intersection de produits fibres et formule de la dimension
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Intersection de produits fibres et formule de ladimensionAhmed Ayache a , Paul-Jean Cahen b & Othmen Echi ca Porte de l’ancinne Université , SANAA, B.P, 12460, Républic du Yemenb Service de Mathématiques 322 , Faculté des Sciences de Saint-Jérôme, Marseillecedex 13, 13397, Francec Département de Mathématiques 322 , Faculté des Sciences de Sfax, Sfax, B.P.W,3038, TunisiePublished online: 27 Jun 2007.
To cite this article: Ahmed Ayache , Paul-Jean Cahen & Othmen Echi (1994) Intersection de produits fibres etformule de la dimension, Communications in Algebra, 22:9, 3495-3509, DOI: 10.1080/00927879408825037
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COMMUNICATIONS IN ALGEBRA, 22(9), 3495-3509 (1994)
INTERSECTION DE PRODUITS FIBRES ET FORMULE DE LA DIMENSION.
Ahmed AYACHE, Paul-Jean CAHEN et Othman ECHI
Ahmed AYACHE Pone de I'ancinne Universite B.P. 12460 SANAA, RCpublique du YEMEN
Paul-Jean CAHEN Service de MathCmatiques 322 FacultC des Sciences de Saint-JCr6me 13397 Marseille cedex 13, FRANCE
Othmen ECHI Deoartement de MathCmatiaues 322 ~ a d u l t t des Sciences de sf& B.P. W, 3038 Sfax, TUNISIE
Resume : On gCnCralise les rtsultats classiques de transfens aux intersections h i e s de
produits fibres en divers idCaux maximaux d'un mtme anneau T ; on obtient Cgalemenr de
nouveaux rCsultats de transfens pour la fom~ule de la dimension.
Abstract : We generalize classical results of tranfer properties to finite intersections of
pullbacks at various maximal ideals of a domain T; we also get new transfer results on the
dimension formula.
Introduction
Tous les anneaux consideres sont cornrnuratifs, unitaires, intkgres et de dimension de
Kmll finie. Si A est un anneau, on note k(A) son corps des fractions, dimA sa dimension de
Krull er A[n] l'anneau des polynornes en n indCreminees sur A ; si p est un idCa1 premier de
A. on note hrp la hauteur de p et p[n] l'ttendu de p B A[n] ; enfin. si l'anneau B condent A,
on note d.t.[B:A] le degre de transcendlince de k(B) sur k(A) et on dit que B est algibrique sur
A si d = 0.
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Copyright O 1994 by Marcel Dekker, Inc.
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La litttrature abonde de rtsultats de transferts aux produits fibrts, souvent dans le cadre
particulier de la construction D+M mais plus gtnkralement on peut considtrer un anneau T , un
1dia1 I de T, un sous-anneau D du quotient T/I, et le sous-anneau R de T form6 par les
elements don1 la classe modulo I est dans D, on dit alors que R est l'unneau de la construction
(T,I,D) [7] ; dans ces conditions le couple d'anneaux (R,T) partage l'idial I [6], D est
isornorphe au quotient Rn et on a ie carre canesien
Les resultars de transfens donnent des conditions (necessaires ou suffisantes), ponant sur
les anneaux T et D, pour que R joulsse de diverses propriCtCs ; nkanmoins on se doit de noter
que la consideration de produits fibrts est justement un des outiis pnviitgies pour consuuire des
contre-exemples, notamment lorsque I est l'intersection d'idtaux maximaux de T (il en est par
exemple iiinsi du ctltbre anneau noethirien non catenaire de Nagata [6].[70]). C'est pourquoi la
plupart des resultats classiques de transfert (que nous citerons dans le texte) s'obtiennent dam le
cadre particulier de la consuuction (T,m,D), oh lit est un ideal maximal de T, ou m&me d'une
construction locale, oh on on suppose en outre que T est local (d'ideal maximal m). On a des
Cnoncts analogues au suivant
Soir R lhnneau de la construction (T,m,D), si T er D vtryienr la propritrt ( P ) et
k = Tlm est alge'brique sur D alors R vtrifie (P) .
Eventuellement les conditions sonr ntcessaires et suffisantes, parfois encore la condition k
esr alge'brique sur D est remplacie park est le corps desfractions de D.
Dans cet article on se propose de montrer qu'on peut en fait gtneraliser de tels resultats
aux produits fibres obtenus comme intersection (finie) de constructions (T,mi,D,).
Dans un premier paragraphe, on montre que l'anneau R obtenu comme intersection de
constructions (T,Itt,,D,), en divers ideaux maximaux m i de T, est en fait l'anneau de la
construction (T,I,D), oh I est l'intersection des mi et D le produit des D; ; dans le cas oh T
est semi local (d'ideaux maximaux les idtaux mi), on monue aussi que R est une intersection
de constructions locales qui gtntraiise donc l'intersection d'anneaux de la construction D+M
introduite par R.Gilmer (dam le cadre particulier des constructions issues d'anneaux de
valuation [4],[14]) ; on monne enfin, que pour tout premier P de R, le localisC Rp est l'anneau
de la construction locale (Tp,Ip,Dp) ce qui permet de ramener les resultats de uansferts, pour
les proprietes B caractkre local, B ces consuuctions particulikres.
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INTERSECTION DE PRODUITS FIBRES 3497
Dans un second paragraphe on montre comment les resultats prCcCdenrs permettent de
ramener les resultats de transfert, pour les propriCtCs B caractere local et les intersections de
produits fibres. a des constructions locales ; on obtient donc des enonces anaiogues au suivant
Soil R l'inrersecrion de consrrucrions (T,mi,Di), si T virqie ( P ) er si, pour tour i,
Dl vPrfie ( P ) er k , = Tim, esr algibrique sur Di, alors R vir$e (P).
Parfois encore on obtienr des conditions nicessaires et suffisantes, Cventuellement en
remplapnt la condit~on k, esr algdbrique sur Di, par k, esr le corps desfracrions de Di ; on
peut ainsi generaliser de nombreux resultats de la litrerature (sur les anneaux de Priifer, les
anneaux catenaires, etc. ) aux intersections de produits fibres. Enfin, si une propriCtC (P) ne
passe pas au quotient on dit qu'un anneau A verifie re'siduellemenr la propriCtC ( P ) si, pour tout
ideal premier p de A, Alp verifie (P). Lorsqu'une propritte 3. caracttre local, virifie des
resultats de transferts locaux, on etablit encore des risultats transferts, pour la propriCt6
res~duelle, aux intersections de produits fibres.
Dans les deux derniers paragraphes on traite enfin tour a tour des resultats de transfert
pour les anneaux qui vtrifient la formule de la dimension puis pour ceux qui verifient
absolument I'inCgalitC de la dimension. Rappelons les difinitions : on dit qu'un couple d'anneaux A C B verifie la formule (resp. l'inigalirk) de la dimension si, pour tout premier Q
de B, posant p = q n A , on a
htq +d.t.[B/q:A@] = htp + d.t.[B:A]
(resp. htq +d.t.[B/Q:A/p] 5 htp +d.t.[B:A]).
On dit alors qu'un anneau A virifie la,formule (resp. I'inPgalirP) de la dimension si, pour toute
.A-algibre de type fini B contenant A, le couple (A,B) vtrifie la formule (resp. l'inigalitt) de la
dimension. Enfin on dit que A virifie absolumenr l'inigalite de la dimension si tout suranneau
de A (c'est h dire tout anneau compris entre A et son corps des fractions k(A)) virifie
l'inigaliti de la dimension (il s'agit en fair des anneaux dont la cl6ture integrale est un anneau de
Prufer [3, theoreme 2.61). Comme ces propriktes sont tvidemment locales, les rtsultats de
transfen se ramhent aiors au cas de constructions locales.
$1 Intersection de produits fibres
On considkre des ideaux maximaux ml,..,m, d u n anneau T et pour chacun d'eux un
sous-anneau D, du quotient k, = T/mi ; notant Ri l'anneau de la consrmction (T,mi,Di) et R
l'intersect~on R = n, Ri, on a alors, reprenant en partie la proposition 2.18de [l] :
Proposition 1.1 : Soir R l'inrersecrion de consrrucrions (T,mi,Di), alors
( i) R er T parragenr l'ide'al I = n ,mi ,
(ii) RII I I , D ~ ,
(iiij R esr l'anneau de la consrrucrion (T,I,D), oh D = G D ~ .
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Demonstration : ( i ) Comme Ri et T partagent m,, alors R er T panagent I = ni mi.
(ii) Comme R est contenu dans T et TI1 n i k i , alors R/I est isomorphe h un sous-anneau de
n,k, ; l'image de R/I est conrenue dans n , ~ ~ , puisque R est contenu dans chacun des Ri et
que l'image de R, dans ki est conrenue dans D, ; il reste B rnontrer clue tout Cltment de n , ~ ;
est dans l'image de R/I : un Cltment de n , ~ , se relive en une famille (xi) d'ClCments de T er il
existe un ClCment x de T tel que, pour tout i, x s xi (mod. mi) ; comme la classe de xi
apparrient h D, alors x est dans Ri, pour tout i, donc x est dans R.
(iii) Ce dernier point n'est qu'une reformulation des deux premiers 0
Si on note n , I'idCal (premier) de R , n , = m i n R, alors I = n i n, , et on tire
inlrniGarzment le corollaire suivant :
Corollaire 1.2 : Soir R l'inrersecrion de consrrucrions (T,m,,D,), alors
( i ) Les ide'aux n, = Ill, R , sonr deux ii deux comaximaw
(ii) pow- roiir i, Rlnj Rilmj = Dj,
(iiij pour rour i, Ri = R + mi,
( iv) Tour idid premier de R qui conrienr I conrienr un er un seul f t i .
Demonstration : (i), (ii) et (iv) risultent facilement du fait que RA a n D i , (iii) rtsulte
immidiatement de (ii) O
On note une analogie avec certaines assertions de J.T. Amold et R. Gilmer concernant
l'intersection d'anneaux de la construction D+Mi, issus d'anneaux de valuation [4, 4.9 et
theori-me 4.101 ; l'intersection de ces anneaux de valuation (qui joue ici le rBle dz l'anneau T)
2st alors un anneau semi-local. On peut poursuivre I'analogie er gentrdiser les resulrats de J.T.
Arnold et R. Gilmer rout en simplifianr sensiblement les dtmonsnations, en supposanr a priori
que l'anneau T est semi-local :
Proposition 1.3 : Soir R l'inrersecrion de consrructions (T,mi,D,j , ou T esr
semi-local (d'idkaux maximaux m,) ; notanr R'j i'annenu de la consrruciion locale
(Tm,,m,Tm,P,) er ni l'intersecrion ni = min R, on a
(ij R = n, R*,,
(ii) pour rour i , R'i = Si-IR, ou Si esr la parrie mulriplicative formCe des Clkrnenrs de R rels que x I (mod. Ill,).
(iii) pour rour i , Ri = U,-]R , ou U , esr la parrie mulriplicarive forme'e des Lle'menrs de R rels que x 1 (mod. mi) er x 0 (mod. mj), pour j # i.
(iv) Tout premier de R qui ne conrienr pas I esr conrenu dans au moins un des premiers n,,
( v ) Tour premier de R qui conrienr I contienr un er tin seid premier tli.
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Demonstration : (i) Pour tout i, R, = T n ReI (car Ri est par difinition l'ensemble des
tltments de T, dont l'image modulo mi est dans Di), si x~ ni R'i, a fortiori x~ ni Tm, = T
(car Tes t semi-local) donc x~ ni R, = R, l'implication inverse est tvidente.
(ii) [4, thtorime 4.101 Les anneaux Si-lR et S ~ - ' T partagent l'idial S;lI [6 , proposition 0] done S;IR est l'anneau de la construction (si-'T,Si.'I,Si-'Di), or S;IT = T m i (puisque S,
rencontre ml, pour j # i, mais ne rencontre pas m,) Si-lI est donc l'ideal maximal MITm, de
T n , et enfin S l - l ~ / S , - l I "= Si-lDi ' D, (puisque les eltments de Si sont inversibles modulo
m,), en conclusion S,-IR est l'anneau R', de la construction (Tmi,miTmi,Di).
(iii) Pour simplifier, on raisonne dans le cas de R1 ; R1 et T partageant l'ideal m i , ils partagent
a fortiori I'idCal I et on peut interpreter R1 comme l'anneau de la construction (T,I,DV1), 06 D'l = Dlxk2x ...x kn (R1 est l'ensemble des Climents de T dont la classe modulo ltt 1 est dans
D l ) La partie U1 formCe des elCments de R tels que x 1 (mod. ml) , et x 5 0 (mod. m,),
pour j > 1, ne rencontre aucun des idtaux maxirnaux de T, donc U1-IT = T, il en resulte que U l e l I = I, enfin on a UI- ID U 1 - 1 D 1 ~ U 1 - 1 D 2 ~ . . . ~ ~ f l ~ n = Dixk2x ...x kn, en conclusion
Ul- lR est l'anneau R I de la construction (T,I,D'l).
(iv) [4, 4.9.41 Un idtal premier de R qui ne contient pas I se reltve dans T [6, proposition 01,
il se relive en un premier q qui est tvidemrnent contenu dam un des idtaux mi,
(v) Nu1 besoin, pour ce point de supposer T semi-local [corollaire 1.21 O
On voit donc qu'une intersection de constructions (T,mi,Di), giniralise sensiblement
l'intersection de sous-anneaux Di + m, d'anneaux de valuation V, = K + mi (deux B deux
incornparables) d'un meme corps L [4,14], ainsi que F. Anderson et consorts l'avaient
d'ailleurs d6ji not6 [ l , corollaire 2.191. C'est i cette situation que nous gtnkraliserons plus loin
de nombreux resultars de transferts, 2. titre d'exernple on peut d i j i caracteriser les intersections
qui sont des arineaux noetheriens :
Proposition 1.4 : Soir R l'inrersecrion de consrrucrions (T,mi ,Di) , alors R esr
noerhdrien si et seulemenr si T esr noerhdrien er, pour rour i , Di esr un corps et
k, = 77mi esr une exrensionfinie de Dl .
Demonstration : En effet l'anneau R de la construction (T,I,D) est noethirien si et seulement
si T est noethenen et TI1 est un D-module de type fini [6, proposition 11 0
En particulier, lorsque R est l'intersection de sous-anneaux Di + M i d'anneaux de
valuation V; = K + mi, alors R est noethirien si et seulement si les valuations son1 discrites et
pour tout i, Dl est un corps et K est une extension finie de Di [14, thioreme 3.41.
On termine ce paragraphe en montrant que les localisis d'une intersection de constructions
(T,m,,D,) sont les anneaux de constructions locales (meme lorsque T n'est pas semi-local).
( ~ r o p o s i t i o n 1.5 : Soien: R l'inrersecrion de consirucrions ( T , m l , D i ) er p un
idial premier de R ; si p ne conrienr pas I , alors R p = Tp, sinon R p esr l'anneau de in consrrucrion locale (Tm,,miTmi,(DJp).
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3500 AYACHE, CAHEN, AND ECHI
Demonstration : Si p ne contient pas I, le rtsultat est classique [6, proposition 01, sinon p
contlent un unique idtal premier R, = m , n R [proposition 1.3 (v)] et Tp = Tmi, Ip = m,Tmi,
$2 Du transfert local aux intersection de produits fibres
On rencontre de nombreux CnoncCs analogues au suivant
Soir R lhnneau de la consrruction (T ,m,D) , si T er D virifienr lapropri tr i ( P ) er
k = T i m esr algibrique sur D alors R ve'rifie (P) .
S1 une telle assenion est vraie chaque fois que T est local (d'idtal maximal m ) on dit que
la propriere (P) vtrifie le rrunsfert local ; si les conditions de cette assertion sont nicessaires et
suffisantes, on dit que (P) virifie le rransferr local avec kquivalence et si la condition k esr
algibrique sur D est remplacte par k = k (D) , que ( P ) virifie le rransferr local resrreint,
(tventuellement avec iquivalence). Dans ce paragraphe on montre comment passer du transfen
local aux intersecrions de produits fibres. On montre que la propriete (P) virifie des rCsultats de
transferts globaux si elle vtrifie des rCsultats de transfens locaux et si en outre elle est locale,
c'est B dire si les assemons suivantes sont Cquivalentes
(ij A virlfie (P) . iiii) Pour rour idial premier p de A, A p virifie (P i .
liii) Pour lour ide'al maximal p de A , A p ve'rifie (P) .
Theoreme 2.1 : Si unepropriiri (P) esr locale er virrfie ie rransferr local (resp. le
rransferr local resrreinr ), alors ( P ) verifie le rransferr (resp, 1e rransferr resneinr) aLlx
inrersecrionsfinies, donc :
Si R esr l'inrersecrion de consrrucrions (T,mi,D,), T virifie (Pi er ,pour rout i , Di
v irgie (Pj er kj = T l m , esr algtbrique sur Di (resp, k, = k(D,j), alors R virijfie
if').
Demonstration : Comme la propriett! est locale, il suffit de considtrer le localist Rp de R en
tout idCa1 maximal p de R : si P ne contient pas I, Rp = Tp vtrifie Cvidemment (P), sinon Rp est l'anneau de la construCtion locale (Tmi,miTmi,(Di)p).[proposition 1.51 oh Tmiet (Di)p
vtrifient (P) et ki est algtbrique sur (Di)p (resp. k, = (Di)p ), on est donc rament aux conbtions
du transfen local (resp. du transfen local restreint) 0
A titre d'exemple, on peut appiiquer ce thioreme aux anneaux universellement catenaires
[2, corollaire 2.31 ou S-forts universels [16, theortme 1.11 (on renvoie a la bibliographic pour
les definitions) :
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INTERSECTION DE PRODUITS FIBRES 3501
Corollaire 2.2 : Soir R l'inrersecrion de consrrucrions (T,llti,Di), si T esr
universellemenr care'naire (resp. S-forr universel) et si, pour rour i, Di est
universellemenr carthaire (resp. Syorr universel) er ki = Tim, esr algebrique sur D,,
alors R esr itniversellemenr carenaire (resp. S-forr universel).
On a un resultat tout a fait analogue pour les resultats de transfert avec conditions
necessaires et suffisantes :
Theoreme 2.3 : Si une proprie're (P) esr locale er ve'rifie le iransferr local (resp. le
rransferr local resrreinr) avec equivalence alors (P) ve'rifie le rransferr (resp. le
rransferr resrreinr) avec kquivalence aux inrersecfionsfinies.
Demonstration : I1 suffit de montrer que les conditions sont necessaires et pour cela de les
verifier localement ; or si p est un premier de R qui ne contient pas I, Rp est l'anneau de la construction locale (Tmi,IttiTmi,(Di)p).[proposition 1.51, donc (Di)p et Tmi virifient (P) et ki
est algebrique sur (Di)p (resp. ki = @i)p ) ; en conclusion Di virifie (P), car tout premier de Di
(qui est un quotient de D) se reltve en un premier p de R contenant I, et T verifie (P) car tout
premier Q de T est au dessus d'un premier p de R et si p ne contient pas I, alors Tp = Rp
vtrifie evidernment (P) 0
On peut ainsi par exemple gtneraliser une des constructions d'anneaux de Prufer de
R.Gilmer [14, theoreme 3.21 :
Corollaire 2.4 : L'inrersecrion R de consrrucrions (T,mi,Di) esr un anneau de
Priqer si er seulernenr si T esr un anneau de Priifer er, pour roitr i, Di esr un anneau
de Prufer de corps des fracrions ki = Tlmi.
Demonstration : On peut se ramener au cas oh R esr l'anneau d'une construction locale
(T,m,D) oh T et D sont des anneaux locaux, il est alors immtdiat que R est un anneau de
valuation si et seulement si T et D sont des anneaux de valuation et k = T/m est le corps des
fractions de D [13, proposition 18.2, pour la condition suffisante] 0
On obtient Cgalement une equivalence pour les anneaux localement de Jaffard [I, corollaire
2.121, [7, corollaire 41 (on renvoie la bibliographic pour les definitions en remarquant que F.
Anderson et consorts avaient d'ailleurs etabli un resultat analogue pour une intersection
d'anneaux de la forme Di + m, [ l , corollaire 2.191) :
Corollaire 2.5 : L'inrersecrion R de consrrucrions (T,m,,Di) esr localemenr de
Jaffard si er seulemenr si T esr localemenr de Jaffard er, pour rour i, Di esr
localemenr de Jaffard er ki = Timi esr algebrique sur Di.
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3502 AYACHE, CAHEN, AND ECHI
Pour de nombreux CnoncCs de transfert local, on a des conditions nkcessaires et
suffisantes lorsqu'on suppose B priori que k = T/m est le corps des fractions de D, il est ciair
qu'on peut alors encore globaliser. Par exemple, pour les anneaux universellement catenaires [2 ,
t h e o r h e 2.21 ou S-forts un~versels [16, proposition 1.41 on obtient alors
Enfin, si une proprittt (P) ne passe pas au quotient on dir qu'un anneau A verifie
re'siduellernenr la propriitt (P) si, pour tout ideal premier p de A, Alp verifie (P) ; on a encore
des rCsultats de uansfen pour cette propriktt residuelle (P') :
Theoreme 2.7 : Si uneproprie'rt ( P ) esr locale et vkrijie !e rransferr local (resp. le
rransferr local resrreinr, resp. le rransferr local avec e'quivalence) a l m s la proprie're'
risiduelle ( P ' ) v i r f i e le rransferr (resp. le rransferr resrreinr, resp. le rransferr avec
Cquivalence a m inrersecrionsfinies).
Demonstration : Si la propritte (P) est locale, il en est de mime de la propriCt.6 residuelie (P')
(car les 1ocalisCs du quotient sont les quotients du localist), d'aprits les rtsultats prictdents
[theoremes 2.1 et 2.31 tout revient donc i montrer que la propriete (P') virifie le transfen local
(resp. le nansfert local resrreint, resp. avec Cquivalence) et on peut se placer dans le cas oh R
est l'anneau de la consuuction locale (T,m,D), oh T est local &ideal maximal m.
- Pour les conditions suffisantes, soit p un ideal premier de R ; si p condent lit, alors R/P est
un quotient de D = RIm et il vkrifie (P) si on suppose que D verifie rCsiduellement la propriCtC
(P), si par contre p ne contient pas m, alors il se reltve de maniere unique en un premier q de
T , RIP et Tlq partagent l'ideal mlq et (R/p)/(m/q) est isomorphe B D donc Rlp est l'anneau
de la construction locale (T/Q,m/q,D) o t ~ T/q et D vtrifient (P) er k = TIm est algtbrique sur
D (resp. k = D) donc R/p verifie (P) puisque cette propriete vtrifie le transfert local (resp. le
transfert local resueint).
- Pour les conditions necessaires (dans le cas du uansfert avec equivalence), il est d'abord clair
que D verifier (P') (c'est un quotient de R) et que k est algtbrique sur D (resp. k = D) (car R
vCrifie a fortiori la propriett (P) pour laquelle on a par hypothtse le uansfert local avec
equivalence, il reste donc B verifier que T/Q verifie (P) pour tout premier Q de T, on envisage
alors deux cas :
lg cas : q n'est pas contenu dans Ill : dans ce cas, si tl est un ideal maimal de T contenant - - Q, n n R ne conrient pas et donc RnnR = Tn, ainsi T/Q vtrifie localement la propritti (P).
2 h c a s : Q est contenu dans m : si p = qnR, alors FUP est l'anneau de la consuuction locale
(T/9,mlq,D) et pour que R& verifie (P) il faut en particulier qu'il en soit de mCme de Tlq 0
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INTERSECTION DE PRODUITS FIBRES 3503
Ainsi par exemple la propnit6 "A est localement de Jaffard" ne passe pas aux quotients [7, exemple I] et on dit aussi que A est roralemenr de Jaffard [7] lorsqu'il est rtsiduellement
localement de Jaffard (car alors tout quotient de tout localisC, ou de manitre equivalente tout
localise de tout quotient, est de Jaffard), on a donc :
Corollaire 2.8 : L'inrersecrion R de constructions (T,m,,Di) esr roralemenr de
Jaffard si er seulemenr si T esr roralemenr de Jaffard er, pour tour i , D; esr
roralemenr de Jafard er ki = Tlmi est algebrique sur Di.
$3 Const ruc t ions locales e t fo rmule d e la dimension
On montre que les anneaux qui vtrifient l'inCgalit6 de la dimension sont les anneaux
localement de Jaffard [3, theortme 1.51, [17, lemme 1.41 ; on a donc des rtsultats de transfert
pour cetre proprier6 [corollaire 2.51 ainsi que pour la proprittC rtsiduelle correspondante, c'est i
dire pour les anneaux totalement de Jaffard [corollaire 2.81 ; on se propose dt tablir ici des
rCsulrats analogues pour la formule de la dimension. Comme ces propriCtCs sont clauement
locales, il rCsulte de ce qui prtctde [thiortmes 2.1, 2.71 qu'on peut se ramener au cas oh R est
l'anneau d'une construction locale (T,m,D), on notera alors k = Tmt.
En fair on observe que l'dtude du transfert local d'une propriCtt (P) se ramkne souvent a deux cas particuliers (comme par exemple pour les anneaux localement de Jaffard [I] ,
universellement catenaires [2], S-fon universels [16], etc.) :
1) k est le corps des fractions de D. 2) D est un corps et k est algCbrique sur D.
I1 est important de noter que dans le premier cas Rm = Tm, et que dans ie second T est entier
sur R [6, lemme 21 et l'anneau R est lui-mCme local, d'idCal maximal ttI. Disons que ce sont
les deux cas parriculiers du rransferr local (nous avons qualifit plus haut le premier d'entre-eux
de rransferr local resrreinr) ; on montre qu'on peut toujours s'y ramener :
Proposition 3.1 : Si une proprie're ( P ) ve'rifie les d e n cas parriculiers du rransferr
local, alors elle ve'r13e le rraaferr local.
Demonstration : Soit R l'anneau de la construction (T,m,D) ; si entre R et T o n intercale l'anneau R1 de la construction (T,m,k(D)), alors les trois anneaux R C R1 C T partagent
1'idCai m ; si T verifie (P) le deuxitrne cas particulier implique que R1 verifie (P), or R1 est un
anneau local, d'idtal maximal m , et R est l'anneau de la construction (Rl,lll,D) donc si D
virifie (P) le premier cas particulier implique que R vkrifie (P) 0
On se propose de demontrer le resultat suivant :
l'inrersection de consrrucrions (T,mi,Di), si T ve'rifie la
er si, pour tour i, D; ve'rifie la formule de la dimension et
sur D;, alors R vtrifie la formule de la dimension.
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3504 AYACHE, CAHEN, AND ECHI
La demonsnation de ce theoreme (cornme celle de risultats analogues) se ramene donc aux
deux cas particuliers du nansfert local, ils font i'objet des lemmes 3.6 et 3.8 ci-dessous. Pour
les montrer, on ttablira deux rtsultats preparatoires, mais tout d'abord on rappelle une
caractCrisation des anneaux verifiant la formule de la dimension [ l 1, proposition 3.21 :
Proposition 3.3 : L' anneau A ve'rifie la formule de la dimension si er seulemenr
si il vtrifie l'intgalire' de la dimqnsion er, pour tour enrier n er rour couple d ' i d i a u premiers 3 C @ de A[n] re1 que 3n4 = (O), on a hr@ = ht@l@ + ht@.
Notons que la condition sur le couple 3 C @ exprime qu'une chaine maximale de @
passe par 3. Les lemmes preparatoires portent Cgalement sur de telles conditions de chafne :
Lemme 3.4 : Soir A un anneau local d'idial maximal Ill ;pour tout enrier n er
rour premier @ de A[n] conrenanr tlt[n], on a alors dim A[n] = hr@ + dinvi[n]l@.
Demonstration : Cela revient B dire qu'une chaine de longueur maximale passe par @ ; or
d'une part, une chaine de longueur maximale passe par m[n], d'apres ie thtoreme de la chaine
speciale [15, I1 $3 theoreme 31, d'autre part Aim est un corps donc un anneau universellement
catenaire et une chaine de longueur maximale de (A/ttt)[n] passe par (Qim)[n] O
Considerant I'anneau R de la construction (T,m,D), on a les inclusions R C Rm c T, de
sorte que ces nois anneaux partagent l'idCal m et que IIt est un ide'al premier divise' de R (rappelons qu'un idtal premier m d'un anneau A est divise' si mAm = m, autrement dit si A et
Am partagent I'idtal Ill). Le second lemme preparatoire traite d'un idtal premier divise, il
precise un peu le lemme 2.2 de [I] :
Lemme 3.5 : Soienr m un idial premier divise' d'un anneau A, er n un enrier ; ( i ) si @ o C @, ... C @h esr une chaine non raffinable d'ide'aux premiers de
A[n] er le plus perir ide'al de la chaine contenanr Illjn], alors ai esr au dessus
de m .
(ii) si @ esr un premier de A[n] conrenanr m[n], hr@ = hrtltjnl + hr@/m[n].
Demonstrat ion : (i) La chaine @ o c ... C bi se relkve dans Am [n], puisque A[n] et
Am[n] partagent l'ideal m[n] [6, proposition 41, donc ainA = m , puisque Am est local
d'ideal maximal m.
(ii) Cela revient a dire qu'une chaine maximale de passe par m[n], or si on considere une chaine spCciale (0) = a. C ... C @, = 115, I1 $31, il risulte de (i) que le plus petit ideal
de la chaine contenant m[n] est au dessus de m , il est donc tgal B m[n] puisque la chaine est
speciale 0
On peut maintenant montrer le premier cas particulier du transfen local :
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INTERSECTION DE PRODUITS FIBRES 3505
Lemme 3.6 : Soir R l'anneau de la construcrion locale (T,m,D), od le corps des
racrions de D esr &gal d k = Tlm, si T et D vkrifien la formule de la dimension
alors R verij'ie la fonnule de la dimension. I Demonstration : L'anneau R vCrifie 1'inCgalite de la dimension [corollaire 2.5],[3,thCortme 1.51, il reste donc montrer que si 3 C @ est un couple d'ideaux premiers de R[n] tel que
B n R = (0), alors une chaine maximale d e , @ passe par 3 [proposition 3.31. Comme T e s t
local, les idCaux premiers de R sont comparables a m , posant 4 = @ n ~ , deux cas peuvent
donc se presenter :
: Q est contenu dans m : dans ce cas Rq = Tq (si q est snictement contenu dam m ,
c'est la proposition 0 de [6], et si Q = m, cela risulte du fait que le corps des fractions de D est
Cgal a k) ; le resultat est alors immtbat.
-*= : Q contient snictement m : on considtre alors une chaine non raffinable entre 3 et @ soit 3 = Qo C @ I ... C @Ih = a, et on note ai le plus petit ideal de la chaine contenant
m[n] ; bi est au dessus de I% [lemme 3.5 (i)] et on a alors
(1) Une chaine maximale de @ passe par m[nl [lernme 3.5 ($1.
(2) Une chaine maximale enae m[n] et @ passe par @i, en effet R/m = D vCrifie la formule de la dunension par hypothkse et le couple @,/m[n] C @/m[n] d'ideaux premiers de R/m[n] est
tel que @;/m[n] est au dessus de (0).
(3) Une chaine maximale de ai passe par 3 , ceci d'aprks le premier cas.
De ( I ) , (2) et (3) il rCsulte qu'une chaine maximale de @ passe par 3 0
Pour le deuxitme cas particulier du transfert local, oh D est un corps, T e s t entier sur R er R est iocal (d'ideal maximal m) ; on montre aussi au prealable un lemrne prkparatoire :
lemme 3.7 : Soir R l'anneau de la consrrucrion locale (T,m,D), si D esr un corps
er k esr algebrique sur D, alors pour rour enrier n er rour ideal premier @ de T[n],
si .@ = @ d [ n ] , on a hr@ = hr.@.
Demonstration : Deux cas peuvent se presenter :
la cas: @ ne contient pas m[n] : alors R[n]a] = T[n]@ [6, proposition 01, et le resultat est - - irnmaiat.
b contient m[n] : alors 3 contient Cgalement m[n], et du lemrne 3.4 on tire
h t a + dimT[n]/@ = dimT[n] et h t 3 + dimR[n]/@ = dimR[n].
Comme T est entier sur R, donc T[n] est entier sur R[n], on a par ailleurs
dimR[n] = dimT[n] et dim~[n]/@ = dirnR[n]B
d'oh !e resultat 0
On peut maintenant montrer le deuxitme cas particulier du transfert local :
Lemme 3.8 : Soir R l'anneau de la consrrucrion locale (T,m,D), ou D esr un
corps er k esr algebrique sur D, si T verijie /a formule de la dimension, alors R
ve'rij'ie la formule de la dimension.
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Demonstration : On sait que R virifie l'inegalitC de la dimension [corollaire 2.51, il reste ii montrer que si 3 C b est un couple d'idiaux premiers de R[n] et 3 n ~ = (0), alors une
chaine maximaie de @ passe par @ [proposition 3.31. Comme T[n] est entier sur R[n], on peut relever le couple 3 C @ en B' C b' dans T[n] et on a Cvidement B ' n R = (0). Comme
T verifie la formule de la dimension, une chaine maximale de @' passe par @, et cette chaine
decoupe dans R[n] une chaine de b qui passe par @, comme par ailleurs h t b = h t b ' [lemme3.7], il s 'ag~t d'une chaine maximale,de b 0
On obtient imrntdiatement un rCsultat analogue pour la propriett rtsiduelle [thCorttme 2.71
(on parle aussi parfois dans ce cas des anneaux qui vtrifient forremenr la formule de la
dimension [ l 11) :
Corollaire 3.9 : Soit R l'intersecrion de constructions (T,mi ,Di) , si T vtrifie
rtsiduellemenr la formule de la dimension er si, pour tour i, Di vtri je rtsiduellemenr
la formule de la dimension et k , = T / m j esr alge'brique sur Di, alors R ve'rifie
risiduellemenr la formule de la dimension.
$4 Anneau vkrifiant absolument I'inegalite de la dimension
On traite maintenant des anneaux qui vkrifient absolument I'inegalite de la dimension. I1
s'agit d'une propriete qui est stable aussi bien par localisation que par quotient [3, proposition
2.21. On se propose cette fois d'Ctablir une equivalence :
Theoreme 4.1 : L'inrersecrion R de constructions (T,mi,Di) vtrifie absolument
l'int!galiit de la dimension si er seulement si T virifie absolurnent I'intgalirt de la
dimension er, pour tour i , Di vtrifie absolument l'intgalirt de la dimension et
ki = Tlmi est algebrique sur Di.
Demonstration : Les conditions sont manifestement nkcessaires car si R vkrifie absolument
l'inegalite de la dimension il en est de mime de tout quotient [3, proposition 2.21 et tout
suranneau [3, corollaire 2.71 et enfin R vCrifie a fomori l'inCgalitC de la dimension donc, pour
tout i, k, est algebrique sur Di [corollaire 2.51. Pour Ia reciproque, on peut se ramener aux deux
cas particuliers du uansfert local [theortme 2.1 et proposition 3.11, ils font l'objet du lemme 4.3
et d'un risultat gtntral sur les extensions entieres [proposition 4.41 ci-dessous 0
Pour Ctablir les cas particuliers du transfert local on rappelle d'abord une caracttrisation
des anneaux vtrifiant l'intgalitk de la dimension qui precise un peu le thCorbme 2.6 de [3] ;
rappelons pour cela qu'on dit qu'une extension (A,B) est absolument alge'brique si pour tout
premier 9 de B, posant p = qn.4, alors B/q est algebrique sur AD.
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INTERSECTION DE PRODUITS FIBRES 3507
Proposition 4.2 : Soir A un anneau, alors les asserrions suivanres sont
dqilivalenres :
( i) A virifie absolumenr l'inegaliri de la dimension.
(ii) Toure exrension algebrique (A,B) de A esr absolwnenr algkbrique. (iii) Pour toure chaine de la forme (0) C 9 C q[X] de A[X], posant P = ,%hi,
on a ,@ = p[X]. (iv) Pour roue chaine de la forme (0) C .@ C q [ X ] de A[X], si BnA = (0)
Demonstration :
(i) o (ii) 13, thtortme 2.6 et corollaire 2.71.
(ii) 3 (iii) Quitte B passer au quotient Alp, on peut supposer que p = (0), en effet le quotient
d'un anneau qui virifie absolument l'intgalite de la dimension vtrifie encore cette proprittt [3,
proposition 2.21 ; il faut rnontrer que @ = (O), or sinon l'anneau B = A[x]/@ est une extension
algtbrique de A , l'idtal a = q[X]/% est au dessus de Q mais B/@ = (AIQ)[X] n'est pas
algtbrique sur A&, une contradmion!
(iii) 2 (iv) C'est immtdiat.
(iv) 2 (ii) Supposons par l'absurde qu'il existe une extension algibrique B de A et un premier
@ de B tels que, posant = @ n A , B/& soit une extension transcendante de A/q ; quitte ii
remplacer B par A[x], ou x est un tliment dont la classe modulo d est transcendante sur
A/q, on peut supposer que B est de la forme A[x]/@ oh @ est un idtal premier de A[X] tel que @ n ~ = (0) ; @ est non nul, puisque A[x] est algCbrique sur A or 18idCal @ de B se
reltve en un idtal d ' de A[X] qui contient @ et qui est de la f o m e q[X], puisque A[x]/@'
est transcendant sur A/q 0
On mite maintenant du premier cas particulier de transfen local
Lemme 4.3 : Soit R l'anneau de la construction locale (T,ltt,D), si T et D
vdrifienr absolument l'intgalirk de la dimension et le corps des fractions de D est
&a1 a k, alors R vtrij'ie absolwnenr l'inigalitk de la dimension.
Demonstration : On considtre une chaine de la forme (0) C 3 C Q[X] de A[X], et posant
p = @ n A , on veut vtrifier que @ = p[X] [proposition 4.21 ; comme T est local, les idtaux
premiers de R sont comparables ii m, donc deux cas peuvent se prisenter (de manitre analogue
B la demonsnation du lemme 3.6) :
l a cas : Q est contenu dans m : dans ce cas Rq = Tq et le rtsultat est immtdiat. - z b ~ : q contient snictement ltt : on considtre alors une chaine non raffinable enae @ et &I soit @ = &Io C ... C ah = @, et on note a i l e plus petit idtal de la chaine contenant
m[n] ; ai est au dessus de ltI [lemme 3.5 (i)]. Dans l'anneau D[X] = (R/tTt)[X], on a la chaine
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3508 AYACHE, CAHEN, AND ECHI
(0) C @,/ltt[X] C q[X]/m[X], et cornme D virifie absolument l'inegalite de la dimension, on
t r e @, = m[X] ; on a donc la chafne (0) C @ C m[X] et on est rarnene au premier cas 0
Le deuxikme cas particulier du transfert local rtsulte irnmtdiatement du resultat plus
general suivant, puisqu'alors T est entier sur R.
Proposition 4.4 : Soir (A ,B) une extension enridre, alors les asserrions suivanres
sonr Pquivalenres :
( i ) A vPrifie absolumenr l'intgalire de la dimension.
(ii) B vtrifie absolumenr I'intgalirP de la dimension.
Demonstration :
(i) = (ii) Si A verifie absolument l'inigalite de la dimension, il suffit m&rne que B soit
algebrique sur A pour qu'il virifie la mCme propnet6 [3 , Corollaire (2.7)]. (ii) 3 (i) Pour tout suranneau C de A, la fermeture int igale C' de C dans k(R) contient B,
c'esr donc un annenu de Jaffard 13, lemme 2.11 tout cornme C [ I , proposition 1.11, donc A
vCnfie absolument l'inegalite de la dimension 13, lemrne 2.11 0
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Received: December 1992
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