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Interpolazione polinomiale

1 Interpolazione PolinomialeProblemaRappresentazione LagrangianaPolinomio interpolante di NewtonErrore nell’interpolazione polinomiale

Interpolazione polinomialeInterpolazione

ProblemaPolinomi di LagrangeForma di NewtonErrore di interpolazione

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ProblemaAssegnati n + 1 punti

(xi , yi), i = 1, . . . ,n + 1,

trovare un polinomio p(x) tale che

p(xi) = yi , i = 1, . . . ,n + 1. (1)

Poiche i punti sono n + 1 e sufficiente considerare il genericopolinomio di grado n

pn(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn.

Usando la base delle potenze, si tratta di determinare icoefficienti ai risolvendo un sistema lineare di n + 1 equazioniin n + 1 incognite, ottenuto dalle condizioni di interpolazione (1):

a0 + a1x1 + a2x21 + · · ·+ anxn

1 = y1...........................

a0 + a1xn + a2x2n + · · ·+ anxn

n = yn

La matrice dei coefficienti e la matrice di Vandermonde.Essa e non singolare⇔ gli xi sono distinti.

1 x1 x2

1 . . . xn1

1 x2 x22 . . . xn

2.. .. .. .. .... .. .. .. ..1 xn x2

n . . . xnn

ove det(V ) =

∏i>j(xi − xj).

TeoremaSe gli xi sono distinti esiste uno ed un solo polinomio diinterpolazione di grado al piu n.

Tuttavia la matrice di Vandermonde e mal condizionata.Pertanto si calcola il polinomio di interpolazione usando unarappresentazione del polinomio diversa da quella canonica.

1 x1 x2

1 . . . xn1

1 x2 x22 . . . xn

2.. .. .. .. .... .. .. .. ..1 xn x2

n . . . xnn

ove det(V ) =

∏i>j(xi − xj).

1 x1 x2

1 . . . xn1

1 x2 x22 . . . xn

2.. .. .. .. .... .. .. .. ..1 xn x2

n . . . xnn

ove det(V ) =

∏i>j(xi − xj).

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Rappresentazione lagrangiana

Polinomio interpolante di LagrangeA ogni punto k−esimo, k = 1, . . . ,n + 1, si associa unpolinomio Lk (x) di grado n tale che

Lk (xi) = 0 per i 6= k , Lk (xk ) = 1.

Allora x1, . . . , xk−1, xk+1 . . . , xn+1 sono gli zeri di Lk (x), quindi

Lk (x) = αk (x − x1) . . . (x − xk−1)(x − xk+1) . . . (x − xn+1)

Affinche Lk (xk ) = 1 basta scegliere

αk = 1/(xk − x1) . . . (xk − xk−1)(xk − xk+1) . . . (xk − xn+1)

Lk (xi) = 0 per i 6= k , Lk (xk ) = 1.

Polinomio interpolante (xi , yi), i = 1, . . . ,n + 1

pn(x) = y1L1(x) + · · ·+ yn+1Ln+1(x)

Polinomio interpolante in forma lagrangiana

Costruzione di Lk (x)

function p=plagr(xnodi,k)%Restituisce i coefficienti del k-esimo pol di%Lagrange associato ai punti del vettore xnodiif k==1

xzeri=xnodi(2:end)else

xzeri=[xnodi(1:k-1) xnodi(k+1:end)]endp=poly(xzeri)p=p/polyval(p,xnodi(k))

(Esercizio 1)

Polinomio interpolante in forma lagrangiana

Costruzione di Lk (x)

function p=plagr(xnodi,k)%Restituisce i coefficienti del k-esimo pol di%Lagrange associato ai punti del vettore xnodiif k==1

xzeri=xnodi(2:end)else

xzeri=[xnodi(1:k-1) xnodi(k+1:end)]endp=poly(xzeri)p=p/polyval(p,xnodi(k))

(Esercizio 1)

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Polinomio interpolante di Newton

Si deriva una diversa rappresentazione del polinomio diinterpolazione.

Rispetto alla rappresentazione di Lagrange consente di

1 calcolarlo con una minore complessita computazionale;2 derivare da un polinomio interpolante di grado n uno di

grado superiore quando si aggiungono nuovi dati (xi , yi)usando i calcoli gia eseguiti.

Differenze divise

A tale scopo si usano le differenze divise.Si dice differenza divisa di ordine zero di f (x) relativa alnodo x0 la quantita

f [x0] = y0.

Si dice differenza divisa di ordine uno di f (x) relativa ainodi x0, x1 la quantita

f [x0, x1] =y1 − y0

x1 − x0.

Si dice differenza divisa di ordine due di f (x) relativa agliargomenti x0, x1, x2 la quantita

f [x0, x1, x2] =f [x1, x2]− f [x0, x1]

x2 − x0.

Differenze divise

f [x0] = y0.

f [x0, x1] =y1 − y0

x1 − x0.

f [x0, x1, x2] =f [x1, x2]− f [x0, x1]

x2 − x0.

Differenze divise

f [x0] = y0.

f [x0, x1] =y1 − y0

x1 − x0.

f [x0, x1, x2] =f [x1, x2]− f [x0, x1]

x2 − x0.

La differenza divisa di ordine m di f (x) relativa agli m + 1argomenti x0, x1, . . . , xm e

f [x0, x1, . . . , xm] =f [x1, x2, . . . , xm]− f [x0, x1, . . . , xm−1]

xm − x0.

La rappresentazione di Newton del polinomio di interpolazionedei punti (xi , yi), i = 1, ...,n, e data da:

pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x − x0) + f [x0, x1, x2](x − x0)(x − x1)+· · ·+ f [x0, x1, . . . , xn](x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)

Se aggiungo un punto da interpolare, (xn+1, yn+1), il nuovopolinomio e dato da

pn+1(x) = pn(x)+f [x0, x1, . . . , xn, xn+1](x−x0)(x−x1) . . . (x−xn)

La rappresentazione di Newton del polinomio di interpolazionedei punti (xi , yi), i = 1, ...,n, e data da:

pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x − x0) + f [x0, x1, x2](x − x0)(x − x1)+· · ·+ f [x0, x1, . . . , xn](x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)

Se aggiungo un punto da interpolare, (xn+1, yn+1), il nuovopolinomio e dato da

pn+1(x) = pn(x)+f [x0, x1, . . . , xn, xn+1](x−x0)(x−x1) . . . (x−xn)

Tabella delle differenze diviseEsempio: (xi , yi), i = 0, . . . ,3

x0 → f [x0]↘

x1 → f [x1]→ f [x0, x1]↘ ↘

x2 → f [x2]→ f [x1, x2]→ f [x0, x1, x2]↘ ↘ ↘

x3 → f [x3]→ f [x2, x3]→ f [x1, x2, x3]→ f [x0, x1, x2, x3]

function c=interpN(x,y)

%Calcola i coeff. del polinomio di Newtonn = length(x);for k = 1:n-1

y(k+1:n)=(y(k+1:n)-y(k))./(x(k+1:n)-x(k));endc = y;

function pval = HornerN(c,x,z)

% Calcola i valori del polinomio di Newton nei punti del vettore zn = length(c);pval = c(n)*ones(size(z));for k=n-1:-1:1

pval = (z-x(k)).*pval + c(k);end

function c=interpN(x,y)

%Calcola i coeff. del polinomio di Newtonn = length(x);for k = 1:n-1

y(k+1:n)=(y(k+1:n)-y(k))./(x(k+1:n)-x(k));endc = y;

function pval = HornerN(c,x,z)

% Calcola i valori del polinomio di Newton nei punti del vettore zn = length(c);pval = c(n)*ones(size(z));for k=n-1:-1:1

pval = (z-x(k)).*pval + c(k);end

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Errore nell’interpolazione polinomiale

Assegnate le n + 1 osservazioni {yi}i=1,...,n+1 incorrispondenza dei punti distinti xi , si e visto come costruire ilpolinomio interpolante di grado n pn(x). Se i valori yi altro nonsono che i valori di una funzione f (x) nei punti xi , cioeyi = f (xi), i = 1, . . . ,n + 1 con f definita in [a,b], ha sensochiedersi quanto sia grande l’errore di interpolazione

En(x) = f (x)− pn(x)

che si commette in un punto x ∈ [a,b] diverso dai punti diinterpolazione xi .Per dare una risposta a tale domanda e necessario fare alcuneipotesi di regolarita sulla funzione f (x).

Sia f (x) una funzione derivabile n + 1 volte in un intervallo [a,b]contenente tutti i nodi {xi}i=1,...,n+1. Si dimostra che l’errore

tra la funzione f (x) ed il polinomio interpolante di grado n e deltipo

En(x) = ωn+1(x)f (n+1)(ξ)

(n + 1)!

con ξ ∈ [a,b] e

ωn+1(x) =n+1∏i=1

(x − xi).

En(x) = ωn+1(x)f (n+1)(ξ)

(n + 1)!

con ξ ∈ [a,b] e

ωn+1(x) =n+1∏i=1

(x − xi).

En(x) = ωn+1(x)f (n+1)(ξ)

(n + 1)!

con ξ ∈ [a,b] e

ωn+1(x) =n+1∏i=1

(x − xi).

En(x) = ωn+1(x)f (n+1)(ξ)

(n + 1)!

con ξ ∈ [a,b] e

ωn+1(x) =n+1∏i=1

(x − xi).

L’errore di interpolazione dipende quindi:

dalla regolarita della funzione f (x)

dalla disposizione dei punti di interpolazione sull’asse delleascisse.

Posto Mn+1 = maxx∈[a,b]|f (n+1)(x)|, un limite superioreall’errore di interpolazione En(x) = f (x)− pn(x) e dato da

|En(x)| ≤ |ωn+1(x)|(n + 1)!

Si dimostra che la scelta dei nodi {xi}i=1,...,n+1 per cui, perqualunque x , risulta minimo il valore del termine |ωn+1(x)|,corrisponde agli zeri reali del polinomio di Chebyshev di gradon + 1 definito nell’intervallo [a,b]:

xi =a + b

2− b − a

(2(i − 1) + 1

2(n + 1)π

)i = 1, . . . ,n + 1.

Grafico di ωn+1(x) nell’intervallo [a,b] = [−1,1] per n = 6 e{xi}i=1,...,7 equispaziati (linea verde){xi}i=1,...,7 zeri del polinomio di Chebyshev di grado 6(linea blu)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

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