INTERNATIONAL GCSEFurther Pure Mathematics (9-1)SAMPLE ASSESSMENT MATERIALSPearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics (4PM1)

For fi rst teaching September 2017First examination June 2019

Edexcel, BTEC and LCCI qualifications

Edexcel, BTEC and LCCI qualifications are awarded by Pearson, the UK’s largest awarding body offering academic and vocational qualifications that are globally recognised and benchmarked. For further information, please visit our qualification websites at qualifications.pearson.com. Alternatively, you can get in touch with us using the details on our contact us page at qualifications.pearson.com/contactus About Pearson Pearson is the world's leading learning company, with 40,000 employees in more than 70 countries working to help people of all ages to make measurable progress in their lives through learning. We put the learner at the centre of everything we do, because wherever learning flourishes, so do people. Find out more about how we can help you and your learners at qualifications.pearson.com

Acknowledgements References to third party material made in the sample assessment materials are made in good faith. Pearson does not endorse, approve or accept responsibility for the content of materials, which may be subject to change, or any opinions expressed therein. (Material may include textbooks, journals, magazines and other publications and websites.) All information in the sample assessment materials is correct at time of going to publication. ISBN 978 1 446 93114 1 All the material in this publication is copyright © Pearson Education Limited 2016

Contents

Introduction 1

General marking guidance 3

Paper 1 5

Paper 1 Mark Scheme 33

Paper 2 43

Paper 2 Mark Scheme 71

Edexcel, BTEC and LCCI qualifications

Edexcel, BTEC and LCCI qualifications are awarded by Pearson, the UK’s largest awarding body offering academic and vocational qualifications that are globally recognised and benchmarked. For further information, please visit our qualification websites at qualifications.pearson.com. Alternatively, you can get in touch with us using the details on our contact us page at qualifications.pearson.com/contactus About Pearson Pearson is the world's leading learning company, with 40,000 employees in more than 70 countries working to help people of all ages to make measurable progress in their lives through learning. We put the learner at the centre of everything we do, because wherever learning flourishes, so do people. Find out more about how we can help you and your learners at qualifications.pearson.com

Acknowledgements References to third party material made in the sample assessment materials are made in good faith. Pearson does not endorse, approve or accept responsibility for the content of materials, which may be subject to change, or any opinions expressed therein. (Material may include textbooks, journals, magazines and other publications and websites.) All information in the sample assessment materials is correct at time of going to publication. ISBN 978 1 446 93114 1 All the material in this publication is copyright © Pearson Education Limited 2016

Introduction

The Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics is designed for use in schools and colleges. It is part of a suite of International GCSE qualifications offered by Pearson. These sample assessment materials have been developed to support this qualification and will be used as the benchmark to develop the assessment students will take.

Introduction

The Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics is designed for use in schools and colleges. It is part of a suite of International GCSE qualifications offered by Pearson. These sample assessment materials have been developed to support this qualification and will be used as the benchmark to develop the assessment students will take.

1Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

General marking guidance These notes offer general guidance, but the specific notes for examiners appertaining to individual questions take precedence. All candidates must receive the same treatment. Examiners must mark the first

candidate in exactly the same way as they mark the last.

Mark schemes should be applied positively. Candidates must be rewarded for what they have shown they can do rather than penalised for omissions.

Examiners should mark according to the mark scheme not according to their perception of where the grade boundaries may lie.

There is no ceiling on achievement. All marks on the mark scheme should be used appropriately.

All the marks on the mark scheme are designed to be awarded. Examiners should always award full marks if deserved, i.e. if the answer matches the mark scheme. Examiners should also be prepared to award zero marks if the candidate’s response is not worthy of credit according to the mark scheme.

Where some judgement is required, mark schemes will provide the principles by which marks will be awarded and exemplification may be limited.

When examiners are in doubt regarding the application of the mark scheme to a

candidate’s response, the team leader must be consulted. Crossed out work should be marked UNLESS the candidate has replaced it with an

alternative response.

2 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

General marking guidance These notes offer general guidance, but the specific notes for examiners appertaining to individual questions take precedence. All candidates must receive the same treatment. Examiners must mark the first

candidate in exactly the same way as they mark the last.

Mark schemes should be applied positively. Candidates must be rewarded for what they have shown they can do rather than penalised for omissions.

Examiners should mark according to the mark scheme not according to their perception of where the grade boundaries may lie.

There is no ceiling on achievement. All marks on the mark scheme should be used appropriately.

All the marks on the mark scheme are designed to be awarded. Examiners should always award full marks if deserved, i.e. if the answer matches the mark scheme. Examiners should also be prepared to award zero marks if the candidate’s response is not worthy of credit according to the mark scheme.

Where some judgement is required, mark schemes will provide the principles by which marks will be awarded and exemplification may be limited.

When examiners are in doubt regarding the application of the mark scheme to a

candidate’s response, the team leader must be consulted. Crossed out work should be marked UNLESS the candidate has replaced it with an

alternative response.

3Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

Centre Number Candidate Number

Write your name hereSurname Other names

Total Marks

Paper Reference

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S51836A©2016 Pearson Education Ltd.

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Further Pure MathematicsLevel 2Paper 1

Sample assessment material for first teaching September 2017

Time: 2 hours 4PM1/01Calculators may be used.

Instructions

• Use black ink or ball-point pen.• Fill in the boxes at the top of this page with your name, centre number and candidate number.• Answer all questions.• Without sufficient working, correct answers may be awarded no marks.• Answer the questions in the spaces provided

– there may be more space than you need.• You must NOT write anything on the formulae page. Anything you write on the formulae page will gain NO credit.

Information

• The total mark for this paper is 100. • The marks for each question are shown in brackets

– use this as a guide as to how much time to spend on each question.

Advice

• Read each question carefully before you start to answer it.• Check your answers if you have time at the end.

Pearson Edexcel International GCSE

Guidance on the use of abbreviations

M method mark awarded for a correct method or partial method

B unconditional accuracy mark (no method needed)

A accuracy mark (awarded after a correct method or process; if no method or process is seen then full marks for the question are implied but see individual mark schemes for more details)

oe or equivalent

cao correct answer only

ft follow through (when appropriate as per mark scheme)

sc special case

dep dependent (on a previous mark)

indep independent

awrt answer which rounds to

isw ignore subsequent working

ee each error

oo or omission

cc correct conclusion

ncc not corrected correctly

dp decimal place

4 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

Centre Number Candidate Number

Write your name hereSurname Other names

Total Marks

Paper Reference

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Further Pure MathematicsLevel 2Paper 1

Sample assessment material for first teaching September 2017

Time: 2 hours 4PM1/01Calculators may be used.

Instructions

• Use black ink or ball-point pen.• Fill in the boxes at the top of this page with your name, centre number and candidate number.• Answer all questions.• Without sufficient working, correct answers may be awarded no marks.• Answer the questions in the spaces provided

– there may be more space than you need.• You must NOT write anything on the formulae page. Anything you write on the formulae page will gain NO credit.

Information

• The total mark for this paper is 100. • The marks for each question are shown in brackets

– use this as a guide as to how much time to spend on each question.

Advice

• Read each question carefully before you start to answer it.• Check your answers if you have time at the end.

Pearson Edexcel International GCSE

Guidance on the use of abbreviations

M method mark awarded for a correct method or partial method

B unconditional accuracy mark (no method needed)

A accuracy mark (awarded after a correct method or process; if no method or process is seen then full marks for the question are implied but see individual mark schemes for more details)

oe or equivalent

cao correct answer only

ft follow through (when appropriate as per mark scheme)

sc special case

dep dependent (on a previous mark)

indep independent

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5Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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RITE IN TH

IS AREA

Answer all ELEVEN questions.

Write your answers in the spaces provided.

You must write down all the stages in your working.

1 (a) On the axes below, sketch the lines with equations 2x + 3y = 8 and 2y = 4x + 1

On your sketch, show the coordinates of the points where the lines cross the coordinate axes.(2)

(b) Show, by shading on your sketch, the region R defined by the inequalities

2x + 3y 8 2y 4x + 1 y 0 x 2(2)

y

xO

(Total for Question 1 is 4 marks)

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International GCSE in Further Pure Mathematics Formulae sheet

Mensuration

Surface area of sphere = 4πr2

Curved surface area of cone = πr × slant height

Volume of sphere = 43

πr3

Series

Arithmetic series

Sum to n terms, S n a n dn = + −[ ]2

2 1( )

Geometric series

Sum to n terms, S a rrn

n

= −−

( )( )11

Sum to infinity, S ar

r∞ =−1

1<

Binomial series

( ) ( )!

( ) ( )!

,1 1 12

1 1 12+ = + + − + + − − + + ∈x nx n n x n n n rr

x x nn r

for <

Calculus

Quotient rule (diferentiation)

dd

fg

f g g[gx

xx

x x x xx

( )( )

( ) ( ) f( ) ( )( )]

= −' '2

Trigonometry

Cosine ruleIn triangle ABC: a2 = b2 + c2 – 2bccos A

sintancosθθθ

=

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin Bcos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

tan( ) tan tan

tan tanA B A B

A B+ = +

−1 tan( ) tan tan

tan tanA B A B

A B− = −

+1

Logarithms

log log

logab

b

x xa

=

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Answer all ELEVEN questions.

Write your answers in the spaces provided.

You must write down all the stages in your working.

1 (a) On the axes below, sketch the lines with equations 2x + 3y = 8 and 2y = 4x + 1

On your sketch, show the coordinates of the points where the lines cross the coordinate axes.(2)

(b) Show, by shading on your sketch, the region R defined by the inequalities

2x + 3y 8 2y 4x + 1 y 0 x 2(2)

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(Total for Question 1 is 4 marks)

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International GCSE in Further Pure Mathematics Formulae sheet

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Surface area of sphere = 4πr2

Curved surface area of cone = πr × slant height

Volume of sphere = 43

πr3

Series

Arithmetic series

Sum to n terms, S n a n dn = + −[ ]2

2 1( )

Geometric series

Sum to n terms, S a rrn

n

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( )( )11

Sum to infinity, S ar

r∞ =−1

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Binomial series

( ) ( )!

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1 1 12+ = + + − + + − − + + ∈x nx n n x n n n rr

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Calculus

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dd

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Trigonometry

Cosine ruleIn triangle ABC: a2 = b2 + c2 – 2bccos A

sintancosθθθ

=

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin Bcos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

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A B+ = +

−1 tan( ) tan tan

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A B− = −

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Logarithms

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Question 2 continued

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Diagram NOT accurately drawn

Figure 1

B

Figure 1 shows a shape ABC in which AOB is a triangle, AOC is a straight line and OBC is a sector of a circle with centre O.

AO = 10 cm, OC = OB = 6 cm and the length of arc BC = π cm.

Find, to 3 significant figures,

(a) the length of AB,(3)

(b) the area of the shape ABC.(3)

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Question 2 continued

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(Total for Question 2 is 6 marks)

4

*S51836A0428*

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10 cm

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C

A

Diagram NOT accurately drawn

Figure 1

B

Figure 1 shows a shape ABC in which AOB is a triangle, AOC is a straight line and OBC is a sector of a circle with centre O.

AO = 10 cm, OC = OB = 6 cm and the length of arc BC = π cm.

Find, to 3 significant figures,

(a) the length of AB,(3)

(b) the area of the shape ABC.(3)

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9Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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11Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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4 A particle P is moving along the x-axis.

At time t seconds (t 0) the velocity, v m/s, of P is given by v = 4t2 – 19t + 12

(a) Find the values of t for which P is instantaneously at rest.(2)

When t = 0, the displacement of P from the origin is −4 m.

(b) Find the displacement of P from the origin when t = 6(4)

At time t seconds the acceleration of P is a m/s2.

(c) Find the value of t when a = 0(3)

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12 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Question 4 continued

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4 A particle P is moving along the x-axis.

At time t seconds (t 0) the velocity, v m/s, of P is given by v = 4t2 – 19t + 12

(a) Find the values of t for which P is instantaneously at rest.(2)

When t = 0, the displacement of P from the origin is −4 m.

(b) Find the displacement of P from the origin when t = 6(4)

At time t seconds the acceleration of P is a m/s2.

(c) Find the value of t when a = 0(3)

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13Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Question 5 continued

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(Total for Question 5 is 9 marks)

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*S51836A01028*

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REA

5 Two numbers x and y are such that 2x + y = 13

The sum of the squares of 2x and y is S.

(a) Show that S = 8x2 – 52x + 169(3)

Using calculus,

(b) find the value of x for which S is a minimum, justifying that this value of x gives a minimum value for S.

(4)

(c) find the minimum value of S.(2)

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5 Two numbers x and y are such that 2x + y = 13

The sum of the squares of 2x and y is S.

(a) Show that S = 8x2 – 52x + 169(3)

Using calculus,

(b) find the value of x for which S is a minimum, justifying that this value of x gives a minimum value for S.

(4)

(c) find the minimum value of S.(2)

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15Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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17Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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7 (a) Complete the table of values for

yx

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giving your answers to 2 decimal places where appropriate.(2)

x 0 1 2 3 4 5

y 3 9 12.31

(b) On the grid opposite, draw the graph of yx

= ++

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1 for 0 x 5

(2)

(c) By drawing a suitable straight line on the grid, obtain an estimate, to 1 decimal place, of the root of the equation log2(4x – 6)2 – x = 2 in the interval 0 x 5

(4)

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18 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Question 7 continued

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7 (a) Complete the table of values for

yx

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1

giving your answers to 2 decimal places where appropriate.(2)

x 0 1 2 3 4 5

y 3 9 12.31

(b) On the grid opposite, draw the graph of yx

= ++

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1 for 0 x 5

(2)

(c) By drawing a suitable straight line on the grid, obtain an estimate, to 1 decimal place, of the root of the equation log2(4x – 6)2 – x = 2 in the interval 0 x 5

(4)

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19Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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(Total for Question 8 is 9 marks)

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8 The sum Sn of the first n terms of an arithmetic series is given by Sn = 2n(n + 3)

(a) Find the first term of the series.(1)

(b) Find the common difference of the series.(2)

The nth term of the series is Tn

Given that 6S(n – 4) = 7T(n + 3)

(c) find the value of n.(6)

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8 The sum Sn of the first n terms of an arithmetic series is given by Sn = 2n(n + 3)

(a) Find the first term of the series.(1)

(b) Find the common difference of the series.(2)

The nth term of the series is Tn

Given that 6S(n – 4) = 7T(n + 3)

(c) find the value of n.(6)

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21Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Question 9 continued

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9 The roots of a quadratic equation are α and β where α + β = − 73

and αβ = –2

(a) Find a quadratic equation, with integer coefficients, which has roots α and β(4)

Given that α > β and without solving the equation,

(b) show that α – β = 113 (2)

(c) form a quadratic equation, with integer coefficients, which has roots

and α β α βα β+ −

(7)

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22 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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9 The roots of a quadratic equation are α and β where α + β = − 73

and αβ = –2

(a) Find a quadratic equation, with integer coefficients, which has roots α and β(4)

Given that α > β and without solving the equation,

(b) show that α – β = 113 (2)

(c) form a quadratic equation, with integer coefficients, which has roots

and α β α βα β+ −

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23Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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12 cm

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Diagram NOT accurately drawn

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Figure 2

Figure 2 shows a right pyramid ABCDO with a horizontal square base of side 8 cm. The vertical height of the pyramid is h cm and OA = OB = OC = OD = 12 cm.

(a) Find the exact value of h.(3)

(b) Find, to 1 decimal place, the size of the angle between OA and the plane ABCD.(2)

(c) Find, to 1 decimal place, the size of the angle between the plane AOB and the plane ABCD.(2)

The midpoint of OA is P and Q is the point on BC such that BQ : QC = 3 : 1

(d) Show that PQ = 4 5 cm.(4)

(e) Find, to 1 decimal place, the size of angle PQA.(4)

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24 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Question 10 continued

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12 cm

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Diagram NOT accurately drawn

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Figure 2

Figure 2 shows a right pyramid ABCDO with a horizontal square base of side 8 cm. The vertical height of the pyramid is h cm and OA = OB = OC = OD = 12 cm.

(a) Find the exact value of h.(3)

(b) Find, to 1 decimal place, the size of the angle between OA and the plane ABCD.(2)

(c) Find, to 1 decimal place, the size of the angle between the plane AOB and the plane ABCD.(2)

The midpoint of OA is P and Q is the point on BC such that BQ : QC = 3 : 1

(d) Show that PQ = 4 5 cm.(4)

(e) Find, to 1 decimal place, the size of angle PQA.(4)

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25Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Turn over

Question 10 continued

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26 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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27Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Turn over

Question 11 continued

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x(–1, 0) (b, 0) (a, 0)O

Diagram NOT accurately drawn

Figure 3

Figure 3 shows a sketch of the curve with equation y = f(x), which passes through the points with coordinates (−1, 0), (b, 0) and (a, 0) where 0 < b < a.

Given that f ʹ(x) = 6x2 – 26x + 12

(a) find,

(i) the value of a,

(ii) the value of b.(8)

(b) Use algebraic integration to determine the exact value of the total area of the shaded regions shown in Figure 3.

(5)

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28 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Turn over

Question 11 continued

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x(–1, 0) (b, 0) (a, 0)O

Diagram NOT accurately drawn

Figure 3

Figure 3 shows a sketch of the curve with equation y = f(x), which passes through the points with coordinates (−1, 0), (b, 0) and (a, 0) where 0 < b < a.

Given that f ʹ(x) = 6x2 – 26x + 12

(a) find,

(i) the value of a,

(ii) the value of b.(8)

(b) Use algebraic integration to determine the exact value of the total area of the shaded regions shown in Figure 3.

(5)

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29Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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(Total for Question 11 is 13 marks)

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30 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Question 11 continued

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40 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Further Pure MathematicsLevel 2Paper 2

Sample assessment material for first teaching September 2017

Time: 2 hours 4PM1/02Calculators may be used.

Instructions

• Use black ink or ball-point pen.• Fill in the boxes at the top of this page with your name, centre number and candidate number.• Answer all questions.• Without sufficient working, correct answers may be awarded no marks.• Answer the questions in the spaces provided

– there may be more space than you need.• You must NOT write anything on the formulae page. Anything you write on the formulae page will gain NO credit.

Information

• The total mark for this paper is 100. • The marks for each question are shown in brackets

– use this as a guide as to how much time to spend on each question.

Advice

• Read each question carefully before you start to answer it.• Check your answers if you have time at the end.

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Further Pure MathematicsLevel 2Paper 2

Sample assessment material for first teaching September 2017

Time: 2 hours 4PM1/02Calculators may be used.

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Answer all ELEVEN questions.

Write your answers in the spaces provided.

You must write down all the stages in your working.

1 The nth term of a geometric series is 3e(1–2n)

Find the sum to infinity of this series.

Give your answer in the form ab

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where a and b are integers to be found. (5)

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(Total for Question 1 is 5 marks)

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International GCSE in Further Pure Mathematics Formulae sheet

Mensuration

Surface area of sphere = 4πr2

Curved surface area of cone = πr × slant height

Volume of sphere = 43

πr3

Series

Arithmetic series

Sum to n terms, S n a n dn = + −[ ]2

2 1( )

Geometric series

Sum to n terms, S a rrn

n

= −−

( )( )11

Sum to infinity, S ar

r∞ =−1

1<

Binomial series

( ) ( )!

( ) ( )!

,1 1 12

1 1 12+ = + + − + + − − + + ∈x nx n n x n n n rr

x x nn r

for <

Calculus

Quotient rule (diferentiation)

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fg

f g g[gx

xx

x x x xx

( )( )

( ) ( ) f( ) ( )( )]

= −' '2

Trigonometry

Cosine ruleIn triangle ABC: a2 = b2 + c2 – 2bccos A

sintancosθθθ

=

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin Bcos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

tan( ) tan tan

tan tanA B A B

A B+ = +

−1 tan( ) tan tan

tan tanA B A B

A B− = −

+1

Logarithms

log log

logab

b

x xa

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Answer all ELEVEN questions.

Write your answers in the spaces provided.

You must write down all the stages in your working.

1 The nth term of a geometric series is 3e(1–2n)

Find the sum to infinity of this series.

Give your answer in the form ab

ee − 1

where a and b are integers to be found. (5)

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(Total for Question 1 is 5 marks)

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*S51837A0228*

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IS A

REA

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RITE IN TH

IS AREA

D

O N

OT W

RITE IN TH

IS AREA

D

O N

OT W

RITE IN TH

IS AREA

International GCSE in Further Pure Mathematics Formulae sheet

Mensuration

Surface area of sphere = 4πr2

Curved surface area of cone = πr × slant height

Volume of sphere = 43

πr3

Series

Arithmetic series

Sum to n terms, S n a n dn = + −[ ]2

2 1( )

Geometric series

Sum to n terms, S a rrn

n

= −−

( )( )11

Sum to infinity, S ar

r∞ =−1

1<

Binomial series

( ) ( )!

( ) ( )!

,1 1 12

1 1 12+ = + + − + + − − + + ∈x nx n n x n n n rr

x x nn r

for <

Calculus

Quotient rule (diferentiation)

dd

fg

f g g[gx

xx

x x x xx

( )( )

( ) ( ) f( ) ( )( )]

= −' '2

Trigonometry

Cosine ruleIn triangle ABC: a2 = b2 + c2 – 2bccos A

sintancosθθθ

=

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin Bcos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

tan( ) tan tan

tan tanA B A B

A B+ = +

−1 tan( ) tan tan

tan tanA B A B

A B− = −

+1

Logarithms

log log

logab

b

x xa

=

45Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

5

*S51837A0528* Turn over

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RITE IN TH

IS AREA

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IS AREA

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IS AREA

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OT

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TH

IS A

REA

D

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OT

WRI

TE IN

TH

IS A

REA

D

O N

OT

WRI

TE IN

TH

IS A

REA

3 O, A and B are fixed points such that

OA→

= 4i + 3j OB→

= 8i + pj and AB→

= 2 13

(a) Find the possible values of p.(3)

Given that p > 0

(b) find a unit vector parallel to AB→

(2)

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(Total for Question 3 is 5 marks)

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REA

2 Find the set of values of x for which

(a) 3 + x < 2x – 1(1)

(b) x(x – 1) > 6(3)

(c) both 3 + x < 2x – 1 and x(x – 1) > 6(1)

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(Total for Question 2 is 5 marks)

46 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

5

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REA

3 O, A and B are fixed points such that

OA→

= 4i + 3j OB→

= 8i + pj and AB→

= 2 13

(a) Find the possible values of p.(3)

Given that p > 0

(b) find a unit vector parallel to AB→

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2 Find the set of values of x for which

(a) 3 + x < 2x – 1(1)

(b) x(x – 1) > 6(3)

(c) both 3 + x < 2x – 1 and x(x – 1) > 6(1)

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(Total for Question 2 is 5 marks)

47Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Question 4 continued

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4 f (x) = 2x3 + px2 + qx + 12 p, q Z

Given that (x + 3) is a factor of f (x) and that when f ʹ(x) is divided by (x + 3) the remainder is 37

(a) show that p = 1 and find the value of q(6)

(b) hence factorise f (x) completely(2)

(c) show that the equation f (x) = 0 has only one real root.(2)

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48 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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4 f (x) = 2x3 + px2 + qx + 12 p, q Z

Given that (x + 3) is a factor of f (x) and that when f ʹ(x) is divided by (x + 3) the remainder is 37

(a) show that p = 1 and find the value of q(6)

(b) hence factorise f (x) completely(2)

(c) show that the equation f (x) = 0 has only one real root.(2)

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49Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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5 (a) Show that cos(A – B) – cos(A + B) = 2sin A sin B(2)

(b) Hence express 2sin 5x sin 3x in the form cos mx – cos nx where m and n are integers, giving the value of m and the value of n,

(1)

(c) (i) Find 4sin5 sin 3 dθ θ θ∫

(ii) Hence evaluate 60

4sin5 sin 3 dπ

θ θ θ∫ , giving your answer in the form a bc

where

a, b and c are integers.(4)

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50 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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REA

5 (a) Show that cos(A – B) – cos(A + B) = 2sin A sin B(2)

(b) Hence express 2sin 5x sin 3x in the form cos mx – cos nx where m and n are integers, giving the value of m and the value of n,

(1)

(c) (i) Find 4sin5 sin 3 dθ θ θ∫

(ii) Hence evaluate 60

4sin5 sin 3 dπ

θ θ θ∫ , giving your answer in the form a bc

where

a, b and c are integers.(4)

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7 The curve C with equation

y axx b

= −−

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where a and b are integers, crosses the x-axis at the point (2.5, 0). The asymptote to C which is parallel to the y-axis has equation x = 1

(a) (i) Show that a = 2

(ii) Find the value of b.(3)

(b) Find the coordinates of the point where C crosses the y-axis.(1)

(c) Find the equation of the asymptote to C which is parallel to the x-axis.(1)

(d) Using the axes below, sketch the curve C showing clearly the asymptotes and the coordinates of the points where C crosses the coordinate axes.

(3)

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54 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Question 7 continued

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7 The curve C with equation

y axx b

= −−

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where a and b are integers, crosses the x-axis at the point (2.5, 0). The asymptote to C which is parallel to the y-axis has equation x = 1

(a) (i) Show that a = 2

(ii) Find the value of b.(3)

(b) Find the coordinates of the point where C crosses the y-axis.(1)

(c) Find the equation of the asymptote to C which is parallel to the x-axis.(1)

(d) Using the axes below, sketch the curve C showing clearly the asymptotes and the coordinates of the points where C crosses the coordinate axes.

(3)

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55Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Question 8 continued

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8 (a) Expand 3

1 2− x in ascending powers of x up to and including the term in x3 and

simplifying each term as far as possible.(4)

(b) Write down the range of values of x for which this expansion is valid.(1)

(c) Show that 30 9

10.

=(1)

(d) Express 110 3

10−

+ in the form a b, where a and b are integers.(2)

(e) Hence, using your expansion with a suitable value for x, obtain an approximation to 5

decimal places of 110 3− (3)

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REA

8 (a) Expand 3

1 2− x in ascending powers of x up to and including the term in x3 and

simplifying each term as far as possible.(4)

(b) Write down the range of values of x for which this expansion is valid.(1)

(c) Show that 30 9

10.

=(1)

(d) Express 110 3

10−

+ in the form a b, where a and b are integers.(2)

(e) Hence, using your expansion with a suitable value for x, obtain an approximation to 5

decimal places of 110 3− (3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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57Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

17

*S51837A01728* Turn over

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Question 9 continued

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9 f (x) = 7 + 4x – 2x2

Given that f (x) can be written in the form P(x + Q)2 + R where P, Q and R are constants,

(a) find the value of P, the value of Q and the value of R.(3)

(b) hence write down

(i) the maximum value of f (x),

(ii) the value of x for which this maximum occurs.(2)

The curve C has equation y = 7 + 4x – 2x2

The line l with equation y = 4 – x intersects C at two points.

(c) Find the x coordinates of these two points.(3)

The finite region bounded by the curve C and the line l is rotated 360° about the x-axis.

(d) Use algebraic integration to find, to 3 significant figures, the volume of the solid generated.(5)

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9 f (x) = 7 + 4x – 2x2

Given that f (x) can be written in the form P(x + Q)2 + R where P, Q and R are constants,

(a) find the value of P, the value of Q and the value of R.(3)

(b) hence write down

(i) the maximum value of f (x),

(ii) the value of x for which this maximum occurs.(2)

The curve C has equation y = 7 + 4x – 2x2

The line l with equation y = 4 – x intersects C at two points.

(c) Find the x coordinates of these two points.(3)

The finite region bounded by the curve C and the line l is rotated 360° about the x-axis.

(d) Use algebraic integration to find, to 3 significant figures, the volume of the solid generated.(5)

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59Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

19

*S51837A01928* Turn over

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Question 9 continued

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Figure 1

Figure 1 shows the curve M with equation y = x3 – 13x –12

The point P, with x coordinate −2, lies on M and line l1 is the tangent to M at the point P.

(a) Find an equation for l1(5)

The point Q lies on M and the line l2 is the tangent to M at the point Q.

Given that l1 and l2 are parallel,

(b) find an equation for l2 (4)

The normal to M at P meets l2 at the point R.

(c) Find the coordinates of R.(4)

(d) Find the exact length of the line PR.(2)

The tangent and normal at P and the tangent and normal at Q form a rectangle.

(e) Find the exact area of this rectangle.(3)

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62 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Question 10 continued

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Figure 1

Figure 1 shows the curve M with equation y = x3 – 13x –12

The point P, with x coordinate −2, lies on M and line l1 is the tangent to M at the point P.

(a) Find an equation for l1(5)

The point Q lies on M and the line l2 is the tangent to M at the point Q.

Given that l1 and l2 are parallel,

(b) find an equation for l2 (4)

The normal to M at P meets l2 at the point R.

(c) Find the coordinates of R.(4)

(d) Find the exact length of the line PR.(2)

The tangent and normal at P and the tangent and normal at Q form a rectangle.

(e) Find the exact area of this rectangle.(3)

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63Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Turn over

Question 10 continued

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64 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Diagram NOT accurately drawn

Figure 2

Figure 2 shows a right circular cone with a base radius of x cm. The slant height of the cone is l cm and the height of the cone is h cm. The vertex of the cone is B and the points A and C, on the base of the cone, are such that AC is a diameter of the base.

The cone is increasing in size in such a way that the size of the angle ABC is constant at 60° and the total surface area of the cone is increasing at a constant rate of 10 cm2/s.

Find the exact rate of increase of the volume of the cone when x = 6(11)

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66 Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Question 11 continued

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Diagram NOT accurately drawn

Figure 2

Figure 2 shows a right circular cone with a base radius of x cm. The slant height of the cone is l cm and the height of the cone is h cm. The vertex of the cone is B and the points A and C, on the base of the cone, are such that AC is a diameter of the base.

The cone is increasing in size in such a way that the size of the angle ABC is constant at 60° and the total surface area of the cone is increasing at a constant rate of 10 cm2/s.

Find the exact rate of increase of the volume of the cone when x = 6(11)

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67Pearson Edexcel International GCSE in Further Pure Mathematics – Sample Assessment MaterialsIssue 1 – June 2016 © Pearson Education Limited 2016

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Question 11 continued

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(Total for Question 11 is 11 marks)

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Question 11 continued

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