Industrial Noise and Vibration

Session 1A Review on Mathematics

mmonazzam@hotmail.com

درس محتوای1.5 است تئوری درس این واحد

: تدریس نحوه بشکل که درس جدول PowerPointمحتوای بشرح گردیده تهیه

است بعد صفحه جلسه هر در است قرار که را مطالبی فایل میتوانند دانشجویان

باشند داشته ایمیل طریق از ازکالس قبل روز دو شود تدریس: ارزشیابی نحوه ( خواهد را کل تئوری نمره نصف شد خواهد ترم میان امتحان یک

داشت( بصورت ترم آخر و ترم میان بود Open bookامتحان خواهد

.. و) حساب ماشین کتاب، جزوه، از توانند می دانشجویان) نمایند استفاده

آنها انجام که شد خواهد ارائه دانشجویان به تکالیفی ترم طول درداشت خواهد منفی نمره یک بخش هر انجام عدم است الزامی

) شد) خواهد کسر دانشجو کل نمره از نمره یک

است 0.5 عملی واحد : تدریس نحوه

است بهرامی مهندس خانم سرکار با بخش این اداره مسئولیت بود خواهم شما خدمت در نیز خودم جلسات از برخی ابتدای در در و 7آزمیشگاه کامپیوتر مرکز در جلسه دو که بود خواهد 5جلسه

شد خواهد برگزار آزمایشگاه در جلسه: ارزشیابی نحوه

آزمایشگاه جلسات در مرتب حضور ( هفته دو آزمایش هر برای آزمایشگاهها گزارشات بموقع ارسال

) گزارش هر برای منفی نمره تاخیر صورت در است ارسال مهلتشد خواهد منظور

بهرامی مهندس خانم ایمیل آدرس به گزارشات ارسالBahrami_parisa@yahoo.com . بود خواهد

. = + بود خواهد عملی قسمت نمره حضور نمره گزارشات نمره

ها کالس برنامه و فهرستموضوع زمان جلسات

کالس

ریاضیات بر مروری اسفند 1  1

صوت فیزیک اسفند 8  2

صدا ارزیابی اسفند 15  3

صدا مشخصات اسفند 22 4

- صوت انتشار صدا بلندی فروردين 21  5

صدا گیری اندازه فروردين 28  6

معیارها ارديبهشت 4 7

ترم میان امتحان ارديبهشت 11  8

صدا کنترل ارديبهشت 18  9

صدا مهندسی کنترل ارديبهشت 25  10

صوتی های مانع خرداد 1  11

صدا های صافی خرداد 8 12

ارتعاش خرداد 22  13

ارتعاش كنترل و گیری اندازه خرداد 29 14

Real Numbers

cabbcacbacba ,

baababba ,

0,

aa

c

a

b

a

cbacabcba

Indices

nmn

mnmnmn mn

mmnnm a

a

aaaaaaaa ,.,,

nn

aaa

1,10

Logarithms

ynxy xn log

n

xx

nx

m

mn

xn log

loglog,

log

1log

xmx

yxy

xyxxy

nm

n

nnnnnn

loglog

,logloglog,logloglog

The Binomial Theorem

222 2 bababa

32233 33 babbaaba

nrrnnnn bbar

rnnnbnaaba

....

!

1...1...1

0....

!3

21

!2

111 32

nxx

nnnx

nnnxx nn

nallx

r

rnnnnxx rn ....

!

1....1...11

Trigonometry

cos

1sec,

sin

1cos,

tan

1cot,

cos

sintan ec

tantan,coscos,sinsin

1cossin 22

22 sectan1

22 cos1cot ec

Trigonometry (continue..)

BABABABABABA sinsincoscoscos,sincoscossinsin

BA

BABA

tantan1

tantantan

A

AAAAAAAA

222

tan1

tan22tan,cossin22sin,sincos2cos

2sin

2cos2sinsin,

2cos

2sin2sinsin

yxyxyx

yxyxyx

2sin

2sin2coscos,

2cos

2cos2coscos

yxyxyx

yxyxyx

Radian Measure

rad23600 rad3

42400

n ,0cos

anaif n1sinsin

anaif 2coscos

anaif tantan

22sinsin 1

xx

0coscos 1 xx

22tantan 1

xx

Complex Numbersj86418648,864

11 432 jjjjcomplex number has both real and imaginary component

jbaz Mathematical operation is similar to real number e.g.

dbjcajdcjba bcadjbdacjdcjba Conjugate of z is *z

22* bajbajbazz

adbcjbdac

dcjdcjdc

jdcjba

jdc

jba

22

1

nn zzzzzzzzzz ***2

*1

*21

*2

*1

*21 ,,

Modulus (magnitude) and Argument (angle)

22 bajbaz 2** , zzzzz

a

bz 1tanarg

Polar Form of a Complex Number

The argument can be written:

Therefore

z

b

z

asin,cos

sincos jzz

21212121 sincos jzzzz

21212

1

2

1 sincos jz

z

z

z

Polar Form of a Complex Number

...!

...!2

12

r

xxxe

rx

....!2

1...!4!2

1cos242

r

xxxx

rr

....!12

1...!5!3

sin1253

r

xxxxx

rr

xetheinjbyx Replacing

sincos..!5!3

...!4!2

15342

jje j

(Euler’s formula)

Polar Form of a Complex Number (continue)

Z can be written as:jezz

sincos je j

sincos je j

j

ee jj

2sin

2cos

jj ee

Fourier Analysis(Joseph Fourier (1706-1790))

* Fourier series It enables periodic functions to be represented by infinite

series of sine and cosine terms. for a function nTtftf

Fourier series for the function is:

1

0 sincos2

1

nnn tnbtnaatf

T

n

T

n

T

dttntfT

b

dttntfT

a

dttfT

a

0

0

0

0

sin2

cos2

2

Fourier Analysis(Joseph Fourier (1706-1790))

Infinite Fourier Transform and inverse Fourier Transform

dtetxXtx tj

dteXtxX tj

2

11

Fundamental concept

Wave: Any moving form-some shape or pattern that travels along without

carrying all the medium with it. Some type of wave:

Water wave Wave on string- musical instrument Mexican wave Wind causing wave Heat wave Electromagnetic wave Sound wave ….

Velocity, Frequency and wave length

The velocity of a wave (c): the speed at which its

wave-form travels along, the speed of any labelled part of the disturbance.

The frequency of a wave (f): The number of oscillation it

makes in 1 second. In 1 second the wave has

travelled “c” metres so that “c” metres contains “f” cycles of the wave.

Hence in space one complete wave is c/f metres long (wavelength λ)

The time of one oscillation is the period (T)

fTfc

f

c 1,,

How Waves Travel

A wave travels essentially because: One piece of the medium disturbed by the wave

disturbs the next piece of medium ahead and gives up the motion to it.

The waves are : Longitudinal: The pieces of the medium oscillate in

the same direction as the wave propagate. Transverse: The pieces of the medium oscillate

perpendicular to the direction propagation of the wave.

Some other types including, Shear and Bending

Mathematical Description of Harmonic Wave

The disturbance at x1 at time t1 is due to the disturbance at position x0 which occurred at time t0.

c

xxtt 0101

tconsxctxct tan0011

Mathematical (continue)

For harmonic waves ( plane wave):

2 ensures the wave repeats every wavelength

directionpostivexctAy

2

sin

directionnegativexctAy

2

sin

Mathematical (continue)

Complete representation of a plane wave:

To allow the wave to have any value:

xctBxctAy

2

cos2

sin

If we put: sincos DBandDA

xctDxctDy

2

cossin2

sincos

A

BandBADwherexctDy

tan,2

sin 22

Mathematical (continue)

Alternative equation for plane wave:

)(2

,sin

2,2

sin

numberwavekkxtCy

or

fandcfxtCy

Mathematical (continue)

Complex Representation

xctAxctAy

partrealtheandxctjxctjAAy

or

jAAAeAy

oreAy

ir

ir

irkxtj

xctj

2sin

2cos

2sin

2cos

,2

Examples (1)

If the displacement of the particles of the

medium is described by:

What is the amplitude, frequency ,wavelength and wave number and what is the speed of the wave?

220sin005.0

xtd

Examples (2)

The pressure fluctuations in air are described by:

What is the amplitude, frequency, wavelength and the speed of the wave.

xtxtp 85.1200sin005.085.1200cos01.0

Examples (3)

The pressure, p, is described by:

If the pressure amplitude is 0.01 pa and at t=0 , x=0 the value of p is 0.005 pa find Ar and Ai.

kxtjeAp

Thanks for Listening