hur lärare skapar möjligheter för eleverna att utveckla
TRANSCRIPT
NATURVETENSKAP-MATEMATIK- SAMHÄLLE
Examensarbete i fördjupningsämnet
Matematik och lärande 15 högskolepoäng, avancerad nivå
Hur lärare skapar möjligheter för eleverna att utveckla den matematiska
resonemangsförmågan
How teachers create opportunities for the students to develop the mathematical reasoning skill
Frida Kristiansson
Melina Falberg
Grundlärarexamen med inriktning mot arbete i förskoleklass och årskurs 1-3, 240 hp Handledare: Ange handledare Datum för slutseminarium 2019-03-26
Examinator: Per Schubert Handledare: Jan Olsson
Förord
Detta examensarbete har skrivits av två lärarstudenter och är en kurs i grundlärarutbildningen
med inriktning mot arbete i förskoleklass och årskurs 1-3 vid Malmö universitet. Arbetet har
vi skrivit tillsammans och båda har varit lika aktiva i skrivprocessen. Vid undersökningen har
vi gjort en intervju tillsammans, därefter har Frida intervjuat tre lärare på egen hand och
Melina har intervjuat en lärare på egen hand. Vidare har Frida transkriberat tre intervjuer och
Melina har transkriberat två intervjuer som vi sedan har delgett varandra.
Abstract
Många studier bekräftar att det är viktigt att man utvecklar elevernas resonemangsförmåga
men få beskriver hur lärare kan utveckla resonemangsförmågan. Syftet med detta arbete är att
undersöka hur lärare introducerar och arbetar för att utveckla elevernas resonemangsförmåga
samt hur olika resonemang kan kategoriseras. För att kunna undersöka detta har vi använt oss
av kategorierna algoritmiska resonemang (AR) och kreativa matematiska resonemang
(KMR). Vi använder teorier om feedback på uppgiftsnivå och processnivå för att se hur
feedback påverkar elevernas resonemang. Vi har genomfört fem semistrukturerade intervjuer
med verksamma lärare i årskurs F-3 för att undersöka hur de arbetar med att utveckla
elevernas resonemangsförmåga i matematik. Resultatet av vår studie visar att lärare har olika
uppfattningar av vad resonemang vilket kan bero på att de saknar verktyg för att se olika
resonemangstyper. Vid introduktionen av arbetet med att utveckla resonemangsförmågan
beskriver lärarna främst hur de arbetar för att bygga upp ett tryggt klassrumsklimat, inte hur
de arbetar med just resonemangsförmågan. Lärarna vi intervjuade ger ofta feedback på
uppgiftsnivå vilket leder till att fokus hamnar på svaret istället för på processen. Vi ser att
lärarna kan utveckla sin feedback till processnivå genom att ställa frågor till eleverna som
berör processen vilket hjälper dem att nå KMR. Vår slutsats är att lärarna med enkla medel i
antingen uppgiftsskapande eller stöttning skulle kunna leda eleverna mot KMR.
Nyckelord: algoritmiska resonemang, feedback, feedback på processnivå, feedback på
uppgiftsnivå, kreativa matematiska resonemang
Innehållsförteckning
1. Inledning .................................................................................................................................... 1
2. Syfte och frågeställningar ........................................................................................................... 2
3. Bakgrund ..................................................................................................................................... 3 3.1 Läroplanen .................................................................................................................................... 3 3.2 Imitativa resonemang .................................................................................................................... 4 3.3 Kreativa matematiska resonemang ............................................................................................... 5 3.4 Varför ska man arbeta med KMR? ............................................................................................... 6 3.5 Uppgifter som leder till KMR ........................................................................................................ 7 3.6 Skapa förutsättningar för KMR genom stöttning .......................................................................... 8
4. Teoretiska begrepp ................................................................................................................... 11 4.1 Resonemang ................................................................................................................................ 11 4.2 Olika typer av resonemang ......................................................................................................... 11 4.3 Formativ feedback ...................................................................................................................... 12
5. Metoder .................................................................................................................................... 13 5.1 Metodval ..................................................................................................................................... 13 5.2 Urval ........................................................................................................................................... 13 5.3 Forskningsetiska överväganden .................................................................................................. 14 5.4 Genomförande ............................................................................................................................ 15 5.5 Analysmetod ................................................................................................................................ 15 5.6 Validitet och reliabilitet .............................................................................................................. 16
6. Resultat och analys ................................................................................................................... 17 6.1 Presentation av lärarna .............................................................................................................. 17 6.2 Hur läraren introducerar arbetet ................................................................................................ 18 6.3 Vilken typ av uppgifter läraren använder ................................................................................... 20 6.4 Lärarens stöttning till eleverna ................................................................................................... 24 6.5 Sammanfattning av resultat ........................................................................................................ 26
7. Slutsats och diskussion .............................................................................................................. 29 7.1 Kritik mot arbetet ........................................................................................................................ 30 7.2 Framtida forskning ..................................................................................................................... 31
Referenser .................................................................................................................................... 33
Bilagor .......................................................................................................................................... 36 Bilaga 1. ............................................................................................................................................ 36 Bilaga 2. ............................................................................................................................................ 37 Bilaga 3. ............................................................................................................................................ 38
1
1. Inledning
I en litteraturstudie vi genomförde 2017 fann vi att det finns mycket forskning kring
resonemangsförmågan kopplat till matematisk problemlösning. Däremot fann vi inte så
många studier som tar upp resonemangsförmågan i anknytning till specifika matematiska
områden. Sidenvall (2015) skriver att resonemang är viktiga för att eleverna ska kunna
utveckla en matematisk förståelse och stärka sina matematiska kunskaper. Vi vill komplettera
dagens forskningsunderlag med en studie kring olika sätt att arbeta med
resonemangsförmågan i olika matematiska områden. Lithner (2008) beskriver olika typer av
resonemang. En typ är kreativa matematiska resonemang som innebär att eleverna ska hitta
lösningsmetoder på egen hand och formulera argument med förankring i matematiken.
Eleverna får ingen guidning från varken uppgiften eller direkta formler eller lösningsförslag
från läraren. Olsson och Teledahl (2019) påpekar att lärarens roll är viktig eftersom läraren
istället för att visa hur uppgiften kan lösas ställer frågor. Eleverna får då resonera sig fram till
en lösning och argumentera för den. Lithner (2008) beskriver även imitativa resonemang som
innebär att eleverna lär sig en procedur i läroboken eller av läraren och sedan imiterar
proceduren för att lösa sin uppgift utan att formulera argument. I läroplanen står det att
eleverna ska kunna föra och följa matematiska resonemang som berör metodval, räknesätt och
resultatets rimlighet genom att ställa och besvara frågor som i huvudsak hör till ämnet
(Skolverket, 2018). Vår tolkning är att eleverna ska vara aktiva i lärandet. Härav är det av stor
vikt att lärare är medvetna om hur man kan arbeta medvetet och framgångsrikt med att
utveckla elevernas resonemangsförmåga så att de blir aktiva i lärprocessen.
I en studie av Nunes, Bryant, Barros och Sylva (2012) kommer de fram till att kopplingen
mellan matematiska resonemang och framtida prestation inom matematik var mycket
tydligare än kopplingen mellan aritmetiska kunskaper och framtida prestation inom
matematik. Vi har upptäckt att många studier beskriver att det är viktigt att arbeta med
elevernas resonemangsförmåga men få beskriver hur lärare kan arbeta för att eleverna ska
utveckla effektiva resonemang. Vi upptäckte även att studierna som finns inom området i
dagsläget är utförda på äldre elever från 13 år, härav finns det en anledning att komplettera
dagens forskning mot de yngre eleverna. Utifrån vårt teoretiska ramverk vill vi därför i denna
studie undersöka hur lärare introducerar arbetet med att utveckla elevernas resonemang. Vi
vill också ta reda på hur lärare fortsätter att låta eleverna utveckla resonemang genom val av
uppgifter och stöttning.
2
2. Syfte och frågeställningar
Syftet är att undersöka hur lärare introducerar och vidare arbetar för att eleverna ska utveckla
den matematiska resonemangsförmågan i årskurs F-3 och hur resonemangen kan
kategoriseras till algoritmiska eller kreativa matematiska resonemang.
• Hur introducerar läraren arbetssätt där eleverna kan utveckla resonemangsförmågan?
• Hur skapar läraren möjligheter för elevernas utveckling av resonemangsförmågan
genom uppgifter och stöttning?
3
3. Bakgrund
I detta avsnitt redovisar vi tidigare forskning inom området vi ska undersöka samt hur vi valt
att tolka och definiera begreppet resonemang. Vi presenterar också utifrån läroplanen och
forskning varför detta område är viktigt. Resonemang kommer vi att presentera som imitativa
och kreativa.
3.1 Läroplanen
I kursplanens syfte för matematik står det att eleverna inom matematikundervisningen ska få
möjlighet att utveckla förmågan att argumentera logiskt och föra matematiska resonemang
(Skolverket, 2018). Begreppet resonemang kommer vi att tolka utifrån Lithners (2008)
definition som är att resonemang är tankegången som sker när en ska lösa en uppgift.
Tankegången och lösningen måste inte vara logisk eller korrekt så länge den uppfattas som
rimlig av den som löser och resonerar kring uppgiften. Lösningen anses som rimlig eftersom
personen förlitar sig på sitt resonemang. Vidare står det i kursplanens syfte att eleverna ska
utveckla kunskaper för att formulera och lösa problem samt reflektera över sina strategier
(Skolverket, 2018).
Resonemang står som en av de fem matematiska förmågorna i läroplanens syfte för
matematik. Härav är lärare skyldiga att arbeta med utvecklingen av denna förmåga likväl som
de andra fyra. De fem matematiska förmågorna genomsyrar i sin tur det centrala innehåll där
varje arbetsområde representeras med ett antal punkter att arbeta utefter. Kunskapskraven för
årskurs 3 speglar i sin tur både syftet och det centrala innehållet för matematik. Där står det
bland annat att:
Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och
räknesätt samt om resultats rimlighet, slumpmässiga händelser, geometriska
mönster och mönster i talföljder genom att ställa och besvara frågor som i
huvudsak hör till ämnet. (Skolverket, 2018, s. 60)
4
För att förstå vad Skolverket menar med resonemang måste vi också läsa
kommentarmaterialet till kursplanen för matematik. Där beskrivs mer ingående vad det
innebär att föra ett matematiskt resonemang.
En del av att kunna föra ett resonemang innebär att utveckla en förståelse för att
matematiska samband är konstruerade, och att de därför också kan
”återupptäckas” genom att man resonerar sig fram. När eleverna får möjlighet
att föra matematiska resonemang kan de resonera sig fram till olika lösningar
med hjälp av både informella och formella matematiska argument. (Skolverket,
2017, s. 10)
Skolverkets (2017) förklaring är likvärdig med den förklaring som Lithner (2008) ger av
resonemang. Lithners förklaring kommer att beskrivas mer ingående i kommande avsnitt.
3.2 Imitativa resonemang
Lithner har gjort flera studier där han undersöker elevers svårigheter med att lösa matematiska
uppgifter där lösningsmetoden inte är given (Lithner, 2000; 2003; 2004). Han kommer fram
till att svårigheterna ofta beror på elevernas imitativa resonemang vilket innebär att eleverna
försöker applicera en regel som de tidigare lärt sig i en liknande uppgift men utan att förstå
matematiken bakom regeln. Lithner (2003) har gjort en kvalitativ studie med ett fåtal
universitets studenter med syfte att undersöka hur de resonerar och var problematiska
situationer uppstår. Han presenterar ett exempel från sin egen praktik en elev som fått
uppgiften 𝑎" ∙ 𝑎$ =____. Eleven undrar om svaret är 𝑎&". Eleven minns att hen hade lärt sig
en regel, och försöker komma ihåg om det handlade om att multiplicera eller addera basen
eller exponenterna men hen minns inte vilket det skulle vara. Eleven försöker minnas
proceduren istället för att förstå att grunden i 𝑎' innebär en upprepad multiplikation där man
ska multiplicera a, med m gånger. 𝑎" ∙ 𝑎$ är alltså samma sak som 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 multiplicerat
med 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎. Lithner (2008) delar sedan upp imitativt resonerande i två olika typer. Den ena
är algoritmiska resonemang, som vi fortsättningsvis kommer benämna som AR och det är
också denna typ av imitativt resonemang som vi kommer använda oss av i vår undersökning.
Den andra typen är memorerande resonemang (MR). Lithner (2008) förklarar innebörden av
MR som att eleven har memorerat ett svar och behöver därmed inte göra en uträkning för att
besvara uppgiften. Detta används vid uppgifter där eleven endast ska skriva ett svar. Ett
5
exempel på MR är att en elev har lärt sig att 100 cm är 1 m, om eleven sedan får frågan; Hur
många cm går det på 1 m? så behövs inte någon matematisk uträkning eftersom eleven redan
vet svaret. Svaret är memorerat.
Lithner (2008) förklarar att en algoritm är en matematisk procedur i ett bestämt antal steg som
används för att lösa ett visst problem eller utföra en beräkning. Om eleven väljer rätt algoritm
till uppgiften samt implementerar den korrekt så kommer det leda till ett korrekt svar. Lithner
säger också att den största svårigheten i AR är att välja rätt algoritm. Han beskriver att det
finns tre olika sätt att välja rätt algoritm. En variant är välkänd AR vilken innebär att eleven
väljer en algoritm som hen är bekant med sedan tidigare från en liknande uppgift, eleven
väljer då en procedur efter uppgiften. Är uppgiften bekant sedan tidigare kommer eleven välja
den algoritm som tidigare har använts, exempelvis när eleven ska beräkna procentsatser där
det finns färdiga procedurer att använda. Ett annat sätt är avgränsad AR vilket innebär att
eleven kan flera procedurer och väljer en eller flera av dem som känns relevanta för att kunna
lösa uppgiften utifrån en ytlig reflektion över rimligheten. Om svaret inte upplevs som rimligt
så överges proceduren och eleven går vidare till nästa utan att reflektera över vad som gjorde
att svaret blev fel. Detta fortsätter tills eleven fått ett tillfredsställande svar oavsett om det är
korrekt eller inte, alternativt ger eleven upp utan att ha fått ett svar. Exempel på avgränsad AR
är om eleven ska beräkna en uppgift såsom “Hur många procent har priset ökat om varan från
början kostade 10 kr och nu kostar 22 kr?” Eleven löser uppgiften genom att dividera
ökningen med det ursprungliga priset vilket ger ett svar på 120 %. Eleven själv tror inte att
det är ett rimligt resultat eftersom procenttalet vanligtvis är mindre än 100 %. Istället för att
reflektera över vad som hänt i beräkningen så testar eleven att vända på uträkningen, vilket
ger ett för eleven rimligt svar på 83 %. Eleven nöjer sig med det felaktiga svaret eftersom det
uppfattas som rimligt då det är mindre än 100 %. Ytterligare en variant är guidad AR vilket
innebär att eleven följer instruktioner som kommer från läraren eller boken. Eleven blir
guidad genom uppgiften och får stegvis instruktioner för att lösa uppgiften. Eleven behöver
inte reflektera eller argumentera för varför just den proceduren är lämplig och korrekt till
uppgiften. Eleven löser uppgiften steg för steg enligt instruktion.
3.3 Kreativa matematiska resonemang
Lithner (2008) beskriver att det i matematikundervisningen inte är vanligt att elever får
uppgifter som kräver kreativa matematiska resonemang (KMR) utan att det oftast är uppgifter
6
som kan lösas genom AR. KMR innebär att eleven hittar en lämplig procedur för att lösa
uppgiften och kan argumentera för den utifrån matematiska grunder. Proceduren är för eleven
ny eller återskapad från en bortglömd procedur. Eleven delar upp uppgiften i delar för att
stegvis med väl motiverade procedurer lösa den. Lithners (2008) kriterier för att nå ett
fullständigt KMR är:
• Eleven ska på egen hand ta fram en för eleven ny eller återskapad lösningsmetod.
• Eleven ska kunna argumentera och motivera för rimligheten i sitt val och användande
av metod samt resultat.
• Resonemanget ska vila på matematiska grunder.
Ett exempel på en uppgift som kan leda till fullständigt KMR är samma som den inledande
uppgiften i avsnittet Imitativa resonemang. I exemplet 𝑎" ∙ 𝑎$ =____ undrar eleven om svaret
blir 𝑎&". För att leda eleven till ett KMR kan läraren ställa följdfrågor där eleven får reflektera
över sitt svar, exempelvis ”Vad kan du om potensräkning?” Eleven kan genom den frågan
reflektera över sina kunskaper och sitt svar och därmed närma sig KMR. Om eleven har svårt
att komma igång i resonerandet kan läraren ställa ytterligare en fråga om hur eleven kom fram
till sitt svar 𝑎&". Avsikten med frågan är att eleven ska förklara sin lösningsprocedur och själv
kunna avgöra om svaret är rimligt. Nästa steg blir att eleven ska minnas eller komma fram till
grunderna i potensräkning och komma fram till en korrekt procedur och lösning.
3.4 Varför ska man arbeta med KMR?
Pape, Bell och Yetkin (2003) beskriver hur kraven för att vara duktig på matematik har
förändrats. Från att vara duktig på formler och algebraiskt tänkande till att ha konceptuell
förståelse, strategisk kompetens och anpassningsbar resonemangsförmåga. Sidenvall (2015)
har skrivit en avhandling som grundar sig på tre olika studier som behandlar matematiska
resonemang. Han kom fram till att när eleverna får möjlighet att resonera ökar deras förmåga
att kunna repetera, återberätta och argumentera för val av metoder och lösningar. Elevernas
förmåga att repetera och återberätta ökar genom ett effektivt resonemang eftersom de måste
framföra matematiska argument för sina lösningar. Denna arbetsgång skapar en konceptuell
förståelse och anpassningsbar resonemangsförmåga.
Studier visar att KMR har en större effekt än AR på inlärningen och förmågan att minnas det
man lärt sig (Jonsson, Norqvist, Liljekvist & Lithner, 2014; Lithner, 2008; Norqvist, 2018;
7
Olsson & Granberg, 2018). Norqvist (2018) har gjort en studie där han ville undersöka
effekterna av KMR, AR och förklarande AR. Förklarande AR innebär att det finns en
förklaring till varför man använder sig av den procedur som angivits. Studien gjordes i tre
grupper med 125 deltagare i åldern 16-17 år. Eleverna gjorde ett förtest som var ett enklare
intelligenstest som delade in eleverna i grupper. Därefter fick eleverna arbeta gruppvis med
olika uppgifter. Resultatet under övningarna var att grupperna med AR och förklarande AR
fick betydligt högre poäng än gruppen med KMR. Därefter gjordes ett eftertest där resultatet
blev att alla tre grupper hade ungefär samma poäng. Alltså hade de två AR grupperna
betydligt lägre poäng i eftertestet jämfört med förtestet medan gruppen med KMR bara hade
något lägre poäng i eftertestet.
Liknande resultat blev det i de andra studierna, alltså att eleverna som fick arbeta med KMR
presterade bättre på eftertesterna än de som arbetat med AR. Jonsson et al. (2014) har gjort en
studie med 131 elever i 16-17 års ålder för att jämföra effekten av KMR och AR. Eleverna
fick göra ett test som analyserades för att kunna dela in dem i två grupper. Den ena gruppen
fick sedan öva på AR-uppgifter och den andra på KMR-uppgifter för att till sist göra ett slut
test. Resultatet av deras studie var att de elever som hade sämre förutsättningar för att klara
matematiken i uppgifterna drog större nytta av att arbeta med KMR. Ett annat resultat var att
de elever som arbetade med uppgifter som ledde till KMR behövde längre tid till uppgifterna
än de som arbetade med AR. Däremot presterade eleverna som arbetat med KMR bättre i
eftertestet än de som arbetat med AR. Undersökningen visar att elever som måste anstränga
sig och riktigt engagera sig i uppgiften för att lösa den får en djupare förståelse för
matematiken vilket leder till en relationell och konceptuell förståelse samt bättre matematiska
prestationer i framtiden.
3.5 Uppgifter som leder till KMR
Kapur (2011) har gjort en studie med 109 elever i årskurs 7 som bygger vidare på hans
tidigare forskning. Alla elever undervisas av samma lärare men med olika
undervisningsmetoder. Detta för att kunna jämföra effekten av olika uppgiftstyper i olika
undervisningsmetoder. Han har använt sig av två olika uppgiftstyper, den ena typen är en
väldefinierad uppgift där alla variabler finns utskrivna. Det finns alltså inga ytterligare
variabler som eleven behöver räkna ut eller resonera sig fram till innan det går att beräkna
uppgiften. Den andra typen är en odefinierad uppgift där eleven på egen hand måste fastställa
8
alla variabler. Denna uppgift innehåller alltså mindre guidning än den väldefinierade
uppgiften. Resultatet visar att de elever som fick arbeta med väldefinierade uppgifter
presterade bättre på förtestet än de elever som arbetat med de odefinierade uppgifterna.
Däremot så visade det sig att resultatet blev omvänt på eftertestet där de elever som arbetat
med odefinierade uppgifter presterade bättre än de som arbetat med väldefinierade uppgifter.
Alltså har uppgifternas struktur en stor påverkan på elevers resultat.
Att skapa uppgifter som leder till KMR kan enligt Lithner (2017) både vara enkelt och svårt.
Svårigheten är att inte göra för svåra uppgifter samt att göra uppgifter där eleven får träna på
det som läraren tänkt sig att eleven ska lära sig. När man arbetar med KMR är det svårt att
veta vilken metod eleven kommer välja och således svårt att veta vilka upptäckter de kommer
göra i en uppgift. Uppgiften måste också ge eleven möjlighet till att konstruera egna argument
som är kopplade till sin lösning. Enligt Lithner är det tre komponenter som skapar en bra
uppgift för KMR. Uppgiften ska ge möjlighet till kreativitet, argumentation och konceptuell
utmaning. Den kreativa utmaningen handlar om att eleverna ska uppmuntras till att stegvis
konstruera en egen lösning genom matematiska argument istället för att försöka minnas en
färdig procedur som de lärt sig tidigare men inte kan argumentera för. Den konceptuella
utmaningen styr vilken matematisk svårighet uppgiften ska ha. Det betyder också att
svårigheten måste matcha elevens befintliga kunskap, uppgiften ska vara utmanade och
problematisk men inte så svår att eleven upplever den som omöjlig och tappar intresset.
Argumentationen kan vara olika utmanande, eleverna ska kunna argumentera för sin
förutsägelser, alltså argumentera för varför de väljer att beräkna uppgiften som de gör samt
varför de tror att de kommer få det svaret som de tänkt sig.
3.6 Skapa förutsättningar för KMR genom stöttning
Olsson och Granberg (2018) har gjort en interventionsstudie på 129 elever i åldrarna 15-16 år.
De testade i en studie effekten av att lösa uppgifter genom KMR kontra AR. Resultatet blev
att de elever som klarat en övningsuppgift genom KMR presterade bättre än de som klarat en
övningsuppgift genom AR. Däremot var det bara 22 stycken (33 %) av dessa elever som
arbetade genom KMR som klarade övningsuppgiften, jämfört med 43 stycken (68 %) i AR-
gruppen. Första uppgiften i eftertestet var om eleverna kom ihåg regeln de skapade i förtestet.
Resultatet visar att av de 22 eleverna i KMR-gruppen som klarat övningsuppgiften, klarade 17
stycken (77 %) denna uppgift. I AR-gruppen var det 17 stycken av 43 elever (40 %) som
9
klarade första uppgiften i eftertestet. Alltså har KMR stor betydelse för hur väl eleverna minns
lärandemålet för en uppgift, således har läraren en viktig uppgift i att stötta eleverna till KMR.
I diskussionen skriver Olsson och Granberg om att läraren dels behöver använda sig av icke-
guidade uppgifter som möter eleverna på den kunskapsnivå de befinner sig på, dels stötta
eleverna på ett sätt där de får möjlighet att skapa och argumentera för lösningsmetoden.
Lärarens roll är alltså inte att förklara hur uppgiften ska lösas. Läraren behöver stötta och
uppmuntra fler elever att klara uppgifterna genom KMR eftersom det kan leda till en
relationell förståelse, det vill säga en djupare förståelse.
Ett sätt att begreppsliggöra stöttning är att titta på lärares feedback till eleverna. Hattie och
Timperley (2007) presenterar fyra olika sätt att ge feedback på. Det kan ske på uppgiftsnivå,
processnivå, självregleringsnivå och personlig nivå. Hattie (2012) beskriver att feedback på
uppgiftsnivå kan bestå av kommentarer till elevens uppgift, exempelvis fråga eleven om hen
kan visa sitt svar på något annat sätt eller uppge mer information kring sitt svar. Det är denna
typ av feedback som är vanligast i klassrummen och den är effektiv om den är
informationsfokuserad och fokuserar på de processer som eleven använt för att ta sig igenom
en uppgift. Hattie och Timperley (2007) skriver också att för mycket feedback på uppgiftsnivå
kan leda till att eleven fokuserar mer på kortsiktiga mål istället för på långsiktiga strategier för
sitt lärande. Vidare kan eleven få feedback på processnivå. Syftet med denna typ av feedback
är att den ska leda till utveckling av inlärningsstrategier. Läraren kan exempelvis be eleven att
försöka reda ut var i processen alltså uträkningen det blev fel. Denna feedback hjälper eleven
till att själv bearbeta sin process istället för att fokusera på svaret. Genom att på egen hand
bearbeta sin process skapas en djupare förståelse för lösningen till uppgiften som sedan kan
användas i kombination med andra strategier i nya uppgifter. Självregleringsnivå handlar om
att tillsammans med eleven utveckla verktyg för självbedömning, bättre självdisciplin eller
förmåga till att själv söka feedback från lärare eller andra hjälpmedel som böcker och digitala
verktyg. Det största fokuset inom självregleringsnivån är att stärka elevens förmåga till att
motivera sig själv och utvärdera sin egen framgång. Till sist har vi den nivå som kallas
personlig nivå. Denna feedback är oftast ineffektiv eftersom den syftar till eleven som person
och inte till hur eleven ska arbeta vidare sitt svar eller sin lösning för att utveckla sitt lärande.
Ett exempel på detta är kommentaren “Bra jobbat!” vilket är beröm till eleven men saknar
återkoppling kring hur eleven kan utveckla sitt lärande. Feedback på personlig nivå är vanligt
i klassrummen men kan ha en negativ effekt på elevens framtida prestationer eftersom den
fokuserar på bra och dåligt eller rätt och fel, det vill säga att fokus ligger på kvaliteten på
produkten istället för processen.
10
Olsson och Teledahl (2019) har gjort en pilotstudie i årskurs 8 för att arbeta fram principer för
hur läraren kan ge feedback som leder till KMR, dessa principer testades sedan av läraren. De
har konkretiserat delen kring feedback i den formativa bedömningen för att lärare ska kunna
använda den direkt i klassrummet. Principerna går ut på att eleverna uppmuntras att sätta ord
på hur de tänkt för att lösa uppgiften och förklara varför deras lösningsmetod fungerar. De
uppmuntras också att använda sig av tidigare delar i uppgiften för att kunna kontrollera om
deras slutgiltiga svar är korrekt. Olsson och Teledahl (2019) nämner ett exempel på detta med
en elev som inte kommer fram till ett korrekt svar på fråga 3 (se figur 1). Eleven beräknar den
genom 5 x 100 + 28 = 528. För att stötta eleven mot KMR frågar läraren hur eleven löst första
frågan, därefter utmanas eleven att komma fram till en generell lösning. När eleven hittat en
generell lösning uppmuntras eleven att testa sin lösning på fråga 2 och 3 eftersom de båda
hade felaktiga lösningar. Läraren uppmuntrar eleven att resonera kring lösningen på fråga 1
eftersom eleven där är säker på att svaret är korrekt och kan då använda det för att kontrollera
sin metod. När eleven fått en metod som gav korrekt svar i fråga 1 kunde hen gå vidare och
testa sin nya metod på resterande frågor. Eleven kunde utifrån lösningen på fråga 1
argumentera för sin lösningsmetod i alla delfrågorna.
Figur 1. Uppgift om blommor och plattor, årskurs 4-6.
11
4. Teoretiska begrepp
4.1 Resonemang
Begreppet resonemang kommer vi att tolka utifrån Lithners (2008) ramverk. Han beskriver
resonemang som tankegången som sker när någon löser en uppgift. Varken tankegången eller
lösningen måste vara logisk eller korrekt, däremot ska den uppfattas som rimlig av den som
löser uppgiften. Lithner har gjort flera studier kring olika typer av resonemang, vi har valt två
typer av dem som är relevanta för studien, algoritmiska resonemang (AR) och kreativa
matematiska resonemang (KMR) (Lithner, 2000; 2003; 2004; 2008; 2017).
4.2 Olika typer av resonemang
För att besvara vårt syfte och frågeställningar kommer vi att analysera vårt material med hjälp
av AR och KMR. Utifrån dessa kan vi kategorisera de resonemangstyper som framkommit i
våra insamlade data. AR innebär att eleven imiterar en lösningsprocedur som givits som
exempel i läroboken eller från läraren vid liknande uppgifter utan att argumentera för varför
det är en lämplig procedur att använda. Vid KMR ska eleven komma på en egen procedur
med hjälp av matematiskt grundade argument för varför proceduren är lämplig och ger rätt
svar. KMR beskrivs av Lithner (2008) i tre punkter. För att uppnå fullständigt KMR krävs det
att alla dessa tre punkterna uppfylls.
• Eleven ska på egen hand ta fram en lösningsmetod.
• Eleven ska kunna argumentera och motivera sitt val och användande av metod.
• Resonemanget ska vila på matematiska grunder.
Lithner (2017) skriver också att uppgifterna måste ha ett visst innehåll för att skapa
förutsättningar för ett fullständigt KMR. Uppgifterna behöver framförallt ge eleven utrymme
till kreativitet, argumentation och konceptuell utmaning. Detta kommer vi använda i vår
analys för att kunna se om uppgifterna som eleverna tilldelas skulle kunna leda till KMR.
12
4.3 Formativ feedback
För att analysera våra data samt besvara frågan om hur läraren skapar möjligheter för eleverna
att utveckla resonemangsförmågan genom uppgifter och stöttning så kommer vi använda
begreppen “feedback på uppgiftsnivå” och “feedback på processnivå”. Dessa begrepp är ett
sätt för oss att begreppsliggöra lärarens stöttning till eleverna.
Hattie (2012) förklarar feedback på uppgiftsnivå genom att man lägger fokus på uppgiften för
att komma fram till ett korrekt svar. Feedbacken kan bestå av direkta kommentarer på om
uppgiften är rätt eller fel. Vid denna typ av feedback behöver eleven inte fundera kring sin
lösning utan läraren berättar för eleven var felet uppstod och hur det rättas till.
Vid feedback på processnivå ligger fokus istället på processen. Genom denna typ av feedback
utvecklas en djupare förståelse eftersom eleven själv behöver hitta felet och fundera ut en
annan metod för att lösa uppgiften. Feedback på processnivå kan leda till ett KMR eftersom
eleven själv måste granska sin process.
13
5. Metoder
I det här kapitlet presenterar vi vårt val av metod och genomförande samt hur vi har gått
tillväga i vårt urval av intervjupersoner. Vi diskuterar arbetets validitet och reliabilitet och
beskriver hur vi har tagit hänsyn till de forskningsetiska principerna. I kapitlet presenterar vi
också vår analysmetod som används till det insamlade materialet.
5.1 Metodval
För att besvara våra frågeställningar har vi valt att använda oss av en kvalitativ metod i form
av intervjuer. Intervju är en lämplig undersökningsmetod eftersom våra frågeställningar syftar
till hur lärare arbetar i klassrummet. Alvehus (2013) beskriver att man genom en intervju kan
man komma åt respondentens erfarenheter och tankar, att det är ett sätt att komma närmare
personen man intervjuar. Till intervjuerna har vi formulerat ett antal huvudfrågor (se bilaga
1), där svaren på frågorna sedan styr samtalets riktning. En intervju av detta slag anses ha en
semistrukturell karaktär (Bryman, 2018). Alvehus (2013) förklarar att denna typ av intervju
inte är enkel för den som intervjuar eftersom det är svårt att förbereda följdfrågor då man inte
vet vilken riktning samtalet kommer ta. Intervjuaren bör ställa följdfrågor som gör att
respondenten fördjupar sitt svar. Vidare skriver han att det är viktigt att den som blir
intervjuad inte ska ställas till svars för sitt arbete eller sina åsikter. Det är vår uppgift som
intervjuare att aktivt lyssna och ställa passande följdfrågor som fördjupar svaren samt öppnar
upp för samtal och samtidigt ramar in samtalet innanför frågeställningens ramar.
5.2 Urval
Vi började med att försöka göra ett målstyrt urval genom att skicka ut en intervjuförfrågan i
fem olika facebookgrupper med aktiva lärare men fick ingen respons. Bryman (2018)
beskriver målstyrt urval som ett icke-sannolikhetsbaserat urval vilket innebär att forskaren
strävar efter att deltagare på ett strategiskt sätt väljs så att de speglar den variation som finns
samt att de är relevanta för forskningsområdet. Nackdelen med att söka kontakt i
facebookgrupper är att det inte blir en direkt och personlig kontakt vilket gör det lätt att
ignorera. Vårt nästa försök gjorde vi genom att skicka ett mejl till rektorer i vårt närområde
14
där vi önskade att komma i kontakt med verksamma lärare att intervjua. Detta beskriver
Alvehus (2013) som ett strategiskt urval vilket innebär att man har gjort ett urval baserat på
vilken information man behöver för att besvara forskningsfrågorna. I vårt mejl efterfrågade vi
lärare som arbetade med resonemangsförmågan i årskurserna F-3. Härav blir det ett strategiskt
urval eftersom vi hade vissa kriterier som skulle uppfyllas för att respondenten skulle vara
intressant för att besvara våra frågeställningar. Rektorerna tillfrågades att vidarebefordra detta
mejl till lärare i årskurserna F-3 i hopp om att några lärare skulle vilja ställa upp på en
intervju. Utifrån detta fick vi enbart ett svar. Vi bokade in ett möte med läraren för att
genomföra intervjun. Vi fick dock ingen mer respons från skolorna och behövde fler lärare att
intervjua. Nästa steg blev då att ta kontakt med våra VFU- skolor och fråga om några lärare
ville ställa upp på intervju. Detta är enligt Alvehus (2013) ett bekvämlighetsurval eftersom vi
vänt oss till en grupp som vi vet finns tillgängliga för intervjuer. Vi hade dock inget annat
alternativ eftersom responsen från de skolor vi kontaktat var dålig och tiden var knapp så vi
valde att ställa frågan till de skolor vi visste var tillgängliga. Responsen från våra VFU-skolor
gav oss fyra lärare att intervjua.
Vi har också varit i kontakt med en verksam lärare som arbetar med KMR. Vi fick detta tips
från en forskare som vi har kontakt med under detta arbete. Vi kunde tyvärr inte träffa läraren
för att göra en observation och intervju, utan hon besvarade istället frågorna skriftligt via
mejl.
5.3 Forskningsetiska överväganden
Vi utgår från Vetenskapsrådets (2002) forskningsetiska principer i vår undersökning. När
forskning bedrivs är det viktigt att de fyra huvudkraven inom individskyddskravet följs. Dessa
är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet.
Informationskravet innebär att deltagaren ska informeras om vad forskningen handlar om och
vilken roll de har, samt att deltagandet är frivilligt. Deltagarna har innan intervjuerna både fått
skriftlig och muntlig information om arbetet och vad det innebär att delta i undersökningen.
För att forskningen ska kunna genomföras behöver man deltagarens samtycke, det vill säga
deras godkännande. Om deltagaren väljer att avbryta ska detta ske utan några negativa följder,
deltagaren har själv rätt att välja om och på vilka villkor de vill delta. Innan intervjuerna har
deltagarna fått ta del av denna informationen och skrivit under en samtyckesblankett (se
bilaga 2). Konfidentialitetskravet innebär att deltagaren ska vara anonym, all information som
15
deltagaren ger ska avidentifieras i arbetet. Vi har i presentationen av vårt resultat
avidentifierat lärarna genom att tilldela dem andra namn och inte uppge var eller vilken skola
de arbetar på. Nyttjandekravet säger att informationen vi samlar in från deltagarna inte får
användas till någonting annat än vår egen forskning, det gäller både intervjumaterial samt
deras personuppgifter. Efter att ha analyserat det insamlade materiellt har detta raderats och
inga personuppgifter finns att tillgå.
5.4 Genomförande
För att få fram relevanta intervjufrågor utgick vi ifrån våra frågeställningar. För varje fråga vi
skrev tänkte vi ut möjliga svar som lärarna skulle kunna ge samt möjliga följdfrågor.
Lärarna fick i förväg ut dessa huvudfrågor (se bilaga 1) som skulle ligga till grund för
intervjun samt en önskan om att samla ihop material och uppgifter från deras undervisning
som vi kunde prata om. Intervjuerna spelades in med en diktafon.
Under den första intervjun upplevde vi att läraren svävade iväg och berättade om saker som
inte direkt kunde besvara våra frågeställningar. Alvehus (2013) skriver om några svårigheter
med intervjuer där man kan ta hänsyn till hur stort utrymme respondenten ska ha och när man
som intervjuare ska gå in och avbryta och leda om samtalet när respondenten verkar sväva
utanför frågan. Till kommande intervjuer fick vi tänka om och försöka hålla samtalet inom
området vilket gav oss utförligare svar. Som vi nämnt tidigare så beskriver Alvehus (2013) att
intervjuer av semistrukturell karaktär inte alltid är enkla. Intervjuaren bör ställa följdfrågor
som gör att respondenten fördjupar sitt svar, detta var något vi fick lägga större fokus på till
kommande intervjuer.
5.5 Analysmetod
Alvehus (2013) skriver att det är i analysen som det teoretiska ramverket möter det empiriska
materialet. För att analysera vårt material utgick vi från våra frågeställningar.
Analyspunkter:
1. Hur läraren introducerar arbetet
2. Vilken typ av uppgifter läraren använder
16
3. Hur läraren stöttar eleverna
Alvehus (2013) beskriver att analysera är som att bryta ner något till dess beståndsdelar. För
att kunna analysera materialet måste vi först transkribera de delar av intervjuerna vi ska
använda. Bryman (2018) skriver att en transkribering är mycket tidskrävande att göra, där en
timmes intervju kan ta 5-6 timmar att transkribera. Därför valde vi att bara transkribera de
delar som rör våra frågeställningar.
5.6 Validitet och reliabilitet
Vi anser att validiteten i vårt arbete är hög eftersom vi har analyserat vårt material utifrån
tidigare forskning och teori som är tydligt kopplade till våra frågeställningar. Vi har
formulerat intervjufrågorna utifrån våra frågeställningar för att säkerställa att vi besvarar
dessa. Vi har också utformat en analysmodell utifrån de teorier vi behöver för att analysera
resultatet och besvara frågeställningarna. Bryman (2018) problematiserar begreppet eftersom
det syftar till att mäta någonting vilket man gör i en kvantitativ studie som ska kunna
presentera ett mer generaliserande resultat. I en kvalitativ studie sker ingen direkt mätning och
syftar sällan till att få fram ett generaliserbart resultat. Som Bryman (2018) beskriver är vårt
syfte inte att få fram ett generaliserbart resultat eftersom det skulle kräva en mer omfattande
undersökning.
Reliabiliteten, det vill säga tillförlitligheten, kan vara svår att uppnå. Det Bryman (2018)
kallar extern reliabilitet, alltså i vilken utsträckning studien går att upprepa, kan vara svår att
uppnå i en kvalitativ studie men är inte helt omöjligt. En kvalitativ studie bygger på individers
uppfattning om ett visst ämne, dessa uppfattningar kan variera stort beroende på miljön
omkring. Forskaren kan också tolka dessa på olika sätt vilket då ger olika resultat. Vi har i
vårt arbete strävat efter så hög reliabilitet som är möjligt med en kvalitativ studie genom att vi
har transkriberat vårt material och visar det i arbetet. Det gör vårt resultat transparent vilket
ger andra en möjlighet att följa vår tankegång och upprepa studien. Efter att vi analyserat vårt
material upptäckte vi att vi hade behövt ställa fler följdfrågor för att fördjupa samtalen och få
en större förståelse av lärarnas undervisning vilket påverkar arbetets reliabilitet.
17
6. Resultat och analys
För att lärarna vi intervjuat ska vara anonyma har vi valt att nämna dem som en siffra istället
för ett namn. I transkriberingarna representeras vi med ett I som står för intervjuare, lärarna
representeras med ett L och den siffra de blivit tilldelade.
6.1 Presentation av lärarna
Lärare 1, åk F-3
Läraren arbetar på en F-3 skola i södra Sverige med ca 124 elever. Eftersom det är en så liten
skola så har lärarna ett nära samarbete med varandra och arbetar likvärdigt enligt henne själv.
De arbetar en del med utematematik och i övrig matematikundervisning är konkret material
och praktiska uppgifter ofta i fokus. Läraren beskriver att de försöker fånga eleverna där de
befinner sig och göra uppgifter utifrån barnens intresse just där och då.
Lärare 2, lärare 3 och lärare 4, åk F-3
Dessa tre lärare arbetar på en F-9 skola i södra Sverige med ca 500 elever. Lärarna arbetar
ofta enligt EPA-modellen (enskilt-par-alla) som innebär att eleverna först får tänka
individuellt, sedan med sin kamrat och sedan diskuterar man tillsammans i hela klassen.
Lärarna har ett varierat arbetssätt där eleverna får arbeta både i läroboken och med uppgifter
vid sidan om som lärarna har letat upp på egen hand.
Lärare 2 arbetar mycket med praktiskt material för att eleverna ska få förståelse för vad de
gör. Hon låter ofta eleverna skriva egna räknesagor vilket är uppskattat av eleverna.
Lärare 3 skapar många möjligheter för eleverna att resonera genom att ställa många varför-
frågor för att eleverna ska tänka till och få förståelse för vad de gör. Hon arbetar också mycket
med ett skapa ett tryggt klassrumsklimat under det första året för att eleverna ska våga ta plats
och prata.
Lärare 4 visar ofta elevlösningar som eleverna får diskutera och de har börjat arbeta mer med
problemlösning.
18
Lärare 5, åk 1-3
Läraren arbetar på en F-9 skola i södra Sverige med ca 900 elever. Lärarna arbetar på olika
vis och med olika material eftersom lärarna själva får tillverka sitt praktiska material.
Undervisningen utgår i stor utsträckning från matematikboken som han själv beskriver som
aritmetisk och med fokus på färdighetsträning. Läraren berättar att han gärna hade arbetat mer
praktiskt men eftersom de resurser och material som behövs inte tillhandahålls av skolan så
blir det istället att undervisningen utgår från boken, framförallt i åk 1 som han undervisar i
just nu.
Lärare 6, åk 4-6
Läraren arbetar på en F-9 skola i södra Sverige med ca 400 elever. Hon samarbetar med en
forskare inom området matematiska resonemang, mer specifikt hur feedback påverkar
elevernas resonemang till att bli kreativa eller imitativa vilket är i linje med det vi skriver om
nu.
6.2 Hur läraren introducerar arbetet
Både lärare 1 och 3 börjar med att skapa ett tolerant klassrumsklimat samt lära eleverna att
lyssna på varandra så att alla får komma till tals. De båda trycker på att alla elever måste
känna sig trygga för att våga prata och dela med sig av sina tankar, kunskaper och
erfarenheter. Om eleverna inte känner sig trygga kommer de enligt lärare 3 inte kunna
samtala.
Lärare 1:
Det vi gör är ju att börja redan i F-klassen, direkt. Eh vi har mattesamlingar [...]
Första terminen jobbar vi med att överhuvudtaget kunna sitta i en samling och turtaga
för det bygger ju på att skapa ett tolerant klimat. Det är ju liksom huvudpunkten för att
kunna sitta ner och resonera och diskutera. Så att klassrumsklimatet, att det är tolerant
är ju a och o för allt.
Lärare 3:
Först handlar det definitivt om arbetsro, absolut, men det handlar också om insikten att
alla är olika är superviktig, för när du väl kommit så långt som nu så inser du att du
19
kommer hamna i lärpar där alla är olika, då kan du inte sätta dig på tvären och säga du
kan ingenting för då lär vi oss ingenting.
Ett annat sätt lärarna arbetar med att introducera resonemang är enligt EPA- modellen. Lärare
2, 3, och 4 arbetar mycket med EPA-modellen för att få eleverna att resonera. Lärare 2
nämner att hon arbetar med praktiskt material så de har något att samtala kring.
Lärare 2:
Också började jag med de här uppgifterna att de ska plus, att ha ett plustecken och ett
likamedtecken, också lägga då ut kanske 2 flygplan + 3 traktorer = 5. Eller om man
kanske bara har äpplen… det beror på, de gör på lite olika nivåer. Men att man lägger
ut det praktiskt tillsammans med någon istället för att göra det själv.
Lärare 5 förklarar att han inte börjar riktigt så tidigt med resonemang eftersom eleverna först
måste kunna använda språket, han börjar först i årskurs 2 och då i helklass.
I: Mm, ja, och hur började du jobba med just resonemang i klassen? Ibland kan det ju
vara lite svårt att få igång dem.
L5: Ja de här korten brukar jag använda (se bilaga 3), ja inte i ettan dock men när de
kommer upp i tvåan så är dem här nivågrupperade, lätta i början och sen är det svårare
i slutet. Så brukar jag fota kortet och upp med den på tavlan så man då kan ha en
diskussion, man kan börja där.
[...]
I: Men du sa inte i ettan? Men senare?
L5: Nej, ja precis
I: Men ungefär hur ofta arbetar ni med korten sen i tvåan?
L5: Ja det blir ungefär en gång i veckan
I: Men har du något annat sådant liknande som du gör i ettan eller är det mer boken
som gäller?
L5: Neeej det är bara böckerna i stort sett, det är läskoden där det hänger på… att man
ska kunna läsa.
Som vi kan se utifrån resultaten arbetar lärarna på lite olika sätt för att introducera
utvecklingen av elevernas resonemang. Mycket handlar om att skapa ett bra klassrumsklimat
där eleverna känner sig trygga att uttrycka sig, men även att erbjuda eleverna lämpliga
20
uppgifter att resonera kring. Detta gör dem genom praktiskt material och problemlösningskort
utifrån elevernas individuella nivåer. Undervisningen sker i samling på golvet och genomgång
på tavlan beroende på lärarens arbetssätt.
Lärare 6 som arbetar aktivt med KMR i sin undervisning förklarar hur hon introducerar
arbetet med resonemang på ett lite annorlunda sätt än de andra lärarna vi intervjuat.
Lärare 6:
Jag började ställa varför-frågor till eleverna när de sa ett svar på ett tal. Varför
är det så? Vad är det som gör att det blir så? Sedan började eleverna vänja
sig vid att jag ofta ställde varför-frågor och ville att eleverna skulle förklara hur
de tänkt. Då kunde jag börja introducera uppgifter där eleverna själva behövde
klura ut metoden för att komma fram till svaren.
Genom att introducera resonemang på detta viset börjar resonemanget direkt närma sig ett
fullständigt KMR enligt Lithners (2008) tre krav.
6.3 Vilken typ av uppgifter läraren använder
Uppgifter som uppmuntrar till KMR ska enligt Lithner (2017) ge eleven möjlighet till
kreativitet, argumentation och konceptuell utmaning. Lärarna som vi har intervjuat har haft
varierande uppgifter men alla anser att problemlösningsuppgifter leder till bra resonemang.
Vi frågade lärare 5 vad han tycker resonemang är:
L5: Eh, resonemang, problemlösning tänker jag…Läsuppgifter, hur man kan komma
fram till ett matematiskt svar, ska jag väga något, ska man åka bil eller räkna längd
eller kilometrar…
I: Mhm
L5: Problemlösning hur man kommer fram till... hur man kommer fram till ett svar…
Det finns ju många vägar att komma dit på.
Det ser ut som att lärare 5 syftar till uppgifter som kan lösas på flera olika sätt, uppgifter där
eleven först ska förstå vilken enhet som ska användas till att beräkna uppgiften men
21
framförallt resonera kring lösningsproceduren och de steg som eleven använder för att lösa
uppgiften. Lärare 5 använde sig av färdiga kort med problemuppgifter (se bilaga 3). Vi tittade
närmre på “kort 1” där vi anser att uppgift a och b skulle kunna leda till KMR enligt Lithners
(2017) definition av vad en uppgift ska innehålla för att leda till KMR. Beroende av vem som
löser uppgiften så erbjuder uppgift a inte så stor konceptuell utmaning eftersom huset på
bilden sätts i relation till höjden på flaggstången bredvid. Uppgift b innehåller något större
konceptuell utmaning eftersom det inte finns ett självklart svar på trädets höjd. Uppgift b
erbjuder också eleverna möjlighet till att argumentera för sin lösning eftersom de måste
bedöma svarets rimlighet i förhållande till flaggstångens höjd, däremot är elevernas utrymme
för kreativitet och skapande av en matematisk lösning i flera steg mindre då svaret är mer av
en gissning än en beräkning.
Lärare 2 visade en problemlösningsuppgift som de
har arbetat med där eleverna fått resonera. I
enlighet med Lithners (2017) principer kan vi
utläsa att uppgiften erbjuder kreativitet då den
uppmuntrar eleven till att lösa uppgiften stegvis.
Det finns också goda möjligheter för eleven att
argumentera för sitt val av procedur. Beroende på
elevens kunskapsnivå kan uppgiften vara
konceptuellt utmanande. Den kan för vissa elever upplevas lätt men för andra svår. För
eleverna som upplever uppgiften som svår har läraren möjlighet att ge eleverna feedback som
leder till KMR istället för AR.
Lärare 3 ser att man kan arbeta med resonemangsförmågan i många olika typer av uppgifter.
Lärare 3:
Ehm resonemanget kommer in i så många delar, du kan utveckla det egentligen i alla
delar i hela matten beroende på HUR du arbetar med varje uppgift.
Hon förklarade en uppgift där eleverna skulle placera rätt diagram till en uppgiftsbeskrivning.
När eleverna ska göra uppgiften är det viktigt att det uppstår ett resonemang, där samtliga
elever i gruppen måste vara aktiva och säga något till varje uppgift.
Figur 2: Problemlösningsuppgift
22
Lärare 3:
Ehm ni måste också kunna när ni diskuterar den här uppgiften, diskutera den flera
gånger, säg inte bara ”jag tror det”, ”okej säger alla andra” där kan ni inte hamna utan
ni måste läsa den flera gånger, titta på alla uppgifterna flera gånger och sen måste ni
säga så här ”okej, passar den till den här uppgiften? Nej, varför? Varför tycker inte du
att den passar till den här uppgiften? Och varför tycker du att den inte passar till den
här uppgiften?”
Denna uppgift kan leda till ett KMR enligt Lithners (2017) kriterier då eleverna stegvis löser
uppgiften genom att jämföra, diskutera och argumentera för varför de olika diagrammen och
uppgiftsbeskrivningarna hör ihop med varandra. Lärare 3 fortsätter beskriva att det som är
svårt för eleverna är att börja prata och föra resonemang kring varför man tycker som man
gör. Hon beskriver att eleverna måste förklara varför de håller med respektive inte håller med
om lösningen.
Lärare 1 beskrev en uppgift från mattelyftet där hon visade eleverna ett stapeldiagram,
därefter läste hon upp påståenden som eleverna skulle kategorisera som sanna eller falska, en
del påståenden hörde inte ens till uppgiften eftersom de inte gick att utläsa i diagrammet.
Denna uppgift beskrev hon hade gett många fina resonemang och motiveringar till varför ett
påstående hörde till den kategori som det gjorde. Hon påpekar också vikten av att uppgifterna
ska ha en anknytning till elevernas vardag. Denna uppgift saknar utrymme till kreativitet
eftersom eleverna får färdiga påståenden och inte behöver lösa uppgiften på egen hand,
eleverna måste dock argumentera för varför de anser att ett påstående är sant eller falskt.
Denna uppgift kommer således inte att leda till ett fullständigt KMR eftersom eleven inte
uppfyller en av de tre kriterierna som Lithner (2008) anger behövs till ett fullständigt KMR:
Eleven ska på egen hand ta fram en för eleven ny eller återskapad lösningsmetod.
Lärare 5 uttrycker att han till största del utgår från matematikboken i sin undervisning.
Lärare 5:
I: Hur tänker du att du jobbar med resonemang för att utveckla just den förmågan?
L5: Mm, tyvärr så finns det inte så många problemlösningar i våra matteböcker, de här
favoritmatematik är det oftast 1+1 och sådana här typ av mattetal. Likadant var det i
den favoritboken vi hade innan
23
I: Ja det blir mycket färdighetsträning
L5: Ja, så det saknar man
Lärare 5 upplever att det saknas problemuppgifter i boken och därmed saknas också möjlighet
till matematiska resonemang. Detta visar på att lärare ibland måste arbeta med boken på ett
annat sätt, man kan plocka uppgifter ur boken och omarbeta dessa till ett problem som
eleverna sedan kan arbeta med för att uppfylla Lithners (2008) krav för fullständigt KMR.
Lärare 3 beskriver att hon ibland använder matematikboken för att gynna resonemang genom
att lyfta uppgifter och planera undervisningen så att den går från färdighetsträning till
resonemang och djupinlärning:
Lärare 3:
[...] Det finns jättemycket man kan använda sig av, bara du är beredd på hur du ska
styra upp samtalet så kan du arbeta med det till och med i matteboken med flera
uppgifter, inte de vanliga rutinuppgifterna 3*2 kanske men, ja det skulle du också
kunna göra om du börjar förklara hur 3*2 ser ut, vilken grupp är det, hur många är det
i varje, varför tycker du så, varför tycker inte jag så. Och det resonemanget kan man
ha redan när man börjar med multiplikation så det handlar om var du kan hitta
samtalet någonstans, och få in varför man tycker som man gör, det är det svåra.
Lärare 6 har en annan tanke kring sina uppgifter då hon ser lärandemålet och sedan väljer
uppgift istället för att se vad eleverna kan lära sig av en viss uppgift. Även lärare 3 har
uttryckt att hon gör på samma vis. Detta leder till att utvecklingen av resonemangsförmågan
får större utrymme i deras undervisning eftersom resonemanget kommer i första hand.
Lärare 6:
Jag försöker kontinuerligt ha uppgifter i klassen där eleverna får möjlighet att
resonera. Ibland är det att de ska resonera sig fram till ny kunskap eller metoder
istället för att jag står framme vid tavlan och berättar hur de ska göra. Ibland är det
vanliga problemlösningsuppgifter. Ibland är det lekar.
24
6.4 Lärarens stöttning till eleverna
Vi har analyserat lärarnas stöttning till eleverna utifrån feedback på uppgiftsnivå och feedback
på processnivå. Många av lärarna som vi intervjuade ger feedback på uppgiftsnivå, det vill
säga att man hjälper eleverna att klara en uppgift utan att de själva behöver söka och förklara
vart det blev fel.
Lärare 5:
I: Behöver de försvara sin uträkning på något vis? Eller inte försvara men förklara?
Eller när de kommer med en lösning till dig och du tittar på den, hur bemöter du
eleverna då? Om den är rätt kontra om den är fel
L5: Mm…
I: Vad säger du till dem då?
L5: Är den fel så… försöker jag säga tänk på det här… att om det är fel enhet så, som
det oftast är, att de inte har skrivit någonting eller så har de skrivit något annat, att om
vi ska ut och springa så är det ju meter man ska springa och inte bananer eller äpplen
eller godis.
Här kan vi se att läraren lägger fokus på uppgiftens svar och elevens strategi. Lärare 5 ger
feedback genom att tala om att svaret är fel samt markera var felet är och hur eleven ska göra
för att lösa uppgiften korrekt. Det vill säga att läraren berättar för eleven hur hen ska gå
tillväga istället för att få eleven att tänka till själv vilket överensstämmer med Hatties (2012)
tolkning av feedback på uppgiftsnivå.
Ett annat exempel på feedback på uppgiftsnivå kan vi se i denna konversation med en annan
lärare.
Lärare 2:
I: Men ställer du frågor eller du liksom ger ledtrådar på olika sätt eller jämför med
något ni gjort tidigare?
L2: Ah du menar så ja. Jag tror jag försöker ta reda på hur de tänker och så försöker
jag väl…eh för då, för då måste jag analysera, det är intressant om de faktiskt har
skrivit ett svar för då förstår jag ju faktiskt hur de tänker, och sen då vet jag ju vad de
25
behöver hjälp med, hur de har kommit snett och då lotsar jag dem på rätt, och jag går
tillbaka och gör det lättare till exempel.
Den här läraren skulle kunna ändra sin feedback från uppgiftsnivå till processnivå genom att
få eleven att berätta hur hen tänker istället för att läraren tolkar elevens svar. På det viset får
eleven uttrycka vad hen förstår av uppgiften och läraren kan då, enligt Hattie (2012) ge
feedback på processnivå som gör att eleven själv får undersöka sin process och hitta felet
vilket tar eleven framåt i både utveckling och förståelse.
Lärare 1:
I: Men vad brukar du ställa för frågor till dem? Vad brukar du ge för feedback för att
dem ska komma längre?
L1: Ja, hur vet du det? Eller kan du berätta för mig? Eh, kan du visa? Visa är ju ett ord
som vi använder mycket, jag ser att du räknat och fått ut ett rätt svar men du måste
visa mig, jag har ingen aning, hur har du tänkt? Jag tycker det är intressant att lyfta när
vi har många olika svar, det finns inte alltid ett rätt svar utan det kan bli många olika
och vad kan det bero på? Bara för att hitta faktorerna vad det är som ligger bakom.
Den här läraren ger feedback både på uppgiftsnivå och processnivå. Lärare 1 lägger i första
hand fokus på att bekräfta elevens svar, om det är rätt eller fel vilket är typiskt för feedback på
uppgiftsnivå (Hattie, 2012). I andra hand ligger fokus på processen där läraren ställer frågor
för att eleven ska förklara sin process och uttrycka sina matematiska kunskaper vilket enligt
Hattie (2012) är feedback på processnivå.
Hattie (2012) skriver att feedback på processnivå leder till en djupare förståelse. Det kan
göras genom att eleven utmanas till att själv försöka se vart felet uppstod, om eleven inte
hittar det kan läraren hjälpa till genom att ställa frågor som eleven får söka svar på själv.
Lärare 3:
I ett par där de är mer självgående kan jag mer lyssna in och går mer på djupet i
följdfrågorna, i ett resonemang så… den viktigaste stöttningen jag kan ge, det är min
närvaro och följdfrågorna, eller stödfrågor.
Lärare 6:
26
Jag försöker i första hand ge feedback i form av en fråga för att kunna vägleda eleven
utan att säga hur de ska göra. Jag för en dialog med eleven istället för att föra en
monolog. Har eleven kommit lite längre i uppgiften refererar jag tillbaka till en
enklare fråga och frågar hur de gjorde för att lösa den uppgiften. Allting för att få
eleven att själv förstå hur den ska göra.
Dessa två lärare fokuserar på att ge feedback i form av samtal med eleverna. Deras feedback
är på processnivå då de båda fokuserar på att eleverna själva ska uttrycka sin förståelse och
fördjupa samtalen genom frågor.
6.5 Sammanfattning av resultat
Nedan har vi sammanställt hur de lärare som vi har intervjuat, definierar begreppet
resonemang. Utifrån vad vi vet så är det bara lärare 6 som känner till begreppen AR och
KMR.
Figur 3. Sammanfattning av hur lärarna definierar resonemang
27
När vi frågade lärarna om hur de introducerar arbetet med resonemang så fick vi ofta svar
kring hur de förbereder klassrumsklimatet och vilka uppgifter som används. Vi fick inte så
ofta svar på hur de förbereder eleverna eller får dem att börja argumentera för sina svar och
motivera lösningsprocedurer som är en stor del av resonemangsförmågan.
Lärare 1 tolkar resonemang som att man löser uppgifter och problem tillsammans genom att
diskutera och argumentera. Denna tolkning av resonemang skulle kunna leda till KMR enligt
Lithner (2008) då eleverna behöver argumentera för sina tankar, men det kräver att eleverna
erbjuds rätt typ av uppgifter och feedback. Uppgifterna är gjorda så att eleverna ska arbeta i
par då hon menar att resonemangsförmågan utvecklas genom diskussion tillsammans med
andra och då får ta del av andras tankar. De arbetar mycket med problemlösningsuppgifter
från problemlösningsbanken men försöker även knyta uppgifter till elevernas intressen.
Feedbacken till eleverna är först bekräftande på om svaret är rätt eller fel, sen går hon vidare
och ställer frågor för att få reda på hur eleven tänkt och vill gärna att de visar hur de har gått
tillväga. Denna form av feedback är enligt Hattie (2012) delvis på uppgiftsnivå och delvis på
processnivå. Med rätt medel skulle den kunna leda mot ett KMR om eleverna får mer
utrymme att argumentera för sin process.
Lärare 2 arbetar mycket med praktiskt material för att få eleverna att börja resonera vilket
skulle kunna leda till både KMR och AR beroende på vilken uppgift som ska lösas med det
praktiska materialet. Vi kan inte utifrån denna vetskap se om Lithners (2017) principer för
uppgiftsdesign till KMR-uppgifter uppfylls eftersom vi inte vet vad för uppgift läraren använt.
De arbetar mycket i par då hon upplever att det krävs diskussion med andra för att
resonemangsförmågan ska utvecklas. Feedbacken ges främst på uppgiftsnivå då hon själv
analyserar elevens svar och hjälper dem vidare istället för att be eleven själv förklara sin
process och vart man har fastnat, som i enlighet med Hattie (2012) skulle leda till feedback på
processnivå.
Lärare 3 introducerar arbetet med resonemang genom att skapa ett tryggt klassrumsklimat där
eleverna vågar dela med sig av sina tankar. Hon anser att resonemang är en del i nästan alla
uppgifter. Läraren lägger stor vikt vid att eleverna inte bara accepterar kompisens
lösningsförslag utan att alla är aktiva och kommer med egna argument för varför lösningen
fungerar eller inte fungerar. Genom detta kan eleverna uppfylla Lithners (2008) tre punkter
för fullständigt KMR. Hennes feedback sker genom att vara närvarande och ställa följdfrågor
28
som utmanar eller fördjupar elevernas argument vilket är feedback på processnivå (Hattie,
2012).
Lärare 4 arbetar mycket med EPA-modellen och problemlösningsuppgifter. Eleverna ska på
vissa uppgifter rita, räkna och skriva sitt svar. Beroende på hur uppgiften ser ut kan den leda
till KMR och ge utrymme till Lithners (2017) tre punkter: kreativitet, argumentation och
konceptuell utmaning. Läraren ger feedback på uppgiftsnivå enligt Hattie (2012) då hon
försöker förklara uppgiften på ett annat sätt istället för att låta eleven själv få förklara vad hen
har förstått av uppgiften. Därefter kunde läraren ställt vidare frågor för att eleven själv ska få
utforska uppgiften.
Lärare 5 har tidigare uppgett att han anser att problemlösningsuppgifter är grunden för bra
resonemang. Det kan det enligt Lithner (2017) vara eftersom problemuppgifter oftast ger
utrymme till kreativitet, argumentation och konceptuell utmaning som är tre saker en uppgift
behöver erbjuda om den ska leda till KMR. Samtidigt framgår det att feedbacken sker på
uppgiftsnivå vilket leder till AR eftersom läraren pekar på felen i uträkningen och föreslår en
mer effektiv strategi. I enlighet med Lithner (2008) leder det till att eleven inte på egen hand
har skapat sin lösningsprocedur eller får argumentera för lösningen vilket båda är del av ett
fullständigt KMR.
Lärare 6 arbetar med KMR i sin undervisning vilket vi kan se genom de uppgifter och den
feedback hon ger eleverna. Uppgifterna erbjuder eleverna kreativitet, argumentation och
konceptuell utmaning vilket krävs enligt Lithner (2017). Hennes feedback är på processnivå
utifrån Hatties (2012) teori eftersom hon vägleder eleverna utan att säga hur de ska göra.
Utifrån detta ser vi att hennes elever har möjligheter att uppfylla Lithners (2008) tre krav för
ett fullständigt KMR.
29
7. Slutsats och diskussion
Utifrån vårt resultat kan vi se att lärarna inte har samma definition av resonemang som vi
använder i detta arbete. Det kan bero på att Skolverkets (2017; 2018) definition inte visar att
det finns olika typer av resonemang. Varken läroplanen eller kommentarmaterialet beskriver
hur läraren organiserar undervisningen så att eleverna utvecklar resonemangsförmågan vilket
kan avspegla sig i undervisningen. Vi ser i vårt resultat att avsaknaden av hur påverkar flera
lärares val av hur de introducerar arbetet med resonemang samt deras val av uppgifter och
feedback. I deras beskrivningar om hur de arbetar med resonemang är det inte så stort fokus
på resonemanget utan mer på miljön som krävs för att eleverna ska våga delge sina tankar.
Många av uppgifterna som lärarna använde leder till AR men skulle med små justeringar
kunna leda till KMR. För att en uppgift ska kunna leda till KMR ska den enligt Lithner (2017)
ge eleven utrymme till kreativitet, argumentation och konceptuell utmaning. Eleven uppnår ett
fullständigt KMR när eleven har skapat en för hen ny eller återskapad lösningsprocedur samt
argumenterat för den på matematiska grunder.
De flesta lärarna arbetade med klassrumsklimatet och såg det som en början till att kunna
inleda arbetet med resonemangsförmågan. De menar att det är viktigt att eleverna känner sig
trygga för att de ska våga prata och diskutera med varandra. Lärarna beskriver dock inte hur
de rent praktiskt inleder arbetet med resonemangen, hur startar de resonemang? Har de en
struktur eller plan för hur de ska få eleverna att börja resonera? Många lärare arbetar med
EPA-modellen för att det ger möjlighet till diskussioner. Lärare 6 som arbetar med KMR
introducerar arbetet genom att ställa varför frågor till eleverna för att de ska vänja sig vid
arbetet. Vi ser att de andra 5 lärarna kanske saknar en struktur kring hur man kan introducera
arbetet med resonemang vilket kan bero på att läroplanen inte beskriver hur man ska arbeta.
Elevernas utveckling av resonemangsförmågan hänger ihop med vilken typ av uppgift
eleverna får samt vilken stöttning de får under processen. Utifrån vårt resultat kan vi utläsa att
de flesta lärarna delvis arbetar med KMR-uppgifter eller feedback på processnivå men sällan i
kombination med varandra vilket gör att eleverna inte uppnår ett fullständigt KMR. För att
eleverna ska nå ett KMR behöver de fokusera mer på processen än på svaret, därför bör
feedback ske på processnivå vilket enligt Hattie och Timperley (2007) kan få eleverna att
själva reflektera över sin strategi och lösningsprocess istället för att enbart vilja veta om svaret
är rätt eller fel.
30
Att förändra sin undervisning och börja arbeta med KMR kan till en början verka vara en stor
förändring. Vi har dock upptäckt att en del lärare är på väg mot att arbeta med KMR och kan
med små enkla medel komma närmre KMR. En del av de lärarna vi intervjuat ger idag
feedback på uppgiftsnivå vilket enligt Hattie (2012) kan vara effektivt om den är
informationsfokuserad. Hattie och Timperley (2007) har dock kommit fram till att enbart
feedback på uppgiftsnivå kan leda till fokus på kortsiktiga mål istället för att utveckla
inlärningsstrategier som på lång sikt är mer lönsamma för elevernas utveckling. Vi drar
slutsatsen att uppgifter och stöttning har ett viktigt samspel med varandra. Får eleverna en
uppgift med förutsättningar för KMR men feedback på uppgiftsnivå leder inte detta till att
eleverna utvecklas mot ett fullständigt KMR. Det gäller också om det är omvänt, alltså om
eleverna får feedback på processnivå men en uppgift som inte uppfyller Lithners (2017) krav
för KMR-uppgifter, då uppnår eleverna inte ett fullständigt KMR.
För att utveckla den feedback man ger eleverna kan man ta stöd av Olsson och Teledahl
(2019) som arbetat fram principer för feedback i formativ bedömning för att stötta eleverna
till KMR. Lärare 6 i vår studie använder sig av dessa principer som innebär feedback på
processnivå. I kombination med uppgifter som uppfyller Lithners (2017) krav för KMR-
uppgifter leder till att hennes elever uppmuntras till KMR. Vi konstaterar att det krävs att
läraren är väl insatt i vad resonemang innebär samt vad eleverna ska lära sig och hur de ska gå
tillväga för att eleverna ska kunna uppfylla Lithners (2008) kriterier för fullständigt KMR.
Vi har utifrån egna erfarenheter upplevt att eleverna har svårt att minnas matematiska regler
samt matematiken bakom regeln. Studier visar att elever som kommit fram till en matematisk
regel genom ickeguidade uppgifter, det vill säga KMR minns den bättre än de som kommit
fram till regeln i en guidad uppgift, alltså AR (Olsson & Granberg, 2018; Kapur, 2011;
Jonsson et al., 2014; Norqvist, 2018; Lithner 2008). Med detta som grund tänker vi att det är
viktigt att vi i vårt framtida yrke som lärare arbetar mot KMR för att eleverna ska få en
djupare förståelse för matematiken.
7.1 Kritik mot arbetet
Mycket av den forskning vi har använt i arbetet utgår från äldre elever än de vi vill undersöka.
Lithner (2000; 2003; 2004) har genomfört sina studier på universitets studenter, det är osäkert
om hans studier är relevanta för vår undersökning då vi har riktat in oss på verksamma lärare i
31
årskurs F-3. Jonssons et.al (2014), Norqvists (2018) och Olsson och Granbergs (2018) studier
är genomförda på gymnasiet. Kapurs (2011) och Olsson och Teledahls (2019) studier är
genomförda på högstadiet. Då ingen av studierna som vi använt i vårt arbete riktar sig mot vår
åldersgrupp på lågstadiet kan man diskutera dess relevans för vårt arbete. Alla studier vi har
använt kommer däremot fram till liknande resultat vilket tyder på att det finns en viss
generaliserbarhet. Härav anser vi att vår undersökning av lärare i årskurs F-3 på många sätt är
jämförbara med tidigare studier i högre årskurser, men vi kan inte garantera att det skulle ge
samma resultat på lågstadiet. Det är också en anledning till varför det är viktigt att utvidga
området och komplettera tidigare forskning så att den också berör de yngre åldrarna.
Vår undersökning genomfördes med semistrukturerade intervjuer av verksamma lärare
(Bryman, 2018). Vi har i efterhand när vi analyserat vårt material upptäckt att vi hade behövt
ställa fler givande följdfrågor för att förstå hur lärarna tänker och undervisar kring
resonemang. Alvehus (2013) beskriver vår intervjumetod som svår för intervjuaren just för
att man inte har alla intervjufrågor färdiga på förhand. Ett exempel på följdfrågor vi hade
behövt ställa är: “Har du hört begreppen KMR och AR förut?” samt “Vad kräver du av eleven
att resonemanget ska innehålla för att du ska kalla det för resonemang?” Dessa frågor hade
kunnat leda till djupare samtal och större förståelse för lärarnas undervisning. För att stärka
vårt resultat hade vi kunnat göra observationer i klassrummen hos de lärare vi intervjuat
(Bryman, 2018). Vid en observation i klassrummet finns det dock enligt Bryman (2018) en
risk att vi hade tolkat det vi såg istället för att fokusera på lärarens egen uppfattning av
resonemang vilket hade påverkat vårt resultat på fel sätt. Vi ville undersöka hur lärare arbetar
med resonemang och hur de tolkar begreppet resonemang. Om vi tolkar en klassrumssituation
så får vi inte fram lärarens egen tolkning.
7.2 Framtida forskning
I detta arbete har vi undersökt hur lärare arbetar för att utveckla elevernas
resonemangsförmåga samt vilken stöttning de ger eleverna. Vi har upptäckt att det kanske
saknas tydliga riktlinjer för hur man ska arbeta med detta då lärarna har delade uppfattningar
om vad ett resonemang är. Kategorisering av resonemang är idag ett litet forskningsområde
och därför känner många lärare inte till begreppen AR och KMR. För att kunna erbjuda
undervisning som ger eleverna likvärdiga resultat behöver forskningsområdet växa och nå fler
32
lärare. Utifrån vår undersökning kan vi se att en del lärare omedvetet redan arbetar mot KMR
vilket ger deras elever bättre förutsättningar i matematik.
Vår undersökning är liten och kvalitativ och kan därför inte generaliseras. Då det inte heller
finns studier riktade mot lågstadiet är det svårt för oss att se om arbetet med KMR skulle ge
effekt på våra elever. Det hade därför varit intressant att se en större och längre studie där man
jämför resultaten mellan två klasser på lågstadiet. En klass där man arbetar med KMR och en
klass där man inte arbetar med KMR. De studier som finns idag är relativt små och har
genomförts med förtest, övningsuppgifter och eftertest, i en längre studie hade det funnits
möjlighet att se vilka effekter undervisningen får när den alltid utgår från KMR. Studierna
som finns idag är gjorda på äldre elever och det hade varit intressant att se om detta arbetssätt
ger samma effekt hos yngre elever på lågstadiet.
33
Referenser
Alvehus, J. (2013). Skriva uppsats med kvalitativ metod: en handbok. Stockholm: Liber AB.
Bryman, A. (2018). Samhällsvetenskapliga metoder. Stockholm: Liber AB.
Hattie, J. (2012). Synligt lärande för lärare. Stockholm: Natur & Kultur
Hattie, J., & Timperley, H. (2007). The power of feedback. SAGE Journals 77(1), 81–112.
doi: 10.3102/003465430298487
Jonsson, B., Norqvist, M., Liljekvist, Y., & Lithner, J. (2014). Learning mathematics through
algorithmic and creative reasoning. Journal of Mathematical Behavior 36, 20–32. doi:
10.1016/j.jmathb.2014.08.003
Kapur, M. (2011). A further study of productive failure in mathematical problem solving:
unpacking the design components. Instructional Science, 39(4), 561–579. doi:
10.1007/s11251-010-9144-3
Lithner, J. (2000). Mathematical reasoning in task solving. Educational Studies in
Mathematics, 41(2), 165–190. doi: 10.1023/A:1003956417456
Lithner, J. (2003). Students’ mathematical reasoning in university textbook exercises.
Educational Studies in Mathematics, 52(1), 29–55. doi:10.1023/A:1023683716659
Lithner, J. (2004). Mathematical reasoning in calculus textbook exercises. The Journal of
Mathematical behaviour, 23(4), 405–427. doi: 10.1016/j.jmathb.2004.09.003
Lithner, J. (2008). A research framework for creative and imitative reasoning. Educational
Studies in Mathematics, 67(3), 255–276. doi: 10.1007/s10649-007-9104-2
Lithner, J. (2017). Principles for designing mathematical tasks that enhance imitative and
creative reasoning. ZDM Mathematics Education, 49(6), 937–949. doi:10.1007/s11858-017-
0867-3
34
Norqvist, M. (2018). The effect of explanations on mathematical reasoning tasks.
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 49(1), 15–30.
doi: 10.1080/0020739X.2017.1340679
Nunes, T., Bryant, P., Barros, R., & Sylva, K. (2012). The relative importance of two
different mathematical abilities to mathematical achievement. British Journal of Educational
Psychology, 82(1), 136–156. doi: 10,1111 / j.2044-8279.2011.02033.x
Olsson, J., & Granberg, C. (2018). Dynamic Software, Task Solving With or Without
Guidelines, and Learning Outcomes. Technology, Knowledge and Learning, 1–18 doi:
10.1007/s10758-018-9352-5
Olsson, J., & Teledahl, A. (2019). Feedback to encourage creative reasoning. In Häggström, J.
Liljekvist, Y. Bergman Ärlebäck, J. Fahlgren, M. Olande, O. (Eds) Perspectives on
professionell development of mathematics teachers. Proceedings of MADIF11. p. 151–160
Göteborg:Smdf/NCM
Pape, S. J., Bell, C. V., & Yetkin, I. E. (2003). Developing Mathematical Thinking and Self-
Regulated Learning: A Teaching Experiment in a Seventh-Grade Mathematics Classroom.
Educational Studies in Mathematics, 53(3), 179–202. doi: 10.1023/A%3A1026062121857
Skolverket. (2017). Kommentarmaterial till kursplan i matematik. Tillgänglig:
https://www.skolverket.se/sitevision/proxy/publikationer/svid12_5dfee44715d35a5cdfa2899/
55935574/wtpub/ws/skolbok/wpubext/trycksak/Blob/pdf3794.pdf?k=3794
Skolverket. (2018). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011.
Tillgänglig:
https://www.skolverket.se/sitevision/proxy/publikationer/svid12_5dfee44715d35a5cdfa2899/
55935574/wtpub/ws/skolbok/wpubext/trycksak/Blob/pdf3975.pdf?k=3975
Sidenvall, J. (2015). Att lära sig resonera - om elevers möjligheter att lära sig matematiska
resonemang (Licentiate Thesis, Studies in Science and Technology Education, 86).
Linköping: LiU - Tryck. Tillgänglig: http://liu.divaportal.
org/smash/get/diva2:810757/FULLTEXT01.pdf
35
Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig
forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet.
36
Bilagor Bilaga 1.
1. Hur arbetar du med att utveckla elevernas resonemangsförmåga?
2. Vad anser du är resonemang? Hur definierar du begreppet?
3. Hur implementerade du arbetet i klassen?
4. Vad för uppgifter använder du?
5. Hur är uppgifterna uppbyggda? (är det textuppgifter? i så fall hur är texten skriven? a,
b, c frågor? exempel i uppgifterna? uppgifter som löses stegvis?)
6. Varifrån kommer dina uppgifter?
7. Hur genomförs uppgifterna? Enskilt/grupp?
8. Hur mycket arbetar du med resonemang? är det en del i varje lektion eller vid
specifika områden eller tidpunkter?
9. Hur tänker du kring stöttning? Vilken hjälp ger du eleverna om de inte förstår
uppgiften?
37
Bilaga 2.
LÄRANDE OCH SAMHÄLLE INSTITUTION
Samtycke till medverkan i studentprojekt
Vi heter Frida och Melina och går nu vår sista termin på Grundlärarutbildningen åk F-3 på Malmö Universitet. Just nu skriver vi vårt examensarbete som handlar om hur lärare arbetar med att utveckla elevernas resonemangsförmåga. För att kunna studera detta behöver vi genomföra intervjuer för att få reda på hur du som lärare arbetar med resonemangsförmågan med dina elever. Intervjun kommer vi att spela in, men inspelningen kommer enbart att användas till detta arbetet och kommer att raderas så fort vi har transkriberat den. Vi kommer inte nämna ditt namn eller vilken skola/ kommun du arbetar i utan deltagandet kommer vara helt anonymt.
Projektet utgår från Vetenskapsrådets forskningsetiska principer:
- Medverkan baseras på samtycke och detta samtycke kan när som helst återkallas. Varje deltagare har alltså rätt att avbryta sin medverkan när som helst, utan några negativa konse-kvenser.
- De deltagande kommer att tillfrågas inför materialinsamlingen och har möjlighet att avböja medverkan i studien.
- Deltagarna kommer att avidentifieras i det färdiga arbetet. - Materialet kommer enbart att användas för aktuell studie och kommer att förstöras när denna
är examinerad.
Vänliga hälsningar
Frida Kristiansson & Melina Falberg
Härmed samtycker jag till att medverka i studentprojektet:
Ort och datum: …………………………………… ……………………………………………. ……………………………………………. Underskrift Namnförtydligande
På lärarutbildningen vid Malmö universitet skriver studenterna ett examensarbete på avancerad nivå. I detta arbete ingår att göra en egen vetenskaplig studie, utifrån en fråga som kommit att engagera studenterna under utbildningens gång. Till studien samlas ofta material in vid skolor, i form av t.ex. intervjuer och observationer. Examensarbetet motsvarar 15 högskolepoäng, och utförs under totalt 10 veckor. När examensarbetet blivit godkänt publiceras det i Malmö universitets databas MUEP (http://dspace.mah.se/handle/2043/599).
38
Bilaga 3.
39