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Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas
Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares
INTEGRALES MULTIPLES
Sergio Stive Solano Sabie 1
Diciembre de 2012
1Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.comSergio Solano Sabie CALCULO III
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Diciembre de 2012
1Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.comSergio Solano Sabie CALCULO III
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Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares
Volumenes e integrales doblesConsideramos la integral doble de una funcion f de dos varia-bles que esta definida sobre un rectangulo cerrado
R = [a, b]× [c, d] = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}y primero suponemos que f(x, y) ≥ 0. La grafica de f es unasuperficie con ecuacion z = f(x, y). Sea S el solido que esta en-cima de R y debajo de la grafica de f , es decir
S = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ R}Nuestro objetivo es encontrar el volumen de S.
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Volumenes e integrales doblesConsideramos la integral doble de una funcion f de dos varia-bles que esta definida sobre un rectangulo cerrado
R = [a, b]× [c, d] = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}y primero suponemos que f(x, y) ≥ 0. La grafica de f es unasuperficie con ecuacion z = f(x, y). Sea S el solido que esta en-cima de R y debajo de la grafica de f , es decir
S = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ R}Nuestro objetivo es encontrar el volumen de S.
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Volumenes e integrales doblesConsideramos la integral doble de una funcion f de dos varia-bles que esta definida sobre un rectangulo cerrado
R = [a, b]× [c, d] = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}y primero suponemos que f(x, y) ≥ 0. La grafica de f es unasuperficie con ecuacion z = f(x, y). Sea S el solido que esta en-cima de R y debajo de la grafica de f , es decir
S = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ R}Nuestro objetivo es encontrar el volumen de S.
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Integrales dobles sobre rectangulosIntegrales iteradas
Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares
Volumenes e integrales doblesEl primer paso consiste en dividir el rectanguloR en subrectangu-los.
Rij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]
Cada uno con area igual a ∆A = ∆x∆y, donde ∆x = (b−a)/my ∆y = (d− c)/n.Si elegimos un punto muestra (x∗ij , y
∗ij), en cada Rij , entonces
podemos aproximar la partes de S que esta encima de cadaRij ,mediante una caja rectangular delgada (o columna), con baseRij y altura f(x∗ij , y
∗ij). El volumen de esta caja es f(x∗ij , y
∗ij)∆A.
Si seguimos este procedimiento para todos los rectangulos ysumamos los volumenes de las cajas correspondientes, obte-nemos una aproximacion al volumen total de S:
V ≈m∑i=1
n∑j=1
f(x∗ij , y∗ij)∆A
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Volumenes e integrales doblesEl primer paso consiste en dividir el rectanguloR en subrectangu-los.
Rij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]
Cada uno con area igual a ∆A = ∆x∆y, donde ∆x = (b−a)/my ∆y = (d− c)/n.Si elegimos un punto muestra (x∗ij , y
∗ij), en cada Rij , entonces
podemos aproximar la partes de S que esta encima de cadaRij ,mediante una caja rectangular delgada (o columna), con baseRij y altura f(x∗ij , y
∗ij). El volumen de esta caja es f(x∗ij , y
∗ij)∆A.
Si seguimos este procedimiento para todos los rectangulos ysumamos los volumenes de las cajas correspondientes, obte-nemos una aproximacion al volumen total de S:
V ≈m∑i=1
n∑j=1
f(x∗ij , y∗ij)∆A
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Volumenes e integrales doblesEl primer paso consiste en dividir el rectanguloR en subrectangu-los.
Rij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]
Cada uno con area igual a ∆A = ∆x∆y, donde ∆x = (b−a)/my ∆y = (d− c)/n.Si elegimos un punto muestra (x∗ij , y
∗ij), en cada Rij , entonces
podemos aproximar la partes de S que esta encima de cadaRij ,mediante una caja rectangular delgada (o columna), con baseRij y altura f(x∗ij , y
∗ij). El volumen de esta caja es f(x∗ij , y
∗ij)∆A.
Si seguimos este procedimiento para todos los rectangulos ysumamos los volumenes de las cajas correspondientes, obte-nemos una aproximacion al volumen total de S:
V ≈m∑i=1
n∑j=1
f(x∗ij , y∗ij)∆A
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Volumenes e integrales doblesEl primer paso consiste en dividir el rectanguloR en subrectangu-los.
Rij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]
Cada uno con area igual a ∆A = ∆x∆y, donde ∆x = (b−a)/my ∆y = (d− c)/n.Si elegimos un punto muestra (x∗ij , y
∗ij), en cada Rij , entonces
podemos aproximar la partes de S que esta encima de cadaRij ,mediante una caja rectangular delgada (o columna), con baseRij y altura f(x∗ij , y
∗ij). El volumen de esta caja es f(x∗ij , y
∗ij)∆A.
Si seguimos este procedimiento para todos los rectangulos ysumamos los volumenes de las cajas correspondientes, obte-nemos una aproximacion al volumen total de S:
V ≈m∑i=1
n∑j=1
f(x∗ij , y∗ij)∆A
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Volumenes e integrales dobles
Definicion 1.1La integral doble de f sobre el rectangulo R es∫∫
R
f(x, y)dA = lımm,n→∞
m∑i=1
n∑j=1
f(x∗ij , y∗ij)∆A
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Volumenes e integrales dobles
Definicion 1.1La integral doble de f sobre el rectangulo R es∫∫
R
f(x, y)dA = lımm,n→∞
m∑i=1
n∑j=1
f(x∗ij , y∗ij)∆A
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Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares
Propiedades de las integrales dobles
1 ∫∫R
[f(x, y) + g(x, y)]dA =
∫∫R
f(x, y)dA+
∫∫R
g(x, y)dA.
2 ∫∫R
cf(x, y)dA = c
∫∫R
f(x, y)dA donde c es una constante.
3 Si f(x, y) ≥ g(x, y) para toda (x, y), en R, entonces∫∫R
f(x, y)dA ≥∫∫R
g(x, y)dA.
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Propiedades de las integrales dobles
1 ∫∫R
[f(x, y) + g(x, y)]dA =
∫∫R
f(x, y)dA+
∫∫R
g(x, y)dA.
2 ∫∫R
cf(x, y)dA = c
∫∫R
f(x, y)dA donde c es una constante.
3 Si f(x, y) ≥ g(x, y) para toda (x, y), en R, entonces∫∫R
f(x, y)dA ≥∫∫R
g(x, y)dA.
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Propiedades de las integrales dobles
1 ∫∫R
[f(x, y) + g(x, y)]dA =
∫∫R
f(x, y)dA+
∫∫R
g(x, y)dA.
2 ∫∫R
cf(x, y)dA = c
∫∫R
f(x, y)dA donde c es una constante.
3 Si f(x, y) ≥ g(x, y) para toda (x, y), en R, entonces∫∫R
f(x, y)dA ≥∫∫R
g(x, y)dA.
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Integrales iteradas
Utilizamos la notacion∫ dc f(x, y)dy para dar a entender que x se
mantiene fija y f(x, y) se integra con respecto a y, desde y = chasta y = d. Este procedimiento se llama integracion parcial conrespecto a y.La integral iterada∫ b
a
∫ d
cf(x, y)dydx =
∫ b
a
[∫ d
cf(x, y)dy
]dx
significa que primero integramos con respecto a y desde c hastad, y despues con respecto a x, desde a hasta b.De manera analoga, la integral iterada∫ d
c
∫ b
af(x, y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af(x, y)dx
]dy.
significa que primero integramos con respecto a x desde a hastab, y despues con respecto a y, desde c hasta d.
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Integrales dobles sobre regiones generalesIntegrales dobles en coordenadas polares
Integrales iteradas
Utilizamos la notacion∫ dc f(x, y)dy para dar a entender que x se
mantiene fija y f(x, y) se integra con respecto a y, desde y = chasta y = d. Este procedimiento se llama integracion parcial conrespecto a y.La integral iterada∫ b
a
∫ d
cf(x, y)dydx =
∫ b
a
[∫ d
cf(x, y)dy
]dx
significa que primero integramos con respecto a y desde c hastad, y despues con respecto a x, desde a hasta b.De manera analoga, la integral iterada∫ d
c
∫ b
af(x, y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af(x, y)dx
]dy.
significa que primero integramos con respecto a x desde a hastab, y despues con respecto a y, desde c hasta d.
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Integrales iteradas
Utilizamos la notacion∫ dc f(x, y)dy para dar a entender que x se
mantiene fija y f(x, y) se integra con respecto a y, desde y = chasta y = d. Este procedimiento se llama integracion parcial conrespecto a y.La integral iterada∫ b
a
∫ d
cf(x, y)dydx =
∫ b
a
[∫ d
cf(x, y)dy
]dx
significa que primero integramos con respecto a y desde c hastad, y despues con respecto a x, desde a hasta b.De manera analoga, la integral iterada∫ d
c
∫ b
af(x, y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af(x, y)dx
]dy.
significa que primero integramos con respecto a x desde a hastab, y despues con respecto a y, desde c hasta d.
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Integrales iteradas
Utilizamos la notacion∫ dc f(x, y)dy para dar a entender que x se
mantiene fija y f(x, y) se integra con respecto a y, desde y = chasta y = d. Este procedimiento se llama integracion parcial conrespecto a y.La integral iterada∫ b
a
∫ d
cf(x, y)dydx =
∫ b
a
[∫ d
cf(x, y)dy
]dx
significa que primero integramos con respecto a y desde c hastad, y despues con respecto a x, desde a hasta b.De manera analoga, la integral iterada∫ d
c
∫ b
af(x, y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af(x, y)dx
]dy.
significa que primero integramos con respecto a x desde a hastab, y despues con respecto a y, desde c hasta d.
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Integrales iteradas
Utilizamos la notacion∫ dc f(x, y)dy para dar a entender que x se
mantiene fija y f(x, y) se integra con respecto a y, desde y = chasta y = d. Este procedimiento se llama integracion parcial conrespecto a y.La integral iterada∫ b
a
∫ d
cf(x, y)dydx =
∫ b
a
[∫ d
cf(x, y)dy
]dx
significa que primero integramos con respecto a y desde c hastad, y despues con respecto a x, desde a hasta b.De manera analoga, la integral iterada∫ d
c
∫ b
af(x, y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af(x, y)dx
]dy.
significa que primero integramos con respecto a x desde a hastab, y despues con respecto a y, desde c hasta d.
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Integrales iteradas
Ejemplo 2.1Evalue las integrales iteradas:(a)
∫ 30
∫ 21 x
2ydydx
(b)∫ 21
∫ 30 x
2ydxdy
Teorema de FubiniSi f es continua en el rectanguloR = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, entonces∫∫
R
f(x, y)dA =
∫ b
a
∫ d
cf(x, y)dydx =
∫ d
c
∫ b
af(x, y)dxdy.
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Integrales iteradas
Ejemplo 2.1Evalue las integrales iteradas:(a)
∫ 30
∫ 21 x
2ydydx
(b)∫ 21
∫ 30 x
2ydxdy
Teorema de FubiniSi f es continua en el rectanguloR = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, entonces∫∫
R
f(x, y)dA =
∫ b
a
∫ d
cf(x, y)dydx =
∫ d
c
∫ b
af(x, y)dxdy.
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Integrales dobles sobre regiones generales
Para integrales sencillas, la region sobre la que integramos siem-pre es un intervalo. Pero para las integrales dobles, resultarıadeseable que pudieramos integrar no solo sobre rectangulos,sino tambien sobre regiones D con una forma mas general. Su-ponemos que D es una region acotada, lo que significa que unaregion rectangular R puede abarcarla.
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Integrales dobles sobre regiones generales
Se dice que una region plana D es de tipo I si esta entre lasgraficas de dos regiones continuas de x, es decir
D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}
donde g1 y g2 son continuas en [a, b]. Por ejemplo:
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Integrales dobles sobre regiones generales
Integrales dobles sobre regiones Tipo I
Si f es continua sobre una region D tipo I, tal que
D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}
entonces ∫∫D
f(x, y)dA =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)f(x, y)dydx
Ejemplo 3.1
Evalue∫∫D(x+ 2y)dA, donde D es la region acotada por las
prabolas y = 2x2 y y = 1 + x2.
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Integrales dobles sobre regiones generales
Solucion. La parabolas se cruzan cuando 2x2 = 1+x2; es decirx2 = 1, ası que x = ±1.
D = {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 1, 2x2 ≤ y ≤ 1 +x2} es una region tipo I.Sergio Solano Sabie CALCULO III
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Integrales dobles sobre regiones generales
Entonces∫∫D
(x+ 2y)dA =
∫ 1
−1
∫ 1+x2
2x2(x+ 2y)dydx
=
∫ 1
−1
[xy + y2
]y=1+x2
y=2x2dx
=
∫ 1
−1
[x(1 + x2) + (1 + x2)2 − x(2x2)− (2x2)2
]dx
=
∫ 1
−1(−3x4 − x3 + 2x2 + x+ 1)dx
=
[−3
x5
5− x4
4+ 2
x3
3+x2
2+ x
]1−1
=32
15.
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Integrales dobles sobre regiones generales
Consideremos ahora, las regiones planas de tipo II, las cualespueden expresarse como
D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}donde h1 y h2 son continuas.
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Integrales dobles sobre regiones generales
Integrales dobles sobre regiones Tipo II
Si f es continua sobre una region D tipo I, tal que
D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}
entonces ∫∫D
f(x, y)dA =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)f(x, y)dxdy.
Ejemplo 3.2
Evalue∫∫D xydA, donde D es la region acotada por la recta
y = x− 1 y la parabola y2 = 2x+ 6.
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Integrales dobles sobre regiones generales
Solucion. D = {(x, y) | −2 ≤ y ≤ 4, 12y2 − 3 ≤ x ≤ y + 1} es
una region tipo II. De modo que∫∫D
xydA =
∫ 4
−2
∫ y+1
12y2−3
xydxdy
=
∫ 4
−2
[x2
2y
]x=y+1
x= 12y2−3
=1
2
∫ 4
−2y
[(y + 1)2 − (
1
2y2 − 3)2
]dy
=1
2
∫ 4
−2
(−y
5
4+ 4y3 + 2y2 − 8y
)dy
=1
2
[−y
6
24+ y4 + 2
y3
3− 4y2
]4−2
= 36
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Propiedades de las integrales dobles sobre regionesgenerales
1 ∫∫D
[f(x, y) + g(x, y)]dA =
∫∫D
f(x, y)dA+
∫∫D
g(x, y)dA.
2 ∫∫D
cf(x, y)dA = c
∫∫D
f(x, y)dA donde c es una constante.
3 Si f(x, y) ≥ g(x, y) para toda (x, y), en D, entonces∫∫D
f(x, y)dA ≥∫∫D
g(x, y)dA.
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Propiedades de las integrales dobles sobre regionesgenerales
1 ∫∫D
[f(x, y) + g(x, y)]dA =
∫∫D
f(x, y)dA+
∫∫D
g(x, y)dA.
2 ∫∫D
cf(x, y)dA = c
∫∫D
f(x, y)dA donde c es una constante.
3 Si f(x, y) ≥ g(x, y) para toda (x, y), en D, entonces∫∫D
f(x, y)dA ≥∫∫D
g(x, y)dA.
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Propiedades de las integrales dobles sobre regionesgenerales
1 ∫∫D
[f(x, y) + g(x, y)]dA =
∫∫D
f(x, y)dA+
∫∫D
g(x, y)dA.
2 ∫∫D
cf(x, y)dA = c
∫∫D
f(x, y)dA donde c es una constante.
3 Si f(x, y) ≥ g(x, y) para toda (x, y), en D, entonces∫∫D
f(x, y)dA ≥∫∫D
g(x, y)dA.
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Integrales dobles en coordenadas polaresRecordemos que las coordenadas polares (r, θ) de un punto serelacionan con las coordenadas rectangular (x, y) mediante lasecuaciones
Coordenadas polares
r2 = x2 + y2 x = r cos θ y = r sen θ
El rectangulo polar es la region
R = {(r, θ) | a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}
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Integrales dobles en coordenadas polares
Cambio a coordenadas polares en una integral doble
Si f es continua en un rectangulo polar R dado pora ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β, donde 0 ≤ β − α ≤ 2π, entonces∫∫
R
f(x, y)dA =
∫ β
α
∫ b
af(r cos θ, r sen θ)rdrdθ
Ejemplo 4.1
Evalue∫∫R
(3x+ 4y2)dA, donde R es la region del semiplano
superior acotado por los cırculos x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4.
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Solucion. La region R es el semianillo que se muestra en lafigura:
y en coordenadas polares esta dada por
R = {(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π}
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Integrales dobles en coordenadas polares
Ası que, por la formula del cambio a coordenadas polares enuna integral doble,∫∫
R
(3x+ 4y2)dA =
∫ π
0
∫ 2
1(3r cos θ + 4r2 sen2 θ)rdrdθ
=
∫ π
0
∫ 2
1(3r2 cos θ + 4r3 sen2 θ)drdθ
=
∫ π
0
[r3 cos θ + r4 sen2 θ
]r=2
r=1
=
∫ π
0(7 cos θ + 15 sen2 θ)dθ =
15π
2.
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GRACIAS POR SU ATENCION
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