Heap 자료구조

+

Heap 정렬

신찬수

정렬

• 입력 숫자 (또는 문자열)을 크기에 따라 내림차순 또는 오름차순으로 나열하는 것.

• Example: 7 9 6 2 10 4 5 9 8

– 오름차순 정렬: 2 4 5 6 7 8 9 9 10

– 내림차순 정렬: 10 9 9 8 7 6 5 4 2

• 여러 응용분야 사용되는 매우 기본적인 알고리즘.

• 기본 정렬 알고리즘

– Insertion sort, selection sort, bubble sort, etc.

• 고급 정렬 알고리즘

– Quick sort, merge sort, heap sort, radix sort etc.

Bubble sort

• Example: 7 9 6 2 10 4 5 8

• Time:

for i = 0 to n – 1

for j = n – 1 to i + 1

if ( A[j – 1] > A[j] )

Swap A[j – 1] and A[j];

Selection sort

• Example: 7 9 6 2 10 4 5 8

• Time:

for (j = n-1; j > 0; j--) {

k = FindMaximum(A[0]~A[j])

Swap A[j] and A[k]

}

Bubble/Insertion 정렬 알고리즘

• 수행시간: O(n2)

• 장점

– 이해하기 쉽다.

– 코딩하기 쉽다.

– 입력 숫자가 적은 경우엔 매우 빠르다.

• 단점

– 입력 숫자가 많아지면 매우 느려진다.

빠른 정렬 알고리즘: Heap 정렬

• Heap 자료구조를 이용한 heap 정렬

• 수행시간: O(n log n)

– 최적 수행 시간임

Heap 자료구조

• Heap은 배열에 저장된 이진 트리이며, 다음의 힙 성질 을 만족한다.

– 트리의 마지막 레벨을 제외하곤 모든 레벨에 노드가 빠짐없이 존재해야 하며,

마지막 레벨엔 왼쪽부터 노드가 채워져 있어야 한다.

– 각 노드에 저장된 값은 자신의 자손 노드에 저장된 값보다 절대 작지 않다.

15

11

6

1

12

2 3

8

10

15 12 6 11 10 2 3 1 8

부모노드, 자식노드

자손노드, 루투노드

트리 높이

연습

9

2

15

7 1

3

10

3 10 2 4 7 9 1 21 15 9 31 17

9 21 31

17

4

Heap 구성: make_heap

• 어떤 노드가 A[k]에 저장되어 있다면, A[k]의 왼쪽과 오른쪽 자식

노드는 어디에 저장되어 있나?

• A[k]의 부모 노드는 어디에 저장되어 있나?

15

11

6

1

12

2 3

8

10

15 12 6 11 10 2 3 1 8 A

Heap 구성: 계속

1. 입력 숫자를 재 배치해서 heap을 구성한다.

2

1

6

12

8

15 3

11

10

2 8 6 1 10 15 3 12 11 A

2

12

6

1

8

15 3

11

10

A 2 8 6 12 10 15 3 1 11

Heap 구성: 계속

1. 입력 숫자를 재 배치해서 heap을 구성한다.

2

12

6

1

8

15 3

11

10

2 8 6 12 10 15 3 1 11 A

2

12

15

1

8

6 3

11

10

A 2 8 15 12 10 6 3 1 11

Heap 구성: 계속

1. 입력 숫자를 재 배치해서 heap을 구성한다.

2

8

15

1

12

6 3

11

10

2 12 15 8 10 6 3 1 11 A

2

11

15

1

12

6 3

8

10

A 2 12 15 11 10 6 3 1 8

Heap 구성: 계속

1. 입력 숫자를 재 배치해서 heap을 구성한다.

15

8

2

1

12

6 3

11

10

15 12 2 8 10 6 3 1 11 A

15

11

6

1

12

2 3

8

10

A 15 12 6 11 10 2 3 1 8

Heap 구성: 계속

• make_heap 함수의 수행시간은? _________________

– n개의 숫자를 저장한 heap의 높이는?

– 1번 단계에서 힙을 구성할 때,

하나의 숫자를 재배치하는 데

움직인 높이는 최대 얼마인가?

11

8

6

1

12

2 3

15

10

연습

3 10 2 4 7 9 1 21 15 9 31 17

Heap 정렬:

2. 루트 노드 A[0]와 마지막 노드 A[n-1]을 교환한다.

• 교환 후 새로운 루트 노드의 값을 힙 성질이 만족하도록 재 배치.

15

11

6

1

12

2 3

8

10

A 15 12 6 11 10 2 3 1 8

8

11

6

1

12

2 3

15

10

A 8 12 6 11 10 2 3 1 15

Heap 정렬: 계속

2. 루트 노드 A[0]와 마지막 노드 A[n-1]을 교환한다.

• 교환 후 새로운 루트 노드의 값을 힙 성질이 만족하도록 재 배치.

12

8

6

1

11

2 3

15

10

A 12 11 6 8 10 2 3 1 15

1

8

6

12

11

2 3

15

10

A 1 11 6 8 10 2 3 12 15

Heap 정렬: 계속

2. 루트 노드 A[0]와 마지막 노드 A[n-1]을 교환한다.

• 교환 후 새로운 루트 노드의 값을 힙 성질이 만족하도록 재 배치.

1

6

3

12

2

10 11

15

8

A 1 2 3 6 8 10 11 12 15

Heap Sort의 수행시간

• 2번 단계에서 루트 노드와 가장 마지막 노드를 교환한 후, 새로운

루트 노드의 값이 재배치되는 데 움직인 높이는 최대 얼마인가?

• 따라서, 하나의 숫자가 재배치하는 데 걸리는 최대 시간은

• 전체 시간은

다른 연산

• heap에 새로운 값 x를 삽입하고 싶다면?

– void insert( int A[ ], int n, int x )

– 현재 heap A에 n개의 노드가 있다고 가정하자.

– A[n] = x를 저장한다.

– x의 위치가 heap에서의 자기 위치가 아닐 수 있다.

– 이 경우에는 어떻게 x를 제 자리로 보낼 수 있을까?

정렬을 이용한 문제 (강의숙제1) • 입력

– k

key 값 (100,000보다 작은 양의 정수)

– n개의 100,000보다 작은 양의 정수

n개의 정수는 모두 다르다고 가정.

• 출력

– n개의 정수 중 두 정수의 합이 k가 되는 모든 정수 쌍을 찾아 출력하라.

• 예

– k = 16, n = 8

– 10, 14, 2, 8, 7, 9, 1, 6

– 답: (10, 6), (14, 2), (7, 9)

입력(input.txt)과 출력

2 테스트 데이터의 개수

16 첫번째 데이터에서의 k

8 n

10 14 2 8 7 9 1 6 n개의 양의 정수

7 두번째 데이터에서의 k

5 n

4 3 1 2 6 5개의 양의 정수

(10, 6) (14, 2) (7, 9)

(4, 3) (1, 6)