Diapositiva 1

Introduccin a la GEOMETRIA ANALITICA

Shirley BrombergRaquel ValdsVersin Preliminar1

Geometra EuclidianaGeometra CartesianaGeometra SintticaGeometra Analtica2EUCLIDESNaci alrededor de 325 ACMuri alrededor de 265 AC en Alejandra, Egipto.

Los seis primeros contienen una sistematizacin del conocimiento de Geometra Plana bsica de su poca.Se convierten en el paradigma de exposicin cientfica.Autor de trece volmenes de ELEMENTOS.3 RENE DESCARTES Naci el 31 de marzo de 1596 en Francia Muri el 11 de febrero de 1650 en Suecia.

Creador, junto con Fermat, del METODO DE LAS COORDENADASque transforma problemas geomtricos en problemas algebraicos4

Plano EuclidianoPlano CartesianoLugares geomtricosEcuaciones5PLANO CARTESIANOPOeje de abscisaseje de ordenadasorigen de coordenadasx(x,y)yxy(0,0)6

Geometra SintticaGeometra AnalticaEcuacin de la rectaDos puntos determinan una recta.7RECTAS QUE PASAN POR EL ORIGEN:OPQPQ(x,y)(x1,y1)El punto Q es un punto arbitrario sobre la recta,con coordenadas (x,y)Consideremos la recta que uneel origen con el punto P.PLas coordenadas de P son (x1,y1) Al trazar las proyecciones, obtenemos dos tringulos rectngulos semejantes: OPP y OQQ.

El teorema de Thales implica

8 De ser as, llamamos, como se acostumbra, pendiente. Despejamos y tenemos que

tiene sentido siempre cuando Notemos que la expresin

es la ecuacin de la recta que pasa por el origen y por el punto

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es la ecuacin de la recta que pasa por el origen y por el punto significa que los puntos de esa recta son precisamente aquellos que tienen la forma

Decir que

10PREGUNTA

Cul es la ecuacin de la recta que pasa por el origen y por el punto cuando ? Cul es esta recta?

11RECTAS ARBITRARIAS:PQR(x,y)P(x1,y1)Q(x2,y2)De nuevo,

En coordenadas,

Consideremos la recta l que pasa por los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2).12

tiene sentido siempre cuando Como en el caso de las rectas que pasan por el origen, la expresin

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Despejamos para obtener la ecuacin de la recta que pasa por los puntos y

Si , llamamos como antes pendiente de la recta a

14INTERPRETACION DE LA PENDIENTE:

P(x1,y1)Q(x2,y2)

Observemos que es tambin el ngulo que forma la recta con el eje de las abscisas. Por lo tanto,

Por las definiciones,y tambin,

La pendiente es la tangente del ngulo que forma el eje de las abscisas con la recta (en esta direccin).15

Geometra SintticaGeometra AnalticaRectas secantes.Condiciones sobrela pendiente.

Geometra Analtica: Rectas secantes.l1l2

P(x0,y0)

Si Si P(x0,y0) est sobre la recta l 1 de ecuaciny sobre la recta l2 de ecuacinEntonces

es solucin del sistema

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Geometra Analtica: Rectas secantes.Resolvamos el sistema

Cuando remplazamos el valor de y de la segunda ecuacin en la primera obtenemos

Operamos y agrupamos

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Geometra Analtica: Rectas secantes.La ecuacintiene solucin siempre que

CONSECUENCIADos rectas con pendientes distintassiempre se intersectan.POR CONSIGUIENTE18

Geometra SintticaGeometra AnalticaRectas Paralelasson aquellas queno se intersectan.Tienen la misma pendiente.19

Geometra SintticaGeometra AnalticaTeorema de PitgorasDistancia entredos puntos20DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:PQ(x1,y1)(x2,y2)|y2-y1||x2-x1|Por el Teorema de Pitgoras

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El tringulo POQ es rectngulo. Por lo tanto, el Teorema de Pitgoras afirmaCondiciones sobrela pendiente.Como P(x1,y1) est sobre la recta l 1 de ecuacin

Geometra SintticaGeometra AnalticaRectas Perpendiculares.

Geometra Analtica: Rectas Perpendiculares.l1l2

Q(x2,y2)

y como Q(x2,y2) est sobre la recta l2 de ecuacin

P(x1,y1)OLas rectas l 1 y l 2 son perpendiculares|OP|2+|OQ|2=|PQ|2entonces

entonces

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Geometra Analtica: Rectas perpendiculares.

obtenemosComo

y

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Geometra Analtica: Rectas perpendiculares.obtenemosDe

y cuando simplificamos

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Geometra Analtica: Rectas perpendiculares.Hemos mostrado que dos rectas de pendientes

son perpendiculares, cuando y slo cuando

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Geometra Analtica: Algunos ejercicios.Hallar los puntos sobre el eje de las abscisas que distan 5 del punto P(2,-3)

Dados P(2,2) y Q(5,-2), hallar los puntos R sobre el eje de las abscisas tales que el ngulo es recto.

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Geometra SintticaGeometra AnalticaCircunferencia:

Lugar geomtrico detodos los puntos queequidistan de un punto dadoEcuacin de lacircunferencia27ECUACION DE UNA CIRCUNFERENCIA:CQ(x1,y1)(x,y)

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