handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

701

Upload: others

Post on 11-Sep-2021

12 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas
Page 2: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Special FunctionsDerivatives, Integrals, Series

and Other Formulas

H A N D B O O K O F

Page 3: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas
Page 4: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Yury A. BrychkovComputing Center of the Russian

Academy of SciencesMoscow, Russia

Special FunctionsDerivatives, Integrals, Series

and Other Formulas

H A N D B O O K O F

Page 5: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Chapman & Hall/CRCTaylor & Francis Group6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300Boca Raton, FL 33487-2742

© 2008 by Taylor & Francis Group, LLC Chapman & Hall/CRC is an imprint of Taylor & Francis Group, an Informa business

No claim to original U.S. Government worksPrinted in the United States of America on acid-free paper10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

International Standard Book Number-13: 978-1-58488-956-4 (Hardcover)

This book contains information obtained from authentic and highly regarded sources. Reasonable efforts have been made to publish reliable data and information, but the author and publisher cannot assume responsibility for the valid-ity of all materials or the consequences of their use. The authors and publishers have attempted to trace the copyright holders of all material reproduced in this publication and apologize to copyright holders if permission to publish in this form has not been obtained. If any copyright material has not been acknowledged please write and let us know so we may rectify in any future reprint.

Except as permitted under U.S. Copyright Law, no part of this book may be reprinted, reproduced, transmitted, or uti-lized in any form by any electronic, mechanical, or other means, now known or hereafter invented, including photocopy-ing, microfilming, and recording, or in any information storage or retrieval system, without written permission from the publishers.

For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access www.copyright.com (http://www.copyright.com/) or contact the Copyright Clearance Center, Inc. (CCC), 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, 978-750-8400. CCC is a not-for-profit organization that provides licenses and registration for a variety of users. For orga-nizations that have been granted a photocopy license by the CCC, a separate system of payment has been arranged.

Trademark Notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks, and are used only for identification and explanation without intent to infringe.

Visit the Taylor & Francis Web site athttp://www.taylorandfrancis.com

and the CRC Press Web site athttp://www.crcpress.com

Page 6: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Contents

����������������������������������������������������������������������������������������������������� ���

�� ���� The Derivatives ���������������������������������������������������������� �

1.1. Elementary Functions ���������������������������������������������������������� ������� ��������������� �������������������������������������������������������������������� ������� ������������������������������������������������������������������������������������ ������� !���"�������������������������������������������������������������������������� #����#� $%"�������������������������������������������������������������������������������� &����'� ��������������������������������������������������������������������������������� (����&� !��������!��������������������������������������������������������������������� ��

����(� )�*���������������������������������������������������������������������������� ��

1.2. The Hurwitz Zeta Function ζ(ν, z) �������������������������������������� �'

������ +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ �'

������ +���*���*��,��!���"������!�"�������������������������������������������� �'

1.3. The Exponential Integral Ei (z) ������������������������������������������ �&������ +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ �&

1.4. The Sine si (z) and Cosine ci (z) Integrals���������������������������� �(��#��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ �(

1.5. The Error Functions erf (z) and erfc (z) ������������������������������ �-

��'��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ �-

1.6. The Fresnel Integrals S(z) and C(z)�������������������������������������.

��&��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ �.

1.7. The Generalized Fresnel Integrals S(z, ν) and C(z, ν) ���������.

��(��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ �.

1.8. The Incomplete Gamma Functions γ(ν, z) and Γ(ν, z) ����������

��-��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ ����-��� +���*���*��,��!���"������!�"�������������������������������������������� ��

1.9. The Parabolic Cylinder Function Dν(z) ��������������������������������

��/��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ ��

��/��� +���*���*��,��!���"������!���0�������������������������������������������� �#

1

Page 7: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������

1.10. The Bessel Function Jν (z) ���������������������������������������������������'

���.��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ �'

���.��� +���*���*��,��!���"������!���0�������������������������������������������� �-

1.11. The Bessel Function Yν (z) ���������������������������������������������������/

������� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ �/

������� +���*���*��,��!���"������!���0�������������������������������������������� ��

1.12. The Hankel Functions H(1)ν (z) and H

(2)ν (z) ������������������������

��������� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ ��������� +���*���*��,��!���"������!���0�������������������������������������������� ��

1.13. The Modified Bessel Function Iν(z) ��������������������������������������

������� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ ��

������� +���*���*��,��!���"������!���0�������������������������������������������� �'

1.14. The Macdonald Function Kν(z) �������������������������������������������&

���#��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ �&���#��� +���*���*��,��!���"������!���0�������������������������������������������� #.

1.15. The Struve Functions Hν(z) and Lν(z) �������������������������������� #����'��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ #����'��� +���*���*��,��!���"������!���0�������������������������������������������� #�

1.16. The Anger Jν (z) and Weber Eν(z) Functions ���������������������� #'

���&��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ #'

���&��� +���*���*��,��!���"������!���0�������������������������������������������� #(

1.17. The Kelvin Functions berν(z), beiν (z), kerν(z) and keiν (z) #-

���(��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ #-

���(��� +���*���*��,��!���"������!���0�������������������������������������������� '�

1.18. The Legendre Polynomials Pn(z) ����������������������������������������'&

���-��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ '&

1.19. The Chebyshev Polynomials Tn(z) and Un(z) ��������������������'/

���/��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ '/

1.20. The Hermite Polynomials Hn(z) ���������������������������������������� &�

���.��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ &�

1.21. The Laguerre Polynomials Lλn(z) ���������������������������������������� &

������� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ &�

������� +���*���*��,��!���"������!�"�������������������������������������������� &#

1.22. The Gegenbauer Polynomials Cλn(z) ������������������������������������ &#

������� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ &#������� +���*���*��,��!���"������!�"�������������������������������������������� &&

1.23. The Jacobi Polynomials P(ρ,σ)n (z) ���������������������������������������� &&

������� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ &&������� +���*���*��,��!���"�����"������������������������������������������������� &/

1�

Page 8: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������

1.24. The Complete Elliptic Integrals K(z), E(z) and D(z) �������� &/

���#��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ &/

1.25. The Legendre Function Pµν (z)���������������������������������������������� (

.

���'��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ (.

���'��� +���*���*��,��!���"�����"������������������������������������������������� (�

1.26. The Kummer Confluent Hypergeometric Function

1F1(a; b; z)���������������������������������������������������������������������������� (�

���&��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ (�

���&��� +���*���*��,��!���"�����"������������������������������������������������� ('

1.27. The Tricomi Confluent Hypergeometric Function Ψ(a; b; z) (&���(��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ (&���(��� +���*���*��,��!���"�����"������������������������������������������������� ((

1.28. The Whittaker Functions Mµ,ν(z) and Wµ,ν(z) ������������������-.

���-��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ -.

1.29. The Gauss Hypergeometric Function 2F1(a, b; c; z) ��������������-.

���/��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ -.

���/��� +���*���*��,��!���"�����"������������������������������������������������� -'

1.30. The Generalized Hypergeometric Function pFq((ap); (bq);z)-&

���.��� +���*���*��,��!���"������!��������� ������������������������������������ -&���.��� +���*���*��,��!���"�����"������������������������������������������������� -(

�� ���� Limits ��������������������������������������������������������������������������/'

2.1. Special Functions ����������������������������������������������������������������/'

������ !����������������������������������0�������������������������� /'������ !�����*����������H�

�����0L�������������������������������������������� /'

������ !����*����������� ������� ����������������0������������������� /'����#� !������0��"��%������������������������������������������������������������ /&����'� !��!��%�!�*"��%��������������0����������������������������������� /&����&� !�$������"��%������������������������������������������������������������ /(����(� !���������"��%��������

����������������������������������������������������� /(

����-� !�����������"��%��������������������������������������������������������� /-

����/� !�������"��%����������� !�������������������������������������������������� /-

�����.� $%"������������������������������������������������������������������������������ //

�� ��"� Indefinite Integrals������������������������������������������������������ �.�

3.1. Elementary Functions ���������������������������������������������������������� �.�

������ !��������!��������������������������������������������������������������������� �.�

3.2. Special Functions ���������������������������������������������������������������� �.�

������ !�������������������#�����#����#���0��#��������������������� �.�

1��

Page 9: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������

������ !�����*����������H������0L�

������������������������������������������� �.'������ !����%����������������0����� ������������������������������������������ �.'����#� ������������������������������������������������������������������������������������ �./

�� ���� Definite Integrals �������������������������������������������������������� ���

4.1. Elementary Functions ���������������������������������������������������������� ���#����� ������������������������������������������������������������������������������������ ���#����� !���"�������������������������������������������������������������������������� ��&#����� $%"�������������������������������������������������������������������������������� ��(#���#� ��������������������������������������������������������������������������������� ���#���'� !��������!��������������������������������������������������������������������� ���

#���&� )�*���������������������������������������������������������������������������� �''

4.2. The Dilogarithm Li2(z)�������������������������������������������������������� �(-

#����� )��������������������������0������������������������������������������ �(-

#����� )��������������������������0���������������������������������������� �(/

#����� )��������������������������0�!��������!��������������������������� �-.

#���#� )��������������������������0��*���������������������������������� �-.

4.3. The Sine Si (z) and Cosine ci (z) Integrals �������������������������� �-�

#����� )�������������������������0�������������������������������������������� �-�#����� )�������������������������0������������������������������������������ �-�#����� )�������������������������0�!��������!����������������������������� �-�

#���#� )�������������������������0��*�������������������������� �������� �-�

#���'� )������������������"��0�������������0��������������������������������� �-#

4.4. The Error Functions erf (z), erfi (z) and erfc (z)������������������ �-#

#�#��� )��������������������������0������������������������������������������ �-##�#��� )����������������������������������0�!���"�������������������� �-'

#�#��� )��������������������������0���������������������������������������� �-&#�#�#� )��������������������������0�!��������!��������������������������� �-(#�#�'� )��������������������������������0��*���������������������������������������������������������������������������������������������������������� �-(#�#�&� )������������������"��0����������������������0����������������� �--

4.5. The Fresnel Integrals S(z) and C(z)������������������������������������ �-/

#�'��� )�����������������������0�������������������������������������������� �-/

#�'��� )�����������������������0������������������������������������������ �/.

#�'��� )�����������������������0�!��������!����������������������������� �/�#�'�#� )������������������������0�������������������������������������������� �/�#�'�'� )������������������������0������������������������������������������ �/�#�'�&� )������������������������0�!��������!����������������������������� �/�

4.6. The Incomplete Gamma Function γ(ν, z) ���������������������������� �/�

#�&��� )��������������������������0������������������������������������������ �/�

#�&��� )��������������������������0�!���"�������������������������������� �/�

#�&��� )��������������������������0���������������������� ���������������� �/�

1���

Page 10: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������

#�&�#� )��������������������������0�!��������!��������������������������� �/'

#�&�'� )���������������������������������0����������������������������������� �/'

#�&�&� )������������������"��0������������ �������������������������������������� �/'

4.7. The Bessel Function Jν (z) �������������������������������������������������� �/&

#�(��� )�������������������������0������������������ ������������������������ �/&#�(��� )�������������������������0�!���"���������������������������������� �/(#�(��� )�������������������������0���������������������� ������������������ �/(#�(�#� )�������������������������0�!��������!����������������������������� �//

#�(�'� )�������������������������0��*���������������������������������� �//

#�(�&� )�������������������������������0��������������������������������������� �..

#�(�(� )������������������"��0����������� ���������������������������������������� �.�

4.8. The Bessel Function Yν (z) ���������������������������������������������������.#

#�-��� )�������������������������0������������������ ������������������������ �.##�-��� )�������������������������0����������������������������������������������� �.#

4.9. The Modified Bessel Function Iν(z) �������������������������������������.'

#�/��� )������������������������0�������������������������������������������� �.'

#�/��� )������������������������0�!���"���������������������������������� �.&#�/��� )������������������������0������������������������������������������ �.-

#�/�#� )������������������������0�!��������!����������������������������� ��.

#�/�'� )������������������������0��*�������������������������� �������� ���#�/�&� )������������������������0�"������������������������������������������ ���

#�/�(� )������������������"��0���������� ���������������������������������������� ���

4.10. The Macdonald Function Kν(z) ��������������������������������������������&

#��.��� )������������������������������������0�������������������������� ��&#��.��� )������������������"��0�������������������������������������������������� ��&

4.11. The Struve Functions Hν(z) and Lν(z) ����������������������������������(

#������ )������������������H�����L�

�����0�������������������������������� ��(#������ )������������������H�

�����0!%"�������������������������������������� ��/

#������ )������������������H�����L�

�����0������������������������������ ��/

#����#� )������������������H�����L�

�����0�!��������!������������������� ��.

#����'� )������������������H�����L�

�����0��*�������������������������� ���

4.12. The Kelvin Functions berν(z), beiν (z), kerν(z) and keiν (z)���

#������ )������������������ ������� ������������������������0�������������������������������������������������������������������������������������������������� ���

4.13. The Airy Functions Ai (z) and Bi (z) �������������������������������������

#������ )������������������"��0�������������0������������������������������� ���

4.14. The Legendre Polynomials Pn(z) �������������������������������������������

#��#��� )�������������������������0������������������������������������������ ���

#��#��� )�������������������������0���������������������������������������� ��&#��#��� )�������������������������0�!��������!����������������������������� ���

��

Page 11: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������

#��#�#� )������������������������������������0�������������������������� ���

#��#�'� )������������������"��0��������������������������������������������������� ���

4.15. The Chebyshev Polynomials Tn(z) ����������������������������������������#

#��'��� )�������������������������0������������������������������������������ ��##��'��� )�������������������������0���������������������������������������� ��&#��'��� )�������������������������0�"������������������������������������������ �#�

4.16. The Chebyshev Polynomials Un(z) ���������������������������������������#�

#��&��� )�������������������������0������������������������������������������ �#�#��&��� )�������������������������0���������������������������������������� �#�

#��&��� )�������������������������0���� ���������������������������������������� �#&#��&�#� )������������������"��0��������������������������������������������������� �#&

4.17. The Hermite Polynomials Hn(z) �����������������������������������������#(

#��(��� )�������������������������0������������������������������������������ �#(#��(��� )�������������������������0�!���"�������������������������������� �#-

#��(��� )�������������������������0���������������������������������������� �#/

#��(�#� )��������������������������������0������� ���������������������������� �'�#��(�'� )�������������������������0�������������������������������������������� �'�#��(�&� )������������������"��0��������������������������������������������������� �'�

4.18. The Laguerre Polynomials Lλn(z) ����������������������������������������

�'##��-��� )�������������������

�������0������������������������������������������ �'#

#��-��� )��������������������������0���������������������������������������� �''

#��-��� )��������������������������0����������������������������������������������� �'&

#��-�#� )������������������"��0���������������������������������������������������� �'&

4.19. The Gegenbauer Polynomials Cλn(z) ������������������������������������

�'(#��/��� )�������������������

�������0������������������������������������������ �'(

#��/��� )��������������������������0���������������������������������������� �'(

#��/��� )������������������"��0���������������������������������������������������� �&�

4.20. The Jacobi Polynomials P(ρ,σ)n (z) ����������������������������������������

�&�

#��.��� )���������������������� !������0�������������������������������������� �&�

#��.��� )���������������������� !������0������������������������������������ �&�

#��.��� )���������������������� !������0������������������������������������������� �&�

#��.�#� )������������������"��0���������� !���������������������������������������� �&#

4.21. The Complete Elliptic Integral K(z) �����������������������������������&'

#������ )������������������K�����0�������������������������������������������� �&'

#������ )������������������K�����!���"���������!%"���������0���������������������������������������������������������������������������������� �&(

#������ )������������������K�����0�!��������!����������������������������� �&-

#����#� )������������������K�����0��*�������������������������� �������� �(�

#����'� )������������������K�����0������������������������������������������������ �(#

Page 12: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������

#����&� )������������������K�����

�������0������������������������������������� �(##����(� )������������������K

�����0������������������������������������������������ �('

#����-� )������������������K���������0���������������������������������������� �('

#����/� )������������������K�����0������ ���������������������������������������� �('

#�����.�)������������������K������

�����0�������������������������������������� �(&#�������)������������������K

����H������0L�

����������������������������������� �((

#�������)������������������K�����0������������������������������������������������ �(-

#�������)������������������"��0������K��������������������������������������������� �(-

4.22. The Complete Elliptic Integral E(z) �������������������������������������(/

#������ )������������������E�����0�������������������������������������������� �(/

#������ )������������������E�����!���"���������!%"���������0���������������������������������������������������������������������������������� �-�

#������ )������������������E�����0�!��������!����������������������������� �-&

#����#� )������������������E�����0��*������������������������������������ �-/

#����'� )������������������E�����0������������������������������������������������ �/�

#����&� )������������������E�����

�������0����� �������������������������������� �/�

#����(� )������������������E�����0������������������������������������������������ �/�

#����-� )������������������E���������0���������������������������������������� �/�

#����/� )������������������E�����0������������������������������������������������ �/#

#�����.�)������������������E������

�����0�������������������������������������� �/##�������)������������������E

����H������0L�

����������������������������������� �/&

#�������)������������������E�����0������������������������������������������������ �/&

#�������)������������������"��0������E�����0K

������������������������������� �/&#�����#�)������������������"��0������E

��������������������������������������������� �//

4.23. The Complete Elliptic Integral D(z)�������������������������������������..

#������ )������������������D�����0���������%������������������������������� �..

#������ )������������������"��0������D����K

�����0E��������������������� �.�

4.24. The Generalized Hypergeometric Function pFq((ap); (bq);z)�.�

#��#��� )������������������������������������0���������������������������� �.�

#��#��� )������������������������������������0�������������������������� �.##��#��� )������������������������������������0�!��������!������������� �.&#��#�#� )�����������������������������������K

�����0E��������������������� �.&

#��#�'� )������������������"��0������������������������������������������������ �.&

�� ���� Finite Sums�������������������������������������������������������������������./

5.1. The Psi Function ψ(z) ���������������������������������������������������������./

'����� ������������������ �������������������������������������������������������� �./'����� ��������������"��0�������������������������������������������������� ���'����� ������������������������������������������������������������������������� ���

��

Page 13: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������

5.2. The Incomplete Gamma Functions γ(ν, z) and Γ(ν, z) �����������

'����� �������������������������������������������������������������������������� ���'����� ��������������"��0��������������������������������������������������� ���'����� ��������������������������������������������������������������������������� ���

5.3. The Bessel Function Jν (z) ����������������������������������������������������#

'����� ������������������������������������������������������������������������������ ��#'����� ��������������"��0������������������������������������������������������ ��#

5.4. The Modified Bessel Function Iν(z) ��������������������������������������'

'�#��� ����������������������������������������������������������������������������� ��''�#��� ��������������"��0����������������0����������������������������� ��''�#��� ��������������"��0����������������������������������������������������� ��(

5.5. The Macdonald Function Kν(z) ��������������������������������������������-

'�'��� ����������������������������������������������������������������������������� ��-'�'��� �����������������������0�"���������������������������������������� ��-'�'��� ��������������"��0����������������������������������������������������� ��/

5.6. The Struve Functions Hν(z) and Lν(z) ����������������������������������/

'�&��� ��������������H��������0L���

������������������������������������������� ��/

5.7. The Legendre Polynomials Pn(z) ������������������������������������������.

'�(��� ������������������������������������������������������������������������������ ��.'�(��� ���������������������0�"���������������������������������������������� ��''�(��� ��������������"��0������������������������������������������������������ ��''�(�#� ��������������������������������������������������������������������������� ��&'�(�'� ����������������������� ���������������������������������������������������� ��-'�(�&� ��������������"��0��������������������������������������������������� ��-

5.8. The Chebyshev Polynomials Tn(z) and Un(z) ����������������������/

'�-��� ������������������������������������������������������������������������������ ��/'�-��� ��������������"��0������������������������������������������������������ ���'�-��� ����������������������� ���������������������������������������������������� ���'�-�#� ������������������������������������������������������������������������������ ���'�-�'� ��������������"��0������������������������������������������������������� ��''�-�&� ����������������������� ���������������������������������������������������� ��'

5.9. The Hermite Polynomials Hn(z) ������������������������������������������(

'�/��� ���������������������� ������������������������������������������������������ ��('�/��� ������������������������0�"���������������������������������������� �#.'�/��� ��������������"��0���������������������������������������������������� �#�'�/�#� ��������������������������������������������������������������������������� �#�'�/�'� �������������������������� ���������������������������������������������� �#�'�/�&� ��������������"��0������������������ ������������������������������ �##

5.10. The Laguerre Polynomials Lλn(z) ����������������������������������������

�##'��.��� ���������������

�����

����������������������������������������������������������� �##

���

Page 14: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������

'��.��� ��������������������

����������������������������������������������������������� �#&'��.��� ���������������

��������

����������������������������������������������������������� �#-

'��.�#� �����������������������

�����0�"���������������������������������������� �''

'��.�'� ��������������"��0���������������

������������������������������������������� �'('��.�&� ���������������

��������

������������������������������������������������������� �'/

'��.�(� �����������������������

���������0�"�������������������������������� �&�

'��.�-� ��������������"��0���������������

��������������������������������������� �&�

5.11. The Gegenbauer Polynomials Cλn(z) ������������������������������������

�&�'������ ���������������

�����

����������������������������������������������������������� �&�'������ ���������������

�����

����������������������������������������������������������� �&''������ ���������������

��������

����������������������������������������������������������� �&'

'����#� �����������������������

�����0�"���������������������������������������� �(�

'����'� ��������������"��0���������������

������������������������������������������� �(-

'����&� �����������������������

������������������������������������������������������� �-�

'����(� �����������������������

���������0�"�������������������������������� �--

'����-� ��������������"��0���������������

������� ������������������������������ �/.

5.12. The Jacobi Polynomials P(ρ,σ)n (z) ����������������������������������������

�/�'������ ���������������

������ ���!�

��������������������������������������������������� �/�'������ ���������������

������ ���!����

��������������������������������������������������� �/�

'������ ��������������������� ���!����

�����0�"�������������������������������� #.�

'����#� ��������������"��0������������� ���!����

��� ������������������������������ #.'

'����'� ��������������������� ���!����

����������������������������������������������� #.'

'����&� ��������������������� ���!����

���������0�"������������������������ #.-

'����(� ��������������"��0������������� ���!����

������������������������������� #�.

5.13. The Legendre Function Pµν (z)���������������������������������������������� #��

'������ ������������������

���������������������������������������������������������������� #��

5.14. The Kummer Confluent Hypergeometric Function

1F1(a; b; z)���������������������������������������������������������������������������� #��'��#��� ������������������������������������������������������������������������������ #��'��#��� ��������������������������0�"�������������������������������������� #��'��#��� ��������������"��0������������������������������������������������������ #��

5.15. The Tricomi Confluent Hypergeometric Function Ψ(a; b; z) #��'��'��� ������������������������������������������������������������������������������ #��'��'��� ������������������������0�"������������������������������������������ #�#

5.16. The Gauss Hypergeometric Function 2F1(a, b; c; z) �������������� #�#'��&��� ���������������������������������������������������������������������������� #�#

����

Page 15: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������

'��&��� ����������������������������0�"������������������������������������ #�''��&��� ��������������"��0���������������������������������������������������� #�(

5.17. The Generalized Hypergeometric Function pFq((ap); (bq); z) #�-

'��(��� ���������������������������������������������������������������� #�-'��(��� ������������������������������������0�"�������������� #��'��(��� ������������������������������������������������������������ #��'��(�#� ����������������������������������������0�"���������������������������������������������������������������������������������������������� #�#'��(�'� ��������������"��0������������������������������������ #�''��(�&������������������������������������������ ���������������������� #�'

5.18. Multiple Sums �������������������������������������������������������������������� #�&

'��-��� ����������������������������������������������������������������������������� #�&'��-��� �����������������!������"��%��������������������������������������������� #�(

�� ���� Infinite Series �������������������������������������������������������������� #�/

6.1. Elementary Functions ���������������������������������������������������������� #�/

&����� ������������������������������������������������������������������������������ #�/

&����� �����������������!���"���������������������������������������������������� #�/

&����� ����������������!%"���������������������������������������������������������� #�.

&���#� ���������������������������������������������������������������������������� #��

6.2. The Psi Function ψ(z) �������������������������������������������������������� #��

&����� ����������������������������������������������������������������������������� #��&����� �����������������������0�������������������������������������� ##(&����� ����������������"��0������������������������������������������������� ##(&���#� ���������������������������������������������������������������������������� ##/

6.3. The Hurwitz Zeta Function ζ(s, z) �������������������������������������� #'�

&����� ��������������������� ���������������������������������������������������������� #'�

6.4. The Sine Si (z) and Cosine ci (z) Integrals �������������������������� #'�

&�#��� ����������������������#������������������������������������������������������� #'�&�#��� ����������������������#� ������������������������������������������������������ #'�

&�#��� �������������������#���0���������������������� �������������������� #'�

&�#�#� ����������������"��0���������#��������������������������������������������� #'�

6.5. The Fresnel Integrals S(x) and C(x)������������������������������������ #'�

&�'��� ��������������������#�������#���0�������������������������� #'�

&�'��� ��������������������#�������#���0������������������������ #''

&�'��� �����������������#����#���0���#� �������������������������������� #'-

&�'�#� ����������������"��0�������#���0��#����������������������������� #'/

6.6. The Incomplete Gamma Function γ(ν, z) ���������������������������� #'/

&�&��� ����������������������������������������������������������������������������� #'/

&�&��� ����������������"��0��������������������������������������������������� #&.

��1

Page 16: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������

6.7. The Parabolic Cylinder Function Dν(z) ������������������������������ #&.

&�(��� ��������������������������0���������%����������������������������� #&.

6.8. The Bessel Functions Jν (z) and Yν (z) �������������������������������� #&�&�-��� �������������������������������������������������������������������������������� #&�&�-��� �����������������,���������������������������������������������������� #&�

&�-��� �����������������!���������������������������������������������������� #&'

&�-�#� ����������������������������������������������������������������������� #&&&�-�'� �������������������������0����������������������������������������������� #&(&�-�&� ����������������������#������������������������������������������������������ #&(&�-�(� �������������������#���0������������������������������������������ #(.

&�-�-� ����������������"��0������������#�������������������������������������� #(.

&�-�/� ����������������"��0���������#���0�������������������������� #(�&�-��.� �������������������#���0���#������������������������������������������� #(�

&�-���� �������������������#���#���0��#��������������������������������� #(�

&�-���� ���������������������������������������������������������������������������� #(�

&�-���� ������������������������������������������������������������������������������ #(#&�-��#� ��������������������������������������������������������������������������������� #('

6.9. The Modified Bessel Function Iν(z) ������������������������������������ #('

&�/��� ������������������������������������������������������������������������������� #('

&�/��� ������������������������0����������������������������������������������� #(&&�/��� ����������������"��0����������������������������������������������������� #((&�/�#� ������������������������������������������������������������������������ #-.

&�/�'� ����������������"��0���������������������������������������������� #-.

6.10. The Struve Functions Hν(z) and Lν(z) �������������������������������� #-�

&��.��� ����������������H��������0L���

����������������������������������������� #-�&��.��� ����������������H�

����#������������������������������������������������������� #-�

&��.��� ����������������H��#���0������������������������������������������ #-�

&��.�#� ����������������H��#���0���#������������������������������������������� #-#

&��.�'� ����������������H��#��

�#���0��#��������������������������������� #-#&��.�&� ����������������H�

����#���0���#� ������������������������������������ #-'

&��.�(� ����������������"��0�����H��#��������������������������������������������� #-'

6.11. The Legendre Polynomials Pn(z) ���������������������������������������� #-&

&������ ������������������������ ������������������������������������������������������ #-&&������ ��������������������������0����������������������������������������� #-&&������ ����������������"��0���������������������������������������������������� #--

&����#� ���������������������������� ���������������������������������������������� #--

6.12. The Chebyshev Polynomials Tk(z) and Uk(z) ���������������������� #-/

&������ ���������������������������� ���������������������������������������������� #-/

&������ ��������������������������0����������������������������������������� #-/

�1

Page 17: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������

&������ ���������������������������� ���������������������������������������������� #/.

&����#� ��������������������������0����������������������������������������� #/.

6.13. Hermite Polynomials Hn(z) ������������������������������������������������ #/�

&������ ��������������������������0����������������������������������������� #/�

&������ ����������������"��0���������������������������������������������������� #/�

&������ �������������������������������������������������������������������������� #/�

&����#� ������������������������������0�"�������������������������������� #/#&����'� ����������������"��0������������������������������������������������ #/#

6.14. The Laguerre Polynomials Lλn(z) ���������������������������������������� #

/'

&��#��� �������������������������

����������������������������������������������������������� #/'

&��#��� �������������������������

�����0�"���������������������������������������� #/&

&��#��� ����������������"��0���������������

����������������������������������������� #/(

&��#�#� ����������������"��0����������#������������������������������������������� #/(

&��#�'� �������������������������

������� ���������������������������������������������� #/(

&��#�&� �������������������������

���������0�"�������������������������������� #/-

&��#�(� ����������������"��0���������������

������������������������������������� #/-

6.15. The Gegenbauer Polynomials Cλn(z) ������������������������������������ #

//

&��'��� �������������������������

��������������������������������������������������������� #//

&��'��� �������������������������

�����0�"���������������������������������������� '..

&��'��� ����������������"��0���������������

����������������������������������������� '.�

&��'�#� �������������������������

������������������������������������������������������� '.�

&��'�'� �������������������������

���������0�"�������������������������������� '.#

6.16. The Jacobi Polynomials P(ρ,σ)n (z) ����������������������������������������

'.'

&��&��� ����������������������� ���!����

��������������������������������������������������� '.'

&��&��� ����������������������� ���!����

�����0�"�������������������������������� '.&

&��&��� ����������������"��0������������� ���!����

��������������������������������� '.(

&��&�#� ����������������������� ���!����

����������������������������������������������� '.(

&��&�'� ����������������������� ���!����

���������0�"������������������������ '.(

6.17. The Generalized Hypergeometric Function pFq((ap); (bq); z)'.-

&��(��� ������������������������������������ ������������������������������������ '.-

&��(��� ��������������������������������������0���������������������� '��&��(��� ��������������������������������������0�"���������������������� '�#&��(�#� ����������������"��0���������������������������������������������� '�(&��(�'� �������������������������������������#�� ������������������������������ '�(&��(�&� ������������������������������������������������������������������� '��&��(�(� �����������������������������������������0�"���������������� '��

&��(�-� ����������������"��0������������������������������������������� '�&

�1�

Page 18: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������

�� ���� The Connection Formulas ������������������������������������������'�(

7.1. Elementary Functions ����������������������������������������������������������'�(

(����� ��������������������������������������������������������������������������������� '�(

7.2. Special Functions ����������������������������������������������������������������'�(

(����� !�"��������������������������������������������������������������������������� '�((����� !������"��������������������������0���������������������������� '�-

(����� !�"���������%���0������������������������������������������������������� '�-

(���#� !�������������������������!������

��!�����

������0���������� '�/

(���'� !�����*����������H������0L�

������������������������������������������� '#�

(���&� !������J������0�����E�

�������������������������������������������� '#�

(���(� !����%����������������0����� ������������������������������������������ '#'

(���-� !����*����������� ������� ����������������0������������������� '#&(���/� !������0��"��%������������������������������������������������������������ '#/

(����.� !��!��%�!�*"��%��������������0����������������������������������� '#/

(������ !�$������"��%������������������������������������������������������������ ''�(������ !���������"��%��������

����������������������������������������������������� ''�

(������ !�����������"��%��������������������������������������������������������� ''�

(����#� !�������"��%����������� !�������������������������������������������������� '''

(����'� !�"��%����������!���������%�������� �������������������������������� ''-

(����&� !����"��������"�����������K����������������������������������������������� ''/

(����(� !����"��������"�����������E������������������������������������������������� '&.

(����-� !������0�������������������������������������������������������������������� '&�

�� ���� Representations of Hypergeometric Functions

and of the Meijer G Function ����������������������������������'&�

8.1. The Hypergeometric Functions��������������������������������������������'&�

-����� !������!%"������������������������������� ������������������������ '&�-����� !�!%"������������������������������������������������������������ '-/-����� !�!%"���������������������������������������������������������� &.�-���#� !�!%"��������������������������������������������������������� &��-���'� !�!%"��������������������������������������������� ������������ &�--���&� !�!%"��������������������������������������������� ������������ &�/-���(� !�!%"������������������������������������������� ������������ &��-���-� !�!%"������������������������������������������������������� &��-���/� !���������������!%"����������������������������� ���������� &��-����.� !� ��������������!%"��������������������������� �������������� &��-������ !�!%"���������������������������������������������������������������� &�'-������ !�!%"������������������������������������� ������������������������ &�/-������ !�!%"������������������������������������������������������������ &�/-����#� !�!%"��������������������������������� ���������������������������� &��-����'� !�!%"������������������������������������� ���������������������� &��-����&� !�!%"�������������������������������������������������������������� &��

�1��

Page 19: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������

-����(� !�!%"�������������������������������������������������������������� &��-����-� !�!%"�������������������������������������������������������� &��-����/� !�!%"��������������������������������������������������������������� &��-����.� !�!%"�������������������������������������������������������������� &�#-������ !�!%"����������������������������������������� ������������������ &�'-������ !�!%"��������������������������������������������� ������������ &�&-������ !�����������0!%"������������������������������������������������� &�(8.2. The Meijer Function G

m,np,q

�z ����

(ap)

(bq)����������������������������������� &�--����� ��������������� �������������������������������������������������������������������� &�--����� ������������������������������������������������������������������������������� &�/8.3. Representation in Terms of Hypergeometric Functions ������ &

'�-����� ���������%������������������������������������������������������������������������� &'�-����� �"������������������������������������������������������������������������������������ &''���������� ���������������������������������������������������������������������������������������� &&/)�0��������������������������0������������������������������������������������� &(�)�0�����������������%������������������������������������������������������������������� &(/

�1���

Page 20: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Preface

��������� ���������������� �� ��������� �������������� �������� ���� ��������� � �� ���� �� ��������������� ���� ������ ������� ������� ��������������� � ������� ������� �������� ��� �� �� ������ ������ � ������������ !"#�!$�!% &'(!#%�)!"�*���+"�� �� ,&�")-.!%��� &�� !"-)�/"�*���+������0����� 10��23 � ,&�)- .!%��� &"45����"4 !$6�)$(#%"��7�8�9���� �� � �7���:�;��3� !$,))<)-= %��/ %�# &'(!#%�)!"����������� ;� �7�8 ��� 10���23� � ��>����� �����.!%��� &" !$5����"���������� �����?������������� �@�7���������A�� � ������������ �� �� ���� ��� �� �� ���� �� � �������������� � �� ���� ������� � ������� ���������� �� �� �� �� ��������� ������� ���� ��������� ����������� � ������� �� ��� � ������ ��8��� �� ����������������� ����������� � ����8������ � �� ������ ��������������� ������B> ������� ������ � ������ � ��� ���� ������ ������ ������ � ������ �������� ��� ���� ��������� � �� ����� ����������� �� ����������� �� ����������� �� �� � ��� ������ ������ ���� ��������� � �� ������������������ ���� �������9�� � �� ���� �� ��� �� � ��C��� �� �� ������ ���������� �� � �� �� 7 �� ����� ������������� ��� ��������� � �� � � ���� �� ����� ������ ���" ���� �� ��������� ���� �� � ���� �� ������ ���� ������� �� � �� �� ���������� � ������� � ����� �� � � ���������� ��� ��������7 �� ����� �� �� ������������� ������������� ���� ��������� � �� ���� ��������� �� �������� � �� ����������� ����� � �� �� �������9�� � �� �� ������ ���� � �� ����������������������� ���� ������ ���� � � �� � � ���� � ��������� ��� �� ��� ������7 ���� ����� ���� ����� ��� �� ����� ���� ���DEFEGEBEHEIJKELEMENNN���� ������ � ��� �������������� ����� �� ��� �� �������� ������ �� ��� �� ��� ���� �� ������������ �� ���� ����

���

Page 21: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas
Page 22: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Chapter 1

The Derivatives

1.1. Elementary Functions

1.1.1. General formulas

1. ����� ����� ��  ������ ��� ���� ��� ��� ��! '#" � "$&% ��')(*� $ ! % �,+ �&- ��. ��� � ¤2. ����� ���0/ ���0�   �&-21�� ��� �43 ¢ � � ��'65 $ (87�! %$9% ��')( $ (:7�! % � £ / ��� -;�&- � �<+ �&- ��. ��/ ��� = '8>?7A@CB3. ���ED�EF 7��GIH   ��3 ¢ � � � � 3 ¢ � � �&-21�� ���KJ ' $�L � "�" � '��')( $ (:7�! % �,+ �&- ��. F 7��G = '8>?7A@CB4. ���EDM� �&-21 �EF 7� GIH   ��3 ¢ � � � -;�&-21ON F 7� G �<� � �P�Q� �,��&��   N ��&� ¤5. ����� � 1 ��&�R� �0�&� ¤�¤4¤ ��ST�0�&��   ����U4��� J '$ � LV� + ��U4.1 ��&� �&- � U��XW4��� J ')( $ �$ � LV� + �XW4. �0�&� ¤�¤4¤

Y �&- ��U -<Z Z Z - �X[<\]W�� [<\#U ��� ^ ')( $ � (_B�B B<( $ ( " �$ ( " � ` � + � [<\#U .S -21 ��&�R� + �&- ��U -<Z Z Z - �X[<\#U4.S ��&� ¤6. ���EDM� SEa � ��F 7� G � S D�� S -21Ab F 7� G9HOH   �43 ¢ � SEa � � -;�&-21 N F 7� G �

� � ����� ����&�9� S � b �0�&�� �   N �0�&� ¤1.1.2. Algebraic functions

1. ����� �&c#�   �43 ¢ � � �43Pd2� � �&c -;� ¤2. ����� �&e<�fg3h�&��i��  ���� f � �&e -;� �0fg3h�&�0i -;��j +ke -;�9l i -;� .� F ¢ 3 �O�m G ¤3. ����� �&e<�fg3h�&� i �  ���� �&e��0fg3h�&� i -;� j + - e - i -21Rl i -;� .� F ¢ 3 � m�:G ¤4. ����� �&e<�fg3h�&� i �  ���� �&e -;� �0fg3h�&� i j +ke -;�9lC- e - i -21 .� F m 5n�m (*� G ¤

Page 23: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������������� � ��� ��� ��� � � � �� �� ,5. ����� � c �f�� �&� c �   F m� G � ��� �( ���&! '

J 1 (�� L ' � c -;� �0f�� �&� c -;��� c -;� a 1� � F ¢ � � �m G ¤6.

  ��3 ¢ � � � � �0���� fI�&� c -;��� � - c� F �O� 5 m��� � � 5 m � G ¤7. ����� � -21 �0f�� �&� -21 �

 �£ ��3 ¢ � � a 1 � � f -21 �f�� �&� -;�&-21 � ¢ 3 F m 5 �� G + � a 1 . � �� � a 1 F m 5n�O�� � m � 5 � � G! ¤8. ����� � - c -21� ]�fg3h�&� c �

 �£ - � ��� '�! %J 1 (�� L ' � - c -21� �0fg3h�&� c -;��� c -;� a 1� � F#" m � G ¤

9. ����� � c �fg3h�&� �&- c -21 �   �43 ¢ � � ��� f ��� � c -;��� ��0fg3h�&� - c -21$� - c� F � 5 m� � m � G ¤10. ����� � �&- c -21 �0f�� �&� c �

  F�3 7� G � � � �(����9! 'J 1 (%� L ' � �&- c -21 �f�� �&� c -;��� c -;� a 1� � F ¢ � � m�8G ¤

11. ����� � - c -!&4� �0fg3h�&� c �  3 ' %� J & L 'J ('�6( 1 L '%& � f -21� O� - c -21 �fg3h�&� c -;��� c -;� a 1� � a 1 F#" m � G ¤

12. ����� � �&-21� ��0fg3h�&� c �  ���� J 1 L 'J 1 (�� L ' f � � -21� ��0fg3h�&� c -;� � c -;� a 1� � F " �m G ¤13. ����� � � a 1� ��0f�� �&� c �

  3 £ - �&-21 ��� '65_7�! %�(� 5_7X! '%& � ��$� fI� c a 1� � - c -;�&-21 � a 1 )+* �� 5 m-, ¤14. ����� � �&-21� ��0f�� �&� c �  �£ - � ��� '�! %�(� 5 7�! ' � -21� ��f-� �&� c.� - c -;� � )+* �m 5 � , ¤15. ����� � � �0f�� �&� -21� �  ���� f ��� ��0f�� �&� - + � a 1 . � j � F � m 5 �� � m � 5 m � G ¤16. ����� � � �0f�� �&� �&-21� �  ���� f � �f-� �&� -21� j � F�" ¢ � �m G ¤17. ����� � � �0f�� �&� � a 1� �  ���� f � a 1� j � a 1 F " ¢ � �m G ¤18. ����� � � �0f�� �&� -;�&-21� �  �� � �0f�� �&� -;�&-21� j � ) * mm 5 � , ¤

,

Page 24: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����19. ����� � � �0f�� �&� -;�&-!&4� �  �� � f -21� ]�f-� �&� -;�&-21Oj � a 1 )+* mm 5 � , ¤20. � � � � � �0f�� �&� � �  �� � f � j � F ¢ � � �m G ¤21. ����� � -;�&-21 �0f�� �&� � �   ��3 ¢ � � � � � -;�&-21 j � F ¢ � � m� G ¤22. � � � � �&-21� �f��h�&� -;�&-21� �   �43 ¢ � � ��� � -21� �0f �h�&� -;�&-21� j � )+* �m 5:� , ¤23. ����� � �&-21� ��0f�� �&� � �  ���� ��3PfI� � � -21� j � F�" �m G ¤24. � � � � � a 1� �0f�� �&� � a 1� �   J & L ''g5 7 f � � 1� �0f�� �&� 1� �� � F ¢ � � �m G ¤25.

  J & L '�#��'Q5_7�! f � a 1� � 1� � � a 1 F�" ¢ � �m G ¤26. � � � � �&-21� �0f�� �&� � a 1� �   F 7� G � f � a 1� � -21� � � a 1 F#" ¢ � �m G ¤27. ����� � � a 1� ��0f�� �&� �&-21� �   F 7� G � f � � 1� ��0f�� �&� -21� � � F " ¢ � �m G ¤28. ����� � � a 1� ��0fg3h�&� �&-21� �   �43 ¢ � � F 7��G � f � a 1� ��fg3h�&� -21� � � a 1 F#" �m G ¤29. ����� � �&-21� ��0f�� �&� �&-21� �   F 7��G � f � � -21� ��f-� �&� -21� � � F#" ¢ � �m G ¤30. ����� � �&-21� ��0f�� �&� -;� �   F 7��G � � -21� ��f�� �&� -;� � � )+* mm 5 � , ¤31. � � � � � a 1� �0f�� �&� -;�&-21 �   F 7� G � � 1� �f-� �&� -;�&-21 � � )+* mm 5n� , ¤32.

  �43 ¢ � � F 7��G � �f-� �&� -;�&-21� � � a 1 ) * �m 5 � , ¤33. ����� � �&-21� ��0f�� �&� -;�&-21 �

  F 7��G � �fI�&� -21� �0f�� �&� -;�&-21� � � a 1 ) * mm 5 � , ¤34.

  �43 ¢ � � F 7� G � � -21� ��0f��h��� -;�&-21 � � )+* �m 5:� , ¤35. ����� � � a 1� ��0f�� �&� -;�&- �

  �43 ¢ � � £ - � ���O'65_7X! %��'65 7�! % � 1� ��f-� �&� -;�&- �� � F ��( m� 5 m G ¤3

Page 25: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������������� � ��� ��� ��� � � � �� �� 336.

  J & L '�#��'Q5_7�! F �m G 1� �f�� �&� -;�&-!&4� � � a 1 )+* mm 5n� , ¤37. ����� �0f9 3h�� � c �   ��3 £ fI� � ��� �('�9! '��' ( ���&! ' �0f9 3h�� � c -;� � c -;� a 1� � F �m G ¤38. ����� �0f9 3h�� � -21 �

 �� � f -21 �fg3h�&� -;�&-21 � ¢ 3 F �E( m� 5 m G + � a 1 . � �� � a 1 F �� � � ( m � G ¤39. � ��� �0f9 3h�� � -21 �   � £�� � � f -21 �f9 3h��O� -;�&-21� � � a 1 F m� m � (8� � G ¤40. � � a 1 � �0f9 3h�� � -21 �   � £� � ¢ � � f -21 �;�f9 3h��O� -;�&-!&4� � � a 1 F m� m � (8� � G ¤41. � � � � -21� �0f�� �&� -21� �

  �43 ¢ � � ��� � - + � a 1 . � �0f�� �&� - + � a 1 . � j � F � � 5 m� � m � 5 � � G ¤42. ����� �0f9�� �� � -21� R�   �43 ¢ � � ��� �f9 � �� � - + � a 1 . � j � F �� m � 5 � � G ¤43. ����� �0f9 3h�� � � �   �43 £ fI� � ��� j � F �m G ¤44. ����� �0f9 3h�� � �&-21� R�   �43 £ fI� � F 7� G � �f9 3h�� � -21� � � F �m G ¤45. ����� �0fI�Q3h�� � �&-21� R�   �43�fI� � F 7� G � �0fI�Q3h�� � -21� � � F�" �m G ¤46. � � � �0f 3h� � � a 1� �   �(�� m ! ''65_7 F � � G � �0f 3h� � 1� � � F �m G ¤47. ����� � -;�&-21 �0f9 3h�� � � �   �43 £ fI� � ��� � -;�&-21 j � F m � G ¤48. ����� � �&- c -21 �0�� 3hf9 � c �

  � £ fI� � ��� �('�9! '��')( ���&! ' � �&- c -21 �0� 3hf � c -;� � c -;� a 1� � F m � G ¤49. ��� � 7� � � 5 m � F �$� � � � f G 1�

  ��3 ¢ � � � �m F 7� G � �0���� f9 � - + � a 1 . ������� � F �O'65_7� ��� � ����m G ¤

1.1.3. The exponential function

1. �����k� c�� -�� ���  ���� � c -;� � -�� ��� c -;�� �0fI�&� ¤2. ��� � � c�� -��R��� �   �43 ¢ � � ��� � c -;� � -��R����� - c -21� F m � G ¤

5

Page 26: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����3. ���ED � � � W H   ��3��A� � f ��� � � � W�� � ���R/ f��&� ¤4. ���EDM� �&-21 � �R��� W H   � � f ��� � -;�&-21 � �R��� W�� � F � � m� G ¤5. ���ED � -�� � W H   ��3 ¢ � � f ��� � -�� � W�� � ��/ f��&� ¤6. ���EDM� �&-21 �#-��R��� W H   f ��� � -;�&-21 �#-��R��� W � � F � m� G ¤7. � � � � � � � �   / �8F m� G � a 1� � + 1A- � . ��� � �&-21� �f;/ ��� � 1� -;� �0f;/ ���� ¤8. � � D 7� � � � � � H   / �*F m� G � a 1� � - + 1 a � . ��� � � a 1� �f;/ ��� �� -;�&-21� �f;/ ���0� ¤9. �����k� �&-21 � �R� � ���

  ��3 ¢ � � / �*F m��G � a 1� � - + � a � . ��� D� �&-21� F m� � G � 1� -;� F m� � GIH ¤10. �����k� �&-21� � �R� � ���

  �43 ¢ � � / � F m � G � a 1� � - + & a � . ��� D � a 1� F m� � G � -;�&-21� F m� � GIH ¤11. ����� � -�� � ���   ��3 ¢ � � m ' & �� �� ']" �� � � � �I+ 1A- � . ����� �&-21� �f / ��� ¤12. ��� D 7� � � -�� � � H   �43 ¢ � � m '%& �� �� '#" �� � � � � - + 1 a � . ����� � a 1� �0f / ��� ¤13. ��� � � �&-21 � -��R� � � �   m '%& �� �� ']" �� � � � � - + � a � . ����� �&-21� F m� � G ¤14. � � �k� -;�&-21� �#-��R� � � �   m '%& �� �� ']" �� � � � � - + & a � . ��� � � a 1� F m� � G ¤15. � � D � + -21 .���� U�� � � � H   ��3 ¢ � � a 1 �R/ �*F m� G � a 1� � + 1A- � . ��� � + � .1� -;� �f;/ ���= ��� 7�����@CB16.

  �43 ¢ � � / �8F m� G � a 1� � + 1A- � . ��� � + � .�&-21� �0f;/ ��� = ��� 7��]�X@CB17. ��� D 7� � � + -21 .���� U�� � � � H

  ��3 ¢ � � a � a 1 �R/ �*F m� G � a 1� � - + � a 1 . ��� � + � .� a 1� �0f;/ ��� = ��� 7�����@CB18.

  / � F m � G � a 1� � - + � a 1 . ��� � + � .-;�&-21� �0f / ��� = ��� 7��]�X@CB;

Page 27: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������������� � ��� ��� ��� � � � �� �� 51.1.4. Hyperbolic functions

1. � � � �&c ��� ��� �fI�&�0�   ' %� �&c -;� � � � � � c -;�� �43�fI�&�<3 �#-�� � � c -;�� �fI�&� � ¤2. ����� � c � � ��� �fI�&�0�   ' %� � c -;� � � � ��� c -;�� �43�fI�&� � � -�� � � c -;�� �fI�&� � ¤3. ����� ��� � � �fI�&�0�

 �£ ��3�fI� � ������� �")"������ ��� � $ 5 7�!���� ����� � "������� � " � ��� 5_7�! 3 "'& � 8 � ��S ��� �43 ¢ � S J $� L � � ¤

4. ����� ��� ��� �0fI�� ��   �( � ! '� f ��� � � � W�� � � �R/ f �&��3 �( 7�! '� f ��� � -�� � W�� � �0/ f��&� ¤5. � � � � � ��� �fI� �0�   �( � ! '� f ��� � � � W � � � �R/ f��&� � �( 7X! '� f ��� �V-�� � W � � �0/ f��&� ¤6. ����� ��� ��� �0f;/ ���0�   / �8F m��G � a 1� �I+ 1A- � . ��� 1� -;� �f;/ ��� ¤7. ����� � � ��� �f;/ ���0�   / �8F m� G � a 1� �I+ 1A- � . ��� �&-21� �f;/ ��� ¤8. � � D ��� ��� � m � ��!� � H   / �8F m� G � a 1� � - + 1 a � . ��� � a 1� �f;/ ��� ¤9. ���ED �� ��� � m � ��!� � H   / �*F m� G � a 1� � - + 1 a � . ��� -;�&-21� �0f / � � ¤10. ����� ��� � � / ���   ��3 ¢ � � � � �?F �

� � 5 � � G � a 1Y � a � N � a & �� 7 � & � 1 ( � � � �&B B B � 1 ( � � � � 1 5 � � � �&B B�B � 1 5 � � � 1 � & ( � � � �&B B�B � & ( � � � � & 5 � � � �&B B�B � & 5 � � � "! ( 7

#$¤

11. ���ED ��%�� � �� � H   �43 ¢ � � a 1 ' %� '%& � � �]�( 7X! ' ' %� '%& �Y � a & N � a �� 7��V( � � � �&B B B �V( � � � � � � � �&B B�B � � � � 7 ( � � � �9B�B B �#7�( � � � �#7,5 � � � �&B B B �#7<5 � � � ! ( 7

#$¤

12. � � D � � �&� � �� � H  �£ �43 ¢ � � ��� F �� � 5 � � G � a 1

Y � a & N � a �� 7 � 1 ( � � � �&B B�B � 1 ( � � � � 1 5 � � � �9B�B B � 1 5 � � � & ( � � � �9B�B B � & ( � � � � & 5 � � � �&B B B � & 5 � � � "! 7#$¤

:

Page 28: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����13. ���ED �� ��� � �� � H   �43 ¢ � � a 1 ' %� '%& �

� �#�( 7�! ' ' %� ' & � � a & N � a �� 7���( � � � �&B B B ��( � � � � � � � �&B B B � � � � 7 ( � � � �9B�B B �#7�( � � � �#7,5 � � � �&B B B �#7<5 � � � ! 7#$¤

14. ��� D � �&-21 ��� ��� F m� � GIH   ��3 ¢ � � / � F m � G � a 1� � - + � a � . ��� 1� -;� F m� � G ¤15. ���ED�� �&-21 � � ��� F m� � GIH   ��3 ¢ � � / �*F m� G � a 1� � - + � a � . ��� �&-21� F m� � G ¤16. ��� D � �&-21� ��� ��� F m� � GIH   ��3 ¢ � � / � F m � G � a 1� � - + & a � . ��� � a 1� F m� � G ¤17. ���ED�� �&-21� � � ��� F m� � GIH   ��3 ¢ � � / � F m � G � a 1� � - + & a � . ��� -;�&-21� F m� � G ¤18. � � � ��� ��� �0f �/ ����  � �� � '%& �� � f � a 1� �I+ 1A- � � . � � �&-21�� ��� � ��'65 $ !$&% � ��')( $ ! �43�fI� - � � - � ��� � -;� a 1� �0f �/ ���= '*>?7R@CB

19. ����� � � ��� �0f �/ ����  � �� � ' & �� � f � a 1� �I+ 1A- � � . � � �&-21������ � ��'65 $ !$9% � ��')( $ ! �43�fI� - � � - � ��� �&- � -21� �f �/ ���= '*>?7R@CB

20. � � � ��� ��� � m �� ��!�� �

  � �� � ' & �� � f � a 1� � - + � � a 1 . � � �&-21������ � ��'65 $ !$9% � ��')( $ ! ��3PfI� - � � - � ��� �&- � a 1� �f �/ ���= '*>?7R@CB21. � � � �� ��� � m �� ��!

�� �   � �� � '%& �� � f � a 1� � - + � � a 1 . � � �&-21�� ��� � ��'65 $ !$&% � ��' ( $ ! �43�fI� - � � - � ��� � -;�&-21� �0f �/ ���= '*>?7R@CB

1.1.5. Trigonometric functions

1. � � � ��� � �0fI�&��   f � ��� � F fI��� ' �� G ¤<

Page 29: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������������� � ��� ��� ��� � � � �� �� ;2. ����� � � � �0fI�&��   f � � � � F fI��� ' �� G ¤3. ����� ��� � �0fI�&��   �43 ¢ � � + � a 1 . � ���f � ����� 1

�( 7�! "� " J '65_7$ 5 7 L ��� � � a 1 �fI�&�Y ��S ��� J $� L � � 3 £� � � � � � D� � 3 £�� � fI�Q3 7�( �( 7�! '� � H = = ��� @���� � � !C@CB

4.  ��3 ¢ � � + � a 1 . � �� f � ��� � 1

�( 7X! "� " J '65_7$ 5_7 L ��S ��� J $� L � � 3 £� � � ��� � SEa 1 �fI�&�Y � + � -�� . � �� - S�

� ��� ��3 ¢ � � J $ (*� �����5 L �� � � a � �fI�&� � � ��� � ��� '

� ! = ��� @������O� !��#B5.

  ��3 ¢ � � + � a 1 . � ���f � ��� � �fI�&� ������� 7� " � + � -�� . � ���S ��� �43 ¢ � S J $� � 5� LY �� � SEa � �0fI�&� ��

� ��� �43 ¢ � � J $� L�� £L� � ¢ � � � � ��� � ��� '

� ! = ��� @������ � !��#B6.

 �£ � �AfI� � ��� ��� ���"������ � � � $ 5_7X!�� � ��� � ��� ��� �� � � � ��� 5 7�! 3 "'& � 8 � ��S ��� ��3 ¢ � S J $� L � � = = ��� @ ��� � � !C@CB

7.  ��3 £ � � a 1 m ' ' %��� m � 5 � ! '%& �� m '��� � ! '%& � D�� + � . F � � 5n� m �� � G 3�� + � . F � 5n� m �� � G9H

3 �43 ¢ � � m '��� � ! '%& � D � + � . F � (*� m �� � G 3�� + � . F 3 � 5n� m �� � GIH ¤8. ����� � � � �fI�&�0�

  ��3 ¢ � � ��� �� f � ����� 1�( 7�! "� " J '65_7$ 5_7 L ��S ��� J $� L�� � 3 £� � � � � � SEa 1 �fI�&�

Y � + � -�� . � �� - S�� ��� ��3 ¢ � � J $ (*� �����5 L � � � � a � �0fI�&� � ����� � ���

'� ! = ��� @ ���C7X� �O! � B

9.  ��3 ¢ � � ��� �� f � � � � �fI�&� ����� 1

7� " ��S ��� �43 ¢ � S J $� L � £�� � ¢ � �Y � + � -�� . � ���

� ��� ��3 ¢ � � J $���P5� L � ��� � a � �0fI�&� � ����� � ��� '

� ! = ��� @ ���C7 � �O! � BL

Page 30: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����10.

  �43 ¢ � � a 1 ' %m � ' & � � m '��� � ! '%& � D � + � . F � 5 m �� � G 3 � + � . F m �� � G9H3 �43 ¢ � � m '��� � ! ' & � D�� + � . F � ( m �� � G 3�� + � . F�3 m �� � G9H ¤

11. ����� �� � �0fI�&��   �43 ¢ � � ��� �� a 1 � £ fI� � ����� 1� � $"'& � � m �]!� "

Y ��� � D � � 3 ¢ �4fI�$� 7�( �( 7�! '� � H ��S � 1 ��3 ¢ � S J $� L � � = = ��� @ ���C7 � !C@CB12.

  �43 ¢ �4� � ��� �� a 1 � £ fI� � ��� � ��fI�&� ��� � 17� " ��S � 1 ��3 ¢ � S J $� L � �

Y � + � a �V- . � ���� ��� ��3 ¢ � � J $ (87���Q( Q5_7 L �� � � -�� a 1 �fI�&� � ����� � ���

'� ! = ��� @������ � ! � B

13.  m '

� ' & � D � + � . F 7� � m �� G 3 ��3 ¢ � � � + � . F 7� 3 m �� GIH ¤14. ����� � � � �fI�&�0�   �43 ¢ � � + �&-21 . � ��C� £ fI� � � � � ��fI�&� ��� ��� 7� " ��S � 1 ��3 ¢ � S J $� L � �

Y � + � a �V- . � ���� ��� �43 ¢ � � J $ (:7���Q( 5_7 L � ��� � -�� a 1 �fI�&� � � ��� � ���

'� ! = ��� @������ � ! � B

15.  m '

� ' & � D��3 ¢ � � � + � . F]3 m �� G 3�� + � . F ¢ � m �� G9H ¤16. ����� � c ��� � �fI�&�0�   ' %� � � c -;� � �

�� � � c -;�� �43 �AfI�&��3 � - � � � � c -;�� � �AfI�&� � ¤

17. ����� � c � � � �0fI�&��   ' %� � c -;� � ��� ��� c -;�� �43 �AfI�&� � � - � � ��� c -;�� � �AfI�&� � ¤

18. ����� ��� � �fI�� �0�  �( 7X! '� f ��� � + �&- . � ��� D � � � � � � W�� � � � & � ��� / f����E3 � - � � � W�� � � � � ��� / f���� H ¤

19. ����� � � � �0fI�� ��  �( 7X! '� f ��� � � � ��� D � � � � � � W�� � � � & � ��� / f���� � � - � � � W�� � � � � ��� / f���� H ¤

20. ���ED�� �&-21 ��� � m � H   ��3PfI� � � -;�&-21 � � � F m � � ' �� G ¤21. ��� D � �&-21 � � � m � H   ��3PfI� � � -;�&-21 � � � F m � � ' �� G ¤

P

Page 31: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������������� � ��� ��� ��� � � � �� �� ;22. ����� ��� � �f / ���0�   / �*F m� G � a 1� �I+ 1A- � . ����� 1� -;� �f / ��� ¤23. ����� � � � �0f;/ � ��   ��3 ¢ � � / �*F m� G � a 1� �I+ 1A- � . ����� �&-21� �0f;/ ��� ¤24. ����� ��� � S �0f;/ �<�

  �43 ¢ � � S � �� � � m ' & �� �� ( &(']" �� � � 3 � '#" � 8 � � S � �� - + 1 a + -21 . [ . � ������ ��3 ¢ � � J � $ LY�� 7 ( �( 7X! (� � � 3 £)� � � a 1� � 1� -;� �4� � 3 £)� �4f;/ ���� �43 ¢ � � 7,5h�( 7�! (� � � 3 £!� � � a 1� � �&-21� � � � 3 £!� �4f;/ � ��� = � >?7R@CB25. � � � � � � S �0f;/ ���  �43 ¢ � � � � m ' & �� �� ( & '%& �� � � 3 � '#" � 8 � S������ J � $ L�� � 3 £)� � � a 1� � �&-21� �4� � 3 £)� �4f / ��� ¤

26. ���ED ��� � � m � �2!� � H   ��3 ¢ � � / �*F m��G � a 1� � - + 1 a � . ����� � a 1� �0f / ��� ¤27. ���ED ���� � m � ��!� � H   / �*F m� G � a 1� � - + 1 a � . ����� -;�&-21� �f;/ ��� ¤28. ����� ��� � / ���  �� � �?F �

� � ( � � G � a 1Y � a � N � a & �� 7 � & � 1 ( � � �&B B�B � 1 ( � � � 1 5 � � �9B�B B � 1 5 � � 1 � & ( � � �&B B�B � & ( � � � & 5 � � �&B B B � & 5 � � ! ( 7

#$¤

29. � � D ��% � �� � H   ��3 ¢ � � a 1 ' %� ' & � � �]�( 7X! ' ' %� '%& �Y � a & N � a �� 7 �V( � � �&B B�B �V( � � � � � �&B B B � � � ! ( 77 ( � � �&B B�B �#7�( � � �#7<5 � � �&B B B �#7<5 � �

#$¤

30. ���ED � � � � �� � H  �£ � � � �#F �� � ( � � G � a 1

Y � a & N � a �� 7�� 1 ( � � �9B�B B � 1 ( � � � 1 5 � � �&B B B � 1 5 � � & ( � � �&B B B � & ( � � � & 5 � � �&B B�B � & 5 � � ! 7#$¤

31. ��� D �� � � �� � H  �£ �43 ¢ � � � � � -;�&-21Y � a & N � a �� 7 �V( � � �9B�B B �V( � � � � � �&B B B � � � ! 77 ( � � �&B B�B �#7�( � � �#7<5 � � �&B B B �V7<5 � �

#$ 3 �43 ¢ � � ' %� '%& � ¤��N

Page 32: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����32. ���ED�� �&-21 ��� � m� � H   �43 ¢ � � / �8F m��G � a 1� � - + � a � . ����� 1� -;� F m� � G ¤33. ���ED�� �&-21� ��� � m� � H   / �8F m��G � a 1� � - + � a & . ����� � a 1� F m� � G ¤34. ��� D � �&-21 � � � m� � H   / � F m � G � a 1� � - + � a � . ����� �&-21� F m� � G ¤35. ���ED�� �&-21� � � � m� � H   �43 ¢ � � / �8F m��G � a 1� � - + � a & . ����� -;�&-21� F m� � G ¤36. ����� ��� � �f �/ ���0�  �£ - �&-21� O/ � f � a 1� �I+ 1A- � � . � �

Y �&-21�� ��� �43�fI� - � � ��'65 $ !$9% � ��')( $ ! � - � ����� � -;� a 1� �f �/ � � = '8>?7A@B37. ����� � � � �0f �/ ����   ��3 ¢ � � £ - �&-21� / � f � a 1� �I+ 1A- � � . � �

Y �&-21�� ��� f - � � ��'65 $ !$9% � ��')( $ ! � - � ����� �&- � -21� �f �/ ��� = '8>?7A@CB38. ��� � ��� � � m �� ��!

�� �   �43 ¢ � � £ - �&-21� / � f � a 1� O� - + 1 a � � . � �

Y �&-21�� ��� f - � � ��'65 $ !$9% � ��')( $ ! � - � ����� �&- � a 1� �f �/ ��� = '8>?7A@CB39. � � � �� � � m �� ��!

�� �  �£ - �&-21� / � f � a 1� � - + 1 a � � . � �

Y �&-21�� ��� �43 ¢ � � f - � � ��'65 $ !$&% � ��')( $ ! � - � ����� � -;�&-21� �0f �/ � � = '8>?7A@B40. � �R�ED � � � ��� � � � � �

� � ��� � � � � � � H   ��3��#� � � � � ��� � � � � �� � ��� � � � � � � ¤

41. � �R� a 1;D � � � ��� � � � � �� � ��� � � � � � � H   ��3��#� � ��� � � ��� � ��� � ��� ��� ��� � � � � �&� ¤

42. � �R� a D � � � ��� � � � � �� � ��� � � � � � � H   �6�43 ¢ � � £ � a 1 � � � ��� � � � � �

��� ��� � � � � � � ¤43. � �R� a & D � � � ��� � � � � �

� � ��� � � � � � � H   ��3 ¢ � � a 1 £ � a 1 � � � ��� � � � � ��� � � ��� � � � � �&� ¤44. � �R� D � � � ��� � � � � �

� � ��� � � � � � � H   ��3��V� � � ��� ��� � � � � �� � ��� � ��� � � � ¤

45. � �R� a 1 D � � � ��� � � � � �� � ��� � � � � � � H   ��3��V� � � � � ��� � � � � ��� � � ��� � � � � �&� ¤

��

Page 33: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������������� � ��� ��� ��� � � � �� �� :46. � �R� a D � � � ��� � � � � �

� � ��� � � � � � � H   �6�43 ¢ � � £ � a 1 � � � ��� � � � � �� � ��� � � � � � � ¤

47. � �R� a & D � � � ��� � � � � �� � ��� � � � � � � H   ��3 ¢ � � a 1 £ � a 1 � � � ��� � ��� � ��� � � ��� � � � � �&� ¤

48. ��� � � � ��� �f;/ ��� � ��� � �0f;/ ���� � � �f;/ �����   � � ¢ � � / �8F m� � G � a 1� �I+ 1A- � . ���Y D ��� � ���O'65 � ! �� � � �� ���<1� � f / £ � �'� � � �

��� 'Q5 � ! �� � ��� � ���<1� � f / £ � � H ¤49. ��� � � � ��� �f;/ ��� � � � � �0f;/ ���

� � � �f;/ � ��   ��� ¢ � � a 1 / �*F m� � G � a 1� �I+ 1A- � . ���Y D ��� � ���O'65 � ! �� � ��� �2� � 1� � f / £ � �K3 � � ����O'65 � ! �� � � �2� � 1� � f / £ � � H ¤

50. ��� � 7� � ��� ��� �f;/ � � � � � � �0f;/ ���� � � �f;/ � ��   ��� ¢ � � / �*F m� � G � a 1� � - + � a 1 . ���Y D ��� � ���O'65 � ! �� � � �2���<1� � f / £ � �'� � � �

��� 'Q5 � ! �� � ��� �2���<1� � f / £ � � H ¤51. ��� � 7� � � � ��� �0f / ��� � � � � �f;/ ���

� � � �f;/ ����   ��� ¢ � � a 1 / �*F m� � G � a 1� � - + � a 1 . ���Y D � � � ���O'65 � ! �� � � �� � � 1� � f / £ � �E3 � � �

��� 'Q5 � ! �� � ��� � � � 1� � f / £ � � H ¤1.1.6. The logarithmic function

1. � � � � � / � � / ��� f � �  �43 ¢ � �&-21 ��')(:7X! %� � -;��� ���� f9� -;��� j �&-21 ) � � 5 m� � � � � 5 m , = '*>?7R@CB

2. � � �k� �&-21 � � / f�� / ��� f � �  ��')(87�! %�O� 3 ��')(87�! %�O� � m� 5 m � ��� j �&-21 F � 5n� m� � m � 5 m � G = '*>?7R@CB

3. ��� D � F �$� � � � f G9H  �43 ¢ � �&-21 � � 3 ¢ � � �0���� f9O� -;��� j �&-21 F �� � � 5 m � G = '*>?7R@CB

4. ��� D � �&-21 � F f�� � � � f GIH  ��')(87�! %� 3 ��')(:7X! %� f � ��� � f9 � -;��� j �&-21 F m� � � 5 m � G = '*>?7R@CB

5. � �ED� � m 5 �m (8�<H  �£ � £�� 3 ¢ � � �;�0f9 3h�� � -;�&-21� � �&-21 F m� m � (*� � G = '8>?7A@CB�!,

Page 34: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����6. � � a 1;D� � m 5 �m (8�<H  �£ � £�� � � �0f9 3h��O� -;�&-21� � � a 1 F m� m � (8� � G ¤7. ��� D � m 5 � �m ( � � H

  � � 3 ¢ � � f �&-21 � 1� -;� �f 3h�&� -;� j + 1� -;�9lC-;� .�&-21 F ¢ 3 � �m � G = '*>?7R@CB8. ��� D � �&-21 � m 5 � �m ( � � H

  �43 ¢ � � � � 3 ¢ � � fI� �&-!&4� ]��Q3hf9O� -;� j + 1� -;�9lC-;� .�&-21 ) ¢ 3 � m �� , = '*>?7R@CB9. ���EDM� 1� ��f9 3h�&� � ���EDM� �&-21 � m 5 � �m ( � � H H  �¡ = '8>?7A@CB10. ���ED�� �&-21� ��0f9 3h�&� � ���ED � m 5 � �m ( � � HOH  �¡ = '8>?7A@CB11. ���ED�� -21� ��0f9 3h�&� � ���ED�� �&-21� � m 5 � �m ( � � HOH

  � £� � � ) 3 m �� , � � -;�&-21 � m 5 � �m ( � � ¤12. � � D�� � a 1� �0f 3h�&� � � � D�� -21� � m 5 � �m ( � � HOH   ��� '�! %� � ' � m 5 � �m ( � � ¤13. ���ED�� � a 1� �P�ED�� -21� �0f 3h�&� �&-21� � m 5 � �m ( � � HOH

  �43 ¢ � � F 7� G � f � �f 3h�&� -;�&-21� � m 5 � �m ( � � ¤14. ���ED�� �&-21� �P�ED�f 3h�&� �&-21� � m 5 � �m ( � � HOH

  �43 ¢ � � F 7� G � f � � -21� �f 3h�&� -;�&-21� � m 5 � �m ( � � ¤15. ����� � �&-21 � ¢ 3hfI�&� � ����� � � ¢ 3hfI�&�0� �  �¡ = '8>?7A@CB16. � � � � ¢ 3hfI�&� � � � � � �&-21 � � ¢ 3hfI�&�0� �  �¡ = '8>?7A@CB17. ����� � � a 1 � ¢ 3hfI��� -21 ����� � -21 � ¢ 3hfI��� � � � ¢ 3hfI�&�� �  �43 ¢ � � � � � � f � � ¢ 3hfI�&� -;�&-21 � � ¢ 3hfI�&� ¤18. ����� � � a 1 � ¢ 3hfI��� � ����� � -21 � � ¢ 3hfI�&�0� �   � � � �4 f � � � ¢ 3hfI�&� ¤1.1.7. Inverse trigonometric functions

1. ����� ��� � � � �fI�&�0�   ��3��A� �&-21 � � 3 ¢ � � f � � ¢ 3hf9 �� � -;��� j �&-21 F � m �� 7�( m � � � G= '*>?7R@CB��3

Page 35: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������������� � ��� ��� ��� � � � �� �� <2. ����� ��� � � � �0fI�&��

  ��3 ¢ � � � �&-21 � � 3 ¢ � � f � � ¢ 3hf9 �� � -;��� j �&-21 F � m �� 7 ( m � � � G = '*>?7R@CB3. � ��� ��� � � �fI�&�0�

  �43 ¢ � � � £�� 3 ¢ � � f9 � a 1 �;� ¢ � f9O�� � -;�&-21� � �&-21 F 7� 7<5 m � � � G = '*>?7R@CB4. � � a 1 � ��� � � �fI�&�0�

  �43 ¢ � � � £�� � � f9 � a 1 � ¢ � f9O�� � -;�&-21� � � a 1 F 7� 7<5 m � � � G ¤5. � ��� ��� � ��� �fI�&�0�  �43 ¢ � � a 1 � £�� 3 ¢ � � f9 � a 1 �;� ¢ � f9O�� � -;�&-21� � �&-21 F 7� 7<5 m � � � G = '*>h7A@CB

6. � � a 1 � ��� � ��� �fI�&�0�  �43 ¢ � � a 1 � £�� � � f9 � a 1 � ¢ � f9O�� � -;�&-21� � � a 1 F 7� 7<5 m � � � G ¤

7. ����� ��� � � � �f;/ ���0�  �( � ! ']" �� � � 3 ¢ � � f � �0�Q3hf � � -;��� j �&-21 ) 7�( � m � �� m � m � � � (8� , = '*>?7R@CB

8. ����� ��� � � �f;/ ���0�  ��')(:7X! %� fI� 1� -;� �f �$� ¢ � -;� j + 1� -;�9lC-;� .�&-21 � £ f ��� ¢ � = '*>?7R@CB

9. ���EDM� �&-21 ��� � � � m� � H  3 � '#" �� � � 3 ¢ � � f � � -21 �0�Q3hf9 � -;��� j �&-21 ) ��( � m �� m � m � (8� , = '*>?7R@CB

10. � � D�� �&-21 ��� � � m� � H  �( 7�! '� � � 3 ¢ � � fI� �&-!&4� �0��� f � -;� j + 1� -;�9lC-;� .�&-21 ) � m �� � ¢ , = '*>?7R@CB

11. � � �k� �&-21� � ¢ 3hf �&� � a 1� � � �M� ¢ 3hf �&� -21� ��� � � � �f;/ ��� ���  F 7� G � f9 � � -21� �� ��� � �f;/ ��� ¤

12. �����k� � a 1� �� ¢ 3hf9 �&� �&-21� ������k� -21� �� ��� � �0f;/ ��� � �  F 7�2G � f9 � � ¢ 3hf9O�&� -21� �� ��� � �0f / ��� ¤

13. �����k� -21� �� ¢ 3hf9 �&� � a 1� ������k� �&-21� �� ¢ 3hf9 �&� -21� �� ��� � �f / � � � �  �43��V� -;� � £� � � � -;�&-21 �� ��� � �0f;/ ��� ¤

��5

Page 36: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� ����� � ����� � ���� � ��� ��� ��� ����������14. �����k� � a 1� � ¢ 3hf �&� � a 1� �����k� -21� � ¢ 3hf �&� -21� �� ��� � �f;/ ��� � �

  f9 � � ��� � ��� � � � �f / ��� ¤15. ��� � � � a 1� �� ¢ 3hf9 �&� -21� ���� � � -21� �� ¢ 3hf9 �&� �&-21� �� ��� � �f / � � � �

  � £� � � ) 3 m �� , � � ¢ 3hf9 �&� -;�&-21 ��� � � � �f;/ ��� ¤16. �����k� 1� �� ¢ 3hf9 �&� �&-21� ������ � �&-21 ��� � � � �f;/ ���0� �  �¡ = '8>?7A@CB17. �����k� �&-21� �� ¢ 3hf9 �&� 1� ������ � ¢ 3hf9O�&� �&-21 �� ��� � �0f / ���� �  �¡ = '8>?7A@CB18. � � �k� �&-21� � ¢ 3hf �&� �&-21� � � � ��� � � � �f;/ ���� �  �¡ = '8>?7A@CB19. �����k� 1� �� ¢ � f9 �&� � ����� � �&-21 ��� � � �f;/ ���� �  �¡ = '8>?7A@CB20. �����k� �&-21� �� ¢ � f9 �&� � �P��� ��� � � �f;/ ���� �  �¡ = '8>?7A@CB21. �����k� -21� �� ¢ � f9 �&� � �P���k� �&-21� �� �� � �f / � � � �

  � £�� � � F�3 7� G � � -;�&-21 �� �� � �0f;/ ��� ¤22. �����k� � a 1� �� ¢ � f9 �&� � �P���k� -21� �� �� � �f;/ ��� � �

  � £� � � ) 3 m �� , � �� �� � �f / ��� ¤23. � � �k� �&-21� � � �M� ¢ � f �&� �&-21� ��� � � �f;/ � � ���

  F 7� G � f � � -21� � ¢ � f �&� -;�&-21� ��� � � �f;/ ��� ¤24. �����k� � a 1� ������k� -21� �� ¢ � f9 �&� �&-21� �� �� � �0f;/ ��� � �

  F 7� G � f9 � � ¢ � f9 �&� -;�&-21� �� �� � �f;/ ��� ¤1.2. The Hurwitz Zeta Function ζ(ν, z)

1.2.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � �� � fI�&��   ��3PfI� � ��;� � � � � �<� fI�&� ¤2. ���EDM� �&-21 � F� � m � GIH   f � ��� � � -;�&-21 � F� � �<� m � G ¤1.2.2. Derivatives with respect to the parameter

1.

��� � ��� � �&��� � ���   � � �M�]!� � � ¤

�!;

Page 37: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������������� � ��� ��� ��� � � � �� 31� �2.

��� � ��� � � ' ����� � � - � a 1  

7� $ � � � £)� ��3 � � £� � ���� � F � '*G3 7� $ ' � " � � � £!� ��3 � � £ � ���� �3 �( 7X! " ���� ' � ! � " �&-21�� � 1 ��� �

� � � �' � + � -21 . F �'PG 3 �( 7�! " �]��� $ (:7X! %���O' � ! � "Y �&-21�� � 1 � � �

� � � �' ��� F £)��� �' G � 7' � " ��� �43 £!� � ¢ � = ��� ' ! = �� @������O!C@CB3.

�� � F�� � 7��G ��� � � - � a 1   3 � �� � ' ' � � � � £ 1A- � 3 ¢ � ��� ��3 £�� � ¢ � = = �� @ �#�C7 � !C@MB

4.

��� � F�� � ��� 7

� G ��� � � - � a 1   �� � �C7�( � " � ' ! �� �C7�( � � " � ' !0' � �3 � �� � � � ']" � ' � � � �( 7X! '� � ' � � '#" �� � � � '#" � � + �&-21 . F 7� G� � � " � ' (:7� ��� ��3 £� � ¢ � = = �� @ ���C7 � !C@CB

5.

��� � F�� � � � 7� G ��� � � - � a 1   �

�C7 (*� " � ' ! �� ' � �3 �C7�( � � " � ' ! �� � '%& � ' � � � £ � �( 7�! "� � '#" � � � '#" � � + �&-21 . F 7� G3 7�( � � " � '� � '#" � ��� ��3 £� � ¢ � = = �� @ ���C7 �O!C@CB

6.

��� � F � � ��� �

� G ��� � � - � a 1   �� � �C7�( � " � ' !A�C7<5n� � " � ' ! �� ' � �� �C7 ( � � " � ' ! �� � ' & � ' � � � £� �C7�(*� � " � ' ! �� � � � '#" � ' � � �� � �( 7X! " ��� � "�" � 5_7X!� � ']" � � � '#" �� � � � ']" � � + �&-21 . F 7� G� � 7 (*� � " � '�� � 7�( � � " � '��� � � ��3 £�� � ¢ � = = �� @��&��� � !C@MB

1.3. The Exponential Integral Ei (z)

1.3.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � � ��3PfI�&��   ��3 ¢ � �&-21 � � 3 ¢ � � � -;� � -�� � �&-21������ � m �]! "$&% = '8>?7A@B2.

  � � 3 ¢ � � � -;� � -�� � � -;��&-21 �fI�&� = '8>?7A@B��:

Page 38: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � � ��� ��� � ����� ����� ��� � !$���� � ��� ���� � � � �"!$������ �������#����� 3. ���EDM� �&-21 � � F�3 m � G9H   3Q� � 3 ¢ � � � -21 � -��R��� �&-21������ � m �]! "$&% = '8>?7A@B4.

  ��3 ¢ � � � � 3 ¢ � � � -21 � -��R����� -;��&-21 F m ��G = '8>?7A@B5. ����� � � � � � ��3�fI�&�0�   f � � � � � � �43�fI�&� � f � �&-21������ �( 7X! " $&%� m �]! "'& � = '8>?7A@B6. ���EDM� �&-21 � �R��� � � F]3 m � GIH  �43�fI� � � -;�&-21 � �R��� � � F]3 m � G � �43 ¢ � � f �&-21 � -;� �&-21�� ��� ��3 ¢ � � ��� F �m G � = '*>h7A@B

7. ����� � -21 � -�� � �P��� � � � � � � � ��3PfI�&�� �   ��3 ¢ � � � ��� �� � -;�&-21 � � �43�fI�&� ¤8. ���EDM�� � a 1 � -��R��� ���ED�� -21 � �R��� � � F�3 m � G9H H   �43 ¢ � � � � � �4 � � F]3 m � G ¤9. � � � � � �V-�� � � � � � � � � � ��3PfI�&�� �  �� � f � � � ��3PfI�&� ¤10. ���ED�� � � -��R��� �P�ED�� �&-21 � �R��� � � F]3 m � GIHOH  ���� f � � -;�&-21 � � F]3 m � G ¤1.4. The Sine si (z) and Cosine ci (z) Integrals

1.4.1. Derivatives with respect to the argument

1. � � � ��� �0fI�&��   ��')(:7X! %� � � -;� � ��� � � -;��&-21 ��3��AfI�&��3 �V- � � � � -;��&-21 ���AfI�&� � = '8>?7A@B

2. ���EDM� �&-21 ��� F m � GIH  �43 ¢ � � ��' (87�! %� � � D � � �R��� � -;��&-21 F�3 � m� G 3 �#- � �R��� � -;��&-21 F � m� G9H = '*>?7R@CB

3. ����� � � �0fI�&��   ��')(:7X! %� � -;� � ��� � � -;��&-21 �43 �AfI�&��� � - � � � � -;��&-21 � �AfI�&� � = '8>?7A@B

4. ���EDM� �&-21 � � F m ��G9H  �43 ¢ � � ��')(87�! %�O� D � � �R��� � -;��&-21 F�3 � m� G � �#- � �R��� � -;��&-21 F � m� G9H = '*>?7R@CB

5. ����� ��� � � � � ��&�<3 � � � � � � �0�&��  ��3 ¢ � � � � � � FO�63 ' �� G � � ��&��3 � � � F �Q3 ' �� G � � ��&�

� 7� � � �' �� � 7� ' & � � ��� ���� � 1 � � 3 £)� � ¢ � � ��3P�� � ��� ¤�!<

Page 39: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������������� � ��� ��� ��� � � � �� ;�� �6. � � � � � � � ��� ��&� � � � � � � � �0�&��   �43 ¢ � � �

� � � F �Q3 ' �� G � � �0�&�� ��� � F �Q3 ' �� G � � �0�&��3 7� '%& � � ��� ������ 1 � � 3 £!� � � ��3�� � ��� ¤

1.5. The Error Functions erf (z) and erfc (z)

1.5.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � �� �0fI�&��   �43 ¢ � �&-21 � m '� � �#-�� W � W � �&-21 �0fI�&� = '8>?7A@B2. ����� � �� �0f / ����   ��' (87�! % m� � � 1� -;� � -�� W ��� 1� -;��&-21 �0f9 �&� = '8>?7A@B3. ����� � �&-21� �� �0f;/ ����   �( 7�! ']" �� � '#" � � � � � -�� W � � �&-21 �0f;/ ��� = '8>?7A@B4. � � D 7� � � �� �f;/ ��� H   �( 7�! '� � � -;�&-21� �� F � � 7� � f � G = '8>?7A@B5. � � DM� �&-21 � �� F m � G9H   3 � m '� � � -;�&-21 �V-�� W ��� W � �&-21 F m � G = '8>?7A@B6. ���ED � �� F m� � GIH   3 � "�'� � ']" � � � � -�� W ��� � �&-21 F m� � G = '8>?7A@B7. ��� D � �&-21� � �� F m� � GIH   7� � � � ) � � 7� � m �� , = '8>?7A@B8. ���EDM� �&-21�� �� F m� � G9H   �43 ¢ � � ��'6(*7X! % m� � � -21� � -�� W ����� 1� -;��&-21 ) m �� , = ' > 7A@B9. ��� D � � W � W � �� �fI�&� H   �43 �AfI� � � � W � W�� � ���AfI�&�3 � 3 ' & � 8 �� � ��� ��3PfI� � � � W � W � �� -;�&-21 � / £ fI��� ¤10. ��� D � �&-21 � � W ��� W � �� � m � � H   � �AfI� � � -;�&-21 � � W ��� W � � F � m� G

3 � 3 '%& � 8 �� � � � f � � -;�&-21 � � W � + � W . � -;�&-21 ) � � m� , ¤11. ��� D � � W � � �� �0f / ��� H   �( m � ! '� � F 7� G � � �

W� � F 7� 3 �_� f9 � G ¤

��L

Page 40: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� � �!��� �#� ��� � ��� ��� �" ����� � ��� �� � �(���12. ���ED�� �&-21 � � W ��� � �� F m� � GIH   m � '� � F 7��G � � -;�&-21 � � W ��� � ) 7� 3 �_� m �� , ¤13. � � D�� �&-21� �V-�� W � � � D � � W � � �� �0f;/ ��� HOH   F 7� G � f � � -21� � �� �0f;/ � � ¤14. ���ED�� � a 1� � -�� W ��� �P�ED�� �&-21 � � W ��� � �� F m� � GIHOH

  F 7� G � f9 � � -;�&-21� � �� F m� � G ¤15. ��� D � � a 1� � � W � �����k� -21� � �� �f / ��� � H   F 7� G � ��3Pf9 � � � � W � � �� �0f / ��� ¤16. ���ED�� �&-21� � � W ��� ���ED�� �&-21� � �� F m� � GIHOH

  F 7� G � �43�f � � �#-�� W ��� � �� F m� � G ¤17. ���ED � � W � W � �� � �0fI�&� H   � 3 ' & � 8 �� � ��� ��3PfI� � � � W � W � �� -;�&-21 � / £ fI��� ¤18. ���ED�� �&-21 � � W ��� W � �� � F m � GIH   � 3 '%& � 8 �� � � � f � � -;�&-21 � � W � + � W . � -;�&-21 ) � � m� , ¤19. � � D�� �&-21� � � W � � �� � �0f;/ ��� H   � �� � "�'� � � £�� � � � -21� � � W �A� � - �&-21 � f / £ � � ¤20. ���ED�� -21� � � W ��� � �� � F m� � GIH

  ��3 ¢ � � � �� � "�'� � � £� � � � -;�&-21� � � W � + � . � - �&-21 ) f * �� , ¤21. � � D�� -21� �V-�� W � � � D�� �&-21� � � W � � �� � �0f;/ � � HOH

  �43��V� -;� � £� � � � -;�&-21� �� � �0f / ��� ¤22. ���ED��� � a 1� � -�� W ��� ���ED�� -21� � � W ��� � �� � F m� � GIHOH

  �43��V� -;� � £�� � � � �� � F m� � G ¤23. ���ED�� 1� � � W � ����� � �&-21� �� � �f;/ ���0� H  �¡ = '8>?7A@B24. ��� D � � a 1� � -�� W � ��� D � -21� � � W � � �� � �0f / ��� HOH  ���� f9 � � �� � �f / ��� ¤

��P

Page 41: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������������� � ��� ��� ��� � � � �� :1� �25. ���ED�� �&-21� � -�� W ��� ���ED�� �&-21� � � W ��� � �� � F m� � G9H H

 ���� f � � -;�&-21 � �� � F m� � G ¤1.6. The Fresnel Integrals S(z) and C(z)

1.6.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� ���fI�&�0�  " m� � ��')(:7�! %� � � 1� -;� D � � � � � 1� -;��&-21 �43 �AfI�&�<3 � - � � ��� 1� -;��&-21 � �AfI�&� H = '*>h7A@B

2. ���EDM� �&-21 �gF m� GIH  �43 ¢ � � " m� � ��')(:7X! %� � � -!&4� D � � �R��� � 1� -;��&-21 F]3 � m� G 3 �#- � �R��� � 1� -;��&-21 F � m� GIH= '*>?7R@CB

3. ����� � �0fI�&��  " m� � ��')(:7�! %� � 1� -;� D � � � � � 1� -;��&-21 �43 �AfI�&� � �#- � � � � 1� -;��&-21 � �AfI�&� H = '*>h7A@B

4. � � DM� �&-21 � F m � G9H  �43 ¢ � � " m� � ��')(:7X! %� � -!&4� D � � �R��� � 1� -;��&-21 F]3 � m� G � � - � �R����� 1� -;��&-21 F � m� GIH= '*>?7R@CB

1.7. The Generalized Fresnel Integrals S(z, ν) andC(z, ν)

1.7.1. Derivatives with respect to the argument

1. � � � ���fI� � ;�0�  3 ��')(:7X! %� � f��#��� -;� � �

�� � � � -;��&-21 ��3��AfI�&��3 � - � � ��� � -;��&-21 ���AfI�&� � = '*>?7R@CB

2. ��� D � �&-21 � F m � � GIH  �43 ¢ � �&-21 ��')(:7�! %� � f��V� - � -21 D � � �R��� � � -;��&-21 F�3 � m� G 3 � - � �R��� � � -;��&-21 F � m� G9H= '*>?7R@CB

3. � � � � �0fI� � ���  3 ��')(:7X! %� f��#��� -;� � �

�� � � � -;��&-21 ��3��AfI�&��� � - � � ��� � -;��&-21 ���AfI�&� � = '*>?7R@CB

,9N

Page 42: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� � ����������� � ����� � � ���� ��� � ��� ��� ������� � ��� � �������4. ���EDM� �&-21 � F m � � G9H

  �43 ¢ � �&-21 ��')(:7�! %� f��V� - � -21 D � � �R��� � � -;��&-21 F 3 � m� G 3 � - � �R��� � � -;��&-21 F � m� G9H= '*>[email protected]. The Incomplete Gamma Functions γ(ν, z)

and Γ(ν, z)

1.8.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � �� � fI�&�0�   � � 3 ¢ � � f��V��� -;� � -�� � � � -;��&-21 �fI�&� = '8>?7A@B2. ���EDM� �&-21 � F� � m � GIH   ��3 ¢ � � � � 3 ¢ � � f��#� - � -21 � -��R����� � -;��&-21 F m � G = '8>?7A@B3. ����� � - � � � � fI�&�0�   �43 ¢ � � � - � -;� � � � �<� fI�&� ¤4. ���EDM� � a � -21 � F� � m ��G9H   ��� -21 � F� � �<� m � G ¤5. ����� � � � � �� � fI�&�0�   � ¢ 3 �� � ��3PfI� � � � � � �)3 �<� fI�&� ¤6. � � DM� �&-21 � �R��� � F� � m � G9H   � ¢ 3 �� � f � � -;�&-21 � �R��� � F�T3 �_� m � G ¤7. ����� � �&- � � � � � �� � fI�&�0�   ' %

� f�� 1 N 1 J '65_7 ! m �� 5_7 L ¤8. ��� D ��� -21 � �R��� � F � m � G9H   �43 ¢ � � ' %

� f��#� -;�&-21 1 N 1 ^ '65_7 ! ��� 5_7 ` ¤9. ����� ��� a � � -�� � �P��� � - � � � � � � � fI�&�� �  �� � f � � �� � fI�&� ¤10. ���ED�� �&- � � -��R��� �P�ED�� � a � -21 � �R��� � F� � m � GIHOH  �� � f � � -;�&-21 � F� � m � G ¤11. ����� ��� a � � � � ���<� � - � � � � fI�&�0� �   ��;� � �43�fI� � � � � � �� � fI�&� ¤12. ���ED�� �&- � � �R��� �P�ED�� � a � -21 � F� � m � GIHOH   ��� � ��3�fI� � � -;�&-21 � �R��� � F� � m ��G ¤13. ����� ��� -21 � -�� � ���<� � �&- � � � � � � � fI�&�0� �   �43 ¢ � � ��� � ¢ 3 �� � � -;�&-21 � � � fI�&� ¤14. ���ED��� �&- � a 1 � -��R��� �P�ED���� -21 � �R��� � F� � m � GIHOH   ��3 ¢ � � � � � ¢ 3 ;� � � F� � m � G ¤15. � � � � �&- � �V-�� � � � � � � � � �� � fI�&�0� �   f � � ¢ 3 �� � � - � � �� � fI�&� ¤16. ���ED�� � a � � -��R��� �P�ED�� �&-21 � �R��� � F� � m � GIHOH   f � � ¢ 3 �� � ��� -;�&-21 � F� � m ��G ¤17. ����� ���� � fI�&��   3Q� � 3 ¢ � � f��V��� -;� � -�� � � � -;��&-21 �fI�&� = '8>?7A@B

,��

Page 43: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������������� � ��� ��� ��� � � � �� L1� ,18. ���ED�� �&-21 ��F� � m � G9H   �43 ¢ � �&-21 � � 3 ¢ � � f��V� - � -21 � -��R��� � � -;��&-21 �0fI�&� = '8>?7A@B19. ����� � - � ���� � fI�&��   ��3 ¢ � � � - � -;� ����-� �_� fI�&� ¤20. ���ED�� � a � -21 ��F� � m � GIH   ��� -21 ��F� � �<� m � G ¤21. � � � � � � ���� � fI�&�0�   � ¢ 3 ;� � �43�fI� � � � � ����T3 �_� fI�&� ¤22. ��� D � �&-21 � �R��� � F � m � GIH   � ¢ 3 ;� � f � � -;�&-21 � �R��� � F T3 �<� m � G ¤23. ����� � �&- � � � � ���� � fI�&��  ���� � ¢ 3 ;� � f�� � J '65_7 ! m �� 5_7 L ¤24. � � D�� � -21 � �R��� ��F� � m � GIH   ��3 ¢ � � ��� � ¢ 3 ;� � f � � -;�&-21 � ^ '65_7 ! ��� 5_7 ` ¤25. ����� ��� ¢ 3 �_� fI�&��   ��3 ¢ � � " m� � 1� -;� � -�� �A� � �&-21� F m �� G ¤26. ���ED�� �&-21 ��F ¢ 3 �<� m � GIH   " m� � -!&4� � -��R� + � . � �&-21� F m�O��G ¤1.8.2. Derivatives with respect to the parameter

1.

� �� � �]�]!� �   � �� � �&� � �63 � �� � N J � � � ! ( �� 5_7�� � 5_7 L ¤

1.9. The Parabolic Cylinder Function Dν(z)

1.9.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � � �fI�&�0�   F]3 m ��G � ������� J ' $ L £ � �43 ;� � � �&- � F m ��:G � � - � �0fI�&� ¤2.

  F�3 � m�)G � ������� J ' $ L���3 £ �A� � � �&- � F � m �� G � � a � �fI�&� ¤3. ��� D � � W � W ��� � � �fI�&� H   �43�fI� � �43 �� � � � W � W ��� � � -;� �fI�&� ¤4. ��� D � -�� W � W ��� � � �fI�&� H   ��3PfI� � � -�� W � W ��� � � a � �0fI�&� ¤5. ��� D � �&-21 � � W � + � � W . � � F m � GIH   f � ��3�;� � � -;�&-21 � � W � + � � W . � � -;� F m � G ¤6. ��� D � �&-21 � -�� W � + � � W . � � F m � GIH   f � � -;�&-21 � -�� W � + � � W . � � a � F m � G ¤7. ��� D � �&- � � -21 � � W �A��� � � �f / ��� H  �£ -;� ��3�;� � � - � � -21 � � W �A��� � � - � �0f / ��� ¤

,,

Page 44: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � ����� ����� � � ����� ���� � � ��� ��� ��� � � ����8. ���EDM� � a + � -21 . � � -�� W �A��� � � �0f;/ ��� H   �43 £ � -;� �I+ � -21 . � � -�� W �A��� � � a � �0f;/ ��� ¤9. ��� D ��� � � � W � + � � . � � F m� � G9H

  ��3 £ � -;� �43 �� � � -;� a � � � � W � + � � . � � - � F m� � G ¤10. ���ED�� - + � a 1 . � � -�� W � + � � . � � F m� � G9H

 �£ -;� � -;�&- + � a 1 . � � -�� W � + � � . � � a � F m� � G ¤11. � � D�� -21� �V-�� W �A��� � - � �f;/ ��� H   ��3 £ � -;� � -;�&-21� �V-�� W �A� ¤12. ���ED�� �&-21� � -�� W � + � � . � - � F m� � G9H  �£ -;� � -21� � -�� W � + � . ¤13. ���ED�� -21 � -�� W �A��� � - �&-21 �f;/ � � H   ��3 ¢ � � £ -;�&-21� O/ � � -;�&-21�� �� � F f " � � G ¤14. ���ED�� � � -�� W � + � � . � - �&-21 F m� � G9H  �£ -;�&-21� O/ � � �� � F m� � � G ¤15. ���ED � � W �A��� � � �0f / ��� H

  �43 ¢ � � � � W �A��� �&-21�� ��� � ��'65 $ !� ��')( $ ! $9% ��� � ��! '%&�" f �&- � ��3�;� �&- � � � -;� a � �0f;/ ���= '*>?7R@CB

16. ���ED �V-�� W �A��� � � �f;/ ��� H  �43 ¢ � � � -�� W �A��� �&-21������ � ��'65 $ !

� ��')( $ ! $&% ��� � ��! '%&�" f �&- � � � a �&- � �f;/ ��� = '*>?7R@CB17. � � D�� � a 1� �V-�� W �A� � � D�� -21� � � W �A��� � � �0f;/ ��� H H

  F 7 ( �� G � ) m �� , � � -�� W �A��� � � �0f / ��� ¤18. ��� D � �&-21� � -�� W � + � . �P� D � �&-21� � � W � + � � . � � F m� � GIHOH

  F 7 ( �� G � ) m �� , � � -;�&-21 � -�� W � + � � . � � F m� � G ¤19. ��� D � �&-21� � -�� W �A� ���� D � � W �A��� � � �0f / ��� HOH

  F]3 � � G � ) m �� , � � -21� � -�� W �A��� � � �f;/ ��� ¤,93

Page 45: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��������������� � ��� ��� ��� � � � �� P1� ,20. ���ED�� � a 1� � -�� W � + � . �P�ED�� �&-21 � � W � + � � . � � F m� � GIHOH

  F]3 � � G � ) m �� , � � -;�&-21� � -�� W � + � � . � � F m� � G ¤21. ��� D � �&-21� � � W �A� ���� D � -�� W �A��� � � �0f / ��� HOH

  F � 5_7� G � ) 3 m �� , � � -21� � � W �A��� � � �f;/ ��� ¤22. � � D�� � a 1� � � W � + � . � � D�� �&-21 �V-�� W � + � � . � � F m� � GIHOH

  F � 5_7� G � ) 3 m �� , � � -;�&-21� � � W � + � � . � � F m� � G ¤23. ���ED�� � a 1� � � W �A� ���ED�� -21� �#-�� W �A��� � � �0f;/ ��� H H

  F � � � ¢ G � ) 3 m �� , � � �W�A��� � � �0f / ��� ¤

24. ���ED�� �&-21� � � W � + � . ���ED�� �&-21� � -�� W � + � � . � � F m� � GIHOH  F � � � ¢ G � ) 3 m �� , � � -;�&-21 � � W � + � � . � � F m� � G ¤

25. ���ED���� a 1� � -�� W �A� ����ED�� �&- � � -21 � � W �A��� � � �f;/ ��� H H  ��3��#� -;� ��3 �� � �I+ � -21 . � -;� � -�� W �A��� � � �f;/ ��� ¤

26. ��� D �� �&- � -21� � -�� W � + � . ��� D ��� � � � W � + � � . � � F m� � GIHOH  �43��V� -;� ��3�;� � � - + � a 1 . � � -�� W � + � � . � � F m� � G ¤

27. ��� D � - � -21� � � W �A� ���� D � � a + � -21 . � � -�� W �A��� � � �f / ��� HOH  �43��#� -;� � � ¢ � � � -;�&- � � -21 � � W �A��� � � �f / ��� ¤

28. ���ED�� � a � a 1� � � W � + � . ���EDM� - + � a 1 . � �V-�� W � + � � . � � F m� � GIHOH  �43��#� -;� � � ¢ � � ��� � � � W � + � � . � � F m� � G ¤

1.9.2. Derivatives with respect to the order

1.

��� � �M�]!� � ��� � � �  �£ -;�&-21 � - �

W ��� � � F �� � GY �� 3 C 3 � £ � � F 7� 3 � G � � � �� F �� � G 3h� N

�� 7 �#7 ! � W& ���#$���

,!5

Page 46: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ��������� ��� � ��� � ��� ��� ��� � � ����3 �43 ¢ � � £ �&-21 � � � - � W ��� ����� 1

7$ � � -21� �&- � ) � �� ,Y �� 3-" � � � � � W � � 1� - �� -21 ) 3 � �� , � J � W L

"

J 1 L " 1 N 1�� $ ! � W$ 5 1

#$���

3 ��3 ¢ � � £ �&-21 F 7� G � � - � W ��� ������� J ' $ L J ( �W L

"

J 1 L " � F 7� 3 � G ¤2.

��� � �M�]!� � ��� � � � a 1  �£ -;�&-!&4� � - � W ��� � � a 1 F �� � GY ��

C � � £ 3 � F�3 7� 3 � G 3 � � �� F �� � G � � N �� 7��#7 ! � W& ���

#$���

� ��3 ¢ � � £ -;�&- �� £�� � ¢ � � � -21 � - � W ��� ��� � 1� ( � � � � "��� $ (:7�! % ��'T( $ 5_7X! % � F 7� 3 � G

� ��3 ¢ � � £ �&-!&4� ��� � - � W ��� ��� � 17$ �

� � -21� �&- � ) � �� , � £ � � � ¢ � � � -!&4� �&- � a 1 ) � �� , Y �� � � "�" �� "�" �� � J 1 L)" 1 N 1

�� $ ! � W$ 5 1#$ 3 / � � �

W � � 1� - �� -21 ) 3 � �� , ��3 �43 ¢ � � £ �&-21� / � ��� � � W ����� -;�&-21� � ) 3 � �� ,

� ��3 ¢ � � ' %J & L ' � � a 1��#- �

W ��� 1 N 1�� '65_7 ! � W'g5 &

#$ 3 � � ' & �� �V- � W ��� � F]3 � 3 7� G ¤3.

�� � � � � ��&� � � � � � � �&� � ��� � � -�1�   � � � � �� � & N & �� 7 �#7 ! � �1 �

��� & ����

#$

� � �� � £ &4� � � ��� � C � £ � £ � -21��� ) � �� , 1��� ) � �� ,3 �

� � ��� � £ C � � � £ � 1��� ) � �� , � � �83 £ C 3 � � £ � -21��� ) � �� , = �� � @CB1.10. The Bessel Function Jν(z)

1.10.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � � �fI�&�0�   F � m � G � ��� ��� ��3 ¢ � � J ' $ L � � � � �2� �0fI�&� ¤,;

Page 47: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��N1� �2.

 �� � �43��&� -;� ������� �( m �]! "��')( $ ! % ��� �&- � �� � ���� ��� ��� m ��! "��

� % � $ ( � � ! % � � a � - � �0fI�&� ¤3. ���EDM� �&-21 � � F m � GIH   F � m � G � � -;�&-21 ������� �43 ¢ � � J ' $�L � � � � �2� F m � G ¤4. � � � � � �f;/ ���0�   F]3 7� G � ������� ��� ¢ � � J ' $ L F � � � G �&- � F m � �� G � � � � � �f;/ � � ¤5. ����� � � � � � � �f / ���0�   F � m � G � �I+ � � -;� . � � � �2� �f / ��� ¤6. ����� �I+ � a 1 . ����� � a 1� �0f / ���0�   7� � F m � G �&-21� � � � �f / ��� ¤7. ����� �I+ � a 1 . ����� -;�&-21� �0f / ����   �( 7�! '� � F m � G �&-21� � � � �0f / � � ¤8. � � � � - + � a & . ��� � � a 1� �0f;/ ����

  / �*F m� ��G � a 1� � � a 1� F m � �� G � -;�&-21� F m � �� G ¤9. ����� � � � ����� � �f �/ ���0�

  F � m � G � � + � � -!&A� . ��� �&-21������ ��� fI� - � � ��'65 $ !$&% � ��')( $ ! � - � ��� � � �2� � � �0f �/ ���= '*>?7R@CB10. ���ED�� �&-21 � � F m� � GIH   7� ��� ��� ��� ¢ � � J ' $ L�F � � ��G �&- � F m� � � G � � � � � F m� � G ¤11. ���ED�� � � � � -21�� � F m� � GIH   F � m ��G � � - + ��� � . � -21�� � � � F m� � G ¤12. ���ED��I+ �&- � . ����� � a 1� F m� � GIH   �( 7X! '� � F m ��G �&-21� � -;�&-21 ��� � F m� � G ¤13. ���ED��I+ �&- � . ����� -;�&-21� F m� � GIH   7� � F m ��G �&-21� � -;�&-21 � � � F m� � G ¤14. ���ED��I+ � �&-21 . ����� � a 1� F m� � GIH

  �43 ¢ � � / �8F m� G � a 1� � -21� � � a 1� F m� � � G � -;�&-21� F m� � � G ¤15. � � � � �&-21� � � � � � � �&-21� �fI�&�0�   ��� m ! '#" �� �� � � �&-21 � � � � � = '8>?7A@B

,9:

Page 48: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ��������� ��� � ��� � ��� ��� ��� � � ����16. ��� D � -21� � � � �R��� � �&-21� F m � G9H   �( 7�! '� � � £ fI� �&-21� � - � � � � �R��� = '8>?7A@B17. � � � � �&-21� ��� � �fI�&� � �&-21� �fI�&�0�   ��� m ! '#" �� �� � � �&-21 ��� � � £ fI�&� ¤18. ����� � �&-21� � � � �0fI�&� � �&-21� �fI�&�0�   ��� m ! ']" �� �� � � �&-21 � � � � £ fI�&� = '8>?7A@B19. ����� � �&-21� ��� � �fI�&� � 1� -;� �fI�&�0�   ��3 ¢ � � a 1 ��� m ! '#" �� �� � � �&-21 � � � � £ fI�&� = '*>?7A@B20. ����� � �&-21� � � � �0fI�&� � 1� -;� �fI�&�0�   ��3 ¢ � � ��� m ! '#" �� �� � � �&-21 ��� � � £ fI�&� ¤21. � � D�� -21� ��� � m � � �&-21� F m � GIH   �( 7X! '� � � £ fI� �&-21� � - � ��� � � m� ¤22. ���ED�� -21� � � � m � � �&-21� F m � GIH   �( 7X! '� � � £ fI� �&-21� �� - � � � � � m� = '8>?7A@B23. � � � � � �0f;/ ����   F m� � � G � ������� �43 ¢ � � J ' $ L � � a � �f;/ ��� � � -;� a � �0f;/ ��� ¤24. ����� � �&-21� � �&-21� �0f;/ ����   m ']" �� �� � �I+ �&-!& . ����� �&-21� � £ f;/ ��� = '8>?7A@B25. ����� � �&-21� � 1� -;� �0f / ����   3 m ']" �� �� � �I+ �&-!& . ����� �&-21� � £ f / ��� = '8>?7A@B26. ����� � �&-21� � �&-21� �0f;/ ��� � 1� -;� �0f;/ ����

  m '#" �� �� � �I+ �&-!& . ����� 1� -;� � £ f;/ ��� = '*>?7R@CB27. ����� � � � �&-21� �0f / ��� � � a 1� �0f / ����   m '#" �� �� � �I+ �&-21 . ����� � a 1� � £ f / ��� ¤28. � � D�� -21� � �&-21� F m� � GIH   �( 7X! '� � f �&-21� � - + � � a 1 . ��� � �&-21� F � m� � G = '*>?7R@CB29. � � D�� -21� � 1� -;� F m� � GIH   �( 7X! '%& �� � f �&-21� � - + � � a 1 . ��� � �&-21� F � m� � G= '*>?7R@CB30. � � D�� -21� � �&-21� F m� � G � 1� -;� F m� � G9H

  �( 7X! '� � f �&-21� � - + � � a 1 . ����� 1� -;� F � m� � G ¤,<

Page 49: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��N1� ,31. ���ED�� -21 � �&-21� F m� � G � � a 1� F m� � G9H

  �( 7�! '� � f �&-21� � - + � � a & . ����� � a 1� F � m� � G ¤32. ���ED�� �&-21 � � F m� � GIH

  F�3 m � G � � -;��� -21 ��� ��� �43 ¢ � � J ' $�L � � a � F m� � G � � -;� a � F m� � G ¤1.10.2. Derivatives with respect to the order

1.

��� � �M�]!� � ��� � � � �   ��� ¢ � � � ��� � �0�&� � � � ¢ � � ' %� �&-21�� ��� J � L "�"�'$&% ��' ( $ ! � � �0�&� ¤

2.

��� � �M�]!� � ��� � � 1�   * �

� � � � � � � � � � £ �&�<3 � � � ��� � � £ �&�0� = = ��� @ � � B �V�C7 � !C@MB3.

��� � �M�]!� � ��� � � -21�   * �

� � � � � � ��� � � £ �&� � � � � � � � � £ �&�0� = = ��� @ � � B �V�C7 � !C@MB4.

��� � �M�]!� � ��� � � � a 1�   � � � £ �&� � � a 1� �0�&��3 �43 ¢ � � � � � £ �&� � -;�&-21� ��&�� ' %� F ���G � �&-21�� ��� J � L "$&% ��' ( $ ! � � a 1� �0�&��3 ' % � � �� ����� 1 J � L

"��')( $ ! %$Y � -21�� ��� � �

� % � � �&- � a 1� ��&� � � -21� � £ �&�<3 ��3 ¢ � �&- � - � � � -;�&-21� �0�&� � 1� - � � £ �&�0� ¤5.

��� � �M�]!� � ��� � � 1� -;�   � � � £ �&� � 1� -;� ��&�<3 ��3 ¢ � � � � � £ �&� � �&-21� ��&�

3 ' %� �&-21�� ��� J ( � L "�"�'$&% ��')( $ ! � 1� - � ��&�<3 ' % � �� ����� 1� "��')( $ ! %$

Y � -21�� ��� � � ")"'& �� �

� % � ��3 ¢ � � � � -;� a 1� �0�&� � � -21� � £ �&�3 ��3 ¢ � � a � � �&- � -21� ��&� � 1� - � � £ �&�0� ¤6.

��� � �M�]!� � ��� � � � � � 1�   ��� ¢ � �&-21 £ � a 1� / � � -;�&-21�

Y �&-21������ ��')( $ ! % J � L� "

$9% ��')(*� $ ! % � J $ 5 1 L � J $ (*'65 1 L DXF�� F � � 7��G 3�� F � 3 � � 7��G�G,9L

Page 50: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ���������� � � ��� ��� � ��� ��� � ���Y � ��� � �

� � � � � � � ��� � �� � � � � � � � £ �&��� � � � � �

��� � � � � � � £ �&� H� � � ¢ � � £ �&-21� / � � -;� a 1� �&-21������ ��')( $ (:7X! % J � L� "

$&% ��')(*� $ (:7�! % � J $ 5 & L � J $ (*'65 1 LY DXF � F � � � ��G 3�� F � 3 � � 7��G�G � � � � ���� � � �3 � � � � �� � � � � � � � £ �&� � � � � � �

� � � � � � � � £ �&� H = '*>[email protected]. The Bessel Function Yν(z)

1.11.1. Derivatives with respect to the argument

1. � � � � � �0fI�&��   F � m � G � ��� ��� ��3 ¢ � � J ' $ L � � � � �2� �0fI�&� ¤2.

 �� � �43��&� -;� ������� �( m �]! "��')( $ ! % ��� �&- � �� � ���� ��� ��� m ��! "��

� % � $ ( � � ! % � � a � - � �0fI�&� ¤3. ��� D � �&-21 � � F m � GIH   F � m � G � � -;�&-21 ������� �43 ¢ � � J ' $ L � � � � �2� F m � G ¤4. ����� � � � � � � �f / ���0�   F � m � G � �I+ � � -;� . � � � �2� �0f / ��� ¤5. ����� �I+ � a 1 . ��� � � a 1� �0f;/ ����   3 7� � F m ��G �&-21� � � � �f;/ ��� ¤6. ����� �I+ � a 1 . ��� � -;�&-21� �0f / ����   �( 7X! '� � F m � G �&-21� � � � �f / ��� ¤7. ����� � - + � a & . ��� � -;�&-21� �0f / � ��

  �43 ¢ � � a 1 / �8F m�O��G � a 1� � � a 1� F m � �� G � -;�&-21� F m � �� G ¤8. ����� � � � ��� � � �f �/ ���0�  F � m� G � �I+ � � -!&A� . ��� �&-21�� ��� � � fI� - � � ��'65 $ !$9% � ��')( $ ! � - � ��� � � �2� � � �f �/ ��� = '*>h7A@CB

9. ��� D � � � � � -21 � � F m� � G9H   F � m � G � �I+ � � -;� . � -21 � � � � F m� � G ¤10. ���ED��I+ �&- � . ��� � � a 1� F m� � GIH   �( 7X! '%& �� � F m ��G �&-21� � -;�&-21 � � � F m� � G ¤

,9P

Page 51: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��� �11. ���ED��I+ �&- � . ��� � -;�&-21� F m� � G9H   7� � F m ��G �&-21� � -;�&-21 � � � F m� � G ¤12. � � D�� + � �&-21 . ��� � -;�&-21� F m� � G9H

  3 / �*F m��G � a 1� � -21� � � a 1� F m� � � G � -;�&-21� F m� � � G ¤13. ����� � �&-21� � � � � � � 1� -;� �fI�&�0�   ��3 ¢ � � a 1 ��� m ! '#" �� �� � � �&-21 � � � � � = '8>?7A@B14. � � D�� -21� � � � �R��� � 1� -;� F m � GIH   3 ��� m ! '#" �� �� � � - � � � � �R��� = '8>?7A@B15. ����� � �&-21� � 1� -;� �0f;/ ����   ��3 ¢ � � a 1 m ']" �� �� � �I+ �&-!& . ��� � 1� -;� � £ f;/ ���= '*>?7R@CB16. ����� � �&-21� � �&-21� �0f;/ ��� � 1� -;� �0f;/ ����

  ��3 ¢ � � a 1 m ']" �� �� � �I+ �&-!& . ��� � �&-21� � £ f;/ � � = '8>?7A@B17. ����� � � � �&-21� �0f;/ ��� � � a 1� �0f;/ ����

  �43 ¢ � � a 1 m '#" �� �� � �I+ �&-21 . ��� � -;�&-21� � £ f;/ ��� ¤18. ���ED�� -21� � 1� -;� F m� � GIH   3 m '#" �� �� � � - + � � a 1 . ��� � 1� -;� F � m� � G = '8>?7A@B19. � � D�� -21� � �&-21� F m� � G � 1� -;� F m� � G9H

  3 m ']" �� �� � � - + � � a 1 . ��� � �&-21� F � m� � G ¤20. ���ED�� -21 � �&-21� F m� � G � � a 1� F m� � G9H

  3 7� � f �&-21� � - + � � a & . ��� � -;�&-21� F � m� � G ¤21. ����� � �&-21� � �&-21� �0f / ��� � 1� -;� �0f / ���

  ��3 ¢ � � a 1 m ']" �� �� � �I+ �&-!& . ����� �&-21� � £ f / � � = '8>?7A@B22. ����� � �&-21� � 1� -;� �0f;/ ��� � �&-21� �0f;/ ����

  ��3 ¢ � � a 1 m ']" �� �� � �I+ �&-!& . ����� �&-21� � £ f;/ � � = '8>?7A@B3N

Page 52: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� ��� � ��� ��� � ��� ��� , 3 � 8� ���� � ��� , 3 � 8� ����

23. ����� � �&-21� � �&-21� �0f;/ ��� � �&-21� �0f;/ ����  �( 7X! '� � f �&-21� �I+ �&-!& . ����� 1� -;� � £ f / ��� ¤

24. ����� � � � �&-21� �0f / ��� � -;�&-21� �0f / ����  �( 7X! '� � f �&-21� �I+ �&-21 . ����� � a 1� � £ f;/ ��� ¤

25. ����� � � � � a 1� �0f;/ ��� � 1� -;� �0f;/ ����  �( 7X! '%& �� � f �&-21� �I+ �&-21 . ����� � a 1� � £ f;/ ��� ¤

26. � � D�� -21� � �&-21� F m� � G � �&-21� F m� � G9H  m ']" �� �� � � - + � � a 1 . ����� 1� -;� F � m� � G ¤

27. ���ED�� -21� � 1� -;� F m� � G � �&-21� F m� � G9H  3 m ']" �� �� � � - + � � a 1 . ����� �&-21� F � m� � G ¤

28. ��� D � -21 � �&-21� F m� � G � -;�&-21� F m� � GIH   m '#" �� �� � � - + � � a & . ����� � a 1� F � m� � G ¤29. ���ED�� -21 � � a 1� F m� � G � 1� -;� F m� � G9H

  3 m ']" �� �� � f �&-21� � - + � � a & . ����� � a 1� F � m� � G ¤1.11.2. Derivatives with respect to the order

1.

��� � �M�]!� � ��� � � � �   3 � � ¢ � � � � � � ��&� � ��� ¢ � � ' %� �&-21������ J � L "�"�'$&% ��')( $ ! � � ��&� ¤

2.

��� � �M�]!� � ��� � � � � � 1�   3 � � � � � 1� �0�&��� �43 ¢ � � � � � �M��!

� � ��� � � �2���<1� ¤1.12. The Hankel Functions H(1)

ν (z) and H(2)ν (z)

1.12.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � � � � � + � .� �f / ���0�   F � m ��G � �I+ � � -;� . � � + � .� �2� �0f / � � = ��� 7��]�X@CB

2. ���EDM� � � � � -21 � + � .� F m� � G9H   F � m ��G � �I+ � � -;� . � -21 � + � .� � � F m� � G = ��� 7��]�X@CB

31�

Page 53: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� �!,�� ,3. ����� �I+ � a 1 . ��� � + � .� a 1� �0f / � ��   �( 7X! � �� � F m ��G �&-21� � + -21 .���� U�� � � � = ��� 7��]�X@CB4. � � DM� �&-21� � + 1 .1� -;� �0f;/ ��� � + .1� -;� �f;/ ��� H  �¡ = '8>[email protected]. Derivatives with respect to the order

1.

��� 3 � 8� �M�]!� � ���� � � �   ��3 ¢ � � � �� � + � .� ��&� � ' %� �&-21������ J � L "�"�'$&% ��')( $ ! � + � .� �0�&� = ��� 7��]�X@CB

2.

��� 3 � 8� �M�]!� � ���� � � -;�   ��3 ¢ � � a � � �� � + � .� ��&�<3 ��3 ¢ � � ' %� �&-21������ J � L

"�"�'$9% ��')( $ ! � + � .� ��&�= ��� 7�����@CB3.

��� 3 � 8� �M�]!� � ���� � � 1�   * �

� �Y�� � + -21 .�� � � � ��3 ¢ � � a 1 � � � � £ �&�<3 � � � £ �&���� �43 ¢ � � � � � � � ��� = ��� 7�����@CB4.

��� 3 � 8� �M�]!� � ���� � � -21�   * �

� �Y�� � + -21 .�� � � � � � � £ �&� � ��3 ¢ � � a 1 � � � � £ �&�0��� ��3 ¢ � � � � � � � ��� = ��� 7�����@CB1.13. The Modified Bessel Function Iν(z)

1.13.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � �fI�&�0�   F m ��G � ������� J ' $�L � � � �2� �0fI�&� ¤2.

 �� � �43��&� -;� ������� �( m �]! "��')( $ ! % ��� �&- � �� � ���� ��� ��� m �]! "��� % � $ ( ����! % � - � a � �0fI�&� ¤

3. � � DM� �&-21 � F m � GIH   F�3 m � G � � -;�&-21 ��� ��� J ' $ L � � � �2� F m � G ¤4. ����� � �f;/ ���0�   F]3 7��G � ������� J ' $�L F � � � G �&- � F]3 m � �� G � � � � �f;/ ��� ¤5. ����� � � � � � �f;/ ���0�   F m ��G � �I+ � � -;� . � � �2� �0f;/ � � ¤6. ����� �I+ � a 1 . ��� � a 1� �f / ���0�   7� � F m � G �&-21� ��� ��� �0f / ��� ¤

3�,

Page 54: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ���������� � � � � � ���� � ��� � ��� ��� ��� � � ����7. ����� �I+ � a 1 . ��� -;�&-21� �f / ���0�   7� � F m ��G �&-21� � � ��� �0f / ��� ¤8. ����� � - + � a & . ��� � a 1� �f;/ ���0�

  / �8F m�O� G � a 1� � a 1� F m � �� G -;�&-21� F m � �� G ¤9. �����k� � � ��� � �0f �/ ��� �

  F m� G � �I+ � � -!&A� . ��� �&-21������ ��3PfI� - � � ��'65 $ !$&% � ��' ( $ ! � - � ��� � �2� � � �f �/ ��� = '*>?7R@CB10. � � D�� �&-21 � F m� � G9H   7� ������� J ' $ L F � � � G �&- � F�3 m� � � G � � � � F m� � G ¤11. ���ED�� � � � � -21 � F m� � G9H   F]3 m � G � � - + ��� � . � -21 � � � F m� � G ¤12. ���ED��I+ �&- � . ��� � a 1� F m� � GIH   �( 7�! '� � F m � G �&-21� � -;�&-21 � � ��� F m� � G ¤13. ���ED��I+ �&- � . ��� -;�&-21� F m� � GIH   �( 7X! '� � F m ��G �&-21� � -;�&-21 � � ��� F m� � G ¤14. ��� D �I+ � �&-21 . ��� � a 1� F m� � G9H

  ��3 ¢ � � / �*F m� G � a 1� � -21� � � a 1� F m� � � G -;�&-21� F m� � � G ¤15. ����� � �&-21� � � � � �&-21� �0fI�&��   ��� m ! '#" �� �� � � �&-21 � � � � = '8>?7A@CB16. �����k� �&-21� � -�� � � a 1� �fI�&� �   ��� m ! "�'#" �� �� � � -;�&-21 � � £� � ¢!�!£ fI�&� ¤17. �����k� �&-21� � � � � �fI�&� �   � £ fI� �#��� -21� � J � 5n'65 1 L� � � ��� � 5_7X! 1 N 1 � � 5n'65 1� � 5_7 ! � m ��� ¤18. ���ED�� -21� � � �R��� �&-21� F m � GIH   �( 7X! '� � � £ fI� �&-21� �� - � � � �R��� = '8>?7A@CB19. � � D�� -21� �V-��R��� � a 1� � m � � H   �43 ¢ � � ��� m ! "�'#" �� �� � � F £�� � ¢)� � m� G ¤20. ���ED 7� � � �R��� � F m � GIH

  ��3 ¢ � � � £ fI� �#� - � -;�&-21� � J � 5n'65 1 L� � � ��� � 5_7X! 1 N 1�� � 5n'65 1� � 5_7 ! ��

#$¤

33

Page 55: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��31� �21. ����� � �&-21� ��� ��� �0fI�&�� �&-21� �0fI�&��   ��� m ! ']" �� �� � � �&-21 � � ��� � £ fI�&� ¤22. � � � � �&-21� � � ��� �0fI�&�� �&-21� �0fI�&��   ��� m ! '#" �� �� � � �&-21 � � ��� � £ fI�&� = '8>?7A@CB23. ���ED�� -21� ��� ��� m � �&-21� F m � GIH   �( 7�! '� � � £ fI� �&-21� � - � � � ��� � m� ¤24. � � D�� -21� � � ��� m � �&-21� F m � G9H   �( 7�! '� � � £ fI� �&-21� � - � � � ��� � m� = '8>?7A@CB25. ����� V� �f / � ��   F m� � � G � ��� ��� J ' $ L � a � �0f / ���� � -;� a � �0f / � � ¤26. ����� � �&-21� V�&-21� �f;/ ���0�   m '#" �� �� � �I+ �&-!& . ��� �&-21� � £ f;/ � � = '8>?7A@CB27. ����� � �&-21� V1� -;� �f / ���0�   m '#" �� �� � �I+ �&-!& . ��� �&-21� � £ f / � � = '8>?7A@CB28. ����� � �&-21� �&-21� �f;/ ��� 1� -;� �f;/ ���0�

  m ']" �� �� � �I+ �&-!& . ��� 1� -;� � £ f;/ ��� = '*>?7R@CB29. ����� � � �&-21� �0f / ��� � a 1� �f / ���0�   m ']" �� �� � �I+ �&-21 . ��� � a 1� � £ f / ��� ¤30. ���ED�� �&-21 � F m� � GIH

  F�3 m ��G � � -;��� -21 �������KJ ' $�L � a � F m� � G � -;� a � F m� � G ¤31. ��� D � -21� V�&-21� F m� � G9H   �( 7�! '� � f �&-21� � - + � � a 1 . ��� �&-21� F � m� � G = '*>?7R@CB32. ���ED�� -21� 1� -;� F m� � G9H   �( 7�! '� � f �&-21� � - + � � a 1 . ��� �&-21� F � m� � G = '*>?7R@CB33. ���ED�� -21� �&-21� F m� � G 1� -;� F m� � GIH

  �( 7X! '� � f �&-21� � - + � � a 1 . ��� 1� -;� F � m� � G = '8>?7A@CB34. ���ED�� -21 �&-21� F m� � G � a 1� F m� � GIH

  �( 7�! '� � f �&-21� � - + � � a & . ��� � a 1� F � m� � G ¤395

Page 56: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ���������� � � � � � ���� � ��� � ��� ��� ��� � � ����35. ����� �� � a � � - � � �P��� � - � � � � � �0fI�&�� �   F� � 7��G � � £ fI� � ��� � -�� � � �0fI�&� ¤36. ���ED�� �&- � � - �R��� �P�ED���� a �&-21 � �R��� � F m � GIHOH

  F � 7� G � � £ fI� � � - � -;�&-21 � -��R��� � F m � G ¤37. ����� � �&- � � � � �P��� ��� � -�� � � �0fI�&�� �   F 7� 3 G � ��3 £ fI� � � - � � � � � �fI�&� ¤38. ���ED�� � a � � �R��� ���ED�� �&- � -21 �V-��R��� � F m � GIHOH

  F 7� 3 G � ��3 £ fI� � ��� -;�&-21 � �R��� � F m ��G ¤39. ����� � �&- � � - � � ���<� ��� � � � � �0fI�&�� �   F 7� 3 G � � £ fI� � � - � � -�� � � �0fI�&� ¤40. � � D�� � a � �#- �R��� � � D�� �&- � -21 � �R��� � F m � GIHOH

  F 7� 3 G � � £ fI� � ��� -;�&-21 � -��R��� � F m ��G ¤41. ����� � � a � � � � �P��� � - � � -�� � � �0fI�&�� �   F� � 7� G � ��3 £ fI� � ��� � � � � �fI�&� ¤42. ��� D � �&- � � �R��� �P� D � � a � -21 � -��R��� � F m � GIHOH

  F�-� 7��G � �43 £ fI� � � - � -;�&-21 � �R��� � F m ��G ¤1.13.2. Derivatives with respect to the order

1.

��� � �M�]!� � ��� � � � �   ��3 ¢ � � a 1 � � ��&� � ' %� �&-21�

� ��� J ( � L � "�'� % ��'T( �&! � �0�&� ¤2.

��� � �M�]!� � ��� � � � 1�   * 7� � � � ��� � � ��3 £ �&� � �#- � � � � £ �&�� = = ��� @ � � B � �C7 � !C@MB

3.  * �

� � D � ��� ��� �� � ��� � � � ��� � £ �&��3 � � � ��� �

� � ��� � � ����� � £ �&� H ¤4.

��� � �M�]!� � ��� � � � a 1�  

7� � � ��3 £ �&��� -;�&-21� ��&��� � a 1� ��&�0�3 �( 7X! '� � � � £ �&� � � a 1� �0�&� �6�43 ¢ � � ' %� �&-21�� ��� �( 7X! "$9% ��')( $ ! F � �,G � -;� � a 1� ��&�

3 ' %� " �� ����� 1 J (

� L"��')( $ ! %$ � -21�

� ��� �( ��! �� %Y�� ��3 ¢ � � � �&- � a 1� ��&� � � -;�&-21� �0�&�� � � -21� � £ �&�3 �43 ¢ � �&- � � �&- � a 1� ��&��� � -21� � £ �&��� 1� - � � £ �&�0� � ¤3�;

Page 57: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��5)� �5.

  7� � � ��� � £ �&��3 ����� � £ �&�0�0� -;�&-21� ��&� � � a 1� ��&�0�&3 �( 7�! '� � � a 1� ��&�Y � � ��� � £ �&� � ����� � £ �&���� �43 ¢ � � ' %� �&-21�� ��� �( 7X! "$&% ��')( $ ! F � ��G � -;� � a 1� �0�&�

3 ' %� " �� ��� � 1 J (

� L"��')( $ ! %$ � -21�

� ��� �(��]! �� %Y�� ��3 ¢ � � � �&- � a 1� ��&� � � -;�&-21� �0�&�� � � -21� � £ �&�3 �43 ¢ � �&- � � �&- � a 1� ��&��� � -21� � £ �&��� 1� - � � £ �&�0� � ¤

6.

��� � �M�]!� � ��� � � 1� -;�  

7� � � ��� � £ �&�<3 ����� � £ �&�0�0� -;�&-21� ��&� � � a 1� ��&�0�3 �( 7�! '� � � ��� � £ �&� � ����� � £ �&�� � �&-21� ��&�

3 ' %� �&-21������ J ( � L "�"�'$9% ��')( $ ! 1� - � ��&� � ' %� " �� ��� � 1 J � L

"��')( $ ! %$ � -21�� ��� � �

� %Y � ��3 ¢ � � -21 � �&- � -21� ��&� � � -;� a 1� �0�&�� � � -21� � £ �&�� �43 ¢ � �&- � � �&- � -21� ��&��� � -21� � £ �&��� 1� - � � £ �&�0� � ¤7.

��� � �M�]!� � ��� � � � � � 1�  �£ �&-21� O/ � � -;�&-21� �&-21������ �( 7�! " ��')( $ ! % J � L

� "

$9% ��')(*� $ ! % � J $ 5 1 L � J $ (*'65 1 LY D � £ F�� F � � 7� G 3�� F � 3 � � 7� G;G � � � ��� �� � ��� � � � ��� � � ��3 £ �&� � �V- � � � � £ �&� H

� £ �&-!&4� / � � -;� a 1� �&-21������ �( 7�! " ��')( $ (:7�! % J � L� "

$9% ��')(*� $ (:7X! % � J $ 5 & L � J $ (*'65 1 LY D � £ F � F � � � ��G 3�� F � 3 � � 7��G�G � � � ��� ���� ��� � � 3 � � � � �43 £ �&� � � - � � � � £ �&� H ¤

1.14. The Macdonald Function Kν(z)

1.14.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � � �fI�&�0�   F]3 m � G � ��� ��� J ' $ L � � � � �2� �0fI�&� ¤2.

 �� � �43��&� -;� ������� � m �]! "��')( $ ! % ��� �&- � �� � ���� ��� �(�� m ��! "��� % � $ ( ����! % � � - � a � �0fI�&� ¤

3:

Page 58: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � � � ��� ��� � � ������ �$��� ��������� � � ��� ��� ��� � � ���3. ���EDM� �&-21 � � F m � GIH   F m � G � � -;�&-21 ��� ��� J ' $ L � � � � �2� F m � G ¤4. ����� � � � � � � �f;/ � ��   F�3 m � G � �I+ � � -;� . � � � �2� �0f;/ � � ¤5. ����� �I+ � a 1 . ����� � a 1� �f;/ ���0�   �43 ¢ � � � �� '%& �� � f �&-21� � -�� � � ¤6. � � � � - + � a & . ��� � � a 1� �f;/ ���0�   �( 7�! '� � F m � G � a 1� � -;�&-21� � � a 1� F m � �� G ¤7. ����� � � � ����� � �f �/ � ��

  F�3 m� G � �I+ � � -!&A� . ��� �&-21������ f - � � ��'65 $ !$&% � ��')( $ ! � - � ����� � �2� � � �f �/ ��� = '*>?7R@CB8. ���EDM� � � � � -21 � � F m� � GIH   F m ��G � � - + ��� � . � -21 � � � � F m� � G ¤9. � � DM� + � �&-21 . ��� � � a 1� F m� � G9H   7� � F m � G � a 1� � -21� � � a 1� F m� � � G ¤10. �����k� �&-21� � � � � � a 1� �0fI�&� �   ��3 ¢ � � � £� � � / �6� £ fI� -;�&-21� �� -;�&-21 ¤11. � � �k� SEa 1� � � � �)SEa 1� �fI�&� �  ��3 ¢ � SEa � �_� / �g� £ fI� �&- S -21� � �&- S -21S -;� � £ fI�&� = � > 'I@B12. �����k� �&-21� � � � �)SEa 1� �fI�&� �  �43 ¢ � S � � � � � � / �6� £ fI� - S -21� �� - S -21 � - S -21S -;� � £ fI�&� = � > 'I@B13. �����k� - S -21� � � � �)SEa 1� �fI�&� �  ��3 ¢ � SEa � � � � � � � / �g� £ fI� - S -21� � - S -;�&-21�� - S -;�&-21S � £ fI�&� ¤14. �����k� SEa 1� � -�� � �)SEa 1� �fI�&� �  ��3 ¢ � SEa � �_� / �g� £ fI� �&- S -21� � - � � � �&- S -21S � £ fI�&� ¤15. �����k� �&-21� � -�� � �)SEa 1� �fI�&� �  �43 ¢ � S � � � � � � / �6� £ fI� - S -21� �� - S -21 � - � ��� - S -21SEa � � £ fI�&� ¤16. � � �k� - S -21� �#-�� � �)SEa 1� �fI�&� �  ��3 ¢ � S � � � � � � / �g� £ fI� - S -21� � - S -;�&-21 �#- � � � - S -;�&-21SEa � � £ fI�&� ¤17. � � D�� -21� � �R��� �)SEa 1� F m � GIH

  �43 ¢ � SEa � � � � � � � / �6� £ fI� - S -21� � S -;� � - S -21S -;� F � m� G = � >_'I@CB3�<

Page 59: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��5)� �18. ���ED�� SEa �&-21� � �R��� �)SEa 1� F m � GIH

  ��3 ¢ � S � � � � � � / �g� £ fI� - S -21� ��� S � - S -;�&-21S F � m�8G ¤19. ���ED�� �&- S -!&4� � �R��� �)SEa 1� F m � G9H

  ��3 ¢ � S �?� / �g� £ fI� �&- S -21� � -;�&-21 � �&- S -21S -;� F � m� G = � > 'I@B20. � � D�� -21� �V-��R��� �)SEa 1� F m � GIH

  ��3 ¢ � SEa � � � � � � � / �g� £ fI� - S -21� � S -;� � - �R��� � - S -21SEa � F � m� G ¤21. ���ED�� SEa �&-21� � -��R��� �)SEa 1� F m � G9H

  ��3 ¢ � SEa � � � � � � � / �g� £ fI� - S -21� �� S � - �R��� � - S -;�&-21SEa � F � m�:G ¤22. ���ED�� �&- S -!&4� � -��R��� �)SEa 1� F m � G9H

  �43 ¢ � S �_� / �g� £ fI� �&- S -21� � -;�&-21 �V- �R��� � �&- S -21S F � m� G ¤23. ����� � � �0f;/ ���0�   F]3 m� � � G � ��� ��� J ' $ L � � a � �f;/ ��� � � -;� a � �0f;/ ��� ¤24. � � � � �&-21� � �&-21� �f;/ ���0�   �43 ¢ � � / � f �&-21� � + �&-!& . ��� � �&-21� � £ f;/ ��� ¤25. ����� � � � �&-21� �0f;/ ��� � � a 1� �f;/ ���0�

  �43 ¢ � � / � f �&-21� �I+ �&-21 . ����� � a 1� � £ f;/ ��� ¤26. ���ED�� �&-21 � � F m� � G9H

  F m � G � � -;��� -21 ������� J ' $ L � � a � F m� � G � � -;� a � F m� � G ¤27. � � D�� -21� � �&-21� F m� � G9H   / � f �&-21� � - + � � a 1 . ��� � �&-21� F � m� � G ¤28. ��� D � -21 � �&-21� F m� � G � � a 1� F m� � GIH

  / � f �&-21� O� - + � � a & . ����� � a 1� F � m� � G ¤29. ����� � �&-21� �&-21� �f / ��� � �&-21� �f / ���0�

  m ']" �� �� � �I+ �&-!& . ����� �&-21� � £ f;/ ��� = '*>?7R@CB3L

Page 60: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � � � ��� ��� � � ������ �$��� ��������� � � ��� ��� ��� � � ���30. ���ED�� -21� �&-21� F m� � G � �&-21� F m� � GIH

  �( 7X! '� � f �&-21� � - + � � a 1 . ����� �&-21� F � m� � G = '8>?7A@CB31. ����� � - � � ����� � �&-21� � � � � � �fI�&�0�  ��3 ¢ � � F 7� 3 G � F 7� � G � � -;�&-21� � -�� � � � �0fI�&� ¤32. ���ED��� � � - �R��� �P�ED�� -21� � �R��� � � F m � GIHOH

  ��3 ¢ � � F 7� 3 G � F7� � G � � -21� �V-��R��� � � F m � G ¤

33. ����� � � � ���<� � �&-21� � -�� � � � �fI�&�0�  �43 ¢ � � F 7� 3 G � F 7� � G � � -;�&-21� � � � � � �0fI�&� ¤34. ���ED��� � � �R��� �P�ED�� -21� � -��R��� � � F m � GIHOH

  ��3 ¢ � � F 7� 3 G � F7� � G � � -21� � �R��� � � F m � G ¤

35. ����� � �&- S -21 � - � � ����� � SEa 1� � � � �)SEa 1� �fI�&�0�  ��3 � � � � £ fI� � � - S -21� �#-�� � �)SEa 1� �fI�&� ¤36. ���ED��� SEa � a 1 � - �R��� �P�ED�� �&- S -!&4� � �R��� �)SEa 1� F m ��G9HOH  �43 � � � � £ fI� � � S -;�&-21� � -��R��� �)SEa 1� F m � G ¤37. ����� � � a SEa 1 � � � ���<� � - S -21� � -�� � �)SEa 1� �fI�&�0�  � � 5n'�! %� % �43 £ fI� � � SEa 1� � � � �)SEa 1� �fI�&� ¤38. ���ED�� �&- S -21 � �R��� �P�ED�� � a2S -21� � -��R��� �)SEa 1� F m ��G9HOH

  � � 5n'�! %� % ��3 £ fI� � � - S -;�&-!&4� � �R��� �)SEa 1� F m � G ¤39. ����� � � a SEa 1 � - � � �P��� � - S -21� � � � �)SEa 1� �fI�&�0�  � � 5h'�! %� % � £ fI� � � SEa 1� � -�� � �)SEa 1� �fI�&� ¤40. ���ED�� �&- S -21 � - �R��� �P�ED�� � a2S -21� � �R��� �)SEa 1� F m ��G9HOH

  � � 5n'�! %� % � £ fI� � � - S -;�&-!&4� �V-��R��� �)SEa 1� F m � G ¤41. ����� � - � � ����� � �&-21� � � � �)SEa 1� �fI�&�0�  � � 5n'�! %� � (*'�! % � -;�&-21� � -�� � �)SEa 1� �fI�&� ¤

3P

Page 61: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��5)� ,42. ���ED��� � � - �R��� �P�ED�� -21� � �R��� �)SEa 1� F m � GIHOH

  � � 5n'�! %� � (*'�! % � -21� � -��R��� �)SEa 1� F m � G ¤1.14.2. Derivatives with respect to the order

1.

��� � �M��!� � ��� � ���  �¡\¤

2.

��� � �M��!� � ��� � � � �   �

' %� �&-21�� ��� J � L

� "�'� % ��')( �&! � � �0�&� ¤

3.

��� � �M��!� � ��� � � � 1�   � " ��O� � � � � �43 £ �&� = = ��� @ � � B � �C7��O!C@MB

4.

��� � �M��!� � ��� � � 1�   " �� � � � � ����� � £ �&�<3 � ��� � £ �&�0� ¤

5.

��� � �M��!� � ��� � � �&-21�   �43 ¢ � � � � � � �43 £ �&��� �&-21� ��&� � 1� -;� �0�&��

� ' %� �&-21�� ��� J � L "�"�'$&% ��' ( $ ! � � -21� �0�&��3 �43 ¢ � � ' %� / � ��� � 1 J ( � L

"��')( $ ! %$ � �&- � -21� �0�&�� � -;� a 1� �0�&�� � -21�

� ��� � �!& �� �� % � � -21� � £ �&� ¤

6.  ��3 ¢ � � � � � � ��� � £ �&�<3 ����� � £ �&�0�0� �&-21� ��&� � 1� -;� �0�&��� ' %� �&-21�� ��� J � L "�"�'$9% ��')( $ ! � � -21� ��&��3 ��3 ¢ � � ' %� / � ��� � 1 J (

� L"��')( $ ! %$ � �&- � -21� ��&�

� � -;� a 1� �0�&�� � -21�� ��� � �!& �� �

� % � � -21� � £ �&� ¤7.

��� � �M��!� � ��� � � � a 1�   ��3 ¢ � � a 1 £ �&-21� � &4� � -;�&-21� �&-21������ �( 7�! " ��')( $ ! % J � L

� "

$9% ��')(*� $ ! % � J $ 5 1 L � J $ (*'65 1 LY D � - � F�� F � � 7��G 3�� F � 3 � � 7��G;G � � � � � �43 £ �&� H� ��3 ¢ � � a 1 £ �&-!&4� � &4� � -;� a 1� �&-21������ �( 7�! " ��')( $ (:7�! % J � L

� "

$9% ��')(*� $ (:7X! % � J $ 5 & L � J $ (*'65 1 LY D � - � F � F � � � � G 3�� F � 3 � � 7� G�G 3 � � � � ��3 £ �&� H ¤5�N

Page 62: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������������� ����� � ��� ��� ����H� ���� ����

L� ���

1.15. The Struve Functions Hν(z) and Lν(z)

1.15.1. Derivatives with respect to the argument

1. �����H � �fI�&�0� ���� F�3 �� G � � ��� ���� ��� J ( 1� L

"$&% ��')(*� $ ! % �&- ��� ��� J ')( $

� L<F � � G �&- � - � F]3 m ��nG � H � - � �0fI�&� ¤2.

 �� � F]3 �� G � � ��� �������� J ( 1� L"$9% ��')(*� $ ! % �&- ��

� ��� J ' ( $� L F]3 � � G �&- � - �Y �� F m ��nG � H � a � �0fI�&��3 7

� F m ��nG � a � -21 � -21�� ���

� J �5 1 L

� J � 5 �Q(�5 1 L F �m � G �

��¤

3. ����� ��� � H� �f;/ ���0�   F m ��G � �I+ � -;� . � H� -;� �f;/ ��� ¤4. ����� � - � � H � �f / ���0�   F�3 m � G � � - + � a � . � H� a � �0f / ���

3 �( 7X! '� F m � G � a �&-21 � -21� �&-21������ � J $ 5 1 L� J � 5n')( $ 5 1 L F �

m � � G � ¤5. � � � � + � a 1 . ��� H� a 1� �f;/ ���0�   �� � F m � G �&-21� ��� � m � �� ¤

6. ���EDM� �&- � � -21 H� F m� � G9H   F]3 m � G � � - + � a � . � -21 H � -;� F m� � G ¤7. ��� D �I+ �&- � . ��� H� a 1� F m� � G9H   �43 ¢ � � �� � F m � G �&-21� � -;�&-21 � � � m� � � ¤8. � � DM� � a � � -21 H� F m� � G9H   F m � G � � + � -;� . � -21 H� a � F m� � G

3 7� F m ��G � a �&-21 � -;�&-21� �&-21������ � J $ 5 1 L

� J � 5:' ( $ 5 1 L F � �m � G � ¤9. � � �L� �0fI�&��

 �� � F]3 ���G � � ��� ���� ��� J ( 1� L"$&% ��')(*� $ ! % �&- ��

� ��� J ')( $� L F � � G �&- � - � F]3 m ��nG � L� - � �0fI�&� ¤

5)�

Page 63: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� �!;�� ,10.

 ���� F 3 �� G � � ��� ���� ��� J ( 1� L"$&% ��')(*� $ ! % �&- ��

� ��� �43 ¢ � � J ')( $� L F 3 � � G �&- � - �Y �� F m �� G � L� a � �fI�&��� 7

� F m �� G � a � -21 � -21�� ���

� J �5 1 L� J � 5 �Q(

�5 1 L F]3 �

m � � � G �

��¤

11. ����� ��� � L� �0f / ����   F m ��G � �I+ � -;� . � L� -;� �f / ��� ¤12. ����� � - � � L� �0f;/ ����   F m ��G � � - + � a � . � L� a � �f;/ ���

� 7� F m � G � a �&-21 � -�1� �&-21�� ��� � J $ 5 1 L

� J � 5n')( $ 5 1 L F 3 �m � � G � ¤

13. ����� �I+ � a 1 . ��� L� a 1� �0f;/ ����   �� � F m ��G �&-21� � � ��� m � �� ¤

14. ���ED�� �&- � � -21 L� F m� � GIH   F�3 m � G � � - + � a � . � -21 L � -;� F m� � G ¤15. ���ED��I+ �&- � . ��� L� a 1� F m� � GIH   ��3 ¢ � � �� � F m ��G �&-21� � -I�&-21 ��� ��� m� � � ¤16. ���ED�� � a � � -21 L� F m� � GIH   F�3 m ��G � �I+ � -;� . � -21 L� a � F m� � G

� �( 7X! '� F m ��G � a �&-21 � -;�&-21� �&-21�� ��� � J $ 5 1 L

� J � 5n')( $ 5 1 L F�3 � �m � G � ¤1.15.2. Derivatives with respect to the order

1.

�H� �M��!� � ��� � ���  

7� � � & � �� � �� ������

�� � ���� � �� �!¡��!¡

�� 3 � � � � �0�&� = � � �Q> ��@CB2.

�H� �M��!� � ��� � � �   3 � � � � ��&� � � ']" � � "�'

� � & � �� � �� ������

�� � ���� � �� ���<�!¡

��

� 7� �&-21������ J 1 L)"J 1 L ']")" F � � G �&- � -21 D ��� � � 3�� F � 3 � � 7� GIH

� ' %� �&-21�� ��� ��3 ¢ � � J � L "�"�'$&% ��')( $ ! H - � ��&� = � � �Q> � @CB5�,

Page 64: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������������� ����� � ��� ��� ����H� ���� ����

L� ���

3.

�H� �M�]!� � ��� � � -;�   ��3 ¢ � � a 1 � � � � �0�&�� �43 ¢ � � � '#" � � "�'

� � & � �� � �� ������

�� � ���� � �� �!�_�!¡

�� 3 ' %� �&-21�� ��� J ( � L "�"�'$&% ��' ( $ ! H - � ��&�= � � �Q> � @CB4.

�H� �M��!� � ��� � � 1�   * �

� �Y � C � � � � � ��� � ��� � � � £ �&��3 £ � � ��&�0��� � � � ��� � � � £ �&��3 £ � � �0�&�� �= = ��� @�� � B �#���O� !C@CB5.

�H� �M��!� � ��� � � -�1�   * �

� �Y�� � � � ��� � � � £ �&��3 £ � � ��&�0�&3 � � � ��� � � � £ �&�<3 £ � � ��&�0� � = = ��� @�� � B �#��� � !C@CB6.

�H� �M�]!� � ��� � � � a 1�   � � � � £ �&��3 £ � � ��&�0� � � a 1� �0�&�� ��3 ¢ � � � � � � £ �&��3 £ � � �0�&�� � -I�&-21� �0�&��� � � � �H� a 1� ��&�<3 � � a 1� ��&�0�� 7� � � F ���G � a 1� F 7��G � D C � £ � £ � � F 7� 3 � GIH

3 ' %� F ���G � �&-21�� ��� J ( � L "$&% ��' ( $ ! � - � -21� �0�&��3 ' %� � � F ���G � a 1� �&-21�� ��� J 1 L)"$9% ��')( $ !3 J � L ']"

�� �� � �&-21�� ��� J 1 L�"��')( $ ! % F �� G � � � � 3 � � ¢ �3 � � / �8F �� G 1� -;� �&-21�� ��� J � L "$&% ��' ( $ ! �&- � -21�

� ��� J � L �� %Y � �43 ¢ � � a 1 � � a 1� �0�&� � � 1� - � ��&�<3 £ � -21� � 1� - � � £ �&� �3?�43 ¢ � � � - � -21� ��&��� � � -21� �0�&��3 £ � -21� � � -21� � £ �&� ��� ¤7.

�L� �M��!� � ��� � ���   � � ��&�<3 7

� � � � � �� � �� �����

¢!��¢

�� � �� �\¢)�\¢�� = � � �Q> ��@CB8.

  3 � � ��&�<3 �� � � � �

�� � �� ������

¢)�\¢!� �� ����� � �� �\¢)�\¢!� �� ���

�� = � � �Q> ��@CB9.

�L� �M��!� � ��� � ���   � � ��&�<3 7

� � � � � �� � �� �����

¢)�\¢

�� � �� �\¢)�\¢ � ¤5�3

Page 65: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� �!;�� ,10.

  3 � � �0�&��3 �� � � � �

�� � �� ������

¢)�\¢)� �� ����� � �� �\¢)�\¢)� �� ���

��¤

11.

�L� �M�]!� � ��� � � �   �43 ¢ � � � � �0�&��� �( �O! ']" � � "�'

� � � � ��� � �� ������

�� � ��¡�� �� � �� ���

��

3 7� �&-21�� ��� �43 ¢ � � J 1 L "J 1 L�'#")" F � � G �&- � -21 D ��� � � 3�� F � 3 � � 7� G9H

� ' %� �&-21������ J ( � L "�"�'$9% ��')( $ ! L - � �0�&� = � � �Q> � @CB12.

�L� �M�]!� � ��� � � -;�   ��3 ¢ � � � � ��&� � �(�� ! '#" � � "�'

� � � � ��� � �� ������

�� � ��¡\� �� � �� �!�

��

3 ' %� �&-21������ J ( � L "�"�'$&% ��')( $ ! L - � �0�&� = � � �Q> � @CB13.

�L� �M�]!� � ��� � � � 1�   * � �

� � � 3 7 � 7� F C � � � �,G � � - � � � � � £ �&�<3 £ � � �0�&��3 � � � � � �43 £ �&�<3 £ � � ��3P�&�� � = = ��� @ � � B � �C7�� !C@MB14.

�L� �M�]!� � ��� � � 1�   * �

� � � ��� ��� ��� ����� � £ �&��3 £ ����� �0�&��3 � � ��� ��� � ��� � £ �&�<3 £ � ��� ��&�0�&3 � � � 3 C � ¤

15.

�L� �M�]!� � ��� � � -�1�   * �

� � � � � ��� ��� ����� � £ �&�<3 £ ����� ��&�0�3 � � ��� ��� � ��� � £ �&�<3 £ � ��� ��&�0� � ¤16.

�L� �M�]!� � ��� � � � a 1�   � ����� � £ �&��3 £ ����� ��&�0�� � a 1� �0�&�3 � � ��� � £ �&�<3 £ � ��� ��&�0�� -;�&-21� �0�&��� � � � �L� a 1� ��&�<3 -;�&-21� �0�&��� �( 7X! '%& �� � F �� G � a 1� � F � � 7� G D C � £ � £ � � F 7� 3 � GIH

� ' %� F�3 �� G � �&-21������ J ( � L "$9% ��')( $ ! - � -21� ��&�� �43 ¢ � � ' %� � � F ���G � a 1� �&-21�� ��� J 1 L "$9% ��')( $ !

55

Page 66: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ������������ ����� �J� ���� ������ � � � �

E� ��� � ��� ��� ����

� J � L '#"�� �� � �&-21������ ��3 ¢ � � J 1 L "��')( $ ! % F ���G � � � � 3 � � ¢ �

� �43 ¢ � � � � / �8F ��,G 1� -;� �&-21�� ��� J ( � L "$&% ��' ( $ ! �&- � -21�� ��� J ( � L �� %Y � � a 1� ��&��� 1� - � ��&�<3 £ � -21� 1� - � � £ �&� �3 - � -21� �0�&� � � -21� ��&�<3 £ � -21� � -21� � £ �&� ��� ¤

17.

�L� �M�]!� � ��� � � -I�&-21�   � £ � ��� ��&�<3 � ��� � £ �&�� � a 1� �0�&�� � ����� � £ �&�<3 £ ����� ��&�0� -;�&-21� ��&�3 ' %� �&-21������ J ( � L

"�"�'$9% ��')( $ ! � a 1� ��&� � ' %� / ��� ����� 1 J ( � L"��')( $ ! %$ � -21�

� ��� �( ��! �� %Y�� �&- � a 1� ��&��� £ 1� - � � -21� ��&�<3 � -21� � £ �&� �3 � -;�&-21� �0�&��� £ 1� - � 1� - � ��&�<3 1� - � � £ �&� � � ¤

1.16. The Anger Jν(z) and Weber Eν(z) Functions

1.16.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� J � �0�&��  ���� F�3 ��,G -;� � ��� �������� J ( 1� L"$9% ��')(*� $ ! % �&- ��

� ��� J ')( $� L F � � G�� \� \� F]3 � �,G �

Y �J � - � ��&�<3 ��3 ¢ � � ��� � � � � !� � � -21�

� ��� F �Q(�( � 5 7� G

�F �� G �� ¤

2. �� � F]3 � �,G -;� � ��� ���� ��� J ( 1� L

"$&% ��')(*� $ ! % �&- ��� ��� J ')( $

� L<F�3 � � G�� \� \� F � �,G �Y �

J � a � �0�&��3 �43 ¢ � � ��� � � � � !� � � -21�� ��� F � (

�5 � 5_7� G

�F]3 ���G �� ¤

3.  F � 7��G � ������� �43 ¢ � � J ' $,L J � � � �2� ��&� ¤

4. � � � � � � J � �0f;/ ����   F m � G � � + � -;� . � J � -;� �0f;/ ���3 F�3 m ��G � ��� � � � � !� m �I+ � -;�&-21 . � �&-21������ F ' ( $ ( � 5 7� G � F �m � � G � ¤

5�;

Page 67: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��:1� �5. � � � � - � � J � �0f;/ ����   F�3 m � G � � - + � a � . � J � a � �f;/ ���

3 F m � G � ��� � � � � !� m � - + � a � a 1 . � �&-21�� ��� F ')( $ 5 � 5_7� G � F]3 �m � � G � ¤6. ���EDM� �&- � � -21 J � F m� � GIH   F�3 m � G � � - + � a � . � -21 J � -;� F m� � G

3 F m ��G � ��� � � � � !� m � - + � a � a 1 . � �&-21�� ��� F ')( $ ( � 5_7� G � F � � �m G � ¤7. ��� D � � a � � -21 J � F m� � GIH   F m � G � �I+ � -;� . � -21 J � a � F m� � G

3 F]3 m ��G � ��� � � � � !� m �I+ � -;�&-21 . � �&-21������ F ')( $ 5 � 5_7� G � F]3 � � �m G � ¤8. �����E � ��&�0�  ���� F 3 � � G -;� � ��� �������� J ( 1� L

"$9% ��')( � $ ! % �&- ��� ��� J ')( $

� L F � � G � \� \� F 3 � � G �Y �

E� - � ��&��� 7� � � -21�

� ��� � ��3 ¢ � � � ��3 ¢ � � � � � � � ��XF �Q(�( � 5_7� G

�F ���G �� ¤

9. �� � F]3 � �,G -;� � ��� ���� ��� J ( 1� L

"$&% ��')(*� $ ! % �&- ��� ��� J ')( $

� L F�3 � � G�� \� \� F � �,G �Y �

E� a � ��&� � 7� � � -21�

� ��� � ¢ � ��3 ¢ � � a � � � � �� � �C�XF � (�5 � 5_7� G

�F �� G �� ¤

10.  F � 7��G � ������� �43 ¢ � � J ' $ L E� � � �2� ��&� ¤

11. � � � � � � E� �f;/ ���0�   F m � G � � + � -;� . � E� -;� �0f;/ ��� � 7� m F m � G � � + � -;�&-21 . � Y �&-21�� ��� � ��3 ¢ � � � �43 ¢ � � � � � �� � ��XF ')( $ ( � 5_7� G � F �m � � G � ¤

12. ����� � - � � E� �f;/ ���0�  F]3 m ��G � � - + � a � . � E� a � �0f;/ � ��� 7

� m F m ��G � � - + � a � a 1 . � Y �&-21�� ��� � ��3 ¢ � � � ��3 ¢ � � � � � �� � ��XF ')( $ 5 � 5_7� G � F �m � � G � ¤5�:

Page 68: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ���������� � �� � �Jν(z)

������ � � � �Eν(z)

��� � ��� ��� 13. � � D�� �&- � � -21 E� F m� � G9H   F]3 m � G � � - + � a � . � -21 E� -;� F m� � G� F�3 m ��G � � " 3 �'&(' & � 8 �

� mY �&-21������ � ��3 ¢ � � � ��3 ¢ � � � � � �� � ��XF ')( $ ( � 5_7� G � F � � �m G � ¤14. ���ED�� � a � � -21 E� F m� � G9H

  F m � G � �I+ � -;� . � -21 E � a � F m� � G � F 3 m � G � � 3 � "�']" � 8 �� mY �&-21������ � ��3 ¢ � � � �43 ¢ � � � � � �� � ��XF ')( $ 5 � 5_7� G � F � � �m G � ¤

1.16.2. Derivatives with respect to the order

1.

�J� �M��!� � ��� � � �  

' %� �&-21�� ��� J � L'#")"$9% ��')( $ ! � � �0�&��� � � H� ��&�

3 7� �&-21�� ��� J 1 L "J 1 L '#")" F � �,G �&- � -21 � �( 7X! '� �&-21������ ��3 ¢ � � F ')( $ 5_7� G � F ���G � ¤2.

�J� �M��!� � ��� � � -I�   �43 ¢ � �&-21 ' %� �&-21�� ��� J � L

']")"$&% ��')( $ ! � � ��&� � � � H -;� ��&�� �( 7X! '� �&-21������ F ')( $ 5_7� G � F �� G � ¤

3.

�E� �M��!� � ��� � � �  

� � � � �0�&�� ' %� �&-21������ J � L']")"$&% ��')( $ ! �� 3 H� �0�&��� 7

�� -21�� ��� J 1 L �J 1 L)"�" �

F � �,G � - � -21 ��� 7� � �&-21������ � ��3 ¢ � � � ��3 ¢ � � �XF ')( $ 5_7� G � F]3 �� G � a 1 � -21�

� ��� 7��5n')( $ 5 7 ¤

4.

�E� �M��!� � ��� � � -I�  

' %� �&-21�� ��� J ( � L']")"$&% ��' ( $ ! H - � ��&� � ��3 ¢ � � � � � � ��&�

� 7� � �&-21�� ��� � �43 ¢ � � � �43 ¢ � � �XF ')( $ 5_7� G � F ���G � a 1 � -21�� ��� 7�

�5n')( $ 5 7 ¤

5�<

Page 69: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� �!<�� �1.17. The Kelvin Functions berν(z), beiν(z), kerν(z)

and keiν(z)

1.17.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � � � � � � � �f;/ ���0�  F � m ��G � �I+ � � -;� . � �D � � � � ' �� � � � �2� �0f;/ ���<3 � � �

� ' �� � ��� � �2� �0f;/ ��� H ¤2. ����� � � � � � ��� � �f;/ ���0�

  F � m � G � � + � � -;� . � D � � � � ' �� � � � �2� �0f;/ ���� � � �� ' �� � ��� � �2� �0f;/ ��� H ¤

3. ����� �I+ � a 1 . ��� � � � a 1� �f / ���0�   3 7� � F m � G �&-21� Y D � � � � � �O')(:7X! �� � � ��� FOf " � � G � � � FOf " � � G� � � �� ��� ')(:7�! �� � � ��� F f " � �PG ��� � F f " � � G9H ¤

4. ����� �I+ � a 1 . ��� � ��� � a 1� �0f;/ ����   7� � F m � G �&-21� Y D � � � � ���O')(87�! �� ��� ��� FOf " � �PG � � � F f " � �PG3 ��� �

� ��� ')(:7�! �� � � ��� F f " � � G ��� � F f " � � G9H ¤5. ����� �I+ � a 1 . ��� � � -;�&-21� �0f / ����   �( 7�! ' & �� � F m � G �&-21� Y D ��� � � ���O')(87�! �� ��� ��� FOf " � � G ��� � F f " � � G3 � � �

� ��� ')(:7X! �� � � ��� F f " � � G � � � F f " � � G9H ¤6. ����� �I+ � a 1 . ��� � ��� -;�&-21� �0f;/ ����   �( 7X! '� � F m � G �&-21� Y D � � � � ��� ')(:7X! �� ��� ��� F f " � � G ��� � FOf " � �PG� � � �

� � �O')(:7X! �� � � ��� F f " � � G � � � F f " � � G9H ¤7. �����k� - + � a & . ��� � � � a 1� �0f / � � �   / � F m�O� G � a 1� Y�� � � � � � �O'65_7X! �� D � � � a 1� F m � �� G � � -;�&-21� F m � �� G

3 � ��� � a 1� F m � �� G � ��� -;�&-21� F m � �� G9H5�L

Page 70: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ���������� ��� �#� � ��� � ��� ��� ���" � ����������"! � �������#$�" � ���� � ��� #$�$! � ���3 ��� �

� ���O'65 7�! �� D � � � a 1� F m � �� G � ��� -;�&-21� F m � �� G� � ��� � a 1� F m � �� G � � -I�&-21� F m � �� GIH � ¤8. �����k� - + � a & . ��� � ��� � a 1� �f;/ ��� �   / �8F m�O��G � a 1� Y � ��� � � ��� '65_7�! �� D � � � a 1� F m � �� G � � -I�&-21� F m � �� G3 � ��� � a 1� F m � �� G � ��� -;�&-21� F m � �� G9H� � � �

� ��� '65_7�! �� D�� � � a 1� F m � �� G � ��� -;�&-21� F m � �� G� � ��� � a 1� F m � �� G � � -I�&-21� F m � �� GIH � ¤9. ���EDM� �&-21� � � �A� � F ��� � m �� � � � �&-21� �0fI�&��� � � � m �� � � ��� �&-21� �fI�&� G9H

  ��� m ! '#" �� �� � � �&-21 � � � � ��� � D � ���O')(87�! �� � / £ fI� H = '8>?7A@B10. ���ED�� �&-21� � � �A� � �F � � � m �� � � � �&-21� �0fI�&��3 � � � m �� � � ��� �&-21� �fI�&� G9H

  ��� m ! '#" �� �� � � �&-21 � � � � � � � D � ���O')(87�! �� � / £ fI� H = '8>?7A@B11. � � D�� �&-21� F � � ��� m �� � � � � m �� � � � �&-21� �fI�&�3 � � ��� m �� � ��� � m �� � � ��� �&-21� �fI�&� G9H

  ��� m ! '#" �� �� � � �&-21 D � � � � ��� ' (87�! �� ��� ��� � / £ fI��� � � � � / £ fI���3 � � �

� ���O')(87�! �� � � ��� � / £ fI��� � � � � / £ fI��� H ¤12. ��� D � �&-21� F � � ��� m �� � ��� � m �� � � � �&-21� �fI�&�� ��� ��� m �� � � � � m �� � � ��� �&-21� �fI�&� G9H

  ��� m ! ']" �� �� � � �&-21 D � � � � � �O')(:7X! �� � � ��� � / £ fI��� � � � � / £ fI���� � � �� ���O')(87�! �� � � ��� � / £ fI��� � � � � / £ fI��� H ¤

13. �����k� �&-21� � � � � ���<1� �f / ���<3 � ��� � ���<1� �f / ��� � �   �m ']" �� �� � �I+ �&-!& . ���Y D � � � � � �O')(:7X! �� � � �&-21� � £ f;/ ���<3 � � �

� � �O')(:7X! �� � ��� �&-21� � £ f;/ ��� H= '*>?7R@CB5�P

Page 71: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� �!<�� �14. �����k� �&-21� �� � � �� ���<1� �0f / � � � ��� � ���<1� �f / ��� � �   �

m ']" �� �� � � �I+ �&-!& . ���Y D ��� � � ���O')(87�! �� � � �&-21� � £ f / ����� � � �� � �O')(:7X! �� � ��� �&-21� � £ f / ��� H= '*>?7R@CB

15. ����� � � � � � � � �0f;/ ����  F � m ��G � �I+ � � -;� . � 2D � � � � ' �� � � � �2� �0f / ����3 ��� �

� ' �� � ��� � �2� �0f / ��� H ¤16. ����� � � � � � ��� � �0f;/ ����

  F � m ��G � �I+ � � -;� . � 2D � � � � ' �� � � � �2� �f;/ � ��� � � �� ' �� � ��� � �2� �0f;/ ��� H ¤

17. � � � � + � a 1 . ��� � � � a 1� �0f;/ ����  �43 ¢ � � � �� ' & �� � f �&-21� � -�� / �A� � � � D�f " � � � ���O'65 � ! �� H ¤

18. ����� �I+ � a 1 . ��� � ��� � a 1� �0f;/ ����  �43 ¢ � � a 1 � �� '%& �� � f �&-21� � -�� / �A� ��� � D f " � � � ���O'65 � ! �� H ¤

19. �����k� - + � a & . ��� � � � a 1� �f;/ ��� �   �( 7�! '� � F m�O� G � a 1� Y�� � � � � � �O'65_7X! �� D � � � a 1� F m � �� G 3 � ��� � a 1� F m � �� G9H3 £ ��� � � ��� '65_7X! �� � � � a 1� F m � �� G � ��� � a 1� F m � �� G � ¤

20. �����k� - + � a & . ��� � ��� � a 1� �f;/ ��� �   �( 7X! '� � F m� ��G � a 1� Y�� ��� � � ��� '65_7�! �� D � � � a 1� F m � �� G 3 � ��� � a 1� F m � �� GIH� £ � � � � ��� '65_7X! �� � � � a 1� F m � �� G � ��� � a 1� F m � �� G � ¤21. �����k� �&-21� � � �&-21� �f / ��� � ��� �&-21� �0f / ��� �   ��3 ¢ � � � �� f �&-21� �I+ �&-!& . ���Y D � � � ��� ')(:7�! �� � ��� �&-21� � £ f;/ ���<3 � � �

���O')(:7X! �� � � �&-21� � £ f;/ ��� H ¤22. � � �k� �&-21� � � � �&-21� �0f;/ � ��3 � ��� �&-21� �0f;/ ��� � �

  �43 ¢ � � / � f �&-21� �I+ �&-!& . ���Y D � � � ��� ')(:7�! �� � � �&-21� � £ f;/ ��� � ��� ����O')(:7X! �� � ��� �&-21� � £ f;/ ��� H ¤

;9N

Page 72: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ���������� ��� �#� � ��� � ��� ��� ���" � ����������"! � �������#$�" � ���� � ��� #$�$! � ���23. �����k� �&-21� � � � �&-21� �0f;/ ��� � � �&-21� �f;/ � �3 � ��� �&-21� �0f;/ ��� � ��� �&-21� �f;/ � �4��

  m '#" �� �� � �I+ �&-!& . ��� D � � � � � �O')(:7X! �� � � �&-21� � £ f / ���3 � � �

� ���O')(87�! �� � ��� �&-21� � £ f;/ � � H ¤24. �����k� �&-21� �� � � �&-21� �0f;/ ��� � ��� �&-21� �f;/ ���� � ��� �&-21� �0f;/ ��� � � �&-21� �0f;/ � �4��

  m ']" �� �� � � + �&-!& . ��� D ��� � � ��� ')(:7�! �� � � �&-21� � £ f;/ � �� � � �� ���O')(:7X! �� � ��� �&-21� � £ f / � � H ¤

1.17.2. Derivatives with respect to the order

1.

��� � � � �M��!� � ��� � � �   3 � � � ��� � �0�&��3 � � � ��&�� ' %� �&-21������ J � L "�"�'$9% ��')( $ ! D � � � �]� $ (*'�! �� � � � �0�&��� ��� ��#� $ (*'�! �� � ��� � ��&� H ¤

2.

��� � � � �M��!� � ��� � � �  � � � � � ��&�<3 � ��� � ��&�� ' %� �&-21������ J � L "�"�'$9% ��')( $ ! D � � � �]� $ (*'�! �� � ��� � ��&�<3 � � �

�#� $ (*'�! �� � � � ��&� H ¤3.

��� � � � �M��!� � ��� � ���   3 � � � ��� � ��&�<3 � � � ��&� ¤4.

��� � � � �M��!� � ��� � ���  � � � � � ��&�<3 � ��� � ��&� ¤

5.

��� � � � �M�]!� � ��� � � �  � � � ��� � ��&�� ' %� �&-21�� ��� J � L "�"�'$9% ��')( $ ! D � � � � � $ ( '2! �� � � � ��&�<3 � � �

� � $ (*'�! �� � ��� � ��&� H ¤6.

��� � � � �M�]!� � ��� � � �   3 � � � � � ��&�� ' %� �&-21�� ��� J � L "�"�'$9% ��')( $ ! D � � � � � $ (*'�! �� � � � ��&� � � � �� � $ (*'�! �� � ��� � ��&� H ¤

;��

Page 73: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� �!<�� ,7.

��� � � � �M��!� � ��� � � � a 1�   7

� � � � a 1� �0�&����C � � � � £ �&��3h� � N �

�� 7��#7 ! ( ��1 �

��� & � �� ��� ���

#$���

3 7� � ��� � a 1� ��&��� � � �V� 1 N � �� 1 ! ( �

�1 �&� � �� � & � & #$���

� ��3 ¢ � � / £ ��� � � -;�&-21� ��&� � � ��� -;�&-21� �0�&�� 1 N ��� 1� ! ( �

�1 �1 � &� � �� � ��#$

� �43 ¢ � � � � �� � & � � � -;�&-21� �0�&��3 � ��� -;�&-21� �0�&�� 1 N �

�� &� ! ( ��1 �

��� & � �� � ��

#$

� ' %� �&-21������ J � L"�"�'$9% ��')( $ ! D � � � � ��')( $ ! �� � � � a 1� �0�&��� ��� �

� ��')( $ ! �� � ��� � a 1� ��&� H3 ' % � � �� ����� 1 J � L

"��')( $ ! %$ � -21�� ��� � �

� % � � � �&- � a 1� �0�&�Y D � � � � ��� $ (*��� (:7X! �� � � � -21� � £ �&��� ��� �� ��� $ (*���Q(:7X! �� � ��� � -21� � £ �&� H� � ��� �&- � a 1� ��&�&D � � � � ��� $ (*��� (:7�! �� � � � -21� � £ �&�3 � � �

� ��� $ (*��� (:7�! �� � ��� � -21� � £ �&� H3 �43 ¢ � � a � a � � � � -;�&-21� �0�&��D � � � � ��� $ (*���Q(87�! �� � � 1� - � � £ �&�� ��� �� ��� $ (*���Q(:7X! �� � ��� 1� - � � £ �&� H3 ��3 ¢ � � a � a � � ��� � -;�&-21� ��&�&D ��� � � ��� $ (*���Q(:7X! �� � � 1� - � � £ �&�3 � � �

� ��� $ (*��� (:7�! �� � ��� 1� - � � £ �&� H � = � � ����� ��� � � @B8.

��� � � � �M��!� � ��� � � � a 1�  ��� � � � �M��!� � ��� � � � a 1�

  7� � � � a 1� ��&��� � � �#�� 1 N � �� 1 ! ( �

�1 �&� � �� � & � & #$ ��

� 7� � ��� � a 1� ��&�

���C � � � � £ �&��3h� � N �

�� 7��#7 ! ( ��1 �

��� & � �� ��� ���

#$���;,

Page 74: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ���������� ��� �#� � ��� � ��� ��� ���" � ����������"! � �������#$�" � ���� � ��� #$�$! � ���� ��3 ¢ � � / £ ��� � � -;�&-21� ��&�<3 � ��� -;�&-21� �0�&�� 1 N �

�� 1� !

( ��1 �1 � &� � �� � ��

#$

� ��3 ¢ � � � � �� � & � � � -;�&-21� �0�&��� � ��� -;�&-21� ��&�0� 1 N �

�� &� ! ( ��1 �

��� & ���� ����

#$

3 ' %� �&-21�� ��� J � L"�"�'$&% ��' ( $ ! D � � � � ��')( $ ! �� � � � a 1� ��&�<3 � � �

� ��')( $ ! �� � ��� � a 1� ��&� H� ' % � � �� ����� 1 J � L

"��')( $ ! %$ � -21�� ��� � �

� % � � � �&- � a 1� �0�&�Y D � � � � ��� $ ( ���Q(87�! �� � � � -21� � £ �&�<3 � � �� ��� $ ( ��� (:7�! �� � ��� � -21� � £ �&� H3 � ��� �&- � a 1� �0�&��D � � � � ��� $ (*���Q(:7X! �� � � � -21� � £ �&�� � � �

� ��� $ (*��� (:7�! �� � ��� � -21� � £ �&� H3 ��3 ¢ � � a � a � � � � -;�&-21� ��&�&D ��� � � ��� $ (*���Q(:7X! �� � � 1� - � � £ �&�3 � � �� ��� $ (*���Q(:7X! �� � ��� 1� - � � £ �&� H� �43 ¢ � � a � a � � ��� � -;�&-21� ��&�&D � � � � ��� $ (*���Q(87�! �� � � 1� - � � £ �&�� ��� �

� ��� $ (*��� (:7X! �� � ��� 1� - � � £ �&� H � = � � ����� @ � � � @B9.

��� � � � �M��!� � ��� � � 1� -;�  7

� � � 1� -;� ��&����C � � � � £ �&�<3h� � N �

�� 7 �#7 ! ( ��1 �

��� & � �� �����]�

#$���

3 7� � ��� 1� -;� �0�&��� � � �V� 1 N � �� 1 ! ( �

�1 �&� � �� � & � & #$���

� ��3 ¢ � � / £ ��� � � �&-21� ��&� � � ��� �&-21� �0�&�� 1 N ��� 1� ! ( �

�1 �1 � &� � �� � ��#$

� ��3 ¢ � � � � �� � & � � � �&-21� �0�&��3 � ��� �&-21� �0�&�� 1 N �

�� &� ! ( ��1 �

��� & ���� ����

#$

3 ' %� �&-21�� ��� J ( � L "�"�'$9% ��')( $ ! D � � � � ��')( $ ! �� � � 1� - � ��&� � � � �� ��')( $ ! �� � ��� 1� - � �0�&� H

;93

Page 75: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� �!<�� ,� ' % � � �� ����� 1 J � L

"��')( $ ! %$ � -21�� ��� � �

� % � ��3 ¢ � � a � � � �&- � -21� �0�&�Y D � � � � ��� $ (*���Q(:7X! �� � � 1� - � � £ �&� � � � �� ��� $ ( ��� (:7�! �� � ��� 1� - � � £ �&� H� ��3 ¢ � � a � � ��� �&- � -21� ��&�&D � � � � ��� $ (*��� (:7�! �� � � 1� - � � £ �&�3 � � �

� ��� $ (*���Q(:7X! �� � ��� 1� - � � £ �&� H3 �43 ¢ � � � � � -;� a 1� ��&�&D � � � � ��� $ (*���Q(87�! �� � � � -21� � £ �&�� � � �� ��� $ (*��� (:7�! �� � ��� � -21� � £ �&� H3 �43 ¢ � � � ��� � -;� a 1� �0�&��D ��� � � ��� $ (*���Q(:7X! �� � � � -21� � £ �&�3 � � �

� ��� $ (*���Q(:7X! �� � ��� � -21� � £ �&� H � = � � ����� @ � � � @B10.

��� � � � �M�]!� � ��� � � 1� -;�  7� � � 1� -;� �0�&�

�� � � �V�� 1 N � �� 1 ! ( �

�1 �&�� ��� & � &

#$���

� 7� � ��� 1� -;� ��&�

���C � � � � £ �&��3�� � N �

�� 7��#7 ! ( ��1 �

��� & � �� ��� ���

#$ ��

3 ��3 ¢ � � / £ � � � � �&-21� �0�&��3 � ��� �&-21� �0�&�� 1 N ��� 1� ! ( �

�1 �1 � &� � �� � ��#$

� ��3 ¢ � � � � �� � & � � � �&-21� �0�&��� � ��� �&-21� �0�&�� 1 N �

�� &� ! ( ��1 �

��� & � �� � ��

#$

� ' %� �&-21�� ��� J ( � L "�"�'$9% ��')( $ ! D � � � � ��')( $ ! �� � � 1� - � ��&�<3 � � �� ��')( $ ! �� � ��� 1� - � �0�&� H

3 ' % � � �� ����� 1 J � L"��')( $ ! %$ � -21�

� ��� � �� % � ��3 ¢ � � a � � � �&- � -21� �0�&�Y D � � � � ��� $ ( ���Q(87�! �� � � 1� - � � £ �&�<3 � � �

� ��� $ ( ��� (:7�! �� � ��� 1� - � � £ �&� H3 �43 ¢ � � a � � ��� �&- � -21� �0�&� D � � � � ��� $ (*���Q(:7X! �� � � 1� - � � £ �&�� � � �� ��� $ (*��� (:7�! �� � ��� 1� - � � £ �&� H3 ��3 ¢ � � � � � -;� a 1� ��&� D ��� � � ��� $ (*���Q(:7X! �� � � � -21� � £ �&�3 � � �� ��� $ (*���Q(:7X! �� � ��� � -21� �0�&� H

;!5

Page 76: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ���������� ��� �#� � ��� � ��� ��� ���" � ����������"! � �������#$�" � ���� � ��� #$�$! � ���� �43 ¢ � � � ��� � -;� a 1� ��&�&D � � � � ��� $ ( ���Q(87�! �� � � � -21� � £ �&�� ��� �

� ��� $ (*���Q(:7X! �� � ��� � -21� � £ �&� H � = � � ����� @ � � � @B11.

��� � � � �M�]!� � ��� � � �&-21�   � � � ��� �&-21� �0�&��3 � �� � � �&-21� ��&�3 � � � � £ �&� � ��� �&-21� ��&��� �43 ¢ � � � � �C � � � £ �&�� � � 1� -;� �0�&�3 ��3 ¢ � � � �� � ��� 1� -;� ��&�3 � � �� � � � �&-21� �0�&��� �43 ¢ � � � ��� 1� -;� ��&�0� 1 N �

�� 1 ! ( ��1 �&

�� ��� & � &

#$

� � �� � � � � �&-21� �0�&��� � ��� �&-21� �0�&��� �43 ¢ � � � � 1� -;� �0�&�3?�43 ¢ � � � ��� 1� -;� ��&�0� 1 N �

�� 1� !

( ��1 �1 � &� � �� � ��

#$

3 �7 � ���C � ��� �&-21� ��&�<3 £ / £ � & � � � �&-21� ��&�<3 � ��� �&-21� ��&�

� ��3 ¢ � � � � 1� -;� ��&� � ��3 ¢ � � � ��� 1� -;� �0�&�� 1 N ��� &� ! ( �

�1 �

��� & ���� ����

#$���

� � � �7�� � � ��� �&-21� �0�&��3 �43 ¢ � � � � 1� -;� ��&�0� N ��� 7��#7 ! ( �

�1 �

��� & � �� ��� ���

#$

� ' %� �&-21�� ��� J � L "�"�'$&% ��' ( $ ! D � � � � ��')( $ ! �� � � � -21� ��&� � � � �� ��')( $ ! �� � ��� � -21� ��&� H

3 ' % � � �� ��� � 1 J ( � L

"��')( $ ! %$ � -21�� ��� � �

� % � � � � �&- � -21� �0�&��� �43 ¢ � � a � � ��� � -;� a 1� ��&� �Y D � � � � ��� $ 5���P5 � ! �� � � � -21� � £ �&�<3 � � �� ��� $ 5�� �P5 � ! �� � ��� � -21� � £ �&� H� � ��3 ¢ � � a � � � � -;� a 1� �0�&��3 � ��� �&- � -21� �0�&� �Y D � � � � ��� $ 5���P5 � ! �� � � � -21� � £ �&� � � � �

� ��� $ 5���P5 � ! �� � ��� � -21� � £ �&� H �= � ��� � � � � � � @CB12.

��� � � � �M��!� � ��� � � �&-21�   3 � � � � �&-21� ��&�� � � �C � � � £ �&��0� � � �&-21� �0�&��� �43 ¢ � � � � 1� -;� �0�&���� �43 ¢ � � � �� � � 1� -;� �0�&�;;

Page 77: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��L1� �3 � �� � ��� �&-21� �0�&��� � � �� � �43 ¢ � � � � 1� -;� ��&�<3 � ��� �&-21� ��&�0� 1 N �

�� 1 ! ( ��1 �&� � �� � & � &

#$

3 � �� � � � � �&-21� �0�&��3 � ��� �&-21� �0�&��� �43 ¢ � � � � 1� -;� �0�&�� �43 ¢ � � � ��� 1� -;� ��&�0� 1 N ��� 1� ! ( �

�1 �1 � &� � �� � ��#$

� � � �� � & � � � �&-21� ��&� � � ��� �&-21� ��&��3 ��3 ¢ � � � � 1� -;� �0�&�� �43 ¢ � � � ��� 1� -;� ��&�0� 1 N �

�� &� ! ( ��1 �

��� & ���� ����

#$

3 � � �7�� � �43 ¢ � � � � 1� -;� ��&� � � ��� �&-21� ��&�0� N ��� 7��#7 ! ( �

�1 �

��� & � �� ��� ���

#$

3 ' %� �&-21�� ��� J � L "�"�'$&% ��' ( $ ! D � � � � ��')( $ ! �� � � � -21� ��&�<3 � � �� ��')( $ ! �� � ��� � -21� ��&� H

3 ' % � � �� ��� � 1 J � L "��')( $ ! %$ � -21�� ��� � �

� %Y � ���43 ¢ � � � � �&- � -21� ��&� � ��3 ¢ � � � ��� � -;� a 1� ��&� �Y D � � � � ��� $ 5�� ��5 � ! �� � � � -21� � £ �&� � � � �

� ��� $ 5�� ��5 � ! �� � ��� � -21� � £ �&� H� �M��3 ¢ � � � ��� �&- � -21� �0�&��3 �43 ¢ � � � � � -;� a 1� �0�&� �Y D � � � � ��� $ 5���P5 � ! �� � � � -21� � £ �&�<3 � � �� ��� $ 5���P5 � ! �� � ��� � -21� � £ �&� H �= � ��� � � � � � � @CB

13.

� � � � � �M�]!� � ��� � � 1� -;�   �43 ¢ � � a 1 � � � �&-21� �0�&�!� ��3 ¢ � � a 1 � � � � � �M�]!� � ��� � � �&-21� ¤14.

��� � � � �M��!� � ��� � � 1� -;�   �43 ¢ � � a 1 � � ��� �&-21� �0�&��� �43 ¢ � � ��� � � � �M��!� � ��� � � �&-21� ¤1.18. The Legendre Polynomials Pn(z)

1.18.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� j S �0fI�&��   � £�� 3 ¢ � � � f � � � a 1� S -;� �fI�&� = � > 'I@CB2.

  � � 5n'�! %J 1 L ' � � (*'�! % F m ��G � � ¢ 3hf9 ��O� -;� � 1� -;�SEa � �fI�&� = � > 'I@CB

;9:

Page 78: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ���������� �������� ����� ��� � ������� ��� & ' ���3. � ��� � -21� � ¢ 3hf �&� �&-21� j � �f;/ ���0�

  �43 ¢ � � F 7� G � f � ��63hf � � -;�&-21� j � F 7m � � G ¤4. � � DM� � ��Q3hf � �&-21� j � F m� � GIH

  �43 ¢ � � F 7��G � f9 � ��Q3hf9O� -;�&-21� j � F � �m G ¤5. � � a 1 � � ¢ 3hf9 �&� �&-21� j � a 1 �f / ���0�

  ��3 ¢ � � �O'65_7� F 7� G � f9 � a 1 � -;�&-21� �� ¢ 3hf9O�&� -;�&-!&4� j � F 7m � � G ¤6. ��� D � - + � a 1 . � ���Q3hfI� �&-21� j � F � 5 m� � m � G9H

  F 7� G � f ��� � -;�&-21� ���63hfI� -21� j � F " m � G ¤7. ��� D � ��� ��fg3h�&� �&-21� j � F � 5 m� � m � G9H

  �43 ¢ � � F 7� G � f ��� �fT3h�&� -21� j � F�" �m G ¤8. � � DM� S � �fg3h�&� �&- S -21 j S F � 5 m� � m � GIH

  � %� � ( '2! % f ��� � + S -;� . � �0fg3h�&� - S -21 j S -;� F � 5 m� � m � G = � > 'I@B9. � � DM� - + SEa 1 . � �0fg3h�&� SEa � j S F � 5 m� � m � GIH

  �43 ¢ � � � � 5n'�! %� % f ��� � - + SEa � a 1 . � ��fg3h�&� S j SEa � F � 5 m� � m � G ¤10. ��� D � ��� ��0�Q3hfI� �2j � F � 5 m� � m � GIH  �� � f ��� D j � F�" �m G9H ¤11. ��� D �0�� 3hfI�&� S � j S F � �E( m� � � � ( m � GIH

  �( � ! "�'�C7 � ( � ! ' ��� � ! %��� � (*� '�! % �0� 3hfI�&� + S -;� . � j S -;� F �O��( m� � � � ( m � G = � > 'I@CB12. � � D�� �&- S -21 �0fg3h�&� S � j S F � m (8�� � m � ( m � GIH  � " � ' m ' �

J 1 ( � L�' ��� � ! %��� � ( �O'�! % � - S -21 �fg3h�&� + S -;� . � j S -;� F � m (8�� � m � ( m � G = � > 'I@CB13. ���ED�0� 3hf � - + SEa 1 . � j S F �� � � ( m � GIH

  �43 ¢ � � � � 5n'�! %� % ��� 3hf9 � - + SEa � a 1 . � j SEa � F �� � � ( m � G ¤;<

Page 79: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��L1� �14. � �ED�� � �0fg3h�&� -21� j � F#" ¢ 3 m � GIH

  F 7� G � �0fg3h�&� -;�&-21� j � )�* ���( m�, ¤15. � � a 1 D � � a 1� j � a 1 F " ¢ 3 m � GIH

  ��3 ¢ � � � 'g5 7� F 7� G � ��63hf9� -;�&-21� j � )+* ��E( m-, ¤16. � ���k� �&-21� ��0fI�)3 ¢ � -21� j � � / ¢ 3 fI� � �

  F 7� G � � -;�&-21� �fI� 3 ¢ � -I�&-21� j � F 7� 7E( m � G ¤17. � � D�� �&-21� � ¢ 3hfI�&� � j � F 7� 7�( m � GIH

  ��3 ¢ � � F 7� G � � -;�&-21� j � � / ¢ 3hfI� � ¤18. � �ED�0� 3hf � S j S F �� � � ( m � GIH

  ��� � ! %��� � ( �O'�! % ��� 3hf9 � S -;� j S - � F �� � � ( m � G = � > 'I@B19. � � a 1;D�0�� 3hf9O� S j S:F �� � � ( m � GIH

  ��� � ! %��� � ( �O')(:7X! % �� 3hf � S -;�&-21� j S - �&-21 F �� � � ( m � G = � > 'g5 7R@CB20. ���ED�� -;�&-21 �0f9 3h�� � � j � F m� m � (8� � GIH

  �43��V� � F 7� G � f � � - �&-21 �f9 3h�� � ��� j � F m� m � (8� � G ¤21. � � D�� �&- S -21 �0f 3h� � S j S F m� m � (8� � GIH

  ��� � ! %��� � (*� '�! % f9 � � - S -21 �0f9 3h�� � S -;� j S - � F m� m � (8� � G = � > 'I@CB22. � � a 1;D��� �&- S �0f9 3h��O� S j S:F m� m � (8� � GIH  3 ��� � ! %��� � (*� ')(:7X! % f9 � a 1 � - S -21 �0f9 3h�� � S -;�&-21� j S - �&-21 F m� m � (8� � G= � > '65_7R@CB

23. ����� � �&-21� �� ¢ 3 f9 �&� � a 1� ����<� � ¢ 3hf9 �&� �&- S -21 j S �0f;/ � ��  ��� � ! %��� � (*� '�! % F m ��G � � -21� �� ¢ 3hf9 �&� - S -21� j S - � �0f;/ ��� = � > 'I@CB

;9L

Page 80: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� � ����� ���� � � � � ��� ��� ����� � � ) ' ��� � ��� * ' ����24. ���ED�0�Q3hf9 � � a 1� ����ED�� S �0�Q3hf9 � �&- S -21 j S:F m� � GIHOH

  ��� � ! %��� � (*� '�! % F m ��G � � S -;� ��63hf9 � - S -21� j S - � F m� � G = � > 'I@CB25. ��� D � � �P� D �fT3h�&� S j S F m 5n�m (*� G9HOH

  D � %� � (*'�! % H �fg3h�&� S -;� j S -;� F m 5 �m (8� G = � > 'I@CB26. ��� D � � �P� D � SEa � �fg3h�&� - S -21Oj S F m 5 �m (8� GIHOH

  D � � 5n'�! %� % H f � � S �fg3h�&� - S -;�&-21 j SEa � F m 5 �m (8��G ¤27. ���ED�� � �P�ED�fT3h�&� - S -21 j S F m 5 �m (8��GIHOH

  D � � 5:'�! %� % H �fg3h�&� - S -;�&-21Oj SEa � F m 5 �m (8� G ¤1.19. The Chebyshev Polynomials Tn(z) and Un(z)

1.19.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � ST�fI�&�0�  �£ �&-21 � � � 3 ¢ � � f � � �S -;� �0fI�&� = � > '8>?7A@CB2. ���EDM� -�1� ]�fg3h�&� � � � F m 5 �m (8��GIH   ��3 ¢ � � F 7��G � � -;�&-21� ��0fg3h�&� � ¤3. � � � �0f9 3h�� � S � S ) m � 5 � �m � (8� � ,

  ��� � ! %��� � ( �O'�! % �f9 3h�� � S -;� � S -;� ) m � 5 � �m � (8� � , = � > 'I@B4. � � � �� �&- S -21 �0�� 3hf9 � S � S ) � � 5 m �� � ( m � ,   ��� � ! %��� � ( �O'�! % f9 �Y � - S -21 ��� 3 f9 � S -;� � S -;� ) � � 5 m �� � ( m � , = � > 'I@CB5. � � D0�f 3h� � S � S F m� m � (8� � GIH

  ��� � ! %��� � (*� '�! % �0f 3h� � S -;� � S - � F m� m � (8� � G = � > 'I@B6. � � a 1;D0�f9 3h�� � S � S:F m� m � (8� � GIH

  ��� � ! %��� � (*�O')(:7X! % �;�f9 3h�� � S -;�&-21 � S - �&- F m� m � (*� � G = � > 'g5 7R@CB;9P

Page 81: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ��P1� �7. � �ED0�f9 3h�� � SEa 1� � SEa 1 F m� m � (8� � GIH

  ��� � 5_7�! %��� � (*� 'g5 7�! % �f9 3h��O� S -;� a 1� � S - � a 1 F m� m � (8� � G = � > 'I@CB8. ���ED0��� 3hf9O� - S � � S:F �� � � ( m � G9H

  3 � � 5n')(:7X! %� � (:7X! % ��� 3hf9 � - + SEa � . � � SEa � F �� � � ( m � G = � 5n'*>?7R@CB9. � �EDM�� �&- S -21 ��� 3hf9 � S � S F �� � � ( m � GIH

  ��� � ! %��� � (*�O'�! % f9 � � - S -21 ��� 3 f9 � S -;� � S - � F �� � � ( m � G = � > 'I@CB10. � � a 1;D��� �&- S �0�� 3hf9O� S � S F �� � � ( m � GIH  3 ��� � ! %��� � (*� ' (87�! % f9 � a � - S -21 ��� 3hf9 � S -;�&-21 � S - �&- F �� � � ( m � G= � > '65_7R@CB

11. � �ED��� �&- S - ��0�� 3hf9 � SEa 1� � SEa 1 F �� � � ( m � GIH  ��� � 5_7X! %��� � ( �O'65_7X! % f9 � � - S - ��0�� 3hf9 � S -;� a 1� � S - � a 1 F �� � � ( m � G= � > 'I@B

12. ���ED�� �&-21� ��P�ED�fT3h�&� S � S:F m 5 �m (8��GIHOH �£ - � ��� � ! %��� � (*�O'�! % � -21� ]�fg3h�&� S -;� � S -;� F m 5n�m (*� G = � > 'I@B

13. � � D�� � a 1� � � D�� �&- S -21 �fg3 ��� S � S F m 5 �m (8� GIHOH  ��� � ! %��� � (*� '�! % F m� G � � - S -21� ��fg3h�&� S -;� � S -;� F m 5 �m (8��G = � >_'I@CB

14. ���ED�� � a 1� ��P�ED�� -21� ��0fg3h�&� - S � S8F m 5 �m (8��GIHOH �£ - � � £� � � �fT3h��� - S -;� � SEa � F m 5 �m (8� G ¤

15. ���ED�� �&-21� ��P�ED�� SEa �&-21� ��fT3h�&� - S � S F m 5 �m (8� GIHOH �£ - � � £�� � � f � � S -21 �0fg3h�&� - S -;� � SEa � F m 5 �m (8� G ¤

16. ����� � ST�0fI�&��   � £ fI� � � � � � a 1S -;� �0fI�&� = � > 'I@CB:N

Page 82: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� � ����� ���� � � � � ��� � ������� ��� Tn(z)

����Un(z)

17. � � � �;�f9 3h�� � S � S ) m � 5n� �m � (*� � ,   ��� � 5n� ! %��� � (*� '65n� ! % �;�0f9 3h�� � S -;� � S -;� ) m � 5 � �m � (8� � , = � > 'I@B

18. � � � �� �&- S - ��f9 3h�� � S � S ) m � 5n� �m � (*� � ,   ��� � 5n�O! %��� � (*� '65n�O! % f � � - S - �0f 3h� � S -;� � S -;� ) m � 5 � �m � (8� � , = � > 'I@CB

19. � � D��;�0f 3h� � S � S F m� m � (8� � G9H  ��� � 5_7�! %� � � (*�O'65 7�! % �;�f9 3h��O� S -;� � S - � F m� m � (*� � G = � > 'I@B

20. � �ED��;�0f9 3h�� � SEa 1� � SEa 1 F m� m � (*� � G9H  ��� � 5:�O! %� � � (*�O'65n� ! % �;�f9 3h�� � S -;� a 1� � S - � a 1 F m� m � (8� � G = � > 'I@CB

21. � � D�0� 3hf � - S � -21 � S F �� � � ( m � GIH  �43 ¢ � � � � 5n'�! %� % ��� 3hf9 � - + SEa � . � -21 � SEa � F �� � � ( m � G ¤

22. � �ED��� �&- S - ��0�� 3hf9 � S � S:F �� � � ( m � G9H  ��� � 5_7X! %��� � ( �O'65_7X! % f9 � � - S - ���� 3hf9 � S -;� � S - � F �� � � ( m � G = � > 'I@CB

23. � � D�� �&- S -!& �0� 3_f � SEa 1� � SEa 1 F �� � � ( m � GIH  ��� � 58�O! %��� � ( �O' 58�O! % f9 � � - S -!& �0�� 3_f9 � S -;� a 1� � S - � a 1 F �� � � ( m � G= � >:'I@B

24. ��� D � �&-21� ��P� D � �&- S -21 �fg3h�&� S � S F m 5 �m (8� G9H H  ��� � 5n�O! %��� � (*� 'g5:�O! % F m� G � � - S -!&4� ��0fg3h�&� S -;� � S -;� F m 5 �m (8��G = � > 'I@CB

25. � � D�� � a 1� � � D�0fg3h�&� S � S F m 5 �m (8� GIHOH �£ - � ��� � 5:�O! %��� � (*�O'65n� ! % � 1� ��fT3h�&� S -;� � S -;� F m 5n�m (*� G = � > 'I@B

26. � � D�� � a 1� � � D�� SEa � a 1� �0fg3h�&� - S - �� S F m 5 �m (8� GIHOH  ��� � 5:�O'65_7X! %��� � 5_7X! % F m� G � � SEa 1 �fg3h�&� - S -;�&- � SEa � F m 5 �m (8��G ¤

:1�

Page 83: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ,9N1� �27. ���ED�� �&-21� ��P�ED�� 1� ��0fg3h�&� - S - �� S:F m 5 �m (8��GIHOH

 �£ - � ��� � 5n� 'g5 7�! %��� � 5_7�! % �fg3h�&� - S -;�&- � SEa � F m 5 �m (8� G ¤1.20. The Hermite Polynomials Hn(z)

1.20.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � ST�fI�&�0�   � %� � (*'�! % � £ fI� � � S -;� �0fI�&� = � > 'I@CB2. ����� � -21� � ST�0f / ����

  �43 ¢ � SEa � £ S �_� F 7� 3 � G � � -;�&-21� � -;�&-21� S �0f9 �&� ¤3. ����� � SEa 1 �0f;/ � ��

  ��3 ¢ � SEa � £ SEa 1 �?� F�3 7� 3 � G � fI� -;� a 1� � -;� a 1� S �0f �&� ¤4. ����� � �&- S -21 � ST�f;/ ���0�   ��� � ! %��� � (*� '�! % � - S -21 � S - � �0f;/ ��� = � > 'I@CB5. ����� � �&- S -!&4� � SEa 1 �f / ���0�

  ��� � 5_7X! %��� � (*� '65_7�! % � - S -!&4� � S - � a 1 �f;/ ��� = � > 'I@B6. ����� � �&-21 � S F m � G �   � %� � ( '2! % �43 £ fI� � � -;�&-21 � S -;� F m � G = � > 'I@CB7. ���EDM� S � S:F m� � GIH   �43 ¢ � � ��� � ! %��� � ( �O'�! % � S -;� � S - � F m� � G = � > 'I@CB8. � � DM� SEa 1� � SEa 1 F m� � GIH

  ��3 ¢ � � ��� � 5_7X! %��� � (*� '65_7X! % � S -;� a 1� � S - � a 1 F m� � G = � > 'I@B9. � � DM� �&-21� � S F m� � GIH   ��3 ¢ � S £ S �_� F 7� 3 � G � � -21� � -;�&-21� S ) m �� , ¤10. ���ED�� �&-21 � SEa 1 F m� � G9H

  ��3 ¢ � S £ SEa 1 �_� F]3 7� 3 � G � fI� -!&4� � -;� a 1� S ) m �� , ¤11. ���ED � -�� W � W�� S �0fI�&� H   ��3PfI� � � -�� W � W � SEa � �fI�&� ¤12. ��� D � �&-21 � -�� W ��� W � S F m � G9H   f � � -;�&-21 � -�� W ��� W � SEa � F m � G ¤

:�,

Page 84: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ��������� � �#� � ��� ������� ��� ��� ����� � � . /' ���13. ���ED�� -21� � -�� W � � ST�0f;/ ��� H

  ��3 ¢ � S £ S � � � � � � � -I�&-21� � -�� W ��� -;�&-21� SEa � �f9 �&� ¤14. ���ED �V-�� W � � SEa 1 �0f;/ � � H

  ��3 ¢ � S £ SEa 1 � � � � � � fI� -I� a 1� �#-�� W � � -;� a 1� SEa � �0f �&� ¤15. ��� D � SEa �&-21� � -�� W � � ST�f / � � H   �( 7X! '� � ' � S -21� � -�� W � � SEa � �0f / � � ¤16. � � D�� SEa � �V-�� W � � SEa 1 �0f;/ � � H   �( 7X! '� � ' � S �V-�� W � � SEa � a 1 �0f;/ � � ¤17. ��� D � �&-21� � -�� W ��� � S F m� � GIH

  ��3 ¢ � SEa � £ S � � � � � � � -�1� � -�� W ����� -;�&-21� SEa � ) m �� , ¤18. ���ED�� �&-21 � -�� W ��� � SEa 1 F m� � GIH

  �43 ¢ � SEa � £ SEa 1 � � � � � � fI� - &4� � -�� W ����� -;� a 1� SEa � ) m �� , ¤19. ��� D � - S -21� � -�� W ��� � S F m� � G9H

  7� � ' � - S -;�&-21� � -�� W ��� � SEa � F m� � G ¤20. ���ED�� - S -21 � -�� W ��� � SEa 1 F m� � G9H

  7� � ' � - S -;�&-21 �#-�� W ��� � SEa � a 1 F m� � G ¤1.21. The Laguerre Polynomials Lλn(z)

1.21.1. Derivatives with respect to the argument

1. � � � c� ��&� �   ��(��Q(*')(:7� � c� �0�&��� '65_7� � c� a 1 �0�&� ¤2.

  � c� ��&�<3 � c a 1� �0�&� ¤ = � � @B3. ����� � cS �0fI�&��   ��3PfI� ��� c a �S -;� �fI�&� = � > 'I@CB4. ����� � c � cS �fI�&�0�   ��3 ¢ � � ��3 d 3 � � � � c -;��� c -;�S �0fI�&� ¤5. ����� � �&- S -21 � cS �0fI�&��   �43Pd 3 � � � � - S -21 � cS -;� �fI�&� = � > 'I@CB6. ��� D � �&-21 � S F m � GIH   f � � -I�&-21�� �S -;� F m � G = � > 'I@CB

:3

Page 85: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ,��� ,7. ���EDM� �&- c -21 � cS F m � GIH   ��3Pd 3 � � � � - c -21 � c -;�S F m ��G ¤8. � � DM� S � cS F m � GIH   �43 ¢ � � �43Pd 3 � � � � S -;� � cS -;� F m � G = � > 'I@CB9. ����� � -�� ��� cS �0fI�&��   �43�fI� � � -�� ��� c a �S �fI�&� ¤10. ����� � c�� -�� ��� cS �0fI�&��   � � 5n'�! %� % � c -;� � -�� ��� c -;�SEa � �fI�&� ¤11. ����� � c a2SEa � � -�� ��� cS �fI�&�0�   � � 5n'�! %� % � c a2S � -�� � � cSEa � �fI�&� ¤12. ����� � �&-21 � -��R����� cS � m � �0�   f � � -��R����� c a �S F m ��G ¤13. ����� � �&- c -21 � -��R����� cS F m � G �   ��3 ¢ � � � � 5:'�! %� % � - c -21 � -��R����� c -;�SEa � F m � G ¤14. ����� � - c - S -21 �#-��R��� � cS F m � G �

  ��3 ¢ � � � � 5n'�! %� % � - c - S -;�&-21 � -��R����� cSEa � F m � G ¤1.21.2. Derivatives with respect to the parameter

1.

���-/' �M��!� �   �&-21�� ��� 7')( $ � c� ��&� = � � @B

1.22. The Gegenbauer Polynomials Cλn(z)

1.22.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � cS �0fI�&��   � £ fI� � �0d2� � � c a �S -;� �0fI�&� = � > 'I@CB2. � � � �&c a2SEa �&-21 � c S �0f;/ ����   �0d2� � �&c a2S -21 � c a � S �f;/ ��� ¤3. ����� � c a2SEa �&-21� � c SEa 1 �f / ���0�   ��d2� � � c a2S -21� � c a � SEa 1 �f / � � ¤4. ����� � �&- S -21 � c S �0f / ����   �0d2� � � - S -21 � c a � S - � �0f / ��� = � > 'I@CB5. ����� � �&- S -!&4� � c SEa 1 �0f;/ ����   �0d2� � � - S -!&4� � c a � S - � a 1 �f;/ ��� = � > 'I@CB6. � � � � SEa �&-21� � ¢ 3hf �&�4c -21� � c S �0f;/ ����  �£ -;� � � 5n'�! %� % ��� � 5n�O')(:7X! % %��� � (87�! % %Y 7�C7 (��&! ' � S -21� �� ¢ 3hf9 �&� c -;�&-21� � c -;� SEa � �f / ��� ¤7. ����� � SEa � � ¢ 3hf9 �&� c -21� � c SEa 1 �0f;/ ����  �£ -;� � � 5n'�! %� % ��� � 5n�O'65_7X! % %��� � 5 7�! % %Y 7�C7�(��&! ' � S � ¢ 3hf9 �&� c -;�&-21� � c -;� SEa � a 1 �f;/ ��� ¤

:95

Page 86: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ���������� ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���8. ���EDM� �&-21 � cS F m � GIH   �43 £ fI� � ��d2� � � -;�&-21 � c a �S -;� F m � G = � > 'I@CB9. � � DM� �&- cI�fg3 £ �&�4c -21� � cS F ¢ 3 m � G9H

 �£ -;� � � 5n'�! %� % �C7 (*���6( � ! '�C7�(��&! ' � �&- c �fT3 £ �&� c -;�&-21� � c -;�SEa � F ¢ 3 m � G ¤10. ��� D �0fg3h�&� �&-21 � cS F m 5 �m (8� GIH  �£ � ��d2� � f � �0fg3h�&� -;�&-21 � c a �S -;� F m 5n�m (*� G �= � > 'I@B11. � � D��&c -21� �fg3h�&� �&- c � cS F m 5 �m (8� GIH

  �43 ¢ � � � � 5n'�! %� % �����&! ( J 1 (�� L '�����Q(*�O'�! ( &(' � c -;�&-21� ��fT3h�&� �&- c.� c -;�SEa � F m 5 �m (8� G ¤12. ��� D � S � c S F m� � GIH   ��3 ¢ � S ��d2� � � S -;� � c a � S - � F m� � G = � > 'I@CB13. ���ED�� SEa 1� � c SEa 1 F m� � GIH   ��3 ¢ � � �0d2� � � S -;� a 1� � c a � S - � a 1 F m� � G= � > 'I@B14. � � D�� - c - S �0�Q3hf �4c -21� � c S F m� � GIH

  ��3 £ � -I� � � 5n'�! %� % ��� � 5n�O')(:7X! % %��� � (87�! % % 7�C7 (��&! ' � - S - cY �0�Q3hf � c -;�&-21� � c -;� SEa � F m� � G ¤15. ���ED�� - c - S -21� ��0�Q3hf9 � c -21� � c SEa 1 F m� � G9H

  �43 £ � -;� � � 5n'�! %� % ��� � 5n� '65_7�! % %��� � 5_7X! % % 7�C7 (��9! ' � - c - S -21� Y �0f9 3h�&� c -;�&-21� � c -;� SEa � a 1 F m� � G ¤16. � � D�� S � �0fg3h�&� �&- S -21�� cS F � 5 m� � m � GIH  �(�9! ( �C7 (*���Q( � ! '�C7 (��Q( � ! ' �(�9! ( "�' f ��� �I+ S -;� . � ��fg3h�&� - S -21 � cS -;� F � 5 m� � m � G = � > 'I@CB

17. ���ED�� - c - S � ��0fg3h�&� c a2SEa �&-21�� cS F � 5 m� � m � GIH  �43 ¢ � � � � 5n'�! %� % f ��� � - c - + SEa � . � �fg3h�&� c a2S -21�� cSEa � F � 5 m� � m � G ¤

18. ���ED�0�� 3hf9 � - c - S � � cS F �� � � ( m � GIH  ��3 ¢ � � � � 5n'�! %� % ��� 3hf9 � - c - + SEa � . � � cSEa � F �� � � ( m � G ¤

:�;

Page 87: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ,,�� ,1.22.2. Derivatives with respect to the parameter

1.

��� /' �M��!� �   � � � � � d2��3�� ��d2�� � c� ��&� � � ��� ���� � 1

� 5n')(*� $$ �(� 5n')( $ !�� c�&- � ��&�= = ��� @ ����� �O!C@CB2.

  D�� F d � 7��G 3�� F�d � � � 7��G 3 £ � � £ d2� � £ � � £ d � £� � H � c� ��&�� £ �&-21�� ���� 7,5h�C( 7X! '#")" � � $ 5 �9!��')( $ ! �����P5 $ 5:'�! � c� ��&� = � � @CB

3. �£ � � � � � £ d2�<3�� � £ d2�� � c� ��&�3 � ��� ������ 1

�(�&! � "�����P5n'�! � " F 7$ � �� $ 5:���Q(:7�G £ � ��� 3 ¢ � � � c a ��&- � ��&� = = ��� @������O� !C@CB4.

�� � � �</' �M��!�(�&! '   7�(�&! ' � ��� ���� � 1

� 5n')(*� $$ �(� 5n')( $ ! � c�&- � ��&� = = ��� @��&� � � [email protected]. The Jacobi Polynomials P (ρ,σ)

n (z)

1.23.1. Derivatives with respect to the argument

1. � � j + � l�� .� ��&� �  �� 565n'65_77<5 � � j + � a 1Rl�� .� ��&�<3 j + � l�� .� ��&� � ¤2.

  3 �]� � 5n'�!7�(*� � j + � -21Rl�� .� �0�&��� � � 5n')(*'2�7�(8� � j + � l�� .� ��&� ¤3.

 �� 5g5n'65 77�(*� � j + � l�� .� ��&�<3 j + � l�� a 1 .� ��&� � ¤4.

  �#��65n'�!7 (8� � j + � l��V-21 .� ��&�<3 ��65n'65n'2�7�(8� � j + � l�� .� �0�&� = � � @B5. ����� j + � l�� .S �fI�&� �   � ����� � � � ¢ � � F m ��G � j + � a �9l�� a � .S -;� �0fI�&� = � > 'I@CB6. � � �M� ¢ � fI�&� � j + � l�� .S �0fI�&� �

  ��3�fI� � ��3��_3 � � � � ¢ � fI��� �V-;� j + � a �9l���-;� .S �0fI�&� ¤7. �����M� ¢ � fI�&� �&- S -21 j + � l�� .S �0fI�&� �

  �43�fI� � �43��83 � � � � ¢ � fI��� - S -21 j + � a �9l�� .S -;� �0fI�&� = � > 'I@B8. ��� � � ¢ � fI�&��� a � a2SEa � j + � l�� .S �fI�&� �

  f � � ����� � � � ¢ � � � ¢ � fI�&� � a � a2S j + � a �9l�� .S �0fI�&� ¤::

Page 88: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

9. �����M� ¢ 3hfI�&� � � ¢ � fI�&� � j + � l�� .S �0fI�&� �  �43 £ fI� � � � 5n'�! %� % � ¢ 3hfI�&� � -;� � ¢ � fI�&� ��-;� j + � -;�9l��V-;� .SEa � �fI�&� ¤

10. �����M� ¢ 3hfI�&� SEa � a ��� ¢ � fI�&� � j + � l�� .S �fI�&� �  �43 £ fI� � � � 5n'�! %� % � ¢ 3hfI�&� � a2S � ¢ � fI�&� ��-;� j + � l��V-;� .SEa � �fI�&� ¤

11. �����M�fI�Q3 ¢ �� � a � j + � lC-;�&-21� .� �fI�&� � ���� � � 5_7�! '��� � 5 7�! ' f � �fI�Q3 ¢ � � � � � a 1� � ) * m � 5_7� , ¤

12. � ���k�� � a 1 j + � lM1� - S -;� .S � ¢ � fI�� � �  � � 5 7�! ( �(�� � (:7X! � '� � (*'65_7�! ( �� � - � a 1 j + � -;�9lM1� - SEa � .S � ¢ � fI�� � ¤

13. ���ED�� �&-21 j + � l�� .S F m ��G9H  � �-��� � � � ¢ � � F�3 m ��G � � -;�&-21 j + � a �9l�� a � .S -;� F m ��G = � > 'I@B

14. � � � � �&- ��-21 ��$� f9� � j + � l�� .S F m � G �  f � �43��83 � � � � - ��-21 �0��� fI� ��-;�2j + � a �9l��V-;� .S F m � G ¤

15. � � D�� S �0��� fI� �&- S -21 j + � l�� .S F m � GIH  f � ��3��:3 � � � � S -;� �0��� fI� - S -21Oj + � a �9l�� .S -;� F m � G = � > 'I@B

16. ���ED�� - � - �V- S -21 �0��� fI� � a � a2SEa � j + � l�� .S F m � G9H  �43�fI� � � ����� � � � ¢ � � � - � - �V- S -;�&-21 �0��� fI� � a � a2S j + � a �9l�� .S F m � G ¤

17. ���ED�� - � - � a �&-21 ��Q3hfI� � �0��� fI� � j + � l�� .S F m � GIH  � £ fI� � � � 5n'�! %� % � - � - � a �&-21 �0�Q3hfI� � -;� ��$� fI� �V-;� j + � -;�9l��V-;� .SEa � F m � G ¤

18. ���ED�� - � - �V- S -21 �0�Q3hfI� SEa � a � ���� fI� � j + � l�� .S F m � GIH  � £ fI� � � � 5n'�! %� % � - � - �V- S -21 �0�Q3hfI� � a2S ���� fI� �V-;� j + � l���-;� .SEa � F m � G ¤

19. ���ED�� �&-21 j + � l�� .S F ¢ 3 m ��G9H  F m ��G � � ����� � � � ¢ � � � -I�&-21 j + � a �9l�� a � .S -;� F ¢ 3 m ��G = � > 'I@B

:�<

Page 89: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ,931� �20. ���ED�� S j + � l�� .S F ¢ 3 m ��G9H   �43 ¢ � � ��3��g3 � � � � S -;� j + � l�� a � .S -;� F ¢ 3 m � G= � > 'I@B21. ���ED�� - � - �V- S -21 j + � l�� .S F ¢ 3 m ��G9H

  �43 ¢ � � � ����� � � � ¢ � � � - � - �V- S -;�&-21 j + � l�� a � .S F ¢ 3 m � G ¤22. ���ED�� �&- � -21 j + � l�� .S F ¢ 3 m � GIH

  ��3 ¢ � � � ��� � 3 � � ¢ � � � - � -21 j + � -;�9l�� a � .S F ¢ 3 m � G ¤23. ���ED�� S �0fg3 £ �&� � j + � l�� .S F ¢ 3 m � G9H

 �£ � ��3��83 � � � � S �fg3 £ �&� ��-;� j + � l��V-;� .S F ¢ 3 m � G ¤24. ���ED�� S �0fg3 £ �&� �&- S -21 j + � l�� .S F ¢ 3 m � G9H

  f � �43��83 � � � � S -;� �0fg3 £ �&� - S -21 j + � a �9l�� .S -;� F ¢ 3 m ��G = � > 'I@B25. ���ED�� S �0fg3 £ �&� �&- S - � -21 j + � l�� .S F ¢ 3 m � GIH

  �43 £ � � ��3��g3 � � � � S �0fg3 £ �&� - � - S -21 j + � -;�9l�� .S F ¢ 3 m � G ¤26. � � D�� - � - �V- S -21 �0fg3 £ �&� � j + � l�� .S F ¢ 3 m � GIH

 �£ � � � 5n'�! %� % � - � - ��- S -21 �fT3 £ �&� �V-;� j + � l���-;� .SEa � F ¢ 3 m � G ¤27. ��� D � �&- � - �V-21 �fg3 £ �&� � j + � l�� .S F ¢ 3 m � GIH

 �£ � � � 5n'�! %� % � �&- � - ��-21 �0fg3 £ �&� �V-;� j + � -;�9l���-;� .SEa � F ¢ 3 m � G ¤28. ���ED�� - � - �V- S -21 �0fg3 £ �&� � a2SEa � j + � l�� .S F ¢ 3 m ��G9H

 �£ � � � 5n'�! %� % � - � - ��- S -21 �fT3 £ �&� � a2S j + � -;�9l�� .SEa � F ¢ 3 m � G ¤29. ���ED��� � a � �0fg3h�&� � j + � lC- � -;�&-21� .� F m 5n�m (*� G9H

 �� � � � 5 7�! '��� � 5_7X! ' f � �� � D � � a 1� � F " ¢ 3 �m G9H ¤30. ��� D � - � -;�&-21 ��63hf9� �2j + � lC- � -;�&-21� .� F � 5 m�E( m GIH

  ��3 ¢ � � ��� � � 5_7�! '��� � 5 7�! ' � - � -;�&-21 D � � a 1� � F�" ¢ 3 m �QG9H ¤:L

Page 90: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � � � ��� ��� � � ����� � � ������� � ��� � � ��� � ��� � � ����������� � K�����

E��� ����

D����

1.23.2. Derivatives with respect to parameters

1.

��� 3 465 7�8' �M�]!� �

  � � � ����� � £� � ¢ �<3�� � �-��� � � � ¢ �0� j + � l�� .� �0�&�� �&-21�� ��� � 5g5n� $ 5_7��')( $ !9� � 565 $ 5n'65_7X! ��g5 $ 5_7�! ']")"� � 565 $ 5_7X! '#")" j + � l�� .� ��&� = � � @CB

2.

��� 3 465 7�8' �M�]!�   � � � ����� � £�� � ¢ �<3�� � ����� � � � ¢ �0� j + � l�� .� ��&�� �&-21�� ��� �43 ¢ � �&- � � 5g5n� $ 5_7��')( $ ! � � 5g5 $ 5n'65_7�! � � 5 $ 5_7X! '#")"� � 5g5 $ 5_7�! ']")" j + � l�� .� ��&� = � � @CB

3.

�� �

� � 3 465 7�8' �M��!� � 5_7�! '   7� � 5_7X! ' ����� 1 �43 ¢ �

� a 1 �( (*'�! "� � 5:'g5 7�! " F 7$ � 7� 5 $ G F ��(:7� G � j + � a � l�� .�&- � ��&�= = ��� @ ������7X!C@CB

4.

�� �

� � 3 465 7�8' �M��!� � 5 g5n'65_7�! '   ��g5 7�! '� � 5g5_7X! � ' �&-21�� ��� � 5g5n� $ 5_7��')( $ !#� � 5 g5 $ 5n'65_7X! � � 5 g5_7�! "��65_7�! " j + � l�� .� ��&�= = ��� @ ��� � � !C@CB

1.24. The Complete Elliptic Integrals K(z), E(z)and D(z)

1.24.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � � � ¢ 3hf9 �&� � �P���K �f / ���0� �   F 7� G � f9 � K �0f / � � ¤2. �����M� ¢ 3hf9 �&� � �����k� �&-21� K �f / ��� ���   �43 ¢ � � F 7��G � � -;�&-21� K �f / ��� ¤3. � � �k� � � � �M� ¢ 3hf �&� �&-21� K �f;/ ��� ���

  �43 ¢ � � F 7��G � f9 � � ¢ 3hf9 �&� -;�&-21� K �f / ��� ¤4. ����� � � � ¢ 3hf9 �&� �&-21 ���<�E �f;/ ���0� �   F]3 7��G � F 7��G � m � '7 ( m � � E �0f;/ ��� ¤5. �����k���� ¢ 3 f9 �&� �&-21 �P��� � �&-!&4� E �f;/ ��� ���

  ��3 ¢ � � F]3 7� G �� �� � "�'7K( m � � E �0f;/ ��� ¤

:P

Page 91: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ,;�� �6. �����k� � � ¢ 3 f �&� -21 �P����� ¢ 3 f �&� �&-21� E �f;/ ��� ���

  ��3 ¢ � � F 7��G � F � ��G � f9 � � ¢ 3 f9 �&� -I�&-!&4� E �f;/ ��� ¤7. �����k� � � ¢ 3hf9 �&�9�����M� ¢ 3hf9 �&� �&-!&4� E �0f;/ ��� � �

  ��3 ¢ � � F]3 7��G � F 7��G � f9 � � ¢ 3hf9 �&� -;�&-21� E �f / ��� ¤8. � � � � � � ¢ 3hf �&� � a 1 � � � � ¢ 3hf �&� -�1 E �0f;/ ���� �   F 7� G � F � � G � f � E �f;/ ��� ¤9. �����M� ¢ 3hf9 �&� � a 1 �����k� �&-21� �� ¢ 3hf9 �&� -�1 E �0f / ��� ���

  ��3 ¢ � � F 7� G � � -;�&-21� E �0f;/ ��� ¤10. ����� � � a 1 � ¢ 3hf9 �&� � �����D �f;/ ���0� �   F 7��G � F � ��G � f9 � � D �f;/ ��� ¤11. ����� � �&-21 � ¢ 3hf9O�&� � ����� � D �f / ���0� �   F�3 7��G � F 7��G � f9 � D �f / ��� ¤12. �����k�;� ¢ 3hf9 �&� � �P��� � �&-21� D �f;/ ��� ���

  �43 ¢ � � F 3 7� G � F7� G � f9 � � 1� -;� D �f / ��� ¤

13. �����k� -�1 � ¢ 3hf9 �&� � �P��� � � a 1� D �f;/ � � ���  ��3 ¢ � � F 7� G � F � � G � � -;�&-21� D �0f;/ ��� ¤

14. �����k� � a 1 �����M� ¢ 3hf9 �&� �&-21� D �f / ��� ���  ��3 ¢ � � F 7� G � f � � � ¢ 3hf �&� -I�&-21� D �f;/ ��� ¤

1.25. The Legendre Function P µν (z)

1.25.1. Derivatives with respect to the argument

1. � � D j��� F �m GIH  ���� ��3 £ fI� � �0f 3h� � -I� ��� ��� ��� m ! ")"$9% J � L ']")"��')( $ 5���! ']")"Y ��T3�� � ¢ � � �43��83 �� � �0f9 3h��O� � � � � -;� a + 1A- � . � �&- � F �m Ggj � - �� F �m G ¤2. � � D j��� F �m GIH  ���� ��3 £ fI� � �0f 3h� � -I� ��� ��� ��� m ! ")"$9% J ( � L�'#")"��')( $ (���! ']")"Y �0f9 3h��O� � � � � -;� a + � a 1 . � �&- � F �m Ggj � a �� F �m G ¤

<9N

Page 92: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� � � �������� ��� � ��� ��� ��� & �� ����3. ���ED0�f9 3h��O� � � j �� F �m GIH

  �43 ¢ � � ��T3�� � ¢ � � �43��:3 ;� � �0f 3h� � + � -;� . � j � -;�� F �m G ¤4. ���ED0�f 3h� � - � � j �� F �m G9H   �43 ¢ � � �0f 3h� � - + � a � . � j�� a �� F �m G ¤5. � � DM� �&- + � a � . � -21 �fT3h�&� � � j��� F#" �m GIH

 �£ -;� f ��� ��43��:3 ;� � � - + � a � . � -21 �fg3h�&� + � -;� . � j � -;�� -;� F#" �m G ¤6. ���EDM� � a + � a � -21 . � �0fg3h�&� - � � j �� F�" �m GIH

  �43 £ � -;� f ��� �I+ � a � -21 . � �0fg3h�&� - + � a � . � j � a �� a � F#" �m G ¤7. ���EDM� � a + � - � -21 . � �fT3h�&� � � j �� F#" �m GIH

 �£ -;� f ��� ��)3�� � ¢ � � �I+ � - � -21 . � ��fg3h�&� + � -;� . � j � -;�� a � F#" �m G ¤8. ���EDM� � a + � - � . � -21 �fT3h�&� - � � j �� F�" �m GIH

  �43 £ � -;� f ��� �I+ � - � . � -21 �0fg3h�&� - + � a � . � j � a �� -;� F#" �m G ¤9. ���EDM��� � ���63hf9� � � j �� F�" m � GIH

  ��3 £ � -;� ��3��:3 ;� � �I+ � -;� . � ���Q3hfI� + � -;� . � j � -;�� -;� F#" m � G ¤10. ���ED���� � ���Q3hfI� - � � j �� F�" m �QG9H

 �£ -;� �I+ � -;� . � ���63hfI� - + � a � . � j � a �� -;� F�" m �QG ¤11. ���ED�� - + � a 1 . � �0�Q3hfI� � � j �� F�" m �QG9H

  ��3 £ � -I� ��T3�� � ¢ � � � - + � a � a 1 . � ���Q3hfI� + � -;� . � j � -;�� a � F�" m �QG ¤12. ���ED�� - + � a 1 . � �0�Q3hfI� - � � j �� F#" m � GIH

 �£ -;� � - + � a � a 1 . � �0�Q3hfI� - + � a � . � j � a �� a � F�" m � G ¤1.25.2. Derivatives with respect to parameters

1. � � � j � ��&���� � � �   3 � � 5_7� j � ��&�3 � � ��� � 1 £� a 1 J 1 L "� $ 5n'�! %$ � ¢ 3 ��� � � � a 1� �&- � ��&� = = � � @ �����#B � !C@CB

<��

Page 93: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ,;�� ,2. � � � j � ��&���� � � -;�&-21   3 � � � j � ��&���� � � � ¤3. � � � j �� ��&���� � � �&-21�   3 � � j ��&-21� ��&� � ��3 ¢ � � £ �&-21 F � �)(*� '65_7� G � � ¢ 3h� � ��� Y ������� J ' $ L � � "

J � - � a 1� L�" D £ � ��� � F � �65n� '65_7� G 3�� F � �)( �O'65 � $ 5_7� G9HY �� � l � j � -;�-21� �0�&��� �43 £ �&� - � � ¢ 3h�� � - � � Y � -21�� ��� � $ 5 �Q(87�! %

� % � $ ( �Q(:7X! % � £ �&� - � � ¢ 3h�� � � � j � a � -;�&- �-21� ��&� � ¤4.

  D�� F 7� 3��:3 � G 3�� F 7� 3�� � � G 3 � � HTj ��&-21� �0�&�� � ']" �J 1 ( � L ' J 1 5�� L ' � ¢ 3h�� � ���

Y ������� J ' $ L ��3P� � � �� £ F � �)(*�O'65 �� G �&- � � �63 � � 3 � � � �&- � -21�� ��� J � - � a &

� L �� % ��')( $ ( ��! ��Y �� � l � j � a �-21� ��&� � �43 £ �&� - � � ¢ 3h��O� - � � � -21�

� ��� � $ 5 �Q(87�! %� % � $ ( �Q(:7X! % F 7� 3��:3 � G � - �Y � £ �&� - � � ¢ 3h�� � � � j � - � a � a �-21� ��&� � ¤

5. � � � j �� ��&���� � � -;�&-21�   3 � � � j �� �0�&���� � � �&-21� ¤6. � � � j �� ��&���� � ���  � � ��% � � � !� � � 5n�O! � � £ ���]� � � � �� � ��� ¢ � j � �0�&��3 � £ -��� � � � � �� � �C� j � ��3��&� �

� � ���� � � � � 5_7X!A� � 5:�O!�� � � � £ 3 � £ -� �4��R�0� j � a 1 ��&��� j � a 1 ��3P�&��� � ¢ 3h� � j 1� a �0�&��� j 1� a ��3��&�0� � ¤7. � � D j �1� �0�&� H ��� � � 1�  

� 7 (8� � � " �� �� � � DC3 £ � C � � £ �&�Q3 �� ¢ 3h� �_F ��� �

� ¢ 3h� G � F ¢ 3 � �� 7 (8� � G � F ��� �� ¢ 3h� G � F ¢ 3 � �� 7�(*� � G9H= � � �����C7 � �]! � � � @CB

<,

Page 94: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� � � � � � � ��� � � � ���� � � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� � ���6���� �! ��1.26. The Kummer Confluent Hypergeometric Function

1F1(a; b; z)

1.26.1. Derivatives with respect to the argument

1. � � D 1 N 1 J m !�� �� L H  �� � � m ! '� � ! ' 1 N 1 J m 5:' !�� �� 5n' L = = ��@ � �VB � B 7�� @MB2. ���EDM� � a �&-21 1 N 1 J m !�� �� L H   �0fI� � � � -21 1 N 1 J m 5n'

� !�� � L = = ��@ � �VB � B 7 7R@MB3. � � DM� � -21 1 N 1 J m !�� �� L H   ��3 ¢ � � � ¢ 3��O� � � � -;�&-21 1 N 1 J m !�� �� (*' L = = ��@ � �VB � B 7X��@MB4. ���ED � - � 1 N 1 J m !�� �� L H   ��3 � � � � � ( m ! '� � ! ' � - � 1 N 1 J m !�� �� 5n' L = = ��@ � �VB � B 7 � @MB5. � � DM� � -21 �V-�� 1 N 1 J m !�� �� L H   �43 ¢ � � � ¢ 3��O� � � � -;�&-21 �#- � 1 N 1 J m (*' !�� �� (*' L ¤6. ���EDM� � -�� a �&-21 � -�� 1 N 1 J m !�� �� L H   ���K3hfI� � � � -�� -21 � - � 1 N 1 J m (*'

� !�� � L= = � @�� ��B � B 7 � @CB7. ��� � � �&-21 1 N 1 ^ m ! �� `   �43 � � � � m ! '� � ! ' � -;�&-21 1 N 1 ^ m 5n' ! �� 5n' ` ¤8. ��� � � -�� 1 N 1 ^ m ! �� `   �43 ¢ � � �0fI� � � -�� -;� 1 N 1 � m 5:'

� ! � � ¤9. � � � � �&- � 1 N 1 ^ m ! �� `   � ¢ 3��O� � � - � 1 N 1 ^ m ! �� (*' ` ¤10. � � � � �&-21 �#-�C��� 1 N 1 ^ m ! �� `  �� � � � ( m ! '� � ! ' � -;�&-21 �V-C��� 1 N 1 ^ m ! �� 5n' ` ¤11. � � � � � - � �V-��� 1 N 1 ^ m ! �� `   ��3 ¢ � � ��� 3hfI� � � � - � -;� �#-�C��� 1 N 1 � m (*'

� ! � � ¤12. � � a � � 1 N 1 � 1 ( '

� ! � � � �   �43��V� � J 1 L ' J g5 1 L '� � ! '%& 7 � � 1 N 1 � '6565 1� 5n'65 ! � � �= � �� ���7 ! = ��� @ @CB13. � � a � � � 1 N 1 � & ( (*'

� ! � � � �   ��3��#� � ��� W ! � � 7 " UW ! �� � ! ' � 1A- � 1 N 1 � '65 & � 5n' ! � � �= � �� ���7 ! = ��� @ @CB<93

Page 95: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ,9:1� �14. � � a � � �� � -21 1 N 1 � � ( (*'65 1� ! � � � �

  �43 ¢ � � � ¢ 3 £ �O� � a � �� � - ��- �&-21 1 N 1 � � 5 1� (*' ! � � � = � �� ���7 ! = ��� @ @CB15. � � a � � �� � - 1 N 1 � � (*')( 1� ! � � � �

  �43 ¢ � � � £ 3 £ �O� � a � �� � - ��- �&- 1 N 1 � � ( 1 ! � �� ( (*' � = � �� ���7 ! = ��� @ @CB16. � � a � � 1 N 1 � m ! � �1 � �  �£ � a � �0fI� � a � � � 1 N 1 � m 5n'65

g5 1 ! � � �= � �� ���7 ! = ��� @ @CB17. � � a � � � 1 N 1 � m ! � �& � �  �£ � �0fI� � � 1A- � 1 N 1 � m 5:' ! � �& ( � = � �� ���7 ! = ��� @ @CB18. � � a � � � - � W 1 N 1 � m 5n')( 1m ! � � � �

  ��3 ¢ � � £ � J 1 L ' J g5 1 L '� m ! '%& 7 � � � - � W 1 N 1 � m ( 1 ! � �m 5n'65 � = � �� ���7 ! = ��� @ @CB19. � � a � � � � - � W 1 N 1 � m 5n'65 ( & m ! � � � �

 �£ � J & L ' J ( 1 L '� m ! ' � 1A- � � - � W 1 N 1 � m ( & m 5n' ! � � � = � �� ���7 ! = ��� @ @CB20. � � a � � �� � -21 � - � W 1 N 1 � '65 ( 1m ! � � � �

  ��3 ¢ � � � ¢ 3 £ fI� � a � �� � - �&- ��-21 � - � W 1 N 1 � (�')( 1m (*' ! � � � = � �� ���7 ! = ��� @ @CB21. � � a � � � � - �#- � W 1 N 1 � '65 ( 1m ! � � � �   �43 ¢ � � � £ 3 £ fI� � a �Y � � - �&- ��- �V- � W 1 N 1 � 1 (*')( m (*')( ! � � � = � � �� 7 ! = ��� @ @CB

<!5

Page 96: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� � � � � � � ��� � � � ���� � � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� � ���6���� �! ��22. � � a � � � - � W 1 N 1 � m ! � �1 � �

  ��3��#� � a � F 7� 3hf G � a � � � � - �W 1 N 1 � m (*' ! � �g5 1 � = � �� ���7 ! = ��� @ @CB

23. � � a � � � � - � W 1 N 1 � m ! � �& � �  ��3��V� � F � � 3hf G � � 1A- � � - � W 1 N 1 � m (*')( & ( ! � � � = � �� ���7 ! = ��� @ @CB

1.26.2. Derivatives with respect to parameters

1. � � D 1 N 1 J m ! �'g5 7 L H ��� � � SEa � a 1  � % ' %� � 5n'�! % � � � � � ¢ �<3�� � � � � � ¢ �� � � � -;�S ��3P�&�� ��� � -;� � �C � £ � ��� ����� ��&�<3 � ��� ��&�� � -;�SEa � �43��&�

3 SEa ��� � 17$ � � -;�SEa �&- � �43��&��� £ �43 ¢ � � ��� � � - �� -21 ��&� � 3 � % ��' % ! �� � 5:'2! % � -;� � � S������ J � $ L � "$9%

Y � �C � � �$� � � � � ¢ �� � � -;�� �43��&�<3 ��� � 1

�( 7�! �� � � -;� a ��&- � �43��&� ¤

2. � �� 1 N 1 � m ! �1 (*' � � ����� � � SEa 1�

  � �J 1 L ( J 1 L '

�£ �43 ¢ � � �_� � � a 1 ������� J ' $�L F]3 7��G � ��3P�&� - �

Y S�� ��� �( 7X! �

� % F � 3 7� G � � � a �S - � ��3P�&� N � 7 �#7 ! (��& ( $ ( � ��� �3 �43 ¢ � � � � � � � � D�� F � � 7��G � � £ � C H � -;�&-21� SEa � ��3P�&�3 ��3 ¢ � SEa � S -21�� ��� 7$&% � � ( $ ! ��

� ��� J $� L�F 7� 3 � G � - � � � -;�&-21� � �43��&� ¤<;

Page 97: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ,<�� �3. � �

� 1 N 1 � m ! �& (*' � � ����� � � &4�   �(��]! ' & �

J ( & L ' & � ��� ������� J ' $ L F�3 � � G � ��3��&� - � N � 7 �#7 ! (����� � ( $ � ¤4. � � D 1 N 1 J '65_7 ! �m L H

  � 1A-�� � ��� 1A-��� �43��&� � �fg3 ¢!� �&��� ��� � 17$ � � -�� a 1�&- � �43��&� � � - � -21� -21 �0�&�

3 �0fg3 ¢ � � � ��� ��� �( ��! "$9% � m 5 $ (:7X! � � ��&- � ��3P�&� N J m 5 $ (:7�� m 5 $ (:7m 5 $ � m 5 $ ! ( � L= m �� � � � 7�� � ���9B�B B�@CB5. � � D 1 N 1 J m ! �� m 5 � L H ��� � � + �&- � a 1 . �   D £ � � � � ¢ �<3�� F ')( � 5_7� G 3 � � H

Y 1 N 1 � �E- � a 1'65_7 ! � � � ��3 ¢ � � a 1 � � � -;� ��F 7�( � (*'� G �

� 1�- � - �7�( ' ! � �� �( 7X! ' ��' % ! � � "�'� J �E- � a 1 L �&-21�� ��� � J $ 5 1;- �E- � L� $&% ! � ��')( $ ! �43��&� � 1 N 1 � $ 5 1�- � - �$ 5_7 ! � � �� ¤

6. � � D 1 N 1 J m ! ( �� m 5 � L H ��� � � + �&- � a 1 . �  7� D £ � � � � ¢ ��3�� F ')( � 5_7� G 3 � � H

Y 1 N 1 � �E- � a 1 ! (��'g5 7 � � ' % � "�'� J �E- � a 1 L

Y ��� � 1 & �� � ������

� ��� � �� � 3 ��¡����_� 3 ��

�� � ��� £ f�� �O� �&-21�� ��� � J $ 5 1;- �E- � L� $&% ! � ��')( $ ! � �Y 1 N 1 � $ 5 1;- � - �$ 5_7 ! (�� � �� ¤

1.27. The Tricomi Confluent Hypergeometric FunctionΨ(a; b; z)

1.27.1. Derivatives with respect to the argument

1. ���ED � J m !�� �� L H   ��3 � � � �fI� � � J m 5n' !�� �� 5n' L = = ��@ � �VB ��B 7 7R@MB2. ��� D � � a �&-21 � J m !�� �� L H   �fI� � �0fg3�� � ¢ � � � � -21 � J m 5n' !�� �� L = = ��@ � �VB ��B 7 � @MB

<9:

Page 98: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� � ����� ������� ����� � � ������ � � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ��� � � � ��! ��3. ���EDM� � -21 � J m !�� �� L H   �43 ¢ � � �0fg3�� � ¢ � � � � -;�&-21 � J m !�� �� (*' L = = ��@ � �VB ��B 7X��@MB4. ���ED �#- � � J m !�� �� L H   �43 � � � �V-�� � J m !�� �� 5n' L = = ��@ � �VB ��B 7 � @MB5. ���EDM� � -�� a �&-21 � -�� � J m !�� �� L H   ��3 ¢ � � � � -�� -21 � - � � J m (*' !�� �� L = = � @�� ��B �VB 7 �X@CB6. ��� � � �&-21 � ^ m ! �� `   � � �fI� � � -;�&-21 � ^ m 5:' ! �� 5:' ` ¤7. � � � � -�� � ^ m ! �� `   ��3 ¢ � � �fI� � �0fg3�� � ¢ � � � -�� -;� � ^ m 5n' ! �� ` ¤8. ��� � � �&- � � ^ m ! �� `   �0fg3�� � ¢ � � � - � � ^ m ! �� (*' ` ¤9. ��� � � �&-21 � -C��� � ^ m ! �� `  �� � � -C��� � -I�&-21 � ^ m ! �� 5n' ` ¤10. ��� � � � - � � -��� � ^ m ! �� `   � � - � -;� � -��� � ^ m (*' ! �� ` ¤1.27.2. Derivatives with respect to parameters

1. � � D � J m ! �� 5n' L H ��� � � �  3h� � � �O��� � �#� � J � ! �� 5n' L � �&-21������ J ' (87$ L ���O� � � - � - � � ��� � � �

3 7� � � ! �&-21�� ���KJ ')(:7$ L � ��3 ¢ � � � ��% � � � !

� 5 $ 1 N 1 J � 5 $ ! �� 5 $ 5_7 L� � � � 5 $ !��� &�" D �

� 5 $ (:7 N J 7 �#7 ! �� ��� ( � ( $<L � � � � � � �<3 � � H � = '*>?7R@CB2. � � D � J m ! �� 5_7 L H ��� � � �   3�� - � � ���O��3 ��� ¢ 3��O� ��3P�&� - � � � � � 3P�&�� � � " �7 ( � N J 7��#7 ! �� ( � ��� L ¤3. � � D � J m ! �' L H ��� � � S   36� � � � � � � �#� � J � ! �' L

� � " (� � (:7X! % �&- S -21�� ��� J ')( � (87$ L � � � � 3 ¢ � � � - � � � � � � �3 �( ��! " (� � (:7�! % �&- S -21�� ��� J ')( � (:7$ L�� � � � 3 ¢ � � �43��&� - �

<<

Page 99: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ,<�� ,Y �K� a2S -21�

� � 17� � - �� -21 �0�&� � - � - SEa �� a2S - � -21 ��3P�&��3 � � � ����� ��&�<3 � ��� �0�&�� � - � - S� a2S -21 �43��&�

= ' � � >?7R@CB4. � �

��

� m ! �'65 1 �� ����� � � - S

  �( 7�! (� ' F�3 7� G � ������� J ' $ L 7J & ( ' L "

Y �� � � � � � � � � - � -21� � a2S ��&�Y �£ � N � 7��#7 ! �& �]� � 3 � � �� � / ���<3�� F 7� 3 � G 3�� F � 3 � 3 7��G � £ �

3 � � � � � � � a2S�� � 1

7� � � - � -21� � a2S - � ��&�

Y �� / ��� � � � 1� - �� -21 �43��&�<3 � �J 1 L � 1 N 1 � � ! ��P5 1 �

��

� �43 ¢ � � F 7� G � F 7� G S � a2S�� ��� J $ 5 �� L �(��]! �

J 1 ( $ L � � F � 3 � � 7� G�� �� ¤5. � � D � J m ! �� L H ��� ��� � a � a 1   �43 ¢ � � ��� � -�� -;�

Y ��� ���� ��3 ¢ � � � � � � � ¢ � � � �0fI��� C 3 � �#�

3 � "'& ��C7 ( m ! "'& � � $ 5_7X! N J $ 5_7 � $ 5 7 ! �$ ( m 5:� � $ 5n� L3 ���43�fI� � � � � � � 3 ¢ � � �9l � � � � - � -21� �43��&�

� �( 7X! "$&% ��� ��� J $� L��43�fI� � - � ��3P�&� -�� � �0f�� � � ¢!� 3��&� � ¤

6. � � D � J � 5 7 ! �� L H ��� ��� � a &4�   � � (��� � ! % D C � £ � £ � � F � � 7� GIH ������� J ' $ L�� �� � � � ��3P�&� - �Y � / � � -21� � ��� - � -21� � a2S ��3P�&� � �� � ��/ ���<3 � a2S�� � 1

7� � � - � -21� � a2S - � ��3P�&� � 1� - �� -21 �0�&� �

<9L

Page 100: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� ���� ������� � ��� � � � ���� � � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ���Ψ(a; b; z)

� � � ( � ���� � ! % � -21� � � ��� ��� J ' $ L � � � � � � ��3P�&� - �Y � � � �� �� � � a2S�

� ��� �( ��! �� % ������5_7�! � � � - �� a2S - � �43��&� N

�� ��5 1 � �P5 1 ! ( ��P5 & � �P5 & #$

3 �C � � � �V�&�� � - � -21� � a2S �43��&� � � a2S�� � 1

�( 7X! �� � � - � -21� � a2S - � �43��&� ¤

7. � � D � J � 5 7� ! � L H ��� �0� &4� -;�  

� � ( J 1 L ( J ( 1 L '��� � ! % J � 5 1 L '������� J ' $ L � $ 5 � ! %

J & (*' L�"Y D £ � � F � � � � 7��G 3�� F � 3 � 3 7��G9H � a2S�

� ��� J �$ 5 � ( � LY � / � � -21� � � � - � -21� � �43��&� � �� � � / ���<3 ��

� � 17

� � � - � -21� � - � �43��&� � 1� - �

� -21 �0�&� �� � � ( � % J ( 1 L '��� � ! % J � 5 1 L ' � �

������� J ' $ L 7J & (*' L�"

� a2S�� ��� J $ 5 �� L 7� � ( $ ! %

Y ��#� � ��

� ��� J � � L �( 7X! �����5_7X! � N

���5 1 � �

5 1 ! ( ��5 & � �

5 & #$

3 ��� / � � -21� ]�C � � � �V�&�� � - � -21� � �43��&�� �43 ¢ � � ��� / � � -21� � -21�

� ��� �( 7�! �

�Q(� � - � -21� � ��3P�&� ¤

8. � � D � J m ! �� m 5n' L H ��� � � S   3?� � �$� � � � �0� � J � ! �� � 5:' L� � " (� � (87�! % SEa �&-21�� ��� J � 5n')(:7$ L � � � � 3 ¢ � � � - � � � � � � �

3 �(��]! " (� � (:7X! % SEa �&-21�� ��� J � 5n')(:7$ L � � � � 3 ¢ � � ��3P�&� - �Y �

� � � ����� ��&�<3 � ��� ��&�0� � - � - S� a2S -21 �43��&�<3 � a2S -21�� � 1

7� � - �� -21 �0�&� � � - � - S� a2S - � -21 �43��&�

= � >?7R@CB<9P

Page 101: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ,9L1� �9. � � D � J m ! �� m 5 � L H ��� � � � a + 1A- �0. �   3 � � �

� 'g5 1�- � ! ��O'65_7 �� £ �&-21 ��� � -;� ��� �&-21�� ��� � " � "$&% ��' ( $ ! � & � & �� � ������

��� �� ��� 3 � � ���� ��£)� 3 �<� 3 �

��¤

1.28. The Whittaker Functions Mµ,ν(z) and Wµ,ν(z)

1.28.1. Derivatives with respect to the argument

1. ����� � �&- � -21 � � � �A� �� � l � �0fI�&��  ��� ¢ � � F 7� 3�� � G � � - � -21 � � � �A� �� � �2�9l � �0fI�&� ¤2. ����� ��� -21� � � � �A� �� � l � �0fI�&��  �43 ¢ � � ��3 £ �� � f ��� ��� - + � a 1 . � � � � �A� �� � �2��� l � -;��� �0fI�&� ¤3. ����� � - � -21� � � � �A� �� � l � �0fI�&��

  ��� ¢ � � J � (��g5 1 L '��� � 5_7�! ' f ��� � - � - + � a 1 . � � � � �A� �� � �2��� l � a ��� �fI�&� ¤4. ����� � � � -21� � � � �A� �� � l � �0fI�&��  ��3 ¢ � � F 7� 3��:3 G � f ��� � � � - + � a 1 . � � � � �A� �� � -;��� l � �2� �fI�&� ¤5. � � � � � � -21� � � �A� � � l � �0fI�&��  ��3 ¢ � � F 7� 3�� � G � f ��� � � � - + � a 1 . � � � �A� � � -;��� l � �2��� �fI�&� ¤6. ����� � �&- � -21 � � �A� �� � l � �0fI�&��  F 7� 3��:3 G � F

7� 3�� � G � � - � -21 � � �A� �� � -;�9l � �0fI�&� ¤7. ����� � � � -21� � -�� �A� �� � l � �0fI�&��  ��3 ¢ � � f ��� � � � - + � a 1 . � �#-�� �A� � � a ��� l � �2��� �0fI�&� ¤1.29. The Gauss Hypergeometric Function

2F1(a, b; c; z)

1.29.1. Derivatives with respect to the argument

1. ���ED N 1 J m � ���! � L H   � m ! ' � � ! '��! ' N 1 J m 5n' � � 5:'

�5n' ! � L = = ��@ ���#B � B � � @MB

2. ���EDM� � a �&-21 N 1 J m � ���! � L H   �fI� � � � -21 N 1 J m 5n' � ���! � L = = ��@ ���#B � B � 7R@MB

LN

Page 102: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� ���� �� � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ��� � ��� � ��� �!��$ ��3. ��� D � -21 N 1 J m � ���! � L H   �43 ¢ � � � ¢ 3 � � � � -;�&-21 N 1 J m � �

�(*' ! � L = = ��@ ���#B � B � �X@B

4. ���ED0� ¢ 3h�&� � a �&-21 N 1 J m � ���! � L H  ��3 ¢ � � � m ! ' � � ( � ! '�

�! ' � ¢ 3h�&� � -21 N 1 J m 5n' � �

�5n' ! � L = = � @����#B � B � ��@CB

5. ���ED0� ¢ 3h�&� � a � - N 1 J m � ���! � L H  �

�( m ! ' � � ( � ! '�

�! ' � ¢ 3h�&� � a � - -;� N 1 J m � �

�5n' ! � L = = � @����VB � B � � @CB

6. ���EDM� -21 � ¢ 3h�&� � - a � N 1 J m � ���! � L H  ��3 ¢ � � � ¢ 3 � � � � -;�&-21 � ¢ 3h�&� � - N 1 J m (*' � �

�(*' ! � L = = � @����VB � B � ��@CB

7. ���EDM� -21 � ¢ 3h�&� � a � - N 1 J m � ���! � L H  �43 ¢ � � � ¢ 3 � � � � -;�&-21 � ¢ 3h�&� � a � -A-;� N 1 J m (*' � � (*'

�(*' ! � L = = ��@ � �VB � B � � @CB

8. ���EDM� -�� a �&-21 � ¢ 3h�&� � a � - N 1 J m � ���! � L H  � � 3hfI� � � A-�� -21 � ¢ 3h�&� � a � - -;� N 1 J m (*' � �

��! � L = = � @����VB � B � � @CB9. ��� � � �&-21 N 1 � m � �

��! 1� ��   �43 ¢ � � � m ! ' � � ! '�

�! ' � -;�&-21 N 1 � m 5n' � � 5:'

�5n' ! 1� � ¤

10. ��� � � -�� N 1 � m � ���! 1� �

�   �43 ¢ � � �fI� � � -�� -;� N 1 � m 5n' � ���! 1� � ¤

11. � � � � �&- N 1 � m � ���! 1� �

�   � ¢ 3 � � � � - N 1 � m � ��(*' ! 1� � ¤

12. ��� � � -�� ��Q3 ¢ � � a �&-21 N 1 � m � ���! 1� �

�  � m ! ' � � ( � ! '�

�! ' � - � -;� ��Q3 ¢ � � -21 N 1 � m 5n' � �

�5:' ! 1� � ¤

L1�

Page 103: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ,9P1� �13. ��� � � A-�� - � a �&-21 ��Q3 ¢ � � a � - N 1 � m � �

��! 1�� �

  �43 ¢ � � ��( m ! ' � � ( � ! '�

�! ' � A-�� - � -21 �0�Q3 ¢ � � a � -A-;� N 1 � m � �

�5n' ! 1� � ¤

14. ��� � � - � ��63 ¢ � � - a � N 1 � m � ���! 1

�� �  � ¢ 3 � � � � - � �0�Q3 ¢ � � - N 1 � m (*' � �

�(*' ! 1� � ¤

15. ��� � � �&-�� - � ��63 ¢ � � a � - N 1 � m � ���! 1� �

�  � ¢ 3 � � � � �&-�� - � �0�Q3 ¢ � � a � -A-;� N 1 � m (*' � � (*'

�(*' ! 1� � ¤

16. ��� � � - � ��63 ¢ � � a � - N 1 � m � ���! 1� �

�  �43 ¢ � � � � 3hfI� � � - � �0�Q3 ¢ � � a � -A-;� N 1 � m (*' � �

��! 1� � ¤17. � � a � � N 1 � (�'65 1 � �

��! � � � �  �43��#� � F 7��G � F�� � 7��G �

� � ! ' & 7��! ' & 7 � � N 1 � '65g5 1 � � 5n'65

�5n'65 ! � � �= � � �� 7 ! = �� @��&� � � � � �O!C@CB

18. � � a � � � N 1 � (�')( g5 & � ���! � � � �

  �43��V� � F � � G � F��83 7� G �� � ! '%& 7��! '%& 7 � 1A- � N 1 � '65 & � � 5:'

�5n' ! � � �= � � �� 7 ! = �� @��&� � � � � 7X!C@CB

19. � � a � � � A-21 N 1 � � (*')( g5 1 � ���! � � � �   �43 ¢ � � � ¢ 3 £ � � � a �Y � A- �&- �V-21 N 1 � � 5 1 � �

�(*' ! � � � = � �� ���7 ! = �� @ ��� ��� � � � !C@CB

L�,

Page 104: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� ���� �� � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ��� � ��� � ��� �!��$ ��20. � � a � � �� A- N 1 � � (*')( 1 � �

��! � � � �  ��3 ¢ � � � £ 3 £ � � � a � �� A- �&- �V- N 1 � �

( 1 � ��(*')( ! � � �= � � �� 7 ! = �� @��&� � � � � �O!C@CB

21. � � a � � � ¢ 3h�� � � a �&-21� N 1 � � 5n')( 1 � ���! � � � �   �43��#� � F 7��G � F � � 7��G �Y �

�( � ! ' & 7��! '%& 7 � � � ¢ 3h� � � -;�&- ��-21� N 1 � �

( 1 � ��5n'65 ! � � �= � � �� 7 ! = �� @��&� � � � �O� !C@CB

22. � � a � � �;� ¢ 3h� � � a � a �V-!&4� N 1 � � 5:'g5 ( & � ���! � � � �

  �43��#� � F � ��G � F �83 7��G ���( � ! '��! ' � 1A- � � ¢ 3h�� � � -;�&-!&4� N 1 � � ( & � �

�5n' ! � � �= � � �� 7 ! = �� @��&� � � � � �O!C@CB

23. � � a � � �� A-21 � ¢ 3h�� � � - a � a ��-21� N 1 � '65 ( 1 � ���! � � � �

  ��3 ¢ � � � ¢ 3 £ � � � a � �� - �&- ��-21 � ¢ 3h�� � � - -;�&-21� N 1 � (�')( 1 � � (*'�( ' ! � � �= � � �� 7 ! = �� @��&� � � � � �O!C@CB

24. � � a � � �� A- �� ¢ 3h�� � � - a � a 1� N 1 � 'g5 1 � ���! � � � �   ��3 ¢ � � � £ 3 £ � � � a �Y � - �&- ��- � ¢ 3h� � � -A-;�&- � a 1� N 1 � ( ' ( g5 1 � � (*')(

�(*')( ! � � �= � � �� 7 ! = �� @��&� � � � ��7X!C@CB

25. � � a � � N 1 � m � �1 ! � � ��

 �£ � a � �0fI� � a � ���O� � a � � � N 1 � m 5n'65 � � 5n'651 5 ! � � �= � � �� 7 ! = �� @��&� � � � � � !C@CBL3

Page 105: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ,9P1� �26. � � a � � � N 1 � m � �& ! � � �

�  �£ � �fI� � � �O� � � 1A- � N 1 � m 5n' � � 5n'& ( ! � � �= � � �� 7 ! = �� @��&� � 7 � � � !C@CB

27. � � a � � � ¢ 3h�� � � a � -21� N 1 � m � �1 ! � � ��  �£ � a � F 7� 3hf G � a �Y F 7� 3�� G � a � � � � ¢ 3h� � � a � - �&- �V-21� N 1 � m (*' � � (*'1 5 ! � � �

= � � �� 7 ! = �� @��&��� � � ��� !C@CB28. � � a � � � � ¢ 3h�� � � a � -21� N 1 � m � �& ! � � �

�  �£ � F � � 3hf G � F � � 3�� G �Y � 1A- � � ¢ 3h��O� � a � - �&- �V-!&4� N 1 � m (*')( � � (*')( & ( ! � � �= � � �� 7 ! = �� @��&��� � � � �O!C@CB

29. � � a � � � ¢ 3h� � � a � a ��-21 N 1�� m � m 5 ( 11 ! � �

#$ �  ��3��#� � �fI� � a � � ¢ 3hfT3 �,� � a � � � � ¢ 3h��O� � -;�&-21 N 1

�� m 5 � m 5 ( 1g5 1 ! � �#$

= � � �� 7 ! = �� @��&��� � �����O!C@CB30. � � a � � �;� ¢ 3h�� � � a �&-21 N 1

�� m � m ( g5 1& ! � �#$ �   ��3��#� � �0fI� � � ¢ 3hf-���,� �

Y � 1A- � � ¢ 3h� � � -;�&- �V-21 N 1�� m ( � m ( g5 1& ( ! � �

#$ = � � �� 7 ! = �� @������ � � � � !C@CB31. � � a � � � ¢ 3h� � � a � N 1 � 7 � m1 ! � � �

�  �43��V� � a � � � ����� � F 7� 3 f G � a � � � N 1

� '6565_7 � mg5 1 ! � � �= � � �� 7 ! = �� @��&��� � � � �O!C@CB

L95

Page 106: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� ���� �� � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ��� � ��� � ��� �!��$ ��1.29.2. Derivatives with respect to parameters

1. � � D N 1 J '65_7 � m ! �m 5 � L H  �O�;� ¢ 3h�&� � -;�&-21 ��� ��� � � 5 7�! "$9% � m 5 � 5 $ ! � � � � ¢ 3h�&� � j + � a 1Rl � a � -;�&-21 .�&- � � ¢ 3 £ �&�

Y & N J m 5 � 5 $ � m 5 � 5 $ � � 5 $ 5_7 ! �m 5 � 5 $ 5_7�� m 5 � 5 $ 5 7 L ¤2. � � D N 1 J '65_7�� m

� ! � L H   3PfI�;� ¢ 3h�&� -�� -21 ������� � m 5_7X! "$&% � � 5 $ ! � �43��&� � � ¢ 3h�&� - �Y j + � a 1Rl � a � -;�&-21 .�&- � F 7<5 �7 (8� G & N ^ m 5 $ 5_7�� � 5 $ � � 5 $ ! ��,-Q1� 5 $ 5 7 � � 5 $ 5_7 ` ¤

3. � � � N 1 � 1 �V7� ! � � � ����� �0� 1�   7�#�M�E(:7X! � � ¢ � £ / � � � � ¢ � / ��� � � ¢ 3 £ / ��� � � ¢ 3 / ���<3 � � ¢ 3h�&�� ¤4. � � D N 1 J m � �

� 5_7 ! � L H  �O� - � � ¢ 3h�&� 1A-�� � � ¢ 3h�&� � -21�� � ¢ 3hf � �O�X� � ��� 3hf-� ¢ �<3�� � ¢ 3hfI��� 77 ( m � � ¢ 3h�&� N 1 J 7�( m �V7 ( �� ( m ! 7�(8� L 3 7�C7 ( m ! � & N J 7�( m �V7 ( m �V7 ( �� ( m ��� ( m ! 7 (8� L ¤

5. � � D N 1 J m � m 5 � ! ( �� m 5� L H ��� � � + �&- a 1 . �   DC3 � ��� £ � � � � ¢ �<3�� F ')(

�5_7� G 3�� F�� � ')(

�5_7� GIHY N 1 � �E- a 1 � � 5 �E- a 1'65_7 ! (�� �

� 7� J �E- a 1 L � J � 5 �E- a 1 L

� ��3 ¢ � � � ']" ��' % �C7,5 ��! 3 � "�'#" � 8 � " �� ��')( � 5_7�!

Y � 3 ��� � F � 5n'� � G �����O� ��F 7,5n')(�� G ��F 7 (*')(

�� G � ¢ � �&� �Y N 1

�� 1�- �E- � 1 a �E- 7 ( � ! 11 a �

#$

� � � � F � � ( � (*'� � G ���43��O� � F � � 7 (*')(�� G � F �'� ')(

�5_7� G

L�;

Page 107: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� 3N1� �Y N 1

�� � a a 1 � � 5 �E- a 1� 5_7 ! 11 a �

#$ � � � � � �4 � -;�Y �&-21�� ��� � " � J $ 5 1�- �E- L � J $ 5 � 5 1;- �E- L� $&% ! � ��')( $ !

Y N 1 � $ 5 1;- �E- � $ 5 � 5 1;- �E- $ 5_7 ! ( � � ¤1.30. The Generalized Hypergeometric Function

pFq((ap); (bq); z)

1.30.1. Derivatives with respect to the argument

1. ��� � � N�� ^ � m � ! ! �� � � ! `   � � m � ! '� � � � ! ' � N�� ^ � m � !95n' ! �� � � !95n' ` ¤

2. ��� � � � � N�� ^ � m � ! ! �(� � � ! `

  ��3 ¢ � � ��3���� � � � -;� � a2S N � a2S ^ � m � ! ���g� � ��5_7�! ! � (� � � ! ���g� � �

�(*'65_7�! `= �

�� ')(:7 ��')(*����' ( � �&B B B0@B3. ��� � � � � N�� ^ � m � ! ! �� � � ! `

  ' %��' (�! % � � m � ! '#"

� � � � ! ']"�

� a 1 N � a 1 ^ � m � !95n')(���'65_7 ! �� � � !95n')(

�� ' (

�5_7 `

� - � -21������ � $ (*'65�5_7X! '$9% � � m � ! "

� � � � ! " � � -;� a � = � � ')(:7���' ( � ��')( � �9B�B B�@CB4. � � � � N�� ^ � m � ! ! � �� � � ! `  �£ � F 7��G �

� � m � ! '� � � � ! ' � a 1 N�� a 1

�� � m � !95n' ��'65 1� � � !95n' � 1 ! � �#$¤

5. � � a 1 � � N�� ^ � m � ! ! � �� � � ! `  �£ � a 1 � F � ��G �

� � m � ! ' & �� � � � ! ' & � � a 1 N�� a 1

�� � m � !95:'g5 7 ��'65 & � � � !95:'g5 7 � & ! � �#$¤

L:

Page 108: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ����� � ��1.30.2. Derivatives with respect to parameters

1. ��� � � � a 1 N � ^ m ��� m � !� � � ! ! � ` ���� � ���   ��3 ¢ � � � ����� � � ��� �( ��! "$&% � � m � ! "

� � � � ! " ¤2. � �

�� a N�� a 1 ^ (�' � m ��� m � !� ��� � � ! ! � `

  � � � � 3hfI��3�� � � 3hf�� � �� � a N � ^ ( ' � m ��� m � !� �&� � � ! ! � `3 ' %� m ( � 5 7�! ' �&-21�� ��� �( 7X! " ��� $ (*'65 � ( m !A� � ( m (*'�! "$9% ��')( $ !A� $ ( m 5 � !Y �&- ��� ��� J ')( $

� L&��3P�&� � � � m � !� � � � ! � a N�� a 1 ^ ( $ � m 5:' ( $ ��� m � !95 �� ��� � � !95 � ! � ` ¤

3. � � � � a 1 N � a 1 ^ ( ' �&� m � ! ! �� ��� � � ! `   � � ���O��3�� � � � � �0� � a 1 N � a 1 ^ ( ' �&� m � !� �&� � � ! ! � `� ' %� � ! ' �&-21������ � � ! "$9% ��')( $ ! � a 1 N�� a 1 ^ ( $ �&� m � !� ��� � � ! ! � ` ¤

4. � ��� a N � ^ � m � ! � m � � ( m� � � ! ! � ` ���� � � � a � �   D � F �� 3 � G 3�� F �� � � G9H � a N�� � � m � ! � � (*' � � 5:'� � � ! ! � �

� £ �&-21 ��� � J � a 1 L� J � 5n' L �&-21�� ��� � " � " � J � 5n� $ (*' L$&% ��')( $ ! � J � a 1 5 $ (*' L

Y � a & N�� a 1 �� � m � ! � � a 1 � � (*' � � 5:� $ ( '� � � ! � � a 1 5 $ (*' ! �#$¤

5. � ��� a N�� a 1 ^ (�' � m ��� m � !m 5 � ��� � � ! ! � `   � � �0f�� � �<3�� �0fI��� � �f�� �O�<3�� �f�� � � � �0�Y � a N � a 1 ^ (�' � m ��� m � !m 5 � ��� � � ! ! � `� ' % � � ! '�C7 ( m ! ' � m 5 � ! ' �&-21������ � £!� 3 � � fI� � m ( '2! " � m 5 � ! "$9% ��')( $ !A� m 5 $ ! �C7�( � ( '�! "

Y � a N�� a 1 ^ ( $ � m 5 $ ( ' �&� m � !m 5 � ��� � � ! ! � ` ¤L�<

Page 109: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� 3N1� ,6. � �

� & N � 1 �#7 �#7m ��� ! ��� � ����� � � 1�   7�O� D � � � ¢ 3h�&� � � / � � 7,5 � �7,5 � � 3 � 7<5 � �7<5 � � H ¤7. � �

� & N � m � m � m ! �m 5 1 ��� m �� ����� � � 1�

  3 �� � K

� * 7�( � 7�(8�� �Y �

� K

� * 7<5 � 7 (8�� � � £ � � �� K

� * 7�( � 7 (8�� � � ¤8. � �

� & N ^ m � m � m ! (��m 5_7 � ��� m ` ���� � � 1�   3 �� � K F � �� � 5_7�5 7 G

Y � � � �� � � 5_7�5 7 � �� � � � � 5_7�5 � � � �� � K ) 7� � 5_7�5 � � ,

� � � � ��� � 5_7�5_7 K F � �� � 5_7�5_7 G � ¤9. ��� � � N & � m 5 1 � m 5_7 � m ( � 5 �

� m 5 � 5 �� m 5_7��]���K5_7���� m ( ���K5_7 ! � � � ����� � � � 

3 D�� �0f�� � � � � � � ��� 3hfT3 � � ¢ � � £ C � � �� HY� N & � m 5 1 � m 5 7 � m ( � 5 �

� m 5 � 5 �� m 5 7 ��� m 5_7 �#7 ! � � � £ � / � � ��� m 5_7X! � � � ( m (�5_7X!

� � m 5 � 5 �!

Y � &� � �� � �������� 3hf � 3�f �\¢ 3hfg3��K3 �)��¢ 3hf-� � 3 �)� 3 ��

¡\�)¡\� 3 �� � 3 £ f � 3 £ f��¤

10. � ��� N & � m � m 5 1 � m 5 � ( � � m 5 � 5 �� m ��� ��� m (��K5_7 ! � � � ����� � � � �   3 D � �� � � F � � � � � �,G � � F � 3�� 3 � � � ¢ G � £ CH

Y� N & � � � � a 1 � � ( � 5 � � � 5 �

5 � 7���� ��� ! � � � £ � -21 / � � ���#! � J � ( � ( � 5_7 L� J � 5 � 5 � LY � &� � �� � ������

��� � � � � � � � � � � � �\¢ 3 � � 3 �� � � 3�� 3

� � ¢¡\�!¡�� 3 �� ��¢ 3� ��¢ 3�

��¤

11. � � D 1 N J m ! �7��V7 L H ��� � � 1   � � � £ / ��� � F 7� � �$� C G � � £ / ��� ¤LL

Page 110: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ����� � ��12. � � D 1 N J m ! ( �7��#7 L H ��� � � 1   3 � � � � � £ / ��� � F C � 7� � � G � � � £ / ��� ¤13. � �

� 1 N � m ! �& � & �� ����� � � &4�   7� � � � � � ��� � £ / ���X� £ C � � � ¢ � �&��3 £ � ��� � � / � ��3 ���� £ � � ��� � £ / ��� ����� � ��/ ��� � ¤

14. � � D 1 N J '65_7 ! �m ��� ( m L H ��� � � 1�   3 £ � J 1 L '�]��' % !#�Y ��� ��� J ' $ L � "

J 1 L)"��� �I+ 1A- ��. � L� � £ / ��� � � -21�

� ���� J �P5 1 L

� J $ ( �P5 1 L ��3��&� - � ��3 ������� J ' $ L �( 7�!

"$&% ��� ��� �43 ¢ � � J $� L F]3 7� G � - � � � � Y ��

� L� a 1 � £ / ��� � � � � � -21�� ���

� J �5 1 L� J �Q(

�5 & L ��3P�&� - �

��¤

15. � � D 1 N J '65_7 ! (��m ��� ( m L H ��� � � 1�   3 £ � J 1 L '����' % !V�Y ��� ��� J ' $�L �(��]! "J 1 L)"

�����I+ 1A- � . � H � � £ / ���<3 � -21�

� ���� J �

5 1 L� J $ (

�5 & L F 7� G �

��

� ������� �( 7�! "$9% J ' $ L��

� ��� J $� L]� � � F 3 7� G � - �Y ��� H� a 1 � £ / ���<3h� � � � -21�

� ���� J �

5 1 L� J �Q(�5 & L F 7� G �

��¤

16. � �� 1 N � 7 ! �m � m 5 1 �

� ����� � � &4�   3 7� � � � £ � � ��� � £ / ��� ����� � £ / ���� � � ��� � £ / ����� 3 � £ C � £ � � £ / ���<3 £ � ��� � £ / ���� � ¤17. � � D 1 N J m ! (��m 5 � �]� m 5

� L H ��� � � + �&- a 1 . �   D £ � � � � ¢ �<3 � �63�� F ')(�5_7� G � � F�� � ')(

�5_7� G9H

Y 1 N �� ��- a 1 ! (��� 5 �E- a 1 ��'65_7 #$

LP

Page 111: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� 3N1� ,� ��� � J � 5 �E- a 1 L

� J �E- a 1 L��� � 1 �

�� � ������� � � � �� � 3 � 3 ��

¡�� 3 �<� 3 � 3 �� �� � � � �� 3��

��

� � � �&-21�� ��� � "�"�'� $&% ! � ��')( $ ! � J $ 5 1;- �E- L� J $ 5 � 5 1;- �E- L 1 N

�� $ 5 1;- �E- ! ( �$ 5_7�� $ 5 � 5 1;- �E- #$ � ¤

18. � � D 1 N J m ! �m 5 � ��� m 5 � L H ��� � � + �&- a 1 . �   7� D £ � � � � ¢ �<3 � �Q3�� F ')(�5_7� G � � F � � ')(

�5_7� GIH

Y 1 N �� �E- a 1 ! �� 5 �E- a 1 ��'65_7 #$ � ��3 ¢ � � � � � -;��� � J � 5 �E- a 1 L� � J ��- a 1 L

Y �� � 11 & �� � ������� � ��3 �

� ��� �

� � � � � ��

��

3 � � �&-21�� ��� �43 ¢ � � � "�"�' �� $9% ! � ��')( $ ! � J $ 5 1;- �E- L� J $ 5 � 5 1�- �E- LY 1 N

�� $ 5 1;- �E- ! �$ 5_7�� $ 5 � 5 1;- �E- #$���¤

19. � � � � N �0f �!£ f�� ��� �&���� � � + 1A- ��. �   D�� F � 5_7� G 3 � �Q3 £ C H � N � �7�� 1�- � � � �

� J � a 1 L � J � a & LY �� � �I+ � a 1 . � � � � �� � F 3 � 5_7� G � N � �

� a & � � a & �� ��F � 5 �� G � & �1 � �� � ������

3 ��¡\�)¡\� � � �� � 3 ��

�� � �� ¤20. � � D N J m � m ! �7 � m 5_7 L H ��� � � 1  7� � � � 3 ¢ � � £ � � � �;� C � � �&��3 £ � � �0�&��3 � � � � �43��&�� = �� � @CB21. � � D N J m � m ! ( �7 � m 5_7 L H ��� � � 1  7� � ¢ 3 �#-�� 3 � £ � �V- � �;� C � � �&� � £ � � �43��&� � �#-�� � � ��&�0� = �� � @CB

PN

Page 112: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ����� � ��22. � �

� N �� m � m 5 1 ! �� � � 5 1

#$ � ����� � � � �£ � � � � 7� � N J 7 �#7 ! (����� � 5_7 L � 7� � 5_7 N � 7��#7 ! ( ���� � 5 & � � ¤

23. � �� N � m � m 5 � ! �m 5 � a 1 ��� m 5 �

� � ����� � � + �&- a 1 . �   DC3 � �Q3�� F ')(�5_7� G 3�� F ')(

�5_7� � � G

� � F '65 � (�� � ¢ G � £ � � � � ¢ � H N

�� �E- a 1 � �E- a 1 5 � ! �� a � - 5_7 ��'65_7 #$

3 ��3 ¢ � � ' % � J � a � - 5_7 L � " ' �� J ��- a 1 L � J ��- a 1 5 � L

�� � & �� � ������� � �� � � � �� 3��3 �

� ��� �

� � ��

��

3 � � � -;��� �&-21�� ��� �( ��! " � J $ 5 1;- ;- � L � J $ 5 � 5 1;- ;- � L� $&% ! � ��')( $ ! � J $ 5_7,5 � - ;- � LY N

�� $ 5 1�- I- � � $ 5 � 5 1;- ;- � ! �$ 5 7 � $ 5_7<5 � - ��- #$ �

�¤

24. � �� N � m � m 5 � ! (��m 5 � a 1 ��� m 5 �

� � ����� � � + �&- a 1 . �   D 3 � �Q3�� F ')(�5_7� G 3�� F ')(

�5_7� � � G

� � F '65 � ( �� � ¢ G � £ � � � � ¢ � H Y N �� �E- a 1 � �E- a 1 5 � ! (��� a � - 5_7���'65_7 #$

� ' % � J � a � - 5_7 L � "�' �� J �E- a 1 L � J �E- a 1 5 � L

��� � &�� �� � ������

� � �� � � � �� 3�� � 3 � � ��3 �� �

�� � 3 � � �� � � � �

��

� ��� � -;��� �&-21������ � " � J $ 5 1�- I- � L � J $ 5 � 5 1;- ;- � L� $&% ! � ��')( $ ! � J $ 5_7,5 � - ;- � LY N

�� $ 5 1;- ;- � � $ 5 � 5 1�- I- � ! (��$ 5 7 � $ 5_7<5 � - �E- #$ � ¤

P1�

Page 113: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� 3N1� ,25. � � D N J m � m ! �m 5_7���� m 5 � L H ��� � � + �&- � a 1 . �   D �')( � 5_7 3 � �Q3�� F ')( � 5_7� G � £ � � � � ¢ � H

Y N �� �E- � a 1 � �E- � a 1 ! ��E- � a & ��'65_7 #$

3 �43 ¢ � � ' % ��')( � 5 7�!� J �E- � a 1 L � -;��� �� 7� � & �� � ������

� � �� � � � ��3 �� �

�� �

� � ��

��

3 ��� � -;��� �&-21�� ��� �( ��! " � J $ 5 1�- �E- � L� $&% ! � ��')( $ !9��� $ (*')( � 5_7�!Y N

�� $ 5 1;- � - � � $ 5 1;- �E- � ! �$ 5 7 � $ 5 &�- �E- �#$ ��¤

26. � � D N J m � m ! ( �m 5_7���� m 5 � L H ��� � � + �&- � a 1 . �   D �')( � 5_7 3 � �63�� F ')( � 5_7� G � £ � � � � ¢ � HY N

�� �E- � a 1 � �E- � a 1 ! ( ��E- � a & ��'65_7 #$

� ' % ��')( � 5_7X!�� "�' �� J �E- � a 1 L

�� � � � &�� �� � ������� � �� � � � �� � 3 � � ��3 �� �

�� �

� � �� � 3 � � ��

��

� ��� � -;��� �&-21������ � " � J $ 5 1;- � - � L� $&% ! � ��')( $ !&��� $ (*')( � 5_7�!Y N

�� $ 5 1;- � - � � $ 5 1�- � - � ! (��$ 5_7�� $ 5 &�- � - �#$���¤

27. � �� N � m � m 5 1 ! �m 5 7 ��� m 5 � � � ����� � � + �&- � a 1 . �   D �')( � 5_7 3 � �63�� F ' ( �� � ¢ G � £ � � � � ¢ � H

Y N �� �E- � a 1 � �E- � 5 7 ! ��E- � a & ��'65_7 #$

3 �( 7X! ' ' % ��')( � 5_7�!�� "�' �� � J �E- � 5_7 L�� � & �� � ������

�� �

� � ��3 �� �

�� �

� � ��

��P�,

Page 114: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ����� � ��3 £ � � � �9� -;��� �&-21�� ��� �(��]! " � J $ ( � a � 5_7 L� $&% ! � ��')( $ !9��� $ (*')( � 5_7X!

Y N �� $ 5 1;- � - � � $ ( � a � 5_7 ! �$ 5 7 � $ 5 &�- �E- �

#$ ��¤

28. � �� N & � m � m 5 1 ! �m 5 7 � m 5_7���� m 5 � � � ����� � � + �&- � a 1 . �   D �')( � 5_7 3 � �$� � F ' ( � 5 7� G 3�� F ' ( �� � ¢ G � £ � � � � ¢ � H

Y N & �� �E- � a 1 � �E- � 5 7 ! ��E- � a & � �E- � a & ��'65_7 #$3 �43 ¢ � � � � � � 3�� � ¢ � � J ��- � a & L

� J ��- � 5_7 L � -;��� �� 7� � ��� � ������

�� �

� � ��3 �� �

�� �

� � �� � � � ��

��

3 � � �&-21�� ��� �( 7�! " � "�"�' �� $&% ! � ��')( $ !9� � $ ( ' ( � 5 7�! � J $ ( � a � 5 7 L� J $ 5 &<- �E- � L

Y N & �� $ 5 1;- � - � � $ ( � a � 5_7 ! �$ 5_7�� $ 5 &�- �E- � � $ 5 &<- �E- �#$ �

�¤

29. � �� N & � m � m 5 1 ! �m 5 7 � m 5_7���� m 5 � � � ����� � � + �&- � a 1 . �

 �')( � 5_7 3 � �

� � F ' ( � 5 7� G 3�� F ')( �� � ¢ G� £ � � � � ¢ � N & �� �E- � a 1 � �E- � 5_7 ! ��E- � a & � �E- � a & ��'65_7 #$

3 ��3 ¢ � � � � � � 3�� � ¢ � � J ��- � a & L� � J �E- � 5_7 L � -I��� �� 7� � ��� � ������

�� �

� � ��3 �� �

�� �

� � �� � � � ��

��

3��g3 ��� �&-21�� ��� �( 7�! " � "�"�' �� $9% ! � ��' ( $ !9��� $ (*')( � 5_7X! � J $ ( � a � 5_7 L� J $ 5 &�- ��- � L

Y N & �� $ 5 1;- � - � � $ ( � a � 5_7 ! �$ 5_7�� $ 5 &�- �E- � � $ 5 &<- �E- �#$ �

�¤

P3

Page 115: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� �(������� ���� ��� ��� ��� ��� � �� 3N1� ,30. � �

�� N & �� m � m 5 1 ! �m 5 � � m 5 � 5 1 �]� m 5

#$ �� ������ � � + �&- a 1 . �   � 3 � ��� £ � � � � £ � 3 � � ¢ �<3 £ � � � 3 � � ¢ ��� £ � � � � ¢ �0�Y N & �� �E- a 1 � �E- 5_7 ! ��E- a 1 5 � � �E- 5 � 5_7��]'65_7 #$ � �43 ¢ � � ��� � -;��� � � � � (�5n'65_7X!

� ��')(�5_7�!

Y �� 3 £ - � � ��� � ������

� �� � ��3 �

� ��� �

� � � �� � � � � � � ��

��

� ��� �&-21�� ��� �( 7X! " � "�"�' �� $9% ! � ��')( $ ! � ��� $ (*')(�5_7X!

� ��� $ (*'65n� � (�5_7X!

Y N & �� $ 5 1�- I- � � $ ( � a 5_7 ! �$ 5 7 � $ 5 1;- �E- 5 � � $ ( � a 5 � 5_7 #$ � �

�¤

31. � �

�� N & �� m � m 5 1 ! ( �m 5 � � m 5 � 5 1 �]� m 5

#$��� ������ � � + �&- a 1 . �   � 3 � �63 £ � � � 3 � � ¢ � � £ � � � � £ �K3 � � ¢ � � £ � � � � ¢ �0�Y N & �� �E- a 1 � �E- 5_7 ! ( ��E- a 1 5 � � �E- 5 � 5_7���'g5 7 #$ � ��� � -;��� � ��'65n� � ( � 5_7X!� ��')(

�5_7�!

Y ��£ - � � � & � �� � ������

� �� � �� � 3 � � ��3 �

� ��� �

� � � �� � � � � � � �� � 3 � � ��

��

� � � � -;��� �&-21�� ��� � "� $&% ! � ��')( $ ! � ��� $ ( ' (�5 7�!

� ��� $ (*'65n� � ( � 5_7�!Y N & �� $ 5 1;- ;- � � $ ( � a 5_7 ! (��$ 5 7 � $ 5 1;- �E- 5 � � $ ( � a 5 � 5_7 #$��� ¤

P95

Page 116: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Chapter 2

Limits

2.1. Special Functions

2.1.1. The Bessel functions Jν(z), Yν(z), Iν(z) and Kν(z)

1. ������ � a 1� IF �� � G � � � � ��&� � �0�&� �  

7� � � ¤2. ���

��� � a 1� F �� � G � � � � ��9/ �

� �0�9/ � �   7� � � � ��� W ��� ¤3. ���� � � ��3 ¢ � � � D � � � F � O��� ' �� G � � a 1� � � �&�� � � � F � �63 ' �� G � -;�&-21� � � �&� H   * �

� � � � �7� � ¤

4. ���� � � F � ��O'PG � � � � � � � � a 1� �0�&��3 � � � � � � a 1� �0�&��   �� � � � � � � ¤5. ���� � � F � ��O'PG � � � � � � � � a 1� �0�&��3 ��� � � � � a 1� �0�&��   �� � � ��� � � ¤6. ���� � � � � � � a 1� � � �&� � � � a 1� � � �&� �   � � � � �M��!

� � � � (:7 � � � � 7 � B7. ���

���F �� � G � -21� � � � � �0�&�   � " � � ��� � ��� ��� � � �� � ���� B

2.1.2. The Struve functions Hν(z) and Lν(z)

1. �������+ � a 1 . � F �� � G � H� �� / �   7� � � � - � W ��� � �� F � � G ¤

2. �������+ � a 1 . � F �� � G � L� �0� / �   7� � � � �

W ��� � �� F � � G ¤2.1.3. The Kelvin functions berν(z), beiν(z), kerν(z) and keiν(z)

1. ������F �� ��G � � a 1� 2D � � � � � �� � � � ��&� � � � �

� � �� � ��� � ��&� H   7� � � ¤P�;

Page 117: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� �#� ��� �� � ,�� �� 52. ���

���F �� � G � -21� � ��D � � � ��� � (:7X! �� � � � �0�&��� � � �

��� � (87�! �� � ��� � ��&� H  3-" � � � � �

� � ¤2.1.4. The Legendre polynomials Pn(z)

1. ���� � � � 1� O� ��� j � F� 5_7� � � G   7

� � �C7 (8�]! = � � � � 7A@CB2. ���� � � � 1� -;� � £ �&� -;� j � � ¢ � � �&�   7� � �]1��� ¤3. ���� � � � + 1A-;� . � � £ �&� -;� j � �0/ � �&�  

7� � �V- � \]W ��� ¤4. ���� � � �43 ¢ � � � 1� j � F �' G   ���� ��� ��!� � ¤

5. ���� � � �43 ¢ � � � 1� j � a 1 F �' G   ��� � ���O�]!� � ¤

6. ���� � � j � F ¢ � �' � G   � � / £ � � ¤7. ���� � � j � ) * ¢ � � �' � ,   � �0�&� ¤8. ���� � � j � F '� ' � 5 � � G   � � �0�&� ¤9. ���� � � j � ) 'g5n�

� ',��'g5:� ��! ,   � �0�&� ¤2.1.5. The Chebyshev polynomials Tn(z) and Un(z)

1. ���� � � F �Q3 � � 3 ¢ G � � � ��&�   7� = � � �� 7A@CB2. ���� � � � £ � � � -;� � � � ¢ � � �&�   7� � 1��� ¤3. ���� � � �43 ¢ � � � � F �'PG   � � � � £ �&� ¤4. ���� � � �43 ¢ � � � � a 1 F �'PG   � � � � £ �&� ¤5. ���� � � � � F ¢ � �' � G   � � ��� / £ � ¤6. ���� � � � � ) '

� 5 � �' � (8� � ,   � � ��� � £ �&� ¤P:

Page 118: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ����� ���� � ��� � ��� ��� ����7. ���� � � � £ �&� -;� � -;��� � � ��/ � �&�   7� � - � \]W ��� ¤8. ���� � � � � ) * ¢ � � �' � ,   � � ��� � ¤9. ���� � � � � F '� ' � 5 � � G   � � � � ¤10. ���� � � FO�63 � � 3 ¢ G � � � ��&�   F £ 3 £ �� � £ � � � 3 ¢ G -21 = � � �� 7A@CB11. ���� � � � £ � � � -;� � � � ¢ � � �&�   � 1��� ¤12. ���� � � ��3 ¢ � � � � F �' G   � � � � £ �&� ¤13. ���� � � ��3 ¢ � � � � a 1 F �' G   ��� � � £ �&� ¤14. ���� � �

7' � � F ¢ � �' � G   ��� �&� � � �� � � ¤

15. ���� � �7' � � ) ' � 5 � �' � (8� � ,   ��� �&� ��� ��!� � ¤

16. ���� � � � £ �&� -;� � -;��� � � � / � �&�   � - � \]W ��� ¤17. ���� � �

7' � � ) * ¢ � � �' � ,   ��� �&� �� ¤

18. ���� � �7' � � F '� ' � 5 � � G   ��� � �� ¤

2.1.6. The Hermite polynomials Hn(z)

1. ���� � �7��� '2�]! ' � � � � �&�   � - � \]W ��� ¤

2. ���� � � F 3 �� ' G � � � F �� ' G  �£ 1� � � � � £ �&� ¤3. ���� � �

�( � ! '� � '�! '%& �� � � � a 1 F �� ' G  �£ 1� � � � � £ �&� ¤2.1.7. The Laguerre polynomials Lλn(z)

1. ���� � � � - c � c� F�' G   � - c � � c � £ / � � = ��� @B

2. ���c � � d -;��� � c� � d 3 / dK� �   � "�' �' % � � F �� � G = � � @BP�<

Page 119: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� �#� ��� �� � ,�� �� L3. ���� �

�� -;��� � c a �� F � � (8�� (�� G   � "�' �' % � � F ��(��� � G = = � � @ ��� � !C@CB

2.1.8. The Gegenbauer polynomials Cλn(z)

1. � �c � � d -21 � c� �0�&�   �' � � �0�&� ¤2. ���c � � d -;� � c� �0�&�   �(��O�]! '' % ¤

3. ���� � � � 1A- c&� ��� � c� F � 5_7� � � G   �C7 (8��! " /� �(�&! = � � � � 7A@CB

4. ���c � � d -;��� � c� F �� � G   7' % � � �0�&� ¤5. ���� � � ��3 £ �&� -;� � c -;� � c -;�� � � �&�   � £ �&� - c - c F 7� G ¤6. ���� � � �43 £ �&� -;� � c -;� � c� � ¢ � � �&�   � £ �&� - c �]1��� - c F 7� G ¤7. ���� � � �43 ¢ � � � 1A- c � c � F �' G   ���� ��� ��!

� �(�&! ¤

8. ���� � � �43 ¢ � � � 1A- c � c � a 1 F �' G   ��� � ���O�]!� �(�&! ¤

9. ���� � � �43 ¢ � � � 1� d -;� c ��d 3 ¢ � � c -;� � � c -;� a � � F �' G  7� � � F ��Q(:7 G � -21� � � � � £ / dK�&� = � � = � �#7R@ @CB

10. ���� � � ��3 ¢ � � � 1� d -;� c �0d 3 ¢ � � c -;� � � c -;� a � � a 1 F �' G  7� � � � ��(�Q(:7X! �]" �� � ��� � � £ / dK�&� = � � = � �#7R@ @CB

11. ���� � � F ' � G c � c -;��� � F �� ' G   7� �C7 (��&! 1 N 1 �� � ! ( �

W1#$¤

12. ���� � � � 1A- c � c� F '� ' � 5 � � G   � �� �(�&! � £ �&� 1� - c � c -21� ��&� ¤

2.1.9. The Jacobi polynomials P (ρ,σ)n (z)

1. ���� � � � -;� j + � l��V- � -;� .� � �I�&�   F]3 � �,G � � - �V-;�&-21� F ���G ¤

2. ������

j + � l�� a � .� F ¢ � � G   � �� F�3 � ��G ¤

PL

Page 120: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� � ��� ���� ���� � � � ��� � ��� ��� 3. ���

���

j + � lC- � a � .� F g5n� (*� G   � �� ��&� ¤

4. ���� � � � -;��� j + � l � .� F �� � G   � "�'' % � � ��&� ¤

5. ���� � � � - � j + � l���-;� .� F ¢ � �' G   7� � � 5_7�! 1 N 1 � � 5g5 7

� 5 7 ! � � ¤6. ���� � � � - � j + � lC-;�&- � � -21� .� F ¢ � �' G   � �

� J � a 1 L F �� G � � � �A��� � � F �� G ¤7. ���� � � � -21� j + 1� lC-;�&-21 .� ) ¢ � � �' ,   � �� � �� F �� � G ¤8. ���� � � � -21� j + 1� lC-;�&-21� .� ) ¢ � � �' ,   � �� � �

W � � �� F �� � G ¤9. ���� � � � - � j + � lC-;�&- � .� F ¢ � �' G   J � L 4� � � ! � �A� � F � � � � G ¤10. ���� � � � - � j + � lC-;�&- S - � -21 .� F ¢ � �' G   � %

� � � 5 � 5_7X! � �S F � � G ¤11. ���� � � � - � j + � l � ��- � -21 .� F ¢ � �' � G   F �

�� 5 � G � � � � � £ � � � ¢ � � � ¤2.1.10. Hypergeometric functions

1. ���� ��� -�� 1 N 1 ^ m !

� ( �� 5 � `   � �

W ��� � -�� ��&� = � � @B2. ���� �

�� -��R� N 1 � m � � 5

�5 � ! 1 ( � � � �   � �

W ��� � -�� ��&� = = � � @ �����O!C@CB

PP

Page 121: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas
Page 122: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Chapter 3

Indefinite Integrals

3.1. Elementary Functions

3.1.1. The logarithmic function

1.

∫ ��� � ' � m � 5 � !m � 5 � �   3 7��'65_7X! m � F]3 m� G � � a 1 �f � � �O�

3 ' %m ��� ��� �( 7X! "��')( $ ! % � �&- � �f � � �O� � � � a F m �� � ¢ G ¤2.

∫ � � � � � m � 5 � !��� 5 �#! ' & � �  

m'�

∫ � � �� m � 5 � !A� � � 5 �#! ' �� �'�

∫ ��� � � m � 5 � !� ��� 5 �#! ' � 3 7'

� � � � � � m � 5 � !�

�� 5 �#! ' = '8>?7A@B

3.

∫ ��� ��' � m � 5 � !� m � 5 � ! ( & � �  '� ∫ ��� ��'#" � � m � 5 � !� m � 5 � ! ( & � �� 7� m ∫ ��� ��' � m � 5 � !� � m � 5 � ! ( � 3 7� m ��� ��' � m � 5 � !� m � 5 � ! ( = '8>?7A@B

4.

∫ ��� � � m � 5 � ! � � � � 5 �#!�('%& � �   �' ∫ ��� � � m � 5 � !

�(' ��� 5 �#! �� m' ∫ ��� � � � � 5 �#!

�(' � m � 5 � ! �� 7' ∫ � � m � 5 � ! � � � � 5 �#!�(' & � � 3 ���' � ' � �f � � �O� � � � � � 9� = '*>?7R@CB

5.

∫ � � m � 5 � ! � ��� 5 �#!

� ' & � �   �' ∫ � � m � 5 � !�(' �

�� 5 �#! �� m' ∫ � � � � 5 �#!

�(' � m � 5 � ! � 3 7' �(' � �0f � � �O� � � � � � I� = '*>?7R@CB6.

∫ � � � � � � m � 5 � !� m � 5 � ! '%& � �  �' ∫ � � � � � m � 5 � !� m � 5 � ! ' & � �� �' m ∫ ��� � � � m � 5 � !

� � m � 5 � ! ' � 3 7' m � m � 5 � ! ' � � � �f � � �O� = '*>?7R@CB��N1�

Page 123: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � ��� � � � ��� ��� � ����������� � � 31� ,�� �7.

∫ � � � � �0f � � �O� �   m � 5 �m � � � � �0f � � �O�3 � ∫ � � � �&-21 �0f � � �O� � 3 7m ∫ m � 5 �� � � �f � � �O�� � ¤

3.2. Special Functions

3.2.1. The Bessel functions Jν(x), Yν(x), Iν(x) and Kν(x)� �4��-4�#� �$����

� � ��� � � � ���   � � � ��� �� � � � ��� =1.

∫� � a � a 1�� � � ���� �   ��3 £ � � � � � � a � a 1 ������� �( 7�! "$9% F � � G � � � a �&- � a 1 � ��� ¤

2.

∫� � � � � ��� �   ������� £ � F � (*'65_7� G � � �&- � � � a � a 1 � ���� £ � F � (*'65_7� G � ∫ � � a � � ��� � ¤

3.

∫� � a 1 � � � � � ��� � � � ��� �   � �'& �� � � 5_7X! � � £ � � � ���X� ��-� ¢ � � � a 1 � ���� ��� � � � � � 3 ¢ � � � � ������ � � � �-� ¢ �X� � � � ��� � � � ��� � � � a 1 � ��� � 1 � ����� £ � � � � � � 3 ¢ � � 1 � ��� � � a 1 � ���� �3 � �� � & � ��

� �������

� � ¢!� ��� �� � -� ��-� ¢)� -� ¢!�!¡��\¢)� � ��

��¤

4.

∫��� � � � � � � � ��� �   � � ��� � � � � 3 � � � � 3 £ � ��� � ��� � � � ���� � � � � ��� £ 3 � ��� � 1 � ��� ¤

5.

∫� � � � � � � � � ��� �   � � � � � 3 £ � � � � � � � � � � � � ��� � � � ���� � � � � ��� � � 3 £ � � 1 � ��� ¤

6.

∫ 7� � �� � � ! ��F � " � � � !� � � � !6G �   3 � � � � � � ��� N F � " � � � !� � � � !6G = � � � ! ��� � � � !C@MB

7.

∫ 7� � �� � � ! ��F � � � � !� � � � !�G �   � � N F � � � � !� � � � !VG = � � � ! ��� � � � !C@MB

8.

∫ = � � � � !C@ ']" �� = � " � � � !C@ ' & � �   �� ' ��� � � � � ! D � � � � !� " � � � ! H � ¤9.

∫ = � � � � !C@ '#" �� = � � � � !C@ ' & � �   3 ��O' D � � � � !� � � � ! H � ¤10.

∫� � � � �&-21� � ��� � � -21 � ��� �   7' � � � � �� � ��� ¤

��N�,

Page 124: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ����� ���� � ��� � ��� ��� ����11.

∫� -;� � � �&-21� � ��� � � a 1 � ��� �   3 7' � -;� � � �� � ��� ¤

12.

∫ � ��" � � � !� � � � ! �   � � � � ����� � � ¤

13.

∫ � �'& � � � !� � � � ! �   3 � � � � ����� � � ¤

14.

∫�2 � � -21 � � � � ���0� = � �!& � � � !C@ ']" �= � ��" � � � !C@ '%& � �   � � '���O' � D � �!& � � � !

� ��" � � � ! H � ¤15.

∫ 7� D � � � � !

� � � � !�H �   � � � � !�� � � � ! 3 � � ¤

16.

∫ 7� = � � � � !C@ �

� ��" � � � ! � �!& � � � ! �   7� � � � �'& � � � !� � " � � � ! � � � ¤

17.

∫ = � � � � !C@ '#" �� �

� � � � ! � '%& � �   7' � �� �� � � ! � � � � !�( � � � � ! � � � � � ! � ) � � � � !

� � � � ! , � ¤18.

∫ 7� � �� � � ! � ) � 3 � 8� � � !

� � � � ! , �   3 � �� � � � � ��� N ) � 3 � 8� � � !� � � � ! , = � � � ! ��� � � � !C@MB

19.

∫ 7� � �� � � ! � ) � 3 � 8� � � !

� � � � ! , �  � �� � � � �� � � N ) � 3 � 8� � � !

� � � � ! , = � � � ! ��� � � � !C@MB20.

∫ 7� = � 3 � 8� � � !C@ � � ) � 3 � 8� � � !

� 3 � 8� � � ! , �  � �� N ) � 3 � 8� � � !

� 3 � 8� � � ! , = � � � ! ��� � � � !C@MB21.

∫� � � � ���� �   �&-21������ £ � F � (��65_7� G � � � - � � a � a 1 � ���� £ � F � (��65_7� G � ∫

� � -;� � a � � ��� � ¤22.

∫� � � � ���� �   �(�� ! "�'

J 1 a � - � L 'Y � ∫� � a � � -;� � ���� � 3 ��� � 1 £ �&-

� F � (��65_7� 3 � G �&- � � � a � � - � a 1 � ��� � ¤23.

∫� � ��#� � ��� �   � �� � � � V� � ���<3 #1 � ���0�3 � �� D #� � ���<3 #1 � ����3 7

� � � ��� 1 � ��� H ¤24.

∫ 7���� � � ! � D � " � � � !� � � � ! H �   3 � � � � � � ��� N D � " � � � !� � � � ! H = � � � ! ��� � � � !C@MB

��N3

Page 125: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � ��� � � � ��� ��� � ����������� � � 31� ,�� �25.

∫� � � �&-21� � ��� � -21 � ���� �   7' � � � �� � ��� ¤

26.

∫� -;� � �&-21� � ��� � a 1 � ���� �   7' � -;� � �� � ��� ¤

27.

∫ � �'& � � � !� � � � ! �   � � � ���<3 � � ¤

28.

∫ � ��" � � � !� � � � ! �   � � � ����� � � ¤

29.

∫� ��� � � � � � ���� �   � � ��� � � � 3 £ �X� � � � ��� � � 1 � ���0� � � ��� � � � ��� ¤

30.

∫ 7���� � � ! � D � � � � !� � � � !�H �   3 N D � � � � !� � � � !�H = � � � ! ��� � � � !C@MB

31.

∫ = � � � � !C@ '#" �� = � � � � !C@ '%& � �   7' � = � �� � � ! � � � � !;( � � � � ! � �� � � !C@IF � � � � !� � � � !#G � ¤32.

∫ � � " � � � !� � � � ! �   3 ��� � � ����3 � � ¤

33.

∫ � �!& � � � !� � � � ! �   3 ��� � � ��� � � � ¤

34.

∫� � � �:�&-21� � ��� � � -21 � ��� �   3 7' � � � �:�� � ��� ¤

35.

∫� -;� � �:�&-21� � ��� � � a 1 � ��� �   3 7' � -;� � �:�� � ��� ¤

36.

∫� � � ��� � � a 1 � ��� �   �( 7X! '%& �� � � � ����� �43 ¢ � � a 1 ��

� � 1 ��3 ¢ �� � � � ��� ¤

37.

∫� - � � � � ��� � � � ���� �   I� �B� � �!� � �

I� �B� � � ;�   3 7�65 � 5 �Q(:7 � 9� � 3 ¢!� �:3 ¢)� ����I� � 3 ¢!� � � )3 ¢ �� � 1A- � � � � ��� � � � ���0� = �65 � 5 �Q(:7 �� � @CB

38. 9� �B� � � ;�   7�g5 � ( �P5 7 � I� � 3 ¢)� � � ¢)� ;� �9� � 3 ¢)� � � -� ¢ �� � 1A- � � � � ��� � � � ���0� = �65 � ( �P5_7 �� � @CB

39. 9� ¢)� � � ��   3 �� � ( � � � � � � ��� � �� � ����� � �� � ��� � � � ���� ¤

��N95

Page 126: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ����� ���� � ��� � ��� ��� ����40.

  3 7�E5 � � � � ��� � � � ����3 �

� � ( � � � � � -21 � ��� � � � ����3 � � � ��� � � -21 � ���0� �9� ¢)������� �   3 7� � � ��3 ¢ � S � � � ����� £ S -21�

� � 1 �43 ¢ �� a2S � � � ����� � S � ���� = � >?7A@CB

3.2.2. The Struve functions Hν(z) and Lν(z)

1.

∫� � L� � ���� �   �&-21������ £ � F 7�( � ( �� G � � � - � L� - � -21 � ���

3 7� � �&-21������ � � "�" �'& � J 1;- � - � L " � ��& ��" � "� �g5 � (*� $ ! � J � ( $ 5 1 L� £ � F 7 (�� ( �� G � ∫� � -;� L� -;� � ��� � ¤

2.

∫�2 �&- � a 1 L� � ��� �  �� � �� �&- � a 1 �&-21�� ��� J (

� L"��')( $ ! % L� - � -21 � ���

3 ' % � � ' & �� � " � � � �&-21������ ��3 ¢ � � J � L� "

��')( $ ! % ���O'T(*� $ 5_7�! � J � ( $ 5 1 L� �43 £ � � ��� �� � �&- � a 1 L� -;�&-21 � ���<3 � ']" �!& � �� � � J � (*'65 1 L��¤

3.

∫� � � H� � ��� �   � � � H 1 � ����� H� � ����3 � �

� ¤

4.

∫� � � L� � ���� �   � � � L1 � ����3 L� � ����� � �

� ¤

3.2.3. The Airy functions Ai (z) and Bi (z)� �4��-4�#� �$�����  f�� � � ��� � � � � � ��� � f � � -���%03�$� ,��-$��� '=1.

∫� � � �   � �&-21 � � 3 � � 3 ¢ � � �&- � � � � 3 ¢ �R� � 3 £ � ∫

� �&-!& � � = = � � @���� � !C@CB2.

∫�� �  �� � = = � � @ �����O!C@CB

3.

∫�2 � �   � � � 3 � = = � � @ ��� � !C@CB

4.

∫� & � �   �2 � � 3 £ � � � £ ∫ � � = = � � @ ��� � !C@CB

��N�;

Page 127: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � ��� � � � ��� ��� � ����������� � � 31� ,�� 35.

∫� � � �   � & � � 3 �2 � � � � � = = � � @ �����O!C@CB

6.

∫� � � �   7� '65_7 D � � a 1 � 3�� � � � � � � �&-21 � � � 3 ' � � � 3 ¢ � � �&- � � ' � � � 3 ¢ �R� � 3 £ � ∫

� �&-!& � � H = = � � @����C7O7X!C@CB7.

∫ � �   � � 3 � � = = � � @��&�C7X�O!C@MB8.

∫�� �   7

� � �2 � 3�� � � �� � � � � = = � � @ ���C7 � !0!AB9.

∫�2 � �   7

� � � & � 3��2 � � � £ � � � � 3 � � = = � � @��&�C7 � !C@MB10.

∫� � � & �   � �&-21 � � �3 ' (87

� � �&- � & 3 �� � �&- � � & � 7

� � � 3 ¢ �R� � 3 £ � ∫� �&-!& � & �� �

� � � 3 £ � ∫� �&-!& � � & � = = � � @ ����� � !C@CB

11.

∫� � � & �   � �&-21 � � �3 7

� � ��� 3 ¢¢ � � �&- � & 3 �� � �&- � � & � �

� � � 3 £ � � �&-!& � � � 3 7� � � 3 £ �R� � 3 � � �&- � � � � � 7

� � � 3 £ �R� � 3 �R� � 3 �V� � �&- � � &� 7��� � � 3 £ � ∫

� �&-!& � & � 3 7� � � 3 £ �X� � 3 �R� � 3 �V�R� � 3 �#� ∫

� �&- � � & �= = � � @ ����� � !C@CB12.

∫� � & �   � � � � 3 7

� � & 3 �� � � & = = � � @��&��� �O!C@MB

13.

∫� & � & �   � � � � 3 7��

� � � & 3 �� � � � & � �

� � � � � 7���

∫ � & � = = � � @��&��� � !C@MB14.

∫� � � & �   � & � � �3 7 �

� � � & 3 �� � � � & � �

� � � � � 3 �� � � � � � �

�∫�� & � = = � � @������ �O!C@CB

15.

∫� � � & �   � � � � �3 �

� � & � & 3 �� � & � � & � £ �2 � � � ��� � � � � 3 �

� � & 3 � �� � � & = = � � @���� � �O!C@CB

��N:

Page 128: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ����� ���� � ��� � ��� ��� ����16.

∫� � � � �   7

�O' 5 �� � � a 1 � � 3 �

� � � � � � £� � �&-21 � & � � � � �&-21 � � � 3 ' � � � 3 ¢ � � �&- � �� ' � � � 3 ¢ �R� � 3 £ � ∫� �&-!& � � � 3 � � 3 ¢ � ∫

� �&- � � � � = = � � @���� � � !C@CB17.

∫� � � � �   7� ' �

� � a 1 � � 3 �� � � � � � � � � 3 � � �&-21 � & � �� � �&-21 � � � 3 � � 3 ¢ � � �&- � � � & 3 7� � � 3 ¢ �R� � � 3 � � �&- � �� �� � � 3 ¢ �R� � 3 £ � � �&- � � � � 3 �� � � 3 ¢ �X� � 3 £ �R� � 3 �V� ∫

� �&- � � � � �� 7� � � 3 ¢ �R� � 3 £ �R� � � 3 � ∫� �&-!& � � � = = � � @ ��� � � !C@MB

18.

∫�� � �  

7� � �2 � � 3 ��� � � � £ � � & � � � � � � � = = � � @��&� � � !C@MB

19.

∫� � � �   77�� F � & � � 3 �

� � � � � � � � & � � � � � � � 3 � � � & 3 �� � � G= = � � @ ��� � 7X!C@CB20.

∫� � � � �   � � � 3 � ∫

� �&-21 � � = = � � @��&�C7�� !C@MB21.

∫ � � � �  7� � = = � � @��&�C7�� !C@MB

22.

∫�� � � �  

7� � � = = � � @��&�C7 � !C@MB23.

∫� � � � �   7

�)F 7� � � � � � � 3 ��� � G = = � � @��&�C7 � !C@MB24.

∫� � � � � �   7

� � � � & 3 '�

∫� �&-21 � & � = = � � @��&� � � !C@MB

25.

∫� � � & � � �   7�

� � � � 3 ' � ∫� �&-21 � � � = = � � @��&�C7�� !C@MB

26.

∫� � � � �   7�O'65 �

� 3 � � a � � � � a 1 � � �� � � � £ � � � ��� �3 ' � � � � £ � � �&-21 � � 7� � � 3 ¢ � � � � � £ � ∫

� �&- � � = = � � @������ �O!C@CB27.

∫ � � �   7� ��3 �2 � �� � � � �� £ ��� � � = = � � @��&��� 7�!C@MB

28.

∫�� � �   7

� F 3 � & � � �2 � � �� � ��� � 3 � � � G = = � � @��&��� �O!C@MB��N�<

Page 129: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � ��� � � � ��� ��� � ����������� � � 31� ,�� 329.

∫�2 � � �   7

� ��3 � � � �� � & � � � � �2 � � � 3 � � � � = = � � @��&��� � !C@MB30.

∫� � ��� � �   7� � � � � � 3 '

� � �&-21 � & 3 7� ∫� � a 1 � & �� '

� � � 3 ¢ � ∫� �&- � & � = = � � @ ��� � � !C@CB

31.

∫� & � � � �   7

� � & � & 3�� � � � � 7� � & � �

� � � & = = � � @��&� � � !C@MB32.

∫�� � � �   7

� � � & = = � � @��&� � � !C@MB33.

∫� � � � � �   7

� � � � & � � 3 '7X� � �&-21 � � 3 7�

∫� � a 1 � � �3 '7X� � � 3 ¢ � ∫

� �&- � � � = = � � @ ��� � � !C@CB34.

∫� � � � & �   3 �

� � � a 1 � & � � � � � � 3 ' � � �&-21 � � � � '� � � 3 ¢ � � �&- � &� 7

� � ��� � �#� ∫� � � & � 3 '

� � � 3 ¢ �R� � 3 £ � ∫� �&-!& � & � = = � � @������ �O!C@CB

35.

∫ � � & �   3 �� � � & � � � � � �

�∫ � & � = = � � @��&� � 7�!C@MB

36.

∫�� � & �   3 �

� �2 � & � � � � � 3 7� � � � � 7 7�

∫�� & � = = � � @��&� � �O!C@MB

37.

∫� � � & �   3 �

� � & � & � � � � � � £ � � � � 3 �� � & 3 £ � � & = = � � @��&� ��� !C@MB

38.

∫� � ��� � & �   7� � � � � � 3 '

� � �&-21 � & � � 3 7�� � a 1 � � � '� � � � 3 ¢ � � �&- � �� � '65 �7X� ∫

� � � � � 3 '� � � � 3 ¢ �R� � 3 £ � ∫� �&-!& � � � = = � � @ ��� � � !C@CB

39.

∫� � � � � �   7

� ��'65_7X! � � � a & � � 3 �� � a � � � � £ � � � £ � � � a 1 � & � �� � � a 1 � � � 3 7� � � � ¢ �R� � � £ � � � � � 3 � � � � ¢ � ∫

� � a � � �� ' � � � � ¢ �R� � � £ � ∫� �&-21 � � � = = � � @���� � � !C@CB

40.

∫ � � � �  �7�� � & � � 3 � � �2 � � � 3 �7�� � � & � � � �7�� � � � �� 7 �7�� ��� � & � �

� � � � = = � � @ ��� � �O!C@CB41.

∫ 7�� � � � ! ��F �

� � � !�� � � !#G �   � N F �

� � � !�� � � !#G = � � � ! ��� � � � !C@CB��NL

Page 130: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ����� ���� � ��� � ��� ��� ����42.

∫ 7�� � � � ! �EF �

� � � !�� � � !VG �   3 � N F �

� � � !�� � � !�G = � � � ! ��� � � � !C@CB

3.2.4. Various functions

1.

∫� � � ��� � ��� �   3 ' % �('

(:7 ��� ��� ��3 ¢ � � ��� ( ! "��')( $ ! % � - � � ���K3 � 3 ¢!� ��� ¤2.

∫� � �2��� � ��� �   �

� � � � ��� � ����3 ��� £ � ���0��� � � �2�� � ��� ¤3.

∫ � ��" � � "�� � � � � � ! � D � � � � � !�� � � � ! H �   3 7� � � ! N D � � � � � !<� � � � ! H = � � � ! ��� � � � !C@MB

4.

∫ 7� �� � � ! � D � � �( � !� � � � ! H �   � �( � !� � � N D � � �( � !� � � � ! H = � � � ! ��� � � � !C@MB5.

∫ 7� �� � � ! � D � " � " � � � � !� � � � ! H �   � ��� � N D � " ��" � � � � !� � � � ! H = � � � ! ��� � � � !C@MB

6.

∫ j � � ��� j � � ��� �   3 7� �)( � !A� �65 � 5_7X!Y � � j � -21 � ��� j � � ���<3 j � � ��� j � -21 � ���<3 � �83 ��4� j � � ��� j � � ���0� ¤7.

∫ � j � � ���0� �   3 7� � 5_7Y D j � -21 � ��� j � � ����3h��� j � � ���� � j � � ��� ��� � " � � � !� � 3 j � -21 � ��� � � � � � !� � H ¤8.

∫� � � K � ���� �   � �2 � � 3 � � 3��2�� ¢ � K � ����� � � � 3 £ � E � ��� ¤

9.

∫� � � E � ��� �   7

� F �2 � �n3 � �:3 �� �2 � �

� G K � ���� 7� F � � �%� � �:3 7

� � 3 �� G E � ��� ¤

��NP

Page 131: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas
Page 132: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Chapter 4

Definite Integrals

4.1. Elementary Functions

4.1.1. Algebraic functions

;��$���� �#� �$ � f � ¡�¤

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � ¢ 3�� ���fg3����� � �   f �4a � -21 � ��� ��� �

Y & N �� � � �V( � ! �W ���9a � � �9a � a 1

#$ = � � � � � � � � ! � � ����� � ( m � � ! � � � @B2.

�∫� � - � -!&4� �0fg3���� - � -21� � ¢ 3�� ���0fg3����� �� �  / � � J ( � ( 1 L� �( � ! F �m � 3�� G � a 1� = � � � � ( 7 � ! � ��� ��� � ( m � � ! � � � @CB

3.�∫� � -21� ��0fg3���� -21� � ¢ 3�� ���0fg3����� � �

  � ) ¢ 3 m � �� , ��� j � ) � ( m � �� � � ( m � � , = m � ��@B4.

�∫� � -21� �0fg3���� 1� � ¢ 3�� ���0fg3����� 1� �   f E ) m � �� ,= � ��� �&� � ( m � � ! � � � @CB

5.�∫� � -21� �0fg3���� -21� � ¢ 3�� ���0fg3����� 1� �  �£ E ) m � �� ,

= � ��� �&� � ( m � � ! � � � @CB���

Page 133: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� �6.

�∫� � 1� ��0fg3���� 1� � ¢ 3�� ���0fg3����� -21� �   ���K ) m � �� , 3 E ) m � �� ,

= � ��� �&� � ( m � � ! � � � @CB7.

�∫� � -21� ��0fg3���� -21� � ¢ 3�� ���0fg3����� -21� �  �£ K ) m � �� ,= � ��� �&� � ( m � � ! � � � @CB

8.�∫� � -21��� �0fg3���� -!&4��� � ¢ 3�� ���0fg3����� -21� �

 �

� � 5 m � � K

�� � �� � m �� � � �� �� ��5 m � �

�� = � � ����� � ( m � � ! � � � @B9.

�∫� � -21��� �0fg3���� -!&4��� � ¢ 3�� ���0fg3����� -21 �  � � �� � ( m � � � ) ¢ � m � �� , 1� � ) ¢ 3 m � �� , 1� � = � ��� ��� � ( m � � ! � � � @CB

10.�∫� � -21� ��fT3���� -21� � ¢ 3 � ���0f63����� -21 �   � �� � ( m � � = � � ����� � ( m � � ! � � � @CB

11.�∫� � 1� ��0fg3���� 1� � ¢ 3�� ���0f63 ���� -21 �   �

�� ) ¢ 3 m � �� , -21� 3 ¢ �

= � ��� �&� � ( m � � ! � � � @CB12.

�∫� � 1� ��0fg3���� 1� � ¢ 3�� ���0f63 ���� -!&4� �  �� � � ( m � � ! E ) m � �� , 3 �

� K ) m � �� , = � � ����� � ( m � � ! � � � @B13.

�∫�� " �� � � m ( � ! " �� �7<5 � 7 ( � � � m ( � ! �  �£ K ) m � �� , 3 £ D ) m � �� ,

= � ��� �&� � ( m � � ! � � � @CB14.

�∫� � �7<5 � 7 ( � � � m ( � !   7� � � ��5 m � �� ( m � � � �m � � ) ¢ 3 m � �� ,= � ��� �&� � ( m � � ! � � � @CB

��!,

Page 134: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����15.

�∫�� �� � � m ( � ! �� �7<5 � 7 ( � � � m ( � ! �   �

� 3 �� E ) m � �� , = � � ����� � ( m � � ! � � � @CB

16.�∫�

� " �� � � m ( � ! �� �7<5 � 7 ( � � � m ( � ! �   f K ) m � �� , 3hf D ) m � �� ,= � ��� �&� � ( m � � ! � � � @CB

17.�∫� � � �0fg3���� �4a 1� � ¢ � �

����0f63����O� � �  �£ - � -21 / � f �4a &4� � ��� 5n� !

� J � 5 � LY N 1 � ( � �]� 5n�� 5 � ! ( � � � = � � � ( 7 ! � ��� ����� 5 m � ! � � � @B18.

�∫� � -!&4��� �fT3���� -21��� � ¢ � �����0fg3���� � � �

  / £ � F ¢ � m �� G ��� j � )� 5 m �� � � � � 5 m � , = � ��� �&����5 m � ! � � � @B

19.�∫� � 1� � ¢ 3��

����fg3���� � 1� �

  � m��� 7� � m � F ¢ � � m �� G F ¢ 3 m �� G � � � 5 � m �� �6( � m � � � m� 3 ¢ = � � ������� 5 m � ! � � � @CB

20.�∫� � -21� � ¢ 3��

����0fg3���� � 1� �  / f�� 7� � � F ¢ 3 m ��*G � � � 5 � m �� �6( � m � = � ��� �&��� ( m � ! � � � @B

21.�∫� � -21��� �fT3���� 1��� � ¢ 3��

����fg3���� � 1� �

  � �� �

� � £ 3hf �O� K ) * m �� , � £ �f � 3 ¢ � E ) * m �� , = � � ������� ( m � ! � � � @CB22.

�∫� � -!&4��� �fT3���� -21��� � ¢ 3������0fg3���� � 1� �  �£ &4� E ) * m �� ,= � � ������� ( m � ! � � � @CB

���3

Page 135: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� �23.

�∫� � 1� � ¢ 3������fg3���� � -21� �

  7� � � � � F ¢ � m �� G � � � 5 � m �� �6( � m � 3 � m� = � ��� �&����5 m � ! � � � @B

24.�∫� � -21� � ¢ � �

����0fg3���� � -21� �   * �

� ��� � � * m ��= � � ������� ( m � ! � � � @CB

25.�∫� � -21� � ¢ 3��

����0fg3���� � -21� �   * �

� � � � 5 � m �� �6( � m � = � � ������� 5 m � ! � � � @CB26.

�∫� � -21��� �fT3���� 1��� � ¢ 3������fg3���� � -21� �   / £ f D ) * m �� ,= � � ������� 5 m � ! � � � @CB

27.�∫� � -!&4��� �fT3���� -21��� � ¢ 3��

����0fg3���� � -21� �  �£ &4� K ) * m �� ,= � � ������� ( m � ! � � � @CB

28.�∫� � 1� � ¢ 3��

����fg3���� � -21 �  � � m

�� �

� m � ��� ( m � ! ��� � � � * m �� 3 ¢ = � ��� �&��� ( m � ! � � � @B29.

�∫� � -21� � ¢ 3������0fg3���� � -21 �   �

� � ��� ( m � ! �� ��� � * m ��= � � ������� ( m � ! � � � @CB

30.�∫� � -21��� �fT3���� 1��� � ¢ � �

����fg3���� � -21 �

  � � ��

� ¢ 3 F ¢ � m ��*G -21� = � � ������� 5 m � ! � � � @CB31.

�∫� � -!&4��� �fT3���� -21��� � ¢ � �����0fg3���� � -21 �   � �� m � 5n�

= � � ������� 5 m � ! � � � @CB���5

Page 136: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����32.

�∫� � -21� � ¢ � �����0fg3���� � -!&4� �   � � mm � 5n� = � � ������� 5 m � ! � � � @CB

33.�∫� � -21��� �fT3���� 1��� � ¢ 3��

����fg3���� � -!&4� �

  3 � � �� � m � (*� ! � �0f � 3 £ � K ) * m �� , � £ E ) * m �� , = � � ������� 5 m � ! � � � @CB

34.�∫� � -!&4��� �fT3���� -21��� � ¢ 3��

����0fg3���� � -!&4� �   � � �� ( m � E ) * m �� ,= � � ������� ( m � ! � � � @CB

35.�∫� � 1� � ¢ 3��

����fg3���� � - �

  � � m� ��� ( m � ! � � � m � (:7X!

� � � ��� ( m � ! � � �� ��� � * m �� = � ��� �&��� ( m � ! � � � @B36.

�∫� � -21� � ¢ 3������0fg3���� � - �

  � � m� ( m � � �� � ��� ( m � ! � � �� ��� � * m �� = � ��� �&��� ( m � ! � � � @B37.

�∫� � -21��� �fT3���� 1��� � ¢ 3������fg3���� � - �   � m��� ( m � ! � � = � � ������� ( m � ! � � � @CB

38.�∫� � -!&4��� �fT3���� -21��� � ¢ 3��

����0fg3���� � - �   � � � ( m � !��� ( m � ! � �= � � ������� ( m � ! � � � @CB

39.�∫� � -21� � ¢ 3��

����0fg3���� � - � � �   � � m ��� ( m � !

� ��� ( m � ! � = � � ������� ( m � ! � � � @CB40.

1∫-21

�C7�( � � !�� " �� ��C7<5n� m � 5 m � !����C7<5n� � � 5 � � !�� �   � � � J 5 1 L� � 5_7X! N 1 J ��� 5_7 ! m � L= � � � ( 7 �X@B

��!;

Page 137: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� ,4.1.2. The exponential function

;��$���� �#� �$ � f � ¡�¤

1.�∫� � � �#- � � W - � �  �£ -;� � � � - + � a 1 . �

� � �� � W � + � �0. � �� � F �� � � G � � F � �� � � G

� ����� 1 J' $�L ��3��A� � � �&- � F � �� � � G � � -21 F �� � � G � = � � � � ��@B

2.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � � � + � - � . �   f �4a � -21�� ��� ��� � N

�� � � ! �W ���9a � � �Ia � a 1

#$

= � � � � � � � � @CB3.

�∫� � � � + � - � . �   " �� � �

W � ��� � �� ) m � �� , ¤4.

�∫� � � � � + � - � . �   m � " �� � �

W � ��� � �� ) m � �� , ¤5.

�∫� �2 � � � + � - � . �   m� � � m � � 5n�� m " �� � �

W � ��� � �� ) m � �� , 3 ¢ ¤6.

�∫� � -21� �0fg3���� -21� � � � + � - � . �   � � �W � � � � ) m � �� , ¤

7.�∫� � 1� �0fg3���� -21� � � � + � - � . �   � m� � �

W � � � � ) m � �� , ¤8.

�∫� � 1� ��0fg3���� 1� � � � + � - � . �   � m �� � �W � � �

� � ) m � �� , � 1 ) m � �� , ¤

9.�∫� � &4� ��0fg3���� -21� � � � + � - � . �   � m �� � �

W � � �� � ) m � �� , 3 1 ) m � �� , ¤

10.�∫� � -21� � ��� ) f � 3 � �7�� , �   � &4� � � � �fI� � � � �fI� � = = ��� @������VB � 7�!C@MB

���:

Page 138: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����11.

�∫� � � �0fg3���� �4a 1� � � / � + � - � . � �£ - � -21 / � f9 �4a &4� � ��� 5n� !

� J � 5 � L 1 N 1�� � 5:� ! � �� 5 �

#$ = � � � ( 7A@B12.

�∫� � 1� � � / � + � - � . �   � m� � �f � 3 ¢ � * �� � � � � � � � �� ) * m �� , ¤

13.�∫� � -21� � � / � + � - � . �   * � �

� � � � � � �� ) * m �� , ¤14.

�∫� � -21��� �fT3���� 1��� � � / � + � - � . �   � m� � � � � � ��� D� � F m �� G � 1 F m �� GIH ¤15.

�∫� � -21��� �fT3���� -!&4��� � � / � + � - � . �   / £ � � � � ��� � F m �� G ¤16.

�∫

- � �� + � � � & a � � . �  �£ � � � ��&� = ��� � � � ! = � � @ @CB

17.�∫�

�� � � 5 � � ! � � � � � 5_7 � �   7� � F ��� 7� G 3 7� � � = � � �� ��@B18.

�∫��� � � 5 � � ! '%& � � � � � � 5_7 � �   7� '2� � '

� �( 7X! '�#��' % ! �&-21������ ��3 ¢ � � ��'65 $ (:7�! %$&% ��')( $ (:7X! % � £ �&� -;�&- � � + �&- � . F ��� 7� G = � � �� � @CB4.1.3. Hyperbolic functions;��$���� �#� �$ � f � ¡�¤

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � � ��� �

�����fg3���� � �   f �4a � � � F�� � 7� � � � 7� G

Y N & �� 5 1 � �I5 1 ! �W � W1 �& � �9a � a 1 � �9a � 5 7 #$ = � � � � � � � ( 7 ��@CB

��!<

Page 139: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� 32.

�∫� ��� ��� ������0fg3���� � �   � m� 1 F m �� G ¤

3.�∫� � -21� ��� ��� �

�����0fg3���� � �

  " �� � � � � � � � �� ) * m �� , 3 � -�� � � � �� ) * m �� , ¤4.

�∫� � -21 ��� ��� ������0f63���� � �  � m �� � 3 � 1 F m ��*G L� F m ��*G � � F m �� G D £ � � L 1 F m ��*G9H � ¤

5.�∫� � 1� ��0fg3���� 1� ��� ��� �

�����0fg3���� � �   � m�

� D�f � L� F m �� G 3 £ L 1 F m �� GIH ¤6.

�∫� � 1� ��0fg3���� -21� ��� ��� � � � ���0fg3���� � �   � m� L� F m �� G ¤7.

�∫� � -21� ��0fg3���� -21� ��� ��� ������0f63���� � �   � L� F m �� G ¤

8.�∫� � -21� �fQ3 ��� -21 � � ��� �

�����fQ3 ��� � �   �m �� � � �� ) * m �� , � �� ) * m �� , ¤

9.�∫� � -!&4��� �0fg3���� -!&4��� ��� ��� �

�����0f63���� � �   * � � �� V1��� F m �� G ¤

10.�∫� � -21 �fT3���� -21 � � ��� �

�����fg3���� � �

  � �� � 3 � 1 F m �� G L� F m �� G � � F m �� G D £ � � L 1 F m �� G9H � ¤11.

�∫� � - � ��� �fT3���� - � ��� � � ��� ������fg3���� � �

  * � � � �� D #-21��� F m �� G 3 V&4��� F m �� GIH ¤���L

Page 140: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����12.

�∫� � � �0fg3���� �4a 1� � � ��� �� �� ���fg3���� � �

 �£ - � -!&4� / � f9 �4a �� � J � 5 � L� ��� 5 � ! 1 N �� � 5 � ! � �

W�& ��� 5 �#$ = � � � ( � � @B

13.�∫� � -21��� �fT3���� 1��� � � ��� �

� �� ���fg3���� � �   � m� � L� F �#" m � G3 � m �� �

� L 1 F �#" m � G ¤14.

�∫� � -21� � � ��� �� �� ���fg3���� � �   � f 1� 1 F �#" m � G ¤

15.�∫� � 1� � � ��� �

� �� ���fg3���� � �   � m� � D / £ F �#" m � G � / f � & F �#" m � G9H ¤16.

�∫� � -21��� �fT3���� -!&4��� � � ��� � � �� ���fg3���� � �   / £ � L� F � " m � G ¤17.

�∫� � -21� �fT3���� -21 � � ��� �� �� ���fg3���� � �   � �� �

Y�� £ � F �#" m � G � �gD� � F��#" m � G L 1 F��#" m � G 3 1 F��#" m � G L� F��#" m � GIH � ¤18.

�∫� � � -21 �fT3���� � -21 � � ��� ������fg3���� � �

  f �4a � -21 � ��� ��� � N & �� � � ! �W � W1 �1 � �Ia � � �9a � a 1

#$ = � � � � � � � ��@B19.

�∫� � � ��� ������0fg3���� � �   � m� L -21 F m ��*G ¤

20.�∫� � � � ��� �

�����fg3���� � �   � m ��

L -21 F m ��*G ¤���P

Page 141: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� 321.

�∫� �2 � � ��� ������fg3���� � �

  m� � � D £ ��f � L� F m �� G � � �f � 3 �]� L1 F m �� G � £ f � H ¤22.

�∫� � 1� � � ��� ������0f63���� � �

  * �� � � � �f � 3 ¢ � � � � � � �� ) * m �� , � �0f � � ¢ � � -�� � � � �� ) * m �� , ¤23.

�∫� � -21� � � ��� ������fg3���� � �

  " �� � � � � � � � �� ) * m �� , � � -�� � � � �� ) * m �� , ¤24.

�∫� � 1� ��0fg3���� 1� � � ��� � � � ���0f63���� � �   � m�� D £ 1 F m �� G � f � F m �� GIH ¤

25.�∫� � 1� ��0fg3���� -21� � � ��� �

�����fg3���� � �   � m� � F m �� G ¤

26.�∫� � -21� ��fT3���� -21� � � ��� �

�����fg3���� � �   � � F m �� G ¤

27.�∫� � -21��� �fT3���� -21��� � � ��� �

�����fg3���� � �

  * � �� � 1��� F m �� G D £ 1��� F m �� G � f � � ��� F m �� G9H ¤28.

�∫� � -21��� �fT3���� -!&4��� � � ��� ������fg3���� � �   / £ � � � ��� m �� � F m �� G ¤

29.�∫� � -!&4��� �fT3���� -!&4��� � � ��� � � � ���fg3���� � �   * � � �� V-21��� F m �� G ¤

�!,9N

Page 142: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����30.

�∫� � � �0fg3���� �4a 1� � � ��� �� �� ���0f63���� � �

 �£ - � -21 / � f �4a &4� � ��� 5n�O!� J � 5 � L 1 N

�� � 5n� ! � � W�1 ��� 5 �#$ = � � � ( 7A@B

31.�∫� � 1� � � ��� �

� �� ���0f63���� � �  � m �� � � D f � L -21 F � " m � G 3 / £ f � L� F � " m � G � � L 1 F � " m � GIH ¤

32.�∫� � -21� � � ��� �

� �� ���fg3���� � �   � / f L -21 F��#" m � G ¤33.

�∫� � 1��� �0fg3���� -21��� � � ��� �� �� ���fg3���� � �

  �+� m� 1 F �#" m � G � � m� � F �#" m � G ¤

34.�∫� � -21��� �fT3���� -!&4��� � � ��� �

� �� ���fg3���� � �   / £ � � F��#" m � G ¤35.

�∫�� � '

� � (:7 � £ � a 1 ��� ��� � £ � ����3 ��� ��� � � ����� �  7� D�� + � . F 7� � � G 3�� + � . F 7� 3�� G9H = � � � � 7 �X@CB

36.�∫�� � '%& �

� � (:7 � £ � a 1 � � ��� � £ � ���<3 � � ��� ��� ����� �  7� D�� + � a 1 . F 7� � � G � � + � a 1 . F 7� 3�� G9H = � � � � 7 �X@B

4.1.4. Trigonometric functions

1.�∫�

��� � � m � !� � � � 5 7 �   � m� � � � �fI� L -21 �fI� � � 1 �0fI� L� �fI�0� = m � ��@CB2.

� ∫���� � � '����� � � ' � 5 ���� � ' � �   � � ¤

�!,��

Page 143: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� 53.

�∫� ��� � � - �0fg3���� � � � � ��� �   7� (:7 ��� � � f = m � � ! � � � � 7A@B

4.�∫� ��� � � - �0fg3���� � � � � ��� �   7

� (87 ��� � � -21 f � � � f = m � � ! � � � � 7A@B5.

�∫� � � � � � 3 � � � fI� � -21 � � � �� ���� �  �£ � -21 � �� � ;� � � � � -21 f = m � � � � � ��@B6.

� ∫���� � � ��' � !��� � � � �  

' �� � � ¢�¢L� � ��� � � �#� ¤7.

� ∫� � � � � � � � ¢ � �;� ��� � � ��' � !��� � � � �  ' � �� � � � ¢ � ¤

8.

� ∫���� � � = ���O'65_7X! � @��� � � � �  

� � � � ' �� � � � ¢ � ¤9.

� ∫���� � = ��� '65_7X! � @��� � � � � � � � � ��� ��� � � � � � ¢ � �;�� �   ' �� � � � ¢ � ¤

10.�∫� � -21� � � � ) � �7�� � f � 3 �

� � � � , �

 �£ � &4� � � � f�� / � � � � � fg3 / � � = = ��� @ ��� � !C@CB11.

�∫� � � -21 �fT3���� � -21 � � � ������0fg3���� � �   f �4a � � � ���'� 7� ��� � 7� �

Y N & �� 5 1 � �I5 1 ! ( �W � W1 �& � �9a � a 1 � �9a � 5_7 #$ = m � � ! � � � � � � � ( 7 �X@B

12.�∫� ��� � �

�����fg3���� � �   � m� � 1 F m �� G = m � ��@B

13.�∫� � 1� � � � �

�����fg3���� � �   * �

� �� FOf � ��� � m �� � � � � m �� G � F m ��*G

3 F f � � � � m �� 3 � � � m �� G �gF m �� G 3 * m �� = m � ��@B�!,,

Page 144: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����14.

�∫� � -21� � � � ������fg3���� � �

 �£ " �� D � � � m �� � F m ��*G 3 � � � m �� �TF m ��*G9H = m � ��@B

15.�∫� � -21 � � � �

�����0fg3���� � �

  � m �� � � � 1 F m �� G H� F m �� G � � � F m �� G D £ 3 � H 1 F m �� GIH � = m � � @CB16.

�∫� � 1� ��0fg3���� 1� � � � ������fg3���� � �

  � m�� D�f � H� F m �� G 3 £ H 1 F m �� G9H = m � � @CB

17.�∫� � 1� ��0fg3���� -21� � � � �

�����fg3���� � �   � m� H� F m �� G = m � ��@B

18.�∫� � -21� �fT3���� -21� � � � �

�����0fg3���� � �   � H� F m �� G = m � ��@B

19.�∫� � -!&4��� �fT3���� -!&4��� � � � �

�����0fg3���� � �   * � � �� � 1��� F m �� G = m � ��@B

20.�∫� � -21 �fT3���� -21 � � � � � � ���0fg3���� � �

  � �� � � � 1 F m ��*G H� F m ��*G � � � F m ��*G D £ 3 � H 1 F m ��*GIH � = m � � @CB21.

�∫� � - � ��� �fT3���� - � ��� � � � ������0fg3���� � �  * � � � �� D � -21��� F m �� G � � &4��� F m �� G9H = m � ��@B

22.�∫� � � �0fg3���� �4a 1� � � � �

� �� ���fg3���� � �  �£ - � -!&4� / � f �4a �Y � J � 5 � L� ��� 5 � ! 1 N

�� � 5 � ! ( � �W

�& �]� 5 �#$ = m � � ! � � � ( � � @B

�!,93

Page 145: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� 523.

�∫� � 1� � � � �� �� ���fg3���� � �   � m� � D / £ � F �#" m � G 3 / f � � & F �#" m � GIH

= m � � @CB24.

�∫� � -21� � � � �� �� ���fg3���� � �   � f 1� � 1 F��#" m � G = m � ��@B

25.�∫� � -21��� �fT3���� 1��� � � � �

� �� ���fg3���� � �  � m� � H� F �#" m � G 3 � m �� �

� H 1 F �#" m � G = m � ��@B26.

�∫� � -21��� �fT3���� -!&4��� � � � �� �� ���fg3���� � �   / £ � H� F �#" m � G = m � ��@B

27.�∫� � -21� ��fT3���� -21 � � � �

� �� ���0fg3���� � �   � �� � � £ � � F��#" m � G� � D � 1 F��#" m � G H� F �#" m � G 3 � � F��#" m � G H 1 F �#" m � G9H � = m � � @CB

28.�∫� � � -21 �fT3���� � -21 � � � �

�����0fg3���� � �

  f �4a � -21�� ��� � � � N & �� � � ! ( �W � W1 �1 � �9a � � �9a � a 1

#$ = m � � � � � � � � � @CB29.

�∫� � � � ������fg3���� � �   � m� H -21 F m �� G = m � ��@B

30.�∫� � � � � �

�����fg3���� � �   � m ��

H -21 F m ��*G = m � ��@B31.

�∫� �2 � � � ������fg3���� � �

  m� � � D £ � f � H� F m �� G 3 � �f � ���]� H1 F m �� G � £ f � H = m � � @CB�!,!5

Page 146: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����32.

�∫� � -21� � � � ������fg3���� � �

 �£ " �� D � � � m �� � F m �� G � ��� � m �� �TF m �� G9H = m � ��@B

33.�∫� � 1� ��0fg3���� 1� � � � �

�����fg3���� � �   � m�

� D £ � 1 F m ��*G 3hf � � F m ��*G9H= m � � @CB

34.�∫� � 1� ��0fg3���� -21� � � � �

�����fg3���� � �   � m� � � F m �� G = m � ��@B

35.�∫� � -21� ��fT3���� -21� � � � �

�����fg3���� � �   � � � F m ��*G = m � ��@B

36.�∫� � -21��� �fT3���� -21��� � � � �

�����fg3���� � �

  * � �� � � 1��� F m �� G D £ � 1��� F m �� G 3hf � � � ��� F m �� GIH = m � ��@B37.

�∫� � -21��� �fT3���� -!&4��� � � � ������fg3���� � �   / £ � � � � m �� � � F m �� G

= m � � @CB38.

�∫� � -!&4��� �fT3���� -!&4��� � � � ������fg3���� � �   * � � �� � -21��� F m �� G = m � ��@B

39.�∫� � � �0fg3���� �4a 1� � � � �

� �� ���fg3���� � �  �£ - � -21 / � f9 �4a &4� Y � ��� 5n� !

� J � 5 � L 1 N �� � 5:� ! ( � �

W�1 �]� 5 �#$ = m � � ! � � � ( 7A@B

40.�∫� � 1� � � � �

� �� ���fg3���� � �   m �� � �� � �Y D�f � H -21 F �#" m � G 3 / £ f � H� F��#" m � G � � H 1 F �#" m � GIH = m � � @CB

41.�∫� � -21� � � � � � �� ���fg3���� � �   � / f H -21 F � " m � G = m � ��@B

�!,;

Page 147: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� 542.

�∫� � 1��� �0fg3���� -21��� � � � �� �� ���fg3���� � �

  �+� m� � 1 F �#" m � G 3 � m� � � F �#" m � G = m � ��@B

43.�∫� � -21��� �fT3���� -!&4��� � � � �

� �� ���fg3���� � �   / £ � � � F �#" m � G = m � ��@B44.

� ∫� � � � � � � � � �f ���X� ¢ � � � � � ��� �� �  � " ��" � � � � �g5 7�!

� J � - � 5_7 L � J � a � 5_7 L & N ��� a 1 � � 5_7��V( � ! ( �� - � 5_7�� � a � 5_7 #$

= � � � � ( 7 ! � ��� � �C7,5 � ! � � � @B45.

� ∫� � � � � £�� ���R� ¢ � f ��� � ��� �� �  � " � '#" �' % ��f � ��3�;� � N 1 � 'g5 1 �]')( � ! ( m� '65_7 � = � � ��� �C7<5 m ! � � � @B

46.

∫� � � � � � ���X� ¢ � f � � � ��� �� � 

� "�' � m ' � � J � ( � L� J � 5_7 L � �( � ! � � �

' �� N 1 � � a 1 � � ( �'65_7 ! ( m � = � � ��� �C7<5 m ! � � � @CB47.

∫� ��� � � � � ��� � �f ���� � � �f ��� � � ¢ � � ��� � ��� �� �

  � " � � � � �65_7X!� J � - � 5_7 L � J � a � 5_7 L

� ��� � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � � & N �� � a 1 � � 5_7���( � ! ( �

� - � 5_7�� � a � 5_7 #$

= � � � � ( 7 ! � ��� � �C7,5 � ! � � � @B48.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � ¢ � � � � � ��� � �

  � ��� � � � � m �O!m � � � � � � � f�� £ �� � � � � � f�� £ � � & N � ( � � 1 �]7 ! ( �7,( � ��7�5 � �

¤

�!,9:

Page 148: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����49.

S ∫� � � � � �f ���� � � �0f ��� � � � � ��� ��� � ���� �

  � ��� � � � � m � !m � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � 1 N

�� 7 ! ( � W�7 ( � �V7<5 � #$¤

50.

S ∫� 7��� ��� � � � � �f ���� � � �0f ��� � ��� � � � � � � ��� �

  � � ��� � � � � m � !m � � � � � � � f�� £ �� � � � � � f�� £ � � N & �� 1 �#7 ! ( �

W�& �#7�( � �V7<5 �

#$¤

51.

∫� � ��� � � � � 3h� � � � ���� �  � � �&-21������ F 7��G � F 7��G �&- � F

� ��G �&- � -21 3 �43 ¢ � � � � �&-21�� ��� F ')( $ 5_7� G � F]3 ���G �3 ' % �� �&-21�� ��� J � L

']")"$&% ��')( $ ! � � ��&�<3 � �� H � ��&� ¤52.

∫� � � � � � � � 3h� � � � ��� �   7� � �&-21������ � ¢ � �43 ¢ � � a � �Y F ' ( $ 5_7� G � F ���G � D�� F ' ( $ 5_7� G 3�� F '65 $ 5_7� GIH

� � �� � � ��&�<3 ' %� �&-21������ J � L'#")"$9% ��')( $ ! � � H� �0�&��3 � -21�

� ��� F 7��G � F 7��G � - � F � ��G � - � -21 � ¤53.

�∫� � -�� � ��� � S � � ��� ��� � � � � ��� �   � %� F ���G SEa � a 1

Y ������� �43 ¢ � � J ' $ L F 3 � � � $ �� 3 '�� � � � m� � G -21SEa 1 = � � m � ��@B

54.�∫� � -�� � � � � S � � ��� � � � � � � ���� �  �£ - S -;� �?� ������� J ' $�L 7m 5 � � � (*� � $ � 5 � ' �

Y N 1�� ( � �V( S 5 �

� ( � � 5 �� � ! ( 77 ( S 5 �

� ( � � 5 �� �

#$ = � � m � ��@CB�!,<

Page 149: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� 555.

�∫� � -�� � ��� � S � � ��� � � �4� � � ���� �  �£ - S -;�&-21 � SEa 1 � %�

Y ������� J ' $�L F]3 � � � $�� 3 '

�� � � � m� � G -21SEa 1 = � � m � ��@CB56.

S ∫� �V-�� � � ¢ � � ��� � ��� � �   7 ( � " ( � �m & N �� ( � � 1 �#7 ! ( �7 ( �� �#7,5 �

�#$

= � � ��� �C7<5 � ! � � � � �� � �� � �#7 �����&B B B�@CB57.

S ∫� � -�� � � � � ��� ��� � ���� �   �7 ( �( 7X! ( � " ( � �m � 5_7 N & �� 7 ! ( � W�&�- � � � & a � �

#$¤

58.

S ∫� � -�� � � � � ��� ��� � ��� �   7�( � " ( � �m 1 N �� 7 ! ( � W�7 ( �

� �#7<5 ��#$¤

59.

S ∫� � "�� ���� ��� � � � � � � � � ���� �   �m � ¢ 3 �V- S � � 1 N �� 1 �#7 ! ( �

W�& �#7 ( �

� �#7<5 ��#$¤

60.

S ∫� � -�� � a ����� � W � �   7 ( � " ( � �m N �� 1 �#7 ! �7 ( �

� �#7,5 ��#$¤

61.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � ����� �

W� �

  �m � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � ��f � £ � � N � 1 �V7 ! �7�( � �V7<5 � �

¤

62.�∫� � -�� � � ¢ � � � � � ��� � �   7m & N �� ( � � 1 �V7 ! ( �7�( �

� �#7,5 ��#$

= � � m � � ! � ��� � �C7,5 � ! � � � � �� � �� � �#7 ��� �&B B�B�@CB63.

�∫� � -�� � ��� � ��� ��� � ��� �   �m � 5_7 1 N �� 7 ! ( � W�&�- � � � & a � �

#$ = � � m � ��@B64.

�∫� �#-�� � � � � � � � � � ��� �   7m 1 N �� 7 ! ( � W�7�( �

� �#7,5 ��#$ = � � m � ��@B

65.�∫� � "�� ���� ��� ��� � ��� ��� � ��� �   �m N & �� 1 �V7 ! ( �

W�& �#7�( �

� �#7,5 ��#$ = � � m � ��@B

�!,9L

Page 150: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����66.

�∫� � -�� � a ����� � W � �   7m N �� 1 �#7 ! �7 ( �

� �#7<5 ��#$ = � � m � ��@B

67.

∫� ��� � � � � ��� � �f ���� � � �f ��� � � ����� �

W� �  

� " � � � � �65_7�!� J � - � 5 7 L � J � a � 5 7 L

Y � � � � �f ��� £ �� � � �0f ��� £ � � N

��� a 1 � � 5_7 ! �

� - � 5_7�� � a � 5_7 #$ ¤68.

�∫� � � ��� � � � � ������� W � � � � � � ��� �   � " � " �� �( � ! ��F ( � � ( �� G ��F � � ( �� G

Y N �� - � � - � � � � - �( � � 1;- � ! m

#$ = � � � � � @CB69.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � ��� ��� ��� � ��� �

  � ��� � � � � m � !m � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � 1 N

�� 7 ! � W�7 ( � �V7<5 � #$¤

70.

S ∫� 7��� ��� � � � � �f ���� � � �0f ��� � � � ��� ��� ��� � ���� �

  � � ��� � � � � m � !m � � � � � � � f�� £ �� � � � � � f�� £ � � N & �� 1 �V7 ! �

W�& �#7�( � �V7<5 �

#$¤

71.

S ∫� 7��� ��� � � � � �f ���� � � �0f ��� � � � ��� �

� / � � � � � ��� � �� / ��� � � � �

  � � � ��� � � � � m � !m � ��� � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � N �

�� 1 �V7 ! ( � �� �&�� ��� & �#7�( � �#7<5 �

#$¤

72.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � ��� �

� / � � � � � � � � �� / � � � � � �

  � ��� � � � � m � !m � ��� � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � 1 N �

�� 7 ! ( � �� �1� � &� �#7�( � �V7<5 � #$¤

�!,9P

Page 151: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� 573.

S ∫� �V-�� � � � ��� � � � � � ��� �   7 ( � " ( � �m 1 N �� 7 ! � W�7 ( �

� �#7,5 ��#$¤

74.

S ∫� � "�� ���� ��� � � ��� ��� ��� � ��� �   �m � ¢ 3 � - S � � N & �� 1 �V7 ! �W�& �#7�( �

� �V7<5 ��#$¤

75.

S ∫� � "�� ���� � � � � ��� �� / � � � � � � � � �

� / ��� � � � �

  � �m � ¢ 3 � - S � � N ��� 1 ��7 ! ( � �� �&� � �� � & ��7,( �

� ��725 ��#$¤

76.

S ∫� � -�� � � � ��� �� / ��� � � � � � � �

� / � � � � � �

  7�( � " ( � �m 1 N ��� 7 ! ( � �� �1� � &� �#7�( �

� �#7,5 ��#$¤

77.�∫� � -�� � � � � � � � � � ��� �   7m 1 N

�� 7 ! � W�7�( �� �#7,5 �

�#$ = � � m � ��@B

78.�∫� � "�� ���� ��� ��� ��� �

� / ��� � � � � � � �� / � � � � � �

  � �m N ��� 1 �#7 ! ( � �� �&� � �� � & �#7�( �

� �V7<5 ��#$ = � � m � ��@B

79.�∫� �#-�� � � � ��� �

� / ��� � � � � � � �� / ��� � � � �

  7m 1 N ��� 7 ! ( � �� �1� � &� �#7�( �

� �V7<5 ��#$ = � � m � � @CB

80.�∫� � � ��� � � � � � ��� ��� � � � � � ��� � � ���� �   � " � " �

� �( � ! ��F ( � � ( �� G ��F � � ( �� GY N & �� - � � - � � � � - � ! ( W�1 ��( � � 1;- �

#$ = � � � � � @CB��3N

Page 152: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����81.

�∫� � � ��� � � � � � ��� ��� � � � � � ��� � � ���� �  � " ��" �

�� �C7 ( � ! ��F 7 ( � � ( �� G ��F 7,5 � � ( �� G

Y N & �� 1;- � � - � � 1 a � � - � ! ( W�& � 1;- � �#7�( � #$ = � � � � 7A@B

82.

� ∫� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � £�� ���4�� �   � � � � ���O� � � � � � ¤83.

�∫� ��� ��� � � / �E� � � � � � / fg3��E�� �   � � �0f �O� ¤84.

�∫� �0fg3���� -21� � � ��� ��� / �E� � � � � � / fg3��E�� �   � m �� ¤

85.�∫� � -21� ��fT3���� -21� � � ��� � � / �E� � � � ��� / fg3��E�� �   � ¤

86.

� ∫� ��� � � £�� ��� ��� ��� �f ��� � ��� � � � �f � � � ���� �   �43 ¢ � � a 1 � m � '� ���O'�! % = '8>?7A@CB87.

� ∫� ��� � � £�� ��� ��� ��� �f � � � ��� ��� � �0f � � � ���� �   � m � '� ���O'�! % = '8>?7A@CB88.

� ∫� ��� ��� �f ��� � ��� � � � �f � � � ��� �   � � � � � £ fI��� � � � £ fI�0�&3 � � ¤89.

� ∫� � � � ��f ��� � ��� � � � ��f � � � ��� �   � � � £ � � � £ fI��� � � � £ / £ fI� � ¢ � ¤90.

� ∫� � � ��� �f � � � ��� ��� � �0f � � � ��� �   � � � � � £ fI��3 � � � £ fI�0� ¤91.

� ∫� ��� ��� �f � � � ��� � � � ��0f � � � ��� �   � � � � � £ fI��3 � � � £ fI�0� ¤��31�

Page 153: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� ;92.

� ∫� ��� ��� �f ��� � ��� � � � ��f � � � ��� �   � � � � � £ fI��3 � � � £ fI�0� ¤93.

∫� � � � ]�f ��� � ��� ��� � �f � � � ��� �   � � � ¢ 3 � � � £ / £ fI� � ¤94.

∫� � � ��� � + � � . � ��� � �0f � � � � � ��� �� � � �f ��� � � � ���4� � �   �

� � � � � � � £ fI� ¤4.1.5. The logarithmic function

1.1∫� ���� � ( � � �   7

� � � � D 3 � F £�� 7� G � � F £�� 7� G 3 � F £�� �� G � � F £�� �� G9H ¤2.

1∫� � � �� � ( � � �   � � ���7�� ¤3.

1∫� � � �� � ( � � �  3 � � � � �<3 � �7��O� � D � F � � 7� G 3 � F � � 7� G � � F � � �� G 3 � F � � �� GIH ¤

4.1∫�� �� �� � 5_7 � � ¢ 3���� �   3 �

� G 3 � � � £�¤5.

1∫��

� � 5_7 � � ¢ 3���� �   7� � � � � £ 3 � G 3 � � � � ¢ � / £ � � ¤

6.1∫� �C7�( � ! � " ��C7 ( � ��!�� & � � � ¢ 3���� �   �M�E(:7�! " �

� N 1 J 7 � ! � 5_7 L= � � � � ! � 7�(*� � � � @CB

7.1∫� 77<5 � � � ¢ � � a � & � �   � �7X� � ¢ 3 / ��� � £ � � ¢ � / � = � � @B

8.1∫� 77<5 � � � ¢ � � & a � � � �   � �� � � 3 / £ �

� 7� � £ D � £ � � � � � � / ��� H = � � @CB��3�,

Page 154: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����9.

1∫� 77<5 � � � ¢ � � � a � 1 � � �  � �7X� � £ 3 / ¢ ��� � � 7,5 � �� � � £ � / � � � £ � � / � / ��� = � � @CB

10.1∫� 77<5 � � � ¢ � � � a � � � �   � �� � � �P3 / � � � � 7� � � ¢ � / £ � � � £ � / �

� 7� � £ D � £ � � � � � � � / £ �<� H = � � @CB11.

1∫� 77<5 � � � ¢ � � � a � & �&� �   � �7X� � 3 / ��� � � 7,5 � �� � � � � / � �� � £ � � / � � / � � = � � @B

12.1∫� 77<5 � � � ¢ � � � a � � & � �   � �7X� � � 3 / � � � � � 5 � � 7� � � £ � / �

� � £ � � � / � � = � � @B13.

1∫� 77<5 � � � ¢ � � 1 1 a � 1 � � �   � �� � � ¢¢ 3 / � � ¡ �� 7� � � ¢ � / £ � � � � � / ¢ ��� � 7� � � £ � / � � � � / ¢�¡ �� 7� � 7<5 � �� � � � � / £ �<� � 7� � £ D � £ � � � � � ¢�¢ � / ¢L£4¡ � H = � � @CB

14.1∫� 77<5 � � � ¢ � � 1 & a � 1 � � � �   � �� � � ¢ 3 / � �4£ �

� 7� � � ¢ � / £ � � � � � / £�¢ ��� 7� � � £ � / � � � ¢ � � / ££ �<�� 7� � � � � / £ �<� � � � � / � � � 7� � £ D � £ � � � � � ¢ � / ¢ � ��� H = � � @CB15.

1∫� 77<5 � � � ¢ � � 1 � a � 1 � �&� �   � �7X� � � 3 / ¢ � ���� � 7,5 � �� � � £ � � � / � ��� � � 5 � 7 �� � � � � / ¢ ���� � £ � � / ¢ � � / ¢ � = � � @B

��33

Page 155: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� ;16.

�∫� � � -21 �fT3���� � -21 � � ¢ 3�� ���fg3����4� �  3Pf �4a � a 1 � � ��� � ¢!� � � ¢ � � N & �� 7��#7 � 5_7 � �I5_7 ! �

W ����� �9a � a 1 � �9a � 5_7 #$� m � � ! � � � � � � � ( 7 ! � ��� �&� � ( m � � ! � � � � B

17.�∫� � � ¢ 3�� ���0fg3����4� �   �� � ) ¢ 3 m � �� , 1� ��� � � � ) m � �� , 3 £ f

= m � � ! � ��� �&� � ( m � � ! � � � @B18.

�∫� � -21 � � ¢ 3 � ���fQ3 ���4� �   3 £ �� ��� � m � �� = m � � ! � � ����� � ( m � � ! � � � @CB19.

�∫� 7� � m ( � ! � � ¢ 3�� ���0f63���� � �   3 �

m �� ��� � m � ��= m � � ! � ��� �&� � ( m � � ! � � � @B

20.�∫� � -21� ��fT3���� -21� � � ¢ 3�� ���0f63����4� �  �£ � � ��5 � � ( m � ��

= m � � ! � ��� �&� � ( m � � ! � � � @B21.

�∫� � -!&4� ��fT3���� -!&4� � � ¢ 3�� ���0f63����4� �   � �m � F � � 3hf �T3 £ G= m � � ! � ��� �&� � ( m � � ! � � � @B

22.�∫� � -21� �fT3���� -!&4� � � ¢ 3�� ���0f63����4� �   � �m F � � 3hf �T3 £ G

= m � � ! � ��� �&� � ( m � � ! � � � @B23.

�∫��

� � 5 m � � � � 5n� � � 5�� � (*� � � 5 � �  �£ � ��� � �

�� m � 5 �

�( � �

= � � � ��! = � � @���� � � !C@CB24.

�∫� 7� � � � 5n� � � 5 �� � (*� � � 5 �

�  �£ � �� �� ��� � = � � � ��! = � � @��&� � � !M@B

��395

Page 156: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����25.

�∫� 7� � � � 5n� � � 5

�� � 5n��� � 5� �   �� � � � �� � 3 �� � � � �� �= � � � ��! � � � � ! = � � @ ��� � � !M@B

26.�∫� � �4a 1� �0fg3���� � � � ¢ 3��

����fg3���� � �

  3 £ - � - � 1� f �4a � � � � ��� 5 � !� J � 5 � L & N

� 7 �#7��]� 5 ����]� 5 � ! � � �= m � � ! � � � ( 7 ! � ��� �&��� ( m � ! � � � @B27.

�∫� � 1� � � ¢ 3������fg3���� � �   �

� � � � �0f � � ¢ � / £ 3hf � �� ��� � ) * m �� ,3 � � m� � � �]f �'� � � = m � � ! � � ������� ( m � ! � � � @CB

28.�∫� � -21� � � ¢ 3��

����fg3���� � �

 �� � � / £ 3hf � �� ��� � ) * m �� , 3 / f � = m � � ! � � ������� ( m � ! � � � @CB

29.�∫� � -21� ��fT3���� -21 � � ¢ 3��

����fg3���� � �   3 �� m �� ��� � * m ��

= m � � ! � ��� ����� ( m � ! � � � @B30.

�∫� � 1��� �0fg3���� -21��� � � ¢ 3������fg3���� � �

  �� � � � f � � ) ¢ � * ¢ 3 m �� , � £ * ¢ 3 m �� � m �� � ¢ 3 £ � £ �<3 £ = m � � ! � ��� ����� ( m � ! � � � @B31.

�∫� � -21��� �fT3���� -!&4��� � � ¢ 3������fg3���� � �

 �£ &4� � � ) 7� � 7� * ¢ 3 m �� , = m � � ! � ��� �&��� ( m � ! � � � @B32.

�∫� � -!&4��� �fT3���� - � ��� � � ¢ 3������fg3���� � �   � �m � / £ 3hf �T3 / £ �

= m � � ! � ��� ����� ( m � ! � � � @B��3�;

Page 157: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� ;33.

�∫� � � -21 �fT3���� � -21 � ������0fg3���� � � ¢ � � ���fg3���� � �

  f �4a � � � F � � 7� ��� � 7� G � N & �� 1 � 1 � 5 1 � �;5 1 ! ( �W � W�& � �9a � a 1 � �Ia � 5_7 #$

� m � � � � � � � � � ! � � ����� � 5 m � � � ! � � � � B34.

�∫� � � ������fg3���� � � ¢ � � ���fg3���� � �

  m� * ¢ � m � � �� D K F m �� � 5 m � � � G 3 E F m �� � 5 m � � � GIH= m � � ! � � ����� � 5 m � � � ! � � � @B

35.�∫� � -21� ��fT3���� -21� � �

�����fg3���� � � ¢ � � ���0f63���� � �

  � D � � F 3 � m �� G 3 � � F � m �� GIH = m � � ! � ��� ��� � 5 m � � � ! � � � @B36.

�∫� � 1� ��0fg3���� -21� � ������fg3���� � � ¢ � � ���0fg3���� � �

  � m� D � � F]3 � m �� G 3 � � F � m �� GIH = m � � ! � ��� �&� � 5 m � � � ! � � � @B37.

�∫� � �4a 1� ��0fg3���� � � ) � �� ���0f63���� � " ¢ � � � ���0fg3���� , �

 �£ - � -!&4� � 1� f9 �4a � � J � 5 � L� ��� 5 � ! & N �� 1 � 1 ��� 5 �& ��� 5 � ! ( � �W#$

� m � � ! � � � ( � � ! � ��� �&����5 m � � ! � � � � B38.

�∫� � -21� � ) � �� ���fg3���� � " ¢ � � � ���0fg3���� , �

  � � �� * ¢ � m � �� D K F � � m� ��5 m � � G 3 E F � � m� ��5 m � � G9H= m � � ! � ��� �&����5 m � � ! � � � @B

39.�∫� � -21��� �fT3���� -!&4��� � ) � �� ���fg3���� � " ¢ � � � ���0fg3���� , �

  / £ � D � � F 3���� " m � G 3 � � F ��� " m � G9H = m � � ! � ��� ����� 5 m � � ! � � � @CB��3:

Page 158: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����40.

�∫�� �� �

� 7,5 � � � � � m ( � ! � ) � �� ���0fg3���� � " ¢ � � � ���fg3���� , �

  �� � � � � � f � � �f � 3 £ � � ) ¢ � m � �� , = m � � ! � ��� �&����5 m � � ! � � � @CB41.

�∫���" �� �

� 7,5 � � � � � m ( � ! � ) � �� ���0fg3���� � " ¢ � � � ���fg3���� , �

  �� � � � ) ¢ � m � �� , = m � � ! � ��� �&����5 m � � ! � � � @CB42.

�∫�� � m ( � ! �� �

� 7,5 � � � � � m ( � ! � ) � �� ���0fg3���� � " ¢ � � � ���fg3���� , �

  �� � � � � � f � �� � f � 3 ¢L£ � � £ � f9 � � 3 �Vf � �� ¢L£ � � ) ¢ � m � �� , = m � � ! � ��� �&����5 m � � ! � � � @B

43.�∫�

��" �� �� 7,5 � � � � � m ( � ! � ) � �� ���0fg3���� � " ¢ � � � ���fg3���� , �

  �� � � � ) ¢ � m � �� , = m � � ! � ��� �&����5 m � � ! � � � @CB44.

�∫���" �� � � m ( � ! " �

� 7,5 � � � � � m ( � ! � ) � �� ���0fg3���� � " ¢ � � � ���fg3���� , �

  � �� m �� �� � F��#" m � G = m � � ! � ��� �&����5 m � � ! � � � @CB45.

1∫�� �C7 ( � � !�� " ��C7 ( m � � ! � & �� � � 7,5 �7�( � �  � �� � � !

� J 5 1 L � ¢ 3hfI� -21� N 1 J 7�� 5_7 ! m L = � � � � ! � 7 ( m � � � @CB

46.�∫� � � -21 � ¢ � � ��� � � � m 5 � m ( �� � �

  7� / � f � � � ! � J 5 1 L & N

� ( � � � ! ( m � 5 1 � 5_7 �= m � � � � � ! � � � � ( 7 � �� � � � ! � � �����C7,5 m � ! � � � @CB

��3�<

Page 159: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� ;47.

�∫� 77<5 � � � � m 5 � m ( �� � �  7� � � / f �-� / f � � ¢ �

= m � � ! � ��� ���C7,5 m � ! � � � @B48.

�∫� 77 ( � � � � m 5 � m ( �� � �  7� �� ��� � / f � = m � � ! � � �����C7�( m � ! � � � @CB

49.�∫� 7�C7<5 � � ! � � � m 5 � m ( �� � �   * m

� � m � 5_7X! � � / f �-� / f � � ¢ �= m � � ! � ��� ���C7,5 m � ! � � � @B

50.�∫� 7�C7 ( � � ! � � � m 5 � m ( �� � �   * m

� �C7�( m � ! �� ��� � / f �= m � � ! � ��� ���C7�( m � ! � � � @B

51.�∫� 7� 7<5 � � � � m 5 � m ( �� � �  �£ " m

� ��� � � � / f �I�<3 7� � � ¢ � f �O�

= m � � ! � ��� ���C7,5 m � ! � � � @B52.

�∫� 7� 7 ( � � � � m 5 � m ( �� � �   " m� � 7,5 � m �7�( � m � � 7

� � � ¢ 3hf �O�= m � � ! � ��� ���C7�( m � ! � � � @B

53.�∫�

�� 7<5 � � � � m 5 � m ( �� � �

  7� � � � / f �2�0f � 3 � �� �� � / f �-� £ � � ¢ � f �O� � f � �= m � � ! � ��� ���C7,5 m � ! � � � @B

54.�∫�

�� 7 ( � � � � m 5 � m ( �� � �

  7� � �

� / f �2�0f � � � � 7<5 � m �7 ( � m � � � � � ¢ 3hf �O�<3 £ f � = m � � ! � ��� ���C7�( m � ! � � � @B55.

�∫� � �7<5 � � � � m 5 � m ( �� � �

  � � m� 3 � �

� � � � � � m � 5_7X! �� � (:7�5 � � m � 5_7X! �� � 5_7� � = m � � ! � ��� �&�C7<5 m � ! � � � @B��3L

Page 160: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����56.

�∫� � �7 ( � � � � m 5 � m ( �� � �   3 �+� m� � � �

� � � ��� � � � * 7�( �C7 ( m � ! �� ��= m � � ! � ��� ���C7�( m � ! � � � @B

57.�∫���" �� �7<5 � � � � m 5 � m ( �� � �  

�� � � � / f ��� / f � � ¢ �= m � � ! � ��� ���C7,5 m � ! � � � @B

58.�∫���" �� �7 ( � � � � m 5 � m ( �� � �  

�� � �� ��� � / f � = m � � ! � � �����C7�( m � ! � � � @CB59.

�∫���" �� ��C7<5 � � ! � � � m 5 � m ( �� � �

  � � � * mm � 5_7 � 7� � � � / f �-� / f � � ¢ � = m � � ! � ��� �&�C7<5 m � ! � � � @B60.

�∫���" �� ��C7 ( � � ! � � � m 5 � m ( �� � �  

� � * m7 ( m � � �� � � ��� � � � / f �= m � � ! � ��� ���C7�( m � ! � � � @B

61.�∫� � � -21 �fT3���� � -21 � 7,5 � � � � m ( � !7�( � � � � m ( � ! �  �£ f �4a � � � F�� � 7� ��� � 7��G

Y� N & �� 1 �#7�� 5 1 � �;5 1 ! �

W � W�& � �9a � a 1 � �9a � 5_7 #$ � m � � � � � � � � ( 7 ! � � ����� � ( m � � � ! � � � � B

62.�∫� � 7<5 � � � � m ( � !7 ( � � � � m ( � ! �   � m � �� 5 � � ( m � � � = m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � @CB

63.�∫� � � 7,5 � � � � m ( � !7�( � � � � m ( � ! �   � m � �� F £ � �

� 3hf � G -21= m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � @B

64.�∫� �2 � 7,5 � � � � m ( � !7�( � � � � m ( � ! �   �7�� � � D � f9 � 3 �&�0f9 � 3 ¢ � � � 3hf � 3 � H= m � � ! � ��� ��� � ( m � � � ! � � � @B

��3P

Page 161: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� ;65.

�∫� � -21 � 7,5 � � � � m ( � !7�( � � � � m ( � ! �  �£ � ��� � � � m �� = m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � @CB66.

�∫� 7� � m ( � ! � 7,5 � � � � m ( � !7�( � � � � m ( � ! �   � �m ��� � � � m ��

= m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � @B67.

1∫�

�� � � ( m � � � 7<5 � 5 � 7�( �� 7<5 � ( � 7�( � �  � � � ¢ 3hfI� = � � m � 7A@B

68.�∫� � �4a 1� ��0fg3���� � � 7,5 � �� � � m ( � !7 ( � �� � � m ( � ! ! �

 �£ - � -21� � 1� f9 �4a � � J � 5 � L� ��� 5 � ! & N �� 1 �V7���� 5 �& �]� 5 � ! � �W#$

� m � � ! � � � ( 7 ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � � B69.

�∫� � -21� � 7,5 � �� � � m ( � !7�( � �� � � m ( � ! �   � �� F / £ 3 � £ 3hf � G

= m � � ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � @B70.

�∫� � 1� � 7<5 � �� � � m ( � !7 ( � �� � � m ( � ! �  �

� � � � � D f � 3 £ �0f � �� ¢ � � � 3 £ f � � � H = m � � ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � @CB71.

�∫� � -21� ��fT3���� -21 � 7,5 � �� � � m ( � !7�( � �� � � m ( � ! �   � �� m �� ��� � F �#" m � G= m � � ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � @B

72.�∫� � "�� �= � � � � 5n� � !A�(� � � 5 � � 5 � !C@ �� � � F � � � � � � G �

  �� � � � � � ��� � m �� � � F m ��nG 3 � � � m �� � � F m ��:G� � � � � m �� � � � � F m ��:G � � � � � m �� � � � � F m ��nG� £ � � F m ��nG D � � � m �� � � �0fI�&��� ��� � m �� � � �0fI�&� H3 £ � � F m ��nG D ��� � m �� � � � � �&��3 � � � m �� � � �0fI�&� H � = � � m � � � �� � @CB��5�N

Page 162: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����73.

�∫� � ��� ��� ��� ��� � m 5 � m � ( � �� �  � � m�� � 1 �f �O� L� �0f �O��3 � �0f �O� L1 �f �O�0�= m � � @CB

74.�∫� F 7� � � � � � � 3 7

� � G � � �   C� 3 7� � � £ � � ¤75.

�∫� � � ��� � � ��� � m 5 � m � ( � �� �

  � m� � � � �f �O� L1 �0f �O��3 � 1 �f �O� L� �f �O� � £ � �f �O�0� = m � ��@B76.

�∫� � � � ��� � � ��� � m 5 � m � ( � �� �

  � m� � � � � � �f �O� L1 �0f �O��3 � 1 �0f �O� L � �0f �O��� f � 1 �f �O�0� = m � � @CB77.

�∫� � � � � � � �f9 3��2 � �  7� D � � � �f �O��F � � m

� 3 C G 3 � � � �0f �O� � � � £ f �O� � � � � �0f �O� � � � £ f �O� H = m � ��@CB78.

�∫��� � � � � !� m � ( � � � �0f9 3��2 � �   � ��

� � �f �O�<3 � � F � � �m � C G � � �0f �O�= m � � @CB

79.�∫�

�� � � m � !� � 5 � � � � �2�� �� � �  ��O� � � � D � - � � F � �O�m 3 C G 3 ����� � £ fI�&� � � ��� � £ fI�&� H = m � � � �� � @CB

80.�∫�

��� � � m � !� � � 5n� � � � �2�� ��O� �   � � F � �� m 3 C G � � �0fI�&��3 L� �0fI�&��� 7� � � & � �� m � � �� ������

�� � ��¡��!¡�� �� � ��

�� = m � � � �� � @CB81.

�∫��� � � m � !� � � 5n� � � � � � � � �   F � �� m 3 C G � � �fI�&� = m � � � �� ��@CB

��5)�

Page 163: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� ;82.

�∫

��� � � �� � � ( m � � � �2 3hf9O� �   3 � ��� � �0f �O��3 � � F � � �m � C G � � �f �O�

= m � � � � @CB83.

�∫

���� � �� � � ( m � � � � 3hf � �   3 � �� � � �0f �O��� � � F � � �m � C G � � �f �O�= m � � � � @CB

84.�∫� � �T�fg3���� � ��� � � �� � � � � � � �f � 3�� � �   ��

� �� � � � �f � � £ �� � � �0f � � £ � �Y�� � � � F m �� G � f �QD � � 1 F m ��*G 3 £ F � � �m � C 3 £ G � 1 F m ��*GIH � = m � � � ��@CB

85.�∫� 7

� � � m ( � ! � � � � � �� � � � � � � �f � 3�� � �  � � � ��� � �f � � £ �

� � � �0f � � £ � � D � � � F m ��*G 3 £ F � � �m � C G � � F m ��*GIH = m � � � � @CB86.

�∫� � � � � 5 � � 5 � � �� �� � � � � 5 � � ! � � � �f ��� � F � � � � � � G �

  �� � � � -�� �A� � � F m �� G � �� �� � � -�� �A� � � � F m �� G3 �� � � � � �A� � � �43�fI�&� � F m ��:G = � � �� � @CB

87.�∫� � � � � 5 � � 5 � � " �� �

� � � � � 5 � � ! � � � �f ��� � F � � � � � � G �  �� � � m �� � � � -�� �A� � � F m �� G � �� �� � � � -�� �A� � � � F m �� G� �� � � � � � �A� � � �43�fI�&� � F m ��:G = � � �� � @CB

88.

� ∫����� ��� ' � !��� ��� � 7<5 m ��� ���7 ( m ��� ��� �  ��3 ¢ � � � " � ' � m � ' & �� 'g5 7 & N �� '65 1 ��'65 1 ��'65_7'65 & ��� '65_7 ! m �

#$ = � ��� � �C7 ( m � ! � � � @CB��5�,

Page 164: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����89.

� ∫� � � � � � � � � �0f ��� � 7<5 � �� � �7 ( � �� � � �   � " � " � � � � � � 5n� !� J � - � a & L � J � a � a & L

Y� N & �� 1 �#7 � � 5_7�� � a & ! � �& � � - � a & � � a � a &

#$ = � � � � (�� ! � � �����C7 ( � � ! � � � @B90.

∫� ��� � � � � � � � �f ���� � � �0f ��� � � 7,5 � ��� ���7�( � ��� ��� �   � " � � � � � � 5n�O!

� J � - � a & L � J � a � a & LY � � � � ��� f�� £ �

� � � � ��f � £ � � � N & �� 1 �V7�� � 5_7 � � a & ! � �& � � - � a & � � a � a &#$ = � � � � ( � ! � ��� ���C7�( � � ! � � � @CB

91.

S ∫� 7��� � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � ¢ � � ��� � ���� �   � � ��� � � � � m �O!mY � ��� � � � ��f � £ �

� � � � � � f�� £ � � � N & � 1 �#7 �#7 �#7 ! ( �� �#7 ( � �#7,5 � � = � ��� � �C7,5 � ! � � � @B92.

� ∫� � � � � � � � � �0f ��� � � ¢ � � � � � ��� �   � " � " � � � � � � 5 � !� J � - � 5n� L � J � a � 5n� L

Y� N & �� 7��#7 � � a & � � 5:� ! ( �� � � - � 5n� � � a � 5n� #$ = � � � � ( � ! � ��� � �C7,5 � ! � � � @B

93.

� ∫����� � m � !� 7<5 � � ���� � � � F�� � � � � � � ¢ � � � � � � G �

 �� � � m � � !7 ( m � & N � 7��#7 �#7 ! ( � �&�- � � & a � � = � ��� ���C7,5 � � ! � � � @CB

94.

∫� ��� � � � � � � � �f ���� � � �0f ��� � � � ¢ � � � � � ��� �   � " ��" � � � � � � 5 � !

� J � - � 5n� L � J � a � 5n� LY � ��� � �0f ��� £ �

� � � �f ��� £ � � � N & �� 7 �#7�� � a & � � 5n� ! ( ���� � - � 5n��� � a � 5n� #$ = � � � � ( 7 ! � � ��� �C7<5 � ! � � � @CB��5�3

Page 165: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� ;95.

∫���� ��� �

� 7<5 � � ��� � � �� � � � �0f ���� � � �0f ��� � � F � � � � � � � ¢ � � � � � � G �

  � " ��" � � � � � � 5n� !� J � - � a & L � J � a � a & L

� � � � �0f ��� £ �� � � �0f ��� £ � � � N & �� 7 �#7�� � 5 7 � � a & ! ( � �& � � - � a & � � a � a &

#$

= � � � � ( 7 ! � ��� �&�C7<5 � � ! � � � @B96.

∫� ��� � � � � � � � �f ���� � � �0f ��� � � F�� ��� � � � � ¢ � � � � � � G �

  � " ��" � � � � � � 5n�O!� J � - � a & L � J � a � a & L

� ��� � �f ��� £ �� � � �0f ��� £ � � � N & �� 1 � 1 � � 5_7�� � a & ! ( � �& � � - � a & � � a � a &

#$

= � � � � (�� ! � ��� �&�C7<5 � � ! � � � @B97.

S ∫� 7��� ��� � � � � �f ���� � � �0f ��� � � 7,5 � ��� ���7�( � ��� ��� �   �

� ��� � � � � m � !mY � ��� � � � � f�� £ �

� � � � � ��f � £ � � � N & �� 1 � 1 �V7��#7 ! � �& �V7 ( � �#7,5 � #$ = � � �����C7 ( � � ! � � � @B

98.�∫� � � -21 � � � ��� ��� � m 5 � m � ( � �� �  

� �� � m � & � � � J �9a 1 L� � 5_7�! � J � LY N & �� �9a 1 � �9a 1 ! ( �W � W�& � � 5 7 � �9a &

#$ = m � � ! � � � ( 7R@CB99.

�∫� � � -21 � � � ��� ��� � m 5 � m � ( � �� �

 � �� � m � � J � L� � J �9a 1 L N & �� � � � ! ( �

W � W�1 � �9a 1 � � 5_7 #$ = m � � � � ��@CB

100.�∫� � � � � � � ��� � m 5 � m � ( � �m (%� m � ( � � �

  � � m�� � � 1 �f �O� H� �0f �O��3 � � �0f �O� H 1 �0f �O�� = m � ��@B

101.�∫� � � � ��� ��� � m 5 � m � ( � �� �

  � m� � � � 1 �f �O� H� �0f �O��3 � � � �f �O� H1 �0f �O��� £ � � �f �O�0� = m � � @CB��55

Page 166: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����102.

�∫� �2 � � � ��� ��� � m 5 � m � ( � �� �

  � m� � � � � � � �0f �O� H 1 �0f �O��3 � � 1 �0f �O� H� �f �O� � f � � 1 �f �O�0� = m � � @CB103.

S ∫� � "�� ���� � � � � � ¢ � � � � � ���� �   �m � ¢ 3 � - S � �Y� N & �� 1 �#7��V7��#7 ! ( ����V7 ( �

� �#7<5 ��#$ = � � m � � ! � ��� � �C7,5 � ! � � � @B

104.

S ∫� � "�� ���� ��� � 7<5 � ��� ���7 ( � ��� ��� �   � �m � ¢ 3 � - S � � � N & �� 1 � 1 �V7��#7 ! � �& �#7 ( �� �#7,5 �

�#$

= � ��� ���C7,5 � � ! � � � @CB105.

�∫� � "�� ���� � � � � ¢ ��� � � � ��� �   �m � N & �� 1 � 1 ��7 ��7 ! � �& � 19- � � � 1 a � �#$

3 � �� � m � 5n7 � � N & �� 7���7 ��7�� & ! � �� � &�- � � � & a � �#$ � � � m �� ! � ��� �&�C7,( � � ! � � � � B

106.�∫� � -�� � � 7,5 � ��� ���7�( � ��� ��� �   � �m � 5_7 & N �� 1 �#7 �#7 ! � �&�- � � � & a � �

#$� � � m � � ! � ��� �&�C7 ( � � ! � � � � B

107.�∫� � "�� ���� ��� � 7,5 � ��� ���7�( � ��� ��� �   � �m � N & �� 1 � 1 �#7��V7 ! � �& �#7�( �

� �V7<5 ��#$

� � � m � � ! � ��� �&�C7 ( � � ! � � � � B108.

�∫� � "�� ���� � � � � � ¢ � � ��� � ��� �   �m � N & �� 1 �#7 �#7��#7 ! ( �� �#7 ( �� �#7<5 �

�#$

= � � m � � ! � ��� � �C7,5 � ! � � � @B109.

�∫� � �� � 5n�]! ' & � � � � � 5 � � !   �( 7X! '' % ���� D 7 � �<H 3 7�M��(:7X! '%& �

= � ��� ��� � � � ! � �� 7R@CB��5�;

Page 167: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� ;110.

1∫� � F ¢ 3 � � � 7<5 �7 ( � G � � � � �� -21 �   �� = � � @B

111.1∫� �2 � F ¢ 3 � � � 7<5 �7 ( � G � � � � �� -21 �   � �7 � � = � � @B

112.1∫� � � � F ¢ 3 � � � 7<5 �7 ( � G � � � � �� -21 �   �O�� � � = � � @B

113.1∫� 7m � � � 5_7 � F ¢ 3 � � � 7,5 �7�( � G � � � � �� -21 �   � � �� � � mm ( � � �� � � m 3 �m �= � � m � � ! = � � @ @CB

114.1∫� � �

� F ¢ 3 � � � 7<5 �7 ( � G � � � � �� -21 �   � ��� � �� � � � � � = � � @B

115.1∫-21

7� 7 ( � � � � ¢ � £ f � � f9 � � � ¢ � £ � � � � �� �  �£ � � � �f �O� ¤116.

�∫� � � -21 �fg3���� � -21 � � � � ���fg3���� � � ¢ � � ���fg3���� � �  f �4a � a 1 � � ��� � ¢!� � � ¢ � � N � �� 7 �#7 �#7�� 5_7�� �;5 7 ! ( �

W � W�& ����� �Ia � 5 7 � �9a � a &

#$� m � � ! � � � � � � � ( 7 ! � � ����� � 5 m � � � ! � � � � B

117.�∫� � 1� ��fg3���� 1� � � � � ���0fg3���� � � ¢ � � ���0fg3���� � �  �7�� � � � � � � f � � � ) ¢ � m � � �� , 3hf � � � ) 3 m � � �� , 3hf � = m � � ! � � ����� � 5 m � � � ! � � � @B

118.�∫� � 1� ��fg3���� -21� � � � � ���fg3���� � � ¢ � � ���0fg3���� � �

  3 � m� � � ) 3 m � � �� , = m � � ! � � ����� � 5 m � � � ! � � � @CB��5�:

Page 168: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����119.

�∫� � 1� ��fg3���� -!&4� � � � � ���fg3���� � � ¢ � � ���0fg3���� � �  � � �

�#f � ��� � � m �� 3 � � ) ¢ � m � � �� , 3 � � ) 3 m � � �� , = m � � ! � � ����� � 5 m � � � ! � � � @B120.

�∫� � -21� �fg3���� -21� � � � � ���fg3���� � � ¢ � � ���0fg3���� � �  3 � � � � ) 3 m � � �� , = m � � ! � � ����� � 5 m � � � ! � � � @CB

121.�∫� � -21� ��fg3���� -!&4� � � � � ���fg3���� � � ¢ � � ���0fg3���� � �  � �m � f � ��� � � m �� 3 � ) ¢ � m � � �� , = m � � ! � ��� �&� � 5 m � � � ! � � � @CB

122.�∫� � -!&4� ��fg3���� -!&4� � � � � ���fg3���� � � ¢ � � ���0fg3���� � � � �m � � f � ��� � � m �� 3 � ) ¢ � m � � �� , = m � � ! � ��� �&� � 5 m � � � ! � � � @CB

123.�∫� � � �fg3���� �4a 1� � ) � �� ���0fg3���� � " ¢ � � � ���0fg3���� , �

  � " � � " � � � m � � & � � � � � ��� 5 � !� J � 5 � L � N & �� 7��#7 �#7 ��� 5 � ! ( � �

W& ��� ��� 5 �#$

= m � � ! � � � ( � � ! � � ������� 5 m � � ! � � � @CB124.

�∫� � -21��� �fg3���� -!&4��� � ) � �� ���fg3���� � " ¢ � � � ���0fg3���� , �

  3 �� � � � ) 3 m � �� , = m � � ! � ��� �&����5 m � � ! � � � @CB125.

�∫� � 1��� �fg3���� -21��� � ) � �� ���0f63 ��� � " ¢ � � � ���0fg3���� , �

  3 �� � � � � � f � 3 � £ � f � � � ) ¢ � m � �� , � f � � � ) 3 m � �� , = m � � ! � ��� �&����5 m � � ! � � � @B��5�<

Page 169: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� ;126.

1∫� � -21 � � � m 5 �m ( � �   � � & F�3 7m G 3 � � & F 7m G = m � 7A@B127.

�∫� � -21� � � ¢ 3�� ��� � � m 5 � m ( �� � �  �£ � / f ) � 7<5 � 7�( m �� 3 ¢ ,� � �� � �� ��� � * 7 ( �C7 ( m � ! �� �� = m � � ! � ��� �&�C7 ( m � ! � � � @B

128.�∫� � � ¢ � � ��� � � m 5 � m ( �� � �

  3 f�� £ * m �C7<5 m � !� � � / f �-� / ¢ � f � �� 7

� � � / f ��� / ¢ � f � � = m � � ! � ��� ���C7,5 m � ! � � � @B129.

1∫� 7� � � ¢ 3���� � 7,5 � 7 ( �� � �  

7� � � � � ��3 £ �, � £ � ¤130.

�∫� � -!&4� � � ¢ � � ��� � � m 5 � m ( �� � �

  � �� m � ¢ 3 / f � � ¢ � / f � � � / f ��� / f � � ¢ � �= m � � ! � ��� �&�C7<5 m � ! � � � @B131.

�∫� � -!&4� � � ¢ 3�� ��� � � m 5 � m ( �� � �

  � �� m � ¢ 3 / ¢ 3hf �T3 / f � �� ��� � / f � � = m � � ! � � �����C7 ( m � ! � � � @CB132.

�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� � 7<5 � �7 ( � � �   � � �� � m � & � � � J �9a 1 L � � 5_7X! � J � LY �� ��� � ¢ � & N �� 1 �#7 � �9a 1 ! m � � �& � � 5_7 #$ 3 & N �� 7 � �9a 1 � �Ia 1 ! m � � �� 5_7�� �9a &

#$���� m � � ! � � � ( 7 ! � � �����C7 ( m � � � ! � � � � B

��5�L

Page 170: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����133.

�∫� � � m 5 � m � ( � �� � 7<5 � �7 ( � � �  �� � � ��

��� � � � �f �O��3 � �� ��� � � 7 ( � 7�( m � � � � �� �� � f �;F £ 3 � ¢ 3hf � G ��= m � � ! � � �����C7�( m � � � ! � � � @B

134.1∫� 7� � 7,5 � 7�( � �

� � 7<5 �7 ( � �   � �� � £�¤135.

�∫� � � -21 � F�� � � � ¢ � � � G � m 5 � m � ( � �� �  � �� � m � & � � � J �9a 1 L � � 5_7�! � J � LY �� ��� � ¢ � & N �� 1 � 1 � �9a 1& � � 5_7 ! ( m � � �

#$ 3 & N �� 1 � �9a 1 � �Ia 1� 5_7 � �9a & ! ( m � � �#$���

= m � � ! � � � ( 7 � ! � ��� �&�C7<5 m � � � ! � � � @CB136.

�∫� � F�� � � �� � � ¢ G � m 5 � m � ( � �� �

  � m� � � � � ��3��Af �O��3 � � � �Af �O���� 7� � � � ¢ � f � �<3hf �� �� � �f �O�= m � � ! � � �����C7,5 m � � � ! � � � @B137.

1∫� � F � � � ¢ � � G � 7<5 � 7�( � �� �   G 3 � � � 7� � £�¤

138.�∫� � � F�� � � �

� � � ¢ G � m 5 � m � ( � �� �

  � m �7�� � � � �43 �Af �O��3 � � � �Af �O��� 7� � � � � f �]�f9 � � � � �� �� � �f �O��3 � � � ¢ � f9 � �<3 �#f9 � R�= m � � ! � � �����C7,5 m � � � ! � � � @B

139.1∫� �2 � F � � �

� � ¢ G � 7<5 � 7 ( � �� �

  7� � � ¢�£ G ��� �83 � � £ 3 ¢'¡ � ¤

��5�P

Page 171: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� ;140.

�∫���

" �� 7,5 � � � � � F � � � � ¢ � � � G � m 5 � m � ( � �� �

 � �� � m � & � � � J �Ia 1 L�]� 5 7�! � J � 5_7 L � N & �� 7 �#7�� �9a 1 � �9a 1 ! ( m � � �& � � 5_7�� �9a &

#$

= m � � ! � � � ( 7 ! � ��� �&�C7<5 m � � � ! � � � @CB141.

�∫��� � � � � 5_7 � F�� � � �

� � � ¢ G � m 5 � m � ( � �� �

  �� � � ��� � � �f �O� � � m�� � � �0f � � ¢ ��3 £ � = m � � ! � � �����C7<5 m � � � ! � � � @CB

142.�∫�

��" �� � � � � 5_7 � F�� � � �� � � ¢ G � m 5 � m � ( � �� �

  � �� � � � ��3Pf9 � �<3 � � � � �Af �O�� = m � � ! � ��� �&�C7<5 m � � � ! � � � @B143.

1∫� 7� � � � 5 7 � F � � �

� � ¢ G � 7<5 � 7 ( � �� �  

�G� ¤

144.1∫� � � -21 � F f � � � ¢ � f � G � 7<5 � 7 ( � �7 ( � 7 ( � � �   � � �� � m � J �Ia 1 L

� � 5_7�! � J � LY � ���'� ¢ � & N �� 1 � 1 � �9a 1& � � 5_7 ! ( m �#$ 3 & N �� 1 � �9a 1 � �9a 1� 5_7 � �9a & ! ( m �

#$ ��� � �����C7,5 m � ! � � � ! � � � � � B

145.1∫� � �f � � � f � � ¢ � � 7,5 � 7 ( � �7�( � 7 ( � � �   � � � � �43 �AfI�<3 � � ���AfI�0�

3 £ �� �� � f�� 7m � �0f9�� ¢ � �� � �����C7<5 m � ! � � � � B

146.1∫� � � -21 � m 5 �m ( � � 7,5 � 7 ( � �7�( � 7 ( � � �  

� � �� � � J �9a 1 Lm � � 5_7X! � J � LY � ��� � ¢ � & N �� 1 �#7 � �9a 1& � � 5_7 ! m " �#$ 3 & N �� 7 � �9a 1 � �Ia 1� 5_7 � �9a & ! m " �

#$ ��� � �����C7,5 m " � ! � � � ! � � � � � B

�!;9N

Page 172: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����147.

1∫� � 7,5 �7�( � � 7,5 � 7 ( � �7�( � 7 ( � � �   � G 3 � �� ¤148.

1∫� � � 7<5 �7 ( � � 7<5 � 7�( � �7 (�� 7�( � � �  �£ �83 � �� ¤149.

1∫� 7� � 7,5 �7�( � � 7,5 � 7�( � �7�( � 7�( � � �   �� � £�¤

150.1∫� 7� � � ��/ � � / � � ¢ � � 7<5 � 7�( �7 ( � 7�( � �   � G 3 � � £ � £�¤

151.�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� � F � � � � ¢ � � � G �

 � �� � m � & � � � � J � 5_7 L�#� 5n� ! � J �Ia & L � N �

�� 7��#7 �#7�� � 5 7 � � 5_7& ����� �Ia & � � 5n� ! ( m � � �#$

= m � � ! � � � (�� ! � ��� �&�C7<5 m � � � ! � � � @CB152.

�∫� � F � � � �� � � ¢ G � m 5 � m � ( � �� �   � m� � � 3 £ � �f9 � � ¢ �

3 � � �43�f � �0�&3 �� �� �� � �0f �O� = m � � ! � ��� �&�C7<5 m � � � ! � � � @B

153.1∫� � F � � �

� � ¢ G � 7,5 � 7 ( � �� �

  �� � � � �P3 ¢�£ � � �, 3 £ � � £ � = m � � @CB154.

1∫� �2 � F � � � �� � � ¢ G � m 5 � m � ( � �� �

  �� 7�� � � � � � ��� � � �0f �O��� f �]�f � � � � � � ¢ � f � ��3 � f & � & � � �43�f � �3nf �]� ¢¢ f9 � � � �#�� = m � � ! � � �����C7<5 m � � � ! � � � @CB155.

1∫� �2 � F � � �� � ¢ G � 7,5 � 7�( � �

� �

  �� � � � � � � � �, � ¢�£�¡ � £ 3 £ � � ¤�!;��

Page 173: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� ;156.

�∫� � - � F � � � �� � � ¢ G � m 5 � m � ( � �� �

  � � �� � � � �43 �Af �O�<3 � � ���Af �O�0��3 � � �� �� � �f �O� � �� m � �f � � ¢ �= m � � ! � � �����C7,5 m � � � ! � � � @B157.

�∫� � - � F � � �� � ¢ G � 7<5 � 7�( � �

� �  � � � � G 3 � � £ � £ � ¤

158.1∫� � � � ¢ 3���� -21� � � � � + � -21 . � � � � � & � � � �

  � �� ��� �

��£ � a � � J � a 1 L

� J � 5_7 L�� = � � m � � @CB

159.1∫�� � �C7 ( � ! "�� � " � �

� � 5h� � �6(:7�! � � � � �7�( � �  3:�P� �

��£ + � a 1 . � a � � � � �M7�(*� m ! �� � � m 5_7X! � J � a �� L � J ( m ( 1 L� J � a &� L � J �� 5_7 L

��= ( 7 � � � m � 7 ��@CB

160.1∫� � � � £ 3���� -�� -21 � �

�� ( � �   7� ��� � D � F m � � ¢ G 3�� F m 5_7� GIH= ( 7 � � � m � � @CB

161.1∫� � � � ¢ 3���� -!& �R� � 3���� �R� � � � � � � ( � !�M7�( � ! � �

  � � ��� � ']"�� � � � � � � m 5_7X! � J 7�( & � L

� J 7�( � L�� = � � m � ( 7R@CB

162.1∫� � � � ¢ 3���� -!& � -!&4� � � 3���� -21� � � ��C7�( � ! � �

  3n� � ��� �� � � m � ! � � � m 5:�O! � J ( � m ( & L� J 1 ( m L

�� = ( 7 � � � m � ( 7 ��@B�!;,

Page 174: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����163.

1∫� � -21� � ¢ 3���� � a 1 � � 3���� � � � �M7�( � ! �� ( � �

  � � �� ��� �

�� � � � � � m 5_7X!� J m 5 & L

�� = � � m � ( 7R@CB164.

1∫� � � � ¢ 3���� - � - � � & � � 3���� � a 1 � � � ���K( � ! ��C7 ( � ! � �

  7� J & L � � � D & � a 1 ���0f�� ¢ � ��F�3Pfg3 7

� G9H = ( 7 � � � m � ( 7 � @B165.

1∫� � � � ¢ 3���� -��R� - � & � � 3���� �R� � � � � ��� ( � !7 ( � �

  3 � '%& �� J & L � � � D & �R� � � � ��� � ( � m ! �� �T�f�� ¢ � ��F�3Pfg3 7

� G9H= ( 7 � � � m � ( 7 � @CB

166.1∫� � � � ¢ 3���� -��R� &�-21� � � ���]� �R� & � � � � � � 5 � !7 ( � �

  ]� / � �P� ��� � � � � � � & � � m 5_7X!

� J m 5 & L�� = ( 7 � � � m � � �X@CB

167.1∫� � � � ¢ 3���� - � - � � & � � ���]� -�� - � � & � � ��C7�( � ! � � � 5 � ! �

  7� J �& L ��� � D V-!& � - � ���0f�� ¢ � ��F�3Pfg3 7

� G9H = ( 7 � � � m � ( 7 � @B168.

1∫� � � � ¢ 3���� - � - � � & � � ���]� -�� - � & � � ��C7�( � ! � � � 5 � ! �  �

� � J & L ��� � D �-!& � � � � �0f ��� ��� £ f-� ¢ � ��F�3 £ fg3 7� GIH = ( 7 � � � m � ( 7 � @CB

169.1∫���" �� � �C7�( � ! � " � �� ��5h� � �6(87�! � � � � � � 7�( �

� � 5h� � �6(87�! � � � �  �T��� �

��£ -!& � � J m 5 1

� L� J � a &� L � J � a 1 L�� = ( 7 � � � m � 7 �X@B

�!;93

Page 175: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� ;170.

1∫�� � �C7 ( � ! " � � " � �� � ( � � � ��C7�( � ! � �

  � �� ��� �

��£ � a 1 � � m 5 7�! � J ( 1 ( � m L

�� J 1 ( m L

�� = ( 7 � � � m � ( 7 ��@B171.

1∫� � � � ¢ 3���� -!& � -!&4� � � � � � � � � � 5 � � ��C7 ( � ! � �  / �_� � �

�� & � � � m 5 7�! � J ( � m ( 1 L�

� J 1 ( m L�� = ( 7 � � � m � ( 7 ��@B

172.1∫� � � � ¢ 3���� -!& + � a 1 . � � � � � -�� -21� � � ��C7�( � ! � � � 5 � ! �

 � J � & L� � ��� �

��£ - -21 �� �& � a &4� � � � � £ f � � � � � m 5_7�! � J 1 (*� m L � J ( 1 ( � m L

� J 1& (*� m L � J 1 5 m L��

= ( 7 � � � m � ( 7 � @CB173.

1∫� � � � ¢ 3���� & � � � 3 � ��� -�� -21� � � � �C7 ( � ! �� ( � � �

  � �� ��� ��� � " � � � � � m 5_7X!

� J � m 5 & L�� = � � m � ( 7R@CB

174.1∫� � � � ¢ 3���� + � - . � & � � 3 � ��� -�� -21� � � � � �C7�( � !���K( � � ! � �

  � ' � �� � � ��� � " � � � J � a 1& L

� J � a �� L�� = � � m � ( 7R@CB

175.1∫� � � � ¢ 3���� �R� & � � 3 � ��� -�� -!&4� � � � � �C7�( � !��� ( � � ! � �

  � �7X� ��� ��� � " � � � � m 5_7X!

� J m 5 & L�� = � � m � ( 7R@CB

�!;!5

Page 176: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����176.

1∫� � � � ¢ 3���� - + � a ��. � -21 � ¢ � / ¢ 3�� � � � � F �� 7 ( � G �  ��� � D £ � - � a 1�� F m 5_7� � � 3hf GIH = ( 7 � � � m � ( � � � @B

177.1∫� � � � ¢ 3���� � � £ 3���� -�� - � - � S

�� ( � � � 7�( ���� ( � ! � �  � S

� �P� � �� � " � � " � � J � a 1 L � � � 5_7X!� J � a & 5 � L

�� = � � m � � � � � ( 7A@B178.

1∫� � � -21 � ¢ 3���� � - � � ¢ � ��� - � � S 7 ( �7<5 � � � ��C7�( � ! � �  � S � � � �

��� � m ! � J � - � a 1 L� � � � J � a 1 L

�� = � � � � m � � � � � 5_7X! ��@CB179.

1∫�� � " �� � �;5_7X! '%& � � SEa � � � � 7

� �

  �( 7X! '' % � S� � � � D C 5 � ��� � !� � � � F m� � G 3�� F m 5 �� � G �� 7� � � ��� F ¢!� m� � G 3 ��� F ¢)� m 5 �� � G � H = � � m � � ! = �

�X@ ����� 7�[email protected]. Inverse trigonometric functions

1.�∫� �0f9 3��2 � -21� �� ��� � � � ��� �   7� � � � �0f �O��� � � �43�f �O�0�

= � � �����C7 ( m � � � ! � � � @CB2.

�∫� �0f9 3��2 � 1� �� ��� � � � ��� �  m�

�� 7�( m � � �� m � � 7,5 m �7�( m � � f �#� � � �0f �O��3 � � ��3�f �O�0�&3 ¢ �= � � �����C7 ( m � � � ! � � � @CB

3.�∫� ���0f 3�� � 1� ��� � � � ��� ���� �

  m �� � � £ � ¢ 3 £ f9 � � D �0f �O��3 � ¢ 3 f9 � � K �0f �O�� = � � �����C7 ( m � � � ! � � � @CB�!;;

Page 177: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� :4.

�∫� ���0f9 3��2 � -21� ��� � � � ��� ���� �   f9 �#�K �0f �O��3 D �0f �O��= � � �����C7 ( m � � � ! � � � @CB

5.1∫� �C7 ( � � ! �� �� �C7 ( � � � � ! �� � ��� � � � ��� ���� �   � � D � 7,5 �7�( � � 7

� � � ¢ 3�� O� H= � ��� ���C7�( � � ! � � � @CB

6.1∫� �C7 ( � � ! " �� �� �C7 ( � � � � ! �� � ��� � � � ��� ���� �   � � � 7,5 �7�( � = � ��� ���C7�( � � ! � � � @CB

7.1∫�� �C7 ( � � !�� " ��C7 ( � � ��!�� & � �� ��� � � �   � �� � J 5 1 L � � � ! � ¢ 3h�&� -21 N 1 � 1 � 5_7 ! ���= � � � � ! � 7�(*� � � � @CB

8.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 �� ��� � �

�����0fg3���� � �

  f �4a � � � F � � 7� ��� � 7��G � N & �� 1 � 1 � 5 1 � �;5 1 ! �W � W�& � �9a � a 1 � �Ia � 5_7 #$

� m � � � � � � � � ( 7 � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � � B9.

�∫� ��� � � � ������fg3���� � �   m � �� D K F m �� G 3 D F m ��*G9H

= m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � @B10.

�∫� � ��� � � � ������0fg3���� � �   m � �� D K F m �� G 3 D F m �� G9H

= m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � @B11.

�∫� � 1� ��0fg3���� -21� �� ��� � ������0fg3���� � �

  m � D � � F m �� G 3 � � F 3 m �� GIH = m � � ! � ��� ��� � ( m � � � ! � � � @B12.

�∫� � -21� �fT3���� -21� �� ��� � ������0fg3���� � �   � � F m �� G 3 � � F�3 m �� G

= m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � @B�!;9:

Page 178: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����13.

�∫� 7� 7�( � � � � m ( � ! ��� � � � �

�����fg3���� � �   3 �� � � ) ¢ 3 m � � �� ,

= m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � @B14.

�∫���" �

� 7�( � � � � m ( � ! ��� � � � ������fg3���� � �   � � � � 5 m �� ( m �

= m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � @B15.

�∫���" � � m ( � ! " �

� 7�( � � � � m ( � ! ��� � � � ������fg3���� � �   � m � � 5 m �� ( m �

= m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � @B16.

�∫

-��� � 5 m ! " �� � � 5 m � ! �� � �� ��� � � � � 5 m !� � � 5 m � �   � �� m & N �� 1 � 1 � 17�� & ! � � �

#$

= m � � ! � � �����C7 (*� � � ! � � � @B17.

�∫

-��� 5 m� � � 5 m � ! � � �� ��� � � � � 5 m !� � � 5 m � �   � �m � K � / £ � � 3 D

� / £ � � �= m � � ! � � �����C7 (*� � � ! � � � @B

18.�∫� � �4a 1� �0fg3���� � �� ��� � �

� �� ���0fg3���� � � �£ - � -!&4� � 1� f9 �4a � � J � 5 � L� ��� 5 � ! & N �� 1 � 1 �]� 5 �& �]� 5 � ! � �

W#$

� m � � ! � � � ( 7 ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � � B19.

�∫� � 1� �� ��� � �� �� ���fg3���� � �

  � �� �� � � D � f9 � � 3 �Vf � 3 �V� K F �#" m � G � � �]f � � �#� E F �#" m � G9H= m � � ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � @B

20.�∫� � -21� �� ��� � �

� �� ���0fg3���� � �  � �� �

� D�0f � 3 £ � K F��#" m � G � £ E F��#" m � GIH = m � � ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � @CB�!;<

Page 179: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� :21.

�∫� � -21��� �fT3���� 1��� �� ��� � �� �� ���0fg3���� � �

  m �� �� � � ¢ 3 � ( m � �� � � m �� � � � � � 5 � m �� �6( � m �� �#" m � D � � F��#" m � G 3 � � F]3 �#" m � G9H � = m � � ! � ��� ����� ( m � � ! � � � @CB22.

�∫� � -21��� �fT3���� -!&4��� �� ��� � �� �� ���0fg3���� � �

  / £ D � � F � " m � G 3 � � F 3 � " m � G9H = m � � ! � � ������� ( m � � ! � � � @B23.

�∫�� � m ( � ! �� �

� 7�( � � � � � m ( � ! ��� � � � �� �� ���fg3���� � �

  3 �� � � � � � f � �� � f � �� ¢L£ � � £ � f9 � � � �#f � � ¢L£ � � ) ¢ 3 m � �� ,= m � � ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � @B

24.�∫�

� �� �� 7�( � � � � � m ( � ! ��� � � � � � �� ���fg3���� � �  3 �� � � � � � f � � �f � � £ � � ) ¢ 3 m � �� , = m � � ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � @CB

25.�∫�

��" �� �� 7�( � � � � � m ( � ! ��� � � � �

� �� ���fg3���� � �   3 �� � � � ) ¢ 3 m � �� ,= m � � ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � @B

26.�∫�

��" �� � � m ( � ! " �� 7�( � � � � � m ( � ! ��� � � � �

� �� ���fg3���� � �   �� m � � � 5 � m �� �6( � m �= m � � ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � @B

27.

� ∫� � � � � � � � � �0f ��� ��� � � � ��� � � � ��� �   � " � " � � � � � � 5n� !� J � - � a & L � J � a � a & L

Y� N & �� 1 � 1 �#7,5 � � � a & ! � �& � � - � a & � � a � a &

#$ = � � � � (�� ! � � �����C7 ( � � ! � � � @B�!;9L

Page 180: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����28.

� ∫����� ��� ' � !��� ��� ��� � � � �0f � � � ���� �   �43 ¢ � � � " � ']" � � � m � ' & � � J '65 1 L' % ���O'65_7X!

Y & N �� '65 1 �]'65 1 �]'65 1'65 & ��� '65_7 ! m �#$ = � � ��� �C7 ( m � ! � � � @CB

29.

� ∫��� � ��� ' � !��� ��� � 7 ( m � ��� � � � ��� � � � �f ��� � ��� �   ��3 ¢ � � ' % � � � m � '%& �� � '%& � � J '65 & LY & N �� 'g5 1 �]'65_7���'g5 7'65 & ���O'65_7 ! m �

#$ = � � ��� �C7 ( m � ! � � � @CB30.

S ∫� 7��� ��� � � � � �f ���� � � �0f ��� � �� ��� � ��� ��� � ��� �   � �m ��� � � � m�Y � ��� � � � � f�� £ �

� � � � � ��f � £ � � � N & �� 1 � 1 � 1 �V7 ! � �& �V7 ( � �#7,5 � #$ = � � �����C7 ( � � ! � � � @B

31.

S ∫� 7��� ��� � 7�( � � ��� � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � ��� � � � � � � � � ���� �   � �m � � � � � m�

Y � ��� � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � � N & �� 1 �V7��#7 �#7 ! � �& �V7 ( � �#7,5 �

#$ = � � �����C7 ( � � ! � � � @B32.

∫� ��� � � � � � � � �f ���� � � �0f ��� � �� ��� � ��� ��� � ��� �   � " � " � � � � � � 5:�O!

� J � - � a & L � J � a � a & LY � � � � �f ��� £ �

� � � �0f ��� £ � � � N & �� 1 � 1 �#7<5 � � � a & ! � �& � � - � a & � � a � a &#$ = � � � � ( � ! � ��� ���C7�( � � ! � � � @CB

33.

∫����� ��' � !���� � �� ��� � �f � � � ��� � 

� "�' � � m ' & � � J � a 1 L��'65_7X! � J � 5_7 L � � � ' �� & N �� � a 1 � � a 1 � � a 1� a & ��'65_7 ! m �#$

= � � ��� �C7 ( m � ! � � � @CB�!;9P

Page 181: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� :34.

∫���� ��� �

� 7 ( � � ��� � � � � � � � �0f ���� � � �0f ��� � ��� � � � ��� ��� � ��� �

  � " ��" � � � � � � 5n�O!� J � - � a & L � J � a � a & L

� ��� � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � � N & �� 7 �#7 �#7<5 � � � a & ! � �& � � - � a & � � a � a &

#$

= � � � � (�� ! � ��� �&�C7 ( � � ! � � � @B35.

S ∫� � "�� ���� ��� �� ��� � � � � � � ��� �   �m � ¢ 3 � - S � � � N & �� 1 � 1 � 1 �V7 ! � �& �#7�( �� �#7,5 �

�#$

= � ��� ���C7�( � � ! � � � @CB36.

S ∫� � "�� ���� ��� � 7�( � � ��� � � � �� ��� � ��� ��� � ��� �  �m � ¢ 3 � - S � � � N & �� 1 �#7 �#7��#7 ! � �& �#7�( �

� �V7<5 ��#$ = � � �����C7 ( � � ! � � � @B

37.�∫� �#-�� � ��� � � � ��� ��� � ���� �   �m � 5_7 & N �� 1 � 1 �V7 ! � �&<- � � � & a � �

#$� � � m � � ! � ��� �&�C7 ( � � ! � � � � B

38.�∫� � "�� ���� ��� ��� � � � � � � � � ���� �   �m � N & �� 1 � 1 � 1 �#7 ! � �& �V7 ( �

� �#7<5 ��#$

� � � m � � ! � ��� �&�C7 ( � � ! � � � � B39.

�∫� � "�� ���� ��� � 7 ( � � ��� � � � �� ��� � � � � � � ���� �   �m � N & �� 1 �#7 �#7��V7 ! � �& �V7 ( �� �#7<5 �

�#$

� � � m � � ! � � �����C7 ( � � ! � � � � B40.

1∫� � � �� ��� � �0f ���� �   7m ) £ 3 £ � ¢ 3 f 3 f ��� � � � f � � 7�5 � 7I( m �� ,�� � ��� �C7I( m � ! � � � � B

41.1∫� � � ��� � � � � �  �£ 3 � � 3 � £�¤

42.1∫� � � � �� ��� � � �   � � � � £ 3 ¢ � ¤

��:N

Page 182: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����43.

1∫� � � � �� ��� � � �   7� � � ¢ �P3 �:3 ¢�£ � £ � ¤

44.1∫� 7� � � �� ��� � � �   3 �� � � � � ¢L£ � £ � ¤

45.1∫� ��� � 3�� � � � � � � � 3�� � � �� ��� � � �   � � �7�� � � �

�� � " � � � � � 5_7�!� J � 5 & L

��= � � � � ( 7R@CB

46.�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� ��� � � � ��� ��� �   � �� � m � & � � � J �9a 1 L

� 5_7X! � J � LY � ��� � ¢ � & N �� 1 � 1 � �Ia 1 ! m � � �& � � 5_7 #$ 3 & N �� 1 � �9a 1 � �9a 1� 5_7�� �Ia & ! m � � �#$ �

� m � � ! � � � ( 7 ! � � �����C7 ( m � � � ! � � � � B47.

�∫� � m 5 � m � ( � �� �� ��� � � � ���� �   m � � � � �0f �O��3 � � ��3Pf �O��V3 m � � 7�5 m �7�( m �3 7� � � � ¢ 3_f9 � � = m �� ! � ��� �&�C7,( m � � � ! � � � @CB

48.�∫� �2 � m 5 � m � ( � �� ��� � � � ��� ��� �   m �7X� � � � �f �O��3 � � ��3Pf �O��

� 7� � � � D f �]�f9 � 3 � � � 7<5 m �7 ( m � 3 � � � ¢ 3hf9 � � � ¢'¡ f9 � H= m � � ! � � �����C7�( m � � � ! � � � @B

49.1∫� � � 7,5 � 7 ( � �

� ��� � � � � �  77 � � � £�¡ � � 3 £ � £ � ¤

50.�∫�

��" �� 7 ( � � � � � m 5 � m � ( � �� ��� � � � ��� ��� �   � � � � � �f �O�<3 � � ��3Pf �O��= m � � ! � � �����C7�( m � � � ! � � � @B

51.�∫�

�� 7 ( � � � � � m 5 � m � ( � �� ��� � � � ��� ��� �   � m� � 3 ��� � � 7<5 m �7 ( m �

3 � m�� � � ¢ 3hf9 � � = m � � ! � � �����C7 ( m � � � ! � � � @CB

��:1�

Page 183: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� :52.

1∫��� 7 ( � � � 7<5 � 7 ( � �

� �� ��� � � �  � � � ¢ 3 � £ � ¤

53.1∫�

��" �� 7 ( � � � 7<5 � 7 ( � �� �� ��� � � �  

� �7�� ¤54.

1∫� � 7<5 � 7 ( � �7 (�� 7 ( � � ��� � � � � �  � �� 3 £ � £�¤

55.1∫� �2 � 7,5 � 7 ( � �7�(�� 7 ( � � ��� � � � � �  

7� � � £4¡ � �, 3 £ � £ � ¤

56.1∫�

��" �� 7 ( m � � � � 7<5 � 7�( � �7 ( � 7�( � � �� ��� � �0f ��� �   � � � � � �0fI��3 � � ��3�fI�0�= � ��� � �C7,5 m ! � � � @CB

57.1∫� ���0f9 3��2 � -21� ��� � � � � �   � m� 3hf E F 7m G = � � ����� m � (:7X! � � � @CB

58.1∫� � ¢ 3hf9 �2 � -21� �� � � � � �   7� m � � � �fI�<3 � � �43�fI�� = � � ��� �C7 ( m � ! � � � @CB

59.1∫� � ¢ 3hf9 �2 � -!&4� �� � � � � �   7� m � 7,5 m7�( m = � � ��� �C7 ( m � ! � � � @CB

60.1∫� � � -21 � � ��� �f ��� �� � � � � �  

� �� � m � J � 5_7 L� 5_7�! � � J �9a 1 L N & �� �9a 1 � � 5_7 ! � W�& � �9a & � �9a &#$

= � � � ( 7R@CB61.

1∫� ��� ��� �0f ��� ��� � � � � �   �� m � � �0fI��3 ¢ � ¤62.

1∫� � � � ��� �f ��� �� � � � � �   �� m � � f L -21 �fI�<3 L� �fI�0� ¤��:�,

Page 184: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����63.

1∫� � � -21 � � ��� �f ��� ��� � � � � �   � �� � � J �Ia 1 L � � J � L N & �� � � �Ia 1 ! �

W�1 � � 5 7 � � 5_7 #$= � � � � @CB

64.1∫� � � ��� �0f ��� ��� � � � � �   �� m L� �0fI� ¤

65.1∫� � � � ��� �f ��� �� � � � � �   �� m � � ¢ 3 � �fI��� f 1 �fI�0� ¤

66.1∫� � � -21 � � � �f ��� �� � � � � �   � �� � m � J � 5_7 L� 5_7X! � � J �9a 1 L N & �� �9a 1 � � 5 7 ! ( �

W�& � �Ia & � �9a &#$

= � � � ( 7R@CB67.

1∫� ��� � �f ��� �� � � � � �   �� m � ¢ 3 � � �fI�0� ¤68.

1∫� � ��� � �0f ��� ��� � � � � �   �� m � �H� �0fI��3hf H -21 �fI�0� ¤69.

1∫� � � -21 � � � �f ��� �� � � � � �  � �� � � J �9a 1 L

� � J � L N & �� � � �Ia 1 ! ( �W�1 � � 5 7 � � 5_7 #$= � � � � @CB

70.1∫� � � � �0f ��� ��� � � � � �   �� m H� �0fI� ¤

71.1∫� � � � � �f ��� �� � � � � �   �� m � � � � �0fI��� f � 1 �0fI��3 ¢ � ¤

72.1∫� � � -21 � � ¢ � f �2 � �� � � � � �   � �� � m � J �9a & L

� 5n� ! � � J � 5_7 LY � ��� � £ � & N � 7��#7 � �9a &� � � 5n� ! ( m � 3 £ & N � 7 � � 5_7�� �9a &� 5n��� � 5n� ! ( m � �= � � � (�� ! � � ��� �C7<5 m ! � � � @B��:3

Page 185: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� :73.

1∫� � � � ¢ � f � � ��� � � � � �  �� m � ¢ 3 / ¢ � f�� �f-� £ � � 7<5 � 7,5 m� = � � ��� �C7<5 m ! � � � @B

74.1∫� � � � ¢ 3��2 � ��� � � � � �   � � � � £ 3 ¢ � ¤

75.1∫� 7� � � ¢ �hf � � �� � � � � �

  � � � � 725 � 725 m� 3 £ � � ) 7�( � 7�5 m� , = � ��� � �C7�5 m ! � � � @B76.

1∫� 7� � � ¢ 3�� � �� � � � � �   �� � � ¢�£ � £ 3 � � ¤

77.1∫� 7� � � � ¢ 3��2 � ��� � � � � �   � �� 3 � G ¤

78.1∫� � � -21 � m 5 �m ( � ��� � � � � �  

� �� � � J � L� m � 5 7�! � J �9a & LY � ��� � ¢ � & N �� 1 �#7 � � 5_7& � �Ia & ! m " �

#$ 3 & N �� 7 � �9a 1 � � 5 7�9a & � �9a & ! m " �

#$ �� � � � ( 7 ! � ��� ��� m � (87�! � � � � B

79.1∫� � m 5 �m ( � ��� � � � � �   � ) fg3 � f 3 ¢ � f � m (�� m � (87� m ,�

� � ����� m � (:7X! � � � � B80.

1∫� � �� � � � � � m 5 �m ( � �  �

� ���Vf & � � fg3 �9�f9 � £ � � f 3 ¢ � ¢L£ f & � m 5 � m � (:7� m �

� � ����� m � (:7X! � � � � B��:95

Page 186: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����81.

1∫� � � -21 � FOf � � � ¢ � f � G ��� � � � � �  � �� � m � J � L� � 5_7X! � J �9a & L

Y � ��� � ¢ � & N �� 1 � 1 � � 5 7& � �9a & ! ( m �#$ 3 & N �� 1 � �9a 1 � � 5_7

�9a & � �9a & ! ( m �#$ �

� � � � ( 7 ! � ��� ���C7,5 m � ! � � � � B82.

1∫� � F f � � � ¢ � f � G �� � � � � �  � 7<5 m �m D K F m� 7<5 m � G 3 £ E F m� 7,5 m � G9H � �� m = � ��� �&�C7<5 m � ! � � � @CB

83.1∫� � � � � � ¢ � � � ��� � � � � �   � � 3 �� � �2 F �� G ¤

84.1∫� � � FOf � � � ¢ � f � G ��� � � � � �

  7� m � 3 £ f9 � �Af2�f9�� ¢ ��� � � �43 �AfI��3 � � � �AfI�� � = � ��� �&�C7<5 m � ! � � � @CB85.

1∫� � � F � � � ¢ � � G ��� � � � � �   G� 3 7� ¤86.

1∫� �2 � FOf � � � ¢ � f � G ��� � � � � �  � m � 5 � m � (:7� � m � � 7,5 m � K F m� 7<5 m � G� �� � m � � ¢ 3hf9 � � ¢ � f E F m� 7<5 m � G 3 �

� m � = � ��� ���C7,5 m � ! � � � @CB87.

1∫� �2 � F � � � ¢ � � G ��� � � � � �  �

� � � � � �2IF 7� G 3 �� ¤

88.1∫� 7� � FOf � � � ¢ � f � G ��� � � � � �   m ���)F�3Pf � � 7� G

= � ��� �&�C7<5 m � ! � � � @CB89.

1∫� 7� � F � � � ¢ � � G ��� � � � � �  

� �� � ¤

��:�;

Page 187: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� :90.

1∫���

" �� 7<5 m � � � � F f � � � ¢ � f � G ��� � � � � �  � �� � m � J � 5 7 L�#� 5_7X! � J �Ia & L

Y� N & �� 7��V7�� �9a 1 � � 5_7& � �9a & � �Ia & ! ( m �

#$ � � � � � ! � ��� ���C7,5 m � ! � � � � B91.

1∫� 7� 7<5 m � � � � F f � � � ¢ � f � G ��� � � � � �   3 �� m � � �43�f9 �= � ��� �&�C7<5 m � ! � � � @CB

92.1∫� 7� 7<5 � � � F � � � ¢ � � G �� � � � � �  

� �� � ¤

93.1∫�

� �� 7<5 m � � � � F f � � � ¢ � f � G ��� � � � � �  �7�� m � � �f9 � ¢ � � �0f9�� ¢ ��� � � ��3�f9O�� = � ��� ���C7,5 m � ! � � � @B

94.1∫�

� �� 7<5 � � � F � � � ¢ � � G �� � � � � �  �7 � � � £ � � £ 3 �, � ¤

95.1∫� � � -21 � F f � � � ¢ � f � G �� � � � � �  

� �� � m � � J �9a & L� � 5n� ! � J � 5:� LY � ��� � £ � � N & �� 7��#7 �#7 � �9a & ! ( m �& ��� � � 5n� #$ 3 £ � N & �� 7��#7 � � 5_7�� �9a & ! ( m �& � � 5n� � � 5n� #$ �

� � � � � ! � � �����C7,5 m � ! � � � � B96.

1∫� � � F f � � � ¢ � f � G �� � � � � �  3 �7�� m � � f9 � �f9�� ¢ � � � �43�f9 �0� = � � �����C7<5 m � ! � � � @B

97.1∫� � � F � � � ¢ � � G �� � � � � �  

� �� � 3 �7�� ¤

��::

Page 188: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����98.

1∫� � & � F f � � � ¢ � f � G �� � � � � �  �

��7X� m � � �Vf9 3 ¢ �#f � ���&�f9 � ¢ �4 � � ¢ � f9 �<3 ¢�£ �f � 3 ¢ � � � �43�f9 �0�= � ��� �&�C7<5 m � ! � � � @CB99.

1∫� � & � F � � � ¢ � � G �� � � � � �  �� 7�� � £ � £ 3 ¢�¢ � ¤

100.1∫� 7� � F f � � � ¢ � f � G ��� � � � � �   3 � � � � & �43�f �

= � ��� �&�C7<5 m � ! � � � @CB101.

1∫� 7� � F � � �

� � ¢ G ��� � � � � �  � �� � � � � ¤

102.1∫� � � -21 �� ��� � �f ��� ��� � � � � �

 � �� � m � J � L� � 5_7X! � J �9a & L

� ��� � ¢ � & N �� 1 � 1 � � 5_7& � �9a & ! m �#$ 3 & N �� 1 � �9a 1 � � 5 7

�9a & � �9a & ! m �#$ �

� � � � � ! � ��� � �C7�( m � ! � � � � B103.

1∫� �� ��� � �0f ��� ��� � � � � �   7� m � £ �0f9 3 ¢ � K �0fI��� � E �0fI��3 �<�= � � ��� �C7 ( m � ! � � � @CB

104.1∫� �� ��� � � ��� ��� � � � � �  �£ 3 � � ¤

105.1∫� � �� ��� � �f ��� �� � � � � �   m7�� D �)F f9 ��£�� 7��G 3 �)FOf9 ��£�� � ��G9H

= � � ��� �C7 ( m � ! � � � @CB106.

1∫� � �� ��� � � �� � � � � �   7� ¤��:�<

Page 189: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� :107.

1∫� � �� ��� � �0f ��� ��� � � � � �  7� � m � � � � f � 3 �]f 3 ¢ � K �fI� � � �0f � ¢ � E �fI�<3 �<�= � � ��� �C7 ( m � ! � � � @CB

108.1∫� � �� ��� � � ��� � � � � �   7 �� � 3 �

� ¤

109.1∫� 7� �� ��� � �f ��� �� � � � � �   m � �)F f9 � � 7��G = � � ��� �C7 ( m � ! � � � @CB

110.1∫� 7� �� ��� � � �� � � � � �  

�� � � � ¤111.

1∫���

" �� 7�( m � � � ��� � � � �f ��� �� � � � � �   � �� � m � J � 5_7 L�]� 5 7�! � J �9a & LY� N & �� 7��#7 � �9a 1 � � 5_7& � �Ia & � �9a & ! m �

#$ = � � � � ! � � ��� �C7 ( m � ! � � � @B112.

1∫� 7� 7�( m � � � ��� � � � �f ��� �� � � � � �   �� m � � �0f � = � � ��� �C7 ( m � ! � � � @CB113.

1∫� 7� 7�( � � �� ��� � � ��� � � � � �  � �� � ¤

114.1∫�

� �� 7�( m � � � ��� � � � �f ��� �� � � � � �  �7�� m � � � ¢ 3hf � � � ¢ 3hf � � � � �0f �� = � ��� � �C7�( m � ! � � � @B

115.1∫�

� �� 7�( � � �� ��� � � ��� � � � � �  � �� � ¤

116.1∫-21

7� 7 ( � � � � ¢ � £ f � � f � �� � � � � �   3�� � � � & �fI�= � � ��� �C7 ( m � ! � � � @CB��:L

Page 190: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����117.

�∫� � -21 �f9 3��2 � 1� ��� � � � � ��� �  �� m D ¢ 3 � f � � ¢ � f � � �f � � � f � � ¢ � H= m � � ! � � �����C7,5 m � � � ! � � � @B

118.�∫� � -21 �f9 3��2 � -21� �� �� � � � ��� �   �� m � FOf �'� � f � � ¢ G

= m � � ! � � �����C7,5 m � � � ! � � � @B119.

�∫� 7� � � � 5 m � ! ��� � � � �   �� m � � � ¢ � fI� = � � m � � ! � ��� � �C7,5 m ! � � � @CB

120.1∫� 77,5 � � ��� � � F � & a � � G �   77�� � £ � � � / � � = � � @B

121.1∫� 77,5 � � ��� � � F � � a � � G �   7� � � ¢ � / £ � � � £ � / �

3 77�� � £ � �� � / £ � � = � � @B

122.1∫� 77,5 � � ��� � � F � 1 1 a � 1 � G �   3 7� � � ¢ � / £ � � �

� � / ¢ � �3 7� � � £ � / � � � � / ¢�¡ � � � � � � 7<5 � �� � �

� � / £ � �� 77�� � £ � � ¢�¢ � / ¢L£4¡ � = � � @B123.

1∫� 77,5 � � ��� � � F � 1 & a � 1 � � G �  3 � � � � ¢ � / £ � � � 5 � � 7� 3 77�� � £ � � ¢ � / ¢ � � �� 77�� � � £ � / � � � ¢ � � / £�£ � � � 77�� � �

� � / £ � � � �� � / � � = � � @CB

124.�∫� 7� � � � 5 � � ! �� �� � m �� � 5 � � �  

�� � � � m 5 � m � 5 �� �� � = � � � � ��@B

��:P

Page 191: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� :125.

�∫� 7� � m � � � 5_7X! �� �� � � �0f9�� ¢ � � � f9 � & �� �

  � � � �C7<5 m ! � m 5 � � 5 m � �� m = � � m � � @CB126.

�∫� � � -21 �fg3���� � -21 ��� � � ������fg3���� � �

  f �4a � � � F � � 7� � � � 7��G & N �� 1 �#7�� 5 1 � �I5 1 ! ( �W � W�& � �9a � a 1 � �Ia � 5_7 #$

� m � � ! � � � � � � � ( 7 � ! � � ����� � 5 m � � � ! � � � � B127.

�∫� �� �� � ������0fg3���� � �   �� � F � � � f � 3 £ G

= m � � ! � � ����� � 5 m � � � ! � � � @B128.

�∫� � �� �� � ������fg3���� � �   � m�

� F � � � f � 3 £ G= m � � ! � � ����� � 5 m � � � ! � � � @B

129.�∫� � -21 ��� � � �

�����0f63���� � �   � � � m �� � * ¢ � m � � �� �

= m � � ! � � ����� � 5 m � � � ! � � � @B130.

�∫� � -21 �fg3���� -21 ��� � � ������fg3���� � �

  � �m � � m �� � * ¢ � m � � �� � = m � � ! � ��� ��� � 5 m � � � ! � � � @B131.

�∫� � �4a 1� �fT3���� � �� �� � �� �� ���0fg3���� � �  �£ - � -!&4� � 1� f �4a �

Y � J � 5 � L� ��� 5 � ! & N �� 1 �#7��]� 5 �& ��� 5 � ! ( � �W#$ = m � � ! � � � ( 7 ! � ��� �&����5 m � � ! � � � @CB�!<9N

Page 192: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����132.

�∫� � 1� �� �� � �� �� ���0fg3���� � �

  �� � � � � D £ �0f � 3 ¢ � � £ f � � � 3 f � �� � H= m � � ! � � ��������5 m � � ! � � � @B

133.�∫� � -21� �� �� � �

� �� ���0fg3���� � �   �� F � f � � £ 3 / £ G

= m � � ! � ��� �&����5 m � � ! � � � @B134.

�∫� � -21� ��fg3���� -21 ��� � � �� �� ���fg3���� � �

  � �� m � ��#" m � � * ¢ � m � �� � = m � � ! � � ��������5 m � � ! � � � @B

135.�∫� 7� � � � 5_7 �� �� � � �  

�� � £ 3 7� ¤136.

� ∫� � � � � � � � � �f ��� �� �� � � � � � � ���� �   � " ��" � � � � � � 5n�O!� J � - � a & L � J � a � a & L

Y� N & �� 1 �#7 �#7<5 � � � a & ! ( � �& � � - � a & � � a � a &

#$ = � � � � ( 7 ! � � �����C7<5 � � ! � � � @B137.

� ∫����� ���O' � !��� ��� �� �� � �0f � � � ��� �

  � " � '#" � � m � ' & ��O'65_7 & N �� '65 1 ��'g5 1 �]'65_7'g5 & �]� '65_7 ! ( m �#$ = � ��� ���C7,5 m � ! � � � @B

138.

S ∫� 7��� ��� � � � � �0f ���� � � �f ��� � ��� � � ��� ��� � ���� �

  � �m ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �� � � � � � f�� £ � � � N & �� 1 � 1 �#7 �#7 ! ( � �& �#7�( � �V7<5 �

#$ = � ��� ���C7,5 � � ! � � � @CB�!<��

Page 193: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� :139.

∫� ��� � � � � � � � �0f ���� � � �f ��� � ��� � � ��� ��� � ���� �   � " ��" � � � � � � 5n�O!

� J � - � a & L � J � a � a & LY � ��� � �0f ��� £ �

� � � �f ��� £ � � � N & �� 1 �#7 � � 5_7�� � a & ! ( � �& � � - � a & � � a � a &#$

= � � � � ( 7 ! � ��� �&�C7<5 � � ! � � � @B140.

S ∫� � "�� ���� ��� ��� � � ��� ��� � ��� �   �m � ¢ 3 �V- S � � � N & �� 1 � 1 �V7��#7 ! ( � �& �#7 ( �� �#7,5 �

�#$¤

141.�∫� �V-�� � �� �� � � � � � � ���� �   �m � 5_7 & N �� 1 �#7 �#7 ! ( � �&�- � � � & a � �

#$� � � m � � ! � ��� �&�C7<5 � � ! � � � � B

142.�∫� � "�� ���� ��� �� �� � � � � � � ��� �   �m � N & �� 1 � 1 �#7 �#7 ! ( � �& �V7 ( �

� �#7<5 ��#$

� � � m � � ! � ��� �&�C7<5 � � ! � � � � B143.

�∫���� � �M� � � �� � ��� !

� 7,5 � � � � � � � � � (:7X! �   J � L �X"�� � F � � m� � G 3 7�]�M��(:7X! 3 �� m= � � m � � @CB

144.�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� ��� � � ��� ���� �   � �� � m � & � � � J �9a 1 L

� 5_7X! � J � LY� N & �� 1 �#7 � �9a 1 � �9a 1& � � 5_7 � �9a & ! ( m � � �

#$ = m � � ! � � � ( 7 ! � � �����C7<5 m � � � ! � � � @CB145.

1∫� � � -21 � 7,5 � 7�( � �7�(%� 7�( � � �� �� � �0f ��� � 

� � �� � m � J �9a 1 L � � 5 7�! � J � L

� ��� � ¢ � & N �� 1 �#7 � �9a 1& � � 5_7 ! ( m �#$ 3 & N �� 7�� �9a 1 � �9a 1� � �9a & ! ( m �

#$ �= � � m � � ! � � � ( 7R@CB

146.1∫� � � 7<5 � 7�( � �7 ( � 7�( � � �� �� � �f ��� �   �� m � � f9IF � f � ¢ 3 £ G� £ f � ) * 7� � f � ¢ 3 7� � * 7� � f � ¢ � 7� , = � ��� �&�C7<5 m � ! � � � @CB

�!<,

Page 194: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����147.

�∫� � � � � 5_7X!� � � (87 ��� � � � �   m ( �� m � m� � 3 � m � m� � � D 7� � �2 F m� � GIH3 ¢ 3 � m � �

� � � � F � � m� � G ���� � ��� = � � m � � @CB148.

�∫� � � -21 �f9 3��2 � � -21 �� ��� � ��� ���� �  7� f �4a � � � F � � ¢)��� G � N & �� 7 �#7��#7 � � 5_7 ! m � � �& ��� � � 5 �I5_7 #$

� m � � � � � � ! � � � ( � ! � � �����C7�( m � � � ! � � � � B149.

�∫� �f9 3��2 � 1� ��� � � � � � ��� �  � m �� D � � �f9 � �<3 F 7m � � � 3 ¢ G � � ¢ 3hf9�� ��3 ¢ H= m � � ! � � �����C7�( m � � � ! � � � @B

150.�∫� �f9 3��2 � -21� ��� � � � ��� ���� �   � � � � �0f9 � � = m � � ! � � �����C7�( m � � � ! � � � @B

151.�∫� � � -21 �fg3���� � -21 ��� � � � � � � ���0fg3������ �  f �4a � a 1 � � ��� � ¢)��� � ¢ � � N � �� 7��#7 �#7 � 5_7�� �I5_7 ! �

W � W�& ��� � �9a � 5_7�� �Ia � a &

#$� m � � ! � � � � � � � ( 7 ! � � ����� � ( m � � � ! � � � � B

152.�∫� � 1� ��fg3���� 1� �� ��� � ��� � ���fg3������� �  �7�� � � � f9 � � � � 3hf9 � � � ) ¢ 3 m � � �� , � f9 � � � ) m � � �� , = m � � ! � ��� ��� � ( m � � � ! � � � @B

153.�∫� � 1� ��fg3���� -21� �� ��� � � � � ���fg3������� �   � m� � � ) m � � �� ,

= m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � @B�!<93

Page 195: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� :154.

�∫� � 1� ��fg3���� -!&4� �� ��� � � � � ���fg3������� �  � � � £ f � � ��5 m �� ( m � � � � ) ¢ 3 m � � �� , 3 � � ) m � � �� , = m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � @B

155.�∫� � -21� ��fg3���� -21� ��� � � � � � � ���0fg3������� �   � � � � ) m � � �� ,

= m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � @B156.

�∫� � -21� ��fg3���� -!&4� ��� � � � � � � ���0fg3������� �  � m � f � � � 5 m �� ( m � � £ � ) ¢ 3 m � � �� , = m � � ! � ��� �&� � ( m � � � ! � � � @CB

157.�∫� � -!&4� ��fg3���� -!&4� ��� � � � � � � ���0fg3������� �  � �m � � f � � � 5 m �� ( m � � £ � ) ¢ 3 m � � �� , = m � � ! � ��� �&� � ( m � � � ! � � � @CB

158.�∫� � � �fg3���� �4a 1� �� ��� � � � �� ���fg3������� �

  � " � � " � � � m � � & � � � � � ��� 5 � !� J � 5 � L � N & �� 7 �#7��V7���� 5 � ! � �

W& �����]� 5 �#$

= m � � ! � � � ( � � ! � ��� ����� ( m � � ! � � � @CB159.

�∫� � 1��� �fg3���� -21��� �� ��� � � � �� ���fg3������� �  �� � � � � � f � � � £ 3hf � � � ) ¢ 3 m � �� , � f � � � ) m � �� , = m � � ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � @B

160.�∫� � -21��� �fg3���� -!&4��� ��� � � � � � �� ���fg3������� �   �� � � � ) m � �� ,

= m � � ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � @B�!<!5

Page 196: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����161.

�∫� � - � ��� �fg3���� -!&4��� ��� � � � � � �� ���fg3������� �   � � �� m � � � 5 � m �� �6( � m �� � � � �m � ) ¢ 3 m � �� , = m � � ! � ��� �&��� ( m � � ! � � � @CB

162.�∫

-��7� � 5 m ! � �� ��� � � � � 5 m !� � � 5 m � �

  � � �� m � 7� � � � 7<5 � � �7 ( � � � � 7� � � � � ¢ 3 £ � � = m � � ! � � �����C7�( � � ! � � � @CB163.

�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� ��� � � � ��� ��� �  � ��]� 5n�O! f �4a � J �� 5_7 L � �

� J �� �� L � N �

�� 7 �#7��V7�� �� 5_7�� �� 5_7 ! m � � �� � ��� � �� �� � �� 5n� #$

= m � � ! � � � (�� ! � ��� �&�C7 ( m � � � ! � � � @CB164.

S ∫� � "�� ���� � � � ��� � � � � � � � � ��� �   � �m � ¢ 3 �V- S � �Y� N �

�� 1 �#7��V7��#7 �#7 ! � �& ��� �#7 ( �� �#7,5 �

�#$ = � � m � � ! � ��� �&�C7 ( � � ! � � � @B

165.�∫� � "�� ���� � � � �� ��� � ��� ��� � ���� �   � �m � N �

�� 1 �V7��#7 �#7��V7 ! � �& �����V7 ( �� �#7<5 �

�#$

� � � m � � ! � ��� �&�C7 ( � � ! � � � � B166.

�∫� � m 5 � m � ( � �� ��� � � � ��� ��� �   � m� � � � �f � � � £ � � ¢ 3hf � �<3 � �� �� � � 7,5 m �7�( m � = m � � ! � � �����C7 ( m � � � ! � � � @CB

167.1∫� � 7,5 � 7 ( � �

� ��� � � � � �   � �� � � � � £ 3 ¢ ��� ¤168.

�∫� � � m 5 � m � ( � �� ��� � � � ��� ��� �   � m �� � � � �f � �3 �� 7�� � � D f �]�f9 � 3 � � � � ¢ 3hf9�� �<3 £ � � 7<5 m �7 ( m � � � �]f � 3 ¢¢ f & � & H= m � � ! � � �����C7�( m � � � ! � � � @B

�!<;

Page 197: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� �� :169.

1∫� � � 7,5 � 7�( � �� ��� � � � � �   �� � � � � � � � � £ 3 � �V� ¤

170.�∫� 7� � � m 5 � m � ( � �� �� ��� � ��� ��� �  � �� D � � �0f �O��3 � � �43�f �O�<3 � 7,5 m �7�( m � H 3 �� m � � ¢ 3hf9 � �= m � � ! � � �����C7�( m � � � ! � � � @B

171.

� ∫� � � � � � � � � �f ��� �� ��� � ��� � � � ��� �   � " � " � � � � � � 5 � !� J � - � 5:� L � J � a � 5n� L

Y� N �

�� 7 �#7��V7�� � a & � � 5n� ! �& ��� � � - � 5n��� � a � 5n� #$ = � � � � � ! � ��� � �C7 ( � ! � � � @B172.

∫� ��� � � � � � � � �0f ���� � � �f ��� � ��� � � � � � � � � ��� �   � " � " � � � � � � � 5 � !

� J � - � 5:� L � J � a � 5n� LY � ��� � �0f ��� £ �

� � � �f ��� £ � � � N ��� 7 �#7��V7�� � a & � � 5n� ! �& ��� � � - � 5n��� � a � 5n� #$

= � � � � ( 7 ! � ��� � �C7�( � ! � � � @B173.

S ∫� 7��� � � � � ��� � �f ���� � � �f ��� � �� ��� � ��� ��� � ���� �

  � � �m � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � � N �

�� 1 �V7��#7 �#7��#7 ! � �& �]���#7�( � �V7<5 � #$

= � ��� ���C7�( � � ! � � � @CB174.

1∫� 7� � � 7<5 � 7 ( � �

� �� ��� � � ��� �   � �� 3 � � £�¤175.

1∫� � � -21 �� ��� � �0f ��� ��� � � � � �  � �� � m � � J �9a & L� � 5:�O! � J � 5n� L

Y � ���'� £ � � N & �� 7��#7 �#7 � �9a && �]��� � 5n� ! m �#$ 3 £ � N & �� 7 �#7�� � 5_7 � �9a && � � 5n��� � 5:� ! m �

#$ �� � � � ( 7 ! � ��� � �C7�( m � ! � � � � B

�!<9:

Page 198: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� ��� ������ ��� � ��� ��� ����176.

1∫� 7� �� � � � � ��� � � � �f ���� �   � � � � & �f � �

� � ��� �C7 ( m � ! � � � � B177.

1∫� 7� �� � � � � ��� � � � � �   � � � � � ¤

178.1∫� � �� � � � � �� ��� � �0f ��� �   �7�� m � � f9�� �0f9 3 ¢ � � � �0f9��0��

� � ��� �C7 ( m � ! � � � � B179.

1∫� � & �� � � � � ��� � � � �f ���� �  �

��7X� m � � �Vf9 � ¢ �#f � 3 �&�f9 3 ¢ �4 � � ¢ 3hf9 � � ¢�£ �f � 3 ¢ � � � �f9 �� � ��� � ��� �C7 ( m � ! � � � � B

180.1∫� � & �� � � � � ��� � � � � �   7 � �� 7�� ¤

181.1∫� � � -21 �� � � � � ��� � � �0f ��� �   � �� � m � J � L� � 5_7X! � J �Ia & L

Y � ��� � ¢ � & N �� 1 �V7�� � 5_7& � �9a & ! ( m �#$ 3 & N �� 7 � �9a 1 � � 5_7

�9a & � �9a & ! ( m �#$ �

� � � � ( 7 ! � ��� ���C7,5 m � ! � � � � B182.

1∫� �� � � � � ��� � � �0f ��� �   �� m ) � ¢ � f 3 � 7,5 � 7<5 m �� 3 ¢ ,�� � �����C7<5 m � ! � � � � B

183.1∫� �2 �� � � � � ��� � � �0f ��� �

  �� � m � � � 3 � f ��� �7 � m � � 7,5 m � � £ f � � f 3 ¢ � � �

� m � � 7,5 � 7,5 m �� ��� � �����C7<5 m � ! � � � � B

�!<<

Page 199: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� ,�� �184.

�∫� F � � �� � ���� G � �   � �   � � £�� &   � �� � £ 3 � �7�� � � �£ � ) ¢ 3 � �7X� , � £ 3 � �7�� � � �� � � � � �   � �� ) ¢ 3 � �

� , � £ 3 � � �� �� � 7X� � � 7 � �� � � � ¤4.2. The Dilogarithm Li2(z)

4.2.1. Integrals containing Li2(z) and algebraic functions

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � � ��� ���0fg3����4� �

  f �4a � a 1 � � ��� � ¢)��� � ¢ � � N � �� 7��V7��#7 � 5_7 � �I5_7 ! �W ��� ����� �Ia � 5 7 � �9a � a &

#$� m � � ! � � � � � � � ( 7 ! � ��� �&� � ( m � � ! � � � � B

2.�∫� � 1� �0fg3���� -21� � � � � ���fg3����4� �   ��f � � ) � (�� � ( m � �� ,

3 � m� � ��5 � � ( m � �� = m � � ! � ��� �&� � ( m � � ! � � � @CB3.

�∫� � -21� ��0fg3���� -21� � � � � ���fg3����4� �  �£ � � � ) � (��� ( m � �� ,

3 � � ��5 � � ( m � �� = m � � ! � ��� �&� � ( m � � ! � � � @CB4.

�∫� � -21� ��0fg3���� -!&4� � � � � ���fg3����4� �  � �m �

¢ 3 * ¢ 3 m � �� � � � 5 � � ( m � �� � = m � � ! � ��� �&� � ( m � � ! � � � @CB5.

�∫� � � �0fg3���� �4a 1� � � � � � ���0fg3���� � �   � " � � " � � � m � � & � � � � ��� 5 � !� J � 5 � LY

� N & � 7��#7 �#7��]� 5 �� �����]� 5 � ! � � � = m � � ! � � � � � ! � ��� �&��� ( m � ! � � � @B�!<9L

Page 200: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� ��+� � � � �#��� ��� � ��! �����

6.�∫� � -21� � � � � � ���0fg3���� � �

  �Vf 1� ) �� ��� � * m �� � £ * �m � 3 ¢ �� ��� � * m �� 3 £ ,= m � � ! � ��� ����� ( m � ! � � � @B7.

�∫� � -!&4��� �0fg3���� - � ��� � � � � � ���0fg3���� � �  � �� � �m � ¢ 3 * ¢ 3 m �� � � ) ¢ � * ¢ 3 m �� , 3 � £ = m � � ! � ��� ����� ( m � ! � � � @B

8.�∫� � -21��� �0fg3���� -!&4��� � � � � � ���0fg3���� � �

 �£ 1� � � £ � � ) 7� 3 7� * ¢ 3 m �� , 3 � ) 7� � 7� * ¢ 3 m �� , = m � � ! � ��� ����� ( m � ! � � � @B4.2.2. Integrals containing Li2(z) and trigonometric functions

1.

S ∫� 7��� � � � � � � � �f ���� � � �0f ��� � � � ��� ��� � ��� �

  � �m � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � � N � � 1 �#7 �#7��#7 �#7 ! ������ �#7�( � �V7<5 � �= m � � ! � � ��� �C7 ( � ! � � � @B

2.

∫� � � � � � � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � ��� ��� � ���� �   � " � " � � � � � � 5 � !

� J � - � 5:� L � J � a � 5n� LY � � � � �0f ��� £ �

� � � �f ��� £ � � � N ��� 7 �#7��V7�� � a & � � 5n� ! �� ����� � - � 5n��� � a � 5:� #$

= � � � � ( 7 ! � ��� � �C7�( � ! � � � @B3.

� ∫� � � � � � � � � �f ��� � � ��� � � � ���� �  � " � " � � � � � � 5 � !

� J � - � 5:� L � J � a � 5n� L � N ��� 7 �#7��#7 � � a & � � 5n� ! ����]��� � - � 5:� � � a � 5n� #$

= � � � � ( 7 ! � ��� � �C7�( � ! � � � @B�!<9P

Page 201: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� ,�� 34.

S ∫� � "�� ���� � � � � � � � � � � ���� �   �m � ¢ 3 � - S � � � N ��� 1 �V7��#7 �#7��V7 ! ������ �#7 ( �

� �#7,5 ��#$¤

5.�∫� � "�� ���� ��� � � ��� ��� � ���� �  �m � N �

�� 1 � 1 � 1 �#7��#7 ! � �& � & � &�- � � � & a � �#$ � � �� � m � 5_7 � � N �

�� 7 �#7��#7 �#7 � & ! � �� ����� &�- � � � & a � �#$

� � � m � � ! � � �����C7 ( � � ! � � � � B6.�∫� � "�� ���� � � � � � � � � � � ���� �   �m � N �

�� 1 �V7��#7 �#7��V7 ! ������ �#7�( �� �#7,5 �

�#$

� � � m � � ! � ��� �&�C7 ( � � ! � � � � B4.2.3. Integrals containing Li2(z) and the logarithmic function

1.�∫� � � -21 � � m 5 � m ( �� � � � � � ��� �   � �� � m � & � � � � !� � 5_7X! � J 5 & LY � & N � 7 � 5_7 � 5_7 ! m � 5 & � 5n� � 3 ��� � ¢ � & N � 7��V7�� 5 7 ! m ���� 5 & �� �#���'� ¢ � � N & � 7 �#7 �#7�� 5_7 ! m �� ����� 5 & � � = m � � ! � � � ( � ! � � �����C7�( m � ! � � � @CB

2.�∫� � � m 5 � m ( �� � � � � � ��� �   F £ f�� 7

� G ��� � � � � / f �I�� � f * 7m � 3 ¢ �� ��� � � / f �I��3 � f = m � � ! � ��� �&�C7 ( m � ! � � � @B

3.�∫� � -!&4� � � m 5 � m ( �� � � � � � ��� �

 � �� m ) / f � ��� � � � / f �g3 � 7<5 � 7�( m �� � £ / ¢ 3 f �g3 £ ,= m � � ! � ��� ���C7�( m � ! � � � @B

4.2.4. Integrals containing Li2(z) and inverse trigonometricfunctions

1.1∫� 7� ��� � � � / � � � � ���� �   �7X� � � � & £ 3 £ �� � £ � ¢�£ � � �� ¤

��LN

Page 202: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � �������� ��� � � ��!>���� ���� � �� � ��� ��!>���� � ����������� � 2.

1∫� � � -21 ��� � � � / � � � �f ���� �  � �� � m � J 5 & L� � � 5 7�! � � 5n� !

Y � & N � 7 � 5_7 � 5 & 5n� � 5n� ! m � 3 ��� � ¢ � & N � 7 �#7 � 5 & ��� 5n� ! m �� �#���'� ¢ � � N & � 7��#7 �#7 � 5 & � ����� 5n� ! m � � = � � ��� �C7 ( m ! � � � @B4.3. The Sine Si (z) and Cosine ci (z) Integrals

4.3.1. Integrals containing Si (z) and algebraic functions

1.�∫� � -21� �� � � � �� ���0fg3���� � �   � � m� � � � £ / f � � F��#" m � G 3 £ / £ � 1 F��#" m � G

� � / f ��D � 1 F �#" m � G H� F��#" m � G 3 � � F �#" m � G H 1 F��#" m � GIH � = m � � @CB4.3.2. Integrals containing Si (z) and trigonometric functions

1.�∫� 7

� � � m ( � ! � ��� � � � � � £ ����� � � � � � � � £ ����� �   � �� � � � m � � � F m � G� � � D ��� � m � � � �fI� � � � � m � � � �0fI� H � � F m � G = m � ��@CB

2.�∫� 7

� � � m ( � ! � � � � � � � � £ ����3 ��� � � � � � £ ����� �   3 � �� � � � m � � � F m ��G� � � D � � � m � � � �fI�<3 � � � m � � � �0fI� H � � F m � G = m � ��@CB

3.

� ∫� � � � � � � � � �f ��� � � ��� � � � ��� �  � " � " � � � � � � 5n� !

� J � - � a & L � J � a � a & L & N ��� 1 � � 5_7 � � a & ! ( � W�& � & � � - � a & � � a � a &

#$ = � � � � ( ��@CB4.

� ∫����� ���O' � !��� � � � � �0f � � � ��� �

  � " � '#" � � m � '%& ���� ' 5 7�! % ��� ' 5 7�! N & �� ' 5 1 �#' 5 1 ! ( �W�' 5 & �#' 5 & �#�O' 5 7 #$ ¤

��L1�

Page 203: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� 31� ,5.

∫� � � � � � � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � ��� ��� � ��� �   � " � " � � � � � � 5:�O!

� J � - � a & L � J � a � a & LY � ��� � �f ��� £ �

� � � �0f ��� £ � � & N � �� 1 � � 5_7�� � a & ! ( � W�& � & � � - � a & � � a � a &#$ = � � � � (��X@B

6.

∫��� � ��' � !�� � � � � �f � � � ��� �

  � "�' � m ' & ���'65_7X! % ��'65_7X! � � � ' �� N & �� � a 1 � � a 1 ! ( �W�� a & � � a & ��'g5 7 #$ ¤

7.

S ∫� 7��� � � � � � � �0f ���� � � �0f ��� � � � ��� � � � ��� �

  � �m ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � & N � �� 1 � 1 ��7 ! ( �

W�& � & ��7,( � ��725 �

#$¤

8.�∫� 7� � �V-�� � � � � � � � � � £ ��� � � � � � � � � £ ���0�� �  

3-" � � � m 5 � 7<5 m � ! �� ��C7<5 m � ! �� � � F f�� � ¢ � f G = � � m � ��@B9.�∫� � "�� �� � � ��� � � � � � £ ����3 � � � � � � � £ ����� �  

3-" � � �C7<5 m � ! " �� �� m 5 � 7<5 m � ! �� � � F f�� � ¢ � f G = � � m � ��@B10.

S ∫� � "�� ���� ��� � � ��� ��� � ��� �   �m � ¢ 3 � - S � � & N � �� 1 � 1 �#7 ! ( �W�& � & �#7 ( �

� �#7,5 ��#$¤

11.�∫� � "�� ���� ��� � � ��� ��� � ��� �   �m & N � �� 1 � 1 �V7 ! ( �

W�& � & �#7�( �

� �V7<5 ��#$ = � � m � ��@CB

��L�,

Page 204: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � �������� ��� � � ��!>���� ���� � �� � ��� ��!>���� � ����������� � 12.

�∫� � � ��� � � � � � ��� ��� � � � � ��� � � ���� �   � " � " ��

� �C7 ( � !Y � F 7 ( � ( � �� G � F 7�( � 5 � �� G & N � �� 1 � 1;- � - � � � 1;- � a � � ! ( W�& � & � 1�- � �#7 ( �

#$

= � � � � [email protected]. Integrals containing Si (z) and the logarithmic function

1.�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� � � ��� ��� �   � �� m � & � � � J �9a 1 L

� 5_7X! � J � 5_7 LY �� ��� � ¢ � N & �� 1 � �9a 1 ! ( �

W � W�& � & � � 5_7 #$ 3 N & �� �9a 1 � �9a 1 ! ( �

W � W�& � � 5 7 � �9a &

#$���= m � � ! � � � ( 7R@CB

2.�∫� � � m 5 � m � ( � �� � � ��� ���� �   � m� � � £ f �#� f � � � �0f �O��3 � 1 �0f �O��� � �0f9 � 3 ¢ ��� � 1 �f �O� H� �0f �O��3 � � �0f �O� H 1 �f �O�0� � = m � ��@B

3.�∫� � & � m 5 � m � ( � �� � � ��� ���� �

  � m� � � � � £ f �#� f �]�0f9 � � ¢ � � � �0f �O��3 �f9 � ���]� � 1 �0f �O�� �� � � m� � � � �f � � � � � �2� � 1 �f �O� H� �0f �O��3 � � �0f �O� H1 �f �O�0� = m � � @CB4.3.4. Integrals containing Si (z) and inverse trigonometric

functions

1.1∫� � � -21 ��� � � � � � � �0f ��� �

 � �� � m � J � 5_7 L�]� 5_7�! � J �9a & L & N �

�� 1 � �9a 1 � � 5_7 ! ( �W�& � & � �9a & � �9a &#$ = � � � ( 7A@B

2.1∫� �� � � � � � � �f ���� �   �� m � 3 £ � £ �0f9�� ¢ � � � �fI��3 £ f � 1 �fI�� � f9]� � 1 �fI� H� �0fI��3 � � �0fI� H 1 �0fI�� � ¤

��L3

Page 205: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� 31� ;4.3.5. Integrals containing products of Si (z) and ci (z)

1.�∫� � � -21 � � � � � ��� � � � £ ����3 � � � � ��� � � � £ ���0� �  � " � " �

����� � � ����V� 3 � � � � � ���� ��� � � � � ��� � ¢ � � � � ����� �0� � � � � �� � � � � � � � D�� � F 7<5 � G 3�� � F � G9H � = ( � � � � � ��@B2.�∫� � � -21 � � � � � ��� � � � £ ����3 � � � � ��� � � � £ ���0�0� � � � � ��� � � � £ ����� ��� � � ��� � � � £ ���0� �

 �£ - � -!& ������� � � �� � � � � ����� � � � � � � � �� ��� �� � D � � F 7<5 � G 3 � � � �����<3�� � F ��GIH � = ( 7 � � � � 7R@CB

3.�∫� ����� � � / �E� � � ��� / fg3��E�� �   � � m � ! �� N �

�� 1 � 1 ! �W � � � �&� � �� � & � & ���

#$ = m � ��@B4.4. The Error Functions erf (z), erfi (z) and erfc (z)

4.4.1. Integrals containing erf (z) and algebraic functions

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � �� �

�����fg3���� � �   �� � f �4a � � � F�� � 7� ��� � 7� G

Y & N & �� 1 � 5 1 � �I5 1 ! ( �W � W�& � �9a � a 1 � �Ia � 5 7 #$ = m � � ! � � � � � � � ( 7 �X@B

2.�∫� � �4a 1� �0fg3���� � � �� �

� �� ���0fg3���� � �  �£ - � -21� f �4a � � J � 5 � L� ��� 5 � !Y N

�� 1 �]� 5 � ! ( � �W& ��� 5 �#$ � f � ¡

�� � � � 3 � � � � ¤

3.�∫� � 1� � �� �

� �� ���0fg3���� � �  " � � m� � � -�� � W ��� � f � � ) m � �� , � �0f � �� ¢ �� 1 ) m � �� , = m � � @CB

��L95

Page 206: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � ��� � � � ������ �!��� �#� � ��� ��� ���� �� ����������� ���� ���� �� � �(���4.

�∫� � -21� � �� �� �� ���fg3���� � �   " � � f � � -�� � W ��� � � ) m � �� , � 1 ) m � �� ,

= m � � @CB4.4.2. Integrals containing erf (z), erfc (z) and the exponential

function

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � � W � + � - � . � �� �

�����0fg3���� � �

  �� � f �4a � � � F � � 7� � � � 7� G & N & �� 7 � 5 1 � �;5 1 ! �W � W�& � �9a � a 1 � �Ia � 5 7 #$

= m � � ! � � � � � � � ( 7 ��@B2.

�∫� � � W � + � - � . � �� ������0fg3���� � �   � �

� F � � W � W ��� 3 ¢ G = m � ��@B3.

�∫� � -21 � � W � + � - � . � �� ������0fg3���� � �   � � �� F m �� G = m � ��@B

4.�∫� � -21 �0fg3���� -21 � � W � + � - � . � �� �

�����0fg3���� � �   � �m � �� F m �� G = m � ��@B

5.�∫� � �4a 1� ��0fg3���� � � � W / � + � - � . � �� �

� �� ���0fg3���� � �  �£ - � -21� Of9 �4a �Y � J � 5 � L� ��� 5 � ! N

�� 7 ��� 5 � ! � �W& ��� 5 �#$ = m � � ! � � � ( � � @B

6.�∫� � 1� � � W / � + � - � . � �� �

� �� ���0fg3���� � �  7� � � " � � D £ 3hf � �� £ �f � 3 ¢ � � � � W � H = m � ��@B

7.�∫� � -21� � � W / � + � - � . � �� � � �� ���0fg3���� � �   � � �

� F � � � W � 3 ¢ G = m � ��@B��L�;

Page 207: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� 5)� 38.

�∫� � -21� ��0fg3���� -21 � � W / � + � - � . � �� �� �� ���0f63���� � �   � �� m � �� F �#" m � G

= m � � @CB4.4.3. Integrals containing erf (z) and trigonometric functions

1.

∫� � � � �0f ��� � �� � � � � � ���� �   � � ��� � � � m !� � � 7�( m � � N �� 1 �#7 ! ( � �&�- � � & a �

#$¤

2.

∫��� � ��' � !�� � � � �� �f � � � ��� �

  � � "�' � � m '%& ���'65 7�! � J � 5_7 L � � �' �� N

�� � a 1 � � a 1 ! ( m �� a & �]'65_7 #$¤

3.

� ∫��� � ��� ' � !��� ��� � �� �0f � � � ��� �

 � " � ' � � m � '%& � � J '65 1 L' % ���O'65_7X! N

�� '65 1 ��'65 1 ! ( m �'g5 & �]� '65_7 #$¤

4.

� ∫� � � � � � � � � �f ��� � �� ��� � � � ��� �   � " ��" � � � � � � � 5n� !� J � - � a & L � J � a � a & L

Y & N & �� 1 �V7<5 � � � a & ! � �& � � - � a & � � a � a &#$ = � � � � ( ��@CB

5.

∫� � � � � � � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � �� ��� ��� � ���� �   � " � � � � � � � 5n�O!

� J � - � a & L � J � a � a & LY � � � � �f ��� £ �

� � � �0f ��� £ � � & N & �� 1 �#7,5 � � � a & ! ( � �& � � - � a & � � a � a &#$ = � � � � (��X@B

6.

� ∫� � � � � � � � � �f ��� � � W ��� � W � � �� ��� � � � ��� �   � " � " � � � � � � � 5n� !� J � - � a & L � J � a � a & L

Y & N & �� 7��#7,5 � � � a & ! � �& � � - � a & � � a � a &#$ = � � � � ( ��@CB

��L:

Page 208: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � ��� � � � ������ �!��� �#� � ��� ��� ���� �� ����������� ���� ���� �� � �(���7.

∫� � � � � � � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � �

W ��� � W� � �� ��� ��� � ���� �   � " � � � � � � � 5n�O!

� J � - � a & L � J � a � a & LY � ��� � �f ��� £ �

� � � �f ��� £ � � & N & �� 7 �#7<5 � � � a & ! � �& � � - � a & � � a � a &#$ = � � � � ( 7A@B

8.�∫� � -�� � � �� � � � � � ���� �   � �� � � m � 5_7 � N

�� 1 �#7 ! ( � �&�- � � � & a � �#$ = � � m � ��@B

9.�∫� � -�� � a � W ��� � W � � �� ��� ��� � ��� �   � �� � � m � 5_7 � N � 7��#7 ! � �&�- � � � & a � � �

= � � m � � @CB4.4.4. Integrals containing erf (z) and the logarithmic function

1.�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� � �� ��� ���� �   � m � & � � � J �9a 1 L

� 5_7X! � J � LY & N & �� 1 � �9a 1 � �Ia 1 ! ( m � � �& � � 5_7�� �Ia &#$ = m � � ! � � � ( 7R@CB

4.4.5. Integrals containing erf (z), erfi (z) and inversetrigonometric functions

1.1∫� ��� � � � � � �� �0f ��� �

  � �� m �� -�� W � � �0f9�� ¢ �� � ) m �� , � f9 1 ) m �� , 3 ¢ � ¤

2.1∫� �2 ��� � � � � � �� �0f ��� �   � �

� � m �Y � � �Vf � � f9�� � � � -�� W � � ) m �� , � f9�� �#f9 3 ¢ � � -�� W � 1 ) m �� , 3 � ¤

3.1∫� � � W � W �� � � � � � �� �f ��� �   � �� m � � � �f �<3 £ � fT3 C � ¤

��L�<

Page 209: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� 5)� :4.

1∫� � � � W � W ��� � � � � � �� �f ��� �  � �� m � D £ � � W 3 f9P3 � � �f9O�� £ � f � C 3 £ H ¤

5.1∫� �� � � � � � �� �f ��� �

  � �� m � ¢ � � �W � � �f9P3 ¢ � � ) m �� , 3 f9 1 ) m �� , � ¤

6.1∫� �2 ��� � � � � � �� �f ��� �  � �

� � m � � � �Vf � 3 f9�� � � � � W � � ) m �� , 3hf9�� �#f9�� ¢ � � � W � 1 ) m �� , 3 � ¤7.

1∫� � -�� W � W �� � � � � � �� �0f ��� �   � �� m �C � £ � fT3 � � �43�f9 �0� ¤8.

1∫� � �V-�� W � W �� � � � � � �� �0f ��� �  � �� m � D £ � -�� W � f9 3 � � ��3Pf9 � � £ � f�� C 3 £ H ¤

4.4.6. Integrals containing products of erf (z), erfc (z) and erfi (z)

1.�∫� � � �� �f ��� � �� � ��� ���� �   m � 5 � �� � m � � � � � 5 m

� ( m 3 7� � m � = m � � @CB2.�∫� 7� � �� �0f ��� � �� � ��� ���� �   7

� D � � F m � G 3 � � F�3 m� G9H = � m � � � � � @CB

3.�∫� 7� � �� � ��� � �� � � ���� �   � � ¤

4.�∫� � �� � � / �E� � �� ��� / fg3��E�� �   7

� � F � -�� � W � f � 3 ¢ G = m � ��@B5.

�∫� � �� ��� / �E� � �� ��� / fg3��E�� �   7� � F�� � � W 3hf � 3 ¢ G = m � ��@B��LL

Page 210: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� � ��� ����� � �������#����� � ���� ���� 0 ����6.

�∫� � �� ��� / �E� � �� � � / fT3��E� �   f9 � Y D� � �0f � �<3 7m � � 1 �0f � ��� � � � �f � � L 1 �0f � �<3 � � 1 �0f � � L� �f � � H= m � � @CB

7.�∫� � - � W � � �� � � / �E� � �� � � / fg3��E�� �  �£ f � -�� � W � 1 ) m � �� , = m � ��@B

8.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � �� �

� �� ���fg3���� � � �� �� �� ���fg3���� � �

 �� f �4a � � � F � � 7� � � � 7� G � N �

�� 1 �#7 � 5 1 � �;5 1 ! �W � W1 �&

�� & � �� � �9a � a 1 � �9a � 5_7 #$

= m � � ! � � � � � � � ( 7 ��@B9.

�∫� � � W � � �� ��� / �E� � �� ��� / fg3��E�� �  �£ f � � � W � 1 ) m � �� , = m � ��@B10.

�∫� � � W � � �� � � / �E� � �� � � / fg3��E�� �   � � � W� � � � � ��� �0f � ��3 ¢ � = m � ��@B

4.5. The Fresnel Integrals S(z) and C(z)

4.5.1. Integrals containing S(z) and algebraic functions

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � �

�����0fg3���� � �

  m � &�� & �� �� * � � �� � F�� � �� ��� � �� G & N � �� &

�� 5 &

�� �I5 &

� !( �

W � W1 �& ���� � �Ia � a &�� �9a � a �

#$

= m � � ! � � � � � � � ( � � @B2.

�∫� � �4a 1� �0fg3���� � � �� �� ���fg3���� � �

  � " � � " � �� f �4a � ��� � &4� � J � 5 1 1

� L� J � 5 1 &� L N & �� &� ��� 5 1 1� ! ( � �W

�& � �� ��� 5 1 &�#$

= m � � ! � � � ( 7 7 � @CB��LP

Page 211: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� ;�� ,4.5.2. Integrals containing S(z) and trigonometric functions

1.

� ∫����� ���O' � !��� � � � � ���f � � � ��� �

  � " � '#" �� � � � m � ' & � ����O' 5 7�! % � � ' 5 � ! N & �� ' 5 1 �#' 5 &� !

( �W�' 5 & �V' 5 �

��#�O' 5 7 #$ ¤

2.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � ����� ��� � ���� �   � " �]" � � J �65 � L � � � �� � J � - � a �� L � J � a � a �� L

Y � ��� � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � � & N � �� &� � � a ��

� � a �� ! ( � W�& � �� � � - � a ��� � a � a ��

#$ = � � � � ( � �X@B3.

S ∫� 7��� � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � ����� ��� � ���� �

  � � �� m ��� � � � m� � ��� � � � � f�� £ �

� � � � � ��f � £ � � ) � �� , 1� & N � �� 1 � &� �#7 ! ( � W�& ���� �V7 ( � �#7,5 � #$¤

4.

S ∫� � "�� ���� � � � � ����� � � � ��� �  7E( � " ( � �� m ) � � �

� , 1� & N � �� 1 � &� ��7 ! ( � W�& � �� ��7E( �

� ��7 5 ��#$¤

5.�∫� � "�� ���� � � � � ����� ��� � ���� �   7

� m ) � � �� , 1� & N � �� 1 � &� �#7 ! ( � W�& � �� �#7 ( �

� �#7,5 ��#$

= � � m � � @CB6.�∫� � � ��� � � � � � � � ��� ��� � ��� � � ���� �   � " �

�� �

� � � � J & ( � LY ��F � ( � � (*� � �� G ��F � ( � � 5n� � �� G & N � �� &� � &�- � - � ��

� &�- � a � ��& ���� � &�- �

�� � - �

� ! ( W�#$

= � � � � � ��@CB��PN

Page 212: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ������� � ��� ����� � �������#����� � ���� ���� 0 ����4.5.3. Integrals containing S(z) and the logarithmic function

1.�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� ����� ��� �   7

� f �4a &4� F �� G &4� � J �9a &� L ��� 5 � ! � J �9a �� L

Y �� � £ �'� � N & �� &� � �9a &� ! ( �W � W�& ���� � �9a ��

#$ 3 N & �� �Ia &�� �9a &� ! ( �

W � W�& � �9a ��

� �Ia ��

#$���= m � � ! � � � ( � ��@CB

4.5.4. Integrals containing C(z) and algebraic functions

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21�� �

�����fg3���� � �

  f �4a � -21� * � �� � F � � 7� ��� � 7� G & N � �� 1� � 5 1� � �;5 1� ! ( �

W � W1 �1 � �� � �9a � a 1�� �9a � a &�

#$

= m � � ! � � � � � � � ( 7 � @B2.

�∫� � �4a 1� ��0fg3���� � � � � �� ���0fg3���� � � �£ - � -!&4��� f9 �4a�� ��� � 1� � J � 5 �

� L� J � 5 1 1� L N & �� 1� ��� 5 �

� !( � �

W�1 � �� �]� 5 1 1�

#$

= m � � ! � � � ( � � @CB4.5.5. Integrals containing C(z) and trigonometric functions

1.

� ∫��� � ��� ' � !� ��� ��� � �0f � � � ���� �   � � J � L

� ' & �� ���� '�! % � � '65 7�! 1 N �� 'g5 1

� !( �

W�'65 �

���� '65_7 #$ ¤

2.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � � � � ��� �  

� " � � � �65 & ! � � �� J � - � a � L � J � a � a � L * ��

Y � ��� � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � � & N � �� 1� � � a &�

� � a �� ! ( � W�1 � �� � � - � a ��� � a � a ��

#$ = � � � � ( � �X@B3.

S ∫� 7� ��� ��� � � � � �0f ���� � � �0f ��� � � � � � � � ���� �

  � � �m ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �� � � � � � f�� £ � � F �� G 1� N & �� 1

��#7 ! ( � W��

��#7�( � �#7<5 �

#$¤

��P1�

Page 213: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� ;�� :4.

S ∫� � "�� �� ��� ��� � ��� ��� � ��� �   7m * � �� � ¢ 3 �V- S � � N & �� 1

��#7 ! ( � W��

��V7 ( �

� �#7<5 ��#$¤

5.�∫� � "�� �� ��� ��� � � � � � � ��� �   7m F � �� G 1� N & �� 1

��#7 ! ( � W��

��#7�( �

� �V7<5 ��#$ = � � m � ��@CB

6.�∫� � � ��� � � � � � � � ��� � � � ��� � � ��� �   � " � " �

��� �� � � J 1 ( � L

Y � F 7 (*� � (*� � �� G � F 7 (*� � 5n� � �� G & N � �� 1�� 1;- � - � �

�� 1;- � a � �

�1 � �� � 1;- ��

� &�- �� ! ( W�

#$

= � � � � [email protected]. Integrals containing C(z) and the logarithmic function

1.�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� � ��� ��� �   * �� m � & �� � � J �9a 1

� L ��� 5_7X! � J �9a &� L

Y �� � £ � � ¢ � N & �� 1�� �9a 1

� ! ( �W � W�1 � �� � �9a &�

#$ 3 N & �� �Ia 1�

� �9a 1� ! ( �

W � W�1 � �9a &�

� �Ia ��

#$ ��= m � � ! � � �h7 ��@CB

4.6. The Incomplete Gamma Function γ(ν, z)

4.6.1. Integrals containing γ(ν, z) and algebraic functions

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � � � � ���fg3����4� �   m � &�� & � � " � � �

� � ���'� ��� � ;�Y & N & �� � � 5 � � �I5 � ! ( �

W ��� 5_7 � �9a � 5 � � �9a � a 1 5 � #$ = m � � � � � � � � 5 � ! � � � � �I5 � ! � ��@CB

2.�∫� � �4a 1� ��0fg3���� � � � � � � ���fg3���� � � �£ - � - � -21 f9 �4a � a &4� � � � � � ��� 5 � 5:�O!

� � J � 5 � 5 � L N �� � �]� 5 � 5n� ! ( � �� 5_7���� 5 � 5 �

#$

= m � � � � � � � � 5 � ! � ��@CB��P�,

Page 214: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� � � ����������� � ��� � ��� ���� ��� � ��� ��� ��������4.6.2. Integrals containing γ(ν, z) and the exponential function

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � � � + � - � . � � � � ���fg3����4� �  m � &�� & � � " � � �

� � ���'� ��� � ;� & N & �� 7�� 5 � � �;5 � ! � W ��� 5_7�� �Ia � 5 � � �9a � a 1 5 � #$= m � � � � � � � � 5 � ! � � � � �I5 � ! � � @CB2.

�∫� � � � + � - � . � �� � � ���0f63����4� �   � � � � � !� J � 5 1 L � -21� � �

W � ��� � ) � 7� � m � �� ,= m � � � � � � @CB3.

�∫� � �4a 1� �0fg3���� � � � / � + � - � . � � � � � ���fg3���� � � �£ - � - � -21 f9 �4a � a &4� � � � � � ��� 5 � 5n� !

� � J � 5 � 5 � L N �� 7���� 5 � 5:� ! � �� 5_7 ��� 5 � 5 �

#$

= m � � � � � � ! � � � 5 � � ! � ( 7A@B4.

�∫� � -21� � � / � + � - � . � � � � � ���0fg3���� � �  * � �

� � � � � � � � !� J � 5 1 L � F�-� 7� � m �� G = m � � ! � � � � ( 7 �X@B

4.6.3. Integrals containing γ(ν, z) and trigonometric functions

1.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � - � � � �� � � � � � ���� �

  � � ��9m � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �

� � � � � � f�� £ � � & N & � � � 1 �#7 ! ( �� 5 7 �#7 ( � �V7<5 � � = � � � � � @CB2.

� ∫� � � � � � � � � �f ��� � � ��� � W � � �� � � � � � ���� �  � " ��" � ��" � � � � � � �65:� � 5 7�!� � J � a � - � a L � J � a � a � a L

Y & N & �� 7 � 1 a � 5 � � � 5 � 5 7 ! �� 5_7�� � - � 5 � 5_7 � � a � 5 � 5_7 #$ = � � � � � � � �65 � 5_7�! � � @CB

��P3

Page 215: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� :1� 33.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � ����� �

W� � �� � � � � � ��� �

  � " �]" � � � � � � � �65n� � 5_7X!� � J � a � - � 5_7 L � J � a � a � 5_7 L

� ��� � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � �

Y & N & �� 7 � � a 1 5 � � � 5 � 5_7 ! �� 5_7�� � - � 5 � 5 7 � � a � 5 � 5_7 #$

= � � � � � � � �65 � 5?� � � 7X! �O! � ��@B4.

S ∫� ��� � - � � � ��� � �f ���� � � �f ��� � � ����� �

W� � �� � � � � � ��� �

  � � ��9m � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �

� � � � � � f�� £ � � & N & � 1 �V7��#7 ! �� 5 7 �#7 ( � �V7<5 � � = � � � � � @CB5.

S ∫� � -�� � a ����� � W � ��� � - � � � �� � � ��� � ��� �  � ¢ 3 � - S � � � ��&m & N & �� 1 �#7 �#7 ! �� 5_7 �#7 ( �

� �#7<5 ��#$ = � � � � ��@B

6.

S ∫� � -�� � ��� � - � � � �� � � � � � ��� �  � ¢ 3 � - S � � � ��&m & N & �� � � 1 �#7 ! �� 5 7 �#7 ( �

� �#7,5 ��#$ = � � � � ��@B

7.�∫� � -�� � ��� � - � � � �� � � ��� � ��� �   � �

�&m & N & �� � � 1 �#7 ! �� 5_7 �#7 ( �� �#7,5 �

�#$

= � � m � � � � � � @CB8.�∫� �#-�� � a ����� � W � � � � - � � � � � � ��� � ���� �

  � ��&m & N & �� 1 �#7 �#7 ! �� 5 7 �#7 ( �

� �#7,5 ��#$ = � � m � � � � � ��@CB

��P95

Page 216: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ������� � � ����������� � ��� � ��� ���� � ��� ��� ���γ(ν, z)

4.6.4. Integrals containing γ(ν, z) and the logarithmic function

1.�∫� � � -21 � � m 5 � m ( �� � � �� � � ��� �   � �� � m � & � � � � � 5 � !� � � 5 � ! � J 5 � 5 1 LY & N & � � � 5 � � 5 � ! ( m �� 5_7�� 5 � 5 1 � 5 � 5_7 � = m � � � � � � � � 5 � ! � � @CB

2.�∫� � � -21 � � � � � m 5 � m ( �� � � �� � � ���� �   � �� � m � & � � � � � 5 � !� � � 5 � ! � J 5 � 5 1 LY & N & � 7�� 5 � � 5 � ! m �� 5_7�� 5 � 5 1 � 5 � 5_7 � = m � � � � � � � � 5 � ! � � @CB

4.6.5. Integrals containing γ(ν, z), erf (z) and erfi (z)

1.�∫� � �� � �

�]�0fg3���� � � � � � ��� �  � " � � � � !� � J � 5 & L D £ �0f �O� � a &4� � -�� � � � £ f � 3 £ )3 ¢ � � F -� � � � f � GIH

= m � � � � � � @CB2.

�∫� � � � � �� � ��]�fg3���� � � � � � ���� �

  � � � !� J � 5 � L f � a &4� � � a 1� 1 N 1 �� & ! m �� 5 �

#$ = m � � � � � ��@B3.

�∫� � � � � �� � ��]�fT3���� � � � � � ���� �

  � � � !� J � 5 � L f � a &4� � � a 1� � � � 1 N �� 7 ! �

W � W� � a �

�� � a �

#$ = m � � � � � � @CB4.6.6. Integrals containing products of γ(ν, z)

1.�∫� � � � � � � � � ��� � � � �]�0fg3����4� �   � � ��! � � � !

� � �65 � 5n� ! f � a � a 1 � � a � � � � a � �Y 1 N

�� 7 ! � W � W�� a � 5_7�� � a � a &#$ = m � � � � � � � � � � � ��@CB

��P�;

Page 217: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� <�� �4.7. The Bessel Function Jν(z)

4.7.1. Integrals containing Jν(z) and algebraic functions

1.�∫�

�('%& � �!& �� � � 5 m � � 5 � ! ( & �!& �� � � � � � ��� �  �( 7�! ( &(' & �

J 1 L ( J � 5 1 L �������� �43 ¢ � � J ' $ L � �

� � S � � � �� � �&- �\ � � � � � � �&- � � � � \ � �� ' � � � 5:��� ! ��� � � " � � m � � � � � �� � �#B

2.�∫� � � �0fg3���� �4a 1� � � � � �� ���0fg3���� � �  �£ - � -!& � � -21 / � f9 �4a + � a & . � � �

Y � J � 5 � 5n� L� � � 5 7�! � J � 5 � a � L 1 N

�� � 5 � 5:� ! ( � �W

� 5_7 ��� 5 � a �#$

= m � � ! � � � 5 � � ! � ( 7A@B3.

�∫� � - � ��� �0fg3���� - + � a . ��� � � � � �� ���0f63 ��� � � �£ + � a & . ��� / � f�+ 1A- � . ��� � -21� H� -21� F��#" m � G = m � ��@B

4.�∫� � � ��� �0fg3���� + � - . ��� � � � � �� ���0fg3���� � �

 �£ + &�- � . ��� / � f�+ � a 1 . ��� � -21� � � a 1� F �#" m � G = m � � ! � � � � (��X@B5.

�∫� � -21��� �0fg3���� -!&4��� � � � � �� ���0fg3���� � �  �£ 1� � � � � F � " m � G= m � � ! � � � � ( 7R@CB

6.�∫� � 1� � � � � �� ���0fg3���� � �

  7� � D / £ �0f � 3 £ � � � � F��#" m � G � £ / f � � � � F��#" m � GIH = m � � @CB

7.�∫� � -21� � � � � �� ���0fg3���� � �   � � �

� ��� � F �#" m � G = m � ��@B��P:

Page 218: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ���������� � ��� � ��� ��� ��� � � ����8.

�∫� � -21��� �0fg3���� 1��� � � � � �� ���0fg3���� � �  � m� � � D � � F �#" m � G 3 � 1 F �#" m � G9H = m � � @CB

9.�∫� � -21��� �0fg3���� 1��� � 1 � � �� ���0fg3���� � �

  �� � D / £ ��� � F��#" m � G 3 / f � � � � F �#" m � GIH = m � ��@B

10.�∫� � -!&4��� �fT3���� -21��� � 1 � � �� ���fg3���� � �   �� m � D ¢ 3 � � � F �#" m � G9H

= m � � @CB4.7.2. Integrals containing Jν(z) and the exponential function

1.�∫� � SEa + �&-21 . � � � � �&� + �&-21 . � �V-�� � � � F � � � � ��� G �  �43 ¢ � S £ � � - �<�P� �E� S

� � � + � a � . � � � �A� + � a � . � � � \ � � + � a � . � � � � � � �� � � W�� � � � � � m � 5�� � m � � ! � � ��� � 5n� � 5n'�! �?� ! � � m � � � � � � ! � ��� � � � � � � B

4.7.3. Integrals containing Jν(z) and trigonometric functions

1.�∫� � SEa � � �0fg3���� � � � � �

� / fg3�� � � � � � / �E� �   �43 ¢ � SEa � £ SEa 1� O/ �Y f + SEa � a & . ��� � � S������ ��3 ¢ � � J � $ L �43 � 3 ;� S - � ) 3 � m � �� , �

Y � �� � �]��� � � � - + SEa � a � a & . ��� �&SEa � a � a &4� � � f2� � � � � � � = m � � @CB2.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � � � � � ��� �

  � " �]" � � � � � � � �65 � 5 7�!� � � 5_7X! � J � a � - � 5_7 L � J � a � a � 5_7 L

� ��� � �f ��� £ �� � � �f ��� £ � �

Y N & �� � a � a 1 � � a � 5_7 ! ( � W�� 5 7 � � a � - � 5_7�� � a � a � 5 7 #$ = � � � �65 � ! � ( 7A@B��P�<

Page 219: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� <�� 33.

� ∫� � � � � � � � � �f ��� � � � � � � � ���� �  � " �]" � � " � � � � � � �65 � 5_7X!

� � � 5_7X! � J � a � - � 5_7 L � J � a � a � 5_7 LY N & �� � a � a 1 � � a � 5 7 ! ( � W�� 5 7 � � a � - � . 5_7�� � a � a � 5_7 #$ = � � � �65 � ! � ( 7A@B

4.

� ∫� � � � � £� ��� � � � - � � � � �0f � � � ��� �  � " � ']" � " � � m � '%&(�' % � ��'65 � 5_7�! 1 N

�� '65 1 ! ( �W�'65 � 5_7 ��� '65_7 #$ ¤

5.

S ∫� � -�� � ��� � - � � � � ��� ��� � ��� �  J � L �� � � 5_7X! m � ¢ 3 �V- S � � N & �� 1 �#7 ! ( �

W�� 5_7 �#7 ( �

� �#7<5 ��#$¤

6.�∫� �#-�� � ��� � - � � � � � � � � � ��� �   J � L �� � � 5_7X! m N & �� 1 �#7 ! ( �

W�� 5_7 �#7 ( �

� �#7<5 ��#$

= � � m � � @CB7.

∫� � � � £�� � �f9 3�� � � � ��� ��� � � F � f 3�� ��� � � G �  ��3 ¢ � SEa � �� ' ��� ��� ��3 ¢ � � J ' $ L � �&- � F fT3 � f 3�� G � -;�

Y � SEa � ) m (%� m � ( � �� , � S -;� a � ) m 5 � m � ( � �� , = � � � � m @B8.

∫� � � � � � �0f � � � £ f � � � � ��� ��� � � F � f � � � £ f � � � � � G �  �43 ¢ � SEa � £ � ��� ��� ��3 ¢ � � J ' $ L]f � � �&- � � SEa � �fI� � S -;� a � � �O� ¤

��PL

Page 220: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ���������� � ��� � ��� ��� ��� � � ����4.7.4. Integrals containing Jν(z) and the logarithmic function

1.1∫� � � � � � �f ���� �   7m � � � � �fI�<3 ¢ � ¤

2.�∫�

� ���� m � ( � � � � ��� ���� �   7� � � � � �f �O� � f�� ��� � �0f �O�X� � � � £ f �O�<3 � � �0f �O��� � � � �0f �O�X� � � �f �O�<3 � � � £ f �O�� � = m � � @CB

3.�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� � � � � ��� �   � �� � m � & � J � L � � J �Ia � L�#� 5 � ! � J �9a � a 1 L � � � 5_7X!

Y N & �� �9a � � �9a � ! ( �W � W��9a � a 1 � �Ia � 5_7�� � 5_7 #$ = m � � � � 5 � ! � ��@B

4.�∫� � m 5 � m � ( � �� � 1 � � ��� �   1� �C � � �f �O��3 � � �0f �O�� = m � ��@B

5.�∫� � � m 5 � m � ( � �� � � ��� ���� �   7

� � � ¢ 3 � � � �0f �O�� = m � ��@B6.

�∫� � & � m 5 � m � ( � �� � � � � ��� �  7� � � f � ��� � �f �O��� � � 3hf � � � � � �0f �O��3 ��� = m � ��@B

7.�∫� � SEa � � - � � � � � � �0f ��� �  �43 ¢ � SEa � � £ fI� � � S� �P�� � � � �� �<� -21� ) � �P5 � � � 5 ��]� � � 5 � ! 3 C , ���� �

� � W= � � � � � ��� m � @CB4.7.5. Integrals containing Jν(z) and inverse trigonometric

functions

1.1∫� � � -21 ��� � � � � � � �f ���� �

 � �� � J � L � � J �9a � a 1 L� 5 � ! � � � � 5_7�! � J �9a � L N & �� �9a � � �9a � a 1 ! ( �

W��9a � 5_7�� �9a � 5_7�� � 5_7 #$= � � � 5 � ! � � @CB

��PP

Page 221: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� <�� :2.

1∫� ��� � � � � � � �f ���� �   7m � � �0fI� ¤3.

1∫� � ��� � � � � � � �f ���� �   �� m � � F m � G � 1 F m � G ¤4.

1∫� �2 ��� � � � � � � �f ���� �   7m � � £ ��� � fg3hf � � � fg3 � � �0fI�� ¤5.

1∫� ��� � � � � � 1 �f ���� �   �� m D ¢ 3 � � F m � GIH ¤6.

1∫� � ��� � � � � � 1 �f ���� �   7m � � � � �0fI��3 ��� � f�� ¤7.

1∫� 7� ��� � � � � � 1 �f ���� �   � � �0fI��� 7m � � � � fg3 ¢ � ¤

4.7.6. Integrals containing Jν(z), Si (z) and ci (z)

1.�∫� � � -21 � � � � � ��� � � � £ ����� � � � � ��� � � � £ ���0� � � � ��� �

  3 � " � " � � � 5 � !� �� � � � � ( 5_7X! � F 7� 3 � G � � � F 5 �� � GY D�� F 7�( ( �� G � � F 7 ( 5 �� G 3�� F ¢ 3 ( �� G 3�� F 5 �� GIH= � � � � � 5 � ! � � ��@CB

2.�∫� � � -21 � � � � � ��� � � � £ ����3 � � � � ��� � � � £ ���0� � � � ��� �

  3 � " � " � � � 5 � !� �� � � � � ( 5_7�! ��F 7� 3 � G � � � F 5 �� � GY D�� F ¢ 3 5 �� G 3�� F 7�( 5 �� G � � F ¢ � � ( � G 3�� F 7,5 5 �� G9H= ( 7 � � � � � 5 � ! � � �X@B

,9NN

Page 222: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ���������� � ��� � ��� ��� ��� � � ����4.7.7. Integrals containing products of Jν(z)

1.�∫� � � � ��� � � �fT3���� �   m

�65 � � � � a � �fI�<3 � m � ! � &(�� � �65 � 5 7�!

Y � ���� m�g5 � 5_7 & N � �� � a � a 1�

� � a � a 1 � � a � a &� ! ( m �1 � � a � a & � �65 � 5 1 � �65 � 5 7 #$

� m ��� � m�g5 � 5n� & N � �� � a � a &�

� � a � 5_7 � � a � a �� ! ( m �& � � a � 5n��� �65 � 5_7�� �g5 � 5 &

#$ � = m � � ! � � � � � � � � ( 7R@CB

2.�∫� 7� � � � � ��� � � �0fg3���� �   7� � D 7

�)(:7 � � a � -21 �fI� � 7�g5 7 � � a � a 1 �fI� H= m � � ! � � � � 7 ! � � � � ( 7A@B

3.�∫� 7� � m ( � ! � � � � ��� � � �0fg3���� �

  7� � �9m D �65 � (87� (87 � � a � -21 �fI� � �g5 � 5_7

� 5_7 � � a � a 1 �0fI� H= m � � � � � � ! � � � � 7A@B4.

�∫� 7� � � m ( � ! � � � � ��� � � �fT3���� �

  7� � �9m � D � �65 � (:7X!9� �g5 � (*� !� � (87�!&� � (:7X! � � a � -21 �0fI�� � �g5 � 5_7X!9� �65 � 5n�O!� �g5_7X!9� � 5_7X! � � a � a 1 �fI� H = m � � ! � � � � � � � � 7R@CB5.

�∫� �,+ �&-21 . ��� �0fg3���� � � � �&-21� ��� / �E� � � � � / fg3�� � � �£ � �&-21� � � F m

� � 5 �� G + � a � a 1 . ��� � � a � a 1� F � f � � f � G= m � � ! � � � � ( 7R@CB

6.�∫� � SEa � � ��fg3���� � a � � � � ��� / �E� � � � � / fg3�� � �   ��3 ¢ � SEa � £ SEa � a 1 � � � �Y F m

� � 5 �� G + � a � a2SEa � a 1 . � S�

� ��� ��� ��� J � � L J ' $ L ��3 �83 � � S - � ��3�T3 � � �&- �,9N1�

Page 223: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� <�� <Y � � �

�� "� � &�" F m

� � 5�� G + � a � . � � � a � a � a � a2SEa � a 1 F � f � � f � G= m � � ! � � � � ( � (87 ! � � � � ( ')(:7R@CB

7.�∫� � �&-21� �0fg3���� � � � �&-21� � � / �E� � 1� -;� ��� / �E� � � � � / fT3�� � �  �43 ¢ � �&-21 � '%& �� �� � � �<F m�

� � 5�� G + � a � a 1 . ��� �&-21������ J ' (87$ L�F 7��G �&- � -21Y )

� m � ��� � 5

�� , � � � � a � a � a 1� F � �Vf � � f � G = '*>?7 ! m � � ! � � � � ( 7R@CB

8.

�∫

7� ( � � 1 � � 3���� � � F � � 3hf G �   � ( m� � � ( m � � 1 F � � 3hf G

= � � m � � @CB9.

�∫

7� � � ( m � � � ��� 3���� � 1 F � � 3hf G �  7m D � � ��� 3hfI�<3 � � F � � 3hf G9H = � � m � ��@B

10.1∫� � � � � � F f � � 3�� G �   � � � �fI��D ¢ � � � L 1 �0fI� H 3 � � � � 1 �0fI� L� �0fI� ¤

11.1∫�

�� 7 ( � � � � ��� D �0f�� �O� � ¢ 3�� H � � �f ��� � � ��� ��� �  � � £ / f �I�KD ¢ � � � L 1 � £ / f �I� H 3 � � 1 � £ / f �I� � � � £ / f �I� ¤

12.

� ∫� � � � � £�� ��� � � � - � - � � � � �f � � � ��� � � �0f ��� � ���� �  � " � ']" �]" ��" � � m � ' &���& � � ���O' 5��Q5 � 5:7�!' % � ��' 5 � 5n7X! � ��' 5 � 5n7X!

Y 7� ��' 5 � 5 � 5n7X! & N � � ' 5 � a � a 1 �O' 5 � a � 5n7�� ' 5 1 ! ( m �' 5 � 5n7��O'Q5 � 5:7 �O' 5 � 5 � 5n7��O�O' 5n7 � ¤

,9N�,

Page 224: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ���������� � ��� � ��� ��� ��� � � ����13.

∫� � � � � � ��� � � �X- � - � � � � �0f � � � ��� � � �0f � � � ���� �  � " � '#" ��" � � m '%&�� &(� � ��'65��65 � 5_7�!

� J � 5_7 L � J � 5��g5 7 L � J � 5 � 5_7 LY �� � ��' � � !

� J � 5��65 � 5 7 L & N � � � a � a � a 1 � � a � a � 5_7�� � a 1 ! ( m �� 5��65_7�� � 5 � 5_7�� � 5��65 � 5_7���'65_7 � ¤14.

∫� ��� � �0f ��� ��� � 1A- � - � � � � ��� ��� � ��� � � � � � � � ��� �  J � L

� &(� ��� � � � m !� � �65_7�! � � � 5_7X! � 7 ( m � � � N �

��� a � a 1 � � a � 5 7 �#7�� & ! ( � ��65_7�� � 5_7�� �g5 � 5_7�� &�- � � & a �

#$¤

15.

S ∫� �V-�� � � � � - � - � � � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� �  J � L � &(� � 7 ( � " ( � � �

� � �65_7X! � � � 5 7�! m � N ���

� a � a 1 � � a � 5_7 � 1 �#7 ! ( � ��g5 7 � � 5 7 � �65 � 5_7��#7�( �� �#7,5 �

�#$¤

16.�∫� � -�� � ��� � - � - � � � � ��� ��� � ��� � � ��� � � � ��� �

  J � L � &(�� � �65_7X! � � � 5 7�! m � N ���

� a � a 1 � � a � 5_7 � 1 �#7 ! ( � ��65_7 � � 5 7 � �65 � 5 7 �#7�( �� �#7,5 �

�#$ = � � m � ��@CB

17.�∫� � � m 5 � m � ( � �� � � ��� ���� �   m� � � £ f � � � � £ f �O��3 � 1 � £ f �O��� � m �� � � 1 � £ f �O� H� � £ f �O�<3 � � � £ f �O� H 1 � £ f �O�� = m � ��@B

18.�∫� � & � m 5 � m � ( � �� � � � � ��� �

  m7�� � � � £ f �]�f9 � 3 £ � � � � £ f �O��3 �0f9 � 3 �V� � 1 � £ f �O�0�� � m �� � � � � �Vf � 3 ��� � 1 � £ f �O� H � � £ f �O��3 � � � £ f �O� H1 � £ f �O�0� = m � � @CB,9N3

Page 225: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� L1� �19.

�∫� �0f9 3��2 �R+ �&-21 . ��� � �&-21� F � � f 3�� G � � � � ��� �  �43 ¢ � � £ �&-21� / � � �&-21� Y ����ED � � � F m � � � � � � m � �� G � � � F m � � � � � 3 m � �� G9H ��� �

� � W= m � � ! � � � � ( 7R@CB20.

1∫� � � � � � �f ���� �   3 7� D � � �fI� � � 1 �fI�<3 7m � � �fI� � 1 �fI� H ¤21.

1∫� � � � � 1 �f ���� �   7� m � � ¢ 3 �0f9�� ¢ � � � �0fI��� f � � �fI� � 1 �fI�<3hf9 � 1 �0fI�� ¤22.

1∫� 7� � ��� � � � � � 1 �0f ��� �

  3 7� m � fg3 £ f2� �Vf9�� ¢ � � � � £ fI� � � �Vf9 3 ¢ � � 1 � £ fI��� � � m �� � � 1 � £ fI� H� � £ fI�<3 � � � £ fI� H 1 � £ fI�� ¤

23.1∫-21 � �

� f / � 3 ¢ � � � � f / � � ¢ � � � � � / � 3 ¢ � � � � � / � � ¢ � � �£ 1 N �

�� 1 ! �W � W�7��#7 �#7�� &

#$¤

4.8. The Bessel Function Yν(z)

4.8.1. Integrals containing Yν(z) and algebraic functions

1.�∫� 7� m � ( � � � � � � ���� �   � � � � F m �� G � � F m �� G = m � ��@B

4.8.2. Integrals containing Yν(z) and Jν(z)

1.�∫� 7� � 1 � ��� � � �0fg3���� �   �

� m � � �0fI��� � 1 �0fI� = m � ��@B,9N95

Page 226: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ���������� � � � � � ��� � � ��� � ��� ��� ��� � � ����2.

�∫� � -�� � D �� � � � � � � ����� � 1 ��� ��� H �

  �� � F ¢ 3 m� m � 5 � � G � m 5 � m � 5 � �

� = � � m � � ��� � � @B4.9. The Modified Bessel Function Iν(z)

4.9.1. Integrals containing Iν(z) and algebraic functions

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � � � � ���0fg3���� � �  � F � � � � ��� � � � G m � & ��&(� " �

� � � 5_7X! F �� G � N & ��� 5 �

� � �I5 �

� ! � � � �

� �� 5_7�� ���� � �

� � ���� � ��� ��

#�

2.�∫� � � � �0fg3���� � � � � � � ���fg3���� � �

  / �*F m� G � a 1� F � � G 1� � a 1� F m �� G = m � � ! � � � � ( 7A@B3.

�∫� � � � � ���fg3���� � �   �� ��� ��� F m �� G = m � ��@B

4.�∫� � -21� ��0fg3���� -21� � � � � ���0fg3���� � �   � V� F m �� G = m � ��@B

5.�∫� � � �0fg3���� �4a 1� � � � �� ���fg3���� � �  �£ - � -!& � � -21 / � f9 �4a + � a & . � � �

Y � J � 5 � 5n� L� � � 5_7�! � J � 5 � a � L 1 N

�� � 5 � 5n� ! � �W

� 5_7��]� 5 � a �#$ = m � � ! � � � 5 � � ! � ( 7R@CB

6.�∫� � � ��� �0fg3���� + � - . ��� � � � �� ���0fg3���� � �

 �£ + &�- � . ��� / � f + � a 1 . ��� � -21� � a 1� F �#" m � G = m � � ! � � � � ( � @B,9N�;

Page 227: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� P1� ,7.

�∫� � - � ��� �0fg3���� - + � a . ��� � � � �� ���0fg3���� � � �£ + � a & . ��� / � f�+ 1A- � . ��� � -21� L� -21� F �#" m � G = m � � ! � � � � ( ��@CB

8.�∫� � -21��� �0fg3���� -!&4��� � � � �� ���fg3���� � �  �£ 1� � � � F��#" m � G

= m � � ! � � � � ( � ��@CB9.

�∫� � 1� � � � �� ���fg3���� � �  7� � D / £ �f � � £ � � � ��� F��#" m � G 3 £ / f � � � ��� F��#" m � GIH = m � � @CB

10.�∫� � -21� � � � �� ���0fg3���� � �   � � �

� ��� ��� F �#" m � G = m � ��@B11.

�∫� � -21��� �fT3���� 1��� � � � �� ���0fg3���� � �  � m� � � D� � F��#" m � G � 1 F �#" m � G9H = m � � @CB

12.�∫� � -21��� �fT3���� 1��� 1 � � �� ���0fg3���� � �

  �� � DM/ f � � � ��� F �#" m � G 3 / £ � � ��� F �#" m � GIH = m � ��@B

13.�∫� � -!&4��� �fT3���� -21��� 1 � � �� ���0fg3���� � �   �� m � D � � ��� F �#" m � G 3 ¢ H

= m � � @CB4.9.2. Integrals containing Iν(z) and the exponential function

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � � � + � - � . � � � ���fg3����4�� �  � ��� � � � � �� m � & ��& � ��" �� � � 5_7X! F ���G � & N & �� � 5 1 � 5 � � �;5 � ! �

W �� � 5_7�� �Ia � 5 � � �9a � a 1 5 � #$= m � � � � 5 � ! � � � � �I5 � ! � ��@B,9N:

Page 228: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ���������� � � � � � ��� � � ��� � ��� ��� ��� � � ����2.

�∫� � � � + � - � . � ��� ���0f63����4�� �   " �� � � �� ) f * �� , = m � ��@B3.

�∫� � � � � + � - � . � � � ���fg3����4�� �   m � " �� � � �� ) f * �� , = m � ��@B4.

�∫� �2 � � � + � - � . � ��� ���0f63����4�� �  � m � � 5_7� * �� � � � �� ) f * �� , 3 m� � � � W � � = m � ��@B

5.�∫� � -21 � � � + � - � . � ��� ���0f63����4�� �

  m� * � �� � �

W � ��� � � -21� ) m � �� , 3 � a 1� ) m � �� , = m � � � � � � @CB6.

�∫� � -21 � � � + � - � . 1 ��� ���0f63����4�� �   7m � � � £ � � W � � 3hf9 �K3 £ � = m � ��@B7.

�∫� � -21 �0fg3���� -21 � � � + � - � . � � � ���fg3����4�� �  7� * � �� � �

W � ��� � � -21� ) m � �� , 3 � a 1� ) m � �� , = m � � � � � � @CB8.

�∫� � -21 �0fg3���� -21 � � � + � - � . 1 � � ���fg3����4�� �   �m � � � £ � � W � � 3hf9 �K3 £ �= m � � @CB

9.�∫� � 1� � � / � + � - � . � � � � ���0fg3���� � �

  m �� ��� D � � � 3 F 7� 3hf � G " �m � � �� � / f � � H = m � ��@B

10.�∫� � -21� � � / � + � - � . � � � � ���0f63 ��� � �   " �

� � �� � / f � � = m � ��@B,9N�<

Page 229: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� P1� 311.

�∫� � -21� � � / � + � - � . 1 � � � ���0f63 ��� � �  7m �� � � � £ � � � 3 / � f � � �� � / f � �K3 £ � = m � ��@B

12.�∫� � -21 �fT3���� -21� � � / � + � - � . 1 � � � ���fg3���� � �

  �m � � � � � � � 3hf � 3 ¢ � = m � � @CB4.9.3. Integrals containing Iν(z) and trigonometric functions

1.

� ∫� � � � � � � � � �f ��� � ��� � � � ��� �  � " �]" � � " � � � � � � �65 � 5_7X!

� � � 5_7X! � J � a � - � 5_7 L � J � a � a � 5_7 LY N & �� � a � a 1 � � a � 5 7 ! � W�� 5 7 � � a � - � 5_7�� � a � a � 5 7 #$ = � � � �65 � ! � ( 7A@B

2.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � � � � ���� �

  � " ��" � � � � � � � �65 � 5 7�!� � � 5_7X! � J � a � - � 5_7 L � J � a � a � 5_7 L

Y � ��� � �f ��� £ �� � � �0f ��� £ � � N & �� � a � a 1 � � a � 5_7 ! � W�� 5_7�� � a � - � 5 7 � � a � a � 5_7 #$ = � � � �65 � ! � ( 7R@CB

3.

S ∫� ��� � - � � � � � � �0f ���� � � �0f ��� � � ��� ��� � ���� �

  �m ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � J � L �� � � 5_7�! N & �� 1 �#7 ! �

W�� 5_7��#7�( � �#7<5 �

#$¤

4.

S ∫� ��� � - � � � � � � �f ���� � � �0f ��� � � ��� ��� � ��� �   �m � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �

� � � � � ��f � £ � �Y J � L �� � � 5_7�! � N � � 1� � 1 � &� �#7 ! �� 5 7 �#7 ( �

��V7 ( �

��#7,5 �

��V7<5 �

�� ¤

,9NL

Page 230: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� � � � � ���������� � � � � � ��� � � ��� � ��� ��� ��� � � ����5.

S ∫� � -�� � ��� � - � �� � � � � � � ���� �  � ¢ 3 � - S � � J � L �� � � 5_7X! m N & �� 1 �#7 ! �

W�� 5_7��V7 ( �� �#7<5 �

�#$¤

6.

S ∫� � -�� � a � ��� � W � ��� � - � �� � � � ��� � ��� �  � ¢ 3 �#- S � � J � L

� � � 5:7�! m & N & �� 1 ��7�� � 5 1 ! � �� � 5n7���7�( �� ��725 �

�#$¤

7.�∫� � -�� � ��� � - � �� � ��� ��� � ��� �   J � L �� � � 5 7�! m N & �� 1 �#7 ! �

W�� 5_7��#7�( �� �V7<5 �

�#$

= � � m � � @CB8.�∫� � -�� � a ����� � W � � � � - � �� � � � � � � ���� �

  J � L�

� � � 5 7�! m & N & �� � 5 1 � 1 �#7 ! � �� � 5_7 �#7 ( �� �#7<5 �

�#$ = � � m � ��@CB

9.

∫� � � � � � � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � � ��� ��� � ���� � � � � � � ��� �

  � " � � � � � 5_7X!� J � - � 5 7 L � J � a � 5_7 L

� ��� � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � � � N �

�� 1� � &� � � a 1 �#7,5 � ! �1 � 1 �#7,5 � - � �#7,5 � a �#$

= � � � � ( 7R@CB10.

∫� ��� � � � � ��� � �f ���� � � �f ��� � � � ��� ��� ��� � ���� � � � � � � ���� �  � " ��" � ��" � � � �'& � � � �65 � 5n�O!

� � � 5_7X! � J � a � - � a & L � J � a � a � a & LY � � � � �0f ��� £ �

� � � �f ��� £ � � � N ��� � a &

�� � a �

�� � a � 5_7�� � a � a & ! � �& � � 5_7�� � 5 & � � a � - � a & � � a � a � a &

#$

= � � � �g5 � ! � ( � @CB,9NP

Page 231: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� P1� 511.

∫� ��� � � � � ��� � �f ���� � � �f ��� � � � ��� � � � � � ���� � ��� ��� � ���� �

  � " �]" � � � � � � � �65 � 5 7�!� � � 5_7X! � J � a � - � 5_7 L � J � a � a � 5_7 L

� � � � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � �

Y� N �

�� � a &�� � a �

�� � a � 5_7�� � a � a & ! � �& � � 5_7�� � 5 & � � a � - � a & � � a � a � a &

#$ = � � � �65 � ! � ( ��@CB12.

� ∫� � � � � � � � � �f ��� � � ��� ��� � � � ���� � � � � � � ���� �  � " ��" � ��" � � � �'& � � � �65 � 5n�O!

� � � 5_7X! � J � a � - � a & L � J � a � a � a & LY� N �

�� � a &�� � a �

�� � a � 5_7�� � a � a & ! � �& � � 5_7�� � 5 & � � a � - � a & � � a � a � a &

#$ = � � � �65 � ! � ( � @CB13.

� ∫� � � � � � � � � �f ��� � � ��� ��� � � � ���� � ��� � � � ��� �  � " �]" � � " � � � � � � �65 � 5_7X!

� � � 5_7X! � J � a � - � 5_7 L � J � a � a � 5_7 LY� N �

�� � a 1�� � a &�

� � a � a 1 � � a � 5_7 ! � �1 � � 5 1 � � 5_7�� � a � - � 5_7 � � a � a � 5_7 #$ = � � � �g5 � ! � ( ��@CB14.

�∫� � � ��� � � � � � � ��� � � � ��� ��� � � � ��� � � ��� �   � " �]" ���

� � � 5_7X! � � � ( ��!Y ��F � (��)( � �� G ��F � (��65 � �� G N & �� � - � -

� � � � - � a � � ! W�� 5_7�� � - � � � - � a 1#$

= � � � � ( ��! � � @CB4.9.4. Integrals containing Iν(z) and the logarithmic function

1.�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� � � � ��� �   � �� � m � & � J � L � � J �9a � L�#� 5 � ! � J �9a � a 1 L � � � 5_7�!

Y N & �� �9a � � �9a � ! �W � W��9a � a 1 � �Ia � 5_7�� � 5_7 #$ = m � � � � 5 � ! � ��@B

,���N

Page 232: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ���������� � � � � � ��� � � ��� � ��� ��� ��� � � ����2.

�∫� � m 5 � m � ( � �� 1 ��� ���� �   7� � � ��� �f �O�<3 � �f �O�<3 C � = m � ��@B

3.�∫� � � m 5 � m � ( � �� � � � ��� �   �� ��� � m � !�(:7

� � = m � ��@B4.

�∫� � & � m 5 � m � ( � �� � � � ��� �   7� � � �f � � �#� � � ��� �f �O�3 f � � � ��� �0f �O��3 ��� = m � ��@B

5.1∫� � � 7,5 � 7 ( � �7�( � 7 ( � � � �f ���� �   �

m � ��� ��� m � ¤6.

�∫� � � -21 � � � � � m 5 � m ( �� � � ��� ���� �   � " ��" � � �� � m � &(� � � � � 5 � !� 5 � ! � J 5 � 5 1 L � � � 5_7�!Y & N & �� � 5 1 � 5 � � 5 � ! � m �� � 5 7 � 5 � 5 1 � 5 � 5_7 #$ = m � � � � 5 � ! � ��@B

4.9.5. Integrals containing Iν(z) and inverse trigonometricfunctions

1.1∫� � � -21 ��� � � � �� � �0f ��� �

 � �� � J � L � � J �9a � a 1 L� 5 � ! � � � � 5_7�! � J �9a � L N & �� �Ia � � �9a � a 1 ! �

W��9a � 5_7�� �9a � 5_7�� � 5_7 #$= � � � 5 � ! � � @CB

2.1∫� ��� � � � �� � �0f ��� �   7m ����� �0fI� ¤

3.1∫� � ��� � � � �� � �f ���� �   �� m � F m � G 1 F m � G ¤

4.1∫� �2 ��� � � � �� � �0f ��� �   7m � � f � � ��� fg3 £ � � ��� f-� ����� �0fI�� ¤

5.1∫� 7� ��� � � � �� 1 �0f ��� �   ����� �0fI��� 7 ( ������ mm ¤

,���

Page 233: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� P1� :6.

1∫� ��� � � � �� 1 �0f ��� �   �� m D� � F m � G 3 ¢ H ¤7.

1∫� � ��� � � � �� 1 �f ���� �   7m � � � � ��� fT3 ����� �fI�0� ¤4.9.6. Integrals containing Iν(z) and special functions

1.�∫� � � -21 � � � � �43 £ ���� � � ��� �  3 � " � � �� �

5 � ��� � �� � � � � 5 � !� J 1 ( � L � �C7258� � ! & N � � 5 1 � 5 � � 5 � 5 � 5:7 �O� � 5n7 ! 7 �= � � � ( � ! � � @CB

2.�∫� � � � � �� � � £ �]�fg3���� � � ��� ���� �

  ��� f & �O� 1� � -21��� �0f �O�� 1��� �0f �O��3 -!&4��� �0f �O�� &4��� �0f �O�� = � � m � � @CB3.

�∫� � - � � � �� � � £ �]�fg3���� � � ��� ��� �   * � m� � 3 � " � � �� � � �� � / £ f � � ¤

4.�∫� � � � � �� � � £ �]�0fg3���� � � � � ��� �   � � � �� � � �� � / £ f � �K3 * � m

� � ¤

5.�∫� � � � ��fg3���� � � � � � � / �E�� � � � / fg3��E�� �   m � &(�!& � � � &(�� ��& � � � �65 � 5:�O!

= m � � ! � � � � � � � � ( 7R@CB6.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � - � � � � � � / � � � � � �

�� / ��� � � � �  �£ ��� � � � m�

Y � ��� � � � ��f � £ �� � � � � ��f � £ � � J � L

� �

�� � � 5_7X! m N �

�� 1 �V7 ! ( � �� �� a 1 � � 5_7�� � 5_7��V7 ( � �#7,5 � #$¤

,��!,

Page 234: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � ���������� � � � � � ��� � � ��� � ��� ��� ��� � � ����7.

S ∫� � -�� � ��� � - � � � � � � / ��� � � � ��� / ��� � � � �

  � ¢ 3 � - S � � J � L� �

�� � � 5_7�! m N �

�� 1 �#7 ! ( � �� �� a 1 � � 5 7 � � 5 7 �#7�( �� �#7,5 �

�#$¤

8.�∫� �#-�� � ��� � - � � � � � � / � � � � � �

�� / � � � � � �

  J � L� �

�� � � 5_7�! m N �

�� 1 �#7 ! ( � �� �� a 1 � � 5 7 � � 5_7��#7�( �� �#7,5 �

�#$ = � � m � � @CB

9.�∫� � � -21 � m � 5 � m � ( � �� � � � ��� ��� � � � ��� �

 � " � � " � � �� � m � & � � � � � � J �Ia �

� L� 5n� � ! � J �9a � a � L �

� � � 5_7X!Y N �

�� �9a ��

� �9a �� ! ( �

� � �� ��9a � a � �9a � 5_7�� � a 1 � � 5_7�� � 5_7 #$ = � � � 5n� � ! � � @CB

10.1∫-21 � �

� � � F f � ¢ 3�� G � � � � / ¢ 3�� � � � � / ¢ � � � �  �£ 1 N & �� 1 ! � �W7��#7 � & #$¤

4.9.7. Integrals containing products of Iν(z)

1.�∫� � � �fg3���� � � � � ���� � ���]�0fg3����4� �

  f � a � a 1� * �� � � F � � 7� � � 7� G � a � a 1� �f �O�= m � � ! � � � � � � � � ( 7 ��@CB2.

�∫� V� ������0f63 ��� � �   f � �0f �O��� � m� � � �f �O� L1 �f �O�<3 1 �0f �O� L� �0f �O��= m � � @CB

3.�∫� ��#� �

�����fQ3 ��� � �   m �� � �0f �O�!� � m �� � � �f �O� L1 �f �O��3 1 �0f �O� L� �0f �O��= m � � @CB

,���3

Page 235: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� P1� <4.

�∫� V1 � � � ���0f63 ��� � �   �� 1 �0f �O��3hf � �f �O�

3 � m� � � �0f �O� L1 �f �O��3 1 �f �O� L� �f �O�0� = m � ��@B5.

�∫� � -21� V� �� �� ���0fg3���� � �  �£ f 1� � � ��� / £ f��� � f 1� � � ��� / £ f�� L 1 ��� / £ f��<3 1 � � / £ f�� L� � � / £ f�� � = m � � @CB

6.�∫� � -21� 1 � � �� ���0fg3���� � �   3 £ f 1� � � � / £ f�� � � � �

� 1 ��� / £ f����� f 1� � 1 ��� / £ f�� L� ��� / £ f��<3 � � � / £ f�� L1 � � / £ f�� � = m � � @CB7.

�∫� � -21��� �0fg3���� 1��� � � � �� ���fg3���� � 1 � � �� ���fg3���� � �  � m �� �� � � 1 ��� / £ f�� L� � � / £ f��<3 � � � / £ f�� L1 � � / £ f�� � = m � � @CB

8.�∫� � -!&4��� �0fg3���� -21��� � � � �� ���fg3���� � 1 � � �� ���0fg3���� � �

  �m �� � � � � � � / £ f��<3 ¢ � = m � � @CB9.

�∫� � -21 �0fg3���� -21� V1 � � �� ���fg3���� � �   � � �m � 1 � � / £ f��<3 �m �� � = m � ��@B10.

�∫� � �&�0fg3���� � � � � � ��� ��� � ���]�fg3����4� �  F m � G � � a 1 � � � � � � J � 5 1 L

� � � 5_7�! � J � � 5 & L 1 N �� � 5 1 ! m � � �� � 5_7 ��� � 5 &

#$

= m � � ! � � � � ( 7 ��@CB11.

�∫� � � � � ��� ��� � � �]�fg3����4�� �  f � � � D � � £ f �O��� � � � � £ f �O� L1 � £ f �O��3 � � 1 � £ f �O� L � � £ f �O� H ¤

12.1∫� � � ��#� �0f ��� �   7� � V1 �0fI��3 V� �fI� � 7m � �fI� 1 �fI�� ¤

,���5

Page 236: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ��� ��� � � �������� � � ��� � � ���� � ��� ��� � ��� ���Iν(z)

13.1∫� � � �� 1 �0f ��� �   7� m � � ¢ � �f 3 ¢ � � �0fI��3hf � �fI� 1 �fI��3hf 1 �0fI�� ¤

14.�∫� � � m 5 � m � ( � �� � � � ��� �   m� � � £ f � � � £ f �O�<3 1 � £ f �O�0�� � m �� � � � £ f �O� L1 � £ f �O�<3 1 � £ f �O� L� � £ f �O�� = m � ��@B

15.�∫� � & � m 5 � m � ( � �� #� ��� ���� �

  m7X� � � � £ f �]�0f � � £ �� � � £ f �O��3 �0f � � �V�� 1 � £ f �O�0�� � m �� � � � � �Vf9 � �� ��� � � £ f �O� L 1 � £ f �O��3 1 � £ f �O� L� � £ f �O�0� = m � � @CB16.

�∫� �,+ � -21 . � �fg3���� � � � � £ � / �E��V� � � / fT3��E� � 

�� J � 5 1 L m � �'& �� � � � �� �� � �

� � � 5_7X! � J � � 5 & L N ��� 1 � � 5 1 ! �

W � �1 �

� a 1 � � 5_7�� �

� a &�

� �

� a ��

� � 5_7 #$ = m � ��@B17.

�∫� � � �0fg3���� � � � � � / �E�� � � � / fT3��E� �   � " � ��" � m � �!& � � � � � J � 5 1 L�� � � 5_7X! � J � � 5 & LY N �

�� 1 � � 5 1 ! �W � �1 �

� a 1 � � 5_7�� � 5_7���� � 5_7 ��� � 5 & #$ = m � ��@B

18.1∫-21 � �

� f / ¢ � � � � � � � / ¢ � � � � � f / ¢ 3�� � � � � / ¢ 3�� � � �£ 1 N �

�� 1 ! �W � W�7��#7 �#7�� &

#$¤

19.�∫� � - � �fT3���� - � � � ��� / �E� � - � ��� / �E� � � � / fT3��E�� - � ��� / fg3��E�� � 

��� � � � � � ! � �C7 ( � !� � � � � � J & ( � L F �m G � -21 N �

�� 1 � � 5 1 ! �W � �1 �7�( � � & ( � � � a 1 � � 5_7�� � 5_7 #$

= m � � @CB,��!;

Page 237: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��N1� �4.10. The Macdonald Function Kν(z)

4.10.1. Integrals containing Kν(z), Jν(z), Yν(z) and Iν(z)

1.�∫� 7� 1 � ��� � � �fg3���� �   �

� m � �0fI��3 � 1 �0fI� ¤2.�∫� � -�� � D 7

� � � � � ����3 � 1 � � ��� H �   7� F m� m � ( � � 3 ¢ G � m 5 � m � ( � �

= � � m � � � � � � @CB3.�∫� � � 1 �f ��� 1 �f ��� � � � � ��� � � ��� ���� �   3 7� � m � � ) ¢ 3 m �

� � , = � �?m � � @CB4.10.2. Integrals containing products of Kν(z)

1.�∫�

� � " �� � 5 m ! � � � � ��� � � � � � fI� � �£ - �V/ � �

� � � (:7X!� � � 5 1 ! f - � -21 � ���T3 ¢ � � � �0fI��� � £ T3 ¢ � f � 1 �fI�0�= � ��� � m � � � � � � � � 7A@CB

2.�∫� � �%&� � ��� �   7

� � � F 7� G 3 � �� = ��� @B

3.�∫� � � �� � ��� �   �� � � � = ��� @B

4.�∫� � & � �� � ��� �   3 �7�� � �

� � � � � = ��� @B5.�∫� � � � �� � ��� �   3 � �� � � � �7�� � � � � = ��� @B

6.�∫� � � � �� � ��� �   3 � �7�� � � �

� � � � � = ��� @B7.�∫� � & � � � ��� � 1 � ���� �   77�� � �

� � � � � = ��� @B,���:

Page 238: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ����� ��� � � ���������������� ����� � ��� ��� ����H� ���� ����

L� ���

8.�∫� �2 �%&� � ��� � 1 � ��� �   �7�� � � � = ��� @B

9.�∫� � ���%&� � ��� � 1 � ��� �   3 �7�� � �

� � � � � = ��� @B10.

�∫� � ��� � � ��� �%&1 � ���� �   7� = ��� @B11.

�∫� � � � �1 � ��� �   � ��7� � 3 � 7 �7X� � � � � = ��� @B

4.11. The Struve Functions Hν(z) and Lν(z)

4.11.1. Integrals containing Hν(z), Lν(z) and algebraic functions

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � H�

������fg3���� �

L�������0fg3���� � �

 �£ - � f �4a � a � � � a 1 � � 5 � a 1 ! � � �I5 � a 1 !� � � J � 5 & L � � 5 �I5 � 5_7�!Y & N � �� 7 � 5 � a 1 � �I5 � a 1 !�� �

W � W1 �& � � 5 & � �9a � a � a 1 � �Ia � a � 5_7 #$= m � � ! � � � 5 � ! � � � � 5 � ! � ( 7A@B2.

�∫� � - � � �0fg3���� - � � L� � � � ���0fg3���� � � �£ ��/ � f 1� - � � -21� � -21� F m ��*G 3 � �

� � � 5 7 �O! F ���G � -21 = m � � @CB3.

�∫� L� � � � ���0fg3���� � �   �� D � � ��� F m ��*G 3 ¢ H = m � ��@CB

4.�∫� � �4a 1� ��0fg3���� � � H�

�� �� ���0fg3���� �

L��� �� ���fg3���� � �  �£ - � -!& + � a 1 . � f9 �4a � � a � � a 1

Y � J � 5 � a � L� J � 5 � 5 � L � J � 5 & L N & �� 7��]� 5 � a � !�� � �

W�& � � 5 & ��� 5 � 5 �

#$

= m � � ! � � � � 5 � ! � ( �X@B,��!<

Page 239: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��� �5.

�∫� � -21� H� � � �� ���0fg3���� � �   � � �� D ¢ 3 � � � F �#" m � GIH = m � ��@CB

6.�∫� � -21� ��0fg3���� -21 H� � � �� ���0fg3���� � �   �� m � � F � " m � G = m � ��@CB

7.�∫� � -21��� �0fg3���� 1��� H 1 � � �� ���0fg3���� � �

  � � �� �

� ¢ 3 � � � F �#" m � G 3 m � �� ��� � F��#" m � G! � m� �� � = m � � @CB8.

�∫� � -!&4��� �0fg3���� -21��� H 1 � � �� ���0fg3���� � �   3 �� m � � � � F��#" m � G � £ &4� = m � � @CB

9.�∫� � -!&4��� �0fg3���� - � ��� H 1 � � �� ���0fg3���� � �  �m � � � DC3 £ � � � F��#" m � G � / £ f � � � � F��#" m � G � f � � � F �#" m � G9H = m � ��@CB

10.�∫� � -21� L� � � �� ���fg3���� � �   � � �

� D � � ��� F �#" m � G 3 ¢ H = m � ��@CB11.

�∫� � -21� ��fT3���� -21 L� � � �� ���fg3���� � �   �� m ����� F �#" m � G = m � ��@CB12.

�∫� � -21��� �fT3���� 1��� L 1 � � �� ���fg3���� � �  � � �

� �� ¢ 3 � � ��� F��#" m � G � m � �� � � ��� F��#" m � G! 3 m� �� � = m � � @CB

13.�∫� � -!&4��� �fT3���� -21��� L 1 � � �� ���fg3���� � �   �� m � � � ��� F �#" m � G 3 £ &4�

= m � � @CB14.

�∫� � -!&4��� �fT3���� - � ��� L 1 � � �� ���fg3���� � �  �m � � � D £ ��� ��� F �#" m � G 3 / £ f � � � ��� F �#" m � G � f � ����� F �#" m � G9H = m � ��@CB

,���L

Page 240: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ����� � � � � ���������������� ����� � ��� ��� ����H� ���� ����

L� ���

4.11.2. Integrals containing Hν(z) and hyperbolic functions

1.�∫�

� � �� m ( � ��� ��� �� / fT3�� � H� ��� / �E�� �

  m �'& � � � �!& �� � � � � J � 5 � L N ��� 1 �#7 ! �

W � � � �&� � �� � & � � a ��� � a �

#$ = m � � ! � � � � ( � ��@CB4.11.3. Integrals containing Hν(z), Lν(z) and trigonometric

functions

1.

� ∫� � � � - � -21 � � � � � £�� ��� H� �0f � � � ��� �  � " � '#" ��" � � m � ' & �'& �

� J 'g5 & L � J 'g5 � 5 & L N & �� '65 1 ��'65_7 ! ( �W�'65 � 5 & ��'65 & ���O'65_7 #$ ¤

2.

∫� � � � - � -21 � � � � � � ��� H� �f � � � ��� �  � " � '#" ��" � � m '%&(�!& �

� J � a & L � J � a & 5 � L � � �' �� N & �� � a 1 � � 5_7 ! ( �

W�� a & 5 � � � a & �]'65_7 #$ ¤

3.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � H� � � � � � ���� �  � " ��" � ��" � � � � �!& � � � �65 � 5:�O!

� J � a � - � a & L � J � a � a � a & L � J � 5 & LY � ��� � �f ��� £ �� � � �0f ��� £ � � & N � �� 7 � � a � 5_7 � � a � a & ! ( � W�& � � a � - � a & � � a � a � a & � � 5 &

#$

= � � � �g5 � ! � (K��� � 7X! ��@CB4.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � L� � � � � � ��� �  � " ��" � ��" � � � � �!& � � � �65 � 5:�O!

� J � a � - � a & L � J � a � a � a & L � J � 5 & L,���P

Page 241: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��� 5Y � ��� � �f ��� £ �

� � � �0f ��� £ � � & N � �� 7�� � a � 5_7 � � a � a & ! �W�& � � a � - � a & � � a � a � a & � � 5 &

#$

= � � � �g5 � ! � (K��� � 7X! ��@CB5.

S ∫� ��� � - � -21 � ��� � �f ��� � H� � � � � � ���L� ��� ��� � ��� � �

  � ¢ 3 � � � � � � fI�� � " � � " �� � � �'& �� J � 5 & L m & N � �� 1 �#7��V7 !�� �

W�& � � 5 & �#7�( � �#7<5 �

#$¤

6.

S ∫� ��� � - � -21 � � � � �f ��� � H� � � � � � ���L� ��� ��� � ��� � �

  ��� � � � ��fI� � " � � " �� � � �'& �� J � 5 & L m & N � �� 1 �V7��#7 !�� �

W�& � � 5 & �#7�( � �V7<5 �

#$¤

7.

S ∫� � -�� � ��� � - � -21 � �H� � � � � � ���L� ��� ��� � ��� � �

  � ¢ 3 � - S � � � " � � " �� � � �!& �� J � 5 & L m & N � �� 1 �#7 �#7 !�� �W�& � � 5 & �#7 ( �

� �#7,5 ��#$¤

8.�∫� � -�� � ��� � - � -21 � �

H� ��� ��� � ���L� ��� ��� � ��� � �

  � " � � " �� � � �!& �� � � 5 � � ! m & N � �� 1 �#7 �#7 !�� �

W�& � � 5 & �#7 ( �

� �#7,5 ��#$ = � � m � ��@B

4.11.4. Integrals containing Hν(z), Lν(z) and the logarithmicfunction

1.�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � ��

�H � � � ���L� � � ��� � �  

m � &(�!& � J � L �!&�

� J �&a � a 1 L� 5 � 5:7�! � J ��a � 5:7 L � J � 5 & LY & N � �� 7 � ��a � a 1 � ��a � a 1 ! � �W � W�& � � 5 & � ��a � 5n7�� �&a � a &

#$ = m �� ! � � � 5 � ! �?( 7A@B2.

�∫� � � m 5 � m � ( � �� H� ��� ���� �   7� � � f � 3 ��� � �f �O�0� = m � ��@CB,,9N

Page 242: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � ���������� ��� �#� � ��� � ��� ��� ���" � ����������"! � �������#$�" � ���� � ��� #$�$! � ���3.

�∫� � � m 5 � m � ( � �� L� ��� ���� �   7� � � � � ��� �f �O��3 f �X� = m � ��@CB

4.11.5. Integrals containing Hν(z), Lν(z) and inversetrigonometric functions

1.1∫� � � -21 ��� � � � � �

H� �f ���L� �0f ��� � �

  m �!& � � J �9a � 5_7 L� � � 5 � 5_7�! � � J � 5 & L � J �9a � a 1 L & N &�� 7�� �9a � a 1 � �9a � 5_7 !�� �

W�& � � 5 & � �9a � a & � �9a � a &#$

= � � � 5 � ! � ( 7R@CB2.

1∫� ��� � � � � H� �f ���� �   7m �C 3 � � �0fI��� � f�� = � ��� � m � � � @CB3.

1∫� 7� ��� � � � � H1 �f ���� �   C 3 ¢ 3 � � �0fI��� � f-� 7m ��� � f = � ��� � m � � � @CB

4.1∫� ��� � � � � L� �f ���� �   7m � � ��� �0fI��3 C 3 � f�� = � ��� � m � � � @CB

5.1∫� 7� ��� � � � � L1 �0f ��� �  �¢ 3 C � � ��� �fI�<3 � fg3 7m � � ��� f = � ��� � m � � � @CB

6.�∫� � � � �fg3���� � � H� � � / �E� L � ��� / fg3��E�� �

  � m � ! ��& �'& �� � &(� � � � �g5 � 5 � ! N ��� 1 �#7 ! �

W � � � �&� � �� � & � �65 � 5 & � �65 � 5n� #$= m � � ! � � � � � � � � ( � ��@CB4.12. The Kelvin Functions berν(z), beiν(z), kerν(z)

and keiν(z)

4.12.1. Integrals containing berν(z), beiν(z), kerν(z), keiν(z) andalgebraic functions

1.�∫� 7� m � ( � � � � � � � ��� �   � � D � � � � F m �� G 3 � ��� � � F m �� GIH = m � ��@CB

,,��

Page 243: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��31� �2.

�∫� 7� m � ( � � � ��� � � � ��� �   � � � � � F m �� G � ��� � � F m �� G = m � ��@CB3.�∫

7� � � ( m � � � � � � ��� �   7� D � � � � F m ��*G 3 � ��� � � F m ��*G9H = m � ��@CB4.�∫

7� � � ( m � � ��� � ��� ���� �   � � � � F m �� G � ��� � � F m �� G = m � ��@CB4.13. The Airy Functions Ai (z) and Bi (z)

4.13.1. Integrals containing products of Ai (z) and Bi (z)

1.�∫� � � -21 � � � ��� � � � ��� �   �

� �� � ¢�£ - + �4a � . � �� � ! � J 1;- �� L

� J 1 a �& L � J - �& L= � � � � � 7 � ! = ��� @������VB 7�� !C@CB2.�∫� � � -21 � � � ��� � � ��3 ��� �   7X� 3 � " 8 �

� �� �� J � L � J �9a 1� L

� J �Ia �� L � J - �� L = � � � � ! = ��� @��&���#B � !C@MB

3.�∫� � � -21 � � � ��� �   � " � 3 � & � 8 � � " 3 � � & 8 � � � !

� �� � � J �9a �� L = � � � ��@CB4.�∫� � � -21 � � � � � � � � � � � � � �V- � � � � �  

� 3 � " � 8 � � 3 � " 8 �� � � ��F � G ��F 5_7

� G= � � � � ! = ��� @��&� � B �O!C@MB

5.�∫� � � -21 � � � ��3 ����� � � �43 ��� � �   �

� � � ¢�£ - + �4a � . � �

�T��� � ��F 7�(*� � G

= � � � � � 7 � ! = ��� @������VB � � !C@CB6.�∫� � � &]� ��� �   �

� J 1& L7�� � � 3 � J & L� � � � � N 1�� 1� � 1&�

� ! 1�#$ = = � � @������VB 7 7�!C@MB

7.�∫� � � &]��3 ��� �   3 �

� J 1& L� � � � � � � � � J & L� � � � � N 1�� 1� � 1&�

� ! 1�#$ = = � � @���� � B 7��O!C@MB

,,,

Page 244: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � � ��� � � � � �������� �������� ����� ��� � ������� ��� & ' ���8.�∫� � � � ��� � � � ��� �  

�� J 1& L7X� � � � � � � J & L� � � � � � � N 1 �� 1� � 1&�

� ! 1�

#$ = = � � @������VB � � !C@MB9.�∫� � � �43 ��� � � ��3 ��� �  

�� J 1& L� � � � � 3 � J & L� � � � � � � N 1 �� 1� � 1&�

� ! 1�#$ = = � � @������VB � � !C@MB

10.�∫� � � ��3 ��� � � ��3 ��� �  

�� J 1& L� � � 3 � J & L� � � � � N 1

�� 1� � 1&�� ! 1�

#$ = = � � @ ��� � B � !C@MB11.

�∫� � � & � ��� � � � ��� �   7� � � = = ��� @ ��� � B � !C@MB12.

�∫� � � &]��3 ��� � � ��3 ��� �   77X� � = = ��� @������VB 7 � !C@MB13.

�∫� � � ��3 ��� � � &#��3 ��� �   77X� � = = ��� @ ��� � B � !C@MB14.

�∫� � � �#� ��� �   � �� � � � = ��� @B15.

�∫� � � � �V� ��� �   � " � �� � � � �2;F 7� G 3 � � �7�� � � � � � F �� G = ��� @B

16.�∫� � � � � � ��� �   �7�� � � �� � � � � � F 7� G 3 � � �7X� � � � � F �� G = ��� @B

4.14. The Legendre Polynomials Pn(z)

4.14.1. Integrals containing Pn(z) and algebraic functions

1.1∫�� � 3hfI� -21� j � � ��� �   ��O'65_7</ ¢ 3hf � � ) * m 5_7� , = � � m � ��@CB

2.�∫� �0f 3�� � -21� j � ��� ���� �   �43 ¢ � � J 1 L ' �' % � j � F � ¢ 3hf � G = � � m � ��@CB

,,93

Page 245: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��5)� �3.

1∫-21

7� 7�(*� m � 5 m � � � � j � � ���� �   � m '7 ( m � ¤

4.1∫-21

7��� m ( � ! ' & � j � � ���� �   7'65_7 F �� m � (:7 G � a 1 �� � ����� � m � (87�! � � � B

5.1∫� 7� � � 5 m � � ' & � � j � � ���� �   �( 7X! '� '65_7 f - �&- ��f9 � ¢ � -;�&-21� = � � m � ��@B

6.1∫�

� � � 5 m � � ' & � � j � a 1 � ���� �   �( 7X! '� '65 � f - �&- ��0f9�� ¢ � -;�&-!&4� = � � m � ��@B7.

�∫� �0f 3�� � � -21 � ¢ 3�� � � - � -;�&-21� j � ��� ���� �  �( 7�! '� � F � � 7� � � G f9 � -21 � ¢ 3hf9 � � -;�&-21� j + � -21� l �A.� � ¢ 3 £ f9 � O�= m � � @CB

8.�∫� ���0f9 3��2 � � -21 � ¢ 3�� �2 � - � -;�&-!&4� j � a 1 � � ��� �  �( 7X! '� � F � � � � � � G f �4a 1 �]� ¢ 3hf � � -;�&-!&4� j + �4a 1� l �A.� � ¢ 3 £ f � �= m � � @CB

9.�∫� � ¢ 3�� �2 � -;�&-!&4� j � � � ��� �   � " ��O'65_7 � ¢ 3hf9 � � -;�&-21� j � a 1 �f �O� ¤

10.1∫-21

77 ( � � ¢ 3 j � � ����� �  �£ C � £ � � � � ¢ � ¤11.

1∫-21

7�C7 ( � ! � � � ¢ 3 j � � ����� �  �£ &4� �_¤12.

�∫� j � � ¢ � � ���0fg3����4� �   m�O'65_7 � � � * ¢ � m � �� � ¤,,!5

Page 246: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � � ��� � � � � �������� �������� ����� ��� � ������� ��� & ' ���13.

�∫� �0fg3���� � -21 � ¢ � � ��� - � -;�&-21 j � � / ¢ � � � � �  �#��� '�! %��� ! � ' & � f � � ¢ � f �O� -;�&-21 � �4a 1� � � / ¢ � f � � = m � ��@B

14.�∫� �0fg3���� -21� � ¢ � � ��� -;�&-!&4� j � � / ¢ � � � � �

  � m �� �� '65_7 � ¢ � f �O� -;�&-21 � � � / ¢ � f � � = m � ��@CB15.

�∫� � -21� ��fT3���� -21� j � ������fg3���� � �  ��3 ¢ � � � J 1 L�'' % j � � * ¢ 3 m � � �� � = m � � @CB

16.�∫� � � -21 �fT3���� � -21� j � � ¢ � �

����fg3���� � �

  � " � � & � � � m � � " �� � � ��� !� J � 5 1 L & N � ( ' �]'65_7 ��� 7 ��� 5 1 ! ( � ��

� = m � � ! � � � � � @CB17.

�∫� � -21� j � � ¢ � �����fg3���� � �   � m �� �� 'g5 7 � � ) * ¢ � m �� , = m � ��@CB

18.�∫� � -21��� �fT3���� -!&4���#j � � ¢ � �

����fg3���� � �

  / £ � � j � ) * ¢ � m �� , = m � � @CB19.

�∫� j � � � ¢ 3�� ���0f63���� � �  �43 ¢ � � ' %

J & L ' f � -21� � f / � j � ) m � �� , 3 £ j �&-21 ) m � �� , = m � � ! '8>?7A@B

20.�∫� 7

� 7�( � � � m ( � ! j � a 1 � � ¢ 3�� ���fg3���� � �  �#�( 7�! ' ' %

J & L ' � �� � j � a 1 )m � �� , = m � � @CB

,,;

Page 247: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��5)� ,21.

�∫� � -21� j � ) " ¢ 3������0fg3���� , �

  �43 ¢ � � a 1 ��' (87�! %J 1 L ' F � � G 1� � * m �� j � ) * m �� , 3 j � a 1 ) * m �� , = m � ��@CB

22.�∫�

��" �� �� 7�( � � � � m ( � ! j � a 1 ) " ¢ 3��

����0f63 ��� , �

  �43 ¢ � � ' %J & L '

� � �� �� � j � a 1 ) * m �� , = m � � @CB

23.�∫� � -21� � ¢ 3��

����0fg3���� � � j � ) 7,5 � � � � m ( � !7�( � � � � m ( � ! , �

  3 � � "�' ' %J & L ' � -21� ]�f � 3 £ � � a 1� j � a 1 ) * m �m � (*� , = m � ��@B

24.�∫� � -21��� �fT3���� -!&4��� j � �

� �� ���0f63���� � �  �43 ¢ � � / £ � J 1 L�'' % j � � * ¢ 3 m � �� � = m � ��@CB

25.

�∫� � -;�&-!&��#-��R� � W j � F � � G �   m "�' � " �� ' & � �V-��R� � W � � F � m� G = � � m � ��@CB

4.14.2. Integrals containing Pn(z) and trigonometric functions

1.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � j � ��� ��� � ��� �  ��3 ¢ � � � " � � � � �65_7X! J 1 L '' % � J � - � 5_7 L � J � a � 5_7 L

� ��� � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � �

Y� N & �� (�' �]'65 1 � � a 1 � � 5_7 ! � �1 � � - � 5_7 � � a � 5_7 #$ = � � � � ( 7R@CB

,,9:

Page 248: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � � ��� � � � � �������� �������� ����� ��� � ������� ��� & ' ���2.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � j � a 1 � � � � � ��� �   �43 ¢ � � � " ��" � � � � � �65n�O! J & L '' % � J � - � a & L � J � a � a & LY � ��� � �0f ��� £ �

� � � �f ��� £ � � � N & �� ( ' �]'65 & � � 5_7�� � a & ! � �& � � - � a & � � a � a &#$ = � � � � (��X@B

3.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � j � F ���� ��� G �   � � '#" � � � ' � � �)(*'65_7�! J 1 L '' % � J � - ��- � 5_7 L � J � a ��- � 5_7 L

Y � � � � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � � � N & �� ( � � 1;- � � � - � a 1 � � - � 5_7 ! � " �1 (*' � � - ��- � 5_7�� � a ��- � 5_7 #$ = � � � �?')(:7A@CB

4.

∫� � � � � ��� � �f ��� j � F � ¢ � � � � � � G �   ��� � � � m !7 ( m � & N �� (�' ��'65 1 � & &�- � � & a � ! ( �#$¤

5.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � j � � � � � � ��� �  ��3 ¢ � � � J 1 L '' % m ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �

� � � � � ��f � £ � � & N � ( ' �]'65 1 �#7 ! � �7 ( � �#7,5 � � ¤6.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � j � � � � � ���� �

  ��3 ¢ � � �m ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �� � � � � � f�� £ � � & N � ( ' �]'65_7�� 1 ! 77�( m �V7<5 m � ¤

7.

S ∫� 7��� ��� � ��� � �f ���� � � �f ��� � j � a 1 ��� ��� � ��� �

  ��3 ¢ � � � �' % m F � � G � � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � ��f � £ � � � N & �� (�' ��'g5 & � 1 �#7 ! � �& �V7 ( � �#7,5 �

#$¤

8.

S ∫� 7�� � � � � � � �0f ���� � � �0f ��� � j � a 1 � � � � ��� �

  �m � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � & N � ( ' �]'65 & � 1 ! 77 ( � �#7,5 � � ¤,,<

Page 249: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��5)� ,9.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � j � � ¢ � � ��� � ��� �

  �m � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � ��f � £ � � & N � (�' ��'65_7 � 1 ! ( �7 ( � �#7,5 � � ¤

10.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � j � F � ¢ � � ��� � � G �

  �m ��� � � � m� � ��� � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � & N � (�' �]'65 1 � 1 ! ( �7�( � �#7<5 � � ¤

11.

S ∫� 7� 7,5 � ��� � � �

� � � � �f ���� � � �0f ��� � j � a 1 F � ¢ � � ��� � � G �

  �m ��� � � � m� � ��� � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � & N � (�' �]'65 & � 1 ! ( �7�( � �#7<5 � � ¤

12.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � ¢ � � � � � ��� ��� j � ) 7

� 7,5 � ��� � � � , �

  �m ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � & N � ( � � 1�- � � 1 ! ( �7�( � �#7<5 � � ¤

13.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � � � � j � F ���� ��� G �

 �£ � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � ��f � £ � � J 1 L '' % m � £ �O� � � N & �� ( � � 1;- � � 1 �#7 ! � " �1 (*' �V7 ( � �#7,5 �

#$¤

14.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � � � � j � F 7���� � G �

  �m � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � & N � ( � � 1;- � � 1 ! 77 ( � �#7,5 � � ¤

15.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � � � � j � � � ��� ��� � 

� '%& � J 1 L '' % m � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � ��f � £ � � � N & � ( ' ��(�' � 1 �#7 ! �(�� ' �V7 ( � �#7,5 � �

¤

,,9L

Page 250: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � � ��� � � � � �������� �������� ����� ��� � ������� ��� & ' ���16.

S ∫� � -�� � j � � � � � � ��� �  ��3 ¢ � � J 1 L '' % m � ¢ 3 � - S � � & N �� ( ' �]'65 1 �#7 ! � �7�( �

� �#7,5 ��

#$¤

17.

S ∫� � "�� ���� ��� j � a 1 ��� ��� � ��� �  ��3 ¢ � � J & L�' �' % m � ¢ 3 �#- S � � � N & �� ( ' �]'65 & � 1 �#7 ! � �& �#7�( �

� �V7<5 ��

#$¤

18.

S ∫� � "�� ����� � j � a 1 � � � � ��� �   7m � ¢ 3 � - S � � & N �� (�' ��'65 & � 1 ! 77�( �� �#7,5 �

�#$¤

19.

S ∫� � -�� � j � � ¢ � � ��� � ��� �   7m � ¢ 3 � - S � � & N �� ( ' �]'65_7�� 1 ! ( �7 ( �� �#7<5 �

�#$¤

20.

S ∫� �V-�� � j � F � ¢ � � � � � � G �  7m � ¢ 3 �#- S � � & N �� ( ' �]'65 1 � 1 ! ( �7 ( �

� �#7,5 ��

#$¤

21.

S ∫� � "�� �� 7,5 � ��� � � � j � a 1 F � ¢ � � � � � � G �

  7m � ¢ 3 � - S � � & N �� ( ' �]'65 & � 1 ! ( �7 ( �� �#7,5 �

�#$¤

22.

S ∫� � -�� � � ¢ � � ��� � ��� ��� j � ) 7� 7<5 � ��� � � � , �

  7m � ¢ 3 � - S � � & N �� ( � � 1;- � � 1 ! ( �7�( �� �#7,5 �

�#$¤

,,9P

Page 251: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��5)� ,23.

S ∫� � -�� � � � � � � j � F ���� ��� G �  J 1 L '' % m � £ �O� � � ¢ 3 � - S � � � N & �� ( � � 1;- � � 1 �V7 ! � " �1 ( ' �V7 ( �

� �#7<5 ��#$¤

24.

S ∫� � -�� � � � �A� � j � F 7���� � G �   7m � ¢ 3 � - S � � & N �� ( � � 1;- � � 1 ! 77�( �� �#7,5 �

�#$¤

25.

S ∫� �V-�� � � � � � � j � � � ��� ��� � �£ � � ¢ 3 �#- S � � J 1 L '' % m � N & �� ( ' ��( ' � 1 �#7 ! �(�� ' �V7 ( �

� �#7<5 ��#$¤

26.�∫� � -�� � j � � � � � � ���� �   ��3 ¢ � � J 1 L '' % m & N �� (�' ��'g5 1 �V7 ! � �7 ( �

� �#7<5 ��

#$ = � � m � ��@CB27.

�∫� � -�� � j � a 1 � � � � � ���� �   �43 ¢ � � J & L '' % �m � 5_7 & N �� (�' ��'65 & �#7 ! � �&�- � � � & a � �#$

= � � m � � @CB28.

�∫� � "�� ���� ��� j � a 1 � � � � � ��� �   ��3 ¢ � � J & L ' �' % m � N & �� ( ' �]'65 & � 1 �V7 ! � �& �V7 ( �� �V7<5 �

�#$

= � � m � � @CB29.

�∫� � "�� ��� � � j � a 1 � � � � ��� �   7m & N �� (�' �]'65 & � 1 ! �7 ( �� �#7,5 �

�#$ = � � m � ��@CB

30.�∫� �#-�� � j � � ¢ � � � � � ��� �   7m & N �� (�' ��'65_7 � 1 ! ( �7 ( �

� �#7,5 ��

#$ = � � m � ��@CB31.

�∫� � -�� � j � F � ¢ � � ��� � � G �   7m & N �� (�' �]'65 1 � 1 ! ( �7 ( �� �#7<5 �

�#$ = � � m � ��@CB

,93N

Page 252: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � � � � � � � � �������� �������� ����� ��� � ������� ��� & ' ���32.

�∫� � "�� �� 7<5 � ��� � � � j � a 1 F � ¢ � � ��� � � G �

  7m & N �� ( ' �]'65 & � 1 ! ( �7 ( �� �#7,5 �

�#$ = � � m � � @CB

33.�∫� � -�� � � ¢ � � � � � ��� ��� j � ) 7

� 7<5 � ��� � � � , �

  7m & N �� ( � � 1;- � � 1 ! ( �7 ( �� �#7,5 �

�#$ = � � m � � @CB

34.�∫� �#-�� � ��� � � � j � F ���� ��� G �   J 1 L '' % m � £ �O� � � N & �� ( � � 1�- � � 1 �#7 ! � " �1 (*' �#7�( �

� �#7,5 ��#$

= � � m � � @CB35.

�∫� � -�� � � � � � � j � F 7�� � � G �   7m & N �� ( � � 1;- � � 1 ! 77 ( �� �#7<5 �

�#$ = � � m � ��@CB

36.�∫� � -�� � ��� � � � j � � � � � ��� �  �£ � J 1 L '' % m � N & �� (�' �V(�' � 1 �V7 ! �( �O' �#7�( �

� �#7,5 ��#$

= � � m � � @CB4.14.3. Integrals containing Pn(z) and the logarithmic function;��$���� �#� �$ � f � ¡�=

1.�∫

-�� �fg3���� �&-21 � F � 5 m� m GTj � F � m G �   J ( � L '' � �� ' %J 1 L ' 3 £ � �� ¤

2.�∫� � � m 5 � m ( �� � j � � ¢ � � ��� �

  7',��'g5 7�! � �� ��'65_7�! %J 1 L ' & � j + -21� lC-!&4� .� a 1 � ¢ � f �O�<3 ¢ �� ¤

3.�∫� � � m 5 � m ( �� � j � � / ¢ 3�� �E� �

  7��'65_7X!A���O')(87�! � ��¢ 3 ��'65_7X! %

J 1 L ' & � j + -�1� lC- .� a 1 � ¢ 3 £ f �O� �� ¤,931�

Page 253: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��5)� 54.

�∫� � � m 5 � m ( �� � � � ' & � �(� 7�( � � !� 7 ( � � �

  7��'65_7X!A���O'65 7�! � ��¢ 3 ��'65_7X! %

J 1 L ' & � j + -�1� lC-21 .� a 1 � ¢ 3 £ f �O� �� ¤4.14.4. Integrals containing Pn(z), Jν(z), Iν(z) and Kν(z)

1.1∫-21 � �

� � � FOf � ¢ 3�� GTj � � ��� �   � m '' % ��� '65_7X! ¤2.

1∫-21 � �

� f / ¢ 3�� � � � � / ¢ � � � j � � ��� �   � � "�' m '��' % ! � ���O'65_7X! ¤3.

1∫� � - � � � � a 1� F m� GTj � � ���� �   � �� F �m G &4� � -�� = � � m � ��@B4.

1∫� ��� ¢ 3��2 � - � ����� � a &4� F m� 7�( � � GTj � a 1 � ��� �  ��3 ¢ � � � �� � m " � �' % ��F � � � ��G � � �fI� = � � m � ��@CB

5.�∫

�� � � £ / �E� j � a 1 F � " � m 3 ¢ G �

  ��3 ¢ � � � � J '65 & L' % f 1��� � � a &4� � £ / f�� = m � ��@CB6.�∫

� � � �0/ �E� j � F � m 3 ¢ G �   / �]f � � a 1 � / £ f � = m � ��@B4.14.5. Integrals containing products of Pn(z)

1.�∫

1 j � � ��� j � F� m G �   7� '65_7 �0f9 � a 1 3hf - � � ¤

2.�∫

1 j � a 1 � ��� j � a 1 F� m G �   7� '65 � �f9 � a 3hf - �&-21 � ¤

,93�,

Page 254: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � � ��� � � � � �������� �������� ����� ��� � ������� ��� & ' ���3.

�∫

1 j � �¢ 3 £ ��� j � F ¢ 3 � �m G �   7� '65_7 �0f � a 1 3hf -;� � ¤

4.1∫�

7� j � � ¢ 3 £ ��� j � F ¢ 3 � �m G �   3 � f = m � ��@CB

5.1∫�

7� � j � � ��� j � F � m G �   7m 3 ¢!¤

6.

� ∫� � � � � � � � � �f ���KD j � F � ¢ � � � � � � GIH �  � " ��" � � � � � 5_7X!

� J � - � 5_7 L � J � a � 5_7 L � N ��� (�' ��'g5 7 � 1 � � a 1 � � 5_77��#7 � � - � 5_7 � � a � 5_7 ! ( �

#$

= � � � � ( 7R@CB7.

∫� ��� � � � � ��� � �f ���� � � �0f ��� � D j � F � ¢ ��� ��� � � GIH �   � " � � � � � 5:7�!

� J � - � 5:7 L � J � a � 5n7 LY � � � � �0f ��� £ �

� � � �0f ��� £ � � � N ��� (�' �O' 5n7 � 1 � � a 1 � � 5n77���7 � � - � 5n7�� � a � 5n7 ! ( �

#$ = � � � �?( 7A@B8.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � j � � � � � ���� �

  �m � � � � � m� � ��� � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � � N & � (�' ��'g5 7 � 1 � 1 ! 77��V7 ( � �#7,5 � � ¤

9.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � D j � F � ¢ � � � � � � G9H �

  �m � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � � N & � ( ' �]'65_7�� 1 � 1 ! ( �7��#7�( � �#7<5 � � ¤

10.

S ∫� � -�� � � j � � � � � ���0� �   7m � ¢ 3 � - S � � � N & �� ( ' �]'65_7�� 1 � 1 ! 77��#7�( �� �V7<5 �

�#$¤

,933

Page 255: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� �!;�� �11.

S ∫� � -�� � D j � F � ¢ � � � � � � GIH �  7m � ¢ 3 � - S � � � N & �� (�' ��'65_7 � 1 � 1 ! ( �7 �#7�( �

� �#7,5 ��

#$¤

12.�∫� � -�� � � j � � � � � ���� �   7m � N & �� ( ' �]'65_7 � 1 � 1 ! 77��V7 ( �

� �#7<5 ��

#$ = � � m � ��@CB13.

�∫� �#-�� � D j � F � ¢ � � ��� � � G9H �   7m � N & �� (�' ��'65_7 � 1 � 1 ! ( �7 �#7 ( �� �#7,5 �

�#$

= � � m � � @CB14.

1∫� � j ST� ���� � j � � ���0� �  7��� � 5_7X!A���O'Q5_7�! � N �

�� ( � � � 5_7���( ' �]'65_7�� 1 � 1 � 1 � 1 � �� ! 71 ( � � & 5 � � 1 (*' � & 5n' � 1� �#7��#7 �#7#$¤

4.15. The Chebyshev Polynomials Tn(z)

4.15.1. Integrals containing Tn(z) and algebraic functions

1.1∫� �C7 ( � � ! " �� �� � � 5 m � � ' & � � � � ���� �   �43 ¢ � � � J 1 L '�]��' % ! f - �&-21 �f � ¢ � -;�&-21�

= � � m � � @CB2.

1∫�� �C7 ( � � ! " �� �� � � 5 m � � ' & � � � a 1 � ��� �   ��3 ¢ � � � J & L '� ��'65_7X! % f - �&-21 �f � ¢ � -;�&-!&4�

= � � m � � @CB3.

�∫� �0f 3�� � -21� � ¢ 3�� � � -;�&-21 � � � � ��� �  ��3 ¢ � � � � � ¢ 3hf9�� � -;�&-21� j � F � ¢ 3hf � G = m � ��@B

4.�∫� � -21� �� ¢ 3�� ��� -;�&-!&4� � � � / ¢ � � � � �

  � m �� ��O'65_7 � ¢ � f �O� -;�&-21� � � � / ¢ � f � � = m � ��@B,9395

Page 256: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � �������� ����� ���� � � � � ��� ��� ����� � � ) ' ���5.

�∫� � -21� ��0fg3���� -21� � ¢ � � ��� -;�&-21 � � � / ¢ � � � � �  � � ¢ � f �O� -;�&-21� j � � / ¢ � f � � = m � � @CB

6.�∫� � -21� ��0fg3���� -21� � � �

�����fg3���� � �

  ��3 ¢ � � � � � j � ) ¢ 3 m � � �� , � j �&-21 ) ¢ 3 m � � �� , = '8>?7 ! m � � @CB7.

�∫���" �� � � m ( � ! " �� �

� 7�5 � � � m ( � ! � � a 1 � � ¢ ��� ���0f 3 ��� � �   � j � ) ¢ � m � �� , = m � ��@B8.

�∫� � � �0fg3���� � -21� � � �� �� ���fg3���� � �

  �43 ¢ � � � �� � m � � & �� � � ��� 5_7X!� � � � J � 5 & L & N � ( ' �]' ��� 5_71 ��� 5 & ! � �W � = m � � ! � � � ( 7 ��@CB

9.�∫� � � �0fg3���� � -21� � � a 1 � � �� ���fg3���� � �  �43 ¢ � � ��� '65_7�! � �� � m � � & � � � J � 5 & L� � � & �� � � ��� 5n� ! & N �� ( ' �]'65_7���� 5 & & ��� 5n� ! � �

W

#$

= m � � ! � � � ( � � @CB10.

�∫� � � �0fg3���� � -21� � � ) " ¢ � �����fg3���� , �

  � �� � m � � & �� � � � � 5_7�!� � � � J � 5 & L & N � (�' ��' �]� 5_71 ��� 5 & ! ( � � � = m � � ! � � � ( 7 �X@B11.

�∫����� m ( � ! � " �� �

� 7,5 � � � � m ( � ! � � a 1 ) " ¢ � �����fg3���� , �

  � �� � m � � & �� � � ��� 5_7X!� � � � J � 5 & L & N � ( ' �]'65_7��]� 5_71 ��� 5 & ! ( � � � = m � � ! � � � ( 7 ��@CB,93�;

Page 257: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� �!;�� ,4.15.2. Integrals containing Tn(z) and trigonometric functions

1.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � ��� ��� � ��� �  �43 ¢ � � � " � � � � �g5 7�!

� J � - � 5_7 L � J � a � 5_7 L � ��� � �f ��� £ �� � � �0f ��� £ � �

Y� N & �� (�' ��' � � a 1 � � 5_7 ! � �1 � � - � 5 7 � � a � 5_7 #$ = � � � � ( 7R@CB

2.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � a 1 ��� ��� � ��� �  ��3 ¢ � � � " �]" � ��� '65_7�! � � � � �g5n� !

� J � - � a & L � J � a � a & L� ��� � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � �

Y� N & �� (�' ��'65_7 � � 5_7 � � a & ! � �& � � - � a & � � a � a &

#$ = � � � � ( ��@CB3.

∫� � � � � ��� � �f ��� � � F � ¢ � � ��� � � G �   ��� � � � m !7�( m � � N & �� ( ' �]' �#7 � & ! ( �1 � &�- � � & a �#$¤

4.

∫���� ��� ��� � � m � !

� 7<5 � ��� � � � � � a 1 F � ¢ � � � � � � G � 

��� � � � m !7 ( m � � N & �� ( ' �]'65_7��#7 � & ! ( �1 � &�- � � & a �#$¤

5.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � F ���� ��� G �   � � '#" � � � ' � � �)(*'65_7�!

� J � - ��- � 5_7 L � J � a � - � 5 7 LY � � � � �0f ��� £ �

� � � �0f ��� £ � � � N & �� ( � � 1;- � � � - � a 1 � � - � 5_7 ! � " �7�(*' � � - � - � 5_7�� � a ��- � 5_7 #$ = � � � � ( 7R@CB6.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � ��� ��� � ���� �

  ��3 ¢ � � �m ��� � � � m� � ��� � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � & N � ( ' �]' �#7 ! � �7�( � �#7<5 � � ¤

,93:

Page 258: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � �������� ����� ���� � � � � ��� ��� ����� � � ) ' ���7.

S ∫� 7��� ��� � ��� � �f ���� � � �f ��� � � � a 1 ��� � � � ��� �

 �£ ��3 ¢ � � � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � �O'65_7m � � N & �� ( ' �]'65_7�� 1 �#7 ! � �& �#7 ( � �#7,5 �

#$¤

8.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � � � � ��� �

  �m � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � ��f � £ � � & N � (�' ��' �V7 ! 77�( � �V7<5 � � ¤

9.

S ∫� 7�� � � � � � � �0f ���� � � �0f ��� � � � a 1 � � � � ��� �

  �m � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � & N � (�' ��'65_7 �#7 ! 77�( � �V7<5 � � ¤

10.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � � ¢ � � � � � ��� �

  �m � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � & N � ( ' �]' �#7 ! ( �7 ( � �V7<5 � �

¤

11.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � F � ¢ � � � � � � G �

  �m ��� � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � & N � ( ' �]' �#7 ! ( �7 ( � �#7,5 � � ¤

12.

S ∫� 7� 7,5 � ��� � � �

� � � � �f ���� � � �0f ��� � � � a 1 F � ¢ � � � � � � G �  �m ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �

� � � � � � f�� £ � � & N � ( ' �]'65_7��#7 ! ( �7 ( � �V7<5 � � ¤13.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � ¢ � � � � � ��� ��� � � ) 7

� 7<5 � ��� � � � , �

  �m � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � ��f � £ � � & N � ( � � 1;- � �#7 ! ( �7 ( � �#7,5 � � ¤,93�<

Page 259: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� �!;�� ,14.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � � � � � � F ���� ��� G �

  � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � � ' � 'm � N & � ( � � 1�- � � 1 �#7 ! � " �7 (*' �V7 ( � �#7,5 � � = '*>?7R@CB

15.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � �A� � � � F 7���� � G �

  �m ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � & N � ( � � 1�- � �#7 ! 77 ( � �#7,5 � � ¤

16.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � � � � � � ��� � � ��� �

  ��3 ¢ � � �m ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �� � � � � � f�� £ � � & N � ( ' � 1 (*' �#7 ! 77�( � �V7<5 � � ¤

17.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � � � � � � � � ��� ��� �  � 'm ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �

� � � � � � f�� £ � � � N & � (�' � 1 (*' � 1 �#7 ! �7 (*� ' �V7 ( � �#7,5 � � = '*> ��@CB18.

S ∫� �V-�� � � � ��� ��� � ���� �   �( 7X! 'm � ¢ 3 �V- S � � & N � (�' ��' �V7 ! � �7�( �� �#7,5 �

� � ¤19.

S ∫� � "�� ���� ��� � � a 1 ��� � � � ��� �  ��3 ¢ � � � £� � ¢ � �m � ¢ 3 � - S � � � N & �� (�' �]'65_7�� 1 �#7 ! � �& �#7 ( �

� �#7<5 ��

#$¤

20.

S ∫� � -�� � � � � � � � ��� �   7m � ¢ 3 � - S � � & N � ( ' �]' �#7 ! 77 ( �� �#7,5 �

� � ¤21.

S ∫� � "�� ����� � � � a 1 � � � � ��� �   7m � ¢ 3 � - S � � & N � (�' ��'g5 7 �#7 ! 77 ( �� �#7<5 �

� � ¤22.

S ∫� � -�� � � � � ¢ � � � � � ��� �   7m � ¢ 3 � - S � � & N �� ( ' �]' �#7 ! ( �7�( �� �V7<5 �

�#$¤

,93L

Page 260: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � �������� ����� ���� � � � � ��� ��� ����� � � ) ' ���23.

S ∫� � -�� � � � F � ¢ � � ��� � � G �   7m � ¢ 3 � - S � � & N � ( ' �]' �#7 ! ( �7�( �� �#7,5 �

� � ¤24.

S ∫� � "�� �� 7,5 � ��� � � � � � a 1 F � ¢ � � ��� � � G �

  7m � ¢ 3 �V- S � � & N � (�' ��'65_7 �#7 ! ( �7 ( �� �#7<5 �

� � ¤25.

S ∫� � -�� � � ¢ � � ��� � ��� ��� � � ) 7� 7,5 � ��� � � � , �

  7m � ¢ 3 � - S � � & N �� ( � � 1�- � �V7 ! ( �7�( �� �V7<5 �

�#$¤

26.

S ∫� � -�� � � � � � � � � F ���� ��� G �  � ¢ 3 �#- S � �R� ¢ � � � l � � � ']" � � 'm � N & �� ( � � 1�- � � 1 �#7 ! � " �7�(*' �#7 ( �

� �#7,5 ��#$¤

27.

S ∫� � -�� � � � �A� � � � F 7���� � G �   7m � ¢ 3 � - S � � � N & �� ( � � 1;- � �#7 ! 77 ( �� �#7<5 �

�#$¤

28.

S ∫� � -�� � � � � � � � � � � ��� ��� �  � ¢ 3 �V- S � �R� ¢ � � � l � � � '#" �m � N & �� (�' � 1 (*' � 1 �V7 ! �7 (*�O' �#7 ( �

� �#7,5 ��#$¤

29.�∫� �#-�� � � � ��� ��� � ��� �   �( 7�! 'm & N � ( ' �]' �#7 ! � �7�( �

� �V7<5 �� � = � � m � ��@B

30.�∫� � -�� � � � � � � � ���� �   7m & N J ( ' �]' �#7 ! 77 ( � m �#7,5 � m L = � � m � ��@B

31.�∫� � -�� � � � � � � � ���� �   7m & N � (�' ��' �V7 ! 77�( �

� �V7<5 �� � = � � m � ��@B

,93P

Page 261: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� �!;�� ,32.

�∫� � -�� � � � a 1 � � � � � ��� �   ��3 ¢ � � ���O'65_7X! �m � 5 7 & N � ( ' �]'65_7��#7 ! � �&�- � � � & a � � �= � � m � � @CB

33.�∫� � "�� ���� ��� � � a 1 ��� ��� � ��� �

  ��3 ¢ � � � £� � ¢ � �m � N & �� (�' �]'65_7�� 1 �#7 ! � �& �#7 ( �� �#7<5 �

�#$ = � � m � ��@B

34.�∫� � "�� ��� � � � � a 1 � � � � ��� �   7m & N � ( ' �]'65_7��#7 ! 77�( �

� �#7,5 �� � = � � m � ��@B

35.�∫� � -�� � � � � ¢ � � ��� � ��� �   7m & N �� (�' ��' �V7 ! ( �7 ( �

� �#7<5 ��#$ = � � m � ��@B

36.�∫� � -�� � � ¢ � � � � � ��� ��� � � ) 7

� 7,5 � ��� � � � , �

  7m & N �� ( � � 1�- � �V7 ! ( �7�( �� �V7<5 �

�#$ = � � m � � @CB

37.�∫� � -�� � � � F � ¢ � � � � � � G �   7m & N � (�' ��' �#7 ! ( �7 ( �

� �V7<5 �� � = � � m � ��@B

38.�∫� � "�� �

� 7<5 � ��� � � � � � a 1 F � ¢ � � � � � � G �  7m & N � (�' ��'65_7 �#7 ! ( �7 ( �

� �#7<5 �� � = � � m � � @CB

39.�∫� � -�� � ��� � � � � � F ���� ��� G �

  � ¢ � � � l � � � ']" � � 'm � N & �� ( � � 1�- � � 1 �#7 ! � " �7�( ' �V7 ( �� �#7<5 �

�#$ = '*> � ! � � m � � @CB

40.�∫� � -�� � � � � � � � � F 7���� � G �   7m � N & �� ( � � 1;- � �V7 ! 77�( �

� �#7,5 ��#$ = � � m � ��@B

,!5�N

Page 262: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ����� ��� � � ���������� �+� � � � ��� � � ��� � ������� ��� * ' ���41.

�∫� � -�� � ��� � � � � � � � ��� ��� �   � ']" �m � N & �� (�' � 1 ( ' � 1 �#7 ! �7�(*� ' �#7�( �� �V7<5 �

�#$

= '*> � ! � � m � � @CB4.15.3. Integrals containing Tn(z) and special functions

1.�∫� � 1 �0f ��� � � a 1 � � ��� �   ��� '65_7�! � �� m D�V-;�&-21� F m� � G 3 #� a 1� F m� � GIH

= � � m � � @CB2.

1∫�� -21� �� � 3hfI� -21� j � a 1 ��/ �E� � � F#" � m G �  �£ f � � ¢ 3hfI� 1�

= � �hm � 7R@CB3.

1∫�� -21� �� � 3hfI� -21� j � a ��/ �E� � � a 1 F#" � m G �  �£ f � a 1� �� ¢ 3hfI� 1�

= � �hm � [email protected]. The Chebyshev Polynomials Un(z)

4.16.1. Integrals containing Un(z) and algebraic functions

1.�∫� �0f9 3��2 � -21� � � � � ��� �   ��3 ¢ � � � �Pj � � ¢ 3 £ f9 � � = m � ��@B

2.�∫� �0f 3�� � -21� ��� 3�� � -;�&-21 � � F

�� G �

  �43 ¢ � � � � � � 3hf9 � -;�&-21 j � a 1 ) * ¢ 3 m �� � , = m � � ! � m � � � 7R@CB

3.1∫� �C7 ( � � ! �� �� � � 5 m � � ' & � � � � ��� �   ��3 ¢ � � � J & L '� ��'65_7X! % f - �&-!& �f9 � ¢ � -;�&-21�

= � � m � � @CB4.

1∫�� �C7 ( � � ! �� �� � � 5 m � � ' & � � � a 1 � ��� �   ��3 ¢ � � � J & L '� ' % ��'65n� ! f - �&-!& �f9�� ¢ � -;�&-!&4�

= � � m � � @CB,!5)�

Page 263: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��:1� ,5.

�∫� � -21� ��0fg3���� -21� � � ������fg3���� � �   �43 ¢ � � � j � ) ¢ 3 m � � �� , = m � � @CB

4.16.2. Integrals containing Un(z) and trigonometric functions

1.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � � � � � ��� �   �43 ¢ � � � " � � � � �65_7�!

� J � - � 5 7 L � J � a � 5 7 LY � ��� � �f ��� £ �� � � �0f ��� £ � � � N & �� ( ' �]'65_7�� � a 1 � � 5 7 ! � �1 � � - � 5_7�� � a � 5_7 #$ = � � � � ( 7A@B

2.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � a 1 ��� � � � ��� �  � � " � ��'65_7X! � � � � �g5:�O!' % � J � - � a & L � J � a � a & L � � � m �� � ��� � �0f ��� £ �

� � � �f ��� £ � �Y� N & �� (�' ��'65n� � � 5_7 � � a & ! � �& � � - � a & � � a � a &

#$ = � � � � ( ��@CB3.

∫� � � � � ��� � �f ��� � � F � ¢ � � � � � � G �  � £�� � ¢ � ��� � � � m !7 ( m � & N � (�' ��'g5 7 �#7 ! ( �&�- � � & a � � ¤

4.

∫���� ��� ��� � � m � !

� 7<5 � ��� � � � � � a 1 F � ¢ � � � � � � G � �£ � � � ¢ � ��� � � � m !7 ( m � & N � (�' ��'g5:� �#7 ! ( �&�- � � & a � � ¤

5.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � F ���� ��� G �   � � '#" � � � � � (*'65 7�!

� J � - ��- � 5_7 L � J � a ��- � 5_7 LY � � � � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � � � N & �� ( � � 1;- � � � - � a 1 � � - � 5_7 ! � " �(�' � � - ��- � 5_7 � � a � - � 5 7 #$ = � � � �?')(:7A@B

6.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � � � � � ��� �

  �43 ¢ � � �m � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � & N � (�' ��'65_7 �#7 ! � �7 ( � �#7,5 � � ¤,!5�,

Page 264: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ����� ��� � � ���������� �+� � � � ��� � � ��� � ������� ��� * ' ���7.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � � � � ��� �

 �£ � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � �O'65_7m � N & �� ( ' �]'65_7�� 1 �#7 ! 7& �#7�( � �#7<5 �

#$¤

8.

S ∫� 7��� ��� � ��� � �f ���� � � �f ��� � � � a 1 � � � � � ��� �

  �&�43 ¢ � � � � � � � m� � ��� � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � '65_7m � � N & �� ( ' �]'65n��� 1 �#7 ! � �& �#7 ( � �#7,5 �

#$¤

9.

S ∫� 7�� � � � � � � �0f ���� � � �0f ��� � � � a 1 � � � � ��� �  � � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �

� � � � � � f�� £ � � '65_7m � N & �� ( ' �]'65n��� 1 �#7 ! 7& �#7�( � �V7<5 � #$¤

10.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � � ¢ � � ��� � ��� �

 �£ � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � '65_7m � N & �� ( ' �]'65n��� 1 �V7 ! ( �& �#7�( � �V7<5 �

#$¤

11.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � � � � � � F ���� ��� G � �£ � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �

� � � � � � f�� £ � � ��� � ! 'm � N & �� ( � � 1;- � � 1 �V7 ! � " �(�' �#7�( �� �#7,5 �

�#$¤

12.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � F � ¢ � � � � � � G � �£ ��� � � � m� � ��� � � � � f�� £ �

� � � � � ��f � £ � � � '65_7m � N & �� ( ' �]'65_7�� 1 �#7 ! ( �& �#7�( � �V7<5 � #$¤

13.

S ∫� 7� 7,5 � ��� � � �

� � � � �f ���� � � �0f ��� � � � a 1 F � ¢ � � � � � � G �

  � � � � � � m� � � � � � � � f�� £ �� � � � � � f�� £ � � '65_7m � N & �� (�' �]'65n��� 1 �#7 ! ( �& �#7 ( � �V7<5 �

#$¤

,!5�3

Page 265: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��:1� ,14.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � ¢ � � � � � ��� ��� � � ) 7

� 7<5 � ��� � � � , �

 �£ ��� � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � ��f � £ � � '65_7m � N & �� ( � � 1;- � � 1 �#7 ! ( �& �#7 ( � �#7,5 �

#$¤

15.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � � � � � � � � � � � ��� �

  ��� � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � � ' & �m � N & � (�' �V( 1 (*' � 1 �V7 ! �( �O')(:7��V7 ( � �#7,5 � �

¤

16.

S ∫� � -�� � � � � � � � � ��� �   �( 7�! 'm � ¢ 3 � - S � � & N � ( ' �]'65_7��#7 ! � �7 ( �� �#7<5 �

� � ¤17.

S ∫� � "�� ���� ��� � � a 1 � � � � � ��� � �£ �43 ¢ � � � � � ¢ � �m � ¢ 3 � - S � � � N & �� (�' �]'65n��� 1 �#7 ! � �& �#7 ( �

� �#7<5 ��

#$¤

18.

S ∫� � -�� � � � � � � � ��� �   �O'65_7m � ¢ 3 � - S � � � N & �� ( ' �]'65_7 � 1 �#7 ! 7& �V7 ( �� �#7<5 �

�#$¤

19.

S ∫� � "�� ����� � � � a 1 � � � � ��� �  �£ � � � ¢ � 7�( � " ( � �m � N & �� ( ' � ' 5*� � 1 ��7 ! 7& ��7,( �� ��725 �

�#$¤

20.

S ∫� � -�� � � � � ¢ � � � � � ��� �  � � � ¢ � 7 ( � " ( � �m � N & �� (�' ��'65n� � 1 �#7 ! ( �& �#7 ( �

� �#7,5 ��

#$¤

21.

S ∫� � -�� � � � F � ¢ � � � � � � G �  � £�� � ¢ � 7 ( � " ( � �m � N & �� ( ' �]'65_7 � 1 �#7 ! ( �& �#7 ( �

� �#7,5 ��

#$¤

,!55

Page 266: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ����� ��� � � ���������� �+� � � � ��� � � ��� � ������� ��� * ' ���22.

S ∫� � "�� �� 725 � ��� � � � � � a 1 F � ¢ � � � � � � G �

 �£ � � � ¢ � 7,( � " ( � �m � N & �� ( ' � ' 58��� 1 ��7 ! ( �& �]7,( �� ��7�5 �

�#$¤

23.

S ∫� � -�� � � ¢ � � ��� � ��� ��� � � ) 7� 7<5 � ��� � � � , �

  '65_7m � ¢ 3 � - S � � � N & �� ( � � 1;- � � 1 �#7 ! ( �& �V7 ( �� �#7<5 �

�#$¤

24.

S ∫� � -�� � � � � � � � � F ���� ��� G �  ��� � ! 'm � ¢ 3 � - S � � � N & �� ( � � 1�- � � 1 �#7 ! � " �( ' �V7 ( �

� �#7<5 ��

#$¤

25.

S ∫� � -�� � � � � � � � � ��� � � � ��� �  � 'm � ¢ 3 � - S � � � N & �� ( ' ��(�')( 1 � 1 �#7 ! �( �O')(:7��V7 ( �

� �V7<5 ��#$¤

26.�∫� � -�� � � � ��� ��� � ��� �   �( 7�! 'm & N � ( ' �]'65_7��V7 ! � �7 ( �

� �#7,5 �� � = � � m � ��@B

27.�∫� � -�� � � � a 1 ��� ��� � ��� �   ��3 ¢ � � �#��'65 7�! �m � 5_7 & N � (�' ��'g5:� �#7 ! � �&�- � � � & a � � �

= � � m � � @CB28.

�∫� � -�� � � � � � � � ��� �   �O'65_7m � N & �� (�' ��'65_7 � 1 �#7 ! 7& �V7 ( �� �#7<5 �

�#$ = � � m � ��@B

29.�∫� � "�� ���� ��� � � a 1 ��� � � � ��� �  �£ ��3 ¢ � � '65_7m � � N & �� (�' ��'g5:� � 1 �#7 ! � �& �V7 ( �

� �#7<5 ��

#$

= � � m � � @CB30.

�∫� � "�� ��� � � � � a 1 � � � � ��� �   �]��' 5n7X!m � N & �� ( ' � ' 58��� 1 ��7 ! 7& ��7�( �� ��7�5 �

�#$ = � � m � ��@B

,!5�;

Page 267: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��:1� 331.

�∫� � -�� � � � � ¢ � � � � � ��� �   '65_7m � N & �� (�' ��'65n� � 1 �#7 ! ( �& �#7 ( �� �#7,5 �

�#$

= � � m � � @CB32.

�∫� � -�� � � � F � ¢ � � ��� � � G �   � '65_7m � N & �� ( ' �]'65_7�� 1 �V7 ! ( �& �#7�( �� �V7<5 �

�#$

= � � m � � @CB33.

�∫� � "�� �� 7<5 � ��� � � � � � a 1 F � ¢ � � � � � � G �

  �]��'65_7X!m � N & �� (�' ��'65n� � 1 �#7 ! ( �& �#7 ( �� �#7,5 �

�#$ = � � m � ��@B

34.�∫� � -�� � � ¢ � � � � � ��� ��� � � ) 7

� 7,5 � ��� � � � , �

  '65_7m � N & �� ( � � 1;- � � 1 �#7 ! ( �& �V7 ( �� �#7<5 �

�#$ = � � m � ��@B

35.�∫� � -�� � ��� � � � � � F ���� ��� G �   ��� � ! 'm � N & �� ( � � 1;- � � 1 �#7 ! � " �(�' �#7�( �

� �#7,5 ��

#$

= � � m � � @CB36.

�∫� � -�� � ��� � � � � � � � � ��� ��� �   � 'm � N & �� (�' �V(�')( 1 � 1 �V7 ! �(�� ')(:7 �#7 ( �� �#7,5 �

�#$

= � � m � � @CB4.16.3. Integrals containing Un(z) and Kν(z)

1.�∫� � � �0f ��� � � ��� ���� �   � �� � D� -;�&-21� F m� � G 3 � a 1� F m� � G9H = � � m � ��@B

4.16.4. Integrals containing products of Un(z)

1.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � � � � � ���� �  �£ � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �

� � � � � � f�� £ � � ��'65_7�! �mY �

£� N & �� (�' �]'65:� � 1 �#7 ! 7& �#7 ( � �#7,5 �

#$ 3 � N & � (�' ��'65n� �#7��V7 ! 7� �#7 ( � �#7,5 � � � ¤,!5�:

Page 268: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � �������� � � ����� ����� ��� ��� ����� � � , ' ���2.

S ∫� � -�� � � � � � � � � ���0� �   � ¢ 3 � - S � � ��'65_7�! �mY �

£� N & �� (�' �]'65:� � 1 �#7 ! 7& �#7�( �

� �#7,5 ��#$ 3 � N & � (�' ��'65n� �#7��V7 ! 7���#7�( �

� �#7,5 �� � � ¤

3.�∫� � -�� � � � � � � � � ���0� �  ��'65_7X! �m �

£� N & �� ( ' �]'65n��� 1 �V7 ! 7& �#7�( �

� �#7,5 ��#$ 3 � N & � (�' ��'g5:� �#7 �#7 ! 7���#7�( �

� �V7<5 �� � �= � � m � � @CB

4.17. The Hermite Polynomials Hn(z)

4.17.1. Integrals containing Hn(z) and algebraic functions

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � � �

�����fg3���� � �

  �43 ¢ � � ���O'�! %' % f �4a � -21 � ��� ��� � & N & �� (�' � � � ! �W � W�1 � �9a � � �9a � a 1

#$ = m � � � � � � � � � @CB2.

�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � � a 1 � � � ���fg3���� � � �£ �43 ¢ � � ��� '65_7X! %' % f �4a � � � F � � 7� ��� � 7� G & N & �� (�' � 5 1 � �I5 1 ! �

W � W�& � �9a � a 1 � �Ia � 5 7 #$

= m � � ! � � � � � � � ( 7 ��@CB3.

�∫� � 1� �0fg3���� 1� � � ������0f63 ��� � �

  ��3 ¢ � � ���O')(87�! %��'65_7�! % � m �� � £� � 1� ) m � � �� , 3 � f9 � � �&-21�) m � � �� , = '8>?7 ! m � � @CB4.

�∫� � 1� ��0fg3���� -21� � � ������fg3���� � �   �43 ¢ � � ��� '�! %' % � m� � � ) m � � �� ,= m � � @CB

,!5�<

Page 269: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� �!<�� ,5.

�∫� � -21� ��0fg3���� -21� � � ������fg3���� � �   �43 ¢ � � ��� '�! %' % � � � ) m � � �� , = m � � @CB

6.�∫� � � a 1 � � � ���0f63���� � �   �43 ¢ � � ��� '65_7�! %��'65_7X! % � m � �� � 1� ) m � � �� , = m � ��@B

7.�∫� � � � a 1 � � � ���fg3���� � �   �43 ¢ � � ��� '65_7X! %��'65_7X! % � m � �� � 1� ) m � � �� , = m � ��@B

8.�∫� � � �0fg3���� �4a 1� � � �

� �� ���0f63 ��� � �  �43 ¢ � � £ - � -21 / � f9 �4a &4� ���O'�! %' % � ��� 5n� !

� J � 5 � L N �� ( ' �]� 5n� ! � � W1 ��� 5 �

#$

= m � � ! � � � ( 7R@CB9.

�∫� � � �0fg3���� �4a 1� � � a 1 � � �� ���0fg3���� � �  ��3 ¢ � � £ - � -21� O/ � f9 �4a � ��� '65_7�! %' % � J � 5 � L� ��� 5 � ! N

�� ( ' �]� 5 � ! � �W& ��� 5 �#$

= m � � ! � � � ( � � @CB10.

�∫� � -21� � � a 1 � � �� ���fg3���� � �   �43 ¢ � � ��� '65_7X! %��'65_7X! % � m �� � � 1� ) m � �� , = m � � @CB11.

�∫� � -21��� �fT3���� -!&4��� � � �� �� ���fg3���� � �

  ��3 ¢ � � ��� '�! %' % / £ � � � ) m � �� , = m � � @CB4.17.2. Integrals containing Hn(z) and the exponential function

1.�∫

���� �2 3hf9O� �&-!&4� � - � W � W � � ��� ���� �  �£ �&-21 f9 � � �:F � 3 7� G � -�� W � W

= m � � ! � � ��� � � � � � ! '8>?7A@B,!5�L

Page 270: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� � � � � � �������� � � ����� ����� ��� ��� ����� � � , ' ���2.�∫

�� �2 3hf9 � �&-21� � - � W � W � � a 1 � � ��� �   � £ fI�4 � � F � � 7� G � -�� W � W

= m � � ! � � ��� � � � � � @B3.�∫� � �&-21 � -�� � W�� � ��� ���� �   � � 3 ¢ � � f -;��� � � F �� m G = '*>?7 ! � � m � ��@B

4.17.3. Integrals containing Hn(z) and trigonometric functions

1.

∫� � � � �0f ��� � � a 1 � � � � � ��� �  ��3 ¢ � � � � '%& � � ��� � � � m !7�( m � F � ��G � N � (�' �#7 ! � �&�- � � & a � � ¤

2.

∫� � � � � ��� � �f ��� � � ��� � � � ��� �  �43��V� � ��� � � � m !7�( m � F 7��G � & N &

�� (�' �V7�� & ! � �1 � &�- � � & a �#$¤

3.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � ��� ��� � ���� �

 �£ ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � �( � ! 'm F 7� G � N � (�' �#7 ! � �7 ( � �#7,5 � � ¤

4.

S ∫� 7��� ��� � ��� � �f ���� � � �f ��� � � � a 1 ��� ��� � ���� �

  ��3 ¢ � � £ � a 1 �m ��� � � � m� � ��� � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � F � � G � & N &

�� ( ' � 1 �#7 ! � �& �V7 ( � �#7,5 � #$¤

5.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � � � � � F ���� ��� G �

 �£ ��� � � � m� � ��� � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � ��� � ! � 'm � N � (�' � 1 (*' � 1 �V77 ( � �#7,5 � ! ( � " � �

¤

,!5�P

Page 271: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� �!<�� 36.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � � a 1 � � � a 1 F ���� ��� G � �£ ��� � � � m� � ��� � � � � f�� £ �

� � � � � ��f � £ � � ��� � ! � ' & �m � N � (�' �V(�')( 1 � 1 �V77 ( � �#7,5 � ! ( � " � �¤

7.

S ∫� � -�� � � � ��� ��� � ��� �   �( � ! 'm F 7��G � � ¢ 3 � - S � � N � (�' �V7 ! � �7�( �� �#7,5 �

� � ¤8.

S ∫� � "�� ���� ��� � � a 1 ��� ��� � ��� �  �43 ¢ � � £ � a 1 � ¢ 3 �#- S � � F � � G � �m & N & �� ( ' � 1 �#7 ! � �& �#7 ( �

� �#7,5 ��#$¤

9.

S ∫� � -�� � ��� � � � � � F ���� ��� G �  ��� � ! � 'm � ¢ 3 � - S � � � N

�� ( ' � 1 (*' � 1 �#7 ! ( � " �7 ( �� �#7<5 �

�#$¤

10.

S ∫� �V-�� � � � � � a 1 � � � a 1 F ���� ��� G �  ��� � ! � '%& �m � ¢ 3 �V- S � � � N

�� (�' �V(�')( 1 � 1 �V7 ! ( � " �7 ( �� �#7,5 �

�#$¤

11.�∫� � -�� � � � � � � � � ��� �   �( � ! 'm F 7��G � N � (�' �#7 ! � �7�( �

� �#7,5 �� � = � � m � ��@CB

12.�∫� � "�� ���� ��� � � a 1 � � � � � ��� �

  �43 ¢ � � a 1 £ � a 1 F � � G � �m & N & �� ( ' � 1 �#7 ! � �& �#7 ( �� �#7,5 �

�#$ = � � m � � @CB

13.�∫� � -�� � ��� � � � � � F ���� ��� G �   ��� � ! � 'm � N

�� (�' � 1 (*' � 1 �#7 ! ( � " �7�( �� �#7,5 �

�#$

= � � m � � @CB,;9N

Page 272: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � �������� � � ����� ����� ��� ��� ����� � � , ' ���14.

�∫� � -�� � ��� � � a 1 � � � a 1 F ���� ��� G �  ��� � ! � ' & �m � N

�� ( ' ��( ' ( 1 � 1 �#77 ( �� �#7<5 �

� ! ( � " �#$ = � � m � ��@CB

4.17.4. Integrals containing Hn(z), erf (z) and erfc (z)

1.�∫� � �� � �0f ��� � � � � ��� �   �( 7X! '� � m ��� '�! %

J & L ' j + 1� lC-;�&-21� .� ) ¢ 3 � � �m � ,= � � ��� m � � � � @CB2.�∫� � �� � �0f ��� � � a 1 � � ��� �   �( 7X! ' �� m � ��� '65_7�! %��'65_7X! % j + 1RlC-;�&-21 .� ) ¢ 3 � � �m � ,= � � ��� m � � � � @CB

3.�∫� � � �� � �0f ��� � � a 1 � � ��� �

  �43 ¢ � � � �� � � m � ��� '65_7X! %

J � L ' j + &4� lC-;�&-21� .� ) ¢ 3 � � �m � , = � � ��� m � � � � @CB4.�∫� �#- � W � �� �f ��� � � a 1 � ���� �   �43 ¢ � � � '#" � ' % m� m � 5n� j + 1� lC-;�&-21 .� ) � m � 5n�m � 5n� , ¤

4.17.5. Integrals containing Hn(z) and Kν(z)

1.�∫� � � �0f ��� � � � � ��� �   �43 ¢ � � � £�� � � � � � ']" � � � 'm � ' & � � -;�&-21� � ) 3 m ��

� � ,= � � m � � @CB

2.�∫� � � 1 �0f ��� � � � � ��� �   �43 ¢ � � � £�� � � � � � ']" � � � 'm � ' & � � -;�&-!&4� � ) 3 m ��

� � ,= � � m � � @CB

3.�∫� � 1 �0f ��� � � a 1 � � ��� �   ��3 ¢ � � � £�� � ¢ � � � � � ' � � ' & �m � '%& � � -;�&-21� � ) 3 m ��

� � ,= � � m � � @CB

,;��

Page 273: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� �!<�� :4.17.6. Integrals containing products of Hn(z)

1.�∫� � SEa 1 ��� / �E� � � a 1 � � / fT3�� � �

  �(�� ! ( & ' � ��� � 5_7X! % % ��� '65_7X! % %� � 5n'65_7�!A� � 5n'65:�O! f � � SEa � �0f � � = m � ��@B2.

�∫� � � a 1 ��� / �E� � � a 1 � ��� / fT3�� � � �£ �R� a 1 � �2�� � � � � � f9 � 1 N

�� ( ' ! �W � ��& ���

#$ = m � ��@CB3.

�∫� �0fg3���� -21� � SEa 1 ��� / �E� � � � � / fT3�� � �  �43 £ � SEa � � ��� � 5_7�! % % ���O'T(:7X! % %� 5n'65_7 f � � 1SEa � �0f � � = m � ��@B

4.�∫� � -21� �0fg3���� -21� � S ��� / �E� � � �

� / fg3�� � �  �43 £ � SEa � � £� 3 ¢ � � � � £� 3 ¢ � � � � SEa � �f � � = m � ��@CB

5.�∫� � -21� ��0fg3���� -21� � � ��� / �E� � � � ��� / fg3�� � �

 �£ �R� � F � � 7� G 1 N �� ( ' ! �

W � ��1 �#7

#$ = m � � @CB6.

�∫� �0fg3���� -21� � � a 1 ��� / �E� � � � ��� / fg3�� � � �£ �R� a 1 ��F � � 7��G ��F � � � ��G f � 1 N

�� (�' ! � W � ��7 � & #$ = m � ��@B

7.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � �

� / � � � � �� � � ��� / ��� � � � �

  � � ' & �m F 7��G � ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � � N �

�� ( ' �]'65 1 � 1 �V7 ! � ��1� � 1 � &� �V7 ( � �#7,5 � #$¤

,;,

Page 274: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� � � � � � �������� � � ����� ����� ��� ��� ����� � � , ' ���8.

S ∫� 7��� ��� � ��� � �f ���� � � �f ��� � � � a 1 � � / � � � � �

� � a 1 � ��� / ��� � � � �

 �£ �R� a & � � �m F � � G � ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �� � � � � � f�� £ � � � N �

�� (�' ��'65 & � 1 �V7 ! � ��& � &� � �� �V7 ( � �#7,5 � #$¤

9.

S ∫� � -�� � � � �� / ��� � � �

� � � ��� / ��� � � � �

  � ¢ 3 �#- S � � � � 'm F 7� G � � N ��� ( ' �]'65 1 � 1 �#7 ! � ��1� � 1 � &� �V7 ( �

� �#7<5 ��#$¤

10.

S ∫� � "�� ���� ��� � � a 1 � � / � � � � �� � a 1 � ��� / ��� � � � �

  � ¢ 3 � - S � � £ �R� a � � �m F � ��G � � N ��� ( ' �]'65 & � 1 �V7 ! � ��& � &� � �� �#7 ( �

� �#7,5 ��#$¤

11.�∫� � -�� � � � �

� / ��� � � �� � � ��� / ��� � � � �

  � � 'm F 7� G � � N ��� ( ' �]'65 1 � 1 �#7 ! � ��1� � 1 � &� �#7 ( �

� �#7<5 ��#$ = � � m � ��@B

12.�∫� � "�� ���� ��� � � a 1 � � / ��� � � �

� � a 1 � ��� / ��� � � � �

 �£ �R� a � � �m F � � G � � N ��� ( ' �]'65 & � 1 �V7 ! � ��& � &� � �� �#7 ( �

� �#7,5 ��#$ = � � m � � @CB

13.�∫� � �� � � ��� � � � ��� � � a 1 � ��� �

 �£ �&-21 ��� � � �43 ¢ � � 3 ¢ � ' % ��'65_7X! %� F�D '65_7� H � G - ¤14.

�∫� � �� � � / £ ��� � � � ��� � � a 1 � ��� � �£ �&- J & L ''65_7 � � �43 ¢ � � 3 ¢ � ' % ��'65 7�! %� F�D '65_7� H � G - ¤

,;93

Page 275: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��L1� �15.

�∫� � - � W�� ST� ��� � � F �� � G �   � '#" � � � ��� � ! % �( '�! ( J 1 L '� % J 1 (*' L ( ¤

16.�∫� �#- � W � S � ��� � � � ��� �  �£ SEa �&-21 �_�i��� / � & N � ( � �V(�' � 17 �#7 ! � � ¤

17.�∫� �V- � W � S � ��� � � � ��� �   " � �*� £� 3 ¢ � � � � £� 3 ¢ � � � & N �� ( � �](�' � 1 ! 71 ( � � 1 ( ' #$

¤

18.�∫� 7� � - � W�� � � ��� � � a 1 � ��� �  �£ � � � � �4 � ��� ���� ��� J 1 L

"� $&% ! � ¤4.18. The Laguerre Polynomials Lλn(z)

4.18.1. Integrals containing Lλn(z) and algebraic functions

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � c� � � ���fg3����4� �   �(�P5_7X! '' % f �4a � -21�� ��� � � �

Y & N & �� ( ' � � � ! � W ��� 5 7 � �9a � � �9a � a 1#$ = � � � � � � � ��@CB

2.�∫� � c �0fg3���� c � c� ��� ���fg3����4� �

  � 1� IF m � G c a 1 � ��'65 �P5_7X!� J '65 �P5 & L � c a 1� � ) m � �� , = � � � � ( 7A@B

3.�∫� � � ��� ���fg3����4� �   �43 ¢ � � ' %��� '65_7X! % � �� � � � a 1 ) m � �� , ¤

4.�∫� � � �0fg3���� �4a 1� � c� �

�����fg3���� � �   � � m � � & � �� � � & � �(�P5_7X! ' � ��� 5n� !' % � J � 5 � LY N

�� ( ' �]� 5n� ! � �� 5_7���� 5 �#$ = m � � ! � � � ( 7R@CB

5.�∫� � -21� � � �

�����0fg3���� � �   ��3 ¢ � � ' %���O'65_7X! % * �

�� � a 1 ) * m �� , = m � � @CB

,;!5

Page 276: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � ������� � �#� � ��� ������� ��� ��� ����� � � . /' ���4.18.2. Integrals containing Lλn(z) and trigonometric functions

1.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � c� � � � � � ���� �   �m ��� � � � m�

Y � ��� � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � �(�P5_7X! '' % & N & � (�' � 1 �#7 ! �� 5_7��#7�( � �#7<5 � �

¤

2.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � c� � � � � � ���� �   � " � � � � �65_7�!A�(�P5_7X! '' % � J � - � 5_7 L � J � a � 5_7 LY � ��� � �0f ��� £ �

� � � �f ��� £ � � & N & �� ( ' � � a 1 � � 5_7 ! �� - � 5_7 � � a � 5 7 �#� 5 7 #$ ¤

3.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � � � � c� F ���� � � � G �   �#�( � ! '' % m � � � � � m�

Y � ��� � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � � N

�� ( ' ��( �Q(*' � 1 �V77�( � �#7<5 � ! ( 1�#$¤

4.

S ∫� � -�� � � c� � � ��� � ��� �   � ¢ 3 � - S � � �(��5)7X! '' % m & N & �� (�' � 1 �]7 ! ���5)7 ��7I( �� ��7�5 �

�#$¤

5.

S ∫� � -�� � ��� � � � � c� F ���� � � � G �  �( � ! '' % m � ¢ 3 � - S � � � N

�� (�' �V( �6( ' � 1 �#77�( �� �#7,5 �

� ! ( 1 �#$¤

6.�∫� � -�� � � c� ��� ��� � ��� �   �(�P5_7X! '' % m & N & �� ( ' � 1 �#7 ! �� 5_7��#7�( �

� �#7,5 ��#$ = � � m � ��@CB

7.�∫� � -�� � ��� � � � � c� F ���� � � � G �   �( � ! '' % m � N

�� ( ' ��('�6(*' � 1 �#77�( �� �V7<5 �

� ! ( 1�#$

= � � m � � @CB8.

�∫� � � -21 � � m 5 � m ( �� � � c� � � ��� �  � �� � m ���(�P5_7�! ' � � !' % � � J 5 1 L & N & � ( ' � � ! m ��P5_7�� 5 1 � 5_7 � = m � � ! � � � ( 7 ��@CB

,;;

Page 277: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��L1� 34.18.3. Integrals containing Lλn(z) and erfc (z)

1.�∫� � �� � �0f / �E� � � � � ��� �   7�#��'65 7�! m � j + 1RlC-;�&-21� .� F ¢ 3 � �m � G = � � m � ��@CB

4.18.4. Integrals containing products of Lλn(z)

1.�∫� ��cI�0fg3���� � � cS ��� ��� � �� ���]�0fg3����4� �   � � 5n'�! %� % ' %

Y � ��d � � � ¢!� � � � � ¢ � f c a � a 1 � c a � a 1SEa � �0f �O� = � � � � � � � � ( 7R@CB2.

�∫� � c �0fg3���� � � c� ��� ��� � �� �43��]�0fg3����4� �  m / &�� & ���' % ! � � �(�P5n'65_7�! � � �65n'65_7�!

� � � 5��65n� ! 1 N �� ( ' ! �

W � W�c a � 5_7�� c a � a &

#$

= � � � � � � � � ( 7R@CB3.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � c� �43�� ��� � ��� � c� ��� ��� � ��� �   �m ��� � � � m� � � � � � � ��f � £ �

� � � � � � f�� £ � �Y D � � 5_7�! '' % H � N �

�� (�' ���P5n'65_7�� 1 �V7 ! �W�c a 1 � c 5 7 �#� 5 7 �#7 ( � �V7<5 �

#$¤

4.

S ∫� � -�� � � c� �43�� ��� � ��� � c� ��� ��� � ��� �  �(�P5_7�! �'��' % ! � m � ¢ 3 � - S � � � N �

�� (�' �#� 5n'65_7�� 1 �#7 ! �W�c a 1 � c 5_7��#� 5 7 �#7�( �

� �#7,5 ��#$¤

5.�∫� � -�� � � c� ��3 � � � � ��� � c� � � � � � ��� �

  �(� 5 7�! �'� ' % ! � m � N ��� (�' �#� 5n'65_7�� 1 �#7 ! �

W�c a 1 � c 5_7��#� 5 7 �#7�( �

� �#7,5 ��#$ = � � m � � @CB

,;9:

Page 278: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � ���������� ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���6.�∫� �2 c�� - � � � cS � ��� � � � c� � ��� � �   � " � / " �� � % ' % ! � ��� £ d � ¢ � F 7� G S F 7� G �

Y �0d � ¢ �4ST�0d � ¢ � � � N & �� ( � �V( ' ��� 5 1 � 1 ! 71 ( � � 1 (*' �#� 5 7 #$ = � � � � ( 7 �[email protected]. The Gegenbauer Polynomials Cλ

n(z)

4.19.1. Integrals containing Cλn(z) and algebraic functions

1.�∫� � -21� ��0fg3���� -21� � c � �

�����0fg3���� � �

  �43 ¢ � � � �(�&! '' % j + � l c -21 .� ) ¢ 3 m � � �� , ¤2.

�∫� � c � a 1 � � � ���0fg3���� � �   ��3 ¢ � � � �(�9! ' & �� ��'65_7X! % f9 � j + 1Rl c -21 .� ) ¢ 3 m � � �� , ¤4.19.2. Integrals containing Cλn(z) and trigonometric functions

1.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � c � � � � � � ��� �  �43 ¢ � � � " � � � � �65_7X!A�(�9! '' % � J � - � 5_7 L � J � a � 5_7 L

� � � � �f ��� £ �� � � �0f ��� £ � �

Y� N & �� (�' �#� 5:' � � a 1 � � 5_7 ! � �1 � � - � 5 7 � � a � 5_7 #$ = � � � � ( 7R@CB

2.

∫� � � � � � � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � c � a 1 � � � � � ��� �  ��3 ¢ � � � " � � � � � �65n� !A�(�9! ' & �' % � J � - � a & L � J � a � a & L

� ��� � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � �

Y� N & �� ( ' ��� 5:'65_7 � � 5_7 � � a & ! � �& � � - � a & � � a � a &

#$ = � � � � (��X@B,;<

Page 279: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��P1� ,3.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � c � ��� ��� � ��� �

  ��3 ¢ � � �#�(�&! '' % m � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � & N � ( ' ���P5n' �V7 ! � �7 ( � �#7,5 � � ¤

4.

S ∫� 7��� ��� � ��� � �f ���� � � �f ��� � � c � a 1 ��� ��� � ��� �

  �43 ¢ � � � �(�&! '%& �' % m � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � ��f � £ � � & N � (�' �#� 5:'g5 7 �#7 ! � �7 ( � �V7<5 � � ¤

5.

S ∫� 7�� � � � � � � �0f ���� � � �0f ��� � � c � a 1 � � � � ��� �

 �£ � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � �����&! � ' & ���� '65_7X! % m � N & �� ( ' ���P5n'65_7 � 1 �#7 ! 7�P5 1 �V7 ( � �#7,5 �

#$¤

6.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � c � F � ¢ � � � � � � G �

 �£ ��� � � � m� � ��� � � � � f�� £ �� � � � � ��f � £ � � �����&! � '��� '�! % m � N & �� ( ' ���P5n' � 1 �V7 ! ( ��P5 1 �#7�( � �#7<5 �

#$¤

7.

S ∫� 7� 7<5 � ��� � � �

� ��� � �f ���� � � �f ��� � � c � a 1 F � ¢ � � � � � � G �

 �£ � � � � � m� � � � � � � � f�� £ �� � � � � � f�� £ � � �����9! � '%& ����O'65 7�! % m � N & �� ( ' ���P5n'65_7�� 1 �#7 ! ( ��P5 1 �#7�( � �#7<5 �

#$¤

8.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � ¢ � � ��� � ��� ��� � c� ) 7

� 7<5 � ��� � � � , � �£ ��� � � � m� � � � � � � � f�� £ �

� � � � � ��f � £ � � �����&! '' % m � N & �� ( � � 1;- � � 1 �#7 ! ( �� 5 1 �#7 ( � �#7,5 � #$¤

9.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � � � � � c� F ���� ��� G �

 �£ � � � � � m� � ��� � � � ��f � £ �� � � � � ��f � £ � � �(�&! '' % m � £ �O� � � N & � ( � � 1;- � � 1 �#7 ! � " �7 (��6( ' �V7 ( � �#7,5 � �

¤

,;9L

Page 280: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � ���������� ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���10.

S ∫� � -�� � � c � � � � � � ��� �  �43 ¢ � � �(�9! '' % m � ¢ 3 �V- S � � & N � (�' �.�65h' �&7 ! � �7K( �

� ��7 5 �� � ¤

11.

S ∫� � "�� ���� ��� � c � a 1 ��� ��� � ��� � �£ �43 ¢ � � � �(�&! '%& �' % m � ¢ 3 � - S � � � N & �� (�' �#� 5n'65_7�� 1 �V7 ! � �& �#7 ( �

� �#7<5 ��

#$¤

12.

S ∫� �V-�� � � c � � � � � ��� �  �����&! '��� '�! % m � ¢ 3 � - S � � � N & �� (�' � �g5h' � 1 ��7 ! 7�g5 1 ��7E( �

� ��7 5 ��#$¤

13.

S ∫� � "�� ����� � � c � a 1 � � � � ��� �  � ¢ 3 � - S � � �����&! � ' & ���� '65_7�! % m � N & �� (�' �#� 5n'65_7�� 1 �V7 ! 7�P5 1 �#7�( �

� �V7<5 ��#$¤

14.

S ∫� � -�� � � � � � � � c� F ���� ��� G �  �(�9! '' % m � £ �O� � � ¢ 3 �#- S � � � N & �� ( � � 1;- � � 1 �#7 ! � " �7 (��6( ' �V7 ( �

� �#7<5 ��#$¤

15.

S ∫� �V-�� � � c� � ¢ � � ��� � ��� �  �����9! '' % m � ¢ 3 � - S � � � N & �� ( ' �]��� 5:' � 1 �#7 ! ( �� 5 1 �#7 ( �

� �#7,5 ��#$¤

16.

S ∫� �V-�� � � c � F � ¢ � � � � � � G �  �����9! � '���O'�! % m � ¢ 3 �#- S � � � N & �� ( ' ���P5n' � 1 �V7 ! ( ��P5 1 �V7 ( �

� �#7<5 ��#$¤

,;9P

Page 281: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ��P1� ,17.

S ∫� � "�� �� 7,5 � ��� � � � � c � a 1 F � ¢ � � � � � � G �

  �����&! � ' & ���� '65_7X! % m � ¢ 3 �#- S � � � N & �� (�' �#� 5:'g5 7 � 1 �#7 ! ( ��P5 1 �#7�( �� �#7,5 �

�#$¤

18.

S ∫� � -�� � � ¢ � � ��� � ��� ��� � c��) 7� 7<5 � ��� � � � , �

  �����&! '' % m � ¢ 3 � - S � � � N & �� ( � � 1;- � � 1 �V7 ! ( ��P5 1 �V7 ( �� �V7<5 �

�#$¤

19.�∫� � -�� � � c � � � � � � ��� �   �43 ¢ � � �(�9! '' % m & N � ( ' ���P5n' �#7 ! � �7 ( �

� �#7<5 �� � = � � m � ��@CB

20.�∫� � -�� � � c � a 1 ��� ��� � ���� �

  �43 ¢ � � � � �(�9! ' & �' % � m � 5 7 � & N � ( ' ���P5n'65_7 �#7 ! � �&<- � � � & a � � � = � � m � ��@B21.

�∫� � "�� ���� ��� � c � a 1 � � � � � ��� � �£ �43 ¢ � � �(�&! '%& � �' % m � N & �� (�' �#� 5n'65_7�� 1 �V7 ! � �& �V7 ( �

� �#7<5 ��

#$ = � � m � ��@B22.

�∫� � -�� � � c � � � � � ��� �   �����&! � '���O'�! % m � N & �� ( ' ���P5n' � 1 �#7 ! 7�P5 1 �#7�( �� �V7<5 �

�#$ = � � m � � @CB

23.�∫� � "�� ��� � � � c � a 1 � � � � ��� �   �����&! � ' & ���� '65_7X! % m � N & �� (�' �#� 5n'65 7 � 1 �#7 ! 7�P5 1 �#7�( �

� �#7,5 ��#$

= � � m � � @CB24.

�∫� � -�� � ��� � � � � c� F ���� ��� G �  �(�9! '' % m � £ �O� � � N & �� ( � � 1;- � � 1 �#7 ! � " �7 (��6( ' �V7 ( �

� �#7<5 ��#$ = � � m � ��@B

,9:N

Page 282: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� � � � � � ���������� ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���25.

�∫� � -�� � � c� � ¢ � � � � � ��� �   �����9! '' % m � N & �� ( ' �]��� 5:' � 1 �#7 ! ( �� 5 1 �#7 ( �� �#7,5 �

�#$

= � � m � � @CB26.

�∫� � -�� � � c � F � ¢ � � ��� � � G �   �����9! � '��� '�! % m � N & �� ( ' ���P5n' � 1 �#7 ! ( �� 5 1 �#7 ( �� �#7,5 �

�#$

= � � m � � @CB27.

�∫� � -�� � � ¢ � � � � � ��� ��� � c��) 7� 7,5 � ��� � � � , �

  �����&! '' % m � N & �� ( � � 1;- � � 1 �V7 ! ( ��P5 1 �V7 ( �� �V7<5 �

�#$ = � � m � ��@CB

4.19.3. Integrals containing products of Cλn(z)

1.

� ∫� � � � � � � � � �f ���KD � c� F � ¢ � � � � � � G9H �  � " ��" � � � � � 5_7X!A�����&! �'��' % ! � � J � - � 5_7 L � J � a � 5_7 L � N �

�� ( ' ��� �����P5n' � � a 1 �#7,5 � ! ( ��P5 1 ����� �#7,5 � - � �#7,5 � a �#$

= � � � � ( 7R@CB2.

∫� � � � � � � ��� � �f ���� � � �0f ��� � D � c� F � ¢ � � � � � � G9H �  � " � � � � � 5_7X!A�����&! �'��' % ! � � J � - � 5_7 L � J � a � 5_7 L

� ��� � �f ��� £ �� � � �f ��� £ � �

Y� N �

�� (�' �#� �����P5n' � � a 1 �V7<5 � ! ( �� 5 1 ����� �#7<5 � - � �V7<5 � a �#$ = � � � � ( 7A@B

3.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � � c� � � � � ��� � �   �m � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �

� � � � � � f�� £ � �Y D �����9! '' % H � N �

�� (�' ��'65n��� �#� � 1 �#7 ! 7��� �#� 5 1 �V7 ( � �#7,5 � #$¤

,9:1�

Page 283: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,9N1� �4.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � D � c� F � ¢ � � ��� � � G9H �

  �m ��� � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � D �����9! '' % H � N �

�� ( ' �]'65n��� �#� � 1 �#7 ! ( ���� �#�P5 1 �#7�( � �#7<5 � #$¤

5.

S ∫� � -�� � � � c� � � � � ��� � �  7�( � " ( � �m D �����9! '' % H � N �

�� ( ' ��� �]���P5n' � 1 �#7 ! 7� 5 1 �]��� �#7 ( �� �#7<5 �

�#$¤

6.

S ∫� � -�� � D � c� F � ¢ � � ��� � � G9H �  7�( � " ( � �m D �����9! '' % H � N �

�� ( ' �]'65n��� �#� � 1 �V7 ! ( �� 5 1 �]��� �#7 ( �� �#7<5 �

�#$¤

7.�∫� �#-�� � � � c� � � � � ��� � �   7m D �����9! '' % H � N �

�� ( ' �]'65n��� �#� � 1 �#7 ! 7� 5 1 �]��� �#7 ( �� �#7<5 �

�#$

= � � m � � @CB8.�∫� � -�� � D � c� F � ¢ � � � � � � GIH �

  7m D �����&! '' % H � N ��� ( ' �]'65n��� �#� � 1 �#7 ! ( �� 5 1 ����� �#7 ( �

� �#7,5 ��#$ = � � m � ��@B

4.20. The Jacobi Polynomials P (ρ,σ)n (z)

4.20.1. Integrals containing P (ρ,σ)n (z) and algebraic functions

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 j + � l�� .� � ¢ � � ���0f63���� � �   � � 5_7X! '' % � ��� � � �

Y f �4a � -21 � N & � (�' � � 5g5n'65_7�� � �� 5_7�� �9a � � �9a � a 1 ! ( �

W ��

� = � � � � � � � � @CB,9:�,

Page 284: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� � � � � � ������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

2.�∫� � � �0fg3���� �4a 1� j + � l�� .� � ¢ � �

����0fg3���� � �  �£ - � -21 � � 5 7�! '' %

Y � F 7� �!£ � � £ G f9 �4a &4� & N � (�' � � 5g5n'65_7���� 5n�� 5_7���� 5 � ! ( � ��

� = � � � ( [email protected]. Integrals containing P (ρ,σ)

n (z) and trigonometric functions

1. S ∫� � ��� � �0f ���

� � � �f ��� � j + � l�� .� � � � � ���� � �£ � � � � � � fI� � � � � � � � fI�

� � � � � � fI� � � � 5_7X! '' % m � N & � ( ' � � 565n'65_7 � 1 �#7� 5_7��#7�( m �V7<5 m ! 7 � ¤2.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � j + � l�� .� � � � � ���� � �£ ��� � � � m� � ��� � � � � f�� £ �

� � � � � ��f � £ � � � � 5_7�! '' % m � N & �� ( ' � � 5 g5n'65_7 � 1 �#7� 5_7��V7 ( � �#7,5 � ! 1#$¤

3.

S ∫� � -�� � j + � l�� .� � � � � ��� �  � ¢ 3 � - S � � � � 5 7�! '' % m � N & �� (�' � � 5g5:'g5 7 � 1 �#7� 5_7��#7�( �

� �#7,5 �� ! 1

#$¤

4.�∫� � -�� � j + � l�� .� � � � � ���� �   � � 5_7�! '' % m � N & �� (�' � � 5g5:'g5 7 � 1 �#7� 5 7 �#7�( �

� �#7,5 �� ! 1

#$

= � � m � � @CB5.�∫� �#-�� � j + � l�� .� � ¢ � � � � � ��� �

  � � 5_7X! '' % m � N & �� (�' � � 5g5n'65_7�� 1 �V7� 5_7��V7 ( �� �#7<5 �

� ! ( �#$ = � � m � ��@B

4.20.3. Integrals containing P (ρ,σ)n (z) and Jν(z)

1.1∫-21 �

¢ 3���� � � � ¢ � ��� � � � � f / ¢ 3�� � j + � l�� .� � ���� � �£ + � a & � a & . � f - ��-21 � ��g5n'65_7X!' % � � a � a � a 1 � / £ f � = � � � � � � � ( 7R@CB

,9:3

Page 285: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,9N1� 54.20.4. Integrals containing products of P (ρ,σ)

n (z)

1.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � j + � l�� .� ��3 � � � ��� j + � l�� .� � � � � ��� �

  �43 ¢ � � £ � � � � � m� � � � � � � ��f � £ �� � � � � � f�� £ � � � � 5_7X! ' ��g5_7X! '��' % ! � m

Y � N � � (�' � � a � a 1 � � a � 5_7�� � 5g5n'65_7�� 1 �V7� 5_7�� g5_7�� � 5g5_7��#7�( � �#7<5 � ! 7 � ¤2.

S ∫� �V-�� � j + � l�� .� �43 � � � ��� j + � l�� .� � � � � ���� �  �43 ¢ � � � ¢ 3 � - S � � � � 5_7�! ' ��65_7�! '��' % ! � mY � N �

�� (�' � � a � a 1 � � a � 5_7�� � 5g5n'65_7�� 1 �V7 ! 7� 5_7�� 65_7 � � 5 g5_7 �#7 ( �� �#7<5 �

�#$¤

3.

S ∫� �V-�� � j + � l�� .� F]3 � ¢ � � ��� � � Ggj + � l�� .� F � ¢ � � � � � � G �  �43 ¢ � � � ¢ 3 � - S � � � � 5_7X! ' ��65_7�! '� ' % ! � m

Y � N ��� (�' � � a � a 1 � � a � 5_7�� � 5g5n'65 7 � 1 �#7� 5_7�� g5_7�� � 5g5_7��#7�( �

� �V7<5 �� ! ( �

#$¤

4.�∫� �#-�� � j + � l�� .� ��3 � � � ��� j + � l�� .� � � � � ���� �   ��3 ¢ � � � � � 5 7�! � ��65_7�!� ' % ! � m

Y � N ��� (�' � � a � a 1 � � a � 5_7 � � 5 g5n'65_7�� 1 �#7� 5_7 � g5_7�� � 5g5 7 �#7 ( �

� �#7,5 �� ! 7

#$ = � � m � � @CB5.�∫� �#-�� � j + � l�� .� F�3 � ¢ � � � � � � GTj + � l�� .� F � ¢ � � ��� � � G �

  �43 ¢ � � � � � 5_7X! � ��g5_7X!��' % ! � m � N ��� ( ' � � a � a 1 � � a � 5 7 � � 5g5:'g5 7 � 1 �#7� 5 7 � g5_7�� � 5g5_7��#7�( �

� �#7,5 �� ! ( �

#$

= � � m � � @CB,9:95

Page 286: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ����� ��� � � ���������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � ����������� �K����

4.21. The Complete Elliptic Integral K(z)

4.21.1. Integrals containing K(z) and algebraic functions

1.1∫�� �C7�( � � !�� " ��C7 ( m � � !�� & �� � K � ��� �   � � �

� � !�� J 5 1 L � ¢ 3hfI� -21� N 1

�� 1 � 5 1 ! m#$

= � � � � ! � ��� � �C7 ( m ! � � � @B2.

1∫� ��� ¢ 3��2 � -21� K �f ���� �   �� m ��� � � � f �� � ��� �C7 ( m � ! � � � � B

3.1∫� � � -21 � ¢ � f ��� � K � / ¢ 3��E�� �   � �

� � !� �� J 5 1 L & N

� ( � � � ! m 5 1 � 5 1 �= � � � � ! � ��� � �C7 ( m ! � � � @B4.

�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 K ������fg3���� � �

  � � � ��� ��� �&f �4a � -21 � N & �� 1 � 1 � � � ! �W � W�7�� �9a � � �Ia � a 1

#$� � � � � � � � � ! � ��� �&� � ( m � � � ! � � � � B

5.�∫� K � � � ���0fg3���� � �   �

� ��� � � � m �� �� � ����� � ( m � � � ! � � � � B

6.�∫� � K

� � � ���0fg3���� � �   � m� � �� ��� � m �� �� � ����� � ( m � � � ! � � � � B

7.�∫� �2 K �

�����0f 3 ��� � �   �� � � � f � * ¢ 3 m � � �� � � f9 � 3 £ � �� ��� � m �� �

�� ��� �&� � ( m � � � ! � � � � B

8.�∫� � -21� ��0fg3���� 1� K �

�����0fg3���� � �   � � m� � 1 ) m � � �� ,�

� � ����� � ( m � � � ! � � � � B9.

�∫� � -21� ��0fg3���� -21� K ������0f63���� � �   � �� � 1 ) m � � �� ,�

� � ����� � ( m � � � ! � � � � B,9:�;

Page 287: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,��� �10.

�∫� � �4a 1� ��0fg3���� � K �� �� ���fg3���� � �  �£ - � - � &4� f9 �4a &4� � ��� 5n�O!

� J � 5 � LY & N �� 1 � 1 ��� 5n�7���� 5 � ! � �W#$ � � � � ( 7 ! � � ������� ( m � � ! � � � � B

11.�∫� � 1� K �

� �� ���fg3���� � �   3 � m �� ��� � * ¢ 3 m � ��

� �� � � � � �0f � �� ¢ � �� ��� � F �#" m � G �� � ������� ( m � � ! � � � � B

12.�∫� � -21� K � � �� ���fg3���� � �   � �� � �

� ��� � � � F � " m � G�� ��� �&��� ( m � � ! � � � � B

13.�∫� � 1��� �0fg3���� -21��� K �

� �� ���fg3���� � �  m � �� � � � £ � 1 ) m � �� , 3�� ) m � �� , �

� � ������� ( m � � ! � � � � B14.

�∫� � -!&4��� �fT3���� -21��� K �� �� ���fg3���� � �   � �� � � 1 ) m � �� ,�

� ��� �&��� ( m � � ! � � � � B15.

∫� � 1��� � £ 3���� -21��� K � �� ��� £ 3������� �   7� � � � D � � F 7� G � ¢ � � � F �� GIH ¤16.

∫� � -21��� � £ 3���� -!&4��� K � �� ��� £ 3������� �   � �� � � - � F �� G ¤17.

�∫���" �� �

� 7,5 � � � � � m ( � ! K

�� � �� � � m ( � !� 7,5 � � � � � m ( � !

�� �

  � �� � �� � �

�#" m � � * ¢ � m � �� � �� � ��������5 m � � ! � � � � B

,9::

Page 288: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ����� ��� � � ���������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � ����������� �K����

4.21.2. Integrals containing K(z), the exponential, hyperbolic andtrigonometric functions

1.1∫� � � -21 � � � K � / ¢ 3��E� �   � �

� � !� �� J 5 1 L N � � ! m 5 1 � 5 1 � = � � � ��@CB

2.1∫� � � -21 � ��� ��� �0f;/ �E�

��� � �0f;/ �E� � K � / ¢ 3��E� � 

� m �� J 5 1 L� �� � 5_7�! N & �� 5 1 � 5 1 ! � �

W�& � 5 7 � 5_7 #$ = � � � ( 7 �X@B

3.1∫� � � -21 � � � ��� �f / �E�

� � � �0f / �E� � K � / ¢ 3��E� �  � �

� � !� �� J 5 1 L N & �� � ! � �

W�1 � 5 1 � 5 1

#$ = � � � ��@CB4.

1∫� ��� ��� �0f;/ �E� K � / ¢ 3�� � �   � �� � F m ��G 1 F m ��G ¤5.

1∫� � -21� � � ��� �0f;/ �E� K � / ¢ 3�� � �   � �� � F m � G ¤6.

1∫� ��� � �0f / �E� K � / ¢ 3�� � �   � �� � � F m � G � 1 F m � G ¤7.

1∫� � 1� � � � �0f;/ �E� K � / ¢ 3��E�� �  � �� D � � F m � G 3 �m � � F m � G � 1 F m � G 3 � 1 F m � G9H ¤

8.1∫� � -21� � � � �0f / �E� K � / ¢ 3�� � �   � �� � � F m ��G ¤

9.

� ∫� � � � � £� ��� K �0f � � � ��� �  �£ - �&- � �43�f9 � �Y �

� J 'g5 1 L��' % ! � & N � � a 1 � � a 1 � � a 1'65_7����O'65_7 ! m � � �� ��� � �C7�( m � ! � � � � B

,9:�<

Page 289: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,��� 310.

� ∫� � � � � � � � � �0f ��� K � � � � � ���� �   � " � " � � � � � � 5_7X!� J � - � 5_7 L � J � a � 5_7 L

Y� N & �� 1 � 1 � � a 1 �V7<5 � ! � �7 �#7<5 � - � �V7<5 � a �

#$ = � � � � ( 7 ! � ��� � � � � � @B11.

∫� ��� � � � � � � � �f ���� � � �0f ��� � K ��� ��� � ���� �  � " ��" � � � � � � 5_7�!

� J � - � 5 7 L � J � a � 5_7 L� ��� � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � �

Y� N & �� 1 � 1 � � a 1 �V7<5 � ! � �7 �#7<5 � - � �V7<5 � a �

#$ = � � � � ( 7 ! � ��� � � � � � @B12.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � K ��� ��� � ��� �   � m ��� � � � m�

Y � � � � � � � f�� £ �� � � � � � f�� £ � � & N � 1 � 1 � 1 ! � �7 ( � �#7,5 � �

�� ��� � � 7 ( � � � � � � � B

13.

S ∫� � -�� � K ��� ��� � ��� �   �� m � ¢ 3 � - S � � & N �� 1 � 1 � 1 ! � �7�( �� �#7,5 �

�#$

�� � ��� � 7�( � � � � � � � B

14.�∫� � -�� � K � � � � � ���� �   �� m & N �� 1 � 1 � 1 ! � �7 ( �

� �#7<5 ��#$

� � � m � � ! � � ��� � 7 ( � � � � � � � B4.21.3. Integrals containing K(z) and the logarithmic function

1.1∫� ��� ¢ 3��2 � -!&4� � � K � ���� �   3 � � ¤

2.1∫�

���

� � ( � � � � � �� ��� � 7�( � � �� � ( � � � � K � ���� �   3 � �

� � � � �� � £ � £�¤

,9:L

Page 290: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ����� � � � � ���������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � ����������� �K����

3.1∫� � � -21 � � ¢ � f ��� K � / ¢ 3�� � �   � m �

� � 5_7�!� �� J 5 & LY

� N & � 7 �#7�� 5_7�� 5_7��� 5 & � 5 & ! ( m � = � � � ( 7 ! � � �����C7<5 m ! � � � @B4.

1∫� � -!&4� � � ¢ 3hf ��� K � / ¢ 3��E� �  �£ � � � ¢ 3hfI� K ��/ f��<3 E �0/ f��0�= � ��� � �C7�( m ! � � � @CB

5.1∫� � -!&4� � � ¢ � f ��� K � / ¢ 3�� � �

 �£ � �0f�� ¢ � 1� � K )+* mm 5_7 , 3 E )+* mm 5_7 , = � � �����C7,5 m ! � � � @CB6.

1∫� � � -21 � F f;/ � � � ¢ � f � G K � / ¢ 3��E�� �   � m �� J 5 1 L� �� � 5_7�!

Y� N & �� 1 � 1 � 5 1 � 5 1& � 5 7 � 5_7 ! ( m �

#$ � � � � ( 7 � ! � � ��� � 7,5 m � � � � � � B7.

1∫� � F f / � � � ¢ � f � G K � / ¢ 3��E� �   � m� � £ � ��3Pf9 �<3�� & ��3�f9O���� � ��� � 7<5 m � � � � � � B

8.1∫�

��

" �� 7<5 m � � � F f;/ � � � ¢ � f � G K � / ¢ 3��E�� �   � m �� J 5 1 L� �� � 5_7�!

Y� N & �� 7 �#7 � 5 1 � 5 1& � 5 7 � 5_7 ! ( m �

#$ � � � � ( 7 � ! � � ��� � 7,5 m � � � � � � B9.

1∫� 7� 7<5 m � � � F f;/ � � � ¢ � f � G K � / ¢ 3��E�� �   � �� m � m 5 � 7,5 m ���� � ��� � 7<5 m � � � � � � B

10.1∫�

��" �� 7<5 m � � � FOf;/ � � � ¢ � f � G K � / ¢ 3��E�� �  � �� � F f�� � ¢ � f G �

� � ��� � 7<5 m � � � � � � B,9:P

Page 291: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,��� 311.

1∫� � � -21 � 7,5 m � �7�( m � � K � / ¢ 3��E� �   � m �� J 5 1 L�� � 5_7�!

Y� N & �� 1 �#7 � 5 1 � 5 1& � 5_7�� 5_7 ! m �

#$ � � � � ( 7 � ! � � ��� � 7�( m � � � � � � B12.

1∫� � 7<5 m � �7 ( m � � K � / ¢ 3��E� �   � m � �:3 £ E �fI�0� �� ��� � � 7 ( m � � � � � � B

13.1∫� 7� � 7,5 � �7�( � � K � / ¢ 3��E� �   ��� G ¤

14.1∫� � � -21 � 7,5 � 7 ( � �7�( � 7 ( � � K �f ��� �   � � � � J � L� � J �9a 1 L � N & �� 1 � 1 � � � � ! m �7 � �9a 1 � � 5_7 #$

= � � � � ! � ��� � � 7 ( m � � � � � @B15.

1∫� � � 7,5 � 7�( � �7�(%� 7�( � � K �0f ��� �   �m � FOf ��� � � � f-� � ¢ 3hf 3 ¢ G�� � ��� � 7 ( m � � � � � � B

16.�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� K � � ��� �   � � � m � � J � L� � J �9a 1 L � N & �� 1 � 1 � � � � ! m � � �7�� �9a 1 � � 5_7 #$

� � � � � ! � � ��� � 7�( m � � � � � � � � B17.

�∫� � � m 5 � m � ( � �� K � � ��� �   �� � � D f � ��� � � � �0f �O��� � ¢ 3hf � 3 ¢ H�� ��� � � 7 ( m � � � � � � � � B

18.�∫� � & � m 5 � m � ( � �� K ��� ���� �   �

� � � � � 7 ( m � � � �f � � � 3 ¢ � f9 � � ¢ � �� �� � � � � f �]� £ f9 � �� � ��� � � � �0f �O��3 ¢ � � �

� � ��� � 7 ( m � � � � � � � � B19.

�∫�� �� � � � � 5_7 � m 5 � m � ( � �� K F � �� � � � � 5_7 G �   � � m � � � 5 7

� � � �Y �f9 � � ¢ � � � �� � � � D f �]� £ f9 � 3 � � F f � � � f � � ¢ G 3 ¢ � H�

� ��� � � 7,5 m � � � � � � � � B,<9N

Page 292: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ����� � � � � ���������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � ����������� �K����

20.�∫�

�� � � � � 5_7 � m 5 � m � ( � �� K F � �� � � � � 5_7 G �  �� � � D�f � � FOf � � � f � � ¢ G 3 � f � � ¢ � ¢ H �

� ��� � � 7<5 m � � � � � � � � B21.

1∫� � � 7,5 m � 7�( � �7�( m � 7�( � � K � ���� �   � m D � � 3 E �0fI� H = � ��� �&�C7 ( m ! � � � @CB22.

1∫� � � -21 � F f / � � � ¢ � f � G K � / ¢ 3��E�� �   � m � �� � 5_7X!� �

� J 5 & LY� N � � 7 �#7��#7 � 5 7 � 5_7& �]��� 5 & � 5 & ! ( m � � � � � � ( 7 ! � � ��� � 7,5 m � � � � � � B

23.1∫� � -21� � F f;/ � � � ¢ � f � G K

� / ¢ 3�� � �  � �� � � £ � � F ¢ � � ¢ � f G � 7,5 � 7,5 m �� 3 £ � � ) 7 (�� 7<5 m �� , �

� � ��� � 7<5 m � � � � � � B24.

1∫� � -!&4� � F f / � � � ¢ � f � G K� / ¢ 3�� � �

  �,2D ¢ 3 � ¢ 3hf � f � FOf-� � ¢ � f GIH �� � ��� � 7,5 m � � � � � � B

25.1∫� � � 3��2 � � � � � � 3��2 � K � / �E� �   � �

�� � � � ! ��� � �� � " � � " � �

� � 5_7�!�� J 5 �

� L��

= � � � ( [email protected]. Integrals containing K(z) and inverse trigonometric

functions

1.1∫� ��� � � � �f;/ �E� K � / ¢ 3��E� �   � � m� � £ � �f �<3�� & �f �0��

� � ��� � 7 ( m � � � � � � B2.

1∫� ��� � � � � / �E� K � / ¢ 3��E� �   �� � � F �� G ¤,<��

Page 293: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,��� 53.

1∫� � ��� � � � � / ¢ 3��E� K �0/ �E�� �   7� � � F �� G 3 7� � � � � � F 7� G ¤

4.1∫�

��

" �� 7 ( m � � ��� � � � �f;/ �E� K � / ¢ 3��E� �   � m �� J 5 1 L� �� � 5 7�!

Y� N & �� 7��#7 � 5 1 � 5 1& � 5_7�� 5 7 ! m �

#$ = � � � ( 7 � ! � ��� � � 7 ( m � � � � � @B5.

1∫�� " �� 7 ( m � � ��� � � � �f;/ �E� K � / ¢ 3��E� �   � �� ��� � � � f �

� � ��� � 7 ( m � � � � � � B6.

1∫� 7� 7 ( m � � ��� � � � �f;/ �E� K � / ¢ 3��E� �   3 � �� m � 7,5 � 7 ( m ���� � ��� � 7 ( m � � � � � � B

7.1∫� � � -21 ��� � � � � K �f ���� �   � � � � J �9a 1 L� � � J � L � N & � 1 � 1 � � � �9a 1 ! m �7 � � 5_7�� � 5_7 �� � � � � ! � � ��� � 7 ( m � � � � � � B

8.1∫� ��� � � � � K � ���� �   � �� � £�¤

9.1∫� � ��� � � � � K �0f ��� �   � �7�� � £ � �f9 �<3�� & �f9 �0� �

� ��� � � 7 ( m � � � � � � B10.

1∫� � ��� � � � � K � ��� �   � � & � - � F 7� G ¤11.

1∫� � �� � � � � K � ��� �   � �7�� � £�¤12.

1∫� � � ����� �� � D � � 3 K �0f ��� H �   � � ) � ¢ 3hf 3 � 7,5 � 7 ( m �� 3 ¢ ,�

� � ��� � 7 ( m � � � � � � B,<,

Page 294: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ����� � � � � ���������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � ����������� �K����

13.1∫�

��

" �� m � � � 5_7 ��� � � � � K F m �� m � � � 5_7 G �   � � � � J �9a 1 L� � � J � LY� N & � 1 � 1 � � � �Ia 1 ! ( m �7�� � 5_7 � � 5_7 � � � � � ( 7 � ! � � ��� � 7,5 m � � � � � � B

14.1∫�

�� m � � � 5_7 ��� � � � � K F m �� m � � � 5 7 G �   � �7�� � £ � �43�f9 �<3�� & ��3Pf9 ���� � ��� � 7<5 m � � � � � � B

15.1∫� � � -21 �� �� � �0f / �E� K � / ¢ 3��E�� �

 � m �

� J 5 1 L� �� � 5_7X! � N & �� 1 �#7 � 5 1 � 5 1 ! ( m �& � 5_7�� 5 7 #$

� � � � ( 7 � ! � ��� � � 7,5 m � � � � � � B16.

1∫� ��� � � �0f;/ �E� K � / ¢ 3��E�� �   �� m D £ � ¢ � f E F m� 7<5 m � G 3 � H�� � ��� � 7<5 m � � � � � � B

17.1∫� ��� � � ��/ �E� K � / ¢ 3 �E� �   � � �� D � F 7� G ��� � � - F 7� G 3 � £ � � &4� H ¤

18.1∫� ��� � � �0f / �E� K � / ¢ 3��E�� �   � m D0� ¢ � f9 � 1� E F m� 7<5 m � G 3 � � H

�� � ��� � 7<5 m � � � � � � B

19.1∫� � � -21 �� ��� � �f / �E� K � / ¢ 3��E� �   � m � �

� � 5_7�!� �� J 5 & LY

� N � � 7 �#7��V7�� 5 7 � 5_7 ! m �& ��� � 5 & � 5 & � � � � � ( 7 ! � � ��� � 7�( m � � � � � � B20.

1∫� � -21� �� ��� � �f / �E� K � / ¢ 3�� � �  � �� � £ � � ) 7 ( � 7�( m �� , 3 � ) 7,5 � 7 ( m �� , �

� � ��� � 7 ( m � � � � � � B,<93

Page 295: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,��� ;21.

1∫� � -!&4� �� ��� � �f;/ �E� K � / ¢ 3�� � �   � F � ¢ 3hf � f ��� � � � fT3 ¢ G�� � ��� � 7 ( m � � � � � � B

22.1∫� � -21� �� ��� � / � K

� / ¢ 3�� � �   � �� � � � 3 ¢�£ � £ � ¤23.

1∫� � -!&4� �� ��� � �0/ �E� K � / ¢ 3 � � �   � �� ���:3 £ � ¤4.21.5. Integrals containing K(z) and Li2(z)

1.1∫� � � -21 � � �0f ��� K � / ¢ 3��E� �   � m �

� � 5 7�!� �� J 5 & LY

� N � � 7��#7 �#7 � 5_7�� 5_7 ! m����� � 5 & � 5 & � � � � � ( 7 ! � � ��� � 7�( m � � � � � � B2.

1∫� � -!&4� � � �0f ��� K � / ¢ 3��E� �  �£ � � £ �0fg3 ¢ � K �0/ f�� � � E ��/ f��<3 ����� � ��� � 7 ( m � � � � � � B

3.1∫� � -!&4� � � �43�f ��� K � / ¢ 3��E�� �   � � / f�� ¢

Y � £E ) * mm 5 7 , 3 K ) * mm 5_7 , 3 £ �� �

� � ��� � 7,5 m � � � � � � B4.

1∫� � -!&4� � � � ��� K � / ¢ 3��E� �  �£ � � �P3 � � ¤5.

1∫� � -!&4� � � �43 ��� K � / ¢ 3��E� �  �£ � � / � �2 F �� G 3 £ �� ¤4.21.6. Integrals containing K(z), shi (z) and Si (z)

1.1∫� � � -21 � ����� �0f;/ �E�

� � �f;/ �E� � K � / ¢ 3��E�� � 

� m �� J 5 1 L� �� � 5_7X! & N � �� 1 � 5 1 � 5 1 ! � �

W�& � & � 5 7 � 5 7 #$ = � � � ( 7 �X@B

,<!5

Page 296: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ����� � � � � ���������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � ����������� �K����

2.1∫� � � �f;/ �E� K � / ¢ 3 �E�� �   � �� D�f � � F m � G 3 £ � � F m � G � 1 F m � G �hf � 1 F m � GIH ¤

4.21.7. Integrals containing K(z) and erf (z)

1.1∫� � � -21� �� �0f;/ �E� K � / ¢ 3��E�� �

 � � m �

� J 5 1 L�� � 5_7X! & N & �� 1 � 5 1 � 5 1 ! ( m �& � 5_7�� 5 7 #$ = � � � ( 7 �X@B

2.1∫� � � -21 � � W � � �� �0f;/ �E� K � / ¢ 3�� � �

 � � m �

� J 5 1 L�� � 5_7�! & N & �� 7 � 5 1 � 5 1 ! m �& � 5_7�� 5 7 #$ = � � � ( 7 �X@B

4.21.8. Integrals containing K(z), S(z) and C(z)

1.1∫� � � -21 ���f;/ �E� K � / ¢ 3�� � �

  7� * � m �� �

� J 5 &� L�

� J 5 �� L & N �

�� &� � 5 &� � 5 &� ! ( �W�& � �� � 5 �

�� 5 �

#$ = � � � ( � � @B2.

1∫� � � -21 � �0f / �E� K � / ¢ 3�� � �  " � m� �

� J 5 1� L�� J 5 &

� L & N ��� 1�� 5 1

�� 5 1

� !( �

W�1 � �� � 5 &� � 5 &�#$ = � � � ( 7 � @B

4.21.9. Integrals containing K(z) and γ(ν, z)

1.1∫� � � -21 � �� � f ��� K � / ¢ 3�� � �  � m � �

� � 5 � !� � �� J 5 � 5 1 L & N &

� � � 5 � � 5 � ! ( m� 5_7�� 5 � 5 1 � 5 � 5 1 � = � � � 5 � ! � � @CB,<;

Page 297: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� ,��� ��N2.

1∫� � � -21 � � � � �� � f ��� K � / ¢ 3�� � �  � m � �

� � 5 � !� � �� J 5 � 5 1 L & N &

� 7 � 5 � � 5 � ! m� 5_7�� 5 � 5 1 � 5 � 5 1 � = � � � 5 � ! � � @CB4.21.10. Integrals containing K(z), Jν(z) and Iν(z)

1.1∫� � � -21 � � � �0f;/ �E�

� �f;/ �E� � K� / ¢ 3�� � �   � m � �

� J 5 � L� �!& � �� J 5 � a 1 L � � � 5_7�!

Y N & �� 5 � � 5 � !�� �W� 5 � a 1 � 5 � a 1 � � 5_7 #$ = � � ��� 5 � ! � ��@B

2.1∫� � � �0f;/ �E�� � �f;/ �E�� K

� / ¢ 3�� � �   � m �L� �fI�H� �0fI� � ¤

3.1∫� / � � 1 �f;/ �E� K � / ¢ 3�� � �   �m � �H� �fI�<3hf H -21 �fI�0� ¤

4.1∫� / � 1 �0f / �E� K � / ¢ 3�� � �   �m � � f L -21 �fI��3 L� �fI�0� ¤

5.1∫� � � -21 � � � � �f ��� K � / ¢ 3�� � �   � �

� � 5 � !� �� J 5 � 5 1 L � � � 5_7�! F m ��G �

Y & N & �� � 5 1 � 5 � � 5 � ! � m� � 5_7�� 5 � 5 1 � 5 � 5 1#$ = � � � 5 � ! � ��@B

6.1∫� � � �0f;/ �E�� � �f;/ �E�� K � / ¢ 3�� � �   7m � ����� � £ fI�

� � � £ fI� � ¤7.

1∫� � 1 �f;/ �E� K � / ¢ 3��E� �   7m � � � � � � £ fI� � f � � � £ fI��3 ¢ � ¤8.

1∫� V1 �0f;/ �E� K � / ¢ 3��E�� �   7m � � £ ��� ��� fT3hf ����� � £ fI�0� ¤,<9:

Page 298: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � ����� ����� � � ���������� � ������� � ��� � � ��� � ��� � � �������#�����K���

9.1∫� � � � �f;/ �E� K � / ¢ 3��E� �   77�� m � � � � � � � £ fI�<3 � f � � � � £ fI�� £ � £ f9 3 ¢ � � � � £ fI�� ¤

10.1∫� ��V� �f;/ �E� K � / ¢ 3��E� �   77�� m � � 3 � ��� ��� � £ fI��� � f � � ��� � £ fI�� £ � £ f9�� ¢ � ����� � £ fI�� ¤

11.1∫� 7� � 1 �0f / �E� K � / ¢ 3��E�� �   C 3 7� 3 7� m � � 7� m � � � � £ fI�

� 7� m � � � � � £ fI� � � � £ fI��3 � � � £ fI� ¤12.

1∫� 7� V1 �0f;/ �E� K � / ¢ 3��E�� �  3 C � 7� 3 7� m � 3 7� m ��� ��� � £ fI� � 7� m � � � ��� � £ fI��3 � � £ fI� � � ��� � £ fI� ¤

13.1∫� � � 1 �0f;/ �E� K � / ¢ 3��E�� �   77�� m � � ¢'¡ f � � � � £ fI��3 ¢¢ ��� � � £ fI�� � �#f9 � � � � � � £ fI�� ¤

14.1∫� ��V1 �f / �E� K � / ¢ 3��E� �   77�� m � � ¢�¡ f � � ��� � £ fI��3 ¢¢ ��� ��� � £ fI�� � � 3 �#f � ����� � £ fI�� ¤

4.21.11. Integrals containing K(z), Hν(z) and Lν(z)

1.1∫� � � -21 � H� �f;/ �E�

L� �0f;/ �E� � K � / ¢ 3��E� �   � � �� J 5 � a 1 L J � L �'&

� �� J 5 � 5_7 L � J � 5 & LY & N � �� 7 � 5 � a 1 � 5 � a 1 !�� �

W�& � � 5 & � 5 � 5_7�� 5 � 5_7 #$ = � � ��� 5 � ! � ( 7A@B

2.1∫� H� �f / �E� K � / ¢ 3�� � �   � m � ¢ 3 � � �0fI�� ¤

3.1∫� L� �0f / �E� K � / ¢ 3�� � �   � m � � �0fI��3 ¢ � ¤

,<<

Page 299: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� ,��� �!,4.

1∫� � H� �0f;/ �E� K � / ¢ 3�� � �   �� m � � f 3 � � �9� ¢ 3hf � � � �fI� ���]f � 1 �0fI�� ¤5.

1∫� � L� �0f;/ �E� K � / ¢ 3�� � �   �� m � � �&� ¢ � f9O�� � �0fI��3 �#f 1 �0fI��3hf9 3 � � ¤4.21.12. Integrals containing K(z) and Lλn(z)

1.1∫� � � -21 � c� �0f ��� K � / ¢ 3�� � �

  � �� � !&�(� 5 7�! '' % � �� J 5 1 L & N & � (�' � � ! m�P5_7 � 5 1 � 5 1 � = � � � ��@B

4.21.13. Integrals containing products of K(z)

1.1∫� 7� 7 ( � � K � ���� �   � " �� � � 3 7� � � F 7� G � � � F 7� G � N �

�� 1� � 1� � 1� � 1� �V7&� � &� � &� � &� ! 7#$

� £ � � � � F �� G � N ��� &� � &� � &� � &� �V7��� ��� ��� �� !

7 #$ � ¤2.

1∫��� 7 ( � � K � ��� �   � �7�� � N �

�� 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � ��1� �#7��V7��#7 �#7��V7 ! 7#$¤

3.1∫� � � -21 K �f / �E� K � / ¢ 3�� � �   � �� �

� � !�� J 5 1 L � N & �� 1 � 1 � � ! m �7�� 5 1 � 5 1

#$� � � � � ! � ��� � � 7 ( m � � � � � � B

4.1∫� K �0f;/ �E� K � / ¢ 3�� � �   �� m � � � �0fI��3 � � �43�fI�0� �

� ��� � � 7 ( m � � � � � � B5.

1∫� K ��/ �E� K � / ¢ 3��E�� �   � �� ¤6.

1∫� � K �0f;/ �E� K � / ¢ 3��E�� �   �� m � � � ¢ 3hf9 � � 7 ( m7<5 m� � ¢ � f9 ��� � � �fI�<3 � � �43�fI�� � �� ��� � � 7 ( m � � � � � � B

,<9L

Page 300: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � �������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � �������#�����E���

7.1∫� � K �0/ �E� K � / ¢ 3�� � �   � �7�� ¤

8.1∫� � K �0/ �E� K � / ¢ 3�� � �   7O7 � �� � � ¤

9.1∫�

��

" �� 7<5 m � � K F m � �� 7,5 m � � G K� / ¢ 3�� � �

  � �� �� � !

�� J 5 1 L � N & �� 1 � 1 � � ! ( m �7 � 5 1 � 5 1

#$ � � � � � ! � � ��� � 7,5 m � � � � � � B10.

1∫� 7� 7<5 � K )+* �7,5 � , K� / ¢ 3�� � �   � G

¤

11.1∫�

�� 7<5 � K )+* �7,5 � , K� / ¢ 3�� � �   � �� ¤

12.1∫�

� �� 7<5 � K ) * �7,5 � , K� / ¢ 3�� � �   �� � � � ¢ � G � ¤

13.

� ∫� K � � � � ��� K � � � � � £ ���4�� �   3 � " �7X� � � � F 7� G� � " �� � �

� F 7� G � N �

�� 1� � 1� � 1� � 1� � �� � �� �V7&� � &� � &� � &� ���� ���� ! 7#$ 3 �

� � N �

�� �� � �� � &� � &� �#7�� �

�� �

�����

�� ��� ��� 1 1�

� 1 1� ! 7#$¤

4.22. The Complete Elliptic Integral E(z)

4.22.1. Integrals containing E(z) and algebraic functions

1.1∫�� �C7�( � � !�� " ��C7 ( m � � !�� & �� � E � ���� �

  � � �� � !��� 5_7X! �� J 5 1 L � ¢ 3hfI� -21� N 1 ^ 7 � � 5 � � ! m `= � � � � ! � ��� � �C7 ( m ! � � � @B

,<9P

Page 301: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,,�� �2.

1∫��� 7 ( � � E �0f ��� �

  �� � m � D f2� £ f9�� ¢ � � ¢ 3hf � � �Vf9 3 ¢ � �� ��� � f H �

� � ��� �C7 ( m � ! � � � � B3.

�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 E ������fg3���� � �

  � � � ��� ��� �&f �4a � -21 � N & �� ( 1 � 1 � � � ! �W � W�7 � �9a � � �Ia � a 1

#$� m � � � � � � � � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � � B

4.�∫� E �

�����0fg3���� � �   � m� � �m � ��� � � � m �� � * ¢ 3 m � � �� �� m � � ! � ��� �&� � ( m � � � ! � � � � B

5.�∫� � E

������0f63���� � �   � m �� � �m � ��� � � � m �� � * ¢ 3 m � � �� �� m � � ! � ��� �&� � ( m � � � ! � � � � B

6.�∫� �2 E �

�����0f63���� � �

  �� � � � � �&� f � 3 ¢ � �� ��� � m �� � f �]� �]f � � £ � * ¢ 3 m � � �� �

� m � � ! � ��� �&� � ( m � � � ! � � � � B7.

�∫� � 1� ��0fg3���� 1� E ������0fg3���� � �   � � m �� � � � � 3hf9 � � � 1 ) m � � �� ,

� � £ � f9 � � � ) m � � �� , 3 m � � �� � & ) m � � �� , � m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � � B8.

�∫� � -21� �0fg3���� 1� E ������0f63���� � �   � � m7�� � � �P3hf � � � 1 ) m � � �� ,

� f � � ) m � � �� , 3 m � � �� � & ) m � � �� , � m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � � B,9LN

Page 302: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � �������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � �������#�����E���

9.�∫� � -21� ��0fg3���� -21� E �

�����fg3���� � �   � �� � � � 3hf9 � � � 1 ) m � � �� ,

� f � � ) m � � �� , 3 m � � �� � & ) m � � �� , � m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � � B10.

�∫���

" � � m ( � ! �C" �7 ( � � � � m ( � ! E������0fg3���� � �

  � � � ��� ��� �&f �4a � -21 � N & �� 1 � & � � � ! � W � W�7�� �9a � � �Ia � a 1#$

� m � � � � � � � � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � � B11.

�∫� 77 ( � � � � m ( � ! E ��� � ���fg3����]� �   � m� � ( m � � �� m � � ! � ��� �&� � ( m � � � ! � � � � B12.

�∫��7 ( � � � � m ( � ! E ��� � ���fg3����]� �   � m �� � � ( m � � �� m � � ! � ��� �&� � ( m � � � ! � � � � B

13.�∫�� �� � � m ( � ! �� �7 ( � � � � m ( � ! E

������fg3���� � �

  � � m �� � � ( m � � � ! � � £ � f9 � � � � m � � �� �<3hf9 � � 1 � m � � �� ��3 m � � �� � & � m � � �� � � m � � ! � ��� �&� � ( m � � � ! � � � � B14.

�∫���" �� � � m ( � ! �� �7 ( � � � � m ( � ! E

������fg3���� � �

  � � m� � � ( m � � � � � £ � £ 3 f9�� � � 1 ) m � � �� , � � m � � �� � ) m � � �� , 3 m � � �� � & ) m � � �� , � m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � � B15.

�∫���" �� � � m ( � ! " �� �7 ( � � � � m ( � ! E

������fg3���� � �

  � ��#� � ( m � � � ! � £ � £ 3_f � � � 1 ) m � � �� , � � m � � �� � ) m � � �� , 3 m � � �� � & ) m � � �� , � m � � ! � � ����� � ( m � � � ! � � � � B,9L1�

Page 303: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,,�� �16.

�∫� � �4a 1� ��0fg3���� � E �� �� ���fg3���� � �  �£ - � - � &4� f9 �4a &4� � ��� 5n�O!

� J � 5 � LY & N �� ( 1 � 1 ��� 5n�7���� 5 � ! � �W#$ � m � � ! � � � ( 7 ! � � ������� ( m � � � ! � � � � B

17.�∫� � 1� E �

� �� ���fg3���� � �  � m �� �7�� � � � * �m � £ f � � ¢ � �� ��� � F �#" m � G � �]� f � 3 ¢ � * ¢ 3 m � �� �

� m � � ! � ��� �&��� ( m � � � ! � � � � B18.

�∫� � -21� E �� �� ���fg3���� � �

  �+� m� � 7� * �m �� ��� � F �#" m � G � * ¢ 3 m � �� � �

� � ������� ( m � � � ! � � � � B19.

�∫� � 1��� �0fg3���� -21��� E �� �� ���fg3���� � �

  � � m7X� � � �� ) ¢ 3 m � �� , � 1 ) m � �� , 3 � ¢ 3 £ f � � � ) m � �� , 3 m � �� � & ) m � �� , � m � � ! � ��� �&��� ( m � � � ! � � � � B

20.�∫� � -21��� �fT3���� -!&4��� E �

� �� ���fg3���� � �  � �� � � ) ¢ 3 m � �� , � 1 ) m � �� , � m � �� � ) m � �� , 3 m � �� � & ) m � �� , � m � � ! � ��� �&��� ( m � � � ! � � � � B

21.�∫���

& �� � � m ( � ! �7 ( � � � � � m ( � ! E�� �� ���fg3���� � �   � � � m � � & � � � ��� 5n� !� � � & � � J � 5 � LY & N �� 1 � & ��� 5n�7��]� 5 � ! � �

W#$ � m � � ! � � � ( 7 ! � � ������� ( m � � � ! � � � � B

22.�∫�

� �� �7 ( � � � � � m ( � ! E�� �� ���fg3���� � �   � � m � m � � 5n� !�

� � ) ¢ 3 m � �� , -21� 3 �� � � � ��� � � � F � " m � G � m � � ! � ��� ����� ( m � � � ! � � � � B

,9L�,

Page 304: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � �������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � �������#�����E���

23.�∫�

��" �� �7 ( � � � � � m ( � ! E�� �� ���fg3���� � �   � * � m� ( m � �� m � � ! � ��� �&��� ( m � � � ! � � � � B

24.�∫�� �� � � m ( � ! " �� �7 ( � � � � � m ( � ! E

�� �� ���fg3���� � �   m � �� � � ) ¢ 3 m � �� , -21

Y � � ¢ � f � � � ) m � �� , 3hf � � ) m � �� , 3 m � �� � & ) m � �� , � m � � ! � ��� �&��� ( m � � � ! � � � � B25.

�∫���" �� � � m ( � ! " � �7 ( � � � � � m ( � ! E

�� �� ���fg3���� � �

  � �� � � ) ¢ 3 m � �� , -21 ��9� ¢ 3hf � � � 1 ) m � �� ,� f � � ) m � �� , 3 m � �� � & ) m � �� , � m � � ! � � ������� ( m � � � ! � � � � B

26.�∫�

��" �� �� 7<5 � � � � � m ( � ! � �� � E

�� � �� � � m ( � !� 7,5 � � � � � m ( � !

�� �   � * � m��5 m � �� m � � ! � ��� �&����5 m � � � ! � � � � B

27.1∫� � � -21 � ¢ � f ��� � E

� / ¢ 3 � � �   � � � � !��� 5 7�! �� J 5 1 LY & N � ( � � � 5_7 ! m 5 1 � 5 & � = � � � � ! � ��� � �C7 ( m ! � � � @CB

4.22.2. Integrals containing E(z), the exponential, hyperbolic andtrigonometric functions

1.1∫� � � -21 � � � E

� / ¢ 3�� � �   � � � ! � � 5_7�!� � J 5 1 L � J 5 & L N & � � 5_7 ! m 5 1 � 5 & �= � � � � @CB2.

1∫� � � -21 � ��� ��� �0f / �E���� � �0f / �E� � E

� / ¢ 3�� � � 

� m ��� 5_7�! �� J 5 1 L� � 5_7X! �� � 5 7�! N & �� 5 1 � 5 & !�� �

W�& � 5_7�� 5n� #$ = � � � ( 7 �X@B

,9L3

Page 305: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,,�� ,3.

1∫� � � -21 � � � ��� �f;/ �E�� � � �0f;/ �E� � E

� / ¢ 3 � � �  � �

� � !��� 5_7X! �� J 5 1 L N & �� � 5_7 ! � �

W�1 � 5 1 � 5 &

#$ = � � � ��@B4.

1∫� ��� ��� �0f / �E� E � / ¢ 3�� � �   � �� m D � F m � G 1 F m � G 3 V1 F m � G9H ¤5.

1∫� 7� ��� ��� �0f / �E� E � / ¢ 3�� � �   � � m� D #� F m ��G 3 #1 F m ��GIH ¤

6.1∫� 7� � � � ��� �f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   � �� D #� F m ��G �#1 F m ��GIH ¤

7.1∫� ��� � �0f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   � �� m D � � F m � G � 1 F m ��G 3 � 1 F m ��GIH ¤

8.1∫� 7� ��� � �f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   � � m� D � � F m ��G � � 1 F m � G9H ¤

9.1∫� 7� � � � � �f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   � �� D � � F m � G 3 � 1 F m � G9H ¤

10.

� ∫� � � � � £�� ��� E �f ��� � ���� �   3 £ - �&-!& � �43�f9 � � � J ')( 1 L � J '65 1 L��' % ! �Y & N � ')( 1 ��'65 1 ��'65 1'g5 7 ���O'65 7 ! m � � = � ��� � � 7 ( m � � � � � @CB

11.

� ∫� � � � � � � � � �0f ��� E � � � � � ���� �   � " � " � � � � � � 5 7�!� J � - � 5_7 L � J � a � 5 7 L

Y� N & �� ( 1 � 1 � � a 1 �V7<5 � ! � �7 �#7,5 � - � �#7<5 � a �

#$ = � � � � ( 7 ! � ��� � � 7 ( � � � � � � @B,9L95

Page 306: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � �������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � �������#�����E���

12.

� ∫�����"� �7 ( � � ���� � � � � � �0f ��� E � � � � � ���� �   � " � " � � � � � � 5 7�!

� J � - � 5_7 L � J � a � 5 7 LY� N & �� 1 � & � � a 1 � � 5 7 ! � �7 � � - � 5_7�� � a � 5_7 #$ = � � � � ( 7 ! � � ��� � 7 ( � � � � � � @B

13.

∫� ��� � � � � � � � �f ���� � � �0f ��� � E � � � � � ���� �

  � " � " � � � � � � 5 7�!� J � - � 5_7 L � J � a � 5_7 L

� � � � �0f ��� £ �� � � �f ��� £ � � � N & �� ( 1 � 1 � � a 1 � � 5_7 ! � �7�� � - � 5 7 � � a � 5 7 #$

= � � � � ( 7 ! � � ��� � 7�( � � � � � � @B14.

∫���� ��� �7,( � � ��� � � � � � � � �0f ���

� � � �f ��� � E � � ��� � ��� �  � " � " � � � � � � 5:7�!

� J � - � 5n7 L � J � a � 5:7 L� ��� � �f ��� £ �� � � �0f ��� £ � � � N & �� 1 � & � � a 1 � � 5n7 ! � �7 � � - � 5n7�� � a � 5:7 #$

= � � � � ( 7 ! � � ��� � 7�( � � � � � � @B15.

∫� � � � � � ��� E �0f � � � ���� �   3 £ -;�&- � f � � J �E-Q1 L � J � a 1 L�� J � 5_7 L � � � ' ��

Y & N � �E-Q1 � � a 1 � � a 1� 5_7 ��'65_7 ! m � � = � ��� � � 7 ( m � � � � � @CB16.

S ∫� � ��� � �f ���� � � �0f ��� � E ��� ��� � ���� �   � m ��� � � � m� � ��� � � � � f�� £ �

� � � � � ��f � £ � �Y & N � ( 1 � 1 � 1 ! � �7 ( � �#7,5 � � = � ��� � � 7 ( � � � � � � @CB

17.

S ∫� � -�� � E ��� ��� � ��� �   �� m � ¢ 3 � - S � � & N �� ( 1 � 1 � 1 ! � �7�( �� �V7<5 �

�#$

= � � ��� � 7 ( � � � � � � @CB18.

S ∫� � "�� �7 ( � � ��� � � � E � � � � � ���� �   �� m � ¢ 3 � - S � � & N �� 1 � 1 � & ! � �7�( �� �#7,5 �

�#$

= � � ��� � 7 ( � � � � � � @CB,9L�;

Page 307: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,,�� 319.

�∫� � -�� � E � � � � � ��� �   �� m & N �� ( 1 � 1 � 1 ! � �7 ( �� �#7<5 �

�#$

� � � m � � ! � � ��� � 7 ( � � � � � � � B4.22.3. Integrals containing E(z) and the logarithmic function

1.1∫� ��� ¢ 3��2 � -!&4� � � E � ��� �   � � 3 � �� ¤

2.1∫� � � -21 � � ¢ � f ��� E � / ¢ 3�� � �

  � m � 5_7X! �� � 5_7X!��� 5 � ! �

� J 5 & L � N & � 7 �#7 � 5_7�� 5n� ! ( m� � 5 & � 5 � �= � � � ( 7 ! � ��� �&�C7<5 m ! � � � @B

3.1∫� � -!&4� � � ¢ � f ��� E � / ¢ 3�� � �  �£ � �0f�� ¢ � 1� E )�* mm 5_7 , 3 �,

= � ��� ���C7,5 m ! � � � @CB4.

1∫� � -!&4� � � ¢ 3hf ��� E � / ¢ 3�� � �  �£ � E �fI�<3 �, = � ��� �&�C7 ( m ! � � � @CB5.

1∫� � � -21 � F f / � � � ¢ � f � G E � / ¢ 3��E�� �   � m ��� 5_7X! �� J 5 1 L� � 5 7�! �� � 5 7�!

Y� N & �� 1 � 1 � 5 1 � 5 & & � 5_7 � 5n� ! ( m �

#$ � � � � ( 7 � ! � � ��� � 7,5 m � � � � � � B6.

1∫� � F f;/ � � � ¢ � f � G E � / ¢ 3��E�� �  � �

� � m � �9�f9 � ¢ � � 1 �43�f9O��3 �9� ¢ 3 £ f9 � � �43�f9 �<3 �]f9 � & �43�f9 �0��� � ��� � 7<5 m � � � � � � B

7.1∫� 7� 7<5 m � � � F f;/ � � � ¢ � f � G E � / ¢ 3��E�� �  � �� m � ) £ � f9 3 £ � ¢ � f � £ f9 � 7,5 � 7<5 m �� , �

� � ��� � 7<5 m � � � � � � B,9L:

Page 308: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� � � � � � �������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � �������#�����E���

8.1∫�

� " �� 7<5 m � � � F f;/ � � � ¢ � f � G E � / ¢ 3��E�� �  � �� m F � ¢ � f 3 ¢ G �

� � ��� � 7<5 m � � � � � � B9.

1∫� � � -21 � 7<5 m � �7 ( m � � E � / ¢ 3��E� �   � m ��� 5 7�! �� J 5 1 L�#� 5_7X! �� � 5_7X!

Y� N & �� 1 �#7 � 5 1 � 5 & & � 5_7�� 5n� ! m �

#$ � � � � ( 7 � ! � � ��� � 7�( m � � � � � � B10.

1∫� � 7<5 m � �7 ( m � � E � / ¢ 3��E� �  �

� m � � � f9�� �9�f9 3 ¢ � K �0fI��� �9� ¢ 3 £ f9O� E �fI�0� �� � ��� � 7 ( m � � � � � � B

11.1∫� � 7<5 � �7 ( � � E

� / ¢ 3�� � �   � �� 3 � �� ¤

12.1∫� 7� � 7,5 m � �7�( m � � E

� / ¢ 3�� � �   � �m � �0f9 3 ¢ � K �fI� � E �fI�0��� � ��� � 7 ( m � � � � � � B

13.1∫� 7� � 7,5 � �7�( � � E

� / ¢ 3�� � �  �£ � ¤14.

1∫� � � -21 � 7,5 � 7 ( � �7�(�� 7 ( � � E �f ��� �   � � � � J � L� � J �Ia 1 L � N & �� ( 1 � 1 � � � � ! m �7 � �9a 1 � � 5 7 #$

= � � � � ! � ��� � � 7 ( m � � � � � @B15.

1∫� � � 7,5 � 7�( � �7�( � 7�( � � E �f ��� �  �

� m � D f ��� � � � f-� �f9 � £ � � ¢ 3hf 3 £ H �� � ��� � 7�( m � � � � � � B

16.1∫�

�7 ( m � � � � 7<5 � 7 ( � �7 (�� 7 ( � � E �0f ��� �   �m � F ¢ 3 � ¢ 3hf G�� � ��� � 7 ( m � � � � � � B

,9L�<

Page 309: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,,�� 317.

1∫��� 7<5 m � � � � 7<5 � 7�( � �7 ( � 7�( � � E F m �� 7<5 m � � � G �   �m � F � ¢ � f 3 ¢ G

�� ��� � � 7<5 m � � � � � � B

18.�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� E � � ��� �

 � � � m � � J � L� � J �9a 1 L � N & �� ( 1 � 1 � � � � ! m � � �7�� �Ia 1 � � 5_7 #$

� m � � � � � ! � � ��� � 7 ( m � � � � � � � � B19.

�∫� � � m 5 � m � ( � �� E � � ��� �  �7X� � � D f � ��� � � � �0f �O��� �0f9 � �� £ � � ¢ 3hf � 3 £ H� m � � ! � � ��� � 7�( m � � � � � � � � B

20.�∫� � & � m 5 � m � ( � �� E � � ��� �   �7 � � � � �

Y D ¢ �]f �]� �#f9 � �� � ��� � � � �0f �O��� � � �Vf � � � 3 ¢ f9�� �� � �#� � ¢ 3hf � 3 � � H� m � � ! � � ��� � 7�( m � � � � � � � � B21.

�∫���

" �7 ( � � � � � m 5 � m � ( � �� E ��� ���� � 

� � � m � � J � L� � J �Ia 1 L � N & �� 1 � & � � � � ! m � � �7�� �Ia 1 � � 5_7 #$� m � � � � � ! � � ��� � 7 ( m � � � � � � � � B

22.�∫� 77 ( � � � � � m 5 � m � ( � �� E ��� ���� �   � � m� � 1 �0f � �� m � � ! � � ��� � 7�( m � � � � � � � � B

,9LL

Page 310: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� � � � � � �������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � �������#�����E���

23.�∫�

�7 ( � � � � � m 5 � m � ( � �� E ��� ���� �   �� � � F ¢ 3 � ¢ 3hf � G� m � � ! � � ��� � 7�( m � � � � � � � � B24.

1∫� 77 ( � � � 7,5 � 7�( � �� E � ��� �   77�� � � � F 7� G ¤

25.�∫� � � � � � ¢ � m 5 � m � ( � �� E F � �� � � � � 5_7 G �  �7�� � � D f � � FOf �'� � f � � ¢ G � �0f � 3 £ � � f � � ¢ � £ H� m � � ! � � ��� � 7,5 m � � � � � � � � B

26.�∫� � & � � � � ¢ � m 5 � m � ( � �� E F � �� � � � � 5_7 G �

  �7 � � � � � D ¢ �#f �]� �Vf9 � 3 � � FOf �'� � f � � ¢ G� � � �#f � � � � ¢ f � � � �V� � f � � ¢ 3 � � H � m � � ! � ��� � � 7<5 m � � � � � � � � B27.

1∫� � � -21 � F f;/ � � � ¢ � f � G E � / ¢ 3��E�� �  � m � � 5_7�! �

� � 5_7�!��� 5 � ! �� J 5 & L � N � � 7��V7��#7 � 5_7 � 5n�& ��� � 5 & � 5 � ! ( m � �= m � � ! � � � ( 7 ! � � ��� � 7,5 m � � � � � @CB

28.1∫� � -!&4� � F f;/ � � � ¢ � f � G E

� / ¢ 3�� � �  �� ) � ¢ � f 3 � 7,5 � 7,5 m �� 3 ¢ , = m � � ! � � ��� � 7,5 m � � � � � @CB

4.22.4. Integrals containing E(z) and inverse trigonometricfunctions

1.1∫� � � -21 ��� � � � �f;/ �E� E � / ¢ 3��E�� �   � m � J 5 1 L � J 5 & L�#� 5_7X! �

� � 5_7X!Y� N & �� 1 � 1 � 5 1 � 5 & & � 5_7�� 5n� ! m �

#$ � � � � ( 7 � ! � � ��� � 7�( m � � � � � � B,9LP

Page 311: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,,�� 52.

1∫� ��� � � � �f;/ �E� E � / ¢ 3��E� �  � �

� � m � �&�0f9 3 ¢ � � 1 �f9 � � �9� £ f9�� ¢ � � �f9 �<3 �]f9 � & �f9 �0��� � ��� � 7 ( m � � � � � � B

3.1∫� ��� � � � �f;/ �E� E � / ¢ 3��E� �   77 � � � � � F 7� G � 7

� � � F �� G�� � ��� � 7 ( m � � � � � � B

4.1∫� 7� ��� � � � �0f;/ �E� E � / ¢ 3��E�� �   � � m� � �f � ¤

5.1∫� 7� ��� � � � � / �E� E � / ¢ 3��E�� �   77�� � � � F 7� G 3 7

� � � F �� G ¤6.

1∫���

" �� 7 ( m � � ��� � � � �f;/ �E� E � / ¢ 3��E�� �   � m � J 5 1 L � J 5 & L�]� 5_7�! �� � 5_7�!

Y� N & �� 7 �#7�� 5 1 � 5 & & � 5_7�� 5n� ! m �

#$ � � � � ( 7 � ! � � ��� � 7�( m � � � � � � B7.

1∫� 7� 7 ( m � � ��� � � � �f;/ �E� E � / ¢ 3��E�� �  � �� m � ) £ 3hf9 3 £ � ¢ 3hf 3 £ f9 � 7,5 � 7 ( m �� , �

� � ��� � 7 ( m � � � � � � B8.

1∫���" �� 7 ( m � � ��� � � � �f / �E� E � / ¢ 3��E�� �   � �� m F ¢ 3 � ¢ 3hf G�

� � ��� � 7 ( m � � � � � � B9.

1∫� � � -21 ��� � � � � E �f ���� �   � � � � J �9a 1 L� � � J � L � N & � ( 1 � 1 � � � �9a 1 ! m �7 � � 5_7�� � 5_7 �� � � � � ! � � ��� � 7 ( m � � � � � � B10.

1∫� ��� � � � � E � ��� �   � �7�� � ¢ � £ � £ � ¤,9PN

Page 312: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� � � � � � �������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � �������#�����E���

11.1∫� � ��� � � � � E � ��� �   7� � � � � � F 7� G � 7� � � � F �� G ¤

12.1∫� �2 �� � � � � E � ��� �   � ���� � � � � � � £ � ¤

13.1∫� � � -21 � ¢ � f � ��� � � � � E F m �� 7<5 m � � � G �   � � � � J �9a 1 L� � � J � LY

� N & � ( 1 � 1 � � � �9a 17�� � 5 7 � � 5_7 ! ( m � � � � � � � ! � � ��� � 7,5 m � � � � � � B14.

1∫���

" �7 ( m � � � �� � � � � E �0f ��� � 

� � � � J �9a 1 L� � � J � L � N & � 1 � & � � � �9a 17 � � 5_7�� � 5_7 ! m � � � � � � � ! � � ��� � 7 ( m � � � � � � B15.

1∫� 77 ( m � � � �� � � � � E �0f ��� �   �� m �� ��� � f �� ��� � � 7 ( m � � � � � � B

16.1∫�

�7 ( � � �� � � � � E � ��� �   7� � � D � � F 7� G 3 ¢ � � � F �� G9H ¤

17.1∫�

� �7 ( � � �� � � � � E � ��� �   � �7�� � 3 £ � £ � ¤18.

1∫� 7� 7<5 m � � � ��� � � � � E F m �� 7<5 m � � � G �   �� m � F f�� � ¢ � f G�� � ��� � 7<5 m � � � � � � B

19.1∫� � � -21 �� �� � �0f;/ �E� E � / ¢ 3��E�� �   � m � J 5 1 L � J 5 & L�#� 5_7X! �

� � 5 7�!Y� N & �� 1 �#7 � 5 1 � 5 & & � 5_7 � 5n� ! ( m �

#$ � � � � � ! � � ��� � 7,5 m � � � � � � B,9P1�

Page 313: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,,�� ;20.

1∫� ��� � � �0f;/ �E� E � / ¢ 3��E�� �  � � m � 5_7X! �� �7�� m � �

�9� £ f9�� ¢ � E F m� m � 5_7 G 3 � K F m� m � 5 7 G 3 � � m �� m � 5_7 �� � ��� � 7<5 m � � � � � � B

21.1∫� ��� � � / � E

� / ¢ 3�� � �   3 � �� � 77X� " � � D � � F 7� G � ¢L£ � � F �� GIH ¤22.

1∫� 7� �� �� � �0f;/ �E� E � / ¢ 3��E�� �   � m �0f9�� ¢ � 1�

Y D K F m� m � 5_7 G 3 E F m� m � 5 7 GIH �� ��� � � 7<5 m � � � � � � B

23.1∫� � � -21 �� ��� � �f;/ �E� E � / ¢ 3 �E�� �

  � m � � 5n7X! �� � 5n7X!��� 5 � ! �

� J 5 & L � N � � 7 ��7���7 � 5n7�� 5*�& �O��� 5 & � 5 � ! m � �� � � �?( 7 ! � ��� � � 7,( m � � � � � � B24.

1∫� � -!&4� �� ��� � �f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �  �, ) ¢ 3 � ¢ 3hf � � 7<5 � 7�( m �� , �

� ��� � � 7�( m � � � � � � B25.

1∫� � -!&4� �� ��� � / � E� / ¢ 3�� � �   �,�� ¢ 3 � £ � ¤

4.22.5. Integrals containing E(z) and Li2(z)

1.1∫� � � -21 � � �0f ��� E � / ¢ 3��E� �

  � m � 5_7X! �� � 5_7X!��� 5 � ! �

� J 5 & L � N & � 7 �#7��#7 � 5 7 � 5n������ � 5 & � 5 � ! m �= � � � ( 7 ! � � �����C7 ( m ! � � � @B,9P�,

Page 314: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� � � � � � �������� ����� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � �������#�����E���

4.22.6. Integrals containing E(z), shi (z) and Si (z)

1.1∫� � � -21 � ����� �0f;/ �E�

� � �f;/ �E� � E � / ¢ 3��E�� � 

� m ��� 5_7X! �� J 5 1 L� � 5 7�! �� � 5 7�! & N � �� 1 � 5 1 � 5 & ! � �

W�& � & � 5_7�� 5n� #$ = � � � ( 7 �X@B

2.1∫� � � �0f / �E� E � / ¢ 3��E�� �

  � �� m D f9 � � F m � G 3 £ f � � F m � G � 1 F m � G � � ¢ � f9 � � 1 F m � GIH ¤4.22.7. Integrals containing E(z) and erf (z)

1.1∫� � � -21� �� �0f;/ �E� E � / ¢ 3��E� �

 � � m ��� 5_7�! �

� J 5 1 L�]� 5 7�! �� � 5 7�! & N & �� 1 � 5 1 � 5 & & � 5_7�� 5n� ! ( m �

#$ = � � � ( 7 ��@CB2.

1∫� � � -21 � � W � � �� �0f;/ �E� E � / ¢ 3��E�� � 

� � m ��� 5_7�! �� J 5 1 L�]� 5_7�! �

� � 5_7�! & N & �� 7 � 5 1 � 5 & & � 5_7�� 5n� ! m �#$ = � � � ( 7 �X@B

4.22.8. Integrals containing E(z), S(z) and C(z)

1.1∫� � � -21 ���f;/ �E� E � / ¢ 3��E�� �  7

� * � m �� � � 5 � ! �� J 5 &� L� � 5 �O! �� J 5 �

� L & N ��� &�� 5 &

�� 5 �

� !( �

W�& ���� � 5 �

�� 5 �

#$ = � � � ( � � @CB2.

1∫� � � -21 � �0f;/ �E� E � / ¢ 3��E�� �  " � m� � � 5_7X! �

� J 5 1� L� � 5 � ! �� J 5 &

� L & N ��� 1�� 5 1

�� 5 �

� !( �

W�1 � �� � 5 &� � 5 �

#$ = � � � ( 7 � @CB,9P3

Page 315: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,,�� P4.22.9. Integrals containing E(z) and γ(ν, z)

1.1∫� � � -21 � �� � f ��� E � / ¢ 3��E�� �

  � m � � 5 � ! �� � 5 � !

� ��� 5 � 5 7�! �� J 5 � 5 1 L & N &

� � � 5 � � 5 � 5_7 ! ( m� 5_7 � 5 � 5 1 � 5 � 5 & �= � � � 5 � ! � � @CB2.

1∫� � � -21 � � � � �� � f ��� E � / ¢ 3��E�� �  � m � � 5 � ! �

� � 5 � !� ��� 5 � 5 7�! �

� J 5 � 5 1 L & N &� 7�� 5 � � 5 � 5_7 ! m� 5_7 � 5 � 5 1 � 5 � 5 & �= � � � 5 � ! � � @CB

4.22.10. Integrals containing E(z), Jν(z) and Iν(z)

1.1∫� � � -21 � � � �0f;/ �E�

� �f;/ �E� � E� / ¢ 3�� � �

 � m � ��� 5 � ! �

� J 5 � L� �!& � ��� 5 � 5 7�! �� J 5 � 5_7 L � � � 5_7�! N & �� 5 � � 5 � 5_7 !�� �

W� 5 � a 1 � 5 � a & � � 5 7 #$

= � � � 5 � �O! � ��@CB2.

1∫� � � �0f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   �m � � f H� �0fI��3 H 1 �fI�0� ¤3.

1∫� 7� � � 1 �f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   � m H 1 �0fI� ¤4.

1∫� � �f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   �m � � f L� �0fI��3 L 1 �0fI�� ¤5.

1∫� 7� � 1 �0f / �E� E � / ¢ 3�� � �   � m L 1 �0fI� ¤,9P95

Page 316: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � � ������� � � ������� � ��� � � ��� � ��� � � ����������� �E����

6.1∫� � � -21 � � � � �f ��� E � / ¢ 3�� � �

  � � 5 � ! �� � 5 � !��� 5n� � 5 7�! �

� J 5 � 5 1 L � � � 5_7�! F m � G �Y & N & �� � 5 1 � 5 � � 5 � 5 7 ! � m� � 5_7�� 5 � 5 1 � 5 � 5 &

#$ = � � � 5 � ! � ��@B7.

1∫� � � -21 � � � �f;/ �E� � � �0f;/ �E� � �f;/ �E� � �f;/ �E� � E

� / ¢ 3�� � � 

��� 5��65 � ! �� J 5 � a � L��� 5 �g5 � 5_7X! �� J 5 � a � a 1 L � " �]" ��" � � m � &(�

� � �65_7�! � � � 5_7X!Y� N �

��� a � a 1 � � a � 5_7 � 5 � a � � 5 � a � 5_7 !�� m ��65_7 � � 5_7 � �65 � 5 7 � 5 � a � a 1 � 5 � a � a &

#$

= � � ��� 5��65 � ! � ��@CB8.

1∫� � � �f / �E� E � / ¢ 3�� � �   7� m � � � � � � £ fI��3 £ f � � � � £ fI� � �#f9�� � � £ fI�0� ¤9.

1∫� � 1 �f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   7� m � � � f � � � � £ fI�<3 ��� � � £ fI��� �Vf � � � £ fI�� ¤10.

1∫� 7� � 1 �0f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   7� m � � � � � � £ fI��� £ f9 3 ¢ � ¤

11.1∫� V� �f / �E� E � / ¢ 3�� � �   7� m � � £ f � � ��� � £ fI��3 ��� ��� � £ fI� � �#f9 ����� � £ fI�� ¤

12.1∫� 1 �0f;/ �E� E � / ¢ 3 � � �

  7� m � � � f � � ��� � £ fI��3 � � ��� � £ fI��3 �#f9 ����� � £ fI�� ¤13.

1∫� 7� V1 �0f / �E� E � / ¢ 3�� � �   7� m � � � � ��� � £ fI��3 £ f9 3 ¢ � ¤

,9P�;

Page 317: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� ,,�� ��4.22.11. Integrals containing E(z), Hν(z) and Lν(z)

1.1∫� � � -21 � H� �f / �E�

L� �0f / �E� � E � / ¢ 3��E� � 

� � ��� 5 � 5_7X! �� J 5 � a 1 L��� 5 � 5n�O! �

� J 5 � 5_7 L � J � 5 & L F m ��G � a 1Y & N � �� 7 � 5 � a 1 � 5 � a & !�� �

W�& � � 5 & � 5 � 5_7�� 5 � 5n� #$ = � � ��� 5 � ! � ( 7A@B

2.1∫� H� �f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   � m � ¢ 3 � � �fI�0� ¤

3.1∫� L� �0f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   � m � � �fI�<3 ¢ � ¤

4.1∫� 7� H� �0f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   � � f � � �0fI��3 � 1 �0fI��� � � m� � � 1 �0fI� H� �fI�<3 � � �fI� H1 �fI�0� ¤

5.1∫� 7� L� �0f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   � � f � �0fI��3 1 �fI�0�

3 � � m� � 1 �fI� L� �fI�<3 � �0fI� L1 �fI�0� ¤4.22.12. Integrals containing E(z) and Lλn(z)

1.1∫� � � -21 � c� �0f ��� E � / ¢ 3��E� �

  � �� � !9�(�P5_7X! '' % ��� 5_7X! �

� J 5 1 L & N &� (�' � � 5_7 ! m� 5_7 � 5 1 � 5 & � = � � � � @CB

4.22.13. Integrals containing products of E(z) and K(z)

1.1∫�

�� 7 ( � � K � ��� E � ��� �   � �� � � N �

�� ( 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � ��1� �#7��V7��#7 �#7���� ! 7#$¤

,9P:

Page 318: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� � � � � � � ������� � � ������� � ��� � � ��� � ��� � � ����������� �E����

2.1∫� � � -21 K �f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �

  � �� �� � !��� 5_7�! �� J 5 1 L � N & �� 1 � 1 � � 5_7 ! m �7�� 5 1 � 5 &

#$� � � � � ! � ��� � � 7�( m � � � � � � B

3.1∫� � � -21 K � / ¢ 3�� � E �0f / �E� �   � �� �

� � !�� J 5 1 L � N & �� ( 1 � 1 � � ! m �7�� 5 1 � 5 1

#$� � � � � ! � ��� � � 7�( m � � � � � � B

4.1∫� K � / ¢ 3�� � E �0f;/ �E� �

  �� m � f�� 7 ( m �� � 7,5 m7�( m � � � �0fI��3 � � ��3PfI� �� ��� � � 7�( m � � � � � � B

5.1∫� K �0f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �

  �� m � 7m � 7�( m �� m � � 7 ( m7<5 m � � � �0fI��3 � � �43�fI� �� � ��� � 7�( m � � � � � � B

6.1∫� K ��/ �E� E � / ¢ 3�� � �   � �7�� � � � ¤

7.1∫� � K ��/ �E� E � / ¢ 3�� � �   � � �7�� � � � � ¤

8.1∫� � K ��/ �E� E � / ¢ 3�� � �   7 � � �� 7�� � �7X� ¤

9.1∫�

��

" �7 ( m � � E �f / �E� K � / ¢ 3�� � �   � �� �� � !

�� J 5 1 LY

� N & �� 1 � & � � ! m �7 � 5 1 � 5 1#$ � � � � � ! � ��� � � 7 ( m � � � � � � B

10.1∫� 77 ( m � � E �0f;/ �E� K � / ¢ 3�� � �   �� m � 7,5 m7�( m �

� ��� � � 7 ( m � � � � � � B,9P�<

Page 319: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � � ���� � � ��� ��� � ����������� � � 5)� ,,�� ��311.

1∫���

" �� 7<5 m � � E F m � �� 7<5 m � � G K� / ¢ 3�� � �   � �� �

� � !�� J 5 1 LY

� N & �� 1 � & � � ! ( m �7�� 5 1 � 5 1#$ � � � � � ! � ��� � � 7<5 m � � � � � � B

12.1∫� 7� 7<5 m � � E F m � �� 7<5 m � � G K

� / ¢ 3�� � �   � m ��� � � f ¤13.

1∫���

" �� 7<5 m � � K F m � �� 7,5 m � � G E� / ¢ 3�� � �   � �� � � ! � � 5_7X!

� J 5 1 L � J 5 & LY� N & �� 1 � 1 � � 5_7 ! ( m �7�� 5 1 � 5 &

#$ � � � � � ! � ��� � � 7,5 m � � � � � � B14.

1∫� 7� 7<5 m � � K F m � �� 7,5 m � � G E� / ¢ 3�� � �

  3 �� m � � �� m � �0f9 3 ¢ � ��� � � fT3 � �� m � � � � �AfI��3 � � ��3��AfI���� ��� � � 7<5 m � � � � � � B

15.1∫� 7� 7<5 � K ) * �7,5 � , E

� / ¢ 3�� � �   � � ��� � � G 3 £ � ¤16.

1∫� / ¢ � � K� / ¢ 3�� � E )+* �7<5 � , �   � � ��� � � G � £ � ¤

17.1∫�

�� 7<5 � K )+* �7,5 � , E� / ¢ 3�� � �   � � ��� � £ G ���]� ¤

18.1∫� � / ¢ � � K

� / ¢ 3�� � E ) * �7,5 � , �  �� � � � � £ G ���#� ¤

19.1∫� � � -21 � ¢ � f ��� 1� K � / ¢ 3�� � E F m � �� 7<5 m � � G �   � �� �

� � !�� J 5 1 LY

� N & �� ( 1 � 1 � � ! ( m �7 � 5 1 � 5 1#$ � � � � � ! � ��� � � 7<5 m � � � � � � B

,9PL

Page 320: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� � � � � � � ������� � � ������� � ��� � � ��� � ��� � � ����������� �E����

4.22.14. Integrals containing products of E(z)

1.1∫�

�� 7 ( � � E � ��� �   � �� � � N �

�� ( 1 �V( 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � ��1��V7��#7 �#7���� ��� ! 7

#$¤

2.1∫� � � -21 E �f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �

  � �� � � ! � � 5_7X!� J 5 1 L � J 5 & L � N & �� ( 1 � 1 � � 5_7 ! m �7�� 5 1 � 5 &

#$� � � � � ! � ��� � � 7 ( m � � � � � � B

3.1∫� E �0f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �

  �� m � � m � 5 7� m 3 � m � ( � m � (:7� m � � 7 ( m7<5 m � � � �0fI��3 � � �43�fI� �� � ��� � 7 ( m � � � � � � B

4.1∫� E � / �E� E � / ¢ 3�� � �   � �

� � � � � ¤5.

1∫� � E �0/ �E� E � / ¢ 3�� � �   � �� � � � � ¤6.

1∫� �2 E ��/ �E� E � / ¢ 3�� � �   ��7 � �� � � � � �7X� ¤7.

1∫���

" �7 ( m � � E �f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   � �� � � ! � � 5_7X!� J 5 1 L � J 5 & LY

� N & �� 1 � & � � 5_7 ! m �7�� 5 1 � 5 & #$ � � � � � ! � ��� � � 7�( m � � � � � � B

8.1∫� 77 ( m � � E �f;/ �E� E � / ¢ 3�� � �   �� m � D0�f9�� ¢ � � 7<5 m7 ( m 3 £ f H

�� � ��� � 7 ( m � � � � � � B

,9PP

Page 321: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,931� �9.

1∫� � ¢ � f ��� 1� E � / ¢ 3�� � E F m � �� 7,5 m � � G �  �7�� �

3 7m � � � m � 5 � m � 5_7m � �� �� � fg3 � �m � � � � �AfI��3 � � �43 �AfI�� ��� � ��� � 7 ( m � � � � � � B

10.1∫� 77<5 m � � E F m � �� 7,5 m � � G E

� / ¢ 3�� � �   �� m � � f�� �0f9 3 ¢ � ��� � � f���� � ��� � 7 ( m � � � � � � B

11.1∫� � ¢ � ��� 1� E ) * �7,5 � , E

� / ¢ 3�� � �   � � � � � £ G � ¢ � ¤12.

1∫� ��� ¢ � ��� 1� E ) * �7<5 � , E� / ¢ 3�� � �   �

� � � £ � � £ G ���]� ¤4.23. The Complete Elliptic Integral D(z)

4.23.1. Integrals containing D(z) and elementary functions

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 D �

�����0fg3���� � �

  � �� ��� ��� �&f �4a � -21 � N & �� 1 � & � � � ! � W � W�� � �9a � � �9a � a 1

#$� � � � � � � � � ! � � ��� � � ( m � � � � � � � � B

2.�∫� D �

�����fg3���� � �   �m � � F £ 3 �

� 3hf � G �� ��� � � � ( m � � � � � � � � B

3.�∫� � D

������fg3���� � �   �� � � F £ 3 �

� 3hf � G �� ��� � � � ( m � � � � � � � � B

4.�∫� � 1� �0fg3���� 1� D �

�����fg3���� � �

  � � m �� � �� � 1 ) m � � �� , 3 � � ) m � � �� , � � & ) m � � �� , �

� ��� � � � ( m � � � � � � � � B3NN

Page 322: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � ��� ��� � � � ������� � � ������� � ��� � � ��� � ��� � � ����������� �D����

5.�∫� � -21� ��fQ3 ��� 1� D �

�����0f 3 ��� � �   � � m� � £ � 1 ) m � � �� , 3 � ) m � � �� , �

� ��� � � � ( m � � � � � � � � B6.

�∫� � -21� ��fQ3 ��� -21� D ������fQ3 ��� � �   � �� � £ � 1 ) m � � �� , 3 � ) m � � �� , �

� ��� � � � ( m � � � � � � � � B7.

�∫� � �4a 1� ��0fg3���� � D �� �� ���fg3���� � �  �£ - � -!& � &4� f9 �4a &4� � ��� 5n� !

� J � 5 � LY & N �� 1 � & �]� 5n� ! � � W� ��� 5 �#$ � � � � ( 7 ! � ��� � � � ( m � � � � � � � B

8.�∫� � 1� D �

� �� ���fg3���� � �   �� � � � �� ��� � F �#" m � G 3 � � m� � � * ¢ 3 m � ���� � ��� � � ( m � � � � � � � B

9.�∫� � -21� D � � �� ���fg3���� � �   � f 1� � ¢ � * ¢ 3 m � �� � -21

�� � ��� � � ( m � � � � � � � B

10.�∫� � -21��� �fT3���� 1��� D �

� �� ���0fg3���� � �  �£ - � � �� fY �

� � 1 ) m � �� , 3 � � ) m � �� , � � & ) m � �� , �� � ��� � � ( m � � � � � � � B

11.�∫� � -!&4��� �fT3���� -21��� D � � �� ���0fg3���� � �

 �£ -!&4� �� � £ � 1 ) m � �� , 3�� ) m � �� , �� ��� � � � ( m � � � � � � � B

12.

S ∫� �V-�� � D � � � � � ���� �   � m� � � � ¢ 3 �#- S � � � & N �� 1 � 1 � & ! � �7�( �� �#7,5 �

�#$ 3 ¢ �

�� � ��� � 7�( � � � � � � � B

3N1�

Page 323: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,931� ,13.

�∫� � -�� � D ��� ��� � ���� �   � m� � � � & N �� ( 1 ��( 1 � 1 ! � �( � � � � �#$ 3 ¢ �

� � � m � � ! � � ��� � 7 ( � � � � � � � B14.

�∫� � � -21 � m 5 � m � ( � �� D ��� ���� �   � � � m � � J � L� � J �9a 1 LY� N & �� 1 � & � � � � ! m � � ���� �Ia 1 � � 5_7 #$ � m � � � � � ! � � ��� � 7�( m � � � � � � � � B

15.�∫� � m 5 � m � ( � �� D � � ��� �   � � m� � �0f � � � m � � ! � � ��� � 7�( m � � � � � � � � B

16.�∫� � � m 5 � m � ( � �� D ��� ���� �

  �� � � ) ¢ 3 � ¢ 3hf � � � 7<5 � 7�( m � � �� ,� m � � ! � � ��� � 7�( m � � � � � � � � B17.

1∫� � � -21 �� � � � � D �f ���� �   � � � � J �9a 1 L� � � J � L � N & � 1 � & � � � �9a 1 ! m ���� � 5_7 � � 5_7 �� � � � � ! � � ��� � 7 ( m � � � � � � B

18.1∫� ��� � � � � D �f ���� �   �� m � F f �� ��� � f�� � ¢ 3hf 3 ¢ G�

� � ��� � 7 ( m � � � � � � B4.23.2. Integrals containing products of D(z), K(z) and E(z)

1.1∫� � � -21 K � / ¢ 3�� � D �f / �E� �   � � �

� � !� �� J 5 1 L � N & �� 1 � & � � ! m �� � 5 1 � 5 1

#$� � � � � ! � ��� � � 7 ( m � � � � � � B

2.1∫� K � / ¢ 3�� � D �f;/ �E� �   �� m � D � � ¢ 3hf ��� f � 7<5 m7 ( m H�

� � ��� � 7 ( m � � � � � � B3N�,

Page 324: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � � ��� � � � � ������ � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ����� � ��3.

1∫� K � / ¢ 3�� � D �0/ �E� �   � � £�¤4.

1∫� � � -21 E � / ¢ 3�� � D �f / �E� �  � � � � ! � � 5 7�!� � J 5 1 L � J 5 & L � N & �� 1 � & � � 5_7 ! m ���� 5 1 � 5 &

#$� � � � � ! � ��� � � 7�( m � � � � � � B

5.1∫� E � / ¢ 3�� � D �f;/ �E� �   �� m � ) f�� m � (:7� � 7,5 m7�( m , �

� � ��� � 7 ( m � � � � � � B6.

1∫� E � / ¢ 3�� � D �0/ �E� �   � � ¤7.

1∫� � E� / ¢ 3�� � D �0/ �E� �   � �

� � ¤4.24. The Generalized Hypergeometric Function

pFq((ap); (bq); z)

4.24.1. Integrals containing pFq((ap); (bq); z) and algebraicfunctions

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 � N�� a 1 ^ � m � ! ! � � � m ( � !� � � ! ` �   � ��� ��� � f �4a � -21Y � a N�� a

�� � m � ! � � � ! � W ��� � � ! � �9a � � �Ia � a 1#$ � m � � � � � � � � � ! � � ��� � � ( m � � � � � � � B

2.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21� � N � a 1 ^ � m � ! ! � � � � m ( � !� � � ! ` �   � � � ��� ! m � � " �� �� � � " � � J � 5 1 LY � a 1 N�� a 1

�� � m � ! ��� ! � �� � � ! ��� 5 1#$ = m � � � � � ! � � ������� ( m � ! � � � @B

3N3

Page 325: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,!5)� ,4.24.2. Integrals containing pFq((ap); (bq); z) and trigonometric

functions

1.

S ∫� � ��� � �0f ���� � � �f ��� � � N � ^ � m � ! ! �

��� � � �� � � ! ` �  �m ��� � � � m� � � � � � � ��f � £ �

� � � � � � f�� £ � � � a N � a � � m � ! � 1 �V7 ! �� � � ! �#7�( � �#7<5 � �¤

2.

� ∫� � � � � £� ��� � N � ^ � m � ! ! m ��� �� �� � � ! ` �

  � �( m ! '� � ' & � ' % � � m � ! '� � � � ! ' � a 1 N�� a 1 � � m � !95:' �]'65 1 ! m� � � !95n' ���O'65_7 � ¤

3.

� ∫� � � � � ��� � � £� � ¢ � � � N � ^ � m � ! ! � ��� � � �� � � ! ` �  � " � ']" � �' % ��3��O� � � � m � ! '

� � � � ! ' � a 1 N � a 1 � � m � !95n' �]'65 & ! �� � � !95n' ���O'65n� � ¤4.

∫� � � � � � � ��� � �f ���� � � �0f ��� � � N � ^ � m � ! ! �

��� � � �� � � ! ` �  � " � � � � � 5_7�!

� J � a � 5_7 L � J � - � 5_7 L� � � � �f ��� £ �� � � �0f ��� £ � �

Y � a 1 N�� a �� � m � ! � � a 1 � � 5_7 ! �� � � ! � � - � 5_7�� � a � 5_7 #$ = � � � � ( 7A@B

5.

∫� � � � � � ��� � N�� ^ � m � ! ! m�� � � �� � � ! ` �

  � "�' � �( m ! ' �� J � 5_7 L � � �

' �� � � m � ! ' �� � � � ! ' � � N�� � � m � !95 � � � a 1 ! m� � � !95 � ��'65_7 � ¤

6.

� ∫� � � � � � � � � �f ��� � N � ^ � m � ! ! ����� � �� � � ! ` �

  � " ��" � � � � � 5_7X!� J � a � 5_7 L � J � - � 5_7 L � a 1 N�� a

�� � m � ! � � a 1 � � 5_7 ! �� � � ! � � - � 5_7�� � a � 5 7 #$= � � � � ( 7R@CB3N95

Page 326: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � � ��� � � � � ������ � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ����� � ��7.

S ∫� � -�� � � N�� ^ � m � ! ! � ��� ���� � � ! ` �  7�( � " ( � �m � a 1 N � a

��

� + � . � + � . a 1 �#7 ! � W� �\� � U+ � �

. � + � �. a 1 �#7 ( �

� �#7<5 ��#�

$

� � � 7�( � " ( � �m � 5_7��

� �

�m �

���

�� � � a 1 N � a

��

� + � R. a 1 � + � R. 5_7��#7 ! � W� �\� � U+ � �

. a 1 � + � �. 5_7�� & ( �

� � & 5 ��#�

$

= � � m � � @CB8.

S ∫� �V-�� � � N � ^ � m � ! ! ���� ��� �� � � ! ` �

  7�( � " ( � �m � a N�� a �� � m � ! � 1 �#7 ! �� � � ! �#7�( �

� �V7<5 ��#$¤

9.

S ∫� � -�� � ��� � � � N � ^ � m � ! ! � ��� �� �� � � ! ` �

  7 ( �( 7X! ( � " ( � �m � 5_7 � a N�� a �� � m � ! �V7�� & ! �� � � ! � &<- � � � & a � �

#$¤

10.�∫� � -�� � � N � ^ � m � ! ! � ��� ���� � � ! ` �

  7m � a 1 N � a ��

� + � R. � + � R. a 1 �#7 ! � W� �\� � U+ � �

. � + � �. a 1 �#7�( �

� �V7<5 ��#�

$

� �m � 5_7��

� �

�m �

���

�� � � a 1 N � a

��

� + � . a 1 � + � . 5_7 �#7 ! � W� �\� � U+ � �

. a 1 � + � �. 5_7�� &<- � � � & a � �

#�

$ = � � m � � @CB

11.�∫� � -�� � � N�� ^ � m � ! ! � ��� �

� �� � � ! ` �   7m � a N�� a �� � m � ! � 1 �V7 ! �� � � ! ! 7�( �

� �V7<5 ��#$

= � � m � � @CB3N�;

Page 327: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� � �# � � � ��� ��� � �������#����� � 5)� ,!5)� 312.

�∫� � -�� � ��� � � � N�� ^ � m � ! ! � ��� �� �� � � ! ` �

  7m � 5_7 � a N � a �� � m � ! �#7�� & ! �� � � ! � &�- � � � & a � �

#$ = � � m � ��@CB4.24.3. Integrals containing pFq((ap); (bq); z) and the logarithmic

function

1.�∫� � � -21 � � m 5 � m ( �� � � N�� ^ � m � ! ! � �� � � ! ` �

  � �� f � � � !� J 5 1 L � a N � a � � m � ! � � ! m �� � � ! � 5 1 � 5 7 � = m � � � � � @CB

4.24.4. Integrals containing pFq((ap); (bq); z), K(z) and E(z)

1.1∫� � � -21 K � / ¢ 3�� � � N � ^ � m � ! ! m �� � � ! ` �

  � � �� � !

�� J 5 1 L � a N � a � � m � ! � � ! m� � � ! � 5 1 � 5 1 � = � � � ��@B

2.1∫� � � -21 E � / ¢ 3�� � � N � ^ � m � ! ! m

�� � � ! ` �  � � � � ! � � 5_7X!

� J 5 1 L � J 5 & L � a N � a � � m � ! � � 5_7 ! m� � � ! � 5 1 � 5 & � = � � � � @CB4.24.5. Integrals containing products of pFq((ap); (bq); z)

1.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 1 N 1 J � ! �

� L 1 N 1 ^ ��! � � m ( � !

� ` � � ��� ��� � f �4a � -21 1 N 1 J � 5 ��! m�� 5 � L = m � � � � � � � � � @CB

2.�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 1 N 1 J � ! �

� L 1 N 1 ^ � ! ( � � m ( � !

� ` �  � ��� � � �4f �4a � -21 1 N

�� � ! �W�

W��Ia � � �9a � a 1

#$ = m � � � � � � � � ��@B3N:

Page 328: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � � ��� � � � � ������ � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ����� � ��3.

�∫� � � -21 �0fg3���� � -21 1 N J � ! ��

�� L 1 N ^ � ! ( � � m ( � !

�� � ` �

 � ��� ��� � f �4a � -21 N �

�� � ��( � ! � W � W1 �

�� � a 1 � �9a � � �9a � a 1

#$ = m � � � � � � � � � @CB4.

�∫� � � a2S -21 �0fg3���� � a �&-21 � N 1 � � �K3�� ��� � N 1 � � 3 � �fg3����4�� �  ��3 ¢ � SEa � ��� ��� ����;��F m

� 5�G + � a � a2SEa �&-21 . �

Y S�� ��� ������� J � � L J ' $�L � ¢ 3��83 � ��S - � � ¢ 3 )3 � � �&- � � � � � F m

� 5�G + � a ��. � Y � � a � a � a � a2SEa �&-21 � £ � f2��� � � � � = m � � @CB

5.�∫� � � a 1� ��0fg3���� + SEa � . � -21 � N 1 � � 3 �]�fg3����4� 1 N

�� 1 ! ( � �'65 & � 1 (*' #$  ��3 ¢ � � F � � 7� G � �����R� ¢ 3 �� S ��� ��� J ' $ L F 7� G �&- � � �Y � S

�?� � a � a 1� � ��+ 1A- � . � � + � -21 . � � / f / � ��� � / f�� �Y � + � -21 . � � / f / � ��� 3 / f�� � � ��� �� �� � = m � ��@B

6.�∫

1 � -S -;�&- N

�� ( � �V( � ��( � ( 1 ! �1 ( � �V(�� � (:7 #$ N

�� (�' �V(�' �V(�')( 1 ! �1 (*' ��( �O')(:7 #$ �

  �43 ¢ � SEa � � � % ! � ��' % ! ��#��� � ! % ��� '�! % D C � £ � £ � � F � � 7� GIH = � � 'I@B7.�∫

��fg3���� � -21 � N 1 � ��f � 3�� ��� � N � a 1 ^ � m � ! ! ( � �� � �!& � ! `  �¡

� m � � ! � � � ��� ! � � J � 5�� m � (�� � �!& � L � ( 7 � B

3N�<

Page 329: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas
Page 330: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Chapter 5

Finite Sums

5.1. The Psi Function ψ(z)

5.1.1. Sums containing ψ(k+ a)

1.����� 1 � � � �  �� � � � � ¢ �<3 �<¤

2.������� � � � � fI�   �fT3 ¢ ��� ¢ 3�� �0fg3 ¢ �0�&3 �0f�� � �2� ¢ 3�� �0f�� � �0� ¤

3.������� � � � � � fI�   m (87� � £ 3 f�� £ f � �fI��� m 5n'� � fg3 3 � � £ � ¢ 3hf�� � � � �f-� � � ¢ �0� ¤

4.������� � � � � � fI�   '

� � � ¢ � ¢L£ f � ¢ 3hfI�<3 � � 3 � f-� � � ��3 � m (87�! m ��� m (:7�!

� � �fI� � 7� � �0fg3 ¢ � f2� £ fg3 ¢ � � � � � � ¢ �X� £� � ¢ ���� �f-� � � ¤

5.������� � & � � � � fI�   '65_7� � � ¢L£ f & 3 � � � � �#� f9

� £ � � � £ �R� £�� � �4fg3 � � � � £ �R� � ���]�0��� 7� �fT3 ¢ �4 f9 � �fI�� 7� � � �� � � ¢ �4 3 �0fg3 ¢ �� f9R��� �f-� � � ¢ � ¤6.

����� 1$� " � � � � ¢ �  �£ � ¢ 3 C � � £ ��3 £ -;� � � � £ � � � � � �

3 � "�''65n� N 1 J 7 �#7 ! ( 7'65 � L = '8>?7A@B7.

����� 1 £ -� � � � fT3 £ � � � � � fI�  �£ � f � �0fI��3 £ -;� � £ � �0f�� � � � �0f$� � �� ¤

3NP

Page 331: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� �� �8.

����� 1 ��3 ¢ �� J ' $ L � � � �   F £ 3 7' G C � F ¢ 3 7' G � � � � ¢ � = '8>?7A@CB

9.������� � m ! "$&% � � � � ¢ �   7m � � m 5 7�! '' % m � f � � � � ¢ �<3 ¢ � ¤

10.������� � � ! "$&% � � � � �O�   � � 5_7X! '' % � � � �O��3�� ��� � ¢ � � � ��� � � � ¢ �� ¤

11.������� � m ! "� � ! " � � � � fI�

  7� m ( � 5_7X! � � �K3 ¢ 3 m � m 5 7�! '� � ! ' � �0fg3�� � ¢ � D ¢ 3�� � m � m 5_7�! '� � ! ' H � �fI�� � � ( m (:7X!A� m 5 7�! '� � ! ' � f � �f�� ¢ ��3hf � �0f�� � � ¢ �<3 ¢ � � ¤12.

������� � � ! "� m ! " � � � � fI�   m (:7� � ( m 5_7�! � � ¢ � �fg3��K3 ¢ � � �fg3 ¢ �0�3 � � ! '%& �� � ( m 5_7�! � � m ! ' � ¢ � �0fg3�� 3 ¢ � � �0f$� � �� ¤

13.������� � m ! "$9% ��')( $ 5_7X! � � � � fI�

  � m ! ' & ���'65_7X! % � � �0f�� � � ¢ �2� � ��3Pfg3 � �<3�� � ¢ 3hfI��� � � � ¢ 3hfI��3�� � �43�fg3 � � � ¤14.

������� £ � J ' $ L � £� 3 � � � �fI� � � � � � fI� �£ �&-21 ��� F m 5_7� G � D £ � £ � � F m � G � � F � � m 5_7� GIH ¤

15.����� 1

���O')( $ (:7�! %��')( $ ! % � � � � 

� � ']" � J 1 L '' D £ � £ 3 C 3 7' � � F � � 7��G 3�� � £�� � H = '*>?7R@CB16.

������� £ � ��� ')( $ ! %��')( $ ! % � � � � ¢ �  �£ �&-21 ��� � � � � � ¢ ��3 C � ¤31��N

Page 332: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ������� ��� � � ��� ��� ��� � ���17.

������� J ' $ L J �O'$ L -21 � m (:7�! "$9% � � � � fI�  � " � ' � m ! � '

J 1 L ' � m ! ' D £ � �fI�<3�� �f�� � ��3�� F m 5_7� G � � F m 5:'g5 7� GIH ¤5.1.2. Sums containing products of ψ(k+ a)

1.������� �E�� � � fI�  �£� � � £ fg3 ¢ � � �fI��� � ¢ 3hfI� �E��fI�� � ¢ 3 £� 3 £ fI� � � � � fI��� � � � fI� �E�� � � fI� ¤

2.������� � � ! "� m ! " � � � � fI� � � � � �O�  m (:7� m ( � (87�! � � �m ( � (:7 � � ���O� � � �fg3 ¢ ��� ¢ � �0fg3�� 3 ¢ � � ���O��

3 � � ! '%& �� m ! ' � m ( � (87�! � D �m ( � (:7 � � ��� � � � ¢ �� � �f-� � �;� ¢ � �fg3��K3 ¢ � � � �'� � � ¢ � � H � ¤

3.������� � & � � � fI�   3 ��� � � ¢ 3 £ fI� � �0fI��� � � � £ fg3 ¢ � �E��0fI�� � ¢ 3hfI� � & �0fI��� � £� � £ fg3 ¢ � � � � � fI� � � � � ¢ 3 £�� 3 £ fI� �E�� � � fI�� � � � fI� � & � � � fI��� 7� � � �fI�<3 7� � � � � � fI� ¤

5.1.3. Sums containing ψ�(k+ a, z)

1.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $�L � � F � � 7��G   3 � �� � ��')(:7�! %J 1 L�' D C � £ � £ � � F � � 7��GIH

= '*>?7R@CB2.

����� 1�( 7�! "� $ 5_7 J ' $�L � � F � � 7��G   ' % � �� J & L ' 3 � ��

� � 'J & L ' � � � N &

� 7�( ' �V7��#7 �#7& �]����� ! 7 � = '*>?7R@CB31��

Page 333: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� ,�� �3.

������� � � � � fI� � � � � � fI�   � �0fI��3 7� �E��0fI��3�� � � � fI�� 7� � � � � fI��� 7� � £ fT3 ¢ � £ � ¢ 3hfI� � �fI�0� � � �0fI�� 7� � ¢ 3 £�� 3 £ f�� £ � � � fI� � � � � fI�0� � � � � � fI� ¤

5.2. The Incomplete Gamma Functions γ(ν, z) andΓ(ν, z)

5.2.1. Sums containing γ(nk+ ν, z)

1.������� � ")"� 5 $ (:7 � � � �1� �&�   � � � "��

� (:7 N J 7 �#7 ! �� �]� L3 � � � "��� 5n' N J 7 �#7 ! �� 5n'65_7���� L ¤

2.������� �( 7�! "$&% � � � � ¢!� �&�   7<5h�( 7X! '� 3 �( ��! '' % � - � & N � � ( � � 1;- � �#7� � " � � ¤

3.������� J ' $ L��43��&� - � � � � �1� �&�   ' % � � � "��� � ! ' & � 1 N 1 J '65_7 ! �� 5:'g5 7 L ¤

4.������� �43 ¢ � � J ' $ L 7� � ! " � $ 5 7�! � ��-� ��� �&�

  7'g5 7 D��T3 ¢ � � �)3 ¢!� �&�<3 ' %� � ! ' ��� -21 � - ��� � -21� �0�&� H ¤5.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � m (:7X! "� m ( '�! " � � ! " � ��-� ��� �&�   � � � "��� N J 7 (*' � m ! �� 5_7�� m (*' L ¤

6.������� �( 7X! "� $ 5 � ! % J ' $ L � � � � � � ¢)� �&�   � �9l � 3 ��3 ¢ � S � - ��� - S -21SEa � �0�&� ¤

7.������� J ' $ L � � � � � � ¢!� �&�   � � � 1� � D � F � � ¢)� ��� 7

�;G 3 � F � � ¢)� 7 �IGIH ¤8.

������� J ' $ L � $ 5n'65_7�! %� $ 5_7�! % �43��&� - � � � � � ¢)� �&�   ' % �'65_73 ��' % ! ���� '65n� ! % � � a � - � 1 N 1 J 'g5:� ! ��O'65 � L ¤

31�!,

Page 334: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ������� � � � ����� ��� � ����� ��� ���� � ��� ��� ����γ(ν, z)

� ���Γ(ν, z)

9.������� J ' $ L � m ! "� � ! " ��3P�&� - � � � � � ¢!� �&�   & N 1 ^ (�' � m �#7� ! � " � `

3 � � ( m ! '� � ! ' � - � & N 1 ^ ( ' � m �V7 ! (�� " �m ( � (*'65_7 ` ¤10.

������� J ' $ L � m 5 � ! "� $ 5 � ! % ��3P�&� - � � � � � � � ¢!� �&�   ��3P�&� � a2S � J m 5 � ! (��m 5 � 5n'65_7 L3 �C7�( m ! '� � 5:'�! % � S �V- � & N 1 ^ ( � (*' � m �#7m ( ' ! (�� " � ` ¤

11.������� �43 ¢ � � J ' $ L � � 5n'�! "� � 5_7�! " � � ! � " � ��-� £)��� �&�

  ��')(:7X! % ' %� � 5_7�! ' � � 5_7�! ']" � � � � "��� � �� ��3P�&� � ��&-21 �0�&� = '8>?7A@CB

5.2.2. Sums containing products of γ(ν � k, z)

1. ������� J � '$*L�� �� � �1� �&� � ��-� £�� 3 �1� 3��&�

  � £�� � � � � � � � � �'& � '� � ! � ' & � � � 5n'�! & N � �� '65 1 ��'65_7�� � 5n' ! � W�� a 1 5n' � � 5:'g5 7 � � 5n'65 7 � 1#$¤

2. � a 1������nJ �O'65_7$ L�� ��-� ��� �&� � ��-� £�� � ¢ 3 ��� 3��&�  � £�� � £ � � � 3 �'& � 8 � � � � �'& � '%& �� � ! � ' & � � � 5n'65_7�! & N � �� '65 & ��'65n��� � 5n'65_7 ! � W�� a & 5n' � � 5n'65n��� � 5n'65n��� &

#$¤

5.2.3. Sums containing Γ(ν � k, z)

1.������� J ' $�L �43��&� � ���T3 �1� �&�  �� � � - � � J 7�( � 5n'7�( � ! � L ¤

2.������� J ' $ L � ¢ 3 ;� � ���T3 �1� �&�   ��3 ¢ � �&-21 � � 3 ¢ � � � � -;� �V- � � � -;��&-21 ��&� = '8>?7A@CB

3.������� J ' $ L �C7 ( � ! "�C7 ( � (*'�! " ��3��&� � ����T3 ��� �&�   ' %� � ! ' � � a � �V- � � J '65_7 ! �� 5:'g5 7 L ¤

4.������� �43 ¢ � � J ' $ L 7� � ! " ��� � �1� �&�   3 ��')(:7X! %� � ! ' ��� � - ��� ��&-21 ��&� = '8>?7A@CB

31��3

Page 335: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� 31� �5.3. The Bessel Function Jν(z)

5.3.1. Sums containing Jν � nk(z)1.

� ��� ���� ��� �( '�! � "$&% � £ �&� - � � � -;� a 1� �0�&�   * �� � � � � FO�$� ' �� G ¤

2.� ��� ���� ��� �( '�! � "$&% �43 £ �&� - � � �&- � -21� ��&�   ��3 ¢ � � * �

� � � � � F ��� ' �� G ¤3.

������� J ' $�L � £)� � ;� � � ! "� � 5n'65_7X! " � � a � �0�&�   ��� � a 1 F ���G � � � a � �0�&� ¤4.

������� �43 ¢ � � J ' $ L�� £)� � ;� � � ! "� � 5n'65_7�! " � � � a � ��&�  � " � ��" � � � �

� ��� � ! 1 N �� � 5n'65 1 ! ( �

W�� 5 1 �]� � 5n� '65_7 #$ ¤

5.������� J ' $ L J ( � L "� � (*'65_7X! " � � a � �0�&�   J ( � L '�( � ! ' � � -;� ��&� ¤

5.3.2. Sums containing products of Jν � nk(z)1.

����� 1 �43 ¢ �� � � � ;� � � a � ��&�   7� � � a 1 �0�&��� � � � a ��&�<3 £ ��-� ¢ � � � a 1 �0�&��� �( 7�! '� � � a � a 1 �0�&��� £ ��-� � � ¢ � � � a � a 1 �0�&��3h� � � a � a �0�&�� ¤

2.������� J ' $�L � � � �� ��� � ! "��� � 5n'65_7X! " � � a � �0�&�   J � L

� �

� �� � � ! 1 N � � 5 1 ! ( � �� 5 7 ��� � 5n'65_7 � ¤

3. � a 1������ � £� 3 £)� � ¢ � J � '65_7$ L � � -;�&-21� � �Q� � � -;�&-21� �0�&�

  3 � ' & � �� J (�')( 1 L F � 5n�

�� G � a 1� � -;�&-21� � � � �&� ¤

31��5

Page 336: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � � ��� ��� � �������� � � � � � ��� � � ��� � ��� ��� ��� � � ����5.4. The Modified Bessel Function Iν(z)

5.4.1. Sums containing Iν � nk(z)1.

������� J ' $ L J � L "� � (*'65_7X! " � a � �0�&�   J ( � L '�( � ! ' � -;� �0�&� ¤2.

� ��� ���� ��� �( '�! � "$&% � £ �&� - � � ��� � �<1� �0�&�   7� � � � � � � � �43 ¢ � � � - � � ¤3.

����� 1 � £)� � ;� � a � �0�&�   � � � � a 1 ��&�<3 � a � a 1 �0�&�� ¤4.

������� �43 ¢ � � J ' $ L�� £)� � �� � � ! "� � 5:'g5 7�! " � a � �0�&�   ��;� � a 1 F �� G � � a � �0�&� ¤5.4.2. Sums containing products of Jν � nk(z) and Iν � nk(z)1.

������� J ' $ L � � -;� a � �0�&�� � a � ��&�  �( 7X! ' �( � ! '

�� � � 5_7X! F � � G � -;� � N & �� ( �

� �� 5_7 � � - � a 1 � � - � 5_7 #$ ¤2.

������� J ' $�L � � -;� a � �0�&�� � - � ��&�  �( 7�! ' �( � � ! '

�� � � 5 7�! F � �,G � -;� 1 N �

�� � 5 1 ! ( ��

� �� a 1 � � 5_7 � � ( � a 1 � � ( � 5_7 #$ ¤3.

������� J ' $ L�F ��G � � � -;� a 1� � �Q� � -21� ��&�

  �

"�']" �� �� � � � � � � � �A�&� � a 1� � 1� -;� � � � �A�&��� � � 3 �A�&� � a 1� � 1� -;� � � 3 �A�&�� ¤4.

������� �43 ¢ � � J ' $ L F ��G � � �&- � -21� � �Q�� � -21� �0�&�

  �

"�']" �� �� � � � � � � � �A�&� � a 1� � �&-21� � � � �A�&��� � � 3 �A�&� � a 1� � �&-21� � � 3 �A�&� ¤5.

������� �43 ¢ � � J ' $�L � � -21� ��&� �&- � a 1� �0�&�   ��3 ¢ � � � 3 � ' & � 8 �� � �Y D ��� � � � '65 � ! �� � � � a 1� � / £ � � � � � ����O'65 � ! �� � ��� � a 1� � / £ � � H ¤

31�!;

Page 337: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� 5)� ,6.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � � -21� ��&� � -;� a 1� �0�&�   � 3 � '%& � 8 �� � �Y D ��� � � � '65 � ! �� � � 1� -;� � / £ ���'� � � �

���O'g5 � ! �� � ��� 1� -;� � / £ ��� H ¤7.

������� J ' $ L � - � -21� �0�&�� � -;� a 1� ��&�   �43 ¢ � � � 3 � '%& � 8 �� � �Y D ��� � ��� '65 � ! �� � � � a 1� � / £ ���'� � � �

���O'65 � ! �� � ��� � a 1� � / £ ��� H ¤8.

������� �43 ¢ � � J ' $�L � � a 1� ��&� � -;� a 1� �0�&�   � 3 � '%& � 8 �� � �Y D � � � ���O'65 � ! �� � � -;�&-21� � / £ ��� � � � �

��� '65 � ! �� � ��� -;�&-21� � / £ ��� H ¤9.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � � -21� ��&� � -;�&-21� �0�&�   � 3 � '%& � 8 �� � �Y D � � � ��� '65 � ! �� � � -;�&-21� � / £ ���E3 � � �

��� '65 � ! �� � ��� -;�&-21� � / £ ��� H ¤10.

������� J ' $�L � 1� - � �0�&�� �&- � a 1� ��&�   � 3 � '%& � 8 �� � �Y D � � � ���O'65 � ! �� � � -;�&-21� � / £ ��� � � � �

��� '65 � ! �� � ��� -;�&-21� � / £ ��� H ¤11.

������� J ' $ L � - � -21� �0�&�� �&- � -21� �0�&�   � 3 � '%& � 8 �� � �Y D � � � ��� '65 � ! �� � � -;�&-21� � / £ ���E3 � � �

��� '65 � ! �� � ��� -;�&-21� � / £ ��� H ¤12.

������� �43 ¢ � � J ' $�L � � a 1� ��&� �&- � -21� �0�&�   �43 ¢ � � � 3 � ' & � 8 �� � �Y D ��� � � � '65 � ! �� � ��� � a 1� � / £ � � 3 � � �

���O'65 � ! �� � � � a 1� � / £ � � H ¤31��:

Page 338: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � � � � ��� � �������� � � � � � ��� � � ��� � ��� ��� ��� � � ����13.

������� J ' $ L � 1� - � �0�&�� �&- � -21� ��&�   � 3 � '%& � 8 �� � �Y D ��� � � � '65 � ! �� � ��� 1� -;� � / £ ���K3 � � ����O'65 � ! �� � � 1� -;� � / £ ��� H ¤

14.������� J ' $�L � 1� - � �0�&�� � -;�&-21� ��&�   ��3 ¢ � � � 3 � '%& � 8 �� � �Y D ��� � ��� '65 � ! �� � ��� � a 1� � / £ ���K3 � � �

���O'65 � ! �� � � � a 1� � / £ ��� H ¤5.4.3. Sums containing products of Iν � nk(z)1.

������� �43 ¢ � � J ' $�L ��-� � � ��� � ! "��� � 5:'65_7�! " V� a � ��&�  J � L

� �

� �� � � ! 1 N � � 5 1 ! � �� 5_7���� � 5n'65_7 � ¤

2.������� J ' $ L � - � �0�&�� � a � ��&�   ��3 ¢ � � � �65 � (*'65_7X! � '

� � �65_7�! � � � 5n'65_7X!A�( �)( � ! ' F � � G � a �Y N & � � a � a � a 1 � � a � a � 5 7 ! � ��65_7�� � 5n'65_7�� �g5 � 5_7 � ¤

3.������� J ' $ L � - � �0�&�� � - � �0�&�  �( ��! ' �( � ! '

� � �65_7�! � � � 5_7X! F � � G � a � - � N & � � a � - � a 1 � � a � - � 5_7 ! � ��)(*'65_7 � � (*'65_7 � �65 � ( 'g5 7 � ¤4.

� a 1������ ��3 ¢ � � � £�� 3 £!� � ¢ � J � '65_7$ L � -;�&-21� � �Q�� � -;�&-21� �0�&�  3 � ' & � �

� J ( ' ( 1 L F � 5 ��� G � a 1� -;�&-21� � � � �&� ¤

5.����� 1

�( 7�! "$ �� � J ' $ L D V- S -21� F �� $ G 3 VSEa 1� F �� $ GIH  ��3 ¢ � � £ 1A- � � - �&-21 = ���O'�! % @ �' % � � S l � 3 ��3 ¢ � S �

� � = � � 'I@B6.

������� �( 7�! "� " �M��! � "'& � �M��!   �43 ¢ � � � � '%& � �M��!� '%& � �M�]! � � � � �M��!� � �M�]! ¤

31�!<

Page 339: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� ;�� �5.5. The Macdonald Function Kν(z)

5.5.1. Sums containing Kν � nk(z)1.

������� ��'65 $ ! %$&% ��')( $ ! % � � � � a 1� ��&�  7� � � � � a 1� ) � � 3 7� * � 3 � �

� , � � a 1� ) � � � 7� * � 3 �O�� , = � � @CB

2.� ��� ���� ��� �( � ��! ")"$&% ��' ( � $ ! % � �&- � -21� ��&�   7' % " �� � �V- � ¤

3.������� J 1 ( m (*' L)"��')( $ ! % �C7 ( m (*� '�! " F ���G � � � a 1� ��&�

  � F � � 7� G � � "�� � � � ��� m 5n� '�!� � m 5n�O'�! � -�� - � � -21� �0�&�3 m 5n�O'��� '65_7X! % � m 5:'�! £ �&-21� O� 1� � - � N J m 5n� 'g5 7 �#7 ! �O�� m 5n�O'65_7����O'65n� L ¤

4.������� J ' $ L J ( � L "J 1 ( � ( ' L " �)S - � a 1� �0�&�   ��3 ¢ � SEa � � "�']" � � � '

J � 5 1 L ' - S -;�&-21� �0�&� ¤5.

������� J ' $ L�� � � � � F �� G � � � a � ��&�   � � a � ��&� ¤5.5.2. Sums containing Kν � nk(z) and special functions

1.������� �43 ¢ � � J ' $�L � � a � -;� ��&� � � a � �0�&�

 � J � - � L�

� J � a � 5 7 L F 3 � � G � � N & �� ( ��

� ��E- � 5_7�� � a � 5 7 � 1#$

3 � J � - �E-Q1 L�� J � a � a & L F�3 � � G � a � N & �� ( �

� ��E- � a & � � a � a & � & #$

� ��3 ¢ � � � ��')( � !� � � � 5_7X! F � �,G � -;� � N & �� ( ��

� �� - � a 1 � � - � 5_7�� � 5_7 #$ ¤31��L

Page 340: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������������� ����� ��� � ��� ��� Hν(z)

����Lν(z)

2.������� �43 ¢ � � J ' $ L F �

�G � � ��� � �<1� � �Q� � � -21� �0�&�

  ��3 ¢ � � � "�']" �� �� � � � � ��Q3 �Q� � a 1� � �&-21� ��Q3 �Q�� ������Q� � a 1� � �&-21� ������Q�0� ¤

3.������� �43 ¢ � � � � a � ��&� � � - � �0�&�   3 �� � � �0�&� � � -21 �0�&��3 � a 1 ��&� � � ��&�0�� ��3 ¢ � � �� � � a � ��&� � �&- � a 1 ��&�<3 � a � a 1 �0�&� � �&- � �0�&�� ¤

5.5.3. Sums containing products of Kν � nk(z)1.

������� � £)� � ¢ � � � a 1� � �Q� � � a 1� �0�&�  � � � ¢ � / � ��� ��� � $ 5:'g5 7�! %� $ 5_7X! % ��')( $ ! % F � 5 ��

�� G � a 1� � � a 1� � � � �&� = � � @CB

2.������� �43 ¢ � � � $ 5_7��')( $ ! % � $ 5n'65_7X! % � � a 1� � �Q� � � a 1� ��&�

  �43 ¢ � � � �' % F � 5 ���� G � a 1� � � a 1� � � � �&� ¤

5.6. The Struve Functions Hν(z) and Lν(z)

5.6.1. Sums containing Hk+ν(z) and Lk+ν(z)

1.������� �( '�! " ��'�! "$&% F ���G � H� -21� ��&�

  ��3 ¢ � � " �� � � � a 1� F � �,G D £ � £� � ¢ � � � a 1� F � �,G 3h� � � a &4� F � �,GIH ¤2.

������� �( '�! " ��'�! "$&% F �� G � L� -21� �0�&�  " �� � � a 1� F � � G D £ � £� � ¢ � � a 1� F � � G � � � a &4� F � � GIH ¤

3.������� J ' $�L �0fI� � F]3 ���G � H� a � ��&�

 � " � � �'& � J � ( m 5 & L '� � � J � 5:'g5 & L N & �� � ( m 5:'g5 & �V7 ! ( �

W�� 5:'g5 & � � ( m 5 & � &

#$¤

31��P

Page 341: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� <�� �4.

������� J ' $ L �0fI� � F]3 �� G � L� a � ��&� 

� " � � �'& � J � ( m 5 & L '� � � J � 5:'g5 & L N & �� � ( m 5n'65 & �#7 ! � W�� 5:'g5 & � � ( m 5 & � & #$¤

5.7. The Legendre Polynomials Pn(z)

5.7.1. Sums containing Pm � nk(z)1.

������� j � ��&�   ���O'�! %��' % ! � F �E(:7� G � & N �� ( ' ��( ' ��(�')( 1 ! 1;- �1 (*' �V( �O')(:7 #$¤

2.������� � £)� � ¢ � j � ��&�   '65_7��(:7 � j � a 1 ��&�<3 j � ��&�� ¤

3.������� J ' $ L � � j � ��&�   � ¢ � £ � �$� � � ��� j � F 7,5 �4�� 7,5:� �4� 5 � � G ¤

4.����� 1

$ � ��� ')( $ !��')( $ ! % � £ �&� � j � ��&�   F 7� G � � £ �&� � = '8>?7A@CB5.

������� �( 7�! "��')( $ ! % � m ! " FO�63 � � 3 ¢ G � j � ��&�  7� m ! ' j + � -!&4� lM1A-�� -;� .� F 3 �#�� � �V� � � 3 ¢ G ¤

6.�&-21������ ��3 ¢ � � J ' $�L � � 3 � � � F ��� � � 3 ¢ G � j � �0�&�

 � ' J 1 L '' % F ¢ 3 �� � � (87 G -;� ��� ��� £ - � � �� �(�'�! � "�C7 � (*'�! " F �� � � (:7 3 ¢ G � ¤

7.��� ��� J ' $ L � m ! "$&% F �7�( � G � j � ��&�

  � m ! '' % F 725:�7,( ��G � � N & �� ( ' �#( ' � 19- �<-�� �]7,( � a �7,( m ( ' ��7�( m ( ' ��7 ! � �<- �� a 1#$¤

8.������� �43 ¢ � � � $ 5_7��')( $ ! % � $ 5n'65_7X! % j � ��&�   � "�'��' % ! � � ¢ 3h�&� � ¤

3�,9N

Page 342: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� �������� ����� ��� � ������� ��� & ' ���9.

������� J ' $�L � ")"��')( $ ! % J 1 (*' L " ) � � � (87 (8�7 (8� � 5 �#� � � (:7 , � j � ��&�  � "�'

J 1 L ' F ¢ 3h���� � � � 3 ¢ G -;� & N �� ( � � 1;- � � 17 �#7 ! � � 7 (8� � 5 � � � � (:7 � � #$ ¤10.

������� � m ! "��')( $ ! % � $ 5n'65_7�! % ��� ( m ! " j � ��&�  � m ! '��' % ! � ���O'Q5_7�!A��� ( m ! ' F � 5_7� G � & N �� ( ' ��( ' � & ( m !

� a 11 (*' �V7 ( m ( ' #$¤

11.������� � £!� � ¢ � � m ! " � � ! "��')( $ ! % � $ 5n'65_7X! % ��� ( m ! " ��� ( � ! " j � ��&�

  � m ! ' � � ! '��' % ! � ��� ( m ! ' ��� ( � ! ' F 7<5 �� G � & N � ( ' ��( ' �]� ( m ( � ! 1 a �7�( m (*' �V7 ( � (*' � ¤12.

������� �43 ¢ � � J ' $ L F � � 3 ¢ 3h� G � j � �0�&�  � ¢ 3h�� � � � � 3 ¢ � � j + �9lC-;�&-21� .� F £ �� 3 £ � � � 3 ¢ 3 ¢ G ¤

13.��� ��� ��3 ¢ � � J ' $ L � m ! "

J 1 L " � - � j � �0�&�

  � m ! 'J 1 L�' � - � �

¢ 3h�� � � � N & ��� ( ' ��( ' � 1;- ��- ��

� &�- ��- ��1 ( m ( ' �V7 ( m ( ' � 1 ! � �

W�W -Q1

#�

14.��� ��� J ' $�L � m ! "

J 1 L " �¢ 3h�� � - � j � ��&�

  � m ! 'J 1 L ' �� � �

¢ 3h�� � -;� � N & � (�' � 1 (*' � 1�- ��- � �#7�( � a �7�( m (*' �#7�( m (*' �V7 ! � ( � � " � � ¤15.

�������� $ 5_7��')( $ ! % J '65 & L)" j � �0�&�  

�O'65 7' % �� � ¤16.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � � � � ¢ � J 1 L)"J '65 & L " j � �0�&�  � J 1 L ' & �' % � ¢ 3h�� � � ¤

3�,��

Page 343: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� <�� �17.

������� �43 ¢ � � � � $ 5_7�!&��'�! "��')( $ ! % J & (*' L " J & 5n' L " j � ��&�   7 ( � ' �' % � � �0�&� ¤18.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � m ! "J 1 L�" � -

� j � ��&�  � m ! '' % � - � � ¢ 3h�� � � � N & ��� ( ' ��( ' � 1;- ��- ��

� &<- ��- ��1 ( m (*' �V7 ( m ( ' � 1 ! � �W

�W -Q1

#�

19.������� J ' $ L � m ! "

J 1 L�" �¢ 3h��O� - � j � ��&�

  � m ! 'J 1 L ' � � �

¢ 3h� � -;� � N & � (�' � 1 (*' � 1�- ��- � �#7�( � a �7�( m (*' �#7�( m (*' �V7 ! � ( � � " � � ¤20.

�������� $ 5_7��')( $ ! % � � $ (:7X!A� � $ 5 � ! J 'g5 & L " j � ��&�

  �O'65_7' % � � ')(87�!A� � '65 � ! �� � & N �� (�' � 1 (*' �V7 ! � " �1�(*' � �

�( ' #$

¤

21.������� �43 ¢ � � J ' $�L � � � � ¢ � � $ 58'�! % J 1 L

"$9% J 1 ( ' L " J & 58' L " j � ��&� �� � � £�� � ¢ �I� j � �0�&�� ¤

22.������� �43 ¢ � � J ' $�L

� $ 5_7� � $ (:7X!A� � $ 5 � ! J 1 L "J '65 & L)" j � �0�&�  J & L�'' % � � ')(:7X!A� � '65 � ! � ¢ 3h��O� � & N �� (�' �V(�' �V7 ! 11�- �

W1�(*' � �

�(*' #$

¤

23.������� �43 ¢ � � J ' $ L�� � � � ¢ � � m ! " � � ! " J 1 L "J '65 & L)" J & ( m L�" J & ( � L�" j � �0�&�

 �]� m ! ' � � ! ' J 1 L ' & �' % J & ( m L ' J & ( � L ' � ¢ 3h� � � & N � ( ' ��( ' � & ( m ( � ! 11;- �

W7�( m (*' �V7 ( � (*' � ¤24.

�������� $ 5 ���')( $ ! % J '65 � L " j � a 1 �0�&�

  �O'65 �' % �� � a 1 ¤3�,,

Page 344: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� �������� ����� ��� � ������� ��� & ' ���25.

��� ��� J ' $ L � m ! "J & L " � ¢ 3h�� � - � j � a 1 ��&�  � m ! '

J & L ' �� � a 1 � ¢ 3h�� � -;� � N & � (�' �V( 1 (*' � 1�- ��- � �#7 ( � a �7�( m (*' �V7 ( m ( ' �V7 ! � ( � � " � � ¤26.

��� ��� ��3 ¢ � � J ' $�L � m ! "J & L�" � -

� j � a 1 �0�&�  � m ! '' % � 1A- � � ¢ 3h� � � � N & ��� ( ' ��( ' � &�- ��- ��

� � - ��- ��7 ( m (*' � & ( m ( ' � & ! � �W

�W -Q1

#�

27.������� J ' $ L � m ! "

J & L " � ¢ 3h� � - � j � a 1 ��&�  � m ! '

J & L ' � � a 1 � ¢ 3h� � -;� � N & � (�' �V(�')( 1 � 1�- ��- � �#7 ( � a �7�( m (*' �V7 ( m ( ' �V7 ! � ( � � " � � ¤28.

������� �43 ¢ � � J ' $ L F £)� � � � G J & L "J '65 � L " j � a 1 ��&�  J & L '%& �' % �;� ¢ 3h� � � ¤

29.�������

� $ 5 ���')( $ ! % � � $ 5_7X!A� � $ 5 � ! 7J '65 � L " j � a 1 ��&�

  � '65 �' % � � '65_7X!A� � '65�O! �� � a 1 & N �� ( ' ��( 1 ( ' �V7 ! � " �( 1� ( ' � &� (*' #$¤

30.������� �43 ¢ � � J ' $ L

� $ 5 �� � $ 5_7X!A� � $ 5 � ! J & L "J '65 � L " j � a 1 ��&� 

� J & L ' & � �' % � � '65_7X!A� � '65�O! � ¢ 3h� � � & N �� (�' �V(�' �V7 ! 11�- �W( 1� (*' � &� (*' #$¤

31.������� �43 ¢ � � J ' $ L � � � � � � m ! " � � ! " J & L "J '65 � L " J � ( m L " J � ( � L " j � a 1 �0�&�

 �]� m ! ' � � ! ' J & L ' & �' % J � ( m L ' J � ( � L ' �;� ¢ 3h� � � & N � ( ' ��( ' � � ( m ( � ! 11;- �

W7�( m (*' �V7 ( � (*' � ¤3�,93

Page 345: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� <�� �32.

� ��� ���� ��� �43 ¢ � � J � $ L&� £�� 3 � � � ¢ � J ( ')( 1 L "J � (*'65 1 L " j �&- � ��&�  3 £ SEa 1 ��' ( � � ! %' % F 7� G S F]3 � 3 7� G SEa 1 � ¢ 3h� � S � SEa 1� �&- S ��&�= � � � 'I@CB33.

� ��� ���� ��� �43 ¢ � � � £�� 3 � � � ¢ � J ( ' ( 1 L�"$&% j �&- � ��&�   F � � G ���� ��! '' % ¤

34.� ��� ���� ��� � £�� 3 � � � ¢ � � m ! " J ( 1 (*' L�"$&% J 1 ( m (*' L " j �&- � �0�&�   J & L 'J m 5 1 L ' � � a 1� � �0�&� ¤

35.� ��� & ������� �O')( � $ 5_7$9% F�3 �O'65_7

� G � j �&-!& � �0�&�   ]� j � U0\ �� l U0\ � �� �� F � �E(:7� G ¤

36.� ��� & ������� � � � 3 ¢�£!� � ¢ � �(�'�! � " J ( �R� a 1� L "$9% J ( 'g5 1 L � " j �&- � � �0�&�

 �£ � J & L � '���O'�! % ��� 3 ¢ � � & N �� ( ' ��( ' ��( �R� a 1� ! &�<- � � W( ' ( 1

��V( 'g5 1

#$¤

37.� ��� & ������� � � � 3 ¢�£!� � � �(�'�! � " J ( �R� a &� L "$9% J ( ' ( 1 L � " j �&- � � a 1 �0�&�

 �£ � a 1 J & L � ' & ����O'65_7X! % �;��� 3 ¢ � � & N �� ( ' ��( ' ��( �R� a &� ! &�,- � � W(�')( &

��V(�')( 1

#$¤

38.������� �43 ¢ � � J ' $�L �( � ! "� m ! " F ��� � � 3 ¢ G � j S - � ��&�

  � m 5 � ! '� m ! ' F ��� � � 3 ¢ G SY & N � ( � �#7�( m ( � � 1 ! � � 7 (8� � 5n� � � � (:7 �7�( m ( � (*' �V7 � = � > 'I@B39.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � � 5_7X! "J � (*'65 & L " FO�$� � � 3 ¢ G - � j � a2S �0�&�  J 1 L 'J ( � ( 1 L�' F ��� � � 3 ¢ G - S - �

Y j + � lC- S -;�&-21� .S � �V���� �V� � � 3 ¢ 3 � ¤3�,!5

Page 346: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� �������� ����� ��� � ������� ��� & ' ���5.7.2. Sums containing Pn(z) and special functions

1.������� J � '� $�L �

� '#" � " (87���O�]! � " � �&- � j � �0�&�   '���O�]! � '#" � j �&-21 ��&� = '8>?7A@CB2.

������� J � '65_7� $ 5_7 L&� £ �&� - � � �&- � j � a 1 ��&�   �O'65 7� � ' � � '#" � � 1A- � j � ��&� ¤3.

������� F �Q3 � � 3 ¢ G � � � � � ¢ � j � ��&�  � � � � £ � j + 1RlC-;�&-!&4� .� F �V�� 3 3 �#� � � 3 ¢ G� F ¢ 3h���� � � � 3 ¢ G -21 D ¢ 3 j + � lC-;�&- � � .� a 1 F �#�� 3 3 �#� � � 3 ¢ G9H ¤

5.7.3. Sums containing products of Pm � nk(z)1.

������� � £)� � ¢ �2� j � ��&�0�   ��'g5 7�! �7�(*� � � � j � �0�&�� 3 £ � j � ��&� j � a 1 �0�&��� � j � a 1 ��&�0� � ¤

2.������� �43 ¢ � � � $ 5_7��')( $ ! % � $ 5n'65_7X! % � j � �0�&��   J 1 L '� ' % ! � � ¢ 3h� � � ¤

3.������� �43 ¢ � � ��� $ 5_7�! J '65 1 L "��')( $ ! % � $ 5n'65_7X! % J & (*' L " � j � �0�&��   7 (*� '��' % ! � j � ��&� ¤

4.������� �43 ¢ � � � � � � ¢ � J 1 L�"$9% j � ) * 7�(8�� , j � ) * 7,5 �� ,

 �£ �43 ¢ � � a 1 � � � ¢ � J & L '' % j � a ) * 7 (8�� , j � a ) * 7,5 �� ,� � J � L

'� ��' % ! � � ¢ 3h�� � � N & �� ( ' �]'65 � � �� � ��& ����� � ! 7 (8� � #$¤

3�,;

Page 347: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� <�� 55.

������� �43 ¢ � � � � � � � J & L "$9% j � a 1 ) * 7 (8�� , j � a 1 ) * 7<5 �� , �£ �43 ¢ � � a 1 � � � ¢ � J � L '' % j � a & ) * 7 (8�� , j � a & ) * 7,5 �� ,

� � � J � L�

'7��V��' % ! � � ¢ 3h� � &4� � N & �� ( ' �]'65 � � �� � �

���� � � � ! 7�(*� � #$¤

5.7.4. Sums containing Pm(ϕ(k, z))

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L j S � � � � �&�  �¡ = ��� 'I@CB

2.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L j S � ¢ � � �&�   ��3 £ �&� S F 7� G S � S l � 3 ¢ = '8> � @CB3.

������� ��3 ¢ � � J ' $ L j SEa � � � � � �&�  � £� � � F 3 � � G � S�� ��� � �� a � J '65 1 L "� $ 5n'�! % � £ �&� � � � a � a 1� S - � � �Q� ¤

4.������� �43 ¢ � � J ' $ L j S � / � ���   ��3 ¢ � S �� S J 1 L � (J 1 L (

� S l � = '8> � @CB5.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � -21� j SEa 1 � / � ���   ��3 ¢ � S �� SEa 1 J & L � (J & L ( � S l �

3 �43 ¢ � S J & L (� % � = '8> � @B6.

������� �43 ¢ � � J ' $ L j S � / ¢ � � � �   ��3P�&� S J 1 L � (J 1 L (� S l � = '8> � @CB

7.����� 1

�( 7�! "� 7<5 $ � J ' $ L j SEa 1 � / ¢ � � � �   ��3��V�&� S � % J & L � (��� � 5_7X! % � S l � 3 ¢ = '8> � @CB8.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � S j S:F ¢ � �$ G   �43 ¢ � S ��� � S l � 3 J 1 L (� % � £ �&� S = '8> � @CB

3�,9:

Page 348: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� �������� ����� ��� � ������� ��� & ' ���9.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � � � �&� S j S )+* �$ 5 � ,   F 7� G S � S l � 3 � S = '8> � @CB

10.����� 1 ��3 ¢ �

� J ' $ L�� � � �&� SEa 1� j SEa 1 )+* �$ 5 � ,   / � F � � G S � S l �3h� SEa 1� = '*> � @CB11.

����� 1 ��3 ¢ �� J ' $ L � � 3h�&� S j S F $ 5 �$ (8� G   ��3 ¢ � S �?� � S l � 3h� S = '8> � @�B

12.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $�L � S j S F �� $ G   F 7��G S � S l � 3 J 1 L � (��� � ! % � £ �&�� S = '8> � @CB13.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � SEa 1� j SEa 1 F �� $ G   � F � � G S � S l �

3 J & L � (��� � 5_7�! % £ S � SEa 1 = '8> � @B14.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � S j S:F#" ¢ � �$ G   ��3 ¢ � S �?� � S l � 3 J 1 L � (��� � ! % � �#�&� S

= '*> � @CB15.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L $ ( & �� �� $ 5n� j SEa 1 F�" ¢ � �$ G   �43 ¢ � S �_� � S l �

3 J & L � (��� � 5_7X! % � �V�&� S = '8> � @B16.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L�� � � �&� S j S ) * $$ 5 � ,   �43 ¢ � S �_� � S l �

3 J 1 L (� % ��3��&� S = '8> � @CB17.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � -21� � � � �&� SEa 1� j SEa 1 ) * $$ 5 � ,

  ��3 ¢ � S �_� � S l � 3 J & L (� % �43��&� S = '*> � @CB3�,<

Page 349: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� <�� ;18.

����� 1 ��3 ¢ �� J ' $ L � S � j S F $ 5 �� � $ � G   ��3 ¢ � S F 7� G S � - S � � S l �

3 J 1 L (� % � S � = '8> � @CB19.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � S � �� � � �&� S � j S ) � $ 5 �� � $ � $ 5 �]! ,   3h� S J 1 L (� %� �43 ¢ � � �_�i��� � S -;� J 1 L ( "�'� � (*'�! % � S -;��� ��� � �� a � ��')( � ! � "� $ 5n'�! % �(��]! ")"

J ')( � 5 1 L "¤

5.7.5. Sums containing Pk(ϕ(k, z))

1.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L f � � � f�� �O� �&- � -21 � � � � �&� � � j � F � $ 5 �� � $ � 5 $ � G  3 � �&-21 � � � � ( m � � � ' �' m 5 � j � F � � ( m ���� � � ( m � � G ¤

2.������� �43 ¢ � � J ' $�L � � f-� ¢ � �&- � � -21 � � f�� ��� ¢ � � �

Y j � ) � $ m 5n� 5n�� � � $ m 5_7�!A� $ m 5 � 5_7�! ,   J 1 L�' �( �]! '' % ��' m 5_7�! ¤5.7.6. Sums containing products of Pm(ϕ(k, z))

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L&� j Sg� � � � �&��  �¡ = � ��� 'I@CB

2.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L � S j S:F#" ¢ � �$ � " �$ GTj S:F#" ¢ � � $ 3 " �$ G ��_� ��3 ¢ � S � S l � 3 J 1 L � (� � % ! � ��3��#�&� S = '*> � @CB

3.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L � S j SEa 1 F#" ¢ � �$ � " �$ GTj SEa 1 F#" ¢ � �$ 3 " �$ G ��_� ��3 ¢ � S � S l � 3 J & L � (� � % ! � ��3��#�&� S = '*> � @CB

3�,9L

Page 350: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� ����� ���� � � � � ��� ��� ����� � � ) ' ��� � ��� * ' ����5.8. The Chebyshev Polynomials Tn(z) and Un(z)

5.8.1. Sums containing Tm+nk(z)

1.������� J ' $ L � � � � �0�&�   � ¢ � £ � ��� � � ��� � � F 7,5 �4�� 7<5n� �4� 5 � � G ¤

2.������� J ' $�L � m ! "

J 1 L " F �7�(8��G � � � ��&�  � m ! '

J 1 L ' F 7<5 �7 (8� G � � N & �� (�' � 1 ( ' � 1;- ��- ��� &<- ��- ��1 ( m ( ' �V7 ( m ( ' � 1 ! � �,- �� a 1

#$¤

3.������� � � �0�&�   7� � � �0�&��� 7� ¤

4.������� � � 3 � O� � � ��&�   7� �M� � (:7�! � £�� ��0�� 3 ¢ ��� £� � � �0�&��3h� � �&-21 �0�&��= '*>?7R@CB

5.������� J �O'')( $ L � � ��&�  �£ �&-21 �� � � 7� J �O'' L ¤

6.������� 7��')( $ ! % ��'65 $ ! % � � �0�&�   ��� ��! � '�]���O'�! % � 7�]��' % ! � ¤

7.������� �43 ¢ � � J ' $�L � m ! "

J 1 L " � - � � � �0�&�

  � m ! 'J 1 L ' � - � �

¢ 3h� � � � N & ��� ( ' � 1 ( ' � 1;- ��- ��� &�- ��- ��1 ( m (*' �#7�( m (*' � 1 ! � �

W�W -Q1

#�

8.������� J ' $ L � m ! "

J 1 L�" �¢ 3h�� � - � � � ��&�

  � m ! 'J 1 L ' � � �

¢ 3h� � -;� � N & �� ( ' � 1 ( ' � 1;- ��- ��� &�- ��- ��1 ( m (*' �#7 ( m (*' � 1 !� ( � � " � #$ ¤

9.������� � � a 1 �0�&�   7� � �&-21 �0�&� = '8>?7A@CB

10.������� J �O'65_7')( $ L � � a 1 ��&�  �£ � �� � a 1 ¤

3�,9P

Page 351: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� L1� �11.

������� 7$ 5n'65_7 J �O'')( $ L � � a 1 ��&�   � � ' � � ' & ��O'65 7 ¤

12.������� � � 3 � �R� � � � � ¢ � � � a 1 �0�&�

  7� �M� � (:7X! � � £�� � ¢ � � � a 1 �0�&��3h� � � ��&�0� ¤13.

������� 7��')( $ ! % � $ 5n'65_7�! % � � a 1 ��&�   � � ' � � ' & ����O'65_7X! % ¤14.

������� �43 ¢ � � � $ 5_7��')( $ ! % � $ 5n'65_7X! % � � a 1 ��&�   � � ' ���� '�! % � ¢ 3h� � � ¤15.

������� J ' $ L � m ! "J & L " � ¢ 3h��O� - � � � a 1 �0�&�

  � m ! 'J & L ' � � a 1 � ¢ 3h� � -;� � N & �� ( ' ��(�')( 1 � 1;- � - ��

� &�- ��- ��1 ( m (*' �#7�( m (*' � 1 !� ( � � " � #$

¤

16.��� ��� ��3 ¢ � � � m ! "��')( $ ! % ��� $ 5_7X! % F �� G � � � a 1 �0�&�

  � m ! '���O'�! % � 1A- � ) 7�(*� �� , � � N & ��� ( ' � 1 (*' � &�- ��- ��� � - ��- ��7 ( m ( ' � & ( m (*' � & ! � �

W�W -Q1

#�

17.������� �43 ¢ � � �C7,5 m 5n'�! "��')( $ ! % � $ 5n'65_7X! % �C7 ( m ( '�! " � � a 1 ��&�

  7�]� m 5n'�!A� m ! �' � � � a 1 �0�&� ¤18.

� ��� �������� ��3 ¢ � � J ' $�L � m ! "�C7 ( m ( '�! " � �&- � ��&�   ' %�]� m ! ' � �� ��&�� �( 7�!�� ' ���� � � ��� �� l �� '� � � �

� m ! � ' ����C7 ( m (*'�!� ' ���

¤

19.� ��� & ������� J ( �& L)"$&% � �&-!& � ��&�   � '� j + -I��� & lC- ��� & .� F � ��(87

� G� 7� � & � ��� & � l � J ( �& L � ' ���� � & � % ¤

33N

Page 352: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� �������� ����� ���� � � � � ��� ��� ����� � � ) ' ��� � ��� * ' ����20.

� ��� ���� ��� �43 ¢ � � J 1 (*' L "$&% ���O')(*� $ 5_7X! � �&- � � a 1 ��&�   �( �O! ' ��O'65_7Qj + 1� lC-;�&-21� .� � ¢ 3 �#��O� ¤21.

������� J � $ L � SEa �&- � ��&�   � £ �&� S � � ��&� ¤22.

������� J �O'65_7� $ 5_7 L � £ �&� - � � �&- � � � a 1 �0�&�   �O'65_7� � ' � � '#" � � � �0�&� ¤23.

������� J �O'� $ L �� ']" � " (:7���O�]! � " � �&- � � � �0�&�   '��� ��! � ']" � � 1A- � � �&-21 ��&� = '8>?7A@CB

5.8.2. Sums containing products of Tm+nk(z)

1.������� �43 ¢ � � J ')( 1 L�"��')( $ ! % � $ 5:'�! % J & (*' L " � � � �0�&��

  7�]��' % ! � � 7� J ( 1 L ' J 1 L ' � j � �0�&��3h� j �&-21 ��&�0� = '8>?7A@B2.

������� �43 ¢ � � � � a 1 ) * 7�(8�� , � � a 1 ) * 7<5 �� ,  �43 ¢ � � a 1 ��'65_7X! �� '65 � � � a & ) * 7�(8�� , � � a & ) * 7,5 �� ,� ��3 ¢ � � ��'65_7X!A��'65n� !�]���O'Q5 � ! � � a & F � ¢ 3h� G

� 7� � 7�(8� � �¢ 3 N 1 � (�')(*� ��'65_71 ! 7�(8� � � � ¤

5.8.3. Sums containing Tn(ϕ(k, z))

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L � ST� � � � �&�  �¡ = ��� 'I@CB

2.������� ��3 ¢ � � J ' $�L � SEa � � � � � �&�

 �£ �&-21 � � � � � � �;��3P�&� � S�� ��� � �� a � ��� ��! "$ 5n'�� � a �S - � � �Q� ¤3.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � S � S:F ¢ � �$ G   ��3 ¢ � S �_� � S l � 3 £ S -21 � S = '8> � >?7A@CB

331�

Page 353: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� L1� 54.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � S � / � ���   ��3 ¢ � S �?� £ S -21 �� S � S l � = '8> � >?7A@CB5.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � -21� � SEa 1 � / � � �   �43 ¢ � S £ S �� SEa 1 �_� � S l � 3 �43 ¢ � S � £�� ¢ � � = '*> � @CB

6.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L � S � S F �� $ G  ��?� � S l � 3 £ S -21 � S = '8> � >?7A@�B7.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � SEa 1� � SEa 1 F �� $ G  ��_� � £�� � ¢ � � � S l � 3 £ S �� SEa 1= '*> � @CB

8.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L � S � S:F�" ¢ � �$ G   �43 ¢ � S �_� � S l � 3 £ S -21 � S = '*> � >?7R@CB9.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $�L $ ( & �� �� $ 5n� � SEa 1 F#" ¢ � �$ G   ��3 ¢ � S �?� � S l � 3 � �#�&� S = '*> � @CB

10.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $�L � � � �&� S � S ) * �$ 5n� ,  ��_� � S l � 3h� S = '8> � @CB11.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � � � �&� SEa 1� � SEa 1 )+* �$ 5 � ,

  �43 ¢ � SEa 1 �_� � £�� � ¢ �A/ � � S l � 3h� SEa 1� = '8> � @CB12.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L�� � � �&� S � S ) * $$ 5n� ,   ��3 ¢ � S �?� � S l � 3 ��3P�&� S = '*> � @CB

13.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L � -21� �� � � �&� SEa 1� � SEa 1 ) * $$ 5 � ,   �43 ¢ � S �?� � S l �3 � £� � ¢ �X��3P�&� S = '8> � @B5.8.4. Sums containing Um+nk(z)

1.������� �

"$ 5 7 J ' $ L � � ��&�   � 7<5n� �4� 5 � � � ' �'65 7 � � F 7<5 � �� 7<5n� � � 5 � � G ¤33�,

Page 354: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� �������� ����� ���� � � � � ��� ��� ����� � � ) ' ��� � ��� * ' ����2.

������� �43 ¢ � � � � � ¢ � J �O'65:�')( $ L � � ��&�  �£ � � � � ¢ �R� ¢ 3h�&� � ¤3.

������� �43 ¢ � � $ 5_7��')( $ ! % � $ 5n'65n� ! % � � ��&�   � ']" ���� '65_7X! % � ¢ 3h�&� � ¤4.

������� � � " � m ! "��')( $ ! % ��� $ 5n� ! % � ¢ 3h�&� - � � � �0�&�  � � '#" � � m ! '��� '65_7X! % F 7<5 �7 (8��G � � N & �� ( ' ��( 1 (*' � &�- ��- �

�� � - ��- �

�7�( m (*' � & ( m (*' � & ! � �,- �� a 1#$¤

5.������� � m ! "��')( $ ! % ��� $ 5n� ! % F �7�(*� G � � � �0�&�

  � � '#" � � m ! '��� '65_7X! % F 7<5 �7 (8��G � � N & �� ( ' ��( ' ( 1 � &�- ��- ��

� � - ��- ��7�( m (*' � & ( m (*' � & ! � �,- �� a 1

#$¤

6.������� $ 5_7��')( $ ! % � $ 5n'65:�O! % ��� $ 5 7�!A��� $ 5 � ! � � �0�&�

  3 � " �� �J & L �' ��� '65 � ! � 7�(*� � -;�&-21� � a 1 ) * 7 (8�� , ¤

7.������� � � � ¢ � � m ! " � � ! "��')( $ ! % � $ 5:'g5:�O! % � � ( m ! " � � ( � ! " � � ��&�  � ']" � � m ! ' � � ! '��� '65_7�! % � � ( m ! ' � � ( � ! ' � ¢ � �&� � & N �� ( ' ��( ' ( 1 � � ( m ( �7�( m (*' �#7�( � (*' ! 1 a �

#$¤

8.������� �43 ¢ � � � � �0�&�   � � � ¢ 3 £ � � ¤

9.������� �43 ¢ � � � £!� � ¢ � � � �0�&�  3 7�O� � � ��3 ¢ � � � � � ¢ � � � a �0�&��3 �#��' 5h� ! %

J & L ' � - j + -!&4� lC-21� .� a � ¢ 3 £ �� � ¤10.

������� � $ 5 7��')( $ ! % � $ 5n'65_7�! % � � �0�&�   ��� ��! � '��� '�! % ¤333

Page 355: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� L1� 511.

������� � m ! "��')( $ ! % ��� $ 5_7X! % F �7 (8� � G � � � ��&�  � m ! '���O'�! % � £ �&�4 � � ¢ 3h�� � -;� � N & �� ( ' � 1 (*' � &�- ��- ��

� � - ��- ��7�( m (*' � & ( m (*' � & ! � ( � � " �#$¤

12.������� �43 ¢ � � J ' $�L � m ! "

J & L " � - �� � ��&�

  � m ! 'J & L ' � - � � ¢ 3h� � � � N & ��� ( ' ��( ' ( 1 � 1;- ��- ��

� &�- ��- ��1 ( m (*' �#7�( m (*' � 1 ! � �W

�W -Q1

#�

13.������� $ 5_7��')( $ ! % � $ 5n'65n�O! % � � a 1 �0�&�   � � ' � � '%& ����O'65 7�! % ¤

14.������� �43 ¢ � � $ 5_7��')( $ ! % � $ 5n'65n� ! % � � a 1 ��&�   � � ' ����O'65_7X! % � ¢ 3h�� � � ¤

15.������� � m ! "��')( $ ! % ��� $ 5n� ! % F �7 (8� � G � � � a 1 ��&�  � m ! '���O'65_7X! % �� � a 1 F �7�(*� � G � � N & �� (�' �V(�')( 1 � &�- � - � � � - ��- �7 ( m ( ' � & ( m (*' � & ! � ( � � " �

#$¤

16.��� ��� ��3 ¢ � � � m ! "��')( $ ! % ��� $ 5n� ! % F �� G � � � a 1 �0�&�  � � ' � m ! '���O'65_7X! % � 1A- � � ¢ 3h�� � � � N & ��� (�' �V( 1 (*' � &�- � - ��

� � - ��- ��7 ( m (*' � & ( m ( ' � & ! � �W

�W -Q1

#�

17.������� � £)� � ¢ � � m ! " � � ! "��')( $ ! % � $ 5n'65_7X! % ��� ( m ! " ��� ( � ! " � � �0�&�

  � m ! ' � � ! '��� '�! % ��� ( m ! ' ��� ( � ! ' � £ �&� � & N � (�' � 1 ( ' �]� ( m ( � ! � " �7�( m (*' �#7�( � (*' � ¤18.

� ��� ���� ���TJ ' $�L ' ( � $ 5 7')( $ 5_7 � �&- � �0�&�   � £ �&� � ¤19.

� ��� ���� ��� �43 ¢ � � � � 3 £)� � ¢ � � m (87�! "$9% ��')( $ 5_7X! % �C7 ( m ( '�! " � �&- � ��&�   7� m ! ' � �� �0�&� ¤3395

Page 356: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� �������� ����� ���� � � � � ��� ��� ����� � � ) ' ��� � ��� * ' ����20.

� ��� ���� ��� J '65_7$ L 7� � ( $ ! % � � (*'�! " � �&- � ��&�  3 £ S ��')(*� � ! %��'g5 7�! % ��3 � 3 ¢ � SEa 1 � ¢ 3h� � S � SEa 1�&- S �0�&� = � � � 'I@B

21.� ��� ���� ��� �43 ¢ � � � £�� 3 � � � ¢ � J ( ' ( 1 L "$&% � �&- � � �0�&�

  �43 £ � � � £� � ¢ � j + -21� lM1� -;� .� � ¢ 3 �V� � ¤22.

� ��� & ��� ��� ')( � $ 5_7$9% F]3 �O'65:�� G � � �&-!& � �0�&�   � j +�+ -;� . � & l + 1A-;� . � & .� F � �E(:7

� G ¤23.

������� � SEa �&- � �0�&�   � ST��&� � � ��&� ¤24.

������� J �O'65n�� $ 5n� L � £ �&� - � � �&- � � � a 1 ��&�   � � � ¢ �X� £ �&� 1A- � � � ��&� ¤25.

������� J �O'65_7� $ 5_7 L � � ']" � " (87���O�]! � " � �&- � � � �0�&�   �O'65_7� � ' � � '#" � � �&-21 �0�&� = '8>[email protected]. Sums containing products of Un(z)

1.������� � � � ¢ �X� � � ��&��   7� � 7�(8� � � � � � � £ � � � � ��&�0� 3 £ � � � ¢ �X� � � £ �4� � � �0�&� � � a 1 �0�&�� � � � ¢ � � � � a 1 �0�&�� � ¤

2.������� �43 ¢ � � J & 5h' L "��'8( $ ! % � $ 5h' 5h� ! % J & ( ' L�" � � � �0�&��

  � � ' ' % �C7E(_� � ! " ���� ' 5h� ! % J ( 1 L�' � j � �0�&��3 � j � a 1 ��&�0� ¤5.8.6. Sums containing Un(ϕ(k, z))

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L � S � � � � �&�  �¡ = ��� 'I@CB

2.������� �43 ¢ � � J ' $ L � SEa � � � � � �&�  �� � �43 £ �&� � S������ � �� a � � £ �&� � � � a � a 1S - � � �Q� ¤

33�;

Page 357: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� L1� :3.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � S � ¢ � � �&�  ���� ��3 £ �&� S � S l � = '8> � @CB4.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $�L � S � S F ¢ � �$ G   ��3 ¢ � S � � � ¢ � � � S l � 3 � £ �&� S = '8> � @CB

5.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L�� � 3h�&� S � S:F $ 5 �$ (8��G   �43 ¢ � S � � � ¢ � �i��� � S l �3 � � � ¢ �&� S = '8> � @CB6.

������� �43 ¢ � � J ' $�L � S � / � ���   �43 ¢ � S �_� � £ �&�4 S � S l � = '8> � @CB7.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $�L � -21� � SEa 1 � / � ���   ��3 ¢ � S �_� � £ �&�4 SEa 1 � S l �3 £ ��3 ¢ � S � � � ¢ �4� = '8> � @B

8.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $�L � S � S F �� $ G  ��?� � S l � 3 � £ �&�4 S = '8> � @CB9.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $�L � SEa 1� � SEa 1 F �� $ G  �£ � � � ¢ � � � � S l � 3 � £ �&� SEa 1

= '*> � @CB10.

����� 1 ��3 ¢ �� J ' $ L � S � S F#" ¢ � �$ G   ��3 ¢ � S �?� � £� � ¢ � � S l � 3 � �V�&� S= '*> � @CB

11.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L $ ( & �� �� $ 5n� � SEa 1 F�" ¢ � �$ G  �£ ��3 ¢ � S � � � ¢ � � � S l �3 £ SEa 1 � S = '8> � @CB12.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L�� � � �&� S � S )+* �$ 5 � ,   �43 ¢ � SEa 1 �?� � S l �3 � £� � ¢ � � S = '8> � @CB

13.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L�� � � �&� SEa 1� �� SEa 1 ) * �$ 5n� , �£ �43 ¢ � S � � � ¢ � � / � � S l � 3 £ �43 ¢ � S � � � ¢ �4� SEa 1� = '*> � @CB

33:

Page 358: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� � � ����� ����� ��� ��� ����� � � , ' ���14.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � � � �&� S � S ) * $$ 5 � ,   �43 ¢ � S �?� � £� � ¢ � � S l �3 �43��&� S = '*> � @CB

15.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L � -21� � � � �&� SEa 1� �� SEa 1 ) * $$ 5 � , �£ ��3 ¢ � S � � � ¢ � � � S l � 3 £ � � � ¢ �X��3��&� S = '8> � @CB

16. ������� �( 7�! "$ 5 7 J �O'$ L � � f�� ¢ � �&- � -21 � � � f�� ¢ � � �#� � � � � ) $ m 5_7

� � $ m 5_7X! � 5 � ,  �( ��! '���O'65_7X!A��� ' m 5_7X! ¤

5.9. The Hermite Polynomials Hn(z)

5.9.1. Sums containing Hm � nk(z)1.

������� �"��')( $ ! % ��� $ ! % � � ��&�   � �2(:7X! '���O'�! % � � 3 ¢ � � � � ) � * �

�2(:7 , ¤2.

�&-21������ ��')( $ ! '��')( $ ! % ��� $ ! % � � �0�&�   � £ �&�� � ������� "'��� ')(*� $ ! % � £ �&� - � ¤3.

������� J ' $�L � "� "� m ! " � � ��&�   �43 ¢ � � ' %� m ! ' � 1� -�� -;�� ���O� ¤

4.������� J 1 (*' L "��')( $ ! % ��� $ ! % � - � � � ��&�   J 1 L '' % � - � N & �� ( � � 1;- � ! ( � �1� � 1 � &�

#$¤

5.������� � m ! "��')( $ ! % ��� $ ! % ��3P�� � - � � � ��&�

  � m ! '' % � - � & N & �� (�' � 1�- ��- ��� &�- � - ��7 ( m ( ' � 1 ( m (*' � 1 !

� � � #$ ¤6.

������� J ' $ L J � '$ L -21 7��')( $ ! % ��� $ ! % � � �0�&�   ' %���O'�! % N � ( ' ��( '1 �V7 ! � � � ¤7.

������� � m ! "��')( $ ! % ��� $ ! % � � ! " � � �0�&�   � � ( m ! '' % � � ! ' N � (�' � m ! � �m ( � (*'65_7 � 1 � ¤33�<

Page 359: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� P1� �8.

������� �43 ¢ � � ']")"'&�( ��� $ ! % � � ��&�   �43 ¢ � � ��� ��! � '��� '�! % SEa 1 N S -21 � (�' � 1 ( ' �]���&B B B ���7��&B B B �#7 ! (�� " � � ¤

9.������� �

"��')( $ ! % ��� $ 5_7X! % � � a 1 �0�&�  �

" �� ���� '65_7�! % � � 3 ¢ � � a 1� � � a 1 ) � * �

�2(:7 , ¤10.

������� ��')( $ ! '%& ���')( $ ! % ��� $ 5_7X! % � � a 1 �0�&�   � £ �&� � a 1 ��� ��� "' & ����O')(*� $ 5_7X! % � £ �&� - � ¤11.

������� �43 ¢ � � � m ! "��')( $ ! % ��� $ 5_7�! % � - � � � a 1 ��&� �£ � m ! '' % � 1A- � & N & �� (�' � &<- ��- �

�� � - � - �

�7 ( m ( ' � & ( m (*' � & ! � � �#$¤

12.������� � m ! "��')( $ ! % ��� $ 5_7X! % ��3P�� � - � � � a 1 ��&�

 �£ � m ! '' % � 1A- � & N & �� (�' � &<- ��- ��� � - � - ��7 ( m ( ' � & ( m (*' � & ! � � �

#$¤

13.������� J ' $�L J �O'$*L -21 7��')( $ ! % ��� $ 5_7X! % � � a 1 �0�&�  �£ � ' %��� '�! % N � (�' �V(�'7�� & ! � � � ¤

14.������� J ' $�L � "

� "�" �� m ! " � � a 1 �0�&�   �43 ¢ � � ' % �� m ! ' �&4� -�� -;�� �0�� � ¤15.

������� J (�'<( 1 L)"��')( $ ! % ��� $ 5_7X! % � - � � � a 1 ��&� �£ J & L '' % � 1A- � N & �� ( � � 1;- � ! ( � �&� � �� � &

#$¤

16.������� � m ! "��')( $ ! % ��� $ 5_7X! % � � ! " � � a 1 �0�&�  �£ � � � ( m ! '' % � � ! ' N � (�' � m ! � �m ( � (*'65_7�� & � ¤

33L

Page 360: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� � � ����� ����� ��� ��� ����� � � , ' ���17.

������� �43 ¢ � � '#")"'&�(��� $ 5_7X! % � � a 1 �0�&�  �43 ¢ � � ��� ��! � ' & ����O'65_7X! %]SEa 1 N S -21 � (�' ��( 1 (*' �]���&B B B �]�7��&B B B �#7 ! (�� " � � ¤

18.������� J ' $ L � " � "� $ 5 � ! % � � a ST��&�   �43 ¢ � SEa � £ S � -;�&-21� SEa � ��� � ¤

19.������� J ' $ L � m 5 � ! "��� $ 5n� � ! % � � a S ��&�   �43 ¢ � S �M7�( m ! '� � 5n'�! % N � ( � (*' � mm (*' � 1 ! � � � ¤

20.������� J ' $�L � m 5 � ! "��� $ 5n� � 5_7X! % � � a SEa 1 �0�&�

 �£ ��3 ¢ � S �C7 ( m ! '� � 5n'�! % � N � ( � (*' � mm ( ' � & ! � � � ¤21.

������� J ' $ L � " � "� $ 5 � ! % � � a SEa 1 ��&�   �43 ¢ � SEa � £ SEa 1 � � 1� -;�SEa � ��� � ¤22.

������� �43 ¢ � � J ' $ L ��� $ ! %� � $ ! % � � � ��&�  �� � ��� � � ! 'J 1 L � ' � �&-21� � ) � �� , ¤23.

������� �43 ¢ � � J ' $�L ��� $ ! %� � $ 5_7X! % � � � a 1 ��&�   � '%& � ' %J & L � ' �� � a 1 � � a 1� � ) � �� , ¤

24.� ��� �������� � " � "$9% ��� ')( � $ ! % � m ! " � �&- � � �0�&�   ���O�]! � '��� '�! % & N 1 � (�' � 1 ( ' � m ( 1� m (:7 ! ( � � " � � ¤

25.� ��� �������� � " � "$9% ��� ')( � $ 5_7�! % � m ! " � �&- � � a 1 ��&�

  ��� ��! � ' & ����O'65_7X! % & N 1 � ( ' ��( 1 (*' � m ( 1� m (:7 ! ( � � " � � ¤26.

������� J ' $ L � � "$ 5_7 F 7� 3 � G � � �&- � �0�&� j + � - � lM1 .� � �  � £ �&�� � & N 1 � ( ' � 1 (*' � � 5n�� ! ( � � " � � ¤

33P

Page 361: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� P1� ,27.

�������KJ ' $ L � � "$ 5 7 F]3 � 3 7� G � � �&- � a 1 ��&� j + � - � lM1 .� � �  � £ �&�� � a 1 & N 1 � (�' �&(�'*( 1 � � 5h�� ! ( � � " � � ¤

28.������� J � $QL � "��')( $ ! % � SEa �&- � ��&�   7' % � S ��&� � � ��&� � ����� ��� b�� � � � � �#�0� ¤

5.9.2. Sums containing Hm � nk(z) and special functions

1.������� J � '65_7� $ 5_7 L � �#�&� - � � �&- � � � a 1 ��&�   � '65_7� � '#" � � � '#" � � � �0�&� ¤

2.������� J � '� $�L �

� '#" � " (87� � �]! � " � �&- � � � ��&�   '� � �]! � '#" � � �&-21 ��&� = '8>?7A@CB3.

������� 7��� $ ! % ��'T( $ 5_7X! % � �0f63 � � � � �0�&�   7���O'65:�O! % � �fg3 � 3 ¢ �Y � � £ �&�� � a 3 � � a �0�&���� ��� ��! � '���O'�! % � m (*')(:7X! � N � (�' ��( '65 1 �V7��#7m (*' �]� ! ( � " � � ¤

4.������� 7��� $ 5_7X! % ��')( $ 5_7�! % � �0fg3 � � � � a 1 ��&�   7���O'65 � ! % � �fg3 � 3 ¢ �Y � � £ �&�� � a & 3 � � a & �0�&���� ���O�]! � '%& ���� '65_7�! % � m (*')(:7X! � N � ( ' ��( ' ( 1 �V7��#7m ( ' �]� ! (�� " � � ¤

5.������� �43 ¢ � � �C7 ( m ! "��� $ ! % � �0fg3 � � � � ��&�   �43 ¢ � � a 1 �C7 ( m ! "���O'�! % ��')( m 5_7X! � £ �&�� �

Y � �fT3 � 3 ¢ � � �fg3 � 3 ¢ � & N 1 � ( ' ��( 'g5 1 � m (*')(87 ! ( � " �m ( ' �� � N � (�' �V(�'65 1 � m (*')(:7�� m (*')(:7m (*' � m (*' ! (�� " � � � ¤

6.������� �43 ¢ � � �C7 ( m ! "��� $ 5_7X! % � �0fg3 � � � � a 1 ��&�

  �43 ¢ � � a 1 �C7 ( m ! '��� '65_7X! % ��')( m 5 7�! � £ �&�4 � a 1395�N

Page 362: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� �������� � � ����� ����� ��� ��� ����� � � , ' ���Y � �0fg3 � 3 ¢ � � �fg3 � 3 ¢ � & N 1 � (�' �V(�')( 1 � m (*')(:7m (*' ! (�� " � �

� � N � (�' �V(�')( 1 � m (*')(:7�� m (*')(:7m (*' � m (*' ! (�� " � � � ¤7.

������� �43 ¢ � � J ' $�L � ")" �� � 5_7�! " � � a � � / £ �&� � � ��&�   �( 7�! '� � 5_7X! ' � � a � � / £ �&� ¤8.

������� J ' $ L F �� � G � � � - � � / £ �&� � � ���A�&�   � � 3 �� � � � - � � / £ �&� ¤9.

������� � � ( ��

� (:7 � "��' ( $ ! % ��� $ ! % j �&- � � �Q� � � ��&� �£ � J 1 L '��' % ! � � � 3 ¢ � ��� N

��

� ( ' ��( ' ! � W ( � �W

��W -Q11 (*' � 1

#�

10.������� �

�(��

� (:7 � "��')( $ ! % ��� $ 5_7X! % j �&- � � �Q� � � a 1 ��&� �£ � a 1 J 1 L '��' % ! � � � 3 ¢ � ��� � N

��

� ( ' ��( ' ! � W ( � �W

��W -Q11 (*' � &

#�

11.� ��� ���� ��� 7��')( � $ ! % �(� 5 7�! " � c� ��3 ¢ � � �&- � �0�&�   �( 7X! '�(�P5_7�! ' � - c -;�� �0�&� ¤

5.9.3. Sums containing products of Hm � nk(z)1.

������� J ' $ L J ( 1� L

"��� $ ! % � � � ��&�0�   ��3��#� � � -21� -;� � �� � ¤2.

������� J ' $�L J ( 1� L"��� $ 5 7�! % � � � a 1 ��&��   �( 7X! ' � � '%& ��O'65 7 �� � 1� -;� � ��� � ¤

3.����� 1 �43 �A�

� J ' $ L � �&- � ���A�&� � � -21 ��&� �£ + �&-21 . � � � �43��A� � � � W � �� -;�&-21 � / £ ���E3 � �� � �

W � �� � ��&� � � ���A�&� ¤4.

������� J ' $ L � � � �Q� � �&- � ��&�   �43��V� � ��� � � � � � �� � ¤395)�

Page 363: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� P1� 55.

������� J ' $ L � �&- � a 1 � �Q� � � a 1 �0�&�   �43 ¢ � � £ � a ��� �Q� � � � � � �� � ¤6.

������� J ' $ L � �&- � � �Q� � � a 1 ��&�   �43 ¢ � � £ � a 1 � � � � 1� � � �� ��O� ¤7.

������� £ � J 1 (*' L "��� $ ! % ��')( $ ! % � � � �Q� � �&- � �0�&�   � � '' % � � � �� � � � � ) � � (�

�� � 5�

� , ¤8.

������� £ � J 1 (*' L�"��� $ 5_7X! % ��')( $ ! % � � a 1 � �Q� � �&- � ��&�  �( 7X! ' � � ' & �' % ���O'65_7X! � � � �� � � a 1� � � a 1 F ��

� 5 � � G ¤9.

������� £ � J ( 1 (*' L "��� $ 5_7X! % ��')( $ ! % � � a 1 � �Q� � �&- � a 1 ��&�  �( 7X! ' � � '%& � ���'65_7X! % � � � �� � � a 1� � � a 1 F ��

� 5 � � G ¤5.9.4. Sums containing Hn(ϕ(k, z))

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L � ST� � � � �&�  �¡ = ��� 'I@CB

2.������� �43 ¢ � � J ' $ L � S � / � ���

  �43 ¢ � S � £� � �i� � � £ �&�4 � S -;��� ��� � �� a � �( � � � ! "� � (*')( $ ! % ��� $ 5n� '�! % ¤3.

����� 1�( 7�! "� $ J ' $ L � SEa 1 � / � � �   �43 ¢ � SEa 1 £ SEa 1 F � � G S �� �43 ¢ � S � £� � ¢ � �i� � � £ �&� � a 1 S -;������� � �� a � �( � � � ! "� � ( ' ( $ ! % ��� $ 5n� '65_7�! % ¤

4.������� �43 ¢ � � J ' $ L � SEa � � / � � � � �

  �43��#� SEa � � � � � � � � � � � S������ � �� a � �(��]! "� $ 5:'�! % � � a �&-21� S - � � �Q� ¤395�,

Page 364: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� � � ����� ����� ��� ��� ����� � � , ' ���5.

������� �( 7X! "� $�5 � J ' $ L � SEa � a 1 � / � � � � �

  ��3 ¢ � SEa � £ SEa � a 1 � � � � � � � � � � S�� ��� � �� a � �( ��! "� $ 5n'�! % � � a � a 1� S - � � �Q� ¤6.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � S � S F �� $ G   3 � £ �&�4 S� � £� � �i� � � £ �&�4 S - � S -;��� ��� ��3 ¢ � � '"'&('� $ 5n'�! % ��� � (*�O')(*� $ ! % � £ �&� - � ¤

7.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $�L � SEa 1� � SEa 1 F �� $ G   3Q� £ �&�� SEa 1� � £� � ¢ � �i� � � £ �&�4 S - � a 1 S -;������� ��3 ¢ � � '"'&('� $ 5n'�! % ��� � ( �O')(*� $ 5_7X! % � £ �&� - � ¤

8.������� ��3 ¢ � � J ' $ L � � f�� �O� SEa � � SEa � F �� $ m 5 � G

  � " � ( ' % ��� � 5n� '�! %J 1 L ( f � � S S������ � �� a � J 1 ( � L "��'65 $ ! % � � ( $ ! % F � m� G � � S - � F �� � G ¤

9.������� �43 ¢ � � J ' $�L � � f�� �O� SEa � a 1� � SEa � a 1 F �� $ m 5 � G

  � " � ( ' % ��� � 5:�O'65_7X! %J & L ( f � � SEa 1�

Y S������ � �� a � J ( 1 ( � L "��'65 $ ! % � � ( $ ! % F � m� G � � S - � a 1 F �� � G ¤5.9.5. Sums containing Hm � nk(ϕ(k, z))

1.����� 1

� $ m ! " � $ m ( � ! ']")"�" ���')( $ ! % ��� $ ! % � � F �� $ G  �( 7X! ' � ']" �' % � � '���O'�! % ��' m ( � ! � � F ��" m

� G ¤2.

����� 1m " $ "'& �� � � $ m ( � ! ']")"�" ���')( $ ! % ��� $ 5_7X! % � � a 1 F �� $ G

  �#�( 7�! ' � '#" � �' % � m " �� � � '%& �� ����O'65_7X! % ��' m ( � ! � � a 1 FO��" m� G ¤

395�3

Page 365: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � ��� ��������� � ;�� P1� :3.

����� 1$ ']" �$&% ���O')(*� $ ! % � �&- � F �� $ G   ���O�]! � '#" ����O')(*� ! % = '8>?7A@CB

4.����� 1

$ '#")" � $ 5_7�! "�" �$&% ���O')( � $ ! % � �&- � F �� $ G   3 ���O�]! � '���O'�! % � �( 7X! '���O'�! % � � ���A�&� ¤5.

����� 1$ '#")"'& �� � � $ 5_7X! "�" �$&% ���O')(*� $ 5_7X! % � �&- � a 1 F �� $ G

  3 ��� ��! � ' & ����O'65_7X! % 3 �( 7�! ' ���� '65_7X! % � � a 1 ���A�&� ¤6.

����� 1$ '#" �� �$&% ���O')(*� $ 5_7X! % � �&- � a 1 F �� $ G   ��� ��! � ']" ���� ')(:7X! % = '8>?7A@CB

7.������� � $ m 5_7X! '#" ���')( $ ! % ��� $ ! % � � F �� $ m 5 7 G   ���O�]! � '��� '�! % ��' m 5 7�! ¤

8.������� � $ m 5 7�! ']" �� ���')( $ ! % ��� $ 5_7X! % � � a 1 F �� $ m 5_7 G   ���O�]! � '%& ����O'65 7�! % ��' m 5_7�! ¤

5.9.6. Sums containing products of Hm � nk(ϕ(k, z))

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L&� � ST� � � � �&��  �¡ = � ��� 'I@CB

2.������� �( 7�! " � $ 5_7X! '#" �� ���� $ 5_7X! % ���O'T(*� $ ! % � �&- � F �� $ 5_7 G � � a 1 F �� $ 5_7 G

  � � '%& ����O'65n� ! % � �� � a 3 � � � �� � � a 1 � � a 1 ) � � (8� �

� 5 � � , ¤3.

������� �( 7�! " � $ 5_7X! '��� $ 5_7X! % ���O'T(*� $ 5_7X! % � �&- � a 1 F �� $ 5_7 G � � a 1 F �� $ 5_7 G  � � '%& �

���� '65 � ! % � D � � a � �43 ¢ � � � � � �� � � a 1 � � a F ���

� 5 � � GIH ¤5.10. The Laguerre Polynomials Lλn(z)

5.10.1. Sums containing Lλ� nkm (z)

1.������� �(�'�! " ��'�! "$&% � $ 5 � ! % � �S �0�&�   �( ��! '� � 5n'�! % � �S -;� ��&� = � > 'I@CB

3955

Page 366: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ��������� � �#� � ��� ������� ��� ��� ����� � � . /' ���2.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � c a �S �0�&�   �43 ¢ � ��� c a �S -;� �0�&� = � > 'I@CB3.

������� J ' $ L $ �� � 5 � 5_7�! " ��3P�&� � � c a �S �0�&�  7� % � � 5 � 5_7�! ' ��� � 1 �

�� ��3 � � � � � � � 3 � � � � � � c a �SEa �&- � �0�&� ¤

4.��� ��� ��3 ¢ � � J ' $ L � m ! "�(�E5 � 5:7�! " � c a �S ��&�

  �(�E5n7�! ( �(� ( m 5n7�! '� % �(�E5n7X! ' N J ( � ��� ( m 58' 5:7 ! ���5*' 5n7���� ( m 5n7 L ¤5.

������� J ' $ L �(��]! "�(�Q(*'65_7X! " � c a �S ��&�   �43 ¢ � � � � 5n'�! %� % �( �&! ' � c -;�SEa � ��&� ¤6.

������� J ' $ L �( ��! "�(�P5 � 5_7�! " � c a �S ��&�   � � 5n'�! %� % �(�P5 � 5_7�! ' � cSEa � �0�&� ¤7.

������� J ' $ L � m 5 � 5n'�! "� m ! " �(�P5 � 5 7�! " �43��&� � � c a �S ��&�   �(� 5 7�! (� % N J ( � ( ' � m 5n'� 5_7�� m ! � L ¤8.

������� J ' $ L �(�g5 � 5h' 5 7X! "�(�g5 7X! " �(�65 � 5 7�! � " ��3�� � � � c a �S �0�&�  ' % � � 5h'�! % �(�g5 7X! (� % �(�g5 7X! ' �(�g5 7X! ( & ' � c� ��3��&� � cSEa � ��&� ¤

9.������� � c - �S ��&�   � cSEa 1 �0�&��3 � c -;�&-21SEa 1 �0�&� ¤

10.������� �43 ¢ � � J ' $�L � c - �S ��&�   � cS -;� �0�&� = � > 'I@CB

11.������� �43 ¢ � � J ' $�L �( �Q( � ! "�C7 (��Q(*'�! " � c - �S �0�&�   � '�(�9! ' � c a �S -;� �0�&� = � > 'I@CB

12.������� �43 ¢ � � J ' $�L �( �6( � ! "�C7 ( m ( '�! " � c - �S ��&�

  �(�P5_7�! ( � m (%�9! '� % � m ! ' N J ( � �#�6( m 5_7 ! �� 5 7 �#�6( m (*'65_7 L ¤395�;

Page 367: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��N1� ,13.

��� ����J ' $ L �('� ( � ! " � m 5 � 58'�! "� m ! " � - � � c - �S ��&�  �(��]! (� % & N 1 ^ ( � ( ' �]( � ( � � m 58'm ! (�� " � ` ¤

14.������� �43 ¢ � � J ' $ L �('�6( � ! "� m ! " � c - �S ��&�

  �(�P5 m 5 � ! ' �( �]! (� % � m ! ' & N 1 ^ ( � �V( �Q( � �#7 (��6( m ( �7�(%�6( m ( � ( ' ! ( � " � ` ¤15.

������� J ' $ L � � 3 d2� � � - � � c - �S �0�&�   � � 5n'�! %� % ��3P�&� -;��� c - �SEa � �0�&� ¤16.

������� J ' $ L �(��]! "�(� 5 � 5_7X! " � $ 5 7�! � c a �S �0�&�  � " �'g5 7 D��d � � � � c -21S �0�&��3 � � 5n'65_7X! % �� % �(�P5 � 5_7X! ' � c -21SEa � a 1 �0�&� H ¤

5.10.2. Sums containing Lλm � nk(z)1.

������� �"��')( $ ! % �(�P5_7�! " � c� �0�&�   � �I5_7X! '�(� 5 7�! ' � c� F �4��I5_7 G ¤

2.�&-21������ ��3 ¢ � � ��')( $ ! '��')( $ ! % �(�P5_7�! " � c� �0�&�   � '' % �(�P5_7�! ' ��� ��� � �� �43 � � � ��3 d)3 � � � � - � ¤

3.������� �43 ¢ � � ��� ')( $ ! %= ��')( $ ! % @ � �(�P5_7�! " � c� ��&�   N J ( ' ��(�' ! �� 5_7��#7 L ¤

4.������� � m ! "��')( $ ! % �(�P5_7X! " � - � � c� ��&�

  � m ! '' % � -;� & N & � ( ' � c - ��- � a 1 � c - ��- � 5_7 ! � �� 5_7��V( m (*'65_7��#�6( m (*'65_7 � ¤5.

������� �43 ¢ � � � m ! "��')( $ ! % � � ! " �(� 5 7�! " � c� �0�&�   � � ( m ! '' % � � ! ' N J (�' � m ! �m ( � (*'65_7��#� 5_7 L ¤6.

������� �('�6( '�! "��')( $ ! % �(�P5_7�! " ��3P�&� - � � c� ��&�  �(�P5_7X! '' % � -;� N & �� ( � � 1;- � ! ( � �c a 1 � c 5_7 �#�P5_7 #$ ¤395�:

Page 368: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ��������� � �#� � ��� ������� ��� ��� ����� � � . /' ���7.

������� ']")"'&�(�(�P5_7X! " � c� ��&�   �(��]! '' % �(�P5_7X! ' SEa 1 N S -21 ^ ( ' ��( ' (%� ��� �&B�B B ���7��&B B B �V7 ! (�� " � ` ¤

8.������� �( �6( '�! "��')( $ ! % �(�P5_7X! " ��3P�&� - � � c� ��&�

  �(�P5_7X! '' % � -;� N & �� ( � � 1;- � ! ( � �c a 1 � c 5_7 �#�P5_7 #$ ¤9.

������� �43 ¢ � � J ' $ L ��� $ ! %�(�P5_7�! � " � c � �0�&�   ' % ���O�]! '�(�P5_7X! � ' � c a �� F � �,G ¤10.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � c� a2S ��&�   ��3 ¢ � � � c -;�SEa � ��&� ¤11.

������� �43 ¢ � � J ' $�L � $ 5 � ! %�(�P5 � 5_7�! " � c� a2S �0�&�   � % � '�(� 5 � 5_7X! ' � c a �S �0�&� ¤12.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � m 5 � ! "�(�P5 � 5_7�! " � c� a2S �0�&�  �C7 ( m ! ' �(�P5_7X! (� � 5n'�! % N J ( � (*' � m ! �� 5 7 � m (*' L ¤

13.��� ��� � S� a2S �( �Q(*'�! "� $ 5 � ! % � � � c�&- � �0�&�

  �" (�(�P5n'65_7X! ( S������ �43 ¢ � � �C7 ( $ ��! ( & '$&% � � ( $ ! % � cSEa � F �7�( $ � G ¤

14.������� �( � ! "��')( $ ! % ��� $ ! % ��3Pd 3 � � � � cS - � ��&�

  �(��]! (� % ' % & N 1 �� ( � ��('�6( � �]'65 11 ! ( � " �#$ = � > 'I@CB

15.������� �( � ! "��')( $ ! % ��� $ 5_7X! % ��3 d 3 � � � � cS - � �0�&�

  �(��]! (� % ' % & N 1 �� ( � ��('�6( � �]'65 & & ! ( � " �#$ = � > 'I@CB

16.������� �43 ¢ � � J ' $ L � - S -21� S - � �0�&�   � - S -;�&-21� S �0�&� = � > 'I@CB

395�<

Page 369: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��N1� 317.

� ��� ���� ��� J 1 L "$&% � �&- � ��&�   �43 ¢ � � � "�'#" �� �' % � � � � F#" � � G � � a 1 F�" � � G ¤5.10.3. Sums containing Lλ

� nkm � pk(z)

1.������� �43 ¢ � � � m 5 $ ��! ']" ���')( $ ! % � m 5 $ ��! " � c a � �� ��&�   �( 7X! 'm 5n' �65n')(:7 � c -�� -;� a 1� �0�&� ¤

2.������� �( ��! "��')( $ ! % �(�P5_7�! " � �65_7�! " � c a � a �� �0�&�   ' %�(�P5_7�! ' � �65_7X! ' � c� �0�&� � �� ��&� ¤

3.������� �43 ¢ � � � m ! "��')( $ ! % �(� 5 7�! � " � c a �� �0�&�

  � m ! '' % �(� 5 7�! � ' � � & N 1 ^ (�' �V( �6( �O' � m (��Q(*'7�( m (*' ! � " � ` ¤4.

������� J ' $ L J '65 1 L "�(� 5 7�! � " �43��V�&� � � c a �� �0�&�  J '65 1 L '' % �(�P5_7X! � ' � £ �&� � & N 1 ^ ( �O' �V(�� ' ��('�6( �O'( � ' ! (�� " � ` ¤

5.������� � m ! "��')( $ ! % J m ( 'g5 1 L " �(�P5_7X! � " ��3��#�&� � � c a �� ��&�

  � m ! '' % J 1 ( m L ' �(�P5_7�! � ' ��3��#�� � � & N 1 � ( �O' � 1 ( m (*' �V('�6(*� '7 (*� m (*�O' ! ( � " � � ¤6.

������� J 1 ( m L)"��')( $ ! % �C7�( m (*'�! " �(�P5_7X! � " ��3��#�&� � � c a �� ��&�  J 1 ( m L '' % � m ! ' �(�P5_7X! � ' ��3��V�� � � & N 1 ^ (�� ' � m ( ' ��('�6(*� '� m ( �O' ! ( � " � ` ¤

7. ������� � m ! "��')( $ ! % J m ( 'g5 1 L " �(�P5_7X! � " ��3��#�&� � � c a �� ��&�

  7' % N � (�� ' �]� m ! �m (*'65 1 ���P5_7 � ¤395�L

Page 370: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ��������� � �#� � ��� ������� ��� ��� ����� � � . /' ���8.

������� J ' $ L J � 5n'65 1 L "$&% �(� 5 � 5_7X! � " � �#�&� � � c a �� a2S �0�&�  �(�P5_7�! (� % N J ( � (*�O' � � 5n�O'65_7� 5_7 �#�P5_7 ! � L ¤

9.������� J ' $ L � c a �S - � �0�&�   � c a �S ��&� = � > 'I@CB

10.������� �( � �]! "��')( $ ! % ��� $ 5_7X! % � c a �S - � �0�&�   �(�P5_7�! (� % ' % N

�� ( � ��'65 & & �#� 5 7 ! �#$¤

11.������� J ' $ L 7$ 5n� � c a �S - � �0�&�  7��'65_7�! ��'65n�O! � � c - SEa ��&� � � � � ¢ � � c a �SEa 1 �0�&��3 � c a �&-21SEa �0�&� � = � > 'I@CB

12.��� ��� � S� a2S �

"� $ 5 � ! % � c a ��&- � ��&�   ��3 � � - S S�� ��� �( 7�! "$9% � � ( $ ! % � c - SSEa � �0�Q3 � � � ¤13.

������� J ' $�L � � � c a �S - � �0�&�  ���� ����� 1 "

���')( $ ! % � c a �S - � ��&� = � > ' ! � >�@CB

14.������� J ' $ L � � 3 � � � � � � c a �S - � ��&�   �43 ¢ � � � � 3 � � � �43Pd 3 � � � � cS -;� ��&�= � > 'I@B

15.������� J ' $ L �( �]! "�(�6( 'g5 7�! " � c a �S - � ��&�   �(� 5 7�! (�(�6( 'g5 7�! ( � c -;�S �0�&� = � > 'I@CB

16.������� �( � �]! "��')( $ ! % ��� $ ! % � � a � -21� S - � �0�&�   �43 ¢ � S J '65 1 L (��� � ! % ' % � ST�0/ ��� ¤

17.����� 1

� $ 5 ��(� 5 � 5_7X! " ��3��&� � � c a �S - � �0�&�  3�� � c a 1S -21 �0�&��3 �( ��! '%& ��(�P5 � 5_7�! ' � c a � a 1S -;�&-21 ��&� = � �_'8>?7A@B

18.������� �( � �]! "��')( $ ! % ��� $ 5_7X! % � c a �S - � ��&�   �(�P5_7X! (� % ' % N

�� ( � ��'65 & �P5_7�� & ! �#$ = � > 'I@CB

395�P

Page 371: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��N1� 319.

������� J ' $ L� ")" �( �Q(*� � ! "

J 1 (��Q(*� � (*' L " � c a � S - � ��&�  � � (��� � ! % & N 1 ^ (�� � �V( ���6( � � �V( �6( � � (*'( ���Q( � � (*� ' ! (�� " � ` = � > 'I@B

20.������� �

"��')( $ ! % � c - �� �0�&�   � � � c -;�� F �Q3 7� G ¤

21.������� �0fI� � �43��&� - � � c - �� �0�&�   � m ! ' �( �&! '' % � -;� N J (�' �V( m ( ' ! �7�( m (*' ���Q(*'65_7 L ¤

22.������� �43Pd 3 ¢ � � ��3P�&� - � � c - �� ��&�   �43Pd2� � �43��&� -;��� c -;� a 1� ��&� ¤

23.������� � �&- � a 1S ��3P�&� - � � c - �� �0�&�   �( �&! '' % � -;� S N S J (�' ��� �&B B�B ��� ! ��Q(*'65_7 �#7��&B B B �#7 L ¤

24.������� 7��')( $ ! % �C7 (��Q(*'�! " � c - �� �0�&�   � '' % �(�9! ' ¤

25.������� �( 7X! "��')( $ ! % �(�Q(*'65_7X! " � c - �� �0�&�   �( ��! '' % �( �&! ' & N � � ( � � 1;- � �V( �� � " � � ¤

26.�&-21�� ��� ��')( $ ! '��')( $ ! % � - � � c - �� ��&�   �( �&! '' % ��3P�&� -;� ��� ��� � �� �(�'�! "�(�Q(*'65_7X! " �43��&� � ¤

27.������� � m ! "��')( $ ! % � � ! " � - � � c - �� ��&�   � � ( m ! '' % � � ! ' & N 1 ^ (�' � m �V( � ! (�� " �m ( � (*'65_7 ` ¤

28.������� � ")"��')( $ ! % � m ( $ ! � c - �� �0�&�

  �( �&! '' % � m (*'�! ��3P�&� -;� N J (�' �#7 ! �m (*'65_7 �#�Q(*'65_7 L ¤29.

������� � ")"��')( $ ! % � $ ( m ! � �&- �� ��&�   ' %�( m ! ' & � ��3P�&� -;� � � -;�� �0�&� ¤30.

������� J 1 ( m (*' L�"��')( $ ! % J & (*' L " � - � � c - �� ��&�   J m 5 1 L�' �('�9! '' % J ( 1 L '�( ��! "�'� m

Y � � £ fg3 ¢ � N � (�' � m ! �m ( 1 �#�6(*'65_7 � � N � (�' � m ! �m 5 1 �#�6( 'g5 7 � � ¤3�;9N

Page 372: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ��������� � �#� � ��� ������� ��� ��� ����� � � . /' ���31.

������� J ( �Q( 1 L "��')( $ ! % J & (*' L " � - � � c - �� ��&�  �( �&! ' �(��]! "�'�#�(�Q(*'65_7X! J ( 1 L ' ��� £ d � ¢ � � c -;�&-21� � ��&� � � c -;� a 1� � ��&� � ¤

32.������� J ' $ L � c - �� a2S �0�&�   � cSEa � �0�&� ¤

33.������� J ' $ L �fI� � � - � � c - �� a2S ��&�

  � � ( m 5_7�! ' �(��]! (� � 5n'�! % & N 1 ^ ( � (*' � m ( � �V('�6( �m ( � ( ' ! (�� " � ` ¤34.

������� J ' $ L�� � 3 d2� � � - � � c - �� a2S ��&�   �(�P5_7X! ( �('�9! ' � "�'�(�6(*'65_7X! ( � c - �SEa � �0�&� ¤35.

������� J ' $ L �( �Q( � ! � "J 1 ( � (*' L�" � �#�&� - � � c - �S - � ��&�

  �( ��! (� % & N 1 ^ ( � � ��( � (*' �V('�6( �( � � (*�O' ! ( � " � ` = � > '8>?7A@CB36.

������� J ' $�L ��� $ 5 �&!A�(�9! "�(� 5 � 5_7X! " �(�P5n'65_7�! " � � � c a �S - � �0�&�   �(�&! ( & ��(�P5n'65_7�! ( � c a �S ��&�= � > 'I@B37.

������� � "�(� 5 � 5_7X! " � c a �S - � �0�&�   �(� 5 7�! (� %Y ��

N �� ( � � c ! �� � c 5_7 #$ 3 �( � ! ' & � �( ��! '%& ��(�P5_7X! � ' & � N

�� ' ( � 5_7���'g5 c 5_7 ! �� '65 � 5:� ��'65 c 5n� #$���= � > 'I@�B

38.������� J ' $ L J ( �

W� L "

J 1 ( � (*' L " � � 5 � 5_7�! " � c a �S - � ��&�  �(�P5_7�! (� % N J (�� � �V( � (*' ! �(�� � (*� ' �#� 5_7 L = � > 'I@CB

39.� ��� �������� J � L

� "$9% � m ! " � c a ��&- � ��&�   �(� 5 7�! '' % N � ( ' � m ( 1 ! � �� m (:7��#� 5_7 � ¤3�;��

Page 373: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��N1� 340.

������� �43Pd2� � ��3P�&� - � � c - �� �0�&�   �('�9! � '' % � -;� N �� (�' � c (*' ! �c ( 'g5 7 �#�6( �O' #$ ¤

41.������� J ')(��Q( 1 L�"��')( $ ! % F]3 �� � G � � c - �� ��&�   F 7� G � F �� G � � c - �R� a 1 � ��&� ¤

42.������� J 1 ( m ( ' L " �('�9! "��')( $ ! % �C7 ( m ( �O'�! " F]3 �� � G � � c - �� ��&�

  ��� m ! � ' �('�9! � '' % � m ! � ' � - � N J (�� ' � m ! �� m �#�6( �O'65_7 L ¤43.

��� ��� �( �9! "��'g( $ ! % � m ! " � - � � c - �� ��&�  �( �9! � '' % � m ! ' ��3P�&� -;� & N & �� (�' � � a c -�� � � a c -�� a 1 ! �c a 1 ( ' � c ( ' 5n7�� m 5 � ( ' #$ ¤

44.��� ��� ��' ( �&! "��'Q( $ ! % � � � c - �� ��&�

 ���� ��3 � � ��� c - �� ) � ����( �� 5 �4� ���� � , � c - �� ) � ���,5 � � 5 � � ���� � , ¤

45.������� � £)� 3 d2� �('�9! " � ")"��')( $ ! % ��')(��P5_7X! " � c - �� ��&�   �( �&! '%& �' % �43��&� -;� ¤

46.������� J m 5n')( 1 L)" �( �&! "��')( $ ! % � m ! " F]3 �� � G � � c - �� ��&�

  7' % & N 1 ^ ( �O' ���O'65n� m (:7��V( �m ! (�� " � ` ¤47.

������� ���O')( � $ 5 m !A�('�9! "��')( $ ! % �C7 ( m ( '�! " � - � � c - �� �0�&�  �('�9! � ' m � "�'' % � m ! ' & N & �� (�' � c - � (*' � c - � a 1 (*' ! �c a 1 (*' � c (*'65_7��#�6( m (*�O'65_7 #$ ¤

48.������� � £)� 3 d2� �C7 ( m (*'�! " �( �&! "� m (%� 5n'�! " �43��&� - � � c - �� ��&�

  � m ! ' �( �&! � ' & � � m (%�9! '' % � m (��&! � ' ��3P�&� -;� N J (�' � m (:7 ! �m �#�Q(*�O' L ¤3�;,

Page 374: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ��������� � �#� � ��� ������� ��� ��� ����� � � . /' ���49.

������� � $ (���(�6(*� $ ! � (:7 �( �9! "��')( $ ! % ��')(��P5_7X! " � - � � c - �� ��&�  �( �&! '%& �' % � �(�Q(*�O'�! � (:7 � ��3P�&� -;� N � (�' �#7 ! �c a 1 ( ' � c a & (*' � ¤

50.������� J 1 ( m L " �('�9! "��')( $ ! % �C7 ( m (*'�! " F]3 �� � G � � c - �� ��&�

  J 1 ( m L ' �('�9! � '' % � m ! ' F]3 �� � G � N J ( �O' � m (*' ! �� m (*� ' ���Q(*� '65_7 L ¤51.

������� �( �&! "��')( $ ! % � m ! " J & ( m (%�6(*' L " £ - � � c - �� ��&�  �C( �&! '' % � m ! ' J m 5 �6( 1 L ' F �� G � & N 1 � (�' ��� m 5 � 5:' (87 ��� ( � m (%�6(*'�6( 'g5 7 ! ( 1� � ¤

52.������� �C( �&! "��')( $ ! % �C7 ( m (*'�! " J m (��P5 1 L�"

£ - � � c - �� ��&�  �( �&! '' % � m ! ' J m (��P5 1 L ' F �� G � & N 1 ^ (�' �]� m (��P5n' �#�6( � m ( '65_7�Q(*'65_7 ! (�� " � ` ¤

53.������� � £!� 3 d2� � m ! " � � ! " �( �&! "��')( $ ! % �C7 ( m (%�9! " �C7 ( � (��&! " ��')(��P5_7X! " � - � � c - �� ��&�

  � m ! ' � � ! ' �('�9! ' & �' % �C7 ( m (��&! ' �C7�( � (��&! ' ��3P�&� -;� N J ( ' �V7 ( m ( � (%� ! �7 ( m ( ' �V7 ( � (*' L ¤54.

������� J ' $�L J ( �W� L "

J 1 ( � (*' L " � � 5 � 5_7�! " � c a �S - � ��&�  �(� 5 7�! (� % N J (�� � �V( � ( ' ! �( � � (*�O' �#�P5_7 L = � > '8>?7A@CB

55.������� J ' $�L F � � � � 7��G � ��3 d 3 � � � F]3 �� � G � � c - �� a2S ��&�

  �(��]! (� % & N 1 ^ ( � ( �O' � � 5n� '65_7���('�6( �� 5 7 ! ( � " � ` ¤56.

������� J � $$ L 7��')( $ ! % �(�P5_7X! " � c - � � �0�&�   7�(�P5_7�! ' � � c� ��&� � = = � � @��&� � � � !C@CB3�;93

Page 375: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��N1� 357.

������� �C7 ( m (*'�! "��')( $ ! % �(�P5_7�! " � - � � c - � � ��&�  � m ! ' �( �

! '���O'�! % � -;� N J (�� ' �V7 ( m (*� 'm ���Q(*'65_7 ! (�� L ¤58.

������� J ' $�L J �P5n'65 1 L "�(� 5 7�! " £ � � c - � � �0�&�  J �P5 1 L � '����� 5_7X! � ' � � �]! � '���O'�! % & N 1 ^ (�� ' ��('�6( �O' �V(����6(*� '(����6( � ' ! (�� " � ` ¤

59.������� �C7 (*� m (*'�! " J 1 L "��')( $ ! % �C7 ( m (*'�! " � � 5_7X! " � - � � c - � � ��&�

  ��� m ! ' �( �&! '' % � m ! ' �43��V�&� -;� N & �� ( ' � 1 ( m ( ' ! � W�m 5 1 � c - � a 1 � c - � 5_7 #$ ¤60.

������� �Q( � $��')( $ ! % J 1 L " J ( c L " J '65 1;- c L "J 1 (*' L " J ')( c 5_7 L " F �� G � � c - � � � ��&�

 �£ ��3 ¢ � � a 1 ' % J ( c L '%& �J 1 L ' F �� G � D � + c -21 . � - �� F � �,G9H ¤61.

������� J �O'' ( $<L � £)� � � � - � � - � � � �0�&� �£ �R�&-21 � £� � � � - ��� - �&-21� � F � ��G 3 7� J � '' L ¤

62.������� J �O'65_7')( $ L�� £)� � ¢ � � � - � � - � � - � a 1 �0�&�

 �£ �R� a 1 � £�� � ¢ � � � - ��� - �&-!&4� � a 1 F � � G ¤63.

������� J ' $�L �( �Q(*� � ! � "J 1 (��Q(*� � (*' L " � - � � c a � S - � �0�&�

  � � (��� � ! % & N 1 ^ (�� � �V( ���6( � � �V( �6( � � (*'( ���Q( � � (*� ' ! (�� " � ` = � > 'I@B64.

������� � � 5n')(*� $ ! %� � ( $ ! % ��')( $ ! % �(�P5_7X! " �� � � c a �SEa �&- � ��&�  �(�P5_7X! ( & '�(�P5_7X! ( �(�P5_7X! ' � cS �0�&� � c� ��&� = � > 'I@CB3�;!5

Page 376: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ��������� � �#� � ��� ������� ��� ��� ����� � � . /' ���65.

� ��� �������� � � � � d2� � m ! " J c L "$&% J c ( m 5_7 L " �(� 5n'65_7X! � " �(�9! � "'& � �� � � c a � ��&- � ��&�  �(� 5 7�! '' % N

�� ( ' � c a 1 ( m ! �c a 1 ���Q(*� m 5_7 #$ ¤66.

� ��� ���� ��� �43 ¢ � � � £�� 3 � � � ¢ � ��')(*� $ ! % J ( ' ( 1 L "$&% � � � � � - �&-21�&- � ��&� �£ � a 1 F 7� G � a 1 � -;�&-21� F � � G ¤

67.� ��� & ������� �0d � �)� � J c & L "$&% �(� 5n'65_7X! � " � & � � c a � ��&-!& � ��&�   �(�&! '%& �' % N

�� (�' � c & ! &���c � c a 1#$¤

68.������� �C7�( m (*'�! " J m 5n�O')( 1 L "��')( $ ! % �(� 5 7�! " F � ��G � � c - �& � ��&� 

� m ! ' J m 5:�O')( 1 L '� � '�! % �(�P5_7X! � ' � £ �&� � & N �� ( � ' � m ( 1 �#7�( m ( � ' �V('�6(*� '� m (:7��]� (*� m ( �O' ! ( ��

#$¤

69.������� � m ! " J ' ( m 5 1 L "��')( $ ! % �(�P5_7�! " F]3 �� � G � � c - �& � ��&�

 � m ! ' J ')( m 5 1 L ' �( �&! � '� � '�! % F�3 �� � G �Y & N & � ( � ' � m ( �O' � 1 ( m (*' ! � �� m ( � ' �V7 (*� m (*� ' ���Q(*� '65_7 � ¤

5.10.4. Sums containing Lλ� nkm � pk(z) and special functions

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L � � � � ¢ � � c� �0�&�

  ��3 ¢ � � � � � � � ¢ � � c -;�� ��&� � �&-21������ 7')( $ � c -;�� ��&� � ¤2.

������� �C7 ( m ! "�(�P5_7X! " � �fg3 � � � c� �0�&�   �C7 ( m ! '' % �(�P5_7X! ' ��')( m 5_7�! ��3P�&� �Y � � � 3hf-� ¢ � � �fg3 � 3 ¢ � & N 1 ^ (�' � m (*')(:7 �V('�6(*'m (*' ! (�� " � `

3 � N ^ (�' � m (*')(:7 � m ( ')(:7 �V('�6(*'m ( ' � m (*' ! (�� " � ` ¤3�;;

Page 377: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��N1� 53.

������� �( 7�! "��')( $ 5_7�! % �(�P5 7�! " � �0fg3 � � � c� ��&�  7�(� 5 7�! ' & � � �fg3 � 3 ¢ � � � ' & ���'65_7�! % � ��3 ¢ � � � c� a 1 ��&� � � '' % �(� 5_7X! ' � m (*')(:7X! � N � (�' ��('�6(*' �#7��V7 ! ( 1

�m (*' ��� � ¤4.

������� � ")"��')( $ ! % � �0f63 � � � c - �� ��&�   �('�9! '' % ��3P�&� -;� � �fg3 � �3 ��3 ¢ � � �( �&! '#" ���')(:7X! % � m ( '�! � 1A-;� & N & J 7 (*' �V7��#7 ! �m (*'65_7 �#�Q(*'65n���]� L = � >_'I@CB

5.������� � ")"��')( $ ! % � �0f63 £!� � � c - �� �0�&�   �( �&! '' % �43��&� -;�Y �

� �0fg3 £�� � � '2�� m (*� '�!A�(�Q(*'65_7�! & N & � 7�( ' �V7��#7 ! �� (*'65_7����Q(*'65n����� �� '2�� m (*�O'65_7X!A�(�Q(*'65_7X! & N & � 7 (*' �V7��#7 ! �

� a & (*' �#�6(*'65n����� � � ¤6.

������� �( 7�! "��')( $ ! % � �0fg3 �1� �&� � �&- �� ��3P�&�   ��3 ¢ � � � � "�'m (*' 1 N 1 J m ( �O' ! ( �m ( '65_7 L ¤7.

������� �( 7�! "$&% � ��d � ��� �&� � c -;� a ��&- � ��3P�&�   �( ��! '' % � ¢ 3 d2� � � ��d 3 �_� �&� ¤8.

������� �( 7�! "��')( $ ! % ����d � � 3 �1� �&� � c - �� ��3P�&�   �C7�(%�9! '�O' % � � ���0d 3 �_� �&� ¤9.

������� � "��')( $ ! % J �Q(*�O'65 & L � " � c - � a � a 1� � / £ � � � c� �0�&�  �( 7X! '' % J ( �Q( 1 L � ' � c a � a 1� � / £ � � ¤

10.������� � � 5 �

� (87 � " � "$9% j � � �Q� � c a ��&- � �0�&�  � "�' ��� '�! %��' % ! � ) � �

� (87��

� (:7 (� , � & N 1 ��� (�' ��( ' ��('�6(*'1 (*' ! � - �

�W -Q1 � �

�W -Q1

#�

3�;9:

Page 378: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ��������� � �#� � ��� ������� ��� ��� ����� � � . /' ���11.

������� � $ 5_7� $ 5n'65_7X! % � � j � � �Q� � � a 1�&- � ��&�   7' % � � F ��(��� G ¤

12.������� � $ 5_7� $ 5n'65_7X! % � � � j � � �Q�0� � � a 1�&- � ��&�   7' % N � ( ' � 17��#7 ! ��(

� � � ¤13.

������� � $ 5_7� $ 5n'65_7X! % � � � � a 1 � �Q� � � a 1�&- � �0�&�   �( 7X! '���� '�! % � � F � �63 � � G ¤

14.������� � $ 5_7� $ 5n'65_7X! % �43��&� � � � � �Q� � � a 1�&- � �0�&�   �( 7X! '���O'�! % � � � � / ��� ¤

15.������� �43 ¢ � � �('�6(*'�! "��� $ ! % � � � �Q� � c�&- � ��&�   �

� 5 ��! 'J �P5 1 L ' � c a 1� � F ��

� 5 � G ¤16.

������� �43 ¢ � � �('�6(*'�! "��� $ 5 7�! % � � a 1 � �Q� � c�&- � ��&�  �

� 5 �]! ' & �� �J � 5 1 L '%& � � c a 1� � a 1 F ��

� 5 � G ¤17.

������� �( ��! "� $ 5_7X! % j + � - � lM1 .� � � � c a ��&- � �0�&�   �(�P5_7�! '' % N J (�' � � 5n� ! �O����#� 5_7 L ¤5.10.5. Sums containing products of Lλ

� nkm � pk(z)

1.������� �( 7�! "��')( $ ! % �(�P5_7�! " � � c� �0�&��   �( 7�! '�(� 5_7X! ' J �O'' L � c -;� � �0�&� = = � � @ ��� � � ��� @CB

2. ������� �43 ¢ � � $&% � " � "���O')( $ ! % � � �&- � -21� � �0�&��   �( 7�! ' � � " � '� � ' �

� J 1 (*' L � -;�&-21� � � �#�&� ¤3.

������� �43 ¢ � � $&%��')( $ ! % � - � � c - �� ��&� � � - �� �0�&�  �43 ¢ � � � - � �('�9! ' �( ��! '' % & N & � (�' � c a � (*' � c a � (*'65_7 ! � ��Q(*'65_7 � �)(*'65_7����P5��)(*� '65_7 � ¤

4.������� $&%��')( $ ! % � - � � c - �� �0�&� � c - �� �43��&�

  �( �9! �'' % � - � N & �� ( � � 1;- � ! (�� �c - � a 1 � c - � 5 7 �#�6( 'g5 7 #$ ¤3�;<

Page 379: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��N1� ;5.

������� ��d 3 £!� � $&% �('�9! "��')( $ ! % ��')(�� 5_7X! " �43 �Q�&� - � � c - �� � �Q� � c - �� ��&�  3 �43Pd2� � a 1 � �Q�&� -;��� c - �� � � � �&� ¤

6.������� ��d 3 £!� � �('�9! � "��')( $ ! % ��')(�� 5_7X! " � - � � � c - �� �0�&� �

  3 �('�9! ' & � J 1 L '' % F �� G � � c - � � ��&� ¤7.

������� �( � ( '�! "�(� 5 7�! " � c� � �Q� � ��&- � ��&�   �(��]! '�(� 5_7X! ' j + c lC- c - � - �&-21 .� F ¢ � ��� G ¤

8.������� �43��:3 � � � �43 �Q� - � � c - �� � �Q� � ��&- � �0�&�   �( ��! '' % & N � J ( ' ��('� �V( �)(*'

" � � " � L ¤9.

������� � "�(�P5_7X! " � c� � �Q� � � a ��&- � �0�&�   � �65_7�! '' % 1 N J (�' ! � ��P5_7 � �65_7 L ¤10.

��� ��� � ")"��' ( $ ! % � c - �S �43��&� � � - �� �0�&�  �(��()'P5*7�! ( �( ��! '� % ' % ��3P�&� -;� N J ( � � �P587 ! ( ���(T'P587�� �Q()'P5*7 L ¤

11.������� �( �]! "$9% � c a �S ��&� � � - S -21�&- � ��3P�&�   �( �Q( � ! '' % � cS -;� �0�&� = � > 'I@CB

12.������� �( �]! "$9% � c a �S ��&� � c -;� a ��&- � ��3P�&�   �( 7X! '' % �43Pd 3 � � � � c -;�S ��&� = � > 'I@CB

13.������� �( 7�! "$9% ��3 d 3 � � � � c - �S �0�&� � SEa ��&- � �0�&�   J � 5:'� L � cSEa � ��&� ¤

14.������� �( 7�! "$9% ��3 d 3 � � � � c - �S �0�&� � � -;�&- c�&- � �0�&�   �( ��! '' % � c a �S ��&� ¤

15.������� �( �]! "$9% � c a �S - � �0�&� � � a ��&- � �0�&�

  �(�P5_7�! ( � �65_7X! '� % ' % � � N J �P5 � 5_7 � �65n'65_7 ! (��� 5 7 � �65_7 L = � > 'I@�B16.

������� �( �]! "$9% � c a �S - � �0�&� � c a2SEa ��&- � ��&�   J � 5n'� L � cSEa � ��&� = � > 'I@CB3�;9L

Page 380: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ��������� � �#� � ��� ������� ��� ��� ����� � � . /' ���17.

������� J � 5 $$ L � c - �SEa � �0�&� � � -;�&- c�&- � �43��&�   �(��]! '' % � c a �S -;� ��&� = � > 'I@CB18.

������� �( �]! "$9% � c a �S - � �0�&� � c -;� a ��&- � ��&�   J � 5n'� L � c -;�SEa � �0�&� = � > 'I@CB19.

������� J � 5 $$ L � c - �SEa � �0�&� � � - S - c -21�&- � �43��&�   �( �6( � ! '' % � cS -;� ��&� = � > 'I@CB20.

������� $9% �(�Q(*� $ !��')( $ ! % �('�9! "��')(�� 5 7�! " �43 �Q�&� - � � c - �� � �Q� � c - �� ��&�  3 �43Pd2� � a 1 � �Q�&� -;��� c - �� � � � �&� ¤

21.������� � £)� � d2� �(�&! "�(�P5n'65_7X! " F]3 � � G � � c a ��&- � � �Q� � - c - �� ��&�

  �(�9! ' & �' % F ¢ � � � G � ¤22.

������� � £)� 3 d2� � $&% ! � � m 5n'�! " �( ���&! � "��')( $ ! % ��� $ ! % �C7 (��P5n'�! " �C7 ( m (��Q(*'�! "Y � - � � c - �� �0�&� � c - �� �43��&�  ��� m ! � ' �( �&! '%& ����O'�! % � m ! ' � m 5 �9! ' � N �� (�' ��'65 m �V( c � 1;- c � 1 (��m 5 1 �V( � ! � � " �

#$¤

23.������� � £)� � d2� $&% �(�9! "�(�P5n'65_7X! " F 3 �

� G � � - c - �� ��3 �Q� � - c - �� � �Q� � c a ��&- � ��&�  �(�9! ' & �' % & N 1 � (�' � c � c a 1� ! � � " � � � ¤

5.10.6. Sums containing Lλ� nkm � pk(ϕ(k, z))

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L � cS � � � � �&�  �¡ = ��� 'I@CB

2.������� �43 ¢ � � J ' $ L � c� � � �&�   � � ¤

3.������� �43 ¢ � � J ' $ L � cS � � �&�   ' % �(� 5 7�! (� % �(�P5_7�! ' � � S -;��� ��� � �� a � J �$ 5:' L �( ��! "�(� 5:'g5 7�! " ¤

3�;9P

Page 381: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��N1� :4.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � S � cS F �$ G   ��3 ¢ � SEa 1 � (� %

� �43 ¢ � S ' % �(�P5_7X! (� % �(�P5_7X! ( "�' � S -;� S -;��� ��� � �� a � J �$ 5:' L � � 3 � 3 d2� � � - � = � > 'I@CB5.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � cSEa � � � � � �&�  �� � � � S������ � �� a � �(��]! "� $ 5n'�! % � c a � a �S - � � �Q� ¤6.

������� � $ m 5 � ! ']")"�" ���')( $ ! % F m � G � � c - �� � � �&�   7' m 5 � F m � G � � c -;�� F�3 � �m G ¤7.

����� 1$ "�" �$&% � � � c a ��&- � � � �&�   �(� 5:�O! ']" � ���')(:7X! % = '8>?7A@B

8.������� � $ m 5_7X! '#")"�" ���')( $ ! % � - � � c - �� � � � f�� ¢ � �&�   �( �&! ' �( �]! "�'' % ��' m 5_7X! ¤

9.����� 1

$ � "� $ 5n'�! % � � � ��&- � � � �&�   3 7�#� ' % ! � �( ��! '� � -;�&-21� F 7� G ¤10.

����� 1$ � "'& �� $ 5n'�! % � � � ��&- � � � �&�   �(��]! '� D � -;�&- �&- F 7� G 3 � -;�&-!&�&-21 F 7� G9H = '8> �X@CB

11.����� 1

$ � "�" �� $ 5n'�! % � � � ��&- � � � �&�   ��#��')(:7X! % ¤12.

����� 1$ � "�" �� $ 5n'�! % � � � ��&- � � � �&�   3 � �� ��')(*�O! % � ��#��')(:7X! % ¤

13.����� 1

$ � "�" �� $ 5n'�! % � � � ��&- � � � �&�   � �� �]��')( � ! % 3 � � �

� �]��')(*� ! % � ��#��'T(:7�! % ¤14.

����� 1$ � "$ � 5 m � � "� $ 5n'�! % � ��&- � � � �&�   m " ��#��' % ! � N ^ ( ' �V7 ! ( m � �7�( � m �V7<5 � m ` 3 ¢ ¤

15.������� ��� $ 5 7�! � "�" �� $ 5:'g5 7�! % � � � � a 1�&- � � � £!� � ¢ �� �&�   7' % ¤

16.������� ��� $ 5 7�! � "�" �� $ 5:'g5 7�! % � � � � a 1�&- � � � £!� � ¢ �� �&�   7' % 3 � �

�#��')(:7�! % ¤3:N

Page 382: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ��������� � �#� � ��� ������� ��� ��� ����� � � . /' ���17.

������� ��� $ 5 7�! � "�" � $ 5:'g5 7�! % � � � � a 1�&- � � � £!� � ¢ �� �&�   7' % 3 � � �� 7���')(:7X! % � 7�� � �� ���]��')(*� ! % ¤18.

������� ��� $ 5_7X! � "'& ���� $ 5 7�! � 5 m � � "� $ 5n'65_7X! % � � a 1�&- � �4� £)� � ¢ �4 �&�  7' % �C7,5 m � ! N � ( ' �V7 ! ( m � �&�- � � � & a � � � ¤

19.������� ��� $ 5 �9! � "�" � �(�9! "$9% �(�P5n'65_7�! " � � � c a ��&- � � � £!� � d2�4 �&�   �(�9! ' & �' % m � ¤

20.����� 1

�( $ m ! " � $ m 5 � ! '#")"�" ���')( $ ! % �(�P5_7X! " � c� F �$ G   3 � ']" �' %� � '�(�P5_7X! ' ��' m 5 � ! � c� F�3 m �

� G ¤21.

����� 1$ ']" �$&% ��3 d 3 � � � � c�&- � F �$ G   �43 ¢ � � � 5n'��')(:7X! % � �&-21 ¤

22.������� �( 7X! "��')( $ ! % �(�P5_7X! " � � f�� ¢ � �&-21 � c� F �$ m 5 7�G   � '' % ��' m 5_7X!A�(�P5_7�! ' ¤

23.��� ��� ��3 ¢ � � J ' $ L � � f�� �O� SEa � � cSEa � F �$ m 5 � G

 �� � ��d � � � ¢ � � �43�fI� � � S S�� ��� � �� a � �( �Q( � ! "� $ 5:'�! % F�3 m� G � � cS - � F � � G ¤

5.10.7. Sums containing Lλ� nkm � pk(ϕ(k, z)) and special functions

1.������� � $ 5_7�! '#" ���� ')(*� $ ! % �(�P5_7X! " � �&- � F �� $ 5_7 G � c� F �$ 5 7�G

  ��

� '%& � � " �� ��'65_7X! % J 1 L ' & � 3 � � ' & � �I� " � �

� 5 ��! '%& ������Q(:7X! � ' & � � c -21� � a F ���

� 5 � G ¤2.

������� � $ 5 7�! ']" �� ���� ')(*� $ 5_7X! % �(�P5_7�! " � �&- � a 1 F �� $ 5_7 G � c� F �$ 5_7 G 

� ��

� ' & � � " �� ��'65 7�! % J � L ' 3 � � '%& � �9� " � �

� 5 �]! ' & � ������Q(:7�! � '%& � � c -21� � a & F ���

� 5 � G ¤3:1�

Page 383: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��N1� L3.

������� � $ 5_7�! "�" ���� $ ! % � � � � F �� $ 5_7 G � c a ��&- � � � � 3 � � �&�  ������� � �

� � � "��� $ ! % � $ 5_7�! � c a ��&- � � � � � ¢ �4�&� ¤4.

������� � $ 5_7�! "�" �� ���� $ 5_7�! % � � � � a 1 F �� $ 5 7 G � c a ��&- � �4� � 3 � �4�&�  � � ������� � �

� � � "��� $ 5n� ! % � c a ��&- � � � � � ¢ �4�&� ¤5.

�&-21������ � $ 5_7X! "�" ���� $ ! % � � 3 � � �&- � �43Pd 3 � � � � � F �� $ 5_7 G � c�&- � F �')( $ G  ��3 ¢ � �&-21 � � � ¢ � �&-21 �(� 5_7X! '��� '�! % � � F �� '65_7 G

� � � � ¢ � � ��� ��� )��

�'g5 7 , � �('�6(*'�! "��� $ ! % � $ 5_7X! � c�&- � F �'65_7�G ¤6.

�&-21������ � $ 5_7X! "�" �� ���� $ 5_7X! % � � 3 � � �&- � ��3 d 3 � � � � � a 1 F �� $ 5_7 G � c�&- � F �')( $ G  �43 ¢ � �&-21 � � � ¢ � �&-21� �(�P5_7�! '���O'Q5_7�! % � � a 1 F �� 'g5 7 G

� � �T� � � ¢ � � ������� )��

�'65_7 , � �( �Q(*'�! "��� $ 5n� ! % � c�&- � F �'65_7 G ¤5.10.8. Sums containing products of Lλ

� nkm � pk(ϕ(k, z))

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L � � cS � � � � �&� �  �¡ = � ��� 'I@CB

2.������� �43 ¢ � � J ' $�L � cS � / � ��� � cS � 3 / � ���   � � (� % � S l � = '8> � @CB

3.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $�L � S � cS F �� $ G � cS F]3 �� $ G   �43 ¢ � S �(�P5_7X! �(� % � S l �3 ��3 ¢ � S � � (� � % ! � = '8> � @CB

3:�,

Page 384: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���4.

������� � � � ¢ � �&- � -21 ��3��:3 � � � �43 �Q� - � � c - �� �4� � � ¢ � �Q� � ��&- � F �$ 5_7 G  �

�( ��! '%& ���'65_7X! % �(�P5_7�!A� �65:'g5 7�! D & N � J ( ' (:7��V( �Q(:7 �V( � (*')(:7�

" � � " � L 3 ¢ H ¤5.

������� � � � ¢ � �&-21 �('�6(*'�! "� �65_7X! " � c�&- � F �$ 5 7 G � � � F �$ 5_7 G  �( 7�! ' �

' & � � " ���'65 7�! % �(�P5n'65_7X! � � '� �65 7�! ' �(� 5:'g5 7�!Ij + c lC- c - � - �&- .� a 1 F ¢ � ��� G ¤

6.������� � $ 5 7�! "�" ��(�g5 7X! " �43��&� � � c� F �$ 5 7 G � � a ��&- � �4� � 3 � � �&�

  ��� ��� ����! "� $ 5 7�! % �(�65 7�! " � � a ��&- � � � � � ¢ �4�&� ¤

7.������� J �� L "$ 5_7 � c - �� � � � � ¢ � �Q� � � a ��&- � �4� � 3 � �4�&�

  ��� ��� �( �9! "� $ 5_7X! % F�3 ��G � � � a ��&- � �4� � � ¢ �4�&� ¤

5.11. The Gegenbauer Polynomials Cλn(z)

5.11.1. Sums containing Cλ� nk

m (z)

1.������� �(�'�! " ��'�! "$&% � $ 5 � ! % � - � - SS �0�&�

  �43 ¢ � S �( � ! � '� % ��� '�! % � £ �&� S - � N 1 � ')( S ��'65 1;- S� '65_7 ! � " � � ¤2.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � m ! "�C7 (��9! " � c - �S �0�&�  ��� ��! ( �(�9! ( �C7�(%�6( m ( � ! '� % �C7�(%�6( � ! ' & N � (QS � 1�- S �V7 (��Q( m ( � 5n' ! � " �7�(��Q( � 5n' �#7�(��Q( m ( � � ¤

3.������� �(�9! "�(�P5 � ! " � c a � S �0�&�   �43 ¢ � SEa 1 � - �(�&! (

J 1 L (Y D j + -!&4� l c a �&-21� .SEa 1 � ¢ 3 £ �� �<3 j + -!&4� l c -!&4� .SEa 1 � ¢ 3 £ �� � H ¤3:3

Page 385: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� �4.

������� �43 ¢ � � J ' $ L �(�9! "� m ! " � c a � S ��&�  �43 ¢ � S �(�&! ( � m (��Q( � ! '� % � m ! ' & N � ( � ���P5 � �#�Q( m 5 � 5_7�6( m 5 � (*'65_7 � 1 ! � � � ¤

5.������� �43 ¢ � � J ' $�L �(�&! "�(�P5 � 5 7�! " � c a � SEa 1 �0�&�

  ��3 ¢ � � �#�(�&! ( & �J & L ( � � a 1 j + c a �&-21� l � a 1� .S -;� � £ � 3 ¢ � = � > 'I@B

6.������� �(�9! "�(�P5 � 5_7�! " � c a � SEa 1 ��&�

  � -21 D �(�&! ( & ��(�P5n'�! ( & � � c a � SEa ��&�<3 �P5 ��6(87 � c -21 SEa ��&� H ¤7.

������� �43 ¢ � � J ' $�L �(�9! "� m ! " � c a � SEa 1 ��&�  ��3 ¢ � S £ � �(�9! ( & � � m (��Q( � (:7�! '� % � m ! ' & N � ( � �#�P5 � 5_7��#�6( m 5 � 5:��6( m 5 � (*'65n��� & ! � � � ¤

8.������� �43 ¢ � � J ' $ L �(�&! "

J �P5 � 5 1 L�" � c a � SEa 1 �0�&� �£ 1A- S d2� J ( � ( 1 L ' �����P5_7�! � (

J & L ( J � 5 1 L ( & ' j + c a �&-21� lM1� -;� .S � £ �� 3 ¢ � ¤

9.������� J ' $ L � � J 1 (��6( � L " � ¢ 3 d2� � �� 3 ¢ � - � � c - � SEa 1 �0�&�

  � � ( & � �(�&! ( & ���� � 5_7X! % �('�6( � ! 'Y �;� ¢ 3h��O� S ����� 1 �

�� � � � � 3 � � � ��3 � � � F 7� 3 d 3 � G � � ¢ 3h��O� - �Y j + - c a � - S -21Rl � -;� a 1� .SEa �&- � ) � � 5 7� � (87 , = � 5n'8>

�@CB

3:95

Page 386: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���10.

������� J ' $ L � �

�(�9! "J �P5 � 5 1 L " ��� 3 ¢ � � � c a � SEa 1 ��&�   �����&! � ( & � ���� � 5_7�! % J � 5 1 L ( & 'Y ��� � 1 �

�� � � � � 3 � � � �43 � � � �0d � � � ¢ � � � ¢ 3h�� � �Y j + c a � -21� l � -;� a 1� .SEa �&- � � £ �� 3 ¢ � = � 5n'*>

�@CB

5.11.2. Sums containing Cλm � pk(z)1.

������� � c� �0�&�   �����9! � '' % J �P5 1 L ' F ��(87� G � & N � ( ' ��(�')(�� � 1 (*')(�� ! 1;- �7�( ' (%� �V(�� ')(*��� � ¤2.

������� �43 ¢ � � ��� $ 5 �&! J 1 L "��')( $ ! % J � 5 1 L " �(�P5n'65_7�! " � c � ��&�   �(�9! ' & �' % J � 5 1 L ' � ¢ 3h� � �= '*>?7R@CB

3.������� �43 ¢ � � ��� $ 5 �9!&��'�! "��')( $ ! % �(�Q(*'65_7X! " �(�P5n'65_7X! " � c � �0�&�   �(�9! ' & �' % �( �&! ' � � ��&� ¤

4.������� �43 ¢ � � � � $ 5 �P5_7X! J & L�"��')( $ ! % J � 5 1 L " �(�P5n'65n�O! " � c � a 1 ��&�

 �£ d2� �(� 5 7�! ' & �' % J � 5 1 L ' � ¢ 3h� � � ¤5.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � � 3 £)� � � � � � d 3 £!� � �( � (��9! " �C7�( � (*���9! � "��')( � (��P5_7X! " � cS - � ��&�  3 £ � � � 3 £�� � � ��d2� � �43 � 3 d2� � a 1 � ¢ 3h� � � � c a �S - � ��&� = � > �O'I@�B

6.� ��� ���� ��� �43 ¢ � � J � $ L��0d � � 3 £)� � ��')( � $ ! % �( �Q(*'�! " �C7 (*���Q(*'�! � "� � (*')(��P5_7X! " � c�&- � �0�&�

  3 £ S � � 3 £� � � �0d2�4ST��3Pd 3 � �4SEa 1 � ¢ 3h�� � S � c a2S�&- S ��&� = � � � '[email protected]. Sums containing Cλ

� nkm � pk(z)

1.�&-21������ � ")" ��')( $ ! '��')( $ ! % �C7 (��&! " ��63 ¢ � - � � c - �� �0�&�

  J 1 (�� L '' % �C7�( ���&! ' F �7�(8��G � ��� ��� � �� �(�'�! " �����Q(*'�! "J �Q(*'65 1 L " F ��(:7� G � ¤

3:�;

Page 387: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� 32.

����� 1$ � ��� ')( $ !��')( $ ! % �C7 (*���&! "�C7�(%�9! " F �7�(8� � G � � c - �� ��&�   F 7� 3 d G � )

� � �� � (:7 , �= '*>?7R@CB3.

������� � m ! "�C7 (��&! " £ - � � ¢ 3h�&� - � � c - �� ��&�   � m 5_7�! '' % & N � ( ' � m � 1 (�� ! 1�- �m 5 7 �#7�( ��� � ¤4.

������� $9% � ")"�C7 (��&! " � ¢ 3h�&� - � � c - �� ��&�  ���2�C7 (8��!���P5_7 D ¢ 3 ��'65_7�! %�( ���&! '%& � j + - c -21Rl c -;�&-!&4� .� a 1 F � 5 ��E(:7 GIH ¤

5.������� � S� a2S �(�9! "� $ 5 � ! % � � � c a ��&- � �0�&�

  �" (

� % �C7 (��&! ( S������ �43 ¢ � � J � $ L � c - SSEa � F $ �� � � G ¤6.

������� J ' $ L �(�9! "�����P5 � ! " £ � �0��� ¢ � � � c a �S - � �0�&�  F � 5_7� G S �����9! (

J � 5 1 L ( j + c a �&-21� lC- c - S -;� .S F � (8�7<5 � G ¤7.

������� ']")"'&�(�C7 (��&! " � c - � � �0�&�

  ��3 ¢ � � �(�&! '��� '�! % � £ �&� � SEa 1 N S � ( ' � 1 (*' ��� �&B�B B ��� ! � " �7�(��Q(*' �#7 �&B B�B �#7 � ¤8.

������� J 1 L�"�C7 (��&! " � c - � � ��&�   3 J & L '� ���C7�(��&! '%& � � c -;�&-21 � a 1 ��&� ¤9.

�&-21������ ��3 ¢ � � ��')( $ ! '��')( $ ! % �C7 (��9! " � c - � � �0�&�  �(�&! '' % J 1 L ' � �

��� ��� ��3 ¢ � � � �� �(�'�! " J 1 (*' L�"�C7�(%�6(*'�! " � - � = '8>?7A@B10.

������� �"��')( $ ! % �C7 (��&! " � c - � � ��&�   � �;5 7�! '�C7 (��&! ' � c -;� � ) � * �

�I5_7 , ¤3::

Page 388: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���11.

������� �43 ¢ � � J ' $ L J � '$ L -21 7��')( $ ! % �C7 (��&! " � c - � � ��&�  ' %���O'�! % & N � (�' ��( ' ���1 �#7 ! � � � ¤

12.������� �43 ¢ � � � m ! "��'*( $ ! % � � ! " �C7E( �9! " � c - � � �0�&�

  � � ( m ! '' % � � ! ' & N � ( ' � m �.� ! � �m ( � ( ' 5 7�� 1 � ¤13.

������� J 1 L "�C7�(��&! " � ¢ 3h�� � - � � c - � � ��&�   3 J & L '�#�('�9! ' & � � � ¢ 3h�� � -;� � c -;� � a 1 ��&� ¤14.

������� 7��')( $ ! % �C7 (��&! " �0�� 3 ¢ � - � � c - � � ��&�   J 1 (�� L '' % J 1 L�' ) � �� � (:7 , � ¤15.

������� J 1 (*' L�"��')( $ ! % �C7 (��&! " �C7 (��6( '�! " � - � � c - � � ��&�  J 1 L '' % �(�&! ' � - � � N & �� ( � � 1;- � ��� � 1 (��1� � 1 � &� ! � �

#$¤

16.������� �43 ¢ � � J 1 L "��')( $ ! % � m ! " �C7�(��&! " � c - � � ��&�

  7� m ! ' j + c a � -!&4� lC-�� -;� a 1� .� � £ �� 3 ¢ � ¤17.

������� J ' $ L � � " J 1 (�� L�" J 1 L�"�C7�( ���&! � " ��')( $ 5_7X! �0� 3 ¢ � - � � c - � � ��&�   �43 ¢ � � � � � (:7 � "�'#" �'65_7Y �� J & L '�]�C7 (��9! ' & � � c -;�&-21 � a �0�&��� �43 ¢ � � j + c -;�&-!&4� lC-;�&-!&4� .� a 1 � £ � 3 ¢ � �� ¤

18.������� �43 ¢ � � �C7 ( m ( '�! "��')( $ ! % �C7�(��&! � " � - � � c - � � ��&�

  � m ! '' % �C7 (��9! ' � - � � N & �� ( ' ���6( ' � ��-Q1�� � a 1�m � m ( 1 � 1 !� � � #$

¤

3:�<

Page 389: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� 319.

�������� $ (��P5_7� � $ ( ���Q(:7X!A� � $ (*���P5 � ! J 1 (�� L " J 1 L "��')( $ ! % J ' (%� 5 & L " �C7 (��9! � "Y � ¢ 3h�� � - � � c - � � ��&�   3 �#�C7 � (��9! ' & �' % � � ')( ���Q(:7X!A� � ')( ���P5 � !A�C7 (��&! ' � ¢ 3h�� � -;�

Y & N � ( ' ���Q(*' �#7 ! 7�(8� � c a 1�

( ' � c a ��

(*' � ¤20.

������� �43 ¢ � � J ' $ L �(�9! "J 1 ( � L)" � c a � S - � �0�&�

  �(�9! (J 1 L ( j + � a c -21� lC-;�&-21� .S � £ �� 3 ¢ � = � > 'I@CB

21.������� J ' $ L � �

�(�9! "J 1 ( � L " �0� 3 ¢ � � � c a � S - � �0�&�

  �(�9! (J 1 L (

��� � 1 ��

� ��3 � � � �0�� 3 ¢ � � j + c a � -21� l � -;�&-21� .S - � � £ �� 3 ¢ �= � > ' ! � >

�@CB

22.����� 1 J

�O'' ( $ L J 1 L � "� $ 5 � ! % J 1 ( � L)" ��� 3 ¢ � � � � a 1� S - � ��&�  7� J �O'' L D ' %� � 5n'�! % j + �9lC-;�&-21� .S � £ � 3 ¢ �<3 7� % j S ��&� H = � >_'I@CB

23.������� � S� a2S �(�9! "� $ 5 � ! % � � � c a � �&- � ��&�

  �" (

� % �C7 (��9! ( S������ ��3 ¢ � � J � $ L�� ¢ 3 � � � SEa � � c - S SEa � F �� 7�( $ � G ¤24.

S������ J � 5n')(*� $� ( $ L � � " �(�&! � "$&% �����&! " � ¢ 3h�� � � � c a �SEa �&- � ��&�  � � 5n���9! '�����&! ' � cS �0�&� � c� ��&� = '*> � @CB

25.������� �43 ¢ � � J ' $ L � m ! "�C7 (��&! " � c - � � a S ��&�

  ��3 ¢ � S � � ( m 5_7X! ' �(�9! (� � 5n'�! % & N � ( � (*' � m ( � �#� 5 �m ( � ( ' � 1 ! � � � ¤3:L

Page 390: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���26.

������� �43 ¢ � � J ' $ L J � 5 1 L "�C7�(%�9! " � c - � � a S �0�&�  ��3 ¢ � SEa � �(�9! (

J 1 L ( j + -;�&-21� l c -21� .SEa � � ¢ 3 £ �� � ¤27.

������� �43 ¢ � � J ' $ L �(�P5n� � 5n'�! "�C7�(��&! " � c - � � a S ��&�   � c SEa � ��&� ¤28.

������� J ' $ L � m ! "�C7�(%�9! " �0�� 3 ¢ � - � � c - � � a S ��&�  �C7 ( m 5 � ! ' �(�&! (� � 5n'�! % �� 3 ¢ � S & N ��� ( � (*' � m ( � � 1 (��Q( �m ( � (*' � 1 ! �

W�W -Q1

#�

29.������� J & L�"�C7�(��&! " � c - � � a 1 ��&�  �£ d2� j + &4� l c -;�&-!&4� .� � ¢ 3 £ �� � ¤

30.������� ']")"'&

�(�C7�(��&! " � c - � � a 1 ��&�  �43 ¢ � � �(�9! ' & ���� '65_7�! % � £ �&� � a 1 SEa 1 N S � ( ' ��( 1 (*' �����9B�B B ���('�6(*' �#7 �&B B�B �#7 ! � " � � ¤

31.������� �

"��')( $ ! % �C7 (��&! " � c - � � a 1 �0�&�   �" �� � � �;5_7X! ' & �� ��C7 (��&! ' � c -;� � a 1 ) � * �

�;5 7 , ¤32.

������� 7��')( $ ! % �C7 (��&! " �0�� 3 ¢ � - � � c - � � a 1 �0�&�  ���I� J 1 (�� L '' % J & L ' ) � �� � (87 , � ¤

33.������� J & L "�C7�(��&! " � ¢ 3h�� � - � � c - � � a 1 ��&�

  ��3 ¢ � � £ d2�;� ¢ 3h��O� -;� j + c -;�&-21� l &4� .� � £ �� 3 ¢ � ¤34.

�&-21�� ��� �43 ¢ � � ��')( $ ! '��')( $ ! % �C7 (��&! " � c - � � a 1 �0�&�  �#�(�&! '%& �' % J & L�' �� � a 1 ��� ��� ��3 ¢ � � � �� �( '�! " J ( 1 (*' L "�('�6(*'�! " � - � = '*>?7R@CB

3:P

Page 391: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� 335.

������� �43 ¢ � � J ' $ L J � '$ L -21 7��')( $ ! % �C7 (��&! " � c - � � a 1 ��&� �£ d2� ' %���O'�! % & N � (�' ��( ' ���P5_77�� & ! � � � ¤

36.������� J ' $ L J & L "�C7�(%�9! " � ' ( $ 5_7�! ��� 3 ¢ � - � � c - � � a 1 ��&�   ���'g5 7 �0�� 3 ¢ � -;�&-21

Y �� � J � L '� �('�9! ' & � � c -;�&-21 � a & �0�&��3 �43 ¢ � � � j + c -;�&-!&4� lC-;�&-21� .� a 1 � £ �� 3 ¢ � �� ¤37.

������� �43 ¢ � � � m ! "��')( $ ! % � � ! " �C7 (��9! " � c - � � a 1 �0�&� �£ d2� � � ( m ! '' % � � ! ' & N � (�' � m �#� 5 7 ! � �m ( � (*'65_7 � & � ¤

38.������� �43 ¢ � � J & L "��')( $ ! % � m ! " �C7�(��&! " � c - � � a 1 �0�&�

  ���9�� m ! ' j + c a � -!&4� lC-�� -;� a &4� .� � £ �� 3 ¢ � ¤39.

������� $&%�C7�(��&! " � c - � � a 1 ��&�   � -21 D ¢ 3 ��'65 7�! %�C7 (��&! '%& � � c -;�&-21 � a �0�&� H ¤40.

������� J ( 1 (*' L "��')( $ ! % �C7 (��&! " �( �Q(*'�! " � - � � c - � � a 1 ��&� �£ d J & L '' % �(� 5_7X! ' � 1A- � � N & �� ( � � 1;- � ���P5_7�� 1 (%�&� � �� � & ! � �

#$¤

41.�������

� $ (��P5_7� � $ ( ���Q(:7X!A� � $ (*���P5 � ! J 1 (�� L " J & L "��')( $ ! % J ' (%� 5 & L " �( �&! � "'& �Y � ¢ 3h� � - � � c - � � a 1 ��&�   3� � J 1 (�� L '%& �' % � � ')(*���Q(:7�!A� � ')(*��� 5 � !A�('�9! ' � ¢ 3h� � -;�

Y & N � (�' �#7 �#�Q(*'65_7 ! 7 (8� � c a 1�(*' � c a �

�(*' � ¤

3�<9N

Page 392: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���42.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � m ! "�C7 (��&! " � c - � � a SEa 1 ��&� �£ ��3 ¢ � S � � ( m 5_7X! ' �(�9! ( & �� � 5n'�! % � & N � ( � (*' � m ( � ���P5 � 5_7m ( � (*' � & ! � � � ¤

43.������� �43 ¢ � � J ' $�L �(�P5n� � 5n'65_7X! "�C7 (��&! " � c - � � a SEa 1 ��&�   � c SEa � a 1 ��&� ¤

44.������� �43 ¢ � � J ' $�L J � 5 & L)"�C7�(%�9! " � c - � � a SEa 1 �0�&�

 �£ �43 ¢ � SEa � �(�9! ( & �J & L ( � j + 1� -;�9l c -21� .SEa � � ¢ 3 £ �� � ¤

45.������� J ' $ L ��� � 5n� $ ! %�C7�(%�9! " �(�P5n� � ( 'g5 7�! " £ - � �0�� 3 ¢ � - � � c - � � a SEa 1 ��&�

  ��� � ! % �(�9! ( �C7 � (��Q( � ! '�(�Q(*'�! ( �('�6(*� � ! ' � ¢ 3h�� � -;� � c -;� S ��&� ¤46.

������� J ' $ L ��� � 5:� $ 5 7�! %�C7�(%�9! " �(�P5n� � ( 'g5:�O! " £ - � �0� 3 ¢ � - � � c - � � a SEa 1 ��&� 

��� � 5_7X! % �(�9! ( & � J 1 (��6( � L '�(�Q(*'�! ( & � �('�6(*� � (:7�! ' � ¢ 3h� � -;� � c -;� SEa 1 �0�&� ¤47.

������� J ' $�L � m ! "�C7�(%�9! " �0�� 3 ¢ � - � � c - � � a SEa 1 ��&�  �C7 ( m 5 � ! ' �(�9! ( & �� � 5n'�! % £ �;�0�� 3 ¢ � S & N ��� ( � (*' � m ( � � 1 (��Q( �m ( � (*' � & ! �

W�W -Q1

#�

48.��� ��� � S� a2S �(�&! "� $ 5 � ! % � � � c a � �&- � a 1 ��&�  �

" (� % �C7�(%�9! ( S������ ��3 ¢ � � J � $ L � ¢ 3 � � � SEa � a 1� � c - S SEa � a 1 F �� 7�( $ � G ¤

49.������� �43 ¢ � � J ' $�L �(�9! "

J ( � ( 1 L " � c a � S - � a 1 �0�&� �£ � �(�9! ( & �

J & L ( j + � a c -21� lM1� -;� .S � £ �� 3 ¢ � = � > 'I@CB3�<��

Page 393: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� 350.

������� J ' $ L � �

�(�&! "J ( � ( 1 L " ��� 3

¢ � � � c a � S - � a 1 ��&� �£ � �(�&! ( & �

J & L (��� � 1 �

�� ��3 � � � ��� 3 ¢ � � j + c a � -21� l � -;� a 1� .S - � � £ �� 3 ¢ �= � > ' ! � >

�@CB

51.����� 1 J

�O'' ( $ L J 1 L � "� $ 5 � ! % J ( � ( 1 L " �� 3 ¢ � � � � a 1� S - � a 1 �0�&�  7� J �O'' L D ' % �� � 5n'�! % j + �9lM1� -;� .S � £ � 3 ¢ �<3 7� % j SEa 1 ��&� H = � > 'I@CB

52.� ��� ���� ��� � � 3 £)� � d2� � m (��9! " �(�')(��&! "$9% �C7 ( m (*'�! " � c�&- � �0�&�   �(�&! '%& �� m ! ' � �� �0�&� ¤

53.� ��� & ������� � 5n')( � $$9% F 3 ��� 5n� '

� G � � c�&-!& � �0�&�   ]� d j + W��X\ �� l �X\]W �� .� F � ��(:7� G ¤

54.� ��� �������� ��3 ¢ � � ��')( $ ! %$&% ��d2� � ) 7�(*� �� , � � c a � �&- � � �0�&�

  �����&! � 'J 1 L ' F � � G � & N �� (�' �V(�')( 1 �V(�'65 1(�� ' (87 �#� 5 1 ! � (*� � " � #$ ¤

55.� ��� ���� ��� �43 ¢ � � ��')( $ ! %$&% ��d2� � ) 7�(8� �� , � � c a � �&- � � a 1 ��&�

  � " � ' �����9! � '%& �J & L ' �� � a 1 & N �� (�' �V(�')( 1 �V(�')( 1( �O')(:7��#� 5 1 ! � (*� � " � #$ ¤

56.� ��� ���� ��� � � $ 5n���Q(:7X!A� m ! " J c -Q1� L " �(�&! � "$&% J c a &�

( m L�" J � 5:'g5 1 L � " J 1 (*' L � " � ¢ 3h�� �� � � c a � � �&- � � �0�&�  �����Q(:7X! � ' & ����O'�! % & N �� ( ' �]'65 � � c a 1�

( m c a 1��#�6(*� m 5 1 ! 7�(*� � #$ ¤

57.� ��� �������� � � $ 5n���6(87�!A� m ! " J c -Q1� L " �(�9! � "$9% J c a &�

( m L " J � 5:'65 1 L � " J ( 1 ( ' L � " � ¢ 3h� � � � c a � � �&- � � a 1 �0�&�  �����Q(:7�! � '%& � ���� '65_7�! % & N �� ( ' �]'65 �P5_7 � c a 1�

( m c a 1����Q(*� m 5 1 ! 7�(*� � #$ ¤

3�<,

Page 394: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���58.

� ��� & ������� ��3 ¢ � � ����� 5 7�� $ (:7X! J c -Q1� L " �(�9! � "$9% J �P5n'65 1 L � " J 1 (*' L � " � ¢ 3h�� � & � � c a � � �&- � � ��&�  �����6(87�! � '%& ���� '�! % & N �� (�' � c -Q1�

�#� 5:' c -Q1�

� c a 1� ! &�- &�� W�

#$¤

59.� ��� & ������� ��3 ¢ � � ����� 5 7�� $ (:7X! J c -Q1� L " �(�9! � "$9% J �P5n'65 1 L � " J ( 1 (*' L � " � ¢ 3h�� � & � � c a � � �&- � � a 1 ��&�

  �����6(87�! � '%& ���� '65_7�! % � & N �� (�' � c -Q1��#� 5:'65_7

c -Q1�

� c a 1� ! &�- &�� W�

#$¤

5.11.4. Sums containing Cλ� nk

m � pk(z) and special functions

1.������� ��� � ']" � " (:7�!��� ')(*� $ ! % �C7 (��&! � " � �#�&� - � � �&- � � c - � � �0�&�

  3 � � �]! � " � '�]�C7�(%�9! � '#" � � c - � a 1 �&-21 ��&� = '*>?7R@CB2.

������� � � �]! " � "��� ')(*� $ ! % �('�9! � "'& � � �&- � � c - � � a 1 �0�&�   3 � � �]! � " � '�#�('�9! � ' � c - � a 1 � ��&� ¤3.

������� � m ! "�C7 (��&! " � � � � fI� � c - � � ��&�   � m 5_7�! '' %Y � D � �0f$� � � ¢ �<3 7m H & N � ( ' � m ��� ! � �m 5_7 � 1 �

3 � ' �I� �� m 5_7X! � � N & � 7�( ' � m 5 7 � m 5_7��#� 5 7m 5n��� m 5n��� & ! � � � ¤4.

������� � m ! "�C7 (��&! " � � � � fI� � c - � � a 1 �0�&�   ���2� m 5_7�! ' �' %Y � D � �0f$� � � ¢ �<3 7m H & N ^ ( ' � m ���P5_7 ! � �m 5_7�� � � `

3 � ',�(�P5_7�!�� �� � m 5_7X! � � N & � 7�(*' � m 5_7�� m 5_7��#� 5n�m 5n��� m 5n��� � ! � � � ¤

3�<93

Page 395: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� 55.

������� � ")" �M��(87�! ")"��')( $ 5_7�! % �C7 (%�9! " � �0fg3 � � � c - �� ��&�   F �7�(*� G � a 1Y � �0fg3 � 3 ¢ � �� J 1 (�� L ' & ���'65_7�! % �C7�(*���&! '%& � 3 J ( 1� L

'%& ��C7 (��9! '%& � � c -;�&-21� a 1 �0�&� ��� J 1 (�� L '' % �C7 (*���9! ' � m ( ' (87�! F �7�(*� G � � N & �� ( ' �]���6( ' �V7��#7 ! 1;- ��Q(*'65 1 � m (*' ��� #$

¤

6.������� �C7 ( m ! "�C7 (��&! " � ")"�M��(87�! " � �0fg3 � � � c - �� ��&�

  J 1 (�� L ' �C7 ( m ! '' % �C7�( ���&! ' � m (*')(:7X! F ���(87 G �Y � �fg3 � 3 ¢ � � �fg3 � 3 ¢ � & N � ( ' �]���6( ' � m ( ' (87 �#7�Q(*'65 1 � m (*' ! 1�- � �

� � N & � (�' �����Q(*' � m (*')(:7�� m (*')(:7�Q(*'65 1 � m (*' � m (*' ! 1�- � � � ¤7.

������� �(�'�! "�C7 (��&! " F � 3 �� 3 ¢ G � j �&- � � �Q� � c - � � ��&�

 �£ � J 1 L '' % � � 3 ¢ � ��� & N � ( ' ��(�' �#�1 (*' � 1 ! �W ( �

W � �

� (:7X! " �� � � ¤8.

������� �(�'�! "�C7 (��&! " F � 3 �� 3 ¢ G � j �&- � � �Q� � c - � � a 1 ��&�

 �£ � a 1 J 1 L '' % d2�;� � 3 ¢ � ��� & N � ( ' ��(�' �#� 5 71 (*' � & ! � W ( �W � �

� (:7�! " �� � � ¤9.

������� ��� $ 5_7X! J & L � "� $ 5:'g5 7�! % J 1 (*' L " �0� 3 ¢ � � � j � � �Q�� � � a &4� �&- � ��&�  � 'g5 7' % & N � ( ' �]'65 & � 17 �#7 ! �C7 ( �

� !A�C7�(*� � ! � ¤10.

������� ��� $ 5_7X! J & L � "� $ 5n'65_7�! % J ( 1 (*' L)" ��� 3 ¢ � � � j � � �Q�0� � � a &4� �&- � a 1 �0�&�  ��� '65 � !#�' % & N � ( ' �]'65 � � 17��#7 ! �C7 ( �

� !A�C7 (8� � ! � ¤3�<!5

Page 396: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���11.

������� � � $ 5 7�!A��� $ ! %J '65 & L " J 1 (*' L " � ¢ 3h��O� � j � ) * 7 (

�� , j � ) * 7<5�� ,

Y � � a 1 �&- � ��&�   � £�� � ¢ � � N & �� ( ' �]'65_7 � 1� � &�1 � 1 �V7 ! �C7�( �

� !A�C7 (8� � ! #$ ¤12.

������� � � $ 5 � !A��� $ 5 7�! %J '65 � L�" J 1 (*' L�" � ¢ 3h��O� � j � a 1 ) * 7 (

�� , j � a 1 ) * 7<5�� ,

Y � � a �&- � �0�&�   ���O'Q5 � ! %� ���O'�! % � ¢ 3 � � N & �� (�' ��'g5:� � &� � ��7 � & � & ! �C7 ( �

� !A�C7 (8� � ! #$ ¤13.

������� � � $ 5 � !A��� $ 5_7�! %J '65 � L " J ( 1 (*' L " � ¢ 3h� � � j � a 1 ) * 7�(

�� , j � a 1 ) * 7,5�� ,Y � � a �&- � a 1 ��&�   � � � ¢ �X� � � £ �X� £� � � � ¢ 3 � �Y

� N & �� (�' ��'65 � � &� � ��7 � & � & ! �C7 ( �

� !A�C7 (8� � ! #$ ¤14.

������� J & L � "� $ 5n'65_7�! % J 1 (*' L " � ¢ 3h��O� � � � a 1 ) * 7�(�� , � � a 1 ) * 7<5

�� ,Y � � a &4� �&- � �0�&�   �( 7�! '� J 1 L ' � 7�(*� � j � a 1 � � � ¢ 3 � �R� ¢ 3h� � � ¤

15.������� J & L � "� $ 5n'65_7�! % J ( 1 (*' L)" � ¢ 3h�� � �

Y�� � a 1 ) * 7�(�� , � � a 1 ) * 7<5

�� , � � a &4� �&- � a 1 �0�&�   ���O'65 � ! � 7 (�

� �� ' %Y N 1

�� ( ' �]'65 �& ! �C7�( �

� !A�C7 (8� � ! #$ ¤16.

������� J ( 'g5 1 L)"��')( $ ! % �C7 (��&! " F ��E(:7�G � � �&- � � �Q�Y � c - �� �0�&�  �£ &A� J 1 L�' J 1 (�� L '' % �C7 (*���&! ' ��63 ¢ � -;� N

�� ( ' �]���Q(*' ! � W - �

W��6(*'65 1 � 1#$¤

3�<;

Page 397: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� 517.

������� J ( ' ( 1 L "��')( $ ! % �C7 (��&! " F ��E(:7 G � � �&- � a 1 � �Q� � c - �� ��&� �£ &A� a 1 J & L ' J 1 (%� L '' % �M7�(*���9! ' � ��Q3 ¢ � -;� N

�� (�' �����Q(*' ! � W - �

W��Q(*'65 1 � & #$¤

18.������� J 1 (*' L)"��')( $ ! % �C7 (��&! " F ���G � � �&- � � �Q� � c - �� ��&�

  ����! � '' % � N 1 � ( � � 1;- �

�� 1;- � � &<- �

�7�(%� ! � � " � � " � � ¤19.

������� J ( 1 (*' L)"��')( $ ! % �C7 (��&! " F ���G � � �&- � a 1 � �Q� � c - �� ��&�  � �

�! � ' & �' % � N 1 � ( � �V( 1 a �

�� 1;- � � 1�- �

�7 (�� ! � � " � � " � � ¤20.

������� � 7 (8� � � ")"���O')(*� $ ! % �C7 (��&! " � �&- � � �Q� � c - � � ��&�  J 1 (�� L '' % J 1 L ' �� � � ¢ 3h�� � -;� N

�� ( ' � 1 (*' ! � � �C7 (8� " � !�6( 'g5 1 � 1#$¤

21.������� � 7�(*� � � ")"���O')(*� $ 5_7X! % �C7 (��&! " � �&- � a 1 � �Q� � c - � � �0�&�

 �£ � J 1 (�� L '' % J 1 L ' � � � ¢ 3h� � -;� N �� (�' � 1 (*' ! � � �C7 (8� " � !�6(*'65 1 � &

#$¤

22.������� � 7 (8� � � ")"���O')(*� $ ! % �C7 (��&! " � �&- � � �Q� � c - � � a 1 �0�&�

 �£ d J 1 (�� L '' % J & L�' �� � a 1 � ¢ 3h�� � -;� N �� (�' ��( ')( 1 ! � � �C7 (8� " � !�Q(*'65 1 � 1

#$¤

23.������� � 7�(*� � � ")"���O')(*� $ 5_7X! % �C7 (��&! " � �&- � a 1 � �Q� � c - � � a 1 �0�&�

  ��d � J 1 (�� L�'' % J & L ' �� � a 1 � ¢ 3h�� � -;� N �� ( ' ��( ' ( 1 ! � � �C7 (8� " � !�Q(*'65 1 � &

#$¤

3�<9:

Page 398: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���24.

������� �( �Q(*'�! "�C7�( ��! " ��3 £ �&� - � � c�&- � � �Q� � � - �� ��&�  �C(

�! '' % � N 1 � ( � � 1;- � �V( c a � � 1�- c - �7�(�� ! � � " � � " � � ¤

25.������� �( �Q(*'�! "�C7�( ��! " £ - � � ¢ 3h�&� - � � c�&- � � �Q� � � - �� �0�&�

 �(�P5_7�! ' J 1 (�� L '' % �C7 (*� ��! ' F �7 (8��G � N

�� ( ' �]� �)(*' ! � - � �� 5_7�� � ( 'g5 1#$¤

26.������� �( �O! ")"�C7�(���! " F ���(:7 G � � c a ��&- � � �Q� � � - �� ��&�

  J 1 (�� L '' % �C7 (*� ��! ' F ����(87�G � & N 1 � ( ' ��( �Q(*' ��� �)(*'

�)(*'65 1 ! �,-Q1 � � ¤27.

������� �( �Q(*'�! "�C7�( ��! " � ¢ 3h�� � - � � c�&- � � �Q� � � - � � ��&� 

�(� 5_7X! ' J 1 (�� L '' % J 1 L ' �� � ��� 3 ¢ � -;� N �� ( ' � 1 (*' ! � �C7 (8� " � !�P5_7 � �)(*'65 1

#$¤

28.������� �( �Q(*'�! "�C7�( ��! " � ¢ 3h�� � - � � c�&- � � �Q� � � - � � a 1 ��&� �£ �

�(�P5_7�! ' J 1 ( � L '' % J & L ' � � a 1 �0� 3 ¢ � -;� N �� (�' �V(�')( 1 ! � �C7�(*� " � !� 5_7�� � ( 'g5 1

#$¤

29.������� � � $ ( ���P5_7X! J 1 (�� L " J 1 L "J ')(�� 5 & L�" �C7 (��&! � " F �� � (87 G � � � - c a 1� �&- � � �Q� � c - � � ��&�

 � J 1 (�� L ' & ��C7�(%�9! ' � - c� F �7�(8� � G ¤

30.������� � � $ ( ���P5_7X! J 1 (�� L " J & L "J ')(�� 5 & L�" �C7 (��&! � " F �� � (87 G � � � - c a 1� �&- � � �Q� � c - � � a 1 ��&�

 � �9� J 1 (�� L ' & ��( �&! ' � - c -21� F �7�(8� � G ¤

3�<<

Page 399: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� ;31.

������� 7�C7�(���! " F �7�(*� � G � � c a ��&- � � �Q� � � - � � ��&�  J 1 (�� L '��� '�! % )

��� �7 (8� � , � & N 1 �� (�' �V(�')(�� � 1 (*'

� (*'65 1 ! �\]W -Q1�

#$¤

32.������� 7�C7�(���! " F �7�(*� � G � � c a ��&- � � �Q� � � - � � a 1 �0�&�

 � J 1 (�� L '��� '�! % � £ �&� � a 1 F �7�(*� � G � & N 1 �� (�' �V(�')(�� �V(�')( 1�)(*'65 1 ! �

\]W -Q1�

#$¤

33.� ��� ���� ��� � ��� � �43 �Q� - � � c - �� � �Q� � � a ��&- � �0�&�

  � ��! '' % � £ �&� � & N 1 �� ( � � 1;- � �V( �7 (��)(*' ! ( 1� �

W #$ ¤34.

� ��� ���� ��� � ��! "�(�P5_7X! " � c� � �Q� � � a ��&- � �0�&�   � ��! '' % � £ �&� � N � ( � � 1�- � ! �

�W� 5_7��#7�( � ( ' � ¤

35.� ��� ���� ��� � £)� 3 � 3 d2�R�43 � 3 d2� � � c - � a �� � ¢ � � c�&- � �0�&�   3 �(�P5_7X! '' % � � ��&� ¤

5.11.5. Sums containing products of Cλ� nk

m � pk(z)1.

������� �43 ¢ � � �(�P5 $ !A�(� 5n'�! "��')( $ ! % �(�Q(*'65_7X! " �����P5n'65_7�! " � � c� ��&� �  

�����9! ' & � J 1 L '� ' % �( �&! ' J � 5 1 L ' � c � �0�&� = = � � @������ � !C@CB2.

������� �43 ¢ � � � $ 5 �9! $&% J ��� 5n')( 1 L)"��')( $ ! % J & (*' L " �����9! " �����P5n'65_7X! " � � c� �0�&� �  �£ � d,� ¢ 3 £�� � �(�9! ' �����P5_7X! '

J � 5 1 L�' �� �Q(:7X! � ' � c -21� � �0�&� = = � � @ ����� � !C@CB

3.������� ��� $ 5n���Q(:7X!A�����Q(:7X! "$&% J � 5 1 L

"����� 5:� $ ! ( ")" �����P5n� $ ! '#")" ) � � (:7� , � � c a �S - � �0�&� � c a ��&- � �0�&�

  ���Q(:7�����9! ( &(' J � 5:'' L � cSEa � ��&� = � > ' ! = � � @ ��� � !C@CB3�<9L

Page 400: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���4.

������� � ��! "�C7 (��&! " � ¢ 3h�� � � � c - � � � �Q� � � a � �&- � a 1 ��&�  � � a 1 ��� ��! � ' & ����O'65_7X! % & N �� ( ' ��( ' ( 1 �#��g5 1 � 1 ! � � �C7�(8� " � ! #$ ¤

5.������� � ��! "�C7 (��&! " � ¢ 3h�� � � � c - � � � �Q� � � a � �&- � ��&�

  �� � ��� ��! � '���O'�! % & N �� (�' � 1 ( ' ����65 1 � 1 ! � � �C7�(*� " � ! #$ ¤

6.������� � ��! "�C7 (��&! " � ¢ 3h� � � � c - � � a 1 � �Q� � � a � �&- � ��&�

 �£ d �Q�� � ��� ��! � '���O'�! % & N �� (�' � 1 ( ' ���P5_7�g5 1 � & ! � � �C7�(8� " � ! #$ ¤

7.������� � ��! "�C7 (��&! " � ¢ 3h�� � � � c - � � a 1 � �Q� � � a � �&- � a 1 ��&�

 �£ d �Q�� � a 1 ��� ��! � ' & ���� '65_7X! % & N �� ( ' ��( ' ( 1 �#�P5_7�g5 1 � & ! � � �C7 (8� " � ! #$ ¤

8.������� $&% �(� 5 $ !�����9! " �����P5n'65_7X! " � � � c a ��&- � � �Q� � � c� ��&� �

  �����&! '%& �� ' % N � ( ' ��� ! � (�� ��P5 1 ����� � ¤

9.������� � $ 5 �&! $9% J ���P5 1 L � "�����9! " �����P5n'65_7X! " J 1 ( ' L " � � 3 ¢ � � � c a � a 1� �&- � � �Q� � � c� �0�&� �

  �2� � �P5_7�! � '���O'�! % & N �� (�' �#� �����P5n'65 1� 5 1 ����� ! �C7 ( �

� !A�C7 (8� � ! #$ ¤10.

������� � $ 5 �9! $&% J ��� 5 1 L � "�����9! " �����P5n'65_7X! " J ( 1 (*' L�" � � 3 ¢ � � � c a � a 1� �&- � a 1 � �Q� � � c� ��&� �   � � �&! � ' & � �� ��� '65_7X! % & N �� (�' �#� �����P5n'65 & � 5 1 ����� ! �C7 ( �

� !A�C7 (8� � ! #$ ¤3�<9P

Page 401: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� ;11.

������� ��� $ ( ���P5_7X! $9% �C7 (*���9! " J & (*��� L � "�C7 (��&! � " ��')(*��� 5:�O! " J 1 (*' L " £ - � ) 7�(�

�7�(*� � , � � � - c a &4� �&- � � �Q�Y � � c - �� �0�&� �   �C7 (*���9!A� � ( � �9! � '��� '�! % & N ��� (�' ��')(*���P5 & � 1 (��7�(�� �#7�(*��� ! 1;- �

W1;- �

W#�

12.������� ��� $ ( ���P5_7X! $9% �C7 (*���9! " J & (*��� L � "�C7 (��&! � " ��')(*��� 5:�O! " J ( 1 (*' L " £ - � ) 7 (

�7 (8� � , � � � - c a &4� �&- � a 1 � �Q�Y � � c - �� ��&� �   ��� ( � �9! � '%& � ��]���O'Q5_7�! % & N ��� ( ' �]')(*��� 5 � � 1 (��7�(�� �#7�( ��� ! 1;- �

W1�- �

W#�

13.������� �(�P5n� $ !A��� $ ! % J �P5 1 L � "�(�P5n'65_7X! " J 1 ( ' L " �����9! � " � ¢ 3 � O� �

Y � c a � a 1� �&- � � �Q� � c � ) * 7�(8�� , � c � ) * 7,5 �� ,  �����&! � ' & ��]���O'�! % � N & �� ( ' � c � c a 1 �#�P5n'65 1� �#� 5 1 � 1 ! �C7 ( �

� !A�C7 (8� � ! #$ ¤14.

������� �(�P5n� $ !A��� $ ! % J �P5 1 L � "�(�P5n'65_7X! " J ( 1 (*' L�" �����9! � " � ¢ 3 � O� �Y � c a � a 1� �&- � a 1 � �Q� � c � ) * 7�(8�� , � c � ) * 7,5 �� ,

  �����&! � ' & � ��#��� '65_7�! % � N & �� ( ' � c � c a 1 �#�P5n'65 & � �#� 5 1 � 1 ! �C7 ( �

� !A�C7 (8� � ! #$ ¤15.

������� �(�P5n� $ 5_7�!A��� $ 5_7�! % J � 5 & L � "�(�P5n'65n� ! " J 1 ( ' L " ����� 5 7�! � " � ¢ 3 � � �Y � c a � a &4� �&- � � �Q� � c � a 1!) * 7�(8�� , � c � a 1!) * 7,5 �� ,

  ��� � �(�P5_7X!A�����P5 � ! � '��� '�! % � ¢ 3h� � N & �� ( ' � c a 1 � c 5_7 �#�P5n'65 & � 5 1 ���P5_7�� & ! �C7 ( �

� !A�C7�(*� � ! #$ ¤3LN

Page 402: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���16.

������� �(�P5n� $ 5_7X!A��� $ 5_7�! % J � 5 & L � "�(�P5n'65n� ! " J ( 1 (*' L " �����P5_7�! � " � ¢ 3 � � �Y � c a � a &4� �&- � a 1 � �Q� � c � a 1 ) * 7�(8�� , � c � a 1 ) * 7,5 �� ,

  � � �����P5n�O! � '%& ���� '65_7�! % �� ¢ 3h� � N & �� (�' � c a 1 � c 5_7����P5n'65 ��P5 1 �#� 5_7�� & ! �C7 ( �

� !A�C7 (8� � ! #$ ¤5.11.6. Sums containing C

λk+µmk+n(ϕ(k, z))

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L � cS � � � � �&�  �¡ = ��� 'I@CB

2.������� �43 ¢ � � J ' $ L � cS � ¢ � � �&�  ' % �����&! ( & '� � (*'�! % J �P5 1 L ' F�3 � �,G � S -;������� � �� a � ��')( � ! " �����P5 � 5n'�! "� $ 5n'�! % J � 5n'65 1 L " F�3 � �,G � ¤

3.������� ��3 ¢ � � J ' $�L � cSEa � � � � � �&�

 ���� �0d2� � ��3 £ �&� � S�� ��� � �� a � �(� 5n'�! "� $ 5n'�! % � £ �&� � � c a � a �S - � � �Q� ¤4.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � S � cS F ¢ � �$ G   ��3 ¢ � S � £ d2�4S � S l � 3 �(�&! (� % � £ �&� S = '8> � @CB

5.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $�L � � 3h�&� S � cS F $ 5n�$ (*� G   ��3 ¢ � S � £ d2� S � S l � 3 �����9! (� % � S= '*> � @CB6.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $�L � c S � / � ���   �43 ¢ � S � % �(�&! � (��� � ! % � £ �&�4 S � S l � 3 �43 ¢ � S �(�9! (� %= '*> � @CB

7.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L � -21� � c SEa 1 � / � ���   ��3 ¢ � S � % �(�9! � ( & ���� � 5_7�! % � £ �&� SEa 1 � S l �3 �43 ¢ � S �#�(�&! ( & � �� % = '8> � @B8.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $�L � S � c S F �� $ G   ��d2� S � S l � 3 �(�9! � (��� � ! % � £ �&�� S = '8> � @CB

3L1�

Page 403: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� :9.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � SEa 1� � c SEa 1 F �� $ G  �£ �0d2� SEa 1 � � S l �3 �(�&! � ( & ���� � 5_7X! % � £ �&�� SEa 1 = '8> � @B

10.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L � c S � / ¢ � � � �   � %��� � ! % �0d2� S �43��V�&� S � S l � 3 �����&! � (��� � ! %= '*> � @CB11.

����� 1�( 7�! "� 7,5 $ � J ' $ L � c SEa 1 � / ¢ � � � �   ��3 ¢ � S � � ( & � � %��� � 5_7X! % �0d2� SEa 1 � S � S l �3 �����9! � ( & ���� � 5 7�! % = '8> � @CB

12.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L � S � c S F �� $ G   3 �(�&! � (��� � ! % � £ �&� S� ' % �(�&! ( �(�P5 � ! ( "�'��� � (*� '�! % � £ �&� S - � S -;��� ��� � �� a � ���O')(*� � ! � "� $ 5:'�! % ��')(*� � (��P5_7�! " � £ �&� - �= '*> � @CB13.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � SEa 1� � c SEa 1 F �� $ G

  3 �(�&! � ( & ���� � 5_7�! % � £ �&� SEa 1 � ' % �(�&! ( & � �(�P5 � 5_7�! ( "�'��� � (*� '�! % � £ �&� S - � a 1Y S -;��� ��� � �� a � ��� ')(*� � ! � "� $ 5n'�! % ��'T(*� � (��&! " ��� � (*� ')(*� $ 5_7�! � £ �&� - � = '*> � @CB

14.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $�L � S � c S F#" ¢ � �$ G   �( 7X! ( � %��� � ! % � £ d2� S � S l �3 �(�9! � (��� � ! % � �V�&� S = '8> � @�B15.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L $ ( & �� �� $ 5n� � c SEa 1 F�" ¢ � �$ G

  �( 7�! ( � %��� � 5_7X! % � £ d2� SEa 1 � S l � 3 �(�&! � ( & ���� � 5_7�! % £ SEa 1 � S = '8> � @B16.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � � � �&� S � c S ) * $$ 5 � ,   �43 ¢ � S � %��� � ! % � £ d2� S � S l �3 �(�9! (� % ��3��&� S = '8> � @CB

3L�,

Page 404: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���17.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � -21� �� � � �&� SEa 1� � c SEa 1 ) * $$ 5 � ,  ��3 ¢ � S � %��� � 5 7�! % � £ d2� SEa 1 � S l � 3 �#�(�&! ( & �� % ��3P�&� S = '*> � @CB

18.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $ L�� � � �&� S � c S ) * �$ 5 � ,   ��d2��S � S l � 3 �����&! � (��� � ! % � S = '*> � @CB19.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � � � �&� SEa 1� � c SEa 1 )+* �$ 5 � ,  �43 ¢ � SEa 1 £ / � �0d2� SEa 1 � S l � � �43 ¢ � S �����&! � ( & ���� � 5_7�! % � SEa 1� = '*> � @�B

20.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $�L � S � � cS ) 7� * $� � 7� " �$ ,   �43 ¢ � S ��d2��SQ� - S � � S l �3 �(�9! (� % � S � = '8> � @CB21.

����� 1$ "�" �$9% �0d2� � ��3 £ �&� � � c a ��&- � � ¢ � � �&�   3 � ���&! '%& � ���')(:7�! % �����P5_7X! ¤

22.������� � $ m 5 � ! '#")"�" ���')( $ ! % �C7 (��&! " F m�O��G � � c - �� � ¢ � � �&�

  J � � L'��' m 5 � !A�C7 (��&! ' � c -;�� F ¢ 3 � �m G ¤

23.������� � ")"��')( $ ! % �C7 (��&! " � � f�� ��� ¢ � �&- � -21 � c - �� � � f�� �&�

 � ' J 1 (�� L '' % ��' m 5 � 5_7X!A�C7 (*���&! ' ¤

24. ������� ��� ��! ")"���O')( $ ! % �C7 (��9! " � � f�� ¢ �� �&- � -21 � c - �� �4� � f�� ¢ �4�&�

  J 1 L ' � " � '���O'�! % ��� ' m 5_7�!A�C7 (%�9! ' ¤25.

����� 1$ ']" �$&% �0d2� � � c a � �&- � F �� $ G   �(�&! � ']" ����O')( �O! % � £ �&� �&- = '8>?7A@CB

26.����� 1

$ ']" �� �$9% ��d2� � � c a � �&- � a 1 F �� $ G   �(�&! � '��� ')(:7X! % � £ �&� �&-21 = '8>?7A@CB3L3

Page 405: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� :27.

����� 1 � � - J 1 L � "� $ 5n'�! % J 1 (*' L " � � � � a 1� �&- � F � ¢ � � � G   3 ��� '65_7X!��� ��')(:7X! % ¤

28.����� 1 �

� - J 1 L � "� $ 5n'�! % J ( ' ( 1 L�"� "� 7,5 $ � � � � a 1� �&- � a 1 F � ¢ � � � G

  3 ��� '65 � !��� ��')(:7X! % ¤29.

����� 1 � � - � J 1 L � " � "� $ 5n'�! % J 1 (*' L)" � � a 1� �&- � F � ¢ � � � G

  3 ��� '65_7�!��� D 7��')(:7�! % � ���O'65 � !��� ��')(*�O! % H ¤30.

����� 1 � � - � J 1 L � "� $ 5n'�! % J ( ' ( 1 L�"

� "� 7,5 $ � � � � a 1� �&- � a 1 F � ¢ � � � G  3 ��� '65 � !��� D 7��')(:7�! % � ���O'65 � !��� ��')(*�O! % H ¤

31.����� 1 �

� - � J 1 L � "� $ 5n'�! % J 1 (*' L " � � � � a 1� �&- � F � ¢ � � � G  3 ��� '65_7�!A��� '65 � !A���O'Q5 �O!�� �

� � �#��')( � ! % 3 �#��� '65_7X!A���O'65 � !�� �7�� � ��')( �O! % 3 ��� '65_7X!��� ��')(87�! % ¤32.

����� 1 � � - � J 1 L � "� $ 5n'�! % J ( 1 ( ' L " � "� 7,5 $ � � � � a 1� �&- � a 1 F � ¢ � � � G  3 ��� '65 � !A��� '65 � !A���O'Q5 � !�� �� � �#��')( � ! % 3 �#��� '65 � !A���O'65�O!�� �7�� � ��')( �O! % 3 ��� '65 � !��� ��')(87�! % ¤

33.����� 1

$ � "$ � 5 m � J ( 1 L � "� $ 5n'�! % J 1 (*' L " � � � � a 1� �&- � F � ¢ � � � G  3 m " �����' % ! 3 m " ���'65_7X! % ��� ')(:7�!�� � & N � ( ' (:7���')( 1 �V7� m ��( � m ! m � � � 3 ¢ � ¤

34.����� 1

$ � "$ � 5 m � J 1 L � "� $ 5n'�! % J ( 1 (*' L " � "� 7<5 $ � � � � a 1� �&- � a 1 F � ¢ � � � G  3 m " �����' % ! 3 m " ���'65_7X! % ��� '65_7�!�� � & N � ( ' (:7���'65 1 �V7� m ��( � m ! m � � � 3 ¢ � ¤

3L95

Page 406: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���35.

���������� $ 5_7X! � "�" � J 1 L � "'& �� $ 5n'65_7X! % J 1 (*' L�" � � � � a &4� �&- � � � ¢ � � £)� � ¢ � � �   �O'�5 %�#��' % ! ¤

36.������� ��� $ 5_7X! � "�" � J & L � "� $ 5n'65_7X! % J ( 1 (*' L)" � "

� 7,5?��� $ 5_7�! � �Y � � a &4� �&- � a 1 � � ¢ � � £!� � ¢ � � �   �O'65 �' % ¤

37.�������

��� $ 5_7X! � "�" � J 1 L � "'& �� $ 5n'65_7X! % J 1 (*' L " � � � � a &4� �&- � � � ¢ � � £)� � ¢ � � �  � '65_7�#��' % ! D ¢ � �

� � � £� � � � H ¤38.

������� ��� $ 5_7X! � "�" � J & L � "� $ 5n'65_7X! % J ( 1 (*' L " � "� 7,5?��� $ 5_7�! � �

Y � � a &4� �&- � a 1 � � ¢ � � £!� � ¢ � � �   � £�� � � D 7' % � �]���O'65�O!���#��')(:7X! % H ¤

39.�������

��� $ 5_7X! � "�" J 1 L � "'& �� $ 5n'65_7X! % J 1 (*' L�" � � � � a &4� �&- � � � ¢ � � £)� � ¢ � � �  �O'65_7�]��' % ! D ¢ � � �� 7 � � £�� � �4��� �� ��� � � � � ¢ �X� £� � �R� £�� ���#�4� H ¤

40.������� ��� $ 5_7X! � "�" J & L � "� $ 5n'65_7X! % J (�')( 1 L)"

� "� 7,5?��� $ 5_7�! � �

Y � � a &4� �&- � a 1 � � ¢ � � £)� � ¢ � � �  � £�� � � � 7' % � � �#���O'Q5 �O!��� 7 ��')(:7X! % � � ���O'65�O!A��� '65 � !�� �� ���]��')(*� ! % ¤

41.������� ��� $ 5_7X! � "'& ���� $ 5 7�! � 5 m � J & L � "� $ 5n'65_7X! % �C7 � (*'�! " � �

Y � � a &4� �&- � � � ¢ � � £!� � ¢ � � �   �O'65_7' % �C7<5 m � ! & N �� (�' �#7 ��'65 & ! m � �&�- � � � & a � �#$¤

42.������� ��� $ 5_7X! � "'& ���� $ 5 7�! � 5 m � J & L � "� $ 5n'65_7X! % J ( 1 (*' L)" � "

� 7,5?��� $ 5_7�! � �Y � � a &4� �&- � a 1 � � ¢ � � £!� � ¢ � � �   � 'g5 �' % �C7<5 m � ! & N �� (�' ��'g5 � �V7&�- � � � & a � � ! m � �

#$¤

3L�;

Page 407: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� :43.

������� ��� $ 5 �9! � "�" � �(�9! " J �P5 1 L � "$&% �(� 5n'65_7X! " J ( 1 (*' L " � "� 7,5?��� $ 5 �9! � �

Y � c a � a 1� �&- � a 1 � � ¢ � � £)� � d2� � �   � " � ' �����P5_7X! � ' & �' % � J & L ' ¤

44.����� 1

$ � "'& � J 1 L � "� $ 5n'�! % J 1 (*' L)" � � � � a 1� �&- � F � ¢ � � � G  ���O'65_7X!V�� ��')(*� ! % � � £�� � �&� & N � ^ � (*' �]'65 � �

�� `3 �')(:7 & N � ^ 7 (*' ��'g5 & � �� ` = '*> ��@CB

45.����� 1

$ � "'& �� 7,5 $ � � J 1 L � "� $ 5n'�! % J ( 1 (*' L " � � � � a 1� �&- � a 1 F � ¢ � � � G  ���O'65 � !V�� ��')(*� ! % � � £�� ���#�&� & N � ^ � (*' �]'65 � �

�� `3 �')(:7 & N � ^ 7 (*' ��'g5 � �

�� ` = '*> ��@CB46.

������� � £)� � d2� � -21 �(�&! " J � 5 1 L � " � "$9% �(�P5n'65_7X! " J 1 (*' L " � c a � a 1� �&- � � � ¢ � � £!� � d2� � �  � " � ' �����P5_7X! � '' % � J 1 L '

¤

47.����� 1

�( $ m ! " � $ m ( � ! '#")"�" ���')( $ ! % �C7 (��&! " � c - � � F �� $ G  �( 7�! ' � ']" �' % � �( � ! '��' m ( � !A�C7 (��9! ' � c -;� � F ��" m

� G ¤48.

����� 1$ "'& �� � �( m ! " � $ m ( � ! ']")"�" ���')( $ ! % �C7 (��&! " � c - � � a 1 F �� $ G

  �#�( 7�! ' � ']" � �9�' % � �( 7�! ' m " �� � � ' & �� ���' m ( � !A�C7 (��9! ' � c -;� � a 1 FO��" m� G ¤

49.��� ��� �( m ! " � $ m 5 � ! '#")"�" ���'Q( $ ! % �C7�( �9! " � � �_�&� � � c - � � ) * �$ 5*� ,

  � � ( m �]! '��' m 5 � !A�C7�( �9! ' � c -;� � )+* m �m � ( � , ¤3L:

Page 408: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���50.

������� �( m ! " � $ m 5 � ! ']")"�" ���')( $ ! % �C7 (��&! " � � � �&� � a 1� � c - � � a 1 )+* �$ 5 � ,  �( 7�! ' & � m " �� � � m ��( � ! ' & �� ���' m 5 � !A�C7 (��9! ' � c -;� � a 1 ) * m �m ��( � , ¤

51.������� �( 7X! "��')( $ ! % �C7 (��&! " � � f�� ¢ � �&-21 � c - � � F �� $ m 5_7 G   �(�9! ' ���O�]! � '��� '�! % ��' m 5_7X! ¤

52.������� �( 7X! "��')( $ ! % �C7 (��&! " � � f�� ¢ � �&-21� � c - � � a 1 F �� $ m 5_7 G

  �(�9! ' & � ���O�]! � '%& ���� '65_7�! % ��' m 5_7X! ¤53.

��� ��� � $ m 5:7�! ']")"�" ���'g( $ ! % �C7,( �&! " �43��&� - � � ¢ � � � f � ¢ �4�&� � � c - � � ) 7� 7�5 � $ m 5:7�!�� ,

  J 1 ( � L '���O'�! % ��' m 5n7X! F�3 � � G � ¤54.

������� � $ m 5 7�! ']")"�" ���')( $ ! % �C7 (��&! " ��3��&� - � � ¢ � � � f-� ¢ � �&� � a 1� Y � c - � � a 1 ) 7

� 7<5h� $ m 5 7�!�� ,   ��� J 1 (�� L '��� '65_7X! % ��' m 5_7X! F]3 � � G � ¤55.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � ��� � c� F $ 5 �� � $ � G   ��d2� � � ��3 ¢ � � � -;��� 3 � ' �' % ¤

56. ������� �43 ¢ � � � $ m 5_7X! � ']")"�" ���� ')( $ ! % �����9! " � � � f�� ¢ �4�� �#� � � � c� ) $ m 5_7

� � $ m 5_7X! � 5n� ,  J 1 L�' �(��]! '���O'�! % ��� ' m 5_7�! J �P5 1 L '

¤

57.������� �43 ¢ � � � $ m 5_7�! ']" ���')( $ ! % �C7 (��9! " � c - � � F �� $ m 5_7 G   �(�&! ' � � '' % ��' m 5_7X! J 1 L�'

¤

58.������� �43 ¢ � � � $ m 5 7�! ']" �� ���')( $ ! % �C7 (��9! " � c - � � a 1 F �� $ m 5_7 G   �]�(�9! ' & � � � ' & �' % ��' m 5_7�! J & L ' ¤3L�<

Page 409: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� <5.11.7. Sums containing C

λk+µmk+n(ϕ(k, z)) and special functions

1.����� 1 � � � �

� � � 3 � � ¢ � �&- � -21� J (�'<( 1 L)"��')( $ ! % �C7 (��&! " � �&- � a 1 F �� ')( $ 5_7 GY � c - � � F �� $ G   3 ��'65_7X! '#" �� �' % � � a 1 ) � * 7'65_7 ,� � £ �Q�4 � a 1 ������� F 'g5 7

� G � J ( 1 (*' L�"��')( $ 5 7�! % �C7 (��&! " � c - � � F �� '65_7 G ¤2.

��� � 1 £ � � � a 1� � � 3 � � ¢ � �&- � -21� J ( '<( 1 L�"��'g( $ ! % �C7,( �&! " � �&- � a 1 F �� 'g( $ 5n7 GY � c - � � a 1 F �� $ G   3 ���I�' % � � � ¢ � �&-21� � � a 1 ) � * 7' 5n7 ,

� / � � ¢ � £ �Q�4 � a 1 ������� F '65_7�

� G � J ( 1 (*' L�"��')( $ 5_7X! % �C7 (��&! " � c - � � a 1 F �� 'g5 7 G ¤3.

����� 1 £ � � � a 1� � � 3 � � ¢ � �&- � -21 J 1 (*' L "��')( $ ! % �C7 (��&! " � �&- � F �� ')( $ 5_7 GY � c - � � a 1 F �� $ G   3 ���9�' % � � � ¢ � �&-21 � � F �� 'g5 7 G� / � � ¢ � � � O� � ������� F 'g5 7

� G � J 1 ( ' L "��')( $ 5 7�! % �C7 (��&! " � c - � � a 1 F �� '65_7 G ¤4.

����� 1 � � � �� � � 3 � � ¢ � �&- � -21 J 1 (*' L "��' ( $ ! % �C7 (��&! " � �&- � F �� ')( $ 5_7 G

Y � c - � � F �� $ G   3 ��'65_7X! '#" �' % � � ) � * 7'g5 7 ,3 � £ �Q�4 � ������� F 'g5 7

� G � J 1 (*' L "��')( $ 5 7�! % �C7 (��&! " � c - � � F �� '65_7 G ¤5.

������� �43��V� � � � � ¢ � �&-21� J 1 ( ' L�"��')( $ ! % �C7 (��&! " � �&- � F �� $ 5 7 G � c - � � a 1 F �� $ 5_7 G  � � '%& �

� '%& � � " ���'65_7X! % ���O'Q5_7�! �¢ 3 & N 1 �� ( ' (87 �V( ' ( 1 �#�1 ! ( � " � � � #$ � ¤

3LL

Page 410: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ������������ ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���6.

������� �43��V� � � � � ¢ � �&-21 J 1 ( ' L "��')( $ ! % �C7 (��&! " � �&- � F �� $ 5_7 G � c - � � F �� $ 5 7 G  � � '

� '%& � � " ���'65_7X! % ��� '65_7�!A�(�Q(87�! � & N 1 �� ( ' (:7��V(�')( 1 �#�( 1 ! ( � " � � � #$ 3 ¢ � ¤7.

������� �43��V� � � � � ¢ � �&-21� J ( 1 ( ' L�"��')( $ ! % �C7 (��&! "Y � �&- � a 1 F �� $ 5_7 G � c - � � F �� $ 5_7 G  � � '%& �

� '%& � � " ���'65_7X! % ��� '65 � !A�(�6(87�! � & N 1 �� ( ' (87 �V(�')( & �#�6(87( 1 ! ( � " � � � #$ 3 ¢ � ¤8.

������� �43��V� � � � � ¢ � � J ( '<( 1 L�"��')( $ ! % �C7 (��&! " � �&- � a 1 F �� $ 5 7 G � c - � � a 1 F �� $ 5_7 G  � � '%& �

� '%& � � " ���'65_7X! % ���O'Q5 � ! �¢ 3 & N 1 �� ( ' (87 �V( ' ( & �#�1 ! ( � " � � � #$ � ¤

9.������� � $ 5 7�! " ��C7�(���! " F ��O��G � � c a ��&- � �4� � 3 � � �Q� � � - �� � ¢ � � � � ¢ � �&�   J 1 (�� L '�C7 ( � ��! '

Y F�3 ��� G � ������� F]3 ��

�G � ��� �)(*'�! "��')( $ 5 7�! % J � (*'65 1 L " � c -

� a �� � � � � ¢ � �Q� ¤10.

����� 1 �43 ¢ �� � � � � 3 � � ¢ � �&- � -21 �(�')(��&! "�C7 (���! " � c�&- � F �' ( $ 5_7�G

Y � � - � � F �� $ G   3 � � � ¢ � �&-21 � c� F �'65_7�G� ��3 �Q� � ��� ��� F '65_7

�G � �(�')(��&! "�C7�( ��! " ��')( $ 5_7X! % � � - � � F �� '65_7 G ¤

11.����� 1 �43 ¢ �

� � � a 1� � � 3 � � ¢ � �&- � -21 �(�')(��9! "�C7�( ��! " � c�&- � F �' ( $ 5_7 GY � � - � � a 1 F �� $ G   3 £ ���;� � � ¢ � �&-21 � c� F �'65_7 G

� / � � ¢ � � ��� ��� F ' 5 7�

G � �( '8( �&! "�C7E( ��! " ��'*( $ 5 7X! % � � - � � a 1 F �� ' 5 7 G ¤3LP

Page 411: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��� L12.

������� � $ 5_7X! "�" ��C7�(���! " � � � c a ��&- � �4� � � ¢ � �Q�Y � � - � � F �� $ 5_7 G   �(�9! ' & � � � � � ! " ��]��'65_7X! % � �)(:7X! � N � (�')(:7�� �)(:7� �V( 1 ! � � � � 3 ¢ � ¤

13.������� � $ 5_7X! "�" �� ��C7 (���! " �

� � c a ��&- � �4� � � ¢ � �Q� � � - � � a 1 F �� $ 5_7 G  �(�&! '%& � � � ��! " ���'65_7�! % �

¢ 3 N � (�')(:7 � �� � 1 ! � � � � � ¤14.

������� � $ 5_7X! "�" ��C7�(%�9! " �43 �Q� � � c a ��&- � �4� � 3 � � �Q� � c - � � F �� $ 5_7 G  ������� � � �Q� � � �(�&! "��� $ ! % � $ 5_7X! � c a ��&- � � � � � ¢ � �Q� ¤

15.������� � $ 5_7X! "�" �� ��C7 (��9! " ��3 �Q� � � c a ��&- � � � � 3 � � �Q� � c - � � a 1 F �� $ 5_7 G

  ��d2� ������� � � �Q�� � � �(�P5_7X! "��� $ 5n� ! % � c a ��&- � � � � � ¢ � �Q� ¤16.

������� � $ 5_7X! "�" ��C7�(%�9! " � � � � a ��&- � �4� � � ¢ � �Q� � c - � � F �� $ 5_7 G  � ��! ' & ��]��'65_7X! % �(�Q(:7�!

�� � � N � (�')(:7 �#�Q(:7 ! � � �

� �V( 1 � 3 ¢ � ¤17.

������� � $ 5_7X! "�" �� ��C7 (��9! " �� � c a ��&- � �4� � � ¢ � �Q� � c - � � a 1 F �� $ 5_7 G

  �(�&! '%& ��� D 7��'65_7X! % � �( 7X! '��� '65n�O! % � � a ��/ �:�&� H ¤

5.11.8. Sums containing products of Cλk+µmk+n(ϕ(k, z))

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L � � cS � � � � �&� �  �¡ = � ��� 'I@CB

2.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $�L � S D � cS F�" ¢ � �$ G9H   �43 ¢ � � �����9! �'' % � S l � 3 �(�9! �(� � % ! � � �#�&� S= � � 'I@B3PN

Page 412: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

3.������� � � � ¢ � � -21 �(�9! "�C7�( ��! " ��3 £ �Q� � � c a ��&- � �4� � � ¢ � � � ¢ � � � - � � F �� $ 5_7 G

  �����Q(:7�! ' ��� � � � ! " ���'65_7X! % � �)(:7�! �¢ 3 & N � ( ' (87 �����P5n')(:7�� � (87�6( 1 �V( 1 ! ( � �

W � � ¤

4.������� � � � ¢ � � -21� �(�9! "�C7�( ��! " ��3 £ �Q� � � c a ��&- � �4� � � ¢ � � � ¢ � � � - � � a 1 F �� $ 5_7 G

  �����Q(:7X! '��'65_7X! % � �Q�&� -21 � & N � ( ' (:7������P5n')(:7�� ��6( 1 � 1 ! ( � �W

� 3 ¢ � ¤5.

������� � � � ¢ � �&-21� �(�&! "�C7 (���! " � c a � �&- � F �� $ 5_7 G � � - � � a 1 F �� $ 5_7 G  �(�&! � ' & ����O'65:�O! % � £ �Q�� � a � -21 �� ¢ 3 & N �� (�')(:7��V(�')( 1 � �( �6( �O' � 1 ! �

W�

W#$���¤

6.������� � � � ¢ � � �(�&! "�C7 (���! " � c a � �&- � a 1 F �� $ 5_7 G � � - � � a 1 F �� $ 5_7 G

  �(�&! � ' & ���� '65 � ! % � £ �Q�� � a & � -21 �� ¢ 3 & N �� (�')(:7 �V( ' ( & � �( �6( �O')(:7�� 1 ! �W

W#$ ��¤

5.12. The Jacobi Polynomials P (ρ,σ)n (z)

5.12.1. Sums containing P (ρ � pk,σ � qk)m (z)

1.������� j + � a � l�� .S �0�&�   �� 5_7 D j + � a �9l��V-21 .SEa 1 ��&�<3 j + � -21Rl��V-21 .SEa 1 �0�&� H ¤

2.������� �43 ¢ � � J ' $ L j + � a � l�� .S ��&�   F]3 7<5 �� G � j + � a �9l�� a � .S -;� ��&� = � > 'I@CB

3.������� J ' $ L � � 565 � 5_7X! "� � 5 � 5 7�! " � $ 5_7�! F ��(:7� G � j + � a � l�� .S ��&�

  ���'65_7X!A� � 5 g5 � !A�C7�(*�]!Y D� �-� � � j + � -21Rl�� .S ��&�<3 � � 5n'65_7X! %� % � � 5 � 5_7�! ' j + � -21Rl��V-;�&-21 .SEa � a 1 �0�&� H ¤3P1�

Page 413: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!,�� ,4.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � � 5 g5 � 5 7�! "� � 5 � 5_7�! " j + � a � l�� .S �0�&�  � � 5_7�! ( �( ( � ! '� � 5 7�! ' � � 5n'65 7�! ( j + � a �9l��V-�� .S ��&� ¤

5.������� �43 ¢ � � J ' $ L � $ 5:' (87�! %� $ 5 � ! % j + � l��V- � .S ��&�

  ��')(:7X! % ��65 � 5_7X! '� � 5:'�! % F ��(87� G � j + �9l�� .S -;� �0�&� = � > 'I@B6.

������� �43 ¢ � � J ' $�L j + � - � l�� a � .S �0�&�   j + � l�� a � .S -;� �0�&� = � > 'I@CB7.

������� �43 ¢ � � J ' $ L �( T( � ! "� � 5 � 5:7�! " j + � a � l���- ��.S ��&�   � � 5 Q5 � 5:7�! '� � 5 � 5:7�! ' j + � a �9l�� .S ��&� ¤8.

������� �43 ¢ � � J ' $�L �( ( � ! "�C7 ( (*'�! " j + � a � l��V- � .S ��&�  � � 5g5 � 5_7�! '��2! ' F]3 � 5_7� G � j + � a �9l�� a � .S -;� ��&� = � > 'I@B

9.������� J ' $ L �( ( � ! "� � (*'65_7�! " F 7 (8�7<5 � G � j + � a � l��V- � .S ��&�

  � � 5n'�! %� % �( � ! ' F]3 �7,5n� G � j + � -;�9l���-;� .SEa � ��&� ¤5.12.2. Sums containing P

(ρ � pk,σ � qk)m � nk (z)

1.������� �43 ¢ � � � £!� � �-��� � ¢ � � � 565_7�! "��')( $ ! % � � 5_7�! " � � 565n'65n�O! " j + � l�� .� ��&�

  � � 5g5 7�! ' & �' % � � 5_7X! ' F 7 (8�� G � ¤2.

������� � £)� � �-��� � ¢ � � � 5 g5_7�! � "$&% � � 5_7X! " j + � l�� .� ��&�  ��'g5 7�!&� � 5g5 7�! �' & �' % � � 5_7X! '%& � � � 5g5 7�!Ij + � l�� .� a 1 �0�&� � � � 5 g5_7X!A� � 5g5:�O!�#� � 5_7�!

Y D � � 5g5 � ! '' % H � ¢ 3h�&� & N � ( ' � � 5 g5n� � � 5 g5n'65 �� 5:� � � 5g5 � ! 1;- � � ¤

3P�,

Page 414: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

3.� ��� ���� ��� �43 ¢ � � � £� 3 � � � ¢ � ��')(*� $ ! % J (�')( 1 L " �( � (*'�! � "$&% j + � lC- � .�&- � ��&�

 �£ � F � � G � j + � lC- � -;� .� � £ �Q3 ¢ � ¤4.

� ��� ���� ��� J ' $ L ��')(*� $ 5_7X! � ��')( � $ ! %��')( $ 5_7�!A� � 5_7X! '#" � " j + � lM1A- � .�&- � �0�&� �£ � ' %� � 5_7�! ' j + � lM1� - � -;� .� � £ �Q3 ¢ � ¤

5.������� J � '65_7')( $ L ��� $ 5 7�! %� � 5_7X! � "'& � j + � lC- � -21 . � a 1 ��&�

  � � ' ���O'65 7�! %� � 5_7X! � ' & � j + � lC- � - �&-!&4� . � a 1 � £ �Q3 ¢ � ¤6.

������� � S� a2S � � �( � (*'�! "� $ 5 � ! % j + � l�� a � .�&- � ��&�  �( 7�! ( &(' � " (� % � � 5n'65_7�! ( S�� ��� ��3 ¢ � � J � $ L � � � 3 ¢ � SEa � j + � l��V- S .SEa � F $ ��(*�$ ��(:7 G ¤

7.������� F ���(:7 G � j + � - � l�� .� ��&�   F ��E(:7 G � j + � -;�9l�� a 1 .� �0�&� ¤

8.������� �43 ¢ � � � m ! "��g5_7X! " j + � - � l�� .� ��&�   � m 5_7X! '' % & N � (�' � m � � 5g5_7m 5_7�� g5_7 ! 1 a � � ¤

9.������� 7��')( $ ! % � m ! " j + � - � l�� .� �0�&�   7� m ! ' j + � a � -21Rl���-�� -;� a 1 .� �0�&� ¤

10.������� 7��')( $ ! % ��65_7�! " j + � - � l�� .� �0�&�   � � 5 g5_7�! '' % ��g5 7�! ' F � 5_7� G � ¤

11.������� 7��')( $ ! % ��65_7�! " F �7 (8��G � j + � - � l�� .� ��&�   �( � ! '' % ��65_7X! ' F � 5_7��(:7�G � ¤

12.������� �( 7X! " $9%��g5_7X! " j + � - � l�� .� ��&�

  ��� 5 � ¢ � �&� -21 D ¢ � �43 ¢ � � ��'65_7�! %���! '%& � j + � -;�&-21Rl���-21 .� a 1 �0�&� H ¤

3P3

Page 415: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!,�� ,13.

������� � m ! "��')( $ ! % � � ! " ��65_7�! " j + � - � l�� .� ��&�  � � ( m ! '' % � � ! ' & N � (�' � m � � 5g5_7 ! 1 a �m ( � (*'65_7�� 65_7 � ¤

14.������� J ' $�L J �O'$*L -21 7��')( $ ! % ��g5_7X! " j + � - � l�� .� ��&�

  ' %���O'�! % & N � ( ' ��( ' � � 5 g5_7g5_7��V7 ! 1 a � � ¤

15.������� �( (*'�! "��')( $ ! % ��65_7�! " �( � ( )(*'�! " F�3 �7,5 ��G � j + � - � l�� .� ��&�

  ��g5 7�! '' % � � 5 g5_7�! ' F �7,5 � G � � N & �� ( � � 1;- � �V( � � � 5g5_7� a 1 � � 5_7�� g5_7 ! + 1 a � . W�

#$¤

16.������� � £)� 3 �I� �( � ! "��65_7�! " F �7 (8��G � j + � - � l�� .� ��&�

  �( � ! '%& ���65_7�! ' F �7 (8� G � j + � - �&-21Rl�� .� ��&� ¤17.

������� � £)� 3 �I� � m ! " �( � ! "�C7 ( m ( � ! " �( � ( 2! " F �7�(8��G � j + � - � l�� .� �0�&�  � m ! ' �( � ! � '%& �' % �C7 ( m ( � ! ' �( � ( 2! ' F ���(:7 G � & N � (�' �V(�')( m � � 5 ( '65_77�( ' ( m � � (*� ' ! 1;- � � ¤

18.������� � £)� 3 �I� �(�')(87�! " �( � ! "��')( � 5n�O! " �( � ( 2! " F �7 (8��G � j + � - � l�� .� ��&�

  �( � ! ' & ��( � ( 2! ' & � F �7�(*� G � a 1 D ¢ � ��3 ¢ � � � � � ¢ � � �( � ! ' & ��( � ! � ' & � j + � - �&- l�� .� a 1 ��&� H ¤19.

������� �( � ! "��')( $ ! % � m ! " �( � ( 2! " F ��E(:7�G � j + � - � l�� .� �0�&�  �( � ! � '' % � m ! ' �( � ( �! ' F �7�(8� G �

Y� N & �� (�' � � a � - � � � a � - � a 1 � � 5 ( 'g5 7

� a 1 (*' � � (*'65_7 � m 5 � (*' ! 1�- �#$¤

3P95

Page 416: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

20.������� �( � ! "�( � ( �! " F �7 (8� G � j + � - � l�� .� ��&�

  �( � ! � '' % �( � ( 2! ' F ���(:7 G � & N �� (�' � � (*' � � 5 (*'65_7� (*'65_7�� � (*�O' ! 1;- �

#$¤

21.������� � S� a2S � � � � 5g5n'65_7X! "� $ 5 � ! % j + � a � l�� a � .�&- � �0�&�

  �" (

� % �( � ( )(*'�! ( S�� ��� ��3 ¢ � � J � $ L j + � - S l���- S .SEa � � £)� � � �&� ¤22.

������� � � 5g5 7�! "��')( $ ! % �C7 ( m (*'�! " J m 5 � 5 g5 & L " �43 £ � -� � ¢ � �&� - � j + � a � l��V- � .� ��&�

  �C( �! ' � � 5g5 7�! '' % � m ! ' J m 5 � 5g5 & L ' £ -;� � ¢ � �&� -;�Y & N � (�' ��� m 5 � 5g5:'65_7 �V( � m ( � ( (*'

(*'65_7��V( � ( )(*' ! 1 a � � ¤23.

������� � � 5g5_7X! "��')( $ ! % � m ! " J � 5 ( m (*'65 � L " �43£ � - � � ¢ � �&� - � j + � a � l��V- � .� ��&�

  �( 2! ' � � 5g5 7�! '' % � m ! ' J m ( � ( ( & L ' £ -;� � ¢ � �&� -;�Y & N � ( ' �]� m ( � ( g5n')(*��� � 5 (*� m (*'65 �

( 'g5 7 �V( � ( (*' ! 1 a � � ¤24.

������� J � 565n'65 1 L "��')( $ ! % � � 5_7X! � " £ � �0�Q3 ¢ � � j + � a � l���- ��.� ��&�  ���O'�! %' % � � 5_7X! � ' j + � l � a � . � �0�&� ¤

25.������� J m 5n')( 1 L " � � 5 g5_7X! "��')( $ ! % � m ! " � � 5_7X! � " £ � ��63 ¢ � � j + � a � l���- ��.� ��&�

  7' % & N � (�� ' �]� 'g5:� m (87 � � 565_7m � � 5_7 ! 1;- � � ¤3P�;

Page 417: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!,�� ,26.

������� � m ! " � � 5g5_7X! "��')( $ ! % � m (*'65 1 ! " � � 5 7�! � " £ � ��Q3 ¢ � � j + � a � l���- ��.� �0�&�  �43 ¢ � � � m ! ' � � 5g5_7X! � '

J 1 ( m L ' � � 5_7�! � ' ��Q3 ¢ � � & N �� (�� ' � 1 ( m (*' �V( � (*� '7 (*� m (*� ' ��( � ( (*� ' ! 1;- �

#$¤

27.������� �C7�( m (*'�! "�( � ( 2! " F �7 (8��G � j + � - � l��V- � .� ��&�

  � m ! ' �( � ! '' % �( � ( 2! ' F �7�(*� G � & N � (�' � m (:7�� � 5 (*'65_7m � � (*'65_7 ! 1;- � � ¤28.

������� �"��')( $ ! % �( � ( �! " j + � - � l��V- � .� ��&�   �

'�( � ( �! ' j + � -;�9l���-;� .� F �Q3 �� G ¤

29.������� 7��')( $ ! % �( � ( �! " ��' ( $ 5 m ! F ���(:7 G � j + � - � l���- ��.� �0�&�

  �( � ! '' % m �( � ( 2! ' F ���(:7 G � & N � ( ' �V7�� � 5 (*'65_7m 5_7�� � (*'65_7 ! 1;- � � ¤30.

������� � � 5)(*'65_7�! "��')( $ ! % � � (*'65_7�! " �( � ( �! " j + � - � l���- ��.� �0�&�  �( � ( �! '' % �( � ! ' F 7�(8�� G � � N & �� ( � � 1;- � �V( � ��( ! �+ 1;- � . W( � a � � 1;- � - � ��( � ( #$

¤

31.������� J 1 ( m (*' L "��')( $ ! % J & (*' L " �( � ( 2! " F ���(:7 G � j + � - � l���- ��.� �0�&�

  J m 5 1 L ' �( � ! '� m ' % J ( 1 L ' �( � ( 2! ' F �7�(8��G �Y � � £ fT3 ¢ � & N � ( ' � m � � 5 (*'65_7m ( 1 � � (*'65_7 ! 1;- � � � & N � (�' � m � � 5 (*'65_7m 5 1 � � ( 'g5 7 ! 1�- � � � ¤

32.��� ����J �'g( $<L � � ( �! "�( � ( �! " F ���5:7�G � j + � - � l���- ��.� ��&�

  �( �! '�( � ( 2! ' F ���5:7�G � j + � a2S -;�9l��V- S -;� .� ��&� ¤3P:

Page 418: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

33.������� '#")"'& �(�( � ( �! " F �7 (8� G � j + � - � l��V- � .� ��&�  �( � ! '' % �( � ( �! ' F ���(:7�G � SEa 1 N S � (�' � � 5 ( 'g5 7 �����9B�B B ���

� (*'65_7��#7 �&B B�B �#7 ! 1;- � � = � >?7R@CB34.

������� � m ! "��')( $ ! % �( � ( �! � " F ���(:7 G � j + � - � l���- ��.� ��&�  � m ! ' �( � ! '' % �( � ( �! � ' F �7�(*� G � & N � (�' � � 5 (*� '65_7�� � 5g5 m (*'65_7

� (*'65_7 �#7 ( m (*' ! �,-Q1 � ¤35.

������� J 1 ( � (*' L�" �( �! "��')( $ ! % �C7 ( � ( �O'�! " �( � ( �! � " F �7<5 ��G � j + � - � l��V- � .� ��&�  ��� � ! � ' �( 2! � '' % � � ! � ' �( � ( 2! � ' F �7,5 � G � & N � ( �O' � � � � 5)(*�O'65_7 ! 1 a �� � � )(*�O'65_7 � ¤

36.������� J 1 ( � (*' L " �( �! "��')( $ ! % �C7 ( � ( �O'�! " �( � ( �! � " F �7<5 � G � j + � - � l��V- � .� ��&�  ��� � ! � ' �( 2! � '' % � � ! � ' �( � ( 2! � ' F �7,5 � G � & N � ( �O' � � � � 5)(*�O'65_7 ! 1 a �� � � )(*�O'65_7 � ¤

37.������� �43 ¢ � � � m 5 $ 2! ']" ���')( $ ! % � m 5 $ 2! " j + � a � �]l � - � + � a 1 .�.� ��&�

  �( 7X! 'm 5n' 65n')(:7�j + � -�� -;� a 1Rl � a � -21 .� ��&� ¤38.

������� � m 5 $ �! ']" ���')( $ ! % � m 5 $ �! " F ���(:7 G � j + � - � l � - � + � a 1 .�.� ��&�  7m 5n' g5n')(:7 F ���(:7 G � j + � -;�9l � a � -21 .� ��&� ¤

39.������� �43 ¢ � � J ' $ L ��� $ ! %� � 5_7�! � " j + � l���- ��. � ��&�

  ' % � � 5g5_7X! '� � 5_7X! � ' � ¢ 3h�&� � j + � a �9l��V-;� .� F 7,5 �� G ¤40.

������� J ' $�L j + � - � l�� .� a2S �0�&�   j + � l���-;� .SEa � ��&� ¤3P�<

Page 419: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!,�� ,41.

������� J ' $ L � m ! "��g5 � 5_7�! " j + � - � l�� .� a2S �0�&�  �43 ¢ � S � � ( m 5_7�! ' ��g5 7�! (� � 5:'�! % & N � ( � (*' � m ( � � � 5g5 � 5_7m ( � (*' � 65_7 ! 1 a � � ¤

42.������� J ' $ L � � 5_7X! "� � 5g5:� � (*'65n�O! " F �7 (8� G � j + � - � l�� .� a2S ��&�

  �( � ( � ! '�( � ( (*� � (:7X! ' F �7�(*� G � j + � -;�9l�� .S ��&� ¤43.

������� J ' $ L F �� 5 7 G � j + � - � l��V- � .� a2S ��&�   F �� 5_7 G � j + � l���-;� .SEa � �0�&� ¤44.

������� J ' $ L �( ( � ! "� � (*'65_7X! " F 7 (8�� G � j + � a � l�� .S - � �0�&�  � � 5 7�! (� � ( 'g5 7�! ( j + � -;�9l�� .S ��&� = � > 'I@B

45.������� J ' $�L � m ( � ( ( � 5n')(:7�! "� m ! " F 7 (8�� G � j + � a � l�� .S - � ��&�

  � � 5 7�! (� % & N � ( � � � 5g5 � (*'65_7�� m 5n'� 5_7�� m ! 1;- � � = � > 'I@B

46.������� J ' $�L j + � a � l�� .S - � �0�&�   j + � a �9l��V-;� .S �0�&� = � > 'I@CB

47.������� J ' $ L � � j + � a � l�� .S - � �0�&�

  F 7 (8�� G S ����� 1 ��

� �43 � � � F ���(:7�G � j + � - � - ��- S -21Rl�� a � -;� .S - � F � 5 ���(:7;G= � > ' ! � >

�@CB

48.������� �43 ¢ � � J ' $�L � � 3 � � � � ����� � � � ¢ � � F � 5_7� G � j + � a � l�� a ��.S - � �0�&�

  � � 3 � � � ��3��83 � � � j + � a �9l�� .S -;� ��&� = � > 'I@CB49.

������� J ' $ L F � 5 7� G � j + � a � l�� a � .S - � �0�&�   j + � a �9l�� .S �0�&� = � > 'I@CB3PL

Page 420: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

50.������� J ' $ L � � 5g5 � 5_7X! "��)(*'65_7�! " F � 5_7� G � j + � a � l�� a � .S - � ��&�

  �( ( � ! '�( �! ' j + � a �9l��V-�� .S ��&� = � >_'I@CB51.

������� J 1 ( m L " � � 565_7�! "��')( $ ! % �C7 ( m ( '�! " � � 5_7X! � " £ � ��63 ¢ � � j + � a � l��V- � .� ��&�  �43 ¢ � � J 1 ( m L�' � � 5g5_7X! � '' % � m ! ' � � 5_7X! � ' ��Q3 ¢ � � & N � ( �O' � m (*' �V( � (*� '� m (*�O' �V( � ( (*� ' ! 1;- �

� ¤52.

������� � � 5g5_7X! "��')( $ ! % � m ! " J � 5 ( m (*')( � L�" �43£ � - � � ¢ � �&� - � j + � a � l��V- � .� ��&�

  �( � ! ' � � 5g5_7X! '' % � m ! ' J m ( � ( ( & L ' £ -;� � ¢ � �&� -;�Y & N � ( ' �]� m ( � ( g5n' � � 5 (*� m ( 'g5 �

� (*')(:7���( � ( ( ' ! 1 a � � ¤53.

������� J ' $�L �C( ( � ! � "J 1 ( � (*' L " �C( � ( ( � ! " £ - � ��$� ¢ � - � j + � a � l��V- � .S - � ��&�

  � � 5g5 � 5_7X! (� % F � 5_7� G S N � (�� � �V( � (*' ��( ( � ! 1 a �( � � (*�O' �V( � ( (*� � �= � > '*>?7R@CB54.

������� J ' $ L J � 5n'65 1 L�" � � 5g5 � 5_7X! "� � 5 � 5_7X! � " £ � ��63 ¢ � � j + � a � l���- ��.� a2S �0�&�  � � 5_7X! (� % & N � ( � (*�O' � � 5n�O'65_7�� � 5g5 � 5_7

� 5_7 � � 5 7 ! 1;- � � ¤55.

������� �C( �! "��')( $ ! % �C7 ( m (*'�! " J m ( g5 1 L " ��3��#� -� j + � a � l���- ��.� �0�&�

  �( 2! ' � � 5g5_7X! '' % � m ! ' J m ( g5 1 L ' F � 5_7� G � & N � ( ' �]� m ( g5:' � ( � m ( 'g5 7 (*'65_7���( � ( ( ' !

� a 1 � ¤56.

������� J 1 ( m L " �( �! "��')( $ ! % �C7 ( m ( '�! " �( � ( �! � " F �� 5_7�G � j + � - � l���- ��.� �0�&�  �43 ¢ � � J 1 ( m L ' �( �! � '' % � m ! ' �( � ( �! � ' F �� 5_7 G � & N � (�� ' � m ( ' � � 5 (*� 'g5 7� m (*�O' � ( �O'65_7 ! � a 1 � ¤

3PP

Page 421: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!,�� ,57.

������� J ' $ L � � 5 g5 � 5 7�! � "J 1 ( � (*' L " � g5 � 5 7�! " F � 5_7� G � j + � a � l�� a ��.S - � ��&�

  �43 ¢ � S � g5_7�! (� % & N � ( � � �V( � ( ' � � 5 g5 � 5 7( � � (*�O' � g5_7 ! � a 1 � = � > '*>?7R@CB58.

������� �( 2! "��')( $ ! % � m ! " J & ( m ( (*' L)" ��3��#� - � j + � a � l���- ��.� ��&�  �( �! ' � � 5 g5_7X! '' % � m ! ' J m 5 ( 1 L ' F 7<5 �� G � & N � ( ' �]� m 565n')(:7 ��� (*� m ( (*'

(*'65_7���( � ( ( ' ! 1 a �� ¤

59.������� J ' $�L �( � (*� � ! "

J 1 ( � ( � � (*' L " £ - � j + � a � l�� a � . S - � ��&�  � � 5g5n� � 5 7�! � (��� � ! % F 7�(8�� G S & N � (�� � �V( � ( � � (*' �V(�� � ( � �(�� � ( � � (*� ' ��( � ( ( � � ! 1;- �

�= � > 'I@B60.

��� ��� �C7�(*� m (*'�! " J 1 L "��')( $ ! % �C7 ( m (*'�! " ��g5_7X! " �( � ( 2! " F]3 �7,5n� G � j + � - � l���- ��. � �0�&�  ��� m ! ' � � 5 g5_7�! '' % � m ! ' ��g5_7X! ' F 7,5 �� G �

Y� N & ��� ( ' � 1 ( m (*' ��( � a � � 1�- � - �m 5 1 �V( � a � a � � 1;- � - �K- � ! �+ 1 a � . W

#�

61.������� � m ! " J 1 L�"��')( $ ! % J ��- � a 1 L " ��g5_7X! " �( � ( 2! " F]3 �7,5n� G � j + � - � l���- ��. � �0�&�

  � m ! ' �( 2! '' % J 1;- ��- � L ' �( � ( 2! ' �43 £ � -;� � ¢ � �&� -;�Y� N & �� (�' � � - � � � a � - � a 1 � � a �K- � 5_77 ( � a � � �K- � a 1 � �K- � 5 7 ! + 1 a � . W�

#$¤

62.������� �C7�( m (*'�! "��')( $ ! % ��65_7�! " �( � ( �! " F�3 �7,5 ��G � j + � - � l���- ��. � �0�&�  � m ! ' �( �! '���O'�! % �( � ( �! ' F]3 �7<5 � G � & N � ( �O' �#7�( m (*�O' � � 5)(*'65_7m � )(*'65_7 ! ( 1 a � � ¤

5�NN

Page 422: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

63.������� J ' $ L � � 5g5:� � 5_7�! "

J � 565n� � (*'65 & L " F 7<5 �� G � j + � a � l�� a ��. S - � �0�&�  ��65_7�! � (��� � ! % & N � (�� � � � 565n� � (*'65_7��]� � 5n��g5 � � 5:�

g5 7 ��� � 5n��65 � � (*� '65n� ! 1 a � � = � > 'I@CB64.

� ��� ���� ��� �43 ¢ � � ��')( $ ! %$&% �43 �T3 � � � F 7<5 �� G � j + � l�� a ��.�&- � ��&�  � � � ¢ � � F ��(87� G � & N �� (�' �V(�')( 1 �V(�')( �(�� ' (87 � g5_7 ! � a

�,-Q1#$¤

65.� ��� ���� ��� �43 ¢ � � ��')( $ ! %$&% � �-��� � � � ¢ � � F 7<5 �� G � j + � a � l�� a � .�&- � �0�&�

  �43 ¢ � � � � � ¢ � �& N � (�' �V(�')( 1 � � 5g5n'65_7(�� ')(:7 � g5 7 ! � 5_7 � ¤66.

� ��� & ������� � �-��� � £�� 3 �)� � ¢ � �( � (*'�! � "$9% �( � ( (*'�! � " F 3 � 5g5n� '65_7� G �Y j + � l�� .�&-!& � �0�&�   3 �( � ( ( �O')(:7X! '%& �' % F 7�(*�� G �

Y & N �� (�' �V( � ( ' ��( � a � a � a 1&( � a � a � a 1 �V( � a � a � ! & - �#$¤

67.� ��� & ������� � �-� �)� � J � & L)" � � 565n'65_7�! � "$&% � � 5n'65_7X! � " F 7 (8�� G & � j + � a � � l�� .�&-!& � ��&�

  � � ! '%& �' % & N �� ( ' � � & � � 5g5n'65_7� � � a 1 ! &�- &���

#$¤

68.������� �C7 ( m ( '�! " J m 5:�O')( 1 L "��')( $ ! % ��65_7�! � " �( � ( 2! " F �7,5 ��G � j + � -!& � l���- ��.& � �0�&�

 � m ! ' J m 5n�O')( 1 L ' � � 5g5_7X! � '� � '�! % ��65_7�! � ' � ¢ � �&� �

Y� N & �� ( � ' � m ( 1 �#7 ( m ( � ' �V( (*� '� m (:7��]� (*� m ( �O' ��( � ( (*� ' ! �1 a �

#$¤

5�N1�

Page 423: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!,�� 369.

������� �C7 ( m ( '�! " J m 5:�O')( 1 L "��')( $ ! % ��65_7�! " �( � ( �! � " F �7,5 � G � j + � -!& � l���- ��.& � ��&� 

� m ! ' J m 5:�O')( 1 L�' �( 2! � '� � '�! % �( � ( �! � ' F �7<5 ��G �Y� N & � ( � ' � m ( 1 �#7�( m ( � ' � � 5 (*�O'65 7� m (:7���� ( � m ( � ' � (*� '65_7 ! �O� 5n� � ¤

5.12.3. Sums containing P(ρ � pk,σ � qk)n � mk (z) and special functions

1.������� 7��')( $ 5_7�! % �( � ( 2! " F ��E(:7 G � � �0f63 � � j + � - � l��V- � .� ��&�

  7�( � ( �! '%& � F �7 (8� G � a 1 � �fg3 � 3 ¢ � D �( � ! ' & ���'65_7X! % 3 j + � -;�&-21Rl���-;�&-21 .� a 1 ��&� H� �( � ! '' % �( � ( �! ' � m ( ')(:7�! F �7�(*� G � � N & � (�' � � 5 (*'65_7��#7 �#7 ! 1;- �� ( '65_7 � m ( ' �]� � ¤

2.������� �C7�( m ! "�( � ( �! " F �7 (8��G � � �0fg3 � � j + � - � l���- ��.� �0�&�

  �( � ! ' �C7�( m ! '' % �( � ( 2! ' � m (*')(:7X! F ���(87�G �Y � �0fg3 � 3 ¢ � � �fg3 � 3 ¢ � & N � (�' � � 5 ( 'g5 7 � m (*')(:7

� (*'65_7�� m (*' ! 1;- � �� � N & � (�' � � 5 (*'65_7�� m (*')(:7�� m (*')(:7

� ( 'g5 7 � m (*' � m ( ' ! 1;- � � � ¤3.

������� F � � 3 ¢ 3 � G � �( '�! "��g5_7X! " j �&- � � �Q� j + � - � l�� .� ��&� �£ � J 1 L '' % � � 3 ¢ � ��� & N � (�' �V(�' � � 5g5_7

65_7 � 1 (*' ! � a 1�

( � a 1�

���

� (:7�! " �� � � ¤4.

������� �(�� � ! "�C7 (8� � ! " � j �&- � F � �� 7�(8� � Ggj + � - � l��V- � .� �0�&�  �(�� � ! '�C7 (8� � ! ' � j + � -;�&-21� l��V-;�&-21� .� ��&� ¤

5�N�,

Page 424: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� � � ��� � ������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

5.������� 7��� ')(*� $ ! % ��g5 7�! " F ���(:7 G � � �&- � � �Q� j + � - � l�� .� ��&�

  �( � ! '' % ��65_7�! ' F 7<5 �7 (8��G � N �� ( ' ��(�')( ! � W + �,-Q1 .� a 11 � � (*'65_7 #$

¤

6.������� 7��� ')(*� $ 5_7X! % ��g5_7X! " F ���(:7 G � � �&- � a 1 � �Q� j + � - � l�� .� �0�&�

  �]�( � ! ' �' % ��65_7�! ' F 7<5 �7 (8��G � N �� (�' �V(�')( ! � W + �,-Q1 .� a 1& � � (*'65_7 #$

¤

7.������� �(

�! "��65_7�! " � c a ��&- � � �Q� j + � - � l�� .� ��&�  � � 5 g5_7X! '' % ��65_7�! ' �43 �Q� � F � 5_7� G � & N 1 �� (�' �V( �6( ' ��( (*'( � ( ( ' ! (

� + � a 1 .#$¤

8.������� �('�6(*'�! "�( � ( �! " F �7 (8��G � � c�&- � � �Q� j + � - � l���- ��.� ��&�

  �(�P5_7�! ' �( � ! '' % �( � ( �! ' F �7�(*� G � N � (�' � � 5 (*'65_7 ! � - � �� 5_7�� � (*'65_7 � ¤9.

������� J �1;- � L"�( � ( �! " � c a ��&- � � �Q� j + � - � l��V- � .� �0�&�  �( � ! '' % �( � ( 2! ' F �

���(:7�G � & N 1 � (�' �V( �6( ' � � 5 (*'65_7� (*'65_7 ! �,-Q1 � � ¤

10.������� � £)� � ����� � ¢ � � � 5 g5_7�! "� � 5_7�! " � � 5g5:'g5:�O! " � � � � a � a � a 1�&- � � �Q� j + � l�� .� �0�&�

  � � 565_7�! ' & �� � 5 7�! ' � �� F � (��� G ¤

11.������� �( �Q(*'�! "��g5 7�! " F ��E(:7�G � � c�&- � � �Q� j + � - � l�� .� �0�&�

  �( � ! ' �(�P5_7�! '' % ��g5_7X! ' F � 5_7�E(:7�G � N � ( ' ��( ' ( ! � + �,-Q1 .� a 1� 5_7�� � (*'65_7 � ¤12.

������� F ���(:7�G � � - �V-;�&-21�&- � � �Q� j + � - � l�� .� ��&�   F � 5_7��(:7�G � � � -;�� F � ��(:7� 5_7�G ¤5�N3

Page 425: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!,�� 313.

������� 7��g5_7X! " F ���E(:7 G � � c a ��&- � � �Q� j + � - � l�� .� �0�&�  �( � ! '' % ��g5_7X! ' F � 7<5 �7 (8��G � & N 1 �� ( ' ��(�')(�� �V(�')(

� ( 'g5 7 ! 1�- �� + 1 a � .

#$¤

14.������� F ���(:7�G � � � -;�&- ��&- � � �Q� j + � - � l��V- � .� ��&�   F � 5 7��(87�G � � � -;�� F � ��(:7� 5_7�G ¤

15.������� £ � �(�9! "�( � ( �! " F 7 ( �7 (8� G � � c a ��&- � � �Q� j + � - � l���- ��.� ��&�

  � � ' �(�9! ' �( � ! '' % �( � ( �! ' F � (:77�(*� G � & N �� (�' � 1 (��6( ' � � 5 (*'65_77 (*���6( �O' � � (*'65_7 ! 1�- �1;- �

#$¤

16.������� � � 3 ¢ � � �(�9! "��g5_7X! " � c a � �&- � � �Q� j + � - � l�� .� �0�&�

  � � �����9! � '��� '�! % & N �� (�' � 1 ( ' � � 5g5_7�P5 1 � g5_7 ! 1 �C7 ( �

" � !A�M� 5_7X! #$ ¤17.

������� � � 3 ¢ � � �(�9! "��g5_7X! " � c a � �&- � a 1 � �Q� j + � - � l�� .� �0�&�  � � a 1 �����&! � ' & ����O'65_7X! % & N �� ( ' ��( ' ( 1 � � 5 g5_7� 5 1 � 65_7 ! 1 �C7 ( �

" � !A�M� 5_7X! #$ ¤18.

������� �����&! � "J �P5 1 L " �����P5n'�! " � c a ��&- � �0�&� j + � - � l��V- � .� �0�&�

  �����9! 'J � 5 1 L�' j + c a � -21� l c a ��-21� .� ��&� ¤

19.������� �(�&! "�( � ( 2! " F �

���(:7 G � � c a ��&- � � �Q� j + � - � l���- ��.� ��&�  �(�&! ' �( � ! '' % �( � ( 2! ' F �

�� (*7�G � � N & �� ( � � 19-�� � a � -P� a 1 � � a � -�� a ! + 19- � . W� �

W� -�� a 1 � � -�� a ��7�( � ( ' #$

¤

5�N95

Page 426: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

5.12.4. Sums containing products of P(ρ � pk,σ � qk)m � nk (z)

1.������� � � 5g5n'65_7X! "� �65_7X! " F 7�(8�� G � j + � l � - � .� � �Q� j + � a � l�� a � .�&- � ��&�

  � � 5_7X! '' % & N � ( ' � �65 � 5_7�� � 5g5:'g5 7�65_7 � � 5 7 ! + 1;- � . + 1;- � .�

� ¤2.

������� � � 5g5n'65_7X! "�( � ( � ! " F 7 (8�7�(�G � j + � - � l � - ��.� � �Q� j + � a � l�� a ��.�&- � �0�&�

  � � 5 7�! '' % & N � ( ' ��( � � � 565n'65_7( � ( � � � 5_7 ! 1�- �1;- �

� ¤3.

������� �( ' ( 2! "� � 5_7X! " F 7 (8�� G � j + � - � l � .� � �Q� j + � - � l�� .�&- � ��&�  � � 5_7�! '' % F 7,5 �� G � & N �� ( ' ��( ' ( � �65 � 5_7

� 5_7 � � 5 7 ! + � a 1 . + �,-Q1 .X+ � a 1 .#$¤

4.������� �43 ¢ � � J ' $ L J � 5 � 5 & L "J 1 ( � ( � ( ' L�" j + � a � l � a 1� .S - � ��&� j + � a �&- � l �&- � -21� .S -;� a � �0�&�  ��3 ¢ � S �(�� � ! ' J � 5 1 L ' � � 5_7X! ( ��� � 5n� � 5n�O! ' �( � ( � ! ( "�'� � % ! � J � 5 � 5 1 L ' ��� � 5_7X! '

Y & N �� ')(*� � � � 5n'65 1 ��� � 5n� � 5:'g5:�� 5:'g5 7 ��� � 5n'65_7 ! 1;- �

#$ = � > 'I@B5.

������� � � 5g5 � 5_7�! "$9% ) � � (87� , � j + � a � l�� a ��.S - � ��&� j + � a � -;�9l�� a � -;� .�&- � ��&�  J � 5:'� L j + � -;�9l��V-;� .SEa � �0�&� ¤

6.������� � � 5g5 � 5_7�! "$9% ) � � (87� , � j + � a � l�� a ��.S - � ��&� j + � a � a2S l�� a � -;� .�&- � ��&�

  J � 5n'� L j + � l���-;� .SEa � �0�&� ¤5.12.5. Sums containing P

(ρ � pk,σ � qk)m � nk (ϕ(k, z))

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L j + � l�� .S � � � � �&�  �¡ = ��� 'I@CB

5�N�;

Page 427: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!,�� ;2.

������� ��3 ¢ � � J ' $ L j + � l�� .SEa � � � � � �&�  �� � � ����� � � � � � ¢ � � F�3 � � G �Y S������ � �� a � � � 5g5 � 5n� 'g5 7�! "� $ 5n'�! % F � �,G � j + � a � a �9l�� a � a � .S - � � �Q� ¤

3.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $�L � � 3h�&� S j + � l�� .S F $ 5n�$ (*� G   ��3 ¢ � S � ��� ¢ � S � S l �3 ��65_7�! (� % � S = '8> � @CB4.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � � f�� �&� SEa � j + � l�� .SEa � F $ m 5�$ m 5 � G

 ���� � �-� � � ¢ � � �43�fI� � � S S�� ��� � �� a � F�3 m ��G � �( � ( � ! "� $ 5n'�! % j + � l�� a � a � .S - � F � � G ¤5.

����� 1$ "�" �$&% � ����� � � � ¢ � � F�3 � � G � j + � a � l�� a ��.�&- � � ¢ � � �&�

  3 � � 5n�O! ']" � � � 5g5n'65 7�!���#��')(87�! % ¤

6.������� � $ m 5 � ! ']")"�" ���')( $ ! % �( � ( 2! " F � m�8G � j + � - � l���- ��.� � ¢ � � �&�

  J �� L '��' m 5 � !A�( � ( �! ' j + � -;�9l��V-;� .� F ¢ 3 � �m G ¤7.

������� � $ m 5 7�! ']")"�" ���')( $ ! % �( � ( 2! " F �� G � j + � - � l���- ��.� � ¢ � � � f�� ¢ �4�&� 

�( � ! ' J ( � L'' % ��' m 5_7X!A�( � ( 2! ' ¤

8.����� 1

$ � "$ � 5 m � � � � � � ¢ � � J ( � L "� $ 5n'�! % j + � l�� .�&- � � ¢ � � �&�  3 m " ��]��' % ! 3 m " ���'65_7X! % ��g5:'�!�� � & N � (�')(:7�� g5n' �#7

� m �V( � m ! �W� � 3 ¢ � ¤

9.����� 1 �

� ��65n'65_7�! "� $ 5n'�! % F�3 � �,G � j + � l�� .�&- � � ¢ � � O�&�  7�]��' % ! � & N � � (�' � g5n'65_7 �#7

� � 3 ¢ � ¤5�N:

Page 428: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

10.����� 1 �

� - ��65n'65_7X! "� $ 5:'�! % F�3 � � G � j + � l�� .�&- � � ¢ � � �&�   3 ��g5n'65_7X!��� ��')(87�! % ¤

11.��� � 1 �

� - � �� 58' 5n7X! "� $ 5*'�! % F]3 � �,G � j + � l�� .�&- � � ¢ � � �&�  3 ��Q58' 5:7�!A�� 58' 58� !�� �

� �]��'g( � ! % 3 ��Q5*' 5n7X!��� ��'g(*7X! % ¤

12.����� 1 �

� - ���65n'65_7X! "� $ 5:'�! % F�3 � ��G � j + � l�� .�&- � � ¢ � � �&�

  3 ��65n'65_7�!A��65n'65n� !A��g5n'65 � !�� �� � �#��')( � ! % 3 �]��g5:'g5 7�!A��65n'65n�O!�� �7X� � ��')(*� ! %3 ��g5n'65_7X!��� ��')(87�! % ¤

13.������� � £)� � �I� � -21 � � ! " ��65 m 5n'65_7X! "$9% � m 5n'65_7�! " F]3 � � G � j + � a � l�� .�&- � � ¢ � � £)� � �I� �&�

  � � 5_7X! '' % � ¤

14.������� � £)� � ¢ � � -!& ��65n'65n�O! "� $ 5n'65 7�! % F�3 � � G � j + � a 1Rl�� .�&- � � ¢ � � £!� � ¢ � �&�

  7' % � �#��65n'65n�O!���V��')(:7X! % ¤

15.������� � £)� � ¢ �4 � - � ��65n'65n�O! "� $ 5n'65 7�! % F�3 � �,G � j + � a 1Rl�� .�&- � � ¢ � � £!� � ¢ �4 �&�

  7' % � � �#��g5n'65n� !��� 7 ��')(:7X! % � � ��65n'65n� !A��g5n'65 � !�� ��O� �#��')( �O! % ¤

16.������� ��� $ 5_7X! � "'& ���� $ 5 7�! � 5 m � ��g5n'65n� ! "� $ 5n'65_7�! % F�3 � � G � j + � a 1Rl�� .�&- � � ¢ � � £!� � ¢ � �&�

  � " ��#��'65_7X! % ��g5:'g5 7�! m � �¢ 3 & N � ( ' (:7��#7 � g5:'g5 71�- � � � 1 a � � ! �

W� � � ¤

17.����� 1

$ ']" �$&% ��3��g3 � � � j + � l�� a � .�&- � F ¢ � �$ G  3 � � 565n'65_7�! ']" � � � 5n'�!��')(:7�! % F � � G �&-21 ¤5�N�<

Page 429: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!,�� :18.

����� 1�( $ m ! " � $ m 5 � ! '#")"�" ���')( $ ! % � � 5_7X! " j + � l��V- � .� F ¢ � �$ G

  3 � '#" �' % � � '��' m 5 � !A� � 5_7�! ' j + � l���-;� .� F ¢ 3 m �� G ¤

19.������� m " � $ m 5 � ! '#")"�" ���' ( $ ! % ��g5 7�! " �0��� � � � j + � - � l�� .� F ��( $� 5 $ G

  � m ��( � ! '��' m 5 � !A��g5 7�! ' j + � -;�9l�� .� F m � 5 �m ��( � G ¤20.

������� �( 7X! "��')( $ ! % � � 5_7�! " � � f�� ¢ � �&-21 j + � l��V- � .� F $ m 5 �$ m 5_7�G  � � 5g5_7X! '' % ��' m 5_7X!A� � 5_7X! ' F 7 (8�� G � ¤

5.12.6. Sums containing P(ρ � pk,σ � qk)n � mk (ϕ(k, z)) and special

functions

1.����� 1 � � � �

� � � 3 � � ¢ � �&- � -21 J 1 ( ' L "��' ( $ ! % � � 5_7�! " � �&- � F �� ')( $ 5_7 GY j + � l��V- � .� F ¢ � �$ G   ��'65_7�! '#" �' % � � F �� '65_7 G

� ��3 ¢ � � � £ �Q� � ������� F '65 7�

� G � J 1 (*' L "��')( $ 5 7�! % � � 5_7�! " j + � l��V- � .� F ¢ � �'65_7 G= '*>?7R@CB2.

������� �43��V� � � � � ¢ � �&-21 J 1 (*' L�"��')( $ ! % � � 5_7X! "Y � �&- � F �� $ 5_7 G j + � l��V- � .� F ¢ � �$ 5_7 G  � ��� � ! � '%& � � " ���'65_7�! % ���O'65 7�!A� � 52! � & N 1 �� (�')(:7��V(�')( 1 � � 5� ! � � W

#$ 3 ¢ � ¤3.

������� �43��V� � � � � ¢ � �&-21� J ( 1 (*' L "��')( $ ! % � � 5_7�! "Y � �&- � a 1 F �� $ 5_7 GTj + � l��V- � .� F ¢ � �$ 5_7�G  � ��� � ! � '%& � � " ���'65_7�! % ���O'65 � !A� � 52! � & N 1 �� (�')(:7��V(�')( & � � 5� ! � � W

#$ 3 ¢ � ¤5�NL

Page 430: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� � � ��� � ������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

4.������� � $ 5_7�! "�" �� � 5 7�! " � � � � a � a ��&- � � � � � ¢ � �Q� j + � l���- ��.� F ¢ � �$ 5_7 G

  � ��� � �-��� � ¢ � � D 7� � ! ' & � � � -21� a 1 F]3 �

�� G 3 7��'65 7�! % H ¤5.

������� � $ 5_7�! "�" �� � 5 7�! " � � � � a c�&- � �4� � � ¢ � �Q� j + � l��V- � .� F ¢ � �$ 5_7�G  ��� � � � �]! " ���'65_7�! % � � 5�! � ¢ 3 N � ( ' (87 � � 5� � � ! ( � � � � ¤

6.������� � $ 5_7�! "�" �� � 5 7�! " �43 �Q� � � c a ��&- � �4� � 3 � � �Q� j + � l��V- � .� F ¢ � �$ 5_7�G

  ��� ��� F 3 ��� G � � � 5g5_7X! "� $ 5_7X! % � � 5_7�! " � c a ��&- � � � � � ¢ � �Q� ¤

7.������� � � � ¢ � �&-21 �('�6(*'�! "� � 5_7�! " � c�&- � F �$ 5 7 GTj + � l��V- � .� F ¢ � �$ 5_7 G

  �43 ¢ � � � � � '%& � � " ���'65 7�! % �(�P5n'65_7X!A� � 5 2! � & N 1 � (�')(:7��V( �6( ' (87 � � 5� ! � � � 3 ¢ � ¤

8.������� � � � ¢ � �&-21 � - � -;�&-21�&- � F �$ 5_7�Ggj + � l���- ��.� F ¢ � �$ 5_7�G

  �]�( 7X! ' � " �� 5 �

' & ���'65_7�! % 3 F � �,G � a 1 � - � - ��-;�&-21� a 1 F]3 ��� G! ¤

9.������� � � � ¢ � �&-21 �( � (*'�! "�C7�(%�9! " � c - � � F �� $ 5_7 GTj + � l�� a � .�&- � F ¢ � �$ 5_7�G

  � "�'#" � � � 565_7�! � '%& � � " � � '%& ���'65_7X! % � � 5 g5_7X! ' � � 5n'65_7�!A�(�Q(:7X!Y �¢ 3 & N � ( ' (:7��#�6(:7��V( � ( ' (87( 1 ��( � ( ( �O')(:7 ! ( � W

�� � ¤

10.������� � � � ¢ � � -21 � � 5 g5n'65_7�! "�C7 (��9! " F�3 � ��G �Y � c - � � F �� $ 5_7 GTj + � a � l�� a ��.�&- � � � � � ¢ � ��� ¢ �

  � � � 5_7X! ' � � � ��! " ���'65_7X! % �(�Q(:7�!A� � 5g5:'�! � ¢ 3 & N � ( ')(:7 �#�Q(:7 � � 5 g5n'� �V( 1 ! ( �

W� � � ¤

5�NP

Page 431: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!,�� <11.

������� � � � ¢ � �&-21� �( � (*'�! "�C7 (��9! " � c - � � a 1 F �� $ 5_7 GTj + � l�� a � .�&- � F ¢ � �$ 5_7 G 

� � 5g5_7X! � ' & � � " � J � L '%&���'65_7X! % � � 5 g5_7X! ' � � 5n'65_7�! �� & N �� ( ' (87 �#� ��( � (*')(:7 ! ( � W

�( � ( (*� ')(:7 � 1#$ 3 ¢ �� ¤

12.������� � � � ¢ � � -21� � � 5 g5n'65_7�! "�C7 (��9! " F 3 � � G �

Y � c - � � a 1 F �� $ 5_7 GTj + � a � l�� a ��.�&- � � � � � ¢ � ��� ¢ �  � � � � 5_7X! ' � � ��! " ���'65 7�! % � � 5g5n'�! � & N � (�')(:7 �#� � � 5g5n'

� � 1 ! ( �

W� � 3 ¢ � ¤

13.�&-21�� ��� �43 ¢ � � � � � ¢ � � -21 � � 3 � � �&- � �(�9! "� � 5_7X! "Y � c a � �&- � F �� ')( $ GTj � + � l��V- � . F ¢ � �$ 5_7�G

  �43 ¢ � � a 1 ��'65 7�! ']" � �(�&! '� � 5_7�! ' j � + � l���-;� . F ¢ � �'65_7 G � �(�&! ' � � 5g5_7X! '� � 5 7�! ' F 3 � � G �Y ������� � " �( � (*'�! "��')( $ 5_7�! % �C7 (%�6(*'�! " �( � ( )(*'�! " F '65_7� G � � c a �&- � � F �� 'g5 7 G ¤

14.�&-21�� ��� �43 ¢ � � � � � ¢ � � -21 � � 3 � � �&- � a 1� �(�9! "� � 5_7X! "Y � c a � �&- � a 1 F �� ')( $ Ggj � + � l��V- � . F ¢ � �$ 5_7 G

 �£ �43 ¢ � � a 1 � ��'65_7X! ']" � �(�&! '%& �� � 5_7X! ' j � + � l��V-;� . F ¢ � �'65_7�G� / � � ¢ �(�&! ' � � 565_7�! '� � 5_7�! ' F]3 � �,G �Y ������� � " �( � (*'�! "��')( $ 5_7�! % �C7 (%�6(*'�! " �( � ( )(*'�! " F '65_7� G � � c a �&- � � a 1 F �� 'g5 7 G ¤

5.12.7. Sums containing products of P(ρ � pk,σ � qk)n � mk (ϕ(k, z))

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L � j + � l�� .S � � � � �&� �  �¡ = � ��� 'I@CB

5)��N

Page 432: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � � � ��� ��� � � ����� ��� � � � � � � ��� � � � ���� � � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� � ���6���� �! ��2.

������� � �65 � 5n'65_7�! "��65_7�! " � � � ¢ � � -21 F � � G �Y j + � a � l � a � .�&- � �4� � � ¢ � � � ¢ � j + � - � l�� .� F �$ 5_7 3 ¢ G

 �� �� �65_7�! ' � � ��! " ���'65_7X! % � �65 � 5:'�!A� � 5�! � & N � ( ' (87 � �65 � 5:' � � 5 � � ! ( � ��

� 3 ¢ � ¤3.

�&-21������ ��3 ¢ � � �( � (*'�! "� �65_7X! " � � � ¢ � � -21 � � 3 � � �&- �Y j + � l � - ��.� F ¢ � �$ 5 7 G j + � l�� a � .�&- � F ¢ � �')( $ G  3 ��'65_7X! ']" � � � 5_7�! '� �g5 7�! ' j + � l � -;� .� F ¢ � �'65_7 G� � ��� ¢ � � � �65 � 5 7�! '� �65_7�! ' F � � G �Y ������� � " �( � ( '�! "��')( $ 5_7�! % �( �)( � ( '�! " � � 5_7X! " F '65_7

�G � j + � l�� a �&- � .� F ¢ � �'65_7 G ¤

5.13. The Legendre Function P µν (z)

5.13.1. Sums containing Pµ � kν � k (z)

1.������� �43 £ � - � J ' $�L � � (��65_7�! � "

J � (*'65 & L " � ¢ 3h��O� - � � j � - �� a � ��&� �£ -;� �( �)( � ! � '

J ( � ( 1 L ' � ¢ 3h�� � -;��� j � -;�� -;� �0�&� = � �����C7 � �]! � � @B2.

������� �43 £ � - � J ' $ L �( �)( � ! � "J 1 ( � (*' L " � ¢ 3h� � - � � j � - �� - � ��&� �£ -;� � � (��65_7�! � '

J � 5 1 L ' � ¢ 3h�� � -;��� j � -;�� a � ��&� = � �����C7 � �]! � � @B5.14. The Kummer Confluent Hypergeometric Function

1F1(a; b; z)

5.14.1. Sums containing 1F1(a; b; z)

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L � � ( m ! "� � ! " 1 N 1 J m ! �� 5 $ L   � m ! '� � ! ' 1 N 1 J m 5:' ! �� 5n' L ¤

5)��

Page 433: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��5)� ,2.

������� J ' $ L � � ( m ! "� � ! " �C7�( � (*'�! " ��3P�&� � 1 N 1 J m ! �� 5 $ L   � � N J � ( m �#7�( ��! �� �#7 ( � (*' L ¤3.

������� J ' $�L �(��]! "� � ! " 1 N 1 J m ! �� 5 $�L   1 N 1 J m (*'� ! � L ¤

4.������� �43 ¢ � � J ' $ L �C7 ( � ! "�C7 (

�(*'�! " 1 N 1 J m ! �� ( $ L   �

�( � 5_7�! '��! ' N J m � � ( ��! �� � � (

�(*' L ¤

5.������� �43 ¢ � � J ' $ L �C7 ( � ! "��� ( � (*'�! " 1 N 1 J m ! �� ( $ L

  � m ! '� � (:7�! ' � � ! ' ��3��&� � 1 N 1 J m 5n' ! �� 5n' L ¤6.

������� �43 ¢ � � J ' $�L �C7�( � ! "� m ( � 5 7�! " 1 N 1 J m ! �� ( $�L   � m ! '� m ( � 5 7�! ' 1 N 1 J m 5n'� ! � L ¤

7.������� J ' $ L�� ¢ 3��O� � � - � 1 N 1 J m ! �� ( $ L   � ¢ 3��O� � � -;� 1 N 1 J m ( ' ! �� (*' L ¤

5.14.2. Sums containing 1F1(a; b; z) and special functions

1.������� � � ( m ! "$9% � � ! " ��3��&� � � � a � -;�&-21�&- � �43��&� 1 N 1 J m ! �� 5 $ L

  �43 ¢ � � �C7 ( � ! '' % 1 N 1 J m ! �� (*' L ¤2.

������� � � ( m ! "$9% � � ! " ��3��&� � � � a � -21�&- � ��3P�&� 1 N 1 J m ! �� 5 $�L   � m ! '' % 1 N 1 J m 5:'� ! � L ¤

3.������� �( 7�! "$&% � ¢ 3��O� � � � -���&- � ��&� 1 N 1 J m ! �� ( $ L   � � ( m ! '' % 1 N 1 J m (*'

� ! � L ¤4.

������� �( 7�! "$&% � ¢ 3��O� � � � - � -;� a 1�&- � �0�&� 1 N 1 J m ! �� ( $ L   � � ( m ! '' % � � ! ' ��3P�&� � 1 N 1 J m ! �� 5n' L ¤5.

������� �( 7�! "$&% � ¢ 3��O� � � � - � -;� a 1�&- � �43��&� 1 N 1 J m ( $ ! �� ( $ L  � m ! '' % � � ! ' � � 1 N 1 J m 5:' ! �� 5n' L ¤

5)�!,

Page 434: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� � ����� ������� ����� � � ������ � � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ��� � � � ��! ��6.

������� �C7 ( � ! "��')( $ ! % � m ( � 5 7�! " �43��&� - � � c - �� �43��&� 1 N 1 J m ! �� ( $ L  �C7 ( � ! ' �( �&! '' % � m ( � 5 7�! ' � -;� N J m �#� 5_7 ! �� (*' ���Q(*'65_7 L ¤

5.14.3. Sums containing products of 1F1(a; b; z)

1. ������� �43 ¢ � � J �O'$ L � � ( m ! " �C7 ( � (*� '�! "� � ! " � m ( � (*� '65_7X! " 1 N 1 J m ! (��� 5n�O')( $ L 1 N 1 J m ! �� 5 $ L

 �£ � � m ! ' � � ( m ! ' J 1 L '� � ! ' � � ( m ! � ' & N � �� m 5n' � � ( m 5n' ��'65 1 ! �W�� 5:' � � a 1 5n' � � 5n' � 1#$¤

5.15. The Tricomi Confluent Hypergeometric FunctionΨ(a; b; z)

5.15.1. Sums containing Ψ(a; b; z)

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L � J m ! �� 5 $ L   �43 ¢ � � �0fI� � � J m 5:' ! �� 5n' L ¤

2.������� J ' $ L �( ��! "� � ( m ! " � J m ! �� 5 $ L   �( 7�! '� � ( m ! ' � J m (*'

� ! � L ¤3.

������� J ' $�L �0fI� � � J m 5 $ ! �� 5 $ L   � J m ! �� 5n' L ¤4.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � J m ! �� ( $ L   �0fI� � � J m 5n'� ! � L ¤

5.������� J ' $ L �0fg3�� � ¢ � � � - � � J m ! �� ( $ L   � -;� � J m ( ' ! �� (*' L ¤

6.������� �43 ¢ � � J ' $�L � m ( � 5_7�! "��� ( � (*'�! " � J m ! �� ( $�L   � m ! '� � (:7X! ' � � � J m 5n' ! �� 5n' L ¤

7.������� J ' $ L � m ! "� � ( '�! " ��3P�&� � � J m 5 $ ! �� 5 $ L   � m ( � 5_7�! '�C7 ( � ! ' � J m ! �� ( ' L ¤

5)��3

Page 435: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!;�� ,5.15.2. Sums containing Ψ(a; b; z) and special functions

1.������� �(��]! "$&% � � a � -21�&- � �43��&� � J m ! �� 5 $ L   � m ! '' % �fT3�� � ¢ � � � J m 5n'

� ! � L ¤2.

������� �(��]! "$&% � � -;� a � -21�&- � �43��&� � J m ! �� 5 $ L   �43 ¢ � � � m ( � 5_7X! '' % � J m ! �� ( ' L ¤3.

������� �( 7�! "$&% �0fg3�� � ¢ � � � � -;�&- � a 1�&- � �0�&� � J m ! �� ( $ L   �( ��! '' % � J m ! �� 5n' L ¤4.

������� �( 7�! "$&% �0fg3�� � ¢ � � � � -���&- � ��&� � J m ! �� ( $ L   �( 7�! '' % � J m (*'� ! � L ¤

5.16. The Gauss Hypergeometric Function

2F1(a, b; c; z)

5.16.1. Sums containing 2F1(a, b; c; z)

1.������� �43 ¢ � � J ' $�L ���#! "�

�! " N 1 J m � � ! ��

5 $ L   ��(��#! '��! ' & N J m � � � � (��K5:'

�5n' �

�(�� ! � L ¤

2.������� �43 ¢ � � J ' $�L � � ! "� � ( m ( ' 5n7X! " N 1 J m � � 5 $ ! �

� L   � m ! '� m ( � ! ' N 1 J m 58' � ���! � L ¤

3.������� �43 ¢ � � J ' $�L �

�( m ! " � � ( � ! "�

�! " �C7 (*')( m ( � 5 �

! " N 1 J m � � ! ��5 $ L

  � m ! ' � � ! '��! ' � m 5 � ( � ! ' � ¢ 3h�&� � N 1 J m 5n' � � 5n'

�5n' ! � L ¤

4.������� �43 ¢ � � J ' $ L � � ( m ! "�

�! " N 1 J m � � ! ��

5 $ L   � m ! '��! ' N 1 J m 5:' � �

�5n' ! � L ¤

5.������� J ' $ L � � ( � ! "�

�! " F �7 (8� G � N 1 J m � � ! ��

5 $ L   � ¢ 3h�&� -;� N 1 J m (*' � ���! � L ¤

6.������� J ' $ L � � ! "�

�! " � � N 1 J m 5 $ � � 5 $ ! �

�5 $ L   N 1 J m 5:' � �

��! � L ¤7.

������� J ' $ L � � ! "��! " ��63 ¢ � � N 1 J m 5 $ � � 5 $ ! �

�5 $ L   �

�( � ! '��! ' N 1 J m 5n' � �

�5n' ! � L ¤

5)��5

Page 436: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ��������� ��� ���� �� � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ��� � ��� � ��� �!��$ ��8.

������� J ' $ L � m ! " � � ! "��! " � � (*'�! " � � N 1 J m 5 $ � � 5 $ ! �

�5 $ L   N 1 J m � �

�(*' ! � L ¤

9.������� �43 ¢ � � J ' $ L �C7 (

�! "��� (

�(*'�! " N 1 J m � � ! ��

( $ L  � m ! ' � � ! '�

�! ' � � (:7X! ' �43��&� � N 1 J m 5n' � � 5n'

�5:' ! � L ¤

10.������� J ' $ L �C7 (

�! "� m 5 � (

�(*'65_7X! " F 7�(8�� G � N 1 J m � � ! ��

( $ L  �C7 (

�! '�

�( m ( � ! ' �43��&� -;� N 1 J m (*' � � (*'

�(*' ! � L ¤

11.������� J ' $�L �C7 (

�! "� � ( � 5_7�! " F 7 (8�� G � N 1 J m � � ! ��

( $nL  �C7�(

�! '� � ( � 5_7X! ' � -;� N 1 J m (*' � �

�(*' ! � L ¤

5.16.2. Sums containing 2F1(a, b; c; z) and special functions

1.������� �

�( m ! " � � ( � ! "$&% � � ! " � � j + � -;� a -21Rl � -;�&-�� - � a .�&- � � ¢ 3 £ �&� N 1 J m � � ! ��

5 $ L  �C7 (

�! '' % �0�Q3 ¢ � � N 1 J m � �

�(*' ! � L ¤

2.������� �

�( m ! " � � ( � ! "$&% � � ! " � � j + � -;� a -21Rl � -�� .�&- � � ¢ 3 £ �&� N 1 J m � � ! ��

5 $ L  �43 ¢ � � �C7 (

�! '' % N 1 J m (*' � �

�(*' ! � L ¤

3.������� � m ! " � � ! "$&% � � ! " �0�Q3h�� � � j + � -;� a A-21Rl � a � - .�&- � � ¢ 3 £ �&� N 1 J m 5 $ � � 5 $ ! �

�5 $ L

  �43 ¢ � � �C7 (�! '' % N 1 J m (*' � �

�(*' ! � L ¤

4.������� � m ! " � � ! "$&% � � ! " �0�Q3h�� � � j + � -;� a A-21Rl � -;� a � a � - .�&- � � ¢ 3 £ �&�

Y N 1 J m 5 $ � � 5 $ ! ��5 $ L   ��3 ¢ � � �C7 (

�! '' % N 1 J m ( ' � � (*'

�(*' ! � L ¤

5)�!;

Page 437: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��:1� ,5.

������� � m ! " � � ! "$&% � � ! " �0�Q3h�� � � j + � -�� a A-21Rl � -;� a � a � - .�&- � � ¢ 3 £ �&�Y N 1 J m 5 $ � � 5 $ ! �

�5 $ L   �

�( m ! '' % N 1 J m (*' � �

��! � L ¤6.

������� �C7 (�! "$9% �0�Q3 ¢ � � j + � -;�&- a 1Rl � a � -21 .�&- � � ¢ 3 £ �&� N 1 J m � � ! ��

( $nL  � � ! ' � � ( m ! '' % �

�! ' ��3P�&� � N 1 J m � � 5n'

�5n' ! � L ¤

7.������� �C7 (

�! "$9% �0�Q3 ¢ � � j + � -;�&- a 1Rl � -;� a � a � - .�&- � � ¢ 3 £ �&� N 1 J m � � ! ��

( $ L  �

�( m ! ' � � ( � ! '' % � � ! ' � � N 1 J m � �

�5n' ! � L ¤

8.������� �C7 (

�! "$9% �0�Q3 ¢ � � j + � -;�&- a 1Rl � a � -21 .�&- � � ¢ 3 £ �&� N 1 J m � � ! ��

( $ L  � m ! ' � � ( � ! '' % � � ! ' ��3P�&� � N 1 J m 5n' � �

�5n' ! � L ¤

9.������� �C7 (

�! "$9% �0�Q3 ¢ � � j + � -���l � -;� a � a � - .�&- � � ¢ 3 £ �&� N 1 J m � � ! ��

( $nL  �

�( m ! '' % N 1 J m (*' � �

��! � L ¤10.

������� �43 ¢ � � �C7 ( � ! "$9% j + � a � -Rl � -;�&-�� - � a .�&- � � ¢ 3 £ �&� N 1 J m ( $ � � ( $ ! ��( $ L

  � m ! '' % � ¢ 3h�&� � N 1 J m 5n' � ���! � L ¤

11.������� �43 ¢ � � �C7 ( � ! "$9% j + � -;�&- a 1Rl � -�� - � a -;� .�&- � � ¢ 3 £ �&� N 1 J m ( $ � � ( $ ! �

�( $ L

  � m ! ' � � ! '' % ��! ' �0�Q3h�� � � N 1 J m 5n' � � 5n'

�5:' ! � L ¤

12.������� �43 ¢ � � �C7 ( � ! "$9% j + � -;�&- a 1Rl � - � a -21 .�&- � � ¢ 3 £ �&� N 1 J m ( $ � � ( $ ! �

�( $ L

  � m ! ' � � ( � ! '' % � � ! ' ��3P�&� � N 1 J m 5n' � ��5n' ! � L ¤

5)��:

Page 438: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ��������� ��� ���� �� � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ��� � ��� � ��� �!��$ ��13.

������� �C7�(�! "$&% �0�Q3 ¢ � � j + � -;�&- a 1Rl � -;� a � a � - .�&- � � ¢ 3 £ �&� N 1 J m � � ! ��

( $ L  �

�( m ! ' � � ( � ! '' % �

�! ' �43��&� � N 1 J m � �

�5n' ! � L ¤

5.16.3. Sums containing products of 2F1(a, b; c; z)

1.������� J ' $ L � m ! " � � ! "

J m 5 � 5 1 L)" J m 5 � ( 'g5 1 L�" ��

Y N 1 � m 5 $ � � 5 $ ! �m 5 � 5 $ 5 1 � N 1 � m � � ! �m 5 � ( 'g5 $ 5 1 �  & N � � m �]� � � m 5 � ! �� m 5n� � � m 5 � (*'65 1 � ¤

2.������� J ' $�L � m ! " � � ! "

J m 5 � ( 1 L)" J m 5 � ( ' ( 1 L�" ��

Y N 1 � m 5 $ � � 5 $ ! �m 5 � 5 $ ( 1 � N 1 � m � � (:7 ! �m 5 � ( 'g5 $ ( 1 �  & N � � m ��� � (:7�� m 5 � (:7 ! �� m 5n� � (*� � m 5 � ( ' ( 1 � ¤

3.������� �43 ¢ � � J ' $ L � m ! " � � ! " J 1 ( m ( � (*' L "

J m 5 � 5 1 L " �C7 ( m (*'�! " �C7 ( � (*'�! "Y N 1 � m 5 $ � � 5 $ ! �m 5 � 5 $ 5 1 � N 1 � m 5n')( $ � � 5n')( $ ! �m 5 � 5:' ( $ 5 1 �

  ��� m ! ' ��� � ! ' � m 5 � ! '� m ! ' � � ! ' ��� m 5n� � ! ' & N � � m 5:' �]� � 5n' � m 5 � 5n' ! �� m 5n� � 5:' � m 5 � 5:'g5 1 � ¤4.

������� J ' $�L � m ! " J � 5 1 L "� m 5 � ! " � m 5 � ( '�! " F �7 (8��G � N 1 � m ( 1 � � ! �m 5 � 5 $ �Y N 1 � m � � ( 1 ! �m 5 � (*'65 $ �   � ¢ 3h�&� 1� & N � � m �]� � � m 5 � ( 1 ! �� m 5n� � (:7 � m 5 � ( ' � ¤

5)�!<

Page 439: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!<�� �5.

������� J ' $ L � m ! " � � ! " J 1 ( m ( � ( ' L "J m 5 � 5 1 L " �C7 ( m (*'�! " �C7 ( � (*'�! " �0�Q3 ¢ � �

Y N 1 � m 5 $ � � 5 $ ! �m 5 � 5 $ 5 1 � N 1�� m 5 1 � � 5 1 ! �m 5 � 5:' ( $ 5 1

#$

  ��� m ! ' ��� � ! ' � m 5 � ! '� m ! ' � � ! ' ��� m 5n� � ! ' � ¢ 3h�&� �&-21� & N � � m 5n' ��� � 5:' � m 5 � 5:' ! �� m 5n� � 5n' � m 5 � 5n'65 1 � ¤6.

������� �43 ¢ � � J ' $�L J m ( 1 L " � � ! " �C7�( m ( � (*'�! "J & ( m (*' L " �C7 ( � (*'�! " � m 5 � ! "Y N 1 � m � � 5 1 ! �m 5 � 5 $ � N 1 � m � � 5 1 ! �m 5 � 5n')( $ � 

��� m (:7�! ' ��� � ! ' J m 5 � ( 1 L�'J m ( 1 L ' � � ! ' ��� m 5n� � (:7X! ' � ¢ 3h�&� �&-21Y & N � � m 5n')(:7���� � 5n' � m 5 � 5n')( 1� m 5:� � 5n')(:7�� m 5 � 5n' ! � � ¤

5.17. The Generalized Hypergeometric Function

pFq((ap); (bq); z)

5.17.1. Sums containing pFq((ap) � mk; (bq) � nk; z)

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L � m ! "�

�! " � N�� a 1 ^ � m � ! ! �� � � ! � � 5 $ `

  ��( m ! '��! ' � a 1 N � a ^ � m � ! � � ( m 5n' ! �� � � ! � � 5:' �

�( m ` ¤

2.������� �43 ¢ � � J ' $ L � � 5 � 5n'�! "� � ! " � a 1 N � a 1 ^ ( � ( ' �&� m � ! ! �� � � ! � � 5 $ `

  �43 ¢ � SEa � � � 5n'�! %� % � � ! ' � a 1 N�� a 1 ^ ( � ��� m � ! ! �� � � ! � � 5n' ` ¤3.

������� �( '�! " ��'�! "� $9% ! � � N�� a 1 ^ � m � ! ! �� � � ! � $ 5_7 `  � '���O'�! % � � m � ! '

� � � � ! ' � N�� a 1 ^ � m � !95n' ! �� � � !95n' ��� 'g5 7 ` ¤5)��L

Page 440: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��4.

������� �43 ¢ � � J ' $ L �C7 ( � ! "� m ! " � N � a 1 ^ � m � ! ! �� � � ! � � ( $ `  � m 5

�(:7X! '� m ! ' � a 1 N�� a ^ � m � ! � m 5

�5n')(87 ! �� � � ! � � � m 5�(:7 ` ¤

5.������� �43 ¢ � � J ' $ L � m ! "� � ! " � a 1 N�� ^ � m � ! � m 5 $ ! �� � � ! `

  � � ( m ! '� � ! ' � a N � a 1 ^ � m � ! � m � m ( � 5 7 ! �� � � ! � m ( � (*'65_7 ` ¤6.

������� �43 ¢ � � J ' $ L � m ! "� � ! " � a 1 N � a 1 ^ � m � ! � $ 5 m ! �� � � ! � $ 5 � `  � � ( m ! '� � ! ' � a 1 N�� a 1 ^ � m � ! � m ! �� � � ! � � 5:' ` ¤

7.������� J ' $ L �43��&� � � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N � ^ � m � !95 $ � m� � � !95 $ ! � `   � a 1 N � ^ � m � ! � m (*' ! �� � � ! ` ¤8.

������� J ' $ L �(��]! "$ 5_7 � � m � ! "� � � � ! " � a 1 N � ^ � m � !95 $ � m� � � !95 $ ! � `

  7��'65_7X!�����

� � � (:7X!��

� �

� m � (:7�! � � a 1 N � ^ m ��� m � !�(:7� � � !�(:7 ! � ` 3 � a 1 N � ^ m (*')(:7���� m � !�(:7� � � !�(:7 ! � ` ¤9.

������� J ' $�L � � �43��&� � � � m � ! "� � � � ! " � a 1 N � ^ ( � ��� m � !95 $� � � !&5 $ ! � ` 

����� 1 ��

� �43 � � � � � � � m � ! "� � � � ! " � a 1 N�� ^ ( � (*'65 $ �&� m � !95 $� � � !95 $ ! � ` ¤

10.������� � S� a2S �(�'�! "� $ 5 � ! % � � � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N�� ^ ( 'g5 $ �&� m � !95 $� � � !&5 $ ! m � `  �43 ¢ � S + � a � a 1 . � " (� % �C7<5n'�! ( � �C7 ( � � � !0! (

� �C7 ( � m � !0! ( S������ �43 ¢ � � J � $ LY � a 1 N�� ^ ( � (*' �&� m � !�( �� � � !�( � ! � $ 5 m !�� ` ¤

5)��P

Page 441: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!<�� �11.

������� J ( 1 L "$9% ) 3 � �� , � � � m � ! � "� � � � ! � " � a 1 N�� ^ ( 'g5 $ �&� m � !&5n� $� � � !95n� $ ! � `

  � a N�� a 1 � (�� ' ��( ' ( 1 �&� m � !(�� ')(:7 ��� � � ! ! � � ¤12.

��� � 1m 5n� $ (:7� m ! � " � � ! � " � � � � m � ! "

� � � � ! " � N � a & ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � m 5:� $ � � 5n� $ � � ( m 5_7 `  �m � � � 5_7X!

��

� �

�m �

���

�� �

� a 1 N�� a ��� � m � !95_7 � � a 1 ! �� � � !95_7 � m 5 7 � � 5_7�� � a & � � ( m 5_7 #$

3 � ' & �� m ! � '%& � � � ! � ' & � � � m � ! ' & �� � � � ! '%& �

Y � a 1 N�� a ��� � m � !95n'65_7�� � a 1 5n' ! �� � � !95:'g5 7 � m 5n� '65_7�� � 5n� '65_7�� � a & 5n' � � ( m 5_7 #$ ¤

13.� + �&-21 . � �������� J ' $�L � a N�� ^ ( 'g5:� $ �]')(*� $ ��� m � !� � � ! ! � `

 �£ �&-21 � a N�� � (�' � 1 �&� m � !� � � ! ! � � � 3 7,5?�( 7X! '� ^ '= ' ��@ ` ¤14.

� ��� ���� ���TJ ' $�L ��' ( � $ 5 7�! �')( $ 5 7 � a N � ^ ( 'g5:� $ �]')(*� $ 5n����� m � !� � � ! ! � ` �£ � � a N�� � ( ' � & ��� m � !� � � ! ! �O� � ¤

15.� ��� ���� ���TJ '� $<L J 1 L�"� m ! " �43��V�&� � � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N � ^ ( 'g5:� $ �&� m � !95 $� � � !95 $ ! � `  � a N � a 1 ^ (�' �&� m � ! �V7 ( m ( '� � � ! � m ! ( � ` ¤

16.������� 7��')( $ ! % � $ 5n'65_7�! % � N � a � � m � ! ! �� � � ! � 1 ( $ � & 5 $ �

  � � '��� '65_7X! % � N � a � � m � ! ! �� � � ! ��'65 & � 1 � ¤5�,9N

Page 442: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��17.

������� �( ��! "��� $ ! % � � m � ! "� � � � ! " � N�� a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ ��� $ 5n� `

 �¢ 3 �(��]! ' & ����O'Q5n�O! % � � m � ! '%& �� � � � ! ' & � � a 1 N � a ^ � m � !95n'65_7���'65_7 ! �� � � !95n'65_7���'65n� ��� '65 � ` ¤

18.������� � "��� $ 5 7�! % � � m � ! "

� � � � ! " � N�� a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ �]� $ 5 � `   � N�� a 1 ^ � m � ! ! �� � � ! �]� `3 � '%& ����O'65 � ! % � � m � ! ' & �

� � � � ! ' & � � N � a 1 ^ � m � !95n'65_7 ! �� � � !95n'65_7����O'65 � ` ¤19.

������� J �O'� $�L F 7��G � F]3 7��G � �43��� � � � � m � ! � "� � � � ! � "

Y � a N � � ( �O'65n� $ � $ ( 1 ��� m � !95n� $� � � !95n� $ ! � �  �¢ � � ���

� �

�m �

���

�� �¤

20.������� �43 ¢ � � J ' $ L � m 5 $ ��! ']" � �(�P5 $ ��! "� m 5 $ ��! " � a 1 N�� a 1 ^ ( $ �&� m � ! ! �� � � ! �#�P5 $ � `

  � m (%�9! 'm 5n' �65n')(:7 � a 1 N � a 1 ^ (�' ��� m � ! ! �� � � ! �#�Q( m (*'65_7 ` ¤5.17.2. Sums containing pFq((ap) � mk; (bq) � nk; z) and special

functions

1.������� �( 7�! "$&% J ' $ L��fI� � � � � � ¢ � � a 1 N�� ^ ( $ �&� m � !� � � ! ! � `

  �C7�( m ! '' % � � � � ¢ � � a N � a 1 ^ ( ' �&� m � ! � m ! �� � � ! � m (*' `� ��3 ¢ � � �&-21�� ��� � m (*'�! "$&% ��' ( $ ! � a N � a 1 ^ ( $ ��� m � ! � m ! �� � � ! � m ( ' ` ¤

2.������� J ' $�L �(

� ��! "J 1 L�" � � � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N�� a 1 � (�'65 $ �&� m � !95 $ ! �� � � !95 $ � & �  � a 1 N�� a 1 � (�' ��� m � ! ! �� � � ! � 1 � ¤

5�,��

Page 443: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!<�� 33.

������� J ' $ L��43��&� � � � � �Q� � � m � ! "� � � � ! " � a 1 N�� a 1 ^ ( 'g5 $ �&� m � !&5 $ �#7 ! �� � � !95 $ �]� `

  � N � ^ (�' ��� m � !� � � ! ! � � ` ¤5.17.3. Sums containing pFq((ap) � mk; (bq) � nk; ϕ(k, z))

1.������� �43 ¢ � � J ' $�L � a 1 N�� ^ ( � �&� m � !� � � ! ! � 5 $ � `  �¡ = � � 'I@CB

2.����� 1 J

' $ L � � -21 � � � � m � ! "� � � � ! " � a 1 N � ^ ( 'g5 $ ��� m � !95 $� � � !95 $ ! $ � `  �� �

��

� �

�m �

���

�� �¤

3.����� 1

$ � "�" ���')( $ ! % ��� $ ! % � � � � m � ! "� � � � ! " � a 1 N�� a 1 ^ ( '65 $ ��� m � !95 $ ! $ � �� � � !&5 $ ��� $ 5_7 `  3 � ���')(*� ! % �

��

� �

�m � � m � 5_7X!

���

�� � � � � 5 7�! � ���')(:7�! % �

��

� �

�m �

���

�� �

= '8> �X@B

4.������� ��� $ 5 7�! � "�" ���'*( $ ! % ��� $ 5 7�! % � � � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N � ^ (�' 5 $ �I� m � !�5 $ ! ��� $ 5 7X! � �� � � !25 $ �#� $ 5h� `  7' % 3 � �

�#��'*(?7�! %��

� �

�m �

���

�� �¤

5.������� J ' $ L � $ m 5 � ! "$ m 5_7 � � � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N � ^ ( 'g5 $ ��� m � !95 $� � � !&5 $ ! � $ m 5_7X!�� `  � a N � a 1

�� ( ' �&� m � ! � 1� ! �C7�( � !��� � � ! � 1� 5_7 #$¤

6.����� 1 �43 ¢ �

� J ' $�L � S � a 1 N � ^ ( � ��� m � ! ! � �� � � ! `   ��3 ¢ � S �?� � S l �3 � � m � ! (� � � � ! ( ��3P�&� S = � � 'I@B

5�,,

Page 444: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� � � ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��7.

����� 1 �43 ¢ �� J ' $ L � S � a 1 N�� ^ ( � ��� m � ! ! � �� � � ! `   ��3 ¢ � SEa 1 � S � � m � ! (

� � � � ! (� ��3 ¢ � S ��� � S -;� � � m � ! ( "�'

� � � � ! ( "�' S -;��� ��� � �� a � J �$ 5n' L��43 ¢ � � + � a � a 1 . � �Y � ��' ( � ( � � 5_7�! "� ��' ( � ( m � 5 7�! " = � > 'I@B

8.��� � 1 J

' $�L �43 � fI� � � � f����O� �&- � -21 � a 1 N � � ( $ �V� m � !� � � ! ! � � �  3 � �&-21 � � '' m 5 � � a 1 N�� � ( ' �V� m � !� � � ! ! ( � �� � ¤

9.������� J ' $�L � � � ¢ � � -21 �fg3 � � �&- � -21 � a 1 N � � ( $ ��� m � !� � � ! ! �� a 1 �

  � m 5 7�! '��'65_7�!&� m (*'�! � a 1 N � � (�' ��� m � !� � � ! ! �� a 1 �� � m 5_7�! '��'65_7�!��

���

� � � (:7�!��

� �

� m � (:7X!�¢ 3 � a 1 N � � (�' ��� m � !�(:7� � � !�(87 ! �

� a 1 �� ¤

10.������� �43 ¢ � � J ' $�L � � f�� ¢ � �&-21 � a 1 N�� � ( $ �&� m � !� � � ! ! �� � a 1 �  

� '' m 5_7 � � m � ! '� � � � ! ' ¤

11. ������� �43 ¢ � � J � '$*L � � f�� ¢ �4 �&-21 � a N�� �� ( � � 1;- � ��� m � !� � � ! ! �+ � � a 1 . W

#$

  J 1 L '� ' m 5_7 � � � � m � ! '� � � � ! ' ¤

12. � a 1�� ��� ��3 ¢ � � J �O'65_7$ L � � f-� ¢ �4 � � a N�� �� ( � � 1;- � ��� m � !� � � ! ! �+ � � a 1 . W

#$ �¡\¤

5�,93

Page 445: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� �!<�� 55.17.4. Sums containing pFq((ap) � mk; (bq) � nk; ϕ(k, z))

and special functions

1.������� J 1 (*' L "$&% ��')( $ ! % ��3��#� � � � � ¢ � �&-21 � �&- � F �� $ 5_7 G � a 1 N � � ( $ �&� m � !� � � ! ! �� a 1 �  3 � � '%& �

� ' & � � " ���'65_7�! % ���O'65 7�!���

� � � (:7X!��

� �

� m � (87�!�� a N�� � (�')(:7��V(�')( 1 ��� m � !�(:7� � � !�(:7 ! ( � " � � � 3 ¢ � ¤

2.������� J (�')( 1 L "$&% ��' ( $ ! % �43��V� � � � � ¢ � �&-21�

Y � �&- � a 1 F �� $ 5_7 G � a 1 N � � ( $ ��� m � !� � � ! ! �� a 1 �  3 � � '%& �

� ' & � � " ���'65_7�! % ���O'65 � !���

� � � (:7X!��

� �

� m � (87�!�� a N�� � (�')(:7��V(�')( & ��� m � !�(:7� � � !�(:7 ! ( � " � � � 3 ¢ � ¤

3.������� � $ 5_7�! '#" �$&% ��3 d 3 � � � � c�&- � F �$ 5_7�G � a 1 N�� � ( $ �&� m � !� � � ! ! �� a 1 �

  �(�! ' & � � " ���' 5:7�! % �(�E5*' 5n7�!

���

� � � ( 7�!��

� �

� m � (*7X! �� a N � ^ (�'g(*7��]( � ( 'g(*7��#� m � !I( 7� � � !I( 7 ! ( � " � � ` 3 ¢ ¤

4.������� � $ 5_7�! "�" �$&% �43 �Q� � � c a ��&- � �4� � 3 � � �Q� � a 1 N�� � ( $ �&� m � !� � � ! ! �� a 1 �

  ������� ����! "� $ 5_7�! % � � m � ! "

� � � � ! " � c a ��&- � �4� � � ¢ � �Q� ¤5.

����� 1 �43 � �� � � 3 � � ¢ � �&- � -21 �( � ( '�! "$&% � c�&- � F �'g( $ 5n7 G � a 1 N � � ( $ �V� m � !� � � ! ! �� �

  3Q� � � ¢ � �&-21 � c� F �'65_7 G� �(

�! '��'65_7X! % ������� J '65_7$ L��43 � 3 d2� � F '65_7

�G � � a 1 N�� � ( $ �&� m � !� � � ! ! �� a 1 � ¤5�,!5

Page 446: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� � � ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��5.17.5. Sums containing products of pFq((ap) � mk; (bq) � nk;ϕ(k, z))

1.����� 1 �43 ¢ �

� J '65_7$ L � � N 1 � (�'65 $ � m� ! � a 1� � � a 1 N�� � ( $ �&� m � !� � � ! ! � � �

  �( 7X! '%& � ��'65 7�! ' � m ! ' & �� m ( � 5_7�!A� � ! 'Y � m ( � 5_7'65 m 3 � a N � a 1 � (�')(:7���� m � ! �#7�( � (*'� � � ! �V( m (*' ! �� a 1 �� � � (:7X!A� � ! '� m ! ' & � � a 1 N�� � ( ' (:7���� m � !� � � ! ! �� a 1 �

� ¤

2.�&-21������EJ ' $�L � � � ¢ � � -21 � � 3 � � �&- � � a 1 N�� � ( $ ��� m � ! ! �� a 1� � � ! �

Y� a 1 N � � (�'65 $ �&� � �

!����

! ! ��E- � �   3Q� � � ¢ � �&-21 � a 1 N�� � ( ' �&� m � !� � � ! ! �� a 1 �� �(�! ''65_7 � � m � ! '

� � � � ! ' � a 1�� ���KJ '65_7$ L �43 ¢ �A+ � a � a 1 .M� F '65_7�

G �Y � �C7 ( � � (*'�! "� �C7 ( m � (*'�! " � a 1 N � � ( $ �&� � �

!����

! ! �� a 1 � ¤5.17.6. Various sums containing pFq((ap)+mk; (bq)+nk; z)

1.������� �43 ¢ � � J ' $ L �

�! " � � ( � ! "� � ! " � � (��K5_7�! " & N J m � � � � 5 $

� � � 5 $ ! 7 L  �C7 (��#! '�

�(��K5_7X! ' & N J m (*' � � � ��P(*' � � ! 7 L = � � ���K5 � ( m ( � ! � ��@B

2.������� J ' $�L £ - � � £)� � � � m ! " ��� m 5n'�! "

J m 5 1 L " ��� m ! " J 1 L � "Y� N & � ( 'g5 $ � $ 5 7 � $ 5 m � $ 5n'65n� m� $ 5 & � $ 5 m 5 1 � $ 5n� m ! 7 � j � �0�&�   D ' %��� m ! ' � �� �0�&� H = = � � @ ���C7 � !C@CB

3.������� � $9% ! � � m 5n'�! "��')( $ ! % ��� $ ! % J 1 L " J m 5 1 L " � N &

� (�'65 $ � $ 5_7�� $ 5_7 � $ 5:'65 m$ 5 1 � m 5 $ 5 1 �]� $ 5n� ! 7 �Y � j � ��&�0�   ��� '�! %' % ��� m ! � ' � � � �0�&� ¤

5�,;

Page 447: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����.� ��� ������� � � ;�� ��L1� �4.

������� � $&% ! � � m ! " ��� m 5n'�! "��')( $ ! % ��� $ ! % J 1 L " J m 5 1 L " ��� m ! "Y� N � � (�'65 $ � $ 5_7�� $ 5_7�� $ 5 m � $ 5n'65n� m$ 5 1 � m 5 $ 5 1 � $ 5n� m �]� $ 5n� ! 7 � � j � ��&�0�   ' %��� m ! �' � � �� ��&�0� ¤

5.������� J ' $�L £ - � � m ! " ��� m 5:'�! "

J m 5 1 L " ��� m ! " � N &�� ( 'g5 $ � $ 5 & � $ 5 m � $ 5n'65n� m� $ 5:� � $ 5 m 5 1 � $ 5n� m ! 7

#$

Y � � �0�&�   D ' %��� m ! ' � �� �0�&� H = = � � @����C7 � !C@CB6.

������� J & L�" � m 5n'�! "��')( $ ! % ��� $ 5_7X! % J m 5 1 L " � N &�� ( 'g5 $ � $ 5 & � $ 5n� � $ 5:'g5 m$ 5_7 � m 5 $ 5 1 ��� $ 5 � ! 7

#$

Y � � � ��&�0�   ��� '�! %' % ��� m ! � ' � � � �0�&� ¤7.

������� J ' $ L �" � " � m ! " ��� m 5:'�! "J m 5 1 L " ��� m ! " � N & �� (�'65 $ � $ 5 & � $ 5n��� $ 5 m � $ 5:'g5:� m$ 5_7�� m 5 $ 5 1 � $ 5n� m �]� $ 5 � ! 7

#$

Y � � � ��&�0�   D ' %��� m ! ' � �� �0�&� H ¤5.18. Multiple Sums

5.18.1. Sums containing Bessel functions;��$���� �#� �$ �?� �  �¡��\¢!�!£��n¤4¤�¤

1.�� U a Z Z Z a � WC[ � �

S�� � 1

7$ � % � � ��� �<1� ��&�  � � 7�! ' � '#" ( & �' % � � �]! ( " �� � S���� 1 ��� ¢ �

� J � �� ( $ L � � a 1� � �&-21� � £!� �&� = '*>?7R@CB2.

�� U a Z Z Z a � WC[ � U � � SEa 1�� � 1

7$ � % � � � � �<1� �0�&�  � � 7�! '' % ��� � ��! ( S�� � 1 J

� � 5_7� ( $ L � � a 1� � � ���<1� � � £)� � ¢ �&�&� = '*>?7R@CB3.

���U a Z Z Z a �X[,� �S�� � 1

� " ��$ � % � � � -21� �� � �   J L 3( " � 8 �' % �M� � 5 B B B;5 � ( ! '%& �� ��M� � B�B BA� ( ! �� �Y � �&-21� �� 1 � ¤�¤4¤ � � S � ¤

5�,9:

Page 448: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ��� � ��� ��� ��� � ��� � 5.18.2. Sums containing orthogonal polynomials;��$���� �#� �$ �?� �  �¡��\¢!�!£��n¤4¤�¤

1.�� U a Z Z Z a � [ � �

S�� � 1 j � � �0�&�   � S � � �0�&� ¤

2.���U a Z Z Z a �X[,� �

S�� � 1 � ��� �0�&�   � S� ��&� ¤

3.���U a Z Z Z a �X[,� �

S�� � 1

7$ � % � ��� �0� � �   ��3��#� ��� S � -21� ���1 � ¤4¤�¤ � ��S � ¤4.

�� U a Z Z Z a � [ � �S�� � 1

7$ � % � � � a 1 �� � �  ��3 ¢ � � £ � a2S �0� 1 ¤4¤�¤ � S � 1� �& S � -21� �0��1 � ¤�¤4¤ � ��S � ¤

5.���U a Z Z Z a �X[,� �

S�� � 1 � c

���� �0� � �   � c U a Z Z Z a c [ a2S -21� �0� 1 � ¤�¤4¤ � � S � ¤6.

�� U a Z Z Z a � [ � �S�� � 1

� " ��$ � % � ��� - � �� � �� � �

  �� � 5hB B B�5

� ( ! %' % � S�� � 1

� " ��$ � % � � �&- � � �&- �

� � ���= � � � � �#7 �&B B�B ��' ! � � � � 5hB B B�5� ( ! � � � � 5 B B B;5 � ( @B

7.���U a Z Z Z a �X[,� �

S�� � 1 � c �� � �0�&�   � c U a Z Z Z a c [� ��&� ¤

8.�� U a Z Z Z a � [ � �

S�� � 1

�( � � ! " �� $ � (*��� � ! " � � c ���� ��&�  �('� � (_B B B�(�� ( ! '��')(*��� � (_B B B�(*��� ( ! ' � c U a Z Z Z a c [� ��&� ¤

9.�� U a Z Z Z a � [ � �

S�� � 1 j + � � - ��� l�� � - ��� .� � �0�&�   j + � -;�9l���-;� .� �0�&�= � � � � 5hB B B�5 � ( ! � � 5 B B�B�5 ( @CB

5�,<

Page 449: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas
Page 450: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Chapter 6

Infinite Series

6.1. Elementary Functions

6.1.1. Series containing algebraic functions

1.������� ("'& (� $ 5 � ! % � � � � m � ! "

� � � � ! "  ��3 ¢ � S + � a � a 1 . � " (� % � �C7 ( � � � !0! (

� �C7 ( � m � !0! ( S������ �43 ¢ � � J � $ L � N�� ^ � m � !�( � ! $ �� � � !�( � `= � ���

@B6.1.2. Series containing the exponential function

� �4��-4�#� �$! � �  K � � � � � K � � � ��� �   � ¢ 3 � =

1.��� � 1

7' � � � ' � � (:7 �   3 � �7�� 3 7� � � $&$ �

K

� � $ !� � = = � � @��&����7]B 7X!C@CB

2.��� � 1

�( 7X! '' � � � ' � � (:7 �   3 � �7�� 3 77�� � $ �7�� $ � = = � � @��&����7]B � !C@CB3.

��� � 17' � � � ' � � 5_7 �   � �� � 7� � $

K� $ !� � = = � � @��&����7]B � !C@CB

4.��� ���

7���O'65 7�! � � 3 � ' & � 8 � � 5_7 �   7� � �K

� $ !� = = � � @��&����7]B �O!C@CB

5.��� ���

7���O'65 7�! � � 3 � ' & � 8 � � (:7 �   3 7� � � $ �K

� $ !� = = � � @��&����7]B � !C@CB

6.��� � 1

�( 7X! '' � � � ' � � 5_7 �   � �� � 7� � 7�( $ �� $ = = � � @��&����7]B � !C@CB5�,9P

Page 451: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �� 36.1.3. Series containing hyperbolic functions

� �4��-4�#� �$! � �  K � � � � � K � � � ��� �   � ¢ 3 � =

1.��� � 1

������ ��'� � !�(:7'   3 � �� 3 7

� � � $�$ �K

� � $ !� � = = � � @��&����7]B 7X!C@CB

2.��� � 1 ��3 ¢ � �

������ ��'� � !�(:7'   3 � �� 3 7

� � � $�$ �K

� � $ !� � = = � � @��&����7]B � !C@CB

3.��� � 1

����� ��'� � !'   � �7�� 3 7

� � � $ � �$ = = � � @��&����7]B � !C@CB4.

��� � 1 ��3 ¢ � ������ ��'

� � !'   � �7X� � 7� � $&$ �� = = � � @��&����7]B � !C@CB

5.��� � 1

7�( � � ��� ��'� � !'   � �� 3 � $

K� $ !� � = = � � @��&����7]B � !C@CB

6.��� � 1 ��3 ¢ � �

7�( � � ��� ��'� � !'   � �� � � 7 ( $ �� $ = = � � @��&����7]B � !C@CB

7.��� ���

�( 7X! '�O'65_7 � � � � � � £� � ¢ � � ���   3 7� � � � = = � � @��&����7]B �O!C@CB8.

��� ����( 7X! '�O'65_7 ��� � � ��� '65_7X!

� ��   7� ��� � � � � = = � � @������ 7]B 7�� !C@MB9.

��� � 1 ��3 ¢ � � � � � � � � � ��� � ��� � � � � ���   � $ � (:7� � � K � � ��3 77X� = = � � @������ 7]B 7 � !C@MB

10.��� ���

�( 7X! '��� '65_7�! � ( & � ��� � � ���O'65 7�! � � ��  �( 7X! ( & �� � � SEa 1 & S�� ��� � � �!& �������5_7�! % � � ( " � ���� � (*���&! % � � � �����P5_7X! �

� = � � @B5�3N

Page 452: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� � � ��� ��� ��� � ���6.1.4. Series containing trigonometric functions

1.����� 1

��� � � $ � ! ���� � $�� !$ � ( " �   ��3 ¢ � S � � ( " ��]��� � (:7X! % � S - �� ��� � � "'& ���� $ 5_7X! %Y � �43 ¢ � S -21 � � � ( " � "�" ��]��� � ( � $ ( � ! % � �43 ¢ � � S - � -21�

� ��� �43 ¢ � � � � ���� � ! % � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ � �= ( � � � � � ! �

�� � � � � � ( �

�� ! = � � @ @CB

2.����� 1 �43 ¢ �

� ��� � � $ � ! �� � � $�� !$ � ( " �   �43 ¢ � S � � ( " ��#��� � (:7�! % 3 S - ������ ��3 ¢ � � � � "'& ���� $ 5 7�! %Y S - � -21�

� ��� ��3 ¢ � � � � ���� � ! % � ¢ 3 £ � a � - SEa & � � � £� 3 £�� 3 £)� 3 £ �= ( � � � � � ! �

�� ( � � � � � ( �

�� ! = � � @ @CB

3.������� �( 7X! " J $ 5 1 LJ $ 5 1 L

� ( � ���� ��� J $ 5 1 L

� � � 5 m �� J $ 5 1 L

� � � 5 m �   � � ��� � ��� � � ��� � � m � 5 � � � �� m � 5 � � � �

= = � � @ ���C7�B 7��O!C@CB4.

����� 1�( 7�! "$ � � $ � 5 m � ��� � F � � � f � G   � ( m � � �7�� m � ��� � �f ���<3 �� m � � � � �0f ���= ( � � � � � @CB

5.����� 1

�( 7�! "$ � � � � F � � � f � G   �� m ��� � �f ���<3 � �7�� � � � �f ��� = ( � � � � � @CB6.2. The Psi Function ψ(z)

6.2.1. Series containing ψ(ka+ b)

1.����� 1 �

� � � � �   �

��(87 �C � � � ¢ 3 � �� = � � � � 7A@CB2.

����� 1�"$ � � � �   C � � ¢ 3 � ��� 7� � � ¢ 3 � � = � � � � 7A@CB

3.����� 1�"$ � � � � �   7� � � � � ¢ 3 � �<3 C

� � � � ��� � � ¢ 3 � � � � � ¢ 3 � �3 � � & � ¢ 3 � ��� � � � = � � � � 7A@B5�31�

Page 453: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ,�� �4.

����� 17$ � � � � �   � � �<3 � �

C� ¤

5.����� 1

7$ � $ 5_7X! � � � �  �¢ 3 C = = �� @ ��� � !C@CB6.

����� 17� $ 5 m !A� $ 5 � ! � � � �

  7�]� m ( � ! � � � ���'� ¢ �<3�� � �f�� ¢ �<3�� ��� � ¢ ��� � �0f�� ¢ �� ¤7.

����� �"$ � $ (:7X! � � � �   3 C � � � � � ¢ 3 � ��3 � � � ¢ 3 � ��

� 7� � � � � � � 3 ¢ � � � ¢ 3 � ��3 � � � � � � ¢ 3 � ��3 � � � � � ¢ 3 � � � = � � � � 7A@B

8.����� 1

�"'& �$ � $ 5_7X! � � � �   3 7� � ¢ 3 � � � � ¢ 3 � �� � ¢ 3 C ��� � � � ¢ 3 � � � � ¢ 3 � �� = � � � � 7R@CB

9.����� 1

7$ � � � � � � �   � � � � � �� � � � �<3 7� � � � � � �� C

�� � � � �<3 � �� 3 S -21���� 1

7$ � � � � � ¤10.

����� 17$ � � � � �   � �

� � � 3 C� � � ¤

11.����� 1

�( 7�! "$ � � � � �   3 � �� � 3 � �7�� � £ � 77X� � � £� 7� � � � £ � C � � � � � £ � � � F 7� G ¤

12.����� 1

7$ � � $ 5_7�! � � � �   ) ¢ 3 � �� , C � � � �<3 ¢ = = ��� @��&�C7�� !C@MB13.

����� 17$ � $ 5_7X! � � � � �   ) � �� 3 £ , C 3 � �� 3 � � � � = = ��� @��&�C7 � !C@MB

14.����� 1

7$ � � � � �   3 � �C��� 3 � �� � � � � £ � � �]� ¤

5�3�,

Page 454: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� � � ��� ��� ��� � ���15.

����� 17$ � � � �   � �7�� ��� 3 7� � �� ��3 C

� � �]� ¤16.

����� 17$ ' & � � � � �   '65n�� � � � � �<3 C

� � � � £ �3 7� ������� � � � � ¢ � � � � 3 � � £ � ¤

17.����� 1

7� $ 5 m ! '%& � � � � �  �( 7X! '%& ���'65 7�! % � 7� � + � a . �f�� ¢ �<3 ������� J ' $�L � + �&- ��. �f-� ¢ � � + � a 1 . �0f�� ¢ � � ¤

18.����� 1�"$&% � � � �  �£ C � � � ��� ¡�� � � � ��� ¡�� 3 � ��� � � � � � � ��3 � � ¤

19.������� �

"� $9% ! � � � � � ¢ �   7� � � � � £ / � � � � � � £ / � � ¤

20.������� �

"$9% � $ 5_7X! % � � � � ¢ �  7� � � £ 3 � � £ / � � � / � � � 1 � £ / � �E3 £ / � � 1 � £ / � � � ¤

21.����� 1�"$ � F � � 7��G   � C � £ � £ � � � ¢ 3 � � � 7� � 7<5 � �7 (�� � = � � � � 7A@CB

22.����� 1

�( 7�! "$ � F � � 7��G   3 � �� � � £ � C � £ � £ � ¤23.

����� 17$ � � F � � 7� G   �� � � �<3 � �

� � £ 3 � �C� = = �� @��&�C7��O!C@MB

24.����� 1

�( 7�! "$ � � F � � 7� G   �� � � � � � �� � £ � � �C7X� 3 £ � G = = �� @��&�C7 � !C@MB

25.����� 1

7$ ��� $ 5_7X! � F � � 7��G   � �� � £ � � £ 3 ¢ �R� C � £ � £ � ¤26.

������� 7� $ 5_7X!A��� $ 5_7�! � F � � 7��G   3 � �� � £ � £ 3 C � � £ 3 � � £�¤5�33

Page 455: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ,�� �27.

������� 7� $ 5n� !9��� $ 5_7X! � F � � 7� G  77 � � � 3 ���� £�¡ � £ 3 £ � � £ 3 � � £ � £ � ¢ � C� ¤

28.����� 1

7��� $ (87�! � � F � � 7�2G   �� � � � � � �� � £ 3 � �� � C � £ � £ � ¤29.

������� 7��� $ 5 7�! � � F � � 7�2G   3 7� � �, C � � � � �0� ¤30.

������� 7� $ 5h� !;��� $ 5 7�!;��� $ 5 � ! � F � � 7� G  77 � � �� � ¢ �g3 � � � £ � £ � � £ � ¢�£ C � � £ 3 ¢ � � ¤

31.������� � "$&% � F � � 7��G   3?� C � £ � £ � � � � £ � � � N � 7 �#7 ! ( �& �]� � ¤

32.����� 1

7$9%$ � F � � 7��G   7� � C � �, �<3 £ C � £ � � £ 3 � � £ 3 ¢)¤33.

����� 1 J 1 L "$9%$ � F � � 7��G   7� � �, 3 � � £ � C � £ � £ �0� ¤34.

����� 1 J 1 L "� m ! " $ � F � � 7��G   � C � £ � £ � D�� FOfT3 7��G 3�� �fI� H � � � F fg3 7�2G= � � m �h7 ��@CB35.

������� J 1 L "� $ 5_7X! % � $ 5_7X! � F � � 7� G   �9� � £ 3 ¢ � C ���&� £ 3 £ � £ � � £ �<3 �� ¤36.

������� J 1 L "� $ 5n� ! % � $ 5n� ! � F � � 7� G  �� � � � � 3 ¢�£ � £ � C � � ���� ¢ � � £ 3 �4£ � £ 3 ¢ � � � ¤

37.������� J 1 L "� $ 5n� ! % ��� $ 5 � ! � F � � 7� G   F �:3 7��

� G C 3 � � �� � ¢ � 3 ¢ � � £ � ¤

38.������� J 1 L "� $ 5 � ! % ��� $ 5 � ! � F � � 7��G   F � �7�� 3 � � G C � � �� � � �7�� � £ 3 7���7 �� ��� ¤

5�395

Page 456: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� � � ��� ��� ��� � ���39.

������� J 1 L "$9% ��� $ 5_7X! � � F � � 7� G   3 �� � ������ ¢L£ C � £ � ¤40.

������� J 1 L "� $ 5_7X! % ��� $ 5_7X! � � F � � 7� G   � � � ¢ 3 � £ ��3 £ � C 3 � �7X� � �&� ¢ 3 � £ � ¤41.

������� J 1 L "� $ 5_7X! % ��� $ 5_7X!A��� $ 5 � ! � F � � 7��G   � � � F £ 3 � �� G C � �&� � £ 3 ¢ � ¤42.

������� J 1 L "$9% � $ 5n� !A��� $ 5_7X!A��� $ 5 � ! � F � � 7��G  7� � � � ¢ � � � � � � � 3 £�¢ � � C � � � � � £ 3 ¢�¡£ � � ¤

43.������� J 1 L "� $ 5_7X! % � $ 5 � !A��� $ 5 � !A��� $ 5 � ! � F � � 7��G   � � ��O� � 3 � � �

���

� �� � � � �83 ¢ � � C 3 �� � £�¤

44.������� �

"$9% J 1 L " � F � � 7� G  7� � � � ��� � £ / � � � � � £ ��� ��� � £ / � � ����� � � / � �<3 £ � � ��� � £ / � � � ��� � � / � � � ¤

45.������� J 1 L

"$9% � $ 5_7X! % � F � � 7� G   �� � £ 3 C 3 � � £ � ¤

46.����� 1

7� $ 5 m !A� $ 5 m 5 7�! � F � � 7� G  7m � m 5_7�! ��� m 5_7�! � £ � f2� £ � C � £ � £ �0��� �� m 5_7 � �fI� ¤

47.����� 1

�"

J 1 L�

"� F � � 7� G  � � �� �� � � L� � £ / � �E3 £ � � � £ / � �'� 7

� � � � ���� ������

�� � ��¡��!¡�� �� � ��

�� ��¤

5�3�;

Page 457: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ,�� �48.

������� �"��� $ 5 7�! % � F � � 7� G

  7� � D 7� � �� � � ��� / � 3 £ ����� � / � � � � � ��� / � ����� � £ / � �3 ��� ��� / � � ��� � £ / � � � ¤

49.������� J ( 1 L " J 1 L "$&% � $ 5_7X! % � F � � 7��G   �

� � � ¢ 3 C 3 � � £ � ¤50.

������� J 1 L�

"$9% � $ 5_7X! % � F � � 7� G   �� � £ 3 C 3 � � £ � ¤

51.������� J 1 L

"= � $ 5_7�! % @ � � F � � 7� G   �� � ���:3 �V� C � £ � � � £ 3 ¢ ��� �9� 3 � � £ �0� ¤

52.������� J 1 L " J & L "= � $ 5_7X! % @ � � F � � 7� G   �

� � � £ 3 � � C � £ � � 3 ���;� � £ 3 ¢ �� ¤53.

������� J 1 L�

"� $ 5_7X! % � $ 5n� ! % � F � � 7��G 

�� � � � � � �83 £ � C ��� ��� � � £ 3 ¢ �<3 � � � £ � ¡ ��� ¤54.

������� J 1 L " J & L "� $ 5_7X! % � $ 5n� ! % � F � � 7� G 

�� � � � �P3 � � C 3 ¢ � � � � £ 3 ¢ � ����� ¢�£ � £ 3 ¢¢ �0� ¤

55.������� J 1 L

"� $9% ! � � F � � 7� G   77X� � � � �83 C 3 � � £ � � � F 7� G ¤56.

������� J 1 L�

"$9% = � $ 5_7�! % @ � � F � � 7��G  7

� � � D ���:3 � � £ 3 C � � � F 7� G � � � � � � � � £ � C 3 �]� � � F �� G9H ¤57.

������� J 1 L�

"= � $ 5_7�! % @ � � F � � 7� G   �&� £ 3 C 3 £ � £ �� � �� � � C � � � £ � �:3 ¢�¡ � � � F �� G ¤

5�3:

Page 458: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� � � ��� ��� ��� � ���58.

������� J 1 L�

"� $ 5_7X! % = � $ 5n�O! % @ � � F � � 7��G   �&� £ 3 C 3 £ � £ �3 �� � � � � � £�£ � ¢ ���:3 � � C 3 �4¡ � £ � � � F 7� G3 � �� � � � � � �P3 � �:3 £!¢ C 3 � £ � £ � � � F �� G ¤

59.������� $&%� m ! " � $ 5_7�! � � � � fI�   � �fg3 ¢ � � �fT3 ¢ �<3 ¢ ��� � �fT3 ¢ �

3 �fg3 ¢ � � � � �fg3 ¢ � = � � m � 7A@B60.

����� 1�"$&% � � � � fI�   �m � � � f � �0fI� 7 ( � " �

� � N J 7 �#7 ! ( �m 5_7���� L = = ��� @ ���C7�B 7 m !C@CB61.

������� � m ! "$&% � � � � � � fI�   � ¢ 3 � � -�� � � �fI��3 � � ¢ 3 � �� = � � � � 7A@CB62.

������� � m ! "$9% � $ 5 � ! � � � � � � fI�   7� � �fI� N 1 J m � �

� 5_7 ! � L� � - � � ¢ 3 � � 1A-�� � � ¢ 3 � � � -21�� � ¢ 3hf � �O� � � ���K3hf�� ¢ ��3�� � ¢ 3hfI� � 77�( m � � ¢ 3 � � N 1 J 7 ( m �#7�( �� ( m ! 7 (�� L 3 7�C7�( m ! � & N J 7 ( m �V7 ( m �V7 ( �� ( m ��� ( m ! 7�(�� L � ¤

63.����� 1

�"� m ! " � � � � fI�   �m � � � D�f � -�� � �0fI� � �0f � � � � N J m � m ! ( �m 5_7�� m 5_7 L H

= = ��� @����C7]B 7 � !C@CB64.

������� � ")" $&%� m ! " � � � � fI�   � �0fg3 ¢ � � �fI��3 ¢ �<D�� F m ��G 3�� F m (:7� G9H� m (:7� D�� � F m (:7� G 3�� � F m ��GIH ¤

65.����� 1

� ")" $9%$ � � m ! " � � � � fI�   7� D�� F m 5_7� G 3�� F m � G9H D�� � F m 5_7� G 3�� � F m � GIH� 7� � �fI� � � � � �fI�<3 D�� F m 5_7� G 3�� F m ��G9H �� 7� D � F � m ��G � � F � m 5_7� GIH ¤

5�3�<

Page 459: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ,�� �66.

������� � $ 5n'�! %$9% � m ! " � � � � � � fI� �� � � � �fI� 1 N 1 J 'g5 7m ! � L 3 � 1A-�� � � � 1A-��� �43 � � � �fT3 ¢)��� �

3 ����� 17$ � � -�� a 1�&- � ��3 � � � � - � -21� -21 � � � � �fg3 ¢ � � �

Y ��� ��� �( ��! "$9% � m 5 $ (:7X! � � ��&- � ��3 � � N J m 5 $ (:7 � m 5 $ (:7m 5 $ � m 5 $ ! ( � L � ¤67.

������� � m ! " J 1 L "$9% � $ 5_7X! % � � � � fI� 

� � J & ( m L� � � ��� ( m ! D 77�( m � � � � � �0f ����� £ � �fI��3 � F � � 3hf G9H = � � m � 7R@CB68.

������� � m ! " J 1 L "� $ 5_7X! % � $ 5n� ! % � � � � fI�  �m (:7 �

� �fT3 ¢ �<3�

� J � ( m L� � � � � � ( m ! D�� � 3hfI��3�� F � � 3hf G � � �fg3 ¢ � H = � � m � 7R@CB69.

������� � m ! � "� $9% ! � � � � � fI�   3 � � J ( & � Lm � �� J ( � L � � � m ��

Y�� � � � m �� 3 � � �0fI��3 D £ � � � � m �� � � �� m �� � � F m � G 3�� F � m� G9H �= � � m � 7R@CB

70.������� �43 ¢ � � � £)� � fI� � m ! � "� $&% ! � � � � � fI�   7

� � � � �f � �� DMf � �fI��3 7

� H & N J m � m � m7 �#7 ! ( 7 L 3 £ f & � �fI� & N J m 5_7�� m 5_7�� m 5_7���]� ! ( 7 L= � � m � 7 � @CB71.

����� 17$ � � � £!� �   �� � � ��3 C

� �� ¤

72.����� 1

7$ � $ 5_7X! � � £)� �   7� 3 C � £ � £ = = ��� @�������� � � @CB5�3L

Page 460: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� � � ��� ��� ��� � ���73.

����� 17$ � � $ 5_7�! � � £)� �   �� � � ��� ) ¢ 3 � �� , C 3 £ � £ 3 7� ¤

74.������� �( 7X! "� $ 5 7 � � a 1 � � £)� � ¢ �   38D C � 7� � � ¢ � � � H �� �� � � = � � � � 7A@CB

75.������� � � � � £)� � ¢ �   7

�� (87 D C � 7� � � ¢ 3 � �<3 7� � � 7,5 �7�(�� H = � � � � 7A@CB

76.������� �43 ¢ � � � � � � £)� � ¢ �   3 77<5 � � D C � � ��� � � � � 7� � � ¢ � � � H = � � � � 7R@CB

77.������� �( 7�! " � � "= ��� $ ! % @ � � � £)� � ¢ �   � � � � � £ � �<3 � � � ��� � £ � � � � � � £ � � = � � ��@CB

78.������� �( 7X! " � � "= ��� $ 5_7X! % @ � � � £!� � £ �   7�

�� � � � � � £ � � � � � � � ��� � £ � ��� � � ��� � £ � ��= � � � @CB

79.������� J 1 L � "��� $ ! % � � � F £!� � 7� G

  � " � �� 7�(�� � � F ¢ 3 � ¢ 3 � G 1� � 7<5 �7 (�� 3 F ¢ � � ¢ 3 � G 1� Y � £ C � � � £ � � � ¢ 3 � �0� � = � � � � 7R@CB80.

������� �� "'& ���� $ 5 7�! % F � ��G � a 1 � F £)� � � ��G

  � " �� �� 7�(�� � � F ¢ � � ¢ 3 � G 1� � 7<5 �7 (�� 3 F ¢ 3 � ¢ 3 � G 1� Y � £ C � � � £ � � � ¢ 3 � �0� � = � � � � 7R@CB81.

������� �"$&% � � £!� � fI�   � � � �fI� � �m � � N � 7 �#7 ! ( ���� � 5_7 �

� �m 5_7 � � N � 7 �#7 ! ( ���� � a & � ¤5�3P

Page 461: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ,�� �82.

������� �� "��� $ ! % �0fI� � � � £)� � fI�   3 7� � � -��\ � � \ � � -��� � � � �

� 7� � � -��\ � � -��� � � �fI� = � � � 7 � � ! � � � � 7R@CB83.

������� �� "'& ���� $ 5 7�! % �0fI� � � � £!� � fI�   7�]�C7 ( m ! � � 1A-��\ � � \ 3 � 1A-��� � � � �

� 7�]�C7�( m ! D 77�( m � � �0fI� H � � 1A-��� 3 � 1A-��\ � = � � � 7 � � ! � � � � 7R@�B84.

������� �( 7�! " � � "��� $ ! % �0fI� � � � £!� � fI�   � ¢ � � � -��R� Y � � � � �f �<� D � �0fI��3 7� � � ¢ � � O� H 3 � ��� � �f �<� � = � � � � �� � � � ! � � � � 7R@CB

85.������� �

� "'& ���� $ 5 7�! % �0fI� � a 1 � � £!� � f�� ¢ �  7� � � -��� � � � 3 � -��\ � � \ � � � -��\ 3 � -��� � � �0fI�� = � � � 7 � � ! � � � � 7R@CB

86.������� �( 7�! " � � "'& ���� $ 5_7X! % �0fI� � a 1 � � £!� � f�� ¢ �  7� � ¢ � � � -��R� � £ � � � � �0f ��� � � � � �0f ���2� £ � �fI��3 � � ¢ � � �0� �= � � � � �� � � � ! � � � � 7A@CB

87.������� �&(:7�! "

� $ 5_7 � � � � ¢ �   3 � �� � 3 7� � £ 3 7

� � � � � � / � £ � ¤88.

������� 7� � $ 5 7�!&� � $ 5n�O! � � � � ¢ �   �� � � � £ 3 £ C 3 �� � ¤

89.������� � m ! � "� � $ ! % � � � � fI�   -��R� - � � � � m �� � £ � �fI�<3 � �&3 � ��� � m �� �

= � � m � 7R@CB90.

������� �43 ¢ � � � m ! � "� � $ ! % � � � � fI�  7

� DXF £ -�� � £ � � � m �� G � �fI�<3 £ -�� � £ 3 � �� ��� � m �� H = � � m � 7R@CB

55�N

Page 462: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� � � ��� ��� ��� � ���91.

������� � m ! � "� � $ 5 7�! % � � � � fI�  � " 3 �!& � 8 �7 ( m � � � � � m 5_7�! �� D �7�( m 3 � � £ � �fI� H 3 �

� ��� �� m 5_7X! �� �= � � m � 7R@CB

92.������� �43 ¢ � � � m ! � "� � $ 5_7X! % � � � � fI�  7

� � m (:7X! � £ 1A-�� � £ � D £ -�� � £ � � � � m 5_7X! �� H D 7m (:7 3�� �fI� H� � �� � � �

� m 5 7�! �� � = � � m � �X@B

93.������� � m ! � "� � $ 5:�O! % � � � � fI�   3 � "�� �� m (87�!A� m (*�O!Y�� � � � � m 5:�O! �� D �� � � m ( �� m (:7X!A� m ( �O! 3 £ � �fI� H � �

� � � �� m 5n� ! �� �= � � m � ��@CB

94.����� 1

7$ � � � �F� �   ) ' �� � 7�O' , � � �<3 � �C� � � �&-21���� 1 ��� F

� $ �' G = = � � @������O!C@CB95.

����� 1�( 7�! "$ � � � �+� �   ) ' �� 3 �� ' , � � ��� � �

C7�� � � �&-21���� 1 ��� F� $ 5_7' � G= = � � @������ !C@CB

96.����� 1

7$ D�� F $ 5 7� G 3�� F $ � G9H   � £ � � �� ¤

97.����� 1

7$ � D�� F $ 5_7� G 3�� F $ � GIH   7 �� � � ��3 � �� � £ = = �� @��&� � 7�!C@MB

98.����� 1

�( 7�! "$ � D�� F $ 5 7� G 3�� F $ � G9H   � �� � £ 3 £ � � � = = �� @��&� � �O!C@MB99.

����� 17$ D � F � � �� G 3�� F � � 7� GIH   � G 3 � � £�¤

100.��� � 1

7$ D � F $ � � �� G 3�� F $ � � 7� GIH   � G 3 � � £�¤55)�

Page 463: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ,�� �101.

��� � 17$ D�� F � $� � �� G 3�� F � $� � 7� G9H  �¢L£ G 3 � � £ 3 £ � � � £ � / � ¤

102.��� � 1

7$ D�� F $ � � �� G 3�� F $� � 7� GIH   �� G 3 � � �� ¤

103.��� � 1

7$ D�� F $ 5 �� G 3�� F $ 5_7� G9H   � G 3 � � � £�¤104.

��� � 17$ D�� F $ � � �� G 3�� F $ � � 7� GIH   � � G 3 � � � �� � £ � � � ¢ � / � � ¤

105.��� � 1

7$ D�� F $ � � �� G 3�� F $� � 7� GIH   �� G � � � £�¤

106.��� � 1

7$ D � F $ � � �� G 3�� F $� � 7� GIH  �£ G 3 � � � £ � � � � ¢ � / £ � ¤107.

��� � 17$ D�� F � $� � �� G 3�� F � $� � 7� G9H   �

� G 3 � � � £ 3 � � � ¢ � / £ �� � �� � � £ � / � ¤

108.��� � 1

7$ D � F � $7�� � �� G 3�� F � $7�� � 7� G9H   7X�� G � � � £ � £ � � � £ � / �

3 � � � � ¢ � / � � ¤109.

��� � 17$ D � F $7�� � �� G 3�� F $7X� � 7� GIH   �

� G � � � � £ � � �� � � £ � / � ¤

110.��� � 1

7$ D�� F � $7�� � �� G 3�� F � $7�� � 7� G9H   �� G 3 � �� � £ 3 � �

� � � £ � / �� � � � £ / £ � � 3 / £ � " £ � / £ ¤

111.��� � 1

�( 7X! "$ D�� F � $� '65n� � �� G 3�� F � $� '65n� � 7� GIH   � �G�O'65_7 3 £� � � £

3 £ � ������� S -21�� ��� ��3 ¢ � � � ��� � � � F � $ 5_7� '65 � � � ���P5 7� � � G ��� ¤

112.��� � 1

�( 7X! "$ D�� F � � �� G 3�� F � � 7� GIH   � G 3 � � � � � � / £ � ¤55�,

Page 464: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� � � ��� ��� ��� � ���113.

��� � 1�( 7X! "$ D�� F � $� � �� G 3�� F � $� � 7� G9H  �¢L£ G 3 £ � � ��¤

114.��� � 1

�( 7X! "$ D�� F $ 5 �� G 3�� F $ 5_7� G9H   3 � � � £�¤115.

��� � 1�( 7X! "$ D�� F � $� � �� G 3�� F � $� � 7� G9H   � �

� G 3 � � � £3 � �

� � � £ � / � ¤116.

��� � 1�( 7X! "$ D�� F $ � � �� G 3�� F $ � � 7� GIH   � � G � � � £� £ � � � ¢ � / £ �K3 ��� � � ¢ � / � � ¤

117.��� � 1

�( 7X! "$ D�� F $ � � �� G 3�� F $� � 7� GIH   �� G 3 £ � � � � ¤

118.��� � 1

�( 7X! "$ D�� F $ � � �� G 3�� F $� � 7� GIH  �£ G 3 � � � £ 3 � � � ¢ � / £ � ¤119.

��� � 1�( 7X! "$ D�� F � $� � �� G 3�� F � $� � 7� G9H   �

� G 3 � � � £� � � � ¢ � / £ �K3 � �� � � £ � / � ¤

120.��� � 1

�( 7X! "$ D�� F $7�� � �� G 3�� F $7�� � 7� GIH   �� G � � � �

3 £ � � � ¢ � / � � ¤121.

��� � 1�( 7X! "$ D�� F � $7�� � �� G 3�� F � $7�� � 7� G9H   7X�

� G 3 � � 7 � ��� £ � � � ¢ � / � � ¤

122.��� � 1

�( 7X! "$ D�� F $7�� � �� G 3�� F $7X� � 7� GIH   � � � £ 3 � �� � � £ � / � ¤

123.��� � 1

�( 7X! "$ D�� F � $7�� � �� G 3�� F � $7�� � 7� G9H   �� G � � � � £

� � �� � � £ � / �E3 � � ) � � £ / £ � " £ � � ¢ � / £ , ¤

55�3

Page 465: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ,�� �124.

��� � 1�( 7�! "$ �

� ) � � 5h�� � � ¢ , 3 � ) � � 5h�� � � 7� ,   � / 3 ¢ � � �� 3 £ � £ � � / � ¢ � ¤

125.��� � 1

�( 7X! "$ D�� F $� � � 5 � � ¢ G 3�� F $� � � 5 � � 7��G9H  � ¢ 3 / � � �� � £ � £ � � / � ¢ �K3 £ � £�¤

126.��� � 1

�( 7X! "$ �� ) � ( � �� � � ¢ , 3�� ) � ( � �� � � 7� ,

  � 3 � / £ � � �7�� � � £ � � / £ � ¢ �E3 � £�¤127.

��� � 1�( 7X! "$ �

� )� 5 � 7��� � � ¢ , 3�� )

� 5 � 7 �� � � 7� ,   � / ¢ � 3 £ � � �� 3 £ � £ � � / � / � �E3 £ � ) 7<5 � �� , � � £ � / � ¤

128.��� � 1

�( 7X! "$ �� )

� ( � 7��� � � ¢ , 3�� )� ( � 7 �� � � 7� ,

  � £ 3 / ¢ � � � �� � £ � £ � � / � / � �'� £ � ) 7,5 � �� , � � £ � / �3 £ � £�¤129.

��� � 1�( 7X! "$ �

� ) ��5 � � �� � � ¢ , 3�� ) � 5 � � �� � � 7� ,   ) * �

� 3 �7�� , � 3 � � � £ � �� � £ / � �K3 � � ¢ � / £ � � � £ � / �E3 � £�¤

130.��� � 1

�( 7X! "$ �� ) � ( � � �� � � ¢ , 3�� ) � ( � � �� � � 7� ,

  ) * �� 3 �7�� , �, � � � � £ � �

� � £ / � �'� � � ¢ � / £ � � � £ � / �E3 � £�¤131.

��� � 1�( 7X! "$ �

� ) � 5 � � �� � � ¢ , 3�� ) ��5 � � �� � � 7� ,   � / � 3 �

� �� 3 £ � £ � � / � � / � �K3 £ � 7,5 � �� � �� � / � � ¤

555

Page 466: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� ��� � � ��� ��� ��� � ���132.

��� � 1�( 7X! "$ �

� ) � ( � � �� � � ¢ , 3�� ) �K( � � �� � � 7� ,   � 3 / � � � �� � £ � £ � � / � � / � � � £ � 7<5 � �� � �

� � / � �K3 £ � £�¤133.

��� � 1�( 7X! "$ �

� ) � 5 � � �� � � ¢ , 3�� ) � 5 � � �� � � 7� ,   � / � 3 � � � �� 3 £ � £ � � � / � �K3 £ � � 5 � ��7� � � £ � / � ¤

134.��� � 1

�( 7X! "$ �� ) � ( � � �� � � ¢ , 3�� ) � ( � � �� � � 7� ,

  �� 3 / � �

� �� � £ � £ � � � / � � � £ � ��5 � ��7� � � £ � / �K3 £ � £�¤135.

��� � 1�( 7X! "$ �

� ) 7 7<5 � 7�� �� � � ¢ , 3�� ) 7 7,5 � 7X� �� � � 7� ,   � / � � ¡ 3 ¢�¢ � � �7�� 3 � � £ � / � � � � / ¢�¡ �K3 � � ¢ � / £ � � �

� � / ¢ � �3 � � � £ � � ¢�¢ � / ¢�£�¡ �E3 � 7<5 � �� � �

� � / £ � �K3 � £�¤136.

��� � 1�( 7X! "$ �

� ) 7 7 ( � 7�� �� � � ¢ , 3�� ) 7 7�( � 7X� �� � � 7� ,   � ¢¢ 3 / � � ¡ � � �7�� � � � £ � / � � � � / ¢�¡ �'� � � ¢ � / £ � � �

� � / ¢ � �� � � � £ � � ¢�¢ � / ¢�£�¡ � � � 7<5 � �� � �� � / £ � �K3 � £�¤

137.��� � 1

�( 7X! "$ �� ) 7X��5 � 7 � �� � � ¢ , 3�� ) 7X� 5 � 7 � �� � � 7� ,

  � / ¢ � 3 � �� �� 3 £ � £ � � / ¢¢ � / ¢ �E3 £ � � 5 � 7 �� � � ¢�¡ � / ¢¢ � ¤

138.��� � 1

�( 7X! "$ �� ) 7X� ( � 7 � �� � � ¢ , 3�� ) 7X� ( � 7 � �� � � 7� ,

  � � 3 / ¢ � � � �� � £ � £ � � / ¢�¢ � / ¢ � � £ � � 5 � 7 �� � � ¢�¡ � / ¢¢ �3 £ � £�¤55�;

Page 467: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ,�� �139.

��� � 1�( 7X! "$ �

� ) 7 � 5 � 7�� �� � � ¢ , 3�� ) 7 � 5 � 7�� �� � � 7� ,   � / � ��£ 3 ¢ � � �7�� 3 7� � � £ � / � � � ¢ � � / £�£ � �3 7� � �

� � / £ � � � �� � / � �

3 � � � £ � � ¢ � / ¢ � � �K3 � ��5 � � 7� � � ¢ � / £ �K3 � £�¤140.

��� � 1�( 7X! "$ �

� ) 7 � ( � 7�� �� � � ¢ , 3�� ) 7 � ( � 7�� �� � � 7� ,   � ¢ 3 / � �4£ �

� �7�� � 7� � � £ � / � � � ¢ � � / £�£ � �� 7� � �� � / £ � � � �

� � / � �� � � � £ � � ¢ � / ¢ � � �'� � ��5 � � 7� � � ¢ � / £ �K3 � £�¤141.

��� � 1�( 7X! "$ �

� ) 7 � 5 � 7 ���� � � ¢ , 3�� ) 7 � 5 � 7 � �� � � 7� ,   � / ¢ � � 3 � � � �� 3 £ � £ � � / ¢ � / ¢ � � 3 £ � � 5 � 7 �� � �

� � / ¢ � �3 £ � 7,5 � �� � � £ � � / � � ¤

142.��� � 1

�( 7X! "$ �� ) 7 � ( � 7 ���� � � ¢ , 3�� ) 7 � ( � 7 � �� � � 7� ,

  � � 3 / ¢ � � �� �� � £ � £ � � / ¢ � / ¢ � �'� £ � � 5 � 7 �� � �

� � / ¢ � � �� £ � 7<5 � �� � � £ � � / � �K3 £ � £�¤143.

��� ��� �( 7�! "� $ 5 7 �� ) � 5 � �� � £!� � ¢ ��� �� , 3 � ) � 5 � �� � £)� � ¢ �� 7� ,

  7� � £ � � � / � � ¤144.

��� ��� �( 7X! "� $ 5_7 �� ) � 5 � � �� � £)� � ¢ ��� �� ,

3� ) � 5 � � �� � £)� � ¢ ��� 7� ,   7� � � ¢ � / £ � � � £ � / �K3 7� � £ � �

� � / £ � � ¤55�:

Page 468: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ������� ��� � � ��� ��� ��� � ���145.

��� ��� �( 7X! "� $ 5_7 �� ) 7O7<5 � 7X� �� � £!� � ¢ � � �� ,

3� ) 7 7,5 � 7�� �� � £)� � ¢ � � 7� ,   7� � £ � � ¢�¢ � / ¢�£�¡ �3 7� � � ¢ � / £ � � �

� � / ¢ � �E3 7� � � £ � / � � � � / ¢�¡ �� � � � 7<5 � �� � �� � / £ � � ¤

146.��� ��� �( 7X! "� $ 5_7 �

� ) 7 � 5 � 7�� �� � £!� � ¢ � � �� ,3� ) 7 � 5 � 7�� �� � £!� � ¢ � � 7� ,

  7� � � £ � / � � � ¢ � � / ££ � �'� 7� � �� � / £ � � � �

� � / � �3 � � � ��5 � ��7� � � ¢ � / £ �K3 7� � £ � � ¢ � / ¢ � � � ¤6.2.2. Series containing ψ(ka+ b) and trigonometric functions

1.������� � "$9% � ��� � � � �&�

� � � � � �&� � � F � � 7��G   3 � 3 � � 8 �� � C � £ � £ �;� � �\� � � � �

� �X+ 1 � 1 . � � � \ � �\ N � 7��#7 ! ( � \& ��� � � � � � � � N � 7 �#7 ! ( � �& ��� � � �

��� � � � � � � B2.

������� �"� $&% ! � � ��� � � � �&�

� � � � � �&� � � � � � ¢ �  � 3 � � 8 �� � � � � £ � \ � � � � � £ � � � � � � \ � � £ � \ � � � � � � � £ � � ���

� � � � � � � � � � B6.2.3. Series containing products of ψ(ka+ b)

1.����� 1 �

� �E�� � �   �7 (�� � C � £ C � � ¢ 3 � � � � � ¢ 3 � � � � � � � � � = � � � � 7A@CB2.

����� 1�"$ �E�� � �   � � ¢ 3 � � � � � � � �<3 � �

� 3 C � � � ¢ 3 � �X� � � 3 C �3 7

� � & � ¢ 3 � ��� £ � � & � ¢ 3 � ��3 £ � � � = � � � � 7A@CB3.

����� 1�( 7�! "$ �E�� � �   ) � �7�� 3 C , � £ 3 C � £ 3 7

� � & £ 3 7� � � � ¤55�<

Page 469: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ,�� 34.

����� 17$ � �E�� � �   7 7 � �

� � � � � �C

� 3 £ C � � � = = �� @ �����O!C@CB5.

����� 1�( 7�! "$ � �E�� � �   � �� � � � ¢�¢ �, 3 � ¡ C � � ¡ � £ � 3 17�� D � � £ � £ � � � � � 7� � H3 7� � C � � � £ � � � � ¤

6.����� 1

7$ � $ 5_7X! � � � �   C 3 £ C � � �� � ¢ = = � � @���� � B 7�� !C@MB7.

����� 17$ � �E�� � �   3 � �

C7 � � � ) � �� � C , � � ��3 � � � � �#� ¤8.

����� 17$ � �E�� � �   � � � �� � � � � � � �

C

� � � � �C� � � �<3 � �� �<3 � C � � �]� ¤

9.����� 1

7$ � � � �   3 � �7 � � � � � � C

� � � ��3 � �� � � � ) � �� � C , � � �]�<3 � � � � ¤10.

����� 1�( 7�! "$ �EIF � � 7��G   7� � C � £ � £ ��� �, 3 �&� C � £ � £ � � £ �&3 �� � � �= = �� @ ���C7 �O!C@CB

11.����� 1

7$ � �EIF � � 7��G   � �� � � �� � C � £ � £ � 3 � � C � £ � £ � � � �= = �� @ �����O� !C@CB12.

������� J 1 L "$9% ��� $ 5_7X! �E F � � 7� G   � � ���, � £ C O� ¤13.

������� J 1 L�"$9% ��� $ 5_7X!A��� $ 5 � ! � F � � 7� G   �7�� ��� � � C � £ C 3 � � ¤14.

������� J 1 L�

"$9% � $ 5_7X! % � F � � 7� G  �

� � � � � £ �9� £ � £ 3 ¢ � C � �C � £ �9� £ � £ 3 ¢ � � ¤

15.������� � m ! "$&% �E�� � � fI�   3 � m � � � �0f ��� = � � m � ��@B

55�L

Page 470: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ������� ��� � � ��� ��� ��� � ���16.

������� � m ! "$&% � � � � fI� � � � � �O�   � ��3Pf � �O��� � �43�fI�<3�� �fI��3�� � � 3hfI��= � � m � � ! m � � �� � �V( 7 �V(����&B B B�@�B17.

������� J 1 L�"� $ 5_7X! % � F � � 7��G � � � � ¢ �   �, 3 � C � £ C ��� � £ � ¢ 3 � £ � ¤18.

������� J ( 1 L "� $ 5_7X! % � F � 3 7��G � � � � ¢ �  7

� � � 3 � C � �C ��� � £ � � 3 � £ ��3 � � � ¤

19.������� J 1 L "� $ 5h� ! % � F � � 7� G � � � � £ �

  �� � C � £ C � � � £ 3 � � 3 �, � � � � ¢ 3 � £ ��� £ � � £ � ¤

20.������� J 1 L�"� $ 5_7X! % � $ 5_7X! � F � � 7��G � � � � £ �   � ) � �� 3 C 3 � , � � £ 3 ¢ �

� C

� � � �� 3 � � 3 £ � £ � � £ � � �I� �P3 � � � �0� ¤

21.������� J 1 L

"$9% � $ 5_7X! % �EIF � � 7��G  �

� � � � C � £ � C � £ � £ 3 ¢ � � �, � £ �9� £ � £ 3 ¢ �4R� ¤22.

������� J 1 L " J & L "� $ 5_7X! % � $ 5n� ! % � F � � 7� G � F � � � � G 

�� � � � �83 �#� C � £ � � � � 3 � � � £ � � � � � £ � £ 3 ¢ �� C3 � �9� � � £ 3 � � £ � ¢ � � � � � £ � � £ 3 ¢ ��3 ��� � ¤

6.2.4. Series containing ψ�(ka+ b)

1.����� 1 �

� � � � � �   3 � �� � � � � � ��� 77 (�� � � � � � ¢ 3 � � � � � � ¢ 3 � �� = � � � � 7A@CB2.

����� 1 �43 ¢ �� � � � � �   3 � �� ¤

55�P

Page 471: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ,�� 53.

����� 1�"$ � � � � �  �£ � � �<3 � �� � � � � � � � ¢ 3 � ��� � � � � � � �� � � � 3 � � � � � ¢ 3 � �<3 £ � � & � ¢ 3 � � = � � � � 7A@CB

4.����� 1

7$ � � � � �  �£ � � � = = � � @���� � B 7X�O!C@MB5.

����� 1�( 7�! "$ � � � � �   7� � � �<3 � �� � £�¤

6.����� 1

7$ � $ 5_7X! � � � � �  �¢ = = � � @���� � B 7 � !C@MB7.

����� 1� $&% ! ���� $ 5n� ! % � � � � � � �   3 � � 3 � �7X� �

� � (��� � ��� � � �� ��

� � �I5 � � 5�� � �� ��� � � �� 3 �

� �� �� ��� � �� �� = � � � � � @CB

8.������� 7��� $ 5_7X! � � � F � � 7� G   � � �

� � ¤

9.������� J 1 L�"$&% � � � � F � � 7��G   � �� � 7 (�� 3 �� 7�(�� �� ��� � / � = � � � � 7A@CB

10.������� J 1 L "$9% ��� $ 5_7X! � � � � F � � 7� G   � ���� � ��� � � � / � 3 �

� � � ��� � � � & / �

= � � � � 7R@CB11.

������� J 1 L "� $ 5_7X! % ��� $ 5_7X! � � � � F � � 7� G   � 5 � ��

� / ¢ 3 � 3 ¢ �� � 5 � �� � �� ��� � / � 3 �

� / ¢ 3 � �� ��� � / � 3 �� � � ��� � � � & / � = � � � � 7R@CB

12.������� � m ! "$&% � � � � � fI�   � m � � � �0f ��� = � � m � 7 ! m �� � �V( 7���( � �&B B�B�@B

13.������� � m ! "$&% � � � � fI� � � � � � fI�   3 � m � � � �f � ��� £ C � � �43�fI��= � � m � 7 ! m �� � �V( 7���( � �&B B B0@B

5�;9N

Page 472: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � � ��� ��� � ������ ��� � � ��!>���� ���� � �� � ��� ��!>���� � ����������� � 6.3. The Hurwitz Zeta Function ζ(s, z)

6.3.1. Series containing ζ(k, z)

1.�����

�"$ 5:' � � �1� �&�   ��� ��� J ' $�L � - � ��� � ����(���!

�� ��� � � - � 3 � -;� ��� � �]��!�� ��� � � -;�3 �&-21������ � ")"' ( $ � ��3 �1� �&�<3 �'65_7 � � � � � ¢ ��3�� �0�&��� C � = � � � � � � � ! = � � @ @CB

2.��� �

� $ (*7X! %� $ 58'�! % � � � � �1� �&�   �( ��! "�'' % ��� � �O�K( �4!�� ��� � � -;�3 7' % ������� J ' $ L&��3 � � - � ��� � �O��!

�� ��� � � - �3 7' % �&-21�� ���KJ ' $�L �( �4! ")"$ 5_7 � � a 1 �0�&��� � � � � ¢ �<3�� � � � ¢ �0�� ���'65_7X! % � � � � � ¢ �<3�� ��&��� C � = � � � � � � � ! = � � @ @CB

6.4. The Sine Si (z) and Cosine ci (z) Integrals

6.4.1. Series containing Si (ϕ(k)x)

1.����� 1

�( 7X! "$ � $ 5_7X! � � �4� £!� � ¢ � ���   � � � ���<3 £ ��� � � = ( � � � � � � �X@CB2.

����� 1�( 7�! "$ � $ � m � 5 � � ! � � � � ���   3 �� � � � �� � � � � � � � �m ����� F � �m G = ( � �

�� � @CB

3.����� 1

�( 7�! "$ � $ � m � ( � � ! � � � � ���   �� � � 3 �� � � � � � � �m � � F � �m G = ( � ��

� � @CB4.

����� �( 7X! "$ � $ � (:7 � � � � � ���   � � � 7� ��� � � 3 ��

� � � ��� = ( � ��

� � @CB5.

������� ��� $ 5_7X! " ��0��� $ 5 7�! � m � 5 � � ! � � � � £!� � ¢ � ���  ��

� � D � ��� � �� m ����� F � �m G 3 � ��� F � �m G � � � �m � C H = � ��

� � @CB5�;��

Page 473: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� 5)� ,6.

����� 17$ � $ 5_7X!A��� $ 5_7�! � � �4� £)� � ¢ � ���   � � � ����� � � � � ����3 £ � � � �3 � � � 3 � C = � � � � � ��@CB

7.����� 1

�( 7X! "� $ � 5 m � � � F � � � f � G   3 7� m � � �f ��� = ( � � � � � @CB8.

����� 1�( 7�! "$ � � $ � 5 m � � � F � � � f � G

  77X� m � � � 3 �� f9 � � � �0f ����3 ��� � �f ���0� = ( � � � � � @B9.

������� �( 7X! "��� $ 5_7X! � ��� $ 5 7�! � 5 m � � � � � � £)� � ¢ � � f � �   �� m � � �f ���= ( � � � � � � �[email protected]. Series containing ci (ϕ(k)x)

1.����� 1

�( 7X! "$ � 5 m � D � � � � � � f ���<3 7� � � � � f9 � H  7� m � � � � � �0f ����� � � ��� �f � � � f�� f � � C � � ����3 ��� ��� �0f ��� � � �f ���0�= � �?m � � @CB

2.������� �( 7�! "��� $ 5_7X! � � � � �4� £)� � ¢ � ����3 � � £)� � ¢ �0�   � �

� � � C � � ���<3 � � �7��= � � � � � �X@CB3.

������� �( 7�! "� � $ � (:7�!A��� $ 5 � ! � � � � � £!� � ¢ � ����3 � � £)� � ¢ ��  3 �7�� D C � � � � � � � � £ ��� H ¤

4.������� �43 ¢ � � ��� $ 5_7X! " ���� $ 5_7X! � 5 m � D � � � � � £!� � ¢ � � f ���<3 7� � � � £!� � ¢ � � f � H  3 �� m � �C � � �0f ����3 � � �f ���0��� � � � � � � (:7X! �� m � � � � � 5_7X! � C � � ��� = � �hm � � @CB

5.������� ��� $ 5_7�! " ���� $ 5_7X! � m � 5 � � � � � �4� £)� � ¢ � ����3 � � £!� � ¢ �0�

  �� � � � �]��� C 3 £ � � � � ��� � £ f ����� F � �m G � £ f � ��� � �� m D � �m 3 � ��� F � �m G9H �= � � � � � @CB5�;,

Page 474: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� .��� � ��� � ����������� � � ��9� ���� 0 ��9�6.

������� ��� $ 5_7�! " ���� $ 5_7X! � m � ( � � � � � �4� £)� � ¢ � ����3 � � £)� � ¢ �0�  3 �� � � � £ f � � F � �m G � �]��� C 3 £ � � � � ��� � £ f �� � � �� m D � �m 3 � � F � �m GIH �= � � � � � @CB

6.4.3. Series containing Si (kx) and trigonometric functions

1.����� 1

���� � $�� !$ � ( " � � � � � ���   �43 ¢ � S � � ( " ��#��� � (87�! % ��� � (:7�! � S - �� ��� � � "'& ���� $ 5 7�! % ��� $ 5 7�!Y � �43 ¢ � S -21 � � � ( " � "�" ��]��� � ( � $ ( � ! % � �43 ¢ � � S - � -21�

� ��� �43 ¢ � � � � ���� � ! % � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ � �= � >?7 ! � � � � � ! � � � � � � ( � @CB

2.����� 1 �43 ¢ �

� �� � � $�� !$ � ( " � � � � � ���   ��3 ¢ � S � � ( " ��]��� � (:7X! % ��� � (87�!3 S - ������ �( 7X! " � � "'& ���� $ 5 7�! % ��� $ 5 7�! S - � -21�

� ��� �43 ¢ � � � � ���� � ! % � ¢ 3 £ � a � - SEa & �Y � � £� 3 £�� 3 £)� 3 £ � = � >?7 ! ( � � � � � ! ��� ( � � � � � ( �

�� @CB

6.4.4. Series containing products of Si (kx)

1.����� 1

�( 7�! "$ � ( � � � � ��� � � � � � �   ��3 ¢ � S � � ( " � ��#��� � (:7�! % ��� � (:7X!3 S - �� ��� �( 7X! " � � "'& ���� $ 5_7X! % ��� $ 5_7X! S - � -21�

� ��� �43 ¢ � � � � � & ���� � 5 7�! % ��� � 5_7�!Y � ¢ 3 £ � a � - SEa & � � � £� 3 £�� 3 £)� 3 £ �= � >?7 ! ( � � � � � ! ��� ( � � � � � ( �

�� @CB

2.����� 1

�( 7�! "$ ' ��� � 1 � � � � � � �   3 7� ��

� � 1 � �� �� � � !

'�� �

�� � � � B

6.5. The Fresnel Integrals S(x) and C(x)

6.5.1. Series containing S(ϕ(k)x), C(ϕ(k)x) and algebraicfunctions

1.�����

�( 7X! "$ � � � $ � (:7X! �E� � ���   7� " �� � � £ � � � � � ���<3 �E� ��� = ( � �

�� � @CB

5�;93

Page 475: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ;�� �2.

����� 1�( 7�! "$ � � � $ � m � 5 � � � �E� � ���   3 �

� � � � � F � � G &4� � m �� � ���� � ! � � � � � � � �m � � �� ) * � �m , 3 � �� ) * � �m , = ( � � � � � @B

3.����� 1

�( 7�! "$ � � � $ � m � ( � � � �E� � ���   �� � � � � F � ��G &4� 3 m �� � �� � � � � � �

� �m �gF � �m G= ( � � � � � @CB4.

����� 1��� $ 5_7X! " � �$ � $ 5 7�! �E�4� £)� � ¢ � ���   � ��� ����� � � � ����3 * � �

� ��� � � � � ���= � ��

� � @CB5.

������� �43 ¢ � � ��� $ 5n7X! " �� ���� $ (*7X!A��� $ 5 � ! �E�4� £)� � ¢ � ���   3 �� �� � ��� £ ��� = ( � � � � � � �X@CB6.

������� �( 7�! "��� $ 5_7X! � � �E�4� £)� � ¢ � ���   7� * � � �� = ( � � � � � � �X@CB

7.����� 1

�( 7�! "$ � $ 5_7X!9��� $ 5_7X! �� � �E�4� £)� � ¢ � ���  �£ ��� ����3 * � �� � � � �= ( � � � � � � �X@CB

8.����� 1

�( 7X! "� $ � 5 m � ! � � �gF � � � f � G   7� m � � �E�f ��� = ( � � � � � � �X@CB9.

����� 1�( 7X! "$ � � $ � 5 m � ! � � �TF � � � f � G  7� � m �� � � � � 3 £ �� f9 � ���f ����3 * � m �� � � � �f ��� = ( � � � � � @CB

10.������� �( 7X! "��� $ 5 7�!A�0��� $ 5 7�! � 5 m � ! � � � � � � £)� � ¢ � � f � �   �� m � � �E�f ���= ( � � � � � � �X@CB

11.����� 1

�( 7X! "$ �� � � $ � m � 5 � � � � � � ���  3 7

� � " �� � � �� � � m �� � � � � � � � � � �m � � �� ) * � �m , � � �� ) * � �m , = ( � � � � � @CB5�;!5

Page 476: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� .��� � ��� � ����������� � � ��9� ���� 0 ��9�12.

����� 1�( 7X! "$ �� � � $ � m � ( � � � � � � ���   7

� � " �� � 3 �� m �� � � � � � � � � �m � F � �m G= ( � � � � � @CB

13.�����

�( 7X! "$ �� � � $ � (:7 � � � � ���   " �� � � � � � � � £ ��3 7�� � ��� = ( � � � � � @CB14.

����� 1��� $ 5 7�! " �� �$ � $ 5_7�! � �4� £)� � ¢ � ���  �£ � � ���<3 � ��� ����3 * � �

� � � � � = � ��

� � @CB15.

������� �43 ¢ � � ��� $ 5_7X! �� ���� $ (:7X!A��� $ 5 � ! � �4� £!� � ¢ � ���   3 �� �� � � � £ ��� = � ��

� � @CB16.

������� �( 7X! "��� $ 5 7�! � � � �4� £)� � ¢ � ���   7� " � �� = ( � � � � � � �X@CB17.

����� 1 �43 ¢ �� ��� $ 5_7X! �� �$ � $ 5 7�! � �4� £!� � ¢ � ���   3 * � �

� � � � � = ( � � � � � � �X@CB18.

����� 1�( 7�! "� $ � 5 m � ! �� � � F � � � f � G   3 7� m �� � � �f ��� = ( � � � � � � �X@CB

19.����� 1

�( 7�! "$ � � $ � 5 m � ! �� � � F � � � f � G  7� � m � � � � £ �, f9 3 � � �f ����3 * � m �� � � � �f ��� = ( � � � � � @CB

20.������� �( 7X! "��� $ 5 7�!A�0��� $ 5 7�! � 5 m � ! �� � � � � � £!� � ¢ � � f � �   �� m �� � � �f ���= ( � � � � � � �X@CB

6.5.2. Series containing S(ϕ(k)x), C(ϕ(k)x) and trigonometricfunctions

1.����� 1

�( 7�! "$ � � � � � � � ��� ��� � � �   3 � � * � �� � = � � � � � ! � 5 � � � @CB2.

����� 1�( 7�! "$ � � � � � � � ��� ��� � � �   3 7

� * � �� � = � � � � � ! � 5 � � � @CB5�;;

Page 477: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ;�� ,3.

����� 1�� � � $ � !$ � ( " �� � ��� � � �   ��3 ¢ � S � � ( " �� ���� � (:7X! % � � � (87�! � � �

� * � � ��

S - ������ � � "��� $ 5 7�! % � � $ 5 � !Y � �43 ¢ � S -21 � � � ( " � "�" ��]��� � ( � $ ( � ! % � �43 ¢ � � S - � -21�

� ��� �43 ¢ � � � � ���� � ! % � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ � �= � >?7 ! � � � � � ! � � � � � � ( � @CB

4.����� 1 �43 ¢ �

� ���� � $ � !$ � ( " �� � �E� ��� �   �43 ¢ � S � � ( " �� ���� � (:7�! % � � � (:7X! � � �3 * � � �

�S - �� ��� �( 7�! " � � "��� $ 5_7X! % � � $ 5 � ! S - � -21�

� ��� ��3 ¢ � � � � ���� � ! % � ¢ 3 £ � a � - SEa & �Y � � £� 3 £�� 3 £!� 3 £ � = � >?7 ! ( � � � � � ! � � � ( � � � � � ( � � � @CB5.

����� 1�( 7�! "$ � � � � � � � ��� � � ��� �   3 ��" �� � = � � � � � ! � 5 � � � @CB

6.����� 1

�( 7�! "$ �� � � � � � � ��� � � ��� �   3-" �� � = � � � � � ! � 5 � � � @CB7.

����� 1�� � � $ � !$ � ( " � � � � ��� �   �43 ¢ � S � � ( " � ���� � (*�O! % � � � ( � ! � � �

� * � ��

S - �� ��� � � "��� $ ! % � � $ 5_7X!Y � ��3 ¢ � S � � � ( " � "�" ��]��� � (*� $ ( � ! % � ��3 ¢ � � S - � -21�

� ��� ��3 ¢ � � � � ���� � ! % � � £� 3 £�� 3 £)� 3 £ � �= � > � ! � � � � � ! � � � � � � ( � @CB

8.����� 1 �43 ¢ �

� ���� � $ � !$ � ( " � � � � ��� �   ��3 ¢ � S � � ( " � ���� � ( �O! % � � � ( � ! � � �3 * � �

�S - �� ��� �( 7�! " � � "��� $ ! % � � $ 5 7�! S - � -21�

� ��� �43 ¢ � � � � ���� � ! % � ¢ 3 £ � a � - SEa & �Y � � £� 3 £�� 3 £!� 3 £ � = � > � ! ( � � � � � ! � � � ( � � � � � ( � � � @CB5�;9:

Page 478: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� .��� � ��� � ����������� � � ��9� ���� 0 ��9�9.

����� �( 7�! "$ �� � � $ � (:7X! � ��� � � � ��� �E� � ����� � � � � � ��� � � � ����

  7� � � � � � � 3 � � � ������� ����3 7� � � � � � � � ��� � ��� � � ����� " �� �= ( � � � � � � �X@CB10.

����� 1�( 7�! "$ �� � � $ � 5 m � ! � ��� � � � ��� ��� � ����� � � � � � ��� � � � ����   3 7

� � " �� �� �� � � m �� � � � � � � � � � �m �

� � � � � � �� ) * � �m , � � - � � � � � �� ) * � �m , = ( � � � � � @CB11.

����� 1�( 7�! "$ � � � $ � 5 m � ! � � � � � � ��� �E� � ����3 ��� � � � ��� � � � ����   �

� � � � � F � � G &4� 3 m �� � ���� � ! � � � � � � � �m �

� � �A� � � �� ) * � �m , 3 � - � �A� � � �� ) * � �m , = ( � � � � � @CB12.

����� �( 7X! "$ �� � � $ � (87�! � ��� � � � ��� ��� � ����� � � � � � ��� � � � ����

  7� � � � � � � 3 ��� � ��� �E� ����3 7� � � � � � � � ��� � ��� � � ����� " �� �= ( � � � � � � �X@CB13.

����� �( 7X! "$ � � � $ � (87�! � � � � � � ��� �E� � ����3 ��� � � � ��� � � � ����

  3 7� � � ��� � � � £ � � � ��� ��� ����� 7� � £ � � � � 3�� � � � ��� � � ���<3 �� � � F � � G &4� = ( � � � � � @CB

14.����� 1 �43 ¢ �

� ��� $ 5_7X! �� �$ � $ 5 7�!Y � ��� � � � £!� � ¢ � ��� �E�4� £!� � ¢ � ��� � � � � �4� £)� � ¢ � ��� � �4� £!� � ¢ � ���� �£� D ��� � � � � ���<3 � � � � �E� ���<3 7� � � � H = ( � � � � � � ��@CB

15.����� 1

��� $ 5 7�! " � �$ � $ 5_7�!Y � � � � � � £!� � ¢ � ��� �E�4� £!� � ¢ � ���<3 � � � �4� £)� � ¢ � ��� � �4� £!� � ¢ � ����  � � � � � � � � £ � 3 ��� � � � �;� �E� ���<3 � � ��� � � � � �83 £ ��� � � � �;� � � ��� � / £ � �= � � � � � �X@CB

5�;<

Page 479: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ;�� 316.

����� 1��� $ 5 7�! " �� �$ � $ 5_7�!Y � ��� � � � £!� � ¢ � ��� �E�4� £!� � ¢ � ��� � � � � �4� £)� � ¢ � ��� � �4� £!� � ¢ � ����

  � £ ��� � � � � �83 £ ��� � � � �;� ��� ����� � £ � � � � � � £ � 3 ��� � � � �;� � � ����3 * � ��= � � � � � �X@CB

17.������� �( 7X! "��� $ 5 7�! � �Y � ��� � �4� £)� � ¢ � ��� ����� £)� � ¢ � ����� � � � � � £!� � ¢ � ��� � ��� £)� � ¢ � ����   " � ��= ( � � � � � � �X@CB

18.������� �43 ¢ � � ��� $ 5_7X! �� ���� $ (:7X!A��� $ 5 � !Y � ��� � � � £!� � ¢ � ��� �E�4� £!� � ¢ � ��� � � � � �4� £)� � ¢ � ��� � �4� £!� � ¢ � ����

  3 �� � � � ��� � � £ ��� �E� £ ��� � � � � � £ ��� � � £ ���� = ( � � � � � � ��@CB19.

������� �43 ¢ � � ��� $ 5_7X! " �� ���� $ (:7X!A��� $ 5 � !Y � � � � � � £!� � ¢ � ��� �E�4� £!� � ¢ � ���<3 � � � �4� £)� � ¢ � ��� � �4� £!� � ¢ � ����  3 �� �� � � � � � � £ ��� �E� £ ���<3 � � � � £ ��� � � £ ���� = ( � � � � � � ��@CB

20.����� 1 �43 ¢ �

� ��� $ 5_7X! " �� �$ � $ 5 7�!Y � � � � � � £!� � ¢ � ��� �E�4� £!� � ¢ � ���<3 � � � �4� £)� � ¢ � ��� � �4� £!� � ¢ � ���� �£ � � � � � � � � � � ��� ��� ����3 £ � � � � � 3�� � � � ��� � � ��� = ( � � � � � � �X@CB21.

������� �( 7X! "��� $ 5 7�! � �Y � � � � � � £!� � ¢ � ��� �E�4� £!� � ¢ � ���<3 � � � �4� £)� � ¢ � ��� � �4� £!� � ¢ � ����  3 7

� * � � �� = ( � � � � � � ��@CB6.5.3. Series containing S(kx), C(kx) and Si (kx)

1.����� 1

�( 7�! "$ � � � � � � ��� ��� � � �   3 � � * � �� � = � � � � � ! � 5 � � � @CB2.

����� 1�( 7�! "$ � � � � � � ��� � � ��� �   3 ��" �� � = � � � � � ! � 5 � � � @CB

5�;9L

Page 480: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ������� � � ����������� � ��� � ��� ���� � ��� ��� ��� ��������6.5.4. Series containing products of S(kx) and C(kx)

1.����� 1

�( 7�! "$ � ( & � ��� � ��� ��� � � �   �43 ¢ � S � � ( " �� � � � �� ��� � (87�! % � � � (:7�! �

3 ��S - �� ��� �( 7�! " � � "'& � ���� $ 5_7X! % � � $ 5 � ! S - � -21�

� ��� ��3 ¢ � � � � � & � ���� � 5_7X! % � � � 5 � ! � ¢ 3 £ � a � - SEa & �Y � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ � = � >h7 ! ( � � � � � ! ��� ( � � � � � ( �

�� @CB

2.����� 1

�( 7�! "$ � ( ��� � ��� � � ��� �   ��3 ¢ � S � � ( " �� � � �� ���� � (:7X! % � � � (:7�! �3 ��S - ������ �( 7X! " � � "'& � ���� $ 5_7X! % � � $ 5 � ! S - � -21�

� ��� ��3 ¢ � � � � � & �� ���� � ! % � � � 5 7�! � ¢ 3 £ � a � - SEa & �Y � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ � = � >h7 ! ( � � � � � ! ��� ( � � � � � ( �

�� @CB

3.����� 1

�( 7�! "$ � ( " � � � � ��� � � ��� �   ��3 ¢ � S � � ( " � � � �� ���� � ( �O! % � � � ( � ! �3 ��S - �� ��� �( 7X! " � � "'& �� ���� $ ! % � � $ 5_7X! S - � -21�

� ��� �43 ¢ � � � � � & �� ���� � ! % � � � 5_7X! � ¢ 3 £ � a � - SEa & �Y � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ � = � >_� ! ( � � � � � ! ��� ( � � � � � ( �

�� @CB

4.����� 1

�( 7�! "$ � ' � ��� � 1 �E� � � � �   3 � "�'� F �� G ��� ��

� � 1 � &4� �� �� � � !

'�� �

�� � � � B

5.����� 1

�( 7�! "$ ' � ��� � 1 � � � � � �   3 7� F �� G ��� ��

� � 1 � 1� �� �� � � !

'�� �

�� � � � B

6.6. The Incomplete Gamma Function γ(ν, z)

6.6.1. Series containing γ(ν � k, z)

1.������� �

"$&% � � ! " � ��-� ��� �&�   � �� �#- � � & � ¢ � � ¢ � � � � �&� ¤

2.������� 7� � ! " � �� � �1� �&�   �)3 ¢ � ��� -21 � - � 3 �)3 ¢ �X�T3h�63 ¢ � � �)3 ¢)� �&� ¤

5�;9P

Page 481: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� :1� ,3.

������� �(��]! "� $9% ! � � � � � ¢)� �&�  � "��� � ¢ � � £ �Q3 ¢ � � � � £ �&�<3 ��� � � � £ �&� H 1 � £ �&��� � � � 1 � £ �&� H� � £ �&�� ¤

4.������� �C7 ( � ! "$&% � � � �)3 �1� �&�   � - � � � � �63 � � = � � � � � � � @CB

5.������� �

"$&% � � ! " � � � ��� �&�   ����;��� £ � � - � � � �∫� � � �V- � W � + � � . � -21 � ��� � ¤6.

������� � " � "$&% � m ! " � ��-� £!�1� �&�   � �� N � m ( 1 � � ! (��O�� m (87 � � 5 7 � ¤

7.������� � "� � 5_7X! " � $ 5n� � !Ij + - � - � l � .� � ¡ � � � -� ��� �&�   � � � & �� � �&� ¤

8.������� �( 7�! "$&%�� � � �Q� � � � � ¢)� �&�   �

�� ¢ 3 � - � � � � � F � �PG 3�� F � 5_7� G� £ � - � � �P��3 � - � �\¢)� �Q� ¤

6.6.2. Series containing products of γ(ν + k, z)

1.������� 7$&% � � ! " � ]�-� ��� �&�   � � �

� � N � � � � 5 1 ! (� �

� 5_7���� � 5_7 � ¤2.

������� 7$&% � � ! " � ��-� ��� �&� � � � �1� 3��&�   � � � �� � � � 1 N � � ! ( � �� 5 7 � � 5 7 � ¤

6.7. The Parabolic Cylinder Function Dν(z)

6.7.1. Series containing Dν � nk(z) and elementary functions

1.������� � "$9% � � a � ��&�   � ¢ � £ � � - + � a 1 . � � ��� �4� ��]��� �I5_7X! � � F �� � �I5_7 G= � � � � 7 � ! = � � @��&� � B 7�!C@MB

2.������� �( � ! � "$&% � � � � - � ��&�   � ¢ 3 £ � � � � � ��� � � ��#�C7 (*� �4! � � F �� 7 (*� � G= � � � � 7 � ! = � � @��&� � B �O!C@MB

5�:N

Page 482: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� � � ��� � ��� ��� ���� � � ��� � ��� � ����6.8. The Bessel Functions Jν(z) and Yν(z)

6.8.1. Series containing Jnk+ν(z)

1.������� � � a � ��&�   J � L �� � � 5_7X! 1 N

��� ! ( �

W�� 5_7�� � #$ ¤

2.������� �43 ¢ � � � £!� � ��� � � a � ��&�

  � � � " �� � � � � (*� ! � ��� � �� (*� & N � �� � (:7 � � -Q1�

� � a 1�� � � ( 1 � � � 1 ! ( � �#$

3 � ���� �� (:7 & N � �� � -Q1 � � a 1

�� � a &

�� a 1 � � � � 5 1 � & ! (�� �#$ � ¤

3.������� J � L "$&% � $ 5 m ! � � a � �0�&�   J � L �m � � � 5_7X! 1 N

�� 7 ! ( �W�m 5 7 � � 5 7 #$ ¤

4.������� � £)� �?fI� � m ! "$9% � � a � ��&�   m

� � � 5n7X! F � �,G � N & �� � - � � � - � a 1 ! ( �W�� a 1 � � 5n7 � � ( m 5n7 #$ ¤

5.������� � £)� � ;� � � (��g5 7�! "� ��! " � � a � ��&�   J � L �� � � ! 1 N � �)(:7 ! ( �

W�� � � � ¤

6.������� � � � � � J � 5 1 L "$9% ��� � 5 7�! " � � a � ��&�  ����-� ¢ ��F � � G � � � ) ��(�� � � (*� � �� , � � � ) � 5 � � � (*� � �� , = � � � � � � � �X@CB

7.������� �43 ¢ � � � £!� � �� � � (��)(:7X! � "� � 5��65n� ! � " � � a � �0�&�   � �65 � !A� �65 � 5_7X!�� ��" �� � � � � !

Y � ��� � ��65 � & N � �� � -Q1

�� � a 1

�� � a � ! (�� �

� ( 1 � � � � a � 5_7�� 1#$

3 � ���� ��65 � 5_7 & N � �� � a 1�

� � a &�� � a � a 1 ! ( � �

� a 1 � � � � 5 1 � � a � a & � & #$ � ¤

8.������� � £)� � ;� � � ! " J 1 L�"$&% J � 5 1 L " � � a � ��&�

  J � L �� � � ! 1 N ��

� ! ( �W�� a 1 � � 5 1

#$¤

5�:1�

Page 483: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� L1� ,9.

������� � � � � ¢ � J 1 ( � L " J 1 5 � L " J 1 L "$9% �C7 ( � ! " �C7<5 � ! " � � a 1� ��&�  / £ � � � � � �� � � � - � F � � G � � F � � G ¤

10.������� �43 ¢ � � � £)� � ;� ��� � ! � " � m ! � " � � ! � "��� $ ! % ��� � ( m 5_7X! � " ��� � ( � 5_7�! � " � � a � ��&�

  J � L �� � � � ! ��#- � � N � � 5 1 �O� � ( m ( � 5:7 ! � � �� � ( m 5n7��O� � ( � 5:7 �

� ��� N � � 5 1 �O� � ( m ( � 5:7 ! (�� � �� � ( m 5n7��O� � ( � 5:7 � � ¤

11.��� ��� � £!� � ;� � m ! " � � ! "$&% � � ( m 5_7�! " � � � a � ��&�

  � " � � " � � � �� ��� � ! 1 N

�� � ( m 5 1 ! ( �W�� 5 1 ��� � (*� m 5_7 #$ ¤

12.������� � �)� � ;� J � & L "$&% � � � a � �0�&�   J � L

� � � ! 1 N ��� & ! ( &�� W1 �

� � � a 1#$¤

6.8.2. Series containing two Bessel functions Jnk+ν(z)

1.����� 1 � � a � ��&�   J � L

� �'& �

�� � � 5n�O! N & � � 5_7�� � 5 & ! ( � �� 5n��� � 5n����� � 5n� � ¤

2.������� �43 ¢ � � � � a 1 � �Q� � � + � a 1 . ��&�   7� � ∫� � � � � � � � � � £�� ���4� � � � �� � � � ���� � ¤

3.������� � £)� � ¢ � � � a 1� ��&�   � �

� ¤

4.������� � £)� � � � � a &4� ��&�   7

� � � � � � � £ �&� � £ � 3 ¢ � ¤5.

������� � � � �� � � a � � �Q� � � a � ��&�   ���]�M�E(�! � � � -21 � �Q� � � ��&�<3 � � � �Q� � � -21 �0�&�� ¤

5�:�,

Page 484: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� � � ��� � ��� ��� ���� � � ��� � ��� � ����6.

������� � � � �� � � a � ��&�  � �� � � � -21 �0�&��� � � �0�&��3 � � -21 ��&� � � a 1 �0�&��3 � � - ��&� � � �0�&�� ¤

7.����� � �� � 3 ¢ �� � � ��&�  

��� �7�� � �O� �� � ¤

8.������� �( 7�! "��� $ (:7X!A��� $ 5 � ! � � ��&� � � a 1 �0�&�   �� � � � � � £ �&� H 1 � £ �&��3 � 1 � £ �&� H� � £ �&�� ¤

9.������� �( 7�! "��� $ 5_7X! � � � - � -21� �0�&� � � a � a 1� ��&�   7� ∫� ��� �83���� � � � £ � � � � ��� � ¤

10.������� � � 7X! "$&% � � - � ��&� � � a � �0�&�   �

� � ∫� � � � � � + � . � � � � � � � £ ��� � � � £ � � � � ���� � ¤

11.������� �43 ¢ � � ��� � ! "$9% � � a � ��&�   J � L

� �

�� � � 5_7�! 1 N � � 5 1 ! (�� �� 5_7�� � 5_7 � ¤

12.������� �43 ¢ � � � � � �� ��� � ! "$&% � � a � � �Q� � � a � ��&�   � " �

� � � ! F ��

�5 ��G � � � � � � �&� ¤

13.������� � m ! "�C7�( m ! " � � ��&�   7� � � ��&� � 7� 1 N � 1 ( m ! (�� �7��#7�( m � ¤

14.������� �43 ¢ � � � m ! "�C7 ( m ! " � � �0�&�   7� � � ��&� � 7� 1 N � 1 ! (�� �7 �#7 ( m � ¤

15.������� � m ! "��� ( m ! " � � a 1� �0�&�   �O�

� N & �� 7�� & ( m ! (�� �& � & ��� ( m #$¤

16.������� �43 ¢ � � � £)� � ¢ � � m ! "��� ( m ! " � � a 1� �0�&�   � ��� ( m !� � � � -21� H 1� -�� � £ �&� ¤

17.������� � £)� � fI� � m ! "$&% � � a � ��&�

  m�� � � 5_7X! F � �,G � N & � � ( � � � 5 1;- � ! ( � �� 5 7 � � 5_7���� � ( m 5_7 � ¤

5�:3

Page 485: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� L1� ,18.

������� $ 5 �� � $ 5 � ! � (:7 ��� � ! "$&% � � a � �0�&�  J � L

� �

� � � � (87�! � � � ! � � � 5_7�! 1 N � 7 ! (�� �� 5_7�� � 5 & � ¤

19.������� �43 ¢ � � $ 5 �� � $ 5 � ! � (:7 ��� � ! "$9% � � a � ��&�

  J � L� �

� � � � (:7�! � � � ! � � � 5_7X! 1 N �� � 5 1 ! ( � �� 5 7 � � 5 &

#$¤

20.������� �43 ¢ � � �C7 ( m ! "� m ! " � � - � �0�&� � � a � ��&�

  7� � � �0�&��� £ � -!& �� � �� � m ! � J m 5 � ( 1 L� � � ��� m (:7X! � � m 5 � ! � ��� � 5_7X! 1 N � m 5 � ( 1 ! (�� �m 5 � �]� � 5 7 � ¤

21.������� �43 ¢ � � � m ! "$&% � � a � ��&� � � - � ��&�   � � �65 � ( m 5_7�!

� � � 5_7�! � � �Q5 � 5_7X! � � �)( m 5 7�!Y F � ��G � a � N & � � a � - � a 1 � � a � - � 5_7 ! (�� �� 5_7 � �65 � 5 7 � �)( m 5_7 � ¤

22.������� �43 ¢ � � J 1 ( � L "

J & 5 � L " � � a � ��&� � � - � -21 ��&�  � J � 5 & L� � � � 5_7X! � -21� � � -21� � £ �&� ¤

23.������� � �g5 � ! " � �65 � ( m 5_7X! "$&% � m ! " � � a � �0�&� � � a � �0�&�

  J � L � &(�� � �65 7�! � � � 5_7X! N & � � a � a 1 � m ( � a �m � �65_7�� � 5_7 ! (�� � � ¤24.

������� ��� � ! " ��� � ( m 5_7�! "$&% � m ! " � � a � ��&�   J � L� �

�� � � 5_7�! N & � � 5 1 � m ( � ! ( � �m � � 5_7�� � 5_7 � ¤

25.������� �43 ¢ � � � � � ;� ��� � ! " ��� � ( m 5n7�! "$9% � m ! " � � a � �0�&�   J � L

� �

� �� � � ! 1 N � � 5 1 ! (�� �m � � 5n7 � ¤

5�:95

Page 486: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� �������� � � ��� � ��� ��� ���� � � ��� � ��� � ����26.

������� �43 ¢ � � � �)( � ! " � �)( � ( m 5_7�! "$9% � m ! " � � a � ��&� � � - � ��&� 

� � m ! � J � - � 5_7 L � J m 5 & � - � L� � � 5_7�! � � �)( � 5_7X! � J � a � 5_7 L � � m 5 � ! � J m 5 � - � L F � �,G � a �

Y N & � � a � a 1 � m 5 & � - � ! ( � �� 5_7�� �g5 � 5_7�� � 5 m � ¤27.

������� �43 ¢ � � � � a 1 � �Q� � � + � a 1 . ��&�   7� � ∫� � � � � � � � � � £� ��� � � � � �0� ��� � ���� � ¤28.

����� 1�� J � a 1� L

�� J � a &� L � � ��&�   3 7� � � � � F 7� G � � �0�&�

� �� � ∫� � � � £ � � � � ��� K � � � � ��� � ¤

29.����� 1 �43 ¢ �

� �� J � a 1

� L�� J � a &� L � � �0�&�   3 7� � � � � F 7� G � � ��&�

� �� 1∫� 7� 7 ( � � � � � £ � ��� K � ��� � ¤

6.8.3. Series containing three Bessel functions Jnk+ν(z)

1.������� �43 ¢ � � � � a � �0�&� � � - � �0�&� � � � £ �&�

  7� � � ��&� � � � £ �&� � J � L� �

� �� � � 5_7X! & N � �� � 5 1 � � 5 1� � � 5 &� ! ( � � �� 5_7 ��� � 5 1 ��� � 5_7�� 1

#$¤

2.������� �43 ¢ � � � � a � �0�&� � � - � -21 �0�&� � � a 1 � £ �&�

 � J � L

� �

� � � ! � � � 5 7X! & N � �� � 5 1 � � 5 1�� � 5 &

� !( � � �

� 5 7 �#� � �V� � 5 1 � & #$¤

3.������� � � a 1� � �Q� � � a 1 �0�&�   7

� 1∫���� � �M� � !� 7�( � � H� � £ � ���� � ¤5�:�;

Page 487: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� L1� 54.

������� � � � �Q� � � a 1 � �Q� � � a 1 ��&�   7� 1∫�

��� � �M� � !� 7 ( � � � 1 � £ � ��� � ¤6.8.4. Series containing four Bessel functions Jnk+ν(z)

1.������� ���� �0�&�   7� ���� ��&� � 7� N & � 1 � 1 ! (

� � �7 �#7��#7 � ¤2.

������� � � �0�&� � � a 1 ��&�   � �� N & � & � & ! (� � �� ����� � � ¤

3.������� � � a 1� � �Q� � � a 1� �0�&�   7

� 1∫� 7� 7�( � � H� � £ � ��� H� � £ � ��� � ¤4.

������� � � a 1� � �Q� � � �0�&� � � a 1 �0�&�   7� 1∫� 7� 7�( � � � 1 � £ � ��� H� � £ � ���� � ¤

5.������� �43 ¢ � � � � a 1� � �Q� � + � a 1 . � ��&�   7� � ∫� � � F £ � � � �

� � G H� � £ � � � � � � ��� � � ¤6.

������� � & � a &4� � �Q� � � a �0�&�   3 7� � ∫� � � F £ � ��� � � �� G H� � £ � � � � � £ ���4� � ¤7.

������� � � � �Q� � � � ��&�   7� � � � �Q� � � �0�&��� 7� � ∫� � � � £ � ��� � ��� � � � £ � ��� � � � ���4�� � ¤

8.����� 1 � � a � � �Q� � � - � � �Q� � � a � ��&� � � - � ��&�

  3 7� � � � �Q� � � �0�&��� 7� 1∫� 7� 7 ( � � � � � £ � ��� � � � £ � ��� � ¤

9.������� � � a � a 1� � �Q� � � - � -21� � �Q� � � a � a 1� ��&� � � - � -21� �0�&�

  7� 1∫� 7� 7�( � � � � � £ � ��� � � � £ � ��� � ¤

5�::

Page 488: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� �������� � � ��� � ��� ��� ���� � � ��� � ��� � ����10.

����� 1 �43 ¢ �� � � a � � �Q� � � - � � �Q� � � a � ��&� � � - � ��&�

  3 7� � � � �Q� � � ��&� � 7� � ∫� � � � £ � � � � ��� � � � £ � � � � ���� � ¤

11.����� 1 � � �0� 1 � � � �0� � � � �� & � � � �� � �   3 7� � � �� 1 � � � �0� � � � �� & � � � �0� � �� 7� � ∫� � � F " � 1 � � 3 £ � 1 � � � � � G � � F " � & � � � 3 £ � & � � � � � � G � ¤

6.8.5. Series containing Jk+ν(z) and ψ(z)

1.������� J � L "� $ 5_7�! % � � � � fI� � � �0�&�   �� � � �� � �fg3 ¢ � � 1 �0�&�3 ���fg3 ¢ ��F �� G � � � - �0�&� ¤

2.������� �43 ¢ � � � � � � ¢ � � � £)� � ¢ � � � a 1� ��&�   3-" �� � � � � ��� � � £ �&�

3 " �� � � � � � � � � � £ �&�<3 � � £ �&��� C � ¤3.

������� �43 ¢ � � � � � � � � � £)� � £ � � � a &4� ��&�   " �� � � � � ��� � � £ �&�3 " �� � � � � � � � � � £ �&�<3 � � £ �&��� C � ¤

6.8.6. Series containing Jν(ϕ(k, x))

1.����� 1 � S - �&-21� � 1� - S � � ���

  �( 7�! ( &(' & ����O'Q5_7�! % � � £ S -21� �2 �&- SEa 1� � a 1�� ��� � � J �O'65 7$ L�F $ (:7� 3 � G S F � �� G �= � � �O' ! � � � � � � @CB2.

����� 1 � S - �&-21� �&SEa 1� � � ���  �( 7�! ' & ����O'65 7�! % � � £ S -21� � �&- SEa 1� � a 1�� ��� � � J �O'65_7$ L F $ � 3 � G S F � �� G �= � � �O' ! � � � � � � @CB

5�:�<

Page 489: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� L1� :3.

����� 1 � S - � a 1� � - S -21� � � ���  �( 7X! '%& ���� '�! % � � £ S -21� �2 �&- S -21� ������� � � J � '$*L F $ 5_7� 3 � G S F � �� G �= � � �O')(:7 ! � � � � � � @CB

4.����� 1 �43 ¢ �

� � S - � a 1� �&S -21� � � ���   �( 7X! '%& ����O'�! % £ SEa �&-21� �, �&-21� � - S -21� Y ������� � � ']")"� " J �O'$ L ��

� ��� J $� L F]3 � � G S F �� G � = � � �O')(:7 ! � � � � � @CB5.

����� 1 �43 ¢ �� � S - � a 1� � - S -21� � � ���

  �( 7�! ( &(' & ����O'�! % £ SEa �&-21� �� �&-21� � - S -21� Y ��� ��� � � ']")"� " J �O'$ L ��

� ��� J $� L F 7 ( �� G S F �� G � = � � �O')(:7 ! � � � � � @CB6.

����� 1 �43 ¢ �� � S - �&-21� � 1� - S � � ���   �( 7�! ( &(' & ����O'65 7�! % £ SEa � a 1� �, � a 1� � - S -21�

Y � a 1������ � � ']")"'& �� " J �O'65_7$ L ��� ��� J $� L�F�3 � �,G S F �� G � = � � � ' ! � � � � � @CB

7.����� 1 �43 ¢ �

� � S - �&-21� �&SEa 1� � � ���   �( 7�! ' & ���� '65_7�! % £ SEa � a 1� � � a 1� � - S -21� Y � a 1�� ��� � � '#")"'& �� " J � '65_7$ L ��

� ��� J $� L F 7�( �� G S F �� G � = � � � ' ! � � � � � @CB8.

����� 1 � S - � a 1� �&S -21� � � ���  �( 7X! '%& ���� '�! % � � £ S -21� �2 �&- S -21� ������� � � J � '$ L F $ � 3 � G S F � �� G �= � � �O')(:7 ! � � � � � � @CB

9.����� �43 ¢ �

� $ " �$ � (87 � � � � ���   J � L �� � � � 5_7X! 3 7� � � � ���<3 � � � � a 1 � ���= ( � ��

� � ! � � � � ( ��@CB5�:L

Page 490: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� �������� � � ��� � ��� ��� ���� � � ��� � ��� � ����10.

����� 1�( 7�! "

� $ � 5 m � � � � � � F � � � f � G   3 m " �� � � �0f ���= ( � � � � � ! � � � � ( 7 ��@B11.

������� � £)� � ¢ � S - �&-21� � 1� - S � � £!� � ¢ � ���  �( 7�! ( &('��� '65_7X! % £ S -!&4� �� � a 1� � - S -21�

Y ������� � �&- � a 1 J � 'g5 7$ L � £ 3 £ �&- � a � F 3 $ � G S F �� G � = � � �O' ! � ��

� � @CB12.

������� � £)� � ¢ � S - �&-21� �&SEa 1� � � £!� � ¢ � ���  �( 7�! '���O'65_7X! % £ S -!&4� �� � a 1� � - S -21�

Y ������� � �&- � a 1 J � 'g5 7$ L � £ 3 £ �&- � a � F 7�( $� G S F �� G �= � � �O' ! � �

�� � @CB

13.����� 1

��� $ 5 7�! " �$ � $ 5_7X! � � �4� £)� � ¢ � ���   � � � ����� £ � � � a 1 � ���<3 � H� � ���= ( � � ��

� � � ! � � � � ( � �X@B14.

����� 1 �43 ¢ �� ��� $ 5_7X! � " �$ � $ 5 7�! � � �4� £!� � ¢ � ���  �£ � � � a 1 � ���<3 � � � ���= ( � � �

�� � � ! � � � � ( � �X@B

15.������� ��� $ 5_7�! " ���� $ 5 7�! � m � � � � � � �4� £!� � ¢ � ���

  � m � " ��� �!& �

� � �� ��� ��� ���&� £ fI� �� � ��� ���&� £ fI� � � � F � �m G 3 �

L� ��� � � fI�H � ��� � � fI� � = � � � � � ! � � � � ( � ��@CB

16.������� �( 7X! "� $ 5 7 � � £)� � ¢ � � f � - � � � � � � � £)� � ¢ � � f � �   � m " �� � � �0f ���= � � � � � � ! � � � � ( � ��@B

5�:P

Page 491: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� L1� <17.

������� �( 7X! "J $ 5 1 L

� ']" � DXF � � 7� G � � f H - � � � � ) * F � � 7� G � � f ,  ��3 ¢ � �&-21 � � ']" �� m � �&-21������ ��� m ! ")"$&% ���O')( � $ ( �O! % � �&- � - � � a � �fI� = � � � � 7 � ( �O'I@CB

6.8.7. Series containing Jν(kx) and trigonometric functions

1.����� 1

�( 7�! "$ �!& � � � � � � ��� � � � � � �   3 � � �� �'& � � � � 5 7�!= � � � � � ! � 5 � � � ! � � � � ( � �X@B2.

����� 1�( 7�! "$ � � � � � � ��� � � � � � �   3 J � L �� � � � 5_7�! = � � � � � ! � 5 � � � ! � � � � ( 7 �X@B

3.����� 1

�� � � $ � !$ � ( & ��" � � � � � � �  J � L �� � � 5_7�! �� � �( 7�! (�#� � (:7X! % � � 5_7�! ( " � F � ��G S - � S - �� ��� J � L

� "$&% � � 5_7X! "Y � �( 7�! ( " � ��]��� � (*� $ ( � ! % �2 S - � -!& � ��3 ¢ � � S - � -21�

� ��� �( � � ! ���� � ! % � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ � � � ��= � >?7 ! � � � � � ! � � � � � � ( � @CB4.

����� 1�( 7�! "$ � ( & ��" � � � � � � ��� � � � ��� �   �( 7X! (�#� � (:7X! % � � � 5 � ! F � ��G SEa � -

3 S - ������ �( 7�! "$9% � � $ 5 � 5_7�! F � � G � a �Y S - � -21�

� ��� �( 7X! ���� � ! % � � � ¢ 3 £ � a � - SEa & � � � £� 3 £�� 3 £)� 3 £ �= � >?7 ! � � � � � � ( � � ! ( � � � � � ! � � � ( � � � � � ( � � � @CB

6.8.8. Series containing products of Jν(ϕ(k, x))

1.����� 1

�( 7�! "$ � ( &���& � � � � � ��� � � � � � �   �( 7X! ( & �� � % � � � 5 �g5_7X! � � � 5_7�! F � � G SEa � F � � G �3 S -21�� ��� �( 7X! "$&% � � $ 5��65_7�! F � ��G W � ���

5�<9N

Page 492: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� �������� � � ��� � ��� ��� ���� � � ��� � ��� � ����Y S - ��� ��� �( 7�! �

� % � � � 5 � 5_7X! F � ��G � a � � ¢ 3 £ � a � - SEa 1 � � � £�� 3 £�� 3 £!� �= ( � � � � � ! �

�� ( � � � � � ( �

�� ! � � � �65 � ! � (�� � (:7A@B

2.����� �43 ¢ �

� $ " � �$ � (87 � � � � ���   J � L� �

� �� � � 5_7X! 3 7� � � � ���3 � � a 1 � ����� £ � � ¢ � � � a 1 � ���<3�� � � a � ����= ( � �

�� � ! � � � � ( 7R@CB

3.����� 1

�( 7X! "� $ � 5 m � � � � � F � � � f � G   3 m " � �� � � �f ���= ( � � � � � ! � � � � ( 7 ��@B

4.����� 1

�( 7X! "$ � � $ � 5 m � � � � � F � � � f � G  m " � � " �7�� � � � � a 1 �f ����� £ ��-� ¢ � � � a 1 �f ����3hf � � � a �0f ����&3 �� f9 � � �f ��� �= ( � � � � � ! � � � � ( � ��@B

5.������� �( 7�! "� $ 5_7 � � £!� � ¢ �� � f9R� - � � � � � � £!� � ¢ � � f � �   � m " � �� � � �0f ���= � � � � � � ! � � � � ( 7R@CB

6.8.9. Series containing products of Jν(kx) and trigonometricfunctions

1.����� 1

�( 7X! "$ � &(�!& � ��� � � � ��� � � � � � � � � � � � �   3 � J � L � &(�� � � �65 7�! � � � 5_7X!= � � � � � ! � 5 � � � ! � � � �65 � ! � ( 7A@B2.

����� 1�( 7�! "$ � &(� � � � � � ��� � � � ��� � � � � ��� �   3 J � L ��& �� � � �65_7�! � � � 5_7X!= � � � � � ! � 5 � � � ! � � � �65 � ! � ( 7A@B

3.����� 1

���� � $ � !$ � ( &���& ��" � � � � � � � � � � � � �   J � L � &(�� � �65_7X! � � � 5_7�!Y � �( 7�! ( � � ( " � � �65 � 5 7�! � ( " �� �65_7X! ( " � � � 5_7�! ( " � � �g5 � 5_7X! ( " � � S -

� S - ������ � �65 � 5 7�! � "$9% � �65_7X! " � � 5_7�! " � �65 � 5_7X! " F � ��G � � �43 ¢ � S -21 � � � ( " � "�" ��#��� � ( � $ ( � ! %5�<��

Page 493: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� L1� ��N� �43 ¢ � � S - � -21�

� ��� �43 ¢ � � � � ���� � ! % � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ � � = � >?7 ! � � � � � � ! � � � � � � ( � @CB

4.����� 1

�( 7X! "$ � ( &���& ��" � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � �   J � L � &(�� � �65_7X! � � � 5_7�!Y � �( 7�! ( � �65 � 5 7�! � ( " ��#� � (:7X! % � �65_7X! ( " � � � 5 7�! ( " � � �65 � 5_7�! ( " � F � ��G S -

3 S - �� ��� �( 7�! " � �65 � 5_7X! � "$9% � �65_7X! " � � 5_7�! " � �65 � 5_7X! " F � ��G �Y S - � -21�

� ��� �( � � ! ���� � ! % � ¢ 3 £ � a � - SEa & � � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ � = � >h7 ! ( � � � � � � � ! � � � � ( � � � � � (*� � � � ! � � � �65 � ! � 7 (*� � @CB

6.8.10. Series containing Jν(kx) and Si (kx)

1.����� 1

�( 7X! "$ � ( &���& ��" � � � � � ��� � � � � � � � � � � � �  �( 7�! ( � ��� � 5��65 � (87�! ��]� � (:7�! % � � � 5 ��! � � � 5 � ! � � � 5��g5 � ! F � � G SEa � a � -

3 S - �� ��� �( 7X! " � ��� $ 5��65 � 5_7X!$9% � ��� $ 5 �g5 � 5_7X! � � $ 5��65_7X! � � $ 5 � 5_7X! F � ��G � a � a �Y S - � -21�

� ��� �( 7X! ���� � 5_7X! % ��� � 5 7�! �2 � a 1 � ¢ 3 £ � a � - SEa & � � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ �= � >?7 ! ( � � � � � ! �

�� ( � � � � � � ( �

�� @CB

6.8.11. Series containing Jν(kx), S(kx) and C(kx)

1.����� 1

�( 7X! "$ �!& �� � � � � ��� � � � ��� �   3 � " � " �� � � �� � � �� � � � � 5_7�!= � � � � � ! � 5 � � � ! � � � � ( 7A@B

2.����� 1

�( 7X! "$ �!& � � ��� � ��� � � � � � �   3 � " ��" �� � � � � � �� � � � � � 5_7X!

= � � � � � ! � 5 � � � ! � � � � (��X@B5�<,

Page 494: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � ��� ��� ������� ��� � ��� ��� � ��� ��� � � ���� ���� � ����6.8.12. Series containing Jkµ+ν(ϕ(k, z))

� �4��-4�#� �$���� ��&�   ����7,5 � 7 (8� � � � 1A- � W ��� =

1.����� 1

7$ � 5 m � � � � � �&�   7� m � ��1 N

�� 7 ! � W � W�7�( � m �#7<5 � m #$ 3 ¢ �� = �g�M� � ! � 7A@CB2.

����� 1$ " 3 "'& � 8 � � $ 5 m ! "�" �$9% F � �,G � � � a � � / � �&�   3 J � L �m � � � 5_7�!� f - � � -21 � �0/ f��&� ¤

3.����� 1

$ 3 "�" � 8 � " �$&% F � �,G � � � a � � / � �&�   J � L �!&�

� � � 5n� ! ¤4.

����� 1 �43 ¢ �� � � � � � �&�   3 7� � 7��� 7�( � � � 3 ��� ���� � ���O�]!

� � 7 ( � � � = �g�M�]! � 7A@CB5.

����� 1 � � � � � �&�  � � �M� � 5 � !7��#�C7 (8� � ! �� � = �g�M�]! � 7A@CB

6.����� 1

7$ � � � � � �&�   � �� = �g�M�]! � 7A@CB7.

����� 17$ � � � � � �&�   � �� 3 � � �� � = �g�M�]! � 7A@CB

8.����� 1

7$ � � � � � �&�   � � �7O7��O� 3 7 �O� �� � � � � �� = �g�M�]! � 7A@CB9.

������� 7��� $ 5_7X! � � � a 1� �4� £)� � ¢ � �&�   �O�� = �g���O�]! � 7A@CB

10.������� 7��� $ 5 7�! � � � a 1� � � £!� � ¢ �4�&�   �O�

� ) ¢ 3 � � �� � , = �g���O�]! � 7A@CB11.

������� 7��� $ 5 7�! � � � a 1� � � £!� � ¢ �4�&�   � �� ) 7�� � � �

��� � � 3 � � � �� � � � ¢ , = �g���O�]! � 7A@CB12.

����� 1 � � -21� � � �&� � � a 1� � � �&�  ��� ���� � �

� � � 7�(8� � 3 7� = �g�M�]! � 7A@�B

5�<93

Page 495: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� L1� ��313.

����� 17$ � ( m � � � -21� � � �&� � � a 1� � � �&�

  7� m � 3 7

� m � N & � 7��V7 ! ( m � � �7<5 m �V7 ( m � & � = �g�M�]! � 7A@CB14.

����� 1�( 7�! "$ � � � � � � �&�   � �� 3 � �

� = �g�M�]! � 7A@CB15.

����� 1�( 7�! "$ � ( m � � � � � � �&�

  7� m � 3 �� m � � �� m� � -��R� �0fI�&� � �R� �0fI�&��� �O�

� � m � (:7�! N & � 7 �#7 ! ( m � � �& � &�- � � & a � �= �h�M��! � 7R@�B16.

������� ��� � ! "$&% � � � ;� - � -21�� � a � �4� � � ��4�&� �   J � L� �

� �� � � 5_7�! = �g���O�]! � 7A@CB

6.8.13. Various series containing Jν(z)

1.����� 1 � � � � 1 � � � � � � � � � � �&�

  3 7� � � � � 1 � � � � � ��� 7� �∫� �� 3�� � -21� � � F " � 1 ��� 3 £ � 1 � � � � � G � ¤

2.������� 7��� $ 5 7X! � " � � � a 1� � �Q� � � �4� £)� � ¢ �4�&�

  �]��� ��! " �� � � J � ( 1 L�∫� ���0� 3 � � � -!&4� H � � £ � ��� � ��� � ¤

3.������� �( 7X! "��� $ 5_7X! � � � a 1� � �Q� � � �4� £)� � ¢ � �&�

  ���O�]! " �� � � J � 5 1 L�∫� ��� 3��2 � � -21� H� � £ � � � � ��� � ¤

4.����� 1

�( 7�! "$ '�� ��� � 1 � � � � � � �   3 � "�'�� " �

�' � � 5_7X! ��

� � 1 � ��� �� � � !

'�� �

�� � � � ! � � � � ( 7 � � B

5�<!5

Page 496: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � � � � � ��� � � ��� � ��� ��� ��� � � ����6.8.14. Series containing Yk+ν(z)

1.������� � � a 1� � �Q� � � a 1 �0�&� � � a 1� � �Q�   3 7

�1∫� 7� 7�( � � ��� � �� ��� � � � £ � ���� � ¤

2.������� � � a 1� � �Q� � � a 1� �0�&� � � a 1� ��&�   3 7

� 1∫� 7� 7�( � � � � � £ � ��� H� � £ � ��� � ¤3.

������� � � ��&� � � a 1� ��&� � � a 1 �0�&� � � a 1� �0�&�   7� � � � � � � �#�&�<3 ¢ � ¤4.

����� 1 � � � � 1 � � � � � � � � � � & � � � � � � �   3 7� � � � � 1 � � � � � � � � � � & � � � � � � �� 7� � ∫� � � F " � 1 � � & 3 £ � 1 � & � � � � G � � F " � � � � 3 £ � � � � � � � G �= � � � � � � � � � � � @CB6.9. The Modified Bessel Function Iν(z)

6.9.1. Series containing Ink+ν(z)

1.����� 1 � � �0�&�  

� � � � ��&� � 1 ��&�0� ¤2.

������� � m ! "$&% � a � �0�&�   J � L �� � � 5 7�! � � N � � 5 1;- � � � ( � 5_7� 5_7���� � ( m 5_7 ! (��O��� ¤

3.������� $ 5 ���� $ 5 � ! � (87 ��� � ! "$9% � a � ��&�

  � " � � " � � � " �� ���� � (:7X! � � � ! � + � -!& . ��� � + � � � . � � - � � F� � 7� � 3 £ � G ¤4.

������� �43 ¢ � � � � � ;� � m ! " � � ! " ��� � ! "$&% ��� � ( m 5_7X! " ��� � ( � 5 7�! " � a � ��&�  J � L �� � � ! � - � N � � 5 1 ��� � ( m ( � 5_7 ! �O�� � ( m 5_7���� � ( � 5_7 � ¤

5.������� � ��! "$&% � a � ��&�   J � L

� � �� � � 5_7X! N � � 5 1;- � � � ( � 5 7

� 5 7 ��� � (��65_7 ! ( � � � ¤5�<;

Page 497: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� P1� ,6.

����� 1 �43 ¢ �� �

� J � a 1� L�� J � a &� L � � ��&�

  3 7� � � � � F 7� G � ��&� � �� � ∫� � � � � � + � � . � �� � � / £ � � � � � £ ��� � K � � � � ��� � ¤

7.������� �43 ¢ � � � a � �0�&�   J � L �� � � 5 7�! 1 N

��� ! �

W�� 5_7�� � #$ ¤

8.������� �43 ¢ � � � £!� � �� � � (��65_7X! "� ��! " � a � �0�&�   J � L �� � � ! 1 N � � (87 ! � W�� � � � ¤

9.������� �43 ¢ � � � £!� � �� � � ! " J � a 1� L " J 1 L "$9% J � 5 1 L�" J � a &� L)" � a � ��&�

 �£ � -21 � 1� �� J � a &� L

� � � ! V+ � -21 . ��� F � ��G ¤10.

������� � £)� � ;� � m ! " � � ! "$&% � � ( m 5 7�! " � a � �0�&�   J � L �� � � ! � - � 1 N 1 � � ( m 5 1 ! � �� � (*� m 5_7 � ¤11.

��� ��� � S� a2S �"� $ 5 � ! % � a � ��&�

  ��3 � � - S �I+ � - S . � S������ �43 ¢ � � ��� $ �I5 �]! 3 ( " � 8 �$9% � � ( $ ! % � - S � � �;� £!� � � �&� � ¤6.9.2. Series containing Ik+ν(z) and ψ(z)

1.������� J ( � L "$9% � � � � fI�� � a � �0�&�   J � L �� � � 5_7�! � �0fI�

3 J � L �!&�

� � � 5n� ! m N & �� 7 �#7 ! � W�m 5_7 � � 5n� ��� #$ ¤2.

������� J ( � L "� $ 5_7�! % � � � � fI� � �0�&�   3 �� � � �� � �fg3 ¢ � 1 �0�&�� ���fg3 ¢ � F �� G � � - �0�&� ¤5�<9:

Page 498: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� � � � � � ��� � � ��� � ��� ��� ��� � � ����3.

������� J ( � L "$9% � � £)� � fI� � a � ��&�   J � L �� � � 5_7X! � �fI�3 J � L �'&

� � � 5:�O! �� 7m N & �� 7��V7 ! � W�� 5_7 � � 5:� ��� #$ � 7m 5_7 N & �� 7��#7 ! � W�� a & � � 5n���]� #$ �� ¤6.9.3. Series containing products of Ink+ν(z)

1.����� �43 ¢ �

� � � � 3 ¢ � � �0�&�   ��� �7�� 3 �O� �� � ¤

2.����� 1 �43 ¢ �

� �� J � a 1� L

�� J � a &� L V� �0�&�   3 7� � � � � F 7� G V� �0�&�

� �� � ∫� � � £ � � � � ��� K � � � � ��� � ¤

3.������� � m ! "�C7 ( m ! " � ��&�   7� � �0�&��� 7� 1 N � 1 ! � �7��V7 ( m � ¤

4.������� �43 ¢ � � � m ! "�C7 ( m ! " V� �0�&�   7� #� ��&� � 7� 1 N � 1 ( m ! � �7��#7�( m � ¤

5.������� �43 ¢ � � � � � � ¢ � J 1 ( m L " J 1 5 m L " J 1 L "$9% �C7E( m ! " �C7 5 m ! " V� a 1��� ��&�

  � �� � � �� ��� J 1� L N & �� 1 � &� ! � �7E( m ��7 5 m � �

#$¤

6.������� �43 ¢ � � � £!� � ¢ ��V� a 1� �0�&�   �O�

� ¤

7.������� �43 ¢ � � � m ! "��� ( m ! " V� a 1� �0�&�   �O�

� N & �� & ( m �V7 ! � �� ( m � & � & #$¤

8.������� � £)� � ¢ � � m ! "��� ( m ! " #� a 1� �0�&�   � ��� ( m !� � � � -21� L 1� -�� � £ �&� ¤

9.������� 7��� $ (:7X!A��� $ 5 � ! � �0�&�� � a 1 ��&�   �� � � � � £ �&� L1 � £ �&�<3 1 � £ �&� L� � £ �&�0� ¤

5�<<

Page 499: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� P1� 310.

������� �43 ¢ � � � � ! "��� ( � ! " � ��&� � a 1 �0�&�   � � 1 N � & ( � ! � �� ( � ��� � ¤11.

������� �43 ¢ � � � £)� � � #� a &4� ��&�   7� � � � � ��� � £ �&��3 £ �� 3 ¢ � ¤

12.����� 1 �43 ¢ �

� V� a � �0�&�   3 J � L� �!& �

�� � � 5n�O! N & � � 5_7�� � 5 & ! � �� 5n��� � 5n����� � 5n� � ¤

13.������� $ 5 �� � $ 5 � ! � (:7 ��� � ! "$&% � a � ��&�

  J � L� �

� � � � (:7�! � � � ! � � � 5_7X! 1 N �� � 5 1 ! � �� 5 7 � � 5 &

#$¤

14.������� �43 ¢ � � $ 5 �� � $ 5 � ! � (:7 ��� � ! "$9% V� a � �0�&�

  J � L� �

� � � � (87�! � � � ! � � � 5_7�! 1 N � 7 ! � �� 5_7�� � 5 & � ¤15.

������� �43 ¢ � � ��� � ! " ��� � ( m 5_7X! "$9% � m ! " � a � �0�&�   J � L� �

�� � � 5_7X! N & � � 5 1 � m ( � ! � �m � � 5 7 � � 5 7 � ¤

16.������� � � � �� ��� � ! " ��� � ( m 5_7�! "$&% � m ! " #� a � ��&�   J � L

� �

� �� � � ! 1 N � � 5 1 ! � �m � � 5_7 � ¤

17.������� �43 ¢ � � � � � �� ��� � ! " � m ! " � � ! "$9% ��� � ( m 5_7�! " ��� � ( � 5_7X! " #� a � �0�&�

  J � L� �

� �� � � ! N & � � 5 1 ��� � ( m ( � 5_7 ! � �

� 5_7��]� � ( m 5_7��]� � ( � 5 7 � ¤18.

������� �43 ¢ � � � m ! "$&% � a � ��&� � - � �0�&�  � � �65 � ( m 5_7X!

� � � 5_7X! � � �65 � 5 7�! � � �)( m 5_7�! F � �,G � a �Y N & � � a � - � a 1 � � a � - � 5 7 ! � �� 5_7�� �g5 � 5_7�� � ( m 5_7 � ¤5�<9L

Page 500: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� � � � � � ��� � � ��� � ��� ��� ��� � � ����19.

������� � � � �� ��� � ! "$9% � a � � �Q�� � a � �0�&�   � " �� � � ! F �

��5 � G � � � � � �&� ¤

20.������� �43 ¢ � � J 1 ( � L "

J & 5 � L " � a � ��&� � - � -21 �0�&�  � J � 5 & L� � � � 5 7�! � -21� � -21� � £ �&� ¤

21.������� � a � �0�&�� � - � �0�&�� � � £ �&�

  7� #� ��&� � � £ �&�� J � L� �

� �� � � 5 7X! & N � �� � 5 1� � � 5 1 � � 5 &� ! � � �� 5 7 �#� � 5 1 �V� � 5 7 � 1

#$¤

22.������� � a � ��&� � - � -21 �0�&�� � a 1 � £ �&�

 � J � L

� �

� � � ! � � � 5_7X! & N � �� � 5 1� � � 5 1 � � 5 &� ! � � �� 5_7���� � ��� � 5 1 � & #$¤

23.������� � ��&� � a 1 �0�&�   � �� N & � & � & !

� � ������ � � � ¤

24.������� #� � �Q� #� � �0�&�   7� #� � �Q� #� ��&��� 7

� � ∫� � � £ � � � � ���� � � £ � ��� � � � ��� � � ¤

25.����� 1 �43 ¢ �

� � � � � �&� � � � 1 �� � � � �  3 7� � � � 1 �� � � � � � 7

� �∫� �0� 3�� � -21� � F " � 1 ��� 3 £ � 1 � � � � � G � ¤26.

������� �43 ¢ � � � � � � �Q� � ��&�   7� � � � �Q� � ��&�� 7

� � ∫� � � � £ � ��� � ���� � � £ � � � � � � ���4� � ¤

5�<9P

Page 501: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� P1� 527.

����� 1 � � � � 1 � � � � � �� � � � & � � � � � � �   3 7� � � � � 1 � � � � � � � � � & � � � � � � �� 7� � ∫� � � F " � 1 � � 3 £ � 1 � � � � � G � � F " � & � � � 3 £ � & � � � � � � G �� � 1 �

� & � � �� � � ¤

6.9.4. Series containing Ink+µ((nk+ ν)z)

� �4��-4�#� �$���� ��&�   ����7,5 � 7<5 � � � � 1 a � W ��� =

1.����� 1

�( 7�! "$ � � � � �&�   3 � �� = �g�M� � ! � 7A@B2.

������� �( 7�! "��� $ 5_7X! � � a 1 �4� £)� � ¢ � �&�   � � � � � �O� �� 7 � � � = �g�M�]! � 7A@B3.

������� �( 7X! "$ � 5 m � � � � �&�   �m � � � ��¢ � � �� 3 1 N

�� 7 ! ( �W�W

�( � m � � m #$��� = �g�M� � ! � [email protected]. Series containing products of Ink+ν((nk+ ν)z)

� �4��-4�#� �$���� ��&�   ����7,5 � 7<5 � � � � 1 a � W ��� =

1.����� 1 �43 ¢ �

� � � � � �&�   � � �M� � ( � !7��#�M� � 5_7X! �� � = �g�M�]! � 7A@B2.

����� 1�( 7�! "$ � V� � � �&�   3 � �� = �g�M�]! � 7A@B

3.����� 1

�( 7�! "$ � V� � � �&�   3 � � �� � 3 � �� = �g�M�]! � 7A@B4.

����� 1�( 7�! "$ � V� � � �&�   3 �O� �7 7 � � 3 7�� � ���� � 3 � �� = �g�M�]! � 7A@B

5.������� �( 7�! "��� $ 5_7X! � V� a 1� �4� £)� � ¢ � �&�   � �

� = �g�M�]! � 7A@B6.

������� �( 7�! "��� $ 5_7X! � V� a 1� �4� £)� � ¢ � �&�   � �� ) � � �� � � ¢ , = �g�M�]! � 7A@B5�LN

Page 502: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ��������� ������� ����� ��� � ��� ��� H� ��� ����

L� ���

7.������� �( 7�! "��� $ 5_7X! � V� a 1� �4� £)� � ¢ � �&�   � �

� ) 7�� � � ���� � � � � � � �� � � � ¢ , = �g�M�]! � 7A@B

8.����� 1 �43 ¢ �

� � -21� � � �&� � a 1� � � �&�   7� �#� � � 5_7 � F ��� � � � ¢ G 3 7

�= �g�M�]! � 7R@CB9.

����� 1�( 7X! "$ � ( m � � -21� � � �&� � a 1� � � �&�   7

� m � 3 7� m � N & � 7��V7 ! m � � �7<5 m �V7 ( m � & �= �g�M�]! � 7R@CB

6.10. The Struve Functions Hν(z) and Lν(z)

6.10.1. Series containing Hk+ν(z) and Lk+ν(z)

1.������� J � L

"$9% H � ��&�   �� ����� ��&� ¤

2.������� J ( � L "$9% L � �0�&�   �

� � � ��&� ¤3.

������� J � � L "J & L "�H � a � �0�&�L� a � ��&� �  

� �!& �� � � � � J � 5 & L N ��� 1 ��7 ! �

� � � � a &�� � a �

�� &� � �� � &

#$¤

4.������� J � L "$9% H� a 1� ��&�

  � � �� � � � £ � �0�&��3 �� 1 �0�&��� �*� � ��&� L 1 �0�&��3 1 ��&� L� ��&�0� � ¤5.

������� J ( � L "$9% L� a 1� �0�&�  � � �� � � � £ � � ��&��3 �� � 1 �0�&��� � � � 1 ��&� H� �0�&��3 � � �0�&� H 1 ��&�0� � ¤

6.������� J � L "� $ 5_7�! % H� a 1� ��&�   3 * �

� � � � � � �� * �

� � � � ��&�<3 � � � 1 ��&� L� ��&�<3 � �0�&� L1 ��&�� � ¤5�L1�

Page 503: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ��N1� ,7.

������� J ( � L "� $ 5_7�! % L� a 1� ��&�   * �� � � � � ��� �

3 * �� � � � � ��&� � � � � � 1 �0�&� H� ��&�<3 � � ��&� H 1 ��&�� � ¤

6.10.2. Series containing Hν(ϕ(k)x)

1.����� 1 �43 ¢ �

� $ " � " �$ � m � 5 � � H� � � ���   � m �� � �'& � � � � � F � �m G L� F � �m G3 J � L �'&

�� � � � � J � 5 & L = ( � ��

� � ! � � � � ( � ��@CB2.

����� 1 �43 ¢ �� $ " � " �$ � m � ( � � H� � � ���   J � L �!&

�� � � � � J � 5 & L3 � m �� � �'& � � � � F � �m G H� F � �m G = ( � ��

� � ! � � � � ( � �X@B3.

����� �43 ¢ �� $ " � " �$ � (87 H� � � ���   � � � ! �!& �� � � J � 5 & L 3 F� � �� G H� � ��� � � � H� -21 � ���= ( � �

�� � ! � � � � ( � ��@B

4.������� �43 ¢ � � ��� $ 5 7�! " ���� $ (:7X!A��� $ 5 � ! H� �4� £)� � ¢ � ���   3 �� �!& � H� � £ ���= ( � � �

�� � � ! � � � � ( � �X@B

5.������� �( 7�! "��� $ 5_7X! �'& � H � �4� £)� � ¢ � ���   � " � " � � �

� J � 5 & L � � a 1= ( � � � � � � � ! � � � � ( � �X@B6.

����� 1 �43 ¢ �� ��� $ 5_7X! " �$ � $ 5 7�! H� �4� £!� � ¢ � ���   � � -� ¢ � H� � ����3 £ � H� -21 � ���= ( � � �

�� � � ! � � � � ( � �X@B

7.����� 1

�( 7X! "� $ � 5 m � � 3 �'& � 8 � H� F � � � f � G   3 m " ��" �� H� �f ���= ( � �

�� � ! � � � � ( � ��@B

5�L�,

Page 504: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� � � ��� ��������� ������� ����� ��� � ��� ��� H� ��� ����

L� ���

8.����� 1

�( 7X! "$ � � $ � 5 m � � 3 �!& � 8 � H� F � � � f � G  m " � " �7X� � � � £ -� ¢ ��3 �� f9R� H� �0f ����3 f � H� -21 �f ��� �= ( � �

�� � ! � � � � ( � ��@B

6.10.3. Series containing Hν(kx) and trigonometric functions

1.����� 1

�( 7�! "$ �!& � � � � � � ��� H� � � � �   3 �� � � J � 5 & L F � � G � a 1= � � � � � ! � 5 � � � ! � � � � ( � �X@B

2.����� 1

�( 7X! "$ � ( & � � � � � � ��� H� � � � �   �( 7�! ( � J � L� ( &(� " �

� � J � 5 1 L � J � 5 � 5 1 L3 S - ������ �( 7�! " J � L� "'& �'& �

� J $ 5 & L � J $ 5 � 5 & LS - � -21�� ��� �( 7X! ���� � 5n7X! % �2 � a 1Y � ¢ 3 £ � a � - SEa & � � � £� 3 £�� 3 £!� 3 £ �= ( � � � � � ! �

�� ( � � � � � ( �

�� ! � � � � (�� � (:7 �X@B

3.����� 1

�( 7�! "$ �!& � � � � � � ��� H� � � � �   3 J � L�!& �� � � J � 5 & L= � � � � � ! � 5 � � � ! � � � � ( � �X@B

4.����� 1

�� � � $ � !$ � ( & ��" � H� � � � �  J � L �'&

�� � � J � 5 & L�� � ��3 ¢ � S J � L

� ( " �J & L ( " � J � 5 & L ( " � �

S - ������ J � L� "

J & L " J � 5 & L "Y � ��3 ¢ � S -21 � � � ( " � "�" ���� � ( � $ ( � ! % � £ ��3 ¢ � � S - � -21�� ��� �( � � ! ���� � ! % � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ � � � ��= � � � � � ! � � � � � � ( � ! � � � � � � (*� � @CB

5.����� 1 �43 ¢ �

� ���� � $ � !$ � ( &(� " � H� � ��� �   J � L �'&�� � � J � 5 & LY �� � �( 7X! ( J � L

� ( & � " �� � J � 5 1 L � J � 5 � 5 1 L 3 / � S - �� ��� �( 7X! " J � L� "'&(�!& �

� J $ 5 & L � J $ 5 � 5 & L5�L3

Page 505: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ��N1� 5Y S - � -21�

� ��� �( � � ! ���� � ! % � ¢ 3 £ � a � - SEa & � � � £�� 3 £�� 3 £)� 3 £ � � ��= ( � � � � � ! � � � ( � � � � � ( � � � ! � � � � � � (*� � @CB6.10.4. Series containing Hν(kx) and Si (kx)

1.����� 1

�( 7X! "$ � ( & � � � � � ��� H� � � � � 

�( 7�! ( � J � L� ( &(� " �

� � J � 5 1 L � J � 5 � 5 1 L 3 S - �� ��� �( 7X! " J � L� "'&(�!& �

� J $ 5 & L � J $ 5 � 5 & LY S - � -21�� ��� �43 ¢ � � � � � & ���� � 5 7�! % ��� � 5 7�! � ¢ 3 £ � a � - SEa & � � � £� 3 £�� 3 £)� 3 £ �

= � >?7 ! ( � � � � � ! � � � ( � � � � � ( � � � @CB6.10.5. Series containing Hν(kx), S(kx) and C(kx)

1.����� 1

�( 7X! "$ �!& � � ��� � ��� H� � � � �   3 � " ��" �� � � � � � �!& �� � � J � 5 & L= � � � � � ! � 5 � � � ! � � � � ( � @B

2.����� 1

�( 7�! "$ � ( & �'& �� � �E� � ��� H� � ��� � 

�( 7�! ( � � � J � L� ( &(� " �

� � � � � J � 5 1 L � J � 5 � 5 1 L 3 * ��

S - ������ �( 7�! " J � L� "'&(�!& �

� J $ 5 & L � J $ 5 � 5 & LY S - � -21�� ��� ��3 ¢ � � � � � & � ���� � 5_7X! % � � � 5 � ! � ¢ 3 £ � a � - SEa & � � � £�� 3 £�� 3 £)� 3 £ �

= � >?7 ! ( � � � � � ! � � � ( � � � � � ( � � � @CB3.

����� 1�( 7X! "$ �!& � � � � � ��� H� � � � �   3 � " ��" �� � � �� � � �'& �

� � J � 5 & L= � � � � � ! � 5 � � � ! � � � � (��X@B4.

����� 1�( 7X! "$ � ( & ��" �� � � � � ��� H� � � � �

 �( 7�! ( ���� � J � L

� ( & ��" �� � � � J � 5 1 L � J � 5 � 5 1 L 3 * ��

S - ������ �( 7X! " J � L� "'& �'& �

� J $ 5 & L � J $ 5 � 5 & L5�L95

Page 506: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ��������� ������� ����� ��� � ��� ��� H� ��� ����

L� ���

Y S - � -21�� ��� ��3 ¢ � � � � � & �� ���� � ! % � � � 5_7�! � ¢ 3 £ � a � - SEa & � � � £� 3 £�� 3 £)� 3 £ �

= � >?7 ! ( � � � � � ! � � � ( � � � � � ( � � � @CB6.10.6. Series containing Hν(ϕ(k)x) and Jµ(kx)

1.����� 1

�( 7X! "$ � &(�!& � � � � � ��� H� � ��� �   3 J � L � J � L �'&�� � � � �65_7X! � J � 5 & L= � � � � � ! � 5 � � � ! � � � �65 � ! � (��X@B

2.������� 7��� $ 5 7X! � � � � �Q� � � a 1 � �Q� H� � � £!� � ¢ � �&�

  ��� ��! " �� � � J � 5 1 L�∫� ��� 3 �2 � � -21� � 1 � £ � ��� � ��� � ¤

3.������� 7��� $ 5_7X! � � � a 1� � �Q� H� �4� £!� � ¢ � �&�

  ���O�]! " �� � � J � 5 1 L�∫� �0�� 3��2 � � -21� H� � £ � � � � ��� � ¤

4.����� 1

�( 7X! "$ � ( &���& ��" � � � � � ��� H� � � � � 

�( 7�! ( J � L � J � L� ( & ��" �

� J � 5 1 L � � �65_7�! � J � 5 � 5 1 L 3 S - �� ��� �( 7X! " J � L� "'& �'& �

� J $ 5 & L � J $ 5 � 5 & LY S - � -21�� ��� ��3 ¢ � � J � L

� � &��

� % � � � 5��65_7X! � ¢ 3 £ � a � - SEa & � � � £� 3 £�� 3 £)� 3 £ �= � >?7 ! ( � � � � � ! � � � ( � � � � � ( � � � @CB

6.10.7. Series containing product of Hν(kx)

1.����� 1

�( 7�! "$ � ( &���& � H� � � ��� H� � � � � 

�( 7X! ( � " �� � J � L� ( &���" � J � L �!&

� J � 5 1 L � J � 5 & L � J � 5 �g5 1 L 3 S - ������ �( 7X! " J � L� "'&���& �

� J $ 5 & L � J $ 5 �g5 & L5�L�;

Page 507: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ��� �Y S - � -21�

� ��� �43 ¢ � � J � L� � &(�!& �

� J � 5 & L � J � 5 � 5 & L � ¢ 3 £ � a � - SEa & �Y � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ � = � >h7 ! ( � � � � � ! ��� ( � � � � � ( �

�� @CB

2.����� 1

�( 7�! "$ '��'& � ��� � 1 H� � � � � �   3 � "�'�� " �

� ' � �' J � 5 & L ��

� � 1 � � a 1�

� �� � � !

'�� �

�� � � ! � � ( 7 � B

6.11. The Legendre Polynomials Pn(z)

6.11.1. Series containing Pnk+m(z)

1.����� 1

� $ 5_7$ � $ 5_7X!;j � � ���   � �7 ( � 3 ¢ = ( 7 �� � 7 ! = � � @ @B

2.����� 1

� $ 5_7$ � � $ 5_7X! � j � � ���  �¢ 3 � �� � � � F 7<5 �� G = ( 7 ��

� 7 ! = � � @ @B3.

����� 1� $ 5_7$ � � $ 5_7X! � j � � ���   � �� 3 £ � £ � � ��� � 7 ( �� � � F 7 ( �� G

3 � � F 7<5 �� G 3 £ � � & F 7�( �� G = ( 7 �� � 7 ! = � � @ ���C7��O!C@CB

6.11.2. Series containing Pnk+m(z) and Bessel functions

1.������� � £)� � ¢ � � � a 1 � �Q� j � ��&�   � � � � ) � * 7�(*�� , ¤

2.������� �43 ¢ � � � � � � ¢ � � � a 1� � �Q� j � ��&�   * �

�� � � � � �Q�&� ¤3.

������� �43 ¢ � � � � � � � � � a &4� � �Q� j � a 1 ��&�   * ��� � � � � �Q�&� ¤

4.������� � � � � ¢ � J 1 L "$9% � � a 1� � �Q� j � �0�&�   * �

�� � � F � � ¢ 3h� G ¤5.

������� � � � � � J & L "$9% � � a &4� � �Q� j � a 1 �0�&�   � * ��

� � � F � � ¢ 3h� G ¤5�L:

Page 508: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ������������ �������� ����� ��� � ������� ��� & ' ���6.

������� � £)� � ¢ � � � a 1� � �Q� j � ��&�   � �� � 7�(8� ��� � �

� / £ 3 £ � � ¤7.

������� �43 ¢ � � � � � � ¢ � � � a � � �Q� � � - � a 1� � �Q� j � ��&�  7

� � � 5_7�! � J & ( � L " � � N & �� &� � �� ! ( � � � �1 � & ( � �V7<5 � #$ ¤8.

������� � � � � ¢ � J 1 L "$9% � � a � � �Q� � � - � a 1� � �Q� j � ��&�  7

� � � 5_7�! � J & ( � L " � � N & �� &� � �� ! � � � � ( �

�7�� & ( � �V7<5 � #$¤

9.������� �43 ¢ � � � � � � ¢ � � � a 1��� � �Q� j � �0�&�

  7� � � 1��� � �Q�&��� � 1��� � �Q�&��3 £ �Q� � � ��� � �Q�&�� ¤10.

������� �43 ¢ � � � � � � � � � a &4��� � �Q� j � a 1 �0�&�  7� � � &4��� � �Q�&�2� � &4��� � �Q�&�<3 £ �Q� � � ��� � �Q�&�� ¤

11.������� � £!� � ¢ � � a 1� � �Q� j � ��&�   * �

�� � � � ¤

12.������� � � � � ¢ � � a 1� � �Q� j � ��&�   * �

�� � � ��� � �Q�&� ¤13.

������� � � � � � � a &4� � �Q� j � a 1 ��&�   * ��� ��� ��� � �Q�&� ¤

14.������� �43 ¢ � � � � � � ¢ � J 1 L "$9% � a 1��� � �Q� j � �0�&�

  � � �� ��F �� G � 1��� � - � 1 N 1 � &� ! � � ( �

�� �7 � ¤

5�L�<

Page 509: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ��� 315.

������� �43 ¢ � � � � � � � J & L "$9% � a &4��� � �Q� j � a 1 �0�&�  � � �

� ��F 7� G � &4��� � �#- � 1 N 1 � �� ! � � ( ��� �7 � ¤

6.11.3. Series containing products of Pnk+m(z)

1.����� 1

� $ 5_7$ � $ 5_7X! j � � ��� j � � � �   � ��C7�( � ! �C7,5 � ! 3 ¢ = ( 7 ��

� � � 7A@B2.

����� 1� $ 5_7$ � � $ 5_7X! � j � � ��� j � � � �  �¢ 3 � 7<5 �� � �C7�( � !A�C7 ( � !� � � � F 7<5 �� G

3 � � F 7<5 �� G = ( 7 ��

� � � 7R@CB3.

������� � £)� � ¢ � � � a 1 � �Q��� j � �0�&��   � � � � F � � � ¢ 3h� G ¤4.

������� � £)� � ¢ � � � a � � �Q� � � - � a 1 � �Q�2� j � ��&�0�   �

��� � � � � !� � �C7 ( � ! � N & � 1 � & ! � � � � ( �

�7 � � 5_7���� ( � � ¤5.

������� � £)� � ¢ � � � a 1� � �Q��� j � �0�&��   ��� � F £ � � � 3 ¢ G

3 � 1 F £ � � � 3 ¢ G L� F £ � � � 3 ¢ G��� � F £ � � � 3 ¢ G L 1 F £ � � � 3 ¢ G ¤6.11.4. Series containing Pnk+m(ϕ(k, z))

1.����� 1

$ '� $ 5n� � � j � F�" ¢ � �$ G  ������� J ' $ L J 1 (*' L "$&% �43��&� � � F �L��� 3 � � 7� � � G 3 J '65 1 L '' % � �&-21� = � � � � 7R@CB

2.������� � $ 5_7�! " � " �$9% � � � � � �$� ¢ � � � j � ) � $ 5n� 5n�� � � $ 5_7X!A� $ 5n� 5_7X! ,

  � - � - � �A� D � F � �� G � 1 F � �� GIH �� � (

� ��� ! � � ��� & � � � 7 � B5�LL

Page 510: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ������� � �+� � � � ��� � � ��� � ������� ��� ) " ��� � ��� * " ���6.12. The Chebyshev Polynomials Tk(z) and Uk(z)

6.12.1. Series containing Tnk+m(ϕ(k, z))

1.������� � "$9% � � ��&�   � � � � � � F � � ¢ 3h� G

2.������� 7��� $ 5_7X! � ��� $ 5_7X! � ( m � � ' & �� � � � a 1 ) � $ 5_7

� ��� $ 5 7�! � ( m � ,  m " � ']" �� ��� ��� J � L "$&% D�43 ¢ � � � + � . F 7<5 m� G 3�� + � . F 7 ( m� GIH ¤

3.����� 1

�( 7X! "� $ � m � ( � � � '%& �� � � � � � � � � a 1 F $ m� $ � m � ( � � G

  3 ����O'�! % � m � �� D � � � � �m � � �� �m H = ( � � � � � @CB

6.12.2. Series containing Tnk+m(z) and Bessel functions

1.������� �43 ¢ � � � � � �Q� � � ��&�   7� � � � � � �Q�&� � � � � �Q�� ¤

2.������� �43 ¢ � � � � a 1 � �Q� � � a 1 ��&�   7� � � � � �Q�&� ¤

3.������� � £)� � ¢ � � � a 1 � �Q� � � a 1 ��&�   �

�� � � � F � � ¢ 3h� G ¤4.

������� �43 ¢ � � � � � �Q� � � ��&�   7� � � � � £ �Q�&� � � � � �Q�&�0� ¤5.

������� �43 ¢ � � � � a 1� � �Q� � � a 1 �0�&�   7� H� � £ �Q�&� ¤6.

������� � £)� � ¢ � � � a 1� � �Q� � � a 1 ��&�   �Q� H -21 F £ � � ¢ 3h� G ¤7.

������� �43 ¢ � � � � � �Q� � � a 1 � �Q� � � a 1 �0�&�   7� � 1 � £ �Q�&� ¤8.

������� � � �Q� � � ��&�   7� � � � � � � � �Q�� ¤5�LP

Page 511: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!,�� 39.

������� � � �Q� � � ��&�   7� � � � ��� � �Q�&� � � � �Q�0� ¤10.

������� � a 1 � �Q� � � a 1 ��&�   7� ��� ��� � �Q�&� ¤11.

������� � a 1� � �Q� � � a 1 ��&�   7� L� � £ �Q�&� ¤12.

������� � � � �Q� � � ��&�   7� � � � £ �Q�&� � � � �Q� � L� � £ �Q�&�� ¤13.

������� � � �Q� � � ��&�   7� � � � £ �Q�&� � � � �Q�� ¤6.12.3. Series containing Unk+m(ϕ(k, z))

1.������� � "$9% � � �0�&�   � � � D � � � F � � ¢ 3h� G � �� 7�(8� � � � � F � � ¢ 3h� GIH ¤

2.����� 1

�( 7X! "� $ � m � ( � � � '%& � � � � � � � � � a 1 F $ m� $ � m � ( � � G

  3 ����O'65 7�! % � m � � � a 1� D ��� � � �m � � �� �m H = ( � � � � � @]B

3.����� 1

�( 7�! "$ � $ � m � ( � � � ' & � � � � � � � � � a 1 F $ m� $ � m � ( � � G  3 ����O'65 7�! % � � � � a 1� D 7� � � � � �m � � �

� �m H 3 � � � ¢ �4f � - �&- � = ( � ��

� � @CB4.

������� 7��� $ 5_7X! � ��� $ 5_7X! � ( m � � ' & � � � � a 1 ) � $ 5_7� ��� $ 5_7�! � ( m � ,

  3 m " � '#" �� � a 1�� ��� J � L "$&% D�43 ¢ � � � + � . F 7<5 m� G 3�� + � . F 7 ( m� GIH ¤6.12.4. Series containing Unk+m(z) and Bessel functions

1.������� � � � ¢ � � � a � �Q� � � �0�&�   � � * �7�(*� � � � ) � * 7�(8�� , ¤

2.������� � � a 1 � �Q� � � �0�&�   7� � 7 (8� � ��� � F � � ¢ 3h� G ¤

5�PN

Page 512: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� � � ��� � ������� � �+� � � � ��� � � ��� � ������� ��� ) " ��� � ��� * " ���3.

������� �43 ¢ � � � £!� � ¢ � � � a 1 � �Q� � � ��&�   � � � � � � �Q�&� ¤4.

������� �43 ¢ � � � � � ¢ � � � a � �Q� � � a 1 ��&�   � � � � � � �Q�&� ¤5.

������� � � � ¢ � � � a � �Q� � � a 1 ��&�   ��� � 7 (8� � ��� � F � � ¢ 3h� G ¤

6.������� � � � ¢ � � � a � � �Q� � � - � a � �Q� � � ��&�

  �

� ��� � � � � !� � � � � (:7X!A� � ( �O! 1 N �� � ! � W + �,-Q1 .� ( � �V7<5 � #$ ¤

7.������� � � � ¢ � � � � �Q� � � a � �Q� � � ��&�

  7� � � �C7 (8��! � / £ � � � / £ 3 £ � �K3 � / ¢ 3h� � & � � / £ 3 £ � � � ¤8.

������� � � a 1� � �Q� � � �0�&�   7� � 7 (8� � H� F £ � � ¢ 3h� G ¤9.

������� �43 ¢ � � � £!� � ¢ � � � a 1� � �Q� � � ��&�   � H -21 � £ �Q�&� ¤10.

������� �43 ¢ � � � £)� � ¢ � � � a � � �Q� � � - � a 1 � �Q� � � ��&�   �

��� � � � � !� � � � � � (87�!A� � (*� !Y � � £ � )3 I � 1 N ^ 7 ! ( � � � �� ( � �#7,5 � ` 3 £ � O�� 1 N ^ � ! ( � � � �� ( � �]��5 � ` ¤

11.������� �43 ¢ � � � £)� � ¢ � � � � �Q� � � a 1 � �Q� � � ��&�   7�O� � 1 � £ �Q�&�<3 � � � £ �Q�&� ¤

12.������� � � a � � �Q� � � - � a 1 � �Q� � � ��&�   �

��� � � � � !� � � �C7 ( � ! 1 N ^ 7 ! �� � � (

�� ( � �V7<5 � ` ¤13.

������� � � -21� � �Q� � � a &4� � �Q� � � ��&�  7�

��C7�(8� � ! D � � ¢ 3h� H� F £ � � ¢ 3h� G 3 H 1 F £ � � ¢ 3h� GIH ¤

14.������� � � � �Q� � � a 1 � �Q� � � �0�&�   7� � 7 (8� � � 1 F £ � � ¢ 3h� G ¤

5�P1�

Page 513: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ��31� �15.

������� � � � ¢ � � � a 1 � �Q� � � a 1 �0�&�   ����� 7�(8� � � 1 F £ � � ¢ 3h� G ¤

16.������� �43 ¢ � � � � � ¢ � � � a 1 � �Q� � � a 1 ��&�   � � � 1 � £ �Q�&� ¤

17.������� �43 ¢ � � � £)� � ¢ � � � a 1� � �Q� � � �0�&�   � H -21 � £ �Q�&� ¤

18.������� �43 ¢ � � � � � ¢ � � � a 1 � �Q� � � a 1 ��&�   � � � 1 � £ �Q�&� ¤

19.������� � £!� � ¢ � � a 1� � �Q� � � ��&�   * �

�� � - � � £ �Q� � � � W - � � �� � / £ �8��� ¤20.

������� � � � ¢ � � a 1 � �Q� � � �0�&�   � � � � � ¤

21.������� � £!� � ¢ � � a 1 � �Q� � � ��&�   � � � � ��� � �Q�&� ¤

22.������� � � � ¢ � � a � �Q� � � a 1 �0�&�   � � ��� ��� � �Q�&� ¤

23.������� �43 ¢ � � � � � ¢ � � a 1 � �Q� � � a 1 ��&�   �Q� � � - � � W ¤

24.������� � � � ¢ � #+ � a 1 . � � �Q� � � ��&�   �)� 1 � £ �Q�&� � L -21 � £ �Q�&�� ¤

25.������� � £)� � ¢ � #� a 1� � �Q� � � �0�&�   � L -21 � £ �Q�&� ¤

26.������� � � � ¢ � #� a 1 � �Q� � � a 1 �0�&�   � � 1 � £ �Q�&� ¤

6.13. Hermite Polynomials Hn(z)

6.13.1. Series containing Hnk+m(z) and Bessel functions

1.������� J � � L "��� $ ! % � � � a � � �Q�

� a � � �Q� � � � �0�&�   J � L �� � � 5 7�! � N ����

W�W

�� 5 7 � 1#$¤

5�P�,

Page 514: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� � � ��� � ��� ��� ����� ��� � ��� ��� ����� � � , ' ����2.

������� J � � L "��� $ 5_7X! % � � � a � � �Q� � a � � �Q� � � � a 1 ��&�   � J � L � �� � � 5_7X! � N

����

W�W

�� 5_7�� & #$¤

6.13.2. Series containing products of Hnk+m(z)

1.������� �

"��� $ ! % � � � �Q� � � ��&�  � ¢ 3 � � � -21� � ��� )

���

� 5 ��4� ��

�2(:7 , � � ��� )� � �

��7�( � � , = � � � � 7 � @CB

2.������� �

"��� $ 5_7X! % � � a 1 � �Q� � � a 1 ��&�  � -21� � ¢ 3 � � � -21� � ��� )

���

� 5 ��4� ��

�2(:7 , � � ��� )� � �

��7�( � � , = � � � � 7 � @CB

3.������� �

"� $&% ! � � � � ��&�0�  

�� � � W �∫� �∫� � - � - � � � � � £ ���&� � � � � £ � �&� � � �#� / �

�� � � �

= � � � � 7 7�� ! = � � @ @CB4.

������� �"� $&% ! � � � � a 1 ��&�0�

  7��� � � W �∫� �∫� � � � - � W - � W ��� � � £ ���&� ��� � � £ � �&� � � �#� / �

�� � � �

= � � � � 7 7�� ! = � � @ @CB6.13.3. Series containing Hnk+m(ϕ(k, z))

1.������� � $ 5_7�! "�" ���� $ ! % � � � � F �� $ 5 7 G

  � " ���� � � £ � / � � � ��� � £ � / �8�<3 � � ��� � £ � / �:� � ¢ ��

� � � � � ! � � � � & � � � 7 � B2.

������� � $ 5_7�! "�" �� ���� $ 5_7�! % � � � � a 1 F �� $ 5_7 G   � " ��� � � � ��� � £ � / �8�<3 ¢ ��

� � � � � ! � � � � & � � � 7 � B5�P3

Page 515: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ��31� 56.13.4. Series containing Hnk+m(ϕ(k, z)) and special functions

1.������� �( 7�! "��� $ ! % � � � ¢ � -!&4� � F � � 7� � � � � ¢ � � G � � F �� $ 5_7 G

  � -21� O� - ]� ¢ 3 � � � � £ / �:�&�� ¤2.

������� �( 7X! "��� $ 5_7X! % � � � ¢ � - � F � � � � � � � � ¢ � � G � � a 1 F �� $ 5 7 G �£ � 1� O� -21 D ¢ 3 ��� � ��� � � ��!� � � � H ¤

3.������� � $ 5_7�! 3 "�" � 8 � " ���� $ ! % F�3 � � G � � � a � � / � � ¢ �Q� � � F �� $ 5_7 G

  J � L ��"� � " �� � � � ! �� � N

�� ( �

W�W

�� ��( 1#$ 3 ¢ �� ¤

4.������� � $ 5_7�! 3 "�" � " � 8 ���� $ 5_7X! % F�3 � � G � � � a � � / � � ¢ �Q� � � a 1 F �� $ 5_7 G

  J � L ��"� � " �

� � � ! ��¢ 3 � N

�� ( �

W�W

�� � 1#$ ��¤

5.������� � $ 5_7�! 3 "�" � 8 � " ���� $ ! % F � �PG � � a � � / � � ¢ �Q� � � F �� $ 5_7 G

  J � L � "� � " �� � � � ! ��

¢ 3 � N �� �

W�W

�� �V( 1#$���¤

6.������� � $ 5_7�! 3 "�" � " � 8 ���� $ 5_7X! % F � �PG � � a � � / � � ¢ �Q� � � a 1 F �� $ 5_7 G

  J � L ��"� � " �

� � � ! �� � N �� �

W�W

�� � 1#$ 3 ¢ �� ¤

6.13.5. Series containing products of Hnk+m(ϕ(k, z))

1.����� 1

���� � $ � !$ � ( " � � � � / � � � � � ��� / � � �  �43 ¢ � � a 1 = ���O'�! % @ �' % � � ( " � J '65 1 L ( " � � � ( " ���')( � 5_7�! % � � � ( � ! %

5�P95

Page 516: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � � � ��� ��� � � ����� � �#� � ��� ������� ��� ��� ����� � � . /' ���� = ��� '�! % @ �' % S - �� ��� � � " � � "��')( $ ! % � � $ ! % F � � 7��G �

Y � �43 ¢ � S -21 � � � ( " � "�" ��]��� � ( � $ ( � ! % � �43 ¢ � � S - � -21�� ��� �43 ¢ � � � � ���� � ! % � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ � �� � >?7 ! � � � � � � ! � � � � � � � ( � � � B

2.����� 1

���� � $ � !$ � ( " � � � a 1 � / � � � � � a 1 ��� / � � �  �43 ¢ � S � � = ���O'Q5_7�! % @ �' % � � ( " � J 'g5 & L ( " � � � ( " ���')( � 5 7�! % � � � (*�O! %

� � � = ���O'65 7�! % @ �' % � S - ������ � � " � � "��' ( $ ! % � � $ 5n� ! % F � � � ��G �Y � ��3 ¢ � S -21 � � � ( " � "�" ���� � (*� $ ( � ! % � £ ��3 ¢ � � S - � -21�

� ��� ��3 ¢ � � � � ���� � ! % � � £� 3 £�� 3 £)� 3 £ � �� � >?7 ! � � � � � � ! � � � � � � � ( � � � B6.14. The Laguerre Polynomials Lλn(z)

6.14.1. Series containing Lλ� lknk+m(z)

1.������� � "�(�P5n'65_7X! " � c a �� �0�&�   � 5:'' � c�&-21 ��&� = '8>?7A@CB

2.������� � $ m 5 � ! (�(�P5 � 5_7�! " � � � c a �S �0�&�  �(�P5_7X! (� % � S S������ J � $ L�F m � G � ��

� ��� � �� � %�(� 5_7X!� � � 1 N 1 ^ ( � 5 � 5_7� 5 � 5_7 ! 7 (8� � `= � � � � 7R@CB

3.������� �('�6(*'�! "� $ 5n'�! % � � � c - �� ��&�   � � � d � ¢ � � ��3 � � �Y � � ¢ 3 � � c a � � c a �� �0�Q3 � �&��3 �43 � � � �&-21������ �( �6( �O'�! "$&% � � � c a �&- �� ��&� �= � � � � 7R@CB

4.������� �

"�(�P5_7X! " � c� ��&�   ����d � ¢ �X� � �&� - c � � � � c � £ / � � � ¤5�P�;

Page 517: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ��5)� ,5.

������� � "�(�P5n� ! " � c a �� �0�&�   � � ¤

6.������� � m ! � "� m 5_7�! " �(� 5 7�! � " � � � c a �� ��&�   1 N 1 J m ! �� 5_7 L ¤

7.������� � m ! " � � ! "

J m 5 � 5 1 L " �(� 5 7�! � " � �V�&� � � c a �� ��&�   N � � m ��� �m 5 � 5 1 ! � � ¤8.

������� J $ 5:'$ L � � � c� a � �0�&�   � ¢ 3 � � - c -;�&-21 � � �A� + � -21 . � c� F �7�(�� G = � � � � 7A@CB9.

������� � "$9% � �� ��&�   � � � � £ � � � � 3h�&�]� = � � @B10.

������� � $ 5n'�! %$9% � m ! " � � � c a �� a � ��&�   ��d � ¢ � � � � N J �P5n'65_7 �#�Q( m 5n'65n�� 5 7 � m ! � L ¤11.

������� � m ! " J 1 ( m 5n' L "$9% �(�P5n'65_7�! � " � �#�&� � � c a �� a � �0�&�   �(�P5_7�! '' % N J � m (*' ��')(*� m 5_7'65 7 �#� 5 7 ! � L ¤6.14.2. Series containing Lλ

� lknk+m(z) and special functions

1.������� 7�(�P5_7X! " � � � � d � ¢!� �Q� � c� �0�&�   ���0d � ¢ � F � � G + c a 1 . � � c a 1 � £ / �Q��� ¤

2.������� 7�(�P5_7X! " � � � �1� �Q� � c� ��&�   �

� 1 N J � ! ( � ��P5_7�� � 5_7 L ¤3.

������� 7$&% � � � � � �&� � c a �� ��&�   �(�P5_7X! '' % � ��� N J ( ' �V7 ! ��P5_7 � � 5_7 L ¤4.

������� J � � L "�(�P5_7X! " � � � a � � �Q� � a � � �Q� � � c� �0�&�   J � L �� � � 5_7X! � N

����

W��� 5 7 � � 5_7 #$ ¤

5.������� � £)� 3 d2�;�43Pd2� � ��3P�&� - � � � a � � �Q� � � - c - � � �Q� � c - �� �0�&�

  3 � J � L /� � �65_7�! � �C7 (%�6(���! N

�� 1;- c �#7�( c ! �W��g5_7��#7�(%�6(�� #$ ¤

5�P:

Page 518: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � � � ��� ��� � � ����� � �#� � ��� ������� ��� ��� ����� � � . /' ���6.

������� � � j � � �Q� � � ��&�   � -21� � � + � - � . �A� � � � ) �4��� 7 (�

� ,�� � 7�( � �

�5 � � ! � � � � 7 � B

6.14.3. Series containing products of Lλ� lknk+m(z)

1.������� � "$9% � c a �S � �Q� � � a �� �0�&�   � �

S�� ��� � "$9% � c a �S - � � � 3 � � � � a ��&- � ��Q3 � � = � � 'I@CB2.

������� $&%�(�P5_7X! " � � � c� � �Q� � c� �0�&�  ����d � ¢ � � � � � ! " / �7 (�� � ��� D �R� � 5 ��!

��(87 H c F � � � � �7�(�� G = � � � � 7 ! = � � @ ���#B �#�C7 � !C@MB3.

������� � � � � c� �0�&� �   � - c � � �∫� �∫� � � � � c � �#- � - � � c � £ / ����� � c � £ / � ��� � � £ �9/ �

�� � �= � � � � 7 ! = � � @ @CB

6.14.4. Series containing products of Lλn(kx)

1.����� 1

���� � $�� !$ � ( " � � c� �43 � ��� � c� � � ���  3 �(�P5_7�! �'��' % ! � ��� � ! � ( " ��#��� � (:7�! % �(�'�! ( " � �(�P5n'65_7X! ( " � J & L ( " ��]��� � (:7X! % �(�P5_7X! ( " � �(� 5 7�! � ( " �

� �(�P5_7�! �'��' % ! � S - ������� � "$9% �( '�! " �(� 5:'g5 7�! "�(�P5_7�! " �(� 5 7�! � " � �43 ¢ � S - � -21 � � � ( " � "�" ��#��� � (*� $ ( � ! %

� S - � -21�� ��� �43 ¢ � � � � ���� � ! % � � £� 3 £�� 3 £)� 3 £ � �

= � >?7 ! � � � � � ! � � � � � � ( � @CB6.14.5. Series containing Lλ

� lknk+m(ϕ(k, z))

1.������� �

"$ 5 7 � c - �� �4� � � ¢ �4�&�   � � " ��(�P5_7X!�

� F ¢ � � � G c a 1 3 ¢ �� � � � � � ! � � � � & � � � � � � � � 7 � B

5�P�<

Page 519: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ��5)� :2.

������� � $ 5)7�! "�" �$&% � � � � F �$ 5)7 G   � " �� � � 1 � £ / �Q��� �� � (

� � � ! � � � � & � � � 7 � B6.14.6. Series containing Lλ

� lknk+m(ϕ(k, z)) and special functions

1.������� � $ 5_7�! " � " ��(�P5_7X! " � � � � � � � � ¢ � �Q� � c� F �$ 5_7 G

  ��

� " � � " �7 ( � D 1 N J � (:7 ! ( � �� � � L�3 ¢ H ¤2.

������� � $ 5_7�! " / " ��(�P5_7�! " � � � � d � ¢)� � � � ¢ � �Q� � c� F �$ 5_7 G  �Qc&� -21 � ¢ 3 ����d � ¢ �R� �Q�&� - c � � c � £ / �Q� � � ¤

3.������� � $ 5_7�! 3 "�" � 8 � " ��(�P5_7X! " F � � G � � � a � � / � � ¢ �Q� � c� F �$ 5_7 G

 � J � L � "

� � " �� � � ! ��

¢ 3 � N �� ( �

W��� � � #$���

¤

4.������� � $ 5_7�! 3 "�" � 8 � " ��(�P5_7X! " F�3 � � G � � a � � / � � ¢ �Q� � c� F �$ 5_7 G

 � J � L � "

� � " �� � � ! �� � N

���

W��� � � #$ 3 ¢ �� ¤

6.14.7. Series containing products of Lλ� lkmk+n(ϕ(k, z))

1.������� � $ 5_7�! "�" ��(�P5n'65_7X! " � � � c a �� � � � � ¢ � �Q� � c a �� F �$ 5 7 G

  � � �&� -21 �(�9! ' & �' % � ¢ 3 ���0d2�X� �Q�&�R+ 1A- c . � � c -21 � £ / �Q� � � �� � � � " � � B

2.������� � $ 5_7�! "�" �� �65_7X! " � � � c a �� � � � � ¢ � �Q� � � � F �$ 5_7�G

  � � �&� -21 �(�&! ' �' % D ¢ 3 1 N J �P5n' ! ( � �� �#� L H �

� � � � " � � B5�PL

Page 520: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ���������� ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���6.15. The Gegenbauer Polynomials Cλ

n(z)

6.15.1. Series containing Cλ� lk

nk+m(z)

1.������� �(�&! "$&% � � � c a �� ��&�   � ¢ 3 � � - c -;��� � c� F �� 7 (�� G = � � � � 7A@CB

2.������� �C7 (*���6( '�! � "$9% �C7 (��9! " � � � c - �� ��&�

  � ¢ 3 � � � c -21� �� ¢ 3 � � � � � �� � ��� � c� F �� 7 ( � �I5 �� � � G = � � � � 7 � @CB

3.������� � � f�� �O� S �(�&! "

J �P5 � 5 1 L�" �¢ 3h�� � � � c a � S �0�&�

  �����9! � (��� � ! % � S S�� ��� J � $ L F m � G � ��� ��� � �� � % �(�P5 � ! �

J �P5 1 L � � ¢ 3h�� � �Y N 1 � ( � 5 � 5_7��#� 5 � 5 ��P5 � 5 1 ! 7 (8� � � = � � � � 7R@CB

4.������� � � f�� �O� S �(�&! "

J �P5 � 5 1 L " �¢ 3h� � � � c a � SEa 1 ��&�

  �����&! � ( & ���� � 5_7�! % � S � S�� ��� J � $ L F m � G � ��� ��� � �� � % �(�P5 � 5_7X! �

J �P5 1 L � � ¢ 3h� � �Y N 1 � ( � 5 � 5_7����P5 � 5 � 5_7�P5 � 5 1 ! 7�(*� � � = � � � � 7A@CB

5.������� �

"�C7 (��&! " � c - �� �0�&�   ��� ¢ 3 d2� � c � - � � - c � £ � � ¤6.

������� �"�C7 (��&! " � c - � � �0�&�   � � 1 N 1 � � ! ( � � �1 � ¤

7.������� �

"� $ 5n'�! % � - � -;� � �0�&�   �( 7X! '��� '�! % � � � � � �A� / � � ¤

8.������� � m ! "�C7 (��&! " � � � c - � � �0�&�   � ¢ 3 � � -�� N 1

�� m �#�1 ! � �W

� -Q1#$ = � � � � 7A@CB

5�PP

Page 521: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!;�� ,9.

������� �"�C7 (��&! " � c - � � a 1 �0�&�  �£ d2� � � 1 N 1 � �P5_7& ! ( �4� � � ¤

10.������� �

"� $ 5n'65_7X! % � - � -;�&-21 � a 1 �0�&�   �( 7X! ' ����O'Q5_7�! % � -21� � � � � a 1 � �A� / � � ¤

11.������� �

"

J & L " � - � -21� � a 1 ��&�   3 7� " �� � � � �� � / � �&� ¤

12.������� �

"

J & L " � $ 5_7X! � - � -21� � a 1 � �A�   3 � ��� � �� �� / � � ¤

13.������� J $ 5n'$ L �C7 (*���Q(*'�! "�C7 (��9! " � � � c - �� a � ��&�

  � � ¢ � £ � �&�� 3 � � R� c -21� � c� ��Q3 £ � � £ � �� � ¤6.15.2. Series containing Cλ

� lknk+m(z) and special functions

1.������� �43 ¢ � � � £!� � d2� � � a c � �Q� � c � ��&�   J � L /� �(�&! � � � � �Q�&� ¤

2.������� �43 ¢ � � � £!� � d � ¢ � � � a c a 1 � �Q� � c � a 1 ��&�   J � L /� �(�&! ��� � � �Q�&� ¤

3.������� � £)� � d2� J 1 L "J � 5 1 L)" � � a c � �Q� � c � ��&�

  " � � �� 3 ¢ � + 1A- c . ��� � J �P5 1 L� �(�&! c -21� F � � � 3 ¢ G ¤4.

������� � £)� � d � ¢ � J & L "J � 5 1 L)" � � a c a 1 � �Q� � c � a 1 ��&�  * �

�� �;�0� 3 ¢ � + 1A- c . ��� � J � 5 1 L� �(�&! c -21� F � � � 3 ¢ G ¤5.

������� � � � 3 £ d � ¢ � J 1 (�� L " J 1 L "�C7 (��&! � " �0�� 3 ¢ � - � � � - c a 1� � �Q� � c - � � ��&�  / £ �_��� 3 ¢ � - c � � �C7 (��9!

� J 1 (%� L - c F �� � � (87 G ¤;9NN

Page 522: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � ���������� ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���6.

������� � � � 3 £ d � ¢ � J 1 (�� L " J & L "�C7 (��&! � " �0�� 3 ¢ � - � � � - c a 1� � �Q� � c - � � a 1 ��&�  3 / £ � & �P��� 3 ¢ � - + c a 1 . � � �C7�(%�9!

� J 1 (�� L - c -21 F �� � � (:7 G ¤7.

������� � £)� � d2� J 1 L�"J � 5 1 L " � � a � � �Q� � � a c - � � �Q� � c � �0�&� 

� J � L /� � � 5_7X! � �(�Q( � 5_7X! N & �� c a 1 � c 5_7 ! � � � � ( �

��P5 1 � � 5_7����Q( � 5_7 #$¤

8.������� � £)� � d � ¢ � J & L�"J � 5 1 L " � � a � � �Q� � � a c - � a 1 � �Q� � c � a 1 ��&�

  � " / ���(� 5 7�!�/ & � �

� � � 5_7X! � �(�Q( � 5n� ! N & �� c 5_7�� c a & ! � � � � ( �

��P5 1 � � 5_7����Q( � 5n� #$¤

9.������� � � � 3 £ d � ¢ � J 1 (�� L�" J 1 L�"�C7 (��&! � " �0�� 3 ¢ � - � � � a � � �Q� � � - c - � a 1� � �Q�

Y � c - � � �0�&�   �C7�( ���&! J � L �� � " /� � � 5_7X! � J & (%�6( � L N & ��� &�- c

�� � - c

� ! �

W�W -Q17 (�� � � 5_7 � & (��Q( �

#�

10.������� � � � 3 £ d � ¢ � J 1 (%� L " J & L "�( �&! � "'& � �0� 3 ¢ � - � � � a � � �Q� � � - c - � a 1� � �Q�

Y � c - � � a 1 �0�&�   � / & �� � �����Q(:7�!�

�� � " / �� � � 5_7X! � J & (��Q( � L N & ��� &<- c

�� � - c

� ! �

W�W -Q1('� � � 5_7�� & (��6( �

#�

11.������� � � � d2� � a c � �Q� � c� ��&�   J � L /� �(�9! � � � ¤

12.������� � £)� � d2�� � a c � �Q� � c � ��&�   J � L /� �(�9! � � ��� � �Q�&� ¤

13.������� � £)� � d � ¢ �� � a c a 1 � �Q� � c � a 1 ��&�   J � L /� �(�&! ��� ��� � �Q�&� ¤

;9N1�

Page 523: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!;�� 314.

������� �43 ¢ � � � £)� � d2� J 1 L "J � 5 1 L " � a c � �Q� � c � �0�&�  " � � �0�� 3 ¢ � + 1A- c . ��� � J � 5 1 L� �(�&! � c -21� F � � � 3 ¢ G ¤

15.������� �43 ¢ � � � £)� � d � ¢ � J & L "J � 5 1 L " � a c a 1 � �Q� � c � a 1 �0�&�

  * �

�� �;��� 3 ¢ � + 1A- c . ��� � J �P5 1 L� �(�9! � c -21� F � � � 3 ¢ G ¤16.

������� � � � 3 £ d � ¢ � J 1 (%� L " J 1 L "�C7�(%�9! � " � ¢ 3h��O� - � � a + 1A- c . ��� � �Q� � c - � � �0�&�  � 3 � / & � 8 �

� J 1;- c� L �g+ 1A- c . ��� � - � 1 N 1 � &�- c

� ! �1�- �W7�(�� � ¤

17.������� � � � 3 £ d � ¢ � J 1 (%� L " J & L "�C7�(%�9! � " � ¢ 3h��O� - � � a + 1A- c . ��� � �Q� � c - � � a 1 �0�&�

  � 3 � / & ��� 8 �� J 1;- c

� L d2� �g+ 1A- c . ��� � - � 1 N 1�� &<- c

�('� ! �1;- �W #$ ¤

18.������� � � � d2� #+ � a c . � � �Q� � c� �0�&�  �£ - c � c

Y �� 7� �� J c L 1 N

�� c a 1 ! � � � �c 5 7 � 1#$ � �

���(� 5_7X! �� J c a 1 L 1 N

�� c 5_7 ! � � � �c a & � & #$ ��

¤

6.15.3. Series containing products of Cλ� lk

nk+m(z)

1.������� $&% �C7�( ���&! "�C7 (��&! � " � � � c - �� � �Q� � c - �� �0�&�   � � \ � � � c -21� N 1

�� 1 (�� � 1 (��7�(*��� ! 1 � �

�\

� �

#$�� \ � 7�( � �R�

�5_7X!A�M�E(:7�! � � � � 7 ( � �R�

�(87�!A�M� 5_7X! ! � 7�� � � " �\ �

" �� � � 7 � B

;9N�,

Page 524: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� � � ��� � ���������� ��� �� � ��� � � � ��� ��� ����� � � 0 /' ���2.

������� �43��V� � ��� � £!� � d2� J 1 L "�����&! � " � � a c � �Q�Y � c � ) * 7<5 �� , � c � ) * 7 (8�� ,  �£ c -21 � 1� ]� ¢ 3h�� � + 1A- c . ��� � J �P5 1 L� �(�9!Y � � � F � � � ¢ 3h� G � c -21� F � � � ¢ 3h� G ¤

3.������� �43��V� � ��� � £)� � d-� ¢ � J & L "�����&! � "'& � � � a c a 1 � �Q�

Y � c � a 1 ) * 7�58�� , � c � a 1 ) * 7,( �� ,  �£ c -21 � 1� ]� ¢ 3 ��O� + 1A- c . ��� � J �E5 1 L� �(�9!Y ��� � F � � � ¢ 3_� G � c -21� F � � � ¢ 3 � G ¤4.

������� � £)� � d2� ��� $ ! %�����9! � " � a c � � �Q� � c � ) * 7,5n�� , � c � ) * 7 (8�� ,  � � " / �

� J c L � c � � -� & N & �� c � c a 1 � c a 1 ! � � ( �

�� �1 �#� ���P5 1#$¤

5.������� � £)� � d � ¢ � ��� $ 5_7X! %�����P5_7�! � " � a + c a 1 . � � �Q�

Y � c � a 1 ) * 7<5 �� , � c � a 1 ) * 7 (8�� ,   � 3 � " / 8 � � �� J c a 1 L �g+ c a 1 . � � ¢ 3h� � - �

Y & N & �� c a 1 � c 5_7�� c 5_7 ! � � (*��� �& �#� 5 1 �#�P5_7 #$

¤

6.15.4. Series containing Cλ� lk

nk+m(ϕ(k, z))

1.������� � $ 5_7�! " ��C7�(%�9! " � � � c - �� � ¢ � � � � ¢ �4�&�   ���I� � " ������ 5 7�!

�¢ 3 1 N 1

�� ( �6( 1( ��� ! ( ��

#$ ��� � �� � � � ! � � � � & � � � 7 � B

2.������� � $ 5 7�! "�" ��C7�(%�9! " � � � c - � � F �� $ 5_7 G   � " ��#�(�Q(:7X!

�� � � ¢ 3 1 N 1 � �Q(:7( 1 ! � � � � ��

� � (� � � ! � � � � & � � � 7 � B

;9N3

Page 525: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!;�� ;3.

������� � $ 5_7�! "�" �� ��C7�(%�9! " � � � c - � � a 1 F �� $ 5_7 G   � " ��� � 1 N 1 � � ! � � �1 � 3 ¢ �

� ��  3 � � � � � � � � a 1 � � ¢ � ¤4.

������� � $ 5_7�! " ��C7�(%�9! " � � � � � �&� � � c - � � ) * �E(:7� 5 $ ,  � " ������ 5 7�!

��M��(:7X! �

¢ 3 1 N 1�� ('�6( 1( 1 ! � �C7�(*�]! #$ ��

� � (� � � ! � � � � & � � � 7 � B

5.������� � $ 5n�]! "'& �� ��C7 (��&! " � $ 5_7�! � � � c - � � a 1 ) * ��(:7� 5 $ ,

  ��� � " ������P5_7X!�� ��(87 � 1 N 1

�� ('�6( 11 ! � �C7 (8��! #$ 3 ¢ ��� � (

� � � ! � � � � & � � � 7 � B6.15.5. Series containing Cλ

� lknk+m(ϕ(k, z)) and special functions

1.������� � $ 5_7�! " 3 "'& � 8 � " ��C7 (��9! " F]3 �� � G � � � a � � / � � ¢ �Q� � c - �� � � � � ¢ �4�$� ¢ �

 ��� J � L � "

� ������P5_7X! � � � ! �� 1 N �� ('�6( 1 ! �

W�\#U

( ��� � � #$ 3 ¢ �� ¤2.

������� � $ 5_7�! 3 "�" � 8 � " ��C7 (��&! " F � � G � � � a � � / � � ¢ �Q� � c - � � F �� $ 5 7 G  J � L ��"

� � " ��]�(�6(87�! � � � ! �� 1 N �� �6(87 ! ( �

W�W

�( 1 � �#$ 3 ¢ �� ¤

3.������� � $ 5_7�! 3 "�" � " � 8 ��C7 (��&! " F � �PG � � � a � � / � � ¢ �Q� � c - � � a 1 F �� $ 5_7 G

  J � L � "� � " �

� � � ! ��¢ 3 1 N

�� � ! ( �

W�W

�1 � �#$���¤

;9N95

Page 526: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ��������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

6.16. The Jacobi Polynomials P (ρ,σ)n (z)

6.16.1. Series containing P(ρ � pk,σ � qk)m � nk (z)

1.������� �

"��65_7�! " j + � - � l�� .� ��&�   �V- � 1 N 1 � � 5g5_7g5_7 ! � + � a 1 . � ¤

2.������� � m ! "��65_7�! " � � j + � - � l�� .� �0�&�   � ¢ � � � -�� N 1

�� m � � 565_7g5_7 ! � + 1 a � .X+ � a 1 .

#$ = � � � � 7A@CB3.

������� � � f�� �O� S � � 565 � 5 7�! "� � 5 � 5_7�! " F 7�(8�� G � j + � a � l�� .S �0�&�  � � 5_7X! (� % � S S������ J � $ L F m � G �

Y ��� ��� � �� � % � � 5g5 � 5_7X! �� � 5_7�! � F 7 (8�� G � N 1 � ( � 5 � 5_7 � � 5g5 � 5 � 5_7

� 5 � 5_7 ! 1;- � �= � 7�(*� � � ��@CB

4.������� �

"� � 5_7�! " j + � lC- � - � .� ��&�   � F �� �E(�� G � � � + � a 1 . � � F � � � �E(��� G ¤

5.������� �

"�( � ( �! " j + � - � l���- ��.� ��&�   � - � + � a 1 . � 1 N 1 J ( ! �( � ( L ¤6.

������� � m ! "�( � ( �! " � � j + � - � l��V- � .� ��&�  F ¢ � �4��(��� G -�� N 1 � m �V( �( � ( ! �� - � �,- � = � � � � 7A@CB

7.������� J $ 5:'$ L � � j + � - � l���- ��.� a � �0�&�

  F ¢ � �R�M� 5 7�!� G � F ¢ � �R�M�E(:7�!� G � j + � l�� .� ) ��� � � � (��� , ¤8.

������� �( � (*'�! "$9% � � j + � - � l�� a ��.� �0�&�   � ¢ 3 � � � j + � l�� .� � � � �Q3 � �&� = � � � � 7A@CB;9N�;

Page 527: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� ��:1� ,9.

������� � m ! " � 1 ( m 5:'�! " � � 565n'65_7�! "$&% � � 5n'65_7X! � " £ � � ¢ 3h�&� � j + � a � l��V- � .� a � ��&�  � � 5_7�! '' % & N � � m ( ' �]')(*� m 5_7�� � 5g5n'65_7'65_7�� � 5_7 ! 1;- � � ¤

10.������� � m ! " J 1 ( m 5n' L " �( � (*'�! "$9% �( � ( )(*'�! � " F ���(:7�G � j + � - � l���- ��.� a � ��&�

  � � 565_7�! � '' % � � 5g5_7X! ' F ��(:7� G � & N � � m (*' ��' ( � m 5_7 �V( � (*''g5 7 �V( � ( (*� ' ! 1;- �� ¤

6.16.2. Series containing P(ρ � pk,σ � qk)m � nk (z) and special functions

1.������� � £)� � �-��� � ¢ � � � 5 g5_7X! "� � 5_7X! " � � a � � �Q� � � a � a ��-�� a 1 � �Q� j + � l�� .� �0�&�

 � � 5g5_7X! J � L 4 & 7 &

� � m 5_7�! � � � 5 ( m 5n� ! N & �� � a � 5_7�� � a � a & ! �W�,- �

Wm 5_7�� � 5_7 � � 5 ( m 5n� #$

¤

2.������� � £)� 3 �I� �( � ! "�( � ( 2! F �7�(8��G � � � a � � �Q� � � - � -�� � �Q� j + � - � l�� .� ��&�

  3 � J � L 4� � m 5_7X! � �C7 ( � ( m ! N & �� 1;- � �#7�( � ! � W

�,-Q1m 5_7��V( � ( �#7�( � ( m #$ ¤3.

������� � £)� 3 �I� �( � ! "�( � ( �! " F ���(:7 G � � - � � � �Q� j + � - � l�� .� �0�&�  �

� J ( � L F ��G � � � - � 1 N 1 � 1;- � ! � �1;- �( � ( � ¤

4.������� � � 5g5n'65_7X! "�C7 (��&! " F 7 (8�� G � � c - � � � �Q� j + � a � l�� .� ��&�  � � 5_7�! '' % F 7<5 �� G - � - ��-;�&-21 & N �� � � � 5n'65_7 � � 5 g5n'65_71 � � 5_7 ! � W + �,-Q1 .� a 1

#$

= � 7�(*� � � ��@CB;9N:

Page 528: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ����� ��� ��� ��������� ��� ������� � � ��� � ������� ��� &�3 465 7�8' ����

5.������� � � 5g5n'65_7X! "�C7 (��&! " F 7 (8�� G � � c - � � a 1 � �Q� j + � a � l�� .� �0�&�

 �£ d � � � 5_7X! '' % F 7<5 �� G - � - ��-;�&-21 & N �� � 5_7�� � 5n'65_7�� � 5g5n'65_7& � � 5_7 ! � W + �,-Q1 .� a 1#$

= � 7�(*� � � ��@CB6.16.3. Series containing products of P

(ρ � pk,σ � qk)m � nk (z)

1.��� ��� ��3 ¢ � � � £!� � ��� � � ¢ � $9% � � 5 Q5:7�! "� � 5n7X! " �� 5n7�! "

Y � � a � � �Q� � � a � a ��-�� a 1 � �Q� j + � l�� .� �0�&� j + � l�� .� �43��&�   � � 565_7�! J � L 4 & 7 &�

� � m 5_7X! � � � 5 ( m 5:�O!Y� N � � � a � a 1 � � a � 5 7 � � a � 5_7�� � a � a & ! � � � � ( �

�m 5_7�� � 5_7 � 65_7 � � 565_7 � � 5 ( m 5n� � ¤6.16.4. Series containing P

(ρ � pk,σ � qk)m � nk (ϕ(k, z))

� �4��-4�#� �$�� ��  3 � � � � � � � � a 1 � � ¢=

1.������� � $ 5 7�! " ��( � ( �! " F�3 � ��TG � j + � - � l���- ��.� � ¢ � � � � ¢ �&�&�

  � � 5g5_7X!�� � " ��]� � 5_7X!�

�¢ 3 1 N 1 � ( � (87 ! ( �

�( � ( (87 � � ¤2.

������� � $ 5_7�! "�" �$9% � � 5_7�! " � � j + � l��V- � .� F ¢ � �$ 5_7 G  � � � " �� � 5�! � � � ¢ 3 1 N 1 ^ � 5 ! ( � �� ` ¤

6.16.5. Series containing P(ρ � pk,σ � qk)m � nk (ϕ(k, z)) and special

functions

1.������� � $ 5_7�! " 3 "'& � 8 � " ��( � ( �! " F]3 � � G � � � a � � / � � ¢ �Q� j + � - � l��V- � .� �4� � � ¢ �4�63 ¢ �

 � � 5g5 7�! J � L � "

� ��#��65_7�! � � � ! ��¢ 3 1 N

�� ( (:7 ! ( �

W�\#U

( � ( (87 � � #$���¤

;9N�<

Page 529: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� �2.

������� � $ 5_7�! 3 "�" � 8 � " ���65_7�! " F�3 � � G � � � a � � / � � ¢ �Q� j + � - � l�� .� F �$ 5_7 3 ¢ G 

�� J � L � "� � " �� � 52! � � � ! �

¢ 3 1 N � � 5 ! ( �

W�� � � � � ¤

3.������� � $ 5_7�! " 3 "'& � 8 � " ���g5 7�! " F � � G �Y ��Q3 � 3 ¢ � � � � a � � / � � ¢ �Q� j + � - � l�� .� F � 5 $ 5 7��( $ (87�G

  J � L ��"

� � " �� � 5_7�! � � � ! � 1 N � ( � (:7 ! ( �

W�� � � � 3 ¢ � ¤

4.������� � $ 5_7�! " 3 "'& � 8 � " ��( � ( �! " F � � G � � a � � / � � ¢ �Q� j + � - � l��V- � .� �4� � � ¢ �4�63 ¢ �

 � � 5 g5_7�! J � L ��"

� ��]��g5_7X! � � � ! ��1 N

�� ( (:7 ! � W � \#U( � ( )(:7 � � #$ 3 ¢ �� ¤5.

������� � $ 5_7�! 3 "�" � 8 � " ���65_7�! " F � � G � � a � � / � � ¢ �Q� j + � - � l�� .� F �$ 5_7 3 ¢ G 

�� J � L��" � � " �� � 5�! � � � ! � 1 N � � 5 ! �

W�� � � � 3 ¢ � ¤

6.������� � $ 5_7�! " 3 "'& � 8 � " ���g5 7�! " F]3 � � G � �0�Q3 � 3 ¢ � � � a � � / � � ¢ �Q�

Y j + � - � l�� .� F � 5 $ 5_7��( $ (:7 G   J � L � "

� � " �� � 5_7X! � � � ! �¢ 3 1 N � ( � (:7 ! � W �� � � � � ¤

6.17. The Generalized Hypergeometric Function

pFq((ap); (bq); z)

6.17.1. Series containing pFq((ap(k)); (bq(k)); z)

1.������� �

"$&% � � ! " 1 N 1 J m ! �� 5 $<L   � & �f � ��� � ��� � ¤2.

������� �( � � ! "$&% � $ 5_7X! % 1 N 1 J � ! �$ 5n� L  �¢ � £ � � � � £ �&��3 � 1 � £ �&�� ��� � � 1 � £ �&� H� � £ �&�<3 � � � £ �&� H 1 � £ �&�� ¤;9NL

Page 530: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��3.

������� �43 ¢ � � � m ! " � � ( m ! " J � ( 1 L " J 1 L "$&% � � ! " ��� � (87�! � " � £ �&�4 � 1 N 1 J � m 5n� $ ! �� � 5 � $ L  � 1 N 1 ^ m ! � � ` ¤

4.������� �43 ¢ � � J m 5 1 L " J � ( m 5 1 L " J � ( 1 L " J 1 L "$&% � � ! " ��� � (:7�! � " � £ �&� � 1 N 1 J � m 5n� $ ! �� � 5 � $ L

  1 N 1 � m ( 1� ! � � 1 N 1 � m 5 1� ! � �¤

5.������� � � ! "$&% � � ! " � � N 1 J m � � 5 $ ! �

�5 $ L   � 1 ��� � f � � � � � � � = � � � � 7A@CB

6.������� � "$9% & N J ( $ � $ 5 7 �]�7��V7 ! 7 L   1 N 1 J � ! ( �7 L 1 N 1 J 7�(*�7 ! � L ¤

7.������� � "� $&% ! � & N �� ( $ � 1 �#7 ! 7$ 5_7�� &

#$  7� � 3 � 1 � � / ��� L� � � / ���� � ¢ � � � � / ����V� £ � � L 1 � � / ���0� � ¤

8.������� �

� "'& �$&% ��� $ 5_7�! & N �� ( $ ��( $ ( 1 � m ! �1 ( $ � m 5 7 #$  � � m�]� � � ��! � � �� � � � � �0f � � �&� = � @B

9.������� �(��]! "$&% � m ! " 1 N

�� 1 ! �m 5 $ � & #$  � �� ���fI� �I+ 1A- � . ��� H� -!&4� � £ / � � ¤

10.����� 1

$��� $ 5 7�! % � � 1 N �� $ 5 1 ! �$ 5 & � &

#$

  7� * �� � ��� �&� �(� ��5n� � ��!� ��5n� � � 3 ��� ��� �(� �K(*� � ��!� � (*� � � ¤11.

������� �( ��! "� $9% ! � 1 N J m ! �$ 5_7�� m 5_7 L   ���0f�� ¢ �4� -��R� � � � £ / ��� ¤12.

������� �( ��! "$9% � m ! " 1 N �� 1 ! �$ 5 m � &

#$  7� ���0fI� / � �I+ 1A- � . ��� H� -!&4� � £ / ��� ¤

;9NP

Page 531: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� �13.

����� 1� $ (87��� $ ! % � � 1 N � $ ! �$ 5_7 � & �  ���� � ��(���! � £ � � ��� / � � � ��� � £ / ���<3 * �� ��� ��� / � ��� ��� � £ / ���<3 £ ¤

14.����� 1

�"��� $ ! % 1 N � $ ! �$ 5_7�� 1 �  �

�2( � � D � � ��� / � � � ��� � £ / ����3 £ " �� � � ��� / � � � ��� � £ / � ��3 ¢ H ¤

15.����� 1

� � ��! "��� $ ! % 1 N � $ ! �$ 5_7 � 1 �  7� � � ��� � £ / ��� ¤

16.����� 1

� $ (87��� $ ! % � �#�&� � 1 N � $ ! �$ 5_7�� & �  7� ��� ��� � £ / ��� ¤

17.������� �

"��� $ 5 7�! % 1 N �� $ 5 1 ! �$ 5 & � 1

#$  7� � ��� �&� �(� �K( � � ��!� �K(*� � � � ��� ��� �(� ��5n� � �2!� ��5n� � � ¤

18.������� � � ��! "��� $ 5 7�! % 1 N

�� $ 5 1 ! �$ 5 & � 1#$  7� � 7� � � � � ��� � ��/ ��� ¤

19.������� � � �]! "$9% � $ 5_7X! % 1 N � 7 ! �� 5_7�� � a & �   ��� ��� � � � ��!� � � ¤

20.������� �( � �]! "$9% � $ 5n� ! % 1 N � 7 ! �� a & � � 5n� �   7� � � ¢ 3 � � � ��/ ���� ¤

21.������� �( ��! "$9% J 1 L " 1 N

�� ( 1 ! �1 � $ 5 1#$ �¢ 3 � / � H� � £ / ��� ¤

22.������� �( 7�� � ��! "� $&% ! � 1 N � � 7 ! (��� a 1�

� � a �

� � a &� � ��5_7 �   7� � � � �]� 1��� �

� 7� � � � �� / £ � 1��� � ¤

23.������� �( 7�� � ��! "$9% � $ 5:�O! % 1 N � � 7 ! �� a &� � � a ��

� � a ��

� � a �

��   ��� � � � � � �� � �

� �O� �� � ¤

;���N

Page 532: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��24.

������� �(�� � ! "$9% � $ 5_7X! % N J ����� ! �7 � $ 5:� L  �£ �$� � �V���� ¢ � � � � £ �&�<3 £ � � 1 � £ �&�� £ ����]� � 1 � £ �&� H� � £ �&�<3 � � � £ �&� H 1 � £ �&�� ¤25.

������� J �� L"

J & L�" N �� $ 5 1 � $ 5_7 ! �$ 5 & ��� $ 5n� #$

  7� " � � � �� �0/ ��� ¤26.

������� �( ��! "$9% � $ 5_7X! % N & J 7 �#7 ! �� ����� $ 5n� L   ��O� � � � £ / � �3 7� F C � 7� � � G � � � £ / � � ¤

27.������� �( ��! "$9% � $ 5_7X! % N & �� 1 �#7 ! �$ 5:� � & ���

#$  7� � � � � £ / ���<3 � � � � £ / ���0� ¤

28.������� �( � ��! "��� $ 5 7�! % ��� $ 5 � ! N & �� 1 �#7 ! �$ 5 � � & �]�

#$

  7� � � � � ��� � � £ / ���<3 � / � H -21 � £ / ���� ¤29.

������� � � ��! "$9% ��� m (:7X! " N & � m �#7 ! �m 5 � -Q1 � m 5 � � m (:7 � �£ &�- � ��� £ fg3 £ �4� &4� -�� � -!& � ��/ ��� ¤

30.������� � � �]! "$9% � $ 5n� ! % N & � 7 �#7 ! �� a & � � 5n����� �

  7� � � � � � £ / ��� � C � � � � / ��� � � � � � / � � � ¤31.

������� �( � �]! "$9% � $ 5n� ! % N & � 7 �#7 ! (��� a & � � 5n����� �  77���� � � � � � �V/ � ��3 £ � � � £ / ��� � C � � � � ��/ ��� � ¤

32.������� �( � �]! "$9% � $ 5n� ! % N & � 7 �#7 ! �� a & � � 5n����� �   3 7� � � 1∫�

�� � � � � � ��! � ��� � !� 7 ( � � � ¤

33.������� �( � �]! "� $9% ! � N & �� 1 �#7 ! �� a 1 � � 5_7�� &

#$  7� � � � 1 � �V/ ��� H� � ��/ ���� � ¢ � � � � �V/ ���0�V� £ 3 � H 1 � ��/ ���0� � ¤;���

Page 533: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� �34.

������� �( � �]! "$9% � $ 5_7X! % N & �� 1 �V7 ! �� 5_7 � � a & � & #$  �� � � H� � � / ��� ¤

35.������� � � �]! "$9% � $ 5n� ! % N & � � ��� ! �� a & � � 5n���#7 �   ��� �&� � � � ��!� � � ¤

36.������� � � �]! "$9% � $ 5n� ! % N & � m �#7 ! �� a & � � 5n��� � ( m �   m (*�� � m (:7�!�� � � � / ���

� � � " �m (:7 ��� 3hfI� �I+ � -!& . � 1A-�� � ��/ ��� ¤37.

������� �C( � �]! "$9% ��� m 5_7X! " N & �� 1 �#7 ! �� a 1 5 m � � 5 m 5_7�� & #$

 �£ - � � £ fg3 ¢ � ��� -�� ��� £ f�� ¢ � � ∫� 7� � � -21 � ��� H� � �V/ �83���� �

= � � m �h7 ��@CB38.

������� � � �]! "$9% � $ 5n� ! % N & �� 1 �V7 ! �� a & � � 5n��� �#$

  �� � � � � � �V/ � � � ��/ ���<3 � � ��� � �V/ ���� ¤

39.������� �( � ��! "$9% � $ 58� ! % N & �� 1 ��7 ! �� a & � � 5*� � �

#$  �� � D � � � ��/ ���!� � � H 1 � �V/ ����3 ¢ H ¤

40.������� � � �]! "$9% � $ 5n� ! % N & �� 1 �V7 ! �� a & � � 5n��� �

#$

  �� � � � � � �V� 1� � � �V/ � ��3 ��� ��� � �V/ ��� � ¤

41.������� �C7�����! "$9% � $ 5_7X! % N �

�� 7 � �� !

�� a �

� � a &� � � a ��� � a �

�� 1�

#$  7� � 7� � � �#/ ��� ¤

42.������� � � ��! "$9% � m 5 7�! " & N � �� m � � 5 7 � � ! �� a � a 1 � � a � a � � � m ( � 5_7 #$

 �£ � -�� ���0fg3�� � ¢ �4�I+ � -�� . � � - � � ��/ ��� ¤;��!,

Page 534: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��43.

������� �( � ��! "$9% ��� m 5n� ! " & N � �� m � m 5 & �#7 ! �� a 5 m � � a & 5 m � m 5 1 � m 5n� #$  � " � � " � � "�� " �� �� m 5_7 ��� £ f�� � � � a 1 � �V/ ��� � m� m 5_7 1 N J m 5_7 ! ( � �m 5n� ��� m 5n� L ¤

44.������� �( � �]! "$9% � $ 5n� ! % & N � �� & �#7�� � & ! �� a & � � 5n� � �& ���&

#$  7� � � � �V/ ���<3 7� 1 N � 7 ! (

� �& � � & � ¤45.

������� � � �]! "$9% � $ 5_7X! % & N � �� 7�� & � & ! �� 5_7 � � a & � 1 � 1#$  � � ��� � �V/ ��� ¤

46.������� � � �]! "$9% � $ 5n� ! % & N � � 7�( m �V7<5 m �V7 ! �� a & � � 5n���]� ( m �]��5 m �

  7 ( m �� m � � �� � � � / � ��3 � m��� � � m � ! � ∫�

���� ��� m � ! ������ � � � � ��� ��� !� 7�( � � �

��¤

47.������� � � ��! "� $ 5_7X! % ��� $ 5_7X! � N �

�� $ 5 1 � $ 5_7��V7�� & ! �$ 5 & � � 5_7 � � a & � 1#$  7� " � � � �� � £ / � � ¤

48.������� � m ! " � � ! "

J m 5 � 5 1 L " � �V�&�� � � m � ! "� � � � ! " � a 1 N�� ^ ( $ �&� m � !95 $� � � !95 $ ! � `

  � a N�� a 1 � � m � ! ��� m ��� �� � � ! � m 5 � 5 1 ! � � ¤49.

������� ��'65 m ! "$&% � � � a 1 N � a 1 ^ (�')( $ �&� m � !m ��� � � ! ! � `  � ¢ 3 � � -;�&-�� ��� ��� J ' $,L � ��(87�! ")" � "� m ! " � � m � ! "

� � � � ! " � N � � � m � !95 $ ! � �� -Q1� � � !&5 $ � = � � � � 7A@CB50.

������� �C7�( � ! "$&% � � � N�� a 1 ^ � m � ! ! �� � � ! � � ( $ `   � ¢ 3 � � � -21 � N�� a 1 ^ � m � ! ! �E(�� �� � � ! � � `= � � � � 7R@CB51.

������� �C7�( m ! "$&% � � � a 1 N � a 1 ^ (�')( $ ��� m � !m ( $ ��� � � ! ! � `  � ¢ 3 � � � -21 ������� J ' $�L � �2(:7X! " � "� m ! " � � m � ! "

� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $� � � !95 $ ! � � ` = � � � � 7R@CB;���3

Page 535: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� �52.

������� �( �]! "� � ! " � � m � ! "� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ `   � a 1 N�� a 1 ^ � m � ! � � (:7 ! �� � � ! � � ` ¤

53.������� �( ��! "$9% � $ 5 � ! � � m � ! "

� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ `   7� � a 1 N�� a 1 ^ � m � ! �#7 ! �� � � ! � � 5_7 ` ¤

54.������� J ( 1 L "$9% J m 5 1 L�" ��3��&� � � � m � ! "

� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ `  7� m � � £ fg3 ¢ � � a 1 N � a 1 � � m � ! � m ! �� � � ! � m ( 1 � � � a 1 N � a 1 � � m � ! � m ! �� � � ! � m 5 1 �

� ¤

55.������� ("'& (� $ 5 � ! % � � � � m � ! "

� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! m �� � � !95 $ `  �43 ¢ � S + � a � a 1 . � " (� % � �C7,(:� � � !! (

� �C7,(8� m � !0! ( S������ ��3 ¢ � � J � $ L � N�� ^ � m � !I( � ! � $ 5 m !��� � � !I( � ` ¤56.

������� � "� $ 5_7X! % j + � - � lM1 .� � � � � m � ! "� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ `

  � a 1 N�� a 1 ^ � m � ! � � 5:� ! � �� � � ! ��� ` ¤57.

������� � m ! "$&% � � � � m � ! "� � � � ! " � a 1 N � ^ � m � !95 $ �V7 ! �� � � !95 $ `   � a 1 N � ^ � m � ! � m 5_7� � � ! ! � ` ¤

58.������� � � f�� �O� S � � � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N � ^ � m � !95 $ � m ! �� � � !95 $ `  � S S�� ��� J � $ L F m � G � ��

� ��� � �� �I� � �� � m � ! �� � � � ! � � a 1 N � ^ � m � !95 � � m 5 � 5_7� � � !95 � ! � `

= � � � � 7R@CB59.

������� � "$9% � m ! " � � m � ! "� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � � `

  � a N � a & � � m � ! � � a � -Q1 � � a � !� �� � � ! � m � � � m 5 � (:7 � ¤

;���5

Page 536: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��60.

������� �(��]! "$9% � � ! " � � m � ! "� � � � ! " � N�� a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � � `

  � N � a & ��� J � L � J � a 1 L ! ( �W

� �\� � U

J � � L � J � � a 1 L � � � � a 1 � �#�

61.������� �( ��! "$9% � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N�� a 1 ^ � m � !95 $ � m ! �� � � !95 $ � � `  � a 1 N�� a 1 ^ � m � ! � � ( m ! (��� � � ! � � ` ¤

62.������� � m ! "$9% � � ! " �43��&� � � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N�� a 1 ^ � m � !95 $ � m ! �� � � !95 $ � � `  � a N � a & ��� + � . � + � . a 1 � m � � ( m ! �

W� �\� � U+ � �

. � + � �. a 1 � � � � a 1 � �

#�

63.��� ��� � m ! " � � ! "$9% J m 5 � 5 1 L " �

� � � m � ! "� � � � ! " � a N�� a 1 � � m � !95 $ � m � � ! �� � � !95 $ � m 5 � 5 1 �

  � a & N � a � � m � ! ��� m ��� � � m 5 � ! �� � � ! � m 5 � 5 1 ��� m 5n� � � ¤64.

������� � � ! " J 1 ( m ( � L "$&% �C7 ( m ! " � �#�&� � � � m � ! "� � � � ! " � a 1 N�� ^ � m � !95 $ � m ( $� � � !95 $ ! � `

  � a N � a 1 ^ � m � ! � m 5n� � �#7�( m (*� �� � � ! �#7�( m ! � ` ¤65.

������� � � ! "$9% � $ 5 m ! � a 1 N � a 1 ^ $ 5 m �&� m � ! ! �$ 5 m 5_7���� � � ! `  � �0f ��¢ 3��O� � a 1 N � a 1 ^ m ��� m � ! ! �m ( � 5_7���� � � ! ` = � � � � 7A@CB

66.������� �( � �]! "� $9% ! � � � m � ! "

� � � � ! " � a N�� a & �� � m � !&5 $ � 1 �V7 ! �� � � !95 $ � � a 1 � � a � & #$

  7� � 7� � a 1 N � a �� � m � ! � 1 ! (

� �� � � ! �#7 � & #$ 3 � �

��

� �

�m �

���

�� �

� a 1 N � a � � m � !95_7��#7 ! ( � �� � � !95_7 � & � � � ¤;��!;

Page 537: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� �67.

������� �( � �]! "$9% ��� m ! " � � m � ! "� � � � ! " � a 1 N�� a � � m � !95 $ �#7 ! �� � � !95 $ � � 5 m � � a 1 5 m �

  � a 1 N�� a �� � m � ! � m ( 1 ! (

� �� � � ! � m 5 1 �]� m (:7 #$ ¤68.

������� �( � �]! "$9% � $ 5n� ! % � � m � ! "� � � � ! " � a 1 N�� a � � m � !&5 $ �#7 ! �� � � !95 $ � � a & � � 5n� �

  7� ����

� � � (:7X!��

� �

� m � (:7X! � ¢ 3 � N � a 1 ^ � m � !�(:7 ! ( � �� � � !�(:7��#7 ` ¤69.

������� �( � ��! "$9% ��� m 5_7X! " � � m � ! "� � � � ! " � a N � a & � � m � !&5 $ � m 5_7���� m ! �� � � !95 $ � � a 1 5 m � � 5 m 5_7 � m �  �¢!¤

70.������� � � �]! "$9% � $ 5n� ! % � � m � ! "

� � � � ! " � a N�� a & � � m � !95 $ � m �#7 ! �� � � !95 $ � � a & � � 5n� � � ( m �  m (*�� � m (:7X!V�

���

� � � (:7X!��

� �

� m � (:7X! � � N�� a 1 ^ � m � !�(:7 ! � �� � � !�(:7��V7 ` 3 � N�� a 1 ^ � m � !�(:7 ! � �� � � !�(:7���� ( m ` ¤71.

������� �( � �]! "$9% � $ 5n� ! % � m � ! "� � � ! " � a N � a & � � m � !95 $ ��� ��� ! �� � � !95 $ � � a & � � 5n� �#7 �   7� ¤72.

������� �( � �]! "$9% � $ 5_7X! % � a 1 N � a � � m � !95 $ �#7 ! �� � � !95 $ � � 5_7 � � a & �  � a 1 N � a

�� � m � ! � 1 ! (� �� � � ! �#7�� &

#$¤

73.������� �( 7�� �]! "$9% � $ 5_7X! % � m (:7�! " � m ! " � � m � ! "

� � � � ! "Y � a N�� a �

�� � m � !95 $ �V7�� & ! �� � � !95 $ � � a � � � a � a 1 � � a � � a & � 1#$

  � N�� a & � � m � ! ! ( � �� � � ! � m (:7 � � � � a 1 � ¤;���:

Page 538: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��74.

������� �C7�� �]! "� $9% ! � � � ! � " � � m � ! "� � � � ! "

Y � a N � a � � � m � !95 $ � m �V7 ! �� � � !95 $ � � a � � � a � a 1 � � a 1 � � a �#7 ( m �  7� � a N�� a �

�� � m � ! � � - � � � - � a 1 ! 7�� �� � � ! �#7 ( m � � � � � � a 1 � � ( m #$ � 7� � N�� a & ^ � m � ! ! 7����� � � ! � � � � �#7 ` ¤75.

������� �( � ��! "$9% ��� m (:7X! " � � m � ! "� � � � ! "

Y � a & N � a � � � m � !95 $ �#7 � m � � ! �� � � !95 $ � � -Q1 5 m � � 5 m � m (:7���� m ( � (:7 �  � N � a 1 ^ � m � ! ��� m ( � (*� ! ( � �� � � ! ��� m (*����� m ( � (:7 ` ¤

76.������� �( � ��! "$9% ��� m 5 � ! " � � m � ! "

� � � � ! "Y � a & N�� a � � � m � !&5 $ � m � m 5n���#7 ! �� � � !95 $ � � a & 5 m � � 5 m 5n��� m 5_7�� m 5 � �

  � a 1 N�� a ^ � m � ! � m 5n� ! ( � �� � � ! � m 5 � ��� m 5n� ` ¤77.

������� � � ��! "$9% � m 5 7�! " � � m � ! "� � � � ! "

Y � a & N � a � �� � m � !&5 $ � m � � 5_7 � � ! �� � � !95 $ � � a � a 1 � � a � a � � � m ( � 5_7 #$  � N�� a 1 ^ � m � ! ! � �� � � ! � m ( � 5_7 ` ¤

78.������� �( � ��! "$9% ��� m 5_7X! " � � m � ! "

� � � � ! "Y � a � N � a �

�� � m � !95 $ � 1 ��� m � m 5_7���� m ( 1 ! �� � � !95 $ � � a 1 5 m � � a 5 m � & � m �]� m 5 1#$

  � a 1 N�� a � � m � ! �#7 ! ( � �� � � ! � & ��� m 5 1 � ¤;��!<

Page 539: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� �79.

������� �( � �]! "$9% � $ 5_7X! % � � m � ! "� � � � ! " � a � N�� a �

�� � m � !95 $ � 1& � & �#7 � & ! �� � � !95 $ � � a � � a & � 1 � � & � �&#$

  � a 1 N � a � � m � ! �#7 ! (� �� � � ! � � & � �& � ¤

80.������� �(��]! "$9% � $ 5 m ! � ��� m � ! � "

� ��� � � ! � " � N ��� � m � !95 $ ��� m � !95 $ 5 1 ! �� � � !95 $ �&� � � !95 $ 5 1

#$

  7m � a 1 N � a 1�� � m � ! ��� m � !95 1 �#7 ! �� � � ! ��� � � !95 1 � m 5_7 #$ ¤

81.������� � m ! � "$9% � � ! " �43��&� � � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N � ^ � m � !95 $ � m 5n� $� � � !95 $ ! � `  � a N�� a 1 ^ � m � ! � m � m ( � 5_7� � � ! � � ! ( � ` ¤

82.������� J � L " � � ! "$&% ��� � ! " ��3��#�&� � � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N�� ^ � m � !95 $ � m 5n� $� � � !95 $ ! � `  � a N � a 1

�� + � R. � + � R. a 1 � � � � a 1 ( �+ � �

. � + � �. a 1 � � 5 1 ! �

W� �\�

#$¤

83.������� � m ! � " � � ! "$9% � � ! " � m 5 � ( � 5_7�! " ��3P�&� � � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N�� ^ � m � !95 $ � m 5n� $� � � !95 $ ! � `  � a N � a 1 ^ � m � ! � m � m (

�5_7��

�( �� � � ! � � � m 5 � ( � 5_7 ! � ` ¤

84.������� � m ! "$&% ��3P�&� � � � m � ! "

� � � � ! " � a N � a 1 ^ � m � !&5 $ ��� m 5n� $ � m� � � !95 $ ��� m ! � `  & � a N & � a 1 �� + � .& � + � . a 1& � + � . a & � � � � a 1+ � �

.& � + � �. a 1& � + � �

. a & � m 5 1 ! ( �� � �\�

#$¤

85.������� � m ! � "$9% � � ! " �43��&� � � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N � ^ � m � !95 $ � m 5n� $� � � !95 $ ! � `  � a N�� a 1 ^ � m � ! � m � m ( � 5_7� � � ! � � ! ( � ` ¤

;���L

Page 540: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��86.

����� 1�( �]! "� m ! � " � � m � ! "

� � � � ! " � N�� a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � m 5n� $ `  3 �m � m 5_7�!

��

� �

�m �

���

�� �

� a 1 N � a �� � m � !95_7�� � a 1 ! �� � � !95_7�� � a & � m 5 7 #$ ¤

87.������� ��� $ 5 m (87�!&� m (:7X! " � � ! " � � ! "$&% � m ( � ! " � m (

�! " � m (:7�! � "'& �

Y �43��&� � � � m � ! "� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � m 5n� $ `   � a 1 N � a ^ � m � ! � m ( � (

��! �� � � ! � m ( � � m (� ` ¤

88.������� � $ 5 m (:7��� $ 5 m (*� !A��� $ 5 m ! � m (:7�! "$&% � m ! � " ��3P�&� � � � m � ! "

� � � � ! " � N�� a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � m 5n� $ `  m (:7m � m (*�O! � a 1 N�� a � � m � ! �V7 ! �� � � ! � � � � 5_7 � ¤

89.������� ��� $ 5 m (:7X!A� m ( � ! "� m (:7X! � "'& � � � ! " ��3P�&� � � � m � ! "

� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � m 5n� $ `  � a 1 N � a ^ � m � ! � � (:7 ! �� � � ! � m (:7 � � ` ¤

90.������� � m ! "$9% � � ! � " ��3P�&� � � � m � ! "

� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � � 5n� $ `  � a N � a & �� � m � ! � � - � � � - � a 1 ! �� � � ! � � � � a 1 � � ( m #$

¤

91.������� � m (:7X! " � m ( � ! "$&% � m ! � " � � ! " ��3P�&� � � � m � ! "

� � � � ! " � N�� a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � m 5n� $ `  � a 1 N � a

�� � m � ! � 1;- � 5 � ! �� � � ! � � a 1 � �#$¤

92.������� � $ 5 m (:7��� $ 5 m !A��� $ 5 m (*�O! � m (:7�! "$&% � m ! � " ��3P�&� � � � m � ! "

� � � � ! " � N�� a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � m 5n� $ `  m (:7m � m (*�O! � a 1 N � a � � m � ! �V7 ! �� � � ! � � � � 5_7 � ¤

;���P

Page 541: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� �93.

������� ��� $ 5 � !A� � ! "$9% � m ! � " � � m � ! "� � � � ! " ��3P�&� � � N�� a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � m 5n� $ `

  � � a N�� a & �� � m � ! � � - � -Q1 � ��- � ! �� � � ! � � � � a 1 � m ( � #$¤

94.������� ��� $ 5 m (:7X!A� m (:7X! " � m ( � ! "$9% � m ! � " � � ! " � � � � m � ! "

� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � m 5:� $ `  �0fg3 ¢ � � N � a 1 ^ � m � ! ! �� � � ! � � ` ¤

95.������� �C7�( m ! "��� $ ! % � m ! " � � ! � " � � � � m � ! "

� � � � ! " � N � a & ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � � 5n� $ �]� $ 5_7�� � `  7� � a N�� a �

�� � m � ! � � a � -Q1 � � a � ! �� � � ! � m � � � � � � a 1 � m 5 � (:7 #$ � 7� � N�� a & ^ � m � ! ! �� � � ! � � � � �#7 ` ¤96.

��� ��� �(��]! "��� $ ! % � � ! � " � � m � ! "� � � � ! " � N � a & ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � � 5n� $ ��� $ 5n��� � (:7 `

  � N�� a & �� � m � ! ! ��� � � ! � � � � a 1 � � (:7 #$ ¤97.

������� J � L� "$9% � m ! " � � m � ! � "� � � � ! � " � N � ^ � m � !95n� $ ! �� � � !95:� $ `   � a 1 N � a 1 � � m � ! � m ( 1 ! �O�� � � ! ��� m (87 � ¤

98.������� �(�� � ! "$9% � $ 5_7X! % � � m � ! � "

� � � � ! � " � N�� a 1 ^ � m � !95n� $ ��� ! �� � � !95:� $ � $ 5:� ` �¢ � �

��

� �

�m �

���

�� �

��£ � N � a 1

�� + � R. a 1 � + � R. 5_7 � 1 ! ( � �+ � �. a 1 � + � �

. 5_7��#7 � & #$

3 � N � a 1�� + � . a 1 � + � . 5_7 ! (�� �+ � �

. a 1 � + � �. 5_7���� #$���

¤

99.������� � m ! " � � ! "$9% J m 5 � 5 1 L " ) 3 � �� , � � � m � ! � "

� � � � ! � " � a 1 N � ^ � m � !95n� $ � m 5 $� � � !95n� $ ! � `  � a N�� a 1 ^ � m � ! ��� m � m 5 �� � � ! ��� m 5n� � ! � ` ¤

;,9N

Page 542: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��100.

��� ��� � m ! � "$9% � � ! " J m ( � 5 & L�"� � m � ! � "� � � � ! � " F � � G � � a 1 N�� ^ � m � !95:� $ � m 5 � $� � � !95:� $ ! � `  � a & N�� a � � m � ! � m � � ( 1 � m ( � 5_7� � � ! ��� � (:7���� m ( � � 5n� ! � � � = � @CB

101.��� ��� � � "� � $ 5n� ! % � � ! � " � � m � ! � "

� � � � ! � " � N�� a & ^ � m � !95n� $ ! �� � � !95n� $ � � 5 � $ � � $ 5 � � � (*� `  � � ( �O!A� � (87�!� �

���

� � � (:7X!��

� �

� m � (87�!��� a N � a �

�� � m � !�(:7�� � - ��� � - &� ! �� � � !�(87 � � (:7�� � -Q1 � � ( � � � (*��� 1

#$

3 � N�� a & �� � m � !�(87 ! ��� � � !�(:7�� � (:7 � � -Q1 � � (*� #$ � ¤102.

��� ��� ��� $ 5 m ! J �& L "$9% � m ! � "'& � ��3P� & � � � � m � ! � "� � � � ! � " � N�� a 1 ^ � m � !95 � $ ! �� � � !95 � $ � m 5� $ 5_7 `

  � a 1 N � a �� � m � ! � �& ! &���� � � ! � � � � a 1

#$¤

6.17.2. Series containing pFq((ap(k)); (bq(k)); z)and trigonometric functions

1.����� 1

7$ ��� � � $ � � !� � �65 $ � ! � � �)( $ � ! � N�� a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65 $ � � � ( $ � `

  � �C7�( � !� �� � ��! � N � a ^ � m � ! ! �� � � ! � � � � ` = � � � � 7 � ! � � � � 7A@B

2.����� 1

�( 7�! "$ ��� � � $ � � !� � �65 $ � ! � � �)( $ � ! � N�� a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65 $ � � � ( $ � `

  3 � �� �� � ��! � N � a ^ � m � ! ! �� � � ! � � � � ` = � � � � � ! � � � � 7 �X@B

3.������� �( 7�! "� $ 5_7 ���� = ��� $ 5_7X! � � @

� � �65h��� $ 5_7�! � ! � � �)( ��� $ 5_7X! � !Y � N � a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65h��� $ 5_7�! � � �)( ��� $ 5_7X! � `   ���� � ��! � N � a ^ � m � ! ! �� � � ! � � � � `= � � � � 7 � ! ( 7 � � � � 7 � @B

;,��

Page 543: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� ,4.

������� �( 7�! "��� $ 5_7X! � ��� � = ��� $ 5_7X! � � @� � �65h��� $ 5 7�! � ! � � �)( ��� $ 5_7X! � !

Y � N�� a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65h��� $ 5_7�! � � �)( ��� $ 5_7X! � `   � � ���� � ��! � N�� a ^ � m � ! ! �� � � ! � � � � `= � � � � 7 � ! ( 7 � � � � 7 � @B

5.������� �( 7�! "��� $ (:7X!A��� $ 5 � ! ��� � = ��� $ 5 7�! � � @

� � �65h��� $ 5_7X! � ! � � �)( ��� $ 5 7�! � !Y � N�� a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65h��� $ 5_7X! � � �)( ��� $ 5_7X! � `

  3 � ��� � ��� � � !� � � �65n� � ! � � �)(*� � ! � N � a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65n� � � �)(*� � `= � � � � � ! ( 7 � � � � 7 � @B6.

������� 7��� $ (:7X!A��� $ 5 � ! ���� = ��� $ 5_7X! � � @� � �65h��� $ 5_7X! � ! � � �)( ��� $ 5 7�! � !

Y � N�� a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65h��� $ 5_7X! � � �)( ��� $ 5_7X! � `  3 � ��� � ��� � � !� � � �65n� � ! � � �)(*� � ! � N�� a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65n� � � �)(*� � `= � � � � 7 � ! � � � � 7 �X@CB

7.������� ��� $ 5_7X!��� $ (:7X!A��� $ 5 � ! ��� � = ��� $ 5 7�! � � @

� � �65h��� $ 5_7X! � ! � � �)( ��� $ 5 7�! � !Y � N�� a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65h��� $ 5_7X! � � �)( ��� $ 5_7X! � `

  � �� � ��� � � !�� � �65n� � ! � � �T(*� � ! � N�� a ^ � m � ! ! �� � � ! � �g5:� � � � ( � � `= � � � � 7 � ! � � � � 7 �X@CB

8.������� �( 7X! " ��� $ 5_7�!��� $ (:7X!A��� $ 5 � ! ���� = ��� $ 5_7X! � � @

� � �65h��� $ 5_7X! � ! � � �)( ��� $ 5 7�! � !Y � N � a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65h��� $ 5_7X! � � �)( ��� $ 5_7X! � `

  3 � ���� ��� � � !�� � �65n� � ! � � �)(*� � ! � N�� a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65n� � � �)(*� � `= � � � � 7 � ! ( 7 � � � � 7 � @B

;,,

Page 544: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��9.

����� 17� $ � m � ( � � ! ���� � $ � � !

� � �65 $ � ! � � �)( $ � ! � N � a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65 $ � � �)( $ � `  3 � ��% �

��� � + 1;- � . � �� m � � J �65 ��� L � J �)( �

�� L � N�� a � � m � ! ! �� � � ! � �65 �

��� �)( �

���

� 7� �� � ��! � � � N�� a ^ � m � ! ! �� � � ! � � � � ` = � � � � � ! � � � � 7A@CB

10.����� 1

�( 7�! "$ � m � ( � � ���� � $ � � !� � �65 $ � ! � � �)( $ � ! � N�� a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65 $ � � �)( $ � `

  3 � ��� � ����� �

� �� m � � J �65 �

�� L � J �)( �

�� L � N�� a � � m � ! ! �� � � ! � �65 �

��� �)( �

���

� 7� �� � ��! � � � N � a ^ � m � ! ! �� � � ! � � � � ` = � � � � ( 7 � ! � � � � 7A@B

11.����� 1

$� $ � m � ( � � ! ��� � � $ � � !� � � ( $ � ! � � �g5 $ � ! � N � a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65 $ � � � ( $ � `

  � ��� � ���� � + 1;- � . � �� m � � J �65 ��� L � J �)( �

�� L � N�� a � � m � ! ! �� � � ! � �65 �

��� �)( �

���

= � � � � 7 � ! � � � � 7A@CB12.

����� 1�( 7�! " $$ � m � ( � � ��� � � $ � � !

� � �)( $ � ! � � �65 $ � ! � N � a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65 $ � � �)( $ � `  3 � ��� �

���� �

�� �� m � � J �g5 �

�� L � J �)( �

�� L � N � a � � m � ! ! �� � � ! � �g5 �

��� � ( �

���

= � � � � � ! � � � � 7 �X@CB13.

������� �( 7X! "= ��� $ 5_7X! � m � ( � � @ ��� � = ��� $ 5_7X! � � !� � �65h��� $ 5_7X! � ! � � �T( ��� $ 5_7�! � !

Y � N � a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65h��� $ 5_7X! � � �)( ��� $ 5_7X! � `  � � � � � ��� � � � �� m � � J �65 �

�� L � J �)( �

�� L � N�� a � � m � ! ! �� � � ! � �65 �

��� �)( �

���

= � � � � � ! ( 7 � � � � 7 � @B;,93

Page 545: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� 314.

������� �( 7X! " ��� $ 5_7X!= ��� $ 5_7X! � m � ( � � @ ���� = ��� $ 5 7�! � � @� � �65h��� $ 5_7X! � ! � � �T( ��� $ 5_7�! � !Y � N�� a ^ � m � ! ! �� � � ! � �65h��� $ 5_7X! � � �)( ��� $ 5_7X! � `

  � � � � � ���� � � �� m � � J �65 ��� L � J �)( �

�� L � N � a � � m � ! ! �� � � ! � �65 �

��� �)( �

���

= � � � � 7 � ! ( 7 � � � � 7 � @B6.17.3. Series containing pFq((ap(k)); (bq(k)); z) and special

functions

1.������� �(��]! "$&% � � � � fI� � � m � ! "

� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! �� � � !&5 $ `  � �0fI��3 �m

��

� �

�m �

���

�� �

� a N�� a ^ � m � !95_7��#7 �#7 ! �� � � !95_7�� m 5_7��]� ` ¤

2.����� 1

�(��]! "� m ! " � � � � fI� � � m � ! "� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! �� � � !&5 $ `  

3 �m ���

� �

�m �

���

�� �

� f � �fI� � a 1 N�� a 1 ^ � m � !95_7�� m ! �� � � !95_7 � m 5_7 `� � a N�� a ^ � m � !95_7�� m � m ! �� � � !95_7�� m 5_7 � m 5 7 ` ¤

3.������� �(��]! "$&% � � £)� � fI� � � m � ! "

� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ `  � �fI��3h�

��

� �

�m �

���

�� �

� 7m � a N � a � � m � !95 7 �#7 �#7 ! �� � � !95_7���� � � 5_7 �� 7m 5_7 � a N � a � � m � !95_7��V7��#7 ! �� � � !95 7 ��� � � a & � � ¤

4.������� �C7�����! "��� $ ! % � � � � m � ! "

� � � � ! " � N � a 1 � � m � !&5 $ ! �� � � !95 $ � & �   � N � a 1 � � m � ! ! �� � � ! � 1 � ¤;,!5

Page 546: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� � � ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��5.

������� � £ � 3 ¢ � �C7�����! "��� $ ! % � � � � m � ! "� � � � ! " � N�� a 1 � � m � !95 $ ! �� � � !95 $ � 1 �

  �#���

� �

�m �

���

�� �

� N � a 1 � � m � !95_7 ! �� � � !95_7�� & � ¤6.

������� � "$&% � � � �Q� � � m � ! "� � � � ! " � a 1 N � a 1 ^ � m � !95 $ �#7 ! �� � � !95 $ �]� `   � N � ^ � m � ! ! � �� � � ! ` ¤

7.������� � "

J 1 L � " j � � �Q� � � m � ! "� � � � ! " � N�� a 1 � � m � !25 $ ! �� � � !25 $ �V� $ 5 & �

  � N � a 1 � � m � ! ! �� �� � � ! � 1 � ¤

8.������� � "

J 1 L � "'& � j � a 1 � �Q� � � m � ! "� � � � ! " � N � a 1 � � m � !95 $ ! �� � � !95 $ ��� $ 5 � �

 �£ � � N�� a 1 � � m � ! ! �� �� � � ! � & � ¤

9.������� � "��� $ ! % � � � �Q� � � m � ! "

� � � � ! " � N�� a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ �]� $ 5_7 `  7� � N � a 1 � � m � ! ! �

� �� � � ! � 1 � � 7� � N � a 1 ^ � m � ! ! �� � � ! �#7 ` ¤10.

������� � "��� $ 5 7�! % � � a 1 � �Q� � � m � ! "� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ ��� $ 5n� `

  � � N�� a 1 � � m � ! ! �� �� � � ! � & � ¤

11.������� � "��� $ ! % � � � �Q� � � m � ! "

� � � � ! " � N�� a 1 ^ � m � !25 $ ! �� � � !25 $ �#� $ 5h� `  � N � a 1 � � m � ! ! �

� �� � � ! � 1 � ¤;,;

Page 547: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� 312.

������� � "��� $ 5 7�! % � � a 1 � �Q� � � m � ! "� � � � ! " � N�� a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ �]� $ 5 � `

 �£ � � N�� a 1 � � m � ! ! �� �� � � ! � & � ¤

13.������� �(��]! "�(� 5_7X! " � c� � �Q� � � m � ! "

� � � � ! " � a 1 N � ^ � m � !95 $ ! �� � � !&5 $ `   � N � a 1 ^ � m � ! ! � �� � � ! �#� 5 7 ` ¤14.

������� � � ! " � � ( m ! "��! " �(� 5 7�! " � � � c� � �Q� N 1 J m � � 5 $ ! �

�5 $ L

  � ¢ 3h�&� - � N ^ � � � ( m ! � ��,-Q1����P5_7 ` = � � � � 7R@CB

15.������� � " ��(�9! " � c� � �Q� � � m � ! " �

� � � � ! " � � N � a 1�� � m � !95 � ! �� � � !95 � �#� 5 $ 5_7 #$

  � N�� a 1 � � m � ! ! �� �� � � ! � 1 � � £ �Q� 1� � � = � � � !C@

� � = � m � !C@� �

� � m � !95 1 �� �� � � � !95 1 �Y � N � a 1�� � m � !95 1 ! � � �� � � !95 1 � &

#$¤

16.������� � "�(�9! � " � c � � �Q� � � m � ! "

� � � � ! " � N�� a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ �#� 5n� $ 5_7 `  � N�� a 1 � � m � ! ! �

� �� � � ! � 1 � ¤17.

������� � "�(�9! � "'& � � c � a 1 � �Q� � � m � ! "� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ ���P5n� $ 5n� `

 �£ � � N � a 1 � � m � ! ! �� �� � � ! � & � ¤

18.������� J � � L "�C7�(��&! " � c - �� � �Q� � � m � ! "

� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! �� � � !95 $ `  � N � a 1

��

� + � . � + � . a 1 ! �W

� �\� � U

W+ � �. � + � �

. a 1 �#7�(�� #�

;,9:

Page 548: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��19.

������� � � ! " � � ( m ! "��! " �C7�(%�9! " � � � c - � � � �Q� N 1 J m � � 5 $ ! �

�5 $ L

  � ¢ 3h�&� - � & N �� � � � ( m ���1 � ��! �

W�

�,-61#$ = � � � � 7R@CB

20.������� � � ! " � � ( m ! "�

�! " �C7�(%�9! " � � � c - � � a 1 � �Q� N 1 J m � � 5 $ ! �

�5 $ L

 �£ d �T� ¢ 3h�&� - � & N �� � � � ( m �#� 5 7& � ��! �

W��,-Q1

#$ = � � � � 7A@CB21.

������� � � ! " � � ( m ! "��! " � � 5_7X! " � � j + � l��V- � .� � �Q� N 1 J m � � 5 $ ! �

�5 $ L

  � ¢ 3h�&� - � & N �� � � � ( m � � 5g5 7�� � 5_7 ! + � -Q1 . �X+ 1;- � .

#$ = � � � � [email protected]. Series containing products of pFq((ap(k)); (bq(k)); z)

1.������� �(��]! "$&% � �

� �

! "� ���

! " � a 1 N � ^ ( $ �&� m � !� � � ! ! � ` � N � ^ � � �

!95 $ ! �����

!95 $ `  � a � N � a � ^ � m � ! ��� � �

! ! � �� � � ! ������

! ` ¤2.

������� �43 ¢ � � + � a �4a 1 . J ' $ L J � � L"�C7�( m ! " � � m � ! "

� � � � ! " � �C7 (���

! "� �C7�(

� �

! "Y � a 1 N � a 1 ^ (�'65 $ �&� m � !95 $ ! �� $ 5 m 5_7���� � � !95 $ `Y� a N �4a 1 ^ ( $ � m ( $ ��� � �

!�( $ ! �7 ( m (*� $ ������

!�( $ `  � a �4a 1 N � a � a 1 � (�' ��� m � ! �#7�( ���

! ! �( 7�! 3 �

&� 8 �

�7 ( m ��� � � ! �#7 ( �� �

! � ¤6.17.5. Series containing pFp+1((ap); (bp+1); ϕ(k, x))

� �4��-4�#� �$��   � �� � a 1�� � 1 � � 3

��� � 1 f � � =

1.����� 1 �43 ¢ �

� � N � a 1 ^ � m � ! ! ( $� �� � �!& � ! `   3 7� � � � � � � 7 ! � � 7 � ! � � � � � � � � B

;,<

Page 549: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� ;2.

����� 17$ � ' � N � a 1 ^ � m � ! ! ( $

� �� � �!& � ! `   �( 7�! ' & ����O'65_7X! % � �Y � a 1������ J �O'65_7$ L � � � £ ��� � � � ��� �&- � � � DXF � � � ( $� GIH

Y � � = � m � !95n')( $ ��@ � � = � � �!& � !C@� � = � m � !C@ � � = � � �!& � !95n')( $ ��@� � � � � � (�')(:7 � ! � � m � �?� ')(*��5h�C7 � 7�! � ! � �_�O'65_7 � ! � � � � � � � B

3.����� 1

�( 7�! "$ � ' � N � a 1 ^ � m � ! ! ( $� �� � �!& � ! `   �( 7�! ' & ��]���O'�! % �� �&-21�

Y ��� ��� J �O'$ L £ � � � �&- ��� ��� J � ')( $

� L � - � � � ��� � � ��F � 5_7� GY � � = � m � !95 � �X@ � � = � � �!& � !C@� � = � m � !C@ � � = � � �!& � !95 � �X@� � � � � � ( ' (87 � ! � �h7 � (*� ' ! � � � � � � � � B

4.������� 7$ � m � � � � � N � a 1 ^ � m � ! ! ( $

� �� � �!& � ! `  �

7� � � � �� m � � � � � � � � ���#fI�� ��� � � ���#fI� � � N � a 1

�� � m � ! ! � � W �� W� � �!& � ! #$

�� � �m � � � = � m � !C@ � �

� � � �!& � !95 1 �� �� � m � !95 1 � � � = � � �!& � !C@ � a 1 N � a

�� � m � !95 1 �V7 ! � �W�

�W� � �!& � !95 1 � & #$

� � � � � � 7 � ! � � ( � � ! � � � � � � � B5.

����� 1�( 7�! "$ � m � � � � � N � a 1 ^ � m � ! ! ( $

� �� � �!& � ! `  �

7� � � � �� m � � � � � � ��� ���#fI�� � � � � ���#fI� � � N � a 1

�� � m � ! ! � � W �� W� � �!& � ! #$� � � � � � 7 � ! � � ( � � ! � � � � � � � � B

;,9L

Page 550: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��6.

����� �( 7�! "$ � (:7 � N � a 1 ^ � m � ! ! ( $

� �� � �!& � ! `   7� 3 7� � N � a 1 ^ � m � ! ! (�� � �!& � ! `

3����

� �

�m �

�!& ���

�� �

� N � a 1 ^ � m � !&5_7 ! ( �� � �!& � !95 7 ` � � � � � � 7 � ! � � ( � � ! � � � � � � � � B

7.����� 1

���� � $�� !$ � ( " � � N � a 1 ^ � m � ! ! ( $� �� � �!& � ! `   ��3 ¢ � S � � � ! ( " ��]� � (87�! % � � m � ! ( " �

� � � �!& � ! ( " �� S - ������

��"$9% � � m � ! "� � � �!& � ! " � ��3 ¢ � S -21 � � � ( " � "�" ��]��� � (*� $ ( � ! %

� ��3 ¢ � � S - � -21�� ��� �( � � ! ���� � ! % � � £�� 3 £�� 3 £!� 3 £ � �

� � � � � � � � ( � ! � �_� � ( � � ! � >?7 ! � � � � � � � ! � � � � � � � � ( � � � � B8.

����� 1 � N � a 1 ^� m � ! ! (K� $ � 5 m � ! �� � �!& � ! `   3 7� � N � a 1 ^ � m � ! ! ( m

� �� � �!& � ! `� 7� " �

�� �

� � m � !�( 1 � � � = � � �!& � !C@� � = � m � !C@ � �

� � � �!& � !�( 1 � � N � a 1�� � m � !�( 1 ! ( m � �� � �!& � !�( 1

#$� � � � � �h7 � ! � �h7 � ! � � � � � � � B

9.����� 1 �43 ¢ �

� � N � a 1 ^ � m � ! ! (E� $ � 5 m � ! �� � �!& � ! `   3 7� � N � a 1 ^ � m � ! ! ( m� �� � �!& � ! `� � � � � �h7 � ! � �h7 � ! � � � � � � � � B

10.����� 1

�( 7�! "$ � � N � a 1 ^ � m � ! ! (E� $ � 5 m � ! �� � �!& � ! `  3 � �7�� � N � a 1 ^ � m � ! ! ( m

� �� � �!& � ! ` � � ���

� �

�m �

���

�� �

� N � a 1 ^ � m � !95 7 ! ( m � �� � �!& � !&5_7 `� � � � � � ( 7 � ! � � ( � � ! � � � � � � � � B;,9P

Page 551: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� ;11.

����� 1�( 7�! "$ � � N � a 1 ^ � m � ! ! (E� $ � 5 m � ! �� � �!& � ! `   3 � �7X� � N � a 1 ^ � m � ! ! ( m

� �� � �!& � ! `� � �

��

� �

�m �

�!& ���

�� �

� N � a 1 ^ � m � !95 7 ! ( m � �� � �!& � !&5_7 ` � � � � � � ( 7 � ! � � ( � � ! � � � � � � � � B12.

��� ��� 7��� $ 5:7�! � � N � a 1 ^ � m � ! ! (E��� $ 5:7�! � �� � �!& � ! `  � �� 3 � � �� � �

� � m � !V5 1 � � � = � � �!& � !C@� � = � m � !C@ � �

� � � �!& � !�5 1 �� � � � � � ( 7 � ! � � ( � � ! � � � � � � � � B13.

������� �( 7�! "��� $ 5 7�! � '%& � � N � a 1 ^ � m � ! ! (K��� $ 5 7�! � �� � �!& � ! `  �( 7X! '���O'�! % £ �&- O/ � � � ��� ��� J �O'$*L � � F �� � � G � ��F � � 7 ( $� G

Y � �� � m � !95n')( � � � � = � � �!& � !C@

� � = � m � !C@ � �� � � �!& � !95:' ( � �� � � � � � ( ' ! � � (�� ')(:7 � ! � � � � � � 7�� � B

14.������� 7��� $ (87�!A��� $ 5 � ! � N � a 1 ^ � m � ! ! (K��� $ 5_7X! � �� � �!& � ! `  3 � � �� � �

� � m � !95 1 � � � = � � �!& � !C@� � = � m � !C@ � �

� � � �!& � !95 1 � � N � a 1�� � m � !95 1 �#7 ! (

� �� � �!& � !95 1 � & #$

� � � � � � ( 7 � ! � � ( � � ! � � � � � � � � B15.

������� �43 ¢ � � � $ 5_7��� $ (:7X!A��� $ 5 � ! � N � a 1 ^ � m � ! ! (E��� $ 5_7X! � �� � �!& � ! `  3 � � � N � a 1 ^ � m � ! ! (

� �� � �!& � ! ` � � � � � � � ! � � ( 7 � ! � � � � � � 7�� � B16.

������� �( 7�! "��� $ 5 � !A� � $ � (:7�! � N � a 1 ^ � m � ! ! (K��� $ 5_7�! � �� � �!& � ! `  3 �7�� � ¢ � � N � a 1 ^ � m � ! ! (

� �� � �!& � ! ` � � � � � � ( 7 ! � � ( 7 � ! ��� � � � 7�� � B

;93N

Page 552: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� � � ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��17.

����� 17$ � $ 5_7X! � N � a 1 ^ � m � ! ! (E��� $ 5_7X! � �� � �!& � ! `   � N � a 1 ^ � m � ! ! (

�� � �!& � ! ` 33 £ / � � � �

� � m � !95 1 � � � = � � �!& � !C@� � = � m � !C@ � �

� � � �!& � !95 1 � � a 1 N � a �� � m � !95 1 �V7 ! ( �� � �!& � !95 1 � &

#$

� � ���

� �

�m �

�!& ���

�� �

� N � a 1 ^ � m � !95_7 ! ( �� � �!& � !95_7 ` � � � � � � ( 7 � ! � � ( � � ! � � � � � � � � B18.

����� 1 �43 ¢ �� � $ 5 7$ � $ 5_7�! � N � a 1 ^ � m � ! ! (K��� $ 5_7�! � �� � �!& � ! `   � N � a 1 ^ � m � ! ! ( �� � �!& � ! `

3 £ � a 1 N � a �� � m � ! � & ! ( �� � �!& � ! � 1

#$ � � � � � � (�' ! � � ( 7 � ! � � � � � � 7�� � B19.

������� 7��� $ 5 7�! � m � � � � � N � a 1 ^ � m � ! ! (E��� $ 5_7X! � �� � �!& � ! `  �� m � � �� ��� � � ���&� £ fI�0�

�� � � � ���&� £ fI�0� � � N � a 1�� � m � ! ! � � W �� W� � �!& � ! #$

3 � � �� m � � �� � m � !95 1 � � � = � � �!& � !C@

� � = � m � !C@ � �� � � �!& � !95 1 � � a 1 N � a

�� � m � !95 1 �V7 ! � �W�

�W� � �!& � !95 1 � & #$

� � � � � � ( 7 � ! � � ( � � ! � ��

� � � � � B20.

������� �( 7X! "� $ 5 7 � N � a 1 ^ � m � ! ! (E�0��� $ 5_7X! � 5 m � ! �� � �!& � ! `   � � � N � a 1 ^ � m � ! ! ( m� �� � �!& � ! `� � � � � � � ! � � ( 7 � ! � � � � � � 7�� � B

6.17.6. Series containing pFp+1((ap(k)); (bp+1(k)); ϕ(k)z)

� �4��-4�#� �$���� ��&�   ����

� �� �7,5 � 7 (8� � � 1A- � ���� =1.

����� 1$ � "��� $ ! % � � � � m � ! "

� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! ( $ � �� � � !95 $ �]� $ 5_7 `  7� � a 1 N � ^ � m � ! �#7 ! �� � � ! ` 3 7� = �g�M��! � 7R@CB;931�

Page 553: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� :2.

����� 1$ � "�" ���� $ ! % � � � � m � ! "

� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! ( $ � �� � � !95 $ ��� $ 5_7 `   � ���

� �

�m �

���

�� �

= �g�M�]! � 7A@CB

3.����� 1

$ � "�" ���� $ ! % � � � � m � ! "� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! ( $ � �� � � !95 $ ��� $ 5_7 `

  � ���

� �

�m �

���

�� �

3 � ����

� �

�m � � m � 5_7X!

���

�� � � � � 5_7X! = �g�M�]! � 7R@CB

4.����� 1

$ � "�" ���� $ ! % � � � � m � ! "� � � � ! " � a 1 N � a ^ � m � !95 $ ! ( $ � �� � � !95 $ ��� $ 5_7 `

  � ���

� �

�m �

���

�� �

3 � � �� �

��

� �

�m � � m � 5_7X!

���

�� � � � � 5_7X! � � �

� ���

� �

�m � � m � 5_7X!A� m � 5n� !

���

�� � � � � 5_7�!A� � � 5n� ! = �g�M�]! � 7A@�B

5.����� 1

$ � "��� $ ! % � $ � ( m � ! � � � � m � ! "� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! ( $ � �� � � !95 $ �]� $ 5_7 `

  7� m � � ¢ 3 � a 1 N � a ^ � m � ! �#7 ! ( m � �� � � ! �#7 ( m �V7<5 m ` = �g�M�]! � 7A@B6.

������� ��� $ 5_7X! � "�" ���� $ 5_7X! % � � � � m � ! "� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! (E��� $ 5_7X! � �� � � !95 $ ��� $ 5n� `

 �¢ 3 � ��

��

� �

�m �

���

�� �

= � �g��� ��! � � 7A@B

7.������� ��� $ 5_7X! � "�" ��� $ 5_7X! % � � � � m � ! "

� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! (E��� $ 5_7X! � �� � � !95 $ ��� $ 5n� ` �¢ 3 � � �� 7

��

� �

�m �

���

�� �

� 7�� � �� �����

� �

�m � � m � 5_7�!

���

�� � � � � 5_7�! = � �g��� ��! � � 7A@B

;93�,

Page 554: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��8.

������� ��� $ 5 7�! � "'& ���� $ 5_7X! % = ��� $ 5 7�! � 5 m � @ � � � � m � ! "� � � � ! " � N � a 1 ^ � m � !95 $ ! (E��� $ 5_7X! � �� � � !&5 $ ��� $ 5:� `

  7m � 5_7 � a 1 N � a � � m � ! �#7 ! m � �� � � ! � &�- � � � & a � � � = � �g��� ��! � � 7A@B9.

������� � $ 5_7�! "�" �$&% � � � a 1 N � � ( $ ��� m � !� � � ! ! �� a 1 �  � � �&� -21

���

� � � (:7X!��

� �

� m � (:7X! � � N�� ^ � m � !�(:7 ! � �� � � !�(87 ` 3 ¢ �� � (

� � � ! � � � � & � � � 7 � B6.17.7. Series containing pFq((ap(k)); (bq(k)); ϕ(k)z) and special

functions

1.������� � $ 5_7�! 3 "�" � 8 � " �$&% F � � G � � � a � � / � � ¢ �Q� � a 1 N � � ( $ �&� m � ! ! �� a 1� � � ! �

  J � L ��"� � " �

� � � !���

� � � (:7X!��

� �

� m � (:7�!��¢ 3 � N � a 1

�� � m � !�(87 ! ( � �W

�� � � !�(:7�� � #$���¤

2.������� � $ 5_7�! 3 "�" � 8 � " �$&% F�3 � � G � � a � � / � � ¢ �Q� � a 1 N�� � ( $ �&� m � ! ! �� a 1� � � ! �

  J � L � "� � " �

� � � !���

� � � (:7�!��

� �

� m � (:7X!��� N�� a 1

�� � m � !�(:7 ! � � W�� � � !�(:7�� � #$ 3 ¢ �� ¤

3.������� � $ 5_7�! "�" ���� $ ! % � � � � F �� $ 5_7 G � � m � ! "

� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! � $ 5_7�!0�� � � !95 $ `  �

" � � " �����

� � � (:7�!��

� �

� m � (:7X!�¢ 3 � N�� a 1 � � m � !�(:7 ! � � �� � � !�(87 �V( 1 �

� ¤

;933

Page 555: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� <4.

������� � $ 5_7�! "�" �� ���� $ 5_7�! % � � � � a 1 F �� $ 5 7 G � � m � ! "� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! � $ 5_7X!��� � � !95 $ `

  � �Q�&� -21���

� � � (:7�!��

� �

� m � (:7X!�� N�� a 1 � � m � !�(:7 ! � � �� � � !�(:7 � 1 � 3 ¢ � ¤

5.������� � $ 5_7�! "�" ��(�P5_7X! " �43��&� � � c - �� F �$ 5 7 G � � m � ! "

� � � � ! " � N � ^ � m � !95 $ ! � $ 5_7�!��� � � !95 $ `  d,� �Q�&� -21

���

� � � (:7X!��

� �

� m � (:7X! � � N � a 1 ^ � m � !�(:7 ! � �� � � !�(:7��#� ` 3 ¢ ¤6.

������� � � � ¢ � -21 J 1 (�� L "�C7 (*���9! � " F ���G �

Y � � m � ! "� � � � ! " � c - �� � ¢ � � � � ¢ � �Q� � N�� ^ � m � !95 $ ! � $ 5_7�!��� � � !95 $ `

  ���������P5_7�!#�

��

� �

� � � (87�!��

� �

� m � (:7�!�¢ 3 � a 1 N�� a 1 � � m � !�(:7 �V('�6( 1 ! (�� � " � �� � � !�(87 �V(���� � �

�� � � ��& � � � 7 � B

7.������� � $ 5_7�! "�" ��C7 (��&! " �43��&� � � c - � � F �� $ 5_7 G � � m � ! "

� � � � ! " � N � ^ � m � !95 $ ! � $ 5_7X!��� � � !95 $ `  �

" � � " ��#�(�Q(:7X!���

� � � (:7�!��

� �

� m � (:7X!�¢ 3 � a 1 N � a 1 � � m � !�(:7 �#�Q(:7 ! � � �� � � !�(:7 �V( 1 � � ¤

8.������� � $ 5_7�! "�" �� ��C7�(%�9! " ��3P�&� � � c - � � a 1 F �� $ 5_7 G � � m � ! "

� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! � $ 5 7�!��� � � !95 $ `  � �Q�&� -21

���

� � � (87�!��

� �

� m � (:7X!�� a 1 N�� a 1 � � m � !;(:7 �#� ! � � �� � � !�(:7 � 1 � 3 ¢ � ¤

;9395

Page 556: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� � ��� ��� ��� � �������� � ���� ������� � ��� � � �� � � ���� � ����� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � ���� � ��9.

������� � $ 5_7�! "�" ���g5_7X! " � � j + � - � l�� .� F �$ 5_7 3 ¢ G � � m � ! "� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! � $ 5_7X!��� � � !&5 $ `

  ��,����! " �

� 5���

� � � (:7X!��

� �

� m � (:7X!�� a 1 N�� a 1 � � m � !�(:7�� � 5� � � !�(:7�� ! � � � 3 ¢ � ¤

10.������� � $ 5 7�! " ��( �Q( 2! " F � �

�G �

Y j + � - � l���- ��.� � � � � ¢ � � 3 ¢ � � � m � ! "� � � � ! " � N�� ^ � m � !95 $ ! � $ 5 7�!��� � � !95 $ `

  � � 5g5_7X!��#��65_7�!��

���

� � � (:7X!��

� �

� m � (:7�! � � a 1 N�� a 1 ^ � m � !�(:7��V( (:7 ! � � " � �� � � !;(:7 �V( � ( (:7 ` 3 ¢ ¤11.

������� � $ 5_7X! " � ��

( $ (:7X! "��g5_7X! " ��3��&� �Y j + � - � l�� .� F � 5 $ 5_7

�( $ (:7�G � � m � ! "

� � � � ! " � N � ^ � m � !95 $ ! � $ 5_7X!��� � � !&5 $ `  ,�

���! " �

� 5_7���

� � � (87�!��

� �

� m � (:7X! � ¢ 3 � a 1 N � a 1 ^ � m � !�(87 �V( � (87 ! � �� � � !�(:7�� ` ¤12.

������� � $ 5_7�! " ��( � ( �! " F �O�� G � j + � - � l��V- � .� � ¢ � � � � ¢ � �Q�Y � � m � ! "� � � � ! " � N � ^ � m � !95 $ ! � $ 5_7�!0�� � � !95 $ `

 �� 5g5 7� 5_7 ��O�

��

� �

� � � (87�!��

� �

� m � (:7X! � ¢ 3 � a 1 N � a 1 ^ � m � !�(:7��V( � (:7 ! (�� � " � �� � � !�(87 �V( � ( (:7 ` �� � � ��& � � � 7 � B

;93�;

Page 557: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � � ��� ������� ��� � � :1� �!<�� L13.

������� � $ 5_7X! "�" �� � 5_7�! " ��3P�&� � � � m � ! "� � � � ! "Y j + � l��V- � .� F ¢ � �$ 5_7 G � N � ^ � m � !95 $ ! � $ 5_7�!��� � � !95 $ `

  � �� � 5�! � ���

� �

� � � (:7�!��

� �

� m � (:7X!�¢ 3 � a 1 N�� a 1 � � m � !�(87 � � 5� � � !�(:7�� � ! ( � � �

� �� � � � & � � � 7 � B

6.17.8. Series containing products of pFq((ap(k)); (bq(k)); ϕ(k)z)

1.������� �(��]! "$&% � � � ¢ � � -21 � �

� �

! "� ���

! "Y � a 1 N�� � ( $ �&� m � !� � � ! ! �� a 1 � � N � ^ � � �

!95 $ ! � $ 5_7�!0�����

!95 $ `  � �Q�&� -21

��

� �

� � � (:7�!��

� �

� m � (87�!���

��� � (:7X!���

��� � (:7X! � � a � N�� a � ^ � m � !�(:7 ���� �

!�(:7 ! � �� � � !�(:7 ������

!�(87 ` 3 ¢ �� � � ��& � � � 7 � B

;93:

Page 558: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Chapter 7

The Connection Formulas

7.1. Elementary Functions

7.1.1. Trigonometric functions

1. � � � � �   � � � � � + �&-21 . � �������� �C7�( '�! � "$&% �C7�( '�! " £ �&- � -21 � � �A�&- � -21 � ¤2. � � � £�� �  �� � � � � �&-21�� ��� �C7 (*'�! " �C7<5n'�! "��� $ 5_7�! % £ � a 1 � � � � a 1 � ¤3. � � � � £� � ¢ �4�   � £� � ¢ � ������� �(�'�! " ��'65_7X! "��� $ 5_7�! % £ � ��� � � a 1 � ¤4. � � � � �   7� � ��� ���� ��� �(�'�! � "$9% �C7�(*'�! " £ �&- � � � � �&- � � ¤5. � � � £�� �   ������� �(�'�! " ��'�! "��� $ ! % £ � ��� � � � ¤6. � � � � £� � ¢ � �   � � � � ������� �( '�! " ��'65_7�! "��� $ ! % £ � � � � � � ¤7.2. Special Functions

7.2.1. The psi function ψ(z)

1. � � F 7� G   � ��� G ¤2. � � F �� G   �, 3 � G ¤3. � + � . ��&�   ��3 ¢ � � a 1 � � � -;�&-21 � a N � a 1 J 7 �]� �#� �&B B B �]� ! 7� 5 7 �]� 5_7��&B B B �#� 5_7 L = '8>?7A@CB

;93�<

Page 559: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� �������� � ��� ����� ��� ��� �#��� ������ � <�� ,�� ,7.2.2. The incomplete gamma functions Γ(ν, z) and γ(ν, z)

1. ���)3 �<� �&�   �( 7�! '�C7�( � ! ' ����� � �&��3h��� -21 � - � �&-21������ � ¢ 3 �� � ��3��&� - � � ¤

2. ��� � �<� �&�   ��� � ��� � �&� � ��� a �&-21 � - � �&-21�� ��� � ¢ 3 T3 � � � �43��&� - � ¤3. � F � � 7� � � G   / � F 7� G � � �� o / ���

3 �� '65_7 � � a 1� � - � ����� 1 F]3 � 3 7��G � ��3P�&� - � ¤4. � F 7� 3 �<� � G   �( 7�! '

J 1 L ' / � � �� o / ��� � � -;�&-21� � - � ����� 1� "

J 1 (*' L " ¤7.2.3. The parabolic cylinder function Dν(z)

1. � � a � �0�&�  �£ -;��� ������� J ' $ L £ � � �43 �� � � �&- � F �� � G � � - � �0�&� ¤2. � � -;� �0�&�   7�( � ! ' F �� � G � ��� ��� J ' $ L �43 / £ �A� � � �&- � F � �� � G � � a � ��&� ¤3. � � �0�&�  �£ -;��� � - � W ��� � � F �� � G ¤4. � -;�&-21 �0�&�   � 3 � "�' 8 � � '' % �V- � W ��� ��� � 1 J

' $ L �43 �A� � � � -21 F �� � G � �&- � F � �� � G� � " 3 ' & � 8 � � �' % � � � � W ��� � �� � F �� � G � � F � �� � G ¤

5. � �&-21� �0�&�  ��3 £ � � ��� " �� � ������� J ( �

W� L "$&% � � -21� �&- � ) � �� , ��S ��� J $� L � S - � a 1��� ) � �� , ¤

6. � �&-!&4� �0�&�   ��3 £ � � ��� * � �� � ������� J ( �W

� L "$&% � � -21� �&- � ) � �� ,Y ��S ��� J $� L � � S - � a &4��� ) � �� , 3 � S - � a 1��� ) � �� , ¤

;93L

Page 560: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ����� ���� � ��� � ��� ��� ����7. � - �&-21� �0�&�

  � ']" �� � ' %J 1 L � ' " �

� ������� J ( �W

� L "$9% � � -21� �&- � ) 3 � �� , ��S ��� J $� L � S - � a 1��� ) � �� , ¤8. � - �&-!&4� �0�&�   � ']" �� � ' %

J & L � ' * � �� ��� ��� J ( �

W� L "$&% � � a 1� �&- � ) 3 � �� ,

Y ��S ��� J $� L � � S - � a &4��� ) � �� , 3 � S - � a 1��� ) � �� , ¤7.2.4. The Bessel functions Jν(z), H

(1)ν (z), H(2)

ν (z), Iν(z)and Kν(z)

1. � � a � ��&�   ��;� � F �� G � N & � ( � � 1;- � ! ( � �( ' � � �#7�( � (*' � � � ��&�3 � � ¢ � �&-21 F �� G �&-21 N & � 1;- � �#7�( � ! (�� �7 (*' � � 5_7��#7�( � (*' � � � -21 ��&�= '*>h7 ! = � @����VB � B �VB �#Bk��� � !C@MB

2. � � -;� ��&�   ��3�;� � F 3 �� G � N & � ( � � 1�- � ! ( � �( ' ��( � � � (*'65_7 � � � ��&�3 � ¢ 3 �� �&-21 F 3 �� G �&-21 N & � 1;- � �#7�( � ! ( � �7 (*' �V7 ( � � � (*'65_7 � � � a 1 ��&� = '*>?7R@CB

3. � � a 1� ��&�   �43 ¢ � � * �� � ��� ��� ��3 ¢ � � ��'g5 $ ! %$&% ��')( $ ! % � £ �&� - � � � � FO�$� ')( $� � G ¤

4. � -;�&-21� ��&�   * �� � ��� ��� ��3 ¢ � � ��'g5 $ ! %$&% ��')( $ ! % � £ �&� - � � � � FO�63 'g5 $� � G ¤

5. � �&-21� � � �&�  �� -;�&-21� F � �� G + S -21 . � � + S -21 . � �������� ��3 ¢ � � a � J �� $ LY �� U a Z Z Z a � [,� � ��3 ¢ � �

W � � U a Z Z Z a � [ ' %� � % B B B � ( % ��

� � 1 � 1� - � � ��&�S�

� � � a 1 � � � -21� �0�&� ¤6. � �&-21� � £ �&�  �£ -;�&-21 � ���&� 1� ������� J ' $ L&� � � -21� ��&� � �&- � -21� ��&�3?��3 ¢ � � � 1� - � �0�&� � � -;� a 1� �0�&�� ¤

;93P

Page 561: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� �������� � ��� ����� ��� ��� �#��� ������ � <�� ,�� 57. � 1� -;� � � �&�  �� -;�&-21� F � �� G + S -21 . � � + S -21 . � �������� ��3 ¢ � � J �� $ 5 7 L

Y �� U a Z Z Z a � [ � � �43 ¢ � �

W � � W a Z Z Z a � [ ' %� � % B B B � ( % � a 1�

� � 1 � 1� - � � ��&�S�

� � � a � � � -21� �0�&� ¤8. � � a 1� ��&� � � -;�&-21� ��&�  

�� � � � a 1� ���A�&� � � a 1� ��3��A�&� = � ��� ��� � � � �X@CB

9.  ��' % ! �� � '#" � � � - �&-21 � - �&-21� � £ �A�&� � - �&-21� �43 £ �A�&� ¤

10. � �&-21� � � � � � �   " � � �('%& �� � � �� �� � � 5 � � ! 3 � ' & � 8 �Y � ��� ��� J ' $ L F �� G � D�43 ¢ � � � � � F �O'65_7� �� �� �

�� G � �&- � -21� � ��� � -21� � � �3 �43 ¢ � � ��� � F � 'g5 7� ��� � �

�� G � � -;� a 1� � ���� 1� - � � � � H3 �9D��3 ¢ � � � � � F � '65_7� ��� � ��� G � �&- � -21� � ���� � -21� � � �� �43 ¢ � � � � � F �O'65 7� ��� � �

�� G � � -;�&-21� � ���� 1� - � � � � H ¤

11. � 1� -;� � � � � � �   " � � � '%& �� � � �� �� � � 5 � � ! 3 � ' & � 8 �Y � ��� ��� J ' $,L F �� G � D � � � F � '65_7� �� �� �

�� G � � -;� a 1� � ��� � -21� � � � �� ��3 ¢ � �&- � � � � F � '65_7� �� �� �

�� G � �&- � -21� � ��� 1� - � � � � H� �9DC3 ��� � F � 'g5 7� ��� � �

�� G � � -;� a 1� � ���� � -21� � � �� �43 ¢ � �&- � � � � F �O'65_7� ��� � �

�� G � �&- � -21� � ���� 1� - � � � � H ¤

12.

� + 1 .�&-21� � / ���  * �

� � -21��� � � + � �9-;� � . �&-21�� ��� ��3 ¢ � � ��'65 $ (:7X! %$9% ��')( $ (87�! % 7��� � � ��! " = '*>?7R@CB13.

� + .�&-21� �0/ ���   * �� � -21��� �#- � + � �&-;� � . �&-21������ ��'65 $ (:7X! %$9% ��')( $ (87�! % 7��� � � ��! " = '*>?7R@CB

;!5�N

Page 562: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ����� ���� � ��� � ��� ��� ����14. � a � ��&�   ��;� � F�3 �� G � N & � ( � � 1;- � ! � �(�' � � �V7 ( � (*' � � ��&�� ��-� ¢ � �&-21 F]3 ���G �&-21 N & � 1;- � �#7 ( � ! � �7 (*' � � 5_7��#7�( � (*' � � -21 ��&� = '*>?7R@CB15. � -;� ��&�   ��3�;� � F]3 ���G � N & � ( � � 1�- � ! � �( ' ��( � � � ( 'g5 7 � � ��&�� � ¢ 3 ;� �&-21 F]3 �� G �&-21 N & � 1;- � �#7�( � ! � �7 (*' �#7�( � � � ( 'g5 7 � � a 1 ��&� = '*>?7R@CB16. #� a 1� ��&�<3 #-;�&-21� ��&�   �43 ¢ � � � �� � � � a 1� ��&� � � a 1� �43��&�= � � ��� � � � � @CB17.

  3 ��' % ! �� � ']" � � � - �&-21 � - �&-21� � £ �&� � - �&-21� ��3 £ �&� ¤18. � � a � ��&�   ��;� � F �� G � N & � ( � � 1�- � ! � �( ' � � �#7�( � (*' � � � ��&�� � � ¢ � �&-21 F ���G �&-21 N & � 1;- � �#7 ( � ! � �7�(*' � � 5 7 �#7�( � (*' � � � -21 ��&� = '*>?7R@CB19. � � -;� ��&�   ��3�;� � F ���G � N & � ( � � 1;- � ! � �(�' �V( � � � (*'65_7 � � � �0�&�� � ¢ 3 �� �&-21 F �� G �&-21 N & � 1;- � �#7 ( � ! � �7 (*' �#7�( � � � ( 'g5 7 � � � a 1 ��&� = '*>?7R@CB20. � � a 1� ��&�  ���� " ��O� �43 £ �&� -;� � - ��� - �&-21� � £ �&� ¤21. � �&-21� � � �&�

 �� -;�&-21� IF � �� G + S -21 . � �� U a Z Z Z a � [,� �

' %� � % B B�B � ( % S�

� � 1 � � � -21� ��&� ¤22. � �&-21� � £ �&�   �6��3 £ � -;� ��� �&� 1� ������� �43 ¢ � � J ' $�L � ��� � �<1� ��&� � � -21� �0�&� ¤23.

 �£ -;� F �� G 1� ��� ����J ' $�L � � -21� �0�&� � �&- � -21� �0�&� ¤;!5)�

Page 563: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� �������� � ��� ����� ��� ��� �#��� ������ � <�� ,�� ;24. � � a � � �/ � � � �

� �/ � �   7� � � ��;� � � £ -;��� N & � ( � � 1;- � ! ( � �(�' � � �V( � (*'65_7 �Y � & �� � F �� � ��� 3 ' � � � ( '� � � � (*'� � 3 � � 5n'� G

3 � ' � "�' �� � ¢ 3 � �9l � � N & � 1;- � �#7 ( � ! ( � �7�(*' � � 5 7 �V( � (*'65_7 �

Y D � & �� � F �� � ��� ¡�� 7� � � � ��¢ 3 � � G � � & �� � F �

� � ��� ¡\� 7� � 7,5 �� � 7 ( �� GIH � ¤25. � � -;� � �/ � � � �

� �/ � �  �43 ¢ � � � ']" �� � �43 �� � � -;����� � � N & � ( � � 1;- � ! ( � �( ' ��( � � � (*'65_7 �

3 � ¢ 3 � �9l � � N & � 1;- � �#7 ( � ! ( � �7 (*' �#7�( � � � ( 'g5 7 � � � & �� � F �� � ��� ¡�� 7� � � � � 3 � �QG

� 7�(�� ' 5 �� N & � 1;- � �#7�( � ! ( � �7 (*' �#7�( � � � (*'65_7 �

Y D � & �� � F �� � ��� ¡\� 7� � � � �\¢ 3 � �QG � � & �� � F �

� � ��� ¡\� 7� � 7,5 �� � 7 ( �� GIH � ¤7.2.5. The Struve functions Hν(z) and Lν(z)

1. H -;� ��&�   �43 ¢ � � H� ��&�<3 �( 7�! '� �&-21�� ��� J 1 L "J 1 L ']")" F � � G �&- � -21 ¤

2. H� a 1� �0�&�   � � a 1� �0�&��� J � L '#"�� �

' % � � ������� �43 � � � F 7� G � F 3�� � G � ¤

3. H -;�&-21� ��&�   �43 ¢ � � � � a 1� �0�&� ¤4. H� a � �0�&�   ��;� � F �� G � N & � ( � � 1;- � ! ( � �( ' � � �V7 ( � (*' � H� �0�&�

3 ��-� ¢ � �&-21 F �� G �&-21 N & � 1�- � �V7 ( � ! ( � �7�( ' � � 5_7 �#7 ( � ( ' � H� -21 �0�&�� J � L �'&(']"

�� � �&-21������ �C7 ( � ( '�! "� J � ( $ 5n'65 1 L F]3 �� � G � N & � ( � � 1;- � ! ( � �( $ � � ( $ 5:' �V7 ( � ( ' �

= '*>?7R@CB;!5�,

Page 564: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ����� ���� � ��� � ��� ��� ����5. H� -;� �0�&�   �43 �� � F�3 �� G � N & � ( � � 1;- � ! ( � �(�' �V( � � � (*'65_7 � H� �0�&�

3 � ¢ 3 �� �&-21 F 3 �� G �&-21 N & � 1;- � �#7�( � ! ( � �7 (*' �V7 ( � � � (*'65_7 � H� a 1 �0�&�� J � L ��"�'%&

�� � �&-21������ � � (*'65_7�! "� J � 5 $ (*'65 � L N & � ( � � 1;- � ! (�� �( $ �]')( $ ( � � � ( 'g5 7 � = '8>?7A@CB

6. L -;� ��&�   L� ��&� � 7� �&-21�� ��� �43 ¢ � � J 1 L "J 1 L�'#")" F � �,G �&- � -21 ¤

7. L� a 1� ��&�   -;�&-21� �0�&��3 J � L ']"�� �

' % � � ������� �43 � � � F 7��G � F�� � G � ¤

8. L -;�&-21� ��&�   � a 1� �0�&� ¤9. L� a � ��&�   ��;� � F 3 �� G � N & � ( � � 1;- � ! � �(�' � � �V7 ( � (*' � L� �0�&�� � � ¢ � �&-21 F 3 �� G �&-21 N & � 1;- � �V7 ( � ! � �7 (*' � � 5_7 �#7 ( � ( ' � L� -21 �0�&�3 J � L �!& '#"

�� � �&-21�� ��� �C7 ( � (*'�! "� J � ( $ 5:'g5 1 L F �� � G � N & � ( � � 1;- � ! � �( $ � � ( $ 5n' �#7�( � (*' �

= '*>?7R@CB10. L� -;� �0�&�   ��3�;� � F]3 �� G � N & � ( � � 1;- � ! � �(�' ��( � � � (*'65_7 � L� �0�&�

� � ¢ 3 ;� �&-21 F]3 �� G �&-21 N & � 1;- � �#7 ( � ! � �7 (*' �#7�( � � � ( 'g5 7 � L� a 1 ��&�� J � L ��"�'%&

�� � �&-21������ � � (*'65_7�! "� J � 5 $ (*'65 � L N & � ( � � 1;- � ! � �( $ �]')( $ ( � � � ( 'g5 7 � = '8>?7A@CB

7.2.6. The Anger Jν(z) and Weber Eν(z) functions

1. J - � �0�&�   J � �43��&� ¤2. J � �0�&�   � � �0�&� ¤

;!5�3

Page 565: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� �������� � ��� ����� ��� ��� �#��� ������ � <�� ,�� :3. J � a � �0�&�   �-� ¢ � �&-21 F �� G �&-21 N & � 1�- � �#7 ( � ! ( � �7�( ' � � 5_7 �#7 (*')( � � J � ��&�

3 ��-� £ � �&- F �� G �&- N & � 7�( � � &<- � ! ( � �� (*' � � 5n���V7 (*')( � � J � a 1 ��&�� �43 ¢ � � ��� � � � � !� �&- ������ � ¢ 3 )3 � � � F �� G � a 1 N & � ( � � 1;- � ! ( � �( $ � � ( $ 5n' �V7 (*')( � �= '*> ��@CB4. J � -;� �0�&�   �43 �� � F]3 ���G � N & � ( � � 1;- � ! (�� �(�' �V( � � � (*'65_7 � J � ��&�

3 � ¢ 3 �� �&-21 F�3 ���G �&-21 N & � 1�- � �#7 ( � ! ( � �7�(*' �#7 ( � � � (*'65_7 � J � a 1 ��&�3 ��3 ¢ � � ��� � � � � !� �&-21�� ��� �T3 � � ¢ � � F 3 �� G � a 1 N & � ( � � 1�- � ! ( � �$ �]')( $ ( � � � ( 'g5 7 �= '*>?7R@CB

5. E - � �0�&�   3 E� �43��&� ¤6. E� �0�&�   � � '#" ���� ')(:7�! % % � � + �&-21 . � �������� F 7��G � F 7� 3 � G � F]3 �� � G � 3 H� �0�&� ¤7. E -;� ��&�   �43 ¢ � � � � '#" ����O')(:7X! % % � � + �&-21 . � ���� ��� F 7��G � F 7� 3 � G � F�3 �� � G �3 �43 ¢ � � H -;� ��&� ¤8. E� a 1� �0�&�   �43 ¢ � � J -;�&-21� ��&�   ��3 ¢ � � J � a 1� �43��&� ¤9. E -;� a 1� �0�&�   �43 ¢ � � J �&-21� ��&�   ��3 ¢ � � J -;� a 1� �43��&� ¤10. E� a � ��&�   ��-� ¢ � �&-21 F �� G �&-21 N & � 1;- � �#7�( � ! (�� �7 (*' � � 5_7��#7�(*')( � � E� �0�&�

3 � � £ � �&- F �� G �&- N & � 7 ( � � &�- � ! (�� �� (*' � � 5n���#7�( ' ( � � E� a 1 �0�&�� 7� �&- ������ � ¢ � �43 ¢ � � a � � � � �� � � � � ¢ 3 )3 � � �

Y F]3 ���G � a 1 N & � ( � � 1;- � ! (�� �( $ � � ( $ 5n' �#7�(*')( � � = '8> �X@CB;!55

Page 566: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ����� ���� � ��� � ��� ��� ����11. E� -;� ��&�   ��3�;� � F]3 �� G � N & � ( � � 1�- � ! ( � �( ' ��( � � � (*'65_7 � E � ��&�

3 � ¢ 3 �� �&-21 F�3 �� G �&-21 N & � 1;- � �#7�( � ! ( � �7 (*' �V7 ( � � � (*'65_7 � E� a 1 �0�&�3 7� �&-21������ � ¢ � �43 ¢ � � a � � � � � ��� � �)3 � � ¢ � � F �� G � a 1

Y N & � ( � � 1�- � ! (�� �( $ �]')( $ ( � � � (*'65_7 � = '*>?7R@CB12. J � a 1� �0�&�   �( 7X! '� � �&-21�� ��� ��3 ¢ � � F �O')( � $ 5 �� G � F �� G � a 1

3 7� ����� 1 J' $ L F �� G � -21 � -21�S ��� J $ (:7� L F �� G � - S -21 F

� � G SY�� �&S -21� �0�&� ���43 ¢ � � a � � � -;�&-21� ��&� � � �&- � a 1� �0�&� �3 ��3 ¢ � S � 1� - S �0�&� ���43 ¢ � � a � � � -;�&-21� ��&�<3 � �&- � a 1� �0�&� � �� � � � a 1� ��&�<3 ��3 ¢ � � � -;�&-21� �0�&�� ����&��� � � � a 1� �0�&�� �43 ¢ � � � -;�&-21� ��&�0� � ��&� ¤13. J 1� -;� �0�&�   �( 7�! '� � �&-21�� ��� F � ')(*� $ 5_7� G � F ���G � a 1

3 7� ����� 1 J' $ L F �� G � -21 � -21�S ��� J $ (:7� L F �� G � - S -21 F

� � G SY�� �&S -21� ��&� � �43 ¢ � � � 1� -;� a � �0�&��� �43 ¢ � � � �&- � -21� �0�&� �� �43 ¢ � S � 1� - S ��&� ����3 ¢ � � � 1� -;� a � �0�&��3 �43 ¢ � � � �&- � -21� ��&� � �� � � 1� -;� �0�&��3 �43 ¢ � � � �&-21� ��&�0� �E�0�&��� � � 1� -;� ��&� � ��3 ¢ � � � �&-21� ��&�0� � ��&� ¤7.2.7. The Airy functions Ai (z) and Bi (z)

1. � � � � � � � ���   7� " �

� D � � 1� & F �� � &4� G 3 � ��� 1� & F �� � &4� G9H� �� " �

� D � � 1� & F ���� &4� G � � ��� 1� & F ���� &4� GIH = � � �� ��@B2. � � � � � � � ���   7� " �

� D £ � � -21� & F ���� &4� G 3 £ � ��� -21� & F ���� &4� G� � ¢ � / � � � 1� & F �� � &4� G 3 � ¢ 3 / � � ��� 1� & F �� � &4� G9H� �� " �� D £ � � -21� & F ���� &4� G � £ � ��� -21� & F ���� &4� G� � ¢ 3 / � � � 1� & F �� � &4� G � � ¢ � / � � ��� 1� & F �� � &4� G9H = � � �� � @CB

;!5�;

Page 567: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� �������� � ��� ����� ��� ��� �#��� ������ � <�� ,�� L7.2.8. The Kelvin functions berν(z), beiν(z), kerν(z) and keiν(z)

1. � � 1� �0�&�   * �� � F ��� � � �� ��� ��� �� � � � �

�� � 3 � � �� �� � � ��� �� � � � �

�� � G ¤2. � ��� 1� ��&�   * �

� � F ��� � � �� � � ��� �� � ��� ��� � � � � �

� �� ��� ��� �� � � � ��� � G ¤

3. � � -21� ��&�   * �� � F � � � � �� � � ��� �� � � � �

�� � � � � �� �� � � ��� �� � ��� �

�� � G ¤4. � ��� -21� ��&�   * �

� � F � � � � �� ��� ��� �� � � � ��� � 3 ��� �

� �� � � ��� �� � � � ��� � G ¤

5.� � 1� �0�&�   " ��O� �#- �A� � � � � F �� � � � �� G ¤

6.� ��� 1� ��&�   3-" �� � � - �A� � � � � F �� � � � �� G ¤

7.� � -21� ��&�   " ��O� � - �A� � � � � F �� � 3 � � G ¤

8.� ��� -21� ��&�   3-" �� � �V- �A� � � � � F �� � 3 � � G ¤

9. � � � a � ��&�   ��� � F�3 ���G �Y� N �

�� ( ��� 1;- �

�� - �

�� &�- �

� ! ( ��1 �( � � 1;- � � � � 1 a � � 1;- �E- � �#7�( � a � � 1

#$

Y D � � � ' �� � � � ��&�<3 � � �' �� � ��� � �0�&� H

3 7� ��� � F�3 �� G �&-21 � N �

�� 1;- �� � - �� � &�- �� �#7�( � � ! ( ��1 �1�- � �#7 ( � � 1 a �� �#7<5 � � 1;- �E- � �#7 ( � a � � 1

#$

Y D � � � ��'65_7�! �� � � � -21 �0�&��� � � ���'65_7X! �� � ��� � -21 �0�&� H� ')(:7

� � � 5n')(:7�! ��� � F]3 ���G �&- Y� N �

�� - �� � &<- �� �#7 ( � � � � - �� ! ( ��1 �1;- � �V7 ( � � 1 a � �V7<5 � �#7�( � a � � &�- �E- � � &

#$

Y D � � � ' �� � � � �0�&��� � � �' �� � ��� � �0�&� H 3 ')(*�

� � � 5_7X!9� � 5n')(:7X! �;� � F]3 ���G �&-!&;!5�:

Page 568: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ����� ���� � ��� � ��� ��� ����Y� N �

�� &�- ��

�#7�( ��� � - �

�� � - �

� ! ( ��1 �7�( � � &�- � �#7,5 � � & a � �#7�( � a � � &�- �E- � � &

#$

Y D � � � ��'65_7�! �� � � � -21 ��&�<3 � � ���'65_7X! �� � ��� � -21 �0�&� H ¤

10. � ��� � a � �0�&�   �;� � F]3 �� G �Y� N �

�� ( � � � 1;- �� � - �� � &�- �� ! ( ��1 �( � � 1;- � � � � 1 a � � 1;- �E- � �#7�( � a � � 1

#$

Y D � � � ' �� � � � �0�&��� � � �' �� � ��� � �0�&� H

� � � 5n7X! '' 5 � F�3 �� G �&-21 � N ��� 19-��� � -P�� � &�-��� ��7,( � � ! ( �

�1 �19-�� ��7�( � � 1 a � ��725 � � 1I-�� - � ��7�( � a � � 1#$

Y D � � � ��' 5n7X! �� � � � -21 ��&��3 ��� ���' 5n7X! �� � ��� � -21 ��&� H� ')(:7��'65 � !&��'65 � (87�! � � ¢ � � F�3 �� G �&-

Y� N �

�� - �� � &<- �� �#7 ( � � � � - �� ! ( ��1 �1;- � � &�- ��

�#7�( � � 1 a � �#7,5 � � 1;- �E- � �V7 ( � a � � & #$

Y D � � � ' �� � � � ��&�<3 � � �' �� � ��� � �0�&� H3 ')(*���'65 � ! � ��'65 � ! � (:7 � �-� £ � � F]3 ���G �&-!&

Y� N �

�� &�- �� �#7�( � � � � - �� � � - �� ! ( ��1 �7�( � � &�- � �#7,5 � � & a � �#7�( � a � � &�- �E- � � &

#$

Y D � � � ��'65_7X! �� � � � -21 �0�&��� � � ���'65_7X! �� � ��� � -21 �0�&� H ¤

11. � � � -;� ��&�   ��3�;� � F ���G �Y� N �

�� ( � � � 1;- �� � - �� � &�- �� ! ( ��1 �( � � 1;- � ��( � � 1;- � � 1;- � a � �#7<5 � - � � 1

#$

Y D � � � ' �� � � � ��&�<3 � � �' �� � ��� � �0�&� H

3 �� �43 �� � F ���G �&-21 � N �

�� 1;- ��

� - ��

� &�- ��

�#7�( �� !

( ��1 �1;- � �#7�( � � 1;- � �#7�( � � 1;- � a � �#7,5 � - � � 1

#$;!5�<

Page 569: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� �������� � ��� ����� ��� ��� �#��� ������ � <�� ,�� LY D � � � ��'65_7X! �� � � � a 1 �0�&��� � � �

��'65_7X! �� � ��� � a 1 �0�&� H� ')(:7� ��')( � (:7�! ��3�;� � F �� G �&-

Y� N �

�� - �� � &<- �� �#7 ( � � � � - �� ! ( ��1 �1;- � �#7�( � � 1;- � �#7�( � �V7<5 � - � � &�- � a � � &

#$

Y D � � � ' �� � � � �0�&��� � � �' �� � ��� � �0�&� H � ')(*�

� � � (:7X!9� � (*'65_7X! ��3 �� � F �� G �&-!&Y� N �

�� &�- �� �#7�( � � � � - �� � � - �� ! ( ��1 �7 ( � � &�- � �V7 ( � � &�- � �V7<5 � - � � &�- � a � � &

#$

Y D � � � ��'65_7�! �� � � � a 1 ��&��3 � � ���'65_7X! �� � ��� � a 1 �0�&� H ¤

12. � ��� � -;� �0�&�   ��3 �� � F ���G �Y� N �

�� ( � � � 1;- �� � - �� � &�- �� ! ( ��1 �( � � 1;- � ��( � � 1;- � � 1;- � a � �#7<5 � - � � 1

#$

Y D � � � ' �� � � � �0�&��� � � �' �� � ��� � �0�&� H

3 �C7 ( � ! '� (*' F �� G �&-21 � N �

�� 1;- ��

� - ��

� &<- ��

�#7 ( �� !

( ��1 �1;- � �#7 ( � � 1;- � �#7 ( � � 1�- � a � �#7,5 � - � � 1

#$

Y D � � � ��'65_7�! �� � � � a 1 ��&�<3 � � ���'65_7X! �� � ��� � a 1 �0�&� H� ')(:7��')( � !&��' ( � (:7X! � ¢ 3 ;� � F �� G �&-

Y� N �

�� - �� � &<- �� �#7 ( � � � � - �� ! ( ��1 �1;- � �#7�( � � 1;- � �#7�( � �V7<5 � - � � &�- � a � � &

#$

Y D � � � ' �� � � � ��&�<3 � � �' �� � ��� � �0�&� H3 ')(*���')( � ! � ��')( � ! � (:7 � � £ 3 �� � F ���G �&-!&

Y� N �

�� &�- �� �#7�( � � � � - �� � � - �� ! ( ��1 �7 ( � � &�- � �V7 ( � � &�- � �V7<5 � - � � &�- � a � � &

#$

Y D � � � ��'65_7X! �� � � � a 1 �0�&��� � � ���'65_7X! �� � ��� � a 1 �0�&� H ¤

13.� � � a 1� ��&�   ��3 ¢ � � � � / �6� £ �&� -;�&-21� �V- �A� � Y �

� � � F �� � � �O'65 �� � G � ��� ���� ��� �( 7�! " � � �I� � � "��� $ ! % � � - �&-21�&- � � / £ ���;!5�L

Page 570: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� � ��� ���� ���� � � � ��� � ��� ��� 3 � � � F �� � � � '65 �� � G � + �&-21 . � ���� ��� �( 7�! " � � �I� � � "'& ���� $ 5_7X! % � � - ��&- � -21 � / £ ��� �= � � ����� � � � @CB

14.� ��� � a 1� ��&�   ��3 ¢ � � a 1 � � / �6� £ �&� -;�&-21� � - �A� � Y �

��� � F �� � � �O'g5 �� � G � ��� �������� �( 7�! " � � �I� � � "��� $ ! % � � - �&-21�&- � � / £ ���� � � � F �� � � �O'65 �� � G � + �&-21 . � �������� �( 7X! " � � �I� � � "'& ���� $ 5_7�! % � � - ��&- � -21 � / £ � � �= � � ����� � � � @CB

7.2.9. The Legendre polynomials Pn(z)

1. j � ��&�   �43 ¢ � � j � ��3P�&� ¤2.

  � 1� � ��&� ¤3.

  j + � l �A.� �0�&� ¤4.

  F ��(87� G � j + � lC- �&-21 .� F � 5 �7�(8� G ¤5.

  ��3 £ � � ��� 3 ¢ � ��� j + -;�&-21� lC-;�&-21� .� F �� � � (:7 G ¤6. j � ��&�   �0�� 3 ¢ � � j + -21� lC- �&-21� .� ) 7,5n� �7�(*� � , ¤7.

  � � j + � lC- �&-21� .� F �� � 3 ¢ G ¤8. j � a 1 ��&�   �;�0�� 3 ¢ � � j + 1� lC- �&-!&4� .� ) 7,5 � �7�(8� � , ¤9.

  � � a 1 j + � lC- �&-!&4� .� F �� � 3 ¢ G ¤7.2.10. The Chebyshev polynomials Tn(z) and Un(z)

1.� � �0�&�   ��3 ¢ � � � � ��3P�&� ¤

2.  ��3 ¢ � � � � ) * 7 (8�� , ¤

3.  � � ) * 7,5n�� , ¤

4.  � � �0�&��3h� � �&-21 �0�&� = '8>?7A@CB

;!5�P

Page 571: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ������� � ������� ��� ��� ��� �#��� � ��� � <�� ,�� ��N5.

  ' � � �c � � 7� � c� ��&� ¤6.

  ' %J 1 L ' j + -21� lC-21� .� �0�&� ¤

7.� � �0�&�   � � � £ �� 3 ¢ � ¤

8.  ��3 ¢ � � � � F � ¢ 3h� G ¤

9. �£ � � �0�&��3 ¢!¤

10.  �43 ¢ � � a 1� £ � � ) * 7� � 7� � ¢ 3h� � 1� , � � ) * 7� 3 7� � ¢ 3h� � 1� , ¤

11.  ' %

J '65 1 L ' � � � 1� - � � ) � � � (:7� , ¤12.

  ' %J 1 L ' �� � j + -21� lC- � .� F �� � 3 ¢ G ¤

13.� � a 1 �0�&�  �£ � � a 1 � * 7<5 � 7�(*� �� � � � a 1 � * 7 (�� 7 (8� �� � ¤

14.  �43 ¢ � � � � � F � ¢ 3h� G ¤

15.  ' %

J '65 & L ' � � a 1 � -21� - � � ) � � � (:7� , ¤16.

  ' %J 1 L�' � j + -21� lM1� .� � £ �� 3 ¢ � ¤

17.  ' %

J 1 L ' �� �a 1 j + -21� lC- �&-21 .� F �� � 3 ¢ G ¤

18.� � ��&�   7� � � � �0�&��� ¢ � ¤

19. �¢ 3 � ¢ 3h�� � � �&-21 �0�&� = '8>?7A@CB

20. � � ��&�   �43 ¢ � � � � �43��&� ¤21.

  � 1� ��&� ¤22.

  ��'65_7X! %J & L ' j + 1� lM1� .� ��&� ¤

;;9N

Page 572: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ����� ��� ���� ���� � � � ��� � ��� ��� 23. � � ��&�   �( 7X! '� 7 (8� � � � a 1 F � ¢ 3h� G ¤24.

  3 ' % ���O'65_7X!� J 'g5 1 L '%& � �� �a 1 �0�� 3 ¢ � -21� � -21� - � � a 1 ) * ¢ 3 7� � , ¤

25.  ' %

J 1 L�' j + 1� lC-21� .� � £ �� 3 ¢ � ¤26.

  ��' % ! ����O'�! % � £ �&� � j + 1� lC- �&-21 .� F �� � 3 ¢ G ¤27. � � a 1 ��&�  �£ � � � � £ � 3 ¢ � ¤28.

  �43 ¢ � � �� 7 (8� � � � a 1 F � ¢ 3h� G ¤29.

  3 �#��'65 7�! %� � '65 � ! J '65 & L�' �� � a ��0�� 3 ¢ � -21� � -!&4� - � � a 1 ) * ¢ 3 7� � , ¤30.

  ' % ��'65_7X! %��� '65_7�! % � £ �&� � a 1 j + 1� lC- �&- .� F �� � 3 ¢ G ¤31. � � ��&�   77 (8� � � ¢ 3 � � a 1 �0�&�� ¤32.

� � �0�&� � � a 1 F � ¢ 3h� G � � � � a 1 �0�&� � �&-21 F � ¢ 3 � G  ��3 ¢ � � � ¢ 3h� = '8>?7A@B

7.2.11. The Hermite polynomials Hn(z)

1.

� � �0�&�   ��3 ¢ � � � � �43��&� ¤2.

� � �0�&�   ��3 ¢ � � £ � ��� � -21� � �0�� � ¤3.

� � a 1 ��&�   ��3 ¢ � � £ � a 1 ��� � � 1� � �� � ¤4.

� � �0� 1 � ¤4¤�¤ �]S �  � £� � � ����U����

� U��XW4��� ¤�¤4¤� [<\]W��X[<\#U���� �

� " U� �M� �� (87�! ']")" U��' ( $ � ! % � � " W� �M� �� (:7�! " U ")" W� $ � ( $ � ! % ¤�¤4¤

Y � � " [<\#U( " � �M� �( " � (:7X! " [<\]W ")" [<\#U� $ ( " � ( $ ( " � ! % 7��� $ ( " � ! % � �X[<\#U �� S � ¤;;��

Page 573: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ������� � ������� ��� ��� ��� �#��� � ��� � <�� ,�� �!,5.

� � a 1 �� 1 � ¤4¤�¤ � S �   � £�� � ¢ � � � 1 � ¤�¤4¤ � S -21Y ����U4���� U��XW4��� ¤�¤4¤

� [<\]W��X[<\#U4��� �� " U� �M� �� (:7X! '#")" U��')( $ � ! % � � " W� �M� �� (:7X! " U ")" W� $ � ( $ � ! % ¤4¤�¤

Y � � " [<\#U( " � �M� �( " � (87�! " [<\]W ")" [<\#U� $ ( " � ( $ ( " � ! % 7��� $ ( " � 5_7X! % � �X[<\#U a 1 �0� S � ¤7.2.12. The Laguerre polynomials Lλn(z)

1. � -21� � �0�&�   �( 7�! '� � ' ' % � � �0/ ��� ¤2. � 1� � �0�&�   �( 7�! '� � ' & � ' % � � � � a 1 � / ��� ¤3. � - S� ��&�   ��')( � ! %' % ��3��&� S � S�&- S ��&� = 7 � � � 'I@CB4. � -;�� ��&�   �(��]! '' % ¤

5. � 1A-;�� ��&�   �( 7�! '' % � �&-21 ��Q3 � � ¤6. � -;�&-21� ��&�   �( 7�! '' % ��� ��� � � ¢)� �&� ¤7.

  ��3 ¢ � � ��� ��� � "$9% ¤8. � - �&-21� ��&�   �(��]! '' % " �

� � �A� � � a 1� F � �,G ¤9. � - �&-21� ��&� � - �&-21� ��3P�&�   �� ��' % ! � �� � a 1 D�V-;�&-21� F � ��G 3 #� a 1� F � �,GIH ¤10. � c� �� 1 � � � ¤�¤4¤ � � S �

  ��� U �����U�� W ��� ¤4¤�¤

�X[<\]W�� [<\#U ��� � c - c U -21�&- � U �� 1 � � c U - c W -21� U - � W �� � ¤�¤4¤Y � c [<\]W - c [<\#U -21�X[<\]W - �X[<\#U ��]S -21 � � c [<\#U�X[<\#U �0��SQ� ¤11. � c� �� 1 � ¤4¤�¤ � S �

  ��d � ¢ � � ����U����� U��XW ��� ¤4¤�¤

� [<\]W��X[<\#U���� � " U� �C7 (8� � ! '#")" U��')( $ � ! % � " W� �C7 (8� � ! " U ")" W� $ � ( $ � ! % ¤�¤4¤

Y � " [<\#U( " � �C7�(*� ( " � ! " [<\#U� $ ( " � ( $ ( " � ! % 7�(� 5_7X! " [<\#U � c�X[<\#U �� S � ¤;;,

Page 574: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � � ��� ���� ���� � � � ��� � ��� ��� 7.2.13. The Gegenbauer polynomials Cλn(z)

1. � c� ��&�   �43 ¢ � � � c� �43��&� ¤2.

  ��3 £ � -;� �����9! 'J �P5 1 L ' �� 3 ¢ � ��� � 1� - c -;�� F �� � � (:7 G ¤

3.  �����&! '

J �P5 1 L ' j + c -21� l c -21� .� ��&� ¤4.

 �£ � �(�9! '����� 5:'�! ' ���� ¢ � � j + c -21� lC- c - � .� F � (8�7<5 � G ¤5.

  �����&! 'J �P5 1 L ' F � 5_7� G � j + c -21� lC- c - � .� F � (8�7<5 ��G ¤

6.  � £ � � £ � � � 3 ¢ 3 ¢ � -;��� j + c -21RlC- c -;� .� F �#� � �#� � � 3 ¢ 3 G ¤

7.  ��3 £ � � ��� 3 ¢ � ��� j + - c -;�9lC- c -;� .� F �� � � (:7 G ¤

8. � c � ��&�   �43 ¢ � � �(�&! 'J 1 L ' j + -21� l c -21� .� � ¢ 3 £ ��O� ¤

9.  �(�9! '

J 1 L ' �� 3 ¢ � � j + -21� lC- c - � .� ) 7<5 � �7 (8� � , ¤10.

  ' %���O'�! % ��d2� � � £ �&�� � j + c -21� lC- c - � .� F �� � 3 ¢ G ¤11. � c � a 1 ��&�  �£ �43 ¢ � � �(�&! '%& �

J & L ' � j + 1� l c -21� .� � ¢ 3 £ �� � ¤12.

  �#�(�&! '%& �J & L ' �;��� 3 ¢ � � j + 1� lC- c - �&-21 .� ) 7<5 � �7 (8� � , ¤

13.  ' %���O'Q5_7�! % ��d2� � a 1 � £ �&�4 � a 1 j + c -21� lC- c - �&-21 .� F �� � 3 ¢ G ¤

14. � - S -;� � ��&�   � - S -;� S ��&� ¤15. � - S -;� � a 1 ��&�   � - S -;� S -21 ��&� = � >?7A@CB16. � �c � � 7� � c� �0�&�   �' � � �0�&� = '8>?7A@CB17. � 1� � ��&�   j � ��&� ¤

;;93

Page 575: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ������� � ������� ��� ��� ��� �#��� � ��� � <�� ,�� ��318. � -21� � ��&�   7' (87 � � j �&-21 �0�&��3 j � �0�&�� = '8> �X@CB19. � 1� ��&�   � � �0�&� ¤20. � 1� -;�� ��&�   ��3 £ � � J 1 L�'' % �0�� 3 ¢ � ��� � � F �� � � (:7 G ¤21. � -;�&-21� � �0�&�  �£ �&-21 J & L '��'65_7X! % � � ¢ 3h�&� � a 1 � ��3 ¢ � � � ¢ � �&� � a 1 � ¤22. � -;�� �0�&�   ��3 £ � � �0�� 3 ¢ � ��� j � F �� � � (:7 G = '8>?7A@B23. � 1� -;� � ��&�   J 1 L '' % � ¢ 3h�� � � ¤24. � 1� -;� � a 1 ��&�   J 1 L '' % �;� ¢ 3h� � � ¤25. � 1� - � � ��&�   J '65 1 L '' % � ¢ 3h� � � � � F 7� 7�(8� � G ¤26.

  J '65 1 L�'' % � ¢ 3h�� � � � � ) 7,5 � �7�(8� � , ¤27. � -21� - � � ��&�  �£ �&-21 J & L � '���O'Q5_7�! % � � ¢ 3h�&�� � a 1 � � ¢ � �&�� � a 1 � ¤28. � S -;� a 1� � �0�&�   � % J 1 ( � L '' % J 1 (*' L ( � ¢ 3h� � �&- S � �&- SEa 1� S ��&� ¤29. � S -;� a 1� � a 1 �0�&�   � % J ( 1 ( � L '%& �' % J ( 1 (*' L ( & � � ¢ 3h�� � �&- S � �&- SEa 1� SEa 1 �0�&� ¤30. � 1� - � � ��&�   J 1 L � 'J 1 L

'�43��&� � � 1� -;�� ) 7<5 � �� � , ¤

31. � -21� - � � a 1 ��&�   3 � J '65 1 L�'%& �' % ��� '65_7X! �;� ¢ 3h� � � � � F 7� 7 (8� � G ¤32. � -!&4� - � � a 1 ��&�  �£ � J & L � '%& ����O'65:�O! % � � ¢ 3h�&�� � a 3 � ¢ � �&�� � a R� ¤

;;!5

Page 576: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � � ��� ���� ���� � � � ��� � ��� ��� 33. � 1��� -;� � ��&�   F � �,G � � 1��� -;�� F ¢ 3 �� � G ¤34. � -;�&-21��� � a 1 �0�&�   3 F � ��G � a 1 � -;�&-21���� F ¢ 3 �� � G ¤35. � � -;�&-21� � �0�&� �  �£ �&-21 J & L �'= ��'65_7X! % @ � ��� 3 ¢ � � a 1 � � � a 1 ) � � 5_7� � (:7 , 3 ¢ ¤36. � c� �� 1 � � � ¤4¤�¤ � �]S �

 �£ � ��d2� � ����U����� U��XW ��� ¤4¤�¤

� [<\]W��X[<\#U4��� � '#")" U���')( $ � ! % � " U ")" W�� $ � ( $ � ! % ¤4¤�¤Y � " [<\]W ")" [<\#U( " �� $ ( " � ( $ ( " � ! % �(�� ! ")" [<\#U�C7 (��Q(*'�! " [<\#U � c a �&- � [<\#U� [<\#U �� S � ¤

37. � c � �� 1 � ¤4¤�¤ �]SQ�   ��3 ¢ � � ��d2� �Y ��� U �����U�� W ��� ¤�¤4¤

�X[<\]W�� [<\#U ��� �� " U� �C7 (8� �� ! '#")" U��')( $ � ! % � � " W� �C7 (8� �� ! " U ")" W� $ � ( $ � ! % ¤4¤�¤

Y � � " [<\#U( " � �C7 (8� �( " � ! " [<\]W ")" [<\#U� $ ( " � ( $ ( " � ! % 7�C7�(%�6(*'�! " [<\#U � c a �&- � [<\#U � [<\#U �0� S � ¤38. � c � a 1 �� 1 � ¤4¤�¤ � S �   ��3 ¢ � � ��d2� � � 1 � ¤�¤4¤ � S -21Y ����U4���

� U��XW4��� ¤�¤4¤� [<\]W��X[<\#U4��� �

� " U� �C7 (8� �� ! '#")" U��')( $ � ! % � � " W� �C7 (8� �� ! " U ")" W� $ � ( $ � ! % ¤4¤�¤

Y � � " [<\#U( " � �C7 (8� �( " � ! " [<\]W ")" [<\#U� $ ( " � ( $ ( " � ! % 7�C7�(%�6(*'�! " [<\#U � c a �&- �X[<\#U �X[<\#U a 1 �0��SQ� ¤7.2.14. The Jacobi polynomials P (ρ,σ)

n (z)

1. j + � l�� .� ��&�   ��3 ¢ � � j + �]l � .� �43��&� ¤2.

  F 7 (8�� G � j + - � - �V- �&-21Rl�� .� F � 5 ���(:7 G ¤3.

  ��3 ¢ � � F 7<5 �� G � j + - � - ��- �&-21Rl � .� F ��( �� 5_7 G ¤4. j + � l � .� ��&�   � � 5_7�! '��� � 5_7�! ' � � a 1� � �0�&� ¤5.

  ��3 ¢ � � ) � � (87� , ��� � - � -;�� F �� � � (:7 G ¤;;;

Page 577: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ������� � ������� ��� ��� ��� �#��� � ��� � <�� ,�� ��56. j + 1� l�� .� �0�&�   �( 7�! '

� �]�C7 (8�]! J & L 'J g5 1 L '%& � � � a 1� � a 1 ) * 7 (8�� , ¤7.

  3 £ -;�&-21 J & L '��g5n'65_7X! '%& � �M� 5_7�! '%& �� ��M�E(:7�! �� � � - ��- �&-21 � a 1 ) * ��(:7� 5_7 , ¤8. j + -21� l�� .� �0�&�   �43 ¢ � � J 1 L '��65_7 �O! ' � � a 1� � ) * 7�(*�� , ¤9.

  J 1 L '��g5n'65_7X! ' F � 5_7� G � � - ��- � � ) * ��(:7� 5_7 , ¤10. j + � lC- � - �&-21� .� �0�&�   ���O'�! % � � 5_7X! '' % ��� � 5 7�! � ' F � 5_7� G � � � a 1� � ) * �� 5_7 , ¤11.

  ���O'�! % � � 5_7X! '' % � � 5 7�! � ' F 7 (8�� G � � - � - � � ) * �7�(*� , ¤12. j + � lC- � - �&-!&4� .� �0�&�   ���O' 5:7�! % � � 5n7X! '' % ��� � 5n7�! � '%& � F ��5:7� G � a 1� � � a 1� � a 1 ) * ���5:7 , ¤13.

  3 ��� '65_7X! % � � 5 7�! '' % � � 5_7X! � ' & � F 7 (8�� G � a 1� � - � - �&-21 � a 1 ) * �7�(*� , ¤14. j + � lC- � - �&-21 .� �0�&�   � � 5_7X! '��� � 5_7X! ' F � 5_7� G � � � a 1� � F � (8�7<5 � G ¤15.

  �43 ¢ � � F 7�(8�� G ��� � - � -;�� ) � (*�� � � � 7�(*� , ¤16. j + � lC-;�&- + � a 1 . � .� ��&�  �£ -!&A� � � 5_7X! '

J � 5 7 L�' � ¢ 3h�&� ��� -;�&- � � � F � 5 ��E(:7�G ¤17. j + � l S -;� .� �0�&�   � %' % � ��'65 � 5_7�!

� � � 5 � 5_7X! F � 5 7� G �&- S j + � l �&- S .S �0�&� ¤18. j + � lC- � - S -;� .� ��&�   � � (:7X! %' % � ��'65 � 5_7X!

� � � 5 � ! j + � lC- � - S -;� .S -21 �0�&� = � >?7A@CB19. j + � l S .� ��&�   � � 5n'�! %' % � � 5n'65_7X! ( F �� 5_7�G S j + � lC- S .SEa � ��&� ¤20. j + -;�9l � .� ��&�   � � 5_7X! '' % F ��(:7� G � ¤21. j + � l �A.� �0�&�   j � �0�&� ¤

;;9:

Page 578: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � � ��� ���� ���� � � � ��� � ��� ��� 22. j + � lC-21 .� �0�&�   7� � j �&-21 ��&� � j � ��&�0� = '8>?7A@CB23. j + � lM1 .� �0�&�   77 (8� � j � �0�&��3 j � a 1 �0�&�� ¤24. j + � lM1� .� �0�&�   F �� 5_7 G 1� j � a 1 ) * � 5_7� , ¤25. j + � lC-21� .� �0�&�   j � ) * � 5_7� , ¤26. j + 1� lM1� .� �0�&�   J & L '��'65_7X! % � � �0�&� ¤27. j + -21� lC-21� .� �0�&�   J 1 L '' % � � ��&� ¤28. j + -21� lM1� .� �0�&�   �43 ¢ � � j + 1� lC-21� .� ��3P�&� ¤29.

  �43 ¢ � � J 1 L '' % � � ) * 7�(8�� , ¤30.

  J 1 L '' % F �� 5_7 G 1� � � a 1 ) * � 5 7� , ¤31. j + � lC-;�&-21� .� ��&�   F � 5_7� G ��� j � ) � 5 �� � � � � 5_7 , ¤32. j + � lC- �&-21 .� �0�&�   �43 ¢ � � F � 5_7� G � j � F ��( �� 5_7�G ¤33. j + � lC- �&-21� .� �0�&�   F � 5_7� G � j � ) * �� 5_7 , ¤34. j + � lC- �&-!&4� .� �0�&�   F � 5_7� G � a 1� j � a 1 ) * �� 5_7 , ¤35. j + 1� lC- �&-21 .� �0�&�   ��� '�! %��' % ! � F � 5_7� G � � � ) * �� 5_7 , ¤36. j + 1� lC- �&-!&4� .� �0�&�   �43 £ � -;� �(���(:7X! '%& �� ��C7�(8��! �� � j � a 1 ) * ��(:7� 5_7 , ¤37. j + 1� lC- �&- .� �0�&�   ��� '65_7X! %' % ��'65_7X! % F � 5 7� G � a 1� � � a 1 ) * �� 5_7 , ¤

;;<

Page 579: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ������� � ������� ��� ��� ��� �#��� � ��� � <�� ,�� �!;38.

  �43 ¢ � � J & L '��'65_7X! % F � 5 7� G � � � F ��( �� 5_7 G ¤39. j + -21� lC- � .� ��&�   �43 ¢ � � J 1 L '' % F � 5_7� G � � � F �E( �� 5_7�G ¤40.

  J 1 L�'' % F � 5_7� G � � � ) * �� 5_7 , ¤41. j + -21� lC- �&-21� .� �0�&�   �43 ¢ � � F � 5_7� G � j � ) * ��(:7� 5_7 , ¤42. j + -21� lC- �&-21 .� ��&�   �43 ¢ � � J & L�'' % ��� '65_7X! F � 5_7� G � � � ) * ��(87� 5 7 , ¤43.

  J 1 L�'' % F � 5_7� G � a 1� � � a 1 ) * �� 5 7 , ¤44. j + -;�&-21RlC-;�&-21 .� ��&�   F�3 7��G � ��� 3 ¢ � ��� � � F �� � � (87 G ¤45. j + -;�&-21� lC-;�&-21� .� ��&�   F 7� G � �� 3 ¢ � ��� j � F �� � � (:7 G ¤46. j + - �&-21RlC- �&-21 . � ��&�  �£ - � � ¢ 3h� � � a 1� � � a 1 F 7� 7 (8� � G ¤47. j + - �&- lC- �&- . � a 1 ��&�   3 £ - �&-21 �;� ¢ 3h��O� � a 1� � � a 1 F 7� 7 (8� � G ¤48. � ¢ � �&� j + � lC- � .� ��&� j + - � -21Rl � a 1 .� ��&� � � ¢ 3h�&� j + - � l � .� �0�&� j + � a 1RlC- � -21 .� �0�&�

  �]�( � ! ' � � 5_7�! '��' % ! � ¤

49. j + � l�� .� �0� 1 � � � ¤4¤�¤ � � S �  ����U����

��U��XW ��� ¤4¤�¤� [<\]W��X[<\#U4��� J �

U L '#")" U��')( $ � ! % J � W L " U ")" W� $ � ( $ � ! % ¤�¤4¤ J � [<\#U L " [<\]W ")" [<\#U� $ ( " � ( $ ( " � ! %Y � ����� � � � ¢ � �&- �X[<\#U j + � a �&- � [<\#U l�� a �&- � [<\#U .� [<\#U �� S � ¤7.2.15. The polynomials of the imaginary argument

1. j � ���A�&�   F�3 ���G � � ¢ � �� � ��� � -;�� F �� 7<5 � � G = '8>?7A@CB2.

� � � �A�&�   �43 ¢ � � � � F � ¢ � � G ¤;;9L

Page 580: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� � ��� ���� ���� � � � ��� � ��� ��� 3.

� � a 1 � �A�&�   �43 ¢ � � �A� � � F � ¢ � � G ¤4. � � � �A�&�   �( 7X! '� 7<5 � � � � a 1 F � ¢ � � G ¤5. � � a 1 � �A�&�   �43 ¢ � � � �� 7<5 � � � � a 1 F � ¢ � � G ¤6.

� � � �A�&�   �43��V� � ��� � -21� � �43���O� ¤7.

� � a 1 ���A�&�   ��3 ¢ � � £ � a 1 ��� �A� � 1� � �43��� � ¤8. � c� ���A�&�   ��3 £ �A� � �(�9! '����� 5n'�! ' � ¢ � �� � ��� � 1� - c -;�� F �� 7<5 � � G ¤7.2.16. The complete elliptic integral K(z)

1. K F 7� � G   7� � � � F 7� G ¤2. K

� * 7�( � �� �   � " ���� �� �� � ��F 7� G ��F � � G ¤

3. K

� * � ( � �� �   � " �� � � " �� ����F 7� G ��F 7� G ¤

4. K

� * � ( � � �� �   � " � �� �� � � F 7� G ¤

5. K� / £ 3 ¢ �   � 7,5 � � � �� �� � � � � �� � ��F 7� G ��F � � G = � � @B

6. K ) � � (87� � � ,   � �� �� �� � � � & F 7� G = � � @B7. K

� 3 £ / £ �   7<5 � �� �� � � �� � �2;F 7� G = � � @B8. K ) " £ / £ 3 £ ,   � � 5 � � � �� �� � �� � ��F 7� G ��F �� G ¤9. K ) " 3 £ / £ ,   � � 5 � � � �� �� �� � � �� � � F 7� G � F �� G ¤10. K ) £ " / £ 3 � ,   � � 5n� � � � �� �� � � � �� � � F 7� G ¤

;;9P

Page 581: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ������� � ������� ��� ��� ��� �#��� � ��� � <�� ,�� �!<11. K ) " ¢�£ / £ 3 ¢ � ,   ��5 � �� � �� � � F 7� G ¤12. K ) " ¢ � 3 ¢L£ / £ ,   � � 5n� � � � �� �� �� � � �� � �2IF 7� G ¤13. K

� � / 3 / £ � � £ 3 / � � 

� � � ( � � � � � 5 � � � � 7<5 � � ��� �� �� � � �� � ��F 7� � G ��F 7O7� � G = � � @B14. K ) � ( � �� � � ,   � " �� �� � ��F 7� G ��F � � G �:F � � G = � � @B15. K

� � � � (:7 � J � �6( �� � L� �   � " � � � 7<5 � � �� � � � �� � �2IF 7� G = � � @B16. K

�� � ( � � �J 7,5 �� � L �

��  J 7,5 �� � L �� � � � �� � �2 F 7� G = � � @B

17. K

� J � (*� �� � L � � �6(*� �� � �   � � 5 � � �� � � �� � �2IF 7� G = � � @B18. K

� ��P3 £ / � � � 3 £ / £ � �   � �� � � � � 5:� � � 5_7 �� � � � � � & F 7� G = � � @B

19. K F � / £ 3 ¢ � & � £ 3 / � G  � " � � � � 7,5 � � � �� � � � � 5 � �6(:7 �

� � �� � � F 7� G � F � � G = � � @B20. K ) � � ( � � � � � ( � � � � � � ( � � �� � � ,

  � " �� � � " �� � �� � � F 77 � G � F �7 � G � F �� G = � � @CB21. K

� � � � �g( � � �6( �� � �g( � � � 5 � �

  � " �� �7�� � �� � � £ / £ � / � £ / � � � � 1� ��F 7� G ��F 7� G ¤7.2.17. The complete elliptic integral E(z)

1. E F 7� � G   7� � � D �2]� 7� � � � �2�� �� � H ¤;9:N

Page 582: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � � ��� ���� ���� � � � ��� � ��� ��� 2. E

� 3 £ / £ �   7� * �� D �2IF 7� G � � � / £ 3 ¢ � �2IF �� GIH ¤

3. E ) " 3 £ / £ ,   � � �6(:7 � �� �� � � � � �� � D� ¢ � / £ � ��F 7� G ��F � � G ��� ��F �� G ��F �� GIH ¤4. E ) " £ / £ 3 £ ,   � � ( � � � �� �� �� � � �� � D � F 7� G � F � � G ��� � F �� G � F �� G9H ¤5. E ) £ " / £ 3 � ,   � ( � �� � �� � D � F 7� G ��� � F �� GIH ¤6. E

� * 7�( � �� �   � " � �� �� �

� 7<5 � �� � F 7� G � F �� G � � F �� G � F �� G! ¤7. E

� * � ( � �� �   � " � � � 7<5 � � �� � �� � ��F 7�<G ��F 7� G � � �� �� � �� � ��F �� G ��F ��<G ¤8. E

� * � ( � � �� �   � " � � �� �� � D � ¢ � / £ � � F 7� G � � � F �� GIH ¤

9. E ) � ( � �� � � ,   � " � � � � 5 � � �� � ��F 7� G ��F �� G ��F � � G� � �� �� � ��F � � G ��F �� G �:F � � G ¤7.2.18. The Legendre function P µν (z)

1. j ��&-21� ��&�  �£ � F � (*� �)(*� '� G � � ¢ 3 �� � ��� Y ������� J ' $�L �(�� � ! "J � - � a 1� L "

�� � l � j � -;�-21� ��&� � � £ �&� - � � ¢ 3h�� � - � �

Y � -21�� ��� � $ 5 �Q(87�! %

� % � $ ( �Q(:7X! % � £ �&� - � � ¢ 3 � � � � j � a � -;�&- �-21� ��&� � ¤2.

 �£ � J & a � - �� L 'J 1 ( � L ' J 1 5 � L ' � ¢ 3h� � ��� ������� J ' $ L � � "

J 1�- � - �� L "Y �� � l � j � a �-21� �0�&��� �43 £ �&� - � � ¢ 3h�� � - � �

Y � -21�� ��� � $ 5 � (:7�! %

� % � $ ( �Q(87�! % F 7� 3��:3 � G � - � � £ �&� - � � ¢ 3h�� � � � j � - � a � a �-21� �0�&� � ¤3. j �-;�&-21� ��&�   j ��&-21� ��&� ¤

;9:1�

Page 583: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas
Page 584: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Chapter 8

Representationsof Hypergeometric Functionsand of the Meijer G Function

8.1. The Hypergeometric Functions

8.1.1. The Gauss hypergeometric function 2F1(a, b; c; z)

1. N 1 J m (*' � ���! � L   ��� ��� ��3��&� � J ' $ L � � ! "�

�! " N 1 J m � � 5 $

�5 $ ! � L ¤

2. N 1 J m 5 � � � 5 ��5n' ! � L   �( 7X! ( �

�! ' �C7 (8�]! � "�� " � "�� & '� m ! � � � ! ( ��( m ! ' � � ( � ! 'Y S������ �43 ¢ � � J � $ L � � � � � � �fT3�� 3 � � S - � � a ��

� ��� � �� % � ¢ 3h�&� � - �

Y j + � - � a � -21Rl -�� - � - � - � a � a � .� a � - � � ¢ 3 £ �&�&��� a � D0� ¢ 3h�&� � a � - N 1 J m � ���! � L H ¤3. N 1 J m 5 � � � ( �

�5n' ! � L   � % � � ! ' �C7 (8��! � "�� " � "�� &('� m ! � � � ( � 5n'�! ( �

�( m ! ' � � ( � ! 'Y S�� ��� � � 5 $ ! %$&% j + A-�� - � a � a �9l � a � - a � a � - S -;� .S - � � ¢ 3 £ �&� � a ��

� ��� � � �C7 (8�]! �� %

Y j + � - � a � -21Rl -�� - � - � - � a � a � .� a � - � � ¢ 3 £ �&�&��� a � D0� ¢ 3h�&� � a � - N 1 J m � ���! � L H ¤4. N 1 J m ( � � � ( �

�5n' ! � L   �( 7X! � & ( �

�! ' �C7 (8�]! � "�� " � & � & ( &('�

�( m 5n'�! � � � ( � 5n'�! ( �

�( m ! ' � � ( � ! 'Y S�� ����J � $ L ��� 3hfT3 � �4S - � � a

��� ��� J � 5 $

� L �fT3 � 3 � 3 � � ¢ � � a � - � ��3P�&� �Y ��� a � D � ¢ 3h�&� � a � - N 1 J m � ���! � L H ¤

;9:3

Page 585: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� �5. N 1 J m 5 � � � 5 �

�(*' ! � L   �( 7X! � & ( & ' � '#" � & �� m ! � � � ! ( �C7 (

�! ' S�� ����J � $ L �fg3��K3 � � S - �

Y � a ��� ��� J � 5 $

� L�� � 3hfT3 � 3 � � � a � - � ��3P�&� � �P� a � D � A-21 N 1 J m � ���! � L H ¤6. N 1 J m 5 � � � ( �

�(*' ! � L   �( 7�! � &(' � % � '#" � & �� m ! � � � ( � (*'�! ( �C7 (

�! 'Y S������ �M�E(:7�! "$&% j + A-�� - � a � -;�9l � a � - a � a � - SEa � .S - � � ¢ 3 £ �&�

Y � a ��� ��� �43��&� � J � 5 $

� L � � 3hfT3 � 3 � � � a � - � � � a � D�� A-21 N 1 J m � ���! � L H ¤7. N 1 J m ( � � � ( �

�(*' ! � L   �( 7�! ( &(' � ']" � & � �C7�(*�]! (�

�( m (*'�! � � � ( � (*'�! ( �C7 (

�! '

Y S�� ��� ��63 ¢ � - � J � $ L�� � � � � � ��� 3hfT3 � �4S - � � a ��� ��� � � �C7 (8��! �

� %Y j + � -�� - � l � a � - - � - � a � a � .� a � - � � ¢ 3 £ �&�&��� a � D�� A-21 N 1 J m � ���! � L H ¤

8. N 1�� m � m 5 � 5 1'65 1 ! �

#$ 

� '#" � � % J 1 L ' � "�' � �C7 (8�]! ']" ( " � �J m 5 1 L ( �( � m ! � '

Y S������ � " �C7�(*�]! "$&% j + � a � -21� l � a � - S - � .S - � � ¢ 3 £ �&�Y � ��3 ¢ � � a � ��3 £ fI� � a � � £ / ��� - � � ¢ � / ���4 � - � -;�� ��3 ¢ � � a � � a �&-21�

� � 1� $ 5:'g5 �Q(:7X! %

� % � $ 5n')( � (:7�! % �43 £ fI� � a �&- �Y � £ / ��� - � - � � ¢ � / � �� � - � -;� a � � �43 £ fI� � a � � £ / � � - � � ¢ 3 / ���� � - � -;�� � a �&-21�� � 1 ��3 ¢ � � � $ 5n'65 �Q(:7X! %

� % � $ 5:' ( �Q(:7X! % �43 £ fI� � a �&- � � £ / ��� - � - � � ¢ 3 / ��� � - � -;� a � � ¤9. N 1

�� m � m 5 � 5 11 (*' ! �#$  �( 7X! (� J m 5 1 L ( J 1 L 'Y S������ J � $ L �43 � 3 � 3hfI� S - � � a ��

� ��� � � J $ 5n'� L F 7��G � a �&- �

;9:95

Page 586: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� Y � � £ fI� � � £ / ��� - � � ¢ � / ��� - � - �

� � -21�� � 1

� �P5�(:7�! %

�% � � (

�(:7�! % � £ fI� � - � � £ / ��� + - � - � . � � ¢ � / ��� � - � - �

� �43 ¢ � � � £ fI� � � £ / ��� - � � ¢ 3 / ��� - � - �� �43 ¢ � � � -21�� � 1 �43 ¢ � �

� �P5�(:7�! %

�% � � (

�(87�! % � £ fI� � - � � £ / ��� + - � - � . � � ¢ 3 / ��� � - � - � � ¤

10. N 1 � m � m 5 � 5 1� m 5:'g5 7 ! ���   �( 7X! ( � � � � "�' ' % ��� m 5_7X! 'J m 5 1 L ( � m 5 7�! ' J m ( � 5 1 L 'Y ������� �M�E(:7�! "$&% j + � -;�&-�� a 1� l � a2S -;�&-21� .�&- � � ¢ 3 £ �&� � a2S�

� ��� J $ 5 �� LY F 7� 3hfg3 � G � a2S - � ��3P�&� � � � £ fI� � � £ / ¢ 3h� � - � � ¢ � / ¢ 3h� � - � - �

� � -21�� � 1

� �P5�(:7X! %

�% � �Q(

�(:7X! % � £ fI� � - �

� £ / ¢ 3h� � - � - � � ¢ � / ¢ 3h� � - � - � a � � ¤

11. N 1 � m � m 5 � 5 1� m ( 'g5 7 ! � �   �( 7�! ( � � �J m 5 1 L ( �(�� m ! '

Y ������� J ' $ L F�3Pfg3 7� G �&- �� a2S�� ��� J $ 5 �� L

Y F 7� 3hfg3 � G � a2S - � ��3P�&� � � � £ fI� � � £ / ¢ 3h� � - � � ¢ � / ¢ 3h� � - � - �� � -21�

� � 1� �P5

�(:7X! %

�% � �Q(

�(:7X! % � £ fI� � - �

� £ / ¢ 3h� � - � - � � ¢ � / ¢ 3h� � - � - � a � � ¤

12. N 1 J � 5 7 � � 5_7'65n� ! � L   �( 7X! '%& � ��'65 7�!�� "�'#" � �C7 (8�]! '� % ' % S������ J � $ L � � 5 $ ! %$9%

Y � a ��� ��� ��3 ¢ � � ��'65 �&! %

� % � ¢ 3h�&� � - � - � j + � - � l �&- � - � a � .� a � - � � ¢ 3 £ �&�Y � � � ¢ 3h�&��3 � a ��

� � 17

�F ���(87�G � � ¤

;9:�;

Page 587: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� �13. N 1 � � 5_7�� � 5_7'65 & ! � �

  �( 7�! ' ���O'65 7�!�� "�'#" �� � �C7 (8��! '#"��A" �� �� % J 1 L '

S������ J � $QL � � 5 $ ! %$9% � ¢ 3h�&� - �Y � a ��� ��� �M��( 7�! �

� % j + � - � l �&- � - � a � -21� .� a � - � � ¢ 3 £ �&� �� F 7��G � a � ��� � � � / �3 � � � � � � �� � a ��

� � 1 J 1 L '%& � " ���'65 � (�! %

� F ��E(:7 G � � j � -21 ) � �E(:7� � �&�M��(87�! , �� ¤14. N 1 � � 5_7�� � 5_7'65 & ! ( � �

  ���O'65_7X!�� "�']" �� � �C7<5 �]! ']"��R" �� �� % J 1 L '

S������ J � $ L � � 5 $ ! %$&% � ¢ � �&� - �Y � a ��� ��� �( 7�! �

� % � ¢ � �&� � j + � - � l �&- � - � a � -21� .� a � - � � ¢ � £ �&�Y �� F 7� G � a � � ��/ � � / ¢ � ���<3 ��'65 �&! %� � a ��

� � 1 J 1 L '%& � " ���'65 �Q(�! %

� F �7<5 � G � � Y j � -21 ) �O� 5 7� � ���C7,5 ��! , �� ¤

15. N 1 � � 5_7�� � 5_7& (*' ! � �   �( 7X! � & ( & ' � '#" �� � �C7 (8��! "�'#" �� �� % � % J ( 1 L 'Y S�� ��� J � $QL ��3 � � S - � � a ��

� ��� J � 5 $� L F 7� 3 � 3 � G � a � - � F ��E(:7�G �

Y � F 7� G � a � �� ��� � / � � 7� � a ��� � 1 J '65 �

�L � � 3 ¢ � � F 7� G � a � - �

� � -21 F �7 (8� G - � � Y j � -21 ) � �E(:7� � � ���C7�(8��! , � ¤

;9::

Page 588: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 16. N 1 � � 5_7�� � 5_7& (*' ! ( � �   �( 7X! � � '#" �� � �C7<5 ��! "�'#" �� �

� % J ( 1 L 'Y S������ �( 7�! "$&% � a ��� ��� J � 5 $

� L F 7� 3 � 3 � G � a � - � F�7,5n� G �

Y �� F 7��G � a � � � / � � / ¢ � � �)3 ��'65 ��! %� � a ��� � 1 J 1 L '%& � " ���'65 � (

�! %

�F �7<5 ��G - � �

Y j � -21 ) �O� 5 7� � ���C7,5 ��! , �� ¤17. N 1 � � 5 1 � � 5 7'g5:� ! � �   �]�( 7X! ( ��'65_7X!�� "�'#" �

� % J 1 L � J & L 'S������ �43 ¢ � � J � $ L � � � � � �

Y F]3 � 3 7� G S - �� a ��� ��� ��'65 �&! %

� % � ¢ 3h�&� - � - � j + � - � -21� l �&- � - � a � a 1� .� a � - � � ¢ 3 £ �&�Y � j + -;�&- � -21RlC-;�&- � -21� .� a � � ¢ 3 £ �&�<3 ��3 ¢ � � a � � ¢ 3h�&� � a � a 1� � ¤18. N 1 � 1 ( � � � 5_7'65n� ! � �   �]��'65_7X! � % � "�'#" � �C7 (8�]! " (

� % J & L � & 'Y ��� ��� � $ 5 � ! %$&% j + � a � a 1� l � - � a2S -;�&-21� .� - � � ¢ 3 £ �&�Y � a2S�

� ��� ��'65 �&! %� % � ¢ 3h�&� - � - � j + � - � l �&- � - SEa � a 1� .� a2S - � � ¢ 3 £ �&�Y � j + -;�&- � -21RlC-;�&- � -21� .� a � � ¢ 3 £ �&�<3 ��3 ¢ � � a � � ¢ 3h�&� � a � a 1� � ¤

19. N 1 � � 5_7�� � 5_7& (*' ! ( � �   �( 7X! � � '#" �� � �C7<5 ��! "�'#" �� �� % J ( 1 L 'Y S������ �( 7�! "$&% � a ��

� ��� J � 5 $� L F 7� 3 � 3 � G � a � - � F

�7,5n� G �Y �� F 7��G � a � � � / � � / ¢ � � �)3 ��'65 ��! %� � a ��

� � 1 J 1 L '%& � " ���'65 � (�! %

�F �7<5 ��G - � �

Y j � -21 ) �O� 5 7� � ���C7,5 ��! , �� ¤;9:�<

Page 589: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� �20. N 1

�� � 5 1 � � 5_7'g5 & ! (��#$

 ��� '65_7X! J & L ( � "�' �C7,5 ��! '#"��' % J 1 L �

S�� ��� � � 5 $ ! %� � ( $ ! % ��� $ 5_7X! % F �7<5 � G �Y � a ��� ��� �43 ¢ � � �C7<5 ��! �

� % j + � - � -21� l �&- � - � a � .� a � - � � ¢ � £ �&� �� F 7� G � a � � -21� �� �� � / �� ��'65 �&! %� � a ��

� � 1 ��3 ¢ � � J 1 L ' & � " ���'65 �Q(�! %

��0��� ¢ � - � j + 1� - � lC- � .

� -21 � ¢ � £ �&� �� ¤21. N 1

�� � 5 1 � � 5_7& (*' ! �#$ 

�( 7X! � & ' J & L (� J 1 L�� J ( 1 L ' � ¢ 3h�&� -;�Y S������ �( � ! "� � ( $ ! % ��� $ 5 7�! % � a ��

� ��� J � 5 $� L&� � � � 3 ¢ � � � ¢ 3 � 3 � � � a � - � ��Q3 ¢ � - �Y j + 1� -;�&- � lC-;�&- � .� a � -21 � ¢ 3 £ �&� ¤

22. N 1�� 1 ( � � � 5 7& 5n' ! �

#$  �( 7X! � & ' ���O'65_7X!�#� � 5n'�! % � -;� � ¢ 3h�&� � - SEa �

Y S�� ��� �M��(:7X! "$&% j + � -;�9l � a � - SEa � .S - � � ¢ 3 £ �&� � a ��� ��� J � 5 $

� L �43 � 3 � � � a � - �Y � F 7� G � a � � -21� �

725 � �7,( � � � � a ��� � 1 J

'Q5 ��

L � ��3 ¢ � � F 7� G � a � - ��0�P3 ¢ � - �

Y j + 1� - � lC- � .� -21 � ¢ 3 £ �&� � ¤

23. N 1�� 1 ( � � � 5 7& 5n' ! (��

#$ �( 7X! � ��� '65_7�!� � 5:'�! % � -;� � ¢ � �&� � - SEa �Y S������ �( 7�! "$&% �0��� ¢ � � j + � -;�9l � a � - SEa � .S - � � ¢ � £ �&� � a ��

� ��� J � 5 $� L ��3 � 3 � � � a � - �

Y � F 7� G � a � � -21� ��� � � / � � ��'65 �&! %� � a ��� � 1 ��3 ¢ � �

�C7<5 �]! " ���'g5 �Q(�! %

� F 7� G � a � - �

Y j + 1� - � lC- � .� -21 � ¢ � £ �&� � ¤

;9:L

Page 590: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 24. N 1

�� 1 ( � � � 5 7& (*' ! �#$  �( 7X! � �C7�(8��! �R" (��� � % � % ! ������� J ' $ L � $ 5 � ! %

J & (*' L " � ¢ 3h�&� - �Y � a2S�

� ��� �M��(:7X! �� % j + � - � l � - � - SEa � .� a2S - � � ¢ 3 £ �&� �� F 7� 3 � G � a � � -21� � 7<5 � �7 ( � �

� � � � � � � � a ��� � 1 J 1 ( �]L � & � "

�� � 5 �Q(�! %

���63 ¢ � - � j + 1� - � lC- � .

� -21 � ¢ 3 £ �&� �� ¤25. N 1

�� 1 ( � � � 5 7& (*' ! (��#$  �( 7X! � �C7,5 ��! �R" (

� % � %Y ��� ��� J ' $ L�� � � � � � � ¢ � �&� - � � a2S�

� ��� �( 7X! �� % � ¢ � �&� � j + � - � l � - � - SEa � .� a2S - � � ¢ � £ �&�Y

Y �� F 7� 3 � G � a � � -21� ��� � � / � � � � 5 �&! %� SEa ��� � 1 ��3 ¢ � � J 1 ( � L � & � "

�� � 5 �Q(�! %

����� ¢ � - �

Y j + 1� - � lC- � .� -21 � ¢ � £ �&� �� ¤

26. N 1�� � 5 1 � � 5 1'65 & ! �

#$ 

�( 7�! � J & L 'J 1 L�� J 1 L ( ��' % ! � � - + � a 1 . � ���63 ¢ � - � a ��� Y S������ J � $ L � � 5 $ ! %$&% � ¢ 3h�&� - � � a ��

� ��� � �P5n'�! %� % �� 3P�&� � �

Y j + � - � -21� l �&- � - � a � a 1� .� a � - � � ¢ 3 £ �&� � ��� � � � / � j � a � F � �E(:7� � � � ( � G3 �� � a ��

� � 17

�j � a � - � F �O��(:7��� � � (�� GTj � -21 F � �E(:7��� � � ( � G � ¤

27. N 1�� � 5 1 � � 5 1'65 & ! ( �

#$ 

�( 7�! ( &(' J & L 'J 1 L � J 1 L ( ��' % ! � � - + � a 1 . � �� ¢ � �&� - � a ��� Y S�� ��� J � $ L � � 5 $ ! %$&% � ¢ � �&� - � � a ��

� ��� �43 ¢ � � � �P5:'�! %� %Y �0� � �&� � � j + � - � -21� l �&- � - � a � a 1� .� a � - � � ¢ � £ �&�

;9:P

Page 591: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� �Y � 3 � � / � � / ¢ � � � j � a � F �O� 5_7��� � � 5 � G

� 7� � a ��� � 1

7�j � a � - � F �O� 5_7� � � � 5 � GTj � -21 F � � 5_7� � � � 5 � G � ¤

28. N 1�� � 5 1 � 1 ( �'65 & ! �

#$  � % J & L�'J 1 L � ��'65 7�! ( ��' % ! � � - + � a 1 . � �� ¢ 3h�&� - � a ���

Y S�� ��� � � 5 $ ! %$&% j + � a � a 1� l � a � - S -;�&-21� .S - � � ¢ 3 £ �&� � a ��� ��� � �P5n'�! %

� %Y � � a � ��Q3h� � � � j + � - � -21� l �&- � - � a � a 1� .� a � - � � ¢ 3 £ �&�Y �

��� � � � / � j � a � ) �O��(:7� � � �&�C7 (8�]! , 3 �� � a ��� � 1

7�j � a � - � ) �O��(:7� � � �&�C7 (8�]! ,Y j � -21 ) �O��(87� � � �&�C7 (8��! , � ¤

29. N 1�� � 5 1 � 1 ( �'65 & ! ( �

#$  � % J & L ' � " 3 ' & � 8 � �C7,5n�]! "�� &(' �

J 1 L � ��'g5 7�! ( ��' % ! � S�� ��� � � 5 $ ! %$&%Y j + � a � a 1� l � a � - S -;�&-21� .S - � � ¢ � £ �&� � a ��

� ��� �43 ¢ � � ��'65 ��! %� %

Y ��$� � � � � j + � - � -21� l �&- � - � a � a 1� .� a � - � � ¢ � £ �&� � � � / � � / ¢ � � �

Y j � a � ) � � 5_7� � � 5 � � , 3 7� � a ��� � 1

7�j � a � - � ) � � 5_7� � � 5 � � , j � -21 ) � � 5_7� � � 5 � � , � ¤

30. N 1�� � ( 1 � � ( 1'65 & ! �

#$ 

�( 7X! � & ( J & L '� � 5n'�! % � � 5n'�! %Y � - + � a 1 . � �� ¢ 3h�&� � a2SEa ��� S - ������� J � $QL ��3 � � S - �

Y � a ��� ��� �43 ¢ � � J � 5 $

� L � � � � � � ��3 � 3 � � � a � - � � � a � F �7�(*� G - � � ;<9N

Page 592: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� Y �

��� � � � / � j � a � ) �O��(:7� � � �&�C7 (8�]! , 3 �� � a ��� � 1

7�j � a � - � ) �O��(:7� � � �&�C7 (8�]! ,

Y j � -21 ) � �E(:7� � � ���C7�(8��! , � ¤31. N 1

�� � ( 1 � � ( 1'65 & ! ( �#$ 

�( 7X! � � % J & L '� � 5n'�! % � � 5n'�! % � - + � a 1 . � �� ¢ � �&� � a2SEa ��� Y S�� ��� ��3 ¢ � � J � $ L � a ��

� ��� J � 5 $� L � � � � � � ��3 � 3 � � � a � - � F �7<5 � G � �

Y � � � / � � / ¢ � ��� j � a � F � � 5_7� � � � 5 � G 3 7� � a ��� � 1

7�j � a � - � F � � 5 7� � � � 5 � GY j � -21 F � � 5_7��� � � 5 � G � ¤

32. N 1�� � 5 1 � � 5 1& ( ' ! �

#$  �( 7X! � & � � %� J 1 L � J 1 L ( J ( 1 L ' ��3P�&� -21� �F ���(:7�G ���

Y S�� ��� �( 7X! "$9% J � $ L � a ��� ��� � � a � -21 J � 5 $

� L�� � � � 3 ¢ � � � ¢ 3 � 3 � � � a � - �Y F ���(:7 G � � j � a � -21 F 7 (*� �� � � � (8� G ¤33. N 1

�� � 5 1 � � 5 1& (*' ! ( �#$  �( 7X! � & � � % � 3 '#" � 8 � �C7,5n�]! "�' �� J 1 L � J 1 L ( J ( 1 L '

S�� ��� �( 7X! "$9% J � $QLY � a ��� ��� J � 5 $

� L&� � � � 3 ¢ � � � ¢ 3 � 3 � � � a � - � F �7<5 � G � � j � a � -21 F 7,5n�O�� � � � 5 � G ¤34. N 1

�� � 5 1 � 1 ( �& ( ' ! �#$  �( 7X! '%& � � " �� � �C7 (8�]! "��

� % J 1 L � J ( 1 L 'Y ����� �&-21 J' $ L � � � � � � � ¢ 3h�&� - � � a ��

� ��� � � 5 ��! %� % j + � - � -21� l S - � - � a � a 1� .� a � - � � ¢ 3 £ �&�

Y � �� ��� � / � j + - � -21� lC- S - � -21� .SEa � � ¢ 3 £ �&� � 7� SEa ��

� � 1� �

& �

��0�Q3h�� � � �

Y j + � - � -21� l � - S - � -21� .SEa � - � � ¢ 3 £ �&� j � -21 ) � ��(87� � � ���C7�(8��! , � ¤;<��

Page 593: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� �35. N 1

�� � 5 1 � 1 ( �& (*' ! ( �#$  �( 7X! '%& � � " �� � �C7 (8�]! "��

� % J 1 L � J ( 1 L 'Y ����� �&-21 J' $�L � � � � � � � a ��

� ��� � � 5 ��! %� % � ¢ � �&� - � j + � - � -21� l S - � - � a � a 1� .� a � - � � ¢ � £ �&�

Y � � � / � � / ¢ � � � j + - � -21� lC- S - � -21� .SEa � � ¢ � £ �&�� 7� SEa ��

� � 1�( 7�! �

����� �� � � � j + � - � -21� l � - S - � -21� .SEa � - � � ¢ � £ �&�

Y j � -21 ) 7<5n�O�� � ���C7,5 ��! , � ¤36. N 1

�� 1 ( � � 1 ( �& ( ' ! �#$  �( 7�! ( &(' ' % � " �� � �C7 (8��! ( "�'

� % � % J ( 1 L 'Y ��� ��� �C7 (8�]! "$9% j + � -;� a 1� l � a � a2S -;� a 1� .�&- � � ¢ 3 £ �&�Y � a2S�

� ��� ��3 ¢ � � - � J $ 5 �� L � � � � � � �43 � � � a2S - � � ¢ 3h�&� - �Y �

��� � � � / � j + - � -21� lC- � - � -21� .� a � � ¢ 3 £ �&� � 7� � a ��� � 1

� �

" ��

��63h�� � � � Y j + � - � -21� l � - � - � -21� .� a � - � � ¢ 3 £ �&� j � -21 � � �E(:7� � � ���C7�(*�]! � � ¤

37. N 1�� 1 ( � � 1 ( �& ( ' ! ( �

#$  �( 7�! ( &(' ' % � " �� � �C7<5 ��! ( "�'

� % � % J ( 1 L 'Y ��� ��� �C7<5 �]! "$9% j + � -;� a 1� l � a � a2S -;� a 1� .�&- � � ¢ � £ �&�Y � a2S�

� ��� ��3 ¢ � � - � J $ 5 �� L � � � � � � �43 � � � a2S - � � ¢ � �&� - �Y � � ��/ � � / ¢ � � � j + - � -21� lC- � - � -21� .� a � � ¢ � £ �&�

;<,

Page 594: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� � 7� � a ��

� � 1�( 7X! �

" ��

���� ��O� � � j + � - � -21� l � - � - � -21� .� a � - � � ¢ � £ �&�Y j � -21 ) �O� 5 7� � ���C7,5 ��! , � ¤

38. N 1 � m � �1 ! � �  7� � �� � � J m 5 1 L � J � 5 1 L� J m 5 � 5 1 LY � N 1 � � m ��� �m 5 � 5 1 ! 1 a � � � � N 1 � � m ��� �m 5 � 5 1 ! 1;- � � � � ¤

39. N 1 � m � �& ! � �  7� � � ��! �� � � J m ( 1 L � J � ( 1 L

� J m 5 � ( 1 LY � N 1 � � m (:7 ��� � (:7m 5 � ( 1 ! 1 a � � � 3 � � m (:7 ��� � (:7m 5 � ( 1 ! 1;- � � � � ¤40. N 1 J m �V7 ( m

� ! � L   � ¢ 3h�&� � -21 N 1 � � - � � � a ��-Q1��!� �&�C7 (8��! � = = � � @���� � B � 7�!C@MB

41. N 1�� m � �� � ! ( � �+ 1;- � . W

#$  � ¢ 3h�&� � N 1

�� m � m ( � 5 1� 5 1 ! � �#$ = = ��� @���� � B 7�� !C@MB

42. N 1��

� m � � ! �W

� + �,-Q1 .m 5 � 5 1#�

$  � ¢ 3h�&� � N 1 J � m � m 5 � ! �� m 5n� � L ¤

43. N 1 � m � � !� �&�C7 (8�]!m 5 � 5 1 �   � ¢ 3h�&� 1� -�� - � N 1

�� m ( � 5 1 � � ( m 5 1m 5 � 5 1 ! �#$

= = � � @ ��� � B � 7X!C@CB44. N 1 J ( ' � m� m ! � L   ��3 ¢ � � ' %��� m ! ' � ¢ 3h�&� ��� � �� F ��(*�� � 7�(*� G ¤45. ���� � � N 1 J (�' � m� m ! � L   ��3 ¢ � � � ¢ 3h�&� ��� � � F �E(*�� � 7 (8� G ¤46. N 1 J ( ' �V7� ! � L   ���'65_7X!�� D ¢ � �43 ¢ � � � ¢ 3h�&� + � a 1 . � � � a 1 F ��( �� � 7 (8� G9H ¤47.

  �( 7�! ''65_7 � ¢ 3h�&� ��� � � F ��(*�� � 7�(*� G ¤;<93

Page 595: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� �48. N 1 � (�' � �1 ! � �  

' %J � 5 1 L ' � ¢ 3h�&� ��� 1� - � -;� � ) * ��E(:7 , ¤

49. N 1 � (�' � �& ! � �  ��3 ¢ � � ' %� J � ( 1 L '%& � � -21� ]��Q3 ¢ � � a 1� � 1� - � -;� � a 1 ) * ���(:7 , ¤50. N 1 J ( ' �]'7 ! � L   7� � j � � ¢ 3 £ �&� � j �&-21 � ¢ 3 £ �&�� = '8>?7A@CB51. N 1 � (�' ��'& ! � �  

�( 7�! '7 ( � ' � D � � ��/ ��� � �O',�C7 (8��!� � � �&-21 ��/ ��� H = '8>?7A@CB52. N 1

�� ( ' � 1 (*'1 ! �#$  �0�Q3 ¢ � � � � )+* ���(:7 , ¤

53. N 1 � (�' � 1 ( '7 ! � �   � ¢ 3h�&� � j � F 7� 7 (8� G ¤54. N 1

�� ( ' � 1 (*'& ! �#$  7� 'g5 7 � -21� ��0�Q3 ¢ � � a 1� � � a 1 ) * ��E(:7 , ¤

55. N 1�� ( ' ��( ' ( 11 ! �

#$  �0�Q3 ¢ � � � � )+* ���(87 , ¤

56. N 1�� ( ' ��( ' ( 1& ! �

#$  7�]��'65_7X! � -21� ��63 ¢ � � a 1� �� � a 1 )+* ���(87 , ¤

57. N 1�� ( ' � 1 (*'1 ( �O' ! �

#$  ���O'�! %

J 1 L � ' F �� G � j � F 7� � G ¤58. N 1

�� ( ' ��( ' ( 1( 1 (*�O' ! �#$ �£ - � ���O'65_7X! %

J & L � ' � � a 1� j � a 1 F 7� � G ¤59. N 1 � (�' � m ! ���- � a 1 �   �( 7�! ' ' %

J 1;- ��- � L ' �� 3h�&� ��� � + 1A-�� -;� . � � F �O��(:7� � � � (8� G ¤;<!5

Page 596: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 60. N 1 � ( ' ��(�'1 (*' ! � �   �( 7�! ' ' %

J 1 L ' ��� 3h�&� ��� j � F � �E(:7��� � � (8� G ¤61. N 1 � (�' �V(�')( 1( �O' ! � �   F�3 �� G � � � ) * ¢ 3 7� , ¤62. N 1 � ( 1

�� 1�7 ! � �   �

� ��/ � � ¢ � 1� E � � � � �� �� �� � 5_7 � ¤63. N 1

�� 1� � 1�&� !

( � #$   �� J &� L� � �

� / � � / ��� ¢ � -21���Y �

K

� � 7� � � " �� � � �� �� � �g5 � � 5_7�! �� � � � K

� � 7� 3 � " �� � � �� �� � �65 � � 5_7V! �� � � � ¤64. N 1

�� 1� � &�1 ! �#$  � �� �

� � � � F �� G � F �� GY �� �

� £ 1� � � ¢ � / � � 1� � -21� K �� � �� � �C7,5 � ��! �� �� � �� � 5h�C7,5 � ��! �� �

��

� � £ 1� � � ¢ 3 / ��� 1� � -21� K �� � �� � �C7 ( � ��! �� �� � �� � 5h�C7 ( � ��! �� �

�� � �� ¤65. N 1 � 1� � &�7 ! � �

  � � �� ) / £ � " ¢ 3 / ¢ 3h� , -21�

K

�� � �� � � 7 ( � 7�(*� � �� �J � � 5 � 7�( � 7�(8� L �� �

��¤

66. N 1 � 1� � &�7 ! ( ���  � � �

� � ��� £ � £ / ��� ¢ � -21� �

K

�� � 7� 3 £ -21� ) 7,5 � � 5_7� 5n��5n� � � 5_7 , 1� �� ¤67. N 1

�� 1� � ��&� ! �#$ 

�� J &� L� � � ��/ � � ¢ � -21���

Y �K

� � 7� � � " �� � � �� �� � �65_7�! �� � � � K

� � 7� 3 � " �� � � �� �� � �65_7X! �� � � � ¤;<;

Page 597: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� �68.

  � �� �� � � � �� � �2IF �� G � 1� � K ) * 7� � � , � K ) * 7� 3 � ,

�� � � �� � � � 7<5 � 7�(*� � �� � 5 � 7�( � 7�(8� � �� � � " � � B

69. N 1 � 1� � ��7 ! � �   � � �� � ¢ � / ¢ 3h� � -21��� K

� � 7� 3 � " �� � �C7 (8��! �� �� 7<5 � 7 (8� � �� � � ¤

70. N 1�� 1� � 1�1 ! �

#$ 

�� J &� L� � �

�K

� * 7,5 � �� � � K

� * 7 ( � �� � � ¤71. N 1

�� 1�� 1�1 ! ( �#$ 

�� J &� L� � � �0��� ¢ � -21���

Y �K

� � 7� � 7� * �� 5 7 � � K

� � 7� 3 7� * �� 5_7 � � ¤72. N 1

�� 1� � 1�&� ! �#$ 

�� J &� L� � � F £ � � 3 �Q3 £ ��� ¢ G -21���

Y �K

� � 7� � �M� � (Q�]! �� �� ��� � � (Q��( �O�25)7 � �� � � � K

� � 7� 3 �M� � (Q��! �� �� ��� � � (Q��( �O�25)7 � �� � � �= � � � � 7 ��@CB

73. N 1�� 1� � 1�&� ! ( �

#$ 

�� J &� L� � �

� / �$� / �� ¢ � -21� Y �

K

� � 7� � �M� � 5T�]! �� �� � 5 � ��5)7 � � K

� � 7� 3 �M� � 5T��! �� �� � 5 � �25)7 � � = � � � �*( 7 ��@CB74. N 1 � 1� � 1�7 ! � �   �

� K ) * 7� 3 7� � ¢ 3h�&� 1� , ¤75. N 1 � 1� � 1�7 ! ( ���   � � �

� � ¢ � / �$� ¢ � -21� K F � �7<5 � � 5_7 G ¤76. N 1

�� 1� � 1&� ! �#$ 

� " � � �� J &� L� � �65_7�! �� �

Y �K

� � 7� � � �� �� �� � 5_7 � � K

� � 7� 3 � �� �� �� � 5_7 � � = � � � � 7R@CB;<9:

Page 598: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 77. N 1 � 1� � 17 ! � �   � � �

� � � 7�(8�65_7 � �� � K � * 7� 3 �C7�(*�]! �� �� � �C7 (8��! � �� � ¤78. N 1 � 1� � 17 ! ( � �   �

� � � K F � \� � G �� � � 7,5 �� � 5_7 � � � � 7,5 � � 5_7 � U��W � B

79. N 1 � 1�� &�7 ! � �   �

� � ¢ � / ��� -21� K ) � �� � � �� �� � �g5 7�! �� � , ¤80.

  �� � ¢ 3h�&� -21��� K � * 7�(n�C7�(8��! " �� �� � ¤

81. N 1 � 1� � &�7 ! ( ���   �� ���� ¢ � -21��� K

� � � � 5_7 (:7� � � 5_7 � ¤82. N 1

�� &� � &��� !

( � #$   �� J 1� L��� � ! � � � �� � � / � � / ��� ¢ � -21���

Y �K

� � 7� � � " �� � � �� �� � �g5 � � 5_7�! �� � � 3 K

� � 7� 3 � " �� � � �� �� � �65 � � 5_7V! �� � � � ¤83. N 1 � &� � ��7 ! � �   � � �

� � ¢ 3h�&� -21��� � ¢ � / ¢ 3h� � -21���Y K

� � 7� 3 � " �� � �C7 (8�]! �� �� 7�(*� 5 � 7 (8� � �� � � ¤

84. N 1�� &� ������ !

� #$   �� J 1� L��� � ! � � � �� � ��/ � � ¢ � -21���

Y �K

� � 7� � � " �� � � �� �� � �65_7X! �� � � 3 K

� � 7� 3 � " �� � � �� �� � �65_7X! �� � � � ¤85. N 1

�� 1 � 1&� ! ( �#$ 

�� J &� L� � � �0��� ¢ � -21��� � / � � / ��� ¢ � -21�

Y ��K

�� � 7� � � � � 5 � � �� �� �g5 � � 5_7 �� � K

�� � 7� 3 � � � 5 � � �� �� �65 � � 5_7 �� ��= � � �� ( 7 �X@B

86. N 1 � 1 � 17 ! � �   �� K �0/ ��� ¤

;<<

Page 599: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� �87. N 1 � 1 � 17 ! ( ���  

�� � � � 5_7�5_7 � K ) � � 5_7 (:7� � 5_7�5_7 , ¤

88. N 1 � 1 � &�7 ! � �   � � �� � ¢ 3 �&� -21��� � ¢ � / ¢ 3 � � -21�

Y K

� � 7� 3 �C7E(_��! �� �7�5 � 7E(_� � ¤89. N 1 � 1 � &�7 ! ( ���   �

� � � � � 5_7 K F � \� � G���� � 7<5 �� � 5_7 � � � � 7<5 � � 5_7 � U��CW �#B

90. N 1 � �� � ��7 ! � �   � � �� � ¢ 3h�&� -21� D £ 1� � � ¢ 3 / ¢ 3h� � 1� H -21�

Y K

�� � �� � �C7�( � 7�(8��! �� �� � �� � 5 � 7�( � 7 (8� � �� �

��¤

91. N 1�� &� � &�1 ! ( �

#$ 

�� J 1� L� � � � �0��� ¢ � -!&4���

Y �£E

� � 7� � 7� * �� 5_7 � � £ E � � 7� 3 7� * �� 5_7 �3 K

� � 7� � 7� * �� 5_7 � 3 K

� � 7� 3 7� * �� 5_7 � � = � ��� ��� � � � @�B92. N 1 � &� � &�7 ! � �   �

� � 7�(8� K ) * 7� 3 7��/ ¢ 3h� , ¤93. N 1 � &� � &�7 ! ( ���   � � �

� � � 5_7 � � � 5 7�5_7 � �� � K F � �� � 5_7�5_7 G ¤94. N 1

�� &� � &��� !

( � #$   �� J 1� L� � � � �M� � 5 ��! �� � � / � � / ��� ¢ � -21�

Y �K

� � 7� � �M� � 5 ��! �� �� �65 � � 5_7 � 3 K

� � 7� 3 �M� � 5 ��! �� �� �g5 � � 5_7 � � = � � �� ��@B95. N 1

�� &�� &�& ! �#$ 

�� J 1� L� � � � � �� � �

K

� * 7,5 � �� � 3 K

� * 7�( � �� � � ¤;<9L

Page 600: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 96. N 1

�� &� � &�& ! ( �#$ 

�� J 1� L� � � � � �� � �0��� ¢ � -21���

Y �K

� � 7� � 7� * �� 5_7 � 3 K

� � 7� 3 7� * �� 5_7 � � = � ��� ��� � � � @�B97. N 1 J m � �

��! ( 7 L  �£ -�� N 1� m � � ( �

��! 1 � ¤98. N 1 � m � m 5 � 5n'65_7m 5 � 5n'65_7 ! ( 7 �  �£ -�� N 1

�� m �V( � ! 1m 5 � 5n'65_7 #$ ¤99. N 1 J � � mm 5:' ! ( 7 L   � " (� � (:7X! % S -21�� ���TJ � (87$ L ��'�! " �C7�( '�! ( ")"�" �

� � $ 5:' � m ( $ !Y � a �&-21�

� ��� ��3 ¢ � � J $ 5n')(:7� L D�� F m ( $ 5 ��5_7� G 3�� F m ( $ 5 �� G9H = � >h7A@CB

100. N 1��

� m � ��- - � - �� a �<- � - � ! ( 7#�

$ �£ -�� -21 � £ � f � � / £ 3hf � � ¤

101. N 1��

� m � ��- &<- � � - & �� a � - � � - & � ! ( 7#�

$  � "�� " �

� � � � f � ¢ �P3hf�� � / � 3 f � � ¤

102. N 1 � 1� � 1�7 ! ( 7 �  �£ - � ��� � -!&4� ��F 7� G ��F � � G ¤103. N 1

�� (�' �V(�� ' ( &� & ! ( �#$  �43 £ � � � J �� L�'J & L ' = = � � @ ��� � B � !C@MB

104. N 1�� (�' �V(�� 'g5 && ! ( �

#$  �( � ! ' ���O'�! '

J 1& L ' J & L ' D�F 7� G � � 7� F 7� G � H = '8>?7 ! = � � @���� � B � !C@CB105. N 1

�� (�' �V(�� 'g5 � &1& ! ( �#$  �( � ! ' ���O')(87�! '

J ( 1& L ' J 1& L ' DXF]3 7�<G � � 7� F]3 7��G � H= '8>?7 ! = � � @���� � B �O!C@CB

;<9P

Page 601: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� �106. N 1

�� (�' � 1�- &A��& ! ( �#$  �43 ¢ �A+ � a 1 . � + &A�&-21 . � � 1Rl �&- � ��� ��� ��3 ¢ � ��� �&A��� � � l �&- � ��� �� = = � � @ ��� � B 7�� !C@CB

107. N 1�� (�' � - &A��1& ! ( �

#$  ��3 ¢ � + � a 1 . � + &A�&-21 . � � 1Rl �&- � ��� ��

� ��3 ¢ � ��� �&A��� -21 �� ¢ � £ J 1 L ' �J 1� L ' ���� � l �&- � ��� �� = '*> � ! = � � @ ��� � B 7 � !C@CB

108. N 1�� (�� ' ��( ' ( 1�

� & ! ( �#$  �43 ¢ � � � � '� '65_7 = = � � @���� � B 7 � !C@MB

109. N 1�� (�� ' (87 �V(�')( ��

�& ! ( �#$  �43 ¢ � � a 1 � � ' & �� '65 � = = � � @���� � B 7��O!C@MB

110. N 1�� (�� ' (87 �V(�')( �

�& ! ( �#$  �43 ¢ � � a 1 ��� � � ' & ���� '65 � !A��� '65 � ! = = � � @���� � B 7�� !C@MB

111. N 1�� 1� � 1�&� ! ( 1�

#$  � � � � 7<5 � � �� � � � � ��F 7� G �2IF �� G ��F ��<G ¤

112. N 1�� 1� � 1�7 ! ( 1�

#$ �£ - � ��� � -!&4� � F 7� G ¤

113. N 1�� &� � &�7 ! ( 1�

#$  � �� �

� � � � �2IF 7� G ¤114. N 1

�� &�� &��

� !( 1�

#$  � � (87� ���� � � � �� � � � � �2IF 7� G � & F 7� G ¤

115. N 1�� m � m 5 1� � a �� ! 1�

#$  / � F �� G � � J � � a �� L

� J � a &� L � J � a �� L = = � � @ ���C7�B 7�!C@MB116. N 1

�� m � 1;- �& � a �� ! 1�#$  F �� G �R� � J & � a �� L � J & L� J & � a �� L � J �� L = = � � @ ���C7�B �O!C@MB

;9LN

Page 602: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 117. N 1

�� m �V7 ( � & � a �� ! 1�#$  / � F �� G �R� � J & � a �� L

� J � a 1 L � J & L = = � � @ ���C7�B � !C@MB118. N 1

�� m � m 5 1���(*� m ! 1�

#$ 

� � � J �� ( � m L � J & L � J 1 &1 L� � � � J & ( m L � J 1 &1 ( m L � J �� L = = � � @ ���C7�B � !C@MB119. N 1

�� m � m 5 1��

�(*� m ! 1�

#$ 

� � � J �

�( � m L � J � & L � J 1 �1 L� � � � J � & ( m L � J 1 �1 ( m L � J �

� L = = � � @ ���C7�B �O!C@MB120. N 1

�� (�' �V(�'65 1�� '65 �� ! 1�

#$  J �� L � 'J & L ' J 1 &1 L ' )

� �� , � = = � � @ �����VB �O!C@MB

121. N 1�� (�' �V(�'65 1�� '65 �

� ! 1�#$  J �

� L � 'J � & L ' J 1 �1 L ' )� �� , � = = � � @ �����VB � !C@MB

122. N 1�� ( 1� � 1�7 ! 1�

#$  � " �� �� � � � D � F 7� G � � � F �� G9H ¤

123. N 1�� 1� � 1&� ! 1�

#$  � �� � � 7<5 � � �� � � ��F 7� G ��F 7� G � F �� G = = � � @ ��� � B � !C@CB

124. N 1�� 1� � &�7 ! 1�

#$  � �� �� � � � � F 7� G ¤

125. N 1�� m � 1 ! 1�(�� m � '65 &

#$

  � (' & � �� ('%& � �

�� �� 3hf � � � � � �� 3hf � � � � ���� 3hf� � � � �� 3hf � � � � ���� 3hf � � � � ���� 3 f

��� 1 � � � �

3 £ &4� ��3 � � �&- � �� ¢ 3hf � � � � � �� 3hf � � � � ���� 3hf��� � �� 3hf � ���� 3hf-� ¢)�� � 3hf

��� � � � � �

� 1 � ¢ �   � � ¡ �  �¡\� � 1 � ¡ �   � � ¢ �  �¢)�� 1 � � �   �43 ¢ � � � � ��� ������ � ��� & � F

� ��G � � � $ (:7X! %��')( � $ ! % � � $ (*'�! % J 1 ( m L "�C7 ( m ! " = ' �h7R@ �� � � �   � N & �� ( ��-Q1& �V( ��- & �V( � & 5_7��#7�( m( � 5_7 �V( ��- & � & ( m ! 7

#$ = ' �h7R@ �;9L1�

Page 603: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� �� 1 ��3 � �   � N & �� ( � & �V( ��-Q1& �V( ��- & � m( �E-Q1 �#7�( � � 1 ( m ! 7

#$ = '*>?7R@ �� ��3 � �   �43 ¢ � � � � � ¢ � � + � a 1 . � ������ � + � a 1 . � & � F

� � G � � � $ (87�! %��')(*� $ 5_7X! % � � $ (*')(:7X! % J m ( 1 L�"� m ! "= '*>?7 ! = � � @ @CB126. N 1

�� � 5 1 � m ! 1�(�� m 5n'65 & #$

  F � � G S � %�C7 � ! ( S������ � " � "$9% j + � -21� lC-!& � - SEa � a � a 1 .S - � F 7� GY �(�� m 5n'65_7X! " J ( � m 5n'65 & L�"J ( � m 5:'g5 & L " N 1

�� 1 � m ! 1�( � m 5 $ 5n'65 &

#$¤

127. N 1�� 1 ( � � m ! 1

�(�� m 5n'65 & #$  � " � ( �( � ! (�(�� m 5n'65_7X! ( S�� ����J � $ L ��3 � - �

Y �( � m 5n'65_7�! " ��� m ( � ( '�! ( ")" J ( � m 5n'65 & L)"J ( � m 5:'g5 & L " N 1�� 1 � m ! 1�(�� m 5 $ 5n'65 &

#$¤

128. N 1�� 1& � 1�� ! 1�

#$  � � �

� = = � � @ ����� � � @CB

129. N 1�� 1 � &�

� ! 1�#$  � " � �� � � � � � F 7� G = = � � @ ����� � � @CB

130. N 1�� m � � ! 1� a � a �

#$ 

� � � J � a � a � LJ � - ��- � L ' ��� ����J ' $ L �43 £ � - � �0fI� �

Y �� 7� J � a � a 1 L � J � a � - � L � 7

� J � a � L � J � a � - � 5_7 L��¤

;9L�,

Page 604: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 131. N 1 � m ��')( m

� ! 1 �  �£ �&- � / � � � � !�( m ! ' ��� ��� J ' $,L ��3 £ � - � �f�� �K3 � � �Y �� 7

� J � a � a � - � L � J � - � a � - � a 1 L� 7

� J � a � a � - � a 1 L � J � - � a � - � L��¤

132. N 1 � m �V(�')( m� ! 1 �  �£ - � / � � � � � � !� m 5 � ! ' ��� ��� 7$9% j + � a � l � - � -;� .�&- � � ¡ �

Y �� 7� J � a � - � L � J � - ��- � a 1 L � 7

� J � a � - � a 1 L � J � - ��- � L��¤

133. N 1 � m � m (*� � 5 �m ( � 5n' ! 1 �  � � � � m ( � 5n'�!�( � ! ' � � ( � ! ' � m (*� � ! (

Y ��� ��� £ - � J ' $ L&�fI� � �fg3 £ �O� � ��� 3hfT3 � � �&- �Y S�� ��� £ - � J � � L �0f�� � � � �0fg3 £ �'� � � S

Y �� 7� J � a � a � ( � L � J � a � a � a 1 L � 7

� J � a � a � a 1 ( � L � J � a � a � L��¤

134. N 1 � m � m (*� � (*'m ( � ! 1 � �� � / � � � m ( � !� � ! ' ������� � " � "$&% �fI� � �fT3 £ �O� � j + � a � -21Rl � - � a � -;� .�&- � � ¡ �

Y �� 7� J � a � a 1 L � J � a � ( � L � 7

� J � a � L � J � a � a 1 ( � L��¤

135. N 1 � � 5 7 ��'65_7��5

� ! 1 �   ��3 ¢ � � -21 £ SEa � a 1 F � � � 3 ¢ GY S�� ��� �(�� ! "��

� % F � � � 3 � 3 ¢ G � j + � l � � � a � a � - S -;�&- .S - � � ¡ �Y ������� �( �O! ")"$&% � � � � � � 3 ¢ � � j + � l � � � a � a � a � -;�&- .�&- � � ¡ �

;9L3

Page 605: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� �Y � � � � � �

�� 3 £ � � � �� -21�

� ��� � � � D� £� � ¢ � �� H � � � � D� £)� � ¢ � �� � H3 � a � a � - �

� ��� �( 7�! ��P5 � = � � � 7���� �&B B�B ! � � 7 ��� �&B�B B ��')(:7 ! ' � � � � �&B�B B�@CB

136. N 1�� ( 1

�� 1�7 ! 1#$  � " � �

� � � D ��F 7� G ��F � � G ��� ��F �� G ��F �� GIH ¤137. N 1

�� 1� � 1&1 ! 1#$ 

� � � � ( � � � � � � 5n� ��� �� �� �� J 1 � L � J 1& L� J 11 L �

� J 1� L = = � � @������VB 7 � !C@CB138. N 1

�� & � ��& ! 1#$ 

� � � �g(*� � � � � �6( � ��� �� �� � � � � � J 1 � L � J 1� L � J 1& L� J 1 & � L = = � � @�������B 7 7�!C@CB139. N 1

�� 1� � 1�1 ! &�#$  � � � � 7<5 � � �� � � ��F 7� G � F �� G ��F �� G = = � � @���� � B 7X�O!C@CB

140. N 1�� 1� � 1&� ! &�

#$  F � � G &4��� = = � � @ ��� � B � !C@CB

141. N 1�� 1 � &��� ! &�

#$  77�� � � � � F 7� G = = � � @ ��� � B � !C@MB

142. N 1�� &� � &�& ! &�

#$  � � (:7� �� � � �� � � � � �2;F 7� G � & F 7� G = = � � @ �����VB �O!C@CB

143. N 1�� m � m 5 1� � a & ! �

#$  / � � � � J � � a �� L

� J � a &� L � J � a �� L = = � � @ ��� � B 7�!C@MB144. N 1 � m �#7�( � m& ! �

�   �� � ��� � F � �� 3 � f G = = � � @ ��� � B �O!C@MB

145. N 1 � m ��� ( � m� & ! �

�   / � � "�� � J 1� L� � J m 5 1� L � J & ( m L = = � � @ ��� � B � !C@MB146. N 1

�� m � m 5 1�� � a 1& ! �

#$ 

7�� � � � � J � � a �1 L � J � a �� L � J & L � J &� L� J � � a �1 L � J � a & L � J �1 L � J �� L = = � � @ ��� � B � !C@MB;9L95

Page 606: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 147. N 1

�� m � m ( 1�� � a 1& ! �

#$ 

7�� � � � � J � � a 11 L � J � a �� L � J 1� L � J & L� J � � a &1 L � J � a & L � J 11 L � J �� L = = � � @ ��� � B �O!C@MB148. N 1

�� ( 1� � 1�7 ! �

#$  � " �� ���� � ! � � D � F 7� G ��� � F �� GIH ¤

149. N 1�� 1� � &�1 ! �

#$  � � �6(:7 � � � � � � (:7 � � � � 5 � �6(:7 � �� �� ���� � � �� � � �Y �2 F 7� � G � F 7� G �2 F �� G � F 7 77X� G = = � � @���� � B 7X�O!C@CB

150. N 1�� 1� � &�7 ! �

#$  � �� ���� � ! � � �2 F 7� G ¤

151. N 1�� �� � ��& ! �

#$  � �� � � � � � ( � �g(:7 � �� �� � �Y � � �

�� � � � �� � ��F 7� � G ��F 7� G ��F � � G ��F 7 7� � G = = � � @ �����VB � !C@CB

152. N 1�� 1� � 1&1 ! � �

#$  � � �� = = � � @������VB 7��O!C@MB

153. N 1�� & � ��& ! � �

#$  � � �7�� � � � �2IF 7�<G �2IF 7� G = = � � @�������B 7X�O!C@CB

154. N 1�� &� � ���� ! �

� �

#$  � " �� � � � �

� � � � � F 7� G ¤155. N 1

�� 1� � 1�1 ! � &� �

#$  � � 5 � � � �� �� � � � �� � � � � ��F 7� G ��F � � G ��F � � G � F �� G = = � � @���� � B 7 � !C@MB

156. N 1�� &� � &�& ! � &� �

#$  � � (:7

� � � � � � � � ��F 7� G ��F � � G ��F � � G �2IF 7� G = = � � @ �����VB � !C@CB157. N 1

�� 1� � &�1 ! � �

� 1#$  � � � � 7<5 � � � �� �

� � � �2IF �� G � & F �� G = = � � @���� � B 7 7�!C@CB158. N 1

�� 1�� 1&� ! � �

� 1#$  � � 7<5 � � �� � � �� � � � � ��F 7� G ��F � � G ��F � � G �2IF �� G = = � � @ ��� � B �O!C@CB

;9L�;

Page 607: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� �159. N 1

�� �� � ��& ! � �

� 1#$  � � � � � �6(:7 � � �7O7X� � � � �2 F 7� G � F 7� G = = � � @ �����VB � !C@MB

160. N 1�� 1� � &�1 ! � �

� 1#$  � �� � � � � � 5 � � � 5 7 � �� �� � ��� � �� � � �Y ��� � � �� � � � �

� �� � � F �� � G ��F �� � G ��F 7 �� � G � F � �� � G = = � � @ ��� � B 7 � !C@B161. N 1

�� 1� � 1&� !

� �� 1#$  �

� = = � � @ ��� � B � !C@CB162. N 1

�� 1 � &��� !

� �� 1#$  �� ��� � � � � � � F 7� G = = � � @���� � B 7�� !C@CB

163. N 1�� �� ����& ! � �

� 1#$  � � � � � � �6( � � �6(87 � �� �� �� � � � � � �Y � � �

�� � � � �� �� � ��F 7� � G ��F �� � G ��F 7 7� � G ��F 7 �� � G = = � � @ �����VB � !C@CB

164. N 1�� 11 � �1 1 ! � �1 �

#$  7<5 � �� ���� � � � F �� G 1��� ��F 7� G ��F �� G � F �� G = � � @B

165. N 1�� 11 � �1 1 ! 1 11 �

#$ 

�� 7 � � 7<5 � � �� � �� � � � � � & F 7� G �2IF �� G = � � @B166. N 1

�� 1� � 1&1 ! 1 11 �#$  � �� � � � �6(:7 � �� �� ���� � � �� � � �Y ��F 7� �<G ��F 77 ��G ��F �7 ��G ��F 7 �� �<G �2IF �� G �2IF ��<G = = � � @ �����#B � �O!C@B

167. N 1�� & � ��& ! 1 11 �

#$  � � � � � � �6(:7O7 � �� �7 7 �R� � � � � ��F 7

� ��G ��F 7 �� �<G ��F 77���G ��F �7���G= = � � @ �����VB 7 � !C@B

168. N 1�� 11 � �1 1 ! 1 & &1 & &X1

#$  � �� 7 7� = � � @B

169. N 1�� 1� � &�1 ! � � � � � 1

#$  � � �

� = = � � @���� � B 7�� !C@CB;9L:

Page 608: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 170. N 1

�� �� � ��& ! � � � � � 1#$ 

� �� � � � � * �� �2 F 7� G �2 F �� G = = � � @�������B 7�� !C@CB

171. N 1�� &� ������ ! � � � � � 1

#$  � " � � 7��]7 � �� � � � � � F 7� G N 1

�� m � � � a 1� � a �� ! 7 � (:7�� � � #$  � � -��R� �� � £ / £ � � � � � J � a �� L

� J � a &� L � J � a �� L ¤172. N 1

�� m � � � a 1�

� � a 1& ! 7�� � �6(:7�� #$   -��R� � � £ / £ � � � � � J � a �� L� J � a &� L � J � a �� L ¤

173. N 1 � ( 1 �V( 17 ! � (*� � � �   � " �� �� � �

� / £ 3 ¢ � 1� D � F 7� G � F � � G ��� � F �� G � F �� G9H ¤174. N 1

�� ( 1�� 1�7 ! � � - � � � � �

#$

  � � 5 � � � " �� �� � � � � � D� ¢ � / £ � ��F 7� G ��F � � G ��� ��F �� G ��F �� GIH ¤175. N 1

�� ( 1� � 1�7 ! � � -Q1 � � � � ��1

#$

  � " �� �� � � � � ¢ � £ / £ � -21� D� ¢ � / £ � �2IF 7� G � � �2IF �� GIH ¤176. N 1

�� 11 � �1 1 ! & � 1 � a � � � � 1 � �#$

  � " � � � 7<5 � � �� � � ) � 5:� � �� 5 � � , 1��� ��F 7� � G ��F 7 7� � G � F �� G = � � @B177. N 1

�� 1� � &�1 ! � � � 1 � 7�� � �6(:7 � � � #$   �� � � / £ � � � 1� = = � � @ ��� � B � !C@CB178. N 1

�� 1� � &�7 ! & � � 1 � � ��� � �6( � � � ! #$   � � 5 � � � �� �� ���� � � � � ��F 7� G ��F �� G ¤;9L�<

Page 609: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� �179. N 1

�� 1� � 1&1 ! & ��� 1 � � � - �� W�� � �

#$  �� � / � � ¢ � = = � � @������VB 7 � !C@CB

180. N 1�� 1� � 1�1 ! ( ��� 5 � � � � #$   � � 5 � �

� � � = = � � @ ��� � B � !C@CB181. N 1 � 1� � 1�7 ! ( � �K( � � � � �   � � ( � � � �� �� � � � ��F 7� G ��F � � G ¤182. N 1 � 1� � 1�7 ! � � � �6( � � �   7� � � � � � � ¢ � / £ � 1� ��F 7� G ��F �� G ¤183. N 1 � 1� � 1�7 ! ( 7��#��� � (:7 � � � ! �   � " �� �� � � � � £ � / � 1� ��F 7� G ��F 7� G ¤184. N 1

�� 1� � 1�7 ! � - � � �

#$  � 7,5 � � � �� �� � � � ��F 7� G ��F �� G ¤

185. N 1�� 1� � 1�7 ! 1 � � &K- �1 �

#$  � " �� ���� � ! � � � £ � / � 1��� � F 7� G � F 7� G ¤

186. N 1�� 1� � 1�7 ! 1 � � - � � � &

#$  7� � � � � � � � ¢ � / £ � 1� �2;F 7� G ¤

187. N 1�� 1� � &�7 ! �

� �

��� � �6(87�! #$   � � 5 � � � � �� �� � � � ��F 7� G ��F � � G ¤188. N 1

�� 1�� &�7 ! 1 �

� ��1 �C7�� (:7 7 � �9! #$   � 7X� ( � � � � �� �� ���� � � � � �2IF 7� G ¤189. N 1

�� 1� � &�7 ! � � -Q1 � � � � ��1

#$  � �� �� � � � � ¢ � £ / £ � 1� �2;F 7� G ¤

190. N 1�� &� � ��7 ! � �1 & � �C7�� � � � ( � � � ! #$

  � " � �7O7 � � � F �� G &4��� � £ � � �!¢ � ¢ � � � � / � 1��� ��F 7� G ��F 7� G ¤;9LL

Page 610: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 191. N 1 � 1 � 17 ! 7 � (:7X� � � �   � � 5n� � � � �� �� � � � � � � F 7� G ¤192. N 1 � &

�� &�7 ! � � � �6( � � �   � " � �

� � � � � ¢ � � � � / £ � 1� ��F 7� G ��F �� G ¤193. N 1

�� &� � &�7 ! � - � � �

#$  � " �� �

� � � � � ¢ � � ¢ / £ � 1��� ��F 7� G ��F �� G ¤194. N 1

�� &�� &�7 ! 1 � � &K- �1 �

#$  � �� � � " � �7 7 � � � � � �£ ��� � ¢ / � 1��� ��F 7� G ��F 7� G ¤

195. N 1�� &� � &�7 ! 1 � � - � � � &

#$  � �� ���7 � � � F � � £ � 7O7�� �� � G 1��� �2 F 7� G ¤

196. N 1�� &� � &�& ! � � � � ( ���

#$  � " �� �

� � � � � � � / � &4��� � � F 7� G ¤8.1.2. The hypergeometric function 3F2(a1, a2, a3; b1, b2; z)

1. & N � m � � �V7 ( � ! �� a � � ��- � a 1 �   7,5 � �

� �C7 ( � ��! � & N �� �& � � a 1& � � a & ! ( � �+ 1;- � � . �� a � � ��- � a 1#$

� �� �C7 ( � �]! � " � & N �� ��-Q1& � � & � � a 1& ! ( � �+ 1;- � � . �� a � � � - � a 1

#$ = ( 7 � � � � 7 � ! = � � @ �����O!C@CB2. & N � m � � � � ( � ! �

� a � a 1 � ��- � 5:� �   � m 5 � (:7X!A� � ( m (*�O!7X�#� � (87�!A� � (*� !����C7�( � �]! � " �Y �� 7,5 � �7�( � � & N �� � & � � a 1& � � a & ! ( � �+ 1;- � � . �� a � -Q1 � ��- � 5 7 #$

3 & N �� ��-Q1& � � & � � a 1& ! ( � �+ 1;- � � . �� a � -Q1 � ��- � 5_7 #$��� = ( 7 � � � � 7 � ! = � � @������ !C@CB3. & N J m 5_7��V( m � �m � ��! � L   � ¢ 3h�&� - � & N �� � � m 5

�(:7 � � a a 1

�� � a ;-Q1 ! ��,-Q1

#$

= � ��� � �M7�(8��! � � � @CB;9LP

Page 611: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� ,4. & N � m � m 5 1 � � ! ( � �+ 1;- � . W�

��� m 5 � (�5_7 �   � ¢ 3h�&� � & N J � m ��� m (

�5_7 �

�( � ! �

���� m 5 � ( � 5_7 L ¤

5. & N ��� m � m 5 1& � m 5 & ! � � W� + 1;- � . �� � � m ( � 5 &

#�

$

  � ¢ 3h�&� & � & N � � m � � ( 1 � � m ( � 5_7 ! � �� � (87 � � m (*� � 5:� � ¤6. & N � ( ' ��( ' ��( ' ! �1 (*' �V(�� ' �   F]3 �� G � �� ' %

J 1 L ' j � ) * ¢ 3 7� , �� ¤7. & N �� 1� � 1� � 1�1 � &� ! (��

#$ 

�� J &� L� � � / � � / ��� ¢ � -21�

Y �K

� � 7� � � " �� � � �� �� � �65 � � 5_7 � �� � � � K

� � 7� 3 � " �� � � �� �� � �65 � � 5_7 � �� � � � ¤

8. & N � 1 � 1 � 17��V7 ! � �  �� � K � * 7�( � 7�(8�� � ¤

9. & N � 1 � 1 � 17��#7 ! ( ���   �� � � � � 5 7�5_7 � K F � �� � 5_7�5_7 G ¤

10. & N �� 1 � 1 �#7& � & ! �#$  7� � � � � � � / ���<3 � � ��3 / ���0� ¤

11. & N �� 1 � 1 �#7& � & ! ( �#$  7� � � � £ ��� � � / � � / �

� � � £ ��� � � / ��� � � ���:3 £ ��� � � / ���� ¤12. & N �� 1 � & � � & ! ( �

��&�C7 (8�]! " �& � &

#$  �C7 (8��! � �� � �� ��� � / �

�� � � � � � � �&�C7 (*�]! " � � � � 7 � B

;9PN

Page 612: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 13. & N �� 1 �#7��#7&

�� �� !

( � #$   7� �� � �M� 5_7�! �� � � � � �� 5n� ��� �� � � � �� � �� � � � \ �

� � � �� 5n� � � �� � � � �� ��� � � �

� � �)( � � 5_7�5_7 � �� �� � �� � � � � " �� � � � �g5 � � 5_7 � 7 � �� � � B14. & N �� 1 �#7��V7 ! �& � &

#$  7� � � �

� ���� � ��� � � � / � � 7 ( � ����� ��� � � �7<5 � ����� ��� � � �� � � � � � 3 �

���� � ��� � � � �K3 ��� � � � � ���� � ��� � � � � ¤

15. & N �� 1 �#7��#7& � & ! ( �#$  7� � � �

� � � � � / � � / �$� ¢ � � � �65 � � 5 7 (:7� �65 � � 5 7�5_7� � � � ) 3 7� �65 � � 5 7 , 3 � � � ) 7� �65 � � 5_7 , ¤

16. & N �� 7��#7 � & ������ !

( � #$   ��O� � � �M� 5 7�! �� � � � � �� 5:� � � �� � � � �� � �� � � � \ �

3 � � �� 5n� ��� �� � � � �� �� ��� �

� � �)( � � 5_7�5 7 � �� �� � �� � � � � " �� � � � �g5 � � 5_7 � 7 � �� � � B17.

 �� J &� L� � F ¢ � £ �63 £ � � � � G 1���Y �

K ) * 7� � 7� �� � F � � � �83h� G 1� ,� K ) * 7� 3 7� �� � F � � � �83h� G 1� , ¤

18. & N �� &�� &�� &��

�� & ! ( �

#$ 

�� J 1� L� � � � �� � � / � � / ��� ¢ � -21�

Y �K

� � 7� � � " �� � � �� �� � �65 � � 5_7 � �� � � 3 K

� � 7� 3 � " �� � � �� �� � �65 � � 5_7 � �� � � � ¤

;9P1�

Page 613: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� ,19.

 �� J 1� L� � � �C7<5n� �E(*� � � � 5 ��! � �� � � 5 �)(8�Y �

K ) * 7� � 7� �� � F � � � �83h� G 1� ,3 K ) * 7� 3 7� �� � F � � � �83h� G 1� , ¤

20. & N � 1� � 1 � &�7��#7 ! � �   � � �� � � £ 3h��� £ / ¢ 3h� � -21���

Y K �� � 7� 3 ) 7 ( � 7 (8��O� , 1� �� ¤21. & N �� 1 � 1 � 1&� � �� ! ( �

#$  7� �� � � � �� � � / ��� ¢ � / � � -21�

Y �K � � 7� � � " �� � � �� �� � �g5 � � 5_7�! �� � � 3 K � � 7� 3 � " �� � � �� �� � �65 � � 5_7V! �� � � � ¤

22. & N �� 1 � 1 � 17�� & ! �#$  �

�+� � � �∫� K � ��� � ¤23. & N �� 1 � 1 � 17�� & ! (��

#$  �

�+� � / �A� + � a 1 .∫� K� � !7�( � � � ¤

24. & N �� 1 � 1 � 1& � & ! �#$  7� � � � � £ �� ��� � / ��� � ��� ���� � � �� � � � £ / ��� ¤

25. & N �� 1 � 1 � 1& � & ! ( �#$  7� � � � �7X� 3 7� � �0/ � � / ¢ � ��� �� � � / � � / ¢ � � � � � ¢ � / � � / ¢ � ��� � � � �43 / �:3 / ¢ � ���3 � � � ¢ 3 / �83 / ¢ � ��� ¤

26. & N � 7��#7 �#7& � & ! � �  7� �

�� � ��� � � �∫�

� � �� �E( ��� � � � ¤

;9P�,

Page 614: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 27. & N � 7��#7 �#7& � & ! ( � �  

7� � � � + � � a � � a 1 .∫�� � �

� �E( ��� ��� � � ¤

28. & N J m � � � �� � � ! 7 L   � ���#! � � � ! � ���K5 � ( m ( � (�!

� ��! � ���K5 � ( m (

�! � ���K5 � ( � ( � !Y & N J �P(

�� � ( � ���K5 � ( m ( � (

��K5 � ( m (����K5 � ( � ( ��! 7 L = � � � � � � ���K5 � ( m ( � (

�! � � @CB

29. & N J m ( ' � � (*' ��(*'

�P( ' � � ( ' ! 7 L  7�C7�(��#! ' �C7 ( � ! ' ��� ��� ��3 ¢ � � J ' $�L � ¢ 3�I� � � � 3 � � �

Y � � 3 � � �&- � � g3hfg3��O� �&- � & N J m � � � � ( $ ! 7�P( $ � � L ¤30. & N J m � � � ��! 7� m 5 � 5_7�� m 5n� � 5 7 L   �#� m 5 � !�( ��]� m 5 � ! & N J m 5_7 � � 5_7��

��! 7� m 5 � 5_7 � m 5n� � 5_7 L= � � ��� m 5:� � ( � ! � � ! = � � @ @CB31. & N � m � � � ��! 7m 5_7��]� m ( � ( � 5 �

� a 1 5 � �  � m 5_7X!A� m ( � 5:�O!A� m (

�5n�O!� m 5n� !A� m � 5 � m ( � ( m � ( � ( m � 5 � �

5n�O!Y & N � m 5:� � � � ��! 7m 5 � ��� m ( � ( � 5 �

� a 1 5 � � � � � ��� m (*� � (*�

�5 �

��� �! � ( � ! = � � @ � B

32. & N � m � � � ��! 7m 5_7���5 � + ��- a 1 .� -Q1 5_7 �   � m ( � 5n�O!A� m � 5 m (

�( m � 5 � �

!� m 5_7X!A� m � 5n� m ( m � ( � ( m � 5 � �!

Y & N � m 5_7 � � (:7����! 7m 5n� �

�5 � + � - a 1 .� -Q1 � = � � � m � m (

�5_7�! � � (:7�!95 � ! � � ! = � � @ @CB

33. & N � m � � � ��! 7m 5_7�� �-�� a � a �

  m � 5 � 5 �5 � �

( m � � 5 �5_7�!( m 5 � 5 �

5 � � & N � m � � 5_7���5_7 ! 7m 5_7�� �-�� a � a 5n� �

= � � = � � �( m 5 � 5 �!95 � 5 �

@ � � ! = � � @ @CB;9P3

Page 615: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� ,34. & N J m � � � ��! 7m 5 7 ��� L

  � m ( � 5_7X!A� m (�5 7�!A� m (

�5n�O!A����(:7�!� m 5_7X!A�

�(:7X!A� m (��K5 7�!A� m (��K5n� ! & N J m 5_7�� � �

�(:7m 5n�����P(87 ! 7 L3 m � m ( � 5_7X!95h�

�(:7X!A� � (��K5 7�!�

�(87�!A� m (��K5_7X!A� m (��K5:�O! � ���#! � ����( � (

�5_7�!

� ���P( � ! � ����(�!= � � = �P( � (�@ � ( 7 ! = � � @ @CB

35. & N � 7 � m �#7 ( m& � � ! 7 �   � � " � � ���� = � m ( � ! � @ � ��� � (:7X! � � m ( � 5 7�!��� m (:7�! � � m 5 � (:7X!� � � " � �R� � (:7�!��� m (87�!A� m ( � 5_7�! N 1 J � (*� � � m ( � 5_7m ( � 5n� ! ( 7 L = � � � � 7 �X@B

36. & N J m � m �V7� m ��� m ! 7 L   � � � " � � � ��� m (:7X! � ��� � � m � !� 7 m �� J m ( 1 L�� � m !� � m (87m (:7 & N J m � m �V7 ! 7� m ��� ( m L = 7 � � � � m � 7 ! = � �

@���� � � � !C@B37. & N �� m � m 5 1 �#7 ! 7� m 5 1 �

� m #$

  � ��� � " � � � � " � � � � � � m (:7�! � ��% ��� m � !� m (:7 �� J � m ( 1 L

� J � m ( 1& L � ��� m ! � J � m 5 1& L� � m (:7� m (:7 & N � � m � � m (87 �#7 ! 1� m ��� ( � m � = � � m � 7 � ! = � �@��&� � � � !C@CB

38. & N �� m � 1 �#7 ! 7m 5 1 ��� m#$  � � � " � ��� � m � !� m (:7 �

� J m 5 1 L� � m ! � J � m ( 1 L� � ��� m (:7X!� � m (87�! & N �� m �]� m ( 1 �#7 ! 1�m 5 1 ��� ( m #$ = � � m � 7 � ! = � �@ ��� � � � !C@CB

39. & N � 1 � 1 �#7m � m ! 7 �  �£ � -!& / � ��� � ��0f ��� �� � m ! � � m (:7X!

�� J m ( 1 L� �#� m (:7�!� m ( � & N �� 1 �#7�� m ( 1m � � ( m ! 7#$ = 7 � � � m � � � ! = � �

@��&�C7����O!C@CB40. & N �� ( ' � m � m 5 1� � � 5 1 ! 7

#$  ' % ��� � (*� m ! '��� � ! � ' j + � a �&-21Rl � - � - � .� � � ¤

;9P95

Page 616: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 41. & N � (�' � m � � ! 7� a � a 1 �

��   J 1;- ��- � 5

� L '��! ' & N �� ( ' � ��- � a 1 � � - � a 1 ! 7

� a � a 1 � 1;- ��- � 5�

#$¤

42. & N J (�' � m � � ! 7� m � � ( m (*'65_7 L   � m ! ' ��� m ( � ! '� � m ! ' � m ( � ! ' ¤43. & N � (�' � m � � ! 7m (*'65 1 � � 5 1 �   J � ( m 5 1 L ' J 1 L 'J 1 ( m L ' J � 5 1 L '

¤

44. & N �� ( ' � m � 1 ( m (*' ! 7� � � 5 1

#$

  ��� � (*� m ! � '��� � ! � ' & N � (�' � m �#7�( � � (*� ' ! 7m ( � (*'65 1 � m ( � ( 'g5 7 � ¤45. & N �� ( ' � 1 (*' � m ! 7

� � � 5 1#$  ��� '�! %��� m (*� � 5_7X!A��� � ! � '

Y D £ f j + � -�� -21Rl � - � - � a 1 . � � ��3 � £�� � ¢ � j + � -�� - l � - � - � . � a 1 � � H= = � � @ ��� � B 7 � !C@CB46. & N J ( � (*' � m � � ! 7

�( � � m 5 � ( � L  � m (

�! ( & � � � ( � ! ( & ��C(

�! ( & � � m 5 � ( � ! ( & � & N J ( 'g5_7�� m � � ! 7

�5_7 � m 5 � ( � 5 � 5_7 L = '*>?7R@CB

47. & N � ( ' � m � � ! 7� - � � ��- � a 1 �   �( �O! ' ' %�C7�( m ! ' j + -;�&- � l � -�� .� � ¡ � ¤

48. & N � (�' � m � � ! 7� - � � m 5 � - � 5_7 �   � � 5n'�! J m ( � a � 5_7 L '� � (*'�! J ( m ( � a � L�' ¤

49. & N � ( ' � m � � ! 7� - � � ��- � a 1 �

  ' %�C7 ( m ! ' D j + � -�� -21Rl � -;�&-21 .� � ��� £ j + � -���l � -;� .�&-21 � � H = '*>?7R@CB50. & N � (�' � m � � ! 7� - � a 1 � � - � 5_7 �   ' % �� � 5n'�!A�( � ! ' j + � - � -21Rl � -;�&-21 .� � � ¤

;9P�;

Page 617: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� ,51. & N � ( ' � m � � ! 7� 5:� � ��- � a ���E- � � a � � - ��-Q1� �

 ��'65_7X!A� � 5_7X! J � - ��- ��� a � a 1� L '� � 5n'65_7X! J � - ��- � � - ��� a � a 1� L ' = = � � @ ���C7�B � !C@MB

52. & N �� ( ' � 1� � 1 ! 7� - �R��� � - �R��

#$  7 ( � '7<5 � ' ¤

53. & N � ( �O' ���O'65 7 � 17�(*� m �#7<5n� m ! 7 �   & N � ( ' �]'65 1 � 17 ( m �V7<5 m ! 7 � ¤54. & N � (�� ' � m � � ! 7� m � � (*' �   J 7,5 � L�'J 7�( � L ' & N

�� ( ' � m 5:' � � a 1 ! 7m 5 1 � � 5_7 #$¤

55. & N � (�� ' � m � � ! 7� m � � (*' �   J m ( � L ' J 1 L 'J m 5 1 L ' J 7 ( � L '¤

56. & N � ( �O' � m � � ! 7� m � � a 1 (*' �   J m 5 1;- � L ' J 1 L 'J m 5 1 L�' J 1;- � L�' ¤57. & N � (�� ' (:7�� m � � ! 7� m � � (*' �  �¡\¤58. & N �� ( � � 1�- � � mm 5 1 � � ! 7

#$  � m ! '��� m ! ' & N J (�' � m �#7�( � (*'7�( m ( ' � � ! ( 7 L = = � � @���� � B 7 � !C@MB

59. & N �� ( � � 1�- � � m� � � 5 1 ! 7

#$

  ' %��� � ! ' D j + � -�� -21Rl � - � -;�&-21 .� � � � j + � -���l � - � -;� .�&-21 � � H = '*>?7R@CB60. & N �� ( � � 1;- � � m ! 7

� � m ( � (*'65 & #$  J � ( 1 L ' ��� � (*� m (87�! '��� � (:7X! ' J � ( m ( 1 L '

¤

61. & N �� ( �& � 1;- �& � - �&m � 1 (*' ! 7#$  ' %� m ! ' F �� G � j + � a � - l -!& � -!&A� .� F 7� G ¤

;9P:

Page 618: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 62. & N �� ( � � 1;- � � m ! 7

��- � a 1& � ��- � a &#$  � � ' ' %�C7 ( m ! ' j + -��R� &�- ��� & l � -;�&-21 .� F �� G ¤

63. & N �� ( ' � � 5 m � � a 1 5 m � a 1& � � a & ! 7#$  � ' ' %��� m ! ' j + - � �R� &�-;�9l � -21 .� F �� G = = � � @ ��� � B � !C@MB

64. & N �� ( �& � 1;- �& � - �&1 (*' � m ! 7#$  F �� G � ' %� m ! ' j + � a �&- l -!& � -!&A� .� F 7� G

= = � � @ ��� � B 7 � !C@CB65. & N � ( � & � 1;- �& � - �&m ��� (*� m (*' ! 7 �   F]3 �

� G � ' %��� m (:7X! ' j + 1� -�� -;�9l & � - � � .� F 7��G= = � � @ ��� � B 7 � !C@CB66. & N �� ( � & � 1�- �& � - �& ! 7m � m 5 1&

#$  � ' � ' %� � m (:7X! ' � � -21� &� ) � �� , = = � � @���� � B 7 � !C@MB

67. & N �� ( ' � � a 1�� � a &�1 � �� ! 7

#$  �( �O! ' ' %

J �� L ' � 1� � -;� � F �� � � G ¤68. & N �� ( �& � 1;- �& � - �&1 (*' � 1 ! 7

#$ 

� "�' ' % J ( 1 L 'J ( 1 L � ' � �&-21� � F �� � G ¤69. & N �� ( �& � 1;- �& � - �&1 (*' � & ! 7

#$ 

� "�'#" �� � ' % J & L '� J � L � ' � � a &4� � a 1 F �� � G ¤70. & N �� ( � & � 1�- �& � - �&�� (*' � �

�( ' ! 7

#$  ��3 �A� � � ' � J 1 L ' J ( 1 L � 'J ( 1 L � ' � � � � / � ¤

71. & N J ( � ' � � ' �#7 ! 77 ( � m �V7<5 � m L   & N J (�' ��' �V7 ! 77�( m �V7<5 m L = � � 7���� �&B B�B�@CB72. & N � ( ' � m � � ! 7� - � a 1 � m 5 � - � a 1 �   �43 ¢ � � J m 5 1;- � - � L '

J m 5 1 a � - � L ' ¤73. & N � (�' � m � � ! 7

� a � a 1 � � a � a 1 ( ' �   J ��- � a 1 L ' J � - � a 1 L 'J � a � a 1 L�' J 1�- ��- � L ' ¤;9P�<

Page 619: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� ,74. & N �� m �]� m ( 1 � 1m 5 1 ��� m ! ( 7

#$ 

� �� � " � � � �� � m 5 1 !�

� J � � a &� L �� J � � a �� L ¤

75. & N � 1 5 m � 1 ( m � 17,5 m �V7 ( m ! ( 7 �   � " �� � � � m ��� � m � !� J � a � �� L � J � - � �� L � J �Ia � �� L � J � - � �� L ¤

76. & N J (�' � m � � ! ( 77 ( m (*' �#7 ( � (*' L   ��� m ! '� m ! ' & N �� ( � � 1;- � � m ! 7m 5 1 �#7 ( � (*' #$ ¤77. & N J ( ' �]� m �#7,5 mm � � ! ( 7 L   � � (*� m ! '� � ! ' & N �� (�' � m 5 1 ��� m ( � 5_7 ! 7m 5 1�- � - � � m ( � a � 5 7 #$ ¤78. & N � & � & � & � ��� ! ( 7 �   7� � � � � � F 7� G � F �� G 3 �

� ¤

79. & N �� 1 � 1 � 1& � & ! ( 1�#$  � �7�� ¤

80. & N �� 1 � 1 � 1& � & ! ( 1�#$  7

� � � � �� 3 � £ � ¤81. & N �� & � & � & ����� ! ( 1�

#$  3 � � � �

� � � � � �� � � � � F 7� G ¤

82. & N �� & � & � & ����� ! 1� �

#$ � � ���� 7 � 3 � � �� 7 � � � � � F 7� G � F � � G � F � � G ¤

83. & N �� 1 �V7��#71�� &� ! 11 �

#$  7��7�� � � � �� � 3 � � �� � � 7<5 � �� ¤

84. & N �� m � � �#7�( � ! 1�� a � � ��- � a 1#$ 

� � � � � J � a � L � J � - � a 1 L� � � m !Y ��

� J � & L� J � a & �� L � J � - & � a &� L � � �� � � J � a & L� J � a & � a � L � J � - & � a �� L

�� = = � � @ ����� � � @CB;9PL

Page 620: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 85. & N �� m � � �#7�( � ! 1

�� a � a 1 � ��- � 5 7 #$   � � � � � J � & 5_7 L � J � a � a 1 L � J ��- � 5_7 L� J � a & � a &� L � J ��- & ��

5_7 L � � m 5 7�!= = � � @ ��� � � @CB86. & N �� m � � � � ( � ! 1�� a � a 1 � ��- � 5:� #$   � � 3 �!& � 8 � � J � a � a 1 L � J ��- � 5:� L� � � (:7X!A� � (*�O! � � m !

Y �� 3 � �� � � J �& L� J � a & � - &� L � J ��- & � a �

� L � � J � a & L� J � a & � -Q1� L � J ��- & � a �

� L�� = = � � @������ � � � @CB

87. & N �� ( � ' ( � � m �#7 ( m ! 1���- &A�E- S:a 1 �#7�( � a &A� aQS#$  � � '�! % � � 5 (� � ' ' % J � a � L�' J �E- � a 1 L�'= � � � �#7���� ! = � � @������ �

� @CB88. & N �� ( � ' ( � � m �#7�( m ! 1

���- &A�E- S � 1;- ��- &A��- S#$  � � '�! % � � 5 (� � ' ' % J � a � a 1 L ' J �E- � a L '� � � '65n� ! % � � 5 (� � ' & � ' % J � a � a 1 L '%& � J �E- � 5_7 L '%& � = � � � �#7 ��� ! = � � @�� � �

� @CB89. & N �� m � � & ( m �#7�( � m ! 1�1& ( m � & (*� m #$

 � � � � J & (*� m L � J �& L� � � " � � � � J �& (*� m L = = � � @���� �

� � @CB90. & N �� m �V7���� ! 1

�� 5_7�� � a &#$

  m � m 5 7�!� D�� F m 5 �� G 3�� F m � G � � F m 5n�

� G 3�� F m 5 �� GIH = = � � @ ��� �

� � � @CB91. & N �� m �]� m ( 1 �#7 ! 1

�m 5 1 ��� ( m #$  3 � � � � m (:7X! ��% � m � !

� ��� m (87�! � �� J m 5 1 L

� � m ! � J � m ( 1 L� � � m (:7X!� ��� m (:7�! & N �� m � 1 �#7 ! 7m 5 1 ��� m

#$ = � � m � 7 � ! = � �@���� � � � !C@B

92. & N �� 1 �#7��V7 ! 1�& � & #$  �

� G 3 �� � � £ � / � ¤

93. & N �� 1 � 1 � 1& � & ! 1�#$  77�� � � D � F £�� 7�<G 3 � F £�� 7� G � � F £�� �� G 3 � F £�� ��<G9H ¤

;9PP

Page 621: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� ,94. & N �� 1 �#7 �#7& � & ! 1

#$  7

� � � G 3 � � � £ � / � � = = � � @���� �� � � � @CB

95. & N � 7��#7 �#7& �]� ! 1� �  � �� ¤

96. & N �� & � & � & ����� ! 1�

#$  � �

� � 3 �� � � � � �2 F 7� G �2 F 7� G ¤

97. & N � m �#7 �#7 ! 1� 5_7 ��� �   m�]� m (:7X! D�� F m � G � £ � £ � CH ¤98. & N � 7 �#7 �#7� � m ! 1 �  

7�( m�Y � D � F m (87� G 3�� F m � G9H 3 � F £�� m (:7� G 3 � F £�� m � G � = = ��� @ ��� � B 7 � !C@CB

99. & N � m � � m (:7 �#7 ! 1� m ��� ( m �   3 £ � � - � �&4� -!& � / � ��� � m � !&��� m (87�! �� J m ( 1 L

� J m ( 1& L � � m (:7X! � J m 5 1& L� m (:7� m (:7 & N �� � � � a 1 �#7 ! 7� m � m 5 1#$ = � � m � 7 � ! = � �

@���� � � � !C@B100. & N �� 1 � 1 � 1& � & ! 1

#$  �� � � � £ � G� � ¤

101. & N �� 1 � 1 � 1& � & ! &�#$  �

� � � � � 7

� � D � F £�� 7�<G 3 � F £�� 7� G � � F £�� �� G 3 � F £�� ��<G9H ¤102. & N � ( � ')(:7 � m ��( m ( � ')( 1� m ��( � m ( � ')(:7 ! � �  �¡ = = ��� @ �����#B � !C@MB103. & N � ( � ')(*� � m ��( m ( � ')( & � m ��( � m ( � ')( � !

� �  �¡ = = ��� @ �����#B � !C@MB104. & N �� 1� � 1& � &1 � �� ! � � �C7 � (87�� � �9! #$   7,5 � �7�� � � �2 F 7� G ¤

:NN

Page 622: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 8.1.3. The hypergeometric function 4F3(a1, a2, a3, a4; b1, b2, b3; z)

1. � N & ��� m � m 5 1& � m 5 & � �& � � & � a 1 � � 5_7 ! ( � �� + 1�- � . �

#�

$  � ¢ 3h�&� & � N 1 J 7 � � m (*� �

� 5_7 ! � L�� � � � � � � ���C7 (8�]! " � � � � 7 ! = = � � @ �����#B 7 � !C@ � B

2. � N & ��� m � m 5 1& � m 5 & � m (*'& � � & � a 1 � m ( 'g5 7 ! ( � �� + 1;- � . �

#�

$

  3 � � ')(87�! % m�( m ! ' � m ! � ' � &A�&-21 � ¢ 3h�&� & � -!&A� j + -!&A�9lM1A-�� - � .&A�&-21 F �� 3 ¢ G� '*>?7 ! � � � � � � � �&�C7 (8��! " � � � � 7 � B3. � N & ��� 'g5 1 �]'65 �� ��'65 �

�� 1� � a &�

� � � a ��� & ! ( � �

� + 1;- � . �#�

$

  3 � � ')(:7X! %J & L � ']" � � � � ¢ 3h�&� &4� � 1� -!&A�� �&-21 ��/ ��� � '8>?7 ! � � � � � � � ���C7 (8�]! " � � � � 7 � B

4. � N & ��� ' ( 1 �]')( 1� ��'65 1� �V( 1� �E- &�� � ��-Q1�

� 1 ! ( � �� + 1;- � . �

#�

$  � � ')(:7X! %

J & L � '#" � � ¢ 3h�&� -!&4� � 1� -!&A�� �&- �0/ � �� '*>?7 ! � � � � � � � �&�C7 (8��! " � � � � 7 � B

5. � N & � ( ' ��( ' ��( ' � 1 (*'( �O' �V(�� ' �V7 ! � �  � ' % ! ���� '�! % F �� G � j � ) � 7�(8�)( �� 7�(8�65_7 , j � ) � 7�(8�65 �� 7�(8�)(:7 , ¤

6. � N & �� ( ' �#( ' �#( ' � 1 ( '( �O' � 1 ( � ' � 1 ! �#$

  � ' % ! �J 1 L � ' F �� G � j � �

� � 7,( � 5:7� 7,( �g( 7 � j � �� � 7�( �g(*7� 7�( � 5n7 � ¤

7. � N & �� ( ' �]'65 1 � 1� � &�1 � 1 �V7 ! �#$

  �43 ¢ � � ' %J 1 L ' j � � * 7�( � 7 (8�� � j � � * 7<5 � 7 (8�� � ¤

:N1�

Page 623: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� 38. � N & �� ( ' �]'65 & � &� � ��7 � & � & ! �

#$

  �43 ¢ � � ' % �J & L ' � � j � a 1 � * 7�( � 7 (8�� � j � a 1 � * 7<5 � 7�(8�� � ¤

9. � N & �� ( ' � 1� (*' � 1 (*' � &� ( '1 (*� ' � 1 ( �O' �#7 ! �#$

  ��� '�! %J 1 L � ' F �7��<G � j � ) * �7,5 � 7�(8� , j � ) * �7�( � 7 (8� , ¤

10. � N & �� ( ' ��( 1 ( ' ��( 1�( ' � 1

�(*'( 1 (*�O' �V( 1 (*� ' �#7 ! �

#$

  ' %J '65 & L ' F �� G � a 1� j � a 1 ) * �7<5 � 7 (8� , j � a 1 ) * �7 ( � 7�(*� , ¤

11. � N & �� ( ' � 1;- ��

� &�- ��

� 11 (*' � 1 (*' �V7 ! �#$

  ' %J 1 L ' F �� G ��� j � �� � 5 � 7 (8�� � � � 7,5 � 7�(8�

�� j ��� � ( � 7 (8�� � � � 7 ( � 7�(*�

��¤

12. � N & �� ( ' � 1� (*' � 1 (*' � &� (*'( �O' � 1 (*�O' � & ! �#$

  7� '65_7 F �7�� G � � � ) * �7<5 � 7�(*� , � � ) * �7�( � 7 (8� , ¤13. � N & �� ( ' ��( 1 ( ' ��( 1� ( ' � 1� (*'( 1 (*�O' �V( 7�(*� ' � & ! �

#$

  7� '65n� F �7��<G � a 1� � � a 1 ) * �7,5 � 7�(8� , � � a 1 ) * �7 ( � 7 (8� , ¤14. � N & �� ( ' � 1� (*' � 1 (*' � &� (*'1 ( �O' �#7�( �O' � 1 ! �

#$

 �£ F �7�� G � � � ) � ( � 7�(8�7,5 � 7�(8� , � � ) � 5 � 7 (8�7 ( � 7 (8� , = '8>?7A@B:N�,

Page 624: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 15. � N & �� ( ' ��( 1� ( ' ��( 1 ( ' � 1� (*'( 1 (*�O' �V(�� ' � 1 ! �

#$

 �£ - �R�&-21 � � a 1� � � a 1 ) * �7 ( � 7 (8� , � � a 1 ) * �7<5 � 7 (8� , ¤16. � N & �� ( � � 1�- � � m � m 5 11� � 1 � &� ! �

#$  ' %�]�C7 (*� m ! '

Y � � � -;� � � � 1��� �'� �43��V� � ��� m ( '�! � '� � m ! � ' � ¢ � � 1� � �Y � 1� - � -;� � ) � �� �� 7<5 � �� � , ¤

17. � N & �� ( � � 1<-6� � � � � a 1 ! �1� � 1 � &�#$

  7� D �43 ¢ � � � � � � 1��� � � � � F � ¢ � � 1� G9H ¤18. � N & �� ( � � 1,-)� � � 5 7 � � a &&� � �� � & ! � #$

  � " �� �� ��'*5 7X! � D �43 ¢ � � � � a � � 1��� ��� � � a F � ¢ � � 1� GIH ¤19. � N & �� ( � � 1�- � � � a 1 � � 5_71 � &� � �� ! �

#$

  7�]���O'65 7�! D�43 ¢ � � � -21��� � � a 1 � � 1��� � � � � F � ¢ � � 1� GIH ¤20. � N & �� ( � � 1�- � � � a & � � 5n�

��� & ���� ! �

#$

  � � " � �� ��'65_7X!A��'65n�O! ���O'65 � ! D0��3 ¢ � � � � a & � � 1��� � � � 1��� � � a F � ¢ � � 1� G9H ¤21. � N & �� 1� � 1� � &� � &�1 �#7 �#7 ! �

#$ 

�� � K ) * 7� 3 $ � , K ) * 7� 3 7� $ ,� $ � 7�(*�O��(*��� � � (8� � B

22. � N & ��� 1 � 1 � �� � ��&� � �� � & ! ( � �� + 1�- � . �

#�

$  �C7 (8�]! � �� � � � 7<5 � �7 ( � � = ( 7 � � � � 7A@CB

:N3

Page 625: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� 323. � N & �� 1 � 1 �#7 �#7&

�� ��� & ! (��

#$  � 7,5n�O��(*��� � � 5 � � �� �� � � � � 5n� (*� �

Y �� ��� � " £ � � � � � £ � � 7,5 � ��� � � 5 �)(*�O�7�( � � � � � 5 �)(*�O� ¤

24. � N & ��� &� � &� � 1 &1 � 1 �1 �

�� 1 &�

���� !

( � �� + 1�- � . �

#�

$  � �M7�(8��! � �� � � � ) � 7<5 � �� �7 (8� �� � 3 £ ��� � � � 1��� ,

�� � � � � � � �&�C7 (*�]! " � � � � 7 � B

25. � N & � 7 �#7 �#7��#7& �]����� ! � �  �� � � £ ��� � � � & / �83 � � ��� � � � / � � � ¢ 3 � - ���� � ��� � � � �� � ��� � � � / � � � � � - � �� � ��� � � � �K3 � � � & � � - ���� � ��� � � � �'� � � � � � ¤

26. � N & � 7 �#7��V7��#7& �]����� ! ( � �  7� � � 3 £ � & � / � � / ��� ¢ �

� � � � / � � / ��� ¢ �6D � � � � F £ ��� £ � ��� � G9H� � � � / � � / �$� ¢ � � � F ¢ � £ �$� £ � �$� � G3 � � & F ¢ � £ ��� £ � �$� � G � � � � � ¤

27. � N & �� 7��#7 �#7�� & ��� ����� ! ( �

#$  3 �� ��� � � � � � �)( � � 5_7�5_7 � �� �� �� �� � � ) / � � / �$� ¢ � / £ " ��� / � / ��� ¢ , 1� � ¤

28. � N & ��� 7��#7 � � & � �&& �����]� ! ( � �� + 1;- � . �

#�

$  3 �C7�(8��! �� � � ¢ 3h�&�

�� � � � � � � �&�C7 (*�]! " � � � � 7 � B

:N95

Page 626: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 29. � N & �� m � m 5 1 � � � � 5 1 ! 7m ( � 5 1 � m ( � 5_7�� 1

#$

  � ��� m ( � � 5_7X!� �� � " � �� � � J 1 (*� � L� ��� m ( � � 5_7�! � � " � � � �

� J m 5 1 L � � m (*� � 5 7�! ��= � � � � 7 � ! = � � @ �����#B �O!C@MB30. � N & �� m � m 5 1 � � � � 5 1 ! 7m ( � 5_7 � m ( � 5 & � &

#$

  � ��� m (*� � 5n� !��� m (:7X!A��� � (:7�! �� � � " � �� � � J & (*� � L� ��� m ( � � 5n� ! 3 � " � � � �

� � m ! � J m ( � � 5 & L��

= � � � � 7 � ! = � � @ �����#B � !C@MB31. � N & � m � � �V7��#7 ! 7� 5_7 ��� � (87 ��� �   m�#� m (:7�!Y D £ � £ � C � � F m ��G � � F��K3 7��G 3�� F��K3 m� G9H = � � ��� � ( m ! � � @CB32. � N & J m � � � � � � � ( � ! 7

�(*7��O�

�( � (*7���� L   � ���#! � ���E( m ( � � !

� ���E( m ! � ���E( � � ! & N J m �]( � � � � ( � � ( � ! 7��( � ( 7 ���E( � � L ¤

33. � N & � m �V7��#7 �#7 ! 7� m (87 � & ��� �  � �� � 7� � � F fg3 7� G = � � m � 7 �X@CB

34. � N & � m � � �V7��#7 ! 7� 5_7 ��� � (87 ��� �  m�]� m (:7X! D � F m � G � � F � 3 7� G 3�� F �K3 m� G � £ � £ � C H ¤

35. � N & J m �V7��#7 �#7 ! 7� ( m ��� ��� L   m ( ��]� m (:7X! � � �� 3�� � � £ 3hfI� = m � �X@CB36.

  � � � = m � 7A@CB37. � N & �� ( ' � m � � � � 5 1 ! 7

�� ��- � � � - � a 1

#$  ��� � ( m 5_7X! '�C7 ( m ! ' & N J ( ' �]� � �]� � ( � 5_7 ! ( 7� � ( m 5_7��

� L= = � � @ ��� � B � �O!C@CB

38. � N & �� (�' � m � � � � 5 1 ! 7m (*'65 1 � � �]� � ( � 5_7 #$  �

�( � � ! '��! ' & N J (�� ' � m (*' �]� � ! 7� m ( �O' ��� � ( � ( 'g5 7 L = = � � @���� � B 7 � !C@CB

:N�;

Page 627: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� 339. � N & � ( ' � m � � � ��! 7� m � � a � � a a 1 �   �

�! � '� � 5 �! � ' � N & �� ( ' � 1 ( m ( ' � � � � a 1 ! 7m 5 1 � 1;- (*' �#7�( (*' #$= = � � @ ��� � B 7�� !C@CB

40. � N & � (�' � m � � � ��! 7m (*'65 1 � � a � � a a 1 �   & N � (�� ' �]� m � ��! 7m ( '65 1 � � 5 �� = = � � @���� � B 7X�O!C@MB

41. � N & �� ( ' � m � � � � 5 1 ! 77 ( m ( ' � 1 ( � (*' �#7 ( � (*' #$  � � � ! � '��� � ! � ' � N & �� ( ' � 1 ( m (*' �]� � ! 77�( � m ( �O' ��� � 5 1

#$ = = � � @���� � B 7X�O!C@MB42. � N & � (�' � m � � � ��! 7m 5 � 5 1 � ;- � � ;- � a 1 �

  J m 5 � ( � 5 1 L '�C7�( m ! ' & N �� ( ' � m ( � 5 1 � � ( m 5 1 ! 7m 5 � 5 1 � � ( m ( � (*'65 1#$ = = � � @ ��� � B 7��O!C@CB

43. � N & �� ( ' � m � � � � 5 1 ! 77 ( m ( ' �V7 ( � (*' � & ( � (*' #$  � � � (:7X! � '��� � (:7X! � ' � N & �� ( ' � 1 ( m (*' �]� � (:7 ! 77�(*� m ( �O' ��� � ( 1

#$ = = � � @���� � B 7X�O!C@CB44. � N & J ( ' � m � � �#7�( �( � � � ��� ! 7 L   ���P( m ! '���#! ' � N & �� (�' � m � � ( � (:7 � ;- � a 1

�� ;- � -Q1 � m (��P(*'65_7 ! 7

#$¤

45. � N & J ( ' �V7��V7��#7 ! 7� �]����� L  7�( �'65_7 � � � � � � £ � � C ��� ��� 3 ¢ ��3 ��� ��� 7$ 5_7 � � � � �O� ¤

46. � N & �� ( ' � m � � � � 5 1 ! 7��- � � ��- � a 1 ��

#$  ��� � ( m 5_7X! '�C7 ( m ! ' & N J ( ' �]� � �]� � ( � 5_7 ! ( 7� � ( m 5_7��

� L= = � � @ ��� � B � �O!C@CB47. � N & �� ( ' � m � � � m 5 � 5 1 ! 7��- � � ��- � a 1 � m 5n� � 5_7 #$

  � m 5n� � 5_7X! '�C7 ( m ! ' � N & J ( ' � m � m 5 � 5_7���� m 5n� � ! 7m 5 � � m 5n� � 5_7 � m 5:� � 5_7 L = = � � @ ��� � B � �O!C@CB:N:

Page 628: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 48. � N & �� (�' � m � m 5 1 � � ! 7� - � a 1 � � - � 5_7��

#$

  � ��� m ( � ! '� � 5n'�!A�( � ! ' � N & �� (�' � m 5 1 ��� m (:7 ��� m (��! ( 7m ( 1 ��� m ( � �

#$ = = � � @ ��� � B 7 � !C@CB49. � N & � (�' � m � � � ��! 7m 5 � 5 1 � ;- � � ;- � a 1 �

  J m 5 � (�5 1 L '�C7�(�! ' & N �� (�' � m ( � 5 1 � � ( m 5 1 ! 7m 5 � 5 1 � � ( m ( � (*'65 1

#$ = = � � @���� � B �O!C@CB50. � N & � (�' � m � � � ��! 7m 5 � 5 1 � ;- � � ;- � a 1 �   & N � (�' ��� m �]� � ! 7m 5 � 5 1 � � ( ' � = = � � @ ��� � B � !C@MB51. � N & �� ( ' � 1 (*' � m � � ! 7

� a � a 1 � � a � 5 7 ��

#$

  m � m 5_7X! � '� m ( � !A� m 5 � 5_7X! � ' � N & �� ( �O')(:7�� 1 (*' � � �V( � (*� ' ! ( 7(�')( 1 �V( m ( �O' ��

#$ = = � � @ ��� � B 7 � !C@MB52. � N & �� ( � � 1�- � � m � � ! 7

� a � � � a � a 1 ��

#$  � � ! '� m 5 � ! ' & N J (�' � m �#7�( � ( ' ! ( 7

��#7�( � ( ' L

= = � � @ ��� � B � �O!C@CB53. � N & �� ( ' � 1 (*' � 1� � 1 ! 71& ( ' � & (*' � �

#$ 

���O'�! % J & L � '� � '�! % J & L � ' & N �� ( ' � 1� � 1 ! 1�� 'g5 & � ��

#$¤

54. � N & �� (�' � 1� � 1 � & ! 7�<- &A��

� � - &A��

� 1 � - &A��

#$  ' %

J ( 1& L ' ��� '65_7X! j + 1� � lC-;�&- � & .� F 7��G ¤55. � N & �� (�' � 1� � 1 � �& ! 7� - &A��

� 1 � - &A��

� 1 &�- &A��

#$  3 ' %� J ( � & L ' ��� ')( �O!A���O'65_7X!Y D £�¡ j + 1� � lC-;�&- � & .� F 7��G � j + � � � lC-;� a 1� & .�&-21 F 7��GIH = '*>?7A@B

56. � N & �� ( � � 1;- � � m � � ! 7m ( � 5_7 � � ( � � � 5 1;- �#$

  ��� m (*� � 5_7X! '�C7 (*� � ! ' & N J ( ' � m �]� m ( � � 5n'65_7 ! 7m ( � 5 7 ��� m (*� � 5 7 L = = � � @ ��� � B 7�� !C@CB:N�<

Page 629: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� 357. � N & �� ( � � 1�- � � m ��( m ! 7

� �#7�( � ( ' � 1#$  7�#� � ! ' � �f�� �O� � � ���K3hfI� � � ¤

58. � N & �� ( � � 1;- � � m � � ! 7m ( � 5_7 � � 5 1;- � � � ( � 5_7 #$  ��� m ( � � ! '�(�� � ! ' & N J (�' � m �]� m ( � � 5n' ! 7m ( � �]� m (*� � 5_7 L = = � � @���� � B 7X�O!C@CB

59. � N & �� ( �O' ���O'65:� � 1 �#7 ! 77�( � m �V7<5n� m � & #$ 

� N & �� ( ' �]'65_7�� 1 �V7 ! 77�( m �#7,5 m � & #$¤

60. � N & �� ( �O' ���O'65:� m � 1 �#7 ! 7m 5 1 �#7�( � � �V7<5n� � #$   � N & �� (�' ��'g5 m � 1 �V7 ! 7m 5 1 �V7 ( � �V7<5 �#$¤

61. � N & �� ( � � 1�- � � m � m 5 1 ! 7� � � � � 5 1#$

  � ��(*� m ! '����! ' & N � ( ' �]� m � � ( 1 ! �� � (87 ��� m (*�

�( 'g5 7 � = = � � @ ��� � B � !C@CB

62. � N & �� ( � � 1;- � � m � m 5n' ! 77 (*' � m 5 � a 1 � m 5 � 5_7 #$   �#� m 5n'�! '��� m 5n'65_7X! ' ¤63. � N & �� ( � � 1;- � � m � � ! 7m 5 � 5 1 � � �V7 ( � (*' #$   � m 5

�! '�

�! ' & N J (�' ��� m � m 5 � ! 7� m 5:� � � m 5

� L= = � � @���� � B � !C@CB

64. � N & �� ( � � 1;- � � m � � ! 7� a � a 1 � � a & � �#7 ( � (*' #$

  � � ! '� m 5 � ! ' � N & �� ( ' � m � � �#7 ( � a & � (*' ! 7� a & � �#7�( � ( ' �V7 ( � (*' #$ = = � � @��&� � B � �O!C@CB

65. � N & �� ( � & � 1;- �& � - �& � m ! 7� a 1& 5 m � � a & 5 m � � & 5 m 5_7 #$  ���O'�! % � � m 5 7�! '� � m 5_7X! � ' J 1 L ' j + � -21� lC-;�&-21� .� F 7� G ¤:NL

Page 630: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 66. � N & �� ( � & � 1;- �& � - �& � m ! 7 a ��- �& � & a ��- �& � � a ��- �&

#$

  ��� m (:7�! '�( m (:7X! ' N 1�� (�' ��� m 5:' (87 ! &�m ( 1

#$¤

67.  �( 7�! ' ' %�#�( m (:7X! ' D � ��&-21 F 7� G � � m 5n')(*�m (:7 � � -21� F 7� GIH = '8>?7A@CB

68. � N & �� ( � & � 1�- �& � - �& � 1 ! 7&�- ��� � - ��

� � - ��

#$  �( 7X! ' ' %

J ( 1 L ' j � F 7��G ¤69. � N & �� ( � & � 1�- �& � - �& � 1 ! 7 � a ��

� � a ��� � a �

#$ 

7�� ' � ' % J � L 'J � L � ' j � F �� � � G ¤70. � N & �� ( � & � 1�- �& � - �& � & ! 7� - ��

� � - ��� 1 1;- ��

#$

  �( 7X! ' ' %� J ( � L�' D � &4� �&-21 F 7��G � £ � � � ¢ � j � F 7��GIH = '8>?7A@B71. � N & �� ( � & � 1�- �& � - �& �V(�' ! 71;- �& � - �& �V7 ( �&

#$  �( � ! ' � � " � ' � ' � ' %

J 1 L ' j � F �� � G = '8>?7A@CB72. � N & �� ( 1 a �& �V( �& � 1;- �& �V( 1 (*� '( 1 a � ��

� 1;- � ��� &<- � �� ! 7

#$ 

� ' J & L �� '� � '65_7X! J & L � ' � � F�� � G ¤

73. � N & �� ( 1 a �& �V( �& � 1;- �& �V( & (*� '( & a � ����( 1 a � ��

� 1;- � �� ! 7#$ 

� '#" � � � '65 � ! J & L �� '��'65_7X! J � L � ' � � F �� G ¤74. � N & �� 1 �#7 �#7��#7& � & � & ! 7

#$  �� � � �<3 � G ¤

75. � N & � 7��#7 �#7��V7& � & ��� ! 7 �  �£ � G 3 �� � � � ¤76. � N & � 7 �#7��V7��#7& �]����� ! 7 �  

� �� � £ 3 �� � � � ¤:NP

Page 631: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� 377. � N & �� 7�� & � & � & ��� � � � ! 7

#$  � � � £ 3 ¢ � ¤

78. � N & J m � � � � �]� � (*� ! ( 7�(:7��]�

�( m (87 ���

�( � (87 L   � ���

�( m (:7�! � ���

�( � (87�!

� ����(:7X! � ���

�( m ( � (87�!= � � � � ( m ( � ! � 7 �X@�B

79. � N & � m � m � m � � 5_7� �#7��#7 ! ( 7 �   ��� � � m � !m � ¤

80. � N & �� m � 1 � 1 � �� ! ( 7& ( m � 1� �#7#$ 

� � J & ( m L� � � �C7 ( m ! = � � m � � � @CB81. � N & �� 1 � 1 � 1 � ��1

��#7��V7 ! ( 7

#$  �

� ¤

82. � N & �� 1& � 1 � & � �

�1��#7��V7 ! ( �1 �

#$ 

�� � � ¤83. � N & �� m � m 5 1 � � - �

�� 11;- ��

� & (*� m �#7 ! ( 1�#$ 

� � J & (*� m L� � �C7�( m ! � �C7 (*� m ! = = � � @ ��� � B 7�!C@MB84. � N & �� 1� � 1 � �� � � �� ��

� � �#7�� �� ! ( 1�#$  � � �

� � � � �2IF 7� G ¤85. � N & �� 1� � 1 � &� � & �& � �#7��V7 ! ( 1�

#$  �

� � = = � �@������ � �O!C@CB

86. � N & � 7 �#7 �#7��#7& �]����� ! ( 1� �  �� � � � ¤

87. � N & � m 5_7�� � m � � m �#7�( � mm � � m 5 1 �#7 ! ( 1� �   � � � � J � m 5 1 L� � � � � m 5_7X! = = � � @ �����#B � !C@MB88. � N & �� 1 � 1 � 1 ����1� �#7��V7 ! ( 1�

#$  � � �

� = = � � @��&�C7 � !C@MB89. � N & � 7 �#7 �#7��#7& �]����� ! ( 1� �   � � �<3 �

� � & £�¤:1��N

Page 632: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 90. � N & �� 1& � 1 � & � � �

� 1�

� 1 �#7��V7 ! ( 11 �

#$  7X� � �

� � = = � � @ �����O!C@CB91. � N & �� 1& � 1 � & � 1 ��1� �#7��V7 ! ( 1� �

#$ 

�� * � � = = � � @��&�C7�� !C@MB

92. � N & �� 1�� 1 � &� � &X1 �& ��#7��V7 ! ( 1� �

#$  7��

� � � � = = � � @ ����� !C@CB93. � N & �� 1� � 1 � &� � � & � � & � � �#7 �#7 ! ( 1& �

#$  � �� � � = = � � @ ��� � !C@CB

94. � N & �� 1� � 1 � �� � � � � 1� ��1 � � &� ��1 �

�#7 �#7 ! ( 1� 1 � � �#$  � � �� � � � * �

� = = � � @ �����O!C@CB95. � N & �� 1� � 1 � &� � � � � �1 � � � �#7 �#7 ! 1� � � 1

#$  7 � � 7 77 � � = = � � @��&��� �O!C@MB

96. � N & �� 1� � 1 � &� � ��&� �&� � �#7��V7 ! 1 � � 1

#$ 

� �� � � � = = � � @��&��� � !C@MB

97. � N & �� 1�� 1 � &� � 1 11 �11 � �#7 �#7 ! 1� 1

#$  �� � � � = = � � @��&��� � !C@MB

98. � N & �� 1 � 1 � 1 � � �� �� �#7��V7 ! 1� �

#$  7��

� � = = � � @��&��� 7�!C@MB99. � N & �� m � m 5 1 �#7�(*� m � � - ��1;- ��

� & (*� m �#7 ! 1�#$ 

� � � � J & ( � m L� � � " � � � � ��� (*� m ! = = � � @ ��� � B �O!C@MB100. � N & �� 1� � 1 � &� � �

�1� �V7��#7 ! 1�#$  � � �

� = = � � @��&��� �O!C@MB101. � N & �� 1 � 1 � 1 � m 5_7m � � � a &

�� � � a &

� ! 1�

#$ 

� �� J � � a &� L

� m �� J � � a 1

� L = = � � @ �����#B 7�!C@MB102. � N & �� m 5_7�� � m �#7 ( � m � 1m � � m 5 1 �#7 ! 1�

#$ 

� � J � m 5 1 L� � � � � m 5_7X! = = � � @ �����#B �O!C@MB:1��

Page 633: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� 5103. � N & �� 1 � 1 � 1 � 1& � & � & ! 1

#$  � � �� 7�� ¤

104. � N & �� 1 � 1 � 1 ����1� �V7��#7 ! 1�#$ 

�� = = � � @��&��� � !C@MB

105. � N & � 7 �#7��V7��#7& ��� ��� ! 1� �  3 �� � � � � �7�� � � D � F £�� 7�<G 3 � F £�� 7� G � � F £�� �� G 3 � F £�� ��<GIH ¤

106. � N & �� 1� � 1 � &� � �

�1� �V7��#7 ! & � 1#$  �� � = = � � @��&��� � !C@MB

107. � N & � 7 �#7��V7��#7& ��� ��� ! 1 �  � �� � £ 3 � �7�� � � � � � G

¤

108. � N & � 7 �#7��V7��#7& ��� ��� ! &� � � � �� � � 3 �O�� � � � � � �� � � � D � F £�� 7�<G 3 � F £�� 7� G � � F £�� �� G 3 � F £�� ��<G9H ¤

109. � N & �� (�' �V(�' ��( �& 5_7 � 1( �& �V7��#7 ! �#$ �¡ = ' �� � 'I@B

110. � N & �� 1� � � � �� � �

�1& � �� � �� ! 7�� � ��� � � � ( � � ! #$   ����5 � � ! �� �� * �� ��F � � G ��F �� G ¤

8.1.4. The hypergeometric function 5F4((a1, . . . , a5); (b1, . . . , b4); z)

1. � N ��� 1 � 1 �#7 �#7��V7&� �#7 � �� � & ! (��

#$  �� � �� ��� �

� � �)( � � 5 7�5_7 � �� �� �Y � � ) / � � / ��� ¢ � / £ " ��� / � / �$� ¢ , 1� � ¤

:1�!,

Page 634: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 2. � N �

�� m � � � � ��� � (*���V( 1 ! 7�(:7��]�

�( 1 ��� � ( m (:7 ���

�( � (:7 #$

 � J � � ( 1 L � ���

�( m (:7X! � ���

�( � (87�! � J � � ( m ( � ( 1 L� ���

�(:7�! � J � � ( m ( 1 L � J � � ( � ( 1 L � � �

�( m ( � (87�!= � � ��� � ( m ( � ! � 7 �X@CB

3. � N � J m � � � � 5_7�� m ( � (:7��]� m (*� ! 7m (:7�� m 5 � ��� m ( � (*� ��� m ( � (:7 L ��"��!& � � � � � m 5 � ! � ��� m ( � (*� ! � ��� m ( � (:7X!

�� � m ! � J m ( � ( 1 L � ��� m (*� ! = � � � m ( � ! � 7R@CB

4. � N � J m � m � � � � �]� m 5n� � (:7 ! 7m 5n� � � m 5n� � �]� m 5 � ��� m 5 ��L  �

� � m 5n� � ! �� ��� m 5 � !

�� � m 5 � ! �

� ��� m 5n� � ! & N J � m �]� � � m 5 � ! 7� m 5n� � ��� m 5n� ��L = � � � m 5 � ! � � @CB5. � N �

�� m � � � � ��� � (*��� 1 ! 7�(:7��]�

�( & ��� � ( m (:7 ���

�( � (:7 #$

 � J � � ( & L � ���

�( m (87�! � ���

�( � (:7X! � J � � ( m ( � ( & L

� ����(:7X! � J � � ( m ( & L � J � � ( � ( & L � ���

�( m ( � (:7X!= � � ��� � ( m ( � ! � � �X@CB

6. � N ��� ( ' � m � � � � � � 5 1 ! 7��- � � ��- � a 1 � m 5 � ��� � ( m 5_7 #$

  ����( m (:7X! '�C7�( m ! ' � N & J ( ' � m �]� � �]� � ( m ( � 5 7 ! 7m 5 � ��� � ( m 5_7 ���

�( m 5_7 L = = � � @ ��� � B � �O!C@CB

7. � N ��� (�' � m � � � m 5 � 5 1 ! 7��- � � ��- � a 1 � m 5n� � 5_7 #$

  � m 5n� � 5_7X! '�C7 ( m ! ' � N & J ( ' � m � m 5 � 5_7���� m 5n� � ! 7m 5 � � m 5n� � 5_7 � m 5:� � 5_7 L = = � � @ ��� � B � �O!C@CB8. � N �

�� ( ' � m � m 5 1 � 1� � 1 ! 7��� ��- �& � ��- � a 1& � � - � a &

#$  J & (*� m L '�C7�( � m ! ' & N �� ( ' � 1� � 1 ! 1

���� & (*� m #$

¤

:1��3

Page 635: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� 59. � N �

�� (�' � m � m 5 1 � � � � 5 1& ! 7 ��- �& � � - � a 1& � ��- � a & ��� � 5 ��

#$

  � � � (*� m 5_7X! '�C7�( � m ! ' & N �� (�' � 1& ( � � � � ! 1�� � 5 �� � � � ( m 5_7 #$ = = � � @���� � B � � !C@CB10. � N �

�� (�' � m � � � � 5 1& � � 5 & ! 7 ��- �E-Q1& � � - �& � ��- � a 1& � � � ( m 5:� #$  � � � ( � m 5n�O! '��� (*� m ! ' � N & �� ( ' � � � � � � (*� m 5 � ��� m ( � � (*� ! 1�m ( 1 � � � ( m 5n� �

�� � � (*� m 5n� #$ = = � � @ ��� � B � �O!C@CB

11. � N ��� ( � � 1;- � � m � � � ��! 77 ( m ( ' � m 5 � � � a � � a a 1

#$

  � m ! '� m 5�! ' � N & J ( ' � m �V7 ( m ( � � ��! 77 ( m (*' �#7�( m (*' � m 5 ��L = = � � @���� � B � � !C@CB

12. � N ��� ( � � 1;- � � m � � 5 1& � � 5 & ! 7��- �& � ��- � a 1& � ��- � a & ��� � 5 &

#$

  � � � ( m 5_7X! '�C7 ( m ! ' � N & � (�' � � ( 1 ��� � 5_7 � � � ! �� � (:7�� � � ( m 5_7 � � � 5n� � = = � � @ ��� � B � � !C@CB13. � N �

�� ( � � 1�- � � m � � � � 5 1& ! 7��- �& � ��- � a 1& � ��- � a & ��� � 5 ��

#$

  � � � ( m ! '�C7�( m ! ' � N & �� ( ' � � ( �� ��� � 5 1& � � � (:7 ! �� � ( �& � � � ( m � � � 5 &#$ = = � � @��&� � B � � !C@CB

14. � N � J ( �O' �V(�� ' ��( �O' �V(�� ' � � '65_7( � ' �V7��#7 �#7 ! 7 L   ��3 ¢ � � = � � '�! % @ � � � '�! %= ' % @ � = ��� '�! % @ � ���O'�! % ¤15. � N �

�� m � � � � ��� � � 5_7 ! ( 7� ���P( � 5 7 ���P(

�5_7����P( m 5_7 #$   � ���P(

�5_7�! � ����( m 5_7X!

� ���K5_7�! � ����(�( m 5_7X!

Y & N �� m � � � � a 1 ( � ! 7� a 1 ���P( � 5_7 #$ = � � ���P( m (

�! � ( 7R@CB

16. � N ��� �� �V7��#7 � �� � 1 �1 ��1 � � & � & � & ! ( �1 �

#$  ���7 � � �� = = � � @��&� � � !C@MB

:1��5

Page 636: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 17. � N �

�� m 5_7 � m 5 11 � � m 5 � � � m 5 & � �#7m � m 5 1 � � � m 5 1 � � � m 5 1 � � ! ( 1�

#$  � � m ( ���� m

Y & N �� m 5 � � � 1 �#7 ! 7m 5 1 � � ��� m 5 �1 �#$ = � � m � � � � ! = � �

@���� � � � !C@CB18. � N �

�� 1 � &� �#7 �#7�� ���� ��� ��� �� !

( 1�#$  7

� � � � � F 7� G = = � � @ @CB19. � N �

�� &� �#7��V7�� �� � & & �1 & � � & � & � & ! ( 1�#$  7��7 � � £ = = � � @ @CB

20. � N ��� m 5_7 � m 5 1& � m 5 1& � m 5 1& �#7m � m 5 �� � m 5 �� � m 5 �� ! ( 1�

#$  � m (:7

� mY & N �� & � a 1�

� & � a ���V7m 5 �� � m 5 �� � m 5 �� ! 7

#$ = � � m � 7 � ! = � �@��&����� � !C@CB

21. � N ��� 7 �#7��V7��#7 � �&& � & � & � & ! ( 1�

#$ 

22. � N ��� m 5 7 � m 5 1 � &X1 � m 5 &X1��� � m 5 1 � � &X1 �#7m � m 5 1 & �1 � � � m 5 1 & �1 � � � m 5 1 & �1 � � ! ( �

� 1 #$  � �#�C7�� � m (87 � !

� �O� � mY & N �� � 5 &X11 � � � � 5 � ���� �#7 ! 7m 5 1 & �1 � � ��� m 5 � ���

#$ = � � m � 7�� 7 � � ! = � �@ ��� � � � !C@CB

23. � N ��� 1� � 1 � �� � 1 � �1 � �1 �1 � � �#7 �#7 ! ( �

� 1 #$  � � � �7�� � = = � �

@ ����� �#7��O!C@CB24. � N �

�� & �V7��#7 � � & � 1 &���� �

���� & � & � & ! ( �

� 1 #$  7�� �

� � � £ = = � �@ ����� �#7��O!C@CB

25. � N ��� �� �V7��#7 ���� � 1 � �1 � � �1 � � & � & � & ! ( 11 �

#$  ��7��

� � � � � = = � � @ �����O!C@CB:1�!;

Page 637: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� 526. � N �

�� m 5_7�� m 5 1� � m 5 1 1 �� m 5 �1 � �#7m � m 5 � �

� m 5 � �� m 5 � � ! ( 1

� �

#$

 �£ � � a 1 � �X1 � � -21 � � � ��� � F � � m ( �� � � G �� J m 5 � � L

� m � J m 5 1 1 � L � J � m 5 � L� � ��� � m ( � ! �� � m ��� � m (:7 � ! & N �� m 5 1 1 ���� m 5 � �#7

� � �( m �]� m 5 1 11 � ! &�

#$ = = � �@ ���C7X�O!C@CB

27. � N ��� &� �V7��#7 � �� � � � �1 � �

� & � & � & ! ( 1� �

#$  � �7 � � � �7�� = = � � @ ����� !C@CB

28. � N ��� 1 � &� �#7��#7 � 1 �1 ��1 � � �� � �� � �� ! ( 1� �

#$  � " � �7�� � � � � � F 7� G ¤

29. � N ��� �� �V7��#7 � �� � �1 �1 11 �

� & � & � & ! ( 1� �#$  � �7O7 � � �� � � = = � � @��&�C7�� !C@MB

30. � N ��� &� �#7 �#7�� �� � ��1 & � �1 � & � � � & � & � & ! ( 1& �

#$  7 � �7 � � �� = = � � @ ��� � !C@CB

31. � N ��� &� �V7��#7 � �� � 1 � � �� � �& � &� � �

� & � & � & ! ( 1 � � �#$  � � � �7X��7 � � ���

� � � = = � � @��&� � � !C@MB32. � N �

�� &��#7��#7 � �

�� ��& � � �1 � � � � � & � & � & ! 1� � � 1

#$  � � � � 7 7

� � F�3 � � � � ��� � � � �7 � G = = � � @��&��� �O!C@MB33. � N �

�� &��#7��#7 � �

�� � &� � &� � � & � & � & ! 1 � � 1

#$  � � ��7

� � � � F�3 � � � � �� ��� � 7� G = = � � @��&��� � !C@MB

34. � N ��� &

��V7��#7 � �

�� �

�&�� & � & � & ! 1� 1

#$  � �� � � F � � 3 � ��� � � � 7

� G = = � � @��&��� � !C@MB35. � N �

�� m 5_7 � m 5 � 1 � m 5 � 1 � m 5 � 1 �V7m � m 5 & �� � m 5 & �� � m 5 & �� ! 1� �

#$  � � � � m ( � !� � 7 m

Y & N �� m 5 � 1 � m 5 � 1 �#7 ! 7� m 5 1 � 1 ��� m 5 1 � 1#$ = � � m � � � � ! = � �

@���� � � � !C@B:1��:

Page 638: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 36. � N �

�� 7 �#7��#7 �#7�� &�� 11 & 1 � & � & � & ! 1� �

#$ � � �� � = = � � @��&��� 7�!C@MB

37. � N ��� &� �V7��#7 � �� � 1 &�

�� � & � & � & ! 1�#$  � � �� = = � �

@��&�C7 7�!C@MB38. � N �

�� m 5_7 � m 5 1� � m 5 &� � m 5 �� �#7m � m 5 ��� m 5 �

�� m 5 �

� ! 1�#$

 �£ � � - � � a 1��� � � � F � m 5 7� � G � J m ( 1� L �� J m 5 �

� Lm � � J � m ( 1 L� �#� � m (:7�! �� � m � � m ( � ! & N �� m 5 &� � 1 �#7 ! &�m 5 �

�� ��(*� m #$ = = � �

@����C7O7X!C@CB39. � N �

�� m 5_7 � m 5 1& � m 5 1& � m 5 1& �#7m � m 5 �� � m 5 �� � m 5 �� ! 1�

#$  �]��� m (:7�!

� m & N �� 1 � 1 �#7 ! 7m 5 �� � m 5 ��

#$

= � � m �h7 � ! = � �@����C7 ��� !C@CB

40. � N ��� 1 � 1 � 1 � 1 � 1& � & � & � & ! 1�

#$

  �7�� � � ��� 77�� � � � � D � F � � 7�<G 3 � F � � 7� G � � F � � �� G 3 � F � � ��<GIH ¤41. � N � � 7��#7 �#7��V7��#7& �]����� ��� ! 1� �  

7 � � �7�� � � ¤42. � N �

�� 7 �#7 �#7��#7 � �&& � & � & � & ! 1�#$  � �� = = � � @ @CB

43. � N ��� &

��V7��#7 � �

�� &1 ��1 � � & � & � & ! & � 1

#$  �� � � F � � 3 £ ��� � � � 7

� G = = � � @��&��� � !C@MB44. � N �

�� ( ' � m � m 5 1 � � 5 7 � � a 1& 5n'( � ' � � ��� m 5 � 'g5 7 � 1 ! �#$  J � a & L ' J �& 5 7 L '

J 1& L ' J & L ' = = � � @�������B � !C@�B:1�!<

Page 639: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� ;8.1.5. The hypergeometric function 6F5(a1, . . . , a6; b1, . . . , b5; z)

1. � N ��� m � m 5 1 � � � � 5 1 � � a � � � a � a 1 ! �1 � m 5 � � m 5 � 5 1 � � a � a 1�

� � a � a &�

#$

 � N & �� � � � a 1 � � � � a 1 ! � � a � a 1�

� � a � a &�� 1

#$ � � m � � � ���� m 5h� � 5 7X! �Y

� N & �� � a 1 � � 5 7�� � a 1 � � 5 7 ! � � a � a &�� � a � a �

�� &

#$ = ��@CB

2. � N ��� ( � & � 1;- �& � - �& � m � � � � 5 1 ! 7� a �& � � a � a 1& � � a � a & �

�� & (

�(*' #$

  ��� � ! '� m 5n� � ! ' � N & �� (�' � m ��� � 5n')(:7���� ( ��(*' ! 1�7�( � � (*' �

�� & (

�( ' #$ = = � � @ ��� � B � �O!C@CB

3. � N ��� m � � � � � a & �#7��V7 ! 7 a 1 �

�5_7 �

�( m 5n� �

�( � 5n���]� #$   �

��( m 5_7X!A�

�( � 5_7X!� m (:7X!A� � (:7X!A��5_7X!Y � 3 � � � ��� � � � 3hf-� ¢ � � � � � 3��'� ¢ �<3�� � � 3hfT3�� � £ �� ¤

4. � N ��� (�' � m � m 5 1 � � � � 5 1& � � 5 & ! 7 ��- �& � � - � a 1& � ��- � a & �

�� � � ( � 5 &

#$

  � � � ( � m 5 7�! '�C7 (*� m ! ' � N & �� ( ' � � � � � � (*��5:� ���

�( � � (:7 ! 1

�� � (*� m 5_7���� � � ( � 5 &

#$ = = � � @ ��� � B � �O!C@CB5. � N �

�� ( ' � 1& (*' � & (*' � m � � � � 5 1 ! 7� a �& � � a � a 1& � � a � a & ��� & (

�( � ' #$

  � m ! � '� m 5n� � ! � ' � N & � ( � ' ��� � � � ( 1 �#7�( � ( � ' ! �7 ( m ( � ' ��� � (:7���� (*��( � ' � = = � � @ ��� � B � � !C@CB

6. � N � � m � � � � ��� � � ��� 5_7 ! ( 7� � � ( m 5_7�� � ( � 5_7�� � ( � 5_7 � � ( �K5_7 �  � � � ( m 5_7X! � � � (��K5 7�!

� � � 5 7�! � � � (��P( m 5 7�! & N J m ��� � � ( � ( � 5_7 ! 7� ( � 5_7�� � ( � 5_7 L= � � � � � ( � � (*��(*���P( � m 5 � ! � � � � � (��P( m 5_7X! � ��@CB

:1��L

Page 640: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 7. � N � J m � � � � ��� � � �]� � (*� ! ( 7� (:7���� � ( m (:7��]� � ( � (:7���� � ( � (:7 ��� � (��P(:7 L

  � ��� � ( � (:7�! � ��� � (��P(:7X!� ��� � (:7X! � ��� � ( � (��P(:7X! & N J � ��� ��� � ( m ( � (87 ! 7� � ( m (:7 ��� � ( � (:7 L= � � ��� � ( � (��#! � 7 ! � � � � � ( m ( � (

�(��#! � � ��@CB

8. � N ���

� m � m 5 1 �]� m �#7 (*� m � � � a 1 � - � � � W a � � a �1 � � � � a 1 � a � � � W a � � a �1 �m 5 &� � m 5 ��� � � a - � � � W a � � a �1 � � � � a a � � � W a � � a �1 � ! ( 1� �

#�

$

 � � �!& � � J � m 5 & L� � � � � � ��� m 5n� ! = = � � @ ��� � B � !C@CB

9. � N ���

� 1� � 1 � &� � &� � & � - � 1 1 �� & � a � 1 1 �7�� �

�� 1 &�

� 1 1;- � 1 1 �� 1 1 a � 1 1 � ! 1� �

#�

$  7�� � �

��� � � � �2 F 7� G = ��@B

10. � N ���

� m � m �#7 ( m � 1 � � � a �<- � � �W a � 1 � � � a � a � � �

W a � 17�� � a &�� � a ��

� � � a &�- � � �W a � 1 ��� � a & a � � �

W a � 1 ! 1� �

#�

$

 �

� J m 5 & L� � � m 5n�O! � � m 5_7X! = = � � @ �����VB � !C@CB11. � N �

��

� 1�� 1�� &�� &�� 1 � - � �1 � 1 � a � �1 7��#7 � & � �<- � �1 � � a � �1 ! 1�

#�

$  7��

� � � � = � � @B12. � N � � 7��#7 �#7��V7��#7 �#7& �]����� �����]� ! 1� �  � � �

� � � ��3 � �� � � �]� � �7 �O� � � D � F � � 7�<G 3 � F � � 7� G � � F � � �� G 3 � F � � ��<G9H ¤

8.1.6. The hypergeometric function 7F6(a1, . . . , a7; b1, . . . , b6; z)

1. � N �

�� ( ' � m � � � � � �& 5_7��#7�( � � m (�5:'g5 1 ! 7�& � ��- � 5_7�� � a � a 1 � m (*�

�5 7 � m 5n� '65_7 ���

�( m (*� ' #$

 � m 5_7X! � ' J � a � a 1 (

� L ' J ��- � (�5 7 L '

J ��- � 5_7 L�' J � a � a 1 L ' � m ( ��5_7X! � ' = = � � @ ���C7�B � !C@CB

:1��P

Page 641: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� :2. � N �

�� (�� ' ( � � m � � � � � �& 5_7�� m ( � 5 1 ��� m (�5n�O'65 � 5_7 ! 7 �& ��� � ��� m (*� � 5 7 � m ( 5 7 � a 1 (*')( S �#7<5 m 5n'65 S

#$

 �£ - � ���O'�! % � m 5_7X! ' J � 5 1;- L ' � m ( � ( 5_7X! '' % J � 5 1 L ' � m ( � 5_7X! ' J m ( 5 7 L ' J 1�- L ' � � l S= � � � �#7 ! = � � @��&�C7�B � !C@MB3. � N �

��

� m ��7�( m � 1 � 1 � 1 � � � a 1�- � & � �W - � � a 1 � � � � a 1 a � & � �

W - � � a 1 �m 5 1 � m 5 1 ��7 ��7�� � � a 1�- � & � �W - � � a 1 � � � � a 1 a � & � �

W - � � a 1 � ! ( 1�#�

$

 �

�� J m 5 1 L� m �

� � m ! = = � � @ �#���#B 7�!C@CB4. � N �

�� 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � 1 - �1 � � 1 a �1 �7��#7 �#7 �#7�� - �1 � � a �1 � ! ( 1�#$  �

� � = = � � @ �����#B � !C@MB

5. � N �

����

� 1� � 1& � 1 � & � &� � �

�( � � � 1 �� � �

�5 � � � 1 ��7��V7��#7 �#7�� 1� ( � � � 1 �� � 1� 5 � � � 1 �� ! ( 1� �

#���

$   � �� � � = = � � @��&�M7 � !C@CB

6. � N �

����

� 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � � 1� ( ����1 �

�� � 1� 5 �

���1 �

�7��V7��#7 �#7�� �

� ( ����1 �

�� �

� 5 ����1 �

� ! ( 11 � �#���

$   7X� �7 � � � = = � � @���� ��� � � @CB

7. � N �

��

� 1� � 1� � 1 � &� � �� � 1 ��� � - � � � � �1 � � � � 1 ��� � a � � � � �1 � � �7��V7��#7 �#7�� 1 & � - � � � � �1 � � � � 1 & � a � � � � �1 � � � ! ( 11 � �#�

$  ��� �7 � � � � � = = � � @��&�C7 � !C@MB

8. � N �

��

� 1� � &� � 1 � �� ���� � � � - � � � � � � � � � a � � � � � �7��V7��#7 �#7�� 1 � - � � � � � � � 1 � a � � � � � � ! 1 � � 1#�

$  � � � �7 � � � = = � � @����

��� � � @CB

9. � N �

����

� 1� � 1 � 1 � 1 � �� � � �

� �( 1� �

� ���

�� � �

� �( 1� �

� ���

�7��V7�� ��� ��� 1 1� �

( 1� �

� ���

�� 1 1� �

5 1� �

� ���

� ! 11 �

#���

$   �7 7 � � �2IF 7� G= = � � @ ����� �O!C@CB

:�,9N

Page 642: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � ��� ���������� � �� � � ���� � ����� � ��� � ��� ��� 10. � N �

��

� 1� � 1 � 1 � 1 � �� � � � - � & � � � � � � � a � & � � � �7 �#7�� ��� ��� � � - � & � � � � � � � a � & � � � � ! 11 �

#�

$  �7 7 � � � � F 7� G = �

�@B

11. � N �

��

� 1� � 1 � 1 � 1 � &� � 1 & � - � � � 11 � � 1 & �;a � � � 11 �7��#7 �#7 �#7�� 1 � - � � � 11 � � 1 �Ia � � � 11 � ! 11 �

#�

$  � �

� � � = = � � @��&��� � [email protected]. The hypergeometric function 8F7(a1, . . . , a8; b1, . . . , b7; z)

1. � N � �� ( ' ��( ' ( 1 � m � m 5 1 � � � � 5 1 �V( m ( � (*')( 1��V( m ( � (*'65 1

� !71 �V( m (*' � 1 ( m (*' �V( � (*' � 1 ( � ( ' � m 5 � 5 1� � m 5 � 5 &�#$

  � � m 5_7X! � ' � � � 5_7�! � ' ��� m 5n� � 5 7�! � '��� m 5_7X! � ' ��� � 5_7�! � ' � � m 5 �� 5 7�! � ' ¤

2. � N � ��� 7 �#7��#7 �#7 � & � �

�� � - � � &�

� � a � � &������ � � � � � � � � - � � &�

� � a � � &� ! 7#�

$  � �7�� � � �<3 � �

� � ¤

3. � N � �� � � 5_7 � �& � �& � � a 1& � � a & � & � a 1& � a & ! ( 7� � � ��- � a 1& � � - � a & � � - �& 5_7�� ��- a 1& � ��- a & � � - & 5_7 #$

  � � m ( � 5_7X! � � m (�5 7�!

� � m 5_7X! � � m ( � ( � 5 7�! & N �� � & � � � ��! &�� � � a 1#$ = � � ��� m ( � � ( �

�! � ( � @CB

4. � N � ��� &� �#7��#7 �#7 �#7�� �� � 1 � � - � � � 11 � � 1 � �;a � � � 11 �& � & � & � & � & � ��� - � � � 11 � � ���Ia � � � 11 � ! ( 1�#�

$  � � �

� � = � � @B

5. � N � �� 7 �#7��#7 �#7 �#7��#7 � 1 � - �1 � � 1 �Ia �1 �& � & � & � & � & � � - �1 � � �Ia �1 � ! ( 1�#$  �7�� � � � ¤

8.1.8. The hypergeometric function 10F9(a1, . . . , a10; b1, . . . , b9; z)

1. 1 � N �

��

� 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � �� � 1 � - � � &1 � � 1 � a � � &1 �1� �#7 �#7��#7 �#7 �#7��#7 � - � � &1 � � a � � &1 � ! 1� �

#�

$  � �

� � = = � � @���� �� � � @CB

:�,��

Page 643: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� �� P8.1.9. The Kummer confluent hypergeometric function

1F1(a; b; z)

1. 1 N 1 J m 5 � ! �� 5n' L  �( 7�! ' � % � � ! '� m ! ( � � ( m ! ' � � S�� ��� � "$9% � � a � -21S - � ��3P�&�&� � a �� D � - � 1 N 1 J m ! �� L H ¤

2. 1 N 1 J m ( � ! �� 5n' L   �( 7�! ( &(' � � ! '� � ( m 5n'�! ( � � ( m ! ' � �Y S������ �43��&� � J � $ L �0fg3�� 3 � 3 � � ¢ � S - � � � a ��D � - � 1 N 1 J m ! �� L H ¤3. 1 N 1 J m 5 � ! �� (*' L   � � "��� m ! ( �C7 ( � ! 'Y ��� ��� J ' $ L �0fg3��O� �&- � ��3P�&� � � � a2S D�� � a2S -21 1 N 1 J m ! �� L H ¤4. 1 N 1 J m ( � ! �� (*' L  �( 7X! ' ' % � � " � & �� � ( m ! ( �C7 ( � ! ' � � ��� ��� � "$9% � � a � -;��&- � ��3P�&�&� � a2S D�� � -�� a2S -21 � - � 1 N 1 J m ! �� L H ¤

5. 1 N 1 J m ! �� m 5n' L   � F fg3 7� G F �� G 1� -�� � �A� ������� �43 ¢ � � J ' $ LY ��� m (87�! "��� m 5n'�! " FOf-� � 3 7� G � a � -21� F � � G ¤6. 1 N 1 J m ! �� m (*' L   ��F fg3 � 3 7��G F �� G �&-�� a 1� � �A� ������� J ' $�LY ��� m (*�O')(:7X! "��� m (*'�! " F f�� � 3 � 3 7��G � a � -;�&-21� F � �,G ¤7. 1 N 1 J � 5 7

� ! � L   ��� 3 ¢ �4� 1A- � ��� S�� ��� �( 7X! "$9% � �S - � �43��&� � � � � � 3 ¢)� �&� ¤8. 1 N 1 J � 5 7 ! �'65n� L

  �43 ¢ � � � � � ¢ �4� -;�&-21 S�� ��� � $ 5n'�! %$&% � �S - � ��3P�&�X� �43 ¢ � � a � � � 3 � - � -;�&-21� a � ��&�0� ¤9. 1 N 1

�� 1� ! �1&#$  � �� �� �:F �� G � �A� � / � � ) F � �� G � & , � � � ) F � �� G � & , ¤

:�,,

Page 644: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� � ��� ������� ��� � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����10. 1 N 1

�� �� ! �&#$ �£ - � � & � � �

� F � � G � �A� Y � 3 � � � � 1� & � � ) F � �� G � & , 3 £ � & / � � � ) F � �� G � & ,� � �&� 1� & � � ) F � �� G � & , � £ � & � � � ) F � �� G � & , ¤

8.1.10. The Tricomi confluent hypergeometric function Ψ(a; b; z)

1.� J m 5 � ! �� 5:' L   �( 7�! ' ' % � "�� "�'%& �� m ! ( � m ( � 5_7X! (

Y ��� ��� � "$9% � � -�� -;� a 1�&- � ��&�9� � a2S D � � a2S -21 � J m ! �� L H ¤2.

� J m ( � ! �� 58' L   ��3 ¢ � SEa � � ��3 f�� � ��S � �Y S������ J � $ L � "� � ( m 5*'�! " � � a �ED � - � � J m ! �� L H ¤3.

� J m 5 � ! �� ( ' L   � m ( � ! ' � "��!& �� m ! ( � m ( � 5_7X! ( � m ( � 5 � 5_7X! 'Y ������� J ' $ L � "� � ( m (*'65_7X! " � � a2S D�� � a2S -21 � J m ! �� L H ¤4.

� J m ( � ! �� ( ' L   �( 7�! ( &(' � % � ']" � & �� m ( � 5_7X! ' S�� ��� � "$9% � � -��S - � ��&�9� � a � D � � -21 � J m ! �� L H ¤5.

� J m ! �m 5:' L   ��3 ¢ � �&-21 � � 3 ¢ � � � 1A-�� -;� � 1A-�� -;��&-21 ��&� = '8>?7A@B6.

� J m ! �m ( ' L   ��3 ¢ � �Y �� � ��� ¢ 3_f � �&� � � -;�&-21� ��3��&�23 � 1A-�� ��� � 1

7$ � � a � -;�&-21�&- � ��3P�&� � 1A-�� - �� -21 �0�&� � ¤7.

� J m ! �� m 5n' L   �( 7�! '� � ��� � 1� -�� -;� � �A� Y ������� � � -;�&-�� a 1�&- � ��&� ��

� ��� �( � � ! �� % � � - � -21� � - � F 3 � � G ��� ��� J � � L � � - � a � -21� F � � G ¤

:�,93

Page 645: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � ��� ������ ��� ������ � � � �� � � ���� � ����� � � ��� � ��� � � � � ��� � ��� ��� � L1� �� ��N8.

� J m ! �� m (*' L   �( 7�! ' ' %� � �C7 ( m ! ' � 1� -�� � �A� Y ������� �( � � ! "$9% � � a � -;�&-21� �&- � F�3 � � G ��

� ��� J $� L � � - � a � -21� F � � G ¤9.

� m ! �'g5 1 �  �£ � � � �43��&� -;� ���A� Y ��� ��� �( 7X! "$9% � � -;�&-�� a 1�&- � �0�&� ��

� ��� J $� L � ¢ 3hfI� � - � � �Y � ��3 ¢ � � � � l � � - � � / £ � � � � £ �&� - � � � -21�

� ��� � � �P5�!

�% � � �Q(

�! � �]�&� - � � � £ fI� � - �

Y � � - � - � � / £ � � � ¤10.

� m ! �1 (*' �   � � � � �J m 5 1 L '

��� ��� J '� L F 7� G �&- � � �

Y � ��3 ¢ � � � � l � � - � � / £ ��� � � £ �&� - � � � -21�� ��� � � �P5

�!

�% � � � (

�! � �#�&� - � � � £ fI� � - �

Y � � - � - � � / £ � � � ¤11.

� J � 5n7� ! � L   7��� ( � ! ( � � 1A- � � � ��� ��3 ¢!� �&� � 1A- �S �43��&�

3 S���� 17$ � � - � a 1S - � ��3P�&� � � - � -21� -21 �0�&� � ¤

12.� J � 5_7 ! �'g5 7 L   3 7� � % ! � ��� ����J ' $ L � � � � � � �43P�&� - �Y �

� � � � ��3P�&� � - �� a2S �43��&� � � a2S�� � 1

�(��]! �� � � - �� a2S - � �43��&� � - �� -21 �0�&� � = � �?'I@CB

:�,!5

Page 646: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ����� ��� ������� ��� � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����13.

�� � 5 1 ! �'65 1#$  � � ( ' % �(��]! "�'��� � ! % ������� � $ 5 � ! %$&% � � -;� a 1� �&- � ��&�

Y � / � � � � �� � ��/ ��� � - � -21� � a2S ��3P�&��� £ � a2S�� � 1

�( �]! �� % � � - � -21� � a2S - � �43��&�

Y � -21�� ��� � � �P5

�!

�% � � �Q(

�! � £ / � � - � - �

�� - � -21 � / � � � = � �?'I@CB

14.�

�� � 5 1 ! �1 (*' #$  7

J 1 (*' L ( & '���� ��F � � 7� � � G � -;�&-21� SEa � �43��&�

3 � � a 1� SEa ����� 17$ � � -;�&-21� SEa �&- � ��3P�&� � �&- � a 1� � -21 ��&� � ¤

15.�

�� 1 ( � ! �'65 1#$  ��3 ¢ � S £ 1A-;� � � � S � -;��� S������ J � $ L J ( � � L "��'�! "Y � a �&-21�

� ��� � � $ 5n'65�!

�% � � $ 5n')(

�! � £ / ��� - �

� � a �&- � -21 �0/ � � = '8>?7A@B16.

�� 1 ( � ! �1 (*' #$

  �( 7�! ( &(' � %' % S�� ��� � $ 5n'�! %$9% � � -21� S - � �0�&�X� / � � � � �� � �0/ � � � - � -;�&-21� � a � �43��&�� £ � a ��

� � 1�( ��! �� % � � - � -;�&-21� � a �&- � ��3P�&� � -21�

� ��� � � ��5�!

�% � � � (

�! � £ / ��� - � - �

�� - � -21 � / ���0�

= � �_'I@B17.

�� 1� ! �1&#$ �£ � & V1� � / � � �A� � � ) F � �� G � & , ¤

8.1.11. The hypergeometric function 1F2(a1; b1, b2; z)

1. 1 N � 7 ! �� � � 5 1 �  � � (87� � � ��� ��� � £ / ��� 1 N � � (:7 ! �� � 1 � 3 £ ���K3 ¢ � � � ��� � £ / � � 1 N

�� � ( 1 ! �� 5 1 � & #$¤

:�,;

Page 647: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � ��� ������ ��� ������ � � � �� � � ���� � ����� � � ��� � ��� � � � � ��� � ��� ��� � L1� �� ��2.

  7�(*� �� / � � � ��� � £ / ��� 1 N � � ! �� 5 7 � & � � � � ��� � £ / ��� 1 N

�� � ( 1 ! �� 5 1 � 1#$¤

3.  � " � � � " � ��� � �� � " �

� �C7�( � � !Y ���� 3 £ �O� � � - � �9- � � ��� £ � 3 £�� 3 £ / ���<3 � � � a � � ��� £ � 3 £���£ / ��� �� �K� � � � � � ��� � � ��� � £ / ��� � � ��� � � � ��� � � ��� � £ / ���0� � = �� ��@B

4. 1 N � m ! �m 5_7 � 1 �  � � ��� � £ / ��� 1 N � 7 ! �m 5 1 � m 5 7 � 3 � � �� m 5_7 ��� ��� � £ / � � 1 N � 7 ! �m 5_7�� m 5 & � ¤

5. 1 N � m ! �m 5_7 � & �  7� m (:7 � m� � � � ��� � £ / ��� 1 N � 7 ! �m � m 5 1 � 3 � � ��� � £ / ��� 1 N � 7 ! �m 5 1 � m 5_7 � � ¤

6. 1 N � � 5_7 ! � �& ( � ���   ��3 ¢ � � � �� � �

�!

� % J ( 1 L (��� ��� J � � L F 7� 3 � 3 � G � - �Y � a2S������ ��3 ¢ � � J � 5 �$ L F � 3 � ��G � - � a2S �I+ � - a 1 . ��� � LA- � -!&4� � £ / ���

H - � -!&4� � £ / ��� � ¤7. 1 N � � 5_7 ! � �� 5 � � � �   J & L ( & �� % � % ��� � � S������ ��3 ¢ � � J � $ L ��

� ��� ��3 � � �Y � � �� ��� ��� ��3 ¢ � � - � J �� L�� � 3 � 3 ¢ � � - � �I+ � - a � -21 . ��� � L - � - � - � � � £ / ���

H - � - � - � � � £ / ��� �3 �( 7�! � � � ( � 5_7X! ���� $ (*� � 5 7�! � �

�( � (:7X! � - � -21 ¤

8. 1 N � ')( 1 ! � �'65_7����O'65_7 �  � � ' & � ��' % ! �� '65_7 � 1� -;� � / � � �&-21 � / � �� �&-21 � / ��� � 3 � �&-21 � / ��� � � / ���� �&-21 � / ��� � � � / ��� �

3 / � � �&- ��/ ���� � �0/ ���� �&- ��/ ��� � � ��/ ���� � 7 (*� '� � � � � �0/ ���� � �0/ � �� � ¤:�,9:

Page 648: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ����� ��� ������� ��� � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����9. 1 N

�� � 5 1 ! � �� 5 � 5 & ��'65_7 #$   ' %� % F � � 7� G SEa 1S������ �43 ¢ � � J � $ L � "��A")"

J 1 ( � ( $ L 'Y � � a � -21�

� ��� � � ¢ � � a � F 7� 3 � 3 � G � �I+ � a � - � -21 . � � � a 1 � £ / ���� � a 1 � £ / � � �� ��3 ¢ � � a � F 7� 3 � 3 � G � a � ) £ � � � £ / ���� � � £ / ������ �� � � £ / ��� L 1 � £ / ���<3 1 � £ / � � L� � £ / ���� � � £ / � � H 1 � £ / ��� � � 1 � £ / ��� H� � £ / ����3 �� � � a � -21�

� ��� � � ¢ � �

� � a 1 � £ / ���� � a 1 � £ / ��� � ,3 �&-21�� ��� ��� ¢ � � a � F 7� 3 � 3 � G � �I+ � a � - � -21 . � � � a 1 � £ / ���� � a 1 � £ / ���� � ¤

10. 1 N �� � 5 1

� ! ��

� 5 � 5 ���]'65 1

#$  J � 5 1� L ( & �� % ��F � � 7��G S�� ��� ��3 ¢ � � J � $ L

Y 7J 1� ( � ( $ L '

� � � ¢ � � a � � � � � � � 3 ¢ � � �i£ - � � - � � -21� � - � - � -21���Y � � �� � / £ � 1��� � � � �� � / £ � 1��� �£ &4� � � £ / ��� � � 7� � � � � � ��� � £ / � �

� � � � £ / � � �Y � a � -21�� ��� � � � 5 � $ (:7X! % %� � � 5 � $ ( � �Q(87�! % % ��� ¢ � �&� - �

3 �� � � � � ��� � £ / ���� � � � £ / ��� �

� a � -21�� ��� � � � 5 � $ (87�! % %� � � 5 � $ ( � �Q( � ! % % � � ¢ � �&� - � -21

3 �&-21�� ��� F 7� 3 � 3 � G � � - + � a 1 . ��� � � a 1� � £ / ���� � a 1� � £ / ��� � � ¤

11. 1 N �� � 5 &� ! � �� 5 � 5 �

��]'65 1

#$  J � 5 &

� L ( & �� % ��F � � 7� G S�� ��� ��3 ¢ � � J � $ LY 7

J ( � ( $ ( 1� L '� � � ¢ � � a � � � � � � � � ¢ � � �i£ - � � - � � - � � � - � - � -!&4���

Y � � �� � / £ � 1��� �<3 � �� � / £ � 1��� �3 £ &4� �E� £ / ��� � � 7� � � � � � ��� � £ / � �� � � � £ / � � �

:�,<

Page 649: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � ��� ������ ��� ������ � � � �� � � ���� � ����� � � ��� � ��� � � � � ��� � ��� ��� � L1� �� ��Y � a ��� ��� � � � 5 � $ 5 7�! % %� � � 5 � $ ( � ��5_7X! % % � � ¢ � �&� - �

3 �� � � � � ��� � £ / ���� � � � £ / ��� �

� a � -21�� ��� � � � 5 � $ 5 7�! % %� � � 5 � $ ( � �Q(:7X! % % � � ¢ � �&� - � -21

3 �&-21�� ��� F]3 � 3 � 3 7� G � � - + � a 1 . ��� � � a 1� � £ / ���

� � a 1� � £ / ��� � � ¤12. 1 N

�� � 5 1� ! �

�� 5 � 5 �

�� 1 (*' #$   J � 5 1� L ( & �� % ��F 7� 3 � G S�� ��� ��3 ¢ � � J � $ L

Y � �&-21�� ��� F 7� 3 � 3 � 3 � G � �I+ �&- � -21 . ��� � � -;� a 1� � £ / ���

� � -;� a 1� � £ / ��� �� ��3 ¢ � � F � � � � �� G �Y � 7� � � � ��� ��� � £ / ������ � � £ / ��� �

� a � -21�� ��� � � � 5 � $ (:7X! % %� � � 5 � $ ( � � (:7X! % % � � ¢ � �&� - �

3 �� � � � � ��� � £ / ���� � � � £ / ��� �

� a � -21�� ��� � � � 5 � $ (87�! % %� � � 5 � $ ( � �Q( � ! % % � � ¢ � �&� - � -21� ��� ¢ � � a � � � � � � � 3 ¢ � � �i£ - � � - � � -21� O� - � - � -21���Y � � �� � / £ � 1��� � � � �� � / £ � 1��� �£ &4� � � £ / ��� � � � ¤

13. 1 N �� � 5 &� ! � �� 5 � 5 �

�� 1 (*' #$   J � 5 &

� L ( & �� % ��F 7� 3 � G S�� ��� ��3 ¢ � � J � $ LY � �&-21�

� ��� F�3 7� 3 � 3 � 3 � G � �I+ �&- � -21 . ��� � � -;� a 1� � £ / ���� � -;� a 1� � £ / � � �� �43 ¢ � � F � � � � �� G �Y � 7� � � � ��� ��� � £ / ���

��� � � £ / ��� �� a ��� ��� � � � 5 � $ 5 7�! % %� � � 5 � $ ( � �P5_7X! % % � � ¢ � �&� - �

3 �� � � � � ��� � £ / � �� � � � £ / � � �

� a � -21�� ��� � � � 5 � $ 5_7X! % %� � � 5 � $ ( � � (:7�! % % ��� ¢ � �&� - � -21� ��� ¢ � � a � � � � � � � � ¢ � � �i£ - � � - � � - � � O� - � - � -!&4���Y � � �� � / £ � 1��� �<3 � �� � / £ � 1��� �3 £ &4� �E� £ / ��� � � � ¤

:�,9L

Page 650: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � � ��� ������� ��� � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����14. 1 N � m ! � �m ( � 5 1 �]� m ( ' �   �

� J m 5 1 LJ 1 ( m L ( �C7 (*� m ! ' F �� � G � -21Y ������� J ' $ L F 7� 3hfg3 � G �&- �

� a2S�� ��� ��� ¢ � � J $ 5 �� L F 7� 3hf G � a2S - � F � �� G �

Y ��� ��� J �� L � � a � -21� � / ��� � a � - � -21� � / ���

� � a � -21� ��/ ��� � � a � - � -21� �0/ ��� � ¤15. 1 N � � 5 1 ! � �m (*' ��� ( m �   ��3 ¢ � SEa � � �C7�( m ! ��% � m � !

J 1 L ( �C7 ( m ! ' F � �� G �Y S�� ��� ��� ¢ � � J � $ L F fg3 � 3 � 3 7��G S - � F � �� G � � a ��

� ��� � � ¢ � � a � J $ 5n'� L

Y � � a � - � -�� a 1 ��/ ��� � - � -21 ��/ ���� � a � - � -�� a 1 � / ��� � � - � -21 � / ��� � ¤16. 1 N J m ! � �m ( ' � � L   �����O� �I+ 1A- �0. � ��� ��� ��� ¢ � J ' $ L � � " �� m (*'�! " � � a � -21 � £ / ���� � a � -21 � £ / ��� � ¤8.1.12. The hypergeometric function 2F2(a1, a2; b1, b2; z)

1. N J m 5_7���� mm � � ! � L   � � N J � m ( � 5:� � � (*� m (:7� m ( � 5_7 � � ! ( � L � � b�� � � � ¢L£ �0� ¤2. N � � a 1 � � 5_7'g5 7 �#7 ! � �   ���A� ��� ��� J ' $ L � F � � G ¤8.1.13. The hypergeometric function 2F3(a1, a2; b1, b2, b3; z)

1. N & �� m � m 5 1 ! �� � � 5 1 � 1#$  � � ��� � £ / ��� N & �� � ( m � � ( m 5 1 ! �� � � 5 1 � 1

#$

� m ( �� £ / � ��� ��� � £ / � � N & �� � ( m 5 1 � � ( m 5 7 ! �

� 5 1 � � 5_7 � & #$ = = � � @����C7�� !C@CB

2.  7� � 1 N 1 ^ � m ! (�� � �� � ` � 1 N 1 ^ � m ! � � �� � ` ¤

:�,9P

Page 651: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � ��� ������ ��� ������ � � � �� � � ���� � ����� � � ��� � ��� � � � � ��� � ��� ��� � L1� �� ��33. N & �� m � m 5 1 ! �� � � 5 1 � &

#$  � � (87����� m (:7X! � � ��� ��� � £ / ��� N & �� � ( m � � ( m 5 1 ! �� ( 1 � � � 1

#$

� ��� m ( � !� m (:7 � � ��� � £ / � � N & �� � ( m 5 1 � � ( m 5_7 ! �� � � 5 1 � &

#$ = = � � @ ���C7�� !C@CB4.

  � � (:7� ��� m (:7X! � � � 1 N 1 ^ � m (:7 ! � � �� � (:7 ` 3 1 N 1 ^ � m (:7 ! (�� � �� � (:7 ` ¤5. N & �� ( ' �]'65 1 ! �1� � 1 � &�

#$  D ' %��� '�! % H � � F �/ �V� G � � F � �/ �#� G ¤

6. N & �� ( ' �]'65 & ! �&�� ��� &

#$  D ' %��� '65_7X! % H 7� � � � � � a 1 F �/ �#� G � � a 1 F � �/ �V� G ¤

7. N & � ' ��'65 1 ! �'65_7���'65_7 ��� '65_7 �  � ��� � F�3 � � G � �

¢ � � ��/ ��� � ��3 ¢ � � � �0/ ���<3 £ ������� ��3 ¢ � � � �0/ � � � ¤8. N & � 1 � 1 ! �7 �#7��#7 �   7

� �∫� 7� � �M�E( � ! #� � / �E�� � ¤

9. N & �� 1 � 1 ! �7��V7�� & #$  7� � � �∫� 7� � � ��/ �E� � ¤

10. N & �� 1 � 1 ! �& � & � & #$  7� � � �∫�

����� ��� � � !� � ¤

11. N & �� 1 �#7 ! �& � & � & #$  �� � � �∫� 7

� L� � £ / �E� � ¤12. N & �� 1 �#7 ! �& � & ���

#$  � � � ����� ��� � �2!�( �� ��� ��� � ��!95_7� � ¤

13. N & �� 1 �#7 ! �& �]�����#$  7� � ¢ � � �V�Q3 ¢ �� � � £ / � ��3 £ / � 1 � £ / ����� £ �K� � � £ / ��� L1 � £ / � ��3 1 � £ / ��� L� � £ / ���0� ¤

:3N

Page 652: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� � ��� ������� ��� � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����14. N & J 7��V7 ! ������ ��� L   7� �∫� � � ��� � � !�(:7

� � ¤

15. N & � 7��#7 ! �& � & � & �  �� � � �∫� 7

� � �M�E( � ! L� � £ / �E�� � ¤16. N & � 7 �#7 ! �& � & ��� �  

7� � � �∫��� ��� ��� � � !�(:7� � ��( � � ¤

17. N & � 7��V7 ! �& �]����� �  ���� ��� � ��!�( � ��� � ��!�(

C� ¤

8.1.14. The hypergeometric function 3F0(a1, a2, a3; z)

1. & N � ^ ( ' � 1 �#7� `  �� � / � �I+ �&-21 . ��� D� -;�&-21� F �� � G 3 L� a 1� F �� � GIH ¤2. & N � � ( ' � 1 �#7( � �  �� � / � � + �&-21 . ��� D H� a 1� F �� � G 3 � � a 1� F �� � GIH ¤8.1.15. The hypergeometric function 5F0(a1, a2, . . . , a5; z)

1. � N � ^ ( � � 1�- � � 1� � &� �#7� `  �£ -;�&-21� � � / � � + �&-21 . � �

Y � H� a 1� � �#� -21��� �E3 L� a 1� � �#� -21��� �'� -;�&-21� � �V� -21��� �3 � � a 1� � �V� -21��� � � ¤2. � N � ^ ( � � 1�- � � &� �#7 � ��� `  �� � / �8F �7��<G + �&-!& . � �

Y � H� a &4� � �V� -21��� �'� L� a &4� � �V� -21��� �E3 � � a &4� � �#� -21��� �3 -;�&-!&4� � �V� -21��� � � ¤8.1.16. The hypergeometric function 4F1(a1, . . . , a4; b1; z)

1. � N 1 � ( ' �]'65_7�� m �#7�( m1 ! � �  7� � D� � a � F 7� � G � � -;�&-21 F 7� � G � � -;�&-21 F 7� � G � � a � F 7� � GIH ¤

2. � N 1 � ( ' �]'65_7�� m �#7�( m1 ! ( � �  ��3 ¢ � � �� � � D � � a � F 7� � G � � -;�&-21 F 7� � G 3 � � -;�&-21 F 7� � G � � a � F 7� � G9H ¤

:31�

Page 653: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � ��� ������ ��� ������ � � � �� � � ���� � ����� � � ��� � ��� � � � � ��� � ��� ��� � L1� �� �!<3. � N 1

�� ( ' � 1� (*' � 1 (*' � &� ( '1 (*� ' ! �#$  F 3 �

� � G � � � ) �* � � , � � ) � �*� � , ¤

4. � N 1�� ( ' ��( 1 (*' �V( 1� (*' � 1� (*'( 1 ( �O' ! �

#$

  �43 ¢ � � a 1 � F �� � G � a 1� � � a 1 ) �* � � , � � a 1 ) � �*

� � , ¤8.1.17. The hypergeometric function 6F1(a1, . . . , a6; b1; z)

1. � N 1�� ( � � 1;- � � � a 1 � � 5 7 � 1

�� &�1 ! ( �#$

  �� �I� �� � � � ��� � a 1� � £ � -21��� �K3 £ � � � a 1� � £ � -21��� � � ��� � a 1� � £ � -21��� �3 � � � a 1� � £ � -21��� � � � ��� -;�&-21� � £ � -21��� �3 £ � � -;�&-21� � £ � -21��� � � ��� -;�&-21� � £ � -21��� �K3 � � -;�&-21� � £ � -21��� � � ¤2. � N 1

�� ( � � 1;- � � � a & � � 5:� � &� � ��& ! ( �#$  3 � � � ���'65_7X!A��'65n�O!0� � �Y � � ��� � a &4� � £ � -21��� �'� £ � � � a &4� � £ � -21��� � � ��� � a &4� � £ � -21��� �3 � � � a &4� � £ � -21��� � � � ��� -;�&-!&4� � £ � -21��� �� £ � � -;�&-!&4� � £ � -21��� � � ��� -;�&-!&4� � £ � -21��� �K3 � � -;�&-!&4� � £ � -21��� � � ¤

8.1.18. The hypergeometric function 8F3(a1, . . . , a8; b1, b2, b3; z)

1. � N & �� ( � � � 1;- �� � - �� � &<- �� � � a 1�� � a

�� � a &� � � � 5_71� � 1 � &� ! (��

#$  � �� �� �

Y�� D � � � � �� ��� ��� � / £ � -21��� � ��� � F ' �� 3 / £ � -21��� G� � � �� �� � � ��� � / £ � -21��� � � � � F ' �� 3 / £ � -21��� GIH � � -;�&-21� � £ � -21��� �� D � � � � �� ��� ��� � / £ � -21��� � ��� � F ' �� 3 / £ � -21��� G3 � � �� �� � � ��� � / £ � -21��� � � � � F ' �� 3 / £ � -21��� G9H � ��� -;�&-21� � £ � -21��� �3 D � � � � �� � � ��� � / £ � -21��� � � � � F ' �� � / £ � -21��� G� � � �� �� ��� ��� � / £ � -21��� � � � � F ' �� � / £ � -21��� GIH � � � a 1� � £ � -21��� �

:3�,

Page 654: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � � ��� ������� ��� � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����� D ��� � � �� � � ��� � / £ � -21��� � ��� � F ' �� � / £ � -21��� G3 � � �� �� � � ��� � / £ � -21��� � � � � F ' �� � / £ � -21��� G � ��� � a 1� � £ � -21��� � H � ¤

2. � N & �� ( ��� 1;- �

�� - �

�� &<- �

�� � a �

�� � a �

�� � a �

�� ��5n�&� � �� � & ! (��

#$

  � � � ���'65_7X!A��'65n� !A��'65 � !A��'65 � !�� � �Y�� D ��� � � �� � � ��� � / £ � -21��� � � � � F ' �� 3 / £ � -21��� G3 � � �� �� ��� ��� � / £ � -21��� � ��� � F ' �� 3 / £ � -21��� GIH � � -;�&- � � � £ � -21��� �� D � � � � �� � � ��� � / £ � -21��� � � � � F ' �� 3 / £ � -21��� G� ��� �� �� � � ��� � / £ � -21��� � � � � F ' �� 3 / £ � -21��� GIH � ��� -;�&- � � � £ � -21��� �� D � � � � �� � � ��� � / £ � -21��� � � � � F ' �� � / £ � -21��� G3 � � �� �� � � ��� � / £ � -21��� � � � � F ' �� � / £ � -21��� GIH � � � a � � � £ � -21��� �3 D ��� � � �� � � ��� � / £ � -21��� � � � � F ' �� � / £ � -21��� G� � � �

� �� � � ��� � / £ � -21��� � ��� � F ' �� � / £ � -21��� G � ��� � a � � � £ � -21��� � H � ¤8.1.19. The hypergeometric function 0F3(b1, b2, b3; z)

1. � N & � �1 � 1 � 1 �  � 1��� � � 1 � £ &4� � 1��� � � £ � � � � £ &4� � 1��� ��3 £ � ��� � � £ &4� � 1��� �<3 � � ��� � � £ &4� � 1��� � �� � 1��� � ��� 1 � £ &4� � 1��� � � £ � � � � £ &4� � 1��� � � £ � ��� � � £ &4� � 1��� ��� � � � � � £ &4� � 1��� � �� � 1��� � ��� � � £ &4� � 1��� � � £ � � 1 � £ &4� � 1��� �<3 £ � ��� 1 � £ &4� � 1��� �<3 � � ��� 1 � £ &4� � 1��� � ��?� 1��� � � � � £ &4� � 1��� � � £ � � 1 � £ &4� � 1��� �!� £ � ��� 1 � £ &4� � 1��� ��� � � � 1 � £ &4� � 1��� � � ¤2. � N & � ( �1 � 1 � 1 �  3 F �� G 1��� � £ � 1 � £ &4� � 1��� � � � � £ &4� � 1��� �K3 £ � � � £ &4� O� 1��� � � 1 � £ &4� � 1��� �� � � � � £ &4� � 1��� � 1 � £ &4� � 1��� � � � � 1 � £ &4� O� 1��� � � � £ &4� � 1��� � � ¤3. � N & � ( �1 � 1 � & �  7� � £ � 1 � £ &4� � 1��� � � 1 � £ &4� � 1��� �E3 � � 1 � £ &4� � 1��� � 1 � £ &4� � 1��� � � ¤

:33

Page 655: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � ��� ������ ��� ������ � � � �� � � ���� � ����� � � ��� � ��� � � � � ��� � ��� ��� � L1� �� ,9N4. � N & � ( �1 � �� � �� �  

� " � � �� �� � � �� � � � � ��3 £ 1� &� � & � 1� � � � � � £ 1� & � & � 1� � �

3 � � � £ 1� & � & � 1� � � � � � 3 £ 1� &� � & � 1� � � � ¤

5. � N & � ( �& ���� � � & �  � �� � �

� J � & L� � � � �� � � � � � £ 1� & � & � 1� � �E3 / � � � £ 1� &� � & � 1� � � �Y � / � � � 3 £ 1� & � & � 1� � �E3 � � � 3 £ 1� & � & � 1� � � � ¤

6. � N & � �� & � & � �& �  

� �� � � � �� � � � � -21� & � £ &4� � 1��� � � � 1� & � £ &4� � 1��� �� � ��� -21� & � £ &4� � 1��� � � ��� 1� & � £ &4� � 1��� � � ¤

7. � N & � ( �� & � & � �& �   � " �� � �

� � � � � �� � � � � � £ 1� & � & � 1� � � � � � 3 £ 1� &� � & � 1� � �3 � � � £ 1� & � & � 1� � � � � � 3 £ 1� & � & � 1� � � � ¤

8. � N & � ( �& � & � & �  7� � � � £ � � � £ &4� O� 1��� � � � � £ &4� � 1��� � � � � � � £ &4� � 1��� � � � £ &4� � 1��� � � ¤8.1.20. The hypergeometric function 0F7(b1, . . . , b7; z)

1. � N � � (��1� � 1� � &� � 1 � �� � &� � �� �   � � ��� F � / £ � 1� � � � �� � G � � ��� F � / £ � 1� � � � �

� � GY � � � F � / £ � 1� � � � �� � G � � � F � / £ � 1� � � � �

� � G� � � ��� F � / £ � 1� � � � �� � G � � ��� F � / £ � 1� � � � �

� � GY � � � F � / £ � 1� � ��� �� � G � � � F � / £ � 1� � � � �

� � G ¤2. � N � � ( �

�� � &� � �� � �

�� ��� 1 1�

� & �  �

��7X� � �Y�� � � ��� F � / £ � 1� � � � �� � G � � ��� F � / £ � 1� � � � �

� � GY ��� � F � / £ � 1� � � � �� � G � � � F � / £ � 1� � ��� �

� � G3 � � ��� F � / £ � 1� � � � �� � G � � ��� F � / £ � 1� � ��� �

� � GY � � � F � / £ � 1� � � � �� � G � � � F � / £ � 1� � � � �

� � G � ¤:395

Page 656: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ����� ��� ������� ��� � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����8.1.21. The hypergeometric function 2F5(a1, a2; b1, . . . , b5; z)

1. N ��� m � m 5 1 ! �m 5 1� � m 5 &� �]� m ( 1 �]� m � 1

#$  7� ��F £ fT3 7��G �:F £ f-� 7��G � 1� -��Y � � � -!&4� � £ � 1��� � � � -21� � £ � 1��� �'� � -!&4� � £ � 1��� � � -21� � £ � 1��� � � ¤

2. N ��� m � m 5 1 ! (��m 5 1� � m 5 &� �]� m ( 1 �]� m � 1

#$  ��F £ fg3 7��G ��F £ f�� 7��G � 1� -��Y � ��� � � f � � � � ��� � -!&4� � £ � 1��� � � ��� � -21� � £ � 1��� �3 � � � -!&4� � £ � 1��� � � � � -21� � £ � 1��� � �� � � � � f � � � � � � -!&4� � £ � 1��� � � ��� � -21� � £ � 1��� �� � ��� � -!&4� � £ � 1��� � � � � -21� � £ � 1��� � � � = = � � @ ���C7 � !C@MB

3. N ��� m � m 5 1 ! �m 5 1� � m 5 &� �]� m (87 ��� m ( 1 � &

#$

  7� ��� m (87�! ��F £ fT3 7� G ��F £ f-� 7� G � 1� -��Y � � - � � � £ � 1��� � � -!&4� � £ � 1��� �E3 � � - � � � £ � 1��� � � � -!&4� � £ � 1��� � � ¤4. N �

�� m � m 5 1 ! (��m 5 1� � m 5 &� �]� m (87 ��� m ( 1 � & #$

  7�#��� m (87�! ��F £ fT3 7��G ��F £ f-� 7��G � 1� -��Y � ��� � � f � � � � � � - � � � £ � 1��� � � � � -!&4� � £ � 1��� �3 � ��� � - � � � £ � 1��� � � ��� � -!&4� � £ � 1��� � �3 � � � � f � � � � � � - � � � £ � 1��� � � ��� � -!&4� � £ � 1��� �� � ��� � - � � � £ � 1��� � � � � -!&4� � £ � 1��� � � � = = � � @ ���C7 � !C@MB5. N �

�� 1� � &� ! ( �1 ( m �V7 ( m � m 5 1 � m 5_7 � 1#$ �£ f � � � � � £ f ���Y � � � � � £ � 1��� � � � - � � £ � 1��� �E3 � ��� � � £ � 1��� � � ��� - � � £ � 1��� � � ¤

6. N ��� &� � �� ! ( �& ( m �V7 ( m � m 5 7 � m 5 & � &

#$  f � ¢ 3 �#f9 � � � � � � £ f � �4� -21� Y � � � � � £ � 1��� � � ��� - � � £ � 1��� � � � � - � � £ � 1��� � � ��� � � £ � 1��� � � ¤

:3�;

Page 657: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

�+� � ��� � � � ��� ������ ��� ������ � � � �� � � ���� � ����� � � ��� � ��� � � � � ��� � ��� ��� � L1� �� ,,8.1.22. The hypergeometric function 4F7(a1, . . . , a4; b1, . . . , b7; z)

1. � N ��� m � m 5 1� � m 5 1 � m 5 &� ! �� m ��� m 5 1 � � � � 5 1 ��� m ( � 5 1 ��� m ( � 5_7 � 1

#$

  7� ��� £ �O� ��� �Vfg3 £ � � ¢ �9� 1��� -��Y � � � -21 � £ � 1��� � � � � - � � £ � 1��� �'� � -21 � £ � 1��� � � � - � � £ � 1��� � � = = � � @����C7O7X!C@CB2. � N �

�� m � m 5 1� � m 5 1 � m 5 &� ! ( �� m ��� m 5 1 � � � � 5 1 ��� m ( � 5 1 ��� m ( � 5_7 � 1#$

  ��� £ �O� ��� �Vfg3 £ � � ¢ �&� 1��� -��Y�� � � � � � � m (:7X! �� � � � � -21 � £ � 1��� � � � � � - � � £ � 1��� �3 � ��� � -21 � £ � 1��� � � ��� � � - � � £ � 1��� � �� � � �� � � m (87�! �� � � � � -21 � £ � 1��� � � ��� � � - � � £ � 1��� �� � ��� � -21 � £ � 1��� � � � � � - � � £ � 1��� � � � = = � � @��&�C7 7�!C@MB

3. � N ��� m � m 5 1� � m 5 1 � m 5 &� ! �� m ��� m ( 1 � � � � 5 1 ��� m ( � 5 1 ��� m ( � 5_7 � &

#$

  � ��� � ! � � � m (*� � 5_7�!�#� � m (:7X! � 1��� -��Y � � - � £ � 1��� � � � - � -21 � £ � 1��� �K3 � � - � £ � 1��� � � � � - � -21 � £ � 1��� � �= = � � @ ���C7�� !C@CB4. � N �

�� m � m 5 1� � m 5 1 � m 5 &� ! ( �� m ��� m ( 1 � � � � 5 1 ��� m ( � 5 1 ��� m ( � 5_7 � & #$

  � ��� � ! � � � m (*� � 5_7�!� m (87 � 1��� -��Y � ��� � � � � m ( � ! �� � � ��� � - � £ � 1��� � � ��� � � - � -21 � £ � 1��� �3 � � � - � £ � 1��� � � � � � - � -21 � £ � 1��� � �� � � �� � � m ( � ! �� � � � � - � £ � 1��� � � ��� � � - � -21 � £ � 1��� �� � ��� � - � £ � 1��� � � � � � - � -21 � £ � 1��� � � � = = � � @ ���C7X�O!C@MB

:3:

Page 658: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� � � � ��� ������� ��� � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����8.1.23. The generalized hypergeometric function pFq((ap); (bq); z)� �4��-4�#� �$�� � �&-21  �� 1 � � � ¤4¤�¤ � � �&-21 ¤1. � N � ^ � m � "�' ! ��� m ' ! ! �� � �R"�' ! ��� m ' 5 � ' ! `

  7'�

� �

� � � m � � � � !S U -21�� U ��� ¤�¤4¤ S

� -21�� � ��� ��� ��� �( 7X! " �m � 5 $ � J � � (:7$ � L

Y � N�� ^ � m � "�' ! ��� m ' !95 $ � ! �� � �R"�' ! ��� m ' !95 $ � 5_7 ` = � � � 7���� �&B B�B�@CB2. � a 1 N�� ^ � m � ! �V7� � � ! ! � `   � -21

���

� � � � (:7X!��

� �

� � m � (87�! � � a 1 N�� ^ � m � !�(:7 �#7� � � !�(:7 ! � ` 3 ¢ ¤

3. � a 1 N � ^ � m ! �!& � ! �� � ! � `  

���

�� � � � !

�!& ���

� � m � !� a 1���� 1

� � � � -21 � � �Y � � m " !

���

�� � � � ( m " !

� a 1�� � 1������ ���f � 3hf � � � a 1 N � � 7<5 m " (n� � ! � � m " ! �7<5 m " (n� m ! ��!& � �

= � m ! ��!& � � � m � � m � �&B B�B � m "�" � � m "'& � �9B�B B � m �!& � ! ! � � ��� � � � � � @B4. � N � ^ � m � ! ! � � 5n� � 5 B B B;5 � '� � � ! `

  ����U4��� ���XW4��� ¤�¤4¤ ��� � \#U4���� �&-21�� � 1

� " ��$ � % �� � m � !�� � \#U� � � � ! � � \#U � N�� ^ � m � !95 � '#" � ! � '� � � !95 � ']" � `

� � '#" � � $ � 5 $ � 5 B�B B�5 $ '#" � ! � � � � 5 � � � � 5 B B�B�5 � � ' � � 7 �� � � � �

5 7���� m � �� � �V( 7 �V(����9B�B B � �� � � 7 �&B�B B ��' � B5. � a 1 N�� ^ ( � �&� m � ! ! � � 5 � � 5 B�B B�5 � '� � � ! `

 ��?� ��� U ��� �&-��U�� W ��� ¤�¤4¤ �&-

� � \]W�� � \#U ���� �&-21�� � 1

�( � � ! " �$ � % � � � m � ! � � \#U� � � � !�� � \#U 7� � ( � ']" � 8 %Y � N�� ^ ( � 5 � '#" � ��� m � !95 � ']" �� � � !95 � ']" � ! � ' ` ¤

:3�<

Page 659: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� ,�� �6. � N�� ^ � m � ! ! � � � � B B BA� '� � � ! `   � - � U - � W -<Z Z Z - � � \#U ����U4��� ���XW ��� ¤4¤�¤ ��� � \#U����

� �&-21�� � 1

� " ��$ � % �Y � a �&-21 N�� ^ ( $ � �V( $ � �&B B B ��( $ ']" � ��� m � !� � � ! ! �( 7�! ']" � � ' ` ¤7. � a 1 N � ^ ( � �&� m � ! ! � � � � B B�BA� '� � � ! `  ��?� �� 1 � ¤4¤�¤ � �&-21 � SY ��� U ��� �&-

��U�� W ��� ¤�¤4¤ �&-��U -<Z Z Z - � � \#U�� � \#U ��� �&- � � \]W�� � \#U ���

� �&-21�� � 1

� " � �� �C7 (8� � ! " �$ � % � 7� � ( � '#" � 8 %Y � N � ^ ( � 5 � '#" � �&� m � !� � � ! ! � ' ` ¤8. � a N � a 1 J ( ' � m �]���&B B B ��� ! 7� �V7��&B B B �#7 L   ' %� � ! ' ��� ��� ��3 ¢ � � � m ! " � � ( m ! '#")"��')( $ ! %�� � a 1� a 1 ¤9. � N � J m 5_7 � m 5 7 �&B B�B � m 5_7m � m �&B B B � m ! � L   ��� ��� J � $ L 7m " � �

� D � � ��� H ��� � ��� ¤8.2. The Meijer Function Gm,n

p,q

�z ���� (ap)(bq) �

8.2.1. General formulas

1.� SEa 1Rl � a 1� a 1Rl � a ) � ���� f � �f � �f � ��� � � � � ,   ��3 ¢ � � - � � SEa 1Rl �� l � a 1 ) � ���� �0f � �

� � ��� � � ,3 �43 ¢ � � - � � - ����� 1 � � �� � -�� a �

����� � � � 5 ! (�� �

�� � � � 5 ! '

��

�� �C7 ( m � ( !

��

� �

'%& �� � m � 5 ! �

��

( & �� �C7 ( � � ( ! � - �

����

���>?7 ! � � ' � � ��� ! � � � � � ! m ( � � 7 �����9B�B B !m " ( � �� 7��]���&B B B � �� $ � 7 �&B�B B ��' ! = � � @��&���#B 7�! � B

2.� SEa 1Rl � a 1� a 1Rl � a ) � ���� f � �f � �f � ��� � � � � ,   ��3 ¢ � � - � � SEa 1Rl �� l � a 1 ) � ���� �0f � �

� � ��� � � ,��>?7 ! � � ' � � ��� ! � � � ��� ! m ( � � � �V( 7 �V(����9B�B B !m " ( � �� 7 �����&B B B � �� $ � 7 �&B B�B ��' ! = � � @ �����#B �O! � B

3.� S l � a 1� a l � a 1 ) � ���� f

� �0f � � � �� � � � � � ,   �43 ¢ � � - � � SEa 1Rl �� l � a 1 ) � ���� �0f � �� f��� � � ,�

�>?7�� � � ' � � ���

� � � � ��� ! m ( � � � �V( 7 �V(����9B�B B !m " ( � �� 7 �����&B B B � �� $ � 7 �&B B�B ��' ! = � � @ �����#B � ! � B:3L

Page 660: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� � ��� � � � � ��� ��� ����� ( 5 '� 5 �� �

�����������6 �

4.� SEa 1Rl � � l � a

�� � �������0f � � � �0f � ��� ��

¡�� � � � � � � � � � � �� � ��

��

 �£ - � � - � � SEa 1Rl �� l � a 1 ) £�� � � � O� 1� ���� � £ f � �¡\� � £ � � � ,� £ - � � - � � SEa 1Rl �� l � a 1 ) £�� � - � � � 1� ���� � £ f � �¡\� � £ � � � ,��� � � �( ��5_7 � � � � �P5

�5 7�! � ( � (*' �� � � �

��

�� � (*� �

�� �

�m � 5 � ( � ( 'g5 7 ! = � � @ ������7X! �� B

5.� SEa 1Rl � � l � a

�� � �������f � � � �0f � � � ��

¢ � £�� � � � � � � � � � � �� �!¡��

 �£ - � � - ��� � SEa 1Rl �� l � a 1 ) £�� � � � O� 1� ���� � £ f � �¡�� � £ � � � ,3 £ - � � - � � � SEa 1Rl �� l � a 1 ) £�� � - � � O� 1� ���� � £ f � �¡\� � £ � �O� ,��� � � �( ��5_7 ! � � � �P5

�5_7X! � ( � ( ' !� � � �

��

�� � (*� �

�� �

�m � 5 � ( � ( 'g5 7 ! = � � @ ������7X! �� B

6.� SEa 1Rl �� l � a 1 ) � ���� �0f � �¡\� � � � � ,

 �£ � � � � SEa 1Rl � � l � a ) � ��� � ��� �����0f � � � £�� �f � � � £ � ¢ � £¡�� ��� � � � £�� ��� � � � £ � ¢ � £���¢ � £ ,3 £ �V- � � ��� � SEa 1Rl � � l � a ) � � � � ��� �����0f � � � £�� �f � � � £ 3 ¢ � £¡\� ��� � � � £�� � � � � � £ � ¢ � £�� 3 ¢ � £ ,��� � � �( �P5_7 ! � � � ��5

�5_7�! � ( � (*' !

����

�� � ( �

�� �

�m � 5 �Q( � (*' ! = � � @����C7 �O! �� B

8.2.2. Various Meijer G functions

1.� 1

�� � �������� � ���� �!¡

��  ��M� 5 7�! �� �

Y �K

� � 7� � 7� * �� 5_7 � 3 K

� � 7� 3 7� * �� 5_7 � � = � � �����M� 5_7X! � � � @CB:3P

Page 661: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� ,�� ,2.

� 1 � �

�� � �������� ��� � �� � ��

¡\� �� ��

�� 3Pf � �� � f � �� 3 f � f�� ��

��  7� � � � � � � � � � � £ �/ � � � � - � � £ �/ � �E3 � ��� � � £ �/ � � � ��� - � � £ �/ � � � ¤

3.� 1 & & �� � ������

�� ��� � ��¡��!¡�� ��

��  3 � �

� � �2IF 7� G K ) * 7� 3 7��/ ¢ 3h� , = � � � � 7A@CB4.

� �1 & � � ������ �¢!��¢!�!¡ �   3 / � ��� � � �0/ ��� � � �0/ � ��� � 1 ��/ ��� � 1 �0/ ���0� ¤

5.� �

� � ������� ���¡��!¡ �  

� �� J 1� L� � � �� ��� � ¢ 3 � ��� �2� � � � � l � � � � � ��� � �&�0�

Y ��K

�� � 7� 3 7� * �E(:7� �� 3 K

�� � 7� � 7� * �E(:7� �� �� = � � �( 7�� �O!C@CB6.

� �1 ��� � ������

��¡\�)¡\� �� � �� � ��

�� 

�� � � � �

�#� 1��� �E3 7� � ��� � £ � 1��� � ¤

7.� � �

�� � ������f � ��3Pfg3 �� � f�� �� � f � ��

��  7

� � � � �f � � - � -21 � £ / ���� �

� � � � � �0f ��� � � a 1 � £ / � � ¤8.

� � �� � �����

f �)¡3Pfg3 �� � f�� �� � f �!¡ �   7� ��� � �f � � - � -21 � £ / ���

� �� � � � � �f ��� � - � -21 � £ / � � ¤

9.� � �

�� � ������f � ��

�� 3hf � fT3 �� � f �)¡��  7

� � � � � � � � �f ��� 1� -�� �0/ ���� £ � 1� -�� ��/ ��� � 1� -�� �0/ ��� � £ � � � �0f ��� � 1� -�� ��/ ��� � ¤10.

� � �

�� � ������f � f�� ��

�� � f�� �� �!¡�� 3Pfg3 �� � f � f�� ��

��

  7� � � � � � a 1� � £ &4� O� 1��� �6D � ��� �

�C7�� m 5_7X! �� � � - � -21� � £ &4� O� 1��� �� � � � ��C7X� m 5 � ! �� � ��� - � -21� � £ &4� � 1��� �

:95�N

Page 662: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� � ��� � � � � ��� ��� ����� ( 5 '� 5 �� �

�����������6 �� £ ��� � � � m 5 7�! �� � � - � -21� � £ &4� � 1��� �3 £ � � � � � m 5 7�! �� � ��� - � -21� � £ &4� � 1��� � H� 7

� � � � ��� � a 1� � £ &4� � 1��� �6D � � � ��C7�� m 5 7�! �� � ��� - � -21� � £ &4� � 1��� �

3 � � � ��C7X� m 5_7�! �� � � - � -21� � £ &4� � 1��� �� £ � � � � � m 5_7X! �� � � - � -21� � £ &4� � 1��� �� £ � � � � � m 5_7X! �� � ��� - � -21� � £ &4� O� 1��� � H ¤

11.� � �

�� � ������f � f�� ��

¡�� f�� �� � �� � 3Pfg3 �� � f � f�� ��

��

  7� � � � � � a 1� � £ &4� � 1��� �6D � � � �

�C7X� m 5_7�! �� � � - � -21� � £ &4� � 1��� �3 � ��� �

�C7�� m 5_7X! �� � ��� - � -21� � £ &4� � 1��� �3 £ � � � � � m 5_7X! �� � � - � -21� � £ &4� � 1��� �3 £ � � � � � m 5_7X! �� � ��� - � -21� � £ &4� � 1��� � H� 7� � � � ��� � a 1� � £ &4� � 1��� �QD � � � �

�C7�� m 5 7�! �� � � - � -21� � £ &4� � 1��� �� � � � ��C7X� m 5_7�! �� � ��� - � -21� � £ &4� � 1��� �� £ ��� � � � m 5_7�! �� � � - � -21� � £ &4� � 1��� �3 £ � � � � � m 5_7X! �� � ��� - � -21� � £ &4� � 1��� � H ¤

12.� �& � �� � ������

�� � �� ��

¡�� �� � �� � �� � ����  � �� �� � � � � F�3 &/ � � G ¤

13.� �& � �� � ������

�� � �� ��

¡�� �� � �� � �� � ����  7

� � � F � ��G 1� & � � ) 3 &* ���� , � � ) 3 &* ���� , ¤14.

� �& � �� � ������¡��!¡\� ��f � f-� �� �!¡��!¡�� �� � �� 3hf � 3Pf

��

 ��� � � � m � !� � � � � ��� � � � �#� 1��� �K3 �� � � £ f ��� � � � � � �V� 1��� � � ¤

:95)�

Page 663: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� ,�� ,15.

� 11 & � � ����� ��¡����_�!¡ �   �43 ¢ � � � �� '#" � � ��� ������� �43 ¢ � � J ' $ L �&- � �0/ ��� � � �0/ ��� ¤16.

� 11 & � � �����¢

�� 3 �<��� � �� �!¡ � �£ ��3 ¢ � � � / � � � � � £ / ��� L -21 � £ / ��� � � 1 � £ / ��� L� � £ / ����� �9��3 ¢ � � �&-21�� ��� �43 ¢ � � � � a 1 � £ / ��� ¤

17.� 11 & �� � ������

���� � �� �!¡

��  7� � � � - � � � � � £ / ���<3 � � � � � ��3 £ / ��� � = �� ��@CB

18.� 11 & �� � ������

¡�� �� � ���� �£ � � & 1� & � &4� � � ) &* ���� , � � ) &* � �� , ¤

19.� 11 & �� � ������

� ��� � �� �!¡

��

  ��� &4� � 3 ) � � �� , 1� & � � ) F ���� G 1� & , � � ) F � �� G 1� & , � � � � ) F ���� G 1� & ,Y � � ) F ���� G 1� & , � � ¢ �#�&� 1� & � � � ) F ���� G 1� & , � � � ) F ���� G 1� & , � � / � ¤

20.� 11 & �� � ������

� ��� � �� �!¡

��

  ��� &4� � 3 ) � � �� , 1� & � � ) F ���� G 1� & , � � ) F � �� G 1� & , � � � ) F ���� G 1� & ,Y � � � ) F ���� G 1� & , � � ¢ �#�&� 1� & � � � ) F � �� G 1� & , � � � ) F ���� G 1� & , 3 ��/ � ¤

21.� 1 & � � �����

¢!��� � � �¢)��£� � ¢)�!¡ �   � '%& � � "�� ����O'65_7X! � � D � � F � �,G 3 � � a 1 F � �,G9H� � � ' & � ' %���O'65 7�! � � ¤22.

� 1 & ) � ���� f-�¢)� f¡\� � � f ,   � "��m D � � J m ( � 5_7� ( � ! � LP3 � J m ( �7 ( � ! � L H ¤

:95�,

Page 664: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� � ��� � � � � ��� ��� ����� ( 5 '� 5 �� �

�����������6 �

23.� 1 & ) � ����

¢)� f¢!� � �!¡ ,  � � � !

� � m ! � � "��m (:7 D ��� 3hfI� � � J m ( � 5_7� ( � ! � L�3 � � 3 ¢ � � J m ( � ! �� ( � L H ¤

24.� 1 �

� � �����¢)� 3 �

�� 3 �<��� � �� �!¡�� 3 � �   � / � � 1 � £ / � � H� � £ / ���3 £ / � � � £ / ��� � � � / � � � £ / ���<3 � 1 � £ / � �� H 1 � £ / ���<3 £ �&-21�� � 1 � � a 1 � £ / ���= '*>?7R@CB25.

� 1& & � � �����¢)�!¡��\¢

�� � �� �!¡ �   3 � � ¢ 3h�&� � � �� K

� / ¢ 3h� � ¤26.

� 1& � �� � �������� �!¡��\¢

�� � �� �!¡��!¡��\¢��

  �� � � � ��� ��� � £ / ��� � ��� � £ / ���<3 � � ��� � £ / ��� ����� � £ / ���0� ¤

27.�

� � ������� � ��¡��!¡ �

 �£ �2IF 7� G � -21��� ��K

�� � 7� 3 7� * ¢ 3 7� �� � K

�� � 7� 3 7� * ¢ 3 7� �� ��¤

28.� & � � �����

¢)�)� � � �¢)�£� � ¢!��¡ �   ��3 ¢ � � � � � ' & � � � �� ' 5n7 D � � F � �,G � � � a 1 F � �,GIH3 �43 ¢ � � � � ' & � ' % � �� ' 5n7 ¤

29.� & ) � ����

¢!��� � ¢� � ¢!��� � ¢)�!¡ , 

� � '' � ��3 ¢ � � � � � C � � �&� � � � �&-21���� 1 �43 ¢ �� � '#")"��')( $ ! % ��')( $ ! �

3 ���� � � � � � ��� � 1 ��3 ¢ �

� � ']")"��')( $ ! % � � � �43��&� = �� ��@CB30.

� & ) � ����¢)� f¢!� � �!¡ ,   ��� ¢ 3hfI� �����O��3 ��� ¢ 3hfI� ��� � 3hf-� ¢ �Y D���'� �Q3 ¢ � � J � ( m ! �� ( � L 3 �fg3 £ �4� � J � ( m ! �� ( � L H ¤

:95�3

Page 665: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� ,�� ,31.

� &�� �� � ������¢!�\¢)� ��¢)�\¢)�!¡\� ��

��  7

� �C � � �Q3 � - � � � �0�&�� = � ��� ��� � � � @CB32.

� � �

�� � �������� � �� �!¡�� f3�fT3 �� � f�� �� �!¡�� 3Pf � f � f�� ¢

��

  � �� � � � ��� �0/ ���2� � � � � �0f ��� - � -21 ��/ ��� � £ � � � �f � � � � a 1 ��/ ���� ¤

33.� � �

�� � �������� ��� �!¡�� f

�� 3hf � f�� �� �)¡\� 3�f � f � f��

  � �� � � � ��� �0/ ����� £ � � � �f � � � � �0/ � ��3 � ��� � �f � � - � �0/ ���� ¤

34.� � �

�� � �������� ��� � �� � f

�� 3hf � f�� �� � �� � 3Pf � f � f��

  � �� � � � ��� �0/ ����� £ � � � �f ��� � � �0/ ���<3 � � � � �f � � - � �0/ ���� ¤

35.� � �

�� � �������� ��� � �� � f3�fT3 �� � f�� �� � �� � 3�f � f � f�� ¢

��

  � �� � � � ��� �0/ ���2� � � � � �f � � - � -21 �0/ ��� � £ � � � �f � � � � a 1 ��/ ���� ¤

36.� && & � � ����� ��

� �� � ��¡\�!¡��!¡ �   ��/ � K ) * 7� 3 7� / ¢ 3h� , K ) * 7� � 7� / ¢ 3h� , ¤37.

� & �� � � � ����� ¡�� �� � �� � �� �  �£ � � & V1� & � &4� � � F �/ £ �#� G � � F]3 �/ £ �#� G ¤38.

� & �1 & � � ����� ��¡��!¡\�!� �   � � "�'� � � ��� ������� J ' $ L � � � / ��� � �&- � � / ��� ¤39.

� & �1 & ) � ����¢3 �<�!¡\�!� � ¢ ,   3 £ ��3 ¢ � � � � � £ / ���

� �9��3 ¢ � � ����� 1 �43 ¢ �� � � � £ / � � ¤

:955

Page 666: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� � ��� � � � � ��� ��� ����� ( 5 '� 5 �� �

�����������6 �

40.� & �1 � �� � ������

��¡�� �� �\¢)�!¡\� ��

��  � � �� � � 1���

Y � � � 1 � £ &4� � 1��� � � ��� � � £ &4� � 1��� �K3 � � � � £ &4� � 1��� � � � 1 � £ &4� � 1��� �3 � ��� � � £ &4� O� 1��� � � ��� 1 � £ &4� O� 1��� �E3 � ��� 1 � £ &4� � 1��� � � � � � £ &4� � 1��� � � ¤41.

� & �1 � �� � ��������

¡�� �� �\¢)�!¡\�����  � � � � �� �� �Y � � ��� � � £ &4� � 1��� � � � 1 � £ &4� � 1��� �K3 � � 1 � £ &4� � 1��� � � � � � £ &4� � 1��� �3 � � � � £ &4� � 1��� � � ��� 1 � £ &4� O� 1��� �K3 � ��� 1 � £ &4� � 1��� � � ��� � � £ &4� � 1��� � � ¤

42.� & � & ) � ����

¢!��¢¡\�)¡\� f ,   ���0fI��� � �fI��3 � �#� � � �m � N J m � m ! ( �m 5_7�� m 5_7 L ¤

43.� & �1 � �� � ������

��¡�� �� �\¢)�!¡\���

��  � � �� � � 1���

Y � � � 1 � £ &4� O� 1��� � � � � £ &4� O� 1��� �K3 � ��� � £ &4� O� 1��� � � � 1 � £ &4� � 1��� �3 � � � £ &4� � 1��� � � ��� 1 � £ &4� � 1��� �E3 � ��� 1 � £ &4� O� 1��� � � ��� � £ &4� � 1��� � � ¤44.

� & �1 � �� � ��������

¡�� �� �\¢)�!¡\�����  � � �� � � 1���

Y � � ��� � £ &4� � 1��� � � � 1 � £ &4� � 1��� �K3 � � � £ &4� � 1��� � � ��� 1 � £ &4� � 1��� �3 � � 1 � £ &4� � 1��� � � � � £ &4� � 1��� �E3 � ��� 1 � £ &4� O� 1��� � � ��� � £ &4� � 1��� � � ¤45.

� & � �

�� � �������� � ��

�� � �� �\¢)�!¡�� �� �\¢��

  � � � � �� �� � �

� � � � � £ � 1��� � � � � � £ � 1��� �'� � � 1 � £ � 1��� � � � 1 � £ � 1��� �3 � ��� � � £ � 1��� � � � � � � � £ � 1��� �'� � ��� � � £ � 1��� � �3 � ��� 1 � £ � 1��� � � � � � 1 � £ � 1��� � � � ��� 1 � £ � 1��� � ��� ¤46.

� & �& � �� � �������� � �� � ��

¡�� 3�f � f � �� � ����  7

� � � � £ � � � / ���<3 �, -�� � / ��� � � / ���� � ��� � �f � ��� � �0/ ���<3 -�� �0/ ���0� � � �0/ � � � ¤

:95�;

Page 667: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� ,�� ,47.

� & �& � �� � �������� � �� � f

¡�� �� 3hf � fT3 �� � �� � f��

 ��� � � m � !� � � � £ � 1� -�� � / ���<3 �, V1� -�� � / ��� � = m �� � �#7 �����&B B B0@B

48.� &X11 � �� � ������

���� ��� ��� �)¡\� ��

��  3 * �

� � - � � ��� D � �� ��� � �� � � ��� � 1��� �

3 ��� � �� � � ��� � 1��� � � � � � � � ��� � 1��� � � � � ��� �

� � � ��� � 1��� � � ��� � � � � ��� � 1��� �3 � � ��� �� � � ��� � 1��� � ����� � � � � ��� � 1��� �'� � � � �

� � � ��� � 1��� � � � � � � � ��� � 1��� � H ¤49.

� &X1 � � � �����¢!� � �¢)�\¢!��¢!�)¡ �   �O�� � � � � � / ���<3 � 1 � / ���� � �� � ¤

50.� &X1 � � � �����

¡��\¢¡��!¡\�)¡\� �� �   �� � � � ��� � £ / ���<3 ����� � £ / ��� � ¤

51.� &X1 � �� � ������

� � � ��¡�� �� � �� � ��

��  � � &4� � 3 � � �� �� � � � & � � ) F � �� G 1� & ,

� � � ) F � �� G 1� & , � � � ) F � �� G 1� & , � � ¢ �]�&� 1� & � � � � ) F ���� G 1� & , � ¤52.

� & �

�� � �������� ���

¡��!¡�� �� �!¡\� �� � ��

��  � / £ � � � � � £ � 1��� � � � � £ � 1��� �K3 � ��� � £ � 1��� � � ��� � £ � 1��� � � ¤

53.� & �

�� � �������� ���

¡�� �� � �� �!¡��!¡\� ��

�� 

3�� / £ � � � � � £ � 1��� � � ��� � £ � 1��� �'� � ��� � £ � 1��� � � � � £ � 1��� � � ¤54.

� & & & � � ����� ��� �� � ��¡\�!¡��!¡ � �£ / � �

K ) * 7� 3 7��/ ¢ 3h� , � K ) * 7� � 7�,/ ¢ 3h� , ¤:95�:

Page 668: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� � ��� � � � � ��� ��� ����� ( 5 '� 5 �� �

�����������6 �

55.� � � �

� � ������� �\¢f�� � � fg3�� � � 3hf � 3�fT3�� �   �� m 5 � ! � � � � �0/ � � � � �0/ ���

� � �� m � ( � � ! � � � � � -21 �0/ ��� � � �0/ ���<3 � � �0/ ��� � � -21 �0/ ���� ¤56.

� � �& � �� � ������¡\� �� �

���� 3hf � 3Pf � f � f�� �� �!¡

��

  � �� � � �� �� � ���� � + 1 . � � / ��� � � ) � �� � � " � � �� �� � � 1� & ,� � - � � � + . � � / ��� � � ) � �� � � � � �� �� � � 1� & , ¤

57.� � �& � �� � ������

�� � �� ���

�� 3hf � 3Pf � f � f�� �� � ����

  � �� � � � �� �� � ���� � + 1 . � �0/ � � � � ) � �� � � " � � �� �� � � 1� & ,

3 � - � � � + . � �0/ ��� � � ) � �� � � � � �� �� � � 1� & , ¤58.

� � �& � �� � �������� � �� ���

�� 3hf � 3Pf � f � f�� �� �!¡\� �� � ��

��

  � �� � �

� � � � � £ � 1��� � � � � � � �#f � � � � - � � £ � 1��� � � � � � � �Vf ��� � ��� - � � £ � 1��� � �3 � ��� � � £ � 1��� � � � � � - � � £ � 1��� �E3 � � � � �#f � � � � - � � £ � 1��� �� � � � � �#f � � � ��� - � � £ � 1��� � � � � � - � � £ � 1��� �Y � � � � � �#f � � � � � � £ � 1��� �K3 ��� � � �Vf ��� � ��� � � £ � 1��� � � 3 � ��� - � � £ � 1��� �Y � � � � � � £ � 1��� �'� ��� � � �Vf ��� � � � � £ � 1��� �'� � � � � �#f � � � ��� � � £ � 1��� � � � ¤59.

� � �& � �� � ������¡\� �� � ��

�� 3hf � 3Pf � f � f�� �� �!¡\�)¡\� ��

��

  � �� � �

� � � � � £ � 1��� � � � � � � �#f � � � ��� - � � £ � 1��� � 3 � � � � �#f � � � � - � � £ � 1��� � �� � ��� � � £ � 1��� � � � � � � �Vf ��� � � - � � £ � 1��� �'� ��� � � �#f � � � ��� - � � £ � 1��� � �� � � - � � £ � 1��� � � � � � � � £ � 1��� �'� ��� � � �#f � � � � � � £ � 1��� �� � � � � �#f � � � ��� � � £ � 1��� � � 3 � ��� - � � £ � 1��� �Y � � � ��� � � £ � 1��� �K3 � � � � �#f � � � � � � £ � 1��� � � � � � � �#f � � � ��� � � £ � 1��� � � � ¤:95�<

Page 669: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� ,�� ,60.

� � �� �

�� � ������¡�� �� � �� � f � f�� ��

�� 3�� � 3 � � � � � � �� �!¡\� �� � �� � f � f�� ��

��  7� � � � ��� � � £ �fg3��O� �<� � � � � � �#� 1��� �'� ��� � � £ �0f�� �O� �<� � � - � � � �#� 1��� �� � ��� � � £ �fg3��O� �<� � ��� � � � �#� 1��� �K3 ��� � � £ �0f�� �O� ��� � ��� - � � � �V� 1��� � � �� � � £ � ��� � ¤

61.� � �� �

�� � ������¡��!¡\� �� � f � f�� ��

�� 3�� � 3 � � � � � � �� �!¡\�)¡\� �� � f � f�� ��

��  7� � � � � ��� � � £ �fg3��O� �<� � � � � � �#� 1��� �3 ��� � � £ �0f�� �O� �<� � � - � � � �#� 1��� � � �� � � £ � ���3 ��� � � £ �0fg3��O� ��� � ��� � � � �V� 1��� �E3 � � � � £ �f-� �O� ��� � ��� - � � � �#� 1��� � � ¤

62.� ��1 �

� � �����¡��\¢

¡��!¡\�)¡\� �� �  �£ / � � ��� � £ / ���<3 � � � £ / ���0� ¤63.

� � � �

�� � ������¢!��¢)� �� � ��

�� � �� ��¢)��¢)� �� � ����  7� � � � � �

� � �����¢!��¢

�� � �� ��¢)��¢ � 3 £ / � � � � £ / ��� ¤64.

� ��&� lM1 ��� � ������

¡�� �� � �� � �� � f � f-� ��fg3 �� � f-� �� � � � � � �� � �� 3hf � �� 3hf � f � f�� �� � �� 3�� � 3 ���

  3 � �� � �

� � � � a � -21� � £ � 1��� � � � � � � � � � � � � ��� � - � a 1� � £ � 1��� �3 � � � � � �#f � � � � � - � a 1� � £ � 1��� �� £ � � � � �#f � � � � � - � a 1� � £ � 1��� � � £ � � � � �#f � � � ��� � - � a 1� � £ � 1��� � �� ��� � a � -21� � £ � 1��� � � � � � � � � � � � � � � - � a 1� � £ � 1��� �� � � � � � � � ��� � ��� � - � a 1� � £ � 1��� �� £ � � � � �#f � � � � � - � a 1� � £ � 1��� �K3 £ � � � � �Vf ��� � ��� � - � a 1� � £ � 1��� � � � ¤65.

� ��&� lM1 ��� � ������

�� � �� ��� �)¡\� f � f-� ��fg3 �� � f-� �� � � � � � �� � �� 3hf ��� 3hf � f � f�� �� � �� 3�� � 3 ���

  � �� � �

� � � � a � -21� � £ � 1��� � � � � � � �#f � � � ��� � - � a 1� � £ � 1��� �3 � � � � �Vf ��� � � � - � a 1� � £ � 1��� �h3 £ � ��� � a � -21� � £ � 1��� �Y � � � � � �Vf ��� � � � - � a 1� � £ � 1��� � � � � � � �Vf ��� � ��� � - � a 1� � £ � 1��� �� � � � � - � a 1� � £ � 1��� � � � � � � � � ��� � � � a � -21� � £ � 1��� �:95�L

Page 670: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� � ��� � � � � ��� ��� ����� ( 5 '� 5 �� �

�����������6 �� ��� � � � � � � � ��� � a � -21� � £ � 1��� � � � � ��� � - � a 1� � £ � 1��� �Y � � � � � � � � � � � � a � -21� � £ � 1��� �K3 � � � � � � � � � ��� � a � -21� � £ � 1��� � � ¤

66.� � �� �

�� � �������� ��� � f � f�� ��

�� � �� 3hf ��� 3hf � fT3 �� � f�� �� �!¡�� f � f�� ��

��

  � �� � �

� £ � � ��� 1� - � � £ � 1��� � � � � � � � �#f � � � � 1� - � � £ � 1��� �3 � ��� 1� - � � £ � 1��� � � � £ � � 1� - � � £ � 1��� � � � � � 1� - � � £ � 1��� �3 £ � � � � �#f � � � ��� 1� - � � £ � 1��� � � � ��� � � �Vf ��� � � � � 1� - � � £ � 1��� �3 �� � ��� 1� - � � £ � 1��� �'� £ � � 1� - � � £ � 1��� �E3 £ � ��� 1� - � � £ � 1��� � � � ¤67.

� � �

�� � �������� ���

¡�� �� 3hf � 3Pf � f � f�� �� � ��

��  � / £ � &4� ��� � � £ f ��� � � � � � �#f � � � � � � � £ � 1��� �K3 � ��� � � £ � 1��� � �3 £ ��� � � �Vf ��� � � � � £ � 1��� � � ��� � � £ � 1��� �3 � � � � � � £ � 1��� � � ��� � � £ � 1��� �'� � ��� � � £ � 1��� � � � � � £ � 1��� � � � ¤

68.� � �

�� � �������� ���

�� � �� 3hf � 3�f � f � f�� �� �!¡��

  � / £ � &4� ��� � � £ f � � � � � � � �Vf ��� � � � � � £ � 1��� �E3 � ��� � � £ � 1��� � �� £ � � � � �Vf ��� � � � � £ � 1��� � � ��� � � £ � 1��� �� � � � � � � £ � 1��� � � � � � £ � 1��� �E3 � ��� � � £ � 1��� � � ��� � � £ � 1��� � � � ¤69.

� � �& � �� � �������� ��� � f

¡�� �� � ����

� � 3 �� �

�� �

��� �� � f��

  3 � * �� � � � � £ � 1��� � � ��� � � £ � 1��� � ¤

70.� � �& � �� � ������

�� ��� � f¡�� �� � ���

� �� �� � �� � � ��� �� � � ��� �� � f��

  � * �� � � � � -21� � £ � 1��� �E3 � ��� � � £ � 1��� � � ¤

:95�P

Page 671: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� ,�� ,71.

� � �� �

�� � ������¡\�)¡\� �� � �� ���f � f-� �� � �� 3�� � 3�� � � � � � �� �!¡�� �� 3hf � 3Pf

��

  � �� � �

� � � � a � � £ � 1��� � � � � � � � �#f � � � � � - � � £ � 1��� �� � � � � � �Vf ��� � ��� � - � � £ � 1��� �K3 ��� � � � � � � � � � - � � £ � 1��� �� � � � � � � � � � ��� � - � � £ � 1��� � � � � ��� � a � � £ � 1��� �Y � � ��� � � �Vf ��� � � � - � � £ � 1��� �E3 � � � � � �Vf ��� � ��� � - � � £ � 1��� �� � � � � � � � � � � � - � � £ � 1��� �'� ��� � � � � � � � ��� � - � � £ � 1��� � �� � � � - � � £ � 1��� � � � � � � � � ��� � � � a � � £ � 1��� � � � � � � � � ��� � ��� � a � � £ � 1��� � �� � ��� � - � � £ � 1��� � � � � � � � � � � � � � a � � £ � 1��� �K3 ��� � � � � � � � ��� � a � � £ � 1��� � ��� ¤72.

� � �� �

�� � ������¡\� �� � �� � �� � ��f � f-� �� � �� 3�� � 3�� � � � � � �� � �� � �� 3hf � 3Pf

��

  � �� � �

� � � � a � � £ � 1��� � � � � � � � �Vf ��� � � � - � � £ � 1��� �3 � � � � � �Vf ��� � ��� � - � � £ � 1��� �'� � � � � � � � � � � � - � � £ � 1��� �� ��� � � � � ��� � ��� � - � � £ � 1��� � � 3 � ��� � a � � £ � 1��� �Y � � � � � � �#f � � � � � - � � £ � 1��� � � � ��� � � �Vf ��� � ��� � - � � £ � 1��� �3 ��� � � � � � � � � � - � � £ � 1��� � � � � � � � � � � � ��� � - � � £ � 1��� � �� � � � - � � £ � 1��� � � � � � � � � ��� � � � a � � £ � 1��� �E3 � � � � � � ��� � ��� � a � � £ � 1��� � �3 � ��� � - � � £ � 1��� � � ��� � � � � ��� � � � a � � £ � 1��� �'� � � � � � � � � � ��� � a � � £ � 1��� � ��� ¤73.

� � &� �

�� � ������¡\� �� ��� � ��f � f-� �� � �� 3�� � 3�� � � � � � �� � �� 3hf � 3Pf

�� 

3 � / £ � � � � � � � � � � � � � � � a � � £ � 1��� �Y � � � � � � � ��� � � � - � � £ � 1��� � � � � � � � � ��� � ��� � - � � £ � 1��� � �� � ��� � a � � £ � 1��� � � ��� � � � � � � � � � - � � £ � 1��� �K3 � � � � � � � � � ��� � - � � £ � 1��� � �� � � � - � � £ � 1��� � � � � � � � � ��� � ��� � a � � £ � 1��� �K3 � � � � � � � � � � � a � � £ � 1��� � �� � ��� � - � � £ � 1��� � � ��� � � � � ��� � � � a � � £ � 1��� �'� � � � � � � � � � ��� � a � � £ � 1��� � ��� ¤74.

� � &� �

�� � �������� � �� � �� �!¡f � f-� �� � �� 3�� � 3�� � � � � � �� � �� 3hf � 3Pf

��  � / £ � � � � � � � � � ��� � � � � a � � £ � 1��� �Y � � � � � � � � � � � � - � � £ � 1��� �E3 � � � � � � ��� � ��� � - � � £ � 1��� � �3 � ��� � a � � £ � 1��� � � � � � � � � � � � � � - � � £ � 1��� �'� ��� � � � � � � � ��� � - � � £ � 1��� � �

:�;9N

Page 672: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� �������� � ��� � � � � ��� ��� ����� ( 5 '� 5 �� �

�����������6 �� � � � - � � £ � 1��� � � � � � � � � ��� � � � a � � £ � 1��� � � � � � � � � ��� � ��� � a � � £ � 1��� � �� � ��� � - � � £ � 1��� � � � � � � � � � � � � � a � � £ � 1��� �K3 ��� � � � � � � � ��� � a � � £ � 1��� � ��� ¤

75.� � �� �

�� � ������¡�� �� � �� ��� � f

��� �� � 3 �

� ��� �

��� �� � �� 3�� � 3 � � � � � � �� � f�� 

3�� * �� � � � � a � � £ � 1��� � � ��� � - � � £ � 1��� �'� � ��� � a � � £ � 1��� � � � � - � � £ � 1��� � � ¤

76.� � �� �

�� � ������¡�� �� � �� ��� � f

��� � �� � � � � �� � � � � �� � � ��� �� � �� 3�� � 3�� � � � �'� �� � f��

  � * �� � � � � a � -21� � £ � 1��� � � � � - � -21� � £ � 1��� �3 � ��� � a � -21� � £ � 1��� � � ��� � - � -21� � £ � 1��� � � ¤

77.� � �� �

�� � �������� ��� � �� � �� � f

��� � �� �� � � �� � � � �� � 3 �

� ��� �

��� �� � � ��� �� � � ��� �� � f��

 �£ / £ � - � � U�� � � ��� � � / £ � 1��� � � � � � £ � 1��� �K3 � � � � / £ � 1��� � � ��� � � £ � 1��� � � ¤78.

� � �� �

�� � �������� ��� � �� � �� � f

��� � �� �� � � �� � � � �� �\¢ 3 �

� ��� �

��� �� � � � � �� � � ��� �� � f��

 �£ / £ �#- � � U�� � � � � � � / £ � 1��� � � � � -21 � £ � 1��� �� ��� � � / £ � 1��� � � ��� � -21 � £ � 1��� � � ¤79.

� � �� �

�� � �������� ��� � �� � �� � f

��� � �� �� � � �� � � � �� � 3 �

� ��� �

��� �� � � ��� �� � � ��� �� � f�� 

3 ¢ � / £ � � � � � U�� � ��� � � £ f � � � ��� � � / £ � 1��� � � � � � £ � 1��� �� � � � � / £ � 1��� � � ��� � � £ � 1��� � � ¤80.

� � �� �

�� � �������� ��� � �� � �� � f

��� � �� �� � � �� � � � �� �\¢ 3 �

� ��� �

��� �� � � � � �� � � ��� �� � f��

 �¢ � / £ � � � � � U�� � ��� � � £ f ��� � ��� � � / £ � 1��� � � ��� � -21 � £ � 1��� �3 � � � � / £ � 1��� � � � � -21 � £ � 1��� � � ¤:�;��

Page 673: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� 31� �8.3. Representation in Terms of Hypergeometric

Functions

8.3.1. Elementary functions

1.

77,5 � 7<5 �   7� N 1 � 1 �V7� ! (���� ¤2.

� ¢ � / ¢ � � � -21�  �£ -21� N 1�� 1

�� &�& ! (��#$¤

3. � ¢ 3 / ��� -21� � � ¢ � / ��� -21�  �£ N 1�� 1� � &�1 ! �

#$¤

4. � ¢ 3 / ��� -!&4� � � ¢ � / ��� -!&4�  �£ N 1 �� &� � ��1 ! �#$¤

5. � ¢ � �&� �   1 N � �43 ���&� ¤6. � � ��� �   � & N � � � � � � � � � 7��#7 ! ( 7 � � � � �

� � & N � � � 5_7�� � � 5_7�� � � 5_7� ��� ! ( 7 �= � � � � �]! � � � � @CB7. � � ��� �   3 F �A�Q3 � � G � & N � � � ( 1 � � � ( 1 � � � ( 17��#7 ! ( 7 �

� �� � F �A�Q3 � � G & & N � � � 5 1 � � � 5 1 � � � 5 1����� ! ( 7 � = � � � � �]! � � � � @CB

8. � � ��� / �   / � � N 1 F � � � �� G ¤9. � � ��� / �   � N 1 F 7� � �� G ¤10. � � ��� �/ �   � 1��� � N & �� � � �1 � &� � ��

#$ � � � �� � N & �� � � �

��� & ����

#$¤

11. � � ��� �/ �   � N & �� � � �1� � 1 � &�#$ � � �� �� � N & �� � � �&� � �� � &

#$¤

12. ��� � � �   � �� � 5 � � � � N & �� 7 � & � 1 ( �

� � 1 5 �� 1 � & ( �

� � & 5 �� ! ( 7

#$¤

:�;,

Page 674: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ��� � � � ��� ������ ��� ��� � �$��� ��� � � � � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����13. � � � � �   �� & N �� 7 �V(

�� �

�� ! ( 77�( �

� �#7,5 �� #$ 3 7� ¤

14. � ��� �   � �� � 5 � � � & N �� 7�� 1 ( �

� � 1 5 �� & ( �

� � & 5 �� ! 7

#$¤

15. � ��� � �   �� & N �� 7���( � � � � � 7 ( �� �#7<5 �

� ! 7#$ 3 7� ¤

16. � � � �   � & N ^ � � � � � 7 �#7 ! ( 7 ` 3 �O� �� � & N ^ � 5 7 � � 5_7�� � 5_7� ��� ! ( 7 ` = � � � � � � � @ B

17. � � � �   3 FO�63 � � G & N � � ( 1 � � ( 1 � � ( 17 �#7 ! ( 7 �3 �� � F �Q3 � � G & & N � � 5 1 � � 5 1 � � 5 1� ��� ! ( 7 � = � � � � � � � @CB

18. � � � / �   / � � N 1 F � � �K3 �� G ¤19. � � � / �   � N 1 F 7� �K3 �� G ¤20. � � � �/ �   � 1��� � N & �� � � �1 � &� � ��

#$ 3 � � �� � N & �� � � �

��� & � ��

#$¤

21. � � � �/ �   � N & �� � � �1� � 1 � &�#$ 3 � �� �� � N & �� � � �&� � �� � &

#$¤

22. � � ��� �/ � � � � �/ �   � 1� � N & �� ( �� �&� � �� � & #$¤

23. � � ��� �/ � � � � �/ �   � N & �� ( �� �1� � 1 � &�#$¤

24.

� � � ��� �/ � � � � �/ �� � ��� �/ � ��� � �/ � �   � 1��� � N & �� ( �� �1 � &� � ��

#$�

� � �� � N & �� ( �� ��

�� & � ��

#$¤

25. ��� � �   � �� � ( � � � � N & �� 7�� & � 1 ( � � 1 5 � 1 � & ( � � & 5 � ! ( 7

#$¤

:�;93

Page 675: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� 31� �26. � � � �   �� & N � 7 �V( � � � ! ( 77�( � �V7<5 � � 3 7� ¤27. � � �   � �

� � ( � � � & N �� 7�� 1 ( � � 1 5 � & ( � � & 5 � ! 7#$¤

28. � ��� �   �� & N � 7��V( � � � 7 ( � �#7<5 � ! 7 � 3 7� ¤29. � � ¢ � �&�   � N 1 J 7��#7� ! ( � L ¤30. � �0/ � � / ¢ � ���   / � N 1

�� 1 � 1& ! ( �#$¤

31.

7� 7,5n� � �0/ � � / ¢ � ���   / � N 1 � 7��#7& ! ( � � ¤32. � �0/ � � / ¢ � ���   � & N � 7 �#7 �#7 ! (��& �]� � ¤33. � 7,5 � �7�( � �  �£ / � N 1

�� 1 �#7& ! �#$¤

34. �� ��� � / �   / � N 1�� 1 � 1& ! �

#$¤

35.

7� 7�(*� �� ��� � / �   / � N 1 � 7��V7& ! � � ¤36. �� ��� � / �   � & N � 7 �#7��V7 ! �& �]� � ¤37. �� �� � / �   / � N 1

�� 1 �V7& ! ( �#$¤

38. � � � �� �� ��� � / ���   / � N 1�� 1;- � � 1 a �& ! �

#$¤

:�;!5

Page 676: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ��� � � � ��� ������ ��� ��� � �$��� ��� � � � � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����39. � � � � �� ��� � / � �   N 1

�� ( � � � 1 ! �#$¤

40.

7� 7�(*� � � � � �� ��� � / ���   / � N 1�� 7 ( � �#7,5 � & ! �

#$¤

41.

7� 7�(*� � � � � ��� � � � / ���   N 1�� 1;- � � 1 a �1 ! �

#$¤

42. � ¢ � �&� - � � ��� � � ��� � � / ���   �/ � N 1�� 1 a � �#7,5 � & ! ( �

#$¤

43. � ¢ � �&� - � � � � � �� ��� � � / ���   N 1��� � 1 a �1 ! (��

#$¤

8.3.2. Special functions

1. � + � . ��&�  �� � �43��&� -;�&-21 � a N � a 1 J 7��]� �]� �&B B B �#� ! 7� 5_7 �]� 5 7 �&B B�B �]� 5_7 L ¤2. �P�� ���<� fI�   f -;� � a 1 N � J 7 � m � m �9B�B B � m ! �m 5_7�� m 5_7��9B�B B � m 5_7 L ¤3.

� � � ��&�   � � a 1 N � J 7 �#7 �&B�B B �#7 ! �� ��� �&B�B B ��� L ¤4. � � �0/ ���   � 1� 1 N

�� 1 ! ( ��& � & #$¤

5. � � �0/ ���<3 � / �:3 C  3 �� N & �� 7��V7 ! ( �

�& ��� ���#$¤

6. � � ��3P�&�<3 � �Q3 C  3�� N J 7��#7 ! ( ������ L ¤

7. � � � � ��3P�&�   3 � J 7 ! �7 L ¤8. � �� � / ���   �O� �� �� � 1 N 1

�� 1 ! ( �& #$¤

9. � � � �� ��/ ���   �O� �� �� � 1 N 1 � 7 ! �& � ¤:�;;

Page 677: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� 31� ,10.

� � �� � �/ ���� �� � �/ ��� �   �O� �� �� � 1 N �� 1� ! ��1 � ��

#$�

� � � �� � � 1 N

�� &� ! ��& ����#$¤

11.

� � � � � �� � �/ ���� - � � � �� � �/ ���   �� � � 1��� 1 N

�� 7 ! ��&� � ��#$�

�� � � � &4��� 1 N �� 7 ! ���

�� ��

#$¤

12. � � � �� � � / ���   7� � �

�� 1 ! �1#$¤

13. � �� � �/ ��� � �� � �/ ���   � � �� �� N & �� 1 �V7 ! ��&� � �� � &

#$¤

14. �E��/ ���   7� * �

� � &4��� 1 N �� &� ! ( ��& � ��#$¤

15. � � / ���   * �� � 1��� 1 N

�� 1� ! ( ��1 � ��#$¤

16. � � � / � �E��/ ��� � � � � / � � �0/ ���   * �� � 1��� 1 N

�� 7 ! ( ��&� � ��#$¤

17. � � � / � � �0/ ���<3 � � � / � ���0/ ���   �� * �

� � &4��� 1 N �� 7 ! ( ���

�����

#$¤

18. �E��/ � � ��   ����;� � � � � �� 3 � 3 �!& � 8 �� 5_7 1 N

��� a 1 ! ( ��� a & � &

#$¤

19. � �0/ � � ;�   ����� � � � � �� 3 � � �� 1 N

��� ! ( ��� 5_7 � 1

#$¤

20. � � � �&�   � �� 1 N 1 J � ! ( �� 5_7 L ¤

21. � � � �� � �&�   � �� 1 N 1 J 7 ! �� 5_7 L ¤

22. � � ���� � �&�   ��� � J 7 ! �� 5 7 L ¤23.

  � J 7 ( � ! �7 ( � L ¤:�;9:

Page 678: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ��� � � � ��� ������ ��� ��� � �$��� ��� � � � � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����24. � � � / ���  �£ � � � - �A��� �

�� ( � ! � 1#$¤

25.

� � � � / ��� � � / ��� �   J � � L �

� � � 5_7X! � N 1 F� � ¢ � � �� G ¤26.

� � � � �/ � � � � �/ ��� �   � � �� � � � � 5_7X! � N & �� � � �1 � � a 1 � � 5 7 #$

�� 3 �'& � 8 �� �!& � � � � 5n� ! � N & �� � � �& � � 5_7 � � a &

#$¤

27. � � � ��&�   J � L �� � � 5_7X! 1 N 1 � � 5 1 ! � �� � 5_7 � ¤28. �

�� � � �0�&�   J � L �� � � 5_7�! 1 N 1 � � 5 1 ! � � �� � 5_7 � ¤

29.

� ��� � / � � � �0/ ���� � ��� / � � ��/ ����   � 3 �!& � 8 �� � � � � 5_7X! N & �� � a &

�� � a �

� !�� �& � � 5 7 � � 5 & #$¤

30.

� � � � / � � � �0/ � �� � ��� / � � �0/ ��� �   � � �� � � � � 5_7�! N & �� � a 1�

� � a &� !�� �1 � � 5 1 � � 5 7 #$¤

31.

� � � ��/ � � � ��/ ��� �   J �� L

�� � � 5 7�! 1 N � � 5 1 !�� �� 5_7���� � 5_7 � ¤

32.

� � � � / ��� � � � / ��� � � / ���� � � / ��� �   J � � L ��& �

� � �65_7X! � � � 5 7�! N & � � a � a 1 � � a � 5_7 !�� ��65_7 � � 5_7 � �65 � 5_7 � ¤33. � � � �/ ��� � � �/ ���   J � �� L �

�� � � 5_7�! � N & �� ( �� �� a 1 � � 5_7�� � 5_7 #$ ¤

34. � � � �/ ��� - � � �/ ���   ��� � � �� � � N & �� ( �� �7�( � �#7<5 � � 1

#$

� ��� � � ��]�C7�( � � ! � � 1� � N & �� ( �� �&�- � � & a � � & #$¤

:�;<

Page 679: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� 31� ,35. � � a 1� F 7� � G � � � a 1� F 7� � G   � � �

� & N � � (�' ��'g5 7 � 1( � � ¤36. #-;�&-21� F 7� � G 3 #� a 1� F 7� � G   �43 ¢ � � � � �

� & N � ^ (�' ��'g5 7 � 1� ` ¤37. � � � � a 1� ��&�   ���O'�! % � �' % � £ �&� -;�&-21� 1 N 1 J ( ' ! � �( �O' L ¤38.

�H� � / ���L� � / ��� �   � " � � 3 �'& � 8 �� � � J � 5 & L 1 N

�� 7 !�� � �� 5 & � & #$¤

39. H� a 1� � / � ��3 � � a 1� � / ���   J � � L ']" �� �' % � � & N � �� (�' � 1 �#7( ��

#$¤

40. L� a 1� � / ���<3 -;�&-21� � / ���   J � � L ']" �� �' % � � & N � �� ( ' � 1 �#7��

#$¤

41. � � ��&�   � " �� �� J & L � N 1 )

�� �

� �� , 3 � " �� � �

� J 1& L � N 1 )�� �

� �� , ¤

42. � � �0�&�   � " �� �� J & L � N 1 )

�� �

� �� , � � �� � �

� J 1& L � N 1 )�� �

� �� , ¤

43. � � � ��&�   � " �� � � �� � J & L � N 1 ) �� �

� �� , 3 � " �� �

� J 1& L � N 1 ) 7� �

� �� , ¤

44. � � � �0�&�   � " �� � � �� � J & L � N 1 ) �� �

� �� , � � �� �

� J 1& L � N 1 ) 7� �

� �� , ¤

45. � � �0�&�   � J 1� L� � � � � � � � � 1 N �� 1� ! � � ��1& � &

#$ 3 �� � � 1 N �� 1 ! � � ��& � � &

#$

� � J �� L � �� � � � �� � � � � 1 N �� �� ! � � ��

� & � �&#$¤

46. � � ��&�   � �� �� � � � � � ��F 7�<G 1 N �� 1� ! � � ��1& � &

#$ � � �� � �� 1 N

�� 1 ! � � ��& � � &#$

� � � � � �� � � � � � ��F ��<G 1 N �� �� ! � � ��

� & � �&#$¤

:�;9L

Page 680: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ��� � � � ��� ������ ��� ��� � �$��� ��� � � � � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����47. � � ��&� � � �43��&�   � " � �

�� J & L � N &

�� ( ��& �1& � & � ��

#$ 3 � " � � � ��� J � & L � N & �� ( �

�& �& � �� � � &#$

� � " � � � �� � � N & �� ( ��& �� & � & � �&

#$¤

48. � � �0�&� � � �43��&�   � " �� ��� J & L � N &

�� ( ��& �1& � & � ��

#$ 3 � " � � � ��� J � & L � N & �� ( �

�& �& � �� � � &#$

3 � " �� � � �� � � N & �� ( ��& �� & � & � �&

#$¤

49. � � ��&� � � ��3P�&�   � " � ��� J & L � N & �� ( �

�& �1& � & � ��#$ � � " � � � � �

�� J � & L � N & �� ( �

�& �& � �� � � &#$

3 �� � N & �� ( �

�& �1 � �� � ��#$¤

50. � � � ��&�   � � �� � �� J � L �� � � 5 7�! � N & �� ( �

� � �

� a 1 � � 5_7 � 1#$

3 � � �� � �� J � L �!&

� � � 5n�O! � N & �� ( �� � �

� 5_7 � � a & � & #$¤

51. � ��� � ��&�   � � �� � �� J � L �� � � 5_7�! � N & �� ( �

� � �

� a 1 � � 5_7�� 1#$

� � � �� � �� J � L �!&

� � � 5n�O! � N & �� ( �� � �

� 5_7 � � a & � & #$¤

52. � � � ��&�   � � �� � �!& � �� � � 5_7X!

Y ��� � �

� � �� N ��� � a 1

�� � a &

� ! ( ��1 �

� a 1 � � 5_7�� � 5 1 � � 5 7 � 1#$ 3 � ��]� � 5_7X! ��� � � � ��

Y N ��� � a &�

� � a �� ! ( �

�1 �

� 5 7 � � a & � � 5_7�� � 5 & � & #$ � � N & �� �

� �� a 1 � � 5_7�� � 5_7 #$��� ¤:�;9P

Page 681: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� 31� ,53. � ��� � ��&�   � � �� � �!& � �

� � � 5_7X!Y �� 3 � � �

� � �� N ��� � a 1�

� � a &� ! ( ��1 �

� a 1 � � 5_7�� � 5 1 � � 5_7�� 1#$ � � ��#� � 5_7X! � � � � � ��

Y N ��� � a &�

� � a �� ! ( �

�1 �

� 5 7 � � a & � � 5_7�� � 5 & � & #$ � � N & �� �

� �� a 1 � � 5_7�� � 5_7 #$��� ¤54. � � � ��&� � ��� � �0�&�   � � �� � �'& � �

� � � 5_7�!Y ��

� � �� � �� N �

�� � a 1�� � a &� ! ( �

�1 �

� a 1 � � 5_7�� � 5 1 � � 5_7�� 1#$

� � ��#� � 5_7�! � � � � � �� N ��� � a &�

� � a �� ! ( �

�1 �

� 5_7�� � a & � � 5_7 � � 5 & � & #$���¤

55. E� �0/ � �   7� � � ¢ 3 � � � ��� 1 N � 7 ! ( ��7 ( � �#7,5 � �3 � �

� �C7 ( � � ! � ¢ � � � � � � 1 N �� 7 ! ( �

�&�- � � & a �#$¤

56. J � ��/ ���   ��� � � �� � 1 N � 7 ! ( � �7�( � ��725 � � �

��� � � �� �C7�( � � ! / � 1 N

�� 7 ! ( ��&�- � � & a �#$¤

57. j � � / ���   �43 ¢ � � J 1 L '' % N 1�� (�' ��'g5 11 ! �

#$¤

58. j � a 1 �0/ ���   �43 ¢ � � J & L '' % / � N 1�� (�' �]'65 & & ! �

#$¤

59. j � F 7� � G   J 1 L '' % F �� � G � N 1�� ( � � 1;- �1 (*' ! �

#$¤

60. j � � ¢ � �&�   N 1 � ( ' �]'65_77 ! ( � � ¤61. j � F ¢ � 7��G   J 1 L '' % F ���G � N 1 J ( ' ��( '( �O' ! (��O� L ¤

::N

Page 682: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ��� � � � ��� ������ ��� ��� � �$��� ��� � � � � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����62. � ¢ 3h�&� � j � F 7,5 �7�(8��G   N 1 J ( ' ��( '7 ! � L ¤63. j � � / ¢ � � �   N 1 � ( ' �]'65 17 ! ( � � ¤64.

7� 7,5n� j � a 1 � / ¢ � � �   N 1 � (�' �]'65 & 7 ! (�� � ¤65. j � F 7<5 �� � � G   ���O'�! %��' % ! � � � / ��� -;� N 1

�� ( ' � 11 ( ' ! �#$¤

66. � ¢ � �&� ��� j � F ��5 �� � 7<5 � G   N 1 � (�' � 17 ! ( � � ¤67. j � ) * ¢ � 7� ,   J 1 L � '���O'�! % F � ��G � N 1 � ( ' ��( '1 (*� ' ! (�� � ¤68.

7� 7,5n� j � a 1 ) * ¢ � 7� ,   J 1 L � ' & ���� '65_7X! % F � ��G � a 1� N 1 � ( ' ��( '( 1 (*� ' ! (�� � ¤69. ��Q3 ¢ � �2j � )+* ���(87 ,   J 1 L '' % N 1 � (�' ��( '1 ! � � ¤70. ��Q3 ¢ � � a 1� j � a 1 )�* ���(:7 ,   J & L '' % / � N 1 � (�' �V(�'& ! � � ¤71. � ¢ � �&� ��� j � F 7� 7,5 � G   N 1 � ( � � 1;- �7 ! ( � � ¤72. � j � � / ¢ � � � �   & N � (�' ��'65_7 � 17��#7 ! ( � � ¤73.

� j � ) * ¢ � 7� ,   �� J 1 L '' % �� F � � G � & N � ( ' ��( ' ��(�'1 (*' �V(�� ' ! ( � � ¤74. j � � * 7<5 � 7�(*�� � j � � * 7�( � 7 (8�� �

  �43 ¢ � � J 1 L '' % � N & �� ( ' �]'65 1 � 1� � &�1 � 1 �#7 ! �#$¤

::1�

Page 683: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� 31� ,75. j � a 1 � * 7<5 � 7�(8�� � j � a 1 � * 7 ( � 7 (8�� �

  ��3 ¢ � � J & L ' � �����' % ! � N & �� ( ' �]'65 & � &� � ��7 � & � & ! �#$¤

76. j � a 1 ) * �7,5 � 7 (8� , j � a 1 ) * �7 ( � 7 (8� ,  �43 ¢ � � J '65 & L '' % F � ��G � a 1� � N & �� (�' �V( 1 (*' �V( 1� (*' � 1� (*'( 1 (*� ' �V( 1 (*�O' �#7 ! �

#$¤

77. j � ) * �7,5 � 7 (8� , j � F �7 ( � 7�(8� G  J 'g5 1 L '' % F � ��G � � N & �� (�' � 1� (*' � 1 ( ' � &

�(*'1 (*� ' � 1 (*� ' �#7 ! �

#$¤

78. j ��� � 5 � 7 (8�� � � � 7<5 � 7�(8�

�� j ��� � ( � 7 (8�� � � � 7 ( � 7 (8�

��

  J 1 L�'' % F � � G ��� � N & �� (�' � 1;- ��� &�- ��

� 1 ! �1 (*' � 1 (*' �V7 #$¤

79.� � � / ���   ��3 ¢ � � N 1 � ( ' �]'1 ! � � ¤

80.� � a 1 � / ���   ��3 ¢ � � � £� � ¢ � / � N 1 � ( ' �]'65_7& ! � � ¤

81.� � F 7� � G  �£ �&-21 � -;��� N 1 � ( � � 1;- �7�(*' ! � � ¤

82.� � � ¢ � �&�   N 1 � (�' ��'1 ! ( � � ¤

83.� � F ¢ � 7� G  �£ �&-21 � -;� N 1 � (�' � 1 (*'7�(*� ' ! ( � � � ¤

84. � ¢ 3h�&� � � � F 7<5 �7 (8� G   N 1�� ( ' � 1 (*'1 ! �

#$¤

::�,

Page 684: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ��� � � � ��� ������ ��� ��� � �$��� ��� � � � � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����85.

� � � / ¢ � � �   N 1 � ( ' �]'1 ! (�� � ¤86.

7� 7,5n� � � a 1 � / ¢ � � �   N 1 � (�' ��'65_71 ! ( � � ¤87.

� � ) * ¢ � 7� ,  �£ �&-21 � -;� N 1 � ( ' � 1 (*'7 (*�O' ! ( � � ¤88.

7� 7,5n� � � a 1 ) * ¢ � 7� ,  �£ � � -;�&-21� N 1 � ( ' � 1 (*'(�� ' ! (�� � ¤89. ��Q3 ¢ � � � � )+* ���(:7 ,   N 1

�� (�' � 1 (*'1 ! �#$¤

90. ��Q3 ¢ � � a 1� � � a 1 )+* ��E(:7 ,   � £�� � ¢ � / � N 1�� ( ' � 1 (*'& ! �

#$¤

91. � ¢ � �&� ��� � � F 7� 7<5 � G   N 1�� ( � � 1�- �1 ! ( �

#$¤

92. � � � � / ¢ � � � �   7� �¢ � N 1 � ( ' �]'1 ! ( � �

� ¤93.

� � ) � ( � 7 (8�7<5 � 7 (8� , � � ) � 5 � 7�(8�7�( � 7�(8� , �£ �R�&-21 � -;� � N & �� (�' � 1� (*' � 1 ( ' � &� (*'1 (*� ' �V7 (*� ' � 1 ! �

#$ = '8>?7A@CB94. � � � / � �   ��3 ¢ � � N 1 � (�' �]'65 71 ! � � ¤95. � � a 1 � / � �   ��3 ¢ � � £ � � � ¢ � / � N 1 � ( ' �]'65n�& ! � � ¤96. � � F 7� � G  �£ � � -;��� N 1 � ( � � 1;- �(�' ! � � ¤97. � � � ¢ � �&�   � � � ¢ � N 1 � ' �]'65n�& ! ( � � ¤

::3

Page 685: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� 31� ,98. � � F ¢ � 7� G   F �� G � N 1 � (�' �V(�')( 1(�� ' (:7 ! (��O��� ¤99. � ¢ 3h�&� � � � F 7<5 �7 (8��G   � � � ¢ � N 1 �� ( ' ��( ' ( 1& ! �

#$¤

100. � � � / ¢ � � �   � £� � ¢ � N 1 � ( ' �]'65_7& ! (�� � ¤101.

7� 7<5 � � � a 1 � / ¢ � � �  �£ � � � ¢ � N 1 � (�' ��'65n�& ! ( � � ¤102. � � ) * ¢ � 7� ,  �£ � � -;� N 1 � (�' �V(�')( 1( �O' ! ( � � ¤103.

7� 7<5 � � � a 1 ) * ¢ � 7� ,  �£ � a 1 � -;�&-21� N 1 � ( ' ��( ' ( 1(�� ')(:7 ! ( � � ¤104. �0�Q3 ¢ � � � � ) * ���(87 ,   N 1

�� ( ' ��( ' ( 11 ! �#$¤

105. �0�Q3 ¢ � � a 1� � � a 1 )�* ���(:7 ,  �£ � � � ¢ � / � N 1�� (�' �V(�')( 1& ! �

#$¤

106. � ¢ � �&� ��� �� � F 7� 7,5 � G   � � � ¢ � N 1 �� ( � � 1;- �& ! (��#$¤

107. � � � � / ¢ � � � �   � � � ¢ � & N � ( ' �]'65n���#7& �]� ! (�� � ¤108. � � ) * �7,5 � 7 (8� , � � ) * �7 ( � 7�(*� ,

  � £�� � ¢ � F �7�� G -;� � N & �� (�' � 1� (*' � 1 ( ' � &� (*'(�� ' � 1 (*� ' � & ! �#$¤

109. � � a 1 ) * �7,5 � 7 (8� , � � a 1 ) * �7 ( � 7�(*� , �£ � � � ¢ � F �7�� G -;�&-21� � N & �� (�' �V( 1 (*' �V( 1� (*' � 1� (*'( 1 (*� ' �V( 7 (*�O' � & ! �

#$¤

::95

Page 686: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ��� � � � ��� ������ ��� ��� � �$��� ��� � � � � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����110.

� � � / � �  �£ � / � �

�� 1�- � ! �& #$¤

111.

� � �0/ � �   ��3 ¢ � � ��� '�! %' % 1 N 1 � ( ' ! �1 � ¤112.

� � a 1 �0/ � �   ��3 ¢ � � ��� '65_7�! %' % £ / � 1 N 1 � (�' ! �& � ¤113.

� � F 7� � G  �£ � � -;��� N � � ( � � 1;- �( � � ¤114. �V- � � � �0/ ���   �43 ¢ � � £ � F 7� G � 1 N 1

�� '65 11 ! ( �#$¤

115. �V- � � � a 1 �0/ ���   �43 ¢ � � £ � a 1 F � � G � / � 1 N 1�� '65 & & ! (��

#$¤

116.

� � � �/ � � � � � � �/ � �   D ��� '�! %' % H N & �� (�' �]'65 1 ! ��1�� 1 � &�

#$¤

117.

� � a 1 � �/ � � � � a 1 � � �/ � �   ��� D ��� '65_7�! %' % H / � N & �� (�' ��'65 & &�� ��� & ! ��

#$¤

118.

� � � � -21��� � � � � �A� -21��� �   F 3 7��� G � � N 1�� (�' � 1� ( ' � 1 (*' � &� (*'1 (*�O' ! � �

#$¤

119.

� � a 1 � � -21��� � � � a 1 � �A� -21��� �  �43 ¢ � � £ �R� a �A� -;�&-21� � N 1

�� ( ' ��( 1 (*' �V( 1� (*' � 1� (*'( 1 (*�O' ! � �#$¤

120. � c� �0�&�   �(� 5 7�! '' % 1 N 1 J (�' ! ��P5_7 L ¤121.

  �( 7�! '' % � J ( ' ! ��P5_7 L ¤122. � c� F 7� G   �(��]! "�'' % N � J (�' �V( �6( '( � L ¤123. � - ��� c� ��&�   �(�P5_7�! '' % 1 N 1 J �P5n'65_7�P5_7 ! ( � L ¤

::�;

Page 687: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

����� ����� � � ��� ������ ��� ��� �� � � � �� � ������ � ����� � ���� � ��� � � � � � ��� ��� ���� � L1� 31� ,124. � c� � / ��� � c� �43 / � �   D �(� 5_7X! '' % H N & �� (�' �#� 5n'65_7 ! ��c a 1 � c 5_7����P5_7 #$ ¤125. � c� F 7� � G � c� F]3 7� � G   �( ��! "�'��' % ! � � N 1 � (�' �]( c ( ' � 19- c ( ' �]( � ( '( � ( � ' ! � � � ¤126. � c � ��/ ���   �43 ¢ � � �(�9! '' % N 1 � ( ' ���P5n'1 ! � � ¤127. � c � a 1 � / ���   �43 ¢ � � �(�9! ' & �' % £ / � N 1 � ( ' ���P5n'65_7( & ! � � ¤128. � c� F 7� � G   �(�9! '' % £ � � -;��� N 1 � ( � � 1;- �7�(%�6(*' ! � � ¤129. � c� � ¢ � �&�   �����&! '' % N 1 � ( ' �]��� 5:'�P5 1 ! ( � � ¤130. � c� F ¢ � 7� G   �(�&! '' % F �� G � N 1 � ( ' � 1 (��Q(*'7 (*���Q(*� ' ! ( � � � ¤131. � ¢ 3 �&� ��� c� F 7,5n�7�(*� G   �����&! '' % N 1

�� (�' � 1 (%�6(*'� 5 1 ! �#$¤

132. � c � � / ¢ � � �   �����&! � '��� '�! % N 1 � ( ' ���P5n'� 5 1 ! (�� � ¤133.

7� 7<5 � � c � a 1 � / ¢ � � �   �����9! � '%& ���� '65_7X! % N 1 � (�' �#� 5:'g5 7�P5 1 ! (�� � ¤134. � c� F � 5_7� � � G   �(�&! '' % � -;��� N 1 J ( ' ���7 (��Q(*' ! � L ¤135. � ¢ � �&� ��� � c� F 7� 7,5n� G   �����&! '' % N 1

�� ( � � 1;- ��P5 1 ! (��#$¤

136. � c � ) * ¢ � 7� ,   �(�&! � '��� '�! % £ � � -;� N 1 � (�' � 1 (��Q(*'7�(��Q(*� ' ! (�� � ¤:::

Page 688: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

��� ��� ��� ��� ��� � � � ��� ������ ��� ��� � �$��� ��� � � � � �� � ������ � ����� � � ��� ��� ����137.

7� 7<5 � � c � a 1 ) * ¢ � 7� ,  �(�&! � ' & ����O'65 7�! % £ � a 1 � -;�&-21� N 1 � (�' � 1 (%�6(*'('�6(*� ' ! (�� � ¤

138. � � c� � / ¢ � � � �   D �����9! '' % H & N � ( ' ��� �����P5n' ! (��� 5 1 �]��� � ¤139. j + � l�� .� � ¢ � �&�   � � 5 7�! '' % N 1 � ( ' � � 5g5n'65_7

� 5_7 ! ( � � ¤140. j + � l�� .� F ¢ � 7� G   � � 5g5:'g5 7�! '' % � £ �&� -;� N 1 J (�' �V( � (*' ! (��O�( � ( (*� ' L ¤141. � ¢ 3 �&� � j + � l�� .� F 7<5 �7 (8��G   � � 5_7X! '' % N 1 J ( ' ��( (*'

� 5 7 ! � L ¤142. j + � l�� .� � / ¢ � ��� j + � l�� .� �43 / ¢ � ���  ��3 ¢ � � � � 5 7�! ' ��g5_7X! '��' % ! � � N & � (�' � � a � a 1 � � a � 5_7�� � 5g5n'65_7 ! ( �

� 5_7�� 65_7 � � 5 g5_7 � ¤143.

�K �0/ ���E ��/ ��� �   � � N 1 � � 1 � 17 ! � � ¤

144.

77 (8� E �0/ ���   � � N 1 � 1 � & 7 ! � � ¤145. D �0/ ���   � � N 1 � 1 � & � ! � � ¤

::�<

Page 689: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas
Page 690: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

References

Monographs

� ������� � � � �

� ��� � � ������� � ��� ����� � ��� � � � ����

��� ��� � ����������� ��!#" $%! �'&)(*�+�+,��+$.-0/1-�23-4 " �+56�+����! �+768 9�':.�;,=< �>$#�>?@�.A � ����

�B � �'C'D �� �FE ����� �#��'� � � � � ���HGI�JGI�JGI���������� ��!#" $K! �'&6(*�+�+,��+$.-L/1- M -N(3O ��:�,=!#"P8 9�':.�;,=< �>$#�'?@�.A � ����

�B � �'C*D ���Q �FE ����� �#��'� � � � � �� �HGI�JGI�JGI���������� ��!#" $�! �'&R(*�+�+,��+$.-S/1-3T�-PU0< �V�L(3O ��:�,=!#"'8 9�':.�;,=< �>$#� ?@�.A � ����

�B � �'CD �� �FE ����� �#��'� � � � � �� �HGI�JGI�JGI���������� ��!#" $W! �'&X(*�+�+,��+$.-%/1-ZY�-\['!�O�" !3:+�^] ��! �>$;_+< �+5R$#�`?@�.A � ����

�B � �'CD �� �FE ����� �#��'� � � ��� �� �HGI�JGI�JGI���������� ��!#" $a! �'&�(*�+�+,��+$.-b/1-3c�-R���>d#�+�+$.�a['!�O�" !3:+�X] ��! �>$;_+< �+5R$#��?@�.A � ����

B � �'C'D �� �FE ����� �#��'� � � ��� ��� � � e��Jf ���Xg � ��h�� Hi�Jj � � � � ��k@, � l �+��]��! �>$�:+�+�'&��+����!#"�8>9�':.�;,=< �>$Vmb/N-2P�@?@�.A � ����

�� �� �#e >C B � �'�'�nJD � �ZAoQ�g � j j;� � ��� � �� �HGI�JGI� k@, � l �+�p] ��! �>$�:+�+�'&��+����!#"q8>9�':.�;,=< �>$Vmr/N-#M1�q?@�.A � ����

� �� �#e� >C B � �'��nZD � JAoQ�g � j j � � ��� � �� � ��s � �3f JA � e�tq� � �vu�e��.w�� ��� � � ��� � � � �@k�! �'&�x�<Z< yb<�_IUz!#�;l �+56!#�;,=:V!#"o8 9�':.�;,=< �>$F{|,;�;l

8�< �+5}9 " ! $VmS~H��!�O>l3$Vmv! �'&\U0!#�;l �+5\!#�;,=:V!#"v]�!�x�" �+$#�>?@�.A � ��V�>C>� �� ��� � � ��� �

� ���L�� tJ� �>� ��� � �P]Pl � 4 �+��< �@8>9�':.�;,=< �1�3� ���e � eV��e�� � ��� �>j � � F�|�#�� � ��.� �@ � �3u � ��� �j �u u ����� � �V� � ���

�� � ��� � �

��� � B � �J� � � B � ��]�l �6(3O ��:�,=!#"v8 9�':.�;,=< �>$F! �'&q�;l �+, �6�HO3O>��<J� , 5\!#�;,=< �>$VmF/1-�2P�1?@�.A � ����>C�@ � �Jf � R�����Z���.� � � � � �

� � ��� � w ����N� � � � s>� �V���.e�e � ��w#� �|� � �#u� � � � ��� � �8�< �+5}9 " ! $S! �'&F]Pl ��< �V�+5}$*_+< �S�;l �o(3O ��:�,=!#"8 9�':.�;,=< �>$`<�_LU0!#�;l �+5\!#�;,=:V!#"*�|l37 $V,=:�$#�>?@�.A � ����

�|� �Vj � �'C�u� � � ��w#� ��Q��|� ��j � w>� � � � � �� � �S� � � �

�� j j �\h ��� � �'(3O ��:�,=!#"*8>9�':.�;,=< �>$#�>?@�.A � ����>C�� �#Zf � j j ���'� � � � � �

��� �Su+�#A � e�e@� �;� � � �S�n�����;��<Z& 9>:.�;,=< �z��<}�;l �}�NO �+��!#�;,=< �>$S{1,;�;l6(*�+�+,��+$#�?@�.A � ����>C�@���Jj ��� � �� ��� � �

� � �Su � ���#��e �

���g ��� � �#� ���� ����g � B � �#�r] �V��!#�;, $.�S< �0~S�+�*�+��!#�;, ���8>9�':.�;,=< �>$#� ?@�.A � ����>Cg �3j ��e�� z�����Z���.� � � � � �

Journal papers

� � � � �3fR�� � ��� � � �S���%���3j �� e � � � � �#e��.w�� �3j � � �|�Z�����Jj � � ��e � ��

�� ��DSQ � � �+e � �

� � �#e � e � �Z�.��� -H�1< 5�O>9 ��-*�HO3O�" -�Uz!#�;l - �� � � � � ��� � �>? � � ��� � � �� � �

� � �HGI� ��Zj �#��� � j #w�� � � e+� f � � �#e��.w�� �3j �.��� �'C1�1��<Z:+�V��& , �� $\<�_`��(>( �K�K� � � ��� �*?@�.A � ����>C�@ � �Jf � R�����Z���.�

� � � � � ����� �� � � �Lj Q�u�#� �#s � ����? � �L� �3j j �Xu�� B � ��u � �

��#��e �

��Xg ��� � � ��+� ��e � � � � �3f � j � � � � ��� � � e��

��� � � �Z� �#��� � � e�� \A � eV� � w��3f}f � � � ��e � ��.��� -*Uz!#�;l -��@�'!#" ->�HO3O�" - � � �� � � � � � � ��? � �� � ��� ��� � �::P

Page 691: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � ����������� � � � � j �.�K� ��? � �3��� >��e�� � w#� ��� � �3j � t�� 6�#��>� ��w#� �fR�.e � � @��� � � �Z�.��1��<Z:J-�['< �'&3< �FUz!#�;l -

('<Z:J- � ������ � � ����� � � � �

��� � � � �

� � � �|� � �e���� � � ��3j ��e � `h � ��� ���e�� � �6��� � � �Z�.�3e+���.e �JQ � � ��e � ��.� ���6��� � � �Z� ���Jj � e � �� � �6eV������ � � � e � � �3f ������� ���'�P� -��H�+, �*���@����+{o-�Uz!#�;l - � � � � � � � � � ����� � � � ����� � ��� �

� � � ��� JA � ����� � �'h �#��e+��3f � ��u���� � � � �� #e�� �FeV���}� � � � � ��VfK� j � � �� �}� � � e��R�#��>� ��Qw#� �fK�.e � � ���� � � �Z�.�*� -H�1< 5�O*-*�HO3O�" -�Uz!#�;l - � � � � �

� � � � � �>? � � � � � � � � � �� � � ������� � �I� ��� � � ��h

��3j �� e � � � � �fR�}Zj �#�����Z� � �.� � � e�� ��� � ��.� � � e�� � �#e��.w�� �3j �.�

��������� ��!#"v]��! �>$;_+< �+5}$L(3O ��:J-�8 9�':J- � ��� �� � ��� � � ? �

� � � � � � ��� �� ��HGI� � �b� �fR� ���.A ��� � � �Z� � ���>�Z � �3j � � �+e � ��.�v�HO3O�" -HU0!#�;l -L�|< 5LO>9 ��- � ����� �

� � ��� � �? � � ��� ��� ��� � �

� � �HGI� � � � �fK� � ���fR� j �#� � ��0�b�Zs>� �E� �M��! ��� � ��w#� �

J� �M��! � � �+e � ��.�}��������� ��!#"

]��! �>$;_+< �+5}$�(3O ��:J-�8>9�':J- � ��� �� � ��� � �>? ��� � � � ��� � � �

�� �HGI��D�� �Z�S� � � � � � � ��� ��� �#e � � e � � � �#��>� ��w#� �fR�.e � � � � �+e � ��oA � eV� ���Z���>�Z+eoe� }� �JQ� �3fR�.e�� ��� �J� �'C��1��<Z:J-������-P�1< �J_�->< �R��x+$+�;��!3:.�*! �'&��HO3O�" ,���&S�@�'!#" 7 $V, $Vm�kL! �'< , mH/P,����;�'! 5z���� � � � �L��w �

� � ��� �>u � ��w��#� ����3C � ��Vj zu � � �#e � �>R� ��� � �� � � � � � ��� ��� �

� � �S� � ��j � e�t B � � �S���`� � >�+e � e�A� 6� j e � �#���>��� � � �3j*� �j � �� �f � �3j �.���|��<Z:J-H~o" ! $��3< {�Uz!#�;l -��$V$�<Z:J- � � � � � � � � � � � � �� �

� ��S� � ��j � � ����� � �1u� �fK�I���e�� �� � �� � B � � ��� ��� �����Jj � e � ��}s>�.e�AH�.� � � � � ��� �|�Z�����Jj� � �+e � ��.�*(>����U � -NUz!#�;l -*�S�'!#" - � � � � ��� � � �>? �

�� ����� � �

��

��� �S�@��� �n��� ��w Q � �'� B � �Iu ���� ��3Q��� ��w>�'u � ���#��e �

��6g ��� � �>u� �fK�� ��s>j ��Q���� � � �Z� � � �#e � e � �Z�

��� �#��� � � e�� %w#� ��� � � e � ��w � � ��e � � ���Jj � e � ��V� � � �.�v�HO3O�" -HU0!#�;l -o[*���=��- � � � �� � � � � �? � � � ������� � � �

��� �S�@�� �'�� ���Z� ����w>��u � ���#��e �

��6g ��� � �'h�� �>j � � e��

��3j �� e � � � h|� j � � ��� ���Jj � e�� z�V� fR�.�

]Pl ��v! 56! �>9��! �0� - � ��� �� � ��� � � ? � � � ��� � � �

�� �S�S��� ��Jj � �o� �=� � � � �}� �fK����� � � �Z�| �#e � � � � ��w��K� � !;( �K� � ! ���T���K� � !�( �E� � !0! � � ��+� ��e � � �

��3j ���Z� � � ��� � �1� -��1< 5�O>9 ��-1�HO3O�" -|U0!#�;l - � ��� � � � � � � �P? ��� � � � � ��� � � � �

� � ��h��e �ng � � � �FeV��� ��� >� � s � j � e�� � e+���}� �3fR�Hi���}��i� � � �.e � � ��e � �'��� -o�1< 5�O*-*�oO3O�" -Uz!#�;l - � � � � � � ��� � �>? � � � � � � � � � �

� � �HGI�3u� �fK� ���.A��V� f}f � e � � � ��VfK� j � � ��|e+���Lw#� ��� � �3j � t.� n�#��>� ��w#� �fR�.e � � � � �+e � � �� � w���� �� �� � ���*� -H�|< 5LO*-*�oO3O�" -�U0!#�;l - � �� � � � ��� � �>? �

� ��� � � ����� ���� �HGI�3?@�.A �#��>� ��w#� �fR�.e � � �e � ���� � ��Vf � e � ��.�P� -H�|< 5LO*-P�HO3O�" -�U0!#�;l - � ��� � � � � � � �>? �

�������� ����� �

� � �S��Jj >��� � frh � � �Lj .� � � � � �V� j e � e ��V� j j � � � ��t � � � �3��� � e�e �3�J� �N� �Jj� � j � � � K� � � �#s �j � >��S�=�;,1�@:V:J-�(':�,�-o]>< �+, �'<>� � � � � � � � � � � � ��� � � � �

� � �HGI�3�o�Jj � e � ��|� �#e ���Lj �Z�v� �j � �� �fK�Z� �@� �# 3s � � B � w���� � ���@�.eHg@� �Vf � e��3��S:.��!RUz!#�;l - � � �� � � � � � � � � ��� ��� � ���� �S� ��n� � � �S���`��� � ���Z��� � � � �#��>� ��w#� �fK�.e � � `��� � � �Z� � �Fe�� �VfR� � � � f � j � �S��� � � �Z�.�*�|��<Z:J-

['< �'&3< �0Uz!#�;l -P('<Z:J- �� �

� � ����� � � � � ��� � ��� �� � �S� � ��J� j � ��I� � �*� � � �3fR�.e�� � � � �

�� e �

��Z� � e+���`� �# 3s �P� �j � �� �f � �3j � ���Ie+���}D �3���� � ���

�#��>� ��w#� �fR�.e � � � � �+e � �'�#��������� ��!#"*]��! �>$;_+< �+5}$1(3O ��:J-8 9�':J- ��� � � � � � �.? � �

� � ��� � � � ���� �S�>� ��e+j �J� ��� �S� � � � �

����Fu�� ��� �#e��.w�� �3j � � �

� �j

�� ��w � �� �S� �# ��3j � � ��e � �� ���Fe+��� � �

���Jj � e � �6e� � � � � ! ���H�#e�eV�*C ��� � ��� ��C f � eV�3Q��>��� � � � � � � �

� � � ��� � �� � � � �

� � ��D��Z�����Jj3� � �Zu�e ���#e �`� � �Ju�e � ����w#�|���3j �� e � � � �#��>� ��w#� �fR�.e � � v��� � � �Z�.�#(>���LU � -Uz!#�;l -

�@�'!#" - � ��� � � � ��� � � ? �������� � ��� �

� � ��D 3���>� �@� �;� � �>���Vf � � j*� ��h ��g � ���P�����w6� � � � �F� �fK�`��e � ����w#���V� f\f � e � � � ���fR� j �#�.���" " , �'< , $L� -NUz!#�;l - � ��� � � � � � � �>? �

��

� � � ����� �� � ��D � 3����� ���K� ��� � � u� �fR� ���.A � �#e��.w�� �3j � � � � � � ��w � � �f f � eV���Jf � e � �3j��>�#�� � �� ���=�=���3(>, 56< �

(����+dZ, �1� � � � � � � � � � � � � ��

:�<9N

Page 692: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � ��������� � �HGI�3u� �fK� ���.A � �#e��.w�� �3j � � � � � � ��w � � �f f � e+���Jf � e � �3j*�>�#�� � .� �'� �R�*(>, 5\< �0(����+dZ, �1� � �� � ��� � � � � � � ? � � � � ��� ��� � � � �����D�� � j j � � �L� � �#u� �fK�Ss � �� �f � �3j��� � � �Z� 3se � � ��� \s3�`eV���@� ��Q�fK�.e+�� *�3�S& d#- �HO3O�" ->Uz!#�;l - ��� �

� � ��� � � �� � � � � � �� � �HGI�3u�� � � �Z�PZj 3���Jj � ���Jj � e�� �e L� �3f ������� ��� � ��VfK� j �#� � ��P� �;�

� � ��� � ����� �Z�#e�e��*C ��� �>� ��� ��3j ��3� �� � �f � ��w�� � j j � � � �� � �HGI� ��s ���e � ���.A � � � � � �3f ������� ���3Q�e���>�%��� � � �Z�.� 4 �+O*-`Uz!#�;l - � � � �

� � � � � �o? � �� ����� � ��� �

� � �HGI��D�� ��� � � e� ���� � � �fR�)� �3f ������� ��� � ���fR� j �#�.� �H! 5\! �>9��! ��� - � � � �� � � � � �L? � �

� ��� � � �� ��HGI�3g@��>� ��w#� �fR�.e � � � � �#e � e � �Z� � �� ��� ���e�� �� W� �3f ������� ���3Q�e���>�z��� � � �Z�.��]Pl � �v! �5\! �>9��! �0� - � � � �

� � � � � � ? ��� � � � � � � �

� � ��D����e ����� �I� � ��u� �fR�R�V� f}� � B �.w#� � ��� ���n� �# 3s �P� �j � �� �f � �3j �.�NU0!#�;l -��o< l �+5F- �

� � � �� � � � � � ? � � � � ��� � � � �

� � �o� J�+�nD ��u�� ���P�+�J� �}� �=� � ��u�>�Z � �3j��3j ���Z� � e+���I�#��>� ��w#� �fR�.e � � � � ��e � ��.�HUz!#�;l -

�1��<Z:J-H�|! 56x+�+,=&Z���`�|l3,;" < $.-P('<Z:J- � ��� � � � � � � � �>? ��� ����� � � � �

� � �HGI�JGI�3u�>�Z � �3j��3j ���Z�� � e+���`�#��>� ��w#� �fR�.e � � � � ��e � �� ���=���'Uz!#�;l -P�1��<Z:J-H�1! 5Fx+�+,=&Z���

�1l3,;" < $.-P('<Z:J- � ��� � �� � � � � �>? �

� � � � � � � � �� � ��� �����Jf � eV�V�Iu ��� ���L� f � w�� �*g � � � 3�V� � f #e I� � � u � f}� � �

� �j

�� ��wIg�� ��A � e�t �'�.e � � � �VQ

e � �'� �H! 5\! �>9��! �0� - � � �� � � � � �>? � � ��� � � �

� � ��� � �Vj ��� � � �=� � � � �^e�A� ^�#��>� ��w#� �fR�.e � � �V� f\f � e � � � ���fR� j �#�q �����Z+e+� ��� s3�D 3���>� ���'(>, 5\< �0(����+dZ, �1�

� � � � � � � � �>? � � ���� � � ��� �� � �HGI�3�@j �3���� �%�#��>� ��w#� �fK�.e � � \��� � � �Z�`A � e+�

�� � � �#s>j �T7 � �|� -HU0!#�;l -|�@�'!#" -1�oO3O�" - � � � �� � � ��� � � ? � � � � ��� ��� � �

� � ���S�Jj s>� �*���� �Ju+� � � e�e+j � �N�@��� ���� s>� ����.�og � � � �#e��.w�� �3j � ���fR�Jj � � �� � � � ��� � � � �#e � ��� �'���F, $V$.-� -@]�k ��" 5F�+�'! 9�� � � � � � ��� � �>? � � � � ��� � � � �

� � ���� ��Z� � � � ��� � �#e � e � �Z� � �� � �3f � j � �Z�� � ���e+�� #w ��3j�� �j � �� �f � �3j � ���}���>�Z � �3j � � �+e � ��.���������� ��!#"v]��! �>$;_+< �+5}$L(3O ��:J-�8 9�':J- � � � � � ��� � � ? ��� � � � � � ����� �

� � ��� � � e�e�� �#eV��3j � �I� � �Su � � � ���#� �)� �� X� � � �L��e �f � e � 0w#� ��� � � e � � � �#��>� ��w#� �fK�.e � �

� � �#e � e � �Z�Hs3�Re+����s>�.e � � �#e��.w�� �3j>fR�.eV�� *��� -1�1< 5�O*->�HO3O�" -'Uz!#�;l - � � � � � � � � � � �3? ��� � �� �� � � � � �� � �HGI�3� �

� ��3j � � ��g JAr ���0AH�\�Z�� �#�>� �S�� �f � � � � ���Jj � e � ��.�v� -vU0!#�;l -|('<Z:J-v�!�O! �1� ����

� � � � � � ��� � � � ��� ���� � B �3� ��� ��t � ���;� � �|� �fK� �#e � �#e��.w�� �3j � � � JAH� � � � � ��� � � �+e � ��.� � -H�@����+{o-oUz!#�;l -

�1l37 $.- � � � � � � � � � �>? � � � � ��� � � � ���� ��� � j j � � � ��� � �ou � f}f � e � �� � ��6+� ��e � � �)��� � � �Z�6 �#e � � � � ��w eV��� � w��3f}f � � � �+e � �'�

� -��1l37 $.-*��U0!#�;l -H~S�+�*- � � � �� � � � � � � � � ��� � ��� � �

�� ��� � j j � �L� � � � �3f}+� � �I� ��u�� �*�S� � ��� e �

��Z� � e+���\g�� ��A � e�tRt.�.e � � � �+e � � � �� � � e � ��3j

� ��w�� fR� �#e��.�*� -H�|< 5LO>9 ��-*�oO3O�" -�U0!#�;l - � ��� � � � � � � � �>? ��� � ��� � � � �

� � ���z��t � � � ��g � �.� � j j � �3fR�v� ��u�� � � ���Z��e � � �e�� }h1� ��e�� � �Lt.�.e � � � ��e � � ����e+���v���3j �� e � �

� � �fK� �.� � � e�� � �#e��.w�� �3j �.�'�@:.��!\�@�+,;�;l35F- � ��� � �� � ��� � �>? � � � � � � � �

� � � � w���� � � ��� � � � �Vj ���W� � �1u � f}f � ��w ����Q ���ae�A� Q � fK� �� � ��3jH��� � � �Z� ���Jj � e�� ae eV���Rh|� j � �@��� � � �Z�.�*� -H�|< 5LO>9 ��-*�oO3O�" -�U0!#�;l - � � � � � � � � � � ? �

��

� ��� ��� � �����HGI�JGI��� ����H��� � � �Z����Jj � e�� `e �eV���Sh|� j � ����� � � �Z�.��� -P�|< 5LO>9 ��-��oO3O�" - Uz!#�;l - � ��� � � � � � � � �? ��� � � � � � � � � � �

� � �HGI�JGI�3u� �fK� � ��� � � e��@��� � � �Z�����Jj � e�� Ke `��.� � f ���� � � w�� �3f}�.��� -��1< 5�O>9 ��-��oO3O�" ->Uz!#�;l - �� � � �

� � ��� � � ? ��� � � ���� � ��� � �� � �S� �3� f ���b� � ���|� ��f � � � ���L�� � � e � Ke � ���� � ��Vf � e � � � ��VfK� j �#� � ��Ls �#� � }�#��>� ��w#� Q

fK�.e � � ���� � � �Z�.�v]��! �>$.-*�S56�+�Z-NUz!#�;l -P('<Z:J- � � ��� � � � � � � � ������� � ��� �:�<��

Page 693: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� � � � ����������� �S�o� � q� ��g � ��� �#e��.w�� �3j���Z� ���Z��� �#e � e � �� � ���� � >�+eV� � � � ��� � � ��e � ��.� � �LUz��� � �� � � ��� � � ? �

� � �� � � � � �� ��HGI��� �#e��.w�� �3j���Z� ���Z��� �#e � e � �� � ���� � >��e�� � � � ��� � � ��e � �� �1� � ��e

��P�@�s � \� � �Q

�+eV�.� � ��Un��� � � � � � ��� � �>? � � � � � � ��� � ���� �HGI��� �#e��.w�� �3j ���Z� ���Z��� �#e � e � �� � ��H� � >��e��� � � � ��� � � �+e � �� ��� � ��e � � �L�� ��e � �� � �Q

�+eV�.� � ��Un��� � � � � � ��� � �>? � � ��� � � � � � �

� � �S�� #e�eVs � ���I� � ��� � � � e���Q��V� f��V� j �Z� � ��o� �#.� ��3j � � � � �+e � � ���Ig ��� �J�Jj � �o��� f`s �j �.���������� ��!#"v]��! �>$;_+< �+5F-P(3O ��:J-�8>9�':J- � ��� �

� � � � � �>? �� � � ��� � � � �

� � �Suoi���+���.t�Q��S� � tW� � � B � ��� � � � t � e � � ��� � ���Z+e � � � ���fR� j � � � �� �j

�� ��w^����� ���Z� �

D��.w#� �3s �3��� �o� �j � �� �f � �3j �.�*�oO3O�" -�U0!#�;l -�[*���=���+�+$#� � � �� � � � � �>? � � � � ��� � ��� �

� � � B � �%u �#�3Q��S� ���Nu � ���#��e �

��0g ��� � �*� ����wb� � �3Q � �'�Nu� �fR� � �3f � j � �Z� � �#��>� ��w#� �fK�.e � �

e � ���� � ���f � e � �� ���Lw#� ��� � � e � ��w � � �+e � ��.�3U0!#�;l �+5\!#�;,=:V!#"�! �'&L:V< 5�O>9 ���+�|5\<Z&���";" , ��'�� � �

� � ��� � � � � ��� � �� �� � �Su � �

��#��e �

��)g ��� � �@�o�Jf � ���3� �X� �fK�b��� � � �Z�F��� � ���� � �� �#��� � � e�� XA � e+�X+� ��e � � �

� � >��e�� � e+��� � � �fR�>j �.e��6w��3f}f � � � �+e � ��.�S�|< 5LO>9 ��-|U0!#�;l -N�oO3O�" - � � ��� � � � � �? � � � � � � � � � � �� �

� � �Su�e ��� � ��Vi6� ��u�� �'� � ����

��ViF� �;� � � �� � �.�

��Vi\u�� ��� �Pu� �fK�6��� � � �Z�

�� ��e+���\� � >�+e

� e�A� be � � w �� �fR�.e � � � � ��e � ��F� �)��� � � �Z� � �� �j

�� ��w �|�Z�����Jj � � �+e � ��.� � -@�S�'!#" -

�@�>{o�+�'& 9����+�1�� � �

� � � � � �>? � � � ����� � � ��

� � �Su�tZf`��eV� JAS�V� � � � � � �`e+��� � � ��� e �

�� � e+��� B �.w#� � ��� � � �+e � � � e+���@� ����ev� � �}A � e+�

���Z���>�Z�eoe� � e�� �.w����.�3�*� -��|l37 $.-*��U0!#�;l -H~S�+�*- � � � �� � � � � � � � � � ��� � � � � � �

� � � � 3�� ���� B � �#u � j j � � � � �� e�� � ��� �j � �� �f � � B � w���� �����H� �Jj3e � � K� j e � �#� � � � � � � ���>�.e�e�

�3j'� � � �3fR�.e � >� �@<#" " -��P�*-�U0!#��-P����!#" - � � � � ��� � � � � � � � � ��� �� � �HGI� B � � � ��t � � � �Jj � j � � � R� � � �#s �j � K �fK�� �#� Kj � f � e�� �Jj j � � � ��t � � � � �>� ��w#� �fR�.e�Q

� � +���3� �o<#";" -��P�*-NUz!#��-P����!#" - � � � � � � � ��� � � ��� � � � �

� � �HGI�3u �F� �� � ��VfK� j �}j � f � e���e � � � � ��t � � � � �>� ��w#� �fK�.e � � +���� �*�L� f\fK� �H� � � ��t � � � �Jj � j � � � F� � � �#s �j � >� �@<#" " -����*-�U0!#��-P����!#" - � ��� � � ��� � � � � � � � � � � �

��� �HGI�3�� �#e � � s>��e� �3j j � � ��Vf � t � ��� �Jj � ��VfK� j � � � � ��� �j � �� �f �1� j e � �#� � � � � � �o~H,=< �+�'!#" �& ,15\!#���+56!#�;,=:�l �`& , �o!#�=��!Z�#" , �>, � � � � � � � � � � � � � ����� ��� � �

��� �HGI�3� ���fR� j � � � � ��� t � ���F�V�q� � ��e � �j � � � � � ��t � � � � �>� ��w#� �fK�.e � � +��� �vD �3���� � �

�L� f\fK� �.�*Uz!#���+56!#�;,=:�l � ��� � e ��� � � � �� � � � � ��� � � � � � � � ��� �

�� �HGI�3� ���fR� j � � � � ��� t � ���z�>� �}j � � � ��t � � � � �>� ��w#� �fK�.e � � +��� �oD �3����.� �H, d#-@Uz!#��-

�P�>, d#-��H! �+5\! ��� � � � � � ��� � � � � � � ��� � �

� � �HGI�3u � j j � � � ��t � � � �JjR � j � � � � � � �#s �j � >�\Uz!#���+56!#�;,=:�l � ��� � e ��� � � � �� �

� � ��� � � ���� �� � � � �

� � � � ���Jf`s>j �Z�n� � �>�>��w��� ��� ���;� � �'��� >��e�� � e�A� ���Z��e � � �e�� z�#��>� ��w#� �fK�.e � � � � �+e � ��.�� -�Uz!#�;l -*�S�'!#" -*�oO3O�" - � � � � � � � � � � �>? � � � � �

����� � ���� � � � � �f �*� � � u � j j � � ��VfK� j � � � �

�� ��� � ��� �>� � � ��� �H�+�'&�- �L-'�S:V:J-��L!J-P[P, �':+�+,+�

� �� � � � � � �� � �o� � >� ��#��� � � � w#� ��� � �3j � t � e � � � ��� f}fR� ��� � � � �#e � e�� �q�#e�e��*C ��� � � � �

�� ���w � �#s � �

f � e+��� � � � � � ��� � ��� �� � � �*���J� ��� �=� � �'u� �fK� � ��� � � e��\��� � � �Z� � ��� � ��� �#e � �3j ���q�#��>� ��s �j � � � ��e � ��.��(>����U

� -�Uz!#�;l -*�S�'!#" - � � � � � � � � � �>?�� � � � � � ��� �

��� �HGI� � J�+� D ��u�� � �S�Jj��Z� � � � � � � � e+��� �

��3j �� e � � � e+��� � �#e��.w�� �3j

� �∫� � � ���� ( '�� 5 ��� � ( ' � !�� � � �H! 5\! �>9��! �q� - �

�� � � � � � �>? � � � � ��� ��� � �

:�<,

Page 694: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Index of Notations for Functions

and Constants

�� �M�]! � �� � �� � �� � J �� � � � L � �@eV��� � � ��� � � ��e � �

� � ����� ������� ����� ������� ���� � ������� �� � � � � ��� � ��� ������e � � w �� �fK�.e � � � � �+e � ��

� ' � ����eV��� �|� � �� �� j j � ��� fKs>� ���� ' �M��! � ����eV��� �|� � �� �� j j �*� �j � �� �f � �3j �� � � � �M��!�� � � � � �M��!�� � � � �M��!�� � � � � �M��!�� � � �;�M��!�� � � � � �M�]! � ����e+���R���Jj

�� � � � �+e � ��

�� �M�]! � � �� �

� " �� � J �� � � � L 5 � �� � J �� � � � L � � �@eV��� � � ��� � � ��e � �

C � ( �K�C7�! � � � � ��� ��7�� � � � � B B B � �@eV���}h|� j � �@ ���e ���#e

� �M��! � �� � ��∫� ��� � �� � � � � �oe+���K� ���Z� ���Jj' 3� � ��� � �#e��.w�� �3j

� �M� � � ! � �∫� �� " � ����

� � � = � � � � 7R@ � �oe+����w#� ��� � �3j � t�� 0� ���Z� ���Jj* 3� � ��� � �#e��.w�� �3j

�</' �M�]! � � �� '�� � � � � � � ��� � ���� � 1 1;- �

�� ����e+���RD��.w#� �3s �3��� �@� �j � �� �f � �3j �

���� �M��! � C5 � � 5 �∫� ��� ��� � � ��

� � � �oe+���K�#��>� ��s �j � ` 3� � ��� � �#e��.w�� �3j

�� �M��! � ( �∫���� � ��

� � � �@eV���K 3� � ��� � �#e��.w�� �3j

� � �M�]! � ( �∫� � J � ��� � �� L � � � �oe+���K�@j �3���� � � �#e��.w�� �3j

�   ��V� � � �

  �� m

D� $ ! � �

�∫� � ! � � � ����� � � � ! � � � � �@eV���K �f}�>j �.e��`�Jj j � �e � � �#e��.w�� �3j

:�<93

Page 695: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� ��� ��� � ����� ��� ��� ���� � �#� ��� � ��� ��� ����� ������ ��������� � �M�]! � � � � � "�� W ��� ^ ( �

� � �� ! ��

� ` � �oe+���`� � � �#s �j � `+� j � �� � � � ��e � �

E� $ ! � �

�∫� � 7 ( $ � ��� � � � � � � �@eV���K �f}�>j �.e��`�Jj j � �e � � �#e��.w�� �3j � eV���K���Z �z� � �

� ' � ����e+���Rh|� j � � ��� fKs>� ���� ' �M�]! � ����eV���Rh|� j � �@� �j � �� �f � �3j �

E� �M�]! � �� �∫� ��� � � � �2(8� ��� � ��!�� � � �@eV���`�b�Zs>� � � � �+e � �

� � �M�]! � �∫" � � ��� � � �oe+������� � ��� �#e � �3j � �#e��.w�� �3j

� ���;�M��! � �� ��∫� � " � W � � � �oe+����� � � �� � � ��e � �

� ��� �M�]! � 7�( � ��;�M�]! � �� ��∫� �

" � W � � � �@eV���K �f}�>j �JfR� �#e � ���F� ��� �� � � �+e � �

� ��;�M��! � �� ��∫� � � W � � � �@eV���`� ��� �� � � �+e � � � � f � w � �� ��� � ��w�� fR� �#e

� � �� ���%�!��

� � � � � �� ���%��!�� � � � � � � m � � !���! ��! � ��

"�

� � �� " � �$ "� �" "� "� � � � �� �

� �

�� � �"

� � �� � � � � �"

�∫� � � " � �C7�( �4! � " � " � �C7 (��4�]! "�� � � � � � ��� � �������� � � ���� ��� � �� � �� �oe+���RD �3����S�#��>� ��w#� �fR�.e � � � � �+e � �

� N � ^ � m � ! ! �� � � ! `�� � N � ^ � m � !� � � ! ! � `�� � N �#�4�0f � � �E��� � � � �&�� � N�� �f 1 �n¤�¤4¤4� f � � � 1 �n¤4¤�¤4� � � �6�&�   ������� � m � ! " � m � ! " B B BX� m � ! "� � � ! " � � � ! " B B BX� � � ! " � "$9%

� �oe+����w#� ��� � �3j � t.� z�#��>� ��w#� �fK�.e � � � � ��e � �� � ��� � ����� � � � �

� ��!�� � � � � � � m ! � ! �]! � ��

"�

� � �� " � "� �$ " � � �%e+���^�L� f\fK� �a �! ���� �#e�#��>� ��w#� �fK�.e � � � � ��e � �

G ���"

� � ��� "

� � ��� � � � � � �]7�� � � � � � � ��B B B � �@eV���K� � e �3j ���I ���e ���#e

" ( '�!� ^ ��#### � m � !� � � ! ` � " ( '�!� ^ ��#### m � �&B B B � m �� � �&B B B � � � `� �� �%$ ∫

&� ��� � �

� � � �%� � � ( �

� � � ��� � � � �

� � �%� � ��� � ' � �

� ��� '%& � �� � � �%� � � � �

� � � ��� � ( & � � �

� � �%� � ��� � � � �� " ��� �

:�<!5

Page 696: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� ��� ��� � ����� ��� ��� ���� � �#� ��� � ��� ��� ����� ������ ��������� � � � � � � � � � �@eV���}�I� � ��� ��D � � ��e � �

H� �M�]! � � � � � �!& �� � � � � � & � � � �

�� 7 ! ( �W�& � � 5 &

#$� �@eV���Ru�e �V�

�� � � ��e � �

� 3 � 8� �M�]! � � � �M�]!�5 � � � �M�]!�� � 3 � 8� �M��! � � � �M��!;( � � � �M��! � ���oeV���Sg ��� �J�Jj � � ��e � �� � eV���� ����e ���n���Z �z� � � �;eV��� �|�Z�����Jj � � �+e � �� � eV���`eV� � � z� � � �

� ' �M�]! � �( 7X! ' � � W '�� ' � "�� W � ����e+���Kg@� �Vf � e��K� �j � �� �f � �3j �

� � �M�]! � �� ��� � � ^ � � `� � � � ^ � 5_7 ! � �� ` � � " � ��� � � � � � ��� � � � � ��eV���@f � � � �|�Z�����Jj

� � ��e � � � eV����� ����eS� � �� � �M�]! � �� ��� � � J � � L � � � � ^ � 5 7 ! ( � �� ` � �@eV��� �|�Z�����Jj � � ��e � � � e+����� ����eS� � �

J� �M��! � �� �∫� �� � � � ��(*� ��� � ��!�� � � �oe+��� � ��w#� � � � �+e � �

K� $ ! � �

�∫� ����� � � � ! � � � � �oe+���` �fR�>j �.e��`�Jj j � �e � � �#e��.w�� �3j � e+����� ����eS� � �

� � �M��! � � � � " � ���� � � � ���� �� � ! � � � � ���� � � � � ' �M��! � �

���� ' � � �M��! � � � ����� � ��� � � � � � � � �e+���R� �# ��3j � � �+e � � � e+���Kf � � � �|�Z�����Jj � � �+e � � � e+����eV� � � z� � � �

� � � � �M�]!�� � � � � �M�]!�� � � � �M�]! � � � � � �M�]!�� � � �;�M��! � � � � � �M��! � ����eV���}�S�Jj�� � � � �+e � ��

L� �M�]! � � " 3 �'& � 8 � � �

H� � � ��� � � � � �@eV���Rf � � � zu�e �V�

�� � � ��e � �

� ' �M�]! � �� ' �M�]! � ����e+��� B � w���� �����`� �j � �� �f � �3j �

�-/' �M�]! � � " / � ��� '

�� '� � ' & / � "�� � � ����eV���`w#� ��� � �3j � t.� B � w���� �����`� �j � �� �f � �3j �

� � � �M��! � ��"

� "� � � � � �! �

� �

��

� �����∫� �

� " � �� � � � = � � � ��� ! � � ��� �C7�(:�]! � � � @ � ��e+���}� �j � j #w�� � � e+� f � eV��� �� � � �

� � � �M��! � �oe+���Rh|� j � � � j #w�� � � e+� f

�κ5 � �M��! � � � & �� � � "�� � � � � ��� � κ

� 1� � � � ���

� �|eV���S��� � e�e �3�J� �| �! ���� �#eH�#��>� ��w#� �fK�.e � � � � ��e � �

� ' �M��! � � "�'�� '

�� ' �M� � (87�! ' � ����eV��� B �.w#� � ���`� �j � �� �f � �3j �

� � �M��! � ��� �M��! � � � � � � ��� � � �

� 1;- ��

� � � ���� � � �� �� � � � �Ne+��� B �.w#� � ��� � � ��e � � � eV���� ����eS� � �

:�<;

Page 697: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� ��� ��� � ����� ��� ��� ���� � �#� ��� � ��� ��� ����� ������ ����������� �M��! � �� � ��� � J � � �� � �

L � � � � � � � ��� ��� ���� � 1�- �

�� � � ������ � � �� � � �� � � � � � � � � ���

��(� �M��! � �M� � (87�! ( � J �� L ( � � �M�]! � � � ������ � � �� � � � � � � � � ���

���� � � ! � �� � ��� � J � � 9

��� 9 L � � � � � � � ��� � � ���� � 1;- �

�� ��� 9 � � �� � � � � � � � � ���

��(� � � ! � �( 7�! ( �C7 ( � � ! ( � J �9 L ( � � � � ! � ��� 9 � � � � � � � � ���

�� �oe+��� �#��� � � e�� B �.w#� � ��� � � ��e � � � e+����� ����eS� � �

� 3 465 7�8' �M��! � � ��� '

� ' �� �C7 (8��! " 4 �C7,5n�]! " 7 '�� '

� �C7�(8��! 4 &(' �C7,5n�]! 7 & ' ��

����� � '� � � � � � � ������� ��� � ���� � 1;- ��� ����eV���`� �# 3s �*� �j � �� �f � �3j �

� � �M�]!�� � � � �M��! � �oe+��� B �.w#� � ��� � � �+e � � � eV���K���Z �z� � �

� � � �M��! � � � � � � �� �'& � �� �65 � 5 7� 5 � � � � " ��" � " � �M� � (:7�! � � � � � �� � a � a 1 � � a � � �

� � & 1�W �

� � � �� � � � � � ������ � � �� � ��� �� � � � � � �� ��� � � � � � � � � ��� �� � "�']" � � �M�]! � � � � � � � � � � � � � � � � '%& � � � � � � � � " �]"�']" � � �M� � (:7�! � � � � � �� � a � a &�� � a � a ��� � � 1

�W �

� � � ��-��� � � � � � � �� � �� � � � � �� ��� � � � � � � � � ��� �� � � � � ! � � " � � �� � � " � � � � � � � � 5 � � !&5 ��� � � � � � � � � ( � � ! �� �� � ! � � � �

��� � � ! ���� � � ( �

� � 5��65_7� (��65_7 � � " �� � � ! �� ��� 9 � � �� � � � � � �� ��� � � � � � � � � � � � �

� �( 7�! ( �C7 ( � � ! ( � J �9 L ( � � � � ! � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� �( 7�! ( �

� � ( � 5_7�65 � 5_7 � � ( � � � ! � � � � � � �� � � � � � � � � � � � ��� �

� �oe+��� �#��� � � e�� B �.w#� � ��� � � ��e � � � e+���`���Z �n� � �

�M�]! � �� � ��∫� � ! � �� � � � � �@eV���K� ���Z� ���Jj' 3� � ��� � �#e��.w�� �3j

�M� � � ! � �∫� �� " ����� �

� � � = � � � � 7A@ � �oe+����w#� ��� � �3j � t�� 0� ���Z� ���Jj*� � ��� � �#e��.w�� �3j

3 ( 8' �'#" (�"

� �( 7X! " J '65 $ (87' ( � 5 $ L J �O')( �')( � ( $ L "'#" ( &�" � ���zeV���qu�e � �Vj � ��w ��� fKs>� ��� �e+����� ����eS� � �

:�<9:

Page 698: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� ��� ��� � ����� ��� ��� ���� � �#� ��� � ��� ��� ����� ������ ��������� � ��� �

�� � 7 � � � � �� � �

� � �( 7�� � � ����&� �M��! � �∫� � ! � � �

�� � � ( ��� � � � ��! � �@eV���R�#��>� ��s �j � K� � ��� � �#e��.w�� �3j

� � �M��! � �∫� � ! � ��� � � �@eV���`� � ��� � �#e��.w�� �3j

��� �M�]! � � � �M��!�( � � � ( �∫� � ! � ��� � � �@eV���K� � ��� � �#e��.w�� �3j

� ' �M��! � �� � ��' � � ����� ��! � � � � � � � ���1 1;- ��� ���0eV���%�@���Zs3��V���

�� �j � �� �f � �3j � � eV���

� ����eS� � �� ' �M�]! � � ! � � � � � � � � ��� � � ��

��� � � � ��'g5?7X! � � � � � � ��� � �& 1;- ��� ���ReV���6�@���Zs3��V���

�� �j � �� Q

f � �3j � � eV���K���Z �z� � ��

κ5 � �M�]! � � � & �� � � "�� � � � � � κ

� 1� � � � ���

� �Re+���n��� � e�e �3�J� �} �! ���� �#e6�#��>� ��w#� �fK�.e � � � � ��e � �

� � �M�]! � ��� � � � � � ��� � � " � ����� ! � � � = � �� 'I@ � � ' �M�]! � �

���� ' � � �M��! � � � ��� � � � � � � � ��� �� �oe+���K?@�J� f ��� � � � �+e � � � e+��� �|�Z�����Jj � � ��e � � � e+���`���Z �n� � � �

� �� ���! � � � �= � ���(� ��� ��� � �@eV���Ks>�.e � � � �+e � �

� � �� ���! � �∫� ��� " � �C7 ( �4!�� " � � � � � ��� � � �� �� � �KeV��� � � �fR�>j �.e��ns>�.e � � � �+e � �

� �M��! � �∫� � �R" � � " � � � � � � ��� � � � �oe+����w��3f\f � � � ��e � �

� � � �]�]! � �∫� �� " � � " � � � � �@eV���K �f}�>j �JfR� �#e � ��� � � �fR�>j �.e��Kw��3f}f � � � ��e � �

�� � �#��! � � � � !E( � � � �#��! � �∫� � ��" � � " � � � � � ��� ��� � � � e+��� � � �f}�>j �.e�� w��3f\f �� � ��e � �

� = � m � !C@ � ��"

�� � m " !

�g� $ � m ! � ��� ��� ��

�&B B�B � ����� � ��

�g� $ �&� m � !0! � � � � �

� ��� � � ���&B B�B � ��� � ��� � ��

� ( 5 ' �� � � � �� ' �7�� � � ' � �oe+���R� � ���Z��J� �o��� fKs �j

:�<<

Page 699: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� ��� ��� � ����� ��� ��� ���� � �#� ��� � ��� ��� ����� ������ ��������� �M��! � ��

"�

� �� � � � �(��� �� � �@eV���R� � �Jf ��� �Ft��.e � � � ��e � �

� �M� ��! � ��

"�

� ��������� � � � � ��� � �� �� ��� ��� � � � � � � � � � �@eV���Rg�� ��A � e�t�t.�.e � � � �+e � �

� � � ! � � 7 � � > � �� � � � � � �@eV���Kg@� �

�� � � � � � �+e � �

� � � m � m � � � !���! � �]�]! � ��" 5 � �

� � �� " ��� � � ���" "� �$ "'&���

" � �� �� � � � �� �

�� � � m � � !���! � �]�]! � ��

" 5 � �

� � �� " ���" "� �$ "'&���

" � �� �� � � � �� �

� (' � ��

(�"

� �( 7X! ( ")" J � $ L $ ' � ����e+���Ku�e � �Vj � ��w ��� fKs>� ��� � eV���K���Z �z� � �

� �M� � ��! � ��"

� � "�������� � � � � �! � �� �� ��� ��� � � � � � � � �

� � � m � � !���! � �#��! � ��" 5 � �

� ���� "'& � � �$ "� �$ "'&���

" � �� �� � � � �� �

�� � � � � � � !���! � �]�]! � ��

" 5 � �

� � �$ " � ��� �� �" "'& ��

" � �� �� �

� � � � !���! � �#��! � ��" 5 � �

� ���" "� �" "'& �

" � �� ��

� � � ����� � � � �

�!�� � � � � m ! � ! �]!�

� � ��� �$� � � ��� � �" � � � � � =���� 5 � � � � � � ����

� � " � � � � � � ��� � �� � �!�� �

� �oe+��� �� � �f �' �! ���� �#e��#��>� ��w#� �fK�.e � � � � ��e � �� � �M�]! � �� � K

� � � ! �� � �M�]! � �� � � K � � � !�( 9 �

��� 9 � =K � � !�(D

� � !C@ � � �� � �M�]! � �� � � � K

� � � !;( � ��� 9 � � 9 ��� ��� 9 � � � =K � � !�(D

� � !C@ �5 � ��� 9 � � � � � � 7 (*� � � �

D� � !�( � 7 ( � � � �

K� � ! � � � � 9 � � ��� �

��� �� � �� ���

�� � m � � !�� � � � ! � �]�]! � ��

" 5 � �

� � �� "'&�� � �$ "� �" " � ��� ��

" � �� �� � � � �� �

��� � m !�� � � � ! � �]��! � ��

" 5 � �

� � �� "'&��� �" " � ��� �

" � �� ��

�K�M�]! � = � � �M�]!C@ � � � � ���� ����

� �@eV���K� � � � � �+e � �:�<9L

Page 700: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

Index of Notations for Symbols

� m ! � m � � m � �9B�B B � m�� ! � m � ! � m � � m � �&B B B � m �� m � ( � � ! � m � ( � � � m � ( � � �&B B B � m � ( � �� m !95 � m � 5 � m � 5 �&B B B � m � 5 ! � m � !95 � m � 5 �&B B�B � m � 5 � m ! � ( m � � m � ( m � �&B B B � m �R" � ( m � � m � & � ( m � �&B B B � m � ( m � � � ������� �� m � ! � ( m � � m � ( m � �9B�B B � m �R" � ( m � � m � & � ( m � �&B�B B � m � ( m � � � ������ �� m ! " � m � m 5 7�!IB�B B�� m 5 $ (?7�! � � � � � � � � � � � � � � � m ! � � 7 � �IeV��� � �� ��3f}fR� ���� fKs �j' % � 7 �R� � � B B B���')(87�!0' � �C7�! ' � � % � 7 % � �( 7X! % � 7��� '�! % % � ��� � ����B B�B����O')( �O!0� ' � � ' ' %��� '65_7X! % % � 7 � � ��� B B BX���O'65_7X! � � ' & �� � � J '65 � � L � J � � L ' � '' % % � ��� $ ! % % � ' � � $ ���� $ 5_7X! % % � ' � � $ 5_7�� � % % � �( 7�! % % � 7

J ' $ L � �=� � � � � � �$� � � ��� � � ��

� � � � �� � � ��� " � � �( "� � J ' � L � 7

� � m � � � � � �fK� ���� � � m � �

��� � � � � �= � @ � ' = ' �� � '65_7��,' � � � � 7 � � ���9B�B B @ � �@eV��� � �#e��.w#� �@� � ��e� � �

� /� � � / � � � � �� � � � �

� �f � � �   ��� � 1 �f � � �

� �4�f � ��� �O� �   ��� � 1 �f � � �O� �

����� S f �   f S f SEa 1 ¤4¤�¤ f � � ��� � � � �` � � � ������ S f �   f9S � f9SEa 1 � ¤4¤�¤ � f � � ��� � � �  � � � � �

:�<9P

Page 701: Handbook of special functions: derivatives, integrals, series and other formulas

� ��� ��� � � ��� ��� ��� ���� � �#� � � � ����� � � m � ! " � �

��

� m � ! "� �0� m � !95 � ! " � �

��

� m � 5 � ! "'�"

(m " � m ( m ( & � B B�B m ' � ��� � � �

� 7 � � � ���"

�m " �M��! � �

�' � �'�"

�m " �M��!

'�"

(m " � m ( 5 m ( & � 5 B�B B�5 m ' � ��� � � �

� � � � � ���"

�m " �M��! � �

�' � �'�"

�m " �M��!

:LN