978-1-4673-4655-9/12/$31.00 ©2012 IEEE

Dynamic Modeling and Control Design for a Photovoltaic System for MPPT

Cindy V. Carmona, Andrés F. Restrepo, Jorge H. Urrea Escuela de Mecatrónica, Universidad Nacional de Colombia – Sede Medellín

Antioquia, Colombia cvcarmonac@unal.edu.co, anfrestrepoac@unal.edu.co, jhurreaq@unal.edu.co

Abstract— Photovoltaic panels have become an important

option for supplying electric energy demand, as they transform the energy coming from the sun into electric energy. One of the main goals of this kind of systems is to extract the maximum power from the panel. In this paper it is proposed to use the P&O algorithm working together with a PID controller; the latter is used to find the Maximum Power Point (MPP) and the former's aim is, besides a good tracking of the reference signal generated by P&O algorithm, the rejection of disturbances coming from changes in the environment. As a tool for system analysis and controller design, it is proposed state space modeling for this problem. By means of simulation, the performance of the solution is illustrated the control system enables the operation, at every moment, at the maximum power point, showing robustness to changes in irradiance and variations of battery voltage.

Index Terms: DC-DC converter, Photovoltaic Panels, State Space, P&O algorithm, Maximum Power Point Tracking (MPPT).

I. INTRODUCCIÓN Debido a la demanda actual de energía eléctrica y al

fenómeno de calentamiento global, surge la necesidad de buscar fuentes de energía alternativa. Si se tiene en cuenta que la energía irradiada por el sol en un segundo es mucho mayor que la consumida por toda la humanidad desde la creación de la Tierra hasta la actualidad [1], entonces puede pensarse en el aprovechamiento de ésta. Es por esto que la energía solar, que es una fuente de energía renovable y por tanto inagotable, limpia y de fácil aprovechamiento, es una de las fuentes de energía más utilizada en la actualidad.

Para aprovechar dicha energía, se usan Paneles Fotovoltaicos (PV), estos son un conjunto de celdas de silicio que al recibir radiación solar en forma de luz, generan una transformación directa a energía eléctrica. Ésta potencia entregada por el panel se ve afectada por diversos factores, entre los cuales se destaca la radiación solar incidente, la temperatura a la que se encuentre trabajando el panel y la impedancia de la carga que se conecte.

En los últimos años se han desarrollado métodos para regular la potencia entregada por el panel, de manera que siempre se esté operando en el punto de máxima potencia (Maximum Power Point - MPP), algunos de estos métodos son los llamados algoritmos de Seguimiento del Punto de Máxima Potencia (Maximum Power Point Tracking - MPPT), de los cuales se destacan los desarrollados por redes neuronales [2] y lógica difusa [3]. Pero en la actualidad, uno de los más usados, por su simplicidad y fácil manejo, es el algoritmo de

Perturbación y Observación (P&O) ([4], [5]). Una aplicación muy común es la carga de baterías por medio de un PV, usando como dispositivo regulador un convertidor DC-DC ([6], [7], [8]). Para lograr un buen seguimiento de la señal de referencia de voltaje, generada por el algoritmo P&O, es necesario implementar un sistema de control a la entrada del convertidor DC-DC. Para el control de voltaje a la entrada del convertidor DC-DC se han propuesto varias estrategias de control, algunas basadas en controladores tipo PID [9]. Sin embargo, para el caso del MPPT, se evidencia una carencia de estrategias donde interactúen el algoritmo MPPT y una estructura de control ([10], [11]).

El modelado en espacio de estados permite hacer un análisis dinámico de los convertidores DC-DC, lo cual ha sido aprovechado para estudiar algunos de los fenómenos presentes en ellos, tales como el análisis de armónicos y presencia de comportamientos caóticos en un convertidor DC-DC tipo Boost [12]. El modelado en espacio de estados también puede ser aprovechado para el diseño del sistema de control [9]. Sin embargo, es más común el uso de otro tipo de métodos para el diseño del controlador, como es el caso del control por corriente pico [13] y utilizando lógica difusa [3].

Por lo tanto, para la aplicación que se propone en este artículo, se hará uso del algoritmo P&O, el cual suministrara el voltaje de referencia al lazo de control encargado de manipular el ciclo de trabajo de un convertidor Boost, por lo cual se garantizará que ante variaciones en la irradianza, se estará operando siempre en el MPP y a la salida del convertidor se entregará la máxima potencia posible. Se propone, entonces, un modelo dinámico que representa el comportamiento del PV, el convertidor DC/DC tipo Boost y una carga tipo Thevenin. Adicionalmente al convertidor Boost se le diseñara, a partir del modelo dinámico representado en variables de estado, una estructura de control PID que responda satisfactoriamente ante cambios en el ambiente y que permita operar el sistema en todo momento en el MPP haciendo uso del algoritmo P&O.

II. DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA El sistema utiliza dos paneles fotovoltaicos (PVs) de

referencia BP-585 U conectados en serie. La potencia generada por los PVs, es suministrada a un convertidor DC/DC tipo Boost, pues se requiere una elevación de voltaje a la salida del convertidor para garantizar un voltaje de carga adecuado para las dos baterías en serie.

Las características eléctricas del panel fotovoltaico

BP-585 U, son: Máxima potencia: 85 W; voltaje en máxima

potencia: 18 V; corriente en máxima potencia: 4.72 A; corriente en corto circuito: 5 A.

En la topología que se presenta en la Fig. 1, se observa los

paneles fotovoltaicos (PVs), el convertidor DC/DC con su respectivo controlador interactuando con el algoritmo de seguimiento de máxima potencia P&O y la carga.

Fig. 1. Topología utilizada

Método MPPT P&O El MPPT se implementa en un sistema con paneles

fotovoltaicos para mejorar su eficiencia. Como se muestra en la Fig. 2 (a), hay un único punto de operación en la curva I-V que produce la máxima potencia de salida para un nivel de irradianza dado.

Fig. 2. (a) Curva I-V para el panel. (b) Algoritmo MPPT P&O.

Con el método P&O el voltaje entregado por el panel es

incrementado periódicamente con el fin de encontrar el MPP, como se muestra en la Fig. 2 (b), si la perturbación resulta en un incremento en la potencia entonces la perturbación (voltaje entregado por el panel) se sigue aplicando en la misma dirección. Por otro lado, si la perturbación causa una reducción en la potencia, la siguiente perturbación se aplica en la dirección opuesta. Cuando se localiza el punto de máxima potencia con el P&O el voltaje oscila alrededor de éste.

III. MODELADO DEL SISTEMA DINÁMICO El modelo dinámico consta de las ecuaciones diferenciales

obtenidas al aplicar los principios de Balance de Carga y Volt-Segundo [14], en los capacitores y bobinas del circuito electrónico representado en la Fig. 3.

Fig. 3. Modelo del sistema (Panel+convertidor DC/DC+ Batería)

El esquema representado en la Fig. 3, presenta las siguientes características; para el panel fotovoltaico se utiliza un modelo lineal tipo Norton, ya que logra representar de forma adecuada el comportamiento del panel en el MPP, adicionalmente este modelo tiene la capacidad de incluir efectos ambientales, como es el caso de la irradianza que es proporcional a la corriente de corto circuito que afecta sensiblemente el comportamiento eléctrico [15]. Para la batería es utilizó el modelo lineal tipo Thevenin, ya que es una de las representaciones más simples y más usada para este tipo de cargas.

A partir de la representación mostrada en la Fig. 3, se presenta el conjunto de ecuaciones diferenciales (1), que describen el comportamiento dinámico del sistema, mostrando, de forma analítica, la manera en que se ve afectado el sistema por los cambios del medio que lo rodea.

' '1

2

'3

1

1 ( )

1 ( )

Lce ce ce L L co co co

ce N ceN L

e ce N N

co coTH THL

o TH co TH TH

di v R i R i R i d v d Fdt Ldv R v

i i Fdt C R R R

dv vR Vi d F

dt C R R R R

⎡ ⎤= − − − − →⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − →⎢ ⎥+⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + →⎢ ⎥+⎣ ⎦

(1)

Donde se tiene que: N ce

ce sc Lce N N

R Vi I i

R R R⎛ ⎞⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

' coTH THco L

TH co TH TH

VR Vi i d

R R R R⎛ ⎞⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠

A. Análisis en estado estacionario Con el fin de obtener una mejor representación del sistema

real, se consideran resistencias de pérdida en los capacitores y en el inductor. Además se consideran las posibles pérdidas a la salida, razón por la cual el convertidor se diseña para obtener un voltaje a la salida de 55 V.

A partir de los datos del panel y teniendo en cuenta que serán dos paneles en serie, cada uno con un voltaje en máxima potencia de 18 V y las dos baterías cada una de 24 V es decir 48 V, se fijaran los siguientes parámetros para el punto de operación: Voltaje de entrada al convertidor: 36 V; corriente de entrada al Convertidor: 4.72 A; valor de la fuente de corriente

del circuito equivalente Norton: 5 A; voltaje a la salida del Convertidor: 55 V.

Para establecer los valores de los componentes del convertidor, se hace el análisis en estado estacionario, es decir, cuando las variables de estado permanecen en un valor fijo. En base a esto se iguala el sistema de ecuaciones diferenciales (1) a cero. Para nombrar los parámetros en el valor de estado estacionario se usan letras mayúsculas, así, se obtienen: THR ,

NR y D . Para el cálculo del valor de los condensadores y la bobina,

se hace el análisis de los rizados de voltaje y corriente en los capacitores y la bobina, respectivamente.

ce L L

LV I R

i DTL

−Δ =

(2)

8L

cee

iV DT

CΔ

Δ = (3)

'2

coTH THL

TH co TH THco

o

VR ViR R R R

V D TC

⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠Δ =

(4)

Del análisis en modo continuo del convertidor se tiene que la corriente promedio sobre el inductor está dada por la corriente en máxima potencia que entrega el panel, esto es IL=4.72A. Del análisis en estado estacionario se tiene que el ciclo de trabajo debe ser, D= 0.3712, RN=128.57Ω y RTH=2.3585Ω. De (2) – (4), y considerando una frecuencia de conmutación de 50kHz se obtiene el valor de los componentes del circuito condensadores Ce= 131.11 μF; Co= 188.33 μF y la bobina L=135.99 μH.

B. Modelo en Espacio de estados A partir del conjunto de ecuaciones diferenciales es posible

obtener un modelo en espacio de estados que puede ser expresado mediante (5), donde las variables de estado son aquellas que representan completamente la dinámica del sistema.

( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t= + (5)

Las variables de estado ( )x t para este caso son: Corriente

en el Inductor (iL), voltaje en el capacitor de entrada (vCe), voltaje en el capacitor de Salida (vCo).

[ , , ]T

L ce cox i v v= Como entradas al sistema ( )u t se consideran: El ciclo de

trabajo ( ( )d t ), voltaje Thevenin (VTH) y la corriente Norton (iN).

[ , , ]TTH Nu d V i=

Siendo A, la matriz de jacobianos de las funciones F1, F2 y F3 presentados en (1) respecto a los estados, B la matriz de jacobianos respecto a las entradas, así se obtiene:

La matriz A.

1 '1 11 '

1 1 1 0

'1 1 10

ce co

L ce N TH co

N

e N ce e N ce

TH

o TH co o TH co

R R dFd

i L R R L R R

RA

C R R C R R

R dC R R C R R

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂− − +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Dónde:

21 ´1 ce N TH co

LL ce N TH co

R R R R dFR

i L R R R R⎡ ⎤∂

= − − −⎢ ⎥∂ + +⎣ ⎦ La matriz B.

1 ´1 1

10 0

1 1 10

ce N co

ce N TH co

N

e ce N

TH L

o TH co o TH co

R R R dFd L R R L R R

RB

C R R

R iC R R C R R

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Dónde:

1

2 21

L TH co TH co co coco

TH co TH co TH co

TH

TH co

i R R R R d V RV

R R R R R RFVd L

R R

⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥+ + +∂ ⎢ ⎥=⎢ ⎥∂ +⎢ ⎥+⎣ ⎦

Mediante análisis circuital se llega a (6), que representa el

voltaje a la entrada del convertidor Boost.

N cei sc L ce ce

ce N N

R VV I i R V

R R R⎛ ⎞⎛ ⎞

= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠ (6) Como ya se mencionó, el objetivo es cargar dos baterías de

24V cada una, conectadas en serie, por lo tanto el convertidor Boost debe ser diseñado de tal manera que se garantice la transferencia de máxima potencia del panel a la batería.

El objetivo de control entonces, es regular el voltaje a la entrada del convertidor cuya referencia es dada por el algoritmo P&O. Si (7) es la que relaciona las variables de estado y las entradas, con la salida del sistema y se toma el voltaje a la entrada del convertidor como la salida, se tiene que:

( ) ( ) ( )m my t C x t D u t= + (7)

Siendo Cm la matriz de derivadas parciales de la salida respecto a las entradas y Dm la matriz de derivadas parciales de la salida respecto a las entradas, así se obtiene:

1 0 ; 0 0N ce ce N cem m

N ce N ce N ce

R R R R RC D

R R R R R R⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

IV. DISEÑO DEL CONTROLADOR La función de transferencia que relaciona el voltaje de

entrada al convertidor (Vi) con el ciclo de trabajo (d) viene dada por:

2

3 2

6.106 004 3.249 009 7.352 012( )5894 7.782 007 1.197 011iV

d

e s e s eG ss s e s e

− − −=+ + + (8)

Al observar la función de transferencia, por el criterio de

Routh Hurwitz, se concluye que el sistema es de Fase Mínima [16]. Esto permite realizar un control directo sobre la variable de interés.

A partir de la función de transferencia expresada en (8), se diseña un control PID para el control de voltaje a la entrada del convertidor: Para el diseño del controlador se establecen los siguientes criterios: Factor de Amortiguamiento de 0.707, el cual asegura un margen de fase de 60°, y ancho de banda de 10kHz, que equivale a un quinto de la frecuencia de conmutación del Mosfet, obteniéndose los siguientes parámetros, KD= -0.5347, Ti= -2.2443e-4, TD= -2.0002e-5.

Así, la función de transferencia del controlador viene dada por (9).

22 005 0.5347 4456iCV

e sG ss

− − − −= (9)

V. ANÁLISIS EN FRECUENCIA PARA EL SISTEMA EN LAZO CERRADO

A continuación, se presentan los diagramas de bode obtenidos

Fig. 4. Diagrama de Bode Voltaje del Panel/Voltaje de referencia

En el Fig. 4., se aprecia que el sistema a lazo cerrado sigue la referencia hasta los 10kHz, tal como fue diseñado.

Fig. 5. Diagrama de Bode Voltaje del Panel/Voltaje de referencia

En la Fig. 5, se observa que el sistema rechaza las perturbaciones cuando se presentan variaciones en la irradianza, y ante variaciones Voc (voltaje equivalente Thevenin (VTH) en la Batería).

Fig. 6. Perturbaciones

En la Fig. 6, se introduce dos perturbaciones en el voltaje equivalente de las baterías, la primera a los 0.14s con un valor de 4.8V y el segundo a los 0.16s con un valor de -9.6V. Donde se observa un desempeño satisfactorio en el rechazo a las perturbaciones aplicadas.

Fig. 7. Cambio en el voltaje de referencia

En la Fig. 7, se evidencia que el controlador diseñado, hace que el sistema siga adecuadamente un cambio en el voltaje de referencia de 1.9V a los 0.12s, y de -3.8V.

VI. BOOST CONTROLADO + P&O Para trabajar con el P&O es necesario utilizar un modelo no

lineal para el panel fotovoltaico [15], debido a que el modelo lineal utilizado para el diseño del controlador (Sección IV), puede entregar potencia infinita, y por tanto no tiene MPP.

En la Fig. 8, se observa el modelo no lineal de los PVs, el

convertidor DC/DC con su respectivo controlador

interactuando con el algoritmo P&O y la carga, en esta caso dos baterías en serie.

Fig. 8. Modelo en PSIM (Panel+convertidor DC/DC+PID+P&O+ Batería) Se aplican dos cambios en la irradianza, la primera a los

0.13s disminuyendo la magnitud de Isc un 50%. La segunda a los 0.15s aumento la magnitud de Isc un 30%. Adicional a esto se aplica una perturbación en el voltaje equivalente de las baterías, aumentándola un 20% del valor nominal a los 0.18 Segundos.

Fig. 9. Voltaje del Panel y Voltaje de referencia entregado por el MPPT

P&O. La Fig. 9, muestra el seguimiento del voltaje de referencia

entregado por el algoritmo P&O ante cambios de irradianza y el rechazo de perturbaciones en el voltaje nominal de las baterías en serie, lo anterior gracias a que el sistema de control fue diseñado con un margen de fase de 60º.

Fig. 10. Potencia entregada por los PVs en serie.

La Fig. 10, muestra que el seguimiento del voltaje de referencia entregado por el algoritmo P&O garantiza el punto de máxima potencia, para cada valor de irradianza.

VII. CONCLUSIONES Se diseñó un controlador PID para el control de voltaje

entregado por el panel, que a su vez es el voltaje de entrada al

convertidor Boost. Este controlador permite el seguimiento del voltaje de referencia entregado por el algoritmo P&O garantizando que en todo momento los paneles fotovoltaicos estén entregando la máxima potencia. El controlador se diseñó utilizando el modelo en espacio de estados presentado en la sección III. Mediante simulaciones realizadas en PSIM, se verificó el correcto funcionamiento del controlador en interacción con el algoritmo P&O. La respuesta del controlador fue evaluado ante cambios en la irradianza y variaciones de voltaje en las baterías y en todo momento se evidenció como el control de voltaje permite llevar el sistema al punto de máxima potencia, mostrando su robustez.

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