instituto politécnico nacional...propuesta de una planificación didáctica para superar errores en...
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Instituto Politécnico Nacional
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada
Unidad Legaria
Diseño de una secuencia didáctica para la detección y superación de errores
algebraicos
Tesis que para obtener el grado de
Maestría en Ciencias en Matemática Educativa
presenta
Sofía Acosta Bellizzi
Directoras de Tesis
Dra. Clara Cristina Catarina Eccius
Dra. Avenilde Romo Vázquez
Ciudad de México, diciembre de 2019.
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TesisORIGINALITY REPORT
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Submitted to Northern Caribbean UniversityStudent Paper
Submitted to BENEMERITA UNIVERSIDADAUTONOMA DE PUEBLA BIBLIOTECAStudent Paper
Submitted to Ateneo de Manila UniversityStudent Paper
Submitted to Instituto Politecnico NacionalStudent Paper
iv
Autorización de uso de obra
Instituto Politécnico Nacional
P r e s e n t e
Bajo protesta de decir verdad el que suscribe Sofía Acosta Bellizzi (se anexa copia
simple de identificación oficial), manifiesto ser autora y titular de los derechos
morales y patrimoniales de la obra titulada Diseño de una secuencia didáctica para
la detección y superación de errores algebraicos, en adelante “La Tesis” y de la
cual se adjunta copia, por lo que por medio del presente y con fundamento en el
artículo 27 fracción II, inciso b) de la Ley Federal del Derecho de Autor, otorgo a el
Instituto Politécnico Nacional, en adelante El IPN, autorización no exclusiva para
comunicar y exhibir públicamente total o parcialmente en medios digitales “La
Tesis” por un periodo de diez años contado a partir de la fecha de la presente
autorización, dicho periodo se renovará automáticamente en caso de no dar aviso
a “El IPN” de su terminación.
En virtud de lo anterior, “El IPN” deberá reconocer en todo momento mi calidad de
autor de “La Tesis”.
Adicionalmente, y en mi calidad de autor y titular de los derechos morales y
patrimoniales de “La Tesis”, manifiesto que la misma es original y que la presente
autorización no contraviene ninguna otorgada por el suscrito respecto de “La
Tesis”, por lo que deslindo de toda responsabilidad a El IPN en caso de que el
contenido de “La Tesis” o la autorización concedida afecte o viole derechos
autorales, industriales, secretos industriales, convenios o contratos de
confidencialidad o en general cualquier derecho de propiedad intelectual de
terceros y asumo las consecuencias legales y económicas de cualquier demanda o
reclamación que puedan derivarse del caso.
Ciudad de México, diciembre de 2019.
Atentamente
. . Sofía Acosta Bellizzi
v
AGRADECIMIENTOS
A CICATA
Por la oportunidad de realizar esta maestría y recibirme para la defensa de esta tesis.
A mis tutoras
Por enseñarme y acompañarme en el camino.
Al sínodo
Por sus aportes y comentarios para enriquecer este trabajo.
A Florencia, Lucía y alumnos
Por haber sido parte de este estudio y colaborado con entusiasmo.
A Mónica Olave, Verónica Scorza y Cristina Ochoviet
Por estar a disposición de forma desinteresada.
A mis padres y a Joaquín
Por ser el motor.
vi
RESUMEN
En esta tesis se presenta un estudio de los errores algebraicos que surgen en la educación
media, considerando particularmente un contexto uruguayo.
El estudio tuvo su origen en un relevamiento inicial de errores algebraicos en estudiantes de
educación media, más específicamente, en estudiantes de segundo año (13-14 años) y de
tercer año (14-15 años). Con el objetivo de que los errores identificados en el relevamiento
inicial pudieran ser superados, se propuso una metodología que incluía diferentes fases: 1)
diagnóstico de errores, 2) análisis de clases del curso introductorio del álgebra, 3) diseño,
implementación y análisis de un cuestionario para identificar errores de concatenación, 4)
propuesta de una planificación didáctica para superar errores en el curso introductorio del
álgebra, 5) análisis de la implementación de la planificación didáctica propuesta y 6)
evaluación de errores una vez implementada la planificación didáctica en el curso
introductorio al álgebra.
La planificación didáctica propuesta fue implementada en dos grupos de segundo año de
educación media en Uruguay, a cargo de la docente autora de esta tesis. El análisis del
cuestionario para identificar errores de concatenación resuelto por los estudiantes del curso
basado en la planificación didáctica propuesta, muestra una disminución de errores.
De manera general, se considera que este trabajo enmarcado en la investigación-acción
ofrece una propuesta metodológica para el estudio y la superación de errores de
concatenación.
vii
ABSTRACT
This thesis presents a study of the algebraic errors which occur in a secondary education
context, in Uruguay.
The research started with a survey on algebraic errors made by second grade students (13-
14 years old), and third grade students (14-15 years old). A methodology comprising
different stages was implemented with the purpose of rectifying the errors found. Its six
stages were: 1) error diagnosis; 2) analysis of classes from the introductory algebra course;
3) design, implementation, and analysis of a questionnaire to identify concatenation errors;
4) formulation of an instructional plan to avoid errors in the introductory algebra course; 5)
assessment of the implementation of such plan; and 6) evaluation of errors committed after
the implementation of the instructional plan for the introductory algebra course.
The instructional plan was put into effect in Uruguay, in two second grade secondary
education classes taught by the author of this thesis. The analysis of the answers to the
questionnaires after the implementation of the proposed instructional plan shows a decrease
in the number of errors.
On the whole, this action-research work outlines a methodological proposal for the study
and correction of concatenation errors.
viii
CONTENIDO
1 PRIMER ACERCAMIENTO A LOS ERRORES ALGEBRAICOS ........................ 3
1.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 3
1.2 PRIMER RELEVAMIENTO DE ERRORES .................................................. 3
1.2.1 Errores algebraicos identificados en segundo año de secundaria ....................... 4
1.2.2 Errores algebraicos identificados en tercer año de secundaria ........................... 7
1.3 CONCLUSIÓN ................................................................................................ 10
2 ERRORES ALGEBRAICOS ................................................................................. 11
2.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 11
2.2 EL ERROR Y SU NATURALEZA ................................................................. 11
2.3 ERRORES ALGEBRAICOS Y SUS CAUSAS .............................................. 12
2.4 ERRORES DE CONCATENACIÓN.............................................................. 14
2.5 INVESTIGACIÓN-ACCIÓN .......................................................................... 16
2.6 CONCLUSIÓN ................................................................................................ 18
3 METODOLOGÍA ................................................................................................... 19
3.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 19
3.2 CONTEXTO EDUCATIVO URUGUAYO .................................................... 19
3.3 FASE 1. RELEVAMIENTO INICIAL DE ERRORES ................................. 20
3.4 FASE 2. ANÁLISIS DE CLASE ..................................................................... 21
3.5 FASE 3. DISEÑO DE UN CUESTIONARIO PARA DETECTAR ERRORES
DE CONCATENACIÓN ............................................................................................ 22
3.5.1 Cuestionario de concatenación ....................................................................... 23
3.6 FASE 4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DEL CUESTIONARIO ....... 24
3.7 FASE 5. PLANIFICACIÓN DIDÁCTICA PARA SUPERAR ERRORES DE
CONCATENACIÓN .................................................................................................. 24
3.7.1 Elementos pedagógicos para la planificación didáctica ................................... 24
ix
3.7.2 Elementos didácticos para la planificación didáctica ....................................... 25
3.7.3 Planificación didáctica para la superación de errores algebraicos .................... 26
3.8 FASE 6. IMPLEMENTACIÓN Y ANÁLISIS DEL CUESTIONARIO PARA
IDENTIFICAR ERRORES DE CONCATENACIÓN ............................................. 32
3.9 CONCLUSIÓN ................................................................................................ 32
4 ANÁLISIS DE CLASES Y APLICACIÓN DEL CUESTIONARIO DE
CONCATENACIÓN ..................................................................................................... 34
4.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 34
4.2 DESARROLLO DEL TEMA DE MONOMIOS Y EXPRESIONES
ALGEBRAICAS......................................................................................................... 34
4.2.1 Clase 1. Ejercicios sobre pasaje entre el lenguaje coloquial y el algebraico ..... 34
4.2.2 Clase 2. Monomio. Monomios semejantes, su adición y sustracción ............... 38
4.2.3 Clase 3. Multiplicación de monomios ............................................................. 39
4.3 REPASO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EN TERCER AÑO .......... 41
4.4 TRABAJO FRENTE A LOS ERRORES EN EL AÑO 2018 ......................... 43
4.5 APLICACIÓN DEL CUESTIONARIO DE CONCATENACIÓN ............... 44
4.6 RESULTADOS DE LA APLICACIÓN DEL CUESTIONARIO DE
CONCATENACIÓN .................................................................................................. 46
4.6.1 Gráficas de los errores identificados ............................................................... 51
4.7 CONCLUSIÓN ................................................................................................ 52
5 ANÁLISIS DE LA IMPLEMENTACIÓN DE LA PLANIFICACIÓN
DIDÁCTICA PARA LA SUPERACIÓN DE ERRORES ............................................ 53
5.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 53
5.2 EL LENGUAJE ALGEBRAICO Y SU TRATAMIENTO. CLASES 1 Y 2.. 54
5.3 MONOMIOS- OPERATORIA CON MONOMIOS. CLASES 3, 4, 5 Y 6 .... 61
5.3.1 Adición de monomios..................................................................................... 63
5.4 REDUCCIÓN DE EXPRESIONES. CLASES 7 Y 8 ...................................... 71
x
5.4.1 Trabajo con los errores escritos ...................................................................... 72
5.5 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DEL CUESTIONARIO PARA
IDENTIFICAR ERRORES DE CONCATENACIÓN ............................................. 73
5.6 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO PARA IDENTIFICAR ERRORES
DE CONCATENACIÓN ............................................................................................ 73
5.7 ANÁLISIS GRÁFICO DE LOS ERRORES .................................................. 78
5.8 CONCLUSIÓN ................................................................................................ 79
6 ANÁLISIS GLOBAL DE LOS ERRORES Y CONCLUSIONES GENERALES 81
6.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 81
6.2 UNA INVESTIGACIÓN-ACCIÓN PRÁCTICA SOBRE ERRORES
ALGEBRAICOS ........................................................................................................ 81
6.3 ÍNDICE DE HAKE PARA LA LECTURA DE LOGROS OBTENIDOS .... 81
6.4 CONCLUSIONES GENERALES ................................................................... 86
7 REFERENCIAS ...................................................................................................... 88
xi
ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Tipo de tarea a. expresar algebraicamente un perímetro y reducir su expresión ................ 4
Figura 2. Adición de términos no semejantes ................................................................................. 4
Figura 3. Adición incorrecta de términos no semejantes ................................................................. 4
Figura 4. Adición de términos no semejantes. ................................................................................. 5
Figura 5. Adición de términos no semejantes y de exponentes. ....................................................... 5
Figura 6. Adición de términos no semejantes y operación incorrecta realizada por E2..................... 5
Figura 7. Adición de términos no semejantes y operación incorrecta realizado por E3 .................... 6
Figura 8. Adición de términos no semejantes y operación incorrecta de E4. .................................... 6
Figura 9. Actividad en la que aparecen errores en la operación con enteros. .................................... 6
Figura 10. Adición de términos no semejantes y mal manejo de exponentes.. ................................. 7
Figura 11. Operaciones con términos no semejantes -sólo misma letra- y suma indebida de
exponentes. ............................................................................................................................ 8
Figura 12. Adición (o sustracción) de términos no semejantes ........................................................ 8
Figura 13. Adición de términos no semejantes ................................................................................ 8
Figura 14. Operaciones con términos no semejantes -misma letra- y suma indebida de coeficientes y
exponentes ............................................................................................................................. 9
Figura 15. Diversos errores en la realización de la tarea 8x2+12=4x2+2(6-6x2) ............................... 9
Figura 16. Extracto del libro de texto “Prácticas 2” donde aparecen los ejercicios 1 y 2 ................ 35
Figura 17. Extracto del libro de texto “Prácticas 2” donde aparecen los ejercicios 3 y 4 ................ 37
Figura 18. Nota hecha por un estudiante ....................................................................................... 40
Figura 19. Extracto del libro de texto “Prácticas 2” donde aparecen los ejercicios 5 y 6 ................ 40
Figura 20. Extracto del libro de texto “Prácticas 2” donde aparecen el ejercicio 10 ....................... 41
Figura 21. Error cometido por estudiante con la corrección correspondiente indicándole el motivo
del mismo. ........................................................................................................................... 43
Figura 22. Error cometido por estudiante, respectiva explicación sobre el error y solución correcta
............................................................................................................................................ 43
Figura 23. Igualdad incorrecta planteada por un estudiante en su cuaderno ................................... 43
Figura 24. Registro de explicación oral para el estudiante la conserve en su cuaderno ................... 43
Figura 25. Notación del pizarrón realizado por la docente.. ........................................................... 44
Figura 26. Gráfica de errores al reducir expresiones (primera parte del cuestionario) .................... 51
Figura 27. Gráfica de errores (segunda parte del cuestionario) ...................................................... 51
Figura 28. Cuaderno de estudiante con registro de lo que se copió en pizarrón. ............................. 55
Figura 29. Fotocopia de un alumno donde se ve cómo realizó el ejercicio 1. ................................. 56
xii
Figura 30. Fotocopia de una alumna donde se ve cómo realizó el ejercicio 3................................. 58
Figura 31. Pizarrón luego de analizar coeficiente y parte literal de algunos monomios .................. 61
Figura 32. Cuaderno de alumno donde registró lo trabajado ......................................................... 61
Figura 33. Apunte de un estudiante en su cuaderno....................................................................... 62
Figura 34. Apunte de un estudiante en su cuaderno....................................................................... 62
Figura 35. Apunte de un estudiante en su cuaderno....................................................................... 62
Figura 36. Notación del pizarrón para acompañar explicación de alumno. .................................... 63
Figura 37. Notación del pizarrón para reforzar explicación. .......................................................... 63
Figura 38. Notación del pizarrón para mostrar coeficiente del monomio. ...................................... 63
Figura 39. Suma de monomios en el pizarrón. .............................................................................. 62
Figura 40. Suma de monomios en el pizarrón. .............................................................................. 63
Figura 41. Adición de monomios no semejantes. .......................................................................... 64
Figura 42. Texto escrito en el pizarrón, adición de monomios no semejantes. ............................... 64
Figura 43. Registro de una alumna en su cuaderno. ...................................................................... 64
Figura 44. Adición de monomios con la misma letra y exponente diferente. ................................. 65
Figura 45. Registro de la definición que dimos a monomios semejantes. ....................................... 66
Figura 46. Cartel que quedará en clase. ........................................................................................ 66
Figura 47. Primer trabajo de adición y sustracción de monomios. ................................................. 66
Figura 48. Cartel realizado por una alumna para colgar en clase y que sirva de refuerzo visual.. ... 67
Figura 49. Apunte de una estudiante sobre la explicación dada por la docente............................... 67
Figura 50. Corrección de ejercicio en el pizarrón. ......................................................................... 67
Figura 51. Explicación de la docente registrada en el cuaderno de una estudiante. ........................ 68
Figura 52. Explicación docente a E3............................................................................................. 69
Figura 53. Variables del ejercicio 5 escritas por una estudiante en el pizarrón. .............................. 69
Figura 54. Resolución del ejercicio 6 en el pizarrón por un estudiante. ......................................... 70
Figura 55. Resolución del ejercicio 6, inciso b realizada por la docente. ....................................... 70
Figura 56. Recordatorio en pizarrón. ............................................................................................ 71
Figura 57. Reducción de una expresión algebraica en el pizarrón .................................................. 71
Figura 58. Trabajo de estudiantes en el pizarrón. .......................................................................... 71
Figura 59. Ejercicios propuestos en pizarrón. ............................................................................... 71
Figura 60. Respuestas de alumnos…………………………..…………………………………...….71
Figura 61. Corrección a un estudiante. .......................................................................................... 72
Figura 62. Cartel de explicación…………………………………………………………………… 73
Figura 63. Gráfico comparativo de errores al reducir expresiones entre ambas generaciones. ........ 78
xiii
Figura 64. Gráfico circular con respuestas en 2018……………..………...……...…………….… 78
Figura 65. Gráfico circular con respuestas en 2019. ...................................................................... 79
Figura 66. Gráfico comparativo entre generaciones según número de errores cometidos por
cuestionario. ......................................................................................................................... 79
xiv
ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1. Grupos, docentes e instituciones participantes en el relevamiento de errores ................... 10
Tabla 2. Grupos, docentes e instituciones participantes en el relevamiento de errores ................... 21
Tabla 3. Cálculo del índice de Hake para la primera parte del cuestionario ................................... 84
Tabla 4. Cálculo del índice de Hake para la segunda parte del cuestionario ................................... 85
xv
GLOSARIO DE TÉRMINOS
Álgebra: Área de las matemáticas que estudia estructuras abstractas en las que, mediante
números, letras y signos, se generalizan las operaciones aritméticas
habituales, como la suma y el producto.
Concatenar: Unir o enlazar dos o más cosas. En matemática números o letras.
Concatenación: Acción y efecto de concatenar.
Consejo de Educación Secundaria: En Uruguay, es el órgano de la Administración
Nacional de Educación Pública a cargo de impartir la educación secundaria.
Expresiones algebraicas: En matemática, expresiones donde operan (mediante adición,
multiplicación y sus inversas) números y letras que representan números.
Errores algebraicos: Errores cometidos al trabajar con álgebra, generalmente al operar con
expresiones algebraicas.
Errores algebraicos de concatenación: Unir, enlazar o reducir de forma incorrecta
números o letras de una o más expresiones algebraicas.
Investigación acción: Forma de investigar activa y participativamente la enseñanza, con el
objetivo de comprender y mejorar las prácticas educativas.
Persistencia de errores: Cuando los errores detectados prevalecen, vuelven a aparecer,
luego de haber trabajado al respecto.
Relevamiento: Estudio de un terreno que permite identificar y analizar características del
mismo.
Tratamiento de los errores: Planificación e implementación de una metodología de
trabajo con el objetivo de superar ciertos errores identificados.
1
INTRODUCCIÓN
Esta tesis se enmarca en el estudio de los errores en el álgebra de educación media
(estudiantes de 13 a 14 años) en un contexto uruguayo. Se considera que un relevamiento inicial
de errores en este contexto educativo es clave para identificar los errores algebraicos de mayor
frecuencia y así definir el objeto de estudio de esta tesis. El relevamiento es realizado con
estudiantes de segundo año (13 años de edad) a meses de comenzado el trabajo con álgebra, con
el tema de expresiones algebraicas y con estudiantes de tercer año (14 años de edad) ya
efectuado el repaso de este tema. Se analizan las clases en las que participas estos estudiantes, y
con el objetivo de evidenciar la persistencia y frecuencia de los errores relacionados a la
reducción de expresiones algebraicas, identificados en el relevamiento y en las clases, se diseña y
aplica un cuestionario al finalizar el curso. Los resultados del análisis de dicho cuestionario
muestran que los errores de concatenación son algunos de los más persistentes. Lo que lleva a
elegirlos objeto de investigación en este trabajo, conformado por seis capítulos, sucintamente
descritos a continuación.
En el primer capítulo se muestran los errores algebraicos detectados inicialmente en el
relevamiento realizado a nivel de segundo y tercer año de educación media, en grupos a cargo de
la docente autora de la tesis y en otros grupos de la misma institución a cargo de otra docente. Se
recopilaron datos sobre la diversidad y la frecuencia de los errores algebraicos, y un primer
análisis mostró la necesidad de desarrollar una intervención didáctica para superarlos. En el
segundo capítulo se presenta un análisis de literatura sobre errores algebraicos, su tratamiento,
así como de los paradigmas de enseñanza que podrían ser de utilidad para solventar estos errores
en el estudio inicial del álgebra. Este análisis permitió determinar elementos de la práctica
docente, como la planificación y el desarrollo de la clase de álgebra, cuyo rol es preponderante
en la superación de errores algebraicos y en particular en los de concatenación, objeto de estudio
en esta tesis.
En el tercer capítulo se presenta la metodología diseñada para esta tesis, se especifica el
rol del relevamiento de errores inicial y cómo éste permite proponer tres fases: 1) análisis de
clase 2) diseño de un cuestionario para analizar la persistencia de errores algebraicos y en
particular los de concatenación y 3) diseño de una planificación didáctica para el tratamiento de
los errores de concatenación. En el cuarto capítulo se presenta el análisis de clase del tema de
2
monomios y reducción de expresiones, en los cursos de 2do y 3er año de educación media.
Asimismo, se presentan los resultados de la implementación del cuestionario para analizar la
persistencia de errores algebraicos y en particular los de concatenación.
En el quinto capítulo se presenta el análisis de la implementación de la planificación
didáctica diseñada para la superación de errores, así como el análisis de resultados de la
aplicación del cuestionario para analizar la persistencia de errores algebraicos y en particular los
de concatenación. Finalmente, en el capítulo 6 se presentan las conclusiones de esta tesis.
3
CAPÍTULO 1
1 PRIMER ACERCAMIENTO A LOS ERRORES ALGEBRAICOS
1.1 INTRODUCCIÓN Los errores algebraicos aparecen en el trabajo de los estudiantes cada año y a pesar de los
esfuerzos de la comunidad de aprendizaje que congrega el aula, no son superados. Su
persistencia resulta sorprendente, generando la necesidad de analizarlos de manera sistemática
para comprender sus causas y generar propuestas didácticas que permitan superarlos. Para ello,
se consideró necesario hacer un relevamiento en un contexto educativo uruguayo y una primera
caracterización: tipo de errores y frecuencia.
En este primer capítulo se presenta el relevamiento en el que participaron ocho grupos de
estudiantes, de segundo y tercer año (13 a 15 años), de tres instituciones distintas, llamadas I1, I2
e I3, a cargo de diferentes docentes D1, D2 y D3, intentando salvar el análisis del sesgo hacia una
causa principal de los errores: la didáctica asociada a cada profesor. Las tareas propuestas a los
estudiantes en el relevamiento solicitaban “reducir expresiones algebraicas”, lo que corresponde
a los primeros temas de enseñanza en la introducción del álgebra, expresiones algebraicas,
monomios y reducción de términos semejantes. Es decir, las tareas realizadas por los estudiantes
corresponden a un programa clásico de enseñanza de las matemáticas en este nivel educativo,
determinado por el plan de estudios y el libro de texto, elementos comunes a la planificación
didáctica de todos los grupos y docentes considerados en esta primera fase del estudio.
1.2 PRIMER RELEVAMIENTO DE ERRORES
Las primeras tareas, propuestas en un formato de evaluación, para identificar los errores
algebraicos fueron implementadas en cinco grupos de 2do año, tres a cargo de la docente autora
de esta tesis (D1) en I1. Los otros dos a cargo de otra docente (D2), uno perteneciente a I1 y el
otro a I2. Se consideraron también, tres grupos de 3er año de educación media (dos a cargo D1,
uno en I1 y el otro en I3) y un tercer grupo de este nivel a cargo de una tercer docente (D3) en la
institución I1. En este relevamiento, se detectó particularmente un alto porcentaje de errores de
concatenación. Para ilustrarlo, se presentan a continuación elementos de la enseñanza del
4
álgebra y el tipo de tareas propuestas a los estudiantes, así como algunos de los errores
cometidos de forma más reiterada por los estudiantes participantes.
1.2.1 Errores algebraicos identificados en segundo año de secundaria
En el contexto uruguayo considerado, el álgebra es introducida en segundo año de
educación secundaria, mediante el tema de expresiones algebraicas y su reducción. Una vez que
dicho tema fue trabajado, con base en una planificación didáctica común elaborada por D1 y D2,
se realizó una evaluación por escrito en tres grupos de segundo año a cargo de D1 y en dos
grupos del mismo nivel a cargo de D2. Las tareas propuestas consistían básicamente en reducir
expresiones algebraicas. Por ejemplo, en la tarea a se solicitó inicialmente expresar el perímetro
de una figura geométrica, cuyas medidas estaban dadas mediante expresiones algebraicas (Figura
1) y posteriormente, reducir dicha expresión, operando los términos semejantes.
Figura 1. Tipo de tarea a. Expresar algebraicamente un perímetro y reducir su expresión
Se presentan a continuación producciones de los estudiantes, evidenciando los errores
algebraicos identificados.
1.2.1.1 Errores identificados en el Grupo 1 a cargo de D1
En el planteamiento algebraico de los estudiantes del grupo 1, a cargo de D1, se
encontraron varios errores de asociación de términos no semejantes, expresiones con letras y
números (Figuras 2 y 3).
Figura 2. Adición de términos no semejantes Figura 3. Adición incorrecta de términos no semejantes
Tarea a Expresa de forma algebraica el perímetro de la siguiente figura. Reduce y ordena dicha expresión
5
En el procedimiento que aparece en la figura 3) 3x-5 = 2, el error es doble, ya que además de
operar términos no semejantes, efectúa erróneamente la operación con enteros, afirmando que
3-5 = 2.
1.2.1.2 Errores identificados en el Grupo 2 a cargo de D1
El tipo de error detectado anteriormente, asociación de términos no semejantes, aparece
varias veces (Figura 4 y 5) en los grupos estudiados. En este grupo particularmente, uno de los
estudiantes (E1), suma los coeficientes y suma los exponentes de las variables (Figura 5).
Figura 4. Adición de términos no semejantes. Figura 5. Adición de términos no semejantes y de exponentes.
1.2.1.3 Errores identificados en el Grupo 3 a cargo de D1
En el grupo 3, se encontraron los mismos errores algebraicos. Por ejemplo, en la
reducción de términos semejantes hecha por la estudiante E2 (Figura 6) se observa que opera
incorrectamente con los coeficientes (12-14=2). El signo de menos no lo asocia al 14 sino que lo
considera como indicador de la resta, la cual aplica también a los exponentes: (8-1=7).
Transcripción de la imagen: 12x8 – 14x = 2x7.
Figura 6. Adición de términos no semejantes y operación incorrecta realizada por E2.
1.2.1.4 Errores identificados en el Grupo 4 a cargo de D2 en I2
Se realizó un estudio de las evaluaciones de producciones de estudiantes, que cursan el
segundo año de educación media, relativas a tareas del mismo tipo, “reducir expresiones
algebraicas”, del grupo 4 (a cargo de D2 en I2). Se recuerda que D1 y D2 tienen como base de su
enseñanza una planificación didáctica común que incluye los temas de expresiones algebraicas,
monomios y reducción de expresiones. En el análisis de las producciones de los estudiantes de
ese grupo, se visualizaron los siguientes errores:
6
Transcripción:
x2 + x + 3x 2 + 7x + 2 + x 2 + x + 3x 2 + 2.
Resultado propuesto por el estudiante: 6x8+14x 4+4
Figura 7. Adición de términos no semejantes y operación incorrecta realizado por E3
En este caso la estudiante E3 identifica y señala (con diferentes colores) los monomios que son
semejantes entre sí. Por ejemplo, x2 + 3x2 + x2 + 3x2, los marca con color azul, pero luego suma
solamente los coeficientes 3 obteniendo 6 como resultado. En este caso, la estudiante E3 asume
que x2 conlleva coeficiente 0. Por otra parte, también suma exponentes, cometiendo otro error en
la misma operación, en la que obtiene como resultado 6x8. Luego, marca con celeste los términos
semejantes: x, 7x, x, 7x, nuevamente el término x lo asume como 0x y así el resultado de la
adición de estos términos tendrá coeficiente 14 y exponente 4. Finalmente suma 2+2 sin errores y
su resultado final es: 6x8 + 14x4 + 4.
1.2.1.5 Errores identificados en el Grupo 5 a cargo de D2 en I1
En la actividad del estudiante E4 (Figura 8) aparecen errores en la operación, ya que
señala que 1-2 = 1, no reconociendo el resultado negativo. Por otro lado, al igual que en las
producciones anteriores, suma monomios no semejantes, pero no suma exponentes sino que deja
el exponente de mayor grado.
Figura 8. Adición de términos no semejantes y operación incorrecta de E4.
Otro caso de dificultades con la operatoria de enteros aparece en la producción de otro estudiante
al sumar -8+3 como 3-11. (Figura 9).
Figura 9. Actividad en la que aparecen errores en la operación con enteros.
A partir de este breve estudio de casos, se consideró interesante observar si este tipo de errores
también aparecían en tercero de secundaria.
7
1.2.2 Errores algebraicos identificados en tercer año de secundaria
La identificación de errores se hizo en dos grupos distintos de I1, el primero, grupo 1, a
cargo de D1 y el segundo, grupo 2, a cargo de D3. También se consideró otro grupo, grupo 3 de
otra institución, I3 a cargo de D1. La enseñanza de la matemática en los tres grupos es muy
similar, se planifica siguiendo el mismo libro de texto y el mismo plan de estudios. Es por ello,
que se consideró que tener un relevamiento de los tres grupos podría resultar de gran interés para
determinar el tipo de errores que aparecen en tercer grado y su frecuencia. La mayoría de los
errores identificados están relacionados con operar términos no semejantes, sumar exponentes
cuando no es correcto hacerlo, o despejar incorrectamente y operar inadecuadamente números
enteros. Para ilustrar estos tipos de errores, se han elegido producciones de los estudiantes como
se hizo en el nivel de segundo. Se muestran a continuación los más llamativos, acompañados de
un breve análisis.
1.2.2.1 Errores identificados en el Grupo 1 a cargo de D1
Con los estudiantes de tercer año, se realiza un repaso de los temas de álgebra estudiados
en segundo año, luego de efectuado el mismo, se les aplicó a los estudiantes una actividad de
reducción de expresiones algebraicas. Al igual que algunos alumnos de segundo año, el
estudiante E5, del grupo 1 de tercero, suma monomios no semejantes (Figura 10). Para este
alumno, pese al trabajo de segundo y el repaso de tercero, si las partes literales tienen la misma
letra, es suficiente para poder sumar los monomios.
Figura 10. Adición de términos no semejantes y mal manejo de exponentes..
El estudiante E5 realiza la operación aritmética correcta entre sus coeficientes (3, 4 y -1). Sin
embargo, considera que la parte literal del segundo término (4a) tiene como exponente 0, en
lugar de uno, y adiciona 2, 0 y 2, para obtener el exponente de la suma, que será 4. Obteniendo
como resultado final 6a4. En la segunda operación: 9x3(-5x) - 6x4 (Figura 11), E5 multiplica
correctamente los coeficientes, pero consecuente con su creencia de que la ausencia de
exponente, implica tener exponente igual a 0, propone que: 9x3∙(-5x) = -45x3.
8
Figura 11. Operaciones con términos no semejantes -sólo misma letra- y suma indebida de exponentes.
Finalmente, para realizar -45x3 - 6x4 vuelve a considerar que son términos semejantes, ya tienen
la misma letra “x” y calcula bien “- 45 - 6”, pero suma los exponentes 3 y 4, obteniendo -51x7.
1.2.2.2 Errores identificados en el Grupo 2 a cargo de D3
En la tarea: 3x2-4x (Figura 12) el estudiante E6 realiza adecuadamente la operatoria de
enteros, pero no reconoce como monomios semejantes a los términos que tienen la misma letra y
el mismo exponente, sino que le parece suficiente que tengan la misma letra. Sin embargo, opera
correctamente 3-4, aplicando correctamente el procedimiento de adición de enteros de distinto
signo, restando los valores absolutos y quedándose con el signo correcto. Para la parte literal del
resultado, deja el exponente mayor.
Figura 12. Adición (o sustracción) de términos no semejantes
En la realización de la tarea 4x2-12x+9-(5+12x)=12, el estudiante E7 opera en el lugar
correcto, siguiendo la jerarquía impuesta por el paréntesis, que le indica efectuar primeramente
5+12 y luego cambiar a su opuesto. Erróneamente, efectúa 5+12x=17x. Otra vez aparece la
reducción de términos no semejantes.
Transcripción de la imagen:
4x2-12x+9-(5+12x)=12
4x2-12x+9-17x=12
Figura 13. Adición de términos no semejantes
9
1.2.2.3 Errores identificados en el Grupo 3 a cargo de D1
En este caso se solicitaba resolver la ecuación 10x +9x2= 0 (Figura 14), un estudiante
asocia términos no semejantes: 10x y 9x2, sumando coeficientes y exponentes. Luego comete dos
errores operatorios de despeje: cambia de miembro el 19 y para despejar la potencia cúbica
divide entre 3.
Figura 14. Operaciones con términos no semejantes -misma letra- y suma indebida de coeficientes y exponentes
Al realizar la tarea 8x2+12=4x2+2(6-6x2), una estudiante opera los términos no
semejantes que aparecen dentro del paréntesis, escribiendo que 6- 6x2 = - 0x2 (Figura 15). Es
decir, suma los coeficientes y deja la parte literal visible del segundo término. Luego comete
errores de despeje, y vuelve a sumar términos semejantes de forma errónea del tercer al cuarto
renglón, sumando exponentes. Al finalizar realiza erróneamente la división de -10 entre 12, su
valor absoluto y su signo no son considerados de forma correcta. Asimismo, su despeje es
incorrecto, ya que elimina el exponente 6 de la variable x.
Figura 15. Diversos errores en la realización de la tarea 8x2+12=4x2+2(6-6x2)
10
1.3 CONCLUSIÓN El relevamiento de los errores resulta fundamental en esta tesis, ya que permite tener una
primera identificación y clasificación de su existencia en un contexto educativo uruguayo,
representado por 5 grupos de segundo grado y 3 grupos de tercer grado a cargo de tres diferentes
docentes y en tres instituciones distintas, como se ilustra en la tabla 1.
Tabla 1 Grupos, docentes e instituciones participantes en el relevamiento de errores
Segundo año Tercer año Institución Docente a cargo Grupo 1 I1 D1 Grupo 2 I1 D1 Grupo 3 I1 D1 Grupo 4 I1 D2 Grupo 5 I2 D2
Grupo 1 I1 D1 Grupo 2 I1 D3 Grupo 3 I3 D1
El análisis inicial de este relevamiento ha mostrado cómo la misma acción, “operar
términos no semejantes” puede estar asociada a diferentes errores: Reconocer como términos
“operables” aquellos que tienen la misma letra –pero diferente exponente- o aquellos que están
dentro de un paréntesis. Es decir, aunque parece ser el mismo error su naturaleza es distinta y
posiblemente su causa también. De la misma manera, resulta interesante notar cómo los
estudiantes de tercer grado siguen cometiendo errores similares a los de segundo grado, aunque
ellos han avanzado en el estudio del álgebra. Todo esto lleva a plantearse la necesidad de generar
propuestas didácticas que permitan superar los errores identificados.
Al considerar todo lo anterior, una pregunta que emerge es: ¿la planificación didáctica
asociada a la enseñanza inicial del álgebra y su puesta en marcha, determinan o influyen en la
aparición de ciertos errores algebraicos? Para abordar esta primera cuestión se considera
necesario analizar investigaciones desarrolladas en la Matemática Educativa en torno al estudio
de errores algebraicos, como se detalla en el siguiente capítulo.
11
CAPÍTULO 2
2 ERRORES ALGEBRAICOS
2.1 INTRODUCCIÓN Los errores algebraicos, como se ilustró en el capítulo anterior, parecen ocurrir
independientemente del estudiante, de las generaciones o incluso del docente. Eudave (1998)
señala que, en general, los errores se manifiestan en los estudiantes al enfrentarse a
conocimientos nuevos, que los obligan a revisar y reestructurar lo que ya saben. Es decir, muchas
de las veces los estudiantes están aplicando conocimientos o reglas que ya manejan, pues las
aplicaban antes, pero ahora las aplican bajo condiciones en las que ya no tienen validez. La
complejidad del error y de su estudio conlleva a considerar diferentes tipos de errores, los
epistemológicos referidos al conocimiento mismo y a su dificultad para construirlo o darle
sentido, los didácticos, asociados a la forma en que se ha enseñado determinado tema, haciendo
uso de ejemplos paradigmáticos, repitiendo una técnica “general”, dejando fuera ejemplos que
requieren de adaptaciones de la técnica, o los que pudieran asociarse más a una dimensión
cognitiva, es decir a dificultades para construir el conocimiento.
En este capítulo se analizan diferentes investigaciones que han abordado los errores en
matemática: sus posibles causas y clasificaciones, estableciendo como centro de interés los
errores algebraicos y particularmente los de concatenación. De la misma manera, se explicitan
los elementos de la investigación acción en los que se fundamenta este estudio de la práctica
docente.
2.2 EL ERROR Y SU NATURALEZA
Se entiende que el error es un elemento que aparece y acompaña todo proceso de
enseñanza-aprendizaje. Rico (1998) indica que el error es parte legítima del acceso al
conocimiento llegando en ocasiones a formar parte del conocimiento científico. Otra acepción
que se considera es que “los errores son intentos razonables, pero no exitosos de adaptar un
conocimiento adquirido a una nueva situación” (Matz, 1980, p.94). Por otro lado, Socas (1997)
señala que la naturaleza distintiva y específica del lenguaje matemático, lo vuelve más difícil de
transmitir. En el lenguaje coloquial o habitual, uno puede comunicar significados exitosamente
12
aún cometiendo errores de ortografía o rompiendo algunas reglas gramaticales. Sin embargo, en
matemática debe realizarse una interpretación exacta de los signos para poder comprender un
enunciado o un mensaje.
2.3 ERRORES ALGEBRAICOS Y SUS CAUSAS Un aspecto, que según Socas (1997) complejiza la comprensión de las matemáticas y por
ende la aparición de errores, es que esta disciplina comparte palabras con el lenguaje coloquial,
pero cambiando el significado. El “estadio semiótico” refiere al desarrollo de una estructura que
aprende significado de signos y agrega a los ya conocidos. Pero en matemática, también se
incluye palabras totalmente nuevas, signos totalmente nuevos, que deben ser adquiridos por una
estructura antigua. Esta organización que se debe hacer de la estructura del sistema antiguo es lo
que el autor llama “estadio estructural”. En matemática, varias de las incorporaciones que deben
hacerse al comienzo del álgebra particularmente, requieren de excepciones o restricciones. Aquí
es cuando aparecen dificultades cognitivas, ya que el estudiante no puede explicar el
comportamiento o significado de ciertos signos con la estructura anterior y les asignan un
significad propio, comenzando lo que el auto llama “estadio autónomo”.
Si se sitúa uno en la rama del álgebra que aparece por primera vez en la educación
secundaria en programas de segundo año (estudiantes de 13-14 años en Uruguay), se encuentran
diversos y numerosos trabajos e investigaciones que reportan los cuantiosos y profundos errores
que cometen los estudiantes. Esto se debe a que, en el álgebra, a diferencia de la aritmética, es
necesario un pensamiento operacional concreto para manejar métodos formales. Si los
estudiantes tienen dificultades en la etapa formal de operaciones, entonces éstas suelen estar
relacionadas a procesos de enseñanza (Socas, 1997), vinculados con la organización curricular.
Por lo cual conocer la naturaleza de los procesos de aprendizaje es una herramienta para el
diseño de actividades y la planificación.
Es esperable que la frecuencia de errores sea mayor cuando se trabaja con álgebra ya que
la estructura que le permitía al alumno trabajar con aritmética ya no le es útil. Debe ahora
conocer y manejar diferentes contextos y reglas, identificar semejanzas y diferencias entre el
mundo aritmético y algebraico. Por ejemplo, las diferencias de la adición en uno y otro generan
conflicto. Esto es asignado según Collis (1974 citado en Socas, 1997) a la no aceptación, de
algunos alumnos de la falta de clausura (necesidad de un resultado de un término luego del igual
13
y como respuesta a una adición). Socas (1997) clasifica estos errores como errores que tienen su
origen en un obstáculo. Para ir forjando la nueva estructura y superar dichos errores, el
estudiante deberá contar con una técnica de regularidad o búsqueda de patrones, poder de
abstracción, reconocimiento de regularidades y generalización, lo que López y Silva (2013)
denominan pensamiento variacional.
Socas (1997) reconoce otro origen de los errores en álgebra: la ausencia de sentido. Esto ya
ha sido reportado anteriormente por Booth (1984), quien tras realizar cuestionarios y entrevistas
a sus estudiantes de entre 14 y 16 años, centra el problema en que los alumnos no tienen claro
cómo interpretar las letras que aparecen en los ejercicios. A preguntas del tipo ¿qué representa la
y en 3+5y? Los estudiantes responden desde: “no es nada” hasta “es algo, tipo un yogurt”. Por
otro lado, Esquinas (2009) encuentra la causa u origen de los errores en la etapa primaria, ya que
“la enseñanza tradicional de la aritmética lleva asociado un aprendizaje de las reglas operativas
de forma mecánica sin comprensión conceptual de las operaciones, lo que dificulta la
construcción de estructuras matemáticas necesarias para el desarrollo posterior del álgebra” (p.
374).
Si se realiza una mirada a los diferentes errores que han sido reportados dentro del
álgebra, se encuentran errores asociados a la comprensión profunda de lo que representan las
letras en las expresiones. Un análisis de este tipo de errores aparece en Eudave (1998) quien
plantea que en primaria, las letras son utilizadas como abreviaturas para medidas como en el caso
de metros (m), centímetros (cm); o como iniciales en las fórmulas de áreas y volumen. Por este
motivo, el alumno la ignorará, la eliminará o simplemente la agregará al final de su resolución.
Otro escenario que reconoce el autor y que se ve con frecuencia en clase, es que los alumnos
asignen a la letra un valor específico, aleatorio, asignado por ellos y cambien la letra por ese
número desde un principio. Esto lo llama letras con un valor específico.
Pinzón y Gallardo (2000) documentaron otro tipo de error al que nombraron “esquema de
casi-igualdad” y refiere a la dificultad en el cambio de concepto de igualdad en álgebra. Estos
autores documentan en un estudio realizado a estudiantes de secundaria que cursan introducción
al álgebra, que para muchos de ellos el signo de igual implica hacer algo. Esta idea errónea de
los alumnos ya había sido identificada por Kieran (1982, citado en Pinzón y Gallardo, 2000),
14
estableciendo que para los alumnos el signo igual era señal que ordenaba realizar ciertas
operaciones, más que un símbolo de equivalencia.
2.4 ERRORES DE CONCATENACIÓN Los tipos de errores que se encuentran reportados en la literatura son numerosos y muy
variados. Los errores de concatenación parecen ser de los menos citados y poco analizados en
sus distintas acepciones, por lo que se considera que este trabajo puede aportar elementos
valiosos sobre su estudio. Etimológicamente, concatenar significa “unir o enlazar dos o más
cosas” (Real Academia Española, 2019). Es común que cuando un joven entra en el mundo del
álgebra y no cuenta con una comprensión de lo que representan o no las letras, él las ve de
manera indistinta a los números. Lo primero que se puede destacar es que en el mundo escolar, la
forma de concatenación que conocen es la que se utiliza en aritmética, y en ese universo implica
adición. Así, lo que el niño comprendió durante toda su experiencia con la matemática, es que 45
significa 40 + 5. En el mundo del álgebra, la concatenación implica multiplicación (5b significa
5×b) o en algunos casos adición y multiplicación: 67b significa (60+7)×b. Es necesario hacer
notar que en Uruguay, como en muchos países, durante el trabajo con la aritmética, la
multiplicación se representa siempre con una “×”, mientras que en álgebra, la ausencia de
símbolo entre un número y una letra o entre dos letras, implica multiplicación. Otra de las
notaciones que se utilizan para representar la operación multiplicación en álgebra, es un punto
“”, pero no el signo conocido por los estudiantes en primaria (etapa escolar). Como
consecuencia de todo esto, plantea Herscovics (1989) el trabajo con expresiones algebraicas
puede resultar una fuente de dificultad para aquellos alumnos que están recién adentrándose en el
mundo del álgebra.
Además de Herscovics (1989) otros autores que manejan el concepto de concatenación en
sus trabajos son Matz (1982) y Booth (1984), quienes argumentan que ésta suele usarse en
aritmética para la notación posicional, y además expresa la adición implícita en el caso de
fracciones mixtas. Por ejemplo, representa un número mixto, que es 4 unidades más un
medio. En ese caso, hay una adición implícita entre el entero y la fracción, es decir, la ausencia
es del símbolo “+”, lo cual según los autores crea más confusión, ya que en el mundo del
álgebra, como se ha mencionado, la ausencia de signo, implicará una multiplicación, el símbolo
que se omite es “×”.
15
Algunos errores de concatenación reportados en Pinzón y Gallardo (2000) son como los
que aparecen a continuación: “si x = 6, 4x = 46” es decir, que se utiliza la interpretación
posicional de concatenación. También afirmar que “si x = -3 e y = -5 entonces xy = -8”; donde
se usa la interpretación errónea de adición implícita de concatenación. Otro de los ejemplos que
muestran los autores es la conjunción de términos no semejantes.
Se podría creer que luego de la educación secundaria los estudiantes no cometen más este
tipo de errores de concatenación. Sin embargo, García (2015) realiza un relevamiento de errores
en alumnos que ingresan a la educación universitaria. A preguntas del tipo, “Si m=3n+1 ¿qué
puedes decir de m si n=4?”, encuentra respuestas como: m=35. Matz (1982, citado en García
2015) sostiene que estos tipos de errores se dan porque los estudiantes consideran que los valores
conocidos representan valores posicionales y por consiguiente los escriben en el resultado; y los
documenta como errores de concatenación. Por ejemplo, cuando algunos estudiantes concluyen
que 4x = 46, cuando x = 6, el 4 representa el número conocido ubicado en la posición de las
decenas y 6 lo ubican en la posición de las unidades.
Muchos son los factores que influyen para que el alumno cometa errores en la reducción
de expresiones algebraicas, no solo la concatenación empleada incorrectamente. Por ejemplo, el
hecho de que el signo de multiplicación ya no se use en álgebra, para no ser confundido con la
letra x, es un factor que propicia un terreno confuso y vulnerable a errores. La repercusión
negativa en el pasaje de este símbolo: “x” a “∙” fue ya identificada en Socas (1997), quien
recomendó no dejar de usar el símbolo de operación de multiplicación, y López y Silva (2013)
retoman esta idea y argumenta que la concatenación es una categoría dentro de la omisión de
signos. El autor justifica que el alumno que produce como respuesta que xw es igual a la suma
x+w, es porque cree que la unión de términos en álgebra representa la suma.
Por último, es menester reconocer que en la mayoría de las investigaciones sobre errores
en matemática y ésta no es la excepción, los estudiantes tienden a realizar más de un error en un
mismo renglón.
En la mayoría de las respuestas erróneas de los alumnos se presentan simultáneamente
varios tipos de errores. Así por ejemplo, es común encontrar problemas en el manejo de los
paréntesis y por consiguiente un manejo inadecuado de la concatenación y la aplicación
ingeniosa pero errónea de exponentes (Eudave, 1998, p. 28).
16
Para ilustrar lo anterior, se puede considerar el siguiente ejemplo: 3a+4b =7a1 b1, donde
no se comprende el uso de las letras, hay confusión en el significado de la concatenación y de los
exponentes. Otro ejemplo que aparece en Eudave (1998) es el siguiente: (a-b) + b =a-2b. En este
caso, el autor plantea que no se respeta el paréntesis ni el valor de las letras.
En definitiva, se detecta que el pasaje de la aritmética al álgebra resulta particularmente
difícil para los alumnos, debido a la complejidad asociada a cada una de estas áreas matemáticas
y por tanto, aparece una diversidad de errores. El cambio del mundo aritmético al algebraico
requiere de un ajuste de estructura y difícilmente el tiempo didáctico lo posibilita. Un cambio en
la notación para representar alguna operación como la multiplicación, puede generar dificultad
en el alumno, así como esfuerzo en interpretar que la ausencia de signo que antes representaba
adición ahora representa multiplicación. La imposibilidad de llegar a un resultado, es decir, de no
poder operar una adición de dos o más términos y llegar a un solo número también obstaculiza el
trabajo del álgebra.
2.5 INVESTIGACIÓN-ACCIÓN El concepto de investigación acción aparece por primera vez publicado por Kurt Lewin,
quien simultáneamente concibe la teoría y la acción. Lewin (1946, citado en Velazco, 2012)
contempla la necesidad de tres elementos esenciales para el desarrollo profesional: investigación,
acción y formación, los cuales forman los vértices del triángulo de Lewin y deben permanecer en
interrelación e intercambio permanente. La forma en la que se vinculan estos tres elementos es
en ciclos de acción reflexiva, debiendo sostenerse unidos, aportándose unos a otros
constantemente. Latorre (2003) define la investigación acción de Lewin como un “bucle
recursivo y retroactivo de investigación y acción” (p. 27) donde cada elemento evalúa y aporta al
otro, permitiendo así la formación del investigador (profesor en un ámbito educativo). Es decir,
realizar una investigación acción implica buscar resultados prácticos y teóricos en simultáneo,
realizando un diálogo permanente en el que el investigador ahonda en su formación. En palabras
de Carr y Kemmis (1986, citado en Carro, 1993) “la teoría como la práctica se contemplan como
provisionales y susceptibles de modificarse a la luz de la experiencia” (p. 2).
Kemmis y McTaggart (1988, citado en Latorre, 2003) detallan las características que debe
tener una investigación acción, entre estas ser participativa, tener como objetivo mejorar la
propia práctica, ser colaborativa, seguir una espiral introspectiva: planificar, implementar,
17
observar, reflexionar, evaluar. Este tipo de trabajo permite una sistematización del aprendizaje
que está orientado a la acción no sólo crítica sino crítica e informada, ya que se debe realizar una
teorización sobre la práctica. La práctica debe ser evaluada mediante registro, recopilación de
información y evaluaciones. Una investigación acción induce necesariamente a teorizar sobre la
práctica y a analizar de forma crítica las situaciones. Se comienza con pequeños ciclos o
espirales y se avanza hacia problemas mayores. Es importante señalar que en una investigación
acción, el propósito fundamental no es tanto la generación de conocimiento sino el
cuestionamiento de las prácticas sociales, explicitarlas y estar en medida de reconstruirlas
(Latorre, 2003). Particularmente, en el ámbito educativo se espera que este tipo de aproximación
facilite el cambio y el análisis para mejorar las prácticas.
Desde el surgimiento del concepto investigación acción hasta la actualidad, las
modalidades que surgieron y se sostienen se pueden dividir en tres: investigación acción técnica,
investigación acción práctica, e investigación acción crítica emancipatoria. Zuber-Skerritt (1992,
citados en Latorre, 2003) señalan que cada una de las modalidades en sí mismas son válidas y
conllevan al desarrollo profesional. Estos autores legitiman también la posibilidad de empezar
por la investigación acción técnica y luego avanzar hacia la investigación acción práctica y a la
emancipatoria. Pero, ¿en qué se diferencian sustancialmente estas modalidades en su aplicación
al ámbito educativo y las prácticas docentes? Latorre (2003) sintetiza las características de las
distintas modalidades de forma eficiente, planteando que en una investigación acción técnica se
pretende que el docente participe en programas diseñados por expertos, con el fin de lograr una
mejora en la práctica educativa. En este caso, el desarrollo metodológico aparece prefijado. Por
otro lado, la investigación acción práctica confiere al docente protagonismo y autonomía a
seleccionar los objetivos y llevar adelante la investigación pudiendo consultar a un actor externo
experto. Por último, la investigación acción emancipadora pretende profundizar en la
emancipación del profesorado, de sus prácticas rutinarias y creencias vinculando su acción al
ámbito social y contextual en el que se desenvuelve. Esta última postura que defienden Carr y
Kemmis, tiene como objetivo cambiar las formas de trabajo, a través del discurso y la
organización.
18
2.6 CONCLUSIÓN Los errores algebraicos son muy diversos, pero en este trabajo se ha puesto principal
interés en los errores de concatenación, ya que éstos se relacionan con la interpretación de cómo
se “juntan” (concatenan) números y letras, para formar expresiones algebraicas. La
interpretación, que persiste desde la aritmética, es la concepción de que “todo” es adición. Lo
que lleva a los alumnos a cometer equivocaciones tanto en la suma de monomios, como en la
resolución de ecuaciones.
El interés en el estudio de este tipo de errores, lleva a los siguientes cuestionamientos:
¿Cuáles son los errores de concatenación que aparecen con mayor frecuencia? ¿Cuáles de éstos
persisten a pesar de la enseñanza del álgebra? ¿Qué elementos deben de considerarse en el
diseño o adaptación de una planificación didáctica, que permita disminuir la frecuencia de estos
errores y mejore el entendimiento de la concatenación algebraica? Para abordar estas cuestiones
se propusieron diferentes elementos metodológicos, enmarcados en la investigación acción, que
son descritos en el siguiente capítulo.
19
3 METODOLOGÍA
3.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se presentan las seis fases que conforman la metodología y que sustentan
el estudio de errores de concatenación en un contexto uruguayo. Cada una de las fases permite
generar el estudio sobre la naturaleza de los errores algebraicos y en particular enfocarse en la
relación entre la didáctica de la clase de álgebra con los errores de concatenación identificados y
la forma en que éstos pueden ser superados. En particular, se genera un cuestionario para
identificar errores de concatenación, que permite evaluar los efectos de la didáctica de la clase de
matemáticas de segundo año de educación media, en dos ediciones del curso, 2018 y 2019. La
primera edición, como lo muestra el análisis de clases, se basó en una planificación didáctica
tradicional y la segunda edición en una nueva planificación fundamentada en elementos
didácticos y pedagógicos, con el objetivo de superar errores de concatenación, identificados en el
relevamiento y en el cuestionario implementado después de la primera edición del curso.
El contexto de la investigación y las seis fases que conforman la metodología se
presentan con detalle. Finalmente, se comparan los resultados de los cuestionarios para
identificar errores de concatenación, obtenidos en las dos ediciones del curso, 2018 y 2019. Para
visualizar el aprendizaje alcanzado se utiliza el factor de Hake, un número que muestra el índice
de mejoría. Este número se calcula a través de una fórmula desarrollada por Richard Hake en el
que se consideran las respuestas correctas pre y post intervención. En este estudio, se debe salvar
el sesgo de que los estudiantes considerados en una y otra etapa son diferentes, con el objetivo de
calcular una aproximación a la mejoría en el aprendizaje.
3.2 CONTEXTO EDUCATIVO URUGUAYO En Uruguay, el CES (Consejo de Educación Secundaria) es quien se encarga de la
enseñanza secundaria. Esto incluye la educación media básica, que corresponde a niveles de
primero, segundo y tercero, como la media superior (grupos de cuarto, quinto y sexto). El nivel
de segundo año y de tercer año, tienen una carga de 5 “horas” semanales dedicadas a la
enseñanza de las matemáticas. Esto rige para instituciones públicas y privadas que estén bajo la
habilitación del CES. Una de esas horas se denomina E.P.I. (Espacio Pedagógico Inclusor) y
puede destinarse a trabajar sólo con una parte del grupo. Las horas-clase en secundaria son de 45
20
minutos. Existen sesiones de 1 clase (45 minutos) o bien “módulos” (generalmente de 80
minutos dependiendo de la institución).
Los temas a tratarse en cada nivel, los determina el CES, mediante el programa oficial del
nivel, base de las planificaciones docentes, ya que muestra los temas que deben tratarse, así
como un estimativo del tiempo necesario para su enseñanza. Asimismo, el programa incluye
recomendaciones de ciertos libros para el trabajo y ejercitación de los estudiantes.
En el programa oficial de segundo año aparece por primera vez el álgebra y se estiman 10
semanas de trabajo para su enseñanza, en dos grandes bloques: Expresiones algebraicas
(polinomios de una variable, grado, valor numérico, adición, sustracción y multiplicación de
expresiones) y funciones. Los otros temas a tratar en este nivel son los siguientes: números y
conjuntos numéricos, ecuaciones e inecuaciones, geometría del triángulo (puntos y líneas
notables), funciones del plano en el plano y geometría del espacio. En el nivel de tercero, el
programa oficial asigna 14 semanas al trabajo de álgebra, específicamente con los siguientes
temas: polinomios, factorización, productos notables, funciones polinómicas de segundo grado,
ecuaciones de segundo grado, sistemas de ecuaciones y sistema de inecuaciones. En este nivel se
trabaja también con el teorema de Thales, el teorema de Pitágoras, geometría del espacio,
trigonometría, probabilidad y estadística.
3.3 FASE 1. RELEVAMIENTO INICIAL DE ERRORES La primera fase de este trabajo consistió, como se muestra en el capítulo 1, en un primer
relevamiento de errores en cinco grupos de segundo y en tres grupos de tercer año de educación
media en Uruguay. Si bien el interés principal estaba puesto en segundo año, ya que es donde se
introduce el trabajo con monomios y reducción de expresiones algebraicas, se consideraron dos
grupos de tercer año, con el objetivo de identificar la persistencia de errores. Asimismo, se
consideraron tres instituciones y tres docentes distintas, como se muestra en la Tabla 1 (misma
que aparece en el capítulo 1).
21
Tabla 2 Grupos, docentes e instituciones participantes en el relevamiento de errores
Segundo año Tercer año Institución Docente a cargo Grupo 1 I1 D1 autora de la tesis Grupo 2 I1 D1 autora de la tesis Grupo 3 I1 D1 autora de la tesis Grupo 4 I1 D2 docente participante Grupo 5 I2 D2 docente participante
Grupo 1 I1 D1 autora de la tesis Grupo 2 I1 D3 docente participante Grupo 3 I3 D1 autora de la tesis
Los grupos de segundo año, tres a cargo de D1 y 2 a cargo de D2, estaban trabajando con
expresiones algebraicas, utilizando una planificación didáctica en común. Por una parte, se hizo
el relevamiento, que consistió en una evaluación escrita propia del curso, enfocada en reducir
expresiones algebraicas. Se registraron los errores más frecuentes, descubriendo que los de
concatenación eran de los más reiterados y que varios estudiantes cometían más de un error al
realizar una operación algebraica. Por otra parte, se consideraron trabajos escritos de los cursos
de tercero, dos grupos a cargo de D1, y de otro grupo a cargo de D3. Al igual que en el nivel de
segundo año, en tercer año, la planificación didáctica es muy similar entre los grupos, ya que
aquí las docentes también trabajan de forma coordinada utilizando el mismo libro de texto y
proponen ejercicios similares para la evaluación. Se solicitó a D3 acceder a los trabajos escritos
de sus alumnos en el grupo de tercer año considerado. Este grupo había realizado una evaluación
luego del repaso de expresiones algebraicas. Se identificaron los errores específicos de reducción
de expresiones y se compararon con los registrados en los grupos 1 y 3 del mismo nivel. Se
identificaron errores similares a los cometidos por los estudiantes de segundo año.
De manera general, este relevamiento permitió así identificar que los errores de
concatenación aparecían como unos de los más persistentes, por lo que se eligieron como el
objeto de estudio principal de esta tesis.
3.4 FASE 2. ANÁLISIS DE CLASE El análisis de clase se propuso para analizar la posible incidencia de la didáctica sobre
estos errores. Se analizó la enseñanza del álgebra a cargo de D1, en tres grupos de segundo año
en I1, con la misma planificación didáctica -basada en el programa y en el libro, “Prácticas 2” de
la editorial Santillana-. El énfasis del análisis estuvo en las interacciones entre estudiante-
docente, estudiante-estudiante en diferentes momentos de la clase, exposición, trabajo individual,
22
trabajo colectivo, exposición de producciones de los estudiantes frente a todo el grupo. El
análisis de clase tuvo como insumos el registro de audio, los cuadernos de los estudiantes y
fotografías del pizarrón. Se eligieron algunas interacciones representativas, que fueron
transcritas. “P” denota la intervención de la profesora y “E” la de un estudiante, y que
acompañadas de producciones de los estudiantes, constituyen la base del análisis de clase, como
se ilustra en el capítulo 4.
3.5 FASE 3. DISEÑO DE UN CUESTIONARIO PARA DETECTAR ERRORES DE CONCATENACIÓN
Se diseñó un cuestionario con el objetivo de clasificar los errores y sus causas. Por
ejemplo, si el error corresponde a un mal tratamiento de los exponentes, debido al
desconocimiento de las propiedades, o si el estudiante no identifica monomios semejantes, o por
el contrario, los identifica pero tiene errores en la adición de enteros, etc.
[…] las categorías no son compartimentos estancos, y suelen solaparse unas con otras (ya
que rara vez un error obedece a una única causa), pero permiten postular posibles razones
para su aparición, y guiar, de ese modo, en la elección de actividades remediales. (Del
Puerto, Minnaard y Seminara, 2004, p. 5)
Clasificar o identificar las causas más comunes de los errores, permite elaborar lo que Del
Puerto et al. (2004) llaman biblioteca de errores típicos, que es de gran valor para la
planificación y re-planificación docente. Conocer los errores más comunes permite al docente
elegir y proponer ciertas actividades y desafíos para evitarlo, o en su defecto trabajar y
reflexionar para superarlos. Uno de los interés en este trabajo es diferenciar errores, ya que como
plantea Castillo (2002) “un error de concepto reviste mayor relevancia que un error de
ejecución” (p. 267) y es necesario distinguirlo, para abordar aquellos que muestran conceptos
defectuosos ligado a la estructura mental del álgebra que han incorporado y elaborado. Por
ejemplo, ante el ejercicio -11x+4x, los alumnos que contestan 7x, muestran un manejo de
monomios semejantes, donde operan con coeficientes y dejan la parte literal común. Sin
embargo, falta afinar el trabajo con la adición de enteros de distinto signo. Más aún, sí saben que
se efectúa restando los valores absolutos, pero en la ejecución no se detienen a evaluar qué signo
debe llevar el resultado.
23
Dado que en el primer relevamiento se detectó que algunos estudiantes cometían dos
errores en una misma operación, o en un mismo renglón, por ejemplo: Se
desglosan operaciones, dando un verdadero o falso en el cuestionario, que permita identificar el
tipo de error más cometido. Esto, para discernir si asocian monomios no semejantes y a su vez
usan mal las propiedades de potenciación, o si lo uno o lo otro de manera separada. Por ejemplo,
en este caso: los monomios son semejantes, pero no se reconoce el coeficiente en
el segundo término y a su vez, se comete el mismo error que en el ejemplo anterior (suman
exponentes en adición de monomios).
De manera general, se propusieron ejercicios simples, ya que como señala Malle (1993),
al considerar ejercicios más complejos, resulta difícil detectar un error específico. El cuestionario
está dividió entonces en dos secciones. En la primera parte se solicitó a los estudiantes reducir
términos semejantes y en la segunda parte, determinar si las igualdades presentadas eran
correctas o incorrectas.
3.5.1 Cuestionario de concatenación
Reduce las siguientes expresiones:
x + x = x + 3x + 2x =
-5x + 8x –x = -11x + 4x =
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 = 3x2 – x + 2x =
x + y = 2x + 2y =
3x + 4y = ¿Cuál o cuáles de estas igualdades son correctas?
3x + 6x = 9x2
3x + 6x = 9x
x + x2 = x3 x + x2 = 2x3
x + x2 = 2x2 -5x3 + 2x3 = -3x0
24
-5x3 + 2x3 = -3x3 -5x3 + 2x3 = -7x3
-5x3 + 2x3 = -7x0
3.6 FASE 4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DEL CUESTIONARIO El análisis se hizo considerando cada respuesta equivocada, asociándole el tipo de error y
registrando el número de estudiantes que lo cometen. Asimismo, se identificó a aquellos
estudiantes que cometían más de un error, para poder analizarlos particularmente. Se realizó un
análisis exhaustivo de los resultados, volcando la frecuencia de aparición y respectivos
porcentajes en el apartado 4. Se hicieron gráficos de barras y gráficos circulares que permiten
ilustrar de manera general el tipo de error y su frecuencia, los cuales aparecen en el capítulo 4.
3.7 FASE 5. PLANIFICACIÓN DIDÁCTICA PARA SUPERAR ERRORES DE CONCATENACIÓN
Para generar la planificación didáctica enfocada en la superación de errores algebraicos
de concatenación, se consideraron elementos pedagógicos y didácticos.
3.7.1 Elementos pedagógicos para la planificación didáctica
Elementos de las pedagogías del éxito y del error (De La Torre, 2004) fueron
considerados en la planificación didáctica. El primero de ellos, es el principio de progresión
graduada de la pedagogía del éxito, De la Torre señala que: “A través del mecanismo didáctico
de la ejercitación, el alumno va adquiriendo confianza y conciencia de éxito en las tareas de
aprendizaje” (p. 77). Así, se proponen ejercicios de práctica que permitan al estudiante lograr la
comprobación inmediata de las resoluciones propuestas y de los resultados encontrados. El
segundo proviene de la pedagogía del error y consiste en proponer ‘la pregunta extra’ que
provoque un conflicto cognitivo para disparar la discusión y así avanzar un escalón más en la
escalera del aprendizaje. En consonancia con estos elementos pedagógicos, se apela a una
individualización de la enseñanza, guiando al estudiante, pero facilitando y promoviendo la
ayuda entre los propios compañeros. Asimismo, se proponen actividades que fomentan el trabajo
en grupos. El docente interviene, pero no de forma expositiva ni demostrativa. Además, las
actividades propuestas a los estudiantes deben ser retadoras y propiciar la reflexión, incitando al
auto-aprendizaje. Según De La Torre la metodología heurística es la que tiene por objeto “que el
25
alumno descubra por sí mismo, las nociones o conceptos correspondientes a su edad o
desarrollo” (p. 83).
3.7.2 Elementos didácticos para la planificación didáctica
Se analizaron nuevamente investigaciones enfocadas en el estudio del álgebra y se
identificaron cuatro elementos para superar los errores algebraicos de concatenación: 1) el error
visto como organizador didáctico; 2) desarrollar el lenguaje algebraico; 3) establecer conexiones
entre la aritmética y el álgebra y 4) socializar el error en la enseñanza del álgebra. Estos cuatro
elementos se detallan a continuación.
3.7.2.1 El error visto como organizador didáctico
Desde la perspectiva de la pedagogía del éxito que plantea De la Torre (2004), el fracaso
desanima al alumno y perjudica su aprendizaje. Esto, puede resultar particularmente cierto si el
error es fuertemente penalizado. Por ejemplo, en las evaluaciones se califica el puntual
desempeño del estudiante en lugar del proceso de aprendizaje. Pero también es posible
considerar el error como una oportunidad para intervenir y reestructurar conceptos que el
estudiante ha construido de manera no adecuada. Así, el error deja de ser un resultado
sancionable o punible, y pasa a ser una herramienta para la re-planificación docente, para la
intervención y la reflexión.
3.7.2.2 Desarrollar el lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico es considerado un elemento clave en la enseñanza del álgebra, que
sin embargo, puede fungir como obstáculo, ya que a diferencia del lenguaje coloquial, transmitir
exitosamente un mensaje, no admite errores (Socas, 1997). Si se considera que el sistema antiguo
es el referente para organizar la estructura relacionada con el sistema nuevo, el trabajo con
actividades en las que se ponga en práctica el pasaje de un lenguaje al otro, posibilita establecer
correspondencias válidas desde el comienzo de la enseñanza del álgebra. En esta misma línea,
luego de avanzar con el trabajo de monomios, resulta importante continuar el trabajo enfocado
en la escritura del lenguaje algebraico, lo que permite valorar la fluidez que cada alumno va
alcanzando y también permite identificar si es necesario deconstruir y reconstruir algún concepto
que internalizó de forma errónea.
26
3.7.2.3 Establecer conexiones entre la aritmética y el álgebra
El pasaje de la aritmética al álgebra posibilita la construcción de un puente entre estas dos
áreas de la matemática (Martínez, 2002). Para ello, es necesario proponer actividades que hagan
evidentes las relaciones entre estas áreas, pero también las diferencias. Por ejemplo, proponer
ejercicios en las que algunas reglas del álgebra se ejemplifiquen también numéricamente.
Asimismo, se puede hacer hincapié en que un monomio como 2x es igual a una suma de
términos: x+x. Esto, ya que el término 2x aparece como algo nuevo y abstracto para la estructura
aritmética de los estudiantes, sin embargo, al presentarle una adición de “x” y sugerirle que las
cuente, no genera mayor inconveniente. En la enseñanza básica, la multiplicación fue presentada
como adición, y puede resultar menos complejo dar sentido a un monomio, si se considera que
éste corresponde a una multiplicación vista como una suma de términos: 4z corresponde a 4×z,
que a su vez corresponde a cuatro veces z, ‘z+z+z+z’.
3.7.2.4 Socializar el error en la enseñanza del álgebra
En Schreiber y Tsamir (2012) se discuten dos posturas en cuanto al trabajo de errores en
clase: La primera de ellas es sostenida por Rahat y Tsamir (2009), en su discusión y trabajo con
errores, señalan que en una situación real de la vida ordinaria resulta muy demandante mostrar
los tipos de errores, y no lleva a mejoras en el éxito de las evaluaciones finales. Por el contrario,
en la segunda postura se señala que corregir errores, verlos y explicitar lo que los constituye
como errores, es una parte importante del proceso de aprendizaje. Según Edwards (1993, citado
en Schreiber y Tsamir), mostrar a los estudiantes los errores que los docentes mismos han
cometido en su propio proceso de aprendizaje, resulta doblemente enriquecedor, ya que se
muestra la naturaleza del aprendizaje del álgebra y también contribuye en la dimensión
emocional, que ‘hasta los expertos se equivocan’. Así, la socialización de la actividad de los
estudiantes cumple un doble rol, hacer explicitas las concepciones de los estudiantes y construir
colectivamente la concepción correcta que permita superar los errores identificados
3.7.3 Planificación didáctica para la superación de errores algebraicos
La planificación didáctica para la introducción del álgebra se hizo teniendo como base el
temario impartido por el Consejo de Educación Secundaria de Uruguay. El objetivo principal es
disminuir o evitar los errores ya detectados con la generación anterior y para ello se consideraron
27
tanto los elementos didácticos como los elementos pedagógicos presentados precedentemente.
La organización didáctica general es la siguiente:
1) Trabajo centrado en el lenguaje algebraico
Introducción del lenguaje algebraico-Aparición de letras que representan números
Se pretende mediante ejercicios especialmente diseñados por D1, acercar la notación
algebraica al estudiantado, vinculándolo -en la medida de lo posible- al lenguaje coloquial
conocido y manejado por ellos. Con este objetivo, los primeros ejercicios apelan a que el
estudiante comience a construir un puente que conecte la estructura ya manejada a la que se
intentará elaborar, mostrando ciertos monomios e intentando dotarles de significado. Se pretende
que una “c” pueda representar un número y no “centímetros”. Se diseñaron cuatro ejercicios, de
forma escalonada en cuanto a su dificultad, considerando la pedagogía del éxito y la pedagogía
del error, anteriormente descritas, llegando a enfrentar a los estudiantes a un conflicto cognitivo.
El primer ejercicio consiste en asignar cada frase a su representación algebraica, y es
trabajado de manera conjunta mediada por la docente en el pizarrón.
Ejercicio 1:
Parte 1) Consigna asignada de forma oral: Indica qué expresión de la bolsa le asignarías a cada
una de estas frases:
“La mitad de un número a”.
“El triple de un número a”
“La quinta parte de un número a, menos dos unidades”.
“Siete unidades más, que la tercera parte de un número a”.
Parte 2) Al igual que en la parte anterior se comunica la consigna de forma oral. Escribir qué
frase representaría a cada expresión de la bolsa que no se utilizó aún.
Luego, se les entrega una ficha de trabajo, en la que se les solicita realizar los primeros 3
ejercicios en equipos.
a+1
a3
a+1
+7
7 +
+2
-2
a2
28
Ejercicios de la ficha de trabajo: 1. Asocia cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente.
En todos los casos “a” representa un número entero.
2. Completa la siguiente tabla:
El doble de “a” a3
El siguiente de “a” – a
El anterior a “a” 2a
La tercera parte de ”a” a – 1
El opuesto de “a” a2 5
La cuarta parte de “a”, más una unidad a2
5 unidades más que la mitad de “a” a5 3
3 unidades menos que la quinta parte de “a”
a4 1
El cuadrado de “a” a+1
Lenguaje coloquial Lenguaje algebraico
La quinta parte de un número “a”
2b
El cubo de un número “c” Seis unidades más que la mitad de un número “d”
e5
La octava parte de un número “f”
g6 4
29
3. Traduce cada expresión a lenguaje algebraico:
a. El triple de un número “a”
b. El triple de un número “b” menos cinco unidades
c. La tercera parte de un número “c”
d. El cubo de un número “d”
e. El doble del cuadrado de un número “e”
f. La quinta parte de un número “f” más tres unidades
g. La suma de un número “g” y su cuadrado
2) Monomios- Operatoria con monomios
2.1) Se introduce la palabra monomio y se vuelven a presentar ejemplos de la clase anterior,
enfatizando que dichas expresiones se llama monomios. Se motivará un intercambio con el
estudiantado para definir o caracterizar al monomio, con las palabras que ellos encuentren, como
producto entre un número ‘coeficiente’ y una ‘parte literal’. Se debe reafirmar que la parte literal
la componen una o más letras y sus respectivos exponentes. Se motivará la socialización de
interrogantes, se insistirá sobre el desuso del símbolo de multiplicación para evitar confusiones
con la letra x, y se propondrán descomposiciones de los monomios en adiciones, en los que se
evidencie el coeficiente y la parte literal para cada caso.
Algunos monomios a analizar:
3z, x, -x3, 3b2,
, , .
2.2) Plantear la actividad de realizar la adición y sustracción de algunos monomios (previo a
definir monomios semejantes) y fomentar un terreno de discusión para que surja desde el
estudiantado la regla para resolver los ejercicios, cuyo resultado es un único término. Luego,
definir monomios semejantes, practicar adición y sustracción con más de un monomio.
30
Algunos ejercicios que se pueden proponer:
Efectuar los siguientes ejercicios, dejando el resultado en un término cuando sea posible:
2x3+5x3=
-7x+2x=
x+e=
7a2+a2=
0,5a+1,5a=
x+x2=
2x4-7x4=
Se continuará trabajando en equipos con la ficha en los ejercicios 4, 5 y 6, que se
muestran más abajo, para profundizar en el lenguaje algebraico, traducir expresiones con más de
un monomio, donde se debe operar (por ejemplo en el ejercicio 5). Socializar todas las respuestas
mediante el trabajo de exposición de algunos equipos frente a otro y entre ellos.
Ejercicio 4
Expresa mediante una expresión algebraica:
a) La mitad de los chocolates, siendo “c” la cantidad de chocolates de una caja.
b) La cantidad de alumnos de una clase un día que faltaron 3 estudiantes, siendo “a” la cantidad
total de alumnos en lista.
c) El perímetro de un triángulo equilátero siendo, “l” la medida de uno de sus lados.
d) El doble de la edad que tenía hace 7 años, siendo “e” la edad que tengo actualmente.
Ejercicio 5
En tres ventanillas se venden entradas para el fútbol. El precio de las entradas es el mismo para
todo el campo. En la segunda ventanilla se han vendido el doble del número de entradas que en
la primera, y en la tercera se han vendido 80 entradas más que en la primera. Expresa la cantidad
de entradas que ha vendido cada ventanilla, sabiendo que la cantidad de entradas vendidas por la
primera ventanilla es b.
31
Ejercicio 6
Durante una prueba en una fábrica de enlatados, la máquina A produce m latas, la máquina B
produce el doble de A, la máquina C produce seis más que A, la máquina D la mitad de C.
a) ¿Cómo expresarías las producciones de B, C y D en función de m?
b) ¿Cómo expresarías la producción total en la prueba?
3) Reducción de expresiones algebraicas
Se plantean las siguientes expresiones para reducir:
x3 + 4m + x2 - 3x2 + x3 + 4x3 = -x2 - x2 - 6x2 + 4x =
m + 3m - m2 + - m2 =
Se debe enfatizar la identificación de la parte literal de cada monomio como estrategia
para detectar los monomios semejantes. Practicar la reducción de expresiones, enfrentar a los
estudiantes a algunas expresiones irreducibles y a adiciones donde el resultado debe ser escrito
en dos términos. Es importante, atender de manera minuciosa el abordaje del error y para ello, el
trabajo entre pares puede ser útil, intentando que se verbalicen los razonamientos, ya sean
correctos o incorrectos. Se deberá poner en tela de juicio todos los desarrollos elaborados por los
alumnos, fomentando la participación de todos y la naturalización de cuestionar e interrogar. Se
propiciará un escenario que habilite al estudiantado a contestarse entre sí, interviniendo para dar
respaldo y legitimar conceptos cuando sea necesario.
3.7.3.1 A manera de síntesis
En esta planificación se proponen ejercicios introductorios, se interviene para analizar
qué es un monomio, para mostrar cómo aparece implícita la multiplicación en un mismo objeto
algebraico, el monomio. De la operatoria con monomios y la reducción de expresiones
algebraicas, en las conversaciones profesora-estudiante y estudiante-estudiante, el acento está
puesto en el lenguaje utilizado. Se propicia actividades en subgrupos para analizar la interacción
entre pares. Se trabaja constantemente con el error y por este motivo, la planificación didáctica
elaborada es abierta y sensible a modificaciones que puedan surgir debido a errores que se
32
visualicen en clase. En el capítulo 5 se puede observar de qué forma se sociabiliza el error y se
utiliza como organizador didáctico, pudiendo agregar ejercicios según lo que se va viendo en la
clase, entendiendo o no por parte de los estudiantes.
3.8 FASE 6. IMPLEMENTACIÓN Y ANÁLISIS DEL CUESTIONARIO PARA IDENTIFICAR ERRORES DE CONCATENACIÓN
Se aplicó nuevamente el cuestionario a los estudiantes que siguieron el curso basado en la
nueva planificación didáctica (fase 5) a cargo de D1. Se analizaron sus resultados y se mostró la
reducción de errores, como aparece en el capítulo 5.
3.9 CONCLUSIÓN La metodología propuesta tiene seis fases estrechamente relacionadas que permiten
realizar el estudio de errores algebraicos y en particular de concatenación. El relevamiento inicial
agudizó la mirada para efectuar el análisis de clases y posteriormente, estos dos aspectos
constituyeron la base para elaborar el cuestionario para identificar la existencia y persistencia de
errores de concatenación. El análisis de clase efectuado, fue de especial importancia para
detectar qué aspectos de la dimensión didáctica contribuyen en el comienzo del trabajo con
álgebra. En este sentido, y dado que la planificación inicial era común a las tres docentes que
intervienen en la investigación (D1, D2 y D3), un registro de la socialización de errores en sus
clases, hubiera fortalecido el análisis de clase de D1. El análisis de resultados del cuestionario
aplicado después del curso de álgebra, ofrece una segunda mirada a los errores cometidos y a su
persistencia, si se compara con el relevamiento inicial. Estos resultados son considerados
principalmente para la innovación de la planificación didáctica. Se reconoce que, en futuros
trabajos incluir entrevistas a algunos de los estudiantes cuyas respuestas son llamativas, podría
enriquecer el aporte del análisis del cuestionario y la comprensión de causas de los errores
identificados.
Las tres primeras fases (relevamiento inicial de erros, análisis de clases y resultados del
cuestionario) aportaron elementos valiosos en la elaboración de la planificación didáctica para la
superación de errores. La planificación consideró elementos pedagógicos, provenientes de la
pedagogía del éxito y la pedagogía del error, dando especial importancia a ciertos aspectos de la
dimensión didáctica que se habían analizado. El análisis de la planificación implementada se
basó en la selección de episodios que ilustraban el tratamiento del error, (considerando el error
33
como organizador didáctico) y también la forma en que se establecían relaciones entre la
aritmética y el álgebra. Así, una vez que se comenzó la aplicación de la planificación, ésta se
transformó en objeto de estudio, reestructurándose y analizándose clase a clase. Esta
investigación-acción permitió, a medida que se reconocía en el novedoso mundo del álgebra,
algún terreno propicio para errores, acudir a la conexión con la aritmética y a la socialización del
error.
Por lo anterior, se considera que haber aplicado la nueva planificación en los grupos a
cargo de D2 y D3, hubiera aportado a reconocer, de manera más evidente, los aspectos de la
planificación que contribuyeron en la reducción de errores. De todas formas, la planificación fue
compartida con las profesoras D2 y D3, quienes participaron como observadoras durante su
elaboración. Una perspectiva de la metodología desarrollada, podría ser aplicarla a futuro para
trabajar cada una de las docentes en su grupo de clase. Por las características de la planificación,
cada docente modificaría según los errores que aparecieran en su grupo, y el intercambio y
trabajo colaborativo nutrirían aún más aportando otras aristas que esta investigación no alcanza.
El cuestionario de concatenación aplicado luego de la implementación de la planificación,
la nutre nuevamente. Sin embargo, el análisis de los resultados del cuestionario muestra que
algunos errores parecen persistir más allá de la propuesta didáctica implementada. Esto abre
perspectivas para desarrollar un nuevo trabajo, enfocado en analizar los errores que prevalecen
luego de la intervención didáctica y que pueden deberse, por ejemplo a la cognición. De manera
general, se considera que esta propuesta metodológica es de interés para analizar e innovar la
enseñanza introductoria del álgebra y en particular para analizar y superar los errores de
concatenación.
34
4 ANÁLISIS DE CLASES Y APLICACIÓN DEL CUESTIONARIO DE CONCATENACIÓN
4.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se presenta un análisis de clases relacionadas con la enseñanza del álgebra
y particularmente con el tema de monomios y su adición en un segundo año de educación media
–estudiantes de 13 y 14 años—, en el ciclo escolar 2018. El objetivo de este análisis de clases es
conocer la organización didáctica de la enseñanza del álgebra y la forma en que ésta puede
causar errores de concatenación, pero, sobre todo, cómo su modificación, mediante la
planificación didáctica basada en la Matemática Educativa y su puesta a prueba
(implementación) pueden permitir un estudio de los errores, para su análisis y posterior
superación.
Asimismo, en este capítulo se presenta un análisis de la implementación del cuestionario
de errores de concatenación, para conocer cuáles errores se manifiestan en los estudiantes que
participaron en este curso, así como la frecuencia en los errores cometidos.
4.2 DESARROLLO DEL TEMA DE MONOMIOS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El tema de introducción al lenguaje algebraico se planifica teniendo como base el libro
“Prácticas 2” de editorial Santillana. Se presentan a continuación las primeras clases 1, 2 y 3
donde se introduce en segundo año de educación media el tema de álgebra, expresiones
algebraicas y posteriormente su reducción. El análisis de clases se hace mostrando las
actividades propuestas a los estudiantes, la forma de presentarlas y algunos diálogos sostenidos
entre los estudiantes, simbolizados con la letra “E” y un número posterior para diferenciarlos, por
ejemplo E1 y E2, refiere a dos estudiantes distintos, y lo dicho por la profesora se simboliza con
la letra “P”.
4.2.1 Clase 1. Ejercicios sobre pasaje entre el lenguaje coloquial y el algebraico
En esta clase se propuso el desarrollo de los ejercicios 1, 2, 3 y 4 (Figuras 16 y 17) en los
que la actividad matemática consiste en expresar en lenguaje algebraico, enunciados escritos en
lenguaje coloquial (ejercicios 1, 2 y 4) y expresiones algebraicas en lenguaje coloquial (ejercicio
3). Estos ejercicios se proponen como un medio para afianzar la comprensión del lenguaje
35
algebraico y en particular las operaciones básicas en el dominio del álgebra. Se presentan
primero los ejercicios 1 y 2, posteriormente el ejercicio 3 y el ejercicio 4, todos acompañados de
un breve análisis de la actividad matemática asociada y de las dificultades identificadas en el
trabajo de los estudiantes.
Figura 16. Ejercicios 1 y 2. (Da Costa y Scorza, 2011, p. 32)
Tanto en el ejercicio 1 como en el ejercicio 2 se parte de una situación cotidiana
expresada en lenguaje coloquial, y se le pide al alumno traducir a lenguaje algebraico. Estos
ejercicios se enfocan en un pasaje de lenguaje coloquial al algebraico, sin pretender mostrar el
potencial del lenguaje algebraico. Un análisis inicial muestra que en el ejercicio 1 (Figura 16) se
propone “Usa la letra c para representar la cantidad de chicles que Carolina compró en el
quiosco. Expresa en lenguaje algebraico” y aparecen cuatro incisos. En el primero de ellos, el
inciso a el enunciado es “El doble de esa cantidad de chicles” y se espera que los alumnos
respondan “2c”, en el inciso “b” aparece: “El doble de la cantidad que compró Carolina menos
tres chicles” y se espera que los estudiantes respondan 2c-3. Este segundo enunciado aumenta en
complejidad ya que los estudiantes deben distinguir que la “c” representa la cantidad de chicles
comprados por Carolina y “chicles” va a estar determinado por un número preciso, en el caso del
inciso “b” por 3. En el inciso “c” “El doble de la cantidad que compró Carolina menos tres
36
chicles, más la cantidad que compró Diana (elige otra letra para esta segunda cantidad de
chicles)”. Es posible notar que en este enunciado los alumnos pueden elegir la “d”: 2c-3+d pero
se podrá notar que la “c” propuesta como variable inicial representa “cantidad de chicles
comprados por Carolina”. Es decir, parece que la “c” se elige para dar sentido a la cantidad que
representa, pero esto al mismo tiempo puede ser un obstáculo a la generalidad de la “variable
algebraica”.
En el inciso d se pide expresar en lenguaje algebraico “toda la cantidad del punto anterior
menos la tercera parte de lo que compró Carolina”, cuya respuesta es: 2c-3+d-c/3. Se enfatiza
que esta serie de ejercicios parece tener como objetivo que los alumnos expresen operaciones
con una variable algebraica que representa una cantidad desconocida. Sin embargo, difícilmente
puede explicarse el sentido de esta serie de tareas o ejercicios, ¿por qué se resta un tercio de la
cantidad comprada por Carolina a la cantidad del inciso c? En el ejercicio 2, por su parte, las
expresiones algebraicas que deben establecer los estudiantes son las siguientes: a) x+10 y b) x-4.
Para plantear dichas expresiones, los estudiantes no precisaron ayuda.
37
Figura 17. Ejercicios 3 y 4 (Da Costa y Scorza, 2011, p. 33)
En el ejercicio 3 (Figura 17), que propone lo inverso a los primeros dos, es decir escribir
en lenguaje coloquial las siguientes expresiones: a) 4x-2; b) 5-2x; c) 2x3; d)1/4 (x+3); e) (x+2)2 y
f) x2-4. La primera expresión es parecida a la que aparece en el ejercicio 1, inciso b. 2c-3, pero
las demás son más complejas, en el caso del inciso b, el término con la variable, aparece después
del término independiente. En los otros incisos aparecen potencias, operaciones que requieren el
uso de paréntesis y que por ende, demandan un mayor nivel de pericia en los estudiantes para
determinar las expresiones coloquiales que les corresponden. Los estudiantes presentaron
algunas dudas y tuvieron algunos errores en la redacción. Es decir, al leer los enunciados, éstos
no representaban fielmente la expresión algebraica pedida.
Las dificultades mayores fueron comunicar en lenguaje coloquial dónde irían paréntesis y
dónde o qué separaría términos. Esto obligó a prestar atención al uso de la coma “,” como
38
separador, al hablar de resultados. Por ejemplo, para el inciso e) del ejercicio 3, traducir a
lenguaje coloquial: (x+2)2, E1 planteó: “x más dos al cuadrado”, con el objetivo de “corregir”
esta respuesta la profesora pidió que algún compañero pasara al pizarrón y escribiera en lenguaje
algebraico lo que expresó E1. E2 pasa al pizarrón y la profesora leyó la frase haciendo una única
pausa luego de la x. E2 escribe: x + 22. Así, para confrontarlos con este tipo de error se pautó
trabajar en parejas y que uno le hablara al otro y que éste último escribiera sin mirar las frases
del compañero. Esto les permitió corregirse mutuamente. Luego, algunos estudiantes inventaban
expresiones y veían si las transmitían bien. Finalmente, para (x+2)2 se dejó: “El cuadrado de la
suma de x+2”, y también: “Elevar al cuadrado el resultado de x+2”.
El ejercicio número 4 lo realizaron los estudiantes en parejas, escribiendo la expresión y
luego comparando con el compañero. Para las partes a, b, c y d los estudiantes no presentan
dificultad. En la parte e) algunos estudiantes escriben “x+4:2”. Se les muestra que escrito así,
sería lo mismo que x+2. Agregan paréntesis y se genera el siguiente diálogo:
E1: Ahora sí (x+4): 2
P: Probemos con un ejemplo numérico. Si Jorgelina tiene ahora 10 años, ¿qué contestarías a la
parte e?
E1: Eh… la mitad es 5 y entonces 9.
P: Perfecto. A lo que le calculas la mitad es a la edad de Jorgelina. Luego le sumas 4 años. La
expresión que escribiste, ¿se lee así?
E1: No, primero sumé 4. Ah, entonces tienen razón ellos, es x: 2 + 4.
Esta explicación basta para que algunos estudiantes revisen la parte f) y modifiquen, escribiendo
todos x∙2+4.
4.2.2 Clase 2. Monomio. Monomios semejantes, su adición y sustracción
En esta clase no se presenta una definición formal de monomio, sino que se colocan
ejemplos y oralmente se pauta que es un producto entre un número real al que se llama
coeficiente y una parte literal que puede estar conformada por una o más letras y sus respectivos
exponentes. Es importante aclarar que se trabaja únicamente con exponentes naturales. Se
escriben varios monomios en el pizarrón y se identifica en cada uno su coeficiente y su parte
literal. Se aclara que la ausencia de símbolo entre el número y la letra, implicará siempre una
multiplicación entre éstos, y que también puede usarse un punto, pero no el conocido “por”
39
representado con ‘×’, ya puede confundirse con la letra x. Luego de esto, se definen los
monomios semejantes como aquellos que tienen la misma parte literal y se procede a explicar
adición y sustracción de monomios. El discurso utilizado por la profesora fue: “Para sumar o
restar monomios semejantes, sumamos o restamos sus coeficientes según corresponda, y
dejamos la parte literal común a ambos.” Luego, se presentaron ejemplos del tipo:
“3a+5c=3a+5c” “x+x3=x+x3” entre otros. Y la profesora enfatizó: “No se puede reducir más esta
expresión, pues los monomios no son semejantes”. La docente registra en el pizarrón lo
explicado y los alumnos copian en sus cuadernos.
4.2.3 Clase 3. Multiplicación de monomios
En este clase, la docente expresa oral y por escrito: “La multiplicación de monomios se
realiza determinando primeramente el producto de los coeficientes y posteriormente sus
literales”. Los alumnos copian del pizarrón y luego se produce el siguiente diálogo entre
profesora y estudiantes:
P: ¿Cómo multiplicamos a×b? ¿Cuánto daría?
E1: a×b, da a por b profe, no sé cuánto es a y cuánto es b
P: Correcto, y establecimos que la ausencia de símbolo matemático entre dos letras implica
que entre ellas hay una multiplicación, por lo que a×b es lo mismo que ab, ¿cierto?
E2: Sí
P: Entonces cuando las letras son distintas multiplico los coeficientes y escribo las partes
literales una pegada a la otra. Por ejemplo, 2c∙3b= 6cb. Pero si las partes literales tienen la
misma letra, sumamos los exponentes, pues usamos las propiedades de potenciación que ya
conocemos.
Se copian en el pizarrón varios ejemplos que los alumnos registran en sus cuadernos. Para
ilustrarlos se presentan los siguientes:
a) 2c∙3b= 6cb
b) 3x∙ (-5b) = -15xb
c) -x2∙ (-3x3) = 3x5
Se enfatiza que cuando se multiplica por un número negativo, se coloca paréntesis para que no
queden dos símbolos juntos. Algunos estudiantes se elaboran notas en el cuaderno:
40
Figura 18. Nota hecha por un estudiante
Posteriormente, se abordó la división de monomios. Se enfatizó que para dividir dos
monomios se efectúa la división de los coeficientes y luego de las partes literales, usando
propiedades de potenciación si es posible (es decir cuando las letras coinciden).
Después de trabajar en clase posterior las operaciones entre monomios, antes
mencionadas, se propone el desarrollo de los ejercicios 5, 6 (Figura 19) y 10 (Figura 20) del libro
de texto, que se ilustran a continuación:
Figura 19. Ejercicios 5 y 6. (Da Costa y Scorza, 2011, p. 34)
Estas actividades de múltiple opción conllevan un trabajo con expresiones que todos los
estudiantes pueden hacer, ya que manejan bien las fórmulas de área y de volumen, por lo que de
haber errores son específicos del trabajo con monomios. En el ejercicio 5 todos responden de
forma correcta 2x∙x, pero pocos visualizan que (x+x)∙x y 2x2 también es una respuesta correcta.
Esto evidencia que la nueva notación que se utiliza en segundo año de educación media no ha
sido todavía incorporada. Asimismo, fue necesario realizar correcciones de forma individual a
varios estudiantes en el desarrollo de estos ejercicios, explicando con base en lo expresado en
cada cuaderno e invitando a los estudiantes a explicar en el pizarrón sus producciones.
41
Luego de haber trabajado la operatoria de monomios como se desarrolló anteriormente,
se proponer el ejercicio 10 del libro (Figura 20).
Figura 20. Ejercicio 10 (Da Costa y Scorza, 2011, p. 35)
Algunos de los errores que se cometieron por parte del estudiantado fueron la suma de
exponentes en una adición de monomios, por ejemplo en la primera operación algunos
estudiantes contestaron 5x+2x = 7x2. Se recordó que solo se suman los coeficientes. Los incisos
g, i y k se realizaron colectivamente –todo el grupo-, ya que muchos estudiantes no sabían cómo
efectuarlas. El causante de una dificultad generalizada parece ser que tienen dos letras, y no
logran trasladar las propiedades aprendidas de potenciación (ya sea en división o en
multiplicación) a este escenario. Se explica que se utilizan las propiedades con las letras iguales
y luego se evalúa si la otra letra queda multiplicando (como en i) o dividiendo (como en k).
Durante el año se trabajó con diversos ejercicios que involucraban directa o
indirectamente la reducción de expresiones algebraicas. Se trabajó tanto en segundo como en
tercer año de educación media, de una misma forma frente a los errores. Se hacía periódicamente
corrección de cuadernos, cuando aparecían errores se desarrollaba la explicación de los mismos
por escrito a la vez que se explicaba al estudiante oralmente, mientras se escribía en su cuaderno.
4.3 REPASO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EN TERCER AÑO En el plan de estudios de tercer año de educación media, aparece el tema de ecuaciones
completas e incompletas de segundo grado. Para introducir este tema, se retoma la reducción de
42
expresiones y resoluciones de ecuaciones con ejercicios de perímetros y áreas. Los estudiantes
trabajaron de manera individual y la corrección se hizo socializando las respuestas en el pizarrón.
Para cada ejercicio, un estudiante pasaba a escribir y explicar su procedimiento y la respuesta
obtenida. Por ejemplo, la tarea 1 tiene dos incisos:
a) Expresar de manera reducida el perímetro del pentágono:
b) Calcule el perímetro para x=1
Para el inciso a), algunos estudiantes había planteado mal y sus compañeros les
recordaron que no se podían sumar los términos que tenían la misma literal pero distinto
exponente. Se aprovechó esta interacción grupal y se formalizó, recordando que se trataba de
monomios semejantes y se concluyó que la respuesta correcta era la propuesta por la estudiante
E3: 16x3+16x-x2+5. Para el inciso b), se requería identificar la jerarquía de operaciones. Se
obtuvieron respuestas diferentes, por lo que se les recordó que la potenciación tiene prioridad
con respecto a la multiplicación. Después se anotó: b) Perímetro cuando x=1, es 36.
Posteriormente se presentó el siguiente ejercicio:
2) Expresar de manera reducida el área del rectángulo:
Para realizar este ejercicio fue necesario recordar que colocaran entre paréntesis cada binomio y
con colores distintos se marcó la distributiva desde -2x y desde 3x2. Una estudiante recordó que
en la multiplicación se sumaban los exponentes si la base era la misma. Los estudiantes lo
realizaron en parejas y compararon. El grupo concluye que el área es -2x2-10x+3x3+15x2 y
luego, se reforzó lo repasado anteriormente para reducir. Se obtuvo como respuesta que el área
del rectángulo una vez reducida la expresión era: 13x2 -10x+3x3.
43
4.4 TRABAJO FRENTE A LOS ERRORES EN EL AÑO 2018 Los errores fueron frecuentes tanto en clase como en evaluaciones escritas. Cuando los
errores aparecían en evaluaciones escritas, siempre se corrigió mostrando el procedimiento
correcto y explicando por qué el proceso seguido había sido incorrecto (Figuras 21 y 22).
Figura 21. Error cometido por estudiante con la corrección correspondiente indicándole el motivo del mismo.
Figura 22. Error cometido por estudiante, respectiva explicación sobre el error y solución correcta
Se invitó a que el estudiante tomara fotografía de la prueba cuando había cometido varios
errores, para que pudiera rehacerla en casa mirando la corrección. Así mismo, el espacio “EPI”
(espacio pedagógico inclusor) fue de gran ayuda para que los alumnos realizaran estas
actividades de reelaboración (Figuras 23 y 24), ya que allí encontraban a un profesor de
matemática a disposición para guiarlos.
Figura 23. Igualdad incorrecta planteada por un estudiante en su cuaderno
Figura 24. Registro de explicación oral para el estudiante la conserve en su cuaderno
44
En el trabajo de clase, cuando se realizaban correcciones en el pizarrón y los estudiantes
tenían dudas, se acudía a ellos, dando la respuesta correcta y escribiéndola en el pizarrón para
que los demás estudiantes la vieran (Figura 25). Esto apoyaba la explicación, aunque luego se
borraba del pizarrón.
Figura 25. Notación del pizarrón realizado por la docente.
Todo lo anterior muestra la forma en que las clases introductorias al estudio del álgebra
fueron llevadas a cabo. La actividad de los estudiantes, tanto individual, como en pequeño y gran
grupo, así como los diferentes tipos de intervenciones de la profesora, la forma de presentar los
monomios, las reglas para operarlos, la jerarquía de las operaciones, el trabajo ante el error y la
estrategia de socializar las producciones de los estudiantes, para que el grupo construyera
conocimiento de manera colectiva. Los errores eran visibilizados con los estudiantes en la
revisión individual de cuadernos, enfrentados de manera colectiva en el pizarrón y muchas de las
veces, enfatizando las reglas que permiten operar los monomios oralmente y solicitando su
registro escrito en los cuadernos. Esta organización didáctica debía ponerse a prueba a través de
una evaluación diagnóstica que permitiera evidenciar qué errores aparecían y cuál era su
frecuencia, lo cual se detalla a continuación.
4.5 APLICACIÓN DEL CUESTIONARIO DE CONCATENACIÓN El cuestionario de concatenación tuvo dos partes, en la primera se les propuso reducir
expresiones algebraicas y en la segunda determinar si la igualdad era verdadera o falsa. Cada una
de las partes estuvo conformada por 9 incisos, como se ilustra a continuación.
45
Cuestionario de concatenación
Reduce las siguientes expresiones:
x + x =
x + 3x + 2x =
-5x + 8x –x =
-11x + 4x =
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 =
3x2 – x + 2x =
x + y =
2x + 2y =
3x + 4y =
¿Cuál o cuáles de estas igualdades son correctas?
3x + 6x = 9x2
3x + 6x = 9x
x + x2 = x3
x + x2 = 2x3
x + x2 = 2x2
-5x3 + 2x3 = -3x0
-5x3 + 2x3 = -3x3
-5x3 + 2x3 = -7x3
-5x3 + 2x3 = -7x0
Para esta segunda parte, se les afirmó una serie de igualdades y si el estudiante cree que ésta es
cierta, coloca una “V” y si cree que es falsa una “F”. Este cuestionario fue aplicado a 46
estudiantes de segundo año y a 24 estudiantes de tercer año.
46
4.6 RESULTADOS DE LA APLICACIÓN DEL CUESTIONARIO DE CONCATENACIÓN
Para ilustrar los resultados obtenidos en la aplicación del cuestionario de concatenación,
se presenta el ejercicio planteado con negrita y al lado la frecuencia de aparición del error en un
total de 70 pruebas. 24 de tercero para las que se usó el color rojo y 46 de segundo, donde se usó
el color verde. Del total de 46 estudiantes de segundo año sólo 13 no cometieron error. Los otros
33 cometieron alguno. De los 24 estudiantes de tercer año, sólo 9 realizan sin errores la prueba.
A continuación, se presenta en detalle las respuestas erróneas de los estudiantes y la frecuencia
de los errores indicada entre paréntesis. En el caso de los ejercicios verdadero (V) o falso (F), el
error fue considerado cuando el estudiante colocó V en una igualdad falsa o cuando colocó F en
una igualdad correcta. Luego de observar los resultados, se detectó que algunos estudiantes
habían tenido varios errores, es decir varios ejercicios mal. Surgió el interés de registrar cuando
un estudiante se equivocaba más de una vez para la misma operación. Para respetar la privacidad
del nombre, se otorgaron las letras: A, B, C, D y S a cinco estudiantes.
Reduce las siguientes expresiones:
x + x =
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 1, 4.17%
Error cometido: x + x = x2
Frecuencia de aparición de error en 2do: 5, 10.9%
Errores cometidos: x+x=x2
x + 3x + 2x =
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 0 0%
Frecuencia de aparición de error en 2do: 1, 2.2%
Errores cometidos: x + 3x + 2x = 5x3 (A)
-5x + 8x –x =
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 1, 4.17%
Error cometido: -5x + 8x –x = 6x (1)
Frecuencia de aparición de error en 2do: 3, 6.5%
Errores cometidos: -5x + 8x –x = -3x2 (A)
47
-5x + 8x –x = 12x (B) Error de operación con enteros
-5x + 8x –x = 7x (C) Error de operación con enteros.
-11x + 4x =
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 0
Frecuencia de aparición de error en 2do: 8, 17.4%
Errores cometidos:
-11x + 4x = 7x2 (A)
-11x + 4x =15x (B) Repite error de operación. (3)
-11x + 4x =7x Signo (4)
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 =
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 0
Frecuencia de aparición de error en 2do: 13 (+1 sin hacer) 30.4% (mal o no hace)
Errores cometidos: Sumar exponentes (mal uso de propiedades de potenciación) Ejemplos:
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 = 11x10 (8)
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 = x5 + 4x2 + 5x3(1)
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 = x5 (1)
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 = 110 (1)
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 = x5 + 9x5 (1)
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 = 11x2+x3+x2+x3 (1)
No colocar signo de adición:
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 = 5x2 6x3 (D)
3x2 – x + 2x =
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 1, 4.17%
Error cometido: Operatoria de enteros: 3x2 – x + 2x = 3x2 – 1x (1)
Frecuencia de aparición de error en 2do: 10, 21.7%
Errores cometidos: 3x2 – x + 2x = 4x2 (4) otros 2 con distinto coeficiente o expresión
Errores cometidos: 3x2 – x + 2x = 4x (2)
Errores cometidos: 3x2 – x + 2x = 2x2 +2x (1)
48
Errores cometidos: 3x2 – x + 2x = 3x1 + 2 (1)
x + y =
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 1, 4.17%
Error cometido: x+y=xy (1)
Frecuencia de aparición de error en 2do: 14, 30.4%
Errores cometidos:
x+y=xy (10)
1 s/h
x+y=2xy (3)
2x + 2y =
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 1, 4.17%
Error cometido: 2x+2y =4xy (1)
Frecuencia de aparición de error en 2do: 14, 30.4%
Errores cometidos:
Sumar coeficientes y asignarlos a una de las variables: 2x+2y=4x+y (1)
Sumar coeficientes y dejar una sola variable: 2x+2y= 4y (B)
Unir variables: 2x+2y= 4xy (10)
Aplicar mal factor común: 2x+2y= 2xy (2)
3x + 4y =
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 1, 4.17%
Error cometido: 3x+4y =7xy (1)
Frecuencia de aparición de error en 2do: 12, 26.1%
Errores cometidos:
Unir variables: 3x+4y =7xy (10)
Sumar coeficientes y asignar a una sola variable olvidando o no la otra:
3x+4y= 7x + y (1)
3x+4y =7y (B)
49
¿Cuál o cuáles de estas igualdades son correctas?
3x + 6x = 9x2
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 0
Frecuencia de aparición de error en 2do: 1 -llamado (S)- 2.2%
Errores cometidos: Afirmar V
3x + 6x = 9x
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 0
Frecuencia de aparición de error en 2do: 1 (S) 2.2%
Errores cometidos: Afirmar F
x + x2 = x3
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 3, 12.5%
Error cometido: V
Frecuencia de aparición de error en 2do: 4, 8.7%
Errores cometidos: V
x + x2 = 2x3
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 3
Error cometido: V
Frecuencia de aparición de error en 2do: 6, 13%
Errores cometidos: V
Observación de este ejercicio: los cuatro alumnos de 2do que contestaron mal el ejercicio anterior, responden bien este. Es decir, no hay coincidencias. El alumno que consideró verdadero que x+x2 =x3 (sumó exponentes) afirma falso este otro resultado en el que se suman coeficientes.
x + x2 = 2x2
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 9, 37.5%
Error cometido: V
Frecuencia de aparición de error en 2do: 18 (4 de los que contestaron mal la anterior aquí
contestan de nuevo mal, indicando que la igualdad es V) 39.1%
Errores cometidos: V
50
-5x3 + 2x3 = -3x0
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 1, 4.17%
Error cometido: V
Frecuencia de aparición de error en 2do: 1, 2.2%
Errores cometidos: V
-5x3 + 2x3 = -3x3
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 0
Frecuencia de aparición de error en 2do: 4, 8.7%
Errores cometidos: indicar F
-5x3 + 2x3 = -7x3
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 0
Frecuencia de aparición de error en 2do: 5 (1 del anterior) 10.9%
Errores cometidos: V
-5x3 + 2x3 = -7x0
Frecuencia de aparición de error en 3ero: 2, 8.3%
Error cometido: V
Frecuencia de aparición de error en 2do: 2 4.3%
Errores cometidos: V
51
4.6.1 Gráficas de los errores identificados
Con el objetivo de hacer visible las frecuencias más altas de los errores en relación a los
ejercicios propuestos en la primera y segunda parte del cuestionario se presentan a continuación
dos gráficas de barras.
Figura 26. Gráfica de errores al reducir expresiones (Primera parte del cuestionario)
Figura 27. Gráfica de errores (Segunda parte del cuestionario)
0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00%
10,00% 12,00% 14,00%
2do
3ero
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
2do año
3er año
52
4.7 CONCLUSIÓN El análisis de los errores que cometen los alumnos al final del segundo y en tercer año de
educación media, evidencia que la propuesta didáctica y la forma de implementarla en clase,
como se mostró en la primera parte de este capítulo, no resulta completamente eficaz para
solventar, particularmente, ciertos errores. Con base en el análisis del cuestionario, de los errores
identificados y de su frecuencia, resulta necesario proponer una planificación didáctica distinta
para introducir el estudio del álgebra en segundo año y así lograr disminuir la incidencia de los
errores de concatenación, de interpretación de términos semejantes y de reducción de
expresiones algebraicas. Es decir, la pregunta considerada fue: ¿Qué orientación se le puede dar
a la clase de matemática, en especial en este tema de monomios y reducción expresiones
algebraicas, para superar los errores identificados? En el capítulo siguiente se presenta el análisis
de la implementación de la planificación didáctica.
53
CAPITULO 5
5 ANÁLISIS DE LA IMPLEMENTACIÓN DE LA PLANIFICACIÓN DIDÁCTICA PARA LA SUPERACIÓN DE ERRORES
5.1 INTRODUCCIÓN La planificación didáctica basada en los elementos pedagógicos y didácticos, detallados
en el capítulo 3, se implementó en el curso de segundo año en el 2019. De manera general, esta
nueva planificación didáctica se distanció de los ejercicios propuestos en el libro para las
primeras clases, y en su lugar se proponen actividades cuyo énfasis está en la construcción y uso
del lenguaje algebraico, así como en establecer relaciones entre la aritmética y el álgebra.
Asimismo, se continuó con la socialización del error, proponiendo el trabajo en equipos y en
gran grupo, enfatizando la verbalización de las técnicas o resoluciones de los estudiantes y
analizándolas de manera conjunta, estudiantes y profesora. La planificación es flexible, así el
error juega el rol de organizador didáctico y cada vez que se identifica en los estudiantes la
existencia o persistencia de determinado error, se propone una intervención para tratarlo, así
como ejercicios que permitan confrontarlo. Este elemento es de gran importancia para el
tratamiento de errores, pero supone una apertura del docente para modificar su planificación
constantemente. Los elementos pedagógicos provenientes de la pedagogía del error y de la
pedagogía del éxito, fueron utilizados para el diseño de ciertos ejercicios que permitían generar
un conflicto cognitivo y que así los estudiantes pudieran superar el error.
En este capítulo se presenta y analiza la planificación didáctica implementada en dos
grupos de segundo año de educación media en I1 a cargo de D1. Se recuerda que en este año se
presentan por primera vez los monomios y su adición. El entendimiento de los monomios, la
semejanza entre ellos y la adición y sustracción de los mismos, resulta clave para el trabajo con
la reducción de expresiones. Por ese motivo, se analiza con detalle el desarrollo de la
implementación de tres temas en 8 clases de 45 minutos: el lenguaje algebraico y su tratamiento
(clases 1 y 2); Monomios - Operatoria con monomios (clases 3, 4, 5 y 6) y la adición de
monomios (clases 7 y 8), ya que constituyen una base para el desarrollo posterior del álgebra.
Para ilustrar el trabajo de la profesora y de los estudiantes, se eligieron algunos episodios de
54
clase, así como producciones representativas del trabajo de los estudiantes. La planificación se
presenta en orden cronológico y se acompaña del análisis de las producciones de los estudiantes.
De la misma manera, en este capítulo se presenta un análisis de los resultados del
cuestionario para identificar los errores de concatenación, que fue realizado por los estudiantes
de este curso como si se tratara de una evaluación.
5.2 EL LENGUAJE ALGEBRAICO Y SU TRATAMIENTO. CLASES 1 Y 2 La introducción del lenguaje algebraico se comenzó en la clase 1, y se trabajó en dos
(total 80 minutos). Se hizo de manera intuitiva con un ejercicio planteado por D1 que se muestra
a continuación.
Ejercicio 1:
Parte 1) Consigna asignada de forma oral: Indica qué expresión de la bolsa le asignarías a cada
una de estas frases:
“La mitad de un número a”.
“El triple de un número a”
“La quinta parte de un número a, menos dos unidades”.
“Siete unidades más, que la tercera parte de un número a”.
Se les pide a los alumnos que considerando “a” un número entero positivo, unan cada frase con
la expresión que le corresponde. Se realiza corrección en el pizarrón y emerge la siguiente
interacción:
E1: “a a la dos”, haciendo alusión al término
P: ¿Cómo se lee
E2: “a al cuadrado”.
P: ¿Y ?
E2: “a a la 6”.
P: Exacto, decir “a a la”, significa elevar a tal potencia.
Se aclara la diferencia y se vuelve a leer a/2, “a medios”, “a sobre dos”, “a dividido dos” o
“medio a”. Luego de esto, se pide traducir las expresiones que quedaron sin usar de la bolsa, a
a+1
a3
a+1
+7
7 +
+2
-2
a2
55
lenguaje coloquial. Los estudiantes lo registran en el cuaderno, como se ilustra a continuación en
la figura 28.
Figura 28. Cuaderno de estudiante con registro de lo que se copió en pizarrón.
A este estudiante, se le corrige luego, que invierte el signo al copiar del pizarrón. En la bolsa
anota a-, en lugar de –a (circunferencia roja en la figura 28). Se propone enseguida realizar el
ejercicio 1 de una ficha que se le entrega a cada uno.
56
1. Asocia cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente
En todos los casos “a” representa un número entero.
El trabajo en clases se hace en pequeños grupos, llamados aquí G1, G2, G3, …, con intercambios
entre ellos y con la docente D1. Aunque cada estudiante lo registra individualmente (Figura 29).
Figura 29. Fotocopia de un alumno donde se ve cómo realizó el ejercicio 1.
En torno a este ejercicio se registraron diferentes interacciones entre estudiantes y entre
estudiantes y la profesora, que muestran la forma en que los estudiantes construyen relaciones
entre la descripción en lenguaje coloquial de la expresión algebraica y su expresión en lenguaje
1 El doble de “a”
2 El siguiente de “a” – a
3 El anterior a “a” 2ª
4 La tercera parte de ”a” a – 1
5 El opuesto de “a”
6 La cuarta parte de “a”, más una unidad a2
7 5 unidades más que la mitad de “a”
8 3 unidades menos que la quinta parte de “a”
9 El cuadrado de “a” a+1
57
algebraico. Se presentan a continuación dos interacciones. La primera generada en el grupo G1
en relación al último enunciado 9 “El cuadrado de “a””.
G1E1: El cuadrado de a es 2 a la a
G1E2: No, el cuadrado de a sería a2. El doble de a es 2a
Después de esta interacción, unen correctamente el enunciado con la expresión algebraica. La
segunda, en el grupo G2, en relación al enunciado 8: “3 unidades menos que la quinta parte de
“a””:
G2E1: Tres unidades menos que la mitad de a ¿con qué lo pusieron?
G2E2: ¿La rayita es dividido? [Haciendo referencia al símbolo, “ ”]
P: ¿Cómo calculamos la mitad de una cantidad? ¿Qué cuenta hacemos?
G2E1: Dividido 2
P: ¿Y si quiero calcularle la tercera parte?
G2E1: Dividido 3
P: ¿Y la quinta parte?
G2E1: ¡Ah! ¡Es esta! [E indica la correcta ]
En el ejercicio 2, que aparece enseguida, no se registraron discusiones.
2. Completa siguiente tabla:
Lenguaje coloquial Lenguaje algebraico
La quinta parte de un número “a” 2b El cubo de un número “c” Seis unidades más que la mitad de un número “d”
La octava parte de un número “f”
58
Posteriormente, se propuso el ejercicio tres que consiste como se ilustra a continuación,
en realizar una traducción del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico. Se propusieron 7
enunciados en lenguaje coloquial y el objetivo es enfatizar las diferencias entre la potenciación,
la multiplicación y la división.
3. Traduce cada expresión a lenguaje algebraico: a. El triple de un número “a” b. El triple de un número “b” menos cinco unidades c. La tercera parte de un número “c” d. El cubo de un número “d” e. El doble del cuadrado de un número “e” f. La quinta parte de un número “f” más tres unidades g. La suma de un número “g” y su cuadrado
De manera similar al ejercicio anterior, los estudiantes registraron individualmente su actividad
(Figura 30).
Figura 30. Fotocopia de una alumna donde se ve cómo realizó el ejercicio 3.
En la realización del inciso a del ejercicio 3, surge en el grupo G3 la siguiente interacción:
G3E1: El triple de un número a, ¿acá se puede hacer el a y el 3 arriba?
P: A ver, escribí lo que dijiste. ¿Qué significa “a” a la tres? ¿Es lo mismo que por tres?
G3E1: No, significa tres veces, o sea, no, por sí mismo tres veces
P: Si quiero calcular el triple de un número ¿por cuánto lo multiplico?
G3E1: Por tres [Indica la opción correcta]
Algunos registros en torno a la realización del inciso d:
G3E1: ¿El cubo de un número es algo parecido al cuadrado? ¿El cubo es a la cuánto?
G3E2: A la tres es, el tres arriba
59
Ante la visualización de dificultad para la parte e se intervino de la siguiente manera:
P: Y para hacer el doble, ¿qué haces?
G3E2: La suma
P: ¿De qué?, ¿cómo calculas el doble de 10?
G3E2: Diez más diez
P: Perfecto. ¿Y si tenés que expresarlo como multiplicación? ¿Por cuánto multiplicas al diez
para representar la operación diez más diez?
G3E2: Diez por dos. Entonces el doble de e2 por 2 [Escribiendo luego el punto y el 2.]
Este episodio permite mostrar cómo se establece la relación entre la aritmética y el álgebra y en
particular, la forma en que se enfatiza que la multiplicación corresponde a una suma iterada,
mientras que la potenciación a una multiplicación iterada. Asimismo, este episodio muestra
cómo la socialización permite que el pequeño grupo de estudiantes G3, se apoye mutuamente
para realizar la actividad y construir colectivamente la relación entre la aritmética y el álgebra,
entre el lenguaje coloquial y el lenguaje algebraico para describir una expresión algebraica. En
el inciso g) E3 no estaba convencido de la respuesta de su compañero (3b-5) y cuestiona,
produciéndose el siguiente diálogo:
G3E3: ¿Si están pegados es por? ¿Nunca están juntos?
P: ¿Qué es estar juntos?
G3E3: juntos, como 3b, como 36.
P: Cuando hay ausencia de símbolo entre un número y una letra es porque hay una
multiplicación
G3E3: ¿Le puedo poner el punto?
P: Sí.
G3E3: Es 3, un punto que es por, la b y menos 5
Este otro episodio muestra la dificultad asociada a la comprensión del monomio como un solo
término en el que se expresa una operación: “3b” es un término que expresa “tres veces b”. E3
muestra bien la complejidad que entraña la falta del símbolo “×”, que en aritmética permite
comprender lo que la expresión refleja. El uso del punto parece ser el elemento que permite
comprender que ese término refleja una operación intrínseca a él mismo. Este mismo estudiante,
establece la relación entre un número y su cuadrado a partir de considerar un ejemplo numérico,
lo que ilustra una vez más las relaciones establecidas entre la aritmética y el álgebra, como se
60
muestra en el siguiente diálogo:
G3E3: La parte g) es g+2 porque es g y su cuadrado
P: 2, ¿es el cuadrado de g? Cuando dice su cuadrado, es el cuadrado de g
G3E3A: ¿Como 14 y 142?
P: Sí, ahí g sería 14
G3E3: Entonces es g+g2
Después del trabajo con los grupos, se hace la corrección en el pizarrón y algunos
estudiantes inician la realización del ejercicio 4.
Ejercicio 4
Expresa mediante una expresión algebraica:
a) La mitad de los chocolates, siendo “c” la cantidad de chocolates de una caja.
b) La cantidad de alumnos de una clase un día que faltaron 3 estudiantes, siendo “a” la
cantidad total de alumnos en lista.
c) El perímetro de un triángulo equilátero siendo, “l” la medida de uno de sus lados.
d) El doble de la edad que tenía hace 7 años, siendo “e” la edad que tengo actualmente.
En la realización del inciso c, tres alumnos escriben l+l+l y la profesora aprovecha esto para
establecer la relación entre la aritmética y el álgebra:
P: ¿Y si quiero escribirlo en un término solo?
E5: 3l
E5: Claro, vos pones adelante cuántas hay
P: ¿Cómo puedo escribir 10+10+10 en un término solo? ¿Cómo una multiplicación de dos
factores?”
E5:¿3 por 10? Ahh…
Así concluyó la clase 2, en la que se trabajó el lenguaje algebraico, a partir del establecimiento
entre diferentes relaciones entre el álgebra y la aritmética. En esta clase no hubo necesidad de
generar una instancia distinta a las planteadas en la planificación didáctica. Por el contrario, la
socialización del “error” se hizo tanto en los pequeños grupos como con todo el grupo. La
corrección grupal del ejercicio 4 se queda pendiente.
61
5.3 MONOMIOS- OPERATORIA CON MONOMIOS. CLASES 3, 4, 5 Y 6 Se inició la clase escribiendo en el pizarrón una serie monomios, algunos de ellos
trabajados en la clase pasada. Se indica que cada uno de estos términos va a ser llamar
monomios. En un primer intercambio con los estudiantes emerge que un monomio es un término
en el que un número multiplica a una letra. Para poder ampliar la imagen conceptual que están
generando los estudiantes y que puedan deducir la idea correcta de parte literal, se mostraron
diversos ejemplos: dos letras, una letra, distintos exponentes, etc. Se cuestionó sobre la forma de
definir un monomio y se consensuó que el monomio es la multiplicación de un número, al que se
llama coeficiente, y una parte literal, que podrá ser una o más letras y sus respectivos
exponentes. En el cuaderno se registraron varios monomios y se identificó en cada uno de ellos,
el coeficiente y su parte literal.
Figura 31. Pizarrón luego de analizar coeficiente y parte literal de algunos monomios.
Una estudiante preguntó si el menos era parte de la parte literal, lo que motivó a enfatizar:
La parte literal es letra o letras y sus respectivos exponentes, nada más. Esto se repetía a medida
que se indicaba en cada monomio su parte literal y fue registrado en el cuaderno por cada
estudiante (Figura 32).
Figura 32. Cuaderno de alumno donde registró lo trabajado.
62
Figura 33. Apunte de un estudiante en su cuaderno.
Figura 34. Apunte de un estudiante en su cuaderno.
En esta clase aparece la dificultad de identificar coeficiente y literal en monomios con
coeficiente “1”, como es el caso de “x”, como se ilustra en la siguiente interacción:
E8: Pero, profe aquel de allá no tiene coeficiente [señalando el monomio x]
E8: y el de este es rayita [refiriéndose al menos].
P: [Se recuerda] El coeficiente es el número que multiplica a la parte literal. ¿Por qué número
puedo decir que está siendo multiplicada la x, para no modificarla en lo absoluto?, para que
siga dando x si hago esa multiplicación.
G: Por uno [respuesta de la mayoría]
P: Correcto. En este caso, el coeficiente es uno. [Se escribe la igualdad x=1x y se les pide que
hagan un cartel con la misma]
Esta explicación que parecía convincente, sigue siendo poco clara para E2, quien señala:
E2: ¿pero no es 0?”
P: Si fuese 0∙x, ¿podríamos decir que es igual a x?
E2: [El estudiante reflexiona…] no, daría 0
P: Exacto. Si está x, implica que hay 1x
E2: Siempre hay coeficiente
P: Sí. [Lo registramos en los cuadernos (Figura 35)]
Figura 35. Apunte de un estudiante en su cuaderno.
El episodio de clase en el que se generó el diálogo anterior muestra la complejidad asociada a la
construcción de los monomios como entidades que representan una operación. El coeficiente uno
63
es uno de los obstáculos identificados en los errores de concatenación y se espera que esta
interacción y la forma de presentar la igualdad x=1x así como el énfasis dado a partir de la
intervención de E2, permita superar este error.
5.3.1 Adición de monomios
La adición de monomios es introducida a partir de escribir en el pizarrón monomios
independientes, para verlos como entidades y después operarlos bajo las reglas algebraicas. Para
algunos ejemplos se insiste en que el monomio representa una suma reiterada, como se ilustra a
continuación:
Figura 36. Notación del pizarrón para acompañar explicación de alumno.
Figura 37. Notación del pizarrón para reforzar explicación.
Figura 38. Notación del pizarrón para mostrar coeficiente del monomio.
Los estudiantes identificaron fácilmente el coeficiente y la parte literal. Se insiste en lo que
representa cada monomio, por ejemplo 3z es igual a z+z+z. A partir de este énfasis en la suma
reiterada que expresa un monomio, se les pregunta por el resultado de 3x+2x, parece un pasaje
suave, observando cada monomio como x+x+x y x+x respectivamente, contestan 5x. Se escribe
en el pizarrón de tiza, que está al lado, las dos sumas de monomios y se hacen en conjunto con
los estudiantes (Figuras 39 y 40).
Figura 39. Suma de monomios en el pizarrón. Figura 40. Suma de monomios en el pizarrón.
64
Con el objetivo de mostrar que la suma de monomios es realizable únicamente cuando los
términos son semejantes (aunque aún no se haya definido tal concepto), se les propuso el
siguiente ejercicio: x+e. Ante la imposibilidad por parte de los alumnos de dar respuesta (lo cual
era esperable), se interviene para legitimar que el resultado es coincidente con la operación,
mediante la pregunta: “¿puede escribirse como un solo monomio?” Los estudiantes señalan que
no. Se les cuestionó cuál era el coeficiente y la parte literal de cada uno. Esto permitió que
identificaran que si los monomios tenían letras distintas no se podían sumar. Es decir, “una x y
una e, como resultado dan una x y una e”. En el pizarrón se escribió lo siguiente:
Figura 41. Adición de monomios no semejantes.
Luego, se propuso el ejercicio 7x+3e y se les preguntó cuánto daba. Los estudiantes reconocieron
que no era posible reducirlo. Oralmente se les dice, que para poder expresar la suma como un
solo monomio, las partes literales deben ser iguales. Es decir, se debe contar cuántas partes
literales hay del mismo tipo (Figura 42).
Figura 42. Texto escrito en el pizarrón, adición de monomios no semejantes.
Los estudiantes registran lo trabajado en sus cuadernos. (Figura 43).
Figura 43. Registro de una alumna en su cuaderno.
65
Particularmente, cuando se propuso x+x2 (Figura 44) una estudiante E8 afirmó: “Esas cosas no
se puede” y otra estudiante E9 señaló: “¡Sí, se puede, sí! Se puede notar que este ejercicio
representa una dificultad, debido a que corresponde a la suma de dos términos que tienen la
misma letra, pero distinto exponente.
Figura 44. Adición de monomios con la misma letra y exponente diferente.
Para confrontar las posiciones de los estudiantes, la docente cuestionó a los estudiantes que
afirmaba que se podía: “¿Cuál es la respuesta?” Y contestaron: “2x2”. El debate continuó y surgió
la siguiente interacción:
E6: Pero no, es una sola x2
P: Hay una x2 acá y acá una x, ¿verdad? [De eso estaban todos seguros ya que así lo dijeron y
asintieron con la cabeza]
P: Ok. ¿Entonces para el resultado sumo cuántas x hay o cuantas x2 hay?
E10: Ah, claro. ¡No se puede!
P: ¿x2+x2? 2x2 [Fue la respuesta de la mayoría]
E10: ¿No sería x4?
E11: No, no estás sumando lo de arriba. Estás sumando lo de abajo.
En la clase se enfatiza sobre las condiciones para sumar dos monomios y conjuntamente se
establece que se requiere tener la misma parte literal: misma letra y mismo exponente. Se define
entonces a los monomios semejantes (Figura 45).
66
Figura 45. Registro de la definición que dimos a monomios semejantes.
Luego de esto, en las adiciones anteriormente planteadas de monomios no semejantes, se
anota: “No son monomios semejantes”. El estudiante E11 señala: “Entonces solo sumamos o
restamos los que son semejantes. Los que no, quedan así.”, mientras indicaba la operación suma
o resta expresada sin efectuarla. Se escribe la observación de E11 (Figura 46).
Figura 46. Cartel que quedará en clase.
Una vez definidos los monomios semejantes, se propusieron adiciones y sustracciones, como se
ilustra en la Figura 47.
Figura 47. Primer trabajo de adición y sustracción de monomios.
67
Los estudiantes pasan al pizarrón E1 escribe que 7a2+a2 = 7a2 y E2 señala: “no es 7 es 8, porque
es una a2.” E1 corrige. Se enfatiza con un cartel que hacen en sus cuadernos (Figura 48).
Figura 48. Cartel realizado por una alumna para colgar en clase y que sirva de refuerzo visual.
Se realiza una explicación personal a una de las estudiantes y ella escribe en su cuaderno el
ejemplo explicado de la manera siguiente:
Figura 49. Apunte de una estudiante sobre la explicación dada por la docente.
En el trabajo grupal se hace la corrección de las adiciones propuestas (Figura 50).
Figura 50. Corrección de ejercicio en el pizarrón.
Para retomar el trabajo con lenguaje algebraico se propone, luego de finalizar la
corrección de adición y sustracción de monomios, corregir entre todos el ejercicio 4 de la clase
anterior. Se percibió dificultad al corregir el inciso d) “El doble de la edad que tenía hace 7 años,
siendo “e” la edad que tengo actualmente”. Varios estudiantes afirmaron: 2e-7. La docente
intervino y utilizó como recurso la conexión explícita con números:
P: ¿Por qué?
E15: Porque es el doble, pero hace 7 años.
P: Vamos a calcular el doble de la edad que tú tenías hace 7 años, ¿qué cuenta haces primero?
68
E15: …pienso cuántos tenía….hago menos 7
P: ¿Cuántos tenías hace 7 años entonces?
E15: 6. ¿Ahora hago el doble?”
P: Sí
E15: Entonces es menos 7 y después por dos, ¿no?”
P: Sí. [Reescribe: e-7 x 2 y se le indica el uso del paréntesis]
Posteriormente, se propone el ejercicio 5:
Ejercicio 5
En tres ventanillas se venden entradas para el fútbol. El precio de las entradas es el mismo para
todo el campo. En la segunda ventanilla se han vendido el doble del número de entradas que en
la primera y en la tercera se han vendido 80 entradas más que en la primera. Expresa la cantidad
de entradas que ha vendido cada ventanilla, sabiendo que la cantidad de entradas vendidas por la
primera ventanilla es b.
Un estudiante señala: “No nos sale este profe”. La docente utiliza el registro escrito para
plantear la situación de las tres ventanas (Figura 51).
Figura 51. Explicación de la docente registrada en el cuaderno de una estudiante.
De manera individual se trabaja con la estudiante E3 y se observa la dificultad de establecer las
variables del problema y de diferenciar la suma de la multiplicación, como se ilustra a
continuación:
P: Si acá se venden 100, y en la de al lado se vende el doble, ¿cuántas de venden?
E3: 200
P: Bien. Ahora acá no sé cuántas se vendieron, voy a representar esa cantidad con b. Si en la
de al lado se venden el doble, ¿cómo lo representamos?”
E3: Por dos [Se le pide que lo escriba]
P: Bueno, ahora en la tercera ventanilla se venden 80 más que en la primera
69
E3: 80b [Se aprecia la dificultad para diferenciar la suma de la multiplicación porque para ella
esto implica 80 más que b]
P: ¿2b qué significa?
E3: El doble de b
P: O sea, ¿qué cuenta hay que hacer con b?
E3: por dos
P: Entonces, 80b significa 80 por b. Si vendes 100, 80b significaría que en la tercera
ventanilla vendes 8000, ¿es eso lo que dice?
E3: No, 80 más. Si fuese 100 sería 100+80… 180 [La docente lo escribe Figura 52]
P: Entonces si es 80 más que b?
E3: b+80 [Escribe correctamente]
Figura 52. Explicación docente a E3.
En el trabajo con todo el grupo, una estudiante escribe las variables en el pizarrón:
Figura 53. Variables del ejercicio 5 escritas por una estudiante en el pizarrón.
Se considera que el ejercicio 5 resulta de gran importancia pues involucra varios de los
elementos trabajados en la clase, traducción del lenguaje coloquial al algebraico, establecimiento
de variables del problema y trabajo con términos semejantes. Se reconoce que la autenticidad del
problema no se considera y que es más bien propuesto para enfatizar el pasaje entre los lenguajes
coloquial y algebraico. En cuanto al trabajo con el error, se utiliza nuevamente la relación entre
la aritmética y el álgebra, a partir del uso de números que permitan comprender la estructura
70
algebraica en juego. Se intenta así que este sea un recurso utilizado por los estudiantes de manera
autónoma para validar su propia actividad. Posteriormente, se propone el ejercicio 6, que es del
mismo tipo que el ejercicio 5.
Ejercicio 6
Durante una prueba en una fábrica de enlatados, la máquina A produce m latas, la máquina B
produce el doble de A, la máquina C produce seis más que A, la máquina D la mitad de C.
a) ¿Cómo expresarías las producciones de B, C y D en función de m?
b) ¿Cómo expresarías la producción total en la prueba?
Un estudiante pasa al pizarrón y escribe lo correspondiente al inciso a):
Figura 54. Resolución del ejercicio 6 en el pizarrón por un estudiante.
Se puede notar que la experiencia del ejercicio 5 es aprovechada y las variables del
problema pueden ser encontradas sin mayor dificultad. En cuanto al inciso b), un estudiante
señala E: “Hay que sumar todo”. La docente cuestiona si esto es posible y lo escribe para
analizarlo conjuntamente:
Figura 55. Resolución del ejercicio 6, inciso b realizada por la docente.
P: ¿m+6 cuánto da?
E5: no se puede. Tienen que tener la misma letra
71
Surge la duda de cómo sumar 4m y media m, pues no lo ven como media m sino como una
fracción. La docente insiste en que m/2 es la “media m” y esto hace que uno de los estudiantes
exprese una confusión asociada a la potenciación:
E4: Entonces 4,5m
E2: 4,5m2
P: ¿Por qué a la dos?
E2: Porque hay dos m
P: En el primer término que dice 4m, ¿qué significa?”
E2: m+m+m+m
P: Entonces, ¿cuántas m hay?
E2: 4. Ahh ta, ta, hay 4 y media m nomás.
Se puede notar la dificultad a diferenciar 2 veces un número de elevar al cuadrado y como esta
confusión aparece asociada, en cierta manera, a la mitad de un número. Se recurrió nuevamente a
establecer el monomio en término de una suma reiterada para analizar lo que se expresa
algebraicamente. Asimismo, se aprovecha para enfatizar que los términos semejantes además de
la misma literal tienen que tener el mismo exponente (Figura 56).
Figura 56. Recordatorio en pizarrón.
5.4 REDUCCIÓN DE EXPRESIONES. CLASES 7 Y 8 Se inicia la clase reduciendo la expresión: -x3+4m+ x2-3x2+x3+4x3. Se indica con colores
los términos semejantes entre sí y se recuerda que se suman los coeficientes y se deja la parte
literal común (Figura 57). Se propone realizar los ejercicios 2) -x2-x2-6x2+4x y 3) m+3m-
m2+m/2-m2. Al compartir las respuestas, una estudiante escribió: -82 4x (Figura 58).
Figura 57. Reducción de una expresión algebraica en el pizarrón. Figura 58. Trabajo de estudiantes en el pizarrón.
72
Se decidió socializar el razonamiento asociado a esta respuesta, el diálogo que emergió se
muestra a continuación.
P: ¿Por qué el 8 a la dos?
E22: La x
P: Hay que escribirla, porque es -8 de esas, -8x2. ¿Y qué hay entre el primer monomio y el
segundo monomio?
E22: Nada
P: ¿Qué había que hacer con estos monomios? ¿Qué operación se pedía?
E22: Una suma
P: Una adición. Sí, entonces coloco un más. Si no coloco nada, sería una multiplicación
Este diálogo ilustra cómo la estudiante E22 suma los coeficientes de los términos semejantes,
pero no ve la necesidad de escribir la letra x ni el signo de suma entre los dos términos. Esta
dificultad no estaba prevista, pero muestra la complejidad asociada a la adición de monomios. Se
proponen ejercicios para practicar (Figura 59) y se socializan las respuestas en el pizarrón
(Figura 60).
Figura 59. Ejercicios propuestos en pizarrón. Figura 60. Respuestas de alumnos.
5.4.1 Trabajo con los errores escritos
En este curso, al igual que en el de 2018, los errores manifestados de manera escrita en
tareas o evaluaciones escritas se señalaban, se colocaba la resolución correcta, enfatizando la
relación entre la aritmética y el álgebra (Figura 61). Al notar algún error reiterativo se elaboraban
carteles (por parte de la docente o de estudiantes) para dejar en la clase (Figura 62).
73
Figura 61. Corrección a un estudiante. Figura 62. Cartel de explicación.
Se considera que todo lo anterior ilustra la forma en que la planificación didáctica fue
implementada y cómo los elementos pedagógicos y didácticos que la fundamentan fueron
utilizados en la práctica. Asimismo, los episodios elegidos permiten ilustrar las dificultades
surgidas en el trabajo con los estudiantes, la complejidad asociada al uso del lenguaje algebraico,
al establecimiento de relaciones entre éste y el lenguaje coloquial y viceversa. Una vez que el
curso tuvo lugar, se implementó en Junio 2019 el cuestionario para identificar los errores de
concatenación, los resultados obtenidos se muestran en la siguiente sección.
5.5 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DEL CUESTIONARIO PARA IDENTIFICAR ERRORES DE CONCATENACIÓN El cuestionario fue realizado por 46 estudiantes de segundo año de educación media a
cargo de D1. El objetivo de esta aplicación es comparar los porcentajes de incidencia de error,
cuáles son los errores que siguen persistiendo y si ha habido disminución en esta generación con
respecto a la anterior, así como evaluar de manera general la planificación didáctica y su
implementación en el aula.
5.6 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO PARA IDENTIFICAR ERRORES DE CONCATENACIÓN
Se presenta a continuación cada ejercicio que es parte del cuestionario, el número de
estudiantes que lo cometió, los errores cometidos y su frecuencia entre paréntesis, así como un
análisis de cada uno de ellos. Se recuerda que los primeros 9 ejercicios del cuestionario solicitan
reducir expresiones algebraicas.
En el primer ejercicio x+x, 5 de 46 estudiantes (10.8 %) tienen dificultad con identificar
el coeficiente 1 y sumarlo, y 1 de 46 estudiantes (2.17 %) suma los exponentes de las x. La
frecuencia de este último error es mínima, pero se considera que una entrevista con este
estudiante permitiría relevar la naturaleza de este error.
74
1) x + x =
6 estudiantes cometen error.
Errores cometidos:
x+x=x (5)
x+x=2x2 (1)
En el segundo ejercicio x + 3x + 2x, 3 de 46 estudiantes (6.5 %) tienen dificultad con
identificar el coeficiente 1 y sumarlo, y 1 de 46 estudiantes (2.17 %) suma los exponentes de las
x. Es decir, aparecen los mismos errores que en el ejercicio anterior, pero no los cometen los
mismos estudiantes y eso cuestiona, ¿qué diferencias hay entre los dos ejercicios que les hace
cometer el error en uno, pero en otro no?
2) x + 3x + 2x =
3 estudiantes cometen error.
Errores cometidos:
x + 3x + 2x = 5x +x (1) A este estudiante se le llamó E1
x + 3x + 2x =5x (1)
x + 3x + 2x =x +6x2 (1) A este estudiante se le llamó E2
En el tercer ejercicio -5x + 8x –x, 9 de 46 estudiantes (19.5 %) tienen dificultad con
identificar el coeficiente 1 y sumarlo, 1 de 46 estudiantes (2.17 %) suma los exponentes de las x
y 7 de 46 estudiantes (15.2 %) parecen tener dificultad en operar los números enteros. A
diferencia de los dos ejercicios anteriores, aquí parece que la complejidad aumenta al operar con
coeficientes enteros positivos y negativos.
3) -5x + 8x –x =
9 estudiantes cometen error.
Errores cometidos:
-5x + 8x –x = 3x-x (1)
-5x + 8x –x = -3x2-x (1)
-5x + 8x –x = 3x (2)
-5x + 8x –x = 4x (1)
-5x + 8x –x = -4x (2)
75
-5x + 8x –x = -2x (1)
-5x + 8x –x = 1x (1)
En el cuarto ejercicio -11x + 4x, 6 de 46 estudiantes (13 %) comenten errores, uno de
ellos suma los exponentes de las x y los otros cinco manifiestan dificultad para operar con
números enteros.
4)-11x + 4x =
6 estudiantes cometen error.
Errores cometidos:
-11x + 4x = -7x2 (E2)
-11x + 4x = 7x (4)
-11x + 4x = -15x (1)
En el quinto ejercicio x2 + x3 + 4x2 + 5x3, 5 de 46 estudiantes (10.8 %) comenten errores,
uno de ellos suma los exponentes de las x y los otros cinco manifiestan dificultad para operar con
números enteros.
5) x2 + x3 + 4x2 + 5x3 =
5 estudiantes cometen error.
Errores cometidos:
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 = 11x10 (3)
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 = 5x4 + 6x6(1)
x2 + x3 + 4x2 + 5x3 = 5x4 + 6x5(E2)
En el sexto ejercicio 3x2 – x + 2x, 10 de 46 estudiantes (21.7 %) comenten errores. E2
vuelve a sumar exponentes, y adiciona mal enteros de distinto signo. 6 estudiantes presentan
error con adición de enteros y los otros tres reducen erróneamente a un término.
6) 3x2 – x + 2x =
10 estudiantes cometen error.
Errores cometidos:
3x2 – x + 2x = 3x2-3x2 (E2)
3x2 – x + 2x = 3x2-3x (5)
3x2 – x + 2x = 3x2-1x (1)
76
3x2 – x + 2x = 4x2 (2)
3x2 – x + 2x = 6x2 (1)
En el séptimo ejercicio x + y, 4 de 46 estudiantes (8.6 %) comenten errores, tres de ellos
colocan las literales xy, olvidando el signo de suma entre ellas y otro suma los coeficientes. Este
ejercicio está asociado a la dificultad de identificar que los términos no son semejantes y que no
es posible reducir.
7) x + y =
Errores cometidos: 4 estudiantes cometen error.
x+y=xy (3)
x+y=2xy (1)
En el octavo ejercicio 2x + 2y, 3 de 46 estudiantes (6.5 %) comenten el error de mantener
el coeficiente y juntar las literales. Se muestra aquí el conflicto de no sumar, pues no responden 4
estudiantes, pero sin embargo concatenan dejando un solo término como respuesta final. De
nuevo, parece ser que estos estudiantes se sienten obligados a “hacer algo”.
8) 2x + 2y =
3 estudiantes cometen error.
Error cometido: 2x+2y=2xy (3)
En el noveno ejercicio 3x + 4y, 2 de 46 estudiantes (4.3 %) comenten error. En este caso,
los estudiantes sí suman los coeficientes (nótese que son diferentes entre sí), y al igual que en el
ejercicio anterior, dejan juntas las literales distintas, multiplicándose en lugar de sumarse. Sin
embargo, resulta importante observar que uno de los estudiantes que contestó erróneamente las
últimas dos, asociando x+y, y 2x+2y, como se mostró anteriormente, contesta a ésta “no se
puede reducir”. Se considera que una entrevista con este estudiante permitiría profundizar en la
naturaleza del error que comete.
9) 3x + 4y =
2 alumnos cometen error.
Error cometido: 3x+4y=7xy (2)
77
En cuanto a la segunda parte del cuestionario, en el que los estudiantes debían determinar
si la reducción de la expresión algebraica era correcta o incorrecta, aparecen menos errores. En
los tres primeros ejercicios, sólo dos estudiantes contestan de forma incorrecta.
¿Cuál o cuáles de estas igualdades son correctas?
1) 3x + 6x = 9x2 Solo E2 contesta de forma errónea, que la afirmación es verdadera.
2) 3x + 6x = 9x Todos contestan correctamente que la igualdad es verdadera.
3) x + x2 = x3 Un estudiante contesta de forma errónea
En los ejercicios 4 y 5, aparece un incremento en el número de estudiantes que contestan
de forma incorrecta. Seis estudiantes (13 %) consideran que los exponentes deben sumarse, sin
embargo ellos mismos contestan bien el ejercicio 5. Lo que hace suponer que la dificultad para
determinar si los exponentes se suman o no está latente. En cuanto al ejercicio 6, es uno en los
que más estudiantes se equivocan y parece que tiene que ver con suponer que sumar los
coeficientes, pero dejar el exponente del mayor, puede confundirse con la regla de adición
aritmética entre números enteros.
4) x + x2 = 2x3 6 estudiantes contestan de forma errónea, pero los 6 contestan bien la 5.
5) x + x2 = 2x2 12 estudiantes contestan mal.
Se analizan finalmente los ejercicios 6, 7, 8 y 9. En 6 y 9 los estudiantes no tienen
dificultad. Esto puede deberse a que el exponente cero puede parecer incorrecto. En el ejercicio 7
solo dos no reconocen la igualdad, y estos afirman verdadera la 8. Lo que parece ser que la regla
aritmética para sumar enteros es frágil y eso hace que no puedan señalar que la igualdad es
incorrecta.
6) -5x3 + 2x3 = -3x0 Todos contestan bien.
7) -5x3 + 2x3 = -3x3 2 contestan mal (es decir, afirman que es incorrecta esta igualdad)
8)-5x3 + 2x3 = -7x3 5 contestan mal (es decir, afirman que es verdadera la igualdad)
9)-5x3 + 2x3 = -7x0 Todos contestan bien.
El análisis de estos errores muestra que las dificultades que persisten están asociadas al
operar con monomios de coeficiente 1 (ejercicios 1,2, 4 y 5), a sumar enteros positivos y
negativos y aunque en menor medida que la generación anterior, a sumar exponentes en adición
de monomios de igual literal. Las causas de estos errores no pueden distinguirse a partir de la
aplicación de este cuestionario, pero sí puede evidenciarse que no hay estabilidad en algunos de
78
los estudiantes que muestran errores, ya que pueden responder un ejercicio sin error y uno muy
parecido con error. Esto lleva a considerar que las entrevistas con los estudiantes puede resultar
un elemento metodológico que permita profundizar en el razonamiento que los estudiantes
generan al enfrentar estos ejercicios.
Para analizar, de manera más general, el efecto de la planificación didáctica, en la
siguiente sección se hace un comparativo entre los resultados del cuestionario aplicado en el año
2018 y en el año 2019, una vez que la planificación didáctica nueva fue implementada.
5.7 ANÁLISIS GRÁFICO DE LOS ERRORES El análisis comparativo de la aplicación del cuestionario se hace considerando los
resultados obtenidos en los años 2018 y 2019). El gráfico de barras (Figura 63) evidencia una
disminución en 5 de los 9 ejercicios enfocados en la reducción de expresiones algebraicas
(Figura 63).
Figura 63. Gráfico comparativo de errores al reducir expresiones entre ambas generaciones.
Un resultado inesperado aparece en los ejercicios 1) x+x, 2) 2x+3x+2x y 3) –5x+8x-x en
los que la frecuencia de errores aumenta en la generación del 2019. Un análisis de los errores en
los 3 primeros ejercicios, evidencia que el tipo de error cambió de una generación a otra. Solo 1
estudiante de 2019 suma exponentes en los primeros tres ejercicios. Si se observa el ejercicio 1,
el único estudiante de 2019 que suma exponentes plantea que x+x=2x2. Mientras que en 2018, 5
estudiantes contestan que x+x= x2. Por lo tanto, el aumento del porcentaje de error para 2019 en
estos ejercicios, está relacionado a la dificultad en la operatoria con enteros y con el manejo de
coeficiente 1.
0
5
10
15
Generación 2018
Generación 2019
79
En cuanto a la segunda parte del cuestionario (Figuras 64 y 65), es posible ver que la
planificación didáctica posibilitó una disminución de errores. De manera más general (Figura 66)
es posible ver que los estudiantes comenten menos errores en el año 2019.
Figura 64. Gráfico circular con respuestas en 2018. Figura 65. Gráfico circular con respuestas en 2019.
Figura 66. Gráfico comparativo entre generaciones según número de errores cometidos por cuestionario.
5.8 CONCLUSIÓN En este capítulo se ha presentado un análisis de la implementación de la planificación
didáctica, la forma en que los elementos pedagógicos y didácticos, que fundamentan dicha
planificación, permitieron en la práctica hacer frente a los errores algebraicos identificados.
La identificación de los episodios y la transcripción de los diálogos elegidos permitieron
mostrar el tipo de ejercicios de la planificación que causaron mayores dificultades y
particularmente la forma en que los estudiantes los resolvieron, socializaron tanto sus respuestas
como los razonamientos asociados y las intervenciones de la docente. Estas intervenciones se
basaron fundamentalmente en mostrar las características del lenguaje algebraico y el sentido que
372
42
GENERACIÓN 2018
CORRECTAS
INCORRECTAS 387
27
GENERACIÓN 2019
CORRECTAS
INCORRECTAS
0
5
10
15
20
25
Alumnos con dos o más errores
Alumnos que cometen 1 solo error
Alumnos con 0 errores
EN 2018
EN 2019
80
puede dársele desde el lenguaje coloquial, así como en el establecimiento de las relaciones entre
la aritmética y el álgebra. Asimismo, se mostró cómo el trabajo individual, en pequeños y gran
grupo posibilitó la socialización de la actividad de los estudiantes, los errores asociados y la
forma en que se confrontaron.
Se mostró también el uso de carteles, registros visuales en el pizarrón y en el cuaderno
que pretendían ser un recurso para superar los errores. El análisis muestra cómo estos elementos
y los presentados anteriormente conforman la planificación didáctica y cómo esta pretendió
contribuir a la disminución de errores. Se considera, sin embargo, que el análisis puede ser
profundizado y que el cuestionario implementado constituye un instrumento valioso para dar
cuenta de lo que la planificación logra en relación a la disminución de errores. El análisis
comparativo entre los resultados de la aplicación del cuestionario de concatenación en las dos
ediciones del curso aporta en esta misma dirección.
81
CAPITULO 6
6 ANÁLISIS GLOBAL DE LOS ERRORES Y CONCLUSIONES GENERALES
6.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se pretende evaluar el aporte del trabajo realizado en la superación de
errores. Para ordenar los resultados, hacer una lectura ágil y clara y poder discernir qué puntos
fueron favorables y cuáles serían las líneas a seguir, se consideran dos aspectos, el índice de
Hake para medir la ganancia en el aprendizaje y una comparación meticulosa de los errores de
una generación a otra. Es decir, se pretende mostrar los errores que prevalecen luego de la
aplicación de la planificación didáctica y en qué medida éstos se asemejan o se diferencian de los
errores cometidos por la generación anterior. Finalmente, se presentan posibles líneas que
pueden seguirse para superarlos.
6.2 UNA INVESTIGACIÓN-ACCIÓN PRÁCTICA SOBRE ERRORES ALGEBRAICOS
La elaboración de esta tesis constituye una investigación acción práctica que habilita
perspectivas hacia una práctica docente emancipatoria. Se parte de la práctica docente, con el
relevamiento inicial y el análisis de clase, se teoriza y se produce una planificación didáctica, se
vuelve a la práctica y se interviene para superar la persistencia de los errores de concatenación en
el trabajo con reducción de expresiones algebraicas. Es decir, se cumple el ciclo de acción
reflexiva sustentado en elementos teóricos. De manera más general, la metodología
implementada pretende profundizar en la práctica docente tradicional, estudiando y cuestionando
su sistematización con el fin de transformarla.
6.3 ÍNDICE DE HAKE PARA LA LECTURA DE LOGROS OBTENIDOS Si bien existe un resultado positivo que fue vivencial durante la aplicación de la
planificación por D1 en los cursos, resulta importante cuantificar los logros obtenidos por parte
del estudiantado. Lo que significa poder mostrar una mejoría significativa en el manejo de
reducción de expresiones algebraicas y disminución de errores de concatenación, entre las
generaciones estudiadas. Para alcanzar dicho objetivo se utiliza el índice o factor de Hake (h),
82
nombrado así tras su creador Richard R. Hake. Este número permite medir o cuantificar la
ganancia en el aprendizaje, y se calcula con la siguiente fórmula:
h =
Para este índice, Hake establece ciertos rangos que clasifican la ganancia en baja, media o alta:
• Baja (h ≤ 0,3)
• Media (0,3 < h ≤ 0,7)
• Alta (h > 0,7)
Aunque Hake plantea así su escala, es menester para este trabajo aclarar qué sucede para algunos
valores. Antes de presentar los valores específicos de h, resulta necesario señalar que el cálculo
de Hake en la situación de pre-intervención (generación 2018) no puede ser del 100%; en ese
caso no habría que intervenir, ya que la totalidad del estudiantado considerado responde
correctamente al cuestionario. En segundo lugar, está implícito que para que haya ganancia, h
debe ser positivo, si h<0 no hay ganancia. Por otro lado, cuando h=0, la ganancia es nula, lo que
implica que el test o cuestionario efectuado antes de la intervención arroja los mismos resultados
que el efectuado después de la intervención. Otro valor que resulta interesante evaluar es cuando
h=1. Esto sucede únicamente cuando el cuestionario aplicado post-intervención es 100%.
A grandes rasgos, si se considera que los resultados de la generación de estudiantes de
segundo año de 2018, en la cual no se trabajó con la nueva planificación didáctica, un 28.3% del
estudiantado efectuó el cuestionario sin errores, mientras que en el año 2019, un 43.5% resolvió
el cuestionario sin equivocaciones. Los errores algebraicos son de distinta naturaleza, didácticos,
cognitivos, epistemológicos y en este trabajo se ha considerado únicamente la dimensión
didáctica de los errores estudiados. Así, cuando un estudiante comete el mismo tipo de error en
más de una ocasión, se considera que el concepto asociado no ha sido construido de manera
adecuada o que no es sólido. Por este motivo, resulta importante observar también, qué
porcentaje de cada generación comete dos o más errores en la realización del cuestionario. En el
año 2018, casi el 50% de estudiantes evaluados cometen dos o más errores en total, mientras que
en el año 2019 un 17% aproximadamente realiza dos o más errores. Es decir, si se comparan
estas cantidades, la planificación didáctica propuesta logró que menos estudiantes cometieran
varios errores. Si se analiza el número de errores también puede visualizarse un cambio
83
relevante: En 2018 se produjeron 132 errores al resolver el cuestionario, mientras que en 2019
sólo 75.
PRE INTERVENCIÓN- 2do año 2018-
46 alumnos100%
Estudiantes que efectúan todo bien: 13 estudiantes 28.3%
Estudiantes que cometen sólo un error: 11 estudiantes 23.9%
Estudiantes que cometen dos errores o más: 22 estudiantes 47.8%
POST INTERVENCIÓN- 2do año 2019-
46 alumnos100%
Estudiantes que efectúan todo bien: 20 estudiantes 43.5%
Estudiantes que cometen sólo un error: 18 estudiantes 39.1%
Estudiantes que cometen dos errores o más: 8 estudiantes 17.4%
A grandes rasgos, si se calcula el índice de Hake para la parte 1 del cuestionario se
obtiene una ganancia media de 0.47, como se ilustra a continuación.
Cálculo del índice de Hake para la parte 1 del cuestionario:
h =
h=0.47
Se presenta el detalle de respuestas para la parte 1 del cuestionario, así como el índice de Hake
calculado para cada pregunta de esta parte comparando estudiantes de 2018 con estudiantes de
2019.
84
Tabla 3 Cálculo del índice de Hake para la primera parte del cuestionario
Pregunta N° resp correctas
PRE-INTERVENCIÓN
En % N° resp correctas
POST-INTERVENCIÓN
En % Índice de
Hake
x+x 41 89.1% 40 87%
x+3x+2x 45 97.8% 43 93.5%
-5x+8x-x 43 93.5% 37 80.4%
-11x+4x 38 82.6% 40 87% 0.25
x²+x³+4x²+5x³ 33 71.7% 41 89.1% 0.63
3x²-x+2x 36 78.3% 36 78.3% 0
x+y 32 69.6% 42 91.3% 0.71
2x+2y 32 69.6% 43 93.5% 0.78
3x+4y 24 52.2% 44 95.7% 0.92
En general: 324/414 78.3% 366/414 88.4%
Para los primeros tres casos, así como para el sexto, no se obtiene ganancia. De todas formas,
éstos eran conceptos manejados correctamente por el alumnado en el año de 2018 (porcentajes
alrededor del 90%) y continúa siendo alto en la generación siguiente 2019.
Uno de los errores clásicos que aparecieron desde las primeras instancias de esta
investigación (ver relevamiento inicial) era asociar monomios con x y monomios con y, y
reducirlos a un solo término efectuando errores de concatenación. A estos se le sumaban o no,
otro tipo de errores que ya ha sido estudiado, como la errónea aplicación de propiedades de
potenciación o equivocaciones en operatoria. Pero si se observan las últimas tres preguntas de la
parte 1 del cuestionario, aparece discernido allí, la adición de monomios no semejantes “sin”
exponentes visibles. El aprendizaje en la manipulación de los mismos ha sido llamativamente
alta, alcanzando casi un 96% de asertividad en el último caso, y teniendo en los tres un índice de
Hake superior al 0,7.
85
Parte 2 del cuestionario:
Verdadero o Falso: (total de respuestas 414)
N° de respuestas correctas en el año 2018: 372
En porcentaje: 89.9%
N° de respuestas correctas en el año 2019: 387
En porcentaje: 93.5%
En este caso también hay una ganancia media en el aprendizaje, comparando las dos
generaciones. Si se observa el índice de Hake es de 0.36, lo que indica una ganancia media.
El cálculo del índice de Hake para la parte 2 del cuestionario es el siguiente:
h =
h=0.36.
Se detalla la parte 2 del cuestionario mediante sus preguntas, como se hizo con la parte 1.
Tabla 4 Cálculo del índice de Hake para la segunda parte del cuestionario
En total 372 89.9% 387 93.5% 0.36
En esta segunda parte del cuestionario, también se hace el análisis calculando el índice de Hake
por pregunta. Se puede observar que en tres casos, la ganancia es 1, esto se debe a que el total de
los alumnos post-intervención, contestan correctamente. Por otro lado, hay otras tres preguntas
Pregunta: Indicar V o F
N° resp correctas PRE-INTERVENCIÓN
En % N° resp correctas POST-INTERVENCIÓN
En % Índice de Hake
3x+6x = 9x2 45 97.8 45 97.8 0
3x+6x = 9x 45 97.8 46 100 1
x+x2 = x3 42 91.3 45 97.8 0.74
x+x2 = 2x3 40 87 40 87 0
x+x2 = 2x2 28 60.9 34 73.9 0.3
-5x3+2x3 = -3x0 45 97.8 46 100 1
-5x3+2x3 = -3x3 42 93.5 44 95.7 0.34
-5x3+2x3 = -7x3 41 89.1 41 89.1 0
-5x3+2x3 = -7x0 44 95.7 46 100 1
86
que reflejan una ganancia nula, ya que la cantidad de alumnos que contestan bien dicha pregunta
pre y post intervención es invariante. Aparece un caso de ganancia baja, otra que muestra
ganancia media y en cuanto a contestar x+x2 = x3 el aprendizaje fue alto, alcanzando un 97,8%
de estudiantes que reconocen el error. Esto se refleja con un factor de Hake de 0,74. Vale
destacar que este tipo de error fue uno de los detectados en el análisis de resultados en 2019, y
aún así disminuyó con respecto a la generación anterior.
6.4 CONCLUSIONES GENERALES De manera general, se puede decir que este trabajo contribuye al estudio de los errores
algebraicos, considerando particularmente la dimensión didáctica relacionada con su causa, pero
principalmente con su tratamiento. Esta investigación permite identificar cuáles de los errores de
concatenación aparecen con mayor frecuencia, cuáles de éstos persisten a pesar de la enseñanza
del álgebra y un acercamiento a sus causas. Si retomamos la clasificación de orígenes de los
errores en aprendizaje de matemática propuesto por Socas (1997), se puede afirmar que la
planificación didáctica elaborada colabora a disminuir la frecuencia de algunos cuyo origen es un
obstáculo y algunos cuyo origen es la ausencia de sentido. Para el primer caso, la planificación
elaborada muestra su eficacia evitando aquellos ligados a la dificultad del pasaje de la aritmética
al álgebra, aumentando la comprensión de cuando reducir monomios, evitando los clásicos
errores de concatenación al operar por ejemplo 3x+4y. Para el segundo, se evidencia una
disminución de errores de procedimiento, por ejemplo en el uso inapropiado de reglas de
potenciación como lo es la suma de exponentes, pero en una adición de potencias.
Sin embargo, una vez abarcados los errores que pueden ser disminuidos desde la
dimensión didáctica, los resultados de los cuestionarios y particularmente el aplicado en el 2019,
muestran que la persistencia de algunos errores parece estar más allá de esta estrategia didáctica
y revela que operar con los números enteros, que corresponde a una cuestión meramente
aritmética afecta de manera importante la forma en que los estudiantes reducen expresiones
algebraicas. Esto puede deberse a que operar con enteros de distinto signo represente lo que
aparece en Socas (1997) como obstáculos epistemológicos intrínsecos a los conceptos
matemáticos. La complejidad del objeto matemático en sí mismo responde a procesos de
cognición del estudiante de orden epistemológico que escapan a la dimensión didáctica
considerada en esta tesis. Por otro lado, aparece fuera de los límites de esta investigación la
87
tercera clasificación que hace Socas (1997), referente a actitudes afectivas y emocionales de los
estudiantes en relación con la matemática.
El relevamiento inicial de errores permitió hacer una primera clasificación de su
naturaleza y de su frecuencia, pero no permitía considerar ni sus causas ni su posible tratamiento.
El análisis de la literatura posibilitó proponer una planificación didáctica basada en elementos
pedagógicos y didácticos, así como en fases metodológicas que permitían validar su coherencia
interna y analizar su implementación con en clase. Los elementos didácticos considerados como
es el tratamiento del lenguaje algebraico y las relaciones entre la aritmética y el álgebra fueron
elementos fundamentales para confrontar los errores identificados en el desarrollo de las clases.
Estos elementos asociados a la socialización de la actividad de los estudiantes resultan
fundamentales. Es decir, no basta tener diferentes niveles de trabajo, individual, de pequeños
grupos y de gran grupo, para generar interacciones entre los estudiantes y la docente que
permitan confrontar el error. Es necesario tener estrategias didácticas disponibles, pero sobre
todo su fundamento, como en este caso fue el establecimiento de relaciones entre la aritmética y
el álgebra, mostrar una y otra vez que el monomio representa en un solo término una suma
iterada.
De la misma manera, se considera que el análisis de clase tanto de la planificación
didáctica clásica como de la propuesta en esta tesis, es un elemento metodológico de gran valor
para analizar los errores y la forma en que didácticamente pueden ser abordados. Sin embargo, se
considera que este análisis puede enriquecerse si es realizado por más de un docente, pues esto
permite compartir experiencias y conocimientos profesionales para conjuntamente proponer
estrategias didácticas para superar los errores algebraicos. De manera más general, se considera
que la inclusión de entrevistas una vez que se ha aplicado el cuestionario podría aportar al
estudio de la naturaleza de los errores que persisten.
88
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