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Hechospara medirGeometría y medición

Lasmatemáticas

encontexto

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Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios. Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center forEducation Research (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad deEducación, de la Universidad de Wisconsin-Madison y el Freudenthal Institute(Instituto Freudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo delsubsidio n.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional paralas Ciencias).

La revisión curricular se realzó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo del subsidion.º ESI 0137414 de la National Science Foundation.

National Science FoundationLas opiniones expresadas pertenecen a los autores y no reflejan necesariamente las de la Fundación.

de Lange, J., Wijers, M., Dekker, T., Simon, A. N., Shafer, M. C. y Pligge, M. A.(2006). Hechos para medir. Wisconsin Center for Education Research &Freudenthal Institute (Eds.), Las matemáticas en contexto. Chicago:Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.

Reservados todos los derechos.Impreso en los Estados Unidos de América.

Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedadintelectual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usos aplicables.Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedad intelectual delos Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, que incluye, aunqueno exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisiva o por otros medioso procesos. Para obtener mayor información con respecto a una licencia, escriba aEncyclopædia Britannica, Inc., 331 N. LaSalle St., Chicago, IL 60610.

ISBN 0-03-093050-2

1 2 3 4 5 6 073 09 08 07 06

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Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contextoDesarrollo 1991–1997

Anton Roodhart y Jan Auke de Jong desarrollaron la primera versión de Hechos para medir.La adaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de Laura J. Brinker, James A. Middletony Aaron N. Simon.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg Joan Daniels Pedro Jan de LangeDirector Asistente del director Director

Gail Burrill Margaret R. Meyer Els Feijs Martin van ReeuwijkCoordinadora Coordinadora Coordinadora Coordinador

Personal del proyecto

Jonathan Brendefur Sherian Foster Mieke Abels Jansie NiehausLaura Brinker James A, Middleton Nina Boswinkel Nanda QuerelleJames Browne Jasmina Milinkovic Frans van Galen Anton RoodhardtJack Burrill Margaret A. Pligge Koeno Gravemeijer Leen StreeflandRose Byrd Mary C. Shafer Marja van den Heuvel-PanhuizenPeter Christiansen Julia A. Shew Jan Auke de Jong Adri TreffersBarbara Clarke Aaron N. Simon Vincent Jonker Monica WijersDoug Clarke Marvin Smith Ronald Keijzer Astrid de WildBeth R. Cole Stephanie Z. Smith Martin KindtFae Dremock Mary S. SpenceMary Ann Fix

Revisión 2003–2005

Mieke Abels y Jan de Lange desarrollaron la versión revisada de Hechos para medir. La adaptaciónpara su uso en las escuelas estadounidenses es de Margaret A. Pligge.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg David C. Webb Jan de Lange Truus DekkerDirector Coordinador Director Coordinador

Gail Burrill Margaret A. Pligge Mieke Abels Monica WijersCoordinadora editorial Coordinadora editorial Coordinador Coordinadora

del contenido del contenido

Personal del proyecto

Sarah Ailts Margaret R. Meyer Arthur Bakker Nathalie KuijpersBeth R. Cole Anne Park Peter Boon Huub Nilwik Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia PalhaTeri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nanda QuerelleKaren Hoiberg Ana C. Stephens Martin Kindt Martin van ReeuwijkCarrie Johnson Candace UlmerJean Krusi Jill VettrusElaine McGrath

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© 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en contexto y el logotipo de Las matemáticas en contexto son marcas registradas deEncyclopædia Britannica, Inc.

Créditos de las fotografías de la portada: (izquierda) © Getty Images; (medio) © Kaz Chiba/PhotoDisc/Getty Images; (derecha) © PhotoDisc/Getty Images

Ilustraciones2, 14, 22 Holly Cooper-Olds; 23, 24 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica,Inc.; 28 Holly Cooper-Olds; 31 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.;32 Holly Cooper-Olds; 35 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.; 37, 38 Holly Cooper-Olds

Fotografías1 (en sentido contrario a las agujas del reloj) © PhotoDisc/Getty Images; © PhotoDisc/Getty Images; © Ingram Publishing; © PhotoDisc/Getty Images;Sam Dudgeon/HRW Photo; © Corbis; 10 Victoria Smith/HRW; 17 VictoriaSmith/HRW; 34 Sam Dudgeon/HRW

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Contenido

Contenido V

Carta al alumno VI

Sección A LongitudesIntroducción 1Unidades de medida históricas 2Pies y zapatos 6Longitud del cuerpo y brazas 8Otras medidas de longitud 9Resumen 10Verifica tu trabajo 11

Sección B ÁreasSuperficie de un cuerpo 12Cuadrados 13Manos y cuerpo 15Fórmula para hallar la superficie 17Altura, peso y superficie 18Primeras medidas de superficie 19Resumen 20Verifica tu trabajo 21

Sección C VolúmenesEl volumen del corazón 22Sólidos 22Líquidos 26El volumen de tu cuerpo 27Otras medidas de volumen 28Resumen 30Verifica tu trabajo 30

Sección D ÁngulosMuebles 32Resumen 38Verifica tu trabajo 38

Práctica adicional 40

Respuestas para verificar tu trabajo 43

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VI Hechos para medir

Querido alumno:

Bienvenido a la unidad Hechos para medir de Las matemáticas encontexto. Toda esta unidad trata sobre medir: medir tus pies, tus pulgares,tus manos y el ángulo que forman tu brazo y tu cintura. Investigarás cómoevolucionaron las unidades de medida. E investigarás, además, las medidas de longitud, de superficie y de volumen. ¡Te sorprenderá lo que puedes medir!

Descubrirás la importante función que cumplen las matemáticas en la medición. Cada vez que midas algo, podrías preguntarte:

• ¿Habrán obtenido la misma medida que yo todas las personas quehan medido este elemento?

• ¿Tienen la misma medida todas estas cosas?

• ¿Qué otras unidades de medida puedo usar?

• ¿Hay otra manera de medir estas cosas?

Siempre que tomes una medida en esta unidad, imagina qué tan grande, pequeña, larga o corta es esa medida. Cuando puedas hacer esto con todas las medidas de esta unidad, ¡estarás bien encaminado para llegar a ser un matemático!

Atentamente.

El equipo de desarrollo de Las Matemáticas en contexto

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Las personas que diseñan los objetos que usastodos los días han pensado mucho en lo grandeso lo pequeños que esos objetos deben ser. A lahora de diseñar muebles, ropa, juguetes,ventanas, puertas y muchos otros objetos, puedeser muy útil conocer el tamaño de los brazos, laspiernas y las manos de las personas.

Sección A: Longitudes 1

ALongitudes

Introducción

1. ¿Qué medidas del cuerpo te sería útil saber si estuvieras diseñando lossiguientes elementos?

a. puertas d. pantalones

b. pupitres e. cunas para bebés

c. zapatos f. escaleras

2. ¿Para qué otros objetos necesitarías saber las medidas del cuerpo?

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Probablemente hayas descubierto que la longitud y el peso de las diferentespartes del cuerpo son importantes para diseñar muchos objetos comunes.En una época, todas las medidas de longitud estaban relacionadas conpartes del cuerpo humano. Entre ellas, el pulgar, el palmo, el pie, la yarda, elpaso y la braza.

3. Empareja cada unidad de medida del párrafo anterior con el dibujoque le corresponde.

2 Hechos para medir

LongitudesA

Unidades de medida históricas

a.

c.

e.f.

b.

d.


A

4. a. ¿Cuál de las unidades de medida del problema 3 usarías para hallar la longitud del clavo que se ve aquí?

b. ¿Qué longitud tiene este clavo en la unidad de medida que elegiste para responder a a?

5. a. Mide la longitud de tu pupitre con una o más de una de lasunidades de medida del problema 3.

b. Anota los resultados de la clase en una tabla. ¿Hallaron todos lamisma longitud? ¿Por qué te parece que sucedió esto?

6. Reflexiona Nombra una ventaja y una desventaja de usar el cuerpopara tomar medidas.


Longitudes

En Escocia, durante la Edad Media, se usó una unidad demedida llamada pulgar escocés. Un pulgar escocés es lamedia del ancho del pulgar de tres hombres: un hombregrande, uno de tamaño promedio y uno pequeño.

7. ¿Por qué para determinar el pulgar escocés seconsideraron tres hombres de tamaño diferente?

En 1616, los alemanes decidieron crear una unidad de medida llamada pie medio. Para ello, cortaron una cuerda que tenía el largo de los pies de 16 hombres.

8. a. ¿Cómo te parece que usaron la cuerda para calcular la longitud delpie medio?

b. ¿Qué medida se aproxima más a la medida de la personapromedio: el pie medio alemán o el pulgar escocés? Explica tu respuesta.

9. Con la ayuda de 16 compañeros, halla la longitud del pie medio de tuclase usando el método descrito arriba.


10. Mide lo siguiente en centímetros (cm). Anota los resultados en una tabla.

a. el ancho de tu pulgar c. la longitud de tu pie

b. el palmo de tu mano d. tu paso

11. Usa la tabla que hiciste en el problema 10 para contestar estaspreguntas sobre relaciones entre medidas.

a. ¿Cuántos anchos del pulgar hay en un palmo?

b. ¿Cuántos anchos del pulgar hay en un pie?

c. ¿Cuántos pies hay en un paso?

Puedes añadir a tu lista otras unidades de medida y las relaciones entre ellas.

12. ¿Cuál es el tamaño del pulgar “típico” entre tus compañeros de clase?Explica tu respuesta.

Piensa en cómo habrán sido las cosas cuando todo el mundo usaba supropio pulgar para medir. Hoy, por supuesto, todos tenemos sistemas demedición estándares.

Algunos países, incluidos los Estados Unidos, siguen usando el pie comounidad de medida pero su longitud ya no se refiere a la del pie de cadapersona. Se ha establecido una longitud estándar para el pie. La mayoríade los países usan el sistema métrico que se adoptó en Francia, en 1795.

13. a. El pie forma parte del sistema de medidas imperial o inglés. En losEstados Unidos lo llamamos sistema angloamericano. Haz una listade algunas otras unidades de medida de longitud que formen partedel sistema angloamericano.

b. Escribe en tu cuaderno todas las relaciones que puedas entre lasunidades de medida del sistema angloamericano.

14. a. Haz una lista de algunas unidades de medida de longitud queformen parte del sistema métrico.

b. Escribe todas las relaciones que puedas entre estas unidades de medida.

Dado que en los Estados Unidos se usa oficialmente el sistema métrico, esimportante que tengas noción de cómo se relacionan el sistema métrico y elangloamericano. La siguiente actividad te ayudará a encontrar algunasrelaciones simples entre el sistema métrico y el angloamericano.

4 Hechos para medir

LongitudesA



Actividad

Metros y yardas• Mide tu salón de clase con una regla de 1 metro. Predice cómo se

modificarían las dimensiones del salón si lo midieras con una regla de 1 yarda.

• Mide tu salón de clase con una regla de 1 yarda. Compara tupredicción con tu verdadera medida.

• Halla una regla de conversión entre metros y yardas que puedas usarcuando haces cálculos mentales.

Centímetros y pulgadas• Mide un clip para papeles con una regla de centímetros. Predice cómo

se modificaría la medida si usaras una regla de pulgadas.

• Mide el clip para papeles con una regla de pulgadas. Compara tupredicción con tu verdadera medida.

• Halla una regla de conversión entre centímetros y pulgadas quepuedas usar cuando haces cálculos mentales.

Kilómetros y millasDado que los atletas compiten a nivel internacional, todas las distancias semiden en metros (m) o en kilómetros (km). Hoy en día, muchos equipos deescuelas secundarias estadounidenses corren carreras de fondo de 5 km.¿Sabías que cinco kilómetros son aproximadamente tres millas?

• Investiga cómo mide las carreras tu escuela. ¿Cuánto mide la pista decarreras que usa tu escuela?

• Nombra una localidad que se encuentre a alrededor de una milla de tuescuela. ¿Estaría más cerca o más lejos un lugar ubicado a alrededorde un kilómetro de tu escuela?

15. Escribe todas las relaciones que puedas entre unidades del sistemaangloamericano y unidades del sistema métrico.

Comparar sistemas


En el problema 10 c, mediste la longitud de tu pie en centímetros. Lalongitud de tu pie es distinta de la medida de tus zapatos.

16. a. ¿Te parece que hay una relación entre la medida de los zapatos y lalongitud del pie? Explica tu respuesta.

b. Haz una tabla con la longitud del pie (en cm) y la correspondientemedida de los zapatos de cada estudiante de tu clase.

c. Representa gráficamente los resultados. Coloca la longitud del pieen centímetros en el eje horizontal y la medida de los zapatos en eleje vertical. ¿Qué te dice tu gráfica de la relación entre la longituddel pie y la medida de los zapatos?

Así como los países usan sistemas de medidas diferentes, también tienensistemas diferentes para determinar las medidas de los zapatos. En algunoszapatos, puedes encontrar al menos tres medidas distintas:

• Medida europea: en general, los números están entre el 33 y el 47.• Medida británica (del Reino Unido): en general, los números están

entre el 1 y el 15.• Medida estadounidense: en general, los números están entre el 1 y el

15 (ligeramente más grandes que los del Reino Unido).

6 Hechos para medir

A Longitudes

Pies y zapatos

El sistema británico de medidas de zapatos se creó en el siglo VII.

Los zapatos se medían con un pulgar estándar (ahorallamado pulgada).

17. ¿Cuántos pulgares (o pulgadas) estándar mide tu pie?

Para hacer mediciones más precisas, el Reino Unido introdujo una unidadde medida más pequeña, el punto. En un pulgar estándar hay tres puntos.

18. ¿Cuántos puntos mide tu pie?

En el sistema británico, las medidas de los zapatos se basan en la cantidad de puntos. En los números de adultos, los 25 primeros puntos no se cuentan. Por lo tanto, el número 1 es en realidad de 26 puntos u 8 2��3 pulgadas (in).


A

19. a. Copia la tabla en tu cuaderno y continúala hasta la medida dezapatos número 8.

b. Para calcular la medida británica de zapatos para la tabla quehiciste en la parte a, usa tu respuesta al problema 18. ¿Cómo secomparan las medidas británicas de tus zapatos con tus medidasestadounidenses?

c. Formula una regla que te ayude a hallar la longitud de los pies deuna persona si conoces su medida británica de zapatos. Escribe laregla en notación de flechas.

? ?Medida británica ⎯⎯→ ………⎯⎯→ longitud del piede zapatos (en puntos) (en pulgadas)

20. Reflexiona Cuando termines el problema 19, vuelve a mirar tusrespuestas al problema 16. ¿Cambiarías ahora tus respuestas? Sí o no, ¿por qué?

En el problema 10, mediste la longitud de tu paso y de tu pie.

21. Haz una tabla con las longitudes del paso y del pie de todos losestudiantes de tu clase. Usa los resultados para determinar si las dosmedidas se relacionan. Por ejemplo, puedes averiguar si la personaque tiene los pies más grandes tiene el paso más largo, o si la personaque tiene los pies más cortos da el paso más corto. Puede ser útilhacer una gráfica.


Longitudes

Longitud del pie (en pulgadas)Longitud del pie (en puntos) Medida británica de zapatos


Otra unidad de medida asociada con el cuerpo humano es la braza. Labraza de una persona se puede medir haciéndola poner de pie con losbrazos extendidos a los lados del cuerpo y horizontales al piso.Originalmente, la braza era la distancia desde la punta del dedo medio deuna mano hasta la punta del dedo medio de la otra mano.

La ilustración está basada en un dibujo famoso de Leonardo da Vinci. Laniña cabe más o menos en un cuadrado.

22. Según la ilustración de esta página, ¿cuál es la relación entre la alturay la braza de una persona?

23. Mide tu altura y tu braza para decidir con qué precisión cabrías en un cuadrado.

8 Hechos para medir

LongitudesA

Longitud del cuerpo y brazas


A

Hay muchas otras maneras de medir la longitud. En Papúa, Nueva Guinea,por ejemplo, una unidad de distancia local es “el viaje de un día”.

24. ¿Por qué es lógico considerar un día de viaje como unidad de distancia?

En las regiones montañosas de Nueva Guinea, las distancias que serecorren a pie se expresan en horas, no en kilómetros o en millas. Puli, unciudadano de Nueva Guinea, dice: “Nos tomará dos horas cubrir ladistancia desde la aldea hasta el lago que está en las montañas, peroahorramos tiempo en el camino de vuelta. La distancia de regreso sólotomará cinco cuartos de hora”.

25. a. ¿Por qué te parece que hay dos tiempos de viaje?

b. ¿Es diferente la distancia en kilómetros en las dos direcciones?Explica.

En el siglo XIV, el mayor imperio comercial de África fue el Imperio de Malí.Mansa Musa fue uno de sus emperadores. El Sheik Uthman ed-Dukkali, unegipcio erudito que vivió en Malí durante 35 años, declaró que Malí tenía“una longitud de cuatro meses de viaje y un ancho de tres meses”.


Longitudes

Otras medidas de longitud

26. a. Usa el mapa para estimar la longitud y el ancho del Imperio de Malíen unidades de medida angloamericanas y métricas. (Nota: 500millas (mi) equivalen a 800 km.)

b. ¿Cuál es la distancia de “un mes de viaje” en millas o enkilómetros?

c. Según tu respuesta a la parte b, ¿cómo te parece que viajaba lagente de Malí en el siglo XIV?

Fuente: Datos de Basil Davidson,Reinos africanos, (New York: Time Incorporated, 1966).

ESCALA

km0 1,000 2,000

Malí

Malí (1200 d. de C. – 1500 d. de C.)


10 Hechos para medir

Longitudes

En esta sección, aprendiste muchas maneras de estimar y de medirlongitudes. En el pasado, se usaban los pulgares, los pies y los brazos para medir longitudes, pero a menudo cada persona medía la mismadistancia de una manera diferente. Algunos medían las distancias conunidades de tiempo. Por ejemplo, Cedric tarda una hora en recorrer a pie laruta ecológica.

Hoy, existen dos sistemas de medición estándares. La mayoría de lospaíses del mundo usan el sistema métrico, en el que la longitud se mide encentímetros (cm), en metros (m) y en kilómetros (km).

1 kilómetro = 1000 metros1 metro = 100 centímetros

1 centímetro = 10 milímetros

Unos pocos países usan el sistema angloamericano o imperial, en el que lalongitud se mide en pulgadas (in), en pies (ft), en yardas (yd) y en millas (mi).

1 milla = 5,280 pies1 yarda = 3 pies

1 pie = 12 pulgadas

Estas son algunas relaciones entre los dos sistemas de medidas. Es posibleque tengas que hacer conversiones de un sistema al otro.

1 milla es aproximadamente 1.5 km (para ser exactos: 1 mi = 1.6 km)1 yarda es un poco menos que 1 m (para ser exactos: 1 yd = 0.9144 m)1 pie es un poco más que 30 cm (para ser exactos: 1 ft = 30.48 cm)1 pulgada es aproximadamente 2.5 cm (1 in = 2.54 cm)

A



1. ¿Qué unidad de medida usarías para medir las siguientes longitudes?

a. la distancia de tu casa a la escuela

b. la longitud de tu salón de clases

c. el grosor de una moneda de un centavo

2. Anota algunas distancias expresadas en unidades de tiempo en vez deunidades de longitud. Explica por qué es apropiado usar el tiempo encada caso.

3. La mayoría de las reglas están marcadas con los dos sistemas, elangloamericano y el métrico.

a. Otra unidad métrica común es el decímetro (dm); 1 dm = 10 cm.Con una regla, traza un decímetro exacto.

b. Debajo de tu decímetro, traza una pulgada con la regla.

c. Estima cuántas pulgadas hay aproximadamente en un decímetro.

d. Vuelve a escribir la lista de unidades de medida métricas delResumen para incluir el decímetro.

Neville, que vive en Dinamarca, le escribió a su amigo de Texas. “Hoy, conmi padre, hicimos una larga caminata, ¡unos 16 km! ¡Cuando volvimos acasa, estaba muy cansado!”

4. Estima cuántas millas caminó Neville.

Haz una lista de tus propios puntos de referencia que tienen que ver con lalongitud. Por ejemplo: la distancia desde mi casa hasta la escuela es demás o menos tres millas.



La superficie de un cuerpo es la cantidadde piel que lo cubre. A veces, es importantesaber la superficie del cuerpo de unapersona. Por ejemplo, los proveedores deservicios de la salud estiman la superficiede un paciente quemado para decidircuánto líquido necesita esa persona parareponer los líquidos perdidos.

La superficie del cuerpo también esimportante cuando se cuidan bebés.¿Sabías que los bebés se enfrían másrápido que los adultos? Una persona serefresca por medio de la transpiraciónsegún la superficie del cuerpo, pero secalienta en relación con la masa corporal.El área de la piel de un bebé es muygrande con relación a su peso, por lotanto, se enfría mucho más rápido que unadulto. Los bebés pueden sentir frío yponerse molestos aún cuando los adultostienen calor. Así que cuando cuides unbebé, no te olvides de controlar latemperatura de su piel.

BÁreas

Superficie de un cuerpo

1. ¿Cómo podrías medirte la superficie del cuerpo o la cantidad de piel?

2. a. Estima la superficie del cuerpo de Raimundo en centímetroscuadrados. Raimundo mide 157 cm de altura y el ancho de sushombros es de 46 cm. El siguiente es un centímetro cuadrado (cm2)que puedes usar de referencia.


Estudiante de

7.º grado Edad (años) Altura (cm) Ancho de hombros (cm)

Joyce 12 135 38

Deon 13 147 46

Nora 12 151 43

Emanuel 13 165 52

Lutero 12 178 50

A medida que avances en esta sección, estimarás la superficie del cuerpode una persona de muchas maneras diferentes. Estas son las medidas decinco estudiantes de 7.o grado.

b. Estima la superficie del cuerpo del estudiante de 7.o grado cuyaaltura se parezca más a la tuya. Copia esta tabla en tu cuadernopara hacer un seguimiento de tus estimaciones. Anota tu método yla estimación del estudiante que elegiste.

Cada vez que hagas una nueva estimación, anota la respuesta en tu tabla.

Sección B: Áreas 13

BÁreas

Tabla de estimación de superficies

Estudiante de 7.º grado Método de estimación Estimado (cm2)

CuadradosEn la Sección A, investigaste cuánto cabe tucuerpo dentro de un cuadrado. Por supuesto,no todos cabemos en un cuadrado delmismo tamaño. En el caso de algunaspersonas, se parece más a un rectánguloque a un cuadrado.

Para hacer otra estimación de la superficie deuna persona, puedes usar el área delcuadrado (o del rectángulo) de su cuerpo. Tesorprendería saber que tres quintos del áreadel cuadrado de un cuerpo es una buenaestimación de la superficie de ese cuerpo.

3 Explica por qué 3��5 del cuadrado de uncuerpo es una buena estimación de lasuperficie de la persona.


Para esta actividad, necesitarás un periódico.

• Con un periódico haz un cuadrado para un cuerpo de tamañonatural. Usa los datos de uno de los estudiantes de 7.o grado dela página anterior. Seguramente tendrás que pegar con cintaadhesiva algunas páginas del periódico para poder crear elcuadrado del cuerpo entero.

• Mide 3��5 del cuadrado y sombréalos. Calcula en centímetros cuadrados el área de la parte sombreada de tu cuadrado. Esta es una nueva estimación de la superficie del cuerpo del estudiante de 7.o grado que seleccionaste. Anota el resultado entuTabla de estimación de superficies.

• ¿Qué tan precisa te parece que es tu estimación? Corta la partesombreada de tu cuadrado y trata de volver a construir el frentedel estudiante de 7.o grado. Informa qué tan bien cubre esta “piel"a tu persona. Guarda esta piel. La necesitarás más adelante.


Actividad

Quitarle la piel a un cuadrado

Hay otras maneras de calcular la superficie de tucuerpo. Timm Ulrichs, artista alemán, hizo muchosexperimentos artísticos que eran bastantematemáticos. El señor Ulrichs calculó su propiasuperficie usando cuadraditos adhesivos. Tomómillares de cuadraditos de papel de aluminioadhesivo, cada uno de 1 cm2 exacto, y se los pegóen el cuerpo hasta quedar completamente cubierto.

Dado que cada trocito de papel era de 1 cm2, Ulrichspudo calcular la superficie total de su cuerpo. Colocótodos los cuadraditos sobre papel cuadriculado yformó un gran rectángulo. Contó 18,360 cuadraditosy llegó a la conclusión de que la superficie de sucuerpo era de 18,360 cm2.1 cm2

4. Halla algunas dimensiones posibles para la longitud y el ancho delrectángulo de Timm Ulrichs. No tienes que ser exacto.

5. a. Supón que la altura de Timm Ulrichs es de 180 cm. ¿Cuál es el áreade un cuadrado con esta altura?

b. ¿Es la superficie del cuerpo de Timm Ulrichs de 18,360 cm2

equivalente a los 3��5 del cuadrado? Explica tu respuesta.



BÁreas

Manos y cuerpo6. Traza el contorno de tu mano sobre

papel cuadriculado en centímetroscomo muestra la ilustración. Estima elárea de la figura de tu mano encentímetros cuadrados.

Esta es la altura y el ancho de las figuras de las manos de los estudiantesde 7.o grado.

Puedes usar el área de la figura de tu mano para estimar la superficie de tucuerpo. La leyenda cuenta que se necesitan 100 figuras de la mano paracubrir el cuerpo.

7. a. Usa las dimensiones de una de las personas para dibujar la figurade su mano.

b. Estima el área de la figura de la mano y la superficie del cuerpo de la persona.

c. ¿Da el método de la figura de la mano la misma superficie corporalestimada que el método de cuadrados adhesivos de Timm Ulrichs?

d. Anota tu nueva estimación en tu Tabla de estimación de superficies.

Estudiante de Altura Ancho

7.º grado Edad (años) de la mano (cm) de la mano (cm)

Joyce 12 14 9

Deon 13 15 10

Nora 12 17 11

Emanuel 13 18 14

Lutero 12 21 13


Las quemaduras pueden ser muy graves. La gravedad de una quemaduradepende de la cantidad del cuerpo que se haya quemado. Para estimar lamagnitud de las quemaduras de un paciente, los proveedores de serviciosde la salud usan la “regla de los nueves”. Esta regla divide el cuerpo enonce secciones, cada una de las cuales representa el 9 % de la superficietotal, como muestra la ilustración.

8. a. Piensa una manera de medir con la mayor precisión posible unasección de la "regla de los nueves" de la persona que creaste en la actividad de la página 14. Mide el área de esta sección encentímetros cuadrados.

b. Usa el resultado para calcular la superficie del cuerpo de estapersona. Anota tu nueva estimación en tu Tabla de estimación de superficies.

.


Áreas B

Cabeza y cuello 9%

Cada brazo 9%

Abdomen 9%

Tórax 9%

Parte superior de cada pierna 9% (Incluye la región anterior y la posterior)

Parte inferior de cada pierna 9%(Incluye la región anterior y la posterior)

Espalda inferior 9%

Espalda superior 9%



BÁreas

La fórmula se basa en la fórmula de superficie de dos cilindros.

10. Explica cómo puedes representar el cuerpo con dos cilindros de igual altura.

11. Reflexiona ¿Funcionaría la fórmula con los bebés? Explica, sí o no,¿por qué?

Fórmula para hallar la superficie

Para calcular la superficie del cuerpo de una persona, hay fórmulassencillas y fórmulas complejas. Una manera sencilla es multiplicar la alturapor la circunferencia del muslo (la longitud alrededor del muslo) y duplicarla respuesta. La siguiente es una fórmula de este método.

Altura � circunferencia del muslo � 2 � superficie del cuerpo (en cm) (en cm) (en cm2)

9. Usa la fórmula nueva y los datos de medida de uno de los estudiantesde 7.o grado, y estima la superficie del cuerpo de esa persona. Escribe tunueva estimación en tu Tabla de estimación de superficies.

Estudiante de Altura de Ancho

7.o grado Edad (años) la mano (en cm) de la mano (en cm)

Joyce 12 135 36

Deon 13 147 48

Nora 12 151 45

Emanuel 13 165 54

Lutero 12 178 48


La superficie del cuerpo de una personaestá relacionada con su altura y su peso.

Lamentablemente, no existe una fórmulafácil para averiguar cómo se relacionanestas tres medidas con exactitud.

En vez de eso, los proveedores de servicios de la salud usan una tablaespecial llamada nomograma.

Primero, ubican la altura del paciente (encentímetros) en la columna de la izquierda.

A continuación, ubican el peso del paciente (en kilogramos) en la columna de la derecha.

Unen estos dos puntos con una recta y leen la superficie estimada delpaciente (en centímetros cuadrados) de la columna central. El valor estimado se encuentra donde la recta cruza la escala central.


ÁreasB

Nomograma para estimar la superficie corporal a partir de la altura y el peso

Alt

ura

(en

cen

tím

etro

s)

Pes

o (

en k

ilog

ram

os)

Su

per

fici

e (e

n c

entí

met

ros

cuad

rad

os)

Altura, peso y superficie

12. a. En este nomograma ya se ha trazado la recta de un paciente.¿Qué información acerca del paciente indica el nomograma?

Esta es la información sobre el peso de los estudiantes de 7.o grado.

b. Para usar el nomograma, el peso debe estar en kilogramos.Usa esta tabla de razones para calcular el peso en kilogramosde cada estudiante de 7.o grado.

c. Sin escribir en tu libro, usa el nomograma y una regla para estimar la superficie del cuerpo de un estudiante de 7.o grado. Escribe tu nueva estimación en tu Tabla deestimación de superficies.

Estudiante Peso

de 7.o grado (en lb)

Joyce 84

Deon 96

Nora 102

Emanuel 135

Lutero 125

Kilogramos 1

Libras 2.2

Adaptado con autorización de Arithmetic Teacher, © May 1989 by the National Councilof Teachers of Mathematics. (Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas), mayo de1989. Reservados todos los derechos.



BÁreas

En promedio, la superficie del cuerpo de un adulto es de aproximadamentedos metros cuadrados (m2).

Un metro cuadrado es exactamente 10,000 cm2 (100 cm � 100 cm).

13. ¿Tiene el paciente del problema 12a una superficie corporal promedio?¿Y el estudiante de 7.o grado con el que has estado trabajando?

En la Sección A, aprendiste cómo, en un principio, se usaron las partes del cuerpo como unidades de medida de longitud. Mucho después lasunidades de medida se hicieron estándares. Al comienzo, las superficies se medían con unidades originadas en el cuerpo humano. Se usaban lospies cuadrados, los pulgares cuadrados, los palmos cuadrados y las brazas cuadradas.

Los ingleses usaban el acre y el rood (cuarta parte del acre).

Las unidades de superficie del sistema métrico se relacionan con lasunidades de longitud; centímetros cuadrados (cm2), metros cuadrados (m2)y kilómetros cuadrados (km2), por nombrar algunas. Algunosestadounidenses miden las áreas en pulgadas cuadradas (in2), piescuadrados (ft2) y millas cuadradas (mi2). Para medir la tierra usan unaunidad antigua llamada acre. Un acre son 43,560 ft2 ( 1��640 mi2 o 4047 m2).

A diferencia de las otras unidades de medida de superficie, el acre no llevala palabra “cuadrado” en su nombre. Con frecuencia, las parcelas de tierrason de forma irregular.

Supón que cada uno de estos terrenos mide un acre.

cuadrado rectángulo

14. a. ¿Cuáles son las dimensiones (en pies) de cada acre?

b. Haz un dibujo a escala de una parcela de tierra que mida 10 acres.

Primeras medidas de superficie

El área de juego de una cancha de fútbolamericano tiene 100 yardas de largo por50 yardas de ancho.

15. Haz un cálculo que muestre queuna cancha de fútbol americanomide aproximadamente un acre.

Aproximadamente 50 YardasAproximadamente 50 Yardas

100 Yardas100 Yardas VISITANTES

VISITANTES

LOCALES

LOCALES



Áreas

La medida de la superficie es importante para saber qué cantidad de materialse necesita para cubrir algo. La superficie del cuerpo se usa para determinarla cantidad de líquidos que necesitan las víctimas de quemaduras.

B

Algunas unidades métricas para medirsuperficies son los centímetros cuadrados ylos metros cuadrados. Un metro cuadradoequivale a 10,000 centímetros cuadrados.

Algunas unidades angloamericanas para medir superficies son las pulgadas cuadradas y los pies cuadrados. Un pie cuadrado equivale a 144 pulgadas cuadradas.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132

133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144

Un acre es una unidad de superficie (1 acre = 43,560 ft2).

En esta sección, aprendiste varios métodos diferentes para calcular lasuperficie del cuerpo de una persona.

• 3��5 del cuadrado de la persona

• unas 100 figuras de la mano

• altura � circunferencia del muslo � 2

• escala de un nomograma



Nicola mide 1.58 m (o 158 cm) de altura. Para calcular la superficie de sucuerpo, ella usa el método de los 3��5 de un cuadrado.

1. a. Calcula la superficie del cuerpo de Nicola.

b. La respuesta de Nicola a la pregunta 1a fue 14,978.4 cm2. ¿Por qué 15,000 cm2 sería una mejor estimación de la superficie de su cuerpo?

c. ¿Es la superficie de Nicola menor o mayor que 2 m2 o igual a estamedida?

2. Traza el contorno de tu pie sobre papel cuadriculado y estima el áreade tu huella en centímetros cuadrados.

Has usado esta fórmula para calcular la superficie de una persona.

Altura � circunferencia del muslo � 2 = superficie del cuerpo(en cm) (en cm) (en cm2)

Esta fórmula se basa en el modelo matemático de dos cilindros.

Hay otra fórmula sencilla que se basa en el modelo matemático de un cilindro.

Altura � circunferencia de la cadera � superficie del cuerpo(en cm) (en cm) (en cm2)

3. a. Usa la fórmula nueva para calcular la superficie del cuerpo de unadulto que mide 1.85 m de altura y que tiene una circunferencia decadera de 105 cm.

b. ¿Se aproxima al promedio la superficie corporal que calculaste?

Escribe uno o dos párrafos donde compares los diferentes métodos queusaste para estimar la superficie del cuerpo de una persona. ¿Cuál de estosmétodos te parece que es más preciso? ¿Por qué?



En las dos últimas secciones, medistelongitudes y superficies. También puedesmedir, estimar y calcular volúmenes. Saber elvolumen de un objeto tridimensional es útilcuando quieres describir cuánto espacio ocupa.

Tu corazón tiene más o menos el tamaño detus dos puños juntos.

1. Estima el volumen de tu corazón.

CVolúmenes

El volumen del corazón

SólidosPara llenar completamente un sólido, nombre de un cuerpotridimensional, puedes usar cubos. Para construir el cubo deun centímetro (cm3), traza una figura como la que se muestraaquí. La figura se llama plantilla de un cubo.

2. a. Usa papel cuadriculado en centímetros para trazar laplantilla de un cubo de un centímetro. Recórtala ydóblala por la línea de puntos. Pega las lengüetascon cinta adhesiva para construir el centímetrocúbico (cm3).

b. ¿Tiene tu clase cubos de un centímetro suficientespara llenar un decímetro cúbico (dm3)? (Recuerda: 10 cm � 1 dm.)

c. ¿Cuántos cubos de un centímetro necesitas parallenar un dm3?

1 cm

1 cm


María quiere calcular el volumen de esta caja. Empezó a llenarla con cubos de un centímetro.

María dice: “Puedo hallar fácilmente el volumen de la caja. Como mide 8 cm por 7 cm, puedo acomodar 56 cubos en la base”.

5. Explica qué más tiene que hacer María para hallar el volumen de la caja.

6. Calcula el volumen de este recipiente.

7 cm 8 cm

4 cm

Consigue una caja de pañuelos de papel vacía.

3. a. Estima cuántos cubos de un centímetro necesitarías para llenar la caja.

b. Corta la tapa. ¿Cuántos cubos de un centímetro necesitas parallenarla? Explica cómo hallaste tu respuesta.

Si 32 cubos de un centímetro llenan toda la caja, entonces el volumen dela caja es de 32 cm3. Para objetos más grandes, tendrías que usarunidades de medida más grandes. Por ejemplo, tendrías que medir elvolumen de tu salón de clases en decímetros cúbicos o en metros cúbicos(con el sistema métrico), o en pies cúbicos o en yardas cúbicas (con elsistema angloamericano).

4. a. ¿Para qué otra clase de objetos medirías el volumen en centímetroscúbicos? ¿Y en decímetros cúbicos? ¿Y en metros cúbicos?

b. Escribe algunos enunciados sobre cómo se relacionan loscentímetros cúbicos, los decímetros cúbicos y los metros cúbicos.

Sección C:Volúmenes 23

CVolúmenes

5 cm

Área de la base:100 cm2


En la Fábrica de Quesos 1, 2, 3 producen cubitos de queso.Envuelven cada uno de los cubitos de modo que parezcancubos numéricos. Las aristas de los cubitos tienen unalongitud de 2 cm.

7. a. ¿Cuántos cubos de un centímetro necesitarías parallenar el espacio que ocupa un cubo de queso?(Pista: hacer un dibujo puede ayudar.)

La Fábrica de Quesos 1, 2, 3 embala los cubos de queso enun recipiente grande de plástico, que también tiene laforma de un cubo.

b. ¿Llenarían 100 cubos de queso exactamente estecubo de plástico? Explica, sí o no, ¿por qué?


VolúmenesC

María diseñó un recipiente de 10 cm de alto con una base de 6 cm por 4 cm.Dice: “Para hallar el volumen, calculé el área de la base del recipiente y lamultipliqué por los 10 cm”.

8. a. Usa el método de María para hallar el volumen de su recipiente.

b. ¿Cuántos cubos de queso cabrían en su recipiente?

9. Supón que quieres determinar el volumen de tu salón de clase.

a. ¿Es posible usar cubos de un centímetro (como el que construisteen la página 22) para hallar el volumen de tu salón de clase?

b. ¿Puedes usar el área de una pared para hallar el volumen de tusalón de clase? Calcula el volumen de tu salón de clase. Asegúratede usar las unidades de medida correctas.

La Fábrica de Quesos 1, 2, 3 está diseñando un recipientenuevo de plástico que tiene 10 cm de alto y que contieneexactamente 60 cubos de queso.

c. ¿Cuál es el volumen de este recipiente nuevo de plástico?

d. Anota algunas dimensiones posibles de este nuevodiseño. (Pista: hacer un dibujo puede ayudar.)


10. ¿Es posible usar cubos de un centímetro (como el que construiste en la página 22) para hallar el volumen de una lata de refresco? Explica tu razonamiento.

Expresada en forma de fórmula, esta fue la estrategia de María.

Volumen � área de la base � altura

11. ¿Se puede usar esta fórmula para hallar el volumen de una pila depapel? ¿Y de una lata de refresco?

La fórmula no funciona para todos los objetos tridimensionales. Por ejemplo, con esta fórmula, no puedes hallar el volumen de la pirámide.

12. a. Da un ejemplo para el que la fórmula funcione y otro ejemplo parael que no funcione.

b. Reflexiona ¿Por qué la fórmula da la respuesta correcta paraalgunos objetos pero no la da para otros?

Puedes usar el área de la figura de tu mano (Sección B, problema 7) paraestimar el volumen de tu mano.

13. a. Además del área de la figura de tu mano, ¿qué otra(s) medida(s)necesitas para estimar el volumen de tu mano?

b. Estima el volumen de tu mano.


CVolúmenes

hh


Las unidades que se usan para medir los líquidos son distintas de las quese usan para medir los sólidos. Las medidas típicas de volumen para loslíquidos son las pintas, los cuartos de galón, los galones y los litros.


VolúmenesC

Actividad

Medir el volumen de tu manoPara esta actividad, necesitarás una lata o un recipiente graduado enmililitros. Debe ser lo suficientemente grande para que puedas poner tu mano dentro.

Echa agua dentro de la lata o del recipiente graduado hasta más omenos la mitad. Mide el nivel del agua y anótalo. Luego, ponte unabanda elástica en la muñeca y sumerge toda la mano en el agua hastael borde inferior de la banda elástica. Quizás quieras cerrar el puño.Asegúrate de tener toda la mano sumergida.

Mide el nuevo nivel del agua y anótalo. La diferencia entre el primernivel y el segundo es el volumen de tu mano en mililitros (ml).

Líquidos

Estas son algunas botellas cuyo contenido está medidocon unidades de volumen líquido.

Si estás estimando volúmenes, puede ser útil que sepas que:

• una lata normal de refresco contieneaproximadamente 1��3 litro;

• un decímetro cúbico contiene exactamente un litro de líquido.

14. Estima el volumen (en litros) de los siguientes objetos.

a. un envase de jugo de naranja c. un vaso pequeño de jugo

b. un vaso grande de agua d. un galón de leche

litro 1 litro 2 litros12


Ahora tienes dos estimaciones del volumen de tu mano: una encentímetros cúbicos (del problema 13) y la otra en mililitros. ¿Cómo serelacionan estas dos medidas?

15. a. Haz una tabla con las dos estimaciones del volumen de las manosde diez estudiantes.

b. Halla una relación entre las dos medidas: mililitros y centímetroscúbicos. Hacer una gráfica podría ayudar.


CVolúmenes

Centímetros cúbicos

0 50 100 150 200 250

50

Milil

itro

s

100

150

200

250

El volumen de tu cuerpoPuedes hallar el volumen de tu cuerpo de la misma manera que hallaste elvolumen de tu mano; con medidas para líquidos. ¡Pero probablementenecesitarías una tina para hacerlo!

Otra manera es con unidades de medida parasólidos y considerar que tu cuerpo estácompuesto de cubos.

16. Estima el volumen de tu cuerpo haciendo unmodelo de él con cubos como se muestra a laizquierda. Tendrás que decidir cuál es unabuena medida para los cubos.

También puedes estimar el volumen de tu cuerpo con un bloque que lo represente, como se ve a la izquierda.



VolúmenesC

Otras medidas de volumen

Esta tabla contiene información de Mindy a los 10, 13 y 16 años de edad.

17. Representa con un bloque el volumen de Mindy cuando tenía 13 años.Halla la medida del ancho y de la profundidad del bloque.

Datos de Mindy para tres edades

Edad (en años) 10 13 16

Altura (en dm) 14 16 17

Masa (en kg) 31 52 65

Superficie (en dm2) 110 150 175

Volumen (en dm3) 41 67 79

En el pasado, las unidades de medida de volumen se relacionaban a vecescon medidas del cuerpo. Pero era más común usar herramientas de medir,como la taza, como estándares de volumen.

Los egipcios antiguos tuvieron la primera unidad de medida de longitud: elcodo. El codo es la distancia desde el codo de una persona hasta la puntadel dedo medio extendido.


Los egipcios usaban una longitud estándar llamada codo real, que es de52.4 cm o 20.62 in.

En el antiguo sistema egipcio, la unidad de medida de volumen era elcodo cúbico.

18. a. Usa tus dos brazos para tener una idea aproximada de cuánto es un codo cúbico.

b. ¿Alrededor de cuántos codos cúbicos “reales” hay en un metro cúbico?

En Europa, durante el siglo XIX, para medir el volumen de la leña se usaba la braza cúbica. (Recuerda que una braza es la distancia de tus dosbrazos extendidos).

19. a. Estima la cantidad de leña que puede caber en tu braza cúbica.

b. ¿Qué más puedes medir con una braza cúbica? ¿Y con un codo cúbico?

En los Estados Unidos, la leña se mide en cuerdas de leña. Una cuerda

corta mide 4 ft de alto, 8 ft de largo y 16 in de profundidad. Generalmente,una cuerda corta cabe en la caja de una camioneta. Una cuerda estándar

mide 4 ft de alto, 8 ft de largo y 4 ft de profundidad.

20. ¿Cuánta más leña hay en una cuerda estándar que en una cuerda corta?


CVolúmenes



Volúmenes

El volumen es importante para medir el tamaño de objetos como unpaquete, una bebida o hasta tu mano.

En esta sección, mediste el volumen de dos maneras: con unidades demedida para líquidos (como los litros) y con unidades de medida parasólidos (como los centímetros cúbicos).

Además, mediste lo siguiente:

• el volumen de un objeto cuando quisiste saber cuánto espacio ocupa ocuánto contiene,

• la superficie o el área de un objeto cuando quisiste saber lo que hacefalta para cubrirlo,

• la longitud de un objeto cuando quisiste saber qué tan largo o qué tanalto es.

1. ¿Cuándo sería útil saber el volumen de un objeto?

2. ¿Qué unidad de medida usarías para los siguientes objetos? (Escogeentre litros, centímetros cúbicos y metros cúbicos.)

a. una botella de agua

b. el volumen del agua de una piscina

c. el volumen de un paquete que contiene libros de matemáticas

C



En el supermercado, puedes comprar bebidas frutales en envasespequeños de diferentes tamaños.

3. a. ¿Podrían los dos envases decir: Contiene 0.2 litros? Sí o no, ¿por qué?

b. Tres envases de Frisca están empaquetados juntos y se venden a $1.98. ¿Cuál es el precio de un litro de Frisca?

Linda sabe que un litro equivale a “un algo cúbico”. No se acuerda si es 1 cm3, 1 dm3 o 1 m3. Explícale a Linda a qué unidad de medida equivale un litro.



Cuando se diseñan muebles, automóviles, computadoras y otroselementos, a veces, es necesario conocer los ángulos que puede formaruna persona con sus brazos, sus tobillos, sus muñecas y su cabeza.

1. ¿Para qué objetos podría ser importante tener en cuenta los ángulos?

Para diseñar los ambientes de trabajo, es importante la ergonomía. Losdiseñadores usan la ergonomía para determinar la ubicación de los equiposde las oficinas, y el tamaño y las dimensiones de los muebles, que crearánambientes laborales seguros y eficaces para las personas. Los diseñadorestambién tienen en cuenta la ergonomía cuando crean autobuses y trenesnuevos para los recorridos diarios, cuando ubican, por ejemplo, los mandosjunto al conductor.

2. Busca en el diccionario la definición de ergonomía.

DÁngulos

Muebles

Arcos de movimiento

Actividad

La primera ilustración muestra el “arco de movimiento” de una manoizquierda. Indica hasta qué punto puede flexionarse la muñeca hacia laizquierda y hacia la derecha.


Puedes medir el arco de movimiento de tus manos.

• Traza una pequeña x en la parte inferior de una hoja de papel.

• Apoya el antebrazo izquierdo con la muñeca y la mano extendidas sobre la hoja de papel. Ubica el centro de la muñeca encima de la x.

• Marca el papel en la punta de tu dedo medio.

• Con el brazo y la mano planos sobre la mesa, flexiona la muñeca todo lo que puedas hacia la derecha sin mover el brazo. Vuelve a marcar el papel en la punta de tu dedo medio.

• Flexiona la muñeca todo lo que puedas hacia la izquierda sin mover el brazo. Marca la ubicación de la punta de tu dedo medio.

• Traza una recta desde cada una de las marcas hasta la x (el centro detu muñeca).

3. a. Mide con la rosa de una brújula o con el transportador los ángulosque pudo formar tu mano izquierda al flexionarse hacia la derechay hacia la izquierda.

b. ¿Qué ángulos te parece que formará tu mano derecha?

Mide el arco de movimiento de tu mano derecha siguiendo las mismasinstrucciones anteriores y las de la página 32.

4. a. ¿Te parece que variarán para tus compañeros de clase losresultados del problema 3?

b. ¿Por qué podría interesarle a alguien estudiar el movimiento de laarticulación de la muñeca?

Cuando escribes en el teclado de una computadora, tus manos deben

Sección D: Ángulos 33

DÁngulos

Cuando escribes en el teclado de una computadora, tusmanos deben descansar sobre las teclas. Para alcanzartodas las teclas, tus manos deben inclinarse hacia loscostados. Si escribes mucho, la posición de las manossobre el teclado puede provocarte molestias físicas en lasmanos, las muñecas o los antebrazos.


Los estudios sobre el diseño de teclados ergonómicos indican que lamayoría de las personas prefieren un teclado partido. Un teclado partidoestá dividido en dos partes: la parte izquierda termina con las teclas T–G–By la parte derecha empieza con las teclas Y–H–N.

En un teclado partido, las dos partes forman un ángulo aproximado de 25°,es decir, las rectas que trazan las teclas T–G–B y Y–H–N forman un ángulode 25°. La distancia entre ambas partes, o entre las teclas G y H, debe serde unos 95 mm.

5. a. Haz el dibujo de un teclado partido. No tienes que dibujar todas lasteclas, sólo un esquera de las dos partes.

b. ¿Qué ventaja ofrece el uso de un teclado partido?

Otro ángulo importante para el diseño se relaciona con tu línea de

visión. Si miras derecho hacia delante, tu línea de visión sigue una líneahorizontal. Típicamente, tu línea de visión normal está de 10° a 15° pordebajo de la horizontal.

En los mejores diseños ergonómicos de computadoras, la pantalla no debe estar más baja que la línea de visión que pasa por los 15° debajo de la horizontal.


ÁngulosD

10° a 15°


Elena usa un dispositivo especial para su computadora que le permite ajustar la pantalla. Este dibujo también está en la Hoja de actividad

del estudiante 1.


DÁngulos

Elena se sienta en su silla frente a la pantalla de la computadora. La líneade visión horizontal desde el ojo de Elena hasta la pantalla se encuentra enel punto medio de la pantalla. La distancia desde el ojo de Elena hasta elpunto medio de la pantalla es de 65 cm.

6. a. Usa la Hoja de actividad del estudiante 1 para hallar la posiciónexacta de los ojos de Elena cuando mira la pantalla de sucomputadora.

b. ¿Está la computadora de Elena posicionada de acuerdo con lasrecomendaciones de diseño?

También puedes usar la ergonomía para diseñar una silla. Las siguientesson algunas recomendaciones típicas para el diseño de una silla.

• El asiento debe estar inclinado hacia atrás, de modo que no te resbales de él. Se recomienda una inclinación de 14 a 24 grados de la horizontal.

• El ángulo formado entre el respaldo y el asiento debe ser de 105 a 110 grados, y el ángulo formado entre el respaldo y la horizontaldebe ser de 110 a 130 grados.


Estos son dos sillones diferentes.

7. Verifica si estos sillones cumplen con las recomendaciones de lapágina 35.

8. Basándote en estas recomendaciones, diseña tu propio sillón. Dibujauna vista lateral de tu sillón a una escala apropiada.

Esta es la vista lateral de una silla de oficina.

9. a. Usa la Hoja de actividad del estudiante 1 para medir los ángulosque forman el asiento y el respaldo con el plano horizontal. Midetambién el ángulo del respaldo con el asiento. Traza líneasadicionales si lo deseas.

b. Compara tus resultados con las recomendaciones dadas para lassillas. ¿A qué conclusión puedes llegar?


ÁngulosD


El siguiente texto está tomado de un libro sobre ergonomía, Fitting the Taskto the Man, (Adaptar la tarea al hombre) de Etienne Grandjean:

“El brazo puede rotar en un ángulo de 250° sobre su eje…, de loscuales, medio círculo (180°) pasa por delante del cuerpo y losotros 70° aproximadamente van hacia atrás”.

10. a. Lee el texto atentamente. Escribe lo que significa con tus propias palabras.

b. Verifica si tu brazo puede formar un ángulo de 70° hacia atrás.Primero, piensa una manera de medir este ángulo.

El reto de los egipcios

Se dice a veces que la medición es la forma más antigua en queaparecieron las matemáticas. El nombre geometría significa literalmente“medir la Tierra”. Se han encontrado varios trozos de papiros quemuestran que hace más de 5,000 años los egipcios medían el área de los campos que el río Nilo inundaba. Probablemente lo hacían paracalcular la cantidad de impuestos que la gente tenía que pagar. Paraconstruir las pirámides de Egipto, hicieron falta muchos cálculos ymuchas mediciones.

Este pueblo conocía también datosabstractos sobre la superficie y elvolumen. El así llamado papiro de Moscú,ilustrado aquí, muestra cómo secalculaba el volumen de una pirámidetruncada.

Así es una pirámide truncada. La base inferior es un cuadrado de 4 � 4 y la base superior es un cuadrado de 2 � 2. La altura es 6. ¿Podrías calcular el volumen de estapirámide truncada? La respuesta es 58. Muestra cómo hallaste la respuesta.


DÁngulos

Historia de las matemáticas

4

4

6

22



Ángulos

En esta sección, investigaste el movimiento de tus dos manos, la izquierday la derecha. También exploraste cómo pueden afectar tu comodidad laubicación de la pantalla de una computadora y los ángulos formados entreel asiento y el respaldo de una silla.

D

Frank, un niño pequeño, está sentado en un escritorio de computadora. La líneade visión horizontal desde su ojo hasta la pantalla termina en el punto medio dela pantalla.

1. a. Mide el ángulo formado entre las dos líneas de visión que muestra la ilustración.

b. ¿Está la computadora posicionada de acuerdo con las recomendacionesdel diseño?



(“En los mejores diseños ergonómicos de computadoras, la pantalla nodebe estar más abajo de la línea de visión que pasa por los 15° debajo dela horizontal”.)

2. a. Extiende tus dedos para lograr el ángulo máximo entre dos deellos. Haz un dibujo que muestre tu trabajo.

b. ¿Crees que todos los estudiantes de tu clase hallaronaproximadamente la misma respuesta al problema 2a? Sí o no,¿por qué?

Completa la lista de puntos de referencia personales que empezaste en laSección A. Escribe las fórmulas que puedes usar para convertir las unidadesde medidas que se usan comúnmente. Adapta cada fórmula de modo quesea fácil hacer las conversiones mentalmente.

Angloamericanas a métricas Métricas a angloamericanas

millas ➝ kilómetros kilómetros ➝ millas

pulgadas ➝ centímetros centímetros ➝ pulgadas

pies ➝ centímetros centímetros ➝ pies

libras ➝ kilogramos kilogramos ➝ libras


1. Anota algunas medidas corporales que te sería útil saber si estuvierasdiseñando los siguientes elementos.

a. teléfonos

b. camas para niños

c. armarios de cocina

2. Anota todas las unidades de medida de longitud que conozcas y que estén relacionadas con el cuerpo humano. Explica el significadode cada medida.

3. ¿Qué unidad de medida usarías para medir lo siguiente? (Nota: usatanto el sistema métrico como el angloamericano.)

a. la altura de una puerta

b. la longitud de una cuadra

c. la longitud de una nota adhesiva

Esta es la regla, expresada en forma de cadena de flechas, para hallar lalongitud en pulgadas del pie de una persona si conoces su medidabritánica de zapatos:

Medida británica ⎯⎯�25⎯→ ______ ⎯⎯�3⎯→ longitud del pie (en pulgadas)

4. a. Mateo usa el número 5 del sistema británico. ¿Cuál es la longitud(en pulgadas) de su pie?

b. Sandra midió la longitud de su pie: 9.5 in. ¿Qué medida de zapatos(del sistema británico) le aconsejas que elija?

5. ¿Qué usarías para expresar las siguientes distancias: longitud otiempo? Explica.

a. la distancia de tu casa a la escuela

b. la distancia de tu ciudad a la ciudad de Nueva York

c. la distancia desde la salida hasta la llegada de un camino demontaña


Práctica adicional

Sección LongitudesA


12 cm

Área de

la base:

80 cm26 cm

4 cm

15 cm

1. Estima la superficie de los siguientes objetos.

a. una pelota de básquetbol b. un libro c. una caja de cereales

2. ¿Para qué objeto del problema 1 fue más fácil calcular la superficie?¿Por qué?

3. ¿Cuántos centímetros cuadrados hay en un metro cuadrado?

Las unidades de longitud del sistema métrico se relacionan unas con otras.

milímetros ⎯�10⎯→ centímetros ⎯�10⎯→ decímetros ⎯�10⎯→ metros

⎯�10⎯→ decámetros ⎯�10⎯→ hectómetros ⎯�10⎯→ kilómetros

4. Haz una cadena de flechas similar que muestre la relación entre lasunidades de superficie del sistema métrico.

5. Enrique vive en una granja de 15 acres.

a. ¿Alrededor de cuántas canchas de fútbol americano cubriría su granja?

b. ¿Cuáles son las dimensiones posibles de la granja de Enrique?

Práctica adicional 41

Sección ÁreasB

Sección VolúmenesC

1. Anota todas las unidades de medida de volumen que conoces yexplica cómo se relacionan unas con otras.

2. Halla el volumen en centímetros cúbicos de lo siguiente.

a. b.



Práctica adicional

Un litro es un decímetro cúbico (dm3).

3. a. ¿Cuáles son las dimensiones posibles (en pulgadas) de un envaseque tiene un volumen aproximado de un litro?

b. Usa la respuesta que diste en a para completar la oración.

Un litro son aproximadamente _______________ pulgadas cúbicas.

4. Estima el volumen en litros de:

a. una tina de baño;

b. un cuarto de galón de leche;

c. un frasco de champú.

Sección ÁngulosD

1. Dibuja la vista lateral de una silla de modo que el ángulo formadoentre el asiento y el respaldo sea de 115° y que el ángulo formadoentre el asiento y la horizontal sea de 7°.

2. A continuación hay una vista lateral de una pantalla de computadora y de un teclado sobre un escritorio.

a. Mide el ángulo del teclado con el escritorio.

b. Mide el ángulo del monitor con el plano horizontal del escritorio.



Respuestas para verificar tu trabajo

1. Estas son algunas unidades de medida posibles.

a. Millas, kilómetros, pasos, minutos.

b. Metros, decímetros o pies. Muchos salones de clase tienenalrededor de 8 m o 25 pies de largo.

c. Milímetros. Las monedas de un centavo tienen un grosor deaproximadamente 1.5 mm.

Verifica con un compañero si tus respuestas no coinciden con ninguna de estas.

2. Estos son algunos ejemplos, pero los tuyos pueden ser diferentes.

• La distancia de la casa a la escuela. Es importante saber cuánto tiempotoma ir a la escuela para no llegar tarde.

• Caminar en las montañas. En las montañas, puedes querer estar devuelta antes de que oscurezca, así que es útil saber cuánto se tarda. Engeneral, la velocidad con que se camina es de unos 4 km o 2.5 millaspor hora, pero es mucho menor cuando tienes que ir cuesta arriba otienes que caminar por la arena.

3. a. Este es 1 dm.

b. Esta es una pulgada.

c. Una buena estimación es alrededor de 4 in; en realidad, es un poco menos de 4 in.

d. 1 km � 1,000 m1 m � 10 dm o 100 cm1 dm � 10 cm

Observa que algunas medidas no están en la lista: un hectómetro (hm), un decámetro (dam) y un milímetro (mm). La lista completa es la siguiente:

1 km � 10 hm 1 m � 10 dm1 hm � 10 dam 1 dm � 10 cm1 dam � 10 m 1 cm � 10 mm

4. Alrededor de 10 millas. Según la información del problema 26: 500 millas son aproximadamente 800 km, por lo tanto, 8 km son unas 5 millas y 16 km son unas 10 millas.

Sección LongitudesA


1. a. Alrededor de 15,000 cm2.

Redondeando la altura de Nicola a 160 cm, su cuadrado personaltiene un área de 25,600 cm2. Un quinto son 5,120 cm2 y tres quintosson 15,360 cm2. Con el ajuste por redondeo, una buena estimaciónes 15,000 cm2.

b. Una respuesta con decimales no es apropiada para este caso. Estemétodo es sólo para estimar, por lo tanto, 15,000 cm2 es másrazonable como estimación.

c. La superficie de Nicola es menor que dos metros cuadrados.

Recuerda que 1 m2 � 10,000 cm2, puesto que 1 m2 es un cuadradode 100 cm por 100 cm y 100 cm � 100 cm � 10,000 cm2; 2 m2 es eldoble de esa cantidad, o sea 20,000 cm2. Dos metros cuadradosson bastante más que la superficie de Nicola de 15,000 cm2.

2. Las estimaciones estarán probablemente entre 130 y 280 cm2.Intercambia la gráfica con un compañero para verificar tu estimación.

3. a. Usando la fórmula nueva, la superficie es de unos 19,425 cm2. Conuna circunferencia de cadera de 105 cm y una altura de 185 cm, tucálculo es 185 cm � 105 cm � 19,425 cm2.

b. Se aproxima al promedio, porque la superficie corporal de unadulto es de alrededor de 2 m2 y 19,425 cm2 � 1.9 m2.

1. Esta es una respuesta. La tuya puede ser diferente.

Podrías necesitar saber el volumen de un objeto para embalarlo, paraembarcarlo o para ponerle el precio.

2. a. una botella de agua: 1 litro

b. el volumen del agua de una piscina: 900 m3

c. el volumen de un paquete que contiene libros de matemáticas:3,000 cm3



Sección ÁreasB

Sección VolúmenesC


3. a. Sí, los dos envases podrían decir: “Contiene 0.2 litros”. Un litro esigual a 1,000 cm3 (1 dm3), por lo tanto, 0.2 litros son unos 200 cm3.El envase más bajo tiene un volumen de 202.5 cm3 (7.5 cm �4.5 cm � 6 cm). El envase más alto tiene un volumen de 216 cm3

(4.5 cm × 4 cm × 12 cm). El volumen de ambos envases tiene que ser un poco más de 200 cm3, para que el jugo no se derrame tanfácilmente.

b. Un litro cuesta $3.30. Ejemplo de explicación:

Tres envases contienen 0.6 litros (3 × 0.2 litros). Usa una tabla derazones para hallar el precio de un litro.

1. a. El ángulo mide alrededor de 30° .

b. El ángulo formado debajo de la línea de visión horizontal es la mitadde 30°, o sea 15°. Los requisitos para el ángulo se cumplen, ¡pero lapantalla está demasiado alta!

2. a. Posiblemente, tu ángulo mide entre 30° y 40° .

b. Posiblemente, no. Algunos estudiantes tienen un ángulo más amplio que otros entre los dedos. Compara tus resultados con losde tus compañeros.



Volumen (en litros) 0.6 0.3 0.1 1.0

Precio (en dólares) 1.98 0.99 0.33 3.30

Sección ÁngulosD


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