incooperationwith moscowmathematicalsociety ...arnold75.mi.ras.ru/abstracts.pdf · ции...
TRANSCRIPT
Russian Academy of Sciences
Steklov Mathematical Institute of the RAS
Lomonosov Moscow State University
in cooperation withMoscow Mathematical Society, Independent University ofMoscow, National Research University "Higher School of
Economics"
INTERNATIONAL CONFERENCE"ANALYSIS and SINGULARITIES"dedicated to the 75th anniversary of
Vladimir Igorevich Arnold
Abstracts
Moscow 2012
Российская академия наук
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
Московский государственный университетим. М. В. Ломоносова
при участииМосковского математического общества, НезависимогоМосковского университета, Высшей школы экономики
МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ"АНАЛИЗ и ОСОБЕННОСТИ"
посвященная 75-летию со дня рожденияВладимира Игоревича Арнольда
Тезисы докладов
Москва 2012
УДК 517.911/.958ББК 22.161.6
М43
Редакционная коллегия:
В.В. Козлов, ответственный редактор, доктор физико-мате-матических наук, академик РАН
В.А. Васильев, доктор физико-математических наук, академикРАН
C.М. Гусейн-Заде, доктор физико-математических наук, профес-сор
В сборник включены тезисы докладов, представленных на Международ-ной конференции "Анализ и Особенности" (МИАН, Москва, 17-21 декабря2012).
Представляет интерес для научных работников, студентов и аспирантов.
ISBN 978-5-98419-048-0 c© Коллектив авторов, 2012
Программный комитет¦ В.А. Васильев, председатель¦ В.В. Горюнов, зам. председателя¦ С.М. Гусейн-Заде, зам. председателя
Организационный комитет¦ В.В. Козлов, сопредседатель¦ В.А. Садовничий, сопредседатель¦ А.А. Давыдов, зам. председателя¦ С.К. Ландо, зам. председателя¦ Д.В. Трещев, зам. председателя¦ И.А. Богаевский¦ Ю.М. Бурман¦ В.Н. Чубариков¦ А.Д. Изаак¦ Т.С. Ратью.
Programme Committee¦ V.A. Vassiliev, Chairman¦ V.V. Goryunov, Deputy Chairman¦ S.M. Gusein-Zade, Deputy Chairman
Organizing Committee¦ V.V. Kozlov, Co-Chairman¦ V.A. Sadovnichii, Co-Chairman¦ A.A. Davydov, Deputy Chairman¦ S.K. Lando, Deputy Chairman¦ D.V. Treschev, Deputy Chairman¦ I. A. Bogaevskii¦ Yu.M. Burman¦ V.N. Chubarikov¦ A.D. Izaak¦ T. S. Ratiu.
СОДЕРЖАНИЕ (CONTENTS)
Наталия Демина (www.polit.ru) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Владимир Арнольд как явление природы. Три юбилейныхпортрета.
Аграчев А.А. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Квадратичные когомологии
Александров А. Г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Индекс векторных полей на многообразиях с особенно-стями
Алероев Т.С. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Об одной краевой задаче для обыкновенного дифференци-ального уравнения второго порядка с дробной производ-ной в младшем члене
Амангалиева М.М., Дженалиев М.Т., Космакова М.Т.,Рамазанов М.И. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
О спектре оператора теплопроводности в вырождающей-ся области
Батхин А.Б. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33О структуре дискриминантного множества многочлена
Бибиков П.В., Лычагин В.В. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Дифференциальные инварианты линейных действий алгеб-раических групп на пространствах однородных форм
Бибило Ю.П. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Нешлезингеровские изомонодромные деформации
Богданов А.Н., Диесперов В.Н., Жук В.И. . . . . . . . . . . . . 39Особенности поля дисперсионных кривых в задачахустойчивости неклассических трансзвуковых погранич-ных слоев
Богданов Р.И., Богданов М.Р. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Спонтанные симметрии в теории прямых измерений
Васильев В.Б. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Особенности в теории псевдодифференциальных уравне-ний
6
Веденяпин В.В., Негматов М.А. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Топология течений жидкости и плазмы по В.И.Арнольду
Влахова А.В. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48О возникновении неклассических связей в системах с ка-чением
Вьюгин И.В., Гонцов Р.Р., Лексин В.П. . . . . . . . . . . . . . . . . 50О приводимости уравнения Шлезингера
Гельфрейх В. Г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Расщепление сепаратрис около резонансных периодиче-ских траекторий
Глазков Д.В. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Особенности динамики модельного уравнения с большимзапаздыванием
Жужома Е.В. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56О бифуркациях соленоидальных базисных множеств
Звонилов В.И., Оревков С.Ю. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Фундаментальные группы пространств тригональных кри-вых
Зернов А. Е., Кузина Ю.В. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60О решениях сингулярной задачи Коши неявного вида
Зубова С.П. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Влияние возмущений в задаче Коши для дескрипторногоуравнения
Илюхин А.М. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63О лежандровом поднятии самопересечений волновогофронта
Исаенкова Н.В. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Дискретные динамические системы с соленоидальнымибазисными множествами
Кастэн Ю.А. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Разрешимость краевой задачи для аналога уравнения Три-коми во внешности диска
Козлов В.В. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Теорема Эйлера-Якоби об интегрируемости
7
Комаров М.А. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Особенности наилучшего приближения наипростейшимидробями
Левченко Ю.А. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72О топологической классификации структурно устойчи-вых диффеоморфизмов на M3 с нетривиальными базисны-ми множествами
Лерман Л.М. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Гомоклинические торы в гамильтоновых и диссипатив-ных системах
Лукацкий А.М. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76О задаче продолжения диффеоморфизмов
Макаренко А.В. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Расстояние между символами T-алфавита и свойства дис-кретных динамических систем
Митрохин С.И. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80О спектральных свойствах дифференциального операторатретьего порядка с гладкой весовой функцией
Митрякова Т.М. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83О существовании энергетической функции каскадов по-верхностей
Овсеевич А.И., Федоров А.К. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Управление в форме синтеза для успокоения системы ос-цилляторов
Петренко И.А. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Разрешимость задачи оптимального управления длятранспортного уравнения с минимаксным функционалом
Покутный А.А. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Краевые задачи для уравнения Шредингера в гильберто-вом пространстве
Полотовский Г.М. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Запреты для схем М-кривых нечётной степени с макси-мально глубокими гнездами
8
Половинкин И.П. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92О средних значениях решений дифференциальных уравне-ний
Прохоренко В.И. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94О качественном анализе эволюции высокоапогейных ор-бит ИСЗ, лежащих внутри орбиты Луны
Раецкая Е.В. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97О возмущениях в системе наблюдения, моделирующей ме-ханизм лесного хозяйства
Родина Л.И. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Статистически инвариантные множества и эргодическиединамические системы
Сахаров А.Н. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Бифуркации периодических решений уравнения Риккати
Севрюк М.Б. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Статистика разбиений кинетической энергии многомер-ных систем классических частиц
Сидоров Е.А., Папшева Е.А. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105О структуре периодических и почти периодических реше-ний некоторых уравнений с частными производными II по-рядка
Тихонов С.В. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Методы построения перемешивающих действий и преоб-разований
Фреберг Р., Оттавиани Дж., Шапиро Б. . . . . . . . . . . . . . . . . . 110О проблеме Варинга для кольца многочленов
Шамолин М.В. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Обзор случаев интегрируемости в динамике четырехмер-ного твердого тела в неконсервативном поле
Imran Ahmed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Invariants of Topological Relative Right Equivalences
Petr M. Akhmet’ev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Asymptotic higher ergodic invariant of magnetic lines
9
Belmesova S. S., Efremova L. S., Fournier-Prunaret D. . . . 116On the birth and destruction of the closed invariant curvein the one-parameter family of quadratic maps in the plane
Belyakov A.O., Seyranian A.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Exact and approximate solutions to the problem of twirlinga hula-hoop
Nasser Bin Turki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Fundamental Domains in Lorentz Geometry
Blank M. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Local mean-field type perturbations of chaotic dynamicalsystems
Bogolubsky I. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Stable topological string-vortex solitons
Victor M.Buchstaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Symmetric quadratic dynamical systems
Burda Yuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Developments in Klein’s Resolvent Problem
Buryak A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Quasihomogeneous Hilbert schemes of points on the plane
Vladimir Chernov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Cosmic Censorship of Smooth Structures
Sergei Chmutov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Graphs on surfaces via planar graphs
Davydov A.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Reduction Theorem and Normal Forms of Linear SecondOrder PDE in the Plane
Efremova L. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Absence of C1- Ω-blow ups and Doubling Period Bifurcationsin Smooth Simplest Skew Products of Maps of an Interval
Garcia-Planas M. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Generic Families of singular systems and their bifurcationdiagrams
10
Gonchenko S.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Attractors and repellers near generic reversible ellipticpoints
Grines V. Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Energy function for Morse-Smale diffeomorhism andtopology of ambient manifold
Gurevich E.Y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138On embedding of Morse-Smale diffeomorphisms intopological flows
Jalal H.H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Some result on so-sets
Karpenkov O. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Gauss-Kuzmin statistics of Klein polyhedra
Kudryavtseva E.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Topology and stratification of spaces of functions withprescribed singularities on surfaces
Sergei B.Kuksin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144KAM-theory for PDE with one and many space-variables
Alexei A. Mailybaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Bifurcations of blowup in inviscid shell models ofconvective turbulence
Malkin M. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Bifurcations of Rotation Sets for Symbolic Models ofLorenz Type Systems
Markova A.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146The existence proof of homoclinic orbits to KAM-curvesnear 1-elliptic fixed point
Mayburov S.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Fuzzy Topology, Geometric Quantization and Gauge Fields
Gerard MisioÃlek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Diffeomorphism groups, hydrodynamics and geometricstatistics
Sergey M. Natanzon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Foam Hurwitz operators realizing open-closed strings
11
Walter D Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Geometry of complex surface singularities
Taras Panov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Intersections of quadrics and Hamiltonian-minimalLagrangian submanifolds
Perekhodtseva E.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152On the forecast models of the severe wind and ofcatastrophic phenomena likes floods and landslides inducedby the dangerous precipitation
Anne Pichon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Zariski and bilipschitz equisingularity
Pochinka O.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155On a simple arc connecting 3-dimensional Morse-Smalediffeomorphisms with separated by 2-sphere one-dimensionalattractor and repeller
Anna Pratoussevitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Topological Invariants of Gorenstein Singularities
Tudor Ratiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Singular reduction
Tatiana Salnikova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Closed geodesics on non-simply connected manifolds
Alexander P. Seyranian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160V.I.Arnold and stability problems in solid mechanics.Analysis of singularities
Sidorenko V.V., Neishtadt A. I., Artemyev A.V., ZelenyiL.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
Quasi-satellite orbits: a perturbative treatment
Skopenkov M.B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Discrete Riemann surfaces: linear discretization and itsconvergence
Sossinsky A.B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Energy functionals for knots and plane curves, and theirnormal forms
12
Stolovitch L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Big denominators and analytic normal forms
Zeifman A. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Sharp bounds on the rate of convergence for differentialequations of nonstationary queueing systems
Anton Zorich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Right-Angled Billiards, Pillowcase Covers, and Volumes ofthe Moduli Spaces
13
Владимир Арнольд как явление природы.Три юбилейных портрета.
Наталия Деминаhttp://www.polit.ru/article/2008/06/30/arnold/
В любой науке есть люди, которые подобны явлению природы. Ихмощный, а в то же время естественный, дарованный от рождения ге-ний, выделяет их даже из сообщества людей изначально небесталан-ных – своих коллег-ученых. Их талант позволяет им делать большеи видеть шире. Именно таким человеком в математике является ака-демик РАН Владимир Арнольд, которому в минувшем году, 12 июня,исполнилось 70 лет. А в этом году, в мае, он стал лауреатом Госу-дарственной премии РФ (высокая награда была ему вручена в деньего рождения, совпадающий с Днем России), а в июне ему вместе сЛ.Д. Фаддеевым, первыми из россиян, была присуждена премия име-ни Жунь Жуньшоу – Shaw Prize-2008, которую называют «Нобелев-ской премией Востока».
Мы бы хотели представить три образа Владимира Игоревича –мыслителя, математика и знатока поэзии.
Арнольд афористичный
В августе 2007 года в Президиуме РАН и Математическом ин-ституте им. Стеклова состоялась международная конференция«Анализ и особенности» в честь юбилея В.И. Арнольда, на которойВладимиру Игоревичу были вручены поздравительный адрес от Рос-сийской академии наук и личный от президента РАН Ю.С. Осипова,а академик РАН, ректор МГУ В.А. Садовничий вручил ему дипломи медаль «Почетного профессора Московского университета».
В ходе своей совсем не юбилейной, а как всегда интригующей лек-ции Арнольд, в частности, привел определение математики по Бур-баки: «Математикой называется дедуктивный метод абстрактныхсвойств некоторых предметов, не имеющих никакого отношения креальной действительности, к другим их абстрактным свойствам,которыми занимаются математики». Это определение вызвало у
14
участников конференции смех. Второе определение, которое нравит-ся В.И. гораздо больше, он нашел в новелле «Коррида» ВикторииТокаревой. Там написано, что «математика – это то, что можнообъяснить».
Вместе с тем, в одном из интервью (1987) Владимир Игоревич го-ворил о том, что «замечательное свойство математики, которымможно только восхищаться, является непостижимая эффектив-ность её наиболее абстрактных, и на первый взгляд, совершенно бес-полезных, но красивых областей» – нет ли здесь мостика к определе-нию из французского словаря? [1]
В прекрасном интервью Сергею Табачникову журналу «Квант»(1990) В.И. Арнольд дал еще одно определение математики: «Слово“Математика” означает наука об истине. Мне кажется, что совре-менная наука (т.е. теоретическая физика вместе с математикой)является новой религией – культом истины – основанной Ньютономтриста лет назад» [2].
В.И. принадлежит много афоризмов, некоторые из которых негрех повторить вновь и вновь. В том же интервью С. Табачниковуон отметил, что «Ученик – это не мешок, который надо наполнить,а факел, который надо зажечь».
В связи с этой же проблемой «учитель-ученик» он отмечал, что«И.Г. Петровский, один из моих учителей в математике, учил ме-ня, что самое главное, что ученик должен узнать от учителя –это что некоторый вопрос еще не решен. Дальнейший выбор вопросаиз нерешенных – дело самого ученика. Выбирать за него задачу – всёравно, что выбирать сыну невесту» (из предисловия В.И. к его книге«Задачи Арнольда»).
На вопрос «Применимо ли к математике понятие моды?» Арнольддал такой ответ: «Развитие математики напоминает быстроевращение колеса, брызги с которого летят во все стороны. Мода– это струя, уходящая от основной траектории по касательной.Эти струи эпигонских работ всего заметнее, и в них основнаячасть массы, но они неизбежно погибают через некоторое время,оторвавшись от колеса. Чтобы остаться на колесе, нужно всевремя прилагать усилия в направлении, перпендикулярном общемупотоку» (в этой связи С. Табачников замечает, что сам В.И. создавалмоду в математике больше, чем раз) [2, 3].
15
Арнольд математический
Каков Владимир Игоревич в математике могут ответить толькоего коллеги. На наш вопрос, что же выделяет В. Арнольда от другихматематиков, мы получили несколько комментариев – получилсясвоего рода юбилейный peer review. Лауреат Филдсовской премии,московско-принстонский математик Андрей Окуньков был краток ина наш вопрос о значении В.И. для математики, улыбаясь, протянулруку вверх, как люди обычно показывают на солнце или на Бога.Другие математики были, на радость журналисту, более многословныи выделили те аспекты дарования В.И., которые им кажутся самымиважными.
* * *Сергей Гельфанд, руководитель издательской программы Аме-
риканского математического общества (Associate Publisher forAcquisition, American Mathematical Society):
Что является наиболее важной чертой в математическомталанте Арнольда?
Это хороший вопрос, только я не знаю, как на него отвечать. Наи-более ценна в Арнольде, по-моему, его уникальность. Я не берусь оце-нивать, что хорошо, что плохо, но ценно то, как он думает про ма-тематику, оценивает математику, занимается математикой, говоритпро математику. Так как делает это В.И. Арнольд – не делает никтодругой. И поэтому это очень ценно и мне кажется это – главное иосновное.
При этом все это, конечно, делается на совершенно высокомуровне, и этим он сильно отличается от многих других людей. Онговорит вещи интересные и важные, которые я нигде в других местахне слышал [4].
* * *Станислав Янечко (Stanislaw Janeszko), профессор, директор
Института математики Польской академии наук (Польша):Что является наиболее важной чертой в математическом
таланте Арнольда, на Ваш взгляд?Я думаю, что Арнольд – великий человек и главная черта его та-
ланта – это желание дойти до самой сути идей, в особенности, топо-
16
логических и геометрических.Наиболее важная его черта состоит в том, что он пытается найти
ключ к решению проблемы, своего рода универсальный базис, кото-рый подходит для использования и в других областях математики.Он – математик с очень универсальным талантом, вот почему у негостолько учеников.
А Вы можете себя назвать его учеником?Да, могу, но с некоторыми оговорками. Вы понимаете, что есть
дистанция – я из другой страны, я лично встречал В. Арнольда лишьнесколько раз в жизни, но я его хорошо знаю по его статьям, его иде-ям, его результатам. Он, на самом деле, человек, который производитглубокое впечатление. Очень энергичный, готовый атаковать пробле-мы. Мы видели реальную иллюстрацию этому сегодня. Его докладбыл очень интересным и энергичным (о лекции 20 августа 2007 г.).
* * *Валерий Козлов, академик, вице-президент РАН, директор Ма-
тематического института им. В.А. Стеклова:Что отличает В.И. Арнольда от других математиков?Масштабность его творчества и широта мысли. Он не только и не
столько чистый математик. Он сделал чрезвычайно много в областях,связанных с прикладной математикой, при всех условностях терминов«чистая» и «прикладная» математика. Это и механика, и теоретиче-ская физика и т.д.
Кроме того, в чистую математику В.И. привносит дух экспери-ментирования. Сегодня в своем докладе (о лекции 20 августа 2007г.) он интересно рассказывал о численных экспериментах, когда от-вет совершенно не ясен и численные расчеты являются своего родааналогом физического эксперимента.
* * *Сергей Ландо, проректор Независимого Московского универси-
тета, старший научный сотрудник НИИ Системных ИсследованийРАН, декан факультета математики ГУ-ВШЭ :
В чем уникальность В.И. Арнольда как математика, уче-ного и человека?
Вопрос не простой, потому что тут надо говорить о том, что его от-личает от других математиков. И, пожалуй, прежде всего, это необы-чайная универсальность. Он остался одним из немногих современных
17
ученых, которые воспринимают математику в целом, не разбивая еёна отдельные части, а, видя взаимосвязи между, казалось бы, самымидалекими областями математики.
И это поразительное умение выделять главное. Умение очиститьвопрос от всего необязательного и наносного, выделить зерно, котороезатем способно дать всходы. Вот то, что приходит в голову.
* * *Анатолий Вершик, главный научный сотрудник Санкт-
Петербургского отделения математического института имениВ.А. Стеклова, президент Санкт-Петербургского МатематическогоОбщества:
В чем уникальность Арнольда как математика, ученого ичеловека?
Арнольд – это явление природы. И как у всякого явления приро-ды, у него много сторон. Его колоссальную энергию, результаты егомногоплановой деятельности – надо уметь использовать (в мирных це-лях). Его природной одаренностью можно восхищаться, его видениенауки и мира следует изучать, и, как и всякое явление природы, Ар-нольд вряд ли подлежит даже справедливой критике. В общем – этодействительно особый феномен в современном математическом мире.Я считаю, что в моем поколении он, может быть, один из 2-3 мировыхлидеров в математике; лидеров такого уровня в России не было дав-но. Это и понятно, причина в трагическом возрастном разрыве междунашим и предыдущими поколениями российских математиков – из-завойны, репрессий и других известных событий.
В.И. – невероятно увлеченный человек, с огромным от природыдаром воспринимать мир в очень разных проявлениях, не только вматематике, но и в физике, биологии, литературе. Знаете ли Вы, чтоему принадлежит честь определения принадлежности эпиграфов к«Евгению Онегину»? Это была известная проблема в пушкинистике,я давно слышал о ней от моих друзей-филологов. Арнольд устано-вил, что эпиграф к роману в стихах – это слегка переделанный кусокписьма из знаменитого романа в письмах «Опасные связи» Шодерлоде Лакло. Пушкинисты были поражены и удивлялись, как они самиэто не обнаружили, изучая французские мотивы у Пушкина. А ответочень простой: надо иметь мощное ассоциативное мышление, какимвладеет В.И. Один из его учеников спросил у другого, что тот думает
18
по поводу одной фантастической связи, замеченной Арнольдом, меж-ду двумя на первый взгляд далекими вещами, которыми эти ученикизанимались: «Как к этому относится – как к науке или как к рели-гии?» На что второй резонно ответил – «Это – научно обоснованнаярелигия».
Очень хорошо помню приезд А.Н. Колмогорова с серией докладовв Ленинград в 1957 г., в которых он, между прочим, упомянул Арноль-да (тогда еще студента), как наиболее сильного молодого математикаМосквы. В.И. продолжает традицию своего учителя А.Н. Колмогоро-ва: интересы и результаты обоих выходят далеко за пределы толькоматематики, в самой математике оба универсальны. Обоим принад-лежат как решение трудных конкретных задач, так и создание новыхконцепций. Но я думаю, что они – люди непохожих характеров, даи время, на которое приходился расцвет деятельности А.Н. слишкомнепохоже на наше время (Н.Д. – об одной истории переписки Арноль-да и Колмогорова см. прим. 5).
Об В.И. можно много говорить как о педагоге. Его влияние научеников и на более широкую аудиторию – огромно. Его учебники истатьи читают почти все математики. Его педагогические идеи увле-кательны, однако далеко не всегда бесспорны, а его точки зрения иих изложение иногда излишне обострены. Но, как сказано у кого-тоиз французских поэтов: «Лишь крайность сообщает миру ценность,лишь средний уровень – устойчивость».
Что касается меня, то я с ним дружу уже почти 50 лет. У нас сним в некотором смысле был общий учитель – Владимир АбрамовичРохлин, очень известный математик, который получил образование вМоскве, а потом, после долгих и драматических странствий, переехалв Питер, и жил последние 25 лет жизни в Питере. Он объединял ма-тематическую молодежь Питера и Москвы тех лет, и она его оченьлюбила. Можно сказать, что его учениками в неформальном смыслебыли и Дима (так мы все называем В.И. Арнольда), и С.П. Новиков,и Я.Г. Синай, и Д.Б. Фукс и др.. Несколько лет назад мы выпустиликнигу, посвященную ему, и там есть воспоминания Арнольда, в кото-рых он, с присущей ему экспрессией, нарисовал очень яркий портретВ.А. Рохлина.
Его плодовитость как ученого, приближается к плодовитости чем-пиона в этом деле, Леонарда Эйлера, 300-летие которого мы в Питере
19
в прошлом году праздновали. Эйлер, как известно, написал около 800работ, а Арнольд уже опубликовал 600 статей и 30 книг. Я думаю, чтоу него есть хороший шанс догнать Эйлера.
В.И., как и почти все известные математики нашего и следующихпоколений, прошли через математические олимпиады. Это, как, впро-чем, и другие причины, объясняет его неизменный интерес школьномуи элитному математическому образованию. Кстати, он один из ор-ганизаторов Московского независимого университета, – несомненнойудачи деятельности московских математиков в 90-х гг. Сейчас идетдлительная борьба ученых с одной стороны и бюрократов с другой,за то, чтобы сохранить лучшее в нашем образовании. Необходимостьсохранения лучших традиций не очень-то понимается теми, кто ори-ентирован на сиюминутные интересы. Безнадежно пытаться наско-ро сделать нечто новое да еще примитивными способами, в ущербсложившимся хорошим традициям. Мнения большинства профессио-нальных математиков, выраженное, правда в экстремальной форме,Арнольдом, состоит в том, что математику на всех уровнях образо-вания надо сохранить, иначе интеллектуальная деградация обществанеизбежна.
* * *Борис Хесин, профессор факультета математики Университе-
та в г. Торонто:В чем уникальность Арнольда как математика, ученого и
человека?В.И. – исключительный математик. Но мне кажется, не менее ва-
жен его удивительный и заразительный энтузиазм и в математике, и веё преподавании. Когда мы были его студентами, Арнольд проводилс нами бесконечное количество времени, часто объясняя нам самыепростые вещи. Ну, как можно забыть, как после семинара, на лавоч-ке возле аудитории, он объяснял мне, что такое дифференциальныеформы и группы гомологий часа 3 подряд, до 11 вечера? Такая увле-ченность математикой, такой энтузиазм, наверно, лежат в основе егопоразительного умения создать и сохранить целую научную школу.
Возвращаясь ко вкладу Арнольда в огромном количестве областей– вот несколько математических теорий, которые носят его имя: тео-рия Колмогорова-Арнольда-Мозера, топологическая гидродинамика,теория особенностей...
20
Многочисленные понятия названы его именем, наверное, навскид-ку можно назвать около 20 самых разных вещей:
Диффузия Арнольда в упомянутой выше теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Потоки Арнольда-Бельтрами-Чилдреса и крите-рий устойчивости Арнольда в гидродинамике, динамо Арнольда-Коркиной, теорема Лиувилля-Арнольда в теории интегрируемых си-стем.
Отображение Арнольда в динамических системах, которое частоназывают «отображением Арнольдовской кошки», потому что Ар-нольд в своей книге нарисовал кошку, растягиваемую этим отобра-жением. Так это название и закрепилось.
Языки Арнольда в теории бифуркаций. Нормальные формы мат-риц Жордана-Арнольда. Уравнение Эйлера-Арнольда геодезическихна группах Ли. Есть спектральная последовательность Арнольда втеории особенностей.
Решение Колмогоровым и Арнольдом 13-й проблемы Гильберта.Есть много задач из теории предельных циклов, которые связаны спроблемой Гильберта-Арнольда о нулях абелевых интегралов.
Есть всевозможные гипотезы Арнольда в симплектической геомет-рии, по существу, породившие симплектическую топологию. А так-же соотношение Арнольда в когомологиях группы кос, инвариантыАрнольда у кривых на плоскости. Наконец, неравенство Арнольда,сравнение Арнольда и его метод комплексификации в вещественнойалгебраической геометрии.
* * *Михаил Цфасман, зав. сектором алгебры и теории чисел Ин-
ститута проблем передачи информации РАН, ведущий научный со-трудник Национального центра научных исследований (CNRS; Фран-ция), проректор по научной работе и профессор Независимого Мос-ковского университета, директор российско-французской лаборато-рии им. Понселе, главный редактор Moscow Mathematical Journal :
В чем уникальность математического дарования В.И. Ар-нольда?
Для меня Владимир Игоревич как математик – это не только уни-кальное математическое дарование, хотя оно у него, безусловно, есть,а представитель плеяды моих учителей. Каждый из них и лично, инаучно отличаются друг от друга, но вместе именно они и есть то,
21
что я называю «Московская математическая школа». Одна из глав-ных особенностей этой школы – взгляд на математику как целое, ши-рота охвата, нежелание остаться узким специалистом в одном из еемедвежих углов.
Что касается взгляда Арнольда на математику, то я бы отметилдве характерных особенности. Во-первых, его подход всегда геометри-чен, и это мне очень импонирует. Вторая вещь, которая отличает В.И.,это что он всегда любил физику. Он в какой-то мере представительеще того поколения XIX-го века, для которых физика и математика– одна наука. И хотя любой физик, конечно, скажет: «Нет, нет, Ар-нольд – это математик», у него сохранился интерес к физике и умениепользоваться физической интуицией в математических задачах и на-оборот.
Не могли бы Вы пояснить, что значит геометричен? Обра-зен?
В школе все мы изучали алгебру и геометрию. В алгебре в ос-новном учили чему? Раскрывать скобки, т.е. проводить формальныевычисления, а в геометрии надо было увидеть задачу. Математикасостоит, с одной стороны, из формальных рассуждений, а с другойстороны – из видения объекта. В отличие от школьной геометрии,в современной математике картинка или рисунок – это, скорее, об-раз, чем точный чертеж. Но, вместе с тем, наряду с формальнымивычислениями, в математике важно уметь создать и понять такой об-раз. В лучших работах алгебра, геометрия и математический анализидут рука об руку. Если у вас есть задача по геометрии, то вы, прижелании, можете задать систему координат, тогда, допустим, у вер-шин треугольника будут координаты, и вашу задачу можно целикомнаписать в уравнениях. Я учился с очень сильным математиком (изнего потом получился замечательный ученый), который все задачив старших классах решал таким образом. Он говорил: «Ну, а что?В геометрии думать надо, а здесь я всё обозначил и вперед!». Надосказать, что он потом стал геометром, но это много позже. Труднее об-ратное, у вас есть формальная задача, так сказать, «буквы», а нужнополучить её геометрическое видение.
Соответственно, можно создавать структуры, а можно их откры-вать и глядеть на то, как они устроены. И геометрический взгляд –это попытка понять и увидеть «в простом ведении», как они устроены.
22
Арнольд поэтический
В интервью «Кванту» на вопрос C. Табачникова «Когда вы до-казываете теорему, вы её «создаете» или «открываете»?», ВладимирИгоревич ответил, что, безусловно, испытывает ощущение, что оноткрывает нечто, «существовавшее и без меня», а затем продекла-мировал строки А.К. Толстого:
Тщетно, художник, ты мнишь, чтоТворений своих ты создатель,Вечно носились они над Землею,Незримые оку. . .Много в пространстве невидимыхФорм и неслышимых звуков,Много чудесных в нем естьсочетаний и слова и света.
Говоря об ошибках в математике, В.И. заметил, что «Ошибки –важная и инструктивная часть математики, возможно, такая жеважная часть, как и доказательства. Доказательства для матема-тики подобно тому, что правописание (или даже каллиграфия) дляпоэзии. Математическая работа обязательно должна включать до-казательства, как поэма должна содержать слова» [6].
Вышеприведенные ссылки на поэзию не случайны. ВладимирИгоревич любит поэзию и знает наизусть множество стихов. Нанашу просьбу прочитать свое любимое стихотворение он сказал: «Ялюблю так много стихов, что мне даже трудно выбрать», но затемпродекламировал строки Бориса Пастернака (1931 г.)
Есть в опыте больших поэтовЧерты естественности той,Что невозможно, их изведав,Не кончить полной немотой.В родстве со всем, что есть, уверясьИ знаясь с будущим в быту,Нельзя не впасть к концу, как в ересь,
23
В неслыханную простоту.Но мы пощажены не будем,Когда её не утаим.Она всего нужнее людям,Но сложное понятней им.
Арнольд отметил, что «это – специальное стихотворение про ма-тематику, одно из самых замечательных стихотворений Пастерна-ка. На мой взгляд, он очень много про науку понимал, про матема-тику». На этих словах В.И. задумался и еще раз повторил, что у него«очень много любимых стихотворений».
Далее он продекламировал такие строки:
Бессмертник сух и розов. ОблакаНа свежем небе вылеплены грубо.Единственного в этом парке дубаЛиства еще бесцветна и тонка.Лучи зари до полночи горят.Как хорошо в моем затворе тесном!О самом нежном, о всегда чудесномСо мной сегодня птицы говорят.
А затем сказал: «Вот, пожалуйста. А это Анна АндреевнаАхматова (Н.Д. - стихотворение 1916 г.). И с ней у меня связана,между прочим, ужасная глупость. Она в 1962 году очень хотела сомной познакомиться, звала в гости, а я к Анне Андреевне не пошел.Как-то забоялся. Я гораздо ближе был знаком с её сыном ЛьвомГумилевым. Он был такой странный человек. Но с ним то мы былихорошо знакомы, а с ней то нет, хотя она звала», – на этих словахВладимир Игоревич засмеялся и пояснил нам причину: «Я испугалсясвоей ничтожности: что я, а что она!».
Примечания и полезные ссылки:1. S. Zdravkovska. Conversation with Vladimir Igorevich Arnold //
Math. Intelligencer. 1987. Vol. 9. No. 4. P. 28–32.
2. Интервью С. Табачникова с В.И. Арнольдом // «Квант». 1990.
24
7. С. 2-7, 15.3. Рецензия С. Табачникова на книгу Arnold’s Problems by Vladimir
I. Arnold.4. С. Гельфанд также рассказал о том, что издательская программа
Американского математического общества публикует книги матема-тиков разных стран мира на английском языке, и 15
5. В своем комментарии «Полит.ру» В.И. Арнольд вспомнил о сво-ем критическом письме Колмогорову, посвященную его идеям в обла-сти математического образования: «Я помню, что я ему написал такиеслова, которые он комментирует в своем ответе. Он пишет: “Большевсего мне понравились две последние фразы в этом письме. Они мнепонравились потому, что можно прочитать, чтобы было в них до за-черкивания. Так вот там было написано так: “Раскаиваюсь, что своейкритикой хотел вас обидеть”. Потом было зачеркнуто. А потом напи-сано: “Каюсь”, а вместо “обидеть” поставлено “мог вас огорчить”, т.е.“Каюсь, что своей критикой мог вас огорчить”. Что-то такое. А потомон сказал: “Оба исправления совершенно замечательные. Первое по-тому, что я давно знаю, что В.И. Арнольду раскаиваться в чем бы тони было никогда не свойственно. Он каяться может, а раскаиватьсянет. А второе тоже правильно, потому что обидеть меня не так ужлегко"».
6. V. Arnold. Polymathematics: is mathematics a single science or aset of arts? Mathematics: frontiers and perspectives // Amer. Math. Soc.,Providence, RI, 2000. P. 403–416.
7. В. И. Арнольд. Истории давние и недавние (исторические мини-атюры)
25
Квадратичные когомологии
Аграчев А. А. (Россия, Италия)International School for Advanced Studies (SISSA)
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН[email protected]
Теория Морса позволяет восстанавливать топологию пространстварешений неравенства a(x) ≤ 0 через критические точки функции a .Попытка построить подобную теорию для систем неравенств и урав-нений приводит к некоторым гомологическим инвариантам семействфункций. После общего введения будет рассказано, что из этого по-лучается в случае семейств квадратичных форм.
Индекс векторных полей на многообразиях сособенностями
Александров А. Г. (Россия)Институт проблем управления РАН, Россия
Пусть X = (X, o) – росток комплексного многообразия в отмечен-ной точке, dim X = n ≥ 1, Ωp
X – модуль ростков голоморфных формна X степени p ≥ 0, Der(X) = Hom(Ω1
X , OX) – модуль регулярныхвекторных полей и V ∈ Der(X). Заметим, что Ωp
X = 0 при p < 0и p > m, где m – вложенная размерность ростка. Далее, внутрен-нее умножение (стягивание) векторных полей и дифференциальныхформ ιV : Ωp
X −→ Ωp−1X определяет структуру убывающего комплек-
са на семействе ΩpX , поскольку ι2V = 0. Соответствующий комплекс
называется стягиваемым комплексом де Рама и обозначается через(Ω•
X , ιV), а его группы гомологий – через H∗(Ω•X , ιV).
Обозначим через Ω•X = (Ω•
X , ιV) усеченный стягиваемый комплексде Рама
0 → ΩnX
ιV−−→ Ωn−1X
ιV−−→ Ωn−2X → · · · → Ω1
X
ιV−−→ OX → 0и предположим, что все его группы гомологий – конечномерные век-торные пространства. Тогда характеристика Эйлера-Пуанкаре
26
χ(Ω•X , ιV) =
∑ni=0(−1)i dimCHi(Ω
•X , ιV)
называется гомологическим индексом векторного поля в отмеченнойточке o ∈ X и обозначается через Indhom,o(V). Понятие гомоло-гического индекса было введено в работе [1] для векторных полей,заданных на приведенном комплексном аналитическом пространствечистой размерности n ≥ 1 с конечномерными группами гомологийHi(Ω
•X , ιV). В неособых точках пространства X гомологический ин-
декс совпадает с локальным топологическим индексом, или с локаль-ным индексом Пуанкаре-Хопфа, для гиперповерхностей и полных пе-ресечений с изолированными особенностями гомологический индексравен GSV-индексу и т.д.
Займемся теперь дальнейшим развитием метода работы [2], гдевводится понятие логарифмического индекса, с помощью которогонетрудно вычислить гомологический индекс векторного поля на ги-перповерхностях с произвольными особенностями. Пусть Z – подмно-гообразие особенностей X, U = X \ Z и j : U → X – естественноевложение. Тогда для каждого p ≥ 0 существует стандартная точнаяпоследовательность OX -модулей
0 −→ H0Z(Ωp
X) −→ ΩpX −→ j∗j∗Ω
pX −→ H1
Z(ΩpX) −→ 0.
В самом общем случае пучки мероморфных дифференциальныхp -форм j∗j∗Ω
pX , p ≥ 0, вообще говоря, не когерентны. Однако, все-
гда существует (не обязательно единственный) когерентный подпучокFp
X ⊂ j∗j∗ΩpX такой, что Ωp
U∼= Fp
X |U .Предположим, что стягивание вдоль ограничения векторного по-
ля V на ΩpU можно продолжить на Fp
X таким образом, что оно будетсовместимо с морфизмами индуцированной точной последовательно-сти
0 −→ H0Z(Ωp
X) −→ ΩpX −→ Fp
X −→ #ΩpX −→ 0,
где #ΩpX ⊆ H1
Z(ΩpX) при 0 ≤ p ≤ n. Тогда, обозначая продолжение
стягивания ιV тем же символом, легко понять, что существует ана-логичная точная последовательность убывающих комплексов и, есливсе группы гомологий – конечномерны, то
χ(Ω•X , ιV) = χ(F•
X , ιV) + χ(H0Z(Ω•
X), ιV)− χ(#Ω•X , ιV).
Предположим теперь, что X – многообразие Коэна-Маколея и ωnX
– дуализирующий модуль Гротендика. Тогда в качестве FpX можно
взять ωpX = HomOX
(Ωn−pX , ωn
X) – (когерентный) пучок ростков регу-лярных мероморфных p -форм на X, поскольку ωp
X ⊆ j∗j∗ΩpX для
27
всех p. В частности, ωpX = 0 при p < 0 и p > n. Хорошо известно,
что для нормальных многообразий это вложение – равенство. Крометого, для кривых Коэна-Маколея, квазиоднородных поверхностей Го-ренштейна, полных пересечений с изолированной особеннностью мож-но доказать, что χ(#Ω
•X , ιV) = 0. В этих случаях гомологический ин-
декс выражается через индексы подкомплекса кручения (H0Z(Ω•
X), ιV)и комплекса (ω•X , ιV) и т.д.
Иногда в роли FpX удобно использовать пучки ростков дифферен-
циальных p -форм, продолжаемых определенным образом с регуляр-ной части многообразия на его разрешение, пучки L2 -интегрируемыхформ, слабо голоморфных форм и пр.
Литература
[1] Gomez-Mont X. An algebraic formula for the index of a vector fieldon a hypersurface with an isolated singularity. // J. Alg. Geom. –1998. – v. 7, no. 4. – P. 731–752.
[2] Александров А.Г. Индекс векторных полей и логарифмическиедифференциальные формы. // Функц. анализ и его приложения.– 2005. – т. 39, вып. 4. – С. 1–13.
Об одной краевой задаче для обыкновенногодифференциального уравнения второго порядка
с дробной производной в младшем члене
Алероев Т. С. (Россия)Московская государственная Академия
коммунального хозяйства и строительства[email protected]
В интервале I = x : 0 < x < 1 рассматривается оператор A ,порожденный уравнением
28
u′′ + εDα0xu + uλ = 0, 0 < α < 1, (1)
и краевыми условиями
u(0) = 0, u(1) = 0, (2)
где Dα0x - оператор дробного (в смысле Римана-Лиувилля) диф-
ференцирования порядка α :
Dα0xu =
1
Γ(1− α)
d
dx
x∫
0
u(t)
(x− t)αdt.
К задаче (1)-(2) эквивалентно редуцируются многие прямые и об-ратные краевые задачи, ассоциированные с вырождающимся гипер-болическим уравнением [1]. В частности, первая краевая задача дляуравнения колебания струны с учетом трения в среде с фрактальнойгеометрией.
Теорема. Для последовательности собственных значений λn и со-ответствующих собственных функций un оператора A справедливыформулы
λ−1n = (n ∗ π)2 − 2ε
Γ(3− α),
un(x) =x√
2ε2−α
Γ(3−α)− λnx2
∗ sin
√2ε2−α
Γ(3− α)− λnx2.
Из теоремы следует, что оператор A , так же как и сегментныйконтинуум [2]-[3], обладает следующими основными осцилляционны-ми свойствами:
1. все собственные числа являются простыми;2. основной тон не имеет узлов;3. собственное колебание с частотой λj (j-ый обертон) имеет точно
j узлов;4. узлы двух последовательных обертонов перемежаются.
29
Литература
[1] Алероев Т. С. Краевые задачи для дифференциальных уравне-ний дробного порядка. Дис. ... д-ра физ.мат. наук. МГУ, 2000г.
[2] Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.М.: Наука, 1971 г., 204 стр.
[3] Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы, ядраи малые колебания механических систем. Гостехиздат, М. - Л.,1950.
О спектре оператора теплопроводности ввырождающейся области
Амангалиева М. М. (Казахстан)Институт математики и математического моделирования
Дженалиев М. Т. (Казахстан)Институт математики и математического моделирования
Космакова М. Т. (Казахстан)Институт математики и математического моделирования
Рамазанов М. И. (Казахстан)Институт математики и математического моделирования
Во многих приложениях возникает необходимость решения мо-дельных задач для уравнений нестационарного переноса в областяхс подвижной границей [1]. Вследствие зависимости размера областиот времени, тем более когда область вырождается в некоторых точках,не всегда удается согласовать решение уравнения теплопроводности сдвижением границы области теплопереноса.
30
Поэтому вопрос об исследовании краевых задач в области с вы-рождением в начальный момент времени является актуальным.
Постановка задачи. В области G = (x, t) : t > 0, 0 < x < tрассмотрим однородную граничную задачу
ut(x, t)− a2uxx(x, t) = 0, (1)
u(x, t)|x=0 = 0, u(x, t)|x=t = 0, (2)√
t exp−3(t− x)/(4a2)− εt · u(x, t) ∈ L∞(G). (3)
Например, функция u(x, t) = x2 + 2a2t, x, t ∈ G, являющаяся ре-шением уравнения (1), принадлежит классу (3).
Сведение к интегральному уравнению. Решение уравнения(1) имеет представление [2]:
u0(x, t) =1
2a√
π
t∫
0
x
(t− τ)32
exp
− x2
4a2(t− τ)
ν0 (τ) dτ+
+1
2a√
π
t∫
0
x− τ
(t− τ)32
exp
− (x− τ)2
4a2(t− τ)
ϕ0(τ) dτ, (4)
из которой согласно условий (2) получим интегральное уравнение от-носительно неизвестной плотности ϕ0(t) :
ϕ0(t)−t∫
0
K(t, τ) ϕ0(τ) dτ = 0, (5)
K(t, τ) = exp
(−t− τ
4a2
)1
2a√
π
t + τ
(t− τ)32
exp
(− tτ
a2(t− τ)
)+
1
(t− τ)12
,
ν0(t) =1
2 a√
π
t∫
0
τ
(t− τ)32
exp
− τ 2
4a2(t− τ)
ϕ0(τ) dτ, (6)
Применяя для интегрального уравнения (5) метод регуляризацииКарлемана-Векуа, получаем неоднородное уравнение Абеля второго
31
рода [3, 4]. Решение последней дает нам существование нетривиаль-ного решения первоначальной задачи (1)–(2) из класса (3). Таким об-разом, нами установлено
Утверждение. Спектральная задача
ut − a2uxx = λu, u|x=0 = 0, u|x=t = 0, t > 0; (7)
имеет собственное значение λ0 = 0 и собственную функциюu0(x, t) , определяемую нетривиальным решением интегральногоуравнения (5), соотношения (6) и согласно представления (4).
Как следствие этого утверждения получаем, что спектр задачи (7)составляет множество λ|Reλ ≤ 0 ⊂ C. Более того, если ε = 0 , то(3) определяет класс единственности решения для задачи (1)–(2) принеоднородных данных.
Литература
[1] Ким Е.И Решение одного класса сингулярных интегральныхуравнений с линейными интегралами // Докл. АН СССР. – 1957.– Т.113. – С.24 – 27.
[2] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической фи-зики. Мю: Наука, 1977. 735с.
[3] Ахманова Д.М., Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. Об особом ин-тегральном уравнении Вольтерра второго рода со спектральнымпараметром // Сиб. мат. журн. – 2011.– T.52, 3. С.3 – 14.
[4] Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. Нагруженные уравнения каквозмущения дифференциальных уравнений – Алматы: FЫ-ЛЫМ, 2010. 335c.
32
О структуре дискриминантного множествамногочлена
Батхин А. Б. (Россия)Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша
Пусть f(x) = xn+an−1xn−1+. . .+a0 — приведенный многочлен сте-
пени n , а Syl (f, f ′) — матрица Сильвестра размера (2n−1)×(2n−1) ,составленная из коэффициентов многочлена f и его производной.Тогда определитель матрицы Syl (f, f ′) с точностью до знака равендискриминанту D(f) многочлена f . Дискриминантным множествомD(f) назовем множеством всех точек в пространстве Π = Rn ко-эффициентов (a0, a1, . . . , an−1) , на которых дискриминант D(f) = 0 .Его изучение важно при решении проблемы устойчивости положенийравновесия механических систем, а его структура оказывается тесносвязана с кратностью корней многочлена f(x) (см. пример в [1]).
Кратность корней многочлена f(x) определяется в терминах суб-дискриминантов последнего и устанавливается следующей теоремой.Определение. Определитель матрицы, получающийся из матрицыСильвестра вычеркиванием первых и последних k строк, первых ипоследних k столбцов ( k < n ), называется k -ым субдискриминан-том дискриминанта D(f) и обозначается D(k)(f) . При k = 0 имеемсам дискриминант многочлена f(µ) : D(0)(f) ≡ D(f) .Теорема [1] Для того, чтобы многочлен f(x) имел d кратных кор-ней, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
D(0)(f) = . . . = D(d−1)(f)︸ ︷︷ ︸d
= 0, D(d)(f) 6= 0,
при этом кратные корни многочлена f(x) есть корни многочлена,который выражается через матрицу Сильвестра следующим обра-зом:
GCD (f, f ′) = D(d)µd + det M(1)d µd−1 + · · ·+ det M
(d)d ,
где матрица M(j)d есть d -й иннор матрицы, получаемой из матри-
цы Сильвестра заменой d+1 -го справа столбца на ее же j -й справастолбец. Π = Rn
33
Многочлен f(x) имеет n − 1 нетривиальный субдискриминант,каждый из которых есть квазиоднородный многочлен. Можно пока-зать, что первые субдискриминанты D(i)(f) , i = 0, . . . , [n/2]− 1 мно-гочлена f(x) имеют носители в пространстве показателей степеней,лежащие на параллельных гиперплоскостях, и, следовательно, упро-щаются одним и тем же степенным преобразованием [2]. Нормальныйвектор к этим гиперплоскостям задает степенную асимптотику пове-дения дискриминантного множества D(f) на бесконечности.
Решением системы уравнений D(0)(f) = D(1)(f) = . . .. . . = D(n−1)(f) = 0 служит одномерное многообразие M1 с пара-метризацией ai = Ci
ntn−i , i = 0, . . . , n−1 , на котором многочлен f(x)
имеет единственный корень x = −t кратности n . Рассматривая M1
как огибающую семейства прямых получим двумерное многообразиеM2 , на котором многочлен f(x) имеет два корня: кратности n− 1 и1 , соответственно. Многообразие M2 , в свою очередь, является оги-бающей семейства плоскостей, образующих трехмерное многообразиеM3 , на котором многочлен имеет один корень кратности n−2 и парупростых корней. Продолжая эту конструкцию можно построить n−1многообразие Mi размерности i , i < n , на каждом из которых мно-гочлен f(x) имеет один корень кратности n + 1− i и i− 1 простыхкорней. Многообразия Mi , i > 2 могут самопересекаться, тогда вточках самопересечения число различных корней уменьшается, а ихкратность увеличивается.
Построены примеры дискриминантных множеств многочленов сте-пени n < 6 , у которых число ненулевых коэффициентов равно 3.Показано, что особым точкам порядка k дискриминантного множе-ства D(f) соответствуют такие значения коэффициентов, при кото-рых многочлен f(x) имеет корни кратности k + 2 .
Литература
[1] Батхин А.Б. Устойчивость одной многопараметрической систе-мы Гамильтона. Препринт 69. М. : ИПМ им.М.В.КелдышаРАН, 2011.
[2] Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и диффе-ренциальных уравнениях. М. : Физматлит, 1998.
34
Дифференциальные инварианты линейныхдействий алгебраических групп напространствах однородных форм 1
Бибиков П. В. (Россия)Институт проблем управления РАН
Лычагин В. В. (Россия)Институт проблем управления РАН
Университет Тромсе, Норвегия[email protected]
Пусть алгебраическая группа G действует на пространстве ком-плексных однородных рациональных p -форм степени n линейнымизаменами координат. В данной работе мы строим поле дифференци-альных инвариантов этого действия и в терминах этого поля решаемпроблему G -эквивалентности однородных форм.
Рассмотрим стандартную связность Γ на пространстве Cp имодуль Σ симметрических функций на пространстве кокасатель-ного расслоения к Cp . Определим симметрический дифференциалds
Γ := Sym dΓ : Σ → Σ по этой связности и его поднятие dsΓ в про-
странства джетов.Предложение. Горизонтальные k -формы
Q1 := du, Qk := dsΓQk−1, k > 2
на пространствах k -джетов являются G -инвариантными.С помощью этих k -форм построим инвариантные дифференциро-
вания
∇1 := 〈Q3, Q∗2〉∗, ∇i := Di−1∇1, i = 2, . . . , p− 1,
где D : t 7→ 〈〈Q3,∇1〉, t〉∗ , и дифференциальные инварианты
Jα := Q3(∇α1 ,∇α2 ,∇α3)
1Работа выполнена при поддержке фонда Саймонса и гранта Президента Рос-сийской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых- кандидатов наук МК-32.2011.1
35
(где α := (α1, α2, α3) — упорядоченный набор индексов).Замечание. Под дифференциальным инвариантом мы понимаем
G -инвариантную рациональную функцию на пространстве джетов.Теорема 1. ([1]) Поле дифференциальных инвариантов линейно-
го действия алгебраической группы G на пространстве однородныхрациональных форм порождается дифференциальными инварианта-ми Im порядка 2, дифференциальными инвариантами Jα порядка 3и инвариантными дифференцированиями ∇1 , . . . , ∇p−1 .
Из этой теоремы получается описание G -орбит однородных ра-циональных p -форм. Для этого рассмотрим дифференциальные ин-варианты Im , Jα , ∇i(Jα) порядка 4 и их ограничения на даннуюформу f . Эти ограничения являются однородными рациональнымифункциями от p переменных. Обозначим через Sf множество алгеб-раических зависимостей между этими функциями.
Теорема 2. ([1]) Однородные рациональные p -формы f и f сте-пени n являются G -эквивалентными если и только если Sf = Sf .
В частном случае действия группы GL2(C) на пространств бинар-ных форм получается более простая классификация.
Теорема 3. ([2]) Поле дифференциальных инвариантов действиягруппы GL2(C) на пространстве бинарных форм свободно порож-дается дифференциальным инвариантом J := (∇H)2/H3 порядка2 и инвариантным дифференцированием ∇ := u01
uddx− u10
uddy
(здесьH := (u20u02 − u2
11)/u2 ).
Соответствующий бинарной форме идеал зависимостей Sf явля-ется главным: Sf = (Ff ) , где Ff — многочлен зависимостей дляинвариантов J и ∇J .
Теорема 4. ([2]) Бинарные формы f и f степени n являютсяGL2(C) -эквивалентными если и только если Ff = Ff .
Подробное описание поля дифференциальных инвариантов в слу-чае действия группы GL3(C) можно найти в [2].
Литература
[1] Бибиков П.В., Лычагин В.В. Классификация линейных действийалгебраических групп на пространствах однородных форм //ДАН. – 2012. – т.442, N6. – С.732–735.
[2] Bibikov P.V., Lychagin V.V. Projective classification of binary and
36
ternary forms // J. Geometry and Phisics. – 2011. – vol.61, N10. –P.1914–1927.
Нешлезингеровские изомонодромныедеформации
Бибило Ю. П. (Россия)ИППИ
Рассматривается система линейных дифференциальных уравне-ний на C
dy
dz= A0(z)y, (1)
матрица A0(z) коэффициентов которой мероморфна. Матрица A0(z)представима в виде
A0(z) =n∑
i=1
ri+1∑
k=0
A0i,k
(z − a0i )
k.
Особые точки a01, . . . , a
0n ∈ C системы могут быть регулярными либо
иррегулярными. Особая точка a0i – регулярная, если в любом секторе
конечного раствора с вершиной в этой точке фундаментальная мат-рица решений системы (1) имеет полиномиальный рост, в противномслучае – иррегулярная.
Допустим, исходная система (1) включена в семейство
dy
dz= A(z, t)y, A(z, t) =
n∑i=1
ri+1∑
k=0
Ai,k(t)
(z − ai(t))k, t ∈ D(t0),
A(z, t0) = A0(z).
(2)
Семейство (2) изомонодромно, если найдется дифференциальная 1-форма ω , которая
37
1) удовлетворяет равенству ω = A(z, t)dz при каждом фиксированномзначении t ,2) интегрируема, то есть выполнено равенство dω = ω ∧ ω [1] .
Набор параметров деформации t состоит из особых точекa1, . . . , an и коэффициентов β1, . . . , βh , стоящих в показателях экс-поненциальных множителей локальных фундаментальных матриц.
Джимбо и Мива построили изомонодромную деформацию систе-мы (1) в случае общего положения (все иррегулярные особенности –нерезонансные) [2] . Если исходная система (1) – фуксова (все осо-бености являются полюсами первого порядка матрицы коэффициен-тов), то деформация Джимбы и Мивы сводится к Шлезингеровскойдеформации. Однако, известно, что существуют нешлезингеровскиедеформации фуксовых систем. По аналогии с фуксовым случаем, на-зовем изомонодромную деформацию системы (1) нешлезингеровской,если соответствующая дифференциальная форма ω имеет структуру,отличную от
ωs =n∑
i=1
ri+1∑
k=0
Ai,k(t)
(z − ai)kd(z − ai) +
h∑j=1
Bj(z, t)dβj.
В докладе приводятся примеры таких нешлезингеровских деформа-ций. В частности, рассматривается изомонодромная деформация, за-данная дифференциальной формой
ω =
(1 00 1
)d(z + a)
(z + a)2+
(1 0
− 2aa2−1
0
)d(z + a)
z + a+
+
(0 02a
a2−10
)da
z + a+
(0 −6a0 −1
)dz
z+
+
(2 3 + 3a1
1+a−1
)d(z − 1)
z − 1+
( −3 −3 + 3a1
a−12
)d(z + 1)
z + 1.
(3)
Литература
[1] Бибило Ю.П., Изомонодромные деформации систем линейныхдифференциальных уравнений с иррегулярными особенностями// Матем. сб. – 2012. – т.203, N6. – C. 63–80.
38
[2] Jimbo M., Miwa T., Ueno K., Monodromy preserving deformationof linear ordinary differential equations with rational coefficientes //Physica D – 1981. – vol 2. – pp. 306 – 352.
Особенности поля дисперсионных кривых взадачах устойчивости неклассическихтрансзвуковых пограничных слоев 2
Богданов А. Н. (Россия)Институт механики МГУ имени М.В.Ломоносова
Диесперов В. Н. (Россия)Московский физико-технический институт
Жук В. И. (Россия)Вычислительный центр имени А.А.Дородницына РАН
Асимптотическая конструкция, моделирующая механизм свобод-ного взаимодействия возмущений в пограничном слое с внешним тран-сзвуковым потоком, приводит к следующей краевой задаче:
∂2ϕ
∂t∂x+ K∞
∂2ϕ
∂x2− ∂2ϕ
∂y2= 0 ,
∂ϕ(t, x, 0)
∂x= −p(t, x),
∂ϕ(t, x, 0)
∂y= −∂A(t, x)
∂x,
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y`
= −∂p
∂x+
∂2u
∂y2`
,∂u
∂x+
∂v
∂y`
= 0 ,∂p
∂y`
= 0 ,
2Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундамен-тальных исследований (код проекта 11-01-00842).
39
y` = 0 : u = v = 0 , y` →∞ : u → y` + A(t, x) .
Интересным обстоятельством является возможность описания по-средством указанной системы потери устойчивости [1—3], а также мо-дификация модели за счет учета второй производной по времени [4].
Будем искать возмущение малой амплитуды ε этого решения ввиде
u = y` − εdf(y`)
dy`
eik(x−ct),
v = iεkf(y`)eik(x−ct),
p = εeik(x−ct),
A = εQeik(x−ct),
ϕ = ε F (y)eik(x−ct).
Возникающая задача для комплекснозначных функцийf(y`) , F (y) является задачей на собственные значения. Ее решениесуществует не при всех значениях фазовой скорости c и волновогочисла k возмущений. Рассматриваемая задача имеет решение, еслипараметры c и k связаны дисперсионным соотношением
dAi(ζ)
dZ
∞∫
ζ
Ai(Z) dZ
−1
=i1/3k4/3
(c−K∞)1/2, ζ = −i1/3k4/3c .
Анализ дисперсионного соотношения показывает существованиебесконечного спектра возмущений, являющихся волнами Толлмина-Шлихтинга, причем первая мода из упомянутого спектра может бытькак устойчивой, так и неустойчивой. При изменении трансзвуковогопараметра подобия K∞ указанная мода демонстрирует поведение,подобное бифуркационному: существует критическое значение K∗
∞ ,превышение которого приводит к качественной перестройке поведе-ния дисперсионных кривых.
40
Литература
[1] Рыжов О.С., Савенков И.В. Об устойчивости пограничного слояпри трансзвуковых скоростях внешнего потока // ПМТФ. – 1990.– N2. – С.65–71.
[2] Жук В.И. Волны Толлмина-Шлихтинга и солитоны. М.: Наука,2001, 167 с.
[3] Богданов А.Н., Диесперов В.Н., Жук В.И., Чернышев А.В. Фе-номен свободного взаимодействия в трансзвуковых течениях иустойчивость пограничного слоя // ЖВМ и МФ. – 2010. Т.50. –N12. – C. 2208 – 2222.
[4] Богданов А.Н., Диесперов В.Н. Моделирование нестационарно-го трансзвукового течения и устойчивость трансзвукового по-граничного слоя // ПMM. – 2005. – Т.69. – Вып. 3. – С. 394 –403.
Спонтанные симметрии в теории прямыхизмерений
Богданов Р. И. (Россия)НИИЯФ МГУ
Богданов М. Р. (Россия)МГУ ИЭ
В [1] Д.И. Блохинцев делает замечание о том, что обилие откры-тых «элементарных» частиц возможно найдёт объяснение в теориипрямых измерений. Мы делаем первые шаги на этом пути, привлекаяидеи теории бифуркаций, внимание к задачам которой пропагандиро-вал В.И. Арнольд.
41
Теория прямых измерений вместо традиционного подхода кванто-вой механики с привлечением квадратичных функционалов на про-странстве волновых функций имеет дело с линейными функционала-ми, что открывает новые возможности.
Прямые измерения в квантовой механике.
В [3] изложена теория прямых измерений по Эренфесту-Пуанкаре(название объяснено там же) для одномерного нестационарного урав-нения Шредингера (см.[4])
ih∂Ψ
∂t= − ~
2
2m
∂2Ψ
∂x2+ U (x, t) Ψ (1)
Напомним, что прямым измерением V в момент времени t назы-вается линейный функционал над полем комплексных чисел t
l : ψ (x, t) → C, (2)
где образ зависит от t при изменении времени.Обозначения. Через S = r (x, t) eiφ(x,t) обозначим кусочно-
аналитическую функцию, где r и ϕ вещественные. Через A обо-значим одно из колец функций C [r] , C [[r]] , E (r) (функции классаC∞ от r ).
Определение. S называется замыкающей функцией, если левыймодуль A·ipφ инвариантен относительно сдвигов во времени t 7→ t+a ,a ∈ R , p ∈ R .
Дискретизация и локализация прямых измерений.
Определение. Левый модуль измерений над кольцом A назо-вем дискретным прямым измерением, если существует минимальноеT ∈ R, T > 0 :
A · l (nT ) ⊂ A · l (t)|t=0 (3)
Определение. Локальным дискретным прямым измерением назо-вем такое измерение, что A · l (nT ) почти инвариантно, т.е. принадле-жит к A · l (t)|t=0 с точностью до аддитивного слагаемого ε (nT ) ψ ,причем, ε (nT ) ψ → 0 при n →∞ .
42
Теорема. Локальные дискретные прямые измерения существуют.Дискретные локальные прямые измерения существуют в случае
общего положения и могут иметь произвольную скважность.
Спонтанные симметрии.
В случае конечнократного вырождения дискретного локальногопрямого измерения существует версальная деформация с простран-ством параметров Rk = (µ) .
Теорема. В базе версальной деформации существуют поверхностикоразмерности l − 1 , которым отвечают дискретные локальные син-хронные измерения в количестве l штук, изоморфные группе ej(2πi/l) ,1 ≤ j ≤ l .
Заключение.
Слово «спонтанные» в названии связано с тем фактом, что симмет-ричные прямые измерения лежат в тощем множестве в пространствепараметров.
Название «прямое» измерение предложено В.И. Арнольдом в пер-воначальных обсуждениях теории в 1984 году, в отличие от косвенных,достаточно хорошо изложенных в [5].
Группы симметрий, которые возникают в «упругой» теории пря-мых измерений (см.[3]) приводимы. В рамках слабо-диссипативнойтеории Колмогорова-Арнольда-Мозера они являются неприводимы-ми.
В заключение подчеркнем, что конечность групп симметрий воз-никает благодаря синхронности и асинхронности прямых измерений.
Одному из соавторов очень приятно выразить глубокую благодар-ность за полезное обсуждение А.Н. Колмогорову, В.И. Арнольду, Я.П.Терлецкому, Д.В. Аносову, В.П. Маслову, В.Е. Захарову, В.А. Садов-ничему и участникам его семинара.
Литература
[1] Богданов Р.И. Фазовые портреты динамических систем на плос-кости и их инварианты. – М.: Вузовская книга, 2008, 428 с.
43
[2] Блохинцев Д.И. Избранные труды в 2т. Т.2.-М.: Физматлит, 2009,744с.
[3] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебноепособие для вузов.В 10 т. Т. III. Квантовая механика (нере-лятивистская теория). -4-е изд., испр. –М.: Наука. Гл.ред.физ-мат.лит.,1989, 768с.
Особенности в теории псевдодифференциальныхуравнений
Васильев В. Б. (Россия)Липецкий государственный технический университет
Сам термин "псевдодифференциальный оператор"появился в на-чале 60-х годов прошлого столетия, и сейчас с уверенностью мож-но сказать, что термин прижился и устоялся. Конечно, уже нет того"запального"энтузиазма конца 60-х – начала 70-х, и многие уже неупотребляют этот термин, работая в конкретной ситуации с диффе-ренциальным оператором в частных производных, или, скажем, сосверткой. Хотя года два назад появился Journal of Pseudo DifferentialOperators and Applications, но даже там термин "псевдодифференци-альный оператор"встречается нечасто.
С каждым оператором обычно связывают какое-то уравнение, со-держащее этот оператор. С учетом специфики псевдодифференциаль-ных операторов – это уравнение вида
(Au)(x) = f(x), x ∈ M, (1)
где M – это многообразие, вообще говоря, с краем, на котором стан-дартно вводятся пространства Соболева – Слободецкого Hs(M) , A– псевдодифференциальный оператор (порядка α ), непрерывно дей-ствующий из Hs(M) в Hs−α(M) , с эллиптическим символом A(x, ξ) .
44
В том случае, когда M – гладкое многообразие без края, условиеэллиптичности оказывается необходимым и достаточным для фред-гольмовости оператора A . Если же у многообразия M имеется да-же гладкий край ∂M , ситуация существенно усложняется. В точкахграницы ∂M появляется некий топологический индекс, обнуление ко-торого обеспечивает фредгольмовость оператора. В том случае, когдаэтот индекс ненулевой, требуется наличие дополнительных условий,их называют граничными или краевыми [1]. Эти условия выбираютсятаким образом, чтобы они были "согласованы"с оператором A так,что уравнение (1) оказывается оказывается фредгольмовым. Такиеусловия согласования обычно называют условиями Шапиро – Лопа-тинского.
В этом докладе обсуждается вопрос, как описать фредгольмовостьуравнения (1), когда граница содержит особенности (точки негладко-сти), конические точки, ребра различных размерностей, точки пика ит.д. Существует много различных подходов и точек зрения на эту про-блему. Автор предлагает подход [2], основанный на понятии волновойфакторизации эллиптического символа, который позволяет получатьмногие результаты аналогично случаю гладкой границы.
Литература
[1] Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодиффе-ренциальных уравнений. М.: Наука, 1973. 232 с.
[2] Васильев В.Б. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодиф-ференциальные уравнения, волновая факторизация, краевые за-дачи. М.: КомКнига, 2010. 135 с.
45
Топология течений жидкости и плазмы поВ.И.Арнольду
Веденяпин В. В. (Россия)Институт прикладной математики им М.В.Келдыша РАН
Негматов М. А. (Россия)Институт прикладной математики им М.В.Келдыша РАН
В работах [1−2] В. И. Арнольдом было предложено оригинальноеиспользование пары коммутирующих полей для описания топологиистационарного движения несжимаемой жидкости. В докладе описы-вается вывод уравнений Власова-Максвелла и Власова-Пуассона излагранжиана классической электродинамики. Вывод фактически сле-дует [3] и приведён в [4, 8] . Выводятся уравнения типа МГД в про-стейших случаях: с температурой равной нулю, как точное следствиеуравнений Власова-Максвелла, так и с температурой, не равной нулю,как нулевое приближение метода Максвелла-Чемпена-Энскога. В по-следнем случае получаются уравнения в дважды дивергентной форме(форме Годунова [7, 8] ). Обсуждается тождество Лагранжа, котороесвязывает эволюцию момента инерции
I(t) =∑
α
∫fα(t, x, p)x2 d3p d3x
с кинетической энергией системы
T (t) =1
2
∑α
∫fα(t, x, p)v2
α d3p d3x.
Как известно, тождество Лагранжа связывает между собой вто-рую производную от момента инерции системы материальных точекчерез кинетическую энергию и однородную потенциальную энергию:∂2I∂t2
= 2(U − 2K), оно удобно здесь как тест для сравнения различных
46
форм уравнений. В работе В.В.Козлова [5] тождество доказывает-ся для уравнений типа Власова с двухчастичным взаимодействием, амы исследуем его форму для различных видов уравнения Власова иМГД, получаем и сравниваем друг с другом тождество Лагранжа и егообобщения в этих случаях. Обсуждаются точные решения уравненияВласова-Максвелла-Пуассона в присутствии гравитации, где получа-ются различные типы нелинейных эллиптических уравнений и траек-торий частиц в зависимости от соотношений масс и зарядов частиц.Обсуждается редукция стационарного уравнения Власова к системенелинейных эллиптических уравнений и смена типа уравнения прикритической массе m =
√e2
G, где G – гравитационная постоянная,
– заряд электрона.Обсуждается вопрос о совпадении предельной функции с экстре-
малью Больцмана – условным максимумом энтропии при условиисохранения линейных законов сохранения [8] . Рассматривается ана-логия между уравнениями Власова и Лиувилля, лемма Арнольда-Козлова [1, 2, 6] о коммутирующих векторных полях в модификацияхдля уравнений Власова-Пуассона и Власова-Максвелла, вывод урав-нений Гамильтона-Якоби и их обобщений из уравнений Лиувилля иВласова [9] .
Литература
[1] Арнольд В.И. О топологии трехмерных стационарных теченийидеальной жидкости. // ПММ. – 1966. – т.30, вып.1, – C. 183 –185.
[2] Арнольд В.И. Математические методы классической механики.Добавление 2. // Москва: – Физматлит, – 1974. – С. 280 – 306.
[3] Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М., Теоретическая физика. Т. 2. Теорияполя. // Москва: – Наука. – 1967.
[4] Веденяпин В.В., Кинетические уравнения Больцмана и Власова.// Москва:: – Физматлит. – 2001.
[5] Козлов В.В. Обобщенное кинетическое уравнение Власова. //УМН. – т. 63 вып. 4(382). – 2008.
[6] Козлов В.В. Общая теория вихрей. // Ижевск. – ИздательствоУдмуртского государственного университета. – 1998.
47
[7] Годунов С.К. Роменский Е.И. Элементы механики сплошныхсред и законы сохранения // Новосибирск: – Научная книга. –1998.
[8] В.В.Веденяпин, М.А.Негматов. О выводе и классификации урав-нений типа Власова и МГД. Тождество Лагранжа и форма Го-дунова. // Теоретическая и математическая физика. – Т. 170, N3. – С. 468 – 480.
[9] Веденяпин В.В., Фимин Н.Н. Уравнение Лиувилля, гидродина-мическая подстановка и уравнение Гамильтона-Якоби // Докла-ды РАН. – 2012. – Т. 446, в.2 – С.142 –145.
О возникновении неклассических связей всистемах с качением 3
Влахова А. В. (Россия)Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Моделирование систем с качением, как правило, связано с нало-жением неголономных (кинематических) связей, запрещающих про-скальзывания соприкасающихся поверхностей. В рамках традицион-ного формально-аксиоматического подхода границы применимостиэтой модели определяются условиями, при которых величины реак-ций связей не превосходят предельных значений сил трения в точкахконтакта. Вообще говоря, эти условия являются всего лишь необходи-мыми для реализации движения без проскальзывания. В работе с ис-пользованием конструктивного подхода [1] исследуются достаточныеусловия реализации связей. Рассматриваются механические системы,
3Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ для господдерж-ки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых, в ФГ-БОУ ВПО "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова"подоговору 11.G34.31.0054.
48
включающие подвижно сопряженные пары тел с одной относитель-ной степенью свободы (так называемые кинематические пары), в каж-дой из которых допускаются малые проскальзывания. Показано, чтопредельный переход к бесконечной жесткости касательных компонентконтактных сил может привести как к классическим неголономнымсистемам с условиями непроскальзывания тел, так и к неклассическимсистемам с первичными связями Дирака. Ситуации, когда возникаютте или иные связи, разделяются после рассмотрения порядков вели-чин слагаемых, стоящих в правых и левых частях соотношений междукомпонентами скоростей проскальзывания и обобщенными скоростя-ми. Если обобщенные скорости являются конечными величинами, су-щественно превосходящими компоненты скоростей проскальзывания,то путем обобщения подходов [2 - 4] к реализации условий непроскаль-зывания вязким или кулоновым трением может быть обосновано нало-жение неголономных связей. Если порядки малости слагаемых в пра-вых и левых частях указанных соотношений одинаковы за счет того,что при части конечных обобщенных скоростей стоят малые множи-тели, а другая часть обобщенных скоростей соизмерима с величинамикомпонент скоростей проскальзывания, то в системе с использовани-ем подхода [5] для систем с малыми массами могут быть реализованыпервичные связи Дирака. Эти связи, представляющие собой конеч-ные соотношения между обобщенными координатами и импульсами,возникают из-за вырождения лагранжиана предельной системы припереходе к нулевым значениям малых обобщенных скоростей. Много-образие, определяемое первичными связями, в общем случае не близкок многообразию, задаваемому условиями непроскальзывания. Доста-точные условия реализации связей находятся с применением методовтеории сингулярных возмущений и фракционного анализа [2, 6]. Вкачестве примеров в работе рассмотрены задачи о движении автомо-бильных и железнодорожных экипажей.
Литература
[1] Козлов В.В. К вопросу о реализации связей в динамике // ПММ.1992. Т. 56. Вып. 4. С. 692-698.
[2] Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1995.224 с.
49
[3] Карапетян А.В. О реализации неголономных связей силами вяз-кого трения и устойчивости кельтских камней // ПММ. 1981. Т.45. Вып. 1. С. 42-51.
[4] Бренделев В.Н. О реализации связей в неголономной механике// ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 3. С. 481-487.
[5] Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические ас-пекты классической и небесной механики. М.: УРСС, 2009. 416с.
[6] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теориисингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. 208 с.
О приводимости уравнения Шлезингера
Вьюгин И. В. (Россия)ИППИ РАН
Гонцов Р. Р. (Россия)ИППИ РАН
Лексин В. П. (Россия)МГОСГИ
Рассматривается уравнение (система) Шлезингера
dBi(a) = −n∑
j=1,j 6=i
[Bi(a), Bj(a)]
ai − aj
d(ai − aj), i = 1, . . . , n,
относительно матричных (размера p × p ) функций B1(a), . . . , Bn(a)переменной a = (a1, . . . , an) ∈ D(a0) , где D(a0) – шар малого радиусас центром в точке a0 = (a0
1, . . . , a0n) пространства Cn \⋃
i6=jai = aj .
50
Это уравнение возникает как условие того, что фуксовы системы се-мейства
dy
dz=
( n∑i=1
Bi(a)
z − ai
)y, Bi(a
0) = B0i , y(z) ∈ Cp, (1)
голоморфно зависящего от параметра a = (a1, . . . , an) ∈ D(a0) , име-ют одну и ту же монодромию при всех a ∈ D(a0) . Такое семействоназывается изомонодромным шлезингеровским семейством. При этомего показатели βj
i , – собственные значения матриц-вычетов Bi(a) , –не зависят от a .
В работе изучается вопрос о приводимости семейства (1) к(верхне)треугольному виду с помощью постоянного калибровочногопреобразования y(z) = Cy(z) , C ∈ GL(p,C) . Необходимым усло-вием такого приведения является треугольность матриц монодромииданного семейства. Получены некоторые достаточные условия приве-дения, основанные на результатах работы [1].
Предложение 1. Если матрицы монодромии шлезингеровскогосемейства (1) верхнетреугольны, а показатели βj
i удовлетворяютусловию
Re βji > −1/n(p− 1), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , p,
то найдется постоянная матрица C ∈ GL(p,C) такая, что мат-рицы CBi(a)C−1 верхнетреугольны.
В следующем специальном случае оценки на показатели не требу-ются и имеет место утверждение.
Предложение 2. Если матрицы монодромии шлезингеровскогосемейства (1) верхнетреугольны и их жордановы формы состоятиз одной клетки, то найдется постоянная матрица C ∈ GL(p,C)такая, что матрицы CBi(a)C−1 верхнетреугольны.
Рассмотрим теперь уравнение Шлезингера относительно треуголь-ных матриц Bi(a) размера 2×2 . В таком случае неизвестными явля-ются верхние правые элементы этих матриц. Уравнение Шлезингерапревращается в линейную пфаффову систему специального вида от-носительно этих элементов – систему Жордана–Похгаммера. Извест-ны интегральные представления для решений этой системы [2], [3].Мы изучаем аналогичный вопрос для уравнения Шлезингера относи-тельно треугольных матриц размера 3× 3 .
51
Литература
[1] Вьюгин И.В., Гонцов Р.Р. К вопросу о разрешимости в квадра-турах фуксовых систем // УМН. – 2012. – Т. 67(3). – С. 183–184.
[2] Kohno T. Linear representations of braid groups and classical Yang–Baxter equations // Contemp. Math. – 1988. – V. 78. – P. 339–363.
[3] Kapovich M., Millson J. Quantization of bending deformationsof polygons in E3 , hypergeometric integrals and the Gassnerrepresentation // Canad. Math. Bull. – 2001. – V. 44. – P. 36–60.
Расщепление сепаратрис около резонансныхпериодических траекторий
Гельфрейх В. Г. (Великобритания)Университет Уоррика, Ковентри
Доклад посвящен проблеме расщепления сепаратрис около резо-нансных решений в аналитических гамильтоновых системах с двумястепенями свободы. Эта задача описана в одном из приложений клас-сического учебника Арнольда [1], однако до недавнего времени она неимела строгого математического решения.
Пусть Fε является однопараметрическим семейством отображе-ний на плоскости, сохраняющих площадь. Мы предполагаем, что се-мейство является аналитическим в некоторой окрестности начала ко-ординат, размер которой не зависит от малого параметра ε . При этомначало координат предполагается неподвижной точкой отображения:Fε(0) = 0 .
Хорошо известно, что малые колебания в окрестности неподвиж-ной точки могут быть описаны с помощью теории нормальных форм[2,3]. Вид нормальной формы зависит от значения λ0 , собственногочисла матрицы Якоби F ′(0) . Особый интерес представляют сильно
52
резонансные значения, когда λn = 1 при n = 1, 2, 3, 4 . В каждом изэтих случаев нормальная форма может иметь n -периодическое ре-шение при малых ε > 0 . Эти периодические решения гиперболичны,а соответствующие сепаратрисы образуют замкнутую петлю вокругнеподвижной точки.
Арнольд [1] отметил, что, в отличии от нормальной формы, в ис-ходном семействе сепаратрисы должны быть расщеплены, однако этоявление экспоненциально мало по малому параметру ε и, соответ-ственно, не может быть выявлено в рамках теории нормальных форм.
В этом докладе мы обсудим асимптотические формулы, описыва-ющие расщепление сепаратрис для типичного семейства, а также ихсвязь с инвариантами локальной классификации аналитических отоб-ражений около резонансных неподвижных точек в (C2, 0) .
С технической точки зрения представленные работы являютсядальнейшим развитием метода, предложенного В. Ф. Лазуткиным дляисследования расщепления сепаратрис стандартного отображения, бо-лее детально описание которого может быть найдено в работах [4,5].
Литература
[1] Арнольд В.И. Математические методы классической механики– 3-е изд. – М.: Наука – 1989 – 472 с
[2] Арнольд В.И., Козлов В.В. , Нейштадт А.И., Математическиеаспекты классической и небесной механики, Динамические си-стемы – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам.направления, 3, ВИНИТИ, М., 1985, 5–290
[3] Gelfreich V., Gelfreikh N., Unique resonant normal forms for area-preserving maps at an elliptic fixed point. Nonlinearity – 2009 – v.22 – pp. 783–810
[4] Gelfreich V. Near strongly resonant periodic orbits in a Hamiltoniansystem. // Proc. Nat. Acad. Sci. – 2002 – v. 99 – pp. 13975–13979
[5] Гельфрейх В.Г., Лазуткин В.Ф., Расщепление сепаратрис: тео-рия возмущений, экспоненциальная малость // УМН – 2001 – т.56 – н. 3 (339) – с. 79–142
53
Особенности динамики модельного уравнения сбольшим запаздыванием 4
Глазков Д. В. (Россия)Ярославский государственный универсистет им. П. Г. Демидова
Рассматривается модельная задача управления поведением неко-торой динамической системы в окрестности ее нулевого решения с по-мощью запаздывающей обратной связи. Объектом изучения являетсякомплексное уравнение [1-3]
dz
ds= (ν + iω)z −Ke−iϕ
[z − z(s−h)
]+ F (z), (1)
где нелинейность F (z) имеет вид
F (z) = F2(z) + F3(z) + . . . =
= c20z2 + c11|z|2 + c02z
2 + c30z3 + c21|z|2z + c12|z|2z + c03z
3 + . . . ,
ckl – комплексные коэффициенты, величины K и ϕ трактуются какуправляющие параметры. В отсутствие слагаемого с запаздываниемпри K=0 нулевое решение задачи (1) является фокусом, устойчивостькоторого определяется знаком ν .
Теорема 1. Пусть ν>0 , ϕ 6=π+2πn , n∈Z , тогда при
0 ≤ K < ν/(1 + cos ϕ)
нулевое решение задачи (1) неустойчиво. Пусть ν<0 , ϕ 6=2πn , n∈Z ,тогда при
0 ≤ K < K0 = −ν/(1− cos ϕ)
нулевое решение задачи (1) устойчиво.
Ставится задача исследования локальной динамики системы (1)в окрестности нулевого решения методом нормальных форм [4]. Рас-сматривается случай большого запаздывания h=1/ε .
4Работа выполнена при поддержке CRDF, грант BG2220
54
В результате получаем [5] параболическое уравнение типаГинзбурга-Ландау
∂u
∂τ= d2
∂2u
∂r2+ d1
∂u
∂r+ d0u + d |u|2u, (2)
с периодическими краевыми условиями
u(τ, r+1) = u(τ, r) , (3)
где
d2=1
2K20
, d1=1+iΩ1
K20
, d0=K0K1(1− e−iϕ)+iΩ1−Ω2
1/2
K20
,
d=1
K0
[c21− 2i
Ω0
(|c11|2+1
3|c02|2
)].
Здесь K0 определено в теореме 1, а величины Ω0 и 0≤Ω1< 2π опре-деляются из соотношений
Ω0 = ω + K0 sin ϕ, Ω0ε−1 + ϕ + Ω1 = 0 mod 2π.
Полученное нормализованное уравнение связано с исходной зада-чей следующим образом.
Теорема 2. Пусть краевая задача (2)–(3) имеет решениеu=u∗(τ, r) . Тогда уравнение (1) имеет быстро осциллирующее асимп-тотическое по невязке решение
z∗(s) = εei [Ω0+Ω1ε+o(ε)]su∗(εs, (ε+o(ε))s
)+ o(ε). (4)
Литература
[1] Schikora S. [et al.] All-Optical Noninvasive Control of UnstableSteady States in a Semiconductor Laser // Phys. Rev. Lett. —2006. — Vol. 97, 213902: P. 1–4.
[2] Глазков Д.В. Особенности динамики модели Ланга-Кобаяши водном критическом случае // Моделирование и анализ инфор-мационных систем. — 2008. — Т. 15, N2. — С. 36–45.
55
[3] Yanchuk S. [et al.] Control of unstable steady states by long delayfeedback // Phys. Rev. E. — 2006. — Vol. 74, 026201: P. 1–7.
[4] Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучениюдинамики дифференциально-разностных уравнений с малыммножителем при производной // Дифференциальные уравне-ния. — 1989. — Т. 25, N2. — С. 262–270.
[5] Глазков Д.В. Локальная динамика уравнения с сильно запазды-вающей обратной связью // Моделирование и анализ информа-ционных систем. — 2011. — Т. 18, N1. — С. 71–81.
О бифуркациях соленоидальных базисныхмножеств
Жужома Е. В. (Россия)Нижегородский государственный педагогический университет
В работе [1] был введен новый класс диффеоморфизмов с инва-риантными соленоидальными множествами, который включает в се-бя классический пример Смейла диффеоморфизма полнотория в себяс одномерным растягивающимся аттрактором, являющимся солено-идом. Было доказано, что имеется два принципиально разных слу-чая спектрального разложения неблуждающего множества. В докладерассматриваются бифуркации перехода от одного случая к другому.Эти бифуркации можно рассматривать как бифуркации разрушенияи восстановления растягивающихся аттракторов Смейла-Вильямса вклассе специальных диффеоморфизмов.
Работа выполнена совместно с С.В. Гонченко.Автор благодарит РФФИ, гранты 11-01-12056-офи-м-2011, 12-01-
00672-а за финансовую поддержку. Работа выполнена в рамках гранта
56
Правительства Российской Федерации для государственной поддерж-ки научных исследований, проводимых под руководством ведущихученых в российских образовательных учреждениях высшего профес-сионального образования, договор 11.G34.31.0039.
Литература
[1] Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. О нульмерных соленоидальныхбазисных множествах // Матем. сборник. – 2011. – т. 202, N3. –C.47 – 68.
Фундаментальные группы пространствтригональных кривых
Звонилов В. И. (Россия)Сыктывкарский государственный университет
Оревков С. Ю. (Россия)МИАН
Фундаментальные группы пространств неособых гиперповерхно-стей в фиксированных линейных системах на алгебраических много-образиях – это одно из естественных обобщений группы кос. Именнотакие группы возникают, если пытаться обобщать метод кос в теориивещественных алгебраических кривых на большие размерности. Мыделаем первый шаг в этом направлении.
Пусть Σk - поверхность Хирцебруха, т.е. рациональная линейча-тая поверхность, q : Σk → CP1 - соответствующее CP1 -расслоениес исключительным сечением s , s2 = −k < 0 . Слои расслоения qназываются вертикальными.
57
Тригональной кривой на Σk называется такая приведённая криваяC ⊂ Σk , не пересекающая образ сечения s , что сужение qC : C → CP1
имеет степень 3.Обозначим через Trigk множество всех тригональных кривых на
Σk .При стягивании исключительного сечения в точку поверхность Σk
превращается во взвешенную проективную плоскость P(1, 1, k) с ко-ординатами x0, x1, y , имеющими веса 1, 1, k , а тригональная криваяC ⊂ Σk превращается в кривую, задаваемую уравнением Вейерштрас-са
y3 + b(x0, x1)y + w(x0, x1) = 0, (1)
где b и w - однородные многочлены степеней 2k и 3k . Многочленыb , w определяются кривой C однозначно с точностью до преобразо-вания
(b, w) 7→ (t2b, t3w), t ∈ C∗, (2)
поэтому Trigk = P(2, . . . , 2, 3, . . . , 3) есть взвешенное проективноепространство комплексной размерности 5k + 1 .
Пусть d = 4b3 + 27w2 - дискриминант по y уравнения (1). Функ-ция j : CP1 → CP1, j = 4b3/d , называется j -инвариантом кривойC . Построим звезду St(j) , проведя в CP1 из каждого мнимого кри-тического значения функции j луч в ∞ (один луч может содержатьдругой). Граф TΓ(j) = j−1(RP1 ∪ St(j)) на CP1 ∼= S2 назовём тет-ратомическим графом тригональной кривой (ср. [1], п.5.3.1).
Обозначим через J : Trigk → JTrigk отображение, пере-водящее тригональную кривую в её j -инвариант. ПространствоTΓk = TΓ(JTrigk) тетратомических графов тригональных кривыхможно отождествить с фактор-пространством Trigk/PGL(2, C) . За-метим, что последнее является пространством модулей тригональныхкривых на Σk .
С помощью отображения Ляшко-Лойенги (см. [2], § 5.1), заданногона JTrigk , строится клеточное разбиение пространства TΓk .
Кривая C ∈ Trigk называется почти общей, если она неосо-ба и не имеет перегибов с вертикальными касательными. ПустьNSingk ⊂ Trigk – пространство неособых тригональных кривых, аAlGenk ⊂ NSingk – подпространство почти общих кривых.
58
Теорема. Группы π1(AlGen1) и π1(NSing1) являются расшире-ниями свободных групп, соответственно, с 9-ю и 8-ю образующимипри помощи группы Z2 , а двумерные гомотопические группы этихпространств тривиальны.
Доказательство использует двойственное разбиение к упомянуто-му выше клеточному разбиению пространства тетратомических гра-фов.
Для фундаментальных групп пространств AlGenk и NSingk на-ходятся их образы в сферической группе кос из 6k нитей, рассматри-ваемой как конфигурационное пространство корней дискриминанта dуравнения (1).
Литература
[1] Degtyarev A., Itenberg I., Kharlamov V. On deformation types ofreal ellipticsurfaces // Amer.J.Math. – 2008. – v.130, N6. – p.1561 – 1627.
[2] Звонкин А.К., Ландо С.К. Графы на поверхностях и их прило-жения. – М.:МЦНМО, 2010. – 480с.
59
О решениях сингулярной задачи Кошинеявного вида
Зернов А. Е. (Украина)Южноукраинский национальный педагогический университет
им. К. Д. Ушинского, г. Одесса[email protected]
Кузина Ю. В. (Украина)Военная академия, г. Одесса
Рассматривается задача Коши вида
F (t, x(t), x′(t)) = 0, x(0) = 0,
где x : (0, τ) → R− неизвестная функция, F : (0, τ) → R− непрерыв-ная функция, D ⊂ (0, τ)× R× R . Предполагается, что левая частьдифференциального уравнения есть сумма многочлена и функции, ко-торая в определенном смысле мала в сравнении с этим многочленом.Под решением данной задачи понимается непрерывно дифференциру-емая функция x : (0, ρ] → R ( ρ ∈ (0, τ) ), которая тождественно удо-влетворяет исследуемому уравнению при всех t ∈ (0, ρ] и при этомlim
t→+0x(t) = 0 . Такие задачи обсуждаются в книге В.И. Арнольда "Тео-
рия катастроф"(М.: Наука, 1990) и основное внимание уделено (раз-дел 11) интересным результатам А.А. Давыдова. Однако вопрос обасимптотическом поведении решений рассматриваемой задачи вбли-зи t=0 требует дальнейшего исследования. С помощью качественногоанализа, аналогичного известным исследованиям Ш.Брио и Ж.Буке,проводится изучение рассматриваемой задачи: строится асимптотикарешений, формулирутся достаточные условия, при выполнении кото-рых данная задача имеет непустое множество решений с указаннойасимптотикой; исследуется вопрос о количестве таких решений; по-казывается, что сколь угодно малые слагаемые в левой части данно-го дифференциального уравнения оказывают существенное влияниена поведение, количество и само существование решений. Приводятсяконкретные примеры. При исследованиях используются методы каче-ственной теории дифференциальных уравнений и функциональногоанализа.
60
Влияние возмущений в задаче Коши длядескрипторного уравнения
Зубова С. П. (Россия)Воронежский государственный университет
Исследуются задачи, в которых возмущённое дифференциальноеуравнение неразрешимо относительно производной и содержит ши-рокий спектр немалых возмущений. Рассматривается динамическаясистема:
Adx
dt= Bx(t), x(0) = x0, t ∈ [0, T ], (1)
с оператором A , действующим из банахова пространства E1 в ба-нахово пространство E2 , замкнутым линейным, domA = E1 , фред-гольмовым (æ(A) = dim Ker A − dim Coker A = 0 ), dimKer A = 1 ;B : E1 → E2 — линейный замкнутый, domB = domA .
Изучается влияние возмущений εC , εG , εA коэффициентов A ,B ; ε ∈ (0, ε0) ; C , G : E1 → E2 — линейные замкнутые,domC = domG = dom A , а именно, исследуется поведение решенийxi(t, ε) при ε → 0 следующих задач:
(A− εC)dx1
dt= Bx1(t, ε), x1(0, ε) = x0
1(ε), (2)
Adx2
dt= (B + εG)x2(t, ε), x2(0, ε) = x0
2(ε), (3)
Adx3
dt= (B + εG + εA)x3(t, ε), x3(0, ε) = x0
3(ε), (4)
Adx4
dt= (B + A + εG)x4(t, ε), x4(0, ε) = x0
4(ε), (5)
x0i (ε) → x0
i при ε → 0 , i = 1, 2, ..., 4 , и операторы A−B , QB ,A−C , QC , A−G , QG — ограниченные. Здесь Q – проектор наCokerA , A− — полуобратный оператор.
Для xi(t, ε) возможно следующее поведение при ε → 0 :а) xi(t, ε) ⇒ x(t) , t ∈ [0, T ] ;б) xi(t, ε) = x(t)+vi(t, ε) , где vi(t, ε) — функции погранслоя вбли-
зи точки t = 0 , то есть наблюдается явление погранслоя;
61
в) все остальные случаи, в том числе @limx(t, ε) и ‖x(t, ε)‖E1 →∞при ε →∞ .
I. Пусть предельная задача (1) однозначно разрешима, тогда за-дачи (2) – (5) однозначно разрешимы каждая в своём фазовом про-странстве.
Теорема 1. Ситуация а) бывает в задаче (2) тогда и толькотогда, когда B – жордановы цепочки операторов A и A−εC имеютодинаковую длину ;
в задачах (3), (4), (5) в том и только том случае, когда длины B– жордановой цепочки и B+εG – жордановой цепочки для оператораA одинаковы.
Чтобы система (1) была робастна по отношению к возмущениюεC оператора A , необходимо и достаточно, чтобы совпадали поряд-ки полюсов в точке λ = 0 операторов (A−λB)−1 и (A−εC−λB)−1 .
Для робастности системы (1) по отношению к возмущениямεG , или εG + εA , или εG + A оператора B , необходимо и доста-точно, чтобы совпадали порядки полюсов в точке λ = 0 операторов(A− λB)−1 и
(A− λ(B + εG)
)−1 .Для определения ситуации б) или в) решается соответствующее
алгебраическое уравнение ветвления.II. Если задачи (1)– (5) разрешимы неоднозначно, то все вышена-
званные жордановы цепочки имеют бесконечные длины, соответству-ющие операторные пучки нерегулярны. В этом случае справедливаследующая теорема.
Теорема 2. Для любого решения xi(t, ε) задач (2) – (4) существу-ет решение задачи (1) с начальным значением x0 = x0
i , к которомуxi(t, ε) сходится равномерно на [0, T ] при ε → 0 .
Решение задачи (5) при этом равномерно сходится к решению
x(t) предельного уравнения Adx
dt= (B + A)x(t) .
Литература
[1] Решение однородной задачи Коши для уравнения с нетеровымоператором при производной / Доклады РАН. — 2009. — Т. 428, 4. — С. 444—446.
[2] Зубова С.П. Функции погранслоя. Явление погранслоя // Деп.в ВИНИТИ 17. 06. 91, 2517—В91. 17 с.
62
[3] Зубова С.П., Трофимов В.П. О голоморфных решениях диф-ференциального уравнения с операторным коэффициентом припроизводной, зависящим от параметра / Дифференц. уравнения.— 1985. — Т. XXI, 2. — С. 328—330.
О лежандровом поднятии самопересеченийволнового фронта
Илюхин А. М. (Россия)Российский государственный университет
нефти и газа им. И. М. Губкина[email protected]
В докладе будет дано соответствие между прообразом при лежан-дровом отображении мультиособенностей волнового фронта вблизиособой точки типа Aµ , Bµ , Cµ , D±
µ , E6 , E7 , E8 или F4 и ста-билизатором максимального корня одноимённой системы корней.
Дискретные динамические системы ссоленоидальными базисными множествами
Исаенкова Н. В. (Россия)Нижегородский Государственный Педагогический Университет
им. Козьмы Минина[email protected]
Одной из основных задач качественной теории динамических си-стем является классификация диффеоморфизмов с точностью до то-пологической сопряженности. При ее решении один из основных эта-пов состоит в описании возможных инвариантных множеств, опре-деляющих динамику диффеоморфизмов из рассматриваемого класса.
63
Рассмотрим класс диффеоморфизмов с инвариантными соленоидаль-ными множествами, который включает в себя классический примерСмейла с соленоидальным растягивающимся аттрактором.
Определение 1. Диффеоморфизм f : Mn → Mn , удовлетворяю-щий аксиоме А Смейла, замкнутого n -многообразия Mn принадле-жит классу SV , если существует вложенное в Mn базовое многооб-разие Bn def
= S1 × Dn−1 такое, что ограничение f |Bndef= F является
диффеоморфизмом F : Bn → F (Bn) ⊂ Bn на свой образ, удовлетво-ряющим условиям:
1. F (t, z) = (g(t), w(t, z)), t ∈ S1, z ∈ Dn−1,где g : S1 → S1 – неособый (Dg 6= 0 ) C1 эндоморфизм степениd ≥ 2 ;
2. при фиксированном t ∈ S1 преобразованиеw|t×Dn−1 : t × Dn−1 → Bn является равномерно сжима-ющим C1 вложением t ×Dn−1 → int (g(t) ×Dn−1) ,т.е. существуют константы 0 < λ < 1 , C > 0 такие, чтоdiam (F k(t ×Dn−1)) ≤ Cλkdiam (t ×Dn−1), ∀k ∈ N.
Для F ∈ SV пересечение ∩k≥0Fk(Bn)
def= Sol является соленои-
дом. Следующая теорема описывает возможные базисные множествав Sol ⊂ Bn .
Теорема 1. Пусть f : Mn → Mn – диффеоморфизм из классаSV . Тогда неблуждающее множество NW (f) ∩ Bn содержит ровноодно нетривиальное базисное множество Λ , которое есть либо
• одномерный растягивающийся аттрактор, и тогда Λ = Sol , либо
• нульмерное базисное множество, и тогда NW (f)∩Bn состоит изΛ , конечного (ненулевого) числа стоковых периодических точеки конечного (возможно, нулевого) числа седловых изолирован-ных периодических точек.
Обе возможности реализуются.Определение 2. Ограничения преобразований f |Λf
, g|Λg наих инвариантные множества называются внутренне сопряженны-ми, если существует гомеоморфизм ϕ : Λf → Λg , такой, чтоϕ f |Λf
= g ϕ|Λf.
64
Определение 3. Если ϕ можно продолжить до гомеоморфиз-ма ϕ : M → N или ϕ : U(Λf ) → U(Λg) некоторых окрестностейU(Λf ) , U(Λg) множеств Λf , Λg соответственно, сохранив соотноше-ние ϕ f |Λf
= g ϕ|Λf, то f |Λf
, g|Λg называются окрестностно со-пряженными.
В следующей теореме построены примеры, демонстрирующие раз-ницу между внутренней классификацией обобщенных соленоидов, по-лученной Вильямсом Р., и окрестностной классификацией.
Теорема 2. Существуют четырехмерные компактные многооб-разия M , N и диффеоморфизмы f : M → f(M) ⊂ M ,g : N → g(N) ⊂ N с одномерными растягивающими аттракторамиΛf , Λg соответственно такие, что ограничения f |Λf
, g|Λg внутреннесопряжены, но окрестностно не сопряжены.
В основе построения диффеоморфизма f лежит конструкциядиффеоморфизма S.Smale многообразия S1×D3 в себя с одномернымрастягивающимся аттрактором. Здесь одномерный растягивающийсяаттрактор Λf локально гомеоморфен прямому произведению прямойR на стандартное канторово множество в D3 .
Для диффеоморфизм g используется конструкция L.Antoine. Врезультате полученный диффеоморфизм имеет одномерный растяги-вающийся аттрактор Λg , который локально гомеоморфен прямомупроизведению R на ожерелье Антуана.
Автор благодарит РФФИ, гранты 11-01-12056-офи-м-2011, 12-01-00672 за финансовую поддержку.
65
Разрешимость краевой задачи для аналогауравнения Трикоми во внешности диска 5
Кастэн Ю. А. (Россия)Владимирский государственный университет имени
Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых[email protected]
На плоскости R2x,y рассмотрим гладкое линейное уравнение с част-
ными производными второго порядка смешанного типа – являющеесяэллиптическим внутри круга и гиперболическим вне его. Кроме того,предполагаем, что дискриминант уравнения имеет ненулевой диффе-ренциал на линии смены типа – окружности, а характеристическиенаправления на этой линии не касаются её.
Уравнение
(xdy − ydx)2 − (r − 1)(xdx + ydy)2 = 0,
где r =√
x2 + y2 , можно рассматривать как модельное для соот-ветствующего поведения характеристик в следующем смысле: к тако-му виду локально вблизи линии смены типа уравнения – окружности– гладкой заменой координат и умножением на гладкую ненулевуюфункцию приводится уравнение характеристик любого другого ли-нейного уравнения смешанного типа, у которого дискриминант имеетневырожденный нуль на окружности, а характеристические направ-ления не касаются её [2].
Аналогичное поведение характеристик вблизи линии смены типаимеет и уравнение, записываемое в полярных координатах в виде
urr − (r − 1) · uϕϕ = 0 (1)
Его мы и будем рассматривать в качестве модельного уравненияи искать для него решение в кольце r ∈ [r0;∞) , ограниченное набесконечности и удовлетворяющее условиям
u (r0, ϕ) = f (ϕ) , f(ϕ + 2π) = f(ϕ), (2)5Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-01-0096-а) и
ДРПННиТ 1.1348.2011.
66
ur (r0, ϕ) = 0 (3)
при некотором 0 < r0 < 1.В предположении, что граничные условия достаточно гладкие, мы
будем искать 2π -периодические по ϕ решения этой задачи.Теорема. Для f ∈ Ck, k ≥ 3 cуществует ограниченное 2 π -
периодическое по ϕ классическое решение задачи (1)-(3).Замечание. Для справедливости теоремы достаточно предпола-
гать, что функция f дважды непрерывно дифференцируема, а еётретья производная кусочно-непрерывна.
Доказательство существования основано на применении методаФурье [1] разделения переменных и представления искомого решенияв виде ряда.
Литература
[1] Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. - М.: Наука,Главная редакция физико-математической литературы, 1982. –336 с.
[2] Кастэн Ю. А. О глобальной нормальной форме уравнения сме-шанного типа на плоскости во внешности диска//Тезисы докла-дов. Международная конференция по дифференциальным урав-нениям и динамическим системам, Суздаль 2-7 июля 2010 года– с.100
67
Теорема Эйлера-Якоби об интегрируемости
Козлов В. В. (Россия)Математический институт им. В.А. Стеклова РАН
[email protected]@mi.ras.ru
Обсуждается круг вопросов, связанный с условиями точной ин-тегрируемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений,выраженными через свойства тензорных инвариантов.
Доказана общая теорема об интегрируемости системы n диффе-ренциальных уравнений, допускающая n-2 независимых полей сим-метрий и инвариантную n-форму объема (интегральный инвариант).Результаты общего характера применяются к изучению стационарныхдвижений сплошной среды с бесконечной проводимостью.
Особенности наилучшего приближениянаипростейшими дробями 6
Комаров М. А. (Россия)ВлГУ
Рассматривается задача о наилучшем равномерном приближениивещественной непрерывной функции f на отрезке I ⊂ R веществен-ными наипростейшими дробями (н.д.) Rn , т.е. логарифмическимипроизводными вещественных многочленов:
Rn := Q′n/Qn, Qn(x) := xn + q1x
n−1 + . . .+ qn−1x+ qn, x, qk ∈ R.
Число n ∈ N называется порядком дроби, а нули z1, . . . , zn многочле-на Qn – её полюсами. Эта задача имеет вполне определённый смысл втеории поля на плоскости, поскольку может быть трактована как за-дача о выборе точек zk для размещения в них равновеликих источни-ков, создающих (с точностью до постоянных множителей и операциикомплексного сопряжения) заданное плоское поле.
6Работа поддержана РФФИ (грант НШ-8462.2010.1 и проекты 11-01-97512р_центр_а, 12-01-31471 мол_а) и ДРПННиТ (проект 1.1348.2011).
68
В настоящее время наипростейшие дроби являются предметом ак-тивных исследований. Первый результат о равномерном приближе-нии функций посредством н.д. был получен в работе [1], где былопоказано, что класс функций, приближаемых н. д. в равномерной мет-рике на ограниченном множестве, включает многочлены, а значит– и аппроксимируемые ими функции (откуда следует аналог теоре-мы Мергеляна о полиномиальных аппроксимациях). При этом оказа-лось, что скорости приближения н. дробями и многочленами на огра-ниченных множествах для широкого класса функций имеют одинако-вый порядок. Это позволило получить для н. д. аналоги классическихтеорем Д.Джексона, С.Н.Бернштейна, А. Зигмунда, В.К.Дзядыка,Дж.Л.Уолша [2,3].
Важным отличием н. д. от многочленов является возможность при-ближения на неограниченных множествах. Этому вопросу посвяще-ны недавние работы П.А.Бородина, О.Н.Косухина, В.Ю.Протасова,В.И.Данченко, И.Р.Каюмова (см. библиографию в работе [5]).
Другое важное отличие – явление неединственности н. д. наилуч-шего равномерного приближения. Первый пример неединственностиопубликовали при n = 2 В.И.Данченко и Е.Н.Кондакова [6]; именно,для функции f(x) = x + 1 существует бесконечно много н.д. порядка≤ 2 наилучшего равномерного приближения на отрезке [−1, 1] . Приn = 3 пример был построен автором в [7]. Наконец, для произвольногоn пример был обобщён автором в [8].
Отметим, что единственности не приходится ожидать и в случаеприближения в метриках Lp . Например, легко проверить, что функ-ция
f(x) :=
c = const > 0, x ≤ 0,−c, x > 0
имеет не менее двух н.д. порядка не выше 2 наилучшего приближенияв L1[−1, 1] . Построение таких примеров при всех p (в том числе нанеограниченных множествах) – задача.
Далее, в цитированных выше примерах неединственности функ-ция подобрана так, что для одной из дробей наилучшего равномерногоприближения наблюдается альтернанс7 из n + 1 точек, а для осталь-ных альтернанс состоит лишь из n− 1 точек. Это тоже нехарактерно
7Напомним определение альтернанса. Пусть Rn – вещественная н.д. безполюсов на отрезке I ⊂ R . Говорят, что точки a1 < a2 < . . . < as
69
для полиномов. Тем не менее, в [4] были выявлены частичные ана-логии с классической теоремой П.Л.Чебышёва об альтернансе, а вработе [9] было показано, что для достаточно малых констант н.д.наилучшего приближения характеризуется альтернансом из n+1 то-чек (единственность наилучшего приближения константы и необходи-мость такого альтернанса были установлены ранее в [6]).
Интерес представляет построение эффективного критерия необхо-димости и достаточности (n+1) -точечного альтернанса для того, что-бы н.д. была (единственной) наипростейшей дробью порядка не вышеn наилучшего равномерного приближения. В этом направлении в ра-боте [10] была сформулирована (и проверена при n ≤ 5 ) гипотеза:
вещественная н.д. Rn с n простыми полюсами, лежащими внеединичного круга, есть н.д. порядка ≤ n наилучшего равномерно-го приближения непрерывной вещественной функции f на отрезке[−1, 1] , если для разности f−Rn на [−1, 1] наблюдается альтернансиз n + 1 точек.
Доказательство опирается на некоторое алгебраическое тождество,предложенное в [4], проверка которого для всех n представляет труд-ность. В докладе будет показано, что при условии справедливостиэтого проблемного тождества, верно более общее утверждение:
вещественная н.д. Rn с n простыми полюсами, лежащими внеединичного круга, есть н.д. порядка ≤ n наилучшего равномерно-го приближения непрерывной вещественной функции f на отрезке[−1, 1] в том и только том случае, когда для разности f − Rn на[−1, 1] наблюдается чебышёвский альтернанс из n+1 точек, причёмн.д. наилучшего приближения единственна.
Есть основания ожидать, что простота полюсов в этом критериинесущественна.
Литература
[1] Данченко В.И., Данченко Д.Я. О равномерном приближе-нии логарифмическими производными многочленов, в сб. ”Тео-рия функций, её приложения и смежные вопросы: материа-лы шк.-конференции, посвящённой 130-летию со дня рожденияД.Ф.Егорова” (Казань, 1999), с. 74–77.
отрезка I образуют (чебышёвский) альтернанс разности Rn − f , еслиRn(ak)− f(ak) = ±(−1)k‖Rn − f‖C(I) , k = 1, s .
70
[2] Данченко В.И., Данченко Д.Я. О приближении наипростейши-ми дробями, Матем. заметки 70 (4), 553–559 (2001).
[3] Косухин О.Н. О некоторых нетрадиционных методах прибли-жения, связанных с комплексными полиномами, Дисс. . . . канд.физ.-мат. наук (МГУ, 2005).
[4] Новак Я.В. Апроксимацiйнi та iнтерполяцiйнi властивостiнайпростiших дробiв, Дисс. . . . канд. физ.-матем. наук (ИМНАНУкраины, Киев, 2009).
[5] Каюмов И.Р. Сходимость рядов наипростейших дробей вLp(R) , Матем. сб. 202 (10), 87–98 (2011).
[6] Данченко В.И., Кондакова Е.Н. Чебышёвский альтернанс приаппроксимации констант наипростейшими дробями, ТрудыМИАН 270, 86–96 (2010).
[7] Комаров М.А. Примеры, связанные с наилучшим приближе-нием наипростейшими дробями, Проблемы мат. анализа, 65,119–131 (2012).
[8] Комаров М.А. О неединственности наипростейшей дроби наи-лучшего приближения, Известия вузов. Математика (принята кпубликации).
[9] Комаров М.А. Критерий наилучшего приближения константнаипростейшими дробями, Мат. заметки 93 (2), 209–215 фев-раль 2013 (принята к публикации).
[10] Комаров М.А. О достаточном признаке наилучшего равномер-ного приближения наипростейшими дробями, Проблемы мат.анализа, 68 (принята к публикации).
71
О топологической классификации структурноустойчивых диффеоморфизмов на M 3 с
нетривиальными базисными множествами
Левченко Ю. А. (Россия)Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия
В работе рассматриваются структурно устойчивые диффеомор-физмы f , заданные на замкнутых ориентируемых связных 3 -многообразиях M3 . Согласно спектральной теореме С. Смейла [3],неблуждающее множество NW (f) диффеоморфизма f пpедставля-ется в виде конечного объeдинения попаpно непеpесекающихся за-мкнутых инваpиантных множеств, называемых базисными множе-ствами, каждое из котоpых содеpжит всюду плотную тpаектоpию.
Напомним, что базисное множество B диффеоморфизма f назы-вается аттрактором, если существует замкнутая окрестность U мно-жества B такая, что f(U) ⊂ int U ,
⋂j≥0
f j(U) = B . Аттрактор для
диффеоморфизма f−1 называется репеллером диффеоморфизма f .Аттрактор B диффеоморфизма f называется растягивающимся, ес-ли топологическая размерность dimB равна размерности dim(Eu
B)неустойчивого подрасслоения Eu
B . Сжимающийся репеллер диффео-морфизма f определяется как растягивающийся аттрактор для f−1 .
Из [2] следует, что любое двумерное базисное множество являетсялибо аттрактором, либо репеллером.
Согласно [1] базисное множество B диффеоморфизма f называет-ся поверхностным, если оно принадлежит f -инвариантной замкнутойповерхности M2
B (не обязательно связной), топологически вложеннойв 3-многообразие M3 и называемой носителем множества B .
Из работы [4] следует, что любой двумерный аттрактор (репел-лер) диффеоморфизма f является либо растягивающимся аттракто-ром (сжимающимся репеллером), либо поверхностным аттрактором(поверхностным репеллером).
В работе [5] получена топологическая классификация структурноустойчивых диффеоморфизмов f в предположении, что их неблуж-дающее множество содержит двумерный растягивающийся аттрактор
72
(сжимающийся репеллер) и доказано, что в этом случае несущее мно-гообразие диффеоморфно трехмерному тору, а неблуждающее мно-жество содержит в точности одно нетривиальное (отличное от перио-дической орбиты) базисное множество.
В [1] установлено, что любое поверхностное двумерное базисноемножество совпадает со своим носителем, являющимся объединениемконечного числа многообразий, каждое из которых ручно вложено вM3 и гомеоморфно двумерному тору, а ограничение некоторой сте-пени диффеоморфизма f на носитель сопряжено с гиперболическимавтоморфизмом тора.
В докладе рассматривается класс G структурно устойчивых со-храняющих ориентацию диффеоморфизмов, неблуждающее множе-ство которых состоит из двумерных поверхностных базисных мно-жеств. При некоторых дополнительных условиях на структуру пе-ресечения устойчивых и неустойчивых многообразий точек базисногомножества найдены необходимые и достаточные условия топологиче-ской сопряженности диффеоморфизмов из класса G , а также решенапроблема реализации.
Автор благодарит Гринеса В. З. за постановку задачи, а такжегранты 12-01-00672, 11-01-12056-офи-м РФФИ и грант правительстваРоссийской Федерации 11.G34.31.0039 за финансовую поддержку.
Литература
[1] Гринес В.З., Медведев В.С., Жужома Е.В. О поверхностных ат-тракторах и репеллерах на 3-многообразиях. // Мат. зам. –2005.–Т.78, N. 6, 813–826.
[2] Плыкин Р.В. О топологии базисных множеств диффеомоpфиз-мов С.Смейла. // Матем. сборник. –1971.– Т. 84, N. 2, 301–312.
[3] Smale S. Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc.–1967.– V. 73 (6), 747–817.
[4] Brown A. Nonexpanding attractors: conjugacy to algebraic modelsand classification in 3-manifolds. // Journal of Modern Dynamics–2010–. V. 4, 517–548.
[5] Grines V., Zhuzhoma E. On structurally stable diffeomorphisms withcodimension one expanding attractors. // Trans. Amer. Math. Soc.–2005–. V. 357, N.2, 617–667.
73
Гомоклинические торы в гамильтоновых идиссипативных системах
Лерман Л. М. (Россия)Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Инвариантные торы – наиболее часто встречающиеся инвариант-ные многообразия гладких динамических систем. В гамильтоновыхсистемах можно найти инвариантные торы любой размерности, осо-бенно в системах близких к интегрируемым. Но торы также существу-ют и в системах, не являющихся близкими к интегрируемым. Болеетого, существует естественный механизм образования инвариантныхторов через бифуркации, в результате которых возникают эллипти-ческие или частично эллипти-ческие состояния равновесия или пе-риодические траектории, а в их окрестности уже существуют инва-риантные торы. Например, таким механизмом являются гомоклини-ческие бифуркации, в результате которых вблизи нетрансверсальныхгомоклиничес-ких траекторий или контуров образуются эллиптиче-ские или частично эллиптические периодические траектории.
В диссипативных системах в общем случае инвариантные торыимеют размерность 2, а торы большей размерности, если существу-ют, то имеют свою внутреннюю структуру (не транзитивны), как ин-вариантные многообразия. Тем не менее, если такие торы являютсянормально гиперболическими и показатели Ляпунова вдоль тора сла-бее, чем в нормальном направлении, то такие торы также сохраня-ются при возмущениях. Существование инвариантных торов большойразмерности может быть следствием некоторой дополнительной инва-риантности системы: существование обратимости, эквивариантностиили если система является расширением над квази-периодической си-стемой на торе (т.е. является пополнением неавтономной квазипери-одической системы).
В любом из упомянутых случаев инвариантные торы могут бытьседловыми и их устойчивые и неустойчивые многообразия могут пе-ресекаться. Это приводит к существованию гомоклинических торов.Впервые механизмы неустойчивости в гамильтоновых системах сомногими степенями свободы, близких к интегрируемым (достаточно
74
≥ 3 ), использующие седловые торы и пересечение их устойчивых инеустойчивых многообразий, приводящие к далекому уходу траекто-рий по перемен-ным действия, был предложен В.И.Арнольдом [1] и стех пор носит наименование "диффузии Арнольда". В докладе мы об-суждаем не диффузию Арнольда, а сущест-вование гомоклиническойдинамики, которая вытекает из существования гомоклини-ческих то-ров.
В диссипативном случае строение системы вблизи множества,являющегося итера-циями гомоклинического тора диффеоморфизма("гомоклиническая труба инвариан-тного тора"), имеющего инвари-антный гладкий седловой тор, в одном из возможных здесь случа-ев был изучен Л.П.Шильниковым [2]. При условиях на поведениедиффео-морфизма, гарантирующих сохранение гладкого тора, былополучено описание инва-риантных множеств в окрестности гомокли-нической трубы. Такая ситуация является естественной для квазипе-риодической системы и ее применение дает, в частности, существова-ние счетного множества квазипериодических торов. Однако изучен-ная Шильниковым ситуация не является единственно возможной имогут существовать гирлянды, состоящие из торов, и при их итера-циях ситуация становится гораздо сложнее и не поддается полномуописанию. В частности, этот случай встречается при квазипериоди-ческом возмущении периодической системы с нетрансверсальной го-моклинической траекторией к седловому периодическому решению.Здесь удается получить только частичное описание, что будет пред-метом второй части доклада.
Работа поддержана грантом РФФИ 11-01-00001a и ФЦП "Кад-ры"14.В37.21.0361.
Литература
[1] Арнольд В.И.// ДАН СССР – 1964.– Т.156, 1.– С.9 – 12.
[2] Шильников Л.П.// ДАН СССР – 1968.– Т.180, 2.– С.286 – 289.
75
О задаче продолжения диффеоморфизмов 8
Лукацкий А. М. (Россия)Институт энергетических исследований РАН
В.И. Арнольдом [1] была поставлена следующая проблема: всегдали диффеоморфизм края многообразия можно продолжить до сохра-няющего элемент объема многообразия ([1], задача 1988-20). Для рядаприложений (неустойчивость течений идеальной несжимаемой жид-кости, задача быстрого кинематического динамо ([2])) удобно иметьявный вариант конструкции такого продолжения. Рассмотрим ее дляслучая продолжения диффеоморфизмов со сферы на шар.
Пусть дан n -мерный шар Bn с границей n − 1 -мерной сферойSn−1 . Обозначим через Diff0(S
n) связную компоненту единицы вгруппе диффеоморфизмов сферы, а через SDiff0(B
n)− в группедиффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема шара.
Пусть дан диффеоморфизм f ∈ Diff0(Sn−1) , требуется продол-
жить его до диффеоморфизма f ∈ SDiff(Bn) , где n ≥ 2 . Согласнорезультатам Терстона [3] диффеоморфизм f можно разложить в про-изведение элементов потоков векторных полей f = exp(v1)... exp(vk) .Для гладкого векторного поля v на Sn−1 предлагается конструкцияего продолжения до бездивергентного поля v на Bn , основанная натеории представлений. Используется представление собственной орто-гональной группы SO(n) сферическими векторными полями на Sn−1
([4]), а также конкретный вид неприводимых подпространств этогопредставления ([5], с.36). В частности, при помощи такой конструк-ции поток векторного поля на Sn−1 продолжается до потока безди-виргентного векторного поля на Bn .
С точки зрения вышеупомянутых приложений представляют ин-терес продолжения действий некомпактных групп Ли на сфере. Из-вестно, что на Sn−1 транзитивно действуют конформная SO(1, n)и проективная SL(n) группы. На нечетномерных сферах имеютсянетранзитивные действия разрешимых групп Ли сохраняющими эле-мент объема диффеоморфизмами. Продолжения SO(1, n) и SL(n)
8Работа выполнена при частичном финансировании РФФИ, грант 11-01-00465а
76
приводят к бесконечномерным подгруппам в SDiff(Bn) , а разреши-мых групп Ли – к конечномерным.
Конструкция иллюстрируется на примере продолжений диффео-морфизмов конформной и проективной групп. Для конформной груп-пы можно указать преобразования, имеющие две неподвижных точкина сфере Sn−1 . Их продолжения сохраняющими элемент объема диф-феоморфизмами имеют внутри шара множество неподвижных точек,диффеоморфное Sn−2 .
В случае продолжения проективных диффеоморфизмов возникаетмножество неподвижных точек внутри шара, представляющее объеди-нение двух сфер Sn−2 , которые могут пересекаться по Sn−3 . Имеетсятакже неподвижная точка в центре шара.
Для проективных преобразований сферы Sn−1 их продолженияприводят к примерам недиссипативного динамо ([2], с.275) на шареBn . При этом эффект динамо обязан собственным числам линеари-зации продолжений диффеоморфизмов в центре шара.
Литература
[1] Арнольд В.И. Задачи Арнольда // М.: Фазис – 2000.
[2] Арнольд В.И., Хесин Б.А. Топологические методы в гидродина-мике // М.: МЦНМО – 2007.
[3] Thurston W. Foliations and groups of diffeomorphisms // Bull.Amer. Math. Soc. – 1974. – Vol. 80, p. 304-307.
[4] Кириллов А.А. Представление группы вращений n -мерногоевклидова пространства сферическими векторными полями//ДАН СССР – 1957 – т. 116, 4, с. 538-541.
[5] Лукацкий А.М. Структурно-геометрические свойства бесконеч-номерных групп Ли в применении к уравнениям математическойфизики// Ярославль, ЯрГУ им. П.Г. Демидова – 2010.
77
Расстояние между символами T-алфавита исвойства дискретных динамических систем
Макаренко А.В. (Россия)Научно-исследовательская группа «Конструктивная Кибернетика»
Институт проблем управления РАН[email protected]
Определим модель динамической системы в виде дискретногоотображения:
sk+1 = f (sk, p) , (1)
со свойствами: s ∈ S ⊂ RN , p ∈ P ⊂ RL , k ∈ K ⊂ Z , n = 1, N ,l = 1, L , k = −K, K , где: s – переменная состояния динамиче-ской системы; p – вектор её параметров; N – размерность простран-ства состояний системы. C отображением (1) свяжем последователь-ность skK
k=−K – траекторию эволюции динамической системы.В статье автора [1] введен в рассмотрение конечный T-алфавит
кодирующий форму траектории системы (1) в пространстве S×K че-рез соответствие: s(n)
k Kk=−K ⇒ Tαϕ
k |nKk=−K , Tαϕ
k = [T αϕk |1 . . . T αϕ
k |N ] .Схема термов T αϕ|n приведена на рисунке.
Метод символического CTQ-анализа направлен на исследование клю-чевых внутренних свойств многомерных траекторий, важных с по-зиций вопросов идентификации, управления и предсказания эволю-ции [1]. Кроме того, подход позволяет анализировать уровень син-хронизации и её временную структуру в сложных ансамблях силь-но нестационарных и неидентичных хаотических осцилляторов боль-ших размерностей с произвольной конфигурацией и топологией сети(решётки) [2, 3]. Исходно метод разрабатывался как вычислительно-ориентированный (для конечных последовательностей вида skK
k=1 ),
78
но в работе [3] предложено его аналитическое расширение на системывида (1), через построение так называемых карт TQ-бифуркаций.
В настоящем докладе T-алфавит расширен символами T8N и T8P .Это позволило определить взаимно однозначное преобразование сим-волов при перестановках, отвечающих инверсии k → −1 · k и её ком-позиции с инверсией s
(n)k → −1 · s(n)
k .Также введена величина dT (Ti, Tj) – расстояние между симво-
лами T-алфавита. Мера для этого расстояния определена как коли-чество рёбер на кратчайшем пути между двумя вершинами в гра-фе (2). Этот граф отвечает всем возможным переходам между симво-лами T αϕ|n для k -го отсчёта при различных непрерывных деформа-циях исходной подпоследовательности
s(n)k−1, s
(n)k s
(n)k+1
.
Означенные нововведения позволили сформулировать и доказатьряд теорем, на основе которых удалось существенно продвинуться впонимании связей между критическими свойствами дискретных си-стем вида (1) и выражением этих свойств в виде аналитических ха-рактеристик CTQ-анализа [1, 3]. Кроме того, на основе информациио структуре графа (2) разработан алгоритм детализации топографиикарт TQ-бифуркаций для динамических систем вида (1) в случае ихчисленного исследования.
Литература
[1] Макаренко А.В. Символический анализ в пространстве«скорость-кривизна» многомерных динамических процессов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2012, 52 (7), 1248–1260.
[2] Макаренко А.В. Мера синхронности многомерных хаотическихпоследовательностей на основе их символьного представления вT-алфавите // Письма в ЖТФ, 2012, 38 (17), 53–60.
79
[3] Makarenko A.V. The possibilities by symbolic analysis in velocity-curvature space: TQ-bifurcation, symmetry, synchronization //School-Seminar «Interaction of Mathematics and Physics», Moscow,August 22–30, 2012, Steklov Mathematical Institute.
О спектральных свойствах дифференциальногооператора третьего порядка с гладкой весовой
функцией
Митрохин С. И. (Россия)НИВЦ МГУ им. Ломоносова[email protected]
Рассмотрим дифференциальный оператор, задаваемый дифферен-циальным уравнением третьего порядка вида
y(3)(x) + q(x) · y(x) = λa3ρ3(x) · y(x), 0 6 x 6 π, a > 0, (1)
и периодическими граничными условиями
y(0) = y(π), y′(0) = y′(π), y′′(0) = y′′(π). (2)
Мы предполагаем, что весовая функция ρ(x) является глад-кой: ρ(x) ∈ C4 [0; π] и положительной на отрезке [0; π] : ρ(x) > 0∀x ∈ [0; π] .
Мы также предполагаем, что потенциал q(x) является сумми-руемой функцией на отрезке [0; π] ; (
∫ x
0q(t)dt)′x = q(x) почти всюду
для всех x ∈ [0; π] .В случае q(x) = 0 асимптотика решений вспомогательного урав-
нения y(3)(x) = λa3ρ3(x) ·y(x) изучена автором в гл. 4 монографии [1].Пусть λ = s3 , s = 3
√λ , зафиксируем ту ветвь корня, для кото-
рой 3√
1 = +1 . Пусть w3k = 1 ( k = 1, 2, 3 ): w1 = 1 , w2 = −1+
√3·i
2,
w3 = −1−√3·i2
. Справедлива следующая теорема.
80
Теорема 1. При |s| → +∞ асимптотика решений вспомогатель-ного уравнения y(3)(x) = λa3ρ3(x) · y(x) имеет следующий вид :
yобщ.(x) =3∑
k=1
Ck · yk(x, s),
y(m)общ.(x) =
3∑
k=1
Ck · y(m)k (x, s), m = 1; 2; (3)
yk(x, s) =1
ρ(x)· eawk·s·M(x)·
·[1 +
w2kA1(x)
s+
wkA2(x)
s2+
A3(x)
s3+ O
(e|Ims| · x
s4
)], (4)
y(m)k (x, s) = (awks)
m · (ρ(x))m−1 · eawks·M(x)·
·[1 +
w2kA
m1 (x)
s+
wkAm2 (x)
s2+
Am3 (x)
s3+ O
(e|Ims| · x
s4
)], (5)
m = 1; 2; M(x) =
x∫
0
ρ(t)dt, Ck — const.
Коэффициенты разложений (4)–(6) вы-писываются в явном виде. Например,A1(x) = − 1
3a· ∫ x
0ϕ1(t)dt , где
ϕ1(x) = 3 · (ρ′(x))2
ρ3(x)− 2 · ρ′′(x)
ρ2(x). (6)
С помощью формул (3)–(6) можно, применяя метод последователь-ных приближений Пикара, изучить асимптотику решений дифферен-циального уравнения (1). Затем, используя полученные асимптотики,можно изучить периодические граничные условия (2).
Теорема 2. Уравнение на собственные значения дифференциаль-ного оператора (1)–(2) имеет следующий вид :
f(s) = f0(s) +f1(s)
s+
f2(s)
s2+
f3(s)
s3+ O
(1
s4
)= 0, (7)
81
где f0(s) =
=
eaw1sM(π)
ρ(π)− 1
ρ(0)
eaw2sM(π)
ρ(π)− 1
ρ(0)
eaw3sM(π)
ρ(π)− 1
ρ(0)w1 · [eaw1sM(π) − 1] w2 · [eaw2sM(π) − 1] w3 · [eaw3sM(π) − 1]
w21 ·[ρ(π)·eaw1sM(π)−w2
2 ·[ρ(π)·eaw2sM(π)−w23 ·[ρ(π)·eaw3sM(π)−
−ρ(0)] −ρ(0)] −ρ(0)]
. (8)
Уравнение f0(s) = 0 является основным приближением для урав-нения (7), f1(s) , f2(s) выписываются в явном виде.
Теорема 3. Корни уравнения (7)–(8) разбиваются на 6 серий,асимптотика которых имеет следующий вид :
sk,m =
[2πik
a ·M(π)+
d1k,m
k+
d2k,m
k2+ O
(1
k3
)]·eπi
3·(m−1), m = 1, 2, . . . , 6.
(9)Коэффициенты d1k,m , d2k,m выписываются через функции ρ(x) и
q(x) .С помощью формулы (9) изучается асимптотика собственных
функций дифференциального оператора (1)–(2).
Литература
[1] Митрохин С.И. Асимптотические методы решений диффе-ренциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами. —М.: Национальный открытый университет «ИНТУИТ», 2011. —592 с.
82
О существовании энергетической функциикаскадов поверхностей
Митрякова Т.М. (Россия)ННГУ им. Н.И. Лобачевского[email protected]
Энергетической функцией ϕ : Mn → R для динамической си-стемы называется гладкая функция, убывающая вдоль траекторийсистемы вне цепно рекуррентного множества, постоянная на цепныхкомпонентах и множество ее критических точек совпадает с цепнорекуррентным множеством системы. Первые результаты по постро-ению энергетической функции принадлежат С. Смейлу [3], которыйв 1961 году доказал существование энергетической функции Морсадля градиентно-подобных потоков на замкнутых n -многообразиях(n ≥ 1 ). Напомним, что C2 -гладкая функция ϕ : Mn → R назы-вается функцией Морса, если все ее критические точки невырожде-ны. В 1977 году Д. Пикстон [2] установил существование энергети-ческой функции, являющейся функцией Морса, для диффеоморфиз-мов Морса-Смейла на поверхностях. Заметим, что такая функция,в общем случае, не существует уже для диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на 3 -многообразиях (см., напр., [1], [2]).
В настоящей работе рассматривается класс Φ сохраняющих ориен-тацию диффеоморфизмов f : M2 → M2 с конечным гиперболическимцепно рекуррентным множеством Rf , заданных на ориентируемыхзамкнутых поверхностях M2 .
Диффеоморфизмы класса Φ , в общем случае, не являются струк-турно устойчивыми (гиперболичность цепно рекуррентного множе-ства равносильна Ω -устойчивости диффеоморфизма f ∈ Φ ), однакона класс Φ удалось обобщить результат Пикстона, то есть построитьэнергетическую функцию, являющуюся функцией Морса. Основнымрезультатом является доказательство следующей теоремы.
Теорема Для любого диффеоморфизма f ∈ Φ существует энер-гетическая функция Морса.
Следствием из теоремы является соотношение между цепно ре-куррентным множеством Rf и родом g
fобъемлющего многообразия.
83
Следствие Для любого диффеоморфизма f ∈ Φ имеет местоследующее равенство
⋃p∈Rf
(−1)dim W up = 2− 2g
f.
Результаты получены совместно с В.З. Гринесом и О.В. Починкой.Автор благодарит грант 12-01-00672-a, 11-01-12056-офи-м-2011 РФ-
ФИ, грант правительства Российской Федерации 11.G34.31.0039 игрант Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на ока-зание услуг в 2012-2014 гг. подведомственными высшими учебнымизаведениями (шифр заявки 1.1907.2011) за частичную финансовуюподдержку.
Литература
[1] Гринес В.З., Лауденбах Ф., Починка О.В. О существовании энер-гетической функции для диффеоморфизмов Морса-Смейла на3-многообразиях // ДАН. — 2011. — Т. 440, 1. — 7-10.
[2] Pixton D. Wild unstable manifolds. // Topology. — 1977. — V.16, 2. — 167-172.
[3] Smale S. On gradient dynamical systems. // Ann. Math. — 1961. —199-206.
84
Управление в форме синтеза для успокоениясистемы осцилляторов
Овсеевич А. И. (Россия)Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Федоров А. К. (Россия)Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Построение синтеза управления для колебательных систем являет-ся одной из основных задач математической теории управления. Клас-сическим достижением в этой области является аналитическое реше-ние задачи о быстрейшем успокоении линейного маятника. В даннойработе мы рассматриваем следующую по сложности задачу успокое-ния системы из произвольного числа линейных осцилляторов, связан-ных общим ограниченным управлением. По-видимому, в этом случаенереалистично надеяться на аналитическое построение оптимальногосинтеза, и даже нахождение численного решения — непростая зада-ча. Поэтому мы ищем неоптимальное управление по обратной связи,тем не менее приводящее систему в состояние равновесия. Полученноеуправление не совсем лишено признаков оптимальности: отношениевремени приведения в нуль с помощью этого управления к минималь-но возможному близко к единице, если начальная энергия системыдостаточно велика.
В работе предлагается метод построения синтеза управления си-стемой осцилляторов, основанный на сочетании трех стратегий управ-ления. Первоначально, на большом времени и при больших энерги-ях, используется управление, основанное на асимтпотической теорииобластей достижимости линейных динамических систем. В частно-сти, мы используем асимптотическую формулу для опорной функциимножества достижимости системы. Формально, найденное управле-ние можно применять и при малых энергиях, но его квазиоптималь-ные свойства при этом теряются. Кроме того, это управление действу-ет на систему примерно как сухое трение, поэтому в некоторых состо-яниях оно не дает возможности двигаться вообще. Иными словами,возникают зоны застоя; чем больше верхняя граница для управлений,
85
тем больше эти зоны. По мере уменьшения энергии, используется ана-логичное у правление с уменьшенной верхней границей. Тем самымдостигается некоторое уменьшение зоны застоя. Возможны и другиенежелательные сценарии: движение может происходить в окрестностипредельного множества (аттрактора), не содержащего нашей цели —положения равновесия.
Одно из основных свойств обсуждаемого управления состоит втом, что с ним ассоциирована некоторая специальная норма на фазо-вом пространстве системы, называемая далее «радиусом». Этот «ра-диус» в процессе движения не возрастает. Поэтому любой аттракторрасположен на «сфере» некоторого радиуса. По-видимому, появлениеаттрактора всегда сопровождается появлением точки покоя на той же«сфере». Во всяком случае, численные эксперименты это подтвержда-ют. Вместо общей задачи избегания аттракторов мы ограничиваемсязадачей избегания зон застоя. Таким образом доказательство того, чтонаш алгоритм вообще приводит к цели — точке покоя, отсутствует, нов состояние полной остановки алгоритм не приводит.
На последнем, третьем этапе используется общий подход к постро-ению локального синтеза, основанный на использовании общих функ-циях Ляпунова. Этот метод работает в некоторой достаточно малойокрестности нуля. Для того, чтобы попасть в эту малую окрестностьнужно, чтобы она содержала внутри себя зоны застоя предшествую-щего управления. Достигнутое на втором этапе управления уменьше-ние зоны застоя оказывается достаточным для этой цели.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 11-08-00435) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры иннова-ционной России» (проект 14.В37.21.0225).
86
Разрешимость задачи оптимального управлениядля транспортного уравнения с минимаксным
функционалом
Петренко И.А. (Россия)Владимирский государственный университет имени
Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых[email protected]
Рассмотрим уравнение
a2∆y − v∂y
∂x1
− (γ + u1)y = −u2, (1)
где a2 – коэффициент диффузии, ∆ – оператр Лапласа, y – отклоне-ние концентрации исследуемой компоненты потока жидкости от фо-нового значения, v – скорсть течения, направленнго вдоль оси Ox1 ,γ – коэффициент естественного распада вещества, u , u = (u1, u2) , –управление, характеризующее распределённые ресурсы отбора и вы-броса вещества. Данная модель, описывающая состояние среды, былапредложена, например, в [1]. Компоненты управления, как и в рабо-те [2], будем считать ограниченными, то есть такими, что выполненынеравенства
0 ≤ u1 ≤ u1, 0 ≤ u2 ≤ u2, (2)
которые в прикладных задачах могут характеризовать технологиче-ские ограничения. Предполагаем, что управляющее воздействие насреду возможно лишь в ограниченной области D с достаточно глад-кой границей и что это воздействие имеет фиксированную ёмкость, тоесть L1 -нормы управлений заданы
Ci =
∫
D
uidx
(=
∫
Rd
uidx
), i = 1, 2, (3)
где величины C1 и C2 удовлетворяют ограничениям
Ci 6∫
D
uidx, i = 1, 2,
вытекающим из (2).
87
Нашей целью является найти такое распределение усилий C1 иC2 , чтобы максимальное значение соответствующего решения y быломинимальным. Таким образом, приходим к следующей задаче опти-мизации
maxx∈Rd
|y(x)| → min . (4)
Прикладной смысл данной задачи заключается в минимизациимаксимума изменения естественного состояния среды (показателя y )за счет распределения заданных ёмкостей выброса C2 и отбора C1
внутри заданной области.Допустимым управлением u задачи P будем называть такую па-
ру измеримых функций (u1, u2) , что выполнены условия (2), (3). Мно-жество всех решений уравнения (1) с нулевым пределом (естествен-ным фоном) на бесконечности, соответствующих допустимым управ-лениям, будем обозначать как Y .
Теорема. Существует допустимое управление, доставляющеерешение задачи (4).
Доказательство теоремы основывано на проверке того, что функ-ционал в (4) является собственным, полунепрерывным снизу относи-тельно слабой сходимости в L2(Rd) и коэрцитивным, а множестводопустимых решений Y , которое является подмножеством простран-ства L2(R) , секвенциально слабо замкнуто. Поэтому применима тео-рема существования решения задачи оптимизации из [3].
Работа частично поддержана Грантом Президента Российской Фе-дерации для государственной поддержки ведущих научных школ Рос-сийской Федерации НШ-4850.2012.1 и федеральной целевой програм-мой «Научные и научно-педагогические кадры инновационной Рос-сии» на 2009 - 2013 годы (соглашение 14.В37.21.0369)
Литература
[1] J.G. Ferreira, A.J.S. Hawkins, S.B. Bricker, 2007. Managementof productivity, environmental effects and profitability of shellfishaquaculture — the Farm Aquaculture Resource Management(FARM) model. Aquac. 264, 160–174.
[2] D. Brigolin, A. Davydov, R. Pastres, I. Petrenko. Optimization ofshellfish production carrying capacity at a farm scale. Appl. Math.Comput. 204 (2008), no. 2, 532–540.
88
[3] Фурсиков А.В., Тихомиров В.М. Существова-ние решений экстремальных задач. 45 с. URL:http://mech.math.msu.su/ fursikov/files/lectures.pdf (дата об-ращения 01.11.2012)
Краевые задачи для уравнения Шредингера вгильбертовом пространстве
Покутный А. А. (Украина)Институт математики НАН Украины
Основной целью доклада является изложение результатов относи-тельно разрешимости уравнения Шредингера
dϕ(t, ε)
dt= −iH(t)ϕ(t, ε) + εZ(ϕ(t, ε), t, ε) + f(t), t ∈ J, J ⊂ R (1)
с краевым условием
Qϕ(·, ε) = α + εJ(ϕ(·, ε), ε). (2)
Здесь H(t) оператор, представляющийся в виде H(t) = H0 + V (t) ,H0 = H∗
0 - неограниченный самосопряженный оператор c областьюопределения D = D(H0) ⊂ H; отображение t → V (t) являет-ся сильно-непрерывным. Оператор Q линейный и ограниченный,J(ϕ(·, ε), ε) - нелинейный ограниченный оператор, непрерывно диф-ференцируемый по ϕ в смысле Фреше в окрестности порождающе-го решения. Задача состоит в нахождении обобщенных в некоторомсмысле решений уравнения Шредингера, которые при ε = 0 обраща-ются в одно из решений порождающей краевой задачи
dψ(t)
dt= −iH(t)ψ(t) + f(t), (3)
89
Qψ(·) = α. (4)
Благодаря теории псевдообращения [1] и конструкции понятия обоб-щенного решения [2] удается показать, что краевая задача (3), (4) все-гда имеет решения, которые могут быть аналитически представленыпри помощи обобщенного оператора Грина
ψ(t, c) = U(t)c + (G[f ])(t), (5)
где U(t) - эволюционный оператор однородного уравнения. Необхо-димые и достаточные условия разрешимости краевой задачи (1), (2)представляют собой развитие метода Ляпунова-Шмидта.
Литература
[1] Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized Inverse Operators andFredholm Boundary Value Problems. VSP, Utrecht-Boston, 2004. -317p.
[2] Ляшко С.И., Номировский Д.А., Петунин Ю.И., Семенов В.В.Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения оператор-ных уравнений. - М.Диалектика, 2009. -185 с.
Запреты для схем М-кривых нечётной степени смаксимально глубокими гнездами 9
Полотовский Г. М. (Россия)Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
В 1983 г. О.Я. Виро [1] доказал несуществование вещественной ал-гебраической кривой степени 7, состоящей из нечётной ветви J и 14овалов вне друг друга, охватываемых ещё одним овалом. Настоящая
9Работа поддержана грантом ФЦП "Кадры"14.В37.21.0361.
90
работа представляет собой попытку перенести доказательство Вирона случай M -кривых большей нечётной степени.
Опишем применяемую ниже кодировку вещественных схем неосо-бых алгебраических кривых. Нечётная ветвь обозначается символомJ . Схема, состоящая из n овалов, расположенных вне друг друга,обозначается как 〈n〉 . Если A и B – коды каких-то схем, то A⊥Bобозначает такое объединение схем A и B , что их внешние овалырасположены вне друг друга, а 1〈A〉 обозначает схему, полученнуюиз схемы A добавлением одного овала, охватывающего все овалы схе-мы A .
Гнездом веса s называется набор s овалов, последовательно охва-тывающих друг друга. Примером гнезда веса 2 является схема 1⊥〈1〉 .
В описанной кодировке интересующий нас здесь результат Виро из[1] можно переформулировать так: не существуют кривые степени 7,имеющие вещественную схему J⊥1〈14〉 . С точки зрения доказатель-ства этого утверждения, предложенного О.Я. Виро, аналогом этойсхемы являются M -схемы нечётной степени с гнездами максималь-ного веса, все пустые овалы которых охватываются всеми непустымиовалами. В работе исследуется справедливость следующего утвержде-ния:
Гипотеза. Не существуют M -кривые степени d = 2k + 1 сосхемой вида
J⊥ 1〈1〈. . . 〈1〈︸ ︷︷ ︸k−2 единиц
2(k2 − k + 1)〉〉 . . . 〉〉.
В настоящий момент утверждение этой гипотезы доказано длянечётных степеней d ≤ 17 и ещё для некоторых специальных слу-чаев.
Литература
[1] Виро О.Я. Плоские вещественные кривые степеней 7 и 8: новыезапреты // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1983.– Т.47, N5.– С.1135– 1150.
91
О средних значениях решенийдифференциальных уравнений
Половинкин И. П. (Россия)Воронежский государственный университет
СТИ НИТУ МИСиС[email protected]
Пусть функция u(x) удовлетворяет в односвязной области Ω ∈ Rn
уравнению Лапласа∂2u/∂x2
1 + ... + ∂2u/∂x2n = 0.
Рассмотрим в Ω точки X(j) = (x(j)1 , x
(j)2 , . . . , x
(j)n ), j = 1, 2.
Зафиксируем некоторый индекс i ∈ 1, . . . , n и положимaij = (x
(1)j − x
(2)j )/|X(1) − X(2)| , j = 1, . . . , n. Остальные элементы
матрицы A достроим из условий AAT = I, detA = 1 (символ ”T”означает транспонирование), I — единичная матрица. Пусть Ai —матрица, полученная из A заменой i -го столбца нулями,
2Π =√
r2 − |X(1) −X(2)|2.Следуя [1], положим
St u = Snt u =
√π1−n
∫
|ξ|=t
u (η) dωξ, |X(1) −X(2)| > 0,
где dωξ — элемент площади поверхности сферы |ξ| = t ,
η =r ξi(X
(1) −X(2))
|X(1) −X(2)|√
r2 − |X(1) −X(2)|2 +X(1) + X(2)
2+ Aiξ,
Bt v = Bnt v = t
(∂
2t∂t
)(n−1)/2 (1
tStv
), n ≡ 1(mod2),
Bt v = Bnt v =
1√π
(∂
2t∂t
)n2
t∫
0
Stv dτ√t2 − τ 2
, n ≡ 0(mod2).
Методом спуска Адамара для достаточно малого r > 0 доказана фор-мула среднего
92
u(X(1)) + u(X(2)) = BΠ u,
которая при X(2) → X(1) переходит в известную одноточечнуюформулу (Гаусса) среднего для гармонической функции и для доста-точно гладкой функции является признаком ее гармоничности. Ана-логичные формулы среднего доказаны для уравнения Гельмгольца,телеграфного уравнения.
Другим средством получения формул среднего является преобра-зование Фурье. Пусть P (w) — многочлен порядка m , Dj = −i ∂/∂xj ,j = 1, . . . , n , D = (D1, . . . , Dn) . Рассмотрим уравнение
P (D)u = 0. (1)
Определение. Распределение Φ c компактным носителем назо-вем сопровождающим уравнение (1) (оператор P (D) ), если для лю-бого решения u(x) ∈ C∞(Rn) имеет место равенство 〈Φ, u〉 = 0 .
Теорема 1. Для того, чтобы распределение Φ c ком-пактным носителем являлось сопровождающим уравнение (1),необходимо и достаточно, чтобы имело место представлениеΦ(w) = P (−w)ψ(w), w ∈ Cn , где Φ – преобразование Фурье рас-пределения Φ , ψ(w) – целая аналитическая функция.
Пример. Для однородного уравнения теплопроводности∂2u/∂x2 − ∂u/∂t = 0 имеет место формула среднего
t0+T∫
t0
√2(t− t0)(u(x0 +
√2(t− t0), t) + u(x0 −
√2(t− t0), t)) dt+
+
x0+√
2T∫
x0−√
2T
((x− x0)2 − 2T u(x, t0 + T ) dx = 0.
Теорема 2. Пусть P (D) = P1(D)P2(D), где P1 и P2 суть мно-гочлены. Пусть Φl — распределение с компактным носителем, со-провождающее оператор Pl(D), l = 1, 2. Распределение Φ = Φ1 ∗ Φ2
является сопровождающим оператор P (D).Теоремы 1,2 обобщают результаты работы [2]. Из теоремы 2 выте-
кает
93
Теорема 3. Для уравнения P (∂/∂x, ∂/∂y)u = 0, где P (ξ, η) –однородный многочлен двух переменных, а также для обыкновен-ного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентамиP (d/dx)u = 0 , можно указать разностный оператор Υ (вообще го-воря, в комплексных переменных), применение которого к решениюu этого уравнения приведет к равенству Υu = 0. Другими слова-ми, дифференциальным уравнениям указанного типа соответству-ют некоторые точные разностные схемы.
Литература
[1] Бицадзе А.В., Нахушев А.М. К теории уравнений смешанноготипа в многомерных областях // Дифференциальные уравнения.- 1974. - Т.10, N 12. - С. 2184-2191.
[2] Покровский А.В. Теоремы о среднем для решений линейныхдифференциальных уравнений с частными производными //Математические заметки. – 1998. – Т. 64, вып. 2. – С. 260 –272.
[3] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторовс частными производными. Т.1. — М.: Мир, 1986. — 464 с.
[4] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Формула среднего значения для при-соединенных функций оператора Лапласа // Дифференциаль-ные уравнения. - 1981. — Т. 17, N 10. — C. 1908 – 1910.
О качественном анализе эволюциивысокоапогейных орбит ИСЗ, лежащих внутри
орбиты Луны
Прохоренко В. И. (Россия)Институт Космических исследований РАН
Рассматриваются практические задачи, связанные с выбором на-чальных условий для орбит ИСЗ, эволюционирующих под влиянием
94
внешних гравитационных возмущений и сжатия планеты. Для пони-мания характера эволюции этих орбит используются качественныеисследования, основанные на эволюционных уравнениях, которые в1961–1972 годах получил М.Л. Лидов для двукратно-осредненной воз-мущающей функции W спутникового варианта ограниченной эллип-тической задачи трех тел (задачи Хилла) с учетом сжатия планеты.Функция W состоит из двух слагаемых, одно из которых соответству-ет главному члену разложения возмущающей функции задачи Хил-ла по степеням отношения r/r1 , а второе описывает вклад возму-щений от второй зональной гармоники гравитационного потенциалапланеты. Система эволюционных уравнений, соответствующих функ-ции W , имеет два первых интеграла a = a0 , W = c2 и в общемслучае не интегрируема.
Рассмотрим пространство начальных значений Кеплеровых эле-ментов M5 с координатами (a/R, ε0, ω0, i0, ieq0) . Индексом eq отме-чаются угловые элементы, измеряемые относительно плоскости эк-ватора планеты, в отличие от угловых элементов, измеряемых отно-сительно плоскости орбиты возмущающего тела (эклиптики). Связьмежду этими угловыми элементами устанавливают формулы сфери-ческой тригонометрии. Для планеты радиуса R область возможныхзначений большой полуоси орбиты спутника определяется неравен-ством 1 < a/R , а область ε∗(a/R) < ε0 возможных значений без-размерного фокального параметра ε0 = 1 − e2
0 ограничена крити-ческим значением ε∗(a/R) = 1 − (1 − R/a)2 , при котором рассто-яние перицентра равно R . Очевидно, что выполнение неравенстваεmin(a/R, ε0, ω0, i0, ieq0) < ε∗(a/R) < ε0 является достаточным услови-ем для пересечения орбиты спутника с поверхностью планеты, а вы-полнение неравенства ε∗(a/R) < εmin(a/R, ε0, ω0, i0, ieq0) ≤ ε0 – доста-точным условием для не пересечения орбиты спутника с поверхностьюпланеты. И задача сводится к исследованию многообразий начальныхусловий, удовлетворяющих этим неравенствам.
Заняться исследованием многообразий начальных условий, при-водящих к соударению спутника с поверхностью планеты, автораневольно побудил Владимир Игоревич Арнольд, который часто воз-вращался к теме соударения с Землей гипотетической Луны на орбите,перпендикулярной к плоскости эклиптики. Этот впечатляющий фактбыл показан М.Л. Лидовым для иллюстрации результатов исследова-
95
ня эволюции орбит в задаче Хилла.В работе автора (2007) для двукратно осредненной задачи Хил-
ла получено описание многообразий начальных условий пространстваM4 с координатами (a/R, ε0, ω0, i0) , которые приводят (или не при-водят) к пересечению орбиты спутника с поверхностью планеты ко-нечного радиуса R . Это описание представлено в виде трех теорем,из которых, в частности, следует, что при любых значениях a/R, ε0
в случае i0 = 90 выполняется достаточное условие соударения спут-ника с планетой: εmin = 0 < ε∗(a/R) < ε0 , а в случае i0 = 0 – доста-точное условие несоударения: ε∗(a/R) < εmin = ε0 . В другой рабо-те автора (2011) для двух интегрируемых случаев смешанной задачив пространстве M5 удалось показать, как присутствие возмущенийот сжатия планеты перекраивает границы упомянутых многообразий,проследить особенности эволюции орбит на всей шкале возможныхзначений 1 < a/R и получить оценки границ действия асимпто-тик. Для системы Земля–ИСЗ–Луна–Солнце получены верхняя гра-ница d1/R ∼ 5.8 действия асимптотики сжатия планеты и нижняяграница d3/R ∼ 17.4 асимптотики влияния только внешних тел. Вобласти d3/R < a/R границы многообразий определяются значениемнаклонения i0 , тогда как в области a/R < d3/R на формированиеэтих границ существенное влияние оказывает значение наклоненияieq0 , от которого, в частности, зависят фазовые портреты интеграль-ных кривых на фазовой плоскости (ε, ω) и направление движенияфазовой точки. Для исследования соответствующих многообразий вобласти a/R < d1/R в работе автора (2005) предложен метод, осно-ванный на эволюционных уравнениях, полученных Д.Е. Охоцимскими др. (1957) при учете возмущений только от сжатия планеты.
96
О возмущениях в системе наблюдения,моделирующей механизм лесного хозяйства
Раецкая Е. В. (Россия)Воронежская государственная лесотехническая академия
Дифференциально-алгебраическая система:
dx(t)
dt= Ax(t) + f(t), (1)
F (t) = Bx(t) (2)
моделирует процесс работы бесчокерного трелевочного устройства срекуперативным гидроприводом, применяемого в лесном хозяйстведля сбора деревьев посредством захвата.
Система является полностью наблюдаемой (идентифицируемой поКалману), если по известным, реализуемым входной f(t) и выходнойF (t) функциям состояние системы x(t) в каждый момент времениопределяется однозначно.
В данном случае функция состояния имеет вид x(t) =
(v(t)p(t)
),
где v(t) - верткальная проекция скорости движения захвата, p(t) -давление рабочей жидкости гидросистемы.
Исследование полной наблюдаемости системы (1), (2) ведется ме-тодом каскадной декомпозиции (см. [1] - [4]). От исходной системыпереходим к редуцированным системам в подпространствах, размер-ности которых последовательно уменьшаются.
Приводятся формулы для построения функций v(t) и p(t) полно-стью наблюдаемой системы.
Исходная система (1), (2) возмущается определенным образом:
εdx(t, ε)
dt= A(ε)x(t, ε) + f(t, ε), (3)
F (t, ε) = B(ε)xε. (4)
Устанавливаются условия, при выполнении которых система явля-ется малочувствительной к возмущениям указанного вида.
97
Выводятся формулы для построения функций v(t, ε) и p(t, ε) пол-ностью наблюдаемой возмущенной системы (3), (4), а также выявляет-ся вид связи между наблюдаемыми входной f(t, ε) и выходной F (t, ε)функциями системы (3), (4).
Литература
[1] Раецкая Е.В. Полная наблюдаемость нестационарнойдифференциально-алгебраической системы / C.П. Зубова,Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Вестник Воронежскогогосударственного технического университета. Воронеж. - 2010.Том 6. 8. 2010 г. - С. 82-86.
[2] Раецкая Е.В. Об инвариантности нестационарной системы на-блюдения относительно некоторых возмущений /C.П. Зубова,Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Вестник Тамбовского уни-верситета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов.-2010. Том 15, вып. 6. - С. 1678-1679.
[3] Раецкая Е.В. О полной наблюдаемости сингулярно возмущеннойдинамической системы / Е.В. Раецкая// Современные методытеории краевых задач. Материалы Воронежской весенней ма-тематической школы "Понтрягинские чтения-XXIII- Воронеж:ВорГУ, 2012. С. 157-158
[4] Раецкая Е.В. Полная наблюдаемость сингулярно возмущеннойнелинейной нестационарной системы/ Е. В. Раецкая // Меж-дународная конференция по дифференциальным уравнениям идинамическим системам. Суздаль. 2012. - Стр.146 - 147.
98
Статистически инвариантные множества иэргодические динамические системы
Родина Л. И. (Россия)Удмуртский государственный университет
Здесь представлены результаты, дополняющие исследования работ[1], [2], в которых рассматриваются множества, не являющиеся инва-риантными в «классическом» смысле. Для таких множеств вводитсяестественное расширение понятия инвариантности, которое названостатистической инвариантностью.
Обозначим через D(t,X) множество достижимости управляемойсистемы
x = f(t, x, u), (t, x, u) ∈ R× Rn × Rm (1)
в момент времени t из начального множества X. Рассмотрим мно-жество
M =(t, x) ∈ Rn+1 : x ∈ M(t)
и множество α(ϑ,X).=
t ∈ [0, ϑ] : D(t,X) ⊆ M(t)
(в предполо-
жении, что множество достижимости D(t,X) существует для всехt > 0. )
Введем следующие статистические характеристики множества до-стижимости управляемой системы (1). Относительной частотой по-глощения множества достижимости системы (1) множеством M на-зовем следующий предел
freq(X).= lim
ϑ→∞mes α(ϑ,X)
ϑ= lim
ϑ→∞mest ∈ [0, ϑ] : D(t,X) ⊆ M(t)
ϑ.
(2)Далее, если предел (2) не существует, то характеристики
freq∗(X).= lim
ϑ→∞mes α(ϑ,X)
ϑ, freq∗(X)
.= lim
ϑ→∞
mes α(ϑ,X)
ϑ
будем называть, соответственно, верхней и нижней относительнымичастотами поглощения множества достижимости D(t,X) системы(1) множеством M.
99
Определение. Множество M будем называть статистическиинвариантным относительно управляемой системы (1), если имеетместо равенство
freq(M(0)).= lim
ϑ→∞mes
t ∈ [0, ϑ] : D
(t,M(0)
) ⊆ M(t)
ϑ= 1.
Обозначим через z∗(t) верхнее решение скалярной задачи Коши
z = w(t, z), z(0) = z0, t > 0.
В предположении, что верхнее решение z∗(t) существует для всехt > 0, введем характеристику
κ .= lim
ϑ→∞mest ∈ [0, ϑ] : z∗(t) 6 0
ϑ,
которая является относительной частотой пребывания верхнего ре-шения z∗(t) задачи Коши в множестве (−∞, 0]. В работах [1], [2]получены условия статистической инвариантности множества M иоценка относительной частоты поглощения множества достижимостисистемы (1), выраженные в терминах функций Ляпунова, производ-ной Кларка и характеристики κ.
Доказательство следующего утверждения основано на том, чтодля эргодических динамических систем относительная частота пре-бывания траектории в множестве асимптотически пропорциональнамере этого множества (см. [3, c.133] ).
Теорема. Пусть z∗(t) = F(z1(t), . . . , zk(t)
), функция F (z1, . . . , zk)
непрерывная, zi(t) — непрерывные периодические функции с периодомTi, i = 1, . . . , k. Если числа T1, . . . , Tk независимы над полем рацио-нальных чисел, то
κ =mes
t1 ∈ [0, T1], . . . , tk ∈ [0, Tk] : F
(z1(t1), . . . , zk(tk)
)6 0
T1 · T2 . . . Tk
,
где mes — k -мерная мера Лебега.
100
Литература
[1] Родина Л.И., Тонков Е.Л. Статистические характеристики мно-жества достижимости управляемой системы, неблуждаемость иминимальный центр притяжения // Нелинейная динамика. –2009. – т. 5, N 2. – С. 265 – 288.
[2] Родина Л.И. Пространство clcv(Rn) с метрикой Хаусдорфа – Бе-бутова и статистически инвариантные множества управляемыхсистем // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. – 2012. – т.278. – C. 217–226.
[3] Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической ме-ханики. Ижевск: РХД, 1999.
Бифуркации периодических решений уравненияРиккати
Сахаров А. Н. (Россия)Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия
В докладе рассматривается задача о бифуркациях периодическихрешений уравнения Риккати c параметром
w = a(t, λ)w2 + b(t, λ)w + c(t, λ), w ∈ C, (1)
где a(t, λ), b(t, λ), c(t, λ) – 2π− периодические по t непрерывные пообоим переменным функции. Известно (В.А. Плисс, [1]), что измене-ние числа 2π− периодических решений такого уравнения при измене-нии параметра λ связано с появлением так называемых особых пери-одических решений, имеющих конечное число разрывов на периоде.
Решение поставленной задачи и объяснение феномена особых пе-риодических решений использует компактификацию динамической
101
системы, порождаемой уравнением (1). В случае вещественных ко-эффициентов этого уравнения компактификация приводит к динами-ческой системе без особенностей на двумерном торе, что позволяетприменить к задаче о бифуркациях теорию А. Пуанкаре10.
Когда коэффициенты уравнения (1) комплексные, компактифика-ция приводит к неособому потоку на многообразии S2 × S1, а от-бражение сдвига за период является дробно-линейным отображениемсферы Римана (отображение Пуанкаре). Периодическим (субгармони-ческим) решениям соответствуют неподвижные (периодические) точ-ки дробно-линейного отображения. Любое дробно-линейное отобра-жение сводится к одному из четырех типов (гиперболическому, лок-содромическому, эллиптическому, параболическому) При изменениипараметра λ тип отображения изменяется, что и объясняет феноменпоявления особых периодических решений.
Автор выражает благодарность Российскому фонду фундамен-тальных исследований за финансовую поддержку этой работы, гран-ты 11-01-12056-офи-м-2011, 12-01-00672а.
Литература
[1] Плисс В.А. О числе периодических решений уравнения с поли-номиальной правой частью // Докл. АН СССР. 1959. т. 127. 5. с. 965–968.
[2] Арнольд В.И. ЯБ и математика // Природа. 1992. 2. с. 105–108.
[3] Zoladek H. The method of holomorphic foliations in planar periodicsystems: the case of Riccati equations // J. Diff. Eq. 2000. v. 165.n. 1. p. 143–173.
[4] Сахаров А.Н., Сидоров Е.А. О бифуркациях периодических ре-шений комплексных полиномиальных дифференциальных урав-нений // Вестник ННГУ. сер. математика. 2004. вып. 1(2). с.159–170.
10Как писал В.И. Арнольд в статье [2], посвященной Я.Б. Зельдовичу, “приме-нения теории Пуанкаре к уравнению Риккати должны входить в учебники, нонасколько я помню, никто из математиков их не заметил.” C тех пор ситуацияизменилась и появился ряд публикаций, посвященных этому подходу [3]–[5].
102
[5] Перов А.И. Кононическая система двух линейных дифференци-альных уравнений с периодическими коэффициентами и теорияПуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе // Си-бирский матем. журнал. 2010. т. 51, 2. с. 373–387.
Статистика разбиений кинетической энергиимногомерных систем классических частиц
Севрюк М. Б. (Россия)Институт энергетических проблем химической физики РАН
Рассмотрим систему N ≥ 2 классических частиц (мате-риальных точек) с массами m1,m2, . . . , mN и радиус-векторамиr1(t), r2(t), . . . , rN(t) в d -мерном евклидовом пространстве Rd
( d ≥ 1 ). Будем считать, что центр масс этой системы неподвижени совпадает с началом координат. Несколько лет тому назад совмест-но с V. Aquilanti и A. Lombardi [1–3] мы определили ряд разбиенийполной кинетической энергии T такой системы
T =1
2
N∑α=1
mαr2α =
M
2
N∑α=1
q2α, M =
N∑α=1
mα, qα = (mα/M)1/2rα,
на слагаемые, отвечающие различным модам движения. Каждыйчлен этих разбиений является функцией матрицы позиций Z раз-мера d × N (столбцы которой суть q1,q2, . . . ,qN ), ее производнойпо времени Z и суммарной массы системы M и инвариантен от-носительно преобразований (Z, Z) 7→ (RZQ,RZQ) , где R ∈ O(d)и Q ∈ O(N) — произвольные ортогональные матрицы. В частно-сти, T = (M/2)Trace(ZZ∗) , где звездочка означает транспонирование.Среди элементов разбиений есть, например, слагаемые, соответству-ющие вращениям системы как целого, изменениям т. н. гиперрадиуса
103
системы ρ = [Trace(ZZ∗)]1/2 , изменениям “формы” системы, переста-новкам частиц и т. п. Некоторые компоненты T , описывающие связьмежду модами, могут принимать и отрицательные значения.
Вопрос о статистике слагаемых рассматриваемых разбиений ки-нетической энергии T при случайном выборе координат и скоростейчастиц малоисследован. Мы провели масштабное численное модели-рование систем 3 ≤ N ≤ 100 частиц в физически интересных размер-ностях d = 2 и d = 3 для двух случаев: а) массы всех частиц равныи б) массы частиц разыгрываются случайно. В полном соответствии сидеологией В. И. Арнольда о численных экспериментах как мощномисточнике новых математических теорем [4] наши вычисления показа-ли, что в ситуации равных масс средние значения E почти всех ком-понент кинетической энергии T (в нормировке T = 1 ) выражаютсячерез число частиц N и размерность пространства d посредствомочень простых формул:
E TΛ = 1− 1
dν, E Tρ =
1
dν, E TΛ = 1− 1
dν,
E Tρ =1
dν, E T rot = 1− ω
dν, E T I =
ω
dν, E Tξ =
ω − 1
dν,
E T ext =ω(2d− ω − 1)
2dν, E T int =
ω(2ν − ω − 1)
2dν, E T res = 0,
E TJ =d− 1
dν, E TK =
ν − 1
dν, E Tac = 1− d + ν + ω − 2
dν,
E Eout2 = 1− ω
d, E Ein
2 = 1− ω
ν,
где ν = N − 1 и ω = min(d, ν) . Определение величин TΛ, Tρ, . . . , Ein2
дано в статьях [1–3]. Эти формулы доказаны “на физическом уровнестрогости” (при N = 2 они почти очевидны). Из наших расчетов так-же видно, что средние значения компонент T , возрастающие (убы-вающие) с увеличением N , в ситуации равных масс больше (соот-ветственно меньше), чем в ситуации случайных масс для того же N(кроме, может быть, малых N ). Результаты моделирования для d = 3приведены в [3].
Работа частично финансируется грантом Президента РоссийскойФедерации для государственной поддержки ведущих научных школРФ (номер НШ-4850.2012.1).
104
Литература
[1] Aquilanti V., Lombardi A., Sevryuk M.B. Phase-space invariants foraggregates of particles: Hyperangular momenta and partitions of theclassical kinetic energy // J. Chem. Phys. — 2004. — V. 121, N 12. —P. 5579–5589.
[2] Sevryuk M.B., Lombardi A., Aquilanti V. Hyperangular momentaand energy partitions in multidimensional many-particle classicalmechanics: The invariance approach to cluster dynamics // Phys.Rev. A. — 2005. — V. 72, N 3, Part B. — Paper 033201 (28 pages).
[3] Аквиланти В., Ломбарди А., Севрюк М.Б. Статистика разбиенийкинетической энергии малых нанокластеров // Хим. физика. —2008. — Т. 27, N 11. — С. 69–86.
[4] Арнольд В.И. Экспериментальное наблюдение математическихфактов. 2-е изд. М.: МЦНМО, 2012, 120 с.
О структуре периодических и почтипериодических решений некоторых уравнений с
частными производными II порядка
Сидоров Е. А. (Россия)Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Папшева Е. А. (Россия)Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Обычно в задачах о периодических и почти периодических (п.п.)по всем аргументам решениях для квазилинейных эллиптических игиперболических уравнений применяются различные способы в за-висимости от типа уравнений [1-3]. В ряде работ [4] используютсяпредставления периодических и других решений для определенных
105
классов уравнений в виде специальных рядов, в которых коэффи-циенты определяются рекуррентным способом, в отличие от рядовФурье. Этот подход можно применить и к вопросу о существованиикомбинации периодических и п.п. решений (характерных для сравни-тельно простых уравнений) для уравнений более общего вида. Напри-мер, для уравнения Хилла ранее [5] рассмотрен случай, когда имеютсяпериодические решения u1(t), u2(t) , удовлетворяющие соотношениюu2(t) = u1(t) tg t , причем коэффициенты уравнения и решения опре-деляются в конечном виде.
В данном сообщении результат из работы [5] обобщается на слу-чай линейных уравнений II порядка эллиптического, гиперболическо-го или смешанного типов:
L(u) = a(x, y)uxx + b(x, y)uyy + γ(x, y)u = f(x, y)u, (1)
где a, b, γ, f - аналитические по x, y периода 2π по x , по y .Исследуется вопрос о существовании периодических решений
u1(x, y), u2(x, y) таких, что u2(x, y) = u1(x, y) tg x tg y .Теорема: Если коэффициенты a, b, γ таковы, что уравне-
ние L(u) = 0 имеет периодические решения u1 = cos x cos y ,u2 = sin x sin y , то при некоторых дополнительных условиях на a, b, γопределяется функция f(x, y) такая, что существуют периодиче-ские решения u1, u2 уравнения (1), для которых выполняются ука-занные соотношения.
В простейшем примере: a ≡ 1, b ≡ −1, γ ≡ 0,u1 = h(cos2 x + cos2 y) cos x cos y , функция f будет выражаться соот-ветствующим образом.
Надо отметить, что периодические (п.п.) решения u1, u2 в некото-рых случаях можно представить в виде ряда по степеням cos x, cos yили по sin x, sin y или более сложного вида, это имеет самостоятель-ный интерес. Если коэффициенты самого уравнения являются подоб-ными рядами, то будет существовать, возможно, формальное решениеуравнения (1). Справедливы следующие леммы 1, 2:
Лемма 1: При соответствующих достаточно общих условияхсуществуют указанные ряды
∑k,m≥0 akm sink x sinm y (и более слож-
ного вида - для п.п. решений), у которых бесконечная последователь-ность коэффициентов равна нулю, а остальные определяются рекур-рентно и образуют бесконечномерное семейство.
106
Лемма 2: Для специального класса квазилинейных уравне-ний существуют квазипериодические решения, в частности,u = 1
1−ε sin x sin ωx sin y sinΩy, которые при |ε| ≤ 1 выражаются схо-
дящимися рядами указанного выше вида и допускают почленноедифференцирование. В периодическом случае сходимость обычноимеет место при |ε| < 1 .
Литература
[1] Забрейко П.П, Третьякова Л.Г. Периодические решения квази-линейного телеграфного уравнения // ДУ, 1991, т.27, номер 5,стр.815-825.
[2] Вейвода О., Штедры М. Существование классических периоди-ческих решений волнового уравнения // ДУ, 1984, т.20, номер10, стр.1733-1739.
[3] Sibuya Y. Almost periodic solutions of Poisson’s equation //Proceedings of the American Mathematical Society, vol.28, No.1(Apr., 1971), pp.195-198.
[4] Филимонов М.Ю. Применение специальных рядов для решениянелинейных уравнений с частными производными в неограни-ченных областях // ДУ, 2000, т.36, номер 11, стр.1538-1543.
[5] Сидоров Е.А. О некоторых задачах бифуркационного типа //Современные методы теории функций и смежные проблемы. Те-зисы докладов Воронежской зимней математической школы, 27января - 04 февраля 2001г, стр.242-244.
107
Методы построения перемешивающих действийи преобразований
Тихонов С. В. (Россия)РГТЭУ(Москва)[email protected]
Пусть A множество обратимых сохраняющих меру преобразова-ний стандартного вероятностного пространства. Преобразование Tназывается перемешивающим, если для любых измеримых множествA и B имеем
µ (T gA ∩B) → µ (A) µ (B)
при g → ∞ . Множество M перемешивающих преобразований яв-ляется полным сепарабельным пространством относительно поводок-метрики m .
Построение перемешивающих преобразований с различными свой-ствами представляет определенную трудность всвязи с отсутствиемнекоторых стандартных методов работы с неперемешивающими пре-образованиями.
В качестве примера мы остановимся на следующих методах:1. При построении преобразований используется структура пре-
дельных операторов степеней преобразования. Например, если после-довательности T ni и T 2ni имеют различные пределы, то спектрыпреобразований T и T 2 взаимно сингулярны. Для перемешивающихпреобразований такой метод не проходит, так как предел по всем под-последовательностям одинаков.
2. Аппроксимационная теория, позволяющая получать преобразо-вания с определенными свойствами, как предел последовательностипреобразований. Сложность в том, чтобы предельное преобразованиеоказалось перемешивающим.
3. Категорный подход. Напомним, что подмножество в метриче-ском пространстве называется массивным, если оно всюду плотно иимеет тип Gδ (является счетным пересечением открытых множеств).Свойство типично, если элементы массивного множества им облада-ют. При таком подходе, преобразования строятся как элементы счет-ного пересечения массивных подмножеств A . Однако, перемешиваю-щие преобразования (тем более с дополнительными свойствами) об-
108
разуют тощее множество в слабой топологии пространства всех пре-образований и значит не могут быть получены таким образом.
Мы вводим необходимый функционал для применения всех этихметодов к перемешивающим преобразованиям.
Вводится поводок-метрика m , относительно которой M — полноесепарабельное пространство. Это позволяет как использовать аппрок-симационную теорию, так и категорные методы. Ниже сформулиро-ваны две теоремы, позволяющие использовать предельные операторыдля построения перемешивающих преобразований.
Оператор P = P (T ) назовем κ -полиномом, еслиP (T ) = αΘ + α0I + α1T + . . . αnT n , причем коэффициенты αiнеотрицательны и
∑i αi = 1− α ≤ κ .
Пусть P = Pii≤t — конечный упорядоченный набор κ -поли-номов. Будем говорить, что преобразование T обладает P -пределом(по подпоследовательности gi ), если при i → ∞ имеется слабаяоператорная сходимость
T gi → P1, T2gi → P2, . . . , T
tgi → Pt .Теорема 1. Пусть Vi — набор Gδ -подмножеств A , замыкание
каждого из которых в поводок-метрике содержит M . Тогда пересе-чение
⋂i Vi ∩M — массивное подмножество M .
Теорема 2. Пусть T — перемешивающее преобразование. Если чис-ло κ -полиномов в наборе P не превышает 1
2κ, то найдется преобра-
зование S , имеющее P -предел и такое, что m (T, S) < 2κ .Теоремы 1 и 2 дают возможность доказать, в частности, что ти-
пичное перемешивающее преобразование имеет сингулярный спектри перемешивает с любой кратностью.
Приведенные результаты частично переносятся на групповые дей-ствия.
109
О проблеме Варинга для кольца многочленовР. Фреберг (Швеция)
Факультет математики, Стокгольмский университетДж. Оттавиани (Швеция)
Факультет математики, Стокгольмский университетБ. Шапиро (Швеция)
Факультет математики, Стокгольмский университет[email protected]
В докладе рассматривается вариант обобщенной проблемы Варин-га для общих колец, сформулированный в [2]. А именно, будет рас-сматриваться следующий вопрос.
Проблема 1. Для произвольного кольца A и любого целого поло-жительного k обозначим через Ak ⊂ A множество всех конечныхсумм k -х степеней элементов из A . Для любого a ∈ Ak обозначимчерез wk(a) минимальное число слагаемых в представлении a каксуммы k -х степеней. Определим wk(A) = supa∈Ak
wk(a) . (Для неко-торых колец wk(A) = ∞ .)
Во многих кольцах имеет смысл говорить об общих элемен-тах. Соответственно, можно поставить вопрос об определении числаwk(A) = supa∈Ak
wk(a) , где Ak - это соответствующее множество об-щих элементов из Ak . Эта проблема называется слабой проблемойВаринга, в отличие от Проблема 1, которая называется сильной про-блемой Варинга.
В докладе мы рассмотрим случай кольца комплексных многочле-нов A = C[x0, x1, . . . , xn] и будем изучать представления однородныхмногочленов (форм) в виде суммы k -х степеней однородных много-членов. Хорошо известно, что любой однородный многочлен, степенькоторого делится на k , представим в виде суммы k -х степеней одно-родных многочленов. Тем самым сильная проблема Варинга для этогослучая может быть сформулирована следующим образом. Обозначимчерез Sd
n линейное пространство всех форм степени d от (n + 1) -йпеременной.
Проблема 2. Найти супремум по всем формам f ∈ Skdn для мини-
мального числа форм степени d , таких, что сумма их k -х степенейсовпадает с f .
110
Заметим, что dim Sdn =
(d+n
n
)и простое вычисление показывает,
чтоdim Skd
n
dim Sdn
< kn, limd→∞
dim Skdn
dim Sdn
= kn.
Следовательно, kn является нижней оценкой в Проблеме 2. Фор-мулировка слабой проблемы Варинга в рассматриваемой ситуации та-кова.
Проблема 3. Найти минимум по всем открытых по Зарискому под-множеств в Skd
n числа форм степени d , необходимых для представле-ния форм из этих подмножеств в виде суммы их k -х степеней. Други-ми словами, сколько k -х степеней форм степени d необходимо, чтобыпредставить общую форму степени kd ?
Для сумм степеней линейных форм задача, аналогичная Проблеме3 была решена Дж. Александером и А. Хиршовицем в середине 90-хгодов в серии работ, завершившихся статьей [1]. В наших обозначе-ниях это означает, что нужно зафиксировать d = 1 и использоватьk в качестве параметра. Эти авторы доказали, что слабая проблемаВаринга в их постановке для суммы степеней линейных форм имеетрешение, предсказанное наивным счетом параметров во всех случаяхкроме квадрик во всех размерностях, кубик в размерности 5, и квар-тик в размерностях 3, 4 и 5. Однако для решения сильной проблемыВаринга требуется существенно большее число линейных форм.
Основной результат доклада следующий.
теорема 1. Для данного целого положительного числа k ≥ 2 общиеформы степени kd от n + 1 переменной представимы в виде суммыне более чем kn k -х степеней форм степени d . Более того, эта оценкаточка при достаточно больших d .
Литература
[1] J. Alexander, A. Hirschowitz, Polynomial interpolation in severalvariables, J.Alg. Geom., 4 (1995), 201–222.
[2] L. Gallardo, L. Vaserstein, The strict Waring problem for polynomialrings, Journal of Number Theory 128 (2008), 2963–2972.
111
Обзор случаев интегрируемости в динамикечетырехмерного твердого тела в
неконсервативном поле
Шамолин М. В. (Россия)МГУ им. М. В. Ломоносова
[email protected]@rambler.ru
Предлагаемая работа представляет собой обзор по полученным ра-нее, а также новым случаям интегрируемости в динамике четырех-мерного твердого тела, находящегося в неконсервативном поле сил.Последнее значительно отличается от работ по интегрируемости урав-нений движения многомерного тела в консервативном поле сил. Ис-следуемые задачи описываются динамическими системами с так на-зываемой переменной диссипацией с нулевым средним [1–5].
Задача поиска полного набора трансцендентных первых интегра-лов систем с дисипацией является достаточно актуальной, и ей бы-ло ранее посвящено множество работ. Введен в рассмотрение новыйкласс динамических систем, имеющих периодическую координату.Благодаря наличию в таких системах нетривиальных групп симмет-рий, показано, что рассматриваемые системы обладают переменнойдиссипацией, означающей, что в среднем за период по имеющейся пе-риодической координаты диссипация в системе равна нулю, хотя вразных областях фазового пространства в системе может присутство-вать как подкачка энергии извне, так и ее рассеяние. На базе полу-ченного материала проанализированы динамические системы, возни-кающие в динамике многомерного твердого тела в неконсервативномполе. В результате обнаружен ряд случаев полной интегрируемостиуравнений движения в трансцендентных функциях и выражающихсячерез конечную комбинацию элементарных функций.
Изучаются неконсервативные системы, для которых методика ис-следования, например, гамильтоновых систем, вообще говоря, непри-менима. Таким образом, для таких систем необходимо в некоторомсмысле "в лоб" интегрировать основное уравнение динамики. Приэтом обобщены старые, а также получены новые случаи полной инте-грируемости в трансцендентных функциях в динамике 4D− твердого
112
тела, находящегося в неконсервативном поле сил.Работа также посвящена развитию качественных методов в теории
неконсервативных систем, возникающих, например, в таких областяхнауки, как динамика твердого тела, взаимодействующего с сопротив-ляющейся средой, теория колебаний и др. В принципе, данный мате-риал может быть интересен как специалистам по качественной теорииобыкновенных дифференциальных уравнений, динамики твердого те-ла, так и механики жидкости и газа.
Литература
[1] Шамолин М.В. Интегрируемость по Якоби в задаче о движениичетырехмерного твердого тела в сопротивляющейся среде // До-клады РАН, 375:3 (2000), 343–346.
[2] Шамолин М.В. Методы анализа динамических систем с пере-менной диссипацией в динамике твердого тела. – М.: Изд–во"Экзамен 2007.
[3] Шамолин М.В. Некоторые задачи дифференциальной и тополо-гической диагностики. Издание 2-е, переработанное и дополнен-ное. М.: Изд–во "Экзамен 2007.
[4] Шамолин М.В. Динамические системы с переменной диссипаци-ей: подходы, методы, приложения // Фунд. и прикл. мат., 14:3(2008), 3–237.
[5] Трофимов В.В., Шамолин М.В. Геометрические и динамиче-ские инварианты интегрируемых гамильтоновых и диссипатив-ных систем // Фунд. и прикл. мат., 16:4 (2010), 3–229.
113
Invariants of Topological Relative RightEquivalences
Imran Ahmed (Brazil)ICMC-USP
The constancy of the Milnor number has several characterizationswhich were summarized by Greuel in 1986. For functions with isolatedsingularity on an analytic variety V in Cn , Bruce and Roberts introducein 1988 a generalization of the Milnor number of an analytic function germf defined on V , which we will call Bruce-Roberts number, µBR(V, f) .Our aim is to characterize the µBR -constant families by algebraic andgeometric conditions.
References
[1] J. P. Brasselet, Le Dung Trang and J. Seade, Euler obstruction andindices of vector fields, Topology, 2000.
[2] J. J. Nuno-Ballesteros, B. Orйfice, J. N. Tomazella, The Bruce-Roberts number of a function on a weighted homogeneoushypersurface, The Quaterly Journal of Mathematics 00(2011), 1-12.
[3] J. W. Bruce, M. Roberts, Critical Points of Functions on AnalyticVarieties, Topology, 27 (1988), no. 1, 57-90.
[4] G. M. Greuel, Constant Milnor Number implies ConstantMultiplicity for Quasihomogeneous Singularities, Manuscripta Math.56 (1986), 159-166.
[5] N. G. Grulha Jr, The Euler obstruction and Bruce-Roberts’ Milnornumber, Q.J. Math. 60 (3), 291-302 (2009).
[6] Le Dung Trang, Le concept de singularite isolee de fonctionanalytique, Adv. Studies in Pure Math. 8 (1986), 215-227.
[7] M. A. S. Ruas and J. N. Tomazella, An infinitesimal criterionfor topological triviality of families of sections of analytic varieties,Advanced Studies in Pure Mathematics 43 (2006), 421-436.
114
Asymptotic higher ergodic invariant of magneticlines
Petr M. Akhmet’ev (Russia)IZMIRAN
V.I.Arnol’d in [1] formulated the following problem [Problem 1984-12]: "To transform asymptotic ergodic definition of Hopf invariant ofa divergence-free vector field to Novikov’s theory, which generalizesWithehead product in homotopy groups“.
We shall call divergence-free fields by magnetic fields. Asymptoticinvariants of magnetic fields, in particular, the theorem by V.I.Arnol’dabout asymptotic Gaussian linking number, is a bridge, which relatesdifferential equitations and topology. The 3D problem is the mostimportant for applications.
Asymptotic invariants are derived from a finite-type invariant of links,which has to be satisfied corresponding limit relations. Ergodicity of suchan invariant means that this invariant is well-defined as the mean valueof an integrable function, which is defined on the finite-type configurationspace K , associated with magnetic lines.
At the previous step of the construction we introduce a simplest infinitefamily of invariants: asymptotic linking coefficients. The definition of theinvariants is simple: the helicity density is a well-defined function on theconfiguration space K , the asymptotic linking coefficients are well-definedas the corresponding integral momenta of this function.
Using this general construction, a higher asymptotic ergodic invariantM of ideal magnetic fields is introduced. Assuming the the magnetic fieldis represented by 3 closed magnetic lines with normalized integral magneticflows, this higher invariant is equal to an order 7 Vassiliev’s invariant ofclassical links; this invariant M is not a function of the pairwise linkingnumbers of magnetic lines. The asymptotic of the invariant is equal to 12 ,this is less then twice order 14 .
References
[1] Arnol’d V.I., Arnol’d problems, Moscow, Fasis (2000).
115
[2] P.M.Akhmet’ev On asymptotic higher analogs of the magnetichelicity invariant in MHD, arXiv:1105.5876
On the birth and destruction of the closedinvariant curve in the one-parameter family of
quadratic maps in the plane
Belmesova S. S. (Russia)Nizhny Novgorod State University (Research University)
Efremova L. S. (Russia)Nizhny Novgorod State University (Research University)
Fournier-Prunaret D. (France)LAAS-INSA, CNRS, Toulouse
The one-parameter family of quadratic maps of the type
Fµ(x, y) = (xy, (x− µ)2) (1)
is investigated for µ ∈ [3/2, 2] (here (x, y) is a point of the plane R2 ).The family (1) is introduced in [1] in the framework of the investigationof the trace map F2 [2]. The investigation of trace maps is an actualmathematical problem of the quasicrystal physics.The theorem is proved for the birth of the closed invariant curve for µ = 3
2
from the elliptic fixed point (1/2; 1) .Computering results are presented, that demonstrate the new scenarioof the destruction of the closed invariant curve for µ = 2 . When µchanges in the interval (3/2, 2) , the closed invariant curve passes throughthe steps of the weakly chaotic ring and the chaotic attractor, thatare ramified continua. When µ = 2 , the invariant curve destructs and
116
everywhere dense trajectory appears in some bounded invariant domain,that is repeller in A.N.Sharkovskii sense.The first and the second authors are partially supported by theFederal Target Program "Scientific and Scientific-Pedagogical Personnelof Innovative Russia"(2009 – 2013) of the Education and Science Ministryof Russia, grant No 14.B37.21.0361.
References
[1] S.S. Bel’mesova, L.S. Efremova, On the one-parameter familyof quadratic maps of the plane// Proc. of the 50-th ScientificConference of Moscow Institute of Physics and Technology"Contemporary Problems of Fundamental and Applied Sciences".–2007.1 (part VII). P.8-11 [in Russian].
[2] S. Bel’mesova, L. Efremova, On unbounded trajectories of a certainquadratic mapping of the plane// Journ. Math. Sci. (N.Y.).– 2009.157. No 3. P.433-441.
Exact and approximate solutions to the problemof twirling a hula-hoop
Belyakov A. O. (Russia)Vienna University of Technology
Lomonosov Moscow State [email protected]
Seyranian A. P. (Russia)Lomonosov Moscow State University
Hula-hoop is a popular toy – a thin hoop that is twirled around thewaist, limbs or neck. To twirl a hula-hoop the waist of a gymnast carriesout a periodic motion in the horizontal plane. For the sake of simplicity
117
we assume that the waist of the gymnast is round and its center moves inthe horizontal plane along an elliptic trajectory x = a sin ωt , y = b cos ωtclose to a circle ( a ≈ b ) with frequency ω , semi-major axis a , and semi-minor axis b . Then in new time τ = ωt we have the equation for angle ϕthat determines the position of the hula-hoop center with respect to thewaist
ϕ + γϕ + δϕ|ϕ|+ µ cos(ϕ− τ)− 2µδ sign(ϕ) sin(ϕ− τ) =
ε cos(ϕ + τ)− 2εδ sign(ϕ) sin(ϕ + τ)(1)
along with the condition that the hula-hoop does not separate from thewaist
ϕ2 − 2µ sin(ϕ− τ) + 2ε cos(ϕ + τ) > 0, (2)
with dimensionless parameters γ = k2mR2ω
, δ = d2R
, µ = a+b4(R−r)
> 0 ,ε = a−b
4(R−r)≥ 0 , where k and d are viscous and rolling friction coefficients,
r is the radius of the waist, R and m are the radius and mass of thehula-hoop.
In [1] the periodic motion of the gymnast’s waist along only one axiswas considered ( b = 0 ). In the present study, we consider the hula-hoopexcitation along two axes corresponding to an elliptic trajectory as in[2]. But in contrast to previous works [1,2] we do not require that allparameters of excitation µ and dissipation γ are small. We assume onlyε to be small like in our works [3,4] which we extend here to rolling friction.
When the waist moves along a circle ( a = b , i.e. ε = 0 ) eq. (1) hasexact solutions
ϕ = τ + ϕ0, ϕ0 = ∓ψγ − ψδ mod 2π, (3)
where ψγ = arccos(− γ+δ
µ√
1+4δ2
), ψδ = arccos
(1√
1+4δ2
), corresponding
to stable and unstable (∓ ) hula-hoop rotations with a constantangular velocity equal to the excitation frequency, provided thatµ2 (1 + 4δ2) ≥ (γ + δ)2 . According to the Lyapunov’s theorem on thestability based on a linear approximation solution with the use of Routh-Hurwitz criterion we obtain asymptotic stability conditions γ + 2δ > 0and µ sin ψγ < 0 .
Inseparability condition (2) takes the form 1− 2µ sin ϕ0 > 0 and with
(3) yields 1 − 4γδ > ∓2√
µ2 (1 + 4δ2)− (δ + γ)2 . Hence, asymptotically
118
stable (− ) and inseparable rotation exists if the following holds
µ2 > γ2 +1
4OR
(µ2 ≥ (γ + δ)2
1 + 4δ2AND γδ <
1
4
).
When the waist center trajectory has small ellipticity ( a > b , i.e.0 < ε ¿ 1 ) we use simple perturbation method assuming that solutioncan be expressed in a series ϕ = τ + ϕ0 + εϕ1(τ) + . . . of small parameterε . After substitution of this series in (1) and grouping the terms by powersof ε we obtain ϕ0 like in (3). Taking ϕ0 = −ψγ − ψδ corresponding tothe stable solution (3) of the unperturbed system we derive
ϕ1(τ) =cos(ψ)
2γ + 4δsin(2τ − ψγ − ψ) ,
ψ = arccos
(2γ+4δ√
(2γ+4δ)2+(4−µ cos(ψδ) sin(ψγ))2
).
Inseparability condition (2) leads in the first approximation to thefollowing inequality
ε <1 + 2µ sin(ψγ + ψδ)
2
√(cos(ψ)γ+2δ
+ cos(ψ − ψδ))2
+(
cos(ψ)γ+2δ
µ cos(ψγ + ψδ)− sin(ψ − ψδ))2
.
The hula-hoop can rotate in both directions only if all parameters µ ,γ , δ , and ε are small due to the coexistence condition of direct andinverse rotations γ + δ < minε, µ√1 + 4δ2 . In physical variables thecoexistence condition takes the form
2 (R− r)√R2 + d2
(k
Rωm+ d
)< a− |b|
meaning that the trajectory of the waist should be sufficiently prolate.
References
[1] T.K. Caughey, Hula-hoop: an example of heteroparametricexcitation, American J. of Physics, 1960. 28(2). pp. 104–109.
[2] I.I. Blekhman, Vibrational Mechanics, Fizmatlit, Moscow, 1994.
119
[3] A.O. Belyakov and A.P. Seyranian, The hula-hoop problem, DokladyPhysics, 2010, Vol. 55, No. 2, pp. 99–104.
[4] A.P. Seyranian and A.O. Belyakov, How to twirl a hula hoop,American J. of Physics., 2011, Vol. 79, Issue 7, pp. 712–715.
Fundamental Domains in Lorentz Geometry
Nasser Bin Turki (United Kingdom)University of Liverpool
We describe some 3-dimensional Lorentz manifolds which are links ofQ -Gorenstein quasi-homogeneous surface singularities. These links canbe described as bi-quotients of G = ˜SU(1, 1) by the action of a groupΓ1 × Γ2 by left-right multiplication, where Γ1, Γ2 are certain subgroupsof G . We use a construction by Pratoussevitch [1] to describe polyhedralfundamental domains for these group actions in the case where Γ1 are liftsof the triangle groups of signatures (5,3,3) and (7,3,3) and Γ2 are lifts ofcyclic groups. We use geometric estimates to give a finite description ofthese fundamental polyhedra.
References
[1] Anna Pratoussevitch, “The Combinatorial Geometry ofQ -Gorenstein Quasi-Homogeneous Surface Singularities”,Differential Geometry and its Applications 29 (2011), 507-515,math.DG/1006.402 1.
120
Local mean-field type perturbations of chaoticdynamical systems
Blank M. L. (Russia)Russian Academy of Sci., Inst. for Information Transm. Problems
Analyzing a large network of dynamical elements one often choosesthe so called mean field approximation scheme, replacing the interactionwith “neighboring” elements (to which we refer as particles) by a certainaveraging operator. A particular model of this sort has been introducedand studied in the case of a finite number of particles in [1,2]. The setupthere was as follows. The i -th particle at time t ∈ Z+ is represented bya point xt
i in a compact metric space (X, %) , and its local dynamics isgiven by a map T : X → X . After the application of the local dynamicsthe interaction between neighboring particles takes place. This interactionconsists in the attraction of a particle to the common center of gravity ofall particles in the ε -neighborhood of the particle (the mass of a particleis assumed to be one) and is governed by the map
(Qε,γxt)i := (1− γ)xt
i + γ
∑j: %(xt
i,xtj)<ε xt
j∑j: %(xt
i,xtj)<ε 1
. (1)
Here γ ∈ [0, 1] is a parameter and the second term up to theconstant γ coincides with the definition of the local barycenter (center ofgravity) of the neighboring particles. The complete system is defined asa superposition of the direct product of N maps T and the interactionQε,γ , i.e. Tε,γ := T (N) Qε,γ . When ε → 0 we are getting the weakinteraction limit, since ε = 0 corresponds to the absence of interactions.
In [1] the case of weak interactions (small ε ) of a finite number ofparticles (N < ∞ ) with chaotic 1D local dynamics has been studied andsufficient conditions for both the synchronization/localization ( 1−γ ¿ 1 )phenomena (when the particles are gathering together) and the quasiindependent behavior (when the invariant measure is close to the directproduct of invariant measures of local sub-systems) ( γ ¿ 1 ) have beenobtained.
When the number of particles N grows we are losing control over thedynamics (see counter-examples in [1]) and in the infinite particle limit
121
even the notion of the barycenter is not well defined. To overcome thesedifficulties we propose to use a kind of mean-field approach to this problem.Let M(X) be the set of signed Borel measures on X and define the actionof the interaction at a point x ∈ X for a given measure µ ∈M(X) as
Qε,γx := (1− γ)x +γ
µ(Bε(x))
∫
Bε(x)
ydµ(y), (2)
where Bε(x) := y : %(x, y) < ε . Observe that the 2nd term up to theconstant γ is again the local barycenter with respect to the measure µ .Considering transfer-operators (actions on measures) corresponding to themaps T and Qε,γ we define the complete system in the space of measuresM(X) by the relation T ∗
ε,γ := T ∗Q∗ε,γ .
Interpreting a measure µt := 1N
∑Ni δxt
i∈ M(X) as a spatial
distribution of a finite collection of particles located at time t at pointsxt
i ∈ X we see that the dynamics generated by the transfer-operator T ∗ε,γ
is becoming equivalent to the finite particle dynamics.Theorem 1. (Condensation) Let the map T satisfy the Lipschitz
condition with the constant Λ < ∞ . Then ∃c = c(Λ) > 0 such that∀0 < ε, 1 − γ < c the condensation takes place: for each initial measureµ ∈M with the support of diameter not exceeding ε , the diameter of itsimage (T ∗
ε,γ)tµ vanishes with time t →∞ .
Assuming certain hyperbolicity type conditions on the map T for(a) piecewise expanding one-dimensional maps and (b) linear toralautomorphisms for small values of γ we are getting an opposite result.
Theorem 2. (Independence) Let ε, γ be small enough. Then foreach absolutely continuous probability measure µ the sequence (T ∗
ε,γ)tµ
converges weakly as t → ∞ to a measure µε,γ (which might depend onµ ), and which in turn converges weakly as ε, γ → 0 to the unique Sinai-Bowen-Ruelle measure µT of the map T .
These results are based on the analysis of the action of thecorresponding transfer operators in suitably chosen Banach spaces ofgeneralized functions. It is worth note that in distinction to theconventional setting these transfer operators are nonlinear which excludes“standard” spectral tools of their analysis.
122
References
[1] Blank M., Collective phenomena in lattices of weakly interactingmaps, // Doklady Akademii Nauk (Russia), 430:3(2010), 300—304.
[2] Blank M., Self-Consistent Mappings and Systems of InteractingParticles, // Doklady Akademii Nauk (Russia), 436:3(2011), 295-–298.
Stable topological string-vortex solitons
Bogolubsky I. L. (Russia)JINR, Dubna
Investigation of field-theoretical models with extended string-like solutions opens new possibilities for theoretical consideration ofnonperturbative phenomena in quantum field theory, condensed matterphysics (e.g. high-temperature superconductivity) and cosmology (the"cosmic strings"hypothesis). Such studies should include two main steps:(i) analytical or numerical investigation of extended stable 2-dimensionalsolutions and (ii) their quantization using known methods based on notionof path integral.
In our presentation we plan to discuss new features of solitonic stringswhich have been found recently within the so-called A3M model, whichcan be viewed as 2-step extension of the sine-Gordon model. This modelis the U(1) gauge-invariant generalization of the easy-axis Heisenbergantiferromagnet model. This continuous model possesses both global Z(2)and local U(1) symmetries which results in remarkable properties of itslocalized solutions.
The model desribes S2 -valued scalar field interacting with theMaxwell field. We shall show that there exist time-independent(stationary) topological solutions to the A3M model with topological
123
indices ("mapping degree") Qt , which have been found using so-called "hedgehog"ansatz for the 3-component unit isovector field and"vortex"ansatz for the Maxwell field. Solitons exist for the values ofdimensionless anisotropy parameter p such that 0 < p < pcr ≈ 0.4 , andare dynamically stable for all these p . The energy of solitons Esol ≤ 8πQt ,that is the energy of Belavin-Polyakov topological solutions in isotropicmodel; for p → pcr soliton energy approaches 8πQt from below. Forp → 0 the soliton energy is about 1/3 of the Belavin-Polyakov valuefor given Qt . We shall consider properties of solitons with Qt = 1 andQt = 2 .
We underline 2 exact mathematical features of these solitonic solutionsat boundary value of p = pcr ≈ 0.4 : (i) energy of the soliton isexactly 8πQt (equal to Belavin-Polyakov soliton energy in isotropic2-dimensional Heisenberg magnet) and (ii) soliton becomes singular (dθ/dr(r = 0) = ∞ ). Note that these exact results have been foundnumerically and still wait for analytical treatment.
Symmetric quadratic dynamical systems
Victor M. Buchstaber (Russia)Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of SciencesKharkevich Institute for Information transmission problems
We will discuss the dynamical systems wich arise in classical andmodern problems of mathematics, physics, mechanics and biology.
For such systems we introduce the notion of algebraical integrability.We will describe a wide class of algebraically integrable systems.
This class contains the Euler top, Kovalevskaya system, Lotka-Volterratype systems, Darboux-Halphen systems and modern generalizations ofthis systems.
In the talk we present results obtained recently with E. Yu. Netay(Bunkova).
124
Developments in Klein’s Resolvent Problem
Burda Yuri (Canada)University of British Columbia
By means of a rational change of variables y = y(a1, . . . , an, x) anequation of the form
xn + a1xn−1 + . . . + an = 0 (1)
can be transformed to another equation
yn + b1yn−1 + . . . + bn = 0 (2)
Klein’s resolvent problem asks for the smallest number of algebraicallyindependent parameters b1, . . . , bn that must remain after such change ofvariables.
In 1970 Arnold has introduced a topological approach to this questionbased on considerations of monodromy of the algebraic functions inquestion and some characteristic classes associated to them [1]. This ledto solution of a version of Klein’s resolvent problem where polynomialchanges of variables are allowed: k = n− 1 .
Recently I have been able to extend this approach to prove the lowerbound k ≥ bn/2c on the answer to the original Klein’s resolvent problem,where the change of variables is rational [3].
One can reformulate Klein’s resolvent problem in a different way:instead of considering changes of variables in the space of coefficients,consider mapping of the space Cn of roots x1, . . . , xn of (1) to thespace Y of roots y1, . . . , yn of (2) that are equivariant with respect tonatural action of the group Sn on both spaces. This formulation leads toa natural generalization of Klein’s question where group Sn is replacedby an arbitrary group G and the space Cn is replaced by a vector spacewith a faithful linear action of G [3].
Some progress has been recently obtained on this question for the casewhere G is a p -group using algebraic methods [4]. I will describe thisprogress and speculate on the possibility that this result is also topologicalin nature, like in Arnold’s original approach to Klein’s resolvent problem.
125
References
[1] Arnold, V. Topological invariants of algebraic functions. II. Func.Anal. Appl. 4 (1970), 91-–98.
[2] Buhler J., Reichstein Z., On the Essential Dimension of a FiniteGroup, Compositio Math. 106 (1997), 159–179.
[3] Burda Y., Coverings over Tori and Topological Approach to Klein’sResolvent Problem, Transformation Groups 17, No. 4 (2012).
[4] Karpenko, N., Merkurjev, A., Essential dimension of finite p-groups.Invent. Math. 172 (2008), no. 3, 491-–508.
Quasihomogeneous Hilbert schemes of points onthe plane
Buryak A. (Russia)Moscow State [email protected]
The Hilbert scheme of points on the plane is the set of ideals of afixed codimension in the ring of complex polynomials in two variables.This is a smooth algebraic variety. Its geometry is very interesting and isintensively studied during the last 25 years. In my talk I will explain ourrecent result with B. L. Feigin about the cohomology of quasihomogeneouscomponents in the Hilbert scheme. We discovered, that the generatingseries of Poincare polynomials has a simple decomposition into an infiniteproduct.
126
Cosmic Censorship of Smooth Structures
Vladimir Chernov (USA)Dartmouth College
A spacetime is a connected time-oriented Lorentz manifold (X, g) .The Lorentz metric g and the time-orientation define a distribution
of future hemicones of nonspacelike vectors in TX . A piecewise-smoothcurve in X is called future-pointing if its tangent vectors belong to thefuture hemicones.
For two points x, y ∈ X , we write x ≤ y if either x = y or if thereexists a future-pointing curve connecting x to y . A spacetime is said tobe causal if ≤ gives a partial order on it, that is, if there are no closednon-trivial future-pointing curves. Such closed curves may be thought ofas time machines.
A spacetime (X, g) is globally hyperbolic if it is causal and the ‘causalsegments’ Ix,y = z ∈ X | x ≤ z ≤ y are compact for all x, y ∈ X .
A Cauchy surface in (X, g) is a subset M such that every non-spacelike curve γ(t) (defined on the maximal possible domain) intersectsM at exactly one value of t.
Recently Bernal and Sanchez [1] strengthened the classical result ofGeroch [2] . They showed that every globally hyperbolic spacetime (X, g)admits a smooth spacelike Cauchy surface M and X is diffeomorphicto the product M × R with the projection to the R -component being atimelike function and each M × t being a spacelike Cauchy surface.
We show every contractible smooth n -manifold admitting a globallyhyperbolic Lorentz metric is diffeomorphic to the standard Rn .
The first result is valid in all dimensions but seems to be particularlyinteresting for (3+1) -dimensional spacetimes. In that case, the argumentis based on the results of McMillan [3, 4] and McMillan-Zeeman [5] andit makes essential use of the three-dimensional Poincare conjecture provedby Perelman [6, 7, 8] . In higher dimensions it follows immediately fromthe result of Stallings [9].
The second result is based on the results of Turaev [10] and theGeometrization conjecture proved by Perelman. It says that a smooth4 -manifold homeomorphic to the product of a closed oriented 3 -manifold
127
N and R and admitting a globally hyperbolic Lorentz metric is in factdiffeomorphic to N ×R .
Thus one may speak of a censorship imposed by the global hyperbolictyassumption on the possible smooth structures on (3 + 1) -dimensionalspacetimes.
References
[1] A. Bernal, M. Sanchez, On smooth Cauchy hypersurfaces andGeroch’s splitting theorem, Comm. Math. Phys. 243 (2003), 461–470.
[2] R. P. Geroch, Domain of dependence, J. Math. Phys., 11 (1970),437–449.
[3] D. R. McMillan Jr., Cartesian products of contractible openmanifolds, Bull. Am. Math. Soc. 67 (1961), 510–514.
[4] D. R. McMillan Jr., Some contractible open 3 -manifolds, Trans. Am.Math. Soc. 102 (1962), 373–382.
[5] D. R. McMillan, E. C. Zeeman, On contractible open manifolds,Proc. Camb. Phil. Soc. 58 (1962), 221–229.
[6] G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and itsgeometric applications, Preprint math.DG/0211159.
[7] G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds, Preprintmath.DG/0303109.
[8] G. Perelman, Finite extinction time for the solutions to the Ricciflow on certain three-manifolds, Preprint math.DG/0307245.
[9] J. Stallings, The piecewise-linear structure of Euclidean space, Proc.Cambridge Philos. Soc. 58 (1962), 481–488.
[10] V. Turaev, Towards the topological classification of geometric 3 -manifolds, Topology and geometry—Rohlin Seminar, pp. 291–323,Lecture Notes in Math. 1346, Springer, Berlin, 1988.
128
Graphs on surfaces via planar graphs
Sergei Chmutov (USA)Ohio State University at Mansfield
I would like to present a joint work with Clark Butler [2] about arelations between some polynomial invariants of graphs on surfaces andplanar graphs.
A famous graph invariant, the Tutte polynomial, was generalized totopological setting of graphs on surfaces by B. Bollobas and O. Riordanin [1] and to relative plane graphs by Y. Diao and G. Hetyei in [3]. Wefound a relation between these polynomials for graphs obtained by theconstruction below.
Graphs on surfaces can be studied in terms of plane graphs via theirprojections preserving the rotation systems. For non-planar graphs sucha projection will have singularities. The simplest singularities are doublepoints on edges of the graph. Using them we supplement the image of thegraph with some additional edges and vertices. Thus we obtain a relativeplane graph which is a plane graph with a distinguished subset of edges.
This relation has an application in knot theory. The classicalThistlethwaite theorem relates the Jones polynomial of a link to the Tuttepolynomial of a plane graph obtained from a checkerboard coloring of theregions of the link diagram. Our relation conforms two generalizations ofthe Thistlethwaite theorem to virtual links from [3,4].
References
[1] B. Bollobas, O. Riordan. A polynomial of graphs on surfaces.//Math. Ann. – 2002. v.323. p.81 – 96.
[2] C. Butler, S. Chmutov. Bollobas-Riordan and relative Tuttepolynomials.// Preprint arXiv:1011.0072v1 [math.CO].
[3] Y. Diao, G. Hetyei. Relative Tutte polynomials for coloredgraphs and virtual knot theory.// Combinatorics Probability andComputing. – 2010. v.19. p.343–369.
[4] S. Chmutov. Generalized duality for graphs on surfaces and thesigned Bollobas-Riordan polynomial.// Journal of CombinatorialTheory, Ser. B. – 2009. v.99. N3. p.617–638.
129
Reduction Theorem and Normal Forms of LinearSecond Order PDE in the Plane
Davydov A. A. (Russia)Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs
[email protected]@iiasa.ac.at
The talk is devoted to the problem 1973-5 formulated by V.I.Arnoldabout the normal forms of implicit ODEs and their bifurcation [1]. Inthe 70-th of the last century there appeared papers by F.Takens, L.Dara,which stated some related problems, but no any new normal forms wereobtained. In beginning of 80-th the topological normal forms of genericfolded singular points were found by A.G.Kuzmin, and in the period 1984-1995 the respective smooth normal forms of folded singular point wereobtained [2], [3].
Also some normal forms in special cases were found (see [4], [5]).But the part of the problem related to the bifurcations in families of
implicit ODE or PDEs of mixed type on the plane is still not so welldeveloped. The talk is devoted to the current state in this part of theproblem and recent results obtained here [6].
The work is partially supported by RFBR grant 11-01-00960-a.
References
[1] Arnold’s Problems. - Springer and Phasis, Moscow 2004.
[2] Davydov A.A., Normal forms of differential equations, not solvablefor the derivative, in a neighborhood of a singular point//Funct.Anal. Appl., 1985, 19(2), 81-89.
[3] Davydov A.A., Rosales-Gonzales E., The complete classificationof typical second order linear partial-differential equations on theplane// Dokl. Math., 1996, 54 (2), 669-672.
[4] Hayakawa A., Ishikawa G., Izumiya S., Yamaguchi K., Classificationof generic integral diagrams and first order ordinary differentialequations. Intern. J. Math., 1994, 5(4), 447-489.
130
[5] Davydov A.A., Ishikawa G., Izumiya S., W.-Z.Sun, Genericsingularities of implicit systems of first order differential equationson the plane// Japanese J. of Mathematics, 2008, 3(1), 93-120.
[6] ] Davydov A., L.Trinh Thi Diep, Reduction theorem and normalsforms of linear second order mixed type PDE families in theplane//TWMS Journal of Pure and Applied Mathematics, V.2, No.1, 2011, pp. 44-53.
Absence of C1 - Ω -blow ups and Doubling PeriodBifurcations in Smooth Simplest Skew Products
of Maps of an Interval
Efremova L. S. (Russia)Nizhny Novgorod State University
The structure of the nonwandering set is investigated of C1 -smoothsimplest skew products of maps of an interval, i.e. skew products ofmaps of an interval with a closed set of periodic points (for more generalconsiderations see [1]).With the use of these results the absence of C1 - Ω -blow ups is proved inthe above maps. Let us note, for the comparison, that C1 -smooth simplestskew products of maps of an interval admit C0 - Ω -blow up [2].The upper estimate is given for the set of the (least) periods of periodicpoints of maps from some neighborhood (in C1 -norm) of an arbitraryC1 -smooth simplest skew product of maps of an interval.Sufficient conditions are proved for period doubling bifurcations inC3 -smooth skew products of maps of an interval. These last resultsdemonstrate distinctions between period doubling bifurcations in skewproducts of maps of an interval and analogous bifurcations in maps of aninterval.This work is partially supported by the Federal Target Program "Scientific
131
and Scientific-Pedagogical Personnel of Innovative Russia"(2009 – 2013)of the Education and Science Ministry of Russia, grant No 14.B37.21.0361.
References
[1] Efremova L.S. Remarks on the Nonwandering Set of Skew Productswith a Closed Set of Periodic Points of the Quotient Map.// SpringerProceedings in Mathematics, eds. M. Peixoto, A. Pinto, D. Rand. –2013.
[2] Efremova L.S. On C0 - Ω -blow ups in Smooth Skew Products ofMaps of an Interval with a Closed Set of Periodic Points [in Russian].// Vestnik NNGU im. N.I. Lobachevskii.– 2012. N3(1). p.130 – 136.
Generic Families of singular systems and theirbifurcation diagrams
Garcia-Planas M. I. (Spain)Universitat Politecnica de Catalunya
V.I. Arnold constructed smooth generic families of matrices withrespect to similarity transformations depending smoothly on the entriesof matrices and got bifurcation diagrams of such families with a smallnumber of parameters ([1], [2]).We extend these results to quadruples ofmatrices (E,A, B,C) representing singular systems Ex = Ax + Bu ,y = Cx where E, A ∈ Mp×n(C) , B ∈ Mp×m(C) and C ∈ Mq×n(C) .
The question of uncertain parameters ε in the entries of the matricesE , A , B , C is particularly important when using the reduced formof the quadruple of matrices (E, A,B, C) ([3]), the eigenstructure maydepend discontinuously on the parameters when the matrices E(ε) , A(ε) ,B(ε) , C(ε) depend smoothly on those parameters. It is of great interestto know which different structures can arise from small perturbationsof a singular system, and discuss the generic behaviour of smooth few
132
parameter families of singular systems. A fundamental way of dealingwith these problems is, in a first step, to stratify the space of quadruplesof matrices defining the systems. Here an important role is played by theminiversal deformations. A second step is to induce a partition in thespace of parameters parametrizing the family of singular linear systems.We need to consider transversal families in order to ensure that the inducedpartition (called the bifurcation diagram) is also a stratification.
References
[1] Arnold V.I. On matrices depending on parameters. // Russian Math.Surveys.– 1971. N26: 2. p.29 – 43.
[2] Arnold V.I. Geometrical methods in the theory of ordinarydifferential equations. // Springer-Verlag, New York, 1988.
[3] Garcia-Planas M.I., Diaz A. On equivalence of singular time-invariant linear systems. // Preprint.
Attractors and repellers near genericreversible elliptic points
Gonchenko S. V. (Russia)Nizhny Novgorod State University
Let M be a two-dimensional manifold and g : M → M be aninvolution, so g g = id . A map f : M → M is called reversible if it isconjugate by g to its own inverse: f−1 = g f g . Let Rr
g denote the setof reversible maps, endowed with the Cr -topology, r = 1, . . . ,∞, ω (forthe real-analytic case, r = ω , we take the topology of uniform convergenceon compacta in a fixed complex neighbourhood of M ).
Let R be a open domain from Rrg . A subset of R is called residual
if it is an intersection of a countable sequence of open and dense sets; a
133
property is called generic if the maps for which it holds comprise a residualset.
An orbit of f is called symmetric if it is invariant with respect to g .Dynamics in a small neighbourhood of a non-symmetric periodic orbitcan be arbitrary, however, near a generic symmetric elliptic orbit, itappears pretty much conservative, in particular, every point of such orbitis surrounded by invariant KAM-curves [1]. However, there exist resonantzones between the KAM-curves. We show here that the generic dynamicsin the resonant zones is not conservative and have a mixed nature.
Theorem 1. In the space Rrg , r = 1, . . . , ω , there is a residual subset
R∗ such that for every f ∈ R∗ every point of each symmetric ellipticperiodic orbit is a limit of sinks, sources and other elliptic points.
This theorem is inferred from Theorem 2 and 3 below.Let Λ be a non-trivial, locally-maximal, transitive, zero-dimensional,
compact, uniformly-hyperbolic set. Following Newhouse, we simply callsuch sets basic. The basic set Λ will be called wild if the property “thestable and unstable manifolds W s(Λ) and W u(Λ) have a nondegeneratetangency” holds for all sufficiently small C2 -perturbations. According to[2], if a Cr -map ( r = 2, ..., ω ) has such basic set Λ , for which W s(Λ)and W u(Λ) have a tangency, then arbitrarily Cr -close to the map thereexists a C2 -open set (the Newhouse region) N such that for every mapfrom N the set Λ is wild.
Lemma 1. Let f be a reversible map with a symmetric wild-hyperbolicset Λ . Then the corresponding Newhouse region N has a non-emptyintersection Nrev with a neighbourhood of f in the space of reversiblemaps.
Theorem 2. In the Newhouse domain Nrev a residual subset B iscomprised by reversible maps each having infinitely many sinks, sourcesand symmetric elliptic points.
It is well-known that the dynamics in resonant zones near ellipticperiodic points is typically chaotic. For the conservative case the existenceof transverse and non-transverse homoclinic orbits near elliptic points
134
was shown in [3,4,5]. In the reversible case the similar statement is given by
Theorem 3. For a generic map from Rrg ( r = 2, . . . , ω ) each symmetric
elliptic periodic orbit is accumulated by symmetric wild-hyperbolic sets.
The work is supported partially by the RFBR grant No.11-01-00001and grant FCP "Cadry"No.14.B37.21.0961.
References
[1] Sevryuk M.B. Reversible systems// Lect. Notes in Math.– 1986,v.1211.
[2] Newhouse S.E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms// Publ. Math. Inst. HautesEtudes Sci.– 1979, v.50, p.101-151.
[3] Zehnder E. Homoclinic points near elliptic fixed points// Comm.Pure Appl. Math.– 1973, v.26, p.131-182.
[4] Mora L., Romero N. Persistence of homoclinic tangencies for areapreserving maps// Annales de la faculte des science de Toulouse.–1997, v.6, p.711-725.
[5] Gelfreich V., Turaev D. Universal dynamics in a neighbourhood ofa generic elliptic periodic point // Regular and Chaotic Dynamics.–2010, v.15, Nos 2-3, p.159-164.
135
Energy function for Morse-Smale diffeomorhismand topology of ambient manifold
Grines V. Z. (Russia)Nizhny Novgorod State University
An important fact of the qualitative theory of Dynamical systems isthe fundamental theorem proved by K. Conley [1] in 1978. According tothis theorem, any continuous dynamical system (flow or cascade) has acontinuous Lyapunov function, that is a decreasing function along thetrajectories of the system outside the chain recurrent set and the constanton the chain components. In many ways is more meaningful informationabout a smooth dynamical system has energy function that is a smoothLyapunov function, whose set of critical points coincides with the chainrecurrent set of the system.
The most complete results on existence energy function have beenobtained for the Morse-Smale systems. For such systems the chainrecurrent set coincides with the set of fixed points and periodic orbits.S. Smale [7] proved in 1961 the existence of a Morse energy function for agradient-like flow (that is Morse-Smale flow without closed trajectories).Then K. Meyer [5] generalized this result in 1968 and constructed Morse-Bott energy function, for arbitrary Morse-Smale flow. In 1977 D. Pixton [6]established the existence of Morse energy function, for any Morse-Smalediffeomorphisms on surfaces. In addition, he built a diffeomorphism on a3-sphere, which does not have the energy function and showed that thisfenomena is associated with an existence of wild separatrices of saddlepoints.
The aim of this report is exposition of conditions for existence of Morseenergy function for arbitrary Morse-Smale cascades on 3-manifolds. Theseconditions was obtained in [2], [3] by the author in collaboration with F.Laudenbach and O. Pochinka (see also [4] for information and referenceson dynamics of Morse-Smale diffeomorphisms on manifolds).
Next theorem gives interrelations between existence of energy functionfor gradient-like diffeomorphism and topology of ambient 3-manifold. LetM3 be a three-dimensional closed orientable manifold and f : M3 → M3
gradient-like diffeomorphisms (that is f does not contain heteroclinic
136
orbits). Set gf =rf−lf+2
2, where rf — number of saddles and lf — number
of sinks and sources of diffeomorphism f .Theorem. If gradient-like diffeomorphism f : M3 → M3 possesses by
an energy function, then the manifold M3 admits the Heegaard splitingof genus g
f.
ACKNOWLEDGMENTS
Author thanks grants 12-01-00672, 11-01-12056 of RFBR and grantof government of Russian Federation 11.G34.31.0039 for partial financialsupport.
References
[1] C. Conley. Isolated Invariant Sets and Morse Index // CBMSRegional Conference Series in Math. 1978. V. 38.
[2] V. Grines, F. Laudenbach, O. Pochinka. Self-indexing function forMorse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds // Moscow Math.Journal, 2009, No 4. P. 801-821.
[3] V. Grines, F. Laudenbach, O. Pochinka.Dyanamically orderedenergy function for Morse-Smale diffeomorphisms. // Proceedingsof the Steklov institute of mathematics, 2012, vol.278, pp. 27-40.
[4] V. Grines, O. Pochinka. Introduction to topological classification ofcascades on manifold of dimension 2 and 3. // Monograph. Moscow—Izhevsk. – 2011. – 424 P.
[5] K. R. Meyer. Energy functions for Morse-Smale systems // Amer.J. Math. 1968. V. 90. P. 1031–1040.
[6] Pixton D. Wild unstable manifolds // Topology. 1977. V. 16, 2.P. 167–172.
[7] Smale S. On gradient dynamical systems // Ann. Math. 1961. P.199–206.
137
On embedding of Morse-Smale diffeomorphisms intopological flows
Gurevich E. Y. (Russia)N. I. Lobachevskii Nizhnii Novgorod State University
Presenting results are obtained in collaboration with V. Grines,V. Medvedev and O. Pochinka and published in [1],[2].
A Cr -diffeomorphism ( r ≥ 1 ) f : Mn → Mn on smooth connectedclosed manifold of dimension n embeds in a C l -flow ( l ≤ k ) if f isthe time-one map of such a flow. Palis showed in [3] that the set of Cr -diffeomorphisms that embed in C1 -flows is a set of first category. In thesame time, the structural stability of Morse-Smale diffeomorphisms leadsto existence of open sets of diffeomorphisms that embed in topologicalflow (for example, a neighbourhood of time-one map of a Morse-Smaleflow). In [4] were stated the following necessary conditions of embeddingof Morse-Smale cascade f in a topological flow:
(1) non-wandering set of f consists only of fixed points;(2) f restricted to each invariant manifold of its fixed points is
orientation preserving;(3) for any fixed points p, q having non-empty intersection of invariant
manifolds, the intersection does not contain compact components.It was also shown in [4] that conditions (1)-(3) are sufficient in case
n = 2 .In dimension n = 3 an additional obstacle for the Morse-Smale
cascade to embed in a flow is wildly embedded separatrices of saddlepoints. In report is introduced the definition of the trivial embedding ofseparatrices and presented that the trivial embedding of separatrices of thecascade f is the necessary condition of embedding f in a flow. Surprisingfact is that this condition (being added to (1)-(3)) is not sufficient. The keyobject for solution of the problem is a scheme of diffeomorphism definedin a series of earlier papers of authors. The main result of the report isthe following theorem.
Theorem A Morse-Smale diffeomorphism f : M3 → M3 embeds incontinuous flow iff its scheme is trivial.
138
Research is supported by grants 12-01-00672, 11-01-12056-ofi-m ofRFFR and the grant 11.G34.31.0039 of Russian federation governmentfor partial financial support.
References
[1] Grines V.Z., Gurevich E. Ya. , Medevedev V.S., Pochinka O.V. Onembedding of Morse-Smale diffeomorphisms in flows on manifoldsof dimensional greater than 2// Matematicheskie zametki. – 2012.v. 91, N. 5. – P. 791 – 795.
[2] Grines V.Z., Gurevich E. Ya. , Medevedev V.S., Pochinka O.V.On embedding of Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds inflows// Trudy Matematicheskogo Instituta im. V. I. Steclova, toappear.
[3] Palis J. Vector fields generate few diffeomorphisms// Bull. Amer.Math. Soc. – 1974, V. 80. P. 503-505.
[4] Palis J., Smale S. Structural Stability Theorem //Global Analysis,Proc.Symp. in Pure Math. – American Math. Soc. – 1970. N. 14.
Some result on so-sets
Jalal H. H. (Russia)Baghdad university
Peoples’ Friendship University of [email protected]
Abstract. The aim of this paper is to continue the give some newproperties on so-sets. We investigate the relations between simply-opensets and other forms of generalized open sets in a topological space.
References
[1] Neubrunnovia, 1975. On transfinite sequences of certain types offunctions, Acta Fac. Rer. Natur. Univ. Com. Math., 30: 121- 126.
139
[2] Ganster, M., Reilly I.L. and Vamanmurthy M.K., 1992. Remarks onLocally closed sets, Mathematical Pannonica, 3(2):107- 113.
[3] Sundaram, P. and Balachandran K., Semi generalized Locally closedsets in topological spaces, Preprint.
[4] Dub, K. K., chae G. L and Pan war O. S., 1984. Someproperties of "S-connectedness between sets"and "Set s-connectedmappings Indian J. Pure Appl. Math. 15 (4): 343-354.
[5] Levine, N., 1963. semi-open sets and semi –continuity intopological space, Amer. math. Monthly 70: 36-41.
[6] Njastsd, O., 1965. On some classes of nearly open sets, PacificJ.Math. 15: 961-970.
[7] Nour, T. M., 1995. Totally semi continuous functions, Indian J. PureAppl. Math. 26 (7): 675-678.
[8] Chattopadyay, Ch. and Bandyopadhyay Ch., On structure of -sets,Preprint.
[9] Mashhour, A., Abd El-Mosef M.E. and El-Deeb S.N., 1982. Onprecontinuous and weak precontinuous mappings, Proc.Math.Phys.Soc. Egypt 53: 47-53.
[10] Abd EL-Monsef, M. E., EL-Deeb S. N. and Mahmoud R.A., 1983.-open sets and -continuous mapping, Bull. Fac. Sci. Assiut Univ. 12: 77-90.
[11] Andrijevic, D. , 1986. Semi-preopen sets,ibid. 38 :24-32.
[12] Chattopadyay, Ch., 2005. On strongly preopen sets and adecomposition of continuity, MATE. BECH. , 57 : 121-125.
[13] Bourbaki, N., 1966. General Topology Part 1, Addison Wesley,Reading, Mass.
[14] Andrijevic, D., 1984. Some properties of the topology of -sets, Mat.Vesnik 36 : 1-10.
140
Gauss-Kuzmin statistics of Klein polyhedra
Karpenkov O. N. (Russia)University of [email protected]
In this talk we consider multidimensional geometric continued fractionsin the sense of Klein, which is an alternative approach to Jacobi-Perron continued fraction algorithms. Klein continued fractions are certainsurfaces equipped with polyhedral structure. In the algebraic case thepolyhedral structure has a periodic nature. We show several examplesof multidimensional continued fractions and explain how to use Mobiusgeometry to generalize Gauss-Kuzmin ergodic statistics from the case ofordinary continued fractions to the multidimensional case.
Topology and stratification of spaces offunctions with prescribed singularities on
surfaces
Kudryavtseva E. A. (Russia)Moscow State [email protected]
Let M be a smooth connected orientable closed surface. Letf : M → R be a smooth function on M not having too complicatedcritical points (e.g. having only Morse-type or the Ak -types localsingularities, k = 1, 2, 3, . . . ). Consider the space F (f) of smoothfunctions g : M → R having the same types of local singularities asthose of f . Endow the space F (f) with C∞ -topology. Denote by D0(M)the identity component in the group D+(M) := Diff+(M) . Considerthe decomposition of F (f) into orbits of the D+(R) × D0(M) - andD+(R)×D+(M) -actions by left-right changes of variables.
V.I. Arnold (1992, 1996, 2006–2010) counted open orbits in F (f) whenf is a Morse function on M = S2 [1]. We study the topology of the spaceF (f) and the stratification of F (f) by all (not necessarily open) orbits.
141
Our main result is a description of a finite-dimensional manifold E(f)having the same homotopy type as F (f) [2]–[4].
Theorem 1 There exists a finite-dimensional stratified smoothmanifold E(f) and a surjective homotopy equivalence κ : F (f) → E(f)such that each D+(R) × D0(M) -orbit in F (f) is a full pre-image of astratum in E(f) (i.e. κ “classifies” the D+(R)×D0(M) -orbits in F (f) ;κ and E(f) are called a classifying map and a classifying space). Therestriction of κ to each orbit is a homotopy equivalence between the orbitand the stratum.
Theorem 2 There exists an orbifold E(f) , a stratified orbifold B(f) ,a surjective submersion p : E(f) → B(f) with generic fibre M , and twocontinuous maps
M × F (f)κ−→ E(f)
ε−→ R with ε κ(·, g) = g for any g ∈ F (f)
such that κ is a fibre-wise map, moreover the induced by κ mapF (f) → B(f) of bases classifies the D+(R) × D+(M) -orbits in F (f) .(However the orbits in F (f) and the corresponding strata in B(f) mayhave different homotopy types.)
We also describe the homotopy types of the manifold E(f)and the orbifold B(f) as follows. There exist strong deformationalretracts K∗(f) ⊂ E(f) , K(f) ⊂ B(f) , a polyhedron K(f) (thecomplexes of framed functions in F (f) ) and a surjective submersionK∗(f) → K(f) with generic fibre M s \ ∆ (the configuration space ofs := max0, χ(M) + 1 ordered distinct points in M ). Moreover thepolyhedron K(f) admits a natural structure of a “cylindric-polyhedralcomplex” [4] (generalizing a polyhedral complex), whose blocks are in one-to-one correspondence with the D+(R)×D0(M) -orbits in F (f) . MoreoverK(f) = K(f)/(D+(M)/D0(M)) ; the fibration p is trivial if χ(M) < 0 .
We also describe E(f) for χ(M) ≥ 0 in terms of rationalfunctions. As an example, we explicitely construct the polyhedronK∗(f) ' E(f) ' F (f) and its block decomposition when f is a Morsefunction with at most two saddles (here K(f) is a chord diagram).
Here is a historical overview. Let f be a Morse function. S.V.Matveev, H. Zieschang, V.V. Sharko (1998) proved that π0(F (f)) = 0 .(A similar problem on counting connected components were studied byM. Kontsevich and A. Zorich (2003) for the moduli spaces of Abelian
142
differentials with prescribed singularities.) Homotopy groups of any orbitin F (f) were described by S.I. Maksymenko [5]. V.A. Vassiliev (1989)proved the parametric h -principle and studied cohomology of spaces ofsmooth RN -valued functions not having too complicated singularities onany smooth manifold M . However the 1-parametric h -principle is falsefor spaces of Morse functions on some M with dim M > 5 [6].
References
[1] V.I. Arnold. Topological classification of Morse functions andgeneralisations of Hilbert’s 16-th problem // Math. Phys. Anal.Geom. – 2007 – v.10, N3. – P.227–236.
[2] E.A. Kudryavtseva, D.A. Permyakov. Framed Morse functions onsurfaces // Sborn. Math. – 2010 – v.201, N4. – P.501–567.
[3] E.A. Kudryavtseva. The topology of spaces of Morse functionson surfaces // Math. Notes. – 2012 – v.92, N2. – P.219–236.arxiv:1104.4792
[4] E.A. Kudryavtseva. On the homotopy type of the spaces of Morsefunctions on surfaces // Matem. Sbornik. – 2013 – v.204, N1 (toappear). arXiv:1104.4796
[5] S.I. Maksymenko. Homotopy types of stabilizers and orbits of Morsefunctions on surfaces // Ann. Glob. Anal. Geom. – 2006 – v.29, N3.– P.241–285. arXiv:0310067
[6] A. Chenciner, F. Laudenbach. Morse 2-jet space and h -principle// Bull. Brazil. Math. Soc. – 2009 – v.40, N4. – P.455–463.arXiv:0902.3692
143
KAM-theory for PDE with one and manyspace-variables
Sergei B. Kuksin (France, Russia)IMJ, Paris
Steklov Mathematical [email protected]
In late 1980’s a version of the classical KAM-theory, applicable tohamiltonian PDE with one space variable, was developed. Recently thistheory was extended to some space-multidimensional hamiltonian PDE.Namely, in [1-3] two different approaches to treat the multidimensionalequations were suggested, which were later developed by a number ofresearches. In my talk I will discuss the space-multidimensional “KAM forPDE"theory and its differences with the one-dimensional case.
References
[1] Bourgain J. Quasi-periodic solutions of Hamiltonian perturbationsof 2D linear Schrodinger equations. // Ann. of Math. - 1998, v.148,p. 363-439.
[2] Bourgain J. Green’s Function Estimates for Lattice SchrodingerOperators and Applications. Princeton University Press, 2004.
[3] Eliasson H., Kuksin S. KAM for the nonlinear Schrodinger equation.// Ann. of Math. - 2010, v.172, p. 371-435.
144
Bifurcations of blowup in inviscid shell models ofconvective turbulence
Alexei A. Mailybaev (Russia, Brazil)Lomonosov Moscow State University
IMPA, Rio de [email protected]
We analyze the blowup (finite-time singularity) in inviscid shell modelsof convective turbulence. We show that the blowup exists and its internalstructure undergoes a series of bifurcations under a change of shell modelparameter. Various blowup structures are observed and explained, whichvary from self-similar to periodic, quasi-periodic and chaotic regimes.Though the blowup takes sophisticated forms, its asymptotic small-scalestructure is independent of initial conditions, i.e., universal. Finally, wediscuss implications of the obtained results for the open problems ofblowup in inviscid flows and for the theory of turbulence.
Bifurcations of Rotation Sets for SymbolicModels of Lorenz Type Systems
Malkin M. I. (Russia)Nizhny Novgorod State University
We consider dynamical systems of the geometric Lorenz model typeand their symbolic description in the form of countable topological Markovchain. For topological Markov chains with the given partition of the spaceof states into two classes, we introduce the rotation set as the set ofindividual statistical means for frequences of visiting one the two parts.We show that in transitive case, the rotation set of such a topologicalMarkov chain is a closed interval, and moreover, in topologically mixingcase, the rotation interval in nontrivial (i.e., its endpoinds are distinct).
Then we apply this construction to symbolic models of one-dimensionalmaps of Lorenz type with positive topological entropy in the form
145
of countable topological Markov chains (Hofbauer models). We studybehavior of rotation sets for solutions of perturbed multidimensional maps.More precisely, let
Φλ(yn, yn+1, . . . , yn+m) = 0, n ∈ Z,
be a difference equation of order m with parameter λ . It is asuumedthat the non-perturbed operator Φλ0 depends on two variables, i.e.,Φλ0(y0, . . . , ym) = ψ(yN , yM) , where 0 ≤ N,M ≤ m and ψ is apiecewise monotone piecewise C2 -function. It is also assumed that forthe equation ψ(x, y) = 0 , there is a branch y = ϕ(x) which representa one-dimensional Lorenz-type map. We prove approximation resultsfor the problem on continuous dependence of the rotation set undermultidimensional perturbations. Numerical results show universalityphenomena in bifurcations responsible for birth of nontrivial rotationintervals with respect to renormalized subsystems in one-parameterfamilies of Lorenz-type maps.
The research was partially supported by RFBR grants 12-01-00672,11-01-12056 and 11.G34.31.00390.
The existence proof of homoclinic orbits toKAM-curves near 1-elliptic fixed point
Markova A. P. (Russia)Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod
We study a Cr -smooth symplectic diffeomorphism f on a C∞ -smooth 4-dimensional symplectic manifold (M, Ω) , Ω is C∞ -smooth 2-form. We assume f to have an 1-elliptic fixed point p , that is differentialL = Dfp has one pair of multipliers exp[±iα] on the unit circle and a pairof real multipliers µ, µ−1 , µ 6= ±1. Below we suppose µ to be positiveand 0 < µ < 1 .
Near an 1-elliptic fixed point there is a Cr−1 -smooth 2-dimensionalinvariant symplectic center submanifold W c corresponding to multipliersexp[±iα] . The restriction of f on W c is a Cr−1 -smooth 2-dimensional
146
symplectic diffeomorphism and p is its elliptic fixed point. We assume pto be of the generic elliptic type, that is, the first coefficient in the Birkhoffnormal form for f |W c does not vanish. Then the Moser’s invariant curvetheorem holds for f near p that gives a positive measure Cantor set ofclosed invariant KAM-curves on W c which enclose p and accumulate atit.
The center manifold W c is a normally hyperbolic manifold in the senseof Hirsh-Pugh-Shub [2] with smooth 3-dimensional stable manifold W cs
and smooth 3-dimensional unstable one W cu , since two other multipliersµ, µ−1 are respectively lesser than 1 and greater than 1 in modulus. Thisimplies that each invariant KAM-curve on W c can be called to be saddleone, since it has 2-dimensional strong stable and 2-dimensional strongunstable manifolds. Topologically such stable/unstable manifold is a localcylinder being Lagrangian submanifold in M . The existence proof of thesemanifolds follows from expanding family theorems [1].
The fixed point p has also two Cr -smooth local invariant curvesthrough p being its local strong stable W s(p) and strong unstable W u(p)manifolds. Our main assumption here is the following:
Assumption 1. When extending by f local curve W u(p) it returns toa neighborhood of p and intersects W s(p) at some its point q generatingthus a homoclinic orbit Γ to p , moreover, we assume the intersection atq of W s(p) and the extension of W cu(p) to be transverse (transversalitycondition).
Our main result is the following theorem:Theorem 1. If some additional genericity condition for the homoclinic
orbit Γ holds, there is a neighborhood U of Γ such that each closedinvariant KAM-curve on W c possesses in U four transverse homoclinicorbits.
In order to formulate the genericity condition in the explicit form,we consider the linearization of f on homoclinic orbit. We construct aso-called scattering linear operator that acts from TpW
c to itself andformulate genericity condition in terms of this operator.
This theorem is the extension to the case of symplectic diffeomorphismsthe result found in [3] for a 2 degree-of-freedom Hamiltonian system.
This research is supported in part by the Russian Foundation of BasicResearch (grant 11-01-00001a), and RFBR and the Government of theNizhny Novgorod Region for a support under the grant 11-01-97017a
147
(regional - Povolzh’e). The author also acknowledges a support from theFederal Program "Personnel"No.14.V37.21.0361.
References
[1] Fenichel N. // Indiana Univ. Math. J., v.23, 12, (1974).
[2] Hirsh M., Pugh C., Shub M. // Invariant Manifolds, (Springer-Verlag, Berlin, 1977).
[3] Lerman L.M. // Methods of Qualitative Theory of DifferentialEquations (Gor’kii State Univ., Gor’kii, 1987), pp. 89 - 103 [SelectaMath. Sov. 10, pp. 297 - 309 (1991)].
Fuzzy Topology, Geometric Quantization andGauge Fields
Mayburov S. N. (Russia)Lebedev Institute of [email protected]
Dodson-Zeeman fuzzy topology (FT) is studied as novel formalism ofgeometric quantization[1]. As the example the quantization of massiveparticles is considered. FT elements are fuzzy points (FP) ai , besidestandard orderimg relation aj ≤ ak , they admit also the incomparabilityrelation (IR) between them: aj ∼ ak , so that their set AP is partial-ordered set (Poset)[2]. For 1-dimensional geometry the model Universecorresponds to Poset U = AP ∪X , where X - standard coordinate axeR1 , so that aj ∼ xb permitted for some xb ∈ X . ai correspond to massiveparticles, their properties are detalized relative to X by the introductionof fuzzy weight[2] wi(x) ≥ 0 with norm ||w|| = 1 . If wi(x) 6= 0 onsome X interval xc, xd , then ai coordinate relative to X is principallyuncertain[2]. It supposed that FP ai(t) ∈ AP describes the evolvingmassive particle mi , its fuzzy state ϕ(t) evolves relative to X .
148
It’s shown that other ϕ free parameter is w flow velocity ~v(x) , sothat: ϕ(x, t) =
√weiα where grad(α) = m~v(x) . Assuming space-time
shift invariance, it’s shown that ϕ(t) evolution obeys to free Schroedingerequation[3], it fulfilled also for 3 -dimensional case. In relativistic case freemi evolution described by Dirac equation with spin 1
2.
For particle’s interactions on fuzzy manifoid are studied, it’s shownthat FT demands them to be gauge invariant. From that it proved that theinteractions of fermion muliplets are performed by corresponding Yang-Mills fields[4].
References
[1] Dodson, C.J.T., J. London Math. Soc. (1975) 11, 465.
[2] Bandmeyer, H. and Gottwald, S. Introduction in Fuzzy Sets.(Akademie Verlag, Berlin, 1993)
[3] Mayburov S. Phys. Part. Nucl. (2012) 43, 465 ; hep-th: 1205.3019
[4] Mayburov S. Int. J. Theor. Phys. (2010) 49 3192
Diffeomorphism groups, hydrodynamics andgeometric statistics
Gerard MisioÃlek (USA)Mathematics Department, University of Notre Dame
In 1966 Arnold published a celebrated paper in which he explained howsolutions to the incompressible Euler equations can be viewed as geodesicsof a right-invariant L2 (kinetic energy) metric on the group of volume-preserving diffeomorphisms. I will review some of the recent developmentsin this area focusing on results about the Riemannian exponential mapand the structure of its singularities. Time permitting I will also explainhow a similar approach using a right-invariant Sobolev H1 metric on the
149
homogeneous space of densities leads to a generalization of the Fisher-Raoinformation in geometric statistics.
References
[1] V. Arnold, Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie dedimension infinie et ses applications a l’hydrodynamique des fluidsparfaits, Ann. Inst. Grenoble 16 (1966), 316–361.
[2] D. Ebin and J. Marsden, Groups of diffeomorphisms and the motionof an incompressible fluid, Ann. Math. 92 (1970).
[3] B. Khesin, J. Lenells, G. MisioÃlek and S. Preston, Geometryof diffeomorphism groups, complete integrability and geometricstatistics, GAFA, Geom. funct. anal. 23 (2013).
[4] G. MisioÃlek and S. Preston, Fredholm properties of Riemannianexponential maps on diffeomorphism groups, Invent. math. 179(2010).
[5] A. Shnirelman, Microglobal analysis of the Euler equations, J. Math.Fluid Mech. 7 (2005).
[6] C. Villani, Optimal Transport. Old and New, Springer, New York2009.
Foam Hurwitz operators realizing open-closedstrings
Sergey M. Natanzon (Russia)National Research University "Higher School of Economics"
I describe an infinite algebra of differential operators, which isgenerated by the foam Hurwitz numbers and realizes the open-closedstring model a la Moor and Lazaroiu. The talk is based on joint workswith A.Alekseevskii, A.Mironov and A.Morozov.
150
Geometry of complex surface singularities
Walter D Neumann (USA)Barnard College, Columbia University, New York
A complex variety has two intrinsic metric space structures inneighborhood of any point (“inner"and “outer"metric) which are uniquelydetermined from the complex structure up to bilipschitz change of themetric (changing distances by at most a constant factor). In dimension 1the inner metric (given by minimal arclength within the variety) carriesno interesting information, and it is only very recently, starting with a2008 paper [1] of Birbrair and Fernandes, that it has become clear howrich metric information is in higher dimensions. Inner metric in dimension2 is now very well understood through work of Birbrair, Pichon and thespeaker [2]. The talk will give an overview of this work, and, given time,describe some results of the speaker and Pichon about outer metric [3].
References
[1] Birbrair, L. and Fernandes, A. Inner metric geometry of complexalgebraic surfaces with isolated singularities. // Comm. Pure Appl.Math.– 2008. N61. p.1483–1494.
[2] Birbrair, L., Neumann, W.D. and Pichon, A. The thick-thindecomposition and bilipschitz classification of normal surfacesingularities.// arXiv:1105.3327 2011
[3] Neumann, W.D. and Pichon, A. Lipschitz geometry of complexsurfaces: analytic invariants and equisingularity. // arXiv:1211.48972012
151
Intersections of quadrics andHamiltonian-minimal Lagrangian submanifolds
Taras Panov (Russia)Moscow State [email protected]
Hamiltonian minimality (H-minimality) for Lagrangian submanifoldsis a symplectic analogue of minimality in Riemannian geometry. ALagrangian immersion is called H-minimal if the variations of its volumealong all Hamiltonian vector fields are zero.
We study the topology of H-minimal Lagrangian submanifolds N inCm constructed from intersections of real quadrics in the work of Mironov.This construction is linked via an embedding criterion to the well-knownDelzant construction of Hamiltonian toric manifolds.
By applying the methods of toric topology we produce new examples ofH-minimal Lagrangian submanifolds with quite complicated topology. Theinterpretation of our construction in terms of symplectic reduction leadsto its generalisation providing new examples of H-minimal submanifoldsin toric varieties.
The talk is based on a joint work with Andrey E. Mironov.
On the forecast models of the severe wind andof catastrophic phenomena likes floods and
landslides induced by the dangerous precipitation
Perekhodtseva E. V. (Russia)Hydrometeorological Centre of Russia
The successful prediction (from 12 hours to two days) of dangerousphenomena - severe squalls and tornadoes and catastrophic phenomenalikes floods and landslides could allow mitigate the economic and humanlosses. The prediction of these phenomena is a very hard problem forthe synoptic till recently. The synoptic forecast of these phenomena
152
is usual the subjective decision of an operator. Nowadays there is nosuccessful hydrodynamic models for the forecast of such phenomena withthe wind velocity V>24 m/s (including squalls and tornadoes) and forthe forecast of the quantity of precipitation Q>20-30mm/12h and more.The atmosphere conditions of these phenomena are connected with thesingularities of the atmosphere equations. It’s very difficult to find rightdecision. The main tools for the objective forecast development in thesecases were the methods using the statistical model of these phenomenarecognition.
The meteorological situation involved the dangerous phenomena - thesqualls and tornadoes with the wind velocity V> 24 m/s is submitted asthe vector X(A) = (x1(A), x2(A), ..., xn(A)) , where n - the quantity ofthe empiric potential atmospheric parameters (predictors). The values ofthese predictors for the dates and towns, where are these phenomena, wereaccumulated in the set X(A) - the learned sample of the phenomenaA presence. The learned sample of the phenomena A absence or thephenomena B presence X(B) was obtained for such towns, wherethe atmosphere was instability, but the wind velocity was not so high(V<8 m/s). The recognition model of the sets X(A) and X(B)was constructed with the help of Byes approach. This approach allowsto minimize the middle economic losses dependent from forecast errors (ofthe first and second kinds).
At first it was necessary to decide the problem of the compressingthe predictors space without the information losses in order to choosethe informative vector-predictor and then to calculate the decisive ruleU(X) of the recognition of the sets X(A) and X(B) . It wasmade with the help of diagonalization of a sample correlation matrixR algorithm. The most informative predictors were estimated using thecriterion by Mahalanobis distance and were using the criterion of theentropy minimum Hmin by Vapnik-Chervonenkis. These forecast methodswere recommended for the operative practice. This approach was used forthe development of the statistical model forecast of heavy and dangerousprecipitation. The prognostic fields of the modern hydrodynamic modelswere used as the values of the predictors in the obtained discriminantfunctions in the new hydrodynamic-statistical forecast models of the severewind and of dangerous precipitation. Now in Hydrmetcenter of Russia theoperative forecasts based on these models are calculated two times a day.
153
We apply these dangerous precipitation forecast to the forecast of thecatastrophic floods and landslides at the territory of Russia and Europe.The examples of the successful forecast of the storm wind (tornadoes atMoscow, Ivanovo, S.-Petersburg ) are submitted. Also the examples of theforecast of the catastrophic floods and landslides at the territories of NorthCaucasus and Europe are submitted too.
Zariski and bilipschitz equisingularityAnne Pichon (France)University [email protected]
The theory of equisingularity of complex singular spaces took offmainly in the 70Хs with the works of Zariski, Teissier, BrianКon,Speder, Varchenko and many others. They defined several natural notionsof equisingularity : topological triviality, mu*-constancy , bilipschitztriviality, algebro-geometric triviality. They also established some relationsbetween them and with some stratification conditions (Whitney), andsome counter-examples (BrianКon-speder). Later, Mostovski defined anew notion of stratification conditions which implies Lipschitz triviality.This talk will present a new relation between zariski equisingularity andbilipschitz triviality for a family of complex hypersurfaces in C3 . It willfirst give a review on different definitions of equisingularity and theirknown relations. This is a joint work with Walter Neumann.
This talk and that proposed by Walter Neumann both deal withbilipschitz geometry. It would be good, if both talks are accepted, thatNeumann’s precede Pichon’s.
References
[1] Lev Birbrair, Walter D Neumann and Anne Pichon, The thick-thindecomposition and the bilipschitz classification of normal surfacesingularities, (mai 2011) arXiv:1105.3327v2.
[1] Walter D Neumann and Anne Pichon, Lipschitz geometry of complexsurfaces: analytic invariants and equisingularity, (november 2012),arXiv:1211.4897v1.
154
On a simple arc connecting 3-dimensionalMorse-Smale diffeomorphisms with separated by2-sphere one-dimensional attractor and repeller
Pochinka O.V. (Russia)Nizhny Novgorod State University
The result is the solution of J. Palis and Ch. Pugh [1] problem (findingof a smooth arc with finite or countable set of bifurcations, connectingtwo structural stable dynamical systems) for a class of Morse-Smalediffeomorphisms on 3-manifolds. The result was obtained in collaborationwith Ch. Bonatti and V. Grines.
Sh. Newhouse and M. Peixoto had proved in [2] that any Morse-Smaleflows on closed manifold it is possible to connect by a smooth arc with thefinite number of bifurcations. For discrete systems the situation is different.Two Morse-Smale diffeomorphisms on the circle are connected by such arciff they have the same rotation number (see, for example, [3]). It followsfrom the papers of Sh. Matsumoto [4] and P. Blanchard [3] that anyclosed orientable surface admits isotopic Morse-Smale diffeomorphisms,which are not connected such arc. In [5] diffeomorphisms on 3-sphere areconsidered such that their nonwandering set consists of exactly four fixedpoints: two sinks, sources, saddles, and for any two of them a stable arcwith two saddle-node bifurcations is constructed. It is nontrivial resultas the considered diffeomorphisms admit wild embedded separatrices ofsaddle point and in depending on type of “wildness” they divided oncountable set of different classes of topological conjugacy [5].
Dynamic of any cascade f from class MS(M3) of Morse-Smalediffeomorphism on closed 3-manifold M3 can be represented by next way(see, for example, [6]). Denote by Ωq, q = 0, 1, 2, 3 set of the periodicpoints p such that dim W u
p = q . Then Af = W uΩ0∪Ω1
is a connectedattractor and Rf = W s
Ω3∪Ω2is a connected repeller with topological
dimension less or equal 1. The set Af and Rf are disjoint and eachpoint from the set Vf = M3 \ (Af ∪Rf ) is wandering and goes by ffrom Rf to Af . Denote by G the set of Morse-Smale diffeomorphismsf : M3 → M3 such that there is 2-sphere Σ ⊂ Vf such that Af and Rf
belongs to different connected components of M3 \ Σ .
155
Let us consider now a smooth arc ξ : M3 × [0, 1] → M3 that is one-parametric family of diffeomorphisms ξt : M3 → M3, t ∈ [0, 1] . Arcξt is called simple if it contains at most finitely many points outside ofMorse-Smale and, roughly speaking, the singularities and correspondingintersection of stable and unstable manifolds deviate in the least possibleway from the structurally stable situation.
The main result is following.Theorem. Any diffeomorphisms f, f ′ ∈ G can be connected by a
simple arc.
ACKNOWLEDGMENTS
This work was supported by the Government of Russian Federation (grantno. 11. G34.31.0039), by the Russian Foundation for Basic Research(grants no. 11-01-12056-ofi-m-2011 and no. 12- 01-00672-a), and by theMinistry of Education and Science of Russian Federation (state contractno. 1.1907.2011 for 2012–2014).
References
[1] Palis J., Pugh C. Fifty problems in dynamical systems // LectureNotes in Math. – 1975. – V. 468. – P. 345–353.
[2] Sh. Newhouse and M. M. Peixoto, There is a simple arc joining anytwo Morse-Smale flows // Asterisque, 31. – 1976. – P. 15–41.
[3] P. Blanchard. Invariants of the NPT isotopy classes of Morse-Smalediffeomorphisms of surfaces // Duke Math. J. – 1980. – V. 47 (1). –P. 33–46.
[4] Matsumoto S. There are two isotopic Morse-Smale diffeomorphismwhich can not be joined by simple arcs // Invent. Math. – 1979. –V. 51. – P. 1–7.
[5] Bonatti Ch., Grines V. Knots as topological invariant for gradient-like diffeomorphisms of the sphere S3 // Journal of Dynamical andControl Systems (Plenum Press, New York and London). – 2000. –V. 6 (4). – P. 579–602.
[6] V. Grines, O. Pochinka. Introduction to topological classification ofcascades on manifold of dimension 2 and 3. // Monograph. Moscow—Izhevsk. – 2011. – 424 P.
156
Topological Invariants of GorensteinSingularities
Anna Pratoussevitch (United Kingdom)University of Liverpool
This is joint work with Sergey Natanzon. We study spaces of hyperbolicGorenstein quasi-homogeneous surface singularities [2], [3].
A normal isolated surface singularity is Gorenstein if and only if thereis a nowhere vanishing 2-form on a punctured neighbourhood of thesingular point. These singularities can be constructed using singular m -spin bundles on orbifolds. We describe conditions for the existence of aGorenstein quasi-homogeneous surface singularity with given topologicalinvariants. We then consider the space of all Gorensein quasi-homogeneossurface singularities constructed from m -spin bundles based on orbifoldsof given signature and genus g . We show that the space is connected ifg = 0 or if g > 1 and m is odd and that the space has two connectedcomponents if g > 1 and m is even. We also determine the number ofconnected components in the case g = 1 . Moreover we prove that anycomponent is homeomorphic to a quotient of Rd by a discrete groupaction. The main technical tool is the use of m -Arf functions, functionson the space of homotopy classes of simple contours on the orbifold withvalues in Z/mZ which were introduced and studied in [1].
References
[1] Natanzon S., Pratoussevitch A. Higher Arf Functions and ModuliSpace of Higher Spin Surfaces. // Journal of Lie Theory – 2009.N19. p.107-148.
[2] Natanzon S.M., Pratusevich A.M. Moduli Spaces of GorensteinQuasi-Homogeneous Surface Singularities. // Russian MathematicalSurveys – 2011. N66. p.1009-1011.
[3] Natanzon S., Pratoussevitch A. Topological Invariants and ModuliSpaces of Gorenstein Quasi-Homogeneous Surface Singularities. //math.AG/1010.1111.
157
Singular reduction
Tudor Ratiu (Switzerland)Ecole Polytechnique Federale de Lausanne
Bernoulli [email protected]
An overview of singular reduction for general symplectic manifoldswill be presented culminating in the stratification theorem of reducedsymplectic spaces. The optimal momentum map will be introduced andlinked to the cylinder valued momentum map as well as the symplecticstrata. Time permitting, the situation of Poisson and Dirac manifolds willalso be presented.
Closed geodesics on non-simply connectedmanifolds
Tatiana Salnikova (Russia)Lomonosov Moscow State University
We study the existence of non-hyperbolic periodic solutions in thefamous Kirchhoff’s problem of motion of the rigid body in an ideal fluidas well as in the dual problem of motion of a rigid body with a fixed pointwith a quadratic potential, using one of the Klingenberg’s theorems.
As it is well known, the motion in the potential field reduces to studyof the geodesics of some riemannian metrics. We reduce the Kirchhoff’sproblem to the problem of geodesics on a non- simply connected two-dimensional surface, diffeomorfic to the projective plane.
Within this approach, having computed the curvature, we claim thatall the always existing here closed geodesics are not hyperbolic if thecurvature is not negative. So we have proved the existence of infinitenumber of the orbitally stable periodic solutions in this problem.
158
Let us consider the problem of the motion of a rigid body with a simply-connected surface in an unbounded volume of an ideal incompressiblefluid, described by the Kirchhoff’s equations. If the body has 3 planesof symmetry, then as was noted by V.A.Steklov, these equations areequivalent to the equations of Euler-Poisson, which describe the motionof a rigid body with a fixed point in the axially symmetric force field withquadratic potential.
The equations of Euler-Poisson admit three integrals of motion: thetotal energy H = 1
2< Jω, ω > +V (γ) = h , the area (Jω, γ) = const ,
the geometric one (γ, γ) = 1.From now on we consider the constant of the area integral to be equal
to zero:J1pγ1 + J2qγ2 + J3rγ3 = 0,
where p = ψ sin θ sin ϕ + θ cos ϕ, q = ψ sin θ cos ϕ − θ sin ϕ,r = ψ cos θ + ϕ, ω = (p, q, r), J = diag(J1, J2, J3),γ1 = sin θ sin ϕ, γ2 = sin θ cos ϕ, γ3 = cos θ.
Let M be a compact connected orientable surface being theconfiguration space of a natural mechanical system. According to the well-known Maupertuis principle, for sufficiently large values of h (greater thanmaximum of potential V ) on the fixed energy level one can construct ametric (ds)2 = 2(h− V )T (dt)2 ([1]).
On the Poisson sphere ( S2 = γ21 + γ2
2 + γ23 = 1 ) let’s identify the
antipodal points ( γ ↔ −γ ) and consider our system on the projectiveplane RP2 . Indeed, our projective plane is a non-simply connected two-dimensional Riemann surface. Then the following statement holds true:
Theorem. If the Gaussian curvature of the surface is non-negative,then for arbitrary values of the parameter h , moments of inertia of therigid body and added mass in Kirchhoff’s problem there exist stableperiodic trajectory, conformally equivalent to the initial one.
This statement is based on the Klingenberg’s theorem [2]. To computethe Gaussian curvature of the surface we use the known formula:
K = − 1
2√
EG
(∂
∂v
(∂E/∂v√
EG
)+
∂
∂u
(∂G/∂u√
EG
)),
ds2 = Edu2 + Gdv2
Thus within this approach having computed the curvature (which isinvariant) we claim that all the (always) existing closed geodesics are not
159
hyperbolic if K ≥ 0 , that proves their orbital stability at least in thelinear approximation.
References
[1] V.l. Arnold, V.V. Kozlov, and A.I. Neystadt, Mathematical aspectsof classical and celestial mechanics, Encyclopaedia of MathematicalSciences 3, Dynamical Systems III, Third edition, Springer-Verlag,Berlin, 2006.
[2] W. Klingenberg, Lectures on closed geodesics, Die Grundlehrender Math. Wissenschaften, Band 230, Springer-Verlag, Berlin,Heidelberg, New York, 1978.
V.I.Arnold and stability problems in solidmechanics. Analysis of singularities
Alexander P. Seyranian (Russia)Lomonosov Moscow State University
Stability problems represent an important field of mathematics havingnumerous applications in natural sciences and always attracting brilliantscientists. In 1960-70-80-ies Arnold made an outstanding contribution tostability theory. We recall his classical papers and books [1-6] directly orclosely related to stability problems. In this paper we give a short review ofthe results of Arnold on stability problems with modern development andapplications in classical and solid mechanics [7-11]. Below three instabilityproblems for parametrically excited systems are considered with someextension to general systems with arbitrary finite degrees of freedom.
A problem of stabilization of a vertical (inverted) position of apendulum under high frequency vibration of the suspension point isconsidered. Small viscous damping is taken into account, and periodicexcitation function describing vibration of the suspension point is assumed
160
to be arbitrary. A formula for stability region of Hill’s equation withdamping near zero frequency is obtained. For several examples it isshown that analytical and numerical results are in a good agreementwith each other. An asymptotic formula for stabilization region of theinverted pendulum is derived. It is shown that the effect of small viscousdamping is of the third order, and taking it into account leads to increasingcritical stabilization frequency. The method of stability analysis is basedon calculation of derivatives of the Floquet multipliers.
The swing problem is undoubtedly among the classical problems ofmechanics. It is known from practice that to set a swing into motionone should erect when the swing is in limit positions and squat when itis in the middle vertical position, i.e. carry out oscillations with doublethe natural frequency of the swing. However in the literature you cannot find formulae for instability regions explain-ing the phenomenon ofswinging. In the present paper the simplest model of the swing is describedby a massless rod with a concentrated mass periodically sliding alongthe rod axis. Based on analysis of multipliers the asymptotic formulaefor instability (parametric resonance) domains in the three-dimensionalparameter space are derived and analyzed.
The third classical problem is the problem of finding instabilityregions for a system with periodically varying moment of inertia.An equation describing small torsional oscillations of the system withperiodic coefficients dependent on four parameters including damping isderived. Analytical results for instability (parametric resonance) regionsin parameter space are obtained and numerical examples are presented.
References
[1] Arnold V.I. On matrices depending on parameters. // Russ. Math.Surv.– 1971. 26. N2. p.29 – 43.
[2] Arnold V.I. Lectures on bifurcations in versal families. // Russ.Math. Surv.– 1972. 27. N5. p.54 – 123.
[3] Arnold V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics.– 1978.Springer, New York. (Russian original: Moscow, 1974).
[4] Arnold V.I. Geometrical Methods in the Theory of OrdinaryDifferential Equations.– 1983. Springer, New York. (Russian original:Moscow, 1978).
161
[5] Arnold V.I. Remarks on the perturbation theory for problems ofMathieu type // Russ. Math. Surv.–1983. 38. N4. p.215 – 233.
[6] Arnold V.I. Catastrophe Theory.–1992. Springer, New York.(Russian original: Moscow, 1981).
[7] Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. On singularities of a boundaryof the stability domain // SIAM J. Matrix Anal. Appl.–1999. 21.N1. p.106 – 128.
[8] Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. The stability domains ofHamiltonian systems. // J. Appl. Math. Mech.–1999. 63. N4. p.545– 555.
[9] Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. On the boundaries of theparametric resonance domain. // J. Appl. Math. Mech.–2000. 64.N6. p.909 – 923.
[10] Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. Multiparameter stability theorywith mechanical applications.– 2003. World Scientific, New Jersey.
[11] Mailybaev A.A. and Seyranian A.P. Multiparameter stabilityproblems. Theory and applications in mechanics.– 2009. Fizmatlit,Moscow (in Russian).
162
Quasi-satellite orbits: a perturbative treatment
Sidorenko V. V. (Russia)Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow
Neishtadt A. I. (Russia)Space Research Institute, MoscowLoughborough University, UK
Artemyev A. V. (Russia)Space Research Institute, Moscow
Zelenyi L. M. (Russia)Space Research Institute, Moscow
The investigations on long-term evolution of asteroid’s orbits arecrucial to understanding the route through which the present configurationof the Solar System came to be. The so-called coorbiting asteroids (whichshare their orbits with major planets) attract the special attention in thisconnection: are they the primordial remnants of the building blocks of thecorresponding major planet or migrants from the other parts of the SolarSystem?
The most well known examples of co-orbits in natural objects areprovided by Trojan groups of asteroids and by asteroids moving inhorseshoe orbits [1]. These asteroids are precluded from having relativelyclose encounters with their host planets. However, there exists anotherclass of coorbiting objects in which the opposite is true: they remainvery near to the host planet eternally or, at least, for long enough time.Since typically they never enter the planet’s Hill sphere, they cannotbe considered as satellites in the usual sense of the word. In order toemphasize this specific they are called quasi-satellites (QS) [2,3].
Under the scope of three-body problem "Sun-planet-asteroid"themotion of asteroid in QS-orbit corresponds to 1:1 mean motion resonancewith resonance argument ϕ = λ − λ′ librating around 0 (λ and λ′
are the mean longitudes of the asteroid and the planet respectively).In the case of mean-motion resonance three dynamical processes can bedistinguished: "fast"process corresponds to planet and asteroid motionsin orbit, "semi-fast"process is variation of the resonance argument (which
163
describes the relative position of the planet and the asteroid in their orbitalmotions), and, finally, "slow"process is the secular evolution of the orbitshape (characterized by the eccentricity) and orientation (it depends onthe ascending node longitude, inclination and argument of pericenter).
To study the "slow"process we have constructed the evolutionaryequations by means of numerical averaging over the "fast"and "semi-fast"motions. As a specific feature of these evolutionary equations weshould mention that their right hand sides are not uniquely definedby values of the "slow"variables in some domains of these variables.The ambiguity appears since the averaging can be done over "semi-fast"processes with different qualitative properties - in other words, itcan be done over QS-orbit, HS(horseshoe)-orbit, etc. The consideration ofthis ambiguity provides us an opportunity to predict whether the motionsin QS- or HS-orbits are permanent or not; for non-permanent motions inQS-orbits the conditions of capture into this regime and escape from itcan be established.
To illustrate the typical rates of the orbital elements’s secularevolution, the dynamics of the near-Earth asteroid 2004GU9 was studied.This asteroid will keep describing a QS-orbit for the next several hundredsof years.
This work was supported by the grant of the Russian Academy ofSciences Presidium Program 22: "Fundamental problems of research andexploration of the Solar System".
References
[1] Murray C.D., Dermott S.F. Solar System Dynamics, CambridgeUniversity Press (1999)
[2] Connors M., Veillet C., Brasser R., Wiegert P., Chodas P., MikkolaS., Innanen K. Discovery of Earth’s quasi-satellite. // Meteorit.Planet. Sci. – 2004. V39. P. 1251–1255.
[3] Namouni F. Secular interactions of coorbiting objects. // Icarus –1999. V137. P. 293–314.
164
Discrete Riemann surfaces: linear discretizationand its convergence
Skopenkov M. B. (Russia)Institute for Information Transmission Problems
of the Russian Academy of [email protected]
This is a joint work with A. Bobenko [1].We develop linear discretization of complex analysis, originally
introduced by R. Isaacs, J. Ferrand, R. Duffin, and C. Mercat [2]. We proveconvergence of discrete period matrices and discrete Abelian integrals totheir continuous counterparts. We also prove a discrete counterpart ofthe Riemann–Roch theorem. The proofs use energy estimates inspired byelectrical networks [3].
References
[1] A. Bobenko, M. Skopenkov, Discrete Riemann surfaces: lineardiscretization and its convergence // Submitted – 2012 –http://arxiv.org/abs/1210.0561.
[2] C. Mercat, Discrete Riemann surfaces and the Ising model // Comm.Math. Phys. – 2001. – 218:1. – 177–216.
[3] M. Skopenkov, Boundary value problem for discrete analyticfunctions // Submitted – 2011 – http://arxiv.org/abs/1110.6737.
165
Energy functionals for knots and plane curves,and their normal forms
Sossinsky A. B. (Russia)Independent University of Moscow
Let us supply the moduli space of all C2 curves in R2 with the Eulerfunctional
E(γ) =
∫ 2π
0
(κ(γ(s))
)2ds,
where γ : S1 → R2 is a curve of length 2π , s is the arclength parameter,and κ(γ(s)) is the curvature of γ at the point s ; we study the criticalpoints (curves) and the local minima of this functional, and call the curvescorresponding to local minima normal forms.
Theorem 1. (i) A critical curve of the Euler functional is either acircle passed once or several times, or Bernoulli’s lemniscate (∞ -shapedcurve ) passed once or several times.
(ii) A Bernoulli lemniscate passed more than once is not stable.(iii) A circle passed once or several times and a Bernoulli lemniscate
passed once are local minima.
This theorem gives a solution of the so-called Euler problem forplane curves, set in 1754. The same result has recently been obtainedby Yu.Sachkov, but by a more laborious method. Our proof uses theGauss representation of planar curves, classical methods of the calculus ofvariations, elliptic integrals, and some more recent ideas from functionalanalysis, e.g. the Dirac δ -function. We also prove the following theorem.
Theorem 2. Two regular plane curves of class C2 are regularlyhomotopic if and only if they have the same normal form with respectto the Euler functional E .
This theorem is the “mechanical form"of the classical Whitney-Graustein theorem.
Our approach can be carried over to three-dimensional knots: thefunctional that we use in that case is E + R , the sum of the Eulerfunctional and a repulsive functional R , which prevents self tangencies
166
and crossing changes. A discretized version of gradient descent along thefunctional E+R was used to design a computer program, implemented inan animation that shows how curves are homotoped to the normal formsindicated in Theorem 1, and how knots are isotoped to their normal forms.We conjecture that our computer program solves the unknotting problem.
For the most part, his talk is the result of joint work with S.Avvakumovand O.Karpenkov (see [2], [3], [4]).
References
[1] A.B.Sossinsky, Mechanical normal forms of knots and flat knots,Russ.J.Math.Phys., 18, # 2, 2011.
[2] O.Karpenkov, A.Sossinsky, Energies of knot diagrams,Russ.J.Math.Phys., 18, # 3, 2011.
[3] S.Avvakumov, O.Karpenkov, A.Sossinsky, Euler elasticae in theplane and the Whitney-Graustein theorem, (2012, submitted to theMosc.Math.J.)
Big denominators and analytic normal forms
Stolovitch L. (France)CNRS-Universite de Nice-Sophia Antipolis
In this joint work with M. Zhitomirskii, we study the action ofan analytic pseudogroup of transformations on the space of germs ofanalytic objects such as conformal structures, vector fields, nonisoledsingularities...We consider an higher order perturbation F of anhomogeneous object F0 and we are interested in the conjugacy problemto a normal form with respect to F0 . We prove, that if the cohomologicaloperator (associated to F0 ) has the Big denominators property and ifthe space of normal forms is well chosen then there exists an analytic
167
transformation to a normal form. We apply this result to nonisoledsingulatities, conformal structures... If these big denominators do not growfast enough, then we show that there always exists a formal Gevreysolution to the conjugacy problem.
References
[1] V. I. Arnol’d, S. M. Guseın-Zade, and A. N. Varchenko. Singularitiesof differentiable maps. Vol. I, volume 82 of Monographs inMathematics. Birkhauser Boston Inc., 1985.
[2] B. Malgrange. Sur le theoreme de Maillet. Asymptotic Anal., 2(1):1–4, 1989.
[3] E. Lombardi and L. Stolovitch.Normal forms of analyticperturbations of quasihomogeneous vector fields: Rigidity, invariantanalytic sets and exponentially small approximation. Ann. Scient.Ec. Norm. Sup., pages 659–718, 2010.
Sharp bounds on the rate of convergence fordifferential equations of nonstationary queueing
systems
Zeifman A. I. (Russia)Vologda State Pedagogical UniversityInstitute of Informatics Problems RAS
We consider the system of differential equations
dp
dt= A(t)p(t), (1)
168
where
A(t) =
a00(t) µ1(t) µ2(t) µ3(t) µ4(t) · · · µr(t) · · ·λ1(t) a11(t) µ1(t) µ2(t) µ3(t) · · · µr−1(t) · · ·λ2(t) λ1(t) a22(t) µ1(t) µ2(t) · · · µr−2(t) · · ·· · ·
λr(t) λr−1(t) λr−2(t) · · · λ2(t) λ1(t) arr(t) · · ·· · ·
,
(2)as a differential equation in the space of sequences l1 . Suppose thatall aii(t) = −∑i
k=1 µk(t) −∑∞
k=1 λk(t) , where λk(t) and µk(t) arenonnegative locally integrable on [0,∞) functions. Then under somenatural additional assumptions, see for details [1,2], (1) is the forwardKolmogorov equation for queue-length process of the respective Markovianqueueing system.
Denote by ‖ • ‖ the l1 -norm, i. e. ‖x‖ =∑ |xi| ,
and ‖B‖ = supj
∑i |bij| for B = (bij)
∞i,j=0 . Then
‖A(t)‖ = 2∑∞
k=1(λk(t) + µk(t)) < ∞ for almost all t ≥ 0 underour assumptions. Let Ω be a set all stochastic vectors, i. e. l1 vectorswith nonnegative coordinates and unit norm. We can apply the approachof [3] for study on the rate of weak ergodicity bounds for the respectivequeue-length process, or in terms of equation (1), for study on the rate ofconvergence for solutions of this equation in Ω .
Let di , i = 1, 2, . . . be a sequence of positive numbers.Put d = infi≥1 di and , gi =
∑in=1 dn .
Define
αi(t) = −aii(t)−∑
k≥1
λk(t)dk+i
di
−i−1∑
k=1
(µi−k(t)− µi(t))dk
di
, (3)
andα(t) = inf
i≥1αi(t). (4)
Theorem. Let there exist a sequence dj such that d > 0 and∫ ∞
0
α(t) dt = +∞. (5)
169
Then the following bound holds
‖p∗(t)− p∗∗(t)‖ ≤ 4
de−
∫ ts α(u)du
∑i≥1
gi |p∗i (s)− p∗∗i (s)| , (6)
for any initial conditions p∗(s),p∗∗(s) and any s, t, 0 ≤ s ≤ t , wheregi =
∑in=1 dn .
Moreover, bound (6) has the right order, see details and discussion in[2].
The talk is based on a joint work with Ya. Satin and A. Korotysheva.
References
[1] Satin Ya. A., Zeifman A. I., Korotysheva A. V., Shorgin S. Ya. Ona class of Markovian queues. // Informatics and its applications. –2011. V. 5. No. 4, p.6 – 12 (in Russian).
[2] Satin, Ya. A., Zeifman, A. I., Korotysheva, A. V. On the rateof convergence and truncations for a class of Markovian queueingsystems // Th. Prob. Appl. – 2012 (in appear).
[3] Zeifman, A. I. Upper and lower bounds on the rate of convergencefor nonhomogeneous birth and death processes // Stoch. Proc. Appl.1995. V. 59, 157–173.
170
Right-Angled Billiards, Pillowcase Covers, andVolumes of the Moduli Spaces
Anton Zorich (France)Institut de mathematiques de Jussieu
Institut Universitaire de FranceUniversite Paris 7, [email protected]
We use the relation between the volumes of the strata of meromorphicquadratic differentials with at most simple poles on CP1 and countingfunctions of the number of (bands of) closed geodesics in associated flatmetrics with singularities to prove a very explicit formula for the volumeof each such stratum conjectured by M. Kontsevich a decade ago. Moreprecisely, we proceed as follows. The formula expressing the Siegel–Veechconstant carea in terms of the volumes of the strata in the moduli spacesof Abelian differentials was derived in [3]. Using [2] and [8] we obtain ananalogous formula for the strata of meromorphic quadratic differentials ingenus zero. On the other hand, recent paper [4] computes an explicit valueof carea . Thus, for every stratum in the moduli space of meromorphicquadratic differentials in genus zero, we obtain a relation between thevolumes of this and smaller strata. A separate nontrivial combinatorialcalculation shows that the answer guessed by Kontsevich satisfies all theserelations, which completes the proof.
An alternative way of counting the volume of a stratum of meromorphicquadratic differentials is to count the asymptotics in the number ofassociated pillowcase covers (i.e. covers over a sphere of certain particularramification type) of large degree, see the works of A. Eskin, A. Okounkov,and of R. Pandharipande, in particular, [6] and [7]. Our result provides asolution to this particular case of the Hurwitz problem.
Counting functions for Jenkins–Stebel differentials have beautifulgeometric propertiesobserved by M. Kontsevich, and by A. Okounkov andR. Pandharipande. We study this geometry in details in the case whenthe Jenkins–Stebel differential on CP1 has only simple zeroes and simplepoles. We use our result on pillowcase covers to obtain in [2] an interestingcombinatorial identity.
We also apply our results to the study of right-angled billiards (billiardsin polygons with angles which are integer multiples of π/2 ). The space of
171
such billiards has half of the dimension of the associated moduli space ofmeromorphic quadratic differentials; in particular it has measure zero inthis ambient space. However, the subspace of billiards projects surjectivelyonto the unstable foliation of the Teichmuller geodesic flow, which allowsto applying techniques from hyperbolic dynamics to prove weak quadraticasymptotics for the number of (bands of) closed trajectories and for thenumber of generalized diagonals in almost all right-angled billiards.
These results are obtain in collaboration with J. Athreya and withA. Eskin; they are presented in [1] and in [2].
References
[1] J. Athreya, A. Eskin, and A. Zorich, Right-angled billiards andvolumes of the moduli spaces, Preprint, 53pp, (2012).
[2] J. Athreya, A. Eskin, and A. Zorich, Counting generalized Jenkins–Strebel differentials, Preprint, 20pp, (2012).
[3] C. Boissy. Configurations of saddle connections of quadraticdifferentials on CP1 and on hyperelliptic Riemann surfaces,Comment. Math. Helv. 84 (2009), no. 4, 757–791.
[4] A. Eskin, M. Kontsevich, A. Zorich, Sum of Lyapunov exponentsof the Hodge bundle with respect to the Teichmuller geodesic flow,arXiv:math.DS/1112.5872, 2011.
[5] A. Eskin, H. Masur, A. Zorich, Moduli spaces of abelian differentials:the principal boundary, counting problems, and the Siegel-Veechconstants, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 97 (2003), 61–179.
[6] A. Eskin, A. Okounkov. Asymptotics of numbers of branchedcoverings of a torus and volumes of moduli spaces of holomorphicdifferentials, Invent. Math. 145 (2001), no. 1, 59–103.
[7] A. Eskin, A. Okounkov, Pillowcases and quasimodular forms,Algebraic geometry and number theory, 1–25, Progr. Math., 253,Birkhauser Boston, Boston, MA, 2006.
[8] H. Masur and A. Zorich, Multiple saddle connections on flatsurfaces and the principal boundary of the moduli space of quadraticdifferentials, Geom. Funct. Anal. 18 (2008) no. 3, 919–987.
172
Научное изданиеМеждународная конференция "АНАЛИЗ и ОСОБЕННОСТИ"
посвященная 75-летию со дня рожденияВладимира Игоревича Арнольда
Тезисы докладов
МИАН, Москва17 – 21 декабря 2012 г.
Печатается в авторской редакции
Фото на обложке С. Третьяковой
Компьютерная верстка В. Тимофеевой, Р. Рубая
Подписано в печать 13.12.2012
Тираж 200 экз.
М.: МИАН, 2012.http://arnold75.mi.ras.ru/, [email protected].