hidraulica - capítulo 13 - golpe de ariete - version 04

8/19/2019 Hidraulica - Capítulo 13 - Golpe de Ariete - Version 04

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1 1

n o v

2 0 1 3

capítulo 13

Movimiento no permanente enconductos cerrados

Golpe de ariete

Resumen:En este capítulo se desarrollarán los conceptos básicos correspondientes alfenómeno transitorio que se produce en una cañería que conduce líquidocuando se produce una brusca variación de la cantidad de movimiento delfluido, ya sea por el cierre de una válvula o la parada o arranque de unaturbomáquina.

Contenido:

.13.1 Descripción preliminar ..................................................................................................................................... 574 13.2 Consecuencias del golpe de ariete ................................................................................................................. 576 13.3 Estudio simplificado ......................................................................................................................................... 577

13.3.1 Cierre de válvula ............................................................................................................................... 577 13.3.2 Parada de bombas ...........................................................................................................................580

13.4 Velocidad de la onda para tubos elásticos ...................................................................................................... 582

13.4.1 Ecuación general de la onda ............................................................................................................582 13.4.2 Ecuación particular de la onda .........................................................................................................585

13.5 Ecuaciones diferenciales características de la onda....................................................................................... 589 13.6 Resolución por el método de las diferencias finitas ........................................................................................ 594 13.7 Condiciones de contorno................................................................................................................................. 598

13.7.1 Extremo aguas arriba........................................................................................................................598 13.7.2 Extremo aguas abajo........................................................................................................................599

13.8 Métodos para reducir el efecto del golpe de ariete ......................................................................................... 608 13.8.1 Depósito de aire................................................................................................................................608 13.8.2 Volante de inercia ............................................................................................................................. 608 13.8.3 Chimeneas de equilibrio ...................................................................................................................608

13.8.4 Válvulas de alivio rápido ................................................................................................................... 608 13.8.5 Válvulas anticipadoras de onda........................................................................................................608 13.8.6 Ventosas ...........................................................................................................................................608 13.8.7 Válvulas de retención........................................................................................................................608


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CAPÍTULO 13

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13.1 Descripción preliminar

Sea un conducto que desagua un depósito y una válvula en el extremo de la misma tal como se muestra en lafigura.

f:13.1 L

A B

Con la válvula totalmente abierta el fluido circula en régimen permanente con una determinada velocidadcomo se vio en el capítulo 8.

Veremos ahora cómo se comporta el fluido dentro de la cañería aguas arriba de la válvula cuando ésta secierra bruscamente. Este cierre brusco se idealizará suponiendo que el cierre de la válvula se produce enforma instantánea es decir en un tiempo infinitesimal. También adoptaremos para simplificar la explicaciónen esta etapa que las pérdidas por rozamiento son despreciables y que la cañería es perfectamente elástica.Con estas hipótesis se darán las cuatro situaciones típicas que se esquematizan en las siguientes figuras:

c

Lt 0

a

z

V=0

c

-H

-V0

c

Lt

c

L 2

b f:13.2

z

V0 V=0

H

c

c

Lt

c

L 32

c

z

V=0V0

c

-H

c

Lt

c

L 43

d

Pasaremos ahora a describir cada uno de los casos mostrados en la figura:

z

- 0 V=

c

H


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MOVIMIENTO NO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS

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En el momento que se cierra bruscamente la válvula las partículas de fluido adyacentes a ella se venobligadas a detenerse. La ecuación de cantidad de movimiento nos indica que dicha variación de cantidad demovimiento debe originar un incremento en la presión del fluido. A dicho aumento de presión lodenominamos H y está medido en metros de columna de líquido de forma que dicho incremento en la presiónes γ H . Además dicho incremento de presión origina una dilatación de la cañería.

En el momento que se detiene el fluido la energía cinética inicial del mismo se ha convertido parte en energía

elástica de la cañería (es la energía que ha producido la dilatación de la misma) y parte en energía elástica delfluido (es la energía que ha producido el incremento de presión en el fluido).

Cuando una capa de fluido más alejada de la válvula se encuentra con estas capas que se detienen tambiénson obligadas a detenerse generándose así una onda de compresión en la cañería que se dirige aguas arribacon una velocidad a como se muestra en la figura f:13.2.a. No se debe confundir la velocidad de la onda conla velocidad del fluido la cual como vemos tienen muy distinta raíz física. Obsérvese que el paso de la ondava dejando al fluido en reposo y a la cañería expandida.

Nótese que intuitivamente aceptamos que cuando se detiene la primera capa de fluido, no se detiene en elmismo instante la capa de fluido adyacente al reservorio. Esto sólo sería aproximadamente cierto si en lugarde un fluido se estuviese moviendo un sólido por la cañería. Es legítimo preguntarse el por qué estadiferencia entre el comportamiento de un sólido y un líquido. La respuesta se encuentra en la diferencia decompresibilidad del líquido y el sólido. El líquido tiene una capacidad de compresión mucho mayor que ladel sólido, y es ésta la que origina la propagación de la onda.

El movimiento descripto continúa hasta que la onda llega al reservorio. El tiempo que le tomará llegar a éstedesde el momento del cierre de la válvula será:

c

Lt

t

Lc

Donde como ya dijimos más arriba c es la velocidad de propagación de la onda. En el momento que la ondaalcanza la boca del depósito todo el fluido se ha detenido pero se produce una situación de desequilibrio de presiones entre el líquido en el depósito inmediatamente adyacente a la boca de descarga (a presión z medida en metros de columna de líquido) y la presión en la cañería ( z+H medida en metros de columna delíquido) esta sobrepresión es ideal y supone ausencia de rozamiento entre el fluido y la cañería.

Como la presión en una sección debe ser única el fluido reacciona comenzando a moverse desde el punto demayor presión al de menor presión es decir de la cañería hacia el reservorio.

Nuevamente la energía elástica almacenada en la cañería se restituye al fluido y las sucesivas capas de fluidose descomprimen retornando a su presión original y originando una onda de descompresión de velocidad a que se mueve aguas abajo como se muestra en la figura f:13.2.b. El paso de esta onda hace que la cañeríaaguas arriba de la onda vuelva a su tamaño normal y el flujo adquiere una velocidad opuesta a la velocidadoriginal.

Esta nueva onda viaja entre los instantes de tiempo:

c Lt

c L 2

En el instante c Lt 2 la onda ha alcanzado la posición de la válvula y como ésta se encuentra cerrada nohay flujo hacia la cañería. Nuevamente nos encontramos con una situación de desequilibrio que originará quese frene el fluido.

La cantidad de movimiento del fluido variará pues cambia la velocidad de V a cero.

Como la cañería en el instante inmediatamente anterior se encontraba con una presión z y moviéndose haciael depósito al alcanzar la onda la válvula se producirá una depresión H de módulo igual a la sobrepresiónocurrida en el caso a).

Por lo tanto la presión en las adyacencias de la válvula en el instante indicado será z-H y mientras el fluidoalcanza el reposo la cañería se descomprimirá disminuyendo su diámetro. Nuevamente nos encontramos conuna onda, en este caso de depresión que avanza desde la válvula hacia el depósito (figura f:13.2.c)


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CAPÍTULO 13

576

En el instante c Lt 3 la onda de depresión alcanza el depósito donde, de la misma forma que para la ondade sobrepresión, se produce un desequilibrio de presiones pues la presión en el depósito no se ha modificado.El fluido en tanto se encuentra en reposo en toda la cañería.

Para restablecer el equilibrio el fluido en la cañería comienza a moverse desde el depósito hacia la válvula yla presión en toda la cañería vuelve a ser la correspondiente al depósito. Es decir que se vuelve al caso de lafigura a.

Esto daría lugar a que los cuatro ciclos vistos se repiten indefinidamente, como un movimiento oscilatorio noamortiguado, sin embargo en la realidad la fricción en la cañería hace que este movimiento se amortigüe enunos pocos ciclos.

Este movimiento oscilatorio es la razón de que este fenómeno se denomine golpe de ariete. Y tal como definela Real Academia Española, el ariete (del latín ar ĭes, -ĕtis, carnero) es una máquina militar que se empleabaantiguamente para batir murallas.

En general podemos decir que el golpe de ariete es un fenómeno clásico que se encuentra en cañerías endonde escurren líquidos cuando se produce un cambio brusco en la cantidad de movimiento. También se puede dar el fenómeno de golpe de ariete en cañerías que conducen gases condensables (por ejemplo vaporde agua). En estos casos si no se prevé un buen drenaje del condensado que se forma en la cañería, puede dar

lugar a la formación de un tapón de líquido que arrastrado con gran velocidad por el gas produce un bruscoincremento de presión cuando se encuentra con un cambio de dirección.

13.2 Consecuencias del golpe de ariete

Uno de los efectos más perjudiciales sobre la integridad de las cañerías es la sobrepresión que produce elfenómeno, por lo tanto se requiere cuantificar el fenómeno a fin que no se excedan los límites de resistenciade los materiales y de la normativa correspondiente.

Por lo visto anteriormente el golpe de ariete puede dar lugar a sobrepresiones o subpresiones que puedenafectar seriamente la cañería o los componentes asociados a ella. Por lo dicho será de suma importanciaevaluar cuales serán las sobrepresiones y subpresiones que se pueden producir a fin de determinar si loselementos son capaces de resistirlos o si es necesario disponer de elementos que limiten las solicitaciones.

Como es obvio la subpresión nunca podrá dar como resultado un vacío superior a una atmósfera, dado que sifuera mayor a una atmósfera resultarían presiones negativas. La subpresión también puede dar lugar a zonasde presión absoluta inferior a la tensión de vapor y por lo tanto producir cavitación en el sistema y a una prematura erosión en el elemento próximo a la zona donde se está produciendo dicho fenómeno.

El cierre brusco de una válvula de bloqueo no es la única maniobra que puede producir una variaciónsuficientemente importante de la cantidad de movimiento del fluido de forma tal que se produzca un golpe deariete, también puede ocurrir golpe de ariete por parada o arranque de bombas y turbinas o por el cierre de la

válvula de retención aguas abajo de una bomba.Dado que el golpe de ariete se produce debido a la variación de cantidad de movimiento las variables que lo potencian son:

densidad del fluido: cuanto mayor sea la densidad mayor será la variación de cantidad de movimiento para una misma variación de velocidad.

compresibilidad del fluido: cuanto más compresible sea el fluido mayor será su capacidad de amortiguarlos cambios de cantidad de movimiento y por lo tanto menores las sobrepresiones y subpresiones que seoriginen.

diámetro y longitud de la cañería: cuanto mayor sean el diámetro y la longitud de la cañería mayor es lamasa de líquido involucrada y por lo tanto mayor la variación de cantidad de movimiento puesta en juego.

En general son sujetos de estudio del golpe de ariete entre otros los siguientes sistemas:

acueductos (cañerías que transportan agua),

oleoductos (cañerías que transportan petróleo),


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poliductos (cañerías que transportan derivados del petróleo) y

cañerías de aducción de centrales hidráulicas.

La lista anterior debe tomarse como indicativa y no excluyente pues cada caso debe analizarseindividualmente.

Otro punto importante en el estudio del golpe de ariete es analizar la resistencia de la cañería. Si la presión de

trabajo de la misma es muy elevada respecto a su capacidad de resistencia, es decir las tensiones de trabajoson muy elevadas la necesidad de controlar la sobrespresión será mayor que para las cañerías que trabajanmenos exigidas. A este respecto cabe acotar que el golpe de ariete en general es considerado por los códigosde diseño, construcción y operación de cañerías como una carga eventual, y por lo tanto la tensión admisible para esta carga es mayor que la tensión admisible en condiciones de operación permanente.

El material de la cañería también puede ser importante pues como el golpe de ariete severo se puede asimilara una carga de impacto cuanto más frágil sea el material de la cañería más importante será controlar lassobrepresiones y subpresiones. Es por ello que se deberá prestar más atención a las cañerías de hormigón quea aquellas de acero o plástico.

Si bien el origen del golpe de ariete puede ser físicamente muy diferente las ecuaciones que gobiernan elmovimiento de las ondas de sobrepresión y supresión dentro del conducto tienen la misma forma física. En el

punto 13.5 se desarrollarán las ecuaciones diferenciales que permiten estudiar el movimiento de las mismas yque son válidas independientemente del fenómeno que ha producido el golpe. Estas ecuaciones en generalrequieren métodos computacionales para su resolución, sin embargo es posible aplicar ciertos métodossimplificados para calcular las sobrepresiones y subpresiones que pueden ocurrir en el sistema, en particular para el caso de cierre de válvulas.

Una vez analizado el fenómeno y determinar su importancia relativa en la instalación, existen ciertos medios para atenuarlos, como ser:

depósito de aire: consiste en un depósito acoplado a la tubería en el cual hay agua y aire a presión.

cierre progresivo de válvulas.

acumulador hidroneumático: se trata de un depósito cilíndrico con una membrana llena de nitrógeno en

su interior, que actúa como cámara de expansión.chimenea de equilibrio: consiste en un depósito vertical, cuya sección puede ser variable, acoplado a latubería y de altura mayor que la equivalente a la presión que soporte la tubería.

ventosas: se emplean para evitar la cavitación en los puntos altos de la instalación.

válvulas de seguridad: dichos accesorios se usan cuando se admite la cavitación, ya que se abrenautomáticamente al aumentar la presión.

válvulas de retención: se instalan normalmente en las impulsiones para evitar el vaciado de la tubería através de la bomba. Las válvulas de retención con bypass disminuyen el golpe de ariete.

13.3 Estudio simplificado

13.3.1 Cierre de válvula

Es posible encontrar algunas fórmulas simples para el estudio de la sobrepresión a que da lugar el golpe deariete. Por ejemplo para el caso del cierre brusco de una válvula como se muestra en la figura f:13.3:

f:13.3 L

A B


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CAPÍTULO 13

578

Siendo la fuerza que se produce sobre la válvula igual a la variación de cantidad de movimiento según surgedel segundo principio de Newton:

Dt

V Dm

Dt

V m D F

Siendo la masa del sistema en el instante inicial la masa que se encuentra dentro de la cañería la misma

resulta: L Am

Donde ρ es la densidad del fluido, A es el área de la cañería y L es la longitud de la cañería.

Como suponemos que el fluido reduce su velocidad desde la velocidad inicial hasta 0, y lo hace en un tiempoΔt , la expresión de la fuerza se puede reescribir:

t

V L A F

V

t

L

A

F

Donde la relación de fuerza a área de la cañería es el incremento de presión en el sistema debido al cierre. Eltiempo que tarda en detenerse todo el fluido en la cañería es el tiempo que tarda en recorrer la onda toda lalongitud de la cañería, por lo tanto la relación entre la longitud de la cañería y el tiempo es la velocidad de

propagación de la onda c, con lo cual la anterior la reescribimos:V c p

Si expresamos el incremento de presión en metros de columna de líquido:

V c H V c H

Y finalmente:

V g

c H e13.1

La ecuación e:13.1 se conoce como ecuación de Allievi o ecuación de Joukowsky.

Es decir que para el cierre brusco de la válvula la sobrepresión que se produce en el sistema es proporcional ala celeridad de la onda y a la velocidad del fluido en la cañería e inversamente proporcional a la aceleraciónde la gravedad.

La velocidad de la onda es función de la densidad de la cañería y del módulo de elasticidad del material, sudeducción y cálculo se hará en el punto 13.4 pero para el agua a temperatura ambiente y en cañerías aéreas esusual adoptarla como 1200 m/s. Si adoptamos la aceleración de la gravedad como 10 m/s2, podemosestablecer una regla simple para la sobrepresión de un cierre brusco que es:

smV m H 120

Si se tiene en cuenta que las velocidades de diseño usuales en cañerías de impulsión es entre 1 y 3 m/s,llegamos a la conclusión que un golpe brusco en una cañería de este tipo daría lugar a una sobrepresión entre120 y 360 m.c.a, es decir entre aproximadamente 12 y 36 atm, valor que puede ser o no muy importantedependiendo de la presión de operación de la cañería y de la tensión con que trabaja. Este valor debe sumarsea la presión de operación normal para dar la presión total actuante sobre la cañería.

La deducción anterior y los cálculos realizados son demasiado conservadores, pero permiten acotar losresultados, porque no puede haber sobrepresiones superiores a éstas.

El cálculo anterior es demasiado conservador fundamentalmente porque se adoptó la hipótesis que el cierrede la válvula es instantáneo y por lo tanto la sobrepresión pasa de 0 al valor final en forma inmediata, sinembargo no existe válvula que tenga cierre instantáneo, cualquier válvula requerirá de un tiempo finito parasu cierre total. Por lo tanto el incremento de presión será gradual, porque la variación de cantidad de

movimiento en la cañería irá variando de acuerdo con la ley de cierre de la válvula. Siguiendo esta línea de pensamiento, analicemos que ocurriría si el tiempo de cierre de la válvula fuese mayor que el tiempo quetarda la onda en recorrer el total de la cañería. En ese caso, antes que se desarrolle toda la sobrepresióncorrespondiente al cierre total comienza a viajar en sentido contrario la onda de descompresión, que va a


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aliviar el incremento de presión en algún punto. En particular si el tiempo de cierre de la válvula es mayor altiempo que tarda la onda en viajar hasta el recipiente, reflejarse y volver a la válvula c Lt 2 , lasobrepresión será amortiguada por la onda de descompresión que parte del depósito después de un tiempot = L/c. Cuanto mayor sea el tiempo de cierre, mayor será la atenuación de la sobrepresión.

A fin de calcular la sobrepresión que se produce en un cierre gradual supondremos que la variación decantidad de movimiento es lineal, como además de la segunda ecuación de Newton podemos poner:

V mt F

Donde el término de la izquierda es el impulso y el término de la derecha es la variación de cantidad demovimiento. La fuerza aplicada como vimos es el incremento de presión multiplicada por el área, en tantoque la masa del sistema es la densidad multiplicada por el volumen. La fuerza aplicada no es constante entodo el intervalo de tiempo, sino que varía entre 0 y el incremento de presión Δ p total, si suponemos una leyde variación lineal para esta fuerza resulta:

A p

A p

F

22

0

Si adoptamos el intervalo de tiempo como el tiempo entre t que transcurre entre el comienzo y el final del

cierre de la válvula y a la variación de la velocidad como la diferencia entre la velocidad del fluido en elinstante inicial y el fluido en reposo, la ecuación del impulso resulta:

V t

L pV A Lt A

p

22

e13.2

Ecuación que se conoce como ecuación de Michaud y que no tiene en cuenta ni la compresibilidad dellíquido ni la elasticidad de la cañería.

Si dividimos la anterior por la celeridad de la onda y reemplazamos el incremento de presión por suequivalente en metros de columna de líquido:

V ct c

L

H

2

Recordando que el peso específico es la densidad por la gravedad y teniendo en cuenta que el término 2 L/c esel tiempo que tarda la onda en salir de la válvula, reflejarse en el depósito y retornar a la válvula y que se losimboliza con la letra griega τ la anterior se puede reescribir:

V g

c

t H

e13.3

Esta expresión es válida para t donde hay que recordar que t es el tiempo de cierre de la válvula; paravalores del tiempo de cierre menores que τ vale la expresión e:13.2.

Ejemplo 13.1

Una cañería que transporta agua tiene una longitud de 2000 m y un diámetro de 300 mm. El caudal de aguaque circula por ella es de 400 m3/h. Si la presión de operación es de 1 MPa, determinar cual será la máxima presión que alcanzará la cañería si el tiempo de cierre de la válvula de bloqueo del servicio es de: a) 2 s y b)20 s. La cañería es de acero y la temperatura del agua ambiente, por lo cual se adoptará la velocidad delsonido c=1200m/s.

Solución

Primero, determinamos el tiempo de cierre crítico:

s ,

sm

m

c

L333

1200

200022

a) Por ser el tiempo de cierre t=2s, menor que el tiempo crítico, se tiene un cierre brusco, y por lo tantocorresponde la aplicación de la ecuación e:13.2:


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CAPÍTULO 13

580

V g

c H

Donde la incógnita V puede ser calculada mediante la ecuación de continuidad ya que conocemos el caudal,con lo cual la anterior se puede reescribir:

m ,h sm ,

hm

sm ,

sm

h s D

Q

g

c H 48192

360030

4004

89

1200

3600

4

22

3

22

La máxima presión de la cañería será entonces:

MPa ,m N ,m N m ,m N pmáx 892108929810481921026326

Es decir que debido al cierre brusco la presión en el sistema casi se triplicó.

b) Al ser el tiempo de cierre t=20s, mayor que el tiempo crítico, se tiene un cierre lento o gradual, y lasobrepresión provocada por la variación del caudal por lo tanto viene dada por la ecuación e:13.3:

V g

c

t H

Nuevamente reemplazando el valor de la velocidad en función del caudal con la ecuación de continuidad:

m ,h sm ,

sm

sm ,

sm

s

s ,

h s D

Q

g

c

t H 0132

3600304004

8191200

20333

36004

22

3

22

La máxima presión de la cañería será entonces:

MPa ,m N ,m N m ,m N pmáx 3141103141981001321026326

Como se observa la sobrepresión al incrementar el tiempo de cierre en 6 veces respecto a un cierre brusco, produce una reducción de 6 veces en la sobrepresión que se alcanza. Por otra parte si suponemos que la ondade subpresión tiene el mismo valor que la de sobrepresión, en este último caso no hay peligro que se produzca cavitación, dado que la presión mínima sería:

MPa ,m N ,m N m ,m N pmín 686010866981001321025326

Valor muy alejado de la presión de vapor correspondiente al agua a temperatura ambiente. El considerar unasubpresión igual a la máxima sobrepresión es una hipótesis muy conservadora, si se requiere mayor precisiónes necesario recurrir a métodos como los que se indican en la sección 13.4.

Como conclusión podemos decir que en sistemas de conducción de líquido, es necesario especificar untiempo de cierre de las válvulas de bloqueo que tenga en cuenta que no se produzcan sobrepresiones osubpresiones inadmisibles.

13.3.2 Parada de bombas

Sea un sistema de bombeo tal como se muestra en la figura. En régimen permanente la bomba genera laenergía necesaria para aumentar la energía potencial del fluido y elevarlo una altura H 0 y vencer las pérdidasde carga que genera la circulación del caudal Qr por la cañería ( H f )

f:13.4

f, L, DQr Vr

r , r

z

Hf

Hr

Cuando se detiene la bomba, debido a la inercia del fluido en la cañería se genera una onda de depresión queviaja hacia al depósito con la velocidad del sonido en la cañería. Cuando esta depresión alcanza el recipiente


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superior, de la misma forma que lo visto anteriormente, debido al desequilibrio de presiones que se generaentre el tanque y la cañería, el fluido comienza a moverse en dirección opuesta, y generando una onda quedeja al sistema con la presión inicial. Cuando el fluido alcanza a la cañería, la válvula de retención habrácerrado y entonces se producirá una onda de sobrepresión en la misma similar a lo visto en el punto 13.1. ydeteniéndose el fluido en la conducción.

Si asimilamos la parada de la bomba a lo que ocurre en el cierre brusco de una válvula, vemos que si el

tiempo de paro de la bomba es superior al tiempo que tarda la onda en llegar al depósito y reflejarsenuevamente hasta la bomba, las ondas de supresión y sobrepresión se compensarán entre sí, en tanto que sieste tiempo es menor el golpe será pleno.

El ingeniero español Mendiluce propuso una fórmula para el cálculo del tiempo de cierre que tenía en cuentala inercia de la columna de agua en la longitud L y la inercia del equipo de bombeo. Dado que la fórmuladesarrollada requería datos que no siempre se disponen fácilmente modificó dicha fórmula del tiempo decierre por la siguiente:

r

r c

H g

V LC C T

21 e13.4

Donde:C 1: es una función de la pendiente de la tubería que se indica en la Tabla 1

C 2: es una función de la longitud de la cañería que se indica en la Tabla 2

L: Longitud de la cañería

V r :Velocidad de la conducción en régimen permanente

H r :Altura de impulsión de la bomba en régimen permanente

TABLA 1Pendiente H 0/ L C 1


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CAPÍTULO 13

582

Solución

Comenzamos calculando el tiempo de parada T c mediante la ecuación e13.4, calculando las constantes C 1 yC 2:

De la tabla 1 para H 0/ L=70/600 = 0,117; resulta C 1 = 1

De la tabla 2 para L = 600 m; resulta C 2 = 1,5

La velocidad en régimen permanente es: sm ,

m ,

s / m ,

D

QV r 5911

20

0504422

3

2

Y el tiempo crítico:

s sm

m

c

LT c 1

1200

60022

Con estos valores resulta:

s ,m s / m ,

sm.m , sT c 82452

80819

5911600511

2

Siendo el tiempo de cierre mayor que el tiempo crítico la sobrepresión se calcula con la ecuación deMichaud:

m , s , sm ,

sm ,m

T g

V Lh

c

r 96882452819

5911600222

El método de Mendiluce es muy usado por su simpleza y practicidad, sin embargo se debe tener en cuentaque es una aproximación al problema real. En general los valores de sobrepresión estimados con este métodoson conservadores. Si se quiere mayor precisión se deberá recurrir a los métodos computarizados.

13.4 Velocidad de la onda para tubos elásticos

13.4.1 Ecuación general de la onda

En el punto 11.25 del capítulo 11, se analizó la velocidad del sonido en un tubo ideal (inelástico) a través delcual se propaga una onda de presión debida a una perturbación infinitesimal. A continuación se desarrollaráuna expresión que sí tiene en cuenta esta variación de sección y cómo se relaciona la misma con la velocidadde la onda.

Recordando que la velocidad del sonido es una propiedad termodinámica del fluido y es la tasa de propagación de un pulso de presión de intensidad infinitesimal, en un fluido quieto.

Lo analizaremos considerando primero un pulso de intensidad finita, como se muestra en la figura f:13.5. En

la figura f:13.5.a, el pulso, u onda de presión, se mueve con una velocidad c hacia la izquierda, en un fluidoen movimiento (con propiedades p, , T, y V=V). Dejando por detrás, a la derecha, un fluido con sus propiedades modificadas (p+dp, +dp, T+dT) y con una velocidad V+V hacia la derecha, modificada por el paso de la onda. Se pueden determinar estos efectos, seleccionando un volumen de control a través de laonda. Téngase presente en lo que sigue que consideramos que al movernos con la onda en cada punto delvolumen de control seleccionado las características del fluido permanecen constantes, esto constituye ladiferencia fundamental con las ecuaciones que se presentan en el punto 0, porque cuando se desarrolla elgolpe de ariete las variables van variando a medida que nos movemos con la onda.

Para poder evitar los términos de flujo no permanente, que serían necesario en la figura f:13.5.a, en su lugaradoptaremos el volumen de control de la figura f:13.5.b, que se mueve a la velocidad de la onda c, hacia laizquierda. La onda aparece de esta manera permanente, y el fluido parece tener velocidad V+c a la izquierda,y V+dV+c a la derecha. Las propiedades termodinámicas, p, y T, no son afectadas por este cambio de punto de vista.


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f:13.5

V

x

V+dV

+d p+dp

p.A(p+dp).(A+dA)

y

c

V+a

x

V+dV+a

superficie de control

+d p+dp

p.A(p+dp).(A+dA)

(p+dp).dA

y

efectos de fricción ytransferencia de calor estánconfinados al interior de la onda

a

volumen de control fijado al fluido convelocidad V

b

volumen de control moviéndose a laizquierda con la velocidad de la onda c

1

1

2

2

1

1

2

2

Aplicaremos la ecuación de continuidad al flujo en la figura f:13.5.b, que es permanente y unidimensional:

SC

VC dAV d

t

Al ser permanente, el término de la izquierda se anula, y resulta:

dA Ad dV cV AcV 0Operando, resulta:

dAdV d AdV d dAdV AdV

dAcV d AcV d dAcV AcV AcV

dA Ad dV dA Ad cV AcV

0

0

Despreciando los diferenciales de segundo y tercer orden, resulta:

AdV dAcV Ad cV 0

Sacando factor común (V+c), la ecuación de continuidad resulta:

AdV dA Ad cV 0 e13.5

Ahora, aplicaremos al mismo volumen de control la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección deleje x. Las fuerzas externas son las debidas a la presión y a la reacción que el ensanchamiento de la sección dela cañería produce sobre el fluido, las fuerzas de gravedad tienen proyección nula según el eje x en tanto quelas fuerzas de fricción son despreciables por ser el espesor de la onda muy pequeño:

SC

VC ext )dAV ( V d V

t F

Al ser permanente, el primer término de la derecha se anula, y resulta:

dA AdV cV d AcV dA Adp pdAdp p A p 22

Analizaremos el término de la izquierda, aplicando propiedad distributiva, resulta:

AdpdAdpdA p Adp A pdAdpdA p A p e13.6

Ahora, haremos lo mismo con el término de la derecha:

dA AdV cV dV cV d AcV dA AdV cV d AcV

222

22

2

Despreciando el diferencial de orden 2, resulta:

dA AcV dV d cV d cV dV cV AcV 22 222

Nuevamente, para simplificar, anulamos diferenciales de orden 2:

dA AcV d cV dV cV AcV 222 2


12/37

CAPÍTULO 13

584

El primer término se anula, luego de aplicar propiedad distributiva, y resulta:

dAcV d dAcV dV dAcV AcV d AcV dV 222 22

Nuevamente, para simplificar, anulamos diferenciales de orden 2:

dAcV AcV d AcV dV 222

)dAd A( cV AcV dV 22 e13.7

De la ecuación de continuidad, obtenida en e13.5 podemos despejar:

cV

AdV dA Ad

e13.8

Reemplazando la expresión e13.8 en la e13.7, resulta:

cV

AdV cV AcV dV

22

AdV cV AcV dV 2 e13.9

Finalmente, igualando las expresiones e13.6 y e13.9, la ecuación de cantidad de movimiento, resulta:

AcV dV Adp e13.10

Como en general la velocidad del fluido es mucho menor a la de la onda, se tiene que V


13/37


585

Esta ecuación establece que la velocidad de propagación de una onda de presión es función de la elasticidaddel fluido (relacionada con la variación de su densidad para un incremento de presión dado) y la elasticidadde la cañería (relacionada con su variación de área para un incremento de presión dado).

Obsérvese que si no hay cambio en la sección, la variación del dA=0 y la ecuación resulta igual a la ecuacióne.11.24 del capítulo 11 para tubos ideales o inelásticos.

d

dp

d

dp

c2

A continuación se deducen las expresiones de la onda para tres casos particulares de tubos:

Tubos de pared delgada, correspondiente a la mayor parte de cañerías aéreasTubos de pared gruesa, correspondiente a cañerías con muy altas presiones.

Tubos de pared infinita, correspondientes a las cañerías de aducción excavadas en roca en algunascentrales hidráulicas.

13.4.2 Ecuación particular de la onda13.4.2.1 Para tubos de pared delgada

Según ASME (American Society of Mechanical Engineers), en tubos de acero, 100 , De i e/Di se puede

utilizar la teoría de tubos de pared delgada. De lo contrario, se deberá utilizar la teoría que se verá másadelante. En los cursos de Resistencia de Materiales al estudiar los tubos de pared delgada sometidos a presión interior, se supuso que las tensiones radiales r son nulas y las tensiones circunferenciales sonconstantes en todo el espesor de la pared

Para hallar la variación de área en el conducto dA respecto al área A, cortaremos el conducto por uno de susejes como se muestra en la figura y planteando la correspondiente ecuación de equilibrio:

f:13.6

Di pi

e

e

Ddpd Le L D p

2

2 e13.16

Donde: L es la longitud del conducto, e el espesor del conducto y la tensión en la pared del conducto.Teniendo en cuenta que la deformación específica (la deformación referida a la dimensión inicial) de unsólido sometido a tensión vale:

E

d

Donde E es el módulo de elasticidad del material del conducto. Y como además la deformación específica delconducto es igual a la relación entre la variación de diámetro y el diámetro inicial del conducto, resulta:

E

d

D

dD e13.17

Definiendo el área en función al diámetro y derivando respecto del mismo, resulta:

dD DdA D

dD

dA D A

242

4

2

e13.18


14/37

CAPÍTULO 13

586

Reemplazando dD en lo encontrado anteriormente, resulta:

D E

d

D

dA

2

Y despejando dA:

22

D

E

Dd dA

D

E

Dd dA

e13.19

Reemplazando en la anterior dT por lo encontrado en la expresión e13.16, resulta:

E e

DdpdA

4

2

Si a esta expresión la dividimos por el área del conducto:

E e

Ddp

A

dA

e13.20

A su vez el módulo de elasticidad del fluido fue definido en la sección 1.6 del capítulo 1 y vale:

d

dp K

e13.21

Y, recordando la definición de densidad:

1

2 d

d

md

d d

md

m e13.22

Reemplazando la e13.22 en la e13.21, podemos concluir:

K

dpd

d

dp K

e13.23

La masa del fluido es la misma antes y después de la compresión, el signo cambia pues la densidad aumenta amedida que la presión aumenta.

Despejando convenientemente de las expresiones e13.20 y e13.23 y reemplazando en la e13.15, resulta:

E e

Ddp

K

dp

dp

c2

Multiplicando miembro a miembro por K/dp, resulta:

E e

D K

K

c

dp

K

E e

Ddp

dp

K

K

dp

dp

K dp

c

1

22 e13.24

Despejando c, obtendremos la ecuación de la onda para tubos elásticos de pared delgada:

E e

D K

K

c

1

e13.25

Ejemplo 13.3

Determinar la velocidad de la onda según los criterios de tubo de paredes delgadas una tuberías de acero queconducen agua de 508 mm de diámetro externo, espesor 11 mm. Suponer que el coeficiente de elasticidad del


15/37


587

agua es 2,059 GPa, el coeficiente de Poisson del acero es 0,15, el módulo de elasticidad transversal del aceroes 200 GPa y la densidad del agua es 1000 kg/m³.

Solución

Datos del fluido: agua 1000kg

m3

1.146106

m

2

s K agua 2.05910

9Pa

Datos del conducto: Eaº 200 109 Pa De 508mm e 11mm 0.046mm

Diámetro interno y área interna: D De 2e D 486.00mm A D

2

4 A 1855 cm

2

Velocidad de la onda (tubos de pared delgada)

c

K agua

agua

1K agua D

e Eaº

c 1190m

s

13.4.2.2 Para tubos de pared gruesa

f:13.7

r

r

r ir

r e

Los tubos de pared gruesa se comportan como cáscaras cilíndricas de pared gruesa. En éstas las tensiones

radiales, que en el caso de cáscaras de pared fina como las vistas en 13.4.2, no se desprecian. Por otra parte ladeformación radial de una fibra a una distancia r debida a un incremento de presión dp viene dado según lateoría de la elasticidad por:

2222

ie

ie

r r

r r

E

r dpdr

Donde:

E : Módulo de elasticidad del material

r : Distancia desde el centro de la tubería hasta un punto genérico

dp : Incremento infinitesimal de presión

r e : radio exterior de la cañería

r i : radio interior de la cañería

: Módulo de Poisson

Como la relación incremento de área a área original para un tubo de pared gruesa vale lo mismo que para untubo de pared fina:

r

dr

D

dD

A

dA 22

Si reemplazamos por el valor dado más arriba:

2222

2ie

ie

r r

r r

E

dp

A

dA

Reemplazando ésta expresión en la ecuación e13.14 y reemplazando d por el valor dado por la e13.22


16/37

CAPÍTULO 13

588

22

22

2

2ie

ie

r r

r r

E

dp

K

dp

dp

c

Dividiendo numerador y denominador por dp K se obtiene:

22

22

2

2ie

ie

r r

r r

dp

K

E

dp

dp

K

K

dp

dp

K dp

c

Y finalmente la velocidad de la onda para tubos de pared gruesa será:

22

2221

ie

ie

r r

r r

E

K

K

c e13.26

13.4.2.3 Para tubos de pared infinita

El caso de las galerías de aducción de centrales térmicas excavadas en roca constituye un caso especial de pared gruesa donde la pared externa tiene un radio infinito. Por lo tanto partiendo de la expresión encontrada para la celeridad de la onda en cañerías de pared gruesa procedemos a encontrar el límite cuando r e tiende ainfinito:

f:13.8 r ir e

En este caso, debemos considerar la expresión e.13.23, pero ahora con re:

22

22

22

22 21

21

ie

ie

er ie

ieer

r r

r r lim

E

K

K

r r

r r

E

K

K

limc

ie

ie

er ieie

ie

er r r

r r lim

E

K

K

r r r r

r r lim

E

K

K

c2

12

122

01

2121

E

K

K

r r

r

r r

r lim

E

K

K

c

ie

i

ie

e

er

Y entonces finalmente la expresión de la celeridad de la onda es:


17/37


589

12

1 E

K

K

c e13.27

Donde el módulo de elasticidad transversal (módulo de Poisson) para la roca usualmente se adopta como 0,1.Es notable que en este caso la celeridad de la onda es independiente del diámetro de la excavación.

13.5 Ecuaciones diferenciales características de laonda

Puesto que el proceso es isotérmico (las variaciones de temperatura a medida que avanza la onda sondespreciables) necesitaremos plantear dos de las tres ecuaciones básicas encontradas en el capítulo 3 y unaecuación adicional que en este caso particular deberá tener en cuenta las características elásticas del conductoy del fluido.

Sea un conducto circular tal como se muestra en la figura y en la cual una onda producida por un golpe deariete avanza aguas abajo del mismo. El flujo dentro por lo tanto es no estacionario, unidimensional,isotérmico y compresible. Además como el proceso es isotérmico (las variaciones de temperatura a medidaque avanza la onda son despreciables) necesitaremos plantear dos de las tres ecuaciones básicas encontradasen el capítulo 3 y una ecuación adicional que en este caso particular deberá tener en cuenta las característicaselásticas del conducto y del fluido.

f:13.9

dx

.A.V

x

.A.V .A.V)dxx

superficie decontrol

A dicho volumen de control le aplicaremos primero la ecuación de continuidad y posteriormente la ecuaciónde la cantidad de movimiento.

Sea la ecuación de continuidad:

SC

VC dAV d

t

Aquí el término afectado por la derivada parcial con respecto al tiempo no se anula pues la densidad y el áreadel conducto variarán a medida que la onda avanza. Además como se trata de un volumen de controldiferencial las integrales pasan a ser sumatorias con lo cual:

dx ) A( t

dx ) AV ( x

AV AV

t

A

t A

V

A

A

V AV

Finalmente si de esta expresión simplificamos ρ.A, resulta:


18/37

CAPÍTULO 13

590

011

t

A

At x

V

x

A

A

V

x

V

Y recordando la definición de derivada sustancial:

Dt

D

t xV

y Dt

DA

t

A

x

AV

Entonces, la ecuación de continuidad resulta finalmente:

011

xV

Dt

DA

At

D e13.28

A fin de desarrollar la ecuación de cantidad de movimiento, pondremos en evidencia las fuerzas que actúansobre el volumen de control en estudio:

f:13.10

..D.dx(p+ dx).

px

Ax

.dx

línea de alturas piezométricas

dx

p.A

x

p.A p.A)dxx

z

H-z

H

.g.A.dx

.g.A.dx.sen

Siendo la ecuación de cantidad de movimiento:

SC

VC ext )dAV ( V d V

t F

Que aplicada al volumen de control anterior y en la dirección del eje del conducto puede ser reescrita:

dx D sendx A g dx

x

Adx

x

p pdx

x

) A p( A p A p 0

dx )V A( x

V AV Adx ) AV ( t

222

Simplificando los términos que se anulan, aplicando distributiva y desarrollando las derivadas, resulta:

dx D sendx A g dx x

A

x

pdx

x

A pdx

x

A pdx

x

p A 0

2

dx x

AV dx

xV Adx

x

V Adx

t

V Adx

t AV dx

t

AV

222

Simplificando dx, eliminando el término con diferencial de orden superior y reagrupando:

xV

t

V A xV t AV x

AV t

AV D sen A g x

p A

2

0


19/37


591

x

V V

x

V V

t

V A

xV

t AV

x

AV

t

AV D sen A g

x

p A 0

x

V V A

x

V V

t

V A

xV

t AV

x

AV

t

AV D sen A g

x

p A

0

Si dividimos ambos miembros por ρ.A y reemplazamos por las diferenciales sustanciales correspondientes podemos reescribir:

x

V V

Dt

DV

Dt

DV

Dt

DA

A

V

A

D sen g

x

p

0

1

Que se puede reordenar:

Dt

DV

x

V

Dt

DA

A Dt

DV

D sen g

x

p

1141 0

Pero de acuerdo a lo encontrado con la ley de continuidad en la ecuación e13.28 y término entre paréntesis es

nulo y por lo tanto:

Dt

DV

D sen g

x

p

41 0

Si expresamos la presión en términos de alturas manométricas de acuerdo a lo desarrollado en el capítulo 8:

z H g p z g

p H

e13.29

Y por lo tanto, diferenciando con respecto a x, resulta:

sen

xHg

x p

xz

xHg

x p

Además la relación τ0/ρ de acuerdo a lo visto en el capítulo 8 para un conducto de sección circular resulta

igual a8

Vf

2

. Como la dirección de la fuerza debida a la tensión de corte es siempre opuesta a la velocidad

para tener en cuenta la dirección podemos escribir:

80

V V f

Donde |V| es el módulo de la velocidad. Si bien el término de velocidad es opuesto al de la tensión de corte la

inversión de signo ya fue realizada al desarrollar la ecuación de cantidad de movimiento.

Si efectuamos los reemplazos correspondientes en la ecuación hallada tendremos:

Dt

DV V V f

D sen g sen

x

H g

8

41

Dt

DV

D

V V f sen g sen

x

H g

2

Realizando las simplificaciones correspondientes resulta:

02

Dt DV

D

V

V f x

H

g

Simplificando los signos negativos y reemplazando la derivada sustancial por su expresión en derivadas parciales, la ecuación de cantidad de movimiento resulta:


20/37

CAPÍTULO 13

592

02

t

V

x

V V

D

V V f

x

H g e13.30

Y la ecuación de continuidad (e13.28):

011

x

V

Dt

DA

At

D e13.31

Es decir que entre las expresiones: e13.31 y la e13.30 tenemos dos ecuaciones y cuatro incógnitas:

la densidad,

el área,

la altura manométrica y

la velocidad del fluido

Por lo tanto deberemos plantear dos ecuaciones más que podrían ser las que refieren a las característicaselásticas del material y del fluido.

Como ya vimos en el punto 13.4.2.1 la variación de área en el conducto se debe al aumento o disminución de presión en el interior del mismo y a la característica elástica del material, resultando para tubos de pared

delgada:

E e

Ddp

A

dA

e13.32

Dividiendo ambos miembros por el diferencial de tiempo:

dt

dp

E e

D

dt

dA

A

1 e13.33

A su vez el módulo de elasticidad del fluido fue definido en el capítulo 1, vale:

d

dp K

Operando y dividiendo miembro a miembro por dt, resulta:

K dt

dp

dt

d 11

e13.34

Por lo tanto la variación de la presión en el conducto con respecto al tiempo se podrá expresar según sigue:

dt

dp

K dt

dp

dt

d K

dt

dp

11

e13.35

Reemplazando e13.33 y e13.35 en la ecuación de continuidad (e13.28) resulta:

01

x

V

Dt

Dp

E e

D

Dt

Dp

K

Sacando factor común:

011

x

V

E e

D K

Dt

Dp

K

Según obtuvimos en la expresión e13.25, el cuadrado de la velocidad de la onda para tubos elásticos de pared

delgada vale:


21/37


593

22 11

1 c

K

e E

D K

e E

D K

K

c

Con lo cual podemos reescribir:

01

2

xV

c

K

De

Dp

K

Y finalmente:

01 2

x

V c

Dt

Dp e13.36

Si reemplazamos la presión p por su valor referido a las alturas manométricas como lo hicimos en la e13.29:

Dt

z H D g

Dt

Dp

El Dt DH podemos expresarlo de acuerdo a la propiedad de la derivada sustancial, como lo vimos en el

punto 3.4 del capítulo 3:

t

H

x

H V

Dt

DH

En tanto Dt Dz por la misma propiedad:

t

z

x

z V

Dt

Dz

Como el conducto no se mueve t z debe ser cero y de acuerdo a lo visto anteriormente

senx

z

Reemplazando estas expresiones en la ecuación e13.36:

01 2

xV c senV

t H

x H V g

Y finalmente simplificando y dividiendo toda la expresión anterior por g:

02

senV t

H

x

H V

x

V

g

c e13.37

Esta ecuación junto con la ecuación e13.30 que reescribimos:

02

t

V

x

V

V D

V

V f x

H

g

e13.38

Describen un sistema de dos ecuaciones en derivadas parciales no lineales con dos incógnitas: la velocidaddel fluido V y la altura manométrica H en cada sección.

Nótese que la velocidad de la onda c es una constante para cada conducto y cada fluido y se puede calcularcon las expresiones vistas en las ecuaciones para cada caso.

Obviamente que la resolución del sistema mostrado no se puede hacer en forma analítica por ello en lo quesigue se desarrollará un método basado en las diferencias finitas que permite resolver este sistema.


22/37

CAPÍTULO 13

594

13.6 Resolución por el método de las diferenciasfinitas

Para resolver el sistema de ecuaciones conformado por e13.37 y e13.38 podemos recurrir al método deLagrange que consiste en multiplicar una de las ecuaciones por un operador desconocido al cual llamamos

operador lagrangiano, que lo identificamos mediante la letra lambda, de tal forma que se cumpla:(e13.38) + (e13.37) = 0 e13.39

O sea:

02

2

senV t

H

x

H V

x

V

g

c

t

V

x

V V

D

V V f

x

H g

Reagrupando la anterior:

02

2

D

V V f senV

t

V

g

cV

x

V

t

H g V

x

H e13.40

Si observamos, podemos poner en la ecuación anterior:

g

cV

dt

dx y g V

dt

dx2

Y resulta:

02

D

V V f senV

t

V

dt

dx

x

V

t

H

dt

dx

x

H

O sea, expresando en términos de diferencial total

02

D

V V f senV

Dt

DV

Dt

DH e13.41

Que sólo se podrán cumplir si:

2

22

2

g

c

g

cV g V

Con lo cual resulta:

g

c e13.42

Entonces reemplazando el operador lagrangiano en la ecuación e13.41 tenemos:

Para g

c : 0

2

D

V V f

g

c senV

Dt

DV

g

c

Dt

DH e13.43

Para g

c : 0

2

D

V V f

g

c senV

Dt

DV

g

c

Dt

DH e13.44

De esta manera, se ha encontrado dos valores reales distintos de que convierten las dos ecuacionesdiferenciales parciales (e13.37 y e13.38) sen un par de ecuaciones diferenciales totales (e13.43 y e13.44)

sujetos a las ecuaciones e13.42.Como la velocidad de la onda c en conductos que transportan agua es del orden de los 1200 m/s mientras quela velocidad del fluido usualmente está entre 1 y 3 m/s, ésta última se puede despreciar y por lo tanto eltérmino senV la velocidad del fluido se puede despreciar y finalmente podemos escribir:


23/37


595

Para cdt

dx : 0

2

D

V V f

g

c

Dt

DV

g

c

Dt

DH e13.45

Para cdt

dx : 0

2

D

V V f

g

c

Dt

DV

g

c

Dt

DH e13.46

En el plano “x,t” la cdt

dx son dos rectas de pendiente c y -c respectivamente.

f:13.11

x

t

P

SR

c -c

Cuando nos movemos sobre la recta de pendiente c avanzando en el tiempo la ecuación e13.45 es válida ycuando nos movemos sobre la recta de pendiente -c la ecuación e13.46 es válida. Como las ecuaciones quedescriben el movimiento de la onda deben satisfacer ambas ecuaciones, si se conoce la solución para un punto donde se intersectan ambas rectas esta solución es solución de las ecuaciones del golpe de ariete. Enotras palabras si para un instante determinado se conoce la distribución de H y V a lo largo del conducto, es posible conocer la solución en un instante posterior resolviendo las ecuaciones e13.45 y e13.46 mediantediferencias finitas y encontrando la solución de la intersección.

Tomando la ecuación , multiplicándola por Dt , resulta:

02

Dt D

V V f

g

c DV

g

c DH e13.47

Luego, integraremos respecto del diferencial de tiempo Dt , con lo cual tendremos los valores entre el punto Py el punto R:

02

R

P

R

P

R

P Dt

D

V V f

g

c DV

g

c DH e13.48

Escribiendo la ecuación e13.48 en forma de diferencias finitas resulta;

02

t V V

D g

f cV V

g

c H H R P P R P R e13.49

02 t V V

D g f cV V

g c H H P S P S P S

e13.50

Tómese nota que la integración de la fricción debe ser aproximada, debido a que V es una funcióndesconocida de x entre R y P. Por lo tanto se supone una buena aproximación para el último término habertomado:

t V V Dt V V R P R

P

Para reescribir las ecuaciones de manera más genérica, pasaremos a llamar las variables en el punto P, como I , las variables en el punto R como I-1 y las variables en el punto S como I+1. Como se indica en el siguientegráfico:


24/37

CAPÍTULO 13

596

f:13.12R S

x

t

I-1 I I+1

c-c

t

H(I-1)

H(I)

V(I-1)

V(I)

H(I+1)V(I+1)

P

x x

De esta manera resulta:

para +c: 02 1

11

I I I I I I V V

gD

f c

t

V V

g

c

t

H H e13.51

Y lo mismo para la e13.46, pero con, resulta:

para -c: 02 1

11

I I I I I I V VP

D g

f c

t

VP V

g

c

t

HP H e13.52

Multiplicando miembro a miembro por t tendremos:

para +c: 02 111

I I I I I I V V gD

t f cV V

g

c H H e13.53

para -c: 02 111

I I I I I I V V gD

t f cV V g

c H H e13.54

Como es bastante usual manejarse con los caudales, reemplazaremos V por Q/A, y además: x=ct y x=-ct

para +c: 02 1211

I I I I I I QQ

A D g

f xQQ

A g

c H H e13.55

para -c: 02 111

I I I I I I QQ

A D g

f xQQ

A g

c H H e13.56

Despejando HPI, tenemos:

para +c: I I I I I I QQ A D g

f xQQ

A g

c H H

1211 2 e13.57

para -c: 02 111

I I I I I I QQ

A D g

f xQQ

A g

c H H e13.58

Llamando A g

c

y

22 A D g

f x

, tenemos:

para +c: I I I I I I QQQQ H H 111 e13.59

para -c: 111 I I I I I I QQQQ H H e13.60


25/37


597

Realizando la propiedad distributiva, resulta:

para +c: I I I I I I QQQQ H H 111 e13.61

para –c: 111 I I I I I I QQQQ H H e13.62

Llamando a: 11 I I Q H y 11 I I Q H , resulta:

para +c: 1 I I I QQ H e13.63

para -c: 1 I I I QQ H e13.64

Llamando a: 1 I Q y 1 I Q , resulta:

para +c: I I Q H S e13.65

para -c: I I Q H T e13.66

Si restamos ambas ecuaciones, resulta:

T

M

M

I I I I QQQQ0

Finalmente, al conocer L, M, S y T, la solución de las ecuaciones es:

T

M

I Q e13.67

I I Q H T e13.68

Para ello se divide a la cañería en N tramos iguales que definirán una retícula como se muestra en el plano“x,t”.

f:13.13

x

t

0 1 N-1 N

P

SR

t

x Ix x x x xx x x x

t

t

t

t

2 I-1 I+1 N+1x

t

Como se puede observar las dos ecuaciones anteriores permiten determinar los valores de altura manométricay caudal en un determinado instante si se conocen dichos valores en un instante anterior. Este procedimiento puede ser utilizado en todas las secciones “I”, interiores.

Sin embargo en los extremos sólo se puede aplicar una de las ecuaciones y no ambas por lo tanto paraconocer los valores en el extremo del intervalo además de una de las ecuaciones dadas es necesario conocerotra ecuación que deberá representar la condición de contorno dada.


26/37

CAPÍTULO 13

598

f:13.14

x

t

0 1 N-1 Nx x x x xx x x

t

t

t

t

2

t

H1V1

H N-1V N-1

V0H0

V NH N

e 1 3. 7 0

e 1 3 .6 9

Por ejemplo, la ecuación e13.66 aplicada en el punto 0, dará:

00 Q H T e13.69

O sea, que tengo una ecuación con dos incógnitas. Por lo tanto es necesario tener una condición externa a latubería para relacionar la respuesta de la tubería al comportamiento de la condición de frontera. Estacondición puede ser:

un valor constante correspondiente a una de las variables, depósito de carga constante

una variación de una de las variables con el tiempo

una relación algebraica entre dos variables

una relación del tipo ecuación diferencial

una velocidad desconocida de una bomba centrífuga conectada en el extremo corriente arriba de la línea,etc.

Por otro lado, en el extremo aguas abajo, la aplicación de la ecuación e13.65 en el punto N , dará: N N Q H S e13.70

O sea, que nuevamente tengo una ecuación con dos incógnitas. Por lo tanto es necesario tener una condiciónexterna a la tubería para relacionar la respuesta de la tubería al comportamiento de la condición de frontera,igual que se indicó antes.

13.7 Condiciones de contorno

13.7.1 Extremo aguas arriba

13.7.1.1 Reservorio de nivel constante

En x=0, tendremos el punto 0. Si en la parte superior aguas arriba se encuentra un depósito de altura H res, enel punto 0, tendremos:

g

V H H

g

V H H resres 22

20

0

20

0

13.7.1.2 Reservorio de nivel variable

En la parte superior, la superficie del agua varía de acuerdo con la ecuación:

t sen H g

V H H res 2

20

0


27/37


599

13.7.2 Extremo aguas abajo

13.7.2.1 Orificio

Para un flujo en régimen permanente, se había visto en el capítulo 10, que, siendo C d el coeficiente dederrame de un orificio y A0 el área de la abertura, la descarga del mismo es:

perm permd perm H g AC Q 20 e13.71

Para cualquier orificio, podremos poner en general:

N vd N H g AC Q 2 e13.72

O sea, que tenemos una expresión que indica el caudal en el punto N (x=L). Con lo cual, aplicando laecuación que se cumple para +c, la e13.72 y aplicándola en el punto N, podremos obtener los datos en N-1 resulta:

N N Q H S con: 11 I I Q H y 1 I Q e13.73

Reemplazando la e13.73 en la e13.72, resulta:

N vd N Q g AC Q S2 e13.74

Operando, podremos despejar Q N

N vd N Q g AC Q S222

022 222 L g AC Q g AC Q vd N vd N

Tenemos una ecuación cuadrática, cuya solución es:

2

2442 22242 L

g AC g AC g AC Q

vd vd vd N

Y, finalmente:

L g AC g AC g AC Q vd vd vd N 2

22242 e13.75

A continuación, se resuelve un ejemplo, para comprender la aplicación de estas expresiones:

Ejemplo 13.4

En la figura f:13.15 se muestra la tubería acero conectada aguas arriba a un reservorio y que descarga por unorificio. El nivel de la superficie de agua del reservorio varía de acuerdo con la ecuación:

)t ( senmm H res 340 . La frecuencia de las ondas se fija en el período natural de la tubería, 4L/s, el cual

genera una frecuencia c L 42 . Determínese: a) la velocidad de la onda c. b) el movimientoresultante del fluido en la tubería y las fluctuaciones de carga entre 0 y 12 segundos. Considerar: diámetroexterior del caño: 508mm, espesor: 11mm, longitud del conducto: 600 m, coeficiente de elasticidad del aguaes 2,059 GPa, el módulo de elasticidad transversal del acero es 200 GPa, densidad del agua es 1000 kg/m³ yla viscosidad cinemática 1,146.10-6 m²/s.


28/37

CAPÍTULO 13

600

f:13.15

L=600m

A=P0 B=P1D=508mm, e=11mm

Hres=40m

DB=30mmCd=0,6

N=1, x=600m

Solución

Se observa que la condición de contorno aguas arriba es: un embalse de nivel variable y la condición aguasabajo: un orificio Se hará N=1, o sea que sólo se considerará un segmento, cuyos extremos serán 0 y 1.

La corriente aguas abajo del punto 0 se resuelve con la ecuación de c+ e13.65, I I

Q H S

, que aplicada

en el punto P0, resultará: 00 Q H S y junto con el dato de la variación de la altura del reservorio (en

función del tiempo) y que es dato: )t ( sen H H H res 0 , se podrá despejar el Q0

S

L 00

H Q

e13.76

La condición en el extremo de aguas abajo se determina con la ecuación de c- e13.66 I I Q H T , que

aplicada en el punto P N, resultará: N N Q H T y junto con la ecuación de descarga del orificio

N vd N N H g AC V AQ 20 , se podrá determinar H N.

L g AC g AC g AC Q vd vd vd N 222242 e13.77


m3

1.146106

m

2

s K agua 2.05910

9Pa

Datos del conducto: Eaº 200 109

Pa De 508mm e 11mm 0.046mm


2

4 A 0.18551m

2

Longitud de la cañería: L 600m


c

K aguaagua

1K agua D

e Eaº

c 1189.649m

s

Altura del reservorio Hres 40m

Amplitud de oscilación H 3m

Cantidad de segmentos a dividir la cañería para el análisis

N 1

Incremento diferencial en x xL

N x 600m

Incremento diferencial en t t x

c t 0.50s


29/37


601

Tiempo máximo a analizar Tmáx 12.1s

Coeficiente de derrame del orificio Cd 0.6

Diámetro del orificio en B DB 0.03m

Área del orificio en BA0

DB2

4 A0 0.00071m

2

Período T4 L

c T 2.02s

Frecuencia 2

T 3.11

1

s

Caudal en régimen permanente Q0 Cd A0 2 g Hres Q0 11.88l

s

Número de Reynolds ReV D

= Re

4 Q0

D Re 27157

Expresión Colebrook-White) f F( )

1

F0.86 ln

D 3.7

2.51

Re F

F 0.01

Factor de fricción f root f F( ) F( ) f 0.02472

Constantes auxiliares Jc

g A J 653.94s m

2 K

f x

2 g D A2

K 45.21 s2

m5

Para el tiempo t=0, los valores serán:

t 0 H0 Hres H sin t( ) H0 40.00m

Q0 11.88 ls Q0 11.88 ls

H1 H0 K Q02

H1 39.99m

Q1 Q0 Q1 11.88l

s

L H0 J Q0 L 47.77m S J K Q0 S 654.47 s m2

M H1 J Q1 M 32.23m T J K Q1 T 654.47s m2

Para el tiempo t=0,50s, los valores serán:

t t t t 0.50s H0 Hres H sin t( ) H0 43.00m

Q0

H0 M

T Q0 16.46

l

s

Q1 Cd A0 2

g S g S Cd A0 2

2

Cd A0 2

2 g L Q1 11.88l

s

H1 L S Q1 H1 39.99m

L H0 J Q0 L 53.77m S J K Q0 S 654.68 s m2

M H1 J Q1 M 32.23m T J K Q1 T 654.47s m2

Para el tiempo t=1,01s, los valores serán:


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CAPÍTULO 13

602

t t t t 1.01s H0 Hres H sin t( ) H0 40m

Q0

H0 M

T Q0 11.88

l

s

Q1 Cd A0 2

g S g S Cd A0 2

2

Cd A0 2

2 g L Q1 12.67l

s

H1 L S Q1 H1 45.47m

L H0 J Q0 L 47.77m S J K Q0 S 654.47s m2

M H1 J Q1 M 37.19m T J K Q1 T 654.51s m2

Y así sucesivamente hasta t=12,1s. Los valores fueron volcados en la siguiente tabla:t H0 Q0 H1 Q1 L M S T

s m m³/s m m³/s m m s/m² s/m²

0 40,00 0,01188 40,00 0,01188 47,77 32,23 654,52 654,520,50 43,00 0,01645 39,99 0,01188 53,76 32,23 654,72 654,521,01 40,00 0,01188 45,47 0,01266 47,77 37,19 654,52 654,55

1,51 37,00 -0,00028 39,99 0,01188 36,81 32,23 653,99 654,522,02 40,00 0,01188 30,08 0,01030 47,77 23,34 654,52 654,442,52 43,00 0,03004 39,99 0,01188 62,64 32,23 655,34 654,523,03 40,00 0,01188 53,63 0,01375 47,77 44,64 654,52 654,603,53 37,00 -0,01166 39,99 0,01188 29,37 32,23 654,51 654,524,03 40,00 0,01188 23,42 0,00909 47,77 17,48 654,52 654,394,54 43,00 0,03900 39,99 0,01188 68,51 32,23 655,74 654,525,04 40,00 0,01188 59,04 0,01443 47,77 49,60 654,52 654,635,55 37,00 -0,01925 39,99 0,01188 24,41 32,23 654,85 654,526,05 40,00 0,01188 19,04 0,00820 47,77 13,68 654,52 654,356,56 43,00 0,04481 39,99 0,01188 72,30 32,23 656,00 654,527,06 40,00 0,01188 62,56 0,01486 47,77 52,84 654,52 654,657,57 37,00 -0,02420 39,99 0,01188 21,17 32,22 655,07 654,528,07 40,00 0,01188 16,22 0,00756 47,77 11,27 654,52 654,328,57 43,00 0,04849 39,99 0,01188 74,71 32,23 656,17 654,529,08 40,00 0,01188 64,79 0,01512 47,77 54,90 654,52 654,669,58 37,00 -0,02735 39,99 0,01188 19,12 32,22 655,22 654,52

10,09 40,00 0,01188 14,44 0,00714 47,77 9,77 654,52 654,3010,59 43,00 0,05078 40,00 0,01188 76,21 32,23 656,27 654,5211,10 40,00 0,01188 66,18 0,01528 47,77 56,19 654,52 654,6711,60 37,00 -0,02931 39,99 0,01188 17,83 32,22 655,30 654,5212,10 40,00 0,01188 13,33 0,00686 47,77 8,85 654,52 654,29

(*) Los valores sombreados en gris, se generan con distintas expresiones

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

H

[ m ]

-0,04000

-0,03000

-0,02000

-0,01000

0,00000

0,01000

0,02000

0,03000

0,04000

0,05000

0,06000

Q

[ m ³ / s ]

HP0 HP1 QP0 QP1

13.7.2.2 Válvula

Dividiendo la ecuación e13.72 con la e13.71, resulta:


31/37


603

000 H

H

V

V

Q

Q t t t e13.78

Donde: es el coeficiente de apertura de la válvula, y se toma =1 para la válvula totalmente abierta y

=0 para la válvula totalmente cerrada. La variación entre 1 y 0 se hace con alguna ley exponencial. perm permd perm H g AC Q 20

t permvt t vt t d t H g C H g C H g AC Q 2220

Ejemplo 13.5

En la figura f:13.16 se muestra una tubería conectada aguas arriba a un reservorio de nivel constante y quedescarga por una válvula. La misma se cierra en 35 s. Los coeficientes de la válvula, se dan en la tabla anexa.Determínese el movimiento resultante del fluido en la tubería y las fluctuaciones de carga. Tome comotiempo máximo de análisis 40 s. El coeficiente de apertura de la válvula se da con la siguiente expresión:

23

351

,

s

t

De tal forma que permvt v

C C

f:13.16 l=4447m

De=2000m, e=30mm

Hres=100m

válvulaCv(t=0)=0,06m²

Solución

Se observa que la condición de contorno aguas arriba es: un embalse de nivel constante y la condición aguasabajo: una válvula que se cierra en 35 segundos.


m3 1.14610

6

m2

s K agua 2.059109Pa

Datos del conducto: Eaº 200 109

Pa De 2000mm e 30mm 0.046mm


2

4 A 2.95592m

2


c

K agua

agua

1K agua D

e Eaº

c 1112m

s


32/37

CAPÍTULO 13

604

Altura del reservorio Hres 100m

factor de fricción f 0.01173 (verificado más adelante)

longitud de la cañería: l 4447m l 4447.00m

velocidad del sonido c 1112

m

s

diámetro de la cañería D 1.94m

aceleración de la gravedad g 9.8066m s2

área de la cañería A D

2

4 A 2.95592m

2

cantidad de segmentos a dividir lcañería

N 4

incremento diferencial en x xl

N x 1112m

incremento diferencial en t t xc

t 1.00s

constantes Jc

g A J 38.35s m

2 K

f x

2 g D A2

K 0.0392s2

m5

coeficiente de derrame de laválvula para t=0 Cv_perm 0.06m

2 Cd

Cv_perm

A Cd 0.02030

a) Cálculo de las condiciones en régimen permanente (t=0s)

Hres=100m

l=4447m

I=0 I=4

Di=1940mm, f=0,0117, a=1112 m/sválvulaCv(t=0)=0,06m²

N=4, x=1112m

I=3I=2I=1

Aplicando ecuación de la energíaentre el pelo del agua y laválvula, resulta:

Hres

p4

z4

V42

2g H A_4= => Hres H4

V42

2g f

l

D

V42

2g=

Expresando la velocidad enfunción al caudal, se tiene Hres H4

V42

2g1 f

l

D

= =>

Expresando la velocidad enfunción al caudal, se tiene Hres H4

Q4

A4

21

2g 1 f

l

D

=

Por otro lado, el caudal en laválvula no es igual al caudalantes del orificio, sino queresponde a la expresión:

Q4 Cd A4 2 g H4= H4

Q4

Cd A4

21

2g=

Hres

Q4

Cd A4

2 1

2g

Q4

A4

2 1

2g 1 f

l

D

= Hres

Q4

A4

2 1

2g

1

Cd2

1 f l

D

=


33/37


605

A4 A A4 2.96 m2

Q4 A4

Hres 2 g

1

Cd

21 f

l

D

Q4 2.6421m

3

s

Número de Reynolds ReV4 D

= Re

Q4

A4

D

Re 1513103

Expresión Colebrook-White f F( )1

F0.86 ln

D 3.7

2.51

Re F

F 0.01

Factor de fricción f root f F( ) F( ) f 0.01173

H0 Hres

Q4

A

21

2g

H0 99.96m

H I( ) H0 I( ) K Q42

Q I( ) Q4

Secciones interiores I 0 1 4 H I( )

99.959

99.685

99.412

99.138

98.864

m

Q I( )

2.642

2.642

2.642

2.642

2.642

m3

s

H0 H 0( ) H1 H 1( ) H2 H 2( ) H3 H 3( )

Q0 Q 0( ) Q1 Q 1( ) Q2 Q 2( ) Q3 Q 3( )

b) Cálculo de las condiciones en régimen no permanente

t t t t 1.00s Cierre de laválvula

Cv Cv_perm 1t

35s

3.2

Cv 0.0547m2

Condición de contorno en I=N=4 S4 J K Q3 S4 38.46s

m2.00

L4 H3 J Q3 L4 200.47m

Q4 Cv2

g S4 Cv4

g S4 2

Cv2

2 g L4 Q4 2.482m

3

s

H4 L4 S4 Q4 H4 105.02m

Condición de contorno en I=0 H0 H0 H0 99.96m

M0 H1 J Q1 T0 J K Q1

M0 1.65 m T0 38.46 s m2

Q0

H0 M0

T0 Q0 2.642

m3

s


34/37

CAPÍTULO 13

606

Para puntos interiores:

I 1 L1 H0 J Q0 M1 H2 J Q2 S1 J K Q0 T1 J K Q2

L1 201.29m M1 1.92 m S1 38.46 s m2

T1 38.46 s m2

Q1

L1 M1

S1 T1 Q1 2.642

m3

s HP1 M1 T1 Q1 H1 99.69m


L2 201.02m M2 2.20 m S2 38.46 s m2

T2 38.46 s m2

Q2

L2 M2

S2 T2 Q2 2.642

m3

s H2 M2 T2 Q2 H2 99.41m


L3 200.75m M3 9.83m S3 38.46 s m2 T3 38.45 s m

2

Q3

L3 M3

S3 T3 Q3 2.482

m3

s H3 M3 T3 Q3 H3 105.28m

t t t t 2.00s Cierre de laválvula

Cv Cv_perm 1t

35s

3.2

Cv 0.0497m2

Condición de contorno en I=N=4 Q4 Cv2

g S4 Cv4

g S4 2

Cv2

2 g L4 Q4 2.321m

3

s

H

4

L

4

S

4

Q

4

H

4

111.20m

Condición de contorno en I=0 H0 H0 H0 99.96m

M0 H1 J Q1 T0 J K Q1

M0 1.65 m T 654.51s m2

Q0

H0 M0

T0 Q0 2.642

m3

s

Para puntos interiores:


L1 201.29m M1 1.92 m S1 38.46 s m2 T1 38.46 s m

2

Q1

L1 M1

S1 T1 Q1 2.642

m3

s H1 M1 T1 Q1 H1 99.69m


L2 201.02m M2 10.07m S2 38.46s m2

T2 38.45s m2

Q2

L2 M2

S2 T2 Q2 2.483

m3

s H2 M2 T2 Q2 H2 105.54m


35/37


607


L3 200.76m M3 22.18m S3 38.45 s m2

T3 38.45 s m2

Q3

L3 M3

S3 T3 Q3 2.322

m3

s H3 M3 T3 Q3 H3 111.46m

En la siguiente figura se volcaron los resultados hasta t=2s, para indicar figurativamente lo que se hacalculado:

f:13.17

t=0

H1=99,69Q1=2,642

H2=99,41Q2=2,642

H3=99,14Q3=2,642

H4=99,86Q4=2,642

H0=99,96Q0=2,642

H1=99,69Q1=2,642

H2=99,41Q2=2,642

H3=105,28Q3=2,842

H4=105,02Q4=2,842

hidraulica - capítulo 13 - golpe de ariete - version 04

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