integer linear programming - angelfire · investigación de operaciones m. en c. eduardo bustos...

Investigación de Operaciones

M. en C. Eduardo Bustos Farías 1

Integer Linear Programming



Introduction• There exists a class of LP problems where

all or some of the variables in the optimal solution are restricted to be non-negative, integer valued

• Such problems are referred to as “all-integer (or pure integer)” or “mixed integer”depending, respectively, on whether all or some of the variables are constrained to integral values



Introduction• Regular simplex may yield an integer

solution to a special class of LP problems, e.g. transportation or assignment problems

• There is no guarantee that such a condition will be satisfied, in general

• It is generally inaccurate to obtain integer solutions from continuous solutions by “rounding” the variable values



Introduction

• In fact, in some cases rounding variable values from a continuous solution to integer values may result in infeasible solutions

• To solve this problem, in 1958, R. E. Gomory developed the cutting plane algorithms for treating both the pure and mixed integer LP problems



Introduction

• The cutting plane algorithm makes use of the dual simplex method

• It constructs “secondary” constraints which, when added to the optimum, non-integer solution in a regular simplex tableau, will effectively “cut” the solution space toward the required integer result



Introduction

• Successive applications of these constraints should gradually force the non-integer optimum solution toward the pure or mixed integer optimal solution

• The following example graphically illustrates the cutting plane procedure



Example

x2

1

2

3

4

integers and ,0, 35 7 63 ..

97

21

21

21

21

≥≤+≤+−

1 2 3 4 5 6 x1

+=

xxxxxxtsxxZMax

2

1

Secondary Constraints

Z=63

Optimum Continuous Solution

Optimum pure integer solution



Introduction

• From the preceding example, we see that the idea here is to change the convex set of the solution space so that the appropriateextreme point becomes an all-integer point

• Such a change should be made without “slicing off” any of the feasible integer solutions or the original problem



Objective

Determine how to develop these secondary constraints in a systematic way so as to achieve the desired pure or mixed integer solution to an LP problem



PROCEDIMIENTOS DE SOLUCIÓN

1. Métodos gráficos2. Redondeo de la solución óptima de

programación lineal3. Enumeración completa4. Planos de corte5. Ramificación y acotamiento



Métodos gráficos

Los métodos gráficos pueden ser de cierta utilidad para resolver problemas con dos variables enteras.

Al igual que con la programación lineal, resolver un problema de programación entera, en forma gráfica, implica un proceso de cuatro pasos.

Los primeros tres pasos son idénticos a los que se utilizaron para la programación lineal, pero el cuarto es distinto.



Estas etapas son:1. Plantear el problema en forma

matemática.2. Graficar o "trazar", las restricciones.3. Graficar la función objetivo.4. Encontrar los valores de las variables de

los puntos de celosía que tienen la más alta utilidad.



• Este cuarto paso requiere que se mueva la función objetivo hacia el exterior hasta encontrar el punto de celosía que tenga la mayor utilidad y que también sea factible en términos de PL.

• Ya no sólo buscamos los vértices de la región factible de PL; debemos considerar también los puntos de celosía que se encuentran dentro de la región factible de PL.



EJEMPLO



En la figura se ha trazado la restricción para este problema y se han dibujado tres líneas rectas (dentro de cada una de las cuales cualquier punto representa la misma utilidad) con valores de 9, 12 Y 15, respectivamente.

Se muestran también los puntos de celosía para el problema.

En esta figura, puede verse que la solución óptima de PL ocurre en el vértice que tiene como coordenadas x1 = 0 y x2 = 2.5, y que arroja un valor de Z = 12.5.

También puede apreciarse que la línea de utilidades que tiene un valor de Z = 12 pasa a través del punto de celosía x1 = 4, x2 = 0 (punto I).

Dado que esta es la línea de 150-utilidades más alta que pasa a través de un punto de celosía, la solución óptima de programación en enteros debe ser x1= 4, x2 = 0 con Z = 12.



En esta figura, se marcaron los puntos enteros con un signo + y/o se dan sus coordenadas.

Con frecuencia se denomina a estos puntos puntos de celosía.

Observe que el punto de celosía (0, 3) no es factible, puesto que no cae dentro de la región factible de PL (el área sombreada en la figura).

De manera similar, todos los puntos que son factibles para la programación lineal pero que no son puntos de celosía tampoco son factibles para PE.

Por ello, para que un punto sea factible en PE, debe satisfacer las restricciones de programación lineal y ser un punto de celosía.



• Sin embargo, revisando la lista anterior de puntos de celosía factibles, encontramos que la solución óptima de programación en enteros no se encuentra cerca de la solución óptima de PL.

• De hecho, la solución óptima de PE se presenta en el punto de celosía (4, 0), que tiene un valor para Z de 12.



POR EL MÉTODO SIMPLEXVARIABLES CONTINUAS



Redondeo de la solución óptima de programación lineal

• El término redondeo, cuando se aplica a problemas de programación en enteros se refiere a utilizar la parte entera de una solución de programación lineal como solución para el problema de programación en enteros.

• El método usual es intentar seguir en la región factible haciendo un redondeo hacia el número inferior, en el caso de problemas de maximización, y haciendo un redondeo hacia el número superior, para problemas de minimización.

• Aunque el redondeo es un procedimiento muy común para resolver problemas prácticos de programación en enteros, en ciertos casos puede conducir a dificultades.



En primer lugar, habrá casos en los que la solución redondeada de PL no sea óptima para el problema específico de programación.

Por ejemplo, considere el problema que se comentó antes.

En ese problema, cuya gráfica aparece en la figura, la solución óptima de PL ocurrió en x2 = 2.5 Y x1= 0.

Si redondeamos al número inferior para continuar en la región factible, encontramos como solución x2 = 2 y x1= 0, con un valor objetivo de 10.

Sin embargo, la solución óptima fue x1 = 4 y x2 = 0, que tiene un valor de la función objetivo de 12.

En ese ejemplo, aunque fue posible encontrar una solución factible mediante redondeo, la solución tuvo un valor objetivo inferior al de la solución óptima.

Existen también casos en los que la solución redondeada no es óptima y ni siquiera factible.



Considere la situación que se ilustra en la figura.

En este problema de programación en enteros, se pretende maximizar la función objetivo.

La solución óptima de PL se encuentra en el punto A de la gráfica.

Sin embargo, el punto A no es una solución entera, por lo que debe buscarse la verdadera solución óptima de PE.

Si se redondea la solución óptima de PL hacia el número inferior, encontramos el punto B o el punto C.

Ambos son puntos de celosía pero ninguno es factible; por ello, en este caso, el redondeo conduce a soluciones no factibles.

La solución óptima de PE se encuentra en el punto D.

Éste puede ser un ejemplo de los problemas que pueden ocurrir cuando se utiliza el redondeo, pero demuestra que es necesario tener cuidado cuando se hace esto.



Enumeración completa• El uso de una enumeración

completa o total de todos los puntos de celosía, como en el ejemplo de junto, no es práctico porque produce muchos problemas.

• El número de valores que deben enumerarse puede crecer mucho con bastante rapidez.

• Por ejemplo, si un problema de programación en enteros tiene 100 variables, cada una de ellas está restringida a tomar valores 0 o 1 (problema al que por lo general se le denomina binario o 0-1), entonces existen 2100 posibles puntos de celosía que deben enumerarse.

• Esto es demasiado para que el procedimiento de solución de la enumeración completa sea práctico.



• En este caso, los puntos A hasta I satisfacen este criterio, tal como se muestra en la tabla (también aparece el valor de la función objetivo para cada punto factible).

• La solución óptima de PL se encuentra en el punto (0, 2.5) que tiene un valor de Z de 12.5.



Métodos del plano de corte

• Uno de los primeros métodos teóricos para encontrar la solución óptima global, propuesto por Gomory en 1958, se denomina método del plano de corte.

• En este método, el procedimiento busca la solución óptima de PE cortando en forma sucesiva parte de la región factible continua (de PL).

• El proceso se continúa hasta que la solución óptima de PL para el problema reducido es entera.

• Esta es entonces la solución óptima de PE.



• Para ilustrar gráficamente la forma en que esto funciona, considere de nuevo el problema.



Dado que la solución óptima de PL no es entera, se añade una nueva restricción que “corta” la solución óptima de PL.

No es necesario revisar la forma en que se genera esta nueva restricción, excepto decir que excluye la antigua solución de PL al mismo tiempo que no excluye punto alguno de celosía.

Si se recorta una parte suficiente de la región x1=2 y x2=2.5, entonces la nueva solución de PL se convierte en el punto I en (4,0).

En forma gráfica, se muestra el resultado en la figura, en la que la restricción del plano de corte elimina lo suficiente de la antigua región factible para ocasionar que la nueva solución óptima de PL ocurra en un punto de celosía (I); y el punto I es la solución óptima de PE.



• En este ejemplo, el método del plano de corte parece funcionar bien.

• Por desgracia, la experiencia con los planos de corte ha mostrado que es bastante frecuente que se requieran muchas restricciones adicionales (es decir, muchos “cortes” adicionales) para producir una solución que sea completamente entera en los problemas reducidos de PL.



Pure Integer Algorithm

• BASIC REQUIREMENT– All the coefficients and the right hand side

constant of each constraint must be in integer form, i.e., no fractional coefficients or constants

3926

: toed transformbemust 2

1331

21

21

≤+

≤+

xx

xx



Pure Integer Procedure1. The problem is solved as a regular LP

problem by simplex, disregarding the integrality constraint

2. If the optimal solution happens to be pure integer, STOP

3. Otherwise, develop secondary constraints which will force the solution toward pure integer solution as follows:



Let the final optimal simplex tableau for the non-integer solution be given in the form below

mnm

jmmm

ini

jiii

njnj

njmi

x

x

xcccZ

bwwwxxxxZBasic

βααα

βααα

βαααβ

1

1

111111

01

121

10000

01000

0001000001

Basic Variables Non-basic Variables



Pure Integer Procedure

• The variables xi (i = 1, 2, ..., m) represent the basic variables, while the variables wj(j = 1, 2, ...., n) are the non-basic variables

• These variables have been arranged in the preceding tableau for convenience of presentation




Consider the ith equation where the variable xi assumes a non-integer value. This is given by:

[ ][ ] ij

ii

n

jj

jiii

f

f

wx

+=

+=

−= ∑=

ji

ji

i

i1

and

Let

integer-non is where,

αα

ββ

βαβ




• In the previous slide,

• It follows thataaN ≤∋= Ninteger largest theis ][

fraction negative-non a

is whilefraction, positivestrictly

a is 10 and 10

ij

iiji

f

fff ⇒<≤<<



Pure Integer ProcedureFor example,

53

52

32

31

21

21

1011

3211

][][

−−−−−−

−= aafaa




1.The problem is solved as a regular LP problem by simplex, disregarding the integrality constraint. If the optimal solution happens to be pure integer, STOP. Otherwise go to step 2.




2. Select one variable, xi, in the current basis that has a non-integer solution. Generate a cutting plane constraint by use of the following equation:

and add it to the final, optimal tableau

iij

n

jij fSwf −=+−∑

=1




3. Since, by construction, the wj = 0 (the non-basic variables), then the new constraint states that Si = -fi, which violates the non-negativity constraint, Si > 0.

4. Use dual simplex to iterate to feasibility. If the feasible solution is optimal and all-integer, STOP. Otherwise, go to step 2.



The previously optimal simplex tableau with a Gomory cutting plane constraint added

iinijii

mnm

jmmm

ini

jiii

njnj

injmi

ffffSx

x

xcccZ

bSwwwxxxxZBasic

−−−− 100000010000

001000

000010000001

1

1

1

111111

01

121

βααα

βααα

βαααβ



Example

integers and ,0, 35 7 63 ..

97

21

21

21

21

≥≤+≤+−

+=

xxxxxxtsxxZMax

21

223

221

1

21

221

227

2

1115

1128

4321

21

4010310063001

−xxZ

bxxxxZBasicww

Non-integers!



Rule of Thumb

Select the constraint equation having thevalue in the latest simplex tableau

for generation of a Gomory cutting plane constraint (ties broken arbitrarily)

)(max iif



ExampleChoose the x2 - equation first:

21

223

221

1

21

221

227

2

1115

1128

4321

21

4010310063001

−xxZ

bxxxxZBasicww

21

14221

3227

21

4221

3227

2

21

4221

3227

2

:is constraintGomory theThus,

)3()0()0( 3

−=+−−

+=++++=++

Sxx

xxxorxxx



21

223

221

1

21

221

227

2

1115

1128

4321

21

4010310063001

−xxZ

bxxxxZBasicww

ExampleGomory constraint added for the x2 - equation

21

221

227

1

21

223

221

1

21

221

227

2

1115

1128

14321

21

10004001030100630001

−−−−

SxxZ

bSxxxxZBasicww



ExampleAfter applying dual simplex to remove the infeasibility:

74

722

71

3

74

71

71

1

2

14321

21

1100040010

310010059810001

−−

xxxZ

bSxxxxZBasicww



ExampleNow, writing a Gomory constraint for the x1 - equation:

74

2176

471

74

176

471

1

)4()1()0(

−=+−−+=+−+++

SSxorSxx



Example

74

76

71

2

74

722

71

3

74

71

71

1

2

214321

21

1000010100040001030100100

590810001

−−−−−

SxxxZ

bSSxxxxZBasicww



Example

47610000114010004110001030100100

557200001

4

3

1

2

214321

21

−−−

xxxxZ

bSSxxxxZBasicww

Apply dual simplex to cure the infeasibility in the previous tableau

Final, optimal tableau, all-integer solution



The Mixed Algorithm

1. If one, or more, but not all variables of an LP problem are constrained to be integer, step 2 only of the pure integer algorithm must be revised as follows:

2. Select one variable, xk, in the basis that is constrained to be integer, but has a non-integer value in the current final optimal simplex tableau. Generate a Gomorycutting plane constraint by use of the following equation:

− + = −=∑λjj

n

j k kw S f1



The Mixed AlgorithmIn the preceding Gomory constraint:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−−

≤

<−

≥

=

integral is and if ),1(1

integral is and if ,

integral-non is and 0 if ,1

integral-non is and 0 if,

jkkjkjk

k

jkkjkj

jj

kj

kk

k

jj

kj

k

j

wffff

f

wfff

wf

f

w

αα

αα

λ



ExampleConsider the same problem solved previously, but now suppose it is required that only x1 be restricted to nonnegative integer values. Thus, from the x1 - equation:

x x x11

22 33

22 41

24− + = +( )

Since and is non - integral, then its Gomory coefficient

is

α

α

13 1

22 3

12

12

122

122

0

1 1

= − < =

−=

−− =

,

( )

w x

ff

j

k

kkj



Example

Similarly, since and is non - integral, the Gomory

coefficient of is just

14

14

α

α

= >=

=

322

4

43

22

0w x

xj

Thus, the entire Gomory constraint for the x equation is:

1 −

− − + = −122 3

322 4 1

12x x S



ExampleAdding the Gomory constraint to the optimal simplex tableau, we get:

Basic Z x x x x S bZxxS

1 2 3 4 128

1115

11

27

22122

12

1122

322

12

1122

322

12

1 0 0 0 630 0 1 0 30 1 0 0 40 0 0 1

−− − −



ExampleAfter application of dual simplex, the optimal mixed integer solution is:

Basic Z x x x x S bZxxx

1 2 3 4 123

11

210

3313

13

1111

413

223

113

1 0 0 0 10 580 0 1 0 30 1 0 0 1 40 0 0 1

−−

−



Example

So, from the preceding branching diagram, we see that after all bounds on branches have been computed, and all branches have been fathomed, the optimum integer solution is:

Z x x= = =14 4 21 2, ,* * and



Branch and Bound

• This approach to IP problems applies directly to both pure and mixed problems

• The underlying idea is to first solve the LP problem as a continuous model by simplex

• Suppose that xr is an integer-constrained variable whose optimum continuous value, xr* is fractional, having integer part [xr*]



Branch and Bound

• Then the range

cannot include any feasible integer solution. Thus, a feasible integer value of xr must satisfy one of the two conditions:

[ *] [ *]x x xr r r< < +1

or x x x xr r r r≤ ≥ +[ *] [ *] 1



Branch and Bound

• These two conditions, when applied to the continuous model, result in two mutually exclusive problems.

• In this case, it is said that the original problem is branched (or partitioned) into two subproblems



Branch and Bound• Now, each subproblem may be solved as an

LP (using the same objective function) of the original problem

• If its optimum is feasible w.r.t. the integrality requirements, its solution is recorded as the best one so far available

• In this case, it will be unnecessary to further “branch” this subproblem



Branch and Bound• Otherwise, the subproblem must be

partitioned into two subproblems by again imposing the integer conditions on one of its integer variables that currently has a fractional optimal value

• The process continues branching until each subproblem terminates either with an integer solution or there is evidence that it cannot yield a better one



Branch and Bound

Once a feasible integer solution is found, its associated objective function value can be used as a bound (u.b. in the case of minimization and l.b. in the case of maximization)



Branch and Bound

The concept of bounding indicates that if a continuous optimum solution of a subproblem yields a worse objective value than the one associated with the best integer solution, it does not pay to explore that subproblem any farther, and the branch is said to have been fathomed



ExampleMax Z x xs t x x

x xx x

and integers

= ++ ≤+ ≤

≥

2 35 7 354 9 36

0

1 2

1 2

1 2

1 2

. .

,

2 4 6 8 10

2

4

6

x2

8

x1

Optimum Continuous Solution

1 2

Z=14.471

x1*=3.706

x2*=2.353

Optimum Solution



Example

• Since both x1* and x2* are non-integers, we may choose either to branch from first.

• If we choose x2*, then we partition the original problem into two problems by adding constraints:

x x x x2 2 2 22 1 3≤ = ≥ + =[ ] [ ]* * or



Example

Max Z x xs t x x

x xx

x x

and integers

= ++ ≤+ ≤

≤≥

2 35 7 354 9 36

20

1 2

1 2

1 2

2

1 2

. .

,

The two resulting subproblems are shown below:

Max Z x xs t x x

x xx

x x

and integers

= ++ ≤+ ≤

≥≥

2 35 7 354 9 36

30

1 2

1 2

1 2

2

1 2

. .

,



ExampleThe graphical solutions of these two subproblems are shown below

2 4 6 8 10

2

4

6

x2

8

1 22 4 6 8 10

2

4

6

x2

8

1 2

33

Z=14.4

x1*=4.2

x2*=2

Z=13.5

x1*=2.25

x2*=3



Example

integers and 0, 4 2 3694 3575 ..

32

21

1

2

21

21

21

≥≤≤≤+≤++=

xxx

xxxxxts

xxZMax

Branching from x2 < 2, two resulting sub-problems are shown below:

integers and 0, 5 2 3694 3575 ..

32

21

1

2

21

21

21

≥≥≤≤+≤++=

xxx

xxxxxts

xxZMax



ExampleThe graphical solutions of these two sub-problems are shown here:

2 4 6 8 10

2

4

6

8

x2

1 2

3

Z=14

x1*=4

x2*=2

2 4 6 8 10

2

4

6

x2

8

1 2

3

Z=14.28

x1*=5

x2*=1.43

4 4



Example

integers and 0, 1 5 2 3694 3575 ..

32

21

2

1

2

21

21

21

≥≤≥≤≤+≤++=

xxx

xxxxxxts

xxZMax

integers and 0, 2 5 2 3694 3575 ..

32

21

2

1

2

21

21

21

≥≥≥≤≤+≤++=

xxx

xxxxxxts

xxZMax

Branching from x1 > 5, two resulting sub-problems are shown below:



ExampleThe graphical solutions of these two sub-problems are shown here:

2 4 6 8 10

2

4

6

8

x2

1 2

3

Z=14.2

x1*=5.6

x2*=1

4

2 4 6 8 10

2

4

6

x2

8

1 2

3

4Z=infeas.

55



Example

If we continue branching and calculating the bounds for each subproblem branch as illustrated in the previous two slides, we will arrive at the following branching diagram



BRANCHING DIAGRAMZ=14.471, x1*=3.706, x2*=2.353

x2 3≥ x2 2≤

Z=13.5, x1*=2.25, x2*=3 Z=14.4, x1*=4.2, x2*=2

Z=14, x1*=4, x2*=2 Z=14.286, x1*=5, x2*=1.43

Z=14.2, x1*=5.6, x2*=1 Z=∞, infeasible solution

Z=13, x1*=5, x2*=1 Z=14.14, x1*=6, x2*=0.71

Z=12, x1*=6, x2*=0 Z=∞, infeasible solution

Optimal Solution

x1 4≤ x1 5≥

x2 2≥x2 1≤

x1 5≤ x1 6≥

x2 0≤ x2 1≥



Resolución de problemas enteros por el método de Ramificar y Cortar

• En un problema con enteros existe un númerofinito de soluciones posibles (no todas son factibles) que pueden representarse medianteun diagrama de árbol.

• No hace falta enumerar todas las solucionesposibles si se pueden eliminar “ramasdominadas”.

• Una rama puede eliminarse si puededemostrarse que no contiene una soluciónfactible que sea mejor que una ya obtenida.



Pasos en el método de Ramificar y Cortar

1. Comenzar: resolver el problema como si fueraun problema ordinario de PL (relajación de enteros). La solución obtenida se toma comocota máxima y base para el procedimiento de búsqueda de una solución factible.

2. Ramificar: a partir de la solución de PL designaruna variable como entera y seleccionar, a partirde los posibles valores enteros que pueda tomar, una rama para investigarla.



Ramificar y Cortar (cont.)

• 3. Limitar: encontrar un límite para el problema definido por la rama seleccionada. El límite está dado por el valor de la mejorsolución factible de enteros encontradahasta el momento, y domina a todos losotros posibles resultados de una rama.



Ramificar y Podar (cont.)

4. Comparar: comparar la solución obtenida en la rama con el límite de referencia vigente.Si el valor de la solución es menor que el límite vigente, se

elimina de consideración toda la nueva rama. Se continúacon las ramas que no hayan sido evaluadas aún.



Si el valor de la solución es mejor que el límitevigente y si la solución es entera (factible), entonces se convierte en el nuevo límite de referencia. Se examinan las ramas que aún no se han considerado en relación al nuevo límite.

Si el valor de la solución es mayor que el límitevigente, pero la solución no es entera (factible) deben explorarse las ramificaciones de nivelinferior en la misma rama.



Ramificar y Cortar (cont.)

• 5. Terminar: quedarse con la mejorsolución factible obtenida una vezexaminadas todas las ramificaciones.



Métodos de ramificación y corte• Los métodos de plano de corte utilizan

restricciones adicionales para excluir las soluciones no enteras de PL.

• En contraste, los métodos de ramificación y acotación (sugeridos originalmente por Land y Doig en 1960) pretenden hacer lo mismo a través de una estrategia de “divide y vencerás”.

• Esto implica dividir la región factible en segmentos de tal manera que la solución anterior de PL que no era entera no se incluya en la nueva región factible.



• Dividir la región factible en segmentos da como resultado problemas adicionales que deben resolverse; pero dado que las regiones factibles de nuestros nuevos “subproblemas”son menores que la región factible del problema principal, el proceso de solución al nivel del subproblema debe ser más simple.

• El proceso de dividir y subdividir continúa hasta que puede demostrarse que ninguno de los subproblemas tiene una solución óptima que sea mejor que una solución entera calculada con anterioridad.



Existen cuatro posibles resultados para cada subproblema.

1. Si un problema no es factible, no se le investiga más.2. Si la solución de PL para el problema es entera, se registra

ésta como la posible mejor solución y no se investiga más el problema.

3. Si la solución de PL es peor que alguna solución entera que ya se conoce, entonces no se investiga más el problema.

4. Si la solución de PL es fraccionaria pero mejor que cualquier solución entera que se conoce hasta ese momento, se divide la región factible para ese subproblema de manera que se excluya una parte de la solución. Se continúa este problema hasta que no existen subproblemas que deban investigarse.



Para ilustrar en forma gráfica el procedimiento de ramificación y acotación utilizaremos una variación del ejemplo original. Conservaremos la función objetivo pero cambiaremos la restricción. El problema nuevo (modificado) es:

Para este problema, la solución óptima de PL sigue siendo la misma (x1 = 0 y x2 = 2.5 y Z = 12.5).

Para excluir la solución no entera necesitamos dividir la región factible para que x2=2.5 ya no sea factible.

Hacemos esto planteando dos subproblemas. Uno de ellos tendrá la restricción adicional x2≥3, y el otro

tendrá la restricción adicional x2≤2. Denominamos a estos subproblemas P1 y P2, y

compararemos sus soluciones de PL con la solución que ya conocemos de PE calculada mediante redondeo (es decir, x2 = 2, x1 = 2 y Z = 10).



En la figura se muestra en forma gráfica el resultado de crear los subproblemas añadiendo estas dos restricciones.

Observe que el subproblema P1 no es factible puesto que si x2≥3, no es posible que .

La solución óptima de PL para P2 se encuentra en x1 = 0.6 y x2 = 2 para alcanzar un valor de 12.

Dado que la solución óptima del problema P2 es al mismo tiempo fraccionaria y mejor que mejor solución conocida de programación entera (a la que denominaremos conocida), tenemos el resultado que se comentó antes.

Entonces, repetimos el proceso de subdivisión sobre el problema P2 para generar otros dos problemas nuevo P3 y P4;



En estos dos subproblemas hemos excluido el valor fraccionario de x1 con las dos nuevas restricciones que se añadieron a P2.

El resultado se muestra en la gráfica de la figura. Para P3, las restricciones x1 ≤ 0 y x1 ≥ 0 se convierten en x1 = 0.

Entonces, la solución óptima ocurre en (0,2) que es la solución entera que se encontró mediante redondeo.

Este es el resultado (2) que se comentóantes.

Para P4, la solución óptima ocurre en (1, 1.75), que es fraccionaria, por lo que es necesario continuar subdividiendo P4 para excluir el valor fraccionario de x2.

Esta subdivisión conduce a P5 y P6;



En P5, las dos restricciones x2 ≤ 2 y x2 ≥ 2 se reducen a la simple restricción x2 = 2; en P6, x2 ≤ 2 resulta redundante por la nueva restricción x2 ≤ 1.

Los problemas se han resuelto en forma gráfica en la figura.

En esta figura, se observa que la combinación de las restricciones x1 ≥ 1 y x2 = 2 no es factible para PL, por lo que puede descartarse el subproblemaP5.

Para la P6, la solución óptima ocurre en (2,1). Dado que la solución óptima de P6 ocurre en un

punto de celosía, no es necesario seguir investigando P6.

También, dado que el valor de la función objetivo de (2,1) es 11, que es más alto que el valor entero que encontramos antes (10), se tiene una nueva solución actualizada.

Finalmente, y dado que ya no hay más subproblemas que sea necesario investigar, se encuentra que la solución entera actualizada es óptima.



El proceso de ramificación y corte puede mostrarse en un diagrama para ilustrar la ramificación que se lleva a cabo.

En la figura se realiza esto para el ejemplo.

El nombre ramificación y corte proviene de la división del problema (ramificación) en subproblemas y del uso de la PL para resolver los subproblemas con el objeto de determinar cuál es la mejor solución (no necesariamente entera) para cada subproblema(la cota).



SOLUCIÓN CON WINQSB



Problemas con Variables Binarias• Estibaje: son problemas con una sola restricción de

capacidad.

• Cargo Fijo: hay un costo asociado con desarrollar unaactividad que no depende del nivel de la actividad.

• Cobertura: cada elemento de un conjunto debe ser “cubierto” por un elemento aceptable de otro conjunto. El objetivo del problema es minimizar el número de elementos del segundo conjunto requerido para cubrirtodos los elementos del primer conjunto.

• Escala mínima de operación

integer linear programming - angelfire · investigación de operaciones m. en c. eduardo bustos...

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