induccion matematica

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••• ~~••••••• ~~*.*.~~••••••••••••••• ~••••• ~••••• ~•••- 0'

•.[ e c c i o n e s p o p u l a r e s

d e m a t e m a t i c a s

M E T O D O

D E I N D U C C I O N

M A T E M A . T I C A

L S . S 0 m i n s k i

. . . . . . . . . . . ~ . . • . . • • . . . . . • • . . • , .

•••••. .••____ ____J, •

. . . . . ~. . • . • . • . • . - . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • .

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nOnYJJ5JPHbIE JIEKlJ;l'fH: no MATEMATl1KE

VI. C. COMHHCl(Mt:i

METOa

MATEMATMtIECKOA

HHl lYKl . (HH

H3.£lATEJlbCTBO .HA~I<A.

MOCI(BA

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LECCIONES POPULARES DE lolATEMAnCAS

I. S.. SOMINSK I

METODO

D E IND UCClON

MATE MATI CA

Traducido del ruse par Carlos Vega,CandJrlata a D octo r erl dencias .

fislco.matemliticas

Segunda .edici6n

EDJTOR.UL MIll:

MOSCO

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IM PRESO EN 1 . A . Uq,SS

Primera edicidn 1975

Segunda edki6n 1.985

@ T raducd6nal c spafio l. Edito rial Mlr. 1975

H a HCR_aUCKO" ·«:Juxe

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l .NDICE

Introducclon 7§ I. Demostraelon de identldades;

problemas ar l tmet t cos

(ejemplos 1-,-J3, problemas 1-16) 11§ 2,. Problemas trigonornHricos

ya lg eb ra ic o "s (e je rnplos 14-18 , problemas

16-23) 30

§ 3. Demostraci6n de desigualdades

(ejemplos 19-24, problemas 24-27) 34 .

• 1 - §4 . D e nro strac te n de alg uno s te o remas

del Algeb ra elemental ( te o remas 1-7) 41

Epllogo, Yll. A. Gastev.47

Soluelcnes 52.

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I NTRODUCC ) O N

----------

Existen pro po sic io ne s g ene rale s y part iculares .Son proposiciones gene rale s, po r ejemp~o. J as s lgu len t e s.T O O D S los ciudadanos de la URSS tlenen derecho a 1 8

ensefianza.En todo paralelogramo las dlagonaies se cortan en el

punta m e d ia d e am bas.Todos los numeros que terminan en cero son divlsibles

por5. .Las proposlciones particulares cor re spond ien t es son:Petrov tlene derecho a Ia ensefianza.Las diagonales del paralelogramo ABeD se cortan en el

punta media d e ambas,140 es divisible por 5.EI paso de las proposlclones generales a las particulates

se d enorn lna deduce/on. V e am os un ,e je m p)o.

T odo s lo s c iudadano s de la URSS tienen derechoa 1a ensefianza, (1)

Petrov e s ciudadano de la URSS . (2)

Petrov tlene derecho a Ia ensefianza. (3)

La proposici6nparticular (3) ha sido deduc ida de Iaproposlclon general (1) medi ante Ia praposicion(2).

E1 paso de Jas proposlciones partieulares a las genera-les se denomina inducci6fl. La inducclen puede Ilevar a con-cluslones justas y a conclusiones falsas, Aclaremos esto condo s ejemplos.

140 es divisible par 5.

T odo s lo s nume ro s que te rminanen cero son dlvisibles par 5.

(1)

( 2 )

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D e Is pro po sfc lo n par tic u la r (1 ) he rno s o b te n ido la p ro -po slc i6n g e ne ral (2) que e s justa .

140 es divisible por 5. (J)

Todoa lo s ruimeros de tres digitQs

son dlvtslbles par 5. (2)

D e .a p ro p osic i6n particular (1 ) hem os o bte nldo la ' p ro-po sic io n g ene ral (2) que e s falsa .

iC6mo debe emplea rse 18 induccion e n las Maternitieas I)

para Ilegar siempre a c onc lusio ne s justas? La respues taviene en e ste lib ra .t. Veamos prlmero do s ejemplos de tnduecten t n a a s u -

sib le e n las M a temA tic as.EJemplo 1. Sea

I I 1 I

Sn=r.2+2-3+a.4+ '" +,,(11,+1)'

Es facll ver queJ I

81=1.2=2"1 I II( 2 ~~

Sa=n+1I'3=3" 'J I I 3

SU=n+2'3+a.4=T'I I I 1 4

S'=n+2'3+3."+i75=S'So b re lab ase de lo s re su ltado s o b te n ldo s aflrm am cs que

para todo numero natura l n se tle ne

Sn= n + : 1 .

Ejemplo 2. Cons id e r emos el trlnomic xll+x+41 es tu-diado ya po r L. Elder. T amando e l c e ra en lugar de z;

ob t e n emos el numero pr imo 41 . T omando aho ra en e stemismo trinomio el uno en lugar de x, obtenemos de nuevoun nL ime ro pr imo , e l 4 3 . T ornando en e l tr lnom lo suc e siva-mente 2, 3 , 4 , 5 , 6. 7. 8 , 9 y 10 en Jug ar de x, ob t e n emoscoda oez un l1um ero p rim o (47, 53, 61, 71, 83, 97, 113,

1) Vease el epilogo (pAgioas 41-51),

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131 Y 151, re spec tivamente ). D e aqui infe rimos que al su s

t t tulr x e n e l tr lnom io po r un nume ro ente ro no negativecualquiera siempre se o btiene un numero prima c o mo re su l-t ado .

cPo r que son inadmisibles en las Matemat i cas los raze-nam len to s e mple ado se n estos e jempJo s? ,D e que adolecenlos razonarnientos realizadoss

Amba s veces hemo s 'e nunc iado un a .p ro po stclo n g eneralpara tod» n (para to do x, en el segundo ejemp 10) basando-no s 5610 en que esta propos ic i6n ha resultado justa paraalgunos val o res. de n (0 d e x).

La inducc i6nse amplea ampliamente en las Mati;!maU·c as, ,pe ra hay que hae e r lo c an en tend lrn te n to 1); la llg e re zapuede co nduc i a conc lus iones falsas.

A s], aunque en e l e jemplo 1 18 pro po slc lo n g ene ra lenunc iada resul ta casualmente justa. (c omo se demuestra e nel ejemplo 4), la, proposicidn gene ra l del ejemplo 2 esIalsa. "

Efectlvamente, analizando con mayor ate nc i6n e l d rino -mio x ' +x+4J. no s pe rsuad lrno s d e que e s iguaJ a un nurneroprtn ro para x =0. I, 2, '" i39, pe ro que para x =40, es tetr inom io vale 41~ , 0 se a , un rn ime ro c ompue sto v.

2~ En e l ejernplo 2 no s hemo s enc o n trado co n una pro -'posic ion que, siendo vallda en 1 Q cases parttculares, no 10

es en general. •D aremo s o tro s e jemp lo s de pro po sic lo ne s 'justas en var ie s

casas particulares, perc no en gene ral.Ejemplo 3. E I bi nomic g"-1. donde ne s un nurne ro

natural. tiene gran In te res para lo s mate rnatic o s. Bastarade c ir que e sta lig ado e stre chamente al pro blem a g eo rne tr ic osabre Ia division de lacircunferencIa en n partes Jguales.N o tie ne nada de ex trafio , po r c o nsig u le n te , que e ste b ino -mio haya sido e stud iado pro fundamente . E n particular, 105

rnatematlc o s se han Interesado po r la desco rnpos lc lon de es te

blnornio en c o e fic ie n te s de {adores en t e ros ..Analizandc las deseornposieienescorrespondientes a varies

partlculare s de n, lo s mate rnatlc o s o b se rvaro n que lo s valo re sab so lu te s de to do s lo s co e fic ien te s de e stas d esc ompo sic io n esno pasan de l uno . En e fe c to ,

U Vease e l e pllQ go (paglnas 47-51).2 1 Y salla en segulda I I la vista que siendo %=41 e l nOme ro

x.+x+41=41'+41+41 es divtslble por 41.

2-17

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X-l"==x-l,

x2-J=(x-l) ~x+I),r-I = = (x- 1') (x~+x+ l),

x·_.t =x-,l) (x,+ 1)(X l + 1).

x'-l=x-l) (~+X3+Xi l+X+ I),.

x·-l =(x-l) (x+ 1),xil+X+ 1)(x~-x+1)•.. .. • • • • .. • • .. I • •• ; ... . 10 ••• •• ,

Fue ro n c o rnpue stas tab las den tro de c uyo s lim ite s ' 1 < > 1 >

c c e lic ien te s po se ian e sta p ro p iedad . P e ro 'lo s in ten to s dedemostrar e ste heche para to do n f racasaron.

En 1938 apare c io en Ja re vtsta «~crrexH MaTeMi'l1'HQecKHx

l ia 'YK) (Log r o s de las c ie nc ias matematicas, Iasc ic u lc IV ) unpequefio articulo de N. G. Cbeboiarlo», de stac ado m ate rna-t ie o so viitic o , p ro po n ie ndo a nuestros mate matic os e stud lare sta c ue sti6n .

EI pro b lema Iue re sue lto po r V . K. Iuano» II. R:esult6que_ esta pro piedad Ia tienen to do s lo s b inomio s xTI-l deg rado meno r que 105; pe ro uno de lo s fac to re s de xlQ6-1e s e i po linom io I

X II + x . ' +xt.-x$S._xu-2xu-x~o-rl ++ x811+x35+ x" +,xu+ X31 +x31_XU_ XU_.tli' _

_ Xlii -.t~O +Xl' +XH.+.t16+Xl' + X 13 + xU_

-xu_x8_2.1;7_X6_X&+X~ +x+ 1

que no verifica dicha propledad,

Ejemplo 4 . C onside remo s los numero s de tipo 2 tR + 1 - .Para n=O. 1.2,3 Y 41Qsnumeros 2:.:

0

+J;--3, 2 2 : + I ~5t2~t+l=17, 2~8+1=-257 Y 23'+1=6"5'537 so n primos.P . de Fe rmat, Ilustre matematic o franc e s de lsig lo X Vl],aceptaba que todos los numeros de este tipo son primos. Sin

embargo, L. Euler encon t r o , ya en el sigJo XVIII, que

2:i"+ 1=2 94·96 7 29 7 =641.6.700 4 17

es un nume ro compuesto,

1JcYC[]~X" MareMaTll'leCKH;( 'Hay,g. (Legros d e las ciendas mate-,m,atkas,), 19<H. lasciculo IV, pllginas 313'-317.

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EJemplo 5. 0, W. Leibniz, emlnente rnatematic o ale -mall de l siglo XVI I y uno de Io s fundadc re s de las «M a te ·

matie as supe r lo re ss, demo str6 que cualqu le raque se a e l en tempositive nel numero tl~-nes divisible por 8, el numero'~~-nes divlslble v p o r 6 y el numero n'-n es dlvlsiblepo r7 . De aqui supuso que para t odo k impar y eualquie r nnatural el nurnero nlr-n esdivisible por k, pero prontoobserv6 que 2,~-2 =510 no es divisible po r 9.

E jempl.o 6 . U n e rro r de l m ismo carac te ,r c ome tloD. A.• Graoe, co no c ldo matematle o so vle tic o , a l supo ne r que

para to do primo p el mimero 21'-1_1 no es divisible po r pi,E l c ale u lo directo conflrmaba esta hip6tesis para to do s lo s.nume r o s p menores que m il. Sin embargo. pro n to se c o rn -p rob6que 2109\1_1 e s divisible po r 1093' (1093 e s un numeropr imo); 0sea, Iii hip6te sis de Grave re su lt» e rro ne a,

Ej!i! 'mplo 1.lE'n cuantas parte s dividen eJ espaclo ltj>la·nos pasando todos por un mlsrno punta sin que pasennuaeat r es po r una m isma re c ta? .

Consideremos alguno s c aso s partjculares elementales deeste problema. Un plano . divide eI espacio en do s partes.Dos planes, c an un punto xomun, dividen el espac ioencuatro par te s. T re s pIano s que pasan po r un m ismo punto ,pero JlQ t i enen recta comun, dlvlden el espacio en ochopar tes .A primers vista pare e e que , a l aumentar e n uno el numero

de pIano s, la c an tidad de par te s en que queda dividido e J

e spac io se duplic a y, po r c o nsiguie n te , c uatro p iano s 1 0dlviden en J6 parte s, c inc o 1 0 dividen en 32 par te s y, engene ra l , n p lane s dividen e l e spac lo en 2" par te s.

Perala real idad es distin ta : e uatro p lane s dividen e lespscto en 14 parte s y c inc o p iano s 1 0 dividen en 22 par te s,S e puede demo strar v que n plane s divide n el espaclo enn (n -1)+2 partes.

E jem.Plo 8 . Veamos otro e jemplo de c arac te r muy Instruc -

ttvo , T omando ien lug ar de n en Ia expre sio n 99In . a+ 1suc e slvamente lo s nume ro s en te ro s 1 , 2, 3 , .. , [arnas o b te n-dremo s e l e uadrado de un numero po r rnucho s dias 0 lnclusoafios que dediquemos a ello. Sin embargo, seria erroneodedueir de. aqui que ninguh numero de' este tipo es uncuad rado , En efecto, en t r e los mimeros de tfpo 99 l·nt+1

l.J La SO I\iC I lin v,iene en e l e lem 'plQ 13 (pagina 29).

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1 -2

tambien hay cuadrados; pero es muy grande. el valor minimade n· para el cual es un cuadrado el numero 991n'+ 1. Heaqui este valor:

n=2055 735 790331 359 447 442 538 767•.

L o s e .je tnpJo s, conslderados pe rmiten hace r una. co nc lusio nsenctlla y al rnismo tiernpc importante,

Una propo sic ion puede set vdUda en una serie d e casaspart icutares y no serlo en general..

3. Ahara surge otra pregunta, Se tiene unaproposielon

val ida en vario s caso s particulates y e s impo sihle a_ naUzartodes los c a S O S . lCuandose puedeahrrnar q u e esta proposi-c io n e s vA l ida en general?

A veces la respuesta se Iogra aplicando un razonamientoe spec ial co no c tdo c omo mModo de InducciO n m a tem d stca(complela 0 perfecta),

Este rnetodo se basa en el principia de induceion mate-mdiica que consiste en 10 siguiente.

Una p ropo sic iOn esvd lid a para todo num ero natural nsl: 1, es vdlida para n..,.- '1 y 2) de sii. valitwz para un. nu-mero n atu ra l c ua lq uie ra lJ= s e desprende s u : oalide» paran::;::;k+ I.•- Demostracionv. Supongamos 1 0 contrarfo, a Seat que la

proposicjort noes valida para cualqnier nurnero natural n.Entoncesexlste uri nurnero natural m tal que 1) para n-= = m

Ia proposlclon es Ialsa y 2) para todo n menor que m la

prop.oS:ict6n esjusla (en otras palabras, m es el primer nu-rnero natural . para elcual resultafalsa Ia ptoposicion).

Es evidente que in> 1 pues para n=1Ia proposielones justa (condicion 1). Par conslgutente, m-les un n u r n e -ronatural, Pe ro ento nee s la proposici6h es vaUda para e l

, II. pI le c to r puede om ltlr el t ex to que slgue ha$la e lpun to . 4 .S Inperjuicio para lacomprenslen del material postenlcr, pueselpfifiClplo

del fl4mero mf/JimO-'qu~ se meneiona a coillinuaci6l\ y en -el que sebil'sa hi dem ostnfc i6n de l p r lnc ip i.o de Inducei6!1 mate'maHca-no esmas (nl. tam po .c o m eno s) eVid.enfe que el prop lo prim.:ipJo de Indue -ci6n matern_RHea,Par otra pa rte , un ,' e s tud lo m lis pro funda pe rm l taver que ambos principJos soh equlvalentes ~61asise aeeptsn candid a-nes·c'9mplem~ntarhI3. PQ{eso, podemcs eonslderar el principia· deIrrducclon matemattea como una hlp6tesls Intl,llUvameate mtiy conv l n-c e n te tomnndo la c omo un .ax iQma que da te rrn lna la suc e sle n de lo snumeros na tu ra le s .• P ara mayo re s de ta lle s v _ e a s e e l e[lilago y 18 H te -fatuf aen ~ l m enc lo nada , .

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ntimero natural m - I Y no 1 0 es para e l mimero naturalsiguiente m. Esto contradice fa condici6n 2.

Para demost ra r el principia de inducc i6n m atem atic anos hemos valido, como se ve, de que cualquier conjuniode numeros naturales coniiene el numero minima. S e puededemostrar que , e sta pro piedad es, a su vez, un corolario de lprincipia de induccion maternatlca. Por 10 tanto, ambasproposlciones son equivalentes y cualquiera de ellas se puedetamar como un axioma que define la sucesion de Jo snUmeros naturales; entonces la ot ra sera un te o rema. Sue le

to marse c om o axioms preclsarnente el princ ipio de inducc i6nmalematlca.

4. T oda demostrac i6n que se basa en e l principia deinducci6n matemat ica se denomina dernostracion por indue-eUm (par el metoda de induccion matemdt ica} , T al demo s-trac io n consta nece sariarnente dedo s parte s, 0 se a. de lademostracidn de dos teorernas:

Teo e ems J. La propesicion es tsilida para tt = 1.T eo e ema 2. La proposicion es ucmda para n=k+ I si

to es para h =k, donde k es Ut1 nUfMro natural arbltrarto.Si ambos te o remas han sido demo strado s, podemos aflr -

mar, en virtud del princtplc de induccion matemattca, queIs proposlclon es valida para todo numero natural n:

Ejempl0 9. Calculese 1a suma (vease el ejemplo 1)

S 1+1+1, + J.,= J.2 2.3 3.41." . n (n+ I) •

S aberoos ya que

1 2 3 4SI=2' S2=3"' S.=4 Y S"=5-

Aho ra no tep itlremo s e J e rro r come tldo en e l ejemplo 1afirmando de inrnediato que para todo ntrrnero natural fl es

n

S~= n+1 •

Seamos prudentes y dlgamos que el anallsis de las sumas

Su S,. S, y S, sugiere la hipotesis de que S;=+I para

todo numero natural n, Sabemos que la hip6tesis se cum-p Ie para fl.=1 t 2. 3 Y 4. Para compro bada re currire rno s alme to do de Induc c lo n matematica.

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Teo r ema 1. Para n= 1 la hipotesis se cumple pues1·

Sl=2"T eo rema 2. Supongarno s que la hip6 te sis e s vallda para

n=k, 0 sea. que

Sk= 1~.2+2\+··· +k(k~".l) k + i tdonde k es un mimero natural . Demosiremos que, entonces,la hipotesis es v a lida tarnbien para n=+ L, 0 sea, que

k-j-I

SkH = k-j-2'

En etecto,1

8 1+1= Sk+ (k+ I) (11:+2);

por consiguiente, segun la hipotesis del teorema,

Ski k"L+2k+1 k+lII.+L=· 1 · 1+ (k+ I)(k+2) =k+ Ij (k:+2) ='+2'

H c rno s de rno strado ambo s teo re rnas. A hara podemo s aitr-mar, basando no s en e l princ ip io de induc c i6n rnatematic a,que

S"=n~1

para todo runne ro natural/I.

Observacion 1 . Es necesario subrayar que Iii. demostra-

cion par lndueclon exlge Incondicloualmente Ia dernostraclende am bo« ieorem as 1 y 2.

Hernos visto a que conduce despreciar et Ieorema 2(ejemplo 2).

Ahora mostraremos que tarnpoco se puede omttlr e lt eo r e rna 1. Vearno s un ejemplo,

Ejemplo lO, Teorema. Todo ruim ero natural es 19ual a tntimero natural sigui~mte.Apliquemo s para Ja demcstrac ren e l metoda de induc cio n

matemattca, Supo ngamo s que

k=k+ 1 (I)

y demostremos que

(2)

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En e fee to , ag regando 1 3 ambo s miembro s de la igualdad(I), o b tenemo s la igualdad (2). R esulta, pue s, que sl la

pro po sic lo n e s valida yara n=, tam b ien 10 es para n=k+1.Hemos demostrado e t eorema.

Co ro lario . T cdo s lo s rn lme ro s naturale s so n iguale s.

(Dande radlca el error? Consiste en que el primer teo-rem a , necesario para pode r aplicar el prlnclpio de inducci6nrnatematica, no ha sldo dernostrado (ni puede ser demos-trade) y 5610 ha sido demostrado el segundo teorema.

Cada uno de los teoremas 1 y 2 desem pefia su pa pel.

EI t eorerna terea, hablando f igura lmente , la base de lainduccion. EI teorerna 2 permite ampliar automatlca einde iin idamente e sta base pasando de un c sso particu larat sig uie nte , 0 sea, de n a n+ 1.Si no ha sido demost rado el t eo rema 1. pero ha sldo

demo strado e l te o rema 2 (e jemplo 6), no se haereado labase de Ia induc clo n y no tiene sentido apllc ar e l te o rema 2.pues nada bay que amplisr.

Si no ba sldo demost rado el teorerna 2, pew ha sidodemost rado e l te o rema 1 (e jemplo s 1 y 2), existe Ia basede Ia Induccion pe ro no tenemo s derecho de ampliarla.

Observacion 2. Hemos explicado el metoda de inducci6n

maternatica en el caso mas sencillo. En situacicnes mascomple jas habra que modiflc ar re sp ec tivam ente los enun-clades de los teoremas 1 y 2.

A veces, Ia segunda parte de la demestrac idn se basa

en que la pro po sic io n e sv a

lida no s610 par.a n=

sinotarnb ien para It=- 1. En tal c aso la propo sic lo n de laprimera parte debe comprobarse para dos valo re s suc esivasde fl. Mas adelante el lector encontrara ejemplos de estetipo (ejemplo 7, pagina 23).

A vece s, en la segunda parte se demuestra L~ pro po si-cion para un valo r de n suponie rrdo se su validez parat odos lo s numeros naturales k tnenores que n ,

A veces, la propeslcion se dernuestra para todo mime ro

entero n mayor que un ruimero entero mIl (y no paracualquie r rn lme ro natural]. En este case la prirne ra partedebe conslstlr en demostrar la proposlclon para n=m+ 1y, sl es necesarlo, para alguno s o tro s valo re s de n:

1) Po r e jemple , to da pro po sic .i6n ' re lae lo neda co n I C I S po l i gonosde n lade s tle ne sen t/do so le para /I~ 3 .

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1 6

5. Volvarnos a1 ejemplo 1 para dejar constancia de unmomenta importante 'en el metoda de induccion matematica,

Anallzando 1a suma

S"=2 +2~3+ . . . + n (n~ l) •

para distintos val ores de n, hemos vista que

I 2 3 ..8:.="2' S~=3' 8.=-. Y8,=5"

por donde hemos llegado 8 Is hipotesis de que

8n= n~l

para todo n comprobandola despues mediante el rnetedo deinduccion matematica.

Hemos t enido la suerte de enuncia r una h.ip6 te sis queefectivamente es justa. Si no. hubiesemos acertado en la

hipotesls, 5U falsedad quedarfs manifie staal demo strar elt eorema 2.

Ejem plo 11. Considerernos las sumas

1 1 IS..=1.2+2:3+'" +n(n+I)'

Supongamos que, analizando 8". hemos Ilegado a la hip6tesis de que

S n+l11=311+1 . (1)

ILa f6rmUla (1) es valida para n:: 1 ya que S,=2'. Su-

pongamos que e s vallda para n=k, 0. sea, que

y t ra temos de demostrar que tamb ien e s valida para n = ==k+ I, 0 sea, que

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t1

Tenemos, , , I

8.H' =8 1 + {It+ I) (k+2)

, k+1 I fll+4k1+8k+2=U+I +(k+l) (k+2) =k+1J(k+2H3k+l)'

o sea, un resultado distinto af, q ue qu er fa rn o s encontrar,Es deelr, de la validez de Ia formula (1) para It=k

IW Sf! deduce su valldez para n=+1. Queda clare que laformula (I) es Ialsa,

Por 10 tanto, el me tOdode inducctQ !1 maiemat ica permitede/erm inar la leg general ensay_ ando las hlp6tesls qUI:! sur -gen, rech azand.rJ Z as falS()s y llegando a la Justa.- Para IJegar a dominare l me toda de inducc lon materna-tica es precise eonslderar un numero suiiciente de problemas.

Para no repetir constantem.entelas palabras 'c .Teorema by«Teorema 2". convendrernos en indicar por 1° y 2° laprimera y la segundaparte de la induec lon (por su con-

tenido, estas partes corresponden precisamente a los dosteoremas cuya demostraclon equlvalea ernp'lear el metodode induceion matematica), Adernas, haremos diferenela en-tre eiemplos, acompafiados de solucion detallada, y pro-blernas, destinados al trabajo individual del lector. A1 Ii-nal del Iibro damos Ia soluci6n de todos los problemasinsertados en el texto.

§ I

D EMO ST 'RA CI6N D E I DENT lDADES ;

'PROBLEMAS AR. ITMBTICOS

'Ejemplo 1. Consideremos los numeros lmpares positivostornados en orden de crecimiento: 1, 3, "S, 7•.•. lndique-rnosel primerocon ui• el segundo con u•• el tercero con " I l .etc., es declr, pongamos

"l=-l, ",=3,u3=5" u.=7, ...

Planteemonos el problema sigulente: hallar Ia f6rmula quevlnculael namero imparull Y su Indice n,

So luc i6n . Podemos expresarel primer numero impar

asl:

(l)

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18

podemos expresar el segundo mimero impar asl;

u.=2.2-1, (2)podemos expresar el tercer numero impar asi:

u3=3-2-1. (3)'

Analizando c o n atenc ion las igualdades (1), (2) y (3), po -demos enunciar la sig uie nte hipotesls: para o b te ne r cual-quie r nume ro Impar U T I basta dupllc ar su indice y restar t;es decir, para cualquier n·esimo nurnero impar se tiene

un=2n-1. (4)

D emo stremos que e sta f¢rmula e s justa.1°. L a iguaJdad (I) sign ific aque la f6rmula (4 ) e s v a - '

llda para nd1.2°. Supongarnos que Ia f6rmu1a (4) se cumple para n=k,

o sea, que para el k-es imo I l funero impar se tiene

ull=2k-l.

Demostremos que, en tonces , la f6rmula (4) debe s e c tam-bien valida para el (k + Ij-estmo numero Impar, 0 sea, que'e l (k+ l)·esimo numero impar es de la forma

Uk+l=2 (k+lJ-l

0, lo que e s .10 mlsmo,

uk+l=2k+1.

Para obtener el (k + l )-es lmo numero imparbas ta agre-gar 2 al k-esimo nurnero impar:

"l<+l=ul<+2.

Perot por hipotesis, Uli=2k-1 de modo que

Uk+l= (2k-l) +2=2k+ 1

como que rlarno s demo strar .Respuesta. Iln=n-1.Ejemplo 2. Calculese Ia suma de lo s n primeros nume -

ros impates,Salud6t1. T ndiquemo s par Sf' Ja suma busc ada:

S,,= 1+ 3 + 5+ ... + ('2n-l).

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19

,

Para problemas de este tipo lo s m ate rnatlc o s disponende fo rmulas he chas, N o s in te re sa re so lve r este prob l emasin recurrlr a dichas formulas , empleando el mstodo de in-duc cio n m ate rnatlc a. Para ella debemos e labora r la hipote -sis, 0 sea, adivlnar la respuesta,

Can e ste fin , tomamo s para n suc e slvamente lo s valo re s1 . 2, 3 , ,., hasta o b tene r material sufic len te para pode renunc iar una hipotesis maso meno s ac e r tada. D espues que -dara solo demostrar la empleando €o l me to da de inducc i6nmatemat lca .

Ten emos

81=. 8.=4, SB=9, St= 16, S~=25 Y8&=36.

Ahara to do depende de l e sp ir itu de o b se rvac l6n, de lac apac idad de adivinar el re sultado g ene ral a par tir de lo sparticu la res.. .

Pensamo s que en nue stro c aso salta a 1 8 vista que

S,=P, SI=211, 83=3

1

Y 81=4~,So b re e sta base podemos suponer que

Sn=n~.

Demostrernes que esta hipotesises justa.10, Sienda II=1.. la surna consta de un sumando jgual

a l. La expres ion n ' tarnbien e s lgual a 1 si n=1. 0 sea,la hipotesis se cumple para n=I.

2°, Supongamos que la hlpotesis es vallda para n =.k,es decirvque S,.='. Demostremos que tambien debeservalida para n= k +1. 0 sea I que

SHI=(k+I)' ..

En ejecta,

Sut=SII+ (2k+ I).

Pero 8/1.r : : : I k ' de modo que

81 1+1=ii + (2k + I)=k+ 1).c omo queriarnos demostrar,

Respueeta. S;=fl'.Problema r. Determfnese u" si sesabe que til &::: J 'i que

UA:=Il.t_,+3

, .

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para todo mimero natural k> 1.

Sugerencia. ut=S·!-2, u!=3.2-2.Problema 2. H alle se fa suma

S,.= 1+2+2 '+23+ ... + 2--1•Sugerencia. S, =2-1, Sa;;::21-1, Ss = 2'-1.EJemplo 3. Demuss t rese que la suma de los 1 1 . pr lmeros

numeros naturales es igua 1 a n (n.2+ I) •

Soluci6n. Este pro b lema difie re de los ante r io re s pue s

la hlpotesls viene dada y no hay que elaborarla. 5610 esne ce sario demo strar 5U validez.

Ind iquemo s po r 8 ,. la suma buscadat

8,,=1+2+3+ ... +n.

1°.. P a ra n= I lahip6 te sis e s vallda.20 . Se a

S.= 1+2+3+ ..• +k=k(kil).

D emo stremo s que

S_ ( 1 1 : + I) (k+2)

k+1- 2 •

En electo,

Slc+l=Sk + (k+ I)=(k/ I)+(k+ 1) = (k+ 1)?+2) •

H emo s re sue lto e l pro b lema.EJemplo 4. Demuestrese que Ia suma de los cuadrados

de lo s n pr ime ro s nume ro s natura le s e s lg ual a n (n+ 1~(211+ I)

Solucion. Sea S.(n)= 1'+21+3'+ ... +n.t,

1 0 , S,(l)=1.=I(I+I)~2.1+1).

20. Supongarno s que

8 ( )_'I(n+1)(21\+1)

• n - 6 •

Entonces

S,(n+ 1)= 11+21+3' +, ..+n'+ (n+ 1 ) 9 == II(n+ 1)6{'l1l+ I)+ (n+1)2

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2 1

y dellnitlvamente

S. (n

+1) = ( 1 1 + I) « 1 1 + 1)+ 6IJ {2 ( 1 1 + 1)+ I) •

EJetnplo5. Dernuestrese que

Sn= 1-2'+3'-41+ ...+(-I)"-ln'==(_1)"-1n ( 1 1

2+J) •

So luc i6n . 1°. Salta a la vista que para n =' 1 la hlp6 te -

sis es vallda ya que (_1)0 =1.2°, Sea

S,,=1-2+3-...+ (_J)k-lkl =_1)4-1 k ( I t t 1).Demoslremos que

SH1= 1-2·+3'- ... + (_I)A-1kll+(_I)1r.(k+ 1)1=

=(_1)11("+1)(11 +2)2 •

En electo,

S"+1=S,,+(-I}, (k+l)l=

= (-1)1-2 k(ki I) + (-1)" (k + 1 ) 1 ,=

=(---1)1 [( k + 1)- ~] (k + I) = (-1).11(k+1)Jkt) •

Problema 3. Demues t rese que

1'+31+5.+...+ (2n-I)2=11 (2n-~ (211+ I) •

Problema 4. Dernues t rese que la surna de los cubos de

lo s n pr Irne ro s n iime ro s natu ra le s e slg ua 1 a [ 11 ( l i t I)rProblema 5. Demuestrese que

x,,+l-1

1+x+xl+ ...+x" =x-I (x::;61 ).

E jempto 6. D emuesire se que

1.2+2 .g+ 3. 4+... + (It -I) n= ( 1 1 - 1) ; ( 1 1+ I) •

Soluci6n.10. 1.2=1.:.3.

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2 2

20. S i

1.2+2.3 +3.4+ ... +(n.-l) n = (n-l): (II+1) ,

se tiene

1.2+2·3+3·4+ ... +{n-l)n+n (n+ 1)=

_(~-t)n«(l+l)+ (+1) n(n+l)(n+2).- 3 tlll = 3

E I result ado del ejemplo 6 puede ser deducido t amblsnde los resultados de los ejernplos 3 y 4 si nos fijamos en que

1.2+2·3+3·4+ ..• +(n-l)n=

=1(1+ 1)+2(2+1)+3(3+1)+. , .

. . .+ (n-I) [ e n _I) + ll==[1'+21 + ... +(n-l)~] + [I+2... +(n-l)].

Problema 6. Demuest rese que

1.2·3 +2 ·3·4+3 .4·5+ ... +n (n+ 1)(n+2) =_ 11 (/1.+1) ( / 1 . - 1 - 2 ) (n+3)

- 4 •

Problema 7. Dernuestrese que

III nr:g+3.5+· .. +(2n-1) (21i+ I)=n+I'

Problema 8. Dernuestrese que

It 21 nt flln+ 1)'[:3+3.5 +,..+ (2n-l) (211+ 1)=2 (211+ I)'

Problema 9. Demuestrese que

I 1 I l n

[.4+ 4.7+7.10+' •. +(3n-2}(3n+ 1)=3n+l-

Problema 10. Dernuestrese que

1 I 1 I Ir:5+ 5.9+ 9·13+ . . . + (4n-3)(411+1)= 411+I'

P ro b lema 11 . Demuestrese que

I + 1 +a l a + I) (12+ I) (a+ 2) ••.

1 n

...+ (,,+"-1) (a+lI) a (a+n)'

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23

Ejempl0 7. Demuestrese que si V o = Y [/1=3 Y sl

V.hl=3[1/1-2v/I_l

para todo nurne ro natural k, se tiene

[1,,=2"+ 1.

SoIuci6n. 1°. Para n=O y para n= 1 la proposicien

es valida por hipotesis,2°. Supongarnos que

0/1-1 =2/1-1+ 1 Y que Clk= 2A+ LEntonces

[1/1 o f . 1= 3 (2/1+ 1) -2 ( 2 & - 1 +1)=1 1 + 1+1.Problema 12. Demuestrese que si

ua_~~ . a!_~a

u1=-IS Y ua=a;-~ (a =F~ )

Y siUk=(a+~) Uk-i-apuk-I

para todo nurnero natural k > 2, se tlene

a"+l_~n+l

u,,= a-~ •

Ejemplo 8. El producto 1·2·3· •... -n se indica por nl(se lee n factorial). Conviene memorlzar que 11=,2[=2.31 = = 6. 4[ =24 Y que 51=20.

Calculese

S;=.11+2·21 +3.3! +. . .+n.nl.So luc lo n ,

Sl=l-ll=l,

S.=.11+2 .21=5,88= 1.11 +2.21+3·3t =23,

S,= 1.11+ 2·21+3.31 + 4·4t = 119.

Anallzando estos resultados podernos persuadirnos de que

81.=21-1, 8,=31-1, S.=41-1 y S.=51-1.

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24

Por eso, podemos enunciar 18 slgutente hip6tesis

Sn={n+l)I-1.

Comprob emosl a.

1°. Para n= la hip6te sis e s valtda pues

81=I . I I=1-1.

2°. Sea

S,,= 1·11+2·21 + . . . +k·kl =k+ 1) I-I.

D emo stremo s queSk+l=·11+2.2! +...+k·kl +

+ (k+ I)(k+ I) 1=k+2) I-la

En etecto,

Sj,+l=S,l\+ (k+ 1)(k+ 1)1=

=[(k+ 1)I-I] +(k+ 1) (k+ 1)1=

=(k+I) I[l+(k+l)1-1=

=(k+l) I (k+2)-1 =(k+2) 1-1.

Problema 13. Dernuestrese Ia. ldentldad

I 2 4 8l+,t + 1+%'+ I+.t' +l+~ + ...

211 I 211+1

. . . + I+x ll11 =,\'-1 + 1_%311+1 ~

Ejemplo 9. Sea

a 'a.+~=m,a~=a, A,=m--

I,m-

aA,=m . a__ I etc.,

a'm-ml

ma

m--mI

o sea,

A k.j.1=m ;" (m 9 ':: I; Gt;¢:~)

para k > 1. D emuestre se que(a.rl+l_~IO+1)_(a.II_~II) 1)

An=etn_UII)_(alO-1_plI-1)' (

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-------,----'-_." ----,.,,'

So luc i6n . 1°., D emo stremo s p rirne ro que , la fOrmu la (1 )

es valida para n =2, Per hipotesis ,

Al=m-m~l =(a.+~)-(a+~~_l-

~ «2 + Il~+e ; - o : x - ~- a+~-I

La M rmula (I) daA , _ (aB_~)_'(a'a_~")

~- (a.' - ~a) - (a:-~)

0, slmplfficando la Iracclerien a-~!

A , _ as +j}~+a:fS-a- ~

•- a+6'-1

c omo que riam o s demo strar .2°, Supo ngamo s que la formula (I) es valida para

n=k, 0 se a, que

(ak-tl_Wl+l)_(a..t_~II) (I)AI!= " ,, (a.t-~II)-(all-l-flli-l)

Dernostremos que, entortces, tamblen debe sec valida paran=k+ J, 0 sea, que

(akH_~II+1)_(all+l_,p"+1)

A I o+I, = f.a.tH_pkTl)_(a.II_P")

En e l ec to ,

a 'aj}A1I+=mA,,", as decir, AH1=(a+BJ-A k

"

Aplicando Ia' igualdad (2), encontramos

A ' '"a~[a.-p.}- (al!-I- fl·-I)!

11+1=a+p)- (aII+1_pU)_(ak_6A'), ~

_ (a," + '-jJ" + i)_(a;1I + l_IlA +l)- (ai t+l_ ~.+I)_ (Q\II"':~II)

como queriamos demostra.r.Problema (4. Simplifiquese el polinomio

!...+x(x-I) (_I)'" x(:c-I) ... (x-n+l)11' 21 •.• -r fl l

Respuesta.

f_1)1\1 (x-l)(x-2~ .. (.1:- n).[ I ' l l

4-11

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2 6

Ejemplo 10_ Demuestrese que toda surna de un nfrmero

enters de rubles, mayor que 7, se puede pagar en bllletes

de 3 : y de 5 rubles,Solucion. 1°. La proposicion es vallda para la suma

de. 8 rubles (y'a que 8 rublos=3 rublos-l-f rublos).-2" Supongamos que Ia pro po sic io n e s val ida para una

<urna de k Tub los, donde k es unn umero entero mayor 0

ig ual a 8 -Sepueden presentar dos casas: t) la surna de k rubles

se puede pagar en bH le te s de 3 rub le s y 2) para pag ar

la <uma de k rub le s se prec lsa 3 1 rneno s un b ille te de 5rubles.

En e l pr i me r c aso habra no menos de t re s b il le te s de3 rubles ya que k > 8. Para pagar la surna de k + L ru-blos bastard sust ituir tres billetes de 3 rubles par dos bi-l letes de 5 rubles,

En e :\ se gu ndo caso para pagar J a s uma de k .+ 1 ru b lo ssustitulrnos un billete de 5 rubles par dos billetes de 3

rubles.EJemplo 11. Dernues t r e se que la surna de lo s cubes de

tres nurneros naturales sucesivos es divisible por 9.Sol udon. 1°. La sums P+ 2~+ 33 es dlvlsib le por 9,

o sea, Ja proposicion es valida st el primero de los tresnurneros sucesivoses el 1.

ZQ . Supongarno s que la surna k~+(k+ 1)~+(k+2)3,donde k es un nume ro natura l, e s divisible po r 9. La

sums

(k + I)~1 - (k + 2)a +(k+3)3 =

=(k + 1)3+ (k-I-2)a+k~ + 9k~+27k + 27== [k3+(k+ 1)Q+(k+2)2)-+9(k2+3k+3)

tambien sed divisible por 9 pues consta de dos sumandosdivisib le s c ada uno par 9 .

Problema 15. Dernuestrese que la suma

All=1"" '~.+ 12M"':!.

('5 divisible po r 133 cualqule ra que se a e l nurne ro ente ro

r i~O,Ejemplo 22~ Entre los 2n nurneros I, 2, ... , 2n se

cscogen al azar n+ 1 numeros , Demues t r ese que entre los

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ultimos habra al menos dos mrmeros :divisibles uno poro t r o .

Soludon 1). I". Para el caso de dos numeros l-y 2 laproposicion e s val ida.

2°. Supongamos que hernos logrado e s coge r n+ I name-fOS entre los 2n IIUrneros I, 2, •.. , 2n (,L~ 2) de modoque ninguno sea divisible por otro. Para abrevlar Indica-r emo s e ste c o njun to de nume ro s po r M II+1' Dernos t r emosque , en to nc e s, tamb te n se puede e sco g e r n nume ro s en trelos 2tt-2 nurneros I, 2, ... , 2n-2 de modo que nlnguno

se a divisib le po r o tro .Se pueden presenter cuatro casas:1) Mn+L no co n tle ne e l nume ro 2n-l O i e l num ero 2n·.2) Mn,+l co n tle ne e l nurne ro 2,t-l y no co ntiene e l

mnnero 2n.3 ) M I) +J corrtiene e l nurne ro 2n y no co n tiene e l n(une ro

2n-1 y·4) MII+ 1 co n tiene ambo s numeros 2fl-1 y 2ft.

Caso 1. E lim inemo s de M,,+l cualquie r nume ro . Q ueda«ran n numero s todo s no supe rlo re s a 2n-2; ninguno seradivisib le par o tro . .

C aso 2. E lim inemo s de M ,,+ l. e l nume ro 2n.- L Queda-

rim n nume ro s to do s no supe r io re s a 2tL-2; ninguno dees t es n nume ro s se ra dlvlsib le par o tro ,

C asa 3 . E l im inando de MIITl e l nurne ro 2ft, ob t en emos

e l rn ismo re sultado .C aw 4 . O b se rvemo s, ante todo, que M"+l no cont ienee i nume ro n pue s, de 1 0 co ntrar lo , hab r ia en Mn+l: do s rni-meres , 2 11 y n, divisib le uno de e llo s po r e l o tro ;

Eliminemos de M"+I ambo s numerus '2n-l y 2n. Que -dara un conjunto dea-I numeros que indicaremos cOhM'f_l.Agreguemo s a M,,_l e J nurne ro n. Obtendremo s asl n nu-meros con la partlcularidad de que ninguno pasa de 2n-2.

Resta dernostrar que entre estos tt numeros no hay nm gunodivisible por otro,

Como quiera que en M" + l no habia dos numeros divist-bles uno ear otro, tampoco habra numeros de este tipo enMI}-l' S610 queda por demo strar que tam -po co aparecen

u Esta sotucioa hasido propuesla por M. Pridman.

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numeros de esta indole al agregar el namero fI: al conjunto

M n-t•

Para e lla e s sU fic ie n te p ro b ar que 1) n inguno de losnumeros que eomponen Mn-L es divisible por n y que 2) e lnumero n no e s d ivisib le par n lnguno de lo s ndmeros quecomponen M , ._ L"'

La primers pro po sic lo n se deduce de que M"-l no eon-t ie ne n tim ero s supe r io re s a 2n-2.

La segunda, de que e l nume ro 2n no e s divisible po rntnguno de lo s numeros que c ompo nen Mn -t,

Par conslguiente, s! ac e p tamo s que la p ro po sic io n no e svallda e n e l case de 10s,2n numeros I, 2, . '". 2n, tampocose ra valida para lo s 2 (11-1) nume ro s 1 t 2, .,. . 2n - 2.o sea, si Ia p ro po siC i6n e s vallda para los 2 (n-I) nume -.ros I, 2 •...• 2n-2, tambiensera vallda para los 2n nU·meros I, 2. . ..• 2n.. De aqul y de 1° se itlfiete que nuestra propcstcion es

valida para lo s 2n' nume ro s I, '2 , ...• 2ft c ualqu ie ra que

se a e l m ime ro natu ra l n.Bste problema admite 1a s.igl , l iente solucion sencll la .Escojamos entre las 2n nume r o s 1, 2•...• 2n un conjuntocualquiera de n+1 ru imercs e indtquemoslo con M n+ ,.

D ividamo s to do nUme ro par que Hguta en MIZ+1 por unapo tenc ia del 2 de modo que el coclente se a impar. Indl-quemo s c o n M';". e J c o n jun to de e sto s c o e le n te s y deto do s lo s n u me r o s impares que fig uran en M PI +-1" E I

c o nj un to ,M~+l oon t iene n + I nume ro s impare s to do s rne no -re s que 2n. .Pe ro s610 hay n nume ro s impare s po sitivo .s rneno re s que

2n Y ., po r e so , en M ~ + - I hab ra al menas do s numero s iguales .S e an ambo s Iguale s a k.

Este re su ltado sig n ifie a que M n + I c o n te n la do s ntimeros2"k y 2 ' k (uno de lo s mlmeros so t puede se r iguaJ a c e ro ).P e ra uno de e sto s do s n t1 rne ro s 2$k 6 2tk e s divisib(,e par

el otro.Problema (61). D emuestre se que If. re e te s disU ntas tra-zadas par un rn lsmo punto de un p lano Jo d ivide n en 2npar tes .

I) E t problema 16 y el li!jemplo 13 vincullldosB terns! geome-trices, han sldo, sin embargo, tncluldcs en este paragralo porque, deh1!Cho,son de I:lrllcter Ilrltmetico.

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29

Ejemplo 13. Demuestrese: n planes que pasan par un

misrno punta, sln que contengan nunca tre s Una recta comtm,dividen eJ espacio en An= n (n-l) +2 partes.Sol'uci6n. t". Un plano divide el espacio en dos partes

Y. par otro Jado, AI = 2 d e modo. que 13 proposiel6n se

cumpJe para n=-1. ,2 < ' . Supo ngamo s que 1a proposic lon e s valida para n=k,

o sea. que k pianos dividen el espacio en k (k-I}+2partes, Dernostremos que, en t onces , k + 1 planes 10'dividen

en k (k+ 1}+2 partes.Enefec to , sea P el ( ' k + 1l-esfmo plano. Corta eada uno

de los k planos prlrneros segtin rectas y de esta fonna elplano P queda dlvidldo en partes mediante k rectas distlntasque pasan par un mismo punta. En' virtud del resultadodel problema L6, el plano P estara dividido en 2k partesrepresentando cada una un angulo plano de ver t ice en elpunto dado,

Los k planes primeros dividen el espacio en angulospoUedros. Algunos de elias son divldidos par el plano Pendos partes.

L a Iaceta comun de dos Je estas partes es una porci6ndel plano P comprendlda entre dos rayos, lnterseccionesde este plano y deterrninadas Iacetas del angulo poliedro,o sea, es uno de los 2kangulos planos en que e sU dlvididoel plano P.

De aqui se deduce que no pass de2k el nurnero deangulos poJiedros dlvldldos en dos partes par el plano P.Por otro lade, cada una de las 2k partes, en que los

k primerosprtmeros planes divIden P, es la facet a comunde do s angulos poliedros Y . par consigulente, divide en dospartes el anguJo polledro forma<1o por losk primeros planes,

De aquf se deduce que no es menor que 2k el nurnerode angulos polledros dtvididos en dos partes por el plano P.

Es decir, eiplano P divide en dos partes exactamente2k porciones del espacio Iormadas po r los k planes prime-res. Luego , sl k pianos dividen el espaelo en k(k.-l)+2partes, k + 1 pianos 1 0 dividen en

[k (k-l) - + - 2J+ 2k ' k (k + I)+ 2

par te s. H emo s demostrado la proposlclon.

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30

§ 2PRO BLEM A S T ~IGO NO .M ET RICO S

Y ALGEBRA ICOS

Ejemplo 14. Dernuestresa la identidad'. " selr2"+ 1a;

COSctcos2a.cos4a .. , c052nO:=2n+ ' 1 ',sen a.

Saludan. I') La ident idad es valtda para n=O ya quesen 2a

cos a: = = 2 se n . a . •

2°. Suponga mo s que e s vallda para n=k, 0 sea, que

. . . sen 2k+l C t

co s a. cos 2a. ... cos2ka = .211+1 sen a

Entonces, t ambien es vaiida para n=+ I. En electo.cos a.cos 2a . _ cos 2ka cos 2k+»a.=

Sen 2'&'+.1 a: cos 2"+1 a .

2kt1ena

sen 211+ I0:

2 1 i 1"2 sen a.

Ejemplo 15, D em uestrese que , A" =cos n6 , & 1 se sabe queAl =cos9 y A~=cos2e y que

A " =2C0S9 A.II - l -Ak- l l

para todo k »2.So luc ton, 1°, La proposic- i6n es vallda para n = Y para

n=2.2°. Sea

Ak_!=cos(k-2)9 y Ak_'l=cos(/l-l).a.

EntoncesA",=2cos9cos (k~l) 9-cos (k-2) 9=coske.

Ejempto 16. Dernuestrese que

11+1sen-2-x nx

sen x-l-sen Bx-l- . .. + senax= x sen"! .senT

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31-~---------~- .~.----....-------

Solud6n. 1". La proposition es valida para n c-l.

2°, Sea k-Llsen~.t: . k

sen x-l- sen 2x +...+ sen kx = ~ sen 2 ' { 'sen2'

Entonces

senx+sen2x+ .. , +seh kx+sen(k+l)x=-

k + ,sen~x: k

= x' sen i t ' -l-sen (k+ I)X=senT

k+J5en--x kx k+l k+,

- x sen2+2sen-2-·xc.os-2-x:_,SeJ1-z

ya que

k+ 1 x k+2 . kx2 co s _ .-2-x sen "2=sen -2-.~-sen:.l .

Problema n. Dernuestrese que

; -j-cos x-j-cos 2x+ .'. +cosnx

2Jt + -1r.eI1-

2-x

.(

2 sell2

Problema lB. Dernuestrese que

sen x+2 sen2x+3 sen3x+ ... +1l SeDItX=(n+ J) sen nX-11 sen (n+ I) x

= x'4.~eu2 2 "

Problema 19. Dernuestrese que

co s x + 2 co s 2x + ... + ft co s n x =

= (n+ I) cos IIX-n cos (n+1) x-I

4sen~ ~2

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3 2. . . . ._--_._ _ .._ ----------

Problema 20. Demuestrese que

It x+lt x+ +'t xf'" gT 2- gF . ... F g2"=

I x=2'" elg 21 1 -ctg : 'X ( X : : F mn).

Problema 21. Demuestrese que

arc elg 3 + arc ctg5+ .. +arc ctg (2 n ;J-l) =

3 . n+1=arc tg2

+arc tg"2+ ...

+arc tg -n--n arc tg 1.

EJemplol7. D e rn ue stre se qu en

(1 +1)1i =7 (cos': + t sen~n).

Solution. 1°. La proposiclon es vallda para n= y a

queL

1+i= 2" (cos .~+i sen ~ ) .

fi

(1+ i ) / I ;=2(os ~1t, + i 'sen 1 1 , : ) .

Entonces/I ;

(I+ i).Hl = 21lcos 1 I :41l+ i sen I i : ) x

. ! . . . ( Jt n )x2' cos 4"+isen"i" =

"+1-2-.-f, (k+l)n.+. en(k+l)n]- Lcos" 1 S. 4 "

Pro b lema 22. Demuestrese que( v a -i)"-=2 1 1 (cos n ; -k sen';').

Ejernplo 18. Dernuestrese el teorema:Si por efecto de un numero flnIto de operaclones raclo-

nales (adicl6n, sustracclen, multfpltcecion y divisl6n) apll-cad as a los numeros complejos XI' Xt •.•.• Xli se obtiene

un narne ro u, po r e ie c to de es tas mlsmas o pe rac Io ne s ap ll.

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33------ . . .---.-_

cadas a 105 numeros complejos conjugados Xl' X 2 , •• • , X I I

se o b tie ne e l nurne ro u c o n jug ado de u.salucian. 1°. Demostremos, an te to do , que la p ro po si-

cion se cumple para cada u n a de las cuatro operaclonesapllcadas ados nume ro s c omp le jo s. Sean

Xl =a+bi y x2 =c+di.En t on c e s

Xl+XI=a +c)+ (b +d) i= y

xi+x.=(a-bl) +(c-di) =a+c)-(b+d) l=U.

Sirnllarmente se demues t r a la proposiclon para las opera-clones de sustraccien, de multipllcacion y de division.

2°. Supo ngamo s. aho ra que se ha Io rmado una expre sio nracional con los nurneros complejos XII Xi' •.. , x". Essahldo que para e a le u lar e sta expre si6n bay que re alizarsucesivamente una ser ie de pasos empleando en cads uno

una de [as cuatro operaciones y siempre con dos nurneroscomp Iejos, can la partlcularldad de que estos p.8S0S puerlenser numerados.Sea, par ejemplo,

X1XIl+X&x4~= .t+X,-Xa

Para ca lcular u basta realizar los siguientes pasos

1) t1Xa=U1• 4) Ua-X3=U ••

2) X3X, =2' 5) u1 I - u1=6•

3) Xl +X ~ =U3• 6 ) Ua :U, '=u.

Supo ngamo s que la p ro po sic i6n e s vaiida para to daslas expre slo ne s que re qu ie re n a 10 sumo k «paso s» para 5U

c alcu lo . L a palab ra «paso1l sig n ll lc a aqui que se re allza (aad ic io n , la sustr ac c lo n , la multipJic ac i6n 0 la d lvlslo n de

do s numerus compJe jo s . Demostremos que , en to nc e s, la p ro -posic ion . es tam bien valida para las expresiones que requie-ren k +Iepasoss .

En efecto, eI Ul t imo , (k + I )·esfmo, «paso » se re alizecon dos numeros u, y u/ que se calcuJan electuando k

«pe so s1 t a 10 sumo.Si sustltulmos los ntimeros Xu Xu .• _, x" por sus con-

jugados, los nurneros u( YUj se convertlran en sus con]u-

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3 < 4

gados U . y ~ y, por eso, el resu1tado del (k+ Ij-esirno

«paso» electuado con estes ultirnos, 0 sea, el nurnero u, seconvertira en e] numero conjugado U.

Problema 23. Dernuestreseque

(eos X ' 1 - isen X ) l I =cos ' 1 > ' : + I 'sen ,/1x .

para todo n . natural .

. § 3

OE .MOSTR A C T O N D E D ESIGUA LD A .D ES

Ejemplo 19. Dernues t rese que

! + ! + -+ L " '" 1 '3i 1 T 1 n+2 ... I 2n .-' 2 4 -

para todo numero natural n ~> 1,

SOIUc.l0n, lndiquernos por SneL primer rniembro de la

desigualdad.

] < > S ~ . : : = [72= ~: y, POf consiguierrte, la deslgualdad se

rumple para f( ..: 2.

2" S S · ! . : J . t k 0 t tea k ,,' Z4 para Clef 0 - ernos rem as que, en on-

ta b" o 13 T .'ces, mien ,,) .1 '.+ \ ... ' 24 . enemas

I I ISk ,,,; 1 T T T + k+2 +... +2k y

I! 1 I 1Sk.11 = k+2+ k+3+ ... +2k +2k+ J +2k+2'

Comparando Sk Y 81 1 +1> vema'> . que -

S S I + I I~+- k~2k+1 2k+2 -k+1•

I

Sk+I-S/l-=2(k+l) (2k+I)'

EI segundo miembro de . la ultima igualdad es posltlvocualquiera que sea el nnmero naturalk. Por eso, Sk+l > Sil'

p S - 13·d d t bl S ~. 13.. era It _,--..4- e ·rno 0 que am len k+l .." 24'

'Problema 24. Hallese eJ error en el razonarniento quesigue.

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Proposici6n. La desigualdad

2u ~...,211.+ 1

es valida para todo numero natural n.Demostraci6n. Supo ngarno s que la de sig ualdad Sf' curnple

para It= k. donde k e s UI] numero rta tural:

21;> 2k+ L (1)

Demos t r e r n o s que, en to nc e s, ta rnb le n se cumplira para

n =k- -+- - l , o sea, que2H·:;>2(k+l)+1. (2}

En electo, 2k es no menor que 2 cualqurera que se a elnumero natural k.. Agreguernos 2" al primer miembro deJ a de sig ualdad (1) y 2 al segundo. Obtend rem os 1 3 desigualdsd [usta

o sea,

2k+1.' 2 (k+ I) +1.

Hernos dernostrado la proposlcion.Problema 25. c:Para que valores naturales de I~ se

c umple la de sig ualdad

2">2n+l?

Ejemplo 20. tPara que valores naturales de /I se curnplela desigualdad

Soluci6n.

Para n=1 la desigualdad e s valida ya que 21 " > l~ .Para fl .=2 la de sigualdad e s Ialsa ya que 2z=2~Para n=3 la de sigualdad e s falsa ya que 2 3 < ,3 2•

Para n =4 la de siguaJdad es lalsa ya que 2'='.Para n= 5 la desigualdad es val ida ya que 2~> 5~.Para n= la desigualdad es va Iida ya que 2i > 6z •

Par 1 0 visto, fa desigualdad es valida para n.= Y paraIodo n > 4. Dernostremoslo.1°. Para rt=5 la desigualdad es val ida2°. Sea

2~> .kl, (1)

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dande k es un nLimero natural mayo r que 4.

Dernostremos que(2)

Sabemos que 2'"> 2k+ I para k> 4 (problema. 25).Por esc, agregando 2 1 1 al primer miembro de la deslgual-dad (I) y 2k + I aI segundo, obtenernos la desigualdad (2)que, par consiguiente, es valida.

Respuesta. 2" > nl para f! '=1 Y para n > 4,

Ejemplo 21. Dernuestrese que(I +0;)" > 1+ ria,

donde a> -1. a.*0 y n es un numero natural mayo rque 1.

Soluci6n. 10. La deslgua Idad es val ida para n=2 IIues

a.~> 0..2°. Supongamos que la desigualdad se cumple para

II=k, 0 sea, que( 1)

donde k e s un numero natural . Demostremos que, enton-ces, Ia desigua ldad tamb ien se cum p Ie para n = k + I,o sea, que

(l+ct)Hl > 1+ (k + 1) Ct. (2)

En e le c to , par hipotesis. se tiene I +a > 0 de modo quees valida la desigualdad

(I +a)Ht > (I +ka) (I +a) (3)

que se obtiene multiplicando por 1+a ambos mlernbrosde ii i desigualdad (1).

La desigualdad (3) se puede expresar 8s1:

(I +a)k+l

>1+(k

+l)a +kct'.

Desechando el sumando posltlvo kat en el segundo miembrode 1 a ultima desfgualdad, obtenemos la deslgualdad (2;) que,por conslguiente, es valida. .Problema 26. Demues t rese que

t . + V 2 ' + . . . +~ >Vfi

para todo mimero natura l n > 1..

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Problema 27. Demuestrese que

4n (2n)J

I l + J < (nJ)J

para to do nume ro natural n:» 1 .Ejemplo 22. Demuestreseque

2"-1 (a"+b") > la+b)". (I)

donde a+b> 0, a= l=b Y Il es un rnimero natural mayorque 1.

Soluci6n. 1°. Para n=2 Ja desigualdad (I) da

2 (al +b') > (a+ b)'. (2)

Pues to que a = 1 = b . se cumple la desigualdad

(a-b)' > O. (3)

Agregando (a+b)a a ambos miembros de la desigualdad (3),ob te nemo s la desigualdad (2).

Con esto queda demostrado que la desigualdad (1) secumple para 11.=2.2°. Supongamos que la desigualdad (I) se cumplepara

n =k. 0 sea, que

2l!-1 (all+bl') > (a+b)k. (4)

donde k es un nume ro natural.Demostremos que, entonces, fa deslgualdad (I) tarnbien

se cumple para n = k+ I, a sea, que

2 . 1 : (aH1+bJI+ J) > (a +b)lI+l. ( 5 )

MuliipIiquemos por a+b ambos rniembros de 18 desi-guaJdad (4). Puesto que, por hipotesis se tiene a + b > 0,obtendremos la siguiente desigualdad justa

2.1:-1 (a.t+bk) (a+b) > (a+b)."J. (6)

Para demostrar la validez de la desigualdad (5) bastaproba r Que

0; 1 0 que es 1 0 mismo, que

"HI+bkio1 > ukb + abk. (8 )

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La desigualdad (8 ) equivale a Ia de sigualdad

(all-bk

) (a-b) .. O. (9)Si a: > V, tenernos all> bk y el prlmermlernbro de Ia

desigualdad (9) e s e l p ro duc to de do s nume ro s po sitivo s.Si a < : : b, tenernos ak < b k Y el primer miernbro de la desi-,gualdad (9) es el produdo de dos numeros negatives. Enambos cases la desigualdad (9) se cumple.

Con esto queda de rno strado que 1a valide z de la de si-gual dad (1) para n= k impliea su val idez para n :=+ 1.

Ejernplo 23. Dernuestrese que cualquiera que sea x> 0S cualqule ra que sea e l numero na tura I n se curnp le ladesigualdad

II I n-2 L "-1+ + 1 + 1 + I - j 1x I'X I X .•. xn-4 xn-~ x"pn--. (1)

Saludon. to . a) Para n =1 la desigualdad (I) da

x + ! ~2. (2)

La desigualdad (2) se desprende de la desigualdad evidente

(X_t)2~O.

b) Para II=2 la d eslqu ald ad (1) da

(3)

Pue sto que la de sigualdad (2) se cumple para to do x: '; , O ,subsiste al sustitu it x por x~, 0 sea,

, , -+ 1_2x x~::::",·

Agregando 1 a ambo s m iemb ro s de la u ltima desigualdad ,

ob t en emos la desigualdad (3).2°, Supongarnos que la desigualdad tl) se curnple parail=k, 0 sea, que

Xk+Xk-2+ ' ..+_I_+2.~k+ I, (4 )xk-~ xll

deride k es un nurnero natural. D emostremos que, enton-

ces, la desigualdad (1) tarnbien SI! cumple para n=k-j-2,

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39...-_._ . . _ . . . .-----

o sea, que

Xk+~ + - . . c k +Xfr.-l + . . . +_1_ i-.!. +_1_ ~f( ~3. (5)x " - 2 .Ilk .t~+ 2 _.

In t roduciendo XH2 en la de sigualdad (2) e n lugar de x,

obtenernos

( 6 )

Sumando rn iemb ro po r m iemb ro 1 .3< ;r lesiguaidades (4) y (6),

obtenemos la desigualdad (5).Resumamos.Ell lo s puntas a) yb) de I'" hernos o e rno strado la de si-

guaJdad (1) para /t=1 y para n=2.En e l punta 2° hemos demostrado que , siendo valida

la de sig ualdad (I) para tr.= k, tambien 10 es para It= k ++ 2. Ell ot ras palab ras, 1"1 punto 2" pe rm ite pasar de n = k

a n=k+2.

Los resultados de los puntas I" a) y 2° permiteu alirmarque la desigualdad (1) se cump le para cualquier numeroimpar n . Sim iiarrnente, los resu Itados de los puntos l O b Jy 2(l pe rm iten afirrnar que la de sigualdad (1) se cumplepara c ualquie r nurne ro par n. En co njun to , po de rno s afir -mar que la de siguaJdad (I) se c ump!e para i odo ru i rneronatural n,

E jemplo 24 . Dernues t rese e l te o re rna: L a media geome-

tr ic a de varie s nurne ro s po sltivo s no pasa de la media ar lt-metica de los rnismos, es decir, siendo ai' a2, •. '! a,uno s ru ime ro s po sitive s, se t iene

Salucian. 1°. Para n =2 la de siguaJdad t I) da

V -- al+a~ala2~-2-· (2)

Es facil obtener esta desiguadad a partir de esta otra

(Val-V a~)~; : '0,

v a I ida cualesquiera que se an 1.0$ nume ro s po sit ive s a1 Y (72.

La desigualdad (2) admite una interpretacion geome-t r ic a sene illa . T omemo s suc e sivamente e ll una re c ta A8

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40.. _.__....__ . . . . -....-- ..------------

los segrnentos at Y a!. Cons t ruyamos la clrcunferenciacuyo diarnetro es la swnade estos segmentos. Entonces ,

a1 t a l es el radio de est ctrcunferencla y V ala. es a mi-

tad de la cue rda pe rpe dicular 8 1 dtametro en e l puntocornun de los segmentos at ..y a. (vease la figural; de aquise deduce la desigualdad (2).

2°. Supongamos que Ia desigualdad (I) se cumple paratl=k.

. . . . . . . _ ...... -._ . .

_.._---_._-_. ----

D emo stre rno s que , en to nc e s, tamb ie n se cumple paraIt=k. En e fe e to ,

:lVala~ ... aak=iV ala a • • • al<Vak+l". all1l~

~ Vala, ... ak+ Vak+l .. au ~~ 2 ~< 11+au+ · · .+ a k + Q lI + l+ " .+ a ~ 1 l "

~ k k-=: 2 =

a1+02+·· .+ak·+'" +a~/;= 2k

Puesto que hemos demostrado ya la desigualdad (I) para11.=2. podemos afirrnar ahora que sa cumple para n=4,8. 16, etc., 0 sea. para fI,=2 s, dondc s es un rnirnero na-tural .

3°. Para demastrar que Ia desigualdad (I) se curnplecualquiera que sea el numero natural n. probemos que,si se cumple para n=k, tambien se cumple para n=k-1.

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Sean, pues, au a., ... , ak-i uno s ru ime ro s po sitlvo s,Se a i. un namero posit ivo (po r 'ahara indefinido). Entonces

~/ '1 ~al+all+'" +ak-t+'"y a1a3 .•• ak-1 ....~ k •

De t e rmlnemos A . de modo que

at +a2+ .. +a,,_.+). _ Ql+a~+ ... +all-1II; - k-I

o sea, pongarnos

1_al+a~+ ... +all-\"'- k-l .

Ten emos

Vala~... 0/1-1(al+03+" .+all-1) ~ ad-uJ+" ·+0:1/;-1

k-J '""" k-I '

es decir,

k-~/ ~ a.+a~+ ... +aA-lv Q1a•..• a/l_1....". k-l .

Sea aho ra m un n L ime ro natura I e ua 1quie ra . S I m=2s,1a desigualdad se curnple en virtud de 2". Si m ~2s. deter-minemo s e l nume ro s de modo que m se a meno r que 2" ;e n to nc e s, b asando no s en 2" y 3 '., po de rno s afirmar que lade sigualdad se cumple para ti=m,

§4

DEMOSTRAC16N DE ALGUNOS TEOREMAS

DEl . ALGEBRA ELEMENTAL

re o rema 1. Elcuadrado de un pollnomlo es igual a [a

suma de los cuadrados de sus ierminos y del auplo de todoslos producios de sus t e rminos tornados dos a sos , 0 sea,

(c, +all+...+a,,)2=a~+a:+ ... +a~++2 (a1a2+a1ad-··· +an_1an)· (l)

1°. Para n =2 Ia f6rmula (1) se demue stra median tee l c alc u lo dtre c to .

2°, Supo ngam os que la Io rmula (1) e s valida paran=k-I,0 se a, que

(a1+aJ+ ... +all_l)~=a+ ia:+ ... +aLl +28,

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donde S es la surna de todos productos de los terminos

. a1• all ... , a~-l tornados dos ados. Demos t r emos que(a1+a.+ ... +ak-1+a,.,) '= af+a:+ ... +al-, +a%+28 ..donde 81es la suma de todos los produdos de los termiIl()s.lII•aa •..•• a/l_t' ak tornados dos a dos, 0 sea.

8,=8 + (al+al +...+ a ,,_ , ) a " .

En efeclo,

{a t +... +a/l_1 +akP = «a1 + . , .+a,._I) +all]'=

= (a1+ +a/l_1)' +2 (a1+...+a 1 o -1) a,. + all ==a:+ +a%_1+2S+2 (a1+...+a/l_1)a,,+al=

= a~+a:+ ... al+281•

T eo rema 2. El termino n-eslmo de una p ro gr esi6 J 1 a rit-

m iliea se deiermina segtin. la formula

o,.=a1+d{n-l), (1 )

donde a1es et prim er term ino de la progresi6n y d es lara.z6n de la misma.

to . La Io rrnula (l) e s valida para n.=1-2°, Supongarnos que 1 a f6rmula (1) es val ida para n=k.

o sea, que

Entonces

al<+1 =ak+d=a1 + d (k-l)+d=a, +dk

de modo que [a f6t tnula (1)tambien se cumple para

n=k+ 1.Teorema 3. E l term ino n -es im o de una p rogresi6 n geo -

mitr ica s e delerm ina segun Ja fOrm ula

a n =a1qt . - l , (1 )

donde al es el p rim er term ino de la p rogresion !I q es Laraton . de La m ism a.

1°, La fo rmula (1) e s valida para It=1.2°. Sea

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En tonce s

ak+i =a / l ; q : : : : o a · 1 q k .

Teorema 4. El nurnero de p erm u taclones de m elementos

se tieterm ina segun la . fOrmula

Pm=m l . (1)

10• Obse rvemo s, an te to do , que P 1=1 de modo que lafo rmul a (I) es v.al ida para m= 1 .

2°, Sea PII

=kl D emostremo s QuePU1=~+ 1)1.

Ent re fo s k+ 1 e l emen t o s dados Ot, au "'J all ' tlJo+j esco -jamos los k primeros forrnando con ellos todas las permu-tac io ne s po slh le s, Par hipdtesis, hab ra kl pe r rnu tac lo ne s dee ste tipo .

Co lo quemo s en cada una de e l1as e l e lem en to aA:+j

de lante del pr ime r, de l se gundo , " ', de l k·e simo y de t rasdel k-esimo elemento. Par esta via obtenemos a partir de

una pe rmutac lo n de k e lemento s un to ta l de k + 1 pe rm uta-c lo ne s de k+ 1 e lemen to s. En suma habra

kl (k+ l)=(k+ 1) I

pe rrnu tac lo ne s de k+ 1 ale rn en to s:E s pre c iso demo strar aho ra que1) ent re las (k+ I) r pe rrnutac lo ne s no h a y des iguales y

2) hemos obtenida todas las perrnutaclones de k + 1e l emen tos .

1 ) S upo ng arn os que entre las (k + 1) I p ermu ta cio n es haydo s iguale s, S e an e stas PI Y p~. Supo ngarno s que e l e le -men te all+i o cupa en la pe rmutac io n P I la po sic io n s-e slrnaa partir de la Izqulerda, T ambien en Ps el e l emen to ak+1

o cupara la po slc lcn s-e slma a partir de la Izqulerda.E lim inemo s de P L y de P , e l e lem en to aUI' Obt end r e -

mo s do s pe rmutac lo ne s lg uale s, P i Y P I H de k e l emen tos .A si, pue s, para o b te ne r P .. Y PI hem o s co lo c ado e J

e le rne nto a ll+1dos oeces en ta m ism a posicion yen una m lsm apermutac ion de lo s elementos at, a z, ••• t a k• Pero estccont radice Ia re g ia emp!eada para c o nstru lr las pe rmute -clones,

2) Supo ngarno s que no hemo s o b te nido una pe rmutac .i6np de k+ 1 e lemen to s y que e l e lemento all+1 o cupa en P

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1a po sic i6n s-e sirna a par tir de la izqu ie rda . E lim inemo s

de p e l e lem en to a1l+1' O bte ndrem os una pe rmutac i6n pfor-mada po r los k elementos pr im er o s. Es decir I para obte-

net p basta tomar Ia pe rmutac lon p y colocar en el la e le lem en to ak-t- l e n la po sic io n s-e sim a a par tir de la lzquierda,

E s irnpo sib le que no s hay amo s saltado 1a permutacf6n

p ya que hem os tornado todas las pe r rnu tac lo ne s de lo s ke lem en to s p r ime ro s, E s irnpo slb le que no hayam os co lc c adoe l e le rne n to allHe n 1 8 po sic io n se fia lada pue s 10 hemos

colocado enla prirnera, segunda, ...• (k + l)-eslma pesl-ci6n a partir de la izquierda.

Par 10 t an to , todas las permuiaciones construidas sendisi intas y no nem os perd ido n inguna permutacion de k +1elementos .

D e lo expue sto se deduc e que

Phl=(k+ I),I.

Te o r ema 5. £l numero de »artaciones de m elem entosto rnados nan s a determina segun fa f6rmula

A~=m(m-l) ... (m-n+1). (1)

1°. O b se rve rno s, an te to do , que A1n=m y, po r c o nsi-g u ie n te , Is formula (1) e s vallda par i! n=.

20. Supongamos que

A~=m(m-l) ••. (m-k +1 , .donde k < m. Demostremos que

A~+l=tn (tn-I) .,. (tn-k).

Para obtener to das las varlaciones de m elementos to -mado s k + I a k+ I b asta tamar las variac lo ne s de m e l e -mentos t o rnados k a k y ag re g ar a l unal de c ada una de

elias uno de los m-k e l emen t o s restantes. Es [ki} pe r -suad irse de que las variac io ne s de m e lemen to s to rnado sk+ la k + 1 o b te n ido s de e ste mo do so n distintos y deque, adernas, cualquier oariaclon . de m _ elem en tos tom adcek + 1 a k + 1 f igura enire esos.

Par 10 tanto,

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T eo rema 6 . E l ns imero de combinactone« de m elementos

tomadoe1 1

a n se deiermina segan la f6rmulacn_m(m-l) (m-n+l) (1 )m 1,2 n '

1 0 . Obse rvemo s, ante to do , que q,,= m y, po r c o nsl-g uie n te o !a f6rmul a (1) e s v a 1ida par a n=t .

2°, Supongamo s que

Ck _m(m-I) , .. (m-k+l)

m '.2 ..... k

y demos t r emos que

C"H _ m(m-l) (m-k.+ 1)(m-k)m - 1.2 k(k+l) < -

Para cb t ene r to das las comblnac io ne s de m e l emen to sto rnados k + 1 a k + I c o nside remo s to das las comblnae tc-n e s de m e le rnen to s lo rn ado s k a k y ag reguemo s a cada

una de e lias, como e l (k+ l)-e sirno e lemen to , uno de lo srn-k e lementos restantes.

Salta a la vista que de e sta fo rma se o b tendran to daslas c omb inac lo ne s de m e lemento s to rnado s k + I a k + 1apareciendo cada una de ellas k+I veces.

En eiecto, la combinacion a1• aa, . , '. ak,. aH se obtendraa J agregar e l e lemento aJ a la comblnac to n a~, a a • . . . , a••a~+1'al ag regar e l e le rnen to oa a la comb lnac ion at. aB •• • '! ali.

a"+I' e tc . , y, po r ultimo , al ag reg ar e l e lemento ab:+i a lacombinaci6n all a~•... , ak' Por 1 0 tan to ,

Ck+l- C" m-k _.m (m-l) (In-k)

m - mk+J - 1.2 k(ktl) •

Teorema 7. Cuaiesqu iera que sean . lo s n tim ero s a ! J b Y

el namero natural n tiene [agar fa formula

(a+b)n =a" +C~an-lb+ •••...+C~an- .rbl +...+C::-1abn-1 +bit (I)

(f6rmula del binomio de Newton).10:. P ara n=I tenemo s a+b=a+b y, par oonslguiente,

la formula (1) es valida en este caso,2°, Sea

(a+b). t=all+C,tab:- lb+C1ak-2bt- l- ,,+b~,

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Entonces

{a +b)I:H =a+ b)A(a+b ) :-=(ak+Clall-1b+ •.• +bk) (a+b) =

= a ll+ 1+(l+e n a f : l . b + (CL+ C l) a"-lbi -I- .•.

...+ (e l +Ct~'l) k - o r b ITl + ... +6HZ•

T omando en conside rac lo n que q+CiH=m . ob tene rnos(a+ b)k+1 =k+1 +q+lakb +

+G1+tak

-1b

'+ ...+Ci~\ak-"bs+l+ ..• +-b4+J~

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----------------- --_._., --• .--- ..-

EPILOGO

Yu. A . Ods/eo

La induc c i6n e s e lpaso de to par tic u lar a 10 gene ra l Is de due -c l6n , de 10 general a 1 0 part lcular . Es sahldo el pape l que de se rn-pefian los procesos de sin iesis de ob re rvac iones y expe remen t09

aislados (0 sea, la tnducc ten) en las c ienc las e rnplrlc as. En c amb lo ,las M atematic e s sle rnpre se han c o nslde rado c omo un mode lo c liisic ode aplJcaci6n de me to do s puramenle deduct ivos ya que slempre saso pre en tendla, e xp,lIc i ta 0 Imp I!c ifamen te , que to das las proposici one smatematte as (salvo lo s axlo rnas, pro po slc lo ne s de partida) se d emues-

tran, mientras que las aplicaciones concretes de estas proposlctonesse inf ieren de las demostraclones, valldas en el csso genera l , (deduc-d6n).

Pe ro le emo s: .L a lnduc c lo n se emplea amplfarnente en las Mate-rnaticas, pe ro hay que hacer lo con enlendlmlentcs (pi igina 9) 0 clC6modebe emplearse la Inducclcn en las M atem litic as para Jlegar siemprea concluslones judas?l) (pagina 8). tQue signif ica esto? c'.No querr ! !decir que entre los metodos maternaticos extsten ~correctos. 0 infa-lib !e s (d ed uc tivo s) y t ) "uHodos«po co se gu ro s» (indudivos) que a vec e s,y espec iatmente en manes inexpe rtas (0, como dice e l autc r, apllc e -

do s COD , ligereza,), fa llan? S i e sto Iuese asi, e d6nde e st.a e l c rite riade se gur idad de estes metodos dnductivon? tC6mo recuperar la sa-guridad ene l caracter irremisiblemente ohliga to r io de las ccncluslo-ne s rna tematic as? ,-0 se trats . de una situac io n sin sa llda y is valide zde los razcnamlentos matemstleos e s de 1a misma natu ra le za que le ssin te sis expe rim entale s de las c lenc iss e mpir tc as y. par 10 tan to , nee star ia de mas e co rnp ro b ars una vez mA s un he che demo strado (comoa menudo se re com lenda a lo s e sc o lare s que e c ompruebe r» las 0rera-c l ones arJtmeticas rea l rsadas 0 la so luc l6n de una e c uac te n he Jada8igulendo una formula general)?

La realidad es 'dlstinta, La fnducc/6r1 (0 sea, la sugerencla de unitIdea a una hlpo te sis) sin duda de5em pefla en 1M MatemdticaS un papalImporfanta, perc puramente eurlstlco: permlte adivinar eua ! debe Set,segun todas lasaparien cias . la so luc .i6n . Pe ro las proposicioftes mate -m aticas se dem uestran s l empre deductirJamenie. N ing60 re sultado mat~ -matico pueda consldersrse \u sto . 'valido , si no ha stdo deduc ldo delas prcpo stc lo ne s de partIda.

1) Esta fo rma de enfc c ar la dnducc len en las M ate ltJa tlc as, e s ya( ;8s1 traditional e n lo s tex to s e sco lare s, inc luso , en lo s m as modernes ,

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Pero, i.Y el «metoda de induccl6n matematlcas? Lo que sucedees que la cil1ducci6n matematlca. es un metodo tkductJw. en efedo,

c o nslde remo s co n mas de tal1e 18 e st ru c tu r a de lo s rae cnamlento s rna-temliticos que aparenlan ser un cpaso de 10 particular a 10 generab.Es Uci!. persuadlrse de que la !lamada induccl6n matem6tlca no es,de heche, inducclon: r e s un rnetodo de razonamiento puramente deduc-tivol La demostraci6n por esle melodo consta de dos partes: I) L abase, Q sea, la demostraci6n (]deduct ivII) de la propostclcn para unnumero natural (0 varlos: por ejemplo, para 0 6 1; en 'a paglna 13esta parle se denomina «Teorerna la) y 2) el paso tnductto» (cTeore-rna 2.) que conslste en la demosirac!6n (tarnblsn d~duotiva) de laproposicton general: para todo 11 es cierto que Is valldea de la pro-posid6n para n irnplica su validez para n+ I. EI «principio de in-duecien rna tematlca» (pagina J2) es una proposic . i6n preclsa (cuyaevidenc13 in tu i tiva e s ac e p tada pe r mucho s mate~H H ico s c om .o i~ d .ls.cu t lb le aunque 8 Ia hora de 1 0 1 exposicl6n ax lomabca de Is A r l tmetlcafigure como un axloma) que permlte obtener, a partir de la base ydel paso lnductlvo, una demostrad6n puramente deducU va de laproposielon para t od o s los nameros naturales n. Por constguiente, noqueda ningun caso que no haya sldo eabarcado po r las hfp6tesi9 ya1 que aun debe hacerse extensive (par inducc i6n) 10 proposlcicn: elte o rem a p re ctsam e nte se d emu estra para t odos los numeras naturales:de la base dernost rada. digamos. para el nurnerc 0) ob t en emos apll·cando el paso lnductlvo la demostraci6n para el mimero I y despuesde 11\ rn lsm a forma para 2. 3, ... De este modo el teorerna puede serargumentado para cualquler namero natural r>.

En o tras palab ras, e l nomb re de «Induc c io n matematic as se deb esimplemente a que se asocia en nuestra consclencia c an lo s tazona-mlen los clndueUvost trad tc io aale s (ya que Is base efeclivamen!e sedemue3tra 8610 para un cuo parttcular): pero el paso Inductlvo, adiferencla de los criterlos, basadosen Is experiencia de veros!ml\ltudde los razonamlent.os Lnduc t ivos de las clenclas natu ra les (y scctales),as una DtOl'osicl6n general que n o n ec es ita de n in gu na h lpO te .s ls p ar ti.

cular y se demuestra segUn los rlgurosos canones de los raeonamreatosdeductivos. Es pOl" eso que la einducclens maternatlca se denominatamb£en «completa, 0 .pe r fec ta1 ya que (8 dlleraneta de la Indutci6neorriente, «imperfecta •• que no gtmantlza el cO flt>C im ienlo com p teta) e sun metodo deductivo (ede 100% de segurldads) de demoatraelea,

Es declr, ta Inducci6n en tantoou« ~todo de derru)Jtraa6n nouem plea en las M a tem dticas 2 > ; pero esto no excluye en modo alguna,per supuesto, la amplla apllc.aci6n .en elias del metodo dedud!vo de«induc c!6n m ate rna Hea»,

1) Ace r c a de los problemas que se plantean a l arg um entar de estafo rma e l mHodo, vease 1a ll te ra tu ra Indic ada mas ade lan te ,IIHemos mencionado ya de pasada el papel fecundo que desem-

pens Is lnducci6n ecorrlentes (cincompieta.) en 18 formad6n de hi·p6te sis mate rnattc as que co nduc e n 31 descubrimiento de nuevo s he cho s;de esto y de la relaci6n entre la inducci6n «corrientu y el metodode inducclon rnatematlca se lrala con mas detaIJe en el Iibro «LasMatermHicas y los rasonamlentos veroslmlless de G. Potya. volumen [(espectalmente cap. 7).

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Entend lendo asl e ste tlirm ino no s pademo s. c lsro e sta , pe rm i tlrIs I!b e r tad de emple ar trase s como c induc c io n en Ia Geome tr ia '1 ,) 0

«induc c i6n en las M atematlc . as,.. Pe ro siempre debe tenerse presenteque la pr lme ra exr re si6n . hab lando am r ig o r . tie ne un sen tido to ta l-men te d .istin to de que . tie ne 18 expre si6n vo lum ino sa (Ipe ro pre c isa '.)«o p lic ad6n de l m e to da deduc tivo de induc< :i6n matematic a a la de -mo slrac l6n de te o remas de e o n te n ldc g e ome frko , y que la segunda .expres i6n, a despecho de lo s c r lle r lo s g ramatic a le s. no e s 10 rnlsmoque la «lnducc l6n matematic a :t: e ste u ltim o te rm ino . d .e b e c o rnpren-derse en ctJ n/un to y no como dnducc lon en las Matemahcas» .

EI metoda de induc ci6n m atematlc a (en 18 fo rma expue sta en estel ib ra) e s un me to da de demo strac i6n de te o remas arttnuttco« 0, mas

riguro samen te , de te o remas re fe re n te s a las pro p iedade s g ene ra le s delo s numeros na tu ra le s (0 , J, 2, .,.;a ve c e s, como suc ede en e stellb re , la suc e si6n na tu ra l se comtenEs c o n el I . pe ro e sto no e s unacue stJ6n de princ ip ia). Y para Ie A ritm tH Ic a de lo s nume ro s na tu ra -le s e ste me,todo en c le r to sen tldo (razo nab le y arnp llo ) e s e . ! Ins t rumentouniversal (y a veees (mica) de demos t r a c l6n .

Para que esta ultima aflrmsc l6n no Ie pare zca a l le c to r e xag e -rada deb e te ne r e l c o nvene lm ien lo de que la ed ific ac j6n axlomatic a(deduc tiva) de la A r i tmet i cR se b asa e n 1 ,£1de fln lc ie n, por induce/onI IUl temati r :a, de las o pe rac io ne s c o n lo s numeros naturales (par ejernplo,para deflnir Is adlci6n se define -base de la induc c i6n- Is ad ic l6nde l i()e l 0 y de spue s -paso Inductlvo-c Is ad ic i6n de un m ime rona tu ral c ua lquie ra se re duc e a 18 adic i6n de l nume ro precedente).

POt e so , e s evldente que para c1 le g an a las pro piedade s g ene ra le s delo s nume ro s na tu ra le s re lac le nadas, d Ig amo s. c on la s o pe rac lo ne s deadic16n 0 de muitipH cad6n debemo s usa t (SI que remo s arg um enta rax lom.Hkamente e st as pro piedade s) Ia rn tsma fescalera2 (cuyo «esoa-J6 ~1 in fe rio r es la propledad co r r espondien te enunclada para el nu-me ro na tu ra l rnlnimo) que empie amo s para «ascender- a1 c onc ep tog ene ra l que no s interesa; hablando flguralmenle. no hay otra fo rmade «agarrorse. a 10 demos l r a c i6n necesaria, Y as! o curre c o n la de-

mosfrac i6n de to das las ~ ro po sic lo ne s ar itll je t ic as. Y sl e sto no se veen e l c urse escolar de la A rltm ~tic a 0 de l A lg eb ra e s po rque e se curse(c o n much a raz6n) se hasa no tan to en e l me to do ax lomatlc o c omoen e l e xpe r imento y Is In tu lc le n I). A I fin y a l c abo , inc luso e l lectormas m etlc ule so r . c r ltic o se c onfo rms a menudo co n sab e r , d ig amo .s.que 1 8 le y d lstrfbu tiva de la rnu lt tp llc ac ldn re spe c to II 1 8 adici6n atpl/ede demos t r a r y no_exige Ia demos t r a c i6n misma . (Pe ro e sta se gu-r idad- , aunque e ste b ie n fundamentada, d ifie re de la demo strad6nau Umtic a tan to c omo difie re , par ejemplo, una info rmac i6n pe rio d Is-

l) Este e s e l nomb re que , para ab revla r , han dado L. /, Golovillae I. M . Yaglom a su Ilb ro (Edito r ia l M I~ , 1975) c o nc eb ldo c omocont lnuacldn natu ra l de l lib ro de r. S . S om inski.

Il) Po r o tra par te , e uando en e l e urso e sc o la r se denrue stran pro -p ie dade s g ene ra le s de lo s nume ro s na tu ra le s si n emple ar para e llafa induc tio n , e sto se deb e a que se utili tan (a ve ce s im pli'c itam e nie )como hip6 te sis p r~ po sic Io ne s. que, para su Iundarnenlaclan rrgurose,

freclsan Ia inducd6n (de la misma fo rma j u e e l emple o de l po stu -ado de las para te las en la Geome tr la -e uc l de a se puede (c amufJautomando en su luge r uno de sus c o rc la r io s),

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tica de \0 que sabe autent icamente el testigo; adernas, esta analc-gia va muy lejos.] Por esc, en el curse escolar el metoda de Indue-

cion materna tics apareee mucho mAs tarde que las propledades. in-tui tivarnente claras y hicllmente e.simiIB\;Jles, de las oper aclonesaritml'.lic8S; por ejemplo, en relaclon con la formula del binomiode Newton de la que no puede declrse que su valldez (salta a Lavisla~.

O tras ramas de las Matemllticas neeesitan del metoda de indue-ci6n matematlca en 13 misma medida en que emplean la base arlt-metica. Esta necesidad iiene dos aspectos. Ante todo, muchas ramasmaternsttcas se ediflcan d lrecisrnente sobre la base arrtmetlca de losnumeros naturales (digamos. Is teorta de los numeros racionales que

conduce. a su vez. a la teorla de los numeTos realesj; en cambio.otrss pueden ser in ter pre tadas en termlnos arttmellcos (par ejemplo,tcdo resultado de la Geomeirla euc l ldea puede se r expresado en elJenguaje cdc coordenadase de los rurmeros reales), En estos essos,las p to po slc to ne s de earae te r g co me tric o , digamos, se pueden demos-trar median te la induccldn maternauca empleando esta fn te rp re tac ionaritmetica. Se puede dectr que 0.1caracter geomet r l co 0 de otra Indolede estas propostclones no es mas substaricial para la demostraclonque, por ejemplo, 1 8 naturaleza de los objetos en e1 problema rela-tivo a l a adtc lon de tres y cinco pepinos 0 de tres y cinco barcos.(El lector podra encontrar ejernplos sernejantes en este llbro ..)

Pe ro suc ede tamb len que la base de 1a induccion se demuestrapor m eto d as esencialmente no adtmeticos 1). Sin embargo. lambieneneste caso represents el paso inductivo (aun cuando se base enaxiomas geometrieos U otros) una proposiciolt general sobre los nll-meres naturales puesto que 51) Irata de la validez de una propledadpara lodo nurnero natural n ~).

Es declr, 18 lnducclon malemat1ca seguri los nu rne ros naturalesas till metodo de demostraclon de teerernas aritrnetlcos epor su for-rnas , pero quid geometrtcos 0 de cualquier otra Indole [mecantcos,per ejemplo) «por su con tenldos.

seiialemos tambien que el metoda, tan lructllero en las demostra-c lo ne s que slguen e l p ro c e so de ccns t ruee ten de 18 suces ion natural0, I. 2, ...• puede ser extendidetambie..n a proeesos de indole muydistinta. Por e je rnp lo , en los c alc u lo s de la L6gica matematic 8 ' queoperan call f6rmulas (<<propos idones») obtenldas de «formulas elemen-laleSl (epropostclones elernentaless) de tipo A, B. C, ... mediante,digamos, los signos & (<<y,). V «Oll) , ::> (<<si ... ,entonces ...• ) y l(.no~), las propredades generales de las f6nnulas se dernuestran em-pleando la Uamada inducci6n por construcci6n: se demuestra que I )estapropiedad es vallda para cualquier formula elemental (base) y que2) sl esta propiedad es valida para las formulas X e Y. tamblen 10es para las f6rmu las (X & V). (X V Y). (X ~.Y) y lX (paso inducti-vo); de aqui se deduce que Ia proposlclen sonsiderada es valida paralodas las f6rmul as de este lipo. La analogia que .aqul se observa con

I ) Vease, P O I " ejernplo, el libra ya menclonado .1nducctcn en18 Geome tria) de L. I. Ool(ltlind e I. M. Yaglom. .. ') Es declr, el proplo paso «de nan + It se demuestra para todo

nume ro na tu ra 1 It.

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51

1.1llnduc c io n malemattc a expuesta en este ! ib ro e s tan palpab le quesalta a 13 vista lncluso de un lector Ioexperto.

En g ene ra l, to da c o nstruc c lo n matemattc a (0 16g ic s) c onsts-ten te en e l paso de uno 0 var io s o b je to s in itia te s a o b je te s nuevo smedian te una 0 var ias o pe rac lo ne s de paso , puede se r c on sld erad ac omo e l fundamen to de l m e to do c e r re spendle n te e induc tivo » (que .c omo hemo s vlsto , e s purarnente deduc tivo ) de de fin lc i6no de de -most rac ien , (.4. propcslto, e l pape l re la t ivamenle suped l tado quedesempena la tnducc len matematlca en e l AnaJisis matemat lco sede be pre c isarne n te a que lo s nume ro s re a le s, a d ife re nc ia de las na-tura les, no so n re su Itado de IU na c o nstruc c io n ne ts que se de sarro lIase gun e sta lo rma, de mo do que dislin tas .i.nducc io r le s se g un lo s

nume rus re ale ss e stan muy le jo s de tene r el carac te r universal quet ie ne la induc c lo n mate rnatic a en Is Arltm'Wca y su modlficaci6ne n Is Logica matemat lca . )

En cuan to a las p re gunlas de c arac te r general matemat i co 0 16-g leo que puedan surgtr le al lector. 10 rem itimo s a la llte ra tu ra e spe -c iaP ). En e arnb to , e l p re se n ts lib ro slrve muy b ie n pua dar a c o -no ce r las ap llc ac lo ne s concreta« de l m e to do de induc c io n matematlc aelemental.

1) Vease, por ejemp!o, JJ. Fessu«, 0 MaTeI! l8TH' IeCKORl1HJl .yKI. lKH,

M.,~H3MaTrR3,

1962 (L. Gnenkin. Sabre la inducci6n maternities);H. B. A P H O l l t J i J , TeOpeTH'IeCKBiI apll IpMeTIfKa, M ., Y'Inc.u.rH3, 1939(I. V. Arnold, A rltm etic a le6 r ic a); S. C. Kleene, In tro duc tio n tom e tam athe m atics, Am ste rd am , N e w Yo r k and T o ro nto , 1952(S. C. K le ene . ln tro duc c lo n a las Melamatematicas, § 7, 13 , 21, 3 8y o l ros) ; KMaTeM3TH'IeCK811 HHIlYXQIHI» ~HJlOc*Kali '1Hl(HKJlOne,ll,HR,

M., 1964, T. 3 [e lnduccicn matematfcas , Enciclopedia filos6fica, v. 3).

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SOLUCIONES 1)

I. Htpctests

un=3n-2.

I'. La hlp6tesls es dJida para n=1.~. Sea

ulI=3k-2.

Entonees

Uk+l=Uk+3=3k-2+3=3 (k+J)-2.

2. Hip6tesis

S,,=2n-1.

II. La .hip6tesis es valida para n= 1.2 ' 1 . Sea

Entonces

SHI =S.+21 1

=211+1

-1.

(Po dlamo s Iamb te n Io rme r dtre c temen te 1a d tle renc la 2S,,-Sn ,mostrar que es 19ual a 2"_1.)

3. 1'. La proposici6n es val io para 1 1=I ,21. Sea

Bntonces1'+31+...+(2k-1P+{2k+ 1)I=k (2k-l~ (2k+l) +(2k+ 1)1=

_ (11:+ I) (211:+ 1) (2k+ 3)- 3

1) S610 Indlcamos lo s numeros de los problel l l4S. L a soluclen delo s eJtmplos se da en e l le x to .

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53

4 . '" . La prcpo slc len e s v'H da. para n=I •2". Sea

P+23+ ... +k~= [fiI(fl.2+ n r .Entol'lces

1~+21+....+k3+(k+l)a=

=k· (k4+1)1 +(k+l)8 =ek+I~(k+2)r.

5. la, La proposicl6n. es valida para n= 1.

2°, Sea

11. II. xk+1-11+ x + . 1 " + ...+x= x-I •

6., La. La proposie l.6n esvUJda para II= .I -2°, Sea

1.2.3+2.3-4+, .. +11(1:+1) (k+2) k (k+l) (k+2)(k+3)4

Enlonces

1·2·3+2.3.4 +...+" (k+ 1),(k+2J,+(k+ I) (k+2) (k+3)=

k (k+ 1) (k+2) (k+3) + ( 1 1 : + I) (k+2) (k+3),=4 .

(k + 1 > (k+2) (k+3) (k+4)4

7. (0. La proposki6n es vlilida para 11.=1.

~ . Se a

I 1 ,j k

1.3+3.5+'" T(2k-l) (2k+ I) ,211+ 1 •

Entonces

8 . II, La.propo sic i6t1 e s v'lida para n= l.2" , SeB

l' 2' I t ' / ,

'.3+3.5+'" +(21:-1) (2k+1)

1 1 : .(k.+ I)

2(2k+l) .

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54

Entonces

l' 21 k' (k+ IFn+3.5+···+ (211-'1)(211+1)+(211+1) (2k+3)

k (k+ I) (11+ IP2 (211+ I)+(.2k+l) (2k+3)

-(k+ )k(2k+3)+2(k+l)=~ 2 (2k+ I) (211+3)

(k- I - I) (2kl+511+~) (II+ I) (2k+ I) (/I +2)=(2k+'I)(2k+3) =. 2 (2k+ 1)(2k+3) .

(11+1) (k+2)

2 (2k+3) •

9. Ill. La proposki6n es valida, para n=2g• Sea

I I, I k

1.4+4.7+···+(3k-2) (3k+I)=3k+I'

Entonces

1 I til =

n+4.7+···'(3k-2) (311+1)+(311+1) (3k+4)=

k 1 k+l=311+1 +(3k+ I) (3k+4)3k+-"

10. ID , La propeslcion es valida para n= L2", Sea '

I 1 I k

j.5+5.9+"·+(4k-3) (411+1) 4k+I'

Entonces

I 1 1 I

1.5+5:9+ "'+(4k-3) (4k+ 1)+(4k+l) (411+5)II I k+1

=4k+ 1+(4k+ I) (4k+5)=4k+5'

11. 10, La proposicl6n es va[fd.a para n= I .2g• Sea

J , ,I I ' I Ita (a - 1 - J) (a+ I)a + 2) +.. .+ ( a + k -I )(a+ /I)' tJ fa +.It) .

Entonces

I, 1(I(a+I)+ (O+1)(a+2)+'"

I I

.. '+(a+k-l) (a+k)+(a+k) (a+h+1) =

k, 1

a-(..... . . , . .+... . ."k)'(a+k)a+k+ I)=

k+l

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55---- . ._ ..,--_....__ .__-------12. I". La propostclen es val ida para 11=1 y para 11=.2.2°, Se an

Q'.It-l~~~-l all-tl.llU~-2 a-~ Y UI<_I= a,""" : 'p .

d.1I+1_~k+l

a-~

I~•. 1". Siendo n={). lenemos

1 1 2l+x=x-J+-x '

o sea, 18 proposid6n es valida.2°. Sea

I : 2 4 2k

l+.t+ I+xi + I+.r + ...+ 1 + . 1 ' 2 1 1

1 2~ -1-1

=X-I+I_xt.t+1

En tonces

I 2 4 . 21 24+l

I+X+ H-x 3 + I+x' +".+-1+.1 '211+ l+x3/;~1

J 21<+1 21<+1

=x-I I 1_.1'311+1 + I+x~1I+ L

I _ 211+1

=-.1'--1 +-I-X-I"" 'II- :-+-~

14 . P ara n= l e n emos

x x-II-1T=--I!-'

Para n=2 t enemos

J x 1 x(.1'-I)

-ITT 21

_x-I+.1' (x-I) _(x-I) (;<:-.2)

I 2 - 2! •

Para n=3 tenernos

l_~+X (x-I)_x (x-I)(x-2)

JI· 21 31

(x-I) (x-2) x(x-I) (x-2)2 ---6--=

(x -I) (x -2)(.1'-3)=- 3 )

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Esto sugiere la hlpctests

l _~+X(X-l) _ +(_I)"x (x-I} •.. (x-n+l)II 21 .•. nl

=(_1)"(x-I)(x-2) .. ,(z-n),nl

Lo . La h i potesises v a l j da para 11=.2°. Sea

.,_.!_+x (x-I) +(_1)"% (x-I) ... (x-k+ I)

.. II 21'" k!

=(_1)- (x-I) (x~~) ... (x-k).

Entonces

- J _-=-+X{X-l)II 21

+ (-1)- (x-- I) (,(-2) ... (x-k + 1)+.•• hJ

+(_1)11;.1 x (X-(t~'I)\X-k) ""'"

-(-I)k (X-l)(x-2) ... (x-k)+- kl

+{_ I ) k - l - l x (x-1) ... (x-h). (~+ 1)1

=_1)11+1(x-I) (.(-2) ..• (x-k) [ x__ I]=hi k+1

_(_ 1)11+ 1 (x-I) (%-2) ..• (x-k) (x-k-I)

- (k+I)!'

,5, 1°, La proposici6n es valida para n=O.2°, Supo nga rno s que la ptcposlcidn es vall da para n=k,

- o se a, que

Ak =111+ 11+ J2ill+1.

~s divisl ble por 133, Entonces

AIIH = 11"'+8+ 121111+1)+1= l1k+a+ 12u'H=

=f.[IA-H +-144 .1214+1=

= 1\ .1Ik+1+ 133,121/1+1+ 1l.12~H·l==I (lIHI + 12Ik+1)+ 133.121"+1=

=llAk+ 133·121i1+1,

Hemo s representado A.HI como 18 suma de dos te rm Inos divlsibles-cada uno par 133. Luego, Ak+l es dlvlslblepcr 133.

18 , 1°, Salta a la vista que Ia prapo sjc i6 it e s valida para n=I.2°, Supongamos que lapro pasic i6n e s valida para n=kc, 0 sea,

que k rec taa dlvlden e l plano en 2k IIngu lo s; la re c ta (k+ I)·esi roa-d tv ld e e n d os pa r t es d os angulo s ve rtlcale s a 13 ves , e s dec ir, aum enta

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e.n 2 el nt1m~r? de partes engue est! dlvldldnel plano.11:+1 r e ctas d lv lde n el plano en 2k+2=2(k+l) partes.

17 .. 1°. L a proposici6n es viilida para n o = : I ya que

s e n ~x s e n f + ( sen 3 ; -sen ~ ) I---,,------'----x---.... 2 +cos x.2 sen 2 2 ?e n

2

Po r e so ,

Ententes

I2 +cosx+CO$ 2x+ ... + COskx+cos (k+.I) .x=

2k+1sen--

2-- x

_____ +cos (k+ I)x=

2 xsen "2

2k+! xsen~.x+2sen2 cos (k+J) x

x2 sen '2

sen¥x+( seo~x-sen~x)

x2sen2 '

2k' 3sen __:C_X

2

x2 s e n '2

18 . 1°. La prcpo slc ie n e s valida para n= I ya que

2senx-sen2x 2senx(l-cosx) senx.

2°, Sea

s en x+2.s en 2x+, .. +k sen kx=

( k e + I) sen kx-k sen ( k e + IIx- x4 sen~ - 2

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Enlonces

sen x+2 sen

2 . x + . . .+k sen u+<"+1) sen (k+ I)x=

(k+ I)se n kx-k;en (k+ \) x + (11+ I) se n (11+1) x=

4senllT

( k + n sefl kx-ksen (k+ l)z+-2 f . e+ - I)sen (k+-I)x (1- co s . t : )

4sent ~2

=(k+2) sen (k+ I)x+(k+ I).sen kx,

x

4sen1

2"2 (k+ I) COS x sen (k+ I) x

4sen1!_2

(11+2)sen (k+ I)x+(k+ I)sen.il:_\;

4 sent I f

(k+l) [sen(k+2)x+senkxJ

4 sent . = .2(11+2)sen (k+ l)x-(k+ 1) sen (11+2)x,

4rena:""2

19 . I Q. La pro po sic i6o es vallda para n . = I ya que

2 wax-cos 2x-1

4 sen: !..2

2 cosx-2 cos' x

4 sent-=-2

cos x (I- COs x) =C05%.

2senl ~2

2°, Sea

cos x+2 cos 2x+ ... +k cos kx(11+1) cos kx-kcos (k+ 1) x-I

4scm·..!.2

En tonces

cos x+ 2 cos 2x+". +k cos kx+(k+ I) C os (k + I) x=(k+l) cos "x-II c~s'(k+ I)x-l +(k+ l) cos (k+ 1)x=

4 sent2

=(k+ I) cos kx-k cos (k+ I)x-I +" senL~.

2

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5 9

+ 2(k+l}cos(k+l)x(l-cosx)x

4sen~2=(k+2} cos (k+ I) x+(k+ 1)cos kx

4 sen2 = -2

2 (fl+ I) cos.t cos (.1.:+ I) x+l

4 senz":,,2

(k+2) c o s (k+ t) x+ ( . I . : + J) co s kx::= :: - - - -

x4 sen'2"

(k+ I){cos(k+2)x+cos kxJ+l ::::3

4 s en a..~ -2

(k+2) co s (k+ I)x-{k+ 1) co s (k+2)x-1

x4 sen2'2

20. 1°. La proposlci6n es valida para n=I ya que

x : rI x I x 1-g8 ' " 2 tgl ' " 2 I :t :

-clg--dgx=-ctg -- "fIB2'2 2 2 2 2 tg ~ 2 tg ~

2 2

2". SeaJ x I X 1 xl x2" tlf2'+Ftg2T+'''+ 2 -- tg1k=2l'"ctgw-ctI iP:.

Entonces

I % I x 1 x I x'2 Ie "2+"2i ' Ig F+ ...+-p- Ig 211+2i+i tg 2'" +1=

I x I x=h<:tgw-ctg x+ 2i" 'Zi tg 2.t ... L=

x1 ctg' 2"+1-1

=2,.+1 x +-----ctg2.+

12k+1ctg_X _

.. 2"+1

ctgX=

1 x=2" +Lctg 2k+-ctg.x•

21. 1°. T enemo s

tg (arc tg 2 -arc tg 1)2-1

1-+·2·1 a - -

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€ O

POI eso,

I .

arc tl;2-arc tg J =s.rc. tg g=arc c tg 3.

o sea, Ia proposiclon esv elida pars. fI = = !•2" .. Mostremos, ante todo, que

. k+2 Iarc ctg (2k+.3)= arc tg k+ 1- arctg .. (I)

o sea,. I . k+2arc.tg 2k +a=arc ctg (2k+3) =arc tg k+ i-arc Ig I,

Suponga mos que Ia proposlclcn es v a Hda para n=k, es decl r, quearedg 3+arc ctg 5+ .. ,+arcctg (2k+ 1)= .

3 k+l='arc tg 2 +arc tgZ+'" +arc tg-k--karc tg I, {2~

Dernostremos que. en tonces, lamb ie n es val ida para n =k+I,o sea, que

arc dg3+lIfC.ctg 5+ .•. +arc elg (2k+ I)+arc elg (2k+3) =, . .3=rc tg 2+ arc tg2' + ...

...+arc tg:~ ~-(k+ I) arc tg .1. (3)

En efecto, surnando miembro por mlembro las igualdades (I) y (2).obtenemos la igualdad (3), .

22. 10• La proposici6nes val lda para Il= y .a que

·'~ 3 • 2 ( .n . l't )I' "-17 .1;0Sti-lsenij .

Enlonces

(]I3-i)hl=21 r (cos k6"-isen k6l't) 2( cos ~ - i s e n : ) ==2.t+l [ cos (k+

61)n i sen (k+

61) n] •

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61

23. )0. La proposiciones valitla para n= 1.2°. Se a

En tonce s

(cos ..t:+i sen x)k+l =cos kx+1 sea kx) (cos x+i senx)=

=(cos kx cos x-sen IIx senx)+

+i(cos kx sen x-l-sen kx cos x) ==cos (11+0 x+i se n (k+ I)x.

24. Es erronea la ultima [rase: "Hemas demostrado la proposlcien",E rt ve rdad, hemo s demo strado s610 que la deslgl. laldad

2" > 2",+ I

es vallda para n=k+ I sl 10 es para n=k, donde k es un numerona tura l cualqulera.

D e aquf no se deduc e to davia que la deslgualdad se cumple almonos parll un valo r de II y, c o n m as razon . para un numere n a tu ralIi cualqulua.

En una palab re , el error conslste en que hernos demostrado sOloel teorema 2 y no hemos conslderado el teorerna I, 0 se a no hemosc r eado la base para la Induc c lo n, ,

25 . Sal ta 8 la vista que 3 e s e l meno r nurne ro natural Ii parae l c ual se cumple Ia de sigua ldad 2" > 2n+ 1.

Pues to que la validez de e sta de sigua ldadpara n=k implica Sit

valide z para n=k+l (p ro b lema 24 ). podemos afirmar que Ia de si-e ua ldad se cumple para cua lqule r nurrre ro natural n ~ 3.

:ffl. 1°. La desigualdad se cumple para n=2 ya que

I Yr~

1 + l"2 > r 2.

2°, Se a

I + I, L 1 «r:. .YI . Y2 I...-,Vii > r ,.. (1 )

Oe.mos t r emos que

I I I 1 yrLTO

y/j +~r-+...+Y/L+..7:1"'1 > r I I + I •,It' 2 t' k t' k+ 1

Para to do k~O se c :umple la de sigua ldad

~ > Vk+I-Yk.

En eiectc, la desigualdad (3) equi'lsle a esta otra

l+Vk~I>1

(2)

(3 )

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62

que se eb lie ne mu I tIp Iic ando ambo s m lembro s de (3 ) po r Y 'k :+i +Yk·SU ID andO ' m iembro po r m iemb ro las de sigualdade s (J) y (3 ), o bte ne -

mos I.desigualdad (2).

2'7. 1°. Para "=2 la desjgualdad da I: < 6 y, par conslgulente ,

Ie rumple.2n. Sea

4 1 1 : ( 2 k ) l

k+ I< (kIl1

donde I t . ~ 2. Es facil cornprobar que

4 I I I + I) (2k+ 1)(2k+2)k+2 < (k+ 1 , - ·

para ~ > O. POt eso ,

41 1 4(k+ I) (2k)1 (2 k +1)(2k + 2)

1+1' k+2 < (kl)2 • (k+1)2 •

o sea,

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A nuesiros leotores:

"M IR " edit a llb ro s so vie tic o s traduc ldo s al e spafio l,ingles, frances y arabe. Entre elias f iguran las mejores obrasde las disiintas rarnas de la ciencia y la tecnlca: manualespara lo s c en tro s de ensefianza super ior y e sc ue las te cno l6-gicas: llteratura sobre ciencias naturales y medicas. Tarnblense lncluyen monografias, Iibros de divuIgaci6n clentliica yciencia Ilccion.

Dirijan sus opinlones a Editorial MlR . I Rizhski per. 2,

129820 Mosel! GSP, 1-110, URSS.

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M IP, PU BLICA :

Liusfern.ik L.

LfNEAS MAS CORTAS

EI caleulo de vsriactones es una aelas ramas de las MateDul.ticas moder-nas mas ampliomente desarrolladay COD numerosas aplicacienes en las

ciencias naturalesy la tecnica. Tratalas magnitudes que dependen de cur-vas y busca aquellas que expresane1 valor minlmo 0. maximo de estesmagnitudes. Sus orlgones so remotana) tiempo en que Galileo plante6 elIamcse problema eob r e Is braqutsto-crena: esta ultima MIll curve que uned?s -puntos dadoa y p~r Ia cuel des-ciende , en tiempo minimo , un punta

rna tsnal, GalJJeo pensaba aquivoca-damento qne sa trataba del arco de

una circunierencia. Mas tarde, Ber-

noulll demostr6 que dicha curva eslin arco de cicloide y, con Euler y

Lagran~e, sent6 las bases del calculode varlaciones que, desde entonces,

e O I T l l l O z O I I desarrollarse t n t e n s a m e n t e ,cncontrandc cada vel. mayores apli-

caclones,

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l e e c i o n e s p o p u l a r e s

d e m a t e m a t l c a s. - . - - . - . - . - . - . - - . - . - . - . - . - - . - . - . - . - - . - . - . - . - . - - . - . - . - . - - . - . -. - . - - . - . - . - . - . - - . - . - . - . - - . - . - . - . - - . ~ . - . - . - . ~ . - . - . :

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