7

8

8 0

6

9

3

9 . 3 8

7 . 3 6

5 7 . 0

2

. 4 7

9 0 . 4

3 . 1 1

2 3 . 5

1 . 5 8

1 0 2

2 . 1 9

7

1 0 . 8

8 . 5 1

6 5 . 3

2

. 4 5

1 0 4

3 . 0 9

2 7 . 0

1 . 5 8

1 1 9

2 . 2 3

8

1 2 . 3

9 . 6 5

7 3 . 4

2

. 4 4

1 1 6

3 . 0 8

3 0 . 3

1 . 5 7

1 3 7

2 . 2 7

6

1 0 . 6

8 . 3 3

8 2 . 1

2

. 7 8

1 3 0

3 . 5 0

3 4 . 0

1 . 7 9

1 4 5

2 . 4 3

9

9 0

7

1 0

3 . 3

1 2 . 3

9 . 6 4

9 4 . 3

2

. 7 7

1 5 0

3 . 4 9

3 8 . 9

1 . 7 8

1 6 9

2 . 4 7

8

1 3 . 9

1 0 . 9

1 0 6

2

. 7 6

1 6 8

3 . 4 8

4 3 . 8

1 . 7 7

1 9 4

2 . 5 1

9

1 5 . 6

1 2 . 2

1 1 8

2

. 7 5

1 8 6

3 . 4 6

4 8 . 6

1 . 7 7

2 1 9

2 . 5 5

6 . 5

1 2 . 8

1 0 . 1

1 2 2

3

. 0 9

1 9 3

3 . 8 8

5 0 . 7

1 . 9 9

2 1 4

2 . 6 8

7

1 3 . 8

1 0 . 8

1 3 1

3

. 0 8

2 0 7

3 . 8 8

5 4 . 2

1 . 9 8

2 3 1

2 . 7 1

8

1 5 . 6

1 2 . 2

1 4 7

3

. 0 7

2 3 3

3 . 8 7

6 0 . 9

1 . 9 8

2 6 5

2 . 7 5

1 0

1 0 0

1 0

1 2

4

1 9 . 2

1 5 . 1

1 7 9

3

. 0 5

2 8 4

3 . 8 4

7 4 . 1

1 . 9 6

3 3 3

2 . 8 3

1 2

2 2 . 8

1 7 . 9

2 0 9

3

. 0 3

3 3 1

3 . 8 1

8 6 . 9

1 . 9 5

4 0 2

2 . 9 1

1 4

2 6 . 3

2 0 . 6

2 3 7

3

. 0 0

3 7 5

3 . 7 8

9 9 . 3

1 . 9 4

4 7 2

2 . 9 9

1 6

2 9 . 7

2 3 . 3

2 6 4

2

. 9 8

4 1 6

3 . 7 4

1 1 2

1 . 9 4

5 4 2

3 . 0 6

1 1

1 1 0

7

1 2

4

1 5 . 2

1 1 . 9

1 7 6

3

. 4 0

2 7 9

4 . 2 9

7 2 . 7

2 . 1 9

3 0 8

2 . 9 6

8

1 7 . 2

1 3 . 5

1 9 8

3

. 3 9

3 1 5

4 . 2 8

8 1 . 8

2 . 1 8

3 5 3

3 . 0 0

1 2 . 5

1 2 5

8

1 4

4 . 6

1 9 . 7

1 5 . 5

2 9 4

3

. 8 7

4 6 7

4 . 8 7

1 2 2

2 . 4 9

5 1 6

3 . 3 6

9

2 2 . 0

1 7 . 3

3 2 7

3

. 8 6

5 2 0

4 . 8 6

1 3 5

2 . 4 8

5 8 2

3 . 4 0




8 - ð ı ø Ò Ì ˝ „ Ú Ë È Ì ø

ð „ ˝ Î Ê Î ˝ Î

¹

’ ˝ Ï Ê ˝ ˝ , Ï Ï


∆ Ë Ì

X −

V

V −

U

U −

1

1

X

X

−

0

y

b

d

R

r

“ ‡ Î · ‡

È ,

2

Ò Ï

1 Ï , Í „

x I , Ò Ï 4

x

i

, Ò Ï

m a x

, v I

, Ò Ï 4

m a x

, v i

, Ò Ï

m i n

, u

I

, Ò Ï 4

m i n

, u i

, Ò Ï

1 x I

, Ò Ï 4

Ò Ï

1 0

2 4 . 3

1 9 . 1

3 6 0

3

. 8 5

5 7 1

4 . 8 4

1 4 9

2 . 4 7

6 4 9

3 . 4 5

1 2 . 5

1 2 5

1 2

1 4

4 . 6

2 8 . 9

2 2 . 7

4 2 2

3

. 8 2

6 7 0

4 . 8 2

1 7 4

2 . 4 6

7 8 2

3 . 5 3

1 4

3 3 . 4

2 6 . 2

4 8 2

3

. 8 0

7 6 4

4 . 7 8

2 0 0

2 . 4 5

9 1 6

3 . 6 1

1 6

3 7 . 8

2 9 . 6

5 3 9

3

. 7 8

8 5 3

4 . 7 5

2 2 4

2 . 4 4

1 0 5 1

3 . 6 8

9

2 4 . 7

1 9 . 4

4 6 6

4

. 3 4

7 3 9

5 . 4 7

1 9 2

2 . 7 9

8 1 8

3 . 7 8

1 4

1 4 0

1 0

1 4

4 . 6

2 7 . 3

2 1 . 5

5 1 2

4

. 3 3

8 1 4

5 . 4 6

2 1 1

2 . 7 8

9 1 1

3 . 8 2

1 2

3 2 . 5

2 5 . 5

6 0 2

4

. 3 1

9 5 7

5 . 4 3

2 4 8

2 . 7 6

1 0 9 7

3 . 9 0

1 0

3 1 . 4

2 4 . 7

7 7 4

4

. 9 6

1 2 2 9

6 . 2 5

3 1 9

3 . 1 9

1 3 5 6

4 . 3 0

1 1

3 4 . 4

2 7 . 0

8 4 4

4

. 9 5

1 3 4 1

6 . 2 4

3 4 8

3 . 1 8

1 4 9 4

4 . 3 5

1 2

3 7 . 4

2 9 . 4

9 1 3

4

. 9 4

1 4 5 0

6 . 2 3

3 7 9

3 . 1 7

1 6 3 3

4 . 3 9

1 6

1 6 0

1 4

1 6

5 . 3

4 3 . 3

3 4 . 0

1 0 4 6

4

. 9 2

1 6 6 2

6 . 2 0

4 3 1

3 . 1 6

1 9 1 1

4 . 4 7

1 6

4 9 . 1

3 8 . 5

1 1 7 5

4

. 8 9

1 8 6 6

6 . 1 7

4 8 5

3 . 1 4

2 1 9 1

4 . 5 5

1 8

5 4 . 8

4 3 . 0

1 2 9 9

4

. 8 7

2 0 6 1

6 . 1 3

5 3 7

3 . 1 3

2 4 7 2

4 . 6 3

2 0

6 0 . 4

4 7 . 4

1 4 1 9

4

. 8 5

2 2 4 8

6 . 1 0

5 8 9

3 . 1 2

2 7 5 6

4 . 7 0

1 8

1 8 0

1 1

1 6

5 . 3

3 8 . 8

3 0 . 5

1 2 1 6

5

. 6 0

1 9 3 3

7 . 0 6

5 0 0

3 . 5 9

2 1 2 8

4 . 8 5

1 2

4 2 . 2

3 3 . 1

1 3 1 7

5

. 5 9

2 0 9 3

7 . 0 4

5 4 0

3 . 5 8

2 3 2 4

4 . 8 9

1 2

4 7 . 1

3 7 . 0

1 8 2 3

6

. 2 2

2 8 9 6

7 . 8 4

7 4 9

3 . 9 9

3 1 8 2

5 . 3 7

2 0

2 0 0

1 3

1 8

6

5 0 . 9

3 9 . 9

1 9 6 1

6

. 2 1

3 1 1 6

7 . 8 3

8 0 5

3 . 9 8

3 4 5 2

5 . 4 2

1 4

5 4 . 6

4 2 . 8

2 0 9 7

6

. 2 0

3 3 3 3

7 . 8 1

8 6 1

3 . 9 7

3 7 2 2

5 . 4 6

1 6

6 2 . 0

4 8 . 7

2 3 6 3

6

. 1 7

3 7 5 5

7 . 7 8

9 7 0

3 . 9 6

4 2 6 4

5 . 5 4




8 - ð ı ø Ò Ì ˝ „ Ú Ë È Ì ø

ð „ ˝ Î Ê Î ˝ Î

¹

’ ˝ Ï Ê ˝ ˝ , Ï Ï


∆ Ë Ì

X −

V

V −

U

U −

1

1

X

X

−

0

y

b

d

R

r

“ ‡ Î · ‡

È ,

2

Ò Ï

1 Ï , Í „

x I , Ò Ï 4

x

i

, Ò Ï

m a x

, v I

, Ò Ï 4

m a x

, v i

, Ò Ï

m i n

, u

I

, Ò Ï 4

m i n

, u i

, Ò Ï

1 x I

, Ò Ï 4

Ò Ï

2 0

7 6 . 5

6 0 . 1

2 8 7 1

6

. 1 2

4 5 6 0

7 . 7 2

1 1 8 2

3 . 9 3

5 3 5 5

5 . 7 0

2 0

2 0 0

2 5

1 8

6

9 4 . 3

7 4 . 0

3 4 6 6

6

. 0 6

5 4 9 4

7 . 6 3

1 4 3 8

3 . 9 1

6 7 3 3

5 . 8 9

3 0

1 1

1 . 5

8 7 . 6

4 0 2 0

6

. 0 0

6 3 5 1

7 5 5

1 6 8 8

3 . 8 9

8 1 3 0

6 . 0 7

2 2

2 2 0

1 4

2 1

7

6 0 . 4

4 7 . 4

2 8 1 4

6

. 8 3

4 4 7 0

8 . 6 0

1 1 5 9

4 . 3 8

4 9 4 1

5 . 9 3

1 6

6 8 . 6

5 3 . 8

3 1 7 5

9

. 8 1

5 0 4 5

8 . 5 8

1 3 0 6

4 . 3 6

5 6 6 1

6 . 0 2

1 6

7 8 . 4

6 1 . 5

4 7 1 7

7

. 7 6

7 4 9 2

9 . 7 8

1 9 4 2

4 . 9 8

8 2 8 6

6 . 7 5

1 8

8 7 . 7

6 8 . 9

5 2 4 7

7

. 7 3

8 3 3 7

9 . 7 5

2 1 5 8

4 . 9 6

9 3 4 2

6 . 8 3

2 0

9 7 . 0

7 6 . 1

5 7 6 5

7

. 7 1

9 1 6 0

9 . 7 2

2 3 7 0

4 . 9 4

1 0 4 0 1

6 . 9 1

2 5

2 5 0

2 2

2 4

8

1 0

6 . 1

8 3 . 3

6 2 7 0

7

. 6 9

9 9 6 1

9 . 6 9

2 5 7 9

4 . 9 3

1 1 4 6 4

7 . 0 0

2 5

1 1

9 . 7

9 4 . 0

7 0 0 6

7

. 6 5

1 1 1 2 5

9 . 6 4

2 8 8 7

4 . 9 1

1 3 0 6 4

7 . 1 1

2 8

1 3

3 . 1

1 0 4 . 5

7 7 1 7

7

. 6 1

1 2 2 4 4

9 . 5 9

3 1 9 0

4 . 8 9

1 4 6 7 4

7 . 2 3

3 0

1 4

2 . 0

1 1 1 . 4

8 1 7 7

7

. 5 9

1 2 9 6 5

9 . 5 6

3 3 8 9

4 . 8 9

1 5 7 5 3

7 . 3 1




B

r

b

d

R

α

y 0

X 1

r

O d

U

Y

Y 1 x

0

X

’ ˝ Ï Ê ˝ ˝ , Ï Ï


∆ Ë Ì

X

X

−

−

1

1

X

X −

1

1

Y

Y −

U

U

−

¹

B

b

d

R

r

Ú ‡ Î · ‡ È , Ò Ï

1 Ï , Í „

x I Ò Ï 4

x i

Ò Ï

y

I

Ò Ï 4

y i

Ò Ï

1

x I

Ò Ï 4

0 y

Ò Ï

1 y

I

Ò Ï 4

0 x

Ò Ï

m i n

, u I Ò Ï 4

m i n

, u i Ò Ï

t a n α

2 . 5 / 1

. 6

2 5

1 6

3

3 . 5

1 . 2

1 . 1 6

0 . 9 1

0 . 7 0

0 . 7 8

0 . 2 2

0 . 4 4

1 . 5 6

0 . 8 6

0 . 4 3

0 . 4 2

0 . 1 3

0 . 3 4

0 . 3 9 2

3 . 2 / 2

3 2

2 0

3

3 . 5

1 . 2

1 . 4 9

1 . 1 7

1 . 5 2

1 . 0 1

0 . 4 6

0 . 5 5

3 . 2 6

1 . 0 8

0 . 8 2

0 . 4 9

0 . 2 8

0 . 4 3

0 . 3 8 2

4

1 . 9 4

1 . 5 2

1 . 9 3

1 . 0 0

0 . 5 7

0 . 5 4

4 . 3 8

1 . 1 2

1 . 1 2

0 . 5 3

0 . 3 5

0 . 4 3

0 . 3 7 4

4 / 2 . 5

4 0

2 5

3

4 . 0

1 . 3

1 . 8 9

1 . 4 8

3 . 0 6

1 . 2 7

0 . 9 3

0 . 7 0

6 . 3 7

1 . 3 2

1 . 5 8

0 . 5 9

0 . 5 6

0 . 5 4

0 . 3 8 5

4

2 . 4 7

1 . 9 4

3 . 9 3

1 . 2 6

1 . 1 8

0 . 6 9

8 . 5 3

1 . 3 7

2 . 1 5

0 . 6 3

0 . 7 1

0 . 5 4

0 . 3 8 1

4 . 5 / 2

. 8

4 5

2 8

3

5

1 . 7

2 . 1 4

1 . 6 8

4 . 4 1

1 . 4 3

1 . 3 2

0 . 7 9

9 . 0 2

1 . 4 7

2 . 2 0

0 . 6 4

0 . 7 9

0 . 6 1

0 . 3 8 2

4

2 . 8 0

2 . 2 0

5 . 6 8

1 . 4 2

1 . 6 9

0 . 7 8

1 2 . 1

1 . 5 1

2 . 9 8

0 . 6 8

1 . 0 2

0 . 6 0

0 . 3 7 9

5 / 3 . 2

5 0

3 2

3

5 . 5

1 . 8

2 . 4 2

1 . 9 0

6 . 1 7

1 . 6 0

1 . 9 9

0 . 9 1

1 2 . 4

1 . 6 0

3 . 2 6

0 . 7 2

1 . 1 8

0 . 7 0

0 . 4 0 3

4

3 . 1 7

2 . 4 9

7 . 9 8

1 . 5 9

2 . 5 6

0 . 9 0

1 6 . 6

1 . 6 5

4 . 4 2

0 . 7 6

1 . 5 2

0 . 6 9

0 . 4 0 1

3 . 5

3 . 1 6

2 . 4 8

1 0 . 1

1 . 7 9

3 . 3 0

1 . 0 2

2 0 . 3

1 . 8 0

5 . 4 3

0 . 8 2

1 . 9 5

0 . 7 9

0 . 4 0 7

5 . 6 / 3

. 6

5 6

3 6

4

6 . 0

2 . 0

3 . 5 8

2 . 8 1

1 1 . 4

1 . 7 8

3 . 7 0

1 . 0 2

2 3 . 2

1 . 8 2

6 . 2 5

0 . 8 4

2 . 1 9

0 . 7 8

0 . 4 0 6

¿ ‰ Ë Î ı ‡ Ê Û Û Ú · Ë ¯ · Û Î ‡ Ì ( √ Œ – “ 8 5 1 0 - 7 2 )




’˝ÏÊ˝˝, ÏÏŒ„ÚÎÓÎ˚Ì ∆ËÌ

X X − Y Y − 11

X X − 1Y

¹

B b d R r

Ú‡Î·‡È, ÒÏ2 1Ï, Í„ x I

ÒÏ4

xi

ÒÏ

y I

ÒÏ4

yi

ÒÏ

1 x I

ÒÏ4

0 y

ÒÏ

1 y I

ÒÏ4

5 4.41 3.46 13.8 1.77 4.48 1.01 29.2 1.86 7.91

4 4.04 3.17 16.9 2.01 5.16 1.13 33.0 2.03 8.51

6.3/4.0 63 40 5 7.0 2.3 4.98 3.91 19.9 2.00 6.26 1.12 41.4 2.08 10.8

6 5.90 4.63 23.3 1.99 7.28 1.11 49.9 2.12 13.1

8 7.68 6.03 29.6 1.96 9.15 1.09 66.9 2.20 17.9

7/4.5 70 45 4.5 7.5 2.5 5.07 3.98 25.3 2.23 8.25 1.28 51.0 2.25 13.6

5 5.59 4.39 27.8 2.23 9.05 1.27 56.7 2.28 15.2

5 6.11 4.79 34.8 2.39 12.5 1.43 69.7 2.39 20.8

7.5/5 75 50 6 8 2.7 7.25 5.69 40.9 2.38 14.6 1.42 83.9 2.44 25.2

8 9.47 7.43 52.4 2.35 18.5 1.40 112 2.52 34.2

8/5 80 50 5 8 2.7 6.36 4.99 41.6 2.56 12.7 1.41 84.6 2.6 20.8

6 7.55 5.92 49.0 2.55 14.8 1.40 102 2.65 25.2

5.5 7.86 6.17 65.3 2.88 19.7 1.58 132 2.92 32.2

9/5.6 90 56 6 9 3 8.54 6.70 70.6 2.88 21.2 1.58 145 2.95 35.2

8 11.18 8.77 90.9 2.85 27.1 1.56 194 3.04 47.8

6 9.59 7.53 98.3 3.2 30.6 1.79 198 3.23 49.9 10/6.3 100 63 7 10 3.3 11.1 8.7 113 3.19 35.0 1.78 232 3.28 58.7

8 12.6 9.87 127 3.18 39.2 1.77 266 3.32 67.6

10 15.5 12.1 154 3.15 47.1 1.55 333 3.40 85.8

11/7 110 70 6.5 10 3.3 11.40 8.98 142.0 3.53 45.6 2.00 286 3.55 74.3

8.0 13.90 10.9 172.0 3.51 54.6 1.98 353 3.61 92.3



8 - ð ı ø Ò Ì ˝ „ Ú Ë È

Ì ø ð „ ˝ Î Ê Î ˝ Î

’ ˝ Ï Ê ˝ ˝ , Ï Ï


∆ Ë Ì

X

X

−

−

1

1

X

X −

1

1

Y

Y −

U

U

−

¹

B

b

d

R

r

Ú ‡ Î · ‡ È , Ò Ï 2

1 Ï , Í „

x I Ò Ï 4

x i

Ò Ï

y

I

Ò Ï 4

y i

Ò Ï

1

x I

Ò Ï 4

0 y

Ò Ï

1 y

I

Ò Ï 4

0 x

Ò Ï

m i n

, u I Ò Ï 4

m i n

, u i Ò Ï

t g

7

1 4 . 1 0

1 1 . 0

2 2 7 . 0

4 . 0 1

7 3 . 7

2 . 2 9

4 5 2

4 . 0 1

1 1 9 . 0

1 . 8 0

4 3 . 4

1 . 7 6

0 . 4 0 7

1 2 . 5 / 8

1 2 5

8 0

8

1 1

3 . 7

1 6 . 0 0

1 2 . 5 0

2 5 6 . 0

4 . 0 0

8 3 . 0

2 . 2 8

5 1 8

4 . 0 5

1 3 7 . 0

1 . 8 4

4 8 . 8

1 . 7 5

0 . 4 0 6

1 0

1 9 . 7 0

1 5 . 5 0

3 1 2 . 0

3 . 9 8

1 0 0 . 0

2 . 2 6

6 4 9

4 . 1 4

1 7 3 . 0

1 . 9 2

5 9 . 3

1 . 7 4

0 . 4 0 4

1 2

2 3 . 4 0

1 8 . 3 0

3 6 5 . 0

3 . 9 5

1 1 7 . 0

2 . 2 4

7 8 1

4 . 2 2

2 1 0 . 0

2 . 0 0

6 9 . 5

1 . 7 2

0 . 4 0 0

1 4 / 9

1 4 0

9 0

8 . 0

1 2

4 . 0

1 8 . 0 0

1 4 . 1 0

3 6 4 . 0

4 . 4 9

1 2 0 . 0

2 . 5 8

7 2 7

4 . 4 9

1 9 4 . 0

2 . 0 3

7 0 . 3

1 . 9 8

0 . 4 1 1

1 0 . 0

2 2 . 2 0

1 7 . 5 0

4 4 4 . 0

4 . 4 7

1 4 6 . 0

2 . 5 6

9 1 1

4 . 5 8

2 4 5 . 0

2 . 1 2

8 5 . 5

1 . 9 6

0 . 4 0 9

9 . 0

2 2 . 9 0

1 8 . 0 0

6 0 6 . 0

5 . 1 5

1 8 6 . 0

2 . 8 5

1 2 2 1

5 . 1 9

3 0 0 . 0

2 . 2 3

1 1 0 . 0

2 . 2 0

0 . 3 9 1

1 6 / 1

0

1 6 0

1 0 0

1 0 . 0

1 3

4 . 3

2 5 . 3 0

1 9 . 8 0

6 6 7 . 0

5 . 1 3

2 0 4 . 0

2 . 8 4

1 3 5 9

5 . 2 3

3 3 5 . 0

2 . 2 8

1 2 1 . 0

2 . 1 9

0 . 3 9 0

1 2 . 0

3 0 . 0 0

2 3 . 6 0

7 8 4 . 0

5 . 1 1

2 3 9 . 0

2 . 8 2

1 6 3 4

5 . 3 2

4 0 5 . 0

2 . 3 6

1 4 2 . 0

2 . 1 8

0 . 3 8 8

1 4 . 0

3 4 . 7 0

2 7 . 3 0

8 9 7 . 0

5 . 0 8

2 7 2 . 0

2 . 8 0

1 9 1 0

5 . 4 0

4 7 7 . 0

2 . 4 3

1 6 2 . 0

2 . 1 6

0 . 3 8 5

1 8 / 1

1

1 8 0

1 1 0

1 0 . 0

1 4

4 . 7

2 8 . 3 0

2 2 . 2 0

9 5 2 . 0

5 . 8 0

2 7 6 . 0

3 . 1 2

1 9 3 3

5 . 8 8

4 4 4 . 0

2 . 4 4

1 6 5 . 0

2 . 4 2

0 . 3 7 5

1 2 . 0

3 3 . 7 0

2 6 . 4 0

1 1 2 3

.

0

5 . 7 7

3 2 4 . 0

3 . 1 0

2 3 2 4

5 . 9 7

5 3 7 . 0

2 . 5 2

1 9 4 . 0

2 . 4 0

0 . 3 7 4

1 1

3 4 . 9

2 7 . 4

1 4 4 9

6 . 4 5

4 4 6

3 . 5 8

2 9 2 0

6 . 5 0

7 1 8

2 . 7 9

2 6 4

2 . 7 5

0 . 3 9 2

2 0 / 1 2

. 5

2 0 0

1 2 5

1 2

1 4

4 . 7

3 7 . 9

2 9 . 7

1 5 6 8

6 . 4 3

4 8 2

3 . 5 7

3 1 8 9

6 . 5 4

7 8 6

2 . 8 3

2 8 5

2 . 7 4

0 . 3 9 2

1 4

4 3 . 9

3 4 . 4

1 8 0 1

6 . 4 1

5 5 1

3 . 5 4

3 7 2 6

6 . 6 2

9 2 2

2 . 9 1

3 2 7

2 . 7 3

0 . 3 9 0

1 6

4 9 . 8

3 9 . 1

2 0 2 6

6 . 3 8

6 1 7

3 . 5 2

4 2 6 4

6 . 7 1

1 0 6 1

2 . 9 9

3 6 7

2 . 7 2

0 . 3 8 8

1 2

4 8 . 3

3 7 . 9

3 1 4 7

8 . 0 7

1 0 3 2

4 . 6 2

6 2 1 2

7 . 9 7

1 6 3 4

3 . 5 3

6 0 4

3 . 5 4

0 . 4 1 0

2 5 / 1

6

2 5 0

1 6 0

1 6

1 8

6 . 0

6 3 . 6

4 9 . 9

4 0 9 1

8 . 0 2

1 3 3 3

4 . 5 8

8 3 0 8

8 . 1 4

2 2 0 0

3 . 6 9

7 8 1

3 . 5 0

0 . 4 0 8

1 8

7 1 . 1

5 5 . 8

4 5 4 5

7 . 9 9

1 4 7 5

4 . 5 6

9 3 5 8

8 . 2 3

2 4 8 7

3 . 7 7

8 6 6

3 . 4 9

0 . 4 0 7

2 0

7 8 . 5

6 1 . 7

4 9 8 7

7 . 9 7

1 6 1 3

4 . 5 3

1 0 4 1 0

8 . 3 1

2 7 7 6

3 . 8 5

9 4 9

3 . 4 8

0 . 4 0 5




’˝ÏÊ˝˝, ÏÏŒ„ÚÎÓÎ˚Ì ∆ËÌ

X X −

h b d t R r Ú‡Î·‡È, 2ÒÏ 1Ï, Í„

x I , 4ÒÏ x

W , 3ÒÏ xi , ÒÏ x

S , 3ÒÏ y I

10 100 55 4.5 7.2 7.0 2.5 12.0 9.46 198 39.7 4.06 23.0 112 120 64 4.8 7.3 7.5 3.0 14.7 11.50 350 58.4 4.88 33.7 2

14 140 73 4.9 7.5 8.0 3.0 17.4 13.70 572 81.7 5.73 46.8 4

16 160 81 5.0 7.8 8.5 3.5 20.2 15.90 873 109.0 6.57 62.3 58

18 180 90 5.1 8.1 9.0 3.5 23.4 18.40 1290 143.0 7.42 81.4 8

18a 180 100 5.1 8.3 9.0 3.5 25.4 19.90 1430 159.0 7.51 89.8 11

20 200 100 5.2 8.4 9.5 4.0 26.8 21.00 1840 184.0 8.28 104.0 11

20a 200 110 5.2 8.6 9.5 4.0 28.9 22.70 2030 203.0 8.37 114.0 15

22 220 110 5.4 8.7 10.0 4.0 30.6 24.00 2550 232.0 9.13 131.0 15

24 240 115 5.6 9.5 10.5 4.0 34.8 27.30 3460 289.0 9.97 163.0 19

24a 240 125 5.6 9.8 10.5 4.0 37.5 29.40 3800 317.0 10.10 178.0 26

27 270 125 6.0 9.8 11.0 4.5 40.2 31.50 5010 371.0 11.20 210.0 26

27a 270 135 6.0 10.2 11.0 4.5 43.2 33.90 5500 407.0 11.30 229.0 33

ƒ‚ÛÚ‡‚ð (√ Œ–“ 8239-72)

h

b

t

(b-d)/4

R rd

O

Y

X



¹ ’˝ÏÊ˝˝, ÏÏ

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ∆ËÌ X X −

h b d t R r Ú‡Î·‡È,2

ÒÏ 1Ï, Í„ x I , 4ÒÏ xW , 3ÒÏ xi , ÒÏ xS , 3ÒÏ y I

30 300 135 6.5 10.2 12.0 5.0 46.5 36.50 7080 472.0 12.30 268.0 3

30a 300 145 6.5 10.7 12.0 5.0 49.9 39.20 7780 518.0 12.50 292.0 4

33 330 140 7.0 11.2 13.0 5.0 53.8 42.20 9840 597.0 13.50 339.0 4

36 360 145 7.5 12.3 14.0 6.0 61.9 48.60 13380 743.0 14.70 423.0 5

40 400 155 8.3 13.0 15.0 6.0 72.6 57.00 19062 953.0 16.20 545.0 6

45 450 160 9.0 14.2 16.0 7.0 84.7 66.50 27696 1231.0 18.10 708.0 8

50 500 170 10.0 15.2 17.0 7.0 100.0 78.50 39727 1589.0 19.90 919.0 10

55 550 180 11.0 16.5 18.0 7.0 118.0 92.60 55962 2035.0 21.80 1181.0 1360 600 190 12.0 17.8 20.0 8.0 138.0 108.0 76806 2560.0 23.60 1491.0 17

65 650 200 11.7 19.2 22.0 9.0 151.0 119.0 100840 3100.0 25.80 1790.0 2

70 700 210 12.7 20.8 24.0 10.0 174.0 137.0 133890 3830.0 27.70 2220.0 27

70a 700 210 15.0 24.0 24.0 10.0 202.0 158.0 152700 4360.0 27.50 2550.0 32

70· 700 210 17.5 28.2 24.0 10.0 234.0 184.0 175370 5010.0 27.40 2940.0 39



¹

’ ˝ ÏÊ ˝ ˝ ,ÏÏ

Œ„ Ú

Î Ó Î ˚Ì

∆ËÌ

X X −

Y Y −

0

z

h

b

d

t

R

r

Ú ‡ Î ·

‡ È ,

2

Ò Ï

1 Ï ,Í „

xI ,

4

Ò Ï

x

W

,

3

Ò Ï

x i , Ò Ï

x S ,

3

Ò Ï

yI ,

4

Ò Ï

y W ,

3

Ò Ï

y i , Ò Ï

Ò Ï

5

5 0

3 2

4 .4

7 . 0

6 . 0

2 . 5

6

.1 6

4 . 8 4

2 2 . 8

9 .1

1 . 9 2

5 . 5 9

5 . 6 1

2 .7 5

0 . 9 5 4

1 .1 6

6 . 5

6 0

3 6

4 .4

7 .2

6 . 0

2 . 5

7

. 5 1

5 . 9 0

4 8 . 6

1 5 . 0

2 . 5 4

9 . 0 0

8 .7 0

3 . 6 8

1 . 0 8 0

1 .2 4

8

8 0

4 0

4 . 5

7 .4

6 . 5

2 . 5

8

. 9 8

7 . 0 5

8 9 .4

2 2 .4

3 .1 6

1 3 . 3 0

1 2 . 8 0

4 .7 5

1 .1 9 0

1 . 3 1

1 0

1 0 0

4 6

4 . 5

7 . 6

7 . 0

3 . 0

1 0 . 9 0

8 . 5 9

1 7 4

3 4 . 8

3 . 9 9

2 0 .4 0

2 0 .4 0

6 .4 6

1 . 3 7 0

1 .4 4

1 2

1 2 0

5 2

4 . 8

7 . 8

7 . 5

3 . 0

1 3 . 3 0

1 0 .4 0

3 0 4

5 0 . 6

4 .7 8

2 9 . 6 0

3 1 .2 0

8 . 5 2

1 . 5 3 0

1 . 5 4

1 4

1 4 0

5 8

4 . 9

8 .1

8 . 0

3 . 0

1 5 . 6 0

1 2 . 3 0

4 9 1

7 0 .2

5 . 6 0

4 0 . 8 0

4 5 .4 0

1 1 . 0 0

1 .7 0 0

1 . 6 7

1 4 a

1 4 0

6 2

4 . 9

8 .7

8 . 0

3 . 0

1 7 . 0 0

1 3 . 3 0

5 4 5

7 7 . 8

5 . 6 6

4 5 .1 0

5 7 . 5 0

1 3 . 3 0

1 . 8 4 0

1 . 8 7

1 6

1 6 0

6 4

5 . 0

8 .4

8 . 5

3 . 5

1 8 .1 0

1 4 .2 0

7 4 7

9 3 .4

6 .4 2

5 4 .1 0

6 3 . 3 0

1 3 . 8 0

1 . 8 7 0

1 . 8 0

1 6 a

1 6 0

6 8

5 . 0

9 . 0

8 . 5

3 . 5

1 9 . 5 0

1 5 . 3 0

8 2 3

1 0 3 .

0

6 .4 9

5 9 .4 0

7 8 . 8 0

1 6 .4 0

2 . 0 1 0

2 . 0 0

1 8

1 8 0

7 0

5 .1

8 .7

9 . 0

3 . 5

2 0 .7 0

1 6 . 3 0

1 0 9 0

1 2 1 .

0

7 .2 4

6 9 . 8 0

8 6 . 0 0

1 7 . 0 0

2 . 0 4 0

1 . 9 4

1 8 a

1 8 0

7 4

5 .1

9 . 3

9 . 0

3 . 5

2 2 .2 0

1 7 .4 0

1 1 9 0

1 3 2 .

0

7 . 3 2

7 6 .1 0

1 0 5 . 0 0

2 0 . 0 0

2 .1 8 0

2 .1 3

2 0

2 0 0

7 6

5 .2

9 . 0

9 . 5

4 . 0

2 3 .4 0

1 8 .4 0

1 5 2 0

1 5 2 .

0

8 . 0 7

8 7 . 8 0

1 1 3 . 0 0

2 0 . 5 0

2 .2 0 0

2 . 0 7

ÿ‚ Â Î Î Â ð ( √ Œ – “ 8 2 4 0 - 7 2 )

b

h

R

d

O t

r (

b - d ) / 2

Y z

0

X

2 1 1 À ‡ ‚ Î ‡ ı Ï ‡ Ú Â ð Ë ‡ Î



¹ ’˝ÏÊ˝˝, ÏÏ

Œ„ÚÎÓÎ˚Ì ∆ËÌ X X − Y

h b d t R r Ú‡Î·‡È,2

ÒÏ 1Ï, Í„ x I , 4ÒÏ xW , 3ÒÏ xi , ÒÏ xS , 3ÒÏ y I , 4ÒÏ W

20a 200 80 5.2 9.7 9.5 4.0 25.20 19.80 1670 167.0 8.15 95.90 139.00 2

22 220 82 5.4 9.5 10.0 4.0 26.70 21.00 2110 192.0 8.89 110.0 151.00 2

22a 220 87 5.4 10.2 10.0 4.0 28.80 22.60 2330 212.0 8.99 121.00 187.00 3

24 240 90 5.6 10.0 10.5 4.0 30.60 24.00 2900 242.0 9.73 139.00 208.00 3

24a 240 95 5.6 10.7 10.5 4.0 32.90 25.80 3180 265.0 9.84 151.00 254.00 3

27 270 95 6.0 10.5 11.0 4.5 35.20 27.70 4160 308.0 10.90 178.00 262.00 3

30 300 100 6.5 11.0 12.0 5.0 40.50 31.80 5810 387.0 12.00 224.0 327.00 4

33 330 105 7.0 11.7 13.0 5.0 46.50 36.50 7980 484.0 13.10 281.00 410.00 5

36 360 110 7.5 12.6 14.0 6.0 53.40 41.90 10820 601.0 14.20 350.00 513.00 6

40 400 115 8.0 13.5 15.0 6.0 61.50 48.30 15220 761.0 15.70 444.00 642.00 7



√ ‡ð˜Ë„

ªÏÌº ı ø„ 3

Õ›√ ƒØ √ ››— ¡ØÀ›√ . –ÛÌ„‡ÎÚ, ¯‡ ı ‡ÎÚ 5

1.1. –Ú‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÒÛÌ„‡ÎÚ, ¯‡ ı ‡ÎÚ ÖÖÖÖÖ.ÖÖ.Ö. 5

1.2. –Ú‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÒÛÌ„‡ÎÚ, ¯‡ ı ‡ÎÚÖÖÖÖÖÖÖÖÖ

13

’Œ®—ƒ” √ ¿¿— ¡ØÀ›√ . ÷ ̋ „ËÈÌ ı ø˜‰ ̋ ÎÚ ÚºÎº‚

2.1. ÷ ̋ „ËÈÌ ı ø˜‰ ̋ ÎÚ ÚºÎº‚ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.ÖÖÖÖ.Ö. 18

ƒ‡‡Î„‡‚‡ð π1 ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.ÖÖÖÖ.Ö.Ö.ÖÖÖÖ.Ö. 24

√ ”—¿¬ƒ” √ ¿¿— ¡ØÀ›√ . Œ„ÚÎÓÎÚ ı ÓÎ„ÓÎÚ ̊ Ì ÚÓÓˆÓÓ

3.1. ¡ÓÓÎÚÓÌ ı ÓÎ·ÓÓÒ˚Ì ÚÓÓˆÓÓ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.ÖÖÖÖ.Ö. 32

3.2. ÿËð˝ ̋ÎÚ˝Ì ı ÓÎ·ÓÓÒ˚Ì ÚÓÓˆÓÓÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.ÖÖÖÖ.Ö. 35

ƒ‡‡Î„‡‚‡ð π2 ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ... 37

ƒª—ª¬ƒØ √ ››— ¡ØÀ›√ . ’‡‚Ú„‡È ‰øðÒËÈÌ „ÂÓÏÂÚð ¯ËÌÊ

4.1. ’‡‚Ú„‡È ‰øðÒËÈÌ „ÂÓÏÂÚð ¯ËÌÊÖÖÖÖÖÖÖÖ..ÖÖÖÖÖ..Ö 43

ƒ‡‡Î„‡‚‡ð π3 ÖÖÖÖÖÖÖÖ..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖ 52

“¿¬ƒ” √ ¿¿— ¡ØÀ›√ . ƒÛ„ÛÈ Ó„ÚÎÓÎÚÓÈ ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÏÛ¯„Ëð‡ÎÚ

5.1. ÃÛ¯„Ëð‡ÎÚ˚Ì ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ó‰ÎÓ„Ó..Ö..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖ

58

5.2. ÃÛ¯„Ëð‡ÎÚ˚Ì ÒÚ‡ÚËÍ ÚÓ‰Óð ı ÓÈ ·Ë¯ ·Ó‰ÎÓ„ÓÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖ 66

5.3. ¡‡„‡ ‡Î ı

‡ÏÚ‡È ˆËÎËÌ‰ð Ôøð¯ÌËÈ ÚÓÓˆÓÓ..Ö..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖ 73

ƒ‡‡Î„‡‚‡ð π4 ÖÖÖÖÖÖÖÖ..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖ 78

«”—√ ¿¿ƒ” √ ¿¿— ¡ØÀ›√ . ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì „ÛÎÁ‡ÈÎÚ

6.1. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ‰ÓÚÓÓ‰ ı ø˜ÌËÈ˝Ô˛ðÖÖÖÖ..Ö..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖ

86

ƒ‡‡Î„‡‚‡ð π5ÖÖÖÖÖÖÖÖ..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖ 96

6.2. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ·‡Ú ·˝ı ËÈÌ ·øð˝Ì 115



.

ÚÓÓˆÓÓÖÖ..Ö..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖ

6.3. ƒ‡ÏÌÛÛð˚Ì ı º¯øøÌ ˜‡Ì‡ð˚Ì ÚÓÓˆÓÓ Ö..Ö..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖ 125


ƒŒÀŒŒƒ” √ ¿¿— ¡ØÀ›√ . ÕËÈÎÏ ̋Î ˝Ò˝ð„øøˆ ̋ Î

7.1. ∆ Ë¯øø „ÛÎÁ‡ÈÎÚ ÖÖÖÖÖ..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖ 135

7.2. “º‚ËÈÌ ·Ë¯, ¯‡ ı ‡ÎÚ ÒÛÌ„‡ÎÚÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖ

136

7.3. ÃÛ¯„Ëð‡ÎÚÚ‡È„ÛÎÁ‡ÈÎÚÖ..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖÖ

137


Õ¿…Ãƒ” √ ¿¿— ¡ØÀ›√ . √ Ûð‚‡Ì ÏÓÏÂÌÚ ̊ Ì Ú ̋ „¯ËÚ„ ̋ Î

8.1.√ Ûð‚‡Ì ÏÓÏÂÌÚ˚Ì Ú˝„¯ËÚ„ ̋ Î 164

≈–ƒØ √ ››— ¡ØÀ›√ . ÿ‡ ı ‡„‰Ò‡Ì ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÚÓ„Ú‚ÓðÊËÎ

9.1. ÿ‡ ı ‡„‰Ò‡Ì ¯ËÎ·˝ÌËÈ ÚÓ„Ú‚ÓðÊËÎ 174


’‡‚Òð‡ÎÚ ÖÖÖÖÖÖÖÖ..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖÖÖÖ..Ö..ÖÖÖÖ 188



¿ÿ»√ À¿–¿Õ Ã¿“ ≈—»¿À

1. ¿ÎÂÍÒ‡Ì‰ðÓ‚.¿.¬, ¬.ƒ.œÓÚ‡ÔÓ‚, ƒÂðÊ‡‚ËÌ.¡.œ

–ÓÔðÓÚË‚ÎÂÌËÂ Ï‡ÚÂðË‡ÎÓ‚ÃÓÒÍ‚‡ , ì¬˚Ò¯‡ ˇ ¯ÍÓÎ‡î 1995

2. ÿ.¡‡ÎÊËÌÌ ˇÏ, ¿.√ ºÎ„ºº, —.Õ‡È‰‡Ì‰ÓðÊ, Õ.“ºÏºð·‡‡Ú‡ð, ∆ .÷ ̋ Ì‰Òøð˝Ì

Ã‡ÚÂðË‡Î˚Ì ˝Ò˝ð„øøˆ ̋ Î ”Î‡‡Ì·‡‡Ú‡ð 1996

3 ÿ ¡ ¿ √ — Õ È Õ “

hand book.pdf

Documents