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Introducción al MathCad

Fisicoquímica 2014


Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO’s)

EDO: problemas de valores iniciales (P.V.I.)

Sistema de EDO’s


Fisicoquímica 2014

Sistema de EDOs

1,001 y)(ty )y,..,y,yf(t,dt

dyn21

1

)y,..,y,yf(t,dt

dyn21

2

Condición inicial

)y,..,y,yf(t,dt

dyn21

n n,00n y)(ty

2,002 y)(ty


Fisicoquímica 2014

Resolución sistema de EDOs

Solución Analítica exacta

Solución Numérica aproximada


Fisicoquímica 2014

Métodos Runge Kutta (RK)

....+h6

)x(y+h

2

)x(y+)hx(y+)xy(=y(x) 3020

00

donde h = x-x0

Los métodos de Runge Kutta de cualquier orden se deducen a

partir del desarrollo de la serie de Taylor de la función f(x,y):


Fisicoquímica 2014

Método de Euler o RK 1er Orden

00 )( :C.I. ),( yxyyxfdx

dy

xyxfyxyxxy

xyxfy

yxfdx

dy

x

y

),()()(

),(

),(

xyxfxyxxy ),()()(

....+h6

)x(y+h

2

)x(y+)hx(y+)xy(=y(x) 3020

00


Fisicoquímica 2014

Método de Euler o RK 1er Orden

y1 verdadero

xyxfxyxxy ),()()(

xyxfyy ),( :1iteración 01

Importante: x Error tiempo de cálculo

Los métodos de orden 2, 3 y 4 requieren el cálculo de f(x,y) en 2, 3 y 4 puntos respectivamente


Fisicoquímica 2014

Método de RK 4to Orden

RK de 4to orden conjuga bien la precisión con el esfuerzo de

computación.

)k2k2k(k6

1yy

)kyh,f(xh k

)2

ky,

2

hf(xh k

)2

ky,

2

hf(xh k

)y,f(xh k

4321n1n

3nn4

2nn3

1nn2

nn1

y´ = f(x,y) y(x0) = y0

Uno de los algoritmos más utilizados es:


Fisicoquímica 2014

Sistema de EDOs

El algoritmo del método numérico se

aplica a cada una de las n ecuaciones en

paralelo

Se resuelve en forma iterativa para cada

paso.


Fisicoquímica 2014

Resolución en Mathcad Mathcad ofrece distintas funciones para la resolución de EDOs:

odesolve

rkfixed

rkadapt.

El argumento utilizado para invocar estas funciones es:

Vector de valores iniciales

Valor inicial y final del intervalo de

integración

Paso de integración

Vector de EDOs

Rkadapt(y,x1,x2,h,D)

Odesolve(D,x,x2,h) (solve block)

Rkfixed(y,x1,x2,h,D)


Fisicoquímica 2014

Reacciones Múltiples

Evolución temporal de las concentraciones de las

especies que participan de la reacción.

EDO’s contienen derivadas respecto a una sola

variable independiente (tiempo).


Fisicoquímica 2014

Reacciones en serie

Datos:

k1=0.5 min-1

k2=1.5 min-1

CA0 =2 M

…durante 10 minutos

CBAkk 21

CA (t) = ?

CB (t) = ?

CC (t) = ?


Fisicoquímica 2014

Planteo

BC

BAB

AA

Ckdt

dC

CkCkdt

dC

Ckdt

dC

2

21

1

CBAkk 21


Fisicoquímica 2014

Definición de parámetros

BC

BAB

AA

Ckdt

dC

CkCkdt

dC

Ckdt

dC

2

21

1 CA(0)= 2M A0

CB(0)=0

CC(0)=0

A0 2

k1 0.5

k2 1.5


Fisicoquímica 2014

Definición de Argumentos

Rkfixed(C0,t0,tfinal,N,D)

BC

BAB

AA

Ckdt

dC

CkCkdt

dC

Ckdt

dC

2

21

1

D t Y( )

k1 Y0

k1 Y0

k2 Y1

k2 Y1

t0 0 tfinal 10N 1 10

3

C0

A0

0

0


Fisicoquímica 2014

t0 0

tfinal 10

N 1 103

C0

A0

0

0

D t Y( )

k1 Y0

k1 Y0

k2 Y1

k2 Y1

Definición de Argumentos

S rkfixed C0 0 10 1000 D( )

Rkfixed(C0,t0,tfinal,N,D)

S1 rkfixed C0 t0 tfinal N D( )

1


Fisicoquímica 2014

Resultados

S1

0 1 2 3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0 2 0 0

0.01 1.99 -39.901·10 -57.45·10

0.02 1.98 0.02 -42.96·10

0.03 1.97 0.029 -46.617·10

0.04 1.96 0.038 -31.169·10

0.05 1.951 0.048 -31.814·10

0.06 1.941 0.057 -32.595·10

0.07 1.931 0.065 -33.508·10

0.08 1.922 0.074 -34.552·10

0.09 1.912 0.082 -35.723·10

0.1 1.902 0.091 -37.02·10

0.11 1.893 0.099 -38.438·10

0.12 1.884 0.106 -39.977·10

0.13 1.874 0.114 0.012

0.14 1.865 0.122 0.013

0.15 1.855 0.129 ...

S11

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

2

1.99

1.98

1.97

1.96

1.951

1.941

1.931

1.922

1.912

1.902

1.893

1.884

1.874

1.865

...


Fisicoquímica 2014

Resultados


Fisicoquímica 2014

Resultados

t S10

A S11

B S12

C S13

0 2 4 6 8 10

0.5

1

1.5

2

2

0

A

B

C

tfinalt0 t


Fisicoquímica 2014

DCA

CBA

k

k

2

1

Reacciones en paralelo

Datos:

k1=0.3 (M.min)-1

k2=0.1 (M.min)-1

CA0 =0.9 M

CB0 =0.3 M

CA (t) = ?

CB (t) = ?

CC (t) = ?

CD (t) = ?


Fisicoquímica 2014

Planteo

CAD

BACAC

BAB

CABAA

CCkdt

dC

CCkCCkdt

dC

CCkdt

dC

CCkCCkdt

dC

2

12

1

21

DCA

CBA

k

k

2

1


Fisicoquímica 2014

Definición de parámetros y argumentos

k1 0.3 A0 0.9 C0 0

k2 0.1 B0 0.3 D0 0

D t x( )

k1 x0

x1

k2 x0

x2

k1 x0

x1

k2 x0

x2

k1 x0

x1

k2 x0

x2

S rkfixed x 0 50 50 D( )

x

A0

B0

C0

D0


Fisicoquímica 2014

Resultados

t S0

CA S1

CC S3

CB S2

CD S4

0 10 20 30 40 500

0.5

10.9

0

CA

CB

CC

CD

500 t

DCA

CBA

k

k

2

1


Fisicoquímica 2014

150 litros (medidos en CNPT) de una mezcla gaseosa que contiene un 45 % en

volumen de reactivo A, un 45 % de B e inertes se cargan a un reactor tanque agitado

discontinuo isotérmico que inicialmente está a 2 atm y a 450°C, donde A y B

reaccionan para dar el producto C, según:

Hallar:

a) los perfiles de concentración si el reactor se opera a volumen constante y si el

reactor se opera a presión constante. Comparar y comentar los resultados.

b) qué operación recomendaría para obtener una conversión del 60%? Justificar

DATO:

Experiencias a escala de laboratorio realizadas a 450 ºC y 2 atm en un reactor

isotérmico e isocórico permitieron establecer que la velocidad de desaparición del

reactivo A sigue la siguiente ley:

siendo k = 6 cuando la velocidad se expresa en moles/l h y las concentraciones en

moles/l.

CBA 32

2/1BA

A CCkdt

dC

Única reacción


Fisicoquímica 2014

2/1

BAA CCk

dt

dC

f t C( )3

26 C

1

2 CB0

2

3C CB0( )

Given

B' t( ) f t B t( )( )

B 0( ) 0.015

B Odesolve t 3( )

B t( )

t

0 1 2 30

5 103

0.01

0.015

0.015

2.369 104

B t( )

30 t

CB0 0.015 M

si el reactor se opera a volumen constante…


Fisicoquímica 2014

nB0 2.763

nA0 2.763

f t x( )3

26 nB0 1 x( )[ ]

1

2

nA02

3nB0 x( )

nB0 181.963 1 0.6x( )[ ]

1

2

Given

x' t( ) f t x t( )( )

x 0( ) 0

x Odesolve t 2.5( )

0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.998

0

x t( )

2.50 t

x 1nB

nB0

2/1

BAA CCk

dt

dC

si el reactor se opera a presión constante…

e

V0

e:= -0.6


Fisicoquímica 2014

0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.998

0

1B t( )

0.015

x t( )

30 t

V=cte

P=cte

2/1

BAA CCk

dt

dC

Comparación


Fisicoquímica 2014

Las reacciones de primer orden: CA

BA

k

k

2

1

se producen comenzando con una concentración de A puro igual a 2 mol/lt y

temperatura inicial de 80 ºC. Las constantes de velocidades específicas en unidades de

h-1

son:

Txk

12581exp1041 13

y

Txk

14595exp1071.62 14

La ecuación diferencial para la temperatura es:

CC AA Tx

Tx

dt

dT

14595exp10013.2

12581exp109 1514

Explicar cómo puede calcular a qué tiempo y temperatura se obtiene una conversión del

80% y cuál es la conversión a ese mismo tiempo y una temperatura de 80ºC.

¿Cómo puede obtener los perfiles de conversión vs. tiempo?

Variación de temperatura


Fisicoquímica 2014

D t Y( )

4 1013

e

12581

Y1 Y

0 6.7210

14 e

14595

Y1 Y

0

9 1014

e

12581

Y1 Y

0 2.01310

15 e

14595

Y1 Y

0

t0 0

tfinal 40

C02

80 273

N 1 103


tiempo =? y T=? si x=0.8


Fisicoquímica 2014

t S10

xA 1S1

1

2

T S12

0 10 20 30 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

xA

tfinalt0 t

0 10 20 30 40350

360

370

380

390

400

353

T

tfinalt0 t

23 h

386 K

Resultados


Fisicoquímica 2014


0 100 200 300 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

xA

tfinalt0 t

t S10

xA 1S1

1

2

T S12

D t Y( ) 4 1013

e

12581

Y1 Y

0 6.7210

14 e

14595

Y1 Y

0

0

t0 0

tfinal 400

C02

80 273

N 1 103

tiempo =? si T=353K y x=0.8


Fisicoquímica 2014

¿Dudas?

Muchas gracias!!

Contacto: Dra. María Alejandra Ayude E-mail: [email protected]

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