Research Collection

Doctoral Thesis

Sur les sous-groupes fermés connexes d'un groupe de Lie clos

Author(s): Siebenthal, Jean <<de>>

Publication Date: 1951

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000092445

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ETH Library

Prom.-Nr. 1009

SUR LES

SOUS-GROUPES FERMES CONNEXES

D'UN GROUPE DE LIE CLOS

THÈSE

PRÉSENTÉE A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE, ZURICH

POUR L'OBTENTION DU GRADE DE

DOCTELR ES SCIENCES MATHÉMATIQUES

PAR

JEAN DE SIEBENTHAL

DE SAANEN (BERNE)

RAPPORTEUR: PROF. DR E. STIEEEL

CORAPPORTEUR: PROF. DR H. HOPF

19 5 1

ORELL FÛSSLI ARTS GRAPHIQUES S.A.

ZURICH

Extrait des

Commentarii Mathematiei Helvetici

Vol. XXV, Fasc. 3

Curriculum vitae

Je suis né à Lausanne le 26 juin 1917, et y ai suivi les

écoles primaires et secondaires jusqu'en 1938 ; immatriculé

alors à la Faculté des Sciences de l'Université de Lausanne,

j'obtiens en 1942 la licence des sciences mathématiques. De

1943 à 1944, je suis assistant pour le calcul différentiel et

intégral auprès de Mr. le prof. Ch. Blanc ; ensuite, de 1944 à

1946, j'étudie à la Section de mathématiques et de physique

de l'Ecole Polytechnique Fédérale à Zurich, en fonctionnant

pendant une année comme assistant du Séminaire de mathé¬

matiques auprès de Mrs. les prof. H. Hopf et M. Plancherel.

En 1946, je suis nommé au Cours de mathématiques spéciales

de l'Ecole Polytechnique de l'Université de Lausanne.

Qu'il me soit permis d'exprimer ici mes sentiments de vive

gratitude à Mr. E. Stiefel dont les directives et les travaux

sur la théorie de Lie ont facilité l'élaboration de ce mémoire.

Je désire encore apporter à Mr. H. Hopf le témoignage de ma

reconnaissance respectueuse pour sa bienveillance et ses con¬

seils éclairés.

Lausanne, septembre 1950.

J. de Siebenthal.

Sur les sous-groupes fermés connexes

d'un groupe de Lie clos

Par Jean De Siebenthal, Lausanne

Introduction

1. L'étude d'un groupe G ne peut s'achever si l'on n'en connaît pas

les sous-groupes. Lorsque G est un groupe de Lie, on peut se proposer de

rechercher tous les sous-groupes continus connexes de ce groupe ; en se

plaçant au point de vue local, S. Lie a montré qu'on peut se ramener à

un problème purement algébrique, théoriquement résoluble dès qu'onconnaît les constantes de structure de G1). De façon plus précise, si

Xj, X2, ..., X„ est une base de l'anneau R (G) du groupe G, avec lan

loi de composition [X(, X}] = Z ctjk Xk, on peut trouver tous les sous-

fc=i

groupes connexes de G qui sont des groupes de Lie au sens local en

déterminant tous les sous-anneaux de R(G), c'est-à-dire tous les sous-

espaces R de R (G) tels que X, Y e R entraînent [X, Y] e R. Ainsi

posé, le problème n'est pas facile à aborder.

Deux simplifications s'imposent d'emblée : d'abord, il suffit de chercher

un sous-groupe dans chaque classe de sous-groupes conjugués ; ensuite,on peut se borner à la recherche des plus grands sous-groupes de G,cette expression désignant ici les sous-groupes propres connexes qui ne

sont pas contenus dans un autre sous-groupe propre connexe de G.

2. Le problème envisagé est le suivant

(a) Déterminer les sous-groupes fermés connexes d'un groupe de Lie clos

(ou compact).

Tout sous-groupe continu d'un groupe de Lie étant un groupe de Lie2),on peut appliquer la méthode algébrique décrite ci-dessus, et déterminer

1) S. Lie, Théorie der Transformationsgruppen, t. I, p. 209 (Teubner, Leipzig1888).

2) E. Carton, La théorie des groupes finis et continus et l'analysis situs (Mém.Se. Math., t. 42, 1930, p. 22).

210

tous les sous-anneaux R de R(G). Cela fait, il reste à examiner si le

sous-groupe fermé connexe engendré par R a même dimension que R

(voir chapitre II, § 4).

Le problème algébrique basé sur les constantes de structure peut à son

tour être réduit à un problème plus simple ; en effet, le groupe clos G

supposé semi-simple est déterminé localement par ses paramètres angu¬

laires3), qui sont 2m formes linéaires ziz/u1(x), .. . , ±(im(x)> x étant

un point d'un espace euclidien R1 à l dimensions, dont la métrique est

donnée par la forme quadratique 27 [/^ (a;)]2 ; l'entier l est le rang du

groupe. La figure constituée par l'espace R1 et par les plans [it{x) = 0

(mod. 1) est le diagramme de G10) ; le diagramme Rh d'un sous-groupe

est alors un sous-diagramme du précédent. A ce point de vue, le problèmes'énonce ainsi

(b) Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un sous-

espace linéaire de R1 soit le support d'un sous-diagramme représentant un

sous-groupe fermé connexe.

Il convient de remarquer qu'un même sous-diagramme peut repré¬

senter plusieurs sous-groupes, naturellement isomorphes, dont il serait

intéressant de savoir s'ils sont conjugués. Le groupe G n'est pas distinguédes groupes clos qui lui sont localement isomorphes.On peut donner au problème (b) un aspect plus intuitif ; soit \.i,- le vec¬

teur de R1 défini par Hi(x) = — (it-x .Il existe dans l'ensemble

±i«i> rt^2> • • ) il"' vecteurs fondamentaux cplt..., <pt (çv cpt < 0)

qui déterminent le diagramme et l'anneau R(G) ; ils vérifient certaines

conditions simples énoncées par van der Waerden3). Les h vecteurs

Q!,...,Qh, fondamentaux pour le sous-groupe étudié, sont des com-

binaisons linéaires de <p l,..., <p, qui vérifient encore les conditions

citées. L'énoncé correspondant est

(c) Soient <px, $%,... ,<pv l vecteurs fondamentaux du groupe clos G ;

trouver h vecteurs Qlt. .., Qh ayant les propriétés suivantes

->- ->..,.,.

-> ->

(1) Qi, , Qh sont des combinaisons linéaires de q>1,... , <pt.

(2) q!,..., Qh forment la figure fondamentale d'un groupe clos.

3) van der Waerden, Die Klassifikation der einfachen Lieschen Gruppen

(Math. Zeitschr., t. 37, 1933, p. 448).

211

(3) Il existe dans G un sous-growpe fermé connexe admettant q1 ,..., oh

comme figure fondamentale.

3. A ma connaissance, le problème posé en (a) n'a jamais été abordé

systématiquement au sens indiqué en (b) ou (c). Cela n'empêche nulle¬

ment l'existence d'un grand nombre d'énoncés sur les sous-groupes des

groupes de Lie clos ou non ; ces énoncés ouvrent diverses voies :

Les sous-groupes commutatifs maximums d'un groupe clos G ont fait

l'objet d'études précises, par E. Cartan4) au point de vue infinitésimal,

et par H. Hopf5) au point de vue global. La notion de sous-groupe com-

mutatif maximum est d'ailleurs à la base de la représentation de G par

son diagramme.Les sous-groupes d'isotropie Gx des espaces symétriques clos ont été

étudiés de façon systématique par E. Cartan6), en partant des auto-

morphismes involutifs de G dont ces sous-groupes sont caractéristiques.Je signale encore que A. Malcev1) a déterminé les sous-groupes semi-

simples des groupes de Lie complexes, à l'aide des représentations liné¬

aires de ces groupes.

La résolution complète du problème posé en (a) permettrait par

exemple de faire une étude d'ensemble des espaces homogènes clos

GfG-L, et de savoir en particulier si la classe des espaces symétriques clos

contient la plupart des premiers ou non. Un autre problème pourraitêtre abordé : étant donné un groupe clos G et un sous-groupe fermé

connexe G^ de G, quand G-± est-il homologue à zéro dans G (au sens de la

topologie combinatoire) ? On sait d'après E. Cartan qu'un sous-groupe

simple à trois paramètres n'est jamais homologue à zéro ; il en est de

même de tout sous-groupe invariant fermé connexe.

Dans un autre ordre d'idées, je mentionne qu'on peut démontrer le

théorème suivant : il n'y a dans le diagramme D (G) d'un groupe clos G

qu'un nombre fini de sous-diagrammes D (Gj). De plus, toute chaîne de

sous-groupes G1cG2c • cG peut être représentée dans D (G) par

une chaîne D (Gj) c D (G2) c • • • c D (G) ; l'ensemble de ces chaînes est

encore fini. Il serait peut-être intéressant d'étudier ces ensembles finis,et de savoir de quelles structures on pourrait les munir.

4) E. Cartan, La géométrie des groupes simples (Annali di Mat., t. 4, 1927, p. 212

à 214).

5) H. Hopf, Ober den Rang geschlossener Liesoher Gruppen (Comment. Math.

Helv., t. 13, 1940, p. 119—143).

6) E.Cartan, Sur certaines formes riemanniennes remarquables des géo-métries à groupe fondamental simple (Ann. Ec. Norm. (3) XLIV, 1927, p. 345—467).

7) A. Maleev, Onsemi-simplesubgroupsofLiegroups (Bull. Acad. Soi. TJ. R. S. S.,

Sér. Math. 8, p. 143—174, 1944). D'après le résumé: Math. Rev., t. 6, p. 146.

212

4. Une note déjà parue indique que le problème (a) est résolu dans le

cas où le rang du sous-groupe est égal au rang du groupe8). D'ailleurs, ce

même problème est aussi résolu lorsque le rang du sous-groupe est égalà un9). Les pages qui suivent n'apportent pas la solution complète ; elles

présentent un certain nombre de résultats généraux, appliqués à un cas

particulier important.Le chapitre I pose les notions classiques relatives à un groupe clos G,

d'après E. Stiefel10) : diagramme, ensemble E(G) des paramètres angu¬

laires de G, groupe fini &(G) des automorphismes intérieurs de G quilaissent invariant un sous-groupe commutatif maximum donné ; j'intro¬duis de plus la notion de diagonale du diagramme : cp1 = <p2 = • • •

= <Pk = 0 ; q>k+i = • • • = <fi ^ 0, et la figure de Schlàfli 5 (G) qui re-

présente la figure <p1} <p2,..., cpl par l points reliés par certains traits.

Cela posé, j'associe (chapitre II) au groupe G et au sous-groupe G1 un

tableau

jQi : & ,

• • • , /5„2

Qu'- Yi> >Ynh

dans lequel gj, g2 > • • • > Qh son^ ^ paramètres angulaires fondamentaux

de G ; oclt «2,..., ocn sont les formes de E(G) qui se réduisent à gx_dansRh..

.Le tableau I est le principal objet de cette étude (§ 5, 6, 7). Dans

ce même chapitre, je montre qu'il suffit de considérer les sous-groupes de

G qui ne sont pas contenus dans un sous-groupe propre de rang maximum

de G ; ce sont les sous-groupes (H). Alors, tout a> e L'(G) est une combi¬

naison linéaire à coefficients entiers des formes du tableau I.

Les chapitres III et IV contiennent l'étude des sous-groupes remar¬

quables dont le tableau I contient l paramètres angulaires fondamen¬

taux et ceux-là seulement (sous-groupes (-H)0)- La figure de Schlàfli

5(G) doit être appliquée d'une certaine façon sur ce tableau (§ 9, 10, 11).La discussion fournit les résultats suivants : si le rang h de G1 est au

moins égal à 2, les seuls sous-groupes (H)0 des groupes clos simples sont

les sous-groupes caractéristiques d'automorphismes involutifs externes11),

8) A. Borel et J. de Siébenthal, C. R. Aead. Se, t. 226, p. 1662—1664; voir aussi: Com¬

ment. Math. Helv., t. 23, 1949, p. 200—221.

8) J. de Siébenthal, C. R. Acad. Se, t. 230, 1950, p. 910—912.

10) E. Stiefel, Comment. Math. Helv., t. 14, 1942, p. 350—380.

n) E. Cartan, cf. note 6.

213

à trois exceptions près: G2(B3, G2cA6, 6?2 c jD412). Les inclusions

C4 c -B6 et Dh c ^42A_i ne rentrent pas dans le cas étudié.

Le cas où le rang du sous-groupe (H)0 est égal à un est très différent :

tout groupe clos G non abélien contient un sous-groupe (H)0 de rang un,

dit sous-groupe principal. Ce sous-groupe admet une définition indépen¬dante du diagramme : un sous-groupe (H) de rang un est dit principals'il contient un élément régulier dans G. Lorsque G est de l'un des types

Bv (l > 3), Gt (l>2), Ft, 2?,, E8, le sous-groupe principal est toujoursmaximum.

CHAPITKE I

Groupes clos

§ 1. Diagramme d'un groupe clos

1. Toroïdes maximums. Soit Oun groupe de Lie clos connexe ; du pointde vue topologique, G est un espace de Hausdorfï bicompact13), ou compact

au sehs de N. Bourbaki. Pour étudier G, il convient de mettre en évi¬

dence les sous-groupes commutatifs maximums de G, ou toroïdes maxi¬

mums T de G ; ils sont tous connexes et ont la même dimension (chaqueT est un produit direct de l cercles) ; l'entier l est le rang du groupe G.

On a les propriétés suivantes14) :

(a) Etant donné un élément a eG, il existe un toroïde maximum T quicontient a.

(b) Etant donnés deux toroïdes maximums T et T', il existe un élément

beG tel que bTb~x = T' (E.Cartan).

(c) Si a est un élément de G échangeable avec tous les éléments d'un

toroide maximum T de G, a appartient à T.

2. Groupe fini 0(G). Le normalisateur N(T) du toroïde maximum

T est un sous-groupe de G constitué par un nombre fini de composantes

connexes ; l'une d'elles est précisément T, qui est un sous-groupe inva¬

riant de N(T). Soit a un élément de N(T); l'automorphisme intérieur

x ->axa"1, x eG induit une transformation de T sur lui-même ; toutes

ces transformations forment un groupe fini 0{G) isomorphe au groupe

quotient N(T)/T. A chaque groupe clos G est ainsi associé un groupe

fini 0 (G) de transformations du toroïde T.

12) Ces inclusions sont bien connues.

13) voir note 2 de l'introduction; cf. No. 9.

14) voir note 5 de l'introduction et H. Hopf et H. Samelson (Comment. Math. Hclv., t. 13,

No 4, Hilfssatz 4).

214

3. Eléments réguliers et singuliers. Un élément x de G est dit réguliers'il n'appartient qu'à un seul toroïde maximum T ; x est singulier s'il

appartient à plus d'un toroïde maximum. La dimension du normalisa-

teur de x est égale au rang l si x est régulier ; cette dimension est supé¬rieure à l si x est singulier.

4. Propriétés des éléments singuliers d'un toroïde maximum. Voici ces

propriétés d'après H. Hopf15) :

L'ensemble des éléments singuliers du toroïde maximum T est constitué

par la réunion des éléments de m sous-groupes fermés V1, U2,. .., Um ;

chacun d'eux est à l — 1 dimensions, et est formé de deux composantesconnexes au plus. Si i =£?', la dimension de l'intersection Utrs U}est égale à 1 — 2.

Le groupe fini 0 transforme l'ensemble des sous-groupes Ut en lui-

même ; il est engendré par m involutions 8X, S2,... , Sm ; l'involution Sflaisse invariant chaque point de U{ ; dans un système de coordonnées

orthogonales canoniques définies au voisinage de l'élément neutre, 8{ est

représentée dans T par la symétrie par rapport au (l — l)-plan V.

L'intersection des sous-groupes U1, U2,..., Um est le centre de G

(discret si G est semi-simple).

5. Diagramme et paramètres angulaires.

(a) G semi-simple. Au groupe semi-simple G sont associés un espace

vectoriel réel Rl et un ensemble Z(G) de 2m formes linéaires ±#i(»0,...,m

±fîm(x), x e Rl : les paramètres angulaires de G ; la somme £, \&i(x)']i

définit dans Rl une métrique euclidienne. Les (l — l)-plans ê^x) = 0

(mod 1) (dits singuliers) constituent le diagramme de Gie), et le groupe

engendré par les symétries par rapport à ces plans est un groupe spatialr dont chaque opération conserve le diagramme.

Rl peut être considéré comme le recouvrement universel du toroïde

maximum T = T1. Les plans singuliers #, = 0 (mod 1) recouvrent

alors le sous-groupe singulier TJt, et le groupe JT correspond au groupe 0.

On peut choisir dans Rl un point 0 origine appartenant au recouvrement

de l'élément neutre de G, les paramètres angulaires s'annulant tous en 0.

lb) H. Hopf, Maximale Toroïde und singulâre Elemente in geschlossenenLieschen Gruppen (Comment. Math. Helv., t. 15, 1942, p. 69).

16 ) La notion de diagramme a été mise en évidence, à l'aide de méthodes globales, par

E. Siiefel; voir: tTber eine Beziehung zwisehen geschlossenen Lieschen Grup¬

pen. . . (Comment. Math. Helv., t. 14, 1942, p. 350—380).

215

Les plans singuliers issus de 0 forment un ensemble qui est conservé par

les symétries par rapport à l'un quelconque d'entre-eux ; le groupe

engendré par ces symétries est d'ailleurs isomorphe au groupe fini 0(G)considéré au numéro précédent. Les plans en question déterminent un

certain nombre de régions permutées transitivement par le groupe 0 ;

chacune d'elles est limitée exactement par l faces à l — 1 dimensions17),et peut être désignée par le terme d'angle polyèdre fondamental du dia¬

gramme ; il existe l paramètres angulaires q>1,q>i,...,(pl de G tels que la

région considérée soit définie par les inégalités <p1>0,...,q>l>0;

q>1} <p2,..., 95j sont alors l paramètres angulaires fondamentaux de G,et forment une suite dite fondamentale. Il est aisé de voir que tout para¬

mètre angulaire de G appartient à au moins une suite fondamentale. La

différence de deux éléments d'une telle suite ne peut être un paramètre

angulaire, sinon ce dernier s'annulerait en un point intérieur à la région

<p1>0,...,<pl>0, contrairement à l'hypothèse faite sur celle-ci. Tout

élément de E(G) est une combinaison linéaire à coefficients entiers nuls

ou de même signe des éléments d'une même suite fondamentale.

(b) G non semi-simple. G est alors localement isomorphe au produitdirect Gx d'un groupe semi-simple G[ et d'un groupe commutatif clos ZL.Si v désigne l'application de recouvrement : G = vGlt le toroïde Z = vZ1

appartient à T, et G' = vG[ est la composante semi-simple de G. Le

diagramme de 6? est la somme directe du diagramme de G' et d'un espace

linéaire de dimension d(Z) égale à celle de Z. Les paramètres angulairesde G sont ceux de sa composante semi-simple G1.

6. Vecteurs du diagramme. & étant un paramètre angulaire, il existe

-> ->^

un vecteur •& de Rl tel que l'on ait ê(x) = — ê- x. Les 2m vecteurs

ainsi construits forment le système des vecteurs du diagramme de G ;

ils jouissent de propriétés énoncées par van der Waerden18) :

-» ->

(a) Soit ê un vecteur du diagramme ; kê est un vecteur du diagramme

pour k = 1 et k = — 1 seulement.-> ->

(b) Soient & et #' deux vecteurs du diagramme ; le nombre 2

est entier. #2

-> -> -> ->

(c) Soient &, &' deux vecteurs du diagramme ; § — M' est encore

17) E. Cartan, Complément au mémoire: Sur la géométrie des groupes simples(Annali di Mat., t. 5, 1928, p. 253—260).

18) Voir note 3 de l'introduction.

216

-> ->

un vecteur du diagramme lorsque k est un entier variant de 0 à 2 •

Il résulte en particulier de la propriété (c) que si <px, <p2,..., <pl est

une suite fondamentale, on a : <pr (pt < 0, sinon <pt—

<p} e S(G).

7. Paramètres angulaires dominants. Supposons G simple ou semi-

simple ; l'angle polyèdre fondamental <p1 > 0,..., q>t > 0 contient un

polyèdre fondamental du groupe spatial r, défini par les inégalités<p1>0,..., 9?(>0 ; <w1<l,..., cos< 1 ; co1,...,cos sont s paramètres

angulaires de G : les paramètres angulaires dominants de ce groupe (cesont des combinaisons linéaires à coefficients entiers non négatifs de

<p1}..., <pt). Les paramètres angulaires extraits de ç^, ç?2)..., ç?, quifigurent dans l'expression de l'un de ces paramètres angulaires dominants

ne figurent dans aucun autre. S'il n'y a qu'un seul paramètre angulairedominant, le groupe G est simple ; le polyèdre fondamental est alors un

simplexe.

8. Sous-groupe simple de rang un associé à un paramètre angulaire.Soit fif un paramètre angulaire de G, et V\ le sous-groupe singulier de T

recouvert dans E1 par les plans -&( = 0 (mod 1). Le centralisateur de

Uf dans G est un sous-groupe de rang l, de dimension l -f- 2, non abé-

lien. La dimension du centre de ce sous-groupe étant égale à l —- 1, sa

composante semi-simple est un sous-groupe g simple de dimension trois,

associé à ±#<- g coupe T suivant un sous-groupe t à une dimension dont

le recouvrement dans E1 contient une droite E1 orthogonale à ê( = 0 ;

l'anneau E (g) de g est de la forme E1 + n$., où II9. est un plan à deux

dimensions, associé également au paramètre §i ; ce 2-plan est invariant

par tous les automorphismes intérieurs de G déterminés par les éléments

de T.

9. Eecouvrement du centre de G. Supposons G semi-simple; le re¬

couvrement dans E1 du centre de G est un réseau dit central ; un pointx e E1 appartient à ce réseau si les paramètres angulaires fondamentaux

q>x, q>2,..., <pt prennent des valeurs entières sur le point x.

% 2. Figures de Schlâfli des groupes simples

10. Définition. Soit q>lt <p2,..., q)t une suite fondamentale de para¬

mètres angulaires de G supposé semi-simple ; je fais correspondre à

chaque forme (pt un point P^, P{ étant relié à Pt par 0, 1, 2, ou 3 traits

suivant que l'angle des vecteurs <p{ et Ç93- est égal à 90°, 120°, 135°, ou

217

150°. La figure constituée par ces points et par ces traits est par défini¬

tion la figure de Schlâfli ^(G) du groupe G (on peut lui adjoindre le

point qui représente le paramètre angulaire dominant, ce qui n'est pas

nécessaire ici).

Si G est semi-simple, la suite (pi, q>2,. ., <pt se décompose en deux

suites partielles au moins : <pl!..., q>{ et q> ,/+1,..., y,, tout vecteur de

la première étant orthogonal à tout vecteur de la seconde, et réciproque¬ment. Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour que la figure 5 (G)

soit connexe est que le groupe G soit simple.

11. Paramètres angulaires fondamentaux des groupes simples et figuresde Schlâfli associées. Les expressions classiques des paramètres angu¬

laires des groupes simples19) ne mettent pas en évidence les paramètres

angulaires fondamentaux. Je vais donner dans chaque cas la substitu¬

tion convenable, le paramètre dominant, et la figure %(G).

Groupe Ax: Les paramètres angulaires sont: ±t,-, t,-—

t,- (*' ^ j ;

i, j = 1, 2,..., I). Posons : yx = t1; <p2 =—

zl -f t2, <ps =—

t2 -f t3,

..., ç>j =— Tj_x + tî ! tout paramètre angulaire est une combinaison

linéaire à coefficients entiers nuls ou de même signe de <pr, <p2,..., <pl.

Le paramètre angulaire dominant est rl = (px -f- g?2 + • • + <Pi

Groupe Bt : Les paramètres angulaires sont : ± t,-, ± Tf i t3- (i ^ j ;

i,j= 1, 2,. . ., Z). On peut poser : ç?j = xt, (p2 =— r1 -f- t2,

ç>3 =— t2 + t3,. .., 9>, =

— ri-i "^" tî ; Ie paramètre angulaire domi¬

nant est Tj_! -f Tî = 2ç>! + 2ç>2 H h 2ÇV! + 9V

Groupe Ct : Les paramètres angulaires sont : ± 2 Tf, ± t* ± t3-

(i ^ j ; i,j=l,2,...,l). On peut poser 9^ = 2r1, ç?2 =—

tx -f t2,

ç>3 =— t2 + t3 ,..., <pt =

—

t,_! + Tj ; le paramètre angulaire dominant

est 2tt = ç?! + 2ç?2 + 2<p3 H (- 295,.

Groupe Dt : Les paramètres angulaires sont ± t^ i t.,- (i =£ 7 ;

(* 7^ ? ; «'> j = 1

; 2,. . ., l). On peut poser cp1 = tx + t2, ç;2 =—

rt

+ t2 , 9?3 =—

t2 + t3 ,. . ., ç>j =— Tj_! -f T; ; le paramètre angulaire

dominant est 9^ -f cp2 + 2q>3 + 29?4 + • • + 2çvi -j- (px = t^ + Tj-

Groupe Ee : Les paramètres angulaires sont :

<Pt ~<P)\ ± (<Pi + <Pi + <Pk), ± (<Pi + ç>2 -I H <Pb)(i, j, k distincts ; i, j, Je = 1, 2,..., 6).

19) E. Cartan, La géométrie des groupes simples (Annali di Mat., t. 4, 1927, p. 218

à 224).

218

On peut poser (pi = tx—

r2, <p2 = r2 — r3, <p3 = r3 — r4, 9>4 = r4— t5 , 9?5 = t5 — r6, 9?6 = t4 + t5 + t6 et le paramètre angulaire do¬

minant est ç>x -j- 2ç?2 + 3ç?3 -j- 2^4 + q>5 + 2%.

Groupe E7 : Les paramètres angulaires sont

f, — rj} ±{Ti + rj + rk + tm), xx + r2 -\ h t8 = 0

{i,j,k,m distincts ; i,j,k,m=l,2,...,8).

On obtient une suite fondamentale en posant

<Pi =— *i + *2> Ç>2 = — ^a + t3, 9>3 =

—

t3 + t4,

^4 =— ^4 + *s> ÇPs = — 7.5 + t«, <pe =

— T6 + t7,

«P? = *1 + T2 + T3 + T4.

Le paramètre angulaire dominant est q>x + 2çî2 + 3ç)3 + 4çj4 -)- 3ç>5+ 29?6 + 2ç)7.

Groupe Es : Les paramètres angulaires sont

T<—

T3., ± (T, + T, + Tfc) ,avec Tj. + T2 -\ f- T9 = 0

(i,j,k distincts ; i, j, k = 1, 2,..., 9).

On peut poser

ç?i = r2 — r3, ç?2 = t3 — T4, Ç93 = t4 — r5, ç?4 = t5—

r6,

Ç'ô == T6 ' T7 > Ç^ == T7 T8 ' <Pl = T8 T9 J Ç^ = T7 ! ^8 I T9

et le paramètre angulaire dominant est 2<p1 + 3ç?2 + 4ç>3 + 0954 + 6çi6+ 4Ç96 + 2Ç97 + 3Ç58.

Groupe Ft : Les paramètres angulaires sont

±t<, ± re ± Tj, KiTj ± T2 ± T3 ± T4)

(»#/; *,?'= 1,2,3,4).

On peut poser <p± = t1; 9>2 = £( — tx + t2 + t3 — t4), 9)3 =— t3 + t4,

9>4 = — r2 -f- t3 et le paramètre angulaire dominant est : 29^ + 49>2

+ 3^ + 2<pt.

Groupe Ga: Les paramètres angulaires sont ±tx, ±t2, ±(^1 — t2),

±(1-! —2t2), ±(Ti —3t2), ±(2^ — 3^). On peut poser 9>1=t2,

9>2 = tx — 3t2) et le paramètre angulaire dominant est 39^ + 2<p%.

Les figures de Schlâfli respectivement associées à ces groupes simplessont :

219

Pt P2 P3 Pi 12 3 4 l

M o—o—O o °i 0=0—o—o o

12 3 4 l \3 4 5 2

•Bj o^O O O —O Dl O O O O

/02

12345 123456

E* O O O O O E7 O O O O O O

O6 12 3 4 5 6 7 O7

^s o—o—o—o—o—o—o

12 3 4 O8 12

F4 O 0=0 O °t O^O

Fig. 1

->

Il résulte du mémoire de van der Waerden déjà cité que les vecteurs 9?1

et 9?2 relatifs aux groupes Bt, Gl forment un angle de 135° de même pour

les vecteurs 2 et 3 de Fé ; les vecteurs <p xet <p 2

relatifs au groupe G2 forment

un angle de 150° ; les autres angles sont tous égaux à 90° ou 120°.

12. Propriétés des figures de Schlàfli. Je suppose ici que G est un

groupe simple.

(a) Soit i$(G) la figure de Schlàfli associée à un groupe simple. Un

trait reliant deux points de %(G) peut être simple ou multiple ; je dirai

que deux points Pt et P3- sont en relation non nulle s'il existe un trait

simple ou multiple reliant ces deux points. L'ordre d'un point P e $(G)est par définition le nombre des points de ^(G) qui sont en relation non

nulle avec P ; cet ordre est égal à 1, 2, ou 3. Il y a dans 5 (0) au plustrois points d'ordre 1, et au plus un point d'ordre trois.

Si G est un groupe de l'un des types Ax, Dt, E6, E7, Es, %(G) ne con¬

tient que des traits simples ; si G est de l'un des types Bt ou Gt, la ligne

polygonale qui relie P2 à Pt ne contient également que des traits simples ;

5(F4) contient deux traits simples. Remarquons que 5(G) ne contient

jamais de cycle à une dimension.

(b) Soit P un point de $(G) d'ordre un; la ligne polygonale issue

de P, arrêtée au plus tard au point P' d'ordre trois (s'il existe), est par

définition une terminaison à n éléments si elle contient n points de

5(G), P' non compris. Un coup d'œil sur les figures précédentes montre

que 5 (G) contient au plus deux terminaisons à n > 2 éléments.

(c) Soient P( et P} deux points de 5 ($) reliés par un trait simple,et Si la symétrie de B1 par rapport au (l — l)-plan <pi = 0 ; on a

220

(StSj) <pi = q>j ; il résulte de cette relation que le groupe 0(0) opèretransitivement sur les points d'une ligne polygonale à traits simples, g (0)n'étant pas nécessairement conservée.

(d) Si le groupe simple connexe G admet un automorphisme externe,

on peut choisir ce dernier en sorte qu'il permute les paramètres angu¬

laires fondamentaux ç>1} <p2,..., 9?j20). L'effet produit sur ^(G) est une

permutation des points P( qui conserve 'S(G) ; dans les cas At, Du Eson a respectivement les permutations :

3 4 5 6\

3216

/l 2.. .1--1

0 A 2 3..

:D /l 2

\l l-\ 2 U 13.. ls 4

Si G est du type D, ,%(G) est

oi

\8 4

o—o .

O 2 Fig.2

Il existe

des points P1, P, ,P4conservant %(Dd et le point ^3

§ 3. Diagonales du diagramme

13. Définition. Soit Pv : <pt > 0,..., ç?, > 0 un angle polyèdre fon¬

damental du diagramme d'un groupe semi-simple G, ç>1; ç>2,...,ç>,

étant l paramètres angulaires fondamentaux de G. Par définition, la

demi-droite B\ d'équation

<Pi = n =• • • = <Pk = 0

<Pk+i = • • • = <Pi > 0 J

est une diagonale de l'angle polyèdre Pp. Si k = 0, on a 9^ = (p2

= • • • = ç>; et la diagonale est dite principale.Comme .R^ peut appartenir à plusieurs angles polyèdres fondamen¬

taux, on peut se demander si elle est une diagonale dans chacun d'eux.

Le théorème suivant répond à cette question

14. Théorème. Une diagonale de l'angle polyèdre fondamental P^est diagonale dans tout angle polyèdre fondamental qui la contient.

Ainsi, étant donnée une demi-droite dont les équations ont la forme

(1), on pourra la considérer comme une diagonale du diagramme. Seule

la diagonale principale contient un élément régulier, et le théorème est

pour elle évident, car elle n'appartient qu'à un seul angle polyèdre fon¬

damental.

ao) E. Cartan, Le principe de dualité et la théorie des groupes simples et semi-

simples (Bull. Se. Math., t. 49, 1925, p. 305).

221

15. Démonstration. La démonstration est basée sur le fait que si

a e0(G), la demi-droite oR\ est encore une diagonale de aP9.

Lemme. Soient fi1, [i2,..., fil et vt,. .., vl deux suites fondamentales ;

si vx, v2,..., vt sont des combinaisons linéaires à coefficients non négatifsde /*!, (i2t..., fa, alors la seconde suite est une permutation de la pre¬

mière.

Les systèmes \it > 0, v{ > 0 {i = 1, 2,..., l) définissent deux angles

polyèdres fondamentaux i^,i^,. Soit xeP^; on a ni(x)>0 (i = 1, 2,

...,l), et d'après l'hypothèse vi(x)>0 (i = 1, 2,..., I), d'où xtPv.P et Pv ayant en commun un point intérieur x coïncident et le lemme

résulte de ce fait.

Cela étant, soient Pç (q>i > 0) et P^ (^ > 0) deux angles polyèdresfondamentaux contenant B}+ et ïe Rx+ voisin de l'origine. Le normali-

sateur N(x) de x est un sous-groupe de rang l de G ; le centre Z de N(x)a une dimension l — k; il y a donc k paramètres <p( et k paramètres ^qui s'annulent identiquement sur Rx+, par exemple cp1,(p2,...,(pk et

Pu fi2,..., (ih, qui forment deux suites fondamentales de N(x). Il

existe une opération v e 0(N(x)) qui applique ç?1; cp2,..., <pk sur une

permutation v1,vi,...,vk de ^,..., /ik et cpk+1 ,...,<pt sur vk+1,

.. ,vl respectivement ; de plus ax = x. Maintenant, chaque vt est une

combinaison linéaire à coefficients entiers nuls ou de même signe de

filt fi2,. .., fil; comme vk+1,. .

., vl sont positifs sur x, ces formes,

exprimées à l'aide des \xi, ont des coefficients non négatifs. En résumé,

/*!,..., /ut et vx,.. .,vt vérifient les hypothèses du lemme, et aP9 = Pv= P

.De là résulte /j,k+1 =

• • = pil sur B}+ et le théorème est établi.

CHAPITRE II

Théorèmes généraux sur les sous-groupes

§ 4. Diagramme et sous-anneaux

1. Diagramme d'un sous-groupe. Soient G un groupe de Lie clos, et

Gx un sous-groupe fermé connexe de G ; c'est un groupe de Lie, engendrédans G par un sous-espace linéaire de l'anneau R(G)23-). Soit maintenant

Th un toroïde maximum du sous-groupe G1 ; il existe un toroïde maxi¬

mum Tl de G qui contient Th. Remarquons que l'intersection de G1 et de

Tl se réduit à Th ; en effet, un élément x commun kG1et h Tl est un élé-

21) voir note 2 de l'introduction.

222

ment de G1 échangeable avec chaque élément de Th ; d'après la propo¬sition (c) du § 1, x appartient à Th.

Si Rh et Rl sont les supports des diagrammes de G1 et G, correspondant

respectivement aux toroïdes Th et î1', on a Rh c Rl. Il est a prioriévident que le sous-espace Rh doit vérifier un certain nombre de condi¬

tions ; en particulier, la diagonale principale de G1 n'est pas quelconque ;

elle va jouer un rôle important dans ce qui suit (§ 8 et chapitre III). De

plus, si l'on dispose d'une autre paire T'h, T'1, avec T'h c T'1, T'h c G1,T'1 c G, on peut construire un automorphisme intérieur de G quiapplique T'h sur Th, et T'1 sur T1 : dans ce sens, l'inclusion Rh c Rl ne

dépend pas des toroïdes Th et T1 choisis.

2. Sous-groupes fermés et sous-anneaux. A tout sous-groupe fermé

connexe G1 de G correspond un sous-anneau de R(G), de support R(Gj) ;

inversement, étant donné un sous-anneau R de R(G), quand le sous-

groupe fermé connexe Gx engendré par R a-t-il même dimension que R ?

Un théorème précis peut être établi, dont l'énoncé sera précédé d'un

lemme :

Lemme 1. Soit N le sous-groupe clos engendré par M dans G; R est un

sous-anneau invariant de R (N).

Tout d'abord, R engendre un germe g ; g est l'intersection d'un voisi¬

nage de l'élément neutre e de G et de la variété totalement géodésiqueformée par les sous-groupes à un paramètre de G tangents à R en e2Z).Cela étant, N est l'ensemble des éléments a"1 a"2.. .a°j* et des éléments

d'accumulation de ces produits, avec ai^g; k, <xx, a2>..., ock sont des

entiers rationnels arbitraires (k>0). at e g entraîne a^a'1 = R d'où,

par construction de N, on voit que R est invariant par le groupe ad¬

joint linéaire S(N) de JV, c. q. f. d.

Cela étant, le groupe linéaire mentionné laisse R (N) et R invariants ;

R se décompose en une somme directe de sous-anneaux orthogonauxdeux à deux : R1, R2,..., Rh, rt, les h premiers étant simples et inva¬

riants dans if!(ï\T), le dernier étant un sous-anneau commutatif, invariant

dans R(N) également. Par définition, ce dernier sous-anneau est la com¬

posante commutative de l'anneau R ; rx est aussi le sous-anneau commu-

22) E. Cartan, La géométrie des groupes de transformations (Journ. math, pures

et appliquées, t. 6, 1927, chap. I).

223

tatif invariant maximum de R, soit le centre de R. Le théorème en vue

peut maintenant s'énoncer :

Théorème 1. Soient G un groupe de Lie clos connexe, R(G) l'anneau

de Lie de G, R un sous-anneau de R(G), et r1 la composante commutative

de R. La condition nécessaire et suffisante pour que R engendre un sous-

groupe fermé de dimension d (R) est que rx engendre un sous-groupe fermé de

dimension d {r^).

Deux lemmes sont encore nécessaires.

Lemme 2. Soient G et G' deux groupes de Lie clos localement isomorphes,G' recouvrant G, et a l'application de recouvrement ; a applique tout en¬

semble fermé de G' sur un ensemble fermé de G.

Cela provient simplement du fait que G' recouvre G un nombre fini de

fois. De là résulte que a applique un sous-groupe fermé de G' sur un sous-

groupe fermé de G, ayant la même dimension.

Lemme 3. Soient G et G' deux groupes de Lie clos localement isomorphes,G' recouvrant G, et a l'application de recouvrement ; soient g un germe dans

G, et g' = a~xg le germe correspondant dans G' ; si g engendre dans G un

sous-groupe fermé de dimension d(g), il en est de même de g' dans G'.

g engendre dans G un sous-groupe © connexe, fermé par hypothèse.De même, g' engendre dans G' un sous-groupe ©' du groupe abstrait G' ;

la fermeture de ©' est un sous-groupe ©' du groupe topologique G'. Soit

x e ©' ; il existe une suite d'éléments x1, x2,. -, xn,.. .de ©' conver¬

geant vers x ; chaque xi est un produit d'éléments de g'. a applique la

suite Xf sur une suite axi de © ; © étant fermé, l'application continue a

amène x sur un élément du groupe ©. Ainsi, on a : cr©' c © ; a g' = g

entraîne a©' = ©, car ©'et © sont connexes. Comme a conserve la

dimension, on a nécessairement d(©') = d(©), c. q. f. d.

Je passe à la démonstration du théorème :

La condition est suffisante : On peut simplifier en se servant du lemme 1,

et en considérant R dans R(N). Dans la décomposition précédente:

B = B1 + Bi+---+Bh + r1 ,

les sous-espaces R1, R2,..., Rh sont invariants et irréductibles par

S{N), qui se réduit à l'identité dans r1. Cela étant, on a :

R(N) = R + Rh+1 + Rh+2 + + Rk + r2 ,

224

Rh+1, Rh+2,..., Bk ayant les propriétés de B1, R2,..., Bh, S(N) se ré¬

duisant à l'identité dans r2 et dans r = r1 -\- r2.

Chaque sous-espace Rt est un anneau qui engendre un groupe simpleclos gt ; il existe un groupe clos N', produit direct de gl,g2,..., gk et

d'un groupe commutatif clos c, N' étant localement isomorphe à N.

L'isomorphisme local a' considéré applique R(N') sur R(N), R{g{)sur Rt, et R(c) sur r; je désigne par a l'application de recouvrement

iV' -> N qui coïncide avec a' au voisinage de l'élément neutre.

Cela posé, l'isomorphisme inverse a' ~1 applique r1 sur un sous-anneau r[de R(N'), engendrant dans c un sous-groupe commutatif clos c[ ayant la

même dimension que r[ (en vertu de l'hypothèse et d'après le lemme 3.)Considérons dans N' le sous-groupe fermé N' = £7! X g2 X • • • X gh X c[.Son image par a dans JV est un sous-groupe fermé N1 de N (lemme 2),

ayant même dimension, avec R(Nj) = R1 + R2 + • • • + Rh + r\- La

condition est bien suffisante (alors k — h et r — r^.La condition est nécessaire. Si R engendre un sous-groupe fermé iV1

ayant même dimension que R, le sous-anneau r1 engendre un sous-

groupe commutatif clos c1 de Nx, contenu dans le centre de iV\. Comme

la dimension du centre de Nx est celle de rx, on a : d (C^) = d (rt), c. q.f. d.

Une conséquence de ce théorème est la suivante :

Proposition. Tout sous-anneau semi-simple de l'anneau de Lie d'un

groupe clos engendre un sous-groupe fermé ayant même dimension2*).

Une autre conséquence importante est la suivante : soient G un groupe

clos, R un sous-anneau de R(G), et r la composante commutative de R ;

r appartient toujours à un sous-anneau commutatif maximum de R(G).

Ainsi, il est possible de reconnaître, dans le diagramme, si un sous-anneau

R de R (G) engendre un sous-groupe fermé ayant même dimension.

§ 5. Eléments associés à un paramètre angulaire du sous-groupe G,

3. Paramètres angulaires du groupe G associés à un paramètre angu¬

laire du sous-groupe.

L'ensemble 2(Gj} des paramètres angulaires du sous-groupe G± de G

est certainement lié à E(G); le théorème suivant donne une première

précision.

23) Utilisé implicitement par E. Gartan dans le cas où R est simple et de dimension 3

(C. R. Acad. Se: Sur les nombres de Betti des groupes clos, t. 187, p. 196...

étendue à la variété. ..). Voir aussi: E. Cartan, Sur les représentations linéaires des

groupes clos (Comment. Math. Helv., t. 2, IV, 1930, p. 269—283).

15 Commentarii Mathematicl Helvetici 225

Théorème 2. Soient G un groupe de Lie clos, G1 un sous-groupe fermé

de G, et Rh le support du diagramme de (?1, contenu dans celui de G, désigné

par Rl. Si g est un paramètre angulaire de G1, il existe un paramètre angu¬

laire m de G égal à g sur Rh.

Soit f0(Ç,t) le polynôme caractéristique de G, t étant un vecteur de

l'anneau R(G), et | une indéterminée24). Lorsque t décrit R(GX), on a

/o(*>0 = /ei(f >*)/(*,<) te RiG,) (1)

le polynôme caractéristique de G, divise celui de G. Maintenant G est

clos; lorsque t décrit Rl, fQ(i,t) se décompose en un produit de fac¬

teurs du premier degré en f :

fg{S,t) = i' n {Ç-2ni fik(t)] [Ç+2nifik (t)] teR1, i = V~^\i,...,

(2)

les formes ±/ux (t),..., ± fim (t) étant les paramètres angulaires de G ;

de plus, si t décrit Rh, on a :

fBl(£,t) = th n [i-27tiQi(t)][i + 2*»m*)] t*Rh (3)i p

où ± gi (£)>••> ± gv(t) sont les paramètres angulaires de Gx. (1) donne

/«,(*>*) = MM) •/(!,«) ««#.

Ainsi, il existe 2p facteurs [| ± 2ni/Jij{t)~\ du second membre de (2) quideviennent respectivement identiques aux 2p facteurs [Ç ± 2ni Qj(t)]

lorsque t décrit Rh. En particulier, étant donné un paramètre angulaire

g(t) de 6r1; il existe un paramètre angulaire /u(t) de G tel que g(t) = ,a(<),t e Rh, c. q. f. d. On peut énoncer aussi le résultat de la manière suivante :

L'ensemble des paramètres angulaires de G se réduit dans Rh à un en¬

semble de formes qui contient l'ensemble des paramètres angulaires de Gx.

Passons aux vecteurs du diagramme ; le vecteur g associé au para¬

mètre angulaire g de G, est défini par : g (x) = —g x,x e Rh. On a si (ni

se réduit à g dans Rh :

ct>j x = g x et g (o, = g2

-> ->

quel que soit x e Rh ; il en resuite = \ g \ . Ainsi, le vecteur g est

lîl

2i) H. Weyl, Darstellung kontinuierlicher halbeinfaeher Gruppen II (Math.

Zeitschr., t. 24, 1926, p. 356).

226

donné par la projection du vecteur a)j sur la droite B1 support de q .

Dans ce qui suit, je désigne par co1, œ2, ., œn la suite de tous les

paramètres angulaires de G qui se réduisent dans Bh au paramètre angu¬

laire q de G1 ; cette suite est associée au paramètre g.

4. Sous-groupes de G associés au paramètre angulaire q de G1. Soient

coj, w2, , a>n les paramètres angulaires de G associés au paramètre

angulaire q de Gt, et gp le sous-groupe simple de rang un de G1 associé à

q25). Comment gp est-il contenu dans G%

On a B(gp) — B1 -\- II ; B1 est la droite support du vecteur q ; II est

un 2-plan du sous-espace HIIa, oceZ(G). Soit 77 + • •+ 77t

le

sous-espace 277Tœ minimum qui contient 77 ; ce plan étant invariant par

tous les automorphismes intérieurs <pa, a e Th, les paramètres angu¬

laires fa,.. .,/ik sont nécessairement égaux en tout point z de Bh, et

égaux à a>((z). Autrement dit, fa,..., fa. est une suite contenue dans

(»!,...,«)„; cela signifie encore que 77 appartient au sous-espace

nWi+... + nwn.Maintenant, soit Gp le sous-groupe de rang l de G dont les paramètres

angulaires sont toutes les combinaisons linéaires à coefficients entiers de

co1,..., mn qui appartiennent à £{G). gp est visiblement un sous-

groupe de Gp.

Bemarque. Il ressort du raisonnement précédent que gp appartient à

la composante semi-simple de G, car il en est ainsi de 77 ; en particulier,

gp appartient à la composante semi-simple de Gp ; q est ainsi une combi¬

naison linéaire de co1,. . ., œn: q = %x coj + • • • + hncoh. Cette relation,

-> -> -> -> ->n n

jointe à œi-Q = g2, entraîne Q2 = Q2(Zhi), £ K = 1•

i i

Il résulte encore de cette remarque que tout sous-groupe semi-simple

(?! de G appartient à la composante semi-simple de G, car il en est ainsi

de chaque sous-groupe gp, q e E(G1).

§ 6. Sur les groupes finis associés au groupe G et au sous-groupe G2

5. Les considérations du § 5 permettaient d'établir une relation entre

les ensembles finis £(G) et 27 (G^) ; ici, j'établis deux théorèmes qui relient

les groupes finis ${G) et ^(Gj).

26) Voir chapitre I, § 1, No 8.

227

Théorème 3. Soient G un groupe de Lie clos connexe, Gx un sous-groupe

fermé connexe de G, et Th, Tl deux toroïdes, maximums respectivementdans G1 et dans G, avec Th c Tl ; soit g^ une opération du groupe fini0 (Gt) conservant Th ; il existe une opération <p du groupe 0 (G) qui conserve

Th et T1, en induisant dans Th la même transformation que ç>j.

L'énoncé suivant est équivalent à l'énoncé proposé : étant donné une

composante aTh de N(Th) dans G1} il existe une composante bTl de

N(Tl) telle que I : <pbTh — Th ; II : ç>a et cpb induisent dans Th la même

transformation.

Démonstration. L'automorphisme intérieur ya conservant Th conserve

le centralisateur Z de Th, et en particulier le centralisateur connexe Z'.

Comme Z' contient T1, <pa applique Tl sur un toroïde T* maximum dans

Z' ; d'après la proposition (b) du § 1, il existe un élément c e Z' tel que

<pcT* = T1. Considérons l'automorphisme <pc(pa = <pca; q>ca conserve

évidemment Th, puisque <paTh = Th, et que q>c laisse invariant chaqueélément de Th ; on voit que q>ca conserve Th en induisant dans ce toroïde

la même transformation que <pa. De plus, on a par construction (pcaTl= q>cT* ; <pca conserve T1 ; on peut donc poser ca = b e N(Tl), c. q. f. d.

Remarquons que si Th contient un élément régulier, Z' est identiqueà T1, d'où c e T1 ; on peut même prendre c = e; cela signifie que aTh

appartient à une composante aTl de N(Tl)-0(G1) est un sous-groupe de

0{G).

6. On peut énoncer comme suit la relation établie entre 0(@-i) et

0(G).

Théorème 3'. Le groupe <£((?!) est isomorphe au groupe F/F', où F et

F' sont des sous-groupes de N(Tl) ; F est le sous-groupe des composantes de

N(Tl) qui laissent Th invariant, en induisant dans ce toroïde des trans¬

formations de 0 (Gj) ; F' c F est le sous-groupe des composantes de

N(Tl) qui induisent dans Th la transformation identique.

On peut dire que 0{GX) est l'homomorphe d'un sous-groupe de 0{G).En effet, F' est d'abord un sous-groupe invariant de F : si ateF, a2 e F',

^«laaaî1 se réduit à l'identité dans Th. Soit maintenant bTl la compo¬

sante de N(Tl) associée à la composante aTh de N(Th) comme tout à

l'heure ; l'application :

aTh _> (6 Ti)F'

est un isomorphisme de N(Th) sur FjF' ; cela résulte du fait que deux

composantes distinctes de N(Th) induisent dans Th deux transforma¬

tions distinctes.

228

7. Le théorème 3 peut être précisé si l'on introduit les sous-groupes

Gpetgp.

Théorème 4. Soient G un groupe de Lie clos connexe, G1 un sous-

groupe fermé connexe de G, et Bl, Bh les supports des diagrammes respectifsde G, Gt, avec Bl 3 Bh ; soit q un paramètre angulaire de G1 ; il existe

une opération de &(Gp) qui conserve Bh en induisant dans ce sous-espace

la symétrie par rapport au (h — l)-plan q = 0.

Considérons les sous-groupes G et g : on a B (g ) = B1 -f- U avec

B1 c Bh ; d'après le théorème 3, il existe une opération a de 0(Gp) quiconserve B1 et B1, en induisant dans B1 la symétrie par rapport à l'ori¬

gine ; or a e 0(Gp) montre que chaque point du sous-espace »!=•••

= a>„ = 0 est conservé par cette opération ; mais si x est un point du

sous-espace q = 0, on a sur x : mx(x) = • • • = wn(x) = p(x) = 0 d'où

a x = x. En résumé, a laisse invariante la droite B1 c Bh en induisant

sur cette droite la symétrie par rapport à l'origine, et conserve chaquepoint du sous-espace à (h — 1) dimensions de Bh qui est orthogonal à

B1. Autrement dit, a conserve Bh en induisant dans ce sous-espace la

symétrie par rapport à q = 0, c. q. f. d. Dans ce qui suit, je pose :

a = 8p; c'est l'opération de 0(Gp) associée au paramètre angulaire q ;

elle jouit de la propriété suivante :

Soit co un paramètre angulaire du groupe G ; l'opération S associée au

paramètre angulaire q du sous-groupe G1 ajoute à œ une combinaison li¬

néaire à coefficients entiers des paramètres angulaires m1, m2,..., œn

associés à q

Sp co = w + mt «!+•••+ mn con .

En effet, la symétrie S^, fi e 2" (G) applique /u'eZ(G) sur S^fi'= /a,' -f- m/j, où m est entier ; sachant que S est un produit de symétries

S^., on obtient alors la formule désirée.

§ 7. Tableaux associés à un sous-groupe

8. Soient ç1} g2,..., ph h paramètres angulaires fondamentaux du

sous-groupe Glt et pl;..., ph, ph+1>..., qp les paramètres angulaires

positifs de Gt (combinaisons linéaires à coefficients entiers non négatifsde q1} Qi,-.., Qh). Les h suites associées respectivement à Qi,--.,Qh

forment par définition le tableau I (6r, GJ ; les suites associées aux autres

forment par définition le tableau I' (G, Gx) ;

229

Ig2 : ft , /?2 ,. . ., 0„2

0ft : 7l ' ?2 , , ïnh

Q.h+1 '• °l > • • • > "n^+!

0p E«y

Il me semble que l'étude du tableau I est indispensable pour résoudre le

problème des sous-groupes, au sens indiqué dans l'introduction. J'établis

maintenant deux théorèmes, qui unissent les résultats des deux para¬

graphes précédents :

9. Théorème 5. Soit al une opération de 0(0^ appliquant un para¬

mètre angulaire p de G1 sur un paramètre angulaire g' de ce même sous-

groupe ; il existe une opération a de 0 (G) appliquant la suite a>1,..., œn

associée à g biunivoquement sur la suite wx,.,.,<on, associée à g'.

D'après le théorème 3, il existe une opération a de 0(G) qui laisse Rh

et Rl invariants, en appliquant g sur g' ; j'examine l'effet de a sur les

paramètres angulaires de G.

a applique a>1 surun vecteur aco1 du diagramme, et q sur q '. Considé-

_> _> _^. _>. _>_}._>_>.

rons la relation : a)1-x=g-x, xeRh; on a (am^)-{ax) = w^-x et

-> —> -> -> —> —> ~> —>

g'-ax = q x ; d'où (oco^iox) = g'(ax) quel que soit x e Rh, c'est-à-

dire, puisque ax décrit Rh lorsque x décrit Rh : — (aco j) x = —

g'x .

ou aco1 = g' dans Rh ; acoj^ étant un paramètre angulaire de G qui se

réduit à g' dans Rh est l'un des paramètres angulaires w\ associés à g'.Le même raisonnement s'applique à œ2, •, con : a détermine une appli¬cation de la suite m1, w2,..., œn dans la suite eoj,..., œ'n, nécessaire¬

ment biunivoque ; en considérant de même er_1 et Wj,..., co'n,, on voit

qu'on peut énoncer le théorème 5, avec n = n'.

En particulier, si a1 applique g sur — g, alors a applique co1,. .., con

sur une permutation de —o)1,...,—o)„.

Les suites co1,...,con et œ[,..., co'n considérées jouissent de la pro¬

priété suivante : on peut numéroter <»[,..., œ'n en sorte que ami= m\ ;

alors Zmiœ1eZ(G) entraîne Zm^l e Z(G). En ce sens, on peut dire

que les suites m( et (x>\ sont isomorphes. Si Gx est de l'un des types A{,Dt, Ei, les suites du tableau I (G, GJ sont deux à deux isomorphes, ce

qui prouve à quel point la structure de ce tableau est particulière.

10. Théorème 6. Les éléments du tableau V sont des combinaisons

linéaires à coefficients entiers des éléments du tableau I.

230

Soit q un paramètre angulaire de Gx figurant dans le tableau I', et

oj1 ,..., œn la suite associée. Il existe un paramètre angulaire extrait de

q1;. . .,çh, soit qx par exemple, et une opération ax de <P(Gj) appliquant

qx sur g. Mais at est un produit de symétries s,..., sph par rapport

aux (h — l)-plans q1 = 0,. .., çh= 0. Si dans ce produit, on remplace

chaque facteur sp. par le facteur 8pi associé (théorème 4), on obtient une

opération a qui applique encore qx sur q .On a, par exemple : aoc1 = a>1

ou (IISpJoc! = m1 ; or, d'après la fin du § 6, le premier membre de la

dernière relation est une combinaison linéaire à coefficients entiers des

paramètres angulaires de G qui figurent dans le tableau I. a étant une

application biunivoque de la suite x1,..., <xn sur la suite «j,..., con,

la conclusion précédente est encore valable pour co2,..., mn, et le théo¬

rème est établi.

§ 8. Réduction du problème des sous-groupes

11. L'étude des sous-groupes fermés connexes d'un groupe de Lie

clos a déjà été commencée dans un mémoire antérieur26) ; remarquons

que les résultats obtenus dans ce dernier permettent de trouver en fait

tous les sous-groupes invariants simples ou semi-simples des sous-groupes

de rang maximum du groupe G. Tous ces sous-groupes ont une propriété

commune : ils sont contenus dans un sous-groupe propre de rang maxi¬

mum. Mais le groupe G contient certainement des sous-groupes d'une

autre espèce, ne vérifiant pas la propriété indiquée. Je dis que si l'on

connaît tous les sous-groupes de G qui ne sont pas contenus dans un

sous-groupe de rang maximum, on peut déterminer tous les sous-groupes

de G : en effet, soit Gt un sous-groupe de G ; il existe dans G un sous-

groupe G2 de rang maximum l ayant la propriété d'être un des plus petits

sous-groupes de rang l qui contiennent G± ; alors, Gx est, dans 6r2, un sous-

groupe n'appartenant à aucun sous-groupe de rang l, et l'affirmation est

établie.

Définition. Soit G un groupe de Lie clos de rang l ; un sous-groupe fermé

connexe de G vérifie l'hypothèse (H) lorsqu'il n'est pas contenu dans un

sous-groupe de rang l de G.

Je dirai aussi qu'un tel sous-groupe G± est un sous-groupe (H) de G,

en écrivant G1cG. La réduction du problème des sous-groupes ainsi

conçue ne laisse subsister qu'un nombre assez petit de types d'inclusion

intéressants.

) Voir la note 8 de l'introduction.

231

Comme la diagonale principale d'un sous-groupe (H) paraît jouer un

certain rôle dans cette étude, il me semble utile d'établir d'abord une

propriété de la diagonale principale des sous-groupes semi-simples de

rang maximum du groupe G, bien que cette propriété ne rencontre dans

les pages suivantes aucune application.

12. Un théorème sur les sous-groupes de rang maximum.

Théorème 7. Soient © un groupe de Lie semi-simple clos de rang X,

et ©' un sous-groupe de ©, semi-simple, de rang A ; alors la diagonale prin¬

cipale de ©' ne contient aucun élément régulier.

La démonstration doit d'abord être donnée pour les groupes simples,sous la forme du lemme suivant :

Lemme. Soient cp1, çp2,..., çp^ l paramètres angulaires fondamentauxd'un groupe simple G, et to = rn1(p1 -}-• + wijÇO; le paramètre angu¬

laire dominant de G. Soit i un indice tel que m, soit un entier premier

supérieur à 1 ; alors la droite R1 d'équation :

<Pi = ?2 = • • • = ?>,-i = 9>,+i =-•••= <Pi =- co

est singulière.

Remarquons que G ne peut être le groupe simple A x,dont le paramètre

angulaire dominant co est co = <p1 + <p2 + • • -f- <pt (m, tous égaux à 1).

L'équation de R1 s'écrit :

<Pi = t,<p2 = t,...,<pl_1 = t, <pt+1 = t,... <pt = t, Cpt=—alt (1)

£IV6C-iii i i i i

_

!+/»! + ••• + mt_x + ml+l + • -f mla —

_

ml

La démonstration du lemme s'effectue en vérifiant pour chaque groupe

simple (At exclu) que at est un entier, et qu'il existe un paramètre angu¬

laire Tô de G qui s'annule identiquement sur R1, considérée sous la forme

(1). Par exemple, pour Bx : to = 2cp1 -f 2<p2 + • • • + 2(pl_1 + <f\ ', «i

= a2 = • • • = a,_t = 1 — 1; ô) = ?>! + ç>2 H \- (px, etc.

Passons à la démonstration du théorème 7 : soit ©" un sous-groupe de

rang l de © tel que ©' soit maximum dans ©". Si R1 est singulière dans

©", elle est aussi singulière dans ©. Je peux donc supposer que ©' est

maximum dans ©.

Soient G1}G2,.. .,Gk les sous-groupes invariants simples de ©,

«!,..., «j lx paramètres angulaires fondamentaux de Gx, ^,..., /J,

232

l2 paramètres angulaires fondamentaux de G2,..., yt,..., ylk lk para¬

mètres angulaires fondamentaux de G ; soient m1,..., mk les paramètres

angulaires dominants de GltG2,- -,Gk respectivement ; soit enfin :

«, >0 (i = l,2,...,l1); 0, >0 (i = 1,2,..., y; ...;

yl >0 (t = 1,2,...,ZJ;

«i < 1 ; co2 < 1 ; . . . ; co& < 1

le polyèdre fondamental de ©, désigné par P(©).©' étant maximum, il existe un élément a; de © tel que ©' soit le

normalisateur connexe de x21) ; on peut supposer que x appartient à

P(©) ; ©' étant semi-simple, x est un sommet de P(©) ; soient:

Kl = =- «,_! = k1+1 = • • = <xh = ft = • • • = ylh = 0 ; «, = —-

les coordonnées de a; ; mt est un entier premier supérieur à un. Les para¬

mètres angulaires fondamentaux de ©' sont alors :

«u- • •, «,-i, «t+i >• ->och, —w1, pit. .., ph,. ..,y1,...,ylk

et l'équation de la diagonale principale de ©' s'écrit alors

«i =• • • = <*,-i = — «Wj = a2+1 =

• • • =

aZi = /?! = • • •

=Yih= *>°

ou:

«x = . . . = «t_1= «i+1 = . . . = a£i = ^ = . . . = ylk = t |1 + mt + • • • + m,_, + ml+1 + • • • + mh \ (1)'

(X. = — 0,1 a, =,

h

D'après le lemme, il existe un paramètre E pl«-l qui s'annule identique-i

ment pour les valeurs des «, données par (1) ; autrement dit, il existe un

paramètre angulaire de © qui s'annule identiquement sur E1, et la dé¬

monstration est achevée.

13. Sur les sous-groupes (H) d'un groupe clos. L'hypothèse (H) permetd'établir facilement quelques théorèmes.

Proposition 1. Soient G un groupe de Lie clos, et G1 un sous-groupe (H)de G ; le centre de G1 est Vintersection de Gx et du centre de G.

Soit Z (G) le centre de G ; si x eZ(G) ^Glt on a x e Z (Gj) ; inverse¬

ment, soit xeZ(G1); si xeZ(G), G1 appartient au normalisateur

27) A. Borel et J. de Siébenthal, Les sous-groupes fermés de rang maximum des

groupes de Lie clos (Comment. Math. Helv. 23, 1949, corollaire du théorème 5, p. 214).

233

N {x), qui est un sous-groupe de G ayant même rang que G, distinct de G ;

cela contredit l'hypothèse faite sur Gy ; donc

Z(G1) = Z(G)~G1 . (l)

En particulier, si G est semi-simple, tout sous-groupe (H) de G est aussi

semi-simple.On peut modifier la formule (1) de façon à faire apparaître le toroïde Th,

maximum dans G1 ; en effet, soit Tl un toroïde maximum de G conte¬

nant Th ; l'intersection Tl r, Gx se réduit à Th (§ 4, n° 1) Th= Tlr,G1.

Or, Z{Gx)cTh et Z(G)cTl; soit xeZ(G)r,G1; on a x eZ(G)- Th ;

de plus, xeZ(G)~Th entraîne zeZ(G)^G1; donc: Z(G)^G1= Z(G)~Th,et

Z(G1) = Z(G)~Th .

Proposition 2. Soient G un groupe de Lie clos, et G1, G2 deux sous-groupes

propres de G tels que GlcGî, G1 étant un sous-groupe (H) ; alors les rangs

deGt, G2, G forment une suite croissante.

Supposons que le rang de Gx soit égal au rang de G2 ; soient Th un toroïde

maximum de G1 (Th est aussi toroïde maximum de G2), et Tl un toroïde

maximum de G, tel que Th c Tl. On a : Z(GX) c Th, Z(Gt) c T", Z(G) c Tl.

Comme G1 et G2 n'appartiennent à aucun sous-groupe de rang maximum,

on a : Z (GJ =Z{G)~ Th, Z (G2) = Z(G)~ Th, soit Z (Gr) = Z (G2).

G± est ainsi un sous-groupe de G2, ayant même rang, et même centre ;

d'après un théorème établi antérieurement28), Gt et G2 sont identiques.En supposant G1 ^G2, on a nécessairement r(G1) <r(G2). G2 étant un

sous-groupe (H) de G, on a de même r(G2)<r(G).Une conséquence immédiate de la proposition 2 est :

Soit G1(G2C G3c c G une suite croissante de sous-groupes de G,le premier Gx étant un sous-groupe (H) de G ; alors les rangs de ces sous-

groupes forment une suite croissante

r(G1)<r(Ga)<r(Ga)<...<r(G) .

Proposition 3. Soient G un groupe de Lie clos semi-simple de rang l, et

6?! un sous-groupe (H) de G ; tout paramètre angulaire de G est une combi¬

naison linéaire à coefficients entiers des éléments du tableau I (G, G^.

28) cf. note 27, théorème 5, p. 214.

234

G étant semi-simple, et Gt un sous-groupe (H) de G, Gt est aussi semi-

simple. Considérons le sous-groupe G' de rang l de G dont les paramètres

angulaires sont toutes les combinaisons linéaires à coefficients entiers

contenues dans £(G) des éléments des tableaux I et I'. Tous les sous-

groupes gp, q e ^($1) de G1 appartiennent à ce sous-groupe29) ; par con¬

séquent, comme G1 est semi-simple, G1 c G'. On a donc nécessairement

G = G', c'est-à-dire que les combinaisons linéaires à coefficients entiers

des éléments des tableaux I et F contenues dans £{G) recouvrent S{G).

D'après le théorème 6, il en est de même des combinaisons linéaires à

coefficients entiers des éléments du tableau I ; c'est ce qu'il fallait dé¬

montrer.

En particulier, le tableau I contient l paramètres angulaires indépen¬dants.

14. Sur la diagonale principale d'un sous-groupe (H).

L'examen de la diagonale principale d'un sous-groupe (H) montre que

celle-ci ne peut occuper qu'une position très particulière dans le dia¬

gramme du groupe G ; de plus, les paramètres angulaires du tableau I

prennent une forme spéciale ; de façon précise :

Théorème 8. Soient G un groupe de Lie clos, G1 un sous-groupe (H) de

G ; alors la diagonale principale de G1 est une diagonale de G.

De plus, si cette diagonale est définie par <p1 ==••== <pk = 0,

q>k+1 =• • = c;, dans G et par q1 = = qh dans Glt tout paramètre an-

k

gulaire de G associé à l'un des Qi,. -, Qh est de la forme q>k+j -\- H ml<pl,

les mt étant des entiers non négatifs.t=1

La diagonale principale R\ de G1, d'équation gi=---=gft = <>0

appartient à un angle polyèdre fondamental P(G) de G au moins, qu'on

peut supposer défini par (p1>0,...,q>l>0, <p1,..., cpt étant l para¬

mètres angulaires fondamentaux de G. Soient <p1,. . ., <pk ceux de ces

paramètres qui s'annulent identiquement sur R1.

Soient «x,..., «% ; /?x,. .., /S„9 ;... ; y1,. .., ynh les suites respective¬ment associées à q1 , g2,..., gh ; chaque paramètre angulaire de la suite

«!,..., /?!,..., yn/i est une combinaison linéaire à coefficients nuls ou de

même signe de (p1,..., ç>,. Sur tout point z de R\, on a ox > 0,. ..,

Qh > 0 soit <%! > 0,. . ., fli > 0,..., ynh > 0. Les paramètres angulaires

«!,..., /?!,. .., ynh sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers

non négatifs de q>1,..., <pl. Considérons par exemple :

29) § 5, No i.

235

ai = m^j H h mkq>k + mk+1q>k+1 H h i<Pi

et soit 2 le point de iî^_ tel que Qi(z) = = Qh(z) = 1. Les paramètres

angulaires yx,..., <pl prennent sur z des valeurs entières, car z appar¬

tenant au centre de Gt appartient au centre de G, d'après l'hypothèse(H) et d'après la proposition 1 ; ces valeurs sont de plus non négatives,vu que z e P(G). On a 9^(2) = • • • = cpk{z) = 0 et certainement <pk+i(z)^ 0, sinon on aurait identiquement cpk+j = 0 sur R1. En résumé, sur 2

1 = mk+1 cpk+1{z) H \-m,<pt(z)

(<pk+j(z) entier positif, mk+} entier positif ou nul). Parmi les mk+j, qui ne

sont pas tous nuls, un seul n'est pas nul, égal à 1 ; le facteur q>k+i{z) qui

l'accompagne est lui-même égal à 1. Ainsi, oc1 est de la forme q>k+ih

+ £mi<Pi ; il ®n est de même de «2,. .., /Sx,..., y„h.1

D'après cela, on a sur R1 : cpx = • • • = <pk = 0, et l'égalité des <pk+j

qui figurent dans l'expression de u,x,..., /^,..., yn% ; mais si <pk+1 par

exemple ne figurait pas dans ces expressions, G ne pourrait être un sous-

groupe (H). En résumé, on a sur R1 : q>1 = = cpk = 0, cpk+l = • • • = <p{

et cette droite est une diagonale de G, ce qui achève la démonstration.

Le chapitre suivant est basé sur une conséquence importante du

théorème 8 :

Proposition 4 : Si la diagonale principale d'un sous-groupe (H) est

régulière, les paramètres angulaires du tableau I forment une permutationde ç>i, 9?2, • • •, 9>i •

En effet, si R1 est régulière, on a le = 0, et les paramètres alt. ..,

Pi'- -> Ynh son^ de la forme <p1,..., <pt ; comme deux paramètres du

tableau I ne peuvent être identiques, et que la suite «x,..., ^,..., y

contient l paramètres angulaires indépendants (d'après la remarque rela¬

tive à la proposition 3, la suite «l5..., f}y,..., yn% est nécessairement

une permutation de <pt,..., <ph, et la proposition est établie.

Je désigne par sous-groupe (H)k un sous-groupe (H) dont la diagonaleprincipale est de la forme tp1 = • • • = <pk = 0, <pk+1 =

• • • = ç>,. Alors,un sous-groupe (H) à diagonale principale régulière est un sous-groupe

(H)0. L'étude des sous-groupes (#)0 est notablement plus simple que celle

des sous-groupes (H)k>0 ; cela est dû au fait que le centralisateur de la

diagonale principale du sous-groupe est un toroïde maximum.

236

CHAPITRE III

Sous-groupes (H)0 de rang supérieur à un

§ 9. Vecteurs du diagramme de G,. Suites orthogonales

1. Soient G un groupe de Lie clos semi-simple de rang l, et (?j un

sous-groupe (H)0 de G. Le tableau I (G, Gj) contient exactement l para¬

mètres angulaires <plt.. .,tpt, fondamentaux pour G.

I

q1 : <*!, «2,. . . <xni

Qï ' Pi > h > • • » ft»2

e*: ri. y2, • • • > Ynh

Ainsi, la figure de Schlâfli $j(G) doit être appliquée convenablement sur

ce tableau. Remarquons que le produit scalaire de deux vecteurs quel-

conques extraits de oc1,..., /Sj,..., y „hest négatif ou nul, et que tout

paramètre angulaire de G est une combinaison linéaire à coefficients

entiers nuls ou de même signe de oc1,..., xni, /?x,. .., y„h.

«*•2. Comparons les vecteurs qt aux vecteurs a1,...,ji1 ,..., y

D'après la remarque faite à la fin du § 5, on a par exemple :

Ql= ^1 «1 + ^2 « 2 H H K**n

Proposition 1 : Le vecteur q est une combinaison linéaire à coefficients posi¬

tifs des vecteurs qui lui sont associés.

En effet, q 1étant une combinaison linéaire de »1)..., ocn est un vec-

-> ->

teur du sous-espace engendré par «j «,, Ces vecteurs étant indé¬

pendants forment une base, et les composantes du tenseur métrique dans

cette base sont : au = <xi- at, avec au < 0 (i =£ j). D'après un lemme de

Stieltjès30), on a a# > 0. Cela étant, les composantes covariantes a{—> —>- —> —>•

de q tdans le repère envisagé sont q ott = q\ et sont toutes positives ;

les composantes contravariantes a{, données par ai = a^a^ sont encore

toutes positives, et la proposition est établie.

30) Stieltjès, Oeuvres complètes, t. 2, LU, p. 73—75.

237

3. Longueur du vecteur g. On peut facilement évaluer la longueur du

vecteur g associé aux vecteurs coj,. . ., co„ lorsque ceux-ci ont la même

longueur, égale à l'unité.

Proposition 2. Soient ocl, /x2,- , ocn les vecteurs associés au vecteur g±

de Gx\ si | « 11 = [ « ; 1, alors on a (1) | gi | <w,

l'égalité n'étant atteinte que lorsque les «,- sont orthogonaux deux à deux.

Avec les notations précédentes, on a g\ = X o*' ^ ^ ; or A,- = Àj ~ qI

d'où ^2 = Tî ' Tï (^ aii) >soit :

*';

»,;

^l

au-> -»

Pour établir la relation proposée, il suffit de montrer qu'on a Z aij >n;i,i

comme les ai?' sont positifs ou nuls, on peut se borner à établir la relation

£ au >n, ou encore au > 1. On a par exemple :

a1L =

Or A = anD -\- a12A12 + • • + alnAln ; les mineurs Atj sont positifs

ou nuls, et les coefficients au sont négatifs ou nuls. On peut poser (au = 1)

A=D-k\ !c>0 D k;D

i+4>.Maintenant, si l'un des au (i ^ j) n'est pas nul, l'un au moins des aij

(i =^ j) est positif, sinon (ai}) est une matrice diagonale, ainsi que son

inverse (a(j). On a H au >n et 27 aij > n.

i,i

4. Les paramètres angulaires de G peuvent être facilement comparés

à ceux du sous-groupe Gr considéré, à l'aide du théorème suivant :

Théorème 1. Soit co un paramètre angulaire de G ; il existe un para¬

mètre angulaire g de Gx tel que co soit une combinaison linéaire à coefficientsentiers nuls ou tous de même signe des paramètres angulaires de G associés

à g.

Comme le support Bh du diagramme de Gx contient un élément régulier,0) ne s'annule pas identiquement dans Rh, et se réduit dans Rh à une

forme linéaire co ; cô = 0 définit un {h — l)-plan de Rh. On a

238

w = m1<p1 + m2<p2 H [- ml(pl

m1, m2,..., ml entiers > 0

o) = m'1Q1 + m'2Q2-\ \- m'hQhm[, m2,.. ., m'h entiers non tous nuls, > 0

Deux cas doivent être distingués :

(a) m = 0 coïncide avec l'un des (h — l)-plans qt = 0 du dia¬

gramme de G1 ; on peut supposer qu'il s'agit de q1 = 0. Alors q± = 0

entraîne u> = 0 quels que soient q2,. . ., Qh; il en résulte m'2 = • • • = m'h= 0 et (o = m'1Q1, a> = n1x1 +• • •+ »„ «Bl. Le théorème est vérifié

dans ce cas.

(b) m == 0 ne coïncide pas avec l'un des q{ — 0 ; on peut supposer

Qi, Qi,-.., Qn choisis en sorte que m s'annule en un point intérieur à

q1 > 0,..., gh > 0 ; l'expression donnée ci-dessus pour m prouve que cela

n'est pas possible. Seul le cas (a) peut être envisagé et le théorème est

établi.

Corollaire. Tout paramètre angulaire de G se réduit dans Eh à un mul¬

tiple non nul d'un paramètre angulaire de Gx.

5. Soient q1 et q2 deux paramètres angulaires du tableau I

(q1} q2 eZiG^)) et a-j, oc2,..., xni ; p\, j82 > • • • > p\>2 les suites respective--> ->

-> ->

ment associées ; que peut-on dire des vecteurs «x ,...,«„, jffx,..., ^

lorsque q jet q 2

sont orthogonaux ?

-* ~*"

Proposition 3. Si les vecteurs g {et q} du tableau I (G, Gx) sont orthogo¬

naux, alors tout vecteur associé au premier est orthogonal à tout vecteur

associé au second.

-> ->

En effet, q tet q 2

étant orthogonaux, ^i + É?2 n'est pas un élément de

->,

~*->

~*

£(Gi). Si « x, par exemple, n'est pas orthogonal à p\, on a « x• p\ < 0 et

«! + p\ appartient à H(G). Mais «x + p\ se réduit dans Bh à ^ -f g2

qui n'est pas le multiple d'un paramètre angulaire de Gx. al est néces¬

sairement orthogonal à /3X ; comme on peut faire ce raisonnement pour

tout couple Xf, fij, la proposition est établie.

Il est facile de donner une démonstration qui n'utilise pas le théo-

-> -> -> ->-> ->

reme 1 ; on a ?1=A1a,iH h^»,, et g2 = ^1/31H \-f*nJn2>les coefficients At,..., A„ , fix,.. ., fin étant tous positifs (proposition 1).Formons le produit scalaire

239

q1-q2 = Zljfta.-ft .

->->

Les produits a <• /S,- sont tous négatifs ou nuls, tandis que les coefficients

-> -> ->->

A^ sont positifs. Alors: (1) gi-g2 = 0 entraîne (2) «f^ = 0 quelsque soient i et ?°. Remarquons que (2) entraîne (1).

6. Proposition 4: Si G est simple, il en est de même de tout sous-

groupe (H)0.

En effet, si le sous-groupe Gx semi-simple n'est pas simple, la suite

Ql,...,ph se décompose en deux suites partielles P\,---,Qh' e*

qh,+1,..., ph, tout vecteur de la première étant orthogonal à tout vec¬

teur de la seconde. Alors, d'après la proposition 3, tous les vecteurs

associés aux vecteurs q1}. .., ph, sont orthogonaux à tous les vecteurs

associés aux vecteurs gft/+1,..., Q h\ G serait semi-simple, ce qui est

contraire à l'hypothèse. Gx est bien simple.

§ 10. Couple de suites non orthogonales-> -*

7. Si les vecteurs gt et q2 ne sont pas orthogonaux, la somme q =

g1 -\- q2 est un paramètre angulaire de Gx. Je me propose d'étudier les

suites associées aux paramètres angulaires qx , q2 et q1 -f- q2 ; soit donc

le tableau restreint:

Pi : &!, <x2, • •> &Ml

Q% ' Pi > A , > Pn2

q : eo1; co2,. .., (on

~

-> -> -> ->

Comme gt • q2<0 ,la position relative des deux vecteurs gj et p2

est donnée par l'un des trois graphiques suivants :

Kg. 3

-> ->

On peut, en changeant au besoin les notations, supposer que g tet q

ont la même longueur ; l'opération de 0 (Gx) qui produit dans Rh la

240

symétrie par rapport à p2 = 0 applique alors gt sur p. Le nombre des

paramètres angulaires associés à gt est égal au nombre n des paramètresassociés à p. L'opération a de 0 (Oe2) associée à la symétrie précédente

applique la suite «t, oc2,..., <xn sur la suite w1, a>2,..., co„ ; je choisis

les notations en sorte que a oct = cot. On peut former les relations :

->->-» ->

g1 = /1a1 + ^«2+ • • +ABan At>0 (i= 1,2,. . .,»)

_>->-> ->

Q2 = fhPi +M2P2 + + f^T^r P,>0 (Z = 1, 2 r)

->->•-> ->

p = Aj coj + Aa eo2 + • • • + Xn con

8. Considérons la relation a ax = Wj ; a = 8Q2 ajoute à «x une ex¬

pression m1(i1-\- + rar/?r:

a «! = «>! = ax + m^! + m2/32 + ••• + mrj8r (1)

«!, /?!,..., /3T étant extraits de 9^, ç>a,..., cpl, et le coefficient de otx

étant positif, les entiers m1, m2,..., mr sont positifs ou nuls ; (1) devient

dans Rhr

q = ei + 02 GT mJ (2)1

r

d'où Z" m, = 1 ; ainsi, parmi les nombres m1,..., mr, un seul n'est pas1

nul, et est égal à un ; je le désigne par m3. On peut écrire

a xx = «>! = «! + p, . (3)

Supposons qu'il existe un paramètre /?, tel que <xx + /S, = a>2 • D'aprèsla relation (3), on a a>2 = cr «2 = «2 + /8,,, et <xx + /9j = <x2 + /S,,, avec

i ^ i1; mais cette relation est impossible, puisque les paramètres ac1, (}t,

<x2, fit, sont indépendants. On peut énoncer :

Proposition 5 (a). Etant donné un vecteur ocl associé à p1; il existe un

vecteur f), associé à q2 et un seul tel que «, • /3, < 0.

Remarque : le raisonnement précédent montre que, étant donné un

vecteur a>j associé à p, il existe un vecteur «t associe a px et un vecteur

->->

j8, associé à p 2,la somme des deux derniers étant égale au premier, avec

otx. = œ,.-*" "* ""*"

w .

J'étudie maintenant la relation p 1 + p 2= p ; elle peut s écrire

»_^

«• -> _^-> ->->

1 1

24116 Commentant Mathematici Helvetici

les vecteurs «j,...,

ocn, fa,..., fa étant indépendants ; le second membre

a été écrit en tenant compte de la remarque précédente. Comme /ji1}..., fir-> ->

sont positifs, tous les vecteurs fa,..., fa figurent au premier membre ;

->

ils figurent donc tous au second membre. Un vecteur fa donné figure

nécessairement dans l'une des parenthèses ; il existe ainsi un oc, tel que

oc, + fa soit un vecteur du diagramme. D'où :

-> ->

Proposition 5 (6). Etant donné un vecteur fa associé à g2, il existe au

moins un vecteur octassocie à g j ,

tel que oct-fa<0.

Les énoncés 5 (a) et 5 (b) peuvent être complétés par le suivant :

->->

Proposition 5 (c). Les vecteurs fa associés à g2 sont orthogonaux deux à

deux.

En effet, soient fa et fa deux paramètres angulaires associés à g2 ;

d'après 5 (b), il existe deux paramètres oc, et oct tels que oc, + fa = o>,

et oct + fa = wt ; d'après 5 (a), fa est l'unique fa non orthogonal à oc,.

Ainsi, a oc, = oc, + fa donne j = s et cr <%s = oc, + /3S = co, ; de même

aoct = oct + fa = mt. On a

«, • «t= «>s •

eot ,ou: «s • «j= (a, +/5,) («t + pt)

Comme s =£t, on a «, • p\ = 0,

a4

• /S, = 0,

dou «,.<%,=

-> ->-> -* -> ->

<*,- *t + P.- Pt et fa.fa = 0 quel que soit s =£ «.

Les propositions 5 entraînent le théorème suivant :

9. Théorème 2. Si les vecteurs Q! et g2 extraits de g 1,..., gh formentun angle de 120 °, on a :

a, • £, = fa fa = 0 ( # y) «, • fa = 0 (» ^ ?) ; «, • fa < 0

Autrement dit, la figure de Schlàfli qui représente les suites associées

à gi et à g2 est :o o o

A A - lEn effet, il résulte de l'hypothèse que les vecteurs g x

et g 2ont la même

longueur et qu'ils peuvent être permutés dans les raisonnements précé-

242

dents. Alors, les vecteurs d'une même ligne sont orthogonaux deux à

deux, et un vecteur de l'une des lignes est orthogonal à tous les vecteurs

de l'autre, sauf à l'un d'entre eux, c. q. f. d.

Remarque : On a nécessairement n > r, comme le montre la démons¬

tration de 5 (b).

§ 11. Sur les inclusions possibles

10. Soient G un groupe simple clos, et G1 un sous-groupe (H)0 de G,

de rang h ; le but de ce paragraphe est de trouver quand l'inclusion

G1aG est possible en vertu des conditions nécessaires établies au para¬

graphe 10, dans le cas où le rang h de Gt est au moins égal à deux. Je

montre d'abord que le sous-groupe Gt n'est pas quelconque :

Proposition 6. Parmi les sous-groupes (H)0 propres d'un groupe simple

G, il n'y a jamais l'un des groupes Ah, Dh, E6, E7, Es (h > 2).

I Supposons que Gx soit de l'un des types Ah, Dh, Et, avec un rang

I supérieur à un ; alors les vecteurs g,.,..., o hont tous la même

| longueur ; 0 (Gt) opère transitivement sur eux. Si G1 est du type Ah,! %{Gj) est représentée par la figure 4. Les suites associées ont un

0 nombre d'éléments fixe, égal à n. Il résulte du théorème 2 que la

g- figure de Schlâfli $ (G) a la structure indiquée par la figure 5. Il

ne peut y avoir d'autres traits que ceux qui sont indiqués ; pour deux

lignes associées à gf et p3- avec q { q t < 0, cela résulte du théorème 2 ;

O Os^ Qi ' Q}— ®> c'est une conséquence de la proposition

1 I | 2 du § 9. Ainsi, on a nécessairement n = 1, sinon G

9 9 9 n'est pas simple. Un raisonnement analogue peut être

i i j appliqué aux cas Dh et Eit c. q. f. d.

i i ' G-,, est nécessairement de l'un des types Bh, Gh, Fi; Gt.

O q q Remarquons que la proposition 6 est évidente pour G1

Kg. 5 = -D2 qui n'est pas simple. Il est commode de séparermaintenant les cas h —- 2 et h>2.

I. Le rang de Gy est supérieur à 2.

11. A son tour, le groupe G n'est pas quelconque :

Proposition 7 : Tout groupe de l'un des types Bl,Cl, Fi ne contient aucun

sous-groupe (H)0 propre de rang supérieur à deux.

243

? 9 Le rang de G1 est supérieur à 2 ; je peux supposer

° ° leil=leal, ei-ea<°- Qi' Qi = ° (*>2); alorsla"~

figure de ScMàfli est appliquée sur le tableau I (G, Gx)comme indiqué dans la figure 6, le contenu des (h — 2)

Fig-6 dernières lignes n'étant pas précisé. Soit n le nombre des

éléments dans chacune des deux premières lignes ; on ne peut avoir

n > 3, sinon la figure connexe 2f (G) présenterait plus de deux terminai¬

sons à deux éléments au moins (Chapitre I, n° 12 (b)). Si n = 2, g((?)

présente deux terminaisons à trait simple, et G n'est pas de l'un des types

B{ ou Cf ; comme il y a plus de quatre éléments dans ^{G), G n'est

pas non plus du type Ft. Cela étant, si n = 1, chaque ligne associée à

QnQt>- • •> Qh ne contient qu'un seul élément ; dans le cas contraire,

[ il se présente la figure 7, la première ligne non marquée contenant1

deux éléments au moins. D'après la proposition 5 (a), le dernier

point marqué est d'ordre 3 au moins, ce qui ne peut se présenter si

~T~ G est de l'un des types Bl,Cl,Fi. Mais alors, le rang de Gx est égalau rang de G, ce qui entraîne Gx = G. La proposition est établie.

Maintenant, dans la recherche des sous-groupes (H)0 propres de G, de

rang supérieur à deux, je peux me borner à chercher, dans les groupes

simples du type Al,Dl,Ei, les sous-groupes de l'un des types Bh,Ch, Ft.Il convient de se donner le sous-groupe Gx et de chercher les groupes G

tels que GtcG.Et)

12. Cas où G1 est un groupe simple du type Bh ouGh. 5(Gj) est (Fig. 8) :

îî

A

oOn a Q,-Qt+i<0 (i = 1, 2,.... h — 1), sinon gi-gi = 0 et

? Ie,l=le"il (* = 2,3,...,*-!) avec:

ou

Qh\_

1„„

le*l= |A>-

o leil vzleil

O suivant que G1 = Bh ou G1 = Ch. Le nombre des éléments

Fig. 8 associés à l'un des pyramètres Qt, q2 ,..., Qh_1 est constant,

égal à n ; soit encore s le nombre des paramètres associés à gh.

Comme au numéro 11, on ne peut avoir n > 3. En discutant les cas

n = 1 et n = 2 conformément aux propositions 5, et en se servant

de l'inégalité \q\ < (n° 3 du § 9), on obtient s = 1 ou 2, et lesVn

résultats consignés dans le tableau ci-dessous, qui contient aussi l'uniquecas G1 = Fé.

244

Tableau des inclusions G-^cG possibles, le rang de Gx étant > 2.

1

VI

1

i

W

1

Qi : <Pi <Pi

02 9?2 <Pl-l

1 J

Qh-i

Qh

i i: 9V-1 <Ph+i

\/<Ph

1

V2Pi : <px (pt

1

w 02 <Pz <Pi-i

1 1

1 i iV2 Qh-i : 9V-1 <Ph+2

1 1

1

2 Qn

1 1

: <P>f—<Ph+l

Bh c Z>ft+]

1

VJ Pi : <Pl <P5

1 \ jVI Ql. 9?2 9>4

1 9i : ^3

1 04 : 9>e

5ftc^2

J.cfi»

Les vecteurs g 1,..., g hobtenus ont les

longueurs indiquées à gauche de chaque ta¬

bleau I (G, Gj) ; ils correspondent bien aux in¬

clusions indiquées au-dessous de chaque I.

IL Le rang de Gx est égal à deux.

13. Ce cas ne peut être traité comme précé¬demment, puisque Gt est nécessairement l'un

des groupes B2 ou G2, les deux vecteurs fon¬

damentaux n'ayant pas la même longueur.Par contre, on peut faire usage du théorème 1, § 9. Le tableau I (G, Gx) est

i ( ?:?,?",,,ï" ('<»>{ Ql Pi > ?2 » • • • » Pr

avec les notations du no 6 (§ 10). Si G1 = B2 ou G1 = Gi, les paramètresangulaires positifs du sous-groupe envisagé sont respectivement:

Qi Q1 + Q2 | 9i Qi + Q2 3 Qi + 92

62 2Qi + 92 \ 92 %9i + Q2 3 9i +2 92

14. Proposition 7': Tout groupe de l'un des types Bv, Gl, FA exceptééventuellement Ba, ne contient aucun sous-groupe (H)0 de rang 2.

Posons d'abord G= Bt ou C,; la figure de Schlâfli g (G) peut être

appliquée sur le tableau I de deux façons:

(a)

(b)

Y

n xv

YY

Fig.9

245

Je tiens compte ici des propositions 5 (a), (b) et (c). Dans la première

ligne, chaque figure est contenue dans la suivante; il en est de même

dans la seconde ligne. Les paramètres angulaires fondamentaux sont

numérotés en partant de l'élément extrême gauche. Alors, avec ces no¬

tations, co = 2 cpx -J- 2 <p2 -f 2 ç>3 -f 994 est un paramètre angulaire de Bi,

B5, B7,... ; (ligne (b)), qui se réduit à 4^ -f 3jj2 dans le sous-éspacei?a; mais cette forme n'est pas le multiple d'un paramètre angulaire de

Bt ou de 6r2. Les dispositions indiquées par la ligne (b) doivent être

éliminées.

Pour étudier la ligne (a), je pose co = 2<px -+- ç>2 + q>3 + ç>4, qui est

un paramètre angulaire de Bs, Bt)... ; on a, dans R2, co = 4gx + q2,

qui n'est pas le multiple d'un paramètre angulaire de B2 ou de G2. En

résumé, parmi les groupes Bt, seul B3 contient éventuellement un sous-

groupe (H)0 de rang 2. Un raisonnement analogue élimine tous les groupes

03,C4)..., ebFt.

15. Quels sont maintenant les groupes de l'un des types At, Dt, Et

qui peuvent contenir un sous-groupe (H)0 de rang 2 ?

Proposition 8. Les seuls groupes de l'un de types At, Dt, E6, E7, Es quisont susceptibles de contenir un sous-groupe (H)0 de rang 2 sont As, AitAs, Dt.

G = At. Deux dispositions sont possibles (Figure 10) :

OOO O—O O O—O O O O—O O—Q

O OOOO OOO

o—o o—o o o—o o—o

(t>) ! ï I 1/ I 1/ IOOOO OO O Fig. 10

Dans une même ligne, chaque figure contient la précédente. Les para¬

mètres angulaires sont numérotés en partant de l'élément extrême

gauche. Avec ces notations, co = cpx -+- cp2 + • • • + q?7 est un paramètreangulaire de A7)AB,A9,... (ligne (a)), se réduisant à 5qx + 2q2 dans

Ri. Les groupes Av (l>7) sont exclus (disposition (a)). Ab doit être

éliminé, car j o 11 == —=-,

I g 2I = ——

.Seuls restent A* et AR.

y5 V2

Etudions la disposition (b) ; co = g?x + cp2 + • • • + q>7 est un para¬mètre angulaire de A7, As, A9,.. . se réduisant à 4^ + 3g2 dans B2;

Ae disposé suivant (b) ne convient pas, et A5 non plus, comme tout à

l'heure. Seul reste At.

246

En résumé, si un groupe Al contient un sous-groupe (H)0 de rang 2,

on a nécessairement G — A3, At, Ae.G = Dt (l > 3). On a Ds = A3, qui convient. Pour Z)4, seule la

disposition où le point triple est seul dans la seconde ligne est compatibleavec les propositions 5. Ces mêmes propositions montrent que Db, D6...ne conviennent pas.

G = E6, E7, Es. Les figures de Schlâfli montrent qu'il existe dans les

trois cas une terminaison à deux éléments issue du point triple. Il en

résulte que ce dernier ne peut figurer dans la seconde ligne. S'il figuredans la première ligne, on a les dispositions suivantes Fig. 11

c—o-

o o o

o—o-

o o

o

o

o- -o--o o

1/o o o

-o

La dernière ne convient pas (propositions 5) ; les deux autres égalementcomme on le voit en calculant dans JS2 la valeur des paramètres angu¬

laires dominants des groupes Ee, Ey. La proposition 8 est maintenant

établie.

Tableau des inclusions G1 <:G possibles, le rang de Gx étant égal à 2.

1

w

1

Qi ' 9>i 9?3

\/

1

J

1

Qz ' <Pi 9>4

1

w1

0i : 9i <Ps—<Pi

?2 <p&

B2 c A, Bs cA, Go c At

1 V2

w Qx <Pi <Ps ?i

\l/vi 6i <Pl ?3

1 02 : 92 Y2 02 <PI

G2cDt G2cBs

Les figures q1}.. ., Qh obtenues correspondent aux inclusions indi-

—>.

quées, les longueurs | q{ | ayant été calculées au moyen de la formule

du no 3 § 9. Les deux premières inclusions ont déjà été obtenues au

numéro 12.

247

16. En résumé, dans l'étude des sous-groupes (H)0 de rang >2, les

conditions nécessaires des § 9 et 10 ont montré qu'il ne peut subsister

qu'un nombre très restreint d'inclusions, présentées dans les tableaux

des numéros 12 et 15. Nous verrons que ces inclusions se présententeffectivement au chapitre suivant, qui traite des sous-groupes (H)0 de

rang un ; dans ce cas, les méthodes du présent chapitre sont inopérantes.

CHAPITRE IV

Sous-groupes (fl)o de rang un

§ 12. Existence des sous-groupes (H)0 de rang un

1. S'il existe dans 0 un sous-groupe (H)0 de rang un, le tableau I

relatif à ce sous-groupe est :

q : q>l,(p2,...,<pl .

Seules les propositions 1 et 2 du § 9 conservent un sens, sans donner

d'ailleurs de critère. En se servant des méthodes infinitésimales, on peutmontrer que tout groupe de Lie clos semi-simple contient un sous-

groupe (H)0 de rang un. Cette proposition est établie dans ce § 12 qui

n'emprunte aux chapitres II et III que la définition des sous-groupes (H).

2. Anneau complexe 5R31). C'est un espace vectoriel complexe, somme

directe de deux sous-espaces 91' et 9t2m. En choisissant dans 9tJ une

base S, on peut décomposer W en deux sous-espaces R[ et Ri, qui sont

respectivement la composante réelle et la composante imaginaire de 31'.

Soit E l'ensemble des racines de 5R ; il est constitué par 2m formes

linéaires ±(xx(x),. .., ±fim(x) des coordonnées d'un point x variable

dans 9t' ; on a :t

M*) = £auxjj=l

les x> étant les coordonnées de x dans la base 8. Les coefficients au sont

des nombres rationnels réels.

Il existe un isomorphisme additif de E sur un sous-ensemble Eh de

vecteurs de R[ ; à la racine oc e E correspond un vecteur hae Eh, avec :

_

<x (ha) ^ 0— fo-a

31) Cf. H. Weyl, Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen (Math.Zeitschr., t. 24, 1926, p. 371—375).

248

De plus, il existe une correspondance biunivoque entre £ et un en¬

semble de 2m vecteurs e^, e,,..., em, e_yLm formant une base de

9î2m. Cela posé, la structure de l'anneau de Lie semi-simple 5R est définie

par les formules :

[h, h'] =0 (h,h'eW) [e«, ep] = Nap ea+js

[h ,ea] = tx (h) ea Nap = 0 si <x + p(!pZ

[ea, C_aJ = fia Nafi #0 si u + peZ

Nap réel; Nap = N_a,^

En particulier, si

V=K % + A'i e_fll H h Xm e fim + Xm e - fxm

on a

[h,y] = nx{h) Aj e/li- ^(A) ^ e_/Xi H \- nm(h) lmem - /im(h) Xme_flm .

3. Anneau réel R à structure close. Soit 77^. le plan de Wm lieu des

vecteurs b eH -f- b e_H ; le sous-espace R = R\-\- II^ + • • • + ïlflmest un sous-anneau de 3Î, à structure réelle close ; il engendre un groupe

clos G semi-simple. Les racines de R sont les formes dr/*j(x). % e Ri ;

on peut poser: /j-j(x) = ivi(x),vi(x) étant une forme linéaire des co¬

ordonnées de x dans la base iS.

Cela étant, le groupe adjoint linéaire de G laisse invariante dans R

une forme quadratique définie positive se réduisant dans R\ à Z v2}(x).En posant Vj = i h^ ,

on a r3- (x) — — vt

x,x e R2.

Je suppose maintenant que ± Vj,..., ± fm

sont des combinaisons

linéaires entières de vx,.. ., vt, à coefficients nuls ou de même signe.Alors vx = v2 = • • • = vt > 0 définit une diagonale principale R1 de R\,

-> ->

et on a gu—

vt vt < 0 (i =^j ;i,j = 1,..., l). En particulier, /^ — [i}

n'est pas une racine de 9Î.

4. Existence du sous-groupe (H)0 de rang un. Soit h e R1 ; on a

Pi(h) = = fiiQi) = it (t paramètre réel). Posons

ou

y=K Vi + Ai e-^i + • • • + xi e« + *« e-w (ye R)

puis_ _

y1 = (i Aj, — i Alt...,i Xu -i A,) (i = ^-1)

ces deux vecteurs déterminent un plan II c /Z^ + • • • + i7w. On a

249

[^>«/] = {itXl,—itX1,...,itXl, — itXl) = ty' ,

[h,y'] = (—tXï, — tI1,..., — tXl, — tïl) = —ty.

Le plan 77 est invariant par la transformation infinitésimale h. Mainte¬

nant

[y, y'1 = - 2i S X, X, [e ,e ] + 2 £ (i XkX,[e_n,e ] -iXkX, [eM,e ])\

î l t<> I

Comme /it — /j, n'est pas un paramètre angulaire, on a (i ^ j) :

[y,y']=-2iZX~X1h =-2ZXJ'x~1~îi .

i'

i

Peut-on disposer des Xs en sorte que [y, y '] e 721 ? Etudions le vecteur

_>'

—> _>

co = 27 Xj X, vr Lorsque Xx,..., Xt varient, co décrit dans RL2 l'ensemble1

-> ->

des combinaisons linéaires à coefficients positifs de v1,.. .,vt (premier

quadrant). Posons vt- v} = gi} (i,j=l,...,l); alors g^> 032). Les

composantes covariantes A, du vecteur h = h sont égales, à 1 par

exemple. Alors : hk = S gki>0, ce qui signifie que h appartient au

7=1v

-

/—premier quadrant. Le système Xj Xt = h? admet la solution X} = VW

(j = 1,..., l). Avec ces valeurs de Xx,..., Xt, on a

[h, y\ = ty' [h, y'] = — ty [y, y'] = s h (t, s nombres réels)

ce qui montre qu'il existe un sous-anneau simple r à trois paramètresdans R, contenant la diagonale principale R1, avec r = 7?1 +77, et

H^ + • • • + nm étant le sous-espace .£77 minimum qui contient 77.

On peut énoncer :

Théorème 1. Soient G un groupe de Lie semi-simple clos, q>1} cp2>.., cpt

l paramètres angulaires fondamentaux de G, <px = • • • = tpt une diagonale

principale R1 de G, et II'v le plan de R (G) associé au paramètre cpl ; il existe

dans G un sous-groupe g simple de rang un, tel que R(g) = R1 +77.

nVi + • • • + IIn étant le sous-espace 2IJç,i minimum qui contient II.

C'est le théorème 1 du chapitre II qui permet de passer du sous-anneau

r au sous-groupe g. Je dis maintenant que g est un sous-groupe (77)0de G.

En effet, supposons g c G', G' étant un sous-groupe de rang l de G.

g contient un sous-groupe i à un paramètre recouvert par R1 et t appar-

32) Voir note 30 du chapitre III.

250

tient à un toroïde maximum Tl de G '

; comme t contient un élément

régulier dans G, Tl est l'unique toroïde maximum de G qui contient t et

est précisément le toroïde recouvert par R1. G' est ainsi déterminé par

T1 et par II"ç,i,..., IIn ; <p1, <p2,..., <pt sont alors des paramètres angu¬

laires de G', d'où G' = G, et g c G. La diagonale principale R1 de g

étant régulière dans G, on a, bien g cG. D'où :

Théorème 1;. Totti groupe de Lie clos semi-simple contient un sous-

groupe (H)0 de rang un.

Généralisons un peu : si G n'est pas abélien, sa composante semi-

simple contient un sous-groupe (H)0 de rang un, qui est aussi {H)0 dans

G, d'où:

Théorème 1". Tout groupe de Lie clos non abélien contient un sous-

groupe (H)0 de rang un.

Il est avantageux de caractériser les sous-groupes trouvés d'une ma¬

nière qui ne fasse pas apparaître le diagramme. Considérons un sous-

groupe (H) de rang un g contenant un élément z régulier dans G. Il existe

un sous-groupe fermé à un paramètre de g joignant l'élément neutre e

à 2 ; ce sous-groupe contenant un élément régulier est représenté dans le

diagramme R1 de G par une droite qui contient un élément régulier ;

comme g n'est pas contenu dans un sous-groupe de rang l, cette droite

R1 est une diagonale principale de Rl. Si l'équation de R1 est f1 = q>%

= ' ' ' = fi ou Ç'u • •> <Pi son* ^ paramètres angulaires fondamentaux

de G, le plan II tel que R(g) = R1 + II appartient nécessairement à

Hv + - • • + nn, sinon g est contenu dans un sous-groupe de rang l. En

résumé, un sous-groupe (H) de rang un qui contient un élément régulierest un sous-groupe (i/)0 de rang un, et est représenté par la diagonale

principale R1 dans R1.

Théorème V". Tout groupe de Lie clos non abélien contient un sous-

groupe (H) de rang un contenant un élément régulier.

Dès maintenant j'appelle sous-groupe principal un tel sous-groupe de

rang un.

§ 13. Propriétés des sous-groupes principaux

5. Un sous-groupe principal contient un élément régulier et n'est pas

contenu dans un sous-groupe de rang maximum de G ; ces propriétéssont invariantes par tout automorphisme ; donc, tout sous-groupe déduit

251

d'un sous-groupe principal par un automorphisme est encore un sous-

groupe principal. Il se trouve même que les sous-groupes principauxforment une seule classe de sous-groupes conjugués.

Théorème 2. Deux sous-groupes principaux sont conjugués.

Soient gx et g% deux sous-groupes principaux dans le groupe G ; consi¬

dérons deux toroïdes T\ et T\, maximums respectivement dans gx et g2 ;

ils appartiennent respectivement à deux toroïdes T[ et T\, maximums

dans G, conjugués dans G ; soit a l'automorphisme intérieur de G qui

applique T\ sur T[ ; a applique g2 sur un sous-groupe simple de rang un,

et T\ sur T\' c T[. On peut donc supposer T\ et T\ dans un même

toroïde Tl. Dans Rl = R(Tl), R(T{) et R{T\) sont deux diagonales

principales ; il existe un automorphisme intérieur de G qui conserve Tl

en appliquant T\ sur T\. En résumé, on peut se ramener au cas où g1

et g2 coupent un toroïde Tl suivant un sous-groupe à un paramètre

représenté dans Rl par une même diagonale principale R1.

Soient donc : R{gx) = R1+n, R(g2) = 721 + 77' ; les plans 77 et 77'

sont tous deux contenus dans le sous-espace IIVi + • • • + 77,,{, les para¬

mètres <p1,.. .,q>l étant fondamentaux, et ç>j = • = <pt étant l'équa¬tion de R1.

Considérons le repère q>x,..., cpl de R1, et soit v =r1<p1-\-- • + rl<pl

un vecteur de R1 (r^O). En adoptant les notations du § 12, on voit

qu'il existe dans 77 deux vecteurs

(A1; A1;..., Aj, Aj) et (i Xl) — i Al5.. .,* X„ — i X, (1)

->_

dont le crochet est v, avec Xt Xi = ri. De même, il existe dans77' deux

vecteurs

(A{,Ii,...,4l;) et (iX1~,-iX[,...,iX/l,-iX'l) (2)

de crochet sv, avec s>0, X'} X\ = srd; alors il existe dans 77' deux

vecteurs (s~* X[,..., s X[), (is X[,. ..,— is X[) de crochet v .

Je désigne ces deux vecteurs par la notation (2). Ainsi, on a X} Xj = X\ X'f= T-'

i

Les nombres Xt et X'j ont le même module ; il existe l nombres réels

vlt.. .,vt tels que X\ = e2vlvi Xj ; de plus, on peut trouver dans R1 un

point y tel que q>j{y) = v}. Alors l'automorphisme intérieur déterminé

par y applique les vecteurs (1) sur les vecteurs (2) et grx sur g2. Ces deux

sous-groupes sont bien conjugués.

252

6. L'existence des sous-groupes principaux permet de formuler

autrement l'hypothèse (H)0.

Théorème 3. La condition nécessaire et suffisante pour qu'un sous-

groupe Gl de G soit un sous-groupe (H)0 est que G± contienne un sous-groupe

principal dans G.

La condition est suffisante : Soient g et Gl deux sous-groupes de G tels

que gcGt, g étant un sous-groupe principal dans G. Tout d'abord,

Gl est un sous-groupe (H) de G, sinon g serait contenu dans un sous-

groupe de rang maximum l de G, ce qui n'est pas. Maintenant, un sous-

groupe G[ de Gl qui contient g a nécessairement un rang inférieur au rangde Gx (proposition 2 § 8) ; donc g n'est pas contenu dans un sous-groupe

de Gx ayant même rang ; g est un sous-groupe (H) de Gt. La diagonaleprincipale de g est ainsi une diagonale de Gx, et comme elle est régulièredans G par hypothèse, elle est aussi régulière dans Gt ; c'est une diagonaleprincipale de G1. Ainsi, la diagonale principale de G1 est régulière, et Gtest un sous-groupe (H)0 de G.

Cette démonstration entraîne la remarque suivante :

Remarque : Si g c Gx est principal dans G, g est principal dans Gt.

La condition est nécessaire : Considérons un sous-groupe G1 sous-groupe

(H)0 de G ; je dis que Gl contient un sous-groupe principal de G. Soit g un

sous-groupe principal dans G1 ; la diagonale principale R1 de g admet l'équa¬tion Pi = • • = Qh, où Qlt.. ,,qh sont h paramètres angulaires fondamen¬taux de (rj. Comme Gl est un sous-groupe (H)0 de G, qx — = ph en¬

traîne <Pi — •— <fi où <p1,.. .,(pt sont l paramètres angulaires fonda¬

mentaux de G ; ainsi R1 est une diagonale principale de G, et q e R1

est une combinaison linéaire à coefficients positifs de ç> a,.. ., ç>,. Soit

R (g) = R1 -\- II ; LT appartient au sous-espace IJpi + • • • + LTph qui est

lui-même contenu dans le sous-espace LTVi + • • + LTn ; ce dernier est

de plus le sous-espace 211g,. minimum contenant 77, sinon q ne pourrait

être une combinaison linéaire à coefficients positifs de <p1,..., <pl. De là

résulte g cG, et g est un sous-groupe principal de G.Ho

Remarque : Un sous-groupe g principal dans un sous-groupe (H)0 de G

est principal dans G.

7. Théorème 4. Soient G = G' -f G" H un groupe de Lie clos,G ' étant la composante connexe de l'élément neutre, G" une autre composante

253

connexe, et g un sous-groupe principal de G'. Il existe dans G" un élément x

échangeable avec chaque élément de g.

Il existe dans G" un élément y tel que l'automorphisme déterminé par

y laisse invariants un toroïde maximum Tl de G' ainsi qu'un angle

polyèdre fondamental dont la diagonale principale est celle de g ; cet

automorphisme laisse donc invariants Tl et chaque point d'une diagonale

principale R1 de G. Il applique le sous-groupe principal g, de diagonale

principale B1 sur un autre sous-groupe principal g' de même diagonale

principale. Or, g et g' sont conjugués dans G' ; il existe dans Tl un élé¬

ment a tel que <pa applique g' sur g ; q>ay applique Tl sur lui-même, con¬

serve g et chaque point de B1 ; de plus, il induit dans le plan 77 tel que

E(g) = R1 -{- II une certaine rotation ; on peut trouver enfin dans Tl

un élément b tel que q>bay ait les mêmes propriétés que yay en induisant

dans II la rotation nulle. L'élément x = bay est échangeable avec

chaque élément de g, et appartient à G".

§ 14. Applications

8. Sous-groupes principaux maximums.

Proposition: Soit G un groupe de Lie clos ne contenant aucun sous-

groupe (H)0 de rang supérieur à un. Tout sous-groupe principal de G est

maximum.

En effet, soit Gx un sous-groupe connexe de G contenant le sous-groupe

principal g ; d'après le théorème 3, G1 est un sous-groupe (H)0 de G,

nécessairement identique à g d'après l'hypothèse, c. q. f. d.

Remarque: Un sous-groupe principal dans l'un des groupes Bl, Cx, -F4est maximum (Bz exclu). Cela résulte de la proposition précédente et des

propositions 7 et 7' du chapitre III. On voit ainsi qu'il existe des groupes

simples clos de dimensions aussi grandes qu'on le veut dans lesquels existent

des sous-groupes simples à trois paramètres non contenus dans un sous-

groupe propre de dimension supérieure.

9. Sur les inclusions Bh(.Dh+1, BhcA2h, Cjci^, FicEe. Soit

G = G' -+- G" +• • • l'un des groupes Dh+1, A2h, A2h_x, E6; chacun

d'eux contient une composante connexe G "ne contenant pas l'élément

neutre, avec, dans cette composante, un élément y déterminant un auto¬

morphisme av ; cet automorphisme conserve un toroïde maximum Tl de

G', un angle polyèdre fondamental P(G) fx > 0,..., <pt > 0, chaque

point de la diagonale principale B1 d'équation cp1 = • = g?,, et produit

254

sur les paramètres angulaires fondamentaux une permutation involutive

(Chapitre I, 12 (d)). D'après le théorème 4, il existe dans G "

un élément x

tel que ax produise dans R1 les mêmes effets que ay, en laissant invariant

chaque point d'un sous-groupe principal g de G, de diagonale R1.

Considérons le sous-groupe G1 de G' formé des éléments échangeablesavec x. Comme il contient g, c'est un sous-groupe (H)0 de G '

; R (Gj)

coupe R' suivant l'ensemble des solutions du système obtenu en égalantles paramètres <pt qui sont permutés par ax, c'est-à-dire suivant le sous-

espace Rh étudié au chapitre précédent. G± est ainsi un sous-groupe (H)0de rang h. Or les paramètres angulaires fondamentaux d'un tel sous-

groupe sont les formes linéaires obtenues en considérant les valeurs dans

Rh des paramètres q>l,..., tpl. Le tableau I relatif au sous-groupe Gx est

ainsi précisément le tableau trouvé au § 11. Les inclusions de diagrammeconsidérées alors correspondent bien à des inclusions de groupes.

10. Sur l'inclusion G2t B3. Montrons que le groupe B3 contient un

sous-groupe (H)0 du type (r2. Les paramètres angulaires fondamentaux

de B3 peuvent être choisis ainsi :

9i = Ti > 952 =— Ti + t2 , 9>3 = — t2

— r3

où ± t,- , ± xt ± Xj (t/]'; i, j = 1, 2, 3) sont les paramètres angu¬

laires de B3 sous la forme habituelle. Le plan R2 défini au § 11 admet

l'équation q>t = <p3, soit r1 + t2 -\- r3 = 0. Les matrices de B3 qui

représentent les éléments de R2 sont de la forme

D, o\ /co8 2wV

D2 J' 3 \sin2rcT,

sin 2 n t3-

cos 2 n xj

0 DJ (7=1,2,3)

avec Tt + t2 + ^3 = 0

Or, ces matrices appartiennent à une représentation linéaire orthogo¬nale réelle du groupe G2. Ainsi, le groupe B3 contient un sous-groupe G2

qui coupe T3 suivant un toroïde T2 recouvert par le plan -R2 d'équation :

(p1 = ç>3. Les paramètres angulaires de ce sous-groupe sont parmi les

formes linéaires obtenues en réduisant les paramètres angulaires de B3

dans le plan R2, c'est-à-dire en tenant compte de çpj = <ps dans l'en¬

semble :

±

<Pi <Pi + ?2 <Pi + <Pz + 93 %<Pi + 9?2 + 9>3 2<Pi + 2^2 + <pa

<Pz 9>2 + <Pa 2(Pi + <Pv,

255

On obtient

Qi Qi + Qz 2gj. + q2 3gl + p2 3^ + 2q2

± { 62 Qi + Qi 2^ + q2

Les paramètres angulaires fondamentaux du sous-groupe étudié sont

visiblement q1 et q2 ; le tableau I est dans ce cas

j , Qi- <Pi><Ps

ce qui signifie que le sous-groupe étudié est un sous-groupe (H)0 de B3.L'inclusion G2 c Bz signalée comme possible au § 11 est effective.

11. Sur les inclusions G2c A6 et G2 c Di. D'après les numéros 9 et

10, le groupe Aa contient un sous-groupe (H)0 du type B3, qui contient

à son tour un sous-groupe (H)0 du type G2 ; un sous-groupe principaldans 6?2 est principal dans B3, donc principal dans Ae. Il en résulte que

A6 contient un sous-groupe (H)0 du type G2, et que l'inclusion mention¬

née au § 11 est réelle. Ce même raisonnement s'applique à l'inclusion

02 c i)4, car D4 contient un sous-groupe (H)0 du type B3. On pourraitaussi utiliser le raisonnement fait au numéro 9, en considérant la compo¬

sante connexe de Dt qui produit sur la figure de Schlàfli 5 (Dt) une

permutation circulaire des trois points distincts du point d'ordre trois.

(Reçu le 16 octobre 1950.)

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