i light behaves like a particle, sometimesdeangeli/fismod/modernphysics...1 1 i light behaves like a...

1

1

ILight behaves like a particle,

sometimes

2

1) Photoelectric Effect

The photoelectric effect occurs when light incident on certain metallic surfaces causes electrons to be emitted from those surfaces

The emitted electrons are called photoelectrons

When the system is kept in the dark, the ammeter reads zeroWhen plate E is illuminated, a current is detected by the ammeter

The current arises from photoelectrons emitted from the negative plate (E) and collected at the positive plate (C)

2

3

Photoelectric Effect, Interpretation

Electrons are trapped in the metal, by a potential V > VeLight might give to the electrons enough energy Eγ to escapeElectrons ejected possess a kinetic energy

K = Eγ - eVKmax = Eγ – φ

φ = eVe is called the work functionThe work function represents the minimum energy with which an electron is bound in the metalTypically, φ ~ 4 eV

4

At large values of ΔV, the current reaches a maximum value

All the electrons emitted at E are collected at C

The maximum current increases as the intensity of the incident light increases

When ΔV is negative, the current dropsWhen ΔV is equal to or more negative than ΔVs, the current is zero

3

5

Photoelectric Effect Feature 1

Dependence of photoelectron kinetic energy on light intensity

Classical PredictionElectrons should absorb energy continually from the electromagnetic wavesAs the light intensity incident on the metal is increased, the electrons should be ejected with more kinetic energy

Experimental ResultThe maximum kinetic energy is independent of light intensityThe current goes to zero at the same negative voltage for all intensity curves

6


Time interval between incidence of light and ejection of photoelectrons

Classical PredictionFor very weak light, a measurable time interval should pass between the instant the light is turned on and the time an electron is ejected from the metalThis time interval is required for the electron to absorb the incident radiation before it acquires enough energy to escape from the metal

Experimental ResultElectrons are emitted almost instantaneously, even at very low light intensities

Less than 10-9 s

4

7


Dependence of ejection of electrons on light frequency Classical Prediction

Electrons should be ejected at any frequency as long as the light intensity is high enough

Experimental ResultNo electrons are emitted if the incident light falls below some cutoff frequency, ƒcThe cutoff frequency is characteristic of the material being illuminatedNo electrons are ejected below the cutoff frequency regardless of intensity

8

Photoelectric Effect Feature 4Dependence of photoelectron kinetic energy on light frequency

Classical PredictionThere should be no relationship between the frequency of the light and the electron maximum kinetic energyThe kinetic energy should be related to the intensity of the light

Experimental ResultThe maximum kinetic energy of the photoelectrons increases with increasing light frequency

5

9

Cutoff FrequencyThe lines show the linear relationship between K and ƒThe slope of each line is independent of the metal

h ~ 6.6 10-34 JsThe absolute value of the y-intercept is the work functionThe x-intercept is the cutoff frequency

This is the frequency below which no photoelectrons are emitted

Kmax = hƒ – φ

10

Photoelectric Effect Featuresand Photon Model explanation

The experimental results contradict all four classical predictionsEinstein interpretation: All electromagnetic radiation can be considered a stream of quanta, called photonsA photon of incident light gives all its energy hƒ to a single electron in the metal

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =≡=

πω

2hhfE hh

h is called the Planck constant, and plays a fundamental role in Quantum Physics

6

11

Photon Model ExplanationDependence of photoelectron kinetic energy on light intensity

Kmax is independent of light intensityK depends on the light frequency and the work functionThe intensity will change the number of photoelectrons being emitted, but not the energy of an individual electron

Time interval between incidence of light and ejection of the photoelectron

Each photon can have enough energy to eject an electron immediatelyDependence of ejection of electrons on light frequency

There is a failure to observe photoelectric effect below a certain cutoff frequency, which indicates the photon must have more energy than the work function in order to eject an electronWithout enough energy, an electron cannot be ejected, regardless of the light intensity

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Photon Model Explanation of the Photoelectric Effect, final

Dependence of photoelectron kinetic energy on light frequency

Since Kmax = hƒ – φ, as the frequency increases, the maximum kinetic energy will increase

Once the energy of the work function is exceededThere is a linear relationship between the kinetic energy and the frequency

7

13

Cutoff Frequency and Wavelength

The cutoff frequency is related to the work function through ƒc = φ / hThe cutoff frequency corresponds to a cutoff wavelength

Wavelengths greater than λc incident on a material having a work function φ do not result in the emission of photoelectrons

ƒcc

c hcλφ

= =

14

2) The Compton Effect

Compton dealt with Einstein’s idea of photon momentum

Einstein: a photon with energy E carries a momentum of E/c = hƒ / c

According to the classical theory, electromagnetic waves of frequency ƒoincident on electrons should scatter, keeping the same frequency – they scatter the electron as well…

20 0

21/ 20

020

/ 2/ 2

pMaxwell: pressione di radiazione V

cEE B

B

u Eu u u E

u Buc

ε μεε

μ==

⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ = + ==

=

8

15

Compton’s experiment showed that, at any given angle, only one frequency of radiation is observed

The graphs show the scattered x-ray for various angles

Again, treating the photon as a particle of energy hf explains the phenomenon. The shifted peak, λ‘> λ0, is caused by the scattering of free electrons

This is called the Compton shift equation (wait the relativity week…)

( )' 1 cosoe

hm c

λ λ θ− = −

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Compton Effect, Explanation

The results could be explained, again, by treating the photons as point-like particles having

energy hƒmomentum hƒ / c

Assume the energy and momentum of the isolated system of the colliding photon-electron are conserved

Adopted a particle model for a well-known waveThe unshifted wavelength, λo, is caused by x-rays scattered from the electrons that are tightly bound to the target atomsThe shifted peak, λ', is caused by x-rays scattered from free electrons in the target

9

17

Every object at T > 0 radiates electromagnetically, and absorbes radiation as wellStefan-Boltzmann law:

Blackbody: the perfect absorber/emitter

3) Blackbody radiation

“Black” body

Classical interpretation: atoms in the object vibrate; since <E> ~ kT, the hotter the object, the more energetic the vibration, the higher the frequency

The nature of the radiation leaving the cavity through the hole depends only on the temperature of the cavity walls

842 4~ 5.7 10 WI T

m Kσ σ

−⎛ ⎞= ×⎜ ⎟⎝ ⎠

18

Experimental findings & classical calculation

Wien’s law: the emission peaks at

Example: for Sun T ~ 6000K

But the classical calculation (Rayleigh-Jeans) gives a completely different result…

Ultraviolet catastrophe

max2.9/1000

mT K

μλ =

10

19

Experimental findings & classical calculation

Classical calculation (Raileigh-Jeans): the blackbody is a set of oscillators which can absorb any frequency, and in level transition emit/absorb quanta of energy:

No maximum; a ultraviolet catastrophe should absorb all energy

428 BdI dI dIk T d E

d dE d dEλπ

λ λλ= ⇒ = ∝

Experiment

20

Planck’s hypothesis

Only the oscillation modes for whichE = hf

are allowed…

11

21

Interpretation

The classical calculation is accurate for large wavelengths, and is the limit for h -> 0

( ) ( )0 5 4/5o

2 2 2/1B

Bhc k hT

B

hc hc k TdI c ch

cd c k Te λ

λ λ λ λλπ π π

λ →→∞

⎯⎯⎯→ =−

=

Elementary oscillators can have only quantized energies, which satisfy E=nhf (h is an universal constant, n is an integer –quantum- number)Transitions are accompanied by the emission of quanta of energy (photons)

n4

3

2

1

E

4hf

3hf

2hf

hf

22

Which lamp emits e.m. radiation ?

1) A2) B3) A & B4) None

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4) Particle-like behavior of light:now smoking guns…

The reaction

has been recorded millions of times…

e eγ + −→

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Bremsstrahlung

"Bremsstrahlung" means in German "braking radiation“; it is the radiation emitted when electrons are decelerated or "braked" when they are fired at a metal target. Accelerated charges give off electromagnetic radiation, and when the energy of the bombarding electrons is high enough, that radiation is in the x-rayregion of the electromagnetic spectrum. It is characterized by a continuous distribution of radiation which becomes more intense and shifts toward higher frequencies when the energy of the bombarding electrons is increased.

13

25

SummaryThe wave model cannot explain the behavior of light in certain conditions

Photoelectric effectCompton effectBlackbody radiationGamma conversion/Bremsstrahlung

Light behaves like a particle, and has to be considered in some conditions as made by single particles (photons) each with energy

h ~ 6.6 10-34 Js is called the Planck’s constant

E hf ω= ≡ h

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IIParticles behave like waves,

sometimes

14

27

Summary of last lectureThe wave model cannot explain the behavior of light in certain conditions

Photoelectric effectCompton effectBlackbody radiationGamma conversion

Light behaves like a particle, and has to be considered in some conditions as made by single particles (photons) each with energy

h ~ 6.6 10-34 Js is called the Planck’s constant

E hf ω= ≡ h

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Should, symmetrically, particles display radiation-like properties?

The key is a diffraction experiment: do particles show interference?A small cloud of Ne atoms was cooled down to T~0. It was then released and fell with zero initial velocity onto a plate pierced with two parallel slits of width 2 μm, separated by a distance of d=6 μm. The plate was located H=3.5 cm below the center of the laser trap. The atoms were detected when they reached a screen located D=85 cm below the plane of the two slits. This screen registered the impacts of the atoms: each dot represents a single impact. The distance between two maxima, y, is 1mm.The diffraction pattern is consistent with the diffraction of waves with

ph

=λ

15

29

Diffraction of electrons

Davisson & Germer 1925:Electrons display diffraction patterns !!!

30

de Broglie’s wavelengthWhat is the wavelength associated to a particle?

de Broglie’s wavelength:

Explains quantitatively the diffraction by Davisson and Germer……

Note the symmetry

What is the wavelength of an electron moving at 107 m/s ?

(smaller than an atomic length; note the dependence on m)

h p kp

λ = ⇒ = h

( )( )( )

3411

31 7

6.63 10 Js7.28 10 m

9.11 10 kg 10 m/sh

mvλ

−−

−

⋅= = = ⋅

⋅

kpωEr

hr

h ==

16

31

Atomic spectraWhy atoms emit according to a discrete energy spectrum?

2 2

1 1 1Per l'idrogeno interi

legata "numerologicamente" a h

H

H

R m nm n

Rλ

⎛ ⎞= − <⎜ ⎟⎝ ⎠ Something must

be there...

Balmer

32

Electrons in atoms: a semiclassical model

Similar to waves on a cord, let’s imagine thatthe only possible stable waves are stationary…

2 π r = n λ n=1,2,3,…

2h nhp p

nr pr Lλ π= ⇒ = ⇒ == h

=> Angular momentum is quantized (Bohrpostulated it…)

17

33

2

2

2 2

2

2

22

2

ke k e

p e ek p

Emv e eF k E kr r r r

eE k E Er

eE kr

= = = ⇒ =

= = −− ⇒ + =

v

rm

F

NB:

• In SI, ke = (1/4πε0) ~ 9 x 109 SI units

• Total energy < 0 (bound state)

• <Ek> = -<Ep/2> (true in general for bound states, virial theorem)

2 22 22

2 22 22 2

e

k en

e

L n m vrk em n

m e m r rE v kr

nr rk m e

= =⎛ ⎞⇒ = ⇒⎜ = ≡⎟= = ⎝ ⎠

hh

h

Only special values are possible for the radius !

Hydrogen (Z=1)

34

Energy levels

The radius can only assume values

The smallest radius (Bohr’s radius) is

Radius and energy are related:

And thus energy is quantized:

22

2ne

r nk m e

=h

2

2eeE kr

= −

22

2 20

1 1 3 . 6 e V2 2

en e

n

k eeE kr a n n

= − = − = −

2

1 02 .0529e

r nm ak me

= = ≡h

18

35

TransitionsAn electron, passing from an orbit of energy Eito an orbit with Ef < Ei, emits energy [a photonsuch that f = (Ei-Ef)/h]

36

Level transitions and energy quanta

0

2

2 21 1

2i f

ef i

E E ef kh a h n n

⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

0

2

2 2 2 21 1 1 1 1

2e Hf i f i

f ek Rc a hc n n n nλ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − ≡ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

We obtain Balmer’s relation!

19

37

LimitationsSemiclassical models wave-particle duality can explain phenomena, but the thing is still insatisfactory,

When do particles behave as particles, when do theybehave as waves?Why is the atom stable, contrary to Maxwell’s equations?

We need to rewrite the fundamental models, rebuilding the foundations of physics…

kpωEr

hr

h ==

38

Wavefunction

Change the basic model!We can describe the position of a particlethrough a wavefunction ψ(r,t). This can account for the concepts of wave and particle (extensionand simplification).Can we simply use the D’Alembert waves, realwaves? No…

20

39

Wavefunction - II

We want a new kind of “waves” which can account for particles, old waves, and obey to F=ma.

And they should reproduce the characteristics of “real” particles: a particle can display interference corresponding to a size of 10-7 m, buthave a radius smaller than 10-10 m

Whaves of what, then? No more of energy,

but of probability

The square of the wavefunction is the intensity, and it gives the probability to find the particle in a given time in a given place.

Whaves such that F=ma? We’ll see that they cannot be a function in R, but that C is the minimum space needed for the model.

dVtrdE 2),(vΨ∝

dVtrdP 2),(vΨ∝

40

SUMMARYClose to the beginning of the XX century, people thought that physics was understood. Two models (waves, particles). But:

Quantization at atomic level became experimentally evidentParticle-like behavior of radiation: radiation can be considered in some conditions as a set of particles (photons) each with energy

Wave-like property of particles: particles behave in certain condistions as waves with wavenumber

Role of Planck’s constant, h ~ 6.6 10-34 JsConcepts of wave and particle need to be unified: wavefunctionψ (r,t).

E hf ω= ≡ h

/p h kλ= ≡ h ( , ) ( , )E p kω=rr

h

21

41

Laboratorio virtualeOrigini della Meccanica Quantistica

Radiazione termica del corpo nero

Effetto fotoelettrico

Diffrazione degli elettroni

1

1

L4 – L’equazione di Schroedinger

2

Proprieta’ della funzione d’onda

2

3

L’equazione di Schroedinger

4

Nota sugli operatori

3

5

L’equazione di Schroedinger stazionaria

6

L’equazione di Schroedinger stazionaria - II

4

7

L5 - Esempio: particella libera

8

Esempio: buca di potenziale infinita

5

9

Esempio: buca di potenziale infinita - II

10

Buca di potenziale infinita in piu’ dimensioni

Nota: degenerazione

6

11

Il principio d’indeterminazione

12

Interpretazione del principio d’indeterminazione

7

13

Interpretazione del principio d’indeterminazione - II

14

L6 - Gradino di potenziale

a. E < U0b. E > U0

8

15

a. E < U0

16

b. E > U0

9

17

Barriera di potenziale

18

L7 – L’oscillatore armonico 1-d

10

19

20

11

21

Operatori di creazione e distruzione

22

1

1

L9 – Potenziali a simmetria sferica

2

Trasformazione in coordinate polari

2

3

4

3

5

6

Armoniche sferiche

4

7

8

Momento angolare

5

9

L10 - Atomo d’idrogeno

10

6

11

Le soluzioni radiali sono quantizzate:

12

7

13

14

Densita’ di probabilita’ radiale

8

15

Densita’ di probabilita’ radiale - II

16

Lo stato fondamentale

9

17

Densita’ di probabilita’ radiale - III

18

Momento magnetico orbitale

10

19

Momento magnetico orbitale - II

20

Momento magnetico orbitale - III

11

21

L11 - Spin

L'esperimento mostra due possibili valori della componente del momento di dipolo magnetico dell'elettrone lungo l'asse z, uno positivo e uno negativo.Cio’ indica che l'elettrone e’ dotato di un momento di dipolo magnetico la cui componente lungo l'asse z e’ quantizzata.

In analogia con quanto noto in fisica classica e con quanto visto per il momento angolare orbitale dell'atomo d'idrogeno viene naturale pensare che tale momento di dipolo sia associato ad un momento angolare intrinseco dell'elettrone.

22

Spin - II

12

23

Principio di esclusione di Pauli

• Non possono esistere due elettroni con gli stessinumeri quantici

24

Composizione dei momenti della quantita’ di moto

13

25

Interazione spin-orbita - I

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Interazione spin-orbita - II

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27

La tavola periodica degli elementi

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29

30

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32

17

33

34

1

1

L10, L11 – Visione (in)formale

2

2

3

4

3

5

6

4

7

8

5

9

10

6

11

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7

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Problemi

1Sara Padovani Fisica Moderna 2006/7

Università degli Studi di Udine

Corso di laurea in Fisica Computazionale

Corso di Fisica Moderna

Sara Padovani


Corso di Fisica Moderna

1. Particelle identiche e spin

2. Statistica classica (Maxwell-Boltzmann)

3. Statistiche quantistiche (Fermi-Dirac e Bose-Einstein)

4. Gas di fotoni

5. Gas di elettroni- metalli

6. Teoria delle bande per i solidi

7. Fisica dei semiconduttori


Particelle identiche e spin


In Meccanica Quantistica non esiste il concetto di traiettoria, che presuppone la conoscenza simultanea della posizione e della velocità delle particelle.

Supponiamo di considerare due particelle del tutto identiche, e di determinare con elevata precisione la loro posizione ad un certo istante t , trovando due posizioni r1 e r2 . Supponiamo di ripetere la misura ad un successivo istante t’,trovando delle posizioni r1’ e r2 ‘. Siamo in grado di dire se la particella in 1 eraquella che si trovava in r1 , oppure viceversa? La risposta è NO.

Particelle identiche

Supponiamo di avere due particelle identiche in una scatola.

In Meccanica Classica: possiamo pensare di seguire il moto di ogni particella e individuarne la traiettoria, senza “disturbare” il sistema.


Questo è un principio generale che prende il nome di:

PRINCIPIO DI INDISTINGUIBILITÀ‘

dato un sistema contenente N particelle fra loro identiche, è impossibile che una misura dia risultati diversi se si immagina di scambiare fra loro due particelle

In altre parole, il sistema deve essere simmetrico rispetto a tutte le permutazioni possibili.

Principio di indistinguibilità


Principio di indistinguibilità

Il principio di indistinguibilità per le particelle identiche deve sempre essere tenuto presente nelle trattazioni di MQ, in particolare nella forma in cui scrivere la funzione d’onda di una particella.

La funzione d’onda che descrive il sistema deve essere insensibile allo scambio di due particelle.

Sia

la funzione d’onda che descrive il sistema costituito da due particelle identiche non interagenti , tale per cui all’istante t• la particella a si trova nella posizione r1

• la particella b nella posizione r2

trrtrrba ,,,, 2121,


Sistema costituito da due particelle identiche

Un sistema costituito da due particelle può essere descritto dalla funzione d’onda:

che soddisfa all’equazione di Schrödinger:

con H hamiltoniano del sistema:

trr ,, 21

Ht

i ˆ

trrUmm

H ,,22

ˆ21

2

2

2

22

1

1

2


La probabilità di trovare la particella 1 nell’elemento di volume d3r1, e la particella 2 nell’elemento d3r2 è definita dal modulo quadro della funzione d’onda:

che va normalizzato su tutto il volume


1,, 2

3

1

32

21 rdrdtrr

2

3

1

32

21 ,, rdrdtrrdw


Se l’energia potenziale U non dipende dal tempo, è possibile risolvere l’Equazione di Schrödinger con il metodo della separazione delle variabili,ponendo:

In tal caso la funzione d’onda dipende solo dalle coordinate spaziali e soddisfa all’Equazione di Schrödinger stazionaria:

SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE STAZIONARIA


iEterrtrr 2121 ,,,

21212121

2

2

2

2

21

2

1

1

2

,,,,2

,2

rrErrrrUrrm

rrm

21,rr


La MQ mi fornisce gli strumenti per costruire una funzione d’onda che descrive lo stato di un sistema costituito da particelle identiche senza specificare quale particella sta in uno stato e quale nell’altro.

Se E è l’energia totale del sistema, esistono due funzioni che possono

soddisfare al vincolo E = Ea+Eb


A

B


2121, , rrrr abab

2121, , rrrr baba


Operatore di scambio

Definiamo l’operatore di scambio P che inverte la posizione delle particelle:

Applicando l’operatore P due volte, si deve riottiene la situazione iniziale ossia:

Quindi:

P2 ha autovalore 1P ha autovalori ±1

Significa che esistono due tipologie di funzioni d’onda che possono descrivereil sistema:

1221 ,, rrrrP

211221

2 ,,, rrrrPrrP

2112

2112

,,

,,

rrrrrrrr Simmetrica

Antisimmetrica


Ci sono due funzioni d’onda che descrivono un sistema costituito dalla combinazione lineare degli stati A e B :

Se E è l’energia totale del sistema, esistono due funzioni che possono

soddisfare al vincolo E = Ea+Eb


A

B


212121, rrrrArr abba

2121, , rrrr abab

2121, , rrrr baba

Esistono due tipologie di particelle!!!


Bosoni e fermioni

Funzione simmetrica

Funzione antisimmetrica

BOSONIBOSONI

FERMIONIFERMIONI

Particelle con spinintero

Particelle con spinsemi- intero

212121, rrrrArr abbaSS

212121, rrrrArr abbaAA

Sistema a due particelle


La funzione d’onda totale può essere espressa come il prodotto di una funzione spaziale e una di spin

Funzione d’onda totale = (funzione spaziale) × (funzione di spin)

La parte spaziale descrive il moto orbitale di una particella rispetto all’altra ed e’ rappresentata dalle armoniche sferiche Yl

m( , )

E’ una funzione • simmetrica per spin paralleli• antisimmetrica per spin antiparalleli

BOSONI: e entrambe simmetriche o antisimmetriche

FERMIONI: simmetrica

antisimmetrica… o viceversa

Bosoni e fermioni

)(),( spinY ml


Supponiamo di avere due fermioni identici, ovvero che

Si ha che

Fermioni identici

due fermioni identici, non possono occupare lo stesso stato quantico

Ritorniamo alla funzione antisimmetrica che descrive due fermioni:


11 rr ba

22 rr ba

0, 212121 rrrrArr abbaAA

0,2

21 rrA


Formulato nel 1925 dichiara che:

due fermioni identici, non possono occupare lo stesso stato quantico.

Principio di esclusione di Pauli

E' il principio di esclusione di Pauli che permette ad un oggetto di non dissolversi nelle vostre mani, dato che ogni fermione occupa uno spazio vitale che non può spartire.


FERMIONI: funzione d’onda anti-simmetrica per inversione spaziale. Non possono quindi coesistere nello stesso stato (al più possono esistere due fermioni nello stesso stato energetico, ma con spin opposto)

BOSONI: funzione d’onda simmetrica per inversione spaziale. Come conseguenza di questo fatto possono coesistere nello stesso stato anche in numero molto grande.

Bosoni e fermioni

Funzione simmetrica


BOSONIBOSONI

FERMIONIFERMIONI






FERMIONI (quanti di materia) corrispondono alle particelle che costituiscono la materia (nuclei, atomi, molecole) cioè i quark (di cui sono formati i protoni e i neutroni, costituenti del nucleo atomico), l'elettrone e il neutrino, più altre repliche dello stesso tipo di particelle (con le stesse interazioni) ma molto più pesanti e quindi instabili.

BOSONI (quanti di forza): particelle che, nella concezione duale onda-corpuscolo della MQ, sono i portatori delle forze fondamentali che si esercitano tra le particelle elementari e che quindi ne determinano le interazioni.

Nel modello standard fermioni e bosoni sono le due categorie di particelle fondamentali: i quanti di materia e i quanti di forza.

Modello standard: bosoni e fermioni

FORZEFONDAMENTALI

l'elettromagnetical'elettromagnetica

deboledebole

forteforte

gravitazionalegravitazionale

fotonefotone

bosonibosoni W± e ZW± e Z

gluonigluoni

gravitonegravitone


Modello standard: bosoni e fermioni

Nel modello standard fermioni e bosoni sono le due categorie di particelle fondamantali: i quanti di materia e i quanti di forza.


Nel suo famoso articolo del 1925, in cui enunciò il principio diesclusione, Wolfgang Pauli introdusse per la prima volta quattro numeri quantici per descrivere compiutamente lo stato degli elettroni all'interno degli orbitali atomici.

Il quarto numero quantico introdotto da Pauli era lo "spin", momento angolare intrinseco associato alla particella.

Lo spin

Dal punto di vista sperimentale, nel frattempo, i tempi erano maturi per l'osservazione degli effetti di tale ipotesi.


Lo spin: esperimento di Stern e Gerlach

Ag

Nel 1922 Stern e Gerlach avevano compiuto un importante esperimento che dimostrava la quantizzazione del momento angolare, ma non erano riusciti a dare una spiegazione completa ai fenomeni osservati.

Fecero passare (in vuoto) un fascio di atomi di Argento (neutri) tra le espansioni di un magnete molto asimmetrico. Quindi con un forte gradiente di B.


• In assenza di B gli atomi si depositavano sul vetro formando una sottile strisciolina.

• In presenza di B formavano solo due striscioline, una al di sopra e una al di sotto di quella senza campo




zz

e

zzz L

zB

me

zBF

2La forza agente su di un dipolo magnetico è:

Stern e Gerlach si aspettavano di misurare la quantizzazione di Lz trovando2L +1 componenti (quindi, un numero dispari di tracce) e che il risultato non dipendesse dalla direzione di Bz. Questo ultimo risultato corrispondeva ma le tracce, invece, erano sempre solo due.

B = 0 B 0

0zBz

Risultati attesi



L’esperimento fu rifatto nel 1927 da Phipps e Taylor con un fascio di Idrogenoatomico a media temperatura. Quindi sicuramente doveva essere L = 0, e trovarsi una sola traccia non deviata. Invece c’erano sempre le due tracce deviate simmetricamente.

Risultatisperimentali

L=0 L=1

La spiegazione finale fu che l’elettrone che possiede un suo momento angolare “intrinseco”, detto SPIN che non deriva da una sua rotazione su se stesso, e un corrispondente momento magnetico s (momento magnetico di spin).



L’esperimento mostrava che lo spin è quantizzato ed è quantizzata la sua proiezione su un asse

h

sSz2

1s 1ssS sme

es

22

Il momento angolare di spin S e quello orbitale L si accoppiano:

Momento angolare totaleSLJ

,...2,2

3,1,

2

1,01 jjjJ

jjjjmmJ jjz ,1,...,1,


Bosoni e fermioni

Funzione simmetrica


BOSONIBOSONI

FERMIONIFERMIONI





Sistema a due particelle


Sistema a N particelle identiche

Se un sistema è costituito da N particelle identiche anziché da due, i risultati ottenuti si generalizzano facilmente.

Indicato con P un generico operatore di permutazione che applicato su uno stato di N particelle dà lo stato equivalente in cui le particelle sono state tra loro permutate in modo arbitrario.

Si avrà:

NN rrrrrrP ,,,, 2121

NM

N rrrrrrP ,,1,, 2121

BOSONIBOSONI

FERMIONIFERMIONI

dove M è il numero di scambi di coppie necessario per arrivare dallo stato iniziale a quello finale.



BOSONI

È possibile però costruire una soluzione simmetrica per scambio:

indica la somma di tutte le permutazioni possibili



FERMIONI

È possibile però costruire una soluzione antisimmetrica per scambio in forma di un determinante:

Scambiare fra loro due particelle equivale infatti a scambiare fra loro due colonne, e per le proprietà del determinante questo porta ad un cambiamento di segno.

Se due qualsiasi delle righe sono fra loro uguali, il determinante si annulla e quindi una tale funzione d'onda non corrisponde ad alcun stato fisico.



BOSONI

FERMIONI

Abbiamo definito le funzioni d’onda che mi descrivono un sistema a N particelle identiche, tale per cui valga

Significa che ni particelle stanno nello stesso stato di particella singola

snnnN ...21

ai


Statistica classica:Maxwell e Boltzmann

C. Maxwell

L. Boltzmann


La meccanica statistica è un ramo della fisica che studia il comportamento e le proprietà medie di sistemi costituiti da un numero molto grande di particelle:lo strumento di queste analisi sono i metodi e le tecniche della statistica, applicati alla descrizione del moto delle particelle.

Si è sviluppata nel corso del XIX secolo principalmente per merito del fisico inglese James Clerk Maxwell, del fisico austriaco Ludwig Boltzmann e del fisico matematico statunitense J. Willard Gibbs. Convinti che la materia fosse costituita da un gran numero di particelle minuscole (atomi e molecole) in costante movimento, questi scienziati erano consapevoli del fatto che la determinazione del moto di ogni singola particella, in base all'applicazione della meccanica newtoniana, fosse un procedimento impraticabile.

Maxwell, Boltzmann e Gibbs svilupparono metodi statistici che permettessero di descrivere la dinamica delle singole particelle in termini di valori medi delle variabili microscopiche, e di dedurre da questi le caratteristiche termodinamiche macroscopiche dei sistemi.

Meccanica statistica


Negli anni Venti la meccanica statistica venne riformulata, al fine di includere i nuovi principi della teoria quantistica. La natura delle particelle infatti, così come viene intesa dalla teoria quantistica, è diversa da quella tipica della teoria classica, basata sui principi della dinamica di Newton. Due particelle classiche sono teoricamente distinguibili, (possono essere distinte apponendo a ciascuna un'etichetta di riconoscimento) le particelle quantistiche sono del tutto indistinguibili.

La nuova teoria di fisica richiese una ridefinizione generale dei principi della meccanica statistica: inoltre, fu necessario utilizzare due diversi metodi statistici per descrivere le proprietà fisiche di sistemi di particelle quantistiche. Per la descrizione statistica di sistemi di particelle dotate di spin semi-intero (fermioni) si richiedeva la statistica di Fermi-Dirac, mentre per sistemi di particelle dotate di spin intero (i bosoni) era necessaria la statistica di Bose-Einstein.

Meccanica statistica quantistica


La statistica di Maxwell-BoItzmann è stata ricavata nell'ambito dello studio della teoria cinetica dei gas, nella quale si assume che le molecole interagiscono tra di loro molto debolmente e solo durante le collisioni: si possono quindi trascurare tutti gli altri tipi di forze possibili.

Sistema chiuso di N particelle distinguibili “debolmente” interagenti

Statistica di Maxwell-BoItzmann


1 2 3 ... S

1 2 3 … S

N1 N2 N3 … NS

IPOTESI:

1. Sistema chiuso

2. Particelle distinguibili

3. Interazioni deboli particelle non-interagenti

4. N=cost. E=cost.

5. Tutti i parametri rilevanti (volume, ...) che determinano gli stati del sistema sono costanti.

6. Si conoscono gli “stati di particella singola” 1, 2, ... s e le loro energie 1, 2, ...

Vincoli

S

ii NN

1

S

iii EN

1

Statistica di Maxwell-Boltzmann


Tutti i modi (microstati) che rispettano i vincoli sono equiprobabili

Lo stato di equilibrio del sistema è quello più probabile, cioè quello che può essere realizzato col massimo numero di modi possibili (principio di massima verosimiglianza)

Voglio determinare:

1. Il numero di modi W associato ad una certa configurazione

2. La distribuzione statistica n(E) che descrive il sistema all’equilibrio termico



Numero di modi: sistema con numero finito di stati

Possibilità di mettere N1 particelle nello stato 1 ordinatamente

ciascuna di queste può essere ottenuta con N1! ordinamenti diversi quindi le possibilità distinte sono

Lo stato 2 potrà essere occupato nel numero di modi:

si ottieneSWWWW 21

Numero di modi

!

!121

1

1

'

1 NNNNNNNNW

!!

!

11

1 NNNNW

!!

!

212

12 NNNN

NNW

S

i iNNW

1 !

1!



Applichiamo ora il PRINCIPIO DI MASSIMA VEROSIMIGLIANZA:

un sistema fisico reale le particelle tenderanno a disporsi secondo la configurazione che prevede il numero massimo possibile di modi W

Questo significa che per un sistema fisico reale l’equazione di W sarà massimizzata da una particolare configurazione delle partizioni N1, ..., NS.Ricordiamo che non tutte le configurazioni delle partizioni sono ammesse, ma solo quelle che rispettano i vincoli di esclusione introdotti prima.

Inoltre ipotizziamo che all’equilibro termodinamico il sistema è nella sua configurazione più probabile.

Distribuzione più probabile



Per la risoluzione di un problema di massimizzazione vincolata si può applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange che riduce l’analisi ad una massimizzazione semplice di una funzione in Ni.

Tale metodo consiste nel massimizzare la funzione:

ENNNWNNLS

iii

S

iis

11

1 ln),,,,(

La condizione necessaria per avere un estremo è che le derivate parziali si annullino:

0ln L

0ln L

0ln

iNL

Distribuzione più probabile: Metodo dei moltiplicatori di Lagrange



0ln L

0ln L

0ln

iNL

S

ii NN

1

S

iii EN

1

Fornisce i valori N1, ..., NS per la distribuzione più probabile



ENNNWNNLS

iii

S

iis

11

1 ln),,,,(

La condizione necessaria per avere un estremo è che le derivate parziali si annullino:

0ln

iiNW


Formula di Stirling

S

i iNNW

1 !

1!

s

iiNW

1

!lnln!ln!lnln1

s

iiNNW

NNNN ln!ln

s

iii NNW

1

lnln



Distribuzione

ieeNi

10

lni

iNW



Formula di Stirling

NNNN ln!ln


La situazione reale, però, comporta generalmente un numero molto grande di stati che avranno occupazione medio bassa.

Si suddivide l’ energia in intervalli E abbastanza grandi da contenere un numero gi (degenerazione) sufficientemente grande di stati x aventi energie

i1, i2, i3,…Tale che sia

E <<Ei gi >> 1 Ni>> 1

Avrò quindi una ripartizione delle particelle nei vari intervalli, caratterizzata dalle Ni e tale per cui

NNi


Numero di modi: caso generale


I modi per disporre N1 particelle nel primo intervallo sono

!!

!

11

1 NNNNW

S

i i

N

NgNW

i

1 !!

Ma le N1 particelle possono essere messe nei g1 stati, quindi avrò g1

possibilità per la prima, g1 per la seconda ecc...

In totale avrò quindi possibilità diverse di sistemazione

si ottieneSWWWW 21

Numero di modi


Numero di modi: caso generale

!!

!

11

11

NNNNgW N


s

ii

i

ii

s

ii

s

iii N

NgNNNgW

111

lnlnlnln


Distribuzione più probabile: caso generale

Distribuzione

S

i i

N

NgNW

i

1 !!

0ln

iiNW

s

ii

s

iii NgNNW

11

!lnlnlnln

Ei

i eeg

N


La distribuzione più probabile, che risulta essere:

Distribuzione di Maxwell- Bollzmann

valida per particelle “classiche” distinguibili


Distribuzione più probabile: caso generale

Fattore di Boltzmann

numero medio di

particelle per stato

ieegN

ni

ii

1

ieegN i

i


Nel caso in cui lo spettro di energia di particella singola possa essere considerato continuo, e ciò avviene quando il volume è grande:


Distribuzione più probabile: distribuzione continua di stati

deegdN E

EeegNn 1

numero di particelle che popolano i livelli compresi

nell’intervallo e +d

numero medio di particelle che occupano

un singolo stato ieeg

Nn

i

ii

1

ieegN i

i


Al fine di determinare i parametri e si definisce la funzione di partizione Z ed si esprime il numero medio di particelle per stato ni in funzione di Z:


Funzione di partizione

ZNe

ieZNni

Numero medio di particelle per stato

stati statistatii

ii eeeenN

stati

ieZ

NZ lnln

ieegN

ni

ii

1


Descriviamo l’energia media per particella termini della funzione di partizione:



statii

ieZ

ZNZZNe

ZNnE

statii

statiii

iln

ZNE ln

ieZNni

Energia media per particella

stati

ieZ



ieZNni


stati

ieZ

degZNdn i


degZ0

Distribuzione continua di stati

dEdsEgSe la densità degli stati è definita come:

dgeZNdseedn iia



Zln

Energia media per particella

degZNdn i

NZ lnln

degZ0

Per il calcolo dei parametri e è necessario procedere al calcolo della funzione di partizione Z.

Calcolo densità degli stati per un sistema classico

Calcolo di Funzione di e



Densità degli stati

Numero di stati nel volume infinitesimo dello spazio delle fasi

Integrando su tutto il volume occupato dal gas

zyx dpdpCdxdydzdpds*

dppCVdpdpCVdpds zyx24

Energia delle particelle liberempE2

2

dEdEdppCVgpCVds )(4 2

21

23

22/ VmCVddsg


Calcolo della funzione di partizione


21

21

23

22 BVVmCVg

2

21

23

0

BVdegZ

23

23

2 CVmZ

Nota la densità degli stati:

Calcolo la funzione di partizione:

degZ0



Zln

KT2

3 KT1Teoria cinetica del

gas ideale

Calcolo di e

NZ lnln23

23

2ln CmNV

23

23

2 CVmZ


Distribuzione di Maxwell-Boltzmann


KT1

KTMB eKTf 2

1232

Numero medio di particelle per stato deegdn i

ddn

Nf 1

Funzione di distribuzione

Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

23

23

2ln CmNV

21

21

23

22 BVVmCVg


Distribuzione di Maxwell-Boltzmann a varie temperature


KTMB eKTf 2

1232


Distribuzione di Maxwell delle velocità


KTMB eKTf 2

1232

2

2

1mvm

v 2 dvdvdvfdvvF )(

KTmv

evKTmvF 22

23

2

24





KTmv

evKTmvF 22

23

2

24

dvvFvv 22

KTvm2

3

2

1 2


La statistica di Maxwell-Boltzmann fornisce delle buone previsioni sul comportamento di un gas in condizioni normali (pressione atmosferica: P = 1 atm; temperatura ambiente: T = 300 °K).

Ma molti fenomeni risultano comunque del tutto incomprensibili dal punto di vista della fisica classica, tra cui ricordiamo:

1. Calore specifico dei solidi a basse temperature

2. Emissione corpo nero (legge di Rayleigh/Jeans)



Calore specifico


VA

VV T

NTEC

KT2

3

KT3

Calore specifico a volume costante

RCV2

3

RCV 3

Gas monoatomico

Una mole di solido (Gli atomi vengono trattati come oscillatori tridimensionali)


Calore specifico a basse temperature


Calore specifico CV delrame in funzione della temperatura

Secondo la fisica classica, il calore specifico deve rimanere finito anche allo zero assoluto. Questo fatto è però in contrasto con l'esperienza: infatti il calore specifico decresce man mano che ci si avvicina allo zero assoluto (la cosa fu predetta da Nerst nel 1916 ed il processo, allora ancora ignoto, secondo cui il calore specifico decresce lo chiamò degenerazione del gas, mentre un gas a temperature vicine allo zero assoluto venne chiamato degenere).


Radiazione di corpo nero

Uno degli insuccessi della teoria classica ondulatoria è il calcolo della radiazione emessa da un corpo nero.

Raileigh e Jeans descrissero la distribuzione di intensità I delle onde emesse in funzione della lunghezza d’onda , modellando la radiazione di corpo nero come quella proveniente da un insieme di oscillatori che possono emettere ed assorbire radiazione ad ogni frequenza:

Legge di Rayleigh/Jeans

42

KTcddI

Il calcolo di Rayleigh e Jeans riproduce i dati sperimentali solo per grandi , per piccole la formula errata

CATASTROFE ULTRAVIOLETTACATASTROFE ULTRAVIOLETTA


Statistiche quantistiche

E. Fermi

P. Dirac

S. Bose

S. Bose

A. Einstein


Tutti i modi (microstati) che rispettano i vincoli sono equiprobabili

Lo stato di equilibrio del sistema è quello più probabile, cioè quello che può essere realizzato col massimo numero di modi possibili

Abbiamo determinato:

Il numero di modi W associato ad una certa configurazione

La distribuzione statistica n(E) che descrive il sistema all’equilibrio termico


S

i i

Ni

NgNW

i

1 !!

ieegN

ni

ii

1


Statistiche

Esempio: 2 particelle in 3 stati

9!2

3!2

!!

2

1

S

i i

Ni

NgNW

iMaxwell-Boltzmann: il numero di modi W associato ad una certa configurazione

ABABAB

BAABAB

BABAAB

ABBB

AABB

AAAB

BB

AB

AA

Particelledistinguibili

Bosoni

Fermioni

9 modi

6 modi

3 modi


1 2 3 ...

1 2 3 …

N1 N2 N3 …

1. Sistema chiuso

2. Interazioni deboli particelle non-interagenti

3. N=cost. E=cost.

4. Tutti i parametri rilevanti (volume, ...) che determinano gli stati del sistema sono costanti.

5. Si conoscono gli “stati di particella singola” 1, 2, ... s e le loro energie 1, 2, ...

6. Particelle indistinguibili (c’e’ solo un modo di mettere Ni particelle nello stato i)

7. Particelle dipendenti (se la particella 1 si trova nello stato g1, altera la probabilità che 2 si trovi in g2)

Vincoli1ii NN

1iii EN


Ipotesi


IPOTESI: Ni<<gi e particelle indistinguibili

L’ occupazione di uno stato non modifica significativamente il numero di stati disponibili, quindi possibilità di mettere Ni particelle nello stato i ordinatamente:

Particelle indistinguibili: sistema diluito

iNiiiii ggggW '

!

'

i

Ni

i Ng

Wi

ciascuna di queste può essere ottenuta in N1! modi diversi, cambiano l’ordine delle particelle. Poiché le particelle sono indistinguibili tutti questi modi sono fisicamente identici, ed il numero di configurazioni fisicamente differenti è:

In totale i modi possibili sono:!i

N

NgW

i

STATI IDENTICI

Particelle indipendenti


p1 p2 p3 p4 p5

I gi stati possono essere occupati in gi! modi diversi

Per ciascuno di questi modi vi sono (gi-Ni) stati liberi che possono essere realizzati in (gi-Ni)! modi diversi indistinguibili

Anche gli Ni! modi di scegliere gli stati occupati sono equivalenti perché leparticelle sono indistinguibili

Particelle indistinguibili: FERMIONI

In totale i modi possibili sono:

gi statiNi fermionigi- Ni stati vuoti

!!

!

iii

ii NgN

gW

!!

!

iii

i

NgNg

W


Il numero di disposizioni possibili di particelle e setti è:

Di queste Ni! rappresentano diverse disposizioni delle particelle (indistinguibili) e (gi-1)! sono le disposizioni dei setti (che non comportano modifiche al sistema)

Particelle indistinguibili: BOSONI

gi statiNi bosonigi- 1 setti mobili

Descrizione della configurazione: combinazione di Ni+ (gi-1) oggetti

!1!

!1

ii

iii gN

gNW

!1'

iii gNW

!1!

!1

ii

ii

gNgN

W


Confronto dei risultati

!i

N

NgW

i!!

!

iii

i

NgNg

W

!1!

!1

ii

ii

gNgN

W

S

i i

N

NgNW

i

1 !!

Numero di modi W associato ad una certa configurazione

Particelle distinguibiliMAXWELL-BOLTZMANN

Particelle indistinguibiliFermioni

FERMI-DIRAC

Particelle indistinguibiliBosoni

BOSE-EINSTEINSistemadiluito


ENNNWNNLS

iii

S

iis

11

1 ln),,,,(

La condizione necessaria per avere un estremo (massimo) è che le derivate parziali si annullino:

0ln L

0ln L

0ln

iNL



S

ii NN

1

S

iii EN

1

0ln ENL

i

Fornisce i valori N1, ..., NS per la distribuzione più probabile


0ln ENL

i

Statistica di Fermi-Dirac


Distribuzione

!!

!

iii

i

NgNg

W ii

i NNg

W 1lnln

Stirling

1

1ieeg

Nni

ii


0ln ENL

i

Statistica di Bose-Einstein


Distribuzione

Stirling

ii

i NNg

W 1lnln

1

1ieeg

Nni

ii

!1!

!1

ii

ii

gNgN

W


Confronto dei risultati

!!

!

iii

i

NgNg

W

!1!

!1

ii

ii

gNgN

W

S

i i

N

NgNW

i

1 !!

1

1ieeg

Nni

ii

1

1ieeg

Nni

ii

ieegN

ni

ii

1

232

3

22ln

mNV

KT1



Distribuzione di Fermi-Dirac

L’andamento di questa distribuzione è molto particolare:

• Il termine esponenziale ha limiti diversi per T 0 a seconda chel’enegia sia > o < dell energia di Fermi:

• Per = F, allora fFD=1/2

1

1

kTFD F

ef

F ENERGIADI FERMI

F

F

FDf0

1



Confronto:Fermi-Dirac e Maxwell-Boltzmann

1

1

kTFD F

ef

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann prevede che a basse temperature sia lo stato a minore energia ad essere popolato sempre più in proporzione ai livelli eccitati

kTMB F

ef 1

MOLECOLE

T=0

FERMIONI

T=0

E=EF

E

E=0

Nel caso dei fermioni, esiste un valore massimo di popolazione (al max la generazione dei livelli)

Nel limite di T 0, le particelle riempiranno tutti i livelli ad energia minima compatibilmente col principio di esclusione, fino al livello EF


La distribuzione di Maxwell-Boltzmann è un caso limite di quella di Fermi-Dirac per energie molto alte, se tuttavia l’energia cala, per i fermioni la probabilità di occupazione di uno stato su un livello energetico a energia E segue una via diversa e per energie pari a EF, detta Energia di Fermi,vale ½.



1

1

kTFD F

ef

kTMB F

ef 1



Distribuzione di Bose-Einstein

Il significato fisico della distribuzione per i BOSONI è completamente differente di quella per i FERMIONI non esiste alcun vincolo superiore all’occupazione di un qualunque livello energetico

1

1

kTBE F

ef

Per T 0 si assiste ad un “ammassamento” di bosoni nel livello energetico più basso Condensazione di Bose-Einstain

MOLECOLE

T=0

FERMIONI

T=0

E=EF

E

E=0

BOSONI

T=0


Densità degli stati: N particelle identiche in una scatola cubica

Si abbiano N particelle in una scatola di volume V=L3.

All’ interno della scatola il potenziale è nullo e l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo di ogni particella è:

Con ni interi positivi. Questa è un’onda stazionaria.

)()(2 2

2

2

2

2

2

rErzyxm

zLnseny

Lnsenx

LnAsenrk

321)(

La funzione d’onda normalizzata al volume V è fattorizzabile e risulta essere:


2,1,0nconLnk 1

Lnk 2

2 Ln

k 33


Densità degli stati: N particelle in una scatola cubica

I valori di energia sono:

2

3

2

2

2

10

2

3

2

2

2

1

22

2nnnEnnn

LmE

22

2k

mE

Essendo:



N particelle in una scatola cubica: densità degli stati

dEdSEg

Nel guscio sferico di spessore dk si trovano dSstati, la densità degli stati è definita come:

212

3

2

22

2

1 VEmEg

2

2

kVdkdSkg 2

2

2k

mE



Calcolo della funzione di partizione

21

212

3

2

22

2

1 BVVmg

2

21

23

0

BVdegZ

232

3

22VmZ

Nota la densità degli stati:

Calcolo la funzione di partizione:

degZ0



2

21

23

BVZ

KT1

Calcolo di e

NZ lnln232

3

22ln

mNV

232

3

22VmZ



Gas di fotoni



Uno degli insuccessi della teoria classica ondulatoria è il calcolo della radiazione emessa da un corpo nero.

Raileigh e Jeans descrissero la distribuzione di intensità I delle onde emesse in funzione della lunghezza d’onda , modellando la radiazione di corpo nero come quella proveniente da un insieme di oscillatori che possono emettere ed assorbire radiazione ad ogni frequenza:

Legge di Rayleigh/Jeans

42

KTcddI

Il calcolo di Rayleigh e Jeans riproduce i dati sperimentali solo per grandi , per piccole la formula errata

CATASTROFE ULTRAVIOLETTACATASTROFE ULTRAVIOLETTA



Nel 1900 Planck propose una teoria della radiazione di corpo nero che riproduceva i dati sperimentali a tutte le lunghezze d’onde.

La legge di radiazione postulata da Planck è:

Legge di Planck

1

12

5KB

hce

hccddI



Partendo dalla legge di radiazione postulata da Planck si trova:

Legge di Planck

1

12

4KB

hce

hccddI

1

8 3

3KB

he

hcd

dI

Alte lunghezze d’onda (h <<KT)Legge di Rayleigh-Jeans

Alte frequenze (h >>KT)Legge di Wien

3

2 8

cKT

ddI

KBh

ech

ddI

3

3 8



Legge di Planck

3

2 8

cKT

ddI

Oscillatori armonici classici

Legge di Rayleigh-Jeans

Legge di Planck1

8 3

3KB

he

hcd

dI

KT

1KThe

hOscillatori armonici quantistici

Il problema era quello di giustificare la legge di Planck. Fu Einstein a rendersi conto che Planck aveva introdotto un nuovo concetto nella fisica: il quanto di luce.


Nel 1924 venne pubblicato un articolo dall’indiano Bose e tradotto da Einsteinin cui si ricavava la formula di Planck su basi puramente statistiche.Da qui il collegamento alla statistica di Bose-einstein per particelle a spinintero.

Per ricavarla partiamo dal calcolo della densità degli stati.

Quindi essendo e

Lnk 1

1 Lnk 2

2 Ln

k 33



2

3

2

2

2

12

nnnLhp 2

3

2

2

2

12

nnnLhcE

kp cpE

Dalle condizioni di quantizzazione si ottiene:


Ci interessa la densità degli stati g(E). Consideriamo lo spazio 3D con coordinate n1, n2 e n3, raggio n, ed elemento di volume sferico 4 n2dn. Ci si limita ad un ottante di sfera, e si considerano 2 modi di polarizzaizone distinti:



dnndnng 248

12)(

dnLhcdE2

dEEchLdEEg 2

33

38)(

2

33

38)( E

chLEg



dEdn

NEf 1Funzione di distribuzione

Distribuzionedi Bose-Einstein



dEe

EgdnKT

E1

1

2

33

38)( E

chLEg

1

8)(

2

33

3

KTEe

EchLEf




Legge di Planck

1

8)(

2

33

3

KTEe

EchLEf

Legge di Planck1

8)(

3

3KB

he

hc

u

Abbiamo dunque ricavato il modello di quantizzazione della radiazione elettromagnetica, che è in eccellente accordo con gli spettri di emissione osservati per un corpo nero in equilibrio termico.

Inoltre, la legge di Planck è ora pienamente giustificata da una trattazione statistica nella quale i fotoni sono descritti in termini della quantistica bosonica.

VdnEU /)(


Gas di elettroni - I metalli


Metalli

METALLI

La linea rossa divide i metalli dai non metalli

Alcalini

Alcalino terrosi

Transizione

Terre rareGas nobili

Alogeni

Non metalli

IA

IIA IIIA IVA VA VIA

Circa i tre quarti degli elementi chimici conosciuti sono metalli.

IIIB IVB VB VIB VIIB VIIIB IB IIB

Altri metalli


Metalli

Il legame metallico

I metalli sono caratterizzati da un alta conducibilità elettrica ed in un metallo un gran numero di elettroni (in genere 1 o 2 per atomo) è libero di muoversi liberamente (elettroni di conduzione).

Il legame metallico è dovuto alla “nuvola di elettroni liberi” e presenta energie di legame modeste rispetto a gli altri legami(ionico, covalente) quindi po’ essere considerato un legame debole.

I metalli hanno bassa energia di ionizzazione (quantità di energia necessaria per strappare un elettrone a un atomo neutro) quindi i loro elettroni esterni sono attratti debolmente dai rispettivi nuclei, e se ne separano facilmente.


Metalli

Gruppo IA

1 elettrone di valenza in un orbitale s

ALCALINIALCALINI

Gruppo IIA

2 elettroni di valenza in un orbitale s

ALCALINOALCALINO--TERROSITERROSI

Gruppo IIIA

2 elettroni di valenza in un orbitale s, 1 in orbitale p

Metalli con elettroni di valenza in orbitali s e pGli elettroni più esterni di un atomo che sono coinvolti in un legame sono chiamati elettroni di valenza. Gli elettroni del nocciolo non vengono coinvolti nel legame. Il numero degli elettroni di valenza è eguale al numero del gruppo.


Metalli

Gruppo IVA

2 elettroni di valenza in un orbitale s,2 in orbitale p

Metalli con elettroni di valenza in orbitali s e p

Gruppo VA


Gruppo VIA



Metalli

La più numerosa famiglia di metalli è quella degli elementi di transizione, comprendente 33 membri; in essa gli elettroni di valenza sono disposti secondo regole non semplici negli orbitali d ed s. La famiglia è stata suddivisa in otto gruppi, in base a considerazioni non molto rigorose sulla valenza.

Gruppi: IB-VIIIB

Gli elettroni di valenza in questi metalli sono disposti secondo regole complicate negli orbitali f e s.

Metalli di transizione

Lantanidi e attinidi


Metalli

Strutture cristalline

Il 90% dei metalli presenta struttura:

• cubica a corpo centrato

• cubica a facce centrate

• esagonale compatta


Sono strutture ad alto impacchettamento

Metalli





Metalli



L’interpretazione delle proprietà metalliche per mezzo degli elettroni liberi fu sviluppata molto prima della meccanica quantistica.

Drude sviluppò un modello ad elettroni liberi in cui utilizzo lateoria cinetica dei gas per descrivere le proprietà dei metalli.

A differenza della teoria dei gas in cui c’e’ solo un tipo di particella, Drude ipotizzo un modello in cui gli elettroni di valenza erano liberi di muoversi nel volume occupato dal solido secondo le leggi cinetiche dei gas e gli ioni positivi erano fissi, agganciati ad un reticolo.

Gas di elettroni liberi: modello di Drude

Secondo Drude tutti gli elettroni di valenza diventano conduttori di elettricità e sono chiamati elettroni di conduzione.


• Approssimazione di elettrone indipendente: tra una collisione e l’altra le interazioni elettrone-elettrone possono essere trascurate

• Approssimazione di elettrone libero: tra una collisione e l’altra le interazioni elettrone-ione possono essere trascurate

• Le collisioni tra elettroni sono eventi istantanei (come in teoria cinetica dei gas)

• La probabilità di una collisione è data da 1/ , con tempo di collisione elettronico, considerato indipendente da velocità e posizione dell’eletrone.

• L’equilibrio termodinamico del sistema è mantenuto dalle collisioni elettroniche

• La distribuzione delle velocità degli elettroni è regolata dalla statistica di Maxwell-Boltzmann, trattando così gli elettroni in modo classico:


Assunzioni del modello di Drude

KTmv

evKTmvF 22

23

2

24


La teoria classica di Drude ebbe importanti successi :

• calcolo della legge di Ohm

• buoni risultati per il calcolo della relazione tra conducibilità termica ed elettrica (legge di Widemann-Franz)

La teorica classica di Drude non spiega:

• capacità termica

• sottostima il cammino libero medio elettronico

• suscettività paramagnetica



Dopo la scoperta del Principio di esclusione di Pauli e la formulazione della statistica di Fermi-Dirac, Sommerfeld fu il primo ad applicarla al gas di elettroni nei metalli, sostituendo la statistica di Maxwell-Boltzmann con quella per le particelle identiche a spin semi-intero, di Fermi-Dirac.

• Approssimazione di elettrone indipendente

• Approssimazione di elettrone libero

• Le collisioni tra elettroni sono eventi istantanei (come in teoria cinetica dei gas)

• La probabilità di una collisione è data da 1/ , con tempo di collisione elettronico, considerato indipendente da velocità e posizione dell’eletrone.

• L’equilibrio termodinamico del sistema è mantenuto dalle collisioni elettroniche

• La distribuzione delle energie è regolata dalla statistica di Fermi-Dirac

Assunzioni del modello

Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld


• Il termine esponenziale ha limiti diversi per T 0 a seconda chel’enegia sia > o < dell energia di Fermi:

• Per = F, allora fFD=1/2

1

1

kTFD F

ef

F ENERGIA DI FERMI

F

F

FDf0

1




Allontanandosi dalla condizione T=0 la cassetta si “smussa”

Si definisce temperatura di Fermi TF EF/ k.

Quando T >> TF, fFD tende a diventare un esponenziale decadente.

Effetti della temperatura sulla distribuzione di Fermi-Dirac



Effetti della temperatura sulla distribuzione di Fermi-Dirac

Livelli energetici e energia di Fermi

T=alta

E=EF

E

E=0

T=bassaT=0



Densità degli stati: N elettroni in una scatola cubica

Si abbiano N elettroni in una scatola di volume V=L3.

All’ interno della scatola il potenziale è nullo e l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo di ogni particella è:

Con ni interi positivi. Questa è un’onda stazionaria.

)()(2 2

2

2

2

2

2

rrzyxm kkk

zLnseny

Lnsenx

Lnsen

Vrk

32121

8)(

La funzione d’onda normalizzata al volume V è fattorizzabile e risulta essere: Si abbiano N elettroni in una scatola di volume V=L3.



E’ conveniente introdurre funzioni d’onda che soddisfino alle condizioni periodiche agli estremi:

Ugualmente per y e z.

Con

Le funzioni d’onda che soddisfano all’equazione di Schrödinger stazionaria, alla normalizzazione sul volume e alle condizioni di periodicità sono onde piane della forma:

),,(),,( zyLxzyx kk

Ln

k2

2,1,0n

rkik e

Vr

21

1)(




I valori di energia sono: 2222

22

22zyx kkk

mk

m2k

22

2FF k

m

L’ampiezza del vettore d’onda k è legato alla lunghezza d’onda:

kz

kxky

kF

Nello stato fondamentale di un sistema ad N elettroni liberi gli stati occupati possono essere rappresentati come punti all’interno di una sfera nello spazio k. L’energia sulla superficie della sfera è detta energia di Fermi:




Energia di Fermi


NkV

L

kF

F3

33

3

2

3

4

2

31

23

VNkF

32

22 3

2 VN

mF

Ln

k2


31

23

VNkF

32

22 3

2 VN

mF

KT FF

31

23

VN

mmkv F

F



dEdSEg

Nel guscio sferico di spessore dk si trovano dSstati, la densità degli stati è definita come:

2

2

kVdkdSkg

22

2k

mE

212

3

22

2

2

mVg

Densità degli stati per l’elettrone libero




212

3

22

2

2

mVgDensità degli stati per l’elettrone libero



KT

Densità di stati pieni ad una temperatura finita T

gTf ,

Stati pieni a T=0


Il modello di Drude non spiga la capacità termica dei metalli.

Capacità termica


KCV2

3

NKCV2

3

VA

VV T

NTEC

La meccanica statistica classica prevede che una particella libera puntiforme abbia capacità termica

Quindi per un metallo con N atomi(1 elettrone di valenza)

Sperimentalmente il contributo elettronico a temperatura ambiente è non piùdell’ 1% di questo valore !!!

Secondo Drude tutti gli elettroni di valenza diventano conduttori di elettricità


Capacità termica


Modello di Sommerfeld: non tutti gli elettroni per riscaldamento dallo zero assoluto acquistano un’energia KT. Solo quegli elettroni che appartengono a stati entro l’intervallo di energia KT rispetto al livello di Fermi vengono eccitati termicamente.

Se N è il numero totale di elettroni, soltanto una frazione dell’ordine di T/TFpuò essere eccitata termicamente alla temperatura T

KTTNTEF

el

F

elel T

TNKTEC

Ciascuno di questi NT/TF elettroni ha un’energia dell’ordine di KT:

Energia termica totale degli elettroni


Capacità termica


Ricaviamo espressione per la capacitàtermica valida a basse temperature FF EKTKT

KTEgC Fel2

3

1

212

3

22

2

2

mVg

32

22 3

2 VN

mF

dETfEEgdE

TfEEgfdEEEg

TTEC Fel

el000

Fel T

TNKC 2

2

1

FT 2-6 104 k


Capacità termica sperimentale


A temperature inferiori alla temperatura di Fermi la capacità termica a volume costante nei metalli segue la relazione:

3ATTCCC retel

Contributo elettronicopredomina a basse temperature

Contributo reticolare


Capacità termica: risultati sperimentali


3ATTCCC retel

TVN

KNmTTNKCF

el32

22

2

0

22

/33

1

Si usa introdurre una massa efficacie dell’elettrone di valenza mte*

f

mmte

f

sper*

Correzione dovuta a interazione:e- valenza - e- valenza

e- valenza - reticolo

e- valenza - fonone


Capacità termica: risultati sperimentali


mmte

f

sper*


In una vibrazione reticolare l’energia è quantizzata.

Il quanto di energia associato all’onda elastica è il FONONE, in analogia col fotone, quanto di energia delle onde elettromagnetiche.

Il fonone interagisce con altre particelle e campi come se avesse un momento

Kp

Fononi


Conduzione: effetto del campo elettrico


kp

Eedtkd

dtpdF

dtFkd

Impulso di un elettrone libero

In un campo elettrico E la forza F cheagisce sull’elettrone è

In assenza di collisioni la sfera di Fermi risulta traslata (dopo dt) di:

E=0

E 0


Conduzione: effetto del campo elettrico


Fkd

A causa delle collisioni degli elettroni con impurezze, imperfezioni reticolari e fononi la sfera traslata può essere mantenuta in uno stato stazionario in presenza di campo elettrico

Se il tempo di collisione è , lo spostamento della sfera di Fermi all’ equilibrio è


Conduzione: legge di Ohm


Eme

mFvd

Emenvndj2

Ejmen2

Questo spostamento contribuisce a ciascun elettrone ad un incremento della velocità:

Se vi sono n elettroni per unità di volume, la densità di corrente elettrica è:

La relazione per j ha la forma della legge di Ohm, e è la conduttività elettrica:

La resistività elettrica è:2

1

nem


Libero cammino medio elettronico


nem2

Tempo di rilassamento

ove n è la densità degli elettroni di conduzione

Il libero cammino medio

A temperatura ambiente per il rame

s14102

Fvl

Aml 300103 8


Libero cammino medio elettronico: confronto modello di Drude e modello di Sommerfeld


men2

Legge di Ohm: snem 14

210

Drude: Maxwell-Boltwmann

AvlcmsvKTmv 10102

3

2

1 172

AvlcmsvEmv FFF 100102

1 182

Sommerfeld: Fermi-Dirac


Resistività elettrica sperimentale


Agitazione termica del reticolo

Scattering degli elettroni da impurezze

La resistività elettrica calcolata secondo il modello ad elettroni liberi: 2

1

nem

iLLa resistività elettrica:

Alte temperature

Basse temperature

Resistività residua i


Resistività elettrica sperimentale


iLLa resistività elettrica:TT

TT

L

L

5


CvlK3

1

Conduttività termica


La conduttività termico di un solido è definita come:

Ove Q è il flusso di energia termica (energia trasmessa in unità di area e tempo).

Il processo di conduttività termica può essere descritto mediante un processo di urti. Si trova dalla teoria cinetica dei gas che la conduttività termica può essere espressa mediante la capacità termica C, la velocità media delle particelle v e il libero cammino medio l, dalla seguente relazione:

xTTKQ


In generale, nei solidi la conduttività termica è somma di un contributo elettronico ed uno fononico:

Nei metalli a temperatura ambiente il contributo dominante è quello elettronico.

CvlK3

1

2

2

1FF mv

KT FF

Fel T

TNKC 2

3

1

mTnKKel

3

22

lvF

Conduttività termica


Utilizzando le relazioni ricavate nel modello ad elettroni liberi di Sommerfeld:

Si ottiene che il contributo elettronico alla conduttività termica è:

fonel KKK


mTnKK

3

22

Legge di Widemann-Franz


La legge di Widemann-Franz stabilisce che per i metalli il rapporto tra conduttività termica ed elettrica è direttamente proporzionale alla temperatura, con valori della costante di proporzionalità indipendenti dal metallo stesso.

men2

LTTeKK2

22

3

Legge di Widemann-Franz Numero di Lorentz

2.54 10- 8W /K2

L non dipende ne’ da m ne’ da n!!!


Legge di Widemann-Franz: conferme sperimentali


LTTeKK2

22

3

Legge di Widemann-Franz Numero di Lorentz

2.54 10- 8W /K2

SUCCESSO MODELLO ELETTRONI LIBERI


Modello di Drude

Modello ad elettroni liberi

Modello di SommerfeldDistribuzione di

Maxwell-BoltzmannDistribuzione di

Fermi-Dirac

Legge di Ohmmen2

snem 14

210

men2

snem 14

210

Libero cammino medio elettronico

Avl

cmsvKTmv

10

102

3

2

1 172

Avl

cmsvEmv

F

FF

100

102

1 182

Capacità termicaF

el TTNKC 2

2

1NKCel2

3

TeKK2

22

3T

eKK2

2

2

3Legge di Widemann-Franz

OKOK

OK

OK

OKOK


Teoria delle bande per i solidi


Limiti del modello ad elettroni liberi

Inoltre, il modello non spiega perché alcuni elementi chimici cristallizzano in modo da diventare buoni conduttori di elettricità, mentre altri diventano isolanti, altri ancora semiconduttori, con proprietà elettriche che variano notevolmente a seconda della temperatura

Il modello a elettroni liberi è molto semplice, ma funziona molto bene perdiversi metalli, ad es. gli alcalini, Mg, Al, ecc. nei quali la sovrapposizione fra i vari livelli è molto alta.

Tuttavia, in altri casi, nei quali la sovrapposizione è meno ampia, il modello non è sufficiente.

Si deve, allora, passare ad un modello più complesso che tiene conto della interazione degli elettroni con gli ioni che formano la struttura cristallina e che rappresentano una successione regolare di buche di potenziale.


Metalli, isolanti e semiconduttori

La conduttività e la resistività elettrica a temperatura ambiente sono molto differenti per le tre tipologie di solidi:

Resistività e conduttività elettrica


Come variano la resistività con la temperatura?

• Metalli: Gli elettroni sono liberi di muoversi. La conducibilità diminuisce con la temperatura.

• Semiconduttori. Allo zero assoluto non c’è conducibilità elettrica e la conducibilità cresce con la temperatura.

• Isolanti: Conducibilità zero in un ampio intervallo di temperature.

Metalli, isolanti e semiconduttori

Resistività elettrica


Bande di energia

Supponiamo di avere N atomi identici isolati: presentano livelli energetici con la stessa energia

Ma mano che si avvicinano gli atomi, un particolare livello energetico dell’atomo isolato si scinde in N livelli energetici differenti

Nel caso di un solido i livelli energetici sono così vicini che appaiono come un continuo: si crea una banda di energia.


Bande di energia


Modello a bande di energia

a

Elettrone non è libero, ma è soggetto ad un potenziale periodico dovutoagli ioni che formano la struttura cristallina e che rappresentano una successione regolare di buche di potenziale

Il modo più semplice per studiare il moto in un potenziale periodico consiste nel sostituire il potenziale reale con una sequenza regolare di buche quadrate(Potenziale di Kroning e Penney).

Le soluzioni dell’equazione di Schrödinger per un potenziale periodico è, ovviamente, più complessa di quella del modello a elettroni liberi.

b a



L’ampiezza dell’onda non è più costante ma è periodica in x, come il potenziale, per cui la forma non è più

ma

con uk(x) funzione periodica:

per cui la funzione d’onda totale e le energie permesse sono:

Le soluzioni dell’eq. di Schrödinger per un potenziale periodico è, ovviamente, più complessa di quella del modello a elettroni liberi.

b a

Aex xik exux xikk

naxuaxuxu kkk

exutx tixikk, KxEkE nn Teorema di Bloch


En(k) è una funzione continua e periodica in k.La periodicità in k comporta l’apertura dei gap.


Le bande “permesse” sono separate da intervalli di energia “vietati” (band gaps). Cioè (in quella direzione) l’elettrone non può propagarsi con quelle energie.

KxEkE nnTeorema di Bloch


Bande di energia

Le bande possono essere ampiamente distanti tra di loro, vicine o addirittura sovrapposte: è la loro configurazione che determina le proprietà elettriche dei solidi.

SODIO METALLICO SEMICONDUTTORE


Bande di energia

Gli elettroni nei solidi sono disposti in bande di energia, separate da regioni nelle quali non sono permessi stati elettronici (intervalli proibiti).


La banda di valenza è parzialmente piena e/o comunque si sovrapponealla banda di conduzione.

Gli elettroni possono occupare facilmente uno qualsiasi dei livelli e quindi ritrovarsi associati ad un qualsiasi atomo.

Questa abbondanza di portatori liberi di muoversi fa dei metalli degli ottimi conduttori di corrente.

Bande di energia: metallo


• A T = 0, tutti i livelli nella banda di conduzione sotto l’energia di Fermi EF

sono riempiti con elettroni, mentre tutti i livelli al di sopra di EF sono vuoti.

• Gli elettroni sono liberi di muoversi negli stati vuoti della banda anche con solo un debole campo E, elevata conducibilità elettrica

• A T > 0, gli elettroni hanno una certa probabilità non nulla di essere termicamente eccitati da sotto a sopra il livello di Fermi.

T > 0

Funzionedi Fermi

EF

EC,V

Banda divalenza

parzialmentepienaE = 0

Bande di energia: metallo


La banda di valenza, completamente piena, è molto distante dalla banda di conduzione. Affinché un elettrone riesca a passare dalla BDV alla BDC è necessario fornire una energia almeno pari al gap. Questa energia, negli isolanti, è ben maggiore della energia termica degli elettroni, per cui la transizione è altamente improbabile.

In termini di legami, gli atomi sono interessati da legami tanto forti che difficilmente vengono rotti per mettere in libertà un elettrone che possa trasportare corrente.

Nella banda di valenza piena non è possibile la conduzione perché gli elettroni possono solo scambiarsi tra di loro le posizioni ma non dare luogo ad un flusso netto di carica.

Un ottimo isolante, molto usato nella realizzazione di dispositivi elettronici, è l’ossido di silicio, SiO2, il cui gap vale Eg=8eV.

Bande di energia: isolante


• At T = 0, la banda di valenza è piena di elettroni mentre la banda di conduzioneè vuota, conducibilità zero

• Energia di Fermi EF è a metà di un largo gap energetico (2-10 eV) tra la bandadi valenza e di conduzione.

• A T > 0, gli elettroni NON sono eccitati termicamente dalla banda di valenzaalla banda di conduzione conducibilità zero

Nota: KT a T=300K è pari a 0.0259eV, quindi <<Egap

EF

EV

Banda diconduzione

vuota

Egap

Bande di energia: isolante

T > 0

Funzionedi Fermi Banda di

valenzapiena

EC


La banda di valenza e di conduzione sono abbastanza vicine (0.2<EG<2eV) percui non è impensabile fornire ad un elettrone di valenza una quantità di energia che gli permetta di raggiungere la conduzione.

I semiconduttori hanno principalmente legami covalenti. Nella rappresentazione a legami, questo equivale a dire che il legame covalente può, con relativa facilità, venire spezzato ed il suo elettrone diventare libero e quindi capace di condurre corrente.

Bande di energia: semiconduttore


EF

EV

Banda diconduzione

parzialmente piena

Egap


T > 0

Funzionedi Fermi Banda di valenza

parziamentepiena

EC

• A T = 0, la banda di valenza è piena di elettroni e la banda di conduzione vuota conducibilità zero.

• L’energia di Fermi EF è a metà di un gap piccolo (<1 eV) tra la banda di conduzione e la banda di valenza.

• A T > 0, gli elettroni vengono eccitati termicamente dalla banda di valenza alla banda di conduzione, conducibilità misurabile.


Semiconduttori


Sc

Y Zr

Ti

Hf

V

Nb

Ta

Cr

Mo

W

Mn

Tc

Re

Fe

Ru

Os

Co

Rh

Ir

Ni

Pd

Pt

Cu

Ag

Au

Zn

Cd

Hg

C N O F

P

Se

S Cl

Br

I

At Rn

Xe

Kr

Ar

Ne

He

Al

Ga

In

Tl Pb Bi Po

Sn

B

Si

As

TeSb

Ge

La Ce Pr Nd PmSm GdEu Tb Dy Ho Er TmYb Lu

Ac Th Pa U Np Pu AmCmBk Cf Es FmMd No Lr

VIAIVA

IA

IIA IIIA VA VIIA

VIIIA

Lantanidi

Attinidi

VIBIIIB IVB VB VIIB VIIIB IB IIB

H

Li

Na

K

Rb

Cs

Fr

Be

Mg

Ca

Sr

Ba

Ra

2

3

1

4

5

6

7

Semiconduttori

I materiali semiconduttori appartengono alle colonne IV (Si, Ge), III-V (GaAs, InP, GaN, InSb), II-VI (CdSe, CdTe), IV-VI (PbS, PbSe).

I semiconduttori hanno una struttura cristallina, con legami (completamente o parzialmente) covalenti tra gli atomi


Semiconduttori

Configurazioni elettroniche


Semiconduttori

Struttura cristallina

I semiconduttori di maggiore interesse hanno una struttura tipo cubico a facce centrate (fcc).

La base e’ formata da due atomi, uno a (000), l’altro ad a/4 (111)

La struttura reale puo’ essere pensata come formata da due reticoli fcc interpenetrati.

Se i due atomi della base sono uguali si parla di struttura del diamante, se sono diversi di struttura a zincoblenda.

(0,0,0)

(1/4,1/4,1/4)

(0,0,0)

BASE


1. Semiconduttri elementari

Si, Ge

2. Semiconduttori binari

InP, GaAs

Semiconduttori


StrutturaDiamante

StrutturaZincoblenda


Semiconduttori


Alcuni importanti semiconduttori hanno una struttura esagonale compatta (hcp), corrispondente a 3 layer successivi di sfere ad alto impaccamento nelle posizioni A, B, A.

La base e’ formata da due atomi.

Struttura wurzite


Ogni atomo di Si si lega con altri 4 atomi

La disposizione spaziale è perfettamente simmetrica con gli atomi ai vertici di un tetraedro

Tetraedri contigui si legano a formare il cristallo mediante legami covalenti

In 1 cm3 di silicio ci sono 5×1022 atomi

Semiconduttori

Silicio


Semiconduttori

Altri semiconduttori

• Germanio (Ge)

• Composti binari dei gruppi III-V:GaAs, InP, GaN, …

• Composti ternari o quaternari:GaAlAs, AlInGAP, InGaN, …

• Composti binari dei gruppi II-VI:CdTe, CdSe, …



La banda di valenza e di conduzione sono abbastanza vicine (0.2<EG<2eV)per è possibile di pensare di fornire ad un elettrone di valenza una quantità di energia che gli permetta di raggiungere la conduzione.


Bande di energia

ASSORBIMENTO

Un elettrone in BDV assorbe un fotone viene eccitato in BDC.

Affinché questo avvenga è necessario che l'energia del fotone h siamaggiore o uguale alla differenza di energia tra i due livelli energetici coinvolti nella transizione

gapEEEh 12

E1

E2

EMISSIONE SPONTANEA

L'emissione spontanea rappresenta il processo inverso all’assorbimento: si manifesta quando l’elettrone dalla BDCsi riporta alla BDV emettendo un fotone di energia pari a

gapEEEh 12


Nel caso di un semiconduttore a band-gap diretto il massimo dell'energia nella banda di valenza ed il minimo in quella di conduzione si presentano per lo stesso valore del vettore d'onda k.Nei semiconduttori a gap diretto, un elettrone nella banda di conduzione può subire una transizione energetica verso un livello vuoto della banda di valenza, emettendo un fotone, senza chesiano necessari cambiamenti del vettore d'onda.

Semiconduttore a gap diretto


Nel caso di gap indiretto invece, (Si o Ge), la transizione di un elettrone tra la banda di conduzione e quella di valenza deve coinvolgere anche una variazione del vettore d'onda. In altre parole, la transizione può avvenire solo se si verifica anche una interazione con una unità quantica che descrive l'oscillazione meccanica, ovvero un fonone del cristallo. Questo, ovviamente, riduce la probabilità delle transizioni indirette “phonon-assisted transition”.

Semiconduttore a gap indiretto


Solo i materiali a gap diretto permettono di realizzare dispositivi per applicazioni fotoniche (laser, LED, …) efficienti, essendo la probabilità di transizioni elettroniche estremamente elevata.

Semiconduttori a gap diretto tipicamenteimpiegati sono GaAs, InP, InAs, InGaAs, InGaAsP.

Proprietà ottiche


Semiconduttori

Band gap dei principali semiconduttori


EF

EV

Banda diconduzione

parzialmente piena

Egap


T > 0

Funzionedi Fermi Banda di valenza

parziamentepiena

EC

• A T = 0, la banda di valenza è piena di elettroni e la banda di conduzione vuota conducibilità zero.

• L’energia di Fermi EF è a metà di un gap piccolo (<1 eV) tra la banda di conduzione e la banda di valenza.

• A T > 0, gli elettroni vengono eccitati termicamente dalla banda di valenza alla banda di conduzione, conducibilità misurabile.


Legge dell’azione di massa

Vogliamo dapprima determinare il numero di elettroni eccitati nella banda di conduzione ad una certa temperatura T.

Distribuzione di Fermi :

1

1

kTFD

ef

con livello di Fermi.

Alle temperature di interesse: - >> KT

(KT=25meV a T ambiente)

Descrive la probabilità che uno stato di conduzione elettronico sia occupato

kTe ef


212

3

22

2

2

mVgDensità degli stati per l’elettrone libero



KT

Densità di stati pieni ad una temperatura finita T

gTf ,

Stati pieni a T=0



Energia di un elettrone in banda di conduzione:

Il numero di stati (per unità di volume) con energia tra e +d :

dEmdD Ge

e212

3

22

2

2

1

eGk m

kE2

22

Il numero di elettroni in banda di conduzione per unità di volume sono:

kTE

e

Eee

G

G

ehKTmdDfn

23

2

22



Energia di una lacuna in banda di valenza:

Il numero di stati (per unità di volume) con energia tra e +d delle lacune in cima alla banda di valenza:

dmdD he

212

3

22

2

2

1

hk m

k2

22

Il numero di lacune in banda di valenza per unità di volume sono:

kThhh e

hKTmdDfp

23

2

02

2

Funzione di distribuzione per le lacune kTeh eff 1



Valida sotto l’unica ipotesi che la distanza tra il livello di Fermi e i limiti di entrambe le bande sia >> KT (KT=25meV a T ambiente)

Si osservi che np:

• non dipende dalla presenza o meno di impurezze nel semiconduttore

• non dipende da

Moltiplicando le espressioni ricavate per n e p, concentrazioni di elettroni in BDC e di lacune in BDV, si ottiene la relazione di equilibrio:


kTE

he

g

emmhKTnp 2

33

2

24


Concentrazione dei portatori intrinseci

Inoltre, uguagliando le espressioni

Semiconduttore intrinseco (puro):

L’eccitazione termica di un elettrone di BDC lascia dietro di se una lacuna.

kTE

heii

g

emmhKTpn 24

323

2

22

kTE

eG

ehKTmn

23

2

22kTh e

hKTmp

23

2

22

pn

si ottiene

kTE

e

hkTg

emme

23

2

e

hg m

mKTE ln4

3

2

1



pn

Se mh=me allora gE2

1

Semiconduttore intrinseco (puro):

EF Egap

e

hg m

mKTE ln4

3

2

1



Il silicio

In un cristallo puro di silicio

A temperatura ambiente

n = p =1.4×1010 portatori/cm3

Valore che va confrontato con la densità di atomi di silicio: 5×1022 atomi/cm3

pn


Mobilità regione intrinseca


La mobilità è definita come:

La conducibilità elettrica:

Quindi:

Ev

he pene

h

hh

e

ee m

eme


Semiconduttore intrinseco ed estrinseco

Se un semiconduttore non contiene impurezze, che ne modifichino le proprietà elettriche, viene detto si dice intrinseco

E si trova che:

• la concentrazione di portatori intrinseci è fortemente dipendente dalla temperatura

• la concentrazione dei portatori a temperatura ambiente non è così alta da poterli considerare dei buoni conduttori.

n = p 1010 portatori/cm3

Nei Metalli (1023 portatori/cm3)

kTE

eG

ehKTmn

23

2

22kTh e

hKTmp

23

2

22


Semiconduttore intrinseco ed estrinseco

Al fine di migliorare le proprietà di conduzione di un semiconduttore si introducono delle opportune impurezze chimiche “droganti.

Un semiconduttore drogato viene detto estrinseco.

La loro concentrazione del drogante è sempre di molti ordini di grandezza inferiore a quella degli atomi del semiconduttore (1022 cm- 3).

Le concentrazioni di drogante vanno da 1013 a 1018 cm- 3.

Per concentrazioni inferiori a 1013 le impurezze non hanno effetti sul comportamento elettrico del materiale, a concentrazioni superiori a 1018 sicomincia a modificare la natura del materiale.


Semiconduttore estrinseco

Un atomo estraneo al reticolo può collocarsi in due posizioni:

• Sostituzionale: prende il posto di un atomo del reticolo;

• Interstiziale: si mette al centro (di solito) della cella formata dagli atomi del reticolo.

L’aggiunta volontaria di impurezze al semiconduttore viene denominata DROGAGGIO, e il drogaggio viene effettuato con impurezzesostituzionali.

Consideriamo il caso tipico del SILICIO, elemento del gruppo IV, con quattro elettroni di valenza.

Il Si cristallizza nella struttura del diamante ed ogni atomo forma quattro legami covalenti uno con ciascuno dei suoi primi quattro vicini.


Consideriamo di drogare un elemento tetravalente (gruppo IV, Si, Ge) con un elemento pentavalente (gruppo V, P, As, Sb).

Un atomo del gruppo V ha 5 elettroni di valenza: essendo sostituzionale, utilizza 4 elettroni per formare i 4 legami dell’atomo di silicio del quale ha preso il posto, e il quinto elettrone è non legato.

Visto che questi atomi donano il loro elettrone al semiconduttore si dicono DONORI e il semiconduttore si dice di tipo n

L’elettrone “donato” deve avere un’energia superiore a quelli che formano il legame (e stanno nella banda di valenza), ma inferiore a quella degli elettroni liberi nella banda di conduzione. Quindi, deve cadere nel gap!

Semiconduttore di tipo n

drogaggio tipo “n” con un atomo pentavalente (fosforo)

Donore


L’elettrone in eccesso si muove in un potenziale che deriva dallo ione di impurezza, pari a

dove è la costante dielettrica del mezzo (=12 per il Si).

Il fattore di 1/ tiene conto dell’attenuazione della forza coulombiana tra le cariche ed è dovuto alla polarizzazione elettronica del mezzo.

Energia di legame dei donori può essere utilizzando la teoria di Bohr per l’atomo d’idrogeno, tenendo in considerazione la costante dielettrica del mezzo

Con raggio di Bohr

22

4

2 nmeEn 222

*4

2 nmeEn

*4

22

menrn

re

Semiconduttore di tipo n


Semiconduttore drogati di tipo n

Se il suo livello (ED) è molto vicino a CB, basterà l’agitazione termica a ionizzarlo, promuovendo l’elettrone in banda di conduzione.

Il numero di donori per unità di volume [cm3] è detta densità di donori, ND[atomi/cm3].

drogaggio tipo “n” con un atomo pentavalente (fosforo)

EF

livello del donore

donore


Semiconduttore drogati di tipo p

Le stesse considerazioni possono essere effettuate per il drogaggio con elementi del gruppo III (B, Al, Ga e In).

In questo caso in un legame manca un elettrone (c’è una lacuna). Se il relativo livello energetico è di poco superiore a VB sarà facile che un elettrone della banda di valenza salti nella buca, lasciandone una in banda di valenza.

Queste impurezze che catturano elettroni “donando” buche, si dicono accettori e il semiconduttore si dice di tipo p.

livellodell’accettore

EF

drogaggio tipo “p” con un atomo trivalente (Al)

accettore


Semiconduttori drogati

Le energie di ionizzazione per donori ed accettori sono le stesse.

Il modello di Bohr modificato è valido quantitativamente sia per lacune che per elettroni.

T=300K KT =25 meV: a temperatura ambiente accettori e donorigiocano un ruolo importante per la conduttività

Energie di ionizzazione


In un volume di semiconduttore drogato uniformemente la carica globale è nulla (condizione di neutralità della carica) perché il drogante ionizzato è compensato dal suo portatore.

Supponendo i droganti completamente ionizzati (ipotesi valida a temperatura ambiente):

• le cariche positive presenti sono pari alla somma delle lacune, p, e degli ioni degli atomi donori ND

• le cariche negative invece sono pari alla somma degli elettroni liberi, n, e degli atomi accettori NA

La condizione di neutralità di carica si traduce in:

Semiconduttore drogato

DA NNnp0)( AD NnNpq



Ricordando la legge di azione di massa

Questa coppia di equazioni permette di ricavare, nota la quantità di drogante, la concentrazione dei portatori maggioritari e minoritari effettivamente disponibili. Si ritrova che p e n dipendono da:

- la quantità netta di drogante, |NA-ND|;

- la concentrazione di portatori intrinseci, ni

2

innp

DA NNnp

2

2

22i

DADA nNNNNp

2

2

22i

ADAD nNNNNn



Se il materiale è drogato in modo significativo con un ben definito elemento

La densità di portatori maggioritari corrisponde praticamente alla densità di drogante, e la densità dei portatori minoritari segue la legge di azione di massa.

Nella pratica costruttiva dei dispositivi elettronici si è quasi sempre in questa situazione, essendo i livelli di drogaggio normalmente utilizzati pari a 1014-1018

[atomi/cm3] contro un valore di ni=1.4 1010 [atomi/cm3]

iDA nNN ||

DA NN

AD NN

ANp

DNn

A

i

Nn

n2

D

i

Nn

p2

Semiconduttore tipo p

Semiconduttore tipo n


edn en

con un drogaggio di tipo “n”, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità Nd dei donori

con un drogaggio di tipo “p”, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità Na degli accettori

hap en

Semiconduttore drogato: conducibilità




Allo zero assoluto tutte le impurezze sono neutre (non ionizzate).

Quindi tutti i livelli di donore sono pieni e, per definizione, il livello di Fermi deve stare allo stesso livello o sopra all’ultimo livello occupato. Esso, perciò, starà tra ED e CB.

Semiconduttore drogato: livello di Fermi

Per gli accettori avviene il simmetrico. Allo zero assoluto EF sta tra il livello accettore e VB.

Al crescere della temperatura il livello di Fermi si porta alla metà del gap.

A temperature non troppo alte, il livello di Fermi starà sempre nel gap, ma vicino alla banda di conduzione nel tipo n, vicino alla banda di valenza nel tipo p


Giunzione pn

Dall’unione di un semiconduttore di tipo N e uno di tipo P nasce la così detta giunzione PN. Per diffusione, le lacune presenti nel cristallo P tendono a spostarsi in quello N, e viceversa gli elettroni: in prossimità della giunzione si forma così un sottile strato isolante chiamato regione di svuotamento.

Le giunzioni PN sono comunemente usate come diodi: interruttori elettronici che permettono un flusso di corrente in una direzione ma non in quella opposta. Nel caso del diodo, applicando una polarizzazione diretta ai capi della giunzione si osserva il passaggio della corrente.


Giunzione pn

I due livelli di Fermi non coincidono.

Se ora li portiamo a contatto il livello di Fermi del sistema deve divenire unico, cioè ci sarà un travaso di elettroni dalla regione dove EF è più alto (n) a quello dove è più basso (p). Viceversa per le lacune, che andranno da p a n.

Per cui all’interfaccia si formano due zone ove sono presenti solo cariche fisse (ioni) e non portatori liberi. Tale zona di larghezza do si chiama zona svuotata o di carica spaziale.


Giunzione pn


Giunzione pn

Polarizzazione diretta

Applicando una d.d.p. positiva al semiconduttore di tipo P le lacune vengono respinte, e si dirigono verso la zona di svuotamento. Analogamente fanno gli elettroni nel semiconduttore N. La zona di svuotamento si assottiglia, fino a che, in corrispondenza di una tensione di soglia Vs, si riempie completamente ed una corrente comincia a scorrere nel diodo.


Giunzione pn

Polarizzazione inversa

Se invece la differenza di potenziale positiva viene applicata al semiconduttore N, allora elettroni e lacune si allontanano ulteriormente dalla zona di svuotamento, che si ispessisce: il diodo rimane isolante, a meno di una piccola corrente detta corrente oscura.


La curva caratteristica di un diodo è descritta dalla seguente relazione:

• la quantità I0 corrisponde alla corrente che si ottiene per una forte polarizzazione inversa: è la corrente oscura del diodo. E’ dell’ordine del mA

• la presenza del fattore KT mostra come la conduzione del diodo sia un fenomeno dipendente dalla temperatura: se T aumenta, l’esponenziale diminuisce, e quindi la corrente aumenta: infatti cresce il numero dei portatori in grado di staccarsi dal reticolo. A temperatura ambiente, KT/e=1/40 Volt

• il coefficente dipende dalle caratteristiche del materiale: nel diodo al silicio, vale circa 2.

Giunzione pn

Curva caratteristica

10

KTeV

eII


L’espressione completa della corrente di un diodo è:

V > 0 (p+, n-) = polarizzazione diretta

V < 0 (p-, n+) = polarizzazione inversa

Giunzione pn

Curva caratteristica

10

KTeV

eII


Diodi

Diodi emettitori di luce (LED - Light Emitting diode)

gapE


Diodi

Diodi emettitori di luce (LED - Light Emitting diode)

gapE

AlInGaP AlInGaN

Rosso-giallo Verde-blu


Una cella fotovoltaica sfrutta esattamente il principio fisico inverso del LED: se un semiconduttore assorbe dei fotoni con energia maggiore o uguale al suo energy gap si ha la promozione di un elettrone dalla banda di valenza allabanda di conduzione

Se la giunzione viene polarizzata elettroni e lacune si muoveranno (rispettivamente verso il polo positivo e il polo negativo) generando una corrente che può essere raccolta.

Diodi

Celle fotovoltaiche


Diodi

Celle fotovoltaiche

Il principio di funzionamento su cui si basa una cella fotovoltaica è l’effetto fotoelettrico.

L’assorbimento della radiazione solare è strettamente legato al semiconduttore. Ogni semiconduttore assorbe una specifica parte dello spettro solare in dipendenza dall’energy gap.

SILICIO

Efficienza 10- 17%

CELLE MULTIGIUNZIONE AD ALTA EFFICIENZA

I semiconduttori più utilizzati sono: InGaP, GaAs, Ge Fonte CESI

1

Newtonian (Classical) Relativity• The laws of physics are referred to some reference frame• Classical physics: a reference frame is called an inertial frame

if Newton laws are valid in that frame– Such a frame is established when a body, not subjected to net

external forces, is observed to move in rectilinear motion at constant velocity

• If Newton’s laws are valid in one reference frame, then they are also valid in another reference frame moving at a uniform velocity relative to the first system

– Newton’s law depend on acceleration

L16 – Relativita’ einsteiniana

2

Trasformazioni di Galilei

2

3

Conditions of the Galilean Transformation

• Space is homogeneous and isotropical; time is homogeneous

• Time (t) for all observers is a fundamental invariant, i.e., the same for all inertial observers

• Distance is invariant• If equations of physics hold in a reference frame, they

hold in another reference frame moving at constant speed wrt the first one

4

The Inverse Relations

Step 1. Replace with .Step 2. Replace “primed” quantities with

“unprimed” and “unprimed” with “primed.”

3

5

Le equazioni di Maxwell violano il principio di relativita’ galileiana

Prove sperimentali esplicite della costanza della velocita’ della luce

Paradossi dell’elettromagnetismo

trasformazioni di Lorentz

6

Re-evaluation of Time

• In Newtonian physics we assumed that t = t’– Thus events which can be considered simultaneous

in one reference frame are simultaneous also in another

• Einstein realized that, if an invariant speed exists, each system must have its own observers with their own clocks and meter sticks– Thus events considered simultaneous in K may not

be in K’

4

7

The Problem of Simultaneity - I

Frank at rest is equidistant from events A and B:

A B−1 m +1 m

0

Frank “sees” both flashbulbs go off simultaneously.

8

The Problem of Simultaneity - IIMary, moving to the right with speed v, observes

events A and B in different order:

−1 m 0 +1 mA B

Mary “sees” event B, then A.

5

9

We thus observe…

• Two events that are simultaneous in one reference frame (K) are not necessarily simultaneous in another reference frame (K’) moving with respect to the first frame.

=> We have to abandon t’ = t

10

6

11

K K’

12

22 /11

cV−=γ

7

13

Nota sui postulati

• I postulati di Einstein sono piu’ semplici di quelli diGalilei…

– Space is homogeneous and isotropical; time is homogeneous

– If equations of physics hold in a reference frame, they hold in another reference frame moving at constant speed wrt the first one

Le leggi della fisica sono divenute piu’ complicate con l’introduzione delle equazioni di Maxwell

14

Trasformazione delle velocita’

8

15

Remarks

1) If v << c, i.e., β ≈ 0 and ≈ 1, we see these equations reduce to the familiar Galilean transformation.

2) Space and time are now not separated.

3) For real coordinates, the frame velocity cannot exceed c.

16

• β = v/c < 1 for all observers

• equals 1 only when v = 0.

β

9

17

L17 – Conseguenze delletrasformazioni di Lorentz

Time Dilation:Clocks in K’ run slow with respect to stationary clocks in K.

Length Contraction:Lengths in K’ are contracted with respect to the same lengths stationary in K.

18

10

19

Time Dilation

To understand time dilation the idea of proper time must be understood:

• The term proper time,T0, is the time difference between two events occurring at the same position in a system as measured by a clock at that position.

Same location

20

Not Proper Time

Beginning and ending of the event occur at different positions

Time Dilation

11

21

22

Time Dilation: Einstein’s divulgative

• The concept of time interval is not absolute • To see this, imagine a boxcar experiment

– Two observers, one in the car, another on the ground

12

23

26.6b Time Dilation

• A mirror is fixed to the ceiling of a vehicle

• The vehicle is moving to the right with speed v

• An observer, O’, at rest in this system holds a laser a distance d below the mirror

• The laser emits a pulse of light directed at the mirror (event 1) and the pulse arrives back after being reflected (event 2)

24

Time Dilation, Moving Observer

• Observer O’ carries a clock• She uses it to measure the time between the events

(Δtp)

– She observes the events to occur at the same place– Δtp = distance/speed = (2d)/c

13

25

Time Dilation, Stationary Observer

• Observer O is a stationary observer on the earth• He observes the mirror and O’ to move with speed v• By the time the light from the laser reaches the mirror,

the mirror has moved to the right

• The light must travel farther with respect to O than with respect to O’

26

Time Dilation, Observations

• Both observers must measure the speed of the light to be c

• The light travels farther for O

• The time interval, Δt, for O is longer than the time interval for O’, Δtp

14

27

Time Dilation, time Comparisons•

• Observer O measures a longer time interval than observer O’

22

cv1

1

p

22

p

where

t

cv1

tt

−=γ

Δγ=−

Δ=Δ

28

Time Dilation, Summary

• The time interval Δt between two events measured by an observer moving with respect to a clock is longer than the time interval Δtp between the same two events measured by an observer at rest with respect to the clock

• A clock moving past an observer at speed v runs more slowly than an identical clock at rest with respect to the observer by a factor of γ-1

15

29

A deep-space probe moves away from Earth with a speed of 0.80c. An antenna on the probe requires 3.0 s, probe time, to rotate through 1.0 rev. How much time is required for 1.0 rev according to an observer on Earth?

Given:

v = 0.8 ctp = 3.0 m/s

Find:

Δt = ?

Recall that the time on Earth will be longer then the proper time on the probe

2 21ptt

v c

ΔΔ =

−

( )2

3.0 5.01 0.8

st sΔ = =−

Thus, numerically,

Problem: a deep-space probe

30

Time Dilation Verification – Muon Decay

• Muons are unstable particles that have the same charge as an electron, but a mass 207 times more than an electron

• Muons have an average lifetime of Δtp ~ 2.2µs when measured in a reference frame at rest with respect to them

• Relative to an observer on earth, muons should have a lifetime of γ Δtp

• Experiments measured lifetimes in agreement with the predictions of relativity

16

31

© CERN

32

QUICK QUIZImagine that you are an astronaut who is being paid according to the time spent traveling in space as measured by a clock on Earth. You take a long voyage traveling at a speed near that of light. Upon your return to Earth, your paycheck will be:

(a) smaller than if you had remained on Earth, (b) larger than if you had remained on Earth, or (c) the same as if you had

remained on Earth.

(b). Assuming that your on-duty time was kept on Earth, you will be pleasantly surprised with a large paycheck. Less time will have passed for you in your frame of reference than for your employer back on Earth.

17

33

The Twin Paradox – The Situation• A thought experiment involving a set of twins, S and G• S travels to Planet X, 20 light years from earth

– His ship travels at 0.95c– After reaching planet X, he immediately returns to earth at the same

speed

• When S returns, he has aged 13 years, but G has aged 42 years

34

The Twins’ Perspectives

• G’s perspective is that he was at rest while S went on the journey

• S thinks he was at rest and G and the earth raced away from him on a 6.5 year journey and then headed back toward him for another 6.5 years

• The paradox – which twin is the traveler and which is really older?

18

35

The Twin Paradox – The Resolution• Relativity applies to reference frames moving at uniform speeds

• The trip in this thought experiment is not symmetrical since S must experience a series of accelerations during the journey

• Therefore, G can apply the time dilation formula with a proper time of 42 years

– This gives a time for S of 13 years and this agrees with the earlier result

• There is no true paradox since S is not in an inertial frame

36

Doppler Effect

19

37

Effetto Doppler per la luce

38

Spacetime Invariants

• If we consider two events, we can determine the quantity Δs2 between the two events, and we find that it is invariant in any inertial frame. The quantity Δs is known as the spacetime intervalbetween two events.

• Δs2 can be also < 0 (at variance wrt the square of Euclidean distance)

20

39

4-vettori e tensori

40

21

41

42

L18 – Dinamica relativistica

ε/2 ε/2

22

43

ε/2 ε/2

44

23

45

Units of mass in particle physics

• One can use the same unit for mass and energy…

mec2 ~ [9 10-32 x (3 108)2] ~ 8 10-13 J ~ 0.5 MeVmpc2 ~ [1.6 10-27 x (3 108)2] ~ 1.5 10-10 J ~ 1 GeV

=> me ~ 0.5 MeV/c2

mp ~ 1 GeV/c2

46

Momento relativistico

24

47

48

4-vettore energia-momento

25

49

Units of momentum in particle physics

• Then one can use the same unit for mass and energy and momentum…

p can be measured in eV/c; since

E2 = p2c2 + m2c4

when E >> mc2 => E ~ pc

50

Il fotone

26

51

Effetto Compton

52

27

53

Particle Physics before Rubbia and Van der Meer

• ((m2+p2)1/2,p,0,0) + (m,0,0,0) = (m + (m2+p2)1/2,p,0,0)

mm

mEmEmpmEpmM 22222 2222 →+=−++=

54

Particle Physics after Rubbia and Van der Meer

• ((m2+p2)1/2,p,0,0) + ((m2+p2)1/2,-p,0,0) = (2 (m2+p2)1/2,0,0,0)

EpmM 2)(4 22 =+=

mm

The potential for discovering new particles grows linearly with the available energy…

28

55

However, 20 years later…

56

Fortunately…

29

57

Binding Energy

• The equivalence of mass and energy becomes apparent when we study the binding energy of systems like atoms and nuclei that are formed from individual particles.

• The potential energy associated with the force keeping the system together is called the binding energy EB.

58

The binding energy is the difference between the rest energy of the individual particles and the rest energy of the combined bound system.

Binding Energy

Eb/A

ZFe

30

59

L19 – Elettromagnetismo e relativita’

60

Lo pseudotensore di Ricci

31

61

62

Trasformazioni di gauge

32

63

64

L’operatore 4-vettoriale gradiente

33

65

Il 4-vettore j

66

34

67

68

Invarianti associati al campo elettromagnetico

35

69

70

1

1

L20 - Fundamental Particles(the best of the rest, 1)

– What are the basic building blocks of matter?

– What are the forces that hold matter together?

– How did the universe begin? – Will the universe end, and if so, how and

when?(maybe, in the next few hours?)

– How to be happy?

2

The Building Blocks of Matter

• We have thought of electrons, neutrons, and protons as elementary particles, because we believe they are basic building blocks of matter.

• In this lecture the term elementary particle is used loosely to refer to hundreds of particles, most of which are unstable – and not fundamental.

2

3

Accelerators• Dawn of particle physics: cosmic

rays (1910-)• Particle physics was not able to

develop fully until particle accelerators were constructed with high enough energies to create particles with a mass of about 1 GeV/c2 or greater (1940 onwards)

• There are two main types of accelerators used presently in particle physics experiments: linear accelerators, and colliders.

• Colliders are the most effective…• Presently E ~ 10 TeV

4

Early Discoveries

• In 1930 the known elementary particles were the proton, the electron, and the photon.

• Thomson identified the electron in 1897, and Einstein’s work on the photoelectric effect can be said to have defined the photon (originally called a quantum) in 1905. The proton is the nucleus of the hydrogen atom.

• Despite the rapid progress of physics in the first couple of decades of the twentieth century, no more elementary particles were discovered until 1932, when Chadwick proved the existence of the neutron, and Carl Anderson identified the positron in cosmic rays.

3

5

The Positron; antiparticles

• Dirac in 1928 introduced the relativistic theory of the electronwhen he combined quantum mechanics with relativity.

• Various attempts… Final success between 1930 and 1935The smallest space is C4

• Dirac’s wave equation had negative, as well as positive, energy solutions.

• Spin and antisymmetry of fermion wavefunction come for free!• Dirac’s theory, along with refinements made by others, opened

the possibility of antiparticles which:– Have the same mass and lifetime as their associated particles– Have the same magnitude but are opposite in sign for such physical

quantities as electric charge and various quantum numbers– The positron was identified as the antiparticle of the electron

6

The Fundamental Interactions• We have learned that the fundamental forces act through the

exchange or mediation of particles. The exchanged particle in the electromagnetic interaction is the photon.

• The Glashow-Weinberg-Salam theory (1960), called the electroweak theory, unified the electromagnetic and weak interactions as Maxwell had unified electricity and magnetism into the electromagnetic theory a hundred years earlier. The theory was confirmed experimentally by Rubbia (1983).

M ~

90

GeV

4

7

The Standard Model

• The most widely accepted theory of elementary particle physics at present is the Standard Model.

• It is a simple, comprehensive theory that explains hundreds of particles and complex interactions with six quarks, six leptons, and three force-mediating particles– See later

• It is a combination of the electroweak theory and quantum chromodynamics (QCD), but does not include gravity– See later

8

Classification of Elementary Particles

• We discussed that particles with half-integral spin are fermionsand those with integral spin are bosons.

• This is a particularly useful way to classify elementary particles because all stable matter in the universe appears to be composed, at some level, of constituent fermions.

• Mediators of forces appear on the contrary to be bosons at the fundamental level:– Photons, gluons, W ±, and the Z are the gauge bosons responsible for

the strong and electroweak interactions.

Fermions exert attractive or repulsive forces on each other by exchanging gauge bosons, which are the force carriers.

5

9

The Higgs Boson

• One other boson that has been predicted, but not yet detected, is necessary the theory to explain why the W±

and Z have such large masses, yet the photon has no mass.

• The search for the Higgs boson is of the highest priority in elementary particle physics.– At reach in the next 2-3 years 115 GeV < m < 166 GeV (95% C.L.)

10

Leptons (don’t feel the strong force)• The leptons are perhaps the simplest of the elementary

particles.

• They appear to be pointlike, that is, with no apparent internal structure, and seem to be truly elementary.

• Thus far there has been no plausible suggestion they are formed from some more fundamental particles.

• There are only six leptons plus their six antiparticles.

6

11

The electron and the muon• Each of the charged leptons (τ, μ, e) has an associated

neutrino, named after its charged partner (for example, muonneutrino).

• The muon decays into an electron, and the tau can decay into an electron, a muon, or even hadrons (which is most probable).

• The muon decay (by the weak interaction) is:

12

Neutrinos

• Neutrinos have zero charge. • Their masses are known to be very small. The precise mass

of neutrinos may have a bearing on current cosmological theories of the universe because of the gravitational attraction of mass.

• All leptons have spin 1/2, and all three neutrinos have been identified experimentally.

• Neutrinos are particularly difficult to detect because they have no charge and little mass, and they interact very weakly.

7

13

Hadrons

• These are particles that act through the strong force.• Two classes of hadrons: mesons and baryons.• Mesons are particles with integral spin having masses greater

than that of the muon (106 MeV/c2). • All baryons have masses at least as large as the proton and

have half-integral spins.

14

Mesons

• Mesons are bosons because of their integral spin. • The meson family is rather large and consists of many

variations, distinguished according to their composition of quarks.

• The pion (π-meson) is a meson that can either have charge or be neutral.

• In addition to the pion there is also a K meson, which exists in both charged (K±) and neutral forms (K0). The K− meson is the antiparticle of the K+, and their common decay mode is into muons or pions.

• All mesons are unstable and not abundant in nature.

8

15

Baryons

• The neutron and proton are the best-known baryons.• The proton is the only stable baryon, but some theories

predict that it might be also unstable with a lifetime greater than 1030 years.

• All baryons except the proton eventually decay into protons.

16

Particles and Lifetimes

• The lifetimes of particles are also indications of their force interactions.

• Particles that decay through the strong interaction are usually the shortest-lived, normally decaying in less than 10−20 s.

• The decays caused by the electromagnetic interactiongenerally have lifetimes on the order of 10−16 s, and

• The weak interaction decays are even slower, longer than 10−10 s.

9

17

Quarks• From 1930 to 1960, particles were studied at accelerators and

with cosmic rays• Hundreds of “elementary” particles were discovered and it

became likely that they were composite. In 1963 Gell-Mann, Zweig and Ne’eman proposed that hadrons were formed from fractionally charged particles called quarks. The quark theory described properties of the particles like reactions and decay.

• Three quarks were proposed, named the up (u), down (d), and strange (s), with the charges +2e/3, −e/3, and −e/3, respectively. All the known hadrons could be specified by some combination of such quarks and antiquarks.

• Quarks are, at the present level of investigation, pointlike, just like leptons.

• Then new particles were discovered, and three more quarks were needed: charm c (+2e/3), bottom b (-e/3), top t (2/3 e).

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Quark Properties

We can now present the given quark properties and see how they are used to make up the hadrons. The spin of all quarks (and antiquarks) is 1/2.

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Quark Description of Particles

• A meson consists of a quark-antiquark pair, which gives the required baryon number of 0. Baryons consist of three quarks.

• The structure is quite simple. For example, a π −

consists of , which gives a charge of (−2e/3) + (−e/3) = −e, and the two spins couple to give 0 (−1/2 + 1/2 = 0).

• A proton is uud, which gives a charge of (2e/3) + (2e/3) + (−e/3) = +e; its baryon number is 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1; and two of the quarks’ spins couple to zero, leaving a spin 1/2 for the proton (1/2 + 1/2 − 1/2 = 1/2).

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Quantum Chromodynamics (QCD)

• Because quarks have spin 1/2, they are all fermions and according to the Pauli exclusion principle, no two fermions can exist in the same state. Yet we have three strange quarks in theΩ−.

• This is not possible unless some other quantum number distinguishes each of these quarks in one particle.

• A new quantum number called color circumvents this problem and its properties establish quantum chromodynamics(QCD).

• Color is the “charge” of the strong nuclear force, analogous to electric charge for electromagnetism.

• There are 3 colors – conventionally R, G, B.

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When a high-energy gamma ray is scattered from a neutron, a free quark cannot escape because of confinement. For high enough energies, an antiquark-quark pair is created (for example, ), and a pionand proton are the final particles.

Confinement

• Physicists now believe that free quarks cannot be observed; they can only exist within hadrons. This is calledconfinement.

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The Families of Matter - I• We now have a brief review of the particle

classifications and have learned how the hadrons are made from the quarks.

• In summary:– We presently believe that the two

varieties of fermions, called leptons and quarks, are fundamental particles.

– These fundamental particles can be divided into three simple families or generations.

– Each generation consists of two leptons and two quarks. The two leptons are a charged lepton and its associated neutrino. The quarks are combined by two or three to make up the hadrons.

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The Families of Matter - II

• Leptons are pointlike (no internal structure). There are three leptons with mass and three others with little mass (the neutrinos).

• Quarks and antiquarks make up the hadrons (mesons and baryons). Quarks may also be pointlike (< 10−18 m) and are confined together, never being in a free state.

• There are six flavors of quarks (up, down, strange, charmed, bottom, and top) and there are three colors (green, red, and blue) for each flavor.

• Rules for combining the colored quarks allow us to represent all known hadrons.

• Bosons mediate the four fundamental forces of nature: gluons are responsible for the strong interaction, photons for the electromagnetic interaction, W± and Z for the weak interaction, and the as yet unobserved graviton for gravitation

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The Families of Matter - III• Most of the mass in the universe is made from

the components in the first generation(electrons and u and d quarks).

• The second generation consists of the muon, its neutrino, and the charmed and strange quarks. The members of this generation are found in certain astrophysical objects of high energy and in cosmic rays, and are produced in high-energy accelerators.

• The third generation consists of the tau and its neutrino and two more quarks, the bottom (or beauty) and top (or truth). The members of this third generation existed in the early moments of the creation of the universe and can be created with very high energy accelerators.

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Beyond the Standard Model

• Although the Standard Model has been successful in particle physics, it doesn’t answer all the questions. For example, it is not by itself able to predict the particle masses.

• Why are there only three generations or families of fundamental particles?

• Do quarks and/or leptons actually consist of more fundamental particles?

• Why there is more matter than antimatter?

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Grand Unifying Theories

• There have been several attempts toward a grand unified theory (GUT) to combine the weak, electromagnetic, and strong interactions.

• Many of such theories involve symmetries between fermions and bosons (supersymmetry), and/or extra dimensions

Predictions1) The proton is unstable with a lifetime of 1029 to 1031 years. Current

experimental measurements have shown the lifetime to be greater than 1032 years.

2) Neutrinos may have a small, but finite, mass. This has been confirmed.3) Massive magnetic monopoles may exist. There is presently no confirmed

experimental evidence for magnetic monopoles.4) The proton and electron electric charges should have the same

magnitude.

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L21 - Cosmology and particle astrophysics

Now we describe one of the most fascinating theories in all of science—the Big Bang theory of the creation of the Universe—and the experimental evidence that supports it. This theory of cosmology states that the Universe had a beginning and erupted from an extremely dense, pointlike singularity about 14 billion years ago.Such an extreme of energy occurred in the first few instants after the Big Bang that it is believed that all four interactions of physics were unified and that all matter melted down into an undifferentiated “quark-gluon primordial soup.”

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Astronomy Scales

4.5 pc 450 kpc 150 Mpc

Nearest Stars Nearest Galaxies Nearest Galaxy Clusters

1 pc ~ 3.3 ly

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Our Galaxy: The Milky Way

Magnetic field∼ few μG

+180°

+90°

−90°

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What do we know about our Universe ?

• Many things, including the facts that…– Particles are coming on Earth at energies

108 times larger than we are able to produce…

– The Universe expands (Hubble ~1920): galaxies are getting far with a simple relationship between distance & recession speed

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Redshift

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Hubble’s law

Slope = H0 (Hubble costant)

Today: H0 = 72 ± 3 (km/s) / Mpc

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Once upon a time...our Universe was smaller

Primordial singularity !!!

=> BIG BANG

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How far in time ?

• Extrapolating backwards the present expansionspeed towards the big bang

T ~ 1/H0 ~ 14 billion years(note that the present best estimate, with a lot of complicated physics inside, is T = 13.7 ± 0.2 Gyr)

• Consistent with the age of the oldest stars

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What is our future?

• Depending on the interplay between gravity and kinetic energy, the Universe will continue to expand or recollapse eventually…

36Critical density

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Hubble law now: supernovaeImplosiondu noyaud ’étoile

Explosion d ’étoile

Expansion du matière onde de choc ⇒ accélération

Supernova Restes du Supernova

Implosion of core ofred giant

Expansion of mattershock wave ∼ 0.5 c

Explosion of star

Supernova Supernova Remnant

SNIa occurs at Chandra mass, 1.4 Msun ⇒ ‘Standard Candle’

measure brightness → distance: B = L / 4πd2

measure host galaxy redshift → get recession velocity

test Hubble’s Law: v = H d, at large distances

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Expansion with Supernovae Ia

Acceleration ofuniverse expansion

effe

ctiv

e m

agni

tude

→br

ight

ness

→di

stan

ce

non-linear v = H(t) d

redshift → recession velocity Deviation from Hubble’s lawThe expansion acceleratesΩΛ ~ 0.7

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Time & temperature (=energy)

• Once upon a time, our Universe was hotter– Expansion requires work (and this is the most adiabatic

expansion one can imagine, so the work comes from internalenergy)

915~ 10T Kt

40

Decoupling

γ ↔ particles+antiparticlesγ ↔ proton-antiprotonγ ↔ electron-positron

(…)then matter became stable

Tim

e

Two epochs

21

Cosmology and particle astrophysics

42

Accelerators

R ∼ 1015km, B ∼ 10−10T ⇒ E ∼ 1000 TeV

R ∼ 10 km, B ∼ 10 T ⇒ E ∼ 10 TeV

Large Hadron Collider

Tycho SuperNova Remnant

E ∝ BR

( NB. E ∝ Z → Pb/Fe higher energy)

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43Energy of accelerated particles

Dia

met

er o

f col

l ide r

Cyclotron Berkeley 1937

Particle Physics ⇒ Particle Astrophysics

LHC CERN, Geneva, 2007

Terrestrial Accelerators Cosmic Accelerators

Active Galactic Nuclei

Binary Systems

SuperNovaRemnant

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Ultra High Energy from Cosmic Rays

1 102 104 106 108 1010 1012

Energy GeV1 102 104 106 108 1010 1012

Energy GeV

cros

s-se

ctio

n (m

b)

part

icle

flux

/m2 /s

t/sec

/GeV

From laboratory accelerators From cosmic accelerators

FNAL LHC FNAL LHC

Flux of cosmic ray particlesarriving on Earth

Particle cross-sections measured in accelerator experiments

Ultra High Energy Particles arrive from space for free: make use of them

CollidersColliders

Fixed targetbeamlines

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Detection of cosmic rays

• Via satellites or large detectors at ground…

The problem of rotation curves

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48

• Flat rotation curves => ~80-90% of the matter is dark

• Ωm ~ 0.03• Ωdark ~ 0.23

This leads to another copernican revolution:

We are not the center of the Universe

AND, likely,

We are not made of what most of the Universe is made of.

i light behaves like a particle, sometimesdeangeli/fismod/modernphysics...1 1 i light behaves like a...

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