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Introducci´ on a la Matem´atica Discreta Aritm´ etica Modular Luisa Mar´ ıa Camacho Camacho Introd. a la Matem´atica Discreta 1 / 39

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Introduccion a la Matematica DiscretaAritmetica Modular

Luisa Marıa Camacho

Camacho Introd. a la Matematica Discreta 1 / 39

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Introduccion a la Matematica DiscretaTemario

Tema 1. Teorıa de Conjuntos.

Tema 2. Logica proposicional y algebras de Boole.

Tema 3. Tecnicas de contar.

Tema 4. Recursion.

Tema 5. Aritmetica entera.

Tema 6. Aritmetica modular.

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Tema 6. Aritmetica Modular

Numeros congruentes modulo m.

Clase de equivalencia modulo m.

El conjunto Zm.

Aritmetica en Zm.

Divisores de cero y numeros invertibles.

Division Zm : calculo del inverso.

Resolucion de congruencias lineales.

Solucion particular y solucion general.

Resolucion de sistemas de congruencias lineales:

Teorema chino del resto.Teorema chino del resto generalizado.

La funcion φ de Euler.

Propiedades.

Teorema de Euler.

Test de primalidad: Test de Wilson.

Test de pseudoprimalidad de Fermat.

Numeros pseudoprimos y de Carmichael.

Aplicaciones:

Dıgitos de Control.

Sistema criptografico RSA.

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Aritmetica Modular. Resultados Previos.

Aritmetica Entera.

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¿Como averiguar si un numero es divisible por 7 o por 11?

Si contamos 100 dıas a partir de hoy ¿en que dıa de la semana caera?

Dıgitos de control: NIF, Dıgitos de control de las cuentas bancarias, ISBN delos libros...

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Criptografıa: RSA.

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Aritmetica Modular. Numeros congruentes.

Numeros congruentes

Sean a, b y m enteros, diremos que a es congruente con b y lo denotaremos pora ≡ b (mod m) si a y b dan el mismo resto cuando se divide entre m.

Ejemplos.

9 ≡ 27 (mod 3)

15 ≡ 20 (mod 5)

Propiedades

Sean a, b y m numeros enteros, se tiene que:

a ≡ b (mod m) ⇐⇒ a ≡ b (mod −m)

a ≡ b (mod m) ⇐⇒ m|(a− b)

La congruencia a ≡ b (mod 1) siempre es cierta.

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Aritmetica Modular. Numeros congruentes.

Propiedades.

Sean a, b, c, d y m numeros enteros, se tiene que:

a ≡ b (mod m) =⇒ a · c ≡ b · c (mod m)

a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m) =⇒ a+ c ≡ b+ d (mod m) ya− c ≡ b− d (mod m)

a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m) =⇒ a · c ≡ b · d (mod m)

a ≡ b (mod m) =⇒ ak ≡ bk (mod m) y k > 0

a ≡ b (mod m) y d|m =⇒ a ≡ b (mod d)

a · c ≡ b · c (mod m) y d = mcd(c,m) =⇒ a ≡ b (mod md

)

Si mcd(m,n) = 1, a ≡ b (mod m) y a ≡ b (mod n) ⇐⇒ a ≡ b (mod m · n)

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Aritmetica Modular. Numeros congruentes.

Relacion de equivalencia.

Sean a, b y m numeros enteros, se tiene que:

a ≡ a (mod m) reflexiva.

a ≡ b (mod m) ⇐⇒ b ≡ a (mod m) simetrica.

a ≡ b (mod m) y b ≡ c (mod m) =⇒ a ≡ c (mod m)

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Aritmetica Modular. Clases de equivalencia.

Clases de equivalencia

En nuestro caso, cada elemento a ∈ Z define la clase de equivalencia:

[a]m = {x ∈ Z : x ≡ a (mod m)} = {. . . , a− 2n, a− n, a, a+ n, a+ 2n, . . . }

quedando Z dividido en m clases de equivalencia correspondientes a los posibles mrestos de dividir un numero cualquiera entre m :

[0]m, [1]m, [2]m, . . . , [m− 2]m, [m− 1]m

Ejemplos.

9 ≡ 27 (mod 3) ⇒ [9]3 = [27]3 = [0]3

16 ≡ 21 (mod 5) ⇒ [16]5 = [21]5 = [1]5

Para m = 2 el conjunto Z queda dividido en las clases [0] y [1] que secorresponden con los numeros pares y los impares respectivamente.

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Aritmetica Modular. El conjunto Zm.

Enteros modulo m

Para cada m ≥ 1, el conjunto de las m clases de equivalencia lo denotamos por Zm yse conoce como el conjunto de los enteros modulo m.

Zm = {0, 1, 2, . . . , m− 1}

donde los elementos a ∈ Zm representan a sus respectivas clases de equivalenciamodulo m.

Los elementos de Zm son subconjuntos de Z.

Z2 = {0, 1}

Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}

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Aritmetica Modular. Aritmetica en Zm.

Clases de equivalencia

En nuestro caso, cada elemento a ∈ Z define la clase de equivalencia:

[a]m = {x ∈ Z : x ≡ a (mod m)} = {. . . , a− 2n, a− n, a, a+ n, a+ 2n, . . . }

quedando Z dividido en m clases de equivalencia correspondientes a los posibles mrestos de dividir un numero cualquiera entre m :

[0]m, [1]m, [2]m, . . . , [m− 2]m, [m− 1]m

Enteros modulo m

Para cada m ≥ 1, el conjunto de las m clases de equivalencia lo denotamos por Zm yse conoce como el conjunto de los enteros modulo m.

Zm = {0, 1, 2, . . . , m− 1}

donde los elementos a ∈ Zm representan a sus respectivas clases de equivalenciamodulo m.

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Aritmetica Modular. Aritmetica en Zm.

Sean a, b ∈ Z. Definimos las siguientes operaciones:

Operaciones

[a]m + [b]m = [a+ b]m

[a]m − [b]m = [a− b]m

[a]m · [b]m = [a · b]m

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Aritmetica Modular. Aritmetica en Zm.

Teorema

Sean a, b y c numeros enteros.

[a], [b] ∈ Zm ⇒ [a+ b], [a · b] ∈ Zm

[a] + ([b] + [c]) = ([a] + [b]) + [c], [a]([b][c]) = ([a][b])[c]

[a] + [b] = [b] + [a], [a][b] = [b][a]

[a]([b] + [c]) = [a][b] + [a][c]

∃[0], [1] ∈ Zm, [x] + [0] = [0] + [x] = [x], [x] · [1] = [1] · [x] = [x]

∀[a] ∈ Zm, ∃[−a] ∈ Zm ⇒ [a] + [−a] = [−a] + [a] = [0]

Ejemplo

En Z7, tomamos 5 y 8 ⇒ 58 = 390625 = 4.Por otro lado, como 8 = 1, ⇒ 51 = 5.

[a][b] 6= [ab]

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Aritmetica Modular. Aritmetica en Zm.

Tablas de multiplicar: Z5, Z6, Z7 :

Z5 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

Z6 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1

Z7 0 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 62 0 2 4 6 1 3 53 0 3 6 2 5 1 44 0 4 1 5 2 6 35 0 5 3 1 6 4 26 0 6 5 4 3 2 1

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Aritmetica Modular. Divisores de cero.

Divisores de cero

Los divisores de cero son elementos no nulos (distintos del elemento neutro) tal quesu producto por otro elemento no nulo da como resultado el elemento neutro.

Teorema

En Zm, los divisores de cero son precisamente aquellos elementos a (distinto delelemento neutro) que verifican que mcd(a,m) 6= 1.

Demostracion

d = mcd(a,m) ⇒ a · md

= adm = 0 (es multiplo de m) ⇒ a es un divisor de cero.

Corolario

En Zp con p primo no hay divisores de cero.

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Aritmetica Modular. Numeros invertibles.

Numeros invertibles

Un elemento a es invertible modulo m si existe a′ en Zm tal que a · a′ = 1.Diremos que a′ es el inverso de a en Zm y se denota a−1 = a′.

Teorema

Un entero a es invertible modulo m si y solo si mcd(a,m) = 1. Si a posee inverso,entonces este es unico.

Demostracion

Existencia. d = mcd(a,m) 6= 1.mcd(a,m) = 1 ⇒ ∃α, β ∈ Z tal que aα+mβ = 1 ⇒ aα = 1 en Zm

Unicidad.

Corolario

Si m primo, todos los elementos de Zm son invertibles, salvo el cero.

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Aritmetica Modular. Calculo del inverso.

Calculo del inverso.

1 Aplicamos el AEE para calcular mcd(a,m).

Si mcd(a,m) 6= 1 entonces a no es invertible.

Si mcd(a,m) = 1 entonces se tiene la Identidad de Bezout:α · a+ β ·m = 1.

2 En Zm, α · a = 1 lo que implica que α es el inverso de a modulo m.

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Aritmetica Modular. Congruencias lineales.

Congruencias lineales

Una congruencia lineal es una ecuacion lineal en Zm.

Proposicion.

Sea d un divisor de a, de b y de m. Entonces

ax ≡ b (mod m)⇔ a

dx ≡ b

d(mod

m

d)

Si a y m son primos entre sı y c es un divisor de a y de b, entonces

ax ≡ b (mod m)⇔ a

cx ≡ b

c(mod m)

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Aritmetica Modular. Resolucion.

Problema.

Sean a, b enteros y m entero positivo. Resolver la congruencia linealax ≡ b (mod m).

Relacion entre congruencia lineal y ecuacion diofantica.

ax ≡ b (mod m)⇔ m divide a ax− b⇔ ax− b = km

⇔ ax− km = b⇔ ax+my = b (ecuacion diofantica)

Tiene solucion si y solo si mcd(a,m) divide a b.

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Aritmetica Modular. Resolucion.

Teorema

Si a, b enteros y m entero positivo, la congruencia lineal ax ≡ b (mod m) tienesolucion si y solo si el maximo comun divisor de a y m (d = mcd(a,m)) divide a b.En este caso, si x0 es una solucion particular, entonces todas las soluciones vienendadas por:

x ≡ x0 + km

d(mod m); con k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , d− 1}

Encontrar la solucion particular x0.

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Aritmetica Modular. Resolucion.

�� ��Resolver ax = b en Zm

Caso 1

Si mcd(a,m) = 1 tenemos que ax ≡ b(mod m) tiene solucion y esta se calcula:

ax ≡ b (mod m)⇔ a−1ax ≡ a−1b (mod m)⇔ x ≡ a−1b (mod m)

Solucion

En Zm, hay una unica solucion x = a−1b.

En Z, hay infinitas soluciones x = a−1b+ km con k ∈ Z.

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Aritmetica Modular. Resolucion.

�� ��Resolver ax = b en Zm

Caso 2

Si mcd(a,m) 6= 1. Sea mcd(a,m) = d.

Si d no divide a b. FIN. No hay solucion.

Si d divide a b. Seguiremos los siguientes pasos:

Simplificamos la congruencia. Dividimos todo por d,a′x ≡ b′ (mod m′).

Calculamos mcd(a′, b′) = c y simplificamos de nuevo la congruencia:a′′x ≡ b′′ (mod m′)Estarıamos en la situacion del Caso 1.Ası, x ≡ (a′′)−1b′′ (mod m′). Llamemos x0 = (a′′)−1b′′.

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Aritmetica Modular. Solucion general.

Hay tres formas de dar las soluciones:

Modulo m′. Habrıa una unica solucion que serıa x ≡ x0 (mod m′).

Modulo m. Habrıa exactamente d soluciones, con d = mcd(a,m).Esas soluciones serıan:

x ≡ x0 + im

d(mod m) con 0 ≤ i ≤ d− 1.

En Z, serıa x = x0 + km′ con k ∈ Z.

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Aritmetica Modular. Sistemas de Congruencias.

Sistema de congruencias lineales.

Un sistema de congruencias lineales es un sistema de la forma

(1) :

a1x ≡ b1 (mod n1)a2x ≡ b2 (mod n2)

...akx ≡ bk (mod nk)

con ni enteros positivos y ai, bi enteros para 1 ≤ i ≤ k.

Objetivo:

Encontrar las soluciones del sistema (1).

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Aritmetica Modular. Teorema Chino del resto.

Teorema Chino del resto.

Sean n1, n2, · · · nk enteros positivos primos entre sı. Dados enteros a1, a2, · · · , akexiste una unica solucion del sistema:

x ≡ a1 mod n1

x ≡ a2 mod n2

...x ≡ ak mod nk

modulo n = n1 · n2 · · ·nk.

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Aritmetica Modular. Teorema chino del resto.

Demostracion:

Existencia. Se comprueba que:

x0 = a1c1d1 + a2c2d2 + · · ·+ akckdk,

ci = n1·n2···ni···nkni

= n1 · n2 · · ·ni−1 · ni+1 · · ·nk,ci · di ≡ 1 (mod ni), di es el inverso de ci modulo ni.

es solucion del sistema.

Unicidad. Dicha solucion es unica modulo n = n1 · n2 · · ·nk.

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Aritmetica Modular. Teorema chino del resto.

Procedimiento para encontrar la solucion de (1).

Resolver cada congruencia de la forma aix ≡ bi (mod ni) por separado yconvertirla en uno del tipo x ≡ ai (mod ni).

Si alguna carece de solucion el sistema no la tiene.

Calcular ci = nni.

Calcular el inverso de ci modulo ni, es decir, se resuelve

cidi ≡ 1, mod ni.

La solucion sera:�� ��x ≡ a1c1d1 + a2c2d2 + · · ·+ akckdk (mod n).

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Aritmetica Modular. Teorema chino del resto generalizado.

Teorema chino del resto generalizado.

Sean n1, n2, · · · nk enteros positivos y a1, a2, · · · , ak enteros cualesquiera. Elsistema de congruencias

x ≡ a1 mod n1

x ≡ a2 mod n2

...x ≡ ak mod nk

admite solucion si, y solo si, mcd(ni, nj) divide a ai − aj para cualesquiera i 6= j.Cuando se verifica esta condicion, la solucion general constituye una unica clase decongruencia modulo n = mcm(n1, n2, . . . , nk).

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Aritmetica Modular. Teorema chino del resto generalizado.

Procedimiento para encontrar la solucion de (1).

Resolver cada congruencia de la forma aix ≡ bi (mod ni) por separado y convertirla en uno deltipo x ≡ ai (mod ni).Si alguna carece de solucion el sistema no la tiene.

Comprobar que mcd(ni, nj) divide a ai − aj . Si falla algun caso, el sistema no tiene solucion.

Descomponer cada ecuacion en un sistema.

Si mcd(m,n) = 1 entonces

a ≡ b (mod m · n)⇐⇒{

a ≡ b (mod m)a ≡ b (mod n)

Eliminar las ecuaciones que no son necesarias.

Si a ≡ b (mod m) y d|m ⇒ a ≡ b (mod d)

El sistema que obtenemos verifica que los modulos son primos entre sı y se resuelve segun elteorema anterior.

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Arimetica Modular. Funcion de Euler.

Funcion de Euler

El numero de elementos invertibles modulo m se representa por φ(m). Es unafuncion de N en N tal que a cada natural m le asocia el numero de unidades modulom. A la funcion φ la llamaremos funcion de Euler.

Propiedades.

Si p primo, φ(p) = p− 1.

Si n = pr con p primo, φ(n) = pr − pr−1 = pr−1(p− 1) = pr(1− 1p).

Si m y n son primos entre sı, entonces φ(mn) = φ(m)φ(n).

Ejemplo

φ(1000) = φ(2353) = φ(23)φ(53) = 23−1(2− 1)52−1(5− 1) = 80

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Aritmetica Modular. Teorema de Euler.

Teorema de Fermat.

Si p primo entonces ap ≡ a mod p. En particular, si a 6≡ 0 mod p se tiene queap−1 ≡ 1 mod p.

Teorema de Euler.

Sean a y m enteros tales que mcd(a,m) = 1, entonces aφ(m) ≡ 1 mod m.

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Aritmetica Modular. Teorema de Euler.

Ejemplo

1 Probar que 250 + 350 es divisible por 13

2 Determinar el resto de dividir 2372 entre 37

3 Hallar las dos ultimas cifras de 19931993

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Aritmetica Modular. Teorema de Euler. Aplicaciones

Calculo de ar modulo m

Por ejemplo a19

Expresamos r en notacion binaria. 19→ 10011.

Intercalamos una C entre cada dos cifras. 1C0C0C1C1.

Eliminamos los ceros. 1CCC1C1.

Sustituimos los unos por la letra M . MCCCMCM .

Comenzando ahora por 1 y siguiendo la secuencia obtenida en la que M representamultiplicar por n y C elevar al cuadrado vamos obteniendo:

1M−→ a

C−→ a2 C−→ a4 C−→ a8 M−→ a9 C−→ a18 M−→ a19

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Aritmetica Modular. Test de primalidad.

Test de primalidad de Wilson:

Se basa en la siguiente propiedad

p es primo ⇔ (p− 1)! + 1 ≡ 0 (mod p)

Test de pseudoprimalidad de Fermat:

Se basa en la siguiente propiedad

si p primo y a un entero positivo ⇒ ap ≡ a (mod p).

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Aritmetica Modular. Test de primalidad.

1 Elegir un entero positivo a, al que se denomina la base del test. Basta conutilizar bases que sean numeros primos menores o iguales que p, (normalmentese empieza con a = 2).

2 Calcular ap mod p.

3 Si el resultado no es a entonces p no es primo (se dice que p no ha pasado eltest en base a).

4 Si el resultado es a entonces p podrıa ser primo o podrıa no serlo (en esecaso se dice que p es pseudoprimo para la base a). En ese caso elegimos unanueva base a y repetimos el proceso.

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Aritmetica Modular. Test de Primalidad

Pseudoprimos

Un entero n se dice que es pseudoprimo para la base a si, siendo n compuesto,verifica que an ≡ a mod n.

Numeros de Carmichael

Se denomina numeros de Carmichael a aquellos numeros que, siendo compuestos,superan los test de base a.

n es de Carmichael ⇔{n es compuestoan ≡ a mod n ∀a ∈ Z+

Caracterizacion numeros de Carmichael

Si n es libre de cuadrados y p− 1 divide a n− 1 para cada primo p que divida a n,entonces o n es primo o es un numero de Carmichael.

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Aritmetica Modular. Bibliografıa.

1 N. L. Biggs, Matematica discreta. Editorial Vicens Vives, 1994.

2 E. Bujalance, J. A. Bujalance, A. F. Costa, E. Martınez, Elementos dematematica discreta. Editorial Sanz y Torres, 3a Edicion. 2005.

3 F. Garcıa Merayo, Matematica Discreta.Editorial Thomson, 2a Edicion, 2005.

4 R. P. Grimaldi, Matematicas discreta y combinatoria.Editorial Addison Wesley Iberoamericana, 1997.

5 G.A. Jones y M. Jones, Elementary number theory. Editorial Springer, 1998.

6 R. Kumanduri y C. Romero, Number Theory with Computers Applications.Prenticell Hall, 1998.

7 K. H. Rosen, Discrete Mathematics and its applications.Editorial McGraw-Hill, 2003.

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