integracion multiple

Elkin Teran Gomez, Jesus Eiber Velazco, Jose Alejandro Vargas, Sebastian David Ossa

CALCULO 3

INTEGRACION MULTIPLE

ELKIN TERAN GOMEZ código: 100612010615

JESUS EIBER VELASCO código: 100613010173

SEBASTIAN DAVID OSSA código: 100612010678

JOSE ALEJANDRO VARGAS código: 100613010660

TRABAJO: INTEGRALES MULTIPLES

PRESENTADO A:

ANDRES FELIPE ESCALLON PORTILLA

INGENIERO ELECTRONICO Y EN TELECOMUNICACIONES

UNIVERSIDAD DEL CAUCA

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES

POPAYAN, CAUCA

12-JUNIO-2015


2

CONTENIDO

.

1. INTRODUCCIÓN ..........................................................................................

2. OBJETIVOS .................................................................................................

2.1 OBJETIVO GENERAL ............................................................................

2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ..................................................................

3. MATERIALES Y MÉTODOS ........................................................................

3.1 MATERIALES .........................................................................................

3.2 METODOLOGÍA ......................................................................................

4. DESARROLLO DEL PROYECTO ...............................................................

4.1 INTEGRALES INTERADAS Y ÁREA EN EL PLANO ............................

4.2 INTEGRALES DOBLES Y VOLUMEN ...................................................

4.3 CAMBIO DE VARAIBLES: COORDENADAS POLARES .....................

4.4 ÁREA DE UNA SUPERFICIE .................................................................

4.5 INTEGRALES TRIPLES Y APLICACIONES ..........................................

4.6 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS Y

ESFERICAS ..................................................................................................

4.7 CAMBIO DE VARIABLE: JACOBIANO .................................................

4.8 INTEGRALES DE LINEA ........................................................................

RECOMENDACIONES

BIBLIOGRAFÍA


3

1. INTRODUCCIÓN

De la misma manera en que la integral de una función positiva de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una

función positiva de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una

función definida en una región del espacio xyz, el resultado es

un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Es importante destacar que no es posible calcular la función

primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que

las integrales múltiples indefinidas no existen

http://es.wikipedia.org/wiki/Hipervolumen

http://es.wikipedia.org/wiki/Signos_de_integraci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitiva

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitiva

http://es.wikipedia.org/wiki/Antiderivada


4

2. OBJETIVOS

2.1 OBJETIVO GENERAL

Aplicar los conceptos aprendidos en clases para el desarrollo

adecuado de cada uno de los problemas que se presenten en el

capítulo 14.

2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Como usar una integral doble para encontrar el volumen de una región sólida. Como escribir y evaluar integrales dobles en coordenadas polares ya que para ciertos problemas su solución es más sencilla mediante un cambio de coordenadas rectangulares a polares.

Usar una integral doble para encontrar el área de una superficie.

Saber usar una integral triple para encontrar el volumen.

Escribir y evaluar integrales triples en coordenadas cilíndricas y

esféricas. Entender y usar el jacobiano para cambiar variables en una

integral doble.


5

4. MATERIALES Y MÉTODOS

4.1 MATERIALES

En el presente trabajo se usaron diversas herramientas como el software

Matlab que sin lugar a duda fue de mucha utilidad para la verificación de

algunas integrales y también para graficar cierto tipo de funciones esto para

lograr los mejores resultados y exactos posibles.

4.2 METODOLOGÍA

Para el desarrollo de los ejercicios propuestos se usaron los conceptos de integrales iteradas, Cambio de variables, coordenadas polares, Integrales dobles, Integrales triples, Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas para el desarrollo de problemas como lo fueron área en el plano, área de una superficie, volúmenes, etc.


6

4. DESARROLLO DEL PROYECTO

4.1 INTEGRALES INTERADAS Y ÁREA EN EL PLANO

Evaluar la integral iterada en los siguientes ejercicios:

1.

∫ ( )

∫

∫

3.

∫

∫

( )

( ) ( )

5.

∫ ,

-

√

√

( )

7.

∫


7

∫

∫

4

5

√

( )

9.

∫

(

∫

) Evaluando en y 0

. ( )/ ( ( ))

(

)

11.

∫ ∫ ( ) ∫ ( )

√

13.

∫ ∫ (

) ∫ 4

5

(

* (

*


8

15.

∫ ∫

∫ (

*

( )

17.

∫ ∫ ( ) ∫ ( )

∫ ( ) ( )

∫

19.

∫ ∫ √ ∫ √


9

∫ √

∫

4

5

. ( )

/

.

/


10

4.2 INTEGRALES DOBLES Y VOLUMEN

En los siguientes ejercicios aproximar la integral dividiendo el rectángulo R con vértices (0,0), (4,0), (4,2) y (0,2) en ocho

cuadrados iguales y hallando la suma donde (𝒙𝒊,𝒊) es el centro del cuadrado i-ésimo. Evaluar la integral iterada y compararla con la aproximación.

1.

Aproximación por sumas de Riemman.

∫ ∫ ( ) ∫ ( )

Como se puede observar por la distribución de los vértices nos damos

cuenta que los centros de cada uno de los 8 cuadros son: (1/2,1/2),

(3/2,1/2), (5/2,1/2), (7/2,1/2), (1/2,3/2), (3/2,3/2), (5/2,3/2), (7/2,3/2).

∑ ( )

∑( )( )( )

3.

∫ ∫ ( ) ∫ (

*

∑( )( )( )


11

En el siguiente ejercicio dibujar la región R y evaluar la integral iterada

5.

∫ ∫ ( )

Si usamos el cuadro i-ésimo de la esquina más alejada obtenemos 272.

∑ ( )

, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )-

∑ ( )

=272

En el siguiente ejercicio dibujar la región R y evaluar la integral iterada


12

7.

∫ ∫ ( ) ∫ ( )

Para realizar la gráfica observamos los límites de integración y los ubicamos

en el plano cartesiano así:

9.

∫ ∫ ( ) ∫ (

*

11.


13

∫ ∫ ( ) ∫ √

√

√

[ ( )

]

En los siguientes ejercicios dar integral para cada orden de integración y utilizar el orden más conveniente para evaluar la integral en la región R.

13. Para la siguiente integral delimitada por el rectángulo de vértices (0,0), (0,5), (3,5), (3,0).

∬

De los vértices dados podemos observar que los límites de integración son

∫ ∫ ∫

[

]

15.

Integral acotada por y=x, y=2x, x=1, x=2


14

∬

De las cotas vemos que los límites para la integral son los siguientes.

∫ ∫

∫ ( )

∫ ( ) ( )

(

*

17.

Integral acotada por y=4- , y=4-x

∬

Para poder conocer los límites de integración debemos de recurrir a la

gráfica de la integral.

La recta es la función y=4-x y la curva es la

función y=4- .

De ahí vemos que la solución al problema está dada por:

∫ ∫ √


15

∫ ∫ ∫ (( ) ( ) )

19.

El sector circular en el primer cuadrante acotado por √

∬

Igual que en el caso anterior debemos recurrir a la gráfica de la integral para ver sus límites de integración.

Así pues tenemos:

∫ ∫ ∫ ∫ √

∫ ∫ √

∫

( )


16

4.3 CAMBIO DE VARAIBLES: COORDENADAS POLARES

En los siguientes ejercicios se muestra la región R para la

integral. Decir si serían más convenientes usar coordenadas rectangulares o polares para evaluar la integral

1. En este caso es mejor trabajar con coordenadas rectangulares puesto que no se tratan de regiones circulares, cardiodes y pétalos de una curva rosa. Respuesta: Es más conveniente usar coordenadas rectangulares. 3. En este caso es mejor trabajar con coordenadas polares puesto que se trata de una región circular. Respuesta: Es más conveniente usar coordenadas polares. 5. La región R es un medio círculo de radio 8. Y la figura la podemos describir

en coordenadas polares como: R=*( ) + 7. La región R es una cardioide con a=b=3 .Se puede describir en coordenadas polares como:

R=*( ) ( ) + 9.

∫ ∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫

( )

Gráficamente:


17

11.

∫ ∫ ( )

∫ ( ) ∫ ( )

Gráficamente:

13.

∫ ∫ √

-Resolvemos por separado la integral más interna:

∫ √

-Hacemos u= , derivando a ambos lados du=-2r dr


18

∫√

-Regresando a la variable original

( ) ⁄

√

∫ √

√

Gráficamente:

15.

∫ ∫ ( )

∫ ( ( ))

∫

( )

( )

Obtenemos los resultados trabajando la integral dividiéndola en tres integrales más sencillas

∫

∫ ( )


19

∫ ( )

Sumando Resultados

∫

( )

( )

Gráficamente:

En los siguientes ejercicios evaluar la integral iterada pasando a coordenadas polares.

17.

∫ ∫ √

Sabemos que x=r cosx y que y=r senx Convirtiendo a condenadas polares:

∫ ∫ ( )

∫ ( )


20

19.

∫ ∫ √ √

Pasamos a coordenadas polares:

√

Por lo tanto sabemos que r esta entre:

Ahora:

( ) ( )

Ahora resolvemos la nueva integral:

∫ ∫ (

∫ ∫ ( )

∫ ∫ ∫ 0

1

∫

, -


21

4.5 ÁREA DE UNA SUPERFICIE

En los siguientes ejercicios hallar el área de la superficie dada

por 𝒛=(𝒙,𝒚) sobre la región R.

1. f(x,y)=2x+2y en R=Triangulo cuyos vértices son: (0,0),(4,0),(0,4)

Derivadas parciales = 2, = 2

√ , - , -

√ √

∫ ∫

∫ ∫

∫ ( )

3. f(x,y)=7+2x+2y en R=*( ) + Derivadas parciales = 2, = 2

√ , - , -

√ √

∫ ∫

∫


22

5. f(x,y)= 9 - en R= Cuadrado cuyos vértices son :

(0,0),(2,0),(0,2),(2,2) Derivadas parciales = -2x, = 0

√ , - , -

√ √

∫ ∫ √

∫ (√ )

√

(√ )

√

7. f(x,y)=

R= Rectángulo cuyos vértices son : (0,0),(0,4),(3,4),(3,0).

=

, = 0

√ , - , -

√

√

∫ ∫ √

∫ √


23

√

9. f(x,y)=ln(secx) y R=2( )

3

Derivadas parciales tan(x), = 0

√ , - , -

√ ( ) √ ( ) ( )

∫ ∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

√

11. f(x,y)= √ R=*( ) ( ) + Derivadas parciales

√ , =

√

√ , - , -

√ (

√ ) (

√ ) √

√

∫ ∫ √


24

∫√

√

13. f(x,y) = √ R=*( ) + Derivadas parciales

√ ,

√

√ , - , -

√ (

√ ) (

√ ) √

x=rcos(x) y=rsen(y)

√

∫ ∫

√

∫ .√ /

(√ )

En los siguientes ejercicios hallar el área de una superficie.

15. Porción del plano z=24-3x-2y en el primer octante. Derivadas parciales


25

-3, =-2

√ , - , -

√ √ Nota: Para saber los límites de integración tanto en x y en y hacemos z=0 y

la función despejándola en términos de x seria:

.

Si y=0 entonces x=8.

∫ ∫ √

∫

√ ( )

=48√ 17. Porción de la esfera en el interior del cilindro

√ ,

√

√ , - , -

√ (

√ ) (

√ ) √

√

Sabemos que x=r cosx y que y= rsenx: √

( ( )) ( ( ))


26

∫ ∫

√

∫

= 20

19. f(x,y) = 2y + R: triángulo cuyos vértices son (0, 0), (1, 0), (1, 1). , =2

√ , - , -

√ √

∫ ∫ √

∫

√

S= √


27

5.5 INTEGRALES TRIPLES Y APLICACIONES

En los siguientes ejercicios evaluar la integral iterada.

1.

∫ ∫ ∫ ( )

∫ ∫ ,

-

∫ ∫ (

* ∫ [

-

, -

3.

∫ ∫ ∫

∫ ∫ , -

∫ ∫ ∫ 6

7

∫

6

7

5.

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ( )

-

∫ ∫

∫ , - ∫ ( )


28

,( )

-

(

)

7.

∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ , ( ) -

∫ ∫ ( ) ( )

∫ , ( ) ( )- ∫ ( )

6

7

En el siguiente ejercicio utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral

9.

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , - ∫ ∫

√

√

√

√

√

√

∫ , - √

√

∫ (√ √ )

∫ . √ / ∫ √

Para resolver esta última integral procedemos de la siguiente manera:

*


29

Remplazando queda:

∫ √

∫ √

11.

∫ ∫ ∫ ( )

∫ ∫ ( ) , -

√

√

∫ , ( )- √

∫ 0 ( ) .√ /1

∫ 0 .√ /1

0 .√ /1

En los siguientes ejercicios dar una integral triple para el volumen del solido

13. El sólido en el primer octante acotado por los planos

coordenados y el plano =5− − .

Si z =0 {


30

∭ ∭

∭

∫ ∫ ∫

15. El sólido acotado por el paraboloide

Remplazando:

6

√

Entonces Tenemos:

∫ ∫ ∫

√

√

√

√

17. El sólido que es el interior común bajo la esfera

y sobre el paraboloide

( )

( )

√


31

Se reemplaza y tenemos:

( )( ) 2

Si z=8 entonces

Ahora:

√ Por lo tanto la integral nos queda:

∫ ∫ ∫ √

( )

√

√

19. En el siguiente ejercicio utilizar una integral triple para hallar el volumen del solido mostrado en la figura.

Por la figura tenemos:

Así se tiene que el volumen:


32

∭ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ , -

∫ ∫ ∫ 6

7

∫ ( )

∫ ( ) [

]


33

5.6 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS Y

ESFERICAS

En los siguientes ejercicios evaluar la integral iterada

1.

∫ ∫ ∫ ( )

∫ ∫ 6

( )7

∫ ∫ ( )

∫ , ( )-

∫

, -

( )

3.

∫ ∫ ∫ ( )

( )

∫ ∫ ( ) ( ) ( )

∫ 64

5 ( )7

( )

∫ , ( ) ( ) - ( )

6 ( )

( )

7


34

En el siguiente ejercicio utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral iterada

5.

∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ 6

7

( )

( )

( )

∫ ∫ ( )

( )

Hacemos un cambio de variable:

( ) ( )

Por lo tanto tenemos:

∫ ∫

∫ 6

( )

7

∫ [

]

∫

En el siguiente ejercicio utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral iterada

7.

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , -

∫ ∫

Por tablas de integración podemos resolver la integral más interna por tanto:

∫ , ( )-

∫ , ( )-

, ( )-


35

∫ , ( ) -

∫ , -


∫ , -

, ( ) -

,(, - , -)-

, -

( )

En los siguientes ejercicios dibujar la región solida cuyo volumen está dado por la integral iterada, y evaluar la integral iterada:

9.

∫ ∫ ∫ ∫ ∫


∫ [

]

∫ ( )


( )


36

11.

∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ 6

7

( )

∫ ∫ ( )

∫ , ( )-

√ ∫

√

√

En los siguientes ejercicios convertir la integral de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y a coordenadas esféricas, y evaluar la integral iterada más sencilla:

13.

∫ ∫ ∫

√

√


37

COORDENADAS CILINDRICAS

Pasamos a coordenadas cilíndricas y por lo tanto hallamos los límites de

integración:

√ √

Por lo tanto r esta entre: 0 ≤ ≤ 2

Entonces se tiene que =2cos ; =2sin ; = , luego se calculó los límites

de integración para :

( ) ( )

( ) ( )

Así se obtiene que 0≤ ≤ , por lo tanto la integral queda de la siguiente

manera:

∫ ∫ ∫ ( )

∫ ∫ ( ) , -

∫ ∫ ( ) ( )

∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) 6

7

∫ ( ) 6

7

∫ ( )

∫ ( )


38

15.

∫ ∫ ∫ √

√

√

COORDENADAS CILINDRICAS

Pasamos a coordenadas cilíndricas y por lo tanto hallamos los límites de

integración:

√

√ √

De donde se obtiene que 0≤ ≤

Entonces se tiene que = cos ; = sin ; = , luego se calculó los límites

de integración:

( ) ( )

( ) ( )

Así se obtiene que 0≤ ≤ , por lo tanto la integral queda de la siguiente

manera:

∫ ∫ ∫ ( ) √

∫ ∫ ∫ ( ) √

Al resolver esta integral se tiene que:

∫ ∫ ∫ ( ) √

∫ ∫ ( )(√ )

∫ ( )√ 6

7

∫ ( )(√ )


39

.√ / , ( )-

.√ / ( )

COORDENADAS ESFERICAS

Para expresar la integral original en coordenadas esféricas se tienen que cambiar

los límites de integración así:

√

( ) 4√ 5

Pero se sabe que:

( ) ( )

( ) ( )

( )

Reemplazando se tiene que:

Cuando

Con lo anterior se puede decir que:

Haciendo el mismo procedimiento que en coordenadas cilíndricas obtenemos los

valores de .

Reemplazando se tiene que la integral en coordenadas esféricas queda:


40

∫ ∫ ∫ ( ) ( )

( )

Ojo: Resolver esta integral es muy complicado.

En los siguientes ejercicios usar las coordenadas cilíndricas para hallar el volumen del solido:

17. Solido interior a (

) (

)

Tenemos:

( )

(

) (

)

Ahora encontramos los límites de integración:

√

√ √

Lo pasamos a coordenadas cilíndricas y por lo tanto tenemos:

√ √

( )

Ahora remplazando en la integral estos nuevos límites de integración

procedemos a resolver la integral:

∫ ∫ ∫ √

√

( )

∫ ∫ ∫ √

( )

∫ ∫ ( )

√ ∫ 6 ( )

7

( )


41

∫ ( ( ))

6 ( )

( )

7

( )

19. Solido limitado arriba por y abajo por

∭ ∭

( )

Entonces la integral que

∭ ( )

Y además la curva de intersección

( )

( ) ( )

∫ ∫ ∫ ( )

( )

Ahora resolvemos la integral:

∫ ∫ ∫ ( )

( )

∫ ∫ ( ( ) ) ( )

∫ ∫ ( ( ) ) ∫ [ ( ) 6

7 6

7]

( )

( )


42

∫ 4 ( )

( )

5

∫ ( )

∫ ( )

[

( )

( )]

[

( )

( )]


43

5.7 CAMBIO DE VARIABLE: JACOBIANO

En los siguientes ejercicios hallar el jacobiano (𝒙,𝒚)𝝏(𝒖,𝒗)⁄ para el cambio de variables indicado.

1.

( )

( )

Las derivadas parciales de (x) y (y) son:

El jacobiano es:

( )

( ) (

) (

)

3.


El jacobiano es:


44

( )

( ) (

) .

/

( )

5.


El jacobiano es:

( )

( ) (

) .

/

( ) ( )

7.

( ) ( )


( )

( )

( )

( )


45

El jacobiano es:

( )

( ) (

) ( ( ) ( )

( ) ( ) *

( ( ))( ( )) ( ( ))( ( ))

( ( ) ( ))

En los siguientes ejercicios dibujar la imagen S en el plano uv de la región R en el plano xy utilizando las transformaciones dadas

9.

Despejo v de la segunda función

(

)

Tabulamos unos valores para poder dibujar:

(x,y) (u,v)

0,0 0,0

3,0 1,0

2,3 0,1


46

11.

( )

( )

Despejo v de la segunda función

Tabulamos unos valores para poder dibujar:

(x,y) (u,v)

½, ½ 1,0 3/2, 3/2 3,0

0,1 1,-1

1,2 3,-1


47

En el siguiente ejercicio verificar el resultado del ejemplo indicado por establecer la integral usando dydx o dxdy para dA. Después, usar el sistema algebraico por computadora para evaluar la integral

13.

La región R está acotada por las rectas 1 Evaluar la integral ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Hallamos el primer término:

∫ ∫ ∫ ∫

( )

∫

( )( )

6

7

Hallamos el segundo término:

∫ ∫ ∫ ∫

( )

∫ ( )

6

7


48

Hallamos el último término:

∫ ∫ ∫ ∫

∫

[

]

Ahora para terminar tenemos que sumar el resultado de cada término:

En los siguientes ejercicios utilizar el cambio de variable indicado para hallar la integral

15.

( )

( )


( )

( ) (

) (

)

(

* (

* (

* (

*

∫∫ ( ) ∫ ∫ [ ( )

( ) ] (

*


49

∫ ∫ ( ) ∫ (

*

Evaluando entre 1 y -1 tenemos el resultado final:

17.

( )


( )

( ) (

) .

/

( )( ) ( )( )

∫∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫

19.

∫∫


50

√

√

( )

( ) (

)

(

)

(

)


51

5.8 INTEGRALES DE LINEA

1.

En los siguientes ejercicios hallar una parametrización suave a trozos de la trayectoria C.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Por lo tanto C está dado por:

( )

( ) ( ) ( )

3.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Por lo tanto C está dado por:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

5.

. ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Ahora parame trizamos geométricamente para obtener:

( ) ( )

( ) ( ) , -


52

En los siguientes ejercicios evaluar la integral de lineal a lo largo de la trayectoria dada

7.

∫ ( ) ( ) ( )

La integral se evalúa entre: 0<t<1

Para empezar se expresa la ecuación de la recta en la forma paramétrica:

( ) ( )

Derivamos estas dos funciones y obtenemos

√( )

Por tanto la integral de línea toma la siguiente forma:

∫ ∫ ( )( )( ) ∫

[

]

9.

∫ ( ) ( ) ( )

La integral de línea se evalúa entre: 0<t<π/2

Para empezar se expresa la ecuación de la recta en forma paramétrica:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Derivamos y obtenemos:

( ) ( )

Implica:

√ ( ) ( )


53

Por tanto la integral de línea toma la siguiente forma:

∫ ∫ ( ) ( ) ∫

∫

En los siguientes ejercicios hallar la parametrización de la trayectoria c y evaluar

11.

∫

Segmento de la recta de (0,0) a (1,1)

( )

La integral de línea se evalúa entre

( ) ( )

Para empezar se expresa la ecuación de la recta en forma paramétrica:

( ) ( )

Derivamos:

Lo que implica que:

√( ) √

∫ ∫ ( )

√ ∫ √

√


54

13.

R

( ) ( )

∫

( ) ( ) ( )

La integral de línea se evalúa entre 0<t<π/2

Para empezar se expresa la ecuación en forma paramétrica:

( ) ( ) ( ) ( )

Derivamos:

( ) ( )

Lo que implica:

√ ( ) ( )

∫ ∫ ( ) ( )

∫

15.

∫( )√

C: Eje x de x=0 a x= 1

( )

La integral de línea se evalúa entre 0<t<1

Para empezar se expresa la ecuación en forma paramétrica:


55

( ) ( )

Derivamos:

Lo que implica:

√

∫( )√ ∫

17.

C: triangulo cuyos vértices son (0,0), (1,0) y (0,1), recorrido en sentido

contrario a las manecillas del reloj.

∫( )√

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

La integral de línea se evalúa entre: 0<t<1

Para empezar la primera se expresa la ecuación en forma paramétrica:

( ) ( )

Derivamos:

Lo que implica:

√

∫( )√ ∫


56

Para empezar la segunda se expresa la ecuación en forma paramétrica:


( ) ( )

Derivamos:

Lo que implica

√( ) √

∫( )√ ∫ ( ) √( ) √

Evaluando t entre los límites de 1 y 2

√ 6

( )

7

√


Para empezar la tercera se expresa la ecuación en forma paramétrica:

( ) ( )

Derivamos:

Lo que implica:

√( ) √

∫( )√ ∫ √

,

( )

-

Evaluamos t entre 3 y 2:


57

Para obtener el resultado sumo los tres resultados que encontramos:

∫( )√

√

( √ )

19.

∫ √

( )

( )

( )


Para empezar la primera se expresa la ecuación en forma paramétrica:

( ) ( )

Derivamos:

Lo que implica:

√

∫ √ ∫


Para empezar la segunda se expresa la ecuación en forma paramétrica:

( ) ( ) ( )


58

Derivamos:

Lo que implica:

√

∫ √ ∫


Para empezar la tercera se expresa la ecuación en forma paramétrica:

( ) ( ) ( )

Derivamos:

Lo que implica:

√

∫ √ ∫

Para obtener el resultado sumo los tres resultados:


59

CONCLUSIONES

Es útil analizar detenidamente cada integral para escoger un correcto

orden de integración y así facilitar su resolución.

El uso de software matemático puede resultar muy útil al momento de

solucionar integrales de complejidad considerable.

Graficar las funciones dadas es de mucha ayuda, pues así

entendemos con mayor facilidad su comportamiento.

Realizar las sustituciones correctas en cada integral ayuda a facilitar

su resolución.


60

RECOMENDACIONES

-Tener en cuenta que las gráficas que aparecen se realizaron en

Matemáticas de Microsoft y otras en Matlab 2014.

-Como parte importante el desarrollo de algunas integrales se hicieron por

medio de software libre como matcad ya que como usted lo había

mencionado que en lo posible si algunas integrales son de tabla no era

necesaria su desarrollo detallado ya que el curso no trata del aprendizaje de

resolución de integrales ya que eso era parte de cálculo 2.


61

BIBLIOGRAFÍA

Cálculo 2, de varias variables, Ron Larson.

Cálculo de varias variables, Steward.

Integral múltiple, Wikipedia,

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_m%C3%BAltiple

https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/3976/mod_resource/con

tent/0/tema1/3-imult.pdf

https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/4088/mod_resource/con

tent/0/tema1/practicas1/1-problemasR-ido-p.pdf

http://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/7287/5/5-

Integraci%C3%B3n%20M%C3%BAltiple.pdf

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http://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/7287/5/5-Integraci%C3%B3n%20M%C3%BAltiple.pdf

http://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/7287/5/5-Integraci%C3%B3n%20M%C3%BAltiple.pdf

integracion multiple

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funcin definida

integrales triples

jose alejandro vargas

sebastian david ossa

integrales interadas

integrales dobles

jesus eiber velazco

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