w w w . e l e m e n t . h r

Za

da

ci

I još 12 ...

1. Pušači

Pretpostavimo da je neki pušač počeo pušiti s 18 godina (tada neka osoba može legalno kupovati cigarete) i da je doživio 70 godina. Pretpostavimo da je pušio kutiju od 20 cigareta dnevno.1. Koliko cigerata je pušač popušio za života?2. Ako je pušenje tom pušaču skratilo život za 5 godina, ko-

liko je njegov život skratila jedna popušena cigareta?

R 1) 52 godine × 365 dana × 20 cigareta = 379 600 cigareta. 2) 55god1.32 10 godina 7min.

379600t −= ≈ ⋅ ≈

2. Ana

Ana vozi bicikl 10 km/h brže nego što trči. Svako jutro, ona prijeđe 9 km na biciklu i pretrči 4 km, a sve to traje točno 1 sat.

1. Kojom brzinom Ana trči? 2. Kad bi Ana trčala 3 km, a vozila bicikl 12 km, koliko bi to trajalo?3. Koliku bi udaljenost Ana prešla za 2 sata ako bi na biciklu preva-

lila tri puta dulji put nego trčeći?

R 1) Neka je bv brzina kojom Ana vozi bicikl, a v brzina kojom trči. Tada je 10.bv v= + Kako je 1,bt t+ = možemo

zapisati jednadžbu 9 4

1.10v v

+ =+

Slijedi 2 3 40 0v v− − = te je 8km/h.v = 2) Vožnja biciklom trajala bi 40 min, a

trčanje 22.5 min, dakle sve zajedno 1 sat i 30 s. 3) 27.4km.s ≈

I još 12 ...

Z a d a c i

3. Štednja

Maja je uložila na štednju 10 000 kn, dio uz kamatu od 4.5%, dio uz kamatu od 6% na godinu dana. 1. Prikažite iznos kamata k(x) kao

funkciju količine novca koji je Maja uložila uz kamatu od 4.5%.

2. Prikažite grafički funkciju k(x).3. Koja je najveća, a koja najmanja vri-

jednost funkcije k(x)?4. Ako je na kraju godine Maja dobi-

la 502.5 kn kamata, koliko je novca uložila uz kamatu od 6%?

R 1) Ako je uložila svotu x uz kamatu od 4.5%, onda je uz kamatu od 6% uložila 10000 .x− Kamata na kraju godine iznosi ( ) ( )0.045 0.06 10000 .k x x x= + − Tako smo dobili linearnu funkciju od x koja glasi ( ) 600 0.015 .k x x= −

2)

3) Najveća vrijednost funkcije k iznosi 600, kad je svih 10 000 kn uloženo uz kamatu uz 6%. Najmanja je vrijed-nost 450 kn, kad je cijela svota uložena uz kamatu od 4.5%. 4) Iz ( ) 502.5k x = dobije se 6500kn.x = Maja je uz kamatu od 6% uložila 3500 kn.

I još 12 ...

Z a d a c i

4. Pismeni ispit

Pismeni ispit sastojao se od 30 pitanja. Svaki točan odgovor donosio je 2 boda, za zadatak koji nije riješen točno ili nije uopće rješavan oduziman je jedan bod. Ocjene su potom raspoređene prema sljedećoj skali:

manje od 20 bodova – nedovoljan20 – 30 bodova – dovoljan31 – 40 bodova – dobar41 – 50 bodova – vrlo dobar51 – 60 bodova – odličan

1. Odredite funkciju koja prikazuje broj postignutih bodo-va u ovisnosti o broju x točno riješenih zadataka.

2. Prikažite grafički tu funkciju i opiši graf.3. Koliko zadataka mora riješiti učenik koji želi dobiti ocje-

nu dobar? 4. Može li broj osvojenih bodova biti negativan?

R 1) ( ) 3 30.f x x= −

2)

S grafa vidimo da je nultočka funkcije 0 10,x = što znači da učenik koji je točno riješio 10 zadataka ima 0 bodova. Graf funkcije presijeca os y u točki 30,− što je najmanji mogući zbroj bodova. U tom slučaju učenik nije točno riješio niti jedan zadatak. Najveća vrijed-nost ove funkcije, naravno, uz navedena ograničenja, jest 60 i ona se dobije za 30.x = Taj zbroj bodova do-biva onaj učenik koji je točno riješio svih 30 zadataka.

3) Iz uvjeta 31 3 30 40x≤ − ≤ slijedi 21, 22, 23.x = 4) Negativan broj bodova dobiva svaki onaj učenik koji

točno riješi manje od 10 zadataka.

I još 12 ...

Z a d a c i

5. Zalijevanje vrta

Zalijevajući svakodnevno vrt tije-kom ljetnih mjeseci opazili ste da je potrošak vode prevelik. Uz priti-sak od 6 Pa potrošnja je 10 litara u minuti. Potrošnja vode linearno je proporcionalna pritisku.

1. Ako je cijena vode 15 kn po 3m (1000 litara), kolika je cijena zali-jevanja koje traje pola sata?

2. Ako povećamo pritisak na 8 Pa, kolika će biti potrošnja?

3. Želite li umanjiti trošak te umje-sto 10 litara trošiti 4 litre u minu-ti koliki treba biti pritisak?

R 1) Cijena jedne litre vode iznosi 0.015 kn. Za pola sata potroši se 10 30 300l⋅ = pa je cijena 300 0.015 4.5kn.⋅ =

2) 13.3 l/min. 3) 2.4 Pa.

6. Gorivo

Na crpku je stigla cisterna sa 42 000 li-tara goriva. Iz nje se istače gorivo brzi-nom od 6 litara u sekundi.1. Zapišite funkciju koja opisuje količi-

nu preostalog goriva u cisterni na-kon t sekunda. Prikažite tu funkciju grafi čki.

2. Koliko je goriva ostalo u cisterni na-kon 30 minuta?

3. Nakon koliko vremena je cisterna bila napola prazna?

4. Koliko će dugo trajati pražnjenje cisterne?

R 1) Nakon x sekunda u cisterni će preostati ( )f x goriva, ( ) 42000 6 .f x x= − 2) Najprije, 30min 1800s= pa je zatim ( )1800 42000 6 1800 31200.f = − ⋅ = Nakon 30 minuta u cisterni je ostalo 31 200 litara goriva. 3) Iz jednadžbe

42000 6 21000x− ⋅ = slijedi 58.3min.x ≈ 4) Tražimo nultočku funkcije f: 42000 6 ,x− 116.7 min.x ≈

I još 12 ...

Z a d a c i

7. Najam automobila

Iznajmljivač automobila nudi dvije mogućnosti najma:150 kn po danu i 0.5 kn po prijeđenom kilometru

ili 250 kn po danu bez dodatnog plaćanja po prijeđenom kilometru.

1. Ako želite unajmiti automobil na 3 dana uz koji će uvjet biti povoljnije da taj najam bude po prvoj tarifi ?

2. Uz koji će uvjet općenito iznajmljivanje po pr-voj tarifi biti povoljnije nego po drugoj?

R 1) Ako je k broj prijeđenih kilometara, onda treba biti 150 3 0.5 250 3.k⋅ + < ⋅ Odatle slijedi 0.5 300,k < te je 600.k < 2) Uzmimo da auto unajmljujemo na d dana pri čemu ćemo prijeći k kilometara. Tada bi trošak po prvoj

tarifi iznosio 150 0.5 ,d k+ a po drugoj 250 d. Iz uvjeta 150 0.5 250d k d+ < slijedi 200 .k d<

8. Voda

Spremnik u obliku uspravnog valjka postavljen je na hori-zontalnu ravninu. On sadrži 200 litara pitke vode. Na dnu spremnika je slavina kroz koju se spremnik može ispra-zniti za 20 minuta. Otvorimo li slavinu kroz nju će istjecati voda te će nakon t minuta u spremniku biti količina vode

( )2

200 1 ,20t

V t ⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

0 20.t≤ ≤

1. Koliko vode će biti u spremniku nakon 10 minuta?2. Nakon koliko vremena će u spremniku biti 100 litara

vode?3. Prikaži grafi čki funkciju ( )V t i opiši je riječima.

R 1) ( )10 50 litara.V = 2) 5 min 51 s. 3) Količina vode u spremniku uz otvorenu slavinu smanjuje se, a to smanji-vanje opisuje kvadratna funkcija ( )V t čiji je graf parabola. U početku količina vode se brzo smanjuje, a što je manje vode u posudi to smanjivanje je sporije. Posuda je prazna nakon 20 minuta.

I još 12 ...

Z a d a c i

9. Konzerve

Aluminijske su limenke danas sva-kodnevica. U njih se pohranjuju hrana ili napitci s ciljem da se spri-ječi njihovo kvarenje. Limenku je patentirao još davne 1810. godine Englez Peter Durand. Ubrzo je otvo-rena i prva tvornica za proizvodnju limenki u kojima se pohranjivala hrana za englesku vojsku. Limenke su pečaćene olovom pa je to izazi-valo trovanja od kojih je jedno od poznatijih jako trovanje arktičke ek-spedicije pod vodstvom Sir Johna Franklina 1854. godine. S limenka-ma koje se danas proizvode nema takvih problema. Tri najveća naša proizvođača ribljih konzervi su Sardina iz Postira na Braču i Mirna iz Rovinja s godiš-njom proizvodnjom od po 20 000 000 konzervi, te zadarska Adria s 25 000 000 konzervi.

Promotrimo jednu standardnu riblju konzervu. Njezin oblik i dimenzije prikazani su na sljedećem crte-žu: 10.5 cm,d = 6 cm,š = 1.5 cm,r = 2.2 cm.v =

Debljina stijenke konzerve je 0.2 mm. 1. Koliki je obujam stijenke jedne takve aluminij-

ske limenke?2. Kolika je masa aluminija svih ribljih konzervi

što ih godišnje proizvedu sva tri navedena pro-izvođača? (Gustoća aluminija 32700 kg/m= .)

3. Kolika je ukupna cijena te mase aluminija ako je cijena aluminija 17 820 kn po toni?

R 1) 2134.35 130.6 3.75 cm .k v uV V V= − = − = 2) Obujam svih 65 000 000 konzervi jednak je 8 3 32.44 10 m 244m ,⋅ = 658.8m Vρ= ⋅ = tona. 3) Ukupna je cijena 658.8 17820 11739 816 kn.⋅ =

I još 12 ...

Z a d a c i

10. Taksi

Neka je „običan“ prijevoz taksijem ona usluga čiji se trošak dijeli na: početnu cije-nu i cijenu prijeđenog puta u kilometrima. 1. Izrazi cijenu običnog prijevoza taksi-

jem kao funkciju broja prijeđenih kilo-metara.

2. Prikaži tu funkciju grafi čki. 3. Ako je usluga običnog prijevoza plaće-

na 50.5 kn, kolika je bila duljina puta?4. Prema taksimetru, putnik je noćnu vo-

žnju trebao platiti 94.2 kn. Koliki je put prevaljen?

R 1) ( ) 7 19.c x x= +

2)

3) ( ) 50.5c x = daje 4.5km.x = 4) Iz ( ) 94.2c x = slijedi 8.5km.x =

I još 12 ...

Z a d a c i

11. Opskrba

Na autocesti na udaljenostima 45, 120, 210 i 320 km od ulaza nalaze se postaje koje valja snabdijevati gorivom iz jednog opskrbnog središta uz autocestu. Pritom se jedna puna cisterna potpuno prazni na po-jedinoj postaji nakon čega se vraća u središte. Gdje treba smjestiti opskrbno središte, a da zbroj udalje-nosti od njega pa do svake pojedine postaje bude što manji?

R Zbroj udaljenosti svih postaja od opskrbnog središta jednak je

( ) 45 120 210 320 .d x x x x x= − + − + − + − Pritom je x udaljenost središta od ulaza na autocestu. Funkciju d možemo „raspisati“:

( )

4 695, 452 605, 45 120

365 , 120 2102 45 , 210 3204 695, 320

x xx x

d x xx xx x

− + ≤⎧⎪− + ≤ ≤⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪ − ≤ ≤⎪⎪ − ≥⎩

Prikažimo grafički ovu funkciju. Vidimo da ona najmanju vrijednost postiže nad intervalom 120 210x≤ ≤ gdje je konstantna i iznosi 365. Možemo dakle opskrbno središte postaviti bilo gdje na tom dijelu puta, zbroj udaljenosti bit će uvijek isti, 365 km i to je ujedno najmanja vrijednost funkcije d.

12. Godine i lipe

Neka vaš prijatelj broj svojih godina starosti po-množi s 4. Neka tom broju doda 10 pa rezultat po-množi s 25. Neka potom od dobivenog rezultata oduzme broj dana neprestupne godine. Konačno, neka razlici doda iznos sitniša u svojem džepu ali neka bude manji od kune i izražen u lipama. Na-kon ovog računa zahtijevajte da vam kaže rezul-tat. Dodat ćemo tom rezultatu 115 i očitati: prve dvije znamenke su godine, a sljedeće dvije iznos sitniša u džepu vašeg prijatelja. Možete li razobli-čiti ovu čaroliju?

R Neka je n broj godina, sa s neka je označena količina sitniša. 4n → 4 10n+ → ( )4 10 25n+ ⋅ → ( )4 10 25 365n+ ⋅ − → ( )4 10 25 365 100 115.n s n s+ ⋅ − + = + − Dodamo li ovom posljednjem broju 115 dobit ćemo 100 .n s+ Oči-gledno, prve dvije znamenke su broj godina, posljednje dvije iznos su sitniša.