REAS

R

a b

Vamos agora definir uma expresso que ser muito til na resoluo deste problema, o de determinar a rea sob o grfico de uma funo contnua.

Considere ento uma funo f :[a, b] contnua neste intervalo.

Tomemos agora valores x0, x1,x2,...,xn em [a,b], tais que a=x0< x1 < x2

Escolhamos agora nmeros c1, c2, ..., cn, tais que , para cada i=1,2,...,n. 1[ , ]i i ic x x

Definamos ento a soma dada por

1 1 2 2 n nf c x +f c x ++f c x

n

i i

i=1

= f c x onde o comprimento de cada

i i i-1x =x -x

subintervalo [xi-1, xi] da partio.

Tal expresso chamada Soma de Riemann da funo f

Definio: Seja f uma funo cujo domnio inclui o intervalo [a,b] e P={x0, x1, x2, ..., xn} uma partio deste intervalo. Dizemos que f integrvel em [a, b] se existir o limite

i

n

i imaxx 0i=1

lim f c x

Existindo o limite acima, ele denominado Integral Definida da funo f de a at b e denotado por

( )b

af x dx

Para tanto, consideremos, no eixo x, a partio P do intervalo [a,b], dada por

0 1 2 1i i na x x x x x x b K K

R

a=x0 x1 x2...xi-1 xi... xn-1 xn=b

Agora, vamos interpretar geometricamente a integral definida de a at b da funo f.

Agora, para cada subintervalo da vamos escolher um tal que

1[ , ]i ix xic 1 1i ix c x

R

a=x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6=bc1 c2 c3 c4 c5 c6

(Tomemos n=6)

Considere agora, para cada intervalo da partio, o retngulo de base igual a , onde , e altura igual a .

1[ , ]i ix x ix

i i i-1x = x -x if c

a=x0 c1 x1 c2 x2 c3 x3c4 x4c5x5c6 x6=b

R

f(c1)f(c2)

f(c3)f(c4) =f(c5)

f(c6)

Notemos que cada um dos 6 retngulos portanto possui rea i i iA = b h= x f cPortanto, a soma A6 das reas de todos os retngulos correspondentes partio :

6 1 1 2 2 3 3A = f c x f c x f c x 4 4 5 5 6 6f c x f c x f c x

ou 6

6 i i

i=1

A = f c x

Notemos que medida que se torna muito grande, a rea An tende ao que entendemos ser a rea A da regio R, ou seja,

lim nnA A max 01

limi

n

i ixi

f c x

No entanto, o limite que aparece direita na igualdade acima corresponde Integral Definida da funo f de a at b, o que nos permite reescrever a rea A como segue:

Se f contnua no intervalo [a,b] e

f x 0, x [a,b] ento o nmero dado por( )

b

af x dx

a rea da regio limitada pelo grfico de f, o eixo Ox e pelas retas x = a e x = b.

Por que estamos sempre supondo que f

seja contnua, ao falarmos em integral

definida de f ??

Teorema: Se uma funo f for contnua num intervalo [a,b] do seu domnio, ento f integrvel neste intervalo.

Definio: Se a > b e existe, ento

( )a

bf x dx

( ) ( )b a

a bf x dx f x dx

Definio: Se f(a) existe, ento

( ) 0a

af x dx

Propriedades da Integral Definida

1) Se f(x)=k, para todo , ento[ , ]x ab

( ) ( )b

af x dx k b a

Ex: Calcular a integral 2

13dx

Pela propriedade acima, temos:2

13 dx 3 (2 1) 3 1 3

2) Se f uma funo integrvel em [a, b] e k uma constante qualquer, ento:

( ) ( )b b

a akf x dx k f x dx

3) Se f e g so funes integrveis em [a,b], ento f + g tambm integrvel em [a,b] e

[ ( ) ( )] ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f xdx g xdx

4) Se f integrvel em um intervalo [a,b] que contm c, ento tem-se:

( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx

a c b

A1A2

5) Se f e g so funes integrveis em [a, b] e , ento( ) ( ), [ , ]f x g x x a b

b b

a af(x)dx g(x)dx

fg

a b

Os Teoremas Fundamentais do Clculo

Teorema (1 T.F.C.): Seja f uma funo contnua no intervalo [a,b].

Ento a funo F, definida por

tem derivada e x

a

F(x)= f(t)dt

'( ) ( )F x f xTeorema (2 T.F.C):

Se f uma funo contnua em [a,b], ento

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a

onde F uma primitiva de f

OBS: Usa-se a notao para

representar a expresso

( )b

aF x ( ) ( )F b F a

Calcular a integral 3

4

0x dx

Temos que a funo uma primitiva de . Da, temos:

5xF(x) =

54f(x) = x

3

4

0x dx

35

0

x=

5

5 53 0= -

5 5243

=5

Calcular a integral 3

-2x - 1dx

Para o clculo desta integral, lembremos que:

x - 1, se x 1x - 1 =

-x +1, se x

Como as funes e 2x

F(x) = - x22x

G(x)=- +x2

so primitivas de e( ) 1f x x ( ) 1gx x , respectivamente, temos:

3

-2x - 1 dx

3 1

1 -2(x - 1)dx (-x +1)dx

32

1

x= -x

2

12

-2

x+ - +x

2

1 ( 2)

2 2

- +1 - +(-2)2 2

3 1

2 2

= - 3 - - 12 2

9 1

= - 3- +12 2

1+ - +1+2+2

2

= 2 9+2

13=

2

Calcular a integral 3

13 1x dx

Fazendo u=3x-1, temos du = 3dx, ou alm disso, temos que:

1x 3 1 1u 2u 3x 3 3 1u 8u

3

dudx

Da, temos:

3

13 1x dx

8

2 3

duu

81/ 2

2

1

3u du

83/2

2

u=

3/2

83

2

2 u=

3

8 2

3 32 2=

3 3

4 2

32 2=

3 328 2

=3

Calcular 2

x

1

x e dx

Faamos de onde temos: xu=x e dv=e dx

du=dx e xv= e dx

Da, aplicando a frmula, temos:

2

x

1

x e dx bb

a a= u v - v du

x=e

2 2x x

11= x e - e dx

2

x

1

x e dx2

12 1

2 1 x= e e - e

2 2x x

11= x e - e dx

2 2 2= e e- e e

2 2 2= e -e-e +e

2=e2

x

1

x e dx

O Clculo de reasJ vimos que se f uma funo contnua e no-negativa em um intervalo [a,b], a rea da regio limitada pelo grfico de f, o eixo Ox e as retas x = a e x = b dada por

( )b

af x dx

Se em [a,b],ento a rea da regio entre o grfico de f e o eixo x e entre as retas x = a e x = b dada por

0f x

( )b

a

A= f x dx ( )= -b

a

f x dx

Calcular a rea da regio limitada pelo grfico da funo ,pelo eixo Ox e pelas retas x = -1 e x = 2.

( )= +2 2f x x

Notemos que . ( ) " -0, [ 1,2]f x x

(vejamos um esboo do seu grfico:)

Como f contnua em todo o seu domnio, a rea pedida dada por:

-

= 2

1

( )A f x dx-

+2

2

1

( 2)x dx=

-1 2

-

= +

23

1

23x

x ( ) ( )

33 -12= + 2 2 - + 2 -1

3 3

8 -1= + 4 - - 2

3 38 1

= + 4 + + 23 3

9 . .ua=

Primeiro faamos um esboo do grfico a fim de

visualizar a regio cuja rea

queremos.

3

Calcular a rea da regio limitada pela curva , a reta x = 3 e o eixo Ox.= 3y x

Observe que a curva intersecta o eixo x no ponto (0,0) e por isto j temos a o limite inferior da integrao, ou seja, a=0.

Alm disso, a funo dada contnua e tem-se . Da, temos: 0, [0,3]f x x

3 3

0A x dx

34

0

x=

44 43 0

= -4 4

81A= u.a

4

Determine a rea da regio limitada pelo grfico de e pelo eixo Ox.

2 4y x x

Esboando o grfico da curva

vemos a regio pedida:

2 4y x x

R

Notemos que a curva dada intersecta 2 vezes o eixo x, ou seja, as razes de f so os limites da integral que dar a rea.

Como temos x = 0 e x = 4, e ainda que no intervalo [0,4] tem-se ,caso em que a rea dada por:

f(x) 0

( )b

a

A= f x dx

Desta forma, temos:

4

2

0A= x - 4x dx

43

2

0

x= - 2x

3

4 03 32 2-2 4 -2 03 3

64= - 32

3

32A = -

332

= u.a.3

Calcular a rea da regio limitada pelo grfico de e pelo eixo Ox, de ( )f x senx /2 /2a

Esboando o grfico, temos:

2 2

Notemos que a rea pedida constituda de uma parte acima e outra abaixo do eixo x

Neste caso, a rea ser dada por:

2

0A= senxdx

0

- 2

+ senxdx

20

= -cosx +0

-2

-cosx

-cos /2 - -cos0 + -cos0 - -cos(- /2)

(-cos /2)+ cos0 -cos0 + cos(- /2)

= 0 + 1+ -1+ 0 A=2 u.a.

rea da regio entre duas curvas

Sejam duas funes contnuas em [a,b], com

f e g f(x) g(x), x [a,b]

A rea da regio limitada pelos grficos de f e g e pelas retas x = a e x = b dada por

b

aA= [f(x)- g(x)]dx

Calcular a rea da regio limitada pelas curvas 2 2y x x e 2 3y x

Fazendo um esboo do grfico destas duas curvas, notamos as mesmas se intersectam em dois pontos, cujas abscissas so os valores de a e b que limitaro a integral.

1 3

Para calcular os pontos de interseco entre as curvas, fazemos encontrando x=1 e x=3.

2 2 2 3x x x

Alm disso, notemos que no intervalo [1, 3] a parbola est sempre acima da reta

Da, aplicando a frmula, temos:

3

2

1A= -x +2x - -2x+3 dx

3

2

1= -x + 4x - 3 dx

33

2

1

x= - + 2x - 3x

3

3 32 23 1= - +2 3 - 3 3 - - +2 1 - 3 1

3 31

=-9+18 - 9+ - 2+33

4A= u.a.

3

Consideremos o grfico de uma funo y = f(x)

y = f(x) : Segmento de Reta

A

B 2 2s = (b - a) + (f(b) - f(a))

( )f a

a

( )f b

b

Teorema de Pitgoras

contnua no intervalo [a,b]

y = f(x) :Curva qualquer

Seja C curva de equao y = f(x)contnua e derivvel em a,bSeja P uma partio de dada por a,b

0 1 2 1... ...i i na x x x x x x b P1 P2

0a x 1x 2x 3x 4x 5x b

A P3P4

B Sejam os respectivos pontos sobre a curva .

1 , , ... ,0 nA = P P P B

C

0a x 1x 2x 3x 4x 5x b

A

P1 P2

P3P4

B Ligando estes pontos consecutivamente

s(comprimento da curva do ponto A ao ponto B)

(aproximadamente)

2 2i i i -1 i i -1s = (x - x ) + (f(x ) - f(x ))

n

2 2n i i -1 i i -1

i=1

s = (x - x ) + (f(x ) - f(x ))

Aplicando o Teorema do Valor Mdioem cada intervalo 1 ,i ix x

1 1 ( ) ( ) ( )( )i i i i if x f x f c x x

Ponto no intervalo 1( )i ix x

2 2) )

n22

n i i -1 i i i -1i=1

n n

i i i -1 i ii=1 i=1

s = (x - x ) + f (c )(x - x )

1+ f (c (x - x ) = 1+ f (c x

2max 0

lim )x

n

i ii=1

s = 1+ f (c x

2)b

a

s = 1+ f (x dx

Se f (x) contnua em o limiteacima existe e usando a definio de integral definida, temos:

a,b

Se a curva C o grfico de uma funo x = g(y), onde g contnua e possui derivada g contnua, o comprimento do arco da curva C do ponto A(g(c),c) e B(g(d),d) dado por:

2)d

c

s = 1+ g'(y dy

Calcular o comprimento do

arco da curva dada por de4 ,3

2y x

1 3( , )A at 4 4( , ).B4

41

3 A

B

24

1

31

2 s x dx

2)b

a

s = 1+ f (x dx

4

1

91

4 s x dx

42

1

31

2

s x dx

Faamos 29

14

t x 9

24

t dt dx

8

9dx t dt

Segue que a integral indefinida

91

4 x dx 2 8

9 t t dt

328 8

9 9 3

tt dt

43

1

91

48

9 3

x

Portanto, temos:4

1

91

4 x dx

323

28 13

= 10 -27 4

323

28 8 13

= 10 -27 27 4

80 10 13 13

27

.u c

32

41

91

8 49 3

x

y

x

y ax

Eixo de revoluo

y

x

y ax

R

Slido=regio espacial

f contnua e no negativa em a,b

2i i iV f c x n

2

n i ii 1

V f c x

i

n2

T i imax x 0

i 1

V lim f c x

b

2

Ta

V f x dx

y f x

a bR

y

xx

y y f x

T

ixi 1x ic

if c

Encontre o volume do slido gerado pela rotao, em torno do eixo Ox, da regio limitada pela curva ,pela reta e pelo eixo dos x.

y tgx x3

2

2

3

x

y

x

y

2

b 3

2 2

a 0

V f x dx tg xdx

mas 2 2tg x sec x 1 Logo:

3 32

0 0

V sec xdx dx

23 3

0 0

V tgx x 3 3 u.v .3 3

Determine o volume do slido gerado pela rotao, em torno do eixo Oy, da regio limitada pela funo ,pelo eixo dos y e pela reta

3y xy 8

Neste caso, temos:

d

2

c

V g y dy Ou seja, devemos colocar x em funo de y.

y 88

R

3y x

x

y y

x

d 8 22

3

c 0

V g y dy y dy

3 3f x y x x y g y

853

0

3y

5

5 35 15 5333 3 3 3 96

8 8 2 2 u.v.5 5 5 5 5

1) Regio que gira entre os grficos de duas funes e f x g x

a b

y f x

R

y

x y g x

Supondo em f x g x a,b

b

2 2

a

V f x g x dx

2) A regio tem partes negativas

ab

f x f x

22f x f x

a b

A frmula continua b

2

Ta

V f x dx