introducción a la geometria analitica shirley bromberg raquel valdés
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Introducción a la GEOMETRIA ANALITICA Shirley Bromberg Raquel Valdés. Versión Preliminar. Geometría Euclidiana. Geometría Cartesiana. Geometría Sintética. Geometría Analítica. EUCLIDES Nació alrededor de 325 AC Murió alrededor de 265 AC en Alejandría, Egipto. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Introducción a la GEOMETRIA ANALITICA
Shirley BrombergRaquel Valdés
Versión Preliminar
Geometría Euclidiana Geometría Cartesiana
Geometría Sintética Geometría Analítica
EUCLIDESNació alrededor de 325 ACMurió alrededor de 265 AC en Alejandría, Egipto.
Los seis primeros contienen una sistematización del conocimiento de Geometría Plana básica de su época.
Se convierten en el paradigma de exposición científica.
Autor de trece volúmenes de ELEMENTOS.
RENE DESCARTES Nació el 31 de marzo de 1596 en Francia Murió el 11 de febrero de 1650 en Suecia.
Creador, junto con Fermat, del METODO DE LAS COORDENADASque transforma problemas geométricos en problemas algebraicos
Plano Euclidiano Plano Cartesiano
Lugares geométricos Ecuaciones
PLANO CARTESIANO
P
O
eje de abscisasej
e de
ord
enad
asorigen de coordenadas
x
(x,y)
y
x
y
(0,0)
Geometría Sintética Geometría Analítica
Ecuación de la rectaDos puntos determinan una recta.
RECTAS QUE PASAN POR EL ORIGEN:
O
P
Q
P´ Q´
(x,y)
(x1,y1)
El punto Q es un punto arbitrario sobre la recta,con coordenadas (x,y)
Consideremos la recta que uneel origen con el punto P.
P
Las coordenadas de P son (x1,y1) Al trazar las proyecciones, obtenemos dos triángulos rectángulos semejantes: OPP´ y OQQ´.
1
1 xy
xy
El teorema de Thales implica
x
y
De ser así, llamamos, como se acostumbra, pendiente. Despejamos y tenemos que
1
1 xy
xy .01 x
1
1
xym
tiene sentido siempre cuando
Notemos que la expresión
mxy
es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto ).,(P 11 yx
mxy
es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto significa que los puntos de esa recta son precisamente aquellos que tienen la forma
),,(P 11 yx
Decir que
).,( mxx
PREGUNTA
¿ Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto cuando ? ¿Cuál es esta recta?
01 x),P( 11 yx
RECTAS ARBITRARIAS:
P´ Q´R(x,y)
P(x1,y1)
Q(x2,y2)De nuevo,
12
12
2
2
xxyy
xxyy
.RP'PP'
RQ'QQ'
En coordenadas,
x
y
12 yy
yy 2
xx 1
xx 2
Consideremos la recta l que pasa por los puntos
P(x1,y1) y Q(x2,y2).
.021 xx
tiene sentido siempre cuando
Como en el caso de las rectas que pasan por el origen, la expresión
21
21
2
2
xxyy
xxyy
Despejamos para obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos y
)( 22 xxmyy
),(P 11 yx
. 21
21
xxyym
Si , llamamos como antes pendiente de la recta a
:),(Q 22 yx
021 xx
INTERPRETACION DE LA PENDIENTE:
12 xx
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
12 yy 12
12
xxyym
Observemos que es también el ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas. Por lo tanto,
x
y
Por las definiciones,
y también,
tan 12
12 xxyy
La pendiente es la tangente del ángulo que forma el eje de las abscisas con la recta (en esta dirección).
Geometría Sintética Geometría Analítica
Rectas secantes. Condiciones sobrela pendiente.
Geometría Analítica: Rectas secantes.
l1
l2
x
y
P(x0,y0)11 bxmy
22 bxmy
Si Si P(x0,y0) está sobre la recta
l 1 de ecuación
y sobre la recta l2 de ecuación
Entonces
0
0
yyxx11 bxmy
22 bxmy
es solución del sistema
22
11
bxmybxmy
Geometría Analítica: Rectas secantes.
Resolvamos el sistema
22
11
bxmybxmy
Cuando remplazamos el valor de y de la segunda ecuación en la primera obtenemos
.2211 bxmbxm Operamos y agrupamos
1221 )( bbxmm
Geometría Analítica: Rectas secantes.
La ecuación
tiene solución siempre que
1221 )( bbxmm
.21 mm
CONSECUENCIA
Dos rectas con pendientes distintassiempre se intersectan.
POR CONSIGUIENTE…
Geometría Sintética Geometría Analítica
Rectas Paralelasson aquellas queno se intersectan.
Tienen la misma pendiente.
Geometría Sintética Geometría Analítica
Teorema de Pitágoras Distancia entredos puntos
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:
P
Q
(x1,y1)
(x2,y2)
|y2-y1|
|x2-x1|
Por el Teorema de Pitágoras
221
221 )( )(PQ yyxx
x
y
El triángulo POQ es rectángulo. Por lo tanto, el Teorema de Pitágoras afirma
Condiciones sobrela pendiente.
Como P(x1,y1) está sobre la recta
l 1 de ecuación
Geometría Sintética Geometría Analítica
Rectas Perpendiculares.
Geometría Analítica: Rectas Perpendiculares.
l1
l2
x
y
Q(x2,y2)
xmy 1
xmy 2
y como Q(x2,y2) está sobre la
recta l2 de ecuación
xmy 1
xmy 2
P(x1,y1)
O
Las rectas l 1 y l 2 son perpendiculares
|OP|2+|OQ|2=|PQ|2entonces
111 xmy
entonces
222 xmy
Geometría Analítica: Rectas perpendiculares.
,)(|OP| 211
21
2 xmx
obtenemos
Como
22211
221
2 )()(|PQ| xmxmxx
222
22
2 )(|OQ| xmx
11xmy
22211
221
222
22
211
21
)()(
)()(
xmxmxx
xmxxmx
Geometría Analítica: Rectas perpendiculares.
obtenemos
De
11xm
22211
221
222
22
211
21
)()(
)()(
xmxmxx
xmxxmx
212121 220 xxmmxx 1x
y cuando simplificamos
121 mm
Geometría Analítica: Rectas perpendiculares.
Hemos mostrado que dos rectas de pendientes
11xm 21 y mm 1x
son perpendiculares, cuando y sólo cuando
121 mm
Geometría Analítica: Algunos ejercicios.
Hallar los puntos sobre el eje de las abscisas que distan 5 del punto P(2,-3)
11xm 1x
Dados P(2,2) y Q(5,-2), hallar los puntos R sobre el eje de las abscisas tales que
el ángulo es recto.QRP
Geometría Sintética Geometría Analítica
Circunferencia:
Lugar geométrico detodos los puntos que
equidistan de un punto dado
Ecuación de lacircunferencia
ECUACION DE UNA CIRCUNFERENCIA:
C
Q
(x1,y1)
(x,y)
21
21 )( )(CQ yyxxr
r