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Insp
: Mohamed Abdou Leffad
Insp : Mohamed Abdou Leffad
I- Auto induction 1- Mise en évidence
Dans le montage ci-après, les lampes et sont des lampes
identiques. Si on ferme K, s'allume instantanément mais
s'allume progressivement.
Si on ouvre K, s'éteint très tôt alors que s'éteint progressivement.
La bobine est donc la cause du retard de l'établissement ou l'annulation du courant dans la branche 2.
Interprétation
Une bobine placée dans un circuit s'oppose à l'établissement et à l'annulation du courant car lorsque le courant traversant la bobine varie, le champ magnétique créé par ce courant varie
dans la bobine, donc le flux propre à travers la bobine varie, ce qui crée une f.é.m. induite qui par ses effets va s'opposer à la cause qui lui a donné naissance (loi de Lenz): C'est le
phénomène d'auto induction.
2-Tension aux bornes d'une bobine
2.1. Inductance d'une bobine
Considérons un solénoïde de rayon et de longueur comportant spires et parcouru par un
courant variable .
Le champ magnétique créé par le solénoïde est et le flux propre qui traverse ce
solénoïde est On pose : . L
est appelée constante
d'auto induction ou inductance ou coefficient de self. Elle s exprime en Henry (H). L ne dépend
que de la géométrie de la bobine.
2.2. Force électromotrice d'auto induction
La force électromotrice d'auto induction est :
2.3. Tension aux bornes d'une bobine
Si la résistance de la bobine n'est pas négligeable, celle-ci peut être considérée comme
l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance et d'une bobine idéale (de résistance nulle). La tension aux bornes de cette bobine est
Remarques :
Dans le cas où la bobine est une inductance pure, sa résistance est nulle et la tension à ses bornes s'écrit :
En régime permanent, le courant est constant , la tension aux bornes de la
bobine s'écrit la bobine se comporte comme un conducteur ohmique.
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3- L'énergie emmagasinée dans une bobine
La puissance reçue par une bobine, de résistance , d'inductance et parcourue par un courant
d'intensité , est : avec
: La puissance dissipée par effet de Joule et
: La puissance magnétique emmagasinée et on a :
par identification il vient
Lorsque le courant est entrain de s'établir, la bobine emmagasine de l énergie .
Ceci crée un retard d'établissement du courant. Quand il y a rupture du courant, la bobine restitue l'énergie emmagasinée. Ceci entraîne
un retard d'annulation du courant.
II- Circuit RL 1- Etablissement du courant dans le dipôle RL
En régime transitoire et durant l'établissement du courant, en réponse
à l'échelon de tension , dans le circuit de la figure ci-contre. la loi des mailles s'écrit :
Avec le sens positif choisi pour le courant électrique, la tension aux
bornes de la bobine d'inductance et de résistance interne s'écrit :
et la tension aux bornes du résistor s'écrit :
il vient : avec
est la résistance totale du circuit.
En divisant par , on obtient : . Cette équation différentielle régit l'évolution dans le
temps de l'intensité ( ) du courant circulant dans le dipôle soumis à un échelon de tension .
La solution de cette équation est de la forme : avec et
: la valeur du courant en régime permanent et : constante appelée constante de temps.
La courbe ci-dessous représente les variations de en fonction de temps.
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2- Rupture du courant dans le dipôle RL
En ouvrant l'interrupteur , la loi des mailles s'écrit :
donc . équation différentielle
admettant une solution de la forme : . La courbe ci-dessous représente les variations
de lors de la rupture du courant.
Remarques :
La constante de temps fournit un ordre de grandeur de la durée de la réponse d'un
circuit (établissement ou rupture de courant) Après une durée , l'intensité atteint 63% de sa valeur maximale (établissement) ou
perd 63% sa valeur maximale donc atteint 37% de sa valeur initiale (annulation).
Après une durée l'intensité atteint 99% de sa valeur maximale (établissement) ou perd 99% sa valeur maximale donc atteint 0.01% de sa valeur initiale (annulation).
est généralement très faible: le régime transitoire s’éteint très rapidement. peut être déterminé graphiquement en traçant la tangente à la courbe au point
d'abscisse , l'abscisse d'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale
de la courbe est ,
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III- Exercices d’application
Exercice 1
On réalise un solénoïde à l'aide d'un fil de cuivre de diamètre , enroulé sur un cylindre de longueur et de diamètre . Le nombre de spires est . 1- Les spires sont-elles jointives ?
2- Déterminer la longueur ( ) du fil utilisé.
3- Calculer l'inductance de ce solénoïde. On donne : S.I.
4- Ce solénoïde est parcourue par un courant . Quelle est la tension à ses bornes? La résistance du solénoïde est .
5- Déterminer les caractéristiques du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde. 6- Le solénoïde est parcourue par un courant dont l'intensité
varie avec le temps comme l'indique le graphe ci-contre. 6-1- Pour quels intervalles de temps y a-t-il variation du flux à
travers le solénoïde? 6-2- Calculer la f.e.m d'auto-induction dans chaque intervalles de temps.
6-3- Donner l'expression littérale de la tension u aux bornes de la bobine.
Corrigé exercice 1
1- On a
donc les spires sont jointives
2- La longueur du fil :
3- L’inductance
:
4- La tension aux bornes du solénoïde : comme I = cte donc
5- Les caractéristiques du champ magnétique à l'intérieur du
solénoïde son :
Direction : du solénoïde
Sens : selon le sens du courant et la règle de la main
droite est dirigé de la droite vers la gauche
Intensité :
6-1- Le flux propre du solénoïde est donc varie lorsque varie donc pour
6-2- La f.e.m. d’auto induction est :
6-3- La tension aux bornes du solénoïde est
:
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Exercice 2
1. Une bobine S de résistance , d'auto-inductance et de diamètre , comprend . Elle est branchée aux bornes d'un
générateur de f.e.m et de résistance intérieure négligeable. On ferme l'interrupteur à et on enregistre à l'oscillographe la
représentation graphique Cette courbe présente une tangente à l'instant dont la valeur du coefficient directeur est dans les unités ( ).
1.1. A l'aide de la représentation graphique, préciser comment varie qualitativement la f.e.m d'auto-induction .
1.2. Donner l'équation différentielle régissant les variations de . 1.3. Déterminer, à l'instant de la fermeture, lorsque l'intensité est
encore pratiquement nulle, la valeur de la f.e.m d'auto-induction e. En déduire l'auto-inductance de la bobine. 2. Dans le cas où .
2.1. Quelle est la valeur de la f.e.m d'auto-induction ? En déduire la résistance de la bobine. 2.2. Calculer le champ magnétique à l'intérieur de la bobine (solénoïde).
On prendra
Corrigé exercice 2
1-1- La f.e.m d'auto induction D'après la forme de la courbe on constate que la
pente de la courbe est décroissant donc la f.e.m d'auto induction ( ) est
croissante. 1-2- En appliquant la loi des mailles
donc
1-3- A l'instant de fermeture
On a . avec représente le coefficient directeur de la
tangente à la courbe à l'instant Donc 2-
2-1- D'après la courbe
Donc
2-2- le champ magnétique à l’intérieur du solénoïde B.
le flux propre du solénoïde est
Exercice 3
On veut étudier l'établissement du courant dans un dipôle comportant une bobine et un
conducteur ohmique lorsqu'il est soumis à un échelon de tension de valeur . Le schéma du circuit permettant cette étude est donné par la figure ci-contre tel que : - Le conducteur ohmique a une résistance .
- La bobine a une inductance et une résistance . - Les valeurs de , , et sont inconnues.
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1- En appliquant la loi des mailles, établir l'équation différentielle
régissant les variations de la tension aux bornes du résistor. 2- La solution de cette équation différentielle est de la forme
avec et τ sont des constante. Montrer que :
et
3- En déduire l'expression de l'intensité du courant qui circule dans
le circuit. 4- En utilisant la loi des mailles, établir l'expression de la tension
aux bornes de la bobine en fonction de , , , et
5- À l'instant de date , on ferme l'interrupteur . Lorsque le régime permanent est établi l'ampèremètre affiche la valeur
. Un oscilloscope à mémoire bi-courbe permet de visualiser la
tension aux bornes du générateur sur la voie et la tension aux bornes du résistor sur la voie . L'oscillogramme obtenu
est donné par la figure ci- contre
5-1- Reproduire le schéma du circuit et indiquer les connexions nécessaires à l'oscilloscope (voies et masse).
5-2- Que représente la valeur affichée sur l'ampèremètre? 5-3- Déterminer les valeurs de et de et en déduire puis .
5-4- Montrer que si alors . En déduire la valeur et celle de . 5-6- Calculer l'énergie emmagasinée dans la bobine en régime permanent. Expliquer le retard
avec lequel s'établit le régime permanent. Quel est le phénomène responsable de ce retard ? 5-7- Préciser la date à partir de laquelle le régime permanent est établi. Comment se comporte la bobine à partir de cette date ?
Corrigé exercice 3
1- L'équation différentielle régissant
La loi des mailles donne Avec
il vient
2-
en remplaçant dans l'équation
différentielle on trouve :
3- L’intensité du courant
:
4- La loi des mailles donne :
donc
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5-1- Le branchement de l'oscilloscope voir la figure ci contre 5-2- est la valeur maximale du courant qui s'établit en
régime permanent 5-3- D'après l'oscillogramme on a
= et = 5V et on a
d'autre part
5-4- Si D'après la courbe comme
5-6- L'énergie emmagasinée dans la bobine en régime pérennant est
Lors du régime transitoire la bobine emmagasine l'énergie électrique sous forme d'énergie magnétique ce explique le retard de l'établissement du courant. Le phénomène responsable de ce retard est l'auto induction de la bobine.
5-7- d'après la courbe de (t), le régime permanent s'établit à . Après cette date la bobine se comporte comme résistor
Exercice 4
1- On éloigne le pôle nord d'un aimant de la face d'une
bobine (B) fermée sur un milliampèremètre, on constate que ce dernier indique un courant non nul au cours du déplacement de l'aimant:
1-1- Préciser l'inducteur et l'induit. 1-2- Qu'appelle-t-on le courant détecté par le
milliampèremètre ? Quelle est la loi qui prévoit le sens de ce courant? Enoncer cette loi.
1-3- En appliquant cette loi, indiquer sur la figure le sens de ce courant? Justifier 1-4- Au cours du déplacement de l'aimant, la face (A) de la bobine constitue –t-elle une face sud ou une face nord?
2- La bobine (B), est maintenant insérée dans un circuit électrique comportant un interrupteur et un
générateur de courant variable dont les variations sont donnés par la figure :ci-contre
2-1- Qu'appelle-t-on le phénomène dont la bobine est le siège?
2-2- Sachant que cette bobine possède une résistance supposée nulle et d'inductance Donner l'expression de l'intensité de courant au cours des deux phases. Rappeler l'expression de la f.e.m d'auto-induction ( ) crée par la bobine.
Donner alors la valeur de e dans chacun des intervalles cités. Représenter graphiquement ( ) en fonction du temps
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Exercice 5
Le circuit électrique représenté par la figure 1 comporte , en série, un générateur idéal de tension de f.e.m , une bobine d'inductance L et de résistance , un interrupteur et un
résistor de résistance . A la date on ferme l'interrupteur et à l'aide d'un dispositif informatisé on a pu représenter les variations des tensions et au cours du temps. fig 2 et fig 3
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1-1- Quelle est l'influence de
l'inductance de la bobine dans cette expérience.
1-2- En exploitant les
courbes de et , déduire, en le justifiant, la valeur de la f.e.m du générateur.
2-
2-1- Montrer qu'en régime permanent l'intensité de courant est
2-2- Déduire alors la tension aux bornes de la bobine en fonction de , et . 2-3- Calculer la valeur de la résistance .
3- 3-1- Etablir l'équation différentielle régissant les variations de l'intensité de courant dans le circuit .
3-2- La solution de cette équation différentielle s'écrit sous la forme
ou et sont deux constantes positives dont on déterminera leurs expressions en fonction de , , et .
3-3- La constante de temps représente le temps ua bout duquel les grandeurs électriques progresse de . Déterminer graphiquement sa valeur. Déduire la valeur de l'inductance de la
bobine. 3-4- En utilisant cette solution, calculer la valeur de l'intensité du courant dans le circuit à
. Retrouver cette valeur à partir de l'un des graphes.
3-5- Calculer la valeur de l'énergie magnétique emmagasinée par la bobine à la date . 5- On reprend le montage précédent en faisant varier l'une des grandeurs , ou et on
ferme l'interrupteur à une date considérée comme origine des dates ( ) ; en traçant le graphe de , on obtient la courbe ( ) ( voir figure 3 ). 5-1- Quelle est la grandeur qui a été modifiée ? justifier la réponse.
5-2- Calculer sa nouvelle valeur.
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