ii. - propriÉtÉs de l'hÉlium solidehÉlium solide

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II. - PROPRIÉTÉS DE L’HÉLIUM SOLIDEHÉLIUMSOLIDE : PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES ET

RÉSONANCE MAGNÉTIQUE DANS L’HÉLIUMTROIS

A. Landesman

To cite this version:A. Landesman. II. - PROPRIÉTÉS DE L’HÉLIUM SOLIDEHÉLIUM SOLIDE : PROPRIÉTÉSGÉNÉRALES ET RÉSONANCE MAGNÉTIQUE DANS L’HÉLIUM TROIS. Journal de PhysiqueColloques, 1970, 31 (C3), pp.C3-55-C3-66. �10.1051/jphyscol:1970305�. �jpa-00213848�

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JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 3, supplément au n° 10, Tome 31, Octobre 1970, page C 3 - 55

II. — PROPRIÉTÉS DE L'HÉLIUM SOLIDE

HÉLIUM SOLIDE : PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES ET RÉSONANCE MAGNÉTIQUE DANS L'HÉLIUM TROIS

par A. LANDESMAN

Service de Physique du Solide et de Résonance Magnétique CEA, Orme des Merisiers, BP n° 2, 91, Gif-sur-Yvette, France

Résumé. — On décrit d'une manière simple les propriétés de l'hélium solide puis on discute, dans le cas de 3He, les interactions d'échange et l'énergie d'anisotropie d'une éventuelle phase antiferromagnétique. La plus grande partie de l'exposé est ensuite consacrée à la résonance magnétique nucléaire de 3He et, plus particulièrement, à là largeur de raie, la diffusion de spin, la relaxation spin-réseau et l'influence sur cette dernière des impuretés 4He qui s'explique en postulant que les atomes 4He se déplacent facilement dans le cristal 3He par effet tunnel, à basse température.

Abstract. — We present in a simple way some unusual features of solid helium then, in the case of 3He, we discuss the exchange interactions and the anisotropic forces in an eventual anti-ferromagnetic phase. The last section is devoted to nuclear magnetic resonance of 3He and, more especially, the line-width, the spin diffusion, the spin-lattice relaxation and the effect on the latter of 4He impurities. This effect can be accounted for by assuming the 4He atoms move in the 3He crystal by a quantum tunnelling, practically freely at low temperatures.

I. Introduction. — L'hélium solide soulève des problèmes d'une nature différente des problèmes que pose l'hélium liquide ; aussi nous donnerons d'abord quelques propriétés générales du solide. Puis nous décrirons plus en détail quelques aspects particuliers de la résonance magnétique nucléaire de l'hélium trois, qui illustrent bien le côté inhabituel de ce solide.

L'hélium solide est caractérisé par une amplitude inhabituelle des mouvements de point zéro, qui résulte de la faiblesse de la masse atomique et de l'attraction interatomique. Les mouvements de point zéro se manifestent d'abord sur la courbe de fusion : l'hélium ne se solidifie pas en présence de la vapeur (voir Fig. 1). Pour obtenir de l'hélium solide il faut

FIG. 1. — Diagrammes de phases des deux isotopes de l'hélium en coordonnées semi-logarithmiques.

exercer une pression extérieure, au moins égale à 29 atmosphères pour 3He et 25 atmosphères pour 4He. En faisant un bilan d'énergie à 0 °K entre d'une part l'énergie de point zéro Ez évaluée à l'aide d'un modèle simple où l'on remplace les atomes par des sphères dures et d'autre part l'énergie d'interaction Ea (d'origine électronique) soit du liquide soit du solide, F. London avait montré en 1954 qu'au-dessous d'une certaine pression minimale, le liquide avait une énergie libre à 0 °K (c'est-à-dire une enthalpie) plus basse que le solide. L'énergie électronique Ea était exprimée à partir du potentiel interatomique v(r) en utilisant pour le liquide la fonction de distribution radiale et pour le solide un réseau cristallin d'atomes localisés, ce qui est évidemment une approximation assez grossière. Le tableau I permet de comparer l'énergie de point zéro Ez calculée par London à l'énergie interne à 0 °K E0 :

(1)

E0 [1] s'exprime en fonction de données expérimentales : chaleur de vaporisation et compressibilité du liquide, chaleur spécifique du solide, densités des deux phases.

Dans le tableau I, V est le volume molaire de l'hélium solide le long de la courbe de fusion près de 0 °K et a la distance entre premiers voisins correspondante. Remarquons que cette distance a est

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http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1970305

A. LANC

Comparaison de l'énergie interne et de l'énergie de point zéro

sensiblement supérieure à la distance correspondant au minimum de potentiel de l'interaction interatomique, distance qui vaut 2,86 A si l'on utilise les para- mètres de l'expression de Lennard-Jones donnée dans l'article suivant de Hansen. Le mouvement de point zéro augmente en quelque sorte le diamètre effectif des atomes d'hélium. On voit que l'énergie potentielle Eél (ou électronique) et l'énergie de point zéro sont des grandeurs comparables en valeur absolue. Si l'on veut une idée de l'amplitude des mouvements de point zéro, calculons l'écart quadratique moyen 6 d'un atome d'hélium se déplaçant dans un puits de potentiel harmonique tel que son énergie de point zéro soit Ez :

m étant la masse d'un atome d'hélium. On trouve ainsi un écart 6 qui vaut, pour les deux isotopes, environ 30 % de la distance interatomique a.

La courbe de fusion présente encore une autre particularité : elle a un minimum. Par conséquent, en dessous de la température correspondant au minimum (0,32 OK pour 3 ~ e , 0,78 OK pour 4He), le liquide est plus ordonné que le solide, en vertu de la relation de Clapeyron. L'explication physique de ce minimum est tout à fait différente pour les deux isotopes.

Pour l'hélium quatre [SI ce minimum est en réalité peu prononcé. A basse température les seules excitations présentes dans les deux phases sont des phonons. Les excitations dans les deux phases sont donc de même nature, à ceci près que dans le liquide on a uniquement à faire aux phonons longitudinaux, alors que dans le solide il y a évidemment des phonons transversaux. 11 en résulte que l'entropie du liquide est inférieure à celle du solide, tant que la contribution des rotons reste négligeable.

Pour l'hélium trois le minimum de la courbe de fusion est dû à l'entropie Rln 2 des spins qui subsiste dans le solide tant que la température est supérieure à la température d'alignement nucléaire alors que dans le liquide les spins sont ordonnés dès la température de Fermi, nettement plus élevée. Un phénomène lié à l'existence de ce minimum de la courbe de fusion de l'hélium trois est l'effet Pomeranchuk ou possibilité d'abaisser la température par compression adiabatique, question qui fait l'objet d'un article de Richard- son par ailleurs.

La structure cristalline de l'hélium a été déterminée par des expériences de diffraction de rayons X OU,

pour l'hélium quatre, de diffraction de neutrons. Les deux isotopes possèdent plusieurs variétés allotropi- ques hexagonale compacte (hc), cubique centrée (cc) et (au-dessus de 1 000 atm) cubique à faces centrées (cfc). L'hélium solide est le seul diélectrique cristallisant dans le réseau cubique centré ; l'hélium trois est le seul à présenter cette structure à O OK. La phase cubique centrée de l'hélium quatre n'existe que dans un faible domaine de pression et de température ; nous en parlerons donc peu. Les gaz rares plus lourds que l'hélium cristallisent tous dans le système cubique à faces centrées ; l'existence d'une structure cubique centrée est donc déjà quelque chose d'inhabituel. Notons d'abord qu'un cristal cubique centré doit sa cohésion aux interactions entre seconds voisins [3]. En effet un glissement des plans (110) les uns par rapport aux autres parallèlement à la direction

< l i 0 > laisse inchangées au premier ordre les distances entre premiers voisins.

On peut ensuite se convaincre que la stabilité du réseau cubique centré à O OK est assurée grâce aux mouvements de point zéro de la manière suivante. Considérons un solide formé par une assemblée d'atomes interagissant avec un potentiel v(r) tel que le potentiel de Lennard-Jones. Faisons un calcul classique à O OK, en négligeant l'énergie cinétique des atomes ; on peut calculer en fonction des paramètres définissant v(r), pour un volume molaire et un réseau cristallin donnés, d'abord, l'énergie interne qui se réduit maintenant à l'énergie potentielle E,, , puis l'enthalpie. Si l'on fait ce calcul pour les trois réseaux cc, cfc, et hc, on constate que, quel que soit le volume molaire ou la pression, l'enthalpie la plus grande est celle du réseau cubique centré qui est donc toujours instable. Le problème du calcul théorique des propriétés de l'hélium solide sera donc très difficile à cause de l'importance des mouvements de point zéro qui assurent justement la stabilité du solide.

II en résulte un cristal de faible densité et très compressible. L'hélium trois cubique centré est même plus compressible que l'hélium trois liquide. La grande compressibilité permet de faire varier la densité du cristal dans une grande plage, ce qui est intéressant pour de nombreuses expériences, en particulier pour les mesures de chaleur spécifique et de conductibilité thermique.

CHALEUR SPÉCIFIQUE. - La chaleur spécifique de l'hélium hexagonal, 3He ou 4He, qui a été mesurée au-dessus de 0,2 OK a un comportement habituel. A basse température elle varie sensiblement en T3 pour les deux isotopes. Si l'on représente les résultats expé- rimentaux à l'aide de l'expression de Debye, on trouve un paramètre de Debye qui est une fonction légèrement décroissante de la température T de l'échantillon, plafonnant à une valeur 8, pour T/BD < 0,03. Pour les cristaux hexagonaux de densité minimale 8, vaut 35 OK pour 3He et 26 OK pour 4He. Il est quand même

HELIUM SOLIDE : PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES ET RÉSONANCE MAGNÉTIQUE C 3 - 5 7

intéressant de noter que ce paramètre de Debye BD est largement supérieur à la température de fusion du solide. La comparaison de 8, avec les vitesses du son est malaisée par suite de la grande anisotropie de l'hélium, ainsi que le révèlent les expériences de propagation des ondes de cisaillement dans l'hélium quatre hexagonal [A], [48].

La chaleur spécifique de l'hélium trois cubique centré est plus intéressante. Elle présente également une contribution variant sensiblement en T3, condui- sant à une température de Debye 8, comprise entre 20 et 30 OK. Mais superposé à la chaleur spécifique des phonons on observe à haute température un terme supplémentaire Cx(T), dont la variation avec la température s'apparente au démarrage d'une anomalie Schottky [5] [6] [7] [8] :

q étant compris entre 6 et 15 OK (voir Fig. 2).

FIG. 2. -Anomalie Schottky de chaleur spécifique dans la phase cubique centrée de l'hélium trois [Il]. Il y a dans l'expression de C, une erreur sans conséquence pratique au déno- minateur qui devrait s'écrire [l + exp(- v/T)]2. Les points expérimentaux correspondant à différents volumes molaires s'alignent bien sur la courbe en trait plein calculée à partir des

valeurs de rn données au tableau II.

Cette anomalie indique la présence d'un certain nombre de défauts ponctuels, dont la nature n'est pas encore élucidée [9] [IO] [Il]. En principe la valeur du coefficient sans dimension A donne des indications sur la nature des défauts : pour une lacune A = 1, pour un défaut de Frenkel (création d'une lacune par transfert d'un atome dans un site interstitiel) A = 2 43. En cas d'apparition indépendante de lacunes et d'atomes interstitiels et si la formation d'une lacune et l'insertion d'un atome interstitiel demandent une même énergie kq, on a A = 4. Il est difficile de trancher expérimentalement entre ces différents cas. En effet Cx(T) est une anomalie qu'on obtient en retran- chant des données expérimentales la capacité calori-

fique des phonons dans une région de température où elle ne varie plus en T~ et où il faut l'extrapoler. Il en résulte une certaine incertitude tant sur q que sur le coefficient A ; ce dernier semble voisin de l'unité, ce qui milite en faveur des lacunes. La précision n'est cependant pas telle que cet argument soit vraiment déterminant et la question n'est pas tranchée. L'énergie de formation d'une lacune est la somme d'une énergie intrinsèque et du travail de compression qu'il faut fournir pour prendre un atome au sein du cristal et le transporter à la surface. Ce travail de compression est de l'ordre de PV/R par atome qui est une énergie très importante, variant très vite avec le volume molaire V, sensiblement de la même manière que 40, comme le montre le tableau II. La quantité q serait alors l'énergie de formation de la lacune.

Energie de formation p des lacunes dans l'hélium trois cubique centré

Si des lacunes sont effectivement présentes dans l'hélium solide, on peut se demander si elles restent localisées. Le mouvement de point zéro et le caractère peu dense du réseau cc peuvent conduire à une pro- babilité de saut par effet tunnel suffisamment grande pour que l'on soit conduit à sufisamment basse température à décrire les lacunes comme des défauts non localisés formant une bande d'énergie. Ces hypothèses ont été récemment développées 1101 [12] théoriquement.

II. Les interactions d'échange dans 3He. - Théo- riquement l'hamiltonien du problème s'écrit très simplement :

où T, représente l'énergie cinétique des atomes et où vi j est la distance entre les atomes i et j. En principe il faudrait résoudre le problème en tenant compte du principe de symétrisation. En pratique on peut considérer une assemblée de particules discernables mais identiques 1131, où chaque atome est confiné au voisinage d'un site cristallin déterminé. Cela revient à supposer que les effets de la symétrisation de la fonction d'onde sont faibles, c'est-à-dire, si l'on considère 3He, que les forces d'échange sont faibles. Un argument pour ce faire est de remarquer que la chaleur spécifique a un comportement analogue pour les deux isotopes, du moins au-dessus de 0,5 0K. Un second argument fait appel à l'entropie de 3He

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solide le long de la courbe de fusion, qu'on peut déduire de la mesure de celle-ci par la relation de Clapeyron et qui n'est pas inférieure à Rln 2 au-dessus de 0,05 OK [14], [49]. Dans l'article qui suit Hansen explique en détail comment déterminer la fonction propre 99, de l'état fondamental. L'importance des mouvements de point zéro fait apparaître des corrélations à courte distance qui rendent compte de la répulsion des atomes quand ils viennent au contact l'un de l'autre. Il en résulte qu'on peut prendre pour une fonction d'onde qui n'est pas une fonction de Hartree mais le produit d'une fonction de Hartree par une fonction de Jastrow :

Considérons maintenant le cas de l'hélium trois : nous allons montrer comment les prescriptions du principe de Pauli se traduisent par des interactions d'échange entre spins nucléaires [15].

Supposons donc qu'on ait diagonalisé l'hamiltonien H sans le symétriser et que Son connaisse la fonction d'onde $, dans l'état fondamental correspondant à une énergie Eo. Comme H est une fonction symétrique des coordonnées des N atomes, cette valeur propre Eo est dégénérée N ! fois ; mais cette dégénérescence va être levée partiellement si l'on tient compte des variables de spin et si Son construit à l'aide de $, une fonction d'onde complètement anti- symétrique par rapport aux permutations des N atomes. Si $, était une fonction d'onde de Hartree on obtiendrait ainsi une combinaison linéaire de déter- minants de Slater, mais pour le moment nous ne préjugeons rien de la forme analytique de i,bo.

Considérons un ensemble [pl de N fonctions de spin &,(a) avec p, = + 1 ; il existe 2N tels ensembles. A un tel ensemble [pl correspond une fonction d'orbite et de spin :

où x est une notation condensée pour les 3 N coor- données spatiales et à partir de laquelle on bâtit une fonction d'onde antisymétrique :

P étant un opérateur permutant les coordonnées d'espace et de spin des noyaux, de parité p. La fonction d'onde la plus générale s'obtient en considérant tous les ensembles [pl possibles et s'écrit :

La valeur moyenne de l'énergie sur la fonction Y s'écrit :

A: A,. 1 @:(x) H@,.(x) dx < H > ="' 9 ( 5 )

z A: A,. 1 @z(x) dx P.P'

où l'intégration s'étend à la fois sur les variables d'espace et de spin. Comme l'hamiltonien H est symétrique par rapport aux permutations P, on a la relation :

Si l'on écrit chaque opérateur P comme un produit :

P = Po P, ,

d'un opérateur Po permutant les coordonnées d'espace et d'un opérateur P, permutant les coordonnées de spin et si l'on tient compte de la relation (6), I'expression (5) devient :

Dans l'expression (7) l'intégration ne porte que sur les variables d'espace et la quantité < P, > est définie par l'expression :

où seules apparaissent les variables de spin. <P,> est la valeur moyenne de l'opérateur P, sur une fonction d'onde de spin qui n'est pas antisymétrisée et qui représente donc des spins localisés. Les sommes appa- raissant au numérateur et au dénominateur de I'expression (7) sont étendues à toutes les permutations des coordonnées des N atomes, mais les différentes classes de permutations apportent des contributions diffé- rentes à l'énergie < H >. Cela se voit en considérant une permutation particulière, la transposition Pij des atomes confinés au voisinage des sites i et j du réseau; la valeur moyenne < P: > est au dénominateur de l'expression (7) en facteur d'une quantité que nous appelons s:. et qui vaut :

(9)

a) Cas où $, est fonction de Hartree ; dans ce cas, Sij serait l'intégrale de recouvrement des fonctions d'onde centrées sur les sites i et j. Si l'on assimile ces dernières à des gaussiennes de largeur 6, on a pour des sites i et j premiers voisins :

ou, si l'on utilise l'expression approchée (2),

ma2 Ez Sij 2 exp ( - --- ) 1 2 % , pour V = 24 cm3.

6 h2

Pour des permutations plus compliquées, la valeur moyenne < P, > fera intervenir des facteurs de plus

HÉLIUM SOLIDE : PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES ET RÉSONANCE MAGNÉTIQUE C 3 - 5 9

en plus petits, tels que Sij Sjk Sk, pour une permutation de trois atomes. On fait donc une petite erreur en ne gardant au dénominateur de l'expression (7) que les transpositions ; il est facile de se convaincre que la même chose est vraie pour le numérateur.

b) Cas général. Lorsque $, n'est pas une fonction de Hartree les quantités telles que :

J +O PO +O dx ou J BO HPO dx

sont plus compliquées à écrire mais comme $, repré- sente toujours un solide où les atomes sont confinés au voisinage de sites bien déterminés, les conclusions du cas précédent demeurent et on peut ne garder que les transpositions dans l'expression (7) :

La somme au dénominateur est une quantité i< j

petite par rapport à la norme de (dans un rapport de l'ordre de zsfj/2, si z est le nombre de premiers voisins). Dans l'approximation de l'expression (10) on peut alors écrire :

la quantité Jij étant définie par la relation :

L'expression (11) nous permet de dire que l'on peut tenir compte du principe de Pauli en introduisant un hamiltonien d'échange hX,, agissant uniquement sur les variables de spin qui s'écrit :

L'opérateur de transposition des variables de spin s'écrivant :

. . plJ = - $ + 2 Ii.Ij ,

l'hamiltonien d'échange prend, à une constante près, la forme de l'hamiltonien d'Heisenberg :

Nous avons ainsi démontré que partant de l'hamiltonien H ne dépendant que des variables d'espace, on peut tenir compte du principe de Pauli en consi- dérant les spins comme localisés aux sites du réseau cristallin et en introduisant un hamiltonien d'interaction X,, entre ces spins. L'expression (12) se généralise

dans notre approximation quelle que soit la forme que prend la fonction d'onde $, qui pourrait contenir non seulement les corrélations à courte portée décrites par la fonction de Jastrow dans l'équation (4) mais même les corrélations à longue portée assurées par les phonons dont on tient compte avec une théorie de phonons self-consistents (voir article de Hansen, partie II). Dans la pratique on suppose l'interaction d'échange limitée à l'échange J entre spins premiers voisins l'un de l'autre. Le calcul théorique de J a fait l'objet de nombreux travaux, récemment passés en revue par Guyer [16]. L'échange J est négatif, correspondant à de l'antiferromagnétisme à très basse température, comme Richardson le montre dans un article qui suit. Richardson passe en revue les infor- mations apportées par des mesures statiques comme les mesures de pression qui donnent indirectement la contribution des interactions d'échange à la chaleur spécifique et les mesures de susceptibilité magnétique dont la déviation par rapport à la loi de Curie confirme le signe de J. Toutes les déterminations de l'interaction d'échange montrent aussi que J diminue en valeur absolue quand la densité augmente, comme l'illustrent le tableau III ci-dessous ou la figure 2 de Richardson. Ce comportement est commun aux deux phases cris- tallines, cubique centrée et hexagonale compacte, J étant cependant beaucoup plus petit dans la seconde.

TABLEAU III

Interactions d'échange et températures de Debye dans l'hélium trois cubique centré

a (4 V (cm3) J/h (MHz) 8, (OK) - - - -

3,77 24,8 25 3,73 24,l 15 20 3,53 20,4 0,47 28

Si l'on se rappelle que l'origine physique des interactions d'échange est dans le mouvement de point zéro des atomes, on conçoit qu'en comprimant le solide, l'augmentation de la température de Debye correspond à une augmentation de l'énergie de point zéro donc une diminution de l'amplitude des mouvements de point zéro, du recouvrement des fonctions d'onde et de l'interaction d'échange, par voie de conséquence.

Notons que ces interactions d'échange sont des interactions d'origine électrique entre des spins nucléai- res, ce qui est assez inhabituel ; ces interactions scalaires n'ont évidemment rien à voir avec les interactions par polarisation des orbites électroniques du type Ruderman Kittel qui sont d'origine magnétique. Les interactions d'échange dans 3He sont bien supérieures aux interactions dipolaires magnétiques :

où y est le rapport gyromagnétique et Rij le rayon vecteur joignant les sites i et j du réseau cristallin.


Les interactions dipolaires entre premiers voisins valent :

D = h2 y2 a - 3 , (16)

ce qui donne pour V = 24,l cm3, D/h = 1,3 kHz à comparer à J/h = 15 MHz.

ANISOTROPIE MAGNÉTIQUE DANS 3He A TRÈS BASSE

TEMPÉRATURE. - On serait tenté de négliger complè- tement les interactions dipolaires magnétiques par rapport aux interactions d'échange. Mais les expé- riences de compression adiabatique présentées plus loin par Richardson montrent qu'en dessous de 2 x OK on peut espérer observer une phase antiferromagnétique de l'hélium trois cubique centré. On peut se demander quelle structure présentera cette phase. Il est facile de se convaincre par un petit calcul classique que le plus favorable sera d'avoir deux sous-réseaux cubiques simples tels que chaque atome d'un sous-réseau soit au centre d'un cube de huit atomes appartenant à l'autre sous-réseau. Pour avoir un champ d'anisotropie il faut bien faire appel aux interactions dipolaires.

Comme l'énergie dipolaire d'une assemblée de spins aux nœuds d'un réseau cubique ne dépend pas de l'orientation de l'aimantation par rapport au réseau cristallin, il faut faire un calcul de perturbation au second ordre pour avoir un champ d'anisotropie, comme Van Vleck l'a montré [17]. Van Vleck avait fait le calcul pour différents types de réseaux cristal- lins, dans le cas ferromagnétique et dans l'approximation du champ moléculaire ; Tessman [la] a montré que l'approximation des ondes de spin conduit à la même énergie d'anisotropie, pour un ferromagnéti- que. Pearson [19] a calculé l'énergie d'anisotropie pour un antiferromagnétique cubique simple et retrouvé la même énergie que Van Vleck. On peut montrer que pour un antiferromagnétique cubique centré l'expression de Van Vleck de l'énergie d'anisotropie reste valable :

avec

oii N est le nombre d'atomes 3He et a,, a,, a, sont les cosinus directeurs de l'aimantation par rapport au réseau cristallin. 11 résulte du signe de l'énergie EA que la direction de facile aimantation est la direction < 11 1 >, c'est-à-dire la diagonale du cube. Le champ d'anisotropie correspondant est relié à l'aimantation M , d'un sous-réseau :

et est très faible par rapport au champ d'échange He = zJ/yA. La fréquence de résonance antiferroma- gnétique en champ nul qui en résulte est :

il est remarquable que cette fréquence o,, ne dépend pas de l'interaction d'échange J mais uniquement des interactions dipolaires et qu'elle est par conséquent très faible. :

a,, = 2,1 kHz pour V = 24,l cm3 . Une autre conséquence de la faiblesse du champ

d'anisotropie est qu'à très basse température la structure antiferromagnétique ne sera stable que pour un champ magnétique inférieur à un champ seuil H, :

UAF H , = -- = 0,65 Oe pour V = 24,l cm3. Y

Pour un champ appliqué le long de la direction de facile aimantation supérieur à H,, l'aimantation des sous-réseaux se retournera en se mettant sensiblement perpendiculaire au champ appliqué (phase spin-Jirop) .

III. Résonance magnétique nucléaire dans 3He solide [50]. - On pourrait imaginer que l'interaction d'échange ne joue aucun rôle en résonance magnéti- que puisqu'elle commute avec l'hamiltonien Zeeman h X , entre les sous-niveaux duquel on observe les transitions. Ceci est inexact, à cause des interactions dipolaires.

1. LARGEUR DE RAIE. - Lorsqu'on observe la raie de résonance d'un ensemble de spins placés dans un réseau rigide, un cristal, la raie a une largeur qui est produite par les interactions magnétiques dipolaires des spins entre eux. On peut dire que chaque spin (porteur d'un moment magnétique) voit un champ magnétique qui est la superposition du champ appli- qué et du champ produit par les autres spins du cristal. Or, ce dernier champ varie en grandeur et orientation d'un site à l'autre du cristal, car un spin donné a une probabilité non nulle d'être orienté soit parallè- lement, soit antiparallèlement au champ magnétique. Il en résulte une répartition des fréquences de réso- nance des différents spins ou, si l'on préfère, un élargis- sement de la raie de résonance en réseau rigide qui a une forme assez caractéristique, présentant une certaine ressemblance avec une gaussienne en ce que les ailes de la raie sont très peu intenses.

Si l'on observe la résonance dans un liquide ou lorsque les spins sont en mouvement les uns par rapport aux autres, le champ magnétique dipolaire vu par un spin particulier est moyenné par le mouvement de ses voisins. Il en résulte une raie de résonance affinée par rapport à la largeur observée en réseau rigide. Ce rétrécissement par le mouvement n'est pas particulier à la résonance magnétique et se rencontre également en optique : il est analogue à l'effet Dicke ou réduction de la largeur Doppler du rayonnement


d'un atome par ses collisions (faibles) avec les molécules d'un gaz tampon ; ce rétrécissement est d'autant plus sensible que le mouvement est plus rapide. Par ailleurs, une raie rétrkcie par le mouvement a une forme lorentzienne très différente de la forme d'une raie de résonance en réseau rigide.

On considère généralement en résonance magnéti- que le temps de relaxation spin-spin T, qui est le temps de réponse du système de spins en ce qui concerne la composante de l'aimantation perpendiculaire au champ appliqué et tournant à la fréquence de Larmor. On démontre que T, est l'inverse de la largeur de raie.

Si l'on étudie donc la relaxation spin-spin dans 3He solide en fonction de la température, on constate dans une large plage de volumes molaires qu'elle est exponentielle (raie lorentzienne) et correspond à une largeur nettement inférieure à la largeur dipolaire (de l'ordre de Dlh). Ceci est illustré par la figure 3 qui donne T2 en fonction de T dans la phase hc pour différents volumes molaires ; la phase cubique centrée a un comportement analogue. On observe sur cette figure deux régions de température.

FIG. 3. - T2 en fonction de la température inverse, pour quatre volumes molaires différents dans la phase hexagonale compacte [20]. Les pentes des courbes dans la région où Tz dépend de la température donnent les énergies d'activation kTe de la diffusion atomique ; pour les volumes molaires A, B, C et D,

To vaut respectivement 15, 26, 42 et 53 OK.

a) A « haute température », T, se raccourcit lorsque la température s'abaisse suivant une loi en exp(- TOIT), avec une énergie d'activation kT,, augmentant rapidement lorsque le volume molaire diminue. Dans la phase cubique centrée kT0 est très proche de l'énergie k q des anomalies Schottky men- tionnées plus haut [21] (*). On observe vraisemblable- ment une diffusion atomique par déplacement de

(*) Dans cette région, la largeur de raie est 1/Tz N 0 2 ic où -zcl est la fréquence de saut d'un atome 3He à un site voisin ; zc varie donc comme exp(To/T).

lacunes, mécanisme faisant intervenir une énergie d'activation

lcTo = k q + el,,

e, étant l'énergie de déplacement d'une lacune ; e, serait dans l'3He cc très faible, inférieure à l'impré- cision sur T, ou q~ qui sont comparables.

Dans la phase hexagonale compacte l'énergie d'activation déterminée par résonance magnétique est supérieure à 15 OK ; l'énergie de formation des lacunes correspondantes est probablement trop élevée pour apporter à la chaleur spécifique une contribution telle que l'anomalie Schottky (3) détectable.

Disons tout de suite que cette diffusion atomique peut être étudiée non seulement par la largeur de raie mais aussi par la relaxation spin-réseau dont nous parlons plus loin.

b) A température plus basse, T, garde une valeur constante (toujours grande par rapport à hlD). Le mécanisme du rétrécissement a maintenant son origine dans l'hamiltonien d'échange (14) dont la partie JEip-Jop induit des transitions entre des états + - et - + de deux spins voisins, dont la fréquence est de l'ordre de J et dont on se convainc aisément qu'elles assurent une propagation spatiale de la polarisation < Izi >. Pour le rétrécissement par le mouvemen~ de la raie de résonance il n'importe pas que le mouvement soit effectivement un transport d'atomes ou uniquement une propagation de la polarisation des spins. 11 s'agit d'un rétrécissement par échange [22] [23] dont la théorie est assez simple.

L'hamiltonien de spin du système hX s'écrit :

Comme on le fait généralement dans ce genre de problème on définit une nouvelle représentation par la transformation unitaire

En traitant X, comme une perturbation, on trouve facilement l'équation d'évolution de la matrice densité dans cette représentation :

do* -- = - i[X*(t), a(0)] - d t

On calcule T2 en utilisant l'équation (17) pour étudier l'évolution de la composante transversale de l'aimantation. Nous ne donnerons ici le résultat que dans le cas des champs magnétiques élevés (approximation adiabatique) et d'un échantillon polycristallin :


où la fonction de corrélation G,(z) est donnée par :

Tout le problème consiste à calculer cette fonction de corrélation. Il est assez facile d'étudier son comportement pour des temps z petits et on peut deviner son comportement lorsque z est long. On peut également étudier expérimentalement sa forme analytique [23], [50]. Toujours est-il que connaissant la fonction G,(T) on peut l'intégrer et en déduire une relation entre la largeur de raie observée (1/T2) et l'échange J que l'on cherche :

C est un coefficient numérique qui dépend de la structure cristalline ; dans la phase hc où la fonction G,(z) est gaussienne, on a C = 1'26. Tout ceci résulte d'un calcul de perturbation par rapport à l'interaction dipolaire (15) ; l'équation (20) ne s'applique donc que lorsque le facteur de rétrécissement par échange (013) est petit ou lorsque J/h est supérieur à une dizaine de kilohertz. Les points noirs de la figure 4 rassemblent diverses déterminations de J [20] [21] 1241 déduites de mesures de largeur de raie. Nous voyons que ces mesures sont en bon accord avec les résultats des méthodes statiques [25], qu'elles complètent vers les petits volumes molaires.

2. RELAXATION SPIN-RÉSEAU. - La résonance four- nit encore d'autres moyens de mettre en évidence des interactions d'échange. L'un deux est l'étude du temps de relaxation spin-réseau, qui concerne la dynamique de l'établissement de l'aimantation lorsqu'on place l'échantillon dans un champ magnétique ou lorsqu'on fait varier la température de l'échantillon et qui met en jeu l'énergie que les phonons doivent fournir ou absorber pour que l'aimantation atteigne sa valeur d'équilibre. On peut décrire ce phénomène comme résultant du transfert d'énergie entre plusieurs réser- voirs et comme l'illustre la figure 5. Il est assez naturel de considérer séparément l'énergie contenue dans les phonons qui met en jeu les degrés de liberté du réseau et l'énergie Zeeman qui dépend des variables de spin, et d'attribuer à ces deux systèmes des températures qui, hors d'équilibre, peuvent être différentes. Le fait qu'on puisse décrire l'énergie d'échange par un troi- sième réservoir tient d'abord à ce que l'hamiltonien d'échange commute avec l'hamiltonieii Zeeman et ensuite à ce que le réservoir d'échange est toujours à une température très supérieure à la température d'alignement T,,. On néglige ici l'énergie contenue

FIG. 4. -L'interaction d'échange entre premiers voisins en fonction du volume molaire. Avec les notations utilisées dans le texte la quantité portée en ordonnée est (2 Jlh). Les points noirs sont obtenus à partir de la largeur de raie rétrécie par échange 1201 1211 1241 ; les croix sont obtenues à partir de l'étude de la relaxation Zeeman-échange 1241. Les points entou- rés de cercles sont obtenus à partir des mesures de pression par jauge de contrainte 1251. La courbe résulte des calculs théoriques faits par J. H. Hetherington, W. J. Mullin et L. H. Nosanow,

P b s . Rev., 1967, 154, 175.

Oi'

0,Ol

FIG. 5. - Représentation schématique de la relaxation spin- réseau.

- i x

I

?- X

- - Phase C[ - (cubique centrée )

-

I- - - - - - -

1 I I l I I 1 1 17 18 19 20 21 2 2 23 24

Volume molaire V ( c d )


dans les interactions dipolaires car on se limite pour le moment à des volumes molaires où ces dernières sont faibles par rapport aux interactions d'échange.

Le transfert d'énergie entre les systèmes Zeeman et échange sous l'action des interactions dipolaires est caractérisé par un temps de relaxation Zeeman- échange T,,, qui pour un échantillon donné dépend uniquement du champ magnétique et qui peut être calculé assez précisément ; le calcul théorique est en fait assez analogue à celui de la largeur de raie [23]. Pour un échantillon polycristallin la même fonction de corrélation intervient ; la cadence de relaxation (l/Tz,) est la somme de deux densités spectrales :

& = f J o G,(z) exp(- ioz) dz + m

+ 8 5 GJr) exp(- 2 ioz) dr . 3 O

On peut par conséquent déduire l'interaction d'échange de la connaissance de T,,. Or ce temps de relaxation Zeeman-échange peut se mesurer expéri- mentalement. En effet, à une température assez basse pour qu'il n'y ait plus de mouvement de diffusion atomique au sein du solide, il n'y a plus de relaxation spin-réseau directe, autrement dit tout transfert d'énergie Zeeman vers le réseau se fait par l'intermé- diaire du réservoir d'énergie d'échange. Ce dernier relaxe efficacement par suite de la courte portée des interactions d'échange, qui décroissent très vite avec la distance, étant pratiquement limitées aux premiers voisins ; il en résulte que leur modulation par les vibra- tions atomiques permet d'assurer le transfert d'énergie entre système échange et réseau et qu'il existe une zone de température où la relaxation spin-réseau est déterminée par la relaxation Zeeman-échange.

On déduit du temps de relaxation Zeeman-échange des valeurs de J [24] qui sont représentées par des croix sur la figure (4) et sont en bon accord avec les déterminations déduites des largeurs de raie.

3. DIFFUSION DE SPIN. - NOUS revenons maintenant à la propagation de la polarisation sous l'influence des &--op induits par les interactions d'échange. L'étude théorique de cette propagation est un problème complexe [26] ; on admet généralement qu'elle obéit, pour T % T,,, à une équation de diffusion pour l'aimantation M, :

On peut évaluer le coefficient de diffusion de spin D de la manière suivante [27]. Plaçons l'échantillon assez longtemps dans un champ magnétique inhomo- gène Hz ayant une variation spatiale sinusoïdale de longueur d'onde grande par rapport à la distance interatomique :

1 Hz = Ho + H' sin q x avec q < - .

a

L'aimantation acquise x0 Hz = xo Ho + xo HI sin qx présente la même variation spatiale. Si à l'instant zéro on supprime la composante inhomogène du champ magnétique, la composante sinusoïdale Mz(x) de l'aimantation va décroître et on pourra écrire :

Mz(x) = xo H' sin qxC(q, t) .

Si l'équation de diffusion (22) était satisfaite quels que soient q et t la fonction C(q, t) serait une exponentielle exp(- ~q~ t ) . On peut toutefois essayer de calculer directement cette fonction.

A l'instant zéro la matrice densité peut s'écrire :

et à un instant t ultérieur la matrice densité sera :

On peut alors calculer la polarisation :

et en déduire la fonction C(q, t). Comme D < J il est physiquement évident que les interactions dipolaires ne jouent aucun rôle dans la diffusion de spin. On en déduit pour un réseau de Bravais, ce qui est le cas du réseau cubique centré auquel on se limite maintenant :

L'expression (23) de la fonction C(q, t) est une quan- tité déjà rencontrée en physique : C(q, t) est propor- tionnel à la transformée de Fourier de la section effi- cace de diffusion magnétique des neutrons par un réseau d'ions paramagnétiques couplés par un hamiltonien hXex [28], pour T % T,,, quantité bien connue. Formellement le problème de la diffusion de spin n'est donc pas nouveau. Manifestement la dérivée

est nulle pour t -t O ; pour des temps très courts C(q, t) n'est pas une exponentielle et l'équation de diffusion (22) n'est donc pas valable. Mais pour t > J - l et pour des petits vecteurs d'onde (diffusion aux petits angles), C(q, t) est de la forme exp(- Dq2 t). Il est assez simple de calculer D par une méthode de moments en considérant [27] que la transformée de Fourier A(q, o ) de C[q, t) est une lorentzienne de largeur (Dg2)-' modulée par une gaussienne qui diminue l'intensité des ailes de la lorentzienne pour o 2 J. On trouve ainsi [27] un coefficient de diffusion D = 0,656 (Jlh) a2, un résultat très voisin de celui de Borckmans et Walgraef [26] qui trouvent un coefficient numérique égal à 0,59 en utilisant les

C 3 - 6 4 A. LANC

méthodes de Résibois et De Leener pour le calcul des processus irréversibles.

Ce qui précède n'est pas purement académique parce que la résonance magnétique permet de mesurer D par une technique d'échos de spin dans un champ magnétique inhomogène [29]. La figure (6) montre des résultats d'expériences faites à Duke University [30] qui confirment la proportionnalité de D à Ja2/h avec un coefficient numérique (0'7 f 0,06) assez voisin des coefficients théoriques.

J/2rin (MHz)

THIS EXPERIMENT

x REICH

0 1 2 3 4 5 6 " 7 8 (J4 -rr) O' (!o-'cm2 S.-")

FIG. 6. - Le coefficient de diffusion de spin dans la phase cubique centrée de 3He mesuré par échos de spin pour diffé- rents volumes molaires 1301. Avec les notations utilisées dans le texte les quantités portées en abscisses sont (2 Jlh) pour l'échelle supérieure du dessin et (2 JaZ/h) pour l'échelle inférieure. Les points noirs sont tirés de la référence 30 et les croix sont tirées

de la référence 21.

Ce coefficient de diffusion D est indépendant de la température, lorsqu'on est largement au-dessus de la température d'alignement T,,. Comme on peut s'y attendre, au voisinage de T,, un ordre à courte distance apparaît et le coefficient de diffusion D diminue [31] : à T = 2,l x OK, D est tombé à environ un tiers de sa valeur de haute température.

4. INFLUENCE DES IMPURETÉS D'HÉLIUM QUATRE. - Beaucoup d'expériences 1321 [33] [34] 1351 [36] [37] ont mis en évidence l'influence des impuretés de 4He sur les propriétés de relaxation nucléaire dans l'hélium trois. Cette influence est liée à la possibilité de déter- miner, en étudiant la relaxation spin-réseau, le rapport R des capacités calorifiques Ce, et C, des sys- tèmes échange et Zeeman dans le schéma de la figure (5) lorsque T % T,, ; Richardson évoque cette question dans son article. Dans l'hélium trois solide pur on trouve un rapport de capacités calorifiques indépen- dant de la température et très proche de la valeur R, = 12(J/tiw)2 qu'on prévoit à partir de l'échange J précédemment déterminé (Fig. 4). En présence d'une faible concentration x en 4He ( x < 1 %), ce rapport de capacités calorifiques croît de manière linéaire en

x , comme l'illustre pour la phase cubique centrée la figure (7), sans que la largeur de la raie affinée par échange s'en trouve sensiblement affectée. Le problème est de trouver l'origine de cette contribution en T - 2 à la capacité calorifique liée à la présence d'impuretés 4He.

FIG. 7. - Le rapport R des capacités calorifiques (échelle de gauche) et le temps de relaxation transversal Tz (échelle de droite) en fonction de la concentration en 4He de l'échantillon de 3He solide cubique centré. Les six points portés dans la partie inférieure de la figure sont les résultats des mesures de T2.

Cette figure est extraite de la référence 1351.

a) La première explication [35] suppose chaque atome 4He entouré d'une zone où le cristal 3He est déformé, la déformation modifiant le recouvrement des fonctions d'onde des atomes 3He de façon telle que l'échange s'en trouve augmenté par rapport à ce qu'il est dans le cristal parfait. Pour le cas illustré par la figure (7), l'augmentation serait d'environ 7. Notons que I'interprétation des expériences de conductibilité thermique dans l'hélium solide contenant des impuretés isotopiques conduit également à supposer une certaine déformation du cristal autour de l'impureté [38].

b) Une seconde interprétation [39] est basée sur la remarque qu'une impureté substitutionnelle 4He dans 3He, par suite de l'amplitude des mouvements de point zéro, a une certaine probabilité par unité de temps J' de s'échanger par effet tunnel avec un de ses voisins 3He [12]. Plutôt que de décrire cette impureté comme un défaut localisé, on construit alors des états caractérisés par des vecteurs d'onde et qui vont former une bande dont la largeur sera de l'ordre de hJ'. Ces états sont appelés impuritons par Andreev et Lifshitz [12] qui montrent qu'à basse température les collisions de ces impuritons avec les phonons sont assez rares pour que le temps de vie d'un impuri- ton soit effectivement supérieur à l / J 1 . Ces impuritons sont des bosons mais leur masse effective de l'ordre de h/(J1 a2) étant très grande et leur densité faible, ils ne sont pas dégénérés aux températures usuelles et apportent à la chaleur spécifique une contribution C4 en x ( t i ~ ' j k T ) ~ . La bande d'impuritons est fortement couplée à l'échange entre atomes 3He car un atome 4He qui change de site modifie l'arrangement des atomes


3He qui interagissent par interaction d'échange. Le temps de relaxation entre l'énergie d'échange et I'energie des impuritons est de l'ordre de Y-', ce qui est assez court et explique que 1'011 observe expé- rimentalement la somme des deux énergies :

Si l'on interprète ainsi les résultats de la figure 7 [37] on trouve une fréquence tunnel J f / 2 .n = 0,47 MHz pour V = 20,06 cm3. Il est probablement possible et il serait intéressant de calculer théoriquement la fréquence tunnel J' comme l'on calcule l'interaction d'échange J.

Quelle que soit l'explication adoptée, on peut montrer simplement [35] [37] que la largeur de raie, c'est-à-dire T,, est beaucoup moins sensible aux impu- retés d'hélium quatre que la capacité calorifique. Grosso modo on peut expliquer cela en disant que la propagation de l'aimantation sur des distances égales à plusieurs distances interatomiques n'est pas perturbée par des défauts ponctuels, qu'ils soient eux-mêmes localisés ou mobiles.

Il n'est pas possible pour le moment de trancher expérimentalement entre le modèle de l'échange augmenté et le modèle des impuritons. Il est toutefois malaisé de justifier théoriquement l'augmentation éventuelle de l'échange au voisinage des impuretés 4 ~ e [40] [41] [51].

IV. Conclusion. - Nous avons évoqué quelques aspects particuliers de l'hélium solide et passé en revue les problèmes de la résonance magnétique dans l'hélium solide.

Le problème des impuritons abordé en dernier sera probablement approfondi dans un proche avenir. Il est évidemment symétrique en ce sens qu'on peut également introduire une bande d'excitations pour

des impuretés 3He dans ,He, problème également étudié par résonance magnétique [42].

Nous avons laissé beaucoup de problèmes de côté, en particulier les mesures de conductibilité thermique et les expériences de second son faites dans l'hélium solide [43] qui ont permis de mesurer plus soigneuse- ment que cela n'avait jamais été fait les temps de relaxation des phonons dans les processus nor- maux [44]. Une raison pour ne pas en parler ici est que ce n'est pas un effet quantique comme en témoigne le fait que le second son a été récemment mis en évidence dans des cristaux très purs de fluorure de sodium [45].

Gamota explique dans son exposé que dans l'hé- lium liquide on peut injecter des ions négatifs formés par des électrons piégés dans des bulles de grand rayon (10 à 20 A) dont la stabilité est assurée par un équilibre entre l'énergie cinétique de l'électron à l'intérieur de la bulle. l'énergie libre de tension super- ficielle et l'énergie de compression du liquide entourant la bulle. On s'attend à des ions négatifs de même nature physique dans le solide [46], avec des bulles un peu plus petites (rayon inférieur à 9 A) et, pour des pressions inférieures à quelques milliers d'atmosphères. La seule mise en évidence expérimentale des bulles, dans le solide est constituée par des mesures de cou- rants de porteurs de charge créés par irradia- tionfi [47] ; elle est assez indirecte. On peut s'attendre dans un proche avenir à des expériences intéressantes confirmant l'existence de bulles dans le solide. Avec les impuritons, ce sera probablement l'un des déve- loppements les plus intéressants des recherches dans l'hélium solide.

L'auteur de cet exposé a bénéficié de nombreuses discussions avec Messieurs J . Winter, M . Bernier, F. Williams et M. Goldman auxquels il est heureux d'exprimer sa reconnaissance.

Bibliographie

[l] PANDORF (R. C.) et EDWARDS (D. O.), Phys. Rev., 1968, 169, 222.

[2] STRATY (G. C.) et ADAMS (E. D.), Phys. Rev. Letters, 1966, 17, 290.

[3] WALKER (E. J.) et FAIRBANK (H. A.), Phys. Rev. Lettevs, 1960, 5, 139.

[4] LIPSCHULTZ (F. P.) et LEE (D. M.), Phys. Rev. Letters, 1965,14, 1017.

[5] EDWARDS (D. O.), MC WILLIAMS (A. S.) et DAUNT (J. G.), Phys. Lettevs, 1962, 1, 218.

[6] HELTEMES (E. C.) et SWENSON (C. A.), Phys. Rev., 1962, 128, 1512.

[7] SAMPLE (H. H.) et SWENSON (C. A.), Phys Rev., 1967, 158, 188.

[8] STRATY (G. C.) et ADAMS (E. D.), Phys. Rev., 1968, 169, 232.

[9] DE WETTE (F. W.), Phys. Rev., 1963, 129, 1160. [IO] HETHERINGTON (J. H.), Phys. Rev., 1968, 176, 231. [Il] DE WETTE (F. W.) et WERTHAMER (N. R.), Phys. Rev.,

1969, 184, 209.

[12] ANDREEV (A. F.) et LIFSHITZ (1. M.), Soviet Phys. JETP, 1969,56, 2057 ; trad. angl., 1969, 29, 1107.

1131 THOULESS (D. J.), Proc. Phys. Soc., 1965, 86, 893. [14] SCRIBNER (R. A.), PANCZYK (M. F.) et ADAMS (E. D.),

J. Low Temp. Phys., 1969, 1, 313. [15] MULLIN (W. J.), Phys. Rev., 1964, 136, A 1126. [16] GUYER (R. A.), Solid State Physics, 1969, 23, 413,

Academie Press, New York. [17] VAN VLECK (J. H.), Phys. Rev., 1937, 52, 1178. [18] TESSMAN (J. R.), Phys. Rev., 1954, 96, 1192. 1191 PEARSON (J. J.), Phys. Rev., 1961, 121, 695. [20] GARWIN (R. L.) et LANDESMAN (A.), Phys. Rev.,

1964, 133, A 1503. [21] REICH (H. A.), Phys. Rev., 1963, 129, 630. [22] ANDERSON (P. W.) et WEISS (P. R.), Rev. Mod. Phys.,

1953, 25, 269. 1231 RICHARDSON (R. C.), LANDESMAN (A.), HUNT (E.) et

MEYER (H.), Phys. Rev., 1966, 146,244. [24] RICHARDSON (R. C.), HUNT (E.) et MEYER (H.), Phys.

Rev., 1965, 138, A 1326.


1251 PANCZYK (M. F.) et ADAMS (E. D.), Phys. Rev., 1969, 187, 321 ; 1970, 1 A, 1356.

[26] BORCKMANS (P.) et WALGRAEF (D.), (( Proceedings of the XVth Colloque Ampère)), p. 418, North Holland, 1969 et communication privée.

[27] RED~ELD (A. G.) et Yu (W. N.), Phys. Rev., 1968, 169,443 ; Phys. Rev., 1969, 177, 1018.

1281 DE GENNES (P. G.), J. Phys. Chem. Solids, 1958, 4, 223.

ABRAGAM (A.), « Les Principes du Magnétisme Nuclé- aire », Chap. III, Presses Universitaires de France, 1961.

THOMPSON (J. R.), HUNT (E. R.) et MEYER (H.), Phys. Letters, 1967, 25 A, 313.

JOHNSON (R. T.), SYMKO (O. G.) et WHEATLEY (J. C.), Phys. Rev. Letters, 1969, 23, 1017 ; J. Low Ternp. Phys., 1970, 2,423.

GARWIN (R. L.) et REICH (H. A.), Phys. Rev. Letters, 1964, 12, 354.

RICHARDS (M. G.), HATTON (J.) et GIFFARD (R. P.), Phys. Rev., 1965, 139, A 91.

GIFFARD (R. P.) et HATTON (J.), Phys. Rev. Letters, 1967, 18, 1106.

BERNIER (M.) et LANDESMAN (A.), Solid State Comm., 1969,7, 529.

YU (W. N.) et REICH (H. A.), Solid State Comm., 1969, 7, 1521.

BERNIER (M.), J. LOW Temp. Phys., 1970, 3.

[38] AGRAWAL (B. K.), Phys. Rev., 1967, 162, 731. [39] GUYER (R. A.) et ZANE (L. I.), Phys. Rev. Letters,

1970, 24, 660. [40] VARMA (C. M.), Phys. Rev. Letters, 1969,23, 778. [41] GLYDE (H. R.), Phys. Rev., 1970, 1 A, 296. [42] MIYOSHI (D. S.), COTTS (R. M.), GREENBERG (A. S.)

et RICHARDSON (R. C.), Phys. Rev., 1970. [43] ACKERMAN (C. C.) et OVERTON, Jr (W. C.), Phys.

Rev. Letters, 1969, 22, 764. [44] ACKERMAN (C. C.) et GUYER (R. A.), Ann. Phys.

(N. Y.), 1968, 50, 128. [45] Mc NELLY (T. F.), ROGERS (S. J.), CHANNIN (D. J.),

ROLLEFSON (R. J.), GOUBAU (W. M.), SCHMIDT (G. E.), KRUMHANSL (J. A.) et POHL (R. O.), Phys. Rev. Letters, 1970, 24, 100.

[46] COHEN (M. H.) et JORTNER (J.), Phys. Rev., 1969,180, 238.

[47] IFFT (B.), MEZHOV-DEGLIN (L.) et SHAL'NIKOV (A.), (( Proceedings of the Tenth International Confe- rence on Low Temperature Physics D, 1, p. 224, Moscou, 1966.

[48] STRAUSS (S. A.), Solid State Comm., 1970, 8, 1325. [49] JOHNSON (R. T.), LOUNASMAA (O. V.), ROSENBAUM

(R.), SYMKO (O. G.) et WHEATLEV (J. C.), J. Law. Temp. Phys., 1970, 2, 403.

[50] RICHARDS (M. G.), Advances in magnetic Resonance, 5, Academic Press, New York.

[51] HENRIKSEN (P. N.), PANCZYK (M. F.) et ADAMS (E. D.), Solid State Comm., 1970, 8, 735.

ii. - propriÉtÉs de l'hÉlium solidehÉlium solide

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