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Introducao as Variedades TopologicasAndre Mandolesi - Dept. Matematica - UFBA

Versao 1.1

Sumario

1 Prefacio 2

2 Introducao 32.1 Exemplos de aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Generalizando a ideia de continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Topologia 93.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Vizinhanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5 Subespacos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Funcoes em espacos topologicos 134.1 Funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Construindo novos espacos 175.1 Topologia produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Topologia quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Soma conexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Variedades topologicas 226.1 Superfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.1.1 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.1.2 Toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.1.3 Faixa de Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.1.4 Garrafa de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.1.5 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.1.6 Plano Projetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.1.7 Outras superfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2 Esferas e bolas de dimensao n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3 Toros de dimensao n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.4 Espacos projetivos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.5 Espacos projetivos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7 Topologia e grupos 417.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2 Grupos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.2.1 SO(2), O(2), e U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2.2 SO(3), O(3), e SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.3 Acoes de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.4 Grupo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

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8 Algumas propriedades topologicas 488.1 Separabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.2 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.3 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.4 Grupo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

A Revisao: Teoria dos Conjuntos 48

1 Prefacio

Este texto foi elaborado como material de apoio para um minicurso de 9h ofertado peloGrupo de Geometria e Fısica Matematica (DGMP) do Departamento de Matematica daUFBA, em agosto de 2018, atendendo a solicitacao de alunos do curso de Fısica.

Devido a limitacao de tempo, o objetivo nao era realmente ensinar um assunto taovasto como a Topologia, mas apenas dar um “gostinho” do que e essa disciplina, em seusaspectos mais geometricos. Sao apresentados apenas alguns dos conceitos fundamentais eas variedades topologicas mais importantes, de maneira (espero) intuitiva e sem maioresdemonstracoes.

Isso tem a vantagem de permitir ao aluno chegar de forma rapida a algumas dasconstrucoes mais interessantes e uteis da Topologia, pulando muito da parte mais abstratae formal que ocupa os primeiros capıtulos da maioria dos livros, e que desestimula muitosalunos de fora da Matematica. A desvantagem e que muita coisa importante ficou de fora,alem do que so se entende realmente os conceitos da Topologia, como usa-los e porqueeles sao definidos de certa maneira, ao ver como eles sao empregados em demonstracoes.

Feita essa ressalva, espero que este material ajude alunos interessados em acompanharos Seminarios de Geometria, ou que se deparem com conceitos topologicos em outrasareas, a entenderem um pouco da linguagem usada, e os estimule a fazer um curso maiscompleto de Topologia.

Este texto foi elaborado em um curtıssimo intervalo de tempo, para uso no minicurso.Algumas partes podem nao estar muito claras, pois foram feitas para serem acompanhadaspor uma explicacao oral. E possıvel (provavel) que haja alguns erros. Eventualmente devorevisar e expandir esse texto, acrescentando alguns topicos importantes que faltaram nofinal. Quando uma nova versao ficar pronta, sera disponibilizada na pagina web do Grupode Geometria e Fısica Matematica ( http://www.dgmp.mat.ufba.br ).

Por pressa, e pela minha pouca habilidade com softwares graficos, incluı varias imagensobtidas via Google Imagens, sem nem registrar de quais paginas elas foram tiradas. Pecodesculpas a seus autores, e espero que encarem essa apropriacao como um elogio, poisbusquei sempre as melhores imagens, que expressassem mais claramente cada conceito.Este texto nao tem qualquer proposito comercial, apenas educacional. De qualquer forma,se voce for detentor dos direitos autorais de alguma dessas imagens, e tiver alguma objecaoquanto ao seu uso, peco que entre em contato comigo ( andre.mandolesi@ufba.br ) eela sera removida.

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2 Introducao

Geometria moderna e construıda em camadas ou estruturas:

1. Conjunto: de pontos, matrizes, funcoes, conjuntos, etc. Neste nıvel so o que interessae a cardinalidade do conjunto (“quantos” elementos).

2. Topologia: nocao de continuidade, como os pontos estao “grudados”.

3. Estrutura Diferenciavel: coordenadas, vetores, derivacao, integracao, etc.

4. Estrutura Riemanninana: metrica, comprimento, angulo, curvatura, etc.

Ha varias outras estruturas: simpletica, complexa, etc.Em geral chamamos de espaco qualquer conjunto que tenha alguma estrutura geometrica.

Dois espacos serao ou nao considerados iguais (mais precisamente, equivalentes) depen-dendo do nıvel de estrutura que nos interessar:

Topologia = “geometria de borracha”: espacos podem ser esticados, amassados oudobrados (so nao vale rasgar ou colar) sem se alterarem do ponto de vista topologico.

Topologia = “geometria mıope”: nao distingue espacos que diferem so nas estruturassuperiores. Mas essa miopia pode ser util:

- propriedades que dependem so de continuidade podem ser estudadas em um espacomais simples, e valem para todos os equivalentes.

- e facil construir espacos topologicos, sem ter que se preocupar com as estruturas maissofisticadas.

- propriedades topologicas sao mais resistentes a erros ou ruıdos (util em topologia mo-lecular, computacao quantica, etc.)

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2.1 Exemplos de aplicacoes

• Caracterıstica de Euler:

Em poliedros convexos, V − A+ F = 2, onde V=vertices, A=arestas, F=faces.

Esse resultado costuma ser apresentado no caso convexo por ser mais facil provar.Mas na verdade o poliedro nao precisa ser convexo:

Nem precisa ser poliedro:

O que importa e ser ou nao topologicamente equivalente a esfera, e as faces equiva-lentes a discos:

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Contar vertices e arestas pode nao parecer algo util, mas a caracterıstica de Euleresta ligada a varias outras propriedades geometricas, determinando por exemplo acurvatura total da superfıcie, se um campo de forcas tangentes a ela sempre se anulaem algum ponto, se ela pode ser orientada, etc.

• Integral de linha de campo irrotacional (ou funcao holomorfa), entre 2 pontos, ea mesma por todos os caminhos deformaveis continuamente uns nos outros. Atopologia determina quais deformacoes sao possıveis.

• Existencia e classificacao das solucoes de certas equacoes diferenciais depende datopologia do espaco onde estao definidas.

• Analise Funcional (estudo de espacos de funcoes, equacoes diferenciais, etc.) sebaseia na topologia de espacos de dimensao infinita.

• Divisao de partıculas em bosons e fermions tem a ver com a topologia do espaco. Atopologia do plano permite outros tipos de partıculas (anyons).

• Isolantes topologicos (materiais com interior isolante, mas superfıcie condutora) vemsendo estudados, com possıvel aplicacao em computadores quanticos.

• Teoria Quantica de Campos Topologica.

• Topologia de redes (de dados, de transporte, etc.).

• Teoria dos nos usada em biologia molecular para estudar como enzimas afetam atopologia do DNA.

• etc. etc. etc.

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2.2 Generalizando a ideia de continuidade

Em Calculo, o conceito de continuidade e definido por:

Definicao 1. f : R→ R e contınua em x0 se limx→x0

f(x) = f(x0).

Expandindo a definicao de limite, temos:

Definicao 2. f : R → R e contınua em x0 se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal quef(x) ∈ (f(x0)− ε, f(x0) + ε) sempre que x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).

Obs. Para intervalos abertos usamos a notacao (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, e paraintervalos fechados usamos [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

Exemplo. Na figura abaixo, vemos que f(x) = 4x− x2 e contınua em x0 = 1, pois dadoqualquer intervalo aberto I em torno de f(x0) = 3 e possıvel achar outro em torno de x0cuja imagem caia dentro de I.

Exemplo. A funcao abaixo e descontınua em x0 = 2, pois ha um intervalo em torno def(x0) = 1 que nao contem a imagem de nenhum intervalo em torno de 2.

Ao inves de ver se ha um intervalo aberto em torno de cada x0 cuja imagem cai em cadaintervalo aberto em torno de f(x0), podemos olhar logo a pre-imagem (imagem inversa)de intervalos abertos do eixo y. Isso nos da outra maneira de definir continuidade:

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Definicao 3. f : R → R e contınua se a pre-imagem de qualquer intervalo aberto foruma uniao de intervalos abertos (ou o conjunto vazio).

Exemplo. Nas figuras abaixo, a primeira funcao e contınua, mas a segunda nao, pois haum intervalo aberto cuja pre-imagem nao e aberta.

Chamando de conjunto aberto de R qualquer uniao de intervalos abertos (inclusive oconjunto vazio), chegamos a definicao final:

Definicao 4. f : R→ R e contınua se a pre-imagem de qualquer conjunto aberto tambemfor um conjunto aberto.

Assim, o conceito de continuidade depende diretamente do conceito de conjunto aberto.Em R ja vimos quais sao esses conjuntos, mas e em outros casos?

Em Rn, eles serao unioes de bolas abertas B(p, r) = {q ∈ Rn : d(p, q) < r}. Ou seja,A ⊂ Rn e conjunto aberto se para todo p ∈ A existir r > 0 tal que B(p, r) ⊂ A.

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Exemplo. Abaixo temos dois conjuntos de R2. O primeiro e aberto, pois em torno dequalquer um de seus pontos podemos achar uma bola contida nele. O segundo nao, poisqualquer bola em torno de um ponto da fronteira saira do conjunto.

Fig. 1. Conjunto aberto (sem borda) Fig. 2. Conjunto fechado (com borda)

Os conjuntos abertos de R ou Rn tem muitas propriedades uteis:

- a uniao (de qualquer quantidade) de conjuntos abertos ainda e um conjunto aberto;

- a intersecao de uma quantidade finita de conjuntos abertos e um conjunto aberto (obs:

de infinitos nao e:∞⋂n=1

(− 1n, 1n) = {0}, que nao e aberto);

- em torno de cada ponto ha abertos tao pequenos quanto quisermos;

- dados 2 pontos, podemos achar abertos em torno de cada um que nao se interceptem;

- etc.

Nem todo espaco tera uma nocao de intervalo ou distancia, entao precisamos de umconceito mais geral do que seja um conjunto aberto. Para isso vamos escolher, dentreas propriedades acima, as que forem mais uteis e fizerem sentido no maior numero decasos (a terceira, por ex., nao faz sentido em espacos sem distancia). As escolhidasserao usadas para definir o que e essencial ao conceito de conjunto aberto, e as demaisserao descartadas (podendo ser adicionadas como condicoes extras em casos especıficos).Surpreendentemente, as duas primeiras propriedades acima bastam na maioria dos casospara se obter muitos resultados interessantes.

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3 Topologia

Para aprender Topologia e preciso um certo conhecimento da estrutura anterior, de Teoriados Conjuntos. No Apendice ha uma pequena revisao do assunto.

3.1 Conjuntos abertos

Definicao. Uma topologia em um conjunto X e uma colecao nao-vazia T de subconjuntosde X tal que:

i) ∅, X ∈ T

ii) a uniao de elementos de T esta em T

iii) a intersecao de finitos elementos de T esta em T

Elementos de T sao chamados de conjuntos abertos, e X com a topologia T e chamadode espaco topologico (X, T ).

Exemplo. Dado o conjunto X = {a, b, c}, dentre as seguintes colecoes de subconjuntosapenas T1, T3 e T5 sao possıveis topologias:T1 = {∅, X}T2 = {∅, {a}, {b}, {c}, X}T3 = {∅, {a}, {b}, {a, b}, X}T4 = {∅, {a, b}, {b, c}, X}T5 = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X}

Esse exemplo e artificial, mas mostra que a definicao de topologia e bem ampla, econjuntos abertos podem nao se parecer nada com o que estamos acostumados.

Exemplo. A topologia euclidiana em R e T = {unioes de intervalos abertos}, e a deRn e T = {unioes de bolas abertas}, sendo que a bola aberta de centro x0 e raio r eB(x0, r) = {x ∈ Rn : d(x, x0) < r}. Essa sera a topologia usual sempre que falarmosdesses conjuntos, a menos que especifiquemos outra.

Exemplo. Todo conjunto X admite pelo menos 2 topologias, que sao os casos extremos:

- a topologia indiscreta Tind = {∅, X} tem o mınimo de abertos exigido na definicao;

- a topologia discreta Tdisc = {subconjuntos de X} tem o maximo (nela ate mesmo pontossao considerados abertos).

Depois veremos que os abertos determinam como podemos “separar” os pontos. Natopologia indiscreta qualquer aberto contendo um ponto ira conter todo o resto, logo ospontos estao extremamente “grudados” uns aos outros. Na discreta cada ponto pode serseparado de todo o resto, logo e como se o conjunto X estivesse “esfarelado”, com seuspontos todos soltos.

Exemplo. A topologia usual de N, Z, ou de qualquer conjunto finito, e a discreta.

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3.2 Base

No que segue, (X, T ) sera sempre algum espaco topologico.

Definicao. Uma base β de T e uma subcolecao β ⊂ T tal que todo conjunto aberto e umauniao de elementos de β (chamados de conjuntos abertos basicos). Nesse caso dizemosque β gera T .

Exemplos.

- β = {intervalos abertos} e uma base da topologia de R.

- β = {bolas abertas} e uma base da topologia de Rn.

- β = {pontos de X} e uma base da topologia discreta de X.

Uma mesma topologia pode ter diferentes bases: β = {retangulos abertos} e outrabase da topologia euclidiana de R2, onde retangulo aberto e qualquer conjunto da formaR = {(x, y) ∈ R2 : a < x < b, c < y < d}.

Proposicao 1. A ⊂ X e aberto ⇔ ∀x ∈ A ha um aberto basico B com x ∈ B ⊂ A.

Proposicao 2. Uma colecao β de subconjuntos de X gerara alguma topologia se todaintersecao nao-vazia de 2 elementos de β for uma uniao de elementos de β.

Exemplo. A reta real extendida e o conjunto R = [−∞,∞] = R ∪ {−∞,∞} comtopologia gerada por conjuntos da forma (a, b), (a,∞)∪ {∞} e {−∞}∪ (−∞, b). Certasregras praticas de calculo de limites, como c

∞ = 0, ficam rigorosas em R.

3.3 Vizinhanca

Definicao. Uma vizinhanca de x ∈ X e qualquer conjunto U ⊂ X para o qual exista umaberto A com x ∈ A ⊂ U .

Exemplos.

- O conjunto [0, 1] e uma vizinhanca de qualquer 0 < x < 1.

- Um conjunto aberto e uma vizinhanca de todos os seus pontos.

- Uma vizinhanca de x ∈ Rn e qualquer conjunto contendo alguma bola B(x, r).

Definicao. Dados S ⊂ X e x ∈ X entao:

i) x e um ponto interior de S se S for uma vizinhanca de x;

ii) o interior S e o conjunto dos pontos interiores de S.

Exemplos. Em R, temos:

- o interior de [0, 1] e (0, 1);

- o interior de Q ⊂ R e vazio.

Proposicao 3. A e aberto ⇔ A = A.

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3.4 Conjuntos fechados

Definicao. F ⊂ X e fechado se seu complemento F c = X − F for aberto.

Exemplo. Seja X = {a, b, c} com T = {∅, {a}, {b}, {a, b}, X}. Os conjuntos fechadossao X, {b, c}, {a, c}, {c} e ∅.

Proposicao 4. Conjuntos fechados tem as seguintes propriedades:

i) ∅ e X sao fechados;

ii) a intersecao de conjuntos fechados e um conjunto fechado;

iii) a uniao de finitos conjuntos fechados e um conjunto fechado;

Exemplos.

- Em R, intervalos [a, b], pontos {a}, e conjuntos finitos sao conjuntos fechados. [a, b)nao e aberto nem fechado. R e ∅ sao abertos e fechados ao mesmo tempo.

- Em Z, todo conjunto e aberto e fechado ao mesmo tempo.

Definicao. Dados S ⊂ X e x ∈ X entao:

i) x e ponto aderente de S se toda vizinhanca de x interceptar algum ponto de S;

ii) o fecho S e o conjunto dos pontos aderentes de S;

iii) x e ponto de fronteira de S se for aderente a S e Sc, isto e, se toda vizinhanca de xtiver tanto pontos de S como fora de S;

iv) a fronteira ∂S e o conjunto dos pontos de fronteira de S.

Exemplos. Em R, temos:

- x = 0 e um ponto aderente de S = { 1n

: n ∈ N};

- o fecho de (0, 1) e [0, 1];

- Q = R;

- a fronteira de (0, 1), e de [0, 1], e {0, 1}.

Proposicao 5. F e fechado ⇔ F = F .

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3.5 Subespacos topologicos

Definicao. Seja (X, TX) um espaco topologico. Todo subconjunto Y de X tem umatopologia induzida, relativa, ou de subespaco, definida por TY = {A∩ Y : A ∈ TX}. Comessa topologia, Y e um subespaco topologico de X.

Ou seja, S ⊂ Y sera aberto (resp. fechado) na topologia induzida se S for a intersecaode Y com algum aberto (resp. fechado) de X.

Exemplo. A topologia de [0, 1] ⊂ R e gerada por subconjuntos da forma [0, a), (b, c) e(d, 1], com 0 < a, b, c, d < 1.

Fig. 3. [0, 1] ⊂ R

Exemplo. A topologia de Z como subespaco de R e a discreta: todo ponto n ∈ Z eaberto, pois {n} = (n− 1

2, n+ 1

2) ∩ Z.

Exemplo. A topologia induzida no eixo x de R2 e a mesma de R, ja que sua intersecaocom uma bola aberta de R2 e vazia ou um intervalo aberto.

Fig. 4. R ⊂ R2

Exemplos. Seguem alguns subespacos de Rn, com topologia induzida da euclidiana.

- Cırculo S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

- Esfera S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.

- Disco aberto D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}.

- Disco fechado D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.

- Bola aberta B3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 1}.

- Bola fechada B3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1}.

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Fig. 5. Cırculo S1, β = {arcos abertos} Fig. 6. Disco fechado

4 Funcoes em espacos topologicos

4.1 Funcoes contınuas

Sejam (X, TX) e (Y, TY ) espacos topologicos.

Definicao. f : X → Y e contınua se a pre-imagem de todo aberto de Y for um abertode X.

Obs. No caso de f : Rn → Rm, com a topologia euclidiana, essa definicao coincide com ado Calculo. Mas e importante que f esteja definida em todo ponto do domınio.

Exemplos.

- Toda funcao constante e contınua.

- Se X tiver a topologia discreta, toda funcao f : X → Y sera contınua.

- Se Y tiver a topologia indiscreta, toda funcao f : X → Y sera contınua.

- Toda funcao f : Z→ R e contınua.

Exemplo. A funcao f : [0, 2π)→ S1, f(θ) = (cos θ, sen θ) e contınua, pois a pre-imagemde um arco aberto de S1 e, dependendo do arco conter ou nao o ponto (1, 0), da forma[0, a) ∪ (b, 2π) ou (a, b), que sao ambos abertos na topologia de [0, 2π).

Fig. 7. Funcao contınua f : [0, 2π)→ S1

Obs. E importante notar que a continuidade depende nao so da funcao, mas tambem dastopologias. A funcao identidade f : R → R, f(x) = x, e contınua se for f : (R, Teucl) →(R, Teucl), mas descontınua se for f : (R, Teucl)→ (R, Tdiscr).

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Proposicao 6. Sejam f : X → Y e g : Y → Z funcoes contınuas. Entao:

i) se F e fechado em Y entao f−1(F ) e fechado em X;

ii) a funcao composta g ◦ f : X → Z e contınua.

iii) se S ⊂ X e um subespaco entao a restricao f |S: S → Y e contınua.

4.2 Homeomorfismos

Definicao. f : (X, TX) → (Y, TY ) e um homeomorfismo se for uma funcao bijetora,contınua, e com inversa contınua.

Ou seja, uma bijecao f : X → Y e um homeomorfismo se a pre-imagem de qualqueraberto de Y for aberta em X, e a imagem de qualquer aberto de X for aberta em Y .Assim, um homeomorfismo estabelece uma correspondencia biunıvoca entre os abertos deX e Y . Isso torna esses espacos equivalentes do ponto de vista topologico, isto e, elesterao as mesmas propriedades topologicas.

Definicao. Se houver um homeomorfismo entre (X, TX) e (Y, TY ), dizemos que essesespacos sao homeomorfos. Essa relacao sera representada por X ∼= Y .

Essa e uma relacao de equivalencia:

Proposicao 7. Se X ∼= Y , e Y ∼= Z, entao X ∼= Z.

Exemplos.

- f(x) = (b− a)x+ a e um homeomorfismo entre (0, 1) e (a, b). Logo todos os intervalosabertos sao homeomorfos entre si.

- f(x) = tanx e um homeomorfismo entre (−π2, π2) e R. Logo todo intervalo aberto e

homeomorfo a R.

- De forma semelhante, toda bola aberta em Rn e homeomorfa a Rn.

Exemplo. A funcao f : [0, 2π)→ S1 vista anteriormente e bijetora, contınua, mas nao ehomeomorfismo, pois a imagem de um aberto [0, a) ⊂ [0, 2π) e um arco nao-aberto de S1.

Exemplo. O cırculo S1 menos um ponto e homeomorfo a um intervalo aberto, por meioda funcao f : (0, 2π)→ S1 − {(1, 0)}, f(θ) = (cos θ, sen θ).

Exemplo. S1 − {ponto} tambem e homeomorfo a R, o que pode ser visto diretamentepor uma projecao estereografica, que leva cada ponto P do cırculo (exceto N) em umponto P ′ da reta:

Fig. 8. S1 − {N} ∼= R

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Exemplo. Na projecao estereografica, a medida que P se aproxima de N o ponto P ′

vai cada vez mais para longe, e diz-se que N e projetado no ∞. Podemos tornar issorigoroso definindo um novo espaco topologico R∞ = R ∪ {∞}, com topologia gerada porabertos do tipo (a, b) e tambem (−∞, a)∪ (b,∞)∪{∞}. Vizinhancas do novo ponto {∞}incluem tanto intervalos (−∞, a), que sao imagem de um arco a esquerda de N , quanto(b,∞), que sao imagem de um arco a direita de N . Assim, R∞ ∼= S1 por meio da funcaop : S1 → R∞ dada por p(N) =∞ e p = projecao estereografica para os outros pontos.

Exemplo. A esfera furada S2 − {N} e homeomorfa ao plano R2, via projecao:

Fig. 9. S2 − {N} ∼= R2

Exemplo. Como antes, S2 tambem sera homeomorfa a R2 mais um ponto {∞}, comas vizinhancas de ∞ contendo todos os pontos fora de alguma bola. Essa representacaocorresponde a Esfera de Riemann, usada no estudo de funcoes holomorfas.

Nem sempre e facil descrever explicitamente um homeomorfismo. Mas se um espacotopologico X puder ser “deformado” em outro espaco Y sem “colar ou rasgar” (isto e,de maneira bijetiva e preservando os abertos), a funcao que leva cada ponto de X nocorrespondente de Y sera um homeomorfismo.

Exemplos. A seguir temos alguns exemplos de espacos homeomorfos:

Fig. 10. Rosquinha e caneca

Fig. 11. Cubo e esfera

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Fig. 12. Esfera furada, hemisferio, e disco aberto

Fig. 13. Esfera com 2 furos, cilindro, regiao anular, R2 − {ponto}

Fig. 14. Classes de homeomorfismo de letras e numeros

Uma bijecao f : X → (Y, TY ) entre um conjunto X e um espaco topologico Y induzuma topologia TX = {f−1(A) : A ∈ TY } que torna os espacos homeomorfos.

Exemplo. A bijecao f : C→ R2, f(x+ iy) = (x, y), induz em C uma topologia homeo-morfa a euclidiana. Por isso podemos falar no plano complexo.

Exemplo. O conjunto Mm×n(R) das matrizes m × n reais e identificado com Rmn,adquirindo uma topologia homeomorfa a euclidiana, por meio da funcao:

f

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

= (a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , am1, . . . , amn)

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5 Construindo novos espacos

5.1 Topologia produto

Definicao. Sejam X e Y espacos com topologias geradas por bases βX e βY . A topologiaproduto em X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y } e a topologia gerada por βX×Y = {U × V :U ∈ βX , V ∈ βY }.

Ou seja, um subconjunto de X × Y sera aberto se for uma uniao de produtos deabertos de X e Y .

Fig. 15. Abertos basicos de X × Y

Exemplo. O produto de um cırculo S1 por um intervalo I e um cilindro:

Fig. 16. S1 × I = cilindro

Exemplo. O produto de 2 cırculos e o toro T 2:

Fig. 17. Toro T 2 = S1 × S1

ESPACO CONFIG, FASE COM E CONSTANTE, TROCA CALOR, PENDULODUPLO NO PLANO E NO ESPACO, TERRA LUA, BRACO ROBOTICO (S2 × S1)

18

5.2 Topologia quociente

Definicao. Seja f : (X, TX) → Y uma funcao sobrejetora de um espaco topologico emum conjunto. A topologia quociente em Y induzida por f e

TY = {A ⊂ Y : f−1(A) ∈ TX}.

Ou seja, A e um aberto de Y se, e somente se, sua pre-imagem for aberta em X.

Exemplo. A topologia quociente em {a, b, c} induzida pela funcao f : R→ {a, b, c} dada

por f(x) =

a se x < 0

b se x = 0

c se x > 0

sera T = {∅, {a}, {c}, {a, c}, {a, b, c}}.

Fig. 18. f : R→ {a, b, c}

Exemplo. A funcao f : [0, 2π] → S1, f(θ) = (cos θ, sen θ) e sobrejetiva. A topologiaquociente induzida por f em S1 tem os mesmos abertos da topologia usual de S1:

Fig. 19. Funcao sobrejetora f : [0, 2π]→ S1

Note que cada ponto de S1 e imagem de um unico ponto de (0, 2π), exceto o ponto(1, 0), cuja pre-imagem e {0, 2π}. Para todos os efeitos, e como se f “enrolasse” o intervalono cırculo, e entao “colasse” suas extremidades, tornando-o igual ao cırculo. Dizemos queos pontos de {0, 2π} foram identificados.

Fig. 20. Intervalo com extremidades identificadas = S1

Definicao. Seja f : (X, TX) → (Y, TY ) uma funcao sobrejetora entre dois espacos to-pologicos. Se a topologia quociente induzida por f coincidir com a topologia original deY , entao dizemos que f e uma funcao de identificacao.

19

A razao desse nome e que f mostra que Y pode ser obtido identificando todos ospontos na pre-imagem de cada y ∈ Y em um unico ponto.

Exemplo. A projecao p : R2 → R, p(x, y) = x, e sobrejetora, e a pre-imagem de cadax ∈ R e a reta vertical passando por (x, 0). Ela induz em R uma topologia quocienteigual a usual. Logo f e uma funcao de identificacao, que “colapsa” cada reta vertical emum unico ponto para “transformar” R2 em R .

Fig. 21. Projecao p : R2 → R

Nos casos acima, o contradomınio Y e a funcao f foram dados desde o inıcio. Mas emgeral o que ocorre e termos apenas X, e querermos identificar seus pontos de certa maneirapara construir um novo espaco Y . Para especificar quais pontos queremos identificar,podemos usar uma particao ou uma relacao de equivalencia.

Definicao. Uma particao P de um conjunto X e uma colecao de subconjuntos disjuntose nao-vazios de X, cuja uniao e X. Cada um desses subconjuntos sera chamado de classe,e representaremos por [x] a classe a que x ∈ X pertence.

Fig. 22. Particao

Definicao. Uma relacao de equivalencia ∼ em um conjunto X e uma relacao entre seuselementos satisfazendo, para todos x, y, z ∈ X:

i) x ∼ x

ii) se x ∼ y entao y ∼ x

iii) se x ∼ y e y ∼ z entao x ∼ z

20

Tal relacao particiona X em classes de equivalencia, subconjuntos de elementos equi-valentes entre si. Reciprocamente, uma particao estabelece uma relacao na qual elementosserao equivalentes se, e somente se, pertencerem a mesma classe:

x1 ∼ x2 ⇔ [x1] = [x2]

Dada uma relacao ∼ em um espaco topologico (X, TX), vamos construir uma iden-tificacao que transforme cada classe de equivalencia em um unico ponto. Como con-tradomınio Y podemos usar o conjunto P da particao correspondente, e a funcao seraf : (X, TX)→ P , f(x) = [x], levando cada x ∈ X na classe a que ele pertence. Tambempode-se construir Y escolhendo um ponto de cada classe para representa-la, e tomar afuncao que leva cada x no representante da sua classe.

Definicao. Esse conjunto Y , com a topologia quociente induzida por f , e chamado deespaco quociente, e representado por X/∼ (le-se “X modulo a equivalencia”).

Exemplo. No disco fechado D, vamos identificar todos os pontos do seu cırculo S1 defronteira em um so. Isso e feito atraves da equivalencia x ∼ y se x, y ∈ S1, que particionaD em classes {x} para cada ponto interior x ∈ D, mais uma classe S1 com toda a fronteira.O resultado e homeomorfo a esfera S2:

Fig. 23. D/∼ ∼= S2

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Exemplo. A relacao (x, y) ∼ (cx, cy) para todo c > 0 particiona R2 − {O}, onde O e aorigem, em semi-retas radiais. O espaco quociente e S1.

Fig. 24. R2 − {O}/∼ ∼= S1

HASTE ROTATORIA PELO CENTRO, O2, PARTICULAS IDENTICAS

5.3 Soma conexa

FALTA

22

6 Variedades topologicas

Definicao. Variedade topologica de dimensao n e um espaco topologico (X, T ) tal que:

i) todo x ∈ X tem uma vizinhanca homeomorfa a Rn (equivalentemente, a uma bolaaberta de Rn);

ii) pontos distintos em X admitem vizinhancas disjuntas.

Obs. E comum exigir outras propriedades, como ter uma base enumeravel.

Obs. O termo em ingles e topological manifold.

Fig. 25. Variedade de dimensao 2

Exemplo. Sao variedades topologicas:

- de dimensao 0: ponto, finitos pontos, Z, etc.

- de dimensao 1: reta, cırculo (todas sao homeomorfas a unioes disjuntas desses).

- de dimensao 2: plano, esfera, toro, etc.

- de dimensao 3: R3, abertos de R3, etc.

Exemplo. Nao sao variedades topologicas:

Fig. 26. Espacos topologicos, mas nao variedades

Obs. As vezes e util considerar variedades topologicas com fronteira. Nesse caso, os pon-tos da fronteira nao tem vizinhancas homeomorfas a Rn, e sim ao semi-espaco Rn

+ ={(x1, . . . , xn) ∈ Rn : xn ≥ 0}. A fronteira forma uma variedade de dimensao n − 1. Porexemplo, o disco fechado D da figura 6 e uma variedade de dimensao 2 com fronteira S1.

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6.1 Superfıcies

Variedades topologicas de dimensao 2, ou seja, espacos que localmente se parecem comR2, sao chamadas de superfıcies.

Vamos ver que varias superfıcies importantes podem ser obtidas como quocientes deum quadrado I × I, onde I e o intervalo fechado [−1, 1] (ou qualquer outro).

6.1.1 Cilindro

Identificando as extremidades de I, −1 ∼ 1, obtemos S1. Em I × I, identificando cadaponto de uma aresta com o correspondente na aresta oposta, ou seja (−1, y) ∼ (1, y) ∀y ∈I, o resultado e um cilindro S1 × I.

Fig. 27. Cilindro

Assim resolvemos um grande misterio da ciencia: como o Pac-Man conseguia sair porum lado da tela e reaparecer do lado oposto. Ele vive em um cilindro!

Fig. 28. Falso mundo do Pac-Man Fig. 29. Mundo verdadeiro

Brincadeiras a parte, essa e uma boa maneira de interpretar certas identificacoes: verpara onde se e “teleportado” ao passar por um ponto identificado a outro.

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6.1.2 Toro

Identificando cada par de arestas opostas de I×I, em sentidos iguais, isto e (x,−1) ∼ (x, 1)e (−1, y) ∼ (1, y) ∀x, y ∈ I, obtemos o toro S1 × S1.

Fig. 30. Toro T 2 = S1 × S1

Alguns cientistas acreditam que, se nao houvesse paredes, o Pac-Man conseguiria sairpor qualquer ponto da borda e reaparecer do lado oposto:

Fig. 31. Pac-Man sem paredes

Mas isso so e possıvel se o mundo do Pac-Man na verdade for um toro:

Fig. 32. Conjectura do Pac-Man Toroidal

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6.1.3 Faixa de Mobius

Identificando um par de arestas opostas de I × I, com sentidos opostos, isto e (−1, y) ∼(1,−y) ∀y ∈ I, obtemos a faixa de Mobius.

Fig. 33. Faixa de Mobius

Uma particularidade dessa superfıcie e ser nao-orientavel : uma mao esquerda, trans-portada ao longo da faixa, torna-se uma mao direita!

Fig. 34. Faixa de Mobius e nao-orientavel

Isso pode ser entendido no quociente de I× I. Como 2 arestas estao identificadas comsentidos opostos, ao cruzarmos uma saımos pela outra de cabeca para baixo.

Fig. 35. Arestas identificadas em sentidos opostos invertem figuras

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Na figura abaixo nota-se que a fronteira da faixa de Mobius e um unico cırculo.

Fig. 36. Faixa de Mobius, com cırculo de fronteira em amarelo

E impossıvel “desenrrolar” esse cırculo dentro de R3 sem rasgar a faixa, mas podemosconseguir isso com outra representacao dela. Na figura abaixo, cortamos a faixa, repre-sentada como quociente de I × I, ao longo do cırculo CC, viramos a parte de cima decabeca para baixo, e colamos seu segmento AC ao da parte de baixo.

Fig. 37. Faixa de Mobius representada como cross-cap

O resultado e um retangulo com as arestas opostas BC identificadas no mesmo sentido(ou seja, um cilindro), mas cujo cırculo de cima esta com uma metade identificada a outra,no mesmo sentido (ou seja, cada ponto ao seu antıpoda). E como o cilindro e homeomorfoa uma regiao anular (com fronteiras), a faixa de Mobius tambem e homeomorfa a um discocom um buraco que pode ser “pulado” pois os antıpodas da sua borda sao identificados.

Fig. 38. Faixa de Mobius = cilindro ou disco furado identificando antıpodas de 1 borda

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A construcao acima pode ser feita de forma concreta. Desenhe diferentes sımbolos aolongo do cırculo central de uma faixa de Mobius, e corte-o, como na figura abaixo.

Fig. 39. Cortando a faixa de Mobius

O resultado e um unico pedaco, que parece uma faixa duplamente torcida, mas ehomeomorfo a um cilindro! Para checar, solte a parte que foi colada ao montar a faixa,desenrole, e volte a colar exatamente da mesma maneira.

Um cırculo de fronteira desse cilindro e o que a faixa ja tinha, o outro e o cortado. Asmetades de cada sımbolo desenhado estao em pontos opostos deste, confirmando que afaixa de Mobius e um cilindro com os antıpodas de um cırculo de fronteira identificados.

Com base nisso, vamos construir uma nova maneira de visualizar a faixa de Mobius,chamada cross-cap. Ela nao e perfeita, pois apresenta uma auto-intersecao que nao existena faixa, mas ainda assim e util em muitos casos, pois mantem sua fronteira “desenrolada”.

Na figura abaixo, identificamos um par de antıpodas do cırculo de cima do cilindro,transformando-o em dois. Cada metade de um desses cırculos deve ser colada na metadeoposta do outro. A primeira e facil, mas para colar a segunda temos que atravessar aprimeira, criando um falso cruzamento da superfıcie com si mesma.

Fig. 40. Faixa de Mobius representada como cross-cap

28

Fig. 41. Cortes transversais sao curvas tipo 8 na regiao de auto-intersecao

Fig. 42. Figuras passando pela auto-intersecao invertem sua orientacao

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6.1.4 Garrafa de Klein

Identificando cada par de arestas opostas de I × I, sendo um no mesmo sentido e o outroem sentidos opostos, isto e (x,−1) ∼ (x, 1) e (−1, y) ∼ (1,−y) ∀x, y ∈ I, obtemos agarrafa de Klein K2:

Fig. 43. Garrafa de Klein K2

Por causa das arestas identificadas ao contrario, K2 e nao-orientavel:

Fig. 44. Garrafa de Klein e nao-orientavel

Infelizmente, a unica maneira de exibir a garrafa de Klein como uma superfıcie dentrode R3 e com uma auto-intersecao que na verdade nao existe:

Fig. 45. Garrafa de Klein

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A garrafa de Klein corresponde a 2 faixas de Mobius coladas pelos seus cırculos defronteira. Isso pode ser visto cortando e colando sua representacao como quociente deI × I, como na figura abaixo:

Fig. 46. Garrafa de Klein ∼= 2 faixas de Mobius coladas pela fronteira

Fig. 47. Meia garrafa de Klein ∼= faixa de Mobius

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6.1.5 Esfera

A esfera S2 tambem pode ser representada como quociente de I× I, identificando arestasadjacentes nos sentidos indicados na figura abaixo.

Fig. 48. Esfera S2

Para ver como esse quociente e homeomorfo a S2, observe que ele equivale a um discocom cada ponto da borda de cima identificado ao seu correspondente embaixo:

Fig. 49. Disco com a borda de cima identificada a de baixo

E esse quociente do disco e homeomorfo a esfera:

Fig. 50. D/∼ ∼= S2

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6.1.6 Plano Projetivo

Identificando ambos os pares de arestas opostas de I × I, em sentidos opostos, comona figura abaixo, obtemos uma superfıcie chamada de plano projetivo P 2 (ou RP2), quetambem e nao-orientavel:

Fig. 51. Plano projetivo P 2

O plano projetivo tambem pode ser obtido a partir do disco ou do hemisferio, identi-ficando pontos diametralmente opostos da borda.

Fig. 52. P 2 = disco ou hemisferio com antıpodas da borda identificados

Como o disco aberto e homeomorfo a R2, P 2 tambem pode ser visto como o plano R2

mais um cırculo de pontos no ∞, sendo que se indo ate o ∞ em uma direcao saımos pelo∞ da direcao oposta.

Fig. 53. P 2 ∼= plano com pontos no infinito, opostos identificados

33

P 2 tambem e homeomorfo a S2 com pontos antıpodas identificados, pois com essaidentificacao sobra apenas um hemisferio, com os antıpodas da borda identificados:

Fig. 54. P 2 ∼= S2 com antıpodas identificados

Cada par de antıpodas de S2 determina uma unica reta passando pela origem, e vice-versa. Assim,

P 2 = {retas pela origem em R3}= R3 − {O}/∼ sendo (x, y) ∼ (cx, cy) ∀c 6= 0

Fig. 55. P 2 ∼= {retas pela origem em R3}

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E impossıvel exibir P 2 perfeitamente dentro de R3, mas, novamente, a identificacaode antıpodas na borda do hemisferio pode ser feita com um cross-cap:

Fig. 56. Construcao do cross-cap no plano projetivo

Fig. 57. Representacao do plano projetivo com cross-cap

Fig. 58. Cross-cap cortado na regiao de auto-intersecao

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Fig. 59. Plano projetivo com cross-cap, dividido ao meio

Fig. 60. Plano projetivo aberto

Fig. 61. Regiao da auto-intersecao e um disco que se auto-intercepta

A figura 57 e como a 40, mas com um disco colado no cırculo de baixo do cilindro. Issosugere que P 2 seja um disco e uma faixa de Mobius colados por seus cırculos de fronteira,o que pode ser confirmado na figura abaixo:

Fig. 62. Plano projetivo − disco = faixa de Mobius

Nela, removemos um quadrado (∼= disco) da representacao de P 2 como quociente deI × I, e cortamos os segmentos CB e BD, cuidando de indicar como eles devem seridentificados depois. Depois, abrimos os pedacos formando 2 retangulos, viramos o decima, e colamos seus seguimentos BA e AB nos correspondentes do retangulo de baixo.O resultado e uma faixa de Mobius.

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6.1.7 Outras superfıcies

bitoroclassificacaoFALTA

37

6.2 Esferas e bolas de dimensao n

Definicao. As esferas e bolas (unitarias) de dimensao n sao os seguintes conjuntos, coma topologia induzida da euclidiana:

i) esfera de dimensao n, Sn = {x ∈ Rn+1 : d(x,O) = 1}.

ii) bola fechada de dimensao n, Bn = {x ∈ Rn : d(x,O) ≤ 1}.

iii) bola aberta de dimensao n, Bn = {x ∈ Rn : d(x,O) < 1}.

Esferas de dimensao n > 2 as vezes sao chamadas de hiperesferas.

Exemplos.

- S0 = {−1, 1}, S1 = cırculo, S2 = esfera (bidimensional).

- B0 = {0}, B1 = [−1, 1], B2 = disco fechado D, B3 = bola (solida) tridimensional

- B0 = {0}, B1 = (−1, 1), B2 = disco aberto D, B3 = interior de B3

Embora nao possamos visualizar esferas e bolas de alta dimensao, muitas de suas pro-priedades sao parecidas com as de baixa dimensao, o que ajuda a entende-las e trabalharcom elas:

i) Bn ∼= Rn.

ii) A fronteira de Bn e Sn−1.

iii) Sn e homeomorfa a

- Bn com sua fronteira Sn−1 identificada em um ponto.

- Rn mais um ponto {∞} (com a topologia apropriada).

- 2 bolas Bn com cada ponto da fronteira de uma identificado ao correspondente naoutra.

Fig. 63. S2 ∼= 2 discos unidos pelas bordas

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Exemplo. Podemos visualizar S3 como:

- uma bola B3 com sua esfera S2 de fronteira identificada em um unico ponto;

- R3 ∪ {∞}, isto e, todo o espaco tridimensional mais um ponto no infinito;

- 2 bolas B3 em que atravessando a fronteira de uma saımos no mesmo ponto da outra:

Fig. 64. S3 ∼= duas bolas con fronteiras identificadas

6.3 Toros de dimensao n

Definicao. O toro de dimensao n (ou hipertoro) T n e o produto cartesiano de n cırculos:

T n = S1 × · · · × S1 (n vezes)

Assim como T 2 pode ser visto como um quadrado I × I com arestas opostas iden-tificadas no mesmo sentido, T 3 corresponde a um cubo I × I × I com faces opostasidentificadas com a mesma orientacao (isto e, uma partıcula atravessando uma parede docubo reaparece na parede oposta):

Fig. 65. T 3 ∼= cubo com faces opostas identificadas

APLICACAO: ESTRUTURA CRISTALOGRAFICA

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6.4 Espacos projetivos reais

Definicao. O espaco projetivo real RPn e

RPn = {retas pela origem em Rn+1}= Rn+1 − {O}/∼ sendo x ∼ cx ∀ c ∈ R− {0}, x ∈ Rn+1 − {O}

Exemplo. RP2 ∼= P 2

Como no caso de P 2, os espacos RPn sao homemomorfos a:

- esfera Sn com antıpodas identificados;

- Bn com antıpodas da borda Sn−1 identificados;

- hemisferio de Sn com antıpodas da borda Sn−1 identificados;

- Rn mais uma esfera Sn−1 de pontos no ∞, com antıpodas identificados.

Exemplo. RP1 ∼= S1, pois identificando os antıpodas da borda de B1 = [−1, 1] temosum cırculo.

Exemplo. RP3 pode ser visto como uma bola B3 em que chegando a sua borda saımosdo lado oposto, ou como o espaco R3 mais pontos no ∞ em cada direcao, com opostosidentificados.

Fig. 66. RP3

Ao contrario do plano projetivo, o espaco projetivo RP3 e orientavel. Como a fronteirade B3 e uma esfera de dimensao 2, ao identificar seus antıpodas invertemos 2 direcoes. Aorientacao da figura nao muda, pois ela pode ser rotacionada de volta a posicao original.A regra geral e que RPn com n ımpar e orientavel, com n par nao e.

Fig. 67. RP3 e orientavel

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Uma caracterıstica curiosa de RPn (n ≥ 2) e que existem lacos (caminhos contınuoscomecando e terminando no mesmo ponto base B) que nao podem ser contraıdos ate B,mas passam a poder se dermos 2 voltas. Isso pode ser visto facilmente em RP2:

Fig. 68. Laco nao-contraıvel em RP2 (tente!)

Fig. 69. Laco contraıvel em RP2

6.5 Espacos projetivos complexos

Definicao. O espaco projetivo complexo CPn e

CPn = {planos complexos em Cn+1}= Cn+1 − {O}/∼ sendo x ∼ cx ∀ c ∈ C− {0}, x ∈ Cn+1 − {O}

Obs. Cuidado com a notacao: n e a dimensao complexa de CPn, mas sua dimensaoreal e 2n, ja que C ∼= R2. Alguns autores preferem chamar planos complexos de linhascomplexas, visto que a dimensao complexa e 1.

Todo espaco projetivo complexo e orientavel, independente da dimensao.

Exemplo. CP1 = C2 − {O}/∼ e chamado de linha projetiva complexa.Cada classe de equivalencia [z, w] ∈ CP1 e formada pelos pontos (cz, cw) ∀ c ∈ C−{0},

e sempre podemos encontrar um representante normalizado, isto e, com |z|2 + |w|2 = 1.Essa equacao descreve a esfera unitaria S3 ⊂ R4 ∼= C2.

Diferentes pontos de S3 estarao na mesma classe se diferirem por uma fase (um com-plexo unitario c = eiθ). Os complexos unitarios formam um cırculo S1, e isso particionaS3 em infinitas copias de S1. Pode-se mostrar que o espaco quociente de S3 por essaparticao e homeomorfo a S2. Assim,

CP1 ∼= S2.

Essa construcao de S2 como quociente de S3 por S1 e chamada de fibracao de Hopf.Em Fısica, ela corresponde a esfera de Bloch, que representa um qubit, a unidade basicade informacao quantica.

Obs. Essa construcao e especıfica dessa dimensao. Em geral nao existem quocientes deesferas, e CPn nao e uma esfera se n > 1.

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7 Topologia e grupos

7.1 Grupos

Definicao. Um grupo e um conjunto G com uma operacao ∗ : G×G→ G, tal que:

i) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) para todos a, b, c ∈ G

ii) existe e ∈ G tal que e ∗ a = a ∗ e = a para todo a ∈ G

iii) para todo a ∈ G existe a−1 ∈ G tal que a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e

Obs. Chamamos e de elemento neutro ou identidade, a−1 de elemento inverso de a.Quando a operacao e uma soma +, costuma-se representar o neutro como zero 0, e aoinves de inverso usamos a notacao de elemento oposto −a.

Exemplos.

- (Z,+), (R,+), (R∗, ·), (C∗, ·)

- Rn com soma vetorial

- Z× Z com a soma (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)

- Z2 = {1,−1} com multiplicacao, ou Z2 = {0, 1}, com a “soma binaria”

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 0

- Grupo de homeomorfismos f : X → X, com operacao de composicao

- Grupos de translacoes, rotacoes, reflexoes (com composicao)

- Grupo GL(n) das matrizes n× n inversıveis, com produto de matrizes

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7.2 Grupos topologicos

Definicao. Um grupo topologico e um grupo (G, ∗) com uma topologia TG na qual aoperacao do grupo (a, b) 7→ a ∗ b e a inversao a 7→ a−1 sejam contınuas (vistas comofuncoes G×G→ G e G→ G, respectivamente).

Exemplos.

- R, Rn, R∗, C∗ com a topologia euclidiana

- Z, Z× Z, Z2 com a topologia discreta

Exemplos. O conjunto Mn(R) das matrizes n×n com entradas reais pode ser identificadocom Rn2

, logo tem uma topologia euclidiana. Os seguintes subespacos, com a operacaode produto de matrizes, sao importantes grupos topologicos:

- Grupo linear geral GL(n,R) = {A ∈Mn(R) : detA 6= 0}

- Grupo linear especial SL(n,R) = {A ∈ GL(n,R) : detA = 1}

- Grupo ortogonal O(n) = {A ∈ GL(n,R) : ATA = AAT = I}

- Grupo ortogonal especial SO(n) = {A ∈ O(n) : detA = 1}

Matrizes correspondem a transformacoes lineares, e pode-se mostrar que:

- GL(n,R) = {transformacoes lineares inversıveis de Rn}

- SL(n,R) = {transformacoes lineares que preservam volume e orientacao}

- O(n) = {transformacoes lineares que preservam distancias (e angulos)} == {composicoes de rotacoes e reflexoes}

- SO(n) = {rotacoes}

Exemplos. Ha versoes complexas desses grupos, em Mn(C) ∼= Cn2 ∼= R2n2

, representandotransformacoes semelhantes as do caso real, mas que agora tambem precisam preservar aestrutura complexa de Cn:

- Grupo linear geral complexo GL(n,C) = {A ∈Mn(C) : detA 6= 0}

- Grupo linear especial complexo SL(n,C) = {A ∈ GL(n,C) : detA = 1}

- Grupo unitario U(n) = {A ∈ GL(n,C) : A∗A = AA∗ = I}

- Grupo unitario especial SU(n) = {A ∈ U(n) : detA = 1}

Obs. A∗=matriz transposta conjugada de A.

A topologia desses grupos esta ligada as suas propriedades algebricas e a maneira comoeles atuam em Rn ou Cn. Vamos examinar alguns exemplos importantes.

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7.2.1 SO(2), O(2), e U(1)

I) SO(2) = {rotacoes no plano R2}Mais precisamente, sao rotacoes em torno da origem, e nao interessa o movimento derotacao, so a posicao final. Uma rotacao dessas pode ser especificada por qualqueruma das seguintes informacoes:

- o angulo θ ∈ [0, 2π] de rotacao, no sentido anti-horario, sendo que θ = 0 e θ = 2πcorrespondem a mesma rotacao. Nao precisamos incluir as de sentido horario, poisequivalem as de 2π − θ no anti-horario.

- um vetor unitario u no qual e1 = ı sera levado. Isso determina a transformacao:e2 = sera levado no vetor unitario v orthogonal a u no sentido anti-horario.

- um ponto p′ ∈ S1 no qual o ponto p = (1, 0) ∈ S1 sera levado.

Fig. 70. Rotacao no plano

Isso sugere que SO(2) ∼= S1. Para confirmar, basta lembrar que os pontos do cırculoS1 sao da forma (cos θ, sen θ), que as matrizes de rotacao no plano sao da forma

Rθ =

(cos θ − sen θsen θ cos θ

),

e mostrar que f : S1 → SO(2) dada por f(cos θ, sen θ) = Rθ e um homeomorfismo.

II) U(1) = {A ∈ GL(1,C) : A∗A = AA∗ = I}Elementos de U(1) sao matrizes 1×1 com entradas complexas, ou seja, simplesmentenumeros z ∈ C, satisfazendo a condicao zz = 1. Essa condicao equivale a |z| = 1,ou seja, z deve pertencer ao cırculo unitario S1 no plano complexo. Assim, temos

U(1) ∼= S1 ∼= SO(2).

Obs. O cırculo unitario em C e S1 = {eiθ : 0 ≤ θ < 2π}, que e um grupo com amultiplicacao eiθ1 · eiθ2 = ei(θ1+θ2). Mesmo sendo formados por elementos de tiposdiferentes, os 3 grupos acima sao equivalentes nao so do ponto de vista topologico,mas tambem do algebrico (sao grupos isomorfos).

Obs. Em Teoria de Campos, U(1) esta relacionado a forca eletromagnetica.

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III) O(2) = {A ∈ GL(2,R) : ATA = AAT = I} = {composicoes de rotacoes e re-flexoes} = {simetrias do cırculo}Note que ATA = I ⇒ (detA)2 = 1⇒ detA = ±1.

Sejam

{O+ = {A ∈ O(2) : detA = 1} = SO(2)

O− = {A ∈ O(2) : detA = −1}

Ex: a identidade I =

(1 00 1

)∈ O+, e a reflexao pelo eixo x, J =

(1 00 −1

)∈ O−.

Sera possıvel realizar a reflexao J “gradualmente”, em um “movimento contınuo”atraves de O(2)? Isto e, existe um caminho contınuo f : [0, 1] → O(2), que leve def(0) = I ate f(1) = J? Vamos provar que nao!

Demonstracao. Se houvesse f : [0, 1] → O(2) contınua, com f(0) = I e f(1) = J ,isso levaria a um absurdo, atraves dos seguintes passos:

1) A funcao determinante, det : M2(R) → R, e contınua (na topologia euclidiana,somas e produtos sao contınuos).

2) O+ = O(2)∩det−1{1} = O(2)∩det−1(0,∞) e conjunto fechado e aberto de O(2),que nao e nem vazio nem O(2) todo (idem para O−).

3) f−1(O+) e conjunto fechado e aberto de [0, 1], que nao e nem vazio nem [0, 1](idem para f−1(O−)).

4) Mas [0, 1] nao tem conjuntos assim!

Assim, O+ e O− sao diferentes “pedacos”, ou componentes, de O(2), sem conexaoum com o outro. E pode-se mostrar que j : O+ → O− dada por j(A) = JA e umhomeomorfismo. Como O+ = SO(2) ∼= S1, temos que O(2) ∼= 2 cırculos disjuntos:

Fig. 71. O(2) ∼= S1 ·t S1

O cırculo O+ representa rotacoes, e O− rotacoes seguidas de reflexao pelo eixo x(reflexao por qualquer outra reta pode ser obtida assim).

Obs. O− e subespaco topologico de O(2), mas nao e subgrupo (pois nao contem I).

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7.2.2 SO(3), O(3), e SU(2)

I) SO(3) = {rotacoes no espaco R3}Podemos especificar uma rotacao espacial por um vetor ~v com comprimento |~v| ≤ π:

a) a direcao e sentido de ~v determinam um eixo de rotacao orientado;

b) seu comprimento especifica um angulo de rotacao θ ∈ [0, π] em torno desse eixo,no sentido dado pela regra da mao direita. Nao usamos θ > π pois tal rotacaoem torno de ~v e igual a rodar 2π − θ no sentido oposto −~v.

O conjunto de vetores ~v ∈ R3 com |~v| ≤ π forma uma bola fechada B de raioπ. Mas a rotacao θ = π em torno de ~v e igual a θ = π em torno de −~v, logo osantıpodas da borda devem ser identificados. Isso sugere o espaco projetivo, e comum homeomorfismo apropriado prova-se que

SO(3) ∼= RP3.

Outra forma de especificar uma rotacao no espaco e dando:

a) um vetor unitario u no qual ı sera levado.

b) um vetor unitario v, no plano orthogonal a u, no qual sera levado.

O vetor k sera entao levado no vetor w ortogonal a u e v, no sentido que forma comeles uma base positiva {u, v, w}.

Fig. 72. Rotacao no espaco

A escolha de u corresponde a um ponto de S2, e a de v a um ponto do cırculo S1

ortogonal a u:

Fig. 73. Escolha de u ∈ S2 e v ∈ S1

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Logo SO(3) tem um cırculo S1 de possıveis v’s para cada u ∈ S2, o que sugereSO(3) ∼= S2 × S1. Mas isso esta ERRADO! Essa correspondencia e uma bijecao,mas nao um homeomorfismo. Isso mostra a importancia de usarmos as definicoes enao so o que parece “razoavel”.

A diferenca entre SO(3) ∼= RP3 e S2×S1 e como a existente entre a faixa de MobiusM2 e o cilindro S1 × I. Em S1 × I temos, para cada ponto de S1, uma copia de I,e esta claro qual ponto de cada copia corresponde, por ex., ao 1:

Fig. 74. Cilindro = produto cartesiano

Em M2 tambem ha uma copia de I para cada ponto do cırculo central S1, mas naoha como identificar, de forma contınua, um ponto de cada copia como sendo o 1. Issoe o que chamamos de fibrado, um produto cartesiano com sua topologia “torcida”.

Fig. 75. Faixa de Mobius = fibrado

SO(3) e similar: para cada ponto u ∈ S2 ha uma copia de S1 de possıveis v’s, masnao ha uma correspondencia natural entre elas em diferentes u’s. Uma forma dever isso e que, ao rotacionarmos o espaco para alinhar ı com u, cada ponto do S1

ortogonal a ı sera levado em outro no S1 ortogonal a u. Mas qual sera esse pontodepende da rotacao usada, impedindo uma correspondencia canonica.

Como SO(3) ∼= RP3, ha um caminho comecando e terminando em I (isto e, ummovimento contınuo de rotacoes retornando a posicao inicial) que nao pode sercontraıdo, mas passa a poder se feito 2 vezes. Isso se manifesta em varias situacoesonde uma rotacao de 360◦ nao retorna ao estado inicial, sendo necessarios 720◦:

- danca de pratos de Bali;

- truque do cinto de Dirac;

- spin, fermions.

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II) O(3) = {A ∈ GL(3,R) : ATA = AAT = I} = {composicoes de rotacoes espaciais ereflexoes} = {simetrias da esfera}Como antes, O(3) tem 2 componentes homemomorfas, uma correspondendo a rotacoes(SO(3)), e a outra a rotacoes seguidas de uma reflexao, de modo que

O(3) ∼= RP3 ·tRP3.

III) SU(2) = {A ∈ GL(n,C) : A∗A = AA∗ = I, detA = 1}

Matrizes de SU(2) sao da forma A =

(α −ββ α

)com α, β ∈ C e |α|2 + |β|2 = 1.

Escrevendo α = a+ib e β = c+id, com a, b, c, d ∈ R, temos uma correspondencia en-tre matrizes de SU(2) e pontos (a, b, c, d) ∈ R4 com a2+b2+c2+d2 = 1, ou seja, coma hiperesfera S3. Pode-se mostrar que tal correspondencia e um homeomorfismo:

SU(2) ∼= S3.

Como S3 com antıpodas identificados e RP3, podemos esperar uma relacao seme-lhante entre SU(2) e SO(3). De fato ela existe (mas nao e simples de descrever), ea cada rotacao espacial correspondem 2 elementos ±A ∈ SU(2).

Isso esta relacionado aos caminhos em SO(3) que se tornam contraıveis na 2a volta,e tem consequencias importantes na Mecanica Quantica, como o fato de partıculasde spin 1

2, como eletrons, precisarem rodar 720◦ para voltarem ao estado inicial.

Obs. Em Teoria de Campos, SU(2) esta relacionado a forca eletrofraca.

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7.3 Acoes de grupos

Definicao. Uma acao de um grupo G em um conjunto X e uma funcao G × X → X,(g, x) 7→ g · x, tal que

i) e · x = x ∀x ∈ X

ii) (g ∗ h) · x = g · (h · x) ∀g, h ∈ G, x ∈ X

Obs. Se X for espaco topologico e G grupo topologico, a acao deve tambem ser contınua.Isso permite usa-la para deduzir propriedades topologicas.

Exemplos.

-

TERMINAR

7.4 Grupo fundamental

FALTA

8 Algumas propriedades topologicas

FALTA

8.1 Separabilidade

8.2 Conexidade

8.3 Compacidade

8.4 Grupo fundamental

A Revisao: Teoria dos Conjuntos

FALTA