instituto superior tcnico - autenticação · tempo com o canal de representação da corrente e...

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Instrumentação e Medidas

Exame Escrito de 4 de Janeiro de 2008 Resolva cada grupo em FOLHAS SEPARADAS devidamente identificadas com NOME, NÚMERO e DATA. Justifique todas as respostas.

I. Medidas AC

Na figura em cima está representada uma montagem destinada à medição de uma impedância linear indutiva à frequência f. A tensão vG é alternada sinusoidal. Os multímetros A e V são instrumentos digitais de verdadeiro valor eficaz de 3 dígitos e meio. Obtiveram-se, para as melhores condições de medida, os seguintes valores: Amperímetro A: 100,0 mA (alcance 200mA) Wattímetro W: 3 W (alcances 100Vx500mA) Voltímetro V: 60,0 V (alcance 200V) Frequencímetro F: 50 Hz

1) Qual o valor da impedância de carga (módulo e ângulo) à frequência dada? 1,5 2) Sabendo que o fabricante indica para a exactidão do voltímetro e do amperímetro (0,2% do

alcance +3 dígitos), estime os valores dos erros máximos para os dois instrumentos. 1,5

3) Para os erros máximos determinados anteriormente qual o valor máximo do erro possível no cálculo do módulo da impedância?

1

4) Pretendendo visualizar a tensão e a corrente da carga num osciloscópio analógico, indique quais as ligações a efectuar e desenhe a imagem que obteria no caso de sincronizar a base de tempo com o canal de representação da corrente e com um nível de sincronismo de 0 volt ascendente. Indique quais as escalas a utilizar. Como procederia querendo representar só a tensão na bobina L?

1

5) Descreva os métodos de representação, nos osciloscópios analógicos, de vários sinais simultaneamente e diga qual o mais adequado na presente situação.

1

6) Face ao módulo da impedância em medida, indique se a ligação do wattímetro é a melhor possível, e sugira outra se não for.

1

II. Contador Universal de Tempo/frequência A tensão do gerador da Fig.1 é aplicada a um contador universal tempo/frequência.

1) Descreva o princípio de funcionamento do contador, indicando claramente quais os impulsos que são contados e qual a origem da base de tempo de contagem para cada modo de funcionamento.

1

2) Supondo que o contador tem 5 divisores decimais e um oscilador interno com frequência , qual o modo de funcionamento mais adequado para as melhores condições de

medida? Qual o erro relativo admissível nesse processo de medida? int 1 MHzf =

1

3) Para as melhores condições de medida compare os erros relativos obtidos nos dois modos de funcionamento.

1

III. Conversão A/D

f/kHz

0,8 kHz

4 80-4

Fig. 2

Pretende construir-se um canal de telefonia de voz. Sabe-se que a frequência superior do espectro de voz é de cerca de . Para digitalizar o referido canal vai usar-se uma frequência de amostragem de num conversor A/D de 8 bits por aproximações sucessivas.

10 kHzmáxf =8 kHzSf =

1) Desenhe o diagrama de blocos de um conversor A/D de aproximações sucessivas e descreva o

seu modo de funcionamento. 1,5

2) Supondo que o conversor tem um alcance bipolar de ±5 volt, represente os diagramas temporais para a digitalização de uma tensão instantânea de 4,375 volt. Será que os 5 bits menos significativos estão definidos sem ambiguidade?

1,5

3) Qual o processamento a que é absolutamente necessário submeter o sinal analógico para que o canal funcione adequadamente?

1

4) Será possível considerar um processo de sub-amostragem para aumentar a largura de banda do canal de voz? Justifique.

1

IV. Electrónica de Instrumentação

Na Fig.3 está representado um circuito linear em que as tensões de entrada e de saída são alternadas sinusoidais. No interior do rectângulo está representada uma montagem que se destina a comparar as tensões e .

1( )u t 2( )u t

1( )u t 2( )u t1) Qual o parâmetro característico do circuito linear que está a ser alvo de medida? 1,5 2) Descreva o funcionamento da montagem no interior do rectângulo socorrendo-se de

representações gráficas do andamento temporal dos sinais ao longo do circuito. 1,5

3) Sabendo que se utiliza uma lógica (0 ; +5 volt) represente graficamente o andamento da tensão em função do parâmetro submetido a medida. ou

1

4) Quais os limites de medida, em termos do intervalo da grandeza a medir?

1

RESOLUÇÃO

I. Medidas AC 1) Pretende determinar-se a impedância jZ Z e ϕ= . O módulo da impedância é dado por

60 600 0,1

ef

ef

UZ

I= = = Ω

O argumento ϕ pode ser obtido utilizando o valor da potência activa lido no wattímetro,

3 1cos cos 60º60 0,1 2ef ef

ef ef

PP U IU I

ϕ ϕ ϕ= ⇒ = = = ⇒×

=

2) O cálculo dos erros máximos (majorantes dos erros efectivos) será feito utilizando os dados do fabricante dos instrumentos: Voltímetro: Alcance: 200 volt ; 0,2% do alcance = 0,4 volt O visor é de 3 dígitos e meio. Por isso a maior valor no alcance de 200 volt será 199,9 V. O dígito menos significativo representa uma variação de 0,1 volt. Logo, 3 dígitos ≡ 3×0,1=0,3 volt. O erro máximo total será de 0,4+0,3=0,7 volt. Amperímetro: Alcance: 200 mA ; 0,2% do alcance = 0,4 mA O visor é de 3 dígitos e meio. Por isso a maior valor no alcance de 200 mA será 199,9 mA. O dígito menos significativo representa uma variação de 0,1 mA. Logo, 3 dígitos ≡ 3×0,1=0,3 mA. O erro máximo total será de 0,4+0,3=0,7 mA. 3) O máximo erro ocorre quando os dois instrumentos apresentam o erro máximo admissível e de modo a maximizar o erro da impedância (divisão da tensão pela intensidade da corrente). Assim, no caso do valor lido (60 V) estar afectado do erro máximo, o valor exacto podia ter sido (se bem que com uma probabilidade mínima) de 60+0,7=60,7 volt. A corrente podia também estar afectada do erro máximo, mas em sentido contrário, com o valor exacto de 100-0,7=99,3 volt. Nesse caso, o módulo da impedância seria

60,7 611, 28 0,0993

Z = = Ω

O erro máximo da impedância seria assim de 611,28 600 11,28 volt− = Outro processo seria o de desenvolver a função ( ,ef ef )Z Z U I= em série, tomando só os termos até à primeira ordem. Assim,

0 ef efef ef

Z ZZ Z UU I

I∂ ∂+ Δ + Δ∂ ∂

Em que 0Z é o valor exacto (desconhecido) e Z é o valor obtido. Actuando os erros da tensão e da corrente no mesmo sentido, o erro da impedância viria aproximado por

2

32

1

1 600,7 0,7 10 7 4,2 11,2 volt0,1 0,1

efef ef ef ef

ef ef ef ef

UZ ZZ U I U IU I I I

−

∂ ∂Δ Δ + Δ = Δ + Δ

∂ ∂

= × + × × = + =

=

4) No canal 2 media-se a tensão na resistência para ter acesso indirecto à “onda” de corrente. A tensão total na carga visualiza-se no outro canal.

Car

ga

Para traduzir a tensão na resistência em intensidade de corrente é necessário ter em conta o valor de R, que será de cos 600 cos60º 300 R Z ϕ= = × = Ω . As amplitudes das tensões serão

300 0,1 2 42,4 V ; 60 2 84,9 VRmáx máx Tot máxU R I U= = × × = × A representação obtida no osciloscópio podia ser a seguinte em que a tensão na resistência aparece a azul. A corrente está atrasada de 2/3 de divisão em relação à tensão, o que corresponde a 60º de atraso de fase, equivalente a 3,33 ms.

( )Ru t

CH1 & CH2:5V/div Sonda 10X ; HOR:5 ms/div

Para representar a tensão da bobina L bastaria inverter o canal 2 e somar as formas de onda dos dois canais. 5) Para representar dois sinais simultaneamente, e uma vez que o osciloscópio só dispõe de um feixe de electrões, utiliza-se o modo sequencial ou o modo segmentado. No primeiro o sinal de um dos canais é descrito durante um período da base de tempo, mas no período seguinte é o sinal do outro canal que é representado. No modo segmentado os sinais dos dois canais são representados durante o mesmo ciclo da base de tempo comutando rapidamente a tensão da deflexão vertical entre os dois. No caso presente deve utilizar-se este último modo pois a frequência dos sinais a observar é relativamente baixa.

6) Existe uma incongruência na montagem representada. As posições do amperímetro e do voltímetro sugerem que a impedância do voltímetro é bastante elevada quando comparada com os 600 ohm da carga. Se o circuito de tensão do wattímetro também for de impedância elevada, a corrente na carga será, com grande aproximação, a corrente do circuito de corrente do wattímetro e do amperímetro. No entanto no circuito de tensão do wattímetro tem-se a soma da tensão na carga com a queda de tensão no circuito de corrente do wattímetro. Por isso será mais coerente a montagem representada na figura seguinte.

Car

ga

II. Contador Universal de Tempo/Frequência 1) No contador existem duas séries de impulsos. Uma delas tem a mesma frequência do sinal Sf sujeito a medida e a outra, de frequência intf , é gerada internamente por um oscilador local. Além disso também são geradas internamente, com divisores decimais, sucessões de impulsos de frequência /10 , 1k

intf k N< < . Existem dois modos de efectuar contagens: Modo frequência: Os impulsos obtidos do sinal externo são contados durante um período (base de tempo) de um dos sinais gerados internamente. Modo período: Os impulsos do sinal gerado internamente são contados durante um período do sinal externo (base de tempo). 2) Escolhendo o modo frequência deve escolher-se para base de tempo a mais baixa frequência gerada internamente, e que é . A frequência do sinal vale . Neste modo teremos somente 5 contagens:

6 5/10 10 /10 10 HzNintf = = 50 HzSf =

5 5/10S

freqint

fNf

= =

No modo período, e para as melhores condições de medida, a base de tempo será um período do próprio sinal e os impulsos a ser contados são os do oscilador interno sem divisores. Assim,

610 20.000

50int

perS

fNf

= = =

As melhores condições de medida ocorrem no modo período. Podendo ocorrer uma contagem de diferença é admissível um erro relativo de

1 100% 0,005%20.000Pε = × =

3) Tendo utilizado o modo frequência teríamos, nas melhores condições deste modo, um erro relativo

1 100% 20%5Fε = × =

III. Conversão A/D

1) Diagrama de blocos do conversor A/D de aproximações sucessivas:

São necessários 8 ciclos na malha do conversor para se obterem os valores dos 8 bits: Um LSB corresponde a 810 / 2 0,0390625 volt=

Ciclo de relógio

Palavra digital à saída do programador

Tensão de comparação (volt)

Resultado à saída do comparador

1 1000 0000 0 1 2 1100 0000 2,5 1 3 1110 0000 3,75 1 4 1111 0000 4,375 ?

No 4º ciclo de relógio as tensões na entrada do comparador são iguais e por isso a saída do comparador tanto pode ser o 1 lógico como o 0 lógico. Têm de ser examinadas as duas situações. Saindo o 1 o quarto bit é fixado a 1, mas todos os restantes bits ficarão a zero. A palavra obtida na digitalização seria

11110000 4,3750000 volt⇔ Se o quarto bit sair a zero, então todos os restantes bits sairão iguais a 1. Obtém-se assim o resultado:

11101111 4,3359375 volt⇔ Note-se que este último resultado corresponde exactamente a um erro de quantificação igual a 1 LSB, pois que 4,375−4,3359375=0,0390625 volt. 3) A frequência de amostragem do sinal de voz é feita a 8 kHzSf = . Isso quer dizer que a mais alta-frequência do sinal de voz não pode exceder os 4 kHz. É portanto obrigatório utilizar um filtro passa-baixo, geralmente designado por filtro “anti-aliasing” para evitar a sobreposição das sub-bandas de frequência originadas no processo de amostragem. A frequência de corte desse filtro deve ser inferior a 4 kHz para permitir uma pequena banda de segurança entre as sub-bandas referidas. 4) Não é possível efectuar sub-amostragem porque o sinal não é periódico.

IV. Electrónica de Instrumentação 1) A tensão de entrada no “Circuito Linear” é alternada sinusoidal. A tensão de saída também será alternada sinusoidal da mesma frequência, pois o circuito é linear. O parâmetro que está a ser medido é a diferença de fase entre as duas tensões, pois o circuito no interior do rectângulo é um detector de fase.

1( )u t 2( )u t

2) As tensões de entrada e são comparadas com a tensão de referência (0 volt). À saída dos comparadores temos tensões “quadradas”, representadas a vermelho na figura seguinte. As tensões quadradas estão desfasadas do mesmo modo que as sinusóides.

1( )u t 2( )u t

1( )u t

2( )u t

0( )u t

0 V

5 V ( )xoru t

O circuito “OU exclusivo” só terá a saída alta (5 volt) quando só uma das tensões de entrada for alta. À saída do filtro teremos uma tensão que é o valor médio da tensão de saída do circuito “XOR”, a azul na representação gráfica. 3) O detector de fase em análise não distingue os atrasos dos avanços. Quando as duas tensões e estiverem em fase a saída do “XOR” estará sempre a 0 volt, e quando e estiverem em oposição a saída do “XOR” estará sempre a 5 volt. Para desfasamentos intermédios a tensão de saída do filtro vai variar linearmente com a diferença de fase. Assim, a característica do detector terá a seguinte representação gráfica:

1( )u t

2( )u t 1( )u t 2( )u t

5,0 V 2,5 V

u0

−180º −90º 0º 90º 180º

desfasagem

4) Os limites de medida serão, pelo que se disse [0º,180º] ou [−180º,0º] pois que, com este detector terá de se saber, por outra forma, se se tratam de avanços ou atrasos.




Exame Escrito de 20 de Julho de 2010

PARTE I A. Medida de uma Tensão Eléctrica

Utilizaram-se três voltímetros diferentes para medir uma tensão eléctrica, um digital de 3½ dígitos de verdadeiro valor eficaz, um electromagnético e um terceiro de quadro móvel (sem rectificação).

Voltímetro electromagnético: Alcances: 10 V; 30 V. ...... Classe de precisão: 1 Quadro móvel: .......................Alcances: 5 V; 15 V;..........Classe de precisão: 1 Voltímetro digital : ................Alcances: 400 mV; 4 V; 40 V; 400 V

Exactidão em modo AC: 1,5% da leitura + 5 dígitos Exactidão em modo DC: 0,3% da leitura

A tensão a medir é a sobreposição de uma tensão contínua com uma alternada sinusoidal do tipo

( ) cos(2 ) , 50 Hzv t A A f t f= + π =As leituras registadas com aqueles instrumentos foram respectivamente:

Voltímetro electromagnético: 6,1 V Quadro móvel: ...................... 4,95 V Voltímetro digital : ................Modo AC: 3,555 V

Modo DC: 5,01 V 1) Estime os valores dos erros máximos para cada um dos dois instrumentos.

Voltímetro electromagnético: Alcance apropriado: 10 V. εmax=1% do alcance = 0,1 V Quadro móvel: Alcance apropriado: 5 V. εmax=1% do alcance = 0,05 V Voltímetro digital (modo AC): εmax=1,5% da leitura + 5 dígitos Alcance= 4 V => 1 dígito= 1 mV εmax=1,5/100×3,555+5×0,001= 58,3 mV Voltímetro digital (modo DC): εmax=0,3% da leitura εmax=0,3/100×5,01= 15,03 mV

2) Estime o factor de forma da tensão dada, utilizando primeiro os resultados experimentais obtidos só com os instrumentos analógicos e depois só com o voltímetro digital. Compare os resultados obtidos com o valor teórico esperado. Valor teórico do factor de forma:

β=Vef / <|v(t)|> 2

2 1 1/ 2 , | ( ) |2

AVef A A v t A⎛ ⎞= + = + < >=⎜ ⎟

⎝ ⎠

1,5 1,225β = ≈

Instrumentos analógicos:

.6,1 1,23

4,95electromagnético

analógQM

VV

β = = ≈

Instrumentos digitais: 2 2 2 25,01 3,555 6,143 1,226

5,01 5,01DC AC

digitaisDC

V VV

+ +β = = = ≈

3) Represente o diagrama de blocos de um voltímetro digital de verdadeiro valor eficaz e indique a funcionalidade de

cada um dos blocos representados.

Ver apresentação sobre instrumentos digitais.

B. Malha de Fase Síncrona A figura em baixo representa um oscilador comandado por tensão (VCO) e a característica do detector de fase (DF) utilizado por uma malha de fase síncrona. No ponto representado a característica do VCO exibe uma inclinação de 40 kHz por volt.

vVCO / V

2,5

fVCO /kHz

180º-180º

vVCO / V

Dif. de fase (º)

5

0350

400

450

1) Represente o diagrama de blocos de uma malha de fase síncrona e caracterize cada um deles. Como funciona e de que

tipo é o detector de fase cuja característica está representada em cima? Supondo a malha a funcionar na frequência de entrada fI=400 kHz, e em sincronismo, qual a diferença de fase entre a entrada e a saída do VCO? Qual das duas está em avanço em relação à outra? Ver a apresentação sobre a malha de fase síncrona. Para 400 kHz 2,5 V o que corresponde a = 90ºVCO VCOf V= = Δϕ ±A diferença de fase Δϕ é a diferença entre a fase da tensão de entrada e a fase da tensão à saída do VCO. Como só o ramo ascendente é estável tem-se, . 0 fase( ) fase( ) 90ºi VCOv vΔϕ > ⇒ − = +

2) Diga o que entende por banda de seguimento de uma malha de fase síncrona. Qual a razão da banda de seguimento não variar quando aumenta a largura de banda do filtro passa-baixo? Banda de seguimento é o intervalo de frequências da tensão de entrada tal que, estando o sistema síncrono, se mantém o sincronismo. Se o sistema está síncrono a tensão à saída do filtro passa-baixo e que comanda o VCO é constante. Ao variar lentamente a frequência da tensão de entrada a tensão de comando do VCO também varia lentamente, o que implica que a banda de seguimento não seja sensível, pelo menos em regime quase estacionário (variações lentas de frequência)), à largura de banda do filtro.

3) Qual a modificação a efectuar na malha de fase síncrona com os blocos de características representadas nos gráficos para que ela possa desmodular um sinal FM centrado na banda de 300 kHz? Se a frequência do sinal de entrada for dividida por N e a frequência de saída do VCO for dividida por M ter-se-á sincronismo se

i VCOf fN M

=

Fazendo N=3 e M=4 tem-se

300 400 kHz3 4

VCOVCO

ff= ⇒ =

que é uma frequência na banda do VCO, estando o detector de fase a trabalhar na frequênvia de 100 kHz.

PARTE II

C. Conversor A/D de Aproximações Sucessivas

A figura seguinte representa um conversor A/D de aproximações sucessivas de 12 bits, bipolar, de alcance [−10;+10] V.

1) Explique como funciona este conversor e determine os 5 bits mais significativos da conversão da tensão analógica Vi=3 volt. Numa tabela represente a evolução da tensão de saída do Conversor D/A a ser comparada com a tensão de entrada. Para a explicação do funcionamento ver a apresentação sobre conversores A/D. Para digitalizar Vi=3 volt:

Ordem do bit

Salto correspondente a cada "1" testado

Tensão de saída do conversor D/A a ser comparada

com Vi

Tensão resultante bit

-10,0000000000 12 10 0 0,0000000000 1 11 5 5 0,0000000000 0 10 2,5 2,5 2,5000000000 1 9 1,25 3,75 2,5000000000 0 8 0,625 3,125 2,5000000000 0 7 0,3125 2,8125 2,8125000000 1 6 0,15625 2,96875 2,9687500000 1 5 0,078125 3,046875 2,9687500000 0 4 0,0390625 3,0078125 2,9687500000 0 3 0,01953125 2,98828125 2,9882812500 1 2 0,009765625 2,998046875 2,9980468750 1 1 0,0048828125 3,0029296875 2,9980468750 0

2) Ao adquirir uma tensão alternada de frequência f=50 Hz utilizou-se a frequência de amostragem fS=1 kHz. Quantos períodos se devem adquirir para que no espectro obtido com a transformada rápida de Fourier (FFT) as riscas estejam separadas de Δf=5 Hz? A quantos pontos corresponde esse tempo de aquisição?

Δf=5 kHz, o que implica que o tempo total de aquisição seja 1 1 0,2 s 200 ms5

N tf

Δ = = = =Δ

. Cada período do sinal

(f=50 Hz) é de T=20 ms. O número de períodos a adquirir será portanto 10. 200º períodos 10.20

N tNTΔ

= = = O

espaçamento temporal entre amostras vale 1 1 mSt f sΔ = = . O número total de pontos amostrados será 200 200 amostras.1

N tNtΔ

= = =Δ

3) Qual a diferença entre o número de bits do conversor e o número efectivo de bits?

O número de bits do conversor é o tamanho da palavra digital: 12 bits neste caso. O número efectivo de bits representa o número de bits significativos em relação aos quais existe um dado nível de incerteza. Note-se que não se trata de haver indecisão no comparador quando se testa um bit determinado. Por exemplo se a tensão a amostrar estiver muito próxima de zero, o bit significativo põe ser 0 ou 1. No entanto o número efectivo de bits pode ainda ser igual ao número de bits, pois o erro pode ser somente o erro de quantificação ou seja de meio LSB.

D. Transdutor com LVDT Na figura em baixo está representado um sensor de deslocamento do tipo LVDT. A tensão no primário é alternada sinusoidal de frequência e com um valor eficaz 4 kHzf = 5 V.iefV = A sensibilidade à saída do LVDT é de 1 Vef por centímetro de deslocamento como se representa no gráfico em baixo conjuntamente com a variação de fase. A desmodulação é efectuada recorrendo a um circuito multiplicador e a um filtro passa baixo de ganho unitário na banda passante.

1) Explique o princípio de funcionamento do LVDT.

Ver a explicação na apresentação sobre transdutores. 2) Determine a sensibilidade do conjunto determinando a relação ( )S SV V x= e representando-a graficamente.

À saída do multiplicador tem-se

:

2 2cos(2 ) cos(2 )

10 10

cos( ) cos(4 )10

o

o o

ief oefi ov

ief oefv v

V Vv vft ft

V Vft

××= π × π

×⎡ ⎤α + π + α⎣ ⎦

+ α =

À saída do filtro tem-se: cos10

ief oefV VV

×= ( )

oS vα . Como

tem-se cos( ) | | cos( )o ov vVoef x x× α = × α =

10 2ief

SV xV x= = .

VS / V

0 5

2,5

-5

x / cm

-2,5A sensibilidade será SLVDT=0,5 V/ cm ou ainda dada como SLVDT=0,1 V/cm por VRMS de excitação primária. 3) Pretendendo medir a posição instantânea de uma peça em movimento, qual a limitação decorrente de se escolher, para

o filtro passa-baixo, uma largura de banda passante muito baixa? Se a haste do LVDT se movimenta , então a tensão V( )x x t= S deve variar em conformidade. Se for fmax a máxima frequência contida no espectro de x(t), o filtro deve ter uma banda passante com largura não inferior a fmax .

Parte I 11 val. Parte II A. 5,5 val. B. 5,5 val. C. 4,5 val. D. 4,5 val. 1) 2 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 2 2 1,5 2 2 1,5 2 1,5 1 1,5 2 1




Exame Escrito de 16 de Junho de 2011

PARTE I ATENÇÃO: As partes I e II devem ser resolvidas em cadernos separados

A. Medição de Impedâncias Para medir o valor do módulo de uma impedância à frequência utilizou-se um gerador de tensão alternada sinusoidal, dois multímetros digitais de 3½ dígitos e um wattímetro digital.

f 400 Hz=

Alcances como voltímetro: 400 mV; 4 V; 40 V; 400 V. Alcances como amperímetro: 400 μA; 4 mA; 40 mA; 400 mA.

1) O fabricante indica para a exactidão do

voltímetro (1,2% da leitura+5 dígitos), e para o amperímetro (1,5% da leitura+10 dígitos). Os valores obtidos nos dois instrumentos foram respectivamente Vef = 5,00 V e Ief =24,09 mA. Estime os valores dos erros máximos para cada um dos dois instrumentos.

2) A partir dos erros máximos calculados em 1) determine as incertezas (desvio padrão) das medidas do voltímetro e do amperímetro, assumindo uma estatística com distribuição uniforme. A partir dessas incertezas calcule a incerteza padrão resultante para o valor do módulo da impedância.

3) A mesma impedância foi medida para uma gama de frequências e obtiveram-se os valores representados no gráfico da esquerda. Indique justificadamente uma configuração possível para a impedância Z. Sabendo que o valor medido pelo wattímetro foi P=110 mW confirme o valor de arg{Z} no gráfico dado para f . 400 Hz=

1)

1, 2( ) 5 5 0,01 0,06 0,05 0,11 V100máx Vε = × + × = + =

1,5( ) 24,09 10 0,01 0,361 0,1 0,461 mA100máx Iε = × + × = + =

2)

2222

2 2 22 2

3

( ) ( )( ) 0,0635 V ( ) 0,266 mA

3 3

1 1 5u(Z)= ( ) ( ) 0,0635 (0,266 10 )0,02409 0,02409

56,948 5,252 3, 493 , 207,55 ,24,09 10

máx máxV Iu V u I

Vu V u II I

Z

3 2

ε ε

−

−

= = = =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ + = × + × ×⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ = Ω < >= = Ω×

204,06 211,05Z≤ ≤

=

3)

110cos arcos arcos(0,913) 24º5 24,09ef efP V I ϕ ϕ= ⇒ = =×

=

B. Análise Espectral As figuras em baixo representam o espectro obtido com um analisador espectral com uma largura de banda de visualização de LBAE=500 Hz e o resultado obtido através da aplicação da transformada rápida de Fourier (FFT) ao mesmo sinal de tensão sinusoidal ( ) 2 cos(2 )efs t S fπ= t , com e f ligeiramente superior a 250 Hz. 5 VefS =

1) Represente o diagrama de blocos de um analisador espectral (AE) capaz de produzir o resultado representado. Nesse

diagrama deve incluir valores exactos ou estimados para o tempo total de varrimento e intervalo de frequências varridas, frequência central e largura de banda do filtro passa-banda, justificando os resultados apresentados. Qual o resultado se a frequência de ( )s t passasse de f para f +2000 Hz, ligeiramente superior a 2250 Hz.

2) O resultado da FFT{ ( )}s t apresentado em cima à direita foi obtido com 100 amostras obtidas ao ritmo fS=1 kHz para o mesmo sinal cujo espectro se apresenta à esquerda. Explique detalhadamente a razão para que o gráfico obtido não apresente uma risca na frequência do sinal dado? Indique um método para a determinação mais aproximada da frequência f.

3) Qual o aspecto resultante para o gráfico da FFT{ ( )}s t a frequência de ( )s t passasse de f para f +2000 Hz, ligeiramente superior a 2250 Hz? Justifique a resposta.

1)

( ) 500 Hz , ( ) 1 kHz

Frequência Central do filtro passa-banda 500 HzLargura de banda do filtro passa-banda 5 Hz

mín máx

I

I

f VCO f VCOff

= ==

Δ ≈

O ponto de meia potência do filtro corresponde no gráfico a 5 3,54 V2 2

efmáxVVef = = = . Para esse valor a resposta do filtro

tem uma largura da ordem de 5 Hz. Tempo total de varrimento: A nossa experiência laboratorial diz-nos que esse tempo é da ordem das dezenas de segundos. Mas podemos aprender aqui como se calculava: O tempo de desenho da "risca/curva" espectral é da ordem do inverso da largura de banda do filtro. Assim tempos um tempo de 1/5=0,2 s para desenhar uma risca com 5 Hz de largura. Para percorrer os 500 Hz da LB necessitamos de um tempo 100 vezes maior ou seja um tempo total de varrimento da ordem dos 20 s. Como regra empírica costuma referir-se que a velocidade de varrimento deve ser menor do que o quadrado da largura de banda do filtro passa-banda, o que conduz ao mesmo resultado. 2 2

var var var5 25V f V V< Δ ⇒ < ⇒ < Hz/sPara percorrer 500 Hz à velocidade de 25 Hz/s necessitamos de 20 s. Pergunta: Existe alguma frequência do VCO para a qual sinal 2250 500 HzVCO VCOf f f− = − = . Como não existe não se veria qualquer resultado. Nota: Isto mesmo sem filtro passa-baixo na entrada. 2) Frequência de amostragem :

1 kHz , 1 ms , 100 amostras

Tempo total de amostragem: =0,1 s1Separação entre riscas consecutivas do espectro: 10 Hz

S

tot

tot

f t NT

fT

= Δ = =

Δ = =

A frequência exacta do sinal estará entre 250 e 260 Hz. Por isso, no tempo total de amostragem não cabe um número inteiro de períodos. Existe portanto espalhamento espectral. Para obter um valor mais aproximado da frequência do sinal podemos calcular uma frequência média pesada pela amplitude das riscas na zona dos máximos. Como no caso presente o espectro obtido é aproximadamente simétrico podemos estimar que a frequência do sinal será aproximadamente . Para confirmar isso podemos calcular quantos períodos de sinal cabem no tempo total de amostragem considerado:

sinal 255 Hzf ≈

sinalsinal

0,1 255 25,5 períodos.totalperíodos total

TN T f

T= = × = × =

Assim podemos amostrar só 25 períodos, o que corresponderá a um número de amostras

sinal

sinal

25 25 25 1000 98,0392 98 amostras255

total Samostras

T T fN

t t f× × ×

= = = = = ≈Δ Δ

Ao repetir a cálculo do espectro pela FFT com 98 amostras obteve-se o seguinte resultado

Vê-se que este resultado também não é exacto. A frequência da risca vale agora . 255,102 Hz com 4,9984 Veff S= =

Podemos ainda tentar aumentar o tempo total de amostragem para Ttotal=0,2 s de modo ter riscas espectrais separadas de 5 Hz. O resultado foi o seguinte:

O resultado deu agora exacto. 3) Para a nova frequência o resultado da FFT seria exactamente o mesmo. Para uma frequência de sinal igual a fS=2.255 Hz o espectro obtido é exactamente igual ao obtido para fS=255 Hz. A razão agora é o "aliasing".

0 500 1000 1500 2000 2500 fS/2 fS 2fS fSinal fSinal+2000

PARTE II

C. Integrador Programável

A figura seguinte representa uma malha R/2R montada como um integrador programável comandado por uma palavra digital com 2 bits.

1) Determine uma expressão para a tensão de saída

em função da tensão de entrada , quando a palavra digital de comando vale (b

( )Ov t (Iv )t

( )Ov t

1;b2)=(1;0).

2) Para a mesma palavra digital qual a tensão quando é uma tensão alternada e quadrada com 1 volt de amplitude (2 V

( )Iv tPP) e frequência f =1 kHz,

sabendo que ( ) 0Ov t = nas transições ascendentes de ) ? (Iv t

3) Dado que o integrador com a configuração dada é instável, dimensione uma resistência Rp a ser colocada em paralelo com C de modo a estabilizar o integrador sem alterar o seu funcionamento para a forma de onda da alínea anterior?

1)

A corrente iC no condensador vale 1 23

2 4 4 2 4 4i i i i i iV V V V V V

i b bC R R R R R R= + + = + = .

A rensão vO valerá:

0 0

0 01 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4

t t

O O C O it t

v t v t i d v t v dC RC

τ τ τ τ = − = −∫ ∫

2) Escolhendo a origem dos tempos para uma das transições positivas de tem-se . O resultado será assim óbvio: Como a tensão se mantém igual a durante 0,5 ms a primitiva de variará com uma

derivada unitária com uma variação total em 0,5 ms de A constante de tempo RC vale 50

( )iv t 0( ) (0) 0O Ov t v= =( )iv t 1 volt± ( )iv t

30,5 10 volt seg.−× sμ . A tensão vO terá uma variação de

3 36

3 30,5 10 0,5 10 7,5 V4 4 50 10

OvRC

− −−

Δ = × × = × × =× ×

∓ ∓ ∓

3) A instabilidade de um integrador deste tipo reside no facto de uma, mesmo que muito pequena, tensão constante no sinal de entrada, ou com origem numa tensão de offset implicar uma tensão na saída que vai aumentando por valores positivos ou negativos até que o amplificador operacional sature.

t / ms 0 1

-7,5 V

2

vi(t)

vO(t)

Uma resistência Rp em paralelo com o condensador obriga a que as tensões de frequência zero sejam amplificadas, mas não integradas. O paralelo Rp//C introduz um pólo na frequência angular 1/ , com p p p pR Cω τ τ= = . Como o integrador

trabalha à frequência , o pólo deve estar localizado numa frequência inferior, para não influenciar a harmónica fundamental. Assim,

1 kHzf =

3 3 3

3 91 1 12 10 2 10 2 10

2 10 5 1032 k Podíamos p.ex. escoller 400 k

pp p

C RpR C R

Rp Rp

ω π π ππ −

<< × ⇒ << × ⇒ << × × ⇒ >>× × ×

>> Ω = Ω

Assim, o pólo estaria localizado aproximadamente em . 80 Hzpf =

Em DC, e para a configuração da palavra digital dada, a montagem funcionaria como um amplificador de ganho

3

30.4

pO

i

Rvv R

= − = −

D. Contador Universal de Tempo e Frequência

Um determinado contador digital dispõe de um oscilador interno à frequência e sete divisores com . Pretende medir-se o período de uma tensão sinusoidal de frequência .

10 MHzmáxf =1 Hzmínf = 255 Hzf =

1) Qual o resultado da medida em modo de período nas melhores condições de medida? Indique o resultado tal como pode aparecer no visor.

2) Verificou-se que em medidas sucessivas o resultado apresentava variações devido à presença de ruído. Por isso ajustou-se o comando de disparo de modo a obter-se um circuito com a característica de histerese representada na figura à direita. Qual o valor de R para obter essa característica? Supondo a tensão de entrada dada por

, com f =250 Hz desenhe na sua prova um ciclo de sobreposto a um ciclo de . Qual o ciclo de trabalho (duty-cycle) de ?

( ) 5cos(2 )iv t f tπ= ( )iv t ( )Ov t( )Ov t

3) A alteração introduzida na alínea anterior altera o resultado da medida do período? Será que pode anular completamente o efeito do ruído?

1) Em modo de período são contados ciclos do oscilador local durante um período do sinal em análise. Para se terem as melhores condições de medida, o oscilador local deve estar na máxima frequência, . 10 MHzmáxf =

O número de contagens deve ser

6sinal

base de tempo sinal

10 10º de contagens 39215255

39.215 0,1 s 3.921,5 s No visor 3.921,5 s ou 3,921.5 ms

máxT fN

T f

μ μ μ

×= = = =

× = ⇒

Nota: Devido à imprecisão de uma contagem podia visualizar-se 3,9216 ms em vez de 3,9215 ms. Pode ainda visualizar-se 3,921.6 ms ou 3,921.5 ms quando é usado o ponto para separar grupos de 3 dígitos. E isto em notação europeia, pois que se o contador utilizar notação americana (EUA) ver-se-ia 3.921,6 ms ou 3.921,5 ms pois é o ponto que divide a parte inteira da parte fraccionária. 2) O amplificador não funciona em modo linear. A realimentação é positiva. A tensão entre as entradas já não é um curto-circuito virtual. A tensão na entrada '+' vale:

' ' e ' '+ −

Fi O

F F

R RV v vR R R

+ = +R+ +

.

A comutação ascendente ocorre quando e V0Ov = + se torna positivo. Condição:

0 0Fi i

F

RV v v

R R+ > ⇒ > ⇒ >

+0.

Assim as transições positivas de ocorrem quando v se torna positiva independentemente do valor de R. Ov i A comutação descendente ocorre quando e V5 VOv = + se torna negativo. Condição:

0 0 5

5 05

F Fi O

F F F F

FF

R RR RV v vR R R R R R R R

RR R R

+ < ⇒ + < ⇒ − + < ⇒+ + + +

− + < ⇒ <

0

Para a transição se dar precisamente a -1 V, terá de ser 2 kR = Ω .

5 V

-1 V

Como tem-se que a saída está a 5 V durante 101,5+90=191,5º de variação da fase e estará a -1 V durante 168,5º de variação da fase.

5cos(2 ) e arcos( 1/ 5) 101,5ºiv f tπ= − =

O ciclo de trabalho será 191 . ,5 / 360 100 53,2%× = 3) Não altera a medida, pois o disparo que determina o início e o fim das contagens é determinado só pelos flancos ascendentes ou só pelos flancos descendentes. O efeito do ruído não é eliminado completamente. Evitam-se só as oscilações que geralmente decorrem nos comparadores no momento das transições. Mas a presença de ruído pode antecipar ou retardar essas transições.

Parte I 11 val. Parte II 9 val. A. 5,5 val. B. 5,5 val. C. 5 val. D. 4 val. 1) 2 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 2 2 1,5 2 2 1,5 2 1,5 1,5 2 1,5 0,5

1




Exame Escrito de 9 de Janeiro de 2012

PARTE I

ATENÇÃO: As partes I e II devem ser resolvidas em cadernos separados

A. Gerador de Sinal Triangular Considere a figura onde é apresentado o diagrama de blocos simplificado de um gerador de sinal triangular.

Vcc

Ajuste de Frequência

Ajuste de Simetria

Escala de Frequência

Amp

Detector de Nível

Condensadores

Saída

Vref

I1 I2

1) Explique como é gerado o sinal triangular.

É aplicada uma corrente constante a um condensador. Isso faz a tensão no condensador aumentar

ou diminuir de forma linear consoante a corrente é positiva ou negativa respectivamente. Assim

que o valor de tensão no condensador atinge, em valor absoluto, o valor de Vref (considerando um

ganho unitário para o amplificador), condição determinada pelo bloco "Detector de Nível", a fonte

de corrente ligada ao condensador é trocada (de 1 para 2 e vice versa). Essa troca repetitiva da

fonte de corrente faz com que a tensão no condensador varie linearmente de Vref para Vref e de Vref

para Vref. O declive da rampa de tensão é proporcional ao valor da corrente e inversamente

proporcional ao valor do condensador (1

cV idtC

). O ajuste do valor de corrente DC das fontes

permite controlar de forma continua o valor da frequência. Por outro lado a escolha de

condensadores de diferentes valores permite ter diferentes alcances de frequência. O ajuste de

simetria permite criar, por exemplo um sinal do tipo dente de serra em que o declive do flanco

ascendente e descendente do sinal são diferentes. Isto consegue-se usando valores diferentes de

corrente em cada fonte de corrente DC. Este gerador de sinal triangular só permite criar sinais

triangulares sem valor médio e com amplitude igual a Vref.

2) Determine o valor dos quatro condensadores de forma a terem-se alcances de frequência de 10 Hz, 100 Hz, 1 kHz e

10 kHz. Considere um amplificador com ganho 1, Vref = 5 V, I1máx = I2máx = 300 A.

2

Como as correntes I1 e I2 são iguais o sinal produzido é simétrico. Tendo em conta a relação entre

corrente e tensão no condensador,

1cV idt

C

tem-se uma evolução temporal da tensão, para o caso de uma corrente constante, igual a

0cIV t t VC

em que V0 é o valor da tensão no condensador no inicio da rampa. O tempo que essa tensão

demora a percorrer o intervalo de Vref até Vref é

2 refref ref

V CIV t V tC I

.

Esse intervalo de tempo tem de ser metade do período do sinal a gerar, isto é, t = T/2 ou t = 1/2f.

Substituindo na equação anterior dá origem a

21

2 4ref

ref

V C ICf I fV .

Para Vref = 5 V e I = 300 A no caso do menor alcance (f = 10 Hz) tem-se C = 1,5 F. Para os

outros alcances têm-se valores de capacidade de 150 nF, 15 nF e 1,5 nF.

3) Suponha que media a corrente numa das fontes de corrente, quando a frequência do sinal gerado é de 10 Hz,

recorrendo a um amperímetro digital "TRUE RMS" de 3½ dígitos (indicação máxima 1999), com alcances de 0,2; 2;

20; 200 e 2000 mA e exactidão de (0,4% do final de escala + 2 dígitos). Determine o intervalo de valores em que se

situa a sua indicação (para o melhor alcance) e o erro relativo máximo da medida.

Para a frequência de 10 Hz a corrente na fonte de corrente tem o seu valor máximo (300 A). O

alcance apropriado é portanto o de 2 mA.

Nesse alcance o valor máximo da indicação é tendo em conta os 3½ dígitos do visor, 1,999 mA. O

peso do dígito menos significativo é portanto de 1A.

Usando-se a especificação do fabricante para o valor máximo do erro tem-se

3 6max

0, 42 10 2 10 10 μA

100e .

A indicação, no caso de ausência de erro é de 0,300 mA. Tendo em conta o erro o intervalo de

valores possíveis para a indicação é [0,290 ; 0,310] mA.

O erro relativo máximo é determinado a partir do erro absoluto dividindo-o pelo valor da

indicação, isto é,

maxmax

10 μA3,3 %

indicação 300 μA

e .

B. Contador Universal de Tempo e Frequência

Considere um contador universal de tempo e frequência com uma base de tempo constituída por um oscilador interno com

frequência de 1 MHz e cinco divisores decimais.

1) Apresente o diagrama de blocos completo correspondente ao modo de funcionamento de medida de período.

3

Base de Tempo

ATENUADOR E AMPLIFICADOR

SINAL DE ENTRADA

CONTROLO DA ATENUAÇÃO

10 10 10 10 10

BÁSCULA DE DISPARO

NÍVEL DE DISPARO

CONTADOR DECIMAL MEMÓRIA

VISOR

RESET

BÁSCULA

OSCILADOR

PORTA

BÁSCULA

2) Qual a indicação apresentada no visor no caso de ser colocado na entrada um sinal periódico com uma frequência

53,4 Hz se for usada a saída do primeiro divisor decimal da base de tempo (cuja frequência é 100 kHz)?

A saída da base de tempo usada neste caso tem uma frequência de 100 kHz. No modo de período

são contados o número de ciclos da base de tempo durante um período do sinal de entrada. Como o

sinal tem um período de 18,72659 ms (1/53,4) e um ciclo da base de tempo dura 10 s. (1/100000)

têm-se 1872,659 contagens. Na verdade o número de contagens tem de ser inteiro e portanto serão

efectuadas 1872 ou 1873 contagens consoante a fase inicial relativa do sinal de entrada e da base

de tempo. A indicação será portanto 18,72 ms ou 18,73 ms.

3) É possível realizar a medida do período do mesmo sinal, com o mesmo instrumento, de modo a ter-se uma melhor

exactidão? Como?

Usando-se como sinal da base de tempo o sinal de maior frequência disponível consegue-se uma

exactidão de 1 s em vez de 10 s. A indicação seria 18,726 ms ou 18,767 ms.

No modo de frequência a base de tempo a escolher seria a de menor frequência (10 Hz). O número

de ciclos do sinal (período de 18,72659 ms) que cabem num ciclo da base de tempo (100 ms) é de

5,34. O número de contagens seria portanto de 5 ou 6 e a indicação 0,05 ou 0,06 kHz. Essas

indicações correspondem a períodos de 20 ms ou 16,66 ms respectivamente. O erro na medida do

período do sinal seria de 2,06 ms ou 1,27 ms que são muito superiores ao erro de 1 s que se

obtém usando o modo de período com a base de tempo de 1 MHz.

PARTE II


C. Análise Espectral

Considere um sinal eléctrico constituído pelo produto de duas tensões sinusoidais com as frequências de f1 = 300 kHz e

f2 = 15 kHz e sem fase inicial. O valor máximo desse produto é de 10 V.

1) Qual o valor eficaz e a frequência do sinal?

O produto de dois cosenos pode ser expresso como a soma de dois cosenos. Tem-se assim

3 35cos 2 285 10 5cos 2 315 10v t t t .

O valor eficaz é a raíz quadrado da soma dos quadrados do valor eficaz de cada sinusoide, ou seja,

4

2 25 5

5 V2 2

efv

.

A frequência dos sinal é o valor do máximo divisor comum entre 285 e 315. Este valor é 15 kHz

(15 × 19 = 285 e 15 × 21 = 315).

2) Considere que o sinal dado é digitalizado a uma frequência fs = 750 kHz e que são adquiridas 50 amostras. Efectuou-

se seguidamente a DFT do sinal. Qual a separação na frequência entre dois valores consecutivos do espectro obtido?

A separação na frequência é dada por

3750 1015 kHz

50sff

N

.

3) Represente num gráfico graduado, o espectro de amplitude do sinal dado reduzido às frequências positivas.

O sinal transmitido é constituído por duas sinusoides com frequências de 285 e 315 kHz que são

múltiplas de f. Tem-se assim riscas em 19×f e 21×f.

4) Considere que se adicionava uma componente contínua com um valor de 1 V. Como seria o gráfico se fossem

representadas frequências positivas e negativas?

Num gráfico desses cada risca corresponde a uma exponencial complexa com uma amplitude de

metade da amplitude da sinusóide correspondentes. Exceptua-se o caso da componente contínua.

D. Transdutores

Considere a medida de deformação com 4 extensómetros metálicos ligados numa ponte de Wheatstone alimentada com 1 V.

1) Dimensione o ganho diferencial de um amplificador de instrumentação para ser usado num circuito de

condicionamento de sinal para obter uma tensão contínua proporcional à deformação de forma a obter-se uma

sensibilidade de 5 mV/. Note que a unidade de deformação (L / L) é o strain (). Como são usados extensómetros

metálicos tem-se GF = 2 ou seja, 2R L

R L

.

Os 4 extensómetros estão ligados como na seguinte figura.

5

V

+

-vov

R R R R

R R R R

Tem-se então

2v R L

V R L

.

A tensão de saída do amplificador é

0 2d dLv A v A V

L

.

Para se ter uma deformação de 1 tem de se ter,

30

6

1 1 5 102500

2 2 1 10d

vA

LVL

.

2) Se o CMRR do amplificador de instrumentação for 120 dB, em vez de infinito, qual o erro absoluto introduzido na

medida de uma deformação de 2 ?

Se o CMRR for de 120 dB o ganho de modo comum é

120

20 20

250020log 0,0025

10 10

d dc CMRR

c

A ACMRR A

A

.

A tensão de modo comum (uc) é a tensão que se tem na entradas do amplificador quando não há

deformação, isto é, V/2, ou seja uc = 500 mV.

A tensão extra que se tem à saída devido à amplificação do modo comum é de

00,0025 0,5 1,25 mVv c ce A u .

A deformação é obtida a partir da tensão de saída usando

0

2 d

vLL A V

.

Um erro na tensão de saída leva a um erro na deformação dado por

0

31, 25 100, 25 με

2 2 2500 1v

LdL

ee

A V

.

3) Que situações justificam a utilização de um amplificador de instrumentação em vez de um amplificador diferencial

comum?

Quando a tensão de modo comum não for zero e a tensão diferencial for pequena. E quando o

circuito de medida onde é ligado o amplificador não for capaz de fornecer corrente ao amplificador

ou quando esse circuito é muito afectado por corrente consumida a jusante.

Cotação

Parte I 11 val. Parte II 9 val.A. 6 val. B. 5 val. C. 4 val. D. 5 val. 1) 2 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 4) 1) 2) 3) 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1

1





PARTE I


A. Malha de Fase Síncrona Considere um microprocessador (CPU) que recebe do exterior um sinal de relógio de 133 MHz e que funciona internamente a

2,66 GHz.

1) Apresente o diagrama de blocos de um circuito baseado na malha de fase síncrona (PLL) para produzir internamente

essa frequência de 2,66 GHz a partir do sinal de relógio externo. Deve incluir no diagrama todos os blocos por que é

constituído o PLL.

20

Detector de Fase

Filtro Passa Baixo VCO

entradasaída

2) Considere que o detector de fase contido no PLL funciona com uma porta lógica OU-EXCLUSIVO. Qual a forma do

sinal à sua saída e como ela varia com a desfasagem dos dois sinais de entrada quando estes têm a mesma frequência?

É um sinal rectangular cujo ciclo de trabalho que varia linearmente com a desfasagem entre os

sinais de entrada: 0% para sinais em fase, 50% para sinais em quadratura e 100% para sinais em

oposição de fase.

3) Qual a frequência máxima que poderia ter o filtro passa-baixo ligado a seguir à porta lógica referida se esse pudesse

ser considerado ideal, ou seja, com uma função de transferência perfeitamente rectangular?

Como os sinais de entrada do detector de fase têm uma frequência de 133 MHz o sinal à sua saída

tem uma frequência de 266 MHz. O filtro passa-baixo tem de ter uma frequência de corte máxima

de 266 MHz.

4) No caso em que o PLL está síncrono, qual a defasagem entre os sinais de entrada do detector de fase se a tensão à

entrada do VCO para uma frequência de saída de 2,66 GHz for 900 mV e se a característica do detector de fase/filtro

passa-baixo for linear com um declive de 10 mV/º na gama de 0 a 180º?

900 90º10

2

B. Instrumentos Analógicos

Considere um voltímetro de quadro móvel com um enrolamento que tem 2 de resistência e uma corrente máxima de 100 A. 1) Explique como funciona o voltímetro e o que ele mede.

Possui um fio enrolado em torno de um núcleo de ferro macio. Esse núcleo está colocado no

entreferro de um íman permanente circular. O núcleo é livre de rodar em torno de um eixo ao qual

está agregado um ponteiro que gira em cima de uma escala graduada. Ao eixo da equipagem

móvel está associada uma mola que equilibra o binário que surge quando o fio é percorrido por

uma corrente e interage com o campo magnético criado pelo íman permanente.

Em série com o quadro móvel é ligada uma resistência para relacionar a tensão a medir numa com

a corrente que percorre o enrolamento.

Este instrumento pretende medir o valor médio da tensão a ele aplicada. Para isso é preciso que

essa tensão seja DC ou varie no tempo de forma suficientemente rápida para que o ponteiro fique

praticamente imóvel devido à inércia mecânica (alguns Hz).

2) Quais os valores de resistência que se devem utilizar para ter alcances de 1 e 10 V?

Devem usar-se resistências de 10 ke 100 k.

3) Considerando uma classe de precisão de 0,1 qual o erro máximo admitido pelo fabricante para a medida de uma

tensão de 5 V?

O erro máximo é o valor da classe de precisão dividida por 100 e multiplicada pelo alcance (10 V

neste caso), ou seja

0,1 10 10 mV100

e .

4) Apresente o diagrama de blocos de um voltímetro electrónico que use o quadro móvel para medir o valor médio de

um sinal. Indique o valor de impedância de entrada deste voltímetro e compare-a com a impedância de entrada do

voltímetro do inicio do problema (não electrónico). Qual o que tem melhor impedância de entrada? Porquê?

i

R1

Rg

ue

+Vcc

-Vcc ug

u1

ie+

-

A impedância de entrada é igual à impedância de entrado do amplificador operacional (muitos

M). A impedância de entrada do voltímetro não electrónico é a soma da resistência em série com

a resistência do quadro móvel (10,002 k ou 100,002 k consoante o alcance). Idealmente a

impedância de entrada seria infinita. Portanto o voltímetro electrónico é o que tem melhor

impedância de entrada.

3

PARTE II


C. Analisador de Espectros

Considere um analisador de espectros super-heterodino com largura de banda de 5 kHz, com o diagrama de blocos apresentado

na figura e cujo filtro passa-banda tem uma frequência central de 20 kHz. O visor tem 10 divisões na horizontal e na vertical.

VCO

Filtro passa banda

Gerador de Rampa

Amplificador CRT

Detector de pico Amplificadorentrada Filtro passa

baixo

1) Qual a gama máxima de frequências que o VCO tem de produzir?

Tem de produzir frequências desde 20 kHz a 25 kHz, isto é, começando na frequência central do

filtro passa-banda e com uma gama igual à largura de banda a visualizar. Também poderia variar

de 20 kHz até 15 kHz.

2) Qual a imagem no visor caso o sinal de entrada seja um sinal quadrado com uma frequência de 500 Hz? Considere

que a amplitude da harmónica fundamental do sinal ocupa 9 divisões verticais.

A gama de frequências visualizada é de 0 a 5 kHz. Como o visor tem 10 divisões na horizontal

cada divisão corresponde a 500 Hz. Um sinal quadrado só tem harmónicas ímpares. Essas

harmónicas decaem em amplitude com o inverso da sua ordem. Têm portanto uma amplitude, em

termos de divisões da escala vertical de 9 (fundamental), 9/3, 9/5, 9/7 e 9/9.

1,29 div

1 div

1,8 div

3 div

9 div

3) Qual a forma do sinal à saída do filtro passa-banda durante o varrimento? Qual a sua frequência e amplitude?

Considere a largura de banda do filtro praticamente 0.

É uma sinusóide com uma frequência de 20 kHz e com uma amplitude que varia consoante o sinal

de entrada.

4) O que determina a rapidez com que pode ser efectuado o varrimento?

A largura do filtro passa-banda. Quanto mais estreito for, mais lento tem que ser o varrimento.

4

D. Conversor Analógico/Digital

Considere um conversor analógico/digital cujo diagrama de blocos é o representado na figura.

Comparador

Vi

+

-

+

-

+

-

Descodificador

1

Voa

Vob

2

3

4

5

6

7

8

11

10

9

1) Qual o tipo de arquitectura deste conversor e qual o número de bits?

É uma arquitectura de comparação simultânea (flash). Tem dois bits.

2) Considere que a gama de tensões de entrada é de 0 a 2 V e que todos os níveis de quantificação têm a mesma largura

(mesmo tamanho de intervalos de tensão de entrada correspondentes). Considere também que as portas lógicas

funcionam com tensões de 0 e 1 V para representar os níveis lógicos “0” e “1” respectivamente. Qual o valor de

tensão em cada um dos 11 pontos assinalados na figura quando a entrada tem o valor de 0,7 V?

Como os 4 níveis de quantificação têm a mesma largura e a gama de tensões de entrada tem uma

largura de 2 V, cada nível terá a largura de 0,5 V. As 3 tensões de transição são portanto 0,5 V,

1 V e 1,5 V para as transições 00/01, 01/10 e 10/11 respectivamente.

A tensão no ponto 1 é a tensão de entrada, 0,7 V e as tensões nos pontos 2, 3 e 4 são as tensões de

transição 0,5, 1 e 1,5 V respectivamente.

Como o sinal de entrada é maior do que a primeira tensão de transição e menor do que as outras

duas a saída dos compradores vai ser 0 no ponto 5 e 1 V nos pontos 6 e 7.

Tendo em conta as portas lógicas a tensão no ponto 8 vai ser 1 V, no ponto 9 vai ser 0 V, no ponto

10 vai ser 1 V e no ponto 11 vai ser 0.

Ponto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tensão (V) 0,7 0,5 1 1,5 0 1 1 1 0 1 0

3) Considere que um conversor deste tipo é usado numa placa de aquisição de dados para ser ligada a um computador

através de uma interface USB. Considere ainda que tem 8 canais, alcances de 2 mV, 20 mV, 200 mV e 2 V e um

ritmo máximo de aquisição de 1 GHz. Apresente o diagrama de blocos especificando as características de cada bloco.

5

Amplificador de Ganho Programável(1, 10, 100 e 1000)

Selector de Vias (8 vias)

Retentor de Amostras Sample & Hold

Conversor AD

Unidade de Controlo

Armazenamento Interface USB

4) Qual o tempo de conversão máximo que o conversor analógico/digital pode ter para ser usado na placa de aquisição

referida na alínea anterior?

Tendo em conta o ritmo de 109 amostras por segundo tem que ser capaz de converter cada amostra

em menos de 1 ns.

Cotação

Parte I 10 val. Parte II 10 val.A. 4 val. B. 6 val. C. 5 val. D. 5 val. 1) 2 3) 4) 1) 2) 3) 4) 1) 2) 3) 4) 1) 2) 3) 4) 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1




Exame Escrito de 25 de Janeiro de 2008 Resolva cada grupo em FOLHAS SEPARADAS devidamente identificadas com NOME, NÚMERO e DATA. Justifique todas as respostas.

vG

C

R

Fig. 1

VG

VC

VRvR(t)

vG(t)

A

I. Medidas AC/DC

Na figura em cima está representada uma montagem destinada à medição de uma impedância linear capacitiva à frequência f =50 Hz. A tensão vG é alternada sinusoidal. Todos os multímetros são instrumentos digitais de verdadeiro valor eficaz de 3 dígitos e meio. Obtiveram-se, para as melhores condições de medida, os seguintes valores: Amperímetro A: 2,000 A (alcance 4 A) Voltímetro VC: 160,0 V (alcance 200V) Voltímetro VG: 200,0 V (alcance 400V) Voltímetro VR: 120,0 V (alcance 200V)

1) Supondo as medidas anteriores exactas, qual o valor da impedância de carga (módulo e ângulo) à frequência dada?

2,0

2) Sabendo que o fabricante indica para a exactidão dos voltímetros e do amperímetro (0,2% da leitura +3 dígitos), estime os valores dos erros máximos para os instrumentos VG e A.

1,5

1,5 3) Supondo que dispõe de um circuito multiplicador 1 2( ) ( ) ( )saídav t v t v t= × , de um voltímetro de quadro móvel e de atenuadores de 100 vezes (40 dB), indique, com um diagrama de blocos, como completaria a montagem da Fig.1, de modo a obter no voltímetro de quadro móvel uma leitura relacionada com a diferença de fase entre a tensão e a corrente do gerador

. Qual seria essa relação e qual a leitura esperada no voltímetro de quadro móvel?

{ ( ), ( )G Rv t v t }

II. Malha de Fase Síncrona Na Fig.2 está representada uma malha de fase síncrona (MFS). A malha não contém qualquer divisor ou multiplicador de frequência.

1) Identifique os blocos constituintes da figura. 1,5

1,5 1,5

2) Descreva o modo de funcionamento da MFS como desmoduladora de frequência. 3) Descreva, através de um esquema, uma constituição interna possível do bloco A.

Considerando uma situação laboratorial em que v e v têm a mesma frequência, represente graficamente em função da diferença de fase entre v e . Se v e v tiverem frequências relativamente próximas, mas diferentes (fora de sincronismo), qual a forma de onda de ? Justifique.

i r

ov i rv i r

ov

III. Analisador de Espectros Na Fig.3 está representado um analisador de espectros modular de largura de banda de 5 kHz, igual à largura de visualização. O bloco A é um filtro passa banda de frequência central . 10 kHzof =

1) Identifique os blocos B, C e D constituintes da figura e caracterize o bloco D. 1,5 2) Descreva o princípio de funcionamento do AE. 1,5 3) Qual a imagem que deve aparecer no visor do osciloscópio quando o sinal de entrada é

sinusoidal puro de frequência f = 22,5 kHz ? Como será possível ultrapassar esta situação? 2

4) Garantindo que a banda de visualização do AE vai de 0 a 5 kHz, e supondo que a imagem obtida é a da Fig.4, determine a frequência e o valor eficaz do sinal de entrada.

2

f / kHz

IV. Transdutores Na Fig.5 está representada uma ponte de medida com extensómetros. A ponte é alimentada por uma fonte de tensão sinusoidal de frequência f =1 kHz e valor eficaz Vef = 1 V. Para a montagem dada

sabe-se que 12

V

V R

Δ Δ=

R . O amplificador de instrumentação (AI) tem um ganho no modo diferencial

de e um factor de rejeição de modo comum 40 dBdG = CMRR 100 dB= .

1) Para uma variação relativa das resistências dos extensómetros / 0,2 %R RΔ = calcule os valores

eficazes das contribuições de modo comum e de modo diferencial para a tensão de saída . ov

1,5 1,5 1 2

2) Verificando que o sinal de saída está corrompido por ruído, indique um processo de detectar com uma melhoria apreciável da relação sinal/ruído.

ov

ov

1,5

RESOLUÇÃO I. Medidas AC/DC

1) O módulo da impedância valerá 200 100 2

Gef

ef

VZ

I= = = Ω . O argumento pode obter-se a partir

das tensões no condensador e na resistência: Sabe-se que essas tensões estão em quadratura:

RV

GV

CV

I

ϕ

O argumento da impedância será

arg arg{ } arg{ } arctan

160arctan 53,13º120

CefGG

Ref

VV V II V

ϕ⎧ ⎫

= = − = −⎨ ⎬⎩ ⎭

= − = −

=

2) Amperímetro: 0,2% de 2 A= 4 mA O dígito menos significativo representa 1 mA de variação 3 dígitos ≡ 3 mA O erro será menor ou igual a 7 mA. Voltímetro VG: 0,2% de 200 V= 0,4 V O dígito menos significativo representa 0,1 V de variação 3 dígitos ≡ 0,3 V O erro será menor ou igual a 0,7 V. 3)

40 dB

40 dBX

QM ( )Gv t ( )Rv t

4( ) ( ) /10G Rv t v t×

Cada atenuador reduz a amplitude dos sinais de 100 vezes, pelo que à entrada do multiplicador temos as tensões e . À saída do multiplicador temos ( ) /100Gv t ( ) /100Rv t

4 4

4 4

2 cos( ) 2 cos( )( ) ( )10 10

cos( ) cos(2 )

10 10

G R

G R G R

Gef u Ref uG R

Gef Ref u u Gef Ref u u

V t V tv t v t

V V V V t

ω α ω α

α α ω α α

+ × +×= =

− += +

+

Esta tensão tem uma primeira parcela constante e uma segunda de frequência 2ω. O quadro móvel só vai reagir à primeira parcela que vale

4 4

cos( ) 200 120 cos 2,4 cos10 10

G RGef Ref u uV V α α ϕ ϕ− × ×

= = ×

A tensão medida no voltímetro de quadro móvel é assim proporcional ao cosϕ . Notem que cos( ) cos( ) cos

G R Gu u u iα α α α ϕ− = − = porque a tensão na resistência está em fase com a corrente.

II. Malha de Fase Síncrona

1) O bloco A é um detector de fase, o bloco B um filtro passa-baixo, e o bloco C será um oscilador comandado por tensão (VCO).

2) O sinal de entrada está modulado em frequência. Podemos supor que num dado instante existe sincronismo na malha sendo a frequência de igual à de . Se a frequência do sinal de entrada aumentar, o detector de fase apresentará à saída uma tensão cujo valor médio também aumenta proporcionalmente. Essa variação de valor médio aparece à saída do filtro B fazendo aumentar . O aumento de fará por sua vez aumentar a frequência do VCO mantendo-se o sincronismo. A tensão será assim proporcional às variações de frequência de desde que a malha se mantenha síncrona, o que é equivalente a dizer que a frequência de se mantém na zona de captura.

iv

rv iv

ov ov

ov

iv

iv 0( ) cos[( ) ] i M ov t V t vω ω ω= + Δ ⇒ ∝ Δ 3) Consideremos que o bloco A é um detector de fase digital realizado com um circuito lógico

do tipo XOR:

Se e v tiverem a mesma frequência terão uma diferença de fase constante com um qualquer valor entre −π e +π.

iv r

cos( ) , cos( )

i I i r R r

i r

v V t v V t= + = +

− ≤ − ≤ +

ω α ωπ α α π

α

vo

vi

0 π −π

Δα

vr

vxor

Este detector de fase não distingue os avanços dos atrasos e a sua característica ideal, incluindo o filtro passa baixo é do tipo representado em cima à direita. Repare-se que a saída é constante no tempo. ovVamos agora verificar o que sucede quando as frequências de e são ligeiramente diferentes. iv rv

vo

vi

vr

vxor

r

Supomos que a tensão tem uma frequência ligeiramente superior à de : . iv rv i rω > ω

( ) cos( ) , ( ) cos( )i I i i r R rv t V t v t V t= ω + α = ω + αA diferença e fase entre e varia no tempo: iv rv

( ) ( ) ( )i i r r i r i r i rt t t tω + α − ω + α = ω − ω + α − α = Δω + α − α Na figura anterior vê-se claramente que a tensão e saída está a aumentar, porque a frequência de é um pouco maior que a de . A tensão vai continuar a aumentar até que a diferença e fase seja um múltiplo e π. Depois disso começará a decrescer como se vê na figura seguinte.

iv

rv ov

ov

0 π/Δω −π/Δω

ov

t 2π/Δω −2π/Δω

A curva de representada terá a forma triangular se a sua frequência ov / 2Δω π for muito inferior à largura de banda do filtro passa baixo. Caso contrário os cantos aparecerão arredondados. III. Analisador de espectros

1) O bloco B é um conversor do tipo RMS/DC ou um detector e pico. O bloco C é um gerador de tensão em dente de serra e o bloco D é um oscilador comandado por tensão (VCO). Este bloco gera uma tensão que pode ser considerada uma sinusóide cuja frequência varia lentamente entre um valor mínimo e um valor máximo, mínf e máxf . Para termos uma banda de visualização entre 0 e 5 kHz, terá de ser 10 kHzmínf = e 15 kHzmáxf = . Assim, quando o sinal de entrada tiver uma frequência 0 5 kf Hz≤ ≤ , aparecerá uma frequência de batimento em quando a frequência do VCO for a passar por 10 kHzof = of f+ .

2) O sinal de entrada é multiplicado por outro gerado num VCO. Este último pode ser considerado como uma sinusóide cuja frequência varia linearmente entre um valor mínimo

mínf e um valor máximo máxf . O resultado desta multiplicação passa num filtro de banda estreita de frequência central of . Querendo visualizar uma banda do espectro do sinal de entrada ente af e bf será necessário que o VCO varra as frequências entre mín o af f f= + e

máx o bf f f= + . No nosso caso tem-se 10 kHz , =0 e 5 kHzo a bf f f= = .

fa fb

filtro de banda

fo

sinal de entrada

-fa -fb

Sinal de entrada desviado de fo+fa

fo

fo

Sinal de entrada desviado de fo+fb

O sinal de comando do VCO é um dente de serra que também serve como base de tempo externa do osciloscópio.

3) O VCO, varre as frequências entre 10 kHzmínf = e 15 kHzmáxf = . Quando a frequência do VCO vai a passar por 12,5 kHz, a diferença para a frequência do sinal será

, ou seja 22,5 kHzSf =

10 kHzS VCOf f− = S VCO of f f− = , aparecendo no visor uma risca que é coincidente com a que apareceria se 2,5 kHzSf = , porque 22,5 12,5 12,5 2,5− = − . Para que esta situação não aconteça, é necessário incluir um filtro passa baixo, no nosso caso com frequência de corte a 5 kHz, na entrada de sinal antes do multiplicador.

4) De acordo com a figura, a expressão de valores instantâneos do sinal de entrada será 3 3

1 2( ) 2 6 cos(2 2 10 ) 2 9 cos(2 3 10 )Sv t t tπ α π= × × × × + + × × × × + α A frequência do sinal total é o maior divisor comum das frequências das parcelas. Como estas

são representadas por números primos entre si a frequência do sinal total será f =1 kHz. O valor eficaz será

2 2 2 21 2 6 9 10,82 volSef ef efV V V= + = + = t

IV. Transdutores

1) Como 12

VV R

Δ Δ=

R % % e como tem-se / 0,2R RΔ = / 0,1V VΔ = . Como V=1 volt, tem-se

, que é a componente diferencial da tensão de entrada no amplificador de instrumentação. A componente de modo comum será v

1 mVdV vΔ = =

c=0,5 volt. O ganho do modo diferencial é de 40 dB. Como o factor de rejeição de modo comum é de 100 dB e o ganho de modo comum será de -60 dB, ou melhor, uma atenuação de +60 dB. Assim decompondo a tensão de saída nas partes comum e diferencial tem-se ov

30,5100 1 10 100 0,1005 V1000 1000

co oc od

vv v v vd −= + = + × = + × × =

2) Uma forma de detectar o sinal seria a utilização de um “lock-in amplifier”, porque temos a alimentar a ponte, a fonte de tensão sinusoidal, cuja saída também servirá como sinal de referência.




Exame Escrito de 20 de Junho de 2008 Resolva CADA PARTE EM CONJUNTOS DE FOLHAS SEPARADOS devidamente identificadas com NOME, NÚMERO e DATA. Justifique todas as respostas.

PARTE I

A. Medição de Impedâncias Na figura 1 em baixo estão representadas duas montagens destinadas à medição de uma impedância linear de tipo capacitivo. A tensão vG é alternada sinusoidal com o mesmo valor eficaz nas duas montagens. Os dois multímetros são instrumentos digitais de verdadeiro valor eficaz de 4 dígitos e meio. Obtiveram-se, para as melhores condições de medida, os resultados representados na tabela I:

Fig. 1 – Configuração das duas montagens.

Tabela I – Resultados Experimentais

Experiência 1 Experiência 2 Freq /Hz 100 200 300 400 500 100 200 300 400 500Vef / V 4,761 4,760 4,757 4,753 4,748 5,000 5,000 5,000 5,000 5,000Ief / mA 47,80 48,30 49,12 50,20 51,51 47,80 48,30 49,12 50,20 51,51

Alcances dos instrumentos: Voltímetro: 200 mV; 2 V; 20 V; 200 V Amperímetro: 200 μA; 2 mA; 20 mA; 200 mA

101

102

103

104

10550

60

70

80

90

100

frequência / Hz

|Ζ| /

Ω

101

102

103

104

105-20

-15

-10

-5

0

frequência / Hz

arg(

Z) /

º

Fig. 2 – Resultados obtidos com um “RLC meter”.

1) A partir dos dados da tabela I diga justificadamente qual das duas montagens implica menor erro de medida.

Verifica-se que as correntes medidas nas duas experiências são muito aproximadas. Isso significa que a corrente do voltímetro na primeira experiência é desprezável. Pelo contrário as tensões medidas nas duas experiências são diferentes, o que indica a existência de queda de tensão apreciável no amperímetro da segunda experiência. O menor erro de medida, resultante somente da montagem, ocorre na primeira experiência.

2) O fabricante indica para a exactidão do voltímetro e do amperímetro (0,2% do alcance+3 dígitos), estime os valores dos erros máximos para os dois instrumentos para f=500 Hz, e para a melhor montagem.

Os alcances em utilização nos instrumentos de medida são respectivamente de 20 V para o voltímetro e de 200 mA para o amperímetro. Os instrumentos são de quatro dígitos e meio.

Para o voltímetro a maior leitura será de 19,999 V. O dígito menos sigificativo representa uma variação de 1 mV.

Para o amperímetro a maior leitura será de 199,99 mA. O dígito menos sigificativo representa uma variação de 0,01 mA.

Erros máximos:

Voltímetro: 0,2/100*20+3*0,001=0,04+0,003=0,043 V = 43 mV

Amperímetro: 0,2/100*200+3*0,01=0,4+0,03=0,43 mA

3) A figura 2 representa resultados de módulo e ângulo da impedância. Estime uma configuração possível da impedância, e explique como calcularia o valor dos respectivos componentes.

Verifica-se que a impedância é óhmica para as baixas (100 Ω) e para as altas frequências (50 Ω). Uma configuração possível será a seguinte:

Com duas resistências em série de 50 ohm, uma das quais contornada por um condensador terá o comportamento indicado. Para determinar o valor de C bastaria agora obrigar a que o módulo ou o ângulo da impedância satisfaçam um dos pontos de um dos gráficos. Por exemplo obrigar a que o módulo da impedância representada no gráfico, com R=50 ohm, valha Z=80 ohm, para f=1 kHz.

B. Malha de Fase Síncrona Na Fig.3 está representada uma malha de fase síncrona “PLL”, composta por um detector de fase “DF”, um filtro passa-

baixo “FPB” e um oscilador sinusoidal comandado por tensão “VCO”, com VOmáx=5 V.

Fig. 3 – Malha de fase síncrona.

fVCO / kHz

VVCO / V

700

650

600

550

500 0 52,5 1,5 3,5

φ=φA- φB / º

VVCO / V

−180 +180 0

5

Fig. 4 – Característica do “DF+FPB”. Fig. 5 – Característica do “VCO”.

1) Considerando que se aplica à PLL uma tensão sinusoidal de frequência 650 kHzIf = , amplitude 5 VIMV = e

fase inicial nula cos(2 )I IM Iv V f t= π , e que existe sincronismo na malha, qual o valor da tensão de comando do VCO e qual a expressão de valores instantâneos da tensão de saída ? Ov

A tensão de comando do VCO será de VVCO=3,5 V, como se verifica no gráfico da Fig.5. A expressão de valores instantâneos da tensão de saída do VCO será

vO=VOmáx cos(2πft+φ), em que VOmáx= 5 V e φ=±180/5*3,5=±126º. É necessário saber qual dos dois sinais é o correcto.

2) Qual a diferença de fase ente Iv e e qual das duas tensões está avançada em relação à outra? Justifique a resposta.

Ov

Verifica-se através das figuras que f representa a diferença de fase entre a tensão de entrada e a tensão de saída do VCO. Da Fig.4 também se conclui que φ>0, porque só a metade direita do gráfico corresponde a situações estáveis. Suponhamos então que estávamos do lado esquerdo desse gráfico, com VVCO=3,5 V e fO=650 kHz. Se a saída do VCO se atrasar ligeiramente por qualquer motivo, a diferença de fase entre a tensão de entrada e a saída do VCO aumenta (fica menos negativa). Como consequência a tensão de comando do VCO diminui e a frequência de saída fO também diminui. Isso faz com que a diferença de fase aumente ainda mais...

Assim, como a diferença de fase entre a entrada e a saída da PLL tem de ser positiva, e uma vez que se considerou nula a fase da tensão de entrada, terá de ser φ=φΑ−φΒ=0−φΒ=126º. Assim, φΒ=−126º.

PLLFPBX

vI

vX1

2

vS

Fig. 6 – Malha de fase síncrona.

3) A PLL foi inserida no circuito da Fig. 6, em que o multiplicador se caracteriza por e o filtro

passa-baixo tem ganho unitário nas baixas frequências, com frequência de corte . A tensão 1 2( ) /Xv v v= × 5

1 MHzcf = Iv é a mesma da alínea 1). Determine a expressão analítica da tensão de saída . (Se não resolveu a alínea anterior considere que a tensão de saída da PLL vale

Sv

1 cos(2 f t - )Mv V= π Δφ , 5 VMV = , f , 650 kHz= 120ºΔφ = .

Vimos na alínea anterior que a tensão de saída da PLL vale 1 cos(2 f t - )Mv V= π Δφ , ,5 VMV = f 650 kHz= , 126ºΔφ = . A tensão de entrada vale cos(2 f t)I Mv V= π . A tensão de saída do multiplicador será

[2

cos( ) cos(4 )2 5

MVftΔφ + π − Δφ

×] . Após o filtro só teremos a primeira componente

2 25cos( ) cos(126º )10 10MV

Δφ = ×

. 1,47 V= −

4) Considerando o domínio da desmodulação de sinais de rádio, indique uma aplicação para o circuito da Fig. 6,

referindo justificadamente a funcionalidade de cada um dos três componentes (PLL, multiplicador e filtro).

O circuito representado funcionará como desmodulador de amplitude

0 5 10 15 20 25 30-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t / micro seg

volta

ge /

arbi

trary

uni

ts

O sinal modulante está representado a vermelho. O sinal modulado a azul.

A função da PLL será a de extrair a portadora. À saída da PLL teremos um sinal sinusoidal da frequência da portadora (650 kHz) e amplitude constante. O multiplicador vai determinar o produto entre o sinal modulado e a portadora.

O sinal modulado contém as seguintes 3 frequências:

fP – frequência da portadora

fP+fM – frequência da portadora+ frequência do sinal modulante

fP-fM – frequência da portadora- frequência do sinal modulante

À saída do multiplicador teremos as frequências

fP+fP , fP−fP , fP+(fP+fM) , fP−(fP+fM) , fP+(fP−fM) , fP−(fP−fM) ou seja

2fP , 0 , 2fP+fM , −fM , 2fP−fM , +fMÀ saída do filtro passa-baixo restarão as frequências

−fM , 0 , +fM que constituem o espectro do sinal modulante.

PARTE II

C. Analisador de Espectros Na Fig.3 está representado um analisador de espectros modular de largura de banda de 12 kHz, igual à largura de visualização. O bloco A é um filtro passa banda de frequência central 24 kHzcentralf = .

Fig. 7 – Diagrama de blocos de um analisador de espectros modular.

1) Identifique os blocos B, C e D constituintes da figura e caracterize o bloco D.

B – Detector de pico ou conversor RMS-DC

C – Gerador de rampa de baixa frequência

D – VCO – Oscilador controlado por tensão

Para que a banda de visualização esteja no intervalo 0—12 kHz o VCO deve varrer as frequências no intervalo 24—36 kHz.

2) Descreva o princípio de funcionamento do AE. 3) Qual a imagem que deve aparecer no visor do osciloscópio quando o sinal de entrada é sinusoidal puro de

frequência f = 50 kHz ? Como se resolve esta situação nos analisadores de espectros comerciais?

A questão é a de saber se existe alguma frequência na banda do VCO que, quando da multiplicação pelo sinal de entrada produza a frequência passante no filtro. Precisamos saber se a seguinte equação tem solução:

50±fVCO=24 , com 24<fVCO<36 kHz

A solução existe para fVCO=26 kHz. Esta frequência sendo igual a 24+2 kHz produz uma risca que é lida como f=2 kHz. Para evitar isto é necessário introduzir à entrada um filtro que corte todas as frequências fora da banda de visualização, o que para este caso será um filtro passa-baixo.

4) O AE foi utilizado para visualizar o espectro de amplitude de uma sucessão periódica de impulsos rectangulares. Qual o período e o “duty-cycle” da forma de onda visualizada?

A frequência fundamental de um sinal periódico é a frequência fo≠0 da primeira risca do espectro. Essa frequência vale fo=1 kHz, a que corresponde o período T=1 ms.

T T

O espectro de uma sequência periódica de impulsos rectangulares estreitos é uma sequência de riscas cuja envolvente tem a forma da função sinc(.). Enquanto o período T está ligado à frequência fundamental fo, a largura dos impulsos está ligada à frequência em que aparece o primeiro zero na

envolvente do espectro. Na Fig.8 vemos que isso acontece para f=4 kHz. A largura do impulso vale assim ΔT=0,25 ms, a que corresponde um “duty cycle” de 0,25.

5) Supondo que o valor exacto da harmónica fundamental vale 1 5 VefV = , qual deve ser o valor eficaz exacto da

quinta harmónica? Nota: sen /( )nef n n n nV K f K∝ f

A função sinc(.) tem o primeiro zero quando o argumento vale π. Sabemos pelo gráfico dado que esse zero ocorre para f=4 kHz. Teremos assim que

4 / 4K K× = π ⇒ = π

A 1ª harmónica tem uma amplitude proporcional a | sen || sen | 4

4

KfKf

π

=π

e a 5ª proporcional a

5| sen |4

54

π

π

Mas uma vez que |sen(5π/4)|= sen(π/4) a 5ª harmónica será proporcional a | sen |

4

54

π

π×

, o que significa que

a 5ª harmónica terá uma amplitude 5 vezes menor do que a 1ª, ou seja 1 volt.

Fig. 8 – Espectro de amplitude de uma sucessão periódica de impulsos rectangulares.

D. Transdutores Na Fig.9 está representada uma ponte de medida com quatro extensómetros. A ponte é alimentada por uma fonte de

tensão sinusoidal de frequência f =1 kHz e valor eficaz Vef = 1 V. Para a montagem dada sabe-se que Δ Δ=

V

V R

R . O

amplificador de instrumentação (AI) tem um ganho no modo diferencial de = 60 dBdG e um factor de rejeição de modo comum C . MRR 100 dB=

Fig. 9 – Aplicação de um amplificador de instrumentação numa ponte de extensómetros.

1) Para uma variação relativa das resistências dos extensómetros / 0,2 %R RΔ = calcule os valores eficazes das

contribuições de modo comum e de modo diferencial para a tensão de saída . ov

Para a variação relativa dada tem-se ΔV/V=0,2%. Como Vef=1 V, será ΔVef=2 mV. Com um ganho diferencial de 60 dB, a contribuição do modo diferencial para Voef será de 2 volt.

Com um factor de rejeição de modo comum de 100 dB o ganho de modo comum será de 60-100=-40 dB, ou seja uma atenuação de 100x. A tensão de entrada de modo comum no AI é de V/2=0,5 volt, e a contribuição para a tensão de saída será de 5 mV. No total será Voef=2,005 V.

2) Verificando que o sinal de saída está corrompido por ruído, indique um processo de detectar com uma melhoria apreciável da relação sinal/ruído.

ov ov

Pode utilizar-se um filtro de elevado factor de qualidade centrado na frequência de funcionamento ou adquirir o sinal com um sistema de aquisição e retirar a componente de 1 kHz com processamento digital de sinal. Pode ainda utilizar-se um “lock-in amplifier”, etc...

COTAÇÕES

Parte I Parte II A. Medição de Impedâncias

B. Malha de Fase Síncrona

C. Analisador de Espectros D. Transdutores

1) 2) 3) 1) 2) 3) 4) 1) 2) 3) 4) 5) 1) 2) 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1




Exame Escrito de 14 de Julho de 2008 Resolva cada PARTE EM CADERNOS SEPARADOS devidamente identificados com NOME, NÚMERO e DATA. Justifique todas as respostas.

PARTE I

A. Medidas AC Na figura está representada uma montagem destinada à medição de uma impedância à frequência f. A tensão vI é a tensão da rede (alternada sinusoidal). Os multímetros A e V são instrumentos digitais de verdadeiro valor eficaz de 3 dígitos e meio e o wattímetro é do tipo electrodinâmico. Obtiveram-se, para as melhores condições de medida, os

seguintes valores:

Amperímetro A: 250,0 mA (alcance 300 mA) Wattímetro W: 60 W (alcances 300 Vx500 mA) Voltímetro V: 240,0 V (alcance 300 V) Frequencímetro F: 50 Hz

1) Qual o valor esperado da impedância Z? De que tipo de impedância se trata? O valor esperado da impedância Z é de |Z|=240/0,25=960 Ω. O argumento φ será dado por φ=arc cos{P/(Uef*Ief)}= arc cos{60/(240*0,25)}= arc cos{1}=0º. Trata-se portanto de uma resistência.

2) Quais os erros máximos da medida de tensão e corrente sabendo que as especificações de erro dos dois instrumentos são “exactidão=0,4% da leitura+2 dígitos” ?

Voltímetro: Alcance de 300 V. A maior leitura será 299,9 V. O dígito menos significativo corresponde a uma variação de 0,1 V. O erro máximo será portanto:

eV=0,4/100*240+2*0,1=0,96+0,2=1,16 V.

Amperímetro: Alcance de 300 mA. A maior leitura será 299,9 mA. O dígito menos significativo corresponde a uma variação de 0,1 mA. O erro máximo será portanto:

eA=0,4/100*250+2*0,1=1,0+0,2=1,2 mA.

3) Considere agora que a tensão da rede vI não é sinusoidal pura. Através da visualização do espectro sabe-se que a componente fundamental (50 Hz) tem um valor eficaz 1efV de 235 V. Qual o valor eficaz do conjunto das restantes harmónicas? Face a este último resultado podemos confiar nos resultados das medidas apresentadas? Justifique.

Seja VRef o valor eficaz das restantes harmónicas. Assim tem-se:

2 2 2 2 2 2ef 1ef Re f Re f Re fV 240 V V 235 V V 240 235 48,7 V= = + = + ⇒ = − =

B. Contador Universal de Tempo/frequência A tensão do gerador da questão anterior é aplicada a um contador universal tempo/frequência. O oscilador interno tem uma frequência de 1 MHz e cinco divisores decimais.

1) No diagrama da figura identifique os blocos A, B e C e indique quais as posições dos cursores do controlo tempo/frequência (X1 ou X2) para as medidas de período e de frequência.

vI F VWA

Z

Base de Tempo Interna

A

SINAL DE ENTRADA


10÷ 10÷ 10÷ 10÷ 10÷

BNÍVEL DE DISPARO

C MEMÓRIA

VISORBÁSCULA

CONTROLO TEMPO/

FREQUÊNCIA

X2X1

RESET

PORTA PRINCIPAL

BÁSCULA

OSCILADOR 1 MHz

O bloco A representa o pré-condicionamento do sinal que inclui pelo menos um atenuador e um amplificador.

O bloco B representa uma báscula de disparo e o bloco C é um contador decimal.

Na posição X1 (comutadores para a esquerda) o sinal de entrada proporciona os impulsos que são contados e a base de tempo interna produz o tempo de contagem. Está-se assim no modo de frequência.

Na posição X2 (comutadores para a direita) tudo se passa precisamente ao contrário.

2) Para as melhores condições de medida, qual o modo de funcionamento que deve ser utilizado? Qual será a leitura obtida no visor nessas circunstâncias?

Dada a baixa frequência do sinal (50 Hz) de entrada tudo aponta para o modo de período. Mas fazendo as contas temos para o modo período a máxima frequência da base de tempo interna (1 MHz), temos

610 / 50 20.000= contagens. Para o modo de período teremos, usando agora a mínima frequência da base de tempo interna (10 Hz) para ter o maior tempo possível de contagem dos impulsos originados do sinal de entrada, temos 50 /10 5= contagens.

O visor apresenta a contagem 20.000. Como os impulsos a ser contados estão na frequência de 1 MHz a contagem apareceria na forma 20.000 μs ou mais provavelmente 20,000 ms.

3) Qual a exactidão resultante para o valor da frequência? Como a medida é feita no modo de período o erro é de uma contagem em 20.000, ou seja de 1 μs em 20.000 μs. O erro relativo é de -61/20.000=50×10 . O valor esperado da frequência é de 50 Hz. O mesmo erro relativo determina um erro absoluto de -6

Fe =50×50×10 =0,0025 Hz .

PARTE II

C. Sistema Automático de Medida

Pretende construir-se um sistema automático para medida dos valores instantâneos da tensão de rede. Para digitalizar o referido canal vai usar-se um sensor de tensão com um factor de conversão de 1/40 e um conversor A/D de aproximações sucessivas.

1) Desenhe o diagrama de blocos de um conversor A/D de aproximações sucessivas e descreva o seu modo de funcionamento.

De uma forma sucinta pode dizer-se que o programador vai os valores lógicos “1” a partir do bit maisa significativo. A palavra digital resultante é convertida no valor analógico correspondente que é seguidamente comparado com a entrada. Esse bit é aceite ou não e passa-se ao seguinte.

2) Supondo que o conversor tem um alcance bipolar de ±10 V, qual o mínimo número de bits do conversor para que 1 LSB represente menos de 2% da máxima tensão a medir. Nota: supõe-se a tensão que a medir tem um valor eficaz de 240 V e que é sinusoidal pura.

A amplitude da tensão da rede será de 240× 2=339 V , mas que é atenuada 40 vezes. A tensão máxima a adquirir será Vmax=8,49 V. 2% deste valor representam 170 mV. Ora 1 LSB representa

n n20/(2 -1) 20/2 V≈ . Teremos assim a condição n -3 n20/2 <170 10 2 >20/0,17=118 n 7× ⇒ ⇒ ≥

3) Considerando um conversor de 8 bits, represente os diagramas temporais para a digitalização de uma tensão instantânea de +7,5 V.

Ciclo de relógio

Palavra digital à saída do programador

Tensão de comparação (volt)

Resultado à saída do comparador

1 1000 0000 0 1 2 1100 0000 5 1 3 1110 0000 7,5 ?

Quando o programador ensaia a palavra digital 11100000 que corresponde a 7,5 V, a saída do comparador é indefinida. Se essa palavra for aceite teremos no final da conversão esse mesmo valor (11100000). Caso contrário (se o terceiro bit sair a 0) retemos na saída a palavra 11011111. Enquanto no 1º caso a representação é exacta, no segundo existe um erro de quantificação de 1 LSB. Para o primeiro caso temos o diagrama temporal seguinte:

4) Qual o valor mínimo da frequência de amostragem para que seja possível obter, através da

transformada rápida de Fourier (FFT) o espectro da tensão até à 5ª harmónica? Para essa frequência de amostragem qual o número mínimo N de amostras para que não exista espalhamento espectral? Escreva a expressão que lhe permite determinar o valor eficaz da tensão da rede a partir dos valores amostrados vk , k =1,...,N da tensão da rede.

A 5ª harmónica corresponde à frequência 50×5=250 Hz. A frequência de amostragem deve ser superior a duas vezes esse valor. Tem-se portanto Sf >500 Hz . Tem de ser amostrado um número inteiro de períodos para não haver espalhamento espectral. O número mínimo de amostras corresponde a amostrar só um período. A frequência do sinal é de 50 Hz. Amostrando a Sf =500 Hz serão necessárias N=10 amostras. Uma vez que se amostrou exactamente um período teremos uma expressão exacta

N2

ef kk=1

1U = v , com N=10N ∑

D. Electrónica de Instrumentação

741

INA 117

MUX - 16

LM 311

LVDT

uprimária

UOusRf

Cf

Na figura em cima está representado o circuito de condicionamento de sinal por detecção síncrona de um LVDT a funcionar à frequência f =4 kHz.

1) Diga para que servem os blocos INA117, LM311 e MUX-16. O INA 117 deve proporcionar a amplificação em modo diferencial necessária. Deve ter um factor de rejeição de modo comum elevado, pois, como se vê na montagem a entrada terá um modo comum apreciável. Deve ainda ter uma impedância de entrada elevada para que os secundários possam ser considerados em vazio.

O LM311 é um comparador cuja entrada é a tensão primária, e que tem a saída “alta” para a entrada positiva e a saída “baixa” quando a entrada é negativa.

O MUX-16, sendo controlado pela saída do comparador, terá na sua saída a tensão de saída do INA117, ou a sua simétrica que é gerada no circuito inversor.

2) Sendo x a coordenada de posição do núcleo do LVDT (x=0 com o núcleo centrado entre os dois enrolamentos secundários), represente graficamente o andamento do valor eficaz e da fase da tensão de saída uS em função de x.

USef

x

fase

x

180º

Note que o andamento da fase pode ser o simétrico do representado. Tudo depende do sentido atribuído à coordenada x.

3) Sendo a tensão à saída do bloco INA117 alternada sinusoidal de valor eficaz Vef=3 V, quanto deve valer a tensão UO, supondo as melhores condições de funcionamento?

À saída do MUX-16 teremos uma tensão sinusoidal rectificada, sendo UO o seu valor médio. Recordando que o factor de forma para as “formas de onda” sinusoidais, definido a propósito dos instrumentos de medida “NOT TRUE RMS” nale β=1,11, tem-se UO=3/1,11=2,7 V.

4) Se o núcleo do LVDT oscilar sinusoidalmente em torno da posição média com uma frequência de oscilação fosc=100 Hz, represente graficamente o andamento das tensões à saída do bloco MUX-16 e da tensão UO. Qual a limitação a impor ao produto dos valores de Rf e de Cf nestas condições?

A amplitude da tensão UO evolui proporcionalmente à posição x. A saída do MUX-16 é da forma representada na figura seguinte a azul. A rensão uO evolui como a envolvente também representada. A limitação a impor à constante de tempo do filtro passa baixo será no sentido de deixar passar a frequência de 100 Hz, mas cortar as altas frequências.

Escolheria para frequência de corte do filtro, por exemplo, a média geométrica entre 100 Hz e 4 kHz, ou seja fc=630 Hz. Isso corresponde a uma constante de tempo τc=1/(2π×630)= 250 μs.

t

Envolvente a 100 Hz

Cotações:

Parte I (10) Parte II (10) A(5) B(5) C(5) D(5)

1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1

Instrumentação e Medidas Ano Lectivo 2008/2009 – 2º Semestre


Este exame é sem consulta, com a duração máxima de 3 horas. Cada uma das perguntas tem a sua cotação indicada no final.

Não é permitido o uso de máquinas de calcular com modo alfanumérico. Justifique as respostas. Todas as folhas de resposta têm

de estar identificadas com o número e nome do aluno.

Considere o circuito da figura em que Ε=2V, R1=R2=R3=500Ω, R4=R5=R6=2kΩ, R7=20kΩ e C=50nF.

Admita que os amplificadores operacionais têm características ideais e que saturam com tensões iguais às

tensões de alimentação que são de ±15V.

O voltímetro VA é digital, “True RMS”, de 4 ½ dígitos, com alcances de 0,4; 4; 40 e 200V e

exactidão: c.c. (0,05% da leitura + 1 dígito); c.a. (0,1% da leitura + 1,5 dígitos).

O voltímetro VB é de quadro móvel com rectificador, com a escala graduada para indicar o valor eficaz de

grandezas alternadas sinusoidais, com alcances de 2; 5 e 10V e classe de precisão 0,1.

O voltímetro VC é electrónico, “True RMS”, com alcances de 2; 4; 10; 20 e 40V e classe de precisão 0,2.

F é um contador universal de tempo/frequência e G um gerador de funções.

v1

v4

+

C

+

R1

v2

R5

+

R4

R3

v3R2

R7

vA vB vC

R6

-

--

G F

E

1) Descreva a constituição e o princípio de funcionamento do multímetro digital, “True RMS”. Apresente o

diagrama de blocos correspondente e descreva a função e constituição de cada um dos blocos.

Considere que o conversor A/D é de aproximações sucessivas e de 8 bits. Apresente o diagrama de blocos do

conversor e ilustre o seu funcionamento, apresentando o diagrama temporal duma tensão relevante para

descrever o seu funcionamento durante o processo de conversão duma tensão igual a 1/3 do peso do seu bit

mais significativo. (5 valores)

2) Determine justificadamente: v2 em função de v1, v3 em função de v1 e v2, v4 em função de v3 (repare que

o último amplificador do circuito se encontra numa montagem com realimentação positiva). Represente

graficamente e à escala as tensões v1(t), v2(t), v3(t) e v4(t), admitindo que C está inicialmente descarregado e

que v1 é uma onda quadrada com 3V de amplitude, frequência igual a 10kHz e que transita de tensões

negativas para positivas em t=0+. (4 valores)

3) Diga, justificadamente, qual a informação obtida a partir das indicações dos voltímetros VA (em c.c. e

c.a.), VB e VC e determine-as. Com base nesses valores, escolha os campos de medida adequados e

determine os erros absolutos associados aos valores medidos. (4 valores)

Nota – Se não conseguir obter alguma das tensões v2(t) e v3(t) (e só nesse caso), considere que v2(t) é a soma

de uma onda triangular com 1V de amplitude com uma tensão contínua igual a 0,5V e que

v3(t)=3+2cos(2π10000t).

4) O contador universal tempo/frequência F, tem um ritmo interno de 1 MHz, uma base de tempo com 6

divisores decimais e um visor de 6 dígitos. Apresente o diagrama de blocos e descreva o seu princípio de

funcionamento.

Para a medida de v4(t) indique qual a função que seleccionaria (frequência ou período), de modo a realizar a

medida na situação mais favorável do ponto de vista da exactidão. Justifique, indicando qual o valor

apresentado no visor. (3 valores)

5) Apresente o diagrama de blocos do gerador de funções. Descreva a função e constituição de cada um dos

blocos. Descreva a forma como se varia a frequência e a amplitude do sinal de saída e como são geradas as

formas de onda sinusoidal, triangular e rectangular. (3 valores)

6) Admita que tem um transdutor para medida da grandeza física X, que produz uma tensão eléctrica de

saída, vS, dada por vS(X)=3X+2X2+1(V). Sabendo que X varia tão lentamente no tempo, que vS se pode

considerar uma tensão contínua, apresente um circuito electrónico capaz de transformar vS numa tensão

contínua directamente proporcional a X. (1 valor)


Resolução Sucinta (Uma descrição mais completa dos diversos blocos funcionais consta dos materiais de apoio)

1) Constituição do multímetro digital:

Sinal de Entrada

ConversorAC / DC

Contador

Condicionador de Entrada

Visor

ConversorA / D AC

DC

Selector AC / DC

Filtro Passa Baixo

Controlador/Microprocessador

Um multímetro digital terá sempre um bloco de condicionamento do sinal de entrada. O condicionamento de sinal, que determinará os alcances de medida, depende do tipo de medida (tensão, corrente, resistência). O selector AC/DC bloqueia a componente DC para medidas em AC ou insere um filtro passa-baixo para medidas DC. Para que o multímetro seja de verdadeiro valor eficaz o conversor AC/DC deve ser do tipo RMS/DC. O número de bits do conversor A/D depende do número de bits a apresentar no visor. O multímetro é controlado através do seu painel frontal ou remotamente, através das interfaces que estiverem instaladas (IEEE488,RS232,USB,...). Todo o funcionamento do dispositivo é controlado por um microprocessador. O conversor A/D, de aproximações sucessivas, representa-se em diagrama de blocos por:

Comparador

ViProgramador

Conversor D/A

Oscilador

O programador vai organizando a palavra digital começando pelo bit mais significativo (MSB). Os bits vão sendo postos sucessivamente a “1”. A palavra digital resultante é convertida para analógico e o valor resultante comparado com a tensão de entrada. Do resultado da comparação, o valor do bit testado mantém-se a “1” ou é posto a “0” conforme a saída do conversor A/D é inferior ou superior à tensão de entrada. Na figura seguinte está representado um diagrama temporal da evolução do processo de digitalização. Note-se que o bit mais significativo não é, neste caso, o bit de sinal. A palavra digital a obter será da forma:

00101010

0,5

MSB

0,25

MSB 0,37

5 M

SB

0,31

25 M

SB

0,34

375

MSB

1 M

SB

0,32

8125

MSB

0,33

5937

5 M

SB

2) No primeiro andar temos uma montagem não-inversora do tipo:

+

-

Z1

Z2

v1v2

No domínio da frequência, o ganho desta montagem é: 2 2

1 11V Z

V Z= +

Z1 é uma resistência R1=500 Ω, e Z2 é um condensador C=50 nF. Assim

2 12 1

1 V V

V Vj CR

⇒ = +ω ω1 1

11 V j CR

= +

Que no domínio do tempo tem a forma:

2 1 11 0

1( ) ( ) ( )t

v t v t v dCR

= + τ∫ τ

O segundo andar é constituído por uma montagem de diferença. Como nesta montagem se tem 5 2

4 31R R

R R= = ,

a tensão de saída será simplesmente a diferença das tensões de entrada: 3 2v v v1= −

Finalmente, a terceira montagem, com realimentação positiva, assume a configuração de um comparador com histerese em montagem inversora. Será necessário determinar as tensões de disparo do circuito.

+R7

v3v4

R6

E

vx-

v3

v1

v2

R4

R5

R3R2

A tensão de saída v4 será uma das duas tensões de saturação que são ±15 V. Assim ter-se-á v4=+15 V se vx>0, e v4=−15 V se vx<0. Trata-se portanto de calcular vx. Em geral a tensão vx é dada por:

46 3

6 7x

v Ev E R v

R R

⎛ ⎞−= + −⎜ ⎟+⎝ ⎠

É necessário agora determinar as tensões de comutação. Assim, supondo que v4=−VSAT, qual a tensão de entrada v3 que torna vx positiva?

3 6 3 36 7

15 20 2 2 0, 454522

VSATx

V Ev v E R v v

R R

⎛ ⎞− − − −> ⇒ < + ⇒ < + × ⇒ <⎜ ⎟+⎝ ⎠

Supondo agora que v4=+VSAT, qual a tensão de entrada v3 que torna vx negativa?

3 6 3 36 7

15 20 2 2 3,181822

VSATx

V Ev v E R v v

R R

⎛ ⎞+ − + −< ⇒ > + ⇒ > + × ⇒ >⎜ ⎟+⎝ ⎠

v3/V3,180,45

v4/V

Na página seguinte estão representadas as tensões v1,v2,v3 e v4. A tensão v1 é a dada. A tensão v2 tem duas componentes pois é a soma da própria tensão v1 com o resultado da sua integração no tempo. A constante de tempo R1C vale R1C=25 μs. Da integração de uma tensão constante de 3 volt resulta uma tensão em rampa que durante 50 μs crescerá de 6 V. Para v1=−3 V o resultado do integral será uma rampa decrescente. Para obter a tensão v3 subtrai-se novamente a tensão v1, pelo que v3 é só a parte de v2 resultante da integração. Finalmente, para obter a variação temporal da tensão v4 têm de se obter os instantes em que v3

sobe acima de 3,18 volt, o que leva v4 a tomar o valor de −15 V, e depois têm de se obter os instantes em que v3 desce abaixo de 0,45 volt, o que leva v4 a tomar o valor de +15 V.

v1 / V

t / s50 1000

v2 / V

t / s50 1000

v3 / V

t / s50 100

0

v4 / V

t / s50 100

0

t=26,5 st=96,2 s

t=126,5 s

3) Antes de mais será necessário saber quais os valores esperados para as grandezas a medir. Para a tensão v1 a ser medida pelo voltímetro digital de verdadeiro valor eficaz VA o valor esperado para a componente C.C. será de 0 volt enquanto o valor eficaz da componente em C.A. será de 3 volt. Os alcances, as leituras previstas e os erros máximos esperados serão:

VA Valor esperado / V Alcance / V Leitura / V Erro max / mV C.C. 0 0,4 000,00 mV 0,01 C.A. 3 4 3,0000 3+0,15=3,15

A tensão v2 está a ser medida com um quadro móvel com rectificador. Supondo o rectificador ideal, a figura seguinte representa um período (0<t<100 μs) do resultado da rectificação:

Durante a primeira metade do período o valor médio é de 6 volt e durante a segunda metade o valor médio é de 1,5 volt. Para todo o período o valor médio é de (6+1,5)/2=3,75 volt. Dado que o instrumento se destina a medir o valor eficaz de tensões alternadas sinusoidais, a leitura esperada terá um valor correspondente ao factor de forma para sinusóides, ou seja 3,75×1,11=4,16 volt. O alcance apropriado será o de 5 volt, e dada a classe de precisão 0,1, o erro máximo esperado seria de 0,1% de 5 volt, ou seja 5 mV. Note-se que este valor não faz sentido dada a má utização do instrumento. A tensão v3 está a ser medida por um voltímetro electrónico de verdadeiro valor eficaz. A tensão v3 pode decompor-se na soma duma parcela constante de 3 V com uma tensão triangular de amplitude também de 3 V. No entanto, em geral, os voltímetros electrónicos bloqueiam a componente contínua. O valor eficaz esperado será de

33 1,7323

= = VefV

O alcance apropriado será o de 2 volt. Sendo a classe de precisão de 0,2 o erro máximo esperado será de 2×0,2/100=4 mV. Solução alternativa: No caso da tensão v2 ser a soma de uma onda triangular de amplitude 1 V com uma tensão contínua de 0,5 V (em baixo à esquerda), o resultado da rectificação está representado em baixo à direita. O valor médio da primeira metade do ciclo vale 1 volt, e o valor médio da segunda metade vale 0,25 volt. O valor médio da onda valerá 0,625 volt. A indicação do instrumento será de 0,625×1,11=0,694 volt, compatível com o alcance de 2 volt, e um erro máximo de 2×0,1/100=2 mV. É no entanto válido o mesmo comentário que o feito anteriormente.

v2 / V

50 1000 t / s

|v2 |/ V

50 1000 t / s

No caso de v3(t)=3+2 cos(2πf t), o valor eficaz esperado será

32 1, 4142

= = VefV

O alcance apropriado será o de 2 volt. Sendo a classe de precisão de 0,2 o erro máximo esperado será de 2×0,2/100=4 mV. 4) Na figura seguinte está representado um contador universal tempo/frequência com cinco divisores decimais (no enunciado temos 6 divisores).

Base de Tempo

ATENUADOR E AMPLIFICADOR

SINAL DE ENTRADA


10÷ 10÷ 10÷ 10÷ 10÷

BÁSCULA DE DISPARO

NÍVEL DE DISPARO

CONTADOR DECIMAL MEMÓRIA

VISORBÁSCULA

CONTROLO TEMPO/

FREQUÊNCIA

TEMPOFREQ.

RESET

PORTA PRINCIPAL

BÁSCULA

OSCILADOR

No contador, o sinal de entrada é condicionado e depois transformado nima sucessão de impulsos da mesma frequência. Na base de tempo interna também é gerada uma sucessão de impulsos de frequência relativamente elevada. A partir desta última frequência, utilizando divisores decimais, são geradas frequências sucessivamente mais baixas. Existem dois modos básicos de funcionamento: modo frequência e modo período. No modo frequência os impulsos síncronos com o sinal de entrada são contados durante um tempo determinado pela base de tempo interna. No modo período são os impulsos provenientes da base de tempo interna que são contados durante um tempo determinado pelo período do sinal de entrada. Para medir a frequência/período de v4 note-se que se trata de um sinal de 10 kHz. Fazendo a medida no modo frequência deve utilizar-se a frequência mais baixa da base de tempo para optimizar a exactidão da medida. Essa frequência será de 1 MHz/106= 1 Hz. O número de contagens obtidas será de 10.000. Como o visor tem 6 dígitos o resultado apresentado será 010000 Hz ou 010,000 kHz. Como pode haver um erro de uma unidade na contagem também é possível que tenhamos as leituras de 009999 Hz ou 009,999 kHz ou 010001 Hz ou 010,001 kHz pois é de admitir o erro de uma contagem Fazendo a medida em modo de período deve seleccionar-se a frequência mais elevada da base de tempo, para optimizar a exactidão da medida, ou seja 1 MHz. Os impulsos da base de tempo são contados durante um período do sinal de 10 kHz. Deve obter-se uma contagem de 100. No visos aparecerá então a indicação de 000100 μs ou 000099 μs ou 000101 μs. 5) O diagrama de blocos do gerador de funções está representado na figura seguinte. A partir do processo de carga de um condensador através de uma fonte de corrente constante é possível obter uma tensão em rampa. Quando esta tensão atinge um valor de referência previamente definido a carga do condensador passa a ser efectuada por um gerador de corrente de sentido inverso. Obtém-se assim uma tensão triangular. A frequência da onda triangular pode ser alterada mudando a capacidade de carga (mudança de escala) ou através da alteração das intensidades de corrente dos geradores (ajuste fino). A alteração da amplitude é feita alterando o ganho do pré-amplificador de saída onde também pode ser adicionada uma tensão de offset. A tensão triangular é assim a forma de onda básica. A tensão quadrada pode ser obtida do detector de nível que gera na saída uma tensão que comuta entre os dois níveis de referência sincronamente com a mudança de derivada da tensão triangular. A tensão sinusoidal é aproximada utilizando uma malha de resistências e díodos como a representada na figura.

Vcc

Vo

Ajuste de Frequência Simetria

Escala de Frequência

Amp

Detector de Nível

Sine Shaper

Squaring Circuit

Amp Amplificador de Saída

FunçãoTensão de

Desvio

Amplitude

SYNC OUT

R1

R2

R3

R4R8

R7

R6

R5

Triangular Sinusoidal-V +V

D1

D2

D3

D4

6) A função pretendida pode ser obtida com o circuito representado na figura:

Dado o curto-circuito virtual na entrada do AMPOP tem-se vs=f(x). A função f(x) pode ser realizada de diferentes modos. Por exemplo e uma vez que 22 3 1 2( 1)( 0,5)x x x x+ + = + +

1

0,5

+

+

x×

x+1

x+0,5

(x+1)(x+0,5)2

f(x)

Instrumentação e Medidas Ano Lectivo 2008/2009 – 2º Semestre


Este exame é sem consulta, com a duração máxima de 3 horas. Cada uma das perguntas tem a sua cotação indicada no final.

Não é permitido o uso de máquinas de calcular com modo alfanumérico. Justifique as respostas. Todas as folhas de resposta têm

de estar identificadas com o número e nome do aluno.

Considere o circuito da figura em que R1=R2=20kΩ, C=20nF e E=3V.

Admita que os amplificadores operacionais têm características ideais e saturam com tensões iguais às

tensões de alimentação que são de ±15V.

O voltímetro VA é electrónico, “True RMS”, com alcances de 2, 4, 10, 20 e 40 V e classe de precisão 0,3.

O voltímetro VB é de quadro móvel com rectificador, com a escala graduada para indicar o valor eficaz de

grandezas alternadas sinusoidais, com alcances de 1, 3, 10 e 30V e classe de precisão 0,2.

O voltímetro VC é digital, “True RMS”, de 3 ½ dígitos, com alcances de 0,4; 4, 40 e 400 V e exactidão:

c.c (0,1% da leitura + 0,5 dígitos); c.a. (0,3% da leitura + 2 dígitos).

AE é um analisador de espectros do tipo superheterodino com uma largura de banda de 50kHz.

G é um gerador de funções.

O bloco designado por “X” entre o primeiro Amp.Op. e o filtro passa baixo representa um multiplicador

ideal. O filtro passa baixo é também ideal e tem uma frequência de corte igual a 150Hz.

R2

+

-R1

v3v1 C

v2vA

X

v4AEv5

F.P. Baixo

vB

+

-

E

v6 v7vC

G

1. Descreva a constituição e o princípio de funcionamento do aparelho de quadro móvel com

rectificador, com a escala graduada para indicar o valor eficaz de grandezas alternadas sinusoidais. Deduza a expressão que relaciona o ângulo de desvio do ponteiro e a tensão a medir. (3 valores)

2. Admitindo que v1(t)=3cos(2π1000t), v2(t)=0,5sen(2π3000t) e v4(t)=–3cos(2π1040t), determine justificadamente: v3 em função de v1 e v2, v5 em função de v3 e v4 e v7 em função de v6 e E. Represente graficamente e à escala as tensões v6(t) e v7(t). (4 valores)

3. Diga, justificadamente, qual a informação obtida a partir das indicações dos voltímetros VA, VB e VC (em c.c. e c.a) e determine-as. Com base nesses valores, escolha os campos de medida adequados e determine os erros absolutos associados aos valores medidos. (3 valores) Nota – Se não conseguir obter as tensões v3(t) e v6(t) (e só nesse caso), considere, v3(t)=4cos(2π2000t)+ 3cos(2π6000t) v6(t)= 4,5cos(2π2000t).

4. Represente o diagrama espectral da tensão v5 tal como é observável no analisador de espectros AE. Admita que a graduação da escala vertical é em valores de pico. Indique qual a largura do filtro passa-banda do AE, de modo a resolver (separar) as diferentes componentes espectrais. Comente e justifique. (2 valores)

5. Apresente o diagrama de blocos do multímetro digital, “True RMS”. Descreva a função e constituição de cada um dos blocos, não esquecendo a medida de resistência. Considere que o conversor A/D é de dupla rampa. Ilustre o funcionamento do conversor, apresentando o diagrama temporal duma tensão relevante para descrever o seu funcionamento para duas tensões de entrada distintas (uma dupla da outra). (3 valores)

6. Apresente o diagrama de blocos e descreva a constituição e o princípio de funcionamento do analisador de espectros do tipo superheterodino. Indique valores possíveis para as frequências centrais e de corte dos filtros que apresentar e as frequências de oscilação dos osciladores constituintes para o caso dum aparelho como o actual que tem uma largura de banda de 50kHz. (3 valores)

7. Apresente o diagrama de blocos dum circuito que, baseado numa malha de captura de fase (PLL), permita obter uma tensão alternada sinusoidal de frequência igual a 5,4MHz a partir de outra de frequência igual a 1MHz. Justifique. Especifique adequadamente cada um dos elementos constituintes. (2 valores)

Exame Escrito de 22 de Julho de 2009 Resolução

(Atenção: Uma descrição completa dos instrumentos, blocos funcionais ou circuitos utilizados deve ser consultada nos materiais de apoio da disciplina)

1) Um galvanómetro de quadro móvel é

constituído por: Um circuito magnético incluindo um íman permanente que gera um campo magnético radial. Um enrolamento de N espiras dispostas sobre um quadro rectangular com movimento de rotação em torno de um eixo como está representado na figura. Fixada ao quadro existe uma mola que tenderá a levar toda a parte móvel para a posição de equilíbrio em repouso. Um ponteiro, solidário com o quadro move-se sobre uma escala graduada. Quando uma corrente i percorre as N espiras do quadro, este será actuado por um binário dado por iT

B

B B

B

i i

Íman Permanente

F

F

i u q qT 2BNl R i A BNi , A 2Rl= = = u

α

em que l é o comprimento útil do quadro, correspondente à zona imersa no campo de indução magnética B, R é o raio do quadro e a respectiva área útil. Quando a

corrente i muda de sentido, também o binário T muda de sentido já que B é um campo estático.

u

qA

i

Assim, quando uma corrente i percorre o quadro o binário tende a rodá-lo até uma posição em que seja equilibrado pelo binário de restituição da mola . A igualdade entre os dois binários determina a posição final do ponteiro:

iT

iT mT Cα =

qi q m

m

A BNT T A BNi C i

Cα= ⇒ = α ⇒ α =

Quando a corrente i é estacionária i=I, o binário é constante, a que corresponde um ângulo de desvio. Quando a corrente i é variável no tempo o ângulo de desvio corresponde ao valor médio do binário

iT

iT< > , que por sua vez é proporcional ao valor médio da corrente, isto se a mais baixa frequência de i for maior do que a frequência de oscilação própria da equipagem móvel:

q

m

A BNi

Cα = < >

Para medir tensões é necessário existir um conjunto de resistências que a cada alcance de tensão fazem corresponder um alcance de corrente no quadro. Se essas tensões forem alternadas sinusoidais é necessário ainda introduzir uma ponte rectificadora. O voltímetro passa assim a responder ao valor médio do módulo da tensão

q

m a

A BN| u(t) |

C Rα = < >

Na expressão anterior Ra é a resistência que especifica o alcance do voltímetro.

Para tensões alternadas sinusoidais Mv(t) V cos(2 f t)= π o valor médio do módulo e o valor eficaz valem respectivamente

MM ef

V2| v(t) | V e V2

< >= =π

.

Se o voltímetro, quando em modo C.A. , se destina a medir tensões alternadas sinusoidais, é possível ler o valor eficaz directamente na escala graduada. Como o valor eficaz é proporcional ao valor médio

do módulo, basta introduzir na escala a constante de proporcionalidade adequada, que se designa por factor de forma. Para sinusóides temos

QM

Ra

efV 1,11| v(t) | 2 2

πβ = =

< >

2)

R2

+

-R1

v3v1 C

v2G

iR1

iC

iR2 Uma vez que a entrada (-) do AmpOp está virtualmente à massa as correntes

valem respectivamente R1i e Ci

1 2R1 C

1

v di e i CR d

= =vt

Como R2 R1 Ci i i= + a tensão valerá 3v

2 23 2 R2 2 R1 C 1 2

1

R dv R i R (i i ) v R CR d

= − = − + = − −vt

Como tem-se 1 2R R 20 k e C=20 nF= = Ω 3 92R C 20 10 20 10 400 s−= × × × = μ .

A tensão valerá assim 3v

6

3v 3cos(2 1000 t) 400 10 0,5 2 3000cos( 2 3000 t)3cos(2 1000 t) 3,77cos( 2 3000 t)

−= − π× − × × × π× π×

= − π× − π×

A tensão à saída do multiplicador ideal vale

que contém 4 parcelas: 5v

5 3v v v= × 4

[ ] [ ]v5 4,5 cos(2 40 t) cos(2 2040 t) 5,65 cos(2 1960 t) cos(2 4040 t)= π× + π× + π× + π×

v3vA

X

v4AEv5

À saída do filtro passa-baixo só restará a componente de mais baixa frequência

AEv5

F.P . Baixo

vB

+

-

E

v6v7

vC

) 6v 4,5cos(2 40 t= π×

VV

Finalmente a tensão 7 na saída do comparador valerá quando

, e quando

v

7v 15 = +

6v 3 V> 7v 15 = −

6

v 3 V< .

Podemos agora representar graficamente as tensões pedidas:

4,5

3,0

1,5

v6 / V

t / ms

25 12,56,25 18,750

+15

t / ms

−15

12,53,35 0 21,65 28,35

v7 / V

3) Medidas com os voltímetros VA, VB e VC. VA mede v3, VB mede v6 e VC mede v7.

ecordemos que: v 3cos(2 1000 t) 3,77cos(2 3000 t)v 4,5cos(2 40 t)

pre +15 V ou 15 V.

= − π× − π×

= π×

−

VA é electrónico “True RMS” classe de precisão 0,3:

Medida C.A.:

R3

6

7v é uma tensão rectangular valendo sem

2 2

3ef3 3,77V 3,40682 V2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠⎝ ⎠ ⎝

, alcance 4 V, erro máximo:

0,3 4 12 mV100

× =

VB é de quadro móvel r, classe de precisão 0,2:

com rectificado

edida C.A.:M 6ef 24,5V 3,182 V= = alcance 10 V, erro máximo: 0, 2 10 20 mV

100× =

rue RMS” e exactidão em C.C. 0,1% da leitura+0,5 dígit VC é digital “T os:

Medida C.C.: 76,7 15v 15 1 (6,7 18,3< >= × − × −

18,35 ) 6,96 V25 25 25

× = = − ,

lcance 40 V, leitura esperada: , erro máximo A 06,96 V−

0,1 6,96 0,5 0,01 11,96 m100

× + × =

Medida C.A.: O valor

V

V . O valor eficaz só da

omponente CA será

eficaz em CC+CA seria 7efV 15=

2 27efCAV 15 6,96 13, 288 V= − = c

alcance 40 V, leitura esperada: 13,29 V, erro máximo: 30,3 13, 29 2 0,01 (39,87 20) 10 59,87 mV

100−× + × = + × =

Dados alternativos: 4cos(2 2000 t) 3cos(2 6000 t)= π× + π×

V é electrónico “True RMS” classe de precisão 0,3:

Medida C.A.:

3

6v 4,5cos(2 2000 t)= π×

v

A

2 2

3ef4 3V 3,536 V2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, alcance 4 V, erro máximo:

0,3 4 12 mV× = 100

VB terá uma medida idêntica à anterior. 4)

Tendo o AE uma largura de banda de 50 kHz o espectro de 5v aparece concentradoparte esquerda da janela de visualização. Na figura em cima estão ma

na rcadas as posições

so

Hz só aparecem paradas para o filtro de LB=10 Hz. A risca de 40 Hz só está definida

Como não é possível construir filtros com um factor de qualidade tão elevado a solução construtiva terá de ser diferente. (ver a resolução da alínea 6)

das riscas espectrais esperadas, mas sem atender à largura de banda do filtro passa-banda que permite resolver o espectro (separar as riscas espectrais.) Para separar as riscas, caso fosse utilizado um único filtro, seria necessário uma largurade banda muito pequena, de realização muito difícil. Na figura seguinte está desenhado o aspecto que teria a parte inferior do espectro capudéssemos reduzir a largura de banda do filtro para 100 e 10 Hz (filtros gaussianos). Verificamos que a risca na zona dos 4 kHz está mal definida na frequência quando LB=100 Hz, mas a amplitude está bem representada. As duas riscas na zona dos 2 K

separa LB=10 Hz, pois que para LB=100 Hz parece haver sensibilidade à frequência f 40 kHz= − .

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f / Hz

Am

plitu

de /

V

LB=100 HzLB=10 Hz

5) Constituição do multímetro digital:

Sinal de Entrada

ConversorAC / DC

Contador

Condicionador de Entrada

Visor

ConversorA / D AC

DC

Selector AC / DC

Filtro Passa Baixo

Controlador/Microprocessador

Um multímetro digital terá sempre um bloco de condicionamento do sinal de entrada. O condicionamento de sinal, que determinará os alcances de medida, depende do tipo de medida (tensão, corrente, resistência). O selector AC/DC bloqueia a componente DC para medidas em AC ou insere um filtro passa-baixo para medidas DC. Para que o multímetro seja de verdadeiro valor eficaz o conversor AC/DC deve ser do tipo RMS/DC. O número de bits do conversor A/D depende do número de bits a apresentar no visor. O multímetro é controlado através do seu painel frontal ou remotamente, através das interfaces que estiverem instaladas (IEEE488,RS232,USB,...). Todo o funcionamento do dispositivo é controlado por um microprocessador.

(a) (b)

Condicionamento da tensão (a) e da corrente (b) de entrada.

Medida de resistência de 2 terminais

O circuito de condicionamento para medida de tensão é o principal, pois as outras medidas são realizadas por conversão corrente-tensão, ou no caso de medida de resistência gerando uma corrente relacionada com Rx que é convertida em tensão numa resistência de amostragem para medida em tensão. Conversor de dupla rampa:

Ao integrar a tensão , positiva de entrada, a tensão evolui como se mostra à direita (curva vermelha). A fim de N

iv 2v1 contagens o controlo lógico comuta a tensão de

entrada para a tensão de referência (negativa). O tempo T2 (N2 contagens) necessário para atingir novamente a tensão zero é proporcional à tensão . Quando a tensão a digitalizar duplica de amplitude, para igual tempo T

iv1, tem-se o dobro do tempo T2, e

logo o dobro para a contagem N2. 6) Analisador de espectros super-heterodino do tipo usado no laboratório de IM, mas inserindo um filtro passa-baixo na entrada para garantir a não existências de “aliasing”.

Filtro

passa-baixo 0-50 kHz

Filtro passa-banda fc=100 kHz

LB=10 Hz ???

Detector

de pico

Amplificador

VCO

f=100-150 kHz

Amplificador

Gerador de Rampas

vVCO

t

VISOR

A explicação do funcionamento pode ser vista nos materiais de apoio dsa disciplina. Nesta banda de frequências é ainda possível utilizar multiplicadores, mas a resolução espectral é fraca com um único filtro passa-banda. Para ter 100 Hz de largura de banda

seria necessário um factor de qualidade 0Q 1000ω= =Δω

, o que não é praticável.

Solução: Substituir o filtro passa-banda com frequência central a 100 kHz por um conjunto de filtros, de frequências centrais sucessivamente mais baixas, com larguras de banda também cada vez mais baixas, de modo a manterum factor de qualidade de

para todos eles. Q 20= Filtro

passa-banda fc=100 kHz

LB=5 kHz

Filtro passa-banda fc=20 kHz

LB=1 kHz

Filtro passa-banda

fc=2 kHz LB=100 Hz

Filtro passa-banda fc=200 Hz

LB=10 Hz

f = 80 kHz f = 18 kHz f = 800 Hz

Com esta solução, o varrimento das frequências geradas pelo VCO tem de ser extraordinariamente lento. Será aconselhável alterar a largura de banda de visualização para LB=5 kHz, pois todo o conteúdo espectral está nesta banda.

7) Malha de captura de fase:

÷ 5 Detector de fase

Filtro passa-baixo fc ≈ 100 Hz

VCO

fc=5,4 MHz

÷ 27

fin= 1 MHz fout= 5,4 MHz

Para funcionar de modo síncrono é necessário que os dois sinais de entrada no detector de fase tenham exactamente a mesma frequência. Por isso, os divisores de frequência a inserir serão

out outin

in

f ff N 545,4N M f M 10 5

= ⇒ = = = =27

z

Os números 27 e 5 não têm divisores comuns (são primos entre si). Para funcionar é no entanto necessário garantir que a frequência desejada ( ) está dentro da banda de funcionamento do VCO, e que a frequência de corte do filtro passa-baixo seja inferior ao máximo admissível.

outf 5, 4 MH=





PARTE I

A. Medição do Ganho de Tensão de um Amplificador de Potência Na Fig. 1 em baixo está representada uma montagem destinada à medição do ganho de tensão de um amplificador de potência. A tensão vG é alternada sinusoidal. Os dois multímetros são instrumentos digitais de verdadeiro valor eficaz de 3 dígitos e meio. Obtiveram-se, para as melhores condições de medida, os resultados indicados na alínea 1).

Fig. 1 – Montagem para medição do ganho de um amplificador de potência.

Alcances dos voltímetros: 200 mV; 2 V; 20 V; 200 V.

1) O fabricante indica para a exactidão dos voltímetros (0,2% do alcance+3 dígitos). Os valores obtidos nos dois

voltímetros foram respectivamente V1ef = 1,000 V e V2ef = 02,53 V. Estime os valores dos erros máximos para cada um dos dois instrumentos.

2) A partir dos erros máximos calculados em 1) determine as incertezas (desvio padrão) das medidas de V1 e de V2, assumindo uma estatística com distribuição uniforme. A partir das incertezas de V1 e de V2 calcule a incerteza resultante para o ganho do amplificador Gv resultante do processo de medida.

3) A medida referida foi repetida, nas mesmas circunstâncias, para um número elevado de amplificadores. O valor médio dos ganhos medidos foi <Gv> = 2.5 e o desvio padrão (incerteza) foi u(Gv)=0.1. Qual a causa mais provável deste resultado? Nota: Se não resolveu 2) faça a incerteza do processo de medida u(GvMedida)=0,04.

B. Malha de Fase Síncrona (PLL) A Fig.2 representa uma malha de fase síncrona que utiliza um multiplicador de característica M I O , um oscilador sinusoidal de valor eficaz constante OefV controlado por tensão e um filtro passa-baixo de frequência de corte

. Considere uma situação em que a tensão de entrada é alternada sinusoidal na frequência de

( ) /10v v v= ×= 4 V

cf 10 kHz= Iv 600 kHzIf = e valor eficaz . 4 VIef

1) Considerando nula a fase na origem da tensão de entrada, determine a fase da tensão de saída e a tensão de comando do VCO na situação de sincronismo.

V =

2) Supondo a PLL ligeiramente assíncrona com 600 kHzIf = e 595 kHzVCOf = qual será a evolução temporal da tensão de comando do VCO? Escreva a expressão dessa tensão e represente-a graficamente.

3) Represente justificadamente o gráfico do espectro de potência (com frequências positivas e negativas) da tensão à saída do multiplicador, na situação da alínea 1).

Mv

Fig. 2 – (a) Constituição da PLL. (b) Característica do detector de fase. (c) Característica do VCO.

PARTE II

C. Conversor A/D de Dupla Rampa Na Fig.3 (a) está representado um conversor A/D de dupla rampa de alcance [0;10 V]. Na Fig.3 (b) representa-se a evolução temporal da tensão na saída do integrador, quando o valor analógico amostrado da tensão era igual ao limite superior do alcance, valendo 1 . Os tempos de subida e descida da tensão 2v são iguais para , valendo T

2v iv10 Viv v= = 1 10 Vv ≡ 1 = T2 = 5 ms,

a que correspondem 16.384 períodos do oscilador (T1 = T2 = 16.384 contagens).

Fig. 3 – Representação esquemática de um conversor A/D de dupla rampa.

1) Qual o número de bits do conversor e qual o valor de 1 LSB? 2) Qual o valor da tensão de referência VREF e qual o tempo máximo de aquisição? 3) Copie o gráfico da Fig. 1 (b) para a sua prova e sobre ele desenhe a evolução da tensão v2(t) que se obteria no caso de

. 1 5 Vv ≡4) Pretendendo adquirir um período de um sinal periódico com a frequência de 50 Hz, e com uma resolução de 99

pontos por período, determine a frequência de amostragem a utilizar e o tempo total de aquisição. (Nota: utilize sub-amostragem)

D. Transdutores Na Fig.4 está representada uma ponte de medida com quatro extensómetros. A ponte é alimentada por uma fonte de tensão sinusoidal de frequência f =1 kHz e valor eficaz Vef = 1 V. Para a montagem dada sabe-se que ΔV/V = ΔR/R. O amplificador de instrumentação (INA) tem um ganho no modo diferencial de Gd = 60 dB e um factor de rejeição de modo comum CMRR = 120 dB.

741INA 118

MUX - 16

LM 311

voRf

Cf

GF VVR

R

v1

1 2

3 4

(a) (b) Fig. 4 – (a) Ponte de extensómetros com detecção síncrona. (b) Barra com possibilidade de flexão nos dois sentidos.

1) Para uma variação relativa das resistências dos extensómetros calcule os valores eficazes das

contribuições de modo comum e de modo diferencial para a tensão de saída . / 0,2 %R RΔ =

1v

2) Sabendo que o valor médio de senx vale 2senx π= estime e represente graficamente em função da variação

relativa das resistências dos extensómetros ov

/R RΔ para . (Nota: Quando a saída do comparador é positiva a saída do ‘MUX-16’ liga a )

0,2 % / 0,2 %R R− <Δ <

1v3) Copie a Fig. 4 (b) para a sua prova. Junto a cada um dos extensómetros, representados por pequenos rectângulos,

indique o respectivo número de acordo com a Fig. 4 (a). Para a curvatura representada, qual o sinal algébrico de ? ov

Parte I Parte II A. B. C. D.

1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 4) 1) 2) 3) 2 2 1 2 1,5 1,5 1 1 2 1 2 2 1





PARTE I

A. Medição do Ganho de Tensão de um Amplificador de Potência

Fig. 1 – Montagem para medição do ganho de um amplificador de potência.

Alcances dos voltímetros: 200 mV; 2 V; 20 V; 200 V.

1) Dadas as leituras verificadas em V1 e em V2 os alcances nestes instrumentos são respectivamente 2 V e 20 V. O dígito

menos significativo corresponde a 1 mV em V1 e a 10 mV em V2. Assim, os erros máximos serão:

max 1

max 2

(V ) 0,002 2 3 0,001 0,007 V 7 mV(V ) 0,002 20 3 0,01 0,07 V 70 mV

ε = × + × = =

ε = × + × = =

2) Considerando que a distribuição estatística dos erros nos instrumentos é uniforme, o desvio padrão será dado por:

max 1 max 21 2

(V ) (V )u(V ) 4,04 mV u(V ) 40,4 mV

3 3ε ε

= = = =

Pela lei de propagação dos erros tem-se

22 2 22 2 2 2v v 2

v 1 2 121 2 11

2 2 6 2 6

G G V 1u(G ) u (V ) u (V ) u (V ) u (V )V V VV

2,53 4,04 10 1 40, 4 10 0,042− −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= × × + × × =

2 =

3) O desvio padrão (incerteza) foi u(Gv)=0.1, o que é significativamente suparior ao valor que pode ser atribuído a erros

de medida. A causa mais provável deste resultado é certamente o facto dos ganhos não serem exactamente iguais em todos os amplificadores sujeitos a medida.

B. Malha de Fase Síncrona (PLL)

Fig. 2 – (a) Constituição da PLL. (b) Característica do detector de fase. (c) Característica do VCO.

1) As tensões de entrada e de saída podem ser representadas por:

I Ief I

O Oef

v 2 v cos(2 f )

v 2 v cos(2 f

= × π + α

= × π + αO )

À saída do multiplicador tem-se:

[ ]Ief OefM I O

V Vv cos( ) cos(4 f

10= α −α + π + αI O )+α

e após o filtro a componente de frequência 2f será removida ficando nós com

Ief OefVCO I O I O

V Vv cos( ) 1,6 cos( )

10= α −α = × α −α

Para que o VCO oscile à frequência f=600 kHz, a sua tensão de entrada tem de valer, de acordo com o gráfico da Fig.2(c), VVCO=1 volt. Da expressão anterior obtemos o valor de Oα

I O I O1 1,6 cos( ) 51,3º= × α −α ⇒ α −α = ±Para decidir sobre o sinal de recorremos ao gráfico da Fig.2(b): Oα

I O I O O O Ofase de v - fase de v = = 0 <0 >0 =+51,3ºα −α −α ⇒ α ⇒ αO ponto de funcionamento tem de estar no ramo crescente da característica do detector de fase para que o sistema seja estável.

2) Supondo a PLL ligeiramente assíncrona com 600 kHzIf = e 595 kHzVCOf = a evolução temporal da tensão vM será

{ }

{ }

Ief OefM I VCO I O I VCO I O

3 6O O

V Vv cos[2 (f f ) ] cos[2 (f f ) ]

10

1,6 cos[2 5 10 ] cos[2 1,195 10 ]

= π − + α −α + π + +α +α =

= × π× × −α + π× × + α

Como só a baixa frequência passa no filtro a tensão de comando do VCO será uma tensão com 1,6 volt de amplitude e uma frequência de 5 kHz. Esta situação não é estável porque para que a frequência se mantivesse era necessário que a entrada do VCO se mantivesse constante com v

595 kHzVCOf =

VCO=0,95 volt. Como não é o caso a PLL deve sincronizar quando vVCO atingir o valor de 1 volt.

3) À saída do multiplicador, como se viu na alínea 1), temos uma tensão vM com uma componente DC e outra sinusoidal na frequência de 1,2 MHz. A componente DC é de 1 volt e a valor eficaz da componente alternada é de 1,6 / 2 1,13 V= e o seu quadrado vale 1,132=1,28 V2.

f / MHz1,2 -1,2

1,0

0,64

S(f) / V2

PARTE II

C. Conversor A/D de Dupla Rampa Na Fig.3 (a) está representado um conversor A/D de dupla rampa de alcance [0;10 V]. Na Fig.3 (b) representa-se a evolução temporal da tensão na saída do integrador, quando o valor analógico amostrado da tensão era igual ao limite superior do alcance, valendo 1 . Os tempos de subida e descida da tensão 2v são iguais para , valendo T

2v iv10 Viv v= = 1 10 Vv ≡ 1 = T2 = 5 ms,

a que correspondem 16.384 períodos do oscilador (T1 = T2 = 16.384 contagens).

Fig. 3 – Representação esquemática de um conversor A/D de dupla rampa.

1) Se o conversor pode fazer até 214 contagens trata-se de um conversor de 14 bits. 1 LSB será o intervalo em tensão

correspondente a uma contagem. Será portanto 14 1410 /(2 1) 10 / 2 610,35 V− ≈ = μ

2) Dada a forma da fig.3(b) que foi obtida para Vi=10 V, e uma vez que essa tensão é a máxima a aplicar, a tensão de referência será VREF=-10 V, porque T1=T2.

3) Como a tensão Vi é sempre integrada durante o mesmo tempo T1, quando Vi=5, a tensão V2 só atinge o valor de -5 V. Ao fim do tempo T1 o integrador passará a integrar a tensão de referência VREF=-10 V. O tempo T2 deve assim ser agora de T2=2,5 ms.

4) O período de um sinal com a frequência de 50 Hz vale T=20 ms. O tempo de aquisição do conversor é de ta=10 ms

(que corresponde ao máximo tempo de aquisição). A máxima frequência de aquisição só poderá ser fsmax=100 Hz. Utilizando sub-amostragem adquire-se um novo ponto em cada período do sinal de entrada. Adquirindo 99 pontos (ou melhor 100 pontos se queremos representar o sinal graficamente em que o centésimo ponto é uma repetição do primeiro) demoramos . O tempo de aquisição entre os 100 pontos adquiridos deve ser totT 100 20 ms 2 s= × =

T 100t T T em que T 20 ms99 99

Δ = + = =

A frequência de amostragem será assim

S99 1 99f 50

100 T 100= = × = 49,5 Hz

D. Transdutores

741INA 118

MUX - 16

LM 311

voRf

Cf

GF VVR

R

v1

1 2

3 4

(a) (b) Fig. 4 – (a) Ponte de extensómetros com detecção síncrona. (b) Barra com possibilidade de flexão nos dois sentidos.

1) Como e Vef=1 V teremos ΔVef=2 mV. Como Gd=1000 teremos para o modo diferencial

V/ / 0,2 Δ =Δ =V V R R %

%

1ef(dif)=2 V. A tensão de entrada no INA118 de modo comum vale meio volt. Como o ganho de modo comum está 120 dB abaixo do ganho de modo diferencial e este é de 60 dB, o ganho de modo comum será de -60 dB, ou seja uma atenuação de 1000 vezes. A tensão de saída do INA118 em modo comum será de V1ef(com)=0,5 mV.

2) Consideremos ΔR>0. Assim também ΔV/V>0 o que significa que ΔV está em fase com v(t). Quando a tensão do gerador de funções GF é positiva, a saída do comparador também é positiva e a saída do ‘MUX-16’ liga a . Quando a tensão do gerador de funções GF é negativa, a saída do comparador passa para zero volt e a saída do ‘MUX-16’ liga à saída do 741. Neste caso à saída do MUX aparece a tensão V

1v

1 rectificada positivamente. Para tem-se/ / 0,2 Δ =Δ =V V R R 1efV =2,0005 2 V≈ e 1M 1efV 2 V 2 2 2,83 = × = × = V . A tensão de saída VO

valerá 1ef2 / 2 V 1,8 Vπ× × = . Para ΔR<0 a tensão de saída VO será negativa, porque v1 fica em oposição de fase com o gerador GF e a tensão à saída do MUX só terá as alternâncias negativas.

t

Tensão de saída do MUX ΔR>0

ΔR/R (%)

0,2 −0,2

1,8

−1,8

VO/V

2,83 V 1,8 V

3) As resistências dos extensómetros que aumentam são as colocadas na parte convexa. Na figura seguinte mostram-se

quatro exemplos. Note-se que ΔR>0 significa que, de acordo com a Fig.4(a) do enunciado, que as resistências dos extensómetros 2 e 3 aumentam e que as dos extensómetros 1 e 4 diminuem.




Exame Escrito de 8 de Fevereiro de 2010

PARTE I

A. Medição de Impedâncias Para medir o valor do módulo de uma impedância à frequência f 1 kHz= utilizou-se um gerador de tensão alternada sinusoidal e dois multímetros digitais de 3½ dígitos. Alcances como voltímetro: 400 mV; 4 V; 40 V; 400 V. Alcances como amperímetro: 400 μA; 4 mA; 40 mA; 400 mA.

1) O fabricante indica para a exactidão do voltímetro

(1,2% da leitura+5 dígitos), e para o amperímetro (1,5% da leitura+10 dígitos). Os valores obtidos nos dois instrumentos foram respectivamente Vef = 10,00 V e Ief = 27,97 mA. Estime os valores dos erros máximos para cada um dos dois instrumentos. Voltímetro: Alcance: 40 V. Máxima leitura: 39,99 V Dígito menos significativo: 10 mV Erro máximo:

1,2 10 5 0,01 0,12 0,05 0,17 V100

× + × = + =

Amperímetro: Alcance: 40 mA. Máxima leitura: 39,99 mA Dígito menos significativo: 0,01 mA Erro máximo:

1,5 27,97 10 0,01 0,4196 0,1 0,520 mA100

× + × = + =

2) A partir dos erros máximos calculados em 1) determine as incertezas (desvio padrão) das medidas do voltímetro e do

amperímetro, assumindo para os erros uma estatística com distribuição uniforme. A partir dessas incertezas calcule a incerteza resultante para o valor do módulo da impedância. Para uma distribuição uniforme o desvio padrão é 3 vezes menor que o erro máximo:

30,17 0,520u(V) 98 10 V u(I) 0,3 mA3 3

−= = × = =

Estas incertezas propagam-se para o valor da impedância pela lei de propagação da incerteza para medidas de V e de I com erros não correlacionados estatisticamente:

222 22 2 2 ef

2ef ef

222 2

2

VZ Z 1u(Z) u (V) u (I) u (V) u (I)V I I I

1 10 0,098 0,0003 5, 2 0,02797 0,02797

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= × + × = Ω⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 =

3) A mesma impedância foi medida para uma gama de frequências e obtiveram-se os valores representados no gráfico da direita. Indique justificadamente uma configuração possível para a impedância Z. Note que o ângulo da impedância tende para −90º para as muito baixas e muito altas frequências.

A impedância tende, em módulo, para infinito nas muito baixas frequências, e com argumento (ângulo) de –90º o que indica que existe um condensador em série. A impedância tende, em módulo, para zero nas muito altas frequências, e com argumento (ângulo) de –90º o que indica que existe um caminho entre os terminais formado só por condensadores.

Uma possível configuração serão dois condensadores em série, um dos quais contornado por uma resistência.

B. Analisador de Espectros A figura em baixo representa a característica de um oscilador comandado por tensão (VCO) que é utilizado num analisador de espectros (AE) superheterodino, e ainda a característica do filtro passa-banda utilizado. O AE utiliza um conversor RMS-DC cuja tensão de saída é igual ao valor eficaz da tensão sinusoidal da entrada. Utiliza-se um osciloscópio em modo XY como equipamento de visualização. Não existem amplificadores adicionais.

fVCO/ kHz

vVCO/ V0 5 50

80

VO/ VI

f / kHz 50

5

0

1) Represente o diagrama de blocos do AE e diga qual a funcionalidade de cada bloco.

VCO

FPBd RMS-DC

GR CH X

CH Y vi M

vI – Tensão de entrada FPBd – Filtro passa-banda centrado a 50 kHz RMS-DC – Conversor RMS-DC GR – Gerador de rampas M – multiplicador

2) Pretende-se uma banda de visualização entre 10 e 20 kHz. Quais as frequências mínima e máxima do VCO?

Represente graficamente a forma de onda temporal da tensão de comando do VCO para obter um varrimento linear, não esquecendo de graduar os eixos. Para o eixo dos tempos escolha uma escala que lhe pareça apropriada para a visualização do espectro.

A frequência mínima do VCO deve ser e a máxima . Assim, para cada frequência do sinal de entrada situada dentro da banda de visualização , corresponderá sempre uma frequência do VCO tal que , que é a frequência central do filtro passa banda. Para obter um varrimento linear de frequência, a tensão de comando do VCO deve ser um dente de serra com uma tensão mínima de 1,67 V e máxima de 3,33 V.

mínVCOf 60 k= Hz Hzmá x

VCOf 70 k=

i10 f 20 kHz< <

VCO if f 50 kHz− =

vVCO / V

3,33

1,67

t / seg

0 10 20

3) Sabendo que o AE utiliza um multiplicador analógico cuja saída é igual ao produto das tensões de entrada dividido por 5, e tendo em conta o ganho do filtro na frequência central, qual o valor eficaz da tensão sinusoidal de saída do VCO de modo a que o espectro esteja graduado em valores eficazes.

1 2( ) ( ) ( ) / 5outv t v t v t= ×

Supondo a tensão de entrada alternada sinusoidal de valor eficaz , iv iefV 2 cos(2i iefv V f= )i tπ e sendo a tensão de saída

do VCO também sinusoidal de valor eficaz , VCOefV 2 cos(2VCO VCOef VCOv V f= π )t , tem-se na saída do multiplicador a tensão

[ ]cos(2 ( ) ) cos(2 ( ) )5 5

ief VCOefi VCOM i VCO i VCO

V Vv vv f f t

××= = π − + π +f f t

Na saída do filtro passa-banda tem-se tensão quando | . Atendendo ainda ao ganho do filtro | 50 kHzi VCOf f− = 5FG =

3cos(2 50 10 )5

ief VCOefFPBd F

V Vv G

×= × π× × t

Na saída do conversor RMS-DC tem-se a tensão contínua 2

ief VCOefRMS DC

V VV −

×= .

Para que o espectro seja graduado em valores eficazes terá de ser RMS DC iefV − =V , o que obriga que o valor eficaz da

tensão de saída do VCO seja 2 1,41 VVCOefV = = .

PARTE II

C. Conversor A/D de Dupla Rampa Na figura seguinte está representado um conversor A/D de dupla rampa de alcance [0;10 V] de 12 bits. Na figura também se representa à direita, a evolução temporal da tensão na saída do integrador, quando o valor analógico amostrado da tensão

era igual ao limite superior do alcance, valendo . Os tempos de subida e descida da tensão são iguais para , valendo T

2viv 1 iv v 10 V= = 2v

1v 10 V= 1 = T2 = 1 ms.

1) Qual o valor de 1 LSB, qual o valor da tensão de referência VREF e qual a máxima frequência de aquisição? Dado o alcance do conversor e o facto de ser de 12 bits, tem-se para 1 LSB

12101 0, (002442) V 2,44 mV

2 1LSB = = ≈

−.

Como o máximo tempo de aquisição ocorre quando a tensão amostrada é o limite da banda e esse tempo é de 2 ms, a máxima frequência de aquisição será de .

10 Viv =500 HzSmáxf =

2) Copie o gráfico de v2(t) para a sua prova e sobre ele desenhe a evolução da tensão v2(t) que se obteria no caso de

vi = 5 V. Para esse valor de vi qual o número de contagens expectável no contador e qual o tempo de aquisição? Durante o tempo T1 o integrador terá como tensão de entrada . Após T1 5 Vv = 1, o integrador terá como tensão de entrada

. Assim a tensão evolui como se representa no gráfico seguinte: 1 10 VREFv V= = − 2v

A contagem de tempo para o intervalo T1 é sempre a mesma correspondendo a contagens. Para o tempo T122 4.096= 2 o número de contagens para o caso de , será metade: contagens. A aquisição demora 1,5 ms como se vê no gráfico em cima.

1 5 Vv = 112 2.04= 8

3) Indique qual o motivo que faz com que este conversor não seja muito sensível à exactidão dos valores de R e de C. Este conversor não é muito sensível à exactidão dos valores de R e de C porque isso influencia igualmente os tempos T1 e T2, e portanto as contagens durante esses dois tempos. O resultado da digitalização depende da relação , ou seja da relação das duas contagens, .

2 1/T T

2 1/N N

D. Transdutores Na figura em baixo está representada um LVDT cujo enrolamento primário é alimentado por uma tensão alternada sinusoidal na frequência e valor eficaz , para a qual se verifica que a tensão primária está em fase ou oposição com a tensão secundária . Também estão representados o valor eficaz de e a diferença de fase entre e como função da posição x do LVDT.

4 kHzf = Ief 5 VV = iv1 2ov v v= − ov ov iv

vi

x

vO=v1-v2

v2

v1x / cm

V0ef / V

0 5-5

5

arg{V0} / º

x / cm0

180º va

vb

va vb10

1) Diga como construiria um circuito electrónico para desmodular a tensão de saída (obter uma tensão DC positiva

quando x>0 e negativa quando x<0). Para o efeito dispõe de um circuito multiplicador (multiplica os valores instantâneos das entradas e divide o resultado por 10), e de um filtro passa-baixo com um ganho na banda passante tal que na sua saída se tenha uma sensibilidade de 1 V/cm. Desenhe o circuito na prova e explique o seu funcionamento. Atribua um valor numérico aos componentes (resistências, condensadores) que utilizar.

Sendo a tensão aplicada ao primário ( ) 2 cos(2 )i Iefv t V f t= × π e a tensão no secundário do LVDT dada por

( ) 2 cos(2 )o Oefv t V f t= × π +ϕ em que 0ºϕ = ou 180ºϕ = tem-se na saída do multiplicador a tensão

( ) ( )cos( ) cos(2 2 )

10 10 10Ief Oef Ief Oefi o V V V Vv t v t

f t× ××

= ϕ + π× +ϕ

Esta tensão tem uma componente contínua e outra da frequência 2 f . O filtro retira a componente de frequência 2 f . Supondo 0ϕ = e sendo , tem-se na entrada do filtro uma tensão cuja componente contínua vale 5 VIefV =

5cos(0)10 10 2

Ief Oef OefOef

V V VV

×= =

Como a sensibilidade do próprio LVDT é de 1V/cm o filtro deve ter um ganho . O sinal “menos” aparece porque quando x<0 pretendemos V

2 V/VFG = −

S<0 e quando x>0 pretendemos VS>0. O filtro representado na figura envolve a utilização de um AMPOP, cujo ganho é

2

1F

ZG

Z= − , sendo 2Z o paralelo de C com Rp e 1Z R= . Podemos então calcular GF:

2

1 1 2

1 1 1(1/ )F

ZG

RZ Z Y R Rp j C j RCRp

= − = − = − = −+ ω + ω

Nas baixas frequências e para a componente DC o ganho vale 0

lim FRpGRω→

= − . Pretendemos portanto 2Rp R= . O pólo

verifica-se para a frequência 1/p RpCω = . Escolhendo a frequência de corte a 40 Hz, podemos

escolher para R o valor , ficando

-12 40 251,3 spω = π× =

100 kR = Ω 200 kRp = Ω e 19,9 nFC = .

2) Explique o princípio de funcionamento do LVDT. Ver apontamentos e acetatos. 3) Qual a razão de se operar numa frequência em que a tensão primária está em fase (ou oposição) com a secundária?

Qual a consequência de existir uma diferença de fase diferente de 0º ou 180º entre as tensões primária e secundária do LVDT ( )? Justifique. arg{ } arg{ } ( ) 0º 180ºo iV V f x− = ≠ ∨

Se o ângulo de fase em relativamente a variar com x duma forma diferente da dada, a tensão de saída envolverá um factor . Isto implica uma não-linearidade na resposta.

( )ov t ( )iv tcos( ) 1ϕ ≠ ±





PARTE I

A. Medição de Impedâncias Para medir o valor do módulo de uma impedância à frequência f 2 kHz= utilizou-se um gerador de tensão alternada sinusoidal, dois multímetros digitais de 3½ dígitos e um wattímetro digital. Alcances como voltímetro: 400 mV; 4 V; 40 V; 400 V. Alcances como amperímetro: 400 μA; 4 mA; 40 mA; 400 mA.

1) O fabricante indica para a exactidão do voltímetro

(1,2% da leitura+5 dígitos), e para o amperímetro (1,5% da leitura+10 dígitos). Os valores obtidos nos dois instrumentos foram respectivamente Vef = 5,00 V e Ief = 7,09 mA. Estime os valores dos erros máximos para cada um dos dois instrumentos.

2) A partir dos erros máximos calculados em 1) determine as incertezas (desvio padrão) das medidas do voltímetro e do amperímetro, assumindo uma estatística com distribuição uniforme. A partir dessas incertezas calcule a incerteza padrão resultante para o valor do módulo da impedância.

3) A mesma impedância foi medida para uma gama de frequências e obtiveram-se os valores representados no gráfico da esquerda. Indique justificadamente uma

configuração possível para a impedância Z. Qual o valor que previsivelmente o wattímetro indica para f 2 kHz= ?

A. Resolução 1) A leitura do voltímetro vale Vef = 5,00 V. Encontra-se no alcance de 40 V. O dígito menos significativo representa as dezenas de milivolt. Assim:

1,2( ) 5 5 0,01 0,06 0,05 0,11 V100máx Vε = × + × = + =

A leitura do amperímetro vale Ief = 7,09 mA. Encontra-se no alcance de 40 mA. O dígito menos significativo representa variações 0,01 mA. Assim:

1,5( ) 7,09 10 0,01 0,106 0,1 0,206 mA100máx Iε = × + × = + =

2) ( ) ( )( ) 63,5 mV ( ) 0,119 mA3 3

máx máxV Iu V u Iε ε= = = =

22 222 2 2

2 21 1 5( ) ( ) ( ) 0,0635 0,000119

0,00709 0,00709

80,215 140,1 14,84

ef

ef ef

Vu Z u V u I

I I

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= + = × + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + = Ω

2

705, 22 14,84 705, 22 14,84 690,4 720,1

ZZ

− ≤ ≤ +≤ ≤ Ω

nível de confiança de 68%.

3) Tudo indica que se trata de uma resistência em paralelo com um condensador. A impedância é óhmica nas muito baixas frequências e é um curto-circuito capacitivo (ϕ = −90º) nas muito altas frequências. Para a frequência de f = 2 kHz, o ângulo da impedância vale (ϕ = −45º), o que indica que nessa frequência R=1/ωC. Pode assim determinar-se que C=80 nF, pois que R=1 kΩ. O wattímetro medirá cos 5 7,09 0,707 25 mWef efP V I= ϕ = × × ≈

Note-se no entanto que a potência activa, dada a configuração do circuito será sempre de 25 mW pois só a resistência consome energia. Ora uma tensão eficaz de 5 V aplicada a uma resistência de 1 kΩ conduz sempre à potência de dissipação de 25 mW, independentemente da frequência.

5VR C

B. Analisador Espectral A figura em baixo representa o espectro obtido com um analisador espectral com uma largura de banda de visualização de LBAE=20 kHz. O sinal analisado é uma sucessão de impulsos rectangulares positivos de período T e largura Δt e no espectro está representada a componente contínua.

1) Represente o diagrama de blocos de um analisador espectral (AE) capaz de produzir o resultado representado. Sabendo que a frequência central do filtro passa-banda é fIF=50 kHz qual a banda de frequências varrida pelo VCO?

2) Sendo ε=Δt/T o ciclo de trabalho, diga justificadamente qual o espectro resultante do ciclo de trabalho passar de ε para 1-ε.

3) Utilizou-se um voltímetro digital para medir a tensão do sinal, tendo-se obtido na medida em DC o valor VDC=2,5 V e na medida em AC o valor VAC=4,33 V. Qual a frequência dos impulsos, qual a sua amplitude e qual a sua largura temporal Δt ?

B. Resolução 1) Tratando-se de um analisador espectral de tipo modular o seu diagrama de blocos é tipo. (Ver acetatos das aulas teóricas). Quanto às frequências varridas pelo VCO, teremos uma fVCOmín=50 kHz e fVCOmáx=70 kHz, para que a banda de visualização esteja na banda [0:20] kHz. 2) A figura seguinte representa dois sinais com ciclos de trabalho complementares:

De um sinal para o outro muda a componente contínua e a parte alternada é invertida. Como o espectro não representa a fase só a componente contínua iria ser diferente, VDC=7,5 V. 3) Directamente do espectro pode obter-se a frequência do sinal f = 1 KHz, e que corresponde à distância entre as riscas do espectro. Sendo a separação entre os zeros do espectro igual a 4f=1/Δt, e sendo o período do sinal T=1/f tem-se Δt/T=1/4. Assim o ciclo de trabalho será ¼ ou seja 25%. Para determinar a amplitude dos impulsos basta verificar que VDC=Δt/T*Vmáx, ou seja Vmáx=2,5/0,25=10 V. A informação dada é redundante. O valor eficaz da parte AC é dado, mas podia ser

determinado. Assim, o valor médio do quadrado do sinal pode ser determinado verificando que ele se anula durante 75% do tempo e vale Vmáx=10 V durante 25% do tempo. Logo

2 2 2

2 2

( ) 0,75 0 0,25 10 25 ( ) 25 5 V

5 2.5 4,33 V

AC DC

AC

s t V s t

V

+< >= × + × = ⇒ = < > = =

= − =

PARTE II

C. Atenuador Programável

A figura seguinte representa um atenuador programável comandado por uma palavra digital com 2 bits.

1) Diga, justificadamente, se a corrente nas quatro

resistências da cadeia depende dos valores dos bits da palavra digital.

2) Quais os valores da atenuação para cada uma das quatro configurações da palavra digital (b1 b2)?

3) Como alteraria o circuito dado de modo a transformá-lo num amplificador programável?

C. Resolução 1) A corrente nas resistências não depende da posição dos interruptores porque quando na posição 0 ligam directamente à massa, e na posição 1 ligam à entrada (−) do AMPOP que também está virtualmente à massa.

2) A corrente na resistência 2R ligada ao interruptor b1 vale VI/2R. A corrente na resistência 2R ligada ao interruptor b2 vale metade disso ou seja VI/4R. A corrente na resistência 2R que não está ligada a qualquer interruptor vale também VI/4R. A corrente na resistência R de “feedback” do AMPOP vale

1 22 4 4I I I

fV V VI b bR R R

= + +

A tensão VO será dada por:

1 2 1 21 1 2 4 4 2 4 4

OO f I

I

Vb b b bV RI VV

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − + + ⇒ = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Para as quatro combinações dos dois bits tem-se: b1 b2 |VO/VI| 0 0 ¼ 0 1 ½ 1 0 ¾ 11 1

3) A solução mais simples seria modificar o valor da resistência de “feedback” de R para, por exemplo 4R. Os ganhos seriam 4 vezes maiores, ou seja amplificações:

b1 b2 |VO/VI| 0 0 1 0 1 2 1 0 3 11 4

A solução mais geral consiste em colocar a cadeia R/2R a servir de resistência de retroacção:

1 2

1 1

2 4 41

12 4 4

O O O IC

O

I

V V V Vi b bR R R

Vb bV

R= + + = −

= −+ +

Nesta configuração os ganhos seriam:

b1 b2 |VO/VI| 0 0 4 0 1 2 1 0 4/3 11 1

D. Transdutor de Extensómetros

Na figura em baixo está representada uma ponte de medida com quatro extensómetros. A montagem destina-se a medir a deformação de uma barra. A ponte é alimentada por uma fonte de tensão contínua V = 1 V. Para a montagem dada sabe-se que ΔV/V = ΔR/R. O amplificador operacional em montagem de diferença tem um ganho no modo diferencial de Gd = 60 dB e um factor de rejeição de modo comum CMRR = 70 dB.

1) Para uma variação relativa das resistências dos extensómetros Δ = calcule quais as contribuições de modo comum e de modo diferencial para a tensão de saída V .

/ 0,2 %R R

O

2) Calcule e represente graficamente V em função da variação relativa das resistências dos extensómetros O /R RΔ para . 0,2 % / 0,2 %R R− < Δ <

3) Copie a parte (b) da figura para a sua prova. Junto a cada um dos extensómetros, representados por pequenos rectângulos, indique uma configuração possível para a montagem dos extensómetros, indicando o respectivo número de acordo com a parte (a) da figura. Para a curvatura representada, e para a configuração escolhida, qual o sinal algébrico de vo?

D. Resolução 1) Como ΔR/R=ΔV/V tem-se ΔV/V=0,2%. Para V = 1 V será ΔV=2 mV. À saída da ponte tem-se uma tensão de modo comum de muito aproximadamente VMC=0,5 V e uma tensão de modo diferencial de VMD=2 mV. O ganho de modo diferencial é de 60 dB, ou seja mil vezes (GD=1000). Assim, a tensão de modo diferencial à saída será VOMD= −2 V. Para um factor de rejeição de modo comum de 70 dB, o ganho em modo comum será de 60−70 = −10 dB, ou seja uma atenuação de 0,316 (GC=0,316). A tensão de modo comum à saída valerá aproximadamente VOMC= 0,158 V. A tensão na saída será VO=−1,842 V.

2) À saída da ponte tem-se que enquanto a tensão de modo comum é sempre a mesma (VMC=0,5 V), a tensão de modo diferencial varia: −2 < VMD< +2 mV. Assim tem-se 0,316 0,5 1000 0,158 1000O C MC D MD MD MV G V G V V V= + = × − × = − × D

3) Os extensómetros 1 e 4 devem estar do mesmo lado. Supondo que estavam em cima (2 e 3 em baixo), tem-se ΔV<0 e VO>0. Trocando os extensómetros ter-se-á, em princípio, VO<0, com excepção das muito pequenas deformações em que isso pode não ocorrer (zona com ΔR/R>0 junto à origem).

Parte I 11 val. Parte II A. 5,5 val. B. 5,5 val. C. 4 val. D. 5 val. 1) 2 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 2 2 1,5 2 2 1,5 1,5 1,5 1 2 1,5 1,5





PARTE I


A. Medição de Impedâncias

Para medir uma impedância na gama de frequências 510 f 10 Hz utilizou-se um gerador de tensão alternada sinusoidal, um

voltímetro electrónico, um amperímetro de 3½ dígitos e um wattímetro digital.

Alcances do voltímetro: 4 V; 40 V; 400 V. Alcances do amperímetro: 40 mA; 400 mA ; 4 A.

A tensão aplicada, de valor eficaz 5 VGefU , foi monitorizada

pelo voltímetro electrónico, de classe de precisão CL=0,1. A

corrente foi medida em modo AC pelo amperímetro digital cuja

exactidão é de 1,5% da leitura+10 dígitos.

1) Para a frequência 100 Hzf os valores obtidos nos

dois instrumentos foram respectivamente Vef = 5,0 V e

Ief =50,0 mA. Estime os valores dos erros máximos para cada

um dos dois instrumentos.

A tensão do gerador foi medida pelo voltímetro electrónico no

alcnce de 40 V. O erro máximo será 0,1% do alcance:

єmax(V)=40 mV

A corrente foi medida pelo multímetro no alcance de

400 mA. 1,5% da leitura será 0,75 mA eo dígito menos

significativo corresponde a 0,1 mA. 10 dígitos correspondem a 1 mA. Somando as duas componentes do erro teremos

єmax(I)=0,75+1=1,75 mA.

2) Descreva o princípio de funcionamento de um voltímetro electrónico (NOT

TRUE RMS), e represente o respectivo diagrama.

No voltímetro electrónico utiliza-se um amplificador operacional com realimentação

negativa como se representa na figura da esquerda. A componente alternada da tensão de

entrada será igual à tensão na resistência de amostragem da corrente que circula num

quadro móvel com rectificação. O quadro móvel reage ao valor médio do módulo da

corrente. O instrumento funciona assim como um voltímetro “not true RMS”, medindo o

valor eficaz de tensões alternadas sinusoidais, sendo o factor de forma introduzido na

escala.

3) O wattímetro digital registou sempre a mesma medida de potência activa 250 mWaP , em toda a gama de

frequências. Indique justificadamente uma configuração possível para a impedância Z.

Na gama baixa de frequências a impedância comporta-se como uma resistência de 100 ohm, pois a intensidade da corrente não

varia com a frequência. Na gama alta de frequências a corrente aumenta com a frequência o que sugere que existe um

condensador em paralelo com a resistência. Assim a potência activa não varia com a frequência porque a resistência terá

sempre a mesma tensão aos terminais, tal como o condensador. No entanto, este último não consome energia, como é sabido.

101

102

103

104

105

0

100

200

300

400

500

frequência / Hz

I ef /

mA

ue

+Vcc

-Vcc

+

-

-+

Condensador de bloqueio

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

frequência / kHzT

en

sã

o / V

RM

S

1

2

B. Análise Espectral

As tensões ( )s t e ( )p t têm valores eficazes 0,8 voltefS e 1,0 voltefP e frequências 1 kHzSf e 10 kHzPf . Utilizou-

se um multiplicador para obter a tensão ( ) [1,5 ( )] ( )m t s t p t . ( ) 2 cos(2 ) ; ( ) 2 cos(2 )ef S ef Ps t S f t p t P f t

Utilizou-se um analisador de espectros de valor eficaz e obteve-se a curva 1 representada na figura.

1) Represente o diagrama de blocos de um

analisador espectral (AE) capaz de produzir o

resultado representado. Sabe-se que o AE contém

um filtro passa-banda cuja frequência central é

20 kHzIf . Inclua no diagrama a banda de

frequências varridas pelo oscilador local e uma

estimativa da largura de banda do filtro passa-

banda, justificando os resultados apresentados.

O analisador de espectros em questão será, em princípio,

do tipo modular como o que constitui o respectivo trabalho

laboratorial desta disciplina. A largura de banda do filtro

algo superior a 500 Hz de acordo com a largura da curva 1,

no nível de meia potência, i.e. 0,707 do valor máximo.

Admitamos que a largura é exactamente de 500 Hz. Assim

o factor de qualidade do mesmo será igual à frequência

central a dividir pela largura de banda Q=20/0,5=40.

VCO

Filtro passa banda

t

VVCO

Amplificador CRT

Detector RMS / DC

Amplificador

fIF=20 kHz

(fVCO)min=25 kHz

(fVCO)max=35 kHz

(fVCO)min+LBVISUALIZAÇÃO

Filtro passa baixo 15

kHz

LBAE

2) O AE foi modificado, de modo a obter riscas mais estreitas, e obteve-se o resultado representado pela curva 2.

Sabendo que o factor de qualidade dos filtros não foi pôde ser aumentado, qual teria sido essa alteração?

A alteração consiste na introdução de um andar de heterodinização, constituído por um oscilador de frequência fixa (por

exemplo fIF2=19 kHz) cuja saída é multiplicada pela saída do filtro anterior. Aparecem as frequências 20+19 e 20-19 kHz.

Adiciona-se um novo filtro passa banda sintonizado para a frequência diferença (1 kHz). Se este filtro for do tipo do anterior,

com factor de qualidade também aproximadamente igual a Q=40, a sua largura de banda será 1/40 kHz=25 Hz.

VCO

Filtro passa banda

t

VVCO

Amplificador CRT

Detector RMS / DC

Amplificador

fIF=20 kHz

Filtro passa baixo 15

kHz

LBAE

Filtro passa banda

fIF=1 kHz

fOSC=19 kHz

(fVCO)min=25 kHz

(fVCO)max=35 kHz

(fVCO)min+LBVISUALIZAÇÃO

3) O sinal ( )m t foi amostrado para posterior obtenção do espectro unilateral (só frequências positivas). Utilizou-se a

frequência de amostragem 15 kHzAf . Represente numa figura o espectro que se obteria por utilização da

transformada discreta de Fourier (implementação FFT) .

O espectro do sinal m(t) contém as frequências 9 10 e 11 kHz. No entanto a frequência de amostragem não verifica o critério

de Nyquist para qualquer destas frequências. No espectro obtido através da FFT irão aparecer as frequências espelhadas

relativamente a / 2 7,5 kHzAf . Essas frequências serão 4 5 e 6 kHz.

fA/2f / kHz

7,5 9 10 11654

PARTE II

C. Conversor A/D

A figura em baixo à esquerda representa um conversor simultâneo de 8 bit.

1) Quantos comparadores (N) e qual a expressão geral das tensões ( 1,..., )kV k N

necessárias para comparação com a tensão iV a digitalizar, para um alcance unipolar

FS=5,1 volt? (Nota: Considere que o último nível é igual ao alcance VN=FS) Como se

podem obter essas tensões? Quanto vale 1 LSB?

Um conversor de 8 bit terá 28-1=255 comparadores. 1 LSB=5,1/255= 20 mV.

As tensões Vk=20×10-3

k, k=1,…,255. Podem obter-se aplicando a tensão de 5,1 volt no

último nível e inserindo 255 resistências iguais entre os terminais de entrada para assim

obter uma divisão potenciométrica. A última resistência estará ligada entre o terminal V1

e a massa de referência.

2) Defina alcance dinâmico de um conversor A/D. Qual o alcance dinâmico do

conversor atrás referido? Será este conversor apropriado para um osciloscópio digital?

O alcance dinâmico é a razão entre o maior e o menor nível de tensão a digitalizar. Num conversor de 8 bit essa relação é igual

a 28-1. Em dB esse alcance dinâmico será DR=20×log10(255)=48 dB.

Um conversor deste tipo é apropriado para um osciloscópio digital cujo visor contenha 256 pixel na dimensão vertical. Além

disso este tipo de conversor permite frequências elevadas de aquisição, superiores a 1 GS/s.

3) O conversor acima referido é utilizado num osciloscópio digital. A máxima frequência de aquisição do osciloscópio é

FSmáx= 1 GS/s, a largura de banda vale B=100 MHz e cada registo correspondente a uma curva no visor contém

N=2500 pontos. Pretende-se visualizar uma “forma de onda” correspondente a uma tensão sinusoidal na frequência

f=1,0 kHz de amplitude A=2 volt. Seleccionou-se a base de tempo de 1μs/div e o visor contém 10 divisões. Qual a

frequência de aquisição seleccionada pelo osciloscópio? Estará o osciloscópio bem configurado?

A frequência de aquisição usada pelo osciloscópio só depende da base de tempo seleccionada pelo operador. O operador

escolheu a base de tempo de 1μs/div. Como o visor tem 10 divisões horizontais, o conversor deve seleccionar a frequência

de amostragem que adquire as 2500 amostras do registo em 10 μs, o que corresponde a 250 MS/s.

Considerando que se pretende visualizar a “forma de onda” a 1 kHz, a base de tempo não está bem configurada porque

durante os 10 μs de varrimento horizontal só será visualizado 1% de um período da curva pretendida.

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

frequência / kHz

Tensão /

VR

MS

+

+

+

+

Des

cod

ific

ado

r

V1

V2

Vi

VN

VN-1

D. Malha de Fase Síncrona

Na figura está representada uma malha de fase síncrona. A tensão de entrada é gerada por um oscilador de onda quadrada SQ1.

A malha contém internamente o oscilador de onda quadrada SQ2, comandado pela tensão V2. O detector de fase é do tipo

XOR, cuja característica também está representada em baixo conjuntamente com a característica do gerador SQ2. A tensão V2,

de comando de SQ2 é a soma da tensão de saída do filtro passa-baixo VD com a tensão contínua e ajustável VC. Na zona linear,

a característica de SQ2 pode ser expressa por 2 2200 40 (frequência em kHz, tensão em volt)f V .

Δϕ / graus

vD / V+5

+180-180

400

300

2005

f2 / kHz

V2 / volt

0

SQ1

DF FPB Σ SQ2

VD V2

VC

f1f2

1) Considere VC=0. No caso de sincronismo, determine a diferença de fase ∆ϕ entre as duas entradas do detector de fase,

a tensão VD=V2 à saída do detector de fase, para as frequências de entrada f1=400 kHz, f1=300 kHz e f1=150 kHz.

Para f1=400 kHz a tensão V2 será V2=5 volt. A saída de SQ2 estará atrasada de 180 graus.

Para f1=300 kHz a tensão V2 será V2=2,5 volt. A saída de SQ2 estará atrasada de 90 graus.

Para f1=150 kHz a tensão V2 seria V2=-1,25 volt. Com VC=0 a malha não sincroniza.

2) Repita a alínea anterior, mas considerando VC= 2,5 volt.

Para f1=400 kHz a tensão V2 será V2=5 volt. Com Vc= 2,5 volt necessita-se VD=2,5 volt. A saída de SQ2 estará atrasada de 90

graus.

Para f1=300 kHz a tensão V2 será V2=2,5 volt. Com Vc= 2,5 volt tem-se VD=0 volt. A saída de SQ2 estará em fase com a de

SQ1.

Para f1=150 kHz a tensão V2 será V2=-1,25 volt. Com Vc= 2,5 volt tem-se VD= -3,75 volt. Isso não é possível e a malha não

sincroniza.

3) Pretende-se não só obter o sincronismo da malha, mas também garantir uma diferença de fase nula entre os dois

osciladores. Qual a relação entre VC e a frequência de sincronismo para realizar esse objectivo?

Com diferença de fase nula tem-se VD≡0 volt. Assim V2=VC. Assim f2=200+40×VC ou VC=(f2-200)/40. Para as frequência

entre 150 e 400 kHz existe uma tensão VC no intervalo -1,25<VC<5 volt que verifica aquela pretensão.

Parte I 11 val. Parte II 9 val.

A. 5,5 val. B. 5,5 val. C. 5 val. D. 4 val.

1) 2 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3)

2 2 1,5 2,5 1,5 1,5 2 1,5 1,5 2 1 1





PARTE I



Para medir uma impedância na frequência f=1,0 kHz utilizou-se um gerador de tensão alternada sinusoidal, um voltímetro e

um amperímetro digitais de 3½ dígitos. Para qualquer dos dois instrumentos o erro máximo de medida corresponde a 2% da

leitura mais 5 dígitos.

Alcances do voltímetro: 4 V; 40 V; 400 V. Alcances do amperímetro: 40 mA; 400 mA ; 4 A.

Z

A

V Z

A

VMontagem # 1 Montagem # 2

Montagem Vef / V Ief / mA

# 1 9,12 231,4

# 2 10,00 230,7

Foram utilizadas as duas montagens representadas em cima para a

medição da impedância à frequência de 1,0 kHz e obtiveram-se os

resultados representados na tabela para a mesma tensão aplicada

pelo gerador.

1) De acordo com os resultados representados, escolha a configuração que minimiza o efeito de carga dos instrumentos,

e para essa montagem calcule os erros máximos da medida de tensão e de corrente e o valor esperado da impedância.

Tendo em conta os erros máximos, qual dos dois instrumentos contribui mais para o erro resultante da impedância?

Para a mesma tensão aplicada pelo gerador a tensão medida pelo voltímetro teve uma variação de 8,8% enquanto a corrente

medida pelo amperímetro variou de 0,3%. O efeito de carga do amperímetro é muito maior do que o do voltímetro. A melhor

montagem será a #1.

É necessário começar por calcular os erros máximos (2% da leitura + 5 dígitos):

Voltímetro: emax(V)=2/100*9,12+5*0,01=0,182+0,05=0,232 V

Amperímetro: emax(I)=2/100*231,4+5*0,1=4,63+0,5=5,13 mA

Valor esperado da impedância= 9,12/0,2314=39,41 ohm

As contribuições para o erro podem ser comparadas através de:

max max 3

3

max max2 3 2

1 1( ) ( ) 0,232 1,00 V/A

231,4 10

9,12( ) ( ) 5,13 10 0,874 V/A

(231,4 10 )

Ze V e V

V I

Z Ve I e I

I I

Conclui-se que o erro de medida do voltímetro se reflecte um pouco mais na medida da impedância

2) Utilizou-se um medidor RLC para a determinação de uma impedância equivalente na forma RSCS-série à frequência

de 1,0 kHz tendo-se obtido os valores RS=37,51 Ω e CS=12,73 μF. Qual a relação destes valores com a impedância

medida anteriormente? Repetindo a mesma medida a outras frequências, em que condições se obteria o mesmo

resultado?

A relação destes valores com a impedância medida a 1 KHz é uma igualdada da impedância real medida com a impedância do

circuito RS,CS-série àquela frequência.

6

1 137,51 37,51 12,50 (39,54 18,43º )

2 1000 12,73 10S

S

R j j jC

Se o resultado se repetisse a outras frequências, o circuito real seria de facto composto por uma resistência em série com um

condensador. Não é o que acontece neste caso.

0

-5

-10

-15

-20

-25

ϕ

|Z|

Arg

{Z}

/ gr

aus

3) O gráfico representado em cima à esquerda foi obtido automaticamente. De acordo com o resultado representado qual

a configuração previsível da impedância Z?

Uma configuração possível será a formada por duas resistências em série, uma das quais é contornada por um condensador.

Assim a impedância será óhmica tanto no limite das baixas frequências como das altas frequências.

R1 R2

C

1 2 10

lim limf f

Z R R Z R


A figura em baixo representa o espectro obtido com um analisador analógico convencional de uma tensão eléctrica periódica e

quadrada de frequência f=500 Hz e valor eficaz Vef=10 V.

1) Represente o diagrama de blocos de um analisador espectral

(AE) capaz de produzir o resultado representado. Sabe-se que

o AE contém um filtro passa-banda cuja frequência central é

10 kHzIf . Inclua no diagrama a banda de frequências

varridas pelo oscilador local, justificando os resultados

apresentados.

Ver o diagrama nos acetatos das aulas teóricas. Inserir um filtro “anti-

alising” na entrada. As frequências varridas pelo VCO estarão no

intervalo [10:15] kHz.

2) Qual a alteração que se observaria no espectro se a frequência

de varrimento do oscilador local (VCO) estivesse no intervalo

[5;10] kHz?

Com filtro anti-alising na entrada verificar-se-ia o mesmo espectro, mas invertido. A frequência 5 KHz aparecia como 0 kHz e

a frequência 0 KHz aparecia como 5 kHz.

3) Supondo que não existe um filtro “anti-aliasing”, pode ocorrer alguma incorrecção no espectro quando se analisa uma

tensão quadrada como a que é dada?

Sim, embora o erro seja muito ligeiro. AS frequências entre 20 e 25 kHz vão sobrepor-se no espectro.

Por exemplo, no espectro da onda quadrada a harmónica 41 na frequência 20,5 kHz aparece sobreposta à harmónica

fundamental 1 (0,5 kHz) porque

Harmónica 1 (0,5 kHz) para fVCO=10,5 kHz 10,5-0,5=10 logo passa no filtro de banda.

Harmónica 41 (20,5 kHz) para fVCO=10,5 kHz 20,5-10,5=10 logo passa no filtro de banda.

As outras sobreposições de harmónicas seriam: 3 com 43, 5 com 45, 7 com 47 e 9 com 49.

A influência é, neste caso, muito pequena devido à atenuação das harmónicas com 1/n.

PARTE II

C. Conversor A/D

Considere um conversor A/D bipolar, de aproximações sucessivas, de 12 bit.

1) Desenhe o esquema de blocos e explique o modo de funcionamento do conversor analógico/digital de aproximações

sucessivas.

Um controlador vai colocando sucessivamente os bits da palavra digital com o valor 1, evoluindo do bit mais significativo

para o menos significativo. A palavra digital que vai senso assim construída é convertida em valores analógicos que são

comparados com a tensão de entrada a digitalizar. Caso a tensão de entrada seja ultrapassada, o bit em questão é colocado

com o valor 0. No caso contrário ficará o valor 1. O processo evolui até se chegar ao bit menos significativo.

2) Considerando que o alcance do referido conversor é igual a [-10;+10] volt calcule quais os primeiros 5 bits que

ocorrem na conversão da tensão Vi 2,3 V.

# ordem salto Valor em teste Valor adquirido Bit

-10

1 10 0 -10 0

2 5 -5 -5 1

3 2,5 -2,5 -2,5 1

4 1,25 -1,25 -2,5 0

5 0,625 -1,875 -2,5 0

6 0,3125 -2,1875 -2,5 0

7 0,15625 -2,34375 -2,34375 1

8 0,078125 -2,265625 -2,34375 0

9 0,039063 -2,3046875 -2,3046875 1

10 0,019531 -2,28515625 -2,3046875 0

11 0,009766 -2,294921875 -2,3046875 0

12 0,004883 -2,299804688 -2,3046875 0

3) Utilizou-se um sistema de aquisição baseado nesse conversor para amostrar a tensão e a corrente sinusoidais, da

frequência f=100 Hz, numa determinada carga. Utilizou-se uma frequência de amostragem fA=800 Hz e obtiveram-se

as seguintes 8 amostras:

tk / ms 0,0 1,25 2,5 3,75 5,0 6,25 7,5 8,75

v(tk) / V 7,0711 5,0 0,0 -5,0 -7,0711 -5,0 0,0 5,0

i(tk) / A 0,2828 0,5464 0,4899 0,1464 -0,2828 -0,5464 -0,4899 -0,1464

Calcule, a partir do valor das amostras os valores eficazes da tensão e da corrente, o valor da potência activa e ainda a

diferença de fase entre a tensão e acorrente.

Para a frequência f=100 Hz, o período vale T= 10 ms. Verifica-se que foi amostrado exactamente um período (Nota: o

ponto seguinte para tk=10 ms seria a repetição do primeiro).

Os valores eficazes podem ser calculados por:

2 282

1

2 2 2 282

1

1 2 7,0711 4 5 2 50 4 25( ) 25 5 V

8 8 8

1 2 0,2828 2 0,5464 2 0,4899 2 0,1464 2 0,64( ) 0,16 0,4 A

8 8 8

ef k

k

ef k

k

V v t

I i t

Calculamos a potência activa, calculando a potência instantânea e determinando o valor médio:

tk / ms 0,0 1,25 2,5 3,75 5,0 6,25 7,5 8,75

v(tk) / V 7,0711 5,0 0,0 -5,0 -7,0711 -5,0 0,0 5,0

i(tk) / A 0,2828 0,5464 0,4899 0,1464 -0,2828 -0,5464 -0,4899 -0,1464

p(tk)=v(tk)i(tk) / W 1,9997 2,732 0 -0,732 1,9997 2,732 0 -0,732

8

1

1 2 1,9997 2 2,732 2 0,732( ) 1 W

8 8k

k

P p t

Para determinar a diferença de fase, como 1

cos argcos argcos 60º5 0,4

ef ef

ef ef

PP V I

V I

D. Transdutores

Na figura está representada uma montagem com quatro extensómetros sendo visíveis os da face superior da placa encastrada

nas duas extremidades. Está também representado o circuito eléctrico, com os quatro extensómetros em ponte, destinado à

medida da força F que actua a placa.

2

1

F0,5 V

Δv

1

3

4

2vAvB

1) Suponha os extensómetros numerados de 1 a 4, sendo visíveis na face superior os extensómetros 1 e 2. Copie o

circuito da direita para a sua prova e identifique os quatro extensómetros numericamente de modo a obter à saída da

ponte uma tensão Δv positiva. Qual a relação entre a variação relativa ΔR/R da resistência dos extensómetros com a

variação relativa da tensão à saída da ponte Δv/V, para este tipo de montagem?

Os extensómetros devem ser montados de acordo com a representação da figura. Assim, supondo todos os extensómetros

idênticos e de resistência R, a resistência dos extensómetros 3 e 4 passará para R+ΔR, enquanto a resistência dos

extensómetros 1 e 2 passará para R-ΔR. Assim,

( ) ( ) 2

( ) ( ) 2

2

2

A

B

A B

R R R Rv V V

R R R R R

R R R Rv V V

R R R R R

R V RV v v V

R V R

2) Suponha a montagem a funcionar como balança. O alcance da medida da força F, corresponde a uma variação relativa

da tensão à saída da ponte Δv/V=0,1%. Qual o ganho de tensão necessário na amplificação de Δv para se obter uma

tensão amplificada de 1 volt. Qual o factor de rejeição de modo comum necessário para se ter um erro máximo de 1%

no limite do alcance e resultante da presença de modo comum à saída da ponte?

Para ΔV/V=0,1% tem-se ΔV=0,5 mV. É necessário um ganho diferencial de Gd=2000 para obter a tensão de 1 volt à saída do

amplificador. Estamos no limite do alcance de medida. Portanto 1% de erro na tensão de saída corresponde a 10 mV

provenientes da tensão comum à saída da ponte. Na saída da ponte a tensão de modo comum vale 0,25 volt. O ganho de modo

comum (na realidade uma atenuação) foi de 10/250=0,04. O factor de rejeição de modo comum será de

2000

50.000 94 dB0,04

3) Qual o erro relativo na medida de F quando esta força tem uma intensidade igual a 10% do alcance?

Nesta situação a tensão de modo diferencial é 10 vezes menor, mas a tensão de modo comum é a mesma. A tensão

diferencial será de 100 mV e a tensão de modo comum continuará a 10 mV. Temos assim um erro relativo de 10%.


A. 5 val. B. 5 val. C. 5 val. D. 5 val.

1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3)

2 1,5 1,5 2 2 1 1,5 2 1,5 2 2 1

101

102

103

104

105

50

60

70

80

90

100

Frequência / Hz

Imp

edân

cia

/ o

hm

-20

-15

-10

-5

0

-25

Ân

gulo

/ g

rau

s

|Z| ϕ



PARTE I



Para medir uma impedância na frequência f=700 Hz utilizou-se um gerador de tensão alternada sinusoidal, três voltímetros

digitais de 3½ dígitos e uma resistência de amostragem de corrente de Ra=100 Ω. O erro máximo de medida dos voltímetros

em AC corresponde a 1,2% da leitura mais 5 dígitos. Os alcances dos voltímetros são: 2 V; 20 V; 200 V.

V1

V2

V3Ra

Z

1) Na medição da impedância pelo método dos três voltímetros foram obtidas as leituras seguintes a f=700 Hz:

V1ef=10,00 volt; V2ef=4,21 volt; V3ef=5,93 volt. Qual o valor esperado para o módulo e o ângulo da impedância Z?

(Ver a nota de rodapé)

A tensão v3 está em fase com a corrente e a tensão v2 é a

tensão na impedância.

2 2

3

2 2 2

1 2 3 2 3

2 2 2

1 2 3

2 3

4,21| | 100 71

5,93

2 cos

cos 19,35º2

ef ef

ef ef

V VZ Ra

I V

V V V V V

V V V

V V

2) Determine os valores máximos dos erros de medida de V2 e de V3 e ainda as respetivas incertezas padrão. Sabendo

que a incerteza padrão do valor de Ra é de 1 Ω, qual o valor resultante para a incerteza padrão do módulo da

impedância Z?

Alcances a utilizar: 20 V. Máxima leitura 19,99 V 1 dígito= 0,01 V.

2 2

3 3

1,2 0,1005( ) 4,21 5 0,01 0,0505 0.05 0,1005 V ( ) 58,035 mV

100 3

1,2 0,1212( ) 5,93 5 0,01 0,07115 0.05 0,1212 V ( ) 69,95 mV

100 3

máx

máx

V u V

V u V

1/222 2

2 2 2

2 3

2 3

1/222 2

2 2 22 22 32

3 33

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2,1631 1,47

Z Z Zu Z u V u V u Ra

V V Ra

V Ra VRau V u V u Ra

V VV

V1

V2V3

ϕ

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

frequência / kHz

Te

nsã

o / V

RM

S

3) O gráfico representado em cima à direita foi obtido automaticamente. De acordo com o resultado representado

indique uma possível configuração da impedância Z? Justifique a resposta.

Qualquer das confirmações representadas à esquerda é

correta.

As curvas representadas no enunciado foram construídas

com R=100 Ω e C=1,592 μF e para a configuração à

esquerda. Mas as duas configurações têm exatamente a

mesma evolução com a frequência, desde que na da direita as resistências valham R/2=50 Ω e a capacidade seja quádrupla.


A figura em baixo representa o espectro obtido com um analisador de espectros analógico convencional de uma tensão

eléctrica periódica e triangular de frequência f=500 Hz e amplitude VM=10 V.

1) Represente o diagrama de blocos de um analisador

espectral (AE) capaz de produzir o resultado

representado. Sabe-se que o AE contém um filtro passa-

banda cuja frequência central é 10 kHzIf . Inclua no

diagrama a banda de frequências varridas pelo oscilador

local, justificando os resultados apresentados.

Para obter o espectro representado na figura o oscilador

local deve varrer as frequências entre 10 e 15 kHz.

Quanto ao diagrama de blocos, ver os acetatos da

disciplina. Não esquecer o filtro anti-alising.

2) Supondo que não existe um filtro “anti-aliasing”, qual a

banda de frequência que podia ser sobreposta à que é visualizada na figura?

A banda entre 20 e 25 kHz sobrepõe-se à banda entre 0 e 5 kHz. A figura em baixo mostra uma frequência do VCO

que dista 10 kHz (frequência do filtro de banda) duma frequência da Banda 1 e de outra da Banda 2.

f / kHz0 5 10 15 20 25

Banda 1 Banda 2Banda VCO

10 kHz 10 kHz

=>fVCO

3) Qual a alteração que se observaria no espectro se a frequência de varrimento do oscilador local (VCO) estivesse no

intervalo [5;10] kHz?

Neste caso o espectro teria a escala das frequências invertida.

Nota: Num triângulo de lados (a,b,c) o quadrado de qualquer lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois mais o dobro

do produto desses dois pelo coseno do ângulo externo formado por eles. 2 2 2 2 cosa b c bc

PARTE II

C. Eletrónica de Instrumentação

A figura à esquerda representa um sistema de

medida inserido numa instalação de energia

elétrica monofásica que alimenta uma carga

linear. A potência contratada vale S=4,6 kVA.

(UN=230 VRMS, IN=20 ARMS)

Na instalação está montado um sensor de tensão

e um sensor da corrente na carga linear de

sensibilidades SV e SI conhecidas.

230 VRMS

carg

a

X

V1 V2

√2

SI = 0,25 V/A

SV = 0,02 V/V

vV(t) vI(t)

vO(t)

a

b c

ϕ

R

R

C

R/2

4C

R/2

As tensões fornecidas pelos dois sensores estão aplicadas a um multiplicador analógico cuja saída vO(t) é dada por

( ) ( )( )

5

V IO

v t v tv t

A tensão vO(t) é medida por um voltímetro V1 em modo DC. A tensão vO(t) após amplificação por 2 é medida por um

segundo voltímetro, agora em modo AC.

1) A leitura dos voltímetros V1 e V2 é a transdução de duas grandezas energéticas relativas à instalação. Quais?

(justifique a resposta).

2 230 cos(2 50 ) 2 20 cos(2 50 )( )

5

230 20 230 20cos cos 2 100

5 5

V IO

V I V I

S t S tv t

S S S St

Substituindo os valores das sensibilidades dos sensores tem-se:

( ) cos cos 2 1001000 1000

ef ef ef ef

O

V I V Iv t t

A primeira parcela representa a potência ative expressa em kW, e a segunda parcela é uma tensão alternada de

amplitude igual à potência aparente, também expressa em kW. Assim, um voltímetro em modo DC mede a parte

constante, ou seja a potência ativa, e um voltímetro em modo AC mede o valor eficaz da parte alternada e não a

amplitude. Por isso, a medida em modo AC é feita após amplificação por 2 .

2) Quais os valores efetivamente medidos por V1 e V2 quando a corrente na carga linear é a nominal (IN=20 ARMS) e o

fator de potência são unitários.

Os valores efetivamente medidos são, com cos 1 , V1=V2=4,6 volt, que representam P=4,6 kW e S=4,6 VA

respetivamente.

3) Nas condições da alínea anterior qual o fator de forma da tensão vO(t)?

A tensão vO(t) tem a parcela constante igual à amplitude da parte alternada. É portanto da forma

( ) cos( )O O Ov t V V t . O fator de for vale:

2

2

21,5 1,225

( )

OO

Oef

OO

VV

V

Vv t

D. Conversor A/D

Considere um conversor A/D unipolar, de dupla rampa, de 12 bit de alcance [0;+10] volt. VREF = -10 volt.

-+ ^ COUNTER

C

RVI

V2

CLK

VREF V1

Switch

control

-+

tV2/ volt

T2T1-5

1) Sabe-se que ao aplicar uma tensão V1=10 volt na entrada do integrador, com o condensador C inicialmente

descarregado, a tensão V2 evolui para valores negativos, alcançando V2 = -5 volt ao fim de T1=1,25 ms. Qual o valor

da constante de tempo τ = RC do integrador? Qual o valor mínimo da frequência de relógio fCLK quando a frequência

de amostragem vale fA=400 Hz?

1 2 2 1 12 1

0

3 3

1 ( )

10 5 1,25 10 2 1,25 10 2,5 ms

tV dV dV V V

C V V d tR dt dt RC RC RC

Os tempos T1 e T2 são na realidade contagens. Durante T1 o contador efetua o número máximo de contagens. O tempo

T2 é igual a T1 quando o conversor está no limite superior do alcance (todos os bits a 1). O contador efetua assim

122 2 contagens durante um tempo 1/ 2,5 msA AT f . Isso corresponde a uma frequência

122 2 3,28 MHzCLK Af f .

2) Refira as propriedades dos conversores deste tipo no que se refere à imunidade ao ruído de alta frequência, à

dependência dos valores de R, de C e ainda da estabilidade da frequência de relógio. Será este conversor apropriado

para um multímetro digital ou preferia um conversor instantâneo (flash)?

3) Utilizou-se um sistema de aquisição baseado neste conversor para amostrar simultaneamente a tensão e a corrente

sinusoidais, da frequência f=50 Hz, numa determinada carga. Utilizou-se uma frequência de amostragem fA=400 Hz e

obtiveram-se as seguintes 8 amostras:

tk / ms 0,0 2,5 5,0 7,5 10 12,5 15 17,5

v(tk) / V 12,2474 3,6603 -7,0711 -13,6603 -12,2474 -3,6603 7,0711 13,6603

i(tk) / A 0,5657 0,4000 0,0000 -0,4000 -0,5657 -0,4000 0,0000 0,4000

Calcule, a partir do valor das amostras, os valores eficazes da tensão e da corrente, o valor da potência ativa e ainda a

diferença de fase entre a tensão e a corrente.

O período de amostragem é de 2,5 ms. 8 amostras correspondem exatamente a um período completo da frequência do

sinal (50 Hz). Note-se que o ponto para tk=20 ms já seria uma repetição do primeiro.

82 2 2 2 2 2

1 1

82 2 2 2

1 1

8

1 1

-

1 1 1(2 12,2474 2 3,6603 2 7,0711 2 13,6603 ) 10 V

8 8

1 1 1(2 0,5657 4 0,4 ) 0,4 A

8 8

1 1 1P= 2 12,2474 0,5657 2 3,6603 0,4 2 13,6603 0,4 3,46 W

8 8

=cos

N

ef k k

N

ef k k

N

k k k k

V v vN

I i iN

v i v iN

1 3,4630º

10 0,4


A. 5 val. B. 5 val. C. 4,5 val. D. 5,5 val.

1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3)

2 1,5 1,5 2 2 1 2 1,5 1 2 2 1,5

Instrumentação e

Medidas

Exame Escrito de 1 de Fevereiro de

2013

PARTE I


Justifique todas as respostas


Para medir uma resistência Rx utilizou-se uma ponte de Wheatstone alimentada por uma tensão contínua E=5 V, como

se representa na figura. Como detetor de zero utilizou-se um multímetro digital de 3½ dígitos a funcionar como

voltímetro. Com a ponte em equilíbrio verificou-se que R1=R2=R3=100 Ω. O erro máximo de medida do voltímetro

detetor em DC corresponde a 0,2% da leitura mais 1 dígito. Os alcances do voltímetro em DC são: 200 mV; 2 V; 20 V.

E=5 V V

R1

R2

R3

Rx

B

A

C D

1) Determine a expressão de uCD em termos de E, R1, R2, R3 e Rx.

2 2

1 2 3 1 2 3

x xCD CB DB

x x

R RR Ru u u E E E

R R R R R R R R

2) Determine a expressão para a determinação de Rx na situação de equilíbrio da ponte, ou seja quando uCD=0 V.

22 3 2

1 2 3

0 xCD x

x

RRu R R R R

R R R R

1 2x xR R R R 2 3

1

x

R RR

R

3) Sabe-se que a incerteza padrão nos valores das resistências vale u(R1)=u(R2)=u(R3)=0,1 Ω. Supondo exata a

medida do detetor de zero, qual a incerteza padrão decorrente para o valor da resistência Rx determinado?

Com a ponte equilibrada 2 3

1

x

R RR

R e a variância associada a Rx será

23

2 2

1

( ) ( )k

k k

Rxu Rx u R

R

.

Como 2 3 3 2

2

1 2 1 3 11

1 1 1R R R RRx Rx Rx

R R R R RR

tem-se

2 2 2 2 2 2

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 0,1 3 0,03 u Rx u R u R u R . Logo ( ) 173,2 mu Rx

4) Seguidamente, mediu-se o valor de Rx, utilizando o multímetro como ohmímetro. Utilizou-se o alcance de

200 Ω, e obteve-se o resultado Rx=99,9 Ω. Sabendo que o erro máximo corresponde a 0,2% da leitura mais

1 dígito, qual a incerteza padrão neste processo de medida?

Cálculo do erro máximo:

0,299,9 0,1 0,1998 0,1 0,2998

100 a que corresponde a incerteza padrão

max ( )( ) 173,1 m

3

Rxu Rx

0

1

2

3

4

5

6

frequência / kHz

Te

nsã

o / V

RM

S


A figura em baixo representa o espectro obtido com um analisador de espectros (AE) analógico convencional. O sinal é

constituído pela soma de tensões elétricas sinusoidais.

Sabe-se que o AE contém um filtro passa-banda cuja frequência central é 20 kHzIf . A banda de frequências varridas

pelo oscilador local é tal que fVCOmín=25 kHz e fVCOmáx=30 kHz. O filtro “anti-alising” é do tipo passa-baixo com

frequência de corte a 15 kHz.

1) Represente o diagrama de blocos do analisador espectral (AE) capaz de produzir o resultado representado.

Ver a figura nos acetatos da disciplina. Não esquecer o filtro anti-alising.

2) Copie o espectro representado para a sua prova e

gradue a escala de frequências, indicando os valores

das frequências visíveis no espectro f1 e de f2.

A questão posta é: Quais as frequências de entrada que

somadas ou subtraídas a uma possível frequência do

VCO (25<fVCO<30 kHz) dão como resultado ±20 kHz?

Essas frequências pertencem naturalmente à banda

5<fSINAL<10 kHz. A graduação da escala de

frequências deve iniciar-se em 5 kHz e terminar em

10 kHz, com 0,5 kHz por divisão. Assim f1=7 kHz e

f2=8 kHz.

3) Escreva a expressão analítica da tensão à entrada do AE, compatível com o resultado obtido em 2).

À entrada do AE temos duas tensões sinusoidais com frequências de 7 e 8 kHz respetivamente, cada uma com

valor eficaz de 5 volt, e fases na origem desconhecidas já que o AE analógico não as mede.

3 3

1 2( ) 2 5cos(2 7 10 ) 2 5cos(2 8 10 )Iu t t t

4) Considere que o filtro “anti-alising” foi substituído por outro de banda passante no intervalo [45:50] kHz, mas

o resultado apresentado no visor não se alterou. Como justifica esta situação?

Como 45-25=20 e 50-30=20 a banda passante do novo filtro anti-alising é precisamente a nova banda de

visualização. A nova graduação da escala de frequências deve iniciar-se em 45 kHz e terminar em 50 kHz,

com 0,5 kHz por divisão. As frequências agora detetadas são f1=47 kHz e f2=48 kHz, correspondentes a

componentes também com valores eficazes iguais a 5 volt.

PARTE II

C. Malha de Fase Síncrona

VVCO/ volt

fVCO/ kHz

500

250

0 521 3 4-1 6

Diferença de fase ϕI-ϕVCO

5

0 -π +π

<VDF>/ volt

As figuras em cima representam a característica de um detetor de fase digital baseado num circuito XOR e a

característica de controlo de um oscilador de onda quadrada TTL comandado por tensão.

1) Represente o diagrama de blocos de uma malha de fase síncrona que inclua os componentes cujas

características são as dadas e diga qual a funcionalidade de cada bloco.

Para o diagrama de blocos veja os acetatos da disciplina.

2) Considere a malha sincronizada para uma frequência de entrada a meio da banda de captura fI=375 kHz. Qual

o desfasamento e o atraso temporal da tensão de saída em relação à tensão de entrada?

Para uma frequência de entrada exatamente a meio da banda a tensão de comando do VCO será igual a 2,5

volt, o que corresponde a um atraso da tensão do VCO de π/2, ou seja de um quarto de período, em relação à

tensão de entrada. Este atraso corresponde no tempo a

3

1 10,667 μs

4 4 4 375 10

T

f

3) Indique o que entende por banda de seguimento e estime os seus limites nas condições da alínea 2). Quais as

consequências possíveis de reduzir drasticamente a banda passante do filtro passa-baixo.

Os limites da banda de seguimento serão os correspondentes às tensões que se poderão observar na entrada do

VCO, Para vVCO no intervalo [0:5] V, a banda de seguimento será [250:500] kHz.

Reduzindo drasticamente a banda do filtro passa-baixo, também se reduz drasticamente a banda de captura. A

banda de seguimento não é alterada em regime estacionário com a frequência de entrada constante, pois que

neste caso, para o VCO manter a frequência constante necessita de uma tensão contínua na entrada. A banda de

seguimento poderá ser afetada se o sinal de entrada estiver modulado em frequência e a banda passante do

filtro não ser suficiente para fazer passar a banda de frequência do sinal modulante.

4) Qual a alteração ao diagrama de blocos da malha de fase síncrona de modo a que esta possa ser sincronizada

para uma banda de frequência de entrada centrada em fI=150 kHz.

No caso geral este problema pode ter várias soluções. Por exemplo, pode introduzir-se um divisor por 2 na

malha de realimentação. O PLL iria sincronizar para a frequência do VCO fVCO=300 kHz. Seria no entanto

melhor colocar a frequência central do VCO a meio da sua banda com fVCO=375 kHz caso seja viável.

Colocando um divisor na entrada (÷M) e outro na malha de realimentação (÷N), com fI=150 kHz e

fVCO=300 kHz.

375

150

VCO VCOI

I

f ff N N

M N f M M . Como 3375 3 5 e 2150 2 3 5

3

2

3 5 5

22 3 5

N

M

A solução será então colocar um divisor por 2 na entrada e um divisor por 5 na malha de realimentação. O

detetor de fase funcionará a 75 kHz.

D. Conversor A/D de aproximações sucessivas

Utilizou-se um conversor analógico-digital, de aproximações sucessivas, para amostrar uma tensão periódica, alternada,

de frequência f0=50 Hz. O conversor A/D é bipolar, de 12 bits e a funcionar no alcance FS=[-2:+2] V.

1) Para o alcance acima indicado, e para conversores de 12 bit quanto vale, um LSB?

Em geral um LSB vale 12

4 41 LSB 976,(800976) μV

4096 12 1 2 1N

FS

neste caso. No entanto, quando

temos conversores de aproximações sucessivas costuma considerar-se que o bit mais significativo corresponde

a uma variação na tensão analógica correspondente a meio alcance completo 1 MSB2

FS . A variação

correspondente ao bit seguinte corresponde a metade desse valor, e assim sucessivamente até ao bit menos

significativo, a que corresponde 4

1 LSB 976,5625 μV40962N

FS . A diferença é que neste último caso o

limite superior do alcance não chegará a 2 volt, faltando exatamente 976,5625 μV.

2) Comente a afirmação seguinte: Num conversor A/D utilizado num multímetro digital é fundamental uma

elevada rapidez de conversão para se poder aumentar o número de dígitos do display.

Esta afirmação não faz sentido. No conversor para um multímetro digital é essencial usar conversores com um

número efetivo de bits compatível com o número de dígitos do visor, por exemplo um número de bita tal que

um LSB seja inferior a metade do dígito menos significativo do visor.

Quanto à velocidade de conversão ela só depende da frequência da atualização da indicação no visor.

3) Quais os cinco bits mais significativos resultantes da conversão duma tensão de 1,3 volt?

Ordem do bit

Salto correspondente

a cada "1" testado

Tensão de saída do

conversor D/A a ser

comparada com Vi=1,3 V

Tensão resultante

bit

-2,0000000000

12 2 0 0,0000000000 1

11 1 1 1,0000000000 1

10 0,5 1,5 1,0000000000 0

9 0,25 1,25 1,2500000000 1

8 0,125 1,375 1,2500000000 0

7 0,0625 1,3125 1,2500000000 0

6 0,03125 1,28125 1,2812500000 1

5 0,015625 1,296875 1,2968750000 1

4 0,0078125 1,3046875 1,2968750000 0

3 0,00390625 1,30078125 1,2968750000 0

2 0,001953125 1,298828125 1,2988281250 1

1 0,0009765625 1,2998046875 1,2998046875 1

4) A tensão alternada a ser digitalizada não é sinusoidal. Pretende-se conhecer a sua composição espectral atá à

vigésima harmónica f20=20×50=1 kHz. Para isso usou-se a transformada discreta de Fourier com o algoritmo

FFT. Determine a frequência de amostragem e o número de amostras necessário para obter a informação

espectral pretendida, sem espalhamento espectral, e com os valores do espectro apresentados unicamente para

as frequências das harmónicas (fk=kf0 , k = 0:20).

Para que os valores resultantes da transformada discreta de Fourier estejam espaçados de ∆f=50 Hz, o tempo

total de aquisição deve ser exatamente igual a 1/∆f = 20 ms, o que corresponde a amostrar um só período.

Aceita-se a resposta correspondente a tomar a frequência de aquisição igual ao dobro da frequência da

vigésima harmónica, se bem que isso resultava num valor errado para a frequência correspondente. Para

conhecer o peso da harmónica para k=20 é necessário aumentar ligeiramente a frequência de amostragem

tomando 41 amostras e não 40. A frequência de amostragem seria assim de fS=2050 Hz.

No caso do sinal periódico ter frequências f=kf0, com k>20, com amplitude significativa, seria ainda necessário

utilizar um filtro anti-alising para evitar o seu aparecimento na banda de interesse.


A. 5 val. B. 5 val. C. 5 val. D. 5 val.

1) 2) 3) 4) 1) 2) 3) 4) 1) 2) 3) 4) 1) 2) 3) 4)

1 1 1,5 1,5 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1




PARTE I

A. Medição de Tensões Elétricas

Considere o circuito da figura, baseado num amplificador operacional, em que R1=R2=10 kΩ, C=80 nF. As tensões

v1(t) e v2(t) são alternadas sinusoidais, da mesma frequência f =1 kHz, e com valores eficazes respetivamente iguais

a V1ef=5 V e V2ef=1 V, e em fase. Os voltímetros V1 e V2 são digitais “TRUE RMS” de três dígitos e meio e

alcances iguais a 0,4; 4 e 40 V respetivamente e o voltímetro V3, também digital é “NOT TRUE RMS”, com os

mesmos alcances e também de três dígitos e meio.

1) Determine a expressão de valores instantâneos

de vO(t), evidenciando o valor eficaz e a fase de vO(t)

relativamente a v1(t).

1 22

1

R

v dvi C

R d t

2 22 2 1 2

1

O

R dvv R i v R C

R dt

1 22 5cos( ) 2 cos( )v t v t

22 5cos( ) 2 cos( 90º )

2 5cos( 180º ) 2 5cos( 90º ) 2 7,07cos( 135º )

Ov t R C t

t t t

2) Determine os erros máximos na medida de V1ef e V2ef sabendo que esses erros são dados por 1% do alcance

mais 5 dígitos.

Medida de V1ef = 5 V. Alcance=40 V. 1

1( ) 40 5 0,01 0,45 V

100máxe V

Medida de V2ef = 1 V. Alcance=4 V. 1

1( ) 4 5 0,001 0,045 V

100máxe V

3) Considere agora que a frequência da tensão v1(t) foi ligeiramente alterada para f1=1,1 kHz, mantendo-se a

frequência de v2(t) igual a f2=1 kHz. Diga se os voltímetros utilizados continuam a ser adequados ao

processo de medida, e se não forem, qual a configuração que propõe. Justifique as afirmações que fizer.

O voltímetro V3 que não é de verdadeiro valor eficaz, deixou de medir corretamente uma tensão que agora

contém duas frequências. Deve ser trocado com V1 ou V2 para passar a ler uma tensão sinusoidal pura.

B. Análise Espetral

A figura em baixo representa o espectro (incluindo a componente contínua = 1,25 V) obtido com um analisador de

espectros analógico convencional de uma tensão elétrica constituída por uma sucessão periódica de impulsos

positivos.

1) Represente o diagrama de blocos de um analisador espectral (AE) capaz de produzir o resultado

representado. Sabe-se que o AE contém um filtro passa-banda cuja frequência central é 40 kHzIf . Inclua

no diagrama a banda de frequências varridas pelo oscilador local, justificando os resultados apresentados.

V1(t)

+

R1

R2

CV2(t)

VO(t)V1

V2V3

∆T

T0

V0

Ver o diagrama de blocos, incluindo o filtro anti-

aliasing, nos acetatos de IM.

Com 40 kHzIf e a largura de banda de

visualização [0 : 20] kHzLB o VCO deve

varrer as frequências [40 : 60] kHzVCOf .

2) A partir do espetro representado na figura qual o

valor dos seguintes parâmetros:

a. Frequência/período de repetição dos

impulsos.

b. Largura temporal dos impulsos.

c. Amplitude dos impulsos.

d. Valor eficaz da onda completa.

Dado o espaçamento das riscas espetrais, 0 01 kHz , 1 msf T

As harmónicas múltiplas de 8 anulam-se. O ciclo de trabalho vale

Assim dc=1/8.

Sendo o ciclo de trabalho (duty-cycle) 0

1

8

Tdc

T

e sendo

00 0

0

8 8 1,25 10 V8

DC DC

VTV V V V

T

Valor eficaz: 2 2 21 10

( ) 10 3,54 V8 8

ef efV v t V

3) Supondo que não existe um filtro “anti-aliasing”, qual a banda de frequência que podia ser sobreposta à que

é visualizada na figura?

Não existindo filtro anti-aliasing todas as frequências na entrada e que distam de fI= 40 KHz duma frequência

produzida no VCO são visualizadas.

f / kHz

200 40 60 80 100fVCO

40 40

PARTE II

C. Transdutores

A figura à esquerda

representa um transdutor de

posição angular de um veio de

excêntricos, baseado num

LVDT.

A tensão no primário é

alternada sinusoidal de

frequência 4 kHzf e com um

valor eficaz 5 V.iefV A

sensibilidade à saída do LVDT

é de 1 Vef por centímetro de

deslocamento como se

representa no gráfico conjuntamente com a variação de fase. A desmodulação é efetuada recorrendo a um

circuito multiplicador e a um filtro passa baixo de ganho unitário na banda passante. A velocidade máxima

de rotação do veio é de 600 rpm.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

frequência / kHz

Te

nsã

o / V

RM

S

V0ef / V

0 5-5

5

x / cm

arg{V0} / º

x / cm0

180º

VSvi

x

vO=v1-v2

v2

v1

vi vo5

Filtro

Passa-baixo

Ω

1) Explique qual o princípio de funcionamento do LVDT.

2) Determine a função analítica que exprime o valor da tensão de saída VS em função da posição x. Sabendo

que no caso representado na figura o valor mínimo de x vale x = –1 cm e o valor máximo vale x = +2 cm,

quais os respetivos valores de tensão.

2 cos( ) 2 cos( )( ) ( )

5 5

[cos( ) cos(2 )]5

ief Oef Oi O

ief Oef

O O

V t V tv t v t

V Vt

Supondo que a componente de frequência 2ω é retirada pelo filtro a tensão de saída será

cos | | cos5 5

ief Oef ief

S O O

V V VV x

, 0 1 , 0 , 0

cos |x| | | cos0 , 0 1 , 0 , 0

O O O

x x x xx x

x x x x

5

ief

S

VV x x

Assim, para 1 cm 1 VSx V e para 2 cm 2 VSx V .

3) Para o caso em que o veio roda à velocidade máxima indique um valor possível para a frequência de corte

do filtro passa-baixo? Justifique.

O filtro passa-baixo deve ter uma frequência de corte tal que retire a componente de 4 kHz sem alterar a

componente a 600 r.p.m.= 10 Hz.

D. Sistema Automático de Medida

Considere o sistema automático de medida, representado na figura, e constituído por um controlador, um

gerador de funções e um multímetro ligados por uma interface IEEE488 e ainda um sistema de aquisição

(DAQ) de que se utiliza uma entrada analógica.

MULTÍMETRO DAQGERADOR DE

FUNÇÕESCOMPUTADOR

IEEE 488

1) O gerador de funções produz uma tensão periódica v(t) de frequência f0=50 Hz. Pretende-se calcular o

espetro de v(t) até à 25ª harmónica utilizando o sistema de aquisição e a transformada rápida de Fourier.

Indique uma frequência de amostragem Fa e um número de amostras Na tal que os valores do espetro

estejam em intervalos de ∆f=10 Hz. Quantos períodos de v(t) foram adquiridos?

Sendo a frequência fundamental f0=50 Hz, a harmónica 25 estará na frequência f25=1,25 kHz. O critério de

Nyquist impões uma frequência de aquisição superior a duas vezes esse valor Fa>2,5 kHz.

Consideremos, por exemplo, Fa=3 kHz. Para que os valores do espetro distem de ∆f=10 Hz entre si, o

tempo total de aquisição deve ser igual a

10,1 segtotT

f

. O número de períodos adquiridos será de 3

0

0,15 períodos.

20 10

totP

TN

T

O espaçamento temporal entre amostras é de 1/t Fa e o número total de amostras será

300tottot

T FaNa T Fa

t f

2) Qual a vantagem da utilização da linguagem SCPI (Standard Commands for Programmable Instruments)

pelos instrumentos a controlar remotamente? Qual o significado dos seguintes comandos SCPI enviados

para o gerador de funções (GF) através de um programa executado no computador:

a. fprintf(GF,’VOLTage:UNIT VPP’)

b. fprintf(GF,’APPLY:USER 50.0,5.0,0.0’)

O primeiro comando indica ao gerador de funções que as amplitudes para as formas de ondas serão dadas

em “volt pico a pico”.

O segundo comando indica ao gerador que a função selecionada deve ter uma frequência de 50 Hz, uma

amplitude (pico a pico) de 5 volt e uma componente contínua (offset) de 0 volt.

3) A componente contínua e o valor eficaz da componente alternada da tensão v(t) foram medidos com o

multímetro. Diga como podia calcular esses mesmos valores utilizando as amostras atrás adquiridas para

comparação com os valores medidos com o multímetro. Ilustre o resultado com as expressões analíticas

convenientes.

Com o multímetro foram medidos os valores VDC e VAC. A componente contínua e o valor eficaz global

podem ser obtidos através dos valores amostrados, porque temos um número inteiro de períodos:

2

1 1

1 1( ) ( ) , ( ) ( )

Na Na

DC k ef k

k k

V amostras v t V amostras v tNa Na

O valor eficaz medido com o voltímetro refere-se só à componente AC. Por isso deve verificar-se a relação

2 2( )ef AC DCV amostras V V




PARTE I


A figura à esquerda representa a variação do módulo e do ângulo de uma impedância em função da frequência. Em

baixo à direita representa-se o circuito utilizado na medição da mesma impedância na frequência de f=1 kHz. Os

multímetros utilizados são ambos de 3 dígitos e meio. O voltímetro tem os alcances: 0,4 ; 4 ; e 40 V e o

amperímetro tem os alcances: 0,4 ; 4 e 40 mA. Os valores medidos pelos dois instrumentos foram respetivamente

UV=4,99 V e IA=31,57 mA.

1) Determine os erros máximos de medida dos dois

instrumentos. Esses erros são iguais a 1% do valor medido

mais 5 dígitos. De acordo com os majorantes dos erros

calcule a incerteza padrão resultante para a medida da

impedância Z.

A tensão medida no voltímetro foi de 4,99 V. O alcance

foi o de 40 V. Um dígito valerá assim 0,01 volt.

1( ) 4,99 5 0,01 0,0499 0,05 0,0999 0,1 V

100máxe V

A corrente medida no amperímetro foi de 31,57 mA. O alcance utilizado foi o de 40 mA. Um dígito valerá

assim 0,01 mA.

1( ) 31,57 5 0,01 0,3157 0,05 0,3657 0,37 mA

100máxe I

As incertezas padrão serão respetivamente:

( ) 0,1

( ) 0,058 V3 3

máxe Vu V e

( ) 0,37( ) 0,21 mA

3 3

máxe Iu I

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Z Z Vu Z u V u I u V u I

V I I I

2 22 2

2 2 2 2 2 6

2 3 2 6

1 1 4,99( ) ( ) ( ) 0,058 0,37 10

31,57 10 31,57 10

3,38 3,43 6,81 V2 ( ) 2,6

Vu Z u V u I

I I

u Z

Isto para um valor esperado da impedância igual a 3

4,99( ) 158

31,57 10E Z

2) Sabe-se que, nos alcances utilizados, o voltímetro apresenta uma impedância de entrada de 5 MΩ e que a

impedância do amperímetro é de 5 Ω. Em que medida estes valores influenciam a medida em curso?

Justifique.

Estamos neste caso a considerar os possíveis efeitos de carga. A queda de tensão no amperímetro é

irrelevante, porque o voltímetro está diretamente ligado à impedância e portanto a medir corretamente a

UG Z

A

V

101

102

103

104

105

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

Frequência / Hz

Imp

ed

ân

cia

/ o

hm

Z

-60

-63

-66

-69

-72

-75

-78

-81

-84

-87

-90

Ân

gu

lo / g

rau

s

tensão nesta. Mas o amperímetro mede a soma da corrente na impedância com a corrente no voltímetro.

Como a impedância do voltímetro é de 5 MΩ a corrente que o atravessa é da ordem de

4,99 / 5 0,998 A 1 A . Esta corrente é dez vezes inferior ao dígito menos significativo do

amperímetro. Concluímos assim que os efeitos de carga são desprezáveis.

3) Sabendo que a impedância Z é constituída por três componentes, determine uma configuração possível para

os três componentes dessa impedância.

A impedância é de tipo capacitivo quer nas muito baixas ou nas muito altas frequências. Por outro lado a

impedância cresce sem limite nas baixas frequências e tende para zero nas altas frequências. Conclui-se

então que existe um condensador série e ainda um caminho entre os dois terminais da impedância

constituído só por condensadores. Propõe-se então a configuração em baixo.


As figuras à esquerda representam a

característica de um detetor de fase

digital baseado num circuito XOR e a

característica de controlo de um VCO

de onda quadrada TTL. Estes

elementos fazem parte de uma malha

de fase síncrona que inclui um divisor

por 4 na entrada e um divisor por 5 na

malha de retroação.

1) A malha com a configuração descrita na alínea anterior foi excitada com um sinal de entrada na frequência

fI=300 MHz. Qual a diferença de fase entre as duas entradas do detetor de fase?

Temos um divisor por 4 na entrada e um divisor por 5 na malha de retroação. Com a entrada a 300 MHz o

detetor de fase trabalha a 75 MHz e o VCO a 75×5=375 Mz, exatamente a meio da sua banda. Da

característica do VCO conclui-se que a sua tensão de comando vale VVCO=2,5 V. O detetor de fase, para

produzir essa tensão terá à entrada os dois sinais desfasados de 90º, estando a entrada da retroação atrasada.

2) Defina banda de seguimento. Qual a razão pela qual a banda de seguimento é independente da largura de

banda do filtro passa-baixo? Na situação da alínea anterior qual o valor da banda de seguimento?

Estando a malha síncrona, a banda de seguimento é constituída pelo intervalo de valores que, ao variar a

frequência de entrada, a malha se mantém síncrona. Sendo essa variação lenta a saída do filtro passa-baixo

é praticamente uma tensão DC, pelo que largura de banda é irrelevante. O mesmo não sucede quanto à

banda de captura, ou quanto, estando a malha síncrona, a entrada está modulada com variações rápidas de

frequência.

Os limites da banda de seguimento encontram-se nos limites da tensão de saída do detetor de fase ou nos

limites de frequência do VCO. No nosso caso esses limites coincidem. A banda de seguimento será de

[250:500] MHz.

3) Considere que na entrada da malha se tem um sinal centrado na frequência de 300 MHz, de amplitude

constante, mas modulado em frequência. A frequência instantânea na entrada pode ser descrita por

( ) 300 0,1cos( ) MHzI Sf t t , em que a frequência do sinal modulante ωS é muito pequena.

Determine a amplitude do sinal sinusoidal que se obtém por desmodulação da entrada.

A frequência do sinal de entrada está centrada nos 300 MHz variando com uma amplitude de 100 kHz para

cada lado. Após o divisor da entrada (÷4) temos uma frequência centrada nos 75 MHz variando com uma

amplitude de 25 kHz. Para manter o sincronismo o VCO produz um sinal centrado nos 375 MHz variando

com uma amplitude de 125 kHz.

VVCO/ volt

fVCO/ MHz

500

250

0 521 3 4-1 6

Diferença de fase ϕI-ϕVCO

5

0 -π +π

<VDF>/ volt

A variação de frequência do VCO por variação da tensão de entrada é (ver gráfico) de 50 MHz por volt.

Para produzir uma variação na saída de 125 kHz é necessária uma variação da tensão de entrada de

2,5 mV.

Na entrada do VCO temos assim uma tensão da forma

3

0( ) cos( ) 2,5 2,5 10 cos( ) voltVCO máx S Sv t V V t t

PARTE II

C. Analisador de Espetros

A figura à esquerda representa o espetro de valor eficaz

obtido com um analisador analógico modular. A forma de

onda analisada é uma tensão quadrada com 10 V de

amplitude. Foi visualizado o espetro da figura.

1) Considere que a frequência central do filtro passa-

banda fI vale fI =100 kHz. Quais as frequências varridas pelo

VCO e compatíveis com esse valor de fI? Qual a forma de

onda à saída do filtro passa-banda?

A banda de visualização, pela figura, é o intervalo [0:50] kHz.

A banda varrida pelo VCO estará no intervalo [100:150] kHz

para que os dois intervalos estejam exatamente separados por

100 kHz, que é a frequência do filtro passa-banda.

A forma de onda da tensão de saída do filtro passa-banda será uma função sinusoidal centrada na

frequência fI=100 kHz e modulada em amplitude. A função modulante é precisamente a função

representada no espetro.

2) Será possível substituir o conversor RMS/DC por um retificador de precisão e um filtro passa-baixo,

criando assim um circuito que constrói o valor médio do módulo da tensão de saída do filtro passa-banda?

O conversor geralmente usado é um conversor RMS-DC aliás de tipo variável, ou um detetor de pico. No

primeiro caso tem-se um espetro de valor eficaz e no segundo um espetro de amplitude. Utilizando um

retificador de precisão seguido de um filtro passa-baixo também se pode o espetro, porque temos à entrada

uma forma de onda sinusoidal. O filtro passa-baixo terá de apresentar um ganho na banda-passante igual ao

fator de forma das sinusoides β=1,11.

3) Na ausência de um filtro “anti-aliasing” pode ocorrer sobreposição de bandas no espectro resultante. Qual a

banda que se sobrepunha neste caso? Sendo a tensão de entrada uma onda quadrada pura essa sobreposição

podia causar erros importantes de medida?

A banda que se sobrepõe pertence ao intervalo [200:250] kHz, cuja distância à banda do VCO é

exatamente igual a fI=100 kHz. Como se sabe, a onda quadrada tem um espetro com um número infinito de

componentes (riscas) que se atenuam com 1/n (n ímpar). A primeira risca da banda de “aliasing” está na

frequência de 205 kHz, correspondente a n=205/5=41. Esta frequência sobrepõe-se à risca de 5 kHz, maas

com uma amplitude 41 vezes menor. Terá assim um efeito muito pequeno.


Considere o sistema automático de medida, representado na figura, e constituído por um controlador, um gerador

de funções e um multímetro ligados por uma interface IEEE488 e ainda um sistema de aquisição (DAQ) de que se

utiliza uma entrada analógica.


FUNÇÕESCOMPUTADOR

IEEE 488

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

frequência / kHz

Te

nsã

o / V

RM

S





A vigésima harmónica da frequência f0=50 Hz situa-se na frequência 20×50=1000 Hz. A frequência de

amostragem Fa, para cumprir o critério de Nyquist deve ser superior a 2 kHz. Consideremos, por exemplo

Fa=3 kHz. Para que as riscas espetrais apareçam distanciadas de ∆f=50 Hz, o tempo total de aquisição deve

ser igual a Ttot=1/∆f. Como ∆f=f0 o tempo total de aquisição é exatamente igual ao período da T0=20 ms. O

espaçamento temporal entre amostras é igual a ∆t=1/Fa. O número de amostras será Na=T0/∆t=Fa/f0=

=3000/50=60 amostras. Vimos atrás que para ter ∆f=f0 temos de adquirir um só período.

2) Explique detalhadamente o significado dos seguintes comandos enviados para o sistema de aquisição

(DAQ) através de um programa executado no computador:

a. My_daq=analoginput(‘nidaq’,’Dev1’)

É criado o objeto virtual My_daq para comunicar com o sistema de aquisição cujo fabricante é a

National Instruments e cujo endereço é o ‘Dev1’.

b. addchannel(My_daq,0)

Ao objeto virtual atrás criado junta-se um canal de comunicação com o canal 0 do sistema de

aquisição real.

c. set(My_daq,’SampleRate’,3000)

Estabelece-se a frequência de amostragem com o valor Fa=3000 amostras por segundo.

d. set(My_daq,’SamplesPerTrigger’,60)

Estabelece-se o número de amostras a adquirir com o valor Na=60.

e. start(My_daq)

Inicia-se o processo de amostragem.

f. My_Samples=getdata(My_daq)

Transferem-se as amostras adquiridas para a variável indexada (array) My_Samples.


multímetro. Diga como podia calcular esses mesmos valores utilizando as amostras atrás adquiridas e

armazenadas em My_Samples. Ilustre o resultado com as expressões analíticas convenientes. Qual a

diferença entre os valores atrás calculados e os medidos com o multímetro?

A componente DC se existir pode ser obtida das amostras que preenchem exatamente um período:

1

1Componente DC ( ) _ ( )

aN

k

v t My Samples kNa

Parte I 10,5 val. Parte II 9,5 val.

A. 5 val. B. 5,5 val. C. 5,5 val. D. 4 val.

1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3)

2,5 1 1,5 2 2 1,5 2,5 1,5 1,5 2 1 1

101

102

103

104

105

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

frequência / Hz

Imp

ed

ân

cia

/

Z

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Ân

gu

lo / g

rau

s


Exame de 13 de Janeiro de 2014

ATENÇÃO: Os 4 grupos A, B, C e D I devem ser resolvidas em folhas separadas

PARTE I


Na figura da esquerda está representada a configuração de circuito utilizada na medição do

módulo de uma impedância Z. A tensão aplicada pelo gerador é alternada sinusoidal, na

frequência f0 = 1,0 kHz. Os instrumentos de medida são multímetros digitais de 3½ dígitos e

com largura de banda de 10 kHz. Segundo o fabricante, os alcances e os majorantes dos

erros de medida são respetivamente:

Alcances como voltímetro: 400 mV; 4 V ; 40 V

Alcances como miliamperímetro: 20 mA; 200 mA ; 2 A

Erro como voltímetro: 1,5% da leitura + 5 dígitos

Erro como miliamperímetro: 1,5% do alcance + 10 dígitos

Os resultados da medição foram: V=10,00 V ; I=138,6 mA

1) Calcule os valores máximos dos erros de medida de tensão e

de corrente dos dois instrumentos. Determine também o

valor esperado e a incerteza padrão do valor da impedância

compatível com as medidas realizadas.

Erro máximo da medida do voltímetro:

1,5( ) 10 5 0,01 0,15 0,05 0,2 V

100máx V

Erro máximo da medida do miliamperímetro:

1,5( ) 200 10 0,1 3 1 4 mA

100máx I

Incertezas padrão desses erros:

( ) ( )0,2 4( ) 0,115 V ( ) 2,31 mA

3 3 3 3

máx máxV Iu V u I

O valor esperado da impedância Z será:

10

72,15 0,1386

Z

Variância na medida da impedância:

2

2 2 3 2 2

2 2

1 10( ) 0,115 (2,31 10 ) 0,688 1.446 2,134

0,1386 0,1386u Z

Incerteza padrão na medida da impedância:

( ) 1,46 u Z

2) Com os resultados de uma outra medição efetuada com um medidor RLC foi possível desenhar o gráfico

representado à direita. Indique, justificadamente uma topologia possível para a impedância Z.

No limite das baixas frequências o módulo da impedância tende para e o argumento tende para 90º .

Isto indica que deve existir um condensador em série com os restantes possíveis componentes.

Z

A

V

No limite das altas frequências temos a impedância a tender para 50 ohm e óhmica pura. Das várias

topologias que apresentem impedância real de 50 ohm nas altas frequências podemos escolher a mais

simples que é uma resistência pura. Esta escolha é corroborada pela evolução do argumento da impedância

nas frequências intermédias. Note-se que, segundo o gráfico, para f=1 kHz o argumento da impedância vale

-45º. Isto permite dizer que

0 0 0

1 1 1 com 3,18μFZ R j R C

C C R

3) Sabendo que a resistência interna do multímetro, quando utilizado como miliamperímetro é óhmica pura

valendo RA=2 Ω e que o ângulo da impedância Z a 1 kHz vale 45º corrija o valor do módulo da

impedância obtido em 1) compensando o efeito de carga do miliamperímetro.

Para compensar o cálculo do módulo da impedância deve corrigir-se a tensão na impedância. Para isso, e

uma vez que a medida de corrente não está afetada por efeito de carga podemos calcular a tensão aos

terminais do miliamperímetro como

2 0,1386 0,2772 VAef A ZefU R I

Considerando que a fase da tensão no gerador é nula, a corrente na carga estará avançada de

aproximadamente 45 graus (nota: desprezo aqui a diferença de fase entre UG e UZ ), e a queda de tensão no

miliamperímetro está em fase com a corrente. Assim a tensão na impedância será a diferença entre a tensão

no gerador e a tensão em RA: (ver diagrama de amplitudes complexas)

RMS10 (0,2772 45º ) (9,806 1,15º ) VZ G AU U U

É agora possível recalcular |Z|:

9,806

| | 70,75 0,1386

Z

UG

I

45º

UZ UA

Uma solução mais rigorosa seria considerar a impedância total ZTot em função do módulo da impedância

desconhecida:

2 2

| | cos 45º 2 | | sin 45º | | 2 | |2 2

TotZ Z j Z Z j Z

O módulo de ZTot foi o determinado na alínea 1):

222 | | 10

| | | | 22 2 0,1386

Tot

ZZ Z

Resolvendo em ordem a |Z| obtém-se o valor |Z|=70,722 Ω.


Para medir a velocidade de escoamento da água Ve num

tubo utilizou-se o efeito de Doppler, emitindo um sinal

acústico de frequência ff=40 kHz no sentido do escoamento.

Sabe-se que a velocidade de propagação do som na água vale

c=1500 m/s, e que a redução de frequência do eco recebido

vale 2 /ff f Ve c

1) Represente o diagrama de blocos de uma malha de fase síncrona. Tendo em conta a sensibilidade do

detetor de fase da figura e a característica do VCO também representada, qual a diferença de fase entre o

sinal de entrada e a saída do VCO quando a frequência de entrada da malha vale fIN=40 kHz. Qual a tensão

de comando do VCO?

Δϕ / graus

vD / V+5

+180-180

45

40

355

f / kHz

V / volt

0

Diagrama de blocos: ver material das aulas teóricas.

Segundo a característica do VCO para fVCO=40 kHz a sua tensão de comando vale VVCO= 2,5 V. Isso

corresponde a uma diferença de fase de 90º. A tensão de saída do VCO estará em quadratura e atraso em

relaçãp à entrada.

2) Supondo que a malha de fase síncrona é utilizada na deteção do eco qual a expressão da tensão de comando

do VCO em função da velocidade de escoamento da água?

A frequência do eco recebido, que será o sinal de entrada da malha de fase síncrona, é dada por:

2

(1 )eco f

Vef f

c

Estando a malha em sincronismo, a tensão de comando do VCO valerá

35 1 35 1

2 2 2 2VCO VCO ecov f f (tensão em volt, frequência em kHz)

Substituindo o valor da frequência do eco tem-se:

3

35 1 35 1 2(1 )

2 2 2 2

35 40 40 22,5 2,5 26, (6) 10

2 2 2 1500 37,5

VCO eco

Vev f ff

c

Ve VeVe

A tensão de comando do VCO apresenta um pequeno desvio, em relação ao ponto de velocidade

nula, de 26,(6) mV para uma velocidade de 1 m/s.

3) Desenhe o esquema elétrico e explique o funcionamento de um circuito de medida em que a tensão de

entrada é a tensão de comando do VCO e a tensão de saída, quando expressa em volt é numericamente

igual à velocidade Ve. O circuito deve conter ajuste de zero e amplificação com ganho determinado.

Pretendemos construir um circuito que subtraia a parte invariável da tensão (os 2,5 V) e amplifique a parte

restante com um ganho diferencial de Gd=37,5. Ex:

É possível utilizar um circuito como aquele que é representado do lado

esquerdo. Poderia ainda incluir-se uma condição de prevenção quanto à

influência do modo comum na saída.

PARTE II

C. Transdutores

arg{V0} / º

x / cm

0

180

V0ef / V

5

x / cm

-5 +50vi

x

vO=v1-v2

v2

v1

MUX

INA+ Inversor

Ganho=-1

Comparador

+

F.P.BxGanho= 1

A

B

A figura em cima representa um transdutor de posição, baseado num LVDT. A tensão no primário é alternada

sinusoidal de frequência 4 kHzf e com um valor eficaz 5 V.iefV A sensibilidade à saída do LVDT é de 1 Vef

por centímetro de deslocamento como se representa no gráfico conjuntamente com a fase de v0 em relação a vi. A

desmodulação é efetuada por deteção síncrona, com a saída do MUX ligada à saída do INA quando vi > 0.

O amplificador de instrumentação utilizado tem um ganho em modo diferencial de GINA=2,22.

+

5 V

INA

VVCO

R

R

VS

1) Explique qual o princípio de funcionamento do LVDT.

Ver a apresentação sobre transdutores.

2) Determine a sensibilidade da tensão de saída VS às variações da posição x, e represente graficamente a

característica VS(x) no intervalo entre x = –1 cm e x = +1 cm.

A tensão v0 tem um valor eficaz expresso em volt que é numericamente igual ao módulo de x expresso em

centímetros e está em fase com vi para x>0. Assim, quando vi>0 teremos uma alternância positiva de v0 à

saída do MUX (multiplicada por 2,22) e quando vi<0 teremos igualmente uma alternância positiva à saída

do MUX (também multiplicada por 2,22). Assim, para x>0, teremos na saída do filtro passa-baixo o valor

médio do módulo da tensão v0. Como se sabe, o fator de forma do valor médio do módulo de uma tensão

sinusoidal vale

1,11 | ( ) || ( ) |

Para x>0 :

2,22| 2,22 ( ) | 2 2 | |

1,11

Para x<0:

2,22| 2,22 ( ) | 2 2 | |

1,11

Oef Oef

O medO med

Oef

S O Oefmed

Oef

S O Oefmed

V Vv t

v t

VV v t V x

VV v t V x

Juntando os resultados para x>0 e para x<0 tem-se:

2 | | , 0

22 | | , 0

S s

x xV V x

x x

3) À frequência dada verifica-se que a tensão VO de saída do LVDT está sempre em fase ou em oposição com

a tensão de entrada vi. Explique qual a razão desta característica.

A correta operação do desmodulador implica que as comutações do multiplexar efetuadas nas passagens

por zero da tensão de entrada correspondam também às passagens por zero da tensão de saída. Esta

característica deve ser observada qualquer que seja o valor de x.


Considere o sistema automático de medida, representado na figura, e constituído por um controlador, um gerador

de funções e um multímetro ligados por uma interface IEEE488 e ainda um sistema de aquisição (DAQ) de que se

utiliza uma entrada analógica.


FUNÇÕESCOMPUTADOR

IEEE 488





A vigésima harmónica situa-se na frequência de f20=1 kHz. A frequência de aquisição, cumprindo o critério

de Nyquist, terá de ser superior a 2 kHz. Consideremos Fa=2,5 kHz. Para que as amostras no espetro

venham separadas de ∆f=10 Hz terá o tempo total de aquisição de ser igual a

1

0,1 stottf

O número de amostras e o número de períodos serão dados por

p 0

0

0,1 2500 250 amostras

N = 0,1 50 5 períodos

tottot

tottot

tNa t Fa

t

tt f

T

2) Qual a vantagem da utilização da linguagem SCPI (Standard Commands for Programmable Instruments)

pelos instrumentos a controlar remotamente? Qual o significado dos seguintes comandos SCPI enviados

para o gerador de funções (GF) através de um programa executado no computador:

a. fprintf(GF,’VOLTage:UNIT VRMS’)

b. fprintf(GF,’APPLY:USER 50.0,5.0,0.0’)

As grande vantagem resultante da utilização da linguagem SCPI é a possibilidade de utilizar instrumentos

de fabricantes diferentes utilizando os mesmos comandos.

A instrução a) define a unidade de tensão do gerador de funções em valor eficaz, o que se repercute na

instrução b) em que a a função de onda escolhida pelo utilizador terá uma frequência de 50 Hz, um valor

eficaz de 5,0 volt e uma componente contínua nula.


multímetro. Escreva as expressões que permitem calcular esses mesmos valores em função das amostras

atrás adquiridas para comparação com os valores medidos com o multímetro.

A componente contínua é o valor médio das amostras, sob a condição de ter sido adquirido um número

inteiro de períodos. Se a tensão adquirida foi v(t) sendo as Na amostras dadas por vk, a componente

contínua será

1

1 Na

DC k

k

V vNa

O valor eficaz da componente alternada pode ser obtido for

2

1

1( )

Na

AC k DC

k

V v VNa

sob a condição de ter sido adquirido um número inteiro de períodos.



1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3)

2,5 2 1 2 1,5 2 2 2 1 2 1 1

101

102

103

104

105

0

25

50

75

100

125

150

frequência / Hz

Imp

ed

ân

cia

/

Z

-90

-75

-60

-45

-30

-15

0

Ân

gu

lo / g

rau

s

Instrumentação e

Medidas

Exame de 25 de Janeiro de 2014

ATENÇÃO: Os 4 grupos devem ser resolvidas em folhas separadas


Na figura da esquerda está representada a configuração de circuito utilizada na

medição do módulo de uma impedância Z. A tensão aplicada pelo gerador é

alternada sinusoidal, na frequência f0 = 1,0 kHz. Os instrumentos de medida são

multímetros digitais de 3½ dígitos e com largura de banda de 10 kHz. Segundo o

fabricante, os alcances e os majorantes dos erros de medida são respetivamente:

Alcances como voltímetro: 400 mV; 4 V ; 40 V

Alcances como miliamperímetro: 20 mA; 200 mA ; 2 A

Erro como voltímetro: 1,5% da leitura + 5 dígitos

Erro como miliamperímetro: 1,5% do alcance + 10 dígitos Os resultados da medição foram: V=9,84 V ; I=105,6 mA

1) Calcule os valores máximos dos erros de medida de

tensão e de corrente dos dois instrumentos. Determine

também o valor esperado e a incerteza padrão do valor

da impedância compatível com as medidas realizadas.

3

1,5( ) 9,84 5 0,01 0,1476 0,05 0,1976 V

100

1,5( ) 200 10 0,1 3 1 4 mA

100

9,84<Z>= 93,18

105,6 10

V

I

( ) ( )( ) 0,114 V ( ) 2,31 mA

3 3

V Iu V u I

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2

2 2 2

2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 9,840,114 0,00231 1,165 4.155 5,32

0,1056 0,1056

( ) 2,31

Z Z Vu Z u V u I u V u I

V I I I

u Z

2) Com os resultados de uma outra medição efetuada com um medidor RLC foi possível desenhar o gráfico

representado à direita. Indique, justificadamente uma topologia possível para a impedância Z.

O circuito RC-paralelo tem as propriedades representadas no gráfico. Impedância óhmica pura no limite

das baixas frequências com Z=R, Módulo a tender para zero e ângulo a tender para -90º no limite das

altas frequências.

3) Sabendo que a resistência interna do multímetro, quando utilizado como voltímetro é óhmica pura

valendo RV=1 kΩ e que o ângulo da impedância Z a 1 kHz vale 45º corrija o valor do módulo da

impedância obtido em 1) compensando o efeito de carga do voltímetro.

A tensão na impedância é lida pelo voltímetro, e sem efeito de carga, mas a corrente no miliamperímetro

é a soma vetorial das correntes na impedância e no voltímetro. Do triângulo de correntes da figura pode

obter-se o valor da corrente na impedância.

Z

A

V

2 2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 cos45º

2

22 0

2

2 2

2 2

G Z V Z V

Z ZG Z Z

V V

Z ZZ Z G

V V

Z Z ZZ G

V V V

I I I I I

V VI I I

R R

V VI I I

R R

V V VI I

R R R

6,958 105.37 98.41 mA

9.8499,99

0.09841

Z

corr

I

Z

B. Análise Espetral

Pretende-se construir um analisador de espetros modular com largura de banda de visualização

LB=[0:10] kHz. Para esse efeito dispomos dos seguintes módulos: Um filtro passa-baixo com largura de

banda LB e ganho unitário na banda passante, um oscilador sinusoidal comandado por tensão, um gerador de

rampas, um filtro passa-banda de ganho igual a 5 na frequência central f0 = 25 kHz, um multiplicador com a

saída igual ao produto das entradas dividido por 5, um conversor RMS/DC de sensibilidade igual a

1,0 VDC/VRMS, e um monitor analógico com entradas XY.

1) Represente o diagrama de blocos de um analisador de espetros modular e indique a banda de frequências

varridas pelo VCO. Qual o valor eficaz da onda gerada pelo VCO de modo a que a amplitude das riscas

espetrais seja igual ao valor eficaz das componentes espetrais do sinal de entrada?

Filtro passa-baixo 10 kHz

VCOfmín=25 kHzfmáx=35 kHz

Gerador de rampas

Filtro passa-banda 25 kHz

Conversor RMS/DC

MONITOR

Y

X

Vi

Para determinar a amplitude das oscilações do VCO comecemos por por considerar que a

entrada é puramente sinusoidal de valor eficaz conhecido. Experimentalmente o processo de

calibração consistiria em variar a amplitude da tensão de saída do VCO até que a risca no

espetro tivesse uma altura igual a esse valor eficaz.

No caso presente consideremos que o sinal de entrada é sinusoidal de frequência angular S

e que o VCO tem uma saída também sinusoidal de frequência 0VCO S em que 0 é a

frequência central do filtro passa-banda. Calculemos a tensão à saída do multiplicador:

0 0

( ) ( )( ) cos( ) cos[( 2 ) ]

5 5 5

Sef VCOef Sef VCOefS VCOM S

V V V Vv t v tv t t t

Na saída do filtro passa-banda, com ganho igual a 5 na frequência central, tem-se a tensão

0( ) cos( )F Sef VCOefv t V V t

cujo valor eficaz é igual a 2

Sef VCOef

Fef

V VV . Assim, à saída do conversor RMS/DC temos a

tensão 2

Sef VCOef

DC

V VV . Para que DC SefV V deve ter-se 2 V. VCOefV

2) Mediu-se o espetro de uma onda quadrada de amplitude igual a 2 V e frequência f=1 kHz, utilizando um

filtro “anti-alising” de largura de banda LB. Sabendo que o valor esperado para o valor eficaz da

UZ

IZ

45º

IG

IV

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

frequência / kHz

Te

nsã

o / V

RM

S

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

frequência / kHz

Te

nsã

o / V

RM

S

componente fundamental é igual a 90% da amplitude, qual o valor eficaz que um voltímetro digital

“TRUE RMS” mediria à entrada e à saída do filtro “anti-alising”?

Na onda quadrada a amplitude é igual ao valor eficaz. Assim, à entrada do filtro ler-se-ia um

valor de 2 V.

Na saída do filtro a tensão será inferior porque todas as harmónicas de frequência superior a

10 kHz são retiradas.

O valor eficaz da componente fundamental vale

1 0,9 2 1,8 VefV e para as harmónicas:

3 1

5 1

7 1

9 1

/ 3 0,6 V

/ 5 0,36 V

/ 7 0,257 V

/ 9 0,2 V

ef ef

ef ef

ef ef

ef ef

V V

V V

V V

V V

2 2 2 2 21,8 0,6 0,36 0,257 0,2 1,96 VefV

3) A banda de frequências varridas pelo VCO foi alterada para [fmín : fmáx]=[20 : 30] kHz. Apresente um

gráfico com o resultado esperado para esta nova situação.

Para fVCO=20 kHz no início do varrimento, como 20+5=25

A 5ª harmónica é detetada na posição correspondente a 0 Hz.

Sendo fk a frequência da harmónica k é necessário que

fVCO+fk=25 kHz ou fVCO-fk=25 kHz se verifique para aparecer

representação no visor. No gráfico ao lado pode ver-se que

as três primeiras riscas (harmónicas 5, 3 e 1) correspondem à

primeira situação e as três últimas riscas (harmónicas 1, 3 e

5) à segunda situação.

C. Transdutores

E

R+∆

RR

-∆R

R=10 kΩ

E=5 V

VO∆ VE

R+∆

RR

-∆R

+

AI

A figura em cima representa um transdutor de pressão configurado em ponte de Wheatstone com

amplificação por amplificador de instrumentação.

1) Determine uma expressão para a tensão ∆V em função da variação relativa da resistência R (∆R/R), e o

ganho diferencial do amplificador de instrumentação AI de modo a obter uma tensão VO=2 V quando

∆R/R=2%.

2

2 2 22 2 2

R R R R R RV E E E

R R R R

d2 5 0,02 0,2 V G =10V

2) Diga o que entende por fator de rejeição de modo comum. Apresente os circuitos com instrumentos de

medida que permitem medir o fator de rejeição de modo comum num amplificador de instrumentação.

Para medir o fator de rejeição de modo comum é necessário começar por medir os ganhos de modo

comum e de modo diferencial: As montagens podem ser as seguintes:

+INA

V2

V1+

INA

V2V1

Modo diferencial Modo comum

A razão entre V2 e V1 permite obter os ganhos e a razão entre o ganho em modo diferencial e modo

comum é o fator de rejeição de modo comum, que geralmente é expresso em dB.

3) Verifica-se que a variação relativa da resistência R em função da pressão P expressa em MPa é dada pela

expressão

1 12 1

100 100

RP

R

.

Projete um circuito cuja entrada é a tensão de saída VO do amplificador de instrumentação e cuja saída é

numericamente igual a P.

A tensão VO pode exprimir-se como função de / :R R

2 100O d

R RV G E

R R

A expressão dada em que a variação relativa de R é expressa em função de P pode substituir-se por:

2 2

2

1 2 1 ( 1) 2 1 2 1 2 1

2

O O O O

OO

V P V P V V P

VV P

VO VO2

VO2

2 +R

R

P

D. Conversor de Aproximações Sucessivas

A tensão de saída de um transdutor é digitalizada, utilizando para tal um conversor de aproximações

sucessivas com um alcance unipolar igual 4 volt.

1) Qual o número mínimo de bits do conversor para que a sua saída digital possa ser representada

consistentemente num visor numérico (base 10) de 3 dígitos e meio, com um erro máximo de meio

dígito?

(Nota: A conversão do número binário com parte fracionária para a base 10 é realizada por um

controlador. Essa questão não é aqui abordada)

Num visor numérico como o descrito o último dígito da parte fracionária representa uma milésima da

unidade. Meio dígito representará portanto na base 10

3

10 0,5 10

A representação binária do número fracionário será da forma:

1 0 1 2 3, ....fNb b b b b b (2 bits para a parte inteira e Nf bits para a parte fracionária)

A variação correspondente ao último bit da parte fracionária será:

2

1

2 fN

A condição a impor será 3 1

0,5 10 2000 2 112

f

f

NfN

N

Mas são necessários mais 2 bits para representar a parte inteira (que pode tomar os valores 0;1;2 ou 3).

O número total de bits será N=13.

Outro modo de calcular N será em termos de 1 LSB. Um LSB deve ser inferior a 30,5 10 .

34 2 1

1 0,5 10 2000 2 800142 1

NN

NLSB

13N

2) Determine quais os cinco bits mais significativos na conversão da tensão de 3 volt?

Como 1 2

1 13 4

2 2

a representação exata existe e será 1100000000000

Mas como no segundo dígito se verifica igualdade entre a entrada analógica (Vi=3) e a conversão pelo

DAC o comparador pode não disparar. Assim o segundo bit ficaria a zero, mas os restantes seriam todos

iguais a 1.

Primeira situação

Segunda situação

Ordem do bit


a cada "1" testado

Tensão de saída do conversor D/A a ser

comparada com Vi

Tensão resultante

bit

Ordem do bit


a cada "1" testado

Tensão de saída do conversor D/A a ser

comparada com Vi

Tensão resultante

bit

0,0000000000

0,0000000000

13 2 2 2,0000000000 1

13 2 2 2,0000000000 1

12 1 3 3,0000000000 1

12 1 3 2,0000000000 0

11 0,5 3,5 3,0000000000 0

11 0,5 2,5 2,5000000000 1

10 0,25 3,25 3,0000000000 0

10 0,25 2,75 2,7500000000 1

9 0,125 3,125 3,0000000000 0

9 0,125 2,875 2,8750000000 1

8 0,0625 3,0625 3,0000000000 0

8 0,0625 2,9375 2,9375000000 1

7 0,03125 3,03125 3,0000000000 0

7 0,03125 2,96875 2,9687500000 1

6 0,015625 3,015625 3,0000000000 0

6 0,015625 2,984375 2,9843750000 1

5 0,0078125 3,0078125 3,0000000000 0

5 0,0078125 2,9921875 2,9921875000 1

4 0,00390625 3,00390625 3,0000000000 0

4 0,00390625 2,99609375 2,9960937500 1

3 0,001953125 3,001953125 3,0000000000 0

3 0,001953125 2,998046875 2,9980468750 1

2 0,000976563 3,000976563 3,0000000000 0

2 0,000976563 2,999023438 2,9990234375 1

1 0,000488281 3,000488281 3,0000000000 0

1 0,000488281 2,999511719 2,9995117188 1

3) Compare o desempenho do conversor de aproximações sucessivas com o conversor de dupla rampa e

com o conversor instantâneo. Qual a diferença entre número de bits de um conversor e número efetivo de

bits do mesmo conversor? Qual dos três conversores referidos atrás tem geralmente um maior número

efetivo de bits?

Os três conversores podem ser comparados em velocidade e em exatidão. O conversor instantâneo é o

mais rápido e, em geral, os conversores baseado em integradores são os mais lentos. A exatidão digital é

exatamente a oposta, pois o conversor instantâneo produz palavras digitais com poucos bits, enquanto o

conversor em dupla rampa, dada a imunidade ao ruído de valor médio nulo pode produzir palavras

digitais com muitos bits.

O número de bits de um conversor é o comprimento da palavra digital que o conversor produz. Na

conversão A/D os conversores apresentam sempre ruído de quantificação. Um conversor ideal só produz

esse ruído de quantificação, mas os conversores reais produzem outros ruídos e distorções. Quanto

menos bits tem um conversor maior é o ruído de quantificação. O número efetivo de bits, sendo em

geral inferior ao número de bits, obtém-se considerando que todo o ruído produzido é equivalente ao

ruído de quantificação, ou seja, atribuído a uma quantificação baseada num número de bits inferior.

O maior número efetivo de bits será produzido pelos conversores baseados em integração, mas isso não

represente uma maior qualidade. A qualidade de um conversor só se pode avaliar tendo em conta as

tarefas que geralmente lhe são atribuídas.



1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3)

2,5 2 1 2 1,5 2 1 2 2 1 2 1

instituto superior tcnico - autenticação · tempo com o canal de representação da corrente e...

Documents